OPERACIONES
con polinomios MESOPOTAMIA Y SU RELACIÓN CON LA MATEMÁTICA
Regla de Ruffini
División DE POLINOMIOS
Editor Harold Ferrer
REVISTA AL Dร A CON LOS ESTUDIANTES
Mesopotamia y su relaciรณn con la matemรกtica
Divisiรณn de Polinomios
Concepto de Polinomios
Regla de Ruffini
MESOPOTAMIA Y SU RELACION CON LA MATEMATICA
La civilización mesopotámica fue una de las más desarrolladas en su época debido a que tenían grandes avances tanto en el campo de la economía porque mantenían buenas relaciones económicas con otros imperios, así como también en el campo de la arquitectura debido a los jardines colgantes diseñados por ellos, y también el campo de la agricultura. Uno de los grandes aportes realizados por esta civilización al área de la matemática fue que crearon un sistema de numeración en base a sesenta el mismo aun se aplica en la actualidad para medir el tiempo, además conocían el tema de pitagoras antes que el sabio griego naciera, tenían métodos de solución de ecuaciones de primer, segundo y tercer grado, utilizaban la trigonometría para realizar sus cálculos arquitectónicos.
Polinomios Los polinomios son expresiones algebraicas que involucra operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales con variables ( las letras) y constantes( números solitos)
Un término es una expresión que está separada por los signos de suma o resta. Ejemplos de términos: 3x , -2x2, 4
Una constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente. 3x2 + 9x + 8 En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.
Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables. Algunos ejemplos de monomios son: 3x 2, 2x, -5, 37 p4, 0
POLINOMIOS Es un polinomio. Cada término de un polinomio se llama monomio . Un polinomio formado por dos monomios es un binomio. Si son tres los monomios, como en este caso, se llaman trinomios , y si son más, se llaman polinomios. El exponente de la potencia más grande de xy que hay en el polinomio se denomina grado del polinomio. Identidad de polinomios Valor Numérico de un polinomio. El valor numérico de un polinomio es el nombre que resulta de sustituir la indeterminada x por el número a y efectuar las operaciones indicadas a la expresión del polinomio. Ejemplo: Consideremos el polinomio: 3x³ + 2x² + 3x + 2 y calculemos el valor numérico para X = -2; es decir P(-2); P(-2)= 3(-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 2 = -24 + 8 -6 +2 = -20
Dos polinomios de la misma indeterminada son idénticos si tienen iguales los coeficientes del mismo grado.
Elementos de un Polinomios Coeficiente de un polinomio Dado el siguiente polinomio 5y4 - 2y3 + y2 - 7y + 8 , donde 5, 2, 1, 8 son números racionales, y se denominan coeficientes del polinomio.
Función de un polinomio Cada uno de los sumandos de el polinomio p(x) = con sus respectivas variables se denominan función de polinomio. Términos de un polinomio Es una expresión que esta formada por un coeficiente y una variable, y está separado por los signos de suma o resta. Ejemplo: 3x, -2x2, 4
Grado de un polinomio Es el mayor exponente con el que aparece la variable, ( x, y, z...) con coeficiente no nulo.Ejemplo: x2 + 2x - 8 es decir que los grados del polinomio son: 2, 1, 0 Términos semejantes de un polinomio Dos términos de un polinomio se dicen semejantes si tiene la misma variable y el mismo grado. Ejemplo: 6a2b es semejante con -8 a2b porque tienen la misma variable y el mismo grado
DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que
DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
EJEMPLO DE DIVISION DE POLINOMIOSP
(x) P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
= x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada tĂŠrmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente
Método de Ruffini
El método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio y además permite localizar las raíces de un polinomio para factor izarlo en binomios. En otras palabras esta técnica posibilita dividir o descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico, y luego en otro polinomio algebraico de grado n-1. Y para que esto sea posible se necesita saber o conocer por lo menos una de las raíces del polinomio único, con el propósito de que la separación sea exacta.
En el mundo matemático, a regla de Ruffini es una técnica eficaz para dividir un polinomio por un binomio de la forma x – r. La regla de Ruffini es un caso especial de la división sintética cuando el divisor es un factor lineal. El método de Ruffini fue descrito por el matemático, profesor y médico italiano Paolo Ruffini en el año de 1804, quien además de inventar el famoso método denominado regla de Ruffini, que ayuda a encontrar los coeficientes del resultado de la fragmentación de un polinomio por el binomio; también descubrió y formulo esta técnica sobre el cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones.
Años más tarde, exactamente en 1819 y luego en 1845, fue abordado nuevamente este método por William George Horner, profesor y matemático inglés, quien indago sobre los estudios realizados por el italiano Paolo Ruffini y sus trabajos sobre esta técnica utilizada hoy en día. Posteriormente el método del matemático ingles fue utilizado por los matemáticos J.R. Young y De Morgan este último nacido en la india.
Pasos para aplicar la regla de Ruffini 1. Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1. 2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2 3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4. 4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente. Resto = 5 y C(x)=2x2 + 3x por tanto 2x3 + x2 - 3x + 5 =(x-1) (2x2 + 3x) +5