Saber de Matemática 7 Primer año de secundaria Agradecimientos: Queremos agradecer a todos nuestros maestros y compañeros de trabajo que nos permitieron compartir ideas, ponerlas en práctica ayudándonos a mejorarlas y enriquecerlas con sus reflexiones permanentes. Entre ellos al equipo de matemática de CePa (Escuela de Capacitación Docente Centro de Pedagogías de Anticipación), del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires; a nuestras/os compañeras/os del Equipo Técnico Central y Regional de la Dirección de Capacitación de la Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires; y especialmente a Ana Lía Crippa, quien nos dio la oportunidad de crecer en la escritura.
Vergara, Maria Elina Saber de matematica 7 / Maria Elina Vergara y Graciela Bellome. - 1a ed. Buenos Aires : Ediba, 2013. 232 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-987-583-356-2 1. Material Auxiliar para la Enseñanza. 2. Matemática. I. Bellome, Graciela II. Título CDD 371.33
Fecha de catalogación: 14/11/2012 Copyright © 2013 Ediba Ediba Libros S.A Forest 579. Ciudad de Buenos Aires E-mail: libros@edibalibros.com.ar Tel: 4554 7577 Se terminó de imprimir en el mes de enero en Casano Grafica, Ministro Brin 3932, Remedios de Escalada, Buenos Aires. Argentina Libro de edición argentina. Todos los derechos reservados. Queda hecho el depósito que establece la Ley 11.723. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización u otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor.
Staff Dirección editorial Gustavo F. Iaies Gonzalo Álvarez Coordinadores Luis Quevedo Raúl Sánchez Coordinador autoral Luis Baraldo Autoras María Elina Vergara Graciela Bellome Colaboradores María de los Ángeles Zuvialde Daniela Isla Zuvialde Amalia Inés Casetta María Julia Améndola María Carmen Quercia Edición Graciela Cappelletti Diseño y diagramación Halabi Diseño Imágenes Ediba Libros Corrección Laura González
¿Cómo está organizado este libro? El libro presenta una estructura en la que se parte de una actividad del contexto matemático que genera un problema para resolver. Luego se complejiza, hasta acordar un modo de institucionalizar la información que se construye. Cada capítulo cierra con propuestas de sistematización de lo aprendido y una propuesta de actividades de extensión. Se presentan 7 unidades para el trabajo.
Se mencionan en detalle los contenidos que propone la unidad.
Se presentan los temas a abordar formulados en términos de contenidos disciplinares.
Una invitación en cada apertura de unidad a revisar lo aprendido durante el capítulo, donde los alumnos tienen que señalar aquello que fueron logrando.
Cada unidad comienza con una apertura, donde se plantea la situación a analizar brindando un contexto matemático. Se presentan glosarios y plaquetas informativas.
El libro posee distintas secciones Lo acordamos entre todos Secciรณn que tiene como propรณsito institucionalizar aquello que se viene trabajando en el desarrollo de la unidad a partir de las actividades que se proponen.
Actividades Contiene propuestas para resolver tanto en el marco de la clase como extraescolarmente.
Recreo matemรกtico Nuclea actividades vinculadas con los contenidos pero no tan cercanas a las prรกcticas habituales de la escuela, de modo de brindar oportunidades para realizar actividades de extensiรณn.
Para sistematizar lo aprendido Presenta actividades de cierre que recuperan lo trabajado durante la unidad.
ÍNDICE
Unidad 1 | Organización del sistema decimal de numeración
8
Registro de información. Comparación de cantidades. Actividades Relaciones de orden. Actividades Composición y descomposición en potencias de 10: equivalencias. Actividades Sistema sexagesimal. Actividades Para sistematizar lo aprendido. Actividades Recreo matemático
10 17 26 30 33 36
Unidad 2 | El conjunto de los números naturales
38
Algoritmos de las operaciones y estrategias de cálculo con números naturales Actividades Cuadrados, cubos y raíces cuadradas exactas de números naturales. Actividades Uso de la calculadora. Actividades Múltiplos y divisores comunes. Actividades Para sistematizar lo aprendido. Actividades Recreo matemático
40 51 55 57 69 73
Unidad 3 | Fracciones y expresiones decimales
74
En el contexto de la medida. Actividades Repartir con fracciones. Actividades Las fracciones como cociente entre dos números. Actividades Las fracciones para establecer proporciones de porcentaje y velocidad. Actividades Representación de los números racionales. Actividades Operaciones con fracciones. Actividades Operaciones con expresiones decimales. Actividades Densidad de los números racionales positivos. Actividades Expresiones decimales finitas y periódicas. Actividades Para sistematizar lo aprendido Recreo matemático
76 85 89 90 92 94 103 106 108 110 111
Unidad 4 | Álgebra y las funciones
112
Sistemas de coordenadas y leyes de correspondencia. Actividades ¿Qué sucede si cambiamos la unidad? Actividades Proporcionalidad. Actividades Escalas. Actividades Porcentajes. Actividades Proporcionalidad inversa. Actividades Para sistematizar lo aprendido Recreo matemático
116 123 131 135 135 136 138 139
Unidad 5 | Las prácticas geométricas
140
Circunferencias, círculos y mediatrices. Actividades Estudiamos los triángulos. Actividades Clasificación de triángulos. Actividades Estudiamos los cuadriláteros. Actividades Cuerpos geométricos. Actividades Para sistematizar lo aprendido
143 150 152 159 169 179
Unidad 6 | El proceso de medir
180
Otras unidades para medir superficies. Actividades Estimamos y medimos volúmenes de cuerpos. Para sistematizar lo aprendido. Actividades Recreo matemático
184 197 204 211
Unidad 7 | Estadística en todas partes
212
Recolectamos y organizamos datos. Actividades ¿Qué es el porcentaje? Actividades La estadística en gráficos. Actividades Para investigar con la planilla de cálculo. Actividades Estudiamos probabilidades. Actividades Cálculo de probabilidad. Actividades Para sistematizar lo aprendido Recreo matemático
214 216 217 220 224 226 228 229
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 11:59 Página 112
s alg sione
cas
ebrai
Expre
Álgebra y las
funciones
4
UNIDAD Álgebra y funciones
s coordenada Sistemas de a ci n e d n rrespo y leyes de co Repre se geom ntación en etría d inámi ca Rel a pro ciones por de Esc ala cional sy por idad d cen i taje recta Re pr laci op on or es cio de na lid ad in ve rsa
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 11:59 Página 113
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
Recordemos qué significa que un número sea múltiplo de otro y qué significa que un número sea divisor de otro…
Actividades 1. El resultado de la suma de dos números múltiplos de 7: a) ¿Es múltiplo de 7? Expliquen cómo lo pensaron.
b) Propongan dos ejemplos diferentes en los cuales la afirmación realizada en el punto a) sea sea verdadera.
En esta unidad nos proponemos que puedan: Conocer las relaciones de proporcionalidad.
c) ¿Es suficiente con poner algunos ejemplos para estar seguros de que la respuesta a a) se cumple para todos los casos? ¿Por qué?
d) Propongan dos ejemplos más en los que siga siendo verdadera la afirmación realizada en el punto a). ¿Es suficiente con poner muchos más ejemplos? ¿Por qué?
2. Un estudiante de escuela secundaria escribió lo siguiente:
..................... ..................... .....................
Analizar la variación de perímetros y áreas en función de la variación de diferentes dimensiones de figuras. Conocer el uso de tablas y gráficos cartesianos.
..................... ..................... .....................
..................... ..................... .....................
7 x a es múltiplo de 7. Expliquen con sus palabras lo que está expresado en símbolos, como en el ejemplo anterior. 7xb (7xa) + (7xb) 7 x (a+b)
Conocer las expresiones algebraicas.
..................... ..................... .....................
(7xa) + (7xb) = 7 x (a+b)
3. Decidan si es cierta la siguiente afirmación: “La suma de tres números naturales consecutivos da como resultado un múltiplo de 3” (sugerencia: para obtener un número consecutivo de otro, hay que sumarle uno. Por ejemplo el consecutivo de 5 es 6, porque 5 + 1 = 6).
4. Decidan si las siguientes afirmaciones son ciertas: a) “La suma de cuatro números naturales consecutivos da como resultado un múltiplo de cuatro”.
b) “La suma de tres números naturales impares consecutivos da como resultado un múltiplo de 3”.
113
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 11:59 Página 114
Lo acordamos entre todos Para decidir si una afirmación es verdadera no alcanza con poner algunos ejemplos en los que se verifique su veracidad. Deberíamos tener que probar con todos los ejemplos. Pero como muchas veces es imposible, entonces es necesario hacerlo a través de formas particulares que tiene la matemática de presentar la información, y así tomar decisiones apropiadas. De esa manera podremos buscar soluciones más económicas y justificar procedimientos de una manera más sencilla. En cambio, si una afirmación no se cumple para determinado caso, es suficiente con presentarlo para decidir que dicha afirmación no es cierta. A dicho caso se le da el nombre de “contraejemplo”. Una forma particular de la matemática para mostrar la información es con el lenguaje simbólico. En él, se combinan letras y números, expresando la identificación de las cantidades y las relaciones que existen entre ellas. Las propiedades que se utilizan permitirían decidir la veracidad de las afirmaciones para cualquier valor que se quiera.
Actividades 5. Decidan si la siguiente afirmación es cierta: “Siempre que sumen a un número natural su doble, más su triple, más su cuádruple, el resultado es un número que termina en cero”.
6. Para decidir la veracidad de la afirmación anterior, ¿qué propiedades de las operaciones con números naturales utilizaron?
7. Álvaro construye diferentes rectángulos. Todos tienen 36cm2 de área. a) Completen la siguiente tabla con los valores correspondientes:
Longitud de la base
114
Longitud de la altura
Área
36cm
36cm2
18cm
36cm2
9cm
36cm2
6cm
36cm2
4cm
36cm2
2cm
36cm2
1cm
36cm2
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:00 Página 115
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
8. ¿Cuál será el área de los rectángulos si cada altura es el doble de las alturas del ejercicio anterior? Completen la siguiente tabla:
Longitud de la base (en cm)
Longitud de la altura (en cm)
Área (en cm2)
¿Qué relación existe entre el área del nuevo rectángulo y la del rectángulo original?
9. ¿Cuál será el área de un rectángulo cuya base sea el doble de la base del rectángulo que construyó Álvaro? ¿Qué relación existe entre el área del nuevo rectángulo y la del rectángulo original?
10. ¿Cuál será el área de un rectángulo cuya base sea el doble de la base del rectángulo que construyó Álvaro y cuya altura sea el triple de la altura del rectángulo original? ¿Qué relación existe entre el área del nuevo rectángulo y la del rectángulo original?
a) Si el área de un rectángulo es de 1.834, y se duplica su base, ¿cuánto vale el área del nuevo rectángulo? En cambio, si se duplicara su altura, ¿cuánto valdría el área del nuevo rectángulo? Y si se duplicara la altura y la base ¿cuánto valdría el área del nuevo rectángulo? b) Si el área de un rectángulo de base b y altura h fuera A, ¿cuánto valdría el área del rectángulo que resulta de duplicar su base? ¿Y si, en cambio, se duplicara la altura? ¿Y si se duplicaran ambas? Y si se triplicara la altura, ¿qué sucedería con el área?
115
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:00 Página 116
SISTEMAS DE COORDENADAS Y LEYES DE CORRESPONDENCIA Actividades 11. Un tren se mueve siempre en línea recta en la dirección este-oeste. Sale de la estación A y avanza hacia el este 4 estaciones y se detiene, en la estación Malal. Luego, continúa su recorrido en la misma dirección y avanza 3 estaciones más y se detiene en la estación Sapito. Por último, regresa hacia la estación A, pero luego de recorrer 5 estaciones se detiene en la estación Lirios. Todas las estaciones están entre ellas a la misma distancia. Representen, en la siguiente recta numérica, los puntos que indican las estaciones que recorre el tren, y asígnenle a la estación A el origen 0.
a) ¿Qué números le asignarían a cada estación?
b) ¿Qué número queda asignado a la estación en la que se detiene finalmente el tren?
c) ¿Por qué creen que resulta muy natural que a la estación desde la que parte el tren se la represente con el 0?
12. Bruno necesita indicarle por teléfono a su compañero Franco en qué lugar de su hoja de carpeta tiene señalado un punto azul por su profesor, de manera que Franco pueda marcarlo en el mismo lugar y que, cuando superpongan las hojas, los puntos coincidan. ¿Qué indicaciones creen que pudo darle Bruno a Franco por teléfono para que la construcción sea exitosa?
116
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:00 Página 117
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
Lo acordamos entre todos En ambos ejercicios resulta necesario considerar un origen y un segmento unidad. Mientras que en el ejercicio 11 el origen y el segmento unidad son construidos sobre una recta, en el ejercicio 12 se hace necesario trabajar en el plano representado, en este caso, por la hoja. En el ejercicio 11, el origen está dado por la estación desde la que parte el tren, y el segmento unidad está dado por la distancia que separa a cada una de las estaciones. En el ejercicio 12, la consideración tanto del origen como del segmento unidad quedan a cargo de Bruno y de Franco. Es decir, ellos deberían acordar cuál será el origen y el segmento unidad. Pero existe una herramienta matemática, el sistema de coordenadas cartesianas, que nos permite resolver este tipo de problemas sin ambigüedades. Para ello es necesario considerar dos semirrectas perpendiculares. De cada una de ellas hacemos una recta numérica, tal que el 0 coincide con el punto de intersección de ellas, y tomamos un segmento unidad para las dos semirrectas (por ahora, el mismo).
Actividades 13. Veamos un ejemplo en la pantalla Geometría dinámica (GeoGebra):
Al punto A le hacemos corresponder dos coordenadas: el primer número representa la distancia de A al eje vertical, en este caso: 3; y el segundo número corresponde a la distancia de A al eje horizontal, en este caso: 2. Así, las coordenadas del punto A, en el programa GeoGebra, se escriben (3,2). Aunque cuando lo hacemos en la hoja de papel, acordamos escribir (3;2), aunque cuando lo hacemos en la hoja de papel, acordamos escribir (3;2). 117
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:00 Pรกgina 118
Actividades 14. Dados los siguientes puntos, indiquen cuรกles son sus coordenadas. Pueden escribirlas al costado de cada uno de los puntos. 8
y R
6
4 P M
2
N Q
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
15. Ubiquen, en el siguiente sistema de coordenadas, los puntos: A = (2;4)
8
C = (0;4)
E = (2;0)
G = (1/2;4)
y
6
4
2
x
0 0
118
2
4
6
8
10
12
14
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:00 Pรกgina 119
SABER DE MATEMร TICA I Unidad 4
Veamos cรณmo se hace en GeoGebra: En el campo de entrada escribimos: A = (2,4)
Luego damos el enter y el punto aparece en la vista grรกfica y en la vista algebraica
Representen los mismos puntos, en la pantalla del GeoGebra. 16. Ubiquen, en un sistema de ejes cartesianos, los siguientes puntos. Pueden resolverlo usando, si quieren, el programa de GeoGebra. 8
y
6
4
2
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
119
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 120
Actividades 17. Ubiquen, en el sistema de ejes cartesianos, seis puntos que tengan la primera coordenada igual a cuatro. Si quieren pueden usar el programa de GeoGebra. 8
y
6
4
2
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
a) ¿Cuántos hubieran podido marcar?
b) ¿Qué características observan una vez ubicados los puntos en el sistema de coordenadas?
18. Ubiquen, en el siguiente sistema de ejes cartesianos, seis puntos que tengan la segunda coordenada igual a 5. 8
y
6
4
2
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
a) ¿Cuántos hubieran podido marcar?
b) ¿Qué características observan una vez ubicados los puntos en el sistema de coordenadas?
120
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 121
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
19. Ubiquen, en el sistema de ejes cartesianos, cuatro puntos en los que se verifique que la segunda coordenada sea el doble de la primera. Si quieren pueden usar el programa de GeoGebra.
8
y
6
4
2
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
a) ¿Cuántos hubieran podido marcar?
b) ¿Qué características observan una vez ubicados los puntos en el sistema de coordenadas?
El punto (5;9) ¿cumple con la característica señalada?
El punto (12;6) ¿cumple con la característica señalada?
El punto (2,5;5) ¿cumple con la característica señalada?
c) Completen la línea punteada con una expresión que permita reconocer que el punto que se representa cumple con la condición de que la segunda coordenada sea el doble de la primera. A = (x; ………) B = (…….; y)
121
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 122
Actividades 20. Ubiquen, en el sistema de ejes cartesianos, cuatro puntos en los que se verifique que la segunda coordenada sea la tercera parte de la primera. Si quieren pueden usar el programa de GeoGebra.
8
y
6
4
2
x
0 0
2
4
6
8
10
12
14
a) ¿Cuántos hubieran podido marcar?
b) ¿Qué características observan una vez ubicados los puntos en el sistema de coordenadas?
El punto (5;1) ¿cumple con la característica señalada?
El punto (12;4) ¿cumple con la característica señalada?
El punto (15,3;5) ¿cumple con la característica señalada?
c) Completen la línea punteada con una expresión que permita reconocer que el punto que se representa cumple con la condición de que la segunda coordenada sea la tercera parte de la primera. A = (x; ………) B = (…….; y) 122
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 123
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
¿QUÉ SUCEDE SI CAMBIAMOS LA UNIDAD? Actividades 21. Ubiquen en la vista gráfica del programa GeoGebra los siguientes puntos y únanlos usando la “herramienta polígonos”.
22. Sigan las siguientes instrucciones: 1. Párense en la vista gráfica y hagan click en el botón derecho. 2. Se despliega un menú; hagan click con botón izquierdo en el renglón que dice: vista gráfica. 3. Se despliega una pantalla y en el renglón que dice: Eje x: Eje y = 1 1 cambien el primer valor por 2, hagan click en CIERRE y observen qué sucede con la figura. 4. Repitan los pasos anteriores, cambien el primer valor por 4, hagan click en CIERRE y observen qué sucede con la figura. 5. Repitan los pasos anteriores, cambien el segundo valor por 2, hagan click en CIERRE y observen qué sucede con la figura. 23. En el ejercicio anterior, han observado que se produjeron algunos cambios en la figura. ¿Por qué creen que sucedió lo que observaron?
a) ¿Qué cambiarían para que la unidad tomada en el eje “x” sea cuatro veces mayor que en el eje “y”?
b) ¿Qué cambiarían para que la unidad en el eje “y” sea la mitad que en el eje “x”?
123
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 124
Lo acordamos entre todos En el ejercicio 7, hemos construido lo que se llama una tabla de valores, en la que representamos en la primera columna la longitud de la base y en la segunda columna la longitud de la altura de los rectángulos cuya área es igual a 36cm2. Es decir que los pares de valores correspondientes (36;1), (18;2), etc. justamente representan los pares de valores de las longitudes de la base y de la altura que se corresponden para que el área se mantenga igual a 36cm2. Se dice que las variables que se relacionan en este caso son: la longitud de la base y la longitud de la altura de los rectángulos cuya área es de 36 cm2.
Actividades 24. Dada la siguiente representación, les pedimos que completen la tabla de valores según corresponda:
y
3
2
1
x
0 0
1
X
2
3
Y
0 2 4 7 3
124
4
5
6
7
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:01 Página 125
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
25. El siguiente gráfico aparece en la carpeta médica de un paciente que está intentando adelgazar. Representa la variación del peso del paciente a medida que transcurre el tiempo a lo largo de su tratamiento.
y kilos s
60
40
20
meses s 0
2
4
6
8
10 0
12 2
14 4
16 6
18 8
20
22 2
x
a) ¿Qué representa el eje de las abscisas?
b) ¿Qué representa el eje de las ordenadas?
c) Elijan tres puntos del gráfico, indiquen sus coordenadas y digan qué indican.
d) ¿En qué momento del tratamiento el paciente tuvo su peso máximo? ¿Cuál fue?
e) ¿Con qué peso entró el paciente al tratamiento?
f) ¿Qué ocurrió con el peso del paciente los dos primeros meses de tratamiento?
g) ¿Qué pueden decir de la evolución del tratamiento entre los meses 14 y 16?
h) ¿Qué pueden decir de la evolución del tratamiento del mes 18 en adelante?
125
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 126
Actividades 26. La siguiente representación indica los cambios que se producen en un fenómeno. Imaginen una historia que se pueda representar con esa gráfica y escríbanla. Luego, formulen tres preguntas que se puedan responder a partir de la interpretación del gráfico.
y
x
0 0
126
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 127
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
27. A continuación presentamos una gráfica en la que se indica la cantidad de personas que asisten a un centro médico en los distintos meses del año.
y
150
100
50
0 0
2
4
6
8
10
12
x
a) ¿Qué representa el eje de las abscisas?
b) ¿Y el de las ordenadas?
c) ¿En qué meses concurrió la menor cantidad de personas?
d) ¿Y la máxima cantidad?
e) ¿En qué meses se mantuvo constante la asistencia de pacientes al centro?
f) ¿Por qué creen que no se unieron los puntos?
127
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 128
Lo acordamos entre todos En los ejercicios 24 y 26 se relacionaron pares de variables en los que se pueden analizar algunas cuestiones: - Se puede identificar que en cada caso una de las variables puede modificarse arbitrariamente. A dicha variable se le da el nombre de variable independiente. Así, en ambos ejercicios, la variable independiente está representada por los meses. La variable que depende del valor que toma la variable independiente recibe el nombre de variable dependiente. - A diferencia de lo que ocurre en el gráfico que representa la relación de las variables en el ejercicio 24, en el ejercicio 26 los puntos que se corresponden en la relación no están unidos. Ello se debe a que entre los valores enteros que puede tomar la variable dependiente no existen otros valores. Es decir, no podemos pensar en “5,6743 personas que concurren al centro médico”. A este tipo de variables, o sea aquellas que sólo pueden tomar valores enteros, se les da el nombre de variables discretas; y ello nos impide unir los puntos con un trazo. Sin embargo, en el ejercicio 24 los puntos aparecen unidos, dado que se están representando no sólo los valores enteros que toma la variable dependiente, sino también los valores “que están entre” dos de ellos.
Actividades 28. Dados los siguientes pares de variables, indiquen en cada caso cuál es la variable independiente, cuál es la dependiente e identifiquen si se trata de variables discretas o continuas.
a) Edad y peso de una persona.
b) Cantidad de paquetes y cantidad de figuritas.
c) Edad y número de calzado de una persona.
d) Edad de una persona y cantidad de ml de antibiótico que debe tomar.
128
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 129
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
29. El siguiente gráfico representa el recorrido que hace un estudiante, cada día, desde su casa hasta la escuela y el gimnasio: Primer día: 15
kilómetros de distancia a la casa
10
5
horas del día 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
18
Segundo día: 15
kilómetros de distancia a la casa
10
5
horas del día 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
18
a) Relaten qué pasó cada día, sabiendo que la escuela está a menos km de distancia de la casa que el gimnasio.
b) ¿Qué pueden decir de lo que ocurre el segundo día a las 17 horas? ¿Cómo pueden interpretar ese gráfico?
129
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 130
Actividades 30. El siguiente gráfico representa la cantidad de litros de nafta que tiene un vehículo en su tanque y la cantidad de km que recorrió el auto desde la casa.
cantidad de litros de nafta en el auto
50
40
30
20
10 km de distancia de su casa
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
x
900
a) ¿Cuántos litros de nafta tenía el vehículo cuando salió de su casa?
b) ¿Cuántos litros tenía luego de recorrer 150km?
c) ¿Cuántos litros tenía cuando recorrió 300km?
d) ¿Qué significa la línea vertical que hay a los 300km, a los 600km y a los 800km?
31. Entre los ejercicios 28 y 29, se presentaron tres gráficos con características diferentes. Observen los gráficos y tachen lo que no corresponda: El gráfico del segundo día del ejercicio 29 presenta la relación entre dos variables en las que algunos valores que toma la variable independiente se relaciona con: un único valor/más de un valor de la variable dependiente. Sin embargo, en el gráfico que corresponde al primer día del ejercicio 29 se observa que a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor/más de un valor de la variable dependiente. En este caso decimos que la relación recibe el nombre de función.
130
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:02 Página 131
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
32. Escriban en el siguiente recuadro la definición de función:
PROPORCIONALIDAD Relaciones de proporcionalidad directa
Actividades 33. Analía festejará su cumpleaños el próximo sábado. Fue al supermercado para comprar algunas provisiones. Llevó 4 cajas de hamburguesas y pagó $60. Si no le hicieron ningún tipo de descuento: a) ¿Cuántas cajas de las mismas hamburguesas habrá comprado su mamá si pagó $120?, ¿y si pagó $240?
b) Su hermano compró 2 cajas de las mismas hamburguesas, ¿cuánto habrá pagado? Además, para agasajar a sus amigos Analía hará una torta. La receta que tiene es para 8 porciones y los ingredientes que indica son: Yemas, 3. Harina, 50g. Azúcar, 120g. Jugo de naranja, 1/3 taza. Ralladura de naranja, 3 cucharadas. Manteca, 80g. Fécula de maíz, 150g. Claras, 3. c) ¿Qué cantidad de azúcar y de manteca necesitará para que la receta le salga exactamente igual pero que rinda 20 porciones?
d) Para saber cuánto jugo de naranja necesitaría para las 20 porciones, Analía hizo esta cuenta: 1 1 1 + + :2= 3 3 3 ¿Cómo lo pensó?
e) Si tiene 1 taza de jugo de naranja, ¿es cierto que puede hacer una torta de 24 porciones? Expliquen por qué.
131
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:03 Página 132
Actividades 34. La siguiente tabla muestra el peso de Álvaro a lo largo de distintos años: Edad en años Peso en kilogramos
1
3
4
6
7,3
10,5
13
18
¿Pueden decir cuál será el peso de Álvaro a los 20 años? Un alumno de otro curso pensó así: “Si para pasar de 1 año a 20 años multiplico por 20, para encontrar el peso, hago 7,3 x 20= 146kg”. ¿Es correcto el razonamiento de este alumno? ¿Por qué?
Lo acordamos entre todos Si analizamos la tabla del problema, vemos que al triple de la edad no le corresponde el triple del peso. Entre estas dos magnitudes no hay proporcionalidad. Por lo tanto, no podemos resolver el problema. No siempre entre dos cantidades hay proporcionalidad directa. Para poder aplicar los procedimientos aprendidos debemos analizar primero si existe o no proporcionalidad directa.
Actividades 35. En dos librerías del barrio se venden cuadernos de 24 hojas a distintos precios. Las siguientes tablas muestran la relación que existe entre la cantidad de cuadernos y los precios, en ambas librerías. Los cuadernos son de la misma marca y las librerías no hacen ningún tipo de descuento. Librería 1 Cantidad de cuadernos Precio
11
12
15
9
47,3
51,6
………….
………….
21
24
22
………….
99
76,5
Librería 2 Cantidad de cuadernos Precio
132
94,5
………….
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:03 Página 133
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
Completen las dos tablas y expliquen cómo lo hicieron.
¿En cuál de las librerías conviene comprar? ¿Por qué?
Para resolver este problema Agustín pensó lo siguiente: “Para conocer el precio de un cuaderno calculo: 47,3 : 11 = 4,3; 51,6 : 12 = 4,3; 64,15 : 15 = 4,3. Decimos que 4,3 es la constante de proporcionalidad”. Para la librería 2, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué representa ese valor?
En la tabla del problema 34 (el que tiene la tabla con el peso de Álvaro), ¿podrán encontrar una constante de proporcionalidad? ¿Por qué?
Lo acordamos entre todos Cuando entre dos cantidades hay proporcionalidad directa, hay un número llamado constante de proporcionalidad que permite pasar de una cantidad a otra.
133
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:03 Página 134
Actividades 36. En un supermercado, 6 paquetes de salchichas cuestan $75. En otro supermercado, 9 paquetes de las mismas salchichas cuestan $103,5. a) ¿Dónde conviene comprar? ¿Por qué?
b) Si se compran todos los paquetes en el mismo supermercado y se abona $250, ¿en cuál de los supermercados se compró?
37. Una máquina consume 30 litros de combustible en 6 horas. El gasto de combustible por hora es siempre el mismo. Martín quiere saber cuánto combustible consumiría en 15 minutos. Para averiguarlo pensó:
Tiempo de funcionamiento
Litros que consume
6
x5
30
15
x5
75
Martín sacó como conclusión que consumiría en 15 minutos 75 litros. ¿No les parece rara la respuesta? ¿Ustedes qué piensan? Justifiquen la respuesta.
134
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:03 Página 135
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
ESCALAS Actividades 38. Los chicos quieren hacer el plano de la pileta del club que está cerca de la casa de Agustín. Decidieron representar, con 1cm, 10 metros de la realidad. a) La pileta es rectangular de 24m de largo por 40m de ancho. ¿Cuál será la longitud que deberán darle en el plano al largo y al ancho de la pileta? b) En otro plano de la misma pileta que encontraron los chicos, la pileta dibujada tenía 12cm de largo. En este plano, ¿con cuántos cm se representó 1m de la realidad? 39. En un mapa de la República Argentina, 1cm representa 60km. Entre las ciudades de Mendoza y Posadas hay 1.833km. ¿Cuál es la distancia que hay entre ellas en el mapa? En el problema 38, decimos que 1cm en el papel representa 1.000cm de la realidad; es decir, hemos elegido una escala. La escala usada se simboliza 1:1.000 o bien 1/1.000. En este problema, 1cm en el mapa representa 6.000.000cm en la realidad. En este caso la escala es 1: 6.000.000.
Lo acordamos entre todos Una escala es una relación de proporcionalidad directa. Si un dibujo está hecho en una escala 1:100 significa que 1cm en el papel representa 100cm en la realidad. Si el dibujo es de un mapa, 2cm en el mapa representan 200cm en la realidad; 5cm del mapa representan 500cm de la realidad, etc. Si no se indica la unidad con la que se mide la longitud es porque se está usando la misma unidad. En los casos que trabajamos hasta ahora, la unidad es el cm.
PORCENTAJES Actividades 40. En un curso de 32 alumnos, el preceptor le dice al profesor de matemática que faltó la cuarta parte del curso. El profesor pregunta por qué han faltado tantos chicos y dice: “¡El 25% es mucho!”. ¿Piensan ustedes que el preceptor y el profesor de matemática tienen distinta información? ¿Por qué? ¿Qué significa 25%? Si la cantidad de alumnos fuera 100, ¿cuántos hubiesen faltado? ¿Y si fuesen 80? ¿Y si fuesen 40?
135
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:03 Página 136
Actividades 41. Un comerciante tiene una ganancia del 20% sobre el precio de costo de los productos que vende. Para saber a cuánto debe vender un producto que le costó $120, hace esta cuenta: 120x20:100 + 120. Su empleado, en cambio, hace 120x120:100 ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
42. Un cuadrado tiene 10cm de lado. Si se aumenta en un 15% la longitud del lado, ¿en qué porcentaje aumenta el área? ¿El perímetro aumenta el mismo porcentaje? Justifiquen la respuesta.
Lo acordamos entre todos El tanto por ciento (%) indica “cuántos de cada 100”. Calcular el n% de un número A significa multiplicar el número A por la fracción n/100.
PROPORCIONALIDAD INVERSA Actividades 43. En un negocio que vende productos de limpieza sueltos, quieren envasar 120 litros de cloro utilizando recipientes de distinta capacidad. a) ¿Cuántos envases se necesitan si cada uno tiene 10 litros de capacidad? b) Si se utilizan 6 envases, ¿cuál es la capacidad que tiene cada uno? c) Les pedimos que vuelquen en la tabla los valores hallados en a) y en b) y que completen los restantes.
136
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:04 Página 137
SABER DE MATEMÁTICA I Unidad 4
X (litros)
Y (envases)
10 5 6 40 2,5 16 d) Representen gráficamente en un sistema de ejes cartesianos los valores obtenidos en la tabla anterior. Si quieren, pueden hacerlo usando el programa GeoGebra. Observamos que en esta tabla se cumple: 1. A la mitad de una cantidad de la columna de la izquierda (litros) le corresponde el doble de la cantidad de la columna de la derecha (envases). 2. A la cuarta parte de una cantidad de la columna de la izquierda (litros) le corresponde el cuádruple de la cantidad de la columna de la derecha (envases).
Lo acordamos entre todos Dadas dos cantidades que están relacionadas entre sí, si al dividir a una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número, decimos que entre ambas existe proporcionalidad inversa. En la proporcionalidad inversa, el producto entre dos cantidades que se corresponden es constante.
137
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:04 Página 138
PARA SISTEMATIZAR LO APRENDIDO
1. Paula va al supermercado a comprar galletitas. Allí debe decidir entre dos paquetes de igual calidad, pero de marca, precio y cantidad diferentes. Uno contiene 250 gramos y cuesta $4,50; el otro, 350 gramos y cuesta $5,25. Quiere llevar el que sea más económico pensando en precio y cantidad, ¿cuál debería elegir y por qué? 2. El importe de una boleta de gas es de $132,75. El padre de Alejandra realizó el pago fuera de término este mes y tuvo que abonar finalmente $155,30. ¿Cuál es el porcentaje de recargo que le cobraron? 3. El perímetro de una ventana rectangular es de 8 metros. Sabemos que su ancho representa el 15% de su largo, ¿qué superficie vidriada tendría esta ventana? 4. Si aumento el precio de un artículo un 15% y, a continuación, lo aumento un 10%, ¿aumentó un 25%? (pueden trabajar con algunos ejemplos y luego generalizar para un precio cualquiera). 5. Tres tractores cortan el césped de la cancha de Boca en 4 horas. Dentro de 1 hora empieza el partido, ¿cuántos tractores se necesitarían como mínimo para llegar a tiempo con el campo de juego en condiciones para el partido? 6. Patricia tarda 36 minutos en ir en bicicleta a lo de Paula, yendo a 15km/h. ¿Cuánto tardaría si fuese a 17km/h? Y si quisiera llegar en exactamente media hora, ¿a qué velocidad debería ir? 7. Decidan si la proporcionalidad entre las siguientes magnitudes es directa, inversa o ninguna de las dos anteriores. a) Peso de los fideos que se precisan para hacer un guiso y número de comensales. b) Peso de los fideos que se precisan para hacer un guiso y tiempo de cocción (en cocina convencional, no en microondas). c) El área de la base y la altura de todos los cilindros de volumen 15cm3. d) La base y la altura de todos los rectángulos de área 10cm2. 8. Realicen un gráfico que describa la siguiente situación, indicando en cada uno de los ejes las variables que están utilizando. Un colectivo sale de la terminal para iniciar su recorrido. Tarda una hora en hacer los primeros 20 kilómetros, luego se encuentra con un piquete y debe permanecer detenido por 15 minutos. Durante la siguiente hora aumenta su velocidad ya que va retrasado. A las 3 horas de haber salido de la terminal finaliza su viaje y regresa hacia la terminal con una marcha bastante más lenta, ya que su trabajo ha culminado. 9. Propongan dos relaciones entre variables donde una de ellas represente una función y la otra no. Expliquen por qué ocurre eso. 10. Indiquen si las siguientes frases son verdaderas o falsas y justifiquen su respuesta: a) Dos rectángulos de igual área siempre tienen el mismo perímetro. b) Trabajando con un rectángulo nunca podremos generar, a partir de éste –recortando alguna porción del mismo–, una nueva figura que tenga menor área que el rectángulo original y mayor perímetro. c) Trabajando con un rectángulo podremos generar, a partir de éste –recortando alguna porción del mismo– una nueva figura que tenga menor área que el rectángulo original y mayor perímetro. d) Dos círculos de igual perímetro pueden tener distinta área. 138
MATE_UNIDAD 4 CORRECCION FINAL:Layout 1 12/09/2013 12:04 Página 139
RECREO MATEMÁTICO
Observen este diseño de alfombra
Glosario del capítulo Les proponemos, en pequeños grupos, hacer una descripción de términos aprendidos en este capítulo. Comenzamos por: • Contraejemplo.
a) ¿Cuántas estrellas deberá tener una alfombra que tenga el mismo diseño pero repitiéndose 3 veces, como muestra la figura:
b) ¿Y si se repitiera 15 veces? c) ¿Cuántas veces se habrá repetido el diseño si en total se usaron 128 estrellas?
139