Cordas vibrantes

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CORDAS VIBRANTES Samuel Elias Rodrigues (samuelelias_rodrigues@hotmail.com), Horacio Coelho Júnior (Junior_catalao19@hotmail.com), Ana Rita Pereira (anaritapr@gmail.com)

Curso de Física, Campus Catalão, Universidade Federal de Goiás.

RESUMO Procurando despertar o interesse e motivar os alunos, iniciou-se no segundo semestre de 2007, o projeto EXPERIMENTOTECA DE FÍSICA, com a participação de alunos e professores do curso de física do Campus Catalão da Universidade Federal de Goiás (CAC-UFG), envolvidos na elaboração, montagem e explicação de variados experimentos de física, em geral usando materiais de baixo custo e que possam ser facilmente reproduzidos, e conta também com participantes envolvidos na elaboração de softwares de simulação e demonstração de variados fenômenos físicos. A idéia ao elaborar o projeto Experimentoteca de Física foi criar um laboratório demonstrativo aberto a toda a comunidade de Catalão e região, em especial às escolas de ensino básico (1º e 2º grau) através de visitas programadas dos alunos em mostras expositivas. A motivação é despertar o interesse e o fascínio dos estudantes pela Ciência, em especial a Física, utilizando arranjos experimentais básicos que demonstre variados fenômenos físicos, ao mesmo tempo em que desafia os alunos a explicarem seu funcionamento.

Neste trabalho é apresentado um experimento sobre cordas vibrantes, que demonstra o comportamento de ondas mecânicas. Nós vivemos cercados por ondas de diversas naturezas, sendo que algumas nos “atravessam” diariamente e nem são percebidas a exemplo das microondas dos aparelhos celulares, das ondas de TV e de rádio, ou mesmo os raios x (radiologia) e radioterapia usados na medicina para diagnóstico e terapia, ou de ondas cujos efeitos assustam como as ondas sísmicas e as marés. Assim o experimento de cordas vibrantes pode ser utilizado no estudo das ondas mecânicas, e ajuda a entender os conceitos de ondas estacionárias, superposição e interferência de ondas.

Palavras chaves: Experimentos de física, superposição e interferência de ondas.

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1.

INTRODUÇÃO

O curso de Física, do Campus Catalão da Universidade Federal de Goiás (CAC_UFG), iniciou-se em agosto de 2006, objetivando a formação de egressos com perfil dentro da Licenciatura (físico – educador). Observando que existe grande desinteresse local pela ciência básica, foi que procurando a despertar o interesse e motivar

os

alunos,

iniciou-se

no

segundo

semestre

de

2007,

o

projeto

EXPERIMENTOTECA DE FÍSICA, que integra diversos participantes envolvidos na elaboração e montagem dos experimentos de física, usando materiais de baixo custo e que possam ser facilmente reproduzidos, e também participantes envolvidos na elaboração de softwares de simulação e demonstração de variados fenômenos físicos. A experimentoteca de física é um laboratório aberto a toda a comunidade de Catalão e região, em especial às escolas de ensino básico (1º e 2º grau) através de visitas programadas dos alunos em mostras expositivas. A motivação é despertar o interesse e o fascínio dos estudantes pela Ciência, em especial a Física, utilizando arranjos experimentais básicos que demonstre variados fenômenos físicos, ao mesmo tempo em que desafia os alunos a explicarem seu funcionamento. Em geral os experimentos que mais despertam interesse são aqueles que envolvam um certo mistério e assim desafiam os alunos a entenderem o que está ocorrendo.

No meio em que vivemos, estamos “rodeados” de diversos tipos de ondas, entre as quais podendo citar as ondas em cordas, ondas sonoras, ondas sísmicas, ondas de rádio, raios x, etc. Uma característica fundamental das ondas pode ser notada, por exemplo, quando é causada uma perturbação na água, provocada por uma pedra, e uma folha esta flutuando perto do ponto onde a pedra atingiu a água. Se você examinar com atenção o movimento desta folha, verá que ela se movimenta para cima e para baixo mas não se desloca para longe ou em direção à fonte de perturbação, já a perturbação na água sofre deslocamento. Contudo a água não é carregada pela perturbação, podendo ser comparada com a folha.

A maior parte das ondas pode ser classificada como ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas. As ondas mecânicas são as que perturbam e necessitam de um meio para se propagarem, portanto requer: alguma fonte de perturbação, um meio que possa ser perturbado e algum mecanismo físico pelo qual as partículas do meio possam influenciar umas às outras. Existem duas variedades de ondas mecânicas: a onda

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transversal é onde as partículas do meio se deslocam perpendicularmente à direção de propagação da onda ao longo do meio como é o caso do fio tencionado, a onda longitudinal é onde as partículas do meio se deslocam em sentidos paralelos à direção de propagação da onda e neste caso o meio é um líquido ou um gás.

Neste trabalho falaremos sobre a proposta de um experimento com materiais de baixo custo sobre cordas vibrantes, que são ondas mecânicas transversais, e onde podemos analisar os conceitos básicos de ondas estacionárias, superposição e interferência de ondas que se encontram bem explicados por diversos autores de física básica [1-3].

2. ONDAS ESTACIONÁRIAS Imagine duas ondas idênticas que se propagam em uma corda, mas em sentidos opostos. Por exemplo, quando você balança a extremidade de uma corda, verticalmente, na qual a outra extremidade se encontra fixa a uma parede rígida. A parede reflete uma onda idêntica a que se aproximou dela, exeto pela direção do movimento e inversão da onda no ato da reflexão.

As duas ondas que descrevemos podem ser descritas pelas seguintes funções

y1 x, t  Asin k x   t  (1) y2 x, t   Asin k x   t , (2) Sendo que y1 representa uma onda propagando para a esquerda e y 2 uma onda propagando para a direita. De acordo com o princípio da superposição, a soma dessas duas funções de onda individuais resulta a função de onda y  x, t  resultante:

y x, t  2 sin (k x )cos( t )

(3)

Portanto, a equação (3) representa uma função de onda característica de uma onda estacionária, com amplitude dada por

2 Asin kx

e o termo oscilatório é

caracterizado por cos ( t ) . Observa-se que o movimento de cada partícula do meio tem freqüência angular  e uma amplitude que depende da posição x dada pelo fator

2 A sin (k x) , sendo a amplitude máxima igual a 2A. Na onda estacionária, entretanto, a amplitude varia com a posição x. Sua amplitude é mínima, nula, quando valores de kx dão sin (k x)  0 . Esses valores são:

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k x  n ,

2

Considerando que k 

xn

  2

,

para

n  1,2,3...

(4)

, obtém-se: para n  0,1,2...

(5)

Para a posição dos nós (posição de amplitude mínima) da onda estacionária descrita pela equação (3). E os nós adjacentes estão separados por uma distância de

 (meio 2

comprimento de onda).

Similarmente, na onda estacionária, sua amplitude é máxima 2 A quando a coordenada x satisfaz a condição sin (k x)  1 , ou quando k x 

1 3 5  ,  ,  , ...

2 2 2

ou seja:

k x

n  , para n  1,2,3...

2

Assim obtém-se:

xn

 4

,

para n  1,3,5...

(6)

Para a posição dos antinós (posição de amplitude máxima) da onda estacionária descrita pela equação (3). Os antinós também estão separados por entre um nó e um antinó adjacente é de

 de distância. A distância 2

 .

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O gráfico da figura 1 representa ondas estacionárias em instantes t diferentes, produzidas por duas ondas idênticas que se propagam em sentidos opostos. Fazendo a análise da figura de onda resultante, nota-se que os locais da corda marcados com um ponto são chamados de nós no qual ela nunca se move (a amplitude é mínima) e nos locais situados entre dois nós adjacentes estão os chamados antinós na qual sua amplitude é máxima. Por não haver mudanças nos pontos de máximo e mínimo estas ondas são chamadas de ondas estacionárias.

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Figura 1 – Representação dos quatro primeiros harmônicos de uma onda resultante fixa nos extremos Considere uma corda de comprimento L, esticada entre dois pontos fixos como em um violão, por exemplo. Ao enviar uma onda continua da extremidade direita do meio, esta se propaga em sentido a extremidade esquerda na qual é refletida para, novamente, a extremidade direita se superpondo com a onda que ainda esta para ser refletida. Essas superposições de ondas entrem em interferência umas com as outras resultando em um padrão de onda estacionária como mostrados na figura 2. As freqüências que produzem esses padrões de ondas são conhecidas como freqüência de ressonância.

Como entre dois nós adjacentes se encontra um antinó, igual a meio

  comprimento de onda   , então o padrão de onda mais simples que ilustra esta 2 afirmação é o da figura 1 na qual em suas extremidades se encontra nós, podendo,

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assim, encontrar expressões para as freqüências de ressonância. Para este padrão de onda chamada de freqüência fundamental, observa-se que o comprimento da corda (L) é: L

1 2

ou 1  2 L

(7)

O segundo padrão de onda ou segundo harmônico, é formado por três nós e dois antinós, e neste caso têm-se:

2  L ,

(8)

deste modo, em um dado instante, as duas metades da corda movem em sentidos contrários. O terceiro padrão de onda, é chamado de terceiro harmônico, possui quatro nós e três antinós. Para se chegar a este padrão de onda é necessário que o comprimento da corda (L) seja igual a um comprimento de onda e meio, ou seja: L

33 2

ou

3 

2L 3

(9)

Nota-se, então, que para cada padrão de onda encontrado acrescenta-se meio comprimento de onda, um nó e um antinó, ao longo do comprimento da corda (L).

Portanto os modos normais de comprimento de onda para o n-ésimo modo de vibração pode ser expresso como:

n 

2L n

para n  1,2,3...

(10)

Como a velocidade da onda é determinada pela força F (tensão, T) aplicada à corda e pela densidade linear  da mesma, ou seja, v =

F



, pode-se se fazer uma

associação das freqüências naturais com os modos da corda, obtendo a seguinte relação: fn 

n 2L

F



.

para n = 1,2,3 ....

(11)

Observa as freqüências de ressonância são múltiplos inteiros da freqüência fundamental, correspondente a n = 1, dada por:

f1 

v , 2L

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isto é: 2 f1 , 3 f1 , 4 f1 ... n f1 . Ao conjunto de todos os modos de vibração possíveis dá-se o nome de série harmônica.

A freqüência de uma corda pode mudar ao variar a força F aplicada, o comprimento L ou a densidade linear µ da corda. Um exemplo disto se nota em um violão, o qual é afinado variando-se a tensão T da corda através dos parafusos na extremidade. Conservando a propriedade da corda, a tensão nela aplicada e obtendo uma freqüência fundamental (n = 1), ao variar o comprimento L da corda, pressionando o dedo entre os espaços demarcados no “braço” do violão, este revela ser inversamente proporcional a freqüência (enquanto L diminui f aumenta). A proporcionalidade entre as grandezas são muitas, para encontra-las basta variar uma delas e conservar as demais através da equação (11).

3. PROPOSTA DE EXPERIMENTO. Para se construir o experimento foi utilizado o material discriminado no quadro abaixo: Material utilizado Um pedaço de madeira no tamanho desejado (aqui foi de 1 metro de comprimento) Uma bomba externa (aqui foi utilizada uma de aquário) Um porta-peso Uma roldana Três parafusos com porcas Massas Fios diversos

3.1 - MONTAGEM DO EXPERIMENTO A roldana foi fixada em uma das extremidades da madeira, e a partir da mesma, foram feitos furos na madeira, à distâncias pré-determinadas, coincidindo com a dimensão desejada, e ao se estabelecer a distância máxima é fixada a bomba externa com a tampa do fundo removida, os demais furos são para que possa ser variado comprimento do fio. Seleciona-se, então, um fio (com a densidade desejada), amarre uma das pontas na bomba e, passando-o pela roldana, prenda a outra ponta no portapeso, de modo bem esticado para estabelecer uma força de tensão no fio. Ligando-se a

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bomba o fio vai vibrar de acordo com os modos de vibração estabelecidos pela equação (11).

Pode-se assim estudar o comportamento das ondas mecânicas, através da variação das seguintes grandezas: comprimento do fio, do número de modos gerados, da densidade linear do fio, da força de tensão no fio e consequentemente da velocidade de propagação da onda. Entender o comportamento das ondas mecânicas é importante pois através deste importantes fenômenos da natureza podem ser explicados, como é o caso das ondas do mar, que dependendo da velocidade de propagação tem comportamento diferentes.Logo, ondas com maior comprimento de onda se deslocam com maior velocidade, e neste caso pode se ter ondas gigantes (como as produzidas por terremotos ou erupções vulcânicas – as tsunamis) tem grande comprimento de onda e viajam à altas velocidades cujos módulos podem ser de centenas de quilômetros, e assim movimentam grandes quantidades de água podendo causar muito estrago.

REFERÊNCIAS [1] – Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.; Fundamentos de Física, volume 2 , 6ª edição, Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2002.

[2] - SERWAY, R.A. Principios de Física, volume 2, Thomson Learming, São Paulo, 2007.

[3] – Young,H. D., Freedman, R.A., Física II, Volume 2, 10ª edição, Pearson Wesley, São Paulo, 2003.

[4] – Tipler, P.A., Mosca, G., Física, Volume 1, ed. LTC, Rio de Janeiro, 2006.