UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA CABUDARE. ESTADO LARA
Revista Digital: TRANSFORMADA Z
ESTUDIANTE: GUSTAVO S.MARRUFFO C. MATERIA: TEORIA DE CONTROL II (SAIA) PROFESORA: BARBARA VASQUEZ
INTRODUCCIÓN
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras. La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son la Transformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformada de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continuo. La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Se introducen en primer término algunos elementos de Sistemas y Señales.
1.- Para el caso de Tiempo Continuo se emplean las Transformadas de Laplace o la de Fourier . 2.- Para el caso de Tiempo Discreto se emplean las Transformadas Zeta o la transformada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial). La razón principal del empleo de la variable discreta es que permiten el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales. Para ello finalmente se reduce la información a códigos binarios. QUE ES UNA TRANSFORMADA Dadas dos Estructuras (E T) y (E’ T’) conformadas por los espacios E y E’ dotados respectivamente de las Leyes de Composición Interna T y T’ , se llama Transformada a una aplicación biyectiva : f: E →E’que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras.
1.1.- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) como mecanismos, máquinas, circuitos etc. Un Sistema está sometido a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transformándola en una Señal de Salida (efecto). Las señales de Entrada y de Salida son funciones de una o más variables. El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema:
Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniería: electricidad, mecánica, comunicaciones, astronáutica, aeronáutica, naval, control de procesos químicos, construcciones, etc.
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI La Transformada Zeta es de particular aplicación sobre los Sistemas de Tiempo Discreto Lineales e Invariantes. (TDLI)
Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: Análisis y Síntesis
ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI Los elementos de un Sistema TDLI son 3: 1.- Suma. 2.- Producto por una Constante. 3.- Demora (Delay)
Análisis: Dado un Sistema sometido a una entrada determinada X analizar que salida Y produce
Síntesis: Dadas una entrada X y una salida Y determinadas diseñar el Sistema que transforma una en otra.
SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Las Señales y los Sistemas que las operan también se pueden clasificar como: 1.- De tiempo continuo (funciones continuas) que son las llamadas señales analógicas. 2.- De tiempo discreto (sucesiones) que son las llamadas señales digitales. En los Sistemas se establece esta clasificación porque para ellos es necesario un tratamiento con modelos matemáticos diferentes para el Procesamiento de Señales y Resolución de Sistemas (o Circuitos)
ESTUDIANTE: GUSTAVO S.MARRUFFO C. F : Transformada Zeta de la Sucesión f TEORIA DE CONTROL II f : Antitransformada de MATERIA: F
(SAIA)
PROFESORA: BARBARA VASQUEZ
Un caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente. A la Transformada Zeta general se la denomina también como Transformada Zeta bilateral . La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo). La Transformada Zeta unilateral de una sucesión x[n] se puede considerar como Transformada Zeta bilateral de la sucesión x[n] u[n]. TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES
→ F(z/a) esta, representa además de la rotación dada por el argumento de a, una dilatación del módulo del complejo z en | a |. c. CAMBIO DE ESCALA c.1 GENÉRICO
c.2 INVERSIÓN EN z
d. TZ DE LA DIFERENCIA FINITA
PROPIEDADES Las propiedades de la Transformada Zeta están dadas por los siguientes teoremas: a. LINEALIDAD
La parte integrada es nula porque en el anillo de CV de la serie F(z)
b. DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES
TABLA DE TRANSFORMADAS Z
En particular, representa una rotación de en el plano complejo. Esto corresponde a un desplazamiento de la frecuencia de la Transformada de Fourier. En el caso de la modulación an f[n]
EJERCICIOS DE CONTROL DIGITAL En el tiempo.
Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuando
Solución Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene: X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ... Ahora bien, por tiempo Discreto
Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita
se obtiene: X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68 En la mayoría de los casos no resulta tan sencillo identificar el término general mediante la observación de algunos valores de la secuencia. Ejemplo de TZ inversa
El método mas utilizado es la descomposición en fracciones parciales de X[Z]. En vista de la unicidad de la transformada Z, se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las secuencias correspondientes.
METODO DE EXPANSION EJEMPLO Halle la transformada inversa de La transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n]. Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán: 1. 2.
Método de la División Directa. Método Computacional.
Mediante el método de expansión en fracciones parciales.
3.
Método de expansión en fracciones parciales.
Solución
4. Método de la Integral de inversión.
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que:
El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie de potencias de Z-1, esto es sí Usando una tabla de transformadas, se tiene que: X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0, 1, 2,... entonces X[n] es el coeficiente de Z -k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,... Ejemplo 14
RESOLUCION TRANSFORMADA INVERSA Método computacional
La transformada z inversa puede obtenerse numéricamente mediante el siguiente método computacional. Suponga que se desea encontrar la transformada inversa de una función racional de z de la forma
donde n < m, esto es, el orden del numerador es menor que el orden del denominador. Dividiendo el numerador y denominador de G(z) por zM se obtiene que
La implementación del método computacional en C puede obtenerse en http://wwwcia.mty.itesm.mx/~mvalenzu/Software/. Transformada inversa por la integral de inversión La transformada z inversa puede obtenerse como una integral de trayectoria en el plano complejo z de la siguiente manera:
donde C es el círculo con centro en el origen que encierra a todos los polos de X(z) ZN-1 LABORATORIO MATLAB Se va a calcular el sistema discreto equivalente del sistema continuo dado por la función de transferencia:
A continuación se va a simular en Simulink el sistema continuo y el sistema discreto ante una entrada en escalón unitario con la finalidad de comparar la respuesta de ambos sistemas. El modelo de Simulink para simular el sistema continuo es el siguiente:
Si se simula el sistema, se puede comprobar que se obtiene la siguiente respuesta:
Como puede observarse, la respuesta continua y la discreta son muy similares. A medida que aumente el periodo de muestreo se podrá comprobar que la respuesta de ambos sistemas es cada vez más diferente.