TEMA 2: PROBABILIDAD
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TEMA 2: PROBABILIDAD 2.1. INTRODUCCIÓN 2.2. ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS. 2.3. DEFINICION AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS. 2.4. ANÁLISIS COMBINATORIO 2.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA . 2.6. INDEPENDENCIA DE SUCESOS . 2.7. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES
PRÁCTICAS: Problemas en clase
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2.1 INTRODUCCIÓN Fenómeno determinista: aquel que, al ser reproducido en las mismas condiciones, conduce inevitablemente al mismo resultado. Estamos interesados en estudiar fenómenos que presentan incertidumbre, es decir, fenómenos aleatorios.
Fenómeno ó experimento aleatorio: Experimento que cumple las siguientes condiciones: • Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles. • El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas condiciones. 3
INTRODUCCIÓN (continuación) Ejemplos. Son experimentos aleatorios: • tirar un dado una vez y observar el resultado, • tirar un dado hasta que salga un seis y contar el número de tiradas que hemos realizado, • ejecutar un programa y medir el tiempo de ejecución del mismo. 4
INTRODUCCIÓN (continuación) •Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles. •El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas condiciones.
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2.2. ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS • Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio al conjunto de todos los posibles resultados del experimento (llamados sucesos elementales). E. • A los sucesos, formados por unión de sucesos elementales, se les llama sucesos compuestos. • Suceso seguro E: aquél que se verifica siempre. • Suceso imposible : aquél que nunca se verifica. 6
EJEMPLOS Ejemplo 1 Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado. El espacio muestral asociado es: E
^1,2,3,4,5,6`
•Si el experimento consiste ahora en lanzar un dado dos veces, espacio muestral asociado es E ^ 1,1 , 1,2 ,..., 6,6 ` (36 elementos). En el ejemplo anterior, los espacios muestrales son finitos. TambiÊn puede suceder que el espacio muestral sea infinito numerable e incluso infinito no numerable. 7
Ejemplo
2
* Consideremos el experimento que consiste en contar el nĂşmero de lanzamientos de un dado hasta que se obtiene un seis. El espacio muestral es E ^1,2,3,4,...` , un conjunto infinito numerable. * Si el experimento consiste en conocer el tiempo, en segundos, que tarda en ejecutarse un programa, el espacio muestral es (0, f ) y por tanto, un conjunto infinito no numerable. 8
Espacio de sucesos
*En el experimento que consiste en lanzar un dado no solamente interesa estudiar los sucesos elementales del espacio muestral sino también resultados tales como ”Sacar un número par”, “Sacar un número d 4”, etc, que son subconjuntos del espacio muestral • El conjunto formado por todos los sucesos compuestos incluido el suceso imposible se llama espacio de sucesos. El espacio de sucesos es el conjunto de las partes del conjunto E. • Espacio de sucesos: 9
Operaciones con sucesos • Sean A,B : – Se llama suceso unión de A y B al suceso que resulta cuando ocurre A, B o ambos a la vez. A B. – Se llama suceso intersección de A y B al suceso que resulta cuando ocurren al tiempo A y B. A B. – Se llama suceso contrario de A al que se verifica cuando no lo hace A. A – Se llama suceso diferencia de A y B y se designa por A-B al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observemos que: A B
A B
Decimos que A implica B (A está contenido en B), A B , si siempre que ocurre a ocurre B Si dados dos sucesos A y B al verificarse uno no puede hacerlo el otro se dice que ambos son sucesos incompatibles. Se 10 verifica que A B = .
Ejemplo 3 • Si el experimento consiste en lanzar un dado y consideramos los sucesos: A = "sacar un número par" y B = "sacar un número d 4" , entonces:
A B A B
^1, 2,3, 4,6` ^2, 4`
A "Sacar un número impar" A B
A B
^1,3,5`
^6` 11
Propiedades de las operaciones • Algunas propiedades que se verifican en las operaciones con sucesos son las siguientes: • Conmutativa : • Asociativa:
A B
B A
A B
B A
A B C
A B C
• Distributiva:
A B C
A B C
A B C
A B A C
A B C A B A C
• Leyes de De Morgan:
A B
A B
A B
A B
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V-álgebra de sucesos álgebra de sucesos Definición Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea un conjunto de subconjuntos de E. Diremos que es una V-álgebra de sucesos si verifica:
• a) : • b) Si A :, entonces A : • c) Si ^ Ai ` :, i `, entonces * Ai : i `
• En el caso de que la propiedad c) solo se verifique para un conjunto finito de sucesos estaríamos hablando de una estructura diferente: la de álgebra de sucesos. 13
2.3. Definicion Axiomática de Probabilidad. Consecuencias de los Axiomas Sean E el espacio muestral de un experimento aleatorio y una V-álgebra de sucesos asociada a E. La aplicación P : : o \ es una probabilidad si: • (A1) • (A2) • (A3) entonces:
A , P(A) t 0 P(E)=1 Si Ai i son tales que Ai Aj= izj, f
f
i=1
i=1
P( Ai )= ¦ P( Ai )
A la terna (E, , P) se le denomina espacio probabilístico 14
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS • • • • •
(1) Si A1,A2 Â? Â&#x; son tales que A1Â?A2, entonces P(A1) d P(A2). (2) Si A Â? Â&#x; , entonces 0 d P(A) d 1. (3) Si A Â? Â&#x; , P(A)=1- P(A) . (4) P(‡) = 0. (5) Si A,B Â? Â&#x; son sucesos cualesquiera, entonces P(A ‰ B) = P(A) + P(B) - P(A ˆ B)
•
(6) Si A1 ,! , An � : son sucesos cualesquiera, entonces: P A1 ‰ A2 ‰ ... ‰ An
n
ÂŚ P A ÂŚ P A ˆ A i
i 1
ÂŚ P A ˆ A
iz jzk
i
iz j
i
j
j
ˆ Ak ... 1
n 1
P A1 ˆ A2 ˆ ... ˆ An
15
Regla de Laplace 7. Sea
E
^ A1 , A2 ,..., An ` , un espacio muestral finito siendo los
Ai , i Â? ^1, 2,..., n` sucesos elementales e incompatibles dos a dos.
Supongamos ademĂĄs que: P(A1) = P(A2)= ... = P(An) =
1 n
Entonces subconjunto BÂ?Â&#x;, B = A1 ‰ ... ‰ Ak, con k dn se tiene:
k P(B) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak) = n 16
Regla de Laplace (continuación) Esta propiedad se utiliza para calcular probabilidades de sucesos en espacios muestrales finitos con resultados equiprobables. Se enuncia: P B
Nº de elementos de B Nº de elementos de E
Nº de casos favorables al suceso B Número de casos posibles
Ejemplo Consideremos el experimento aleatorio “lanzar un dado”. Queremos calcular la probabilidad del suceso A = “sacar un número par”. El espacio muestral es E ^1, 2,3, 4,5, 6` , finito y con los resultados equiprobables. El suceso A es: A ^2, 4, 6` P A
Nº de elementos de A Nº de elementos de E
3 6 17
TEMA 2: PROBABILIDAD
9 18
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2.4. An谩lisis combinatorio El problema general es contar cuantos grupos de n elementos se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos. Hay que tener en cuenta los elementos que forman el grupo, y si importa o no el orden de los mismos. La segunda cuesti贸n que hay que tener en cuenta es si se puede repetir o no el mismo elemento dentro del grupo de n elementos. 20
AnĂĄlisis combinatorio (continuaciĂłn) â&#x20AC;˘ Variaciones (sin repeticiĂłn) de m elementos tomados de n en n (n < m): son los grupos de n elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de los mismos. â&#x20AC;˘ Se representan por Vm,n o bien por Vmn y su nĂşmero se calcula asĂ:
Vm,n
m m 1 ! m n 1
m! m n ! 21
AnĂĄlisis combinatorio (continuaciĂłn) â&#x20AC;˘ Combinaciones (sin repeticiĂłn) de m elementos tomados de n en n (n < m): es el nĂşmero de grupos de n elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos son diferentes sĂłlo si tienen algĂşn elemento distinto. n C â&#x20AC;˘ Se representan por Cm , n o bien por m y su nĂşmero se calcula asĂ: Cm , n
m m 1 ! m n 1
n!
§ m¡ m! m n !n ! ¨Š n ¸š 22
AnĂĄlisis combinatorio (continuaciĂłn) â&#x20AC;˘ Permutaciones (sin repeticiĂłn) de m elementos: es el nĂşmero de grupos de m elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos se diferencian en el orden de los elementos. â&#x20AC;˘ Se representan por Pm y su nĂşmero se calcula asĂ:
Pm
m! 23
AnĂĄlisis combinatorio (continuaciĂłn) â&#x20AC;˘ Las definiciones correspondientes a variaciones, combinaciones y permutaciones con repeticiĂłn son idĂŠnticas salvo que no se exige que los elementos dentro de cada grupo sean distintos entre sĂ. AdemĂĄs en el caso de las variaciones y las combinaciones no tiene que ser n < m porque cada uno de los m elementos se puede repetir hasta n veces. â&#x20AC;˘ El nĂşmero de cada una de ellas es el siguiente: VRmn
VRm,n
mn
CRmn
CRm ,n
§ m n 1¡ ¨ ¸ n Š š
PRmn1 ,!,nk
m! n1 !¡!¡nk !
m n 1 ! n !¡ m 1 ! 24
AnĂĄlisis combinatorio (continuaciĂłn) â&#x20AC;˘ En el caso de las permutaciones el total de elementos distintos es k, de los cuales el primero se repite n1 veces, ... , el k-ĂŠsimo se repite nk veces, de forma que n1 ! nk m. Cada ni es un nĂşmero entero mayor o igual que 1.
25
Ejemplo ÂżCuĂĄntos nĂşmeros impares distintos de 5 cifras podemos formar con los dĂgitos 1...9? â&#x20AC;˘
Tendremos un nĂşmero distinto cada vez que cambie una cifra o cada vez que tengamos una ordenaciĂłn distinta. Como importa el orden utilizaremos las variaciones. AdemĂĄs cada dĂgito puede estar mĂĄs de una vez, luego las variaciones serĂĄn con repeticiĂłn. Para que el nĂşmero sea impar, el Ăşltimo dĂgito tiene que ser uno de los 5 dĂgitos impares. El total serĂĄ:
VR94 ¡5 94 ¡5 32805 26
Ejemplo Colocamos al azar en una estantería 4 libros de Estadística, 5 de Informática y 1 de Electrónica. Sabiendo que todos los de la misma materia son iguales entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que todos los de la misma materia estén juntos? Aplicamos la regla de Laplace. • Casos posibles: permutaciones, ya que siempre colocamos todos los libros. Las permutaciones son con repetición porque se repiten los libros de Estadística y de Informática. casos posibles: PR104,5 Casos favorables: son las posibles ordenaciones de los tres grupos de libros. Serán P3, ya que los tres grupos son distintos. Probabilidad pedida: P3 3! 6 1 10! 5040 840 PR104,5 27 4!·5!
Ejemplo • Las seis letras de la palabra MADURO se escriben en tarjetas, éstas se barajan y a continuación se sacan cuatro. Calcular: (a) Probabilidad de que salga la palabra MODA. (b) Probabilidad de que salgan las letras de la palabra MODA. (a) Tenemos un caso favorable, y V6,4 casos posibles, ya que importa el orden en que salgan las letras. La probabilidad pedida es: 1 V6,4
1 6·5·4·3
1 360
28
(continúa)
Ejemplo (continuaci贸n) (b)
Los casos posibles son los mismos que en el caso anterior, y los favorables las posibles ordenaciones de las cuatro letras. La probabilidad es:
P4 V6,4
4! 6路5路4路3
24 360
1 15
29
Problema 5 De una caja que contiene 6 bolas negras y 4 rojas se sacan tres bolas, primero sin reemplazamiento y luego con reemplazamiento. Calcular, en ambos casos, la probabilidad de que: (a) Las tres bolas sean del mismo color. (b) Al menos una sea de cada color. 30
5
31
5
32
2.5. Probabilidad condicionada Ejemplo. • Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española y los sucesos A = "extraer figura“ y B = "extraer rey" Como el espacio muestral es finito y todos los resultados igualmente probables, aplicando la regla de Laplace se tiene que P A 12 40 4 y P B 40 . Supongamos ahora que se repite el experimento y al extraer la carta se sabe de antemano que es una figura. Este hecho modifica el espacio muestral de manera que ahora solamente hay 12 resultados posibles de los cuales cuatro son favorables. Por tanto, 4 P B sabiendo que ha ocurrido A
12 33
Probabilidad Condicionada. Definición. – Sean A y B dos sucesos de : La probabilidad de que ocurra "B" sabiendo que ha ocurrido "A", se llama probabilidad de B condicionada por A, se designa por P(B/A) y se define: P(B A) , P(A) por tanto: P(B A) = P(A) P(B/A)
P(B/A) =
(*)
(*) Se demuestra que se trata de una probabilidad. 34
2.6. INDEPENDENCIA DE SUCESOS En muchas ocasiones: El que haya ocurrido un determinado suceso no influye sobre la probabilidad de que ocurra otro suceso. En este caso se dice que los dos sucesos son sucesos independientes 35
Ejemplo Consideremos nuevamente el experimento de extraer una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos B = "Sacar un rey" C = "Sacar un oro“ Si ahora se sabe de antemano que la carta es un oro, la probabilidad de que la carta extraída sea un rey es P B / C
1 10
la misma que si no se hubiera tenido información previa. • Se dice entonces que los sucesos B = “Sacar un rey” 36 y C = “Sacar un oro” son independientes.
INDEPENDENCIA DE SUCESOS • Si A,B : – Se dice que A y B son independientes si P(A/B) = P(A) De esta definición se deduce que: •A y B son independientes P(A B) = P(A)P(B) • Demostración: • Si A y B son independientes, entonces P A B P A y, de la definición de probabilidad condicionada resulta: P A B
P A B
P A P A B P A P B
P B
• Recíprocamente, si P A B P A P B , sustituyendo en la definición de probabilidad condicionada tenemos: P A B
P A B
P B
P A P B
P B
P A A y B son independientes.
37
INDEPENDENCIA DE n SUCESOS • Sean A1,...,An , se dice que son sucesos independientes si para toda subcolección {Ai1,...,Aik} de {A1,...,An} se verifica que: P(Ai1 ... Aik) = P(Ai1) ... P(Aik)
38
Ejemplo: Lanzamos dos dados. Llamamos “resultado alto de un dado” si sale cuatro o más con ese dado y “resultado bajo” en caso contrario. Consideramos los sucesos: • A: “Con el primer dado se obtiene un resultado alto” • B: “Con uno de los dados se obtiene un resultado alto y con el otro bajo” • C: “La suma de los resultados de los dos dados es cinco”. Estos tres sucesos ¿son independientes? 39
Ejemplo (continuación) P( A) P C
1 , 2
§ 2· 1 1 P B ¨ ¸ ©1¹ 2 2
1 2
P ^ 2,3 , 3, 2 , 1, 4 , 4,1 `
P A B C
P A C
1 36
1 36
4 36
1 9
P A P B P C
z
P A P C
1 1 2 9
1 1 1 2 2 9 1 18
Los sucesos A, B, C no son independientes. 40
Teorema de la probabilidad compuesta Si los sucesos son independientes es posible calcular la probabilidad de la intersección de varios sucesos multiplicando las probabilidades; si no lo son, para calcular dicha probabilidad se utiliza la siguiente regla, llamada regla de la probabilidad compuesta. • Teorema de la probabilidad compuesta: Sean A1,...,An ,
P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ).P ( A2 / A1 ).P ( A3 / A1 A2 )...P ( An / A1 ... An 1 ) 41
2.6. Teorema de la Probabilidad Total • Sean los sucesos A1,..., An tales que, forman una partición del espacio muestral E, (es decir, son incompatibles dos a dos y su unión es E). Sea B un suceso cualquiera de y supongamos conocidas P( Ai ) y P B Ai i 1,... n , entonces: P(B) = P(A1)P(B/A1) + ... + P(An)P(B/An) Tenemos que: B = B E = B (A1 A2 ... An) B = (A1 B) (A2 B) ... (An B) Veamos esto a continuación en un gráfico: 42
Gráfico del Teorema de la Probabilidad Total B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)
A1
A2
A3
An-1
An
B
43
Demostración: B = (A1 B) (A2 B) ... (An B) Sucesos incompatibles • Por el axioma (A3): P(B) = P(A1 B) +...+ P(An B) • Y utilizando la definición de probabilidad condicionada tenemos: P(B) = P(B/A1)P(A1) + ... + P(B/An)P(An)
44
Problema 14 Se sacan a la vez dos cartas de una baraja espa帽ola y a continuaci贸n se lanza un dado por cada carta de oros que hubiera salido. a) Calcular la probabilidad de que los dados sumen cuatro puntos. b) Sabiendo que el n煤mero total de puntos sobre la mesa es 4, calcular la probabilidad de que se hubiera sacado s贸lo una carta de oros.
45
Problema 13
13
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2.6. Teorema de Bayes • En las hipótesis del teorema anterior, las probabilidades "a posteriori" esto es, para un cierto suceso Aj la P(Aj/B) j=1,2, …,n son iguales a: P( A j /B) =
P(B/ A j )P( A j )
n
¦ P(B/ A i )P( A i ) i=1
resultado que se conoce como: Teorema de Bayes 47
Demostración: Utilizando la definición de probabilidad condicionada y el Teorema de la Probabilidad Total tenemos:
P( A j B) P(B/ A j )P( A j ) P( A j /B) = = n P(B) ¦ P(B/ Ai )P( Ai ) i=1
48
13
49
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA OBTENCIÓN DE LA MUESTRA
TEORÍA DE MUESTRAS
TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
PLANTEAMIENTO DEL MODELO
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
ESTIMACIÓN Y CONTRASTE
INFERENCIA ESTADÍSTICA
CRÍTICA DE RESULTADOS
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