Catálogo Matemática - Sacundaria by Santillana

Matemática 1.° a 5.° de Secundaria

Para el estudiante Libro de texto Libromedia en DVD Folleto para padres

Para el profesor Guía metodológica impresa Libromedia en DVD, edición para el profesor Manual de uso del Libromedia

Para el estudiante: Libro de texto Libromedia en DVD Folleto para padres omía auton tivo la e bora rollo d Desar dizaje cola en y apr

Desarrollo del pensamiento creativo, crítico y analítico, así como del razonamiento lógico. Actividades que ponen en práctica habilidades y conocimientos

Aplicación de la estrategia desarrollando hábitos de trabajo propios de la actividad matemática

Ejercicio constante de las ca

para el logro de la compete

pacidades

ncia matemática

Matemática, de 1.° a 5.° de Secundaria Énfasis en el desarrollo de habilidades matemáticas específicas acordes con la nueva propuesta de evaluación de las universidades.

Demostración de procedimientos identificando los pasos en ejercicios y problemas resueltos.

Conceptos, propiedades y procedimientos fundamentales

Ejemplos variados y en gran cantidad trabajados paso a paso Recurso en : Animación para aclarar los conceptos

Actividades cortas para explorar los conceptos estudiados y reforzar lo aprendido

Énfasis en la comprensión del conocimiento y la transferencia a situaciones cotidianas, y fomento de una actitud investigadora.

Activación de conocimientos previos

Situaciones que aproximan la matemática a la vida cotidiana

Ejercicio resuelto

Para

pra ctica r

Búsqueda de información; representación y juicio crítico ●5 Representa cada conjunto como un intervalo.

Representa S mediante un intervalo. 13 2x + 5 ≤ __ S = x / x ∈ lR; 1 ≤ _____ 3 3 • Resolvemos aplicando propiedades:

{

}

2x + 5 · 3 ≤ __ 13 · 3 1 · 3 ≤ _____ 3 3 3 – 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 13 – 5

{ { { {

} }

2x – 1 < 4 a) A = x / x ∈ lR; 2 < _____ 3 3x + 1 ≤ 3 b) B = x / x ∈ lR; 1 < _____ 4 3x – 2 < 1 c) C = x / x ∈ lR; –2 ≤ _____ 2 2x + 2 ≤ 2 d) D = x / x ∈ lR; –1 ≤ _____ 3

3 ≤ 2x + 5 ≤ 13

}

Variedad y gran cantidad de ejercicios y problemas organizados de menor } ● a mayor demanda cognitiva. 8 2x ≤ _ –2 ≤ __ __ 2 2 2 S = [−1; 4]

Determina la veracidad de cada igualdad. __

a) √52 = |5|

b) |(–9) – 13| = |–9| – |13|

c) |7 · 6| = |7| · |6|

d) |(–5) + 8| = |–5| + |8|

a) √52 = |5|

5=5 42 = 42

(Verdadera)

3 = 13

(Falsa)

Ejercicio resuelto Ejercicio resuelto

}

13 · 3 · 3 ≤ __ 3 3 b)3 –[−8; 8] 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 13 – 5 1·3≤

3 ≤ 2x + 5 ≤ 13

|x | ≤ 8

8 |x | ≤ 3,2 2x ≤ _ –23,2 c)−2−3,2 ≤ 2x ≤ ≤ 8 x ≤__ ≤ __ 2 2 2 d)−1−7 ≤ x ≤<4x < S7= [−1; 4]

resuelto EjercicioEjercicio resuelto

{ { { {

|x | < 7

a) √52 = |5|

b) |x | ≤ 9

a) A = {x / x ∈ lR; 4x ≥ −16}

____________

b) B = {x / x ∈ lR; −6 < 3x < 9}

____________

c) C = {x / x ∈ lR; 6 < 4x ≤ 12}

b) |–22| = 9 – 13

x ∈ ]–1; 1[

5=5

(Verdadera)

–9 ≤ x ≤ 9

x ∈ [–9; 9]

22 = −4

3 = 13–5

d) |+3| = 5 + 8

____________

●7 Representa utilizando valor absoluto.

e) E = {x / x ∈ lR; 15 ≤ 5xa) ≤ 30} − 19____________ ≤ x ≤ 19

(Falsa)

b) ]−12; 12[

– 1 ≤ (Falsa) 2x + 1 – 1 ≤ 5 – 1

Ejercicio resuelto

–6 ≤ 2x ≤ 4 Representa los siguientes intervalos –3 ≤ x ≤ utilizando valor absoluto.

2| < 7

b) [−8; 8]

|x| ≤ 8

c) −3,2 ≤ x ≤ 3,2

| x | ≤ 3,2

d) −7 < x < 7

Ejercicio resuelto

| x | < –7 2

x ∈ [–3; 2]

< 3x – 2 < 7

–5 < 3x < 9 5<x<3 3

]

5; 3 x ∈ –_ 3

|x| < – 7_

46Representa como intervalo el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a) | x | < 1

–1 < x < 1

x ∈ ]–1; 1[

b) | x | ≤ 9

–9 ≤ x ≤ 9

x ∈ [–9; 9]

c) | 2x + 1| ≤ 5

–6 ≤ 2x ≤ 4 x ∈ [–3; 2]

–7 < 3x – 2 < 7 –5 < 3x < 9 5<x<3 –_ 3

como intervalo el conjunto solución ●8 Representa de las siguientes inecuaciones: a) |x| ≤ 5

b) |x | < 90

c) |3x + 1| < 13

d) |2x – 2 | ≤ 16

e) |5x + 3| ≤ 18

f) | 4x – 1| < 17

[

_________________________

c) –3/4 < x < 3/4 _________________________ como intervalo el conjunto solución ●8 Representa de las siguientes inecuaciones: a) | x| ≤ 5

]

5; 3 x ∈ –_ 3

_________________________

●7 Representa utilizando valor absoluto. b) ]−12; 12[

–5 – 1 ≤ 2x + 1 – 1 ≤ 5 – 1

d) |3x – 2| < 7

[

_________________________

c) –3/4 < x < 3/4 _________________________

a) − 19 ≤ x ≤ 19 _________________________

–5 ≤ 2x + 1 ≤ 5

–3 ≤ x ≤ 2

Actividades relacionadas con otras áreas

d) D = {x / x ∈ lR; –24 ≤ 8x < –16}____________

c)c) |2x 2x + 1 ≤ 5 |42| =+7 1| · 6 ≤ 542 = 42–5 ≤ (Verdadera)

a)d)]−2; 2[ – |3x

} }

como b) |(–9)intervalo – 13| = |–9| – el |13|conjunto solu-

c)ción |7 · 6|de = |7|las · |6| siguientes d) |(–5) + 8|inecuaciones: = |–5| + |8| • a)Desarrollamos <x |x| < 1 cada–1caso:

Recursos en : PDF ficha para afianzar lo aprendido

●6 Simplifica y representa gráficamente cada conjunto.

Determina la veracidad de cada igualdad. √52 = |5| a)Representa

____________

} }

2x – 1 < 4 a) A = x / x ∈ lR; 2 < _____ 3 3x + 1 ≤ 3 b) B = x / x ∈ lR; 1 < _____ 4 3x – 2 < 1 c) C = x / x ∈ lR; –2 ≤ _____ 2 2x + 2 ≤ 2 d) D = x / x ∈ lR; –1 ≤ _____ 3

|x | < 2

a) ]−2;_____ 2x2[ +5

____________

●5 Representa cada conjunto como un intervalo.

Representa S mediante un intervalo. Representa los siguientes intervalos 13 2x + 5 ≤ __ S = x / x ∈ lR; 1 ≤ _____ 3 absoluto. 3 utilizando valor • Resolvemos aplicando propiedades:

{

c) C = {x / x ∈ lR; 6 < 4x ≤ 12}

(Falsa)

d) |+3| = 5 + 8

pra ctica r

____________

e) E = {x / x ∈ lR; 15 ≤ 5x ≤ 30}

(Verdadera)

22 = −4

c) |42| = 7 · 6

Para

a) A = {x / x ∈ lR; 4x ≥ −16}

b) B = {x / x ∈ lR; −6 < 3x < 9}

d) D = {x / x ∈ lR; –24 ≤ 8x < –16}____________

• Desarrollamos cada caso: b) |–22| = 9 – 13

Ejercicios resueltos y de aplicación inmediata

6 Simplifica y representa gráficamente cada conjunto.

Ejercicio resuelto

−1 ≤ x ≤ 4

b) | x| < 90

c) |3x + 1| < 13

d) |2x – 2 | ≤ 16

e) |5x + 3| ≤ 18

f) | 4x – 1| < 17

−2 ≤ 2x ≤ 8

Actividades para desarrollar de manera autónoma y colaborativa

Matemática, de 1.° a 5.° de Secundaria Ejercicios y problemas elaborados según los estándares internacionales, como los de PISA, o aplicando modernos recursos TIC.

Evaluación formativa y continua atendiendo los diferentes estilos y ritmos de aprendizaje. Nivel I para reforzar

Nivel II para consolidar

Ejercicios y problemas clasificados por niveles y procesos transversales

Nivel III para profundizar

Reto, desafío o juego matemático

Para el profesor: Guía metodológica impresa Libromedia en DVD, edición para el profesor Manual de uso del Libromedia

Guía metodológica impresa Secuencia de conocimientos, propuesta de programación curricular, índice del libro del estudiante con la distribución de los recursos del Libromedia y guiones didácticos con sugerencias y recursos.

Estructura de los guiones didácticos Atención a la diversidad

Componentes para la programación de la unidad

Presentación de la apertura

Autonomía del aprendizaje con las sugerencias metodológicas para el desarrollo de las actividades matemáticas de manera autónoma y colaborativa. Asimismo, referencia de los recursos TIC y herramientas del Libromedia (

Además: 6

Información complementaria

Tema transversal y valores

)

Sugerencias metodológicas

Conexión con otras áreas

Instrumentos de evaluación

Solucionarios

Matemática, de 1.° a 5.° de Secundaria

Reproducción del libro de texto Recursos TIC para su uso en computadoras o pizarras digitales.

Elementos: Barra de contenidos, barra de navegación y barra de herramientas.

Barra de herramientas Aplicaciones para enriquecer el proceso didáctico

Barra de contenidos Documentos técnicopedagógicos, recursos multimedia y síntesis de la unidad

Botón de ayuda Manual de uso del Libromedia en digital

Barra de navegación Opciones para desplazarse por el Libromedia

Botón de acceso a la barra de herramientas

Botón de visualización Opciones del dispositivo informático

Recursos TIC Para el estudiante y el profesor Videos

Más preguntas

Actividades interactivas

Animaciones

Galerías de imágenes

Proyectos en red

Enlaces web

Fichas de refuerzo por temas y ficha de evaluación por unidad

Para uso exclusivo del profesor Animaciones PowerPoint

Fichas de refuerzo por temas y ficha de evaluacion por unidad con solucionario

XIV 8

TERCERO

VII CICLO

SEGUNDO

VI CICLO

PRIMERO

SECUENCIA DE CONOCIMIENTOS

U1 NÚMEROS NATURALES

U2 NÚMEROS ENTEROS

U3 FRACCIONES

• • • • • • • • •

• • • • • • •

• • • • • •

Números naturales. Operaciones Sucesiones y patrones Propiedades de los números naturales Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos Mínimo común múltiplo (MCM) Máximo común divisor (MCD) Potenciación. Propiedades Radicación. Propiedades

Números enteros. Valor absoluto Comparación Adición y sustracción. Propiedades Multiplicación y división. Propiedades Potenciación. Propiedades Radicación. Propiedades Operaciones combinadas

Fracciones equivalentes Comparación Adición y sustracción de fracciones Multiplicación y división de fracciones Potenciación Radicación

U7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. FUNCIONES

U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

U9 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

• • • • • •

• • • • • • •

• Tablas y gráficos estadísticos • Gráficos de barras. Pictograma. Gráfico lineal. Gráfico de sectores • Medidas de tendencia central • Probabilidad. Espacio muestral y suceso • Probabilidad de un suceso • Principio de conteo • Diagrama de árbol

Igualdad. Ecuación Propiedades de las igualdades Ecuaciones de primer grado con una incógnita Resolución de problemas con ecuaciones Funciones. Interpretación de gráficas. Análisis de una función: discreta, continua, dominio y rango

Proporcionalidad Razones y proporciones. Propiedades Magnitudes directamente proporcionales Escalas Porcentajes. Aplicaciones Magnitudes inversamente proporcionales Regla de tres compuesta

U1 LÓGICA Y CONJUNTO

U2 NÚMEROS RACIONALES

U3 NÚMEROS REALES

• Enunciados y proposiciones • Clases de proposiciones. Conectivos lógicos. Tablas de verdad • Valores de verdad de una proposición compuesta • Operaciones con conjuntos • Problemas con dos y tres conjuntos • Producto cartesiano • Relación binaria

• • • • • •

• Números irracionales. Representación en la recta • Números reales. La recta real • Aproximación. Relación de orden • Intervalos. Operaciones • Valor absoluto • Operaciones con números reales • Radicales. Simplificación. Operaciones • Racionalización

U7 SISTEMAS DE ECUACIONES. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

U8 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

U9 FUNCIONES

• Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Clasificación de los sistemas de ecuaciones • Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones • Resolución de problemas • Ecuaciones de segundo grado • Resolución de problemas

• • • • • • • •

• • • •

U1 LÓGICA Y CONJUNTO

U2 NÚMEROS REALES

U3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• Enunciados y proposiciones • Conectivos lógicos. Tablas de verdad • Cuadro y esquemas de organización de fórmulas lógicas • Circuitos lógicos • Relación entre lógica y conjuntos

• • • • • •

• • • •

Números racionales. Fracciones Comparación. Operaciones con fracciones Números racionales. Decimales Fracción generatriz Comparación. Operaciones con decimales Notación científica

Razones y proporciones Magnitudes directamente proporcionales Reparto directamente proporcional Porcentajes Escalas Magnitudes inversamente proporcionales Reparto inversamente proporcional Regla de tres compuesta

Números reales. Recta real. Comparación Intervalos. Operaciones Operaciones con números reales Potenciación. Notación científica Radicales. Operaciones Racionalización

• • • •

Enunciados, tablas, gráficas y fórmulas Función real. Dominio y rango Problemas de optimización Función lineal. Representación gráfica, simbólica y tabular Función identidad Función constante Función de proporcionalidad directa Función de proporcionalidad inversa

Expresiones algebraicas. Valor numérico Polinomios. Grados. Polinomios especiales Adición y sustracción de polinomios Multiplicación y división de polinomios

U4 NÚMEROS DECIMALES

U5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

U6 CONJUNTOS

• • • • • • • •

• • • • • • •

Números decimales. Aproximación Comparación Fracción generatriz de un número decimal Adición y sustracción. Estimaciones Multiplicación y división. Estimaciones Potenciación Notación científica Radicación

Expresiones algebraicas Sucesiones y expresiones algebraicas Términos algebraicos semejantes. Reducción Valor numérico Monomios y polinomios. Grados Adición y sustracción de monomios Multiplicación y división de monomios Potenciación y radicación de monomios

Conjuntos. Determinación Relaciones entre conjuntos Intersección y unión Diferencia y complemento Problemas con dos y tres conjuntos Producto cartesiano Relación binaria

U10 RECTAS Y ÁNGULOS. MOVIMIENTOS EN EL PLANO

U11 UNIDADES DE MEDIDA

U12 FIGURAS GEOMÉTRICAS

• • • • •

Punto, recta y plano Adición y sustracción de segmentos Ángulos. Clasificación Ángulos complementarios y suplementarios Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores y exteriores. Número de diagonales • Movimientos en el plano. Rotación. Simetría. Traslación

• • • • • • •

U4 POLINOMIOS

U5 FACTORIZACIÓN

U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

• • • • • • •

• • • • • •

Teoría de exponentes Polinomios. Grados relativo y absoluto Valor numérico Adición y sustracción de polinomios Multiplicación de polinomios División de polinomios Productos notables

Unidades de longitud Unidades de superficie. Unidades agrarias Unidades de masa Unidades de capacidad Unidades de volumen Relaciones entre volumen y capacidad Relaciones entre volumen, capacidad y masa

Factorización por factor común Factorización de binomios Factorización por productos notables Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x 2 + bx + c Trinomio de la forma ax 2 + bx + c

Triángulos. Clasificación. Líneas y puntos notables Teorema de Pitágoras Cuadriláteros. Clasificación Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros Área de un polígono regular e irregular Circunferencia y círculo. Longitud y área Prismas y cilindros. Áreas

Igualdad algebraica, identidad y ecuación Ecuaciones de primer grado Resolución de problemas Desigualdad numérica y algebraica Inecuaciones de primer grado Resolución de problemas

U10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

U11 GEOMETRÍA PLANA

U12 GEOMETRÍA DEL ESPACIO

• • • • • • • • •

• Operaciones con segmentos • Ángulos. Clasificación • Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante • Triángulos. Propiedades. Área • Cuadriláteros. Propiedades. Área • Área de un polígono regular • Área de un polígono irregular • Circunferencia y círculo • Transformaciones en el plano

• • • • • • • •

U4 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

U5 FACTORIZACIÓN. FRACCIONES ALGEBRAICAS

U6 ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

• • • • • •

• • • • • • • • • •

• • • • • • •

Tablas de distribución de frecuencias Gráficos estadísticos Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Probabilidad. Experimento aleatorio y determinista Análisis combinatorio. Principios de conteo Permutaciones Variaciones Combinaciones

Cuadrado de una suma y diferencia Suma por diferencia de dos términos Producto de dos binomios con un término común Cubo de una suma y diferencia Diferencia y suma de cubos Cocientes notables

Factorización por factor común Factorización de binomios Factorización de trinomios Factorización por productos notables Factorización por aspa Factorización por suma y resta Factorización por Ruffini MCM y MCD de expresiones algebraicas Expresión algebraica racional Operaciones con expresiones algebraicas racionales

Planos, rectas, puntos y ángulos en el espacio Ángulos diedros Ángulos poliedros Poliedros regulares. Propiedades Prismas. Área y volumen Pirámides. Área y volumen Cilindro. Área y volumen Cono. Área y volumen

Ecuaciones con valor absoluto Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones literales de segundo grado Ecuaciones reducibles a segundo grado Ecuaciones irracionales Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Inecuaciones racionales

Guía metodológica

XV 9

PROPUESTA DE PROGRAMACIÓN CURRICULAR Primer bimestre

Proceso transversal Razonamiento y demostración

Conocimientos • Operaciones con números naturales • Operaciones combinadas • Sucesiones y patrones • Propiedades de los números naturales • Potenciación y radicación con números naturales

Comunicación matemática

Capacidades

Indicadores de logro

Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

• Utiliza los algoritmos de las operaciones con números naturales. • Relaciona los elementos de las operaciones para comprobar los resultados. • Utiliza la jerarquía y propiedades de las operaciones, y las reglas de uso de signos de colección al resolver operaciones combinadas con números naturales. • Establece relaciones entre los datos de una sucesión numérica. • Relaciona procesos matemáticos al comprobar las propiedades de los números. • Obtiene el MCD de dos o más números hallando los divisores comunes. • Obtiene el MCM de dos o más números mediante la descomposición en producto de factores primos. • Analiza y descubre relaciones entre el MCM y MCD de dos o más números naturales. • Selecciona las propiedades de potenciación y radicación para simplificar procesos algorítmicos.

Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

• • • •

Conceptualiza el significado de los números naturales en diversas situaciones y contextos. Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Buscar un patrón

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

• Conjunto de los números enteros • Comparación • Operaciones con números enteros • Operaciones combinadas • Potenciación y radicación con números enteros • Operadores matemáticos

Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Empezar por el final

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Eliminar posibilidades

XVIII 10

• Números racionales • Fracciones mayores o menores que la unidad • Fracciones equivalentes • Comparación de fracciones • Operaciones con fracciones • Potenciación y radicación con fracciones. Propiedades

Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas. Explica las regularidades que se presentan en una sucesión. Manifiesta con argumentos la veracidad o falsedad de enunciados dados. Expresa las propiedades de los múltiplos y divisores y formula las reglas de divisibilidad. • Expone los pasos que se deben seguir para hallar el MCM y el MCD de dos o más números. • Da ejemplos sobre la utilidad de la potenciación y la radicación en la simplificación de operaciones.

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones.

• Resuelve problemas utilizando las cuatro fases clásicas de Polya. • Recrea situaciones aplicando criterios de divisibilidad para diferenciar números primos y compuestos. • Matematiza situaciones de contexto real que involucran el MCM y MCD. • Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican la potenciación y la radicación.

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números enteros.

• Demuestra la técnica operativa de los números enteros, a partir de situaciones concretas, de manera gráfica y simbólica. • Compara y ordena números enteros a partir de criterios establecidos. • Comprueba a través de ejemplos las propiedades que cumplen las operaciones con números enteros. • Identifica los pasos que se deben seguir para resolver operaciones combinadas con números enteros. • Selecciona las propiedades de la potenciación y la radicación con números enteros al simplificar procesos algorítmicos.

Interpreta el significado de los números enteros en diversas situaciones y contextos.

•

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números enteros y sus propiedades.

•

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números racionales.

• Obtiene fracciones equivalentes a una fracción dada mediante procesos de ampliación y simplificación. • Compara y ordena números racionales a partir de criterios establecidos. • Aplica los procesos algorítmicos en las operaciones combinadas con números racionales respetando la jerarquía de las operaciones. • Selecciona las propiedades de potenciación y radicación con fracciones al simplificar procesos algorítmicos.

Interpreta el significado de los números racionales en distintos contextos.

• Representa gráficamente fracciones menores, mayores e iguales a la unidad. • Ejemplifica aplicaciones de los números racionales en situaciones de contexto real. • Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas con fracciones. • Infiere resultados de un problema a partir de la observación de gráficas.

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números racionales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números racionales. • Representa datos de un problema de manera gráfica. • Establece relaciones operativas en la resolución de problemas. • Comprueba resultados mediante procesos algorítmicos con números racionales.

•

• • •

Actitudes matemáticas • Muestra flexibilidad de pensamiento al proponer diversos procedimientos de solución. • Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para presentar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida cotidiana. • Confía en sus propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

• Incorpora al lenguaje cotidiano las situaciones que se relacionan con la expresión simbólica de un número entero. • Toma iniciativa al formular preguntas, elaborar conjeturas Ejemplifica aplicaciones de los números enteros en situaciones de y plantear contexto real. problemas. Representa gráficamente situaciones aplicadas a los números enteros. • Confía en sus propias capacidades al Procesa información para resolver problemas que implican la comparación afrontar problemas de números enteros. y realizar cálculos Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas. y estimaciones. Aplica propiedades de los números enteros en la resolución de problemas. Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con números enteros. • Muestra precisión y simplicidad en el uso del lenguaje numérico al representar, comunicar o resolver problemas cotidianos. • Confía en sus propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

Unidad

1.° de Secundaria Segundo bimestre Unidad

Proceso transversal Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Estimar resultados

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

Conocimientos

Capacidades

• Fracción decimal y número decimal • Descomposición de números decimales • Aproximación • Comparación • Fracción generatriz, decimal exacto, periódico puro y mixto • Operaciones con números decimales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación • Notación científica

Analiza los procesos algorítmicos aplicados en el cálculo con números decimales.

• Establece la equivalencia entre fracciones decimales y números decimales, y los relaciona con las décimas, centésimas, milésimas y demás unidades. • Compara números decimales cifra por cifra hasta encontrar la desigualdad. • Ordena y aproxima números racionales a partir de criterios establecidos. • Aplica los algoritmos respectivos en las operaciones con números racionales respetando la jerarquía de las operaciones. • Selecciona las propiedades de potenciación y radicación al resolver expresiones numéricas. • Expresa números en notación científica.

Interpreta el significado y la aplicación de los números decimales en distintos contextos.

• Representa números decimales en la recta numérica. • Ejemplifica aplicaciones de los números decimales en situaciones de contexto real. • Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas con fracciones.

Resuelve problemas que implican cálculos de expresiones numéricas con números decimales.

• Decodifica información en la resolución de problemas con números decimales. • Representa de manera gráfica los datos de un problema. • Comprueba resultados aplicando procesos algorítmicos o con la calculadora. • Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con números decimales.

• Expresiones algebraicas • Sucesiones y expresiones algebraicas • Término algebraico. Reducción • Valor numérico • Monomios y polinomios. Grados • Operaciones con monomios

Analiza y reduce expresiones algebraicas aplicando la teoría de exponentes y términos semejantes.

• Comprueba las generalizaciones o fórmulas empleadas al expresar situaciones matemáticas. • Deduce y expresa el patrón general de una sucesión empleando el lenguaje algebraico. • Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una expresión algebraica. • Diferencia y calcula los grados absoluto y relativo de un monomio. • Relaciona procesos matemáticos al hallar el valor numérico de una expresión algebraica. • Aplica la reducción de términos al operar con monomios. • Simplifica expresiones algebraicas aplicando las propiedades de productos y cocientes de bases iguales.

Representa enunciados verbales empleando el lenguaje algebraico.

• • • • • •

Resuelve problemas con operaciones algebraicas.

• Aplica estrategias de solución de problemas. • Plantea situaciones problemáticas haciendo uso del lenguaje algebraico. • Aplica estrategias de solución de problemas empleando expresiones algebraicas. • Interpreta información para resolver problemas sobre el cálculo de los grados de un monomio. • Establece el orden de los procesos para resolver problemas que implican el cálculo del valor numérico.

Analiza las propiedades y los procesos algorítmicos de las operaciones con conjuntos.

• • • • • • • •

Representa gráfica y simbólicamente los conjuntos y sus operaciones.

• Ejemplifica conjuntos por comprensión y por extensión. • Clasifica conjuntos según el número de elemento • Describe los procedimientos utilizados al resolver ejercicios sobre conjuntos. • Interpreta datos y gráficos para resolver ejercicios con operaciones con conjuntos. • Interpreta datos y gráficos para resolver problemas sobre conjuntos. • Argumenta el proceso seguido al resolver un problema con conjuntos. • Representa gráficamente el producto cartesiano y la relación binaria.

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran conjuntos y sus operaciones.

• Reconoce los datos disponibles para resolver problemas con conjuntos. • Resuelve situaciones donde se presentan conjuntos aplicando sus relaciones y su clasificación. • Aplica propiedades de los conjuntos en la resolución de problemas. • Aplica estrategias personales o convencionales al resolver problemas con conjuntos. • Procesa información para resolver problemas que implican producto cartesiano y relaciones de dos conjuntos.

Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Organizar información en una tabla

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

Resolución de problemas Estrategias para resolver problemas: Elaborar un diagrama

Actitudes matemáticas

Indicadores de logro

• Determinación de conjuntos • Clasificación de conjuntos • Relaciones entre conjuntos (pertenencia e inclusión) • Operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) • Complemento de un conjunto • Problemas con conjuntos • Diagrama de Carrol • Producto cartesiano • Relación binaria

• Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para presentar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida cotidiana. • Confía en sus propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

• Valora el lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

Explica las diferencias entre lenguaje numérico y algebraico. Calcula los términos desconocidos de una sucesión numérica. Representa por medio de gráficas situaciones matemáticas. Recrea situaciones calculando el valor numérico Explica los procesos para operar con monomios. Establece diferencias entre los términos semejantes y no semejantes.

Identifica y determina conjuntos según una característica. Halla los elementos de un conjunto por comprensión o por extensión. Clasifica conjuntos según su número de elementos. Utiliza las relaciones de pertenencia e inclusión entre conjuntos. Identifica datos y propiedades de las operaciones con conjuntos. Relaciona datos en un problema sobre conjuntos. Identifica el producto cartesiano de dos conjuntos. Interpreta la regla de correspondencia de una relación binaria y halla su dominio y rango.

• Muestra flexibilidad de pensamiento al proponer diversos procedimientos de solución. • Toma iniciativa al formular preguntas, elaborar conjeturas y plantear problemas. • Confía en sus capacidades al afrontar problemas, realizar cálculos e interpretar gráficos.

Guía metodológica XIX 11

ÍNDICE DEL LIBRO DEL ESTUDIANTE Número, relaciones y funciones Unidad

Números naturales

Pág. 8

2 Números enteros

Pág. 50

3 Fracciones

Pág. 88

4 Números decimales

Recursos TIC

• Recordamos lo que sabemos

• RM: Plantear una falsa suposición

• Operaciones con números naturales

• SP: Buscar un patrón

• Sucesiones y patrones

• TIC: Uso de la calculadora científica

• Propiedades de los números naturales

• Organizo lo que aprendí

• Criterios de divisibilidad

• Me preparo para la evaluación

• Números primos y compuestos

• Aplico mis conocimientos

• Mínimo común múltiplo (MCM)

• Revista matemática: Los grandes números

• Máximo común divisor (MCD)

que día a día representan a los peruanos

• Potenciación. Propiedades

• Radicación. Propiedades

• Recordamos lo que sabemos

• Los números enteros

• Operaciones con números enteros. Adición. Propiedades

• RM: Operadores matemáticos

• Sustracción. Operaciones combinadas

• SP: Empezar por el final

• Multiplicación. Propiedades. Operaciones combinadas

• Organizo lo que aprendí

• División. Propiedades. Operaciones combinadas

• Me preparo para la evaluación

• Potenciación. Propiedades

• Aplico mis conocimientos

• Radicación. Propiedades

• Pruebas internacionales

• Recordamos lo que sabemos

• Taller de investigación: ¿Qué relación hay

• Fracciones

• Fracciones equivalentes

• Comparación de fracciones

Expresiones algebraicas

Pág. 154

6 Conjuntos

Pág. 188

XXII 12

• TIC: El plano cartesiano

en el Geogebra

103

entre la música y las fracciones? • SP: Representar gráficamente los datos

109

de un problema

• Operaciones con fracciones. Adición y sustracción

100

• RM: Analogías numéricas

114

• Multiplicación

104

• Organizo lo que aprendí

115

• División. Fracciones complejas

106

• Me preparo para la evaluación

115

• Potenciación. Propiedades

110

• Aplico mis conocimientos

116

• Radicación. Propiedades

111

• Revista matemática:

121

Radiografía del mal peatón y multas • Recordamos lo que sabemos

124

• SP: Estimar resultados

141

• Números decimales. Aproximación. Comparación

126

• RM: Operadores matemáticos /

145

• Fracción generatriz de un número decimal

132

• Operaciones con números decimales. Adición y sustracción

135

• TIC: Aproximación de decimales con Excel

146

• Multiplicación

136

• Organizo lo que aprendí

147

• División

138

• Me preparo para la evaluación

147

• Potenciación. Notación científica. Radicación

142

• Aplico mis conocimientos

148

• Pruebas internacionales

153

• Taller de investigación: ¿Qué relación hay

162

Pág. 122

Páginas especiales

Distribución y analogías

• Recordamos lo que sabemos

156

• Expresiones algebraicas

158

• Sucesiones y expresiones algebraicas

160

• SP: Organizar información en una tabla

173

• Términos algebraicos semejantes. Reducción.

163

• RM: Comparación cuantitativa /

180

Valor numérico

entre la sucesión de Fibonacci y la geometría?

Suficiencia de datos

• Monomios y polinomios. Grados relativo y absoluto

166

• Organizo lo que aprendí

181

• Adición y sustracción de monomios

170

• Me preparo para la evaluación

181

• Multiplicación y división de monomios

174

• Aplico mis conocimientos

182

• Potenciación y radicación de monomios

177

• Olimpiadas matemáticas

187

• Recordamos lo que sabemos

190

• SP: Elaborar un diagrama

207

• Representación y determinación de conjuntos

192

• RM: Diagrama de Carroll

211

• Inclusión de conjuntos. Subconjuntos

194

• Taller de investigación: ¿Qué relaciones

216

• Operaciones con conjuntos. Intersección de conjuntos

197

• Unión de conjuntos

198

• Organizo lo que aprendí

217

• Diferencia de conjuntos. Diferencia simétrica.Complemento

202

• Me preparo para la evaluación

217

• Problemas con conjuntos

208

• Aplico mis conocimientos

218

• Producto cartesiano. Relación binaria

212

• Pruebas internacionales

223

hay entre los cuadriláteros?

Conocimientos

1.° de Secundaria

Unidad

Ecuaciones de primer grado. Funciones Pág. 224

Proporcionalidad numérica

Pág. 254

Conocimientos

Recursos TIC

Páginas especiales

• Recordamos lo que sabemos

226

• RM: Problemas sobre edades

239

• Igualdad. Ecuación. Términos. Propiedad de

228

• SP: Elegir la incógnita

240

• TIC: Gráfica de funciones con Graphmatica

246

• Organizo lo que aprendí

247

• Me preparo para la evaluación

247

las igualdades • Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

229

Resolución de ecuaciones con una sola operación • Resolución de ecuaciones con dos o más operaciones

232

• Aplico mis conocimientos

248

• Resolución de problemas

236

• Revista matemática: Televisión por cable

253

• Funciones. Análisis de una función

241

• Recordamos lo que sabemos

256

• Proporcionalidad. Razón

258

• Proporciones. Clasificación. Propiedades

261

• TIC: Proporcionalidad con Excel

266

• Magnitudes directamente proporcionales

264

• SP: Reducir a un problema más sencillo

272

• Escalas

268

• RM: Descuentos y aumentos sucesivos

282

• Porcentajes

270

• Organizo lo que aprendí

283

• Aplicaciones de porcentajes

274

• Me preparo para la evaluación

283

• Magnitudes inversamente proporcionales

276

• Aplico mis conocimientos

284

• Problemas con más de dos magnitudes

280

• Pruebas internacionales

289

• Recordamos lo que sabemos

292

• SP: Elaborar un diagrama de árbol

306

• Tablas y gráficos estadísticos

294

• RM: Comparación cuantitativa /

307

• Gráfico de barras. Pictograma. Gráfico lineal. Gráfico de

295

y por satélite • Taller de investigación: ¿Qué relación hay entre

260

las áreas de las piezas del tangrama?

Estadística y probabilidad

9 Estadística y probabilidad Pág. 290

Suficiencia de datos • TIC: Medidas de tendencia central con Excel

308

• Medidas de tendencia central. Media aritmética. Mediana. Moda

298

• Organizo lo que aprendí

309

• Probabilidad. Espacio muestral y suceso

302

• Me preparo para la evaluación

309

• Probabilidad de un suceso

303

• Aplico mis conocimientos

310

• Principios de conteo

304

• Olimpiadas matemáticas

315

• Recordamos lo que sabemos

318

• Taller de investigación: ¿Cómo construir

328

• Punto, recta y plano

320

figuras con regla y compás?

• Adición y sustracción de segmentos

323

• SP: Particularizar y generalizar

336

• Ángulos. Operaciones. Bisectriz

325

• RM: Conteo de figuras

342

• Ángulos. Clasificación. Complementarios y suplementarios

329

• Organizo lo que aprendí

343

• Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos interiores y

332

• Me preparo para la evaluación

343

• Aplico mis conocimientos

344

sectores

Geometría y medición

Rectas y ángulos. Movimientos en el plano Pág. 316

11 © Santillana ntillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Unidades de medida

exteriores • Movimientos en el plano. Rotación. Simetría.Traslación

337

• Revista matemática: Estaciones del Metro de Lima

349

• Recordamos lo que sabemos

352

• RM: Comparación cuantitativa /

368

• Unidades de longitud. Astronómicas y microscópicas

354

• Unidades de superficie. Unidades agrarias

358

• SP: Aproximar una medida

369

• Unidades de masa

361

• TIC: Conversiones de unidades de medida con Excel

370

• Unidades de capacidad y volumen

362

• Organizo lo que aprendí

371

• Relación entre volumen y capacidad

365

• Me preparo para la evaluación

371

• Relación entre volumen, capacidad y masa

366

• Aplico mis conocimientos

372

• Pruebas internacionales

375

Pág. 350

12 Figuras geométricas

Pág. 376

Suficiencia de datos

• Recordamos lo que sabemos

378

• RM: Trazado de figuras

389

• Triángulos. Ángulos interiores y exteriores del triángulo

380

• SP: Construir poliedros a partir de figuras

401

• Líneas notables en el triángulo. Teorema de Pitágoras

383

• Cuadriláteros. Suma de los ángulos interiores de un

386

cuadrilátero

dibujadas en el plano • Taller de investigación: ¿Qué son los

406

poliminós?

• Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros

390

• Organizo lo que aprendí

407

• Área de un polígono regular e irregular

393

• Me preparo para la evaluación

407

• Circunferencia y círculo. Longitud y área

396

• Aplico mis conocimientos

408

• Prisma y cilindro. Áreas

402

• Olimpiadas matemáticas

411

Guía metodológica XXIII 13

UNIDAD 1 Capacidades

Unidad

Razonamiento y demostración Analiza las propiedades y procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales.

Números naturales

Los números del código de barras

tas, útiles de en el mercado: alimentos, herramien Casi todos los artículos que hay como identificador y control ea empl se que s barra de o escritorio, etc., llevan un códig ramos un producto, y de la distribución. Cuando comp de la producción, de los servicios boleta de venta el la en s trado regis an qued a, tan solo pasándolo por la luz óptic las cantidades lo y automáticamente se resta de nombre, precio y cantidad del artícu que hay disponibles. y están a que manejan como estándares Estos códigos tienen una simbologí la siguiente estructura: tres ntan Prese ros. núme y cios representados por barras, espa cuatro dígitos Perú le corresponde el número 775), dígitos que identifican al país, (al al producto y un último an asign le se que s dígito cinco que corresponden al fabricante, números anteriores. después de determinar los doce dígito de control que se calcula

Comunicación matemática Interpreta los procesos matemáticos en las propiedades de los números y en las sucesiones numéricas.

Resolución de problemas Resuelve problemas de traducción simple y compleja con números naturales y sus operaciones.

Conocimientos • • • •

Operaciones con números naturales

•

Potenciación y radicación con números naturales

1. Investigamos sobre el tema y expresamos en clase nuestras opiniones y preguntas.

Operaciones combinadas

• Traigan al aula tres productos alimenticios elaborados en el Perú y observen su código de barras. Luego, respondan:

Sucesiones y patrones

– ¿Qué número identifica a los productos peruanos?

Propiedades de los números naturales

– ¿Qué número identifica al fabricante? – ¿Qué significado tienen los demás números? – Calculen el dígito de control de cada uno de los códigos de barras de los productos que han traído. • ¿Qué ventajas proporciona el uso del código de barras? • ¿Qué otras funciones se realizan con los números naturales? ¿Para qué los usan ustedes?

Actitudes Muestra ﬂexibilidad de pensamiento al proponer diversos procedimientos de solución.

•

Valora la precisión y la utilidad del lenguaje numérico, para representar, comunicar y resolver situaciones de contexto matemático y de la vida real.

•

• Los códigos de barras de las publicaciones tienen un identificador universal: 978. Indiquen el significado de las cifras que tiene el código de barras de su libro de Matemática. 2. Ingresamos a las siguientes páginas web: • http://bpa.peru-v.com/codigo_de_barras.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_de_barras 3. En grupos, realizamos lo siguiente:

Confía en sus capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

• Comparamos la información que hemos investigado. • Sacamos conclusiones acerca de las ventajas del código de barras y la utilidad de los números naturales.

Presentación de la apertura La apertura presenta una situación cotidiana en el uso de los números naturales: el código de barras.

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 8

Inicio Utilice la herramienta destacar para enfocar la atención de los estudiantes en el texto inicial.

Se presenta un texto corto para dar inicio a la información que el estudiante investigará. La sección “Nos preparamos para la clase”, se formulan preguntas y se sugiere un enlace a internet para apoyar a los alumnos en el proceso de anticipación a lo que van a estudiar. Esta etapa culmina con la presentación del trabajo grupal. Realice una lectura de los criterios de evaluación que deben tener en cuenta los estudiantes (ver matriz de valoración de las páginas 48 y 49). En la parte ﬁnal de la apertura, se presentan los logros que deben alcanzar los estudiantes al término de la unidad.

6/7/11 9:09:02 AM

Use el botón zoom de selección para ampliar el código de barras del producto mostrado y analizar con los estudiantes su estructura: código del país, el fabricante, el producto y el control. Pida que observen diferentes empaques de productos alimenticios y que identiﬁquen en ellos las barras, espacios y números que componen los códigos. Motive a que encuentren las semejanzas.

Desarrollo

•

Presente a los estudiantes las pautas para la investigación a partir de las preguntas propuestas en la sección “Nos preparamos para la clase”. Anímelos a que intercambien información sobre el tema. Invítelos a revisar el recurso enlace web para complementar la información sobre los códigos de barras.

• • •

Pida que se organicen en grupos para que presenten su investigación al resto de la clase. Proponga a los estudiantes que realicen la autoevaluación y coevaluación de las actividades realizadas. Revise las capacidades que se proponen para el desarrollo de la unidad, de manera que los estudiantes analicen qué procesos cognitivos y procedimentales serán necesarios aplicar.

Cierre

•

Presente otra de las aplicaciones de los números naturales (ver “Información complementaria”).

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

•

Fíjate cómo se cómo calcula Fíjate se calcula el dígito de control este de este el dígito dede control producto,producto, cuyo código cuyo código de barrasdeesbarras es 775 1271775 01171 6.01171 6. 1271

Atención a la diversidad

Para el código barras de 775barras 1271 775 01171 6, 01171 6, Para de el código 1271 el dígito deelcontrol se control calculase así:calcula así: dígito de • Se suman lossuman números los lugares • Se losde números de lospares: lugares pares: 7 + 1 + 7 +7 0+ +1 1+ +7 1+ =0 17 + 1 + 1 = 17 • El resultado multiplica 3: 17 ×por 3 =3:51 • El se resultado se por multiplica 17 × 3 = 51 • Se suman lossuman números los lugares • Se losde números de los lugares impares: 7impares: + 5 + 2 +7 1+ +5 1+ +2 7+ =1 23 + 1 + 7 = 23 • Se realiza la suma 51 + total: 23 = 51 74 + 23 = 74 • Se realizatotal: la suma • Se halla múltiplo 10 másdepróximo 74: • elSe halla eldemúltiplo 10 mása próximo a 74: 80 80 • Dígito de 80control: – 74 = 80 6 – 74 = 6 • control: Dígito de

En esta sección nos aseguraremos de satisfacer los diferentes ritmos de aprendizaje. Proponemos actividades inclusivas para motivar la integración de todos los estudiantes. Se recomienda realizar esta actividad en el patio del colegio. Pida a los estudiantes que se formen en grupos de cinco y entregue a cada grupo 10 tarjetas tamaño A4 con las cifras del 0 al 9. Cada integrante se hará responsable de dos tarjetas.

Indique a los estudiantes que con estas tarjetas formarán números que cumplan con la condición que se vaya mencionando, como por ejemplo:

• • • • • •

El mayor número de cifras pares. El menor número de cifras impares. El menor número de cinco cifras. El mayor número de cinco cifras. El mayor número par de cinco cifras. El menor número impar de siete cifras.

Gana un punto el grupo que forma primero cada número.

mo. s a... re mo deren de res a.. Ap renAp • Interpretar el significado de los números • Interpretar el significado de los números naturales y de sus propiedades en naturales y de sus propiedades en diversas situaciones y contextos. diversas situaciones y contextos. • Realizar estimaciones de operaciones • Realizar estimaciones de operaciones estrategias de cálculo. usandousando estrategias de cálculo. • Identificar, generalizar y simbolizar • Identificar, generalizar y simbolizar patrones numéricos. patrones numéricos. • Aplicar la divisibilidad de los números • Aplicar la divisibilidad de los números naturales en la resolución de problemas. naturales en la resolución de problemas. • Resolver problemas de traducción • Resolver problemas de traducción simple simple y compleja que involucran números y compleja que involucran números naturales y sus operaciones. naturales y sus operaciones. • Simplificar y resolver operaciones • Simplificar y resolver operaciones aplicando las propiedades aplicando las propiedades de la de la potenciación y la radicación. potenciación y la radicación. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 9

Información complementaria

6/7/11 6/7/11 9:09:12 AM 9:09:12 AM

008_019 02 AM U01M1 08_019 9 U01M1 9

Sistema Integral de Identiﬁcación Vehicular (SIIV)

Educación en valores o formación ética

A partir del 1 de enero de 2010 entró en vigencia el nuevo Sistema Integral de Identificación Vehicular, creado con el fin de evitar la falsificación o adulteraciones de las placas vehiculares. En las nuevas placas de rodaje, el primer caracter representa la zona registral donde está inscrito el vehículo, mientras que el segundo y tercer caracteres solo son correlativos y pueden ser alfanuméricos. Aquí se muestran algunos ejemplos de placas de rodaje. A, B, C y D: Lima y Callao P: Tumbes y Piura M: Cajamarca, Lambayeque y Amazonas X: Cusco, Apurímac y Madre de Dios

Tema transversal

Cultivando valores Respeto a la vida

AUTO PARTICULAR

TAXI

BUS URBANO

•

Averigua cuáles son los caracteres utilizados en el registro de los vehículos en las diferentes regiones del país. Luego, establece un patrón y crea una sucesión de placas de rodaje.

•

Investiga los caracteres empleados en las placas de los vehículos policiales y diplomáticos, carros de bomberos y ambulancias.

•

Muestra sensibilidad ante las necesidades humanas de su entorno.

•

Participa en el cuidado y preservación de su medio ambiente.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

R e corda mos lo qu e sa be mos Reconocemos la utilidad de los números naturales

Indicadores de logro

¿Cuántas páginas tiene tu libro de Matemática? ________ ¿Es un número na416 tural? _______. En este caso, ¿para qué se han usado los números naturales? Sí Para contar _______________________.

Razonamiento y demostración Ordena los números naturales siguiendo un criterio y utilizando el tablero posicional.

Mayra compró 3 cuentos. Si cada cuento le costó S/.8, ¿cuánto pagó? ______ S/. 24 ¿Es un número natural? _________. En esta actividad, ¿para qué se han usado Sí Para hacer cálculos los números naturales? __________________________________________.

Selecciona procesos algorítmicos adecuados para resolver problemas.

Sí ¿El número de tu DNI es un número natural? ____________. ¿Para qué sirve Para identificar a las personas el número del DNI? ____________________________________________.

Comunicación matemática Da ejemplos sobre la utilidad de los números naturales en situaciones cotidianas.

Ubica el código de barras de este libro. ¿Qué número tiene escrito? ________ Sí __________. ¿Es un número natural? ______________. ¿Para qué sirve este codificar número? Para ___________________________.

Utiliza estrategias de cálculo mental.

Da un ejemplo de la utilidad de los números naturales para cada caso. a) Para contar: _________________________________________________ b) Para calcular: ________________________________________________ c) Para identificar: ______________________________________________

Resolución de problemas Representa información cuantitativa y establece relaciones operativas.

Comparamos números naturales

Resuelve problemas de contexto real.

¿Qué valor de posición tiene el 8 en cada uno de los números?

Liliana elaboró esta tabla con la extensión territorial de los países que limitan con el Perú. País

Ecuador

Colombia

Brasil

Bolivia

Extensión (km)

265 800

1 141 748 8 511 965 1 098 581

Chile

Umill CM

736 903

a) Ubica estos números en el tablero posicional (ver margen). b) Escribe en letras el número que indica la extensión del país más pequeño. Doscientos sesenta y cinco mil ochocientos. ___________________________________________________________ c) Escribe en letras el número que indica la extensión del país más grande. Ocho millones quinientos once mil novecientos sesenta y cinco. ___________________________________________________________

Escribe un número cualquiera que cumpla con las condiciones indicadas. Luego, anota cómo se lee. Respuesta modelo a) Es mayor que cien millones y menor que mil millones. _______________ se lee ______________________________________ 200 500 000 Doscientos millones quinientos mil b) La cifra de las decenas de millón es la mitad de la cifra de las decenas. 130 000 060 Ciento treinta millones sesenta _______________ se lee ______________________________________ c) Las cifras de las unidades de mil, decenas de mil y centenas de mil son cero. _______________ se lee ______________________________________ 3 000 521 Tres millones quinientos veintiuno d) Es mayor que doscientos cincuenta mil pero menor que trescientos mil. 287 000 Doscientos ochenta y siete mil _______________ se lee ______________________________________

Visita la siguiente página web: http://www. campustercertermino. com/ttpresenter/ tinta_fresca/2009/mati_ juegos11/naturales.swf

d) Ordena los países de mayor a menor extensión. Brasil, Colombia, Bolivia, Chile y Ecuador ___________________________________________________________

Los fundamentos que no pueden faltar El concepto de saberes previos nos conduce a la construcción del aprendizaje significativo. Para promover un aprendizaje significativo, se deben tener en cuenta los conocimientos actitudinales y procedimentales, y cómo estos van a interactuar con la nueva información que recibirán los estudiantes en la sesión de aprendizaje. Las experiencias previas de aprendizaje garantizan el éxito en el desarrollo de las capacidades de los estudiantes y en la satisfacción personal del docente, al verificar que su práctica educativa es eficiente y eficaz.

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 10

6/7/11 9:09:16 AM

Inicio

•

Destaque con los estudiantes las cuatro capacidades que se van a desarrollar para recuperar sus saberes previos. Permítales que muestren sus habilidades en el desarrollo de las actividades.

•

Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades necesitan practicar más? ¿Qué recursos les facilitan el aprendizaje?

Desarrollo

•

Organice a los estudiantes en parejas y motívelos a intercambiar información para desarrollar las actividades propuestas.

•

Propóngales que resuelvan las actividades interactivas de la primera página web, para reforzar el armado de números con 5 dígitos y la composición y descomposición de números; y de la segunda página web, para practicar el ordenamiento de números en forma creciente y decreciente.

Cierre

•

Forme grupos de tres integrantes para resolver la actividad que a continuación presentamos.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Información complementaria

CONOCIMIENTOS PREVIOSPREVIOS CONOCIMIENTOS

Resolvemos operaciones con con números naturales Resolvemos operaciones números naturales

Más actividades • Enfatice la jerarquía en la solución de

La leyenda del afiche la cantidad de asistentes a Mistura, el evento La leyenda del muestra afiche muestra la cantidad de asistentes a Mistura, el evento gastronómico y sociocultural más importante que se realiza vezuna al año. gastronómico y sociocultural más importante que se una realiza vez al año.

operaciones combinadas sin signos de agrupación.

350 000_________________ 350 000 a) ¿Cuántas personas asistieron durantedurante los dos los años? a) ¿Cuántas personas asistieron dos_________________ años? 50 000_________________________ 50 000 b) ¿Cuántos asistentes más hubo el 2010? b) ¿Cuántos asistentes másenhubo en el_________________________ 2010? c) Si enc)elSi 2010 entrada costó S/.costó 20, ¿cuánto se recaudó? _____________ en ella2010 la entrada S/. 20, ¿cuánto se recaudó? _____________ Mistura 2009 fue un gran Mistura 2009 fueéxito. un gran éxito. 200 000___________________________________________________________ × 20000 = S/. 4 000 000 200 × 20 = S/. 4 000 000 ___________________________________________________________

��

Hubo 150 Hubo 000 asistentes. 150 000 asistentes.

Mistura 2010 reunió lo mejor Mistura 2010 reuniódelolamejor de la

ObservaObserva la estrategia para sumar 999 a un999 número natural.natural. Lue- Lue-gastronomía la estrategia paramentalmente sumar mentalmente a un número peruana yperuana disfrutaron gastronomía y disfrutaron de ella 200de000 ellapersonas. 200 000 personas. go, calcula. go, calcula. Al sumarAl 1 sumar y 1y restar 1, restar el resultado 1, el resultado no varía.no varía.

7 946 + 7999 946 = + 71 946 000 + – 1 000 – 1 946= +7 999 = 8 946 = – 18 = 8 945 946 – 1 = 8 945

�� •

342 7 342 d) 12 630 629 13 629 a) 6 343 + 999 a)+6999 343=+______________ 999 = 7______________ d) 12 630=+_______________ 999 =13_______________

Presente ejercicios resueltos para que los estudiantes evalúen los procesos aplicados.

323 8 323 e) 15 631 25 630 b) 7 324 + 9631 999+=9______________ b)+7999 324=+______________ 999 = 8______________ e) 15 99925= 630 ______________

a) 5 × 3 + 5 + 10 – 5 × 4 = 15

046 9 046 f) 73 463 83 462 c) 8 047 + 9463 999+=9______________ c) +8999 047=+______________ 999 = 9______________ f) 73 99983= 462 ______________

b) 216 ÷ 24 + 67 × 3 = 210 c) 76 × 12 – 346 ÷ 26 + 100 = 898

Busca elBusca camino para llegar final.alPuedes pasar depasar un recuadro a otro solo el camino paraalllegar final. Puedes de un recuadro a otro solo si el resultado del siguiente recuadro es uno más quemás el anterior. si el resultado del siguiente recuadro es uno que el anterior. COMIENZO COMIENZO

76 ÷ 4 –76 19÷ 04 – 19 0 8 ÷ 8 + 18 ÷ 28 + 1

9 + 1 × 59 + 1 × 5

5 –19 × 5 1 2 46 – 9 ×46

Puedes moverte Puedes moverte hacia arriba, haciahacia arriba, hacia abajo, hacia loshacia ladoslos o lados o abajo, diagonalmente sobre la sobre la diagonalmente ruta indicada, pero no pero no ruta indicada, puedes pasar dos puedes pasar dos veces porveces un mismo por un mismo recuadro.recuadro.

2 ÷3–2 45– 39 – 45 3 33 ÷ 3 –33 8 ÷ 4 + 66 8 ÷÷433 + 466 ÷ 33457 – 9 –57

FINAL FINAL

× ×

–

÷ =

= –

7 +

= +

Simbolizamos expresiones matemáticas Simbolizamos expresiones matemáticas © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Muestre el siguiente cuadro y pida a los estudiantes que lo completen.

9 × 4 – 72 9 ×÷43–1272 ÷ 3 12

•

2 ÷86 + 2 8 27 ÷ 9 +27 6 ÷99 + 6 9 36 ÷ 6 +36

3 + 5 × 23 ++ 15 × 2 + 1 4 × 3 – 24 ×× 1310 – 2 × 1 10 144 ÷ 12144 – 1÷1112 – 1 11

= =

Considera la sucesión 8; 11; Considera la sucesión 5; 8; 11;5;14; ... 14; ... 3 3 a)es¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos? _______________ a) ¿Cuál la diferencia entre dos términos consecutivos? _______________

b) Encuentra los 16 términos siguientes de la sucesión. _________________ b) Encuentra los 16 términos siguientes de la sucesión. _________________ 17;26; 20;29; 23;32; 26;35; 29;38; 32;41; 35;44; 38;47; 41;50; 44;53; 47;56; 50;59; 53;62 56; 59; 62 17; 20; 23; __________________________________________________________ __________________________________________________________

dos términos cada sucesión. CalculaCalcula dos términos más en más cadaen sucesión. 24; 28 96 48; 96 24; 8; 12; 20;28 ______________ 6; 12; 24;48;______________ a) 4; 8;a) 12;4;16; 20; 16; ______________ b) 3; 6;b) 12;3;24; ______________ 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 11

•

El cuadro muestra las distancias que hay entre el Sol y los planetas. Planetas

Marte Mercurio

Distancias al Sol (km) 227 800 000 57 870 000

Venus

108 140 000

Urano

2 880 000 000

Tierra

149 504 201

Neptuno Júpiter Saturno

•

6/7/11 6/7/11 9:09:17 AM 9:09:17 AM

008_019 08_019 11 U01M1 11 6 AM U01M1

e) 100 – 121 ÷ 11 × 64 ÷ 8 + 35 = 47

÷ –12144 × 22 24 ÷ 3 –24 18÷÷36–5 18 ÷ 6 52 × 22 –238 7 ÷ 12 7 6 – 14419 6 – 38 19 37 – 5 ×37 7 –5×7

d) 7 × 5 × 3 – 6 + 2 × 8 – 6 x 4 = 95

4 494 000 000 777 800 000 1 430 000 000

a) Nombren los planetas que tienen menos de 200 000 000 km de distancia al Sol. Mercurio, Venus, Tierra _________________________________________________________

b) ¿Cuáles son los planetas que tienen entre 200 000 000 y 800 000 000 km de distancia al Sol? Marte, Júpiter _________________________________________________________

c) Nombren los planetas con más de mil millones de kilómetros de distancia al Sol. Saturno, Urano. Neptuno _________________________________________________________

Evalúe la información obtenida en el desarrollo de ejercicios y establezca una relación con los indicadores de logro propuestos.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Voy a

a pre n d e r

1. Operaciones con números naturales

Indicadores de logro

1.1. Adición y sustracción

Razonamiento y demostración Relaciona los elementos de la adición y sustracción para realizar la comprobación de los resultados.

Un globo de helio fue soltado en la playa La Herradura, en Lima, alcanzando 3 330 m de altura sobre el nivel del mar. Un fuerte viento lo llevó hacia el este perdiendo 1 480 m de altura. Si cayó en el kilómetro 70 de la carretera Central, ¿a qué altura cayó el globo?

Comunicación matemática Representa simbólicamente las propiedades de la adición y sustracción.

• Para saber a qué altura cayó el globo, calculamos 3 330 – 1 480: Comprobamos con la suma

Técnica operativa

Resolución de problemas Interpreta y resuelve problemas que implican el uso de signos de agrupación.

3 3 3 0 – 1 4 8 0

1 4 8 0 + 1 8 5 0

1 8 5 0

3 3 3 0

Para valorar y utilizar el lenguaje numérico al comunicar y resolver diferentes situaciones de contexto matemático y real.

Con á lgebra Propiedades de la adición

El globo cayó a 1 850 m.s.n.m. Eje mplo 1

¿Para qué estudiamos esto?

∀ a, b, c ∈ IN

Resuelvo problemas de adición y sustracción

Un colegio hizo un pedido de buzos. El primer día, les enviaron 350 buzos; el segundo día, 132 buzos más que el primero, y el tercer y último día, 35 buzos menos que el segundo día. ¿Cuántos buzos se pidieron en total?

Clausura: a + b ∈ IN Conmutativa: a + b = b + a Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a

• Sumamos la cantidad de buzos que les enviaron cada día: 1.er día

Se pidieron 1 279 buzos. Eje mplo 2

Para sumar 999 a un número: suma 1 000 y después resta 1. 342 + 999

Resolvemos los paréntesis. 93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76) = Resolvemos los corchetes. 93 – [175 – 137] – 11 = 93 – 38 – 11 = Resolvemos las sustracciones en el orden en que aparecen. 55 – 11 = 44

342 + 1 000 – 1 = 1 342 – 1 = 1 341 Para sumar números de dos o tres cifras: descompón el número en centenas, decenas y unidades, y después aplica las propiedades para realizar los cálculos respectivos. 340

56 +

Resuelvo operaciones combinadas de adición y sustracción

Calcula 93 – [175 – (92 + 45)] – (87 – 76).

Halla el resultado de 197 – [23 – (12 + 5)] – (164 – 135). 162

Signos de agrupación Cuando hay signos de agrupación, se suprimen en orden, del más interno al más externo.

{ [ ( ... ) ] }

Eje mplo 3 Descubro valores ocultos __ __ __ Calcula ab + bc + ca si a + b + c = 16.

302 =

Refuerce el cálculo mental a través de estas estrategias:

•

3.er día

350 + (350 + 132) + (350 + 132) – 35 350 + 482 + 447 = 1 279

Cálculo mental •

2.o día

1.o 2.o 3.o

• Ordenamos verticalmente y sumamos: __ ab + En la columna de las unidades, a + b + c = 16. Escribimos 6 y llevamos 1. __ bc __ ca En la columna de las decenas, a + b + c + 1 = 16 + 1 = 17.

300 + 40 + 50 + 6 + 300 + 2 = 600 + 90 + 8 = 698

176 __ __ __ Entonces, ab + bc + ca = 176. 12

– Se necesitan dos jugadores por tablero, tres ﬁchas o botones por jugador y el tablero que se muestra. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

– Cada jugador, por turno, colocará una ficha en una casilla con el propósito de que al final los tres números sumen 18 y a la vez impedir que lo logre antes el contricante. – Si los jugadores colocan las tres fichas y ninguno consigue 18, irán cambiando las fichas, por turno, según les convenga. – Gana el jugador que primero consiga sumar 18.

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 12

6/7/11 9:09:19 AM

Inicio

• • •

Motive a los estudiantes a identiﬁcar y recortar datos numéricos de revistas, periódicos, encartes, etc.

•

Proponga ejemplos para que los estudiantes identiﬁquen las propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, y dé ejemplos de cálculo mental donde se apliquen estas propiedades.

Propicie el diálogo entre los estudiantes en torno a las aplicaciones de los números naturales en la vida cotidiana. Presente casos aplicados al cálculo e interpretación de información cuantitativa que permita a los estudiantes reconocer los procesos algorítmicos que se aplican en cada caso.

Desarrollo

• •

Explique de manera general cómo se desarrollarán las actividades durante la sesión de aprendizaje.

•

Muestre, a través del ejemplo 1, el uso de los signos de agrupación para resolver la situación planteada.

Proponga la recreación de la situación propuesta en esta página, y pida a los estudiantes que analicen el proceso algorítmico aplicado y su respectiva comprobación. Utilice la herramienta subrayar para resaltar las propiedades de la adición, y pida a los estudiantes que mencionen ejemplos de cada una. Luego, pregunte: ¿Qué propiedades no se cumplen en la sustracción?

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Juego “El dieciocho”

1.2. 1.2. Multiplicación Multiplicación

Indicadores de logro

En un centro votación hay 39 mesas elección. Si en cada mesa En unde centro de votación hay 39de mesas de elección. Si en cadadeben mesasufragar deben sufragar un promedio de 170 de electores, ¿cuántas¿cuántas personas deben sufragar en dichoencentro un promedio 170 electores, personas deben sufragar dicho de centro de votación? votación? • Para•saber personas deben sufragar, calculamos 170 × 39 de×dos Paracuántas saber cuántas personas deben sufragar, calculamos 170 39 formas: de dos formas:

Con á lgebra Con á lgebra

Razonamiento y demostración Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.

Propiedades Propiedades de la multiplicación de la multiplicación

∀ a, b, c ∈∀IN a, b, c ∈ IN

1.a FORMA 1.a FORMA TécnicaTécnica operativa operativa 1 7 0 ×1 7 0 × 3 9 3 9 170 × 9170 × 91 5 3 10 5 3 0 5 1 0 50 1 0 0 170 × 30 170 × 30 6 6 3 60 6 3 0

Comunicación matemática

2.a FORMA 2.a FORMA Propiedad distributiva Propiedad distributiva Clausura: Clausura: a · b ∈ IN a · b ∈ IN Conmutativa: a·b=b·a·b=b·a Conmutativa:

170 × 39 170= ×170 39 ×= (40 170– ×1)(40 – 1) = 170 ×= 40 – 170 170 × 40×–1170 × 1 = 6 800= –6170 800 – 170 = 6 630= 6 630

Representa la multiplicación de diferentes formas.

Asociativa:Asociativa: (a · b) · c =(aa· ·b)(b· ·cc)= a · (b · c) Distributiva:Distributiva: a · (b + c) =aa· ·(bb ++ c) a ·=ca · b + a · c Elemento Elemento neutro: a ·neutro: 1 = 1 · a ·=1a= 1 · a = a

Resolución de problemas

Monotonía:Monotonía: si a = b →siaa· c= =b b→· c;a · c = b · c; c≠0 c≠0

Explica las estrategias aplicadas en la resolución de problemas.

En el centro votación deben sufragar 6 630 personas. En elde centro de votación deben sufragar 6 630 personas. Eje mplo 4 Eje mplo Resuelvo problemas problemas 4 Resuelvo ObservaObserva en la tabla fichas ganaron Sara, Ana y Juan. por cada ficha en lalas tabla lasque fichas que ganaron Sara, Ana ySiJuan. Si por cada ficha roja se ganan puntos y por cada ficha azul, 30azul, puntos, ¿quién ¿quién ganó el ganó juego? roja se50 ganan 50 puntos y por cada ficha 30 puntos, el juego? • Calculamos el puntaje de cadade uno y uno y • Calculamos el puntaje cada Sara completamos la tabla:la tabla: completamos Rojas 4 Rojas Sara � 4Sara × 50�+43××50 30+=3200 = 290 × 30+ =90200 + 90 = 290 3 Ana � 2Ana × 50�+26××50 30+=6100 × 30+ =180 100= +280 180 = 280 Azules Azules 290 Juan � 3Juan × 50�+35××50 30+=5150 × 30+ =150 150= +300 150 = 300 Puntaje Puntaje

Ana Sara Juan Ana

Una multiplicación se Una multiplicación se puede expresar de las de las puede expresar siguientes formas. formas. siguientes

Juan

280 290 300 280

Posibles diﬁcultades Es importante que los estudiantes identiﬁquen y apliquen correctamente la propiedad distributiva. Para ello, proponga diversos ejercicios:

• 15 · 3 =•4515 · 3 = 45 • 15 × 3 =• 45 15 × 3 = 45

300

• 15(3) = •4515(3) = 45

Juan ganó el ganó juegoelporque obtuvo obtuvo el mayor Juan juego porque el puntaje. mayor puntaje.

• (15)(3) =• 45 (15)(3) = 45

a) 5(7 + 2) Eje mplo 5 Eje mplo Aplico de la multiplicación Aplico propiedades de la multiplicación 5 propiedades

b) 5 + (7 + 2)

Si 7 × 17 que 35 que × 3435 = 1× 190. Si =7 119, × 17 demuestra = 119, demuestra 34 = 1 190.

Luego, pregunte en qué casos se aplica la propiedad distributiva.

7 × 17 ×7 10 =× 119 × 17 10×=10 119 × 10

PropiedadPropiedad de monotonía: Si a = b →Sia a· c= =bb→· c; de monotonía: a ·cc≠=0b · c; c ≠ 0

10 en 5 × 2 Conviene descomponer 10 en 5 × 2 7 × 17 ×7 5× ×172 ×= 5119 × 2 × 5 × 2Conviene descomponer × 2×=5119 asociativa:asociativa: a · (b · c) =a (a · (b· b) · c)· c= (a · b) · c 7 × 5 × 717× ×5 2× =17119 × 2 × 5 × 2PropiedadPropiedad × 2×=5119

Si 25 × Si 4925 = 1×225, mentalmente el dobleelde 25 por de 49 =¿calcula 1 225, ¿calcula mentalmente doble de el 25quíntuple por el quíntuple de 49? Explica a un compañero cómo locómo hiciste. 49? Explica a un compañero lo hiciste. 12 250 12 250

35 × 3435 =× 1 190 34 = 1 190

Cálculo mental • Trabaje con los estudiantes la

aplicación de la propiedad distributiva en el cálculo mental. Proponga ejercicios como el siguiente:

Eje mplo 6 Eje mplo Aplico de cálculo mentalmental Aplico estrategias de cálculo 6 estrategias CalculaCalcula el valoreldevalor 1 + 2de+ 13 ++ 24 ++ 3...++417 + 18 + 19 + 20. + ... + 17 + 18 + 19 + 20.

15 × 12 =

• Sumamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo... • Sumamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo... paresdiez de pares de forman 1 + 2 +13++24++35+…. + 1716+ +1817+ +1918+ +2019 + 20Se formanSediez 4 +16 5 ….

(10 + 5) × 12 = 12 × 10 + 12 × 5

números que sumanque 21. suman 21. números

= 120 + 60 = 180

• Calculamos el valorelpedido: 10 × 2110 = 210 • Calculamos valor pedido: × 21 = 210

Pídales que busquen otras formas de realizar este mismo cálculo y que las compartan con sus compañeros.

CalculaCalcula 8 + 9 + 810+ +9 11 + 12 + ... + 33 + 34 + 35. + 10 + 11 + 12 + ... + 33 + 34602 + 35. 602 Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 1 Números 13

9 AM U01M1 08_019 13 U01M1 13 008_019

• • •

6/7/11 9:09:21 AM 9:09:21 AM 6/7/11

Explique, a partir del ejemplo 3, cómo hallar los valores ocultos de un número teniendo en cuenta el valor posicional. Forme equipos y pida que desarrollen los ejercicios propuestos ( ) para evaluar sus procedimientos. Indique a los estudiantes que expliquen los procesos que han realizado, para favorecer el trabajo colaborativo y las actitudes matemáticas. Pídales que comprueben las propiedades de la multiplicación a través de ejemplos.

Proponga a los estudiantes que resuelvan los siguientes problemas: a) Una hormiga puede levantar objetos que pesan 50 veces su propio peso. Si lo mismo ocurriera en los seres humanos, ¿cuántos kilogramos podría levantar un niño que pesa 36 kilogramos? 1 750 kg b) Un auto se desplaza a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorre en 8 horas? c) Si a los factores de 482 × 28 se les aumenta una decena a cada uno, ¿en cuánto aumenta el producto? d) Calcula el valor de 11 + 12 + 13 + 14 + … + 27 + 28 + 29 + 30.

640 km

30 · 31 – ______ 10 · 11 = 465 – 55 = 410 ______ 2

la capacidad de concentración de los estudiantes.

Entregue dos listas: una original y una copia con algunos errores. Los estudiantes deben encontrar y corregir los errores en un tiempo determinado.

Cierre

•

Atención a la diversidad • Esta actividad nos permitirá mejorar

•

Pregunte lo siguiente: ¿Qué procesos aplicaron para resolver las operaciones? ¿Qué diﬁcultades encontraron en la resolución de problemas?

•

Realice una evaluación permanente durante el desarrollo de la sesión de aprendizaje.

Original

Copia

ABN120LQ

ABNI20LQ

LJIO9KR21

LJIO9K021

UY9RS47M

UY6RS47N

W25UHK61

W25VHK61

S13F58BC4

S13E58BC4

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

1.3. División

Indicadores de logro

Don Luis tiene 452 kg de alimento para dar de comer a sus vacas lecheras. Si cada día los animales consumen 36 kg, ¿para cuántos días le alcanzará a don Luis el alimento que tiene? ¿Le queda algo para otro día?

Razonamiento y demostración Demuestra la relación entre el cociente y el residuo de una división después de multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.

• Si queremos saber para cuántos días alcanzará el alimento, dividimos 452 entre 36: Divisor (d) 452 36 Cociente (c) 92 12 Residuo (r) 20 El alimento le alcanzará para 12 días y le quedan 20 kg para otro día. Dividendo (D)

Comunicación matemática Ejempliﬁca la propiedad fundamental de la división.

Propiedad fundamental de la división Para que una división esté bien resuelta, se debe cumplir la siguiente relación: 20 < 36 (se cumple) Residuo < divisor Dividendo = divisor × cociente + residuo 452 = 36 × 12 + 20 D= d × c + r 452 = 432 + 20 (se cumple)

Resolución de problemas Resuelve problemas que implican el uso de la división y sus propiedades.

Dividendo = divisor × cociente + residuo y residuo < divisor Eje mplo 7

– Prepare 8 tarjetas anaranjadas y 8 amarillas. Escriba en cada tarjeta los números que se indican. 3

Es el mayor residuo posible. • Según los datos: c = 12; d = 7 y r = 7 – 1 = 6 D = 7 × 12 + 6 = 90 • Por propiedad: D = d × c + r El dividendo es 90.

52 8 4 6

b) Al dividir un número entre 14, se obtiene como cociente 25. Si el residuo es la mitad del divisor, ¿cuál es el residuo al dividir dicho número entre 15?

• Ordenamos y completamos los datos de la primera división: D 14 D= d × c + r D = 14 × 25 + 7 = 357 7 25 Mitad del divisor

273

354

432

618

• Calculamos el residuo de la segunda división: 357 ÷ 15 = 23 y r = 12

765

827

561

906

Si un número se divide entre 31, el cociente es 18 y el residuo es la tercera parte del cociente. ¿Cuál es el residuo al dividir dicho número entre 6? 0

– Forme parejas y proporcióneles un lote de tarjetas. Pida que pongan las tarjetas anaranjadas, una sobre otra, y las coloquen boca abajo. Hacer lo mismo con las tarjetas amarillas.

Un ganadero tiene 950 ovejas a las que puede alimentar durante 80 días. Si quiere que los alimentos duren 15 días más sin disminuir la ración diaria, ¿cuántas ovejas debe vender?

Eje mplo 8

– Explique que las tarjetas amarillas representan a los dividendos y las tarjetas anaranjadas, a los divisores.

•

Presente la recreación de algunas situaciones para facilitar la comprensión de la propiedad fundamental de la división, y así reconocer cada elemento que interviene y las operaciones que se realizan.

El cociente no varía, pero el residuo sí.

Resuelvo problemas

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 14

6/7/11 9:09:22 AM

Inicio

• •

propiedad y pida al estudiante su correspondiente veriﬁcación a través de ejemplos y contraejempos.

26 4 2 6

• Hallamos cuántas ovejas debe vender: 950 – 800 = 150 El ganadero debe vender 150 ovejas.

– El estudiante que obtenga el residuo menor, se anota un punto, y continúa hasta terminar las tarjetas. Si ambos jugadores obtuvieran el mismo residuo, ninguno gana puntos.

Atención a la diversidad • Realice la demostración de una

104 16 8 6

52 ÷ 2 8 ÷ 2

• Calculamos el total de raciones (950 × 80) y lo dividimos entre el nuevo total de días (80 + 15) para saber cuántas ovejas puede alimentar en ese tiempo: Raciones ÷ Días Solo puede alimentar a 800 ovejas. (950 × 80) ÷ (80 + 15) = 76 000 ÷ 95 = 800

– Los estudiantes cogen una tarjeta de cada montón y realizan la división correspondiente.

– Gana el estudiante que al ﬁnalizar el juego obtenga más puntos.

52 × 2 8 × 2

Inicie la sesión presentando a los estudiantes la actividad lúdica, juego del residuo menor (ver margen). Pregunte a los estudiantes lo siguiente: ¿Qué propiedades cumple la división? Proponga que comprueben si se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa en la división. Invítelos a sustentar con contraejemplos las conclusiones obtenidas.

Desarrollo

• •

Desarrolle los ejemplos propuestos destacando la teoría y los procesos aplicados.

•

Evalúe la intervención de los estudiantes y destaque sus aportes.

Motive a los estudiantes a establecer la relación entre el cociente y el residuo al ampliar o reducir el dividendo y el divisor. Establezca la propiedad fundamental de la división a partir de los ejemplos propuestos.

Cierre

•

Proponga el desarrollo de la sección “Más actividades” para consolidar los aprendizajes sobre las operaciones con números naturales. Aplique una lista de cotejo para veriﬁcar los logros adquiridos. Trabaje el recurso PDF (ﬁcha de refuerzo) en forma grupal o en parejas.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Variaciones del cociente y del residuo en una división

Juego “El residuo menor”

Aplico la propiedad fundamental de la división

a) El cociente de una división es 12, el divisor es 7 y el residuo es el mayor posible. ¿Cuál es el dividendo?

a ctivida de sde s a ctivida MásMás CalculaCalcula el factor en las siguientes mul- mulel desconocido factor desconocido en las siguientes tiplicaciones: tiplicaciones:

Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración Halla las cifras faltan. Halla lasque cifras que faltan.

�1 �

� �32 4

17 2 27 32 82 + 3 82 +

·23a =18 648 ·24b =21 1 323 · a 36 = 648 36 � · b = 63 1 323 23 18� 24 21� � 83 24 + 8 2 +

5 4 95 14 69 1 6

1 4 51 5 4 5 5

1 7 81 27 8 2

7 6 17 76 1 7 4 0 14 40 1 4

1 2 81 92 38 69 3 6

1 6 51 6 6 8 5 6 8

�3 4�33 04

� 9 �54 39 05 53 –0

43 00 –4 0 4– 8 01 08 90 0 9

5 02 35 10

3 1

Resuelve estas divisiones. Luego, Luego, comprueba tus re- tus reResuelve estas divisiones. comprueba sultados. sultados. 368 ÷ 56 330 ÷ 45 368328 ÷ 56 328� 330 674 ÷ 45 674 25 18� 26 30� 25 18 26 30 � 053 ÷ 29 242 ÷ 349 053657 ÷ 29 657� 242 58 ÷ 349 58 27 19� 28 20� 27 19 28 20 �

5 –

Comunicación matemática Comunicación matemática

8 3 48 23 14 2 1 1 1 81 81 48 8 4

Resuelve y explica a un compañero. Resuelve y explica a un compañero. ha dividido un número entre 12entre y ha12 ob-y ha obha dividido un número 29 Alonso 29 Alonso � � tenido 8tenido de cociente y 15 deyresiduo. ExplicaExplica por 8 de cociente 15 de residuo. por

Resuelve las operaciones combinadas. Resuelve las operaciones combinadas.

qué Alonso ha hecho la división y halla el co- el coqué Alonso hamal hecho mal la división y halla ciente, el dividendo y el residuo verdaderos. ciente, el dividendo y el residuo verdaderos.

� � D = 111;Dq==111; 9 y rq==39 y r = 3 la de los juegos de un de un En la inauguración de los olímpicos juegos olímpicos 30 En� 30 inauguración � +69836 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 190– 12 0 �6 36� colegio,colegio, los 34 alumnos de primero quierenquieren des- deslos 34 alumnos de primero filar formando filas completas de cuatro. ¿Es po-¿Es pofilar formando filas completas de cuatro. – 9)––32 15329– 32 29 �7 278�7– (34278+ –12)(34– +(1212)+ –15(12– 9)+ 15– 153 sible? ¿De qué¿De modo desfilardesfilar formando sible? qué podrían modo podrían formando filas y columnas completas? filas y columnas completas? +8194 – (19 18–+[23 194– –(45 [23– –38)] (45––35 38)] – 35+ –87) (1955 + 87) 55 �8 18� No es posible. Podrían desfilar 2 o 17 filas No es posible. Podrían formando desfilar formando 2 o 17 filas –9{23 [45 – –(12 56––[34 {23– –(18 [34+ –13)]} (18 +– 13)]} [45+ –9)] (1212 + 9)] 12 o columnas completas. o columnas completas. �9 56� ____ ____ __ ____ __ ____ aabb ab = aa76 a + b.7 a + b.7 + ab ,=calcula aa76, calcula 10 Si � 10 Si+ aabb � Resolución de problemas Resolución de problemas ___ ____ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ____ a2a b. 5a – b. 5 a2a++a6a a4a++a8a a6a=+30b8 a8a ,=halla 30b8a, –halla 11 Si � 11 +Sia4a � vender su autosua auto S/. 5a 600, Al vender S/. 5Karen 600, perdió Karen perdió 31 Al� 31 _____ _____ � ___ ___ es el es resultado de _____ TUde× TU CASA si el _____ resultado × CASA si 12 ¿Cuál 12 ¿Cuál S/. 1 200. le costóleelcostó auto?elS/. S/.¿Cuánto 1 200. ¿Cuánto auto? 6 800S/. 6 800 _____ _____ � � 73 134 73 134 CASA × T = 6×453 U = 8×604? CASA T =y6CASA 453 y × CASA U = 8 604? comerciante comprócompró un equipo de sonido a Un comerciante un equipo de sonido a 32 Un� 32 ___ ___ � el___ resultado de abc ×de80 es el resultado abc × 80 13 ¿Cuál 13 es¿Cuál S/. 569 S/. y lo vendió ganandoganando S/. 125.S/. ¿A125. cuánto 569 y lo vendió ¿A cuánto ___ � � = 936? si abc ×si 4abc × 4 =18936? 720 18 720 S/. 694 S/. 694 vendió el equipo sonido? vendió el de equipo de sonido? + 23 – 14 – 29 + 18 – 32 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18110 – 32 110 5 196 5– 52

comprócompró un televisor a S/. 458 y lo458 vendió un televisor a S/. y lo vendió 33 Carmen 33 Carmen � � a S/. 600. ¿Cuánto ganó enganó esta en venta? a S/. 600. ¿Cuánto esta venta? S/. 142 S/. 142 336 9 × 16 38 190 56 336 67 9603 5 × 38 190 6 × 56� × 67 603 34 Rolando 14 5 ×� 15 6 ×� 16 14 15 nació 98 años98después del combate de nació años después del combate de � � � 34 Rolando � � Angamos. ¿Quétendrá edad el tendrá 8 de octubre del ¿Qué edad 8 de eloctubre del 9 × 45 12 × 75 20 9 × 45 12 × 75 20 × 136 405 900 405 900 17 18 19 17 18 19 � � � � � � 2×720136 2 720 Angamos. 2012? 2012? 35 años 35 años promedio en elesPerú consumo promedio de pollodeenpollo el Perú de, es de, 35 El consumo 35 El� Las siguientes operaciones se pueden de� Las siguientes operaciones se pueden resolverresolver de aproximadamente, 28 habitante kg por habitante y por año. aproximadamente, 28 kg por y por año. dos formas. más rápida. dos formas. Elige laElige más la rápida. © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Resuelve aplicando la propiedad distributiva. Resuelve aplicando la propiedad distributiva.

× 38 + 17 × 12 ×203817 + 17 × 12 20 17� � 850 850 ×215996 + 4× ×5959+ 4 × 59 21 96� � 5 900 5 900 148 × 19 + 52 × 19 + 52 × 19 22× 19 22 148 � � 3 800 3 800

Comprueba Comprueba tus resultados con tus resultados con tus compañeros. tus compañeros.

Averigua el número de habitantes Perú y halla Averigua el número de habitantes del Perúdel y halla la cantidad pollo se consume. ¿En cuánla cantidad de pollodeque se que consume. ¿En cuántos kilogramos deberá aumentar el consumo tos kilogramos deberá aumentar el consumo anual anual que el consumo por habitante y año sea igual para quepara el consumo por habitante y año sea igual de la de ciudad de (58 Lima? al de la al ciudad Lima? kg).(58 30 kg). kg 30 kg 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 15

___

Soluciones

008_019 2 AM U01M1 08_019 15 U01M1 15

Más

a ctivida de s

●5 196 – 52 + 23 – 14 – 29 + 18 – 32 = 110 ●6 36 + 98 – 23 – 54 + 19 – 45 – 19 – 12 = 0 ●7 278 – (34 + 12) – (12 + 15 – 9) – 153 – 32 = 29 ●8 18 + 194 – [23 – (45 – 38)] – 35 – (19 + 87) = 55 – (18 + 13)]} – [45 – (12 + 9)] = 12 ●9 56____– {23__– [34____ = aa76 10 aabb + ab ● ____ aabb 4433 __ ab ____ aa76 ∴a+b=4+3=7

43 4476

___

6/7/11 6/7/11 9:09:23 AM 9:09:23 AM

+ a6a + a8a = 3068 11 a2a + a4a___ ● a2a 727

___ a4a 747 ___ a6a 767 ___ a8a 787 3068 3028 ∴a–b=7–2=5 _____ CASA × 12 ___ TU _____ CASA × U = 8 604 _____ CASA × T = 6 453 73 134 ∴ TU × CASA = 73 134

●

___

13 abc ___ × 4 = 936 ● abc × 4 × 20 = 936 × 20 ___ abc × 80 = 18 720

14 5 × 38 = 5 × (40 – 2) = 190 ● 15 6 × 56 = 6 × (60 – 4) = 336 ● 16 9 × 67 = 9 × (70 – 3) = 603 ● 17 9 × 45 = 9 × (50 – 5) = 405 ● 18 12 × 75 = 12 × (70 + 5) = 900 ● 19 20 × 136 = 20 × (140 – 4) = 2 720 ● 20 17 × 38 + 17 × 12 ● = 17 × (38 + 12) = 850 21 96 × 59 + 4 × 59 ● = (96 + 4) × 59 = 5 900 22 148 × 19 + 52 × 19 ● = (148 + 52) × 19 = 3 800 a = 648 = 36 23 18 · a = 648 ● 18 b = 1 323 = 63 24 21 · b = 1 323 ● 21 25 18 368 ÷ 56 = 328 ● 328 × 56 = 18 368 26 30 330 ÷ 45 = 674 ● 674 × 45 = 30 330 27 19 053 ÷ 29 = 657 ● 657 × 29 = 19 053 28 20 242 ÷ 349 = 58 ● 349 × 58 = 20 242 111 12 29 N 12 ● 15 8  96 8 Incorrecto: ___

____

Debe ser: 111 12 108 9 3 El c = 9 y r = 3

30 34 ● 2

15 > 8

3<9

4 8

34 2 17 17 1 No es posible. Podrían desfilar formando 2 o 17 filas o columnas completas.

31 5 600 + 1 200 = 6 800 ● 32 569 + 125 = 694 ● 33 600 – 458 = 142 ● 34 1 879 + 98 = 1 977 ● 2 012 – 1 977 = 35 35 28 220 764 × 28 = 790 181 392 kg ● 58 – 28 = 30 kg POBLACIÓN INEI 11 JUNIO 2008

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

R e corda mos lo qu e sa be mos Reconocemos la utilidad de los números naturales

Indicadores de logro

Razonamiento y demostración Ordena los números naturales siguiendo un criterio y utilizando el tablero posicional.

Selecciona procesos algorítmicos adecuados para resolver problemas.

Sí ¿El número de tu DNI es un número natural? ____________. ¿Para qué sirve Para identificar a las personas el número del DNI? ____________________________________________.

Comunicación matemática Da ejemplos sobre la utilidad de los números naturales en situaciones cotidianas.

Utiliza estrategias de cálculo mental.

Resolución de problemas Representa información cuantitativa y establece relaciones operativas.

Comparamos números naturales

Resuelve problemas de contexto real.

¿Qué valor de posición tiene el 8 en cada uno de los números?

Liliana elaboró esta tabla con la extensión territorial de los países que limitan con el Perú. País

Ecuador

Colombia

Brasil

Bolivia

Extensión (km)

265 800

1 141 748 8 511 965 1 098 581

Chile

Umill CM

736 903

Visita la siguiente página web: http://www. campustercertermino. com/ttpresenter/ tinta_fresca/2009/mati_ juegos11/naturales.swf

d) Ordena los países de mayor a menor extensión. Brasil, Colombia, Bolivia, Chile y Ecuador ___________________________________________________________

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 10

6/7/11 9:09:16 AM

Inicio

•

Destaque con los estudiantes las cuatro capacidades que se van a desarrollar para recuperar sus saberes previos. Permítales que muestren sus habilidades en el desarrollo de las actividades.

•

Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades necesitan practicar más? ¿Qué recursos les facilitan el aprendizaje?

Desarrollo

•

Organice a los estudiantes en parejas y motívelos a intercambiar información para desarrollar las actividades propuestas.

•

Cierre

•

Forme grupos de tres integrantes para resolver la actividad que a continuación presentamos.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Información complementaria

CONOCIMIENTOS PREVIOSPREVIOS CONOCIMIENTOS

Resolvemos operaciones con con números naturales Resolvemos operaciones números naturales

Más actividades • Enfatice la jerarquía en la solución de

operaciones combinadas sin signos de agrupación.

��

Hubo 150 Hubo 000 asistentes. 150 000 asistentes.

Mistura 2010 reunió lo mejor Mistura 2010 reuniódelolamejor de la

7 946 + 7999 946 = + 71 946 000 + – 1 000 – 1 946= +7 999 = 8 946 = – 18 = 8 945 946 – 1 = 8 945

�� •

342 7 342 d) 12 630 629 13 629 a) 6 343 + 999 a)+6999 343=+______________ 999 = 7______________ d) 12 630=+_______________ 999 =13_______________

Presente ejercicios resueltos para que los estudiantes evalúen los procesos aplicados.

323 8 323 e) 15 631 25 630 b) 7 324 + 9631 999+=9______________ b)+7999 324=+______________ 999 = 8______________ e) 15 99925= 630 ______________

a) 5 × 3 + 5 + 10 – 5 × 4 = 15

046 9 046 f) 73 463 83 462 c) 8 047 + 9463 999+=9______________ c) +8999 047=+______________ 999 = 9______________ f) 73 99983= 462 ______________

b) 216 ÷ 24 + 67 × 3 = 210 c) 76 × 12 – 346 ÷ 26 + 100 = 898

76 ÷ 4 –76 19÷ 04 – 19 0 8 ÷ 8 + 18 ÷ 28 + 1

9 + 1 × 59 + 1 × 5

5 –19 × 5 1 2 46 – 9 ×46

2 ÷3–2 45– 39 – 45 3 33 ÷ 3 –33 8 ÷ 4 + 66 8 ÷÷433 + 466 ÷ 33457 – 9 –57

FINAL FINAL

× ×

–

÷ =

= –

7 +

= +

Simbolizamos expresiones matemáticas Simbolizamos expresiones matemáticas © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Muestre el siguiente cuadro y pida a los estudiantes que lo completen.

9 × 4 – 72 9 ×÷43–1272 ÷ 3 12

•

2 ÷86 + 2 8 27 ÷ 9 +27 6 ÷99 + 6 9 36 ÷ 6 +36

3 + 5 × 23 ++ 15 × 2 + 1 4 × 3 – 24 ×× 1310 – 2 × 1 10 144 ÷ 12144 – 1÷1112 – 1 11

= =

•

El cuadro muestra las distancias que hay entre el Sol y los planetas. Planetas

Marte Mercurio

Distancias al Sol (km) 227 800 000 57 870 000

Venus

108 140 000

Urano

2 880 000 000

Tierra

149 504 201

Neptuno Júpiter Saturno

•

6/7/11 6/7/11 9:09:17 AM 9:09:17 AM

008_019 08_019 11 U01M1 11 6 AM U01M1

e) 100 – 121 ÷ 11 × 64 ÷ 8 + 35 = 47

÷ –12144 × 22 24 ÷ 3 –24 18÷÷36–5 18 ÷ 6 52 × 22 –238 7 ÷ 12 7 6 – 14419 6 – 38 19 37 – 5 ×37 7 –5×7

d) 7 × 5 × 3 – 6 + 2 × 8 – 6 x 4 = 95

4 494 000 000 777 800 000 1 430 000 000

a) Nombren los planetas que tienen menos de 200 000 000 km de distancia al Sol. Mercurio, Venus, Tierra _________________________________________________________

b) ¿Cuáles son los planetas que tienen entre 200 000 000 y 800 000 000 km de distancia al Sol? Marte, Júpiter _________________________________________________________

c) Nombren los planetas con más de mil millones de kilómetros de distancia al Sol. Saturno, Urano. Neptuno _________________________________________________________

Evalúe la información obtenida en el desarrollo de ejercicios y establezca una relación con los indicadores de logro propuestos.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

1.4. Operaciones combinadas

Indicadores de logro

En un gimnasio se muestra una tabla con las calorías que se queman al realizar una hora de actividad física.

Razonamiento y demostración Identiﬁca los pasos que se deben seguir al resolver operaciones combinadas.

¿Cuántas calorías quemarías si caminas dos horas en la mañana y pedaleas tres horas en la tarde?

Distingue los procesos matemáticos en operaciones combinadas con signos de agrupación y sin ellos.

Actividad

Calorías quemadas por hora

Trotar

490

Caminar

290

Pedalear

160

• Calculamos el total de calorías que se queman: 2 h de caminata + 3 h de pedaleo

Escribe una expresión correspondiente a una secuencia de operaciones combinadas.

290 × 2

160 × 3

580

480

Calculamos las calorías quemadas en cada actividad. Sumamos y calculamos el total de calorías que se queman.

1 060 Al caminar 2 horas y pedalear 3 horas, se queman 1 060 calorías.

Describe los procedimientos en la resolución de operaciones combinadas.

Al resolver operaciones combinadas se debe seguir este orden: 1.º Las operaciones indicadas entre signos de agrupación, si los hubiera. 2.º Las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. 3.º Las adiciones y sustracciones en el orden en que se presentan.

Resolución de problemas Resuelve problemas con operaciones combinadas.

Eje mplo 9

Resuelvo operaciones combinadas sin signos de agrupación

b) 27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35 27 + 8 × 9 ÷ 6 – 35 27 + 72 ÷ 6 – 35 27 + 12 – 35 39 – 35 = 4

La calculadora y las operaciones Es importante que los estudiantes conozcan el manejo de la calculadora porque les permite realizar cálculos extensos o complejos; sin embargo, el docente debe tomar una posición con respecto a su uso dentro del aula. Se debe evitar el empleo de la calculadora, por ejemplo, cuando los cálculos pueden hacerse mentalmente o cuando el logro esperado propuesto en la sesión sea el aprendizaje de un proceso algorítmico.

• 7+ 3×6

• 19 – 6 × 3

• 20 – 7 × 2

• 15 + 15 ÷ 3 20

a) 13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8 13 – 5 × 2 + 32 ÷ 8 13 – 10 + 4 3 + 4 =7

Información complementaria

Cá lculo mental • 10 + 5 × 2

• 30 + 18 ÷ 3 36 • 27 – 20 ÷ 2 17

Resolvemos la multiplicación y la división.

• 40 – 30 ÷ 6 35

Resolvemos la sustracción y la adición.

Resolvemos la multiplicación y la división. Resolvemos la adición y la sustracción.

c) 5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19 5 × 8 × 9 – 24 ÷ 4 × 3 + 19 360 – 6 × 3 + 19 360 – 18 + 19 342 + 19 = 361

Resolvemos las multiplicaciones y la división.

Resolvemos la sustracción y la adición.

Comunicación matemática

Eje mplo 10 Asocio cálculos y enunciados Escribe al lado de cada enunciado la letra que corresponda. A: 2 × 9 – 2 × 7 B: 2 × 9 + 2 × 7 C: 3 × (9 + 5) D: 3 × 9 + 3 × 5 E: 2 × (9 – 7) F: 2 × (9 + 7)

Organice equipos para que establezcan los beneﬁcios del uso de la calculadora.

• El triple de 9 más el triple de 5. D

• El doble de la suma de 9 y 7. F

• El triple de la suma de 9 y 5. C

• El doble de la diferencia de 9 y 7. E

• El doble de 9 más el doble de 7. B

• El doble de 9 menos el doble de 7. A

Sesión de aprendizaje

008_019 U01M1 16

Pida que resuelvan las siguientes operaciones combinadas en parejas: unos con la calculadora y otros sin ella.

Inicio

•

Pida a los estudiantes que recolecten empaques de diferentes productos alimenticios que consumen en el refrigerio. Luego, indique que observen y analicen el cuadro de calorías que contiene cada uno.

a) 1 000 – 3 – 3 – 23 – 380 ÷ 20 925

•

Pregunte lo siguiente: ¿Qué actividades realizan diariamente? Proponga que calculen la cantidad de calorías que queman en cada actividad. Luego, sugiérales que anoten la cantidad de calorías que consumen al ingerir los alimentos que llevan en su lonchera.

b) 630 ÷ 3 – 3 × 81 + (92 – 52) × 3 87 c) 169 + 43 × 7 – 150 ÷ 50 467 Luego, indíqueles que comparen sus soluciones. ¿Qué diferencias encuentran entre una y otra forma de resolver? ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Expliquen.

6/7/11 9:09:25 AM

Desarrollo

•

Invite a los estudiantes a describir las operaciones realizadas en la actividad anterior y las relacionen con el cuadro de orden de resolución de operaciones combinadas. Utilice la herramienta destacar en el cuadro de cálculo mental e invite a los estudiantes a realizarlos.

•

Proponga la asociación entre cálculo propuesto y enunciado para establecer la relación entre el lenguaje literal y la expresión numérica.

Cierre

• 16

Presente el juego de operaciones combinadas que a continuación proponemos para reforzar los procesos de cálculo, y fortalecer la relaciones personales y el diálogo entre los equipos de trabajo.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Atención a la diversidad

Eje mplo 11 Eje mplo Resuelvo operaciones combinadas con signos de agrupación operaciones combinadas con signos de agrupación 11 Resuelvo

Posibles diﬁcultades • Es importante reﬂexionar con

a) 95 – a) 2395 × {14 × [24 × 3÷–(59)]} – 23–×3 {14 – 3÷×(5[24 × 3 – 9)]} 95 – 2395 × {14 × [24 × 3÷–(59)]} – 23–×3{14 – 3÷×(5[24 × 3 – 9)]} Resolvemos las operaciones de los paréntesis. Resolvemos las operaciones de los paréntesis.

los estudiantes que al resolver operaciones combinadas se debe respetar un orden. Jerarquizar y organizar implica el éxito en la aplicación de procesos. Asegúrese de que tengan en claro los pasos que deben seguir para resolver operaciones combinadas.

las operaciones de los corchetes. las operaciones de los corchetes. 95 – 2395 × {14 × [24 – 23–×3{14 – 3÷×6]} [24 ÷ 6]}ResolvemosResolvemos las operaciones de las llaves. las operaciones de las llaves. 95 – 2395 × {14 × 4}– 3 × 4}ResolvemosResolvemos – 23–×3{14 la multiplicación. la multiplicación. 95 – 2395 × –2 23 × 2ResolvemosResolvemos la sustracción. la sustracción. 95 – 4695 = 49 – 46 = 49ResolvemosResolvemos

b) 31 × b) (8 31 + 2) – {[27 + 9}× 2 + 9} × (8 + 2)––(56 {[27– –49)] (56×–249)] 31 × (8 31 + 2) – {[27 + 9}× 2 +Resolvemos × (8 + 2) –– (56 {[27– –49)] (56×–249)] 9} Resolvemos las operaciones de los paréntesis. las operaciones de los paréntesis. 31 ×

las operaciones de los corchetes. las operaciones de los corchetes. 10 {[27 –– {[27 7] × 2– +7]9}× 2 + 9}ResolvemosResolvemos 31 × – 10

31 ×

10 {20 ×– 2{20 + 9} 31 × – 10 ×2 +

310

310–

… {[(

49 – = 261 49 = 261

1.º

Resolvemos la sustracción . Resolvemos la sustracción .

2.º

a) 5 × 8a)–54×× 89 –+ 412× ÷9 +2 12 × 7÷ 2 ×b)7 130 –b)[(8 × –4)[(8 – (9 242)] ÷ 3– ÷242 ÷ 3 ÷ 2 130 ×× 4)2)] – (9– × 46

)]} …

Resolvemos la multiplicación Resolvemos la multiplicación 9}y las operaciones de las llaves. y las operaciones de las llaves.

112

•

Eje mplo 12 Eje mplo Calculo el valorelnumérico valor numérico 12 Calculo CalculaCalcula el valoreldevalor 8c –de [(48c + –2a) c) ÷ = 3;siba==53;y bc = 57.y c = 7. [(4(b++2a) (ba+–c)5]÷ si a –a 5] 8c – [(48c + –2a) c) ÷ [(4(b++2a) (ba+–c)5]÷ a – 5]

3.º

112

Reemplazamos el valor deelcada Reemplazamos valorletra. de cada letra.

Cuando un número Cuando un número va seguido una ode varias va de seguido una o varias letras, signiﬁ ca signiﬁ que secaestán letras, que se están multiplicando. multiplicando.

8 × 7 – 8[(4 × 3)+(5 + 3) 7) (5 ÷ 3+–7)5]÷ 3 – 5] ×+ 7 –2 [(4 2× Resolvemos las operaciones de los paréntesis. Resolvemos las operaciones de los paréntesis.

Desarrollar las adiciones y sustracciones en el orden en el que aparecen.

Resolvemos las multiplicaciones. Resolvemos las multiplicaciones. 8 × 7 – 8[(10) ÷ 3(12) – 5]÷ 3 – 5] × 7 –(12) [(10) Resolvemos las operaciones de los corchetes. Resolvemos las operaciones de los corchetes. 56 ÷– 3[120 56 – [120 – 5]÷ 3 – 5] la sustracción. la sustracción. 56=–2135 = 21ResolvemosResolvemos 56 – 35

Si x = 4,Siyx==10 7,ycalcula el valoreldevalor 75 +de 20x – yz÷ y –13yz 4, yy z==10 z = 7, calcula 75÷+y20x

3x = 3 · x3x = 3 · x 2ab = 2 2ab ·a·= b2·a·b 5x 2y = 55x · x22y ·=y 5 · x 2 · y

Presente las siguientes tarjetas e invite a los estudiantes a ordenar los pasos que deben seguir para efectuar operaciones combinadas.

Desarrollar las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.

Para construir un estante como elcomo del margen, un carpintero necesitanecesita lo si- lo siPara construir un estante el del margen, un carpintero guiente:guiente: 4 tablas4 largas madera, 6 tablas6 cortas de madera, 12 ganchos tablas de largas de madera, tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandesgrandes y 24 tornillos. Si en elSialmacén hay 26 hay tablas pequeños, 2 ganchos y 24 tornillos. en el almacén 26 tablas largas, largas, 33 tablas 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandesgrandes y 510 y 510 33 cortas, tablas cortas, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos tornillos, ¿cuántos estantesestantes completos se pueden construir? tornillos, ¿cuántos completos se pueden construir?

Realizar las operaciones indicadas entre signos de agrupación si los hubiera.

Eje mplo 13 Eje mplo Resuelvo problemas problemas 13 Resuelvo

26largas tablasselargas se pueden construir 4 = 6 estantes. • Con•26 Con tablas pueden construir 26 ÷ 4 =266 ÷estantes. Para 6 estantes se necesitan 6 = 36cortas. tablas Solo cortas. Solo hay 33cortas. tablas cortas. Para 6 estantes se necesitan 6 × 6 = 636× tablas hay 33 tablas • Probamos si se pueden construir 5 estantes. Se necesitan: • Probamos si se pueden construir 5 estantes. Se necesitan: Tablas 4largas: Tablas 6cortas: Tablas largas: × 5 = 420× 5 = 20 Tablas cortas: × 5 = 630× 5 = 30 Ganchos pequeños: Ganchos Ganchos pequeños: 12 × 5 =1260× 5 = 60 Ganchos grandes:grandes: 2 × 5 = 210× 5 = 10 Tornillos: × 5 = 120 Tornillos: 24 × 5 =24120 los materiales del almacén se pueden construir 5 estantes completos. Con losCon materiales del almacén se pueden construir 5 estantes completos. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 17

Juego de operaciones combinadas

estudiantes desarrollar la lógica y el cálculo numérico. Elija a un estudiante y pídale que piense en un número de dos cifras. A continuación solicite lo siguiente:

Pida a los estudiantes que, en parejas, elaboren las siguientes tarjetas y las coloquen boca abajo.

– Súmale 7 al número que pensaste.

6/7/11 6/7/11 9:09:26 AM 9:09:26 AM

008_019 08_019 17 U01M1 17 5 AM U01M1

Juego “Adivinanza de números” • Esta actividad permite a los

12 ÷ 4 + 2

9×5+3

3 × 12 ÷ 6

24 ÷ (6 – 2)

22 – 3 × 6

2 × (4 + 2)

3 × (4 + 5)

7 – (4 + 2)

6+4×2

28 – 4 × 6

20 ÷ 4 + 1

24 ÷ (6 – 4)

(6 + 4) ÷ 5

7–4–2

20 ÷ 5 ÷ 2

– Resta de 110 la suma que has obtenido. – Al resultado, súmale 15.

Uno de las participantes sacará al azar dos tarjetas y resolverá la operación que le tocó. Si las respuestas son iguales, gana un punto. En caso de obtener resultados diferentes, volverá a colocar las tarjetas boca abajo para que el siguiente participante continúe el juego. Indíqueles que deben recordar los resultados obtenidos y la ubicación de las tarjetas para los juegos sucesivos. Gana quien acumula más puntos.

– Al nuevo resultado, súmale el número que pensaste. Luego, al resultado, divídelo entre 2. – A este resultado, réstale 9. – Al resultado obtenido, multiplícalo por 3. Indique que mencione la respuesta (es 150). Terminada la actividad, forme parejas, pida que inventen un ejemplo parecido y lo compartan con su compañero.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Para

Marca la alternativa correcta. Para

pra ctica r

38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4) ● = (9 + 2) × 2 – (5 + 4) = (9 + 2) × 2 – 5 – 4

39 Tiene razón en e, b y d. ● a) 18 + 4 × 13 – 9 c) 235 + 38 × 20 ÷ 10 f) 58 + 9 × 7 – 5

=2–1=1

12 – 9 ÷ 3 + 5 = 12 – 3 + 5 = 9 + 5 = 14

41 (2 100 + 45 + 15 + 6) ÷ 15 ● Cociente: 140 + 3 + 1 = 144 Residuo: 6

42 56 – (21 – 17) = 56 – 4 = 52 ● 43 (75 – 7) × 8 = 68 × 8 = 544 ● 44 a) 15 + 7 × 5 = 15 + 35 = 50 ● (15 + 7) × 5 = 22 × 5 = 110 b) 21 – 9 – 4 = 12 – 4 = 8

21 – (9 – 4) = 21 – 5 = 16

36 Para calcular 6 + 7 × 4 – 1 se debe comenzar por � efectuar: A) 6 + 7

d) 8 × 4 + 5 × 2 = 32 + 10 = 42

8 × (4 + 5) × 2 = 8 × 9 × 2 = 144 e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

6 × (9 ÷ 3) – 1 = 6 × 3 – 1 = 17

45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20 ● 9 + 72 – 20 = 81 – 20 = 61

A) La división C) La adición

C) 4 – 1

45 63 ÷ 7 + 8 × 9 – 20 61 �

D) 7 – 1

46 6 × 81 ÷ 9 – 144 ÷ 12 × 3 �

B) La multiplicación D) La sustracción

38 [(9 + 2) × 2] – (5 + 4) es equivalente a: � A) 9 × 2 + 2 – (5 + 4) C) (9 + 2) × 2 – 5 – 4

B) (9 + 2) × 2 – 5 + 4 D) 9 + 2 × 2 – 5 – 4

47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35 �

39 Iván subrayó la operación que debe efectuar pri� mero en las operaciones combinadas. ¿En qué casos tiene razón? Corrige las que hizo mal. a) 18 + 4 × 13 – 9

b) 10 × (23 + 2) – 7 �

c) 235 + 38 × 20 ÷ 10

d) 56 – 28 ÷ 4 × 3 �

� e) 128 – (69 – 30) ÷ 3

48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6 �

f) 58 + 9 × 7 – 5

49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4) 106 �

40 Fíjate cómo se han efectuado estas operaciones. � Luego, corrige las que están mal resueltas. 14 – 4 × 3 – 1 8 – (5 – 3) ÷ 2 12 – 9 ÷ 3 + 5 3 ÷3+5 8– 2 ÷2 10 × 2 1 +5 8– 1 20 � � 4 � 7

50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)] � 211

41 Paola calculó 2 166 ÷ 15, así: � (1 500 + 600 + 60 + 6) ÷ 15

51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)] �

Cociente: 100 + 40 + 4 = 144 y residuo: 6. ¿Cuál sería el cociente y el residuo al descomponer 2 166 = 2 100 + 45 + 15 + 6?

128

144 y 6

42 Calcula 56 – 21 – 17. Luego, coloca los paréntesis � donde corresponda para obtener 52. 18; 56 – (21 – 17)

43 Calcula 75 – 7 × 8. Luego, coloca los paréntesis � donde corresponda para que el resultado sea 544.

�

19; (75 – 7) × 8

44 Calcula y compara cada par de resultados. ¿Son � iguales las expresiones? ¿Por qué?

46 6 × 81 ÷ 9 – 144 – 12 × 3 ● 6 × 9 – 12 × 3 54 – 36 = 18

47 100 – 121 ÷ 11 × (64 ÷ 8) + 35 ● 100 – 11 × 8 + 35

B) 7 × 4

37 Para calcular 5 + 8 ÷ 4 × 3 – 1 se debe comenzar � por efectuar:

c) (20 – 8) – 2 = 12 ÷ 2 = 6

20 – 8 ÷ 2 = 20 – 4 = 16

Resuelve. Luego pinta los resultados en el laberinto y descubrirás con quién conversa Ana.

Soluciones

40 14 – 4 × 3 – 1 ● = 14 – 12 – 1

pra ctica r

a) 15 + 7 × 5

(15 + 7) × 5 110

b) 21 – 9 – 4

21 – (9 – 4) 16

c) (20 – 8) ÷ 2 6

20 – 8 ÷ 2

d) 8 × 4 + 5 × 2 42

8 × (4 + 5) × 2 144 No

e) 6 × 9 ÷ 3 – 1 17

6 × (9 ÷ 3) – 1 17

Sí

100 – 88 + 35 = 12 + 35 = 47

3 × 7 – 5 + 54 21 – 5 + 54 = 16 + 54 = 70

49 16 × (12 – 8) ÷ 4 + 3 × (18 + 15 ÷ 5 × 4) ● 16 × 4 ÷ 4 + 3 × (18 + 3 × 4) 64 ÷ 4 + 3 × (18 + 12) 16 + 3 × 30 = 16 + 90 = 106

●

50 200 + [5 × (54 ÷ 9) – (20 ÷ 5 × 8 – 169 ÷ 13)] 200 + [5 × 6 – (32) – 13] 200 + [30 – 19]= 200 + 11 = 211

51 17 × 8 – [32 ÷ (120 ÷ 5 – 4 × 5) – (300 – 4 × 75)] ● 136 – [32 ÷ (24 – 20) – (300 – 300)] 136 – [32 ÷ 4] = 136 – 8 = 128 18

Más actividades

6/7/11 9:09:27 AM

008_019 U01M1 18

1. Encuentra los números escondidos. a) 7■ 2 ■ 8–

c) 1 0 8 9

b) 17■ 3 ■ 1–

5 8 1

4■ 2

14 ■ 7

9 8 9

54 ■ 20

d) ■ ■ ■ ■

e) 4, 9 1 3

f) 1 4 4 3

17 ■

12 ■

1 6 1 9

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 45 – 3 · 12 + 28 · 7 – 14 191

b) (7 + 2,236 ÷ 52) ÷ 5 + 10 20

c) 26 ÷ 2 · 6 ÷ 3 · 4 – 5 · 7 ÷ 5 97

d) (6 + 364 ÷ 26) ÷ (3 + 323 ÷ 19) 1

e) 15 – 9 + 7 · 6 + 119 ÷ 7 65

f) (342 · 3 – 2) ÷ [(7 + 473) ÷ 15] 32

3. Identiﬁca las operaciones erradas y coloca los paréntesis para que las operaciones sean correctas. b) 5 + 8 ÷ 2 = 9 a) (12 + 2) · 5 = 70 ✗ c) 5 · (4 + 3) · 2 = 70 ✗ e) 3 · 5 + 8 · 4 = 47 d) 7 · 2 – 2 · 3 = 8 f) 80 ÷ (2 + 6) = 10 ✗

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

48 72 ÷ 8 ÷ 3 × 7 – 150 ÷ 3 ÷ 10 + 9 × 6 ● 9 ÷ 3 × 7 – 50 ÷ 10 + 54

a ctivida a ctivida de sde s MásMás Razonamiento Razonamiento y demostración y demostración ¿Qué operación ¿Qué operación da como daresultado como resultado 600? 600? +521515 ÷ 3+ ×15(40 ÷ 3+×2 (40 × 10) + 2 × 10) 52 15� � +531515 ÷ 3+ ×1540÷ +3 2× ×4010+ 2 × 10 53 15� � + 15) (15÷+3 15) × (40 ÷ 3+×2)(40 × 10 + 2) × 10 54 (15� 54 � + 15) (15÷+3 15) × (40 ÷ 3+×2 (40 × 10) + 2�× 10) � 55 (15� 55 � + 15) (15÷+3 15) × 40÷ +3 2× ×4010+ 2 × 10 56 (15� 56 �

Si a = 14; Si ab = 14; 5 y cb == 8, 5 ycalcula c = 8, calcula el valoreldevalor las siguiende las siguientes expresiones: tes expresiones: b69– ac –1 b – c 1 (c 11 – b) 11 69 a –� 70 a –� 70 –ab)– (c � � a + b × a c + b × c (a + b) (a × c + b) × c 152 54 54 71 71 72 72 � � � � 152 (a + b) (a × (c + + b) b) × (c + b) a + b × a c + b 247 247 73 73 74 74 � � � � ×59c + b 59

Coloca Coloca los paréntesis los paréntesis donde donde sean necesarios sean necesarios para para que lasque igualdades las igualdades sean verdaderas. sean verdaderas. +574)(÷364 +– 45) ÷= 45 – 5 = 5 57 (36� � ) – 5 = 32 +58(4 ÷364)+–(45 ÷= 432 58 36� � ×59(2560 + 5×)(–25500 + 5÷) –5500 = 1 ÷700 5 = 1 700 59 60� � ( ( ) ) 20 × 66 20 – 20 × 66 – 6 – = 20 800 – 6 = 800 60 60 � � (49 +617)(÷497 +– 7) ÷ = 71 – 7 = 1 61 � �

Asocia Asocia cada expresión cada expresión numérica numérica con el con enunciado el enunciado que corresponda. que corresponda. a) (18 –a)6)(18 × 3– 6) × 3 b) 18 – b) (6 18 + 3) – (6 + 3) c) 18 ÷ c) (6 18 + 3) ÷ (6 + 3)

Ejercicio resuelto

Resolución Resolución de problemas de problemas ¿Con cuáles ¿Con de cuáles las operaciones de las operaciones combinadas combinadas se puede se calcular puede calcular el área el deárea la región de la verde? región verde? 45 cm 45 cm A) 45 ×A) 1645 – 35 × 16 – 35 B) 45 ×B) 1645 – 35 × 16 × 16 – 35 × 16 16 cm 16 cm C) 45 ×C) 3545 – 16 × 35 – 16 (4516– ×35) (45 – 35) 35 cm 35 cm D) 16 ×D) • Al área • Aldeárea tododeel todo rectángulo el rectángulo (45 × 16) (45 le× 16) le restamosrestamos el áreael del árearectángulo del rectángulo amarilloamarillo (35 × 16). (35Se× obtiene 16). Se obtiene el área de el la área región de laverde: región verde: 45 × 16 45 – 35 × 16 × 16 – 35 × 16 • Aplicamos • Aplicamos la propiedad la propiedad distributiva: distributiva: 16 × (4516– × 35) (45 – 35) Las operaciones Las operaciones B y D permiten B y D permiten calcularcalcular el área. el área.

¿Qué cálculos permitenpermiten hallar elhallar perímetro el perímetro del rec-del rec75 ¿Qué 75 cálculos � � tángulo?tángulo?

d) 18 + d) 6 ×183 + 6 × 3

A) 3 + 5A)+ 33 ++ 55 + 3 + 5 × 22 + 5 × 2 3B) m 3 × 2B)+ 35 × C) (3 + C) 5) (3 × 2+ 5) × 2 D) 3 × 5D)× 32 × 5 × 2

� � 3m suma 18 y de el producto 18 y el producto de 6 y 3.de d6 y 3. d 63 La� 63 Ladesuma � diferencia de 18 y de la suma 18 y ladesuma 6 y 3.de b6 y 3. b 64 La� 64 La diferencia � 5m 5m apor 3. a Para convertir Para convertir grados centígrados grados centígrados a gradosa Fahrengrados FahrenEl producto El producto de la diferencia de la diferencia de 18 y de 6 por 18 y 3. 6 76 76 65 65 � � � � heit, multiplica heit, multiplica los grados los centígrados grados centígrados por 9, divipor 9, divide este de producto este producto entre 5,entre y suma 5, y32suma al cociente. 32 al cociente. ¿A cuántos ¿A cuántos grados grados Fahrenheit Fahrenheit equivalen equivalen 25 gra-25 gra77 °F 77 °F dos centígrados? dos centígrados?

Marca Marca la alternativa la alternativa correcta. correcta. © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

de 18 y de la suma 18 y ladesuma 6 y 3.dec6 y 3. c 62 El cociente 62 El cociente

� �

el valoreldevalor E. de E. 66 Calcula 66 Calcula E = [7 ×E5 =+ [7 33×÷5(3+×3311)] ÷ (3÷ ×[185 11)]÷÷5[185 – 500÷ ÷5 100 – 500÷ ÷5]100 ÷ 5] 77 Ana77compró Ana compró al crédito al crédito una refrigeradora una refrigeradora a un prea un preA) 1 A) 1 B) 2 B) 2 C) 13 C) 13D) 4 D) 4 cio de S/. cio2de925. S/. Si 2 925. dio de Si inicial dio de la inicial tercera la tercera parte parte del valor dely valor el resto y el loresto pagará lo en pagará 10 cuotas en 10 iguales, cuotas iguales, el resultado el resultado de: de: 67 Determina 67 Determina S/. 195 S/. 195 ¿cuál es¿cuál el valor es eldevalor cadade cuota? cada cuota? [7 × 6 +[7(20 × 6÷+4 (20 ÷ 5 ÷+ 41)÷+5(32 + 1)– +15(32 ÷ 5– ×153)] ÷ 5 × 3)] En unahay ciudad treshay estadios. tres estadios. El más pequeño El más pequeño tietie78 En una 78 ciudad A) 42 A) 42B) 63 B) 63C) 67 C) 67D) 45 D) 45 ne capacidad ne capacidad para 22 para 000 22 personas, 000 personas, que equivale que equivale a a la tercera laparte tercera departe la capacidad de la capacidad de los otros de los dosotros esta-dos esta68 Calcula. 68 Calcula. [15 ÷ 5 +[15 (18÷+527 + (18 ÷ 3)+÷2727]÷ –3)[20 ÷ 27] ÷ 5––[20 169÷÷5 (13 – 169 × 13)] ÷ (13 × 13)] dios juntos. diosSi juntos. en el Si más engrande el máscaben grande36caben 000 perso36 000 personas, ¿cuál nas, es¿cuál la capacidad es la capacidad del segundo del segundo estadio?estadio? A) 4 A) 4 B) 5 B) 5 C) 6 C) 6 D) 1 D) 1

� �

30 000 personas 30 000 personas 19

Unidad Unidad 1 Números 1 Números naturalesnaturales 19

7 AM U01M1 08_019 008_019 19 U01M1 19

6/7/11 9:09:29 6/7/11 AM 9:09:29 AM

4. Usa los números 4; 2 y 5 (en ese orden) y las cuatro operaciones. Escribe todas las posibilidades, cuyo resultado sea un número natural. Ejemplos: © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

4÷2+5=7 4+2–5=1

4 ÷ 2 · 5 = 10 4 · 2 + 5 = 13 4 + 2 + 5 = 11 4+2–5=1 4–2+5=7

4·2–5=3 4 · 2 · 5 = 40

a ctivida de s

52 15 + 15 ÷ 3 × (40 + 2 × 10) = 315 ● 53 15 + 15 ÷ 3 × 40 + 2 × 10 = 235 ● 54 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2) × 10 = 4 200 ● 55 (15 + 15) ÷ 3 × (40 + 2 × 10) = 600 ● 56 (15 + 15) ÷ 3 × 40 + 2 × 10 = 420 ● 57 (36 + 4) ÷ 4 – 5 = 5 ● 58 36 + 4 ÷ (4 – 5) = 32 ● 59 60 × (25 + 5) – 500 ÷ 5 = 1 700 ● 60 20 × (66 – 20 – 6) = 800 ● 61 (49 + 7) ÷ 7 – 7 = 1 ● 66 E = [7 × 5 + 33 ÷ (3 × 11)] ÷ ● (185 ÷ 5 – 500 ÷ 100 ÷ 5) = 1 Rpta. A

67 [7 × 6 + (20 ÷ 4 ÷ 5 + 1) + ● (32 – 15 ÷ 5 × 3)] = 67 Rpta. C

68 [15 ÷ 5 + (18 + 27 ÷ 3) ÷ 27] – ● [20 ÷ 5 – 169 ÷ (13 × 13)] = 1 Rpta. D

69 a – b – c = 14 – 5 – 8 = 1 ● 70 a – (c – b) = 14 – (8 – 5) = 14 – 3 = 11 ● 71 a + b × c = 14 + 40 = 54 ● 72 (a + b) × c = (14 + 5) × 8 = 19 × 8 = 152 ● 73 (a + b) × (c + b) = (14 + 5) × (8 + 5) ● = 19 × 13 = 247 74 a + b × c + b = 14 + 5 × 8 + 5 ● = 14 + 40 + 5 = 59 75 3 + 5 + 3 + 5 = 2 × 3 + 2 × 5 ● = 3 × 2 + 5 × 2 = (3 + 5) × 2 A), B) y C) 9C + 32 F = __ 5

9(25) F = ____ + 32 = 77 °C 5

12 17 10

11 13 15

Más

76 ●

5. Completa los cuadrados mágicos teniendo en cuenta que la suma de los números de cada ﬁla, columna y diagonal es la misma.

Soluciones

÷ 10 = 195 77 ( 2 925 – 2 925 ● 3 ) ____

El valor de cada cuota es S/. 195 (36 000 + x) = 22 000 78 ● 3 _________

36 000 + x = 66 000 x = 66 000 – 36 000

x = 30 000

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

✓

Ra zona miento matemático Relaciona los datos propuestos de los problemas distinguiendo sus características.

Comunicación matemática

Esta estrategia se emplea cuando un problema presenta elementos de dos clases diferentes y se necesita averiguar cuántos son de cada clase. Para ello, suponemos que todos los elementos son de una clase, cometiendo un error que, al ser analizado, nos lleva a la respuesta. En mi terrario viven 30 bichitos entre arañas y hormigas. Si calculé un total de 202 patas, ¿cuántas hormigas y arañas hay?

Explica la información planteada al realizar una falsa suposición.

nedas de S/. 2 tiene? A) 20 B) 25

Aplica procesos operativos en la resolución de problemas.

Solu ción

El total recibido sería: 56 × 4 = 224 Se cometió un error de: 248 – 224 = S/. 24 Un error unitario cada vez que se contó un frasco de aguaymanto como de sauco de: 6 – 4 = S/. 2 24 ÷ 2 = 12 no son de sauco. Alicia produjo 12 de aguaymanto. Rpta. D

80 F.S.: Las 119 son bicicletas. ● El total de ruedas sería:

119 × 2 = 238 Se cometió un error de: 270 – 238 = 32 ruedas Error unitario: 3 – 2 = 1 rueda 32 ÷ 1 = 32 no son bicicleta. Son bicicletas: 119 – 32 = 87 Rpta. C

Suponemos que todos los bichos son arañas: • El total de patas sería 30 × 8 = 240, pero sabemos que hay 202 patas; entonces, hemos cometido un error de: 240 – 202 = 38 patas • El error se debe a que se consideró todos los bichos como arañas. Cada vez que contamos una hormiga como araña, fallamos en: 8 – 6 = 2 patas • ¿Cuántas veces fallamos? 38 ÷ 2 = 19 veces Entonces, 19 bichos no son arañas, son hormigas. En el terrario hay 19 hormigas y 11 arañas. • Comprobación: 19(6) + 11(8) = 114 + 88 = 202 patas Resuelve los siguientes problemas aplicando la estrategia aprendida.

�

79 Alicia produce mermelada casera de frutas nativas. El frasco de mermelada de sauco lo vende a S/. 4 y el de aguaymanto a S/. 6. Si recibió S/. 248 por la venta de 56 frascos, ¿cuántos eran de aguaymanto? A) 15 B) 20 C) 25 D) 12

80 A través de la ventana de una tienda de bicicletas � y triciclos, Juan contó 270 ruedas. El vendedor le informa que hay 119 unidades en exhibición. ¿Cuántas son bicicletas? A) 32 B) 64 C) 87 D) 96

81 F.S.: Los 40 animales son gallinas. ● El total de patas sería:

40 × 2 = 80 patas Se cometió un error de: 118 – 80 = 38 patas Error unitario: 4 – 2 = 2 patas 38 ÷ 2 = 19 no son gallinas. Hay 21 gallinas y 19 cuyes. Rpta. A

● El total es: 55 × 5 = S/. 275

82 F.S.: Las 55 monedas son de S/. 5. Se cometió un error de: 275 – 200 = S/. 75 Error unitario: 5 – 2 = S/. 3 75 ÷ 3 = 25 no son monedas de S/. 5, son de S/. 2. Hay 25 monedas de S/. 2. Rpta. B

83 F.S.: Hizo bien los 30 problemas ● Su puntaje hubiera sido:

Se cometió un error de: 150 – 87 = 63 puntos Error unitario: 5 – 2 = 3 puntos 63 ÷ 3 = 21 están mal hechos. Hizo bien 30 – 21 = 9 problemas

020_029 U01M1 20

84 F.S.: Asisten 5 000 adultos. ● La recaudación total sería:

Unidad 1

83 Tito resolvió 30 problemas. Cada problema bien � resuelto vale 5 puntos y cada problema mal resuelto vale 2 puntos por el esfuerzo realizado. Si Tito obtuvo 87 puntos, ¿cuántos problemas resolvió bien? A) 21 B) 15 C) 9 D) 13 84 A la final de un campeonato de básquet asistieron � 5 000 espectadores. La entrada de adulto costó S/. 20 y la de niño S/. 7. Si la recaudación total fue de S/. 53 200, ¿cuántos niños asistieron? A) 2 000 B) 2 500 C) 3 000 D) 3 600 85 En una tienda se vendieron polos a S/. 25 y blusas � a S/. 40. Si en total se vendieron 80 prendas por S/. 2 360, ¿cuántas blusas se vendieron? A) 24 B) 45 C) 56 D) 25 86 370 L de cera líquida se vaciaron en envases de � 2 L y 3 L. Si se usaron 160 envases, ¿cuántos fueron de 2 L? A) 100 B) 105

C) 90

D) 110

87 El jornal de un obrero es S/. 40 diarios y si hace � sobretiempo, de S/. 50. Si luego de laborar 30 días recibió S/. 1 270, ¿cuántos días hizo sobretiempo? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 88 Javier trabaja en dos obras durante 60 días. En la � primera obra gana S/. 35 diarios y en la segunda, S/. 25. Si después de trabajar 60 días recibe S/. 1 900, ¿cuántos días trabajó en la segunda obra? A) 20 B) 35 C) 25 D) 40

6/7/11 9:10:26 AM

Se cometió un error de: 2 360 – 2 000 = S/. 360 Error unitario: 40 – 25 = S/. 15 360 ÷ 15 = 24 no son polos. Se vendieron 24 blusas. Rpta. A

20 × 5 000 = S/. 100 000 Se cometió un error de: 100 000 – 53 200 = S/. 46 800 Error unitario: 20 – 7 = S/. 13 46 800 ÷ 13 = 3 600 no son adultos. Asistieron 3 600 niños.

Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

D) 23

85 F.S.: Las 80 prendas son polos. ● La tienda obtendría: 80 × 25 = S/. 2 000

Rpta. C

30 × 5 = 150 puntos

C) 30

79. D 80. C 81. A 82. B 83. C 84. D 85. A 86. D 87. D 88. A

79 Falsa suposición: ● Los 56 frascos son de sauco.

en el corral? A) 21 y 19 B) 19 y 21 C) 30 y 10 D) 25 y 15 82 Enrique tiene S/. 200 en monedas de S/. 5 y de � S/. 2. Si tiene 55 monedas en total, ¿cuántas mo-

Resolución de problemas

Soluciones

81 En un corral contamos 118 patas y 40 cabezas en� tre gallinas y cuyes. ¿Cuántas gallinas y cuyes hay

Razonamiento y demostración

Plantear una falsa suposición

86 F.S.: Los 160 envases son de 2 L. ● 160 × 2 = 320 L

Rpta. D

Se cometió un error de: 370 – 320 = 50 L Error unitario: 3 – 2 = 1 50 ÷ 1 = 50 no son de 2 L. Se usaron 160 – 50 = 110 envases de 2 L. Rpta. D

Indicadores de logro

giasgias Estrate Estrate parapara resolver problemas resolver problemas Buscar un patrón Buscar un patrón

Indicadores de logro

Daniel organizó en una tabla sustabla ahorros acumulados por mes.por mes. Daniel organizó en una sus ahorros acumulados

Mes

Razonamiento y demostración

Saldo Saldo Mes

Si sigueSiahorrando a ese ritmo, cuánto tendrá eltendrá dinero sigue ahorrando a ese¿en ritmo, ¿en tiempo cuánto tiempo el suficiente dinero suficiente Enero Enero S/. 50 S/. 50 para comprar un PlayStation PortátilPortátil (PSP) que cuesta 295.S/. 295. para comprar un PlayStation (PSP) queS/. cuesta FebreroFebrero S/. 85 S/. 85

Deduce el patrón de formación entre los datos cuantitativos de un problema.

Marzo Marzo S/. 120 S/. 120

Comunicación matemática

Abril Abril S/. 155 S/. 155

Organiza información en tablas.

Daniel ahorró 50 elS/. primer y cada ahorró misma de dinero. Daniel S/. ahorró 50 el mes primer mes mes y cada mes la ahorró la cantidad misma cantidad de dinero. Debemos calcularcalcular cuántoscuántos meses necesita Daniel para tener 295,S/. que295, es lo que Debemos meses necesita Daniel paraS/.tener que es lo que cuesta elcuesta PSP. el PSP.

Comprende Comprende

Resolución de problemas Emplea diferentes estrategias de organización y cálculo en la solución de problemas.

Buscamos la regularidad (patrón (patrón o regla)oque nosque ayude calcular cuánto aumentan Buscamos la regularidad regla) nosaayude a calcular cuánto aumentan PlanificaPlanifica los ahorros de Daniel mes. Después, aplicamos el patrón lospara meses los ahorros de cada Daniel cada mes. Después, aplicamos el para patrón lossiguientes meses siguientes y calculamos la solución. y calculamos la solución. El primer ahorró 50 yS/. comprobamos que cada mes El mes primer mes S/. ahorró 50 y comprobamos que cada mesMes

Resuelve Resuelve siguiente ahorró S/. 35. S/. 35. siguiente ahorró

Saldo Saldo Mes

Enero Enero S/. 50 S/. 50 + 35 Para continuar la sucesión, necesitamos sumar S/. 35 cada Para continuar la sucesión, necesitamos sumar S/. 35 cada FebreroFebrero S/. 85 S/. 85 mes hasta S/. 295. mesllegar hastaallegar a S/. 295. + 35 Marzo Marzo S/. 120 S/. 120 + 35 En 8 meses, dinero para para En 8 Daniel meses, tendrá Danieleltendrá el suficiente dinero suficiente Abril Abril S/. 155 S/. 155 + 35

comprarcomprar el PSP. el PSP.

Mayo Mayo S/. 190 S/. 190 + 35 Junio Junio S/. 225 S/. 225 Julio

1. Una máquina fotocopiadora logra copiar 72 hojas por minuto. ¿Cuántas copias se podrán obtener en 35 minutos? 2 520

+ 35 + 35 + 35 + 35

+ 35

Agosto Agosto S/. 295 S/. 295

Aplica la estrategia y resuelve:

+ 35

S/. 260 S/. 260 Julio

Más actividades

+ 35

2. Lucero colecciona CD. Si en enero tenía 38 CD y cada mes compra 6 CD, ¿cuántos CD tendrá en el mes de mayo? 62

El primer ahorró S/. 50. En meses ahorró 7ahorró × S/. 35. El mes primer mes ahorró S/. los 50. siete En los sietesiguientes meses siguientes 7 × S/. 35.

Comprueba Comprueba

En totalEn ahorró + 7 ×5035+ =7 50 + 245 total 50 ahorró × 35 = 50=+295 245 = 295

Resolvemos problemas usandousando la estrategia Resolvemos problemas la estrategia

Describe los pasos debes Describe los que pasos que seguir debes para seguirresolpara resol-1. ver un problema usando usando la estrategia de buscar ver un problema la estrategia de un buscar un patrón. patrón. ExplicaExplica cuándo cuándo aplicarías la estrategia de buscar aplicarías la estrategia de un buscar un2. patrón para resolver un problema. patrón para resolver un problema. EscribeEscribe un problema que se pueda median-medianun problema que seresolver pueda resolver te la estrategia aprendida. ExplicaExplica tu respuesta. te la estrategia aprendida. tu respuesta. 3. © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Analizamos la estrategia Analizamos la estrategia

Elaboramos nuestra propiapropia estrategia Elaboramos nuestra estrategia ¿De qué¿De otraqué manera puedes puedes resolverresolver el problema otra manera el problema planteado? ExplicaExplica a un compañero. planteado? a un compañero.

El primer de trabajo, Luis armó 25armó cajas25 decajas cho- de cho1. El día primer día de trabajo, Luis colates,colates, y cada siguiente día, 4 más el día y cada siguiente día,que 4 más queanteel día anterior. ¿Cuántas cajas armó el Luis décimo día? día? rior. ¿Cuántas cajasLuis armó el décimo Isabel un día un correo 2. recibe Isabel durante recibe durante día un electrónico correo electrónico cada 20cada minutos. ¿Cuántos correos correos electrónicos re20 minutos. ¿Cuántos electrónicos recibirá entre 9 delas la 9mañana y las 12ydel cibirálasentre de la mañana las medio12 del mediodía? día? y ha y ha Lucas 2 de enero m2 de15mayólicas 3. colocó Lucas el colocó el 2 de15enero m2 de mayólicas calculado que el día la obra la encocalculado que7eldebe día terminar 7 debe terminar obra encomendada. Para ello, cada díacada debedía colocar 3 m2 más mendada. Para ello, debe colocar 3 m2 más que el día Si por cada metro que queanterior. el día anterior. Si por cadacuadrado metro cuadrado que pone lepone paganleS/. 17, ¿cuánto recibirárecibirá en totalen portotal por pagan S/. 17, ¿cuánto la obra la terminada? obra terminada?

1. 61 2. 8 1. 3. 61S/.2.2 82953. S/. 2 295

Sesión de aprendizaje

20_029 21 U01M1 21 020_029 6 AM U01M1

Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 1 Números 21

6/7/11 9:10:29 AM 9:10:29 AM 6/7/11

Inicio

•

Recree la estrategia propuesta de buscar un patrón. Permita que cada estudiante realice su propia tabla en función del dinero que puede ahorrar cada mes.

Presente el modelo de la tabla a través de la herramienta destacar.

•

Pregunte lo siguiente: ¿Encuentran alguna relación entre la cantidad que ahorra Daniel cada mes? ¿Reconocen algún patrón entre las cantidades?

Desarrollo

• •

Destaque la importancia de organizar información en tablas para establecer relaciones comunes entre los datos. Proponga la revisión de los pasos propuestos en la solución del problema. Pida que individualmente repasen lo que se realice en cada uno. Luego, elija a algunos estudiantes para que expliquen al resto de la clase cada paso.

Cierre

• •

Motive a los estudiantes a reﬂexionar sobre la estrategia trabajada y su utilidad en la resolución de problemas. Haga hincapié en el desarrollo de los cuatro pasos. Esta estrategia les dará mayor seguridad en la resolución de problemas. Evalúe su aplicación al desarrollar los problemas propuestos.

3. Valeria toma una dosis de un medicamento, mañana y tarde. Si el martes tomó la primera dosis a las 10 a.m. , ¿cuántas dosis habrá tomado hasta el domingo a la misma hora? 11

Soluciones día: ●1 1.2.º día: er

25 + 4 29 +4 3.er día: 33 4.º día: 37 5.º día: 41 ⋮ 8.º día: 53 9.º día: 57 10.º día: 61 El décimo día, Luis armó 61 cajas.

9:00 ●2 9:20

1 2 3 4 5

9:40 10:00 10:20 ⋮ 9 11:40 10 12:00 Entre las 9 de la mañana y el mediodía recibirá 8 correos. 15 m ●3 23 enero: enero: 18 m

2 2

+3 4 enero: 21 m2 5 enero: 24 m2 6 enero: 27 m2 7 enero: 30 m2 Recibirá: 135 × 17 = 2 295 soles

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Voy a

a pre n d e r

3. Propiedades de los números naturales

Indicadores de logro

3.1. Múltiplos y divisores de un número

Razonamiento y demostración Relaciona procesos matemáticos para determinar los múltiplos y divisores de un número.

Diana prepara alfajores y los coloca en cajas de 6 unidades para venderlos. ¿Cuántos alfajores debe preparar si tiene que entregar un pedido de 32 cajas? • Elaboramos una tabla para determinar la cantidad de alfajores que debe preparar Diana, según la cantidad de cajas que tiene que entregar. • El número de alfajores se obtieNúmero Cálculo Número ne multiplicando el número de de cajas de alfajores cajas por 6: 0 0×6=0 0 6 × 32 = 192 1 1×6=6 6 Debe preparar 192 alfajores. 2 2 × 6 = 12 12

Relaciona los múltiplos y divisores de un número.

Comunicación matemática Explica el uso de los múltiplos y divisores de un número en contextos reales.

Resolución de problemas Analiza los criterios de divisibilidad para resolver problemas contextualizados.

3 × 6 = 18

4 × 6 = 24

5 × 6 = 30

n × 6 = 6n

... n

Los números 0; 6; 12; 18; 24; ... son múltiplos de 6: 6° = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …}

¿Para qué estudiamos esto? Para resolver problemas que requieran de la divisibilidad de números.

Propiedades de los múltiplos • Los múltiplos de un número forman un conjunto infinito.

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales: 0; 1; 2; 3; 4; … n Múltiplos de a � a° = {0 × a; 1 × a; 2 × a; 3 × a; …} = {0; a; 2a; 3a; …}

• El cero es múltiplo de todos los números. • Todo número es múltiplo de sí mismo.

A un campamento asisten 16 jóvenes. Si se quiere formar grupos con el mismo número de jóvenes, sin que sobre ninguno, ¿cuántos pueden haber en cada grupo? • Elaboramos una tabla con los grupos que se pueden formar:

Posibles diﬁcultades Al realizar las divisiones para hallar los divisores de un número, es necesario que se percaten de que el cociente es también un divisor.

Número de grupos

Cálculo

Número de divisores

1 grupo de 16 o 16 grupos de 1

16 ÷ 1 = 16

1 y 16 son divisores de 16

2 grupos de 8 u 8 grupos de 2

16 ÷ 8 = 2

2 y 8 son divisores de 16

4 grupos de 4

16 ÷ 4 = 4

4 es divisor de 16

Múltiplos y divisores 16 2

� 16 = 8 × 2

0 8 • 16 es múltiplo de 8, entonces 8 es divisor de 16. • 16 es múltiplo de 2, entonces 2 es divisor de 16.

Eje mplo 17 Calculo el número de múltiplos ¿Cuántos múltiplos de 5, diferentes de 0, hay del 18 al 300? • Calculamos los múltiplos de 5 que hay del 1 al 300 • Calculamos los múltiplos de 5 que hay del 1 al 18

Juego “Crucinúmeros”

300 ÷ 5 = 60 18 ÷ 5 = 3

• Para saber cuántos múltiplos hay del 18 al 300, restamos 60 – 3 = 57

Presente a los estudiantes el siguiente crucinúmeros:

Del 18 al 300, hay 57 múltiplos de 5 diferentes de 0. ¿Cuántos números no son múltiplos de 5, diferentes de 0, del 18 al 300? 226

Horizontales A) Mayor múltiplo de 9 menor que 100.

En cada grupo pueden haber 1; 2; 4; 8 o 16 jóvenes.

C) Primer número mayor que 204, múltiplo de 4 y de 3. D) Múltiplo de 13.

Sesión de aprendizaje

020_029 U01M1 24

A) Consecutivo del mayor múltiplo de 10 de dos cifras.

Inicio

•

Asegúrese de que los estudiantes manejen el concepto de división exacta como operación inversa de la multiplicación y reconozcan los términos de la división y su relación con la multiplicación: dividendo = divisor × cociente.

• •

Proponga el cálculo mental de divisiones exactas e inexactas.

•

Destaque la reciprocidad de las relaciones “... es divisor de...” y “...es múltiplo de...” Por ejemplo:

B) Múltiplo de 2 y 3, mayor que 90. C) Cuadrado perfecto. E) Cubo perfecto. A

C 2

6/7/11 9:10:34 AM

Aproveche la situación planteada en la página 25 para realizar la dinámica de formación de grupos. Pida que se formen en grupos de 12 estudiantes. Pregunte lo siguiente: ¿De cuántas formas pueden hacerlo? ¿Y si fueran 15 estudiantes? ¿Podrían formar grupos iguales con 17 estudiantes? Luego, pregunte. ¿Cuál es la relación entre los grupos formados? Si 6 es divisor de 12; entonces, 12 es múltiplo de 6.

•

Pida a los estudiantes que hallen los diez primeros múltiplos de 2; 3 y 5 respectivamente. Luego, pregunte lo siguiente: – ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 2? – ¿Cómo es la suma de las cifras de los múltiplos de 3? – ¿En qué cifras terminan los múltiplos de 5?

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Verticales

Eje mplo 18 Eje mplo Determino conjuntos por compresión y extensión conjuntos por compresión y extensión 18 Determino

Posibles diﬁcultades • Al deﬁnir los criterios de

Determina por extensión los siguientes conjuntos: Determina por extensión los siguientes conjuntos: Por comprensión Por comprensión

Por extensión Por extensión

divisibilidad, es necesario que los estudiantes descubran por sí mismos las características que permiten determinar cuándo un número es divisor de otro.

Lectura de expresiones Lectura de expresiones simbólicas simbólicas

A = {x / A x es múltiplo de 2 menor 10} que 10} = {x / x es múltiplo de 2que menor

A = {0; A 2; =4;{0; 6; 8} 2; 4; 6; 8}

B = {x / B x es divisor 8} de 8} = {x / x esde divisor

B = {1; 2; 8} 2; 4; 8} B =4;{1;

C = {x / C x es múltiplo de 6, 24 de < x6,<24 48} = {x / x es múltiplo < x < 48}

C = {30;C36; 42} 36; 42} = {30;

D = {x / D x es múltiplo de 9, 18 de < x9,≤18 72} = {x / x es múltiplo < x ≤ 72}

D = {27;D36; 45; 54; = {27; 36; 63; 45; 72} 54; 63; 72}

24 < x < 48 24 < x < 48 Se lee: x es 24 y que 24 y Semayor lee: x que es mayor menor quemenor 48. que 48.

Determina por extensión M = {x M / x=es{xmúltiplo de 7, 10de< 7, x ≤1071}. Determina por extensión / x es múltiplo < x ≤ 71}.

18 < x ≤ 72 18 < x ≤ 72 Se lee: x es 18 y que 18 y Semayor lee: x que es mayor menor o igual a 72. menor o igual a 72.

•

M = {14;M21; 28; 35; = {14; 21;42; 28;49; 35;56; 42;63; 49;70} 56; 63; 70}

3.2. 3.2. Criterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad Un número es divisible... Un número es divisible... – Por 2–siPor la última es cifra 0 o par: 4; 6; 2; 8; 4; 10;6;12; 14; 12; 16; 14; ... 16; ... 2 si la cifra última es 0 2; o par: 8; 10; – Por 4–siPor las 4dos últimas cifras son ceros múltiplo de 4: de 4: si las dos últimas cifras sono ceros o múltiplo 4; 8; 12;4;… 104; …104; 128 … 128 8;100; 12; … 100; – Por 5–siPor la última es cifra 0 o 5:es 5; ... 1100; 205;...… 5 si la cifra última 0 o10; 5:15; 5; … 10;100; 15; … 1 205; … – Por 3–siPor la suma sus cifras múltiplo de 3: 3;de6;3:9; 3; 12;6;… …102; 4 071 3 si ladesuma de susescifras es múltiplo 9; 102; 12; … … 4 071 – Por 9–siPor la suma sus cifras múltiplo de 9: 9;de18; … 108; …108; 1 053 9 si ladesuma de susescifras es múltiplo 9: 27; 9; 18; 27; … … 1 053 – Por 6–siPor es divisible a la vezapor 2 y por 3: 6; 24; 18; … 324; 408 6 si es divisible la vez 2 y12; 3: 18; 6; 12; … 3 408

Propiedades de los divisores Propiedades de los divisores • Los divisores un número • Los de divisores de un número forman unforman conjunto unfinito. conjunto finito. • El número divisor1 de • El1 es número es todos divisor de todos los números. los números. • Todo número divisor de • Todoesnúmero es sí divisor de sí mismo. mismo.

Información complementaria

Eje mplo 19 Eje mplo Aplico criterios de divisibilidad Aplico los criterios de divisibilidad 19 los CalculaCalcula la cifralaque falta. todas las posibilidades. cifra queEscribe falta. Escribe todas las posibilidades. ser 0; 2;ser4; 0; 6 y2;8.4; 6 y 8. divisible por 2 porPueden Pueden es divisible 2 3 57a) es 3 57 ser cualquier cifra delcifra 0 aldel 9. 0 al 9. 0 es por 5 porPuede Puede ser cualquier 0 es divisible 5 9 5 b) 9 5divisible ser 2; 5ser y 8.2; 5 y 8. por 3 porPueden Pueden 6 es divisible 3 7 0 c)6 es 7 0divisible ser 4. ser 4. Puede por 9 porPuede 30 es divisible 9 2 30 d) es 2 divisible ser 2 y 8. Pueden ser 2 y 8. divisible por 6 porPueden es divisible 6 5 83e) es 5 83

Eje mplo 20 Eje mplo Resuelvo problemas problemas 20 Resuelvo © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

a) b) c) d) e)

___

a) es Si múltiplo 8a4 es múltiplo de 4,elhalla el menor de a diferente a) Si 8a4 de 4, halla menor valor devalor a diferente de 0. de 0. __ ___ ___ __ 8a4 es múltiplo de 4, entonces a4 es múltiplo de 4, entonces a4 es múltiplo de 4. de 4. • es Si múltiplo • Si 8a4 Los valores quetomar puedeatomar • Los •valores que puede son 0;a2;son 4; 0; 6 y2;8.4; 6 y 8. El valor menordevalor de a diferente El menor a diferente de cero de es cero 2. es 2.

___

Divisibilidad entre 7 y 11

• ¿Es cierto que ¿Es cierto que cualquiercualquier número divisible número divisible por 9 es por divisible 3? ¿Y 9 es por divisible por 3? ¿Y cualquiercualquier múltiplo de 3 es de 3 es múltiplo divisible por 9? Explica divisible por 9? Explica cada caso. cada caso.

1º 786 – (1 × 2) = 784

___

2º 78 – (4 × 2 ) = 70 70 es múltiplo de 7, entonces 7 861 también lo es. 7 861 = 7°

Los valores quetomar puedeatomar • Los •valores que puede son 1;a4son y 7.1; 4 y 7. El valor mayordevalor El mayor a es de 7. a es 7. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 25

6/7/11 6/7/11 9:10:34 AM 9:10:34 AM

020_029 20_029 25 U01M1 25 4 AM U01M1

Desarrollo

• • •

Un número es divisible por 7 si se multiplica por 2 la cifra de las unidades del número y el resultado se le resta al número que forman las cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia este formada por una o dos cifras. Si esta cifra es cero o forma un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7. Ejemplo: ¿7 861 es divisible por 7?

sea divisible 2a3que sea2a3 divisible por 3. por 3. b)elHalla el mayor de aque para b) Halla mayor valor devalor a para ___ ___ 2a3 es divisible 3, entonces es divisible entre 3,entre entonces 2 + a + 23 += a3°.+ 3 = 3°. • 2a3 Como • Como

•

Realice actividades para deﬁnir otros criterios de divisibilidad. Por ejemplo: Pídales que escriban los múltiplos comunes de 3 y 4. Luego, deﬁna cuál es el criterio de divisibilidad por 12.

•

Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es múltiplo de 11. – En 1 276, se suman las cifras que ocupan los lugares pares: 1+7=8

Trabaje con los estudiantes la situación planteada en esta página y pida que determinen la cantidad de alfajores para un pedido de 50 y 70 cajas. Luego, pregunte lo siguiente: ¿Cómo se obtienen los múltiplos de un número?

– Se suman las cifras que ocupan los lugares impares: 2 + 6 = 8

Destaque las propiedades de los múltiplos utilizando el botón zoom de selección.

– Luego, se restan los dos resultados: 8 – 8 = 0, es múltiplo de 11. Luego, 1 276 también lo es. ° 1 276 = 11

Presente con ejemplos la aplicación del cálculo de los múltiplos y divisores en la solución de problemas. Revise mediante la participación espontánea los saberes previos sobre criterios de divisibilidad. Recuerde a los estudiantes cómo determinar un conjunto por extensión y pídales que resuelvan las actividades planteadas en los ( ). Presente el recurso animación “Escuela Pitagórica” para reforzar el tema de divisores de un número. Haga que los estudiantes participen en el análisis de los problemas y desarrollen los ejercicios propuestos. Ejercite la aplicación de los criterios de divisibilidad a través del ejemplo 19. Con la herramienta tapar oculte las soluciones para invitar a los estudiantes a sustentar sus respuestas.

Cierre

•

Evalúe el trabajo realizado. Puede preguntar lo siguiente: ¿Qué características tienen los números divisibles por 15? ¿Cómo determinan si el número 8 085 es divisible por 15? Expliquen. Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Números no divisibles

Indicadores de logro

Cuando un número no es divisible por otro, la división es inexacta porque hay residuo.

Razonamiento y demostración Interpreta números no divisibles aplicando técnicas operativas.

Observa dos formas de expresar un número que no es divisible por otro. 31 no es divisible por 8.

31 no es divisible por 7 ni por 4.

Comunicación matemática

31 7 3 4

Representa números no divisibles relacionando los términos de una división inexacta.

� 31 = 4 × 7 + 3 = 4° + 3

31 8 1 4

31 = 7 × 4 + 3 = 7° + 3

� 31 = 32 – 1 31 = 8 × 4 – 1 = 8° – 1

Cá lculo mental ¿Qué números son divisibles por 7? • 7 × 5 + 21 � • 7×4+5 • 7 × 8 + 7 � • 7 × 10 + 14 � • 7×7+4 • 7×6+9

Resolución de problemas Eje mplo 21 Resuelvo problemas

Aplica procesos operativos de las operaciones con múltiplos en la solución de problemas.

Si hoy es miércoles, ¿qué día será dentro de 100 días? • Una semana tiene 7 días. Si hoy es miércoles, dentro de 7; 14; 21; 35… días será también miércoles. Expresamos 100 como no divisible por 7: 100 = 7 × 14 + 2 = 7° + 2

7° Miércoles

7°

Miércoles Jueves Viernes

Dentro de 100 días será viernes. Hoy es martes, ¿qué día será dentro de 320 días? Domingo

Eje mplo 22 Calculo el residuo de una división ° Calcula el residuo de… El número 63 es múltiplo de 9 (63 = 9). b) 963 ÷ 9

estudiante que elabore tarjetas con los siguientes enunciados.

° + 10 = 9 ° +9 ° +1=9 ° + 1, entonces el residuo es 1. 73 = 63 + 10 � 73 = 9

d) 61 ÷ 9

° –2=9 ° –9+7=9 ° + 7, entonces el residuo es 7. 61 = 63 – 2 � 61 = 9 ° × 12 = 9, ° entonces el residuo es 0. 63 × 12 = 9

Eje mplo 23 Aplico propiedades de los múltiplos y divisores Calcula el residuo que se obtiene al dividir 285 entre 3.

A 17 le restas el cociente de 162 y 18.

• El número 28 no es divisible por 3. Aplicamos propiedades: ° +1 285 = (3° + 1)5 Expresamos 28 como múltiplo de 3: 28 = 27 + 1 = 3

A 63 le restas 45 y después le sumas 28.

= 3° + 1

Usamos la propiedad (n° + b)a = n° + ba

El residuo de 285 entre 3 es 1. César colecciona llaveros. Si los cuenta de 7 en 7, le sobran 3, y si los cuenta de 11 en 11, le sobra 1. Si tiene menos de 100, ¿cuántos llaveros tiene César? 45

La diferencia entre 37 y 29 la multiplicas por 13. Después deben colocarlas en un mismo montón boca abajo.

Operaciones con múltiplos • Adición: n° + n° = n° Ejemplo: 3 + 15 = 18 3° + 3° = 3° • Sustracción: n° – n° = n° Ejemplo: 45 – 10 = 35 5° – 5° = 5° • Multiplicación: a° × n° = a° = n° = a × n Ejemplo: 3 × 7 = 21 3° × 7° = 3° = 7° = 21 • Potenciación ( n° + b)a = n° + ba Ejemplo: 122 = 144 (10 + 2)2 = 140 + 4 ( 5° + 2)2 = 5° + 22

Sesión de aprendizaje

020_029 U01M1 26

6/7/11 9:10:35 AM

Inicio

Si saca una tarjeta repetida, pasa el turno al compañero.

• •

Gana el que resolvió correctamente las seis tarjetas.

Desarrollo

Proponga ejemplos para presentar dos formas de expresar un número que no es divisible por otro. De acuerdo a la actividad planteada: ¿Qué características presentan estos números? ¿Cuántos divisores tienen?

•

Recree una situación similar al ejemplo 21, de manera que pueda desarrollar en forma conjunta la solución del problema. Motive a realizar la representación gráﬁca de la situación para ordenar datos y comprobar resultados.

•

Proponga la creación de ejercicios empleando múltiplos para favorecer el aprendizaje de la estrategia aprendida. Utilice la barra de zoom para ampliar el cuadro de las operaciones con múltiplos para que cada estudiante proponga ejemplos.

•

Forme grupos para que analicen los criteros de divisibilidad, propongan ejemplos y creen problemas donde se apliquen estas propiedades. Para aﬁanzar sus conocimientos desarrolle la sección “Para practicar”.

Cierre

•

Organice grupos de trabajo para desarrollar la sección “Para practicar”. Motive la evaluación de las capacidades desarrolladas mediante el recurso PDF (ﬁchas de refuerzo).

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Cada estudiante, por turno, coge una tarjeta y calcula el resultado de la expresión numérica anotando su respuesta en una hoja adicional. Después deja la tarjeta en el montón, mezclándola con el resto.

° +9 ° = 9, ° entonces el residuo es 0. 963 = 63 + 900 � 963 = 9

c) 73 ÷ 9

e) 63 × 12 ÷ 9

A 17 le restas el cociente de 162 y 18.

° + 1, entonces el residuo es 1. 64 = 63 + 1 � 64 = 9

a) 64 ÷ 9

Juego “Expresiones numéricas” • Forme parejas. Indique a cada

pra pra ctica r r ctica ParaPara las igualdades falsas. falsas. las igualdades 98 Identifica 98 Identifica � � ° ° ° a) 16 =a) 5 +161 = 5 + 1 c) 17 =c)5° –171 =�5° – 1 �

EscribeEscribe los resultados en el crucigrama. los resultados en el crucigrama.

b) 29 =b) 6 +294 =�6° + 4 � d) 52 =d) 7° +523 = 7° + 3

un � según Marca con un �corresponda. según corresponda. 99 Marca 99 con � � DivisibleDivisible por por

NúmeroNúmero 2 3 2 4 3 5 4 6 5 9 6 10 9 6 095

6 095

6 124

6� 124

��

�

9 980

9� 980

��

� �

�

� �

�

� � de divisores de 100.de 100. de divisores 110 Número 110 Número � � al dividir entre al 184 dividir 1848.entre 8. 111 Residuo 111 Residuo � � de tres cifras por 5. por 5. Menor número de tresdivisible cifras divisible 112 Menor 112 número � � al dividir entre al 310 dividir 3109.entre 9. 113 Residuo 113 Residuo � � 109 109 � � � � 110 � N 110 �U N E U V E E V � �

�

46 659 46 659 � � 387 000387 � 000 � � � � � � � � � � � �

Información complementaria

de dos cifras de 15. de 15. Mayor número de dosmúltiplo cifras múltiplo 109 Mayor 109 número

�

una En división, el dividendo es 2 114, divisor una división, el dividendo es el 2 114, el divisor 100 En� 100 � es 21 yesel 21 cociente es 100. es ¿Cuál el residuo? y el cociente 100. es ¿Cuál es el residuo?

111 � C 111 �E C R E O R � � 112 � C 112 �I C E I N E N � � 113 113 � � C U A T R C U A TO R � �

¿Puedes¿Puedes afirmar afirmar que 2 114 de 21? de 21? quees2 múltiplo 114 es múltiplo 14; no es14; múltiplo de 21. de 21. no es múltiplo

Evolución histórica de la divisibilidad

•

Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3; 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasiﬁcación de los números en pares e impares. El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar la divisibilidad para cualquier número.

que 221que es múltiplo de 13, verifica que 221 es múltiplo de 13, verifica que 101 Sabiendo 101 Sabiendo � � 221 × 7221 y 221 son×divisibles por 13. por ¿A 13. qué ¿A qué × 7×y 9221 9 son divisibles Si a es divisible por b, entonces a · 2; a · a3;· ... Si a es divisible por b, entonces 2; a · 3; ... a · n sonadivisibles por b. por b. · n son divisibles

años son aquellos divisibles por 4, por 4, Losbisiestos años bisiestos son aquellos divisibles 102 Los 102 � � pero lospero añoslosque terminan en doble lo no lo años que terminan encero doblenocero

Ejercicio resuelto

Observa el ejemplo. Luego, Luego, calcula.calcula. Observa el ejemplo.

Ejercicio resuelto

Respuesta modelo modelo Respuesta conclusión puedes puedes llegar? llegar? conclusión

CalculaCalcula el residuo que se que obtiene al dividir el residuo se obtiene al dividir 304 entre 3047.entre 7. • Si hay el número 30 no es no es divisible • residuo, Si hay residuo, el número 30divisible por 7. Resolvemos aplicando propiedades: por 7. Resolvemos aplicando propiedades: 4 ° +2)16 +42) + 7°2 += 7°7° ++ 22 = 7° + 2 =4(= 7° 7+ = =7° 7°+ +167° = 304 = (7°30

es 2. 7 es 2. El residuo de 304 entre El residuo de 3074 entre son, excepto los que los sonque divisibles por 400.por 400. son, excepto son divisibles a) ¿Cuáles de estosdeaños 1236; 1236; a) ¿Cuáles estosfueron años bisiestos: fueron bisiestos: ÷ 5 377 ÷ 5 1582; 1600; 1582;1900; 1600;2000; 1900;2008? 2000; 2008? 114 377 114 b) ¿Cuál el próximo año bisiesto? b)será ¿Cuál será el próximo año bisiesto? r=3 r=3

� �

2 012

Más actividades 1. ¿El número 4 920 es divisible por 15? 2. Comprueba si en estos pares de números existe una relación de divisibilidad.

2 012

÷ 9 48 ÷ 9 115 48� 115 �

cada recuadro la mayor cifra posible EscribeEscribe en cadaenrecuadro la mayor cifra posible para las igualdades sean verdaderas. para que lasque igualdades sean verdaderas.

= 3°9 103 998 64 103 98 64

= 3° 7 8= 651 3° = 3° 104 7 8104651

� � � � ° ° 2 4= 49° 2 = 4° 41069 59 6 2= 94 6 = 4 � 21059 86 106 59� 105 86� � 7 312 8 318 70 =8 6°318 = 6° 98 =7 6°312 = 6° � 108 108 70� 107 107 98� �

r=0

� �

÷ 7 314 ÷ 7 116 314116 r=4

Soluciones

pra ctica r

109 N = 15k , k es un número natural ● 15k < 100, entonces k < 100/15 = 6,͡6 © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

d) 288 y 24

a) 75 + 35 27

b) 80 – 25

4. Si el dividendo de una división es 214, el divisor es 21 y el cociente es 10. ¿El número 214 es divisible por 21?

6/7/11 6/7/11 9:10:37 AM 9:10:37 AM

Para

Mayor k = 6

b) 117 y 12

c) 476 y 16

3. Sin efectuar las operaciones averigua si 5 es divisor del resultado de:

r=4

1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 27

5 AM U01M1 020_029 20_029 27 U01M1 27

a) 500 y 20

15(6) = 90

110 D = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} ● Otra solución: (100)

Descomponemos 100 = 22 · 52 n[D(100)] = (2 + 1)(2 + 1) = 3 · 3 = 9 184 = 23 × 8 r = 0 111 184 ÷ 8 ● 112 5k ≥ 100 ● Menor k = 20 5(20) = 100

310 = 34 × 9 + 4 113 310 ÷ 9 ● 114 37 = (5° + 2) = 5° + 128 ● = 5° + 5° + 3 = 5° + 3 7

∴r=3

115 48 = (9° + 3) = 9° + 729 ● = 9° + 9° = 9° + 0 6

∴r=0

116 31 = (7° + 3) = 7° + 81 ● = 7° + 7° = 7° + 4 4

∴r=4

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

3.3. Números primos y compuestos

Indicadores de logro

La tabla muestra los rectángulos que se pueden formar con 2; 3; 4; 5 y 6 fichas.

Razonamiento y demostración

n.° de fichas

Relaciona procesos matemáticos para hallar la descomposición de un número en sus factores primos.

1×2

1×3

1×4 2×2

1×5

1×6 2×3

Rectángulo

Organiza la descomposición de un número en sus factores primos.

Dimensiones del rectángulo

Comunicación matemática Explica las diferencias entre un número primo y un número compuesto.

Ten en cuenta que un rectángulo de 1 × 2 es lo mismo que un rectángulo de 2 × 1.

• Con 2; 3 y 5 fichas se puede formar solo un rectángulo. Los divisores de 2; 3 y 5 D(3) = {1; 3} D(5) = {1; 5} son: D(2) = {1; 2} Observamos que tienen solo dos divisores. 2; 3 y 5 son números primos.

Resolución de problemas

• Con 4 y 6 fichas se puede formar más de un rectángulo. D(6) = {1; 2; 3; 6} D(4) = {1; 2; 4} Observamos que tienen más de dos divisores. 4 y 6 son números compuestos.

Resuelve problemas de contexto matemático y de la vida real que implican el uso de números primos y compuestos.

Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores. Tipo

{1}

Eje mplo 24 Determino la descomposición prima de un número

{1; 2}

Descompón 24 en sus factores primos.

{1; 3}

Primo

{1; 2; 4}

Comp.

{1; 5}

Primo

{1; 2; 3; 6}

Comp.

{1; 7}

Primo

{1; 2; 4; 8}

Comp.

FORMA

1.° Escogemos cualquier factor de 24.

2 × 12

Posibles diﬁcultades

2.° Descomponemos los números compuestos.

2 × 2 × 6

Los estudiantes pueden confundir los números primos con los números impares. Para ello, distinga los números primos por el número de divisores que presente un determinado número. Haga notar que el 2 es par y número primo porque tiene solo dos divisores.

Divisores 1

3.° Expresamos en factores primos.

2 × 2 × 2 × 3

FORMA

24 12 6 3 1

2 2 2 3

La descomposición prima del número 24 � 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3 Descompón en sus factores primos: 80; 36 y 3 600 24 × 5

2 2 × 32

––– Primo

{1; 3; 9}

Comp.

{1; 2; 5; 10}

Comp.

{1; 11}

Primo

{1; 2; 3; 4; 6; 12}

Comp.

{1; 13}

Primo

24 × 32 × 52

Eje mplo 25 Resuelvo problemas Se sabe que 140 = 22 × 5 × 7. Responde las siguientes preguntas: a) ¿140 es divisible por 6? � No es divisible por 6, porque no tiene factores múltiplos de 6. b) ¿28 es divisor de 140? � 28 es divisor de 140, porque uno de sus factores es 28 (22 × 7 = 28).

Información complementaria

Responde:

Sí

• 16 24 • 24 23 · 3 • 56 23 · 7

Sesión de aprendizaje

020_029 U01M1 28

6/7/11 9:10:39 AM

Inicio

•

Recree la actividad planteada con ﬁchas cuadradas de cartulina o cartón para que formen arreglos rectangulares y asocien con la descomposición de números primos y compuestos como se muestra en esta página. Utilice el botón zoom de selección para destacar la tabla con los conjuntos de divisores obtenidos.

•

Resalte que los factores de un número primo solo se puede formar un arreglo rectangular tipo ﬁla o columna, mientras que con los números compuestos se forman dos o más arreglos rectangulares.

Desarrollo

• • •

Motive a los estudiantes a deﬁnir y diferenciar números primos y compuestos.

•

Destaque los exponentes de una descomposición y establezca la relación operativa entre ellos, para obtener el número total de divisores de un número. Invite a los estudiantes a ejercitar sus cálculos desarrollando la sección de “Más actividades”.

Proponga a los estudiantes ejercitar la resolución de problemas demostrando si un número es divisible por otro. Presente ejemplos sobre la descomposición de un número en factores primos presentándolo en su forma exponencial.

Presente el recurso animación “Unos números especiales” para reforzar los números primos y los criterios de divisibilidad.

• 32 25 • 40 23 × 5 • 88 23 × 11

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

En 1971, se descubrió el número 219 937 – 1. Averigua cuántos dígitos tiene, dónde y quién lo descubrió cuál es el procedimiento para hallar un número primo.

b) ¿140 es múltiplo de 35?

¿Cuál es el número primo más grande que conoces? Comente que el conjunto de los números primos es inﬁnito y que antes que existiese la computadora, el más grande de estos era 2127 – 1. Luego en 1963 el número primo 211213 – 1 se hizo muy conocido pues se estampaba como sello postal en las cartas enviadas por correo desde la Universidad de Illinois donde fue descubierto. Este número era tan grande que para escribirlo necesitaríamos separar casi 60 líneas de este libro pues tiene 3 376 dígitos.

a) ¿140 es divisible por 44?

Cá lculo mental Si 8 = 23, calcula la descomposición en factores primos de:

Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores.

Número total de divisores de unde número Número total de divisores un número

Soluciones

n Si A seSidescompone en sus factores primos:primos: A = am A× =b na×m × c p,bel total detotal de A se descompone en sus factores ×número c p, el número divisores de A es de n[D (m(A)+] 1)(n divisores A(A)es] = n[D = (m++1)(p 1)(n++1). 1)(p + 1).

Más

Eje mplo 26 Eje mplo Hallo número total detotal divisores de un número el número de divisores de un número 26 elHallo

117 a) 2 × 3 × 7 ● b) 5 × 13 2

CalculaCalcula el número total detotal divisores de 80 y de de 80 200. el número de divisores y de 200. a) 80 a) 80

Otra forma deforma resolver Otra de resolver

Descomponemos 80 en Descomponemos 80 en factores: factores:

Descomponemos en sus factores Descomponemos en sus primos. factores primos.

× 5=�24n[D = (4(80)+]1)(1 = (5)(2) 10 = 10 80 = 24 80 × 5(80) �] n[D = (4++1) 1)(1 + 1) ==(5)(2) El número 80 tiene80 10tiene divisores. El número 10 divisores.

b) 240 b) 240Descomponemos en sus factores Descomponemos en sus primos. factores primos. 4 240 = 2240 × 3=×254 ×�3n[D = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20 × 5(240) � ]n[D (240)] = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20 El número 240 tiene 20tiene divisores. El número 240 20 divisores.

c) 2 × 32 × 52 d) 22 × 33 × 5

80 × 1

40 × 2

20 × 4 80

20 × 4

16 × 5

f) 3 × 5 × 72 × 11

10 × 8

g) 22 × 3 × 5

e) 23 × 3 × 7

4; 5; 8; 10; D(80) = {1; 2; = {1; 2; 4;16; 5; 20; 8; 10; 16; 20; D(80) 40; 80} 40; 80}

h) 32 × 24 i) 23 × 34

n[D(80)] = 10 n[D(80)] = 10

Eje mplo 27 Eje mplo Resuelvo problemas problemas 27 Resuelvo

j) 22 × 32 × 5

¿Cuántos divisores tiene Atiene más que B sique A =B2si2 ×A3=4 × ¿Cuántos divisores A más 225×3 y34B×=532y5 ×B3=2?25 × 32?

k) 22 × 53

• Hallamos los divisores de A y B. comparamos: • Hallamos los divisores de Luego, A y B. Luego, comparamos: 4 3 4 ×225× (2 (A) + ]1)(4 = (3)(5)(4) = 60 = 60 A = 22 ×A3= 3� ×n[D 53 (A)�] =n[D = (2++1)(3 1)(4++1)1)(3 + 1) = (3)(5)(4) 60 – 18 60 = 42 – 18 = 42 2 2 n[D(B)� ] =n[D (5 (B) + ]1)(2 = (6)(3) 18 = 18 B = 25 ×B3= = (5++1)1)(2 + 1) ==(6)(3) 25 × 3�

l) 24 × 3 × 52

    

118 309 – 1 = 308 ● x=5 119 32 = 2 ● 120 100 000 = 2 × 5 ● 10 000 000 = 2 × 5

A tiene A 42tiene divisores más quemás B. que B. 42 divisores

idas de s ctivde a ctivaida

Más Más

Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración

� �

2 × 3 × 25 × 3 × 5

e) 168 f) 8 085 e) 168 f) 82 085 3 3 3

g) 602 g) 602

h) 144 h) 144 i) 648 i)4 648 3 3

j) 180 j)2 180 2 2

k) 500 k) 500 l) 1 4200 l) 1 42200

2 × 3 2 × 34

2 × 3 ×25 × 32 × 5 22 × 53 22 × 53

2 × 3 × 25 × 3 × 52

� � divisores tiene el tiene mayor de dos de dos divisores elnúmero mayor número 123 ¿Cuántos 123 ¿Cuántos � � cifras? 6cifras? 6

(164)

123 99 = 3 × 11 ● n[D ] = (2 + 1)(1 + 1) = 6 2

(99)

divisores más tiene 360 que360 180? divisores más tiene que 6 180? 6 124 ¿Cuántos 124 ¿Cuántos � � × 5 , calcula el número que A =que 2 ×A3= ×2 5×, 3calcula el número 125 Sabiendo 125 Sabiendo � � de divisores de divisores de A. 60de A. 60

Resolución de problemas Resolución de problemas

2 4

124 360 = 2 × 3 × 5 ● n[D ] = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 3

es la diferencia el ymayor y el menor la diferencia entre elentre mayor el menor 118 es¿Cuál 118 ¿Cuál � � divisor 309? 308 divisor de 309?de308 Si B12tiene 12 divisores × 7 , calcula el B126tiene divisores y B = 3y ×B 7= ,3calcula el 126 Si � � valor devalor x. 3 de x. 3 Si la descomposición prima de 32 es 2 , calcula Si la descomposición prima de 32 es 2 , calcula 119 119 � el � valoreldevalor x. 5 de x. 5 = 2tiene × 1148tiene 48 divisores, M 2 M × 11 divisores, calcula calcula el va- el va127= Si 127 Si � � 7 de x. 7 × 5; la de 100 lor de x.lor descomposición prima deprima 10 esde 2 ×105;esla2de 100 120 La descomposición 120 La� � × 51;000 la dees12000 2 ¿Cuál × 5 …es¿Cuál es la des× 5es… la deses 2 × 5es; 2la de 8 × 512tiene 12 divisores, × 5Sitiene divisores, halla el halla valoreldevalor n. 2 de n. 2 128 Si 8128 composición de 100 de 10 millones? � � composición de 100 000? ¿Y000? la de¿Y 10lamillones? 2

(360)

× 55= 25 × 55 100 000 100 = 25000 10 000 10 000 000 = 27000 × 57= 27 × 57

x 5

125 n[D ] = (2 + 1)(3 + 1)(4 + 1) ● = 3 × 4 × 5 = 60 (A)

9 AM U01M1 020_029 20_029 29 U01M1 29

126 n[D ] = (x + 1)(2 + 1) = 12 ● = 3x + 3 = 12 (B)

1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 29

6/7/11 6/7/11 9:10:40 AM 9:10:40 AM

3x = 9 x=3

127 n[D ] = (5 + 1)(x + 1) = 48 ● 6x + 6 = 48

Cierre

•

(M)

Proponga realizar los siguientes pasos para obtener números primos y compuestos menores que 100 en la tabla:

6x = 42 x=7

– Tacha el 1, que no se considera primo. 1

Pida a los alumnos que nombren los números que no fueron tachados, llegando a la conclusión que son números primos menores que 100

Proponga el desarrollo de los ejercicios de la sección “Más actividades” y complemente con el recurso PDF (ficha de refuerzo).

100

– El menor número primo es 2. Se tacha los números pares a partir del 2 (múltiplos de 2), que son compuestos. – El siguiente número primo es 3, se van tachando a partir del 3 todos los múltiplos de 3, que son compuestos. – El siguiente número primo es 5, se tachan los números que acaban en 0 o 5. Estos son números compuestos. – El siguiente número primo es 7, se tachan a partir del siete los múltiplos de 7, estos números son compuestos.

180 = 22 × 32 × 5 n[D(180)] = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 n[D(360)] – n[D(180)] = 24 – 18 = 6

N = 2 × 3N×=522 × 372× 52 × 72

divisores tiene el tiene número 164? 6 164? 6 divisores el número 122 ¿Cuántos 2 × 3 ×25 × 3 × 5 2 × 3 × 27 × 3 × 7 3 × 5 × 73 × 511× 72 × 122 11 ¿Cuántos 2 × 3 × 25 × 3 × 5 24 × 32 24 × 32

121 No, 2 × 3 × 5 × 7 ● 122 164 = 2 × 41 ● n[D ] · (2 + 1)(1 + 1) = 6

� �

d) 540 d)3 540 2 2

correcta la siguiente descomposición en fac- en fac¿Es correcta la siguiente descomposición 121 ¿Es121 tores primos N? N 2 ×N5 =× 272××515 tores de primos de=N? × 72 ×No 15 No la descomposición prima deprima estosde números: la descomposición estos números: Si es incorrecta, 117 Realiza 117 Realiza halla lahalla verdadera descomposiSi es incorrecta, la verdadera descomposia) 842 a) 842 b) 325 c) 450 c) b) 325 450 ción en ción factores primos primos de N. de N. en factores 2 2 2 2 2 2 2 × 3 × 27 × 3 × 7 5 × 13 5 × 13

a ctivida de s

(3 + 1)(n + 1) = 12 128 2 × 5 ● 4n + 4 = 12 3

4n = 8 n=2

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

3.4. Mínimo común múltiplo (MCM)

Indicadores de logro

Miguel toma un jarabe para la gripe cada 6 horas y una pastilla para la fiebre cada 8 horas. Si acaba de tomar ambas medicinas, ¿dentro de cuánto tiempo tomará de nuevo las dos medicinas juntas?

Razonamiento y demostración Establece relaciones al hallar el MCM de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de los múlttiplos y aplicando la forma abreviada.

• Miguel toma las medicinas transcurridas las siguientes horas: Jarabe (múltiplos de 6) � M(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; …} Pastilla (múltiplos de 8) � M(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; ...} • El tiempo que pasará para que Miguel vuelva a tomar las dos medicinas juntas será múltiplo de 6 y de 8: Múltiplos comunes(6 y 8) = {0; 24; 48; 72; …}

Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCM de dos o más números a partir de su descomposición en factores.

Miguel tomará de nuevo las dos medicinas juntas dentro de 24 horas. El menor de los múltiplos comunes de 6 y 8, diferente de 0, es 24. Es el mínimo común múltiplo de 6 y 8, y se escribe: MCM(6 y 8) = 24. El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes diferente de cero.

Resolución de problemas Matematiza situaciones de contexto real utilizando el concepto de MCM.

Ana y Diego son promotores de una empresa de publicidad. Ellos realizaron un trabajo en un ediﬁcio con departamentos. Diego hizo encuestas en los departamentos 15; 30; 45; 60; 75 y 90 (en ese orden); mientras que Ana entregó una revista cada 6 departamentos, a partir del departamento número 6.

Hallamos los divisores comunes y los no comunes.

MCM(6 y 8) = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3 = 24

Otra forma de resolver

a) Hallamos el MCM de 10; 15 y 20. 10 - 15 5 - 15 5 - 15 5- 5 1- 1

- 20 - 10 - 5 - 5 - 1

2 2 3 5

MCM(10; 15 y 12) = 22 × 3 × 5 = 60 b) Hallamos el MCM de 6; 8 y 9. 6-8 3-4 3-2 3-1 1-1 1-1

-9 -9 -9 -9 -3 -1

2 2 2 3 3

MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72

Eje mplo 29 Calculo el MCM por descomposición en factores primos • Descomponemos cada número en sus factores primos: 24 = 23 × 3 180 = 22 × 32 × 5 16 = 24 • El MCM es el producto de todos los factores con su mayor exponente: MCM(16; 24 y 180) = 24 × 32 × 5 = 720 30

Sesión de aprendizaje

030_039 U01M1 30

6/7/11 9:11:55 AM

Inicio

• • •

Analice con los estudiantes la situación propuesta de MCM y pídales que calculen los múltiplos de cada número. Introduzca la deﬁnición del mínimo común múltiplo de un número observando los múltiplos resaltados en negrita. Plantee otras situaciones para que los estudiantes hallen el MCM a partir de los múltiplos comunes.

Desarrollo

•

Trabaje con sus estudiantes el ejemplo 28 para consolidar la deﬁnición del MCM e indíqueles que también pueden obtener el MCM descomponiendo los números en sus factores primos. Utilice el botón zoom de selección para que los estudiantes analicen la forma abreviada de hallar el MCM.

•

Realice juegos para descubrir acertijos. Por ejemplo, pídales que hallen los múltiplos de 7 y 5 menores que 100. Anime a los estudiantes a realizar el ejercicio mediante el cálculo mental.

Cierre

• •

Aplique la autoevaluación para veriﬁcar el logro de los indicadores propuestos. Evalúe, a través de la heteroevaluación, el trabajo realizado entre todos los miembros del equipo.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

2. Tres ómnibus salen del paradero inicial a la misma hora en tres rutas diferentes. El primero tarda 7 horas para retornar al punto de partida y se detiene allí 1 hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2 horas y, el tercero tarda 12 horas y se detiene 3 horas. ¿Cada cuánto tiempo saldrán los tres ómnibus a la vez?

2 2 2 3

Calcula el MCM de 16; 24 y 180 usando la factorización prima.

Al terminar el día, el jefe de Ana y Diego hizo el siguiente recuento: los departamentos 15; 30; 60 y 90 recibieron la revista y contestaron la encuesta, y el departamento 30 fue el primero en recibir la visita de los promotores. ¿Por qué no es correcto el balance del jefe? Explica.

1. Andrés colecciona canicas. En la caja A tiene bolsitas de 24 canicas cada una y no le sobra ninguna canica. En la caja B tiene bolsitas de 20 canicas cada una y tampoco le sobra ninguna canica. El número de canicas que hay en la caja A es igual al número de canicas que hay en la caja B. ¿Cuántas canicas como mínimo hay en cada caja?

-8 -4 -2 -1 -1

b) Andrés tiene una colección de monedas que puede agrupar de 6 en 6, de 8 en 8 y de 9 en 9, sin que falte ni sobre ninguna. ¿Cuántas monedas como mínimo puede tener Andrés? • El número de monedas que tiene Andrés es múltiplo de 6; 8 y 9. Como piden la menor cantidad de monedas, debemos hallar el menor de los múltiplos comunes de 6; 8 y 9. MCM(6; 8 y 9) = 23 × 32 = 72 Andrés puede tener como mínimo 72 monedas.

la siguiente situación:

Plantee a los estudiantes los siguientes problemas:

6 3 3 3 1

Eje mplo 28 Resuelvo problemas con el MCM a) Un árbol de Navidad tiene luces amarillas que se encienden cada 10 segundos, luces rojas que se encienden cada 15 segundos y luces azules que se encienden cada 20 segundos. ¿Cada cuántos segundos se encienden los tres colores de luces juntos? • Analizamos cada cuánto tiempo se enciende cada color de luz: Amarilla = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …} Roja = {0; 15; 30; 45; 60; 75; …} Azul = {0; 20; 40; 60; 80; …} El MCM(10; 15 y 20) = 60 indica que a los 60; 120; 180; … segundos los tres colores de luces se encienden juntos. Los tres colores de luces se encienden juntos cada 60 segundos o cada minuto.

Más actividades • Forme parejas y pídales que resuelvan

•

Forma abreviada para hallar el MCM de 6 y 8

  

Comunicación matemática

Eje mplo 30 Eje mplo Resuelvo más problemas con MCM más problemas con MCM 30 Resuelvo

Soluciones

a) De una estación, sale unsale trenun cada horas5 yhoras otro cada horas. Si a lasSi a las a) De una estación, tren5 cada y otro4 cada 4 horas. 3 a. m. 3han salido dos los juntos, ¿a qué ¿a hora a coincidir? a. m. hanlos salido dos juntos, quévolverán hora volverán a coincidir? °er tren °o tren °5;=10; °4;=8;{0; = {0;(5) 20; 15; …}20; 2.o…} tren 2. (4) = {0;(4) 12;4; 8; 12; • Analizamos: 1.er tren1.(5) {0;15; 5; 10; • Analizamos: 16; 20; 16; …}20; …} = 20 indica después de 20 horas a coincidir. El MCM = 20que indica que después de 20volverán horas volverán a coincidir. El(5 MCM y 4) (5 y 4) • Salieron a las 3 a. volveránvolverán a coincidir: 3 h + 20 • Salieron a m., las 3entonces a.m., entonces a coincidir: 3 h =+ 23 20 hh = 23 h Los dosLos trenes a coincidir a las 23ahlas u 11 noche. dosvolverán trenes volverán a coincidir 23de h ula11 de la noche.

Más

129 a) 2 = 8 ● b) 3 × 5 = 15 3

Otra forma deforma resolver Otra de resolver

el MCM deel8;MCM 12 y de 8; 12 y b) Hallamos b) ¿Cuáles son losson múltiplos de 8; 12 que 200 y menores b) ¿Cuáles los múltiplos de y8;20, 12 mayores y 20, mayores que 200 y menoresb) Hallamos 20. 20. que 600? que 600?

• Hallamos el menor los múltiplos comunes de 8; 12dey 8; 2012 (ver margen): • Hallamos el de menor de los múltiplos comunes y 20 (ver margen): = 120 MCM(8;MCM 12 y 20) (8; 12 y 20) = 120 Múltiplos comunes de 8; 12dey 8; 2012 = {120; 360; 480; 600; 720; …} Múltiplos comunes y 20 =240; {120; 240; 360; 480; 600; 720; …} • Seleccionamos los múltiplos mayoresmayores que 200que y menores que 600.que 600. • Seleccionamos los múltiplos 200 y menores Los números pedidospedidos son 240;son 360 y 480. Los números 240; 360 y 480.

8 - 12 4- 6 2- 3 1- 3 1- 1 1- 1

- 208 - 12 2 - 104 - 26 - 52 - 23 - 51 - 33 - 51 - 51 - 11 - 1

- 20 - 10 - 5 - 5 - 5 - 1

2 2 2 3 5

= 23(8;×123y 20)× =5 2=3120 MCM(8; 12 y 20) × 3 × 5 = 120 MCM

idas de s ctivde a ctivaida

130 a) 2 × 3 × 5 = 450 ● b) 2 × 3 × 5 × 7 = 3 150 2

Resolución de problemas Resolución de problemas

a) 2 y 8a)8 2 y 8 8b) 5 y 15 c)1512; 15 3 60 b) 15 5 y 15 c) y12; 15 y 3 60 cuenta de que de no que le sobrarían ni le faltarían si cuenta no le sobrarían ni le faltarían si d) 6 y 9d)186 y 9 18 e) 12 ye)1512 25; 40 3040 15 60 f) y25; 60 y f) 600y 30 600 tuviera tuviera que instalar puertas puertas de 2; 3 de o 42;bisagras. que instalar 3 o 4 bisagras. g) 120 g) y 150 y 90 1675 y 16 120 y h) 150200 h) 200 yi)9080; 75 i) y80; más de 100, pero menos 120 bisagras, tiene más de 100, pero de menos de 120 bisagras, 600 1 800 1 800 1 200 1 200 Si tieneSi 600 ¿cuántas¿cuántas bisagrasbisagras tiene Roberto? tiene Roberto? 108 108 Calcula el MCMelde A y B. MCM de A y B. 130 Calcula 2 2 2 2 3 × 5 450 a) A = a) 2 ×A3 =×25;× B 3 =× 35;×B5 =450 avenida, un semáforo se ponese verde una avenida, un semáforo ponecada verde cada 137 En una 137 En b) A = b) 2 ×A3 =× 252××37;× B 5 × 7 3 150 52 =× 37;2 ×B5=×372 ×3 150 40 segundos y el queyleelsigue, 60cada segundos. 40 segundos que lecada sigue, 60 segundos. que a las la 3tarde dos los sedos seAna observó que3 adelas de lalos tarde c) A = c) 23 ×A3=2 × 5 ×= 7224; ×B3=×254 ×× 37 ×355280 × 7 35 280 Ana observó 235××372 2×; B máforosmáforos se pusieron en verdeenalverde mismo tiempo.tiempo. se pusieron al mismo 337×2; 5B2 ×= 7223; ×B3=4 × 235×2 × 347×2 52 × 72 d) A = d) 24 ×A3=3 × 245×2 × 1 587 600 1 587 600 ¿A qué ¿A hora, de las 3de delas la tarde, quédespués hora, después 3 de laambos tarde, ambos Calcula el menor número,número, diferente de cero,de cero, semáforos el menor diferente 131 Calcula estarán estarán en verdeenotra vez? semáforos verde otra vez? 3:02 p. m. 3:02 p. m. múltiplomúltiplo de 6; 8 yde12. 6; 824y 12. 24 alarma las 8 de la mañana, al mismo Una suena alarmaa suena a las 8 de la mañana, al mismo 138 Una138 ¿Cuáles son los son múltiplos de 2; 5 de y 7, los múltiplos 2; mayores 5 y 7, mayores tiempo tiempo 132 ¿Cuáles que las que campanadas de la iglesia que lay que la las campanadas de la yiglesia 600 y menores que 1 000? que 600que y menores que 1 000? sirena de una fábrica. A lodel largo día se vuelsirena de una fábrica. A lo largo día del se vuel630; 700;630; 770;700; 840;770; 910;840; 980910; 980 ven a escuchar ven a escuchar la alarma cada 4 las horas, la alarma cada 4 horas, cam-las camSi elde MCM 200; 350sey divide 120 se entre divide5,entre 5, panadaspanadas Si el133MCM 200;de 350 y 120 cada 2y horas y lacada sirena cada 3 horas. cada 2 horas la sirena 3 horas. se obtiene de residuo? ¿cuánto¿cuánto se obtiene de residuo? 0 0 a) ¿A qué hora volverán sonar lajuntas a) ¿A qué hora volverán a sonar ajuntas alar- la alarde tresson cifras son múltiplos de ¿Cuántos númerosnúmeros de tres cifras múltiplos de las campanadas y la sirena? ma, las ma, campanadas y la sirena? 134 ¿Cuántos 8:00 p. m. 8:00 p. m. 3 y 5? 30 2; 3 y 5?2; 30 b) ¿Cuántas veces habrán las campab) ¿Cuántas veces habrán sonado sonado las campala alarma y la hasta sirenaese hasta nadas, nadas, la alarma y la sirena mo-ese moMCM de un número y 8 ¿Cuál es 40.puede ¿Cuál puede El MCM un número y 8 es 40. 135 El de mento?mento? La campana La campana 6 veces; 6laveces; alarmala3alarma veces y3 veces y ser número? el otro número? ¿Hay sola respuesta? ser el otro ¿Hay una solauna respuesta?

130 � �

� �

131 � �

� �

132 � � 133 � � 134 � � 135 � �

5 y 210; hay 2 respuestas 5 y 10; hay respuestas

c) 24 × 32 × 5 × 72 = 35 280 d) 24 × 34 × 52 × 72 = 1 587 600

el MCMelde los siguientes números: se dedica instalar puertas puertas de madera. MCM de los siguientes números: � se adedica a instalar de madera. 129 Calcula 136 Roberto 129 Calcula 136 Roberto � � � Al contar bisagras que tiene entiene su taller, da se da Allas contar las bisagras que en susetaller,

22 × 3 × 5 = 60 2 × 32 = 18 22 × 3 × 5 = 60 23 × 3 × 52 = 600 23 × 3 × 52 = 600 23 × 32 × 52 = 1 800 24 · 52 · 3 = 1 200 2

Más Más

c) d) e) f) g) h) i)

Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración

a ctivida de s

la sirenala4 sirena veces. 4 veces.

1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 31

= 2 × 3 = 24 131 MCM ● = 2 × 5 × 7 = 70 132 MCM ● 600 < 70k < 1 000 3

(6; 8 y 12)

(2; 5 y 7)

{630; 700; 770; 840; 910; 980}

133 MCM ● = 4 200

(200; 350; 120)

= 2 3 × 3 × 52 × 7

4 200 = °5 → r = 0

= 30 134 MCM ● • Múltiplos de 30 que hay del (2; 3 y 5)

1 al 1 000 1 000 ÷ 30 = 33 • Múltiplos de 30 que hay entre 1 y 100 100 ÷ 30 = 3 • Múltiplos de 70 que hay entre 100 y 1 000 33 – 3 = 30

135 MCM ● a = 5; 10

(a y 8)

= 40

Hay dos respuestas.

Información complementaria

5 AM U01M1 030_039 30_039 31 U01M1 31

•

6/7/11 6/7/11 9:11:58 AM 9:11:58 AM

Muestre cómo la forma abreviada de hallar el MCM se basa en la factorización prima. Por ejemplo: Calcula el MCM de 40; 144 y 252.

Pida que descompongan cada número en factores primos. Los estudiantes deben recordar los criterios de divisibilidad, de manera que la descomposión sea rápida. 40 2

144 2

252 2

20 2

72 2

126 2

10 2

36 2

63 3

5 5

18 2

21 3

9 3

7 7

3 3

MCM(40; 144; 252) = 5 040

k = 9 → 12(9) = 108 Roberto tiene 108 bisagras. = 2 × 3 × 5 = 120 137 MCM ● 120 seg = 2 min 3

(40 y 60)

= 2 × 3 = 12 138 MCM ● a) Volverán a sonar juntas 2

(4; 2 y 3)

Luego, indique que expresen los números en potencias: 40 = 23 × 5; 144 = 24 × 32 y 252 = 22 × 32 × 7 Los estudiantes pueden calcular el producto empleando la calculadora: 24 × 3² × 5 × 7 = 5 040

(2; 3 y 4)

Estarán en verde otra vez a las 3 y 2 minutos.

1 Finalmente, pida que escriban los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

= 2 × 3 = 12 136 MCM ● 100 < 12k < 120

8 + 12 = 20 horas u 8 de la noche. b) Las campanadas, 6 veces; la alarma, 3 veces, y la sirena, 4 veces.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

3.5. Máximo común divisor (MCD)

Indicadores de logro

Se tienen tres depósitos con alcohol industrial: uno con 16 litros, otro con 24 litros y el último con 48 litros. Se desea envasar el alcohol en galoneras de igual capacidad que contengan la mayor cantidad posible, sin que sobre alcohol. ¿Qué capacidad deben tener las galoneras?

Establece relaciones al hallar el MCD de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de sus divisores y aplicando la forma abreviada.

• Para que no sobre alcohol, la capacidad de las galoneras debe ser un divisor de 16; 24 y 48: D(16) = {1; 2; 4; 8; 16} D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Establece relación entre el MCM y el MCD de dos o más números.

• Los divisores comunes indican la capacidad de las galoneras:

Comunicación matemática

Divisores comunes de 16; 24 y 48 = {1; 2; 4; 8}

Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCD de un conjunto de números, a partir de su descomposición en producto de factores primos.

16 8 4 2

24 12 6 3

48 24 12 6

2 2 2

Hallamos los divisores comunes.

MCD(16; 24 y 48) = 2 × 2 × 2 = 23 = 8

• Como se pide la mayor capacidad posible, las galoneras deben ser de 8 L cada una. El mayor de los divisores comunes de 16; 24 y 48 es 8. Es el máximo común divisor de 16; 24 y 48, y se escribe: MCD(16; 24 y 48) = 8. El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor divisor común.

Resolución de problemas Resuelve situaciones de contexto real que involucran el concepto de MCM y MCD.

Eje mplo 31 Resuelvo problemas con el MCD Raúl necesita confeccionar escarapelas. Para ello tiene tres cintas cuyas medidas son 650 cm, 875 cm y 1 000 cm, y debe cortarlas en piezas de igual tamaño y de la mayor longitud posible. a) ¿Cuánto medirá cada pieza de cinta para confeccionar cada escarapela? • Como se quiere dividir las cintas en piezas iguales de la mayor longitud posible, calculamos el mayor divisor común de 650; 875 y 1 000. MCD(650; 875 y 1 000) = 25

Otra forma de resolver

Hallamos el MCD de 650; 875 y 1 000: 650 - 875 - 1 000 130 - 175 - 200 26 - 35 - 40

5 5

MCD(650; 875; 1 000) = 52 = 25

Cada pieza de cinta debe medir 25 cm.

Posibles diﬁcultades • En la resolución de problemas del

b) ¿Cuántas escarapelas podrá confeccionar Raúl? 650 ÷ 25 = 26 875 ÷ 25 = 35 = 101 1 000 ÷ 25 = 40

Raúl podrá confeccionar 101 escarapelas.

Realice preguntas literales acerca de situaciones problemáticas de MCM y MCD que permitan a los estudiantes identiﬁcar los datos más importantes para la comprensión y solución del problema planteado.

Calcula el MCD de 84; 60 y 72, en forma abreviada.

    

• El número de escarapelas por cinta es:

MCM y MCD, realice la recreación de situaciones que faciliten la elección entre el MCM y MCD.

•

Forma abreviada para hallar el MCD de 16; 24 y 48

  

Razonamiento y demostración

Eje mplo 32 Calculo el MCD por descomposición en factores primos Calcula el MCD de 84; 60 y 72 usando la factorización prima. • Descomponemos cada número: 60 = 22 × 3 × 5 72 = 23 × 32 84 = 22 × 3 × 7 • El MCD es el producto de los factores comunes, con su menor exponente: MCD(84; 60 y 72) = 22 × 3 = 12 32

Más actividades

030_039 U01M1 32

Presente los siguientes problemas:

Inicio

2. Para hacer prácticas en el laboratorio hay que distribuir a los estudiantes en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra un estudiante en todos los casos. Entonces, decide hacer grupos de 5 y observa que no sobra ninguno. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Presente el recurso animación para activar los saberes previos acerca del MCD.

•

Brinde el tiempo necesario para compartir sus ideas y revisar los procesos aplicados en el cálculo del MCD de dos o más números.

•

Pregunte lo siguiente: ¿Qué diferencias encuentran al calcular el MCM y MCD?

Desarrollo

•

Induzca a los estudiantes a reconocer el mayor de los divisores comunes hallados. Motívelos a establecer la deﬁnición de MCD a través de los ejemplos propuestos. Proponga la aplicación de la forma abreviada para hallar el MCD de dos o más números.

•

Haga notar que el MCD de dos o más números se obtiene a partir de la descomposición en factores primos de dichos números. Por ejemplo: MCD (60; 48 y 36) Descomponemos los números: 60 = 22 · 3 · 5

48 = 24 · 3

36 = 22 · 32

Se seleccionan los factores comunes (2 y 3) con su menor exponente: 22 y 3 Entonces el MCD(60; 48 y 36) = 22 · 3 = 12

6/7/11 9:11:58 AM

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

1. Pamela y Claudia van al cine, pero no se ponen de acuerdo. Pamela va cada 5 días y Claudia cada 6 días. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas veces habrá ido cada una antes de volver a coincidir?

Sesión de aprendizaje

Eje mplo 33 Eje mplo Resuelvo problemas con el MCD problemas con el MCD 33 Resuelvo

Información complementaria

gráficamente a) Observamos gráficamente a) Gabriel quiere quiere dividir dividir una cartulina de 40 cm de cm largo 30 cm de cm an- de an-a) Observamos a) Gabriel una cartulina de 40 deylargo y 30 obtienen: cuántos se cadrados se obtienen: cho en cho cuadrados iguales,iguales, lo más lo grandes posible,posible, sin quesin sobre en cuadrados más grandes quecartulina. sobre cartulina. cuántos cadrados 10 cm 10 cm ¿Cuánto debe medir lado el delado cadadecuadrado? ¿Cuánto debe el medir cada cuadrado? 10 cm

• Para• que no que sobre y los cuadrados sean lo sean más lo grandes posible,posible, Para nocartulina sobre cartulina y los cuadrados más grandes hallamos el máximo común divisor, del largo del ancho, 40 yde 30:40 y 30: hallamos el máximo común divisor, dely largo y del de ancho, 10y 30) = 10 MCD(40MCD y 30) =(40 El lado El de lado cadade cuadrado debe medir cm. 10 cm. cada cuadrado debe10 medir b)

Algoritmo de Euclides

10 cm

30 cm

40 cm

Euclides fue uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad. Impuso la concepción de la aritmética supeditada a la geometría. El algoritmo que lleva su nombre para el cálculo del MCD de dos números, consiste en aplicar a dicho cálculo el mismo procedimiento que se utiliza para hallar la medida común de dos segmentos.

30 cm

40 cm

el contenido de b) Obtenemos el contenido de Parab)ayudar a las víctimas del friaje el sur, colegio de Ivánde recolecPara ayudar a las víctimas delen friaje enen el el sur, en el colegio Iván recolec- b) Obtenemos cada paquete: taron 840 latas delatas atún,de600 tarros lechedey leche 144 bolsas arroz. taron 840 atún, 600de tarros y 144de bolsas de¿Cuántos arroz. ¿Cuántos cada paquete:

35 latas ÷ 24 =de35atún latas de atún paquetes con el mismo contenido de víveres podránpodrán enviar sin quesin les que sobre paquetes con el mismo contenido de víveres enviar les sobre 840 ÷ 24 =840 600 ÷ 24 =600 25 tarros ÷ 24 =de 25leche tarros de leche ningunoninguno de los alimentos? de los alimentos? 144 ÷ 24 =144 6 bolsas arroz de arroz ÷ 24 =de6 bolsas

• Para•quePara los que paquetes contengan lo mismo no sobren calculamos los paquetes contengan lo ymismo y no víveres, sobren víveres, calculamos el mayor común de 840;de 600 y 144: el divisor mayor divisor común 840; 600 y 144: = 24 MCD(840; MCD 600 y 144) (840; 600 y 144) = 24 Podrán Podrán enviar 24 paquetes de víveres. enviar 24 paquetes de víveres.

Por ejemplo: para calcular el MCD de 1 498 y 980 se empieza dividiendo el término mayor entre el término menor y su continúa dividiendo como se muestra: 1 498 980 518 1

Relación entre entre MCM MCM y MCDy MCD Relación

980 518 462 1

Completamos el cuadro analizamos. Completamos el ycuadro y analizamos. MCD MCD a y b a y b MCM MCM 6 y 14 6 y 14

a×b a×b

42 2

20 y 3220 y 32

160

160 4

=× 640 = 640 4 20 × 3220 32 = 640 160 × 4160 × 4 = 640

18 y 2118 y 21

126

126 3

=× 378 = 378 3 18 × 2118 21 = 378 126 × 3126 × 3 = 378

518 462 56 1

MCM ×MCM MCD× MCD

6 × 14 =6 ×84 842 = 84 14 = 84 42 × 2 =42 ×

56 14 0 4

Comprobamos que el producto de los dos números es igualesaligual producto de su MCM Comprobamos que el producto de los dos números al producto de su MCM y su MCD. y su MCD.

MCD(1 498 y 980) = 14 no nulo.

El producto de dos números a y b esaigual aligual producto de su mínimo común múlEl producto de dos números y b es al producto de su mínimo común múltiplo portiplo su máximo común divisor. por su máximo común divisor.

último residuo

Estrategias para la resolución de problemas

a × b = aMCM × b =(aMCM y b) × MCD (a yMCD b) (a y b) × (a y b)

Para resolver problemas debemos recordar los pasos mencionados en la página 21: Comprensión, planiﬁcación, resolución y comprobación.

Eje mplo 34 Eje mplo Relaciono el MCMely MCM el MCD deMCD un número y el de un número 34 Relaciono a) El MCM dos de números es 96 y es su96 MCD 16. Siesuno de uno los números es a) El de MCM dos números y sues MCD 16. Si de los números es 32, ¿cuál el otro número? 32,es¿cuál es el otro número? © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

462 56 14 8

Recree la siguiente situación:

MCD(a y b) • Aplicamos la propiedad: × b =(aMCM • Aplicamos la propiedad: a × b = aMCM (a y b) × y b) × MCD (a y b) (96÷×3216) ÷ b32= 48 b = 48 × b× =1696 × b16= (96 b×=16) 32 × b =3296 otro número El otro El número es 48. es 48.

En 1.° A hay 32 estudiantes y en 1.° B, 36 estudiantes. En cada sección se quiere formar equipos con el mismo número de integrantes, de manera que no falte ni sobre ninguno. ¿Cuántos integrantes podrá tener como máximo cada equipo?

= MCM 15 y el(aMCM = 60, calcula de a × b. Si el(a MCD calcula el valoreldevalor a × b. b) Si elb) MCD (a yy b) el (a y b) y b) = 15 y b) = 60, • Aplicamos la relación y eldeMCD de dos números: • Aplicamos la relación entre elentre MCMelyMCM el MCD dos números: × b =(aMCM a × b = aMCM MCD(a y b) (a y b) × y b) × MCD (a y b) × b× =6015 × 60 = 900 a × b = a15 = 900

Comprensión: Identiﬁcan los datos que intervienen en el problema.

× b es 900. El valorEldevalor a × bdeesa900. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 33

Planiﬁcación: Analizan el problema y buscan la estrategia que les permita resolver el problema.

Resolución: Ejecutan el proceso de solución del planteamiento del problema. 6/7/11 6/7/11 9:11:59 AM 9:11:59 AM

8 AM U01M1 030_039 30_039 33 U01M1 33

•

Invite a los estudiantes a formar grupos para trabajar la siguiente situación empleando gráﬁcos o material concreto.

Comprobación: Verﬁcan si el resultado obtenido es razonable o no y justiﬁcan la respuesta obtenida.

– Se quiere poner losetas en una habitación rectangular de 520 cm de largo y 240 cm de ancho. Si las losetas deben ser cuadradas y de la mayor dimensión posible, ¿cuál será la dimensión de cada loseta? © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

•

Invite a los estudiantes a presentar sus propuestas de solución gráﬁca y luego pida que las comparen con el cálculo del MCD. Evalúe con ellos qué proceso es más conveniente para resolver la situación planteada. Propicie la reﬂexión sobre la relación entre el MCM y el MCD de dos números. Presente el cuadro sobre dicha relación empleando la herramienta tapar para que den la solución y favorecer la intervención de los estudiantes.

Cierre

•

Pregunte lo siguiente: ¿Reconocieron todos los procesos aplicados para calcular el MCD? ¿Es posible realizar un proceso de solución gráﬁca? ¿Tienen diﬁcultades para resolver a b MCM(a, b) MCD(a, b) problemas con este tipo de cálculo? ¿Cuáles?

•

Presente el recurso animación para aplicar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en diferentes situaciones de la vida real.

•

Proponga a los estudiantes que completen el siguiente cuadro para veriﬁcar el aprendizaje logrado.

630

144

200

240

1 200

120

960

14 400

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

pra ctica r

Para Más actividades

139 Escribe V si es verdadero o F si es falso. En el � segundo caso, justifica tu respuesta.

Realice las siguientes actividades:

a) El número cero es múltiplo de todos los números naturales.

1. Observa los números. 50 30

430 45

100 500

120 150 125

a) Obtén tres múltiplos. b) ¿Qué números tienen como MCM a 360? c) ¿Qué números tienen como MCD a 25?

b) Un número compuesto tiene solo dos divisores.

c) Todos los divisores de 16 son también divisores de 64.

d) Los divisores de un número natural forman un conjunto infinito.

e) Los números impares son siempre números primos.

f) El número 2 es un número primo.

140 Relaciona según corresponda. �

2. Resuelve el siguiente problema: a) Tania tiene menos de 35 caramelos y los quiere guardar en bolsas de 2; 3 y 5 caramelos, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos tiene? Si los guarda en bolsas de 2, ¿cuántos coloca en cada bolsa? ¿Y si lo hace en bolsas de 3? ¿Y en bolsas de 5? b) Una cuerda de 90 cm se marca con rojo cada 5 cm, con verde cada 10 cm y con azul cada 15 cm. ¿En qué puntos de las cuerdas coinciden los siguientes colores?

29 es...

5° + 2

42 es...

7° + 4

75 es...

3° + 2

39 es...

9° – 1

53 es...

6° – 3

– Rojo y verde – Verde y azul

MCM(a y b)

MCD(a y b)

100

300

126

Resuelve lo siguiente: 146 Halla la suma de los tres primeros múltiplos comunes � de 3; 4 y 5, diferentes de cero. 360

147 ¿Cuáles son los múltiplos de 7; 10 y 14 que hay � entre 70 y 700?

Calcula el MCM y MCD de los siguientes números: 141 14; 70 y 490 �

{140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

142 200; 40 y 120 �

MCM(14; 70 y 490) = 490

MCM(200; 40 y 120) = 600

MCD(14; 70 y 490) = 14

MCD(200; 40 y 120) = 40

– Rojo y azul – Los tres colores.

148 ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de � 16 y 3, pero no de 10? 14

143 600; 108 y 72 �

144 2 × 3 y 2 × 5 � 2

MCM(600; 108 y 72) = 5 400

MCM = 1 800

MCD(600; 108 y 72) = 12

MCD = 4

149 ¿Cuál es el mayor número de tres cifras que es � divisible por 6; 18 y 48? 864

145 Completa la tabla y comprueba la relación entre el � MCM y MCD de dos números.

030_039 U01M1 34

Para

146 3 - 4 - 5 ● 3-2-5 3-1-5 1-1-5 1-1-1

● 7-

5- 7 7- 1- 7 1- 1- 1

MCM(3; 4 y 5) = 22 × 3 × 5 = 60

2 2 3 5

147 7 - 10 - 14

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

pra ctica r

{60; 120; 180} 60 + 120 + 180 = 360

2 5 7

MCM(7; 10 y 14) = 2 × 5 × 7 = 70 {140; 210; 280; 350; 420; 490; 560; 630}

148 3 - 16 ● 3- 8

2 2 2 2 3

MCM(16 y 3) = 24 × 3 = 48 {144; 192; 240; 288; 336; 384;

432; 480; 528; 576; 624; 672; 3- 4 720; 768; 816; 864; 912; 960} 3- 2 3- 1 1- 1 Hay 14 cifras.

149 6 - 18 - 48 ● 3 - 9 - 24

6/7/11 9:12:00 AM

2 2 2 2 3 3

MCM(6; 18 y 48) = 24 × 32 = 144 {144; 288; 432; 576; 720;

864} 3 - 9 - 12 3- 9- 6 3- 9- 3 1- 3- 1 1- 1- 1 El mayor número es 864.

Soluciones

a ctivida a ctivida de sde s MásMás vasoUn pesa vaso 75pesa gramos 75 gramos y una taza, y una 60taza, gramos. 60 gramos. Si Si 160 Un� 160 � se quiere se embalar quiere embalar en cajasendecajas igualdemasa, igual¿cuánmasa, ¿cuán-

Razonamiento Razonamiento y demostración y demostración

el MCMelyMCM el MCD y elpor MCD descomposición por descomposición de de 150 Calcula 150 Calcula � � factoresfactores primos yprimos completa y completa la tabla.la tabla. a, b y c a, b y c MCM(a, bMCM MCD(a, bMCD y c) (a, b y c) y c) (a, b y c)

tos vasos toscomo vasosmínimo como mínimo hay quehay colocar que colocar en una en una caja y cuántas caja y cuántas tazas entazas otra caja, en otra para caja, quepara pesen quelopesen lo 4 vasos en 4 vasos una caja en una y 5 tazas caja yen 5 tazas la otraencaja. la otra caja. mismo?mismo?

192

Una persona camina camina un número un número exacto de exacto pasos de pasos 161 Una 161persona � � avanzando avanzando 1 700 cm; 1 700 1 800 cm;cm 1 800 y 1 900 cm ycm. 1 900 ¿Cuál cm. ¿Cuál

2 100

es la mayor es la longitud mayor longitud posible posible de cadade paso? cada100 paso? cm 100 cm

135; 255135; y 315 255 y 315 16 065 16 065

84; 105 84; y 210 105 y 210

420

repartiórepartió 800 caramelos, 800 caramelos, 240 chupetines 240 chupetines y y 162 Andrea 162 Andrea � � 400 paquetes 400 paquetes de galletas de galletas en bolsas en iguales bolsas iguales con el con el

36; 60 y36; 13260 y 132

1 980

24; 48 y24; 64 48 y 64 100; 140100; y 300 140 y 300

mismo contenido mismo contenido de golosinas. de golosinas. Si obtuvo Si el obtuvo mayorel mayor númeronúmero de bolsas, de ¿cuántas bolsas, ¿cuántas bolsas armó? bolsas¿Cuál armó?es¿Cuál es el contenido el contenido de cadade bolsa? cada 80 bolsa? bolsas, 80cada bolsas, bolsa cada conbolsa con-

Resuelve Resuelve y escribe y escribe las letras lassegún letrascorresponda. según corresponda. En- Entiene: 10tiene: caramelos, 10 caramelos, 3 chupetines 3 chupetines y 5 paquetes y 5 paquetes de galletas. de galletas. terreno Un terreno rectangular rectangular de 120 de m× 120 140 mm × se 140di-m se di163 Un 163 contrarás contrarás la solución la solución a la adivinanza. a la adivinanza. vide envide parcelas en parcelas cuadradas cuadradas iguales iguales y de la ymayor de la mayor R MCMelde MCM 12; 36 de y12; 70.361 y260 70. 1 260 R 151 Halla 151elHalla área posible. área posible. ¿Cuánto¿Cuánto mide elmide lado de el lado cadade parcecada parcela? ¿Cuántas la? ¿Cuántas parcelasparcelas hay? 20hay? m; 4220 parcelas m; 42 parcelas E E el MCDeldeMCD 18; 48 de y18; 120. 48 6y 120. 6 152 Calcula 152 Calcula Luisuna tiene cartulina una cartulina de 32 cm de de 32 ancho cm de por ancho por 164 Luis164tiene L L Halla el Halla menor el múltiplo menor múltiplo de 3; 8 yde12. 3; 824y 12. 24 153 153 40 cm de 40 largo. cm deSilargo. la quiere Si la cortar quiereen cortar cuadrados en cuadrados iguales iguales lo más lo grandes más grandes posible,posible, sin quesin le sobre que le sobre sumaladesuma los tres de los primeros tres primeros 154 Halla 154laHalla 20 20 cartulina, cartulina, ¿cuántos ¿cuántos cuadrados cuadrados obtendrá? obtendrá? E múltiplos múltiplos comunes comunes de 6; 18dey 6; 30.18540 y 30. 540 E Ariana dispone Ariana dispone de tres pedazos de tres pedazos de soga de de soga 64 cm, de 64 cm, 165 165 el mayor el número mayor número de tres cifras de tres cifrasC 155 Calcula 155 Calcula C 32 cm y32 80cm cm.y Si 80 quiere cm. Sicortarlos quiere cortarlos en trozos eniguatrozos iguaque seaque divisible sea divisible por 12; por 20 y12; 30.20960 y 30. 960 les y deles la ymayor de la longitud mayor longitud posible,posible, ¿qué longitud ¿qué longitud debe tener debecada tenertrozo? cada ¿Cuántos trozo? ¿Cuántos trozos obtendrá trozos obtendrá númerosnúmeros de dos cifras de dosson cifras son 156 ¿Cuántos 156 ¿Cuántos en total?en16total? O cm; 11 16trozos cm; 11 trozos múltiplos múltiplos de 6 y 9,depero 6 y 9, nopero de 5?no 4de 5? 4 O tienen números dos números cuyo producto cuyo producto es 108. es Si 108. Si 166 Se tienen 166 Se dos Es cosaEsanunciada cosa anunciada que a laque derecha a la derecha algo valgo, algo valgo, su MCDsuesMCD 3, halla es 3, suhalla MCM. su MCM. 36 36

� �

� � � �

� �

pero a la pero izquierda, a la izquierda, nada denada nada.de nada. EL

L C

R O

e...s qu e... Sa bía sSaqubía

540

540 24

24 960

960 6

1 6260

1 260 4

PrimosPrimos gemelos gemelos Sabemos Sabemos que en que una en pareja una de pareja números de números conse- consecutivos,cutivos, uno de uno ellosde esellos un número es un número par. Porpar. lo tanPor lo tanto, podemos to, podemos afirmar afirmar que no que hay no números hay números primos primos consecutivos, consecutivos, exceptoexcepto 2 y 3. 2 y 3. ¿Habrán ¿Habrán números números imparesimpares consecutivos consecutivos que que sean primos? sean primos? Por ejemplo: Por ejemplo: 3 y 5; 53yy7;5;11 5 yy 7; 13;11 y 13; 17 y 19… 17 son y 19… números son números primos yprimos son dos y son impares dos impares consecutivos. consecutivos. Justamente Justamente se llaman se primos llaman primos gemelos gemelos a dos núa dos números primos meros primos que difieren que difieren en dos en unidades. dos unidades. El primero El primero en llamar enallamar estos anúmeros estos números así fue Paul así fue Paul Stackel Stackel (1892-1919). (1892-1919). Más pares Másde pares primos de primos gemelos gemelos son 29 son y 31;2941y y31; 41 y 43; 59 y43; 61;59 71yy61; 73;71 101 y 73; y 103… 101 yAhora, 103… tú Ahora, buscatú busca otros pares otrosde pares primos de primos gemelos. gemelos.

� �

menor la cantidad menor cantidad de dinero de que dinero se que puede se puede 157 Halla 157 laHalla repartir repartir entre 5;entre 6; 7 o5;13 6; niños, 7 o 13sin niños, que sin sobre quedisobre dinero. 2 730 nero. 2 730

¿Cuál la menor es la menor longitudlongitud que se que puede se mepuede me158 ¿Cuál 158 es � � dir exactamente dir exactamente con unacon regla unaderegla 30 cm, de 30 unacm, de una de 50 cm y50 una cmdey 80 unacm? de 80 cm? 1 200 1 200

� �

va Ana al cine va cada al cine 6 días cadaa6ladías función a la función de noche deynoche y 159 Ana159 Sandra,Sandra, cada 8 días, cada a8 la días, misma a la función. misma función. Si coin-Si coincidieroncidieron el 3 de enero, el 3 de¿qué enero, día¿qué volverán día volverán a encon-a encontrarse? trarse? 27 de enero 27 de enero

Soluciones Más

a ctivida de s

150 MCM = 2 × 3 = 192 ● MCD = 2 = 8 6

MCM = 22 × 3 × 52 × 7 = 2 100 MCD = 22 × 5 = 20 MCM = 33 × 5 × 7 × 1 = 16 065 MCD = 15 MCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 420 MCD = 21

6/7/11 9:12:01 6/7/11 AM 9:12:01 AM

●

151 MCM(12; 36 y 70) = 22 × 32 × 5 × 7 = 1 260 R

152 MCD ● 153 MCM ● 154 MCM ●

(18; 48 y 120)

(3; 8 y 12)

=6 E

= 23 × 3 = 24 L

(6; 18 y 30)

= 2 × 32 × 5 = 90

90 + 180 + 270 = 540 E

155 MCM ●

(12; 20 y 30)

{18; 36; 54; 72; 90} Múltiplos de 6 y 9, pero no de 5: 5–1=4 O Adivinanza: EL CERO

157 MCM ● = 2 730

(5; 6; 7; 13)

= 5 × 6 × 7 × 13

158 MCM = 2 × 3 × 5 ● = 1 200 4

159 MCM = 2 × 3 = 24 ● 3 + 24 = 27 de enero 3

Volverán a coincidir el 27 de enero.

160 MCM ● = 300

(1 700; 1 800; 1 900)

= 22 × 3 × 52

vasos: 300 ÷ 75 = 4 tazas: 300 ÷ 60 = 5

161 1 700 - 1 800 - 1 900 ● 17 - 18 - 19

100

162 MCD = 2 × 5 = 80 ● Armó 80 bolsas 4

Cada bolsa contiene: 10 caramelos, 3 chupetines y 5 paquetes de galletas. = 2 × 5 = 20 163 MCD ● El lado de cada parcela mide 20 m. 2

(120; 140)

Hay 6 × 7 = 42 parcelas. =2 =8 164 MCD ● El lado de cada cuadrado es 8 cm. 3

(32; 40)

Obtendrá 4 × 5 = 20 cuadrados. Unidad Unidad 1 Números 1 Números naturalesnaturales 35

0 AM U01M1 30_039 030_039 35 U01M1 35

(6; 9)

La mayor longitud posible de cada paso es 100 cm.

Resolución Resolución de problemas de problemas

156 MCM = 2 × 3 = 18 ● Múltiplos de 18 de dos cifras:

165 MCD = 2 = 16 ● Cada trozo debe tener 16 cm de 4

longitud. 64 ÷ 16 = 4 32 ÷ 16 = 2 4 + 2 + 5 = 11 80 ÷ 16 = 5 Obtendrá en total 11 trozos.

166 a · b = 108; MCD = 3 ● Propiedad: a · b = MCD × MCM 108 = 3 · MCM MCM = 36

= 22 × 3 × 5 = 60

60 × 16 = 960 C

MCM = 22 × 32 × 5 × 11 = 1 980 MCD = 12

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Voy a

a pre n d e r

4. Potenciación de números naturales

Indicadores de logro Razonamiento y demostración

En un laboratorio se observa que una bacteria se duplica cada hora. ¿Cuál será el número de bacterias después de 5 horas?

Relaciona el cálculo de la potenciación con la multiplicación de factores iguales.

• Graficamos y completamos la tabla con el número de bacterias:

Comunicación matemática Calcula el producto y el cociente de potencias de igual base y potencia de una potencia.

Presenta ejemplos que muestran la utilidad de la potenciación en contextos reales.

Horas

Número de bacterias

Potencia

20 = 1

¿Para qué estudiamos esto? Para resolver y simplificar operaciones aplicando las propiedades de la potenciación.

21 = 2 2

2 =2×2

23 = 2 × 2 × 2

24 = 2 × 2 × 2 × 2

• Calculamos el número de bacterias después de 5 horas:

Resolución de problemas

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bacterias

Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican el cálculo de la potencia de un número natural.

Hay 32 bacterias.

Elementos de la potenciación Exponente

5 veces

La potenciación es la forma abreviada de una multiplicación de factores iguales. an = a × a × a × a … = b

43 = 64 Potencia Base

n veces

Eje mplo 35 Resuelvo problemas usando la potenciación

Potencias y más potencias

Ana y Diego tuvieron tres hijos. Cada uno de ellos tuvo a su vez tres hijos, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene Flavia si es tataranieta de Ana y Diego?

Juego “Descomposición de números” • Elabore tarjetas y escriba diferentes

• Graficamos el problema: Ana Diego – Número de hijos: 31 = 3 – Número de nietos: 32 = 9 – Número de bisnietos: 33 = 27 – Número de tataranietos: 34 = 81 • Flavia es tataranieta; ella y sus hermanos son 3, entonces: 81 – 3 = 78 Flavia tiene 78 primos.

números. Forme parejas de estudiantes y en una bolsa coloque 10 tarjetas. Cada jugador sacará una tarjeta y realizará la descomposición del número expresado en una suma de potencias de 2. Por ejemplo:

• 10 · 10 · 10 = 103 Se lee: 10 al cubo • 2 · 2 · 2 · 2 · 2 … 2 = 295

Hijos Nietos Bisnietos

95 veces Se lee: 2 a la 95 • 4 · 4 · 4 · 4 … 4 = 4n n veces Se lee: 4 a la n

Eje mplo 36 Resuelvo operaciones combinadas a) 32 + 53 – 72 – 19

= 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20

Calculamos las potencias.

Resolvemos la adición. 9 + 125 – 49 – 1 Resolvemos la sustracción. 134 – 49 – 1 85 – 1 = 84 Resolvemos las operaciones de los paréntesis. b) (6 + 2)3 ÷ 23 + (12 – 6)2 × 2 ÷ 3 Calculamos las potencias. 62 ×2÷3 83 ÷ 23 + Calculamos las divisiones y multiplicaciones 512 ÷ 8 + 36 ×2÷3 en el orden en el que aparecen. 64 + 72 ÷ 3 64 + 24 = 88

11 = 23 + 21 + 20 15 = 23 + 22 + 21 + 20 El jugador gana un punto por cada acierto. Si se equivoca, el otro jugador puede corregir y ganar el punto. Si el jugador acierta, seguirá sacando las tarjetas una a una. Si se equivoca, pasa el turno al otro jugador. Gana quien obtenga más puntos.

Calcula 43 × 5 – 60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 8 – 10

305

63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Jerarquía de las operaciones combinadas Para resolver las operaciones combinadas sigue este orden: 1o Signos de colección 2o Potenciación 3o Multiplicación y división 4o Adición y sustracción

Evolución histórica de la potencia Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x. Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna x, x 2, x 3…

Sesión de aprendizaje

030_039 U01M1 36

6/7/11 9:12:03 AM

Inicio

•

Destaque el diagrama de árbol propuesto e invite a los estudiantes a realizar la descripción y el planteamiento del problema y a reconocer cómo expresar las cantidades numéricas como potencias. Presente la relación del esquema con los datos organizados en la tabla. Utilice la barra de zoom para observar el diagrama.

Desarrollo Presente el recurso video para revisar los procesos aplicados en el cálculo de una potencia.

•

Compruebe numéricamente la equivalencia entre la multiplicación de factores iguales y la potenciación correspondiente.

•

Procure que sean los propios estudiantes quienes planteen conclusiones y descubran los criterios para multiplicar y dividir potencias de igual base.

•

Establezca la relación entre la descomposición de un número compuesto y su expresión en forma de potencia. 153 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 33 · 53 182 = 3 · 3 · 3 · 3 · 2 · 2 = 34 · 22

•

Motive la práctica de las operaciones combinadas con potencias para ejercitar los procesos algorítmicos de las operaciones. Refuerce con ejercicios variados.

•

Proponga a los estudiantes la creación de ejemplos para demostrar las propiedades de la potenciación.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Información complementaria

4.1. Propiedades la potenciación 4.1. Propiedades de lade potenciación

Indicadores de logro

Las propiedades de la potenciación permiten la simplificación de los exponentes. Las propiedades de la potenciación permiten la simplificación de los exponentes. Propiedad Propiedad

EjemploEjemplo

Razonamiento y demostración

Simbolización Simbolización

Producto de potencias Producto de potencias • 22 × 2•4 =22(2××242)=×(2(2××2)2××(2 2 ×=264× 2) =m 64 n m m + n 2 × 2) a × a a= a× a = am + n igual base • 22 × 2• 4 = de igualdebase 222×2 +244 == 2262 =+ 464 = 26 = 64 4· ·44· ·44· ·44· ·44 =· 416· 4 = 16 4÷·445 ·=4_____________ 47_____________ • 47 ÷ 4• 5 = Cociente de potencias Cociente de potencias 4 · 4 · 44· ·44· ·44 · 4 · 4 am ÷ an a=ma÷m –ann = am – n 7 7 – 55 igual base • 47 ÷ 4• 5 = de igualdebase 4 4÷ 4 == 4427 =– 516 = 42 = 16 de PotenciaPotencia de una potencia una potencia

cómo queda Observa Observa cómo queda demostrado 1. 50 = 1. demostrado que 50 = que

Comunicación matemática

222×2 × 222×2 = 222×8 = 22256 = 28 = 256 • (22)4 •= 2(22 2×)42=2 × (am)n = a(amm×)n = am × n ×4 = 28 = 256 256 • (22)4 •= 2(22 ×2)44 == 2282 =

Representa simbólicamente las propiedades de la potenciación.

de PotenciaPotencia de un producto un producto

25 = 1 25�= __ 51 = __ 5 = __ 3 � __ • 3(5 2)3 = (10) = 1 000 • (5 × 2) =× (10) 1 000 52 25 52 25 0 (a × b)n(a =× anb) ×nb=n an × bn 5 =1 53125 × 23×=8125 8 = 1 000 • 3(5 =× 532) ×32=3 = = 1 ×000 • (5 × 2) 2 2

de PotenciaPotencia de un cociente un cociente

2 52 52 • (12 ÷• 4)(12 =÷ 324) =29= 32 = 9 =÷ anb) ÷nb=n an ÷ bn (a ÷ b)n(a 2 2 2 0 • (12 ÷• 4)(12 ÷ 42÷=16 144 =÷ 124) ÷ =4212 =2144 = 9÷ 16 = 9 Enageneral: En general: = 1 a0 = 1

50 = 1

5 = 52�– 2 __ =5 5=0 52 – 2 = 50 � __

Explica el uso de la potenciación en contextos reales.

Resolución de problemas

Eje mplo Eje mplo 37 Aplico exponente de exponente Aplico de exponente 37 exponente 0

80 Resolvemos de arriba de 3Resolvemos

2 2225

En el dividendo, resolvemos el dividendo, resolvemos b)(33 ) ÷ (3 ) de arriba de 3 ÷ arriba hacia hacia abajo y, enabajo el y, en el divisor, aplicamos potencia de divisor, aplicamos potencia de 1 4 4 resolviendo de 32 ÷ 31032 ÷ 310 una potencia. resolviendo de una potencia. 23Seguimos Seguimos arriba hacia 3). (31 = 3). arriba hacia abajo (31 =abajo cociente de cociente de 10 AplicamosAplicamos 16 10 16 23CalculamosCalculamos la potencia. 3 ÷ 3 3 ÷ 3 la potencia. de igual base. potencias potencias de igual base.

a) 2

arriba 2 hacia abajohacia 1). (80 = 1). b) (80 =abajo

Aplica las propiedades de la potenciación en la resolución de problemas.

2 5En

= 36 = 729 316 – 10 =33166 –=10729

Eje mplo Eje mplo 38 co expresiones Simpli co expresiones 38 Simpli 6 8 6 8 × 4 × 4 4 × 4 × 4 4 +1 a) ________AplicamosAplicamos a) ________ producto de potencias de igual y 47 + 6 = 413 producto de potencias de igual base: 48 + 6base: = 44158 y+ 64+71 +=6 4=15413 47 × 46 47 × 46

13 cociente de potencias de igual AplicamosAplicamos cociente de potencias de igual base: 415 – base: = 42415 – 13 = 42

Juego “Propiedades de la potenciación” • Forme grupos de 2 o 3 alumnos y

�

pídales que elaboren 24 tarjetas: 12 verdes y 12 azules, y que escriban en cada tarjeta lo que se indica.

3 5 Descomponemos cada factor: cada factor: × 283 Descomponemos × 28 15 155 b) _______ 2 b) _______ 2810 = 2=22× ×7;510 = 2= ×25× y714 = 2 × 7 y 14 2 4 × 142 15 = 3 × 5;1528= =3 2× 5;× 7; 104 × 1410 5 3 2 2 (3 (3 × 5)5____________ (2 × 7)3 (2× ×5)7) ____________ potencia de un producto. AplicamosAplicamos potencia de un producto. (2 × 5)4(2 (2××5) 7)42(2 × 7)2 3 5 5 5 6 5 3 6 3 2× × 3 ×5 × 5 7× 2 × 7 AplicamosAplicamos ___________ ___________ cociente de potencias de igual base. cociente de potencias de igual base. 242×2 × 547×2 22 × 72 24 × 54 × 3 – 2 Calculamos 5 5 – 45 65––44– 2 6 –34––22 Calculamos las potencias. las potencias. ×7 3 × 5 3 ×× 25 × ×2 7 352×0 × 517×1 = 20243 × 71×=5243 7 = 8 505 35 × 51 × × 1 ×× 57 ×= 18 ×505

�

y x x y x Lasx teclas Las teclas nos permiten nos permiten calcular calcular potencias. potencias.

Para35calcular 35, presiona Para calcular , presiona las siguientes las siguientes teclas: teclas: 3 x � 5 3 =x � 5

= 243

243

Entonces,Entonces, 35 = 243 35 = 243

Eje mplo Eje mplo 39 problemas Resuelvo problemas 39 Resuelvo

216

729

x2 ÷ y6

a63

343

x12y16

256

a154

625

a48

a23 · a25

517 · 513

(a14)11

43 · 4

(2 · 3)2

(a3 ÷ a)2

(32)3

a82 · a19

10 calcula – 22, calcula suma de lasdel cifras deldevalor Si M = Si 10M–=22, la sumalade las cifras valor M. de M. 22 seráa la igual a la unidad de 22Hallamos ceros. Hallamos M: unidad seguidaseguida de 22 ceros. M: • 1022 •será10igual

000 000 000… 000= –99 22999 = 99 999999 999… 100 000100 000… 000000 – 22 999… 978999 978

 � � � � � � � � � � �  � � � � � � � � � � �

415 ÷ 413415 ÷ 413 42 = 16 42 = 16

23 cifras23 cifras

22 cifras22 cifras

de lasdecifras + 8 = 195. La sumaLadesuma las cifras M esde20M× es 9 +207 ×+ 98 += 7195. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 37

6/7/11 6/7/11 9:12:04 AM 9:12:04 AM

030_039 30_039 37 U01M1 37 3 AM U01M1

Cierre Invite a los estudiantes a desarrollar las situaciones propuestas en el recurso preguntas. Considere este recurso como un instrumento de evaluación. © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Selecciona las propiedades de la potenciación que se ajustan a la solución del algoritmo y permiten la simpliﬁcación de las operaciones.

Resalte la importancia de descomponer números en sumas de potencias de 10 y pida que completen las siguientes igualdades: a) 5 716 =

× 103 +

b) 2 × 106 + 4 × 105 + 7 × 104

•

× 102 + 1 ×

+ 1 × 103 + 3 × 102 + 2 ×

× 102

6 10

= 2 471 325

(x ÷ y3)2 (21 ÷ 3)3 (x3 · y4)4

2 2 · 23

Reparta las tarjetas verdes en partes iguales entre los integrantes y ponga las tarjetas azules, una sobre otra, boca abajo. Cada integrante del grupo toma una tarjeta azul del montón, calcula su resultado y busca entre sus tarjetas verdes alguna con el valor hallado. Si la tiene, junta las dos tarjetas y las acumula; si no la tiene; devuelve la tarjeta azul y la mezcla con el resto. En ambos casos, pasa el turno al siguiente jugador.

Indíqueles que resuelvan en parejas y escriban el signo = o ≠ según corresponda: a) (5 – 3)2 ≠ 52 – 32

b) (3 · 4)2 ≠ 32 · 42

c) 42 + 32 ≠ (2 + 3)2

d) (3 + 4)2 ≠ 32 + 42

e) (5 + 2)(5 – 2) = 52 – 22

f) (4 + 1)(4 – 1) ≠ 2 · 4 – 2 · 1

g) (52 + 22 · 5 + 22) = (5 + 2)

h) 4 + 7 · (22 – 1) ≠ 11 · (22 – 1) i) (6 + 3)2 · (6 – 3)2 ≠ 92 – 32

Veriﬁque los conocimientos aprendidos con preguntas como las siguientes: ¿Por qué las sucesivas potencias de 1 dan como resultado 1? ¿7² es lo mismo que 27?¿Por qué? ¿Será cierto que (43)2 es igual a (42)3?

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

a ctivida de s

Comunicación matemática

Soluciones

a ctivida de s

169 a) 7 × 3 ● b) 200 + 5

167 Expresa cada multiplicación como potencia. � 6 a) b) c) d) e)

c) (8 + 1) = 9 d) 52 + 63 e) 2 × 93

● =6 ×6 ×6

3 2

168 Diego y Alexia escribieron 6 como un producto. � ¿Quién tiene razón?

4 5

Diego

181 ((3 ) ) × ((3 ) ) ● =3 ×3 =3 5 2 3 30

�

169 Escribe en cada caso la expresión matemática que corresponda. a) El producto de 7 y el cuadrado de 3. 7 × 32 b) La suma de 200 y el cubo de 5. 200 + 53 c) El cuadrado del consecutivo de 8. (8 + 1)2 d) La suma del cuadrado de 5 y el cubo de 6. 52 + 63 e) El doble del cubo de 9. 2(93)

(11 ) × (11 ) 182 ● 11

3 6

__________ 11

11 × 11 = ___ 11 = 1127 = _______ 1111 1111 20

(13 ) × ((13 ) ) 183 ___________ 1310 12 13 × 1324 = ___ 1336 = 1326 = _______ 1310 1310 6 2

3 4 2

170 Calcula las potencias. � 16 a) 24 = d) 72 = 49 g) 92 = 81

● 32 + 2 – 2 × 1 × 9

184 32 + (9 – 7)3 – 2 × 250 × 32

j) 53 = 125 m) 130 = 1

6 5

2 5

8 5

●

186 43 × 5 – [60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7)0 = 64 × 5 – [60 ÷ (4 + 2) × 4 ÷ 5] – 130 = 320 – [60 ÷ 6 × 4 – 5] – 1 = 320 – [10 × 4 ÷ 5] – 1 = 320 – [40 ÷ 5] – 1 = 320 – [8] – 1 = 320 – 8 – 1 = 311

= 30 – [25 – 15 – 3] + 16 = 30 – [7] + 16 = 30 – 7 + 16 = 39

a) 3 d) 4

g) 2

= 27

= 64 = 32

b) 33 = 27 e) 16 = 1

c) 52 = 25 f) 110 = 1

h) 27 = 128 k) 73 = 343

i) 63 = 216 l) 83 = 512

n) 1000 = 1

o) 190 = 1

b) 4 e) 2

h) 1

3 172 10 = 1 000 � 174 (1 + 1 ) = 16 � 4 176 (3 + 2) = 625 �

b) 810 ÷ 87 = 8

c) 1031 ÷ 1018 = 10

d) (56)3 = 5

= 16 =8 =1

c) 3 f) 5

f) (3 × 2)2 = 3

÷2

h) 4

2 32

×2

3 2

4 5

5 2 3

3 6

2 2 0 30

6 2

3 4 2

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: 184 32 + (9 – 7) – 2 × 25 × 3 22 � 185 (3 ) × (3 ) ÷ (3 ) + 3 10 � 186 4 × 5 – [60 ÷ (2 + 2) × 4 ÷ 5] – (6 + 7) 311 � 187 30 – [5 – (7 – 2) × 3 – (30 – 3 )] + 2 39 � 3

6 5

2 5

8 5

De saf ío Sigue la regla y completa las casillas. Luego, suma.

= 81

= 125

= 81

1 = 13 3 + 5 = 8 = 23 7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 15 17 19

13 + 15 + 17 + 19 = 43

21 23 25 27 29

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5 _____________________________________

31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 63 ____________________________________ 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 ____________________________________ 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 73

¿Puedes decir cuánto suman los números de la fila 10? Explica cómo. 1 000; 103 porque se encuentra en la fila 10.

Más actividades

6/7/11 9:12:06 AM

030_039 U01M1 38

•

Resuelve los siguientes ejercicios y ubica cada respuesta en la casilla correspondiente del crucinúmeros. 25. 72 + 21

13. 22 × 30 × 62 × 20 × 2

1. 12 × 12 ÷ 12

26. 5 × 2 + 10

14. 52 × 5 + 50

2. 102 + 101

28. 12 × 12 + 131

15. 32 × 52 – 200

29. 35 + 32 × 5 + 52

16. 42 × 42 ÷ 44 + 102

5. 2 × 3 × 5

30. 5 ÷ 3

18. 104 + 103 + 101

6. 30 × 32 × 32

31. 1 + 250 × 20 – 1

20. 100 × 6 ÷ 30

7. 102 × 5 + 52

32. (13 + 23) × 2 + 10

22. 30 × 54

4. (22)2 × 4 2

9. (52)2 + 103 11. 17 × 102

Verticales

27. 112 × 113 ÷ 114

3. 106 + 104 + 101

21. 3 × 2 × 101

8. 32 × 31

23. (103)0 × 10

10. (87 ÷ 86) – 8 + 562

24. 14 – 2

11. (36 ÷ 36) + 32

9 1

0 17

7 5

0 26

8 8

0 1

4 8

10 12

23 25

2 5

6 6

1 0

0 11

5 15

17. 112

Unidad 1

1. 53

Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

12. 52 × 52

26. [(12 ÷ 12 ) – 13] × 5 4

5 4

6 173 10 = 1 000 000 � 175 ( 5 + 4) = 81 � 6 177 (8 – 5) = 729 �

Horizontales

a) 93 × 92 × 94 = 9

2 3

Halla los números que faltan en cada igualdad.

187 30 – [5 – (7 – 2) × 3 – (30 – 3 )] + 2 ● = 30 – [25 – 5 × 3 – (30 – 27)] + 16 2

�

180 (6 ) × (6 ) × (6 ) 6 � 181 ((3 ) ) × ((3 ) ) 3 � ) × (11 ) (11 (13 ) × ((13 ) ) 182 __________ 11 183 ____________ 13 � � 11 13

171 Escribe en cada casilla el número que corresponda. �

= 340 ÷ 340 + 9 = 30 + 9 = 1 + 9 = 10

�

272 = (33)2 = 36

Aplica propiedades y expresa como potencia.

Razonamiento y demostración

�

(62)2 = 62 × 2 = 64

g) (4 ÷ 2)5 = 4

32 + 8 – 18 = 40 – 18 = 22

185 (3 ) × (3 ) ÷ (3 ) + 3 ● =3 ×3 ÷3 +9

78 ÷ 72 = 78 – 2 = 76

e) [(73)5]2 = 7

2 2 0

5 4

●

64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4

64 = 6 × 6 × 6 × 6

�

179 Escribe los números que faltan. �

Alexia

�

35 × 36 × 3 = 35 + 6 = 311

180 (6 ) × (6 ) × (6 ) 2 3

3 6 × 6 × 6 = ___________________________ 26 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = __________________ 37 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = _______________ 18 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = ____________ 59 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = _________

5 32

Más

178 Marca con un � según sean verdaderas o falsas � estas igualdades. Luego, corrige las falsas.

Más

a pre n d e r

a ender a ay pr Voy Vo

5. Radicación de números naturales 5. Radicación de números naturales

Indicadores de logro

Para el patriótico, desfile patriótico, los alumnos 1. B quieren haPara el desfile los alumnos de 1. Bde quieren hauna formación cuadrada. Si alumnos, son 49 alumnos, ¿cuántos cer una cer formación cuadrada. Si son 49 ¿cuántos debenenhaber cada fila? deben haber cadaen fila?

¿Para qué ¿Para qué estudiamos estudiamos esto? esto?

• Calculamos el número de alumnos que debeenhaber en • Calculamos el número de alumnos que debe haber cada fila: cada fila:

Para reconocer Para reconocer aplicar las y aplicarylas propiedades de propiedades de la radicación en el la radicación en el cálculo mental. cálculo mental.

___

2 = 25 �=√ = 5, todavía Si 5fueran 5 alumnos fila,5serían = 25 5�2 √ 5,25 todavía falta. falta. Si fueran alumnos por fila,por serían ___ ___ 2 = 36 �=√ = 6, todavía Si 6fueran 6 alumnos fila,6serían = 36 6�2 √ 6,36 todavía falta. falta. Si fueran alumnos por fila,por serían ___ ___ 2 = 49 �=√ = 7, alcanza exactamente. Si 7fueran 7 alumnos fila,7serían = 49 7�2 √ 7,49 alcanza exactamente. Si fueran alumnos por fila,por serían

Razonamiento y demostración Calcula la raíz enésima de un número natural.

Comunicación matemática Explica la aplicación de la radicación en contextos reales.

Resolución de problemas

filahaber deben7haber 7 alumnos. En cadaEn filacada deben alumnos. La radicación es la operación de la potenciación. La radicación es la operación inversa inversa de la potenciación.

raíz enésima de un número otro número que elevado a esa enésima La raíz La enésima de un número natural natural es otro es número que elevado a esa enésima resulte el número propuesto. potenciapotencia resulte el número propuesto.

3 3 √ 64 = √ 4 64 = 4

Raíz Raíz RadicandoRadicando

√

Aplica la técnica algorítmica de la radicación para resolver problemas.

Elementos de la radicación Elementos de la radicación Índice Índice

n a = b porque a = b√ porque bn = a bn = a

Eje mplo Eje mplo 40 Calculo raíces raíces 40 Calculo Completa Completa la tabla.la tabla. Radicando Índice Índice Radicando ___ ___ √ 16 √ 16 2 2 16 16 ___ ___ √ 144 √ 144 2 2 144 144

___

3 √ 27

___

3 √ 27

___ 4 ___ √81 √ 81 4 __ 7 __ 7 √1 √1 7 4

Raíz

Comprobación Comprobación

42 = 16 42 = 16

122 = 144 122 = 144

33 = 27 33 = 27

Lectura Lectura de raíces de raíces

√braízsecuadrada √b se lee: lee: raíz cuadrada de b. de b.

3 √ b

3 √ braízsecúbica lee: raíz de b. se lee: de cúbica b. 4

√b

√braízsecuarta lee: raíz de b. se lee: de cuarta b.

n √ b

n √ braízseenésima lee: raízde enésima de b. se lee: b.

3 = 81 3 = 81

17 = 1 17 = 1

Los pitagóricos

___ __ __3 ___ 3 ___5 ___ 5 ___ ___ 7 1 b) 1 √ 2 √32 2 las siguientes 49 √ CalculaCalcula las siguientes raíces: raíces: a) √49a)7 √b) c)1√1343c)7√343 d) √732 d)

Eje mplo Eje mplo 41 operaciones combinadas Resuelvo operaciones combinadas 41 Resuelvo ___ 3 ___ ___ ___ ___ ___ 3 las raíces.las raíces. a) √400 2 16 · √125 a) –√35 400÷ 5– +35√÷16 5 +–√ – 2 · √125CalculamosCalculamos

3 √ �

Resolvemos la adición la y sustracción en el orden Resolvemos adición y sustracción en el orden 20 – 7 +204 – 710+=4 7– 10 = en 7 el que se en presentan. el que se presentan. ___ ___ √25 = 5 √25 = 5 Primero, resolvemos √25Primero, resolvemos

__________ __________ _____ _____

√67 – √67 5 +–√√11 5 + 5√11 + 5

_____

___ _____

___

Seguimos Seguimos con √11 +con 5 =√√ 1116+ 5= 4= √16 = 4

__________ __________ ____ ____ _____ _____ ___

___

__ �3

SHIFT

√67 – √67 del mismodel modo. Continuamos mismo modo. 5 +–4√= =√ 8 64 = 8Continuamos 5 +√467 =– 3√67 – 64 3 ==√ ______________ ______________ _________ _________ ___ _____ ___ ___ _____ ___ ____ ____ 3 3 3 5 53 4 2 4 2 Resuelve: a) √32a)+ √32 1 000 – 5×√316 54+–√√95++7√19 + 7 1 Resuelve: + √×13000 –82 5 √16b)82√4 –b)√√

� y √ y puede √□ se puede √ □� se

� SHIFT

1 7 2� 8 1 = 2

Sesión de aprendizaje

30_039 39 U01M1 39 030_039 6 AM U01M1

7 7 √ Entonces,Entonces, 128 = 2√ 128

Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 1 Números 39

6/7/11 9:12:08 AM 9:12:08 AM 6/7/11

Inicio

Más actividades • Determina el lado de los siguientes cuadrados:

Utilice la herramienta destacar para revisar y plantear el problema propuesto.

•

No se sabe quién descubrió los números irracionales, pero los pitagóricos, a ﬁnales del siglo V a. C., conocían la condición de _ irracionalidad de √2 (números inconmensurables).

calcular lacalcular raíz de lacualquier núraíz de cualquier número. ejemplo, calcular ejemplo, para calcular __Por mero. __Porpara 7 7 √ 128 , presiona √ 128 , las siguientes presiona las siguientes teclas: teclas:

___________________ ___________________ _____________ _____________ ________ ________ ___ ___

√________________ 67b)– √67 5 +–√√11 25 + 5 + √11 ________________

•

, SHIFT Con las teclas Con las teclas √� √�, ,

la divisiónlay división la multiplicación. y la multiplicación. 20 – 3520 ÷ 5– +354 ÷– 52 +× 45 – 2 × 5ResolvemosResolvemos

Información complementaria

Invite a los estudiantes a recrear la situación representando las ﬁlas. Luego, pregunte lo siguiente: ¿Qué operación aplicamos para calcular el total de estudiantes? Si se conoce el total de estudiantes, ¿cómo calculan el número de estudiantes de cada ﬁla?

A = 16 cm2

A = 9 cm2

•

Resalte que la radicación es la operación inversa de la potenciación. La radicación permite calcular la base de una potencia si se conoce la potencia y el exponente. Presente ejemplos.

•

a) ¿Qué operación aplicaste?

Relacione la potencia con el radicando y el exponente con el índice de la raíz, y haga notar que por convención el índice 2 no se escribe.

b) ¿Cuánto medirá un terreno de 900 m² ?

Desarrollo Utilice la herramienta destacar los elemento de la radicación. Invite a los estudiantes a reconocer los elementos de la radicación y hallar la raíz.

Cierre

•

Comente a los estudiantes que no todos los números naturales tienen una raíz exacta. Por ello, explique la utilidad para el cálculo mental de estar familiarizados con los cuadrados de los números del 1 al 20.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

5.1. Propiedades de la radicación

Indicadores de logro

Las propiedades de la radicación son similares a las de la potenciación.

Razonamiento y demostración

Propiedad

Selecciona la aplicación de las propiedades de la radicación al resolver ejercicios para simpliﬁcar el proceso algorítmico.

Comunicación matemática Propone ejemplos aplicando las propiedades de la radicación.

Resolución de problemas Resuelve problemas de contexto matemático y real que requieren de la radicación.

Para que los estudiantes no confundan el proceso del cálculo de la raíz con el proceso de la división, es necesario presentar la noción de raíz cuadrada estableciendo la relación con la operación inversa de la potenciación.

Yo tengo el número 4.

¿Quién tiene 2 elevado a la cuarta?

n √ am = am ÷ n

Raíz de una raíz

____ ___ _ 3 √√ 64 = √4 = 2 ____ ___ ___ 6 ___ 3 3 √√ 64 = 2 ×√ 64 = √64 = 2

___ n · p __ n p __ √ √a = √a

– 3 × 2 + 2 × 51

Calculamos los productos.

117

________ 5 b) √649 × 1283 _________ 5 √ (26)9 × (27)3 ______ 5 √254 × 221 ___ 5 √ 275 = 215

Otra forma de resolver ____________ __________ ________ 24

√ √√[ (5) 4

3 30 (5)18 ]3 __________ 30 × 3 = √(5) (5)18 × 3 _______ 24 90 = √(5) (5)54 _____ = 24√(5)90 + 54 ____ = 24√(5)144 = 5144 ÷ 24 = 56 24

Expresamos los radicandos como potencias: 64 = 26 y 128 = 27 Por potencia de una potencia: 26 × 9 = 254 y 27 × 3 = 221 Producto de potencias de igual base: 254 + 21 = 275 Raíz de una potencia: (2)75 ÷ 5 = 215

Eje mplo 43 Simplico expresiones aplicando propiedades _____________ __________ _________ 4 3 [ (5)30 (5)18 ]3 a) √ √√ _____________ ___________ _________ 3 [ (5)30 (5)18 ]3 √4 _________ √√ Por raíz de una raíz, multiplicamos los índices: 4 × 2 × 3 = 24 30 18 3 [ ] √ (5) (5) Por producto de potencias de igual base: (5)30 + 18 = (5)48 ______ 24 48 3 √[ (5) ] Por potencia de una potencia: (5)48 × 3 = (5)144 ____ 24 144 6 Por raíz de una potencia: (5)144 ÷ 24 = (5)6 √(5) = 5

Sesión de aprendizaje

040_049 U01M1 40

6/7/11 9:12:57 AM

Inicio

•

Proponga la revisión de las propiedades de la potenciación estableciendo la relación con las propiedades de la radicación.

•

Organice grupos para la demostración de una de las propiedades de la radicación presentando ejemplos y explicando los procesos.

Desarrollo

•

Invite a los estudiantes a proponer sus propios ejemplos empleando diferentes recursos para comprobar cada propiedad.

•

Motive a que clasiﬁquen los ejemplos propuestos según la propiedad aplicada en cada caso.

Cierre Aplique el recurso PDF para ejercitar el cálculo en la potenciación y la radicación.

Yo tengo el lado de un cuadrado que mide 9 cm.

n √ an = an ÷ n = __ 3 3 √ • ___ 4 = 43 ÷ 3 = 4 5 • √125 = 12 5 ÷ 5 = 12 __ 7 • √x7 = x 7 ÷ 7 = x

•

Evalúe el aporte de cada integrante del grupo a través de la heteroevaluación.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

¿Quién tiene la medida del lado de un cuadrado de 81 cm2 de área?

Raíz de una potencia

Un estudiante, elegido al azar, lee la pregunta que ﬁgura en su tarjeta, comenzando por la frase “¿Quién tiene...?”.

Yo tengo el número 3.

Resolvemos la sustracción y la adición. + 10 = 19 _____ ______ ______ 10 ____ ___ 9 __ ___ ___ 3 8 Resuelve: a) √ √81 + 5 √168 – √1 b) √ √167 – [ √27 × 64 – √9 – 8 ]

Se entrega una tarjeta a cada estudiante y se sigue esta dinámica:

¿Quién tiene la raíz cuadrada de 16?

= 10 ÷ 2 = 5 __ ___ 4 8 √2 = √256 = 4 __ 4 √ 28 = (2)8 ÷ 4 = (2)2 = 4

15 –

según el número de estudiantes que haya. Cada tarjeta tiene una pregunta en un lado y una respuesta en el otro.

La dinámica continúa hasta que hayan participado todos los estudiantes.

____

n n n √ a ÷ b =√ a ÷√ b

5×3

Juego ¿Quién tiene? ¡Yo tengo! • El presente juego consta de tarjetas

Luego, el estudiante que ha respondido da la vuelta a su tarjeta y formula la pregunta que ﬁgura en ella.

Raíz de un cociente

= 2 × 5 = 10 _______ 3 ___ √1 000 ÷ 8 = √125 = 5 _______ 3 _____ 3 __ 3 √ 1 000 ÷ 8 = √1 000 ÷ √8 3

Fíjate qué sucede cuando la raíz es igual al exponente.

Simbolización ____ __ n n n __ √a × b = √ a ×√ b

Eje mplo 42 Aplico propiedades y resuelvo operaciones combinadas __ _____ _______ ___ 3 4 Calcula el resultado de √ 625 × 81 – 3 √ √16 + 2 √53 . __ ____ _______ __ 3 4 Aplicamos raíz de un producto, raíz de una √ 625 × 81 – 3 √√16 + 2 √53 raíz y raíz de una potencia, respectivamente. ___ ___ ___ 4 4 4 3 ÷ 3 √625 × √81 – 3 √16 + 2(5) Calculamos las raíces.

Posibles diﬁcultades

El estudiante que posea en su tarjeta la respuesta a esa pregunta la lee en voz alta, comenzando con las palabras “Yo tengo...”.

Raíz de un producto

Ejemplo ______ 3 _____ 3 √8 × 125 = √1 000 = 10 ______ __ 3 ___ 3 3 √ 8 × 125 = √ 8 × √125

a ctivida de sde s a ctivida MásMás Comunicación matemática Comunicación matemática las raíces completa. lasyraíces y completa. 188 Calcula 188 Calcula � � __ __ √ √

___

√ 625

___ _ _ �√√ 625625 � √ 625

exacto) exacto) 25 (resultado 25 (resultado

6 36 ____________ 6 porque porque 62 = 36 62 = 36 a) 36a) ____________ ___ ___ _ _ ___ 3 ___ √ 294 �√ 17.1464282 redondeando: 17 294 redondeando: 17 294√ � 29417.1464282 √ 3 √ 5 125 ____________ 5 53 = 125____________ 53 = 125 porque porque ____________ b) √125 b) ____________ ___ ___ __ __ __ __ __ __ 2 2 √ 9 81 ____________ porque porque ____________ c) √81c) ____________ 9 9 = 81 ____________ 9 = 81 √ √ √ 3 10 ______ 415 ______ 636 ______ 6 a) √10a)______ b)3 √15b)______ c) 4√36c)______ __ __ 5 5 √ 3,1622776 3,8729833 6 ___ 6 ___ 3,1622776 3,8729833 porque porque ____________ d) √1 d) ____________ ____________ 11 1 15 = 1 ____________ 15 = 1 __ ___ __ ___ ___ 7 ___ 3 5 3 5 3 3 7 √ √ √ 29 ______ 328 ______ 230 ______ 2 9 d)______ e)2 √ 28e)______ f) 3√ 30f)______ d) √ √ 128 porque porque ____________ e) √ e) ____________ 2 128 ____________ 2 27 = 128____________ 27 = 128 2,0800838 2,0800838 3,0365889 3,0365889 1,9743504 1,9743504

√

8 12

200

32 5 3

√

___ ____ ___ ____ __________ ________ ___ ______

203 � 203 �

7 7 √ 128 √ 128

O T L O E L R E A R NA C N I C A I

2667 59726 4597 27 4 10027 5100 43 5 2 43 3 2

Lucio una tienepieza una rectangular pieza rectangular Lucio tiene de teladecontela con de tablero de ajedrez quiere un hacer un diseño diseño de tablero de ajedrez y quierey hacer mantel cuadrado. tener ninguna de mantel cuadrado. Para noPara tenerno ninguna pérdidapérdida de tela,seLucio se las arregló paralacortar la tres tela en tres tela, Lucio las arregló para cortar tela en partes usando lascuadradas líneas cuadradas los cortes, partes usando las líneas para lospara cortes, sin romper cuadrícula. sin romper ningunaninguna cuadrícula.

211 ● 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 41

212 ●

Soluciones

7 AM U01M1 040_049 40_049 41 U01M1 41

Más

a ctivida de s

189 l = 144 ● ___ l = 144 2

●

√

__________

196 121 × 49 × 100 = ● = 11 × 7 × 10 = 770 _________

197 27 × 64 × 216 = ● = 3 × 4 × 6 = 72 √

___

√121

3 √ 27

__ 3 ___ 3 ×√ 64 × √216

● __ __ _ 199 √7 × √3 × 1 = 7 × 3 × 1 ● = 343 × 9 × 1 = 3 087 8 3 198 √512 × √28 = 54 × 2 = 1 250 6

6 √

___

× √49 × √100

_______

___

6/7/11 6/7/11 9:13:01 AM 9:13:01 AM 3 3 3 √ √ 125 5×7=1 125 × 343 = √ __________ _________ __ × 343 __ = ____ _____ 5 × 7 √25 × √49 √25 × 49

______ 5 __ 5 ___ √32 × √243 ____ __ __ = __________ =2×3=3 4 4 2 √ √ 16 16 ______ ____ ____ __ __ 3 5 √ √524 × √√ √ 230 202 ______________ 200 __ __ 12 2 3 √524 × 10√230 _____ __________ = = 52 × 23 = 1 200 5 ×2 ______ ____ __ _____ ____ 6 3 5 4 5 20 √907 √ √ √ (2 ) × √ ___ 203 ________________ 7 √ 128 ___ 36 __ 20 100 5 √2 × √90 ____ = __________ = 2 × 1 = 24 = 16 2 2

201

l = 12 √

● 200

●

5 √ 32 × 243 ________

210 ●

Cadacortada parte cortada fue yuxtapuesta a otra Cada parte fue yuxtapuesta a otra sin que sin que o falte pedazos. hizo Lucio? le sobreleo sobre falte pedazos. ¿Cómo ¿Cómo hizo Lucio?

______

– 130 + 39 208 2 + 2 + 6 × 4 × (9 – 4) ___ ● = 2 + 8 + 24 × 5 – 169

209 ●

la tarea os ea im os artlaimtar Co mpart Co mp

= 64 – {16 – [(20 – 3) – (6 + 8) + 5] + 13} = 64 – {16 – [17 – 14 + 5] + 13} = 64 – {16 – 8 + 13} = 64 – 21 = 43

√25

207 8 – {4 – [(20 – 15 ÷ 5) – ● (3 × 2 + 8) + 5] + 13}

= 8 + 5 – 6 + 24 – 5 = 26

206 72 ÷ 3 + 5 ÷ 5 – 3 × 2 + 4 × 6 – ● = 72 ÷ 9 + 25 ÷ 5 – 6 + 24 – 5

6 3 7 6 3 7 T 5 4 5 4 3 324 524 30 5 20 5√ 30√ √ √ √(25)√ √×(2√ √√5√ √×√√5√ )20√×90√√√90 16 2× √ ______________ ______________ _______________ 1 2 _______________ 1 ___ ___ 16

202 � 202 �

______ ____ ____ ____ ___ __ ______ __

18 18

= 15 – {4 + [9 – 4 + 3] + 1} = 15 – {4 + 8 + 1} = 15 – 13 = 2

√

205 15 – {4 + [3 – 4 + (3 × 1 )] + 2 } ● = 15 – {4 + [9 – 4 + (3 × 1)] + 1}

a cada aresultado y descubre la palabra escondida. cada resultado y descubre la palabra escondida.

–204{530– –(7{5 – 2)– × )} +– √ (73––2)(30 × 3– –3 (30 316 )} �+ R√16 27 � R 27 204 30� � Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración –205{415 + [3 – 4+ +[3(3–×41+)](3+×21}� – {4 )] I+ 2 }� I 2 205 15� � ___ ___ Halla los números que faltan. Halla los números que faltan. ÷2063 72 + 5÷ ÷ O 25 3 5+–53 ÷× 52 –+ 34 ×× 26 +– 4√×25 6 –� √ 26 � O 26 206 72� � ___ ___ ___ ___ 25 =√5 25 = 5 64 64 = 8 √ √ √ = 8 190 191 190 191 � ______ � ______ � ________ � ________ 43 C 43 –207 {4 8– [(20 ÷ 5)––15(3÷×5)2 –+ (3 8) ×+ 25]++8)13}� – {4– –15[(20 + 5] C + 13}� 207 8 � � _______ _______ √ √ √ √ 900 = 10 + 26= + 2 2 = 2� 100 = + 10 192 6� 193 100 192 193 + 900 597� L 597 2 +26+×24 +× 6(9×–44) – –√4) 130– +√39 × (9 130� +L 39 208 2 +� 208 � � � _____ _____ 4 ___ 4 ___ 6 ___ 6 ___ 67 � T 67 81 64 2 64 = 2 –209 2) (9 –√ + 7÷×4(8+–75) � –T 33 – 32 2) ÷– 4√32 × –(833 – 5) 194 � 195 √� 194 = 3 81 = 3 195 =√ 209 (9 � � � � ___ ___ __ __ ___ ___ √81 + 81 +– √ 36 –– √ (636+ – 400 2 �)]A–100 (6 +)] –400 2 � A 100 210 [7 � 210√[7 Resuelve aplicando propiedades. Resuelve aplicando propiedades. � ___ ___ __________ __________ ___________ ___________ – [(812 ––√[(8 32 – √ 2032) +–620 × 5] ) +�6E× 45] � E 4 √27197 211 12� 211 49 × 100 × 216 121 × 49770 × 100 27 × 6472 × 216 72 � 196 √121 197770 196 ×√ � � � �× 64√___ ___ __ ___ ___ ___ __ ___ _____ _____ ___ ________ _____ __ __ √1)600 √52 ×1 250 √2 1 250 √73 ×× √ 5 �N 5 √31 3 × √1 3 0 212 1 000 –√ – 169 ] 1– 600 582 ]�–N582 [(√×12000 × 169 2 – )√ – √ 0 87 87 [(√ 212 198 √5� 199 √7� 198× √ 199× √ � � � ________ ________ � _______ _______ ___ ___ __ __ √ √ √ √ 125 × 343 32 × 243 125 × 343 32 × 243 _________ ________ _________ ________ ___ ____________ × √{(4 36 ×– √ 5 36 × 4)– –5 2× ×4)√–512 + 512 3 ÷]9+�3A÷39 � A 3 2 ×] √ 200 � 201 � 200 201___ 1 3 1� 3 213 {(4� 213 � � √25 × 49 √25 × 49 √16 √16 _____ _____

= 30 – {25 – 15 – 3} + 4 = 30 – 7 + 4 = 27

patioUn cuadrado tiene 144 losetas del patio cuadrado tiene 144 cuadradas losetas cuadradas del 189 Un� 189 � Luego, Luego, copia la letrala que Resuelve. copia letracorresponde que corresponde mismo tamaño. ¿Cuántas losetas hay en cada lado mismo tamaño. ¿Cuántas losetas hay en cada ladoResuelve. del patio? del 12 patio? 12

204 30 – {5 – (7 – 2) × 3 – (30 – 3 )} + 16 ● = 30 – {25 – 5 × 3 – (30 – 27)} + 4

ObservaObserva los ejemplos y halla el resultado exacto. exacto. los ejemplos y halla el resultado

213 ●

√

= 2 + 8 + 24 × 25 – 13 = 2 + 8 + 600 – 13 = 597 ____ 3 (9 – 2)2 – √ 32 ÷ 4 + 7 × (8 – 5) – 330 _ 3 2 = 7 – √8 + 7 × 3 – 1 = 49 – 2 + 21 – 1 = 67 __ __ ___ 4 [73 + √ 81 – √36 – (63 + √400 )] – 22 = [343 + 3 – 6 – (216 + 20)] – 22 = [343 + 3 – 6 – 236] – 4 = 104 – 4 = 100 __ 5 122 – [(83 – √ 32 – 202) + 6 × 5] = 144 – [512 – 2 – 400 + 30] = 144 – 140 = 4 ___ ____ 6 ____ 3 [(√ 1 000 × 2 – √169 ) – √1 600 ] – 582 = [(10 × 64 – 13) – 40] – 582 = [(640 – 13) – 40] – 582 = [627 – 40] – 582 = 587 – 582 = 5 ___ __ 3 [(4 × √36 – 5 × 4)2 – 2 × √ 512 ] + 33 ÷ 9 2 = [(4 × 6 – 20) – 2 × 8] + 27 ÷ 9 = [(24 – 20)2 – 16] + 3 = [42 – 16] + 3 = 16 – 16 + 3 = 0 + 3 = 3

●

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Uso de la ca lcu la dora cie ntíf ica

Indicadores de logro Razonamiento y demostración

Identificamos las funciones de las teclas de una calculadora científica.

Compara las funciones de la calculadora con los procesos operativos que realiza.

Teclas para desplazar el cursor

Tecla para activar segunda función

Comunicación matemática Describe la función que cumple cada una de las teclas de la calculadora cientíﬁca.

Teclas para potencias y raíces

Tecla de encendido

Conﬁgura tu calculadora en formato matemático digitando

SHIFT MODE 1

para que en la pantalla la operación se visualice como en una hoja de papel.

Resolución de problemas Segunda función

Teclas de paréntesis

Resuelve problemas utilizando la calculadora cientíﬁca.

Teclas para borrar el último dato ingresado

Teclado numérico

Tecla para borrar todo lo ingresado

Teclas de las operaciones básicas

Posibles diﬁcultades

Resolvemos operaciones combinadas utilizando las teclas SHIFT , � , ______ _ _ _ 2 √� • √1 + √9 1 + √� 9 =

Mencionar a los estudiantes que por el momento no se van a utilizar todas las funciones de la calculadora. Solo se van a emplear las siguientes teclas: _

√▯

•

(

2 5

x� x2

4 +

�

–

SHIFT x �

SHIFT 4

√�

�

8 _

√�

)

= (

y x� .

)

SHIFT

Les recomendamos visitar las siguientes páginas web: • http://educacion.practicopedia.com/matematicas/como-usar-una-calculadora-cientifica-10598

Proponga a los estudiantes la revisión de las funciones de cada una de las teclas presentadas.

Ah ora es tu tur no ¿Cuál es la función de las teclas SHIFT y � ? ¿Qué procedimiento resuelve la siguiente operación con la calculadora? Explica. _ 2 × ( 7 – √� 4 ) = ERROR _ 2 × (7 – √4 ) _ 2 × ( 7 – √� 4 � ) = 10

Información complementaria

Resuelve las operaciones. Luego, comprueba tus resultados con la calculadora. ___ ___ ______ _______ 5 3 a) 33 × √32 – √4 + 2 × 6 50 b) √64 + 91 ÷ 7 – √2(3 + 5) 13

Números curiosos

•

Al operar con números, muchas veces se obtienen resultados que si bien carecen de importancia desde el punto de vista matemático, puede ser interesante conocerlos o simplemente curiosos.

Sesión de aprendizaje

040_049 U01M1 42

Al multiplicar los primeros múltiplos de 22 por 3 367 se obtienen productos muy interesantes que nos permiten establecer cierta relación.

Inicio

Pida a los estudiantes que utilicen la calculadora para comprobar estos productos:

Desarrollo

•

33 · 3 367 = 111 111

Proponga a los estudiantes que sigan las indicaciones para establecer conclusiones sobre las funciones de la calculadora a partir de las situaciones sugeridas al resolver operaciones combinadas.

•

Realice las actividades de la sección “Ahora es tu turno” para veriﬁcar las funciones de las teclas y el orden adecuado al realizar operaciones combinadas.

66 · 3 367 = 222 222

• •

165 · 3 367 = 555 555

Permita la experimentación de los estudiantes para que descubran las funciones de la calculadora cientíﬁca.

198 · 3 367 = 666 666 231 · 3 367 = 777 777 264 · 3 367 = 888 888 297 · 3 367 = 999 999

Cierre

•

6/7/11 9:13:04 AM

Motive la reﬂexión sobre el uso de la calculadora al resolver ejercicios sin crear dependencia.

99 · 3 367 = 333 333 132 · 3 367 = 444 444

• http://www.support.casio-europe.com/es/download/manuals/calc/fx-115ES_570ES.etc_Appendix.pdf

Revise los aprendizajes adquiridos mediante procesos de metacognición. Para ello, pregunte lo siguiente: ¿Para qué aprendemos a usar la calculadora? ¿Qué funciones consideran básicas en la calculadora? ¿Qué funciones les parecieron nuevas? Sugiera que lean la información presente en el recurso enlace web para que se ejerciten en el uso de la calculadora reconociendo sus funciones.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

■

__ 3 24 – √8 ______ ____ 4 52 + √ √(92)2

•

√�

í ndí ndre apre e ap a noizlo oquloe qu O rgOargn iz

Página web • Proponga la revisión de esta página

Números naturales (IN) (IN) Números naturales

web que le permitirá al estudiante conocer los números, su origen, cómo utilizarlos… Muestra también actividades interactivas donde el estudiante podrá leer, escribir y comparar números naturales.

Operaciones en INen IN Operaciones AdiciónAdición y sustracción y sustracción Multiplicación Potenciación y división Multiplicación y división Potenciación

• Adición: • Adición: a + b = s,a a+ yb b= ∈ s, IN a y b ∈ IN suma suma sumandos sumandos

• Multiplicación: • Multiplicación: a × b = c, a yb b= ∈ a× c, IN a y b ∈ IN productoproducto factores factores

Radicación Radicación

http://www.rena.edu.ve/ ppaMatematicas/matemat.swf

Propiedades Propiedades Propiedades ____Propiedades ____ _ n n __ n _ n n n • am × a•n =amam×+an n = am + n • √ a × b• √ =√ b a × √b a ×a b× =√√ ____ ____ m n m m – nn m–n _ n n __ n _ • a ÷ a• =a a ÷ a = a n n n √a ÷ b• √ √√ √ • = a ÷ b a ÷ b = a ÷ √b m ×mn n __ n __ • (am)n =• a(a ) = am × n n m m ÷ nm m÷n √ √ • a = a • a = a ___ ___ • (a × b)•n (a = a×n × b)bn n= an × bn m n _ m m n× n_ _ m × n _ √ √ a a= √a • (a ÷ b)•n (a = a÷n ÷ b)bn n= an ÷ bn• √a • = √√

• Sustracción: • Sustracción: • División: • División: b ∧ a ≥ bD d D d a – b = d, b∈ a –a by = d, IN a y∧ba∈≥ IN diferencia diferencia r C r C sustraendo sustraendo D: Dividendo d: Divisor D: Dividendo d: Divisor minuendo minuendo C: Cociente r: Residuo C: Cociente r: Residuo D = C ×Dd = +C r ×d+r

Propiedades de losdenúmeros naturales Propiedades los números naturales Múltiplos y divisores Múltiplos y divisores

MínimoMínimo comúncomún múltiplo múltiplo

Criterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad

• Si a ×•n Si = b, b es a ×entonces n = b, entonces b es y máximo comúncomún divisordivisor Por 2: SiPor y máximo termina en cifra en par.cifra par. 2: Si termina múltiplomúltiplo de a y n de ∈ IN a .y n ∈ IN. • El MCM el menor los múltiplos • ElesMCM es eldemenor de los múltiplos Por 4: SiPor las 4: dos son Siúltimas las dos cifras últimas cifras son • Si a ÷•b Si es aexacta, ÷ b esentonces exacta, entonces comunescomunes de dos ode más dosnúmeros. o más números. 0 o 4° 0 o 4° b es divisor a. de a. b esde divisor • El MCD el mayor los divisores • ElesMCD es eldemayor de los divisores Por 5: SiPor termina en 0 o 5.en 0 o 5. 5: Si termina comunescomunes de dos ode más dosnúmeros. o más números. ° ° Por 3: SiPor la suma desuma sus cifras escifras 3. 3: Si la de sus es 3. ° ySi3. ° es 2° y 3. ° Por 6: SiPor es 26: ° ° Por 9: SiPor la suma desuma sus cifras escifras 9. 9: Si la de sus es 9.

Metacognición Al ﬁnalizar la unidad y antes de resolver las actividades de “Aplico mis cococimientos” plantee a los estudiantes las siguientes preguntas:

lua ción evación la lua la aeva paroapar preopar preepar Me M

en la os en la númer númer los os los de ilidad divisibde la ilidad la divisib na- os na-Aplico Aplico númer los númer de losos decado signifi signifi elcado elreto Interp Interpreto mas. mas. proble proble de de ción ción resolu resolu as as divers divers en en propiedades sus dades y depropie y des sus turalesturale y y simple ción simple traduc traduc de ción demas proble proble vo mas contextos. y contex Resuel Resuelvo ones y tos. situaci situaciones naturales natura os les os númer númer ran ran involuc involuc que que ja ja comple comple usando usando operaciones de iones de operac estimaciones estimaciones RealizoRealizo operaciones. y sus iones. y sus operac cálculo de .cálculo. de egias estrat estrategias propiedalas propie do las daaplican iones do operacaplican operac vo iones vo Resuel Resuel es es patron patron simbolizo simbol y izo y lizo genera genera fico, lizo Identi Identifico, radicación. la radica y lación. potencyiación la potenc de la iación des de des numéricos. numéricos. 43

1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 43

Evaluación

4 AM U01M1 040_049 40_049 43 U01M1 43

6/7/11 6/7/11 9:13:09 AM 9:13:09 AM

Una lista de cotejo permite valorar los rasgos más destacados del trabajo realizado por los estudiantes(E). Aspectos que se deben observar © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

Utiliza la terminología asociada a los contenidos tratados. Propone problemas análogos a los existentes, referidos a la misma información.

•

¿Les resultó fácil aplicar los procesos algorítmicos de las operaciones con números naturales?

•

Para desarrollar el algoritmo de la división, ¿qué fue lo que les resultó más útil?

•

¿Les ayudó las propiedades de la potenciación y radicación en la solución de ejercicios?

•

¿Qué recursos les han sido más útiles en la resolución de problemas? Expliquen.

•

¿Qué temas desarrollados en la unidad necesitan ejercitar más?

•

¿Para qué les sirven los contenidos desarrollados en la unidad?

•

¿Qué estrategias usaron en la resolución de problemas?

•

¿Fue útil la aplicación de los recursos PDF, videos, PPT y ﬂash para el desarrollo de los contenidos propuestos en la unidad? ¿Por qué?

Propone problemas bastante diferentes, referidos a la misma información. Amplía información aportando nuevos datos con los que formula otros problemas. Realiza con criterio la búsqueda y obtención de información. Propone problemas que corresponden a los diversos contenidos de la unidad. Cuida la presentación de sus trabajos y muestra interés por mejorar sus resultados. Se preocupa por saber lo que hace y por qué lo hace. Muestra interés por conocer sus errores más frecuentes y sus puntos débiles y se esfuerza por potenciarlos. Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

conoci mientos mis conoci mientos

Soluciones

mis con oci mie ntos

Aplico

224 (100 + 80 + 7) × 1 000 ● = 100 × 1 000 + 80 × 1 000 + 7 × 1 000 = 100 000 + 80 000 + 7 000 = 187 000

● = 8 000 × 100 000 + 700 ×

225 (8 000 + 700 + 60 + 2) × 100 000 100 000 + 60 × 100 000 + 2 × 100 000 = 800 000 000 + 70 000 000 + 6 000 000 + 200 000 = 876 200 000

226 71 × 5 × 2 × 10 = 71 × 10 × 10 ● = 7 100 227 4 × 100 × 3 × 100 × 2 × 10 ● = (4 × 3 × 2) × 100 × 100 × 10 = 2 400 000

228 96 × (100 + 1) ● 96 × 100 + 96 × 1 = 9 600 + 96 = 9 696

Escribe V si es verdadero o F si es falso. _____ ___ __ 214 √25 × 9 = √25 × √9

� 215 (13 – 10) = 13 – 10 � 216 90 posee 12 divisores. � 217 Todos los números primos son impares. � 218 Los términos de una radicación son: � índice, radicando y raíz. 219 � Todo múltiplo de 5 es múltiplo de 10. 2

241 Completa el cuadro. �

Divisores

F V F V

Número

Múltiplos

1; 2; 3; 4; 6; 12

0; 12; 24; 36; 48; ...

1; 2; 4; 5; 10; 20

0; 20; 40; 60; ...

1; 2; 4; 8; 16; 32

0; 32; 64; 96; ...

1; 2; 5; 10; 25; 50

0; 50; 100; 150; ...

242 Rodea los números según la clave. �

a) Con rojo si es número primo. b) Con azul si es número compuesto. c) Con verde si no es primo ni compuesto.

Calcula el número que falta en cada sustracción. 5 005 = 18 760 220 23 765 – ___________ � 452 001 221 648 098 – ___________ = 196 097 � 109 274 – 96 509 = 12 765 222 ___________ � 485 010 – 186 306 = 298 704 223 ___________ �

= 8 700 – 87 = 8 613

● × 5 = 100 × 5 = 500 231 200 ● 2 232 (8 + 1) = 9 = 81 ● 233 El producto de 3 y 2 sumado con ● el producto de 5 y 9. 230 (4 × 7) + 8 = 28 + 8 = 36 ___

234 El doble del cuadrado de 8 dismi● nuido en 50. 235 El cociente de 4 y 2 multiplicado ● por 5 sumado con 11, dividido entre 3.

Relaciona cada sucesión con su patrón.

√81

36; 30; 24; 18; 12; …

–6

5; 15; 45; 135; …

×2

2; 13; 24; 35; 46; …

___

(22)3 8

√ 121

__ 3

√49

Completa aplicando las propiedades de la potenciación. Explica a un compañero. 2 244 7 × 7 × 7 = 7 � 3 246 13 × 13 = 13 � 2 248 7 ÷ 7 = 7 � 6 250 5 ÷ 5 = 5 � ____ 252 (5 ) = √ 5 � 2 254 ( 13 ) = 13 � 4

4 245 5 × 5 × 5 = 5 � 4 247 8 × 8 × 8 = 8 � 6 249 8 ÷ 8 = 8 � 3 251 6 ÷ 6 = 6 � 3 253 (6 ) = 6 � 3 255 (7 ) = 7 � 3

×3

199

128

3 √ 125

3; 6; 12; 24; 48; …

101

Numera en orden las demás.

230 El producto de 4 y 7 sumado con 8. (4 × 7) + 8 = 36 � 200 × 5 = 500 231 La mitad de 200 multiplicada por 5.( ___ 2 ) � El cuadrado del consecutivo de 8. (8 + 1) = 81 232 � El producto de 3 y 2 sumado con el 233 (3 × 2) + (5 × 9) � producto de 5 y 9. 234 8 × 2 – 50 El cuadrado de 8 multiplicado por 2 y � restado en 50. 235 (4 ÷ 2 × 5 + 11) ÷ 3 La tercera parte del cociente de 4 � y 2, multiplicado por 5 y sumado con 11.

� 237 � 238 � 239 � 240 �

Escribe la expresión matemática o verbal según corresponda. Luego, resuelve.

+ 11

243 La primera pieza de un dominó es esta: � ___

224 187 × 1 000 187 000 � 225 8 762 × 100 000 � 876 200 000 7 100 5 × 71 × 2 × 10 226 227 400 × 300 × 20 � � 2 400 000 228 96 × 101 9 696 229 87 × 99 � � 8 613

236 3; 7; 11; 15; 19; …

83 1

Resuelve aplicando propiedades.

229 87 × (100 – 1) ● 87 × 100 – 87 × 1

mis Aplico Aplico

Más actividades

6/7/11 9:13:14 AM

040_049 U01M1 44

1. Escribe la expresión numérica que corresponda en cada caso. Luego resuelve: a) A 15 le restas 3 y el resultado lo divides entre 4. (15 – 3) ÷ 4 c) Al triple de 20 lo divides entre 5. 3 × 20 ÷ 5 d) Al doble de 80 lo divides entre 2. 2 × 80 ÷ 2 e) Al producto de 6 y 7, lo divides entre 3. 6 × 7 ÷ 3 f) Al triple de 10 más el doble de 12, lo divides entre 2. (3 × 10 + 2 × 12) ÷ 2 2. Resuelve las siguientes operaciones: 53 · 52 · 56 5 a) ________ 54 · 55 · 51

[

(5 + 1)2 (7 – 1)3 (10 – 4)4 b) ___________________ (3 + 3)4 (11 – 5)3 (14 – 8)4 ____________

d) (34 · 22) ÷ (32 · 2)1 18

]

100

√100 ÷ 52 + 3 · 7 + (3 · 2)2 + 23 c) ________________________ 7 (4 + 2 + 1)

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

_________________ 3 42 · 43___ · 2 · 4___ · 46 _________________ ___

√ √16 · √64 · √256 · 2

512

_________________ __ 3 √ 64 + √83 ÷ 4 + 52 · 3 + 11 · 2 + 3 · 2 5 f) _____________________________ 50 · 5

b) La quinta parte de 100 menos la sexta parte de 60. 100 ÷ 5 – 60 ÷ 6

r r Para reforza Para reforza

NIVEL I NIVEL I

CalculaCalcula el valoreldevalor a ende cada a encaso. cada caso. __ __ 648 a = 64 = 8√aa= = 81 3aa ==481 a = 4 256 √a 256 257 3a =257 _____ _____ a a5 5 × 3√ 2= 6× a35= =5 6 a = 5 258 52a = 2582552aa == 125 a = 1 259 √25259 _____ _____ 3 3 3 = 3+aa==7 3 a = 7261 (4a)261 = 1(4aa)=3 0= 1 a = 0 260 √20260+ a√20 __ __ __ a a 1 __ a = _ 1 a _ = 5√a53= =3 5 a = 3 =√ (238)a a==√ 262 √53262 263 (23)263 28 2

� � � �

En algunos En de algunos estos de estos problemas problemas hay más hay de más de una respuesta una respuesta correcta.correcta. Márcalas.Márcalas.

Resuelve Resuelve aplicando aplicando propiedades propiedades de la radicación. de la radicación. ___________ ___________ ___________ ___________ 3 3 840√8 265 49 144 × 100 × 49 840 × 100 265 × 27√×8 1× 000 27 × 160000 60 264 √144 264×√ ____ ____ __ 3____ ____ 3 ____ __ __________ __________ √64× √ √64 √√16 ____________ √ × √16 √64 ×_____________ √64 × 625 × 36 × 625 267 ____________ 266 _____________ 266 336 267 5 ___ 5 ___2 ____________ ____________ 2 5 5 3 √ √ 32 32 √125 ×√ 216 125××512 216 × 512 ____ _____ _____ _____ ___ _____ ___ __ 3 ____ __ 3 6 4 2 6 √ √81_____________ √×√√ √54 × 5__________ √ 81√1× √ √1 1 __________ 5× 5×___ 5 × 52 ___ 268 _____________ 2683 ____3 ____1 269 269 25 25 3 3 15 √9 × 3 √9 × 3 √5 √515

� � � �

� �

√

6a = a5 a=5 _____ 3 20 + a = 27 260 √20 + a = 3 a=7

●

261 (4a) = 1 ● 2 =2

Para calcular 5 × (15 5+×18) (15se+co18) se co271 Para 271calcular � � mienza mienza a efectuar… a efectuar…

De izquierda De izquierda a a derechaderecha

5 × 15 5 × 15 400

� �

24 � 24 �

Para obtener 5, es necesario 5, es necesario dividir dividir 273 Para273obtener 120 entre… 120 entre…

resultado de 6 – de 3 ×68 –÷ 34 × 8 ÷ 4 275 El� 275 El resultado �

30 � 30 �

número que sigue queensigue en 276 El� 276 El número �

es igualesa… igual a…

240

4 sea divisible por por 3 2 que4 3sea 2 divisible 278 Para 278quePara � � 6, la cifra 6, la que cifra faltaque puede faltaser... puede ser... 8

� �

2 + 2)(10 equivale + 2)2 equivale a… a… 280 (10 280

� –6 � 36 – 6 36

0 �

�

0 �

(344)2 �(344)2 � 2

10 + 2 10 + 2

__________

9�

(3 + 4)8(3 + 4)8 2

12 � 12 �

�

● ● 266

342

3 � 4

342

_________

√64 × 36 × 625 _____________ ___________ 3 √ 125 × 216 × 512

___

√64 × √36 × √625 ___ 3 ___ 3 ___ = ________________ 3 √ 125 × √216 × √512

0o3 0o3 3 �

___

√100

√

= 12 × 7 × 10 = 840 __________ 3 1 000 265 √8 ×_ 27 ×__ ____ 3 3 3 =√ 8 ×√ 27 × √ 1 000 = 2 × 3 × 10 = 60

8 × 6 × 25 = 5 = _______ 5×6×8 ____ ____ __ __ 3 √ √ √16 × √ __ 64 267 ____________ 5 √32 __ 6 __ 4 √16 × √64 ____ __ = _________ =2×2=2 5 2 √ 32 ___ ____ __ 6 _ __ _ 3 4 √ √1 √√81 × √ 81 __ × √1 ________ ____ = 268 ___________ 3 3 √ √ 27 9×3 3×1=1 = ____ 3

●

144 � 144 �

4 AM U01M1 40_049 040_049 45 U01M1 45

●

6/7/11 9:13:16 6/7/11 AM 9:13:16 AM

3. Resuelve los siguientes problemas: a) Determina el lado de una cisterna en forma de cubo si se sabe que su volumen es 343 000 m². 7 cm

3/2

√

36 � 36 �

cifras sea cifras múltiplo sea múltiplo de 3 de 3

a=3

264 144 × 49 × 100 = ● ___ __ = 144 × 49 ×

20 �____ 20 � ____ 9–7 9–7

20 ÷ (9 20 – 7) ÷� (9 – 7) �

a = 1/2

Unidad Unidad 1 Números 1 Números naturalesnaturales 45

√

impar impar

se puede 34 seexpresar… puede expresar… 279 34� 279 �

3 a

Para un que número un número sea divisible sea divisible Su última Su cifra última seacifra sea 277 Para 277que Que seaQue número sea númeroQue la suma Que ladesuma sus de sus � � por 3, espor necesario... 3, es necesario... © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

1; 4; 9; 1; 16;4;25; 9; 16; … es... 25; … es...

15 + 1815 � + 18 �

4 000 �4 000 �

cociente de 20 entre de 20laentre diferenla diferen274 El � 274 El cociente � 20 ÷ (9 20 + 7) ÷ (9 + 7) cia de 9cia y 7de se9puede y 7 seescribir… puede escribir… 2

400

(22a)3 = 20 6a = 0 a=0

5 =5 262 √5 = 5 ● __ 263 (2 ) = √2 ● 2 =2 3a = 3/2 a

× 8125 = 1 ×000, 8 =entonces 1 000, entonces 272 125 272 � � 250 × 16 250 es ×igual 16 esa… igual a…

Dos productos Dos productos

50 × En4,50los× números 4, los números 50 y 4 50 y 4 270 En� 270 � Dos factores Dos factores Dos sumandos � � Dos sumandos son… son…

Evalúo Evalúo respuestas respuestas A

_ a = 8 = 64 256 a = 8 ● 3 =3 a=4 257 3 = 81 ● 2a = 2 a=1 258 5 = 5 ● _____ ×3 =6 259 √2_____ ● √(2 × 3) = 6 6 = (2 × 3)

b) Un grupo de estudiantes realiza un viaje a la Reserva Nacional de Paracas. Treinta de ellos viajan en la empresa El Rápido. Dos buses de la empresa El Viajero trasladan a 28 estudiantes cada uno. Si además 18 decidieron viajar en sus propios autos, ¿cuántos estudiantes fueron a Paracas? 104

● 269

_____

√5 × 5 √ √5 × 5 × 5 ___________ _________ __ = 5 × __ 4

√5

52 × 53 × 52 = __ 57 = 52 = 25 = ________ 55 55

c) Al comprar un auto se realizan los siguientes pagos: $ 1 450 de cuota inicial, 18 cuotas de $ 415 cada mes y 6 cuotas de $ 210. ¿Cuál es el valor del carro? $ 10 180 d) Halla el lado de un terreno de forma cuadrada si su área es 6 400 m². 80 m 4. Escribe en una sola potencia las siguientes operaciones: a) 23 · 25 28 b) 67 · 64 611 c) 58 ÷ 58 50 f) (45)3 415

g) 52 · 54 · 53 59

h) 89 ÷ 87 82

d) 34 · 37 · 30 311

e) 52 · 50 · 57 59

i) (66 · 32)2 612 · 34

j) (64)3 612

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

�

n.º de autos

1 2 3 4 5 6 7 8

n.º de caras ocultas

1 4 7 10 13 16 19 22

291 58 cubos; 94 cubos ● __ ___ 292 512 __ ÷ 2 + 3 × √2 – ● ( √5 ) + 2 3 √

24 0

5 2 8

1 3

4 5

3 6

1 5

3 3 3

4 8

8 8 8

�

7; 9; 0; 4; 8 a) b) c) d)

= 8 ÷ 8 + 343 × 2 – 1 + 2 = 1 + 686 – 1 + 512 = 1 198 __ __ 3 20 √81 + 22 × ( √740 )0 – ÷__ 293 35____ __ 3 √√81 ÷ 3 × √27 __ 4 = 243 ÷ 9 + 28 × 1 – √ 81 ÷ 3 × 3 = 27 + 256 × 1 – 3 ÷ 3 × 3 = 27 + 256 – 1 × 3 = 27 + 256 – 3 = 280 ___ __ 3 294 5 × {[(√343 + 4 × 7) ÷ 5 + √49 ]} ÷ 2 – (32 – 23) = 5 × {[(7 + 28) ÷ 5 + 7]} ÷ 2 – (9 – 8) = 5 × {[35 ÷ 5 + 7]} ÷ 2 – (9 – 8) = 5 × {7 + 7} ÷ 2 – 1 = 5 × (14) ÷ 2 – 1 = 5 × 7 – 1 = 35 – 1 = 34

Divisible por

Número

●

258

Sí

1 176

Sí

2 420

Sí

55 030

Sí

77 990

Sí

285 Pinta las igualdades verdaderas. �

●

15 = 5° + 1

34 = 3° + 1 �

° +2 41 = 10

° –2� 24 = 13

° –3 23 = 10

° – 1� 19 = 10

83 = 9° – 7 �

° – 2� 75 = 11

286 ¿Qué número pensó cada niño? �

÷ 819] = 30 + 64 ÷ 8 × [(36 – 3 ÷ 3) ÷ 7 + 8 1] = 30 + 8 × [(36 – 1) ÷ 7 + 8] = 30 + 8 × [35 ÷ 7 + 8] = 30 + 8 × [5 + 8] = 30 + 8 × 13 = 30 + 104 = 134 ___ __ 3 √36 – 5 × 4)2 – 2 × √ 512 296 [(4 ×____ __ 4 5 + √√360 ] ÷ 9 __ 20 = [(4 × –20)2 – 2 × 8 + √360 ] ÷ 9 = [(24 – 20)2 – 16 + 33] ÷ 9 = [42 – 16 + 27] ÷ 9 = [16 – 16 + 27] ÷ 9 = 27 ÷ 9 = 3

●

N+5

N+7

Juan

N–4

N–2

Total

3N + 3

288 Carmen participa en una campaña para que la gente � tome conciencia del deterioro de la capa de ozono. Hoy mandará este mensaje a tres amigos.

Charla informativa sábado 10 a.m.

gos.

¡SALVEMOS EL PLANETA! a) Si cada amigo, al minuto siguiente, mandará el mensaje a 3 amigos y la cadena no se rompe, ¿cuántos mensajes se enviarán en el cuarto 4 minuto?¿Y en el minuto 10? 310= 81 mensajes

b) Si cada amigo envía 5 mensajes en lugar de 3, ¿a cuántas personas les llega el mensaje en el minuto 10? 510 = 9 765 625 personas

Álvaro

Jimena

residuo es 5; si los divides entre 9, el residuo es 8. ¿Qué número pensé?”. 71

Más actividades

6/7/11 9:13:19 AM

040_049 U01M1 46

el mayor valor de a para que cada número sea divisible por 6. 1. Calcula _____ _____ _____ _____ a) 46a14 9 b) a0462 9 c) 5170a 8 d) 112a6 8

______ e) 472a52 7

_____ f) a5674 8

el valor de b para que cada número sea divisible entre 9. 2. Halla ______ ______ ______ _____ a) 7128b3 7 b) 3b4502 4 c) 16832b 7 d) 4571b 1

_____ e) 5b216 4

______ f) 33b612 3

3. Lee y responde. Una revista tiene más de 12 páginas y menos de 28. Si el número de páginas es múltiplo de 3 y 5, ¿cuántas páginas tiene la revista? 15 páginas 4. Escribe V si es verdadero o F si es falso. a) 0 es múltiplo de cualquier número.

b) 4 es divisor de 70 y 82.

c) 1 es divisor de todos los números.

d) 98 es múltiplo de 14.

e) 107 es un número primo.

f) 1 254 es divisible por 3.

5. Calcula la cantidad de divisores que tienen los siguientes números: a) 120 16 b) 252 18 c) 540 24 d) 500 12

Pamela

3 = 59 049 mensajes

Si le saco la raíz cuarta, me da 3.

3 √

Martín

289 Descubre la adivinanza de Darío: “El número que � pensé es menor que 75. Si lo divides entre 6, el

64 ÷ 2 × 295 900 + __ ● [(6 – 27 ÷ 3) ÷ 7 + 8 √

Tarde

Envía este mensaje a 3 ami

16 = 5° + 1 �

Si lo elevo al cubo, me da 125.

Mañana

a) ¿Cuál de los tres tiene más videojuegos en la mañana? ¿Y quién tiene menos? Pamela; Juan b) En la tarde, ¿cuál de los tres tiene más videojuegos? Martín c) Si Juan tuvo en la mañana la mínima cantidad de videojuegos, ¿cuántos videojuegos tienen los tres juntos? 6 d) Si en total tienen en la tarde 21 videojuegos, ¿cuántos tiene Pamela? 6

_____ 4 es el MCD de 12 y 20. _____ 7 es número primo. _____ 4; 8 es divisor de 40. _____ 9 es divisible por 3.

284 Completa el cuadro. �

287 En la mañana, Pamela tiene 7 videojuegos más que Martín, y Juan, 4 menos que Martín. En la tarde, Pamela le da a Martín 5 videojuegos y a Juan le quita 2. Completa el esquema y responde.

283 Escribe los números del recuadro donde corresponda. Justifica tu respuesta.

9 7

8 8 3

___

5 0 4 ×

282

5 7

●

290 ●

�

2 6 9 ×

281

289 N < 75 N = °6 + 5 = °6 – 6 + 5 = °6 – 1 N = °9 + 8 = °9 – 9 + 8 = °9 – 1 ° –1 N = MCM ° ° – 1 = 18 (6 y 9) N = 72 – 1 = 71

�

Completa las multiplicaciones.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

b) 510 = 9 765 625

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

e) 345 8

f) 225 9

288 a) 3 × 3 × 3 × 3 = 3 = 81 ● 3 = 59 049

r r Para consolida Para consolida NIVEL II NIVEL II

el residuo el residuo que se que obtiene se obtiene al dividir al dividir 39 39 298 Calcula 298 Calcula � � 3 entre 4.entre 4. 3

Observa Observa la secuencia la secuencia de cubos de cubos y fíjatey en fíjate el número en el número de caras de caras ocultasocultas en cadaenfila. cada fila.

297 a) • ¿Cuál es la distancia ● de Pisco a Casma?

múltiplos múltiplos de 3, diferentes de 3, diferentes de cero,dehay cero, hay 299 ¿Cuántos 299 ¿Cuántos � � entre 30entre y 195? 30 54 y 195? 54 __

la tabla.la tabla. 290 Completa 290 Completa � � n.° de cubos n.° de cubos 1 2 13 24 35 46 57 68 7

•

¿Cuál es la distancia de Nasca a Huaraz? • ¿Cuál es la distancia de Lima a Huaraz? b) 815 – (213 + 79 = 523 km c) [815 – (460 + 79)] ÷ 2 = 138 km

ab ab es múltiplo de 7, ¿cuál de 7,es¿cuál el mayor es el valor mayordevalor de 300 Si � 300esSimúltiplo � a + b? 17 a + b? 17

� �

3 n.° de caras n.° de caras Si A301= 3Si ×A7=2 ×3311 × 7y2 ×B11 = 2y4 ×B3=5 ×247××11, 35 × calcula 7 ×11, calcula 1 4 17 410 713 10 16 13 19 1622 19 22 301 ocultas ocultas ÷ MCD÷ MCD MCM MCM 1 008 1 008 (A; B)

(A; B) (A; B)

(A; B)

MCM MCM dos números de dos números es 90 y es su 90 MCD y suesMCD 9. Si es 9. Si caras ocultas caras ocultas habrá en habrá un bloque en un bloque de 20 de 20 302 El � 302 Elde 291 ¿Cuántas 291 ¿Cuántas � � � uno de los unonúmeros de los números es 18, ¿cuál es 18,es¿cuál el otro esnúmero? el otro número? cubos? cubos? ¿Y en uno ¿Y de en 32 unocubos? de 32 cubos? 58; 94 58; 94 45

� �

tienen números dos números cuyo producto cuyo producto es 216. es Si 216. su Si su 303 Se tienen 303 Sedos Resuelve Resuelve las operaciones las operaciones combinadas. combinadas. MCD es MCD 6, calcula es 6, calcula su MCM. su MCM. 36 36 __ __ ___ ___ ___ 3 ___ 2 0 2 4 4 12 3 3 √25424–)0(12+ √25324 )998 + 3÷5 × 23√+234 5–×(√ + 23 998 292 √512 292 ÷√2512 Para realizar un trabajo un trabajo grupal, grupal, el profesor el profesor puede puede ___ ___ _____ _____ ___ ___ ___ ___ 3 ___ 3 ___ 304 Para304realizar 3 20 2340 0 20 √81 35 ÷ +√ 2281× + (√ 2 7 ×) ( –√√ 740√ )081 – √÷√381 × √÷273 280 × √27 280 formar formar grupos grupos de 3; 4 de y 63;alumnos, 4 y 6 alumnos, sin que sin sobre que sobre 293 35 ÷293 ___ 3 ___ ___ ___ 2 ninguno. ninguno. ¿Cuántos ¿Cuántos alumnosalumnos hay en la hayclase en lasi clase son si son 3 3 2 3 {[√5343 × {[+√4343 × 7]+÷45×+7]√÷49 5 +]}√ ÷ 49 2 –]}(3÷ –2 2– )(3 294 5 × 294 34 – 2 ) 34 menos de menos 40? ¿Hay de 40?una ¿Hay única unarespuesta? única respuesta? ___ 3 ___ ___ ___ 3 12; 24 y 12; 36. 24 Hay y 36. tresHay respuestas. tres respuestas. 3 2 3 2 20 19 900÷ 2+ 64 × [(6 ÷ 2–×√[(6 27 ÷– √ 3)27 ÷ 7÷+3)8 ÷ ÷7 8+ 8]20134 ÷ 819] 134 295 √900 295 +√64 mis CDmis me CD di cuenta me dide cuenta que sidelos que agrusi los agru305 Al ordenar 305 Al ordenar ____ ___ 4 ____ ___ ___ 3 4___ __ __ 5 5 32 paba depaba 2 o de 3, siempre 2 o 3, siempre sobrabasobraba uno; pero uno;si pero los si los √ [(4 –× √ 5× 364)–2 –5 2××4)√ 512 – 2 ×+√√ 512 360+ √ ] ÷√93603 ] ÷ 9 3 296 [(4 × 296√36 agrupaba agrupaba de 5 en de 5, no 5 en sobraba 5, no sobraba ninguno. ninguno. ¿Cuántos ¿Cuántos CD tengo CDsitengo son más si son de más 80 y de menos 80 y de menos 90? de 85 90? 85

� � � � �

� � � �

Resolución Resolución de problemas de problemas enunciado de un problema de un problema está representado está representado 297 El� 297 El enunciado � en el siguiente en el siguiente esquema: esquema:

Nasca

Nasca Pisco

Lima

Pisco

815 km 815 km

Casma Casma

Múltiplos entre 1 y 30 30 ÷ 3 = 10 ∴64 – 10 = 54 __ 300 ab = 7 = 98 a + b = 9 + 8 = 17

●

= 24 × 32 × 7 = 1 008

302 a · b = MCM ● a · 18 = 90 · 9

(a y b)

79 km

· MCD(a y b)

a = 45

a) Encuentra a) Encuentra las preguntas las preguntas sabiendo sabiendo que losque los cálculoscálculos necesarios necesarios para resolverlas para resolverlas son losson los siguientes: siguientes:

× MCD 303 a · b = MCM ● 216 = MCM × 6 → MCM = 36 (a y b)

es¿Cuál la distancia es la distancia de Piscode a Casma? Pisco a Casma? • 815 –• 213 815¿Cuál – 213 demm los2dos de los rectángulos dos rectángulos traza- trazaa) Las a) áreas Lasenáreas mm2en ¿Cuál la distancia es la distancia de Nascadea Nasca Huarmey? a Huarmey? • 815 –• 79 815 – 79es¿Cuál 130 y 1 400 130 mm y 1 2400 mm2 dos en rojo. dos en rojo. ¿Cuál es ¿Cuál la distancia es la distancia de Lima de a Lima a • 815 –• (460 815 +– 79) (460 + 79) demm los 2rectángulos de los rectángulos verde y verde azul. y azul. b) Las áreas b) Las enáreas mm2en Huarmey? Huarmey? 294 y 667 294 mm y 2667 mm2 b) ¿Cuál b)es¿Cuál la distancia es la distancia de Piscodea Pisco Huarmey? a Huarmey? 2 2 de la zona de la coloreazona coloreac) El área c) El aproximada área aproximada en mm en mm 523 km 523 km está en está el punto en elmedio punto entre medioLima entre Lima da de amarillo. c) Si Huacho c) Si Huacho da de amarillo. Previamente, Previamente, realiza realiza un encuaun encuay Huarmey, y Huarmey, ¿cuál es¿cuál la distancia es la distancia de Limade aLima a dramiento dramiento de la zona de la amarilla. zona amarilla. 352 mm2352 mm2 138 km 138 km Huacho?Huacho?

9 AM U01M1 40_049 040_049 47 U01M1 47

6/7/11 9:13:21 6/7/11 AM 9:13:21 AM

6. Resuelve los siguientes problemas: a) Se desea plantar árboles alrededor de un terreno de forma cuadrangular de 810 000 m². ¿Cuántos árboles son necesarios si se planta un árbol cada 50 metros? 18 árboles © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

299 Múltiplos entre 1 y 195 ● 195 ÷ 3 – 1 = 64

MCM(A, B) 24 × 35 × 72 × 11 ∴ _______ = ___________ MCD(A, B) 33 × 7 × 11

Observen Observen la figura la yfigura calculen y calculen lo que se lo pide. que se pide.

Unidad Unidad 1 Números 1 Números naturalesnaturales 47

= °4 + 3 → r = 3

= 24 × 35 × 72 × 11 3 (A, C) = 3 × 7 × 11

HuarmeyHuarmey 79 km

(A, B)

213 km 213 km

Lima

301 MCM ● MCD

la tarea os ea im os artlaimtar Co mpart Co mp

460 km 460 km

298 39 = (°4 + 3) = °4 + 27 ● = °4 + °4 + 3

(a y b)

304 MCM = 2 × 3 = 12 ● 12 × 1 = 12 12 × 2 = 24 2

12 × 3 = 36 Hay 3 respuetas.

305 N = °2 + 1 = °2 – 6 + 1 = °2 – 5 ● N = °3 + 1 = °3 – 6 + 1 = °3 – 5 N = °5 = °5 – 5 ° –5 MCM ° ° ° – 5 = 30 (2, 3 y 5) 30 × 3 – 5 = 85

b) Si una pareja sale en su auto a las 9:00 a.m. a una velocidad de 110 km por hora y llega a las 4:00, ¿cuántos kilómetros recorrió? 770 km c) Halla el menor número que al ser dividido entre 18; 30 y 36, siempre tiene residuo 14. 194 d) En el salón de 1.º A hay 36 estudiantes y quieren formar grupos con igual cantidad de integrantes. Además, cada equipo deberá tener más de 3 y menos de 12 integrantes. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerlo?

3; 4 equipos de 9, 6 de 6 o 9 de 4.

e) La longitud de la llanta delantera de una bicicleta mide 60 cm y la longitud de la llanta posterior mide 175 cm. Se señalan con tiza los puntos de las dos llantas que tocan el suelo, y se hace andar la bicicleta. ¿Cuánto debe avanzar como mínimo para que vuelvan a coincidir las dos señales a la vez en el suelo? 21 m f) Se va a cubrir con paños de césped el piso de una cancha deportiva de 260 metros de largo y 120 metros de ancho. Si se usan paños cuadrados de la mayor dimensión posible y sin cortar ninguno. ¿cuánto debe medir cada paño? ¿Cuántos paños serán necesarios? 20 m × 20 m; 70

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

Para

profu ndiza r NIVEL III

termina en 1 241 = 7240 + 1 termina en 7

306 Observa la regla de formación de estas potencias. ¿En � que cifra termina 7 ? ¿Y 7 ? 1 y 7 12

307 V = a · b · c ● V = 17 × 3 × 7 = 357 m

308 59 = 7 + 23 + 29 ● 309 Júpiter: (–166 – 32) 59 = –110 °C ● _

●

2(5) + 3 = 13 2(13) + 3 = 29 2(29) + 3 = 61

2(61) + 3 = 125 2(125) + 3 = 253 8 2(253) + 3 = 509 2(509) + 3 = 1 021 ⋮ 2(…1) + 3 = …5 2(…5) + 3 = … 3 ← lugar 26

313 Es factible. ● 540 ÷ 3 = 180 1.° aula: votan 180, múltiplos de 3 2.° aula: 160 3.° aula: 200 Pero no es adecuado, en las elecciones municipales son correlativos.

●

314 802 + 502 = 6 400 + 2 500 = 8 900 Se deben comprar 6 425 mayólicas.

315 M = °8 + 4 → 28 ● H = °8 → 24 52

316 4 × 60 = 240 seg ● MCM = 2 × 3 × 5 = 60 2

60; 120; 180; 240 Después de 60 segundos, volverán a sonar juntos. A lo largo de toda la pieza musical sonarán juntos 4 veces. 48

• 72 = 49

• 76 = 117 649

• 7 = 343

• 77 = 823 543

• 74 = 2 401

• 78 = 5 764 801

es 357 m3, ¿cuáles son sus posibles dimensiones? 7m

17 m

�

313 Para las elecciones municipales, 540 electores vo� tarán en un colegio que tiene tres aulas. ¿Te parecen adecuadas las ideas que tuvieron dos de los miembros de mesa?¿Por qué? Sí De acuerdo con el orden en la lista, los múltiplos de 3 votarán en el aula 1.

309 Para convertir grados Fahrenheit a grados centí� grados, multiplica por 5 la diferencia de los grados Fahrenheit y 32, luego divide este producto entre 9. ¿Cuál es la tempe- Júpiter 166 °F bajo cero ratura en grados Luna 13 °F bajo cero centígrados de Júpiter, la Luna, Martede las 85 siguientes °F bajo cero Proponga el desarrollo Marte y la Tierra? situaciones –110 °C; –25 °C;elaborando Tierra representaciones 59 °F sobre cero para facilitar la solución. –65gráﬁca °C; 15 °C

tienen una calculadora • y CésarUn campanario da 5 cada uno. Ele310 Elena � na ingresa cero en calculadora¿Cuánto y cada vez suma campanadas ensu 4 segundos, 3. César en la suya y cada vez resta tardaráingresa en dar 100 15 campanadas? 7. Al amboscompra los botones al docenas mismo tiempo, • oprimir David cuatro ¿mostrarán sus pantallas en algún momento el misde cuadernos rayados y recibe un mo número? Si es así, ¿cuál es el número? 30 cuaderno más por la compra. Además compra 6 docenas de cuadernos En un edificio se numeraron las puertas de las ofi311 cuadriculados y recibe más por cada cinas utilizando placas conuno un dígito cada una. Por docena.al En total, ¿cuántos se dos ejemplo, numerar la oficinacuadernos 16 se usaron lleva?una con el número 1 y otra con el 6. Si en placas, total se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas se numeraron? 22 puertas

�

312 Una operación consiste en multiplicar un número por 2 y sumarle 3. Si se empieza con el 1 y se sigue con el resultado obtenido, ¿cuál será la cifra de las unidades del resultado, después de aplicar la operación 26 veces? 3

De los restantes, los primeros 160 electores, votarán en el aula 2 y los demás, en el aula 3.

Aula 1: 180 votantes Aula 2: 160 votantes Aula 3: 200 votantes

314 Se quiere construir dos patios cuadrados, uno al � lado del otro, como se muestra en la figura:

308 Todos los números impares mayores que 7 se pueden escribir como la suma de tres números primos. ¿Qué números primos suman 59? 59 = 7 + 23 + 29

●

312 2(1) + 3 = 5 unidades ● 2(…5) + 3 = …3 unidades

• 75 = 16 807

307 Para calcular el volumen de una caja, se multiplica � su alto, largo y ancho. Si el volumen de esta caja

5 = –25 °C Luna: (–13 – 32)_

9 5 = –65 °C Marte: (–85 – 32)_ 9 5 = 15 °C Tierra: (59 – 32)_ 9 310 Elena: 3n César: 100 – 7n 3n = 100 – 7n → 10n = 100 n = 10 ∴ 3n = 3(10) = 30 __ 311 10; 11; 12 ... ab → 26 placas 13 puertas ∴ 13 + 9 = 22 puertas

• 71 = 7 3

a = 17 m, b = 3m, c = 7 m

241

6 400

2 500

Si en el patio grande se desea colocar 80 filas de mayólicas y en el patio chico, 50 filas de mayólicas, ¿cuántas mayólicas se colocarán? 8 900

315 Para competir en diferentes actividades, 52 depor� tistas deben formar grupos. Todos los grupos deben tener la misma cantidad de integrantes, pero sin mezclar hombres y mujeres. Si las mujeres forman 8 grupos, sobran 4; en cambio, si los hombres forman 8 grupos, no sobra ninguno. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en total? 28 mujeres y 24 hombres

316 En una orquesta, el triángulo y el timbal suenan � juntos al iniciar una pieza musical que dura 4 minutos. El timbal vuelve a sonar cada 12 segundos, y el triángulo, cada 20 segundos. ¿Cuántos segundos después del inicio de la pieza musical volverán a sonar juntos ambos instrumentos? ¿Cuántas veces sonarán juntos a lo largo de toda la pieza? 60 segundos, 5 veces

Ju ega y apre nde Calcula la masa de la pelota de vóley. 260 g 300 g

300 g 40 kg

La evaluación por rúbricas

040_049 U01M1 48

6/7/11 9:13:22 AM

La evaluación del aprendizaje es un proceso intencionado, permanente sobre criterios de valor su propósito es planificar y organizar el proceso de enseñanza acorde a las necesidades de los educandos. Este tipo de evaluación es una excelente alternativa en el enfoque por competencias, que se adapta a las formas de trabajo requeridas y a los propósitos educativos planteados en planes y programas de estudio. Los instrumentos utilizados en esta evaluación son, entre otros, el registro y la matriz de valoración o rúbricas. La matriz de valoración o rúbrica es un instrumento de medición que tiene criterios establecidos por niveles y escalas, con el propósito de determinar la calidad de la ejecución de las tareas específicas en los estudiantes. La rúbrica es ideal para evaluar de una manera formal el desempeño al realizar una tarea específica, en la cual se combinan aprendizajes no solo conceptuales, sino procedimentales y actitudinales, siempre debe reflejar los objetivos de aprendizaje. La matriz de valoración es útil tanto como apoyo en el proceso de valoración integral o como instrumento de evaluación para otorgar una calificación. En el primer caso permite que el docente muestre a sus estudiantes en principio, los logros esperados y sus diferentes niveles e indicarles específicamente lo que deben hacer para alcanzar los niveles más altos. Adicionalmente, habilita a los estudiantes para que evalúen sus propias realizaciones. Como instrumento de evaluación, permite a los profesores hacer una apreciación justa e imparcial de los trabajos de sus estudiantes mediante una escala que proporciona una medida clara de las habilidades y del desempeño de estos. En este sentido se puede utilizar en procesos tanto de Autoevaluación, como de Coevaluación y Heteroevaluación. Además, la matriz de valoración facilita la calificación del desempeño del estudiante en las áreas del currículo (materias o temas) que son complejas, imprecisas y subjetivas.

Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

306 7 ● 7

R E V RI ES VT IA S TM AA TME AMT ÁE TMI ÁC TA I C A

Los Los grandes grandes números números que que díadía a a díadía representan representan a los a los peruanos peruanos

Información complementaria Sobre el estudio de las matemáticas Los problemas, las adivinanzas y las recreaciones matemáticas han formado parte de todas las culturas en todas las épocas. Los problemas más antiguos son probablemente los que aparecieron en los papiros egipcios y en las tablillas mesopotámicas, varios siglos antes de nuestra era. Lo curioso es que muchos de esos problemas siguen interesando a los estudiantes, profesores y aﬁcionados a las matemáticas del siglo XXI. En su conferencia titulada “Problemas matemáticos” ante el congreso internacional de matemáticos de 1900 en París, el gran matemático alemán David Hilbert (1862-1949) dijo: “Mientras una rama de la ciencia presente abundancia de problemas, permanece viva. La carencia de problemas signiﬁca la decadencia o cese del desarrollo independiente”. Con la resolución de problemas crece la fuerza del investigador, encuentra nuevos métodos, nuevas perspectivas y consigue un nuevo horizonte más amplio y libre”. ¿Qué diferencia hay entre un ejercicio y un problema en matemática?

¿Es importante resolver problemas?, ¿por qué?

1. Tomamos1.como Tomamos referencia comolareferencia capacidadladel capacidad Estadio Nacional: del Estadio El Nacional: nivel de pobreza El nivel de 2009 pobreza fue de 34,8%. 2009 2. fueCifra 34,8%. según 2. Cifra ENAHO según 2008. ENAHO 3. El 2008. nivel de3.desnutrición El nivel de desnutrición crónica de 2009 crónica fue de de 2009 fue de 3 piscina olímpica tiene 21 de cm3 de5. capacidad. de S/. 14 cm de largo; . Una piscina olímpica tiene 21 millones de millones cm3 de capacidad. Un billete5. deUn S/.billete 100 mide 14100 cm mide de largo; 18,3%. 4. Un 18,3%. fajo de4.100 Un billetes fajo de 100 de S/. billetes 100 ocupa de S/.un 100 volumen ocupa un de volumen 136.5 cmde 136.5 cm3. Una 570 000 billetes de S/. 100a equivalen S/. 81 857 millones y dan 818 570 000818 billetes de S/. 100 equivalen S/. 81 857amillones y dan 114 599 km.114 599 km. FUENTE: RAÚL RODRIGUEZ / EL COMERCIO FUENTE: RAÚL RODRIGUEZ / EL COMERCIO

Con losCon datos losde datos estade infografía, esta infografía, calcula:calcula: ¿Cuántos espectadores alcanzan en el Estadio Nacional? Redondea a los45 miles. ¿Cuántos espectadores alcanzan en el Estadio Nacional? Redondea a los miles. 000 45 000 1,5 cm 1,5 cm ¿Cuánto de espesor un 100 fajo de 100 billetes de S/. 100? ¿Y a cuántos soles equivale? ¿Cuánto mide demide espesor un fajo de billetes de S/. 100? ¿Y a cuántos soles equivale? S/. 10 000 S/. 10 000 Aproximadamente, la circunferencia de la Tierra? Redondea a los miles. Aproximadamente, ¿cuánto¿cuánto mide la mide circunferencia máximamáxima de la Tierra? Redondea a los miles. 40 000 km 40 000 km 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 49

Rúbricas

2 AM U01M1 040_049 40_049 49 U01M1 49

6/7/11 6/7/11 9:13:23 AM 9:13:23 AM

Para la coevaluación.

Aspecto a evaluar Trabajo colaborativo

Resolución de problemas

Muy bueno

Bueno

En proceso

100%

75%

50%

– Muestra gran entusiasmo centrándose en realizar las actividades.

– Comparten la responsabilidad del trabajo.

– Conocen los objetivos de la actividad y colaboran para lograrlos.

– La interacción del equipo mejora el rendimiento individual.

– Evalúan los procesos en la solución de problemas.

– Planiﬁcan la estrategia de solución de problemas.

– Reconocen los datos del problema y organizan la información.

– Logran comprobar sus propuestas.

– Aplican algoritmos y encuentran la respuesta.

– Aplican algoritmos.

– Comparten la responsabilidad del trabajo – Conocen los objetivos de la actividad y colaboran para lograrlos.

Inicio 25% – Muestra gran entusiasmo centrándose en realizar las actividades.

– No llegan a conocer los datos del problema. – Falta planiﬁcación y manejo de algoritmos.

Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

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