ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ
ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮ )(Plane Motion
1-3ﺘﻤﻬﻴﺩ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ﻭﺍﺴﺘﺨﺭﺠﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ،ﺜﻡ ﺍﻨﺘﻘﻠﻨﺎ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺒﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺤﺭ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﺃﻫﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ
ﺍﻟﺸﺎﺌﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ،ﻜﺎﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ .ﻟﺫﺍ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ،ﺜﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ ﻷﻨﻬﺎ ﺴﻬﻠﺔ ﻭﻟﻬﺎ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻴﻭﻤﻴﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ .ﻓﻨﺼﻔﻬﺎ ﻭﻨﺤﻠﻠﻬﺎ ﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﻨﺎﺴﺒﻴﻥ ،ﻭﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻟﻬﺎ .ﺜﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻭﺩﻭﺭﻫﺎ ﻭﺘﺭﺩﺩﻫﺎ .ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺒﻌﺽ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻬﺎ.
2-3ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
y
ﺇﺫﺍ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﻜﺭﺓ ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(1-3ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻋﻨﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ
v
ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺃﺭﺽ ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ .ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ
ﺒﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻬﺎ rﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ vﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ aﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ
a x
r
ﺍﻟﺸﻜل )(1-3
ﻟﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ) oxﻁﻭل ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ( ﻭ) oyﻋﺭﻀﻬﺎ( ﻤﺜﻼ. 67
2-3ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ: ⎧r = xi + yj ⎪⎪ ⎨v = v x i + v y j ⎪ ⎪⎩a = a x i + a y j
)(1-3
ﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ: dx dt
= vx
ﻭ
dy dt
= vy
)(2-3
ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ: dv x d 2x = dt dt 2
= ax
ﻭ
d 2y 2
dt
=
dv y dt
= ay
)(3-3
ﻤﺜل 1-3
ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ v0=3 i m/sﻭﺘﺴﺎﺭﻉ a=−i+2j m/s2ﺤﻴﺙ iﻭj
ﻤﺘﺠﻬﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻟﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ .ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺒﻌﺩ 5 s؟
ﺍﻟﺤل :ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻷﻨﻪ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻟﺫﺍ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﻭﻨﻜﺘﺏ: v = at + v 0 = (−i + 2 j)t + 3i = (−t + 3)i + (2t ) j m/s
ﻭ
r = 12 at 2 + v 0t + r0 = 12 (−i + 2 j)t 2 + (3i )t + 0 m
ﺤﻴﺙ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﻠﻜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ).r0=(0,0 ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ t=5 sﻨﺠﺩ: ﻭ
v(5) = −2i + 10 j m/s r(5) = 2.5i + 25 j m
3-3ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ )(Projectile Motion ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺃﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻨﻪ ﻤﻘﺫﻭﻑ ،ﻜﻜﺭﺓ ﻗﺩﻡ ﺘﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ،ﺃﻭ ﻤﺎﺀ ﻴﻨﺩﻓﻊ
a
ﻤﻥ ﻨﺎﻓﻭﺭﺓ .ﻭﺘﺘﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﻋﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺭﻴﺎﺡ ﺃﻭ ﻗﻭﻯ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻜﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ 68
a
a
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ ،ﺃﻱ ﺃﻥ: a = g = −gj m/s 2
)(4-3
ﺤﻴﺙ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ )ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ( ﻨﺤﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ.
ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻨﺠﺩ: ax = 0
ﻭ
a y = −g
)(5-3
ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﻨﺠﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ: ⎧⎪v x = a x t + v 0 x = v 0 x ⎨ ⎪⎩v y = a y t + v 0y = −gt + v 0y
)(6-3
ﺤﻴﺙ v0xﻭ v0yﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ ،oyﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ. ﻜﻤﺎ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ )ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ( ﻭﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ )ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ:
+ v 0x t + x 0x = v 0x t + x 0x
1 a t2 2 x
+ v 0y t + y 0 = − 12 gt 2 + v 0y t + y 0
2
1 a t 2 y
= ⎧x ⎪ ⎨ = ⎪⎩y
)(7-3
ﺤﻴﺙ ) (x0,y0ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ).(0,0 ﻭﻟﻔﻬﻡ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﻤﻘﺫﻭﻑ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺭﺍﻗﺏ ﻜﺭﺓ ﺘﻁﻠﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،v0ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(2-3ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻁﻴﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻓﺘﺭﺘﻔﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺜﻡ ﺘﻌﻭﺩ ﻟﻸﺭﺽ.
ﻓﻠﻭ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﻅل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺨﻼل ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺒﻘﻌﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻀﻌﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻤﺒﺘﻌﺩﺍ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ .ﺇﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﻤﺜل
ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ .ﻭﺘﺩل xﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ
y
) (8-3ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﺒﻌﺩ ﺯﻤﻥ
tﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩل vxﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭ axﻋﻠﻰ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ.
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻜﻭﻥ ax=0ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ
ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﺃﻨﻪ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﺩﺃ ﺒﻬﺎ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺭﻤﺯﻨﺎ
x
ﺍﻟﺸﻜل )(2-3
69
3-3ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ
ﻟﻬﺎ ﺒـ .voxﺃﻤﺎ ﻟﻭ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﻅل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ oyﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻴﻀﺎ ﺒﻘﻌﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻤﺒﺩﺌﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺒﻠﻎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﺜﻡ ﻴﻌﻭﺩ ﺃﺩﺭﺍﺠﻪ
ﻟﻸﺴﻔل .ﻭﻟﻭ ﺃﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﻘﺫﻭﻑ ﺃﻥ ﻴﻨﺯل ﺘﺤﺕ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻟﺘﺎﺒﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻟﻸﺴﻔل .ﺇﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻫﻭ ﻤﺎﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ،ﺃﻱ ،y
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ) (5-3ﻭ) (6-3ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ) –gﺒﻔﺭﺽ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻟﻸﻋﻠﻰ( ﻭﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ vyﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ ﻤﺭﻭﺭ
ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ﻟﻔﺘﺭﺓ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺜﻡ ﻴﺘﻨﺎﻗﺹ
Q
vQ
ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﺃﺒﺩﺍ .ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻻﺘﺘﺤﺭﻙ
v0
y v0y
ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻻ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒل ﺘﻁﻴﺭ
vx
B
R C
vy θ
ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﺒﺸﻜل ﺤﺭ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(2-3ﻭﺘﻜﻭﻥ
x
ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺴﺭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻅﻠﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ
ymax
θ0
v0x
A
y0
vC
ﺍﻟﺸﻜل )(3-3
ﻭﻤﻭﻀﻌﻬﺎ ﻤﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﻭﻀﻌﻴﻬﻤﺎ ﻜﺫﻟﻙ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ v0xﻭ v0yﻟﺤﻅﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(3-3ﻓﻨﻜﺘﺏ: ⎧⎪v 0 x = v 0 cos θ 0 ⎨ ⎪⎩v 0y = v 0 sin θ 0
)(8-3
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: ⎧v = v 2 + v 2 x y ⎪⎪ ⎨ vy = ⎪tan θ ⎩⎪ vx
)(9-3
ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻤﺎﻨﺤﺘﺎﺝ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺫﻟﻙ ﻭﻤﺩﺍﻫﺎ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﺼل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺃﻭﻻ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ vyﺘﺼﻴﺭ ﺼﻔﺭ ﻫﻨﺎﻙ. ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ):(6-3
v y = −gt max + v oy = 0
ﻭﻤﻨﻪ v o sin θ g
70
=
v oy g
= t max
)(10-3
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ tmaxﻓﻲ ):(7-3 2 y max = − 12 gt max + v 0y t max + y 0
ﺃﻱ ﺃﻥ: v 02 sin 2 θ 0 + y0 2g
= + y0
v 02y 2g
= y max
)(11-3
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ:
ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺘﺴﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻏﻴﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺨﻼل ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ) (7-3ﻓﻨﺠﺩ: )x 2 + (tan θ 0 )x + y 0
g 2
cos θ 0
2v 02
(y = −
)(12-3
ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟـ y = ax 2 + bx + cﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﻤﺘﻘﻌﺭﺍ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل ﺘﻘﻊ ﺫﺭﻭﺘﻪ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Qﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (3-3ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ).(11-3 ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ):(range
ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﻟﺘﻌﻭﺩ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ .ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺸﻜل
) (3-3ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ABﻭﻋﻨﺩﻫﺎ ﻴﻜﻭﻥ ،y=y0ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ):(12-3 2v 02 sin θ 0 cos θ 0 v 02 sin 2θ 0 = g g
=
2v 0 x v 0y g
=R
)(13-3
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ،ﻜﺸﻜل ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺃﻋﻠﻰ
ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺩﺍﻩ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﻤﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ )ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ( ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﻠﻕ ﺒﻬﺎ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥ ﺍﻹﻁﻼﻕ .ﻭﺘﻭﻀﺢ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ. ﻤﺜل 2-3
ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ 1 mﻓﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 1.5 mﻤﻥ ﺤﺎﻓﺘﻬﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل
)) .(4-3ﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ؟ ﻭﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻸﺭﺽ؟
71
3-3ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ
ﺍﻟﺤل :ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩ ﻋﻨﺩ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ ﺃﻥ ﻨﺤﺩﺩ ﻓﻲ ﻜل ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ )ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ( .ﻓﻨﻔﺘﺭﺽ ﻫﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺤﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﺇﻨﻁﻼﻕ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل (4-
v0=vx
) ،3ﻓﻴﻜﻭﻥ x0=0ﻭ .y0=1 mﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻜﺭﺓ θ0=0
ﻭﺘﺼﻴﺭ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ v 0 x = v 0ﻭ . v 0y = 0
A y0=1 m
)ﺃ( ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻁﻴﺭ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ﻭﺘﺴﻘﻁ
vx
ﻟﻸﺭﺽ ﻴﺼﻴﺭ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻷﻓﻘﻲ x=1.5 mﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ
vC
C θ
vy
.y=0ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ) (7-2ﻨﺠﺩ:
x=1.5 m
ﺍﻟﺸﻜل)(4-3
x = v 0x t + x 0 = v 0t
ﻭ y = − gt + v 0y t + y0 = − gt + 1 = 0 2
1 2
2
1 2
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺃﻥ: t=0.45 sﻭ v0=3.3 m/s )ﺏ( ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺼﻁﺩﺍﻤﻬﺎ ﺒﺎﻷﺭﺽ ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ )(6-3
ﻓﻨﺠﺩ: v x = v 0 x = 3.3 m/s
ﻭ v y = −gt + v 0y = −4.4 m/s
ﺃﻱ ﺃﻥ v = v x i + v y j = 3.3i − 4.4 j m/s
ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻫﻲ v = v x2 + v y2 = 5.5 m/s
ﻭﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻋﻨﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،ﻓﻨﻜﺘﺏ: − 4.4 = −1.3 ⇒ θ = −53° 3.3
72
=
vy vx
= tan θ
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﻤﺜل 3-3
ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﻫﻀﺒﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ 300 mﺒﺴﺭﻋﺔ
y
v0
ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 20 m/sﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 30°ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ .ﺠﺩ: ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺩﺍﻫﺎ
B
θ0
R
ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻬل.
ymax
ﺍﻟﺤل :ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )،(5-3
ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ:
x
y0
C
x
ﺍﻟﺸﻜل )(5-3
x 0 = 0, y0 = 300 m, v 0 = 20 m/s , θ 0 = 30°
ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻨﺠﺩ: 9.8 )x 2 + (tan 30°)x + 300 = −0.016x 2 + 0.58x + 300 2(20) cos 2 30° 2
(y = −
ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) (11-3ﻭﻨﻜﺘﺏ: v 02 sin2 θ 0 + y0 = 305.1 m 2g
= + y0
v 02y 2g
= y max
ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺒﻭﻀﻊ y=y0ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ: x B = R = 36.2 m
⇒
300 = −0.016x B2 + 0.58 x B + 300
ﻭﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻬل ﺒﻭﻀﻊ y=0ﻓﻲ ):(12-3 x = 156.2 m
⇒
y = −0.016x 2 + 0.58 x + 300 = 0
ﻤﺜل 4-3
ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 60°ﻓﻭﻕ ﺍﻷﻓﻕ
y
ﻓﺘﺼﻴﺏ ﺤﺎﺌﻁﺎ ﻴﺒﻌﺩ 30 mﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ، 15 mﻜﻤﺎ ﻓﻲ
30 m
ﺍﻟﺸﻜل)) .(6-3ﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻤﺎﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل
15 m
ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺎﻤﺩﺍﻫﺎ؟
ﺍﻟﺤل :ﻨﻀﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ، x 0 = y 0 = 0ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ
x
v0 60°
R
ﺍﻟﺸﻜل)(6-3 73
4-3ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ
ﻋﻨﺩ ﺍﺼﻁﺩﺍﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ﻫﻲ ، x 0 = 30 m, y = 15 mﻟﺫﺍ ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻓﻨﺠﺩ: )(30 )2 + (tan 60°)(30 ) + 0
9.8 cos 2 60°
2v 02
(15 = −
ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺠﺩ .v0=21.8 m/s
ﺃﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻓﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (11-3ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻨﻜﺘﺏ: v 02 sin2 θ0 = 18.3 m 2g
= + y0
v 02y 2g
= y max
4-3ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ )(Uniform Circular Motion ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ،ﻜﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ،ﺃﻭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ
ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻟﻠﺫﺭﺓ ،ﻤﻥ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ،ﺤﻴﺙ ﺘﺒﻘﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻷﺨﺭﻯ ﻤﻊ ﺒﻘﺎﺀ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺩﻭﺍﺭ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ
ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺭﺍﺴﻤﺎ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ ،ﺃﻭ ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ .ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﻟﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﻟﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (7-3ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺠﺴﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ rﻭﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺃﻱ ﻤﻭﻀﻊ ﻫﻲ ،vﺃﻱ ﺃﻥ . v1 = v 2 = v b v1
v1 B
A
v2
a A
r
r
∆v
B
c v 2 o
o
ﺍﻟﺸﻜل )(7-3
ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﺴﺘﻐﺭﻕ ﺯﻤﻨﺎ ∆tﻟﻼﻨﺘﻘﺎل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ Aﻭ Bﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل: ∆v v 2 − v1 = ∆t ∆t
= aav
ﻭﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻥ aﻴﻭﺍﺯﻱ ∆vﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (7-3ﺃﻨﻪ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ Aﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ .Bﺃﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﺘﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل 74
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ∆v/∆tﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (7-3ﺃﻥ ﺍﻟﺨﻁ ABﻴﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ،∆sﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ac
ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ .v2ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺨﻁ bcﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﻔﺭﻕ .∆vﻓﺈﺫﺍ ﺍﺴﺘﻔﺩﻨﺎ ﻤﻥ ﺘﺸﺎﺒﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ∧
∧
OABﻭ ،abcﻷﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺭﺃﺱ AOBﺘﺴﺎﻭﻱ bacﺒﺎﻟﺘﻌﺎﻤﺩ، ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﻨﺴﺏ ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻪ:
∆s r = ∆v v
OA
⇒
ac
=
AB bc
ﻭﻤﻨﻪ ∆v ∆s r ) () ( = ∆t ∆t v
= aav
ﻓﺈﺫﺍ ﺼﺎﺭﺕ Aﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ Bﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ∆tﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ∆v/∆tﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ aﻜﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ∆s/∆tﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ vﺒﺤﻴﺙ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ v2 r
= ac
)(14-3
ﻓﻠﻜل ﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ rﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ vﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ
v 2 /r
ﻭﻴﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ .ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺇﺫ ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺠﺴﻤﺎ ﻜﻬﺫﺍ ﻻﻴﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻁﺎﺭﺩﺓ ﺒﻌﻴﺩﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺸﺎﺌﻊ ،ﺒل ﻟﻘﻭﺓ ﺠﺎﺫﺒﺔ ﻨﺤﻭﻩ ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ.
ﻭﺘﺘﻤﻴﺯ ﻜل ﺤﺭﻜﺔ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﺩﻭﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﻭﺭ ) (periodﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ،Tﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ 2πrﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ
،vﺃﻱ ﺃﻥ: 2π r v
= T
)(15-3
ﻜﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺭﺩﺩ ) (frequencyﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ .f
ﻭﻴﺭﺘﺒﻁ ﺍﻟﺘﺭﺩﺩ ﺒﺩﻭﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ:
1 v = T 2π r
= f
)(16-3
ﻭﺘﻌﻁﻰ ﻭﺤﺩﺘﻪ ﺒـ 1/sﺃﻭ ﻫﺭﺘﺯ ) ،(Hzﺃﻱ ﺃﻥ .1 Hz=1 s−1 75
4-3ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ
ﻭﺘﺘﻤﻴﺯ ﻜل ﺤﺭﻜﺔ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ) (angular velocityﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﺩﺍﺭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ∆θﺨﻼل ﺯﻤﻥ ∆tﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:
∆θ ∆t
=ω
)(17-3
ﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺒﺎﻟﺭﺍﺩﻴﺎﻥ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ .ﻭﻟﺫﺍ ﺘﻘﺩﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒـ .rad/sﻭﻴﻤﻜﻥ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﻤﻌﻴﻥ ،ﻤﺜل ،rev/minﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻭﻴل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻟﺭﺍﺩﻴﺎﻥ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ) (revﺘﺴﺎﻭﻱ 2πﺭﺍﺩﻴﺎﻥ، ﻭﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ ) (minﺘﻌﺎﺩل 60ﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﺃﻱ ﻨﻜﺘﺏ ،rev/min=2π /60 rad/s :ﻭﻫﻜﺫﺍ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻟﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ vﺇﺫﺍ ﻻﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭﻩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ∆tﻴﺴﺎﻭﻱ ، ∆s = r∆θﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )،(8-3ﻭﺒﻘﻤﺴﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻋﻠﻰ
ﻭﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ v = ∆s / ∆tﻭ
ω = ∆θ / ∆ t
ﻨﺠﺩ:
∆t
∆s
r
∆θ
ﺍﻟﺸﻜل )(8-3
v = rω
)(18-3
ﻤﺜل 5-3
ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ ﻤﺭﺓ ﻜل 29.5ﻴﻭﻤﺎ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ
ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻫﻲ 385,000ﻜﻡ؟
ﺍﻟﺤل :ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻓﻲ ﺩﻭﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ:
s = 2π R = 2π (385 × 106 ) = 2.4 × 109 m
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺯﻤﻥ ﺩﻭﺭﺓ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻟﻠﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻭ: T = 29.5 × 24 × 3600 = 2.5 × 106 s
ﻓﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ: s 2.4 × 10 = = 9.6 × 102 m/s T 2.5 × 106 9
=v
ﻭﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ: v 2 (9.6 × 102 )2 = = 2.4 × 10−3 m/s2 r 385 × 106
76
=a
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻟﻜﺎﻥ ﻟﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ :ﺍﻷﻭل ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﻴﻐﻴﺭ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻘﻁ ﻨﺴﻤﻴﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ
at
ﻤﻤﺎﺴﻲ ) (tangential accelerationﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒـ ،at=dv/dtﻭﺍﻵﺨﺭ
aT
ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻟﻜﻥ ﻴﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻭﻨﺴﻤﻴﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ
ac
) (central accelerationﻭﻗﻴﻤﺘﻪ ، ac = v 2 /rﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(9-3
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ﻟﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ
ﺍﻟﺸﻜل )(9-3
ﻤﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:
aT = a t + ac
)(19-3
ﻭﻗﻴﻤﺘﻪ: a T = a t2 + a c2
)(20-3
5-3ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ )(Relative Velocity ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺘﺠﻠﺱ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ 5 m/sﻭﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺸﺨﺹ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ 3 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
M
ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﻟﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻭﺩﻉ )ﺍﻷﺭﺽ( ﻫﻲ ،5+3=8 m/s
ﺃﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﻷﺼﺒﺤﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ .5+(−3)=2 m/sﻓﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺔ
ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺩﻫﺎ.
vPM
vMO
ﻟﻙ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(10-3ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺘﺴﺎﺀل ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻭﺩﻉ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ؟ ﻤﻥ
P
O
ﺍﻟﺸﻜل)(10-3 P rpM
rMO M
rpO
O
ﺍﻟﺸﻜل)(11-3
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ Mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺩﻭﺭﻩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻜﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻨﺎﻁ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﺴﺎﻜﻥ ،Oﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(11-3ﻓﻨﻜﺘﺏ: rPO = rPM + rMO
)(21-3
ﺤﻴﺙ rPOﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ Oﻭ rMOﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ Mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ Oﻭ rPMﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ .Mﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻨﺠﺩ: v PO = v PM + v MO
)(22-3
ﺤﻴﺙ vPOﻭ vMOﺴﺭﻋﺔ Pﻭ Mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ Oﻭ vPMﺴﺭﻋﺔ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ . M 77
5-3ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ
ﻤﺜل 6-3
ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ 200 km/hﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﻗﻭﻴﺔ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﺭﻕ.
ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟
ﺍﻟﺤل :ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (12-3ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﻴﺢ ﻫﻲ
vPE
vPW
) ،vPW=200 j (km/hﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺢ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ vWE=100
) ،i (km/hﺤﻴﺙ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻟﻠﺸﺭﻕ ﻭﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻟﻠﺸﻤﺎل. ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻫﻲ:
vWE
ﺍﻟﺸﻜل )(12-3
v PE = v PW + vWE = 100i + 200 j km/h
ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻫﻲ v PE = (100)2 + (200)2 = 223 km/h
ﻭﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 200 ⇒ θ = 63° 100
= tan θ
ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ ﺃﺒﻭ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺤﺴﻴﻥ ﺒﻥ ﻋﺒﺩﺍﷲ ﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ )ﻭﻟﺩ ﻓﻲ ﺃﻓﺸﻨﺔ ،ﻗﺭﺏ ﺒﺨﺎﺭﻯ ﺴﻨﺔ 980
ﻡ ﻭﺘﻭﻓﻲ ﺴﻨﺔ 1036ﻡ( .ﺃﺘﻡ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﻓﻲ ﺴﻥ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭﺓ ﻭﺩﺭﺱ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﻥ
ﻜﺘﺏ ﺍﻷﺩﺏ .ﻜﺎﻥ ﺃﺒﻭﻩ ﺒﻘﺎﻻ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻤﺎ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﻓﺄﺭﺴﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﺭﺠل
ﻴﻌﻠﻤﻪ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻭﺩﺭﺱ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺸﺭﻋﻴﺔ ،ﻭﺃﻨﻬﻰ ﺘﺤﺼﻴل ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻓﻲ ﻋﺼﺭﻩ ﻭﻫﻭ ﻓﻲ ﺴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺩﺴﺔ ﻋﺸﺭﺓ ﻭﺃﺼﺒﺢ ﺤﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺏ
ﻭﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻟﺭﻴﺎﻀﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ،ﻭﻟﻡ ﻴﺒﻠﻎ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﻋﺎﻤﺎ .ﺜﻡ ﺩﺭﺱ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﺍﻟﻔﻘﻪ
ﻭﻁﺭﻕ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ،ﻭﻅل ﻴﺘﻨﻘل ﺒﻴﻥ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻷﻤﺭﺍﺀ ﻴﺸﺘﻐل ﺒﺎﻟﺘﻌﻠﻴﻡ
ﻭﺍﻟﺴﻴﺎﺴﺔ ﻭﺘﺩﺒﻴﺭ ﺸﺅﻭﻥ ﺍﻟﺩﻭﻟﺔ ،ﺤﺘﻰ ﺘﺠﺎﻭﺯﺕ ﻤﺼﻨﻔﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﺎﺌﺘﻴﻥ ،ﺒﻴﻥ ﻜﺘﺏ
ﻭﺭﺴﺎﺌل ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﺴﻌﺔ ﺜﻘﺎﻓﺘﻪ ﻭﺒﺭﺍﻋﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﺴﻔﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ ،ﻤﻨﻬﺎ
)ﺍﻟﺸﻔﺎﺀ( ﻭ )ﺍﻟﻨﺠﺎﺓ( ﻭﻫﻭ ﻤﺨﺘﺼﺭ ﻟﻠﺸﻔﺎﺀ ﻭﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻨﺒﻴﻬﺎﺕ .ﻅل ﺍﺒﻥ
ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ
78
ﺴﻴﻨﺎ ﻋﻤﺩﺓ ﺍﻷﻁﺒﺎﺀ ﻁﻴﻠﺔ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ،ﻜﻤﺎ ﻅل ﺃﻋﻅﻡ ﻋﺎﻟﻡ ﺒﺎﻟﻁﺏ ﻤﻨﺫ
1500 -1100ﻡ.
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل ⎫ ⎪ v x = v 0 x = v 0 cos θ 0 ⎪ ⎪ ⎬ v y = −gt + v oy = −gt + v 0 sin θ 0 ⎪ x = v0xt + x0 ⎪ ⎪ y = − 12 gt 2 + v 0y t + y 0 ⎭ v 02y v 2 sin2 θ 0 + y0 = 0 + y0 = y max 2g 2g ax = 0
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ
ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻠﻘﺫﻴﻔﺔ
a y = −g
,
2v 0 xv 0y
ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ
2v 02 sin θ 0 cos θ 0 g
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ
g )x 2 + (tan θ 0 )x + y0 2v 02 cos 2 θ 0
=
g
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ
a = v 2 /r
ﺩﻭﺭ ﻭﺘﺭﺩﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ
1 2π r = f v
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
(y = −
= T
ω = ∆ θ / ∆t
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ
=R
v = rω
v PO = v PM + v MO
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
1-3ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ 90°ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ 25 m/sﺨﻼل .6 sﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ؟
2-3ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ a = i − 4 j m/s 2ﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ r0=0ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=0ﺒﺴﺭﻋﺔ . 3i + 2 j m/sﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﻌﺩ 2 s؟
3-3ﻴﻌﻁﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ r = (6 + 2t 2 )i + (3 − 2t + 3t 2 ) jﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ rﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭt
ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﻴﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ t=2 s؟
4-3ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﻌﺩ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺴﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ، r = (2t − 3t )i + (t − 2t + 1) j 2
2
3
ﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ rﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭ tﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ) .ﺃ( ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=1 s؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺔ
ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=0؟
79
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
5-3ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻓﺘﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻤﻥ 3.6i − 2.9 j m/sﺇﻟﻰ
5.6i + 7.1 j m/s
ﺨﻼل ﺃﺭﺒﻊ ﺜﻭﺍﻨﻲ .ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ؟
6-3ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﺭﺓ ﺘﺴﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻓﻘﻲ ﺒﺴﺭﻋﺔ v 0 = 6.3i − 8.4 j m/sﻓﺘﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ ﺜﻼﺙ ﺜﻭﺍﻨﻲ؟
7-3ﺘﺴﻴﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ Aﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ y=3ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ 3 m/sﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ
A 3
ﻭﻟﺤﻅﺔ ﻤﺭﻭﺭﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ x=0ﺘﺒﺩﺃ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺸﺭﻁﺔ Bﺒﻤﻼﺤﻘﺘﻬﺎ ﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﻤﻥ
2
ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Oﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ 4 m/s2ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ θﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،oxﻜﻤﺎ
a
ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(13-3ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ θﻟﺘﻠﺤﻕ Bﺒـ A؟
θ
8-3ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ x=t2
B
1
ﺍﻟﺸﻜل(13-
ﻭ) y=(t−1)2ﺃ( ﻤﺎﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ؟ )ﺏ( ﻤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ 5 m/sﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=1 s؟
9-3ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ x=Acosωtﻭ y=Asinωt
ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ؟
10-3ﻴﻤﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=0ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ
a = −i − 0.5 j m/s 2
ﻭﺴﺭﻋﺔ . v 0 = 3i m/sﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﻟﻪ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺃﻴﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ
11-3ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺤﺎﻓﺔ ﺠﺒل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ hﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 100 m/sﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 30°ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ ،ﻓﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 1000 mﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻓﺔ .ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺒل ﻭﻤﺎﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ؟
12-3ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 1 mﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 30 m/sﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 37°ﻓﻭﻕ ﺍﻷﻓﻕ .ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻷﻓﻘﻲ x=20 m؟ 13-3ﻴﺴﻘﻁ ﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺘﻁﻴﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ 500 km/hﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ .10 kmﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﺎﻷﺭﺽ ﻭﻤﺎ ﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻪ؟
14-3ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ 1 mﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ) .3 m/sﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟ ﻭﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟
15-3ﻴﺭﻜل ﺤﺎﺭﺱ ﻤﺭﻤﻰ ﻜﺭﺓ ﻓﺘﺼل ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ 46 mﺨﻼل .4.5 sﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺒﺄﻥ ﻗﺩﻡ ﺍﻟﺤﺎﺭﺱ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺭﻜل ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 1 m؟
80
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
16-3ﻴﺭﻜل ﻻﻋﺏ ﻜﺭﺓ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 60°ﻓﺘﺼل ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ 60 mﻭﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 10 mﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟
17-3ﻴﺘﺒﺎﺭﺯ ﺸﺨﺼﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﺴﺩﺴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 50 mﻤﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻓﻴﻁﻠﻘﺎﻥ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ100 m/s
ﻟﻸﻭل ﻭ 150 m/sﻟﻠﺜﺎﻨﻲ .ﻤﻥ ﺴﻴﺼﻴﺏ ﺍﻵﺨﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻭﻫﺔ ﻜل ﻤﺴﺩﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 1 m؟
18-3ﻴﺭﻜل ﻻﻋﺏ ﻜﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ 19.6 m/sﺒﺯﺍﻭﻴﺔ .45°ﺒﺄﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺭﺱ ﻤﺭﻤﻰ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻟﺨﺼﻡ ﺃﻥ ﻴﺭﻜﺽ ﻟﻴﻠﺘﻘﻁ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻸﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻴﺒﻌﺩ 55 mﻋﻥ ﺍﻟﻼﻋﺏ؟
19-3ﻴﻘﺫﻑ ﺤﺠﺭ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ 7.6i + 6.1 j m/sﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ .9.1 m ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﻭﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻸﺭﺽ؟ 20-3ﻋﻨﺩ ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟
21-3ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻭﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﺇﺫﺍ ﺃﻁﻠﻘﺕ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﻌﺎﺩل 1/6ﻤﻥ ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺽ؟
22-3ﻴﻘﺫﻑ ﺤﺠﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻤﻥ ﺠﺴﺭ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ 40 mﻓﻭﻕ ﺍﻟﻤﺎﺀ) .ﺃ( ﻤﺎﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻪ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺤﺘﻰ ﻴﺼﻨﻊ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل
ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﺒﺎﻟﻤﺎﺀ ،45°ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(14-3؟ )ﺝ(
ﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻪ ﺒﺎﻟﻤﺎﺀ؟
v0 45°
ﺍﻟﺸﻜل)(14-3
23-3ﻴﻁﻠﻕ ﻤﺩﻓﻊ ﻤﻀﺎﺩ ﻟﻠﻁﺎﺌﺭﺍﺕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﻓﻭﻗﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ .hﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻟﺘﺼﻴﺏ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻠﻘﺫﻴﻔﺔ؟
24-3ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﺩﻯ ﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻋﻨﺩ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ 45°ﻟﻨﻔﺱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ.
25-3ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ v0ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻫﺩﻑ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻬﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ ) Rﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ( .ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺯﺍﻭﻴﺘﻲ ﺇﻁﻼﻕ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻬﻤﺎ ﻹﺼﺎﺒﺔ ﺍﻟﻬﺩﻑ.
26-3ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺒﻌﺩ 250 mﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 100 m/sﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ 30°ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺒﻨﺎﺀ ﻤﺭﺘﻔﻊ ﻓﻴﺭﻯ ﺫﻟﻙ ﺸﺨﺹ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﻭﻴﻠﻘﻲ ﺒﻨﻔﺴﻪ ﺨﻭﻓﺎ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺇﻁﻼﻕ
ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﻴﺴﻘﻁ ﺴﻘﻭﻁﺎ ﺤﺭﺍ ﻓﺘﺼﻴﺒﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﺜﻨﺎﺀ ﺴﻘﻭﻁﻪ .ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ؟
81
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
27-3ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ 10 m/sﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﻤﺴﺘﻭ
v0
ﻤﺎﺌل ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) .(15-3ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ
ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ؟ )ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ :ﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ABﻤﻊ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ(.
A 30 m
C B
28-3ﻴﺩﻓﻊ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 37°ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 10 m/sﻓﻴﺼل ﻟﺫﺭﻭﺘﻪ ﺒﻌﺩ 0.6 sﻟﻴﻨﻁﻠﻕ ﻜﻘﺫﻴﻔﺔ،
40 m
ﺍﻟﺸﻜل)(15-3
ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(16-3ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻟﻘﻌﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ؟ 29-3ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 1 mﺒﺴﺭﻋﺔ 30 m/s
3m
ﺍﻟﺸﻜل)(16-3
4m
ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ .30°ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺼﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 75 mﻭﻤﺎﻤﺩﺍﻫﺎ ﻭﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟
30-3ﺼﻤﻡ ﺃﺭﺨﻤﻴﺩﺱ ﻤﻨﺠﻨﻴﻘﺎ ﻟﻘﺫﻑ ﺍﻟﺤﺠﺎﺭﺓ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 45°ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ .180 mﻤﺎ ﺴﺭﻋﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ؟
31-3ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻻﻋﺏ ،ﻓﻲ ﻟﻌﺒﺔ "ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻟﺒﺸﺭﻴﺔ" ﺒﺴﻴﺭﻙ ،ﻤﻥ ﻓﻭﻫﺔ ﻤﺩﻓﻊ ﺒﺴﺭﻋﺔ 87 km/h
ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ) .45°ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻪ ﻟﻠﻭﺼﻭل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻭﻤﺎﻫﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟
32-3ﺘﺼﻤﻡ ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺼﻴﺩ ﻟﺘﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ) .630 m/sﺃ( ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻭﻕ ﻫﺩﻑ ﻴﺒﻌﺩ 700 mﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺍﻤﻲ ﺍﻟﺘﺼﻭﻴﺏ ﻹﺼﺎﺒﺘﻪ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺴﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ
ﻭﻤﺎﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ؟
33-3ﺘﺼل ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺘﺯﻟﺞ ﺇﻟﻰ 110 km/hﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻟﻤﻨﺤﺩﺭ ﺜﻠﺠﻲ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ 150 m
ﻟﻴﻁﻴﺭ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻋﺎﺌﺩﺍ ﻟﻸﺭﺽ ﺒﻌﺩ ﻗﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ .xﻤﺎﻫﻲ x؟
34-3ﻴﺒﻠﻎ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ 70 mﻓﻲ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺘﺒﻠﻎ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ .9.8728 m/s2ﻜﻡ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﻓﻲ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ 9.7967 m/s2؟
35-3ﻓﻲ ﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻲ ﻟﻠﻘﻔﺯ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻴﻘﻭﻡ ﺴﺎﺌﻕ ﻤﺘﻬﻭﺭ ﺒﺎﻻﻨﻁﻼﻕ ﺒﺴﻴﺎﺭﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 2 mﻓﻭﻕ ﻋﺸﺭ ﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻁﻭل
ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ،2.4 mﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(17-3ﻤﺎ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻨﻁﻠﻕ ﺒﻬﺎ ﻟﻴﻨﺠﺢ؟
ﺍﻟﺸﻜل )(17-3
36-3ﻤﺎ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﻏﻁﺎﺱ ﺃﻥ ﻴﻘﻔﺯ ﺒﻬﺎ ﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﺼﺨﺭﺓ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ 36 m
ﻟﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻟﻠﺴﺎﻥ ﺍﻟﺼﺨﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺘﺩ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺒﺤﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ 6.4 m؟ 82
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ 37-3ﻤﺎﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻸﺭﺽ ﺒﻔﺭﺽ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 1.5×1011 m؟
38-3ﻴﺨﻀﻊ ﺍﻟﻁﻴﺎﺭﻭﻥ ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ،ﻓﻴﻭﻀﻊ
ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﺤﺠﻴﺭﺓ ﻤﺘﺼﻠﺔ ﺒﺫﺭﺍﻉ ﺃﻓﻘﻲ ﻁﻭﻟﻪ 15 mﻭﺘﺩﻭﺭ 24ﺩﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﻗﻴﻘﺔ .ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﺤﺠﻴﺭﺓ؟
39-3ﻴﺩﻭﺭ ﺼﺒﻲ ﺤﺠﺭﺍ ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ 2 mﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻁﻭﻟﻪ 1.5 mﻓﻴﻨﻘﻁﻊ ﺍﻟﺤﺒل ﺨﻼل ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻴﻁﻴﺭ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ .10 mﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ؟
40-3ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻜﺭﺓ ﻤﺭﺒﻭﻁﺔ ﺒﻁﺭﻑ ﺨﻴﻁ ﻁﻭﻟﻪ 2 mﻭﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ 4 m/s
ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ؟ ﻫل ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻟﻭ ﺼﺎﺭﺕ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ؟ 41-3ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻜﺭﺓ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 0.6 mﻤﺭﺓ ﻜل ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ؟ 42-3ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ 2.4 m/s2؟
43-3ﻓﻲ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺒﻭﺭ ﻟﻠﺫﺭﺓ ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 5×10−11 m
ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ .9×1022 m/s2ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ؟ ﻗﺎﺭﻥ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ.
44-3ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺒﺴﺭﻋﺔ 1/10ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ .ﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻻﺘﺘﺤﻤل ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﻤﺭﻜﺯﻴﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ 20 gﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻬﺎ
ﻟﺘﺩﻭﺭ 90°ﻋﻨﺩﺌﺫ؟
45-3ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 640 kmﻓﻭﻕ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﺭﺓ ﻜل 98ﺩﻗﻴﻘﺔ .ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ 6400 km؟
46-3ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 60 cmﺒﺩﻭﺭ .2 sﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ 48 cmﻓﻲ ﺍﻟﺭﺒﻊ ﺍﻷﻭل؟ ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟
47-3ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ 200 mﺒﺴﺭﻋﺔ 20 m/sﻭﺨﻼل ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻀﻐﻁ ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺯﻭﺩ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﻤﻌﺩل .1 m/s2ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ
ﻟﻠﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ؟
48-3ﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻬﺎ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ 30 mﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻋﺠﻼﺘﻬﺎ ﻻﺘﺘﺤﻤل ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ 8 m/s2ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﻨﺯﻟﻕ؟
83
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ 49-3ﻴﺤﺎﻭل ﻁﻴﺎﺭ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﺸﻤﺎﻻ ﺒﺴﺭﻋﺔ 300 km/hﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﻗﻭﻴﺔ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ 100 km/hﻏﺭﺒﺎ .ﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻁﻴﺭ ﻭﺒﺄﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﻴﺎﺡ؟
50-3ﺘﺴﻘﻁ ﻗﻁﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﺭ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﺒﺩﻭ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻤﻴل ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ 30°ﻤﻊ
ﺍﻟﺸﺎﻗﻭل ﺒﺎﻟﺒﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻴﺴﻴﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ .10 m/sﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻟﻸﺭﺽ ﻭﺍﻟﺭﺍﻜﺏ؟
51-3ﻴﺤﺩﺩ ﻁﻴﺎﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺒﺴﺭﻋﺔ .240 km/hﺒﻌﺩ ﻨﺼﻑ ﺴﺎﻋﺔ ﻴﺠﺩ ﻨﻔﺴﻪ ﻓﻭﻕ ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 150 kmﻏﺭﺒﺎ ﻭ 40 kmﺠﻨﻭﺏ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺀ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﺜﺭﺕ
ﻋﻠﻴﻪ؟ ﻭﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﻬﺏ ﺠﻨﻭﺒﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ 120 km/hﻓﻤﺎ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﻁﻴﺎﺭ ﻟﻴﻁﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻤﻘﺭﺭﺓ؟
52-3ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻋﻠﻰ ﺴﻠﻡ ﻤﺘﺤﺭﻙ ) (escalatorﻓﻴﺴﺘﻐﺭﻕ 60 sﻟﻠﻭﺼﻭل ﻟﻠﻁﺎﺒﻕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺤﺘﺎﺝ ﻟـ 90 sﻟﻴﺼﻌﺩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻌﻁﻼ؟ ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺭﺠل ﻟﻴﺼﻌﺩ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﺫﻱ
ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺴﻠﻡ؟
53-3ﻴﻨﺘﺸﺭ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﺒﺴﺭﻋﺔ .330 m/sﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻠﺸﻤﺎل ﺇﺫﺍ ﻫﺒﺕ ﺭﻴﺎﺡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺒﺴﺭﻋﺔ 30 m/s؟
54-3ﻴﺭﺘﻔﻊ ﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ 0.5 m/sﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻋﺎﺼﻑ ﺘﻬﺏ ﻓﻴﻪ ﺭﻴﺎﺡ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ .12 m/s ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟
55-3ﻴﺒﺤﺭ ﺯﻭﺭﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ 10 km/hﺒﺎﺘﺠﺎﻩ 50°ﺸﺭﻕ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻓﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ25 km/h
ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ 10°ﺸﺭﻕ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ .ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟
56-3ﻴﺭﻜﺽ ﻁﻔل ﺒﺴﺭﻋﺔ 4 m/sﻏﺭﺒﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ 5 m/s
ﺸﺭﻗﺎ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﻔل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺎﺭ؟ 57-3ﺘﺴﻘﻁ ﺼﺨﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 5 mﻋﻠﻰ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻗﺎﺩﻤﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ) .90 km/hﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺨﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺴﺎﺌﻕ ﺍﻟﻤﺴﻜﻴﻥ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻟﻤﺘﻔﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ؟
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