Libro upn by Gustavo Loloy

Matem谩tica

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Aplicada a Ingenier铆a y Administraci贸n 1era. edici贸n

CASTILLO/ANGULO/ARTEAGA/PONTE MALASQUEZ/PERALTA/CHAVEZ

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Matemática Aplicada a Ingeniería y Administración 1era. edición

Msc. Andres Castillo V. Universidad Privada del Norte

Msc. Percy Angulo V. Universidad Privada del Norte

Mg. Daniel Arteaga B.. Universidad Nacional de Trujillo

Lic. Juan Ponte B. Universidad Privada del Norte

Lic. Karol Malasquez S. Universidad Privada del Norte

Msc. Julio C. Peralta C. Universidad Nacional de Trujillo

Lic. Wilmer Chávez S. Universidad Nacional del Callao

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse en ninguna forma ni por ningún medio, sin permiso previo por escrito del editor. Trujillo, Marzo del 2012

DEDICATORIA

A nuestras familias

iii

PROLOGO El libro que presentamos es producto de nuestra experiencia durante varios años enseñando asignaturas de Cálculo a diferentes escuelas de formación profesional. El propósito de Matemática Aplicada a Ingeniería y Administración es proporcionar conocimientos e instrumentos técnicos que contribuyan que los alumnos sepan aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones cotidianas como interpretar cuestiones sociales y de ingeniería, establecer relaciones entre las matemáticas y su entorno, y utilizar el discurso racional y la expresión oral, escrita y gráfica. Todo ello le servirá para elaborar juicios, establecer criterios y favorecer actitudes positivas hacia las matemáticas. Para conseguir el propósito arriba descrito el contenido de Matemática Aplicada a Ingeniería y Administración, se ha dividido en tres unidades:

• • •

Unidad I Funciones Unidad II: Límites y continuidad Unidad III: La derivada y Aplicaciones

En la primera Unidad se acerca al lector al concepto de función a través del caso SEDATRU Y EL COSTO DEL AGUA, el cual permite establecer una conexión de las funciones reales con problemas cotidianos y la vez que permite que el lector transfiera lo aprendido a situaciones reales. En esta unidad se desarrolla los temas: cálculo de dominio y rango operación de funciones, construcción de funciones, funciones especiales y funciones inversas. Merece una atención especial el tema de construcción de modelos funcionales, con lo cual se trata de acercar al lector con las aplicaciones de la matemática a situaciones cotidianas que suceden en el entorno del lector. En la segunda unidad se acerca al lector al concepto de límite a través de una adaptación de la paradoja de Zenón, la cual recrea una situación cotidiana de los pobladores de nuestro país. En esta unidad se desarrollan los temas de cálculo de límites, limites laterales, límites infinitos y al infinito, cálculo de asíntotas y continuidad de funciones. Los problemas de aplicación desarrollados en esta unidad permiten establecer una relación entre la matemática y problemas de contaminación ambiental e investigación de mercados. En la tercera unidad se acerca al lector al concepto de derivada a través del caso CAMPAÑA DE NAVIDAD, el cual permite establecer una conexión con los problemas cotidianos y la vez permite que el lector transfiera lo aprendido a situaciones reales. En esta unidad se trata el concepto de derivada desde un punto de vista geométrico, físico, económico; y como tal las principales aplicaciones tratadas son: construcción de gráficas de funciones, determinación de rectas tangentes a diversas curvas y solución de problemas de optimización. Cada tema desarrollado en este libro se complementa con un conjunto de problemas y ejercicios desarrollados paso a paso de manera que el lector pueda entenderlo con cierta facilidad. Cada unidad se cierra con un conjunto de problemas y ejercicios propuestos los cuales tienen como objetivo que el lector evalué su aprendizaje.

Los conocimientos previos necesarios para aprovechar este libro son los típicos de un primer curso de matemáticas: factorización, identidades trigonométricas, ecuaciones e inecuaciones. Esperamos comprensión por parte del lector de los posibles errores no detectados y también agradecemos cualquier sugerencia sobre esta edición. Los autores

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a los profesores Lic. Clarita Claros Aguilar, Lic. Carlos Pérez Urrutia, Lic. Felfe Cerna, Msc. Ronald León Navarro y Dr. Luis Lara Romero por sus valiosas sugerencia que han permitido mejorar la calidad de la obra Cálculo con Aplicaciones a Ingeniería y Ciencias Sociales, en su primera edición de

CONTENIDO

Prefacio Introducción Índice ................................................................................................................................................ vii

Funciones

Capítulo 1 Caso de estudio .................................................................................................................. 1.1. Función .................................................................................................................. Ejercicios resueltos ................................................................................................. Ejercicios propuestos .............................................................................................. 1.2. Funciones Especiales .............................................................................................. Ejercicios resueltos ................................................................................................. Ejercicios propuestos .............................................................................................. 1.3. Operaciones con funciones ..................................................................................... Ejercicios resueltos ................................................................................................. Ejercicios propuestos .............................................................................................. 1.4. Función inversa....................................................................................................... Ejercicios resueltos ................................................................................................. Ejercicios propuestos ..............................................................................................

01 02 04 16 21 33 46 52 57 75 79 82 90

Respuestas del capítulo ...................................................................................................... 94 Solución del caso de estudio ................................................................................... 94 Solución de ejercicios propuestos ........................................................................... 94

Límites y continuidad

Capítulo 2 Caso de estudio .................................................................................................................. 101 2.1. Límite de una función ............................................................................................. 103 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 104 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 110 2.2. Límites laterales, límites al infinito e infinitos ....................................................... 112 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 114 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 129 2.3. Límites trigonométricos .......................................................................................... 133 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 134 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 140 2.4. Límites exponenciales ............................................................................................ 142 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 143 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 147 2.5. Asíntotas de una función ........................................................................................ 149 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 150 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 160 2.6. Continuidad de una función .................................................................................... 162 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 163 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 171 Respuestas del capítulo ...................................................................................................... 176 Solución del caso de estudio ................................................................................... 176 Solución de ejercicios propuestos ........................................................................... 176

vii

La derivada y Aplicaciones

Capítulo 3 Caso de estudio .................................................................................................................. 181 3.1. Derivada de una función ......................................................................................... 182 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 188 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 212 3.2. Derivada de una función implícita .......................................................................... 215 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 216 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 228 3.3. Trazado de curvas ................................................................................................... 231 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 238 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 255 3.4. Optimización .......................................................................................................... 257 Ejercicios resueltos ................................................................................................. 257 Ejercicios propuestos .............................................................................................. 267 Respuestas del capítulo ...................................................................................................... 270 Solución del caso de estudio ................................................................................... 270 Solución de ejercicios propuestos ........................................................................... 271

viii

OBJETIVO:

Formar en el estudiante universitario una base sólida y dotarle de herramientas básicas del cálculo diferencial para enfrentar con éxito los cursos de nivel superior que usen como pre requisito el cálculo diferencial.

CAPÍTULO I

FUNCIONES

CASO DE ESTUDIO: SEDATRU Y EL COSTO DEL AGUA El directorio de la empresa de agua SEDATRU en su última reunión acordó actualizar su estructura de costos y como consecuencia de ello proyecta para el 2012 una nueva tarifa domestica la cual se detalla a continuación: Servicio de agua • De 0 a 8m3 s costo unitario del servicio S/. 1,291 •

De 8 a 20m3 s costo unitario del servicio S/. 1,356

•

De 20 a más costo unitario del servicio S/. 3,273

Servicio de alcantarillado • De 0 a 8m3 s costo unitario del servicio S/. 0,704 •

De 8 a 20m3 s costo unitario del servicio S/. 0,739

•

De 20 a más costo unitario del servicio S/. 1,785

SEDATRU también acordó incluir un cargo fijo de S/. 2,94 y el 18% del IGV El servicio de cobranzas desea elaborar un recibo que permita brindar una información detallada al usuario, para tal fin esta solicitando: a. Indicar las variables de entrada (independiente) y la variable de salida ( dependiente) b. Un modelo funcional de la estructura de costos del servicio c. Elaborar un grafico de la función de costo d. Si ud. En el mes de marzo Consumió 63m3, detalle: el monto a pagar en el primer, segundo tercer rango (intervalo) y monto total a pagar. Podrías atender la solicitud del jefe de cobranzas ¡inténtalo!

2 | CAPÍTULO 1: Funciones

En nuestra vida diaria podemos establecer muchas relaciones que involucran a dos variables de modo tal que el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo las ventas de un producto dependen de su precio; la distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. Si consideramos la relación entre el área de un círculo y su radio, expresado por la ecuación: A = πr2 donde el valor de A depende del valor r elegido. En este sentido hablamos de A como la variable dependiente y de r como la variable independiente.

1. FUNCIÓN 1.1. Definición: Una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de otro conjunto B, se denomina Función. Gráficamente.

f A

B x

B a

x y

Fig. a

Fig. b

Una función se denota por f : A → B , la cual se lee f es una función de A en B. Nota: No es función si a un elemento del conjunto A (z) le hace corresponder dos o más elementos del conjunto B ( a y b). Figura b Notación Funcional.

•

La variable característica llamada función se denota por una letra. f, g , h," , ó F, G , H ,"

•

f(x) : se lee f evaluado en x .

Ejemplos: 1. f(x) = x + 3 2. f(x) = x 2 + 1

3. f(r) = πr 2 4. f(x) = x 2 − 2x

CAPÍTULO 1: Funciones | 3

1.2. Dominio y Rango Sea la función f : A → B . Todos los elementos del conjunto A que se asocian con único elemento del conjunto B, forman el dominio de dicha función f, y los elementos del conjunto B asociados con los elementos del conjunto A forman el rango o imagen de la función f. Es decir: Dominio:

Df = {x ∈ A / ∃! y ∈ B , y = f(x)} Rango:

Rf = {y ∈ B / ∃x ∈ A , y = f(x)} Gráfica

Nota • Si A = B = R entonces, f : R → R , se llama función real de variable real, puesto que los valores de las características o variables son números reales y su imagen o rango también es el conjunto de los números reales. • Cuando no se especifica ningún dominio, se asume que es el mayor conjunto de números reales en el que la regla de correspondencia es válida

Ejemplo: 2 Halle el dominio y rango de: f(x) = x −1 Solución: a) Dominio f(x) existe para todo x ≠ 1 . Por lo tanto,

b) Rango Despejando x se tiene:

Df = {x ∈ R / x ≠ 1}

2 = yx − y ⇔ x =

Luego el rango es:

2+y , y≠0 y

R f = {y ∈ R / y ≠ 0}

4 | CAPÍTULO 1: Funciones Observación La gráfica de una ecuación representa a una función si toda recta vertical trazada sobre la grafica corta a esta en un solo punto

No es función Es función

1.3. Valor numérico de una función El valor numérico de una función es el valor que se obtiene al reemplazar la variable independiente por un valor asignado. Es decir, sea f una función dada, entonces si a x se le asigna el valor de a, el valor numérico de la función f es f(a). Nota: No confundir f con f(x): f es la función y f(x) es el valor de la función evaluado en x. Ejemplo

Sea f la función definida por f(x) = 2x+1, entonces calcule el valor numérico de la función f cuando x = 2 . Solución Sólo se debe de reemplazar el valor de x en la función dada. Es decir: f(2) = 2(2) + 1 = 4+1 = 4. Por lo tanto, el valor numérico de la función es: f(2) = 4.

Ejercicios Resueltos 1. Sean los conjuntos A={2; 4; 6; 8; 10} y B={a; b; c; d; e}. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos definen una función de A en B? f = {(2;a), (4;c), (10;c), (8;e), (6;e)} g = {(10; a), (6;b), (2;a), (6;e), (4;d)} Solución Por definición de función se tiene que g no es función por que el elemento 6 tiene dos imágenes. Es decir: g(6) = b y g(6) =e.

CAPÍTULO 1: Funciones | 5

2. Determine el valor numérico de N =

f(0) + f(−2) en cada caso: f(4)

a) f(x) = 5x − 10 b) f(x) = mx + b c) f(t) = t2 + t − 5 d) f(x) = 19573 e) f(x) = x 3 − 2x + 4 Solución Reemplace el valor de la variable x en la función y se tiene: a)

f(0) = 5(0) – 10 = –10. f(–2) = 5(–2) – 10 = –20. f(4) = 5(4) – 10 = 10. Por lo tanto, f(0) + f(−2) −10 + (−20) −10 − 20 = = = −3 f(4) 10 10

f(0) = m(0) +b = b. f(–2) = m(–2)+b = –2m+b. f(4) = m(4) +b = 4m+b. Por lo tanto, f(0) + f(−2) b + (−2m + b) b − 2m + b 2b − 2m N= = = = f(4) 4m + b 4m + b 4m + b

f(0) = (0)2 +(0)–5 = –5. f(–2) = (–2)2 + (–2) – 5 = –3. f(4) = (4)2 + 4 – 5 = 15. Por lo tanto, N=

f(0) = 19 573. f(–2) = 19 573. f(4) = 19 573. Por lo tanto,

N= e)

f(0) + f(−2) −5 + (−3) −5 − 3 8 = = =− f(4) 15 15 15

f(0) + f(−2) 19573 + 19573 2(19573) = = = 2 f(4) 19573 19573

f(0) = (0)3 –2(0) + 4= 4 f(–2) = (–2)3 –2(–2) + 4= 0. f(4) = (4)3 –2(4) + 4= 60 Por lo tanto, N=

f(0) + f(−2) 4 + 0 1 = = f(4) 60 15

6 | CAPÍTULO 1: Funciones 3. Halle el dominio y rango de : y = f(x) =

−2 + 3x − x 2

Solución: a) Dominio

Df = {x ∈ R / ∃ y ∈ R ,y = f(x)}

−2 + 3x − x 2 existe ⇔ − 2 + 3x − x 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≤ 0

–

+ −∞

Por lo tanto,

+∞

D f = [1,2]

b) Rango Presentamos dos formas de calcular el rango. A) Despejar la variable x en función de la variable y. Rf = {y ∈ R + / ∃x ∈ R , y = f(x)} y = −2 + 3x − x 2 , y ≥ 0 Despejar x en función de y . Es decir: 3 9 y 2 = −2 + 3x − x 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 + y 2 = 0 ⇔ (x − )2 − + 2 + y 2 = 0 2 4

3 ± 1 − 4y2 3 1 ⇔ (x − )2 = − y2 = 0 ⇔ x = 2 4 2 x existe sí: 1 − 4y2 ≥ 0 ⇔ 4y2 − 1 ≤ 0 ⇔ (2y − 1)(2y + 1) ≤ 0 y ≥ 0

–∞

–0,5

– 0

+ 0,5

+∞

Pero y ≥ 0 , entonces R f = [ 0 ; 0,5]

B) Partir del dominio de la función hasta obtener la función dada 2

y = f(x) =

Es decir:

−2 + 3x − x 2 =

1 ⎛ 3⎞ − ⎜x − ⎟ 4 ⎝ 2⎠

x ∈ [1,2] ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 (1)

CAPÍTULO 1: Funciones | 7

3 1 3 1 • Sumar − en (1) y se tiene: − ≤ x − ≤ 2 2 2 2

(2)

3⎞ 1 ⎛ • Elevar al cuadrdo en (2) y se tiene: 0 ≤ ⎜ x − ⎟ ≤ 2⎠ 4 ⎝

(3)

(4)

(5)

• Multiplicar por –1 en (3) y se tiene: −

1 3⎞ ⎛ ≤ −⎜ x − ⎟ ≤ 0 4 2 ⎝ ⎠ 2

1 1 ⎛ 3⎞ 1 • Sumar en (4) y se tiene: 0 ≤ − ⎜ x − ⎟ ≤ 4 4 ⎝ 2⎠ 4

• Finalmente sacamos la raíz cuadrada en (5) y se tiene: 0 ≤

1 ⎛ 3⎞ 1 − ⎜x − ⎟ ≤ 4 ⎝ 2⎠ 2

(6)

Por lo tanto de (6) se concluye que el rango de la función es el intervalo ⎡ 1⎤ R f = ⎢ 0; ⎥ ⎣ 2⎦

4. Si y = f(x) = x2 − 4x + 7, x ∈[2,3] . Determine el rango

Solución El dominio es dado, es decir x ∈ [2,3] . Para encontrar el rango se debe despejar x en función de y. Es decir: 4 ± 16 − 4(7 − y) y = x 2 − 4x + 7 ⇒ x 2 − 4x + 7 − y = 0 ⇒ x = 2 4 ± 4y − 12 x= 2 x = 2 ± y − 3 ∈ [2;3] , entonces: 2 ≤ 2 ± y − 3 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ y − 3 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ y − 3 ≤ 1 ⇒ 3 ≤ y ≤ 4 ⇒ y ∈ [3;4]

5. Halle el dominio y rango de y = f(x) =

2x x2 − 4

Solución: Para hallar el dominio de una función raíz cuadrada se debe exigir que el radicando sea no negativo, es decir: 2x 2x ≥0⇔ ≥ 0 (x − 2)(x + 2) x2 − 4 Luego, ubique los puntos críticos en la recta real y se tiene: – + – + –2 –∞ 0 2 +∞ Por lo tanto, el dominio de la función es: D f = ] − 2; 0] ∪ ]2; +∞ [

8 | CAPÍTULO 1: Funciones Cálculo del rango: Presentamos dos formas de calcular el rango. A) Despejar la variable x en función de la variable y. 2x 2x 2x 2x y= ≥ 0 ⇒ y2 = 2 ≥ 0 ⇔ y2 = 2 > 0 ∨ y2 = 2 = 0 2 x −4 x −4 x x −4

−4

(1)

(2)

• •

2x = 0 ⇔ y = 0 (a) x −4 2x De (1) se tiene: y2 = 2 > 0 ⇔ x2 y2 − 4y2 = 2x ⇔ x2 y2 − 2x − 4y2 = 0 x −4 De (2) se tiene: y2 =

2 ± 4 + 16y 4 2y2

existe para todo valor de y diferente de cero

(b)

Por lo tanto de (a) y (b) se concluye: Rf = [0; +∞[ = R0+

B) Partir del dominio de la función hasta obtener la función dada. x ∈] − 2;0] ∪ ]2; +∞ [ ⇔ − 2 < x ≤ 0 ∨ x > 2 " (1) • Multiplicando por 2 a cada desigualdad de (1) se tiene: − 4 < 2x ≤ 0 ∨ 2x > 4 • Elevando al cuadrado cada desigualdad de (1) se tiene: 0 ≤ x2 < 4 ∨ x2 > 4 • Sumar –4 a cada desigualdad de (3) se tiene: −4 ≤ x2 − 4 < 0 ∨ x2 − 4 > 0 1 1 1 • Invertir cada desigualdad de (4) y se tiene: 2 ≤− ∨ 2 > 0 4 x −4 x −4 • De (2) se tiene: 4 > −2x ≥ 0 ∨ 2x > 4 −1 1 1 • De (5) se tiene: 2 ≥ ∨ 2 > 0 x −4 4 x −4 • Multiplicar por (–2x) y (2x) respectivamente en (7) se tiene: 2x −2x 2x 2x ≥ ≥ 0∨ 2 >0⇒ 2 ≥ 0 2 4 x −4 x −4 x −4 • Saque la raíz cuadrada en (8) y se tendrá la función dada. 2x ≥ 0 2 x −4

Esto quiere decir que el rango de la función es: Rf = [0; +∞[ = R0+

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

CAPÍTULO 1: Funciones | 9

Aplicaciones 6. Si un monto P se invierte a una tasa de interés i, compuesto anualmente, en t años crecerá al

monto A dado por: A=P(1+i)t. Suponga que se invierten $1000 al 8%, compuesto anualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al finalizar el segundo año? Solución Identificando los datos tenemos: P= 1 000; i=8%, t = 2. A=1000(1+0,08)2 A= 1166,4 dólares 7. Usando datos del International Revenue Service, la carga tributaria per cápita T (en cientos de dólares) se puede describir por medio de la ecuación: T(x)=20,37+1,834t, donde t es el número de años que han pasado desde 1980. a) Encuentre T(20) y escriba un enunciado que explique su significado. b) Trace e interprete la gráfica de la ecuación para la carga tributaria per cápita desde 1980 hasta 1990.

Solución a) T(20) = 20,37 + 1,834(20) = 57,05 La carga tributaria en el año 2 000 es de 5 705 dólares b) Gráfica:

La carga tributaria per cápita desde 1980 hasta 1990 aumentó en:

38,71 38,71 – 20, 37 = 18,34 cientos de dólares. 20,37 X 1980 1990 8. Función de demanda. La función q = f(p) = 280 000 − 35p es una función de la demanda que expresa la cantidad demandada de un producto q como una función del precio cobrado del producto p, expresado en nuevos soles. Determine el dominio restringido y el rango de esta función.

Solución El dominio de la función Se sabe que la cantidad nunca es negativa. Es decir: q = 280 000 – 35p ≥ 0 Despejando se tiene: 280 000 p ≤ = 8 000 35

10 | CAPÍTULO 1: Funciones

Por otro lado, p ≥ 0 entonces el dominio restringido es: 0 ≤ p ≤ 8 000 Rango de la función Como la función q es lineal se tiene: q(0) = 280 000 es el límite superior y q(8 000)=0 es el límite inferior. Es decir: 0 ≤ q ≤ 280 000 Otra forma de analizar el dominio y el rango de una función es a través de la gráfica. q Dominio: 0 ≤ p ≤ 8 000 28 000 Rango: 0 ≤ q ≤ 280 000 Rango p 0 Dominio 8 000 9. Función demanda. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice 1 200 000 una película es: p = , donde q es el número de películas que protagoniza durante el q

año. Si el artista actualmente cobra $ 600 000 por película, ¿Cuántas protagoniza cada año?. Si quiere protagonizar cuatro cintas por año, ¿Cuánto cobrará por cada una? Solución a) El número de películas que protagoniza cada año es:

1200000 1200000 1200000 ⇒q= = = 2 q p 600000

Con el precio de $600 000 por película, el actor sólo podrá realizar 2 películas. b) Por película cobrará: 1200 000 1200 000 p= = = 300 000 q 4 Si el actor realiza cuatro películas por año, el precio de cada película será de $300 0000. 10. El peso M de los músculos de un ser humano es directamente proporcional a su peso corporal W. a) Una persona que pesa 100 kilos tiene 40 kilos de musculatura. Halle una ecuación de variación que exprese M en función de W. b) Exprese la constante de variación en forma porcentual e interprete la ecuación que resulta.

Solución a) La oración: “El peso M de los músculos de un ser humano es directamente proporcional a su peso corporal W”. Se formula. M = KW; donde K es la constante de proporcionalidad

CAPÍTULO 1: Funciones | 11

Para calcular la constante basta reemplazar los valores M=40 y W= 100. Es decir: 40 2 40 = K(100) ⇒ K = = 100 5 Por lo tanto, la ecuación es: 2 M = w 5 b) M = 40%w Es decir el peso muscular es el 40% del peso corporal. 11. El valor de un automóvil, V, es una función del tiempo de uso del auto, a, así que V = f(a) . a) Interprete el enunciado f(5)=9 en términos del valor del automóvil, si V está en miles de dólares, y a en años. b) En las mismas unidades, el valor de un auto Honda se aproxima por f(a) = 13,25 − 0,9a .

Encuentre e interprete las intersecciones verticales y horizontales de la gráfica de esa función de depreciación f.

Solución a) f(5)=9 quiere decir que dentro de 5 años el valor del automóvil será de 9 mil dólares. b) f(a)=13,25 – 0,9a.

Intersección vertical Significa que a=0, entonces f(0)=13,25. Esto quiere decir que el automóvil costó 13,25 mil dólares Intersección horizontal Significa que f(a) =0 entonces 0=13,25 – 0,9a ⇒ a = 14,722… años. Esto quiere decir, que el automóvil dentro de 15 años se ha depreciado totalmente, es decir carece de valor.

12. Ventas. Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si su grupo es menor de 12, cada boleto cuesta $9,50. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta $8,75. Escriba una función que definida por partes represente el costo de comprar n boletos.

Solución Según los datos se puede definir la siguiente función:

⎧9,50n ; 0 < n < 12 C = f(n) = ⎨ ⎩8,75n ; n ≥ 12 13. Melliza solicita la impresión de unos folletos a una imprenta local. La imprenta cobra S/. 200 más S/. 1,20 por folleto para una orden menor de 400 folletos. Si el pedido es de 400 folletos o más, se cobran S/. 200 más S/. 0,80 por folleto. a) Halle el costo en función de la cantidad de folletos y = f(x). b) Estime el costo para dos pedidos de 250 y 650 folletos.

12 | CAPÍTULO 1: Funciones Solución a) Según los datos la función pedida es:

⎧200 + 1,2x ; x < 400 f(x) = ⎨ ⎩200 + 0,8x ; x ≥ 400

b) f(250) = 200 + 1,2(250) = 500 f(650) = 200 + 0,8(650) = 720 14. Valor de un negocio. Un negocio cuyo capital original es de $ 25 000, tiene ingresos y gastos semanales de $6 500 y $4 800, respectivamente. Si se conservan todas las utilidades, exprese el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de t.

Solución El negocio inicialmente tiene un valor de $25 000. Luego, cada semana hay ingresos y gasto, por lo cual deja una utilidad de: $6500 – $4800 =$ 1700 Por lo tanto, después de t semanas el valor del negocio será: V= capital inicial + utilidad por semana V = f(t) = 25000 + 1700t

15. Depreciación. Si una máquina de $ 300000 se deprecia 2% de su valor original cada año,

determine una función f que exprese el valor V de la máquina después de t años transcurridos.

Solución

La depreciación es de

2 (30000) = 600 por cada año. Entonces en t años la depreciación es 100

600t. Por lo tanto, el valor de la máquina después de t años es: V = f(t) = 300 000 − 600t 16. Si 20m3 es el volumen de una caja cerrada de base rectangular cuyo largo es el doble del ancho, expresar el área total de la caja en términos del ancho de la base. Solución 10 Volumen de la caja es: V = 2x2h = 20 ⇒ h = 2 h x x 2x Área total: A = 2xh + 4x2 + 4xh = 4x2 + 6xh

Reemplace el valor de h y se tiene la función área total de la caja rectangular. Es decir: A(x) = 4x2 + 6x(

10 60 ) ⇒ A(x) = 4x 2 + 2 x x

CAPÍTULO 1: Funciones | 13

17. En un triángulo de 10 unidades de base y altura 6 unidades está inscrito un rectángulo. Exprese la superficie del rectángulo en función de su base.

Solución

Supongamos que la base del rectángulo es 10 – x, donde x es la medida de las bases de los dos triángulos 6 rectángulos. Y h la altura del rectángulo. S Entonces el área del rectángulo es: S = (10 – x)h …. (1) 10 B Ahora, calculemos h usando semejanza de triángulos: 6 − h 10 − x = 6-h Q P 6 10 30 − 5h = 30 − 3x h 3x h= = 0,6x 5 A C S R Luego reemplazando el valor de h en la ecuación (1) se tiene: 10 –x S(x) = 0,6x(10 − x); x > 0 18. Un estudiante universitario decide trabajar en verano cortando césped. El costo inicial de las podadoras es $250. Los costos de gasolina y mantenimiento son $1 por máquina. a) Formule una función C para el costo total de movilizar x podadoras. b) El estudiante determina que la función de utilidad total U para el negocio está dado por:

U(x) = 9x − 250 . Halle una función para el ingreso total de movilizar x podadoras. ¿Cuánto cobraría el estudiante por podadora? c) ¿Cuántas podadoras debe movilizar el estudiante antes de obtener ganacia?

Solución Sea x el número de máquina que tiene el estudiante universitario. a) Costo total para movilizar x podadoras es: C(x) = 250 + x

b) Recordemos: Utilidad total = Ingreso total – costo total ⇒ I(x) = 10x 9x – 250 = I(x) – 250 – x

El estudiante cobraría por podadora 10 dólares.

c) Analice el punto de equilibrio. Es decir:

I(x) = C(x) ⇔ 10x = 250 +x ⇔ x =

250 = 27,7 9

Por lo tanto, el estudiante estaría movilizando 27 maquinas antes de obtener utilidad.

14 | CAPÍTULO 1: Funciones 19. Halle el área de un rectángulo de base “x” y perímetro “2a” (a>0). Luego exprese el área como una función que dependa de la base del rectángulo. Solución Sea x la base e y la altura del rectángulo entonces el perímetro esta dado por: 2a = x + y ⇔ y = 2a − x

Según los datos anteriores se construye la gráfica:

a –x

Área del rectángulo A(x) = x (a–x) A(x) = ax – x2

20. Una flota de taxis tiene 40 automóviles, cada uno de los cuales recorre 250 km al día y gasta un promedio de un galón cada 30 km. Si el precio de la gasolina es de 1.10 por galón, establecer una función que exprese la cantidad de dinero que la compañía de taxis debe calcular para gastos en gasolina durante los próximos x días. Solución 25 Cada automóvil consume 1 galón por cada 30km entonces en 250 km ha consumido galones, 3 25 por lo tanto, los 40 automóviles consumen 40 × galones de gasolina en un día. 3 Cada galón de gasolina cuesta 1.1 por galón entonces los 40 automóviles tendrán un gasto de: 25 nuevos soles cada día. 1,1 × 40 × 3 25 1100x Por lo tanto, en x días se tiene el siguiente costo: C(x) = (1,1)(40)( )x = 3 3 21. Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar 8000 tablas especiales de espuma de plástico para entrenamientos de natación. La firma posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El costo de adaptación de las máquinas para producir tablas especiales es de 20 u.m. por máquina. Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación es completamente automática y puede ser supervisada por un solo capataz, cuyo salario es de 4,80u.m. por hora. Hallar la función costo que dependa del número de máquinas que deben adaptarse para producir dichas tablas. Solución Sea x el número de máquinas que se tendrá que adaptar. En este problema se debe de analizar dos costos: costo de adaptación de x máquinas y el sueldo del supervisor. a) El costo de adaptación de cada máquina es de 20 u.m. entonces en x máquinas se gastará 20x. b) El sueldo del supervisor depende del número de horas que van a funcionar las x máquinas para producir 8000 tablas. Es decir:

CAPÍTULO 1: Funciones | 15

Una máquina adaptada fabricará 30 tablas por hora entonces las 8000 tablas la fabricará en 8000 horas. Pero son x máquinas adaptas entonces las 8000 tablas lo fabricaran en 30 8000 horas. 30x 8000 Por lo tano, el sueldo del supervisor es: (4,8) 30x En consecuencia, la función que describe el costo total es: 8000 1280 64 C(x) = 20x + = 20(x+ ) (4,8) = 20x + 30x x x 22. Impuestos federales sobre la renta. La tabla siguiente muestra las tasas tributarias federales en 1991 para los matrimonios que declaran de manera conjunta. Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria (en dólares) (en dólares) (%)

34 000

82 150

Determine la función T= f(x), donde T es igual al pasivo tributario (en dólares) para personas casadas que declaran de manera conjunta y x equivale al ingreso gravable (en dólares). Solución Se grafica la información de la tabla según el problema y se tiene. x–82 150 x x x x–34 000 0 15% 82 150 34 000 28% 15%x 31% 15%(34 000) + 28%(x–34 000) = 28%x–4420 15%(34 000) + 28%(82 150 – 34 000 ) + 31%(x–82 150) = 31%x–6884,5 Por lo tanto, aplicando porcentajes y simplificando se tiene

; 0 < x ≤ 34 000 ⎧15%x ⎪ T = f(x) = ⎨28%x − 4 420 ; 34 000 < x ≤ 82 150 ⎪31%x − 6 884,5 ; 82 150 < x ⎩

16 | CAPÍTULO 1: Funciones

Ejercicios Propuestos 1.1. Nivel 1 1. Determine el valor de N en cada caso: f(0) + f(−2) a) f(x) = 2x + 1; N = f(1) f(1) + f(−1) f(2)

f(x) = 2x 2 − 3x; N =

f(x) =

f(x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 12; N = f(−2) × f(0) × f(2)

x − 3; N =

f(19) × f(12) f(7)

x+2 f(0) − f(1) ; N = 3x − 4 f(2) × f(3)

2. Sean los conjuntos A={1; 3; 5; 7; 9} y B={a; b; c; d; e}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos define una función de A en B? f = {(3;a), (5;a), (9;c), (1;d), (7;e)} g = {(7; b), (5;b), (9;a), (3;d), (5;e)} 3. Dadas las siguientes funciones:

F = {( 2;3) , ( 3;4 ) , ( 4;5) , ( 5;6 )}

G = {( –1;2 ) , ( 0;3) , ( 2;5) , ( 4;7 )}

H = {(1;1) , ( 2;4 ) , ( 3;9 ) , ( 4;16 )}

Calcule: a) M =

F(2) + G(−1) H(4)

b) N =

F2 (4) − G2 (0) c) P = H(2)

F(4) + G(0) H(3)

4. Si la relación F = {( 3;a + b ) , ( 4;a – b ) , ( 3;10 ) , ( 4;4 )} es una función, calcule 2a+5b.

5. Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas siguientes corresponden a una función. Y Y a) b) X X Y Y c) d) X X

CAPÍTULO 1: Funciones | 17

6. El cargo mensual por agua en un pueblo pequeño está dado por: ; 0 ≤ x ≤ 20 ⎧38 f(x) = ⎨ ; x > 20 ⎩38 + 0.4(x − 20) Donde x es la cantidad en cientos de galones y f(x) se da en dólares. Encuentre el cargo mensual para cada uno de los siguientes consumos: a) 300 galones b) 5000 galones.

7. Una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de x vestidos son dados por la función: R ( x ) = 200x + 50. Halle R (10 ) + R (100 ) .

8. Un minorista ha determinado que el consumo anual C de la compra, posesión y mantenimiento de sus productos se comporta de acuerdo a la función: 20 000 + 0,5q + 50 000 C(q) = q Donde q es el tamaño (en unidades) de cada pedido comprado a los proveedores. ¿Cuál es el costo anual si el pedido es de 100, 200 y 500?

9. La función de demanda para un producto particular es q = f(p) = 200 000e–0,15p donde q es la cantidad demandada y p es el precio. a) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $20? b) Construya la función de ingreso total c) ¿Cuál se espera que sea el ingreso total con un precio de $ 25? ¿Cuál es la demanda con este precio?

10. La función C ( x ) = 15x + 80 000, expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar x unidades de un producto. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es de 50 000, determine el dominio restringido y el rango para esta función costo.

11. Suponga que un fabricante de receptores de estéreo tiene la función C(x) = 105x + 1650 y la función de ingreso R(x) = 215x a) ¿Cuál es la función que representa la ganancia para la mercancía? b) ¿Cuál es la ganancia de 50 unidades?

12. Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si un grupo es menor de 12, cada boleto cuestas/18.75. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta S/15.75. Escriba una función definida por partes para representar el costo de comprar n boletos.

13. Halle el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = d) f(x) =

x 9 − x2

x2 + 5x + 6 2x − x − 15x + 18 3

b) f(x) =

x −1 2 x − 5x + 6

e) f(x) =

−x + 3 4 − x2

c) f(x) =

(x2 − 4)(x2 − 9) −x 4 + 17x2 − 16

Nivel 2 1. Isla ecológica. Se ha observado que sobre una Isla de área A millas cuadradas, el número promedio de especies animales es aproximadamente igual a s(A) = 2.8 3 A . a) En promedio, ¿cuántas especies animales se podría esperar encontrar sobre una isla de 8 millas cuadradas? b) Si s1 es el número promedio de especies sobre una isla de área A y s2 es el número promedio de especies sobre una isla de área 2A , ¿cuál es la relación entre s1 y s2 ? c) ¿Qué tan grande debe ser una isla para tener un promedio de 100 especies animales?

18 | CAPÍTULO 1: Funciones 2. Posición de un objeto en movimiento. Se deja caer una pelota desde la parte superior de un edificio. Su altura (en metros) después de t segundos está dada por la función H(t) = − 15t2 + 225. a) ¿Cuál es la altura de la pelota después de 2 segundos? b) ¿Qué distancia recorrerá la pelota durante el tercer segundo? c) ¿Cuál es la altura del edificio? d) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo?

3. Una empresa vende un producto en S/. 55 por unidad. Los costos variables por unidad son S/. 35 y los costos fijos equivalen a S/. 50 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio?

4. Una investigación de mercado indica que los fabricantes ofertarán x unidades de un artículo particular en el mercado cuando el precio es p=S(x) dólares por unidad, y que el mismo número de unidades serán demandadas (vendidas) por los consumidores cuando el precio es p=D(x) dólares por unidad, donde las funciones de oferta y demanda están dadas por S(x) = x 2 + 14 y D(x) = 194 − 8x a) ¿A qué nivel de producción x y a qué precio unitario p el mercado alcanza el equilibrio? b) Dibuje las curvas de oferta y demanda, p=S(x) y p=D(x), en el mismo plano e interprétela.

5. La investigación de mercado indica que los consumidores comprarán x miles de unidades de un tipo particular de productor de café cuando el precio unitario es p = −0.27x + 52 dólares. El costo

de producir las x unidades es C(x) = 2.24x 2 + 3.6x + 86 miles de dólares. a) ¿Cuáles son las funciones de ingreso y de utilidad, de este proceso de producción? b) ¿Para qué valores de x es redituable la producción de los fabricantes de café?

6. Costo De Fabricación. Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de S/40 soles cada una, teniendo costos fijos de S/ 1200. Se estima que si las grabadoras se venden a p soles cada una, los consumidores comprarán 120 − p de ellas al mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio, grafique esta función y utilícela para estimar el precio óptimo de venta.

7. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(p) = 1200 − 3q , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso.

8. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s = −4.9t2 + 58.8t , donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

9. Durante una colisión, la fuerza F (en newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F(t) = 87t − 21t2 , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza?. ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza?

10. El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t , en años, viene dado por la función: f(t) = −4t2 + 60t − 15; 1 ≤ t ≤ 8 a) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2 ? ¿Y para t = 4 ? b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros? 11. El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función: B(x) = −0,01x 2 + 3,6x − 180 a) Representa gráficamente esta función. b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo.

CAPÍTULO 1: Funciones | 19

c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas. Nivel 3 1. Contaminación del aire. En ciertas partes del mundo, se ha observado que el número de muertes por semana, N , está linealmente relacionado con la concentración promedio de dióxido de sulfuro en el aire, x ,. Suponga que hay 97 muertes cuando x = 100mg / m3 y 110

muertes cuando x = 500mg / m3 . a) ¿Cuál es la relación funcional entre N y x ? b) Utilice la función del inciso a) para hallar el número de muertes por semana cuando x = 300mg / m3 . ¿Qué concentración de dióxido de sulfuro corresponde a 100 muertes por semana?

2. Una compañía de transporte, con una tarifa de 800 soles transporta 8000 pasajeros por día. Al considerar un aumento en la tarifa, la compañía determina que perderá 400 pasajeros por cada 50 soles de aumento. Bajo estas condiciones ¿Cuál debe ser la función que describe este fenómeno?

3. Tres fábricas están situados en los vértices de un triangulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre sí de 16 millas están situados en la base, en tanto que la fábrica A en el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base. Encuentre una función que describa el recorrido total del agua, si a lo largo de la altura se debe colocar una instalación de bombeo de agua.

4. Un fabricante, desea construir cajas cerradas de 256 cm3 de capacidad, la base debe ser un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de S/. 3 por cada cm2 y para los lados es de S/. 2 por cm2. Hallar la función que describe el costo de la caja.

5. Un prisma rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho, y la altura una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función de su ancho.

6. Una librería puede adquirir cierto libro a un costo de S/. 20 por libro, el librero calcula que puede vender 700 ejemplares al precio de S/. 40 cada uno y que estará en capacidad de vender 45 ejemplares más por cada reducción de S/. 2 en el precio de venta. Expresar la utilidad de la librería como una función del precio de venta.

7. Multas por exceso de velocidad. En el condado de Washington, una persona detenida y multada por conducir a una velocidad mayor del límite permitido. Si el exceso de velocidad sobre el límite permitido es menor de 15 kms por hora el conductor paga una multa que incluye un cargo administrativo de $ 20 más $ 5 por cada km la por hora que conduzca arriba del límite de velocidad. Un conductor detenido por ir a una velocidad mayor o igual a 15 kms por hora sobre el límite de velocidad debe pagar el cargo administrativo de $ 20 más $10 por cada km por hora que conduzca arriba del límite de velocidad. Escriba una función definida por partes que describa este problema.

8. Una inmobiliaria tiene un edificio de 120 apartamentos. Cuando la renta de cada uno es de $330 al mes, todos los apartamentos están ocupados. La experiencia ha demostrado que por cada incremento mensual de $30 en la renta, se desocupan 5 de ellos. El costo de mantenimiento de cada apartamento es de 430 mensuales. ¿Qué renta debe cobrarse para maximizar la utilidad?

9. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 metros de cerca, encontrar las dimensiones para encerrar el área máxima.

20 | CAPÍTULO 1: Funciones 10. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20 soles por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,5 soles. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa?

11. A partir de una lámina metálica rectangular y larga, de 12 pulgadas de ancho, hay que fabricar una canoa doblando hacia arriba dos lados, de modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas deben doblarse para dar a la canoa su máxima capacidad?

12. Desde el comienzo del año, el pan integral de trigo en un supermercado ha ido en aumento a una razón constante de 2 céntimos por mes. Para el 1º de octubre, el precio llegó a S/0.46 por unidad. Exprese el precio del pan como una función del tiempo y determine el precio al comienzo del año.

13. Depreciación lineal. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de S/ 1500; para efectos de impuesto, se supone que ese valor se deprecia linealmente a cero en un periodo de 10 años. Esto es, el valor de los libros disminuye a razón constante de manera que será igual a cero al final de 10 años. Exprese el valor de los libros como una función del tiempo.

14. El programa de tasa tributaria para contribuyentes casados que presentan una declaración conjunta (que se muestra en la tabla ) parece tener un salto en los impuestos para ingresos gravables en $ 109 250.

Sobre (dólares)

Pero no sobre (dólares)

forma

De la cantidad que excede a:

0 45 200 109 250 166 500 297 350

45 200 109 250 166 500 297 350

15% 6 780 + 27,5% 24 393, 75 + 30,5% 41 855 + 35,5% 88 306,75 + 39,1%

0 45 200 109 250 166 500 297 350

a) Utilice la tabla y escriba la función que asigna el impuesto sobre la renta para contribuyentes casados como una función del ingreso gravable. b) ¿Cuál es el impuesto cuando el contribuyente tiene un ingreso gravable de 109300

15. Tarjeta de créditos. Cada vez hay más personas que pagan sus deudas con tarjetas de crédito, en forma mensual. El porcentaje de quienes lo hacen se ha incrementado, de acuerdo con los datos que aparecen en la siguiente tabla. a) Utilizando los puntos de los datos (0; 29), (3; 32).y (7; 41), halle una función cuadrática que ajuste los datos. b) Utilice la función para predecir el porcentaje que pagará sus deudas en el año 2000 y en el año 2008.

Años, x (desde 1990) 0. 1990 1. 1991 2. 1992 3. 1993 4. 1994 5. 1995 6. 1996 7. 1997

Porcentaje, P de quienes pagan sus deudas 29 30 31 32 33 34 36 41

CAPÍTULO 1: Funciones | 21

2. FUNCIONES ESPECIALES 2.1. Gráfica de una función Sea la función f : R → R , llamaremos gráfica de la función f al conjunto:

{

}

Gf = (x; y) ∈ R 2 / y = f(x)

Estudiaremos las gráficas de las siguientes funciones.

2.1.1. Función Constante

Diremos que una función f : R → R es constante si su regla de correspondencia es: f(x) = c donde D f = R , R f = {c}

Gráfica:

y = C

2.1.2. Función Identidad

C -1

Una función f : R → R , es llamada función identidad si su regla de correspondencia es: f(x) = x Donde D f = R , R f = R

Gráfica:

y = x

1 -1

0 -1

X 1

2.1.3. Función Lineal Diremos que una función f : R → R es lineal si su regla de correspondencia es: f(x) = ax + b; a ≠ 0; b constantes Donde D f = R , R f = R Gráfica: Y y = ax+b X b 0 − a

22 | CAPÍTULO 1: Funciones

2.1.4. Función Raíz Cuadrada Una función f : R 0+ → R 0+ es llamada raíz cuadrada si su regla de correspondencia es: f(x) = x Donde Df = R 0+ , R f = R 0+ Gráfica: Y 2 1 X 4 0 1 3 2

2.1.5. Función Valor Absoluto Diremos que la función f es llamada valor absoluto si su regla de correspondencia es: ⎧ x si x ≥ 0 Donde Df = R , Rf = R 0+ f(x) =| x |= ⎨ ⎩ −x si x < 0

Gráfica: Y 2 1 -2

-1

X 2

Propiedades a) x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 b) x ≤ a ⇔ a > 0 ∧ −a ≤ x ≤ a c)

x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a

2.1.6. Función Máximo Entero La función f es llamada función máximo entero si su regla de correspondencia es: f(x) = ax b = n ∈ Z ⇔ n ≤ x < n + 1

Donde D f = R ,

Rf = Z

CAPÍTULO 1: Funciones | 23

Gráfica:

2 1 -2 -1 0 -1 -2 Propiedades de la función Máximo Entero a) b) c)

ax + nb = ax b + n; n ∈ Z Si k ≤ x entonces ax b = k, siempre que k ∈ Z Si x ≤ k entonces ax b = k –1, siempre que k ∈ Z a > 0, entonces: b c af a (i) ≤ x ⇒ ax b = dd gg b eb h

d) Si

e) Si

(ii) x ≤

caf a ⇒ ax b = dd gg b eb h

a a < 0 ; ∉ Z entonces : b b

a (i) ≤ x ⇒ ax b = b

c af c af a − dd − gg − 1 (ii) x ≤ ⇒ a x b = − dd − gg − 1 b e bh e bh

f) a −x b = − ax b − 1 si x ∉ Z

2.1.7. Función signo La función f es llamada función signo si su regla de correspondencia es: ⎧ 1, x > 0 ⎪ f(x) = sig(x) = ⎨ 0 x = 0 . Donde Df = R , Rf = {−1; 0; 1 } ⎪−1 x < 0 ⎩

Gráfica:

Y 1 -2

-1

0 -1

24 | CAPÍTULO 1: Funciones

2.1.8. Función Cuadrática Diremos que una función f es cuadrática si su regla de correspondencia es: 2 f(x) = ax + bx + c, a,b,c ∈ R; a ≠ 0 Donde: ⎡ 4ac − b2 ⎞ ⎛ 4ac − b2 ⎤ Df = R , Rf = ⎢ , +∞ ⎟⎟ ,si a > 0 ∨ R f = ⎜⎜ −∞ , ⎥ , si a < 0 4a ⎦ ⎣ 4a ⎠ ⎝ Gráfica: Y X 0 −b 2a 4ac − b 2 4a 2.1.9. Función Cúbica Diremos que una función f es cúbica si su regla de correspondencia es: 3 2 f(x) = ax + bx + cx + d, a,b,c,d ∈ R; a ≠ 0 Caso particular Si b = c = d = 0 y a = 1 , entonces se tiene la funciçon cçubica f(x) = x 3 donde D f = R y R f = R Gráfica:

y = x3

Y 2 1 -2

-1

0 -1 -2

CAPÍTULO 1: Funciones | 25

2.1.10. Función Hipérbola Equilátera Es la función cuya regla de correspondencia viene dado por: 1 R f = R − {0} f(x) = donde: Df = R − {0} , x Gráfica: Y 2 1 -2

-1

-1 -2

1 y = x 3X 2

2.1.11. Función Exponencial Y Logarítmica A) Función Exponencial Tienen la forma

y = f(x) = a , a > 0, a ≠ 1 . Df = R , Rf = R + x

Y a >1

-4 -3 -2 -1 0

a=2

a=3

Y a=

1 2

0<a<1

1 3

-2 -1 0

La función exponencial La función exponencial es es creciente decreciente Si se utiliza el número irracional e como base, la función y = ex se denomina función exponencial natural.

26 | CAPÍTULO 1: Funciones

Aplicación de Funciones Exponenciales • Crecimiento exponencial: Q(n) = Q 0 an donde (0 ≤ n < ∞) proporciona un modelo matemático de una cantidad Q(n) que en un principio está representada con la cantidad Q(0) = Q 0 , y cuya

• • • •

razón de crecimiento an es directamente proporcional a la cantidad presente en el periodo n. La fórmula anterior puede plantearse también como , Q(n) = Q 0ekt ; 0 ≤ t < ∞ . Donde k es la constante de crecimiento y t es el tiempo. Cuando se presenta un decrecimiento el exponente de la fórmula es negativo. Interés Compuesto: M = C(1 + i)n donde M es el monto o valor futuro, C el capital o valor presente, i la tasa de interés periódica y n es el número de periodos de inversión. Decaimiento Radioactivo Los elementos radioactivos tienen la característica de que su cantidad disminuye con el tiempo. Se dice que un elemento radioactivo decae. La función que describe este fenómeno es: N(t) = N0 e −λt Donde: t es el tiempo. N =N(t) es la cantidad en el instante t. N0 es la cantidad inicial. λ se la constante de decaimiento. Supongamos que T es el tiempo que tarda un elemento radioactivo en disminuir a la mitad de su cantidad inicial. Entonces la función exponencial asociada a este fenómeno es: N0 = N0 e −λT 2 Ahora demostremos que para cada intervalo de tiempo T, la cantidad se reduce a su mitad. En efecto. Consideremos el intervalo [ t; t + T ] . Entonces Esto significa que N0 N e −λt N(t) )= 0 = 2 2 2 Esto significa que la cantidad en el tiempo t+T es la mitad de la cantidad en el t. Con esto queda demostrado que: en cada intervalo de tiempo T, la población se reduce a su mitad. Es decir, si la cantidad inicial es 4 gramos, entonces dentro de un tiempo T habrá 2 gramos y dentro de un tiempo 2T habrá 1 gramo y así sucesivamente. A este valor de T se llama vida media del elemento radioactivo y se calcula de la siguiente manera: ln(2) T= λ N(t + T) = N0 e −λ (t + T) = N0 e −λt e −λT = e −λt (N0 e −λT ) = e −λt (

Ejemplo Una muestra de 1 gramo de plomo 211 radiactivo ( que se denota 211Pb ) decae de acuerdo con la ecuación N = e−0,0192t , donde N es el número de gramos presente después de t minutos. Encuentre la vida media del 211Pb a la décima de minuto más cercano. Solución Identificando la constante decaimiento se tiene: λ = 0,0192 Entonces la vida media es: T=

ln(2) ≈ 36,10141565 0,0192

La vida media del 211Pb a la décima de minuto más cercano es 36,1 minuto

CAPÍTULO 1: Funciones | 27

B) Función Logaritmo Son las funciones inversas a las funciones exponenciales: y = log a (x); a > 0 ∧ a ≠ 1,x > 0 si y sólo sí x = ay Esto quiere decir, loga x es la potencia y a la cual a debe elevarse para obtener x . Por lo tanto, el dominio de las funciones logarítmicas son todos los números positivos. Es decir: Df = R + , Rf = R

Propiedades de los logaritmos:

log a 1 = 0

a0 = 1

log a [MN] = log a M + log a N aman = am+n log a ⎣⎡Mn ⎤⎦ = nlog a M

(a ) m

= amn

log a (a) = 1

a1 = a

⎡M⎤ loga ⎢ ⎥ = log a (M) − loga (N) ⎣N⎦

⎡1⎤ loga ⎢ ⎥ = − loga (N) ⎣N ⎦

1 = a−n an

= am −n

2.1.12. Función Periódica

Una función f : R → R es periódica si existe un número T ≠ 0 que cumple las siguientes condiciones. I) ∀x ∈ Df se cumple (x + T) ∈ Df II) f(x + T) = f(x), ∀x ∈ Df Al menor número positivo T se le llama periodo mínimo o simplemente periodo. Para graficar una función periódica f, es suficiente con graficar en [0;T[ donde T es el periodo de la función y luego repetir esta gráfica en todos los intervalos de longitud T.

28 | CAPÍTULO 1: Funciones

2.1.13. Función Par e impar A) Función Par La función f : R → R se llama función par si f(−x) = f(x); ∀x ∈ R

B) Función Impar La función f : R → R se llama función impar si f(−x) = − f(x); ∀x ∈ R

2.1.14. Función trigonométrica Estudiaremos las siguientes funciones trigonométricas

Función Seno

Sea la función f : R → [−1;1] definida por f(x) = sen(x) Dominio: Df = R ,

Rango: Rf = [−1;1] ,

Periodo: T = 2 π

Función impar: sen(–x) = –sen(x) En general:

f(x) = Asen[Bx + C] + D Donde A es la amplitud, el periodo es T =

2π , C es traslación horizontal o ángulo de fase y D es la B

traslación vertical.

Gráfica Función Coseno

Sea la función f : R → [−1;1] definida f(x) = cos(x) Dominio: Df = R ,

Rango: Rf = [−1;1] ,

Periodo: T = 2 π

Función par: cos(–x) = cos(x) En general:

f(x) = Acos[Bx + C] + D Donde A es la amplitud, el periodo es T = traslación vertical.

2π , C es traslación horizontal o ángulo de fase y D es la B

CAPÍTULO 1: Funciones | 29

Gráfica

Función tangente

Sea la función f : R → R definida f(x) = tg(x) =

⎧⎛ 2k + 1 ⎞ ⎫ Dominio: Df = R − ⎨⎜ ⎟ π , k ∈ Z ⎬ , 2 ⎠ ⎩⎝ ⎭ Gráfica

sen(x) cos(x)

Rango: R f = R ,

Periodo: T = π

2.1.15. Función Definida por Partes.

Se llaman así a las funciones definidas con dos o más reglas de correspondencias. Es decir: ⎧⎪ f1 (x), x ∈ Df1 f(x) = ⎨ ⎪⎩f2 (x), x ∈ Df2

Con Df1 ∩ Df2 = ϕ (vacio) , además D f = D f1 ∪ D f2 y R f = R f1 ∪ R f2 Ejemplo Sea la función f, definida

30 | CAPÍTULO 1: Funciones

⎧⎪x + 1 si x ≥ 0 f(x) = ⎨ 2 ⎪⎩x − 2 si x < 0 Halle el rango de la función y dibuje la gráfica. Solución Ran(f) = Ran(f1 ) ∪ Ran(f2 ) Por definición el rango es: 1º. Encuentre Ran(f1 ) x ≥ 0 ⇒ x + 1 ≥ 1 ⇒ y = x + 1 ≥ 1 ⇒ y ≥ 1

Entonces, Ran(f1 ) = [1; +∞[

2º. Encuentre Ran(f2 ) x < 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ x2 − 2 > −2 ⇒ y = x2 − 2 > −2 ⇒ y > −2

Entonces:

Ran(f2 ) =] − 2; + ∞[ Por lo tanto, Ran(f) = Ran(f1 ) ∪ Ran(f2 ) = [1; + ∞[ ∪ ] − 2; + ∞[ = ] − 2; + ∞[

f2(x)=x2 – 1

f1(x)=x+1

X –2

2.2. Traslación Reflexión y Simetría de Gráficas. Debemos destacar que cuando se conoce la grafica de una función, en base a esta función se puede graficar otra función de la siguiente manera.

A) Traslación a. Traslación Vertical:

Conocida la gráfica de la función f , entonces la gráfica de la función F definida F(x) = f(x) + c , tiene una traslación vertical. Si c > 0 la gráfica de la función f se desplaza hacia arriba c unidades. Figura a Si c < 0 la gráfica de la función f se desplaza hacia abajo c unidades. Figura b

CAPÍTULO 1: Funciones | 31

Y F

Fig. a

f X

Fig. b

b. Traslación Horizontal:

Conocida la gráfica de la función f , entonces la gráfica de la función F definida F(x) = f(x + c) , tiene una traslación horizontal. Si c > 0 la gráfica de f se desplaza a la Izquierda c unidades. Figura c Si c < 0 la gráfica de f se desplaza hacia la Derecha c unidades. Figura d Y Y F f X Fig. c Fig. d

F X

c. Traslación horizontal y verticala la vez

F(x) = f(x + c) + k , la gráfica se obtiene primero desplazándose c unidades horizontalmente y luego k unidades verticalmente. c>0 y K>0 Y F f Fig. e

c<0 y K>0

Y F

X f

Fig. f

32 | CAPÍTULO 1: Funciones

c>0 y K<0

c<0 y K<0

f X

X F F

Fig. h

Fig. g

d. F(x) = af(x), a > 0

Si a > 0 la gráfica de f(x) se alarga verticalmente alejándose del eje x por un factor a. Figura i. Si 0 < a < 1 la gráfica de f(x) se contrae verticalmente hacía el eje x por un factor a. Figura j.

Y 3x2 2x2 x2 3 2 1 0 –1 Fig. i

x2 /2

x2 / 4

3 2 1 X

–2 –1

Fig. j

B) Reflexión y=f(–x) es la reflexión de la función f respecto al eje Y. Figura K. y=–f(x) es la reflexión de la función f respecto al eje X. figura l.

2 1 –1

Fig. k

f(x)

1 0

–1 –2

Fig. l

–f(x)

CAPÍTULO 1: Funciones | 33

C) Simetría Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos se llama eje de simetría.

a) Simetría con el eje Y La función f es simétrica con respecto al eje Y si su regla de correspondencia no cambia cuando se reemplaza x por −x . Es decir: y = f(–x) = f(x). Figura m. Las funciones simétricas respecto al eje Y reciben el nombre de funciones pares

b) Simetría con respecto al orige La función f es simétrica con respecto al origen si se cumple: f(–x)= –f(x). Figura n. Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares Y Y f(x) 2

f(x)

2 1 –1

Fig. m

–2 –1

Fig. n

Ejercicios Resueltos

⎛x −2⎞ Halle dominio, rango y gráfica de la siguiente función: f(x) = sig ⎜ ⎟ ⎝ x + 3⎠

Solución Por definición se tiene: x −2 ⎧ ⎪ 1, si x + 3 > 0 ⎪ x −2 ⎛x −2⎞ ⎪ f(x) = sig ⎜ = = 0 ⇔ f(x) = ⎟ ⎨0 , si x 3 x + +3 ⎝ ⎠ ⎪ x −2 ⎪ ⎪ −1, si x + 3 < 0 ⎩

⎧1 , si x < −3 ∨ x > 2 ⎪ ⎨0 , si x = 2 ⎪−1, si − 3 < x < 2 ⎩

Df = −∞ , −3 ∪ 2, +∞ ∪ {2} ∪ −3,2 = R − { −3}

Rf = {−1,0,1}

34 | CAPÍTULO 1: Funciones Gráfica:

–3 2.

Halle dominio, rango y gráfica de la siguiente función: f(x) =| x | + | x − 3 | Solución Por definición de valor absoluto se tiene: ⎧x x ≥ 0 • |x |=⎨ ⎩−x x < 0 ⎧ x − 3 si x − 3 ≥ 0 ⎧ x − 3 si x ≥ 3 • |x − 3| =⎨ = ⎨ x 3 si x 3 0 − + − < ⎩ ⎩ −x + 3 si x < 3 Si x < 0 entonces f(x) =| x | + | x − 3 |= −x + (−x + 3) = −2x + 3 Si 0 ≤ x < 3 entonces f(x) =| x | + | x − 3 |= x + (−x + 3) = 3 Si x ≥ 3 entonces f(x) =| x | + | x − 3 |= x + (x − 3) = 2x − 3 Finalmente tenemos que: si x < 0 ⎧−2x + 3 ⎪ f(x) = ⎨ 3 si 0 ≤ x < 3 ⎪ 2x − 3 si x ≥ 3 ⎩

Dom(f) = R , Gráfica:

Ran(f) = 3, +∞

–1

CAPÍTULO 1: Funciones | 35

Determine si la función es simétrica con respecto al eje Y (función par) o simétrica con respecto al origen (función impar) o ninguna de las dos. 1. g ( x ) = x2 + 1

(

)

h ( x ) = x x2 + 1

g ( x ) = x 4 + 3x2 − 1

Solución

Recordar los siguientes definiciones: a) x es una función par si y=f(–x) = f(x) b) x es una función impar si y=f(–x)=–f(x) Entonces 1. g ( −x ) = (−x)2 + 1 = x2 + 1 = g(x) Esto quiere decir que g es una función par o simétrica con el eje Y.

2. g ( −x ) = (−x) ( −x − 1 ) = x(x + 1) ≠ g(x) Esto quiere decir que g no es simétrica con el eje Y y no es simétrica con el origen.

(

)

3. h ( −x ) = (−x) (− x)2 + 1 = −x(x 2 + 1) = −h(x)

Esto quiere decir que h es una función impar o simétrica con el origen.

Utilice la gráfica de las funciones especiales y las técnicas de traslaciones y reflexiones para graficar las funciones dadas. a) f ( x ) = x − 2

b) f ( x ) = 1 − ( x − 1 ) 2

Solución a) f ( x ) = x − 2 Grafiquemos la función identidad y=x (figura a) luego graficar f(x) = x–2, significa trasladar 2 unidades hacia la derecha en el eje X la gráfica de la identidad (figura b) Y Y

y=x

y = x–2

Figura a

Figura b

36 | CAPÍTULO 1: Funciones b) f ( x ) = 1 − ( x − 1 ) Se grafica la parábola x2 (figura a). Graficar (x–1)2 significa trasladar una unidad hacia la derecha en el eje X la gráfica de x2 (figura b). Graficar –(x–1)2 significa invertir la gráfica de (x–1)2 manteniendo el vértice fijo (figura c). 2

Finalmente, graficar f ( x ) = 1 − ( x − 1 ) significa trasladar una unidad hacia arriba en el eje Y 2

(figura d)

Figura a Figura c 5. Trace la gráfica de: b) f(t) = Asen(t) c) f(t) = sen(Bt) 1 Para A=1; 2 y B= 2; 2 Solución a) Caso 1: A=1; f(t) = sen(t)

f(x)= (x–1)2 X

Figura b

f(x)= 1‐(x‐2)2 f(x)= 1‐(x‐2) f(x)=–(x–2)22

Figura d

CAPÍTULO 1: Funciones | 37

Tabulando se tiene:

–2 π

f(t)

–

3π 2

–π 0

–

π 2

–1

Graficando se tiene: Caso 2: A=2; f(t) = 2sen(t) Tabulando se tiene: t

–2 π

f(t)

–

3π 2

π 2

3π 2

2π

–1

–π 0

–

π 2

–2

π 2

3π 2

2π

‐2

Graficando se tiene Y X Observación Si a la función seno se le multiplica por un número entero positivo, la amplitud queda multiplicada por dicho número y su periodo es el mismo. b) Caso 1: B= 2; f(t)= sen(2t) Tabulando se tiene: t f(t)

–π

–

3π 4 1

–

π 2 0

–

π 4

–1

π 4

π 2

3π 4

–1

38 | CAPÍTULO 1: Funciones

Graficando se tiene

Observación Si se multiplica por un número entero positivo al ángulo de la función seno, la amplitud se mantiene y su periodo queda dividió por dicho número. Es decir, la gráfica se contrae. 1 t Caso 2: B= ; f(t)= sen( ) 2 2 Tabulando se tiene: " f(t)

–4 π

–3 π

–2 π

–π

2π

3π

4π

–1

Graficando se tiene:

Observación Si se divide entre un número entero positivo al ángulo de la función seno, la amplitud se mantiene y su periodo se multiplica por dicho número. Es decir, la gráfica se extiende. 6. Encuentre la ecuación posible para cada gráfica: a) Y X

CAPÍTULO 1: Funciones | 39

b) Y X Solución a) De la gráfica a) se puede suponer que la función trigonométrica es de la forma: y(x) = Asen( ωx + θ ) + B

Y Amplitud Periodo

X Donde 2π 2π y(0)=2 ; = = 1 ; T T Entonces, la función tiene la siguiente forma

A=1;

T= 2π ; ω =

B=2 (Traslación vertical)

y(x) = sen( x + θ )+2 Usa los datos y tienes: • y(0)=2 ⇒ 2 = sen( θ )+2 ⇒ θ = nπ; n ∈ Z …. (1)

π π π π (4n − 1)π • y( ) = 1 ⇒ 1 = sen( + θ )+2 ⇒ sen( + θ )= –1 ⇒ θ + = ;n∈Z 2 2 2 2 2 (4n − 1)π π θ= − = (2n − 1)π; n ∈ Z …. (2) 2 2 Entonces, de (1) y (2) se tiene: θ = nπ = (2n − 1)π; n ∈ Z ⇒ n = 1 Por lo tanto, la función es:

y(x) = sen(x + π) + 2

40 | CAPÍTULO 1: Funciones b) Según el gráfico se tiene, la función trigonométrica tiene la forma y(x) = 5sen( ω x + θ ) Periodo: T= 4π Y Amplitud Periodo 2π 2π 1 Frecuencia angular: ω = = = T 4π 2 Luego, x y(x) = 5sen( + θ ) 2 Por otro lado, del gráfico se tiene

• y(0) = 0 ⇒ 0 = 5sen(θ) ⇒ θ = nπ; n ∈ Z

…. (1)

π π π π (4n + 1)π • y( ) = 5 ⇒ 5 = 5sen( + θ) ⇒ 1 = sen( + θ) ⇒ θ + = ;n∈Z 2 2 2 2 2 (4n + 1)π π …. (2) θ= − = 2nπ; n ∈ Z 2 2 Entonces, de (1) y (2) se tiene: θ = nπ = 2nπ; n ∈ Z ⇒ n=0 Por lo tanto, la función es: x y(x) = 5sen( ) 2 7. Una máquina se compra en $10 000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra.

Su valor después de t años está dado por la fórmula: V(t) = 10 000e−0.2t . Determine el valor de la máquina después de 8 años. Solución El valor después de 8 años es: V(8) = 10 000e−0.2(8) ≈ 2018,965 dólares

8. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 2500e − x , donde x es el

número de unidades demandadas a un precio p por unidad. Evalúe el precio para una demanda de 6 unidades.

CAPÍTULO 1: Funciones | 41

Solución El precio para 6 unidades demandadas es: p(6) = 2500e −6 ≈ 6,19 x ) donde x es el número de 100 unidades y p es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades?

9. La ecuación de oferta de un fabricante es p = 28 + log(5 +

Solución Si x = 700 unidades entonces el precio es:

p = 28 + log(5 +

700 ) = 28 + log(12) ≈ 28 + 1,0791 = 29,0791 100

Es decir, el fabricante ofrecerá a un precio de 29,0791 unidades monetarias por cada unidad. 10. Una compañía encuentra que los gastos semanales en publicidad (en dólares) y están dados

⎛ 800 ⎞ por: y = 1250ln ⎜ ⎟ donde x ≥ 200 . Calcule el gasto en publicidad para vender 800 ⎝ 1000 − x ⎠ unidades. Solución El gasto en 800 unidades es:

800 ⎛ ⎞ ⎛ 800 ⎞ y(800) = 1250ln ⎜ ⎟ = 1250ln ⎜ ⎟ = 1250ln ( 4 ) ≈ 1732,86 ⎝ 1000 − 800 ⎠ ⎝ 200 ⎠ El gasto en publicidad para vender 800 unidades es de 1732,86 dólares 11.La tasa de crecimiento poblacional de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando ésta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especímenes se duplica cada 20 minutos. a) Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t. b) Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo? Solución Según el enunciado se tiene: Q(t) = c 0 ekt Donde: t es el tiempo en minutos. Q(t) es la cantidad poblacional de la bacteria en el instante t. K es la constante de proporcionalidad. C0 es la cantidad poblacional inicial.

42 | CAPÍTULO 1: Funciones Cálculo de la constante k Como la cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos se tiene:

t = 0 ⇒ Q(0) = c0 t = 20 ⇒ Q(20) = c0 ek(20) = 2Q(0) ln(2) 20

c0 ek(20) = 2c 0 ⇔ ek(20) = 2 ⇔ k =

Por lo tanto, la función exponencial es:

Q(t) =

ln(2) t c0e 20

= c0

t ln(2) 20 (e )

= c0

t 20 (2 )

Luego, t 20 100(2 )

Cantidad inicial c0=100 entonces la función es: Q(t) =

Cantidad inicial c0=3500 entonces la función es: Q(t) = 3500(2 20 )

El nuevo modelo es 35 veces el modelo anterior en cada instante t. 12. La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población continúa creciendo en forma exponencial con la razón actual de aproximadamente 2% por año: a) Encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de millones) como función del tiempo t (en año), donde t=0 corresponde al inicio de 1990. b) Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio del 2007? Solución El crecimiento exponencial se define: Q(t) = c 0 ekt

Donde: t es el tiempo en años Q(t) es la cantidad de personas en miles de millones por cada año. K es la razón de crecimiento poblacional por año. c0 es la población inicial. Luego, a) Según los datos se tiene: Q(t) = 5,3e0,02t

b) t es el tiempo transcurrido desde inicio del año 1990 hasta el inicio del año 2007. Es decir, t = 2007–1990 = 17 años. Gráficamente se tiene: 10 17 1 2 3 " " 1990 1991 1992 1993 2000 2007 Entonces La población mundial al inicio del año 2007 es: Q(t) = 5,3e 0,02(17) ≈ 7,4462 mil millones

CAPÍTULO 1: Funciones | 43

13.Una boya en el océano oscila de arriba hacia abajo mientras pasan las olas. Suponiendo que la boya está en su punto más alto en t=0, además la boya se mueve un total de 80 cm. desde el punto más alto cada 12 s. Encuentre la ecuación de la boya que está en movimiento. y Boya t 80 cm. 12 s Océano Solución El movimiento es ondulatorio, entonces está descrita por: y(t) = Asen(ωt + θ)

Donde: y(t) es la posición de la boya en el instante t. t es el tiempo en segundos. ω es la frecuencia angular. T es el periodo A es la amplitud. θ es el ángulo de fase. Según los datos se tiene: 80 A= cm =40 cm 2 2π 2π π T = 12 segundos entonces ω = = = T 12 6 t=0 , y(0)=40 entonces π 40 = 40sen(θ) ⇔ 1 = sen(θ) ⇔ θ = 2 Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento de la boya es: π π y(t) = 40sen( t + ) 6 2 14. El 10 de febrero de 1990 la marea alta en el Callao fue a media noche. La altura del agua en el puerto es una función periódica, ya que oscila entre las mareas alta y baja. Si t se mide en horas desde la media noche, la altura (en metros) se aproxima por medio de la fórmula

a) b) c) d) e)

⎛π ⎞ y = 5 + 4.9cos ⎜ t ⎟ ⎝6 ⎠ Use el derive 6.1 para trazar la gráfica de esta función de t=0 a t=24. ¿Cuál fue el nivel del agua en la marea alta? ¿Cuándo estaba baja la marea y cuál fue el nivel del agua en ese momento? ¿Cuál es el periodo de esta función y que representa en términos de mareas? ¿Cuál es la amplitud de esta función y qué representa en términos de marea?

44 | CAPÍTULO 1: Funciones Solución a) Usando derive 6.1 se tiene Y b) t=0 significa media noche También: t= 0=12=24 significa marea alta y en ese momento la altura es:

y(0) = 5 + 4,9cos ( 0 ) = 9,9 metros

t= 6 significa marea baja y en ese momento la altura es: y(6) = 5 + 4,9cos ( π ) = 5 – 4,9 = 0,1 metros

d) El periodo es de 12 horas y significa que cada 12 horas la marea será alta y alcanzará una altura de 9,9 metros. e) La amplitud de esa ecuación es de 4,9 metros y significa que el crecimiento promedio de la marea es de 4,9 metros sobre el nivel del mar. 15. Corriente Eléctrica. El voltaje normal V que suministra un contacto eléctrico en muchos países es una función senoidal que oscila entre –165 volts y +165 volts, con una frecuencia de 60 ciclos por segundo. Determine una ecuación del voltaje en función del tiempo t. Solución De los datos se puede calcular: Amplitud. 165 − (− 165) = 165 voltios A= 2 Frecuencia: f=60 ciclos/s Periodo: 1 1 s T= = f 60

CAPÍTULO 1: Funciones | 45

Frecuencia angular: ω=

2π = 2πf = 2π(60) = 120 π ciclos/s T

Luego, la función senoidal es:

V(t) = Asen(ωt + θ)

V(t) = 165sen(120πt + θ) Por dato, el voltaje oscila entre –165 y +165 entonces f(0)=0. Es decir: 0 = 165sen(θ) ⇔ θ = π Por lo tanto,

V(t) = 165sen(120πt + π) 16. Un fabricante ofrece a las personas que trabajan en un producto en particular un incentivo salarial. El tiempo estándar para completar una unidad es de 15 horas. Se paga a los trabajadores un promedio de $ 8 por hora hasta un máximo de 15 horas por cada unidad del producto. Si una unidad del producto requiere más de 15 horas, sólo se paga al trabajador por las 15 horas que la unidad debería haber requerido. El fabricante creó un incentivo salarial por la terminación de una unidad en menos de 15 horas. Por cada hora por debajo del estándar de 15 horas, el salario por hora del trabajo aumenta $1,50. Suponga que se aplica el incentivo de $1,50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora. Determine la función w=f(n), donde w es la tasa salarial promedio en dólares y n es el número de horas requeridas para completar una unidad del producto. Solución • Se paga a los trabajadores un promedio de $ 8 por hora hasta un máximo de 15 horas por cada unidad del producto. Es decir el salario es: 120 dólares • Por cada hora por debajo del estándar de 15 horas, el salario por hora del trabajo aumenta $1,50. Suponga que se aplica el incentivo de $1,50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora. Esto quiere decir que si trabajador termina el producto en 14h20m, 14h1m o 14h59m su sueldo es el mismo. Es decir, 120 dólares + 1,5 dólares. Entonces la función que modela este fenómeno es: ; x ≥ 15 ⎧120 ⎪ s(x) = ⎨120 + 1,5a16 − x b; 0 < x < 15 ∧ x ∉ Z ⎪ ⎩120 + 1,5(15 − x) ; 0 < x < 15 ∧ x ∈ Z

46 | CAPÍTULO 1: Funciones

Ejercicios Propuestos 1.2. Nivel 1

1. Sismología. Para medir la magnitud de los sismos se usa la escala de Richter. La fórmula para la escala de Richter es R = logI , donde R es el número de Richter e I la intensidad del sismo. Exprese la escala de Richter en forma exponencial.

2. Modelo Logístico. EL peso de un cultivo de bacterias está dado por y =

2 en donde t se 1 + 3(2− t )

mide en horas. ¿Cuál es el peso cuando t = 0,1,2 ?

3. Electricidad. La resistencia equivalente R de dos resistores, R1 y R2 , conectados en paralelo se RR expresa como R = 1 2 R1 + R2

En un circuito dado, R1 = x 3/2 y R2 = x . a) Exprese R en términos de x . Asegúrese de simplificar la respuesta. b) Si x = 20Ω , ¿cuál es el valor de R ?

4. Si 800 soles se invierten al 6% de interés compuesto anual, ¿cuál es el valor futuro después de 10 años? 5. Si se depositan 800 soles en una cuenta de ahorro que ofrece el 6% de interés compuesto mensual, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 10 años?

6. Si 800 soles se invierten en una cuenta de ahorro que ofrece un interés compuesto de manera continua al 6%, ¿cuánto se acumulará al cabo de 10 años?

7. Biología. Cuando el tamaño de una colonia de bacterias está limitado por la falta de espacio o nutrientes, su crecimiento se describe por la ley de crecimiento logístico: mQ 0 Q= Q 0 + (m − Q 0 )e−k.m.t

Donde Q 0 es la cantidad inicial de bacterias, m el tamaño máximo y k una constante positiva. Si Q 0 = 400 , m = 2000 y Q = 800 cuando t = 1 / 2 , encuentre k .

8. Ingeniería acústica. Para medir la intensidad del sonido se utiliza la escala en decibeles (dB). Esta escala se usa porque la respuesta del oído humano a la intensidad del sonido no es proporcional. La intensidad, I0 = 10−12 W / m2 ( watts/m2 ) apenas es audible, por lo que se le asigna un valor de 0 dB. A un sonido 10 veces más intenso se le asigna un valor de 10 dB; a un sonido 100 más intenso que 0 dB se le valora como 20 dB. Al proseguir de esta manera se obtiene la fórmula I β = 10log donde β es la intensidad en decibeles e I la intensidad en W/m2 . I0 a) Exprese la escala en decibeles en notación exponencial. b) ¿Cuál es la intensidad en decibeles de un sonido que mide 10 ‐7 W/m2 ? c) ¿Cuál es la intensidad del sonido que emite un camión pesado al pasar junto a un peatón parado a un lado de la carretera si la intensidad I de la onda sonora que produce es de 10 ‐3 W/m2 ?

Tecnología de computación. Para diseñar el tablero de una computadora personal, la impedancia de un trazo depende del ancho de éste, del grosor del conductor y del material con

CAPÍTULO 1: Funciones | 47

que se haga el tablero en una configuración lineal, como se muestra en la ecuación 87 ⎛ 6H ⎞ Z0 = ln ⎜ ⎟ . Despeje t en esta ecuación. e'+ 1.4 ⎝ 0.8W + t ⎠

10. Ecología. Como resultado de la contaminación, disminuye la población de peces en un río según ⎛P⎞ la fórmula ln ⎜ ⎟ = −0.0435t , donde P es la población después de t años y P0 la población ⎝ P0 ⎠

original. a) ¿Después de cuántos años habrá sólo el 50% de la población original de peces? b) ¿Después de cuántos años la población original se reducirá en 90%? c) ¿Qué porcentaje de la población morirá durante el primer año de contaminación?

11. Difusión de información. Se desarrolló una nueva variedad mejorada de arroz. Se determinó que después de t años, la proporción de agricultores de arroz quienes han cambiado a la nueva variedad está dado por medio de un modelo logístico P = (1 + Ce −kt )−1 En t = 0 , el 2% de los agricultores están utilizando la nueva variedad. Cuatro años más adelante, el 50% lo está haciendo. Evalúe C y k y calcule cuántos años pasarán antes de que el 90% hayan cambiado a la nueva variedad.

12. Cuando un capacitor cargado se descarga a través de una resistencia (considerando un circuito donde sólo se considera un resistor y un capacitor), la disminución en la carga Q está dada por

la fórmula Q = Q 0e− t/T donde t es el tiempo en segundos, Q 0 = CV , la carga inicial, T = RC , y C es la capacitancia, V el voltaje de la batería y R la resistencia. El producto RC se denomina constante de tiempo del circuito. Si un capacitor de 15μF se carga al conectarlo a una batería de 60V a través de un circuito con una resistencia de 12 000Ω , ¿cuál es la carga sobre el capacitor 9 segundos después de que se desconecta la batería?

13. Tecnología Nuclear. El número de miligramos de una sustancia radioactiva presente después de t años está dado por Q = 125e −0.375t . a) ¿Cuántos miligramos había inicialmente? b) ¿Cuántos miligramos habrá después de 1 año? c) ¿Cuántos miligramos habrá después de 16 años?

14. Termodinámica. Según la ley de enfriamiento de Newton, la razón a que se enfría un objeto caliente es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura de su entorno. La temperatura T de un objeto después de un periodo de tiempo t (en minutos) es T = Tm + (T0 − Tm )e−kt donde T0 es la temperatura inicial y Tm la temperatura del medio

circundante. Un objeto se enfría de 180D F a 150D F en 20 minutos cuando está rodeado de aire a 60D F . ¿Cuál es la temperatura después de 1 hora de enfriamiento? ⎛P ⎞ 15. Meteorología. La ecuación barométrica H = (30T + 8000)ln ⎜ 0 ⎟ relaciona la altura H en metros ⎝P⎠ por arriba del nivel del mar, la temperatura del aire T en grados Celsius, la presión atmosférica P0 en centímetros de mercurio a nivel del mar y la presión atmosférica P en centímetros de mercurio a la altura H . Un día, la presión atmosférica en la cima del Monte Whitney en california fue igual a 43,29 cm de mercurio. La temperatura media del aire fue de −5D C y la presión atmosférica a nivel del mar fue de 76 cm de mercurio. ¿Cuál es la altura del Monte Whitney?

48 | CAPÍTULO 1: Funciones 16. La aceleración, a, de un péndulo esta definida por a = −g sen(θ) , donde g es la aceleración de la gravedad y θ el desplazamiento angular con respecto a la vertical. ¿Cuál es la aceleración de un péndulo cuando θ = 5D y g = 32pies/s2 ?

17. Electrónica. El ángulo de fase, θ , en un circuito RC entre la reactancia capacitiva, X C , y la resistencia, R , cuando la resistencia está en serie con la reactancia capacitiva, puede ⎛X ⎞ encontrarse mediante el empleo de θ = tan−1 ⎜ C ⎟ . Encuentre θ cuando XC = 33Ω y ⎝ R ⎠ R = 40Ω

18. La altura máxima, h , de un proyectil con velocidad inicial υ0 , a un ángulo θ está dada por

υ20sen2θ . 2g a) Despeje θ b) Si υ0 = 175,5m/s y g = 9,8m/s2 , ¿a qué ángulo fue lanzado el proyectil si su máxima altura fue de 431.1m ? h=

19. En un cultivo hay inicialmente 500 bacterias; y después de 4 horas hay 8 000. Si suponemos que estas bacterias crecen exponencialmente, ¿cuántas habrá al cabo de 10 horas?

20. La vida media del cobre 67 es de 62 horas. Si inicialmente hay 100 g de cobre 67, ¿cuánto quedará después de 15 días?

21. Tecnología Nuclear. El radio decae exponencialmente y tiene una vida media de 1600 años. Si inicialmente había 100 mg, ¿cuántos habrá después de 2 000 años? 22. La población de cierta ciudad crece a razón del 7% anual; actualmente es de 200 000. a) ¿Cuál será la población dentro de 5 años? b) ¿Y a cuánto ascenderá dentro de 10 años?

Nivel 2 ⎧1 ; si x es par 1. Sea f : ` → Z / f(x) = ⎨ ⎩ −1; si x es impar

¿Cuáles son verdaderas? a) f(2x) + f(3y) = 0 ⇒ x es par ∧ y es impar b) f(x)f(y) = −1, ∀ x, y ∈ ` c) ∃! α ∈ ` / f(αx) = αf(x), ∀ x ∈ ` 2x 2 + bx + c intercepta al eje x en los puntos: (−2,0) y (5,0) , y al 3 eje y en el punto (0,k) . Halle el valor de b + c + k

2. La gráfica de la función f(x) =

3. Dada las funciones f y g definidas por las fórmulas 4f(x) = 3x2 − 6x − 9, − 2g(x) = x2 − 4x , y

sean los conjuntos: A = {x ∈ \ / f(x) > 0} , B = {x ∈ \ / g(x) ≥ 0} , halle A − B .

En las siguientes funciones, halle los intervalos (si existen) en los que las funciones no son negativas ( y ≥ 0 ). a) f(x) = x 2 − 5x + 4 b) f(x) = −(x + 1)(x − 2)(x 2 − 9)

c) f(x) =

x2 + 6x + 5 3 − 3x2

d) f(x) =

x2 − 9 4 − x2

CAPÍTULO 1: Funciones | 49

5. 6.

1 15 Si f(x) = ax 2 + bx + c, f(−1) = 0, f(1) = 8, f(−1) + f( ) = , halle f(5) 2 4 x− x Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) = x

Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) =

Halle el dominio de la función f(x) =

x2 + x − 2 x −1

−x + 4 9 − x2 4 x−3 Halle el dominio de la función f(x) = + − 49 (x + 1)2 x + 1

x2 − 4 −x3 + 10x2 − 29x + 20 11. Para un bien en particular la relación de la oferta es ⎧6p; 0 ≤ p < 1 ⎪ x = ⎨6 1≤p ⎪p ; ⎩ y la relación de la demanda es x + 2p = 7 . Determine los puntos de equilibrio del mercado. 12. Contaminación Atmosférica. El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía 0≤t<2 ⎧2 + 4t; ⎪6 + 2t; 2≤t<4 ⎪ durante el día de la siguiente manera: P(t) = ⎨ ≤ t < 12 14 ; 4 ⎪ ⎪⎩50 − 3t; 12 ≤ t < 16 Aquí t es el tiempo en horas, con t = 0 correspondiente a 6 a.m. y t = 16 a 10 p.m. Dibuje la gráfica de esta función. ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 a.m., 12 m., 6 p.m. y 8 p.m.? ⎧x − 1 ; − 3 ≤ x < −1 ⎪ ; 1<x<2 13. Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) = ⎨0 ⎪2x − 3; 2 < x ≤ 4 ⎩ 10. Halle el dominio de la función f(x) =

−2 < x < 5 ⎧⎪−3x + 2 ; 14. Grafique la función f(x) = ⎨ 2 5 ≤ x ≤ 10 ⎪⎩−x + 6x + 30 ; ⎧⎪4 x + 2 ; −5<x <1 15. Grafique la función f(x) = ⎨ 1≤x≤7 ⎪⎩ x − 1 ; −1 < x < 8 ⎧log(x + 2); 16. Grafique la función f(x) = ⎨ 8 ≤ x ≤ 15 ⎩ −x + 9 ;

17. Si la gráfica de la función f está dada en la figura, halle su regla de correspondencia: OA //BC , OX // AB . Y C B A 45D 45D D X 0 2 4 5 8

50 | CAPÍTULO 1: Funciones 18. Sea f(x) = x2 − 2 x − 3 . Halle su dominio, su rango y su gráfica.

19. Grafique la función f(x) =

x 3 + x2 + x + 1 , indicando su dominio y rango. x +1

20. Grafique la función f(x) = 2ax + 1b + 1; − 1 ≤ x ≤ 2

21. En los siguientes ejercicios proporcione la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal, vertical (si existen) y luego grafique las funciones dadas. a) f(x) = −2sen(x) d) f(x) = −3sen(x) + 1 g) f(x) = −0,5 cot(x) b) f(x) = 0,5cos(x) h) f(x) = 3 csc(x) e) f(x) = −4 tan(x) f) f(x) = 0,5 sec(x) c) f(x) = 4sen(x) + 2

Nivel 3

Halle el dominio, el rango y la gráfica de f(x) = x − ax b

Halle el dominio, el rango y la gráfica de f(x) =

x − ax b

Halle el rango y la gráfica de la función f(x) = −2 + x 2 − 4x + 5, − 2 ≤ x < 6

En los siguientes ejercicios proporcione la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal, vertical (si existen) y luego grafique las funciones dadas. a) f(x) = 2.5 sen ( 3x − π ) e) f(x) = − 1 cos πx + 1 + 3 1 ⎛ π⎞ ( ) i) f(x) = − csc ⎜ 2x + ⎟ 2 2 3 6⎠ ⎝ ⎛π ⎞ D b) f(x) = 2sen ⎜ − x ⎟ f) f(x) = 3sen 6x − 510 − 2,5 π⎞ ⎛ ⎝4 ⎠ j) f(x) = −3cot ⎜ 5x − ⎟ 6⎠ ⎝ 1 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ c) f(x) = cos ⎜ 3x − ⎟ g) f(x) = cot ⎜ x + ⎟ π⎞ ⎛ 6⎠ 2 6⎠ ⎝ ⎝ k) f(x) = −2sec ⎜ πx − ⎟ + 3 6⎠ ⎝ 1⎞ π⎞ ⎛ ⎛ d) f(x) = 2cos ⎜ πx + ⎟ + 4 h) f(x) = tan ⎜ x + ⎟ π⎞ ⎛ 4⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ l) f(x) = 2 tan ⎜ 0.5x + ⎟ − 2 4⎠ ⎝ ⎛ πa x b ⎞ ⎛ πx ⎞ Determine el rango y la gráfica de f(x) = sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ ; − 2 ≤ x ≤ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

(

)

− x −2 ;− 5 < x < 1 ⎪⎧4 Grafique la función f(x) = ⎨ ⎪⎩3 + log3 (x + 2); 1 ≤ x ≤ 7

⎧x −6 +2 ⎪⎪ Grafique la función f(x) = ⎨x2 − 1 ⎪ ⎪⎩ − 4 − x

si 4 < x ≤ 12 si

−5 < x ≤ 4

si x ≤ −5

8. 9.

⎧0.5 −x + 9 + 2 si 7 < x ≤ 11 ⎪⎪ 2 si 1 ≤ x ≤ 7 Grafique la función f(x) = ⎨x + 2x + 1 ⎪2log (1 − x) si x < 1 4 ⎪⎩ En un triángulo ABC cuya base es AC = 12 y su altura BD = 6 está inscrito un rectángulo KLM N de altura x . Si S es el área del rectángulo, exprese S = S(x) como una función de x , e indique su dominio y rango. Halle el valor de x 0 tal que S(x 0 ) sea el máximo valor de S(x) . Grafique S(x)

CAPÍTULO 1: Funciones | 51

10. Halle los puntos de la curva f(x) = x 2 + 2x + 25 en los que las rectas tangentes pasan por el origen.

11. Halle los puntos (x 0 ,0), (0, y 0 ) donde la recta tangente a la curva f(x) = 2x 2 + 3x − 1 , en el punto P de abscisa 1 corta a los ejes X e Y , respectivamente.

12. Un cazador situado en el punto A(2,5) dispara a un pato situado en B(−1, −4) . La trayectoria del proyectil es una recta de pendiente m . Si la presión arterial "p" del pato depende de la distancia "d" con que rosa el proyectil, según la relación. ⎧0 ; si d = 0 ⎪ p=⎨ 1 ⎪⎩12 + d ; si d > 0

Exprese la presión "p" del pato en función de la pendiente m , para m ∈ 0,3 13. La corriente, I (en amperes), en un circuito de corriente alterna está dada por I = 6.5 sen(120πt) donde t es el tiempo en segundos. a) Encuentre el periodo, la amplitud y la frecuencia de esta función. b) Trace I como una función de t para 0 ≤ t ≤ 0.1 s

14. En ciertas condiciones, la altura de la marea sobre su nivel medio está dada por y = 2.1 cos(0.45t) , donde “ y ” está en metros y t en horas. a) Encuentre la amplitud, el periodo y la frecuencia de esta función b) Trece dos periodos de la gráfica de “ y ”. Asegúrese de que ambos ejes estén correctamente identificados 15. En cierto punto del océano, el desplazamiento vertical del agua debido a la acción de las olas ⎡π ⎤ está dada por y = 3sen ⎢ ( t − 5) ⎥ , donde “ y ” se mide en metros y t está en segundos. 6 ⎣ ⎦ a) Determine la amplitud, el periodo de la gráfica de esta acción de las olas b) Trace un ciclo completo de esta función. 16. En un circuito de corriente alterna con sólo una inductancia constante, el voltaje está dado por V = 12sen(120πt + 0.5π) a) Determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal y vertical de esta función b) Trace un periodo de la gráfica de esta función. Asegúrese de identificar en el eje X los instantes en que la gráfica cruza el eje y la ubicación de los puntos máximos y mínimos. 17. El diámetro del extremo pequeño, d , de un orificio ahusado es una función del ángulo, θ , de torneado y está dado por d = −2htan(θ) + D , donde h es la profundidad del orificio ahusado y D el diámetro del extremo grande. Cierto orificio ahusado, medido en cm , tiene h = 8 y D = 4,5 a) ¿Cuál es el diámetro del extremo pequeño cuando θ = 10 D ? b) ¿Cuál es el menor ángulo con que se obtiene un diámetro del extremo pequeño igual a 0 D ? c) Trace la gráfica de la ecuación para d cuando 0D ≤ θ < 30D .

18. Un rayo Gama puede describirse por medio de la ecuación y = 10−12 sen(2π1023 t) . ¿cuáles son la frecuencia y la amplitud de este rayo gama?

19. En un circuito resistencia‐inductancia, I = Imáx sen(2π f t + φ) . Si Imáx = 1.2A, f = 400Hz y

φ = 37D , trace un ciclo de I contra t . 20. Un rayo X es descrito por la ecuación y = 10−10 sen(2π1018 t + π) donde y está en metros y t en segundos a) Determine el periodo y la amplitud de este rayo X b) Trace un ciclo de esta función. Asegúrese de identificar los ejes.

52 | CAPÍTULO 1: Funciones 21. La población de cierta especie animal en una región puede determinarse en cualquier instante ⎛ π ⎞ dado mediante la ecuación P = 25 000 + 7 250cos ⎜ t ⎟ donde P es la población después de t ⎝ 12 ⎠ meses a) ¿Cuál es el tamaño máximo y mínimo de la población? b) ¿Cuál es la población al cabo de un año? c) Grafique esta función para un periodo de tres años.

3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Sean las funciones f : R → R y g : R → R , con dominio Df ; Dg talque Df ∩ Dg ≠ φ . Entonces se define las siguientes operaciones con funciones

3.1. Igualdad de Funciones Las funciones f y g son iguales si y sólo si: a) D f = D g b) f(x) = g(x); ∀x ∈ Df = Dg

Ejemplo Sean las funciones f(x) = x2 + x y g(x) = x(x + 1) . Esas funciones son iguales pues se cumple: a) Df = Dg = R b)

f(x) = x2 + x = x(x + 1) = g(x); ∀x ∈ Df = Dg

3.2. Adición de Funciones. Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la Adición de f y g como: a) Df + g = Df ∩ Dg b) (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

∀x ∈ D f ∩ Dg

Ejemplo

Sean las funciones f(x) = 3x 3 + 2x − 5 ; g(x) = 2x 3 − 3x + 1 . Halle la función (f + g) Solución a)

Dominio: Df + g = Df ∩ Dg = R ∩ R = R

Función adición: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (3x 3 + 2x − 5) + (2x 3 − 3x + 1)

(f + g)(x) = 5x 3 − x − 4

3.3. Diferencia de Funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la diferencia de f y g como: a) Df −g = Df ∩ Dg b) (f − g)(x) = f(x) − g(x) ,

∀x ∈ D f ∩ Dg

CAPÍTULO 1: Funciones | 53

Ejemplo

Sean las funciones f(x) = 3x 3 + 2x − 5 ; g(x) = 2x 3 − 3x + 1 . Halle la función (f − g) Solución a) Dominio:

Df −g = Df ∩ Dg = R ∩ R = R

b) Función Diferencia: (f − g)(x) = f(x) − g(x) = (3x 3 + 2x − 5) − (2x 3 − 3x + 1) (f − g)(x) = x 3 + 5x − 6

3.4. Multiplicación de funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la multiplicación de f y g como: a) Df ×g = Df ∩ Dg b) (f × g)(x) = f(x) × g(x) ,

∀x ∈ D f ∩ Dg

Ejemplo

Sean las funciones f(x) = 3x 3 + 2x − 5 ; g(x) = 2x 3 − 3x + 1 . Halle la función (f × g) Solución a)

Dominio: Df ×g = Df ∩ Dg = R ∩ R = R

Función multiplicación: (f × g)(x) = f(x) × g(x) = (3x 3 + 2x − 5)(2x 3 − 3x + 1) x 3

2x 0x2 –3x 1

3x3 6x6 0x5 –9x4 3x3

0x2 0x5 0x4 0x3 0x2

2x 4x4 0x3 –6x2 2x

–5 –10x3 0x2 15x –5

(f × g)(x) = 6x 6 + 0x 5 − 5x 4 − 7x 3 − 6x2 + 17x − 5

3.5. División de Funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos el cociente de f y g como: a) D f = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg / g(x) = 0} g

f f(x) b) ( )(x) = , g g(x)

∀x ∈ D f g

54 | CAPÍTULO 1: Funciones Ejemplo

Sean las funciones f(x) = 3x 3 + 2x − 5 ; g(x) = 2x 3 − x 2 − 2x + 1 . Halle

f g

Solución a)

D f = R ∩ R − {x ∈ R / 2x 3 − x2 − 2x + 1 = 0} g

D f = R ∩ R − {x ∈ R / (2x − 1)(x + 1)(x − 1) = 0} g

1 D f = R − { −1; ; 1} 2 g

(x − 1) (3x2 + 3x + 5) f f(x) 3x3 + 2x − 5 ( )(x) = = = g g(x) 2x3 − x2 − 2x + 1 (2x − 1)(x + 1) (x − 1) f 3x2 + 3x + 5 ( )(x) = ; x ∈ Df g (2x − 1)(x + 1) g

3.6. Composición de Funciones Dadas las funciones reales f : A → B y g : B → C , con R f ∩ Dg ≠ φ , entonces la función compuesta

gof es aquella función definida por: a) DgDf = {x / x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg} b) (g D f)(x) = g(f(x)) ( Regla de correspondencia)

Observación

Para que exista la composición de funciones gof es necesario que: Rf ∩ Dg ≠ φ Gráficamente:

Dg D f

Rf ∩ Dg ≠ φ

f(x)

gDf

RgDf (g D f)(x) = g(f(x))

CAPÍTULO 1: Funciones | 55

Ejemplos 1. Halle f D g si f(x) = 3x − 2 , x ∈ 0; +∞ y g(x) = x2 ; x ∈ −3; 5 Solución Halle primero el dominio de la composición.

D(f D g) = {x / x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df }

x ∈ −3,5 ∧ x2 ∈ 0, +∞ ⇔ − 3 < x < 5 ∧ 0 < x2 < +∞ ⇔ − 3 < x < 5 ∧ ( − ∞ < x < +∞ ∧ x ≠ 0) ⇔ x ∈ −3,0 ∪ 0,5 Finalmente tenemos el dominio de la composición de funciones:

D(f D g) = {x / x ∈ −3,0 ∪ 0,5

}

Ahora determine la composición de las funciones: (f D g)(x) = f(g(x)) = f(x2 ) = 3x2 − 2

Por lo tanto, la función compuesta es:

(f D g)(x) = 3x2 − 2; x ∈ −3,0 ∪ 0,5 2. Si f(x) = x 2 encontrar dos funciones g tal que (f D g)(x) = 4x2 − 12x + 9 Solución Sea g la función que se desea encontrar, entonces:

Analice el dominio de cada función dada. • Dominio de f: Df = R , • Dominio de la función compuesta: D f Dg = R = {x / x ∈ D g ∧ g(x) ∈ R } Analice la función compuesta dada. (f D g)(x) = 4x 2 − 12x + 9 = (2x − 3)2 g2 (x) = (2x − 3)2

Por lo tanto, las funciones buscadas son: g(x) = 2x − 3 ∨ g(x) = −(2x − 3) = 3 − 2x

3.7. Aplicaciones de las funciones a la Economía

•

Ley de la Oferta: “A mayor precio mayor será la cantidad ofertada y a menor precio menor será la cantidad oferta” De acuerdo a este comportamiento se dice que la función Oferta es una función creciente.

•

Ley de la Demanda: “A mayor precio menor será la cantidad Demandada y a menor precio mayor será la cantidad Demandada”

56 | CAPÍTULO 1: Funciones

•

De acuerdo a este comportamiento se dice que la función Demanda es una función decreciente. Función Ingreso Total:

IT = (Precio unitario de venta)(Cantidad vendida)

•

Función Costo Variable: Es aquel llamado costo de producción que se modifica de acuerdo a variaciones del volumen de producción.

CV = (Costo unitario)(Cantidad producida)

•

Función Costo Fijo: Es el costo que no depende del volumen de la producción. Por ejemplo pago del alquiler de local, pago de vigilancia, pago a personal administrativo, etc.

CF = constante •

Función Costo Total:

CT = Costo variable + Costo fijo

•

Función Costo Promedio:

Cp =

CT Cantidad producida

•

Función Utilidad Total: U = IT − C T

•

Punto de Equilibrio de la Empresa:

IT = C T ⇒ U = 0

•

Punto de Equilibrio de Mercado:

Oferta = Demanda

Ejemplo Un fabricante vende un producto a $ 8 la unidad, y vende todo lo que produce. El costo fijo es de 22 $5 000 y el costo variable por unidad es de $ . 9 a) Encuentre la función Ingreso total. b) Encuentre la función costo total. c) Encuentre el punto de equilibrio de la empresa. d) Encuentre la función utilidad. e) Encontrar la utilidad cuando se producen 1 800 unidades. Interprete el resultado. f) Encontrar la utilidad cuando se producen 450 unidades. Interprete el resultado. g) Encuentre la cantidad producida para obtener una utilidad de $10 000. Solución Sea x la cantidad producida, entonces: a) Ingreso Total: I(x) = 8x dólares

CAPÍTULO 1: Funciones | 57

b) Costo Total: 22 x dólares 9 CF(x) = 5 000 dólares 22 CT(x) = x + 5 000 dólares 9 c) Punto de equilibrio de la empresa: 22 22 I(x) = C(x) ⇔ 8x = x + 5 000 ⇔ 8x – x = 5 000 ⇔ x = 900 9 9 Por lo tanto, el punto de equilibrio de la empresa se alcanza cuando se produce y se vende 900 unidades. d) La función utilidad: 22 50 U(x) = I(x) – C(x) = 8x – ( x + 5 000) = x – 5 000 dólares 9 9 50 e) U(1 800) = (1800) – 5 000 = 5 000 dólares 9 Esto significa que cuando se produce y se vende 1 800 unidades, se tiene una ganancia de $5 000. 50 f) U(450) = (450) – 5 000 = – 2 500 dólares 9 Esto significa que cuando se produce y se vende 450 unidades, se tiene una pérdida de $2 500. 50 50 g) 10 000 = x – 5 000 ⇔ 15 000 = x ⇔ x = 2 700 unidades 9 9 Si se produce y se vende 2 700 unidades se obtendrá una ganancia de $ 10 000.

CV(x) =

Ejercicios Resueltos 1. Halle f + g; f –g; f.g; f/g de las siguientes funciones a) Si f = { (3;4), (2;5), (–1;4), (–3;8) } y g = { (2;1), (3;–1), (–1;0), (6;–3), (1;–1) } b) f(x) = 2x2 + 5x − 6; g(x) = x2 − 2x − 3 c) f(x) = 9 − x 2 ; g(x) =

x 2 − 4

Solución a) Se halla el dominio de cada función: f = { (3;4), (2;5), (–1;4), (–3;8) } D(f) = {–3; –1; 2; 3 } g = { (2;1), (3;–1), (–1;0), (6;–3), (1;–1) } D(f) = {–1; 1; 2; 3; 6 } Antes de hacer alguna operación con las funciones se debe de hallar primero el dominio.

58 | CAPÍTULO 1: Funciones • Adición de funciones D(f+g) =D(f) ∩ D(g) = {–1; 2; 3} f+g = { (x; f(x)+g(x)) / x ∈ D(f+g)} = {(–1; 4+0), (2; 5 + 1), (3; 4 + ‐1)} = {(–1; 4), (2; 6), (3; 3)} • Sustracción de funciones D(f–g) = D(f) ∩ D(g) = {–1; 2; 3} f–g = {(x ; f(x)–g(x) )/ x ∈ D(f–g) } = {(–1; 4–0), (2; 5 – 1), (3; 4 – ‐1)} = {(–1; 4), (2; 4), (3; 5)} • Multiplicación de funciones D(f × g) = D(f) ∩ D(g) = {–1; 2; 3} f × g = { (x; f(x) × g(x)) / x ∈ D(f × g) } = {(–1; 4 × 0), (2; 5 × 1), (3; 4 × ‐1)} = {(–1; 0), (2; 5), (3; –4)} • División de funciones D f = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg / g(x) = 0} = { 1; 2; 3} – {–1 ∈ D(g) / g(–1)=0} = { 2 ; 3} g

⎫⎪ ⎧⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎫ f ⎧⎪⎛ f(x) ⎞ = ⎨⎜ x; ⎟ / x ∈ D f ⎬ = ⎨⎜ 2; 1 ⎟ , ⎜ 3; −1 ⎟ ⎬ = {(2;5),(3; −4)} g ⎪⎝ g(x) ⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎭ g⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎝

Al igual que el ejercicio anterior, se debe hallar primero el dominio de cada función. g(x) = x2 − 2x − 3 f(x) = x 2 + 5x − 6 y f y g son funciones polinómicas de grado 2 y toda función polinómica tienen como dominio a los números reales. Entonces, D f = \ y Dg = \ • Adición de funciones: (f+g)(x) =f(x)+g(x) = 2x2 +3x–9 Df + g = \ ; • Sustracción de funciones: Df − g = \ ; (f–g)(x) = f(x)–g(x) = 7x –3 •

Multiplicación de funciones:

D f ×g = \

(f × g )(x) = f(x) × g(x) = (x2+5x–6)(x2–2x–3) = x4 –2x3 – 3x2 + 5x3 – 10x2 – 15x – 6x2 + 12x + 18 = x4 + 3x3 – 19x2 –3x + 18

CAPÍTULO 1: Funciones | 59

•

División de funciones:

D f = \ − {x ∈ Dg / g(x) = 0} g

= \ –{ x ∈ Dg / x2–2x–3 = 0}

= \ –{ x ∈ Dg / (x–3)(x+1) = 0}

= \ –{ x ∈ Dg / x=3 ∨ x = –1}

= \ – { –1; 3}

f f(x) x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) ( )(x) = = = ; x ∈ Df g g(x) x2 − 2x − 3 (x − 3)(x + 1) g c)

Calculemos el dominio de cada función.

f(x) = 9 − x 2 ⇔ 9 − x 2 ≥ 0 ⇔ (3 − x)(3 + x) ≥ 0 ⇒ Df = [–3; 3] –∞ –3 3 g(x) =

∞

x 2 − 4 ⇔ x 2 − 4 ≥ 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) ≥ 0 ⇒ Dg = ]– ∞ ;–2] ∪ [2; ∞ [

–∞ –2 2 Por lo tanto, la intersección de las dos funciones es: –∞ –3 –2 3 2 D f ∩ D g = [–3; –2 ] ∪ [2; 3]

∞

Luego, se calcula las operaciones siguientes:

(f+g)(x) = f(x)+g(x) = 9 − x 2 + x2 − 4 (f–g)(x) = f(x)–g(x) = 9 − x 2 – x2 − 4 (f × g)(x) = f(x) × g(x) = 9 − x 2

x2 − 4 = (9 − x 2 )(x 2 − 4) = −36 + 13x2 − x 4

En la división se debe quitar del dominio los valores que anulan a la función del denominador. Por lo tanto la función es: f f(x) ( )(x) = = g g(x)

9−x

x2 − 4

(3 − x)(3 + x) ; x ∈ [−3; −2[ ∪ ]2;3] (x − 2)(x + 2)

60 | CAPÍTULO 1: Funciones 2.

Halle f D g ; g D f de las siguientes funciones. a) Si f = { (1;2), (2;3), (3;5), (4;7) } y g = { (0;3), (1;2), (2;1), (3;4) } 1 x b) f(x) = ; g(x) = x +1 x −1 Solución

a) Sean las funciones f = { (1;2), (2;3), (3;5), (4;7) } ; g= { (0;3), (1;2), (2;1), (3;4) } Por definición se tiene: f D g = { (x; f(g(x)) ) / x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df } Los dominios son: Dg = {0; 1; 2; 3} Df = {1; 2; 3; 4} 0 ∈ Dg ∧ g(0)=3 ∈ Df ⇒ (0;f(g(0)))=(0;f(3)) = (0;5) ∈ f D g 1 ∈ Dg ∧ g(1)=2 ∈ Df ⇒ (1;f(g(1)))=(0;f(2)) = (1;3) ∈ f D g

2 ∈ Dg ∧ g(2)=1 ∈ Df ⇒ (2;f(g(2)))=(0;f(1)) = (2;2) ∈ f D g 3 ∈ Dg ∧ g(3)=4 ∈ Df ) ⇒ (3;f(g(3)))=(0;f(4)) = (3;7) ∈ f D g Gráficamente se tiene: g f C B A .0 .1 .2 =fog(2) .1 .2 .3 = fog(1) .2 .3 .5=fog(0) .3 .4 .7 = fog(3) fog Por lo tanto, la función compuesta es: f D g = { (x; g(x)) / x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df } = {(0;5), (1;3),(2;2),(3;7)} Ahora hallaremos la composición de g con f. Por definición se tiene: g D f = { (x ; g(f(x))) / x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg } Los dominios son: Dg = {0; 1; 2; 3}

Df = {1;2;3;4}

CAPÍTULO 1: Funciones | 61

1 ∈ Df ∧ f(1)=2 ∈ Dg ⇒ (1; g(f(1)))=(0; g(2)) = (1;1) ∈ g D f 2 ∈ Df ∧ f(2)=3 ∈ Dg ⇒ (2; g(f(2)))=(0; g(3)) = (2;4) ∈ g D f 3 ∈ Df ∧ f(3)=5 ∉ Dg ⇒ (2; g(f(3))) ∃ 4 ∈ Df ∧ f(4)=7 ∉ Dg ⇒ (3; g(f(4))) ∃ Gráficamente se tiene: f g C B A .1 .1 =fog(1) .0 .1 .2 .2 .2 .3 .3 .3=fog(2) .5 .4 .4 .7 fog Por lo tanto, la función compuesta es: g D f = { (x; g(f(x)) ) / x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg } = {(1;1), (2;4)} 1 x b) f(x) = ; g(x) = x +1 x −1 Df = \ − {−1} ; Dg = \ − {1} • Df Dg = {x/x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df }

x ∈ \ − {1} ∧

x ∈ \ − {−1} x −1

Analice:

x x > −1 ∨ < −1 x −1 x −1

x x +1 > 0∨ +1< 0 ⇔ x −1 x −1

2x − 1 2x − 1 >0 ∨ < 0 x −1 x −1

−∞

–

1 2

Entonces el dominio es: Por lo tanto,

∞

–

−∞

1 2

+ 1

⎧1 ⎫ Df Dg = \ − ⎨ ;1⎬ ⎩2 ⎭

(fog)(x) =

1 x −1 = x + 1 2x − 1 x −1

1 = g(x) + 1

∞

62 | CAPÍTULO 1: Funciones

• DgDf = {x/x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg } 1 ∈ \ − {1} x +1 1 1 Analicemos: >1∨ < 1 x +1 x +1 1 1 −x −x x x <0 ∨ > 0 −1 > 0∨ −1 < 0 ⇔ >0 ∨ <0⇔ + + x +1 x +1 x + 1 x + 1 x 1 x 1

x ∈ \ − {−1} ∧

+ – 0 −∞ –1 Entonces el dominio es:

–

−∞

∞

–1

+ 0

∞

DgDf = \ − {−1;0} Por lo tanto, f(x) = (g D f)(x) = f(x) − 1

1 x + 1 = −1 1 x −1 x+1

Halle f + g; f – g; f × g ;

f y f D g de las siguientes funciones g

⎧⎪x2 ; x < −2 a) f(x) = ⎨ , ⎪⎩2x ; x ≥ − 2

2 x ∈ ]1, ∞[ ⎪⎧ x , b) f(x) = ⎨ ⎪⎩ x − 1 , x ∈ ] − ∞ ,1]

⎧ 2x − 1 ⎪⎪ 3 ; x ≤ 0 g(x) = ⎨ ⎪1 ;x>0 ⎪⎩ x ⎧⎪ x + 1 , x ∈ ]−1, ∞[ g(x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 1, x ∈ ] − ∞ , − 1 ]

Solución a) Sean las funciones

⎧⎪f (x) = x2 ; D(f1 ) =] − ∞; −2[ f(x) = ⎨ 1 g(x) = ⎪⎩f2 (x) = 2x ; D(f2 ) = [−2; +∞[

2x − 1 ⎧ ; D(g1 ) =] − ∞; 0] ⎪⎪g1 (x) = 3 ⎨ ⎪g (x) = 1 ; D(g2 ) = ]0; + ∞[ ⎪⎩ 2 x

Entonces • Adición de funciones En este caso se debe de sumar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir:

CAPÍTULO 1: Funciones | 63

⎧(f1 ⎪ ⎪(f1 (f + g)(x) = ⎨ ⎪(f2 ⎪(f ⎩ 2

+ g1 )(x) ; D(f1 + g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) = ]−∞; − 2[ + g2 )(x) ; D(f1 + g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) = φ

+ g1 )(x) ; D(f2 + g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) = [ −2;0 ]

+ g2 )(x) ; D(f2 + g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) = ]0; + ∞[

⎧ 3x2 + 2x − 1 ; x ∈ ]−∞; − 2] ⎪ 3 ⎪ ⎪ 8x − 1 (f + g)(x) = ⎨ ; x ∈ [ −2;0] ⎪ 3 ⎪ 2x2 + 1 ; x ∈ ]0; ∞[ ⎪ ⎩ x

• Sustracción de funciones En este caso se debe de restar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 ⎪ ⎪(f1 (f − g)(x) = ⎨ ⎪(f2 ⎪(f ⎩ 2

− g1 )(x) ; D(f1 − g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) = ]−∞; − 2[ − g2 )(x) ; D(f1 − g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) = φ

− g1 )(x) ; D(f2 − g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) = [ −2;0]

− g2 )(x) ; D(f2 − g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) = ]0; ∞[

⎧ 3x2 − 2x + 1 ; x ∈ ]−∞; − 2[ ⎪ 3 ⎪ ⎪ 4x + 1 (f − g)(x) = ⎨ ; x ∈ [ −2;0] ⎪ 3 ⎪ 2x2 − 1 ; x ∈ ]0; ∞[ ⎪ ⎩ x • Multiplicación de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 × g1 )(x) ⎪ ⎪(f1 × g2 )(x) (f × g)(x) = ⎨ ⎪(f2 × g1 )(x) ⎪(f × g )(x) 2 ⎩ 2

; D(f1 × g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) = ]−∞; − 2[ ; D(f1 × g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) = φ

; D(f2 × g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) = [ −2;0 ]

; D(f2 × g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) = ]0; ∞[

⎧ 2x 3 − x2 ; x ∈ ]−∞; − 2[ ⎪ 3 ⎪ ⎪⎪ 4x2 − 2x (f × g)(x) = ⎨ ; x ∈ [ −2;0] 3 ⎪ ⎪2 ; x ∈ ]0; ∞[ ⎪ ⎪⎩

64 | CAPÍTULO 1: Funciones • División de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir:

⎧(f1 ⎪ ⎪(f1 (f ÷ g)(x) = ⎨ ⎪(f2 ⎪(f ⎩ 2

÷ g1 )(x) ; D(f1 ÷ g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) − {x / g1 (x) = 0} = ]−∞; − 2[ ÷ g2 )(x) ; D(f1 ÷ g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) − {x / g2 (x) = 0} = φ

÷ g1 )(x) ; D(f2 ÷ g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) − {x / g1 (x) = 0} = [ −2;0]

÷ g2 )(x) ; D(f2 ÷ g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) − {x / g2 (x) = 0} = ]0; ∞[

⎧ 3x2 ⎪ ⎪ 2x − 1 ⎪ 6x (f ÷ g)(x) = ⎨ ⎪ 2x − 1 ⎪2x2 ⎪ ⎩

; x ∈ ]−∞; − 2[ ; x ∈ [ −2;0] ; x ∈ ]0; ∞[

• Composición de funciones En este caso se debe de hacer la composición de las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 ⎪(f ⎪ (f D g)(x) = ⎨ 1 ⎪(f2 ⎪⎩(f2

D g1 )(x) ; D(f1 D g1 ) D g2 )(x) ; D(f1 D g2 ) D g1 )(x) ; D(f2 D g1 )

D g2 )(x) ; D(f2 D g2 )

Analice por partes la composición de f con g. Caso 1. D(f1 D g1 ) = {x / x ∈ D(g1 ) ∧ g1 (x) ∈D(f1 )} = {x / x ∈ ]– ∞ ; 0 ] ∧

2x − 1 ∈ ]– ∞ ; –2[ } 3

Trabajar en el dominio de f1 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir: 2x − 1 2x − 1 5 5 ∈ ]– ∞ ; –2[ ⇔ < –2 ⇔ x < – ⇔ x ∈ ]– ∞ ; – [ 3 3 2 2 Por lo tanto, 5 5 D(f1 D g1 ) = ]– ∞ ; 0] ∩ ]– ∞ ; – [ = ]– ∞ ; – [ 2 2 2

⎛ 2x − 1 ⎞ (f1 D g1 )(x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

Caso 2. 1 D(f1 D g2 ) = {x / x ∈ D(g2 ) ∧ g2 (x) ∈D(f1 )} = {x / x ∈ ] 0; + ∞ [ ∧ ∈ ]– ∞ ; –2[ } x Trabajar en el dominio de f1 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir:

CAPÍTULO 1: Funciones | 65

1 1 1 1 + 2x + + – ∈ ]– ∞ ; –2[ ⇔ < –2 ⇔ +2 < 0 ⇔ < 0 x x x x –∞ 0 –1/2 ∞ 1 Entonces, x ∈ ]– ; 0 [ 2 Por lo tanto, 1 D(f1 o g2) =] 0; + ∞ [ ∩ ]– ; 0 [ = φ 2 Esto quiere decir que no existe la composición (f1 o g2) Caso 3. 2x − 1 ∈ [–2 ; + ∞ [ } D(f2 D g1 ) = {x / x ∈ D(g1 ) ∧ g1 (x) ∈D(f2 )} ={x / x ∈ ]– ∞ ; 0 ] ∧ 3 Trabajar en el dominio de f2 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir: 2x − 1 2x − 1 5 5 ∈ [–2 ; + ∞ [ ⇔ ≥ –2 ⇔ x ≥ – ⇔ x ∈ [– ; + ∞ [ 3 3 2 2 Por lo tanto, 5 5 D(f2 D g1 ) =]– ∞ ; 0] ∩ [– ; + ∞ [ = [– ; 0 ] 2 2

⎛ 2x − 1 ⎞ (f2 o g1)(x) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ Caso 4. 1 D(f2 D g2 ) = {x / x ∈ D(g2 ) ∧ g2 (x) ∈D(f2 )} = {x / x ∈ ] 0; + ∞ [ ∧ ∈ [–2 ; + ∞ [ } x 1 1 1 1 + 2x ∈ [–2 ; + ∞ [ ⇔ ≥ –2 ⇔ +2 ≥ 0 ⇔ ≥ 0 x x x x + + – –∞ 0 ∞ 1 − 2

1⎡ ⎤ Entonces, x ∈ ⎥ −∞; − ⎢ ∪ ]0; +∞[ 2⎣ ⎦ Por lo tanto, D(f2 D g2 ) = ]0; +∞[ ∩ { ]−∞; −2[ ∪ ]0; +∞[

} = ]0; +∞[

⎛1⎞ (f2 D g2 )(x) = 2 ⎜ ⎟ ⎝x⎠ Finalmente la función compuesta es:

⎧⎛ 2x − 1 ⎞2 5 ⎪⎜ ⎟ ; x<− 2 ⎪⎝ 3 ⎠ ⎪⎪ ⎛ 2x − 1 ⎞ 5 (f D g) = f(g(x)) = ⎨2 ⎜ ⎟ ; − ≤x≤0 2 ⎪ ⎝ 3 ⎠ ⎪ ⎛1⎞ ; x>0 ⎪2 ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ x ⎠

66 | CAPÍTULO 1: Funciones b)

Sean las funciones

2 x ∈ ]1; + ∞[ ⎪⎧ x2 , x ∈ ]1; + ∞[ ⎪⎧ x , f(x) = ⎨ =⎨ ⎪⎩ x − 1 , x ∈ ]−∞ ;1] ⎪⎩1 − x , x ∈ ]−∞ ;1]

⎧⎪ x + 1 , x ∈ [ − 1; + ∞[ g(x) = ⎨ 2 x ∈ ]−∞; − 1[ ⎪⎩ x − 1,

• Adición de funciones En este caso se debe de sumar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 + g1 )(x) ; D(f1 + g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) =]1; ∞[ ⎪(f + g )(x) ; D(f + g ) = D(f ∩ g ) = φ 2 1 2 1 2 ⎪ 1 (f + g)(x) = ⎨ (f g )(x) ; D(f g ) D(f g + + = ∩ 1 2 1 2 1 ) = [ −1;1] ⎪ 2 ⎪(f + g )(x) ; D(f + g ) = D(f ∩ g ) = ]− ∞; −1[ 2 2 2 2 2 ⎩ 2 ⎧x2 − x ; x ∈ ]−∞; −1[ ⎪⎪ (f + g)(x) = ⎨1 − x + x + 1 ; x ∈ [ −1;1] ⎪ 2 ⎪⎩x + x + 1 ; x ∈]1; ∞[ • Sustracción de funciones En este caso se debe de restar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir:

⎧(f1 ⎪(f ⎪ 1 (f − g)(x) = ⎨ ⎪(f2 ⎪(f ⎩ 2

− g1 )(x) ; D(f1 − g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) =]1; ∞[ − g2 )(x) ; D(f1 − g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) = φ

− g1 )(x) ; D(f2 − g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) = [ −1;1]

− g2 )(x) ; D(f2 − g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) = ]− ∞; −1[

⎧x2 − x + 1 ; x ∈]1; ∞[ ⎪⎪ (f − g)(x) = ⎨1 − x − x + 1 ; x ∈ [ −1;1] ⎪ 2 ; x ∈ ]−∞; −1[ ⎪⎩2 − x − x • Multiplicación de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir:

⎧(f1 × g1 )(x) ⎪(f × g )(x) 2 ⎪ 1 (f × g)(x) = ⎨ ⎪(f2 × g1 )(x) ⎪(f × g )(x) 2 ⎩ 2

; D(f1 × g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) =]1; ∞[ ; D(f1 × g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) = φ

; D(f2 × g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) = [ −1;1]

; D(f2 × g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) = ]− ∞; −1[

CAPÍTULO 1: Funciones | 67

⎧ x2 ; x ∈ ]1; ∞[ ⎪ ⎪ x +1 ⎪ (f × g)(x) = ⎨(1 − x) x + 1 ; x ∈ [ −1;1] ⎪ 2 ⎪(1 − x)(x − 1) ; x ∈ ]−∞; −1[ ⎪⎩ • División de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 ⎪ ⎪(f1 (f ÷ g)(x) = ⎨ ⎪(f2 ⎪(f ⎩ 2

÷ g1 )(x) ; D(f1 + g1 ) = D(f1 ∩ g1 ) − {x / g(x) = 0} =]1; ∞[ ÷ g2 )(x) ; D(f1 + g2 ) = D(f1 ∩ g2 ) − {x / g(x) = 0} = φ

÷ g1 )(x) ; D(f2 + g1 ) = D(f2 ∩ g1 ) − {x / g(x) = 0} = ]−1;1]

÷ g2 )(x) ; D(f2 + g2 ) = D(f2 ∩ g2 ) − {x / g(x) = 0} = ]− ∞; −1[

⎧ ⎪x 2 x + 1 ; x ∈ ]1; ∞[ ⎪ ⎪ (1 − x) (f ÷ g)(x) = ⎨ ; x ∈ ]−1;1] ⎪ x +1 ⎪ −1 ; x ∈ ]−∞; −1[ ⎪ ⎩x + 1 • Composición de funciones En este caso se debe de hacer la composición las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: ⎧(f1 ⎪(f ⎪ (f D g)(x) = ⎨ 1 ⎪(f2 ⎪⎩(f2

Analicemos por partes la composición. Caso 1 Cálculo del dominio:

D g1 )(x) ; D(f1 D g1 ) D g2 )(x) ; D(f1 D g2 ) D g1 )(x) ; D(f2 D g1 )

D g2 )(x) ; D(f2 D g2 )

{

}

D(f1 D g1 ) = {x / x ∈ D(g1 ) ∧ g1 (x) ∈ D(f1 )} = x / x ∈ [ −1; ∞[ ∧ x + 1 ∈ ]1; ∞[

{

}

D(f1 D g1 ) = x / x ∈ [ −1; ∞[ ∧ x + 1 > 1 = {x / x ∈ [ −1; ∞[ ∧ x + 1 > 1}

= {x / x ≥ −1 ∧ x > 0} = {x / x > 0} = ]0; ∞[ Cálculo de la regla de correspondencia (f1 D g1 )(x) = f1 (g1 (x)) = g 12 (x) =

(

x+1

)

= x+1

68 | CAPÍTULO 1: Funciones Caso 2 Cálculo del dominio:

{

}

D(f1 D g2 ) = {x / x ∈ D(g2 ) ∧ g2 (x) ∈ D(f1 )} = x / x ∈ [ −∞; − 1[ ∧ x2 − 1∈ ]1; ∞[

{ = {x / x < −1 ∧ (x −

} {

}

D(f1 D g2 ) = x / x < −1 ∧ x 2 − 1 > 1 = x / x < −1 ∧ x 2 − 2 > 0

}

2)(x + 2) > 0

–∞ – 2 Luego, del diagrama se tiene:

–1

+∞

D(f1 D g2 ) = ⎡⎣ − ∞; − 2 ⎡⎣

Cálculo de la regla de correspondencia

(

(f1 D g 2 )(x) = f1 (g 2 (x)) = g 22 (x) = x 2 − 1

Caso 3 Cálculo del dominio:

)

= x 4 − 2x 2 + 1

{

}

D(f2 D g1 ) = {x / x ∈ D(g1 ) ∧ g1 (x) ∈ D(f2 )} = x / x ∈ [ −1; ∞[ ∧ x + 1 ∈ ]−∞;1]

{

}

D(f2 D g1 ) = x / x ≥ −1 ∧ x + 1 ≤ 1 = {x / x ≥ −1 ∧ 0 ≤ x + 1 ≤ 1} = {x / x ≥ −1 ∧ − 1 ≤ x ≤ 0}

–∞ –1 Luego, del diagrama se tiene:

+∞

D(f2 D g1 ) = [ − 1;0 ]

Cálculo de la regla de correspondencia D(f2 D g1 ) = f2 (g1 (x)) = 1 − g(x) = 1 − x + 1 Caso 4 Cálculo del dominio:

{

}

D(f2 D g2 ) = {x / x ∈ D(g2 ) ∧ g2 (x) ∈ D(f2 )} = x / x ∈ ]−∞; − 1[ ∧ x 2 − 1 ∈ ]−∞; 1]

{ = {x / x ≤ −1 ∧ (x −

} {

}

D(f2 D g2 ) = x / x ≤ −1 ∧ x 2 − 1 ≤ 1 = x / x ≤ −1 ∧ x 2 − 2 ≤ 0

+∞

}

2)(x + 2) ≤ 0

– 2

–1

+∞

CAPÍTULO 1: Funciones | 69

Luego, del diagrama se tiene: D(f2 D g2 ) = ⎡⎣ − 2; − 1 ⎡⎣

Cálculo de la función compuesta: (f2 D g2 )(x) = f2 (g2 (x)) = 1 − g2 (x) = 1 − (x2 − 1) = 2 − x2 Por lo tanto, la función compuesta es:

⎧x + 1 ⎪ 4 ⎪x − 2x2 + 1 ⎪ (f D g)(x) = ⎨ ⎪1 − x + 1 ⎪ 2 − x2 ⎩⎪ Ordenando los intervalos se tiene: ⎧x 4 − 2x2 + 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪2 − x (f D g)(x) = ⎨ ⎪1 − x + 1 ⎪ ⎪⎩x + 1

; x ∈ ]0; ∞[ ; x ∈ ⎤⎦ −∞; − 2 ⎡⎣ ; x ∈ [ −1;0] ; x ∈ ⎡⎣ − 2; − 1⎡⎣

; x ∈ ⎤⎦ −∞; − 2 ⎡⎣ ; x ∈ ⎡⎣ − 2; − 1⎡⎣

; x ∈ [ −1;0] ; x ∈ ]0; ∞[

Ejercicios de aplicación 1. Una empresa vende un producto en S/. 45 la unidad. Los costos por unidad son S/. 33 y los costos fijos equivalen a S/. 450 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? Solución Precio unitario de venta: Pv = 45 Precio de costo por unidad: Pc= 33 Costos fijos: CF = 450 000 Sea x la cantidad de productos producidos y vendidos. Entonces: Ingreso total es: I(x) = 45x Costo variable: Cv(x)= 33x Costo total: Ct = 33x + 450 000

Punto de equilibrio de la empresa se da cuando I(x) = C(x) 45x = 33x + 450 000 Resolviendo esa ecuación lineal se tiene: x = 37 500

70 | CAPÍTULO 1: Funciones Respuesta Se debe de vender 37 500 productos para llegar al punto de equilibrio. O dicho de otra manera, para no perder ni ganar. 2. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x) = x 2 − 30x + 250 nuevos

soles, donde x es el número de unidades producidas. Determine a) El costo total de producir 10 unidades. b) El número de unidades que se debe de fabricar tal que el costo sea mínimo y además determine dicho costo. Solución a) C(10) = (10)2 – 30(10) + 250 = 50 nuevos soles b)

Completando cuadrados tenemos:

C = x2 + 3 0 x + 250 = x2 + 3 0 x + 1 52 – 1 52 + 250 = ( x – 1 5 )2 + 25

Es una parábola que se abre hacia arriba y cuyo vértice (punto más bajo de la curva) es: V(15; 5). Esto quiere decir, que cuando x = 15, el costo es mínimo y vale 25 nuevos soles. 3. Un fabricante de esquíes planea sacar un nuevo modelo. En el primer año, los costos fijos para montar la nueva línea de producción son $22 500. Los costos variables para producir cada par de esquíes se estiman en $40. El departamento de ventas proyecta que pueden venderse 3 000 pares durante el primer año a $85 el par. a) Formule las funciones C, I y U para el costo total, ingreso total y utilidad total respectivamente, de producir y vender x pares de esquíes. b) ¿Qué utilidad o pérdida obtendrá la compañía si se presentan las ventas esperadas de 3 000 pares? y ¿Cuántos pares se debe vender para llegar al punto de equilibrio de la empresa? Solución Según los datos se tiene: a) Costo total: C(x) = 40x + 22 500, ∀x ∈ [ 0;3 000 ] Ingreso Total: I(x) = 85x, ∀x ∈ [ 0;3 000 ] Utilidad:

U(x) = I(x)–C(x) = 45x – 22 500 ; ∀x ∈ [ 0;3 000 ]

b) Venta de 3 000 unidades y punto de equilibrio de la empresa. Venta de 3 000 unidades:

U(3 000) = 45(3 000) – 22 500 = 112 500. Ese resultado quiere decir que gana 112 500 dólares al año por la venta de 3 000 pares de esquíes. Punto de equilibrio en la empresa: U(x) = 45x – 22 500 = 0 ⇒ x= 500. Si se vende 500 pares de esquíes al año no se pierde ni se gana.

CAPÍTULO 1: Funciones | 71

4. Una compañía que vende microcomputadoras determinó que su utilidad total está dada por: P(x) = 0, 08x 2 + 80x + 260

Donde x es el número de unidades producidas y vendidas. Suponga que x está en función del tiempo, en meses, donde x = 5t + 1 . Halle la utilidad total en función del tiempo Solución Los dominios tanto para la función x y la función P, son los números reales positivos. Es decir: DP = \ + y Dx = \ + . Entonces:

P(x) = 0,08(5t + 1)2 + 80(5t + 1) + 260 Al desarrollar el binomio al cuadrado y al simplificar se tiene la ganancia en función del tiempo. 2004 8502 P(t) = 2t2 + t+ 5 25 5. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades de un producto se determina x2 − 200 . Además, que para cierto mes, el número de unidades 100 producidas en el día t del mes es x = q(t) = 1000 + 10t .

por medio de p(x) = 180x −

a) Encuentre (p D q)(t) para expresar la ganancia como función del día del mes b) Encuentre el número de unidades producidas y la ganancia en el día 15 del mes. Solución a) b)

(1 000 + 10t)2 − 200 = −t2 + 1 600t + 169 800 100 Las unidades producidas en el día 15 es: x(15) = 1 000 + 10(15) = 1 150

h(t)= p(x(t)) = 180(1 000 + 10t) −

La ganancia en día 15 es:

p(15) = −(15)2 + 1 600(15) + 169 800 = 193 575

6. Suponga que el ingreso R de una compañía es una función f del número de clientes C. Suponga así mismo que la cantidad gastada en publicidad A afecta al número de clientes de modo que C es una función g de A. a) ¿Está definida f D g ?. Explique, si está definida identifique cual es la variable independiente

(entrada) y la variable dependiente (salida) b) ¿Está definida g D f ?. Explique, si está definida identifique cual es la variable independiente (entrada) y la variable dependiente (salida) Solución Ingreso R = f(C) ; donde C =g(A) es el número de clientes y A es la publidad. a)

(f D g)(A) si está bien definida dado que la variación de A hace que varié la cantidad de

clientes C y la variación de clientes C hará que varíe el ingreso en la compañía. Variable independiente = Gasto en la publicidad A. Variable dependiente = Ingreso R.

72 | CAPÍTULO 1: Funciones b)

(g D f)(A) no está bien definida porque el número de clientes hace variar el ingreso y al variar

el ingreso no necesariamente varía el gasto en la publicidad. 7. Dos de los procesos que un fabricante de casas pre‐fabricadas utiliza es el enarenado (función s) y la pintura (función p). Escriba un enunciado que explique cada una de las siguientes expresiones funciones que implican que se apliquen s y p en una puerta. a) s(puerta) b) p(puerta) c) ( p D s )(puerta) d) ( s D p )(puerta) e) ( p D p )(puerta) Solución a) s(puerta) La puerta es enarenada. b) p(puerta) La puerta está pintada c) ( p D s )(puerta) = p(s(puerta))

La puerta se enarena y luego se pinta. d) ( s D p )(puerta) = s(p(puerta)) La puerta se pinta y luego se enarena. e) ( p D p )(puerta)= p(p(puerta)) La puerta se pinta, luego se vuelve a pintar. 8. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una 40m − m2 . 4 El ingreso total, r, que recibe por la venta de q unidades, está dado por la función g, donde

función f del número de empleados, m, donde q = f(m) =

r=g(q)=40q. Determine ( g D f )(m). ¿Qué es lo que describe esta función compuesta? Solución El dominio de f es: D f = [ 0;40 ] y D g = [ 0; +∞[ ⇒ D f Dg = [ 0;40 ]

40m − m2 ) = 400m – 10m2 4 Esta nueva función describe que el ingreso es función que depende del número de empleados.

( g D f )(m) = g(f(m)) =40f(m) =40 (

9. Un estudio de impacto ambiental realizado para la ciudad de Oxnard indica que, bajo las leyes actuales de protección al ambiente, el nivel de monóxido de carbono (CO) presente en el aire y 2/3 debido a la contaminación provocada por los automóviles será de 0,01x partes por millón (ppm), cuando el número de vehículos motorizados es de x unidades de millar. Un estudio independiente hecho por una agencia del gobierno estatal estima que dentro de t años el número de vehículos motorizados en Oxnard será de x=0,2 t2 + 4t + 64 unidades de millar.

CAPÍTULO 1: Funciones | 73

a) Determinar una expresión para la concentración de CO en el aire, debido a los residuos expulsados por los autos, dentro de t años. b) ¿Cuál será el nivel de concentración dentro de 5 años? Solución. Sea la función f la que describe el nivel de monóxido de carbono presente en el aire. f(x) = 0,01 3 x2

Sea g la función que describe el número de vehículos motorizados. x= g(t) = 0,2t2 + 4t + 64

a) h(t) = (f D g)(t) = f(g(t)) = 0,01 3 g 2 (t) = 0,01 3 (0,2t2 + 4t + 64)2 ppm b) h(5) = 0,01 3 (0,2(5)2 + 4(5) + 64)2 = 0,1993 ppm

10. La

tasa de ocupación del hotel Wonderland, está dado por la función 10 3 10 2 200 r(t) = t − t + t + 55 , ( 0 ≤ t ≤ 11 ); donde t se mide en meses y t = 0 corresponde al 81 3 9 inicio de enero. La administración del hotel a estimado que los ingresos mensuales (en miles de 3 3 9 2 dólares) se aproxima mediante la función R(r) = − r + r , ( 0 ≤ r ≤ 100 ), donde la r es la 5000 50 tasa de ocupación. a) ¿Cuál es la tasa de ocupación del hotel al inicio de Enero?. ¿Al inicio de Junio? b) ¿Cuál es el ingreso mensual del hotel al inició de enero? ¿Al inicio de Junio? Solución. a) Inicio de enero: r(0) = 55.

Inicio de Junio: 10 10 200 r(6) = (63 ) − (62 ) + (6) + 55 = 95 81 3 9 b) Inicio de enero: 3 9 17787 R( r(0) )=R(55) = − (553 ) + (552 ) = = 444,675 5000 50 40 Inicio de Junio: 44 403 3 9 R( r(6) )=R(95) = − (953 ) + (952 ) = = 1 110,075 5 000 50 40 11. Un avión vuela con rapidez de 350 millas/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t = 0 . a) Expresar la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t . b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d . c) Aplique la composición para expresar s , como función de t .

74 | CAPÍTULO 1: Funciones Solución Se construye el gráfico según los datos: Altura en millas d 1 s Tiempo 0 a) Expresar la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t . d(t) = 350 t

b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d . Usando el teorema de Pitágoras se tiene:

s(d) = 1 + d2

c) Aplique la composición para expresar s , como función de t .

s(d(t)) = s(d(t)) = 1 + d2 = 1 + (350t)2

CAPÍTULO 1: Funciones | 75

Ejercicios propuestos 1.3. Nivel 1

F en los siguientes casos. G a) F = {(1;2),(5;3),(4;7),(9;6),(8;1)} y G = {(9;7),(5;1),(8;0),(1;4)}

1. Halle F + G, F − G, F × G y

b) F = {(3;4),(2;5),(−1;4),(−3;8)} y G = {(2;1),(3; −1),(−1;0),(6; −3),(1; −1)} c)

F = {(1;4),(4;5),(2;3),(3;2)} y G = {(0;2),(1;2),(2; −1)}

2. Halle f + g, f − g, f × g y

f en los siguientes casos. g

a) f(x) = 3x + 5x2 ; g(x) = 5x − 3x2 + x 3 b) f(x) = x + 2; g(x) = x2 + 2x c)

f(x) =

x + 2 ; g(x) =

5 x+2

3. Halle FoG y GoF , si existen, de las siguientes funciones a) F = {(0;1),(1;2),(2;3),(4;3),(5;2)} y G = {(6;7),(5;4),(4;3),(2;4),(1;4),(0;7)} b) F = {(3;4),(2;5),(−1;4),(−3;8)} y G = {(2;1),(3; −1),(−1;0),(6; −3),(1; −1)} c) F = {(1;4),(4;5),(2;3),(3;2)} y G = {(0;2),(1;2),(2; −1)} d) F = {(1;2),(5;3),(4;7),(9;6),(8;1)} y G = {(9;7),(5;1),(8;0),(1;4)}

4. Si F = {(0; −4),(−2;1),(5;4),(2;5),(4;8)} y G = {(2;4),(5;3),(1;2),(3; −3)} , calcule el valor de

⎡ (FoG)(1) × (GoF)(2) − F3 (0) + 2F(−2) ⎤ M=⎢ ⎥ G(5) × (FoG)(2) − (F2 − G)(2) ⎣ ⎦

5. Dados los conjuntos A = {4;5;6} , B = {7;8} y C = {9;10} y las funciones f : A → B y

g : B → C definidas por: f (4) = 8, f (5) = 7, f (6) = 8, g(7) = 10, g(8) = 9 . Calcule g D f .

6. Halle f D g y g D f , si existen, de las siguientes funciones a)

f(x) = x + 1; g(x) = 2x − 5

f(x) = ex ; g(x) = ln(x)

1 f(x) = 3 ; g(x) = 4x + 2 x f(x) = −2x + 1; g(x) = 2x − 5

f(x) = 2x2 + 5x + 6; g(x) = x2 − 2x + 4

f) g) h)

f(x) =

x −1 1 ; g(x) = + 3 x+2 x

x +1 ; g(x) = x2 x −1 f(x) = 2x + 2, − 5 ≤ x < 10; f(x) =

g(x) = x2 + 6, − 3 < x ≤ 4

7. Si g = {(−2;0),(−1;3),(2;1),(3; −2),(4;2),(5;0)} , f(x) = x 2 + 2; x ∈ Z , halle la función g D f .

8. Encuentre f D g D h , si existe, en cada caso. a)

f(x) = x − 1; g(x) = x ; h(x) = x − 1

f(x) = x 4 + 1; g(x) = x − 5; h(x) = x x f(x) = x ; g(x) = ; h(x) = 3 x x −1

76 | CAPÍTULO 1: Funciones 9. El ingreso mensual I que se obtiene por vender zapatos es una función de la demanda x del mercado. Se observó que, como una función del precio p por par, el ingreso mensual y la demanda son: I(p) = 300p − 2p2 y x(p) = 300 − p. ¿Cómo depende I de x ?

10. Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, en donde 20p + 40q = 600. Como una función de la cantidad q demandada en el mercado, el ingreso

semanal total está dado por I(q) = 3000q − 15q2 . ¿En qué forma depende R del precio?

Nivel 2

Dadas las funciones f(x) = 2 x , 0 ≤ x < +∞ y g = {(−3;6),(−2;1),(0;2),(1; 5),(2;3),(4; −2)} , halle las funciones f + g ; f − g ; f × g ; f 2 y f 2 − 3g Sean A = {1;2;3} y B = {1;2;3; 4} . Si f = {(3;1),(x;3),(2;3)} es una función de A en B , g = {(3;1),(y;z),(1;3)} es una función inyectiva de A en A , y si h = {(1;1),(2; w),(3;2),(4;2)} es una función suryectiva de B en A , halle el valor de: yz − (x − w)

Si f : R → B es una función suryectiva tal que f(x) = x − 2 − x , halle el conjunto B

Dadas las funciones reales definidas en \ , f(x − 1) = 3x2 + ax + 12; g(x + 1) = 5x + 7. Halle el valor de a tal que (fog)(−2) = −2a .

Si f(x − 2) = x2 − x + 1; g(x − a) = x , halle el valor de a de modo que (f o g)(2) = (g o f)(a − 2).

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será C(p) = 0, 4p + 1 pates por millón (ppm) cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la población de la comunidad será p(t) = 8 + 0,2t2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6.2 partes por millón?

El estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que el promedio diario de monóxido de carbono en el aire será de C(p) = 0,6p + 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p(t) = 10 + 0,02t2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuándo el nivel de monóxido de carbono alcanzará 8,2 partes por millón?

Una compañía que vende microcomputadoras determinó que su utilidad total está dada por: U(x) = 8x2 + 800x + 2 600 , donde x es el número de unidades producidas y vendidas. Suponga que x está en función del tiempo, en meses, donde x(t) = 4t + 2 . Halle la utilidad total en función del tiempo.

En una fábrica, el costo total de elaborar q unidades durante un día de trabajo es C(q) = q2 + q + 900 dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras t horas se fabrican q(t) = 25t unidades. a) Exprese el costo de fabricación total como una función de t . b) ¿Cuánto se habrá gastado en la producción al final de la tercera hora? c) ¿Cuándo llegará el costo total de fabricación a los $11000?

CAPÍTULO 1: Funciones | 77

10. La función g(x) = 2x + 50 que indica el salario semanal "y" de un vendedor, determinado por el número de unidades " x " vendidas cada semana. Un análisis revela que la cantidad vendida cada semana por el vendedor depende del precio cobrado por el producto, dada por la función h(p) = 150 − 2, 5p ; donde "p" es el precio expresado en dólares. a) Halle el salario semanal en función del precio por unidad. b) Use el apartado anterior para calcular el salario semanal esperado para un precio de $30.

11. Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares colectores. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerán del precio al que se venden. La función de su demanda se ha estimado así q = 100 000 − 200p Donde q es el número de unidades demandadas al año y p el precio en dólares. Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está muy bien estimado por la función C(q) = 150 000 + 100q + 0, 003q2 a) Formula la función de costo total en función del precio. b) Formula la función de utilidad que exprese la utilidad anual en función del precio c) Formula la función de utilidad que exprese la utilidad anual en función del número de unidades de q que se producen y venden

12. Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre posición social, educación e ingresos. Se denota con S el valor numérico de la posición social, con base en el ingreso anual I. Para cierto tipo de población suponga S = f(I) = 0,45(I − 1000)0,53 . Además, suponga que el ingreso de una persona I es una función que depende del número de años de educación E, donde I = g(E) = 7202 + 0,29E3,68 . Determine (f D g)(E) . ¿Qué es lo que describe esta función? (R.K. Leik y B.F. Meeker. Mathematical Sociology. Prentice Hall, 1975)

13. Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán 4374 aproximadamente Q(p) = 2 kilogramos de café por semana, cuando el precio sea de p p dólares por kilogramo. Se estima que en t semanas el precio del café será p(t) = 0,04t2 + 0,2t + 12 dólares por kilogramo. a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t b) ¿Cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador al cabo de 10 semanas? c) ¿Cuándo será la demanda de café de 30,375 kilogramos?

14. Una compañía estima que la demanda de su producto fluctúa con su precio. La función de la demanda es: q = 280 000 − 400p donde q es el número de unidades demandadas y p el precio en dólares. El costo total de producir q unidades se estima con la función: C(q) = 350 000 + 300q + 0,0015q2 . a) Determine cuántas unidades q deberían producirse con objeto de maximizar la utilidad anual. b) ¿Qué precio debería fijarse?

Nivel 3 1.

Halle f + g, f − g, f × g y

⎧3x + 1; −1 ≤ x < 1 f de las siguientes funciones: f(x) = ⎨ y g ⎩2x ; 1 < x < 6

⎧⎪2 x − 1; 0 ≤ x < 3 g(x) = ⎨ ⎪⎩ x + 1 ; x ∈ [3;5] ∪ [6;8 [

78 | CAPÍTULO 1: Funciones

Halle f + g, f − g, f × g ,

2 f ⎪⎧x − 2; x ≤ 0 y , fog y gof de las siguientes funciones: f(x) = ⎨ g ⎪⎩2x + 1; x ≥ 1

⎧⎪x 3 ; x ≥ 10 g(x) = ⎨ ⎪⎩3x − 1; x ≤ 8

4 − x − a 2x b x − 3 ; 3 ≤ x ≤ 4

Pruebe que la siguiente función es inyectiva: f (x) =

Halle y grafique la función f + g , para las funciones f (x) = ⎨

2 ; −1 ≤ x < 0 ⎪⎧ x − 2 y ⎪⎩a 2 + cos x b; x ≥ 0

⎧3 − 2x ; x < 0 g(x) = ⎨ ⎩cos x ; 0 ≤ x ≤ 3π / 2 5.

⎧⎪4x + a x b ;−3< x < 0 Dadas las funciones f y g , halle f + g y grafique. f(x) = ⎨ 2 , ⎪⎩ x + 1 − 3x ; 1 < x < 6

⎧⎪a −x b − 5x ; − 4 < x ≤ −1 g(x) = ⎨ ; 0<x≤2 ⎪⎩ x − 3 6.

Halle

⎧⎪a x − 2 b; 0 ≤ x < 3 f ⎪⎧ x ; − 5 ≤ x ≤ −1 y graficarla, para f (x) = ⎨ y g(x) = ⎨ 2 g ; 3≤ x ≤6 ⎪⎩ 2x ; 1 ≤ x ≤ 4 ⎪⎩ x

⎧ x 2 − 1; x ≤ 0 . Halle f D f . ⎩ x + 2; x > 0

Sea la función f (x) = ⎨

Dadas f(x) =

⎧(x − 3) ; 1 ≤ x < 5 8 halle la composición f D g ; x ∈ [0;4] − {2} y g(x) = ⎨ x+2 ⎩x + 3 ; − 6 ≤ x < 1 2

si existe. 9.

Dadas las funciones f (x) =

48 + 2x − x 2 ;

x + 1 ≤ 5 , g(x) = −1 +

3 ; − 3 < x ≤ 3 . Halle, x+3

si existe, la función f D g 10. Halle todas las funciones lineales f (x) tal que (f D f )( 1x ) = 11. Si f (x) = x 2 , g(x) = 1 − x , (h D g D f)(x) =

9 − 4x ; ∀x ≠ 0 x

3x + 1 , halle (g D h)(0) utilizando la propiedad a x + 2b

x 2 + a 2 > x 2 ; ∀a ≠ 0 . 12. Si existe, halle g(x) =

g D f para las funciones

⎧2x + 1; si x es entero par ⎪ f(x) = ⎨2x ; si x es entero impar y ⎪0 ; si x no es entero ⎩

ax b2 − ax b

;x≤2 ⎧x + 2 ⎪ 13. Sean las funciones f(x) = 2x + x 2 + 4 ; − 3 < x < 2 y g(x) = ⎨ 9x − 2 ; 2 < x < 3 . ⎪ 2 ⎩(x − 3) + 5; x ≥ 3 Halle f D g

CAPÍTULO 1: Funciones | 79

4. FUNCIÓN INVERSA. Antes de definir la función inversa veamos algunas definiciones importantes:

4.1. Función inyectiva Sea f : A → B diremos que la función f es inyectiva (biunívoca, uno a uno ó univalente) si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Es decir: x1 , x 2 ∈Df ⊂ A : f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x1 = x2 O en forma equivalente se tiene: x1 , x2 ∈Df ⊂ A : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x 2 ) Ejemplo Demuestre que la función: f(x) =

x +1 , x ≠ 1 es inyectiva. x −1

Demostración

f(x) = 1 +

2 x −1

Por definición se tiene: x1 ,x 2 ∈ Df : f(x1 ) = f(x 2 ) 2 2 2 2 1 1 1+ =1+ ⇒ = ⇒ = ⇒ x 2 − 1 = x1 − 1 ⇒ x 2 = x1 x1 − 1 x 2 − 1 x1 − 1 x 2 − 1 x1 − 1 x 2 − 1 Por lo tanto f es inyectiva. Observación • Para saber si una función es inyectiva se debe realizar lo siguiente: a) Bosquejar su gráfica. b) Trazar una recta horizontal c) Observar si la gráfica es cortada por la recta horizontal sólo en un punto entonces la función es una función inyectiva. • Si una función f es una función compuesta es decir: ⎧ f1 (x) si x ∈Df1 ⎪ ⎪ f2 (x) si x ∈Df2 ⎪ f(x) = ⎨ # ⎪f (x) si x ∈D fn−1 ⎪ n−1 ⎪ fn (x) si x ∈Df n ⎩ f será inyectiva si y sólo sí cada función f1 ,f2 ,.. .,fn son inyectivas y además Rfi ∩ Rfj = φ ∀ i ≠ j

4.2. Función suryectiva Una función f : A → B es llamada suryectiva (sobreyectiva o sobre) si para todo y ∈B existe por lo menos un x ∈A tal que f(x) =y. En otras palabras el rango de f es todo el conjunto B . Ejemplo Sea la función f : [ − 1; + ∞ [ → [ − 2; + ∞ [ x 6 f(x) = x2 Analice si la función es sobreyectiva o no.

80 | CAPÍTULO 1: Funciones Solución La función está definida para x ∈[ − 1; + ∞ [ . Es decir:

− 1 ≤ x ⇒ 0 ≤ x2 ⇒ 0 ≤ f(x) ⇒ Rf = [0; + ∞ [

Por lo tanto, el conjunto de llegada B = [ − 2; + ∞ [ no coincide con el Rf = [ 0; + ∞ [ . Esto quiere decir que la función f así definida no es una función sobreyectiva.

4.3. Función biyectiva Se llama así a toda función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejemplo 1 La función f(x) = es una función biyectiva. x En efecto De la gráfica se tiene: Y Dominio: D = R − {0} f Rango Rf = R − {0} X Recordar que, si trazamos cualquier recta horizontal a la gráfica, ésta corta a dicha gráfica en un solo punto, por lo tanto f es inyectiva. Se observa también que el , el cual coincide con el conjunto de llegada, por lo tanto es sobreyectiva. De esta manera se concluye que f es biyectiva. Ahora se dará la definición de función inversa.

4.4. Definición de función inversa Una función g:B → A se llama función inversa de la función f : A → B si se cumple: g D f = i dA : A → A (Identidad sobre A) y f D g = i d B:B → B (Identidad sobre B). Se le denota: g = f − 1 = {(f(x) ;x) / x ∈ D f }

Gráficamente se tiene lo siguiente: f f–1 B A A f–1(f(a))=a .a .f(a) Además, de la definición de f − 1 se deduce que: D − 1 = Rf y R − 1 = Df f

.f(a)

CAPÍTULO 1: Funciones | 81

Proposiciones Una función f : A → B tiene una función inversa f − 1 : B → A si y sólo si es biyectiva. Si la función f : A → B tiene una función inversa f − 1 : B → A entonces esa función es única.

1. 2.

La gráfica de una función inversa se halla reflejando la gráfica de la función dada con respecto a la recta de ecuación y = x , que actúa como un espejo, de modo que: resulte ser una función, su gráfica debe satisfacer la condición de que toda recta “Para que vertical puede cortarla a lo más en un punto; esto equivale a que toda recta horizontal corte a la gráfica de la función a lo más en un punto (por la simetría con respecto a la recta ). Esto significa que la función debe ser necesariamente inyectiva.” Y f y=x (x;f(x)) f(x) f –1 x (f(x);x ) x x o f(x)

Propiedades Sean las funciones f : A → B y f − 1 : B → A 1.

(f − 1 )− 1 = f

(f D g)− 1 = g − 1 D f −1

f − 1 [f(x)] = x, ∀ x ∈ Df

f[f − 1 (y)] = y, ∀ y ∈ D

f −1

= Rf

Ejemplo Dada la función f = {(2;6),(4;7),(1;8),(3;9)} . Halle, si existen: a) f − 1 b) f D f − 1 c) f − 1 D f Solución a) f − 1 = {(6;2) ,(7;4) ,(8;1) ,(9;3)} b)

(f D f − 1 )

fDf

−1

= D − 1 = R f = {6;7;8;9} = B

{

f D f − 1 = {(6;6,(7;7),(8;8),(9;9)} c)

f − 1 D f = {(2;2) ,(4;4) ,(1;1) ,(3;3)} = I dA

}

= (6;f(f − 1 (6)) ),(7;f(f − 1 (7))),(8;f(f − 1 (8))),(9;f(f − 1 (9)) )

82 | CAPÍTULO 1: Funciones

4.5. Estrategia para hallar la inversa de una función 1. 2.

Analice si la función dada es inyectiva Despeje x en función de y: x = g( y) = f −1 (y)

Intercambie x con y, entonces la ecuación resultante es y = f −1 (x)

4. 5.

Halle el dominio de f − 1 Verifique que f(f −1 (x)) = f −1 (f(x)) = x

Observación Para determinar si una función tiene inversa, solamente hay que verificar que sea inyectiva en su dominio.

Ejercicios Resueltos 1.

Dada la función f : A → B donde A y B son conjuntos finitos, ¿cuáles son verdaderas? a) f inyectiva ⇒ n(A) ≤ n(B) b) f Suryectiva ⇒ n(B) ≤ n(A) c) n(B) ≤ n(A) ⇒ f es suryectiva Solución c) f inyectiva significa que para cada par de elementos x1 , x 2 ∈ A : x1 ≠ x 2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x 2 ) . Es decir, para cada elemento del conjunto A , f, le hace corresponder un único elemento en el conjunto B, mas no garantiza que cada elemento de B tiene su pre imagen. Por lo tanto, se puede afirmar que n(A) ≤ n(B) es verdadero. d) f Suryectiva significa que todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del dominio de f. En otras palabras f(Df ) = B . Por otro, lado se sabe que Df ⊆ A , entonces se puede afirmar que n(B) ≤ n(A) es verdadero. e) Es falso. Sean los conjuntos finitos A = { –1; 0; 1; 2} y B = {0; 1; 2} y f : A → B tal que f(x) = x2. Entonces se verifica que n(B)<n(A) pero f (2) no es elemento del conjunto B. x Demuestre que la función f(x) = 2 ; − 1 ≤ x < 1 es inyectiva, y halle su rango. x +1 Demostración Por definición se sabe: x1 , x 2 ∈D f : f(x1 ) = f(x 2 ) ⇒ x1 = x 2 Entonces:

x1 x12

x2 x22

⇔

x1 x12

−

x2 x22

≥ 0∨

x1 x12

−

x2 x22

≤ 0

Esto quiere decir que las variables x1 y x 2 tienen el mismo signo. Es decir: 0 ≤ x1 ,x 2 < 1 ∨ −1 ≤ x1 ,x 2 < 0

Luego, al pasar a ambos lados los denominadores se tiene: x1 (x22 + 1) = x2 (x12 + 1) ⇔ x1x22 + x1 = x2x12 + x2 Después pasar todo a un solo lado y factorizar se tiene: x1x22 + x1 − x 2x12 − x 2 = 0 ⇔ x1x2 (x2 − x1 ) − (x2 − x1 ) = 0 ⇔ (x2 − x1 )(x1x2 − 1) = 0

CAPÍTULO 1: Funciones | 83

• (x 2 − x1 ) = 0 ⇒ x 2 = x1 . • x1x 2 − 1 = 0 ⇔ x1 = x 2 = −1 .

Por lo tanto, la función f es inyectiva. Rango de f. (1) x ∈Df ⇒ −1 ≤ x < 1 ⇔ −1 ≤ x < 0 ∧ 0 ≤ x < 1 Elevar al cuadrado y sumar 1 se tiene: 0 ≤ x2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x2 + 1 ≤ 2 Invierta el término del centro y se tiene: 1 1 (2) ≤ ≤1 2 x2 + 1 Multiplique (1) con (2) y se tiene: 1 x x 1 1 x 1 − ≤ 2 <0 ∧0≤ 2 < ⇔− ≤ 2 < 2 x +1 2 2 x +1 x +1 2 Por lo tanto el rango es: ⎡ 1 1⎡ Rf = ⎢− ; ⎢ ⎣ 2 2⎣ x Demuestre que f : [ 0;2 [ → ]−∞;0 ] , tal que f(x) = es suryectiva. x −2 Demostración Por definición se tiene: ∀y ∈ ]−∞;0 ] ⇒ ∃x ∈ [ 0;2[ / y = f(x) y=

x 2y ⇔ y x − 2y = x ⇔ x y − x = 2y ⇔ x = x −2 y −1

Se debe demostrar que para cada y ≤ 0 siempre es posible encontrar x =

2y ∈ [ 0;2[ y −1

En efecto, y ≤ 0 ⇔ y −1 ≤ −1 ⇔ −1 ≤

1 y 2y <0⇒0≤ <1⇔ 0≤ <2 y −1 y −1 y −1

Por lo tanto, la función f es suryectiva. 1 Dada la función f : A → B;f(x) = determine las constantes a y b para que f sea biyectiva, ax +b cuando: a) A = [1; 4 ] y B = [ − 4; 5] b) A = [1; 4 ] y B = [2;6] Solución a) Para que f sea biyectiva se debe cumplir que f es inyectiva y suryectiva. 1. f es inyectiva implica que la función es creciente o decreciente en todo su dominio. 2. f es suryectiva implica que el rango de f es todo el conjunto B. Es decir, f [1;4 ] = [ − 4;5] Entonces se cumple: [ f(1) = − 4 ∧ f(4) = 5] ∨ [ f(1) = 5 ∧ f(4) = − 4 ] .

84 | CAPÍTULO 1: Funciones

Luego, 1 1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢⎣ a + b = − 4 ∧ 4a + b = 5 ⎥⎦ ∨ ⎢⎣ a + b = 5 ∧ 4a + b = − 4 ⎥⎦

[1 = − 4a − 4b ∧ 1 = 2 0a + 5b ] ∨ [1 = 5a + 5b ∧ 1 = − 1 6a − 4b ] ⎧ 5 = − 2 0a − 2 0b ⎧ 4 = 2 0a + 2 0b ∨ ⎨ ⎨ ⎩1 = 2 0a + 5b ⎩ 5 = − 8 0a − 2 0b

Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene:

3 2 ⎞ ⎛ 3 7 ⎞ ⎛ ∧b = − ∧b = ⎜a = ⎟∨ ⎜a = − ⎟ 20 5 ⎠ ⎝ 20 20 ⎠ ⎝ b) En forma similar que el caso a) se tiene: 1 1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢⎣ a + b = 2 ∧ 4a + b = 6 ⎥⎦ ∨ ⎢⎣ a + b = 6 ∧ 4a + b = 2 ⎥⎦

[1 = 2a + 2b ∧ 1 = 2 4a + 6b ] ∨ [1 = 6a + 6b ∧ 1 = 8a + 2b ] ⎧ 3 = 6a + 6b ⎧1 = 6a + 6b ∨ ⎨ ⎨ ⎩1 = 2 4a + 6b ⎩3 = 1 8a + 6b

Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene:

1 11 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎜a = − ∧b = ⎟∨ ⎜a = ∧b = ⎟ 9 1 8 9 1 8 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5. Halle y grafique la función inversa f −1 , si existe, de f(x) = x2 − 2x − 1; x ≥ 2. Solución i. Demuestre si la función es inyectiva. En efecto. f(x) = x 2 − 2x − 1 = (x − 1)2 − 2

f(x1) = f(x2) ⇔ (x1 − 1)2 − 2 = (x2 − 1)2 − 2 ⇔ (x1 − 1)2 = (x2 − 1)2 ⇔ (x1 − 1) = (x2 − 1);x1,x2 ≥ 2 f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x 2

Por lo tanto, la función es inyectiva. ii. Calcule el dominio de f –1. x ≥ 2 ⇔ x − 1 ≥ 1 ⇔ (x − 1)2 ≥ 1 ⇔ (x − 1)2 − 2 ≥ − 1 ⇔ f(x) ≥ − 1 Se sabe que: D

f− 1

= R f entonces D

f− 1

= [ − 1; + ∞[

CAPÍTULO 1: Funciones | 85

iii.

Despeje x en función de y=f(x). y = (x − 1)2 − 2 ⇔ y + 2 = (x − 1)2 ⇔ ± y + 2 = x − 1

Se sabe que: x ≥ 2 ⇒ x − 1 ≥ 1 ⇒ x − 1 ≥ 0 , entonces se debe de considerar la raíz con el signo positivo. Es decir: y + 2 = x − 1 ⇔ x = y + 2 + 1 ⇒ f − 1(y) = y + 2 + 1 Cambie la variable “y” por “x” y se tiene:

iv.

f − 1(x) = x + 2 + 1

Por lo tanto, la función inversa es: f − 1(x) = x + 2 + 1; x ≥ − 1 6.

Dada f(x) = x + x + 2; x > 2 , halle f

−1

si existe.

a) Demuestre si la función es inyectiva.

En efecto. x1 > 2 ∧ x 2 > 2

x1 ≠ x2 ⇔ x1 + 2 ≠ x2 + 2 ⇔ x1 + 2 ≠ x2 + 2 ⇔ x1 + x1 + 2 ≠ x2 + x2 + 2 ⇔ f(x1) ≠ f(x2) Por lo tanto, la función es inyectiva. b) Calcule el dominio de f –1. x >2 ⇔ x +2 > 4 ⇔ x +2 >2 Entonces: x > 2 ∧ x + 2 > 2 ⇒ x + x + 2 > 4 ⇒ f(x) > 4 Por otro lado se sabe que D

f− 1

= R f entonces

D − 1 = ]4; + ∞[ f

c) Despeje x en función de y=f(x).

y = x + x + 2 ⇒ y − x = x + 2 ⇒ (y − x)2 = x + 2 Al desarrollar el binomio se tiene: y − 2xy + x = x + 2 ⇔ x2 − x(2y + 1) + (y2 − 2) = 0 2

Al usar la formula general de segundo grado se tiene: x=

2y + 1 ± (2y + 1)2 − 4(y2 − 2) 2y + 1 ± 4y + 9 = > 2 , ∀y > 4 2 2

86 | CAPÍTULO 1: Funciones d) Cambie la variable “y” por “x” y se tiene:

⎧ 2x + 1 + 4x + 9 ⎪⎪ 2 f − 1(x) = ⎨ ⎪ 2x + 1 − 4x + 9 ⎪⎩ 2 Como la función es inyectiva, entonces está garantizada la existencia de la función inversa. Por lo tanto, use la composición de funciones para descartar una de las dos funciones halladas. Es decir: (f D f − 1) (x) = (f − 1 D f) (x) = x; ∀ x Sea x = 10, entonces

⎧ 2(1 0)+1 + 4(1 0)+ 9 ) ⎪⎪ f( ⎧ f(1 4) ⎪⎧1 4 + 1 4 + 2 = 1 8 (N o c u m p l e) 2 =⎨ =⎨ (f D f − 1)(1 0) = ⎨ ⎪ f(2(1 0)+1 − 4(1 0)+ 9 ⎩ f(7) ⎩⎪7 + 7 + 2 = 1 0 (s i c u m p l e) ⎪⎩ 2 ⎧ 21 + 2 12 + 49 + 2 48 ⎧ 21 + 48 + (48 + 1) + 2 48 × 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 =⎨ (f − 1 D f )(10) = f − 1(10 + 12 ) = ⎨ ⎪ 21 + 2 12 − 49 + 2 48 ⎪ 21 + 48 − (48 + 1) + 2 48 × 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 2 2 Pasando radicales dobles a simple se tiene: (x + y) ± 2 xy = x ± y ⎧ 21 + 48 + 48 + 1 ⎧ 22 + 2 48 = 11 + 48 (No cump le) ⎪⎪ ⎪⎪ 2 2 (f − 1 D f )(10) = ⎨ =⎨ ⎪ 21 + 48 − 48 − 1 ⎪ 20 = 10 (si cu mple) ⎪⎩ 2 2 ⎩⎪ Por lo tanto, la función inversa es: f − 1(x) =

2x + 1 − 4x + 9 ; x>4 2

Halle la función inversa f

−1

; x ≤2 ⎧x + 2 ⎪ , si existe, para: f(x) = ⎨ 9x − 2 ; 2 < x < 3 ⎪ 2 ⎩(x − 3) + 5 ; x > 3

Solución a) Demostrar que la función es inyectiva. Sean x1,x2 ≤ 2 , entonces f(x1) = f(x2) ⇒ x1 + 2 = x2 + 2 ⇒ x1 = x2

(1)

Sean 2 < x1,x2 < 3 , entonces f(x 1) = f(x 2) ⇒ 9x 1 − 2 = 9x 2 − 2 ⇒ 9x 1 − 2 = 9x 2 − 2 ⇒ x 1 = x 2 (2) Sean x1,x2 > 3 , entonces f(x1) = f(x2) ⇒ (x1 − 3)2 + 5 = (x2 − 3)2 + 5

⇒ (x1 − 3)2 = (x2 − 3)2 ⇒ x1 − 3 = x2 − 3 ⇒ x1 = x2 Por lo tanto, de (1), (2) y (3) se concluye que la función así definida es inyectiva.

(3)

CAPÍTULO 1: Funciones | 87

b) Demostremos que las intersecciones de los rangos son vacias. Es decir:

R f1 ∩ R f2 = φ ; R f1 ∩ R f3 = φ ; R f2 ∩ R f3 = φ En efecto:

Sean las subfunciones f1(x) = x + 2; x ≤ 2 ∧ f2(x) = 9x − 2 ; 2 < x < 3 ∧ f2(x) = (x − 3)2 + 5 ; x > 3 Entonces, el rango de cada subfunción es

Rf1 = ]−∞;4 ] ; Rf2 = ]4;5[ ; Rf3 = [ 5; +∞[ Por lo tanto se demuestra que: R f1 ∩ R f2 = φ ; R f1 ∩ R f3 = φ ; R f2 ∩ R f3 = φ c) Dominio de f –1

x ≤ 2 ⇒ x + 2 ≤ 4 ⇒ f1(x) ≤ 4 R f1 = D

f1− 1

= [4 ; + ∞ [

(4)

(5)

(6)

2 < x < 3 ⇒ 1 8 < 9x < 2 7 ⇒ 1 6 < 9x − 2 < 2 5 ⇒ 4 < 9x − 3 < 5 ⇒ 4 < f2(x) < 5

R f2 = D

= ]4 ; 5[

x > 3 ⇒ x − 3 > 0 ⇒ (x − 3)2 > 0 ⇒ (x − 3)2 + 5 > 5 ⇒ f3(x) > 5

R f3 = D

f2− 1

= ]5; + ∞[

f3− 1

Por lo tanto, de (4), (5) y (6) se tiene: D

f− 1

= ]− ∞;4 ] ∪ ] 4;5 [ ∪ ] 5; + ∞ [

d) Despejar x en función de y=f(x), luego regresar a la variable x y se tiene la función inversa. ; y≤4 ; x≤4 ⎧y − 2 ⎧x − 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪y +2 ⎪x +2 x=⎨ ; 4 < y < 5 ⇒ f − 1(x) = ⎨ ; 4<x <5 9 ⎪ ⎪ 9 ⎪ y−5 +3 ; y >5 ⎪ x−5 +3 ; x >5 ⎩ ⎩ Halle la función inversa de la función exponencial y = f(x) = akx ;a ≠ 1, a > 0,x ∈ R ,K ∈ R −{0} .

Solución a) Función inyectiva. f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ akx1 = akx2 ⇒ kx1 = kx2 ⇒ x1 = x2 Por lo tanto la función es inyectiva. b) Dominio de f –1 1 ⎧ x ⎪x < 0 ⇒ a = − x > 0 x∈R ⇒ ⎨ a ⎪x ≥ 0 ⇒ ax > 0 ⎩ Por lo tanto, D −1 = R f = ]0; + ∞[ f

88 | CAPÍTULO 1: Funciones

c) Despejar x en función de y = f(x)

y = akx ;a ≠ 1, a > 0 ⇒ loga y = log a akx ; a ≠ 1,a > 0 log a y log a x log a y = kx ⇒ x = ; k ≠ 0 ⇒ f −1 (x) = k k Por lo tanto, la función inversa de la función kx y = f(x) = a ; a ≠ 1, a > 0, x ∈ R, K ∈ R −{0} es la función logaritmo:

exponencial

f −1 (x) =

log a x ;a ≠ 1,a > 0,k ≠ 0,x ∈ ]0; + ∞[ k

1200 000 ; q > 0 , expresa el sueldo p de una actriz, q por película, como una función del número de películas q que protagoniza. Exprese el número de cintas en las que actúa, en términos de su sueldo por película. Muestre que la función resultante es la inversa de la función que especifica p en términos de q. Solución Al despejar q se tiene: 1200 000 1200 000 q= ;q > 0 > 0 ⇒ p −1 (q) = p q Esa función es ahora una función que está dependiendo de p y para comprobar que es la inversa de la función dada, usemos la composición de funciones.

Función de demanda: La función p = p(q) =

1200000 1200000 = = q 1200000 p(q) q 1200000 1200000 −1 −1 = = q • (p D p )(q) = p(p (q)) = 1200000 p−1 (q) q −1 −1 • (p D p)(q) = p (p(q)) =

Por lo tanto, p −1 (q) =

1200 000 es la inversa de p(q). q

10. Función de oferta: La función de la oferta semanal de una libra de café, la mezcla de la casa, en q una cafetería es p = p(q) = ; q > 0 , donde q es la cantidad ofertada de café en libras por 48 semana, y p es el precio por libra. Exprese q como una función de p y demuestre que esta función es la inversa de la función dada. Solución Al despejar q se tiene: q = 48p ⇒ p−1 (q) = 48q; q > 0 Esa función es ahora una función que está dependiendo de p y para comprobar que es la inversa de la función dada, usemos la composición de funciones. ⎛ q ⎞ • (p−1 D p)(q) = p−1 (p(q)) = 48p(q) = 48 ⎜ ⎟ = q ⎝ 48 ⎠

CAPÍTULO 1: Funciones | 89

p −1 (q) 48q = = q 48 48 Por lo tanto, p −1 (q) = 48q es la inversa de p(q).

• (p D p −1 )(q) = p(p −1 (q)) =

11. Crecimiento de la población: La población de un país de América del Sur ha comenzado a crecer en forma exponencial con un índice constante de 2,5% por año. El 1 de enero de 2000 la población era de 30 millones de habitantes. a) Formule la función de crecimiento de exponencial general P = f(t) para la población del país, donde t equivale al tiempo medido en años desde el 1 de enero del 2000. b) Si el índice y el patrón de crecimiento continúan, calcule f − 1 (40) Solución a) La función de crecimiento exponencial en forma general es: P = f(t) = P0e2,5%t b) Por el ejercicio número 8 se sabe que la función inversa de la exponencial es la función logaritmo. Es decir: p ln( ) 2,5%t −1 30 ⇒ f (t) = P = f(t) = 30e 2,5% Entonces 40 4 f −1 (40) = 40ln( ) = 40ln( ) ≈ 11,51 30 3 Eso quiere decir que a mitad del año 2011 (dentro de once años y medio aproximadamente) la población en ese país será de 40 millones. 12. Respuesta a la publicidad: Una compañía grande de grabaciones vende DVD y discos compactos (CD) sólo por correo directo. Se hace publicidad por medio de una red de televisión. Mucha experiencia con este tipo de planteamiento de ventas ha permitido que los analistas determinen la respuesta esperada a un programa de publicidad. Específicamente, la función de respuesta para los CD y DVD de música clásica es R = f(t) = 1 − e −0 ,05t , donde R es el porcentaje de clientes en el mercado objetivo que en realidad compran el CD o la DVD y t es el número de veces que aparece un anuncio en la televisión nacional. Calcule f −1(0,9) e intérprete su resultado. Solución Al despejar t se tiene la función inversa f –1. Es decir: ln(1 − R) R = 1 − e −0,05t ⇒ e −0,05t = 1 − R ⇒ ln(e −0,05t ) = ln(1 − R) ⇒ −0,05t = ln(1 − R) ⇒ t = − 0,05 Luego, ln(1 − t) f −1 (t) = − ; 0 < t < 1 0,05 Por lo tanto, ln(1 − 0,9) 2,3025 = ≈ 46,05 f −1 (0,9) = − 0,05 0,05 Esto significa que si la publicidad de los CD y las DVD aparece 46 veces por la televisión se podrá vender un 90% de los CD o DVD.

90 | CAPÍTULO 1: Funciones 13. Retención de la memoria: Se efectúo un experimento para determinar los efectos del tiempo transcurrido sobre la memoria de una persona. Se pidió a los sujetos que vieran una fotografía que contenía muchos objetos diferentes. En distintos intervalos de tiempo después de esto, se les pedía que recordaran tantos objetos como pudieran. Con base en el experimento, se desarrolló la siguiente función R = f(t) = 90 − 20ln(t),t ≥ 1 . Donde R representa la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempo desde el estudio de la fotógrafa (en horas). Calcule f −1(80) e interprete el resultado. Solución Al despejar t se tiene

R = 90 − 20ln(t) ⇒ 20ln(t) = 90 − R ⇒ ln(t) =

90 − R ⇒t=e 20

90 −R 20

Entonces, f −1 (t) = e

90 − t 20

Por lo tanto, f −1 (80) = e

90 −80 20

= e 20 = e 2 = 1,64872

La memoria porcentual dentro de 1,6 horas es del 80%.

Ejercicios propuestos 1.4 Nivel 1 1. Dada la función f(x) = {(1;0),(2;5),(3;6),(7;7)} halle f − 1 , f − 1 D f y f D f − 1

2. Dadas las funciones f = {(1,3),(7,2),(6, − 1)} y g = {(1,a),(2,b),(6,a),(7,c)} , ¿Cuáles son ciertas? a) go (f ‐ 1 ) = {(3,a),(− 1,a),(2,c)} b) ⎣⎡ g o (f ‐ 1 )⎦⎤ ( x1 ) = ⎣⎡ g o (f ‐ 1 )⎦⎤ ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2

3p ⎛ p +1 ⎞ −1 3. Sea f una función biyectiva tal que f ⎜ para un p ⎟ = q , si se sabe que f (q) = 3p +1 p ⎝ ⎠ particular, halle 4p + 7 .

4. Sea f: R → R tal que f(x + 3) = 3x + 2 . Calcule f − 1 (x)

5. Si f(x + 5) =

4 1 . Halle el valor de x que satisface la relación: (f ‐1of)( ) = 2 . x x +2

6. Sea f (x)=

3x − 4a , x ∈R , f ‐ 1 (3) = 2a − 3b, f ‐ 1 (5) = 3a + b . Halle el valor de f ‐ 1 (a − 3b) 5

7. La función inversa de f(x) = l o g 2 (x − 2) − l o g2 (x + 2) es:

8. Halle f − 1 si existe de: ⎧⎪−x , x < 0 a) f(x) = ⎨ 2 x≥0 ⎪⎩−x 1

b) f(x) = 1 0 x

CAPÍTULO 1: Funciones | 91

9. Si f(x) = 2x 3 − 3, x ∈R Demuestra que: a) f es inyectiva b) Rango de f es R 1

⎡3+ x ⎤3 f (x) = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ −1

10. Sean las funciones f(2x − 1) = 3x − 1, si − 1 < x < 2 y g(x) =

g −1 .

f(x) − x 2

, si − 3 < x < − 1 . Halle la función

11. Investigaciones médicas han demostrado que durante periodos breves cuando se cierran las válvulas que van hacia la aorta de un adulto normal, la presión en la aorta es una función del tiempo y se puede modelar con la ecuación: P = 95e–0,491t donde t está en segundos. a) ¿Cuál es la presión aórtica cuando las válvulas se cierran por primera vez? b) ¿Cuál es la presión aórtica después de 0,1 segundo? c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la presión llegue a 80?

12. Suponga que el número y de nutrias que se reintrodujeron en un río silvestre y pintoresco se determina con: y = 2500 – 2490e–0,1t ; donde t es el tiempo en meses a) Encuentre la población cuando se reintrodujeron las nutrias b) ¿Cuánto tiempo pasará antes que la población de nutrias llegue a 1 500?

13. La función de demanda de un producto está dada por q = D(p) = −3ln(p) + 3ln(3000) . Calcule

D−1 (9) e interprete su resultado.

Nivel 2 1. 2.

Dada f(x) = 2x + x 2 + 4 ; − 3 < x < 2 , halle f −1 y f D f −1 si existen.

Dada f(x) = x + x 2 + 1 ; x > 1 , halle f −1 si existe

⎧⎪(x − 1)2 + (x + 1)2 ; x > 1 Halle la función inversa f −1 , si existe, para: f(x) = ⎨ 2 ; x < −1 ⎪⎩− 1 − (x − 1)

7 Dada las funciones f definida por f(x − 1) = x , halle el rango de la función y evaluar f − 1 (− ) 4

⎡x −4⎤ Sea f una función inyectiva tal que f − 1 ⎢ ⎥ = a , Halle el conjunto solución de la inecuación: ⎣x + 4⎦

Dada f(x) = x − −x ; x < − 4 , halle f −1 si existe

⎡ x −3 ⎤ f(a) ≤ ⎢ ⎥ ⎣ 2x − 1 ⎦ 7.

1 ⎧ 2 ⎪⎪ x − x + 2 + 1, − 1 ≤ x ≤ 2 Sea f(x) = ⎨ . Determine f − 1 (x) 7 ⎪2 − [ ] , 2<x<4 x +1 ⎩⎪

⎧2x2 − 12x + 3, x ∈ ( − 2,3] ⎪ Sea f(x) = ⎨ x + 2 . Detemine f − 1 , si existe > , x 3 ⎪ ⎩x −3

92 | CAPÍTULO 1: Funciones 9.

Dada la función f(x)=x2 − 2x + 4 , determine f ‐ 1 sabiendo que existe, además Rf = [3, ∞ ) , y que

(0,4)∈f 10. Si f(x) = 4 x − x ; x ∈[0,1] . Determine f − 1 , si existe

1 4

3 2

2 11. Dada la función f(x) = − x + x −

1 . Si x < 2 , determine f −1 si existe. 4

12. Halle la función inversa de f(x) = x2 + 8x − 9 ; x < −9 13. Dada la función f(x) =

(x + 2)(x2 + 6x − 16)(x − 6) (x − 2)(x − 4x − 12) 2

−1

. Halle f si existe.

x −2 4 si g − 1 (f − 1 (a) ) = − . Hallar g − 1 (a + 5) x+3 3 15. Si una población de bacterias comenzó con 100 y se duplica cada tres horas, la cantidad de

14. Sean f(x) = x 3 + 2 , g(x) =

bacterias después de t horas es n = f(t) = 100 × 2 3 a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado b) ¿Cuándo habrá 50000 ejemplares?

16. Cuando se dispara el flash de una cámara, de inmediato las pilas empiezan a recargar el −

capacitor del flash, en el cual se almacena la carga eléctrica dada por Q(t) = Q 0 (1 − e a ) (la capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en segundos) a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado b) ¿Cuánto tarda en recargarse el capacitor hasta 90% de su capacidad, si a = 2 ?

17. En base a las ventas esperadas y los datos para compañías semejantes, el director de personal de industrias nacionales predice que el número de empleados se puede describir mediante la 0,5t ecuación. N(t) = 200(0,04) en donde N(t) representa el número de empleados después de t años. Suponiendo que esto es correcto. ¿Cuántos empleados tendrán las industrias nacionales después de tres años? ¿Cuántos empleados empleó la compañía inicialmente? Y ¿Cuántos empleará cuando alcance su máximo desarrollo?

18. Un trabajo en una línea de producción consiste en atornillar un pequeño tornillo en una plancha de metal. Para un empleado regular, el número de planchas que completa por hora, se describe –0,3x según la ecuación y = 50 – 40e donde x es el número de horas que el empleado ha trabajado en la línea de producción. a) ¿Cuántas planchas puede completar el empleado en la primera hora? b) ¿Cuántas en la quinta hora?

19. Los costos de producción (centavos de dólar) para una compañía se describe con la ecuación

–0,02x C(x) = 100 – 70e donde x es el número de unidades producidas. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de la empresa? Cuando la producción es de 100 unidades, ¿qué proporción se fija para los costos de producción?

Nivel 3 1.

Halle la función f −1 , si existe, para f(x) = ( x − 5 + 1 + x ) 5 − x

Dada las función f (x) =

x 3 + 7x2 + 14x + 8 x2 + 6x + 8 a) Halle su dominio y probar que es inyectiva b) Halle f − 1

CAPÍTULO 1: Funciones | 93

3. 4.

⎧⎪x 2 − 8x + 7 , si x ∈ [ −3; −1 ) ∪ ( 4;7] −1 sea f(x) = ⎨ . Halle f si existe. , si x ∈ [ −1;3 ) ⎪⎩ 7 − 2x ax + 7 Dada f(x) = , halle a y b tales que: 2x − b a) Dom f − 1 = R − {3}

b) f ‐1 =f .

x , x ∈ ( − 1, 1) . Halle f − 1 1+ x

Sea f(x) =

Pruebe que f es inyectiva y calcule f − 1 si f(x) =

x −3 1 + 2 − 1, x ∈ ]1;2[ x − 1 x − 2x + 1 1 Si A y B son intervalos y f : A → B definida por f(x) = es una función inyectiva y 1 − x2 suryectiva. Determine los intervalos A y B para que ello ocurra. ⎧ −x2 , x ∈ ( −∞;0 ] ⎪ Dada la función f(x) = ⎨ 1 . Halle f −1 , si existe. ∈ +∞ , x 0; ( ) ⎪ ⎩ x Dadas las funciones f(x) =

⎧⎪(x − 3)2 , 1 ≤ x ≤ 5 8 −1 , x ∈[0,4] − {2} y g(x) = ⎨ . Halle f D g si x −2 x 3 , 6 x 1 + − ≤ < ⎪⎩

existe: 10. Sea f una función inyectiva, tal que f

−1

(

x−4 x −3 ) = a . Si el C.S. de la inecuación f(a) ≤ es x+4 2x − 1

]a,b[ ∪ ]c,d[ . Determine el valor de M = bcd a 11. Considere la función f(x) = 4 − x2 ( x2 − 4 + x2 ) ,x ∈ [− 8,0] . Halle f

−1

94 | CAPÍTULO 1: Funciones

Respuestas del Capítulo I

SOLUCIÓN DEL CASO a. Indicar las variables de entrada (independiente) y la variable de salida ( dependiente) • Variable de entrada (x)= Nº de m3 de agua que se consumen. • Variable de salida ( C(x) )= Costo total a pagar en soles.

b. MODELO FUNCIONAL Costo total a pagar C(x) = costo de consumo ( Cc (x) )+ cargo fijo+ IGV ⎧ 1, 291x + 0, 704x ⎪ Cc (x) = ⎨15, 96 + 1, 356(x − 8) + 0, 739(x − 8) ⎪ 41,1 + 3, 273(x − 20) + 1, 785(x − 20) ⎩

0≤x≤8 8 < x ≤ 20 x > 20

Por tanto el costo total a pagar: C(x) = Cc (x) + 2, 94 + 0,18(Cc (x) + 2, 94) C(x) = 1,18(Cc (x) + 2, 94)

c. Gráfica de C(x) d. Si el consumo es de 63m3 el detalle de la facturación es como sigue: • Primer rango : C1 (x) = 1, 291* 8 + 0, 704* 8 = S / .15, 96 •

Segundo rango: C2 (x) = 1, 356(12) + 0, 739 *12 = S / .25,14

•

Tercer rango : C3 (x) = 3, 273* 43 + 1, 785* 43 = S / .217, 5

•

Monto total a pagar: C(x) = 1,18(15, 96 + 25,14 + 217,5 + 2, 94) = S / .308,62

Ejercicios Propuestos 1.1. Nivel 1 1. a)‐2/3 b) 2 c) 6 d) 5/4 e) ‐2448 c) si d) si

2. f

6. a) 38 b) 50 7. 22 100.

3. a) 5/16 b) 4 c)

5+3 9

8. 50 250, 50 200, 50 290

4. 29 5. a) si b) no 9. a)

20000 e3

CAPÍTULO 1: Funciones | 95

b) R = 200 000pe−0.15p c)

5000000 e15/4

10. Dominio: x ∈ [0,50000] Rango: x ∈ [80000,830000]

⎧18.75n 11. a) g = 110x − 1650 b) 3850 12. c(n) = ⎨ ⎩15.75n

n < 12 n ≥ 12

13. a) ]−∞; −3[ ∪ [ 0;3[

3⎡ ⎡ b) [1;2 ] ∪ [3; +∞ [ c) ]−4; −3] ∪ [ −2; −1[ ∪ ]1;2] ∪ [3;4[ d) ⎢ −2; ⎢ ∪ ]2; +∞[ e) ]−2;2[ ∪ [3; +∞[ 2⎣ ⎣ Nivel 2 3

4 c) 45554 2. a) 165 m b) 135 m c) 225 m d) 3,87 s 3. 2500 unidades. 2 4. a) x=10; p= $114 b) Gráfica 5. a) R = − 0,27x 2 + 52x ; u = − 2, 51x 2 + 48, 4x − 86 . b) La producción debe ser entre 1980 y 17300 unidades.

1. a) 5,6 b)

6. u = −p2 + 160p − 6000 , p = 80 7. q=200, I=120 000 8. t=6 s, h=176.4 m. 9. t = 2,7 s, F = 90,11 N. 10. a) 89; 161 b) 210; 7,5 c) 5; 10 11. a) Gráfica b) 180kg. c) 300kg.

Nivel 3 1. a) N =

13 375 x+ b) 103.5 400 4

3. d = 2 x2 + 64 + 10 − x 6. U = −

2. I = −20 000x2 + 80 000x + 6 400 000

4. c(x) = 12x2 +

3072 x

45 2 x + 2050x − 32000 , x: precio de venta. 2

8. $ 740 9. 50; 100 10. 35 11. 3 12. p =

5. V = 8x 3 − 4x 2

⎧20 + 5x x < 15 7. f(x) = ⎨ ⎩20 + 10x x ≥ 15

x+3 , p0 = 28 céntimos. 13. y = −150t + 1500 50

14. ⎧15%x ⎪6780 + 27,5%(x − 45200) ⎪ a) r(x) = ⎪⎨24 393,75 + 30,5%(x − 109250) ⎪41855 + 35,5%(x − 166500) ⎪ ⎪⎩88306,75 + 39,1%(x − 297350)

15. a) y =

0 < x ≤ 45200 45200 < x ≤ 109250 109250 < x ≤ 166500 b) 24 409 166500 < x ≤ 297350 297350 < x

5 2 13 x + x + 29 b) 51,5 y 95,2 28 28

Ejercicios Propuestos 1.2. Nivel 1 1. I=10R 6. 1 457,695

x3 1 4 8 40 5 c) 3. a) b) 4. 1 432,678 5. 1 455,517 21 2 5 7 x +1 −8 l n (3 / 8) β/10 7. − 8. a) I = I0 10 b) I = 1 0 − 1 21 01 0 c) β = 9 0 1000 2. a) b)

96 | CAPÍTULO 1: Funciones z0 e+1.4 /87

9. t = 6He

− 0,8w 10. a) t=16 b) t=53 c) 4,26% 11. C=49; k = −

12. Q=899,955 13. a) Q=125 b) Q= 86 c) Q=0.3098

17. θ =39,5

16. H=4 601.534 m

ln(1 / 49) t=6,2583 ; 4

14. T=110.625 15. H=4 601.534 m

⎛ 2gh ⎞ b) θ = 31,585 ⎜ v ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠

18. a) θ = se n− 1 ⎜

19.B=512 000

20. Q=1,7868 gr 21. Q=42,04 22. a) 283 813,5 b) 402 750,5 NIVEL 2 4. a) x ∈ ]−∞;1] ∪ [ 4; +∞[ b) x ∈ [ − 3; − 1] ∪ [2;3] 1. a) F b) F c) V ( α = 1 ) 2. 18 3. ]3;4 ] c) x ∈ [ − 5;1[ − {− 1} d) x ∈ [ − 3; − 2[ ∪ ]2;3] 6. Df = R − {0} Rf = {0,2}

7. Df = R − {1}

5. f(5) = 9 6

8. Df = ]− 3;3[ ∪ [ 4; +∞[

Rf = R

⎡ −4 −3⎤

12. P(2)=10, P(6)=14, P(12)=14 y P(14)=8 Y

14. Y 17. ⎧x ; x ∈ 0;2 ⎪ 2 ; x ∈ 2;4 f(x) = ⎪ ⎨ ⎪x − 2 ; x ∈ 4;5 ⎪−x + 8; x ∈ 5;8 ⎩

[ ] ] ]

13.

, − {− 1} 9. Df = ⎢ ⎣ 3 4 ⎥⎦

10. Df = ]−∞; − 2] ∪ ]1;2] ∪ ]4;5[

11. P(7/8;21/4), Q(3/2;4), R(2;3)

Df = [ − 3; − 1[ ∪ ]1;2[ ∪ ]2;4 ] Rf = [ − 4; − 2[ ∪ ]1;5] ∪ {0} X

15.

16.

Y X

18.

] ] ] ]

19.

Df = R

R f = [ 4; + ∞ [

D f = R − { − 1}

R f = ]− ∞ ; − 2[ ∪ ]1; + ∞ [

CAPÍTULO 1: Funciones | 97

20.

21. a) A = 2 P = 2π

A = 2 P = 2π

Y X X

Ejercicios Propuestos 1.3. NIVEL 1 1. a) F + G = {(1;6),(5;4),(9;13),(8;1)} , F − G = {(1; −2),(5;2),(9; −1),(8;1)} , F × G = {(1;8),(5;3),(9;42),(8;0)}

F / G = {(1;1 / 2),(5;3),(9;6 / 7)} b) F + G = {(3;3),(2;6),(−1;4)} , F − G = {(3;5),(2;4),(−1;4)} F × G = {(3; −4),(2;5),(−1;0)} , F / G = {(3; −4),(2;5)} c) F + G = {(1;6),(2;2)} , F − G = {(1;2),(2;4)} , F × G = {(1;8),(2; −3)} , F / G = {(1;2),(2; −3)}

2. a) (f + g)(x) = x3 + 2x2 + 8x , (f − g)(x) = −x3 + 8x2 − 2x

f 5x2 + 3x , x ≠ 0 b) (f + g)(x) = x2 + 3x + 2, (f × g)(x) = 5x 5 − 12x 4 + 16x 3 + 15x2 , ( )(x) = 3 g x − 3x2 + 5x f x +2 5 , x ≠ 0, − 2 c) (f + g)(x) = x +2 + ,x > −2 (f − g)(x) = −x2 − x + 2 , (f × g)(x) = x3 + 4x2 + 4x, ( )(x) = 2 g x +2 x + 2x 3

5 x+2 5 , x > −2 , (f × g)(x) = , x ≥ −2 (f − g)(x) = x + 2 − , x > −2 , (f × g)(x) = 5 x+2 x+2 3. a) F D G = {(5;3),(2;3),(1;3)} , G D F = {(0;4),(1;4),(5;4)} b) F D G = {(3;4),(1;4)} , G D F = ∅ c) F D G = {(0;3),(1;3)} , G D F = {(3; −1)} d) F D G = {(5;2),(1;7)} , G D F = {(8;4)} 4. M = 27 5. g D f = {(4;9),(5;10),(6;9)} 6. a) (f D g)(x) = 2x − 5 + 1 , x ≥ 5 / 2 , (g D f)(x) = 2x − 3 , x ≥ 3 / 2 b) (f D g)(x) = x , (g D f)(x) = x c) (f D g)(x) =

1 (4x + 2)

, x ≠ −1 / 2 , (g D f)(x) =

4 +2,x ≠ 0 x3

d) (f D g)(x) = −4x + 11 , (g D f)(x) = −4x − 3 e) (f D g)(x) = 2x 4 − 8x 3 + 29x2 − 42x + 58 , 2x + 1 1 x+2 ,x ≠ − , (g D f)(x) = + 3 , x ≠ 1 (g D f)(x) = 4x4 + 20x3 + 45x2 + 50x + 28 f) (f D g)(x) = 5x + 1 5 x −1

x2 + 1

g) (f D g)(x) =

x −1 2

, x ≠ 1, − 1 , (g D f)(x) =

x +1 , x ≠ 1 h) (f D g)(x) = 2x2 + 14 , − 2 ≤ x ≤ 2 , x −1

5 (g D f)(x) = 4x2 + 8x + 10 , − < x ≤ 1 7. g D f = {(0;1),(1; −2)} 8. a) (f D g D h)(x) = x − 1 − 1 , x ≥ 1 2 b) (f D g D h)(x) =

(

x −5

)

+ 1 ,x ≥ 0 , (f D g D h)(x) =

3 3

cuadrática; I depende del precio , de forma cuadrática NIVEL 2

{

}

x −1

, x > 1 9. I depende de x , de forma

{

}

1. a) (f + g)(x) = (0;2),(1;7),(2;2 2 + 3),(4;2) b) (f − g)(x) = (0; −2),(1; −3),(2;2 2 − 3),(4;6)

{

}

c) (f × g)(x) = (0;0),(1;10),(2;6 2),(4; −8) d) f 2 (x) = 4x ;x ≥ 0 e) f 2 − 3g = {(0; −6),(1; −11),(2; −1),(4;22)}

98 | CAPÍTULO 1: Funciones

12 6. a) C(t) = 0,08t2 + 4,2 b) C(2) = 4,52 7 c) t = 5 7. a) C(t) = 0,012t2 + 7 b) t = 10 8. U(t) = 128t2 + 3328t + 4232 9. a) C(t) = 625t2 + 25t + 900 b) C(3) = 6600 c) t = 4 10. a) y = 350 − 5p b) y = 200 11. a) C(p) = 18750p2 − 1520000p + 40150000 379 2 q + 86650q − 3967650000 b) U(p) = −18950p2 + 1620000p − 40150000 c) U(q) = − 800 12. S = 0,45(6202 + 0,29E3,68 )0,53 . Describe la posición social depende de los años de estudio que tiene una 4374 persona. 13. a) Q(t) = b) Q(10) = 13,5 c) t = 0 14. a) q = 5 × 10 4 b) p = 575 2 2 0,04t + 0,2t + 12 2. yz − (x − w) = 6 3. B = [ −2; + ∞[ 4. a = 22 5. a = −

(

)

NIVEL 3

⎧2 x + 3x ; 0≤x<1 ⎪⎪ 1. (f + g)(x) = ⎨2 x + 2x − 1 ; 1 < x < 3 ⎪3x + 1 ; 3≤x≤5 ⎪⎩ ,

⎧−2 x + 3x + 2; 0 ≤ x < 1 ⎪⎪ (f − g)(x) = ⎨−2 x + 2x + 1; 1 < x < 3 ⎪x − 1 ; 3≤x≤5 ⎪⎩

⎧(3x + 1)(2 x − 1); 0 ≤ x < 1 ⎪⎪ (f × g)(x) = ⎨2x(2 x − 1) ; 1<x<3 ⎪2x(x + 1) ; 3≤x≤5 ⎪⎩ ⎧x2 + 3x − 3 ; ⎪⎪ 2. (f + g)(x) = ⎨x 3 + 2x + 1 ; ⎪5x ; ⎪⎩ ⎧(x2 − 2)(3x − 1) , ⎪⎪ (f × g)(x) = ⎨(2x + 1)x 3 , ⎪(2x + 1)(3x − 1), ⎪⎩

x≤0 x ≥ 10 1≤x≤8

⎧ 3x + 1 ⎧1 ⎫ ; x ∈ [ 0;1[ − ⎨ ⎬ ⎪ ⎩4 ⎭ ⎪2 x − 1 ⎪ 2x (f / g)(x) = ⎨ ; 1<x<3 ⎪2 x − 1 ⎪ 2x ; 3≤x≤5 ⎪ ⎩x + 1 ⎧x2 − 3x − 1 ; x≤0 ⎪⎪ 3 (f − g)(x) = ⎨−x + 2x + 1 ; x ≥ 10 ⎪ −x + 2 ; 1≤x≤8 ⎪⎩ ⎧ (x2 − 2) , x≤0 ⎪ ⎪ (3x − 1) ⎪⎪ (2x + 1) (f / g)(x) = ⎨ , x ≥ 10 3 ⎪ x ⎪ (2x + 1) 1≤x≤8 ⎪ (3x − 1) , ⎪⎩

⎧ 2 ⎪9x − 6x − 1 ; x ≤ 1 / 3 ⎪ (g D f)(x) = (f D g)(x) = ⎨2x3 + 1 ; x ≥ 10 ⎪ 2 ⎪6x − 1 ; ≤ x ≤ 8 3 ⎩ 3. La función f se puede expresar como ⎧ 4−x −6 x−3 , 3 ≤ x ≤ 7 / 2 ............f1 ⎪⎪ f(x) = ⎨ 4 − x − 7 x − 3 , 7 / 2 ≤ x < 4 .............f2 ⎪8 , x = 4 .......................f3 ⎪⎩ Para f1 se tiene: f1 (x 1 ) = f2 (x 2 ) ⇒

4 − x1 − 6 x1 − 3 =

4 − x2 − 6 x2 − 3

⎧(x2 − 2)3 ; ⎪ ⎪(2x + 1)3 ; ⎨ ⎪3x2 − 7 ; ⎪ ⎩6x + 2 ;

x ≤ −12 x ≥9/2 − 10 ≤ x ≤ 0 1≤ x ≤7/2

CAPÍTULO 1: Funciones | 99

⇒

4 − x1 − 4 − x 2 = 6

x 2 − x1

4 − x1 + 4 − x 2

(

x1 − 3 − x2 − 3

−6(x2 − x1 ) x1 − 3 + x 2 − 3

)

⇒ x 2 − x1 = 0 ⇒ x 2 = x1 ⇒ f1 es inyectiva Si se hace lo mismo para f 2 y f3 se tiene que estas son inyectivas. Por lo tanto f es inyectiva. ⎧(x − 1)2 ; − 1 ≤ x < 0 ⎪ ⎧−x − 1 ; x ∈ ]−3; −2[ ∪ ]−2; −1[ ; x=0 ⎪4 ⎪ ; x = −2 ⎪ ⎪−2 π π 3 ⎤ ⎤ ⎧ ⎫ 4. (f + g)(x) = ⎨2 + cosx ; x ∈ 0; ∪ ⎨ ⎬ 5. (f + g)(x) = ⎨ ⎥ 2⎥ ; x = −1 ⎪−1 ⎪ ⎦ ⎦ ⎩2⎭ ⎪ ⎪x2 − 4x + 4; x ∈ ]1;2] 3π π ⎩ ⎪1 + cosx ; π / 2 < x < 2 2 ⎩ ⎧x 4 − 2x2 ; − 1 ≤ x ≤ 0 ⎧−2x ; 1 ≤ x < 2 ⎪ ⎪ ⎪ 7. (f D f)(x) = ⎨x2 + 1 ; x < −1 6. (f / g)(x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x ; 3 ≤ x ≤ 4 ⎪x + 4 ; x>0 ⎪⎩ 8. (f −1 D g)(x) = 4, x = 1

10. f(x) = 3x − 1 ; f(x) = −3x + 2

3 ⎞ ⎛ 9. (f D g)(x) = 49 − ⎜ −2 + ⎟ , − 12 / 5 ≤ x ≤ 3 x + 3⎠ ⎝ 1 11. (g D h)(0) = 3

⎧ 4x2 + 2x ; x entero par ⎪ ⎪ 2 12. (g D f)(x) = ⎨ x − 2x ; x entero impar ⎪0 ; x no es entero ⎪ ⎩

Ejercicios propuestos 1.4 NIVEL 1

−1 −1 1. f −1 = {(0;1),(5;2),(6;3),(7;7)} , f D f = {(1;1),(2;2),(3;3),(7;7)} f D f = {(0;0),(5;5),(6;6),(7;7)}

2. a) verdadero b) Falso 3. 6 4. f − 1 (x) = −1 7. f (x) =

x+7 ⎛ 115 ⎞ 935 x ∈ \ 5. x = 2 6. f ‐1 (a − 3b) = f ‐1 ⎜ ⎟= 3 3 ⎝ 17 ⎠

⎧⎪ − x , x > 0 4 1 − 2 8. a) f −1 (x) = ⎨ b) f −1 (x) = , x > 0, x ≠ 1 , 09. ‐‐‐ x 1− 2 log x ⎪⎩ − x , x ≤ 0

1 − 4x −1 ⎛p ⎞ ln ⎜ ⎟ b) t = f −1 (80) = 0,35 c) Cuando el tiempo es de 0,35 11. a) t = 3 0,491 ⎝ 95 ⎠ ⎛ 249 ⎞ −1 segundos la presión de la ahorta es 80. 12. a)10 b) t = 10ln ⎜ ⎟ ≈ 9 13. p = D (9) = 149,36 Si la ⎝ 100 ⎠ cantidad demandada es 9, el precio es 149,36 10. f ‐1 (x) =

100 | CAPÍTULO 1: Funciones NIVEL 2

(

)

(2x −1) + 1− 4x 2x − x 2 + 1 2 −1 −1 ; −∞< x <−6 ; 1 3 − 6 < x < 2 2 + 4 ; f D f (x) = x 2. f (x) = 2 3 2 ⎧⎪ ( x − 2 ) / 2 , x > 4 33 x −1 −1 −1 −1 , x ∈ 1 + 2, ∞ 4. f (x) = ⎨ 3. f (x) = 5. Ranf = [ −1, +∞ ) f (x) = ; 16 2x ⎪1 − − ( x + 1) , x < −5 1. f − 1 (x) =

⎩

⎧1 9 ⎧ 5 15 + x 2 , − 15 ≤ x ≤ 35 ⎪⎪ − −(x −1) , 1 ≤ x ≤ ⎪⎪3 − 2 8. f −1(x) = 2 6. CS = {x / x ∈ −4,1/ 2 ∪[2,8]} 7. f −1(x) = ⎨2 4 ⎨ 1 3 3x + 2 ⎪x + 5 ⎪ , − <x < , 1< x 3 5 ⎩⎪ x −1 ⎩⎪2 − x 7 9. f − 1 (x) = 1 − x − 3 10. f − 1 (x) = 8 − 4 4 − x − x ;x ∈]0;1[ 11. f − 1 (x) = 3 − 2 2 − x ; x < 4 12. f −1 (x) = − x 2 + 25 − 4,x ≥ 0 13. f −1 (x) = x − 8,x ∈ R −{6,10,4} 14. a=–6; g −1 (−1) = −0,5

⎛ n ⎞ ⎛ Q (t) ⎞ −1 15. a) f−1(n) = 3log2 ⎜ ⎟ b) t = 26,897h 16. a) Q (t) = − aln ⎜ 1 − ⎟ b) t = 4,6s Q0 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 17. N(3) = 1,6 ; N(0) = 200 18. a) y = 20,367 b) y = 41,075 19. Costo fijo: CF = C(0) = 30

C(100) = 90,526 NIVEL 3 −1 1. f (x) =

1 180 − x2 ) , x ∈[ 0, +∞) 2. a) Domf = {x / x ∈ \ − {−4, −2}} b) f −1(x) = x − 1 ( 36

⎧4 + x + 9 ,x ∈ −9,0] ⎪⎪ 3. f −1 (x) = ⎨4 − x + 9 ,x ∈ 16,40] 4. a = b = 6 5. f −1 (x) = ⎪ 2 ⎪⎩(7 − x ) / 2,x ∈ 1,3]

6. f −1 (x) = d)

⎧ x ⎪⎪ 1 − x , 0 ≤ x < 1 ⎨ ⎪ x , −1<x<0 2 ⎩⎪ 1 + x

2 A =] − 1;0] A =] − ∞; −1[ A = [0;1[ 3 − x ⎛x −1⎞ x −1 b) c) +⎜ , x ≥ −1 7. a) ⎟ + B = [1; +∞ [ B =] − ∞;0[ B = [1; +∞[ x x ⎝ x ⎠

⎧⎪− −x,x ∈ −∞,0] A =]1; +∞ [ 64 − x2 −1 ,x ∈[0,8] 8. f −1 (x) = ⎨ 9. (f og) = {(1,4);(5,4)} 10.–2 11. f −1(x) = 2 B =] − ∞;0[ 4 ⎩⎪1 / x ,x ∈ 0, +∞

CAPÍTULO 2

LÍMITES Y CONTINUIDAD

CASO DE ESTUDIO: EL OTORONGO Y EL MOTELO En la comunidad Awajum un otorongo se encuentra persiguiendo a un motelo, la velocidad del otorongo es el doble que la velocidad del motelo. Si al iniciar la persecución el motelo está a un km de distancia del otorongo ¿Alcanza el otorongo al motelo? El apu de la comunidad hizo el siguiente razonamiento: “El otorongo el asesino del monte, nunca alcanzará al motelo, porque cuando el otorongo recorra un km, el motelo estará en otro lugar y cuando el otorongo llegue a ese lugar, el motelo se habrá adelantado algo más, y así sucesivamente. Luego por mucho que se acerque al motelo nunca lo alcanzará” Como el otorongo lleva una velocidad que es doble de la velocidad del motelo, cuando el otorongo recorre en la primera etapa el primer kilometro, el motelo recorre 0,5 km, y mientras el otorongo recorre en la segunda etapa 0,5 Km el motelo recorre 0,25 km, y así sucesivamente En la tabla siguiente se encuentra las distancias en kilómetros desde el punto de partida del otorongo hasta cada uno de ellos en las distintas etapas: Partida Etapa 1 Etapa 2 …..

otorongo 0 1 1+0,5 …

motelo 1 1+0,5 1+0,5+0,25 …

OBSERVA Y CALCULA a. ¿Qué distancia han recorrido el otorongo y el motelo en la tercera, cuarta y quinta etapa? b. ¿A qué distancia del motelo se encuentra el otorongo en la sexta etapa? c. ¿Es cierta la conclusión a la que llego el apu? d. Si la conclusión del apu es falsa. ¿a qué distancia del punto de partida del otorongo, éste alcanza al motelo? e. Si la velocidad del otorongo es 15 veces mayor que la velocidad del motelo, ¿a qué distancia del punto de partida del otorongo, esté alcanza el motelo?

102|CAPITULO 2: Límites y Continuidad En la larga evolución del concepto de límite de una función se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales. Inicialmente el concepto de límite aparece como proceso implícito en algunos métodos como el método de exhaución que se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes, el método de los infinitésimos de Kepler (1571‐1630) era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas, el método de los indivisibles de Cavalieri (1598‐1647) era utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos, el método de Fermat para buscar extremos de curvas fue aplicado a las “parábolas e hipérbolas de Fermat”, el método de las tangentes de Fermat y de Descartes y el método de Barrow (1630‐1677). Todos estos métodos fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecánica, de la astronomía y de la física. El álgebra aportó las herramientas necesarias para que algunos de estos métodos se desarrollaran, destacando el método de las coordenadas, que facilitó el estudio de las curvas. Sin embargo, estos métodos funcionaban de forma separada y no se tenía conciencia de su generalidad; faltaba algo que les armonizara y además les diera ese carácter de universalidad, Faltaba el concepto de límite. Aparecen los creadores del análisis: Newton y Leibniz Newton (1648‐1727) es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico‐mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal. Leibniz (1646‐1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Euler (1707‐1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibniz y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. D'Alembert (1717‐1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie, D´Alembert escribe la siguiente definición de límite: Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable. Cauchy (1789‐1857). Retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de LaGrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún impreciso. La definición de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente: …, cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás. Cauchy basa todo el análisis en el concepto de límite. Bolzano (1781‐1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite. Weierstrass (1815‐1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una definición de límite. Esta definición, que aparece en la obra de su discípulo Heine Elemente, es la siguiente: "Si, dado cualquier ε, existe un n0 , tal que para 0 < n < n0 , la diferencia f(x0 ± n) – L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=xo".

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 103

La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras como la de continuidad, derivada e integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma. (Tomado de: http://www.edutecne.utn.edu.ar/calculo‐numerico/ferrante.htm) A continuación se dará la definición de límite de una función que actualmente se trabaja en el análisis matemático.

2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Definición

El conjunto V(a, δ) = {x ∈ A / x − a < δ} es llamado vecindad con centro en a y radio δ . GEOMÉTRICAMENTE

a−δ

a+δ

Definición Intuitiva Sea f: R → R una función y a un punto que no necesariamente pertenece al dominio de la función pero que toda vecindad de a contiene puntos del dominio de f; se dice que el límite de f(x) es L, cuando x tiende hacia a, y se escribe lim f(x) = L , cuando x →a

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 / ∀x ∈ D f , 0 < x − a < δ ⇒ f(x) − L < ε GEOMÉTRICAMENTE

L+ε

f(x)

L−ε

0 a−δ Propiedades y teoremas de los límites 1. 2.

El límite de una función, si existe, es único. Si f y g son funciones tales que: a) f(x) ≤ g(x) , ∀ x ∈ V δ (a) , x ≠ a b) lim f(x) = L y lim g(x) = M ⇒ L ≤ M x →a

x →a

Teorema del Sándwich Sean f, g y h funciones tales que a) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , ∀ x ∈ V δ (a) con x ≠ a.

a a+δ

104|CAPITULO 2: Límites y Continuidad b) lim f(x) = lim h(x) = L x →a

x →a

Entonces lim g(x) = L 4.

x →a Sean f y g funciones tales que:

lim f(x) = L y lim g(x) = M

x →a

a) lim C = C ; C es una constante x →a

b) lim [cf(x)] = c lim [ f(x)] = cL x →a

x →a

c) lim [ f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L ± M x →a

x →a

d) lim [ f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) = L. M x →a

x →a

f(x) L ⎡ f(x) ⎤ xlim e) lim ⎢ = →a = ; M ≠ 0 ⎥ x →a ⎣ g(x) ⎦ lim g(x) M x →a

Sean f y g dos funciones tales que: a) lim f(x) = 0 x →a

b) ∃M > 0 tal que g(x) < M , ∀ x ∈ V δ (a) con x ≠ a.

Entonces lim [ f(x).g(x)] = 0 x →a

Si lim f(x) = L , entonces lim n f(x) = x →a

x →a

lim f(x) = n L ; L ≥ 0 si n ∈ z+ ó L < 0 si n es cualquier

x →a

entero positivo impar.

Ejercicios resueltos

⎧ x2 − 4 ; x≠2 ⎪ ⎪⎪ x − 2 Calcule lim f(x) si f(x) = ⎨ x →2 ⎪5 ; x=2 ⎪ ⎩⎪

Solución x2 − 4 = lim(x + 2) = 2 + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2

lim f(x) = lim

x →2

⎛ 3x2 − 17x + 20 ⎞ Calcule lim ⎜⎜ 2 ⎟ x →4 4x − 25x + 36 ⎟ ⎝ ⎠

Solución Factorice en el numerador y denominador por el método del aspa simple. ⎛ 3x2 − 17x + 20 ⎞ (3x − 5)(x − 4) 3(4) − 5 3x − 5 = lim = = 1 lim ⎜⎜ 2 ⎟ = lim x → 4 (4x − 9)(x − 4) x → 4 4x − 9 x →4 4x − 25x + 36 ⎟ 4(4) −9 ⎝ ⎠ Por lo tanto: ⎛ 3x2 − 17x + 20 ⎞ lim ⎜⎜ 2 ⎟ = 1 x →4 4x − 25x + 36 ⎟ ⎝ ⎠

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 105

⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ Calcule lim ⎜⎜ ⎟⎟ 2 x →−2 ⎝ 3x + 3x − 6 ⎠ Solución Al factorizar el numerador se tiene:

x3 – 2x2 – 4x + 8 = x2(x –2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x2 – 4) = (x – 2)2(x + 2)

Al factorizar el denominador por aspa simple se tiene:

3x2 + 3x –6 = 3(x –2)(x + 1)

Luego reemplazar en el límite y se tiene:

⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ (x − 2) 2 (x + 2) (x − 2) 2 16 lim lim = = = − lim ⎜⎜ ⎟⎟ 2 →− →− x 2 x 2 x →−2 − + − 3(x 1)(x 2) 3(x 1) 9 ⎝ 3x + 3x − 6 ⎠

Por lo tanto, ⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ 16 lim ⎜⎜ ⎟⎟ = − 2 x →−2 9 ⎝ 3x + 3x − 6 ⎠

⎛ x5 − 1 ⎞ Calcule lim ⎜⎜ 6 ⎟ x →1 x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

Solución Al aplicar cocientes notables en el numerador y denominador:

lim

x5 − 1

x →1 x 6

−1

= lim

x → 1 (x

(x − 1)(x 4 + x 3 + x2 + x + 1) − 1)(x + x + x + x + x + 1) 5

= lim

x→ 1 x5

x 4 + x3 + x2 + x + 1 +x +x +x +x +1 4

Por lo tanto, lim

x5 − 1

x →1 x 6

−1

⎛ x2 − (a − 1)x − a ⎞ Calcule lim ⎜⎜ 2 ⎟ x → a x − (a − 2)x − 2a ⎟ ⎝ ⎠

5 6

Solución Factorice por aspa simple tanto en el numerador como en el denominar: x2 − (a − 1)x x2 − (a − 2)x − 2a −a −a x −a x

x +1 x2 − (a − 1)x − a (x + 1)(x − a) = lim = lim x→a x + 2 x → a (x + 2)(x − a) x → a x 2 − (a − 2)x − 2a lim

Por lo tanto, ⎛ x2 − (a − 1)x − a ⎞ a + 1 lim ⎜⎜ 2 ⎟ = x → a x − (a − 2)x − 2a ⎟ ⎝ ⎠ a+2

5 6

106|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 6.

2 ⎛ 2 ⎞ Calcule lim ⎜ − 2 ⎟ x →2 ⎝ 3x − 6 2x 5x 2 − + ⎠

Solución Factorice el denominador de la segunda fracción algebraica y se tiene: 2 ⎡ 2 ⎤ 2 ⎛ 2 ⎞ lim ⎜ − 2 ⎟ = xlim ⎢ 3(x − 2) − (2x − 1)(x − 2) ⎥ → 2 x →2 ⎝ 3x − 6 2x − 5x + 2 ⎠ ⎣ ⎦ 2 Factorice en el segundo miembro de la igualdad x −2 ⎛ 2 ⎡1 1 ⎤⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ − lim ⎜ − 2 ⎜ ⎟ ⎟ = xlim ⎢ → 2 x →2 ⎝ 3x − 6 − − 1 ⎥⎦ ⎠ (x 2) 3 2x 2x − 5x + 2 ⎠ ⎣ ⎝ Saque mínimo común múltiplo a los denominadores ⎛ 2 ⎡ 2x − 1 − 3 ⎤ ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ = lim ⎜ lim ⎜ − 2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎟ x →2 ⎝ (x − 2) ⎣ 3(2x − 1) ⎦ ⎠ x →2 ⎝ 3x − 6 2x − 5x + 2 ⎠ ⎛ 2 ⎡ 2(x − 2) ⎤ ⎞ = lim ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ x →2 ⎝ (x − 2) ⎣ 3(2x − 1) ⎦ ⎠ 4 ⎡ ⎤ = lim ⎢ ⎥ x →2 ⎣ 3(2x − 1) ⎦ Finalmente aplique el límite y se obtendrá: 2 ⎛ 2 ⎞ 4 lim ⎜ − 2 ⎟ = x →2 ⎝ 3x − 6 2x − 5x + 2 ⎠ 9 ⎛ x+3 ⎞ 7. Calcule: lim ⎜ ⎟⎟ 2 x →−3 ⎜ ⎝ x +7 −4⎠ Solución Racionalice el denominador y se tiene

⎛ x+3 ⎞ (x + 3)( x2 + 7 + 4) (x + 3))( x 2 + 7 + 4) lim ⎜ = lim = lim ⎟ ⎟ 2 x →−3 ⎜ x2 + 7 − 16 ⎝ x + 7 − 4 ⎠ x →−3 ( x 2 + 7 − 4)( x 2 + 7 + 4) x →−3 Aplicar diferencia de cuadrados en el denominador, simplificar y aplicar límite ⎛ x+3 ⎞ (x + 3)( x2 + 7 + 4) x2 + 7 + 4 4 lim ⎜ = lim = lim = − ⎟ ⎜ ⎟ 2 x →−3 x →−3 3 (x + 3)(x − 3) x−3 ⎝ x + 7 − 4 ⎠ x →−3 Por lo tanto, ⎛ x+3 ⎞ 4 lim ⎜ ⎟⎟ = − 2 x →−3 ⎜ 3 ⎝ x +7 −4⎠

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 107

⎛ x −8⎞ Calcule lim ⎜⎜ 3 ⎟⎟ x→64 ⎝ x − 4 ⎠ Solución

6 3 2 Hacer el siguiente cambio de variable y = x entonces y = x ∧ y = 3 x . Además, si x → 64 entonces y → 2. Luego, reemplace en el límite la nueva variable y se tiene: ⎛ x −8⎞ ⎛ y 3 −8 ⎞ lim ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x →64 ⎝ x − 4 ⎠ y →2 ⎝ y −4 ⎠ Aplique productos notables y se obtiene 2 ⎛ x −8⎞ ⎛ y 2 +2y + 4 ⎞ (y − 2)(y +2y + 4) lim ⎜⎜ 3 = lim ⎜⎜ ⎟⎟ = lim ⎟⎟ =3 x →64 y →2 ⎝ x − 4 ⎠ y→2 (y + 2)(y − 2) ⎝ y+2 ⎠ Por lo tanto, el límite original es ⎛ x −8⎞ lim ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = 3 x →64 ⎝ x −4⎠ Nota: Otra forma de solucionar el mismo límite es racionalizando tanto numerador como denominador, es decir: 3 ⎛ 3 x 2 + 4 3 x + 16 ⎞ ⎛ x −8⎞ (x − 64)( x 2 + 4 3 x + 16) ⎟ = 3 lim ⎜⎜ 3 = lim ⎜ ⎟⎟ = lim x →64 x →64 ⎜ ⎟ x →64 x 4 − x 8 (x − 64)( x + 8) + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛nx −na⎞ 9. Calcule lim ⎜ ⎟ x →a ⎜⎝ x − a ⎟⎠ Solución Multiplique, tanto al numerador como al denominador, por el factor racionalizante del numerador ⎛nx −na⎞ (n x − n a)(n x n−1 + n x n−2 a + n x n−3 a 2 + + n xa n−1 − n a n−1 ) lim ⎜⎜ ⎟⎟ = lim n n n n n x →a ⎝ x − a ⎠ x →a (x − a)( x n−1 + x n−2 a + x n−3 a 2 + + xa n−1 − a n−1 ) (x − a) = lim n n−1 n n −2 n n−3 2 x →a (x − a)( x + x a + x a + + n xa n−1 − n a n−1 ) 1 1 = lim = n n−1 n n−2 n n− 3 2 n n n−1 n−1 x →a n n−1 + x a + x a + + xa − a n a x "n" terminos

Por lo tanto, racionalice el denominador y se tiene

⎛nx −na⎞ na ; a > 0 lim ⎜⎜ ⎟⎟ = x →a ⎝ x − a ⎠ na

⎛ ⎞ x −1 10. Calcule lim ⎜⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ 2x + 3 − 5 ⎠

108|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Solución Racionalizar el numerador y denominador y se tiene ⎛ ⎞ x −1 ( x + 1)( x − 1)( 2x + 3 + 5) lim ⎜⎜ ⎟⎟ = lim x →1 x → 1 ( x + 1)( 2x + 3 − 5)( 2x + 3 + 5) ⎝ 2x + 3 − 5 ⎠

= lim

x →1

(x − 1)( 2x + 3 + 5) ( x + 1)(2x − 2)

( 2x + 3 + 5) 2( x + 1)

2 5 2.2

Por lo tanto,

⎛ ⎞ x −1 5 lim ⎜ ⎟⎟ = 2 ⎝ 2x + 3 − 5 ⎠

x →1 ⎜

⎛ ⎞ x3 − 1 ⎜ ⎟ 11. Calcule lim x →1 ⎜ x − 1 + x − 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ Solución Al usar las propiedades de valor absoluto se tiene ⎛ ⎞ x − 1 x2 + x + 1 x2 + x + 1 x3 − 1 x − 1 x2 + x + 1 ⎜ ⎟ lim = lim = lim = lim x →1 x − 1 (1 + x − 1 ) x →1 (1 + x − 1 ) x →1 ⎜ x − 1 + x − 1 2 ⎟ x →1 x − 1 + x − 1 2 ⎝ ⎠ Se aplica el límite y se tiene ⎛ ⎞ x3 − 1 ⎜ ⎟ = 3 lim x →1 ⎜ x − 1 + x − 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ f(x) ⎛ f(x + 2) ⎞ ⎛ g(x + 2) ⎞ 12. Si lim ⎜ ⎜ ⎟ = 3 . Calcule xlim ⎟ = 8 y xlim x →−2 ⎝ −2x − 2 ⎠ →−2 ⎝ x 2 − 4 ⎠ → 0 g(x) Solución Al racionalizar el denominador del primer límite se tiene ⎡ f(x + 2)( −2x + 2) ⎤ f(x + 2)( −2x + 2) −1 ⎛ f(x + 2) ⎞ lim ⎜ = (1) = lim lim ⎢ ⎥ = 8 ⎟ x →−2 ⎝ −2x − 2 ⎠ x →−2 −2x − 4 2 x →−2 ⎣ (x + 2) ⎦ Al aplicar diferencia de cuadrados en el denominador del segundo límite se obtiene g(x + 2) ⎛ g(x + 2) ⎞ lim ⎜ 2 = lim = 3 (2) ⎟ x →−2 ⎝ x − 4 ⎠ x →−2 (x − 2)(x + 2) De (1) y (2)

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 109

⎡ f(x + 2)( −2x + 2) ⎤ −1 lim ⎢ ⎥ 2 x →−2 ⎣ (x + 2) ⎦ lim

⎡

x →−2 ⎢ ⎣ (x

g(x + 2) ⎤ − 2)(x + 2) ⎥⎦

⎡ f(x + 2)( −2x + 2) ⎤ ⎢ ⎥ 1 (x + 2) ⎥ = − lim ⎢ g(x + 2) ⎥ 2 x →−2 ⎢ ⎢ (x − 2)(x + 2) ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ f(x + 2)( −2x + 2)(x − 2) ⎤ 8 1 lim ⎢ ⎥ = 2 x →−2 ⎣ g(x + 2) ⎦ 3

=−

= −

1 8 ⎡ f(x + 2) ⎤ lim lim ⎡( −2x + 2)(x − 2)⎤⎦ = 2 x →−2 ⎢⎣ g(x + 2) ⎥⎦ x →−2 ⎣ 3

Aplica el límite y se tiene ⎡ f(x + 2) ⎤ ⎛ 4 × 4 ⎞ 8 lim ⎢ ⎜ ⎟= + 2) ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ 3 Hacer el cambio de variable: y = x + 2; x → −2 ⇒ y → 0 x →−2 ⎣ g(x

f(y) 1 = lim y → 0 g(y) 3 Por lo tanto, al cambiar y por x se tiene: f(x) 1 = x → 0 g(x) 3 (f g)(x + 1) 13. Si f(x) = x − 2 y g(x + 1) = x 2 − x . Calcule lim x →2 (g f)(x + 2) Solución Al aplicar la definición de función compuesta se tiene (f g)(x + 1) f(g(x + 1)) = lim lim x →2 (g f)(x + 2) x →2 g(f(x + 2)) Al aplicar la definición de cada función se tiene f(x2 − x) f(x2 − x) (f g)(x + 1) f(g(x + 1)) = lim = lim = lim lim x →2 x →2 g((x − 1) + 1) x →2 (g f)(x + 2) x →2 g(f(x + 2)) g(x) lim

Por lo tanto,

x2 − x − 2 (x − 2)(x + 1) ⎛x + 1⎞ = lim = lim ⎜ ⎟ = 3 x →2 (x − 1)2 − (x − 1) x →2 (x − 2)(x − 1) x →2 ⎝ x − 1 ⎠

= lim

(f g)(x + 1) = 3 lim x →2 (g f)(x + 2)

110|CAPITULO 2: Límites y Continuidad

Ejercicios propuestos 2.1.

Nivel 1 1.

Calcule lim ⎡⎣ 5x 2 ( 3x + 1 ) ⎤⎦ x →1/3

Calcule lim ⎡⎣ 3 x + 4 ⎤⎦ x →4 ⎡ x2 − 16 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →4 ⎣ x − 4 ⎦ ⎡ x 4 − 81 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →3 ⎣ x − 3 ⎦ ⎡ x2 + 4x + 3 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →−3 ⎣ x + 3 ⎦

3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

⎡ x−4 ⎤ Calcule lim ⎢ 2 x →4 ⎣ x − x − 12 ⎥ ⎦ ⎡ x2 + 5x + 6 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →−2 ⎣ x + 2 ⎦ ⎡ y2 + 4y + 3 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ y →−3 y2 − 3 ⎦ ⎣ ⎡ 5x 3 + 8x2 ⎤ Calcule lim ⎢ 4 2⎥ x →0 ⎣ 3x − 16x ⎦

10. Ingreso. El ingreso total para un producto está dado por R(x) = 1 600x – x2 donde x es el número de unidades vendidas. ¿Cuál es lim R(x) ? x → 100

11. Ganancia. Si la función ganancia para un producto es P(x) = 92x – x2 – 1 760, encuentre lim P(x) x → 40

12. Ventas y capacitación. El volumen de ventas mensuales promedio (en miles de dólares) de una empresa depende del número de horas x de capacitación de su personal de ventas, de acuerdo 4 x con S(x) = + 30 + , 4 ≤ x ≤ 100 . Encuentre lim S(x) x→ 8 x 4

13. Publicidad y ventas. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar 2 400 una campaña publicitaria son S(t) = 400 + encuentre S(0), lim S(t) y lim S(t) t→ 7 t→ 14 t+1

14. promedio. Si c es el costo total en dólares para producir q unidades de un producto, entonces el

costo promedio por unidad para una producción de q unidades está dado por c = ecuación de costos totales es c =

c . Así, si la q

5000 + 6 . ¿Cuál es el valor del costo promedio cuando la q

producción se acerca a 10 unidades?

15. La función utilidad. La función de utilidad para un cierto negocio está dado por 2

P(x) = 224x − 3,1x − 800; donde x es la cantidad producida. Calcule el valor de la utilidad cuando la producción se acerca a 10.

Nivel 2 1. 3. 5.

⎡ 5x 3 + 8x2 ⎤ Calcule lim ⎢ 4 2⎥ x →0 ⎣ 3x − 16x ⎦ ⎡ x 3 + x2 − 5x + 3 ⎤ Calcule lim ⎢ 3 ⎥ 2 x →1 ⎣ x + 2x − 7x + 4 ⎦ ⎡ x − 10 x + 21 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ 3− x x →9 ⎣ ⎦

2. 4.

⎡ x 4 + x 3 − 24 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ 2 x →2 ⎣ 3x − 4 ⎦ ⎡ x − 2 − 2⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →6 ⎣ x − 6 ⎦ ⎡ 4 + x − 2⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 x ⎣ ⎦

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 111

7. 9.

⎡1 − Calcule lim ⎢ x →0 ⎢ ⎣ ⎡x − Calcule lim ⎢ x → 16 ⎣ 4

1 − x2 ⎤ ⎥ x ⎥⎦ x − 12 ⎤ ⎥ − x ⎦

⎡3 x − 1⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →1 x − 1 ⎣ ⎦ ⎡ x 4 + x 3 − 24 ⎤ 10. Calcule lim ⎢ ⎥ 2 x→ 2 ⎣ x −4 ⎦ 3 ⎤ ⎡ 1 − 12. Calcule lim ⎢ x →1 ⎣ 1 − x 1 − x 3 ⎥⎦

⎡ x 3 − 3x + 2 ⎤ ⎥ 4 x →1 ⎣ x − 4x + 3 ⎦ ⎡ 3 x − 1⎤ 13. Calcule lim ⎢ 4 ⎥ x →1 ⎣ x − 1 ⎦ ⎡ 2x + 1 − 3 ⎤ 15. Calcule lim ⎢ ⎥ x →4 ⎣ x − 2 − 2 ⎦

11. Calcule lim ⎢

⎡ 3 1 + x − 1⎤ 14. Calcule lim ⎢ ⎥ x x →0 ⎣ ⎦ ⎡ 3 x2 − 4 3 x + 4 ⎤ ⎥ 16. Calcule lim ⎢ x →8 ⎢ (x − 8)2 ⎥⎦ ⎣

17. Una piscina se queda vacía según la función v(t ) = 2 −2

t −3

t − 49

, donde v es el volumen expresado

en m3 y t el tiempo en minutos. ¿A qué valor se aproxima el volumen cuando el tiempo se aproxima a 7 minutos?

Nivel 3

⎡ x − 3x − 2 − 3 x + 2 ⎤ 1. Calcule lim ⎢ ⎥ x →6 x − x + 3 − 3 4x + 3 ⎣ ⎦ 3.

⎡ ⎤ 6 − 9x Calcule lim ⎢ 3 ⎥ 3 x →4 ⎣ 2x + x − 3 − 3 ⎦

⎡ 35 x + 1 − 2 x + 1 − 1 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x x →0 ⎣ ⎦

⎡

⎡1 − 4 x ⎤

Calcule lim ⎢ 8 ⎥ x →1 ⎣ 1 − x ⎦

⎡ 3 x 3 − 8 + 5 32 − x10 Calcule lim ⎢ 4 4 3 x →0 ⎢ ⎣ x + 4 − x + 16 ⎡ 3x ⎤ −2 − 3x⎥ ⎢ ⎥ Calcule lim ⎢ 4 x →8 ⎢ ⎥ x ⎢ 2− 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎤ ⎥ ⎥⎦

3 − 9x +1 − 2 ⎤

Calcule l i m ⎢ ⎥ 3 x →− 3 ⎢⎣ 2− x +11 ⎥⎦ x 3 − 2a2 x + ax 2

y lim f(x) = 2a − 5 . Halle el valor de a sabiendo que a>0 x →1 2ax + x 2 2 x − mx + 3x − 3m 9. Si f(x) = , halle los valores de m, talque lim f(x) = m2 − 17 x →m x −m f(x) g(x) f(x) 10. Si se sabe qué lim = 4 y lim = −6 , calcule lim x →1 1 − x 3 x →1 1 − x 2 x →1 g(x) g(x + 2) f(x + 2) f(x) 11. Si lim = 3 . Calcule lim = 8 y lim 2 x →−2 x − 4 x →−2 −2x − 2 x → 0 g(x) 8.

Si f(x) =

x2 − 1

12. Si lim

x →1 ax

13. Si lim

a→b

+ 2x + b f(a + x)

= L ≠ 0 . Calcule el valor de a+b

a+x − b+x k

= 12 b + x y lim 3 a→b

x +1 −1 x −1 = L ≠ 0 , halle lim 14. Si lim k x →1 x − 1 x →1 x + 1 − 1

g(a + x) b+x − a+x 3

= 9 3 (b + x)2 . Halle lim

f(a + b + x) + b + x)

a→0 g(a

112|CAPITULO 2: Límites y Continuidad

2.2. LIMITES LATERALES, LÍMITES AL INFINITO E INFINITOS A) Limites laterales Definiremos simbólicamente los límites laterales de una función real. a) Limite lateral por la derecha L ∈ es el límite de la función f por la derecha de a si, dado ε >0 , ∃ δ >0 tal que si x ∈ ( Df ∩ ]a; ∞[ ) ∧ 0 < x − a < δ ⇒ f(x) − L < ε Notación lim f(x) = L x→a +

Limite lateral por la Izquierda

es el límite de la función f por la izquierda de a si, dado ε >0 , ∃ δ >0 tal que si x ∈ ( Df ∩ ]−∞ ;a[ ) ∧ 0 < x − a < δ ⇒ f(x) − L < ε Notación lim f(x) = L L∈

x→a −

Teorema El límite de una función en un punto existe sí y sólo sí los limites laterales existen y son iguales en ese punto. Es decir: lim f(x) = L ⇔ lim f(x) = lim f(x) x→a

x→a +

x→a −

B) Límites al infinitos

Definición 1 Escribimos lim f(x) = L y diremos que L ∈ x →+∞

es el límite de f(x) cuando x tiende al +∞ .

O cuando x crece infinitamente si para cada ε > 0 existe un número N > 0 tal que si x ∈ D f ∧ x > N , entonces f(x) − L < ε

Definición 2 Escribimos lim f(x) = L y decimos que L ∈ x →−∞

es el límite de f(x) cuando x tiende al −∞ .

O cuando x decrece infinitamente si para cada ε > 0 existe un número N > 0 tal que si x ∈ D f ∧ x < −N , entonces f(x) − L < ε

Definición 3 Escribimos lim f(x) = L y decimos que L ∈ x →∞

es el límite de f(x) cuando x tiende al ∞ (sin signo), si

para cada ε > 0 existe un número M > 0 tal que si x ∈ D f ∧ x > M , entonces f(x) − L < ε

Teorema Sea "n" un número entero positivo cualquiera, entonces se cumple: 1 1 1. lim n = 0 2. lim n = 0 x →+∞ x x →−∞ x

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 113

Teorema Sean las funciones f y g definidas: f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 ; n ∈

g(x) = bmx + bm−1x Entonces, m

m−1

+ … + b1x + b0 ; m ∈

⎧ an ;n = m ⎪b m ⎛ f(x) ⎞ ⎪⎪ L = lim ⎜ ⎟ = ⎨0 ; n < m x →∞ ⎝ g(x) ⎠ ⎪∞ ; n > m ⎪ ⎪⎩

Ejemplo Sea la función: f(x) = 4 +

1 , calcule lim f(x) . x →∞ x−4

Solución 1 ⎤ ⎡ ⎡ 1 ⎤ = 4 + lim ⎢ =4+0=4 lim f(x) = lim ⎢ 4 + x →∞ ⎣ x →∞ ⎣ x − 4 ⎥ x − 4 ⎥⎦ ⎦

x →∞

C) Límites infinitos Definición 1 Diremos que lim f(x) = +∞ si y sólo si dado un número N > 0 existe δ > 0 tal que: x →c

0 < x − c < δ , entonces f(x) > N Es decir: lim f(x) = +∞ ⇔ ∀N > 0, ∃δ > 0 / si 0 < x − c < δ ⇒ f(x) > N

x →c

Definición 2 Diremos que lim f(x) = −∞ si y sólo si dado un número N < 0 existe δ > 0 tal que: x →c

si x ∈ Df ∧ 0 < x − c < δ , entonces f(x) < N Es decir: lim f(x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 / si x ∈ Df ∧ 0 < x − c < δ ⇒ f(x) < N

x →c

TEOREMA Sea n un número entero positivo cualquiera 1 1. lim n = +∞ + x →0 x si n es par 1 ⎧+∞ 2. lim n = ⎨ − x →0 x ⎩ −∞ si n es impar

3. si lim f(x) = L ≠ 0 x →a

lim g(x) = 0 , entonces:

x →a

114|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎧L = +∞ si L > 0 f(x) ⎪⎪ 0 + a) Si g(x) > 0 , ∀x ≠ a entonces lim =⎨ x →a g(x) ⎪ L = −∞ si L < 0 ⎪⎩ 0 + ⎧L = −∞ si L > 0 f(x) ⎪⎪ 0− b) Si g(x) < 0 , ∀x ≠ a entonces lim =⎨ x →a g(x) ⎪ L = +∞ si L < 0 ⎩⎪ 0 −

Ejemplo ⎡ 1 ⎤ Calcule lim ⎢ x →4 ⎣ x − 4 ⎥ ⎦ Solución Calcule los límites laterales. 1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ a) lim ⎢ ⎥ = lim+ ⎢ x − 4 ⎥ = 0 + = +∞ + x 4 − ⎦ x →4 ⎣ ⎦ x →4 ⎣ x >4

1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ lim ⎢ ⎥ = lim− ⎢ x − 4 ⎥ = 0− = −∞ − − x 4 ⎦ x →4 ⎣ ⎦ x →4 ⎣ x <4

Por lo tanto, el límite en x=4 no existe.

Ejercicios resueltos A) Límites laterales 1. Sean las siguientes gráficas a) b) Y

2 1

–3 –2 –1 0

2 1

–2

–2 Calcule los siguientes límites. a) (1) lim f(x) (2) lim f(x)

(3) lim f(x)

b) (1) lim f(x)

(3) lim f(x)

x →2−

x →2+

(2) lim f(x)

x →−3−

x →−3+

1 2

–1

x →2

x →−3

Dar el valor de verdad de los siguientes límites. c) 1. lim f(x) = 1 2. lim f(x) = 1 3. lim f(x) existe

4. lim f(x) = 1

5. lim f(x) = 0

7. lim f(x) = 0

8. lim f(x) = lim f(x)

9. lim f(x) = 0

10. lim f(x) = 2

11. lim f(x) = 2

12. lim f(x) = 1

x →−2+ x →1

x →0

x →0 −

lim f(x) = 0

x →0 −

x → 2−

x →0

x →0+

x →−2+

x →0

x →0 − x →1

x →0 +

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 115

Solución a) (1) lim f(x) = −2 , x →2−

x →−3−

lim f(x) = 1

(2) lim f(x) = 2

(3) lim f(x) ∃

x→ 2

x →−3+

x → −3

2. lim f(x) = 1

x →−2+

3. lim f(x) existe

x →0 −

Falso 5. lim f(x) = 0

x →0

Falso 9. lim f(x) = 0 x →0

Falso 7. lim f(x) = 0 6. lim f(x) = 0

x → 2−

x →0 −

x →−2+

Falso

x →0 +

x →1

Verdadero

⎧x2 + 1 ; si x < 1 ⎪ Calcule, si existen, lim f(x) y lim f(x) , donde: f(x) = ⎨x + 1 ; si 1 < x < 4 x→1 x→ 4 ⎪4 − x ; Si x > 4 ⎩

lim f(x) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2

x →1+ x >1

x →1+

Límite por la izquierda:

lim f(x) = lim (x2 + 1) = 12 + 1 = 2

x → 1− x< 1

x → 1−

Por lo tanto,

lim f(x) = 2

x →1

Analice el límite en x=4. Límite por la derecha:

lim f(x) = lim (4 − x) = 4 − 4 = 0

x → 4+ x >4

x → 4+

•

Falso 8. lim f(x) = lim f(x)

x →0+

Solución a) Analice el límite en x=1. • Límite por la derecha:

b) •

x →0

Verdadero Verdadero Verdadero 12. lim f(x) = 1 10. lim f(x) = 2 11. lim f(x) = 2

Verdadero

•

4. lim f(x) = 1

Verdadero

x →0−

x →1

(3) lim f(x) ∃

x →2+

(1) lim f(x) = 1 ,

(2) lim f(x) = 2

Límite por la izquierda:

lim f(x) = lim (x + 1) = 4 + 1 = 5

x → 4− x <4

x → 4−

Por lo tanto, lim f(x) ∃

x→4

Falso

116|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎧ x 3 − 2x2 − 5x + 6 ⎪ x−3 ⎪⎪ 3. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = ⎨ x + 1 − 2 x→3 ⎪ ⎪ x−3 ⎪⎩ Solución Analice los límites laterales para calcular el valor de lim f(x) .

si x < 3 si x ≥ 3

x→3

• Límite por la izquierda

⎛ x 3 − 2x2 − 5x + 6 ⎞ lim f(x) = lim ⎜ ⎟⎟ ⎜ x−3 x → 3− x → 3− ⎝ ⎠ x <3 Factorice el numerador por Ruffini y obtendrá ⎡ (x − 1)(x + 2) (x − 3) ⎤ lim f(x) = lim ⎢ ⎥ = lim− [(x − 1)(x + 2)] =10 − − x−3 x →3 x→3 ⎢ ⎥⎦ x → 3 ⎣ x <3 • Límite por la derecha

⎡ x + 1 − 2⎤ lim f(x) = lim ⎢ ⎥ + + x−3 ⎦ x →3 x →3 ⎣ x >3

Racionalice el numerador y obtendrá ⎡ ( x + 1 − 2) ( x + 1 + 2) ⎤ ⎡ ⎤ x +1−4 lim f(x) = lim ⎢ = lim ⎢ × ⎥ ⎥ x−3 ( x + 1 + 2) ⎦ x →3− ⎣ (x − 3)( x + 1 + 2) ⎦ x → 3− x → 3− ⎣ x <3

⎡ ⎤ 1 x−3 ⎡ ⎤ 1 = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ ⎥=4 − − x 1 2 + + (x − 3) ( x 1 2) + + → x 3 x→3 ⎢ ⎣ ⎦ ⎥ ⎣ ⎦

Por lo tanto, lim f(x) ∃

x→3

Calcule lim x →1

x 3 − x 2 + 3x − 3 x −1

Solución Factorizar el numerador y aplicar propiedades del valor absoluto.

x − 1 x2 + 3 x 3 − x2 + 3x − 3 lim = lim = lim x2 + 3 = 4 x −1 x −1 x →1 x →1 x →1

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 117

⎛ x 3 − 2x 2 − 4x + 8 ⎞ Calcule lim ⎜ ⎟⎟ ⎜ x−2 x →2 ⎝ ⎠ Solución Analice los límites lateras en x=2 • Límite lateral por la derecha ⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ ⎛ x 3 − 2x 2 − 4x + 8 ⎞ (x − 2) (x2 − 4) lim lim = = = 0 lim ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ x −2 x −2 x −2 x →2 ⎝ ⎠ x →2+ ⎠ x →2+ ⎝

x >2

• Límite lateral por la izquierda ⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ ⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ (x − 2) (x2 − 4) lim ⎜⎜ = 0 ⎟⎟ = lim ⎜⎜ ⎟⎟ = lim x −2 2−x ⎠ x →2− −( x − 2 ) ⎠ x →2− ⎝ x →2− ⎝ x<2

x<2

x <2

Por lo tanto, ⎛ x 3 − 2x2 − 4x + 8 ⎞ lim ⎜ ⎟⎟ = 0 ⎜ x−2 x →2 ⎝ ⎠

⎛ x + x −1 −1⎞ 6. Calcule lim ⎜⎜ ⎟⎟ x2 − 1 ⎠ x →1+ ⎝ Solución Separe en dos fracciones ⎛ x + x −1 −1⎞ ⎛ x −1 x −1 ⎞ lim ⎜ + = lim ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 x2 − 1 x2 − 1 ⎠ ⎠ x →1+ ⎝ x − 1 x →1+ ⎝ Factorice el radicando del denominador, simplifique en el primer término y racionalice el numerador y denominador en el segundo. ⎡ ⎡ x + x − 1 − 1⎤ x −1 x −1 x +1 x −1⎤ lim ⎢ + × × ⎥ ⎥ = lim ⎢ 2 x − 1 x + 1 x + 1 x − 1 + ⎢ ⎥⎦ ⎥ x + 1 x − 1 x 1 − x →1+ ⎢ x 1 → ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ x + x − 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎤ (x − 1) x − 1 lim ⎢ + ⎥ = lim ⎢ ⎥ 2 ⎥⎦ x →1+ ⎢⎣ x + 1 (x − 1) x + 1( x + 1) ⎥⎦ x −1 x →1+ ⎢ ⎣ ⎡ x + x − 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎤ x −1 lim ⎢ + ⎥ = lim ⎢ ⎥ x + 1( x + 1) ⎦ ⎢ x2 − 1 x →1+ ⎣ ⎦⎥ x →1+ ⎣ x + 1 Aplique límite y se tiene: x + x −1 −1 1 0 1 = = lim + 2 + 2 2 2 2 x −1 x →1

118|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 7.

⎛ 2 x2 + 1 + x + 2 − 2 ⎞ ⎟ Calcule lim ⎜ ⎟ 3x + 2 −⎜ x→ 2 ⎝ ⎠

Solución Al aplicar propiedades de la función máximo entero se tiene:

2 x2 + 1 + x + 2 − 2

lim x→ 2 x< 2

−

3x + 2

= lim

2 x2 + 2 + x + 2 − 2 3x + 2

− x→ 2 x2 < 2 3x < 3 2

2(1) +

2 +2

4+2

Por lo tanto,

lim x→ 2 x< 2

− x→ 2 1 ≤ x2 < 2 4 ≤3x < 3 2

2 x2 + x + 2 3x + 2

2+ 2 +2 6

2 x2 + 1 + x + 2 − 2 3x + 2

−

lim

4+ 2 6

⎡ x3 ⎤ 3 x ⎢ − + x −2⎥ ⎢ 3 ⎥ 2 8. Calcule lim ⎢ ⎥ 2 9sgn(x − 1) − x x →3− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Solución Al igual que el ejemplo anterior analice la función máximo entero y la función signo. Es decir: ⎡ x3 ⎤ x3 3(2) 33 3 x 3(2) ⎢ ⎥ x 2 − + − − + x −2 − + 3−2 ⎢ 3 ⎥ 3−3+1 3 2 2 3 2 lim lim ⎢ = = = ⎥ 2 2 2 −6 9 −x 9sgn(x − 1) − x 9 −3 x →3− ⎢ ⎥ x →3− x<3 ⎢ ⎥ x<3 ⎣ ⎦

Por lo tanto,

⎡ ⎢ ⎢ lim ⎢ x →3− ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 3 x + x −2⎥ ⎥ 1 3 2 ⎥ =− 2 6 9sgn(x − 1) − x ⎥ ⎥ ⎦

−

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 119

B) Límites infinitos

⎡ x +1 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →2 ⎣ x + 2 − 2 ⎦

Solución Analice los límites laterales en x=2 • Limite por la derecha ⎡ x+1 ⎤ ⎡ x+1 ⎤ ⎡ x+1 ⎤ 3 lim ⎢ ⎥ = + = +∞ ⎥ = lim+ ⎢ ⎥ = lim+ ⎢ + 0 x →2 ⎣ x + 2 − 2 ⎦ x →2 ⎣ x + 2 − 2 ⎦ x →2 ⎣ x + 2 − 2⎦ x>2

x +2 > 4

x +2 > 2

• Limite por la izquierda ⎡ x+1 ⎤ ⎡ x+1 ⎤ ⎡ x+1 ⎤ 3 lim ⎢ ⎥ = − = −∞ ⎥ = lim< ⎢ ⎥ = lim− ⎢ − 0 x →2 ⎣ x + 2 − 2 ⎦ x →2 ⎣ x + 2 − 2 ⎦ x →2 ⎣ x + 2 − 2⎦ x<2

x +2 < 4

x +2 < 2

Por lo tanto, el límite en x=2 no existe ⎡ 4x ⎤ 2. Calcule lim ⎢ 2⎥ − x →1 ⎣ 1 − x ⎦ Solución Aplique el límite y se tiene: ⎡ 4x ⎤ 4 = + = +∞ lim ⎢ 2⎥ − x →1 ⎣ 1 − x ⎦ 0 ⎡x + 4⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ − x →4 ⎣ x − 4 ⎦ Solución Aplique el límite y se tiene:

⎡x + 4 ⎤ 4 lim ⎢ ⎥ = − = −∞ − x →4 ⎣ x − 4 ⎦ 0 ⎡ 1 ⎤ Calcule lim ⎢ 2 ⎥ x →1+ ⎣ x − 1 ⎦ Solución Aplique el límite y se tiene:

⎡ 1 ⎤ 1 lim ⎢ 2 ⎥ = + = +∞ x →1+ ⎣ x − 1 ⎦ 0

120|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ x3 + 1 ⎤ ⎥ Calcule lim ⎢ 2 x →1 ⎢ x − 1 ⎥ ⎣ ⎦

Solución Analice los límites laterales en x=1. • Limite por la derecha ⎡ x3 + 1 ⎤ ⎡ x3 + 1 ⎤ 2 ⎥ = lim ⎢ ⎥ = + = +∞ lim ⎢ 2 + + x →1 ⎢ x − 1 ⎥ x →1 ⎢ (x − 1)(x + 1) ⎥ ⎦ x >1 ⎣ ⎦ 0 x >1 ⎣

• Limite por la izquierda ⎡ x3 + 1 ⎤ ⎡ x3 + 1 ⎤ 2 ⎥ = lim ⎢ ⎥ = − = −∞ lim ⎢ 2 x →1− ⎢ x − 1 ⎥ x →1− ⎢ (x − 1)(x + 1) ⎥ ⎦ x<1 ⎣ ⎦ 0 x<1 ⎣

Por lo tanto, el límite en x=1 no existe. ⎡ x + 1⎤ 6. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ x ⎦ Solución Analice los límites laterales en x=0. • Limite por la derecha

⎡ x + 1⎤ 1 lim ⎢ ⎥ = = +∞ x ⎦ 0+ x →0+ ⎣ • Limite por la izquierda

⎡ x + 1⎤ 1 lim ⎢ ⎥ = = −∞ x ⎦ 0− x →0− ⎣ Por lo tanto, el límite en x=1 no existe

C) Límites al infinito

⎡ x + 9x 2 + 2 ⎤ ⎥ Calcule lim ⎢ x →+∞ ⎢ 3x − 3 ⎥⎦ ⎣ Solución Divide tanto el numerador como al denominador entre x, y se obtiene ⎡ 9x2 + 2 ⎤ ⎢1 + ⎥ ⎡ x + 9x 2 + 2 ⎤ x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ 3 x →+∞ ⎢ ⎥ 3x − 3 x →∞ + ⎢ ⎥ 3− ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ x ⎣ ⎦

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 121

Ingrese la variable x a la raíz cuadrada y se obtiene

⎡ 2 ⎤ ⎢1 + 9 + 2 ⎥ ⎡ x + 9x 2 + 2 ⎤ x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ + 3 x →+∞ ⎢ ⎥ 3x − 3 ⎥⎦ x →∞ ⎢ 3 − ⎣ ⎢ ⎥ x ⎣ ⎦ Aplique el límite y se tiene ⎡ x + 9x 2 + 2 ⎤ 1 + 9 + 0 1 + 3 4 ⎥= = = lim ⎢ x →+∞ ⎢ 3−0 3 3 3x − 3 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 2x 3 − 3x + 7 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →∞ x5 + 6 ⎦ ⎣ Solución Observe que el denominador tiene grado mayor que el numerador, entonces el límite de esa función cuando x tiende al infinito es cero. Es decir: 2.

⎡ 2x 3 − 3x + 7 ⎤ lim ⎢ ⎥ = 0 5 x →∞ ⎣ x +6 ⎦

⎡ 6x 3 − 2x 5 + 2x 4 − 7x + 8 ⎤ Calcule lim ⎢ 6 ⎥ x →∞ 3x − 5x 2 + 4x − 7x 2 + 8 ⎣ ⎦ Solución Al igual que el ejercicio anterior, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador entonces el límite es ⎡ 6x 3 − 2x 5 + 2x 4 − 7x + 8 ⎤ lim ⎢ 6 ⎥ = 0 x →∞ 3x − 5x 2 + 4x − 7x 2 + 8 ⎣ ⎦ 3 2 ⎡ 7x − 5x + x − 1 ⎤ 4. Calcule lim ⎢ ⎥ x2 + 2 x →∞ ⎣ ⎦ Solución En este caso, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador por lo tanto el límite es infinito. Es decir

⎡ 7x − 5x + x − 1 ⎤ lim ⎢ ⎥=∞ x →∞ x2 + 2 ⎣ ⎦ 3

122|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 5.

Calcule lim

x →+∞

2x2 + 3 5x2 − 1

Solución Divide en el numerador y denominador del radicando y obtendrás

2x + 3 = lim 5x2 − 1 x →+∞ 2

lim

x →+∞

3 x2 = 1 5− 2 x

⎛ lim ⎜ 2 + x →+∞ ⎝ ⎛ lim ⎜ 5 − x →+∞ ⎝

3⎞ ⎟ x2 ⎠ 1⎞ ⎟ x2 ⎠

Aplique el límite y se tiene lim

x →+∞

2x2 + 3 2 = 2 5 5x − 1

⎡ 4x2 + 3x + 9 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ 2 x →∞ ⎣ 5x + 1 ⎦ Solución Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, se divide el numerador y el denominador entre la variable con el mayor exponente. Es decir: 3 9 ⎤ ⎡ ⎢4 + x + 2 ⎥ ⎡ 4x2 + 3x + 9 ⎤ x ⎥ lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ 1 ⎥ x →∞ ⎣ 5x 2 + 1 ⎦ x →∞ ⎢ 5+ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ x

Aplique el límite y se tiene: ⎡ 4x2 + 3x + 9 ⎤ 4 ⎥= 2 ⎣ 5x + 1 ⎦ 5

lim ⎢ x →∞

⎡ 3 x 3 + 2x − 1 ⎤ ⎥ Calcule lim ⎢ x →∞ ⎢ x +1 ⎥⎦ ⎣

Solución

Divide tanto al numerador como al denominador entre x, y se tiene: ⎡ ⎡ 3 x 3 + 2x − 1 ⎤ 2 1 ⎤ ⎢31 + 2 − 3 ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎡ 3 x 3 + 2x − 1 ⎤ 1 x x ⎥ x ⎥ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ = =1 lim ⎢ 1 1 →∞ x →∞ x x →∞ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 x +1 ⎥⎦ + 1 + 1 ⎣ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 123

⎡ x+1 + x +4⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →+∞ x +7 + x +6⎦ ⎣ Solución Divide tanto al numerador como al denominador por raíz cuadrada de x. Es decir: ⎡ x +1 x+4⎤ ⎡ 1 4⎤ + + + + 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ x+1 + x +4⎤ x x ⎥ x x ⎥ = 1 + 1 =1 lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ x →+∞ 1+ 1 ⎣ x + 7 + x + 6 ⎦ x →+∞ ⎢ x + 7 + x + 6 ⎥ x →+∞ ⎢ 1 + 7 + 1 + 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x x x x ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 8.

Calcule lim ⎡ x 2 − x − x ⎤ ⎢ ⎥⎦ x → +∞ ⎣ Solución Racionalice y se obtiene: ⎡ ⎡ x2 − x − x2 ⎤ ( x2 − x + x) ⎤ ⎥ = lim ⎢ lim ⎡ x 2 − x − x ⎤ = lim ⎢( x2 − x − x) × ⎥ ⎥⎦ x →+∞ ⎢ x → +∞ ⎢ ⎣ ( x2 − x + x) ⎥⎦ x →+∞ ⎢⎣ x2 − x + x ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −x −x −1 ⎥ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ x →+∞ ⎢ 1 1 1 ⎥ x →+∞ ⎢ ⎥ x →+∞ ⎢ ⎥ 2 ⎢ x (1 − x ) + x ⎥ ⎢ x( 1 − x + 1) ⎥ ⎢ 1 − x + 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Aplicando el límite se tiene: 1 lim ⎡ x 2 − x − x ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎦ x → +∞ ⎣ 2 9.

⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ ⎥ 10. Calcule lim ⎢ 2 x →−∞ ⎢ ⎥⎦ 7x 1 9x 1 − + + ⎣ Solución Divide tanto al numerador como al denominador entre x y se tiene: ⎡ x2 + 2 4x2 − 5 ⎤ ⎢ ⎥ − ⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ x x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ 2 2 x →−∞ ⎢ x →−∞ ⎢ ⎥ ⎥ 1 9x 1 + 7x 1 9x 1 − + + ⎣ ⎦ ⎢ 7− + ⎥ ⎣ ⎦ x x Observe que x es negativo, entonces al ingresar a la raíz, la raíz debe quedar multiplicado por el signo 3 3 . Entonces el ejercicio queda: negativo. Por ejemplo =− −2 4

124|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ 2 5 ⎤ ⎢− 1 + 2 + 4 − 2 ⎥ ⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ x x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ 2 x →−∞ x →−∞ ⎢ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ 7x 1 9x 1 − + + ⎣ ⎦ ⎢ 7− − 9+ 2 ⎥ x x ⎣ ⎦ Aplique el límite y se tiene: ⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ − 1 + 4 −1 + 2 1 ⎥ = lim ⎢ = = 2 x →−∞ ⎢ 7−3 4 7 − 9 ⎥ 7x 1 9x 1 − + + ⎣ ⎦

⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ ⎥ 11. Calcule lim ⎢ x →+∞ ⎢ 7x − 1 + 9x2 + 1 ⎥⎦ ⎣

Solución Divide tanto al numerador como al denominador entre x: ⎡ x2 + 2 4x2 − 5 ⎤ ⎢ ⎥ − 2 2 ⎡ x + 2 − 4x − 5 ⎤ x x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ 2 2 x →+∞ ⎢ x →+∞ ⎢ ⎥ ⎥ 7x 1 9x 1 − + + 1 9x 1 + ⎣ ⎦ ⎢ 7− + ⎥ ⎣ ⎦ x x Observe que x es positivo, entonces no hay problema al ingresar a la raíz. Es decir: ⎡ 2 5 ⎤ ⎢ 1+ 2 − 4− 2 ⎥ ⎡ x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ x x ⎥ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ 2 x →+∞ ⎢ x →+∞ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ ⎣ 7x − 1 + 9x + 1 ⎦ ⎢ 7− + 9+ 2 ⎥ x x ⎦ ⎣ Aplique el límite y se tiene:

⎡ lim ⎢ x →+∞ ⎢ ⎣

1 − 4 1−2 x2 + 2 − 4x2 − 5 ⎤ 1 ⎥ = = =− 2 7+3 10 7x − 1 + 9x + 1 ⎥⎦ 7 + 9

12. Calcule lim ⎡⎣ x + 1 − x ⎤⎦ x →∞ Solución Racionalice los radicales ⎡ x +1 − x x +1 + x ⎤ ⎥ = lim ⎡ x + 1 − x ⎤ lim ⎡⎣ x + 1 − x ⎤⎦ = lim ⎢ x →∞ ⎢ x →∞ ⎥ x→∞ ⎢⎣ x + 1 + x ⎥⎦ x +1 + x ⎣ ⎦ 1 ⎡ ⎤ = lim ⎢ ⎥ x →∞ ⎣ x + 1 + x ⎦ Observe que hay variable en el denominador entonces el límite tiende cero. Es decir lim ⎡ x + 1 − x ⎤⎦ = 0 x →∞ ⎣

(

)(

)

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 125

13. Calcule lim ⎡ x 2 + 1 − x 2 − 1 ⎤ ⎥⎦ x →∞ ⎢ ⎣ Solución Racionalice las raíces ⎡ x2 + 1 − x2 − 1 x2 + 1 + x2 − 1 ⎢ 2 2 ⎡ ⎤ lim x + 1 − x − 1 = lim ⎢ ⎢ x →∞ ⎣ ⎦⎥ x →∞ x 2 + 1 + x2 − 1 ⎢ ⎣

)(

(

) ⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ x2 + 1 − (x2 − 1) ⎤ ⎡ ⎤ 2 = lim ⎢ lim ⎡ x2 + 1 − x2 − 1 ⎤ = lim ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎦ x →∞ ⎢ 2 2 2 2 x →∞ ⎣ ⎣ x + 1 + x − 1 ⎦⎥ x →∞ ⎣⎢ x + 1 + x − 1 ⎦⎥ Observe que al igual que el ejercicio anterior hay variable sólo en el denominador, entonces el límite es cero. Es decir: lim ⎡ x2 + 1 − x2 − 1 ⎤ = 0 ⎢ x →∞ ⎣ ⎦⎥ 14. Calcule lim ⎡ x2 + 5x + 6 − x ⎤ ⎢ x →+∞ ⎣ ⎦⎥ Solución Racionalice y se tiene: ⎡ x2 + 5x + 6 − x x2 + 5x + 6 + x ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎡ ⎤ lim x + 5x + 6 − x = lim ⎢ ⎥ ⎢ x →+∞ ⎣ ⎦⎥ x →+∞ x2 + 5x + 6 + x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(

)(

)

⎡ x2 + 5x + 6 − x2 ⎤ ⎡ ⎤ 5x + 6 = lim ⎢ lim ⎡ x 2 + 5x + 6 − x ⎤ = lim ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎦ x →+∞ ⎢ 2 2 x →+∞ ⎣ ⎣ x + 5x + 6 + x ⎥⎦ x →+∞ ⎣⎢ x + 5x + 6 + x ⎦⎥ Ahora divide tanto al numerador como al denominador entre x ⎡ ⎤ 6 5+ ⎢ ⎥ x ⎥ = 5 = 5 lim ⎡ x 2 + 5x + 6 − x ⎤ = lim ⎢ ⎢ ⎥ x →+∞ ⎣ ⎦ x →+∞ ⎢ ⎥ 5 6 1 +1 2 ⎢ 1 + + 2 + 1⎥ x x ⎣ ⎦

Aplicaciones 1. La cochera Municipal cobra S/. 2.00 por 2 o menos horas de servicio de estacionamiento y 50 centavos por hora extra o fracción de hora después del minuto de 2 horas. a) Hallar la función, que dependa del tiempo, que describa el cobro por servicio de estacionamiento durante las primeras 5 horas. b) Encuentre lim f(t) , si existe t →1

c) Encuentre lim f(t) , si existe t →2

126|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Solución a) La función que modela éste problema es la siguiente: ⎧2 ;0< t≤2 ⎪ f(t) = ⎨2 + 0.5( t − 1) ; t ∈ 2,5 − {3,4} ⎪ ⎩2 + 0.5(t − 2) ;t ∈ {3,4,5} b) lim f(t) = 2 y lim f(t) = 2 . Por lo tanto: lim f(t) = 2 t →1−

t →1+

t→1

lim f(t) = 2 y lim f(t) = 2.5 . Por lo tanto: lim f(t) no existe.

t →2 −

t→2+

t →2

2. Cargos telefónicos Una llamada de marcación directa de Savannah, Georgia, a Atlanta, Georgia, cuesta $0,10 por el primer minuto y $0,07por cada minuto adicional o fracción de minuto. Si C=C(t) es el cargo por una llamada que dura t minutos, construya una tabla de los cargos por llamadas con una duración de casi 1 minuto y úsela para encontrar los siguientes límites, si existen. a) lim C(t) b) lim C(t) c) limC(t) t→1−

t →1+

t→1

Solución

t C(t)

0,8 0,10

0,9 0,10

0,99 0,10

1 X

1,09 0,17

1,1 0,17

1,13 0,17

De la tabla se observa que: a) lim C(t) = 0,10 t→1−

b) lim C(t) = 0,17 t→1+

c) lim C(t) no existe, pues lim C(t) ≠ lim C(t) t→1

t→1−

t→1+

3. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: ⎧t2 − 8t + 50 ; 0 ≤ t ≤ 10 ⎪ P(t) = ⎨ 38t − 100 ; t > 10 ⎪ ⎩ 0,4t a) Analizar el porcentaje de pacientes que pueden ser operados sin necesidad de entrar en lista de espera cuando estamos cercanos al décimo mes. b) Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca? Solución Esta función puede también ser expresada como: ⎧t2 − 8t + 50 ; 0 ≤ t ≤ 10 ⎪ P(t) = ⎨ 250 ; t > 10 ⎪95 − t ⎩ a) Debemos calcular el siguiente límite: lim P(t) . Para ello se analizan los limites laterales: t →10 2

lim P(t) = lim [t − 8t + 50] = 102 − 8(10) + 50 = 70

t→10−

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 127

250 ⎤ 250 ⎡ lim P(t) = lim ⎢95 − ⎥ = 95 − 10 = 70 + + t ⎦ t→10 t→10 ⎣

Por lo tanto, lim P(t) = 70

t→10

Esto significa que, el 70% de los pacientes pueden ser operadores sin necesidad de entrar en lista de espera, cuando nos aproximamos al décimo mes. b) Esta pregunta sugiere calcular el siguiente límite: lim P(t) t →+∞

250 ⎤ ⎡ lim P(t) = lim ⎢95 − = 95 − 0 = 95 t →+∞ t →+∞ ⎣ t ⎥⎦ Por lo tanto nunca se llegará a un 95% en la lista de espera, sólo se estará próximo a tal porcentaje. 4. Impuestos federales sobre la renta. La tabla siguiente muestra las tasas tributarias federales en 1991 para los matrimonios que declaran de manera conjunta. Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria (en dólares) (en dólares) (%) 0 34 000 15 34 000 82 150 28 82 150 31 Sea la función T= f(x), donde T es igual al pasivo tributario (en dólares) para personas casadas que declaran de manera conjunta y x equivale al ingreso gravable (en dólares). Calcule lim f(x) , si x → 82150

existe. Solución Del ejercicio resuelto número 22 del capítulo 1 sesión 1, se tiene: ; 0 < x ≤ 34 000 ⎧15%x ⎪ T = f(x) = ⎨28%x − 4420 ; 34 000 < x ≤ 82150 ⎪31%x − 6884,5 ; 82150 < x ⎩ Aplique límites laterales en x = 82 150 • Limite por la derecha

lim

x → 82150−

f(x) =

lim

x → 82150−

[28%x − 4420] = 28%(82150) − 4420 = 18582

• Limite por la izquierda

lim

x → 82150+

f(x) =

lim

x → 82150+

[31%x − 6884,5] = 31%(82150) − 6884,5 = 18582

Por lo tanto, si el ingreso gravable de la pareja de esposo se acerca a $ 82 150 entonces el pasivo tributario se acerca a $ 18 582.

128|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 5. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido (en minutos) para que la rata atraviese el laberinto en el n‐ésimo intento esta ⎡ 5n + 17 ⎤ dado por la siguiente función: T(n) = ⎢ ⎥ ⎣ n ⎦ ¿Qué sucede con el tiempo a medida que la rata aumenta el número de intentos en atravesar el laberinto? Solución Esta pregunta sugiere calcular el siguiente límite: lim T(n) n→+∞

Entonces, 17 ⎤ 17 ⎡ 5n + 17 ⎤ ⎡ lim T(n) = lim ⎢ = lim ⎢ 5 + ⎥ = lim 5 + lim = 5+0 = 5 ⎥ n→+∞ n→+∞ ⎣ n→+∞ n n ⎦ n→+∞ ⎣ n ⎦ n→+∞

Esto significa que, a medida que la rata aumenta el número de intentos en a travesar el laberinto, el tiempo que se demora estará cada vez más cerca a los 5 minutos pero nunca tardará 5 minutos exactamente. 6. El lenguado es una especie de gran importancia para el Perú y Chile por su alto valor nutritivo y comercial. Se conoce poco sobre su potencial de cultivo en el Perú. La siguiente ecuación muestra el crecimiento en longitud del lenguado en centímetros, en función de su edad t dada en años: ⎡ 60t − 1 ⎤ L(t) = ⎢ ⎥ ⎣ t ⎦ ¿Qué sucede con el crecimiento del lenguado a medida que pasan los años? Solución Esta pregunta sugiere calcular el siguiente límite: 60t − 1 1⎞ 1 ⎛ lim L(t) = lim = lim ⎜ 60 − ⎟ = lim 60 − lim = 60 − 0 = 60 t →+∞ t →+∞ t →+∞ ⎝ t →+∞ t t t ⎠ t→+∞

Esto significa que, a medida que pasan los años, la longitud del lenguado se aproximará a los 60 cm pero nunca llegara a mediar 60 cm exactamente. 7. El ingreso semanal de la película “Cómo casarse y mantenerse soltero”, estrenada recientemente, está dada por la siguiente función: R(t) = 5− t + 99 , Donde R(t) está dada en millones de dólares y t está dada en semanas. ¿Qué sucede con el ingreso a medida que aumentan las semanas? Solución Esta pregunta sugiere calcular el siguiente límite: lim R(t) t →+∞

−t ⎡ ⎤ lim R(t) = lim ⎣ 5 + 99 ⎦ = lim 5− t + lim 99 = 0 + 99 = 99 t→+∞ t →+∞ t →+∞ t →+∞

Esto significa que, a medida que pasan las semanas, el ingreso semanal de la película se aproximará a los 99 millones de dólares pero nunca llegara a recaudar 99 millones de dólares exactamente.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 129

8. Suponga que la demanda de un artículo no perecible (en miles de unidades) está dado por la 320x −0.4 + 90 función f(x) = . Donde x es el número de semanas después del lanzamiento del 4x −0.4 + 9 producto al mercado nacional. Determine la demanda al inicio del lanzamiento y cuando x → ∞ .

Solución La demanda al inicio: ⎡ 320x −0.4 + 90 ⎤ ⎡ 320 + 90x 0.4 ⎤ lim f(x) = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ ⎥ = 80 − 0.4 x →0 x →0 + 9 ⎦ x →0 ⎣ 4 + 9x 0.4 ⎦ ⎣ 4x La demanda cuando el número de semanas tiende a crecer en forma infinita

⎡ 320x −0.4 + 90 ⎤ ⎡ 320 + 90x 0.4 ⎤ = lim f(x) = lim ⎢ lim ⎥ ⎢ ⎥ = 10 −0.4 x →∞ x →∞ + 9 ⎦ x →∞ ⎣ 4 + 9x 0.4 ⎦ ⎣ 4x

Interpretación La demanda tiende a 10 mil unidades de artículos cuando el número de semanas tiende a ser muy grande o La demanda del artículo será aproximadamente 10 mil, cuando ya se haya posesionado. 9. La función de la demanda de un producto está dada por: 200 P(x) = 2 + 0.1x Donde x es el número de unidades y P es el precio en dólares. ¿Qué sucede con el precio si la demanda sigue aumentando desmedidamente? Solución Analizar el precio cuando la demanda aumenta infinitamente significa calcular el límite al infinito de la función precio. Es decir: ⎡ 200 ⎤ =0 lim P(x) = lim ⎢ x →∞ x →∞ ⎣ 2 + 0.1x ⎥ ⎦

Eso quiere decir que a mayor demanda el precio baja hasta ser cero.

Ejercicios propuestos 2.2. Nivel 1 2 ⎪⎧2x − x

1. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = ⎨

si x < 3

⎪⎩x + x − 3 si x > 3 si x < 1 ⎪⎧ −x + 1 2. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = ⎨ 2 x →1 ⎪⎩ −x + 4x − 1 si x ≥ 1 ⎧x + 3 si x < 3 ⎪⎪ x − 2 3. Calcule si existe lim f(x) donde f(x) = ⎨ 2 x →3 ⎪x − 9 si x ≥ 3 ⎩⎪ x − 3 Calcule los siguientes límites. x →3

130|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ −2x − 1 ⎤

⎡ 9x2 + 3x + 9 ⎤ ⎥ 2 x →∞ ⎣ 5x + 3x ⎦

4. lim ⎢ x →∞ ⎣ −4x + 2 ⎥ ⎦

⎡ 2x2 + 5x ⎤ lim ⎢ 2 ⎥ x →+∞ 3x + 8x − 2 ⎣ ⎦

5. lim ⎢

⎡ 123x2 − 3x 5 + 2x 4 − 7x + 8 ⎤ lim ⎢ ⎥ 98x 6 − 2x2 + 5x + 8 8. x →∞ ⎣ ⎦

⎡ 5x 6 − 5x2 + x − 1 ⎤ lim ⎢ ⎥ 2 9. x →∞ ⎣ x + 2x − 1 ⎦

⎡ 8x2 − 8x 40 + 5x ⎤ lim ⎢ ⎥ 40 7. x →∞ ⎣ 2x + 2x − 9 ⎦

⎡ 2x 5 − 4x2 + x ⎤ lim ⎢ ⎥ 4 10. x →∞ ⎣ x + 2x ⎦

lim

11.

x →∞

⎡ 2x + 3 ⎤ lim ⎢ 3 ⎥ 12. x →∞ ⎣ x + x ⎦

4x2 + 31 16x2 − 31

⎡ 6 ⎤ lim ⎢ 8⎥ − 14. x →3 ⎣ (x − 3) ⎦

⎡ 6 ⎤ lim ⎢ ⎥ + 13. x →5 ⎣ x − 5 ⎦

⎡ x −1 ⎤ lim ⎢ 2 ⎥ − 15. x →−5 ⎣ x (x + 5) ⎦

Resuelva los siguientes problemas. 16. Productividad. Durante un turno de 8 horas, la tasa de cambio de la productividad (en unidades por hora) de fonógrafos infantiles ensamblados después de trabajar t horas es 128(t2 + 6t) f(t) = 2 , 0 ≤ t ≤ 8 (t + 6t + 18)2 ¿La tasa de productividad es mayor cerca de la hora de almuerzo o cerca de la hora de salida? 17. Costo beneficio. Suponga que el costo C de eliminar p por ciento de partículas contaminantes de 730000 las chimeneas de una planta industrial está dado por C(p) = − 7300 100 − p a) Encuentre lim C(p) p→ 80

b) ¿Se puede eliminar el 100% de las partículas contaminantes? Explique

Nivel 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1. Calcule, si existen, lim f(x) y lim f(x) , donde f(x) = ⎨ x →1 x→4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

x2 − 1 3x − 3 x −2 x−4 1 2x − 4

⎧1 − 1 − x x<0 ⎪ 2 ⎪ 2. Calcule, si existe, lim f(x) donde f(x) = ⎨ x + x 3 4 x→0 ⎪ 5x + 8x ⎪⎩ 3x 4 − 16x2 x > 0

si x < 1 1<x<4

si si

x>4

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 131

Calcule los siguientes límites. ⎡ (x + 3)3 (3x − 2)2 ⎤ ⎡ 2x2 − 3x − 4 ⎤ 3. lim ⎢ 7. lim ⎢ ⎥ ⎥ 5 x →∞ x →∞ ⎢ x +5 ⎣ ⎦ x 4 + 1 ⎥⎦ ⎣ ⎡ 10 + x2 + 10 ⎤ ⎡ 2x2 − 3x − 4 ⎤ ⎥ 4. lim ⎢ 8. lim ⎢ ⎥ x →+∞ ⎢ x x →∞ ⎢ ⎥⎦ x 4 + 1 ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎡ x −1 ⎤ ⎡ 5x + 25x2 + 2 ⎤ 9. lim ⎢ ⎥ ⎥ 5. lim ⎢ x →+∞ ⎢ x →1+ ⎣ x+5 ⎢ x − 1 ⎦⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ x ⎡ 9x + 4 + 16x + 9 ⎤ 10. lim ⎢ ⎥ 6. lim ⎢ ⎥ 4 x →+∞ x →−2+ ⎢ x ⎣ 16 − x ⎥⎦ ⎣ ⎦ Resuelva los siguientes problemas. 11.Explique que se quiere dar a entender con lim f(x) = 3 y lim f(x) = 7 . En esta situación, ¿es x → 1−

x → 1+

posible que lim f(x) exista? Dé una explicación. x →1

12.Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora será 2000 . Determine la población a largo plazo, esto es, determine lim N N = 50000 − x →∞ t+1

13.Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de AN la cosecha, Y puede modelarse con la función de Michaelis‐Menten Y(N) = N ≥ 0 donde A B+N y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementan indefinidamente?

14.Costo promedio. Un director de una empresa determina que el costo total de producir x unidades de un producto dado se puede modelar por la función C(x) = 7,5x + 120000 dólares. El costo C(x) . Encuentre lim C(x) e intérprete su resultado. promedio es C(x) = x →∞ x

15.En una relación particular huésped‐parásito, se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huésped por unidad de área) es x, el número de huéspedes parasitados en un periodo 900x , si la densidad de huésped aumenta indefinidamente, ¿a qué valor se es y = 10 + 45x aproximaría?

16.Para una relación particular presa–depredador, se determinó que el número de y de presas consumidas por un depredador a lo largo de un periodo fue una función de presas x (el número 20x Si la densidad de presas aumenta sin cota, de presas por unidad de área). Suponga y = 1 + 0,2x ¿a qué valor se aproximaría y?

Nivel 3 Resuelva los siguientes problemas:

132|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 1.

En teoría de la relatividad la masa de la partícula con velocidad υ es m =

, donde m0 υ2 1− 2 c es la masa en reposo, de la partícula y c es la velocidad de la luz. ¿Qué pasa cuando υ → c − ?

Función demanda. La función de demanda de un producto está dada por P =

200 donde x 2 + 0.1x

es el número de unidades y P el precio en dólares a) Trace la gráfica de la función de demanda para 0 ≤ x ≤ 250 b) Alguna vez llega la demanda a cero

Psicología experimental. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido para que la rata atraviese el laberinto en el n‐ésimo 5n + 17 minutos. intento era aproximadamente T(n) = n a) ¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida que aumenta indefinidamente el número de intentos n? b) Interprete su resultado y trace la gráfica de esta función.

En algunas especies animales, el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la que se somete al animal mientras come. En realidad, es difícil comer mucho mientras se siente la vigilancia de un depredador que se lo puede comer a usted, en cierto modelo, si el animal está buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tamaño S, la tasa de aS , donde a y c son consumo de alimento I(S) está dada por una función de la forma I(S) = S+c constantes positivas. a) ¿Qué le ocurre al consumo de alimentos I(S) cuando un bocado de tamaño S aumenta indefinidamente? Intérprete su resultado. b) Trace la gráfica de esta función.

El programa de tasa tributaria para contribuyentes casados que presentan una declaración conjunta (que se muestra en la tabla) parece tenar un salto en los impuestos para ingresos gravables en $ 109 250. Tasa tributaria Sobre (dólares) Pero no sobre (dólares) (%) 0 15 45 200 45 200 27,5 109 250 109 250 30,5 166 500 166 500 35,5 297 350 297 350 39,1 a) Utilice la tabla y escriba la función que asigna el impuesto sobre la renta para contribuyentes casados como una función del ingreso gravable. b) Analice el impuesto cuando el contribuyente tiene un ingreso gravable cercano a 109 250

En 1990, los impuestos federales sobre la renta para un matrimonio que declara en forma conjunta fueron los que se proporcional en la tabla adjunta. Halle la función matemática que permita a la pareja su pasivo tributario, dado su ingreso gravable. Analice la tasa tributaría si el matrimonio tiene un ingreso gravable cercano a $ 78 400.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 133

Tasas de Impuestos de 1990 (Matrimonio que declara en forma conjunta) Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria 0 32450 15 32450 78400 28 78400 162770 33 162770 40 Calcule los siguientes límites. ⎡ x + x − 9 − 3⎤ 7. lim ⎢ ⎥ x →9− ⎣ ⎢ x2 − 81 ⎦⎥ ⎡ 1 1 1 8. lim ⎢1 − + − + x →∞ 3 9 27 ⎣ ⎡ ⎤ x ⎥ 9. lim ⎢ x →∞ ⎢ ⎥ ⎣ x+ x+ x ⎦

11. lim ⎡⎣ x(x + a) − x ⎤⎦ x →+∞ +

n−1

(−1)

3n−1

⎤ ⎥ ⎦

)

(

12. lim ⎡ x x 2 + 1 − x ⎤ ⎥⎦ x →+∞ ⎢ ⎣ 13. lim ⎡x + 3 1 − x 3 ⎤ ⎢ x →+∞ ⎣ ⎦⎥

⎡ b + c − x +b − x +c⎤ 14. lim ⎢ ⎥ + x x →0 ⎣ ⎦

10. lim ⎡⎣ x + a − x ⎤⎦ x →+∞

2.3. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Antes de empezar a resolver límites trigonométricos mencionaremos a algunas identidades trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo b a c cos(x) = a b tg(x) = c sen(x) =

a b a sec(x) = c c ctg(x) = b csc(x) =

; ; ;

x A

Razones trigonométricas Inversas

1. tg(x) =

1 ctg(x)

2. sec(x) =

1 cos(x)

csc(x) =

1 sen(x)

Identidades Trigonométricas

sen 2 (x) + cos2 (x) = 1

tg (x) + 1 = sec (x) 2

ctg 2 (x) + 1 = csc 2 (x)

sen (x) = 1 − cos (x)

134|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Identidades Trigonométricas de suma y diferencia de dos ángulos

1. 2. 3.

sen(A ± B) = sen(A)cos(B) ± sen(B)cos(A) cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sen(A)sen(B) tg(A) ± tg(B) tg(A ± B) = 1 ∓ tg(A)tg(B)

Transformaciones trigonométricas

1. 2. 3.

A±B A∓B )cos( ) 2 2 A+B A −B cos(A) + cos(B) = 2cos( )cos( ) 2 2 A+B A −B cos(A) − cos(B) = −2s en( )s en( ) 2 2

sen(A) ± sen(B) = 2sen(

Identidades Trigonométricas del ángulo doble 1.

sen(2A) = 2sen(A)cos(A)

cos(2A) = cos2 (A) − sen2 (A)

sen(2A) = 2sen(A)cos(A)

cos(2A) = cos2 (A) − sen2 (A)

2. 4.

1 − cos(2A) 2 1 + cos(2A) 2 cos (A) = 2

sen2 (A) =

Algunos límites trigonométricos notables

1. lim sen(x) = 0

sen(x) = 1 x →0 x

2. lim

x →0

6. lim cos(x) = 1

⎡ x ⎤ 5. lim ⎢ ⎥ = 1 x →0 ⎣ tg(x) ⎦

x →0

⎡ x ⎤ 3. lim ⎢ ⎥ =1 x →0 ⎣ sen(x) ⎦

⎡ tg(x) ⎤ 4. lim ⎢ = 1 x →0 ⎣ x ⎥ ⎦

⎡ cos(x) − 1 ⎤ ⎡ cos(x) − 1 ⎤ 1 7. lim ⎢ = 0 8. lim ⎢ ⎥ ⎥ = 2 x →0 ⎣ x →0 ⎣ x ⎦ x2 ⎦

Límites de las funciones trigonométricas inversas

1. lim arcsen(x) = 0 x →0

lim arccos(x) =

x →0 +

π 2

⎡ arcsen(x) ⎤ 2. lim ⎢ ⎥ =1 x →0 ⎣ x ⎦ ⎡ arctg(x) ⎤ 5. lim ⎢ =1 x →0 ⎣ x ⎥⎦

Ejercicios resueltos

Calcule los siguientes límites trigonométricos ⎡ tg(x) − sen(x) ⎤ 1. lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ x3 ⎦

3. 6.

lim arctg(x) = −

x →−∞

lim arctg(x) =

x →+∞

π 2

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 135

Solución Escribir todo en función de seno y coseno ⎡ sen(x) ⎤ − sen(x) ⎥ ⎢ ⎡ sen(x) − sen(x)cos(x) ⎤ cos(x) ⎡ tg(x) − sen(x) ⎤ lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ ⎥ ⎥ 3 3 x →0 ⎣ x x 3 cos(x) x ⎦ x →0 ⎢ ⎥ x →0 ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ sen(x)(1 − cos(x)) ⎤ ⎡ sen(x) ⎛ 1 − cos(x) ⎞ 1 ⎤ = lim ⎢ ⎥ = xlim ⎟ ⎢ x ⎜ ⎥ 3 → 0 x →0 ⎣ x2 x cos(x) ⎝ ⎠ cos(x) ⎦ ⎣ ⎦

⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ sen(x) ⎤ ⎡ 1 − cos(x) ⎤ lim ⎢ lim ⎢ = lim ⎢ = 1× ×1 ⎥ ⎥ ⎥ 2 x →0 ⎣ x 2 x ⎦ x →0 ⎣ ⎦ x →0 ⎣ cos(x) ⎦

Por lo tanto,

lim[

x →0

tg(x) − sen(x) x

1 ] = 2

⎡ 1 − cos(3x) ⎤ 2. lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ 1 − cos(4x) ⎦ Solución Al multiplicar y dividir al numerador y denominador por (3x)2 y (4x)2 respectivamente se tiene:

⎡ ⎡ 1 − cos(3x) ⎤ 2 ⎡ 1 − cos(3x) ⎤ ⎤ ⎢ (3x) ⎢ ⎥⎥ ⎢ xlim ⎥ 2 2 ⎡ 1 − cos(3x) ⎤ ⎣ (3x) ⎦ ⎥ = 9 ⎣ →0 (3x) ⎦ = 9 ⎢ lim ⎢ lim = ⎥ x →0 ⎢ ⎥ x →0 ⎣ 1 − cos(4x) ⎦ 16 ⎡ 1 − cos(4x) ⎤ 16 2 ⎡ 1 − cos(4x) ⎤ ⎢ (4x) ⎢ ⎥⎥ ⎢ xlim ⎥ 2 → 0 (4x)2 ⎦ ⎣ (4x) ⎦ ⎦⎥ ⎣ ⎣⎢ Por lo tanto, ⎡ 1 − cos(3x) ⎤ 9 lim ⎢ ⎥ = 16 x →0 ⎣ 1 − cos(4x) ⎦ ⎡ x − sen(ax) ⎤ 3. lim ⎢ ⎥ ; b ≠ −1 x →0 ⎣ x + sen(bx) ⎦ Solución Dividir entre x al numerador y denominador, luego multiplicar y dividir a la razón trigonométrica en el numerador y denominador por (a) y (b) respectivamente.

⎡ sen(ax) ⎤ sen(ax) ⎤ ⎡ 1 − a lim ⎢ ⎥⎦ 1 − a ⎢ 1 − (a) ax ⎥ x →0 ⎣ ax ⎡ x − sen(ax) ⎤ lim ⎢ lim = = = ⎢ ⎥ ⎥ x →0 x →0 ⎣ x + sen(bx) ⎦ 1−b ⎡ sen(bx) ⎤ ⎢ 1 + (b) sen(bx) ⎥ 1 + b lim ⎢ ⎥⎦ bx ⎦ x →0 ⎣ bx ⎣

Por tanto,

⎡ x − sen(ax) ⎤ 1 − a lim ⎢ = + sen(bx) ⎥⎦ 1 − b

x →0 ⎣ x

136|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ 1 + cos(πx) ⎤ 4. lim ⎢ 2 x →1 ⎣ x + 2x + 1 ⎥ ⎦ Solución Hacer el cambio de variable h = x –1 entonces x = h +1, además si x → 1 , h → 0 . Luego, el límite con la nueva variable es: ⎡ 1 + cos(πx) ⎤ ⎡ 1 + cos(πh + π) ⎤ ⎡ 1 + cos(πx) ⎤ = lim ⎢ lim ⎢ 2 ⎥ = lim ⎢ ⎥ ⎥ 2 x →1 ⎣ x + 2x + 1 ⎦ x →1 ⎣ x →1 ⎢ (x + 1) h2 ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎡ 1 + cos(πh)cos(π) − sen(πh)sen(π) ⎤ = lim ⎢ ⎥ h→ 0 ⎣ h2 ⎦ Recordar que cos(π) = −1 ∧ sen(π) = 0 , entonces se tiene:

⎡ 1 − cos πh ⎤ π2 1 + cos( π x) 1 − cos( πh) ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 2 π lim = = lim ⎢ 2 lim ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ h→0 ⎣ (πh)2 x →1 ⎣ x + 2x + 1 ⎥ h2 ⎦ ⎦ h→ 0 ⎣ ⎦ 2 Por lo tanto, 2 ⎡ 1 + cos(πx) ⎤ π lim ⎢ 2 = ⎥ x →1 ⎣ x + 2x + 1 ⎦ 2

⎡ cos(t) ⎤ 5. lim ⎢ ⎥ π t → ⎣ π − 2t ⎦ 2

Solución π π π , entonces t = h + y si t → , h → 0. 2 2 2 Luego, el límite con la nueva variable será: ⎡ cos(t) ⎤ lim ⎢ π ⎤ ⎡ π ⎣ π − 2t ⎥ ⎦ t→ ⎢ cos(h + 2 ) ⎥ 2 = lim ⎢ ⎥ h→0 ⎢ −2h ⎥ ⎣ ⎦ Al aplicar identidad trigonométrica se tiene: π π ⎤ ⎡ cos(h)cos( ) − sen(h)sen( ) ⎥ ⎢ cos(t) ⎡ ⎤ 2 2 = lim ⎡ −sen(h) ⎤ = 1 = lim ⎢ lim ⎢ ⎥ h→0 ⎢ ⎥ π ⎣ π − 2t ⎥ −2h ⎦ h→0 ⎢ ⎣ −2h ⎦ 2 t→ ⎥ 2 ⎣ ⎦ Por lo tanto, ⎡ cos(t) ⎤ 1 = lim ⎢ π ⎣ π − 2t ⎥ ⎦ 2 t→

Hacer el cambio de variable h = t –

6. lim [sec(x) − tg(x)] x→

π 2

Solución Escribir todo en función de seno y coseno.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 137

sen(x) ⎤ ⎡ 1 ⎡ 1 − sen(x) ⎤ − lim [sec(x) − tg(x)] = lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ ⎥ π π π x→ x → ⎣ cos(x) cos(x) ⎦ x → ⎣ cos(x) ⎦ 2

Multiplicar al numerador y al denominador por 1 + sen(x) y se tiene:

2 ⎡ 1 − sen2 (x) ⎤ ⎡ ⎤ cos (x) lim [sec(x) − tg(x)] = lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ ⎥ π π cos(x)[1 + sen(x)] π ⎢ x→ x→ ⎣ ⎦⎥ x → ⎣⎢ cos(x)[1 + sen(x)] ⎦⎥

⎡ cos(x) ⎤

= lim ⎢

⎥ π x → ⎣ 1 + sen(x) ⎦ 2

0 2

Por tanto,

lim [sec(x) − tg(x)] = 0 x→

π 2

⎡ x 4 − x 4 sen2 (x) ⎤ ⎥ 7. lim ⎢ x →0 ⎢ 1 − cos(x) ⎥ ⎣ ⎦ Solución Factorice en el radicando y sacar raíz cuadrada al factor común

⎡ x 2 1 − sen 2 (x) ⎤ ⎡ x 4 − x 4 sen2 (x) ⎤ ⎡ x 4 [1 − sen2 (x)] ⎤ ⎥ ⎥ = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ lim ⎢ x →0 ⎢ x →0 ⎢ 1 − cos(x) ⎥ 1 − cos(x) ⎥ x →0 ⎢ 1 − cos(x) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Aplicar identidad trigonométrica, sacar raíz cuadrada y usar extremos y medios

⎡ ⎤ lim[cos(x)] ⎢ cos(x) ⎥ ⎡ x 4 − x 4 sen2 (x) ⎤ 1 ⎥ = x →0 ⎥ = lim ⎢ = lim ⎢ 1 x →0 ⎢ x →0 ⎢ ⎡ 1 − cos(x) ⎤ ⎥ 1 − cos(x) ⎥ ⎡ 1 − cos(x) ⎤ ⎣ ⎦ lim ⎥⎦ ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ 2 x →0 ⎢ x2 x2 ⎣ ⎦

Por lo tanto,

⎡ x 4 − x 4 sen2 (x) ⎤ ⎥ = 2 lim ⎢ x →0 ⎢ 1 − cos(x) ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 2 ⎤ 1 8. lim ⎢ 2 − ⎥ x →0 ⎣ sen (x) 1 − cos(x) ⎦ Solución Sacar mínimo común múltiplo a los denominadores ⎡ 2[1 − cos(x)] − sen2 (x) ⎤ ⎡ 2 ⎤ 1 lim ⎢ 2 − = lim ⎢ ⎥ ⎥ x →0 ⎣ sen (x) 1 − cos(x) ⎦ x →0 ⎣ sen2 (x)[1 − cos(x)] ⎦

138|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Al usar identidad trigonométrica y diferencia de cuadrados, se tiene ⎡ 2[1 − cos(x)] − [1 − cos2 (x)] ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ [1 − cos(x)][2 − (1 + cos(x))] ⎤ 1 lim ⎢ 2 − = lim ⎢ ⎥ = lim ⎢ ⎥ ⎥ 2 x →0 ⎣ sen (x) x →0 ⎣ [1 + cos(x)][1 − cos(x)] 2 ⎦ x →0 1 − cos(x) ⎦ [1 cos (x)][1 cos(x)] − − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ [1 − cos(x)] 2 1 ⎡ ⎤ 1 ⎥ = lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ = 2 x →0 ⎣ 1 + cos(x) ⎦ x →0 ⎢ [1 + cos(x)][1 − cos(x)] 2 ⎥ ⎣ ⎦ Por lo tanto, ⎡ 2 ⎤ 1 1 lim ⎢ 2 − ⎥ = x →0 ⎣ sen (x) 1 − cos(x) ⎦ 2 ⎡ 1 + sen(x) − 1 − sen(x) ⎤ 9. lim ⎢ ⎥ x →0 x ⎣ ⎦ Solución Al racionalizar el numerador se tiene ⎡ [ 1 + sen(x) − 1 − sen(x) ][ 1 + sen(x) + 1 − sen(x)] ⎤ ⎡ 1 + sen(x) − 1 − sen(x) ⎤ lim ⎢ ⎥ ⎥ = lim ⎢ x →0 x x[ 1 + sen(x) + 1 − sen(x) ] ⎥⎦ ⎣ ⎦ x →0 ⎢⎣ ⎡ ⎤ 2 sen(x) = lim ⎢ ⎥ x →0 ⎢ x[ 1 + sen(x) + 1 − sen(x) ] ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ sen(x) ⎤ 2 = lim ⎢ lim ⎢ ⎥ ⎥ x →0 ⎣ x ⎦ x →0 ⎢⎣ [ 1 + sen(x) + 1 − sen(x) ] ⎦⎥

Por lo tanto,

⎡ 1 + sen(x) − 1 − sen(x) ⎤ lim ⎢ ⎥ = 1 x →0 x ⎣ ⎦

⎡ 100sen(3x) + 200cos(x) ⎤ 10. lim ⎢ ⎥ x →+∞ ⎣ x ⎦ Solución Aplicando propiedades de límites e tiene ⎡ sen(3x) ⎤ ⎡ cos(x) ⎤ ⎡ 100sen(3x) + 200cos(x) ⎤ lim ⎢ 3x ⎥ + 200 x lim ⎢ x ⎥ ⎥ = 300 x lim x →+∞ ⎢ →+∞ →+∞ x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 Luego, en nuestro problema tenemos f(x) = , g(x) = sen(x) y h(x) = cos(x) cumplen con la hipótesis x del teorema del Sándwich, por lo tanto: ⎡ 100sen(3x) + 200 cos(x) ⎤ lim ⎥ = 0 x →+∞ ⎢ x ⎣ ⎦

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 139

⎡ sen( x 2 +4 − 2) ⎤ ⎥ 11. lim ⎢ 2 x →0 ⎢ x ⎥⎦ ⎣ Solución

Multiplicando tanto numerador como denominador por ( x 2 +4 − 2) , tenemos:

lim

sen( x 2 +4 − 2)

x →0

= lim

( x 2 +4 − 2)sen( x 2 +4 − 2)

x →0

x 2 ( x 2 +4 − 2)

Usando propiedad del límite de un producto tenemos:

( x 2 +4 − 2) sen( x 2 +4 − 2) sen( x 2 +4 − 2) lim lim = x →0 x →0 x →0 x2 x2 x 2 +4 − 2 lim

Racionalizando el numerador en el primer límite se tiene:

lim

x →0

sen( x 2 +4 − 2) x2

= lim

( x 2 +4 − 2)( x 2 +4 + 2)

x →0

lim

sen( x 2 +4 − 2)

x →0

x 2 ( x 2 +4 + 2)

x 2 +4 − 2

sen( x 2 +4 − 2) sen( x 2 +4 − 2) x 2 +4 − 4 lim = lim 2 x →0 x →0 2 x x 2 +4 − 2 x ( x 2 +4 + 2) x →0 lim

lim

x →0

lim

x →0

sen( x 2 +4 − 2) x2 sen( x 2 +4 − 2) x2

= lim

x →0

= lim

x →0

x2 x 2 ( x 2 +4 + 2) 1 ( x 2 +4 + 2)

lim

sen( x 2 +4 − 2)

x →0

lim

x →0

x 2 +4 − 2

sen( x 2 +4 − 2) x 2 +4 − 2

Por tanto aplicando el límite tenemos:

sen( x 2 +4 − 2) 1 = x →0 4 x2 lim

⎡ π − 2arccos(x) ⎤ 12. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ x ⎦

Solución

Hagamos t = arccos(x) entonces x = cos(t) y si x → 0, t →

π . Luego el límite con la nueva variable es: 2

⎡ π − 2t ⎤ ⎡ π − 2arccos(x) ⎤ = lim ⎢ lim ⎥ ⎥ π x →0 ⎢ x ⎣ ⎦ t→ ⎣ cos(t) ⎦ 2

π π π Ahora hagamos otro cambio de variable: h = t – entonces t = h + . Si t → , h → 0. Luego el 2 2 2 límite es:

140|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ −2h ⎥ ⎢ ⎥ −2h ⎡ h ⎤ ⎡ π − 2t ⎤ lim ⎢ = lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ ⎥ = 2 hlim ⎢ sen(h) ⎥ = 2 ⎥ π cos(t) π π π h → 0 h → 0 → 0 ⎣ ⎦ ⎦ t→ ⎣ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ cos(h ) cos(h)cos( ) sen(h)sen( ) + − 2 2 ⎦ 2 2 ⎦ ⎣ ⎣ Por tanto, ⎡ π − 2arccos(x) ⎤ lim ⎢ ⎥ = 2 x →0 ⎣ x ⎦ ⎡ 2tgx − arcsen(x) ⎤ 13. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ sen(x) ⎦ Solución Dividiendo entre x tanto numerador como denominador tenemos: ⎡ tgx ⎤ ⎡ arcsen(x) ⎤ ⎡ 2tgx − arcsen(x) ⎤ 2 lim ⎢ − lim ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢ ⎥ x → 0 x → 0 ⎡ 2tgx − arcsen(x) ⎤ x ⎣ x ⎦ ⎣ x = lim ⎢ = lim ⎢ ⎥ ⎥ sen(x) sen(x) x →0 ⎣ sen(x) ⎦ x →0 ⎢ ⎥ lim x →0 x x ⎣ ⎦ Por lo tanto, ⎡ 2tgx − arcsen(x) ⎤ lim ⎢ ⎥ = 1 x →0 ⎣ sen(x) ⎦

Ejercicios propuestos 2.3. Nivel 1 ⎡ Sen(7x)‐Sen(2x) ⎤ 1. Calcule lim ⎢ ⎥ x→ 0 ⎣ Sen(x) ⎦ ⎡ tg(x) − Sen(x) ⎤ 2. Calcule lim ⎢ ⎥ 3 x→0 ⎣ Sen (x) ⎦ ⎡ sen3 (3x) ⎤ 3. Calcule lim ⎢ ⎥ 3 x→ 0 ⎢ ⎣ 3x ⎦⎥ ⎡ sen(5x) ⎤ 4. Calcule lim ⎢ x→ 0 ⎣ 2x ⎥⎦ ⎡ tan(3x) ⎤ 5. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 tan(5x) ⎣ ⎦ ⎡ tan(3x) ⎤ 6. Calcule lim ⎢ x→ 0 ⎣ x ⎥⎦ sen(x) 7. Calcule lim x x →0−

⎡ cos(x) − sen(x) ⎤ ⎥ ⎣ cos(2x) ⎦ ⎡ tan(x) ⎤ 9. Calcule lim ⎢ x →0 ⎣ x ⎥⎦ 8. Calcule lim ⎢ x →π /4

⎡ x − sen(2x) ⎤

10. Calcule lim ⎢ x →0 ⎣ x + sen(3x) ⎥ ⎦

⎡ cos(x) ⎤

11. Calcule lim ⎢ ⎥ x →π /2 ⎣ cot(x) ⎦

⎡ cos(x) − cos(3x) ⎤ ⎥ 2 ⎣ ⎦ x ⎡ x ⎤ 13. Calcule lim ⎢ x →0 ⎣ sen(x) ⎥ ⎦ 12. Calcule lim ⎢ x →0

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 141

⎧ 1 − cos x ⎪ ⎪ x2 14. Calcule, si existen, lim f(x) , donde f(x) = ⎨ x→0 ⎪ −x + sen(2x) ⎪⎩ x + sen(3x) Nivel 2

10.

11.

12.

⎡ cos(x) − cos(a) ⎤ ⎥⎦ x −a x→a ⎣

6. Calcule lim ⎢

⎡ cos(x) − sen(x) ⎤ 7. Calcule lim ⎢ ⎥ π cos(2x) ⎦ x→ ⎣

13.

⎡ xsen(x!) ⎤ 8. Calcule lim ⎢ 2 x →∞ ⎣ x + 1 ⎥ ⎦ Nivel 3 ⎡ arccos(x) ⎤ 1. Calcule lim ⎢ ⎥ − x →1 ⎣ − ln(x) ⎦

⎡ 2 2 − [cos(x) + sen(x)]3 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ π 1 − sen(2x) x→ ⎣ ⎦ 4

Calcule lim ⎢

⎡ tan(x) − sen(x) ⎤ ⎥ 3 x →0 ⎣ x ⎦ ⎡ xsen(x) ⎤ Calcule lim ⎢ x →0 ⎣ 1 − cos(x) ⎥ ⎦

Calcule lim 3

Calcule lim ⎢

x →0

cos(mx) − cos(nx) x2

0<x

⎡ ⎤ ⎢ sen2 (2x) ⎥ ⎥ Calcule lim ⎢ x→π ⎢ cos2 ⎛ x ⎞ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎡ sen(3x)sen(5x) ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ 3 2 x →0 ⎣ (1 − x ) ⎦ ⎡ ⎤ x Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ 1 + sen(x) − 1 − sen(x) ⎦ ⎡ (1 − cos(x))2 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ 3 3 x →0 ⎣⎢ c tg (x) − sen (x) ⎦⎥

⎡ (1 − sen(x))3 ⎤ 14. Calcule lim ⎢ 3⎥ π x → ⎢⎣ (1 + cos(2x)) ⎥⎦ 2

9. Calcule Lim ⎢ π x → ⎢⎣

⎡ 3 − 2 + Cosx ⎤ 3. Calcule lim ⎢ ⎥ 2 x →0 ⎣ Sen x ⎦ ⎡ 1 + Sen(x) − 1 − Sen(x) ⎤ 4. Calcule lim ⎢ ⎥ x→0 ⎣ tg(x) ⎦ ⎡ 1 − cos(x) ⎤ ⎥ x → 0 ⎣⎢ x2 ⎦⎥

⎡ sen2 (6x) + tan(3x) ⎤ ⎥ 3x − π ⎥⎦ 3

⎡ sen(x) ⎤ x →π ⎣ x − π ⎥ ⎦ ⎡ sen(senx) ⎤ 2. Calcule lim ⎢ ⎥⎦ x →0 ⎣ x 1. Calcule lim ⎢

5. Calcule lim ⎢

si x < 0

⎡ 1 + xsen(x) − cos(2x) ⎤ ⎥ 2 x →0 tan (x / 2) ⎣ ⎦

142|CAPITULO 2: Límites y Continuidad

πx ⎤ ⎡ ⎢ cos( 2 ) ⎥ Calcule lim ⎢ ⎥ x →1 1 − x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ arcos(1 − x) ⎤ Calcule Lim ⎢ ⎥ 2 x →0 ⎢ ⎥⎦ 2x x − ⎣ ⎡ ⎤ x6 Calcule lim ⎢ ⎥ 2 x →0 ⎢ [tg(x) − sen(x)] ⎥ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎢ 1 − 2cos(x) ⎥ ⎥ 10. Calcule lim ⎢ π x → ⎢ sen ⎛ x − π ⎞ ⎥ 3⎢ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣ ⎡ tg(1 + cos(x)) ⎤ 11. Calcule lim ⎢ ⎥ x →π ⎣ cos(tg(x)) − 1 ⎦ ⎡ cos(x) − cos(sen(2x)) ⎤ ⎥ 2 ⎣ x ⎦ ⎡ sen(x) + x ⎤ 13. Calcule lim ⎢ ⎥⎦ π⎣ x x→ 12. Calcule lim ⎢ x →0

⎡

⎤

tg(ax)

14. Calcule lim ⎢ x →π ⎣ (1 − cos(ax) + x)(sec(ax) ⎥ ⎦

2.4. LIMITES EXPONENCIALES El número e se define como la serie infinita: 1 1 1 1 e = 1 + + + + … + + … 1! 2! 3! n! Ahora mencionaremos los siguientes teoremas: Teorema 1 x

1⎞ 1 ⎛ Sea f : R → R, definida por f(x) = ⎜ 1 + ⎟ , entonces lim f(x) = lim (1 + ) x = e x →±∞ x →±∞ x x⎠ ⎝ Teorema 2 Si lim f(x) = L >0 entonces lim [log b f(x)] = logb lim f(x) = log b L x→a

Algunos límites notables 1 lim (1 + ) x = e x →∞ x

x→a

a lim (1 + ) x = ea x →∞ x

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 143 1

lim(1 + x) x = e

x→ 0

a x −1 = ln(a), a >0, a ≠ 1 x→0 x

lim

Límites de la forma lim [ f(x)] g(x)

x→a Se considera tres casos Caso 1: Si los límites lim f(x) = A , lim g(x) = B existen y son finitos, entonces

x→a

x →a

lim [ f(x)] g(x) = A B

x→a

Caso 2: Si lim f(x) = A ≠ 1 , lim g(x) = ±∞ , entonces x→a

x →a

⎧ +∞ ⎧0 ; 0 < A < 1 ⎪A = ⎨ [g(x)] ⎪ ⎩ +∞ ; A > 1 lim [ f(x)] =⎨ x →a ⎪A −∞ = ⎧0 ; A > 1 ⎨ ⎪ ⎩ +∞; 0 < A < 1 ⎩ Caso 3: Si lim f(x) = 1 , lim g(x) = ±∞ , entonces se tiene la forma indeterminada 1 ±∞ . En este caso se define x→a

x →a

una nueva función h(x) = f(x) – 1, tal que lim h(x) = o. x →a

Entonces, lim h(x)g(x)

lim [ f(x)]g(x) = [e]x →a

x →a

Ejercicios resueltos x

1⎤ ⎡ Calcule lim ⎢1 + ⎥ x →∞ ⎣ 2x ⎦

Solución Dar forma para aplicar el límite notable, es decir x

x (2) ⎤2

1⎤ 1 ⎡ ⎡ lim ⎢1 + ⎥ = lim ⎢1 + ⎥ x →∞ ⎣ x →∞ ⎣ 2x ⎦ 2x ⎦

⎡ 1 ⎞ ⎛ ⎢ lim ⎜ 1 + ⎟ x→ ∞ ⎝ 2x ⎠ ⎣⎢

Por lo tanto,

1⎤ ⎡ lim ⎢1 + ⎥ = e 2 x →∞ ⎣ 2x ⎦

1 2

⎤ = e 2 ⎥ ⎦⎥ 1

144|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 2.

Calcule lim [1 + 2x ]

1 x

x →0

Solución Dar forma para aplicar el límite notable y se tiene 1 x

lim [1 + 2x ] = lim [1 + 2x ]

x →0

Por lo tanto,

1 2x

1 ⎤ ⎡ 2x ⎥ ⎢ = lim [1 + 2x ] = e2 ⎢ x →0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

(2)

x →0

1 x

lim [1 + 2x ] = e2

x →0

1⎤ ⎡ Calcule lim ⎢1 + ⎥ x →∞ ⎣ x⎦

x +2

Solución Usando teoría de exponentes y propiedades de los límites se tiene x +2 x x 2 ⎡⎛ 1⎤ 1⎤ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ lim ⎢1 + ⎥ = lim ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + ⎟ ⎥ = lim ⎢1 + ⎥ lim ⎢1 + x →∞ ⎢⎝ →∞ →∞ x →∞ ⎣ x x x⎦ x x x ⎣ ⎦ ⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣

1⎤ = (e)(1) x ⎥⎦

Por lo tanto,

x +2

1⎤ ⎡ lim 1 + ⎥ x →∞ ⎢ x⎦ ⎣

= e

2⎤ ⎡ Calcule lim ⎢1 + ⎥ x →+∞ ⎣ x⎦

x +1

Solución Aplicando teoría de exponentes y propiedades de límites se obtiene

2⎤ ⎡ lim 1 + ⎥ x⎦

x +1

x →+∞ ⎢ ⎣

Por lo tanto,

⎡ x ⎡⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ ⎛ = lim ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + ⎟ ⎥ = ⎢ lim ⎜ 1 + ⎢ →+∞ x x →+∞ ⎢⎝ x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣

x ⎤2 2 ⎞2 ⎥

2⎤ ⎡ lim 1 + ⎥ = e2 × 1 ⎟ x ⎠ ⎥ x →+∞ ⎢⎣ x⎦ ⎥⎦

x +1

2⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ x →+∞ ⎝ x⎠ 5.

⎡x − 1⎤ lim ⎥ x →+∞ ⎢ ⎣x + 1⎦

= e2

Solución Dividir tanto numerador como denominador entre “x” y aplicar propiedad de límites se tiene

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 145 −x ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ 1⎤ ⎡ + lim 1 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ x x →+∞ ⎢⎝ −x ⎠ ⎥⎦ ⎢1 − x ⎥ ⎡x − 1⎤ ⎣ lim = ⎢ ⎥ = xlim x 1⎥ x →+∞ ⎢ →+∞ ⎣x + 1⎦ 1⎤ ⎡ ⎢1 + ⎥ + lim 1 x⎦ ⎣ x →+∞ ⎢ x ⎥⎦ ⎣

−1

Por lo tanto,

e−1 = e −2 e

⎡x − 1⎤ lim ⎢ = e −2 x →+∞ ⎣ x + 1 ⎥ ⎦ 1

lim [1 + sen(x)] x

x →0

Solución Multiplicando y dividiendo en el exponente por sen( x) , se tiene lim

1 ⎤ ⎡ x →0 ⎛ 1 ⎞⎛ sen(x) ⎞ 1 sen(x) ⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ lim [1 + sen(x)] x = lim [1 + sen(x)]⎝ sen(x) ⎠⎝ x ⎠ = ⎢ lim (1 + senx ) ⎥ x →0 x →0 x →0 ⎢⎣ ⎥⎦ Por lo tanto, 1

lim(1 + senx) x = e

x →0

Otra forma de solucionar este límite es usando el caso 3, es decir: h(x) = sen(x) ⇒ lim[1 + x →0

lim [1 − sen(3x)]

1 sen(x)]x

⎛ sen(x) ⎞ lim ⎜ ⎟ → x e ⎝ x ⎠

= e

1 2x

x →0

Solución Multiplicando al numerador y denominador por sen(3x) en el exponente se tiene

lim [1 − sen(3x)]

x →0

1 2x

= lim [1 + (−sen(3x))]

1 ⎛ ⎞⎛ − sen(3x) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎠ ⎝ − sen(3x) ⎠⎝ 2x

x →0

lim

⎛ − sen(3x) ⎞ ⎟ 3x ⎠

1 ⎛ ⎞ ⎤ 2 x →0⎜⎝ ⎡ ⎜ ⎟ ⎝ − sen(3x) ⎠ ⎥ ⎢ = ⎢ lim[1 + (−sen(3x))] ⎥ x →0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Por lo tanto,

1 2

−3

lim [1 − sen(3x)] = e 2

x →0

sen(x) x

= e1

146|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 8.

lim ⎡ 3 1 + sen(3x) ⎤⎦

x →0 ⎣

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ sen( 3 x) ⎥⎦

Solución Multiplicando y dividiendo en el exponente por sen(3x) se tiene

lim ⎡ 3 1 + sen(3x) ⎤⎦

x →0 ⎣

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎣⎢ sen( 3 x) ⎦⎥

⎡ 1 sen(3x) ⎤ ⎫ ⎧ × ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎣⎢ sen(3x) sen( 3x) ⎦⎥ ⎪ ⎪ = 3 lim ⎨[1 + sen(3x)] ⎬ x 0 → ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎡ 1 ⎤⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ sen3x ⎦ ⎥ = ⎢ lim[1 + sen(3x)] ⎥ x →0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 3sen(3x) ⎤ ⎢ ⎥ 3x ⎦ lim ⎣ ⎡ x →0 3 sen( 3x) ⎤ ⎢ ⎥ 3x ⎢⎣ ⎥⎦

= e

Por lo tanto, racionalizando en el exponente del radicando se tiene

lim ⎡ 3 1 + sen(3x) ⎤⎦

x →0 ⎣

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎣⎢ sen( 3 x) ⎦⎥

= e

3 3

lim {x [ln(x + 1) − ln(x)]}

x →+∞

Solución Usando propiedad de logaritmos se tiene

⎧ ⎡ ⎛ x + 1 ⎞⎤ ⎫ ⎛ lim {x [ln(x + 1) − ln(x)]} = lim ⎨ x ⎢ln ⎜ ln ⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎬ = x lim x →+∞ x →+∞ →+∞ x ⎠⎦ ⎭ ⎝ ⎩ ⎣ ⎝ Por lo tanto, lim {x [ln(x + 1) − ln(x)]} = 1 x →+∞

x2 +2

⎡ x 3 + 2x + 3 ⎤ 10. lim ⎢ ⎥ 3 x →∞ ⎣ x +4 ⎦ Solución Sumando y restando 1 en la base de la potencia tenemos:

1⎞x 1 x⎞ ⎛ + ) ⎟ = ln e ⎟ = ln ⎜ xlim(1 x⎠ x ⎠ ⎝ →0

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 147

⎡ x3 + 2x + 3 ⎤ lim ⎢ ⎥ 3 x →∞ ⎣ x +4 ⎦

x2 +2

⎡ ⎤ x3 + 2x + 3 − 1⎥ = lim ⎢1 + 3 x →∞ x +4 ⎣ ⎦

( )⎤⎦⎥⎥

⎡⎛ 2x −1 ⎞ 2 lim ⎢⎜⎜ ⎟⎟ x +2 x →+∞ ⎣⎢⎝ x3 + 4 ⎠

x2 +2

( )

⎛ 2x −1 ⎞ 2 ⎜ ⎟ x +2

x3 + 4 ⎫⎜⎝ x3 + 4 ⎟⎠ ⎧ ⎪⎡ 2x − 1 ⎤ 2x −1 ⎪ = lim ⎨ ⎢1 + 3 ⎬ x →∞ ⎣ x + 4 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎡ 2x3 + 4x − x2 −2 ⎤ ⎥ lim ⎢ ⎥⎦ x →+∞ ⎢⎣ x3 + 4

= e = e Aplicando límite al infinito en el exponente se tiene:

⎡ x3 + 2x + 3 ⎤ lim ⎢ ⎥ 3 x →∞ ⎣ x +4 ⎦

x2 +2

= e2

Ejercicios propuestos. 2.4. Nivel 1 1.

⎡ 4 x − 2x ⎤ Calcule lim ⎢ x ⎥ x → 0 6 − 5x ⎣ ⎦ −x ⎤ ⎡ x lim ⎢ e − e ⎥ x x →0 ⎣⎢ ⎦⎥

Calcule

⎡ 2x + 3x − 2 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 x ⎣ ⎦

⎡ sen(x) − 2x + 1 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x→ 0 ⎢ x ⎥⎦ ⎣

2x ⎤ x +1

⎡1 Calcule lim ⎢ 2 ⎥ x→ ∞ ⎣ x ⎦ Calcule

⎡ 2 ⎤ lim ⎢ x 2+ 2 ⎥ x →∞ ⎣⎢ 2x + 1 ⎦⎥

⎡ x ⎤ Calcule lim ⎢ x →∞ ⎣ x + 1 ⎥ ⎦

Calcule lim {x [ln(x + 1) − ln(x)]}

⎡ 3x +2 + 2x ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x −2 x→ ∞ ⎣ 3 ⎦

x→ ∞

⎡

1⎤

10. Calcule lim ⎢1 + ⎥ x →∞ ⎣⎢ x2 ⎥⎦ 2

11. Calcule lim [1 + 3x ] x x →0

⎡

⎤ 2 ⎥ 1/x x → 0 ⎣⎢ 3 + 4 ⎦⎥

12. Calcule lim ⎢

⎡ 4 x − 10x ⎤ 13. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 x ⎣ ⎦

14. Calcule lim

n→∞

⎡ 1⎤ 1+ ⎣⎢ n ⎦⎥

3n + 2

Nivel 2 1.

⎡ 2n+1 + 3n+1 ⎤ Calcule lim ⎢ n n ⎥ x →0 ⎣ 2 +3 ⎦

⎡ 1 − e− x ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x → 0 sen(x) ⎣ ⎦

⎡ 5x −1 + x − 2 ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x→1 x −1 ⎣ ⎦

⎡ senh(x) ⎤ 10. Calcule lim ⎢ x →0 ⎣ 3x ⎥⎦

148|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎡ cosh(x) − 1 ⎤ 11. Calcule lim ⎢ ⎥ x→ 0 ⎣ x2 ⎦

⎡ tg(x) − 8 x + 1 ⎤ ⎥ x →0 ⎣ x ⎦

Calcule lim ⎢

⎛x −1⎞ Calcule lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 3 ⎠

⎡ log(1 + 10x) ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ x →∞ ⎣ x ⎦

Calcule lim ⎡⎣n(n a − 1)⎤⎦ ;a > 0 n→∞

⎡ eax − ebx ⎤ Calcule lim ⎢ ⎥ ; a,b ∈ R − {0} x →0 x ⎣ ⎦

Calcule lim[1 + sen(x)]1/x

12. Calcule lim [ tanh(x)]

x →−∞

13. Calcule lim ⎡⎣cos2n (x)⎤⎦ n→∞ 1 ⎤ ⎡ senx 1 tg(x) + ⎛ ⎞ ⎥ 14. Calcule lim ⎢⎜ ⎟ ⎥ x →0 ⎢⎝ 1 − tg(x) ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ln( x + 1) − x ⎤ ⎥ x ⎣ ⎦

15. Calcule lim ⎢ x →0

x →0

Nivel 3 ⎡ 3πx α ⎤ cos( )⎥ ⎢ 2 ⎥ 9. Calcule lim ⎢ x →1 ⎢ ln(2x − 7 x) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ax + b ⎤ 1. Calcule xlim ⎥ ;a<c →+∞ ⎢ ⎣ cx + d ⎦ x2

⎡ 3x − x + 1 ⎤ 1−x2 Calcule lim ⎢ ⎥ 2. x →∞ ⎢ 2x2 + x + 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 1+x ⎤ 3. Calcule lim ⎢ ln ⎥ x →0 ⎢ x 1 − x ⎥⎦ ⎣ 4. Calcule lim(cos x)1/x 2

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 3 (x n) cos(x) ⎥ 10. Calcule lim ⎢ x→0 ⎢ 1 ⎞⎥ ⎛ ⎢ n n ⎜ sec(x)sen(x) − csc(x) ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣

x →0

⎡ (ex + x)tg(x) ⎤ 11. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 (1 + sen(x))x ⎣ ⎦

ln(cos x) 5. Calcule xlim →0 x2 ⎡ ln(1 + ex ) ⎤ ⎢ ⎥ 6. Calcule xlim →∞ x ⎣ ⎦

ctg(x) x

⎡ (1 + x)a − 1 ⎤ 12. Calcule lim ⎢ ⎥ x →0 ⎣ ln(1 + x) ⎦

⎡ 2t 4 t ⎤ t + 5 lim 7. Calcule t → 0 ⎢⎣ 5 5 ⎥⎦ 8.

x +2

⎡ ax + a2x + a3x + 13. Calcule lim ⎢ 1 x →0 ⎢ n ⎣ x −1− x2 −5 ⎤ x2 −5x +6

⎡ 2x + 3 − x Calcule lim ⎢ ⎥ x →3 ⎣ x +1 −x +1 ⎦

anx ⎤ sen(x) ⎥ ⎦⎥

⎡ tg(3x) + cos(4x) − cos(2x) ⎤ 14. Calcule lim ⎢ ⎥ x → 0 ⎣ ln 1 + 3x − ln 1 − 3x ⎦

⎡ ⎡ ⎛ x ⎞α ⎤ ⎢ lim cos 2π ⎜ Calcule ⎢ 15. ⎟ ⎥ x →∞ ⎢ ⎢⎣ ⎝ x + 1 ⎠ ⎦⎥ ⎣

⎤ ⎥ ⎥⎦

;α∈N

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 149

2.5. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Definición Sea una recta L con un punto A que se desplaza a lo largo de la curva y = f(x) , si la distancia entre la recta L y el punto A tiende a cero, cuando A tiende al infinito, entonces a la recta L se le llama asíntota de la curva y = f(x) . Geométricamente: Y f A L X Definición (Asíntota vertical) La recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple una de las relaciones siguientes. Y Asíntota (i) lim f(x) = ±∞ x →a

(ii) lim f(x) = ±∞ x →a+

(iii) lim f(x) = ±∞

x →a−

Figura a Definición (Asíntota Horizontal) La recta y = b es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple una de las relaciones siguientes: Y (i) lim f(x) = b x →+∞

(ii) lim f(x) = b x →−∞

(iii) lim f(x) = b

Asíntota

x →∞

Figura b

150|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Definición (Asíntota Oblicua) La recta y = mx + n; m ≠ 0 es una asíntota oblicua de la curva y = f(x) si se cumple que: f(x) (i) lim (ii) lim [ f(x) − mx ] = n =m ∧ x →±∞ x x →±∞ Y Asíntota X Figura c

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, halle las asíntotas de cada una de las funciones que se dan a continuación: 1 1. y = x −1 Solución A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x=1 1 1 a) lim = + = +∞ + x 1 − 0 x →1 1 1 b) lim = − = −∞ − 0 x →1 x − 1 1 Por lo tanto, la función racional y = tiene una asíntota en x=1 x −1 B) Asíntota Horizontal 1 lim = 0 ; por teorema x →∞ x − 1 Por lo tanto, y = 0 es asíntota horizontal C) Asíntota Oblicua 1 1 x m = lim − 1 = lim 2 =0 x →∞ x x →∞ x − x 1 no tiene asíntota oblicua. Por lo tanto, la función y = x −1

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 151

f(x) =

1 − 2x x

Solución A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x=0 1 − 2x 1 a) lim = + = +∞ + x 0 x →0 1 − 2x 1 b) lim = − = −∞ − x 0 x →0

Por lo tanto, la función racional f(x) = B)

1 − 2x tiene una asíntota en x=0 x

Asíntota Horizontal

lim

x →∞

1 − 2x 1 = lim [ − 2] = −2 x →∞ x x

Por lo tanto, la función racional f(x) =

1 − 2x tiene una asíntota horizontal en y=–2 x

Asíntota Oblicua 1 − 2x 1 − 2x m = lim x = lim = 0 x →∞ x →∞ x2 x 1 − 2x Por lo tanto, la función f(x) = no tiene asíntota oblicua x x2 3. y = x −1 Solución A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x=1 x2 1 lim = + = +∞ a) + 0 x →1 x − 1 b)

x2 1 = − = −∞ − 0 x →1 x − 1 lim

Por lo tanto la función y = B)

x2 tiene una asíntota vertical en x=1 x −1

Asíntota Horizontal x2 1 1 = lim = + = +∞ lim 1 x →∞ x − 1 x →∞ 1 0 − x x2 x2 no tiene asíntota horizontal Por lo tanto, la función y = x −1

152|CAPITULO 2: Límites y Continuidad C)

Asíntota Oblicua

x2 x =1 m = lim x − 1 = lim x →∞ x x →∞ x − 1 x2 x2 x2 − x2 + x x n = lim [ − mx] = lim [ − x] = lim [ ] = lim [ ] = 1 x →∞ x − 1 x →∞ x − 1 x →∞ x →∞ x − 1 x −1 Por lo tanto, la asíntota oblicua es: y = x +1 2 x −4 4. f(x) = x Solución A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x=0 x2 − 4 −4 lim = + = −∞ a) x 0 x →0+ b)

x2 − 4 −4 = − = +∞ x 0 x →0 − lim

Por lo tanto, la función racional f(x) =

x2 − 4 tiene una asíntota en x=0 x

Asíntota Horizontal 4 1− 2 2 x −4 x = 1 = +∞ lim = lim 1 x →∞ x →∞ x 0+ x x2 − 4 Por lo tanto, la función f(x) = no tiene asíntota horizontal x C) Asíntota Oblicua B)

x2 − 4 x2 − 4 m = lim x = lim = 1 x →∞ x →∞ x 2 x x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 − x2 −4 n = lim [ − mx] = lim [ − x] = lim [ ] = lim [ ] = 0 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x x x Por lo tanto, la asíntota oblicua es: y = x 3x 2 + 2 5. f(x) = x +1 Solución A) Asíntota vertical Analice los límites laterales en x=–1

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 153

3x2 + 2 5 = + = +∞ + x +1 0 x →−1 2 3x + 2 5 lim = − = −∞ − x +1 0 x →−1 lim

a) b)

Por lo tanto, la función racional f(x) =

3x 2 + 2 tiene una asíntota en x=–1 x +1

Asíntota Horizontal 3x2 + 2 lim = +∞ x →∞ x + 1 Por lo tanto, la función f no tiene asíntota vertical

Asíntota Oblicua

3x2 + 2 3x2 + 2 m = lim [ x + 1 ] = lim [ 2 ] = 3 x →∞ x →∞ x + x x 3x2 + 2 −3x + 2 n = lim [ − 3x] = lim [ ] = −3 x →∞ x + 1 x →∞ x + 1 Por lo tanto, la asíntota oblicua es:

y = 3x − 3

2 x +1 6. f(x) = 2x − 1 Solución A) Asíntota Vertical 1 Analice los límites laterales en x= 2 5 x2 + 1 = 4+ = +∞ lim a) + 2x − 1 0 1 x→ 2

5 x2 + 1 = 4− = −∞ lim − 2x − 1 0 1 x→

Por lo tanto, la función racional f(x) =

x2 + 1 1 tiene una asíntota en x= 2x − 1 2

Asíntota Horizontal x2 + 1 lim = ∞ x →∞ 2x − 1 Por lo tanto, la función f(x) =

x2 + 1 no tiene asíntota horizontal 2x − 1

154|CAPITULO 2: Límites y Continuidad C)

Asíntota Oblicua

x2 + 1 x2 + 1 1 m = lim 2x − 1 = lim 2 = + + x 2 x →∞ x →∞ 2x − x 2 2 x +1 x 2x + 2 − 2x2 + x 2+x 1 n = lim [ − ] = lim = lim = + + + 2 x →∞ 2(2x − 1) 4 x →∞ 2x − 1 x →∞ 2(2x − 1) Por lo tanto, la asíntota oblicua es y=

f(x) =

x x −1 2

1 1 x+ 2 4

Solución A) Asíntotas Verticales Analice los límites laterales en x= ±1 x x −1 a) lim 2 = lim = + = −∞ + + 0 x →−1 x − 1 x →−1 (x − 1)(x + 1) x x −1 b) lim 2 = lim = − = +∞ 0 x →−1− x − 1 x →−1− (x − 1)(x + 1) x x 1 c) lim 2 = lim = + = +∞ + + (x 1)(x 1) − + 0 x →1 x − 1 x →1 x x 1 d) lim 2 = lim = − = −∞ − − 0 x →1 x − 1 x →1 (x − 1)(x + 1) x tiene como asíntotas verticales a x=1 ; x = –1. Por lo tanto la función f(x) = 2 x −1 B) Asíntota Horizontal x lim = 0 x →∞ x2 − 1 x Por lo tanto, la función f(x) = 2 tiene como asíntota horizontal a la recta y=0. x −1 C) Asíntota Oblicua x 2 x = 0 m = lim x − 1 = lim 3 x →∞ x →∞ x − x x x Por lo tanto, la función f(x) = 2 no tiene asíntota oblicua. x −1 x 8. f(x) = x

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 155

Solución A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x=0 x x lim = lim = lim x = 0 + + x x →0 x x →0+ x →0

Por lo tanto la función racional f(x) =

x x

no tiene asíntota vertical

Asíntota Horizontal x x lim = lim = lim x = +∞ x →∞+ x x →∞+ x x →∞+ x no tiene asíntota horizontal. Por lo tanto, la función f(x) = x

Asíntota Oblicua x

x = lim x = lim 1 = 0 x x →∞ + x x x →∞ + x x no tiene asíntota oblicua Por lo tanto, la función f(x) = x 3 + x − x2 9. f(x) = x −2 m = lim

x →∞ +

Solución A) Asíntota Vertical

Analice los límites laterales en x= 2 3 + x − x2 1 lim = + = +∞ a) 0 x→2+ x − 2 b)

3 + x − x2 1 = − = −∞ 0 x→2− x − 2 lim

Por lo tanto la función racional f(x) =

3 + x − x2 tiene una asíntota en x=2 x −2

Asíntota Horizontal 3 1 + −1 2 3 + x − x2 −1 x x lim = lim = + = −∞ 2 x →∞ x →∞ 1 x −2 0 − x x2

Por lo tanto, la función f(x) =

3 + x − x2 no tiene asíntota horizontal x −2

Asíntota Oblicua

3 + x − x2 2 x − 2 = lim 3 + x − x = −1 m = lim 2 x x →∞ + x →∞ + x − 2x

156|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 3 + x − x2 3 + x − x2 + x2 − 2x 3−x + x] = lim [ ] = lim [ ] = −1 + + + x −2 x −2 x →∞ x →∞ x →∞ x − 2 Por lo tanto, la asíntota oblicua es: y = x − 1 n = lim [

x4 + 2

10. f(x) =

4 − x2

Solución A) Asíntota Vertical

Analice los límites laterales en x= ± 2 a) b) c) d)

x4 + 2

lim

x4 + 2 18 = − = −∞ + (2 − x)(2 + x) 0 x →2

= lim

2 x →2+ 4 − x

x4 + 2

lim

2 x →2− 4 − x

x4 + 2 18 = + = +∞ − 0 x →2 (2 − x)(2 + x)

= lim

x4 + 2

lim

x4 + 2 18 = + = +∞ 0 x →−2+ (2 − x)(2 + x)

x4 + 2 18 = − = −∞ − 0 x →−2 (2 − x)(2 + x)

2 x →−2+ 4 − x

x4 + 2

lim

2 x →−2− 4 − x

lim

Por lo tanto la función racional f(x) =

x4 + 2 4 − x2

tiene como asíntotas verticales a x=2 ; x= –2.

Asíntota Horizontal

x4 + 2

lim

4 − x2

x →∞

2 x 4 = −1 = lim x →∞ 4 −1 x2 1+

Por lo tanto, la función f(x) =

x4 + 2 4 − x2

tiene como asíntota horizontal a la recta y = –1

Asíntota Oblicua

x4 + 2 2 x4 + 2 m = lim 4 − x = lim = 0 x →∞ x →∞ 4x − x 3 x Por lo tanto, la función f(x) =

x4 + 2 4 − x2

no tiene asíntota oblicua

11. f(x) =

2x 3 x2 − x + 1

Solución A) Asíntota Vertical Los valores de que anulan al denominador son los candidatos a ser asíntota vertical, por lo tanto esta función no tiene asíntotas verticales puesto que el denominador es un polinomio cuadrático que no se factoriza en el campo de los números reales.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 157

Asíntota Horizontal 2x 3 = ∞ lim 2 x →∞ x − x + 1

Por lo tanto, la función f(x) =

2x 3 x2 − x + 1

no tiene asíntota horizontal

Asíntota Oblicua ⎡ ⎛ 2x3 ⎞⎤ ⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎡ ⎤ 2x3 ⎢⎝ x − x + 1 ⎠⎥ m = lim ⎢ lim = ⎢ ⎥ = 2 ⎥ 3 2 x →∞ x →∞ x − x + x x ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3 2x 2x 3 − 2x 3 + 2x 2 − 2x 2x 2 − 2x n = lim [ 2 − 2x] = lim [ ] = lim [ ] = 2 x →∞ x − x + 1 x →∞ x →∞ x 2 − x + 1 x2 − x + 1 Por lo tanto, la asíntota oblicua es: y = 2x + 2 1 ⎧ ⎪⎪x + 1 + x + 1 ; x < −1 12. f(x) = ⎨ 2 ⎪ 2x ; x ≥ − 1 ⎪⎩ x2 + 1 Solución

⎧ x2 + 2x + 2 1 ⎧ ; x < −1 ⎪ ⎪⎪x + 1 + x + 1 ; x < −1 ⎪ x+1 = f(x) = ⎨ ⎨ 2 2 ⎪ 2x ⎪ 2x ; x 1 ≥ − ; x ≥ −1 ⎪⎩ x2 + 1 ⎪⎩ x2 + 1 A) Asíntota Vertical Analice sólo cuando el denominador se hace cero. Es decir: ⎡ x2 + 2x + 2 ⎤ 1 lim f(x) = lim ⎢ ⎥ = − = −∞ − − x +1 ⎦ 0 x →−1 x →−1 ⎣ Por lo tanto, la función f tiene una asíntota vertical en x = –1.

B) Asíntota Horizontal Para x <–1: ⎡ x 2 + 2x + 2 ⎤ lim f(x) = lim ⎢ ⎥ =− ∞ x →−∞ x →−∞ ⎣ x+1 ⎦

Para x ≥ –1 ⎡ 2x 2 ⎤ lim f(x) = lim ⎢ 2 ⎥ =2 x →+∞ x →+∞ x + 1 ⎣ ⎦

Por lo tanto, la función f tiene asíntotas horizontal y = 2.

158|CAPITULO 2: Límites y Continuidad C) Asíntota Oblicua Para x <–1:

⎡ x2 + 2x + 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ x2 + 2x + 2 ⎤ f(x) m = lim = lim ⎢ x + 1 ⎥ = lim ⎢ ⎥ = 1 x →−∞ x x →−∞ ⎢ x ⎥ x →−∞ ⎣ x2 + x ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 − x2 − x x+2 n = lim [f(x) − mx] = lim [ − x] = lim [ ] = lim [ ] = 1 x →−∞ x →−∞ x x →−∞ →−∞ x+1 x +1 x +1 Por lo tanto, la asíntota oblicua para x <–1 es: y = x +1 Para x ≥ –1 ⎡ ⎛ 2x2 ⎞ ⎤ ⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎡ 2x2 ⎤ ⎢⎝ x + 1 ⎠ ⎥ ⎡ f(x) ⎤ m = lim ⎢ lim lim = = ⎥ = 0 ⎢ ⎥ x →+∞ ⎢ 3 x →+∞ ⎣ x ⎥ x ⎦ x →+∞ ⎢ ⎣x + x ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Por lo tanto, no existe asíntota oblicua para x ≥ –1 | 3 − x2 | −1 13. f(x) = | x | −2 Solución

⎧−x + 2 ; x < − 3 ∧ x ≠ −2 ⎪ ⎪ 2 − x2 2 ⎪⎪ −x − 2 ; − 3 ≤ x < 0 | 3 − x | −1 f(x) = = ⎨ 2 | x | −2 ⎪2 − x ; 0 ≤ x < 3 ⎪ x −2 ⎪ ⎪⎩x + 2 ; x ≥ 3 ∧ x ≠ 2 A) Asíntota Vertical Analice los límites laterales en x = ±2 a)

(x − 2) (x + 2) | 3 − x 2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = lim = lim = lim = 4 + + + + | x | −2 x −2 x−2 x →2 x →2 x →2 x − 2 x →2

lim f(x) = lim

x →2+

(x − 2) (x + 2) | 3 − x2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = 4 = lim = lim = lim − − − − | x | −2 x −2 x −2 x →2 x →2 x →2 x − 2 x →2

lim f(x) = lim

x →2−

Por lo tanto,

lim f(x) = 4

x →2

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 159

c) d)

(x + 2) (x − 2) | 3 − x2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = 4 = lim = lim = lim + + + + | x | −2 −x − 2 −( x + 2) x →−2 x →−2 x →−2 −x − 2 x →−2

lim f(x) = lim

x →−2+

(x + 2) (x − 2) | 3 − x2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = 4 = lim = lim = lim | x | −2 −( x + 2) x →−2− x →−2− −x − 2 x →−2− −x − 2 x →−2−

lim f(x) = lim

x →−2−

Por lo tanto,

lim f(x) = 4

x →−2

Por lo tanto, la función f(x) = B)

| 3 − x2 | −1 no posee asíntotas verticales en x = ±2 | x | −2

Asíntota Horizontal

| 3 − x2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = lim = lim = lim (x + 2) = +∞ x →+∞ | x | −2 x →+∞ x →+∞ x − 2 x →+∞ x −2

lim f(x) = lim

x →+∞

| 3 − x2 | −1 x2 − 3 − 1 x2 − 4 = lim = lim = lim (2 − x) = +∞ x →−∞ | x | −2 x →−∞ −x − 2 x →−∞ −(x + 2) x →−∞

lim f(x) = lim

x →−∞

Por lo tanto, la función f(x) = C)

| 3 − x2 | −1 no tiene asíntotas horizontales. | x | −2

Asíntota Oblicua

| 3 − x2 | −1 f(x) x2 − 3 − 1 | x | −2 m = lim = lim = lim 2 = 1 x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x − 2x x n = lim [f(x) − mx] = lim [ x →+∞

x →+∞

x2 − 3 − 1 x2 − 4 −4 + 2x − x] = lim [ − x] = lim [ ] = 2 x →+∞ x − 2 x →+∞ x − 2 x −2

La recta, y = x + 2 no es una asíntota oblicua pues es parte de la función para x > 3 ∧ x ≠ 2

| 3 − x2 | −1 f(x) x2 − 3 − 1 | x | −2 m = lim = lim = lim = −1 x →−∞ x x →−∞ x →+∞ −x 2 − 2x x n = lim [f(x) − mx] = lim [ x →−∞

x →−∞

x2 − 3 − 1 x2 − 4 −4 − 2x + x] = lim [ + x] = lim [ ] = 2 x →−∞ −x − 2 x →+∞ −x − 2 −x − 2

La recta, y = −x + 2 no es una asíntota oblicua pues es parte de la función f para x < − 3 ∧ x ≠ −2 14. 2y(x + 1)2 = x 3

160|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Solución x3 Despejando la variable y , se tiene: y = 2(x + 1)2

Asíntota Vertical x3

lim

x →−1 2(x

Por lo tanto, la función y =

+ 1)

−1 0+

= −∞

x3 2(x + 1)2 tiene una asíntota en x= –1

Asíntota Horizontal x3

lim

x →∞ 2(x

Por lo tanto, la función y =

+ 1)2

= ∞

x3 2(x + 1)2 no tiene asíntotas horizontales

Asíntota Oblicua

x3 x3 x3 1 2(x + 1)2 = lim = = m = lim lim 2 3 2 x →∞ x →∞ 2x(x + 1) x →∞ 2x + 4x + 2x x 2 n = lim [f(x) − mx] = lim [ x →∞

x →∞

x x3 x −2x2 − x − ] = lim [ − ] = lim [ ] = −1 x →∞ 2x 2 + 4x + 2 x →∞ 2x 2 + 4x + 2 2 2(x + 1)2 2 x3

Por lo tanto, la función tiene una asíntota oblicua. x y = −1 2

Ejercicios propuestos 2.5. Del 1 al 15 encuentre las asíntotas de las siguientes funciones.

Nivel 1 1. 2.

x −1 3x + 2 2 − x2 = x x−4 = (x − 2)2 1 = 2 x −4 2x − 3 = x+3

f(x) =

f(x)

f(x) =

x2 x2 − 1 x2 + 3

11. f(x) =

x2 + 1 2x 2 − 3x + 5 8. f(x) = −x − 1 x2 + 2x − 1 9. f(x) = x x2 + 1 10. f(x) = x +1

12. f(x) =

x3 2(x + 1)2 x2

x − 12x + 2x 3 − 8x + 32 x 13. f(x) = 2 x − 4x + 3 x3 14. f(x) = 2 x +9 x2 + 1 15. f(x) = x2 − 1 4

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 161

Nivel 2 Del 1 al 13 encuentre las asíntotas de las siguientes funciones. 2x 3 x 2 − 5x + 1 8. f(x) = −x + 1 + 1. f(x) = 3x + 7 x 4 − 13x 2 + 36 2 x −1 x2 2. f(x) = 2 9. f(x) = 3 − 2x − x + 3x + 2 2 x x 2 − − (x + 3)2 3. f(x) = 2 x 6 − 9x 4 − x 2 + 9 10. f(x) = x + 4 x +4 x2 − 5 x+1 4. f(x) = 2 x3 − 8 x (x − 4) 11. f(x) = x−4 4x + 3 5. f(x) = x2 x+3x 12. f(x) = + x − 5 1 x2 + 4 6. f(x) = 1 − ex sen(x) 13. f(x) = 7. f(x) = e1/x x x3 − 8 y esboza su gráfico. x−4 15. La función f(x) cumple las dos propiedades siguientes: i. y = 3x + 5 es una asíntota derecha de la gráfica de f . ii. f(x) = f(−x), ∀x ∈ R

14. Calcule las asíntotas de la función f(x) =

Calcula los limites de

f(x) 3x 2 + sen(x)

, x → ±∞

Nivel 3 Del 1 al 8 encuentre las asíntotas de las siguientes funciones. x 2 + 5x + 6 3x − 16x2 − 4 1. f(x) = 3 6. f(x) = 2 2x + x − 5x + 2 x−3 x ⎧ (x 2 − 4x − 21)(x2 + 2x + 3) 2. f(x) = ; si x < −3 ⎪ 2 2 x2 − 1 ⎪ (x − 1) (2x − 3x + 5) ⎪⎪ x 3 + x 2 − 2x ex − e − x 3. f(x) = x 7. f(x) ; si x ∈ −3,2 , x ≠ 1 = ⎨ 2 e + e− x ⎪ (x − 2)(x + 2x − 3) ⎪3 2 x + x2 3 ; si x > 2 4. f(x) = ⎪ 6x − x x ⎪⎩ ⎧ 2 ⎧ x+3 ⎪ 2 + x ; x < −3 ; x ≤ −3 ⎪3 ⎪ ⎪ x−3 ⎪⎪ 2x + 2 ⎪⎪ 3 x + 3 5. f(x) = ⎨ 3 ; −3≤ x <1 ; − 3 < x ≤ 2, x ≠ −1 8. f(x) = ⎨ x − 1 ⎪ x +1 ⎪ ⎪ (x − 1)3 ⎪ 2 ; x≥1 ⎪ 2 ⎪ 5+ x ; x >2 ⎪⎩ (x + 1) ⎪⎩

162|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 9.

⎛

Halle las constantes k y b que cumplen lim ⎜ kx + b − ⎜ x →∞

⎝

⎧ 11 + ⎪7x − 3 ⎪ 10. Halle las asíntotas de la función f(x) = ⎨ ⎪ x3 , ⎪ ⎩ 36 − x2

x3 + 1 ⎞ ⎟ = 0 . Interpreta este resultado. x2 + 1 ⎟⎠

7x2 x2 + 5

x ≥6

x <6

11. Halle las asíntotas de la curva dada por y = x 3 − 3x2 − 9x + 27 y traza la gráfica mostrando sus asíntotas. 12. Grafica la curva y = f(x) mostrando sus asíntotas:

⎧ x+3 , si x > 0 ⎪ ⎪ x 3 ⎪⎪ x − x f(x) = ⎨ , si − 3 < x ≤ 0 ⎪ (x + 1)(x + 4) ⎪ 2 si x ≤ 3 ⎪− 1 + x , ⎪⎩ 3 2 13. Grafica la curva cuya ecuación es y x − y2 + y + 2 = 0 , mostrando sus asíntotas. 14. Grafica la curva cuya ecuación es x 2 (x − y)2 = 4(x 2 + y2 ) , mostrando sus asíntotas. 15. Grafica la curva cuya ecuación es xy 2 + yx 2 = 27 , mostrando sus asíntotas.

2.6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Criterio de continuidad Una función f : R → R definida en un intervalo abierto I que contiene al punto b es continua en dicho punto si se cumple f(b) existe i) iii) lim f(x) = f(b) ii) lim f(x) existe x →b

x →b

Diremos que f es continua en un intervalo abierto I si f es continua en cada punto del intervalo I

Propiedades de continuidad Sean f y g dos funciones continuas en el punto c , entonces: a) f ± g es continua en c . b) kf es continua en c . c) f.g es continua en c . d) e) f)

La función polinomial p(x) = an xn + an−1 xn−1 + .... + a1 x + a0 es continua. f(x) La función racional ; g(x) ≠ 0 es continua. g(x) Si g es continua en c y f es continua en g(c) entonces la función compuesta es continua en c.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 163

Definición de función discontinua Una función se llama discontinua si no es continua Tipos de discontinuidad 1. Discontinuidad removible o evitable Diremos que una función tiene continuidad evitable o removible en x = a , si se cumple las siguientes características: a) Existe lim f(x) . x →a

lim f(x) ≠ f(a) o no existe f(x) consecuentemente podemos redefinir la función:

x →a

si x ≠ a ⎧ f(x) ⎪ f* (x) = ⎨ . ⎪ lim f(x), si x = a ⎩x→a * En este caso diremos que la función f es una extensión continua de la función f . 2. Discontinuidad no removible o no evitable a) De primera clase Diremos que la función f tiene una discontinuidad de primera clase en "a" si existen los límites laterales. Es decir: lim f(x) ∧ lim f(x) existen, son finitos y diferentes. x →a+

x →a−

b) De segunda clase Diremos que una función f tiene una discontinuidad de segunda clase en el punto x = a si no existe lim f(x) o si uno de los límites es ±∞ . x →a

Ejercicios resueltos I. Dadas las funciones, determine si es continua en el valor de x especificado. Si es discontinua indica el tipo de discontinuidad. x −1 1. f(x) = ; x=1 x +1 Solución Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(1) = 0 x −1 0 c) lim f(x) = f(1) = 0 b) lim = = 0 x →1 x →1 x + 1 2

Por lo tanto, la función f es continua en x=1. x −1 2. f(x) = ; x=–1 x +1

164|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Solución Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: ⎡x − 1⎤ ⎡x − 1⎤ a) f(–1) = no existe b) lim ⎢ = −∞ ∨ lim ⎢ ⎥ ⎥ = +∞ + − x →−1 ⎣ x + 1 ⎦ x →−1 ⎣ x + 1 ⎦ Por lo tanto, la función f presenta discontinuidad de segunda clase en x=–1. x −2 3. f(x) = ; x=–4 x−4 Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(4) = no está definido (x − 4) 1 1 x −2 b) lim = lim = = lim x →4 x − 4 x →4 (x − 4) ( x + 2) x →4 x + 2 4 c)

lim f(x) ≠ f(4)

x →4

Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad de primera clase x= 4, entonces se puede redefinir la función f como sigue: ⎧1 ; si x = 4 ⎪⎪ 4 f * (x) = ⎨ ⎪ x − 2 ; si x ≠ 4 ⎩⎪ x − 4 ⎧x + 1; x ≤ 2 4. f(x) = ⎨ ; x = 2 ⎩2 ;x > 2

Solución

Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(2) = 3

Analice los límites laterales. • lim f(x) = 2 x →2+

• lim f(x) = lim (x + 1) = 3 x →2−

x →2−

Entonces, lim f(x) no existe. x →2

Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad de segunda clase en x= 2. ⎧ x2 − 1 ; x < −1 ⎪ 5. f(x) = ⎨ x + 1 ; x = –1 ⎪x2 − 3; x ≥ −1 ⎩ Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 165

f(–1) = –2

Analice los límites laterales. • lim f(x) = lim (x 2 − 3) = −2 x →−1+

x →−1+

Entonces, lim f(x) = –2

•

x2 − 1 = lim (x − 1) = −2 x →−1− x + 1 x →−1−

lim f(x) = lim

x →−1−

x →2

lim f(x) = f(−1)

x →−1

Por lo tanto, la función f es continua en x=–1. II. En los siguientes ejercicios enumerar todos los valores de x para los cuales la función dada no es continua y decir que tipo de discontinuidad posee. x+1 1. f(x) = x −1

Solución

Aplique el criterio de continuidad en un x=1. Es decir:

f(1) no existe

x +1 = ∞ −1 Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad no evitable de segunda clase en x=–1.

lim f(x) = lim

x →−1

f(x) =

x →−1 x

3x − 2 x2 − 3x − 18

Solución

Factorice el denominador y se tiene: 3x − 2 3x − 2 = x2 − 3x − 18 (x − 6)(x + 3) Aplique la definición de continuidad en un punto para analizar la continuidad en los puntos x = 6;x = −3 . Es decir: En x=–3 a) f(–3) no existe 3x − 2 −11 b) lim f(x) = lim = = ∞ x →−3 x →−3 (x − 6)(x + 3) 0 Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad no evitable de segunda clase en x=–3. En x=6 a) f(6) no existe 3x − 2 16 b) lim f(x) = lim = = ∞ x →6 x →6 (x − 6)(x + 3) 0 Por lo tanto, la función f tiene una discontinuidad no evitable de segunda clase en x=6.

f(x) =

166|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 3.

⎧2x + 3; x < 1 ⎪ f(x) = ⎨x + 2 ; x = 1 ⎪6x − 1; x > 1 ⎩

Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad en el punto x=1. Es decir: a) f(1)=3 b) Analice los límites laterales • lim f(x) = lim (2x + 3) = 5 • lim f(x) = lim (6x − 1) = 5 x →1+

Entonces, lim f(x) = 5 x →1

x →1+

x →1−

x →1+

lim f(x) ≠ f(1)

x →1

Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad evitable en x=1 y su extensión se define ⎧2x + 3 ; x < 1 ⎪ * f (x) = ⎨5 ;x =1 ⎪6x − 1; x > 1 ⎩

Señale el tipo de discontinuidad en cada función. Y a)

8 6

–2

Solución Caso a) • En x=0 la discontinuidad es evitable. • En x=2 la discontinuidad es no evitable de primera clase. • En x=4 la discontinuidad es no evitable de segunda clase. Caso b) • En x=1 la discontinuidad es evitable. • En x=–2 la discontinuidad es no evitable de primera especie.

0 –2

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 167

•

En x=3 la discontinuidad es no evitable de segunda especie.

III. En los siguientes ejercicios determine las constantes A, B, C y D de modo que la función f sea continua en todo su dominio. ⎧Ax2 + Bx + 1 ; x ≤ 1 ⎪ ;1 < x ≤ 2 1. f(x) = ⎨2Ax − B ⎪x + 1 ;x > 2 ⎩

Solución En este caso es suficiente exigir que los límites en x=1 y x=2 existan. Es decir, analice los límites laterales en cada caso. a) x=1 lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (2Ax − B) = lim (Ax 2 + Bx + 1) x →1+ x →1− x →1+ x →1− (1) 2A − B = A + B + 1 ⇔ A = 2B + 1

b) x=2 lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (x + 1) = lim (2Ax − B) x →2+

x →2−

x →2+

x →2−

3 = 4A − B ⇔ B = 4A − 3

(2)

De (2) en (1) se tiene A = 2(4A − 3) + 1 = 8A − 5 ⇔ A = Luego, reemplace el valor de A en 2 y se obtiene: B = −

⎧x ⎪2 ⎪ ⎪3x − A ⎪ f(x) = ⎨B ⎪ −x + C ⎪ ⎪D ⎪⎩

5 7

1 7

;x <2 ; 2 ≤x < 3 ; 3≤ x < 5 ;5≤x <7 ;7≤ x

Solución En este caso es suficiente exigir que los límites en x=2, x=3, x= 5 y x= 7 existan. Es decir, analice los límites laterales en cada caso. a) x= 2 x lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (3x − A) = lim x →2+ x →2− x →2+ x →2− 2 6 − A = 1 ⇔ A = 5 b) x= 3 lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (B) = lim (3x − 5) x →3+

x →3−

x →3+

x →3−

168|CAPITULO 2: Límites y Continuidad c)

B = 4 x= 5 lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (−x + C) = lim (4)

−5 + C = 4 ⇔ C = 9 x= 7 lim f(x) = lim f(x) ⇔ lim (D) = lim (−x + 9)

x →5+

x →7+

x →5−

x →7−

x →5+

x →7+

x →5−

x →7−

D = 2

Problemas de aplicación 1.

Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está 32 , donde p es el precio unitario en dólares. ¿ esta función es continua dado por f(p) = 2 5p+8 a) Para todos los valore de p? b) En p = 24? c) ¿Cuál es el dominio para esta aplicación? Solución a) Si, pues p es la variable que representa al precio y el precio nunca es negativo. Además el denominador nunca es cero. b) Si, pues se cumple. 32 lim f(p) = f(24) = =8 2 p →24 5 32

Si, pues 5 (p + 8)2 existe para cualquier valor de p + 8 ≥ 8 El dominio es: D(f) = [ 0; ∞[ 2. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para 40 + 30t ensamblar una unidad de un producto está dado por: f(t) = donde t es el número de 2t + 1 días en el trabajo. ¿Esta función es continua a) ¿Para todos los valore de t? b) En p = 14? c) ¿Cuál es el dominio para esta aplicación? Solución a) Si, pues la variable t representa el número de días por lo tanto t ≥ 0 . 560 b) Si, pues lim f(t) = f(14) = t →14 29 c) Dominio D(f) = [ 0; ∞[ 3. Una conferencia telefónica interurbana cuesta 104 soles los dos primeros minutos y 36 soles cada minuto adicional o fracción. Usar la función mayor entero para escribir el costo C de una llamada en términos del tiempo t en minutos. Dibujar la gráfica de esta función y discutir la continuidad.

c) d)

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 169

Solución Según el enunciado se tiene la función costo del consumo: ; 0< t ≤ 2 ⎧104 ⎪ C(x) = ⎨104 + 36( t − 1) ; t ∈]2; ∞[ − Z + ⎪ ; t ∈ {3;4;5; } ⎩104 + 36(t − 2) Aplique propiedad y simplifique.

⎧104 ⎪ C(x) = ⎨68 + 36 t ⎪ ⎩32 + 36t Gráfica

; 0< t ≤ 2 ; t ∈]2; ∞[ − Z+ ; t ∈ {3;4;5;

}

Y 212 176 140 104

50 0

Aplique límites laterales para t=2. Es decir: lim C(x) = lim (104) = 104 • x →2−

•

x →2−

lim C(x) = lim (68 + 36 t ) = 140

t →2+

Ahora analice, en forma general, en los enteros mayores que 2. Sea z el número entero en donde se va analizar los límites laterales. • lim C(x) = lim (68 + 36 z ) = 68 + 36(z − 1) = 32 + 36z t →z −

•

t →z −

lim C(x) = lim (68 + 36 t ) = 68 + 36z

t →z +

Por lo tanto, la función no es continua en todos los enteros mayores que 2. Ver figura. 4. Un mayorista vende azúcar a 50 centavos de dólar el kilo en el caso de cantidades hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100 y 200 kilos la tarifa es de 45 centavos de dólar el kilo y para ordenes por encima de los 200 kilos el precio es de 40 centavos de dólar, ¿en qué puntos la función es discontinua? (Interprete). Solución La función de ingresos según los datos proporcionados es:

170|CAPITULO 2: Límites y Continuidad ⎧50x ⎪ I(x) = ⎨0,45x ⎪0,4x ⎩

; 0 < x ≤ 100 ; 100 < x ≤ 200 ; x > 200

Analice la continuidad en los puntos x= 100 y x=200. x =100 • lim f(x) = lim 0,50x = 50 x →100−

•

x →100−

lim f(x) = lim 0,45x = 45

x →100+

Por lo tanto, no es continua en x= 100 Interpretación Alrededor del punto x=100 se puede dar cuenta que el ingreso varia de 50 dólares a 45 dólares y luego los ingresos irán aumentando de 45 centavos de dólar en 45 centavos de dólar por kilo. x =200 • lim f(x) = lim 0,45x = 90 x →200−

•

x →200−

lim f(x) = lim 0,40x = 80

x →200+

Por lo tanto, no es continua en x= 200 Interpretación Alrededor del punto x=200 se puede dar cuenta que el ingreso varia de 90 dólares a 80 dólares y luego los ingresos irán aumentando de 40 centavos de dólar en 40 centavos de dólar por kilo. 5. El cargo mensual en dólares por x kilowatt / hora (Kwh) de electricidad usada por un consumidor residencial, de Noviembre a Junio, se obtiene por medio de la función ; 0 ≤ x ≤ 100 ⎧10 + 0,094x ⎪ f(x) = ⎨19,40 + 0,075(x − 100) ; 100 < x ≤ 500 ⎪49,40 + 0,05(x − 500) ; x > 500 ⎩

a) ¿Cuál es el cargo mensual si se consumen 1 100 KWh de electricidad en un mes? b) Encuentre lim f(x) y lim f(x) , si existen x →100

x →500

c) ¿f es continua? Solución a) f(1 100) = 49,40 + 0,05(1 100 – 500) = 79,4 b) Analice los límites laterales • lim f(x) = lim (10 + 0,094x) = 19,4 x →100−

•

x →100−

lim f(x) = lim [19,40 + 0,075(x − 100)] = 19,4

x →100+

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 171

Entonces, lim f(x) = 19,4

x →100

Por lo tanto la función es continua en x =100. Analice los límites laterales lim f(x) = lim [19,40 + 0,075(x − 100)] = 49,4 • x →500−

•

x →500−

lim f(x) = lim [49,40 + 0,005(x − 500)] = 49,4

x →500+

Por lo tanto, lim f(x) = 49,4 x →500

Finalmente, la función es continua en x =500

Ejercicios propuestos 2.6.

Nivel 1

En los siguientes problemas, liste todos los valores de x para los cuales la función dada no es continua. 1. f(x) = x 2 − 3x + x 7+x −3 7. f(x) = 2 x2 − 4 x −1 2. f(x) = ⎛π⎞ x+3 8. f(x) = sin ⎜ ⎟ 2 ⎝x⎠ x 3. f(x) = f(x) = ln(cosx) 9. x −2 3 ⎛1⎞ x + 5x 10. f(x) = arctan ⎜ ⎟ 4. f(x) = ⎝x⎠ (x − 2)(2x + 3) 5. f(x) = 6. f(x) =

x3 − 1

11. f(x) = e x +1

x2 − 1 x 2 + 5x + 6 x 2 + 3x + 2

Determine si las funciones dadas son continuas.

⎧⎪x + 2 si x ≥ 2 2 si x < 2 ⎪⎩x

12. f(x) = ⎨

⎧⎪ x

13. f(x) = ⎨

⎪⎩x

si x ≥ 1 si x < 1

⎧ x2 − x si x ≠ 1 ⎪ 14. f(x) = ⎨ x − 1 ⎪1 si x 1 = ⎩

⎧cosx si x < 0 ⎪ si x = 0 15. f(x) = ⎨0 ⎪ 2 ⎩1 − x si x > 0

172|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Nivel 2 1. Determine si las funciones dadas son continuas. ⎧1 + x2 si x ≤ 0 ⎪ a) f(x) = ⎨2 − x si 0 < x ≤ 2 c) ⎪ 2 ⎩(x − 2) si x > 2 ⎧1 + x si x ≤ 1 ⎪ ⎪1 d) si 1 < x < 3 b) f(x) = ⎨ ⎪x ⎪⎩ x − 3 si x ≥ 3

⎧2 + x ⎪ f(x) = ⎨ex ⎪2 − x ⎩

si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 2 si x > 2

⎧ sin2 x ⎪ 2 ⎪ 2x ⎪ 1 − cos x f(x) = ⎨ 2 ⎪ x ⎪ sin(3π − x) ⎪ x ⎩

si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 2π si x > 2π

⎧⎪x2 − 4 si x ≠ 2 2. Una función está dada por f(x) = ⎨ si x = 2 ⎪⎩ A ¿Cómo debe elegirse el valor de A = f(2) para que la función f sea continua cuando x = 2 ?. Dibuje la gráfica de la función f . ⎛1⎞ 3. El segundo miembro de la igualdad f(x) = 1 − x s en ⎜ ⎟ carece de sentido cuando x = 0 . ¿Cómo ⎝x⎠ elegir el valor de f(0) para que la función f se continua en este punto?

4. La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0 . Determine f(0) de tal forma que f sea continua en este punto.

1 − cos x (1 + x)n−1 − 1 c) f(x) = , n es natural 2x2 x ln(1 + x) − ln(1 − x) ⎛1⎞ b) f(x) = d) f(x) = x 2 s en ⎜ ⎟ x ⎝x⎠ 5. En cada uno de los siguientes casos halle el valor de constante A que hace que la función f sea continua para toda x . a) f(x) =

⎧2x + 3 si x < 1 a) f(x) = ⎨ ⎩Ax − 1 si x ≥ 1

⎧ x2 − 1 si x < −1 ⎪ b) f(x) = ⎨ x + 1 ⎪Ax2 + x − 3 si x ≥ −1 ⎩

6. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre ( −∞ , +∞ ) ?

2 ⎪⎧cx + 2x si x < 2 f(x) = ⎨ 3 ⎪⎩x − cx si x ≥ 2

7. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre ( −∞ , +∞ ) ?

2 ⎪⎧cx + 2x si x < 1 f(x) = ⎨ 2 ⎪⎩x − cx si x ≥ 1

8. Halle el valor de a y b para que la función f sea continua en todo su dominio

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 173

⎧ (x2 − 4) ; si x < 2 ⎪ ⎪ (x − 2) ⎪ f(x) = ⎨ax2 − bx + 3 ; si 2 ≤ x < 3 ⎪2x − a + b ; si x ≥ 3 ⎪ ⎪ ⎩ 9. ¿Cuál de las funciones siguientes tiene discontinuidad removible en a ?. Si la discontinuidad es removible, determine una función g que concuerde con f para x ≠ a y sea continua en .

x4 − 1 , a = 1 x −1 x 3 − x2 − 2x b) f(x) = , a = 2 x −2 c) f(x) = sen(x) , a = π

a) f(x) =

d) f(x) =

x −1 , a = 1 x −1

e) f(x) =

ex − 1 , a = 0 sen(x)

Nivel 3 1. La fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es ⎧ GMr ⎪⎪ R3 si r < R F(r) = ⎨ ⎪ GM si r ≥ R ⎪⎩ r2 Donde M es la masa de la tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿ F es una función continua de r ? 2. Suponga que la temperatura del aire en un día dado es 30 F . Entonces, la temperatura equivalente (en F ), que se siente por efecto del viento que sopla con una velocidad ν , en millas por hora (mph), está dada por si 0 ≤ ν ≤ 4 ⎧30 ⎪ W(ν) = ⎨1,25ν − 18,67 ν + 62,3 si 4 < ν < 45 ⎪−7 si ν ≥ 45 ⎩ a) ¿Cuál es la temperatura que se siente cuando ν = 20 mph? y ¿ cuándo ν = 50 mph? b) ¿Cuál es la velocidad del viento que produce una temperatura equivalente a 0 F ? c) ¿Es la función de temperatura equivalente W continua en ν = 4 ? y ¿ en ν = 45 ?

3. Si una esfera hueca de radio R se carga con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidad de campo E en el punto P situado a x unidades del centro de la esfera satisface: ⎧ ⎪0 ; si 0 < x < R ⎪ ⎪ 1 E(x) = ⎨ 2 ; si x = R ⎪ 2x ⎪1 ⎪ 2 ; si x > R ⎩x Dibuje la gráfica de la función E. ¿Es continua la función E para x > 0 ?

174|CAPITULO 2: Límites y Continuidad 4. La “función posta” p se puede describir como

si 0 < x ≤ 1 ⎧37 ⎪60 si 1 < x ≤ 2 ⎪⎪ p(x) = ⎨83 si 2 < x ≤ 3 ⎪ ⎪ ⎪⎩290 si 11 < x ≤ 12 Donde x es el peso en onzas de una carta y p(x) es el correspondiente costo postal en centavo. Trace la gráfica de p para 0 < x ≤ 6 . ¿Para qué valores de x ∈ ]0;6] es discontinua la función p ? 5. Un tubo roto en la plataforma petrolera del mar del norte produce una mancha circular que tiene un espesor de y metros a una distancia de x metros de la ruptura. La turbulencia hace difícil medir directamente el espesor de la mancha en la fuente (donde x = 0 ); sin embargo, para x > 0 0, 5(x 2 + 3x) . Suponiendo que la mancha está distribuida continuamente, se encuentra que y = 3 x + x 2 + 4x ¿qué espesor se supone que tiene en la fuente? 6. Inventario. Sea f una función que describe el inventario de una compañía en el instante x.

⎧−100x + 600 si 0 ≤ x < 5 ⎪ f(x) = ⎨−100x + 1100 si 5 ≤ x < 10 ⎪−100x + 1600 si 10 ≤ x < 15 ⎩ ¿ f es continua en 2?, ¿es continua en 5?, ¿es continua en 10? −

7. Grafique g(x) = e

1 x2

. Debido a que g no está definida en x = 0 , pero sí para todos los valores

⎧g(x) ; si x ≠ 0 ; si x = 0 ⎩0

cercanos a 0 , g es discontinua en 0 . Con base en la gráfica de g , ¿es f(x) = ⎨ continua en x = 0 ?

π ⎧ ⎪−2sen(x) ; si x ≤ − 2 ⎪ −π π ⎪ < x < 8. Sea f(x) = ⎨A sen(x) + B ; si 2 2 ⎪ π ⎪ ; si x ≥ ⎪cos(x) 2 ⎩ Elija los números A y B de manera que f sea continúa en todo su dominio.

π ⎧ ; si x ≤ − ⎪cos(x) 2 ⎪ −π π ⎪ < x < 9. Sea f(x) = ⎨Acos(x) + B ; si 2 2 ⎪ π ⎪ ; si x ≥ ⎪sin(x) 2 ⎩ Elija los números A y B de manera que f sea continúa en todo su dominio. 10. Investigue la continuidad de las funciones compuestas f g y g f donde

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 175

⎧1 si x > 0 ⎪ f(x) = ⎨0 si x = 0 y g(x) = 1 + x2 ⎪ ⎩−1 si x < 0 11. Localice todos los puntos de discontinuidad para la siguiente función. Bosqueje su gráfica ⎧−1 si x > 1 ⎪ f(x) = ⎨1 si x < 1 ⎪0 si x = 1 ⎩ 1 1 12. Encuentre una función f que sea discontinua en 1, , , y en cero, pero continua en todos 2 3 los otros puntos. 13.Tarifas telefónicas. Suponga que la tarifa telefónica de larga distancia para una llamada desde Hazleton, Pennsylvania, a Los Ángeles, California, es de $0,10 por el primer minuto y de $0,60 por cada minuto o fracción adicional. Si y = f(t) es una función que indica el cargo total y por una 9 llamada de t minutos de duración, dibuje la gráfica de la función f para 0 < t ≤ . Utilice ésta 4 gráfica para determinar los valores de t en los cuales ocurren discontinuidades.

176|CAPITULO 2: Límites y Continuidad

Respuesta del Capítulo II

SOLUCIÓN DEL CASO a. ¿Qué distancia han recorrido el otorongo y el motelo en la tercera, cuarta y quinta etapa? Etapas

otorongo

motelo

Etapa 3

1 1 + = 1, 75 km 2 22

1 1 1 + 2 + 3 = 1, 875km 2 2 2

Etapa 4

1 1 1 + 2 + 3 = 1, 875km 2 2 2

1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 = 1, 9375km 2 2 2 2

Etapa 5

1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 = 1, 9375km 2 2 2 2

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1, 96875km 2 2 2 2 2

b. En la sexta etapa la distancia que separa al otorongo del motelo es: 1 1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 − ⎜ 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 ⎟ = 6 = 0, 015625 Km 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎝ 2 2 2 ⎠ 2 Es decir d = 15, 625m d = 1+

c. La conclusión del APU es verdadera d. Si la conclusión del APU fuera falsa entonces el otorongo alcanza al motelo a 2km de la partida ⎛

1 2

Pues lim ⎜ 1 + + n→ ∞ ⎝

1 1 ⎞ 1 + ..... + n ⎟ = = 2 2 1 2 2 ⎠ 1− 2

e. El otorongo alcanza al motelo a 1,0714 Km de la partida pues 1 1 1 ⎛ lim 1 + + 2 + ..... + n 15 15 15

n→ ∞ ⎜ ⎝

1 15 ⎞ = = 1, 0714 ⎟= ⎠ 1 − 1 14 15

Ejercicios propuestos 2.1.

Nivel 1 10 1. 9 8. 0

15. 1130

2. 2

3. 8

1 2

9. −

4. 108

10. 150 000 11. 320

5. –2

12.

65 2

1 7

7. 1

13. 2800, 700, 560

14. 50.6

1 4 4 13. 3

7. 0

Nivel 2 2. 0 1 1. − 2 9. –7 1 8. 3 2 2 16. 1 15. 3 44

4 5

1 4 1 11. 2 4.

10. 11

17. − 56

5. 4 12. –1

1 3

14.

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 177

Nivel 3 117 1. 8 8. 2

2. 2 9. –4,5

3 3. − 2 10. –1

1 4. 3 1 11. 3

2 5. − 5

12. –2

5 6. − 6

13. –2

7. 1

14.

2 −1 2 −1 L

Ejercicios propuestos 2.2.

Nivel 1 1. ∃

2. ∃

8. 0

9. ∞

2 15. 125

16.

3. 6

1 2

9 5

2 3 13. ∞ 6.

1 12. 2 11. 2 17. a) 29 200 b) No, porque el costo tendería a ser muy alto. 10. ∞

7. − 4 14. ∞

Nivel 2 1 1. ∃ ; 4

2. ∃

3. 9

4. 10

5. 1

6. 7

7. 2

8. 1

9. 1

10. − ∞

12. ∃

13. A

14. 7,5

15. 20

11. ∃

16. 100

Nivel 3 1. ∞ 2. b) No 3. a) La rata demorará en atravesar el laberinto a lo más en 5 minutos 4. lim I(s) = a . El consumo de alimento se aproxima a “a” s→∞

⎧15%x ⎪27,5%x-5650 5. a) ⎪⎪ f(x) = ⎨30,5%x-8927,5 ⎪35,5%x-17252.5 ⎪ ⎪⎩39,1%x-27957,1

lim

x →1 0 9 2 5 0

7. 6

; 0 < x ≤ 45200

; 45200 < x ≤ 109250 ; 109250 < x ≤ 166500 ; 166500 < x ≤ 297350

; x > 297500

b) l i m

f(x) = 2 4 3 9 3, 7 5

3 8. 4

; 0 < x ≤ 32450 ⎧15%x ⎪4867,5 + 28%(x-32450) ; 32450 < x ≤ 78 400 ⎪ f(x) = ⎨ ⎪17733,5 + 33%(x-78 400) ; 78 400 < x ≤ 162770 ⎪⎩43605,5 + 40%(x-162770); x > 162770

x →7 8 4 0 0

9. 1

10. 0

11. 1

f(x) = 1 7 7 3 3, 5

12. 0

13. 0

14. 0

Ejercicios propuestos. 2.3.

Nivel 1 1. 5 8.

2 2

1 2

9. 1

5 2

3. 9

1 10. − 4

11. 1

3 5

12. 4

6. 3

7. –1

13. 1

14.

1 4

178|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Nivel 2 3 12

1. –1

2. 1

8. 0

9. 1

10. 6

1 2

6. −sen(a)

4. 1

11. 0

12. 1

13. 0

2 2 1 14. 64 7.

180

9. 4

3 2 2

2 m 2 n 2

1. 2

1 2

4. 2

5. 12.

10. 3 11. –1

Nivel 3

7. π

6. 6

3 2

13.

2 2+π π

14. a

Ejercicios propuestos. 2.4. Nivel 1 1.

ln2 2. 2 ln6 − ln5

8. 1

3. ln(6)

4. 1 − ln(2)

9. 81

10. 1

11. e

2. ln(5) + 1

3. 1 − 3 ln(2)

4. e

9. 1

10. 1 / 3

11. 0,5

7. e −1

5. 0

6. 0

12. 0

13. − l n ⎛⎜

5. 0

6. ln(a)

7. a − b

12. –1

13. 1

14. e2

5 ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

14. e 3

Nivel 2 5 1. 2 8. e 15. 0

−4

Nivel 3 1. 0 8.

2 3. 1 3 21 10. 4 9. πα 26

3 2 4 2α2

15. e−2π

4. 1

5. −

6. 1

11. e

12. a

13. n a1a2

1 2

7. e an

ln(2) + 4ln(5) 5

5 3

14.

Ejercicios propuestos 2.5.

Nivel 1 1.

⎧ x = −2 / 3 ⎨ ⎩y = 1 / 3

⎧ x = −3 ⎨ ⎩y = 2

⎧x = −1, x = 1 ⎨ ⎩ y = −x, y = x

y = −x, y = x

⎧x ⎨ ⎩y ⎧x ⎨ ⎩y

3. 4.

=2 =0

= −2, x = 2 =0

8. 9.

⎧x ⎨ ⎩y ⎧x ⎨ ⎩y

= −1 = −2x + 5 =0 = x+2

⎧ x = −1 ⎩y = x − 1

10. ⎨

11. x = −1

⎧x = −4, x = −2, x = 2 12. ⎨ ⎩y = 0 1 13. y = x − 1 2 14. y = x ⎧ x = −1, x = 1 15. ⎨ ⎩ y = − x, y = x

CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 179

Nivel 2 ⎧x ⎪ ⎨ ⎪⎩ y ⎧x ⎨ ⎩y

1. 2.

= −1 / 3

⎧x ⎨ ⎩y ⎧x ⎨ ⎩y

1 16 x− 3 9 = −2 = 1 =

y = 1

⎧x = 0, x = 4 ⎨ ⎩y = 0

⎧ x = −1 ⎨ ⎩y = 4

⎧x ⎨ ⎩y ⎧x ⎨ ⎩y

=0 = 0, y = 1

⎧x = 4 ⎩y = x + 2

11. ⎨

=0 =1

⎧ y = −5 12. ⎨ ⎩ y = 2x − 5 13. y = 0

= −3, x = −2, x = 2, x = 3 = x+1

⎧x = 4 14. ⎨ ⎩y = x + 2 15. 3

= −1, x = 2 = −3x + 5 / 2, y = −x − 7 / 2

⎪⎧x = − 5, x = 10. ⎨ ⎪⎩ y = 0, y = 2x

Nivel 3 1.

⎧x = 1, x = 1 / 2 ⎨ ⎩y = 0

⎧x = −1, x = 1 ⎨ ⎩ y = −1, y = 1

y = −1, y = 1 No tiene ⎧ x = 0, x = 1 ⎪ ⎨y = 1 ⎪y = x − 5 ⎩

3. 4.

8. 9.

11. y = x

⎧x = 3 ⎨ ⎩ y = −1, y = 7

⎧x ⎪ ⎨y ⎪y ⎩ ⎧x ⎨ ⎩y

= −3, x = 1, x = 2 =1/2

= −x + 2

= −1 = 1, y = 5

⎧x ⎪ 12. ⎨y ⎪y ⎩ ⎧x 13. ⎨ ⎩y

=0 = 1 =x =0 =0

⎧⎪x = −2, x = 2 14. ⎨ ⎪⎩y = x + 2 2 ⎧x = 0 15. ⎨ ⎩ y = −x

k = 1, b = 0

⎧x = −6, x = 6 10. ⎨ ⎩ y = 14x − 11 / 3

Ejercicios propuestos 2.6.

Nivel 1 1. R

2. –3

3. 2

5. 1 y ‐1

6. ‐1 y ‐2

7. 2 y ‐2

8. 0

π 9. ( 2n + 1) , n ∈ 2

3 4. 2 y − 2

10. 0

11. –1

12. Si

13. Si

14. Si

15. No

Nivel 2

1. a) En x = 0 , no En x = 2 , si 2. A = f (2) = 0 5. a) A = 6 b) A = 2 ⎧ x4 − 1 ⎪ , 9. a) g ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 4, ⎩ ⎧ ex −1 ⎪ , d) g ( x) = ⎨ sin x ⎪1, ⎩

b) En x = 1 , no En x = 3 , no 3. f (0) = 1 4. a) f (0) = n

c) En x = 0 , no d) En x = 0 , no En x = 2 , no En x = 2π , no b) f (0) = 2 d) f (0) = 0 1 c) f (0) = 4 2 1 1 1 6. c = 7. c = − 8. a = y b = 3 2 2 2 3 2 c) discontinuidad no removible ⎧ x − x − 2x ⎪ x ≠1 , x≠2 b) g ( x) = ⎨ d) discontinuidad no removible x−2 ⎪6, x =1 x=2 ⎩

x≠0 x=0

180|CAPITULO 2: Límites y Continuidad Nivel 3 1. Si c) No b) existen dos: 98.01 y 25.3 mph 2. a) 3.8 y ‐7.2 F 3. discontinua en x = R 4. 1; 2; 3; 4; 5 5. 0,375 metros 6. continua en 2 y no en 5 ni en 10 7. Si 8. A = −1 y B = 1 1 1 10. f g es continua en todo x0 ∈ y g f no 9. A = y B = 2 2 es continua en x0 = 0 11. Los puntos de discontinuidad son 1 y ‐1 ⎧ ⎪−1 ; x ≤ 0 ; 0 < t ≤1 ⎧0,10 ⎪ ⎪ ⎪ 1 12. f(x) = ⎨ 13. f(t) = ⎨0,10 + 0,6 t ; t ∈]1, +∞[ − + esta función no ; 0< x ≤1 1 ⎪ ⎪ continua en 1 ni en 2 ⎩0,10 + 0,6(t − 1); t ∈{2,3,4,5,...} ⎪ x ⎪ ; x >1 ⎩2

CAPÍTULO 3

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y APLICACIONES

CASO DE ESTUDIO: CAMPAÑA DE NAVIDAD El gerente de GRANDES ALMACENES DEL PERÚ. SAC para campaña de navidad 2012, decide presentar al directorio un proyecto de fabricación de 20 000 muñecas. Para la ejecución de este proyecto la empresa necesita: • 20 trabajadores con un sueldo de 2250 u.m/hora cada uno de ellos. • Maquinas especiales que tienen un costo unitario de 1 125 000 u.m. y que pueden fabricar, cada una de ellas, 50 muñecas por hora. • Materia prima con un costo de 21 000 000 u.m. El estudio de mercado realizado recomienda que el precio unitario de venta, debe ser de 2500 u.m. Para aprobar el proyecto el directorio solicita que el gerente debe presentar en forma detallada lo siguiente: a) Las funciones de ingresos totales, de costos y utilidad en función del número de maquinas suponiendo que todo lo que se produce se vende. b) El número de máquinas a adquirir para maximizar los beneficios anteriores. c) El beneficio máximo a obtener. ¿Podrías ayudarlo?, vamos ¡inténtalo! Si el beneficio máximo es superior a 15 000 000 U.m. el proyecto será aprobado ¿Aprobaran el proyecto de la campaña navideña 2012?

182 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones En el mundo real los procesos económicos, físicos, demográficos etc, se desarrollan en el tiempo, por lo que es de interés natural estudiar su tasa de cambio respecto al tiempo. La pendiente de una recta, es una tasa o razón de cambio de la variable “y” respecto de la variable “x”. Por ello, empezaremos este tema dando la siguiente definición.

3.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Punto de acumulación Sea X ⊂ R . Un punto a ∈R se llama punto de acumulación del conjunto X cuando todo intervalo abierto ]a − ε ,a + ε[ , de centro a , contiene algún punto x ∈ X diferente de a . Es deir: ]a − ε,a + ε[∩X ≠ φ Definición Sea f : X ⊂ R → R y a un punto de acumulación de X. Diremos que f es derivable en el punto a cuando existe el límite

f ´(a) = lim

x →a

f(x) − f(a) f(a + h) − f(h) = lim h → 0 x −a h

f´(a) se llama la derivada de la función f en el punto a . Definición Cuando la función f :I ⊂ R → R posee derivada para cada punto del intervalo I , se considera la función derivada f':I ⊂ R → R , que asocia a cada x ∈I la derivada f '(x) . Es decir:

f(x + h) − f(x) , si el límite existe. h→0 h

f ´(x) = lim

La derivada de f respecto a x tiene las siguientes notaciones:

dy ' df , f (x) , (x) , Dx f(x) dx dx Interpretación geométrica de la derivada '

La derivada de una función denotada por f (x) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto ( x,f(x) ) . Sea el punto P = ( x,f(x))

f ( x + Δx ) Δy

f (x)

P Lt x

Δx

x + Δx

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 183

Si incrementamos Δx a x se tiene el punto Q = ( x + Δx,f(x + Δx)) . Con los puntos P y Q , se puede conocer la pendiente de la recta secante Ls . Es decir:

mQ =

Δy f(x + Δx) − f(x) = Δx Δx

Si fijamos P y hacemos que Δx se aproxime a cero, entonces el punto Q se aproxima a P y la recta secante Ls se aproxima a la recta tangente L t a la curva en el punto P . Tomando el límite se tiene:

Δy f(x + Δx) − f(x) ' = lim = f (x) Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx

lim mQ = lim

Δx → 0

Luego, la pendiente de la recta tangente a la curva es f (x) . Ejemplos 1.

Dada la función f(x) = x . Calcula la derivada de la función Solución

f(x + h) − f(x) (x + h) − (x) h = lim = lim = 1 h→0 h→0 h→0 h h h

f ′(x) = lim Por lo tanto:

f '(x) = (x)' = 1

Halle la derivada de f(x) = x y calcula después la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1,1) y (4,2). Discutir el comportamiento de f en (0,0)

Solución Por definición de derivada se tiene

f(x + h) − f(x) x +h − x = lim h→0 h→0 h h

f ′(x) = lim

Racionalice el numerador y se tiene

⎡⎛ x + h − x ⎞⎛ x + h + x ⎞ ⎤ h 1 = lim f ′(x) = lim ⎢⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ = lim ⎟⎜ ⎟ h→0 ⎢ h→0 ( x + h + x) h ⎠⎝ x + h + x ⎠ ⎥⎦ h→0 h ( x + h + x) ⎣⎝ Por lo tanto, aplicando el límite en el denominador se tiene f'(x) =

1 2 x

En el punto (1;1) la pendiente de la recta tangente es f ′(1) =

1 2

184 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones En el punto (4;2) la pendiente de la recta tangente es f ′(4) =

1 4

En el punto (0;0) la pendiente de la recta tangente no está definida. Es decir la recta tangente en este punto es vertical.

f(x) = x

1 m = 2

m =

1 4

2 1 1

Recta tangente y Recta normal Recta tangente Dada la función f(x) llamaremos recta tangente a la curva y = f(x) en x1 ó a la gráfica de f(x) en el punto ( x1 ,f(x1 )) a la recta L t que cumple:

1. 2. 3.

L t pasa por ( x1 ,f(x1 )) L t tiene por pendiente f ' (x1 ) Ecuación de la recta es: '

y = f (x1 )(x − x1 ) + f(x1 ) Recta Normal. Pendiente es:

mLN = −

1 f '(x1 )

Ecuación de la recta:

y=−

1 '

f (x1 )

(x − x1 ) + f(x1 )

Observación • Como una recta vertical tiene pendiente infinita, entonces la derivada no puede existir en ningún punto en que la línea tangente sea vertical. • La derivada no existe en “esquinas” o vértices. Ejemplo 2

Dada la función f(x) = x − 2x + 3 , obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto P(2;3) . Solución Calculemos la pendiente de la recta tangente: m= f '(x) = 2x–2 ⇒ m= f '(2) = 2. Luego las ecuaciones son:

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 185

Recta tangente:

y − 3 = 2(x − 2) ⇔ y − 2x + 1 = 0

Recta Normal:

1 y − 3 = − (x − 2) ⇔ x + 2y − 8 = 0 2

Derivadas laterales Definición Sea f una función real de variable real. • La derivada de f por la derecha en el punto a se define como:

f(a + h) − f(a) f(x) − f(a) ' ó f+ (a) = lim h x −a h→0+ x →a+

f+' (a) = lim

Diremos que la derivada lateral existe, si el límite existe. • La derivada de f por la izquierda en el punto a se define como:

f(a + h) − f(a) f(x) − f(a) ' ó f− (a) = lim h x −a h→0− x →a−

f−' (a) = lim

Diremos que la derivada lateral existe, si el límite existe. Teorema Sea f una función real de variable real. Se dice que f '(x) existe si y sólo sí '

f+ (x) = f− (x); x ∈ I Reglas de la derivada Sean f y g funciones derivables; k, a y b constantes entonces: 1. 2. 3.

[kf(x)]' = kf ' (x) [af(x) ± bg(x)]' = af ' (x) ± bg' (x) [ f(x).g(x)]' = f ' (x)g(x) + f(x)g' (x) “ Regla del producto” '

f (x)g(x) − f(x)g (x) ⎡ f(x) ⎤ “ Regla del cociente” ⎢ g(x) ⎥ = 2 g (x) ⎣ ⎦

(f g) (x) = [ f(g(x))] = f (g(x)).g (x) “Regla de la cadena” '

186 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Derivada de algunas funciones especiales

Función simple

Derivada

f(x) = k

f (x) = 0

f (x) = nx

n−1

1 f ' (x) = log a e x

f(x) = loga (u)

f(x) = tg(x)

f (x) = sec (x)

f(x) = cotg(x)

f (x) = − csc (x) f'(x) = sec(x)tg(x) f' = − csc(x)cotg(x) 1 f '(x) = 2 1−x 1 f'(x) = − 2 1−x 1 f '(x) = 2 1+x 1 f'(x) = − 2 1+x 1 f '(x) = 2 x x −1

f(x) = arcsen(x) f(x) = arccos(x) f(x) = arc tg(x) f(x) = arccotg(x) f(x) = arcsec(x)

f(x) = arccsc(x)

f(x) = u f(x) = ln(u)

f (x) = a ln(a) f '(x) = cos(x) f '(x) = − sen(x)

f(x) = csc(x)

f(x) = a f(x) = sen(x) f(x) = cos(x)

f(x) = sec(x)

1 f ' (x) = x

f(x) = ln(x);x > 0

a > 0 ,a ≠ 1

Derivada

f(x) = x

f(x) = loga (x);x > 0

Función compuesta u = u(x)

f ' (x) = '

u' u

u' .log a e u u

f (x) = a .ln(a)u' f '(x) = .u'cos(u) f '(x) = −u'sen(u)

f(x) = tg(u)

f'(x) = u'sec (u)

f(x) = cotg(u)

f'(x) = −u'csc (u) f'(u) = u'sec(u)tg(u) f'(u) = −u'csc(u)cotg(u) u' f '(x) = 2 1 −u u' f'(x) = − 2 1−u u' f '(x) = 1 + u2 u' f'(x) = − 1 + u2 u' f '(x) = 2 u u −1

f(u) = sec(u)

f(u) = csc(u) f(u) = arcsen(u) f(u) = arccos(u) f(x) = arc tg(u) f(x) = arccotg(u) f(x) = arcsec(u)

1 x x −1

f (x) =

f(x) = a f(x) = sen(u) f(x) = cos(u)

f '(x) = −

n−1

f (x) = n.u

f(x) = arccsc(u)

f '(x) = −

u' u u2 − 1

Razón de cambio

Sea f : R → R una función definida por y=f(x). Si a ∈ Df y Δx ≠ 0 es tal que a + Δx ∈ Df , Δx se llama incremento de x. el incrmemto de y o incremento de f en el punto a correspondente a Δx , se denota por Δy o Δf y está dado por Δy = Δf = f(a + Δx) − f(a) Entonces la razón de cambio se define como:

Δy Δf f(a + Δx) − f(a) = = Δx Δx Δx

Se lee la razón de cambio de y o f con respecto a x.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 187

Ejemplo 2

Sea la función f(x) = x , halle la razón de cambio para x=1 y Δx = 1 Solución Reemplace y se obtiene

Δf f(1 + 1) − f(1) 22 − 12 = = =3 1 1 Δx

Costo marginal Supongamos la función costo c = c(q) . Entonces el costo marginal es la razón de cambio instantáneo del costo C con respecto a la cantidad q. es decir:

c'(q) =

dc dq

Ejemplo 2

Para la función costo c(q) = 0,4q + 4q + 5 (en dólares), encuentre el costo marginal cuando q=2 unidades. Interprete el resultado. Solución Derive y se tiene el costo marginal. Es decir:

c'(q) = 0,8q + 4

Calcule el costo marginal cuando q=2 y se tiene:

c'(2) = 0,8(2) + 4 = 5,6 Esto significa que si la producción se incrementa en 1 unidad, desde 2 hasta 3, entonces el cambio en el costo es aproximadamente de 5,6 dólares. Esto quiere decir que el costo para producir esa unidad adicional es de $5,6.

Ingreso marginal Supongamos la función ingreso I = I(q) . Entonces el ingreso marginal es la razón de cambio del ingreso I con respecto a la cantidad q. es decir:

I'(q) =

dI dq

Ejemplo Los sociólogos han estudiado una relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y 5

dólares anuales, donde y = 5 x + 5900 ; 4 ≤ x ≤ 16 . Encuentre el ingreso marginal y evalúela cuando x =9. Interprete el resultado.

188 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Solución Derivando la función ingreso se tiene:

y' =

25 3 x 2

Evalúe cuando x=9 y se tiene:

y'(9) =

25 3 25 × 27 9 = = 337,5 2 2

Si los estudios de un apersona cuentan de 9 a 10 años, sus ingresos mensuales medios aumentan en $337,5 aproximadamente.

Ejercicios resueltos Halle la derivada de una función simple 1. f(x) = 4 Solución

f '(x) = (4)' = 0

2. f(x) = x Solución f '(x) = 2x

2−1

= 2x

3. f(x) = 3x − 5x + 15x Solución 5

f'(x) = (3x )'− (5x )'+ (15x)' = 15x − 15x + 15 4. f(x) = 3x + sen(x) Solución

f '(x) = (3x + sen(x))' = (3x)'+ (sen(x))' = 3x'+ cos(x) = 3 + cos(x)

5. f '(x) = x + cos(x) + 4 Solución

f '(x) = ( x)'+ [cos(x)]'+ (4)' = (x1/2 )'− sen(x) =

1 2 x

− sen(x)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 189 3

6. f(x) = 3 x − 4 x + 5 Solución n

Use la siguiente derivada: [x ]' = nx Luego,

n−1

f '(x) = 3(x2/3 )'− 4(x1/2 )'+ (5)' = 2x −1/3 − 2x −1/2 =

2 2 − x x

f(x) =

+ 3x −

120

Solución Derive cada término y se tiene

f '(x) =

19 x2 2 2x + 15x − 2 3

f(x) = 5(x − x + 2) 3

Solución Aplique la derivada sólo a cada término del paréntesis

f '(x) = 5(2x −

1 3 2

3 x

)

f(x) = x(x − 5x ) + x 3

Solución Antes de derivar se debe aplicar la propiedad distributiva y luego aplique las reglas de derivación. Es decir:

7 25 1 f '(x) = (x 7/2 − 5x 5/2 + x1/3 )' = x 5/2 − x 3/2 + x −2/3 2 2 3

f'(x) =

7 5 25 3 1 x − x + 3 2 2 2 3 x

10. f(x) =

x 3 − 5x2 + x 5 x

Solución Antes de derivar divida cada factor entre x y luego aplique la derivada a cada término

f '(x) = (

x 3 − 5x2 + x 5 2 2 2/3 )' = (x − 5x + x )' = 2x − 5 + 3 x 3 x

190 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 3

11. f(x) = (2x − 5x ) 3 x Solución Aplique la propiedad distributiva y luego las reglas de las derivadas

f '(x) = (2x

x − 5x

x)' = (2x

10/3

− 5x

7/3

)' =

20 x 7 35 x 4 − 3 3

12. f(x) = (x20 + 6x12 – 12)(x8 – 5x3 + 2x) Solución Use la derivada del producto

( + 6x – 12) ( x – 5x + 2x ) + ( x + 6x – 12)( x – 5x + 2x ) f'(x) = ( 20x + 72x )( x – 5x + 2x ) + ( x + 6x – 12 )( 8x – 15x + 2 )

f '(x) = x

Efectue las multiplicaciones y simplifique

f'(x) = 28x27 − 115x22 + 42x20 + 120x19 − 450x14 + 156x12 − 96x 7 + 180x2 − 24 13. f(x) = (x13 – 12)(x14 – 5x7 + 2) Solución Use la derivada del producto

(

f '(x) = x13 – 12 12

(

) (x

) (

)(

)

' – 5x 7 + 2 + x13 – 12 x14 – 5x 7 + 2

) (

)(

f'(x) = 13x x – 5x + 2 + x – 12 14x – 35x

)

f'(x) = 27x − 100x − 168x + 26x + 420x 14. f(x) = (sen(x) + tg(x))(x8 – 2x) Solución Use la derivada del producto

(

)

(

)

' ' 8 8 f '(x) = [sen(x) + tg(x)] x – 2x + [sen(x) + tg(x)] x – 2x

(

)

(

)

f'(x) = [cos(x) + sec (x)] x – 2x +[sen(x) + tg(x)] 8x – 2 15. f(x) = xln(x) –x Solución Use la derivada del producto

1 f ′(x) = ( x )′ ln ( x ) +x (ln ( x ) )′ − ( x )′ = ln ( x ) +x − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x) x

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 191

16. f(x) =

x x +1

Solución Use la derivada del cociente

f ′(x) =

( x )′ ( x + 1) − x ( x + 1)′ ( x + 1)2

(x + 1)2

17. f(x) =

x +4 3

x +4

Solución Use la derivada del cociente

(x f ′(x) =

18. f(x) =

)′ ( x

sen(x) + cos(x) 3x2 − 4x − 2

) (

)(

+ 4 − x2 + 4 x 3 + 4 3

)

)′ = 2x

(

+ 8x − 3x 4 + 12x2

)

) = − x(x

(x 3 + 4)2

Solución Use la derivada del cociente

( senx + cosx )′ ( 3x2 − 4x − 2 ) − ( senx + cosx ) ( 3x2 − 4x − 2 )

′

f ′(x) =

(

3x2 − 4x − 2

)

( cos(x) − sen(x)) ( 3x2 − 4x − 2 ) − ( senx + cosx ) (6x − 4)

(3x

f '(x) =

− 4x − 2

)

(3x − 10x + 2)cosx − (3x + 2x − 6)senx (3x2 − 4x − 2)2

19. f(x) =

csc(x) sec(x)

Solución Use identidades trigonométricas

1 sen(x) cos(x) f(x) = = 1 sen(x) cos(x) Aplique la derivada del cociente

f ′(x) =

( cos(x))′ sen(x) − cos(x) ( sen(x))′ = − 2

sen (x)

+ 12x − 8)

1 2

sen (x)

= − csc2 (x)

192 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 20. f(x) =

2x − 1 3x − 1 – x x

Solución Use la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial

⎛ 2x − 3x f ′(x) = ⎜ ⎜ x ⎝

(

' 2 −3 ⎞ ⎟⎟ = ⎠ x

)′ x − (2 x

−3

) ( x )′ = 2 xln(2) − 3 xln(3) − 2 x

1 ⎞ x ⎛ 1 ln(3) ⎞ x ⎛ ln(2) − 2 ⎟+3 ⎜ 2 − f '(x) = 2 ⎜ ⎟ x ⎠ x ⎠ ⎝ x ⎝x x

e −1 21. f(x) = x

Solución Use la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial

′ e − 1) x − ( e − 1) ( x )′ xe ( = f ′(x) = x

− ex + 1 ex (x − 1) + 1 = x2 x2

⎧⎪ 2x2 − 3, si x ≤ 2 ⎪⎩8x − 11, si x > 2

22. Calcula f+ (2) ∧ f− (2) de la función: f(x) = ⎨ Solución ' a) f+ (2) =

' b) f− (2) =

(

)

(

)

8(2 + h) − 11 − 2(2) − 3 f(2 + h) − f(2) 8h lim = lim = lim =8 + + + h h h→0 h→0 h→0 h 2(2 + h) − 3 − 2(2) − 3 f(2 + h) − f(2) 8h + h2 lim = lim = lim =8 h h h h→0− h→0− h→0−

Por lo tanto, f(x) es derivable en x = 2 pues f+ (x 0 ) = f− (x 0 ) = 8 . Es decir f '(2) = 8 23. Halle las derivadas laterales en el x = 0 , si f(x) = senx Solución '

senh f(0 + h) − f(0) = lim =1 h h→0+ h→0+ h

a) f+ (0) = lim '

senh f(0 + h) − f(0) = lim − = −1 h h h→0− h→0−

b) f− (0) = lim

Por lo tanto, f(x) no es derivable en x = 0 pues f+ (x 0 ) ≠ f− (x 0 )

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 193

Halle la derivada de las siguientes funciones compuestas 1. f(x)=sen(2x) Solución Use la derivada de una función compuesta. [f(g(x))]' = f '(g(x))g'(x) ′ f (x)=[sen(2x)]'=[sen(2x)]'(2x)'=[cos(2x)](2)= 2cos(2x) 2. f(x)=cos(4x) Solución Use la derivada de una función compuesta. f'(x)=[cos(4x)]'=[cos(4x)]'(4x)'= ‐4sen(4x) 3.

f(x) = tg( x) Solución Use la derivada de una función compuesta.

1 sec2 ( x) f '(x) = [ tg(x1/2 )]'(x1/2 )' = x −1/2 sec2 (x1/2 ) = 2 2 x 4.

f(x) = sen(

x + x2 ) 3

Solución Use la derivada de una función compuesta.

' 3 ⎛ x3 ⎛ x3 ⎞ 2 ⎞⎛ x 2⎞ f '(x) = cos ⎜ + x ⎟⎜ + x ⎟ = (x2 + 2x)cos ⎜ + x2 ⎟ ⎜ 3 ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛x ⎞ f(x) = cos ⎜ −2 x ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ 10

Solución Use la derivada de una función compuesta '

⎛ x10 ⎞⎛ x10 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛ 9 1 ⎞ − 2 x ⎟⎜ − 2 x ⎟ = − ⎜ 2x − −2 x ⎟ f '(x) = −sen ⎜ sen ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6.

f(x) = tg(2x + 2x) Solución Use la derivada de una función compuesta.

2 2 2 2 2 f ′(x) = sec (2x + 2x)(2x + 2x)' = ( 4x + 2 ) sec (2x + 2x)

194 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 3

f(x) = sen (x )

Solución Use la derivada de una función compuesta dos veces. 2

f '(x) = 3sen (x )[sen(x )]' = 3sen (x )cos(x )[x2 ]' = 6xsen2 (x2 )cos(x2 ) 8. f(x) = sen(x)cos(

x10 ) 5

Solución Use la derivada del producto y la derivada de una función compuesta '

⎛ ⎛ x10 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎞ f '(x) = [sen(x)]'cos ⎜ sen(x) cos + ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎟⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ '

⎛ x10 ⎞ ⎛ x10 ⎞⎛ x10 ⎞ f '(x) = cos(x)cos ⎜ − sen(x)sen ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟⎜ ⎟⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ x10 ⎞ ⎛ x10 ⎞ 9 f '(x) = cos(x)cos ⎜ 2x sen(x)sen − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 5 ⎟⎟ 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. f(x)=

1 sen(2x2 + 2x)

Solución '

u'(x) ⎡ 1 ⎤ =− 2 Use la propiedad: ⎢ ⎥ u (x) ⎣ u(x) ⎦ 2 2 2 2 − ⎡sen(2x + 2x)⎤ ' ⎣ ⎦ = − cos(2x + 2x)(2x + 2x)' = − (4x + 2)cos(2x + 2x) f ′(x) = 2 2 2 2 2 sen (2x + 2x) sen (2x + 2x) ⎡sen(2x2 + 2x)⎤ ⎣ ⎦ 10. f(x) = (x20 cos(2x) – 12)(x8 – sen(x)) Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta.

(

f '(x) = x cos ( 2x ) – 12 20

) (x '

) (

)(

)

– sen ( x ) + x cos ( 2x ) – 12 x – sen ( x ) 20

f '(x) = [20x19cos ( 2x ) – 2x 20sen(2x)][x 8 – sen(x)] + [x20 cos(2x) − 12][8x 7 – cos(x)] 11. f(x) = (x2 +3)–4 Solución

n−1

Use la derivada de una función compuesta [u (x)]' = nu

(

f ′(x) = −4 x + 3 2

(x)[u(x)]'

) ( x + 3)′ = −8x ( x + 3) −4 −1

–5

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 195

(

)

12. f(x) = x – 3x + 3

Solución n−1

Use la derivada de una función compuesta [u (x)]' = nu

(

f '(x) = 5 x – 3x + 3

) (x 5−1

) ( '

)(

(x)[u(x)]' 3

)

– 3x + 3 = 5 3x − 6x x – 3x + 3

13. f(x) = ln(x+1) – ln(x2–1) Solución Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]' =

( x + 1)' − ( x f '(x) = x +1

−1

[u(x)]' u(x)

x −1

1 2x x − 1 − 2x 1 − = =− x + 1 (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) x −1

14. f(x) = ln(8x–2) + ln(x2 +x) Solución Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]' =

(8x ) + ( x + x ) = −16x f '(x) = −2 '

−2

x +x

−3

−2

2x + 1 2

x +x

[u(x)]' u(x)

−2 2x + 1 −2(x + 1) + 2x + 1 1 + 2 = =− 2 x x +x x(x + 1) x +x

15. f(x) = x2ln(2x+1) Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta

( )

f '(x) = x2 ln ( 2x + 1 ) + x2 [ln ( 2x + 1 )]' = 2xln ( 2x + 1 ) +

2x2 2x + 1

2 (x +3x)

16. f(x) = e Solución

− e4x + e 3

u(x)

Use la derivada [e

u(x)

]' = u'(x)e

2 (x + 3x)

f '(x) = e

(x + 3x)'–

x ( ) ⎛ x ⎞' 2 4x 3 e (4x)'+ e = (2x + 3)e(x +3x)

⎜ ⎟ ⎝3⎠

cos(2x)

17. f(x) = e Solución

7 + ex

u(x)

Use la derivada [e

u(x)

]' = u'(x)e

1 ( ) – 4e + e 3 3 4x

196 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

( cos(2x))

cos(2x)

f '(x) = e

7 '+ e x

7 ⎛7⎞ 5x cos(2x) 5x − 2 e x + 5e ⎜ ⎟ + e (5x)' = −2sen(2x)e ⎝x⎠ x

2 18. f(x) = (x2 – 3x)e( 3x ) Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta.

(

)

(

)

(

2 2 ⎞ 2 ' ⎛ f '(x) = x 2 – 3x e( 3x ) + x2 – 3x ⎜ e( 3x ) ⎟ = (2x − 3)e( 3x ) + x2 – 3x ⎝ ⎠

f '(x) = (6x 3 − 18x2 + 2x − 3)e3x

) ⎛⎜⎝ e

( 3x2 ) ⎞

( )

2 ⎟ 3x ⎠

19. f(x) =

(

4 3

x +4

)

Solución Use regla de la cadena: [

k n

u (x)

]' = −

nk[u(x)]' un+1 (x)

f '(x) = −

4 × 2(x + 4)'

(

x +4

)

=−

(

8(3x ) 3

x +4

)

=−

(

24x 3

x +4

)

20. f(x) =

sen(x ) x

Solución Use la regla del cociente y luego la regla de la cadena

(sen(x )) x f '(x) =

' 3

( ) = 2x

− sen(x2 ) x 3 x

cos(x ) − 3x sen(x ) x

2cos(x ) 3sen(x ) − 2 4 x x

⎛ 2x − 1 ⎞ ⎟ ⎝ x2 + x ⎠

21. f(x) = ⎜

Solución Use la regla de la cadena y luego la regla del cociente

⎛ 2x − 1 ⎞ f '(x) = 3 ⎜ 2 ⎟ ⎝x +x⎠

3−1

' 2 2 ⎜ ( 2x − 1 ) ( x + x ) − ( 2x − 1 ) ( x + x )

2⎛

⎛ 2x − 1 ⎞ ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟ = 3⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝x +x⎠ ⎝x +x⎠ ⎜ ⎝

(x + x) 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 197

(

) (

⎞ ⎞ 2 2⎛ 2⎛ 2 2 ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎜ 2 x + x − ( 2x − 1 ) (2x + 1) ⎟ ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎜ 2x + 2x − 4x + 1 ⎟ f '(x) = 3 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 3⎜ 2 ⎟ 2 2 2 2 ⎝x +x⎠ ⎜ ⎟ ⎝x +x⎠ ⎜ ⎟ x +x x +x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

(

)

f '(x) = −

4x + 6

22. f(x) =

3(2x − 1) (2x − 2x − 1) x 4 (x + 1)4

x2 + 3x + 4

Solución Use la regla del cociente y luego la regla de la cadena Recuerde: [ u(x)]' =

f '(x) =

( 4x + 6 )'

(

u'(x) 2 u(x)

)

x + 3x + 4 − ( 4x + 6 ) 2

(

x + 3x + 4

)

x + 3x + 4 ⎛ (x2 + 3x + 4)' ⎞ ⎛ ⎞ 2x + 3 2 2 4 x + 3x + 4 − ( 4x + 6 ) ⎜ ⎟ 4 x + 3x + 4 − ( 4x + 6 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 x2 + 3x + 4 ⎠ 2 x2 + 3x + 4 ⎠ ⎝ ⎝ f '(x) = = 2 2 x + 3x + 4 x + 3x + 4 (2x + 3)2 2 4 x + 3x + 4 − 2 2 2 7 x2 + 3x + 4 = 4( x + 3x + 4) − (2x + 3) = f '(x) = 2 2 2 2 3 x + 3x + 4 (x + 3x + 4) x + 3x + 4 (x + 3x + 4) 23. f(x) =

cos ( 3x + 4 ) sen ( 4x − 3 )

Solución Use regla del cociente y regla de la cadena

f '(x) = f '(x) = f '(x) =

[cos ( 3x + 4 )]'sen ( 4x − 3) − cos ( 3x + 4 )[sen ( 4x − 3)]' sen ( 4x − 3) 2

−sen(3x + 4)[3x + 4]'sen ( 4x − 3) − cos ( 3x + 4 ) cos(4x − 3)[4x − 3]' sen ( 4x − 3) 2

−3sen(3x + 4)sen ( 4x − 3) − 4cos ( 3x + 4 ) cos(4x − 3) sen ( 4x − 3) 2

⎛ 3sen(3x + 4) 4cos(3x + 4)cos(4x − 3) ⎞ f '(x) = − ⎜ + ⎟ 2 sen (4x − 3) ⎝ sen(4x − 3) ⎠

198 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

⎛

⎡ x2 ⎤ ⎞ ⎥ ⎟⎟ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎠

24. f(x) = ln ⎜ cos ⎢

⎜ ⎝

Solución Aplique la derivada de un logaritmo y la regla de la cadena.

x [cos( )]' 2 = f '(x) = 2 x cos( ) 2

x2 ⎛ x2 ⎞ −sen( ). ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

cos(

x ) 2

x −xsen( ) 2 2 = −x tan( x ) = 2 2 x cos( ) 2

⎛ ex + 2 ⎞ ⎜ ex − 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

25. f(x) = ln ⎜

Solución Aplique propiedades de logaritmos x

f(x) = ln(e + 2) − ln(e − 2) Use la derivada del logaritmo natural f '(x) =

(e + 2)' (e − 2)' e e e (e − 2) − e (e + 2) −4e − x = x − x = = 2x x e +2 e −2 e +2 e −2 (ex + 2)(ex − 2) e −4

26. f(x) = ln

1 + cos(x) 1 − cos(x)

Solución Aplique propiedades trigonométricas en el radicando

f(x) = ln

1 + cosx (1 + cos(x))(1 − cos(x)) 1 − cos2 (x) sen2 (x) = ln = ln = ln 2 2 2 1 − cosx (1 − cos(x)) (1 − cos(x)) (1 − cos(x))

⎛ senx ⎞ f(x) = ln ⎜ ⎟ ⎝ 1 − cosx ⎠ Aplique propiedades de los logaritmos

f(x) = ln

1 + cos(x) sen(x) = ln( ) = ln(sen(x)) − ln(1 − cos(x)) 1 − cos(x) 1 − cos(x)

Ahora, aplique las propiedades de las derivadas y también las identidades trigonométricas 2

(sen(x))' (1 − cos(x))' cos(x) sen(x) cos(x) − cos (x) − sen (x) f '(x) = − = − = sen(x) 1 − cos(x) sen(x) 1 − cos(x) sen(x)(1 − cos(x)) cos(x) − [cos2 (x) + sen2 (x)] cos(x) − 1 −1 f '(x) = = = = − csc(x) sen(x)(1 − cos(x)) sen(x)(1 − cos(x)) sen(x)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 199

27. f(x) =

2 3

(1 − x )

Solución Aplique la derivada de un cociente

f '(x) =

2 3

(x )' (1 − x ) − x [ (1 − x ) ]' 2 3 2

[ (1 − x ) ] 3x

2 3

(1 − x ) + 3x

1−x

(1 − x 2 )3

3x (1 − x ) − 1 − x2 (1 − x2 )' 2 2 3 (1 − x )

2 3

1 − x (1 − x + x ) (1 − x2 )3

f '(x) =

1−x

(1 − x2 )3

4−x

28. f(x) =

2 3

(1 + x )

Solución Aplique la derivada de la raíz cuadrada '

⎡ f '(x) = ⎢ ⎢ ⎣

f '(x) =

⎡ 4 − x2 ⎤ (4 − x2 )'(1 + x2 )3 − (4 − x2 )[(1 + x2 )3 ]' ' ⎢ 2 3⎥ 4 − x2 ⎤ ⎢⎣ (1 + x ) ⎥⎦ (1 + x2 )6 ⎥ = = 2 3 (1 + x ) ⎥⎦ 4 − x2 4 − x2 2 2 3 2 3 (1 + x ) (1 + x )

−2x(1 + x2 )3 − 6x(4 − x2 )(1 + x2 )2 2 6

2(1 + x ) f '(x) =

4−x

2(1 + x )

2 3

(1 + x )

4 − x2

−26x + 4x 3 2 3

2(1 + x )

1 + x2

−2x(1 + x2 ) − 6x(4 − x 2 ) 2(1 + x )

2 3

−2x − 2x 3 − 24x + 6x 3 2 3

4 − x2

4−x

1 + x2

29. f(x) =

1+x + 1−x 1 + x − 1 −x

Solución Racionalice el denominador f(x) = f(x) =

( 1 + x + 1 − x )( 1 + x − 1 − x ) ( 1+ x − 1− x )

x 1− 1− x2

1+ x − 1+ x 1+ x − 2 1+ x 1− x + 1− x

2x 2 − 2 1+ x 1− x

200 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Ahora aplique la derivada del cociente y de la raíz cuadrada ⎡ x ' 2 ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ − x ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ 1 − 1 − x − x ⎢ x ' 2 ⎡ ⎤ x ⎦ ⎣ ⎦ = ⎣ 1− x f '(x) = ⎢ = ⎣ ⎥ 2 2 2 ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ ⎣1 − 1 − x ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ '

Finalmente simplifique y se obtiene

⎤ ⎥ ⎦

1 − x 2 − (1 − x 2 ) − x 2 1 − x2

f '(x) =

⎡1 − 1 − x 2 ⎤ ⎣ ⎦

1− x2 − 1 =

1− x2 ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ ⎣ ⎦

−1 1 − x ⎡1 − 1 − x 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2

30. f(x) =

a2 + x2

Solución Aplique la regla del cociente y la regla de la raíz cuadrada ' ⎡ 2 2 2 2 ⎤ ' x' a + x − x ⎡ a + x ⎤ ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ x 1 ⎥ f '(x) = ⎢ ⎥ = 2⎢ 2 2 2 2 ⎥ ⎡ a2 + x2 ⎤ ⎣⎢ a a + x ⎦⎥ a ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ 2 2 ⎡ 2 2 (a + x )' a x x + − ⎢ 1⎢ 2 a2 + x2 f '(x) = 2 ⎢ 2 2 a a +x ⎢ ⎣⎢

⎡ ⎢ 1⎢ f '(x) = 2 ⎢ a ⎢ ⎢⎣

f '(x) =

⎤ 2x ⎡ 2 2 ⎤ ⎥ ⎢ a +x −x ⎥ 2 2 ⎥= 1 ⎢ 2 a +x ⎥ 2 2 ⎥ a2 ⎢ ⎥ a +x ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦⎥

⎡ ⎡ 2 2 ⎤2 2 ⎤ ⎢ ⎢ a +x ⎥ −x ⎥ ⎤ x 2 2 ⎦ ⎡ ⎡ 2 2 ⎤2 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥ a +x − ⎥ a +x −x ⎥ 2 2 2 2 ⎥ 1 ⎢ ⎣⎢ a +x ⎥ = 1 ⎢ a +x ⎦⎥ ⎢ = ⎥ 2 2 2 2 2⎥ 2 2 2 2 ⎥ a2 ⎢ + a +x a x ⎢ ⎥ a ⎢ (a + x ) a + x ⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2

2 2 2 2 ⎤ 1⎡ ⎤ 1 ⎡ a +x −x a 1 = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= 2 2 a ⎢⎣ (a2 + x2 ) a2 + x2 ⎥⎦ a ⎢⎣ (a2 + x2 ) a2 + x2 ⎥⎦ (a2 + x2 ) a2 + x2

Racionalizando se tiene

f '(x) =

a +x

(a2 + x2 )2

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 201

31. f(x) =

1− x 1+ x

Solución Primer método Escribe la función como exponente fraccionario

1 − x ⎡1 − x ⎤2 =⎢ f(x) = ⎥ 1 + x ⎣1 + x ⎦ Aplique la regla de la cadena:

′ ′⎞ −1/2 ⎛ ⎛ 1 − x ⎞′ 1 ⎛ 1 − x ⎞ ⎜ 1− x 1+ x − 1− x 1+ x ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 2 2 1 x 1 x + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1+ x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ − − ⎛ 1+ x − 1− x − ⎟ 2 −1 − x − 1 + x ⎛ ⎞ 1⎛1− x ⎞ 2 ⎜ 2 x 1 1 x − ⎜ ⎟ 2 x f'(x) = ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ 1 + x ⎟⎠ ⎜ 2 1 x + ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 1 x 2 x 1 x + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ − ⎛ ⎛ ⎞ 1 1− x 2 ⎜ 1 1 ⎟ =− f '(x) = − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 2⎟ −1/2 2⎝1+ x ⎠ ⎜ x 1+ x ⎟ 2 x(1 − x) (1 + x)−1/2 (1 + x)(1 + x) ⎝ ⎠ −1 −1 −1 f '(x) = = = 1/2 1/2 1/2 2 x(1 − x) (1 + x) (1 + x) 2 x(1 − x) (1 + x) 2 x (1 − x)(1 + x) 1⎛1− x ⎞ f ′(x) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 + x ⎟⎠

(

−1/2

(

) (

(

)(

(

) (

)(

)

(

)

Segundo método Racionalice el radicando:

f(x) =

1− x (1 − x)(1 + x) 1−x 1−x = = = 2 2 1+ x 1+ x (1 + x) (1 + x)

Aplique la regla del cociente

−(1 + x) 1− x − x − x −1+ x ' ' − ⎡ 1 − x ⎤ (1 + x) − 1 − x ⎡1 + x ⎤ ⎦ ⎣ ⎦ = 2 1−x 2 x = 2 x 1−x f '(x) = ⎣ 2 2 2 ⎡1 + x ⎤ ⎡1 + x ⎤ ⎡1 + x ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −( x + 1) −1 f '(x) = 2 x 1 − 2x = 2 x (1 − x)( x + 1) ⎡1 + x ⎤ ⎣ ⎦ Comentario A veces es mejor reducir la expresión dada usando propiedades algebraicas y luego aplicar las propiedades de las derivadas.

202 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 32. f(x) =

x 2 2 a2 x − a − ln(x + x 2 − a2 ) 2 2

Solución Aplique la regla del producto en el primer término y en el segundo la derivada del logaritmo natural. '

⎡x ⎤ f '(x) = ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦

⎡x + x2 − a2 ⎤ x ⎡ 2 2 ⎤' a ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ x −a + x −a − ⎢ ⎥ 2 2 ⎦ 2 x + x −a 2⎣ 2

Ahora aplique la derivada de la raíz cuadrada ' ⎛ ⎡x2 − a2 ⎤ ⎞ 2⎜ ⎦ ⎟ a ⎜1 + ⎣ ⎟ ' 2 2 x − a2 ⎟ ⎡x2 − a2 ⎤ ⎜ x 1 2 2 ⎦ − ⎝ ⎠ f '(x) = x −a + ⎣ 2 2 2 2 2 4 x −a 2 x + x −a

(

)

x ⎛ ⎜1+ 2 2 1 2 2 x a x −a − ⎜ f '(x) = x −a + 2 2 ⎜ 2 2 x + x2 − a2 2 x −a ⎜ ⎝ 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Sacando mínimo común múltiplo se tiene

1 x2 − a2 + x2 a2 f '(x) = ( )− 2 2 2 2 x −a

x2 − a2 + x 2

(

x −a x + x −a

)

Simplificando se tiene

f '(x) =

2x2 − a2

−

2 x2 − a2

a2 2 x2 − a2

2x2 − 2a2 2 x2 − a2

x2 − a2 x2 − a2

Finalmente racionalice y se tiene 2

f'(x) = x − a 3

33. f(x) = −x cos (x )sen(x ) Solución Aplique regla del producto dos veces y también regla de la cadena '

3 4 5 3 3 4 5 3 f '(x) = ⎡ −x cos (x )⎤ sen(x ) − x cos (x ) ⎡sen(x )⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ' ⎛ ⎡ 3 ⎤' ⎞ 4 5 3 4 5 3 3 4 5 3 3 ' f '(x) = ⎜ −x cos (x ) − x ⎡cos (x )⎤ ⎟ sen x − x cos (x )cos(x ) ⎡ x ⎤ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝⎣ ' ⎞ ⎛ f '(x) = ⎜ −3x2 cos4 (x 5 ) − 4x 3 cos3 (x 5 )(−sen(x 5 )) ⎡x 5 ⎤ ⎟ sen x 3 − 2x 5 cos 4 (x 5 )cos(x 3 ) ⎣ ⎦ ⎠ ⎝

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 203

(

)

f'(x) = −3x cos (x ) + 20x sen(x )cos (x ) sen x − 3x cos (x )cos(x ) Finalmente aplique la propiedad distributiva

f '(x) = −3x2 cos4 (x 5 )sen(x 3 ) + 20x 7sen(x 5 )cos3 (x 5 )sen(x 3 ) − 3x 5 cos 4 (x 5 )cos(x 3 )

34. f(x) = arctg Solución

f '(x) =

(

)

4x2 − 1

4x − 1

(

)

4x − 1

)

2 1 = 2 4x 2 − 1 = 1 + 4x − 1 x 4x2 − 1

35. f(x) = e

sen(x2 )

⎛ x ⎞ arctan ⎜ ⎟ ⎝ lnx ⎠

Solución Aplique la regla del producto

f '(x) = e

sen(x2 )

(sen(x ))'arctan⎛⎜⎝ lnxx ⎞⎟⎠ + e 2

sen(x2 ) ⎛

⎛ x ⎞⎞ ⎜ arctan ⎜ lnx ⎟ ⎟ ' ⎝ ⎠⎠ ⎝

Ahora, factorice y aplique la derivada de la función seno y arcotangente.

⎛ ⎛ x ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ln(x) ⎟ ' ⎟ ⎛ x ⎞ 2 ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ 2 2x cos(x )arctan ⎜ ⎟+ sen(x ) 2 ⎜ ln(x) f '(x) = e ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ ⎟ 1+⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ln(x) ⎠ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ln(x) − 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 ⎛ x ⎞ sen(x ) ⎜ 2 ln x ⎟ f '(x) = e 2xcos(x )arctan ⎜ ⎟+ 2 2 ⎟ ⎜ ln(x) ⎝ ⎠ ln (x) + x ⎜⎜ ⎟ ln2 (x) ⎟⎠ ⎝ Simplificando 2 ⎛ ⎛ x ⎞ ln(x) − 1 ⎞ f '(x) = esen(x ) ⎜ 2xcos(x2 )arctan ⎜ ⎟+ 2 2⎟ ⎝ ln(x) ⎠ ln (x) + x ⎠ ⎝

204 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

⎛

(

)⎞

36. f(x) = arcsen ⎜ cos (x − ) − Ln sec (−2x) − 10 ⎟ x ⎝ ⎠ Solución Aplique la derivada de la función arcoseno y sec(‐x)=sec(x)

f'(x) =

(

)

⎛ 2⎛ 8⎞ ⎞ 2 2 ⎜ cos ⎜ x − x ⎟ − ln sec ( 2x ) − 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

8⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 − ⎜ cos2 ⎜ x − ⎟ − ln sec2 ( 2x ) − 10 ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Aplique regla de la cadena en el primer y segundo miembro del numerador

(

)' ⎞⎟

⎛ ' sec2 ( 2x ) − 10 ⎜ −2cos ⎛ x − 8 ⎞ sen ⎛ x − 8 ⎞⎛ x − 8 ⎞ − ln sec2 ( 2x ) − 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎜ x⎠ x ⎠⎝ x⎠ ⎝ ⎝ sec ( 2x ) − 10 f'(x) = ⎝

(

)

(

)

⎟ ⎠

8⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 − ⎜ cos2 ⎜ x − ⎟ − ln sec2 ( 2x ) − 10 ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎛ x2 + 8 16 ⎞ 4sec2 (2x)tg(2x) ⎞ ⎛ 2 ⎜ − 2 sen ⎜ 2x − ⎟ + ln sec ( 2x ) − 10 ⎟ ⎜ x ⎠ ⎝ x sec2 ( 2x ) − 10 ⎠⎟ ⎝ f '(x) =

(

)

(

)

8⎞ ⎛ 2⎛ ⎞ 2 1 − ⎜ cos ⎜ x − ⎟ − ln sec ( 2x ) − 10 ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ x2 + 8 16 ⎞ 4tg(2x) ⎛ ln sec2 ( 2x ) − 10 ⎜⎜ − 2 sen ⎜ 2x − ⎟ + 2 x ⎝ ⎠ x 1 − 10cos (2x) f '(x) = ⎝ 2 ⎛ 2⎛ ⎞ 8⎞ 2 1 − ⎜ cos ⎜ x − ⎟ − ln sec ( 2x ) − 10 ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(

)

⎞

) ⎟⎟⎠

Problemas sobre recta tangente y recta normal 1.

Calcule los puntos en que la recta tangente a la curva f(x) = x − 3x − 9x + 5 es paralela al eje OX. Halle también la ecuación de la recta tangente y la recta normal en esos puntos. Solución Para que la recta tangente sea paralela al eje OX, su pendiente de ser cero. Es decir 2

m = f'(x) = 3x − 6x − 9 = 0

Al resolver esta ecuación se tiene x = −1; x = 3 . Por lo tanto, los puntos en donde la recta tangente es paralela al eje OX son (–1; 10), (3; ‐22)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 205

• Ecuación de la recta tangente:

y = 10; y = −22

• Ecuación de la recta normal:

x = −1; x = 3

Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x) = x , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0; −2). Halle los puntos de tangencia y las ecuaciones de la recta tangente y normal en cada punto.

Solución La pendiente de la recta tangente es: 2

f'(x) = 3x = 3 ⇔ x = ±1 Entonces los puntos de tangencia son:

(−1; − 1), (1;1) • Ecuación de la recta tangente:

L T1 : y − (−1) = 3(x − (−1)) ⇔ y − 3x − 2 = 0 (Se descarta pues esta recta no pasa por (0;–2) )

L T2 : y − 1 = 3(x − 1) ⇔ y − 3x + 2 = 0 • Ecuación de la recta normal:

1 1 =− f '(x) 3

1 LN1 : y − 1 = − (x − 1) ⇔ 3y + x − 2 = 0 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva f(x) = ln(tg(2x)) en el punto π de abscisa x = . 8

mLN = −

Solución Cálculo de la pendiente de la recta tangente y normal

f '(x) =

[ tg(2x)]' = 2sec tg(2x)

(2x) 2 4 = = = 4csc(4x) tg(2x) cos(2x)sen(2x) sen(4x)

Entonces

π π 1 1 mL T = f '( ) = 4csc( ) = 4 y mLN = − =− π 8 2 4 f '( ) 8

Para calcular el punto de tangencia se debe de reemplazar la abscisa en la función dada. Es decir:

π 2π π f( ) = ln(tg( )) = ln(tg( )) = ln(1) = 0 8 8 4

Entonces el punto de tangencia es:

π ( ; 0) 8

206 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Por lo tanto, las ecuaciones de la recta tangente y la normal son:

L T : y = 4x −

π x π ; LN : y = − + 2 4 32

Demuestre que la recta normal a cualquier punto de lacircunferencia x + y = r pasa por el origen. Demostración Despejando la variable y setiene: 2

x + y =r ⇒ y = ± r −x 2

Sea (a, ± r − a ) los puntos de tangencia a la circunferencia. Entonces la pendiente de la recta nornal es:

1 mLN = − =− y'(a) ∓

1 a

r2 − a2 =± a

r2 − a2

Por tanto, la ecuación de la recta normal es:

y − (± r2 − a2 ) = ±

r2 − a2 r2 − a2 (x − a) ⇔ y ∓ r2 − a2 = ± x ∓ r2 − a2 a a y=±

r2 − a2 x a

Esta recta demuestra que para cualquier punto de tangencia a la circunferencia, la recta normal en ese punto pasa por el origen. 5.

Dos circunferencias de radio 4 son tangentes a la gráfica y = 4x , en el punto (1; 2). Encontrar las ecuaciones de esas dos circunferencias. Solución Si las circunferencias son tangentes a la parábola en el punto (1; 2) significa que tienen la misma recta tangente. Por otro lado, el centro de cualquier circunferencia está sobre la recta normal en cualquier punto. Entonces se debe encontrar la pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto (1; 2) y luego la ecuación de la recta normal en ese punto. Es decir:

1 x

y = 2 x ⇒ y'(x) = Pendiente de la recta tangente:

mL T = y'(1) = 1 Pendiente de la recta normal:

mLN = − Le cuación de la recta normal es:

1 = −1 y'(1)

y − 2 = −(x − 1) ⇔ y = −x + 3

Los centros están ubicados sobre esta recta normal, esto quiere decir que el centro satisface dicha ecuación. Es decir: k = −h + 3 Usando la distancia entre dos puntos calculemos el radio de la circunferencia. Es decir:

(h; k)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 207 2

(h − 1) + (−h + 3 − 2) = 4 ⇔ (h − 1) + (−h + 1) = 16 ⇔ 2(h − 1) = 16 ⇔ h = ±2 2 + 1 Entonces los centros son

(2 2 + 1; − 2 2 + 2), (−2 2 + 1; 2 2 + 2) Finalmente las ecuaciones de las circunferencias tangentes a la parábola son: 2 2 2 C1 : (x − 2 2 − 1) + (y + 2 2 − 2) = 4

C2 : (x + 2 2 − 1) + (y − 2 2 − 2)2 = 42 6.

LT : y=x+1

LN : y= –x+3

Dada la función f(x) = tg(x) , halle el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. Solución Cálculo de la pendiente de la recta tangente en el origen, es decir en el punto (0; 0)

mL T = f '(0) = sec2 (0) = 1

Por otro lado, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir:

tg(θ) = m ; donde el ángulo de inclinación es θ

Entonces, en ángulo que forma la recta tangente a la la función dada en el origen con el eje de abscisas es el ángulo de inclinación de dicha recta. Es decir:

tg(θ) = 1 ⇔ θ = 45 7.

Halle los coeficientes de la ecuación f(x) = ax + bx + c , sabiendo que su gráfica pasa por (0; 3) y por (2; 1), y en este último punto su recta tangente tiene pendiente 3. Solución Si la función pasa por los puntos (0; 3) , (2; 1) entonces se cumple: 2

3 = a(0) + b(0) + c ⇒ c = 3

(1)

208 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

1 = a(2)2 + b(2) + 3 ⇒ 2a + b = −1

(2)

Por dato también se tiene que la pendiente de la recta tangente en (2; 1) es 3. Es decir: (3) f '(x) = 2ax + b ⇒ f '(2) = 4a + b = 3 De la ecuación (2) y (3) se tiene:

a = 2 ; b = −5

Por lo tanto, los coeficientes son:

a = 2 ; b = −5; c = 3 8.

Determine los valores a, b y c de modo que f(x) = x + ax + b y g(x) = x + cx tengan la misma recta tangente en el punto (2; 2).

Solución f tiene la misma recta tangente que g entonces sus pendientes son iguales. Es decir, mf = mg ⇔ 2x + a = 2x + c ⇔ a = c (2; 2) es el punto de tangencia para ambas funciones entonces se tiene:

⎧c = −1 ⎧g : 2 = 4 + 2c ⎧c = −1 ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨b = 0 ⎨ ⎩f : 2 = 4 + 2a + b ⎩−2 = 2c + b ⎪a = −1 ⎩ 9.

Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = x2 + x+ 1, sabiendo que dicha recta pasa por (37; 0) Solución Cálculo de la pendiente 2

Sea el punto de tangencia (x;y) = (x;x + x + 1) entonces • Use la derivada para calcular la pendiente de la recta tangente:

m1 = f'(x) = 2x + 1

(1)

• Calcule la pendiente usando los dos puntos por donde pasa la recta normal: (x;x + x + 1) y (37; 0) 2

−(x + x + 1) x + x + 1 m2 = = 37 − x x − 37

(2)

Como la recta normal y la recta tangente son perpendiculares se cumple:

⎛ x2 + x + 1 ⎞ m1m2 = −1 ⇔ (2x + 1) ⎜ = −1 ⎜ x − 37 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 (2x + 1)(x + x + 1) = 37 − x Efectuando se tiene

2x 3 + 3x2 + 4x − 36 = 0

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 209

Use el método de Ruffini y se tiene 2

(x − 2)(2x + 7x + 18) = 0

El término cuadrático es siempre positivo puesto que el discriminante es –95. Entonces x = 2 y el punto de tangencia es (2; 7). Por otro lado, la pendiente de la recta normal es: m2 = −

1 1 =− m1 5

Por lo tanto, usando la ecuación punto pendiente se tiene la ecuación de la recta normal:

1 y − 0 = − (x − 37) ⇔ 5y = −(x − 37) ⇔ 5y + x − 37 = 0 5 3

10. Encuentre todos los puntos de la curva f(x) = x − x + 1 tales que la tangente a la curva en dichos puntos sea perpendicular a la recta x + 2y − 12 = 0 y obtener las ecuaciones de las rectas tangentes: Solución Como la recta tangente (LT) es perpendicular a la recta L1 : x + 2y − 12 = 0 , se cumple que:

1 mTm1 = −1 ∧ m1 = − ⇒ mT = 2 2 Pero

f'(x) = mT = 3x − 1 = 2 ⇔ x = ±1 Entonces P0(1,1) y P1(‐1,1)

Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas tangentes son:

L T1 : y − 1 = 2(x − 1) ⇒ y − 2x + 1 = 0 L T2 : y − 1 = 2(x + 1) ⇒ y − 2x − 3 = 0 Aplicaciones 1. Balística. Los expertos en Balística pueden identificar el arma que disparó cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia 3

S, en centímetros, que la bala recorre en el papel está dada por s(t) = 27 − (3 − 10t) para 0 ≤ t ≤ 0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un décimo de segundo después de que golpea el papel. Solución Derive la función s(t)

s(t) = 27 − (3 − 10t) ⇒ s'(t) = −3(3 − 10t) (−10) = 30(3 − 10t)

Analice la derivada en el décimo segundo

s'(

La velocidad es de 120 cm/s

1 1 ) = 30(3 − 10 × )2 = 120 10 10

210 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 2. En el instante t = 0 , un saltador se lanza desde un trampolín que está a 16 metros sobre el nivel 2

del agua de la piscina. La posición del saltador viene dada por s(t) = − 8t + 8t + 16 ; con s en metros y t en segundos. a) ¿Cuándo entra el saltador en el agua? b) ¿Cuál es su velocidad en ese momento?

Solución a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir:

s(t) = − 8t2 + 8t + 16 ⇔ 0 = − 8(t2 − t − 2) = −8(t − 2)(t + 1) ⇔ t=2 segundos

La velocidad es la derivada de la posición. Es decir:

s'(t) =− 16t + 8 ⇒ s'(2) =− 16(2) + 8 = −24

El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s 3. Velocidad promedio. Si se lanza un objeto hacia arriba a 64 pies / seg desde una altura de 20 pies, su altura S después de x segundos se determina por S(x) = 20 + 64x – 16x2. ¿Cuál es la velocidad promedio de los a) primeros 2 segundos después de que se lanzó? b) Siguientes 2 segundos? Solución La velocidad es la derivada de la función altura S. Es decir:

S'(x) = 64 − 32x

La velocidad promedio en los dos primeros segundos es:

S'(2) − S'(0) 0 − 64 = = −32 2−0 2−0

La velocidad promedio en los dos segundos siguientes es:

S'(4) − S'(2) −64 − 0 = = −32 4 −2 4 −2

4. Si la función del costo total de un fabricante está dado por C =

6q2 + 6000 encuentre la función q+2

del costo marginal. Solución El costo marginal es la derivada del costo entonces aplicar la drivada de un cociente para el primer término y la derivada de una constante para el segundo término. 2

dC 12q(q + 2) − 6q 12q + 24q − 6q 6q + 24q 6q(q + 4) CM = = = = = 2 2 2 2 dq (q + 2) (q + 2) (q + 2) (q + 2)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 211

5. Si p =

q + 12 es una ecuación de demanda, encuentre la razón de cambio del precio p con q+5

respecto a la cantidad q. Solución Se sabe que el ingreso I es el precio p por la cantidad q, entonces el ingreso marginal se calcula:

IM =

2 2 2 dI d ⎛ q + 12q ⎞ (2q + 12)(q + 5) − (q + 12q) q + 10q + 60 = ⎜ = = ⎟ 2 2 dq dq ⎜⎝ q + 5 ⎟⎠ (q + 5) (q + 5)

6. Un empresario que emplea m trabajdores encuentran que producen q = 2m (2m + 1) unidades de productos diariamente. El ingreso total r (en dólares) está dado por r =

50q 1000 + 3q

Determine el producto del ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores Solución La derivada del ingreso con respecto del número de empleados se le llama producto del ingreso marginal. Entonces en nuestro problema nos piden calcular

dr . dm m=12

Apliquemos regla de la cadena y se tiene:

50q ) 1000 + 3q d(2m (2m + 1)3 ) dr dr dq = × = × dm dq dm dq dm ⎛ ⎞ 3 50 1000 + 3q − 50q ⎜ ⎟ 2 1000 + 3q ⎠ dr 3 ⎝ = × 2 (2m + 1) + 2m(3 2m + 1) 2 dm 1000 + 3q d(

(

dr = dm

(

)

75q 1000 + 3q × 2 (2m + 1)3 + 6m 2m + 1 (1000 + 3q)

50 1000 + 3q −

(

)

Si m= 12, entonces q = 2(12) (2(12) + 1) = 24 25 = 24(5 ) = 3000 Luego, reemplazando los valores de m y q en la última ecuación se tiene:

25q dr 1000 + 3(3000) = × 2 (2(12) + 1)3 + 6(12) 2(12) + 1 dm (1000 + 3(3000) 75q 50 10000 − 10000 dr 11 671 3 = × 2 (25) + 72 25 = × 610 = = 167,75 dm 10000 40 4 50 1000 + 3(3000) −

(

)

Esto significa que si se emplea a un trece avo trabajador, el ingreso aumentará en aproximadamente 167,75 dólares.

212 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

Ejercicios propuestos 3.1. Nivel 1 Halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado. 1. f(x) = 3 − 7x; x = 2; Δx = 0,5 3. f(x) = 4 + x ; x = 5; Δx = 0,24 2.

f(x) = 3x2 − 5x + 1; x = 3; Δx = 0,2

2x − 1 f(x) = ; x

Halle la derivada de las siguientes funciones 4

f(x) = 4x + 2x − 8x

f(x) = 3 x − 4 4 x + 2

f(x) =

15. f(x) =

16. f(x) =

x 2 3 2011 + 2 − 3 + 10 3 x x

( x − 2) 5

(

11. f(x) = x

+ 6x

)( x

x +4 sen(x) 3

x +1

18. f(x) =

ex sen(x) x

x +4

ex + 2 2x

10. f(x) =

)

17. f(x) =

f(x) = x(x − 5x) + 5 x

14. f(x) = x + 4x − 5 lnx

x 3x x 7. f(x) = + − + 5 5 21 3 8.

(

x = 5; Δx = 0,3

19. f(x) = arcsen(x) cos(x)

)

+ 2x

20. f(x) = x

−1 ⎛

1⎞ ⎜ arctg(x) + ⎟ x⎠ ⎝

12. f(x) = tg(x)[cos(x) − sen(x)] 13. f(x) = x ( sinx − 3cosx )

21. f(x) =

arccos(x) e 3

x ln(x)

22. El costo de producir x artículos está dado por C(x) = 0,001x − 0,03x + 4x + 1000 . a) Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. b) Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades.

23. El ingreso semanal total R (en Nuevos Soles) obtenido por la producción y venta de x unidades 2

de cierto artículo está dado por R(x) = 500x − 3x . Determine la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el número de unidades producidas y vendidas por semana se incrementa de 100 a 120.

24. Durante el periodo de 1950 a 1970, el producto nacional bruto (PNB) de cierto país se 2

encontraba dado por la función I(x) = 5 + 0,1x + 0,01x en miles de millones de soles. (x=0 corresponde a 1970 y x=20 a 1990). Determine el crecimiento promedio en el PNB por año entre 1975 y 1980.

25. Cuando el precio de cierto artículo es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (demanda) está dado por x =

1000 . Determine el incremento de la demanda cuando p +1

el precio se incrementa de S/. 1 a S/.1,50.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 213

Nivel 2 Halle la derivada de las siguientes funciones 2

y = 3sen(x)cos (x) + tan (x) cos(x) 4 2. y = − + cot(x) 3 3sen (x) 3

3sinx − 2cosx 5 m

y = ( 2x − 3) e

y = x − 3 sen(3x − 2)

⎛ a + bxn ⎞ 9. y = ⎜ ⎜ a − bxn ⎟⎟ ⎝ ⎠ 3 x 10. y = 2 3 3 1+x

y = 1 + arcsen(x)

11. y = −

y = sen(x2 − 2x)ex

5 3x2 + 4

(

)

y = ln(x + 1) + ln

(

−1

(

)

x +1

)

15 4 ( x − 3)

−

10 3 ( x − 3)

−

1 2 ( x − 3)

Resuelva los siguientes problemas 12. Si la recta tangente a y = f(x) en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentre f(4) y f ' (4) .

13. Si f(x) = 3x 2 − 5x encuentre f ' (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (2,2).

14. Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva y = 5x 3 − 6x 2 − 5x en el origen.

15. Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x) = x , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0; −2) . Halle el punto de tangencia.

16. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a ambas gráficas de f(x) = x , 2

g(x) = −x + 6x − 5 .

17. Halle el punto de tangencia a la gráfica de f(x) = ln(x) de tal forma que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (1; 0) y (e ; 1).

18. Demuestre que las gráficas de f(x) = x y f(x) =

1 tienen rectas tangentes perpendiculares x

entre sí en su punto de intersección.

19. Demuestre que la gráfica de la función f(x) = x + 3x + 5x no tiene una recta tangente con pendiente 3.

20. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia en el punto 2

indicado x + y = 25 en (4; 3), (–3; 4).

21. Buscar los puntos de la curva f(x) = x + 7x + 13x + x + 1 , para los cuales la tangente forma un ángulo de 45 con OX. 3

22. La ley de movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 3t − t . Halla la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 = 0 , t1 = 1 y t2 = 2 . ( x está dado en centímetros y t en segundos)

214 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 23. Un punto se mueve sobre la hipérbola y =

10 de tal modo, que su abscisa X aumenta x

uniformemente con velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5; 2)? Nivel 3 4

Halle los puntos en que las tangentes a la curva f(x) = 3x + 4x − 12x + 20 sean paralelas al eje de abscisas.

2. ¿En qué punto la tangente a la parábola f(x) = x − 7x + 3 es paralela a la recta 5x + 7y − 3 = 0 ?

3. Halle las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 3 x − 1 en el punto (1, 0).

4. Halle las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x punto (1, 0).

−2/3

− 3x + x

1/4

+ 1 en el

5. Halle la ecuación de la parábola y = x + bx + c que es tangente a la recta y = x en el punto (1; 1) .

6. Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a la curva f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas.

7. Halle las ecuaciones de la tangente y la normal a f(x) = 2x − 6x + 7 en el punto P donde la pendiente de la tangente es 2.

8. Halle el punto en que la normal a f(x) = x − x en (‐2; 6) corta a la recta 2x + 5y = 5 .

9. Dada la función f(x) = ax + bx + cx + d , determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1; 2) , (2; 3) y que las rectas tangentes a ellos en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas. 2

10. La gráfica de la función f(x) = ax + bx + c pasa por los puntos (2; 3) y (3; 13). Siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Halla el valor numérico de a, b y c. Halle la derivada de las siguientes funciones 15. f(x) = sen ⎡x + sen(x + sen (x))⎤

11. f(x) = x + 1 + x 12. f(x) =

⎣

1− x 1+ x

(

⎡ ⎣

)

(

)

(

16. f(x) = ⎢ (x + x) + x

13 1 3 8 3 5 1+x − 3 1+x 8 5 ⎛ 1 + sen(x) ⎞ 14. f(x) = ln ⎜ ⎜ 1 − sen(x) ⎟⎟ + 2ln x + cos(x) ⎝ ⎠

13. f(x) =

(

)

17. f(x) =

1 x−

2 x + sen(x)

)

⎤ + x⎥ ⎦

⎦

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 215

3.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA

Función implícita Se dice que F:Df ⊆ R → R es una función implícita dada por la ecuación E(x;y) = 0 , si E(x;f(x)) = 0 para todo x ∈ Df . Ejemplo La ecuación 3x + 8y − xy − 1 = 0 contiene a la función implícita y =

1 − 3x ; x ≠ 8. 8−x

Pues,

⎛ 1 − 3x ⎞ ⎛ 1 − 3x ⎞ 3x + 8 ⎜ ⎟ − x⎜ ⎟ − 1 = 0 ∀x ∈ R − {8} . ⎝ 8−x ⎠ ⎝ 8−x ⎠ Sin embargo, no siempre es posible hacer explícita una función que está dada en la forma implícita. Ejemplo 5

De la ecuación y + y + 2x = 0 no es posible despejar “y” en términos de “x”.

Derivada de una función implícita Hasta ahora hemos calculado la derivada de una función de la forma y = f(x) donde se define y explícitamente en función de x. Sin embargo, también se puede definir y implícitamente como función de x, como en la siguiente ecuación 5 2

y x − xy + 2y = x

De la ecuación anterior no existe una forma obvia de despejar y, pero existe una técnica muy utilizada que se basa en la regla de la cadena, que nos permite obtener

dy . La técnica se denomina dx

derivación implícita. Ejemplo 2

Obtenga la derivada de la función y = f(x) dada implícitamente por x y + xy + x − 5 = 0 . Solución Derivando término a término con respecto a “x” y usando regla de la cadena se tiene: (x2y)’ + ( xy3 )’ + ( x )’ – ( 5 )’ = ( 0 )’ ⇒ 2xy + x2y’ + y3 + 3xy2y’ + 1 = 0 Despejando y’ tenemos:

y' = −

2xy + y + 1 2

x + 3xy

216 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Nota Existe una TÉCNICA ALTERNATIVA que nos ayuda a encontrar la derivada de una función implícita usando la siguiente fórmula. '

dy E (x;y) = − x' dx E y (x;y) Donde: '

E x (x;y) es la derivada de la ecuación E(x;y) con respecto a la variable “x”. La variable y se asume como constante.

E y' (x;y) es la derivada de la ecuación E(x;y) con respecto a la variable “y”. La variable x se asume como constante. Ejemplo 2

Obtenga la derivada de la función y= f(x) dada implícitamente por x y + xy + x − 5 = 0 . Solución Derive la ecuación dada '

Ex (x;y) = (x )'y + (x)'y + (x)'− (5)' = 2xy + y + 1 E'y (x;y) = x 2 (y)'+ x(y 3 )'+ (x)'− (5)' = x 2 + 3xy2 Luego, reemplace en la fórmula y se tiene:

y' = −

2xy + y + 1 2

x + 3xy

Ejercicios resueltos 1. Halle

dy 2 2 de la ecuación x + y = 25 dx

Solución Primer método Aplique regla de la cadena y se tiene:

2x + 2yy' = 0 ⇒ y' = −

x y

Segundo método Use la fórmula

dy E '(x;y) =− x dx Ey '(x;y) La ecuación implícita: 2

E(x,y) = x + y − 25 .

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 217

Derivando parcialmente se tiene: '

Ex (x;y) = 2x y E'y (x;y) = 2y Luego, reemplace en la fórmula se tiene:

dy 2x x =− =− dx 2y y 2. Halle

dy 3 3 de la ecuación x + y = 6xy dx

Solución Primer Método Aplique regla de la cadena y se tiene: 3

x + y = 6xy ⇒ 3x + 3y y'− 6y − 6xy' = 0 ⇒ (y − 2x)y' = 2y − x 2 2y − x y' = 2 y − 2x

Segundo Método Use la formula

E '(x;y) dy =− x dx Ey '(x;y) La ecuación implícita: 3

E(x;y) = x + y − 6xy = 0 Las derivadas parciales son: ' 2 Ex (x,y) = 3x

− 6y ; E'y (x,y) = 3y2 − 6x

Luego, reemplace en la formula y se tiene: 2

dy 3x − 6y x − 2y 2y − x =− 2 =− 2 = dx 3y − 6x y − 2x y2 − 2x Nota Usted elige el método que mejor le conviene para hallar la derivada de la función dada implícitamente. De aquí en adelante para calcular la derivada de una función implícita, se usará la fórmula:

dy E '(x;y) =− x dx Ey '(x;y)

218 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 3. Halle

dy 4 2 de la ecuación x (x + y) = y (3x − y) dx

Solución La ecuación implícita es 4

E(x,y) = x (x + y) − y (3x − y) = x + x y − 3xy + y = 0 , Derivando la ecuación implícita en forma parcial se tiene: 4

Ex '(x;y) = 5x + 4x y − 3y y Ey '(x;y) = x 4 − 6xy + 3y2 Luego, 4

dy 5x + 4x y − 3y =− 4 2 dx x − 6xy + 3y 4. Halle

dy 2 de la ecuación xy = x + y dx

Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita:

E(x;y) = xy − x2 − y = 0 Entonces

y Ex '(x;y) = − 2x 2 xy

Ey '(x;y) =

x −1 2 xy

Luego,

y − 4x xy y − 2x 2 xy 2 xy y − 4x xy dy =− =− =− x dx x 2 xy x 2 xy − − −1 2 xy 2 xy

( )

dy 2 de la ecuación 1 + x = sen xy 5. Halle dx Solución 2

La ecuación implícita es E(x,y) = sen(xy ) − (x + 1) , derivando:

Ex ' = y2 cos(xy2 ) − 1 y

Ey ' = 2xycos(xy )

Luego se tiene: 2

dy y cos(xy ) − 1 1 y =− = − 2 2 dx 2xycos(xy ) 2xycos(xy ) 2x

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 219

6. Halle

dy xy 2 2 de la ecuación e + x − y = 1 dx

Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita: xy

E(x;y) = e + x − y − 1 = 0 Entonces xy

Ex '(x;y) = ye + 2x

Ey '(x;y) = xexy − 2y

Luego, xy E '(x;y) dy ye + 2x =− x = − xy dx Ey '(x;y) xe − 2y

7. Halle

1 dy de la ecuación = xe2y +1 dx xy

Solución 2y +1

La ecuación implícita es E(x,y) = xe

−

1 = 0 , derivando: xy

2y +1

Ex ' = e

−2 −1

+ x y

2y +1

Ey ' = 2xe

1 xy

Luego se tiene:

e2y +1 +

x ye2y +1 + 1 2

dy y(x2 ye2y +1 + 1) x2 y x2 y =− = 2 2 2y +1 = 2 2 2y +1 1 2y +1 dx 2x y e 1 x(2x y e 1) + + 2xe + 2 xy xy2

dy 2 3 de la ecuación arcsen ( y ) + x y = arcsen ( x ) 8. Halle dx Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita: 2 3

E(x;y) = arcsen(y) + x y − arcsen(x) = 0 Entonces

Ex '(x;y) = 2xy3 −

1 1−x

; Ey '(x;y) =

1 1−y

2 2

+ 3x y

220 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Luego,

E '(x;y) dy =− x =− dx Ey '(x;y)

2xy 3 − 1 1 − y2

2xy 3 1 − x2 − 1

1 − y2 (2xy 3 1 − x2 − 1) 1 − x2 = − 1 − x2 =− 1 + 3x2 y2 1 − y2 1 − x2 (1 + 3x2 y2 1 − y2 ) + 3x2 y2 1 − y2

2 ⎛ ⎞ cos ⎜ sen(ex +1/x ) + arcsec(x) ⎟ ⎝ ⎠ 9. Halle la derivada implícita en y = ⎛y⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝x⎠

Solución La ecuación implícita es:

⎛y⎞ ⎛ ⎞ x2 +1/x E(x;y) = yln ⎜ ⎟ − cos ⎜ sen(e ) + arcsec(x) ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝x⎠ 2 ⎛ ⎞ x +1/x E(x;y) = yln(y) − yln(x) − cos ⎜ sen(e ) + arcsec(x) ⎟ = 0 ⎝ ⎠ Luego, la derivada de la función implícita es:

2 2 y − + sen[sen(ex +1/x ) + arcsen(x)][sen(ex +1/x ) + arcsen(x)]' Ex '(x;y) dy =− =− x dx Ey '(x;y) ln(y) + 1 − ln(x)

y 1 x2 +1/x x2 +1/x x2 +1/x − + sen[sen(e ) + arcsen(x)][cos(e )(e )'+ ] 2 x dy − 1 x =− dx ln(y) − ln(x) + 1 2 2 −y 1 2 1 + sen[sen(ex +1/x ) + arcsen(x)][(2x − 2 )ex +1/x cos(ex +1/x ) + ] 2 x x dy 1 x − =− dx ⎛y⎞ ln ⎜ ⎟ + 1 ⎝x⎠ 3 ⎛ y2 ⎞ + arcsec (18xy ) = ex ⎟ ⎜ 2x − 10 ⎟ ⎝ ⎠

10. Halle la derivada implícita en arctan ⎜ Solución La ecuación implícita es:

⎛ y2 ⎞ x3 E(x;y) = arctan ⎜ + arcsec (18xy ) − e = 0 ⎟ ⎜ 2x − 10 ⎟ ⎝ ⎠ Luego, la derivada de la función implícita es:

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 221 '

⎛ y2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 (18xy ) ' ⎝ 2x − 10 ⎠ + − 3x2ex 2 ⎛ y2 ⎞ (18xy ) (18xy )2 − 1 1+⎜ ⎜ 2x − 10 ⎟⎟ dy Ex '(x;y) ⎝ ⎠ =− =− ' dx Ey '(x;y) ⎛ y2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (18xy ) ' ⎝ 2x − 10 ⎠ + 2 ⎛ y2 ⎞ (18xy ) (18xy )2 − 1 1+⎜ ⎜ 2x − 10 ⎟⎟ ⎝ ⎠ −2y2 (2x − 10)2 2

(2x − 10) + y dy =− dx

18 y

(18xy ) (18xy )2 − 1

(2x − 10)2 2y (2x − 10) (2x − 10)2 + y 4

− 3x2ex

18x

(18xy ) (18xy )2 − 1

(2x − 10) −2y2 2

− 3x2ex

(2x − 10) + y x (18xy ) − 1 dy =− 2y(2x − 10) 1 dx + 2 4 2 (2x − 10) + y y (18xy ) − 1 −2y2x dy =− dx

(18xy )2 − 1 + (2x − 10)2 + y 4 − 3x3ex

[(2x − 10)2 + y 4 ] (18xy ) − 1 2

x [(2x − 10)2 + y 4 ] (18xy ) − 1 2

2y2 (2x − 10) (18xy ) − 1 + (2x − 10)2 + y 4 2

y [(2x − 10)2 + y 4 ] −2y 3x dy =− dx

(18xy )2 − 1

(18xy )2 − 1 + y(2x − 10)2 + y 5 − 3x3yex

[(2x − 10)2 + y 4 ] (18xy ) − 1 2

2xy2 (2x − 10) (18xy ) − 1 + x(2x − 10)2 + xy 4 2

11. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en x y = x + 1 cuya inclinación es de 45º. Solución La pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada de la función implícita y(x) evaluada en el punto de tangencia.

m = y'(x 0 ;y 0 ) = −

E x' E y'

x =x 0 y =y 0

222 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones En este caso no se conoce el punto de tangencia, por lo cual la pendiente queda en función de las variables “x” e “y”. Es decir:

m = y' = −

2xy − 1 x

(1)

Despeje “y” en función de “x”, de la ecuación 2

x y = x +1⇒ y =

x +1 x

Luego, reemplace en (1) y se obtiene:

m = y' =

−x − 2 x3

(2)

Por otro lado, se sabe también que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de dicha recta. Es decir: m = tg(45º) = 1 (3)

Entonces de (2) y (3) tenemos:

−x − 2 x

= 1 ⇒ x3 + x + 2 = 0

Se resuelve la ecuación y se obtiene x = –1. Luego, reemplace el valor de x en la ecuación dada y obtendrá el punto de tangencia (‐1;0). Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva x2y = x + 1 en el punto ( –1 ; 0) es:

x − y +1 = 0

12. Una escalera de 10pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3pies/seg. ¿Con qué rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies del suelo? Solución La escalera se desliza (hacia abajo) a razón de 3pies/seg significa que: y

dy = −3 pies / seg dt

L=10

Del gráfico se tiene: x + y = 100 Si y=6 entonces x=8

dx . Entonces, por la regla de la cadena se tiene: dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ dx ⎜ dx 6 9 ⎛ dy ⎞ ⎜ y ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ − x =8 ⎟ (−3) = ( )(3) = = 2,025 ⎜ ⎟ dt ⎜ dy x =8 ⎟ ⎝ dt ⎠ x 8 4 y =6 ⎠ ⎝ ⎝ y =6 ⎠

El problema pide calcular

La escalera se desliza en el piso a razón de 2,025 pies / segundo en el instante que la escalera está a 6 pies del suelo.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 223

13. Suponga que la producción semanal de una compañía es $ 384 000 y que su producción se relaciona con las horas de trabajo “x”, y los dólares de inversión de capital “y”, por medio de

384000 = 30 3 xy2 . Encuentre e interprete la razón de cambio de la inversión de capital respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64000. Solución La producción semanal relacionada a las horas de trabajo e inversión de capital está dada por la siguiente ecuación:

E(x,y) = 30 3 xy2 − 384 000 . Entonces, la razón de cambio de la inversión de capital respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital $64 000 es:

dy dx x =512

y =64 000

=−

10x −2/3y2/3 20x

1/3 −1/3

=− x =512 y =64 000

y 2x x =512

y =64 000

=−

125 = −62.5 2

Interpretación La inversión de capital respecto a las horas de trabajo disminuye a razón de 62.5 dólares. 14. Suponga que el volumen de ventas “y” de una compañía (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad “x” (en miles de dólares) de acuerdo con xy − 20x + 10y = 0 . Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x = 10 (miles de dólares) Solución La ecuación que relaciona el volumen de ventas y el gasto de publicidad es: E(x;y) = xy − 20x + 10y = 0 Derivada la ecuación implícita con respecto a x. Ex (x;y) = y − 20 Derivada la ecuación implícita con respecto a y. Ey (x;y) = x + 10 Luego, reemplace en la fórmula y tiene:

dy E (x;y) y − 20 =− x =− dx Ey (x;y) x + 10 Si el gasto de publicidad es x= 10, entonces el volumen de ventas es: 10y − 20(10) + 10y = 0 ⇒ y = 10 Por lo tanto, la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x = 10 (miles de dólares) es:

224 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

dy 10 − 20 1 =− = dx x =10 10 + 10 2 y =10

El volumen de ventas varía en 500 dólares cuando se gasta en publicidad 10 mil dólares. 15. En cierta fábrica, la producción Q se relaciona con los insumos x e y mediante la ecuación: 2

Q(x;y) = 3x +

2x + 3y

(x + y)

. Si los niveles actuales de insumo son x = 10, y = 25, utilice el cálculo para

determinar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,7 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Solución El nivel actual de producción es:

2(10) + 3(25)

Q(10;25) = 3(10) +

(10 + 25)

73519 245

Entonces, la ecuación que representa el nivel actual es: 2

3x +

2x + 3y

(x + y)

73519 245

dy para que se mantenga el nivel de producción cuando Según el problema nos piden calcular dt hay una reducción del insumo x, de 0,7 unidades. Es decir:

dy dx = ?, si = −0,7 dt dt Entonces, usando regla de cadena se tiene:

dy ⎛ dy =⎜ dt ⎝ dx

⎞ ⎛ dx ⎞ ⎟ dt ⎠

x =10 ⎟ ⎜ y =25 ⎠ ⎝

(1)

dy , calcule primero las derivadas parciales de Q(x;y) y evalué en los niveles Para calcular dx actuales de los insumos x e y. Es decir:

Ex (x;y) = 6x +

2(x + y) −2(2x + 3y)(x + y) (x + y)

= 6x +

2(x + y) − 2(2x + 3y) 3

(x + y)

= 6x −

⎛ 2(x + 2y) ⎞ 514476 Ex (x;y) x =10 = ⎜ 6x − = 3 ⎟ y =25 ⎝ 8575 (x + y) ⎠ x =10 y =25

Ey (x;y) =

3y(x + y) −2(2x + 3y)(x + y) (x + y)

3(x + y) − 2(2x + 3y) 3

(x + y)

=−

x + 3y 3

(x + y)

2(x + 2y) (x + y)3

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 225

Ey (x;y) x =10 = − y =25

x + 3y 3

(x + y)

x =10 y =25

=−

17 8575

Entonces, la variación del insumo y respecto del insumo x es:

514476 dy Ex (x;y) 514476 =− = − 8575 = − 17 dx Ey (x;y) x =10 17 − y =25 8575 Por lo tanto, reemplace en (1) y determine el cambio que debe realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,7 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Es decir:

dy dy dx 514476 7 1800666 = × = (− )(− ) = ≈ 21184,305 dt dx dt 17 10 85 Esto quiere decir que para mantener el nivel actual de producción se debe de aumentar el insumo y en aproximadamente 21 184 unidades para compensar una reducción de 0,7 unidades del insumo x. 16. En cierta fábrica, la producción está relaciona con los insumos “x” e “y” mediante la ecuación 3

Q(x;y) = 2x + 3x + y + (1 + y) . Si los niveles actuales de insumo son x = 30 , y = 20 , estime el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0.8 unidades del insumo x, de manera que la producción se mantenga en el nivel actual. Solución El nivel actual de producción es: 3

Q(30;20) = 2(30) + 3(30) + (20) + (1 + 20) = 66361 Entonces 3

2x + 3x + y + (1 + y) = 66361 Según el problema nos piden calcular

dy para que se mantenga el nivel de producción cuando dt

hay una reducción del insumo x, de 0,8 unidades. Es decir:

dx dy = ?, si = −0,8 dt dt Entonces, usando regla de cadena se tiene:

dy ⎛ dy =⎜ dt ⎝ dx

⎞ ⎛ dx ⎞ ⎟ dt ⎠

x =30 ⎟ ⎜ y =20 ⎠ ⎝

(1)

226 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Para calcular

dy , calcule primero las derivadas parciales de la ecuación dada y evalué en los dx

niveles actuales de los insumos x e y. Es decir: 2

Ex (x;y) = 6x + 6x ⇒ Ex (x;y) x =30 = (6x2 + 6x) x =30 = 5580 y =20

y =20

Ey (x;y) = 2y + 3(1 + y) ⇒ Ey (x;y) x =30 = [2y + 3(1 + y) ] x =30 = 1363 2

y =20

Entonces, la variación del insumo y respecto del insumo x es:

dy E (x;y) 5580 =− x =− dx Ey (x;y) x =30 1363 y =20

Por lo tanto, reemplace en (1) para determinar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,8 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Es decir:

dy dy dx 5580 8 25 = × = (− )(− ) = ≈ 0,5319 dt dx dt 1363 10 47 Esto quiere decir que para mantener el nivel actual de producción se debe de aumentar el insumo y en 0,53 las unidades para compensar una reducción de 0,8 unidades del insumo x. 17. Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 2

“x” cientos de unidades, donde 3p − x = 12 .¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 4.00 la unidad y está aumentando a razón de 87 centavos de dólar por mes? Solución Según el enunciado los datos son:

dx dp = ? , cuando p=4 y = 0.87 . dt dt 2

Cuando p=4, reemplace en la ecuación 3p − x = 12 y se obtendrá el número de unidades x. Es decir: 2

3(4) − x = 12 ⇒ x = 6 ∨ x = −6 (no es aplicable a unidades) Luego,

dx dx dp 3p ⎛4⎞ (0.87) = 3 ⎜ ⎟ ( 0.87 ) = 1.74 = = dt x =6 dp x =6 dt x x =6 ⎝6⎠ p=4

p =4

Como la oferta está dada en términos de cientos de unidades, se deduce que la oferta está aumentando en 174 unidades por mes.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 227

18. Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 2

“x” miles de unidades, donde x −2x p − p = 31 . ¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 9 la unidad y crece a razón de 20 centavos de dólar por semana? Solución Según el enunciado los datos son: Si p = 9 entonces

dx dp = ? , = 0,20 y p = 9 dt dt

x −2x 9 − 9 = 31 ⇒ x − 6x − 112 = 0 ⇒ x = 14

La ecuación implícita es:

E(p;x) = x −2x p − p2 − 31

dx . Es decir: dt x ⎛ 14 ⎞ ⎛ 14 ⎞ − − 2p ⎜ 9 + 2(9) ⎟ ⎜ 3 + 18 ⎟ p dx dx dp =( )( ) = (− )(0,2) = ⎜ ⎟ (0,2) = ⎜ ⎟ (0,2) dt dp x =14 dt 28 − 2(3) ⎟ 2x − 2 p 2(14) − 2 9 ⎟ ⎜ ⎜ p =9 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x =14 ⎝ ⎠

Por lo tanto, use regla de la cadena para calcular

p =9

dx ⎛ 34 ⎞ = ⎜ ⎟ (0,2) = 0,206 dt ⎝ 33 ⎠ Como la oferta está dada en términos de miles de unidades, se deduce que la oferta está aumentando en 206 unidades por semana.

228 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

Ejercicios propuestos 3.2. Nivel 1 En los problemas del 1 al 15, halle

dy mediante derivación implícita. dx

y y2 = x + ln x 1 2y +1 = xe 10. xy 11. x + ln(xy) − 31y = 0

y − 2xy + 3y = 3

x + y − 2xy = 5

y = x + xy

4. 2y = 1 + xy 2

12. e + 2lny − 2x = 0

3xy + 5x = x + y

yx − xy − x − 2y = 0

ye = e

x +1

13. acos (x + y) = b 14. tany = xy + 2 15. arctan(x + y) = x

xy = (x + y)

Nivel 2 Hallar la derivada de las siguientes funciones. x

1. y = (arctanx) 2

sen(x)

2. y = [cos (x)]

3. y =

x −1 3

(x + 2)

(x + 3)

4. (x + y) (2x + y) = 1

⎛y⎞ 1 ⎝x⎠ 2

(

5. arctan ⎜ ⎟ = ln x + y

)

⎛y⎞ ⎝x⎠

6. arctan ⎜ ⎟ = x + y 2

7. ¿En qué punto de la curva y = 2x la tangente es perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 ? 3

8. Escriba las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x + y + y + 2x − 6 = 0 en el punto cuya ordenada es y = 3 4

9. Escribe las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 4x + 6xy en el punto (1, 2) 10. Hallar la ecuación de la recta tangente al folio de Descartes x3 + y3 = 6xy en el punto (3;3)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 229

11. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por 2

medio de la ecuación: S + 14 I = SI + I; donde S e I están en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I = 16 y S = 12. 12. Cuando el precio de cierto artículo es p dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer x 2

cientos de unidades, donde 2p − x = 10 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 10.00 la unidad y está aumentando a razón de 50 centavos de dólar por mes? 13. Suponga que la producción semanal de una compañía es $ 280 000 y que su producción se relaciona con las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de

482000 = 30x

2/3 4/3

y . Encuentre e interprete la razón de cambio de la inversión de capital respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 500 y la inversión de capital es de $44000. 14. Sea la ecuación de demanda de audífonos p =

1000 (x + 2)3

donde p es el precio por audífonos en

dólares y x se da en cientos de audífonos demandados. Encuentre la razón de cambio de la demanda respecto del precio cuando se demandan 10 cientos de audífonos. 15. Suponga que el volumen de ventas de una compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con 2xy − 10x + 5y = 0 . Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x=20 (miles de dólares) Nivel 3 1.

Halle la derivda implícita en la ecuaión y + ln(xy ) = e y

x2 y 2

− 5 xy + 23

Halle la derivda implícita en la ecuaión x = y + x

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en x2y = x + 1 cuya inclinación es de 45 .

Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3pies /seg. ¿Con que rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies del suelo? Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de

3/4

2/3

trabajo calificado, y, y no calificado, x, satisfacen 300 = (x + 1) (y + 2) . Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=200, y= 200. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio en horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificado en una hora. 6. En cierta fábrica, la producción que está relaciona con los insumos x e y mediante la ecuación 2

Q = 3x + xy + (3 + y) . Si los niveles actuales de insumo son x = 20, y = 10, estime el cambio que debería realizarse en el insumo y, para compensar una reducción de 1 unidad del insumo x, de manera que la producción se mantenga en el nivel actual. 7.

Un fabricante de calzado puede utilizar su planta con el fin de producir zapatos para dama o caballero. Si él fabrica x (en miles de pares) zapatos para dama a la semana, entonces x e y están 2

relacionados por la ecuación: 2x + y = 25. (Ésta es la ecuación de la transformación del producto). Si la utilidad es de S/. 30 por cada par de zapatos, calcule la utilidad marginal con respecto a x si x = 2.

230 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 8.

Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a

ofrecer x miles de unidades, donde 3x − 2xp − p = 30 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 5.00 la unidad y crece a razón de 10 centavos de dólar por semana? Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a

ofrecer x miles de unidades, donde x − 2x p − p = 31 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 9.00 la unidad y crece a razón de 20 centavos de dólar por semana? 3

10. Suponga que la producción de cierta fábrica es: Q = 2x + x y + y unidades donde “x” es el número de horas de trabajo calificado utilizado y “y” es el número de horas de trabajo no calificado. La fuerza laboral actual consta de 30 horas de trabajo calificado y 20horas de trabajo no calificado. Utilice el cálculo para hallar el cambio que debería realizarse en el trabajo no calificado “y” para compensar un aumento de 1 hora en trabajo calificado “x”, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 2

16. La curva con ecuación y = x + 3x se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1;–2). ¿En cuál de los puntos esta curva tiene una tangente horizontal? 2

17. Si la pendiente de la recta tangente a la curva x y + a y = x − a en el punto de abscisa x = 1 es 1, hallar el valor de “ a ”. 4

18. Si una recta tangente a la curva x − 2x − x + y = 0 en el punto (–1 ; 0) es también tangente a la misma curva en el punto P(a; b), halla las coordenadas de P. 2

19. Si las tangentes a las curvas 2x − 8x − y + 1 = 0 y x + 8x − 2y − 5 = 0 son paralelas y los puntos de tangencia están sobre una vertical. Hallar las coordenadas de dichos puntos. 20. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje Y y una 2

sombra creada por la región elíptica x + 4y ≤ 5 . Si el punto (–5; 0) está en el borde de la sombra, ¿cuán arriba del eje X está la lámpara?

–5

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 231

3.3. TRAZADO DE CURVAS Valores máximos y mínimos de una función Definición. Diremos que una función f tiene un valor máximo absoluto en c ∈ Df si se cumple:

f(x) ≤ f(c); ∀x ∈ Df Definición. Diremos que una función f tiene un valor mínimo absoluto en el punto c ∈ Df si se cumple: f(x) ≥ f(c); ∀x ∈ Df Definición. Diremos que una función f tiene un valor máximo relativo en el punto c ∈ Df , si existe δ > 0 tal que se cumple: f(x) ≤ f(c) si x − c < δ Definición. Diremos que una función f tiene un valor mínimo relativo en el punto c ∈ Df , si existe δ > 0 tal que se cumple: f(c) ≤ f(x) si x − c < δ Definición. Diremos que una función f tiene un extremo relativo en el punto c ∈ Df , si f(c) es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo. Máx. Absoluto y Máx. Relativo Máx. Relativo Min. Relativo Min. Min. Relativo Absoluto Teorema (EXTREMO ESTACIONARIO)

Si la función f tiene un extremo relativo en el punto c y si existe f (c) entonces f (c) = 0 Demostración '

Sea c ∈ a,b , consideremos f(c) un valor máximo relativo suponiendo que f (c) existe entonces existe c − δ,c + δ con δ > 0 , tal que ∀x ≠ c f(x) ≤ f(c) ⇒ f(x) − f(c) ≤ 0 Si x ∈ c − δ,c ⇒ x < c ⇒ x − c < 0 Luego ∀x ∈ c − δ,c ,

f(x) − f(c) ≥ 0 . x −c

232 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Aplique límite lateral por la izquierda se tiene:

f(x) − f(c) f− '(c) = lim ≥ 0 ⇒ f−' (c) ≥ 0....................(1) − x c − x →c

x ∈ c,c + δ

⇒ x >c ⇒ x −c > 0 f(x) − f(c) ≤ 0 . x −c

Luego ∀x ∈ c,c + δ ,

Aplicque límite lateral por la derecha y se tiene:

f+ '(c) = lim

x →c+

f(x) − f(c) ≤ 0 ⇒ f+' (c) ≤ 0....................(2) x −c

Como f (c) existe entonces de (1) y (2) se tiene que f (c) = 0 Definición (Valor crítico) Sea c ∈ Df , si f '(c) = 0 o bien f '(c) no existe entonces c se denomina un valor crítico para f. Si c es un valor crítico, entonces el punto (c,f(c)) se denomina un punto crítico para f. Ejemplos 4

1. Encuentre los valores críticos para la función f si f(x) = x + 8x − 2x − 24x + 1 Solución '

Por definición se tiene f (x) = 0 , es decir:

f ' (x) = 4x 3 + 24x2 − 4x − 24 = 0 4x 3 + 24x2 − 4x − 24 = 0 ⇒ (x2 − 1)(x + 6) = 0 ⇒ x = { −6; −1;1} Por lo tanto los valores críticos para f son { −6; −1;1}

Encontrar los valores críticos de: f(x) =

x4 + 3 x

Solución '

Al derivar la función dada se obtiene f (x) = '

f (x) = 0 ó no existen f (x) .

3(x − 1) x

, luego los valores críticos se obtienen cuando

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 233 '

Si f (x) = 0 etonces x − 1 = 0 ⇒ x = ±1 '

Si f (x) no existe entonces x = 0 ⇒ x = 0 . Entonces podríamos decir que {−1;0;1} son los valores críticos para f, lo cual no e cierto pues la función f no está definida en x = 0 . Por lo tanto, los valores críticos para f son {−1;1} . Luego x = 0 es un punto de discontinuidad.

x TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función f es continua en un intervalo [a,b] (compacto) entonces existen al menos

x1 ; x2 ∈ [a,b] tal que la función f alcanza sus extremos absolutos. Es decir f(x1 ) ≤ f(x) ≤ f(x2 ) , ∀x ∈[a,b] TEOREMA DE ROLLE Sea f una función tal que: (a) Es continua en el intervalo cerrado [a,b] (b) Es derivable en el intervalo abierto a,b (c) f(a) = f(b) = 0 '

Entonces existe un número c tal que a < c < b y f (c) = 0 y Interpretación geométrica En algún punto c de la curva sobre el f(c) a,b la recta intervalo abierto tangente L t es paralela al eje x

f '(c) = 0

234 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones DEMOSTRACIÓN De (a) se tiene que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] entonces, por el teorme ade Weierstrass, f tiene un mínimo y un máximo absoluto en [a,b] . Es decir, existen c1 y c2 ∈ [a,b] tal que f(c1 ) ≤ f(x), ∀x ∈ [a,b] f(c2 ) ≥ f(x), ∀x ∈ [a,b ] , por lo tanto f(c1 ) es mínimo relativo y

f(c2 ) es máximo relativo Si c1 ∈ a,b , f(c1 ) es mínimo relativo y f derivable en a,b entonces por el teorema de extremo estacionario se tiene: f '(c 1 ) = 0 y el teorema queda demostrado Si c2 ∈ a,b , f(c2 ) es máximo relativo y f derivable en a,b entonces por el teorema de extremo estacionario se tiene: f '(c 2 ) = 0 y el teorema queda demostrado Si c1 y c2 son los extremos del intervalo [a,b] , es decir c1 = a ; c2 = b entonces por (c) se tiene

f(c1 ) = f(c2 ) = 0 . Esto quiere decir, que el minimo y el máximo son iguales y valen cero por lo tanto la función es nula en todo el intervalo, es decir f(x) = 0, ∀x ∈ [a,b] . Entonces f'(x) = 0, ∀x ∈ a,b en particular para x=c y nuevamente se cumple el teorema. Ejemplo

Verificar si se cumple el teorema de Rolle para la función f(x) = 2x − 3x − 2 , x ∈ [ −1 / 2,2] 2

a) La función f es continua en [ −1 / 2,2]

b) La función f es derivable en −1 / 2,2 c) f(−1 / 2) = f(2) = 0 por lo tanto cumple con el Teorema de Rolle, entonces calcularemos

c ∈ −1 / 2,2

3 ' f (x) = 4x − 3 para c ∈ −1 / 2,2 ⇒ f ' (c) = 4c − 3 = 0 ⇒ c = 4

TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y derivable en a,b , entonces existe c ∈ a,b tal que:

f '(c) =

f(b) − f(a) b−a

Demostración Sea m la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) , entonces

f(b) − f(a) b−a

Entonces la ecuación de la recta secante es:

g(x) = f(a) − m(x − a) = f(a) −

f(b) − f(a) (x − a) b−a

Luego, definamos la función:

F(x) = f(x) − g(x) = f(x) − f(a) + m(x − a) = f(x) − f(a) +

f(b) − f(a) (x − a) b−a

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 235

La función F está bien definida, es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo a,b pues las funciones f y g lo son.

F(a) = f(a) − f(a) + m(a − a) = 0 y F(b) = f(b) − f(a) +

f(b) − f(a) (b − a ) = 0 , entonces F(a) = F(b) = 0 . b−a

Por el teorema de Rolle existe c ∈ a,b tal que

F'(c) = f '(c) − g'(c) = f '(c) − m = f '(c) −

f(b) − f(a) = 0 b−a

f '(c) =

f(b) − f(a) b−a

Ejemplo

Determinar el valor de c que cumpla con el T.V.M para f(x) = x − 2x + 1 , x ∈ [ −1,4 ] 2

a) f(x) es continua en [ −1,4 ] b) f(x) es derivable en −1,4 '

Luego ∃c ∈ −1,4 tal que f (c) = 2

f(4) − f(−1) 9 − 4 = = 1 . 4 − (−1) 5 '

Si f(x) = x − 2x + 1 ⇒ f (x) = 2x − 2 ⇒ f (c) = 2c − 2 = 1 ⇒ c =

3 2

Por lo tanto c = ∈ −1,4

Funciones crecientes y funciones decrecientes Definición 1. Diremos que f es una función creciente en el intervalo I si para todo par de números x1 ,x 2 ∈ I , se tiene que: f(x1 ) < f(x2 ) si x1 < x2 Definición 2. Diremos que f es una función decreciente en el intervalo I si para todo par de números x1 ,x2 ∈ I , se tiene que: f(x1 ) > f(x2 ) si x1 < x2 TEOREMA Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en a,b , entonces: 1.

Si f'(x) > 0 ∀x ∈ a,b entones f es creciente en

Si f'(x) < 0 ∀x ∈ a,b entonces f es decreciente en

a,b

Demostración 1. Sea x1 ,x2 ⊂ a,b entonces la función f cumple con la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo x1 ,x2 ⊂ a,b . Es decir ∃x ∈ x1 ,x2 tal que f '(x) =

f(x2 ) − f(x1 ) . x2 − x1

236 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Por otro lado,

x1 ,x2 ⊂ a,b ⇒ x1 < x2 ⇒ x2 − x1 > 0 y f'(x) > 0 ⇒ f '(x) =

f(x2 ) − f(x1 ) > 0, ∀x ∈ x1 ,x2 x 2 − x1

Luego, f(x 2 ) − f(x1 ) > 0; si x2 − x1 > 0 ⇔ x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ) Por lo tanto, f es creciente en el intervalo a,b

Sea x1 ,x2 ⊂ a,b entonces la función f cumple con la hipótesis del teorema del valor medio

en el intervalo x1 ,x2 ⊂ a,b . Es decir ∃x ∈ x1 ,x2 tal que f '(x) =

f(x2 ) − f(x1 ) . x2 − x1

Por otro lado,

f(x2 ) − f(x1 ) < 0, ∀x ∈ x1 ,x2 x 2 − x1 Luego, f(x 2 ) − f(x1 ) < 0; si x2 − x1 > 0 ⇔ x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 )

x1 ,x2 ⊂ a,b ⇒ x1 < x2 ⇒ x2 − x1 > 0 y f'(x) < 0 ⇒ f '(x) =

Por lo tanto, f es decreciente en el intervalo a,b

Criterio de la primera derivada para extremos relativos.

Supongamos que f es una función continua en [a,b] y sea c ∈ a,b un valor crítico para f y f ' definida en a,b excepto posiblemente en "a" , entonces:

Si:

f '(x) < 0

f(c) f '(x) > 0

a) f (x) > 0 ∀x ∈ a,c '

b) f (x) < 0 ∀x ∈ c,b entonces f(c) es un valor máximo relativo de f . 2. Si:

x a

f '(x) < 0

a) f (x) < 0 ∀x ∈ a,c '

b) f (x) > 0 ∀x ∈ c,b

f(c)

entonces f(c) es un valor mínimo relativo de f . f '(x) > 0 x a c b 3. Si la deriva de f no cambia de signo cuando x pasa por c entonces f(c) no es un valor máximo ni mínimo relativo.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Supongamos que f '' es continua en algún intervalo abierto I que contiene a c y que f '(c) = 0 , entonces: 1. Si f''(x) > 0, ∀x ∈I entonces f(c) es un valor mínimo relativo.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 237

2. Si f''(x) < 0, ∀x ∈I , entonces f(c) es un valor máximo relativo. TEOREMA Sea f una función de variable real derivable en a,b ''

a) si f (x) > 0 ∀x ∈ a,b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre a,b . ''

b) si f (x) < 0 ∀x ∈ a,b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre a,b . TEOREMA Sea f una función derivable hasta de segundo orden en c − δ,c + δ , excepo tal vez en x=c pero continua en x=c , además f''(c) = 0 ∨ f''(c) ∃ y f '' tiene signos opuestos en c − δ,c y

c,c + δ Entonces (c,f(c)) es un punto de inflexión Ejemplo Determina los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función 4

f(x) = 3x − 10x − 12x + 10x + 9 . Solución Derivar la función dos veces y se tiene:

f'(x) = 12x 3 − 30x2 − 24x + 10 2

f''(x) = 36x − 60x − 24 = 12(x − 2)(3x + 1) Igualar a cero la segunda derivada de la función para encontrar los valores críticos para f '' y los intervalos de concavidad. Es decir:

1 36x2 − 60x − 24 = 0 ⇒ (x − 2)(3x + 1) = 0 ⇒ x = 2, x = − 3 Ubicarr los valores crítcos para f '' en la recta real y analizar el signo de cada intervalo de la función 2

f''(x) = 36x − 60x − 24 = 12(x − 2)(3x + 1) Por lo tanto, Intervalos de concavidad:

– ‐1/3

1 ∪ 2; + ∞ 3

•

f es cóncava hacia arriba en −∞; −

•

f es cóncava hacia abajo en − ,2

1 3

Puntos de inflexión:

⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 128 ⎞ ⎜ − 3 ;f ⎜ − 3 ⎟ ⎟ = ⎜ − 3 ; 27 ⎟ y ( 2;f ( 2 ) ) = ( 2; −51) ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝

+ 2

238 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

Procedimientos para trazar una curva 1. Dominio de la función 2. Determine las intersecciones con los ejes coordenados. 3. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. 4. Calcule los valores máximos y/o mínimos relativos de la función, si existen. 5. Determine los intervalos de concavidad 6. Halle los puntos de inflexión de la función, si existen. 7. Determine las asíntotas de la función 8. Trazar la gráfica de la función

Ejercicios resueltos En las siguientes funciones del 1 al 8 determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, luego trazar la gráfica. 1.

f(x) = x − 3x Solución a) Dominio de la función Df = b) Intersección con los ejes • El eje X (y=f(x)=0)

x 3 − 3x2 = 0 ⇔ x2 (x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 Por lo tanto, los puntos de intersección con el eje X son: ( 0 ; 0 ) y ( 3 ; 0 ) • Intersección con el eje Y (x=0) 3

y = f(0) = 0 − 3(0) = 0 Por lo tanto, el punto de intersecció con el eje Y es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento Derivar la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos para la derivada y los intervalos de crecimiento. Es decir: '

f (x) = 3x − 6x = 0 ⇒ x = 0 y x = 2

−∞; 0 la función f crece 0; 2 la función f decrece – + + 2; + ∞ la función f crece 0 2 −∞ +∞ d) Valores máximos y mínimos relativos Evaluamos los valores críticos de f ' en la función f y obtenemos los valores máximos y mínimos:

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 239

Valor máximo: 3

f(0) = 0 − 3(0) = 0 Valor mínimo: 3

f(2) = 2 − 3(2) = 8 − 12 = −4 e) Intervalos de concavidad Derivar por segunda vez la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos de la segunda derivada y los intervalos de concavidad. Es decir: f''(x) = 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1 −∞; 1 la función f es cóncava hacia abajo – + 1; + ∞ la función f es cóncava hacia arriba 1 −∞ +∞ f) Puntos de inflexión Evaluar los valores críticos de la segunda derivada en la función dada y se obtendrá el punto de inflexión. Es decir: (1; f(1)) = (1; − 2) g) Asíntotas • Vertical

No existen asíntotas verticales • Horizontal

lim (x 3 − 3x2 ) = ∞

x →∞

Punto máximo

No existe asíntota horizontal

• Oblicua 3

(x − 3x ) = lim (x2 − 3x) = ∞ x →∞ x →∞ x

m = lim

Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua h) Gráfica Se construye el siguiente cuadro resumen. Intervalos Signo Signo Curva de f ' de f '' −∞; 0 + –

0; 1

–

1; 2

–

2; + ∞

f(x) = x2 +

1 x

Punto de inflexión Punto mínimo

Ubicar en el eje X, las intersecciones, todos los valores críticos, luego los valores máximos y mínimos, los puntos de inflexión y finalmente se grafica según el cuadro resumen.

240 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Solución a) Dominio de la función Df = − {0} b) Intersección con los ejes • El eje X (y=f(x)=0)

x +

=0 ⇔

x +1 x

= 0 (Absurdo)

Por lo tanto, no existe intersección con el eje X • El eje Y (x=0) y = f(0) no existe entonces no hay intersección con ele eje Y. c) Intervalos de crecimiento Derivar la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos para la derivada y los intervalos de crecimiento. Es decir:

f'(x) = 2x − 4

(x − 1) x

2 x

= 0

= 0 ⇔ x = 0 , x = −1 , x = 1

−∞; − 1 la función f decrece

−1;0 la función f crece 0;1 la función f decrece – – + + 1; + ∞ la función f crece 1 –1 −∞ 0 +∞ d) Valores máximos y mínimos relativos Evaluamos los valores críticos de f ' en la función f y obtenemos los valores máximos y mínimos: Valor máximo: No tiene pues 0 ∉ Df Valores mínimos relativos:

f(−1) = (−1)2 +

1 2

(−1)

= 1 + 1 = 2 ; f(1) = (1)2 +

1 (1)2

=1+1 =2

e) Intervalos de concavidad Derivar por segunda vez la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos de la segunda derivada y los intervalos de concavidad. Es decir:

f ''(x) = 2 + −∞

6 x

=0 ⇔

2(x + 3) x

−∞; 0 la función f es cóncava hacia arriba

+ 0

=0 ⇔ x = 0

+∞

0; + ∞ la función f es cóncava hacia arriba

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 241

f) Puntos de inflexión No tiene punto de inflexión pues la segunda derivada no cambia de signo en toda la recta real. g) Asintotas • Vertical

• Horizontal

1⎞ 1 ⎛ lim ⎜ x2 + 2 ⎟ = 0 + + = +∞ x ⎠ 0

1⎞ ⎛ lim ⎜ x2 + 2 ⎟ = +∞ x ⎠

x →0 ⎝

x →∞ ⎝

Por lo tanto, x=0 es una asíntota vertical • Oblicua

Por lo tanto, no existe asíntota horizontal

⎛ 2 1 ⎜x + 2 x m = lim ⎜ x →∞ ⎜ x ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 1⎞ ⎛ ⎟ = lim ⎜ x + 3 ⎟ = ∞ x ⎠ ⎟⎟ x →∞ ⎝ ⎠

Por lo tanto, no existe asíntota oblicua h) Gráfica Se construye el siguiente cuadro resumen. Signo Signo Intervalos de Curva de f '' f' < −∞; −1] – +

< −1;0]

< 0;1]

–

< 1; ∞]

f(x) = x (1 − x) Solución a) Dominio de la función Df =

242 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones b) Intersección con los ejes • Eje X (y=0) 3

x (1 − x) = 0 ⇔ x = 0;x = 1 Por lo tanto, los puntos de intersección son: ( 0 ; 0 ) y ( 1 ; 0 ) • Eje Y (x=0) 3

y = f(0) = 0 (1 − 0) = 0 Por lo tanto, el punto de intersección es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento

f '(x) = 3x2 (1 − x)2 − 2x 3 (1 − x) = (1 − x)(3x2 − 3x 3 − 2x 3 ) = 0 3 2 ⇔ x (1 − x)(3 − 5x) = 0 ⇔ x = 0 , x = 1 , x = 5 −∞; 0 la función f crece

– + + + 0; 35 la función f crece 1 0 3 3/5 +∞ ;1 la función f decrece −∞ 5 1; + ∞ la función f crece d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo: Valor mínimo: f(1) = 0 3 f( ) = 0,03456 5 e) Intervalos de concavidad 2

3 2 f ''(x) = −(3x − 5x ) + (1 − x)(6x − 15x ) = 0 ⇔ 2x(10x − 12x + 3) = 0

x =0 ∨ x =a=

6+ 6 6− 6 ∨ x =b = 10 10

– – + 0 b −∞ f) Puntos de inflexión (

−∞; 0 la función f es cóncava hacía abajo 0;b la función f es cóncava hacía arriba

+∞

b;a la función f es cóncava hacía abajo a; + ∞ la función f es cóncava hacía arriba

6− 6 6− 6 6+ 6 6+ 6 ; f( )) = (0,36;0,0186) ; ( ; f( )) = (0,85;0,0145) 10 10 10 10

(0;f(0)) = (0;0)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 243

g) Gráfica Intervalos

Signo de f '

Signo de f ''

< −∞;0]

‐

6− 6 < 0; ] 10 <

6− 6 3 ; ] 10 5

Curva

‐

–

‐

–

3 6+ 6 < ; ] 5 10

6+ 6 ;1] 10

< 1; ∞]

f(x) =

50 +8 x−4

Solución a) Dominio de la función Df = − {4} b) Intersección con los ejes • Eje X (y=0)

50 50 9 +8 =0⇔ = −8 ⇔ 50 = −8(x − 4) ⇔ 8x = −18 ⇔ x = − x−4 x−4 4

9 4

Por lo tanto, el punto de intersección es: (− ;0) •

Eje Y (x=0)

y = f(0) =

50 9 +8 = − 0−4 4 9 4

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0; − ) c) Intervalos de crecimiento

f '(x) = −

50 (x − 4)2

– −∞

= 0 La función f es decreciente en todo su dominio

– 4

+∞

244 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones d) Valores máximos y mínimos relativos No tiene máximo ni mínimo relativos e) Intervalos de concavidad

f ''(x) =

100 (x − 4)3

−∞; 4 la función f es cóncava hacía abajo – + 4; + ∞ la función f es cóncava hacía arriba −∞ 4 +∞ f) Puntos de inflexión No tiene punto de inflexión pues 4 ∉Df g) Asintotas • Vertical

⎛ 50 ⎞ + 8 ⎟ = +∞ lim ⎜ + ⎠ x →4 ⎝ x − 4

∧

⎛ 50 ⎞ + 8 ⎟ = −∞ lim ⎜ − ⎠ x →4 ⎝ x − 4

Por lo tanto, la recta x=4 es una asíntota vertical. • Horizontal

⎛ 50 ⎞ + 8⎟ = 8 lim ⎜ x →∞ ⎝ x − 4 ⎠ Por lo tanto, la recta y=8 es una asíntota horizontal • Oblicua

8⎞ ⎛ 50 + ⎟=0 m = lim ⎜ 2 x →∞ ⎝ x − 4x x⎠ Por lo tanto, no existe asíntota oblicua h) Gráfica En resumen: Signo Signo Intervalos Curva de f ' de f '' < −∞;4] – – < 4; ∞] – +

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 245

(x − 5) f(x) = 125

Solución a) Dominio de la función

Df =

b) Intersección con los ejes • Eje X (y=0) 2

(x − 5)3 2 2 =0⇔ x −5=0⇔ x =5⇔ x = 5∨x =− 5 125

Por lo tanto, los puntos de intersección son: ( 5 ;0) ; (− 5 ;0)

• Eje Y (x=0)

y = f(0) =

(02 − 5)3 = −1 125

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0; − 1)

c) Intervalos de crecimiento

(

6x 2 x −5 125

f '(x) =

)

= 0 ⇔ x = 0 ∨ x − 5 = 0 ⇔ x = 0 , x = − 5 o x = 5

−∞; − 5 la función f decrece – – + + − 5; 0 la función f decrece 0 +∞ − 5 5 −∞ 0; 5 la función f crece 5; + ∞ la función f crece d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo: Valor mínimo: No tiene f(0) = −1 e) Intervalos de concavidad

6 ⎡ 2 (x − 5)2 + 4x2 (x2 − 5)⎤ = 0 ⎣ ⎦ 125 2 2 6(x − 5)(x − 1) = 0 ⇔ x = − 5 ∨ x = 5 ∨ x = −1 ∨ x = 1 25

f ''(x) =

–

−∞

− 5

–

+ –1

+∞

246 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

−∞; − 5

la función f es cóncava hacia arriba

− 5; −1

la función f es cóncava hacia abajo

−1;1

la función f es cóncava hacia arriba

1; 5

la función f es cóncava hacia abajo

5 ;+∞

la función f es cóncava hacia arriba

f) Puntos de inflexión

(−

) (

)(

5 ;f(− 5) = − 5 ;0 ;

) (

5 ;f( 5) =

(1;f(1)) = (1; − 0,512) g) Asintotas Una función polinómica no tiene asíntotas. h) Gráfica Intervalos Signo Signo Curva de de f '' f' + −∞; − 5 – –

–

−1;0

–

0;1

1; 5

–

5; −1

5;+∞

f(x) =

x2 − 4x x2 + 8x + 16

Solución a) Dominio de la función

f(x) =

x − 4x x2 + 8x + 16

x − 4x (x + 4)2

b) Intersección con los ejes • Eje X (y=0)

⇒ Df =

)

5 ;0 ; ( −1;f(−1)) = ( −1; − 0,512 ) y

− {−4}

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 247

x2 − 4x 2

(x + 4)

= 0 ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 4

Por lo tanto, los puntos de intersección son: (0;0) y (4;0) • Eje Y (x=0)

y = f(0) =

0 − 4(0) (0 + 4)2

Por lo tanto, el punto de intersección es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento

f '(x) =

(2x − 4)(x + 4) − 2(x − 4x)(x + 4) 4

(x + 4)

2(x − 2)(x + 4) − 2x(x − 4) 3

(x + 4)

4(3x − 4) (x + 4)3

= 0

⇔ x =

4 ∨ x = −4 3

−∞; − 4 + – + −4; 43 4 ;+ ∞ -4 4/3 −∞ +∞ 3 d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo: Valor mínimo: 1 No tiene pues −4 ∉Df f( 43 ) = −

la función f crece la función f decrece la función f crece

e) Intervalos de concavidad

f ′′(x) =

12(x + 4) − 3(12x − 16)(x + 4) (x + 4)

+ + −∞ –4 f) Puntos de inflexión

24(4 − x) (x + 4)4

= 0 ⇔ x = 4 ∨ x = −4

−∞; − 4 la función f es cóncava hacia arriba −4; 4 la función f es cóncava hacia arriba

– 4

+∞

4;+ ∞ la función f es cóncava hacia abajo

( 4;f(4)) = ( 4;0 )

248 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones g) Asintotas • Vertical

⎛ x2 − 4x ⎞ lim ⎜ ⎟ = +∞ x →−4 ⎜ (x + 4)2 ⎟ ⎝ ⎠ Por lo tanto, no existe asíntota vertical • Horizontal

⎛ x2 − 4x ⎞ ⎛ x 2 − 4x ⎞ lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ =1 x →∞ ⎜ (x + 4)2 ⎟ x →∞ ⎜ x 2 + 8x + 16 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Por lo tanto, la reta y=1 es una asíntota horizontal. • Oblicua

⎛ x2 − 4x ⎞ ⎛ ⎞ x2 − 4x lim ⎜ lim = ⎟ ⎜ ⎟⎟ = 0 2 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ x →∞ x(x + 4) ⎝ ⎠ x →∞ ⎝ x + 8x + 16x ⎠ Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua h) Gráfica Signo Signo Intervalos Curva de f ' de f '' −∞; −4 + + 4 −4; – + 3

4 ;4 3

4;+∞

–

f(x) =

x 1+x

Solución a) Dominio de la función Df = b) Interseccion con los ejes • Eje X (y=0)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 249

x 1+x

=0⇔x=0

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) • Eje Y (x=0)

y = f(0) =

1 + 02

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) c) Intervalos de crecimiento

f '(x) =

1−x

(1 + x2 )2

= 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1

−∞; − 1 la función f decrece −1; 1 la función f crece – – + 1;+ ∞ la función f decrece –1 1 −∞ +∞ d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo:

Valor mínimo:

1 f(1) = 2

f(−1) =

−1 2

e) Intervalos de concavidad

f ''(x) =

2x(x − 3) (x2 + 1)3

= 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 = − 3 , x 3 = 3

– – + 0 −∞ − 3 f) Puntos de inflexión

(−

−∞; − 3 la función f es cóncava hacia abajo − 3 ; 0 la función f es cóncava hacia arriba

+∞

0; 3 la función f es cóncava hacia abajo 3;+ ∞ la función f es cóncava hacia arriba

⎛ 3⎞ 3;f(− 3) = ⎜⎜ − 3; − ⎟y 4 ⎟⎠ ⎝

)

(

⎛ 3⎞ 3;f( 3) = ⎜⎜ 3; ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝

)

g) Asintotas • Vertical No tiene asíntota vertical pues el denominador es diferente de cero. • Horizontal

⎛ x ⎞ lim ⎜ ⎟=0 x →∞ ⎝ 1 + x 2 ⎠

250 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Por lo tanto, la recta y=0 es una asíntota horizontal • Oblicua

⎛ 1 ⎞ m = lim ⎜ ⎟=0 x →∞ ⎝ 1 + x 2 ⎠ Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua. h) Gráfica Intervalos Signo Signo Curva de f ' de f '' – −∞; − 3 –

− 3, −1 –

−1;0

0;1

–

1; 3

–

3;+∞ 8.

f(x) =

2x 2

x −1

Solución a) Dominio de la función Df = − {−1;1} b) Intersección con los ejes • Eje X (y=0)

2x 2

x −1

=0 ⇔ x=0

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) • Eje Y (x=0)

y = f(0) =

2(0) 02 − 1

Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 251

c) Intervalos de crecimiento

f '(x) =

2(x − 1) − 2x(2x) (x2 − 1)2

=−

2(x + 1) (x2 − 1)2

= 0 ⇔ x = −1 x = 1

−∞; − 1 la función f decrece – – – −1; 1 la función f decrece –1 1 +∞ −∞ 1;+ ∞ la función f decrece d) Valores máximos y mínimos relativos No tiene valores máximos ni minimos la función pues es decreciente en todo su dominio e) Intervalos de concavidad

f ′′(x) =

4x(x + 3) (x 2 − 1)3

= 0 ⇒ x = 0 x = −1 x = 1

– – + –1 0 −∞ f) Puntos de inflexión

−∞; − 1 la función f es cóncava hacia abajo −1; 0 la función f es cóncava hacia arriba

+∞

0; 1 la función f es cóncava hacia abajo 1;+ ∞ la función f es cóncava hacia arriba

( 0,f(0)) = ( 0,0 )

Para x = ±1 no existen los puntos de inflexión pues estos valores no están en el dominio de la función g) Asintotas • Vertical

⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ = +∞ ; lim ⎜ 2 lim ⎜ 2 ⎟ = −∞ + ⎝ x −1 ⎟ − ⎠ x →1 x →1 ⎝ x − 1 ⎠

⎛ 2x ⎞ lim ⎜ 2 ⎟ = +∞ ; + x →−1 ⎝ x − 1 ⎠

⎛ 2x ⎞ lim ⎜ 2 ⎟ = −∞ − x →−1 ⎝ x − 1 ⎠

Por lo tanto, las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales. • Horizontal

⎛ 2x ⎞ lim ⎜ 2 ⎟=0 x →∞ ⎝ x − 1 ⎠ Por lo tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal

252 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones • Oblicua

⎛ 2 ⎞ m = lim ⎜ 2 ⎟=0 x →∞ ⎝ x − 1 ⎠ Por lo tanto, no existe asintota oblicua h) Gráfica Intervalos Signo de f ' – −∞; −1

9. a)

Signo de f '' –

−1;0

–

0;1

–

1;+∞

–

Curva

Esbozar la gráfica de la función con sus respectivas características

f(2) = f(4) = 9 , f'(x) > 0; si x < 3 , f '(3) ∃ , f'(x) < 0; si x > 3 y f''(x) > 0; si x ≠ 3 Solución • f'(x) > 0; si x < 3 , significa que la función f es creciente en el intervalo −∞ ; 3 • f '(3) ∃ , significa que x=3 es asíntota vertical. • f'(x) < 0; si x > 3 , significa que la función f es decreciente en el intervalo 3;+∞ • f''(x) > 0; si x ≠ 3 , significa que la concavidad siempre es hacia arriba para todo x ≠ 3 . Gráfica

f '(x) > 0

f '(x) < 0

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 253

f(0) = f(2) = 0 , f'(x) < 0; si x < 1 , f '(1) = 0 , f'(x) > 0; si x > 1 y f ''(x) > 0 Solución • f'(x) < 0; si x < 1 , significa que f es decreciente en el intervalo −∞ ; 1 • f'(x) > 0; si x > 1 , significa que f es creciente en el intervalo 1; + ∞

• De las hipótesis anteriores y f '(1) = 0 implica que f(1) es valor minimo • f ''(x) > 0 Significa que la gráfica es cóncava hacia arriba en todo su dominio. Gráfica. x 0 1 2 Valor mínino 10. Halle los puntos de inflexión (si los hay) y esbozar la gráfica de

f(x) = (x − c)n ; n = 1,2,3,4 ¿Qué conclusión se obtiene sobre la existencia de puntos de inflexión según el valor de n? Solución Derivar por primera vez:

f'(x) = n(x − c)n−1 ; n = 1,2,3,4 Derivar por segunda vez:

f ''(x) = n(n − 1)(x − c)n−2 ; n = 1,2,3,4 Si n=1 entonces no existe punto de inflexión pues la función es lineal y la segunda derivada es cero. Si n=2 entonces no existe punto de inflexión pues la segunda derivada es positiva para todo x. Si n=3 entonces ( c ; 0 ) es un punto de inflexión pues: f ''(x) = 6(x − c) – + +∞ c −∞

254 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 2

Si n=4 entonces ( c ; 0 ) no es un punto de inflexión pues f''(x) = 12(x − c) > 0; ∀x ≠ c >0. Esto sifgnifica que la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio. 2

11. Pruebe que el punto de inflexión de: f(x) = x(x − 6) está a medio camino entre los extremos relativos de f. Solución Calculo de los extremos relativos 2

f'(x) = (x − 6) + 2x(x − 6) = (x − 6)(3x − 6) = 0 Valores críticos: x = 6 ; x = 2 + −∞ Los extremos relativos son:

–

+∞

(2 ; 32) y (6 ; 0) Calculo de los puntos de inflexión

f ''(x) = (3x − 6) + 3(x − 6) = 6x − 24 = 0

Puntos críticos: x= 4

– –

+ 4

Entonces, el punto de inflexión es: (4;16) = (

∞ 2 + 6 32 + 0 ; ) 2 2

Por lo tanto, el punto de inflexión está en el medio de los extremos relativos. Máximo Relativo Punto de Inflexión Minimo Relativo

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 255

12. Demostrar que una función cúbica con tres ceros reales distintos tiene un punto de inflexión cuya coordenada x es el promedio de las de los tres ceros. Demostración Sea f(x) = (x − a)(x − b)(x − c) la función cúbica con tres ceros reales y diferentes. Es decir, la función corta al eje X en x = a; x = b; x = c . Derivar la función e igualar a cero para obtener los valores críticos de f ' : 2

f'(x) = 3x − (2a + 2b + 2c)x + a(b + c) + bc = 0 Resuelva la ecuación usando la fórmula general y se tiene:

(a + b + c)2 − 3(ab + ac + bc) − (a + b + c) (a + b + c)2 − 3(ab + ac + bc) + (a + b + c) , x = 3 3

Analicemos estos valores críticos: 2

Supongamos que Δ = (a + b + c) − 3(ab + ac + bc) < 0 entonces f'(x) > 0; ∀x ∈ R y esto quiere decir que la función es creciente en todo su dominio por lo cual entra en contradicción con la hipótesis que la función tiene tres ceros reales y diferentes. 2

Por lo tanto, se concluye que Δ = (a + b + c) − 3(ab + ac + bc) > 0 y los valores críticos de la función derivada son reales y diferentes. Es decir, la función tiene extremos relativos. Derive por segunda vez la función f e iguale a cero para hallar los valores críticos para f '' y calcular el punto de inflexión. Es decir: f ''(x) = 6x − 2(a + b + c) = 0 El valor crítico es:

x= Ubiquemos en la recta real y se tiene: – + +∞ a+b+c –∞ 3

a+b +c 3

Por lo tanto, como la segunda derivada cambia de signo se demuestra que x =

a+b +c genera un 3

punto de inflexión y es el promedio aritmético de los ceros de la función dada.

Ejercicios propuestos 3.3. Nivel 1 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, luego trazar la gráfica. 3

f(x) = x − 3x

f(x) = 3x 5 − 10x3 + 15x

f(x) = x − 8x − 9

f(x) = x − 3x − 4

f(x) = 14 x − 2x + 47

f(x) = (x − 1) (x + 2) 2

(x − 2) (x + 4) 4 2 4 6x − x 9. f(x) = 9 4 3 10. f(x) = x − 4x + 1, x ∈ [ −1;4 ] 8.

f(x) =

256 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 6.

f(x) = x − 2x

Nivel 2 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, asíntotas y luego trazar la gráfica. 1. 2. 3. 4.

f(x) = 35 x 5 − 3 x2 2 f(x) = x 2 + x 1 f(x) = x + 2 x 8 f(x) = 2 x −4

f(x) =

x 2 − 2x + 2 x −1 2 x −3 3

x x

4x − 12 (x − 1)2

10. f(x) = 2 x − x

x −4 4 3x + 1 x

f(x) =

Nivel 3 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, asintotas y luego trazar la gráfica. 1.

f(x) =

3. 4.

f(x) =

4x 2

x +4 16

x (x − 4) x 3

x2 − 1

f(x) = (2 + x2 )e− x

f(x) = ln(x − 1) +

f(x) = x − x − 5x + 5

f(x) =

f(x) = x + 2

f(x) = x + sinx

x −1

x + 5x + 4 x2 − 5x + 4

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 257

3.4. OPTIMIZACIÓN

Problemas resueltos 1. Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello una lámina cuadrada de 1,20 m. de lado, recortando un cuadrado pequeño en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo. Solución Se construye la figura según el enunciado. 1,2m x x x x 1,2‐2x 1,2m 1,2‐2x 1,2m–2x x x x 1,2m–2x x x Fig. a Fig. c Fig. b El volumen de la caja es: 2

V(x) = (1,2 − 2x) x

Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen. Es decir:

V'(x) =

12 (5x − 1)(5x − 3) = 0 25

valores críticos:

⎧1 3 ⎫ ⎨ ; ⎬ ⎩5 5⎭ Ubicar los puntos críticos en la recta real: + – –∞ 1/5

+ +∞

3/5

1 5

3 5

Del gráfico se concluye que x = m = 0,2m maximiza al volumen y x = m = 0,6m minimiza al volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es:

0,8m

0,2m 0,8m Fig. d

258 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 2. Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 5 m de ancho por 8 m de largo. Se cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla y une para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse esto para obtener una caja con el mayor volumen posible? Solución Se construye la figura según el enunciado. 8m x x x x 8–2x 5m 5–2x 8–2x x x x 5–2x x x Fig. a Fig. c Fig. b El volumen de la caja es:

V(x) = (5 − 2x)(8 − 2x)x

Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen. Es decir: 2

V'(x) = 4(3x − 13x + 10) = 4(x − 1)(3x − 10) = 0 Puntos críticos:

⎧ 10 ⎫ ⎨1; ⎬ ⎩ 3⎭ Ubicar los puntos críticos en la recta real: + – –∞ 1

+ 10/3

+∞

Del gráfico se concluye que x = 1m maximiza al volumen y x =

10 m = 3,3m minimiza al 3

volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es: 6m 1m 3m Fig. d

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 259

3. Una ventana rectangular coronada por un semicírculo, tiene un perímetro dado. Determinar las dimensiones que dejan pasar el máximo de luz. Solución Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano: Y Perímetro P: P= longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectángulo. x X 0 P − (π + 2)x P= π x + 2x + 2y ; x > 0, y > 0 ⇔ y = 2 Que pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser de área máxima. Entonces el área total es: –y Área total = Área del semicírculo + Área del rectángulo

A(x) =

πx2 πx2 P − (π + 2)x πx 2 2 + 2xy = + 2x[ ] = Px − − 2x 2 2 2 2

Derivando e igualando a cero se tiene:

A'(x) = P − πx − 4x = 0 ⇔ x =

P π+4

Use el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico de la primera derivada genera el valor máximo de la función área. Es decir:

A''(x) = −π − 4 < 0 ⇒ A(

P ) es valor máximo de la función área. π+4

Por lo tanto, las dimensiones de la venta son: Radio del círculo:

P ; π+4

Base del rectángulo:

2x =

2P π+4

Altura del rectángulo:

P − (π + 2)x = 2

P − (π + 2)

P (π + 4)

P(π + 4) − (π + 2)P P = 2(π + 4) (π + 4)

Altura de la ventana:

y+x=

2P π+4

260 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 4.

Un granjero tiene 200 metros de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; una pared grande ya existente formará el cuarto lado. ¿Qué dimensiones maximizarán el área del corral? Solución Perímetro: Pared 200 = 2x + y ⇒ y = 200 − 2x Área: A(x) = xy = x(200 − 2x) x y Derivar la función área e igualar. A'(x) = 200 − 4x = 0 ⇒ x = 50 Derivar por segunda vez para demostrar si este punto crítico maximiza o no al área. Es decir: A''(x) = −4 < 0 ⇒ A(50) es área máxima Por lo tanto, las dimensiones del corral son: Largo: y = 100 m Ancho: x=50m 5. Se necesita diseñar una lata cilíndrica con radio r y altura h. La base y la tapa deben hacerse de cobre, con un costo de 2 céntimos / centímetro cuadrado. El lado curvo se hace de aluminio, que cuesta 1 céntimo/centímetro cuadrado. Buscamos las dimensiones que maximicen el volumen de la lata. La única restricción es que el costo total de la lata sea 300 π céntimos. Solución Base y Tapa r Lado Lateral r r h h 2 Costo 2 = 2πrh Costo 1 = 4 πr Costo total = Costo 1 + Costo 2

300π = 4 πr2 + 2πrh ⇔ h =

150 − 2r ….. ( 1 ) r

Volumen de la lata es: 2

V(r) = πr h = πr [

150 − 2r2 3 ] = 2π(75r − r ) r

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 261

Derivar e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen de la lata. Es decir: 2

V'(x) = 2π(75 − 3r ) = 0 ⇒ r = 5

La raíz negativa se descarta pues el radio nunca es negativo. Por el criterio de la segunda derivada se tiene: V''(x) = −12πr < 0 ⇒ V(5) es volumen máximo. Por lo tanto, las dimensiones de la lata son: Altura: h = 20 ; Radio: r = 5 6. Se necesita cortar una viga con una sección transversal rectangular máxima a partir de un tronco circular con radio r centímetros. (Este es el problema geométrico de encontrar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio r.) ¿Cuál es la forma y el área de la sección transversal que debe tener tal viga? Solución Y Área del rectángulo: A(x;y) = 4xy; x > 0 ∧ y > 0 y Por Pitágoras se tiene: r 2 2 2 2 2 X r =x +y ⇒y = r −x x Luego, 2 2 A(x) = 4x r − x Derivar e igualar a cero la función Área. Es decir:

A'(x) =

4(r − 2x ) 2

r −x

= 0 ⇒ r2 − 2x2 = 0 ⇒ x =

r 2

Ubicar los valores críticos en la semirecta real y analizar los intervalos de crecimiento. Entonces, por el criterio de la primera derivada se tiene A(

r ) es área máxima. 2

Calculemos las dimensiones de la sección transversal de la viga:

y = r2 −

r2 r = (mismo valor de x) 2 2

Por lo tanto, la forma de la sección transversal de la viga es un cuadrado de lado

r . 2

A las 13:00 horas un barco A navega hacia el este a la velocidad de 15km / h en un curso situado 60 km al norte de un barco B, el cual navega hacia el norte a una velocidad de 20km / h . a) ¿ A qué horas estarán los barcos lo más cerca posible uno del otro? b) ¿Cuál será su menor distancia relativa?

262 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones Solución Y (km) Por el teorema de Pitágoras se tiene: A’ A d = x2 + (60 − y)2 … (1) d El tiempo que usa el barco A es el mismo tiempo que usa el barco B, por lo 60 60 – y B’ tanto: y x y 4 t = = ⇒ y = x … (2) X (km) B x 15 20 3 13:00 h Reemplace (2) en (1) y se tiene la función distancia que separa al barco A de B:

4 2 2 d(x) = x + (60 − x) 3 Para calcular la distancia más cerca usaremos el criterio de la primera derivada. Es decir:

4 4 x − (60 − x) 5(5x − 144) 144 3 3 d'(x) = 0⇒x = = 5 4 2 4 2 2 2 x + (60 − x) 9 x + (60 − x) 3 3 – + +∞ −∞ 144 5 Del gráfico se tiene que la distancia mas cerca entre los barcos es cuando el barco A a recorrido

144 km . 5

Por lo tanto, a) Tiempo que ha transcurrido desde las 13 horas:

144 km t= 5 = 1,92h 15km / h Entonces los barcos estarán lo más cerca posible uno del otro a las 14horas 55 minutos y 12 segundos b) La distancia mínima es:

144 144 2 4 144 2 )= ( ) + (60 − × ) = 36km 5 5 3 5

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 263

En un plano coordenado se da un punto M(a;b) situado en el primer cuadrante. Halle la ecuación de la recta que pase por éste punto, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. Solución Y Área del triángulo: y (0; y) xy A(x;y) = … (1) 2 (a;b) b Pendiente de la recta: y −b b − 0 … (2) m= = (x;0) X 0−a a−x x 0 a De (2) se tiene:

−bx bx … (3) = a−x x −a

Reemplace (3) en (1):

x bx bx2 A(x) = [ ]= 2 x − a 2(x − a) Derive e iguale a cero:

A'(x) =

bx(x − 2a) 2(x − a)2

= 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2a

– + Ubicar los puntos críticos en la semirecta real se tiene: − ∞ +∞ 2a Entonces por el criterio de la primera derivada se concluye que el área es mínima cuando x=2a Por lo tanto, la recta es: bx + ay − 2ab = 0 9.

Hay un barco anclado a 5 km del punto más cercano a una playa rectilínea. Se desea enviar un pasajero hasta un campamento situado a 5 km a lo largo de la playa a partir del punto más próximo al barco. El pasajero puede remar a razón de 4 km/hr y caminar por la arena de la playa a 6 km/hr. ¿Cuál será el tiempo más corto posible de viaje del barco al campamento? Solución Se construye un dibujo según los datos proporcionados Y (km) Recordar: d Orilla de la playa 5–x t= x 5 v Tiempo total de recorrido es: Campamento 2 25 + x 2 25 + x 5−x X (km) + t(x) = ;x>0 0 5 4 6 Barco anclado Calculo del tiempo corto posible. – −∞

2 5

+∞

264 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

t'(x) =

3x − 2 25 + x 12 25 + x

=0⇒x =2 5

Entonces, por el criterio de la primera derivada se tiene que el tiempo mínimo se da cuando el pasajero rema 2 5km ≈ 4,47km hasta un punto en la orilla de la playa que está ubicado a

2 5km del punto más próximo al barco, luego camina (5 − 2 5)km por la orilla hasta llegar al campamento. Por lo tanto, el tiempo mínimo es:

⎛ 25 + (2 5)2 5 − 2 5 ⎞ ⎛ 5 5 + 10 ⎞ ⎟h = ⎜ t(x) = ⎜ + ⎟ h ≈ 1,76h ⎜ 4 6 ⎟ ⎜⎝ 12 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 10. De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un cono de la mayor capacidad posible. Solución Sea x el ángulo en radianes y r el radio del círculo dado. L R r x r x h r x Área del sector circular: Volumen del cono: Área del círculo: 2 2 2 AC = πr xr πR h A V = = SC 2 3 La longitud del sector circular es: L= rx La longitud del círculo del cono es igual a la longitud del arco circular. Es decir:

xr = 2πR ⇒ R =

xr 2π

(1)

La altura del cono se calcula por el teorema de Pitágoras. Es decir: 2

h = r −R = r −

2 2

4π

r 2 2 4π − x 2π

Luego, reemplace (1) y (2) en el volumen y se tiene:

(2)

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 265

V(x) =

π(

xr 2 r 2 2 ) ( 4π − x ) 2 3 2 2 x r 4π − x 2π 2π = 3 24 π2

Derive el volumen e iguale a cero.

V'(x) =

xr (8π − 3x ) 2

24 π

4π − x

2 ≈ 5,13rad = 293,9380 3

= 0 ⇒ x = 2π

Por lo tanto, se debe cortar un sector circular con ángulo central de 5,13 rad para obtener un cono de volumen máximo. 11. Se va a construir un embalaje con tapa para contener 2 m3 de naranjas. Éste se va a dividir en dos partes mediante una separación paralela a sus extremos cuadrados. Encuentre las dimensiones del embalaje que requiere la menor cantidad de material. Solución Área total: 2 A(x;y) = 3x + 4xy ... (1) x Volumen: x 2 V(x;y) = x2 y = 2 ⇒ y = 2 ... (2) y x Luego, (2) en (1) se tiene el área:

A(x) = 3x2 + 4x

2 x

= 3x2 +

8 x

Derivar e igualar a cero.

A'(x) = 6x −

8 x

6x 3 − 8 x

=0⇒x =

2 ≈ 1,10 6

Derivar por segunda vez.

A''(x) = 6 +

16 x

2 6

Entonces, por el criterio de la segunda derivada, A( 3 ) es área mínima. Por lo tanto, las dimensiones del embalaje son: largo y =

2 2 36 , ancho x = 3 ≈ 1,10 y alto x = 3 ≈ 1,10 2 6 6

12. Tres ciudades forman un triángulo isósceles y desean abastecerse de energía eléctrica proveniente de una central común mediante un cable de alta tensión en forma de (Y). (Y) tiene

266 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

16 km de altura y 12 km de apertura superior. Hallar la longitud mínima de cable múltiple requerido. Solución 6 6 Longitud del cable: C B x L(x) = 16 − x + 2h = 16 − x + 2 x2 + 36 ; x > 0 h h Centra Derive e iguale a cero L(x): 16–x 2 2x − x + 36 = =0⇒x =2 3 L'(x) 2 x + 36 A Derive por segunda vez y se tiene:

L''(x) =

+ 36

)

> 0

Por el criterio de la segunda derivada, x = 2 3 minimiza la longitud del cable. Por lo tanto la longitud mínima es:

L(x) = 16 + 6 3 ≈ 26,39km 13. Mientras se dirigía hacia el norte por una carretera rectilínea entre un bosque de pinos, un conductor se encontró sin gasolina. Puede llegar hasta la estación de gasolina caminando 1 km hacia el norte por la carretera, luego, torcer hacia el oeste por otra carretera normal a la primera caminando 10 km, o bien, puede caminar por entre el bosque hacia el noroeste, salir a la segunda carretera y continuar luego hacia el oeste hasta la gasolinera, o en otro caso, dirigirse en línea recta por el bosque hasta la gasolinera. Puede caminar por la carretera pavimentada a razón de 5 km/hr y caminar por el bosque a razón de 3km/hr. Calcule el menor tiempo de viaje que puede emplear para traer gasolina. Solución Y (km) Puesto de Carretera gasolina 10 – x D x B C 1 Carretera X A –x –10 (km) Según el enunciado hay tres formas de cómo llegar al puesto de gasolina: A) Recorre de A hacia B y de B hacia C

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 267

t(x) =

d(AB) d(BC) 1 10 11 + = + = = 2,2h Vbosque Vcarretera 5 5 5

B) Recorre de A hacia D y de D hacia C Tiempo total.

t(x) =

d(AD) d(DC) x2 + 1 10 − x + = + ; x >0 Vbosque Vcarretera 3 5

Derivar e igualar a cero la función tiempo:

1 x 1 3 t'(x) = − =0⇔ = ⇒x= 2 2 4 3 x +1 5 3 x +1 5 Derivando por segunda vez se tiene:

t''(x) =

5 2

3 (x + 1)

Entonces por el criterio de la segunda derivada se tiene que el tiempo mínimo es:

3 t( ) = 4

3 3 ( )2 + 1 10 − 4 4 = 34 ≈ 2.27h + 3 5 15

C) Recorre de A hacia C

t(x) =

d(AC) 101 = = 3,35h Vbosque 3

Por lo tanto, el tiempo mínimo se obtiene si se camina por la carretera desde el punto A hasta el punto B y luego seguir por la otra carretera hasta el puesto de gasolina.

Problemas propuestos 3.4. 1. Se encuentra un barco anclado a 5 Km del punto más cercano a una playa rectilínea. Se desea enviar a un pasajero a un campamento situado a 5 Km. a lo largo de la playa a partir del punto más próximo al barco. El pasajero puede remar a razón de 4 Km/h y caminar por la playa de la arena a razón de 6 Km/h. ¿Cuál debe ser el tiempo más corto posible del viaje del barco al campamento? 2. Se desea construir un depósito metálico para agua en forma de cilindro circular recto, con dos tapas y se dispone de una lámina rectangular de superficie dada S. Sin tener en cuenta los

268 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

10.

11.

12.

13.

sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que permitan obtener un tanque de capacidad máxima. Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un semicírculo, Si el perímetro de la ventana está limitado a 24 metros, ¿qué dimensiones debería elegir el arquitecto de manera que la ventana permita entrar la mayor cantidad de luz? Un canal que conduce agua tiene sección trapezoidal con el fondo y los lados de igual longitud (b), formando los lados el mismo ángulo con el fondo. ¿Qué anchura deberá tener el canal en la parte superior para dar cabida a la mayor cantidad de agua? Una empresa tipográfica contrata la impresión de hojas sueltas que deben contener 500 Cm2de tema escrito con márgenes de 40 Cm. En sus costados. Calcular las dimensiones que deben tener la hoja para emplear la menor área de papel, o sea, lograr el costo mínimo del trabajo contratado. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a , hay que hacer una caja rectangular abierta que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz, ¿cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados que se corten? Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados coincide con la orilla de un río rectilíneo, por lo tanto este lado no se necesita cercar. Para realizar la cerca paralela al río tiene un costo de $2 por cada metro lineal y por los extremos de $3 por metro lineal. El granjero dispone de $900 para ejecutar la obra. Hallar. dimensiones del cercado para poder encerrar la mayor área. Se desea construir una caja en forma de paralelepípedo rectangular con tapa superior, de tal modo que su largo sea siempre la mitad de su ancho. Se fija el volumen V de antemano y se sabe que el costo del material por unidad de superficie para la tapa superior y de los 4 lados es 3 veces más elevado por unidad de superficie que el material del fondo. ¿Cuáles son las proporciones más económicas para la caja? Un trozo de metal de 1m de longitud se corta en dos porciones para formar con cada una de ellas un cuadrado. Calcular las longitudes de los dos pedazos de alambre para que las sumas de las áreas de las dos figuras sea mínima. Un medero tiene la forma de un tronco de cono circular recto de 6 m de altura , siendo los diámetros de sus bases 2m y 3,20m respectivamente. Hay que maquinar de él una viga de sección cuadrada. Determinar la longitud de la viga de volumen máximo Un diseñador necesita hallar las dimensiones y el volumen que ocuparía un cono circular recto, de volumen máximo y puede ser inscrito en una esfera de radio R. Se debe construir una lata cilíndrica para almacenar un volumen fijo de líquido. El costo del material que se usará para la parte superior e inferior de la lata es de 3 centavos de dólar por pulgada cuadrada, y el costo de material que se usará para la parte lateral e de 2 centavos de dólar por pulgada cuadrada. Use el cálculo para deducir una relación simple entre el radio y la altura de la lata de manera que su construcción cueste lo menos posible. Una fábrica de refrescos desea fabricar latas cilíndricas para sus productos. Las latas deben tener un volumen de 36 centilitros. Hallar las dimensiones de la lata que requiera la mínima cantidad de material.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 269

14. Se necesita construir un cono recto cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. ¿Cuál debe ser la altura del cono para que su volumen sea el mayor posible? 15. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono de altura de H y radio R . Determinar las dimensiones del cilindro que tenga el mayor volumen posible. ¿Cuál es ese volumen máximo? 16. La base y la altura de un triángulo isósceles miden, respectivamente, 6 unidades y 12 unidades. Hallar el área máxima posible de un rectángulo que pueda situarse dentro del triángulo con uno de sus lados sobre la base del triángulo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de máxima área? 17. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo. 18. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral. 19. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes de la elipse 20. Se desea construir una nueva carretera entre los pueblos A y B. el pueblo A está sobre una carretera abandonada que va de este a oeste. El pueblo B está en un punto situado 3 km hacia el norte de otro punto que está sobre la carretera antigua y a 5 km hacia el este del pueblo A. los ingenieros proponen conectar los pueblos reconstruyendo una parte de la antigua carretera desde A hasta un punto P y construyendo carretera nueva desde P hasta B. si el costo de reconstruir carretera antigua es de 200 000 dólares por km y el de construir carretera nueva es de 400 000 dólares por km. ¿Qué longitud de carretera antigua se deberá reconstruir a fin de minimizar los costos? 21. Una lámpara está colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r , ¿A qué altura deberá estar la lámpara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentra en el borde sea la mayor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz). 22. En un plano de coordenadas se da un punto, M0 (x 0 ,y 0 ) , situado en el primer cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos tenga la menor área posible. Determine la ecuación de dicha recta.

270 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones

Respuestas del Capítulo III SOLUCIÓN DEL CASO a. Los ingresos totales, la función de costos y la función utilidad en función del número de maquinas suponiendo que todo lo que se produce se vende. • Ingreso Total I = 20 000 * 2500 = 50 000 000 U.m • Costo Total

C ( X ) = Costo de Materia Prima + Costo de Máquina + Costo de Producción

C ( x ) = Cmp + Cm + C p Costo de Máquina

Costo de Materia Prima C m p = 21 000 000

Cm ( x) = 1125000 x Donde

N° de máquinas

Costo de producción C p ( x)

Si tenemos x máquinas, entonces una muñeca se 1 fabrica en horas 50x

N° de horas

h = 20000 *

1 400 = x 50 x

C p ( x) = N° Trabajadores * costo * hora* N° horas

C p ( x) = 20 * 2250 *

400 18000000 = x x

Por tanto la función costo total es: C ( x) = 21000000 + 1125 x + • Beneficio

B( x) = 50000000 − 21 000000 − 1125 x −

18000000 x

b. Número de máquinas que maximizan el beneficio 18000 000 B '( x) = 29 000 000 − 1125 x − x2 18 000 000 = 16 . Si B '( x) = 0 ⇒ x 2 = 1125 000

Por tanto se necesitan 4 máquinas para maximizar el beneficio c. Beneficio máximo Bmáx = 20 000 000 u.m Conclusión: El proyecto es aprobado.

18000000 x

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 271

Ejercicios propuestos 3.1. Nivel 1 1.

7 68 162 2. 3. 0,04 4. 5. 16x3 + 10x 4 − 8 6. 2x − 1/3 − x − 3/4 7. x 4 + x 6 − x2 2 25 265 x2 − 4x − 3 + 9x − 4

(

)

5 23 15 12 1 − 45 x − x + x 2 2 5

9 3 − 25 2 − 10 8 −7 − x 5 x − x 5 5 5

10.

11. 2x12 1 4x15 + 21x 8 + 6 0x 7 + 78 12. co s (x) − se n(x) + s ec(x)tg(x) 13. (x − 3)cosx + (3x + 1)senx

(

14.

)

5x 4 + 8x lnx + x 4 + 4x −

2x ex − 2ex − 4

17.

20. −

5 x

−

15.

x(x 3 + 12x − 8) (x 3 + 4)2

⎛ x co s (x) + (x − 1)se n(x) ⎞ 18. ex ⎜ ⎟ 19. x2 ⎝ ⎠

x(x2 + 1)a rctg(x) + x2 + 2 3 2

21. −e− x a rc c o s (x) −

x (x + 1) b) 9,8 23. –16 24. 0,3 25. –50,5 Nivel 2

1. 9co s3 x − 6co s x + 3x2 + 4

4. 2e

11.

16.

3se n2x 2

cos x

2cos2 x − 1 2

e−x 1−x

2 −1

(cosx + 1) (cos− 1)

3. 2ex

(x 3 + 1)cos (x) − 3x2se n(x) (x 3 + 1)2 co s(x)

1 2 x l n (x)

x2 + 4x − 16

( x − 3)

12. f '(4) =

−

− s e n(x)a r cs e n(x) 1

x l n2 (x)

22. a) 98

((x −1)cos(x2 − 2x) + xsen(x2 − 2x))

(2x − 3)4 ( 6x2 − 9x + 5) 5. 3 ( x2 − 3) co s(3x − 2) + 2x se n(3x − 2) 6.

5 ( 3co s x + 2se n x ) x l nx + 1 + x + 1 8. 9. 1 0 3se n x − 2c o s x 2x(x + 1) l nx + 1

1 − x2

1 2 1 − x2 1 + a rc si nx

n m n−1 ⎛ a + b x ⎞ 2a b mn x ⎜ ⎟ n⎟ ⎜

⎝ a − b x ⎠ 10. n (a + b x )(a − b xn )

3x2

(1 + x2 )

1 ; f(4) = 3 13. f '(2) = 7 ; L T : y = 7x − 12 14. L T : y = − 5x 15. (1;1) 4

16. L T1 : y = 2x − 1 ; L T2 : y = 4x − 4 17. (e − 1 ; l n (e − 1)) 18. 19. 20. P1 = (4;3) ; y =

−4 −4 3 3 (x − 4) + 3 ; y = (x − 4) + 3 , P2 = (−3;4) ; y = (x + 3) + 4 ; y = (x + 3) + 4 3 4 4 3

⎛ −13 1621 ⎞ , ⎟ 22. 3 , 0 , -9 cm/s 23. La ordenada disminuye ⎝ 4 256 ⎠

21. p1 (0,1), p2 (−2,11), p3 ⎜

uniformente a una velocidad de

2 unidades por segundo 5

Nivel 3

1. p1 (0,2 0), p2 (− 2, − 1 2), p3 (1,1 5)

⎛ 22 − 447 ⎞ 2. p ⎜ , ⎟ ⎝ 7 49 ⎠

3. x = 1, y = 0

77 12 −1 (x − 1) , y = (x − 1) 5. y = x2 − x + 1 6. P1 (1,0); L T : y = 2(x − 1) , LN : y = (x − 1) , 12 77 2 1 P2 (2,0); L T : y = −(x − 2), LN : y = (x − 2) , P3 (3,0); L T : y = 2(x − 3), LN : y = − (x − 3) 2

4. y = −

272 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 7. Lt: y = 2x − 1, Ln: y =

−1 23 ⎞ 2 1 4 31 ⎛ x + 4 8. p ⎜ − 9, ⎟ 9. a = − , b = − , c = ,d = 3 3 3 9 2 5 ⎠ ⎝

10. a = 3, b = −5, c = 1 11. y' = 14. y' =

cos x + xcos

(

3/2

x + x2 + 1 2 x2 + 1

1− x 1+ x 12. y' = 13. y' = x 5 3 (x3 + 1)2 2 x(x − 1)

x + 2 s e n x c o s x(1 − s e n x) + s e n3/2 x(s e n x − 1)

se n x c o s x(1 − se n x)( co s x + x)

)) (

(

)

15. y' = cos x2 + sen x2 + sen2x . 2x + cos x2 + sen2x ( 2x + sen2x )

(

16. y' = 6 ((x2 + x)4 + x)5 + x 17. y' = −

)

) ( 5((x2 + x)4 + x)4 (4(x2 + x)3(2x + 1) + 1) + 1) 5

2cos x + s en2x + 2x sen x + x2 + 2 (xs en x + x2 − 2)2

Ejercicios propuestos 3.2. Nivel 1

2y − 3x2

1. y' =

2y 6y − 2x + 1

2. y' =

5. y' =

3y − 2x + 5 2y − 3x

y2 − 2yx + 1 6. y' = 2 x − 2xy − 2

9. y' =

y − yln(y) − yln(x) x − 2y2

13. y' = −1

3y2 − 2x

10. y' =

3. y' =

2x + y 1−x

ex +1 7. y' = y e + yey

−x2 y2e2y +1 − y

11. y' =

y(x + 1) x(31y − 1)

2x3y2e2y +1 + x y 14. y' = 15. y' = (x + y)2 2 sec y − x

4. y' = 8. y' =

−y3 3xy2 − 2

y − 4x(x2 + y2 ) 4y(x2 + y2 ) − x

12. y' =

y(2 − yexy ) xyexy − 2

Nivel 2 ⎡

1. y' = ( arctg(x))x ⎢ln(arctg(x)) + ⎣⎢

3. y' =

5x2 + x − 24 33 (x − 1)(x + 2)5 (x + 3)5

(

)

sen(x) ⎤ ⎡cos(x)log(cos2 x) − 2sen(x)tg(x)⎤ 2. y' = cos2(x) ⎥ 2 ⎣ ⎦ (1 + x )arctg(x) ⎦⎥

4. y' =

(

− 40x 4 + 112x3y + 114x2 y2 + 50xy3 + 8y 4 28x 4 + 76x3y + 75x2 y2 + 32xy3 + 5y 4

) 5. y ' = x + y x−y

− ⎛⎜ x(x2 + y2 ) + y x2 + y2 ⎞⎟ ⎠ 7. ⎛ 1 , 1 ⎞ 8. L : 5x + 6y − 1 3 = 0 y L : 6x − 5y + 2 1 = 0 6. y' = ⎝ T N ⎜ ⎟ ⎝ 81 16 ⎠ y(x2 + y2 ) − x x2 + y2

9. L T : 1 4x − 1 3y + 1 2 = 0 y LN : 1 3x + 1 4y − 4 1 = 0 10. L T : 3x + 7y − 3 0 = 0 d C 21 dx dy dP dy 2 = ;C = S − I 12. = 0.2 13. = − 44 14. = − 0.14467 15. = 11. d I 24 dt dx dx d x 81

Nivel 3 2 2 5 xy 1 ⎞ ⎛ − ⎜⎜ 2x y2ex y − − ⎟⎟ 2x x⎠ ⎝ 1. y' = 2 x2y2 5 x y 2 3 − − 3y − 2x ye 2y y

2. y' =

(

− x x (lnx + 1) − yx y −1 + y x lny xy x −1 − x y lnx

) 3. y = x + 1

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 273

dx dy = 2,25p / s 5. = − 1.13 . Es decir, por el aumento de una hora de trabajo calificado, se tiene que dt dx reducir en 1.13 horas el trabajo no calificado para que el nivel de producción no cambie

dy = 2,826 . Es decir, por la reducción de una unidad del insumo x, se tiene que aumentar en 2,826 dt unidades del insumo y, para que la producción permanezca en su nivel actual.

7. 0,8957 8.

dx dx dy 9 1 = 0,0817 9. = 0,206 10. = − 3,1428 11. y = − x + ; (−2,2) y (−2, −2) dt dt dt 4 4

12. a = 1, y a = − 1 13. (0;5) y (1;10) 14. (4;1) , (4;

43 ) 15. H = 2 2

Ejercicios propuestos 3.3. Nivel 1 1.

274 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 10. Nivel 2 1. 2.

10.

CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones | 275

Nivel 3 1.

Ejercicios propuestos 3.4.

⎛ 5 5 + 10 ⎞ 1. t = ⎜⎜ ⎟⎟ h ⎝ 12 ⎠ rectángulo: 2x =

2. r =

S 2S , h= 6π 3π

3. Radio del círculo: x =

24 , Base del π+4

24 48 48 , Altura del rectángulo: y = , Altura de la ventana: y + x = ( π + 4) π+4 π+4

276 | CAPÍTULO 3: Derivada de una Función y Aplicaciones 4. x = 2b

a 5. x = 10( 5 + 8), y = 10( 5 + 8) 6. x = 6

7. x = 75m, y = 225m

3 1 3v 3v 75v , 2x = 2 3 , h = 9. Los dos pedazos deben tener la misma longitud: L = 5 5 6 2 4 2R r 3 16 10. ladobase = 1,50m ; altura = m ; Vmáx = 12m3aprox. 11. h = R ; r = 2 12. = 3 π 3 3 h 2 13. r = 3,86 centilitros h = 7, 71 centilitros 20 2R H 4 14. H = 15. radio = , altura = , Vmáx = πR2H 16. L argo = 3u , altura = 6u 3 3 27 3

8. x = 3

R 2 ,r =R . Donde H es la altura del cilindro, R es el radio de la 3 3 esfera y r el radio de la base del cilindro. 18. Para que se tenga la mayor área superficial lateral, la altura de cilindro tiene que ser 17. El volumen será máximo si H =

19. H = 2R donde R es el radio de la esfera

2a 2b , 2y = 2 2 21. Se debe de construir 3.267 km de carretera antigua. r 22. La altura es: H = 2 x y + =1 23. La ecuación de la recta es: 2x 0 2y 0 20. Las dimensiones del rectángulo son: 2x =

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