DERIVADA
Es la localizada de una derivada, puntos cuantos son sus coordenadas.
1.- La derivada de una constante es=0 đ?‘‘ đ?‘?=0 đ?‘‘
3.-Aplico la ley distributiva đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘¤ (đ?‘˘ + đ?‘Ł − đ?‘¤) = + − đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
2.- La derivada de una funciĂłn con respecto a la misma funciĂłn = 1 đ?‘‘ đ?‘Ľ=1 đ?‘‘đ?‘Ľ
4.- Derivada de una constante de una variable đ?‘‘ đ?‘?. đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?.
5.- Derivada de un exponente. đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘›đ?‘Ł đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
7.-DivisiĂłn đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘Ł −đ?‘˘ đ?‘‘ đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ ( )= đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ł đ?‘Ł2
đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ľ
6.- Derivada de un producto � ��� ��� (�. �) = + �� �� ��
EJEMPLOS
𝑑
1.- 𝑑𝑥 20 = 0
𝑑
2.-𝑑𝑥 70 = 0
𝑑𝑡
3.-𝑑𝑡 = 1
𝑑𝑢
4.-𝑑𝑢 = 1
𝑑5 𝑑𝑥
𝑑𝑥2 𝑑𝑥
𝑥2 = 5
5.-
= 5(2)(𝑥)2−1
𝑑𝑥 5
6.- 𝑑𝑥 = 5𝑥 4
𝑑𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑡
7.- 𝑑𝑥 . 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑑𝑥
8.-Y=𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑5
Y=7(2)𝑥 2−1 𝑑𝑥 + 4 (𝑑𝑥) + 𝑑𝑥 Y= 14x+4+0 𝟑𝒙+𝟒
9.-Y= 3𝑥
𝟓𝒙 4
Y=5𝑥 + 5 𝑥 −1 −4
Y= 5 𝑋 −2 10.-Y=√𝟑𝑿𝟐 + 𝟓 Y= (3𝑋 2 + 5)1/2
𝑑𝑥 𝑑𝑥
1
1
Y=2 (3𝑋 2 + 5)−2 6𝑋 Y=
3𝑋 √3𝑋 2+5
𝟓𝐗(𝟑)−(𝟑𝐗+𝟒)𝟓
11.- Y= Y=
𝟐𝟓𝐗 𝟐
𝟏𝟓𝑿−𝟏𝟓𝑿−𝟐𝟎 𝟐𝟓𝑿𝟐 𝟒
Y=− 𝟓𝑿𝟐 3
3
Y=5𝑋 20 − 4𝑋 + √2𝑋 − 5 Y=5𝑋 20 −
3𝑋 2 4
+ (2𝑋 − 5)1/3 3
2
1
Y=100𝑋19 + 4𝑋 2 + 3 (2𝑋 − 5)−3 (2) 3
Y=100𝑋19 + 4𝑋 2 + t= 3𝒎𝟔 + 𝟒𝒎𝟑 −
2 3√(2𝑋−5)2 𝟏
√𝒎+𝟐
t=3𝑚6 + 4𝑚3 − (𝑚 + 2)−1/2 1
t=18𝑚5 + 12𝑚2 + 2 (𝑚 + 2)−3/2
𝑑𝑚 𝑑𝑡
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
MINIMIZAR -2X₁-2X₂+X₁² SUJETO A: 2X₁+3X₂≤6 2X₁+X₂≤4 X₁,X₂≥0
X₁ 0 3
X₂ 2 0
X₁ 0 2
X₂ 4 0
4 3 2 1 1
2
3
4
-2X₁-2X₂+X₁²= K X₂= X₁²-2X₁-K DX₂=2dX₁- dX₁ DX₂=2(X₁- 1) dX₁ 𝑑𝑋₂
𝑑𝑋 1
=2(X₁- 1)
DX₂=2X₁dX₁-2dX₁ DX₂=(2X₁-2) dX₁ 𝑑𝑋₂
𝑑𝑋₁
=2(X₁- 1) PENDIENTE
PARA SACAR EL MINIMO DE LA PARABOLA 2(X₁- 1) =0 X₁= 1 CORTE DE X₁ X₂= 0 X₁²-2X₁-K= 0 X₁ =
2 + √4 + 4K 2
X₁ =
2 + √4(1 + K) 2
X₁ =
2 + 2√1 + K 2
X₁ =
1 + √1 + K
2X₁+3X₂≤6 −2𝑋 1 +6
X₂=
3
−2𝑋 1
X₂=
M=
3 −2 3
+2 PUNTO DE INTERSECCION
2(X₁-1) = −
2X₁ = − X₁ = − X₁ = −
3
2
2X₁-2 = − 2X₁ = −
2
3
2 3 4 3
+2 +2
4 6 2 3
2X₁+3X₂≤6 2
2
+ 3X₂ = 6
3
3X₂ = 6 − X₁ = −
4 3
14 9
MINIMIZAR -2X₁-2X₂+X₁² 2
14
4
-2 ( 3) − ( 9 ) + ( 9 ) =
− 22 9
=2.44
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO
EJERCICIO N° 1 MAXIMIZAR Z= X1 + 5X2 SUJETO A 11X1+6X2≤66
(5)
5X1+50X2≤225 (-11)
(0; 11) (6; 0) (0; 4,5) (45; 0)
Xi ≥0; enteros 55X1+30X2=330 X1= 3,75
-55X1-550X2=2415
X2= 4,125
-520X2=2145
Z= 24,375
-520
X1≤3
X1≥4
X2=4,125 X1= 66-6(4,125)/11
X1= 3
X1= 4
X1 = 3,75
X2= 4,2
X2= 3,667
Z= 24,375
Z= 24
Z= 22,3
X2≤4
X1= 3 X2= 4 Z= 23
X1≥5
P. INFACTIBLE
Z= 24,375
Z= 24,375
Z= 24,375
Z= 24,375 SOLUCIÓN X1= 3 X2= 4
P. INFACTIBLE
EJERCICIO N° 2 MAXIMIZAR Z= 5X1 + 2X2 SUJETO A 2X1+2X2≤9 3X1+X2≤11 (-2) X1; X2 ≥0; enteros 2X1+2X2=9 X1= 3,25
-6X1-2X2=-22 -4X1
X2= 1,25
=-13
Z= 18,75
4
X2≤1
X2≥2
X1=3,25 X2= 9-2(3,25)/2
X1= 3,33
X1= 2,5
X2 = 1,25
X2= 1
X2= 2
Z= 18,75
Z= 18,65
Z= 16,5
X1≤3
X1≥4
X1= 3 X2= 1
P. Z= 18,75
INFACTIBLE
Z= 17 Z= 18,65
Z= 17
Z= 16,5
P. INFACTIBLE
SOLUCIÓN X1= 3 X2= 1
EJERCICIO N° 3 MAXIMIZAR Z= 3X1 + 4X2 SUJETO A 2X1+X2≤6 2X1+3X2≤9 X1; X2 ≥0; enteros 2X1+X2=6 X1= 2,25
2X1-3X2=9
X2= 1,5
2X2 =3
Z= 12,75
2
X1≤2
X1≥3
X2=1,5 X1= 4,5/2
X1= 2
X1= 3
X1 = 2,25
X2= 1,67
X2= 0
Z= 12,75
Z= 12,68
Z= 9
X2≤1
X2≥2
X1= 2
X1= 1,5
X2= 1
X2= 2
Z= 10
Z= 12,5 X1≤1
X1≥2
X1= 1 X2= 2,33 Z= 12,32
INFACTIBLE
X2≤2
X2≥3
X1= 1
X1= 0
X2= 2
X2= 3
Z= 11
Z= 12,75 Z= 12
Z= 12,68
Z= 10
Z= 9
Z= 12,5
Z= 12,32
Z= 11
INFACTIBLE
Z= 12 SOLUCIÓN X1= 0 X2= 3