ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ
ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﻈﻮﻣﺔ ﺟﺴﻤﺎﺕ )(Motion of System of Particles
1-6ﺘﻤﻬﻴﺩ :ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )(center of mass ﺨﻼل ﺩﺭﺍﺴﺘﻨﺎ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻟﻡ ﻨﻌﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ﺃﻭ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺃﻱ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ ،ﻭﺍﻜﺘﻔﻴﻨﺎ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ﺒﻨﻘﻁﺔ
ﺃﻭ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻁﻴل .ﻭﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﻤﺭ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ ،ﻜﻤﺎ
ﺍﻟﺸﻜل )(1-6
ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(1-6
ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻷﺤﻭﺍل ﺇﺫ ﻻﻴﻭﺠﺩ ﺠﺴﻡ ﺼﻐﻴﺭ ﻟﺩﺭﺠﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ،ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﻟﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻲ )ﺃﻭ ﺍﻨﺴﺤﺎﺒﻲ (translationalﻓﻘﻁ ﻟﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ
ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﺘﻤﺎﻤﺎ ،ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻤﻜﻥ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ .ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﻴﺘﺤﺭﻙ
C
ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ )ﻜﺎﻨﺘﻘﺎل ﻭﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻟﺘﺤﺭﻜﺕ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺒﺸﻜل ﻤﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ
ﻏﻴﺭﻫﺎ ﻜﺸﺨﺹ ﻴﻘﻔﺯ ﻟﻠﻤﺎﺀ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(2-6ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜل
ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﻤﻌﻘﺩ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺩﻭﺭ ﻭﺘﻨﺘﻘل ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻭﻻﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺠﺩﻨﺎﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ .ﻟﻜﻥ ﻟﻭ ﺃﻤﻌﻨﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (2-6ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ
C
C
C
C
ﺍﻟﺸﻜل )(2-6
155
2-6ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ
ﺍﻟﺠﺴﻡ ،C ،ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻌﻼ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ،ﻭﻜﺄﻨﻬﺎ ﺠﺴﻡ ﻴﻁﻴﺭ ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ .ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﺴﻡ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ) (center of massﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻥ ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﻤﻊ ﻋﻨﺩﻫﺎ
ﻭﺨﺎﻀﻌﺔ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻭﺴﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﻜﻴﻑ ﻨﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﺎﻁ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﺜﻡ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ
ﻭﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ.
2-6ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ )ﺃﻱ ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻨﺎ ،ﻜﺎﻟﻨﺠﻭﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺭﺍﻫﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻌﺘﺒﺭﻫﺎ ﻨﻘﺎﻁﺎ ﻤﻀﻴﺌﺔ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻓﻲ
ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﺭﻀﻨﺎ ﺒﻤﻼﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ .ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺇﺫﺍ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ )ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺃﻱ ﻤﻨﻬﻤﺎ( m1ﻭ m2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻌﻴﻥ x1
ﻭ x2ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(3-6ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ
y x
ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: 1 ) (m1 x 1 + m 2 x 2 M
=
m1 x 1 + m 2 x 2 m1 + m 2
m2
m1
c.m. x2
x1
ﺍﻟﺸﻜل)(3-6
= x c .m .
)(1-6
ﺤﻴﺙ ﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ . M = m1 + m 2 ﻤﺜل 1-6
ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ m1=1 kgﻭ m2=4 kgﻴﺒﻌﺩﺍﻥ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ 3m؟ ﺍﻟﺤل :ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ،ﻜﻤﺎ ﻨﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ )ﺃﻱ ﻤﻭﻀﻊ
ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ( ﻋﻨﺩ m1ﻤﺜﻼ ،ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭل x1=0
ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .x2=3 mﺜﻡ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (1-6ﻭﻨﻜﺘﺏ: )(2 kg)(0) + (4 kg)(3 m =2m 6 kg
ﻓﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺒﻌﺩ 2 mﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .m1
156
=
m1 x 1 + m 2 x 2 m1 + m 2
= x c .m .
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
3-6ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (1-6ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ m1ﻭ m2ﻭ… ،m3ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻊ r1ﻭ r2ﻭ ، ... r3ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(4-6 ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺠﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ: N
∑m r
i i
i =1
m1r1 + m2 r2 + " 1 1 = = )" (m1r1 + m2 r2 + " m1 + m2 + M M
= Rc .m .
)(2-6
ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ oxﻭ oyﻭ ozﻨﺠﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ: N
∑m x ∑m y
yc .m .
i
i
i =1 N
i
1 M 1 = M 1 = M
= xc .m .
i
i =1 N
i
∑m z i
i =1
m2 c.m.
m3
m1
r2
z c .m . z r1
rcm
m6
r3
y m4
r5 r4
r6
m5
ﺍﻟﺸﻜل )(4-6
ﻤﺜل 2-6
)(3-6
x
ﺠﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻭﺯﻉ ﺍﻵﺘﻲ m1=1 kg :ﻋﻨﺩ ) (1,2,2ﻭ m2=0.5 kgﻋﻨﺩ ) (0,2,1ﻭm3=2 kg
ﻋﻨﺩ ) (−1,0,0ﻭ m4=1.5 kgﻋﻨﺩ ).(2, −1, −2
ﺍﻟﺤل :ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (3-6ﻨﻜﺘﺏ:
)1((1) + 0.5(0) + 2(−1) + 1.5(2 = 0.4 m 1 + 0.5 + 2 + 1.5 )1((2) + 0.5(2) + 2(0) + 1.5(−1 = 0.3 m = y c .m . 1 + 0.5 + 2 + 1.5 )1((2) + 0.5(1) + 2(0) + 1.5(−2 = z c .m. = −0.1 m 1 + 0.5 + 2 + 1.5 = x c .m .
157
4-6ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ – ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻤﺜل 3-6 ﺠﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل m1=1 kgﻭm2=2 kg
ﻭ m3=3 kgﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺭﺃﺱ ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ
5,5 3 m3
ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ،10 cmﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(5-6
ﺍﻟﺤل :ﻟﻨﺨﺘﺭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ ،oyﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(5-6ﻓﺘﻜﻭﻥ
ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺘل ﻫﻲ ) (0,0ﻭ ) (10,0ﻭ ). (5,5 3
x
m2
y
m1 )(0,0
)(10,0
ﺍﻟﺸﻜل )(5-6
ﻭﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (3-6ﻨﻜﺘﺏ:
)1(0) + 2(10) + 3(5 = 5.8 cm 1+ 2 + 3
= xc .m .
) 1(0) + 2(0) + 3(5 3 = 4.3 cm 1+ 2 + 3
= y c.m.
ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﻭﻗﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻻﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻨﺎ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ،ﺒل
ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻉ ﻭﺘﻭﺯﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺱ ﻓﻘﻁ .ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﻴﺒﻘﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻨﻔﺴﻪ ﺴﻭﺍﺀ ﺍﺨﺘﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﺃﻭ ﻏﻴﺭﻫﺎ ،ﻭﻴﺒﻘﻰ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل
ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺘﻴﻥ m1ﻭ ) m2ﺃﻱ (yc.m.ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ 4.3 cmﺩﻭﻤﺎ. 4-6ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ،ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ )(density
ﺘﺘﺄﻟﻑ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﺘﻭﺯﻋﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ
ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ Mﻟﻠﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺤﺠﻤﻪ ﺍﻟﻜﻠﻲ .Vﻭﻟﺫﻟﻙ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻨﻌﺘﺒﺭﻩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ∆miﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺒﻤﺘﺠﻪ ) ، ri = (x i , yi , z i
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
1 N ⎧ (∆m i )x i ∑⎪X c .m . = M i =1 ⎪ 1 N ⎪ ∑ (∆m i )y i = ⎨Y c .m . M i =1 ⎪ 1 N ⎪Z = ∑ (∆m i )z i c m . . ⎩⎪ M i =1
)(4-6
ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻷﻥ ﻜل ﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ∆miﺘﺤﺘل ﺤﺠﻤﺎ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ riﻤﻭﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻪ ﻭﻟﻴﺱ ﻤﻭﻀﻊ ﻜل ﻨﻘﺎﻁﻪ .ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺠﻌل
158
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (4-6ﺃﻜﺜﺭ ﺩﻗﺔ ﻭﺠﺏ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺠﻌل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻴﺔ ∆miﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﻨﻘﻁﻴﺔ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺒـ ،dmﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(6-6ﻤﻤﺎﻴﺠﻌل ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ
ﻭﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (4-6ﺇﻟﻰ ﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل: N 1 1 ⎧ = lim ∑ (∆m i )x i ∫ xdm ⎪X c .m . = M ∆m MV i →0 i =1 ⎪ N 1 1 ⎪ = lim ∑ (∆m i )y i ∫ ydm = ⎨Y c .m . ∆m i →0 i =1 M M V ⎪ N 1 1 ⎪Z = = lim ∑ (∆m i )z i ∫ zdm . . c m ⎩⎪ M ∆mi →0 i =1 MV
z
y
dm
r
)(5-6 x
ﺍﻟﺸﻜل )(6-6
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﺇﺫ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺒﺤﺴﺏ ﻨﻭﻋﻬﺎ .ﻓﻬﻨﺎﻙ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺜﻘﻴﻠﺔ ﻭﺃﺨﺭﻯ ﺨﻔﻴﻔﺔ ﻭﻤﺎﻴﻤﻴﺯﻫﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻫﻭ ﻜﺜﺎﻓﺘﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻌﺭﻓﻬﺎ
ﺒﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﺠﻡ ،ﺃﻱ
M V
=ρ
)(6-6
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺭﻜﺏ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺃﻭ ﺒﺘﻭﺯﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ∆mﺒﺎﻟﺸﻜل:
∆m ∆V
=ρ
)(7-6
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ∆mﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ∆Vﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺃﻴﻀﺎ ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ: dm dV
=ρ
)(8-6
ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﻥ dmﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ) (5-6ﺘﺼﻴﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﺸﻜل: ⎧ 1 ρ xdV = ⎪ X c .m . ∫M V ⎪ ⎪⎪ 1 = ⎨Yc .m . ∫ ρydV M V ⎪ ⎪ 1 ρ zdV = ⎪Z c .m . ∫M V ⎩⎪
)(9-6
159
5-6ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
ﻓﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻟﻴﺱ ﺴﻬﻼ ﺒل ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻏﺎﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﻘﻴﺩ ﻷﻨﻪ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻜﻴﻔﻴﺔ ﺘﻭﺯﻉ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻴﻪ .ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﺎﻷﺠﺴﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (6-6ﻓﻘﻁ ،ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻜﺭﺓ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ،ﺃﻱ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻻﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ.
5-6ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺴﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺃﺠﺯﺍﺅﻫﺎ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﻯ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ .ﻓﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ m1ﻭ m2ﻭ .. m3ﻭ mn
ﻤﺘﻭﺍﺠﺩﺓ ﻋﻨﺩ r1ﻭ r2ﻭ .. r3ﻭ ،rnﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ .ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (2-6ﺒﺎﻟﺸﻜل: MR c .m . = m1r1 + m2 r2 + " + mn rn
)(10-6
ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ: dr dR c .m . dr dr = m1 1 + m 2 2 + " + mn n dt dt dt dt
M
ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ dri /dt = v iﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،iﻜﻤﺎ ﺃﻥ dR c .m. /dt = Vc .m.ﻫﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ
ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل:
MVc .m . = m1 v1 + m2 v 2 + " + mn v n
)(11-6
ﻭﺘﺭﺒﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻟﻬﺎ. ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺠﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ):(11-6 dv 2 dVc .m . dv n dv1 = m1 + m2 + " + mn dt dt dt dt
M
ﻭﻟﻜﻥ dv i /dt = aiﻫﻭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،iﻜﻤﺎ ﺃﻥ dVc .m . /dt = ac .m .ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻓﻴﻜﻭﻥ: Mac .m . = m1a1 + m2 a 2 + " + mn an
160
)(12-6
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﻟﻨﺒﺤﺙ ﺍﻵﻥ ﻋﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺨﻀﻊ ﺃﺠﺯﺍﺅﻫﺎ ﻟﻘﻭﻯ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ. ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ Fi = m i a iﻴﻤﺜل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ
ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ) (12-6ﺒﺎﻟﺸﻜل:
Mac .m . = F1 + F2 + " + Fn = (Fext )T
)(13-6
ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل (Fext )Tﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﻥ ﺃﺠﺯﺍﺌﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻌل ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل .ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻥ ):(13-6 (Fext )T = Mac .m .
)(14-6
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻭﻜﺄﻨﻪ ﺠﺴﻡ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﻠﻪ ﻭﻴﺨﻀﻊ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻴﺠﺏ ﺍﻻﻨﺘﺒﺎﻩ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﻴﺱ ﺇﻻ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻅﺭﻱ ﻓﻘﻁ ﻭﻻﻴﻤﺜل ﺠﺴﻤﺎ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺒﺤﺩ ﺫﺍﺘﻪ .ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﻟﺤﻠﻘﺔ ﻤﻔﺭﻏﺔ ﺘﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻤﺜﻼ ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ
ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻭﻻﻴﻭﺠﺩ ﻫﻨﺎﻙ ﺸﺊ ﻤﺎﺩﻱ، ﻟﻜﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻭﻜﺄﻨﻬﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ .ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ
ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻤﺜﻼ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺨﻀﻊ ﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﻤﺴﻴﺔ .ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ .ﻟﻜﻥ ﻟﻭ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻤﻌﺎ ﻭﺘﺘﺒﻌﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ
ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻭﻯ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﻗﻭﻯ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ .ﺃﻤﺎ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﺘﺠﺎﺫﺏ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺔ
ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ. ﻤﺜل 4-6
ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﺜﻼﺙ m1=1 kg
ﻭ
m2=2 kgﻭ m3=3 kg
y 20 N
ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (7-6ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ .ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ؟
ﺍﻟﺤل :ﻨﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺒﺩﺀ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ: 1 ) (m1r1 + m 2 r2 + m 3 r3 M
m3 )(4,1
x
m1
)(0,2
10 N m2
14 N
)(-2,-2
= rc .m.
ﺍﻟﺸﻜل )(7-6 161
6-6ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ
ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ oxﻭ oyﻨﺠﺩ: 1 [1(4) + 2(0) + 3(−2)] = −0.33 m 6 1 [1(1) + 2(2) + 3(−2)] = −0.17 m 6
= x c .m . = y c.m.
ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ: Ma c .m . = F1 + F2 + F3
ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﺃﻴﻀﺎ: 6a x = 0 + 10 − 14 = −4 ⇒ a x = −0.67 m/s 2 6a y = 20 + 0 − 0 = 20 ⇒ a y = 3.33 m/s 2
ﻓﺘﺼﻴﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ: a c .m. = a x2 + a y2 = 3.40 m/s 2
ﻭﻨﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ θﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ: = −5 ⇒ θ ≈ −79°
ay ax
= tan θ
6-6ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ )(Linear Momentum ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺘﻠﻌﺏ ﻤﻊ ﺼﺩﻴﻘﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺎﺭﻉ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺭﻯ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻤﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺫﻑ ﺼﺩﻴﻘﻙ ﻜﺭﺓ ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ .ﻓﺄﻴﻬﻤﺎ ﺴﺘﻘﺭﺭ ﺃﻥ ﺘﻠﺘﻘﻁ ﻴﺎﺘﺭﻯ؟ ﻻﺸﻙ ﺒﺄﻨﻙ ﺘﺒﺘﻌﺩ ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺴﺒﺏ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﻟﻭ ﺃﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ .ﻭﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﻟﻭ
ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻟﻜﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ .ﺃﻴﻀﺎ ﺴﺘﻘﺭﺭ ﺍﻻﺒﺘﻌﺎﺩ ﻋﻨﻬﺎ ﻷﻨﻬﺎ ﺴﺭﻴﻌﺔ ﺠﺩﺍ .ﻨﻼﺤﻅ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻓﻘﻁ ﺒل
ﻜﻼﻫﻤﺎ .ﻭﻗﺩ ﺍﺼﻁﻠﺢ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺘﺤﻭﻴﻬﻤﺎ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ
ﺸﺊ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻏﻴﺭﻩ .ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺠﻤﻴﻠﺔ ﻭﺘﻔﻲ ﺒﺎﻟﻐﺭﺽ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻌﺒﺭ ﻓﻌﻼ ﻋﻤﺎ ﻨﻘﺼﺩﻩ ﻤﻨﻬﺎ .ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﺘﺴﻤﻊ ﺃﻥ ﻨﺸﺎﻁﺎ ﻤﺎ ﻟﻪ ﺯﺨﻡ ﻋﺎل ﻓﺈﻨﻙ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺃﻨﻪ ﻤﺠﺩﻱ ﻭﻓﻌﺎل .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ
ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ vﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻌﺭﻑ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: p = mv
162
)(15-6
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﻭﻗﺩ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺎﺌﻊ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻙ ) (quantity of motionﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺢ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻲ ﺍﻟﻤﺘﻔﻕ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻵﻥ ﻟـ pﻫﻭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﻭﺤﺩﺘﻪ .kg.m/sﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﻤﺩ ،ﻤﺜل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﺃﻱ
ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ. ﻤﺜل 5-6
ﻴﺴﻴﺭ ﻗﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ 10 m/sﻋﻠﻰ ﺴﻜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ .ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ
ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ 60 kgﻴﺭﻜﺽ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ
vMT vTE
2 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﺴﺎﻜﻥ ﻓﻴﻪ ﻭﻤﻭﺩﻉ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(8-6؟
M
T
E
ﺍﻟﺸﻜل)(8-6
ﺍﻟﺤل :ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل) (8-6ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﻭﻤﺭﺍﻗﺒﻴﻪ Aﻭ Bﺤﻴﺙ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺭﻜﺽ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ .ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺭﺠل ﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ p = mvﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ
ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ vMTﻫﻲ ،vMT=2 m/sﻭﻴﺼﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ: PMT = mv MT = (60 kg)(2 m/s) = 120 kg.m/s
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺭﺍﻜﺏ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻭﺩﻉ ﻋﻠﻰ ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ﻓﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺎﺭ vMTﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ،vTEﻭﻨﻜﺘﺏ:
v ME = v MT + v TE = 2 + 10 = 12 m/s
ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ: p ME = (60 kg)(12 m/s) = 720 kg.m/s
7-6ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: p = mv
ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻨﺠﺩ: dp d = ) (mv dt dt
ﻭﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ mﺜﺎﺒﺘﺔ ﻴﻜﻭﻥ: d dv (mv ) = m = ma dt dt
163
7-6ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
ﻟﻜﻥ maﻫﻲ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ، (Fext )Tﻟﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﺸﺘﻕ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻫﻭ: dp dt
= (Fext )T
)(16-6
ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻌﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ .ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻴﺙ ﻨﺸﺘﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ) (2-6ﻓﻨﺠﺩ: dr dR c .m . drn dr = m1 1 + m 2 2 + " + m n dt dt dt dt
M
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ v i = dri /dt ⇒ p i = m i dri /dt
ﻭ Vc .m . = dR c .m. /dt ⇒ Pc .m . = MdR c .m . /dt
ﻨﺠﺩ Pc .m . = p1 + p 2 + " + p n
)(17-6
ﻓﺎﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ. ﻭﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ) (17-6ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻓﻨﺠﺩ: dPc .m . dp1 dp 2 dp n = + +"+ dt dt dt dt
ﻟﻜﻥ Fi = dp i /dtﻴﻤﺜل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ )ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ( ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ: dPc .m . = F1 + F2 + " + Fn dt
ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ F1 + F2 + " + Fnﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻓﻘﻁ ، (Fext )Tﻭﺘﺅﻭل ) (26-6ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل: dPc .m . dt
164
= (Fext )T
)(17-6
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ .ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ )ﺃﻭ ﺠﺴﻡ
ﺼﻠﺏ(.
8-6ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺩ ﻤﻥ ) (17-6ﺃﻥ:
ﺜﺎﺒﺕ = (Fext )T = 0 ⇒ Pc .m .
)(18-6
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ
ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﻱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ،ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ .ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺴﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ).(conservation of linear momentum
ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺨﺎﻀﻌﺔ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﺇﺫ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻷﺠﺯﺍﺀ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻨﻬﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺜﺎﺒﺕ.
ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) (18-6ﻫﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻻﺘﺘﻐﻴﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ: ﺜﺎﺒﺕ = (Fext )Tx = 0 ⇒ (Pc .m . )x ﺜﺎﺒﺕ = (Fext )Ty = 0 ⇒ (Pc .m . )y
)(19-6
ﺜﺎﺒﺕ = (Fext )Tz = 0 ⇒ (Pc .m . )z
ﻭﻻﺒﺄﺱ ﻤﻥ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺒﻘﻴﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻓﻘﺩ ﻴﻘﺭﺭ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﺍﻗﺒﻴﻥ ﻗﻴﻤﺎ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ ،ﻜل ﺒﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ،ﻟﻜﻨﻬﻡ ﻴﻘﺭﺭﻭﻥ ﺠﻤﻴﻌﺎ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ )ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻡ( ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺒﻘﻴﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ
ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ.
165
8-6ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻤﺜل 6-6
ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ 8 kgﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ 2 m/sﺩﻭﻥ
ﺃﻥ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺸﻁﺭ ﻟﻘﺴﻤﻴﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ 3 kg
ﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ 6 m/sﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ،
M v2
ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(8-6ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ؟
m2
ﺍﻟﺤل :ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺨﺎﻀﻌﺎ ﻷﻱ ﻗﻭﺓ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻗﺒل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ،ﻭﺨﻼل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻴﺅﺜﺭ ﻜل ﻗﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻘﻭﺓ
m1
v v1
ﺍﻟﺸﻜل )(8-6
ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻬﺎ ﻤﻨﻪ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(8-6ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ، ﻓﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﻭﻨﻜﺘﺏ:
ﺤﻴﺙ ﻭ
)ﻗﺒل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ() =Pﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(P )=Mvﻗﺒل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(P )= m1 v1 + m 2 v 2ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(P
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ: Mv = m1 v1 + m2 v 2
ﺃﻱ ﺃﻥ 1 ) (Mv − m2 v 2 m2
= v2
ﻭﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ،vﻨﺠﺩ: v 2 = −0.4 m/s
ﻓﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﺃﻱ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ. ﻤﺜل 7-6
ﻴﺒﺩﺃ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ 70 kgﺒﺎﻟﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ 1 m/sﻋﻠﻰ ﻋﺭﺒﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ،1000 kgﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ،ﻭﻴﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ ﻗﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ 10 mﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ .ﻜﻴﻑ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺠل ﻭﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ؟ ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل؟
166
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﺍﻟﺤل :ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺴﻴﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﻭﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻴﻜﻭﻥ: P = m1 v1 + m2 v 2
ﺤﻴﺙ m1ﻭ v1ﻭ m2ﻭ v2ﻜﺘﻠﺔ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﻜﺘﻠﺔ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ
)ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ( ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
ﺍﻵﻥ ﺇﺫﺍ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻗﺒل ﻭﺒﻌﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻥ ﻟﻜل ﻤﻥ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺭﺩ ﻓﻌل .ﺃﻤﺎ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﻓﺈﻨﻪ
ﻴﺩﻓﻌﻬﺎ ﺒﻘﺩﻤﻪ ﻟﻠﺨﻠﻑ ﺒﻘﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻓﺘﺩﻓﻌﻪ ﻟﻸﻤﺎﻡ ﺒﻘﻭﺓ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺔ )ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ( ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﻟﻬﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎ
ﻭﻨﻜﺘﺏ:
m1 v1 + m 2 v 2 = 0
ﺃﻱ ﺃﻥ: m1 v1 m2
v2 = −
ﻓﺎﻟﻌﺭﺒﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ m1 v1 = 0.07 m/s m2
= v2
ﺍﻵﻥ :ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺘﻐﺭﻗﻪ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ 10
mﻋﻠﻴﻬﺎ .ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﺭﺒﺔ vﻫﻲ:
v1 = v + v 2 ⇒ v = v 1 − v 2
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ v1ﻭ v2ﻨﺠﺩ: v = (1 + m1 /m 2 )v1 = 1.01m/s
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺭﺠل ﻟﻴﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ 10 mﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻫﻭ: s = vt ⇒ t = s /v = 9.90 s
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺭﻜﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺴﺎﻭﻱ:
167
9-6ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ s ′ = v 2t = (0.07 m/s)(9.90 s) = 0.70 m
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺠل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺴﺎﻓﺘﻪ ﻫﻭ ﺃﻱ .10 m ﺃﺨﻴﺭﺍ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎ ﻭﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﺼﻔﺭ. 9-6ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ )ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻱ( ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺘﻨﺎ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻻﺘﺘﻐﻴﺭ ،ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻓﺈﻥ ﺍﺤﺘﺭﺍﻕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺸﻜل ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻴﺅﺩﻱ ﻟﺘﻨﺎﻗﺹ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ.
ﻭﻨﺭﺒﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﻋﺔﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻨﻪ ﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ. ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺼﺎﺭﻭﺨﺎ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻤﻊ ﻭﻗﻭﺩﻩ ﻓﻲ
ﻟﺤﻅﺔ ﻤﺎ tﻫﻲ Mﻭﻴﺴﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﺒﻌﻴﺩﺍ
ﻋﻥ ﺃﻱ ﻤﺠﺎل ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ vﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻌﻤل
ﻤﺤﺭﻜﺎﺘﻪ ﻟﺘﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻪ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ∆Mﺒﺴﺭﻋﺔ u
v v+∆v
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ،∆tﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل
) ،(9-6ﻟﺘﺼﻴﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ
M
) (M − ∆M
u ∆M
M−∆M
ﺍﻟﺸﻜل)(9-6
ﻭﺴﺭﻋﺘﻪ ) . (v + ∆v
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻌﺯﻭل ﻋﻥ ﺃﻱ ﻤﺅﺜﺭ ﺨﺎﺭﺠﻲ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻌﻴﺩﺍ ﻋﻥ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻭﺃﻱ ﻗﻭﻯ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺫﺍ ﻴﺒﻘﻰ ﺯﺨﻤﻪ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﻭﻨﻜﺘﺏ: Mv = (M − ∆M )(v + ∆v ) + (∆M )v ′
ﺤﻴﺙ v ′ﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ ﻻﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ .ﻭﺒﺈﺼﻼﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ:
∆M (v − v ′) = M∆v
)(20-6
ﺤﻴﺙ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﺤﺩ ∆M∆vﻟﺼﻐﺭﻩ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ .ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺨﺎﺭﺠﻲ v ′ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ uﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ) v + ∆vﻤﻊ ﺃﺨﺫ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ( ،ﺃﻱ ﺃﻥ: v ′ = (v + ∆v ) − u
ﻟﺫﺍ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ):(20-6 ∆Mu = M ∆v
168
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﻭﺒﺘﻘﺴﻴﻡ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∆tﻭﺃﺨﺫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ∆t → 0ﻨﺠﺩ: dM dv =M dt dt
u
)(21-6
ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻷﻭﻟﻰ.
ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺸﻜل ﻤﺨﺘﻠﻑ ﻗﻠﻴﻼ ﺒﻭﻀﻊ R = dM /dtﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺩل ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،ﻜﻤﺎ ﻨﻀﻊ a = dv /dtﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،ﻓﻨﺠﺩ: Ru = Ma
)(22-6
ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ Ruﻻﺘﺭﺘﺒﻁ ﺒﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒل ﻋﻠﻰ ﺘﺼﻤﻴﻤﻪ ﻓﻘﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻡ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﻤﻌﺩل ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻤﻌﻴﻨﻴﻥ.
ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ Ruﺍﺴﻡ ﺍﻟﻨﻔﺙ ) (thrustﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ . Tﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﺼﻴﺭ ) (22-6ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: T = Ma
)(23-6
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺜﺎﺒﺕ ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﻔﺜﻪ. ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻤﻥ M1ﺇﻟﻰ M2ﻤﻥ )(21-6
ﻓﻨﻜﺘﺏ:
ﻭﺒﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺠﺩ:
dM = dv M M1 M2
u
v 2 − v1 = u ln
)(24-6
ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ.
ﻭﺘﻔﺴﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺴﺒﺏ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺇﺫ ﻴﺘﻡ ﺍﻟﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﻜل ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﻤﺎﺘﺤﻭﻴﻪ ﻤﻥ ﻭﻗﻭﺩ ﻓﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﺘﻜﻠﻔﺔ ﺃﻗل ﻭﻴﺤﺘﻔﻅ ﺒﻘﻤﺭﺓ
ﺍﻟﻘﻴﺎﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ﺁﺨﺭ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺤﻠﺔ. ﻤﺜل 8-6
ﻴﻨﺩﻓﻊ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻥ ﺼﺎﺭﻭﺥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ 450×103 kg
ﺒﻤﻌﺩل R=1.2×103 kg/sﻭﺴﺭﻋﺔ 2800 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ. ﻤﺎﻨﻔﺙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ؟ 169
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
ﺍﻟﺤل :ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻨﻔﺙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻨﻜﺘﺏ: T = Ru = (1.2 × 103 kg/s)(2800 m/s) = 3.36 × 106 N
ﻭﻨﺠﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﺒﻭﻀﻊ: T = 7.47 m/s 2 M
= T = Ma ⇒ a
ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
∑m r
i i
ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ
∫ ρ rdV
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ
p = mv
1 M
= Rc .m.
1 M
= Rc .m .
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
PT = ∑ pi
ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
F = dp /dt
ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ
ﺜﺎﺒﺕ = FT = 0 ⇒ PT
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻷﻭﻟﻰ
dM dv =M dt dt M1 v 2 − v1 = u ln M2
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ
ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
u
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
1-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ 2.5 kgﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻴﻪ 2 mﻭ1.5 m؟
2-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻤﺘﻭﺯﻋﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ m1=1 kgﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ
) (0,0ﻭ m2=1 kgﻋﻨﺩ ) (3,0ﻭ m3=2 kgﻋﻨﺩ )(3,4؟
3-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ m1=73 kgﻭ m2=59 kgﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ3.6 m؟
4-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻌﺩﻨﻴﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻑ Lﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ﺍﻷﻭل 2.5 cm
ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ 3.5 cmﺇﺫﺍ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺴﻤﻙ ﻭﻋﺭﺽ ﺃﻀﻼﻋﻬﺎ؟ 5-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ 3.8×108 m؟
170
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
6-6ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺒﻌﺩﻱ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﻨﺴﺒﺔ ﻜﺘﻠﺘﻴﻬﻤﺎ؟ 7-6ﺘﻨﻘل ﻁﻭﺍﻓﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 7400 kgﻁﻭﻟﻬﺎ 40 mﻭﻋﺭﻀﻬﺎ 20 mﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻋﺒﺭ ﻗﻨﺎﺓ ﻤﺎﺌﻴﺔ ﻓﺘﺤﺘل ﺜﻼﺙ ﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 1400 kgﺜﻼﺙ ﺯﻭﺍﻴﺎ .ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ؟
8-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﺴﻁﻭﺡ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﻜﻌﺏ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ L؟
9-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺴﻁﺤﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻜﻌﺏ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ Lﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻀﻌﻑ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻵﺨﺭ؟
10-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﻗﻀﺒﺎﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﺘﺸﻜل ﺤﺭﻑ U؟ 11-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )(10-6؟ 12-6ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )(11-6؟ 20 cm 20 cm
R/2
20 cm 60 cm
ﺍﻟﺸﻜل )(11-6
R
ﺍﻟﺸﻜل )(12-6
ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
13-6ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻁﺎﻗﺘﻪ 1.6×10−13 Jﻤﻥ ﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﺁﺨﺭ ﺴﺎﻜﻥ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ؟ 14-6ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )(12-6
y
ﺇﺫﺍ ﺨﻀﻌﺕ ﺍﻟﻜﺘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﺇﺯﺍﺀ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ؟
16 N 4 kg
15-6ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻜﺘﻠﺘﻴﻥ m2=m1=35 kgﺘﺘﺤﺭﻜﺎﻥ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ v1=12i−j m/sﻭv2=−20i+14j m/s؟
16-6ﺘﺘﺠﺎﺫﺏ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ m1=0.1 kgﻭ m2=0.3 kgﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺒﻘﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ .0.01 N
8 kg
x
)(4,1
)(0,2
30 N 4 kg
)(-3,-2
14 N
ﺍﻟﺸﻜل )(12-6
)ﺃ( ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺒﻌﺩ m1ﻋﻥ ﻭﻀﻌﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺒـ m2ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ
ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ 1 m؟ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ
171
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
17-6ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺍﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 816 kgﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺯﺨﻡ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﺨﻤﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 2650 kgﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ 16 km/h؟
18-6ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ 1 kgﺨﺎﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ F=26i−12t2j Nﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ t1=1 s
ﻭt2=3 s؟
19-6ﺘﺼﻁﺩﻡ ﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 145 gﻭﺘﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ 30 m/sﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺒﺤﺎﺌﻁ ﻤﺎﺌل ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺼﻨﻊ ﻤﻌﻪ ﺯﺍﻭﻴﺔ 45°ﻓﺘﺭﺘﺩ ﻋﻨﻪ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻲ. ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ؟
20-6ﺘﺴﻴﺭ ﺸﺎﺤﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 20,000 kgﺸﻤﺎﻻ ﺒﺴﺭﻋﺔ 40 km/hﺜﻡ ﺸﺭﻗﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ .50 km/h )ﺃ( ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ
21-6ﻴﺭﻜل ﺭﺠل ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ 80 kgﺤﺠﺭﺍ ﻜﺘﻠﺘﻪ 0.5 kgﻓﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ 2 m/s
ﻟﻸﻤﺎﻡ .ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺭﺠل؟
22-6ﻴﻁﻠﻕ ﻤﺩﻓﻊ ﺭﺸﺎﺵ ﻋﺸﺭ ﻗﺫﺍﺌﻑ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 50 gﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ 500 m/sﺒﺎﺘﺠﺎﻩ
ﺤﺎﺌﻁ ﻜﺒﻴﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻓﻴﻪ) .ﺃ( ﻤﺎﺯﺨﻡ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﻗﺫﻴﻔﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻤﺘﻭﺴﻁ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ؟
23-6ﺘﺘﻌﺭﺽ ﻗﻁﻌﺔ ﺨﺸﺏ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 10 kgﻟﻭﺍﺒل ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 40 gﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ
.1km/sﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﺸﺒﺔ ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﺘﺴﺘﻘﺭ ﺒﻬﺎ 15ﺭﺼﺎﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻤﻠﺱ؟
24-6ﻴﻤﺴﻙ ﺭﺠل ﻤﺩﻓﻌﺎ ﺭﺸﺎﺸﺎ ﺒﻘﻭﺓ 180 Nﻭﻴﻁﻠﻕ ﻗﺫﺍﺌﻑ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 50 gﺒﺴﺭﻋﺔ 100
.m/sﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﻁﻠﻕ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ؟
25-6ﺘﺸﻊ ﻨﻭﺍﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 5.8×10−26 kgﺒﺈﺼﺩﺍﺭ ﺇﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ
1.2×10−22
kg.m/sﻭﻨﻴﻭﺘﺭﻴﻨﻭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ 6.4×10−23 kg.m/sﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻹﺜﻨﺎﻥ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺘﻴﻥ .ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﻨﻭﺍﺓ ﺍﻟﻤﺭﺘﺩﺓ ﻭﻤﺎ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟
26-6ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ 8 kgﺒﺴﺭﻋﺔ 2 m/sﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺩﻭﻥ ﺃﻭ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺸﻁﺭ ﻟﻘﺴﻤﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺒﺎﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻴﺘﺤﺭﻜﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻜل ﻗﺴﻡ ﺇﺫﺍ
ﺍﻜﺘﺴﺒﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﻴﺔ 16 Jﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ؟
27-6ﻴﻘﻑ ﻤﺘﺯﻟﺠﺎﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﻭل 50 kgﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ 70 kgﻋﻠﻰ ﺍﺭﺽ ﺠﻠﻴﺩﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﻭﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 8 m
ﻤﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ) .ﺃ( ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﺯﻟﺞ ﺍﻷﺨﻑ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ
172
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﺇﺫﺍ ﺃﻤﺴﻙ ﺍﻷﺜﻘل ﺒﺤﺒل ﻴﻤﺴﻜﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺠﺫﺒﻪ ﻓﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ 2.2 m؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻷﺜﻘل ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﺯﻤﻴﻠﻪ؟
28-6ﺘﺭﺘﺒﻁ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ m2=m1=0.5 kgﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﺨﻔﻴﻑ ﻭﺒﻜﺭﺓ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ،0.5 mﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺁﻟﺔ ﺁﺘﻭﻭﺩ ،ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻨﺎﻥ ﺴﺎﻜﻨﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ) .ﺃ( ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ؟ )ﺏ( ﺃﻴﻥ ﻴﺼﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺇﺫﺍ ﻨﻘﻠﻨﺎ 20 gﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻟﻸﺨﺭﻯ ﻭﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ؟
29-6ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ mﺒﺤﺒل ﻤﺩﻟﻰ ﻤﻥ ﻤﻨﻁﺎﺩ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ Mﻭﻴﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺘﺴﻠﻕ ﻟﻸﻋﻠﻰ ﺒﺴﺭﻋﺔ v
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﻁﺎﺩ) .ﺃ( ﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل؟ 30-6ﺘﻨﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 15 gﺒﺴﺭﻋﺔ 650 m/sﻤﻥ ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ .10 kg ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﺭﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔ؟
31-6ﻴﻘﻔﺯ ﺃﺴﺩ ﻜﺘﻠﺘﻪ 120 kgﺒﺴﺭﻋﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ 12 m/sﻋﻠﻰ ﺼﻴﺎﺩ ﻴﺤﻤل ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺘﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 15 gﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ .630 m/sﻜﻡ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻁﻠﻘﻬﺎ ﺍﻟﺼﻴﺎﺩ ﻹﻴﻘﺎﻑ ﺍﻷﺴﺩ ﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺭﺼﺎﺼﺎﺘﻪ ﺘﺼﻴﺏ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻭﺘﺴﺘﻘﺭ ﺒﺠﺴﻤﻪ؟
32-6ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺴﻴﺎﺭﺘﺎﻥ ﺭﺃﺴﻴﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ 700 kgﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ 1500 kgﻭﺘﺴﻴﺭﺍﻥ ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ ﺒﺴﺭﻋﺔ 65 km/hﻓﺘﺼﺒﺤﺎ ﻗﻁﻌﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻁﺎﻡ؟
33-6ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﺒﺴﺭﻋﺔ 4000 km/hﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﻔﺼل ﻋﻨﻬﺎ ﺨﺯﺍﻥ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ 80 km/hﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻘﻤﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺩﺓ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺨﻠﻔﻲ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﻔﺼﺎل ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺭﺒﻊ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺨﺯﺍﻥ؟
34-6ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻭﺯﻨﻪ wﻋﻠﻰ ﻋﺭﺒﺔ ﻭﺯﻨﻬﺎ Wﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﺃﻓﻘﻲ ﺒﺴﺭﻋﺔ v0ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ .ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺴﻴﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻠﻴﺴﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ vrelﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﻘﻔﺯ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ؟
35-6ﻫل ﺘﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﺩﺀﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻟﻭ ﺭﻜﺽ ﻋﻠﻴﻬﺎ nﺸﺨﺹ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺸﻜل ﺘﺘﺎﺒﻌﻲ ﺃﻡ ﺠﻤﺎﻋﻲ؟
36-6ﻴﻘﻑ ﻁﻔل ﻜﺘﻠﺘﻪ 20 kgﻋﻨﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩ ﻟﺯﻭﺭﻕ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ 50 kgﻭﻁﻭﻟﻪ 5 mﻭﻴﺒﻌﺩ 10 mﻋﻥ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ) .ﺃ( ﻤﺎﺒﻌﺩ ﺍﻟﻁﻔل ﻋﻥ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺇﺫﺍ ﺴﺎﺭ ﺍﻟﻁﻔل 2
mﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ؟ )ﺃﻫﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ(.
37-6ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ 80 kgﻋﻨﺩ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺯﻭﺭﻕ ﺠﻠﻴﺩﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ 400 kgﻭﻁﻭﻟﻪ 18 mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ 4 m/sﻋﺒﺭ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺠﻠﻴﺩﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ .ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺇﺫﺍ ﺴﺎﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻤﻘﺩﻤﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺔ
2 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ؟ 173
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل
38-6ﻴﺠﻠﺱ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ﺫﻜﻲ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 3 mﻤﻥ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ﻨﺎﺤﺞ ﻓﻲ ﺯﻭﺭﻕ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ 30 kgﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺒﺤﻴﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻘﻊ
ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ .ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﺒﺎﺩﻻ ﻤﻜﺎﻨﻴﻬﻤﺎ ﻴﻼﺤﻅ ﺫﻜﻲ ﺃﻥ
ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺘﺤﺭﻙ 0.4 mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﺎﻁﺊ ﻓﺎﺴﺘﻁﺎﻉ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﺯﻤﻴﻠﻪ ﻨﺎﺤﺞ .ﻤﺎﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺫﻜﻲ 80 kg؟ 39-6ﺘﻁﻠﻕ
ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ 500 m/sﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺼﺎﻨﻌﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ 60°ﻤﻊ
R
2R
A m
m B
ﺍﻟﺸﻜل)(13-6
ﺍﻷﻓﻕ .ﻭﺒﻌﺩ 50 sﻤﻥ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﺘﻨﺸﻁﺭ ﻟﺠﺯﺌﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺴﺎﻜﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻟﻸﺴﻔل .ﻤﺎﺒﻌﺩ ﻤﻜﺎﻥ ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟ 40-6ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ Rﺩﺍﺨل ﻜﺭﺓ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻤﺠﻭﻓﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 2Rﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻓﻘﻲ ﺃﻤﻠﺱ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،Aﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(13-6ﻟﺘﺴﺘﻘﺭ
ﻋﻨﺩ .Bﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻜﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻭﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ. ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ
41-6ﺘﻁﻠﻕ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 6000 kgﻟﻸﻋﻠﻰ) .ﺃ( ﻤﺎﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ 1000 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺘﻐﻠﺏ ﻨﻔﺜﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻭﺯﻨﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻜﻡ ﺘﺼﻴﺭ
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺭﺃﺴﻴﺎ 20 m/s2؟ ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺩﻭﺭ ﻤﻬﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ.
42-6ﺘﺸﻐل ﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻤﻊ ﻭﻗﻭﺩﻫﺎ 2.6×105 kgﺴﺎﻜﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻓﻴﺨﺭﺝ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﻤﻌﺩل 480 kg/sﺒﺴﺭﻋﺔ 3.3 km/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺒﺔ ﻟﻤﺩﺓ .20 sﻤﺎﻨﻔﺙ ﺍﻟﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ؟
43-6ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ 180 m/sﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺨﺭﺝ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ 490 m/sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ. ﻤﺎﻨﻔﺙ ﺍﻟﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺩل ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻫﻭ 3 kg/s؟ ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻁﺭﺨﺎﻥ ﺒﻥ ﺃﻭﺯﻟﻎ ،ﺃﺒﻭ ﻨﺼﺭ ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ )-339
257ﻫـ870-950/ﻡ( .ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﻼﺴﻔﺔ ﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ﻭﺍﻟﻤﻨﻁﻕ
ﻭﺍﻟﻁﺏ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻠﺴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻭﺴﻴﻘﻲ ﻭﻜﺎﻨﺕ ﻟﻪ ﺇﺴﻬﺎﻤﺎﺕ ﻤﻬﻤﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻭﻡ
ﺃﺨﺭﻯ ﻜﺎﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻁﺏ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ .ﻓﻘﺩ ﺒﺭﻫﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻭﺩ
ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ .ﻭﺘﺘﺠﻠﻰ ﺃﻫﻡ ﺇﺴﻬﺎﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﻪ "ﺇﺤﺼﺎﺀ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ" ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻀﻊ
ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ 174
ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻠﻌﻠﻭﻡ ﻭﺘﺼﻨﻴﻔﻬﺎ ﻭﺒﺭﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﺴﻴﻘﻰ .ﻭﻜﺎﻥ ﺃﻭل ﻤﻥ
ﻁﺭﺡ ﻓﻜﺭﺓ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻡ ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺸﺩﺓ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻭﺍﺨﺘﻼﻑ ﺍﻷﺼﻭﺍﺕ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ.