ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺘﺎﺳﻊ
ﺍﻟﺘﺤﺮﻳﻚ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﻧﻲ )(Rotational Dynamics
1-9ﺘﻤﻬﻴﺩ: ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻜﻴﻑ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﺤﺩﺩﻨﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺯﺍﻭﻱ ﺩﻭﻥ ﺘﺤﺭﻱ ﺍﻟﺴﺒﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﻌل ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺘﺩﻭﺭ ﺃﺼﻼ .ﻭﻜﻤﺎ ﻓﻌﻠﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺴﺒﺏ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ .ﻓﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻤﻥ ﻋﺯﻡ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻭﻗﺼﻭﺭ ﺫﺍﺘﻲ )ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ،ﻭﻨﺭﺒﻁ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
)ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻟﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ .ﻜﻤﺎ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻭﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺒﻌﺽ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻪ .ﻭﻨﻌﻤﻡ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺃﺠﺴﺎﻡ ﺼﻠﺒﺔ ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ.
2-9ﺍﻟﻌﺯﻡ )(Torque ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺒﺏ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻨﺠﺭﻱ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺒﺘﺜﺒﻴﺕ ﻤﺴﻁﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﻨﺘﺼﻔﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) ،(1-9ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ) oﺃﻭ ﺒﺎﻷﺤﺭﻯ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻨﻬﺎ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ( .ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺜﺭﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺒﻘﻭﺓ F1ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻼﺤﻅ
ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﻨﺘﻘل ﺃﻭ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﻼﻕ ،ﻤﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻤﺴﻤﺎﺭ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ Nﻴﺴﺎﻭﻱ ﻭﻴﻌﺎﻜﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ F1ﻓﺘﺒﻘﻰ
205
ﺍﻟﻌﺯﻡ 2-9ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ .ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ
ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻭﻻﺘﺘﺤﺭﻙ .ﺍﻵﻥ :ﻟﻭ ﻁﺒﻘﻨﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ F2ﻓﻘﻁ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻟﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ
2 D
ﻻﺘﻨﺘﻘل ﻜﻜل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ ،ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل
F2
ﺍﻟﻤﺴﻤﺎﺭ Nﻻﻴﺯﺍل ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺎ ﻟـ ،F2
A
ﻓﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﺇﻻ ﺃﻥ
1
ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺩﻭﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ
F4
F1
θ
r
o
B F3
N
ﺍﻟﺸﻜل )(1-9
ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ .oﺃﺨﻴﺭﺍ ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﻘﻭﺓ F3ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Bﻓﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﺨﺘﻔﻲ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻭﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ .ﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻭﺍﻀﺢ ﻟﻠﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻁﺒﻕ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺘﻐﻴﻴﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻁﺒﻴﻘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: )ﺃ( ﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ( ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ) :(axis of rotationﻫﻭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻓﻔﻲ ﻤﺜﺎﻟﻨﺎ ﻫﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .o
)ﺏ( ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ) :(force line of actionﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻤل ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻜﺎﻟﺨﻁ D
ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(1-9ﻭﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻟﻭ ﺯﻟﻘﻨﺎﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺨﻁ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ.
)ﺝ( ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ :ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻜﺎﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(1-9
)ﺩ( ﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ ) :(lever armﻫﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ، ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ rﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(1-9
ﻨﻌﻭﺩ ﺍﻵﻥ ﻟﻠﺸﻜل ) (1-9ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ F1ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻠﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺫﺭﺍﻉ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ F3
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺫﺭﺍﻋﻬﺎ ﻭﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺃﻭ ،180°ﻭﻓﻲ ﻜﻠﺘﺎ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ
ﻻﺘﺩﻭﺭ .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﻘﻭﺓ F2ﺫﺭﺍﻋﺎ ﻻﻴﻭﺍﺯﻱ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻭﻻﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﺘﺩﻭﺭﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ.
ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺍﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻭﺓ Fﻟﻬﺎ ﺫﺭﺍﻉ rﻻﻴﻭﺍﺯﻱ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﺃﻱ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ θﺒﻴﻥ ﺨﻁ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻭﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻻﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭ ﺃﻭ .180°ﻭﻻﺘﺘﺤﻘﻕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ rFsinθﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ،ﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ )(torque
ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ،τﺃﻱ ﺃﻥ:
τ = rF sin θ
ﺤﻴﺙ θﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ rﻭ.F
206
)(1-9
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻭﺼل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ F2ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(1-9
ﺘﺤﺎﻭل ﺘﺩﻭﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﻬﻡ ،1ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺤﺎﻭل F4ﺘﺩﻭﻴﺭﻫﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﻬﻡ 2ﻤﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ
ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ .ﻟﺫﺍ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻟﻠﻌﺯﻡ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺩﺩ ﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (1-9ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟـ rﻭ ،Fﻜﻤﺎ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل .ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺎﻟﺸﻜل: τ = r×F
)(2-9
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ r
r
ﻭﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ Fﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﺠﻪ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﺼﺎﺒﻊ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻑ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ،τﺃﻱ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ rﻭ ،Fﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(2-9ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﺘﺼﻭﺭ ﺒﺭﻏﻲ
ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﺫ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﺭﻏﻲ ﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ .ﻓﺈﺫﺍ ﺘﺼﻭﺭﻨﺎ ﺒﺭﻏﻴﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ F1ﻓﻘﻁ
ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(1-9ﺃﻱ ﻤﻊ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺘﺤﺭﻙ
F τ ﺍﻟﺸﻜل )(2-9
ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ( .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ ﺩﺍﺭ ﺍﻟﺒﺭﻏﻲ ﻤﻊ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ F4ﻓﻘﻁ ،ﺃﻱ ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻟﺘﺤﺭﻙ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ( .ﻓﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻟﻴﺱ
ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﻘﺩ ﺍﻟﺒﻌﺽ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜﻭﻥ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﻻﻴﻌﻨﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻤﻴﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺘﺎ ﻤﺤﻤﻭﻟﺘﻴﻥ
ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ .ﻓﻠﻭ ﻋﻜﺴﻨﺎ ﺍﺘﺠﺎﻩ F2ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (1-9ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﻭ F4ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺘﺩﻭﺭ ﺒﺎﻟﺘﺄﻜﻴﺩ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻬﻤﺎ ﻻﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ.
ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻴﻌﺘﻤﺩﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ( ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻷﻥ ﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻤﺎ ﻴﻨﻌﻜﺱ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻭ/ﺃﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ .ﻟﺫﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ،ﻭﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﻋﻠﻰ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ.
ﻭﺘﻌﻁﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﺒـ .m.Nﻭﻤﻊ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻤﺎﺜل ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺸﻐل N.mﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻻﺘﻘﺩﺭ ﺒﺠﻭل ﻷﻨﻬﺎ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻨﺘﺞ ﺍﻟﺸﻐل ﻋﻥ ﺍﻟﻀﺭﺏ
ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻬﻤﺎ .ﻭﻟﺫﺍ ﺘﺒﻘﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﺯﻡ m.Nﻓﻘﻁ. ﻤﺜل 1-9
ﻤﺎﻋﺯﻡ ﻜل ﻤﻥ F1ﻭ F2ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(3-9؟
207
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻓﻲ .ﻡ. ﺍﻷﻭل– ﺩ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻗﺎﻨﻭﻥ 3-9
ﺍﻟﺤل :ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﺎﻤﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺌل ﻻﺤﻘﺔ .ﻓﻨﻜﻨﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ F1ﺒﺎﻟﺸﻜل:
F1 m
τ1 = r1F1 sin θ1 = rF1 sin 90° = rF1
ﻭﻴﺘﺠﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﻤﺜل ﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ.
r
F2
o
ﺍﻟﺸﻜل )(3-9
ﺍﻤﺎ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻘﻁﺭﻴﺔ F2ﻓﻬﻭ: τ 2 = r2F2 sin θ 2 = rF2 sin180° = 0
ﻭﻫﺫﻩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ.
ﻤﺜل 2-9
ﻴﻌﻠﻕ ﺠﺴﻡ mﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺨﻴﻁ ﻴﻤﺭ ﺤﻭل ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ Mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ R
N
ﻤﺜﺒﺘﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺃﻓﻘﻲ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ
R
ﺍﻟﺸﻜل ) .(4-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ؟
ﺍﻟﺤل :ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺜﻼﺙ ﻗﻭﻯ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻫﻲ ﻭﺯﻨﻬﺎ Mg ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺜﺒﻴﺘﻬﺎ Nﻭﺸﺩ ﺍﻟﺨﻴﻁ Tﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺒﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ.ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ Mg
ﻭ Nﺘﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ oﻟﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ، ﻭﻴﺒﻘﻰ ﻋﺯ ﺍﻟﺸﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻜﺘﺒﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (2-9ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ:
T Mg m
ﺍﻟﺸﻜل)(4-9
τ = RT sin θ = RT sin 90° = RT
3-9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻓﺈﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺈﻨﻪ ﻻﻴﺩﻭﺭ ﺒﺘﺎﺘﺎ .ﻭﻨﻌﻤﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺎﻟﻘﻭل :ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ )ﺃﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺴﻡ ﻗﺎﻨﻭﻥ
ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﻭﻨﻜﺘﺒﻪ ﺒﺎﻟﺸﻜل:
208
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺜﺎﺒﺕ = τT = 0 ⇒ ω
)(3-9
ﻭﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ. ﻤﺜل 3-9 ﻴﺠﻠﺱ ﻁﻔل ﻜﺘﻠﺘﻪ 35 kgﻋﻠﻰ ﻁﺭﻑ ﻟﻭﺡ ﻁﻭﻟﻪ 2 m
ﻴﺭﺘﻜﺯ ﻋﻨﺩ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ .ﺃﻴﻥ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺠﻠﺱ ﺃﺨﺎﻩ ﺍﻵﺨﺭ
N
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ 40 kgﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ
1m
ﺍﻟﺸﻜل )(5-9؟
ﺍﻟﺤل :ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ
ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻜﺎﺯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﻠﻴﺱ ﻟﻭﺯﻥ
x
w
W1
ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻭ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻜﺎﺯ ﻋﺯﻡ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﻴﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ
W2
ﺍﻟﺸﻜل)(5-9
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻭﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻁﻔل ﺍﻷﻭل ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ: )τ1 = w1r1 sin θ1 = m1g (l /2
ﻭﻴﺘﺠﻪ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ )ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ( .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻷﺥ ﺍﻵﺨﺭ ﻓﻴﺴﺎﻭﻱ: τ 2 = w2r2 sin θ2 = m2 gx
ﻭﻴﺘﺠﻪ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ .ﻓﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺯﻤﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ .ﻭﻨﻜﺘﺏ: m1g (l /2) = m2 gx ⇒ x = m1l /2m2 = 0.875 m
4-9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺴﻴﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺘﻪ
ﺍﻟﺘﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺘﺒﻘﻰ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺩﻭﻤﺎ .ﻭﻟﺫﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺩﻴﻬﻲ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺇﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻻﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺴﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺯﺍﻭﻴﺎ .ﻭﺴﻨﺭﺒﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ )ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ(.
209
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻨﻴﻭﺘﻥ 4-9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻓﻲ ﻡ. ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ– ﺩ. ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﻤﺒﺎﺩﺉ
ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻤﺎ mﻴﺨﻀﻊ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ FTﻭﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ oﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ rﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ
ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻩ ﺠﺴﻤﺎ ﻨﻘﻁﻴﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل).(6-9
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺯﻡ FTﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ) oﺃﻭ ﺒﺎﻷﺼﺢ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ oﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ( ،ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: ) τT = r × FT = r × ( Ft + Fn
FT Ft
Fn m
r o
ﺍﻟﺸﻜل )(6-9
ﺤﻴﺙ Ftﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻭ Fnﻤﺭﻜﺒﺘﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺨﻁ ﻗﻭﺓ Fnﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﺃﻱ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻋﺯﻡ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ
Ftﻭ rﺘﺴﺎﻭﻱ .90°ﻟﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ: τT = r × FT = r × Ft ⇒ τΤ = rFt
ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ، Ft = maﺤﻴﺙ aﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ
ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ αﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ . a = r αﻓﺈﺫﺍ ﻋﻭﻀﻨﺎ ﻋﻥ FTﻭ aﻓﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻨﺠﺩ: τ T = (mr )α 2
ﺃﻭ ﺃﻱ ﺃﻥ:
τT = I α
τT
ﺤﻴﺙ ﻭﻀﻌﻨﺎ
)(5-9
=α
)(6-9
I = mr
)(7-9
I 2
)(4-9
ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺃﻭ )ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻌﻁﺎﻟﺔ( ) (moment of inertiaﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ .oﻭﻭﺤﺩﺘﻪ ،ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ،ﻫﻲ .kg.m2
ﻭﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (6-9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻨﺼﻴﻐﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻁﺭﺩﻴﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ
ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻭﻋﻜﺴﻴﺎ ﻤﻊ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ 210
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﻭﺴﻨﺭﻯ ﺒﻌﺩ ﻗﻠﻴل ﻜﻴﻑ ﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻨﻪ ﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﻴﻥ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ. ﻤﺜل 4-9
ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ 2 kgﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xyﺒﺤﻴﺙ ﻴﻌﻁﻰ
F
ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ
ﺒﺎﻟﺸﻜل ) ،(7-9ﺤﻴﺙ r=2 mﻭ .F= 2 Nﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ
30°
m
ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ،ﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟
r 45°
x
ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (1-9ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ:
y
ﺍﻟﺸﻜل)(7-9
τ = rF sin θ = (2 m)(2N)sin30°
ﺃﻱ ﺃﻥ:
τ = 2 m.N
ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ .2 m.Nﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ،ﺃﻱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .ozﻭﻫﺫﺍ ﻤﻤﺎﺜل ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ )ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ(.
ﺍﻵﻥ :ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻨﻜﺘﺏ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ: = 0.17 rad/s 2
τ mr 2
=
τ I
=α
5-9ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ )ﺃﻭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻌﻁﺎﻟﺔ( ﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ rﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:
I = mr 2
ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻘﻁ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺫﻭ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﺃﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻜﺒﻴﺭ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ
ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺒﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﺠﺯﺍﺀ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻭﺠﻤﻊ ﻋﺯﻭﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ،ﺃﻱ:
211
ﻤﻴﺭﺯﺍ 5-9ﺩ .ﻡ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻋﺯﻡ .ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ N
I = m1r12 + m2r22 + " + mn rn2 = ∑ mi ri 2
)(8-9
i =1
ﺤﻴﺙ riﺒﻌﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ miﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻭﺇﺫﺍ ﺼﺎﺭﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻤﺎ ﺼﻠﺒﺎ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺯﺌﻪ ﻷﺠﺯﺍﺀ ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ∆miﻴﺤﺘل ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺤﺠﻤﺎ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ،riﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(8-9ﺇﻻ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻴﺔ ﻴﺼﻴﺭ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺏ:
ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ 2
∞→ n
∑ ∆m r
i i
ﻭﻨﺠﻌل
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ
ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ
ﺘﻜﺎﻤﻼ
z ﺍﻟﺸﻜل )(8-9
= I
i =1
ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﻴﺼﻴﺭ
ﺍﻟﺠﺯﺀ
ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻱ ∆m iﺼﻐﻴﺭ ﻟﺩﺭﺠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺒﻪ dmﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ
y
dm
r o
x
ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ،rﻭﻨﻜﺘﺏ: I = ∫ r dm 2
)(9-9
ﺤﻴﺙ ﻴﻤﺘﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﻜﻠﻪ.
ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻴﺤﺘﺎﺝ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﻓﻴﺔ ﺒﻁﺭﻕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﻘﺩﺓ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻴﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ،ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻷﻱ ﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ
ﺜﺎﺒﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ozﺒﺎﻟﺸﻜل:
2 z
I z = Mk
)(10-9
ﺤﻴﺙ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ kzﻁﻭل ﻴﺩﻋﻰ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ) (radius of gyrationﻭﻴﻤﺜل ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﺽ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﻤﻌﺎ ﻋﻨﺩﻩ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ
ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻫﻭ .Izﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-9ﻗﻴﻡ kzﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﺸﺎﺌﻌﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺒﻌﺽ
ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻬﺎ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺃﻭ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺃﺨﺭﻯ .ﻭﻨﺫﻜﺭ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﻅﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻔﻴﺩﺘﻴﻥ ﻟﺤﺴﺎﺒﻪ:
-1ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ):(Parallel Axes Theorem
ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ
ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﻤﻭﺍﺯ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻭل ﻤﻀﺎﻓﺎ ﺇﻟﻴﻪ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ. 212
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Cﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ
h
Dﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ،hﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(10-9ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ Dﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ:
I D = I c .m . + Mh 2
c.m. D
)(11-9
C
ﺍﻟﺸﻜل)(10-9
ﺤﻴﺙ Ic.mﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ Cﻭ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ.
-2ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ):(Normal Axes Theorem
ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ
z
ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺯﻤﻲ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ
y x
ﻭﺍﻗﻌﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﻤﺘﻘﺎﻁﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﺽ.
ﺍﻟﺸﻜل)(11-9
ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ozﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ
ﺒﺎﻟﺸﻜل ) (11-9ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ: Iz = I x + Iy
)(12-9
ﺤﻴﺙ Ixﻭ Iyﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ oyﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ ﻭﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻁﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ oﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﺭ ozﻤﻨﻬﺎ. ﻤﺜل 6-9
ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺭﺒﻌﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 2 kgﻭﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ 0.5 mﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ
ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺇﺤﺩﻯ ﺯﻭﺍﻴﺎﻫﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(12-9ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ 1.5 kg.m2؟
z
ﺍﻟﺤل :ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﺃﻭﻻ ﺜﻡ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ .ﻓﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (12-9ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ
ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺼﻔﻴﺤﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ozﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ،ﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ. I z = I x + I y ،
ﻟﻜﻥ I x = I y
y
D o x
ﺍﻟﺸﻜل)(12-9
ﺒﺴﺒﺏ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻗﻁﺭﻴﻪ ،ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ: I z = 2I x = 2(1.5 kg.m2 ) = 3 kg.m 2
ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ: 213
ﻤﻴﺭﺯﺍ 5-9ﺩ .ﻡ. ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ
I D = I z + Mh 2 = I z + M (a / 2)2
ﺤﻴﺙ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻭ aﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ﻭ h = a / 2ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ozﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .D ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻨﺠﺩ: I D = 3.71 kg.m2
ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ
ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ،F=maﻭﻤﻥ ﻨﻅﻴﺭﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،τ=Iαﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﺸﺎﺒﻪ ﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ .ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﻟﻘﻭﺓ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻟﺘﻐﻴﻴﺭ
ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻭﺇﻜﺴﺎﺒﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ )ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻓﻴﻤﺎﻨﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺒﺤﺴﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ )ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ( .ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﻭ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
ﺩﻟﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻬﺎ .ﻭﺴﺒﺏ ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻫﻭ ﺃﻥ ﻨﺘﻭﺼل ﻟﻔﻬﻡ
ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻫﻭ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻕ ﺃﺴﺎﺱ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ،ﻓﻔﻲ ﺤﻴﻥ ﺘﺒﻘﻰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻜﻴﻔﻤﺎ ﺘﺤﺭﻙ،
ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ ﻻﺘﺘﺄﺜﺭ ﺒﺄﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ .ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻟﺠﺴﻡ ﺃﻥ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ
ﺃﻭل ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻤﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻗﺩ ﻻﻴﺩﻭﺭ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺁﺨﺭ ﺒﺴﺒﺏ ﺍﺨﺘﻼﻑ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ. ﻤﺜل 5-9
ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻁﻭﻟﻬﺎ 1mﻭﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 0.2 kgﻋﻨﺩﻤﺎ
ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻗﻭﺓ 5 Nﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺇﺫﺍ ﺩﺭﺍﺕ )ﺃ(
ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ oﺃﻭ )ﺏ( ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ
ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺍﻵﺨﺭ ،pﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )(9-9؟
ﺍﻟﺤل :ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ
ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ:
τT = I α
214
p
o
r
l
ﺍﻟﺸﻜل)(9-9
F
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )ﺃ( ﻨﺤﺴﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻨﻜﺘﺏ: τ = rF sin θ = (0.5 m)(5 N)sin90° = 2.5 m.N
ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل :1-9 (0.3 kg)(1kg)2 = 0.025 kg.m2
= ml 2
1 12
1 12
= I
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ: 2.5 m.N = 100 rad/s 2 0.025 kg.m2
=
τ I
=α
ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )ﺏ( ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﺼﻴﺭ: τ = rF sin θ = (1m)(5 N)sin90° = 5 m.N
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل :1-9 I = 13 ml 2 = 13 (0.3 kg)(1kg)2 = 0.1 kg.m2
ﻭﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ: 5 m.N = 50 rad/s 2 0.1kg.m2
=
τ I
=α
ﻭﻴﺒﻴﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﺃﺜﺭ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻜﻠﻬﺎ.
6-9ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎ ﻨﻘﻁﻴﺎ mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ rﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ Fﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ،o
ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(13-9ﻭﻟﻨﺤﺴﺏ ﺸﻐل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ θﻗﺎﻁﻌﺎ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺨﻁﻴﺔ sﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ،ﻓﻨﻜﺘﺏ: W = ∫ Fds
F m r
θ
o
ﺍﻟﺸﻜل )(13-9
ﻭﻟﻜﻥ s = r θ ⇒ ds = rdθ
ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺸﻐل: W = ∫ Frdθ
215
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟ ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻓﻲ .ﻡ. ﺤﺭﻜﻴﺔ– ﺩ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﺍﻟﺸﻐلﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ 6-9ﻤﺒﺎﺩﺉ
ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﻭ rFﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ: W = ∫ τ dθ
)(13-9
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺜﺎﺒﺕ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺸﻐل: W = τθ
)(14-9
ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻤﺎﺜل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻟﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺘﻘل ﺠﺴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺨﻁﻴﺔ .(W=Fs) s ﻓﺎﻟﺸﻌل ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻤﻀﺭﻭﺒﺎ ﺒﺎﻹﻨﺘﻘﺎل.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ: K = 12 mv 2
ﻓﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ vﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ v = r ω :ωﻓﻨﺠﺩ: K = 12 mv 2 = 12 mr 2ω 2 = 12 (mr 2 )ω 2
ﻭﻟﻜﻥ I = mr 2ﻫﻭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺇﻟﻰ: 2
K = Iω
)(15-9
1 2
ﻭﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﻓﺎﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻫﻲ ﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ. ﻤﺜل 7-9
ﻤﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻸﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) (14-9ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﺩﺀ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ F1ﻭ F2ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ F1=5 Nﻭ F2=7 Nﻭ r=0.3 mﻭﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ
ﻟﻸﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ 0.2 kg.m2؟
ﺍﻟﺤل :ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (14-9ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻜل ﻗﻭﺓ ﻴﺘﺠﻪ ﻟﻸﻋﻠﻰ )ﻜﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ( ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻫﻭ:
τ T = rF1 sin 90° + rF2 sin 90° = (0.3 m)(12 N) = 3.6 m.N
ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ:
216
r F2 F1
ω
ﺍﻟﺸﻜل )(14-9
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ 3.6 m.N = 18 rad/s 2 0.2 kg.m2
=
τT I
=α
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﺫﺍ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ،ﺃﻱ:
ω = ω0 + α t = 0 + (18 rad/s 2 )(2s) = 36 rad/s
ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ: K = 12 I ω 2 = 12 (0.2 kg.m2 )(36 rad/s)2 = 129.6 J
7-9ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ )(Angular Momentum ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ vﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ) rﻤﻘﺎﺴﺎ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ( ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: l = r×p
)(16-9
ﺤﻴﺙ p=mvﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ.
ω
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ: l = mrv sin θ
l m
)(17-9
ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(15-9ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ
ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺓ
v r
o
ﺍﻟﺸﻜل )(15-9
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻫﻲ .kg.m2/s ﻤﺜل 8-9
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻜﺘﻠﺔ 2 kgﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xyﺒـ r = 3i − 4jﻭ ، v = 30i + 40jﺤﻴﺙ
ﺘﻘﺩﺭ rﺒـ mﻭ vﺒـ .m/sﻤﺎ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ oz؟ ﺍﻟﺤل :ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (16-9ﻭﻨﻜﺘﺏ:
)l = r × p = mr × v = (2 kg)(3i − 4 j) × (30i + 40 j
ﺃﻱ ﺃﻥ
l = 480 k kg.m2/s
ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ 480 kg.m2/sﻭﻴﺘﺠﻪ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .oz 217
ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻤﻴﺭﺯﺍ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – 8-9ﺍﻟﺸﻜلﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺩ.ﻓﻲﻡ.ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻲ ) (17-9ﻓﻨﺠﺩ: l = mrv = mr (r ω ) = (mr 2 )ω
ﺃﻱ ﺃﻥ:
l = Iω
)(18-9
ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ .ﻓﺎﻟﺯﺨﻡ ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل
ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ!
8-9ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ) (5-9ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻴﻜﺘﺏ ﺒﺎﻟﺸﻜل: τT = I α
ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ dω dt
=α
ﺃﻱ ﺃﻥ: dω dt
τT = I
ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: ) d (I ω dt
= τT
ﺃﻭ dl dt
= τT
)(19-9
ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺤﻭل ﺫﻟﻙ
ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ .ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ.
9-9ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻨﻌﻤﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ،ﺃﻭ ﻤﺘﻤﺎﺴﻜﺔ ﻜﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ،ﻭﺘﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ .ﻓﺈﺫﺍ
218
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ m1ﻭ m2ﻭ ...ﻭ mnﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ l1ﻭ l2ﻭ ....ﻭ ،lnﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻜﻠﻬﺎ: L = l1 + l 2 + " + ln
)(20-9
ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻨﺠﺩ: dl dL dl1 dl 2 = + +"+ n dt dt dt dt
ﻭﻟﻜﻥ τ i = dl i /dtﻫﻭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ) (20-9ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ: dL = τ1 + τ 2 + " + τn = τT dt
ﺃﻱ ﺃﻥ: dL dt
= τT
)(21-9
ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺘﺤﺭﻴﻙ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﺫ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻨﻬﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ωiﻓﻨﻜﺘﺏ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﺸﻜل: li = I i ωi
ﺤﻴﺙ Iiﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ iﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻓﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻫﻭ: n
L = l1 + l 2 + " + ln = I1ω1 + I 2ω2 + " + I n ωn = ∑ I i ωi
)(22-9
i =1
ﻭﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺕ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ) ωﻜﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ( ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ:
L = IT ω
)(23-9
n
ﺤﻴﺙ I T = ∑ I iﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ. i =1
ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ: K T = K1 + K 2 + " + K n = 12 I1ω12 + 12 I 2ω22 + " + 12 I n ωn2 219
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ. ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕﻡ.ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ 9-9ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ
ﺃﻱ ﺃﻥ: n
K T = ∑ 12 I i ωi2
)(24-9
i =1
ﻭﺃﻴﻀﺎ ،ﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ωﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل:
2
KT = IT ω
)(25-9
1 2
ﻭﻨﺼل ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ):(21-9
dL dt
ﻭﺒﻨﻌﻭﺽ Lﻤﻥ ) (23-9ﻨﺠﺩ:
= τT
) d (I T ω dt
= τT
ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺨﻼل ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ،
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ:
dω dt
τT = IT
ﻭﻟﻜﻥ α = dω /dtﻫﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻡ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ: τT IT
= τT = IT α ⇒ α
)(26-9
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﺍ ﻤﻊ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﺘﻭﻗﻊ. ﻤﺜل 9-9
N
ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ M=2 kgﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ R=0.2 cmﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ
ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻭﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﻘﻭﻁ ﺠﺴﻡ m=0.5 kgﻤﺭﺒﻭﻁ ﺒﺨﻴﻁ ﻁﻭﻴل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )) .(17-9ﺃ( ﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺸﻐل ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ
ﺨﻼل ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺫﻟﻙ؟
220
R T T
Mg
w
ﺍﻟﺸﻜل)(17-9
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﺍﻟﺤل :ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﺘﺄﻜﻴﺩ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ .ﺇﺫ ﻨﺭﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺠﺯﺃﻴﻥ ﻤﺭﺘﺒﻁﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ
ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ )ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ( ﻭﺍﻵﺨﺭ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺎ )ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ( .ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﺴﺄل ﻋﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ، ﻜﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟـ mﺃﻭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ ،ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻵﺨﺭ .ﻭﻗﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل 2-9ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ
ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻫﻭ RTﺤﻴﺙ Rﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻭ Tﺸﺩ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ ،ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل: I α R
= τ = TR = I α ⇒ T
)(1
ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ mﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ ﻟﻸﺴﻔل: mg − T = ma
)(2
ﻭﻨﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ mﻤﺭﺒﻭﻁ ﺒﺎﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل
ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ،ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ mﺒﺄﻱ ﺘﺴﺎﺭﻉ aﻓﺈﻥ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺴﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺃﻴﻀﺎ ﺒﻤﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺔ ﻟﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ .ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ αﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ .a=Rαﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟـ mﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﺴﺒﺏ ﺍﻟﺨﻴﻁ .ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﻭﺽ aﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (1ﺃﻋﻼﻩ ﻓﻨﺠﺩ:
ﻭﺒﺠﻤﻊ ) (2ﻭ ) (3ﻨﺠﺩ:
I a R2
+ m )a
I R2
= T
)(3
( = mg
ﺃﻱ ﺃﻥ: mg ) (I / R 2 + m
=a
ﻭﻫﺫﻩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻬﻤﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻌﻁﻲ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﻭﺍﻨﺘﻘﺎﻻ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ،ﺤﻴﺙ ﻨﺭﻯ ﺃﻥ ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ )ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ (aﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﺍ ﻤﻊ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ) mgﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ( ﻭﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﻫﻲ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل )ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ( ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ )ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ
ﻗﺴﻤﻨﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﻟﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﻱ ،kg
221
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ– ﺩ .ﻡ 10-9ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ .ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ
ﻷﻥ ﻭﺤﺩﺓ Iﻫﻲ .(kg.m2ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺃﻱ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻟﻭ ﺍﻨﺘﺒﻬﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻭﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ!
ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-9ﻨﺠﺩ Iﺜﻡ ﻨﻌﻭﺽ ﻗﻴﻡ mﻭ Iﻭ Rﻓﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻨﺠﺩ: .a=3.27 m/s2 ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ aﻓﻲ ) (3ﻓﻨﺠﺩ: I mg ( ) = 3.92 N 2 ) R (I / R 2 + m
= T
ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ α=a/Rﻓﻴﻜﻭﻥ: mg = 16.33 rad/s 2 ) R (I / R 2 + m
=α
)ﺏ( ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺍﺭﺘﻬﺎ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻓﻨﻜﺘﺏ: θ = 12 α t 2 + ω0t = 12 (16.33 rad/s2 )(2 s)2 = 32.67 rad
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ) (14-9ﻟﻨﻜﺘﺏ: W = τθ = TRθ
ﺃﻱ ﺃﻥ
W = (3.92 N)(0.2 m)(32.67 rad) = 25.6 J
ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻐل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ.
10-9ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻱ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺸﻜل ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻘل ﺃﻭ ﻴﺩﻭﺭ ﺃﻭ ﻜﻼﻫﻤﺎ .ﻓﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺘﺘﺄﻟﻑ ﻤﻥ ﺍﻨﺘﻘﺎل ﻜﻠﻲ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻥ ﻵﺨﺭ ﻭﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺒﻨﻔﺱ
ﺍﻟﻭﻗﺕ .ﻭﻟﻭ ﺃﻨﻌﻤﻨﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻘﺫﻭﻑ ﻴﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻟﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺒﻭﻀﻭﺡ ﻜﻴﻑ ﻴﻨﺘﻘل ﻭﻴﺩﻭﺭ ﻤﻌﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(1-6ﻭﺘﻭﺼﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺨﻀﻊ
ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻜﻨﺎ ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼﻭل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻭﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻭﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﻨﻘﻁﺎ
222
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﺃﻭ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺘﻤﺜل ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ﺃﻭ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﺃﻱ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ ﻤﻔﺘﺭﻀﻴﻥ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺎ ﻓﻘﻁ .ﻭﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﻱ: dPt dt
= FT = Mac .m
)(27-9
ﺤﻴﺙ FTﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ ac.m.ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ PT
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ،ﺃﻱ ﺯﺨﻡ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻓﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺘﻭﺼﻑ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ: dL T dt
= τT = I α
)(28-9
ﺤﻴﺙ τTﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ LTﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ. ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﻘﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻙ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻨﻭﻋﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ .ﻭﺘﻜﻤﻥ
ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻻﺘﻨﺯﻟﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﻗﻭﺓ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺴﻜﻭﻨﻲ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ ،ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ
ﺸﻐﻠﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﺩﻭﻤﺎ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﻔﻭﻅﺔ .ﻓﻠﻭ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ
ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﺭﺼﺎ )ﺃﻭ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ( ﻜﺘﻠﺘﻪ mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ Rﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(19-9ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﺒﺸﻜل ﺍﻨﺴﺤﺎﺒﻲ ﻴﺤﺩﺩﻩ ﺍﻨﺘﻘﺎل ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ
ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻩ.
vc.m.
ω
c.m.
ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ vc.m.ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺭﺹ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻘﺭﺹ ﻫﻲ:
c.m.
ﺍﻟﺸﻜل)(19-9
K = 12 mvc2.m. + 12 I c .m.ω 2
)(29-9
ﺤﻴﺙ Ic.m.ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ vc .m . = Rωﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺇﻟﻰ:
K = 12 (I c .m. / R 2 + m )vc2.m.
)(30-9 223
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ – ﺩ. 10-9ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔﻡ.ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ
ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻨﺘﻭﻗﻊ ﺘﺸﻤل ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻬﺎ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ.
ﺍﻵﻥ ﻟﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻭﺠﺩﻨﺎ: K = 12 (I c .m . + mR 2 )ω 2
)(31-9
ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ) (I c .m . + mR 2ﺘﻤﺜل ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻥ
ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﺴﺎﻓﺔ ،Rﻭﻴﺩﻋﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻵﻨﻲ )(instantaneous axis of rotation
ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ .Ipﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﻴﺩ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل: K = 12 I p ω 2
)(32-9
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻜﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻵﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻨﻘل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ.
ﻤﺜل 10-9
ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ Mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ Rﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﺨﺸﻥ
ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل) .(20-9ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﺘﺼل ﻟﻘﻌﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟
ﺍﻟﺤل :ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻭﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ
ﺍﻵﻨﻲ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ،ﺃﻱ .p
vc.m. B
ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ pﻫﻭ Ipﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻫﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﻭﻀﻊ ﻓﻘﻁ: E A = U = mgh
ﻭﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Bﻫﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻓﻘﻁ: EB = K = 12 I p ω
ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ: 2
E A = E B ⇒ mgh = I p ω 1 2
ﻭﺒﺈﻴﺠﺎﺩ Ic.m.ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل 1-9ﻭﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ: 224
p
ﺍﻟﺸﻜل)(20-9
ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻼﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
2
A
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
I p = I c .m . + mR 2 = 12 mR 2 + mR 2 = 32 mR 2
ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺃﻥ: 4gh 3R 2
= ( 32 mR 2 )ω 2 = mgh ⇒ ω
1 2
ﻭﻤﻨﻪ: vc .m . = Rω = 4gh / 3
11-9ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻬﺎ ﻴﺒﻘﻰ ﺜﺎﺒﺘﺎ ،ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ FT=0ﻓﺈﻥ ﺜﺎﺒﺕ= .PTﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺍﺨﺘﻔﻰ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ .ﻭﺴﻨﻁﺒﻕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ
ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ) (28-9ﺃﻥ: dL T dt
= τT
ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ τΤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ
ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻟﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ ،ﺃﻱ:
ﺜﺎﺒﺕ = τΤ = 0 ⇒ LT
)(33-9
ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﺤﻔﻅ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻭﻟﻪ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﺩﺓ ﻫﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻨﻭﺍﺤﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ،ﻭﻤﻨﻬﺎ ﻤﺎﻫﻭ ﻤﺄﻟﻭﻑ ﻟﻜل ﺇﻨﺴﺎﻥ .ﻓﻔﻲ ﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﻐﻁﺱ ﻤﺜﻼ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻨﺘﻴﺠﺔ
ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﻤﻬﺎ ﺍﻟﻐﻁﺎﺱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﻔﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺼل ﻟﻠﻤﺎﺀ .ﻭﻴﻘﻭﻡ
ﺒﺫﻟﻙ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺄﻥ ﻴﻠﻭﻱ ﺠﺴﻤﻪ ﻭﻫﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻭﻴﻁﺒﻕ ﺭﻜﺒﺘﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺠﻌل ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ
ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ،ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ .ﻭﻗﺒل ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻠﻤﺎﺀ ﺒﻘﻠﻴل ﻴﻔﺭﺩ ﺠﺴﻤﻪ ﻭﻴﻤﺩ ﺫﺭﺍﻋﻴﻪ ﺃﺒﻌﺩ
ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﻓﻴﺯﺩﺍﺩ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ .ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ
ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻫﻲ ﻭﺯﻨﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻋﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ .ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻴﻘﻭﻡ ﺭﺍﻗﺹ ﻓﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ﺒﻀﻡ ﻴﺩﻴﻪ ﻟﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺘﻨﺎﻗﺹ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺭﻴﺩ ﺍﻟﺘﺒﺎﻁﺅ ﻴﻔﺭﺩ ﻴﺩﻴﻪ ﻓﻴﺯﻴﺩ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ
ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ﻭﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻷﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺭﺩ
225
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻤﺒﺩﺃﺩ .ﻡ. ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ 11-9
ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺘﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ. ﻭﺘﻭﻀﺢ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻜﻴﻑ ﻴﻘﻭﻡ ﺍﻟﻐﻁﺎﺱ ﻭﺍﻟﺭﺍﻗﺹ ﺍﻟﻔﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ﺒﺤﺭﻜﺎﺘﻬﻡ.
ﻤﺜل 11-9
I2,ω2
ﻴﺩﻭﺭ ﻗﺭﺼﺎﻥ ﻤﻨﻔﺼﻼﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ ω1ﻭ
I1,ω1
،ω2ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻓﻌﺎﻥ ﺒﻘﻭﺘﻴﻥ F1ﻭ F2ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ
ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﻥ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(21-9ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﻠﺘﺼﻘﺎ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻭﻴﺼﺒﺤﺎ ﺠﺴﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ .ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺩﻭﺭ ﺒﻬﺎ
ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻬﻤﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
ﻫﻭ I1ﻭ ،I2ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ؟
I, ω F1
F2
ﺍﻟﺤل :ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻜﻨﻅﻴﺭ ﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺭﻥ ﻜﻠﻴﺎ ﻓﻲ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ .ﻭﻨﺭﻯ ﻫﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺭﺼﻴﻥ ﻗﺒل ﻭﺒﻌﺩ ﻭﺨﻼل ﺍﻻﻟﺘﺤﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ
ﺍﻟﺸﻜل)(21-9
ﺍﻟﻤﻁﺒﻘﺔ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﻜل ﻗﺭﺹ ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺩﻭﻤﺎ ﻷﻨﻪ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ،ﻭﻨﻜﺘﺏ: )ﻗﺒل ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( ) = Lﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( L
ﺤﻴﺙ:
)= I 1ω1 + I 2ω 2ﻗﺒل ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( L
ﺃﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﻘﺭﺼﺎﻥ ﺠﺴﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻘﺭﺼﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼﻠﻴﻥ ،ﺃﻱ ﺃﻥ: )= (I 1 + I 2 )ωﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( L 226
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻜﻭﻥ: I1ω1 + I 2ω2 I1 + I 2
= I1ω1 + I 2ω2 = (I1 + I 2 )ω ⇒ ω
12-9ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻨﺨﺘﺘﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺘﻭﺍﻓﺭﻫﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺘﺯﻥ ﺃﻱ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺍﺘﺯﺍﻨﺎ ﺴﻜﻭﻨﻴﺎ ﻋﺎﻤﺎ، ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﻻﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻭﻻﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﻼﻕ.
ﻓﻘﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﺃﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺠﺴﻡ ﻀﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ
ﺍﻷﻭل ،ﻫﻭ:
∑F = 0
)(34-9
ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻷﻭل ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ ،ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ: =0
∑F
x
ﻭ=0
ﻭ
∑F
y
=0
∑F
z
)(35-9
ﺤﻴﺙ Fxﻭ Fyﻭ Fzﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ.
ﻜﻤﺎ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺃﻥ ﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻻﺘﻀﻤﻥ ﻋﺩﻡ ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ،ﺃﻱ: =0
∑τ
)(36-9
T
ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ،ﻭﺘﻜﺎﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ: =0
x
∑τ
ﻭ
=0
y
∑τ
ﻭ =0
z
∑τ
)(37-9
ﺤﻴﺙ τxﻭ τyﻭ τzﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ،ﻷﻥ ﺸﺭﻁ ﻋﺩﻡ
ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺠﺴﻡ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﻱ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻨﺨﺘﺎﺭﻫﺎ .ﻭﻟﺫﺍ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺘﺠﻌل ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺴﻬﻼ ،ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ
ﺍﻟﻼﺤﻘﺔ.
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﻘﺩﺍ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﻟﺫﺍ ﻨﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻋﻠﻰ
ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻀﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﻓﻘﻁ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻌﺯﻭﻡ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﺤﻭل 227
ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺩ.ﺍﻟﻌﻡﺎﻡ .ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ 12-9 ﻤﻴﺭﺯﺍ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ
ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،ﻜﻤﺎ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ )ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ( .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺼﻴﺭ ﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﻭل: =0
∑F
x
ﻭﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ:
ﻭ
=0
∑F
)(38-9
y
∑τ = 0
)(39-9
ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﻋﺎﻡ ﻻﻴﺘﺠﺎﻭﺯ ﺜﻼﺜﺔ ،ﻭﺇﻻ ﻟﻭﺠﺏ ﺘﻭﻓﺭ ﺸﺭﻭﻁ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻜﺎﻤﻠﺔ.
ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩﺓ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺒﻌﻀﻬﺎ:
-1ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﻨﻭﻀﺢ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ.
-2ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻭﻨﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺤﺩﻫﺎ. -3ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ) (38-9ﻭ ) (39-9ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻨﺤﻠﻬﺎ. -4ﻨﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻡ ﺁﺨﺭ ﺇﻥ ﻭﺠﺩ ﻭﻨﻜﺭﺭ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ. ﻤﺜل 11-9
y
ﻴﺜﺒﺕ ﻋﻤﻭﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻁﻭﻟﻪ l=2 mﻭﻜﺘﻠﺘﻪ M=25 kg
ﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻔﺼﻠﺔ ﻭﻴﺤﻔﻅ ﺒﻭﻀﻊ ﺃﻓﻘﻲ
ﺒﺭﺒﻁﻪ ﺒﺤﺒل ﻤﺸﺩﻭﺩ ﻤﺜﺒﺕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(21-9ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ﻋﻨﺩ
T
Ty x
ﺍﻟﻤﻔﺼﻠﺔ pﺇﺫﺍ ﻋﻠﻕ ﺤﻤل m=200 kgﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ؟
ﺍﻟﺤل :ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﺘﻭﻀﺢ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺒﻌﻬﺎ
ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ.
ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻭﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ ،W=Mg
F
Fy
θ
A
Tx
Fx
p
Mg mg
l
ﺍﻟﺸﻜل)(21-9
ﻭﻭﺯﻥ ﺍﻟﺤﻤل ﺍﻟﻤﻌﻠﻕ ،w=mgﻭﺸﺩ ﺍﻟﺤﺒل ،Tﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ .Fﻓﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ
،oyﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) ،(21-9ﻭﻨﺤﻠل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﻭل: Fz − Tx = 0
ﻭ Fy + Ty − mg − Mg = 0
228
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺴﺏ ﻋﺯﻭﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻌﻠﻴﻕ ﺍﻟﺤﻤل ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xy
ﻋﻨﺩ ،Aﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ﻴﻌﺎﻜﺱ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ )ﻟﻤﺎﺫﺍ( ،ﻓﻨﺠﺩ: −Fy (l ) + Mg (l /2) = 0
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ: Ty Tx
= tan θ
ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﺠﺩ Fx = Tx = 4970 N :ﻭ Fy = 122 Nﻭ . Ty = 2870 N ﻤﺜل 12-9 ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ m=65 kgﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 1 mﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺴﻠﻡ ﻁﻭﻟﻪ l=3 mﻭﻜﺘﻠﺘﻪ M=10 kg
ﻭﻴﺴﺘﻨﺩ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ ﺃﻤﻠﺱ ﺼﺎﻨﻌﺎ ﻤﻌﻪ ﺯﺍﻭﻴﺔ ،θ=25°ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(22-9ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﺎﻜﻨﺎ؟ ﺍﻟﺤل :ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) (22-9ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ
y N1
ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻌﺎ ﻫﻲ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ Wﻭﻭﺯﻥ ﺍﻟﺭﺠل ،w ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ،N1ﻭﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﺴﻜﻭﻨﻲ ،Fsﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻷﺭﺽ .N2ﻓﺤﺘﻰ ﻴﺘﺯﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ
ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﻭﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺤﻭل ﺃﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﻨﺨﺘﺎﺭﻩ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺃﻴﻀﺎ.
α θ
N2
x
ﻓﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻷﻭل ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ:
W + w + N1 + N2 + Fs = 0
w Fr
W
ﺍﻟﺸﻜل)(22-9
ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ oxﻭ oyﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ ﺒﺎﻟﺸﻜل ،ﻨﺠﺩ: W + w − N2 = 0
ﻭ
N 1 − Fs = 0
ﻜﻤﺎ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻴﻌﺎﻜﺱ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻭﺍﻟﺭﺠل )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟(: W (l /2)sin θ + w(l /3)sin θ − N 1(l )sin α = 0
ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﺠﺩ.µ=0.2 : 229
ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﻔﺼل ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ .ﻤﻠﺨﺹ ﻤﻴﺭﺯﺍ
ﺍﻟﺠﺩﻭل :1-9ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ
) (I = Mk z2
ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
k z2
ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ
a2/12
ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ
a2/3
ﻤﻭﺍﺯ ﻟﻁﺭﻓﻬﺎ bﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ
a2/12
ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ
(a2+b2)/3
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ
a2/4
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ
a2/2
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ
a2/2
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ
a2
ﻗﺸﺭﺓ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ a
ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﻁﻭﻟﻲ
a2
ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺼﻠﺒﺔ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ
ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﻁﻭﻟﻲ
a2/2
ﺴﻠﻙ ﺭﻓﻴﻊ ﻁﻭﻟﻪ a ﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ a ﻭb
ﻗﺭﺹ ﺭﻗﻴﻕ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ a ﺤﻠﻘﺔ ﺭﻗﻴﻘﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ a
aﻭﻁﻭﻟﻬﺎ b
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ (a2+b2)/12
ﻜﺭﺓ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ a
ﺃﻱ ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻬﺎ
2a2/5
ﻗﺸﺭﺓ ﻜﺭﻭﻴﺔ ﺭﻗﻴﻘﺔ
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ
3a2/2
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ a
ﺍﻟﻭﺠﻪ abﻭﻤﻭﺍﺯ ﻟﻠﻁﺭﻑ c
3a2/2
ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺼﻠﺏ ﻗﺎﺌﻡ
ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ
ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ aﻭ bﻭ c
abﻭﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﻠﻁﺭﻑ c
(a2+b2)/12
ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ
ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ
I = ∑ mi ri 2
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
τ = Iα
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
l = rp sin θ = I ω
ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
dL dt
ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
= τ
ﺜﺎﺒﺕ = τ = 0 ⇒ L
ﺸﻐل ﺍﻟﻌﺯﻡ
W = ∫ τ dθ
ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
K = 12 I ω 2
ﺸﺭﻁﻲ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ 230
τ = rF sin θ
∑ Fx = 0ﻭ ∑ Fy = 0ﻭ ∑ τ = 0
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
1-9ﻤﺎﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻷﺸﻜﺎل ) (24-9ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ o؟ 10 cm
o
30°
40 N
10 cm o
60°
o
10 cm
10 cm
o
5 cm
120°
40 N
40 N
40 N
ﺍﻷﺸﻜﺎل )(24-9 2-9ﻤﺎﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(25-9
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ o؟
3-9ﻤﺎﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (26-9ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ o؟
8N
12 N o
30°
3 cm
2 cm
ﺍﻟﺸﻜل )(25-9
3N
4-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ F = 3i − 2 j Nﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ pﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ r = −i + j mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ o؟
ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ
5 cm 10 cm
2N
5-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻺﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )(27-9
1N
ﺍﻟﺸﻜل )(26-9
ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻗﻁﺭﻩ 60 cm
ﻭﻜﺘﻠﺔ ﻤﺤﻴﻁﻪ 1 kgﻭﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻪ 0.4 kg؟
6-9ﺘﺘﻭﺯﻉ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻀﻴﺏ ﻤﻬﻤل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻁﻭﻟﻪ ،3l ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(28-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ o؟
7-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 6-9
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ oﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ M؟
8-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻷﺭﺒﻊ ﻜﺘل ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ 3 kg
ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﺭﺒﻊ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ 0.5 mﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻩ؟
ﺍﻟﺸﻜل )(27-9 m
ω
l m
l m
l o
ﺍﻟﺸﻜل )(28-9
9-9ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ M=4 kgﻁﻭﻟﻬﺎ 40 cmﻭﻋﺭﻀﻬﺎ 30 cm
ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﻁﻭﻟﻬﺎ ﺃﻭ ﻟﻌﺭﻀﻬﺎ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل
ﻀﻠﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﻭ Ma 2 /3ﺤﻴﺙ aﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻵﺨﺭ؟
231
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ .ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ 10-9ﺘﺸﺩ ﺒﻜﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 0.5 mﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ 4 kg.m2
ﺒﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ ﻭﻤﺸﺩﻭﺩ ﺒﻘﻭﺓ .50 Nﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩﻭﺭﻫﺎ ﺨﻼل
10 sﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟
11-9ﻴﺩﻭﺭ ﺤﺠﺭ ﻟﺸﺤﺫ ﺍﻷﺩﻭﺍﺕ ﻗﻁﺭﻩ 25 cmﻭﻜﺘﻠﺘﻪ 50 kg
ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ 900 rev/minﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻀﻐﻁ ﺍﻟﻌﺎﻤل ﺒﻁﺭﻑ ﻓﺄﺱ
ﺒﻘﻭﺓ 200 Nﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁﻪ ﻓﻴﻘﻑ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﺒﻌﺩ .10 sﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻭﻤﺎﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ ﺤﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﺄﺱ؟
12-9ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 4-9ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 2 kgﻭﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ؟ 13-9ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻜﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 10 cmﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ 0.001 kg.m2ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ . F = 0.5t + 0.3t 2 Nﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺜﻼﺙ ﺜﻭﺍﻨﻲ ﻤﻥ ﺒﺩﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ؟
14-9ﺘﻌﻠﻕ ﻜﺘﻠﺔ 3 kgﺒﺒﻜﺭﺓ ﻤﺜﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻘﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 80 cmﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ 0.4 kg.m2
ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻋﺩﺓ ﻟﻔﺎﺕ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )) .(17-9ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﺘﻬﺒﻁ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ 2 m؟ )ﺏ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﻬﺒﻁ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟
15-9ﻴﺩﻭﺭ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ m1=m2=1 kgﻤﻌﻠﻘﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ 1.2 mﻭﻜﺘﻠﺘﻪ 6.4 kgﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺤﻭل
ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ 39 rev/sﺜﻡ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ 32 s
ﺒﺴﺒﺏ ﻗﻭﻯ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ) .ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ؟ )ﺏ( ﻤﺎ
ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ؟ )ﺝ( ﻤﺎﺸﻐل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ؟ )ﺩ( ﻤﺎﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺍﺭﻫﺎ
m o m
ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﻭﻗﻑ؟ )ﻫـ( ﻤﺎ ﺍﻹﺠﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻟﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ؟ ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ
16-9ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﺤﻠﻘﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 150 kgﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 3 mﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ .0.15 m/sﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻹﻴﻘﺎﻓﻬﺎ؟
17-9ﻴﻌﻠﻕ ﺴﻁل ﻤﺎﺀ ﻜﺘﻠﺘﻪ 20 kgﺒﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ 0.2 mﻭﻜﺘﻠﺘﻪ 20 kgﻤﺜﺒﺕ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻓﻭﻕ ﻓﻭﻫﺔ ﺒﺌﺭ ﻤﺎﺀ ﺜﻡ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﺴﻘﻁ
ﻤﺴﺎﻓﺔ ) .20 mﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺒل ﺨﻼل ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺴﻁل؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ 232
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﻤﻕ؟ )ﺝ( ﻤﺎﺯﻤﻥ ﺴﻘﻭﻁﻪ؟ )ﺩ( ﻤﺎﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺜﺒﻴﺕ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻋﻠﻴﻪ؟
18-9ﻴﺘﻨﺎﻗﺹ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻹﻁﺎﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼـﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ 0.12 kg.m2ﻤﻥ 3 kg.m2/sﺇﻟﻰ 2 kg.m2/sﺨﻼل ) .1.5 sﺃ( ﻤﺎﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﺎﺭ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ
ﺩﺍﺭﻫﺎ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻤﺎ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ؟
19-9ﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻹﻴﻘﺎﻑ ﻗﺭﺹ ﻜﺘﻠﺘﻪ 50 kgﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ 0.5 mﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ
300 rev/minﺨﻼل 10 s؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺭﺹ ﻭﻤﺎ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ؟
20-9ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 300 kgﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ 675 kg.m2ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ) .2000 m.Nﺃ( ﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺃﺭﺒﻊ ﺩﻭﺭﺍﺕ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻴﻬﺎ
ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ؟
21-9ﺘﺴﻘﻁ ﺤﻠﻘﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 1.2 kgﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ 8 cmﻭﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ ﺨﻴﻁ ﻁﻭﻴل ﻤﺜﺒﺕ ﻁﺭﻓﻪ ﺒﺎﻟﺴﻘﻑ ،ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل .ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ
ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﺴﻘﻁ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ 0.5 mﻭﻤﺎ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟
22-9ﺘﺭﺘﺒﻁ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ m1=4 kgﻭ m2=6 kgﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻴﻤﺭ ﺤﻭل ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ،40 cmﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺁﻟﺔ ﺁﺘﻭﻭﺩ ،ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﺭﻙ m2ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t=0ﺒﺴﺭﻋﺔ 2 m/sﻨﺤﻭ
ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﺘﺭﺘﻔﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ 2 mﻭﺘﻘﻑ ﻟﺤﻅﻴﺎ ﻭﺘﻌﻭﺩ ﻟﻠﺴﻘﻭﻁ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل) .ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟـ m2
ﻟﺘﺼل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟ )ﺝ( ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ؟
23-9ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ 0.2 mﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ 0.32 kg.m2ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﺼل ﺒﻬﺎ
m1ﻟﻸﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ 3 mﻭﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟ 24-9ﻴﻌﻠﻕ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ Lﻭﻜﺘﻠﺘﻪ mﻤﻥ ﻁﺭﻓﻪ ﻭﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﻬﺘﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ
ﻓﻴﺼل ﻷﺨﻔﺽ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ .ωﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻴﺭﺘﻔﻌﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ؟
25-9ﺘﺘﺯﻥ ﻤﺴﻁﺭﺓ ﻁﻭﻟﻬﺎ 1 mﻭﻜﺘﻠﺘﻬﺎ mﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺜﻡ ﺘﺘﺭﻙ ﻟﺘﻬﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺒﻘﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺴﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺍﻵﺨﺭ ﻟﺤﻅﺔ
ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟
233
ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ .ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ
26-9ﻴﺩﻭﺭ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﻗﻀﺒﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﺭﺒﻭﻁﺔ ﺒﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻑ Hﺤﻭل ﻀﻠﻌﻪ ﺍﻟﺠﺎﻨﺒﻲ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻓﻲ
L
L
ﻤﺴﺘﻭ ﺃﻓﻘﻲ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(30-9ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ
L
ﻴﺼل ﻟﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ؟
ﺍﻟﺸﻜل )(30-9
27-9ﺘﺭﺒﻁ ﺍﻟﻜﺘﻠﺘﺎﻥ mﻭ Mﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻴﻤﺭ ﻋﻠﻰ ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ Rﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل
M
I,R
ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ،Iﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(31-9ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ
ﻭﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜل ﻜﺘﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻱ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ M
ﻭﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ؟
m
) 28-9ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ
ﺍﻟﺸﻜل )(31-9
ﺩﺭﺍﺕ ﺯﺍﻭﻴﺔ θﺨﻼل ﺯﻤﻥ tﻭﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ
Mﻤﺠﻬﻭﻟﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﺘل ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ؟
29-9ﻴﻌﻠﻕ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ 1 kgﺒﺒﻜﺭﺓ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻤﻠﻔﻭﻑ ﻋﺩﺓ
ﻟﻔﺎﺕ ﺤﻭل ﻗﺭﺹ ﺼﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻬﺎ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ،5 cmﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) ،(32-9ﺜﻡ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻤﺴﺎﻓﺔ 1.75 mﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ
ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺨﻼل .5 sﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ؟
ﺍﻟﺸﻜل )(32-9
I,R
m
30-9ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺍﻟﺠﺴﻡ m=5 kgﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) (33-9ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﺍﻟﺨﺸﻥ ) (µ=0.25ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻨﺘﻴﺠﺔ
ﺍﻟﺸﻜل )(33-9
ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﻬﺎ ﺒﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ .ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﻭﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ 0.2 mﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ 0.2 kg.m2؟ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ
31-9ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ) (r=2 cm, m=0.5 kgﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) (34-9ﺇﻟﻰ
ﺃﻥ ﺘﻘﻠﻊ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻷﻓﻘﻲ Aﻜﻤﻘﺫﻭﻑ .ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺒﻴﻥ Aﻭﻤﻭﻗﻊ ﺍﺭﺘﻁﺎﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟
234
60 m
A
20 m
ﺍﻟﺸﻜل)(34-9
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ 32-9ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ r
ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻜﺭﺓ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻨﺼﻑ
ﻗﻁﺭﻫﺎ Rﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩ ،Aﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(35-9
r
R
A
)ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻜﺭﺓ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ B؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺠﺯﺀ
ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ
B
ﺍﻟﺸﻜل)(35-9
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ B؟
33-9ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ r
ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻠﺴﻠﻙ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )) .(36-9ﺃ( ﻤﺎ ﺃﻗل ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺴﻘﻁ ﻤﻨﻪ mﺤﺘﻰ ﻻﺘﻔﻘﺩ
ﺍﻟﺘﻤﺎﺱ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ Cﺒﻔﺭﺽ R>>r؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ
m
C
A
R B
ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ mﻋﻨﺩ Bﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 6R؟
ﺍﻟﺸﻜل)(36-9
34-9ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ Rﺒﺴﺭﻋﺔ vﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﺘﻨﺘﻬﻲ
ﺒﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﻟﻸﻋﻠﻰ ﻓﻴﺭﺘﻔﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻓﺔ 3v2/4gﻭﻴﻘﻑ ﻟﺤﻅﻴﺎ ﺜﻡ ﻴﻌﻭﺩ ﺃﺩﺭﺍﺠﻪ .ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺸﻜﻠﻪ؟
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
v1
35-9ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ m1=m2ﻋﻠﻰ ﺨﻁﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﺒﻌﺩﺍﻥ dﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ v1=v2ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ .ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ
d v2
ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻫﻭ ﻨﻔﺴﻪ ﺤﻭل ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ.
36-9ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ 2 kgﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xyﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ
r = 3i − 4 j m
ﺒﺴﺭﻋﺔ . v = 5i + 6 j m/sﻤﺎﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ xyﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺃﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )(2,2؟
37-9ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ
3 kg
ﺒﺴﺭﻋﺔ v = 5i − 6 j m/s
ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﺒﺎﻟﻤﻭﻀﻊ
) r = 3i + 8 j mﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ
ﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ F = −7i N؟ )ﺝ( ﻤﺎﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ؟
38-9ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 7-9ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ωﺤﻭل o
ﻭﻤﺎﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟
235
ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ .ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ
ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ 39-9ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺼﺔ ﺘﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ 1 rev/sﺤﺎﻤﻼ ﻓﻲ ﻴﺩﻴﻪ ﺍﻟﻤﻤﺩﻭﺩﺘﻴﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ
ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺘﻴﻥ ﺜﻡ ﻴﻀﻡ ﻴﺩﻴﻪ ﻟﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺘﻨﺎﻗﺹ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻥ 6 kg.m2ﺇﻟﻰ .2 kg.m2 ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟
40-9ﻴﺩﻭﺭ ﺇﻁﺎﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ Iﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ 800 rev/minﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻭﺼل ﺒﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ ﺇﻁﺎﺭ ﺁﺨﺭ ﺴﺎﻜﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ) .2Iﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻪ؟
* 41-9ﺘﺭﻜﺽ ﺤﺸﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ mﺒﺴﺭﻋﺔ vﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ،ﺤﻭل ﻤﺤﻴﻁ ﻗﺭﺹ ﺃﻓﻘﻲ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ
Rﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ Iﻤﺤﻤﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ω0ﺒﻌﻜﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ .ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ؟ ﻫل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻤﺤﻔﻭﻅﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ؟
* 42-9ﺘﻘﻑ ﻁﻔﻠﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ Mﻋﻠﻰ ﻁﺭﻑ ﻤﺭﺠﻭﺤﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ 10Mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ R
ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ .Iﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻘﺫﻑ ﺍﻟﻁﻔﻠﺔ ﺤﺠﺭﺍ
ﻜﺘﻠﺘﻪ mﺒﺸﻜل ﺃﻓﻘﻲ ﻤﻤﺎﺴﻴﺎ ﻟﻠﻤﺭﺠﻭﺤﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ vﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﻔﻠﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﻗﺫﻓﻬﺎ ﻟﻠﺤﺠﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ؟
rA
43-9ﻴﺭﺘﺒﻁ ﻗﺭﺼﺎﻥ Aﻭ Bﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺯﺍﻡ ﻻﻴﻨﺯﻟﻕ
rB
ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)) .(37-9ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ IA/IBﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭ
ﺍﻟﻘﺭﺼﺎﻥ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺍ ﺒﻨﻔﺱ
ﺍﻟﺸﻜل)(37-9
ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟
o
44-9ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ mﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل) (38-9ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﻋﻠﻰ
M
ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﻟﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ﻭﻴﻠﺘﺼﻕ ﺒﻬﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ .ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ
m L h
ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺴﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟
* 45-9ﺘﺩﻭﺭ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ R1ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ
ﺍﻟﺸﻜل)(38-9
ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ I1ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ω0ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻘﺭﺏ ﻤﻨﻬﺎ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ R2ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ I2ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﻼﻤﺱ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺘﺎﻥ ﻤﻤﺎﺴﻴﺎ ﻭﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﺒﺴﺒﺏ
R2
R1
ﻗﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﻨﺘﻬﻲ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﻨﺯﻻﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻟﺘﺩﻭﺭ ﻜل ﺍﻟﺸﻜل)(39-9 236
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ :ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ
ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﻷﺨﺭﻯ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل) .(39-9ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻼﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ؟ ﻫل ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﺤﻔﻭﻅ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ؟ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ
46-9ﻴﺴﺘﻨﺩ ﺴﻠﻡ ﻁﻭﻟﻪ 10 mﻭﻭﺯﻨﻪ 400 Nﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ
8m
ﺃﻤﻠﺱ ﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ 53°ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻟﺨﺸﻨﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(40-9ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻋﻠﻰ
6m
ﺍﻟﺴﻠﻡ؟
ﺍﻟﺸﻜل )(40-9
47-9ﻴﻌﻠﻕ ﻗﻀﻴﺏ ﺨﻔﻴﻑ ﻁﻭﻟﻪ 5 mﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ
o
ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻔﺼﻠﺔ ﻋﺩﻴﻤﺔ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺴﺘﻨﺩ ﻁﺭﻓﻪ ﺍﻵﺨﺭ
4m
ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﺨﺎﻀﻌﺎ ﻟﻘﻭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ ،60 Nﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(41-9ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻋﻠﻰ
60 N
ﺍﻟﻤﻔﺼﻠﺔ؟
3m
ﺍﻟﺸﻜل )(41-9
48-9ﻴﺜﺒﺕ ﻁﺭﻑ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ 2 mﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻗﺭﺹ
ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ 25 cmﻤﻌﻠﻕ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﺭﺹ ﻭﻴﻤﺭ ﻋﻠﻰ ﺒﻜﺭﺓ ﻤﻠﺴﺎﺀ
ﻭﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﺤﻤل ﻭﺯﻨﻪ ،240 Nﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )) .(42-9ﺃ(
2m
ﻤﺎﻭﺯﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ
ﺍﻟﺸﻜل )(42-9
49-9ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ Fhﻭ Fvﻭﺃﻴﻥ ﻴﺠﺏ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺤﺘﻰ
F2
ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻘﻨﺎ ﺤﻤل 20 Nﺒﻨﻬﺎﻴﺘﻪ؟
ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻬﻴﻜل ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) (43-9ﻤﺘﺯﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ F1=20
Nﻭ F2=10 NﻭF3=5 N؟ 50-9ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺘﻁﺒﻴﻘﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ
ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) (44-9ﺤﺘﻰ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ
2m x
ﻤﺜﺒﺕ ﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻭﻤﺭﺒﻭﻁ ﻁﺭﻓﻪ ﺍﻵﺨﺭ
ﺒﺨﻴﻁ ﻤﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،Cﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ).(45-3
ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ
y 3m
F3
Fh d
2m F1
Fv
ﺍﻟﺸﻜل )(43-9
ﻭﺯﻨﻪ wﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ r؟
51-9ﻴﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ mﻋﻠﻰ ﻗﻀﻴﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ Mﻭﻁﻭﻟﻪ L
240 N
r
F
h
ﺍﻟﺸﻜل )(44-9
237
ﻭﻤﺴﺎﺌل ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ .ﻡ.ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻴﺭﺯﺍ ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ
ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻋﻨﺩ A؟
C
52-9ﻴﻌﻠﻕ ﺤﻤل 2300 Nﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻋﻤﻭﺩ ﺘﺜﺒﻴﺕ ﻭﺯﻨﻪ ،450 N
ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل ) .(46-9ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺒل ﻭﺭﺩ ﻓﻌل
m
ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻨﺩ P؟
x
53-9ﺘﺘﺯﻥ ﺃﺭﺒﻊ ﻗﻁﻊ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻵﺠﺭ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ L
ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻓﻭﻕ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺘﻲ
ﺘﺤﺘﻬﺎ ﺒﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ) .(46-9ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺃﻜﺒﺭ
B
A
l
ﺍﻟﺸﻜل)(45-3
ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻬﺎ ﻫﻭ L/6ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻋﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ L/4ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﺜﺎﻨﻴﺔ ﻋﻥ
ﺍﻷﻭﻟﻰ .L/2
2300 N
45°
p
54-9ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ،F1=F2=Fﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ
30°
ﺍﻟﺸﻜل )(46-9
ﻭﻤﺤﻤﻭﻟﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺨﻁﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﺒﻌﺩﺍﻥ dﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺍﺴﻡ
ﻤﺯﺩﻭﺠﺔ ) .(coupleﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻤﺯﺩﻭﺠﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺨﻁﻴﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ Fd؟
ﺍﻟﺸﻜل )(47-9
ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ ﺍﻟﺸﻴﺦ ﺍﻟﻁﺒﻴﺏ ﻋﻼﺀ ﺍﻟﺩﻴﻥ ﻋﻠﻲ ﺒﻥ ﺃﺒﻲ ﺍﻟﺤﺯﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ﺒﺎﺒﻥ ﺍﻟﻨﻔﻴﺱ ﻭﻟﺩ ﻓﻲ
ﺩﻤﺸﻕ ﻋﺎﻡ 607ﻫـ ﻭﺘﻭﻓﻲ ﻋﺎﻡ 687ﻫـ .ﻴﻌﺩ ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻋﺼﺭﻩ ﻓﻲ
ﺍﻟﻠﻐﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ﻭﺘﺩﺭﻴﺱ ﺍﻟﻔﻘﻪ ﻭﺍﻟﺤﺩﻴﺙ ،ﻭﻟﻪ ﻜﺘﺏ ﻋﺩﻴﺩﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻨﻬﺎ
"ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻴﺭﺓ ﺍﻟﻨﺒﻭﻴﺔ" ﻭﺘﺘﺠﻠﻰ ﻋﺒﻘﺭﻴﺘﻪ ﺒﺎﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﻭﺍﻻﺴﺘﻨﺒﺎﻁ ﻭﻜﺸﻑ
ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻫﺎﻤﺔ ﺠﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺏ ،ﻭﺘﺤﺩﻴﺩﺍ ﻓﻲ ﻓﺯﻴﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺩﻤﻭﻱ ،ﻓﺸﺭﺡ
ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺩﻤﻭﻱ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺭﺌﺘﻴﻥ ﻭﺍﻟﻘﻠﺏ )ﺃﻱ ﻤﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﺩﻤﻭﻴﺔ
ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ( ﻭﺫﻟﻙ ﻗﺒل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻱ ﻫﺎﺭﻓﻲ )ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺴﺏ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻬﺎ( ﺒﻌﺩﺓ ﻗﺭﻭﻥ ،ﻭﻟﻪ ﻤﺅﻟﻔﺎﺕ ﺜﻤﻴﻨﺔ ﺘﺼﺒﻐﻬﺎ ﺍﻟﺠﺭﺃﺓ ﻭﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﺭﺃﻱ ،ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﺸﺎﻤل ﻭﻫﻭ ﻋﺒﺎﺭﺓ
ﻋﻥ ﻤﻭﺴﻭﻋﺔ ﻁﺒﻴﺔ ﺘﺘﺄﻟﻑ ﻤﻥ 300ﻤﺠﻠﺩ ،ﻭﺭﺴﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺃﻭﺠﺎﻉ ﺍﻷﻁﻔﺎل ﻭﻤﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ
ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻨﻔﻴﺱ
ﺍﻟﻨﺒﺽ ﻭﺸﺭﺡ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﻭﺒﻐﻴﺔ ﺍﻟﻔﻁﻥ ﻤﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺒﺩﻥ ،ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ .ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ
ﺤﻴﺎﺘﻪ ﻭﻫﺏ ﻤﺎﻟﻪ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻭﺩﺍﺭﻩ ﻭﺃﻤﻼﻜﻪ ﻭﻜل ﻤﺎ ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺒﻴﻤﺎﺭﺴﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ ﺨﺩﻤﺔ ﻟﻠﻌﻠﻡ.
238