ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ
ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ :ﻋﻠﻢ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﺔ -ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
1-1ﻤﻘﺩﻤﺔ :ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ )(Physical Quantities ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻬﺘﻡ ﺒﻜل ﻤﺎﻓﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻅﻭﺍﻫﺭ ﻭﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﺤﻭﺍﺩﺙ ،ﻓﻴﺼﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻴﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺎﻭل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺃﺴﺒﺎﺒﻬﺎ ﻭﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ﻭﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ. ﻭﻫﻭﻋﻠﻡ ﻗﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ،ﻓﻜل ﻤﺎﻨﻌﺭﻓﻪ ﻋﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻤﻥ ﺤﻭﻟﻨﺎ ﻭﺍﻟﻘﻭﺍﻋﺩ ﻭﺍﻟﻨﻅﻡ ﺍﻟﺘﻲ
ﺘﺘﺤﻜﻡ ﺒﻪ ﻟﻴﺱ ﺇﻻ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﻭﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﺒﺸﺭ ﻟﻠﻅﻭﺍﻫﺭ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﺘﻔﺴﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ
ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺘﻭﻀﻊ ﻟﻭﺼﻑ ﺃﻭ ﺘﻌﻠﻴل ﺃﻱ ﻅﺎﻫﺭﺓ ﻻﺒﺩ ﻭﺃﻥ ﺘﺨﻀﻊ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﺃﻭ ﺒﻁﻼﻨﻬﺎ .ﻭﻋﻨﺩ ﻗﻴﺎﻤﻨﺎ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺎ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻘﻴﺎﺱ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻤﺤﺩﺩﺓ ،ﻜﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﻴﺭﻫﺎ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﻤﻌﻴﻥ ،ﺃﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﺍﺭﺓ ﻤﻌﺩﻥ
ﻋﻨﺩ ﻭﻀﻌﻪ ﻓﻲ ﻓﺭﻥ ﺤﺎﺭ .ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺔ ) (measured quantitiesﻟﻠﺤﺼﻭل
ﻋﻠﻰ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺤﺴﻭﺒﺔ ) (calculated quantitiesﻜﺴﺭﻋﺔ ﺍﻨﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺼﻭﺕ ،ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ ﻟﻤﻌﺩﻥ ،ﻭﻫﻜﺫﺍ.
17
ﻣﻴﺮزا اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د .م. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕق.ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ 2-1ﻨﻅﺎﻡ
ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ) .(physical quantityﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻁﻭل ﻏﺭﻓﺔ ﻫﻭ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﻤﺘﺎﺭ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻁﻭل ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 4
ﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻡ
ﺒﺎﻟﺸﻜل mv 2
2
1
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻻﻴﻌﺘﺒﺭ ﻜﻤﻴﺔ
ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ.
ﻭﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﻭﺼﻑ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻘﻴﺎﺴﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺤﺴﺎﺒﻬﺎ .ﻓﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺒﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ
ﻨﻌﺭﻑ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺫﻟﻙ .ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻻﺘﻭﺠﺩ
ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺃﺒﺴﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺤﺘﻰ ﻨﻌﺭﻓﻬﺎ ﺒﻬﺎ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ
ﻜﻤﻴﺎﺕ ﺃﺴﺎﺱ ) (basic quantitiesﻭﺘﻜﺘﺏ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻙ ،ﻤﺜل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ ،ﺒﺩﻻﻟﺘﻬﺎ .ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻤﺸﺘﻘﺔ (derived
) .quantitiesﻭﺘﻜﻭﻥ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻫﺫ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻭ/ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ
ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻘﻁ .ﻓﻤﺜﻼ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﻀﺭﻭﺒﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭﻤﻘﺴﻭﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ).(1 N=1 kg.m/s2
ﻭﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺇﺫ ﻻﻴﺠﻭﺯ ﺃﻥ ﺘﺤﻭﻱ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺜﻼ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﺭﺒﻌﺔ ﺃﻭ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻜﻌﺒﺔ ،ﻭﻫﻜﺫﺍ. 2-1ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ )(SI units ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻴﺱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ،ﻜﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﺎﺭﻨﻬﺎ ﺒﻜﻤﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ) ،(standard unitﻜﺎﻟﻤﺘﺭ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ .ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﻤﺜﻼ ﺇﻥ ﻁﻭل ﺤﺒل ﺜﻼﺜﻭﻥ ﻤﺘﺭﺍ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺒل ﻴﻌﺎﺩل ﺜﻼﺜﻴﻥ ﻀﻌﻔﺎ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ
ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺭﺍ ﻭﺍﺤﺩﺍ .ﻭﻗﺩ ﺘﻘﺭﺭ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ (Systeme SI
) Internationalﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ ) (mﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻁﻭل ،ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ) (sﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ،ﻭﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ) (kgﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ.
ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺃﻨﻅﻤﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ ،ﻜﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻻﻨﺠﻠﻴﺯﻱ ﺤﻴﺙ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺍﻟﺒﺎﻭﻨﺩ ﻜﻭﺤﺩﺍﺕ ﺃﺴﺎﺱ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﺜﻘل ،ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﻁﺭﻴﻘﻬﺎ ﻟﻠﺯﻭﺍل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺘﻔﺎﻕ ﺩﻭﻟﻲ ﻻﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ.
ﻭﻴﻌﺘﻤﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻭﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻋﻠﻰ ﺜﺒﻭﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﻊ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻭﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺴﺨﻬﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﻟﺘﻭﻓﻴﺭﻫﺎ ﻟﻠﻤﺨﺘﺒﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﺘﻲ
18
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﺘﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻬﺎ .ﻭﻨﺘﻁﺭﻕ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ.
-1ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل )(length
ﺍﻋﺘﻤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻜﻭﺤﺩﺓ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﻋﺭﻑ ﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺎ ﺒﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ
ﺍﻟﻤﻠﻴﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻁﺏ ﺍﻟﺸﻤﺎﻟﻲ ﻭﺨﻁ ﺍﻻﺴﺘﻭﺍﺀ ﻤﺭﻭﺭﺍ ﺒﻤﺩﻴﻨﺔ ﺒﺎﺭﻴﺱ .ﻭﻗﺩ ﺘﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﺩﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻗﻀﻴﺏ ﻤﻌﺩﻨﻲ ﻤﺼﻨﻭﻉ ﻤﻥ
ﺨﻠﻴﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻼﺘﻴﻥ ﻭﺍﻹﺭﻴﺩﻴﻭﻡ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﺍﺭﺓ ،0 °C
ﻭﻴﺤﺘﻔﻅ ﺒﻪ ﻓﻲ ﻤﺘﺤﻑ ﻓﻲ ﺒﺎﺭﻴﺱ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻗﺔ
ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺩﻱ
ﺍﻟﻔﺎﺌﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻡ ﺒﻬﺎ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﺒﺤﺩﻭﺩ 0.023%ﻋﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻤﻘﺼﻭﺩ ﺒﻪ ،ﻤﻊ ﺼﻌﻭﺒﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺦ ﻤﻨﻪ ،ﻨﺎﻫﻴﻙ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﻔﻴﻑ ﻓﻲ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ﺩﺭﺠﺔ
ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل .ﻟﺫﻟﻙ ﺒﺤﺙ ﺍﺨﺘﺼﺎﺼﻴﻭ ﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻋﻥ ﻅﻭﺍﻫﺭ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻟﻴﺱ ﻟﻺﻨﺴﺎﻥ ﺃﻱ ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻬﺎ ﻭﻻﻴﻤﻜﻨﻪ ﺍﻟﺘﺩﺨل ﺒﺨﻭﺍﺼﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﺩﺭﻫﺎ ﺍﻟﺨﺎﻟﻕ ﺍﻟﻌﻅﻴﻡ. ﻓﺘﻘﺭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺅﺘﻤﺭ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻟﻠﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻋﺎﻡ 1960ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ "ﻭﺼﻔﺔ" ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺭ ﻟﻴﻜﻭﻥ
ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟـ 1,650,763.73ﻀﻌﻔﺎ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻤﻭﺠﺔ ﺍﻟﻠﻭﻥ ﺍﻷﺤﻤﺭ-ﺍﻟﺒﺭﺘﻘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺼﺎﺩﺭ ﻋﻥ ﻋﻨﺼﺭ
ﺍﻟﻜﺭﻴﺒﺘﻭﻥ ) (86Krﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ .ﻭﻗﺩ ﺍﺨﺘﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻐﺭﻴﺏ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﺍﻷﺼﻠﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﺴﺎﺒﻘﺎ .ﻭﻴﺒﺩﻭ ﺠﻠﻴﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺴﺘﻘل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻥ ﺃﻱ ﺁﻟﺔ ﺃﻭ ﺘﺩﺨل ﺒﺸﺭﻱ ،ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺠﺔ ﺍﻟﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﺍﻟﺒﺤﺜﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺨﺘﺒﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﺩﻗﺔ ﻭﺍﻟﺘﻘﺎﻨﺔ
ﺍﻷﻋﻅﻡ ﺘﻁﻠﺒﺕ ﺘﻌﺭﻴﻔﺎ ﺃﺩﻕ ﻟﻠﻤﺘﺭ .ﻟﺫﺍ ﺘﻘﺭﺭ ﻋﺎﻡ ،1983ﺨﻼل ﺍﻟﻤﺅﺘﻤﺭ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﻋﺸﺭ ﻟﻠﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ،ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ،ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺜﺒﻭﺘﺎ ،ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ
ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺨﻼل 1/299,792,458ﻤﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻗﺩ ﺘﺤﺩﺩﺕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ 299,792,458ﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ .ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-1ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ.
-2ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )(mass
ﻟﻌل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ﻫﻭ ﻤﻥ ﺃﺼﻌﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﺍﺠﻬﻬﺎ ﺍﺨﺘﺼﺎﺼﻴﻭﺍ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ .ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺒﺩﺀ ﺘﻘﺭﺭ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺨﻠﻴﻁ ﺍﻟﺒﻼﺘﻴﻥ
ﻭﺍﻹﺭﻴﺩﻴﻭﻡ ،ﻭﺍﺤﺘﻔﻅ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻓﻲ ﺒﺎﺭﻴﺱ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺩﻗﻴﻘﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺎﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺫﺭﺓ
ﺍﻟﻜﺭﺒﻭﻥ
12C
ﻭﻗﻭﺭﻨﺕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺒﻬﺎ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺘﻠﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ )ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ( .ﻭﻟﻜﻥ 19
ﻣﻴﺮزا اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د .م. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕق.ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ 2-1ﻨﻅﺎﻡ
ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﺒﻜﺘل ﻤﻨﻅﻭﺭﺓ ﻭﻤﺤﺴﻭﺴﺔ ﺒﺩﻗﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻤﻤﻜﻨﺎ .ﻭﺒﺨﻼﻑ ﺃﺨﺘﻴﻬﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻁﻭل ﺒﻘﻴﺕ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﻗﻴﻕ ﺒﺸﻜل ﻜﺎﻑ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻗﺎﻡ ﻤﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻲ
ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻭﻤﻌﻬﺩ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻘﻨﻲ ﻓﻲ ﺃﻟﻤﺎﻨﻴﺎ ﺒﺎﺒﺘﻜﺎﺭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﻗﻁﻌﺔ
ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻴﻠﻴﻜﻭﻥ ﺒﺩﻗﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ .ﻓﺄﻤﻜﻥ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﻟﻴﻜﻭﻥ
ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺫﺭﺍﺕ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺴﻴﻠﻴﻜﻭﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ
ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺦ ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻤﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺒﺘﺤﻀﻴﺭ ﻋﻴﻨﺔ
ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ
ﺘﺤﻭﻱ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺘﻤﺎﻤﺎ .ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-1ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﺘل ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ.
-3ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ )(Time
ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﻅﺎﻫﺭﺓ ﺘﺘﻜﺭﺭ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﺨﻼل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻜﺎﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﺒﻨﺩﻭل
ﺒﺴﻴﻁ ﺃﻭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ .ﻭﻗﺩ ﻜﺎﻥ ﺸﺎﺌﻌﺎ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻁﻭل ﺍﻟﻴﻭﻡ
ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ )ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼل ﺒﻴﻥ ﻅﻬﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻥ ﻟﻠﺸﻤﺱ ﻓﻲ ﻜﺒﺩ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ( ﻟﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ
86,400ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻱ 24ﺴﺎﻋﺔ .ﻟﻜﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﻭل ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺨﻼل ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺠﻌل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻏﻴﺭ ﺩﻗﻴﻕ ﺘﻤﺎﻤﺎ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﺭﺩﺩ
ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﺫﺭﺍﺕ ﺒﻠﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﻜﻭﺍﺭﺘﺯ ﻜﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻟﻔﺘﺭﺓ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﺩﻗﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﺭﺘﺒﻁ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ
ﺍﻟﺘﻲ ﻻﺘﺒﻘﻰ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ .ﻓﺎﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺴﻴﺯﻴﻭﻡ ) (133CSﺒﺩﻻ
ﻤﻨﻬﺎ ﻭﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟـ
ﺴﺎﻋﺔ ﺴﻴﺯﻴﻭﻡ
9,192,631,1770ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺓ ﻤﻥ ﺫﺭﺍﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ .ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-1ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻟﻔﺘﺭﺍﺕ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ.
ﻭﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﺎﻨﺴﺘﻌﻤل ﺃﻀﻌﺎﻓﺎ ﺃﻭ ﺃﺠﺯﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﺎ .ﻓﻔﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﻀﺭﻭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﻟﻘﻭﺓ ﻤﺎ ،ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﺴﻡ ﺨﺎﺹ ﺒﻬﺎ.
ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 2-1ﺍﺴﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻭﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺘﻬﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ. ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 3-1ﺍﻷﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺎ ﺇﻟﻰ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻘﻭﻯ.
20
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-1 ﺑﻌﺾ اﻷﻃﻮال ﻓﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ )(m
ﺑﻌﺾ اﻟﻜﺘﻞ ﻓﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ )(kg
ﺑﻌﺾ اﻟﻔﺘﺮات اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ )(s
ﺒﻌﺩ ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ
2×1016
ﺍﻟﻜﻭﻥ
1052
ﻋﻤﺭ ﺍﻟﻜﻭﻥ
5×1017
ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻋﻥ ﺍﻷﺭﺽ
9
ﻤﺠﺭﺓ ﺩﺭﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻨﺔ
41
ﻋﻤﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ
17
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ
7×108
ﺍﻟﺸﻤﺱ
9×030
ﻋﻤﺭ ﺍﻷﺭﺽ
1×1017
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ
6
ﺍﻷﺭﺽ
24
ﻋﻤﺭ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ
8
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻘﻤﺭ
1.7×106
ﺍﻟﻘﻤﺭ
7×1022
ﺴﻨﺔ ﺍﺭﻀﻴﺔ
3×107
ﺃﻋﻠﻰ ﺠﺒل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ
3
ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﺭﺸﻴﻕ
1
ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ
4
ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻁﻭل ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ
1.7×100
ﺤﺸﺭﺓ
1×10−5
ﻤﺤﺎﻀﺭﺓ ﻤﻤﻠﺔ
3×103
ﻗﻁﺭ ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ
−10
ﺠﺭﺜﻭﻡ
−55
ﻨﺒﻀﺔ ﻗﻠﺏ
−1
ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ
1×10−14
ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ
2×10−27
ﻤﻭﺠﺔ ﺼﻭﺘﻴﺔ
1×10−3
ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ
−15
ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ
−31
ﻤﻭﺠﺔ ﻀﻭﺌﻴﺔ
−15
4×10
6.4×10
9×10
1×10
1×10
7×10
6×10
7×10
1×10
9×10
1.4×10
6×10
9×10
8×10
2×10
ﻭﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ﺘﺤﻭﻴل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﻵﺨﺭ ﺃﻭ ﻤﻥ ﺸﻜل ﻵﺨﺭ .ﻓﺈﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ ﺒﺎﻟﺴﺎﻋﺔ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﻥ 2-1ﻭ 3-1ﻟﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻥ ﺸﻜل ﻵﺨﺭ ،ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ: m s )/(1h × 3600 )=0.278 m/s km h
1km/h=(1km × 1000
ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺤﻭل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﻵﺨﺭ. 3-1ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ )(Dimensions ﺇﻥ ﻤﻬﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﺭﺱ ﻟﻠﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﻜﺎﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﺃﻥ ﻴﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺒﻭﺴﺎﻁﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻪ ﻤﻨﻬﺎ .ﻭﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺘﻭﺍﻓﻕ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ
ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﻀﻬﺎ .ﻓﻼ ﻴﺠﻭﺯ ﻤﺜﻼ ﺃﻥ ﻨﺴﺎﻭﻱ ﺒﻴﻥ ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭﺍﺕ ﻭﺴﺎﻋﺎﺕ ،ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ﺠﻭل ﻭﻭﺍﺕ.
ﻜﻤﺎ ﻻﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﻤﻊ ﺴﺎﻋﺎﺕ ﻤﻊ ﺃﻤﺘﺎﺭ ،ﺃﻭ ﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻤﺎﺕ ﻤﻊ ﺠﻭل .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﻭﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ .ﻭﺘﻌﻨﻲ
ﻜﻠﻤﺔ ﺒﻌﺩ ) (dimensionﻤﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ .ﻓﺴﻭﺍﺀ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻘﺩﻡ
ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻘﺼﺒﺔ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻷﺤﻭﺍل ﻨﺘﻜﻠﻡ ﻋﻥ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻫﻭ ﻁﻭل )(length
21
زا ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔق .ﻣﻴﺮ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ -د .م. ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ 3-1ﺃﺒﻌﺎﺩ
ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ] .[Lﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺭﻤﺯ ﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ) [T] (timeﻭﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ) ،[M] (massﺤﻴﺙ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺔ ] [ ﻟﻠﺩﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﻭﺤﺩﺘﻬﺎ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ.
ﻓﺈﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﻨﺎ ﺤﺠﻡ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ V = π r 2 hﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ] [V]=[L]2 [Lﺤﻴﺙ [L]2ﺒﻌﺩ ﻤﺭﺒﻊ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﻭ ][L
ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ،ﺃﻤﺎ πﻓﻬﻭ ﺭﻗﻡ ﻻﻴﻤﺜل ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ .ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺠﻡ ﻫﻭ [V]=[L]3ﺃﻱ ﻤﻜﻌﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ .ﻓﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل. ﻤﺜل 1-1
ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ E = 12 mv 2 + mghﺤﻴﺙ mﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭ vﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭ gﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﻗﺭﺏ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭ hﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺘﻭﺍﻓﻕ
ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ.
ﺍﻟﺤل :ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻼﺤﻅﻴﻥ ﺃﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ] ،[Mﻭﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻫﻲ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻤﻥ ،ﺃﻱ ] ،[L]/[Tﻭﺃﺒﻌﺎﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﺃﻱ .[L]/[T]2ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﺸﻜل:
[L]2 ][L [L]2 [L]2 ]+[M ][L]=[M ]+[M [T]2 [T]2 [T]2 [T]2
][E]=[M
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﺤﺩﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻭﻫﻲ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻀﺭﻭﺒﺔ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺯﻤﻥ ﻭﻫﺫﻩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻁﺎﻗﺔ ،ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺠﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼﻭل ﺍﻟﻼﺤﻘﺔ .ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ ﻟﻡ ﻨﺫﻜﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻷﻨﻪ ﺭﻗﻡ ﻭﻻﻴﻤﺜل ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ.
ﻤﺜل 2-1
ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻁﺎﻟﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺒﻌﺩ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻨﻪ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ: s = 12 v 0t 2 + vt
ﺤﻴﺙ sﻭ vﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ tﺒﻴﻨﻤﺎ v0ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻟﺤﻅﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻤﺭﺍﻗﺒﺘﻬﺎ )ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ( ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ .ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ.
ﺍﻟﺤل :ﻟﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ،ﻤﻬﻤﻠﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻟﻌﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻟﻪ ،ﻓﻨﺠﺩ: ? ][L ] = [L ] [T ]2 + [L ] [T ][T ] [T
22
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﺤﻴﺙ ] [L]/[Tﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻱ ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻤﻥ ،ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻴﻜﻭﻥ: ?
] [L ] = [L ][ T ] + [L ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﺴﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺤﺔ. 4-1ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ )(Significant figures ﻋﻨﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺎ ﻓﺈﻥ ﺩﻗﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﻭﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻀﻤﻥ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ ،ﻭﺨﺒﺭﺓ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﺎﻟﻘﻴﺎﺱ ،ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﺎﺱ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻨﻴﺔ ،ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ .ﻓﻤﺜﻼ ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻨﺎ ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺴﻁﺭﺓ
ﻤﺘﺭﻴﺔ ﺩﻗﺘﻬﺎ ± 0.1 cmﻭﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ 16.3 cmﻓﺫﻟﻙ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ
16.2 cmﻭ ،16.4 cmﻭﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺔ ﺘﺤﻭﻱ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ .ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ،ﺇﺫﺍ
ﻗﺴﻨﺎ ﻋﺭﺽ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ 4.5 cmﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺘﻘﻊ ﺒﻴﻥ 4.4 cmﻭ ،4.6 cmﻭﺘﺤﻭﻱ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻓﻘﻁ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺘﺸﻤل ﺃﻭل ﺭﻗﻡ ﺘﻘﺭﻴﺒﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ
ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ،ﺃﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ 3ﻓﻲ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﺭﻗﻡ 5ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺭﺽ .ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﺭﺽ
ﺒﺎﻟﺸﻜل 16.3±0.1 cmﻭ ،4.5±0.1 cmﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ .ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻵﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺒﻀﺭﺏ
ﻁﻭﻟﻬﺎ ﺒﻌﺭﻀﻬﺎ ﻓﻨﺠﺩ .(16.3 cm)(4.5 cm)=73.35 cm2ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻻﻴﺼﺢ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻬﺫﺍ
ﺍﻟﺸﻜل ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺤﻭﻱ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺘﻴﻥ .ﻭﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻸﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺍﻻﺤﺘﻔﺎﻅ ﺒﻬﺎ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻻﻴﺯﻴﺩ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻲ
ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻷﻗل ﺩﻗﺔ ،ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻭﻱ ﺃﻗل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ .ﻭﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻻﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺸﻤل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻴﺤﻭﻱ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل.7.3×101 cm2 :
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ ﻓﻲ ﺭﻗﻡ ﻤﺎ ﻗﺩ ﻴﺸﻜل ﻤﻌﻀﻠﺔ ﺇﻥ ﻟﻡ ﻴﺘﻡ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻌﻪ ﺒﺸﻜل
ﺼﺤﻴﺢ .ﻓﻠﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ 1500 gﺃﻭ 1.5 kgﻓﺈﻥ ﻜﻼ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﺼﺤﻴﺢ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﺒﻌﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﺓ ﻤﺎ .ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻴﺤﻭﻱ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ
ﻨﻜﺘﺏ ، 1.5 × 100 kgﻭﺇﻥ ﺤﻭﻯ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻨﻜﺘﺏ ، 1.50 × 100 kgﻭﻫﻜﺫﺍ .ﻭﺒﻨﻔﺱ
ﺍﻟﺸﻜل ﻨﻜﺘﺏ ﺭﻗﻤﺎ ﻤﺜل 0.0015ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ 1.5 × 10−3ﺇﺫﺍ ﺤﻭﻯ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﺃﻭﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻨﺤﻭ 1.50 × 10−3ﺇﻥ ﺤﻭﻯ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ.
23
ﻣﻴﺮزا ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭم .ق. اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د. ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء 5-1
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺃﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﻴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻻﻴﻌﻨﻲ ﻜﻭﻨﻬﺎ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ،ﺃﻤﺎ ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ ،ﻤﺜل ،105ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﺤﺴﺏ ﻀﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻁﺒﻌﺎ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻷﻗل
ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﻴﻤﻴﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻤﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ .ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺇﺫﺍ ﺠﻤﻌﻨﺎ
23.1+5.32ﻓﻴﺠﺏ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ 28.4ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻴﺱ .28.42
ﻭﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﺒﺄﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺤﺘﻔﺎﻅ ﺒﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻪ .ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﻓﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺃﺠﻬﺯﺓ ﻭﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ،ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻭﻜﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ. 5-1ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ )(Coordinate Systems ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺎ ،ﻜﺎﻟﻨﺠﻭﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﺃﻭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺓ ﺃﻭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺎﺭﻉ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ
ﻨﻜﻭﻥ ﻤﻌﻨﻴﻴﻥ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺱ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ
ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻓﺈﺫﺍ ﻗﺎﻡ ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺒﻤﺘﺎﺒﻌﺔ ﺠﺴﻡ ﻤﺎ )ﻨﺠﻡ ﺃﻭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺃﻭ ﻜﺭﺓ ﻗﺩﻡ ،ﺍﻟﺦ( ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻓﻴﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺎ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﻌﻴﻥ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻨﺘﻘل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻓﺈﻨﻪ
ﻴﺤﺩﺩ ﺒﻌﺩﻩ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ .ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ
ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﻭﻀﻭﻋﺎ ﻤﻌﻘﺩﺍ ﻓﻌﻼ .ﻟﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻭﻴﺤﺩﺩ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﺭﺴﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ .ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩ
ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﺸﺭﻕ-ﻏﺭﺏ ﻭﺸﻤﺎل-ﺠﻨﻭﺏ ﻭﺃﻋﻠﻰ-ﺃﺴﻔل ،ﻴﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ 3 m
ﺸﺭﻗﺎ ﻭ 7 mﺠﻨﻭﺒﺎ ﻭ 4 mﻟﻸﻋﻠﻰ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻓﺈﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ
ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﻓﻕ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺘﺤﺩﺩﻫﺎ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ،ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ .ﻭﻟﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺒﻜﻠﻤﺎﺕ ﺸﺭﻕ ﺃﻭ ﻏﺭﺏ ﺃﻭ ﺸﻤﺎل ﺃﻭ ﺠﻨﻭﺏ ،ﺍﻟﺦ ،ﻟﻴﺱ ﻋﻤﻠﻴﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻴﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﻨﺎﻙ
ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺃﻓﻀل ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﻤﻌﻴﻨﺔ .ﻟﺫﺍ ﻨﻌﺘﻤﺩ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ﺸﺒﻜﺔ ﻤﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ) (coordinate systemﻴﻨﻁﺒﻕ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ) (x-axisﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺸﺭﻕ-ﻏﺭﺏ ﻤﺜﻼ ،ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ) (y-axisﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ
ﺸﻤﺎل-ﺠﻨﻭﺏ ،ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ) (z-axisﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺃﻋﻠﻰ-ﺃﺴﻔل .ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺁﻨﻔﺎ ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ x=+3 mﻭ y=−7 mﻭ ،z=+4 mﺤﻴﺙ ﻨﺘﻔﻕ ﺃﻥ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ
ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻌﻨﻲ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﺃﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻨﺤﻭ
24
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﻨﻭﺏ ﺃﻭ ﺍﻷﺴﻔل ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺃﻴﻀﺎ .ﻭﺘﺴﻤﻰ xﻭ yﻭ zﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ) ،(Cartesian coordinatesﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) .(1-1ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻁﺭﻕ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ
ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻨﺎ ﺴﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ.
z
ﺸﻤﺎل
y
ﺃﻋﻠﻰ )ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ( )(z-axis
ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ
)ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ(
xﺸﺭﻕ
)(y-axis
)ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ( ﺍﻟﺸﻜل )(1-1
)(x-axis
6-1ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )(Vectors & Scalars ﺘﺘﻤﻴﺯ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ،ﻤﺜل ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ ،ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﻌﻴﻥ ﻜﻠﻴﺎ ﺒﻌﺩﺩ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ ،ﻤﻊ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ .ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ،75 kgﺃﻭ ﺃﻥ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ
،−5 °Cﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻭﺤﺩﻩ ﻜﺎﻑ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ .ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ
ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) .(scalarsﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻓﺈﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻻﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ ﺒﺸﻜل ﻜﺎﻤل ﺒﻌﺩﺩ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ .ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻴﺴﻴﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺎ Aﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺎ dﻓﺈﻥ
ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻭﺤﺩﻩ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﻑ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺒل ﻻﺒﺩ ﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺸﺭﻗﺎ ﻜﺎﻥ ﺃﻡ ﻏﺭﺒﺎ ،ﺸﻤﺎﻻ ﺃﻡ ﺠﻨﻭﺒﺎ ،ﻭﻫﻜﺫﺍ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ،ﻭﻫﻲ
ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻤﻌﺎ .ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ).(vectors
ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ﺒﺤﺭﻑ ﻏﺎﻤﻕ Aﺃﻭ ﺤﺭﻑ ﻋﺎﺩﻱ ﻭﻓﻭﻗﻪ ﺴﻬﻡ ﺼﻐﻴﺭ ، Aﻭﻴﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺒﻘﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ PQﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻤﻊ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺩل ﻤﻨﺤﺎﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)2-1ﺃ(.
ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭ Qﻨﻬﺎﻴﺘﻪ .ﻭﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻁﻭل Aﺃﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﺒﺎﻟﺸﻜل: ﻁﻭل PQ = PQ = A = A
)(1-1
25
ﻣﻴﺮزا ﺍﻟﻤق. ﺠﺒﺭ م. اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د. ﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء 7-1
7-1ﺠﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ )(Vectors Algebra -1ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ: ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭﻨﻜﺘﺏ: A=B
Q
B
ﻭﻴﻤﺜل ﺍﻟﺸﻜل )2-1ﺏ( ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ Aﻭ .Bﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Cﻭ Dﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﻟﻜﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )2-1ﺝ( ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ:
V
P
C A
)ﺃ(
)ﺝ(
)ﺏ(
ﺍﻟﺸﻜل )(2-1
C=−D
-2ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
D
ﺃ -ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ )ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ(:
ﻟﺠﻤﻊ Aﻭ Bﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ Aﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺜﻡ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﺁﺨﺭ ﺘﻘﻊ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻷﻭل ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ
،Bﻓﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ Aﺇﻟﻰ ﻨﻬﺎﻴﺔ Bﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(3-1ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺇﺫﺍ ﻨﻘﻠﻨﺎﻩ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﺸﺭﻴﻁﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻋﻠﻰ ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ.
B
B C A
A
ﺍﻟﺸﻜل )(3-1
ﻤﺜل 3-1
ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻓﺔ 30 kmﺸﺭﻗﺎ ﺜﻡ 40 kmﺸﻤﺎﻻ .ﻤﺎ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ
c
ﺍﻟﺤل :ﻨﻭﻀﺢ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل) ،(4-1ﻓﻨﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ
B
ﺒﻤﺘﺠﻪ Aﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ 30 kmﻤﻌﺘﺒﺭﻴﻥ ﻜل 1 cm
b
ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎ؟
ﺘﻜﺎﻓﺊ 10 kmﻤﺜﻼ ،ﻓﻴﻜﻭﻥ ﻁﻭل ،3 cm Aﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﻤﺘﺠﻪ Bﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ،40 kmﺃﻱ .4 cmﺜﻡ ﻨﻀﻊ
ﻍ
ﺵ C
θ A
a
ﺍﻟﺸﻜل )(4-1
ﺒﺩﺍﻴﺔ Bﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ Aﻭﻨﺼل ﺒﻴﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ Aﻭﻨﻬﺎﻴﺔ Bﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Cﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻱ ﻟﺤﺎﺼل ﺠﻤﻊ .A+Bﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (4-1ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺘﺭ acﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ abcﻴﺴﺎﻭﻱ: = 5 cm
26
2
2
ac = ab + bc
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻓﻁﻭل cﻴﺴﺎﻭﻱ 5 cmﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﺎﺩل ﻤﺴﺎﻓﺔ .50 kmﻭﺃﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻓﻨﺤﺩﺩﻩ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ A
ﻤﺜﻼ ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ abcﺃﻥ: = 1.33 ⇒ θ = 53°
bc ab
= tan θ
ﻭﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺒﺩﻴﻠﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺃﻥ: A+B=B+A
)(2-1
ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل
A+B
ﺃﻭﻻ ﻤﺴﺎﻓﺔ 40 kmﺜﻡ 30 kmﺸﺭﻗﺎ ﻭﺴﻴﺼل ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺠﺩﻨﺎﻩ ﺘﻤﺎﻤﺎ .ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ
B
ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ) ،(resultantﻭﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل ) (5-1ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺠﻤﻊ
A D
ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ.
C+D
C
ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻤﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻷﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ
R
ﺍﻟﺸﻜل )(5-1
) A − B = A + (− B
)(3-1
ﺤﻴﺙ –Bﻤﺘﺠﻪ ﻤﺴﺎﻭ ﻟـ Bﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻪ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻟﺫﺍ ﻨﺭﺴﻡ –Bﺃﻭﻻ ﻭﻨﺠﻤﻌﻪ ﻤﻊ ،Aﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(6-1ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (7-1ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺭﺴﻤﻨﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ
A
ﺍﻟﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ Aﻭ Bﻜﻀﻠﻌﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ ﻓﻴﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ A
ﻭﻨﻬﺎﻴﺔ
B
ﻴﻤﺜل
ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ، C = A + B
ﺒﻴﻨﻤﺎ
ﻴﻤﺜل
ﺍﻟﻘﻁﺭ
B
ﺍﻵﺨﺭ
-B
ﺍﻟﺸﻜل)(6-1
ﺍﻟﻁﺭﺡ D = A − Bﺃﻭ ، −D = B − Aﺒﺤﺴﺏ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺨﺘﺎﺭﻩ. ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﻤﻥ
-B
A+B
ﻋﻼﻗﺔ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ) (cosine lawﺍﻟﺘﻲ ﺴﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ
D
-A
ﺍﻟﻘﺎﺩﻤﺔ ،ﻓﻨﻜﺘﺏ:
A
B
ﺍﻟﺸﻜل)(7-1 A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB
= c
)(4-1
ﺤﻴﺙ θΑΒﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Aﻭ.B ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ Cﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ Aﺃﻭ Bﻤﻥ
A
β θAB
B
C
γ
α
B
ﺍﻟﺸﻜل )(8-1
27
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﻴﺮزا ﺠﺒﺭم .ق. - 7-1د. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ
ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ ) (sine lawﻭﻨﻜﺘﺏ: A B C = = sin α sin β sin γ
)(5-1
ﺤﻴﺙ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ αﻭ βﻭ γﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ).(8-1 ﻤﺜل 4-1
ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﻥ C=A+Bﻭ D=A−Bﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (9-1ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ A=7ﻭ B=6ﻭ θ=120°؟
ﺍﻟﺤل :ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ C=A+Bﻨﻜﻤل ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Cﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ .ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (4-1ﻭﻨﻜﺘﺏ:
C
c = (7)2 + (6)2 + 2(7)(6) cos 120 ° = 6.6
ﻭﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ):(5-1
α γ
-B
7 6 6.6 = = sin α sin β sin 60°
α1
β1 D
ﺍﻟﺸﻜل )(9-1
ﻭﻤﻨﻪ: ⇒ β = 52°
A
β
θ
B
sin β = 0.79
ﺍﻵﻥ :ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻁﺭﺡ D=A−Bﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (9-1ﺃﻥ: D = (7)2 + (6)2 + 2(7)(6)cos 60° = 11.3
ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻩ Dﻤﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ: 7 6 11.3 = = sin α1 sin β1 sin 60°
ﺃﻱ ﺃﻥ: ⇒ α1 = 32°
sin α1 = 0.54
ﺏ -ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎ )ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ(: ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﺜﺎﻟﺙ ،ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ Cﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Cxﻭ Cyﻭﻨﻜﺘﺏ: C = C x + Cy
28
)(6-1
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺨﺘﺭﻨﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻲ cxﻭ cyﻟﻴﻜﻭﻨﺎ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل) ،(10-1ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ: Cx C Cy
= C x = C cos θ ⇐ cos θ
C
)(7-1 = C y = C sin θ ⇐ sin θ
ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ cxﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ )(x-component
ﻭ cyﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ).(y-component
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻁﻭل Cﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (10-1ﻓﻨﻜﺘﺏ: C = C x2 + C y2
)(8-1
ﻭ Cy Cx
= tan θ
)(9-1
ﻭﻻﺒﺄﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻪ ﻜﺎﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ
y
ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ oxﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ oyﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (8-1ﻜﻴﻔﻤﺎ
C
Cy
ﻨﺸﺎﺀ ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻫﺎ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺃﺩﻯ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )(7-1
ﻭ) (8-1ﻭ) (9-1ﻭﻟﺫﺍ ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ).(orthogonal coordinate system
θ
x
Cx
ﺍﻟﺸﻜل )(10-1
ﻤﺜل 5-1 ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Vﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (11-1ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ox
ﻭ oyﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻁﻭﻟﻪ 7ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭθ=30°؟
ﺍﻟﺤل :ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ )ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ( :ﻟﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ V
ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻓﻨﺠﺩ:
x
a
θ
Vx 30°
Vy
θ = 180 ° + 30 ° = 210 °
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ):(7-1 V x = V cos θ = 7 cos 210° = −6.1
ﻭ
y
V
b
c
ﺍﻟﺸﻜل )(11-1
Vy = V sin θ = 7 sin 210° = −3.5
29
ﻣﻴﺮزا ﺠﺒﺭ م .ق. اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د. ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء 7-1
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (7-1ﺘﻌﻁﻴﻨﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺸﺭﻁ ﺃﻥ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ.
ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ)ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ( :ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﺭﻜﺒﺔ Vﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﻋﻤﻭﺩ ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ،ﻭﻋﻤﻭﺩ ﺁﺨﺭ ﻤﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ .ﻭﺘﻜﻭﻥ
ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ. ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (11-1ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻀﻠﻊ abﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ،abcﺃﻱ
ﺃﻥ:
V x = ab = 7 cos 30° = 6.1
ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺒﻌﻜﺱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺃﻱ ﺃﻨﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ ،ﻭﻨﻜﺘﺏ . V x = −6.1 ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟـ Vﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﻋﻤﻭﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ oyﻓﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (11-1ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ bcﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ،abcﺃﻱ ﺃﻥ: V y = bc = 7 sin 30° = 3.5
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ: V y = −3.5
ﻭﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺴﺎﺒﻘﺎ. ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: A = A x + Ay
ﻭ B = B x + By
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ Cﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: ) C = (A x + A y ) + (B x + B y
ﺃﻭ ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ Cﻫﻤﺎ: 30
) C = ( A x + B x ) + (A y + B y
)(10-1
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
C x = Ax + B x
)(11-1
C y = Ay + B y
ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ .ﻜﻤﺎ ﺍﻗﺘﺼﺭ ﺤﺩﻴﺜﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻊ
ﻭﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ )ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩ( .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﺭﻑ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﺜﻼﺜﻴﺔ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ oxyz
ﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ozﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ
z
ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ oyﺒﺤﻴﺙ ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ oxﺇﻟﻰ oyﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
90°ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ oyﺇﻟﻰ oz
A
ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ 90°ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ،ﻭﻤﻥ ozﺇﻟﻰ ox
ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 90°ﻋﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﺃﻴﻀﺎ .ﻭﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل
y
Az
Ay Ax
) (12-1ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻭﻤﺭﻜﺒﺎﺕ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Aﻋﻠﻴﻬﺎ .ﻭﻴﻤﺜل ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺃﻱ ﻏﺭﻓﺔ
ﺃﻓﻀل ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ.
ﺍﻟﺸﻜل )(12-1
x
-3ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻜﻠﻴﺎ ﻋﻥ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ،ﺇﺫ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﻴﻌﻁﻲ ﻋﺩﺩﺍ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ،ﻓﻠﻭ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺸﺨﺎﺹ )ﻜﻤﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ( ﻤﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﺨﻤﺴﺔ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ )ﻜﻤﻴﺔ
ﻋﺩﺩﻴﺔ( ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺩ ﻤﺎﻤﻌﻬﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻭﺩ ﺒﻀﺭﺏ ﻋﺩﺩﻫﻡ ﺒﻤﺎ ﻤﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ 15ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻫﻲ ﻜﻤﻴﺔ
ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺒﺎﻟﻁﺒﻊ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﺒﺤﺴﺏ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﻌﺭﻑ ﺜﻼﺙ ﻁﺭﻕ ﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ :ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ ،ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ
ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ( ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ،ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ )ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ( ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ.
ﺃ -ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ:
ﺇﺫﺍ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﻤﺘﺠﻬﺎ Aﺒﻌﺩﺩ nﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﺠﺩﻴﺩ Bﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﻤﻨﺤﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﺼﻠﻲ A
ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻌﻪ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ:
B = nA
)(12-1
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ nﻤﻭﺠﺒﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ n
ﺴﺎﻟﺒﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ.
31
ﻣﻴﺮزا ﺠﺒﺭ .م .ق. اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء 7-1
ﻭﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ oxﻭ oyﻭ .ozﻓﺈﺫﺍ ﻓﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ iﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻷﻁﻭﺍل ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ
ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻤﺤﻤﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ،ﻤﺜل Cxﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) ،(6-1ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ: Cx = Cx i
)(13-1
ﺤﻴﺙ ﻴﺩل Cxﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ Cxﻭﺘﺩل ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻓﻴﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ Cxﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ C x = −4.5iﻤﺜﻼ ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻁﻭﻟﻪ 4.5ﻭﺤﺩﺓ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ
ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ .ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ iﺍﺴﻡ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﺤﺩﺓ ) (unit vectorﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ .ox
ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﺤﺩﺓ jﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ،oyﻭﺁﺨﺭ kﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ،ozﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ Dﺒﻭﺴﺎﻁﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ oxﻭ oyﻭoz
ﺒﺎﻟﺸﻜل:
D = D x i + Dy j + D z k
)(14-1
ﻭﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻴﻌﻁﻲ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻭﺘﺩل ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭﻟﺔ ﻋﻠﻴﻪ.
ﺏ -ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ( ):(scalar or dot product ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: A iB = c
)(15-1
ﺤﻴﺙ cﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺏ ﻗﻴﻤﺘﻪ: c = AB cos θ AB
)(16-1
ﺤﻴﺙ θABﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ Aﻭ Bﺒﻴﻨﻤﺎ Aﻭ Bﻁﻭل ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ. ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ) (15-1ﻭ) (16-1ﺃﻥ: A iB = AB cos θ AB
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل: ) A iB = A(B cos θ AB ) = B (A cos θ AB
32
)(17-1
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻭﻟﻜﻥ B cos θ ABﺘﻤﺜل ﻤﺭﻜﺒﺔ Bﻋﻠﻰ ،Aﺒﻴﻨﻤﺎ A cos θ ABﻤﺭﻜﺒﺔ A
A
ﻋﻠﻰ ،Bﻓﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﻀﺭﺏ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﻤﺭﻜﺒﺔ
ﺍﻵﺨﺭ ﻋﻠﻴﻪ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(13-1
Bcosθ B
ﻜﻤﺎ ﺘﺠﺩﺭ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻫﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ:
θ Acosθ
ﺍﻟﺸﻜل )(13-1
AiB = Bi A
)(18-1
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﺘﺒﺩﻴﻠﻲ ﻭﻟﻴﺱ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﻀﺭﻭﺒﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ،ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻷﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻫﻲ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺏ ﻓﻘﻁ.
ﻤﺜل 6-1
ﻤﺎﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
)ﺃ(
i ii
) ﺏ(
) ﺝ(
ji j
)ﺩ( i.j
k ik
)ﻫـ( j.k
)ﻭ( k.i
ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﻌﻤل ) (17-1ﻓﻨﺠﺩ: i ii = ii cos θii
ﻭﻟﻜﻥ ii=1ﻭ θii=0ﻷﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﻨﻔﺴﻪ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻁﺒﻌﺎ ،ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ: i ii = 1
ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ:
i ii = ji j = k ik = 1
)(19-1
ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﻌﻤل ) (17-1ﻟﻨﻜﺘﺏ: ii j = ij cos θ ij = (1)(1)cos 90° = 0
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ:
i i j = jik = k ii = 0
)(20-1
ﻤﺜل 7-1
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ R = R x i + Ry j + R z kﻓﺠﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ R iRﻭﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ Rﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ. ﺍﻟﺤل :ﻨﻜﺘﺏ:
) R iR = (R x i + Ry j + R z k ).(R x i + R y j + R z k
33
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﻴﺮزا ﺠﺒﺭ م .ق. - 7-1د. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ
ﺃﻱ ﺃﻥ: ) R iR = R (i ii ) + R ( ji j) + R (k ik 2 y
2 z
2 x
) +2R x Ry (i i j) + 2Ry R z ( jik ) + 2R z R x (k ii
ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (19-1ﻭ) (20-1ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ: R iR = R x2 + Ry2 + Rz2 = RR cos 0° = R 2
)(21-1
ﺃﻱ ﺃﻥ: R = R x2 + Ry2 + R z2
)(22-1
ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Rﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ oxﻤﺜﻼ ،ﻨﻀﺭﺏ Rﻋﺩﺩﻴﺎ ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ iﻓﻨﺠﺩ: i iR = R x (i ii ) + R y (i i j) + R z (i ik ) = iR cos θ Rx
ﺤﻴﺙ θRxﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Rﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ i=1ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺠﺩ ﻤﻥ ) (1-19ﻭ) (1-20ﺃﻥ: Rx R Ry
= cos θ Rx = cos θ Ry
R Rz = R
)(23-1
cos θ Rz
ﺤﻴﺙ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ. ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻠﺯﻭﺍﻴﺎ θRxﻭ θRyﻭ θRzﻋﺎﺩﺓ ﺒـ αﻭ βﻭ ،γﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
)(24-1
ﻭﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺠﻴﻭﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ) (direction cosinesﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻬﺎ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (21-1ﺇﻟﻰ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﻓﻨﻜﺘﺏ:
A iB = AB cos θ AB = Ax B x + Ay B y + Az B z
ﻭﻴﺴﺘﻔﺎﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ.
34
)(25-1
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻤﺜل 8-1
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ A = 2i + 6 j − 3kﻭ B = i − j + kﻓﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ؟ ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ) (25-1ﻭﻨﻜﺘﺏ
A iB = (2)(1) + (6)(−1) + (−3)(1) = −7 = AB cos θ AB
ﺤﻴﺙ A = (2)2 + (6)2 + (−3)2 = 7
ﻭ B = (1)2 + (−1)2 + (1)2 = 1.7
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ: θ AB = 125°
⇒
A iB = −0.58 AB
= cos θ AB
ﺝ -ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ )ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ( ):(vector or cross product ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻤﺘﺠﻴﻬﻥ Aﻭ Bﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: A×B = C
)(26-1
ﺤﻴﺙ Cﻤﺘﺠﻪ ﺠﺩﻴﺩ ﺘﻌﻁﻰ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ C = AB sin θ AB
)(27-1
ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ) Aﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭل( ﻭﺘﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ) Bﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ( ﻭﻋﻨﺩﻫﺎ ﺘﺸﻴﺭ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﺼﺎﺒﻊ )ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﻭﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ( ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ) Cﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ( ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(14-1ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ Aﻭ Bﻭ Cﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ oxﻭ oyﻭ ،ozﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ) (26-1ﻭ) (27-1ﺃﻥ: A × B = AB sin θ AB
)(28-1
ﻜﻤﺎ ﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻥ: A × B = −B × A
)(29-1
35
ﻣﻴﺮزا ﺠﺒﺭ م .ق. اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د. ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء 7-1
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻴﺱ ﺘﺒﺩﻴﻠﻴﺎ ﻟﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻲ
A
ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻤﻊ ﺘﻌﺎﻜﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ،ﻓﻁﻭل A×Bﻴﺴﺎﻭﻱ ﻁﻭل
B×Aﻭﻟﻜﻥ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻪ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺎﺕ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ:
B C
A = A x i + Ay j + A z k
ﻭ
ﺍﻟﺸﻜل )(14-1
B = B x i + By j + B z k
ﻓﻴﻜﻭﻥ: k Az
j Ay
i A × B = Ax
Bz
By
Bx
)(30-1
ﺃﻱ ﺃﻥ: A × B = (Ay B z − A z B y )i + (A z B x − A x B z ) j + (A x B y − Ay B x )k
)(31-1
ﻤﺜل 9-1
ﻤﺎﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
)ﺃ(
i×i
) ﺏ(
j× j
) ﺝ(
k×k
)ﺩ( ) i × jﻫـ(
j×k
)ﻭ(
k×i
ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (26-1ﻭﻨﻜﺘﺏ: i × i = ii sin 0° = 0
ﺇﺫﺍ i×i = j× j = k ×k = 0
ﻭﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ﻨﻜﺘﺏ: R×R = 0
ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ i × jﻤﺜﻼ ﻨﻜﺘﺏ: i × j = ij sin 90° = 1
36
)(32-1
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﻓﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ i × jﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ iﻭ jﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ iﻭ jﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟﻠﺜﻼﺜﻴﺔ oxﻭ oyﻭ .ozﻓﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ،kﺃﻱ ﺃﻥ:
ﻭ
i× j = k
j×k = i
ﻭ
k×i = j
)(33-1
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ) (33-1ﺃﻥ: ﻭ
j × i = −k
k × j = −i
ﻭ
i × k = −j
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل) (15-1ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ
ﻤﺘﺠﻪ ﺒﺂﺨﺭ ﻴﻠﻴﻪ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺘﻲ ﺒﻌﺩﻫﻤﺎ
k+
)(34-1
j
i
k
j
− i
ﺍﻟﺸﻜل )(15-1
ﺒﺈﺸﺎﺭﺓ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺴﺭﻨﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻬﻡ ،ﻭﺒﺈﺸﺎﺭﺓ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺴﺭﻨﺎ
ﺒﻌﻜﺴﻪ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺎ ﺍﻟﺸﻜل ).(15-1 ﻤﺜل 10-1
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ R = 2i − 4 j + kﻭ F = 3i + j − 5kﻓﺎﺤﺴﺏ )ﺃ( τ = R × Fﻭ)ﺏ( θRFﻭ)ﺝ( ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Rﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ. ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ) (31-1ﻭﻨﻜﺘﺏ τ = R × F = (20 − 1)i + (3 − (−10)) j + (2 − (−12))k = 19i + 13 j + 14k
)ﺏ( ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Rﻭ Fﻨﻜﺘﺏ τ = R × F = RF sin θRF
ﺤﻴﺙ R = R x2 + R y2 + R z2 = 4.6
ﻭ F = F x2 + Fy2 + F z2 = 5.9
ﻭ 37
ﻣﻴﺮزا ﻤﺘﺠﻪ ق. -8-1د .م. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ
τ = τ x2 + τ y2 + τ z2 = 26.9
ﻭﺒﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ θ RF = 82°
≈ 0.99
⇒
τ RF
= sin θ RF
)ﺝ( ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Rﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (23-1ﻭﻨﻜﺘﺏ: = −0.87 ⇒ θ Ry = 150°
Ry R
= cos θ Ry
8-1ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ )(Unit Vector
ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻪ A = A x i + Ay j + A z kﺒﺄﻨﻪ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ﻭﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻷﻁﻭﺍل،
ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: A A x i + Ay j + A z k = A A x2 + Ay2 + A z2
=a
)(35-1
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ aﻭ Aﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻭﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل aﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺒﻨﻔﺴﻪ.
ﻤﺜل 11-1
ﺠﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ . R = 3i − j + 4k
ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ) (35-1ﻭﻨﻜﺘﺏ: k
4 26
j+
1 26
i−
3 26
3i − j + 4 j R = = R 9 + 1 + 16
=r
ﻭﻴﺘﺭﻙ ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻁﻭل rﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﺃﻨﻪ ﻴﻭﺍﺯﻱ .R ﻤﺜل 12-1
ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ) (cosine lawﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB
ﺤﻴﺙ θABﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ Aﻭ.B
ﺍﻟﺤل :ﻨﻜﺘﺏ C = A + Bﻭﻨﻀﺭﺒﻪ ﺒﻨﻔﺴﻪ ﻋﺩﺩﻴﺎ ﻓﻨﺠﺩ: 38
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ cic = (A + B )i(A + B ) = A i A + A iB + Bi A + BiB
ﻭﺒﺤﺴﺏ ) (17-1ﻨﺠﺩ: c 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB
ﺃﻱ ﺃﻥ c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB
ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ. ﻤﺜل 13-1
ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ ) (sine lawﺍﻟﺘﻲ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﻱ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: A B C = = sin α sin β sin γ
ﺤﻴﺙ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ αﻭ βﻭ γﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(15-1
ﺍﻟﺤل :ﻨﻜﺘﺏ C = A + Bﻭﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﺘﻘﺎﻁﻌﻴﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ B
ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻓﻘﻁ ،ﻓﻨﺠﺩ:
β A
C
γ
α B
ﺍﻟﺸﻜل )(15-1
CB sin α = AB sin γ
ﻭﻤﻨﻪ: A C = sin α sin γ
ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ C = A + Bﺘﻘﺎﻁﻌﻴﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ Aﻨﺠﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ.
ﺒﺄﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ ﻴﺘﺤﺭﻙ؟ 39
ﻣﻴﺮزا ﻤﺘﺠﻪ ق. -8-1د .م. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ
ﺍﻟﺠﺩﻭل 2-1ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺃ -ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ :ﺍﻟﻁﻭل ) ،(Lengthﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺭ )(m ﻓﻴﺭﻤﻲ
10−15 m
1F
1 Fermi
ﺃﻨﻐﺴﺘﺭﻭﻡ
10−10 m
1A
1 Angstrom
ﻨﺎﻨﻭﻤﺘﺭ
m
10
1 nm
1 nanometer
ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﻤﺘﺭ
10−6 m
1 µm
1 micrometer
ﻤﻴﻠﻤﺘﺭ
m
−3
10
1 mm
1 millimeter
ﺴﻨﺘﻤﺘﺭ
10−2 m
1 cm
1 centimeter
ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ
10+3 m
1 km
1 kilometer
−9
ﺏ -ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ :ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ) ،(Massﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ )(kg ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﻏﺭﺍﻡ
10−9 kg
1 µg
ﻤﻴﻠﻴﻐﺭﺍﻡ
kg
−6
10
1 mg
1 milligram
ﻏﺭﺍﻡ
10−3 kg
1g
1 gram
ﻁﻥ
10+3 kg
1t
1 ton
1 microgram
ﺝ -ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ :ﺍﻟﺯﻤﻥ ) ،(Timeﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )(s ﺒﻴﻜﻭﺜﺎﻨﻴﺔ
10−12
ﻨﺎﻨﻭﺜﺎﻨﻴﺔ
−9
1 picosecond
1 ps
10
1 ns
1 nanosecond
ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﺜﺎﻨﻴﺔ
10−6
1 µs
1 microsecond
ﻤﻴﻠﻲ ﺜﺎﻨﻴﺔ
10−3
1 ms
1 millisecond
ﺩﻗﻴﻘﺔ
60
1 min
1 minute
ﺴﺎﻋﺔ
3600
1h
1 hour
ﺍﻟﺠﺩﻭل 3-1ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ
10−15
10−2
10−3
10−6
10−9
103
10−2
10+3
10+6
10+9
10+15
ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ
ﻓﻴﺭﻤﻲ
ﺒﻴﻜﻭ
ﻨﺎﻨﻭ
ﻤﺎﻴﻜﺭﻭ
ﻤﻴﻠﻲ
ﺴﻨﺘﻲ
ﺩﻴﺴﻲ
ﻜﻴﻠﻭ
ﻤﻴﺠﺎ
ﺠﻴﺠﺎ
ﺘﻴﺭﺍ
ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ
F
p
n
µ
m
c
d
k
M
G
T
40
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ
ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ
ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل
ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻘﻁ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ
ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺘﺒﺩﻴﻠﻲ
A+B=B+A
ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ
c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB
ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ
A B C = = sin α sin β sin γ
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ A
A = A x i + Ay j + A z k
ﻁﻭل ﻤﺘﺠﻪ
A = Ax2 + Ay2 + Az2
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﻤﺤﻭﺭ n
cos θn = An / A
ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ
A iB = AB cos θ AB
ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﻁﻭﻟﻪ
A × B = AB sin θ AB
ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ aﻟﻤﺘﺠﻪ A
a = A/A
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ
1-1ﺘﻌﻁﻰ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻋﺎﺩﺓ ﺒـ .1 g/cm3ﻤﺎﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ؟ 2-1ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ .70 km/hﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ؟
3-1ﻴﻌﻁﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ، x = at 2 − bt 3ﺤﻴﺙ aﻭb
ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ .ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ aﻭ .b
ﺠﻤﻊ ﻭﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
4-1ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ A = 3i − 4 jﻭ B = −5i − 12 jﻭ C = −2i + 3 j؟ 5-1ﻤﺎﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ) (2,−2,4ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ oxﻭ oyﻭoz؟
6-1ﻴﺴﻴﺭ ﺸﺨﺹ ﻓﻲ ﻨﻔﻕ ﻤﺴﺎﻓﺔ 50 mﺸﺭﻗﺎ ﺜﻡ 100 mﺒﺎﺘﺠﺎﻩ 30°ﻏﺭﺏ ﺍﻟﺸﻤﺎل ،ﻭﺃﺨﻴﺭﺍ 150 mﻏﺭﺏ ﺍﻟﺠﻨﻭﺏ .ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺴﻴﺭﻫﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎ ﻟﻴﻌﻭﺩ ﻟﻤﻭﻀﻌﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ؟ 7-1ﺠﺩ ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) 16-1ﺃ(.
41
ﻣﻴﺮزا ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ .ق. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د .م ﻭﻤﺴﺎﺌل
8-1ﺤﻠل ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻭﺤﻠل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ.
9-1ﺠﺩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﺒﺎﻟﺸﻜل ) 16-1ﺏ( ﻤﺴﺘﻌﻤﻼ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ. 10-1ﺠﺩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ Aﻭ Bﻭ Cﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) 16-1ﺝ( ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ. y
)B(300
)A(200
45°
30°
x
)B(20 x
53°
y
)B(9.5
30°
37°
30°
)A(7
)C(155
)C(12
x
)ﺏ( ﺍﻟﺸﻜل )(16-1
)ﺃ(
)A(18
y
)ﺝ(
11-1ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل )17-1ﺃ( ﺍﻟﺠﺴﻡ mﺍﻟﺨﺎﻀﻊ ﻟﻌﺩﺓ ﻗﻭﻯ )ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ( .ﺤﻠل ﻜل ﻗﻭﺓ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ox
ﻭ oyﺜﻡ ﻋﻠﻰ OXﻭ.OY
y
Y
)B(10
N
F x
y
105° )A(5
θ
X w
)ﺃ(
x
30°
)ﺏ(
ﺍﻟﺸﻜل )(17-1
12-1ﺤﻠل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ Bﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ ﺒﺎﻟﺸﻜل )17-1ﺏ(. 13-1ﺠﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ C=A+Bﻭ D=A−Bﻭﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ Cﻭ Dﻟﻠﻤﺘﺠﻴﻬﻥ A = 2i + 3 jﻭ . B = i − 2 j 14-1ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ 20 kmﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺸﻤﺎل ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺜﻡ 30 kmﺸﺭﻗﺎ ﻭﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ 10 kmﺸﻤﺎﻻ. ﻤﺎﺒﻌﺩ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﻬﺎ ﻭﺒﺄﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ؟
15-1ﻴﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ) Mﻁﻭﻟﻪ 5ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 37°ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ( ﻤﻊ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Nﻓﻭﺠﺩ ﺃﻥ ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ 5ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 53°ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ. ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ N؟
42
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل :ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ،ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ 16-1ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﺘﺠﻪ Aﻁﻭﻟﻪ 2ﻭﺤﺩﺓ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 60°ﻓﻭﻕ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ B ﻁﻭﻟﻪ 4ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 60°ﺘﺤﺕ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ .ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ A+Bﻭ A−B
ﻭ B−A؟
17-1ﺍﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ A = 3i + 4 jﻭ B = −4i + 3 jﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ oyﻤﺩﺭﺠﻴﻥ ﺒﺸﻜل ﻤﻨﺎﺴﺏ ﻭﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ A+Bﻭ A−Bﻭﻗﺎﺭﻥ ﻨﺘﺎﺌﺠﻙ ﺒﺎﻹﺠﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ.
ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
18-1ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻁﻭل ﺍﻷﻭل 10ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ 6ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ 30°؟
19-1ﻴﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ A = 3i + 4 jﻭ . B = −i + 3 j − 2kﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺔ ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ؟ 20-1ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ A = 3.2i + 1.6 jﻭ B = 0.5i + 4.5 j؟ ﻭﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Cﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ Aﻭﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xy؟
21-1ﻤﺎ ) A i(B + Cﻭ ) A × (B + Cﻭ ) A i(B × Cﻭ ) A × (B × Cﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ A = 3i − 2 j + kﻭ B = 4kﻭ ﻭ C = 2i − 3 j؟
22-1ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ A − B + Cﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ozﺤﻴﺙ
A = 5i + 4 j − 6k
ﻭ B = −2i + 2 j + 3kﻭ C = 4i + 3 j + 2k؟
23-1ﻟﻴﻜﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ A = 2i + 3 jﻭ ) . B = i − 2 jﺃ( ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ )ﺏ( ﺍﺤﺴﺏ A + Bﻭ A − Bﻭﺍﻜﺘﺏ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻭﺠﺩ ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ. )ﺝ( ﺍﺤﺴﺏ A iBﻭﺠﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ) .ﺩ( ﺍﺤﺴﺏ A × Bﻭﺍﻜﺘﺒﻪ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺴﺏ
ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ.
24-1ﻤﺎﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺸﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ Aﻭ Bﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ؟ ﻗﺎﺭﻥ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ﺒﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ . A × B 25-1ﻴﺒﻠﻎ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Aﺴﺕ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺒﻠﻎ ﻁﻭل Bﺃﺭﺒﻊ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 30°ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ .ﺠﺩ . A × B
26-1ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ A = 3i + j − 4kﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ oz؟
27-1ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ A = i + 2 j + 3kﻭ B = i + 2 j − 3k؟ 28-1ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ A = 2i + 3 j + 4kﻭ B = i − 2 j + 3k؟
29-1ﻤﺎ A iBﻭ B×Aﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻁﻭل 10 Aﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻁﻭل 6 Bﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ60°؟ 30-1ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) i×(j×kﻻﻴﺴﺎﻭﻱ .(i×j)×k 43
ﻣﻴﺮزا ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ .ق. ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ -د .م ﻭﻤﺴﺎﺌل
31-1ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ A i(A × B) = 0ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ Aﻭ.B 32-1ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﻟﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ؟
33-1ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ A i(B × C ) = (A iB) × Cﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ Aﻭ Bﻭ) Cﻤﺴﺎﻋﺩﺓ :ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ(.
34-1ﺍﺭﺴﻡ
ﻭ B = 6i
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ A = 3i + 3 j
ﻭﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺜﻡ
ﺍﺤﺴﺏ A iBﻭﺠﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﻭﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ.
35-1ﻴﻘﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Aﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ yzﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ 63°ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ oyﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ، ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻘﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ Bﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xzﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ 48°ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ oxﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ
ﺃﻴﻀﺎ .ﺠﺩ ﻜل ﻤﻥ A iBﻭ A × Bﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺕ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻷﻭل 3.2ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .1.4 36-1ﺠﺩ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻜل ﻤﻥ Aﻭ Bﻭ A × Bﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ.
37-1ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺃﻥ A iB = A iCﺃﻭ A × B = A × Cﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ B=C؟ ﻫل ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ A iB = A iCﻭ A × B = A × C؟ ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻹﺳﻼم ﺃﺒﻭ ﻋﺒﺩ ﺍﷲ ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻤﻭﺴﻰ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ )ﺘﻭﻓﻲ 236ﻫـ 850 ،ﻡ(.
ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻴﻴﻥ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻡ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻜﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﻜﻴﺔ .ﻋﺎﺵ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺨﻠﻴﻔﺔ ﺍﻟﻌﺒﺎﺴﻲ ﺍﻟﻤﺄﻤﻭﻥ .ﻭﻫﻭ ﻤﺅﺴﺱ ﻋﻠﻡ
ﺍﻟﺠﺒﺭ ﻜﻌﻠﻡ ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ،ﻭﻗﺩ ﺃﺨﺫﻩ ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﻭﻥ ﻋﻨﻪ .ﻭﺃﻭل ﻤﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤل ﻜﻠﻤﺔ "ﺠﺒﺭ" ﻟﻠﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ﺍﻵﻥ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻻﺴﻡ .ﻭﺘﺭﺠﻊ ﻜل ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻬﻲ
ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺎﺕ ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺒـ ") "algorismﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻨﻰ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺭﻤﺠﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ(
ﺇﻟﻰ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ .ﻜﻤﺎ ﻴﺭﺠﻊ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻔﻀل ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻨﺎﺱ ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ
ﺍﻟﻬﻨﺩﻴﺔ )ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺎﻟﻴﺎ ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ( .ﻤﻥ ﺃﺴﻬﺎﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻭﺍﻋﺩ ﻭﺘﻁﻭﻴﺭﻫﺎ ،ﻜﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺨﻁﺄﻴﻥ ،ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ
ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ
ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﻤﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺒﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ
ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻨﺸﺭ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ ﺃﻭل ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﻟﻠﺠﻴﻭﺏ
ﻭﺍﻟﻅﻼل .ﻭﺃﺒﺩﻉ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ ﻓﻲ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ،ﻭﻭﻀﻊ ﺠﺩﺍﻭل ﻓﻠﻜﻴﺔ )ﺯﻴﺠﺎ( ﻤﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻟﻪ ﺍﻷﺜﺭ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﻀﻌﻬﺎ ﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻭﻥ ﻭﻏﻴﺭﻫﻡ
ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ .ﻤﻥ ﺃﺸﻬﺭ ﻜﺘﺒﻪ ﺍﻟﺠﺒﺭ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻭﺼﻭﺭﺓ ﺍﻷﺭﺽ ﻭ ﻋﻤل ﺍﻻﺴﻁﺭﻻﺏ.
44