Ch1

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ‪ :‬ﻋﻠﻢ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﺔ‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫‪ 1-1‬ﻤﻘﺩﻤﺔ‪ :‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ )‪(Physical Quantities‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻬﺘﻡ ﺒﻜل ﻤﺎﻓﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻅﻭﺍﻫﺭ ﻭﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﺤﻭﺍﺩﺙ‪ ،‬ﻓﻴﺼﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻭﻴﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺎﻭل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺃﺴﺒﺎﺒﻬﺎ ﻭﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ﻭﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﻫﻭﻋﻠﻡ ﻗﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪ ،‬ﻓﻜل ﻤﺎﻨﻌﺭﻓﻪ ﻋﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻤﻥ ﺤﻭﻟﻨﺎ ﻭﺍﻟﻘﻭﺍﻋﺩ ﻭﺍﻟﻨﻅﻡ ﺍﻟﺘﻲ‬

‫ﺘﺘﺤﻜﻡ ﺒﻪ ﻟﻴﺱ ﺇﻻ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﻭﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﺒﺸﺭ ﻟﻠﻅﻭﺍﻫﺭ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﺘﻔﺴﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ‬

‫ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ .‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺘﻭﻀﻊ ﻟﻭﺼﻑ ﺃﻭ ﺘﻌﻠﻴل ﺃﻱ ﻅﺎﻫﺭﺓ ﻻﺒﺩ ﻭﺃﻥ ﺘﺨﻀﻊ‬ ‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﺃﻭ ﺒﻁﻼﻨﻬﺎ‪ .‬ﻭﻋﻨﺩ ﻗﻴﺎﻤﻨﺎ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺎ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻤﺤﺩﺩﺓ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﻴﺭﻫﺎ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﻤﻌﻴﻥ‪ ،‬ﺃﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﺍﺭﺓ ﻤﻌﺩﻥ‬

‫ﻋﻨﺩ ﻭﻀﻌﻪ ﻓﻲ ﻓﺭﻥ ﺤﺎﺭ‪ .‬ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺔ )‪ (measured quantities‬ﻟﻠﺤﺼﻭل‬

‫ﻋﻠﻰ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺤﺴﻭﺒﺔ )‪ (calculated quantities‬ﻜﺴﺭﻋﺔ ﺍﻨﺘﺸﺎﺭ ﺍﻟﺼﻭﺕ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ ﻟﻤﻌﺩﻥ‪ ،‬ﻭﻫﻜﺫﺍ‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪ .‬م‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕق‪.‬ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ‬ ‫‪ 2-1‬ﻨﻅﺎﻡ‬

‫ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ )‪ .(physical quantity‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻁﻭل ﻏﺭﻓﺔ ﻫﻭ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﻤﺘﺎﺭ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻁﻭل‪ ،‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪4‬‬

‫ﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻡ‬

‫ﺒﺎﻟﺸﻜل ‪mv 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻻﻴﻌﺘﺒﺭ ﻜﻤﻴﺔ‬

‫ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ‪.‬‬

‫ﻭﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﻭﺼﻑ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻘﻴﺎﺴﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺤﺴﺎﺒﻬﺎ‪ .‬ﻓﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺒﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ‬

‫ﻨﻌﺭﻑ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺫﻟﻙ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻻﺘﻭﺠﺩ‬

‫ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺃﺒﺴﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺤﺘﻰ ﻨﻌﺭﻓﻬﺎ ﺒﻬﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ‬

‫ﻜﻤﻴﺎﺕ ﺃﺴﺎﺱ )‪ (basic quantities‬ﻭﺘﻜﺘﺏ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻙ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﺒﺩﻻﻟﺘﻬﺎ‪ .‬ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻤﺸﺘﻘﺔ ‪(derived‬‬

‫)‪ .quantities‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻫﺫ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻭ‪/‬ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻘﻁ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﻀﺭﻭﺒﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭﻤﻘﺴﻭﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )‪.(1 N=1 kg.m/s2‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺇﺫ ﻻﻴﺠﻭﺯ ﺃﻥ ﺘﺤﻭﻱ ﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺜﻼ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﺭﺒﻌﺔ ﺃﻭ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻜﻌﺒﺔ‪ ،‬ﻭﻫﻜﺫﺍ‪.‬‬ ‫‪ 2-1‬ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ )‪(SI units‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻴﺱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﺎﺭﻨﻬﺎ ﺒﻜﻤﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ )‪ ،(standard unit‬ﻜﺎﻟﻤﺘﺭ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ‪ .‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﻤﺜﻼ ﺇﻥ ﻁﻭل ﺤﺒل‬ ‫ﺜﻼﺜﻭﻥ ﻤﺘﺭﺍ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺒل ﻴﻌﺎﺩل ﺜﻼﺜﻴﻥ ﻀﻌﻔﺎ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺭﺍ ﻭﺍﺤﺩﺍ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﺘﻘﺭﺭ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪(Systeme SI‬‬

‫)‪ International‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ )‪ (m‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻁﻭل‪ ،‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )‪ (s‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺯﻤﻥ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ )‪ (kg‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ‪.‬‬

‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺃﻨﻅﻤﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻻﻨﺠﻠﻴﺯﻱ ﺤﻴﺙ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺍﻟﺒﺎﻭﻨﺩ ﻜﻭﺤﺩﺍﺕ ﺃﺴﺎﺱ‬ ‫ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﺜﻘل‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﻁﺭﻴﻘﻬﺎ ﻟﻠﺯﻭﺍل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺘﻔﺎﻕ ﺩﻭﻟﻲ ﻻﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻌﺘﻤﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ‪ ،‬ﻭﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺜﺒﻭﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﻊ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻭﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺴﺨﻬﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﻟﺘﻭﻓﻴﺭﻫﺎ ﻟﻠﻤﺨﺘﺒﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬

‫‪18‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﺘﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻴﻬﺎ‪ .‬ﻭﻨﺘﻁﺭﻕ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ‪.‬‬

‫‪ -1‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل )‪(length‬‬

‫ﺍﻋﺘﻤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻜﻭﺤﺩﺓ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﻋﺭﻑ ﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺎ ﺒﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ‬

‫ﺍﻟﻤﻠﻴﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻁﺏ ﺍﻟﺸﻤﺎﻟﻲ ﻭﺨﻁ‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻭﺍﺀ ﻤﺭﻭﺭﺍ ﺒﻤﺩﻴﻨﺔ ﺒﺎﺭﻴﺱ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﺘﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺒﺩﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻗﻀﻴﺏ ﻤﻌﺩﻨﻲ ﻤﺼﻨﻭﻉ ﻤﻥ‬

‫ﺨﻠﻴﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻼﺘﻴﻥ ﻭﺍﻹﺭﻴﺩﻴﻭﻡ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﺍﺭﺓ ‪،0 °C‬‬

‫ﻭﻴﺤﺘﻔﻅ ﺒﻪ ﻓﻲ ﻤﺘﺤﻑ ﻓﻲ ﺒﺎﺭﻴﺱ‪ .‬ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻗﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺩﻱ‬

‫ﺍﻟﻔﺎﺌﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻡ ﺒﻬﺎ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﺒﺤﺩﻭﺩ ‪ 0.023%‬ﻋﻤﺎ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻤﻘﺼﻭﺩ ﺒﻪ‪ ،‬ﻤﻊ ﺼﻌﻭﺒﺔ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺦ ﻤﻨﻪ‪ ،‬ﻨﺎﻫﻴﻙ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﻔﻴﻑ ﻓﻲ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ﺩﺭﺠﺔ‬

‫ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل‪ .‬ﻟﺫﻟﻙ ﺒﺤﺙ ﺍﺨﺘﺼﺎﺼﻴﻭ ﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻋﻥ ﻅﻭﺍﻫﺭ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻟﻴﺱ ﻟﻺﻨﺴﺎﻥ ﺃﻱ ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻬﺎ ﻭﻻﻴﻤﻜﻨﻪ ﺍﻟﺘﺩﺨل ﺒﺨﻭﺍﺼﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﺩﺭﻫﺎ ﺍﻟﺨﺎﻟﻕ ﺍﻟﻌﻅﻴﻡ‪.‬‬ ‫ﻓﺘﻘﺭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺅﺘﻤﺭ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻟﻠﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻋﺎﻡ ‪ 1960‬ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ "ﻭﺼﻔﺔ" ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺭ ﻟﻴﻜﻭﻥ‬

‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟـ ‪ 1,650,763.73‬ﻀﻌﻔﺎ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻤﻭﺠﺔ ﺍﻟﻠﻭﻥ ﺍﻷﺤﻤﺭ‪-‬ﺍﻟﺒﺭﺘﻘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺼﺎﺩﺭ ﻋﻥ ﻋﻨﺼﺭ‬

‫ﺍﻟﻜﺭﻴﺒﺘﻭﻥ )‪ (86Kr‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﺍﺨﺘﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻐﺭﻴﺏ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﺍﻷﺼﻠﻲ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﺴﺎﺒﻘﺎ‪ .‬ﻭﻴﺒﺩﻭ ﺠﻠﻴﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺴﺘﻘل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻥ ﺃﻱ ﺁﻟﺔ ﺃﻭ ﺘﺩﺨل‬ ‫ﺒﺸﺭﻱ‪ ،‬ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺠﺔ ﺍﻟﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﺍﻟﺒﺤﺜﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺨﺘﺒﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﺩﻗﺔ ﻭﺍﻟﺘﻘﺎﻨﺔ‬

‫ﺍﻷﻋﻅﻡ ﺘﻁﻠﺒﺕ ﺘﻌﺭﻴﻔﺎ ﺃﺩﻕ ﻟﻠﻤﺘﺭ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﺘﻘﺭﺭ ﻋﺎﻡ ‪ ،1983‬ﺨﻼل ﺍﻟﻤﺅﺘﻤﺭ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﻋﺸﺭ ﻟﻠﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻴﻴﺱ‪ ،‬ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺜﺒﻭﺘﺎ‪ ،‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭ‬

‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺨﻼل ‪ 1/299,792,458‬ﻤﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻗﺩ ﺘﺤﺩﺩﺕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 299,792,458‬ﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ‪ .‬ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ 1-1‬ﺒﻌﺽ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )‪(mass‬‬

‫ﻟﻌل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ﻫﻭ ﻤﻥ ﺃﺼﻌﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﺍﺠﻬﻬﺎ ﺍﺨﺘﺼﺎﺼﻴﻭﺍ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺒﺩﺀ ﺘﻘﺭﺭ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺨﻠﻴﻁ ﺍﻟﺒﻼﺘﻴﻥ‬

‫ﻭﺍﻹﺭﻴﺩﻴﻭﻡ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺘﻔﻅ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻓﻲ ﺒﺎﺭﻴﺱ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺩﻗﻴﻘﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺎﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺫﺭﺓ‬

‫ﺍﻟﻜﺭﺒﻭﻥ‬

‫‪12C‬‬

‫ﻭﻗﻭﺭﻨﺕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺒﻬﺎ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜﺘﻠﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ )ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ(‪ .‬ﻭﻟﻜﻥ‬ ‫‪19‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪ .‬م‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕق‪.‬ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ‬ ‫‪ 2-1‬ﻨﻅﺎﻡ‬

‫ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﺒﻜﺘل ﻤﻨﻅﻭﺭﺓ ﻭﻤﺤﺴﻭﺴﺔ ﺒﺩﻗﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻟﻡ‬ ‫ﻴﻜﻥ ﻤﻤﻜﻨﺎ‪ .‬ﻭﺒﺨﻼﻑ ﺃﺨﺘﻴﻬﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻁﻭل ﺒﻘﻴﺕ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺩﻭﻥ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﻗﻴﻕ ﺒﺸﻜل ﻜﺎﻑ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻗﺎﻡ ﻤﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﺼﻔﺎﺕ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻭﻤﻌﻬﺩ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻘﻨﻲ ﻓﻲ ﺃﻟﻤﺎﻨﻴﺎ ﺒﺎﺒﺘﻜﺎﺭ‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﻗﻁﻌﺔ‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻴﻠﻴﻜﻭﻥ ﺒﺩﻗﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ‪ .‬ﻓﺄﻤﻜﻥ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﻟﻴﻜﻭﻥ‬

‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺫﺭﺍﺕ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺴﻴﻠﻴﻜﻭﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ‬

‫ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺴﺦ ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻤﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺒﺘﺤﻀﻴﺭ ﻋﻴﻨﺔ‬

‫ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻱ‬

‫ﺘﺤﻭﻱ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ .‬ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ 1-1‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﺘل ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‪.‬‬

‫‪ -3‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ )‪(Time‬‬

‫ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﻅﺎﻫﺭﺓ ﺘﺘﻜﺭﺭ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﺨﻼل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ ،‬ﻜﺎﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﺒﻨﺩﻭل‬

‫ﺒﺴﻴﻁ ﺃﻭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﻜﺎﻥ ﺸﺎﺌﻌﺎ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻁﻭل ﺍﻟﻴﻭﻡ‬

‫ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ )ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼل ﺒﻴﻥ ﻅﻬﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﻴﻥ ﻟﻠﺸﻤﺱ ﻓﻲ ﻜﺒﺩ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ( ﻟﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ‬

‫‪ 86,400‬ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻱ ‪ 24‬ﺴﺎﻋﺔ‪ .‬ﻟﻜﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﻭل ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺨﻼل ﺍﻟﺴﻨﺔ‬ ‫ﺠﻌل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻏﻴﺭ ﺩﻗﻴﻕ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﺭﺩﺩ‬

‫ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﺫﺭﺍﺕ ﺒﻠﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﻜﻭﺍﺭﺘﺯ ﻜﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻟﻔﺘﺭﺓ‬ ‫ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﺩﻗﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﺭﺘﺒﻁ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ‬

‫ﺍﻟﺘﻲ ﻻﺘﺒﻘﻰ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ‪ .‬ﻓﺎﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺍﺕ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺴﻴﺯﻴﻭﻡ )‪ (133CS‬ﺒﺩﻻ‬

‫ﻤﻨﻬﺎ ﻭﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟـ‬

‫ﺴﺎﻋﺔ ﺴﻴﺯﻴﻭﻡ‬

‫‪ 9,192,631,1770‬ﺍﻫﺘﺯﺍﺯﺓ ﻤﻥ ﺫﺭﺍﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‪ .‬ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ 1-1‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻟﻔﺘﺭﺍﺕ‬ ‫ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬

‫ﻭﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﺎﻨﺴﺘﻌﻤل ﺃﻀﻌﺎﻓﺎ ﺃﻭ ﺃﺠﺯﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﻭﺤﺩﺓ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﺎ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻨﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻤﻀﺭﻭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﻟﻘﻭﺓ ﻤﺎ‪ ،‬ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﺴﻡ ﺨﺎﺹ ﺒﻬﺎ‪.‬‬

‫ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 2-1‬ﺍﺴﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻭﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺘﻬﺎ ﻟﻠﻁﻭل ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ‪.‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪ 3-1‬ﺍﻷﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺎ ﺇﻟﻰ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻘﻭﻯ‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪1-1‬‬ ‫ﺑﻌﺾ اﻷﻃﻮال ﻓﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ )‪(m‬‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﻜﺘﻞ ﻓﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ )‪(kg‬‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﻔﺘﺮات اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ )‪(s‬‬

‫ﺒﻌﺩ ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ‬

‫‪2×1016‬‬

‫ﺍﻟﻜﻭﻥ‬

‫‪1052‬‬

‫ﻋﻤﺭ ﺍﻟﻜﻭﻥ‬

‫‪5×1017‬‬

‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻋﻥ ﺍﻷﺭﺽ‬

‫‪9‬‬

‫ﻤﺠﺭﺓ ﺩﺭﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻨﺔ‬

‫‪41‬‬

‫ﻋﻤﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ‬

‫‪17‬‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ‬

‫‪7×108‬‬

‫ﺍﻟﺸﻤﺱ‬

‫‪9×030‬‬

‫ﻋﻤﺭ ﺍﻷﺭﺽ‬

‫‪1×1017‬‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ‬

‫‪6‬‬

‫ﺍﻷﺭﺽ‬

‫‪24‬‬

‫ﻋﻤﺭ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ‬

‫‪8‬‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻘﻤﺭ‬

‫‪1.7×106‬‬

‫ﺍﻟﻘﻤﺭ‬

‫‪7×1022‬‬

‫ﺴﻨﺔ ﺍﺭﻀﻴﺔ‬

‫‪3×107‬‬

‫ﺃﻋﻠﻰ ﺠﺒل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‬

‫‪3‬‬

‫ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﺭﺸﻴﻕ‬

‫‪1‬‬

‫ﻴﻭﻡ ﻭﺍﺤﺩ‬

‫‪4‬‬

‫ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻁﻭل ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ‬

‫‪1.7×100‬‬

‫ﺤﺸﺭﺓ‬

‫‪1×10−5‬‬

‫ﻤﺤﺎﻀﺭﺓ ﻤﻤﻠﺔ‬

‫‪3×103‬‬

‫ﻗﻁﺭ ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ‬

‫‪−10‬‬

‫ﺠﺭﺜﻭﻡ‬

‫‪−55‬‬

‫ﻨﺒﻀﺔ ﻗﻠﺏ‬

‫‪−1‬‬

‫ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ‬

‫‪1×10−14‬‬

‫ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ‬

‫‪2×10−27‬‬

‫ﻤﻭﺠﺔ ﺼﻭﺘﻴﺔ‬

‫‪1×10−3‬‬

‫ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ‬

‫‪−15‬‬

‫ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ‬

‫‪−31‬‬

‫ﻤﻭﺠﺔ ﻀﻭﺌﻴﺔ‬

‫‪−15‬‬

‫‪4×10‬‬

‫‪6.4×10‬‬

‫‪9×10‬‬

‫‪1×10‬‬

‫‪1×10‬‬

‫‪7×10‬‬

‫‪6×10‬‬

‫‪7×10‬‬

‫‪1×10‬‬

‫‪9×10‬‬

‫‪1.4×10‬‬

‫‪6×10‬‬

‫‪9×10‬‬

‫‪8×10‬‬

‫‪2×10‬‬

‫ﻭﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ﺘﺤﻭﻴل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﻵﺨﺭ ﺃﻭ ﻤﻥ‬ ‫ﺸﻜل ﻵﺨﺭ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ ﺒﺎﻟﺴﺎﻋﺔ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﻥ ‪ 2-1‬ﻭ‪ 3-1‬ﻟﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻥ ﺸﻜل ﻵﺨﺭ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪)/(1h × 3600 )=0.278 m/s‬‬ ‫‪km‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪1km/h=(1km × 1000‬‬

‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺤﻭل ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺃﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﻵﺨﺭ‪.‬‬ ‫‪ 3-1‬ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ )‪(Dimensions‬‬ ‫ﺇﻥ ﻤﻬﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﺭﺱ ﻟﻠﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﺃﻥ ﻴﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺒﻭﺴﺎﻁﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻪ ﻤﻨﻬﺎ‪ .‬ﻭﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺘﻭﺍﻓﻕ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ‬

‫ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﻀﻬﺎ‪ .‬ﻓﻼ ﻴﺠﻭﺯ ﻤﺜﻼ ﺃﻥ ﻨﺴﺎﻭﻱ ﺒﻴﻥ ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭﺍﺕ ﻭﺴﺎﻋﺎﺕ‪ ،‬ﺃﻭ ﺒﻴﻥ ﺠﻭل ﻭﻭﺍﺕ‪.‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻻﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﻤﻊ ﺴﺎﻋﺎﺕ ﻤﻊ ﺃﻤﺘﺎﺭ‪ ،‬ﺃﻭ ﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻤﺎﺕ ﻤﻊ ﺠﻭل‪ .‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﻭﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‪ .‬ﻭﺘﻌﻨﻲ‬

‫ﻜﻠﻤﺔ ﺒﻌﺩ )‪ (dimension‬ﻤﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ .‬ﻓﺴﻭﺍﺀ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻘﺩﻡ‬

‫ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻘﺼﺒﺔ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻷﺤﻭﺍل ﻨﺘﻜﻠﻡ ﻋﻥ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻫﻭ ﻁﻭل )‪(length‬‬

‫‪21‬‬

‫زا‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔق‪ .‬ﻣﻴﺮ‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ -‬د‪ .‬م‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء‬ ‫ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ‬ ‫‪ 3-1‬ﺃﺒﻌﺎﺩ‬

‫ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ]‪ .[L‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺭﻤﺯ ﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ )‪ [T] (time‬ﻭﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )‪ ،[M] (mass‬ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺔ ] [ ﻟﻠﺩﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﻭﺤﺩﺘﻬﺎ ﺃﻭ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺃﻋﻁﻴﻨﺎ ﺤﺠﻡ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ‪ V = π r 2 h‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ]‪ [V]=[L]2 [L‬ﺤﻴﺙ ‪ [L]2‬ﺒﻌﺩ ﻤﺭﺒﻊ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﻭ ]‪[L‬‬

‫ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ‪ ،‬ﺃﻤﺎ ‪ π‬ﻓﻬﻭ ﺭﻗﻡ ﻻﻴﻤﺜل ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ‪ .‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺠﻡ‬ ‫ﻫﻭ ‪ [V]=[L]3‬ﺃﻱ ﻤﻜﻌﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‪ .‬ﻓﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪1-1‬‬

‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ E = 12 mv 2 + mgh‬ﺤﻴﺙ ‪ m‬ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭ‪ v‬ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭ‪ g‬ﺘﺴﺎﺭﻉ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﻗﺭﺏ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭ‪ h‬ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ‪ .‬ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺘﻭﺍﻓﻕ‬

‫ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻼﺤﻅﻴﻥ ﺃﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ]‪ ،[M‬ﻭﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﻫﻲ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻤﻥ‪ ،‬ﺃﻱ ]‪ ،[L]/[T‬ﻭﺃﺒﻌﺎﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ ،‬ﺃﻱ ‪ .[L]/[T]2‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪[L]2‬‬ ‫]‪[L‬‬ ‫‪[L]2‬‬ ‫‪[L]2‬‬ ‫]‪+[M‬‬ ‫]‪[L]=[M‬‬ ‫]‪+[M‬‬ ‫‪[T]2‬‬ ‫‪[T]2‬‬ ‫‪[T]2‬‬ ‫‪[T]2‬‬

‫]‪[E]=[M‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﺤﺩﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻭﻫﻲ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻀﺭﻭﺒﺔ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺯﻤﻥ ﻭﻫﺫﻩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻁﺎﻗﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺠﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼﻭل ﺍﻟﻼﺤﻘﺔ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ ﻟﻡ‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻷﻨﻪ ﺭﻗﻡ ﻭﻻﻴﻤﺜل ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪2-1‬‬

‫ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻁﺎﻟﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺒﻌﺩ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻨﻪ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪:‬‬ ‫‪s = 12 v 0t 2 + vt‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ s‬ﻭ‪ v‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪ t‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪ v0‬ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻟﺤﻅﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻤﺭﺍﻗﺒﺘﻬﺎ )ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬

‫ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ( ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﺃﺒﻌﺎﺩ‪ .‬ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻟﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻤﻬﻤﻠﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ½ ﻟﻌﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻟﻪ‪ ،‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫?‬ ‫]‪[L ] = [L ] [T ]2 + [L ] [T‬‬ ‫]‪[T‬‬ ‫] ‪[T‬‬

‫‪22‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﺤﻴﺙ ]‪ [L]/[T‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻱ ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺯﻤﻥ‪ ،‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫?‬

‫] ‪[L ] = [L ][ T ] + [L‬‬ ‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﺴﺭ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 4-1‬ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ )‪(Significant figures‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺎ ﻓﺈﻥ ﺩﻗﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﻭﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻀﻤﻥ‬ ‫ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺴﺘﺨﺩﻤﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺨﺒﺭﺓ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﺎﻟﻘﻴﺎﺱ‪ ،‬ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﺎﺱ‬ ‫ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻨﺎ ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺴﻁﺭﺓ‬

‫ﻤﺘﺭﻴﺔ ﺩﻗﺘﻬﺎ‪ ± 0.1 cm‬ﻭﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ 16.3 cm‬ﻓﺫﻟﻙ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ‬

‫‪ 16.2 cm‬ﻭ‪ ،16.4 cm‬ﻭﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺔ ﺘﺤﻭﻱ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‪ .‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬

‫ﻗﺴﻨﺎ ﻋﺭﺽ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ 4.5 cm‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺘﻘﻊ ﺒﻴﻥ ‪ 4.4 cm‬ﻭ ‪ ،4.6 cm‬ﻭﺘﺤﻭﻱ ﻫﺫﻩ‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻓﻘﻁ‪ .‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺘﺸﻤل ﺃﻭل ﺭﻗﻡ ﺘﻘﺭﻴﺒﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ‪ ،‬ﺃﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻓﻲ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺭﺽ‪ .‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﺭﺽ‬

‫ﺒﺎﻟﺸﻜل ‪ 16.3±0.1 cm‬ﻭ‪ ،4.5±0.1 cm‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ .‬ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻵﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺒﻀﺭﺏ‬

‫ﻁﻭﻟﻬﺎ ﺒﻌﺭﻀﻬﺎ ﻓﻨﺠﺩ ‪ .(16.3 cm)(4.5 cm)=73.35 cm2‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻻﻴﺼﺢ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻬﺫﺍ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺤﻭﻱ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺴﺘﻴﻥ‪ .‬ﻭﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻟﻸﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺍﻻﺤﺘﻔﺎﻅ ﺒﻬﺎ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻻﻴﺯﻴﺩ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻷﻗل ﺩﻗﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻭﻱ ﺃﻗل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‪ .‬ﻭﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻻﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺸﻤل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺭﺽ‬ ‫ﻴﺤﻭﻱ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪.7.3×101 cm2 :‬‬

‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ ﻓﻲ ﺭﻗﻡ ﻤﺎ ﻗﺩ ﻴﺸﻜل ﻤﻌﻀﻠﺔ ﺇﻥ ﻟﻡ ﻴﺘﻡ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻌﻪ ﺒﺸﻜل‬

‫ﺼﺤﻴﺢ‪ .‬ﻓﻠﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ‪ 1500 g‬ﺃﻭ ‪ 1.5 kg‬ﻓﺈﻥ ﻜﻼ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ﺼﺤﻴﺢ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ‬ ‫ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﺒﻌﺸﺭﺓ ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﺓ ﻤﺎ‪ .‬ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻴﺤﻭﻱ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ‬

‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ ، 1.5 × 100 kg‬ﻭﺇﻥ ﺤﻭﻯ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻓﻨﻜﺘﺏ ‪ ، 1.50 × 100 kg‬ﻭﻫﻜﺫﺍ‪ .‬ﻭﺒﻨﻔﺱ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل ﻨﻜﺘﺏ ﺭﻗﻤﺎ ﻤﺜل ‪ 0.0015‬ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪ 1.5 × 10−3‬ﺇﺫﺍ ﺤﻭﻯ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻌﻨﻭﻴﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﺃﻭﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﻟﻨﺤﻭ ‪ 1.50 × 10−3‬ﺇﻥ ﺤﻭﻯ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭم‪ .‬ق‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ‪5-1‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺃﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﻴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻻﻴﻌﻨﻲ ﻜﻭﻨﻬﺎ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‪ ،‬ﺃﻤﺎ‬ ‫ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ‪ ،‬ﻤﺜل ‪ ،105‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﺤﺴﺏ ﻀﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻁﺒﻌﺎ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﺈﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻷﻗل‬

‫ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﻴﻤﻴﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻤﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺇﺫﺍ ﺠﻤﻌﻨﺎ‬

‫‪ 23.1+5.32‬ﻓﻴﺠﺏ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ 28.4‬ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻴﺱ ‪.28.42‬‬

‫ﻭﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﺒﺄﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺤﺘﻔﺎﻅ ﺒﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻪ‪ .‬ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﻓﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺃﺠﻬﺯﺓ ﻭﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‪ ،‬ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻭﻜﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ 5-1‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ )‪(Coordinate Systems‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺎ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻨﺠﻭﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﺃﻭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺓ ﺃﻭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺎﺭﻉ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ‬

‫ﻨﻜﻭﻥ ﻤﻌﻨﻴﻴﻥ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺱ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻗﺎﻡ ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺒﻤﺘﺎﺒﻌﺔ ﺠﺴﻡ ﻤﺎ )ﻨﺠﻡ ﺃﻭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺃﻭ ﻜﺭﺓ ﻗﺩﻡ‪ ،‬ﺍﻟﺦ( ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻓﻴﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺎ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﻌﻴﻥ‪ .‬ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻨﺘﻘل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻓﺈﻨﻪ‬

‫ﻴﺤﺩﺩ ﺒﻌﺩﻩ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ‪ .‬ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬

‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﻭﻀﻭﻋﺎ ﻤﻌﻘﺩﺍ ﻓﻌﻼ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩ‬ ‫ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻭﻴﺤﺩﺩ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﺭﺴﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩ‬

‫ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ :‬ﺸﺭﻕ‪-‬ﻏﺭﺏ ﻭﺸﻤﺎل‪-‬ﺠﻨﻭﺏ ﻭﺃﻋﻠﻰ‪-‬ﺃﺴﻔل‪ ،‬ﻴﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ‪3 m‬‬

‫ﺸﺭﻗﺎ ﻭ ‪ 7 m‬ﺠﻨﻭﺒﺎ ﻭ‪ 4 m‬ﻟﻸﻋﻠﻰ‪ .‬ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻓﺈﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ‬

‫ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﻓﻕ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺘﺤﺩﺩﻫﺎ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ‪ .‬ﻭﻟﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ‬ ‫ﺒﻜﻠﻤﺎﺕ ﺸﺭﻕ ﺃﻭ ﻏﺭﺏ ﺃﻭ ﺸﻤﺎل ﺃﻭ ﺠﻨﻭﺏ‪ ،‬ﺍﻟﺦ‪ ،‬ﻟﻴﺱ ﻋﻤﻠﻴﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻴﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﻨﺎﻙ‬

‫ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺃﻓﻀل ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻨﻌﺘﻤﺩ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ﺸﺒﻜﺔ ﻤﻥ ﺜﻼﺜﺔ‬ ‫ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ )‪ (coordinate system‬ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ )‪ (x-axis‬ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺸﺭﻕ‪-‬ﻏﺭﺏ ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ )‪ (y-axis‬ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ‬

‫ﺸﻤﺎل‪-‬ﺠﻨﻭﺏ‪ ،‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ )‪ (z-axis‬ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺃﻋﻠﻰ‪-‬ﺃﺴﻔل‪ .‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺁﻨﻔﺎ ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ x=+3 m‬ﻭ‪ y=−7 m‬ﻭ ‪ ،z=+4 m‬ﺤﻴﺙ ﻨﺘﻔﻕ ﺃﻥ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬

‫ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻌﻨﻲ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﺃﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻨﺤﻭ‬

‫‪24‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﻨﻭﺏ ﺃﻭ ﺍﻷﺴﻔل‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺃﻴﻀﺎ‪ .‬ﻭﺘﺴﻤﻰ ‪ x‬ﻭ‪ y‬ﻭ‪ z‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ‬ ‫)‪ ،(Cartesian coordinates‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ .(1-1‬ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻁﺭﻕ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ‬

‫ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻨﺎ ﺴﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‪.‬‬

‫‪z‬‬

‫ﺸﻤﺎل‬

‫‪y‬‬

‫ﺃﻋﻠﻰ )ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫)‪(z-axis‬‬

‫ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ‬

‫)ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ(‬

‫‪ x‬ﺸﺭﻕ‬

‫)‪(y-axis‬‬

‫)ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(1-1‬‬

‫)‪(x-axis‬‬

‫‪ 6-1‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ )‪(Vectors & Scalars‬‬ ‫ﺘﺘﻤﻴﺯ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﻌﻴﻥ ﻜﻠﻴﺎ ﺒﻌﺩﺩ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ‪ ،‬ﻤﻊ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ‪ .‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،75 kg‬ﺃﻭ ﺃﻥ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ‬

‫‪ ،−5 °C‬ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻭﺤﺩﻩ ﻜﺎﻑ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ‪ .‬ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ‬

‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ )‪ .(scalars‬ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻜﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻻﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ ﺒﺸﻜل ﻜﺎﻤل ﺒﻌﺩﺩ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ‪ .‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻴﺴﻴﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺎ ‪ A‬ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺎ ‪ d‬ﻓﺈﻥ‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﻭﺤﺩﻩ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﻑ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺒل ﻻﺒﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺸﺭﻗﺎ ﻜﺎﻥ ﺃﻡ ﻏﺭﺒﺎ‪ ،‬ﺸﻤﺎﻻ ﺃﻡ ﺠﻨﻭﺒﺎ‪ ،‬ﻭﻫﻜﺫﺍ‪ .‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ‪ ،‬ﻭﻫﻲ‬

‫ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ ،‬ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻤﻌﺎ‪ .‬ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﺴﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕ‬ ‫ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ )‪.(vectors‬‬

‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ﺒﺤﺭﻑ ﻏﺎﻤﻕ ‪ A‬ﺃﻭ ﺤﺭﻑ ﻋﺎﺩﻱ ﻭﻓﻭﻗﻪ ﺴﻬﻡ ﺼﻐﻴﺭ ‪ ، A‬ﻭﻴﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺒﻘﻁﻌﺔ‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ‪ PQ‬ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻬﺎ ﻤﻊ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺩل ﻤﻨﺤﺎﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪2-1‬ﺃ(‪.‬‬

‫ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ P‬ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻭ‪ Q‬ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ‪ .‬ﻭﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻁﻭل ‪ A‬ﺃﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫ﻁﻭل ‪PQ = PQ = A = A‬‬

‫)‪(1-1‬‬

‫‪25‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺍﻟﻤق‪.‬‬ ‫ﺠﺒﺭ م‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪.‬‬ ‫ﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ‪7-1‬‬

‫‪ 7-1‬ﺠﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ )‪(Vectors Algebra‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪A=B‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻭﻴﻤﺜل ﺍﻟﺸﻜل )‪2-1‬ﺏ( ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ .B‬ﺃﻤﺎ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ C‬ﻭ‪ D‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﻟﻜﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪2-1‬ﺝ(‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬

‫‪V‬‬

‫‪P‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫)ﺃ(‬

‫)ﺝ(‬

‫)ﺏ(‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(2-1‬‬

‫‪C=−D‬‬

‫‪ -2‬ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ )ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ(‪:‬‬

‫ﻟﺠﻤﻊ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ‪ A‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺭﺴﻡ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﺁﺨﺭ ﺘﻘﻊ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻷﻭل ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ‬

‫‪ ،B‬ﻓﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ B‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ‬ ‫ﻟﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(3-1‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻨﻘﻠﻨﺎﻩ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﺸﺭﻴﻁﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻋﻠﻰ ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(3-1‬‬

‫ﻤﺜل ‪3-1‬‬

‫ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 30 km‬ﺸﺭﻗﺎ ﺜﻡ ‪ 40 km‬ﺸﻤﺎﻻ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬

‫‪c‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻭﻀﺢ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪ ،(4-1‬ﻓﻨﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬

‫‪B‬‬

‫ﺒﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ‪30 km‬ﻤﻌﺘﺒﺭﻴﻥ ﻜل ‪1 cm‬‬

‫‪b‬‬

‫ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎ؟‬

‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 10 km‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻓﻴﻜﻭﻥ ﻁﻭل ‪ ،3 cm A‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺒﻤﺘﺠﻪ ‪ B‬ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻊ ‪ ،40 km‬ﺃﻱ ‪ .4 cm‬ﺜﻡ ﻨﻀﻊ‬

‫ﻍ‬

‫ﺵ‬ ‫‪C‬‬

‫‪θ‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(4-1‬‬

‫ﺒﺩﺍﻴﺔ ‪ B‬ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ A‬ﻭﻨﺼل ﺒﻴﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ ‪ A‬ﻭﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ B‬ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻱ ﻟﺤﺎﺼل‬ ‫ﺠﻤﻊ ‪ .A+B‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (4-1‬ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺘﺭ ‪ ac‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ‪ abc‬ﻴﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬ ‫‪= 5 cm‬‬

‫‪26‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ac = ab + bc‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫ﻓﻁﻭل ‪ c‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 5 cm‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﺎﺩل ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ .50 km‬ﻭﺃﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻓﻨﺤﺩﺩﻩ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ ‪A‬‬

‫ﻤﺜﻼ ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ abc‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪= 1.33 ⇒ θ = 53°‬‬

‫‪bc‬‬ ‫‪ab‬‬

‫= ‪tan θ‬‬

‫ﻭﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺒﺩﻴﻠﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪A+B=B+A‬‬

‫)‪(2-1‬‬

‫ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل‬

‫‪A+B‬‬

‫ﺃﻭﻻ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 40 km‬ﺜﻡ ‪ 30 km‬ﺸﺭﻗﺎ ﻭﺴﻴﺼل ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺠﺩﻨﺎﻩ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ .‬ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ‬

‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ )‪ ،(resultant‬ﻭﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (5-1‬ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺠﻤﻊ‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪.‬‬

‫‪C+D‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻤﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻷﻨﻪ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ‬

‫‪R‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(5-1‬‬

‫) ‪A − B = A + (− B‬‬

‫)‪(3-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ –B‬ﻤﺘﺠﻪ ﻤﺴﺎﻭ ﻟـ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻪ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ‪ ،‬ﻟﺫﺍ ﻨﺭﺴﻡ ‪ –B‬ﺃﻭﻻ ﻭﻨﺠﻤﻌﻪ ﻤﻊ ‪ ،A‬ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(6-1‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (7-1‬ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺭﺴﻤﻨﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬

‫‪A‬‬

‫ﺍﻟﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻜﻀﻠﻌﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ ﻓﻴﻪ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ ‪A‬‬

‫ﻭﻨﻬﺎﻴﺔ‬

‫‪B‬‬

‫ﻴﻤﺜل‬

‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪، C = A + B‬‬

‫ﺒﻴﻨﻤﺎ‬

‫ﻴﻤﺜل‬

‫ﺍﻟﻘﻁﺭ‬

‫‪B‬‬

‫ﺍﻵﺨﺭ‬

‫‪-B‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(6-1‬‬

‫ﺍﻟﻁﺭﺡ ‪ D = A − B‬ﺃﻭ ‪ ، −D = B − A‬ﺒﺤﺴﺏ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺨﺘﺎﺭﻩ‪.‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻤﻥ‬

‫‪-B‬‬

‫‪A+B‬‬

‫ﻋﻼﻗﺔ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ )‪ (cosine law‬ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ‬

‫‪D‬‬

‫‪-A‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﺩﻤﺔ‪ ،‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(7-1‬‬ ‫‪A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB‬‬

‫= ‪c‬‬

‫)‪(4-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ θΑΒ‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪.B‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ C‬ﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ ‪ A‬ﺃﻭ‪ B‬ﻤﻥ‬

‫‪A‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪θAB‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪γ‬‬

‫‪α‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(8-1‬‬

‫‪27‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺠﺒﺭم‪ .‬ق‪.‬‬ ‫‪ - 7-1‬د‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ‬

‫ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ )‪ (sine law‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin α sin β sin γ‬‬

‫)‪(5-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪.(8-1‬‬ ‫ﻤﺜل ‪4-1‬‬

‫ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﻥ ‪ C=A+B‬ﻭ‪ D=A−B‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (9-1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ A=7‬ﻭ ‪ B=6‬ﻭ ‪θ=120°‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ C=A+B‬ﻨﻜﻤل ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫ﻟﻬﺎ‪ .‬ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (4-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c = (7)2 + (6)2 + 2(7)(6) cos 120 ° = 6.6‬‬

‫ﻭﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪:(5-1‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪γ‬‬

‫‪-B‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin α sin β sin 60°‬‬

‫‪α1‬‬

‫‪β1‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(9-1‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪⇒ β = 52°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪β‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪B‬‬

‫‪sin β = 0.79‬‬

‫ﺍﻵﻥ‪ :‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻁﺭﺡ ‪ D=A−B‬ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (9-1‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪D = (7)2 + (6)2 + 2(7)(6)cos 60° = 11.3‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ D‬ﻤﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin α1 sin β1 sin 60°‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪⇒ α1 = 32°‬‬

‫‪sin α1 = 0.54‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎ )ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ(‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﺜﺎﻟﺙ‪ ،‬ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ ‪ C‬ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ Cx‬ﻭ‪ Cy‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪C = C x + Cy‬‬

‫‪28‬‬

‫)‪(6-1‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺨﺘﺭﻨﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻲ ‪ cx‬ﻭ‪ cy‬ﻟﻴﻜﻭﻨﺎ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪ ،(10-1‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪Cx‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Cy‬‬

‫= ‪C x = C cos θ ⇐ cos θ‬‬

‫‪C‬‬

‫)‪(7-1‬‬ ‫= ‪C y = C sin θ ⇐ sin θ‬‬

‫ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ‪ cx‬ﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ )‪(x-component‬‬

‫ﻭ‪ cy‬ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ )‪.(y-component‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻁﻭل ‪ C‬ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (10-1‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪C = C x2 + C y2‬‬

‫)‪(8-1‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪Cy‬‬ ‫‪Cx‬‬

‫= ‪tan θ‬‬

‫)‪(9-1‬‬

‫ﻭﻻﺒﺄﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻪ ﻜﺎﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ‬

‫‪y‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ‪ ox‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ‪ oy‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (8-1‬ﻜﻴﻔﻤﺎ‬

‫‪C‬‬

‫‪Cy‬‬

‫ﻨﺸﺎﺀ ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻫﺎ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺃﺩﻯ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪(7-1‬‬

‫ﻭ)‪ (8-1‬ﻭ)‪ (9-1‬ﻭﻟﺫﺍ ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ )‪.(orthogonal coordinate system‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Cx‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(10-1‬‬

‫ﻤﺜل ‪5-1‬‬ ‫ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‪ V‬ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (11-1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ox‬‬

‫ﻭ‪ oy‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 7‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭ‪θ=30°‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ )ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ(‪ :‬ﻟﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ‪V‬‬

‫ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪Vx‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪Vy‬‬

‫‪θ = 180 ° + 30 ° = 210 °‬‬

‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ )‪:(7-1‬‬ ‫‪V x = V cos θ = 7 cos 210° = −6.1‬‬

‫ﻭ‬

‫‪y‬‬

‫‪V‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(11-1‬‬

‫‪Vy = V sin θ = 7 sin 210° = −3.5‬‬

‫‪29‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺠﺒﺭ م‪ .‬ق‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ‪7-1‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (7-1‬ﺘﻌﻁﻴﻨﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺸﺭﻁ ﺃﻥ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ)ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ(‪ :‬ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ V‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﻋﻤﻭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻋﻤﻭﺩ ﺁﺨﺭ ﻤﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‪ .‬ﻭﺘﻜﻭﻥ‬

‫ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (11-1‬ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻀﻠﻊ ‪ ab‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ‪ ،abc‬ﺃﻱ‬

‫ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪V x = ab = 7 cos 30° = 6.1‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺒﻌﻜﺱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺃﻱ ﺃﻨﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺔ‪ ،‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪. V x = −6.1‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟـ ‪ V‬ﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﻋﻤﻭﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ ‪ oy‬ﻓﻨﻼﺤﻅ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (11-1‬ﺃﻥ ﻁﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ‪ bc‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ،abc‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪V y = bc = 7 sin 30° = 3.5‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‪ ،‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪V y = −3.5‬‬

‫ﻭﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺴﺎﺒﻘﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫‪A = A x + Ay‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪B = B x + By‬‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ ‪ C‬ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫) ‪C = (A x + A y ) + (B x + B y‬‬

‫ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ‪ C‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪30‬‬

‫) ‪C = ( A x + B x ) + (A y + B y‬‬

‫)‪(10-1‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫‪C x = Ax + B x‬‬

‫)‪(11-1‬‬

‫‪C y = Ay + B y‬‬

‫ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﺍﻗﺘﺼﺭ ﺤﺩﻴﺜﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻊ‬

‫ﻭﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ )ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩ(‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﺭﻑ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﺜﻼﺜﻴﺔ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ‪oxyz‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ oz‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ‬

‫‪z‬‬

‫ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ ‪ ox‬ﺇﻟﻰ ‪ oy‬ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬

‫‪ 90°‬ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ ‪ oy‬ﺇﻟﻰ ‪oz‬‬

‫‪A‬‬

‫ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ‪ 90°‬ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‪ ،‬ﻭﻤﻥ ‪ oz‬ﺇﻟﻰ ‪ox‬‬

‫ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 90°‬ﻋﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﺃﻴﻀﺎ‪ .‬ﻭﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل‬

‫‪y‬‬

‫‪Az‬‬

‫‪Ay‬‬ ‫‪Ax‬‬

‫)‪ (12-1‬ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻭﻤﺭﻜﺒﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﻋﻠﻴﻬﺎ‪ .‬ﻭﻴﻤﺜل ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺃﻱ ﻏﺭﻓﺔ‬

‫ﺃﻓﻀل ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(12-1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ -3‬ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪:‬‬

‫ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻜﻠﻴﺎ ﻋﻥ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺇﺫ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺴﻴﻌﻁﻲ‬ ‫ﻋﺩﺩﺍ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‪ ،‬ﻓﻠﻭ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺸﺨﺎﺹ )ﻜﻤﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ( ﻤﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﺨﻤﺴﺔ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ )ﻜﻤﻴﺔ‬

‫ﻋﺩﺩﻴﺔ( ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺩ ﻤﺎﻤﻌﻬﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻭﺩ ﺒﻀﺭﺏ ﻋﺩﺩﻫﻡ ﺒﻤﺎ ﻤﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ 15‬ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻫﻲ ﻜﻤﻴﺔ‬

‫ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺒﺎﻟﻁﺒﻊ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﺒﺤﺴﺏ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل‪ .‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﻌﺭﻑ ﺜﻼﺙ ﻁﺭﻕ ﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‪ :‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ( ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ )ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ( ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ‪.‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ‪:‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﻤﺘﺠﻬﺎ ‪ A‬ﺒﻌﺩﺩ ‪ n‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﺠﺩﻴﺩ ‪ B‬ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﻤﻨﺤﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﺼﻠﻲ ‪A‬‬

‫ﻭﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻌﻪ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪B = nA‬‬

‫)‪(12-1‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪ ،‬ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪n‬‬

‫ﺴﺎﻟﺒﺎ ﻓﺈﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺠﺒﺭ‪ .‬م‪ .‬ق‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ‪7-1‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻭ‪ .oz‬ﻓﺈﺫﺍ‬ ‫ﻓﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ‪ i‬ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻷﻁﻭﺍل ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ‬

‫ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻤﺤﻤﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻤﺜل ‪ Cx‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ ،(6-1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪Cx = Cx i‬‬

‫)‪(13-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻴﺩل ‪ Cx‬ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ‪ Cx‬ﻭﺘﺩل ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻓﻴﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ Cx‬ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﻟﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ C x = −4.5i‬ﻤﺜﻼ ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 4.5‬ﻭﺤﺩﺓ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ‪ .‬ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ‪ i‬ﺍﺴﻡ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﺤﺩﺓ )‪ (unit vector‬ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ‪.ox‬‬

‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﺤﺩﺓ ‪ j‬ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ‪ ،oy‬ﻭﺁﺨﺭ ‪ k‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ‪ ،oz‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ D‬ﺒﻭﺴﺎﻁﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻭ‪oz‬‬

‫ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪D = D x i + Dy j + D z k‬‬

‫)‪(14-1‬‬

‫ﻭﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻴﻌﻁﻲ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻭﺘﺩل‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭﻟﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ( )‪:(scalar or dot product‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪A iB = c‬‬

‫)‪(15-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺏ ﻗﻴﻤﺘﻪ‪:‬‬ ‫‪c = AB cos θ AB‬‬

‫)‪(16-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ θAB‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻁﻭل ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ )‪ (15-1‬ﻭ)‪ (16-1‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪A iB = AB cos θ AB‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫) ‪A iB = A(B cos θ AB ) = B (A cos θ AB‬‬

‫‪32‬‬

‫)‪(17-1‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ B cos θ AB‬ﺘﻤﺜل ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ B‬ﻋﻠﻰ ‪ ،A‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪ A cos θ AB‬ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻠﻰ ‪ ،B‬ﻓﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﻀﺭﺏ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﻤﺭﻜﺒﺔ‬

‫ﺍﻵﺨﺭ ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(13-1‬‬

‫‪Bcosθ‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﺘﺠﺩﺭ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻫﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪θ‬‬ ‫‪Acosθ‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(13-1‬‬

‫‪AiB = Bi A‬‬

‫)‪(18-1‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﺘﺒﺩﻴﻠﻲ ﻭﻟﻴﺱ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﻀﺭﻭﺒﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻷﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻫﻲ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻭ ﺴﺎﻟﺏ ﻓﻘﻁ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪6-1‬‬

‫ﻤﺎﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫)ﺃ(‬

‫‪i ii‬‬

‫) ﺏ(‬

‫) ﺝ(‬

‫‪ji j‬‬

‫)ﺩ( ‪i.j‬‬

‫‪k ik‬‬

‫)ﻫـ( ‪j.k‬‬

‫)ﻭ( ‪k.i‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﻌﻤل )‪ (17-1‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪i ii = ii cos θii‬‬

‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ ii=1‬ﻭ‪ θii=0‬ﻷﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﻨﻔﺴﻪ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻁﺒﻌﺎ‪ ،‬ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪i ii = 1‬‬

‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪i ii = ji j = k ik = 1‬‬

‫)‪(19-1‬‬

‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﻌﻤل )‪ (17-1‬ﻟﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪ii j = ij cos θ ij = (1)(1)cos 90° = 0‬‬

‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪i i j = jik = k ii = 0‬‬

‫)‪(20-1‬‬

‫ﻤﺜل ‪7-1‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ R = R x i + Ry j + R z k‬ﻓﺠﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ‪ R iR‬ﻭﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ R‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫) ‪R iR = (R x i + Ry j + R z k ).(R x i + R y j + R z k‬‬

‫‪33‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺠﺒﺭ م‪ .‬ق‪.‬‬ ‫‪ - 7-1‬د‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫) ‪R iR = R (i ii ) + R ( ji j) + R (k ik‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫) ‪+2R x Ry (i i j) + 2Ry R z ( jik ) + 2R z R x (k ii‬‬

‫ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (19-1‬ﻭ)‪ (20-1‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪R iR = R x2 + Ry2 + Rz2 = RR cos 0° = R 2‬‬

‫)‪(21-1‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪R = R x2 + Ry2 + R z2‬‬

‫)‪(22-1‬‬

‫ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ R‬ﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ ox‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻨﻀﺭﺏ ‪ R‬ﻋﺩﺩﻴﺎ ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ i‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪i iR = R x (i ii ) + R y (i i j) + R z (i ik ) = iR cos θ Rx‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ θRx‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ R‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ‪ i=1‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺠﺩ ﻤﻥ )‪ (1-19‬ﻭ)‪ (1-20‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪Rx‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪Ry‬‬

‫= ‪cos θ Rx‬‬ ‫= ‪cos θ Ry‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪Rz‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬

‫)‪(23-1‬‬

‫‪cos θ Rz‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻠﺯﻭﺍﻴﺎ ‪ θRx‬ﻭ ‪ θRy‬ﻭ ‪ θRz‬ﻋﺎﺩﺓ ﺒـ ‪ α‬ﻭ‪ β‬ﻭ‪ ،γ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1‬‬

‫)‪(24-1‬‬

‫ﻭﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺠﻴﻭﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ )‪ (direction cosines‬ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻬﺎ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (21-1‬ﺇﻟﻰ ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫‪A iB = AB cos θ AB = Ax B x + Ay B y + Az B z‬‬

‫ﻭﻴﺴﺘﻔﺎﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫)‪(25-1‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫ﻤﺜل ‪8-1‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ A = 2i + 6 j − 3k‬ﻭ ‪ B = i − j + k‬ﻓﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ )‪ (25-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‬

‫‪A iB = (2)(1) + (6)(−1) + (−3)(1) = −7 = AB cos θ AB‬‬

‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪A = (2)2 + (6)2 + (−3)2 = 7‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪B = (1)2 + (−1)2 + (1)2 = 1.7‬‬

‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪θ AB = 125°‬‬

‫⇒‬

‫‪A iB‬‬ ‫‪= −0.58‬‬ ‫‪AB‬‬

‫= ‪cos θ AB‬‬

‫ﺝ‪ -‬ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ )ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ( )‪:(vector or cross product‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻤﺘﺠﻴﻬﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪A×B = C‬‬

‫)‪(26-1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ C‬ﻤﺘﺠﻪ ﺠﺩﻴﺩ ﺘﻌﻁﻰ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪C = AB sin θ AB‬‬

‫)‪(27-1‬‬

‫ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪) A‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭل( ﻭﺘﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ‬ ‫‪) B‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ( ﻭﻋﻨﺩﻫﺎ ﺘﺸﻴﺭ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﺼﺎﺒﻊ )ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ‬ ‫ﻭﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ( ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪) C‬ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ(‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(14-1‬ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‬ ‫ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻭ‪ ،oz‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ )‪ (26-1‬ﻭ)‪ (27-1‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪A × B = AB sin θ AB‬‬

‫)‪(28-1‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪A × B = −B × A‬‬

‫)‪(29-1‬‬

‫‪35‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺠﺒﺭ م‪ .‬ق‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ‪7-1‬‬

‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻴﺱ ﺘﺒﺩﻴﻠﻴﺎ ﻟﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻲ‬

‫‪A‬‬

‫ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻤﻊ ﺘﻌﺎﻜﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﻥ‪ ،‬ﻓﻁﻭل ‪ A×B‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻁﻭل‬

‫‪ B×A‬ﻭﻟﻜﻥ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻪ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ‪:‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A = A x i + Ay j + A z k‬‬

‫ﻭ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(14-1‬‬

‫‪B = B x i + By j + B z k‬‬

‫ﻓﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Az‬‬

‫‪j‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪A × B = Ax‬‬

‫‪Bz‬‬

‫‪By‬‬

‫‪Bx‬‬

‫)‪(30-1‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪A × B = (Ay B z − A z B y )i + (A z B x − A x B z ) j + (A x B y − Ay B x )k‬‬

‫)‪(31-1‬‬

‫ﻤﺜل ‪9-1‬‬

‫ﻤﺎﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻌﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫)ﺃ(‬

‫‪i×i‬‬

‫) ﺏ(‬

‫‪j× j‬‬

‫) ﺝ(‬

‫‪k×k‬‬

‫)ﺩ( ‪) i × j‬ﻫـ(‬

‫‪j×k‬‬

‫)ﻭ(‬

‫‪k×i‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (26-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪i × i = ii sin 0° = 0‬‬

‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪i×i = j× j = k ×k = 0‬‬

‫ﻭﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪R×R = 0‬‬

‫ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ i × j‬ﻤﺜﻼ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪i × j = ij sin 90° = 1‬‬

‫‪36‬‬

‫)‪(32-1‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﻓﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ ‪ i × j‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ‬ ‫‪ i‬ﻭ‪ j‬ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ‪ i‬ﻭ‪ j‬ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟﻠﺜﻼﺜﻴﺔ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻭ‪ .oz‬ﻓﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻫﻭ‬ ‫ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ ،k‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬

‫ﻭ‬

‫‪i× j = k‬‬

‫‪j×k = i‬‬

‫ﻭ‬

‫‪k×i = j‬‬

‫)‪(33-1‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ )‪ (33-1‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ‬

‫‪j × i = −k‬‬

‫‪k × j = −i‬‬

‫ﻭ‬

‫‪i × k = −j‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل)‪ (15-1‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻀﺭﺏ‬

‫ﻤﺘﺠﻪ ﺒﺂﺨﺭ ﻴﻠﻴﻪ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺘﻲ ﺒﻌﺩﻫﻤﺎ‬

‫‪k+‬‬

‫)‪(34-1‬‬

‫‪j‬‬

‫‪i‬‬

‫‪k‬‬

‫‪j‬‬

‫‪− i‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(15-1‬‬

‫ﺒﺈﺸﺎﺭﺓ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺴﺭﻨﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻬﻡ‪ ،‬ﻭﺒﺈﺸﺎﺭﺓ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺴﺭﻨﺎ‬

‫ﺒﻌﻜﺴﻪ‪ .‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪.(15-1‬‬ ‫ﻤﺜل ‪10-1‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ R = 2i − 4 j + k‬ﻭ ‪ F = 3i + j − 5k‬ﻓﺎﺤﺴﺏ )ﺃ( ‪ τ = R × F‬ﻭ)ﺏ( ‪ θRF‬ﻭ)ﺝ(‬ ‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ R‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ )‪ (31-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‬ ‫‪τ = R × F = (20 − 1)i + (3 − (−10)) j + (2 − (−12))k = 19i + 13 j + 14k‬‬

‫)ﺏ( ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ R‬ﻭ‪ F‬ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫‪τ = R × F = RF sin θRF‬‬

‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪R = R x2 + R y2 + R z2 = 4.6‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪F = F x2 + Fy2 + F z2 = 5.9‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪37‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﻤﺘﺠﻪ ق‪.‬‬ ‫‪ -8-1‬د‪ .‬م‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬

‫‪τ = τ x2 + τ y2 + τ z2 = 26.9‬‬

‫ﻭﺒﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪θ RF = 82°‬‬

‫‪≈ 0.99‬‬

‫⇒‬

‫‪τ‬‬ ‫‪RF‬‬

‫= ‪sin θ RF‬‬

‫)ﺝ( ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ R‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (23-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪= −0.87 ⇒ θ Ry = 150°‬‬

‫‪Ry‬‬ ‫‪R‬‬

‫= ‪cos θ Ry‬‬

‫‪ 8-1‬ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ )‪(Unit Vector‬‬

‫ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻷﻱ ﻤﺘﺠﻪ ‪ A = A x i + Ay j + A z k‬ﺒﺄﻨﻪ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ﻭﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻷﻁﻭﺍل‪،‬‬

‫ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪A A x i + Ay j + A z k‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A x2 + Ay2 + A z2‬‬

‫=‪a‬‬

‫)‪(35-1‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ‪ a‬ﻭ‪ A‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻭﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل ‪ a‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺒﻨﻔﺴﻪ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪11-1‬‬

‫ﺠﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ‪. R = 3i − j + 4k‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ )‪ (35-1‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪j+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪i−‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪3i − j + 4 j‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪9 + 1 + 16‬‬

‫=‪r‬‬

‫ﻭﻴﺘﺭﻙ ﻟﻠﻘﺎﺭﺉ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻁﻭل ‪ r‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻭﺃﻨﻪ ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪.R‬‬ ‫ﻤﺜل ‪12-1‬‬

‫ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ )‪ (cosine law‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ θAB‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪.B‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ C = A + B‬ﻭﻨﻀﺭﺒﻪ ﺒﻨﻔﺴﻪ ﻋﺩﺩﻴﺎ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪38‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫‪cic = (A + B )i(A + B ) = A i A + A iB + Bi A + BiB‬‬

‫ﻭﺒﺤﺴﺏ )‪ (17-1‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪c 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB‬‬

‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪13-1‬‬

‫ﺒﺭﻫﻥ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺠﻴﺏ )‪ (sine law‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﻱ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin α sin β sin γ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(15-1‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ C = A + B‬ﻭﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﺘﻘﺎﻁﻌﻴﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪B‬‬

‫ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻓﻘﻁ‪ ،‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪γ‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(15-1‬‬

‫‪CB sin α = AB sin γ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪sin α sin γ‬‬

‫ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ C = A + B‬ﺘﻘﺎﻁﻌﻴﺎ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﻨﺠﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‪.‬‬

‫ﺒﺄﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ ﻴﺘﺤﺭﻙ؟‬ ‫‪39‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﻤﺘﺠﻪ ق‪.‬‬ ‫‪ -8-1‬د‪ .‬م‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬

‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 2-1‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ :‬ﺍﻟﻁﻭل )‪ ،(Length‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺭ )‪(m‬‬ ‫ﻓﻴﺭﻤﻲ‬

‫‪10−15 m‬‬

‫‪1F‬‬

‫‪1 Fermi‬‬

‫ﺃﻨﻐﺴﺘﺭﻭﻡ‬

‫‪10−10 m‬‬

‫‪1A‬‬

‫‪1 Angstrom‬‬

‫ﻨﺎﻨﻭﻤﺘﺭ‬

‫‪m‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1 nm‬‬

‫‪1 nanometer‬‬

‫ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﻤﺘﺭ‬

‫‪10−6 m‬‬

‫‪1 µm‬‬

‫‪1 micrometer‬‬

‫ﻤﻴﻠﻤﺘﺭ‬

‫‪m‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1 mm‬‬

‫‪1 millimeter‬‬

‫ﺴﻨﺘﻤﺘﺭ‬

‫‪10−2 m‬‬

‫‪1 cm‬‬

‫‪1 centimeter‬‬

‫ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ‬

‫‪10+3 m‬‬

‫‪1 km‬‬

‫‪1 kilometer‬‬

‫‪−9‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ :‬ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )‪ ،(Mass‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﺠﺭﺍﻡ )‪(kg‬‬ ‫ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﻏﺭﺍﻡ‬

‫‪10−9 kg‬‬

‫‪1 µg‬‬

‫ﻤﻴﻠﻴﻐﺭﺍﻡ‬

‫‪kg‬‬

‫‪−6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1 mg‬‬

‫‪1 milligram‬‬

‫ﻏﺭﺍﻡ‬

‫‪10−3 kg‬‬

‫‪1g‬‬

‫‪1 gram‬‬

‫ﻁﻥ‬

‫‪10+3 kg‬‬

‫‪1t‬‬

‫‪1 ton‬‬

‫‪1 microgram‬‬

‫ﺝ‪ -‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ‪ :‬ﺍﻟﺯﻤﻥ )‪ ،(Time‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )‪(s‬‬ ‫ﺒﻴﻜﻭﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪10−12‬‬

‫ﻨﺎﻨﻭﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪−9‬‬

‫‪1 picosecond‬‬

‫‪1 ps‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1 ns‬‬

‫‪1 nanosecond‬‬

‫ﻤﺎﻴﻜﺭﻭﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪10−6‬‬

‫‪1 µs‬‬

‫‪1 microsecond‬‬

‫ﻤﻴﻠﻲ ﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪10−3‬‬

‫‪1 ms‬‬

‫‪1 millisecond‬‬

‫ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫‪60‬‬

‫‪1 min‬‬

‫‪1 minute‬‬

‫ﺴﺎﻋﺔ‬

‫‪3600‬‬

‫‪1h‬‬

‫‪1 hour‬‬

‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 3-1‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬

‫‪10−15‬‬

‫‪10−2‬‬

‫‪10−3‬‬

‫‪10−6‬‬

‫‪10−9‬‬

‫‪103‬‬

‫‪10−2‬‬

‫‪10+3‬‬

‫‪10+6‬‬

‫‪10+9‬‬

‫‪10+15‬‬

‫ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ‬

‫ﻓﻴﺭﻤﻲ‬

‫ﺒﻴﻜﻭ‬

‫ﻨﺎﻨﻭ‬

‫ﻤﺎﻴﻜﺭﻭ‬

‫ﻤﻴﻠﻲ‬

‫ﺴﻨﺘﻲ‬

‫ﺩﻴﺴﻲ‬

‫ﻜﻴﻠﻭ‬

‫ﻤﻴﺠﺎ‬

‫ﺠﻴﺠﺎ‬

‫ﺘﻴﺭﺍ‬

‫ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ‬

‫‪F‬‬

‫‪p‬‬

‫‪n‬‬

‫‪µ‬‬

‫‪m‬‬

‫‪c‬‬

‫‪d‬‬

‫‪k‬‬

‫‪M‬‬

‫‪G‬‬

‫‪T‬‬

‫‪40‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬

‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬

‫ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل‬

‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬

‫ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻘﻁ‬ ‫ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ‬

‫ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺘﺒﺩﻴﻠﻲ‬

‫‪A+B=B+A‬‬

‫ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ‬

‫‪c = A 2 + B 2 + 2AB cos θ AB‬‬

‫ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin α sin β sin γ‬‬

‫ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ‪A‬‬

‫‪A = A x i + Ay j + A z k‬‬

‫ﻁﻭل ﻤﺘﺠﻪ‬

‫‪A = Ax2 + Ay2 + Az2‬‬

‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﻭﻤﺤﻭﺭ ‪n‬‬

‫‪cos θn = An / A‬‬

‫ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ‬

‫‪A iB = AB cos θ AB‬‬

‫ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻫﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﻁﻭﻟﻪ‬

‫‪A × B = AB sin θ AB‬‬

‫ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ a‬ﻟﻤﺘﺠﻪ ‪A‬‬

‫‪a = A/A‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ‬

‫‪ 1-1‬ﺘﻌﻁﻰ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻋﺎﺩﺓ ﺒـ ‪ .1 g/cm3‬ﻤﺎﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ؟‬ ‫‪ 2-1‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ .70 km/h‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ؟‬

‫‪ 3-1‬ﻴﻌﻁﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ ، x = at 2 − bt 3‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ‪b‬‬

‫ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ‪ .‬ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ‪ a‬ﻭ ‪.b‬‬

‫ﺠﻤﻊ ﻭﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫‪ 4-1‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ A = 3i − 4 j‬ﻭ ‪ B = −5i − 12 j‬ﻭ ‪ C = −2i + 3 j‬؟‬ ‫‪ 5-1‬ﻤﺎﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ )‪ (2,−2,4‬ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻭ‪oz‬؟‬

‫‪ 6-1‬ﻴﺴﻴﺭ ﺸﺨﺹ ﻓﻲ ﻨﻔﻕ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 50 m‬ﺸﺭﻗﺎ ﺜﻡ ‪ 100 m‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪ 30°‬ﻏﺭﺏ ﺍﻟﺸﻤﺎل‪ ،‬ﻭﺃﺨﻴﺭﺍ‬ ‫‪ 150 m‬ﻏﺭﺏ ﺍﻟﺠﻨﻭﺏ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺴﻴﺭﻫﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎ ﻟﻴﻌﻭﺩ ﻟﻤﻭﻀﻌﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ؟‬ ‫‪ 7-1‬ﺠﺩ ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ 16-1‬ﺃ(‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‪ .‬ق‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪ .‬م‬ ‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫‪ 8-1‬ﺤﻠل ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻭﺤﻠل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‪.‬‬

‫‪ 9-1‬ﺠﺩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ 16-1‬ﺏ( ﻤﺴﺘﻌﻤﻼ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ 10-1‬ﺠﺩ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ 16-1‬ﺝ( ﺒﺎﻟﺭﺴﻡ ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪B(300‬‬

‫)‪A(200‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪B(20‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪53°‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪B(9.5‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪37°‬‬

‫‪30°‬‬

‫)‪A(7‬‬

‫)‪C(155‬‬

‫)‪C(12‬‬

‫‪x‬‬

‫)ﺏ(‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(16-1‬‬

‫)ﺃ(‬

‫)‪A(18‬‬

‫‪y‬‬

‫)ﺝ(‬

‫‪ 11-1‬ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل )‪17-1‬ﺃ( ﺍﻟﺠﺴﻡ ‪ m‬ﺍﻟﺨﺎﻀﻊ ﻟﻌﺩﺓ ﻗﻭﻯ )ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ(‪ .‬ﺤﻠل ﻜل ﻗﻭﺓ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ox‬‬

‫ﻭ‪ oy‬ﺜﻡ ﻋﻠﻰ ‪ OX‬ﻭ‪.OY‬‬

‫‪y‬‬

‫‪Y‬‬

‫)‪B(10‬‬

‫‪N‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪105°‬‬ ‫)‪A(5‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪w‬‬

‫)ﺃ(‬

‫‪x‬‬

‫‪30°‬‬

‫)ﺏ(‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(17-1‬‬

‫‪ 12-1‬ﺤﻠل ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪17-1‬ﺏ(‪.‬‬ ‫‪13-1‬ﺠﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ‪ C=A+B‬ﻭ‪ D=A−B‬ﻭﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ‪ C‬ﻭ‪ D‬ﻟﻠﻤﺘﺠﻴﻬﻥ ‪ A = 2i + 3 j‬ﻭ ‪. B = i − 2 j‬‬ ‫‪ 14-1‬ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ ‪ 20 km‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺸﻤﺎل ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺜﻡ ‪ 30 km‬ﺸﺭﻗﺎ ﻭﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ‪ 10 km‬ﺸﻤﺎﻻ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﺒﻌﺩ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﻬﺎ ﻭﺒﺄﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ؟‬

‫‪ 15-1‬ﻴﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪) M‬ﻁﻭﻟﻪ ‪ 5‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 37°‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ( ﻤﻊ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ N‬ﻓﻭﺠﺩ ﺃﻥ ﻁﻭل ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ ‪ 5‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 53°‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ‪N‬؟‬

‫‪42‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ :‬ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪ ،‬ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‬ ‫‪ 16-1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﻁﻭﻟﻪ ‪ 2‬ﻭﺤﺩﺓ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 60°‬ﻓﻭﻕ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪B‬‬ ‫ﻁﻭﻟﻪ ‪ 4‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 60°‬ﺘﺤﺕ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪ .‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ A+B‬ﻭ ‪A−B‬‬

‫ﻭ ‪B−A‬؟‬

‫‪ 17-1‬ﺍﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A = 3i + 4 j‬ﻭ ‪ B = −4i + 3 j‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﻤﺩﺭﺠﻴﻥ ﺒﺸﻜل‬ ‫ﻤﻨﺎﺴﺏ ﻭﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ‪ A+B‬ﻭ‪ A−B‬ﻭﻗﺎﺭﻥ ﻨﺘﺎﺌﺠﻙ ﺒﺎﻹﺠﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ‪.‬‬

‫ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ‬

‫‪ 18-1‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻁﻭل ﺍﻷﻭل ‪ 10‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 6‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪30°‬؟‬

‫‪ 19-1‬ﻴﻌﻁﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ ‪ A = 3i + 4 j‬ﻭ ‪ . B = −i + 3 j − 2k‬ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺔ ﻜل ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ؟‬ ‫‪ 20-1‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A = 3.2i + 1.6 j‬ﻭ ‪ B = 0.5i + 4.5 j‬؟ ﻭﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ‬ ‫‪ C‬ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ‪ A‬ﻭﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪xy‬؟‬

‫‪ 21-1‬ﻤﺎ ) ‪ A i(B + C‬ﻭ ) ‪ A × (B + C‬ﻭ ) ‪ A i(B × C‬ﻭ ) ‪ A × (B × C‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ A = 3i − 2 j + k‬ﻭ‬ ‫‪ B = 4k‬ﻭ ﻭ ‪ C = 2i − 3 j‬؟‬

‫‪ 22-1‬ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ‪ A − B + C‬ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ oz‬ﺤﻴﺙ‬

‫‪A = 5i + 4 j − 6k‬‬

‫ﻭ ‪ B = −2i + 2 j + 3k‬ﻭ ‪ C = 4i + 3 j + 2k‬؟‬

‫‪ 23-1‬ﻟﻴﻜﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﻥ ‪ A = 2i + 3 j‬ﻭ ‪) . B = i − 2 j‬ﺃ( ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ )ﺏ(‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪ A + B‬ﻭ ‪ A − B‬ﻭﺍﻜﺘﺏ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻭﺠﺩ ﻁﻭل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫)ﺝ( ﺍﺤﺴﺏ ‪ A iB‬ﻭﺠﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪) .‬ﺩ( ﺍﺤﺴﺏ ‪ A × B‬ﻭﺍﻜﺘﺒﻪ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺴﺏ‬

‫ﻁﻭﻟﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ‪.‬‬

‫‪ 24-1‬ﻤﺎﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺸﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ؟ ﻗﺎﺭﻥ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ﺒﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ‪. A × B‬‬ ‫‪ 25-1‬ﻴﺒﻠﻎ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﺴﺕ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺒﻠﻎ‬ ‫ﻁﻭل ‪ B‬ﺃﺭﺒﻊ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 30°‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪ .‬ﺠﺩ ‪. A × B‬‬

‫‪ 26-1‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ A = 3i + j − 4k‬ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ‪oz‬؟‬

‫‪ 27-1‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A = i + 2 j + 3k‬ﻭ ‪ B = i + 2 j − 3k‬؟‬ ‫‪ 28-1‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A = 2i + 3 j + 4k‬ﻭ ‪ B = i − 2 j + 3k‬؟‬

‫‪ 29-1‬ﻤﺎ ‪ A iB‬ﻭ ‪ B×A‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻁﻭل ‪ 10 A‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻁﻭل ‪ 6 B‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪60°‬؟‬ ‫‪ 30-1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ i×(j×k‬ﻻﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.(i×j)×k‬‬ ‫‪43‬‬

‫ﻣﻴﺮزا‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‪ .‬ق‪.‬‬ ‫ﻣﺒﺎدئ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء اﻟﺠﺎﻣﻌﻴﺔ ‪ -‬د‪ .‬م‬ ‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫‪ 31-1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ A i(A × B) = 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪.B‬‬ ‫‪ 32-1‬ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﻟﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻘﻴﻤﺔ ﻜل‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ؟‬

‫‪ 33-1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ A i(B × C ) = (A iB) × C‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻱ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻭ‪) C‬ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ‪ :‬ﺍﻜﺘﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ(‪.‬‬

‫‪ 34-1‬ﺍﺭﺴﻡ‬

‫ﻭ ‪B = 6i‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ‪A = 3i + 3 j‬‬

‫ﻭﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺜﻡ‬

‫ﺍﺤﺴﺏ ‪ A iB‬ﻭﺠﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﻭﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ‪.‬‬

‫‪ 35-1‬ﻴﻘﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ A‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ yz‬ﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 63°‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ oy‬ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‪،‬‬ ‫ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻘﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ B‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ xz‬ﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 48°‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ ox‬ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬

‫ﺃﻴﻀﺎ‪ .‬ﺠﺩ ﻜل ﻤﻥ ‪ A iB‬ﻭ ‪ A × B‬ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺕ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻷﻭل ‪ 3.2‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪.1.4‬‬ ‫‪ 36-1‬ﺠﺩ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻜل ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻭ ‪ A × B‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬

‫‪ 37-1‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ A iB = A iC‬ﺃﻭ ‪ A × B = A × C‬ﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ‪B=C‬؟ ﻫل ﺘﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ‪ A iB = A iC‬ﻭ ‪ A × B = A × C‬؟‬ ‫ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻹﺳﻼم‬ ‫ﺃﺒﻭ ﻋﺒﺩ ﺍﷲ ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻤﻭﺴﻰ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ )ﺘﻭﻓﻲ ‪236‬ﻫـ‪ 850 ،‬ﻡ(‪.‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻴﻴﻥ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻜﺎﻥ ﻟﻬﻡ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻜﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﻜﻴﺔ‪ .‬ﻋﺎﺵ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺨﻠﻴﻔﺔ ﺍﻟﻌﺒﺎﺴﻲ ﺍﻟﻤﺄﻤﻭﻥ‪ .‬ﻭﻫﻭ ﻤﺅﺴﺱ ﻋﻠﻡ‬

‫ﺍﻟﺠﺒﺭ ﻜﻌﻠﻡ ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪ ،‬ﻭﻗﺩ ﺃﺨﺫﻩ ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﻭﻥ ﻋﻨﻪ‪ .‬ﻭﺃﻭل ﻤﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﻜﻠﻤﺔ "ﺠﺒﺭ" ﻟﻠﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ﺍﻵﻥ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻻﺴﻡ‪ .‬ﻭﺘﺭﺠﻊ ﻜل ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻬﻲ‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺎﺕ ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺒـ "‪) "algorism‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻨﻰ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺭﻤﺠﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ(‬

‫ﺇﻟﻰ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﻴﺭﺠﻊ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻔﻀل ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻨﺎﺱ ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺩﻴﺔ )ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺎﻟﻴﺎ ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ(‪ .‬ﻤﻥ ﺃﺴﻬﺎﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻘﻭﺍﻋﺩ ﻭﺘﻁﻭﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﻜﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺨﻁﺄﻴﻥ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﻤﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺒﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﺸﺭ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ ﺃﻭل ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﻟﻠﺠﻴﻭﺏ‬

‫ﻭﺍﻟﻅﻼل‪ .‬ﻭﺃﺒﺩﻉ ﺍﻟﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻲ ﻓﻲ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ‪ ،‬ﻭﻭﻀﻊ ﺠﺩﺍﻭل ﻓﻠﻜﻴﺔ )ﺯﻴﺠﺎ( ﻤﻤﺎ‬ ‫ﻜﺎﻥ ﻟﻪ ﺍﻷﺜﺭ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﻀﻌﻬﺎ ﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻭﻥ ﻭﻏﻴﺭﻫﻡ‬

‫ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ‪ .‬ﻤﻥ ﺃﺸﻬﺭ ﻜﺘﺒﻪ ﺍﻟﺠﺒﺭ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻭﺼﻭﺭﺓ ﺍﻷﺭﺽ ﻭ ﻋﻤل‬ ‫ﺍﻻﺴﻁﺭﻻﺏ‪.‬‬

‫‪44‬‬