Aide mémoire mathématiques 2e édition by Harzallah1

Daniel Fredon

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Photographie de couverture:© orangeberry- fotolia .com

Le pictogramme qui figure ci -contre d'enseignement supérieur, provoquant une mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres el de d'alerter le lecteur sur Io menace que revues, ou point que Io possibilité même pour représente pour l'avenir de l'écrit, - - - - - les auteurs de créer des œuvres particulièrement dons le domaine DANGER nouvelles et de les foire éditer correctement est aujourd'hui menacée. de l'édition technique et universi· taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute photocopilloge. reproduction, partielle ou totale, Le Code de Io propriété intellecde Io présente publication est tuelle du l er juillet 1992 interdit LE PHOTOCCKLAGE interdite sons autorisation de en effet expressément Io photoco- TUE LE LIVRE l'auteur, de son éditeur ou du pie à usage collectif sons outori· Centre fronçais d'exploi tation du sotion des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20, rue des s'est généralisée dons les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris).

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"""

5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com

.-1

ISBN 978-2-10-071546-6

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·c

>Cl. 0

Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, aux termes de l'article L. 122-5, 2° et 3° a), d'une port, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre port, que les analyses et les courtes citations dons un but d ' exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants couse est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soi t, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de Io propriété intellectuelle.

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Table des matières Analyse dans R 1. Nombres réels 2. Généralités sur les fonctions numériques 3. Limites et continuité 4. Fonctions dérivables 5. Fonctions usuelles 6. Suites numériques 7. Intégrales définies 8. Calcul des primitives 9. Formules de Taylor 1O. Intégrales généralisées

11 15

23 29 38 44 50 54

11. Equations différentielles 12. Séries numériques

Analyse dans Rn -0 0

::J

.-f

0 N

...... en ï:::: >a.

..c

13. Espaces vectoriels normés 14. Calcul différentiel dans Rn 15. Optimisation d'une fonction numérique 16. Intégrales multiples 17. Intégrales curvilignes 18. Intégrales de surface 19. Suites et séries de fonctions 20. Séries entières 21 . Séries de Fourier 22. Intégrales dépendant d'un paramètre www.bibliomath.com

92 99 103 110 114

117 121 127 131

Algèbre générale 23 . Rudiments de logique 24. Ensembles 25. Applications 26. Relations 27. Entiers naturels 28. Structures algébriques 29. Arithmétique dans Z 30. Nombres complexes 31 . Polynômes 32. Fractions rationnelles

134 138 141 144 147 152 161 165 171 177

Algèbre linéaire et multilinéaire

-0 0

::J

.-f

0 N

...... en ï:::: >a.

..c

33. Espaces vectoriels 34. Applications linéaires 35. Matrices 36. Systèmes linéaires 37. Déterminants 38. Réduction des endomorphismes 39. Dualité 40. Formes bilinéaires et quadratiques 41 . Espaces préhilbertiens 4 2. Espaces vectoriels euclidiens 43 . Espaces vectoriel hermitiens

180 186 190 198 203 208 214 217 221 228 234

Géométrie 44. Géométrie affine réelle 45 . Calcul vectoriel 46. Géométrie euclidienne du plan et de l'espace 47 . Courbes paramétrées www.bibliomath.com

237 243 246 258

48. Propriétés des courbes 49. Surfaces

263 267

Calcul des probabilités 50. Calcul des probabilités 51 . Variables aléatoires 52. Lois usuelles 53. Convergences et approximations 54. Estimation, tests statistiques

273 280 287 293 297

Table 1 : fonction de répartition de N (0, 1)

308

Table 2 : écart réduit de N(O, 1)

309

Table 3 : lois de Student Index

310

-0 0

::J

.-f

0 N

...... en ï:::: >a.

..c

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310

0 "'-1"

,...;

0 N

@ ~

..c

O'I

·;::::

>0.. 0

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Nombres réels

c a

i:s

1. Premières propriétés

=. -a

1.1 Corps ordonné

On dit que l'ensemble R des nombres réels est : •un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations +et x, avec toutes les propriétés dont vous avez l'habitude (cf chap. 30); • un corps ordonné pour dire que la relation d' ordre ~ est compatible avec + et x, c'est-à-dire : Va E R

Vb E R

Ve ER

a~b

VaE R

VbE R

Vc~O

a ~ b ==> ac ~ be

==>

a+c~b+c

1. 2 Règles de calcul . " ) , (binome ou

(n) = ( n! ) k

k! n - k !

n- 1

:ii _ yn = (x _y) ::J

"""

.-1

xn- k-l yk.

k=O

-0 0

1.3 Valeur absolue La valeur absolue d' un nombre réel a, notée lal, est définie par: lal =a si a~ 0 lal = -a si a~ O.

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·c

>Cl. 0

"> Propriétés

Va E R

Vb E R

lal ~ 0 ; lal = 0 ~ a = 0 labl = lal lhl la + hl ~ lal + lhl l lal - lhl 1 ~ la - hl 1.4 Propriété d'Archimède Soit a E R et b > 0 . Alors il existe k E N tel que bk > a .

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Analyse dans R

1.5 Partie entière Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté LxJ, tel que LxJ ~ x. On l'appelle la partie entière de x. On a donc, par définition : LxJ ~ x < LxJ + 1. ~Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0; par exemple L-4, 3j = -5.

2. Intervalles 2.1 Définitions Pour a ~ b, le segment, [a; b] est défini par: [a; b] = {x E R ; a ~ x ~ b} On utilise souvent la propriété :

c E [a, b] <===> 3t E [O, 1]

c = ta+ (1 - t)b.

On définit de même les autres types d'intervalles : ]a; b[, [a; b[, ]a, b], ]a, +oo[, [a , +oo[,] - oo, b[,] - oo, b], ] - oo, +oo[ = R.

2.2 Propriété caractéristique Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si : Va E A Vb E A a< c c E A.

2.3 Voisinage d'un point -0 0

::J

Soit a E R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert centré sur a.

"""

.-1

3. Ordre dans IR

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3.1 Majoration, minoration

>Cl.

Définitions

Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x ~ a pour tout x de A. Si, en plus, a E A, alors a est le plus grand élément de A, noté max A. Si A admet un majorant, on dit que A est majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.

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1 • Nombres réels

9 ~

Unicité

Si une partie non vide de JR admet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. ~Surveillez votre vocabulaire: un majorant, le plus grand élément.

Cas particulier des entiers naturels

3.2 Borne supérieure, inférieure > Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s 'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A.

> Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :

Vx E A

x ~ M, c'est-à-dire que M est un majorant;

V&> 0

3x E A

M-& < x , c'est-à-dire que M-& n'est pas un majorant.

m est la borne inférieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :

::J

"""

Vx E A

m ~ x, c'est-à-dire que m est un minorant;

V&> 0

3x E A

.-1

x < m +&,c'est-à-dire que m + E n'est pas un minorant.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

> Remarque

,, m =. -ca c

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.

-0 0

en c a

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A.

> Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. nlinorée) de JR admet une borne supérieure (resp. inférieure).

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Analyse dans JR

3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés -oo et +oo. On prolonge à R la relation d'ordre en posant pour tout a E R : -oo <a< +oo . On définit ainsi la droite nun1érique achevée dont le plus grand élément est +oo, le plus petit élément -oo. Et le théorème précédent se généralise: Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R.

4. Points à caractère topologique Soit a E R et E une partie non vide de R.

4.1 Point adhérent Le point a est adhérent à E si tout voisinage de a contient un point de E. L'ensemble des points adhérents à Ese note E. C'est l'adhérence de E. On a toujours E c E . Si E = E, on dit que E est une partie fermée. Si E = R, on dit que E est dense dans R.

4.2 Point d'accumulation Le point a est un point d'accumulation de E si tout voisinage de a contient un point de E différent de a. -0 0

Un point d'accumulation est nécessairement adhérent à E. Si a est un point adhérent sans être point d'accumulation, c'est un point isolé.

"""

::J

.-1

@ ~

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute partie infinie et bornée de R admet au moins un point d'accumulation.

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·c

>Cl.

4.3 Point intérieur

Le point a est un point intérieur de E s'il existe un intervalle ouvert centré sur a inclus dans E, c'est-à-dire si E est un voisinage de a. 0

L'ensemble des points intérieurs de Ese note E. C'est l'intérieur de E. 0

On a toujours E c E. Si E = E, on dit que E est une partie ouverte.

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[!]

Généralités

en c a

sur les fonctions numériques

,, m =. -ca c

1. Définitions 1.1 Fonction numérique Définir une fonction numérique f sur une partie non vide Ede R, c'est indiquer comment faire correspondre au plus un réel y à tout x de E. Le réel y est l'image de x par f et s'écrit f(x) . On note :

f: E X

--7

R f(x).

L' ensemble des réels qui ont effectivement une image par f est l'ensemble de définition de f. Il est noté Df, ou D s'il n'y a pas d'ambigüité.

1.2 Représentation graphique ~~

-0 0

Le plan étant rapporté à un repère (0, i , j ) , la représentation graphique de f est l'ensemble Cf des points de coordonnées (x,f(x)) avec x E Df.

::J

"""

.-1

1.3 Images et images réciproques d'ensembles Soit A c D f . L'image de A par f est l'ensemble :

f(A) = {f(x) ; x E A}.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit B c R. L'image réciproque de B par f est l'ensemble : - 1

f (B) = {x E DJ ; f(x) E B}.

~ Cette notation permet de ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection, car, ici, on ne suppose rien surf. Quand la distinction sera installée, on utilisera f - 1(B).

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Analyse dans JR

1.4 Restriction, prolongement Soit f une fonction définie sur let g une fonction définie sur J. Si l c J et si f(x) = g(x) pour tout x de/, on dit que f est une restriction de g, ou que g est un prolongement de f. La restriction de f à I se note : fir.

2. Premières propriétés 2.1 Parité

f est paire si : et f(-x) = f(x).

(-x) E Df

Son graphe est symétrique par rapport à (Oy).

f est in1paire si : (-x) E Df

et f(-x) = -f(x).

Son graphe est symétrique par rapport à 0.

2.2 Périodicité f est périodique, de période T (ou T-périodique), si Vx E D f

(x + T) E D f

et f(x + T) = f(x). ~

Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT i avec k E Z. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

2.3 Sens de variation f est croissante sur l si I c D1 et Vx1 E I

Vx2 E 1

x1 < x2 ===> f(x1) ~ f(x2).

f est décroissante sur l si I c Df et Vx1 E I

Vx2 E I

x1 < x2 ===> f(x1) ~ f(x2) .

f est monotone sur I si elle est croissante sur /, ou décroissante sur /. Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur Dt.

2.4 Extrémum

f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si : Vx E D1

f(x) ~ f(xo) (resp. f(x) ~ f(xo)).

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2 • Généralités sur les fonctions numériques

f admet un maximum (resp. minimum) local en xo E Dt, s'il existe un inter-

valle ouvert I c D1 , tel que :

en c a

Vx E 1

f(x) ~ f(xo)

(resp.f(x) ~ f(xo)).

Un maximum ou un minimum local est dit extremum local en x 0 . Un extremum est un maximum ou un minimum.

3. Relation d'ordre 3.1 Comparaison de fonctions

f et g étant deux fonctions, à valeurs réelles, définies sur le même ensemble de définition D, on note f ~ g (resp. f ~ g) si : f(x) ~ g(x)

Vx E D

(resp. f(x) ~ g(x)).

Si f ~ 0, f est dite positive.

3.2 Majorant, minorant Sil' ensemble des images f(D) est majoré, ou minoré, ou borné, on dit que f est majorée, ou minorée, ou bornée. Si l'image f(I) de I admet une borne supérieure, ou une borne inférieure, on parle de borne supérieure, de borne inférieure, de f sur I et on note : sup f(x) ; inf f(x). xEI

xEI

3 .3 Propriétés -0 0

inf f(x) = -sup ( - f(x)). xEJ

XE/

::J

Si, pour tout x E /, on a f(x) ~ g(x), alors sup f(x) ~ sup g(x).

"""

xE/

.-1

xE!

Si 1 c J, on a : sup f(x) ~ sup f(x). xE!

..c

xEJ

O'I

·c

>Cl. 0

4. Opérations sur les fonctions 4.1 Valeur absolue d'une fonction

f étant définie sur D, la fonction lfl est définie sur D par x H

,, m =. -ca

lf(x)I.

Une fonction f est bornée si, et seulement si, lfl est majorée.

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Analyse dans JR

4.2 Opérations algébriques Soit f et g deux fonctions numériques et Il un réel. La fonction llf est définie sur D1 par :

(Il f) (x) = Il f(x).

La fonction f + g est définie sur D1 n D 8 par : (f + g) (x) = f(x) + g(x). La fonction f g est définie sur Df n Dg par : (f g) (x) = f(x) g(x). La fonction f est définie sur D 1 n [Dg \ {x ; g(x) = ü}] par:

f (x) = f(x) . g

g(x)

4.3 Composition - l

On appelle composée de f par g la fonction, notée go f, définie sur D1n f (Dg) par:

(go f) (x) = g(f(x)).

-0 0

::J

"""

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@ ~

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>Cl. 0

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Limites et continuité

en c a

,, m =. -ca c

1. Définitions Soit f une fonction, à valeurs réelles, définie sur un intervalle /.

1.1 Limite d'une fonction en a Soit a un point appartenant à/, ou extrémité de/. On dit que f admet une limite finie l en a, et on note lim f(x) = l, si : X-?Xo

3 o> 0

Vs> 0

lx - al~ o : = } lf(x) - li ~ s.

Vx E I

Cette limite peut exister même si f n'est pas dé.finie en a. Mais si f est dé.finie en a et si lim f(x) existe, alors

lim f(x) = f(a).

X -?Q

X-?Q

Si une fonction admet une limite l en x 0 , cette limite est unique.

1.2 Limite à gauche, limite à droite -0 0

::J

"""

f admet une lin1ite à droite l en a si la restriction de f à l n ]a, +oo[ admet pour limite l en a. On note : lim f(x) = l. X-?a+

.-1

@ ~

..c

f admet une limite à gauche l en a si la restriction de f à l n ] - oo, a[ admet pour limite l en a. On note : lim f(x) = l. x - a-

O'I

·c

>Cl. 0

Si f est définie sur un intervalle de la forme ]a - a, a +a[, sauf en a, alors : limf(x) = l X-?a

lim f(x) = lim f(x) = l.

x-a-

x - a+

Si f est définie en a, ces deux limites doivent aussi être égales à f(a).

1.3 Limite infinie en a On dit que f tend vers +oo quand x tend vers a si :

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Analyse dans JR

VA> 0

3 o> 0

Vx E l

lx - al ~ o ==:::} f(x) ~A.

On note: limf(x) = +oo. x~a

On définit de même : lim f(x) = - oo. x~ a

1.4 Limite de f lorsque x tend vers +oo ou -oo • On dit que fa pour limite l quand x tend vers +oo si: Vs>O

3B>O

VxE/

x~B===}lf(x)-ll ~s.

On note : lim f (x) = l. x~+oo

On définit de manière analogue lim f(x) = l . x~ - oo

• On dit que f tend vers +oo quand x tend vers +oo si:

VA> 0

3B>0

Vx E l

x ~ B ==:::} f(x) ~A .

On note: lim f(x) = +oo. x~+oo

On définit de manière analogue lim f(x) = +oo . . . x~ - oo

~ Toutes ces dé.finitions peuvent se regrouper en considérant a et l dans JR.

1.5 Critère de Cauchy La fonction fa une limite au point x 0 si, et seulement si : -0 0

::J

Vs > 0

3 a > 0 tel que Vx E D

Vx' E D

[ lx - xol < a et lx' - xol < a J

"""

.-1

==:::}

lf(x) - f(x') I < s.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

~ L'avantage de ce critère est de ne pas supposer connue la limite éventuelle de f.

2. Propriétés des limites 2.1 Caractérisation séquentielle Soit f définie sur un intervalle l et a un point de l. fa pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite (f(xn)) converge vers l, finie ou non.

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3 • Limites et continuité

~ Pour démontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers ~ en a, il suffit de fournir un exemple de suite (xn) qui tende vers a et telle que c (f(xn)) soit divergente; ou encore deux suites qui tendent vers a et dont les a i:s suites images aient des limites différentes.

2.2 Opérations sur les limites • Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de a et admettant des limites l et m en a, et À un réel. Alors les fonctions f + g, Af et f g admettent respectivement pour limites en a : l + m, À f et lm. Si de plus m

* 0, ~g a pour limite m

_.!._

•Soit f une fonction définie au voisinage de a avec lim f(x) = u0 et g définie x-a

au voisinage de u0 telle que lim g(u) = v . u- a

Alors go f est définie au voisinage de xo et lim g(f(x)) = v. x-a

2.3 Propriétés liées à l'ordre • Si f admet une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a. • Si f admet une limite finie l > 0 en a, alors il existe K > 0 tel que f ~ K au voisinage de a. •Si f est positive au voisinage de a et admet une limite finie l en a, alors l ~O. • Si f ~ g au voisinage de a, et si lim f(x) = let lin1 g(x) = m, alors l ~ m. x-a

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

x- a

Théorème d'encadrement Soit f, g et h trois fonctions définies au voisinage de a, et vérifiant f ~ g ~ h au voisinage de a. Si f eth ont la même limite l (finie ou infinie) en a, alors g a pour limite l en a. Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de a, et vérifiant f voisinage de a.

g au

Si lirn f(x) = +oo, alors lim g(x) = +oo. x-a

x-a

Si lim g(x) = -oo, alors lim f(x) = -oo. x- a

x- a

2.4 Théorème de la limite monotone Soit f une fonction n1onotone sur ]œ,f3[. Elle admet en tout point a de ]œ,/3[ une limite à droite et une limite à gauche. Lorsque f est croissante, si elle est majorée, elle admet enf3 une limite à gauche

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=. -a c

Analyse dans JR

finie, si elle n'est pas majorée, elle tend vers +oo quand x tend vers 13-. Pour f décroissante, on a la propriété analogue en œ.

3. Comparaison au voisinage d'un point Soit f et g deux fonctions définies sur/, et x 0 un point, fini ou infini, appartenant à/, ou extrémité de/.

3.1 Définitions

On dit que f est dominée par g au voisinage de xo s'il existe A > 0 tel que lf(x)I ~ A lg(x)I pour tout x d'un voisinage J de xo. Notation : f = O(g) ou f ~ g . Sig ne s'annule pas sur J , cela signifie que f est bornée sur J.

g > On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérant devant f, au voisinage de x 0 si, pour touts > 0 , il existe un voisinage J de x 0 tel que l'on ait lf(x)I ~ s lg(x)I pour tout x de J. Notation : f = o(g) ou f << g . Sig ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie : lim f(x) =O. X--7XQ

g(X)

> On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de xo, si on a f - g = o(g). Sig ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie:

lim f(x) = 1.

-0 0

X--7XQ

::J

"""

Notation: f,..., g ou f,..., g. xo

.-1

@ ~

..c O'I

·c

g(X)

La relation ,..., est une relation d'équivalence. En particulier, si on sait que f,..., g XQ

et g ,..., h , on en déduit que f ,. ., h . xo

>Cl. 0

3.2 Exemples fondamentaux Au voisinage de +oo, on a : (ln xr << :/3 << e'YX

/3 > Ü, y> Ü.

OÙ

Œ > Ü,

où

œ > 0 et f3 < 0 .

Au voisinage de 0, on a :

l ln xlœ << :/3

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3 • Limites et continuité

3.3 Propriétés des fonctions équivalentes SI.

en c a

f 1 ,...., g1 et f 2,...., g1 , a1ors f i f 2 ,...., g1g2 et -fi ,. . , -gi

f 1 xo g1 Si f,...., g et si lim g(x) = l, alors lim f(x) = l. xo

X-+ Xo

=. ~Lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut a remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour .i

simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée. ,

3.4 Equivalents classiques x2 SinX,...., X

1 - COS X ,...., -

ln (1 + x),...., x

(1 + xY~ - 1 ,...., ax

4. Branche infinie d'une courbe 4.1 Définition La courbe représentative C1 d'une fonction f admet une branche infinie lorsque OM tend vers l'infini avec MECf . -0 0

::J

"""

.-1

4.2 Asymptote • Si lim f(x) = l (resp. lim f(x) = l), la droite y = l est une asymptote x-+ + oo

x-+-oo

horizontale de Cf .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

• Si lim f(x) = +oo (resp. lim f(x) = -oo ), la droite x = x 0 est une asymptote x-+ xo

x -+xo

verticale de C.r .

• Si lim [f(x) - (ax + b)J = 0 (resp. lim [f(x) - (ax + b) J = 0), la droite x -++oo

x -+-oo

y = ax + b est une asymptote oblique de C1 .

~ La recherche d'une asymptote oblique se fait souvent en utilisant un développement limité (cf chap. 9).

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Analyse dans JR

4.3 Branche parabolique Soit f admettant une limite infinie en +oo (resp. -oo ). • Si f(x) admet une limite infinie en +oo (resp. -oo ), la courbe Cf présente X

une branche parabolique verticale. f(x) · fi nie · a 1orsque x tend vers +oo (resp. -oo ) et s1· • Si. - admet une 1.imite X

f(x) - ax a une limite infinie, la courbe C1 présente une branche parabolique de pente a.

5.Continuité 5.1 Continuité en un point f est continue en a si elle est définie en a et si lim f(x) = f(a). X -?a

f est continue à droite (resp. à gauche) en a si lim f(x) = f(a) X-?a+

(resp. lim f(x) =/(a)). X-?a -

5.2 Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur I et a fi- !. Si lim f (x) = l, la fonction f définie X-7Q

sur I U {a} par /(a) = let /(x) = f(x) pour x E / ,est la seule fonction continue en a dont la restriction à I soit f. On 1' appelle le prolongement par continuité de f en a. -0 0

::J

"""

5.3 Continuité sur un intervalle

.-1

@ ~

..c O'I

·c

Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une fonction f, définie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout point deE .

>Cl. 0

5.4 Algèbre C(/) L' ensemble C(/) des fonctions continues sur I constitue une algèbre, c'est-àdire que, si f et g sont des éléments de C(/) et À un réel, les fonctions f + g, f g et Àf appartiennent à C(/), et les opérations ainsi définies possèdent toutes les propriétés algébriques qui caractérisent la structure que l'on appelle une algèbre (cf chap. 26).

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3 • Limites et continuité

6. Image d'un intervalle

en c a

,, m =. 6.2 Théorème des valeurs intermédiaires -a Si/ estcontinue,pourtoutytelquef(a) f(b),ilexistectelquey f(c) . c 6.1 Image d'un intervalle

Si f est continue sur un intervalle/, alors f(l) est un intervalle.

<y<

En particulier, si une fonction f est continue sur [a, b] , et si f(a) et f(b) sont de signe contraire, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b].

6.3 Image d'un segment • Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. •L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

6.4 Cas d'une fonction strictement monotone Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle l. f est une bijection de I sur /(/), et sa bijection réciproque 1- 1 est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur l'intervalle/(/). Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de 1-1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes.

6.5 Continuité et injectivité

-0 0

Toute fonction continue injective sur un intervalle est strictement monotone. La réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est continue.

::J

"""

.-1

7. Continuité uniforme

@ ~

..c

7.1 Définition

·c

Une fonction f est uniformément continue sur D si :

Ve > 0

O'I

>Cl.

3œ > 0

Vx E D

V x' E D

lx - x'I ~ ô ~ lf(x) - f(x')I ~ e. ~ Dans cette écriture logique, a dépend de e, mais pas de x; d'où l'origine du mot uniforme. La continuité uniforme sur D entraîne la continuité sur D.

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Analyse dans JR

7.2 Théorème de Heine Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.

8. Fonctions lipschitziennes 8.1 Définitions

f est une fonction k-lipschitzienne, si : Vx ED

Vy ED

lf(x) - f(y)I ~ k lx - YI .

Lorsque k < 1 , f est dite contractante .

8.2 Théorème

f lipschitzienne sur D ~ f uniformément continue sur D.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Fonctions dérivables

1.1 Dérivée en un point Soit f une fonction définie sur D et xo un élément de D tel que f soit définie au voisinage de xo. On appelle dérivée de f au point xo le nombre (lorsqu'il existe) : lim. f(x) - f(xo) = lim f(xo + h) - f(xo) = f'(xo). X -Ho X - X() h--'tÜ h On dit alors que f est dérivable en x 0 . . j est d.ite d enva , . ble a' dro1te . en xo, et cette l"irmte . Si. 1.im. j (X) - j (Xü) existe, x--'tx~ x - xo est appelée dérivée à droite de f en x0 , et notée fd,(xo).

On définit de même la dérivée à gauche en x0 , notée f~(x0 ).

f est dérivable en xo si, et seulement si, f admet en xo une dérivée à droite et une dérivée à gauche égales.

::J

1. 2 Fonction dérivée f est dite dérivable sur E, si elle dérivable en tout point de E. On appelle fonction dérivée de f sur E, la fonction, notée f' , définie sur E par : X H

j'(x).

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

1.3 Dérivées successives Soit f dérivable sur E. Si f' est dérivable sur E, on note sa fonction dérivée f" ou f( 2). On l'appelle dérivée seconde de f.

en c a

,, m =. -ca

1. Définitions

-0 0

Pour n entier, on définit par récurrence la dérivée ne, ou dérivée d'ordre n, de f en posant f 0) = f, puis f(n) = (f(n-1))', lorsque j <n- 1) est dérivable sur E. f est dite de classe en sur E si f (n) existe et est continue sur E.

f est dite de classe C ou indéfiniment dérivable, si f admet des dérivées de 00

tous ordres.

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Analyse dans JR

1.4 Interprétation graphique f dérivable en xo signifie que le graphe de f admet au point d'abscisse xo une tangente de pente f' (x0 ) . Son équation est : Y - f(xo) = f' (xo) (x - xo).

/ . bl e en xo , mais . 1e graph e de f S i. l"im f (X) - f ( XQ) = +oo, f n ' est pas denva X - ?Xo

X -

admet au point d'abscisse xo une tangente parallèle à Oy.

1.5 Dérivabilité et continuité Toute fonction dérivable en x 0 est continue en x 0 .

~ Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction x H lxl est continue, et non dérivable, en 0, car elle admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite différentes.

1.6 Calcul approché et incertitudes La définition de la dérivabilité de f en xo permet d'écrire : f(xo + h) ~ .f(xo) + f'(xo)h

pour h << petit >>. Dans les sciences expérimentales, on note ~x la variation h de x, et ~fla variation f(xo + h) - .f(xo) de f. Et on utilise le calcul approché précédent pour estimer les incertitudes absolues et relatives : ~f(x) ~ f'(x)~x ~f(x) ~ f'(x) ~x. f(x) f(x) -0 0

2 . Opérations sur les fonctions dérivables

::J

"""

.-1

2.1 Opérations algébriques

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Si f et g sont dérivables en xo, il en est de mên1e de f + g, de f g, et de f si

g(xo) :f::. 0 ; et on a : (f + g)' (xo) = f' (xo) + g' (xo) (fg)' (xo) = f' (xo)g(xo) + f(xo)g' (xo) (

f )' (xo) = f'(xo)g(xo) - f(xo)g'(xo) g g 2 (xo)

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4 • Fonctions dérivables

2.2 Fonction composée Soit f une fonction dérivable en xo et g une fonction dérivable en f(xo) , alors go f est dérivable en xo, et (g o f)' (xo) = g' (f(xo)) x f ' (xo).

2.3 Dérivée d'une fonction réciproque Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle / . On suppose que f est dérivable en f(xo) et que f' (xo) O. Alors, la fonction réciproque 1-1 est dérivable en f( x0 ) et -1 I 1 (f ) (f(xo)) = f'(xo)

2.4 Formule de Leibniz Si f et g admettent des dérivées d' ordre n en xo, alors il en est de même de f g; et on a : n

(fg)(n)(xo) =

L (~) f(k) (xo) g<n- k)(xo) . k=O

2.5 Cas des fonctions à valeurs complexes Pour une fonction f de lR dans C définie par sa partie réelle et sa partie imaginaire: f(x) = a(x) + i b(x) on dit que f est dérivable si, et seulement si, a et b le sont et on a : f'(x) = a'(x) + i b'(x) Les opérations algébriques se prolongent. On a le résultat : si r.p est une fonction dérivable à valeurs complexes : -0 0

[ exp(r.p)

r.p' X exp(r.p).

::J

"""

.-1

@ ~

3 . Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.1 Condition nécessaire d'extrémum local Si f admet un extrémum local en xo et si f est dérivable, alors f' (xo) = O.

3.2 Théorème de Rolle Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et telle que /(a)= f(b). Alors il existe au moins un point c E]a , b[ tel que f' (c) =O.

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en c a

,, m =. -a C

Analyse dans JR

Autre énoncé

Si f est dérivable, entre deux valeurs qui annulent f, il existe au moins une valeur qui annule f'. ,

3.3 Egalité des accroissements finis Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a , b[. Alors il existe au moins un point c E]a, b[ tel que :

f(b) - f(a) = (b - a)f' (c).

~ Cette égalité, valable pour les fonctions de R dans R, ne se généralise pas aux fonctions de R dans C, ainsi que le théorème de Rolle.

3.4 Inégalité des accroissements finis Soit f une fonction continue sur [a , b], dérivable sur ]a , b[. Sim~ f' ~ M, alors:

m(b- a)~ f(b)- f(a) ~ M(b - a). En particulier, si lfl ~ K, alors, pour tous x et x' éléments de ]a, b[, lf(x) - f(x')I ~ K lx - x' I.

Cette inégalité se généralise aux fonctions de R dans C en remplaçant la valeur absolue par le module. -0 0

3.5 Limite de la dérivée

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f' a une limite finie l en a, alors f est dérivable à droite en a et fd(a) = l .

~ Attention, il s'agit d'une condition suffisante de dérivabilité, mais elle n'est pas nécessaire. Il peut arriver que fd(a) existe sans que f' ait une limite ena.

4. Variations d'une fonction dérivable 4.1 Théorème Si, pour tout x E / , f' (x) = 0 alors f est constante sur / .

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4 • Fonctions dérivables

Si, pour tout x E / , f' (x) > 0 alors f est croissante sur / . Si, pour tout x E / , f ' (x) > 0 alors f est stricten1ent croissante sur / . Ce dernier résultat est encore valable si f' s'annule en des points isolés, c'està-dire tels que leur ensemble ne contienne pas d' intervalle.

i:s

4.2 Condition suffisante d'extremum local

=. -a

f , f', f" étant continues sur ]a, b[, si en xo E]a, b[, on a /' (xo) - 0 et f" (xo) 0, la fonction f présente un extremum local en xo.

C'est un maximum si/" (xo) < 0, un minimum si/" (xo) > O.

5 . Convexité 5.1 Partie convexe, fonction convexe Une partie du plan est dite convexe si, dès qu' elle contient deux points A et B, elle contient tout le segment [AB]. Une fonction f, définie sur un intervalle/, est convexe sur I si la partie du plan située au-dessus de la courbe est convexe; c' est-à-dire si tout arc de sa courbe représentative est situé au-dessous de la corde correspondante. Cette définition se traduit par : Vx 1 E l Vx2 E l Vk E [O, 1]

f[kx1 + (1 - k)x2] ~ kf(xi) + (1 - k)f(x2) .

Si - f est convexe, f est dite concave. -0 0

::J

"""

.-1

5.2 Inégalité de convexité

f étant convexe sur I , si x 1 , . . . , x n

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

réels positifs tels que

appartiennent à I, si À 1, . .. , À.11 sont des

Ài = 1 , alors :

i=l

!(LÀixi) ~ LÀif(xi). i= 1

i= 1

5.3 Propriété des sécantes Soit f une fonction convexe sur /, et xo un point fixé dans / . La fonction cp définie sur I par :

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en c a

m c

Analyse dans JR f(x) - f(xo) r.p(x) = pente (MoM) = - - - x - x0

est croissante.

5.4 Fonctions convexes dérivables Soit f une fonction dérivable sur I . f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante. Si f est deux fois dérivable, cela correspond à f" positive. Le graphique de toute fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes.

5.5 Inégalités dues à la convexité Soit a1, . .. , an, h i, ... , bn des réels positifs; p > 0, q > 0 avec _!_ + _!_ = 1. p q

Inégalité de Holder

i= 1

i= l

Si p = q = 2, il s'agit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Inégalité de Minkowski

i=l

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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i= I

Fonctions usuelles

en c a

,, m =. -ca c

l.Fonction logarithme népérien 1.1 Définition et graphe Elle est définie pour x > 0 par :

ln 1 = O; (ln x) ' = -1 ·

{ Vx> 0

Elle est strictement croissante.

lim ln x = - oo ; lim ln x = +oo.

x~o+

x~+ oo

L'unique solution de l'équation ln x = 1 est notée e (e ~ 2, 718).

1.2 Propriétés algébriques Va> 0

Vb > 0

Vr E Q

ln(ab) = lna + lnb -0 0

ln (ar) = r ln a

1.3 Convexité

La fonction ln est concave sur ]O, +oo[, ce qui entraîne:

"""

Vx > -1

::J

.-1

ln (1 + x) ~ x .

@ ~

La dérivée en x = 1 étant égale à 1, on a aussi : ln (1 + x) """'x. 0

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Analyse dans JR

2. Fonction exponentielle 2.1 Fonction exponentielle C' est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est définie sur R , à valeurs dans ]0, +oo[, strictement croissante. Elle est notée exp, ou x H ex. VX E R

(ex)' = ex ;

lim ex = 0 .

lim ex = +oo.

x-+ - oo

x-++oo

2.2 Propriétés algébriques Va E R

Vb E R

Vr E Q

-a

1 ea

= -

2.3 Convexité La fonction x H ex est convexe sur R, ce qui entraîne : VxE R

La dérivée en x = 0 étant égale à 1, on a aussi : ex - 1 ""' x. 0

3. Logarithme et exponentielle de base a -0 0

::J

3.1 Logarithme de base a

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

La fonction logarithme de base a (a> 0; a* 1), est la fonction définie par: lnx Vx > 0 loga(x) = - 1na Sa dérivée est: (log x) ' = - 1 x -1 · a lna X Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln. Si a = 10, loga est le logarithme décimal. On le note log.

3.2 Exponentielle de base a La fonction exponentielle de base a (a> 0), est la fonction définie par: Vx E R expa(x) = ax = exlna.

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5 • Fonctions usuelles

Pour a t= 1, c'est la fonction réciproque de la fonction loga. y= ax

lny = xlna

x = loga(y).

Sa dérivée est: (a x)' = ln a X ax. ~ Remarquez bien qu'ici, la variable est en exposant.

Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction exp.

4. Fonctions puissances et comparaisons 4.1 Fonctions puissances La fonction x H xr, pour x > 0 et r E Q, est déjà connue. On la généralise, pour x > 0 et a E R, en posant : Les propriétés des exposants rationnels sont prolongées ; en particulier (xa)' = axa- 1. ~ Remarquez bien qu'ici, l'exposant est constant.

4.2 Comparaison des fonctions logarithmes et puissances Pour b > 0, on a: hm lnx = 0

lim ~lnx =O.

x-++oo xb

-0 0

4.3 Comparaison des fonctions puissances et exponentielles

::J

x-+O+

Pour a > 1 et b quelconque, on a :

"""

.-1

ax lim b = +oo

x-++oo X

@ ~

..c O'I

·c

4.4 Comparaison des fonctions logarithmes et exponentielles

>Cl. 0

Pour a > 1, on a :

. lnx 1lffi =0. x-++oo ax

5. Fonctions circulaires et trigonométrie 5.1 Fonctions sinus et cosinus Elles sont définies dans R et à valeurs dans [- 1, 1]. Elles sont 2n-périodiques.

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en c a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR

La fonction cos est paire ; la fonction sin est impaire.

Dérivées VxE R

(cos x)' = - sin x.

(sin x)' = cos x

~Six est la mesure d'un angle, ces expressions des dérivées ne sont correctes que si x est exprimé en radians. 1 . 1 - COS X = 1lffi 2

smx > Limites lim - = 1 X

x~o

x~O

5.2 Fonction tangente 7r SlnX Elle est définie sur D = R \ { + kn ; k E Z} par : tan x = cos x 2 Elle est impaire et n-périodique.

Dérivée VxE D

1 (tanx)' = 1 + tan2 x = - cos2 x

tanx > Limite lim - = 1. X x~O

5.3 Angles associés

-0 0

cos(n - x) = - cos x

sin(n - x) = sin x

tan(n - x) = - tan x

cos(n + x) = - cos x

sin(n + x) = - sin x

tan(n + x) =tan x

cos(; - x) = sinx

sin(; - x) = cosx

7r 1 tan(- -x) = 2 tanx

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

COS (

+ X) = - Sln X sin (; + x) = cos x

>Cl.

5.4 Formules d'addition cos(a + b) =cos a cos b - sin a sin b sin(a + b) =sin a cos b +cos a sin b tan a + tan b tan( a+ b) = - - - - 1 - tanatanb

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7r 1 tan(-+x) =- 2 tanx

5 • Fonctions usuelles

5.5 Formules de duplication

en c a

sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos 2 a - sin2 a

2 tan a tan 2a = 1 - tan2 a

i:s

=. -a c

5.6 Expressions en fonction de tan~ En posant t = tan

on a :

cos a=

1 - t2

2t s1na = - -2 1+ t

l+t2

tana =

2t ] - t2

5.7 Transformation d'un produit en somme cos a cos b =

1 2

[ cos(a + b) + cos(a - b)J

sin a sin b = ~ [cos(a - b) - cos(a+ b)]

sinacosb = ~ [sin(a + b) + sin(a - b)] -0 0

6. Fonctions circulaires réciproques

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

6.1 Fonction arc sinus C'est la réciproque de la restriction à [ - ; ' ; J de la fonction sinus.

y= arcs1nx -1~X~ 1

x = smy }

{ - - ~y~ 2 . . -: : . . -: : 2

La fonction arcsin est impaire.

VxE]-1,l[

(arcsin x)' =

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..../1 - x 2

Analyse dans JR

l_ +··········

!J ;r

- 1

6.2 Fonction arc cosinus C'est la réciproque de la restriction à [0, n] de la fonction cosinus.

y= arccosx }

x =cosy

{ O~y~n

-1~X~1 y

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

6.3 Fonction arc tangente C 'est la réciproque de la restriction à J - ; '; [ de la fonction tangente.

y= arctanx xE JR.

x = tany

}= { 2 'lr

'lr

- - <y< -

La fonction arctan est impaire. Vx E IR.

(arctan x)' =

]

l+x2

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5 • Fonctions usuelles

en a

_______________...

,, m =. -ca

,r.

-2

6.4 Propriétés .

arcs1n x + arccos x =

VxE[- 1,1]

sin (arccos x) = Vl - x 2 =cos (arcsin x)

Vx > 0

arctan x + arctan - = X 2

Vx < 0

arctan x + arctan - = - -

~Les normes AFNOR de 1982 préconisent les notations arcsin .. . mais les notations précédentes A rcsin ... subsistent encore.

7. Fonctions hyperboliques -0 0

::J

"""

.-1

7 .1 Définitions ex + e-x chx= - - 2 ch est paire ; sh et th sont impaires. Vx E lR

ex - e-x shx= - - 2

thx = shx chx

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

7 .2 Propriétés algébriques chx + shx =ex

ch2 x - sh2 x = 1

1- th2 X= _ l _ ch2 X

7.3 Dérivées (shx)' = chx

(chx)' = shx

(th x)' =

7.4 Graphes Le graphe de ch est situé au-dessus de celui de sh.

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1 2

ch X

= 1 - th2 X.

Analyse dans JR

Le graphe de th est situé entre les deux asymptotes y = -1 et y = 1 :

\ch \ \

~-l

) If

_foO1 ! i

1' 1

8. Fonctions hyperboliques réciproques 8.1 Fonction argument sinus hyperbolique C'est la fonction réciproque de la fonction sh. La fonction argsh est impaire. Vx E IR

(argsh x)' = -----;:::=====

vx + i 2

8.2 Fonction argument cosinus hyperbolique C'est la fonction réciproque de la restriction à [O, +oo[ de la fonction ch. -0 0

Vx E] 1, +oo[

::J

"""

1 (argch x)' = -----;:::===== Vx2 -1

8.3 Fonction argument tangente hyperbolique

.-1

C'est la fonction réciproque de la fonction th. La fonction argth est impaire.

@ ~

..c O'I

·c

VxE]-1,1[

(argth x)' =

>Cl.

1 1-x2

8.4 Expressions logarithmiques Vx E IR

argsh x = ln (x + Vx2 + 1)

Vx E [l, +oo[

argchx =ln (x + Vx2 - 1)

VxE] -1, l[

argthx = -1 ln ( 1 2 1 -x

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+X)

5 • Fonctions usuelles

9. Fonction exponentielle complexe • z = a + ib étant un nombre complexe, on définit e2 par : e2 = ea+ib = ea(cos b + i sin b). • On prolonge ainsi les propriétés de l' exponentielle réelle :

en c a

,, m =. -ca c

• z = a + ib étant un nombre complexe fixé, on définit une fonction de IR dans C:

t H

ezt en posant :

e2t = e (a+ib)t = eat(cos bt + i sin bt). •La dérivée d'une fonction de IR dans C : t H r.p(t) = f(t)+ig(t) étant définie par : r.p' (t) = f' (t) + ig' (t) , on obtient : d dt ( ezt) = zezt.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Suites numériques

1. Généralités Une suite numérique est une fonction de N dans IR.

1.1 Suite bornée Une suite (un) est majorée s'il existe un réel A tel que, pour tout n, un ~ A. On dit que A est un majorant de la suite. Une suite (un) est minorée s'il existe un réel B tel que, pour tout n, B ~ u 11 • On dit que B est un minorant de la suite. Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et n1inorée, c'est-à-dire s'il existe M tel que lunl ~ M pour tout n.

1.2 Suite convergente La suite (un) est convergente vers l si : Vs> 0

3no E N

Vn ~no

lun - li~ s.

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique. -0 0

::J

"""

.-1

La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni sa limite éventuelle.

Toute suite convergente est bornée. Une suite non bornée ne peut donc pas être convergente. Mais une suite bornée n'est pas toujours convergente.

..c O'I

·c

>Cl. 0

1.3 Limites infinies On dit que la suite (u11 ) tend vers +oo si:

VA> 0

3no E N

Vn ~no

Un~ A

vers -oo s1:

VA > 0

3 no E N

Vn ~ no

Un ~ -A .

1.4 Limites connues Pour k > 1 , œ > 0 , f3 > 0

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6 • Suites numériques . k" hm - =0 n- Hoo n!

nœ lim-=O· n~+oo kn '

lim (lnnf = 0 . n~+oo na

2. Opérations sur les suites et propriétés 2.1 Opérations algébriques Si (un) et (vn) convergent vers let et l', alors les suites (un+ vn), (À un) et (un Vn) convergent respectivement vers l + l' , À l et l l'. Sil'

* 0, ( -Un) converge vers -;l · Vn l

Si (un) tend vers 0 et si (vn) est bornée, alors la suite (un vn) tend vers O.

2.2 Relation d'ordre Si (un) et (v11 ) sont des suites convergentes telles que l'on ait Un ~ v 11 pour n ~ no, alors on a : lim Un ~ lim Vn. ·

n~+oo

~ Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.

2.3 Théorème d'encadrement Si, à partir d'un certain rang, Un ~ Xn ~ v 11 et si (u 11 ) et (v11 ) convergent vers la même limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l.

2.4 Suites extraites

-0 0

La suite (vn) est dite extraite de la suite (un) s'il existe une application 'P de N dans N, strictement croissante, telle que v 11 = u<p(n) . On dit aussi que (vn) est une sous-suite de (un).

::J

"""

.-1

Si une suite possède une limite (finie ou infinie), toutes ses suites extraites possèdent la même limite .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Si une suite extraite de (un) diverge, ou si deux suites extraites ont des limites différentes, alors (un) diverge. I@"

Si des suites extraites de (un) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (un) converge vers l si tout Un est un terme d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u2n) et (u2n+1) convergent vers l, alors (u,.i) converge vers l.

2.5 Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.

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en c a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR

2.6 Caractérisation séquentielle de certaines propriétés

Partie dense de IR

Une partie A est dense dans IR si, et seulement si, tout réel est limite d'une suite d'éléments de A. Comme, en particulier, Q est dense dans IR, tout réel est la limite d'une suite de nombres rationnels.

Borne supérieure

Si A est une partie non vide majorée (resp. non majorée) de IR, il existe une suite d'éléments de A de limite sup A (resp. +oo).

> Continuité en un point Soit f définie sur un intervalle 1 et a un point de/. f est continue au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite (f(xn)) converge vers f(a).

3. Suites monotones 3.1 Définition La suite (un) est croissante si Un+l ~ Un pour tout n; décroissante si Un+ 1 ~ u 11 pour tout n ; stationnaire si Un+ 1 = Un pour tout n ; monotone si elle est croissante ou décroissante ; Avec des inégalités strictes, on définit de même : strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone. -0 0

3.2 Théorème de la limite monotone

"""

•Toute suite de réels croissante et majorée est convergente.

::J

.-1

•Toute suite de réels décroissante et minorée est convergente.

..c

·c

•Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +oo.

•Si une suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers -oo.

O'I

>Cl.

On peut donc résumer : toute suite monotone possède une limite dans IR.

3.3 Suites adjacentes Les suites (un) et (v11 ) sont adjacentes si : (u 11 ) est croissante; (vn) est décroissante;

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lim (vn - un) = 0. n~ +oo

6 • Suites numériques

Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite. ~ Si (un) croissante, (vn) décroissante et Un ~ Vn pour tout n, alors elles convergent vers 11 et /i. Il reste à montrer que 11 = h pour qu'elles soient adjacentes.

4. Suites complexes

Les opérations algébriques sur les limites de suites convergentes sont les mêmes que dans le cas de suites réelles. Le théorème de Bolzano-Weierstrass se prolonge.

~ Attention, ~ n'a aucun sens dans C. N'inventez donc pas de théorèmes relatifi"i aux re la tians d'ordre.

5. Exemples de suites 5.1 Suites arithmétiques

::J

"""

.-1

@ ~

.c O'I ·c

>Cl.

Une suite (un) est arithmétique de raison r si : Vn E N U 11+ 1 = Un + r. Terme général: Un = uo + nr ou Un = u1 + (n - l)r. Somme des n premiers termes : n- 1

L__, Uk = n

k=O

+ Un- l 2

n OU

Uk = n

U1 +Un

k= l

5.2 Suites géométriques

en c a

,, m =. -ca c

Soit Zn = Xn + iYn· La définition de la convergence de (Zn) vers l = a+ ib est la même que pour les suites réelles, en remplaçant la valeur absolue par le module. Elle est équivalente à la convergence à la fois de (xn) vers a et de (yn) vers b.

-0 0

Une suite (un) est géométrique de raison q :/= 0 si: Vn E N Un+.l = q Un . n Terme général : Un= UQ q . n- 1 1 - qn = uo Luk Somme des n premiers termes : l -q k=O = nu0

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q = 1.

Analyse dans JR

La suite (un) converge vers 0 si lql < 1. Elle est stationnaire si q - 1. Elle diverge dans les autres cas.

5.3 Suites arithmético-géométriques Vn E N

Un+ l

= a Un + b .

Si a = 1, elle est arithmétique de raison b.

Si. a

* 1, = Vn

Un -

1-a

, / . d . est geometnque e raison a.

5.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Une telle suite est déterminée par une relation du type : Vn E N

(1)

aun+2 + bun+i + cu 11 = 0

avec

et la connaissance des deux premiers termes uo et u 1 . L'ensen1ble des suites réelles qui vérifient la relation (1) est un espace vectoriel de dimension 2. On en cherche une base par la résolution de l'équation caractéristique : ar2 +br+ c = 0

(E).

Cas a, b, c complexes

Si f). 0, (E) a deux racines distinctes r 1 et r2 . Toute suite vérifiant (1) est alors du type : Un= Ki

r7 + K1 r~

où K 1 et K2 sont des constantes que l'on exprime ensuite en fonction de uo et Ui. -0 0

::J

"""

.-1

Si f). = 0, (E) a une racine double ro = _!?_ · Toute suite vérifiant (1) est alors 2a du type:

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Cas a, b, c réels

Si!::,,. ~ 0, la forme des solutions n'est pas modifiée. Si f). < 0, (E) a deux racines complexes conjuguées ri = œ + i/3 et r 2 = œ - i/3 que l'on écrit sous form.e trigonométrique ri = p eie et r 2 = p e- w. Toute suite vérifiant (1) est alors du type : Un

= pn (K1 cos n8 + K1 sin n8) = p A cos (n(} - <.p). 11

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6 • Suites numériques

5.5 Exemples de suites récurrentes Un+ I = f(un) Pour étudier une telle suite, on détermine d'abord un intervalle I contenant toutes les valeurs de la suite.

i:s

>Limite éventuelle

Si (un) converge vers let si f est continue en l, alors f(/) = l.

en c a

Cas f croissante

=. -a c

Si f est croissante sur l , alors la suite (un) est monotone.

La comparaison de u0 et de u 1 permet de savoir si elle est croissante ou décroissante. Mais vous devez le dén1ontrer, par récurrence bien sûr.

Cas f décroissante

Si f est décroissante sur/, alors les suites (u2n) et (u211+ 1) sont monotones et de sens contraire. On cherche ensuite si elles sont adjacentes ou non. Mais vous devez le démontrer, par récurrence bien sûr.

Théorème du point fixe

Si f(/) c I et si f est contractante, alors l'équation f(x) = x a une solution unique l dans/. Toute suite définie par uo E I et Un+ 1 = f (u11 ) converge vers l.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Intégrales définies 1. Intégrale d'une fonction en escalier 1.1 Subdivision On appelle subdivision a- de [a, b], la donnée d'un nombre fini de points x 0 , .. . , x 11 tels que xo =a, Xn = b, et Xü < X l < . . . < Xn- 1 < Xn. On note S 1' ensemble de toutes les subdivisions de [a, b]. Le pas d 'une subdivision (xi)O~i~n est le nombre : max (xi+ l - xi). O~i~n- 1

1.2 Fonction en escalier Une fonction f , définie sur [a, b], est une fonction en escalier sur [a, b] s'il existe a- E S telle que f soit constante, et égale à li, sur chaque intervalle ouvert ]xi, Xi+ 1[ .

1.3 Intégrale d'une fonction en escalier On appelle intégrale de la fonction en escalier f, le nombre :

I(f) =

l; (x;+1 - x;)

noté aussi i b f(t) dt.

i=O

~ Remarquez que le nombre l(f) est en fait une somme d 'aires de rectangles -0 0

et qu 'il ne dépend pas de la valeur de faux points Xi de la subdivision.

::J

"""

.-1

2. Intégrale d'une fonction continue par morceaux

..c O'I

·c

2.1 Fonction continue par morceaux

Une fonction f , définie sur [a , b], est continue par morceaux sur [a , b] s'il existe a- E S telle que : • f est continue sur chaque intervalle ouvert ]xi , Xï+ l [; • f admet en tout point de la subdivision une limite à gauche et une limite à droite finies.

>Cl.

f est continue par morceaux sur un intervalle I si sa restriction à tout segment inclus dans l est continue par morceaux.

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7 • Intégra.les définies

2 .2 Approximation par une fonction en escalier Soit f continue par morceaux sur [a, b]. Pour tout réel c > 0, il existe <pet !/J, fonctions en escalier sur [a, b ], telles que: <p ~ f ~ l/J et l/J - <p ~ c.

en c a

,, m =. -ca

2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux Soit f continue par morceaux sur [a, b]. Il existe un réel unique I tel que, pour C toutes fonctions en escalier sur [a, b] <pet l/J vérifiant <p :::;;; f : :; ; !/J, on ait : /(<p) ~ l ~ /(!/f).

I est l'intégrale de f sur [a , b] et se note

{b f(x) dx, ou ~a

[a,b]

Ce nombre dépend de f, de a, de b, mais pas de la variable d'intégration, notée ici x, qui est une variable muette, ce qui signifie qu 'on peut la noter par toute lettre non retenue pour un autre usage. Pour a< b, on pose

f(x) dx = -

f(x) dx.

2.4 Interprétation géométrique

f(x) dx

correspond à l'aire du do-

maine du plan situé sous le graphique de f , comptée -0 0

::J

"""

.-1

- positivement pour la partie située audessus del' axe des abscisses,

-~----------.>--'----. ({

{•

- négativement pour la partie située en dessous.

@ ~

..c O'I

·c

3. Propriétés d'une intégrale

>Cl. 0

f et g sont des fonctions de R dans R, continues par morceaux sur les intervalles considérés.

3.1 Invariance L'intégrale

f(x) dx ne change pas si l'on modifie la valeur de f sur [a, b]

en un nombre fini de points.

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Analyse dans JR

3.2 Linéarité

[Af(x) + µg(x)] dx =À

f(x) dx + µ

g(x) dx.

3.3 Relation de Chasles

rb f(x) dx = rcf(x) dx + lb f(x) dx. la la c 3.4 Relation d'ordre

Si a < b, et si f ,,; g sur [a , b], alors :

f(x) d.x ,,;

g(x) dx.

Si f est continue et positive sur [a, b], on a:

f(x) dx = 0

Vx E [a,b]

f(x) =O.

3.5 Majoration de l'intégrale Valeur absolue :

Sia < b

f(x) dx ,,;

1b lf(x)I

dx.

Si, pour tout x E [a, b] (avec a< b), on am~ f(x) ~ M, alors: -0 0

m ~

::J

"""

.-1

@ ~

..c

Le nombre

1 b-a

1·bf (x) dx M. ~

1·bf(x) dx est la valeur moyenne de f sur [a, b]. a

O'I

·c

>Cl.

Inégalité de la moyenne :

r l b

Si a < b

En particulier :

r lg(x)I l b

f (x)g(x) dxl ,,; sup lf(x)I X

~~~

f(x) dxl ,,; lb - al sup lfl.

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dx.

7 • Intégra.les définies

3.6 Sommes de Riemann

en c a

Si f est continue sur [a; b] , à valeurs dans R, on a :

11 """"" !(-) k

1 n- 1 lim n-oo n L...J

k=O

f(x) dx.

Les sommes de Riemann, dont on considère la limite, sont des sommes d'aires de rectangles dont un côté est obtenu en subdivisant [0; 1] en n segments de même longueur, et l'autre en considérant la valeur de f sur le bord de gauche de chaque segment. Plus généralement, si (x0 , ... , x,i) est une subdivision de [a, b] dont le pas tend vers 0 quand n tend vers l'infini, et ci un point quelconque de [ xi, Xi+ 1] (le plus souvent xi ou Xi+ 1), on a alors :

4. Cas d'une fonction à valeurs complexes Soit t H <.p(t) = f(t) + ig(t) une fonction de R dans C, définie sur [a, b]. <.p est continue par morceaux sur [a , b] si, et seulement si, f et g le sont.

L'intégrale de <.p sur [a, b] est alors définie par :

-0 0

::J

"""

.-1

cp(t) dt=

f(t) dt+ i

g(t) dt.

Toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux, à valeurs réelles, qui ont encore un sens, sont prolongées, soit : linéarité, relation de Chasles, majoration du module de l'intégrale :

@ ~

1 [

f(x) dxl ,;; [

1/(x)I dx.

..c O'I

·c

>Cl. 0

~N'oubliez pas qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans C, ce qui fait que f ~ 0 , ou f ~ g , n'aurait pas de sens.

5. Calcul numérique d'une intégrale ·b

Le calcul exact de l'intégrale I =

j f(x) a

dx est souvent très difficile, sinon

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,, m =. -ca c

Analyse dans JR

impossible. On peut cependant obtenir des valeurs approchées de I par diverses méthodes qui consistent à calculer l'intégrale d'une fonction simple, proche de f.

5.1 Méthode des rectangles avec point milieu On approche f par une fonction en escalier. On considère le partage de [a, b] en n segments de même longueur h =

b- a

, et on choisit le milieu de chaque n intervalle. On obtient la valeur approchée Rn de I : n- 1

Rn= h

J(Xi +2Xi+1)

avec

i=O

b-a

= a + ih = a + i -n-

Lorsque f possède une dérivée seconde bornée sur [a, b] , on a la majoration de l'erreur due à la méthode : où M1 = sup If" (x)I . xE[a,b]

Cette majoration permet de déterminer n , après avoir choisi la précision souhaitée.

5.2 Méthode des trapèzes

-0 0

Elle consiste à approcher le graphique de f par une ligne polygonale. Avec le partage précédent de [a, b] , on obtient, en remplaçant les rectangles par des trapèzes, la valeur approchée Tn de l :

::J

"""

.-1

T. = h

[f(a);

f(b) +

~f(x;)]

avec

b-a

Xi = a + i - -

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

Lorsque f possède une dérivée seconde bornée sur [a , b] , on a la majoration de l'erreur due à la méthode :

où M2 = sup If" (x)I. XE[a ,b]

Cette majoration permet de déterminer n, après avoir choisi la précision souhaitée. Si f est convexe sur [a, b ], on a Tn ~/,et si f est concave sur [a, b ], on a Tn ~ /.

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7 • Intégra.les définies

5.3 Méthode de Simpson

L'intervalle [a, b] étant subdivisé en 2n segments de même longueur h = b - a,

c a

cette nléthode consiste à faire passer une parabole par trois points consécutifs.

i:s

On obtient la valeur approchée de I (où xi = a + ih) :

=. -a

Sn =

~ [/(a)+ f(b) + 4 ~ f(x2;+1) + 2 ~ f(x2;)] .

Lorsque f possède une dérivée d'ordre 4 bornée sur [a, b], on a une majoration de l'erreur due à la méthode : où M4 = sup lf(4)(x)I. xE[a,b]

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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m c

Calcul des primitives

1. Primitives d'une fonction continue 1.1 Définition f étant définie sur un intervalle l et à valeurs dans IR ou C, une fonction F, définie sur/, est une primitive de f , si elle est dérivable sur let si : Vx E l F'(x) = f(x).

1.2 Théorèmes Deux primitives de f diffèrent d'une constante, c'est-à-dire que, si Fest une primitive de f sur un intervalle l, toutes les primitives de f sur l sont de la forme : x H F (x) + C où C est une constante quelconque. Si f est continue sur un intervalle l contenant a, la fonction F définie sur l par

F(x) =

f(t) dt, est une primitive de f. C'est l'unique primitive de f qui

s'annule en a. -0 0

::J

"""

On note

f(t) dt l'une quelconque des primitives de f.

.-1

Pour toute primitive h de f sur l, on a:

..c O'I

·c

>Cl.

[

f(t) dt=

[h(t)] ~ = h(x)- h(a).

Le calcul d'intégrales de fonctions continues se ramène donc à la recherche de primitives. Pour toute fonction f de classe C 1 sur l, on a: f(x) - f(a) = [

J'(t) dt.

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8 • Calcul des primitives

2. Primitives usuelles 1 /(x)

F(x) X1+I

X1 (n =I= - 1)

n+l

cosx

smx

1 + x2 chx

Il /(x) 1 X

sm x

F(x)

/(x)

(À E)

F(x)

ÂX

- e

lnx

eÂx

-cosx

tan x

- ln 1 cos xi

arctan x

yl - x2

arcsmx

lnx

x ln x- x

sh x

chx

cotx

ln 1sin xi

3. Méthodes de calcul 3.1 Linéarité Si F et G sont des primitives respectives de f et de g sur I et k un réel, alors, sur /, F + Gest une prin1itive de f + g et kF une primitive de kf. ~

Pour les fonctions trigonométriques, on linéarise avec les formules de transformation de produits en sommes (cf fiche 5), ou avec les formules d 'Euler (cf fiche 28). On utilise en particulier :

cos2 x = ~ (1 + cos 2x) -0 0

::J

cos3 x =

1 (cos 3x + 3 cos x) 4

sin 2 x = ~ (1 - cos 2x) ; sin3 x = ~ (3sinx - sin3x).

"""

.-1

@ ~

3.2 Intégration par parties

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle/, et a et b des réels de /. Ona:

rb } n

u' (t) v(t) dt = [u(t) v(t) J~ - }fj u(t) v' (t) dt.

ce qui s'écrit aussi, en terme de primitives :

u' (t) v(t) dt = u(t) v(t) -

u(t) v' (t) dt.

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en c a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR

3.3 Cas classiques d'utilisation

• Pétant un polynôme et œ 0, - pour

P(t) sin (at + /3) dt, on pose v(t)

= P(t) et

u' (t) = sin (œt + /3);

- pour la P(t) cos (œt + /3) dt, on pose v(t) = P(t) et

u' (t) = cos (œt + /3);

- pour la P(t)eat+f3 dt, on pose v(t) = P(t) et u' (t) = eat+f3; - pour

P(t) ln t dt, on pose v(t) = ln t et u' (t) = P(t).

• Pour calculer I = la eat cos j3t ou J =

jb a

eat sinj3t, on peut faire deux

intégrations par parties << sans changer d'avis >>, c'est-à-dire en posant les deux fois v(t) = eat' ou les deux fois v(t) = cos f3t ou sinj3t. Mais il est plus rapide d'utiliser l'exponentielle complexe : -0 0

l = Re

bé>+if!)t dt) = Re ( [: + ij3 ].b) = · · · (a+i{J)t

::J

"""

.-1

3.4 Intégration par changement de variable

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit u une fonction de classe C 1 de [œ ,f3] dans [a, b ], et f une fonction continue sur [a , b]. Alors :

f3 f ( u(t)) u' (t) dt =

l u(a)

Si, de plus, u est bijective, on a :

l u({J) f(x) dx.

;·u1

(b)

f(x)dx=

f(u(t))u'(t)dt .

u- 1(a)

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8 • Calcul des primitives

~ Dans les exercices, le symbole dx se transforme comme une différentielle : ~

x = u(t) ~ dx = u'(t) dt.

3.5 Primitives d'une fonction rationnelle •On décompose la fraction rationnelle en éléments simples dans JR[X], c'est-àdire comme somme de sa partie entière (polynôme dont on connaît les primitives) et de fractions de la forme : a

ax+b avec p 2 - 4q < O. (x2 +px+ q)n

On peut en calculer des primitives comme suit (n = 1 dans le second cas). • Sur un intervalle ne contenant pas œ, on a :

(t~~)"

[

l l ]x n - 1 (t - œ)n- l a

[ lnlt - œl]= •

x 1 a

at + b d a t = t 2 + pt + q 2

n =f:. 1

n= 1.

2t + p d t t2 + pt + q

+ ( b- -ap) 2

1x a

1 dt t2 +pt+ q ·

La première pnillltlve se calcule en utilisant le changement de variable u = t 2 +pt+ q. -0 0

::J

"""

.-1

En mettant sous forme canonique le trinôn1e t2 + pt+q, le calcul de la deuxième primitive se ramène, après changement de variable, à :

{fJ

la u2 + 1

du = [ arctan u] f3a .

..c O'I

·c

>Cl. 0

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,,a m =. -ca c

Formules de Taylor

1. Formules de Taylor à valeur globale 1.1 Formule de Taylor avec reste intégral Soit f une fonction de classe c n+l sur/, xo et X des points de/. On a: f(x) = Pn(X)

+lx

(x - t)n fn +l)(t) dt, xo n!

où P,.i (x) = f(xo) + (x - xo) f' (xo) + ... + (x - xo)n f(n)(xo) 1! n! est l'approximation de Taylor à l'ordre n ; et Rn(x) =

x (x -

tr f(n+ 0 (t) dt est le reste intégral d'ordre n.

1.2 Egalité de Taylor-Lagrange

-0 0

Soit f une fonction de classe en sur I telle que f (n+ 0 existe sur I et xo et x des points de/. Alors, il existe au moins un point c strictement compris entre x 0 et x tel que:

::J

"""

.-1

f(x) = p (x) + n

X yi+l

- o (n+l)!

f (n+l) (c).

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

1.3 Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit f une fonction de classe c n+.1 sur/. On suppose de plus qu' il existe A > 0 tel que, pour tout E I , on ait lf'i+ 1)(x)I ~ A . On obtient alors la majoration du reste : n+ l

A 1x - xo l IRn (x)I ~ ~ (n+l)!

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9 • Formules de Taylor

2. Etude locale des fonctions dérivables 2.1 Règle de L'Hospital Soit f et g deux fonctions dérivables dans un voisinage de a et telles que g' (x) et g(x) - g(a) ne s'annulent pas en dehors de a. . f'(x) . . f(x) - f(a) S1 ( ) admet une lnmte l lorsque x tend vers a, alors ( ) admet la g' x g(x) - g a même limite / lorsque x tend vers a.

2.2 Formule de Taylor-Young Soit f une fonction dérivable sur I jusqu'à l'ordre n. Alors la fonction t: définie au voisinage de 0 par : hn f(xo + h) = f(xo) + hf'(xo) + · · · + -J<n)(xo) + hnt:(h)

n! est telle que lim t:(h) = 0. Au lieu de hnt:(h), on écrit souvent o(hn) . h-+0

3. Développements limités 3.1 Définition Soit f une fonction définie au voisinage de xo. On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de x 0 , s'il existe une fonction polynôme Pn de degré inférieur ou égal à n, et une fonction t:, définies au voisinage de xo telles que: f(x) = Pn(x) + (x - xo)'1t:(x) avec lim t:(x) = 0. x -+xo

-0 0

::J

"""

.-1

Pn(x) est la partie régulière et (x - x 0 )'1t:(x) le reste.

Dans ce cas, on a des fonctions équivalentes : f(x),..., Pn(x) . xo

@ ~

..c O'I

~ En posant x = xo + t, on peut toujours se ramener au voisinage de t = O.

·c

>Cl. 0

3.2 Troncature Si f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 dont la partie n

régulière est Pn(x) =

L akx" et si p ~ n, alors f admet un développement k=O

limité d'ordre p au voisinage de 0 dont la partie régulière est P p(x) =

L akx". k=O

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en c a m

,, =. -a C

Analyse dans JR

3.3 Unicité Si f possède un développement limité d' ordre n au voisinage de 0, il est unique.

3.4 Parité Soit f une fonction admettant un développement limité d' ordre n au voisinage n

de 0, de partie régulière P n(x ) =

L akxk. k==O

Si f est paire (resp. impaire), alors les coefficients ak d' indice impair (resp. pair) sont nuls.

3.5 Obtention d'un développement limité La formule de Taylor-Young permet d' obtenir de nombreux développements limités. ~Mais si f admet un développement limité d 'ordre n (n ~ 2) au voisinage de xo, elle n'admet pas forcément de dérivée seconde en xo.

4. Développements limités de base œ

(1 + x ) = 1 +al! + · · · + a(a - 1) . . . (a - n + 1) n! + o(x ) -0 0

avec les cas particuliers : 1

::J

"""

.-1

Œ= - 1

@ ~

..c

1 2

O'I

·c

Œ = - -

>Cl. 0

u x

1 1 2 1 3 3 1 + X = 1 + - X - - X + - X + o(x ) 2 8 16 1 - - = 1 - X+ x 2 + · · · + (- l t x' 1 + O(X 1) l+x 1 1 3 2 5 3 3 -----;:::=== = 1 - - x + - x - - x + o(x ) y] +X 2 8 16

... ! V

Œ= -

e = 1 + - + · · · + - + o(x ) 1! n! x2

x2P

cos x = 1 - - + · · · + ( - 1) P + o(x 2P+ 1 ) 2! (2p)! x2

x 2P

ch x = 1 + - + · · · + + o( x 2P+ 1) 2! (2p) !

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9 • Formules de Taylor x3

x2p- I

sin x = x - - + · · · + (-1 )p- l + o(x2P) 3! (2p - 1)! x3

x2p- l

sh X= X+ - + . .. + + o(x2P) 3! (2p-J)! 1 2 tanx = x + - x 3 + - x 5 + o(x6) 3 15 1 2 thx = x- -x3 + - x5 + o(x6) 3 15 x2 x3 xn+l ln (1 + x) = x - - + - + · · · + (-lt

n+ 1

+ o(x'-i+ 1)

arcsin x = x + ~x3 + 2-x5 + o(x6)

;r 13 3s 6 arccos x = - - x - - x - - r + o(x ) 2 6 40 1 3 argsh x = x - - x 3 + - x 5 + o(x6) 6 40

x2p+I

argth x = x + - + - + · · · + + o(x 2P+2) 3 5 2p + 1

5. Opérations sur les développements limités -0 0

Considérons deux fonctions f et g admettant des développements limités de même ordre n au voisinage de 0, de parties régulières respectives An et Bn·

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

5.1 Combinaison linéaire Si À etµ sont des réels, alors Af + µg admet un développement limité au voisinage de 0 dont la partie régulière est ÀAn + µBn.

·c

>Cl. 0

en c a

,, m =. -ca c

x3 xs (-l)P 2 arctanx = x - - + - + · · · + x P+l + o(x2P+2) 3 5 2p + 1

5.2 Produit f g admet un développement lin1ité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière est formée des termes de degré inférieur ou égal à n du produit A 11 Bn.

5.3 Quotient • Si Bn(O) -:f. 0 (soit g(O) -:f. 0), f admet un développement limité d' ordre n au g

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Analyse dans JR

voisinage de 0, dont la partie régulière est obtenue à partir de An(x) x utilisant le développement limité de

~ ) en

Bn X

1 au voisinage de O. I+u

• La partie régulière du quotient est aussi le quotient d'ordre n de la division suivant les puissances croissantes de An(x) par Bn(x).

5.4 Composition Si g o f est définie au voisinage de 0 et si f (0) = 0, alors g o f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière s'obtient en remplaçant u dans Bn(u) par An(x) et en ne gardant que les monômes de degré inférieur ou égal à n.

5.5 Primitive Si f est continue, une primitive F de f admet le développement limité d'ordre n + 1, au voisinage de 0, obtenu par intégration terme à terme de An(x), le terme constant étant F(O).

5.6 Dérivée Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n (n ;;?: 2) sur un intervalle ouvert I contenant 0, la fonction f' admet un développement limité d'ordre n - 1 dont la partie régulière s'obtient en dérivant terme à terme celle du développement limité de f.

~ Dans les opérations sur les fonctions, l'ordre des développements limités -0 0

intermédiaires doit être choisi de façon cohérente. À chaque étape, examinez si le terme suivant aurait eu de l'influence sur votre résultat.

::J

"""

.-1

@ ~

Pour prévoir l'ordre d'un développement, il est aussi intéressant de mettre les développements limités sous forme normalisée où la première puissance de x à coefficient non nul est mise en facteur.

..c O'I

·c

>Cl. 0

6. Applications des développements limités 6.1 Recherche de limites Pour obtenir une fonction équivalente à f(x) au voisinage de x 0 , on peut calculer un développement limité de f(xo + h) pour h voisin de 0, et retenir le premier terme non nul.

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9 • Formules de Taylor

6.2 Allure locale d'une courbe

Si on peut écrire le développement limité au voisinage de x0 :

f(xo + h) = a+ b h + c hk + o(hk) avec c

* 0,

la courbe représentative de f admet au point d' abscisse x 0 une tangente dont une équation est y = a + b (x - xo). La position (locale) de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de c hk = c (x - x0 )k. ,

6.3 Etude des branches infinies Soit f définie sur un intervalle ]A, +oo[ ou ]- oo, A[. Quand x tend vers l'infini, X = ~ tend vers 0, et, en remplaçant x par _.!:., on est ramené au voisinage de

Lorsque x et f(x) tendent vers l'infini, on obtient une asymptote oblique (si elle existe) en effectuant le développement limité au voisinage de l ' infini: f(x) =a+ b + ~ +o( _!_ ) x

. terme non nu1 apres ' bx · ou' c xk est 1e premier Dans ce cas, la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f. Et la position relative de la courbe et de l'asymptote résulte du signe de

lorsque x tend vers l'infini.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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en c a

,, m =. -ca c

Intégrales généralisées 1. Définitions et premières propriétés 1.1 Fonction localement intégrable Soit f définie sur un intervalle I de R. On dit que f est localement intégrable sur I si elle est intégrable sur tout segment inclus dans /.

1.2 Cas d'une fonction non bornée sur un intervalle borné Soit f une fonction localement intégrable sur ]a, b] avec a < b. Si la limite lim

x-a+

bf(t) dt existe, on dit que l'intégrale 1·b f(t) dt est convergente. a

Dans le cas contraire, on dit que l 'intégrale est divergente.

~Si f possède une limite à droite en a, il n'y a aucun problème d'existence pour l'intégrale généralisée. On définit de manière analogne l'intégrale généralisée

f(t) dt ponr une

fonction continue sur [a , b[. -0 0

~Étudier la nature d'une intégrale généralisée (ou impropre), c'est préciser si elle est convergente ou divergente.

::J

"""

.-1

1.3 Cas d'une fonction définie sur un intervalle non borné

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit f une fonction localement intégrable sur [a, +oo[.

ja'X f(t) dt existe, on dit que l'intégrale l r+ f(t) dt est convera 00

Si la limite lim x-+oo

gente. Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale est divergente. On définit de manière analogue !'intégrale généralisée tion continue sur] - oo, a].

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(t)dt ponr une fonc-

10 •Intégrales généralisées

61 ~

1.4 Généralisation

en c a

• Si f est localement intégrable sur ]a, b[, on pose :

f(t) dt=

et on dit que

.le

f(t) dt+

i:s

f(t) dt avec c E ]a, b[ quelconque

•Si f est localement intégrable sur ]a, +oo[, on pose:

{+oo

1 +00

la f(t) dt= la f(t) dt+ b f(t) dt avec b E ]a, +oo[ quelconque et on dit que l'intégrale

/ +oo

la f(t) dt converge si, et seulement si, les deux

intégrales du second membre convergent. • Si f est localement intégrable sur] - oo, +oo[, on pose :

f(t) dt = _! (t) dt+

1b +00f(t) dt avec b E ] - oo, +oo[ quelconque

et on dit que l'intégrale

•+oo -oo f(t) dt converge si, et seulement si, les deux

intégrales du second membre convergent. -0 0

1.5 Propriétés

::J

"""

.-1

Les propriétés des intégrales définies restent valables pour les intégrales généralisées à condition que toutes les intégrales concernées soient convergentes .

@ ~

..c O'I

·c

2. Règles de convergence

>Cl. 0

=. -a

la f(t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du c

second membre convergent.

j +oo

2.1 Condition nécessaire de convergence sur [a , +oo[ Soit f une fonction localement intégrable sur [a, +oo[. Si l'intégrale

converge et si lim f(x) existe, cette limite est nécessairement nulle. x~+ oo

~Si f n'a pas de limite, on ne peut rien dire de l'intégrale.

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{+oo

la f(t)dt

Analyse dans JR

2.2 Comparaison de fonctions positives Soit f et g localement intégrables et telles que 0 ~ f ~ g sur [a, +oo[.

r+oo

la g(t) dt converge, alors la f(t) dt converge aussi.

r+oof(t) dt diverge, alors 1·+00 la a g(t) dt diverge aussi. ,

2.3 Equivalence de fonctions positives Soit f et g deux fonctions positives.

t f(t) dt et t~(t) dt sont de même nala la 00

Si f(x) :, g(x), alors les intégrales ture.

Si f(x) '""g(x), alors les intégrales

{bf(t) dt et {bg(t) dt sont de

n1êrne nature, c'est-à-dire qu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.

~ Il est important que f et g soient de même signe au voisinage du problème étudié, sinon les fonctions peuvent être équivalentes et leurs intégrales de nature différente. -0 0

2.4 Critère de Riemann (fonctions positives)

::J

"""

• Sur [a, +oo[,

.-1

si lim xa f(x) = 0 avec œ > 1, alors r +f(x) dx converge; x~+oo

..c O'I

·c

>Cl. 0

si lirn xa f(x) = +oo avec œ ~ 1, alors x~+oo

•Sur ] a, b], si lim (x - a)a f(x) = 0 avec œ < 1, alors x~a+

f(x) dx diverge.

lb lb

f(x) dx converge;

si lim (x - a)a f(x) = +oo avec œ x~a+

•+oo

~ 1, alors

f(x) dx diverge.

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10 • Intégrales généralisées

63 ~

3. Situations de référence

en c a

3.1 Exemples divers

r+oo

Jo ln t dt et Jo e -at dt (où œ ER:) sont convergentes.

3.2 Intégrales de Riemann Pour [a, +oo[ avec a> 0 , on a: +oo dt

- converge ~ œ > 1 . ta

Pour ]0,a] avec a> 0, on a :

1 a

dt - converge ~ œ < 1 . ta

3.3 Intégrales de Bertrand

1• ra ~ 00

L'intégrale

. / 1e L' 1ntegra

1ara l 0

-0 0

1 (t)

avec a> 1, converge si, et seulement si,

œ > 1 ou (œ = 1 et f3 > 1). dt ) , avec a < 1, converge s1, . et seu1ement s1, . 18 ln(t r-

œ < 1 ou (œ = 1 et f3 > 1).

::J

"""

.-1

4. Fonctions sommables

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

4.1 Définition Soit f une fonction localement intégrable sur [a , +oo[. On dit que f est

sommable sur cet intervalle si

,, m =. -ca

1·1/(t)Idt converge.

On dit aussi que l'intégrale est absolument convergente.

4.2 Théorème

1îJ(t)I dt converge = 1•/(t) dt converge. 00

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Analyse dans JR

~ La réciproque est fausse : l'intégrale

1+ 00

sinx - dx est convergente, mais

n'est pas absolument convergente.

4.3 Théorème de convergence dominée Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes, continues par morceaux sur /. Si (fn) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur l, et s'il existe une fonction <.p continue par morceaux sur l , positive et sommable sur /, telle que pour tout entier n, on ait lfn 1 ~ <.p (hypothèse de domination), alors les fonctions fn et f sont sommables sur let

j Tf = limjfn· n l 4.4 Intégration terme à terme d'une série de fonctions Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes, continues par fn converge simplement morceaux et sommables sur l, telle que la série

vers une fonction f continue par morceaux sur let telle que la série converge. Alors f est sommable sur I et

J1= f f 1.. I

n=O

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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L j1J,,I

Equations différentielles 1. Généralités ,

1.1 Equations différentielles

(E)

où F est une fonction continue. L'ordre n de l'équation différentielle est celui de la dérivée d'ordre le plus élevé qui figure dans (E).

Six est à valeurs dans IR, l'équation (E) est dite scalaire. Si x est à valeurs dans JRP , l'équation (E) est dite vectorielle. On appelle solution de (E) sur /, ou intégrale de (E) sur ! , toute fonction définie sur un intervalle ouvert l possédant des dérivées jusqu' à l'ordre n et telle que : Vt E l

F (t, x(t), x' (t), ... , x(n)(t)) = 0 .

Résoudre (E) dans /, c'est chercher l'ensemble de ses solutions dans /. -0 0

::J

"""

.-1

La courbe représentant une solution de (E) est aussi appelée courbe intégrale de (E). Une solution x est dite maximale lorsqu'il n'existe pas de solution coïncidant avec x sur 1 et définie sur un intervalle strictement plus grand.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

1.2 Problème de Cauchy On ne s'intéresse pas toujours à toutes les solutions de (E), mais à certaines d'entre elles qui vérifient des conditions propres au problème posé. Dans le cas d'une équation du premier ordre, on cherche souvent une solution x de l'équation : F ( t, x(t), x' (t)) = 0 ,

définie dans un intervalle contenant une valeur donnée t0 et prenant en ce point une valeur x 0 = x(t0 ) imposée par le problème.

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c a

,, m =. -ca c

Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle t et les valeurs x(t), x'(t), ... , x<n) (t) d'une fonction inconnue et de certaines de ses dérivées, de la forme : F (t, x(t), x' (t), ... , x<n)(t)) = 0

Analyse dans JR

(t0 , x 0 ) sont appelées les conditions initiales du problème.

Dans le cas d'une équation du second ordre: F (t, x(t), x' (t), x" (t)) = 0 ,

on cherche souvent une solution x, définie dans un intervalle contenant la valeur donnée t0 , et prenant en ce point, ainsi que sa dérivée, une valeur imposée: x(to) = œ

x' (to) = f3,

(to, œ,[3) sont les conditions initiales du problème.

Le problème de Cauchy est la recherche des solutions d'une équation différentielle vérifiant des conditions initiales imposées.

1.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz Considérons une équation différentielle du premier ordre sous la forme: x' = f(t, x)

(E)

avec f définie et continue sur I x U où I est un intervalle ouvert et U un ouvert de JRP . 8 8 On suppose que les dérivées partielles f , · · · , f sont continues sur I x U. 8X1 8Xp Alors, pour tout (t0 , x 0 ) E I x U, il existe une solution maximale, et une seule, du problème de Cauchy associé. Toute solution de (E) est une restriction de cette solution. -0 0

::J

"""

.-1

2. Equations différentielles scalaires du premier ordre

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.1 Forme élémentaire La plus simple est x' (t) = f (t) où f est une fonction donnée, continue sur un intervalle, dont les intégrales sont les primitives de f, et pour laquelle le problème de Cauchy aux valeurs initiales (to, xo) a pour solution unique: X(t) = Xo +

rt f(u) du . lr 0

2.2 Equations à variables séparables (ou séparées) Lorsque l'équation est de la forme :

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11 • Équations différentielles

f (x(t)) x'(t) = g(t),

où f et g sont des fonctions données dont on connaît des primitives F et G, on a: F(x(t)) = G(t) + C, et si F possède une fonction réciproque p-l, on en déduit : x(t) = p - 1 ( G(t) + C), relation qui donne toutes les solutions de l'équation. Cette solution générale dépend de la constante d'intégration C. Dans le cas du problème de Cauchy, C est déterminé par x(to) = xo.

~ En pratique, on peut écrire l'équation sous la forme : f (x) dx = g(t) dt , puis intégrer formellement les deux membres :

f(x) dx =

g(t) dt, et exprimer x en fonction de t.

2.3 Equations autonomes Une équation différentielle est autonome si elle est de la forme: x'(t) = g(x(t)) (A) où g est une fonction de classe C 1 sur un intervalle. Si t H <.p(t) est solution de (A) sur ]a, b[ , alors, pour tout réel Â, la fonction t H <.p(t - À) est solution de (A) sur ]a+ Â, b + À[ . -0 0

::J

3. Equations scalaires linéaires du premier ordre

"""

.-1

@ ~

O'I

3.1 Définition

>Cl.

Elles sont de la forme :

..c

·c 0

a(t) x' (t) + b(t) x(t) = f(t)

(1)

où a, b et f sont des fonctions données, continues sur un intervalle I, à valeurs réelles ou complexes. Pour la résolution, on se place sur un intervalle J c l tel que a ne s'annule pas sur J.

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en c a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR

3.2 Théorèmes dus à la linéarité Toute solution de (1) est de la forme xp(t) + x5 (t) où xp(t) est une solution particulière de (1) et xs (t) la solution générale de l'équation homogène associée : a(t) x' (t) + b(t) x(t) = 0

(l ').

Les solutions complexes de (1 ') sur J fo1ment un C-espace vectoriel de dimension 1. Si a et b sont à valeurs réelles, l'ensemble des solutions réelles de (1 ') sur J est un JR-espace vectoriel de dimension 1.

3.3 Résolution de l'équation homogène associée C 'est une équation à variables séparables. Ses solutions sont du type : xs (t) = K e-A(t) où A(t) =

;·t

a(u) du

avec K constante arbitraire et t0 élément quelconque de /. Elles comportent donc la fonction nulle et des fonctions qui ne s'annulentjamais.

3.4 Recherche d'une solution particulière (méthode de Lagrange) x 1 étant une solution non nulle de (1'), on introduit une fonction auxiliaire inconnue K(t) telle que x(t) = K(t) x 1(t) soit solution de (1). -0 0

Ceci conduit à K' (t) = f(t) , ce qui permet de calculer K(t) puis x(t) . Xt (t)

::J

"""

.-1

Cette méthode s'appelle aussi méthode de variation de la constante .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

3.5 Méthode du facteur intégrant

b(t)

[eA(t) x x(t)J = eA(t) [x' (t) + -

acn

entraîne :

x(t) = e - A(t

)

c(t) x(t) J = eA(t) x -

acn

c(u)

eA <u X - - du.

a(u)

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11 • Équations différentielles

4. Equations différentielles scalaires linéaires du second ordre

c a

i:s

4.1 Définitions Ce sont des équations de la forme : x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = f(t)

(1)

où a, b et f sont des fonctions données, continues sur un intervalle /. L'équation est dite à coefficients constants si elle est de la forme : a x" (t) + b x' (t) + c x(t) = f(t)

(1)

où a, b et c sont des constantes données, réelles ou complexes.

4.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz Le problème de Cauchy x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = f(t) { x(to) = xo

;

x' (to) = x1

admet une et une seule solution sur /.

4.3 Théorèmes dus à la linéarité • Toute solution de (1) est de la forme : Xp(t) + Xs (t) -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

où xp(t) est une solution particulière de (1), et xs (t) la solution générale de l'équation homogène associée : x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = 0

(1 ') .

•L'ensemble des solutions de (l') est un R-espace vectoriel de dimension 2. • Si x 1 est une solution particulière de :

x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = fi (t) , et x 2 une solution particulière de : x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = /2(t) ,

alors x 1 + x2 est une solution particulière de : x" (t) + a(t) x' (t) + b(t) x(t) = /1 (t) + /2(t) .

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=. -a c

Analyse dans JR

4.4 Résolution de l'équation homogène dans le cas des coefficients constants La fonction t H e,.1 est solution de (1 ') si, et seulement si, r vérifie l'équation caractéristique : ar2 + br + c = 0 ,

ce qui conduit à calculer fl. = b2 - 4ac . • Si fl. alors :

* 0, l'équation caractéristique a deux racines distinctes r et r On a 1

xs(t) = K1 erit + K1 e,.2 1 , où K 1 et K 2 sont des constantes quelconques.

• Si fl. = 0 , l'équation caractéristique a une racine double ro. On a alors : Xs (t) = (Ki t + K1) erot , où K 1 et K2 sont des constantes quelconques. • Si a et b sont réels et si fl. < 0 , l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées œ ± i/3 . On a alors : xs (t) = e at (Ki cos f3t + K1 sinf3t) ,

où K1 et K1 sont des constantes réelles quelconques.

~ En physique, on utilise la forme :

K1 cos f3t + K2 sin f3t = A cos(/3t - 'P) ./

-0 0

avec A = y Kf + Ki ; cos <p = A et sm 'P = A

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.5 Résolution de (1) à coefficients constants dans quelques cas

Cas oùf(t) est un polynôme P(t) de degré n

Il existe une solution particulière de (1) sous la forme d'un polynôme de degré n SI C -:f::. Ü ;

*0 ; n + 2 si c = b = 0 et a * 0 . n + 1 si c = 0 et b

La recherche de cette solution se fait par identification.

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11 • Équations différentielles

Cas où f(t) = ekt P(t) avec P polynôme et k constante

On effectue le changement de fonction inconnue : x(t) = ekt z(t)

où z est une nouvelle fonction inconnue. En reportant x, x' et x" dans (1), on est conduit à une équation en z du type précédent. Cas où f(t) = eœt cos f3t P(t) ou f(t) = eat sinf3t P(t) avec œ et f3 réels, et P polynôme à coefficients réels

Une solution particulière est la partie réelle, ou la partie imaginaire, de la solution particulière obtenue pour l'équation de second membre e<a+ifJ) t.

4.6 Méthodes générales de résolution de l'équation (1)

Variation de la constante

Si x 1 est une solution de (1 '), ne s'annulant pas sur / , on peut chercher les solutions de (1) sous la forme : x(t) = u(t) x1 (t)

où u est une fonction inconnue qui vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre en u' obtenue en reportant dans (1).

> Système fondamental de solutions Si x 1 et x 2 sont deux solutions linéairement indépendantes de (l'), on peut chercher la solution de (1) sous la forme: -0 0

x(t) = u(t) x 1(t) + v(t) x2(t)

::J

"""

.-1

où u et v sont des fonctions inconnues soumises à la condition :

u' (t) x1 (t) + v' (t) x2(t) = 0 .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Les fonctions u et v sont obtenues en résolvant le système : 0 I I U XI +V X2 = {

xI1 +VI X2I = f

dont le déterminant w(t) =

appelé wronskien de x 1 et x 2 , ne s'annule pas sur I lorsque x1 et x 2 sont linéairement indépendantes. On obtient :

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en c a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR

u' (t) = _ x2(t) f(t)

et v' (t) = x1 (t) f(t)

w(0

Utilisation de séries entières

On peut chercher des solutions sous la forme d'un développen1ent en série entière.

~ Cette méthode peut être envisagée quand a(t) et b(t) sont des polynômes simples. N'oubliez pas de vérifier que la (ou les) série entière obtenue a un rayon de convergence non nul.

5 . Systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants 5.1 Définitions et notations Un système de p équations différentielles linéaires du premier ordre et à coefficients constants est de la forme : X~ (t)

au x1 (t) + · · · + a1p xp(t) + b1 (t)

(S)

x;/t)

ap1 x 1(t) + · · · + a PP Xp(t) + bp(t)

où les bi sont des fonctions continues de I dans IR.

~ On suppose que le nombre d'inconnues est égal à celui des équations. -0 0

"""

Avec

b1 (t)

Xt (t)

.-1

X(t) =

B(t) =

..c O'I

·c

>Cl. 0

(S) s'écrit sous la forme matricielle: X' (t) = A X(t) + B(t) .

Si B(t) = 0, le système est dit homogène.

5.2 Structure des solutions L' ensemble des solutions du système différentiel linéaire homogène

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11 • Équations différentielles X' (t) =A X(t)

(S')

est un espace vectoriel de dimension p. Toute solution de (S) est la somme de la solution générale de (S') et d'une solution particulière de (S ).

5.3 Cas où A est diagonalisable Soit A diagonalisable ; notons À 1, ... , Àp ses valeurs propres et V1, ... , VP des vecteurs propres associés. L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S ') admet pour base : (Vi e'i,r, .. . , Vp eÀpt ).

5.4 Résolution de (S)

Par réduction de A

On aA = PRP- 1 où Rest diagonale ou triangulaire. Si l'on pose Y(t) = p - l X(t) et C(t) = P- 1B(t), le système s'écrit: Y' (t) = RY(t) + C(t) .

On résout ce système réduit et on en déduit X(t) = PY(t).

~Si B(t)

* 0, cette méthode nécessite le calcul de p-l et peut être pénible.

> Par la méthode de << variation des constantes >> -0 0

Si ( C 1(t), . .. , C p(t)) est une base de l'espace vectoriel des solutions de (S '), p

::J

"""

on peut poser X(t) =

.-1

Uï(t) Ci(t) où les Uï sont des fonctions de classe C

i=l

I dans IR.

..c O'I

·c

>Cl. 0

> •Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si À est une valeur propre de A, comme det(A - Alp) = 0, il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes Li de la matrice A - Alp p

telle que

L œi Li= O. i= .l

En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X' - AX = (A - Alp)X + B

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en a

,, m =. -ca c

Analyse dans JR p

on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y=

œi xi.

i=l

Si A est diagonalisable, on obtient ainsi p combinaisons linéaires en xi, d'où l'on déduit les Xi .

6. Calcul numérique Considérons le problème de Cauchy :

x'(t)=f(t,x(t)) avec x(to)=xo dont on suppose l'existence et l'unicité de la solution dans un intervalle d'origine t0 . Une méthode numérique à un pas consiste à évaluer des valeurs approchées xi, x2, . .. , Xn, . .. de la solution aux points

ti = xo + h, t2 = xo + 2h, . .. , tn = to + nh, . .. où le pas h est supposé petit.

6.1 Méthode d'Euler Les valeurs approchées sont données par :

Xn+l = Xn + h f(tn, Xn) ·

-0 0

::J

6.2 Méthode de Runge-Kutta d'ordre 3 Les valeurs approchées sont données par :

"""

h Xn+l = Xn + 6 [k1 + 4k2 + k3]

.-1

@ ~

..c

O'I

·c

>Cl. 0

OÙ

ki = f(tn,Xn)

k2 = f(tn + l'Xn +

;

k3 = J(tn + h,Xn + 2hk2 - hk1).

6.3 Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 Les valeurs approchées sont données par :

Xn+l = Xn +

h [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] 6

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h 2

ki);

11 • Équations différentielles OÙ

k1 = f(tn, Xn)

;

kz = f (tn + ~ , Xn + ~

k1)

k3 = f (ln + ~, Xn + ~ kz) k4 = J(tn + h,Xn + hk3) .

en c a

,, m =. -ca c

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Séries numériques 1. Séries à termes réels ou complexes 1.1 Définitions Soit (un) une suite de nombres réels ou complexes. n

On note Sn= Luk. k=O

On dit que la série de terme général un est convergente lorsque la suite (S 11) est convergente vers S. Sinon, on dit qu'elle est divergente. + oo

Dans le cas d'une série convergente, on note S =

L uk. k=O

On dit que S est la somme de la série, que Sn est la somme partielle d'ordre n + oo

et que Rn=

L uk est le reste d'ordre n. k=n+l

Pour tout n E N, on a S = Sn +Rn et il est équivalent de dire que la série converge ou que lim Rn =O.

/l--?00

-0 0

1.2 Condition nécessaire de convergence

::J

"""

.-1

Si la série

Un converge, alors le terme général Un tend vers O.

@ ~

..c O'I

·c

~ Si le terme général Un ne tend pas vers 0, alors la série

diverge.

>Cl. 0

1.3 Espace vectoriel des séries convergentes Si

convergent et ont pour sommes respectives V et V alors,

pour tous nombres a et b, la série L(au11 + bvn) est convergente et a pour somme aU + bV.

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12 • Séries numériques

1.4 Cas des séries complexes

Soit u,1 = an + ib,1 avec an E lR et bn E JR. La série complexe si, et seulement si, les deux séries réelles

L u converge caen

L an et L b convergent, et on a : ,,m 11

+oo

n=O

IL=Û

=. -a c

1.5 Critère de Cauchy La série à-dire:

L u, converge si, et seulement si, la suite (S n) est de Cauchy, c'est1

Ve>O

3NE N

Vn>N

VpE N

~ ukl <e. k=n+I

2. Séries à termes positifs 2.1 Comparaison de deux séries

> Théorème de comparaison Soit rang.

u 11 et

Vn deux séries telles que

L v converge, alors L

Utilisation d'équivalents

Soit

-0 0

::J

"""

Un diverge, alors

0 ~ Un ~ Vn à partir d'un certain

Un converge.

Vn diverge.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Un et

Vn deux séries à termes

> 0 telles que Un

Les deux séries sont alors de même nature, c' est-à-dire qu'elles sont convergentes ou divergentes en même temps.

~ Ce théorème s'applique aussi à des séries à termes < 0, mais il n'est pas vrai pour des séries quelconques.

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Analyse dans JR

Règle de Riemann

Soit

Un une série à tenues positifs.

Si net un est majoré avec a > 1, alors la série

L un converge.

Si net un est minoré par A > 0 avec a ~ 1, alors la série

L un diverge.

2.2 Comparaison d'une série à une série géométrique > Règle de d'Alembert 1

Soit un une série à termes strictement positifs telle que Un+ admette une limite Un

l quand n tend vers +oo.

Si l < 1, la série converge ; si l > 1, la série diverge.

Règle de Cauchy

Soit un une série à termes positifs telle que ~ admette une limite l quand n tend vers +oo. Si l < 1, la série converge ; si l > 1, la série diverge.

2.3 Comparaison d'une série à une intégrale Soit f: [O, +oo[ ~ IR+ une fonction continue, positive et décroissante.

r+oo

+oo

-0 0

La série

L f(n) et l'intégrale généralisée Jo n=O

f(x)dx sont de même nature.

::J

"""

.-1

2.4 Associativité

@ ~

..c O'I

·c

Pour une série à termes positifs, on peut faire des groupements de termes sans changer ni la nature de la série, ni sa somme .

>Cl. 0

3. Convergence absolue 3.1 Définition Si

L lunl converge, on dit que L

Un est absolument convergente.

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12 • Séries numériques

3.2 Théorème

Si une série est absolument convergente, alors elle est convergente et sa somme vérifie: + oo

+oo

Lun ~ Llunl· n=O

n=O

~ La réciproque est fausse.

3.3 Convergence commutative Toute série convergente dont la somn1e ne dépend pas de 1' ordre des termes est dite commutativement convergente. Une série est commutativement convergente si, et seulen1ent si, elle est absolument convergente. ~Pour une série semi-convergente, certains résultats défient l'intuition. Par exemple, on peut modifier l'ordre des termes de sorte que la nouvelle série soit convergente vers n'importe quel nombre choisi à l'avance!

3.4 Produit de deux séries -0 0

Soit Un et Vn deux séries absolument convergentes. Le produit des deux séries est la série de terme général :

::J

"""

= uovn + U1Vn-l + ... + Un-1V1 + UnVO = L UpVq.

.-1

p+q=n

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

Cette série est absolument convergente et l'on a :

L wn = L un L vn · + oo

,, m =. -ca c

Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est dite semiconvergente.

en c a

(

n=O

+oo

n=O

)

(

+ oo

)

n=O

4.Séries de référence 4.1 Séries géométriques La série de terme général (réel ou complexe) u11 = aqn est convergente (abso-

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Analyse dans JR

lument) si, et seulement si, lql < 1 et on a alors :

+oo

L aqn = a -1 -- -q n=O

4.2 Séries de Riemann 1 ~ - converge <==> œ > 1. Lnœ En particulier, la série divergente

L ~n est appelée série harmonique.

4.3 Séries de Bertrand 1 La série"""' Y' converge si, et seulement si : L nœ(lnn

œ> 1

(œ = 1 et f3 > 1).

4.4 Série exponentielle Pour tout z E C, la série de terme général l'on a:

-0 0

::J

est absolument convergente et

5. Séries alternées

"""

.-1

5.1 Définition

..c O'I

·c

>Cl. 0

Une série un à termes réels est alternée si son terme général change de signe alternativement. En supposant uo ;::: 0, on a donc Un = (-1Y1an où an = lunl·

5.2 Critère spécial des séries alternées

Théorème

Si la suite de termes positifs (an) est décroissante et converge vers 0, alors la

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12 • Séries numériques

+oo

série alternée

L (-1 yi an est convergente.

n=O

,,a m =. -ac

Exemple ~ (-1yi-1

La série harmonique alternée 0

n=l

est convergente, mais n'est pas ab-

solument convergente.

Majoration du reste

Dans les hypothèses du critère spécial des séries alternées, les suites (S 2 n) et (S 2n+l) sont adjacentes. + oo

Le reste Rn =

L (- l)kak est du signe de (-l)n+I et vérifie: k=n+l

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Espaces vectoriels normés 1. Normes 1.1 Définition Soit E un espace vectoriel sur JI{ = R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R qui vérifie : N(x) ~ 0

(1)

Vx E E

(2)

VÀ E K

Vx E E

N(Àx) = l;ll N(x);

(3)

Vx E E

Vy E E

N (x +y)~ N (x) + N (y).

N(x) = 0

==:}

x = 0 ;

Le couple (E, N) est appelé espace vectoriel normé. On note souvent : N(x) = llxll.

1.2 Exemples 1. E = K11 ; pour x = (x1, . . . ,xn) E E, on définit: N1 (x) = lxil + · · · + lxnl N2(x) = J lx11 2 + · · · + lxnl2

Noo(X) = sup {lx1 I, ... , lxnll . -0 0

::J

2. E = C([a, b], K) étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a , b] et à valeurs dans K, pour f E E on pose :

"""

.-1

Ni (f) =

J.b l/(t)I dt ; N1(f) = J.b l/(t)l dt . 2

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

N 1 est la norme de la convergence en moyenne, N2 la norme de la convergence en moyenne quadratique.

Je*>

3. E étant muni d'un produit scalaire, N(x) = définit une norme appelée norme euclidienne si K = R et hermitienne si K = C . Les normes N 2 des exemples 1. et 2. sont des normes euclidiennes ou hermitiennes.

4. E = 1'(A, F) étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur un ensemble A et à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose: Noo(f) = sup 11/(t)ll tEA

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13 • Espaces vectoriels normés

où 1111 désigne la norme dans F. N oo est la norme de la convergence uniforme.

5. Si (E 1,N1), ... , (Ep ,Np) sont des espaces vectoriels normés, on définit une norme sur le produit cartésien E 1 x · · · x E P en posant : N(u1, . .. , up) = sup Ni(ui). l~i~p

2. Distance associée à une norme 2.1 Définition et propriétés

> La distance entre deux éléments x et y de E est d (x, y)

= llY - xll .

Propriétés d'une distance

VxE E

VyE E

d(x,y)~O;

VxE E

VyE E

d(x,y) = 0 ~ X= y;

VxEE

VyE E

d(x,y)=d(y,x);

VxE E

VyE E

Vz E E

d (x, z) ~ d (x, y)+ d (y, z) .

La distance entre deux parties A et B non vides de E est : d(A, B) = inf{d(x,y); XE A' y E B}.

> Le diamètre d'une partie non vide A est: -0 0

diamA = sup{d (x,y) ; x E A, y E A}.

::J

"""

.-1

@ ~

..c

Si diam A est fini, A est dite bornée . Une application f définie sur un ensemble D et à valeurs dans E est dite bornée si /(D) est une partie bornée de E.

O'I

·c

>Cl. 0

2.2 Boules La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est : B(a, r) = {x E E ; llx - all < r}.

La boule fermée de centre a et de rayon r > 0 est : B*(a, r) = {x E E ; llx - all ~ r}.

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~ en c a

,, m -ac=. c

Analyse dans JRn

3. Suites d'éléments 3.1 Convergence La définition est analogue au cas des suites dans IR (cf chap. 6). La suite (un) est convergente vers l si : Vs > 0

3 no E N

Vn ~ no

llun - lll < s .

Une suite qui n'est pas convergente est divergente. Beaucoup de théorèmes sur les suites numériques se généralisent : unicité de la limite, opérations algébriques, théorème de Bolzano-Weierstrass ...

~Ne généralisez pas les notions qui utilisent la relation ~comme : limites in.finies, suites monotones, théorème d'encadrement.

3.2 Normes équivalentes • Soit N et N' deux normes sur E. On dit qu'elles sont équivalentes si toute suite qui converge vers l pour une norme, converge aussi vers l pour l'autre norme. •Pour ceci, il faut, et il suffit, qu'il existe œ > 0 et f3 > 0 tels que : œN'(x) ~ N(x) ~ /3 N'(x).

Vx E E

~ Pour montrer que Net N' sont équivalentes, montrez que les fonctions N N et - sont bornées sur E \ {0}.

-0 0

::J

"""

Pour montrer qu'elles ne sont pas équivalentes, montrez que l'un de ces quotients n'est pas borné.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

3.3 Cas d'un espace vectoriel de dimension finie Dans un espace vectoriel de dimension finie, deux normes quelconques sont toujours équivalentes.

4. Topologie d'un espace vectoriel normé Soit (E, N) un espace vectoriel normé.

4.1 Voisinages d'un point Une partie V est un voisinage de a E E s'il existe une boule ouverte centrée en

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13 • Espaces vectoriels normés

a et incluse dans V.

4.2 Ouverts de E Une partie A de E est ouverte (ou est un ouvert) si elle est au voisinage de chacun de ses points, ce qui s'écrit : Va E A

3 ra> 0

B(a, ra) CA.

~ Deux normes équivalentes définissent les mêmes ouverts.

L'ensemble des points intérieurs de A est l'intérieur A de A. On a Ac A. 0

Une partie A est ouverte si, et seulement si, A = A.

4.3 Fermés de E Une partie A est fermée (ou est un fermé) si son complémentaire est un ouvert. a est un point adhérent à A si toute boule B(a, r) avec r > 0 contient un point de A. L'ensemble des points adhérents à A est l'adhérence A de A. On a A c A.

Si A = E, on dit que A est dense dans E. Une partie A est fermée si, et seulement si, A = A.

-0 0

Une partie A est fermée si, et seulement si, pour toute suite d'éléments de A qui converge dans E, la limite appartient à A.

~ Fournir une suite d'éléments de A qui converge dans E vers une limite qui

"""

n'appartient pas à A, c'est donc démontrer que A n'est pas Je rmée.

::J

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.4 Frontière 0

La frontière d'une partie A est l'ensemble A \A . C'est l'ensemble des points a tels que toute boule B(a, r) avec r > 0 contient au moins un vecteur de A et un vecteur qui n' appartient pas à A.

4.5 Point isolé Un point a de A est isolé sil' on peut trouver une boule de centre a ne contenant pas d'autre point de A autre que a.

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,, m -ac=. c

Un point a est un point intérieur de A si A est un voisinage de a. 0

~ en c a

Analyse dans JRn

4.6 Point d'accumulation Un point a de A est un point d'accumulation de A si tout voisinage V de a contient au moins un élément de A distinct de a ; ce qui entraîne que V contient une infinité d'éléments de A .

a est un point d'accumulation de A si, et seulement si, il existe une suite injective (éléments tous distincts) d'éléments de A qui converge vers a. Un point adhérent de A qui n'est pas point d'accumulation est un point isolé de A.

5. Continuité 5.1 Limite Soit E et F deux espaces vectoriels normés, f une application de D c E dans F, a un point adhérent à D et l E F.

f admet la limite l au point a si : Vs> 0

37] > 0

Vx ED

llx - all < 1J ~ llf(x)- lll < s.

~ Les normes dans E et dans F sont notées de la même façon pour ne pas alourdir les notations.

5.2 Continuité f est continue en a si elle est définie en a et si lirn f (x ) = f(a). x~a

f est continue sur D c E si elle est continue en tout point de D. -0 0

::J

"""

.-1

Les opérations algébriques sont analogues au cas particulier des fonction s numériques continues. Deux fonctions continues de D dans F qui coïncident sur une partie dense de D sont égales.

..c O'I

·c

5.3 Caractérisations de la continuité

>Cl.

Caractérisation séquentielle

Pour que f soit continue en a, il faut et il suffit que, pour toute suite (un) qui converge vers a, la suite (f(un)) converge vers f(a).

> Caractérisation topologique f est continue sur D si, et seulement si, l'image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) de Fest un ouvert (resp. fermé) de E.

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13 • Espaces vectoriels normés

~Attention, si f est continue et si D est un ouvert (resp. fermé) de E, on ne ~ peut rien dire de l'image directe f(D). en

c a

5.4 Homéomorphisme

f est un homéomorphisme si elle est bijective et si f et f - 1 sont toutes les deux continues.

5.5 Continuité uniforme

f de D c E dans F est uniformément continue sur D si : Vs> 0 377 > 0 Vx ED Vy ED llx - Yll < 1J ==> llf(x) - f(y)ll < s. 5.6 Fonctions lipschitziennes Une fonction f de D dans Fest lipschitzienne de rapport k ~ 0 si :

Vx ED

Vy ED

llf(y) - f(x)ll ~ k lly - xll.

Si 0 < k < 1, on dit que f est contractante . Si f est lipschitzienne sur D, alors f est uniformément continue sur D.

6. Applications linéaires continues 6.1 Critère de continuité -0 0

Si f est linéaire de E dans F, les propositions suivantes sont équivalentes:

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

,, m -ac=.

• f est continue sur E ; • f est continue en 0; • f est uniformément continue ; • 3k ~ 0 Vx E E llf(x)ll ~ k llxll .

~ Vérifiez bien que f est linéaire avant d'appliquer ce critère de continuité.

6.2 Espace des fonctions linéaires continues L'ensemble des fonctions linéaires et continues de E dans F est un espace vectoriel. On le note Lc(E, F).

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Analyse dans JRn

~ Si E est de dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues. Ce n'est pas vrai si E est de dimension in.finie.

6.3 Norme d'une application linéaire continue En posant:

llf(x)ll . 11!11 = sup Il· Il = sup llf(x)ll = sup llf (x)ll xt 0

l lxll~l

llxll=l

on définit une norme sur L c(E, F), dite norme subordonnée aux normes choisies dans E et dans F.

6.4 Norme d'une composée Si f E L c(E, F) et g E L c(F, G), alors go f E L c(E , G) et :

llg o ! Il ~ llgll 11!11. ~ Cette propriété, vraie pour une norme subordonnée, n'est pas vérifiée pour une norme quelconque.

7. Compacité Soit E et F deux espaces vectoriels normés.

7 .1 Définition -0 0

On dit qu'une partie A de E est une partie compacte ou est un compact si, de toute suite d'éléments de A, on peut extraire une sous-suite convergente dans A.

::J

"""

.-1

7.2 Propriétés Si A est un compact de E et B un compact de F, alors A x B est un compact de ExF.

..c

·c

Un fermé inclus dans un compact est un compact.

Tout compact est fermé et borné.

O'I

>Cl.

Si E est de dimension finie, on a : A compact ~ A fermé et borné.

~ En dimension in.finie, il existe des fermés, bornés, non compacts.

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13 • Espaces vectoriels normés

7 .3 Fonction continue sur un compact Soit f une fonction continue de E dans F et A un compact de E.

f est uniformément continue sur A (théorème de Heine). f(A) est un compact de F.

8. Complétude Une suite (un) d'éléments d'un espace vectoriel normé E est de Cauchy si : 3 no E N

V(p, q) E N 2 (p ~no et q ~no)==> llup - uqll < s.

8.2 Propriétés Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

~ Attention, la réciproque n'est pas vraie si E quelconque. Toute suite de Cauchy est bornée. L'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue est de Cauchy.

-0 0

8.3 Espaces complets Un espace vectoriel normé E est dit complet si toute suite de Cauchy de E est convergente.

::J

"""

On dit aussi que E est un espace de Banach .

.-1

8.4 Exemples

..c O'I

·c

>Cl. 0

,, m -ac=. c

8.1 Suites de Cauchy Vs > 0

~ en c a

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach. Si Fest complet, alors L c(E, F) est complet pour la norme subordonnée aux normes de E et de F.

~Remarquez que l 'hypothèse concerne l'espace d'arrivée. En particulier, le dual topologique L c(E, K) d'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach.

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Analyse dans JRn

8.5 Propriété Dans un espace vectoriel normé E, toute partie A complète est fermée. Si E est complet, tout fermé A c E est complet. Si E est compact, il est complet.

8.6 Théorème du point fixe Soit E un espace de Banach et f une fonction de E dans E. Si f est contractante, alors l'équation f(x) = x a une solution unique l E E . Toute suite définie par uo E E et Un+ l = f (un) converge vers l.

9. Connexité 9.1 Partie connexe Une partie A de E est connexe s' il n'existe pas de partition de A en deux ouverts disjoints non vides. ~ Cette notion correspond à l'idée intuitive de <<partie d 'un seul morceau>>.

Les parties connexes de R sont les intervalles. Si A est connexe et f continue, alors f(A) est connexe.

9.2 Théorème des valeurs intermédiaires -0 0

::J

Soit f une fonction à valeurs réelles, continue sur une partie connexe, a et b deux vecteurs de A. Pour tout réel x compris entre f(a) et f (b), il existe c E A tel que x = f (c).

"""

.-1

9.3 Partie connexe par arcs

..c O'I

·c

>Cl. 0

Une partie A de E est connexe par arcs si, pour tout (a, b) E A 2 , il existe une fonction continue f de (0, 1) dans A telle que f(O) =a et f(l) = b.

~ Géométriquement, cela signifie que deux points de A peuvent toujours être joints par un arc continu inclus dans A.

9.4 Propriétés Si A est connexe par arcs, alors A est connexe.

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13 • Espaces vectoriels normés

Si E est de dimension finie et si A est un ouvert, alors :

~ en c a ~N'oubliez pas de vérifier les hypothèses avant d 'utiliser cette équivalence. m A connexe<=> A connexe par arcs.

Si A est connexe par arcs et f continue, alors f(A) est connexe par arcs.

,, -ac=. c

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

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Calcul différentiel dans Rn

1. Fonctions de Rn dans RP 1.1 Fonctions partielles Une fonction f, de D c Rn dans RP, est de la forme: (x1 , ... , Xn) H f(x1 , ... , Xn) .

Si a = (a 1 , •.. , an) est un point intérieur de D, les fonctions : définies sur un intervalle ouvert contenant ai sont les fonctions partielles associées à f au point a. Une fonction partielle est une restriction à une droite parallèle à un axe. Pour que f soit continue en a, il est nécessaire que les fonctions partielles soient continues en ai· Mais ce n'est pas suffisant.

-0 0

~ Plus généralement, pour montrer que f n'est pas continue en a, il suffit de montrer que la restriction de f à une courbe continue passant par a n'est pas continue. Attention, même si la restriction de f à toute droite passant par a est continue, cela ne prouve rien.

::J

"""

.-1

1. 2 Fonctions coordonnées

@ ~

..c

On a f(x) = (!1 (x), .. . , fp(x)).

·c

Les fonctions, de R11 dans R, x H fj(x) sont les fonctions coordonnées de f.

f est continue en a si, et seulement si, toutes ses fonctions coordonnées sont

O'I

>Cl.

continues en a.

1.3 Représentations graphiques (cas p = 1) •Si n= 2, l'ensemble des points de R 3 : S = {(x,y,f(x,y))

(x,y) ED}

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14 • Calcul différentiel dans 1Rn

est la surface représentative de f.

~ en ~ C'est l'analogue de la courbe représentative d'une fonction à une va- c a riable.

• Si k E IR, l'ensemble : {(X 1, ... , Xn) E D

; f (X l , ... , Xn) = k}

est la ligne de niveau k de la fonction f. Sin = 2, c'est une courbe plane; sin = 3, c' est une surface.

~ Si (xi, x2) représente un point sur une carte et si f(x1, x2) désigne son altitude, les lignes de niveau sont les courbes de même altitude qu'on trouve sur les cartes d'état-major.

2. Dérivées partielles d'ordre 1 (cas p = 1) Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert D de JR.n .

2.1 Définition Les dérivées partielles de f en a = (a 1 , ... , an) sont les dérivées des fonctions partielles associées à f. On les note: of (a)

Dif(a)

OXi

-0 0

::J

"""

.-1

(x1 , ... , Xn) H -

0 Xi

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

f~1 (a).

2.2 Fonction de classe C 1 Si toutes les fonctions dérivées partielles : of

(x1 , ... , Xn)

sont continues sur D , on dit que f est de classe C 1 sur D , ou que f est continûment différentiable sur D.

,, m -ac=.

~ Dans le cas général, f est de classe C 1 sur D si ses p fonctions coordonnées fj sont toutes de classe C 1 sur D.

2.3 Vecteur gradient Le gradient de f en a est le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières :

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Analyse dans JRn ~

grad f(a) =

af ~ L Bx· (a) ei. n

i=l

Il est orthogonal à la ligne de niveau de f passant par a.

3. Dérivées partielles d'ordre supérieur (p = 1) 3.1 Définition Si les fonctions dérivées partielles admettent elles-mêmes des dérivées partielles en a, ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées partielles d'ordre 2, de f en a. On les note : 2

a f2 (a) = -a a. ( -a af) . (a) aXi X1 Xz

8 f (a)= !_ ( Bf )(a).

axiaxj

axi axj

Les dérivées partielles d'ordre supérieur à 2 se définissent par récurrence de façon analogue.

3.2 Fonction de classe Ck Si toutes les dérivées partielles d'ordre k sont continues sur D, on dit que f est de classe Ck sur D. Si les dérivées partielles de tous ordres existent, f est dite de classe C

00 •

3.3 Théorème de Schwarz Si les dérivées partielles -0 0

::J

"'"

.-1

@ ~

..c

3.4 Laplacien Le laplacien de f en a est le scalaire : n

O'I

·c

a2r

D.f(a) = La~~ (a).

>Cl. 0

i= 1.

4. Différentielle 4.1 Fonction différentiable (cas général) Soit f une fonction définie sur un ouvert D de JR11 et à valeurs dans JRP. On dit que f est différentiable en a E D s'il existe une application linéaire l E

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14 • Calcul différentiel dans 1Rn

L(JR.11 , JRP) telle que : lim llf(a + h) - . f(a) - l(h)ll = O. h~o llhll Dans ce cas, l'application l est unique. On l'appelle la différentielle de f au point a et on la note dfa .

4.2 Notation différentielle (cas p=l) Si p = l, toute application linéaire de JRn dans lR est de la forme : n

h = (h1, ... , hn) H /(h) = LAi hi. i= l

Si f est différentiable en a, on a nécessairement Ai = ~f (a). UXj

En notant dxi laie projection de JRn sur lR (définie par dxi(h) = hi), la différentielle de f s'écrit:

4.3 Théorème (cas p=l) Si f est différentiable en a, alors toutes les dérivées partielles premières de f en a existent. Si f est de classe C 1 en a, alors f est différentiable en a.

~ Les deux réciproques sont fausses. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.4 Dérivée dans une direction (cas p=l) La dérivée de f en a = (a 1 , ... , an) dans la direction du vecteur unitaire ~

u (œi , . . . , œn) est :

f(a1 . .. 'an+tœn) f(a1' . ..'an) - f (a ) = l'im -+-tœi' ----811 r~o t Lorsque f est différentiable, cette limite existe et vaut :

ôu

-7

(a) = grad f(a) · u.

Cette dérivée directionnelle est maximum dans la direction du gradient et vaut -7

alors llgrad f(a) ll·

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~ en c a

,, m -ac=. c

Analyse dans JRn

~ Si la dérivée directionnelle en a n 'est pas égale au produit scalaire précédent, c'est une preuve que f n 'est pas différentiable en a. Sur les cartes d'état-major, le gradient indique la ligne plus grande pente. Il est orthogonal aux lignes de niveau.

4.5 Matrice jacobienne (cas général) Soit f : D ~ JR.P une fonction définie sur un ouvert D de IR.n , différentiable en a E D. On appelle matrice jacobienne de f au point a la matrice de sa différentielle en a :

ôfp (a)

ÔX1

ÔXn

4.6 Jacobien Sin = p, le déterminant de f r(a) est le jacobien de f au point a. On le note : D(/1, · · ·, fn) (a). D(x1, ... , Xn) -0 0

::J

5. Composition

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

5.1 Différentielle d'une composée Soit f : D 1 c JR.11 - 7 JR.P et g : D2 c JR.P - 7 IR.q deux fonctions définies sur des ouverts tels que f(D 1) c D2. Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a), alors go f est différentiable en a et 1' on a : d(g o f)a = dgf(a) O dj~ ,

c'est-à-dire sous forme matricielle: f gof(a) = 18 (f(a)) X Jf (a) .

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14 • Calcul différentiel dans 1Rn

5.2 Dérivées partielles (cas q=l) p

B(g of) (a)=~ Bfk (a) x Bg (f(a)) . L..t Bx·l Byk Bx·l k=l

5.3 Difféomorphisme

Dé.finition

Soit n = p , V un ouvert de !Rn et V = f(U). On dit que f est un difféomorphisme de V sur V si f est une bijection et si f et 1- 1 sont de classe C 1 sur U et V respectivement.

> Théorème d'inversion locale Soit f: D c IR1·1 ~ !Rn une fonction de classe C 1 sur un ouvert D. Soit a

D tel que dfa soit inversible, c' est-à-dire tel que le jacobien

D(jj' · · · ' f n) (a) D(x1, .. . ,Xn)

soit non nul.

Il existe un voisinage ouvert V de a tel que f soit un difféomorphisme de V sur f(U).

6. Fonctions implicites 6.1 Fonction de 2 variables -0 0

::J

"""

Soit f une fonction de classe C 1 dans un ouvert D c IR2 et Ck la courbe de niveauf(x,y) = k. À tout point (xo, Yo) E Ck tel que !~ (xo, yo)

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

* 0, on peut associer un intervalle

ouvert l contenant x 0 et une fonction r.p del dans IR telle que: VxE/

y=r.p(x)

f(x,y)=k.

De plus, r.p est de classe C 1 sur I et sa dérivée est donnée par :

Bf a(X, r.p(x)) r.p'(x) = -

By ( x, r.p(x)) Dans les hypothèses précédentes, on dit que la relation f(x , y) = k définit implicitement y en fonction de x.

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~ en c a

,, m -ac=. c

Analyse dans JRn

~On retrouve <p'(x) en dérivant la fonction constante f(x,<p(x)) = k et on écrit: Bf Bf , - (x,y) + - (x,y) x 'P (x) =O. 8X 8y

6.2 Fonction de 3 variables Soit f de classe C 1 et S la surface d'équation f(x, y, z) = k. Autour de tout point (xo, Yo . zo) E S tel que

8jz (Xo , Yo. zo) * 0, on peut décrire localement la

surface S par une équation de la forme z = z(x, y).

Cette fonction possède des dérivées partielles continues par rapport à x et à y dont on peut retrouver l' expression en dérivant f (x, y, z( x, y)) = k , soit :

Bf Bz ax - - Bf ax Bz

Bf Bz - - -By Bf ay Bz

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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l!!I fonction numérique

~ en c a

Optimisation d'une

,, m -ac=. c

1. Optimisation sans contrainte 1.1 Définitions Soit f une fonction numérique définie sur D c IRn.

f admet un maximum (resp. minjmum) global (ou absolu) en a ED si f(x) ~ f(a) (resp. f(x) ~ f(a))

Vx ED

f admet un maximum (resp. minimum) local (ou relatif) en a E D s'il existe un voisinage V de a tel que : Vx E V

f(x) ~ f(a) (resp. f(x) ~ f(a))

1.2 Existence d'un minimum et d'un maximum globaux Si D est compact (c'est-à-dire fermé et borné puisqu' on est en dimension finie) et si f est continue, alors f admet un maximum et un minimum globaux atteints au moins une fois. -0 0

::J

"""

.-1

1.3 Condition nécessaire d'extremum local Si f présente un extremum local en a, et si f est différentiable en ce point, alors:

@ ~

..c O'I

ou encore

-7

grad f(a) = 0 .

·c

>Cl. 0

Un point vérifiant cette condition est appelé point critique, ou point stationnaire, de f.

~ Les éventuels extremums sont donc à chercher parmi les points critiques et les points où f n'est pas différentiable (le plus souvent les points frontière deD).

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1OO

Analyse dans JRn

1.4 Condition suffisante d'extremum local (cas de 2 variables) Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert D c R2 et (x0 , y 0 ) un point critique; posons :

On a alors: • si S 2 - RT < 0, f présente un extremum relatif en (x0 ,y0 ); il s' agit d'un maximum si R < 0 et d'un minimum si R > 0 ; • si S 2 - RT > 0, f présente un point-selle (ou point-col) en (x0 ,y0 ); ce n'est pas un extremum ;

~ Le mot col vient de l'exemple de la fonction altitude et de la configuration (idéalisée) d'un col de montagne: minimum de la ligne de crête, maximum de la route, sans être un extremum du paysage. Le mot selle vient de l'exemple d'une selle de cheval. • si S 2 - RT = 0, on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes.

1.5 Condition suffisante d'extremum local (cas général) Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert D c Rn et a = (a 1, ... , an) un point critique. -0 0

::J

"""

La différence des valeurs de f dans un voisinage de a peut s'écrire sous la forme:

!:::.f(h1, ... , hn) = f(a1 + h1, ... , an+ hn) - f(a1, ... , an)

.-1

= q(h1, ... ,hn) + ll(h1, ... ,hn)ll s(h1, ... ,hn)

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

où q est une forme quadratique (cf chap. 38) et s(h 1, ••• , hn) une fonction qui tend vers 0 quand (h 1, ... , hn) tend vers (0, ... , 0).

~ Ce changement d'origine, qui nous ramène au voisinage de 0, permet de vérifier que les coefficients des termes de degré un sont tous nuls. Sinon le calcul est faux, ou a n'est pas un point critique. Notons A la matrice de la forme quadratique q. q est définie positive si sa signature est (n, 0) ou si les valeurs propres de A

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15 • Optimisation d'une fonction numérique

101

sont strictement positives. Dans ce cas, f admet un minimum local au point a. q est définie négative si sa signature est (0, n), ou si les valeurs propres de A sont stricten1ent négatives. Dans ce cas, f admet un maximum local au point a. q est non-définie si sa signature est ( s, n - s) avec 0 < s < n, ou si A possède des valeurs propres de signe opposé. Dans ce cas, le point a n'est pas un extremum. C'est un point-col (ou pointselle). q est semi-définie si sa signature est (0, r) ou (r, 0) avec r < n, ou si les valeurs propres de A sont toutes de même signe et si l'une au ·moins d'entre elles est nulle. Dans ce cas, on ne peut pas conclure avec l'étude de q.

2. Optimisation avec contrainte 2.1 Définition Soit f une fonction définie sur D c JRn et C l'ensemble des points de D défini par g(x1, ... , Xn) = O.

La recherche d'un extremum de la restriction de f à C est un problème d'extremum lié. g(x1, . .. , Xn) = 0 est la contrainte.

f et g sont supposées de classe C 1 sur D. -0 0

~ """ ~ @

:g·c

2.2 Méthode de substitution (cas n=2) Lorsque la contrainte g(x, y) = 0 permet d'expliciter y en fonction de x, on est ramené à l'étude d'une fonction d'une seule variable définie par h(x) = f (x,y(x)).

2.3 Condition nécessaire d'extremum lié On définit le lagrangien associé à f et g par : .L(x1, ... , Xn, À)= /(xi, . .. , Xn) +À g(x1 , ... , Xn)

où le réel À est appelé multiplicateur de Lagrange. Pour que le problème d'extremum lié ait une solution (a 1, ... , an) , il est nécessaire que les dérivées partielles premières de ..[ soient toutes nulles en

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~ en c a

,, m -ac=. c

102

Analyse dans JRn

ce point, soit : âf âg -(ai, . .. ,an)+ À - (ai, .. . ,an)= 0 8 Xi ÔXi g(a1, . . . , an) = 0

Par rapport au cas de l'optimisation sans contrainte, il y a donc une inconnue et une équation supplémentaires.

~ Si le problème comporte k contraintes du type gj(x) = 0, on introduit k multiplicateurs de Lagrange À-J.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Intégrales multiples

1. Intégrale double d'une fonction continue

1.1 Sommes de Darboux Soit f une fonction continue sur un rectangle R = [a, b] x [c, d] et à valeurs réelles. Soit xo =a < x 1 < · · · < Xm = b une subdivision de [a, b] et Yo = c < Y1 < · · · < Yn = d une subdivision de [c, d] . Les mn rectangles Ri.i = [xi, Xi+ 1] x [y j, y j + 1] forment une subdivision cr de R. On appelle sommes de Darboux de f associées à cr les nombres :

L W,f f x aire RiJ et S (cr) = L sup f x aire RiJ . .

Rij

. .

l ,j

l ,.J

L' ensemble des sommes s(cr), quand cr varie, est n1ajoré. L' ensemble des sommes S (cr), quand cr varie, est minoré.

-0 0

::J

1.2 Intégrale double Si f est continue, la borne supérieure des s(cr) est égale à la borne inférieure des S (cr). Cette valeur commune est appelée intégrale de f sur R et notée:

"""

.-1

f(x,y) dxdy

@ ~

Jh f

..c O'I

·c

>Cl. 0

1.3 Sommes de Riemann f étant continue sur R, soit cr la subdivision de R obtenue en partageant [a, b] en m intervalles égaux et [c, d] en n intervalles égaux. Alors, on a:

,, m -ac=. c

sur un rectangle

s(cr) =

~ en c a

f(x,y) dxdy = lim ~ ~ ni~oo L L n~oo i=l

j=l

- a m

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- c f(xi ,yj) n

104

Analyse dans JRn

1.4 Propriétés de l'intégrale

Linéarité

Soit f et g deux fonctions continues sur R et À etµ deux réels ; alors :

J 1 Af + µg = AJ 1f+µJ1 g.

Croissance

Soit f et g deux fonctions continues sur R telles que f (x, y) ~ g(x, y) pour tout (x,y) E R ; alors:

J 1 f(x,y) dxdy <; J 1 g(x,y) dxdy. On en déduit que :

J 1 f(x,y) dxdy <; J hf(x,y)I dxdy. 1.5 Théorème de Fubini Soit f une fonction continue sur un rectangle R = [a, b] x [c, d] et à valeurs réelles. On a:

fh f(x,y)dxdy= -0 0

::J

"""

.-1

t ([

f(x,y)dy)dx=

l (t

f(x,y)dx)dy

Ce théorème permet de calculer l'intégrale double par deux intégrales simples successives.

~ Il peut arriver que l'un des emboîtements ne permette pas le calcul de primitives et que l'autre conduise au résultat.

@ ~

..c O'I

·c

1.6 Cas particulier

Dans le cas où f s'écrit sous la forme d'un produit de deux fonctions continues à une variable:

>Cl.

f(x, y) = g(x) h(y) l'intégrale double sur le rectangle est alors le produit de deux intégrales simples :

f 1 f(x,y) dxdy =lbg(x) d.x x www.bibliomath.com

h(y) dy.

16 • Intégrales mu.ltiples

105

2. Extension à une partie fermée bornée du plan Soit f une fonction continue sur une partie A fermée bornée de JR2 et à valeurs dans JR. On peut prolonger la notion d' intégrale double de f sur A avec les mêmes propriétés que sur un rectangle.

2.1 Théorème de Fubini Soit <p et l/f deux fonctions continues sur [a, b] avec <p ~ l/f ; notons A l'ensemble des points (x, y) E JR.2 tels que: a~ X~b

t.p( X) ~ y ~ !/f (X) .

Alors:

-0 0

::J

"""

-·

.-1

@ ~

On peut permuter les rôles de x et de y.

..c O'I

·c

2.2 Additivité par rapport au domaine d'intégration Si A est la réunion de deux parties A 1 et A 2 fermées bornées telles que A 1 n A 2 soit d' aire nulle, alors :

f(x,y) dxdy =

J1,

f(x, y) dxdy +

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f(x,y) dxdy.

.gm

-ac c

Analyse dans JRn

106

3. Changement de variables 3.1 Théorème Soit f(x, y) une fonction continue sur le domaine D fermé et borné, en bijection avec un domaine fermé et borné li au moyen des fonctions de classe C 1 x = cp(u, v) et y = l/J(u, v) ; alors :

f(x,y)dxdy =

D(x,y)

Le deterrrunant

f(x(u, v),y(u, v))

~i::~; dudv est le jacobien du chan-

D(u, v)

gem.e nt de variables.

3.2 Cas des coordonnées polaires Le changement de variables

= p cos

e et y = p sine

a pour jacobien

D(x,y) p d'où: D(p, 8) =

jl f(x, y) dxdy = j1f(pcosB,psinB)p dpd(}

~ Grâce à cette transformation, l 'intégration sur un disque, une couronne ou un secteur angulaire se ramène à une intégration sur un rectangle. -0 0

::J

4. 1ntégrales triples

"""

.-1

4.1 Approche et calcul

@ ~

..c

f étant une fonction continue sur un domaine fermé et borné D de R3 , on définit

O'I

·c

>Cl.

l'intégrale triple

j jl f(x,y , z) dx dz dy

de façon analogue aux intégrales

doubles. Le calcul pratique se fait par intégrations successives à l'aide du théorème de Fubini prolongé en dimension 3. L' intégrale triple possède les propriétés de linéarité habituelles et la propriété d'additivité par rapport à la réunion de domaines dont l'intersection est de volume nul.

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16 • Intégrales mu.ltiples

107

4.2 Changement de variables Dans le cas général, si D est en bijection avec !:::., supposé aussi fermé et borné, au moyen des fonctions de classe C 1 : X = X( U , V , W)

y= y(u, v, w) {

z = z(u, v, w)

/j'(x, y, z) dx dy dz =

f/(x(u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w))

D(x, y, z) du dv dw D(u, v, w)

En particulier, si le même don1aine géométrique est représenté par une partie D de JR..3 en coordonnées cartésiennes et par une partie I!!,. (plus simple) en coordonnées cylindriques ou sphériques, on utilise la formule de changement de variables

En coordonnées cylindriques :

j jl > -0 0

f(x,y, z) dx dy dz

j jl

f(x,y,z) dx dy dz

::J

"""

.-1

f(pcose , psine, z) p dp dedz,

En coordonnées sphériques :

0 0

=jj

JJ1

f(r cos 'P cos e, r cos 'P sin e, r sin rp) r cos 'P dr drp de.

..c O'I

·c

>Cl. 0

~Attention, dans cette formule <.p est la latitude. N'oubliez pas de modifier si vous utilisez la colatitude comme le font beaucoup de physiciens.

5. Applications 5.1 Aire et volume Si f ( x, y) = 1 , !'intégrale double

j1dx dy est !'aire de A.

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,, m -ac=. c

on a:

~ en c a

108

Analyse dans JRn

Si f (x, y, z) = 1 , l'intégrale triple

j j1

dx dy dz est le vol urne de A.

5.2 Moments et centres d'inertie Supposons que f(x, y) , ou f(x, y, z) , représente la densité surfacique au point (x, y), ou la densité volumique au point (x, y, z), d'une surface ou d'un volume A.

> Masse L'intégrale double, ou triple de f sur A est alors la masse M de A.

Centre d'inertie

Le centre d'inertie G d'un solide A est défini par ses coordonnées: XG

j1xf(x,y) dxdy;

j1y f(x,y) dxdy.

Dans l'espace, les coordonnées de G sont des intégrales triples analogues.

Moment d'inertie Le moment d'inertie de A par rapport à un point 0, ou par rapport à un axe ~' est le nombre :

j1r2(x,y) f(x,y) dxdy,

où r(x, y) est la distance du point (x, y) à 0, ou à~-0 0

Dans l'espace, l'intégrale double est remplacée par une intégrale triple.

::J

On définit aussi le moment d'inertie d'un solide par rapport à un plan.

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

6. Intégrales multiples généralisées (domaine non borné)

6 .1 Définition Soit f une fonction à 2 (ou 3) variables, continue sur un domaine non borné D. On considère une suite de domaines fermés bornés Dn, croissante, c'est-à-dire:

Vn E N et tendant vers D, c'est-à-dire:

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16 • Intégrales mu.ltiples VxED

109

3nE N

Par exemple, si D est le plan, on peut prendre pour Dn des disques de centre 0 et de rayons Rn avec et Si la limite

~~ri.!, j

lim Rn= +oo

f(x,y) dxdy existe, et ne dépend pas du choix de la

suite (Dn), on dit que l'intégrale double généralisée de f sur D converge, ou existe, et on note: lim j" r f(x,y) dxdy. j Jvr f(x,y) dxdy n~oo Jvn =

Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale généralisée diverge ou n'existe pas.

6.2 Cas d'une fonction positive Si f(x , y) ~ 0 pour tout (x,y) ED, pour que l'intégrale de f sur D converge, il faut et il suffit que la limite lim n~oo (Dn).

j"lvrr f(x, y) dx dy existe pour une seule suite Il

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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~ en c a

,, m -ac=. c

Intégrales curvilignes 1. Formes différentielles de degré 1 1.1 Définition Une forme différentielle de degré 1 est une application w, définie sur un ouvert de Rn, et à valeurs dans le dual L(Rn, R). En notant dxi laie projection de R''1 sur R (définie par dxi(h) =hi), w s'écrit: n

w(x) =

L Pi(x) dxi· i=l

Les Pi, applications de U dans R, sont les fonctions coordonnées de w.

~ En physique, on associe à w le champ de vecteurs V de composantes (P1, P2) dans le plan et (P1, P2, ?3) dans l'espace.

Si tous les Pi sont de classe Ck sur U, on dit que w est de classe Ck sur U.

1.2 Forme exacte Une forme différentielle w est exacte s'il existe une fonction f de V dans R telle que: -0 0

df =w.

::J

"""

.-1

On dit alors que f est une primitive de w sur U.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

~ En physique, w exacte signifie que V est un champ de gradients, c'est-à~

dire que V = gradf. On dit aussi que V dérive d'un potentiel scalaire f. ~

En fait, on écrit le plus souvent V = -grad/.

1.3 Forme fermée w est fermée si:

api = aPj axj axi

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17 • Intégrales curvilignes

111

~En physique, cette condition signifie que rotV =O.

~ en c a

On dit aussi que V est irrotationnel.

,, m -ac=.

1.4 Condition nécessaire pour w exacte Une forme différentielle exacte de classe C 1 est toujours fermée.

~ En physique, cela signifie que l'on a toujours : ---7

------?

rot(grad f) = 0.

1.5 Ouverts particuliers Un ouvert U de !Rn est étoilé s'il existe a E U tel que, pour tout x E U, le segment d'extrémités a et x soit inclus dans U. Un ouvert U de JR11 est simplement connexe si toute courbe fermée incluse dans U peut se ramener à un point par déformation continue.

1.6 Théorème de Poincaré Si U est un ouvert étoilé, ou si U est simplement connexe, alors : w exacte sur U

w fermée sur U.

~ Attention, cette équivalence exige une hypothèse sur U. Elle n'est pas vraie dans le cas du plan privé d'un point, de l'espace privé d'une droite. -0 0

::J

"""

.-1

2. Intégrale curviligne

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

2.1 Arc orienté Soit r un arc de courbe défini par la représentation paramétrique :

X= x(t)

y= y(t) {

t E [a, b]

z = z(t)

L' arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce ~

qui revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (opposés) T + et T _

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Analyse dans JRn

112

2.2 Intégrale d'une forme différentielle le long d'un arc orienté P, Q et R étant des fonctions continues, on appelle intégrale curviligne de la forme différentielle w = P dx + Q dy + R dz le nombre noté :

{ w = { P dx + Q dy + R dz

lr+

Jr+

et défini par :

P ( x(t), y(t), z(t)) x' (t) + Q ( x(t), y(t) , z(t)) y' (t)

+ R ( x(t), y(t), z(t)) z' (t)J dt

~ En physique, il s'agit de la circulation de V le long de r.

2.3 Propriétés

> Linéarité par rapport à la forme différentielle

r lr+

À1lù1 + À2lù2 = À1

r + r lr+ lr+ lù1

À2

> Additivité par rapport aux arcs

lù2 .

Sir a pour origine A et pour extrémité B, et si C est un point del' arc AB, alors :

r = r + r 1A8 lAè la

-0 0

lù

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

lù

lù.

Si A13 est C 1 par morceaux avec des arcs AC et Cs qui sont C 1 , cette égalité sert de définition à l'intégrale curviligne sur AB.

> Cas d'une forme exacte Si w = df, alors

!__ w = f (B) - f (A)

}AB

ne dépend que des extrémités du chemin d'intégration. L'intégrale est donc nulle si la courbe est fermée .

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17 • Intégrales curvilignes

113

3. Formule de Green-Riemann 3.1 Théorème Soit Dune partie fermée bornée du plan limitée par un bord C de classe C 1 par morceaux, et P et Q des fonctions C 1 dans D. On a :

1 . Pdx+Qdy=

Jfv(~;-~~) dxdy,

où le symbole c+ désigne le bord C, orienté de sorte qu'un mobile parcourant Ca toujours D à sa gauche.

3.2 Application aux formes différentielles exactes La forme différentielle P dx + Q dy est exacte dans D si, et seulement si, son intégrale sur toute courbe fermée contenue dans D est nulle. 3.3 Application à l'aire d'un domaine plan aire D = ~ f x dy - y dx . 2 Je+

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

www.bibliomath.com

~ a

1:1

]

Intégrales de surface

1. Intégrale de surface 1.1 Surface paramétrée Une surface S peut être représentée: • soit par une équation cartésienne f(x, y, z) = 0 où f est une fonction C 1 de JR3 dans JR, avec le cas particulier z = g(x, y); ---7

• soit par une représentation paramétrique OM = F(u, v) où F est une fonction vectorielle de classe C 1 sur un domaine borné D ayant une frontière C 1 par morceaux: ~ (u,v) H F(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u, v)) E JR3

1.2 Intégrale de surface d'une fonction -0 0

Soit f une fonction continue sur S. L'intégrale de surface de f sur S est définie par l'intégrale double du second membre,

::J

"""

.-1

•dans le cas où S est donnée par l'équation z = g(x,y):

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

•dans le cas où S est donnée par la représentation paramétrique F(u , v) :

,!h.{

f(x ,y,z) dA

r·{

ôF

= JD f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Il Ou (u, v) A Ov (u, v) Il du dv www.bibliomath.com

18 • Intégrales de surface

115

1.3 Aire d'une surface Si f = 1,

~ en c a

ji dA représente l'aire de la surface S .

,, m -ac=.

2. Flux d'un champ de vecteurs 2.1 Surface orientée

Soit S une surface comportant deux faces distinctes. Elle est dite orientable. En chaque point régulier, il existe deux vecteurs unitaires normaux opposés. Le choix de l'un de ces vecteurs ri+ oriente la surface S.

2.2 Flux d'un champ de vecteurs à travers une surface orientée Soit S une surface orientable, orientée par le choix d'une normale unitaire ri+ -7

et V un champ de vecteurs continu sur S . -7

Le flux du champ V à travers S ainsi orientée est l'intégrale de surface :

2.3 Formule de Stokes -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit S une surface orientée par la normale ri et limitée par une courbe C qui est C 1 par morceaux. -7

Le sens de parcours positif sur C est le sens direct autour de ri et T désigne la tangente unitaire correspondant à cette orientation. -7

Soit V (x, y, z) = ( P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs de classe C 1 sur S. On a alors :

l fls+ r

rotV(x,y,z) .ri dA =

l Pdx+ Qdy+Rdz

le+

2.4 Formule d'Ostrogradski -7

Soit D un domaine de l'espace, borné et fermé, limité par une surface S, et V un champ de vecteurs de classe C 1 sur D . On a la relation:

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116

Analyse dans JRn

Ji. V .ri

dA =

jjfo

div-V dxdydz

où S +désigne la surface orientée par la normale sortante. . ~V = -ôP + -ôQ + -ôR est 1a d.1vergence du ch amp de vecteurs de compod1v

8x 8y santes (P, Q, R).

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

www.bibliomath.com

l!!I de fonctions

Suites et séries

,, m -ac=. c

1. Suites de fonctions (fn) désigne une suite de fonctions fn définies sur un intervalle I de IR. et à valeurs dans K. = IR. ou C.

1.1 Convergence simple La suite (fn) converge simplement sur I vers une fonction f, de I dans K , si: lim J,i(x) = f(x).

Vx E l

n--?+oo

1.2 Convergence uniforme

f étant la limite simple de la suite (/n), on dit que la convergence de (fn) vers f est uniforme sur l si : lim llJ,i - fllr = 0

n --?+oo

où

11.fii - fllr = sup IJ,i(x) - f(x)I. xel

-0 0

::J

~Le nombre llfn - /111 se calcule souvent avec l'étude des variations de la fonction fn - f. Quand ce calcul est trop difficile, cherchez à minorer ou à majorer.

"""

.-1

La convergence uniforme de (fn) vers f entraîne la convergence simple.

..c O'I

·c

>Cl.

~ La réciproque est fausse.

1.3 Critère de Cauchy uniforme Une suite (fn) converge uniformément sur l si, et seulement si: Vs> 0

3N EN

~ en c a

V(m, n) E N

m > n ~ N ==> llJ,n - fiillr < s.

~ Ce critère ne nécessite pas la connaissance préalable de f.

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118

Analyse dans JRn

1.4 Continuité de la limite Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur / , et si chaque f, 1 est continue sur l, alors f est continue sur l.

~ Si les fn sont continues sur /, et si f n'est pas continue sur /, alors la convergence n'est pas uniforme. Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans/, pour que f soit continue sur I.

1.5 Intégration de la limite Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur/, et si chaque fn est continue sur/, alors pour tous a et b dans/, on a:

rbf(t) dt= n~+oo lim rbfn(t) dt

l a

~ Si cette égalité n'a pas lieu, alors la convergence n'est pas uniforme.

1.6 Dérivation de la limite

-0 0

Soit (fn) une suite de fonctions de classe C 1 dans / , convergeant en un point a E /. Si la suite des dérivées (f~) converge uniformément sur / , alors la suite (f,1 ) converge simplement vers une fonction f de classe C 1 dans l qui vérifie : Vx E I f'(x) = lim f,~(x) . n~+ oo

::J

"""

.-1

2. Séries de fonctions

@ ~

..c O'I

·c

Soit (u 11 ) une suite de fonctions définies sur un intervalle/. On considère les sommes partielles définies par :

>Cl.

S n(x) =

L uk(x). k=O

2.1 Convergence simple On dit que la série

Un converge simplement sur I

simplement et on note :

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si la suite (S n) converge

19 • Suites et séries de fonctions

119

+ oo

~ en c a

S (x) = ~ Uk(X) = lim S n(X). L n~+oo k=O

2.2 Convergence uniforme On dit que la série

u 11 converge uniformément sur I si la suite (S 11 ) converge

uniformément sur / . Pour vérifier que lim. llSn - S111 = 0, il est équivalent de démontrer: n~+ oo

• soit le critère de Cauchy uniforme : m

L uk

Vs> O 3N E N V(m , n) E N m > n ~ N ==> I l 2

k=n+ 1

< s.

+ oo

• soit hm llRnll1 = 0 où Rn(x) = ~ uk(x) est le reste d'ordre n. n~ +oo L k=n+.l

2.3 Propriétés Pour une série

L Un qui converge uniformément sur / , les théorèmes sur les n

suites de fonctions entraînent :

Continuité

Si les un sont continues sur/, alors la somme S est continue sur/. -0 0

::J

"""

.-1

> Intégration Si les u n sont continues dans I et si

Un converge uniformément sur / , alors,

pour tous a et b dans / , on a :

1(L b

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

+ oo

+oo

uk(x)) dx

=L (

k=O

uk(x) dx)

~On dit que l'on a intégré terme à terme la série.

Dérivation

Si les un sont de classe et dans I et si somme S est de classe et et vérifie :

L u; converge uniformément, alors la 1

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,, m -ac=. c

Analyse dans JRn

120

+oo

S'(x) =

Vx E I

L u~(x). k=O

~On dit que l'on a dérivé terme à terme la série.

2.4 Convergence normale

Définition

On dit que la série

L llunll1 converge.

Un converge normalement sur I

si la série des normes

Condition nécessaire et suffisante

La série

Un converge normalement sur I

si, et seulement si, il existe une

série numérique à termes positifs an telle que : +oo

Vn E N

VX E l

lun(X)1 ~ an

Lan convergente. n=O

~ La recherche de an peut se faire par majoration ou en étudiant les variations de Un.

> -0 0

Théorème

La convergence normale de

un entraîne la convergence uniforme de

::J

"""

.-1

et, pour tout x E / , la convergence absolue de

L un(x).

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

~Si vous êtes optimiste, pour étudier le monde de convergence d'une série de fonctions, commencez par la convergence normale. C'est souvent facile à faire et, si ça marche, c'est un mode de convergence qui entraîne tous les autres.

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Séries entières

1. Convergence d'une série entière 1.1 Série entière Une série entière est une série de fonctions de la forme : +oo

Lu,,i(z) n=O

où z est la variable réelle ou complexe et les a11 des constantes réelles ou complexes.

1.2 Lemme d'Abel +oo

Si la suite (lanl rn) est bornée, alors la série Lanzn converge absolument pour n=O

tout z tel que lzl < r.

1.3 Rayon de convergence + oo -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Si Lan zn est une série entière, elle vérifie une, et une seule, des trois pron=O

priétés :

1. la série converge uniquement pour z = 0 ; 2. il existe un nombre réel R > 0 tel que la série converge absolument pour tout z tel que lzl < R, et diverge pour tout z tel que lzl > R ; 3. la série converge absolument pour tout z.

Le nombre R du deuxième cas est appelé rayon de convergence de la série entière. Dans le premier cas, le rayon de convergence est nul. Dans le troisième cas, on dit que le rayon de convergence est infini.

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~ en c a

,, m -ac=. c

Analyse dans JRn

122

1.4 Détermination du rayon de convergence Le nombre R est la borne supérieure des ensembles : +oo {r E JR+ ; Lan ,n converge} ; {r E JR+ ; la11 I r11 borné} n=O

On détermine souvent R à partir de la règle de d'Alembert : lun+I (z)I l I lk / . . . S1 1im I = z , en ecnvant: n~ +oo Un(z)I

l Id < 1 on obtientR =

= lzl < jf

ykfîl ·

~ Cette méthode suppose l'existence d'une limite, ce qui n'est pas toujours le cas.

1.5 Mode de convergence +oo

La série Lanzn de rayon de convergence R converge absolun1ent dans l'intern=O

valle (ouvert) de convergence] - R, R[ dans le cas réel; dans le disque (ouvert) de convergence B(O, R) dans le cas complexe. Pour lzl > R, la série diverge. -0 0

::J

"""

.-1

Si lzl = R, il n'y a pas de résultat général. La convergence est normale, donc uniform.e, sur tout co:mpact inclus dans le disque (ou l'intervalle) de convergence.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

1.6 Opérations algébriques +oo

Soit

+oo

L an li et L b zn deux séries entières, de rayons de convergence res11

n=O

pectifs R 1 et R2, et de sommes respectives f(z) et g(z).

Linéarité

Pour tous

+oo

a E JR et f3 E JR, la série entière Lca an + f3 bn) z a pour somme 11

n=O

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20 • Séries entières

123

af(z) + f3g(z) ; son rayon de convergence Rest tel que:

R = min(R1, R2)

si R1 :f. R1

R ~ Ri

si Ri = R2

Produit

Si l'on pose: n

Cn = ao bn +ai bn- l + ... +an bo =

L ak bn- k k=O

+ oo

la série entière

L cn zn a pour somme f(z)g(z); son rayon de convergence R n=O

est tel que R ~ min(R1, R2).

1. 7 Continuité + oo

Soit

L an zn une série entière de rayon de convergence R 1= 0 et de somme n=O

f(z).

La fonction f est continue sur son disque de convergence (cas complexe) ou son intervalle de convergence (cas réel).

2. Série entière d'une variable réelle 2.1 Dérivation -0 0

::J

"""

.-1

+oo

Si la série entière f (x) =

L a ~ a pour rayon de convergence R 1= 0, alors 11

n=O

f est dérivable dans ] - R, R [et l'on a :

+ oo

..c O'I

·c

>Cl. 0

f' (x) =

Ln an ~-

n= l

Il en résulte que f est indéfiniment dérivable sur ] - R , R [. ~ Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence. Mais, sur le bord de l'intervalle de convergence, les deux séries ne sont pas toujours de même nature.

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~ en c a

,, m -ac=. c

124

Analyse dans JRn

2. 2 1ntégration +oo

Si la série entière f(x) = Lan xn a pour rayon de convergence R

* 0, pour

n=O

tout x E ] - R, R [ on a :

1 o

~+ 1

+oo

f(t) dt= Lan n=O

n+1

La série entière ainsi obtenue par intégration terme à terme a le rnême rayon de convergence que la série initiale.

3 . Développement d'une fonction en série entière 3.1 Série entière associée à une fonct ion Soit f une fonction d'une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert U contenant l'origine. On dit que f est développable en série entière s'il existe une série entière de rayon de convergence R 0 telle que :

+oo

Vx E] - R, R [nu

f(x) = Lanxn . n=O

On dit aussi que f est analytique en O.

3.2 Condition nécessaire +oo -0 0

Si f est développable en série entière avec f(x) = Lan :ii, alors f est indéfin=O

::J

"""

.-1

@ ~

..c

J(n)(Q)

nirnent dérivable et an = - n! Donc, si le développement en série entière de f existe, il est unique.

O'I

·c

>Cl. 0

+oo J(n)(Q)

La série '""""'

n=O

:t·1 est la série de Taylor de f en O.

Plus généralen1ent, f est analytique en x 0 s'il existe un intervalle ouvert contenant xo dans lequel la sornrne de sa série de Taylor en xo est égale à f(x), ce qui signifie qu'il existe R > 0 tel que : +oo

fn)(

D n=O

f(x) = '""""'

)

xo (x - xoY1

pour lx - xol < R.

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20 • Séries entières

125

~Attention, il peut arriver que f soit indéfiniment dérivable au voisinage de ~ 0 et que sa série de Taylor diverge pour tout x 0, ou qu'elle converge et que en c sa somme soit différente de f(x). a

3.3 Condition suffisante Si f est indéfiniment dérivable dans l 'intervalle I défini par lx - xol < R et s'il existe une constante M > 0 telle que : Vn EN

Vx E l

alors f est analytique en xo.

3.4 Développements de base +oo xi ex = Ln! n=O +oo x2n cosx = n=O (2n) ! +oo x2n chx= L (2n) ! n=O +oo x2n+l sinx = (2n + l)! n=O +oo x2n+l shx= L n=O (2n + l)! +oo i = L xl l -x n=O +oo xn+I ln(l + x) = n+l n=O +oo x2n+l arctanx = 2n + 1 n=O

R = +oo

L(-1r

L(-1)11

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

R = +oo

R=l

L c-1r

R =l

Lc-1r

R=l

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,, m -ac=. c

126

Analyse dans JRn

4. Application aux équations différentielles Considérons l'équation différentielle du second ordre : y" (x) + p(x) y' (x) + q(x) y(x) = 0

(E).

On se propose d'obtenir des solutions au voisinage de xo (en général xo = 0).

4.1 Cas régulier Si les coefficients p(x) et q(x) sont analytiques en x0 , toute solution del' équation différentielle (E) est analytique en xo. Pour résoudre (E), on écrit y(x) sous la forme d'une série entière de la forme: + oo

y(x) =

Cn (x -

xo)'1.

n=O

On calcule y' (x) et y" (x); on reporte dans (E). L'unicité d'un développement en série entière conduit à des relations permettant de calculer les coefficients cn, souvent en fonction de c0 et c 1.

~ N'oubliez pas de vérifier que les séries entières obtenues ont un rayon de convergence non nul.

4.2 Cas singulier Si les fonctions (x - xo) p(x) et (x - xo) 2 q(x) sont analytiques en xo, l'équation (E) possède au moins une solution de la forme: -0 0

::J

"""

+ oo

y(x) = (x - xoY

Cn (x -

xo)'1

avec co

* O.

n=O

.-1

@ ~

dans l'intervalle ]x0 - R, x0 + R[ où R est le rayon de convergence de la série entière.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Ce théorème permet d'obtenir au moins une solution non nulle y 1 (x) de (E). On peut alors utiliser le changement de fonction inconnue y(x) = y 1(x) z(x) qui conduit à une équation différentielle du premier ordre en z' (x) .

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Séries de Fourier

,, m -ac=.

1. Fonctions périodiques

1.1 Définition Soit f une fonction définie sur R et à valeurs réelles ou complexes. Un non1bre T > 0 est une période de f si:

f(t + T) = f(t).

Vt E R

Le plus petit nombre T vérifiant la propriété est la période de f. On dit aussi que f est T-périodique.

~ Une fonction T-périodique est entièrement déterminée par sa restriction à un intervalle de longueur T.

1.2 Propriétés L'intégrale d'une fonction continue de période T, sur un intervalle de longueur T, est indépendante des bornes, soit par exemple :

{o:+T }œ

f(t) dt=

Jo f(t) dt= _ r_ f(t) dt. 2

-0 0

Si f est dérivable, de période T, alors f' est aussi périodique de période T.

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

~ en c a

1.3 Vocabulaire de la physique

f étant T-périodique, le nombre v = ~ est la fréquence et le nombre w = ~ la pulsation. On appelle énergie moyenne de f sur une période le nombre :

_!_ r œ+T lf(t)l 2 dt. T Jœ Sa racine carrée est appelée valeur efficace de f.

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128

Analyse dans JRn

2. Série de Fourier d'une fonction Soit f une fonction T-périodique, continue par morceaux.

2.1 Coefficients de Fourier

Forme réelle (n E N )

2 an = T

l a+Tf(t) cos nwt dt

2 bn = T

l a+T f(t) sin nwt dt. a

> Forme complexe (n E Z ) Cn

= 2- j œ +T e - inwtf(t) dt T

Passage des coefficients complexes aux coefficients réels

pour n ~ 0 pour n ~ 1

Passage des coefficients réels aux coefficients complexes

ao Co= 2

et pour n ~ 1 :

Cn =

an - ibn 2

; C- n = - -2- -

2.2 Série de Fourier d'une fonction périodique On associe à f une série qui, lorsqu' elle converge, définit une fonction S périodique de période T. -0 0

::J

Forme réelle OO

S(t) =~+Lan cosnwt + b11 sinnwt.

"""

.-1

n= l

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Forme complexe +oo

s (t) = L Cn einwt_ -OO

2.3 Propriétés > Parité Si f est une fonction paire, pour tout non a b n = 0, soit Cn = c_n. Si f est une fonction impaire, pour tout n on a an = 0, soit c = - c_ 11

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11 •

21 • Séries de Fomier

129

Coefficients de Fourier d'une dérivée 1

Si f est continue et e par morceaux les coefficients de Fourier de f et f' sont reliés par: Forme complexe Vn E Z

Cn(f') = i nw Cn(f) ;

Forme réelle

3. Convergence de la série de Fourier d'une fonction 3.1 Fonction C 1 par morceaux On dit que f est et par morceaux sur le segment [a, b] s'il existe une subdivision ao = a < a t < · · · < aP = b telle que :

• f soit définie, continue, dérivable et à dérivée continue dans chaque intervalle ]az,ai+ t [ (i = 0, ... ,p-1), • f(t) et f' (t) possèdent une limite en chaque extrémité de ces intervalles.

3.2 Théorème de Dirichlet

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

,, m -ac=. c

Vn EN*

-0 0

~ en c a

Si f est périodique de période T et est et par morceaux sur tout un segment de longueur T, alors la série de Fourier de f est convergente et sa somme S vérifie: Vt E IR S (t) = f(t+) + f(L) · 2 De plus, la convergence est normale (donc uniforme) sur tout segment où la fonction est continue, ou sur IR si f est continue sur IR.

~ Remarquez que si f est continue en t, alors S (t) = f(t) .

>Cl. 0

3.3 Formule de Parseval Si f est continue par morceaux sur un segment de longueur T, on a la relation suivante reliant l'énergie de f et les énergies des termes de sa série de Fourier :

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130

Analyse dans JRn

4. Point de vue des espaces fonctionnels Notons L 2 (0, T) l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, définies et de carré sommable dans [0, T]. En posant < f 1 g >= __!__ T

f T f(t) g(t) dt

on définit dans L 2 (0, T) un produit scalaire hermitien (cf fiche 41). La famille des fonctions (einwt) nez est alors une base orthonormale. +oo

L'écriture f(t) = Len einwt peut s'interpréter comme la décomposition de f - OO

dans cette base infinie, avec la norme de la convergence quadratique (cf fiche 13): n=N

N~1!1oo llJ(t) - L Cn einwt 112 = O. n=- N

Dans cette optique, la formule de Parseval apparaît comme la généralisation du théorème de Pythagore.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Intégrales dépendant

d'un paramètre l.Cas de l'intégrale définie 1.1 Existence et continuité Soit f une fonction de deux variables, continue sur [a, b] x [c, d]; alors la fonction F définie par F ( x) = [

F(x)dx

1d f (

x, t) dt est continue sur [a, b] et

= [ ( [ f(x,t) dt) dx = [ ( [ f(x,t)dx) dt

1.2 Dérivabilité Si f et ~~ sont continues sur [a, b] x [c, d], alors F est dérivable sur [a, b] et ona: F'(x) =

dôf c ôx (x, t) dt

Si de plus, u et V sont des fonctions de classe C 1 de [a , b] dans [c, d], alors la v(x)

-0 0

::J

fonction G définie par G(x) =

"""

.-1

N ~

..c O'I

f(x, t) dt est dérivable et

u(x)

G' (x) =

·v(x) ôf

u(x)

~(x, t) dt+ f ( x, v(x)) v' (x) - f ( x, u(x)) u' (x). uX

·c

>Cl. 0

2. Cas de l'intégrale généralisée Soit f une fonction de deux variables, continue sur Ix]a, +oo[. Lorsqu'elle existe, on considère la fonction F définie sur l par F(x) =

r+oo

la f(x, t) dt.

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~ en c a

,, m -ac=. c

132

Analyse dans JRn

2.1 Existence et continuité S'il existe une fonction positive g définie, continue par morceaux et sommable sur ]a, +oo [, et qui vérifie : lf(x, t)I ~ g(t)

Vt E]a, +oo[

Vx E I

alors F existe et est continue sur !.

2.2 Dérivabilité Supposons en plus que f admette une dérivée partielle~~ continue sur Jx]a , +oo[ et qu'il existe une fonction positive h définie, continue par morceaux et sommable sur ]a , +oo[, et qui vérifie : Vx El

Vt E]a, +oo[

r+oo of

alors Fest de classe C 1 sur I et F' (x) = }a

ox (x, t) dt.

2.3 Remarques Le théorème précédent se généralise pour les dérivées successives de F. Pour la continuité et les dérivabilités successives, il suffit d'établir les hypothèses de domination du type lf(x, t)I ~ g(t) sur tout segment de/.

-0 0

3. Fonctions eulériennes

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

3.1 Fonction gamma

Dé.finition

La fonction r est définie sur ]O, +oo[ par :

>Cl.

r(x) =

i+oo e- r- dt. 1

Formule de récurrence Vx E]O, +oo[

En particulier, pour n EN* :

f(x + 1) = xf(x)

f(n) = (n - 1)!

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22 • Intégrales dépendant d'un paramètres

Formule des compléments

Si 0 <X< 1 En particulier:

r(x) r(l - x) =

'][

sm nx

1 r+oo 2 ) = yn = 2 Jo e-t dt 2

>Formule de Stirling

[

=cr~ 1 + l~n +o(~)]

3.2 Fonction bêta

> Dé.finition La fonction Best définie sur ]O, +oo[x]O, +oo[ par : B(x,y) =

1' r-

(1 - t)y- I dt.

Propriété

Six> 0 ety > 0 B(x, y) = B(y, x) =

f(x) f(y) ) f(x+ y

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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133

~ en c a

,, m -ac=. c

Rudiments de logique 1. Proposition logique C'est un assemblage de lettres et de signes qui a une syntaxe correcte (le lecteur sait le lire), une sémantique correcte (le lecteur comprend ce qu'il lit) et qui a une seule valeur de vérité: vrai (V) ou faux (F). Deux propositions seront considérées comme égales si elles ont toujours la même valeur de vérité.

2. Connecteurs logiques À partir de propositions p , q, . .. on peut former de nouvelles propositions définies par des tableaux de vérité.

Négation: non p (noté aussi •p) p

nonp

V F

F V

Conjonction: pet q (noté aussi p /\ q)

> Disjonction : p ou q (noté aussi p V q) -0 0

::J

"""

.-1

> >

Implication : p ~ q Équivalence: p <==:> q

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

p <===> q V F

V V

F V

p etq

pouq

p~q

V V

V F V F

V F F F

V V V F

F F

~ Le ou a un sens inclusif, à ne pas confondre avec le sens exclusif qui figure dans <<fromage ou dessert>>.

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23 • Rudiments de logique

135

3. Propriétés des connecteurs non (non p) = p non (p ou q) = ( non p) et ( non q) non (pet q) = (non p) ou (non q) (p ~ q) = [Cnonp) ou q] non (p ~ q) = [Pet (non q)]

~ La négation d'une implication n'est donc pas une implication. (p ~ q) = [(nonq) ~ (nonp)]

~ Cette seconde implication est la contraposée de la première. Faites attention à l'ordre des propositions. (p (;=:} q) = [CP~ q) et (q ~ p)]

~ Pour démontrer une équivalence, on démontre souvent une implication et sa réciproque.

4. Quantificateurs 4.1 Notation -0 0

::J

"""

.-1

Les quantificateurs servent à indiquer la quantité d'éléments qui interviennent dans une proposition. On utilise : le quantificateur universel V Vx signifie : pour tout x ;

..c O'I

·c

>Cl. 0

le quantificateur existentiel 3 3 x signifie : il existe au moins un x.

4.2 Ordre Si l'on utilise deux fois le même quantificateur, l'ordre n'a pas d'importance. On peut permuter les quantificateurs dans des écritures du type :

VxEE

VyEE

p(x,y)

3x E E

3y E E

p(x , y)

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136

Algèbre générale

Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important. Dans l'écriture

Vx E E

3y E E

p(x,y)

y dépend de x.

Dans l'écriture

3y E E

Vx E E

p(x,y)

y est indépendant de x.

4.3 Négation La négation de << Vx E E x vérifie p >> est << 3 x E E tel que x ne vérifie pas p >>. La négation de << 3 x E E x vérifie p >> est << Vx E E p >>.

x ne vérifie pas

5. Quelques méthodes de démonstration 5.1 Déduction Si p est vraie et sil' on démontre p ===> q, alors on peut conclure que q est vraie.

~Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée. Elle a le même sens, mais il est possible que sa démonstration soit plus facile.

5.2 Raisonnement par analyse-synthèse Quand on a démontré p ===> q, on peut dire qu'on a fait l'analyse du problème. On dit que p est une condition suffisante pour que q soit vraie. Quand on a démontré q ===> p, on peut dire qu'on a fait la synthèse du problème. On dit que p est une condition nécessaire pour que q soit vraie. -0 0

5.3 Raisonnement par l'absurde

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

Pour démontrer que p est vraie, on peut supposer que p est fausse et en déduire une contradiction.

~ Comme vous partez de non p, ne vous trompez pas dans la négation, en particulier en ce qui concerne les quantificateurs.

>Cl. 0

5 .4 Disjonction des cas Elle est basée sur : [ (p ===> q) et (non p ===> q)J ===> q

5.5 Exemples et contre-exemples Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas, - un exemple est une illustration, mais ne démontre rien,

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23 • Rudiments de logique

137

- un contre-exemple est une démonstration que la proposition est fausse.

5.6 Raisonnement par récurrence • Soit E(n) un énoncé qui dépend d'un entier naturel n. Si E(O) est vrai, et si, quel que soit k ~ 0, l'in1plication E(k) ~ E(k + 1) est vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n. • Ce principe a diverses variantes, par exemple : si E(O) est vrai, et si, quel que soit k ~ 0, l'implication [ E(O) et E(l) et ... et E(k) J ~ E(k + 1) est vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Ensembles

1. Notion d'ensemble La notion d'ensemble est considérée comme primitive. Retenons que la caractérisation d'un ensemble E doit être nette, c'est-à-dire que, pour tout élément x, on doit pouvoir affirmer ou bien qu'il est dans E (x E E), ou bien qu' il n'y est pas (x tt. E). On note 0 l'ensemble vide, c' est-à-dire l'ensemble qui ne contient aucun élément.

E et F étant des ensembles, on dit que E est inclus dans F si, et seulement si, tous les éléments de E appartiennent aussi à F. On note E c F. On dit aussi que E est une partie de F , ou que F contient E. L' ensemble des parties de E se note <f>(E). Dire que A E P(E) signifie que Ac E.

2. Opérations dans P(E) Soit E un ensemble. A et B étant des parties de E, on définit:

A = {x E E ; x tt. A}

-0 0

::J

"""

A n B = {x E E ; x E A et x E B}.

.-1

N ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

noté aussi E \A ou CeA.

> L'intersection de A et de B :

Le complémentaire de A dans E :

Si An B = 0, c'est-à-dire s'il n'existe aucun élément commun à A et B, on dit que les parties A et B sont disjointes.

> La réunion de A et de B : A U B = {x E E ; x E A ou x E B}.

Ce <<ou>> a un sens inclusif c'est-à-dire que Au Best l'ensemble des éléments x de E qui appartiennent à l'une au moins des parties A et B.

La différence ensembliste : A \ B = { x E E ; x E A et x tt. B} = A n B.

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24 • Ensembles

139

La différence symétrique:

-e QI

A6.B = (A u B) \ (A n B) = (A n B) u (A n B) . A6.B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à une, et une seule, des parties A et B.

,= en ' QI

.. QI

3. Recouvrement, partition

.a ,.QI

Un recouvrement d'une partie A de E est une famille de parties de E dont la réunion contient A.

Une partition d'un ensemble E est une famille de parties non vides de E, deux à deux disjointes, et dont la réunion est E.

4. Propriétés des opérations dans P(E) Pour toutes parties A, B et C de E, on a les propriétés qui suivent.

Complémentaire

E=0

A=A

0=E

Lois de de Morgan

AnB=AUB

> c

::J

"""

AUB=AnB.

Réunion

AUB=BUA AUA=A

-0 0

si A c B alors B c A.

A U (B U C) = (A U B) U C

Au 0 =A

; Au E = E.

Intersection

.-1

AnB=BnA AnA=A

@ ~

..c O'I

;

A n (B n C) = (A n B) n

An 0 = 0

; An E =A.

·c

>Cl. 0

Réunion et intersection

An (Bu C) =(An B) u (An C) Au (B n C) =(Au B) n (Au C)

5 . Produit cartésien Le produit des ensembles A et Best l'ensemble, noté A x B, des couples (a, b)

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-c

140

Algèbre générale

où a E A et b E B.

~Attention, le couple (b, a) est différent du couple (a, b), sauf si a= b. Plus généralen1ent, le produit cartésien den ensembles Ei est: E1 X··· X En= {(x1, . .. ,Xn); X1 E E1, . . . ,X11 E En}.

Si El = · · · = En = E, on le note En .

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Applications 1. Généralités 1.1 Définitions Une application f de E dans Fest définie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F, et son graphe r.

r est une partie de E x F telle que, pour tout x E E, il existe un seul couple (x,y) Er. L'élément y est l'image de X par/. On le note f(x).

L'application f se note: E ~ F ou f: :

frx)

Les applications de E dans F forment un ensemble noté <T(E, F) ou FE. L'application identique de E est l'application de E dans E définie par x H x. On la note IdE.

1.2 Famille indexée Soit E et l deux ensembles. On appelle famille d'éléments de E indexée par l toute application de I dans E.

1.3 Fonction indicatrice d'une partie -0 0

> Dé.finition

::J

"""

.-1

Soit A une partie de E. La fonction indicatrice (ou fonction caractéristique) de A est la fonction ]A de E dans E définie par:

li A ( x) = 1 si x E A

li A ( x) = 0 si x tf. A.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Théorème ]_E\A = 1 - ]_A

1.4 Restriction, prolongement Soit f une fonction de A dans F, et g une fonction de B dans F. Si A c B et si, pour tout x de A, on a f(x) = g(x), on dit que f est une restriction de g, ou que g est un prolongement de f.

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142

Algèbre générale

1.5 Composition des applications Soit E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application de F dans G. La composée de I et de g est l'application de E dans G définie par: XHg(l(x)) . On la note go I· La composition des applications est associative.

2. Images directe et réciproque 2.1 Définitions Soit I une application de E dans F. Si A c E, on appelle image (directe) de A par I , la partie de F constituée par les images des éléments de A :

l(A) = {l(x) ; x E A}.

Si B c F, on appelle image réciproque de B, la partie de E constituée par les x dont l'image est dans B :

l- 1(B) = {x E E ; l(x) E B}. ~Attention à ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection. lei, on ne suppose rien sur I; on applique 1- 1 à une partie de l'ensemble d 'arrivée. La bijection réciproque de I s'applique à un élément de l'espace d 'arrivée: -0 0

1 - l(y).

::J

"""

.-1

- 1

En cas de problème on peut utiliser dans un premier temps la notation I (B).

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.2 Théorèmes A1 c A 2 ~ l(A1) c l(A2) ; B ic B2 ~1- 1 (B 1 ) c 1- 1(B2)

l(A i u A 2) = l(A1) u l(A2) ; l(A1 n A2) c l(Ai) n l(A2)

l - 1 (81 U 8 2) = f - 1 (8i) U f - 1(82)

1-1 (81n82)=1- 1 (B1) n 1 - 1(82).

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25 • Applications

143

3. Applications injectives, surjectives, bijectives 3.1 Définitions Soit f une application de E dans F.

f est dite injective (ou est une injection) si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes :

Vx E E

Vx' E E

x -:/= x' ==::::} f(x) -:/= f(x')

Vx E E

Vx' E E

f(x) = f(x') ==::::} x = x'.

~Ne confondez pas avec la définition d'une application qui s'écrit: Vx E E

Vx' E E

x = x' ==::::} f(x) = f(x')

Vx E E

Vx' E E

f(x)

* f(x')

==::::}

x-:/= x'.

> f est dite surjective (ou est une surjection) si tout élément y de Fest l'image d'au moins un élément x de E, soit :

Vy E F

3xE E

y = f(x) .

> f est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout élément y de Fest l'image d'un, et un seul, élément x de E. À tout y de F, on associe ainsi un x unique dans E noté f - 1(y). f - 1 est la bijection réciproque de f. On a donc: X= f- 1(y) Ç=> Y= f(x), ce qui entraîne f o f- 1 = IdF et f- 1 of= IdE. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.2 Théorèmes Soit f une application de E dans F, et g une application de F dans G. On a les implications qui suivent. Si f et g sont injectives, alors g o f est injective. Si g o f est injective, alors f est injective. Si f et g sont surjectives, alors g o f est surjective. Si g o f est surjective, alors g est surjective. Si f et g sont bijectives, alors g o f est bijective, et (g 0 f)-1 = f -l 0 g-1.

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Relations 1. Relation binaire 1.1 Définition Choisir une partie r de E x E, c 'est définir une relation binaire <R sur E. Si (x, y) E r, on dit que x et y sont en relation, et on note x<Ry.

2.2 Propriétés Une relation binaire <R, définie sur un ensemble E, est :

> > >

::J

"""

Vy E E

x<Rx ;

x<Ry ~ y<Rx ;

antisymétrique si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes: Vy E E

(X <R y et y <R X)

X = y,

Vx E E

Vy E E

(x <R y et x *y)

non (y <R x).

transitive si elle vérifie : Vx E E

Vx E E

symétrique si

Vx E E

-0 0

Vx E E

réflexive si elle vérifie :

Vy E E

Vz E E

(x <R y et y <R z) ~ x <R z.

~Attention, l'antisymétrie n'est pas le contraire de la symétrie. L'égalité est à la fois symétrique et antisymétrique. Une relation peut n'être ni symétrique, ni antisymétrique.

.-1

2. Relations d'équivalence

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.1 Définitions Une relation binaire <R, définie sur un ensemble E, est une relation d'équivalence si elle est, à la fois , réflexive, symétrique et transitive. Si x E E, on appelle classe d'équivalence de x, modulo <R, l'ensemble des y de E tels que x <R y . L' ensemble des classes d'équivalence est l'ensemble-quotient de Epar <R. On le note E /<R.

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26 • Relations

145

2.2 Classes et partition L'ensemble des classes d'équivalence de 'R constitue une partition de E. Réciproquement, si on se donne une partition de E, la relation<< x et y appartiennent au même élément de la partition>> est une relation d'équivalence sur E. Si f est une application de E dans F, la relation binaire x 'R x' définie par f(x) = f(x') est une relation d'équivalence dans E. Les classes d'équivalence sont les images réciproques f - 1({y}) des parties à un élément de F.

~Montrer que x 'R x' se ramène à f(x) = f(x') permet de montrer très vite que 'R est une relation d'équivalence.

3. Relations d'ordre 3.1 Définitions Une relation binaire 'R, définie sur un ensemble E, est une relation d'ordre si elle est, à la fois, réflexive, antisymétrique et transitive. Notons la -<. Une relation d'ordre-< dans E est dite relation d'ordre total si deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables, c'est-à-dire si l'on a x-< y OU y-< X.

Dans le cas contraire, l'ordre est partiel. -0 0

::J

"""

.-1

3.2 Exemples Dans ~ ,~ est un ordre total.

Dans ~2 , l'ordre lexicographique :

@ ~

..c O'I

(x1,x2)-< (y1,Y2) Ç==:> x1 < x2 ou (x1 = x2 ety1 ~ Y2)

·c

>Cl. 0

est un ordre total. Dans P(E), c est un ordre partiel. Dans Z la relation de divisibilité : x -< y Ç==:> x divise y

est un ordre partiel.

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146

Algèbre générale ,

3.3 Eléments particuliers Soit A une partie d'un ensemble ordonné E. S'il existe un élément a de E tel que, pour tout x E A, on ait x -< a , on dit que a est un majorant de A, que A est une partie majorée de E. De même, un élément b de E est un minorant de A si b-< x pour tout x de A. On dit alors que A est une partie minorée de E. Une partie bornée de E est une partie qui est à la fois majorée et minorée. Un élément a de E est appelé plus grand élément de A si a E A et si a est un majorant de A. Si un tel élément existe, il est unique. De m.ême, un élément b de E est le plus petit élément de A si b E A et si b est un minorant de A. On appelle borne supérieure d'une partie ·majorée A, le plus petit des majorants de A, et borne inférieure d'une partie minorée A le plus grand des minorants de A. Si ces bornes existent, elle sont uniques. Un élément maximal de A est un élément a de A tel que A ne contienne aucun élément plus grand que a ; ce qui s' écrit :

aEA { [x E A et a -< xJ ~ x = a De m.ême, un élément minimal b de A est défini par : {

bEA [X E A et X -< b] ~ X = b

-0 0

::J

"""

.-1

~La notion d'élément maximal ou minimal n'est intéressante que si l'ordre est partiel.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.4 Cas particulier Dans (R, ~) , pour démontrer que a est la borne supérieure de A, on démontre souvent: - que c'est un majorant, soit x ~ a pour tout x E A ; - que, pour touts > 0, a - s n'est pas un majorant, c'est-à-dire qu'il existe x E A tel que a - s < x .

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Entiers naturels

1. Propriétés liées à l'ordre L' ensemble N des entiers naturels est totalement ordonné et vérifie les propriétés : • Toute partie non vide de N a un plus petit élément. • Toute partie non vide majorée de N a un plus grand élément. • N n' a pas de plus grand élément.

2. Ensembles finis 2.1 Définition Un ensemble E est fini s'il existe une bijection d'un intervalle [1 , n] = { 1, . . . , n} de N sur E. Le nombre n est le cardinal (ou nombre d' élén1ents) de E. On le note = card E . On convient que l'ensemble vide est fini, et que card 0 = O. Si E n' est pas vide, il existe une bijection strictement croissante, et une seule, de l 'intervalle [1, n] sur E. -0 0

2.2 Inclusion

"""

Soit E un ensemble fini. Toute partie A de E est finie, et on a :

::J

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

card A ~ card E ; l'égalité des cardinaux ayant lieu si, et seulement si, A = E.

~ Attention, cette propriété, qui semble intuitive, n'est pas vraie pour les ensembles infinis. Par exemple, l'ensemble P des entiers naturels pairs est en bijection avec N, et pourtant P N.

Une partie non vide A de N est finie si, et seulement si, elle est majorée.

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148

Algèbre générale

2.3 Ensembles finis et applications Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une application de E dans F. On a l ' équivalence des trois propriétés :

f bijective ~ f injective ~ f surjective. Dans ce cas, pour démontrer que f est bijective, il suffit de démontrer, soit que f est injective, soit que f est surjective.

~ Cette propriété n'est pas vraie pour les ensembles infinis.

3. Sommes et produits 3.1 Notations Dans IR, considérons une famille d'éléments a 1 , ... , an . n

On note cette famille (ai)I~i~n' la somme des termes L n

duit des termes

i=l

II ai ou II ai .

ai ou L ai, le pro1~i~n

l~i~n

i=l

Lorsque l'indice décrit, non plus {l, ... , n}, mais un ensemble fini / , on note de même (ai)iET ,

xi ,

iE/

-0 0

xi .

iE/

En particulier, on utilise sou vent l = {1, ... , n} x {1, ... , p} avec un indice noté l, J ' ou lj .

::J

"""

3.2 Quelques propriétés

.-1

@ ~

..c O'I

·c

l~i~n

l ~i~n

l~i~n

>Cl. 0

l ~i~fl

J.;;j.;;p

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l~ i~n

27 • Entiers naturels

149

4 . Dénombrement 4.1 Opérations sur les ensembles fin is

Réunion

La réunion de n ensembles finis est un ensemble fini. - Pour n = 2, on a : card (Eu F) = card E + card F - card (En F) - Pour n = 3, on a : card (E u F u G) = card E + card F + card G - card ( E n F) - card (F n G) - card (G n E) + card (E n F n G) - Dans le cas particulier d'ensembles Ei deux à deux disjoints, on a : n

card (Et U E2 U ... U En) =

2= card Ei . i=l

Produit cartésien

Le produit cartésien de n ensembles finis est un ensemble fini, et on a : n

card (E1 x E2 x · · · x En)=

II card Ei . i=l

Bilan pour dénombrer

Quand une situation comporte plusieurs choix à réaliser, -0 0

- on effectue un produit quand on doit faire un choix, puis un autre ...

::J

"""

.-1

- on effectue une somme quand on doit faire un choix ou bien un autre . . .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4 .2 Principe des bergers Étant donnés un entier p, des ensembles finis E et F, et une application f de E dans F tels que, pour tout élément b de F, on ait card / - 1({b}) = p, alors card E = p card F .

~ Comme tous les moutons ont p = 4 pattes, pour compter des moutons, le berger peut compter les pattes et diviser par 4.

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150

Algèbre générale

4.3 Dénombrement de listes

> Nombre d'applications Soit E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. L'ensemble 'F'(E, F) des applications de E dans Fest fini et a pour cardinal nP. On peut assimiler une application f de E dans F à la liste ordonnée des p images des éléments de E, c'est-à-dire un élément du produit cartésien FP. On dit qu'il s'agit d'une p-liste d'éléments de F. Le nombre de p-listes d'éléments de Fest nP. C'est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, avec remise et en tenant compte de l'ordre.

> Arrangements Soit E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. Le nombre d'applications injectives de E dans F est égal à : AnP -- n(n - l) ... (n - p+ 1)-

n! ' (n - p)!

où n ! (lire factorielle n) est défini pour n E N par : n ! = 1 x 2 x · · · x n si n E N* et 0 ! = 1 . On dit que A~ est le nombre d'arrangements den éléments pris p àp. A~ est aussi le nombre de p-listes d'élérn.e nts de F, distincts deux à deux.

C'est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, sans remise et en tenant compte de l'ordre.

> Permutations -0 0

::J

"""

.-1

Si E est un ensemble fini de cardinal n, toute application injective de E est bijective. On dit qu'il s'agit d' une permutation de E. Il y a n! permutations de E .

@ ~

..c O'I

C 'est aussi le nombre de listes ordonnées où tous les éléments de E figurent une fois, et une seule.

·c

>Cl. 0

4.4 Nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments

Dénombrement

Si p ~ n, le nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments est

noté(;) (anciennement c;. ). www.bibliomath.com

27 • Entiers naturels

151

On l'appelle le nombre de combinaisons de n éléments pris p àp . On a :

(pn) = pl (nn!- p)! . C' est aussi le nombre de façons d'extraire p boules parmi n boules, en vrac et toutes distinctes.

> Propriétés

Le nombre total de parties d'un ensemble à n éléments étant 2n, on a:

t (n) = p=O

La relation Pascal.

2n.

(pn) __ (np 1) + (pn -_ 11) permet de construire le triangle de

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Structures algébriques 1. Lois de composition 1.1 Loi de composition interne Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de Ex E dans E. À un couple (x, y), on associe donc un élément, noté x *y, ou x +y, ou xy, ... appelé composé de x et de y.

1.2 Propriétés

Une loi de composition interne* sur E est: - associative si : Vx E E Vy E E Vz E E - commutative si : VxEE

VyEE

Elle admet un élément neutre e si : VxE E

~ Attention, e ne dépend pas de x. -0 0

::J

Si l'élément neutre existe, il est unique.

> Un élément x est inversible, ou symétrisable, s' il existe x' tel que: x * x' = x' * x = e .

"""

.-1

x' est dit alors inverse, ou symétrique, de x .

..c O'I

·c

>Cl. 0

> Si* et T sont deux lois de composition interne de E, on dit que* est distributive par rapport à T, si 1' on a toujours :

x * (yTz) = (x * y)T(x * z)

(yTz) * x = (y * x)T(z * x) .

1.3 Monoïde Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne*, est un monoïde si la loi est associative et possède un élément neutre. Si, de plus, la loi est commutative, le monoïde est commutatif.

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28 • Structures algébriques

153

2. Groupes 2.1 Définitions

Un ensemble non vide G, muni d'une loi* de composition interne, est un groupe s1: - la loi est associative ; - il existe un élément neutre e ; - tout élément de G possède un symétrique dans G. Si, de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif, ou abélien.

Dans un groupe, tout élément est régulier (ou simplifiable), c'est-à-dire que l'on a toujours : x*y=x*z~y=z

;

Y*x=z*x~y=z.

Généralement, un groupe est noté additivement ou multiplicativement. Le symétrique x' de x est alors noté -x dans le premier cas, x- 1 dans le second.

L'ordre d'un groupe fini est le nombre de ses éléments.

2.2 Sous-g roupes Une partie stable H d'un groupe Gest un sous-groupe de G si la restriction à H de la loi de Gy définit une structure de groupe. -0 0

::J

Pour qu'une partie non vide H d'un groupe G soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit que :

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

{ VxEH

VyEH

VxEH

x- 1 EH.

xy EH;

ou encore:

VxEH

xy- 1 EH.

VyEH

Les sous-groupes du groupe additif Z sont les ensembles :

nZ = {nx ; x E Z}

où

n E N.

L'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe de G.

~Attention, la réunion de deux sous-groupes de G n'est un sous-groupe de G que si l'un est inclus dans l'autre.

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154

Algèbre générale

2.3 Morphisme de groupes

> Définitions Soit G et G' deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans G', est un morphisme de groupes si, et seulement si : VyE G

VxE G

f(x y) = f(x) f(y) .

Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux groupes sont alors isomorphes.

Composition

Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes.

Noyau et image

Soit G et G' deux groupes notés multiplicativement, d' éléments neutres respectifs e et e', et f un morphisn1e de G dans G'. On a : e' = f(e)

f(G) est un sous-groupe de G' appelé image de f et noté lm f. N = f - 1({e'}) = {x; x E G, f(x) = e'} estunsous-groupedeGquel'on appelle le noyau du ·morphisme f. On le note Ker f.

f est injectif si, et seulement si, Ker f = {e} . -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

2.4 Groupe quotient par un sous-groupe distingué Un sous-groupe H de Gest distingué (ou invariant) si: Vx E G

xH = Hx

~ L'égalité ci-dessus est une égalité globale de deux ensembles. Si h E H, vous ne pouvez pas écrire xh = hx, mais xh = h' x avec h' E H.

Si H est distingué, la relation binaire dans G : ).,"Ry <==> xy- 1 E H

est une relation d'équivalence compatible avec la loi de G, ce qui permet de munir l'ensemble quotient G/'R d'une structure de groupe. On note G / H le groupe quotient ainsi obtenu.

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28 • Structures algébriques

155

3. Sous-groupe engendré 3.1 Sous-groupe engendré par une partie Toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. L'intersection de la famille des sous-groupes de G contenant une partie A donnée est un sous-groupe de G appelé sous-groupe engendré par A. C'est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-groupe contenant A. Le sous-groupe engendré par A est l'ensemble des composés d'éléments de A et d'inverses d'éléments de A.

3.2 Groupe monogène Si un groupe G est engendré par un seul élément a, il est dit monogène. On dit que a est un générateur de G. Le groupe G est alors commutatif. Il est de la forme :

G = {pa ; p E Z} en notation additive, G = {aP ; p E Z} en notation multiplicative.

L' application, de Z dans G, p H pa en notation additive, pH aP en notation multiplicative, est un morphisme de groupes. Dans un groupe, on appelle ordre d'un élément a, l'ordre du sous-groupe engendré par cet élément. Si le sous-groupe engendré est infini, on dit que a est d'ordre infini.

3.3 Groupe cyclique -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Tout groupe monogène est isomorphe : - à (Z, +) s'il est infini, - à (Un, x) s'il est d' ordre n (pour la définition du groupe Un des racines ne de l'unité, voir fiche 30). Dans ce cas, on dit que G est un groupe cyclique d'ordre n. Les générateurs de Un sont les nombres complexes uk = (u 1)k tels que k soit premier avec n.

3.4 Théorème de Lagrange Dans un groupe fini, l'ordre de tout sous-groupe est un diviseur de l' ordre du groupe.

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156

Algèbre générale

4. Groupe symétrique 4.1 Définition L'ensemble S(E) des bijections de E, muni de la loi de composition des applications, est un groupe appelé groupe des permutations (ou substitutions) de E. S(E) est isomorphe à Sn, groupe des permutations de l'intervalle [l, n] de N, appelé groupe syn1étrique d'ordre n.

4.2 Décomposition d'une permutation en produit de cycles

Dé.finition

Un cycle (ou permutation circulaire) d'ordre p est une permutation a- de E qui laisse invariants n - p éléments de E, et telle que l'on puisse ranger les p élém.ents restants (a 1 , ... , ap) de manière que: a-(a1) = a2 , a-(a2) = a3 , ... , a-(ap- 1) = ap , a-(ap) = ai .

On note a-= (a1, . .. , ap).

Théorème

Tout permutation de E est décomposable en produit de cycles disjoints, deux cycles quelconques étant permutables.

4.3 Signature d'une permutation

> -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

Transposition

On appelle transposition de E une pern1utation de E qui échange deux éléments de E, et qui laisse invariants tous les autres. C'est donc un cycle d' ordre 2.

Parité d'une permutation Toute permutation de E est décomposable en un produit de transpositions. Cette décomposition n'est pas unique, mais, pour une permutation donnée, la parité du nombre de transpositions est fixe.

·c

>Cl. 0

Si ce nombre est pair, on dit que la permutation est paire. Si ce nombre est impair, on dit que la permutation est impaire.

Signature La signature d'une permutation a- est le nombre, noté s(a-), égal à 1 si a- est paire, à -1 si a- est impaire.

Pour déterminer s(a-), la méthode la plus rapide consiste à décomposer a- en produit de cycles, en sachant qu' un cycle d'ordre p peut se décomposer en p-1

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28 • Structures algébriques

157

transpositions.

4.4 Groupe alterné On a toujours : ë(o- o a-') = &(a-) x &(a-') . Cette propriété signifie que l'application a- H ë(o-) est un morphisme de Sn dans le groupe multiplicatif {-1, 1}. Le noyau de ce morphisme est l'ensemble des permutations paires. C'est un sous-groupe de Sn appelé groupe alterné, et noté 3ln.

5. Anneaux et corps 5.1 Structure d'anneau

Dé.finition

Un ensemble A, muni d'une loi notée + (dite addition) et d'une loi notée x (dite multiplication), possède une structure d'anneau pour ces opérations si: - A possède une structure de groupe commutatif pour l'addition ;

- la multiplication est associative et possède un élément neutre ; - la multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition. Si la multiplication est commutative, l'anneau est dit commutatif.

Règles de calcul n

x(LYi) = Lxyi -0 0

::J

i=l

(LYi)x = LYiX. i=l

i=l

Dans un anneau commutatif, pour tout n E N , on a:

"""

.-1

(formule du binôme),

@ ~

..c O'I

·c

n-1

>Cl.

~ -yn = (x-y) Lxn-k-lyk.

k=O

~ Si l'anneau n'est pas commutatif, ces formules restent vraies pour des éléments permutables, c'est-à-dire tels que xy = yx.

5.2 Sous-anneau www.bibliomath.com

158

Algèbre générale

On dit qu'une partie B d'un anneau A, stable pour+ et x, est un sous-anneau de A, si la restriction à B des deux lois de A y définit une structure d'anneau, avec le même élément neutre pour x que dans A. Pour qu'une partie B d'un anneau A soit un sous-anneau de A, il faut et il suffit que ]A E B et: Vx E B

Vy E B

x- yEB

xy E B .

5.3 Morphismes d'anneaux A et B étant deux anneaux, une application f , de A dans B, est un morphisme d'anneaux si l'on a toujours :

f(x +y) = f(x) + f(y) ; f(xy) = f(x) f(y) ; f(lA) = lB.

5.4 Caractéristique d'un anneau Dans le groupe additif (A,+), - si l'ordre de l A est fini, on l'appelle la caractéristique de A, - sil' ordre de lA est infini, on dit que A est de caractéristique nulle.

5.5 Idéal d'un anneau commutatif Soit A un anneau commutatif. Une partie Ide A est un idéal si I est un sousgroupe de (A, +) et si, pour tout x E I et tout a E A, on axa E /. L' intersection I n J et la somme I + J de deux idéaux sont des idéaux. -0 0

::J

Un idéal est principal s'il est engendré par un seul élément.

"""

.-1

Un anneau intègre est principal si tous les idéaux sont principaux.

@ ~

..c

·c

5.6 Anneau quotient par un idéal

Si l est un idéal de A, la relation binaire dans A :

O'I

>Cl.

x<Ry~x-yE I

est une relation d'équivalence compatible avec les lois de A, ce qui permet de munir l'ensemble quotient A/<R d'une structure d'anneau. On note A/1 l'anneau quotient ainsi obtenu.

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28 • Structures algébriques

159

5. 7 Structure de corps

Éléments inversibles d'un anneau

Si A est un anneau non réduit à {0}, l'ensemble de ses éléments inversibles (c'est-à-dire les éléments qui admettent un symétrique pour la multiplication) est un groupe multiplicatif.

Corps

Un corps est un anneau non réduit à {O} dont tous les éléments, sauf 0 , sont inversibles. Il est dit commutatif si l'anneau est commutatif. Dans cet ouvrage, tous les corps seront supposés commutatifs, sans avoir besoin de le préciser à chaque fois.

Sous-corps

On dit qu'une partie L d'un corps K, stable pour + et x , est un sous-corps de K , si la restriction à L des deux lois de Ky définit une structure de corps, c'est-à-dire si c'est un sous-anneau, et si l'inverse d'un élément non nul de L reste dans L. Pour qu'une partie non vide L d'un corps K soit un sous-corps de K, il faut et il suffit que 1 E L et que : Vx EL

Vy EL

{ Vx E L *

x - y EL

x- 1 E L *

xy EL

où L * = L \ {0}

5.8 Anneau intègre

Définition

Lorsqu'il existe, dans un anneau, des éléments a et b tels que : -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

* 0 et b * 0 et ab = 0,

on dit que a et b sont des diviseurs de zéro. Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à {O}, et sans diviseur de zéro. Pour qu 'un anneau commutatif, non réduit à {0}, soit intègre, il faut et il suffit que tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication.

> Corps des fractions d'un anneau intègre A étant un anneau intègre, il existe un corps K, unique à un isomorphisme près, tel que A soit un sous-anneau de K, et que tout élément de K s'écrive ab- 1 , soit ~ où a E A, b E A avec b *O. Par exemple, Z est un anneau intègre. Son corps des fractions est Q.

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160

Algèbre générale

6. Espaces vectoriels et algèbres 6 .1 Espace vectoriel Voir fiche 33.

6.2 Algèbre

> Dé.finition On dit qu'un ensemble E est une algèbre sur un corps K , ou K-algèbre, s' il est muni de deux lois internes, notées +et x, et d'une loi externe sur K, notée. , avec les propriétés : - (E, +,.)est un K-espace vectoriel,

- (E, +, x) est un anneau.

VÀ E K

Vx E E

VyE E

À(x y)=(À x )y=x(À y).

L'ensemble 'F (JR, JR) des fonctions de lR dans JR, muni des opérations f + g, f g, Af, est une algèbre sur JR.

Sous-algèbre

Une partie d'une algèbre, stable pour les trois lois, est une sous-algèbre si elle possède une structure d ' algèbre pour la restriction des lois de l ' algèbre, c'està-dire si c'est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau.

Morphismes

E et F étant deux algèbres, une application f, de E dans F, est un morphisme

d'algèbre si elle transporte les trois lois, c'est-à-dire si l'on a toujours: -0 0

::J

f(x + y) = f(x) + f(y)

;

f(xy) = f(x)f(y)

"""

.-1

et si f(l E) = lp .

@ ~

Un morphisme f de E dans Fest

·c

- un isomorphisme si f est bijectif,

- un endomorphisme si E = F,

..c O'I

>Cl.

- un automorphisme si E = F et f bijectif.

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;

f(Àx) = Àf(x).

Arithmétique dans z 1. Divisibilité dans Z 1.1 Division euclidienne Pour tout (a, b) E Z x N* , il existe un élément unique (q, r) E Z x N tel que: a = bq + r

avec 0 ~ r < b .

q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.

1.2 Divisibilité Si (a, b) E Z x Z, on dit que b divise a si, et seulement si, il existe q E Z tel que a= bq. On dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a. La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel dans Z .

1.3 Idéaux de Z Z est un anneau principal. Les idéaux de Z sont de la forme nZ avec n E N .

1.4 pgcd > Dé.finition -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L' ensemble des nombres de N* qui divisent à la fois a et b, admet un plus grand élén1ent d, pour la relation d'ordre de divisibilité. C'est le plus grand commun diviseur de a et de b. On le note PGCD (a , b), ou a V b. On peut aussi dire que l'idéal lalZ + lblZ étant principal, il existe d E N* tel que: lalZ + lblZ = dZ.

Algorithme d'Euclide

Si q 1 et r 1 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b, on

PGCD(a, b) = PGCD(b, ri) .

On recommence avec b et r 1 . Le dernier reste non nul de ce processus est le PGCD de a et de b.

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162

Algèbre générale

> Nombres premiers entre eux Si PGCD (a, b) = 1 , on dit que a et b sont premiers entre eux. :

Soit r = b un nombre rationnel. Si d désigne le PGCD de a et de b, on a a =da' /

et b = db', avec a' et b' premiers entre eux. On peut alors écrire r = :, · C'est la forme irréductible der.

1.5 ppcm

> Définition Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des nombres de N* qui sont multiples à la fois de a et de b, admet un plus petit élément m, pour la relation d' ordre de divisibilité. C'est le plus petit con1mun multiple de a et de b. On le note PPCM (a, b) , ou a/\ b. On peut aussi dire que l'idéal lalZ n lblZ étant principal, il existe m E N* tel que: lalZ n lblZ = mZ .

> Théorème PGCD (a, b) X PPCM (a, b)

= la hl.

1.6 Théorème de Bézout Pour que deux entiers relatifs non nuls a et b soient premiers entre eux, il faut, et il suffit, qu'il existe u et v dans Z tels que : -0 0

au+ bv = 1.

::J

On obtient u et v avec l'algorithme d'Euclide.

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

1.7 Théorème de Gauss Soit a, b, c trois entiers relatifs tels que a divise be, et a premier avec b . Alors a divise c.

1.8 Nombres premiers Un entier p est premier si p ~ 2, et si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Il y a une infinité de nombres premiers. Si n n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à Viï, alors il est premier.

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29 • Arithmétique dans .Z

163

Tout entier n, avec n ~ 2, s'écrit de façon unique comme produit de nombres prermers.

2. Anneau Z/nZ 2.1 Congruences dans Z Soit n E N* . La relation binaire dans .Z :

aRb

Ç=}

a et b ont le même reste dans la division par n

Ç=}

n/(a - b)

est une relation d'équivalence. On la note a= b (mod n); lire: a congrue à b modulo n. On note Z/n.Z l'ensemble des classes d' équivalence a= {b E .Z; a= b(modn)} .

2.2 Propriétés algébriques de Z /nZ > Structure Pour n ~ 2, Z /n.Z muni des deux lois : a+b=a+b

axb=axb

est un anneau commutatif.

> Éléments inversibles -0 0

Un élément a de .Z/n.Z est inversible si, et seulement si, a et n sont premiers entre eux.

"""

Z /n.Z est un corps si, et seulement si, n est premier.

::J

.-1

@ ~

..c

Cas particulier

Indicatrice d'Euler

O'I

·c

>Cl. 0

C'est le nombre <p( n) des entiers compris entre 1 et n - 1 et premiers avec n. Si n est premier, alors <p(n) = n - 1.

2.3 Théorèmes

> Théorème d'Euler Si a et n sont premiers entre eux avec n ~ 2, on a : aip(n) 1 (mod n).

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164

Algèbre générale Théorème chinois

Soit pet q des entiers premiers entre eux. Pour tous entiers a et b, le système d'inconnue x : x=a(modp) { x = b (mod q) admet des solutions entières.

~ Les chinois de la Haute Antiquité utilisaient ce théorème en astronomie.

Petit théorème de Fermat

Soit p un nombre premier. Pour tout entier a, on a : aP =a (mod p).

Théorème de Wilson

Pour que p divise (p - 1) ! + 1, il faut et il suffit que p soit premier.

3. Numération La base a (avec a ~ 2) d'un système de numération de position est le non1bre de symboles utilisés pour représenter tous les entiers naturels. Tout entier n s'écrit, de façon unique, sous la forme: n = up a P + up- t a p- l + · · · + u 1 a + uo

où u0 , u 1, • •• , up sont des entiers naturels strictement inférieurs à a. -0 0

On écrit alors, en base a, n = u p Up - t ... Ut uo .

Si a est égal à dix, il s'agit de numération décimale.

"""

Si a est égal à deux, il s' agit de numération binaire .

::J

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

On obtient les nombres u0 , Ut, ... , up en effectuant des divisions euclidiennes para:

n = aqt + r 1

avec

0 ~ rt < a

uo = r 1

qt = aq2 + r2

avec

0 ~ r2 < a

ut = r2 ...

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Nombres complexes 1. Forme algébrique 1.1 Définitions Tout nombre complexe z s'écrit, de manière unique, sous la forme algébrique z = x + iy avec x et y réels, i étant un nombre complexe particulier tel que 1·2 = - 1. Le réel x s'appelle la partie réelle de z, et se note Re (z). Le réel y s'appelle la partie imaginaire de z, et se note lm (z). Si y = 0, alors z est réel, d'où IR c C . Si x = 0, alors z est un imaginaire pur.

~ En électricité, on note z = x + jy pour ne pas confondre avec la notation d'une intensité.

1.2 Égalité Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. -0 0

::J

~Attention, il n'y a pas d'inégalités dans C. N'écrivezjamais qu'un nombre complexe est positif, ou négatif. Cela n'aurait aucun sens.

"""

.-1

·c

1.3 Opérations dans C Soit z = x + iy et z' = x' + iy' . On définit l'addition et la multiplication dans

C par:

@ ~

..c O'I

>Cl.

z + z' = ( x + x' ) + i (y + y')

; z z' = ( xx' - yy') + i (.xy' + x' y) .

Pour ces deux opérations, C est un corps.

1.4 Plan complexe Soit (0 ,11,V) un repère orthonormal du plan.

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166

Algèbre générale

L'application qui, à tout nombre complexez= x+ iy, fait correspondre le point M de coordonnées (x,y) est une bijection. M est l'image de z, et z l'affixe de M. L' affixe du vecteur œIl + f3V est le nombre complexez = œ + i/3. ~

Si ZA et z8 sont les affixes de A et B, le vecteur AB a pour affixe z8 - ZA· La somme des nombres complexes correspond à l'addition des vecteurs.

1.5 Conjugué d'un nombre complexe

Dé.finition

Le conjugué du nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe z = x- iy.

~ Attention, vérifiez bien que x et y sont réels.

Images

Les images des nombres complexes z et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Propriétés

z=z

z + z = 2Re (z) z-

z = 2ilm(z)

z + z' = z + z'

zz' = zz'

(:,) = :,

z est imaginaire pur si, et seulement si, z = -z. z est réel si, et seulement si, z = z.

> Application au calcul de -

-0 0

::J

"""

.-1

Comme zz = x 2 + y2 est réel, on obtient la forme algébrique de ~ , ou de ~ en Z Z2 multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

@ ~

..c O'I

2. Forme trigonométrique

·c

>Cl. 0

2 .1 Module d'un nombre complexe

Dé.finition

Le module de z = x + iy (où x E IR. et y E IR.) est le nombre réel positif -YiZ, = y'x2 + y2 . On le note lzl, ou p, ou r. Si M est l'affixe de z, lzl est la longueur OM.

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30 • Nombres complexes

167

Propriétés

Le module d'un nombre complexe a les mêmes propriétés que la valeur absolue d'un nombre réel.

lzl = 0 ~ z = 0

Re (z) 1 ~ lzl

lm (z) 1 ~ lzl ;

llzl - lz' 1I ~ lz - z' 1~ lzl + lz' 1; lzz'I = lzl lz'I

lznl = lzl pour n E N 11

z z'

lzl si z'

= lz'I

* 0.

2.2 Forme trigonométrique Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous forme trigonométrique :

JI --------------------------- M 1

z = p (cos e+ i sin 8) avec p > 0 . p

= lzl est le module de z.

8 est un argument de z. On le note arg z. Il est défini, modulo 2n, par: COS 8

Sin

= -y p

2.3 Propriétés de l'argument d'un complexe non nul Les égalités suivantes ont lieu à 2k;rr près (avec k E Z) : arg (zz') = arg z + arg z' -0 0

::J

"""

.-1

arg ( ~ ) = - arg z

arg (211 ) = n arg z avec n E Z ; arg ( ; ) = arg z - arg z' .

3. Exponentielle complexe

..c O'I

·c

3.1 Nombres complexes de module 1

L' ensemble U des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif. Son image dans le plan complexe est le cercle trigonométrique.

>Cl.

Soit z E U. Si(} est un argument de z, on a z = cos(}+ i sine. On convient de noter cos 8 + i sin() = eie . L'application (} H eie est un morphisme surjectif du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U. Son noyau est 2nZ .

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168

Algèbre générale

3.2 Formule de Moivre VB E lR.

( cos 8 + i sin 8) n = cos nB + i sin nB ,

Vn E Z

( eïe) = eine.

ce qui s'écrit avec la notation précédente:

3.3 Formules d'Euler Pour tout réel x et tout entier n, on a : eix + e-ix cosx= - - - 2 . . elllX + e- lllX cosnx= - - - 2

eix _ e-ix s1nx= - - - 2i . . emx - e- mx s1nnx= - - - 2i

~ On peut utiliser ces formules pour linéariser des polynômes trigonométriques

3.4 Exponentielle complexe

Définition

On définit l' exponentielle du nombre complexe z = x + iy par:

e2 = ex eiy = ex (cos y+ i sin y). L'application, de C dans C, z H ez est un morphisme surjectif. Son noyau est 2inZ. -0 0

::J

Équation ez = a

Le nombre complexe ez a pour module ex, et pour argument y .

"""

.-1

Si a est un nombre complexe non nul donné, les solutions z l'équation ez = a vérifient donc :

ex = lal

..c O'I

·c

>Cl. 0

y= arg (a).

Propriétés

Vz E C

Vz' E C

Vz E C

Vn EZ

Si z est une constante complexe et t une variable réelle, on a :

:t (eu) = e''. z

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X+ iy de

30 • Nombres complexes

169

4 . Racines n-ièmes d'un nombre complexe 4.1 Racines n- ièmes de l'unité Soit Un l'ensemble des racines ne de 1, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes z tels que ii = 1. On a : 2kn . . 2kn ( )k avec Uk = COS + 1 Sln = U1 n n > Propriété n- 1

I: uk =O. k=O

4.2 Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul Tout nombre complexe non nul a = p (cos e + i sin 8) possède n racines nièmes: B + 2kn ) B + 2kn Zk = -f:/P ( cos n + i sin n avec k E {O, ... , n - l }. À partir de l'une d'entre elles, on peut les obtenir toutes en la multipliant par les éléments de U.

4 .3 Cas particulier des racines carrées Pour déterminer les racines carrées de z = a + ib , il est plus commode de procéder par identification, c'est-à-dire de chercher les réels œ et f3 tels que 2 (œ+ i/3) = a + ib . -0 0

::J

"""

.-1

L' égalité des parties réelles et des parties imaginaires donne : œ2 - f32 = a

2o: f3 = b .

L'égalité des modules conduit à:

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

0:2+ 132 = '1a2 + b2.

On en déduit œ2 et f32 , puis œ et f3 en utilisant le fait que œf3 est du signe de b.

~ Ce calcul est utilisé lors de la résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes.

5 . Nombres complexes et géométrie plane a= a 1 + ia 2 et b = b 1 + ib2 sont deux nombres complexes donnés.

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170

Algèbre générale

5.1 Transformations géométriques • L' application de C dans C : z H lation de vecteur b1Il + b2V.

z + b , se traduit sur les images par la trans-

• Si a -:/= 1, l' application de C dans C : z H a z + b , se traduit sur les images par la similitude de rapport lai, d'angle arg a, et dont le centre Q a pour affixe Zn=

l- a

Cette transformation est la composée, dans n'importe quel ordre, de la rotation de centre Q et d' angle arg a, et de l'homothétie de centre Q et de rapport lai.

5.2 Distances et angles • Soit A et B deux points distincts, d' affixes respectifs ZA et z8 . IZA -

~ ~

z8 1 est la longueur AB ; arg (z8 - ZA ) est une mesure de l' angle ( u , AB).

•Soit A , B et C trois points, deux à deux distincts, d' affixes respectifs ZA , z8 , zc. za -ZA AB ~ ~ - - - a pour module et pour argument une mesure del' angle (AC, AB). z c - ZA AC

5.3 Applications • Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,

ZB -ZA

est un réel.

Zc -ZA

-0 0

~B . • A et A~C sont orth ogonaux s1,. et seu1ement s1, pur.

ZB - ZA

- zA

. . . est un 1mag1natre

::J

•Le triangle ABC est équilatéral, de sens direct, si, et seulen1ent si, . 7r 1

"""

.-1

zc - ZA = e 3 (zs - ZA ).

@ ~

..c

• Le triangle ABC est isocèle et rectangle en A si, et seulement si,

O'I

·c

Zc - ZA = + i (z a - ZA ).

>Cl. 0

•Soit A, B, C et D quatre points, deux à deux distincts, d' affixes respectifs ZA, z8 , zc , z 0 . Ils sont cocycliques ou alignés si, et seulement si, (

ZB - Zc ) / ( ZB - ZD ) ZA - Zc

,,. l . est ree

ZA - ZD

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Polynômes 1. Algèbre K[X] 1.1 Définitions Un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans un corps K , est une suite de valeurs ai de K, nulle à partir d' un certain rang p. Un tel polynôme se note P, ou P(X): P(X) = ao + a 1X + · · · + apXP .

Les nombres ai sont les coefficients du polynôme P.

Si P 0, le plus grand entier p tel que ap le note d0 P, ou deg P.

* 0 est le degré du polynôme P. On

ap est le coefficient dominant de P. Lorsque ap = 1, le polynôme est dit unitaire, ou normalisé. 0

Pour le polynôme nul P = 0, on convient de poser d P = - oo. L' ensemble des polynômes à une indéterminée X , à coefficients dans K, se note K [X].

On note Kn [X] l' ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

1.2 Structure algébrique -0 0 ::J

Soit p = Lai xi et Q = L b; xJ deux éléments de K [X], et À E K .

"""

.-1

i=O

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

}=0

Addition de deux polynômes r

P+Q= L

ck X k

avec r =max (m, n) et ck = ak + bk .

k=O

On a : d 0 ( P + Q) ~ max (d 0 P, d0 Q) . Si d 0 P -:f:. d 0 Q , il y a égalité.

> Produit par un scalaire n

ÀP = L(Àai)Xi.

Si À -:f:. 0 , on a: d (À P) = d P.

i=Û

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172

Algèbre générale

Produit de deux polynômes m+n

aibJ.

PQ = LdkXk avec dk = L k=O

i+j=k

On a: d (PQ) = d P + d Q. 0

Pour les trois lois précédentes, JK[X] est une algèbre sur JK. Les seuls éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls. Kn [X] est un sous-espace vectoriel de JK[X] , de dimension n + 1.

1.3 Fonctions polynomiales n

P = Lai Xi étant un polynôme de JK[X], la fonction polynomiale associée à i=O

Pest l'application P, de JK dans JK, définie par: n

x H P(x) =Lai xi. i=O

~ Si JK est infini, vous pouvez confondre sans risque P et P. Ce n'est pas le cas si JK est fini.

1.4 Composé de deux polynômes n -0 0

Le polynôme composé de P et Q est : P o Q = Lai Qi .

::J

i=O

"""

.-1

@ ~

..c

On a d 0 (P 0 Q) = d 0 p X d0 Q . On écrit souvent P (Q) au lieu de Po Q .

O'I

·c

>Cl. 0

2. Division dans K[X] 2.1 Divisibilité Si A= BQ (avec Q E JK[X] ), on dit que A est un multiple de B, ou que Best un diviseur de A. On dit que A et B sont des polynômes associés lorsque A = À B, avec À E JK* .

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31 • Polynô.mes

2.2 Division euclidienne

173

Soit A et B deux polynômes de K[X], avec B O. Il existe des polynômes uniques Q et R dans K[X], tels que : A= BQ+ R avec d0 R < d0 B. Q est le quotient, et R le reste, dans la division euclidienne de A par B.

2.3 Idéaux de JK[X] K[X] est un anneau principal, c'est-à-dire que tout idéal est principal. Cela signifie que, si I est un idéal non réduit à {O}, il existe un polynôme unitaire unique P tel que I = P K[X]. On dit que P engendre /.

2.4 pgcd

>- Dé.finition Soit A et B deux polynômes non nuls de K[X]. L'ensemble des polynômes unitaires qui divisent à la fois A et B admet un plus grand élén1ent pour la relation d'ordre associée à la divisibilité. C'est le plus grand commun diviseur de A et de B. On le note PGCD (A, B) , ou A V B. Il s'agit du générateur unitaire de l'idéal A K[X] + B K [X] . >- Algorithme d'Euclide Si Qi et R i sont le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B, on

-0 0

::J

"""

.-1

A V B = B V Ri. On recommence avec B et Ri . Le dernier reste non nul (normalisé) de ce processus est le PGCD de A et de B. > Polynômes premiers entre eux Si PGCD (A, B) = 1 , on dit que A et B sont premiers entre eux.

..c

·c

2.5 ppcm

O'I

>Cl.

Dé.finition Soit A et B deux polynômes non nuls de K[X]. L' ensemble des polynômes unitaires qui sont multiples à la fois de A et de B admet un plus petit élément pour la relation d'ordre associée à la divisibilité. C'est le plus petit commun multiple de A et de B. On le note PPCM (A, B) , ou A/\B.

Il s'agit du générateur unitaire de l'idéal A K[X] n BK[X].

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174

Algèbre générale

Théorème

Si A et B sont unitaires, on a : PGCD (A, B) X PPCM (A, B)

=A B .

2.6 Théorème de Bézout Pour que deux polynômes A et B de K[X] soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu' il existe deux polynômes U et V de JK[X] tels que: AU+BV=l.

Si A et B sont premiers entre eux et non tous deux constants, il existe des polynômes U0 et V0 de JK[X] uniques tels que : A U o + B Vo

= 1 avec d U o < d B et d Vo < d A . 0

2. 7 Théorème de Gauss Si A, B et C sont trois polynômes de JK[X] tels que A divise B C, et A premier avec B, alors A divise C.

2.8 Division suivant les puissances croissantes Soit A et B deux polynômes tels que B(O) unique, deux polynômes Q et R tels que :

* 0 et h

A(X) = B(X) Q(X) + xh+ 1R(X)

E N. Il existe, de façon

avec d Q ~ h. 0

Q et R sont le quotient et le reste de la division suivant les puissances croissantes à l'ordre h de A par B. -0 0

::J

"""

.-1

~ Cette division est utilisée dans le calcul du développement limité d'un quotient. Pour l'effectuer, ordonnez d'abord les monômes de A et de B suivant les puissances croissantes.

..c O'I

·c

>Cl.

3. Dérivation

3 .1 Polynôme dérivé n

Si p = Lai Xi, on définit le polynôme dérivé par P' = L i ai xi- l. La fonci= 1

i=O

tion polynomiale associée à P' correspond à la dérivée de P.

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31 • Polynô.mes

175

3.2 Propriétés Cette dérivation formelle a les propriétés de la dérivation de fonctions : (JP + µQ)' = JP' + µQ'

;

(P Q)' = P' Q + PQ'.

3.3 Dérivées successives Par récurrence, on définit les dérivées successives de P. Si d0 P = n , on a p (n+ I ) = 0.

3.4 Formule de Leibniz k

(P Q)(k) =

L (~)

p(i) Q(k- il_

i=O

3.5 Formule de Taylor Si P E K [X] est de degré n, on a, pour h E K : P(X + h) =

(i)

. 0 z=

L p .;h) Xi,

L p (i).,(h) (X - h)i . n

ce qui s'écrit aussi P(X) =

i=O

4. Racines d'un polynôme 4.1 Définition et caractérisation -0 0

::J

"""

.-1

Une équation algébrique est de la forme È'(x) = 0 où Pest un polynôme. Ses racines sont les zéros, ou racines, de P. Un zéro œ de Pest dit d' ordre k, ou de multiplicité k (avec k E N*), si œ est racine d' ordre k de l'équation È'(x) = 0. Cela signifie qu'il existe Q E K[X] tel que P =(X - œ)kQ avec Q(œ) :f. O.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Pour K = R ou C, un zéro œ de P est d' ordre au moins k si, et seulement si : P(œ) = P'(œ) = · · · = p(k-J)(œ) = 0. L'ordre est égal à k si, en plus, p (k) ( œ) :f. 0.

4.2 Théorème de d'Alembert-Gauss Tout polynôme de C [X] a au moins une racine dans C. On en déduit qu'un polynôme de C [X], de degré n, a exactement n racines dans C, en comptant chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité.

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176

Algèbre générale

4.3 Polynôme irréductible Un polynôme P de K[X] est irréductible si d 0 P ~ 1, et s'il n'est divisible que par les polynômes associés à 1 et à P.

4.4 Polynôme scindé Un polynôme P de K[X] est scindé s'il s'écrit comme produit de polynômes de degré 1, soit : r

P =an

IJ (x - œi)ki. i=l

4.5 Relations entres les coefficients et les racines n Si P =

LaiXi est de la forme ci-dessus, désignons par

(j' P

la somme des

i=O

produits p à p des racines. On a la relation: - (-l)P an- p an

(j'p -

4.6 Décomposition d'un polynôme

-0 0

::J

•Tout polynôme de degré~ 1 se factorise en un produit d'un élément de K* et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique, à l'ordre près. •Dans C [X] , les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1. Dans JR[X] , les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1, et les polynômes aX2 + hX + c avec h 2 - 4ac < 0 . •Si P E JR[X], on peut le considérer dans C [X], et si œ est un zéro non réel de P, alors P admet aussi le conjugué œ pour zéro, avec le même ordre de multiplicité que œ.

"""

.-1

4. 7 Polynôme d'interpolation de Lagrange

@ ~

..c O'I

·c

Soit (ao, a 1, ... , an) des éléments de K, distincts deux à deux et des éléments (h0 , h 1, ... , hn) de K. Il existe un unique polynôme P de degré ~ n tel que :

>Cl.

Vi E {0, ... , n}

P(aï) = hi .

Ce polynôme est:

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Fractions rationnelles

-e QI

'QI

c en

'QI

1. Corps K(X)

.a ,.QI

1.1 Fractions ration ne lies De façon analogue à un nombre rationnel quotient de deux entiers, on définit une fraction rationnelle ; Les fractions ;

à partir des polynômes A et B *O.

et ~ sont égales si, et seulement si, A D = B C .

On note K(X) l'ensemble des fractions rationnelles obtenues à partir de K[X]. On appelle degré de la fraction rationnelle F = ; le nombre d 0 A - d 0 B. On le note d°F.

1.2 Opérations sur les fractions rationnelles Soit F = ; et G = ~ deux fractions rationnelles. On définit la somme et le produit par : F +G= A _ _D_+_B _C BD

. '

FG =AC . BD

On a: d (F + G) ~ max (d° F, d G). Si d° F -:f:. d G , il y a égalité. 0

-0 0

::J

On a aussi: d (FG) = d°F + d G. 0

Pour ces deux lois, K(X) est un corps.

"""

.-1

@ ~

..c

1.3 Fonctions rationnelles A

·c

F = B étant une fraction rationnelle simplifiée de K(X), la fonction rationnelle

associée à F est la fonction P, de K dans K., définie par :

O'I

>Cl.

x H

Â (x) F(x ) = -- B(x )

-C

quand B(x )

*0 .

P n ' est pas définie pour les zéros de B. Ce sont les pôles de F . ~ Si K est in.fini, vous pouvez confondre sans risque F et F.

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178

Algèbre générale

2. Décomposition en éléments simples 2.1 Forme générale Une fraction rationnelle, de forme irréductible F = ~ (c ' est-à-<lire avec A et B premiers entre eux), s'écrit de façon unique, sous la forme : R F = E+-

avec d R < d B .

R E est la partie entière, et B la partie fractionnaire de F. ,

2.2 Eléments simples Un élément simple de K(X) est une fraction rationnelle, non nulle, de la forme

S = _!____ où Q est un polynôme irréductible de K [X], a E N* et d P < d Q. 0

Si d Q = 1, l'élément simple S est dit de première espèce ; alors P = a. 0

Si d Q = 2, il est dit de deuxième espèce; on a alors P = aX + b.

2.3 Partie polaire -0 0

Si la factorisation de B en polynômes irréductibles comporte un terme Qœ avec Q irréductible et a E N* , on appelle partie polaire de F relative à Q une somme d'éléments simples du type :

::J

"""

.-1

@ ~

..c

-Qa + - + ···+ , Qa- 1 Q où, pour tout i, d 0 Pi < d 0 Q .

O'I

·c

>Cl.

Pour une fraction F donnée, les polynômes Pi existent et sont uniques.

2.4 Théorème de décomposition Toute fraction rationnelle, écrite sous forme irréductible, est égale, de façon unique, à la somme de sa partie entière et des parties polaires relatives à chacun des facteurs irréductibles intervenant dans la décomposition de B.

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32 • Fractions rationnelles

179

3. Méthodes pratiques de décomposition 3.1 Plan d'étude • On met F sous forme irréductible en simplifiant par le PGCD du numérateur et du dénominateur. • On obtient E et R à l'aide de la division euclidienne de A par B. •On factorise Ben polynômes irréductibles. • On écrit la forme littérale de la décomposition en éléments simples de F, ou de ~ · Pour ceci, il faut distinguer le cas où la décomposition a lieu dans IC(X)

et ne con1porte que des éléments simples de première espèce, ou dans JR.(X) auquel cas il peut y avoir des éléments simples de première et de deuxième espèce. • On détermine les coefficients à l' aide de diverses méthodes.

3.2 Détermination des coefficients • La méthode la plus rudimentaire consiste à réduire au même dénominateur la forme décomposée, et à identifier les numérateurs. • Vous pouvez remplacer X par des valeurs numériques, différentes des pôles. • Sachant que la décomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient des relations entre les coefficients. • En utilisant la fraction sans partie entière, lim X F(X) donne une relation x~ oo

entre coefficients. -0 0

::J

"""

• En multipliant F par Qa et en remplaçant X par un zéro de Q, on obtient le numérateur associé à Qa.

.-1

• Si œ est un pôle sin1ple, la partie polaire associée

X-œ

vérifie :

..c

A(œ) B'(œ)

O'I

·c

a=--

>Cl. 0

Soit P un polynôme dont les racines sont œ1, ... , Œk d'ordres de multiplicité respectifs m 1 , ... , mk. On a:

'""""

p = L....t X m· -zœ·. i=l

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Espaces vectoriels

1. Définitions et premières propriétés 1.1 Espace vectoriel Soit Kun corps d'éléments neutres notés 0 et l. On dit qu'un ensemble non vide E est un espace vectoriel sur K, ou est Kespace vectoriel, s'il est muni - d'une loi de composition interne notée+, - d'une loi de composition externe sur K, c'est-à-dire d'une application de K x E dans E : (A, x) H À x, telles que: (E, +) est un groupe commutatif, VA E K Vµ E K Vx E E Vy E E (À+µ) X= À X+µ X

(Aµ)x = A(µx) À(x+y)=Àx+Ày

1 X= X.

Les éléments de E sont des vecteurs ; les éléments de K sont des scalaires.

1.2 Exemples -0 0

•L'ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace est un R-espace vectoriel.

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

• K est un espace vectoriel sur K. • C est un C-espace vectoriel, mais aussi un R-espace vectoriel. • Le produit E 1 x · · · x En de n espaces vectoriels sur le même corps K est un K-espace vectoriel pour les lois :

(x1, · · · ,Xn) + (y1 , · · · ,yn) = (x1 +Yi,··· ,Xn + Yn)

À(x1, ... ,Xn) = (Àx1, ... ,ÀXn)

•L'ensemble T(X, F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel F est un espace vectoriel pour les opérations f + g et À f. •L'ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, l'ensemble K11 [X] des polynômes de degré~ n sont des K-espaces vectoriels.

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33 • Espaces vectoriels

181

..·-a QI

1.3 Propriété VilEK

VxEE

il X = 0E ~ il = OK ou X = 0 E .

De ce fait, les éléments neutres de K et de E, OK et Oe, seront représentés par le même symbole 0 sans inconvénient.

2. Sous-espaces vectoriels

En fait, il faut et il suffit que F vérifie :

VxEF

VyE F

x+yEF

il XE F ;

Vx E F

Vy E F

x+ilyEF.

2.2 Combinaison linéaire Si x 1, ... , Xp sont des vecteurs de E et il 1 , ... , ilp des scalaires de K, il 1 x 1 + · · · + ilP x P est une combinaison linéaire des vecteurs x 1, ... , x P .

::J

2.3 Sous-espace engendré par une partie

N ~

..c

• Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

O'I

·c

>Cl. 0

'QI

~ Pour montrer que F n'est pas vide, on vérifie en général que 0 E F.

.,E

·-a

Vil E K

"""

::S

ou encore:

.-1

·-·-i:t:-

Une partie non vide F d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si elle est stable pour les deux lois, et si la restriction à F des lois de E y définit une structure d'espace vectoriel.

VilEK

2.1 Définition

-0 0

'QI

~ Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n'est pas en général un sous-espace vectoriel.

• L'intersection F de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant une partie A donnée est le sous-espace vectoriel engendré par A. C'est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel contenant A. On dit aussi que A est une partie génératrice de F. On note F = Vect (A).

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-c

182

Algèbre linéaire et multilinéaire

•Le sous-espace vectoriel engendré par A est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de A, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs du type: n

Ài Xi

avec n E N* ,

Âi E K

Xi E A .

i= 1

3. Somme de sous-espaces vectoriels 3.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels E 1 et E 2 étant deux sous-espaces vectoriels de E, on appelle somme de E 1 et de E2, et on note E 1 + E2 , l'ensemble des vecteurs du type x 1 + x2 où x 1 E E 1

et x2 E E2. E 1 + E1 est le sous-espace vectoriel engendré par E 1 U E1 .

3 .2 Somme directe de deux sous-espaces vectoriel

Dé.finitions

Quand tout vecteur x de F = E 1 + E 2 s'écrit, de façon unique, sous la forme x = xi + x2 avec xi E E1 et x2 E E2, on dit que F est somme directe de E 1 et de E 2 , et on note F = E 1 œE2 . On dit aussi que E 1 et E 2 sont supplémentaires dans F.

> Théorème E = E1 œE2 ~ E = Ei + E2 et E1 n E2 = {O}.

3.3 Généralisation -0 0

> Somme de sous-espaces vectoriels

::J

"""

.-1

Soit (Ei)iEI une famille finie de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. On appelle somme des Ei, et on note Ei, l'ensemble des vecteurs du

@ ~

..c O'I

·c

type

>Cl.

où xi E Ei pour tout i E I .

iEI

iE!

engendré par

est le sous-espace vectoriel

iEf

LJ E; . iEI

Si I = { 1, ... , n} , la somme se note aussi E 1 + · · · + En .

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Quand tout vecteur x de

L E; s'écrit de façon unique sous la forme L xi iE[

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iE/

33 • Espaces vectoriels

183

avec Xi E Ei pour tout i E I , on dit que la somme des Ei est directe et on la note ffiEi.

..·-a QI

'QI

iE[

Si I = { 1, ... , n} , on note aussi E1 EB · · · EB En . ~ Pour démontrer que la somme des Ei est directe, la méthode la plus rapide est de partir d'une somme nulle xi + · · · + Xn = 0 avec Xi E Ez pour tout i, et de démontrer que cela entraîne que tous les Xi sont nuls.

4. Espaces vectoriels de dimension finie

·--·-.,::S

.,E QI

·-a 'QI

4.1 Dépendance et indépendance linéaire • On dit qu'une famille (x 1, . . . , Xn) de vecteurs de E est une famille libre, ou

que les vecteurs sont linéairement indépendants, si : n

L Xi = 0 ~ Vi Ài

Ài

=0 .

i=l

Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée, ou que les vecteurs sont linéairement dépendants. • Toute sous-famille non vide d'une famille libre est libre. • Pour qu'une famille (x 1 , ... , xn) soit liée, il faut, et il suffit, que l ' un de ses élé·ments soit une combinaison linéaire des autres.

~Cas particuliers: une famille qui contient le vecteur 0 est liée; deux vecteurs sont liés si, et seulement si, ils sont colinéaires. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c

4.2 Bases On appelle base d'un espace vectoriel E toute famille libre qui engendre E . (e 1 , . .. , en) est une base de E si, et seulement si, tout vecteur x de E peut s'écrire de façon unique sous la forme :

·c

x = L

O'I

>Cl.

xiei.

i=I

Les scalaires xi sont les composantes du vecteur x.

Théorème de la base incomplète

Si E est un espace vectoriel non réduit à {0}, toute famille libre de E peut être complétée en une base de E . Tout espace vectoriel non réduit à {0} possède au moins une base.

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·-c

184

Algèbre linéaire et multilinéaire

~Attention à ne jamais dire la base de E, car il n 'y a pas unicité.

4.3 Dimension d'un espace vectoriel Si E possède une base comportant un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est de dimension finie. Dans ce cas, toute base de E comporte aussi n vecteurs. On dit que n est la dimension de E ; on la note dim E. On convient que l'espace vectoriel {0} est de dimension nulle.

4.4 Recherche de bases Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Toute famille libre de E a au plus n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une base. Toute famille génératrice de E a au nloins n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une base.

~ Si on connaît déjà la dimension n de E, et si on considère une famille de n vecteurs, pour démontrer que c'est une base, il suffit de démontrer : soit que la famille est libre, soit que la famille est génératrice.

4.5 Dimension de E x F Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. -0 0

Si (e 1, .. . , en) est une base de E, et (f1 , ... , fp) une base de F, alors l'ensemble des couples (ei, 0) et (0, fj) où 1 ~ i ~ n et 1 ~ j ~ p, est une base de Ex F.

"""

Par conséquent

::J

.-1

dim(E x F) = dim E + dim F .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.6 Dimension d'un sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dimF ~ dimE. D'autre part, si dim F = dim E, alors F = E.

~ L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure que F = E . Il faut aussi une inclusion.

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33 • Espaces vectoriels

185

Si dimF = dimE - 1, on dit que Fest un hyperplan de E.

~Comme exemples d'hyperplans, vous pouvez penser à une droite dans le plan ou à un plan dans l'espace.

4 .7 Dimension d'une somme Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, on a: dim(F + G) = dimF + dimG - dim(F n G). En particulier, si F et G sont supplémentaires : dim(F EB G) = dimF + dimG. Tout sous-espace vectoriel F de E admet des supplémentaires, qui ont tous pour dimension : dim E - dim F . F et G sont supplémentaires si, et seulement si, en réunissant une base de F et

une base de G, on obtient une base de E . ~ Attention à ne pas partir d'une base de E, car il n'y a aucune raison de pouvoir en extraire une base de F et une base de G, ni même des vecteurs de Fou de G.

Généralisation

Si E est de dimension finie, on a : dim

EB Ei = L dim Ei . ie l

Si la somme -0 0

::J

que:

iel

EB Ei est directe, alors, pour que E = EB Ei , il faut et il suffit iel

iel

dim E =

"""

.-1

L dim Ei.

iel

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

Si aucun Ei n'est réduit à {O}, la réunion d'une base de chaque Ei constitue une base de E si, et seulement si, E = Ei .

EB iel

4.8 Rang Le rang d'une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel qu'ils engendrent. C'est aussi le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants que l'on peut extraire de la famille.

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..·QI

,z.5

·--.,:sE

Applications linéaires 1. Généralités 1.1 Définitions Une application f de E dans Fest dite linéaire sic' est un n1orphisme d'espaces vectoriels, c'est-à-dire si : VxEE VyEE VAE K

f(x+y)=f(x)+f(y) f(A x) = À f(x)

ou encore: Vx E E Vy E E VA E K Vµ E K

f(Ax +µy)= Af(x) + µf(y)

La propriété précédente s'étend à toute combinaison linéaire :

Si f est bijective, c'est un isomorphisme ; si E = F, c'est un endomorphisme ; si f est bijective avec E = F, c'est un automorphisme. On note: L(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F, -0 0

::J

L (E) l'ensemble des applications linéaires de E dans E, GL (E) l'ensemble des automorphismes de E.

"""

.-1

1.2 Opérations algébriques

..c O'I

·c

>Cl. 0

La composée de deux applications linéaires est linéaire. Si f est un isomorphisme, 1- 1 est aussi un isomorphisme.

L (E, F) est un espace vectoriel. Si dimE = n et dimF = p, on a dimL(E, F) = np.

L (E) est une algèbre. (GL (E), o) est un groupe, appelé groupe linéaire de E.

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34 • Applications linéaires

187

2. Noyau et image d'une application linéaire 2.1 Définitions •L'image d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. En particulier, f(E) est un sous-espace vectoriel de F appelé image de f, et noté lm f. Il est engendré par les images des vecteurs d'une partie génératrice deE. •L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de Fest un sous-espace vectoriel de E. En particulier, 1- 1 ({ül) est un sous-espace vectoriel de E. On l'appelle le noyau de f, et on le note Ker f.

2.2 Théorème

f injective ~ Ker f = {0} .

2.3 Noyau d'une restriction Soit f une application linéaire de E dans F et E 1 un sous-espace vectoriel de E. La restriction de f à E 1 a pour noyau : Ker (fiE 1 ) = Ker f n E i . La restriction de f à tout supplémentaire G de Ker f définit donc un isomorphisme de G sur lm f.

3. Image d'une famille de vecteurs

::J

"""

.-1

Soit f une application linéaire de E dans F.

3.1 Image d'une famille génératrice

..c O'I

·c

>Cl. 0

·--·-.,:sE ., G»

f 1; 'G»

=cf

.a ,Q»

-c

f surjective ~ lm f = F

G»

'G»

Soit f une application linéaire de E dans F.

-0 0

..·-a

Si G engendre E, alors f(G) engendre f(E). L'image d' une famille génératrice de E est une famille génératrice de F si, et seulement si, f est surjective.

3.2 Image d'une famille libre Si A est une partie liée dans E, alors f(A) est une partie liée dans F, ou, par contraposition : f(A) libre dans F ~A libre dans E.

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188

Algèbre linéaire et multilinéaire

f est injective si, et seulement si, pour toute partie libre L de E, f(L) est une partie libre de F.

3.3 Image d'une base L' image d'une base de E est une base de F si, et seulement si, f est bijective.

4. Rang d'une application linéaire Si E est de dimension finie, on a le théorème du rang : dimE = dimKer f + dimlmf. dim lm f est appelé rang de f, et souvent noté rg f. Si E et F sont de même dimension finie, on a : f bijective ~ f injective ~ f surjective. ~N'oubliez pas l'hypothèse sur E et F.

5. Détermination d'une application linéaire Soit A = (a1, ... , a11 ) une base de E et B = (b1, ... , bn) une famille de n vecteurs de F. Il existe une application linéaire unique f de E dans F telle que : ViE{l, ... ,n}

Ona: -0 0

::J

"""

.-1

f injective f surjective f bijective

B libre dans F ;

B engendre F;

B est une base de F.

Conséquence : deux espaces vectoriels E et F de dimensions finies sont isomorphes si, et seulement si, dim E = dim F .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

6. Exemples fondamentaux 6.1 Homothétie Soit k E K*. L'homothétie de rapport k est l'application : hk:

E kx

~Dans cette définition, n'oubliezpas que k ne dépend pas de x.

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34 • Applications linéaires

189

..·-a QI

6.2 Projections et symétries Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Tout vecteur x de E s'écrit de façon unique sous la forme x = x 1 + x 2 avec x 1 E F et x 2 E G. • L'application p de E dans E : x H p(x) = x 1 est linéaire. C'est la projection sur F , parallèlement à G. •L'application sF de E dans E: x H sF(x) = x 1 - x 2 est linéaire. C'est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G. • On définit de même la projection q sur G, parallèlement à F, et la symétrie se par rapport à G, parallèlement à F.

6.3 Propriétés p + q = Ide ; p o q = q o p = 0 ; p 2 = p ; q 2 = q ; s} = Ide .

Kerp=Imq=G

Ker q = lm p = F .

p et sF sont liées par l' égalité : sp = 2p - Ide.

6 .4 Projecteurs D'une façon générale, on appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel que p o p = p . On a alors: E = Ker p œlm p ,

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c

et p est la projection sur lm p , parallèlement à Ker p .

~Attention, l'égalité E =Ker fœlmf entraîne seulement que In1f = lmf2 , et pas que f soit un projecteur

O'I

·c

>Cl. 0

6.5 Symétries D'une façon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E dans E, telle que s os= ldE. Alors F = {x E E ; s(x) = x} et G = {x E E ; s(x) = -x} sont des sous-espaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G.

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'= ·--·-.,:s-

.,E QI

·-a

·--

Matrices

1. Définitions 1.1 Matrices Une matrice à n lignes et p colonnes sur un corps K est un tableau d'éléments de K comportant n lignes et p colonnes. On note aiJ l'élément d'une matrice A situé sur la ligne i et la colonne j. La matrice A s'écrit :

On dit que A est de format (n, p), ou de type (n, p).

~ Attention à ne pas confondre la matrice (aiJ) et le scalaire aiJ . L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients dans K, est noté Mn,p(K) . -0 0

Si p = 1, A est une matrice colonne que 1' on peut assimiler à un vecteur de Kn.

::J

"""

.-1

Si n = 1, A est une matrice ligne que l'on peut assimiler à une forme linéaire appartenant à (KP)* (cf fiche 39).

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Si n = p, A est une matrice carrée d'ordre n. Mn,n(K ) se note Mn(K) . Les éléments ai 1, ... , ann forment la diagonale principale de A. Deux matrices A et B sont égales si elles sont de même format, et si aiJ = bi.i pour tout i et pour tout j.

1.2 Matrices particulières Soit A = (aiJ) une matrice carrée d'ordre n. A est triangulaire supérieure si ail = 0 pour i > j. A est triangulaire inférieure si aiJ = 0 pour i < j.

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35 • Matrices

191

A est diagonale si aiJ = 0 pour i t= j. Elle est scalaire si A =a In.

2. Matrices et applications linéaires 2.1 Matrice d'une application linéaire de E dans F Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions p et n, munis de bases respectives 13 = ( e 1, ... , ep) et C = (f1 , ... , fn) . Soit f une application linéaire de E dans F. Elle est déterminée par la donnée des vecteurs : n

i=l

c'est-à-dire par la matrice A = (aiJ) dont les vecteurs colonnes sont les composantes de f (e1) dans la base de F qui a été choisie. On dit que A est la matrice de f dans les bases 13 et C . ~ A dépend donc à la fois de l'application linéaire qu'elle représente et des bases choisies dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.

Si E est de dimension n, dans toute base l'identité de E est représentée par la matrice carrée I 11 qui comporte des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.

2.2 Bijection canonique entre M n,p(JK) et L (JKP, JKn) -0 0

::J

"""

.-1

Fixons une base 13 dans E et une base C dans F. L'application <.p, de L (E, F) dans Mn,p(K), f H <.p(f) =A, est une bijection. En particulier, si E = JK.P, F = K.11 , et si 13 et C sont les bases canoniques de JK.P et de Kn, <.p est la bijection canonique de L (K.P, JK.n) dans M 11,p(K) .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.3 Matrice de f(x) Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies munis de bases respectives 13 et C, et f une application linéaire de E dans F. Soit x E E et y E F. Notons X la matrice colonne des composantes de x dans 13, Y la matrice colonne des composantes de y dans C, M la matrice de f dans les bases 13 et C. L' égalité vectorielle y = f(x) est équivalente à l ' égalité matricielle :

Y=MX.

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..·-a QI

'GI

·--·-.,:sE

192

Algèbre linéaire et multilinéaire

2.4 Matrice d'une famille finie de vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d'une base !13, et (xi, ... , Xn) une famille de vecteurs de E.

À chaque vecteur xi, on associe la matrice colonne Xi de ses composantes dans 13. À la famille (x 1 , ... , x,z) , on associe la matrice de format (n, p) obtenue en juxtaposant les colonnes X 1 ... Xp.

3. Opérations sur les matrices 3.1 Espace vectoriel M n,p(JK) • Soit À E K, et A = (aij) et B = (bij) deux matrices de Mn,p(K ). On définit: /l.A = (Àaij) et A+ B = (aij + bij).

~ Attention, on ne peut additionner deux matrices que si elles sont de même format. Pour ces deux lois, M n,p(K) est un espace vectoriel. •Pour i E {1, ... , n} et j E {l , ... , p} fixés, on note Eij la matrice dont le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est égal à 1, et dont les autres coefficients sont égaux à O. ( Eij) 1.;;i.;;11 est la base canonique de Mn,p(K) , qui l <;;J<;;p

est donc de dimension n p . • La bijection canonique <.p de L (KP, Kn) dans M n,p(K) est un isomorphisme. -0 0

::J

.-1

0 N

3.2 Produit de matrices Si A est de format (n, p) et B de format (p, q), on définit la matrice C =AB, de format (n, q), par : p

@ ~

..c

O'I

·c 0

aik bkJ.

k=l

>Cl.

ci.i =

~ Attention à la condition d'existence de AB :

nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B. Ce produit est la traduction de la composée des applications linéaires f o g. Il en a donc les propriétés : il est associatif et non commutatif sauf si n = p = q = 1.

~ On peut avoir AB = 0 avec A

* 0 et B * O.

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35 • Matrices

193

..·-a QI

3.3 Produits particuliers

'QI

Base canonique de Mn,p(JK.)

Eij Ekt = ÔjkEil.

où le symbole de Kronecker Ôïj vaut 1 si i = j et 0 si i

* j.

Matrices triangulaires

Matrices diagonales

Si A = diag(a 11, ... , a 1111 ) et B = diag(b u, .. . , bnn) sont deux matrices diagonales, on a: AB = BA = diag(a11 bu, .. . , ann bmi).

Produit par blocs

A . M = ( C S oit

B ) et M' = ( C' A' D

B' ) deux matnces . d"ecomposees ,, en D'

blocs de sous-matrices. Si tous les produits écrits sont possibles, on a : AA' + BC' ( MM'= CA'+ DC'

AB'+ BD' ) CB' +DD' .

4. Matrices carrées d'ordre n -0 0

::J

"""

.-1

4.1 Structures algébriques Mn(K) est une algèbre isomorphe à L (JK.11 ) •

Les matrices diagonales, les matrices triangulaires supérieures (ou inférieures) constituent des sous-algèbres.

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.2 Formule du binôme de Newton Si A et B commutent, alors : m

VmE N

., QI

Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une nlatrice triangulaire supérieure (resp. inférieure).

·--·-.,:sE

(A+ B)m =

L (;) Ak Bm-k. k=O

~ N'oubliez pas de vérifier la condition AB = BA.

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.~ a 'QI c

·--

194

Algèbre linéaire et multilinéaire

4 .3 Matrices inversibles Une matrice A E M n(K) est inversible s'il existe B E Mn(K) telle que: AB= BA= ln. Si B existe, elle est unique et on la note A - l. Les éléments inversibles de M n(K ) forment un groupe GLn(K), isomorphe au groupe linéaire GL(Kn). On a en particulier : (AB)- 1 = B- 1 A- 1 . Si A est inversible, l'endomorphisme f de E, muni d'une base 13, qui lui est associé est inversible ; et A - l est la matrice de 1- 1 . Dans M 11 (K), pour que A soit inversible, il suffit qu'elle soit inversible à droite, ou à gauche.

~ Pour le calcul effectif de A - l , voir fiche 36.

5. Transposition 5.1 Définition La transposée d'une matrice A de format (n, p), est la matrice de format (p, n), notée t A , de terme général bij : ViE{l, ... , p}

VjE{l, ... , n}

bi.i=a.ii·

Elle est donc obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes.

5.2 Propriétés -0 0

::J

'(1A)=A

(AA) =À tA

'(A+ B) ='A+ t B

t(AB) = tB 1A.

"""

.-1

5.3 Matrices symétriques, antisymétriques

..c O'I

·c

>Cl. 0

Une matrice carrée A est symétrique si tA =A , antisymétrique si t A = -A . Les matrices symétriques et les matrices antisymétriques constituent des sousespaces vectoriels supplémentaires de M n(K ) .

5.4 Inverse de la transposée Si A est inversible, /A I' est aussi et on a :

(1A)-1 = t(A- 1). www.bibliomath.com

35 •Matrices

195

..·QI

6. Changement de bases

'GI

6.1 Matrice de passage Soit 13 = (e1, ... , en) et 13' = (e~, . .. , e;1 ) deux bases de E. On appelle matrice de passage de la base 13 à la base 13', la matrice P dont les colonnes Cj sont les composantes des vecteurs ej dans la base 13.

Pest la matrice de l'identité de E muni de 13', dans E muni de 13. Si P' est la matrice de passage de 13' à 13, on a PP' = P' P =In. Toute matrice de passage est donc inversible. Réciproquement, toute matrice inversible peut être considérée comme une matrice de passage.

6.2 Effet d'un changement de bases

Sur les coordonnées d'un vecteur

Si X est la matrice colonne des composantes de x dans 13, et X' la matrice colonne des composantes de x dans 13', on a :

X= PX',

ou encore

X' = p - I X.

> Sur l'expression d'une forme linéaire Si une forme linéaire sur E est représentée par une matrice ligne V = (œ 1, ••• , 0:11 ) dans une base 13, et par V' dans une base 13', on a /(x) = UX = V' X' , soit:

U' =V P. -0 0

6.3 Matrices équivalentes, matrices semblables Soit f une application linéaire de E dans F, 13 et 13' deux bases de E, C et C'

deux bases de F.

:g·c ~ u

Notons Pla matrice de passage de 13à13', Q la matrice de passage de C à C',

A la matrice de f dans les bases 13 et C, A' la matrice de f dans les bases 13' et C'. On a alors: A'= Q- 1A P. Les matrices A et A' sont dites équivalentes. Elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes.

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·--·-.,:sE

196

Algèbre linéaire et multilinéaire

Si E = F avec 13 = C et 13' = C' , alors P = Q, soit A' = p- l A P . Les matrices A et A' sont dites semblables.

7. Rang d'une matrice 7 .1 Définition Soit A une matrice de format (n, p), E un espace vectoriel de dimension p, F un espace vectoriel de dimension n. Quelles que soient les bases 13 et C choisies dans E et F, le rang de l ' application linéaire f associée à A est toujours le même. Ce rang est appelé rang de A. C'est aussi le rang des vecteurs colonnes de A, c'est-à-dire la dimension du sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.

7 .2 Rang de la transposée A et 1A ont mên1e rang. On peut donc définir le rang de A à partir de ses lignes.

7.3 Théorème Une matrice de format (n, p) est de rang r (avec r ~min (n, p)) si, et seulement si, elle est de la forme U l r V où U et V sont des matrices carrées inversibles et J,. la matrice de M n,p(K) définie par son terme général: 1 Œij -0 0

::J

"""

={ 0

si i = j ~ r, dans les autres cas.

En particulier, une matrice carrée d'ordre n est inversible si, et seulement si, son rang est égal à n.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

7 .4 Calcul du rang Les opérations élémentaires (cf fiche. 36) sur les lignes, ou les colonnes, d'une matrice ne modifient pas le rang. On les utilise pour se ramener à une matrice de rang connu.

8. Trace d'une matrice 8.1 Définition La trace d'une matrice A = (aij), carrée d'ordre n, est la somme de ses éléments diagonaux, soit :

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35 • Matrices

197

tr A =

2= i=l

'GI

8.2 Propriétés tr (A + B) = tr A + tr B

tr (AA) = A tr A

tr (AB) = tr (BA)

tr (PMP- 1) = tr M.

~Attention, en général tr (ABC)* tr (BAC).

8.3 Trace d'un endomorphisme

Définition

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel Ede dimension finie, toutes les matrices qui le représentent sont semblables et ont la même trace. Cette trace commune est la trace de l' endomorphisme f.

..·-a QI

a ii E OC. .

Trace d'un projecteur

Le rang d' un projecteur est égal à sa trace.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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·--·-.,:sE

Systèmes linéaires

1. Systèmes linéaires 1.1 Définitions Un système de n équations linéaires à p inconnues, à coefficients dans K, est de la forme: (S)

Les coefficients a ij et les seconds membres hi sont des éléments donnés de K . Les inconnues x 1, • • • , Xp sont à chercher dans K. Le système homogène associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les hi par O. Une solution est un p-uplet (x 1, •• • , xp) qui vérifient (S). Résoudre (S), c 'est chercher toutes les solutions. Un système est impossible, ou incompatible, s' il n' admet pas de solution. Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions. -0 0

1.2 Ecriture matricielle

"""

Si on note:

::J

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

a np

(S) est équivalent à l'égalité matricielle: A X= B.

~ Attention à ce que les inconnues soient écrites dans le même ordre dans chaque équation.

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36 • Systèmes linéaires

199

1.3 Utilisation d'une application linéaire Kn et ][P étant munis de leurs bases canoniques, X est la matrice colonne des composantes d'un vecteur x E KP, Best la matrice colonne des composantes d'un vecteur b E Kn, A est la matrice d'une application linéaire f de ][P dans Kn, et le système (S) est équivalent à :

f(x) = b. Le système (S) a des solutions si, et seulement si, b appartient à lm f. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est :

xo +Ker f, où xo est une solution particulière de (S). ,

1.4 Ecriture vectorielle Désignons par C 1 , ... , CP les colonnes de A. Elles représentent des vecteurs de Kn, et le système (S) se ramène à une égalité dans Kn : X1. C1. + ... +Xp

cp =B.

(S) est compatible si, et seulement si, B E Vect (C 1 , ... , C p).

1.5 Utilisation de formes linéaires Chaque équation du système est du type ui(x) = bi, où ui est une forme linéaire sur KP . -0 0

::J

L'ensemble de ses solutions est un hyperplan affine, c'est-à-dire un espace affine de dimension p - 1.

"""

.-1

2. Opérations élémentaires sur les matrices

.c O'I ·c

>Cl.

2.1 Définitions

•Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont: - l'addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne, qui se code : Li ~ Li+ ÀLj; la multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, qui se code : Li ~ À Li;

l'échange de deux lignes, qui se code: Li H L j.

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..·-a QI

'GI

·--·-.,:sE

Algèbre linéaire et multilinéaire

200

• Les opérations analogues sur les colonnes se codent :

ci f - A ci

c i f - ci + Acj

ci H cj.

2. 2 1nterprétation • Les transformations élémentaires sur les lignes sont équivalentes à la prémultiplication (multiplication à gauche) par la matrice inversible obtenue en appliquant à ln la transformation correspondante. L'opération Li f - Li + a:Lj revient à multiplier A à gauche par la matrice de

transvection : TiJ(À) = In + AEiJ.

L' opération Li f - À Li revient à multiplier A à gauche par la matrice de dila-

tation:

• Les transformations élémentaires sur les colonnes sont équivalentes à la postmultiplication (multiplication à droite) de A par les mêmes matrices.

2.3 Théorème En partant d'une matrice A, l'utilisation d'un nombre fini d'opérations élémentaires conduit à une matrice équivalente à A.

3. Méthodes de résolution

-0 0

::J

"""

3.1 Matrice échelonnée > Dans le langage des systèmes Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Dans le langage des matrices

Une matrice est échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes: - Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi.

- À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul à partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente.

Réduction

Quand un système contient une équation du type :

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36 • Systèmes linéaires

201

..·-a

0 X l + · · · + 0 Xn = b,

si b

G»

* 0, le système est impossible ;

si b = 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit au système réduit.

3.2 Méthode du pivot de Gauss En permutant éventuellement deux colonnes, on peut supposer que la première colonne de A n'est pas nulle. En permutant deux lignes si nécessaire, on peut supposer au

* O.

ail L 1 éliminent l 'inconnue x 1 dans

les lignes autres que L 1• Le terme au est le pivot de l'étape de l'algorithme. En réitérant le procédé, on aboutit à une matrice triangulaire.

~ En calcul numérique, pour minimiser les erreurs d'arrondi, on choisit comme pivot le terme de plus grande valeur absolue (méthode du pivot partiel).

3.3 Méthode de Gauss-Jordan Dans cette variante du pivot de Gauss, à chaque étape on fait apparaître des zéros à la fois au-dessus et au-dessous du pivot.

-0 0

4. Ensemble des solutions d'un système linéaire

::J

"""

.-1

4.1 Rang d'un système

@ ~

..c

Le nombre d'équations du système réduit en escalier obtenu par la n1éthode de Gauss est le rang r de la matrice A, ou du système (S).

O'I

·c

>Cl. 0

·--·-.,:sE .,

Soit A la matrice associée au système (S ).

Pour i > 1, les transformations Li ~ Li -

'G»

4.2 Inconnues principales, inconnues secondaires Soit r le rang de (S) et p le nombre d' inconnues. Si r = p, (S) a une solution unique. Si p > r, (S) a une infinité de solutions. Les r inconnues qui figurent au début des r équations issues de la méthode de Gauss sont les inconnues principales. Elles peuvent se calculer de façon unique en fonction des p - r autres inconnues, dites inconnues secondaires.

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G»

·-'G»a :§

202

Algèbre linéaire et multilinéaire

~Le choix des inconnues principales et secondaires d'un système est largement arbitraire. Mais leur nombre est toujours le même.

4.3 Systèmes de Cramer

Définition

Un systèn1e est dit de Cramer s'il a une solution, et une seule. Cette condition est équivalente à : n = p et A inversible.

> Application au calcul de A - 1 A étant inversible, pour obtenir A- 1, il suffit de résoudre le système Y = AX,

qui admet pour solution X= A- 1 Y.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Déterminants

..·-a QI

' QI

1. Formes multilinéaires alternées

·--·-.-:s, E ., QI

1.1 Définitions

f • Soit E un OC-espace vectoriel. Une application f de En dans OC. est une forme 1; n-linéaire si chacune de ses applications partielles f(x1 , . .. ,Xj, .. . ,Xn)

Xi H

est linéaire. • On dit de plus que f est alternée si f(x 1, . . . , Xj , . .. , x p) = 0 dès que deux coordonnées, au moins, sont égales.

• f étant une forme n-linéaire alternée, a- une permutation appartenant à S n, de signature s(a-), on a: f( Xcr(l) ' · · · , Xcr(n))

= f(x1, .. . , Xn ) ê(O-).

1.2 Cas où dim E = n Soit E un OC-espace vectoriel de dimension n. Pour toute base (e 1, . .. , en) de E et tout À E OC., il existe une forme n-linéaire alternée unique f telle que

f(e1, . .. , en )=À.

-0 0

::J

"""

.-1

f étant une forme n-linéaire alternée non nulle, on a : (x1, .. . , Xn ) famille liée de E ~ f (x1 , . . . , Xn ) = 0.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

2 . Déterminants

2.1 Déterminant de n vecteurs Soit E un OC-espace vectoriel de dimension n, et 13 = (e 1, . . . , e,.1) une base de E. On appelle déterminant den vecteurs x 1, . . . , X n de E , relativement à la base 13 de E , la valeur notée det.B(x 1, . .. , Xn ) de l'unique forme n-linéaire alternée det23 telle que det23(e1' .. . ' en) = 1.

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' QI

·-c

204

Algèbre linéaire et multilinéaire n

Si pour tout i E {l, ... , n}, on décompose Xi =

L aij ej, alors : j=l

det_3(Xt' ... 'Xn ) =

L s(cr)

X al,cr(l) X ... X an,o-(n) .

o-ES11

2.2 Déterminant d'une matrice carrée Soit A= (aij) une matrice carrée d'ordre n. On appelle déterminant de A le déterminant de ses n vecteurs colonnes, considérés comme éléments de Kn rapporté à sa base canonique.

2.3 Déterminant d'un endomorphisme Après avoir montré que deux matrices semblables ont le même déterminant, on appelle déterminant d'un endomorphisme f, le déterminant commun à ses n1atrices représentatives.

3. Propriétés des déterminants 3.1 Transposée detA = det tA.

~ Les propriétés relatives aux colonnes sont donc aussi valables pour les lignes. -0 0

3.2 Propriétés d'une forme multilinéaire alternée

::J

"""

.-1

@ ~

..c

•On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une de ses lignes (resp. colonnes) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes) . Cette propriété est très utilisée pour faire apparaître des 0 sur une colonne (resp. ligne).

O'I

·c

>Cl. 0

•Multiplier une ligne (ou une colonne) d'un déterminant par un scalaire, c 'est multiplier le déterminant par ce scalaire.

~Si A E M n(K), on a donc det(JA) = Àn det(A) puisqu'on peut mettre À en facteur dans chacune des n colonnes de A. • Toute transposition sur les lignes (ou les colonnes) transforme detA en - detA.

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37 • Déterminants

205

3.3 Produit

..·-a QI

det (A B) = det A x det B .

'GI

3.4 Développement suivant une rangée

Dé.finitions

On appelle mineur de l'élément aij de D., déterminant d'ordre n, le déterminant d'ordre n - 1 obtenu en supprimant la ie ligne et la f colonne de il, sans changer l'ordre des autres rangées. Notation : D ij . On appelle cofacteur de 1' élément a;j, le nombre A ij = ( -1 i +j D ij .

Théorème

Un déterminant est égal à la somme des produits deux à deux des éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par leurs cofacteurs.

~ Ce mode de calcul peut aussi servir de dé.finition d'un déterminant après avoir démontré que le résultat du développement est indépendant de la ligne, ou de la colonne, considérée. On utilise ce résultat après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéros.

> Application Le déterminant d' une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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·--·-.,:sE

206

Algèbre linéaire et multilinéaire

3.5 Calcul par blocs Soit M une matrice carrée de la forme M= (

~ ; )

où A et D sont des matrices carrées. On a : det M = det A x det D .

4. Rang d'une matrice 4.1 Matrices carrées inversibles A inversible ~ det A t= 0 .

On a alors det (A- 1) = (det A)- 1 . Calcul possible pour A- 1 (mais impraticable sin> 3): - On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A. - On transpose la comatrice de A. - On divise par det A .

4.2 Cas général -0 0

Le rang d'une matrice quelconque A, est égal au plus grand entier s tel que l'on puisse extraire de A une matrice carrée d' ordres inversible, c'est-à-dire de déterminant non nul.

::J

""'"

.-1

4.3 Formules de Cramer

@ ~

..c

·c

>Cl.

La solution d 'un système de Cramer d'écriture matricielle AX =Best donnée par:

x·1 -

det(A j) . det(A)

l~j~n

où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la f colonne par la colonne des seconds membres B.

~Ces formules sont utiles quand les coefficients du système dépendent d'un, ou plusieurs, paramètre(s). Sinon, la méthode du pivot de Gauss est préférable.

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37 • Déterminants

207

..·-a QI

5. Orientation

'GI

Orienter un IR-espace vectoriel E, c' est choisir une base :S dite de sens positif, ou direct. Pour une autre base :S' = (e~, ... , e;.), - s1 det~(e~, ... , e;i) > 0 , la base :S' est dite de sens positif, ou direct; - s1 det~( e't, .. . , e~) < 0 , la base :S' est dite de sens négatif, ou indirect.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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·--·-.,:sE

lill des endomorphismes Réduction

1. Eléments propres d'un endomorphisme Soit E un K-espace vectoriel et f E L(E).

1.1 Définitions Un vecteur non nul x E E est un vecteur propre de f s'il existe À E K tel que f(x) = Àx. Le scalaire ,,lest la valeur propre associée à x. Un scalaire À E K est une valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul x E Etel que f(x) =À x. Le vecteur x est un vecteur propre associé à À. L' ensemble E,t = {x E E ; f(x) = À x} = Ker (f - À IdE) est le sous-espace propre associé à À . Le spectre de f est l'ensemble S p(f) des valeurs propres de f.

1.2 Propriétés -0 0

::J

"""

À est une valeur propre de

f si, et seulement si,

Ker (f - ÀldE) =F {0}.

.-1

@ ~

..c

En particulier, 0 est valeur propre de f si, et seulement si, Ker f =F {O}, soit f non injectif.

O'I

·c

>Cl. 0

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres toutes distinctes, est libre. La somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe.

~Attention, en général E =F

E9 E,tk. Par exemple, si f = 0 avec f =F 0, 2

alors 0 est la seule valeur propre possible et pourtant E =F Ker f.

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38 • Réduction des endomorphismes

209

..·-a QI

1.3 Polynôme caractéristique Soit E de dimension finie et A une matrice carrée représentant un endomorphisme f dans une base fixée.

Définitions

Le polynôme P(A) = det(A - À l ) est le polynôme caractéristique de A. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, ce qui pernlet de définir le polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Les zéros de PA sont les valeurs propres de A. Si À est racine d'ordre m A de PA, on dit que À. est valeur propre d'ordre mA. On a toujours 1 ~ mA ~ dim(EA) où E A est l'espace propre associé.

> Cas où PA est scindé On a alors: n

trA = LÀ.k

detA =

k=I

Âk .

k=l

2. Diagonalisation Soit E de dimension finie.

2.1 Définitions -0 0

::J

"""

.-1

• Un endomorphisme f E L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de f .

@ ~

..c O'I

·c

• Une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale D, c'est-à-dire si elle s'écrit:

>Cl.

A= PDP- 1

où P est la matrice de passage de la base canonique de Kn à une base de vecteurs propres de A.

2.2 Condition suffisante Si dim E = n et si f a n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.

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'= ·--·-.,:s-

.,E QI

·-,z

·-C

210

Algèbre linéaire et multilinéaire

2.3 Condition nécessaire et suffisante

f diagonalisable <==> E est somme directe des sous-espaces propres; <==> E admet une base de vecteurs propres; <==> le polynôme caractéristique de f est scindé et, pour toute valeur propre Àk d'ordre mk, on a:

2.4 Calcul de Am Si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P telle que A= PDP- 1 . On a alors Am= PDmP- 1 . Et si D = diag (À1, . . . , Àn) alors Dm = diag (lf, . . . , À:).

3. Polynômes annulateurs 3.1 Polynôme d'un endomorphisme

Définition

Étant donnés un endomorphisme f d'un K-espace vectoriel E et un polynôme P(X) = ao + a 1 X+ · ··+ ap XP à coefficients dans K, on note P(f) l'endomorphisme de E défini par : P(f) = ao IdE +ai f + · · · + a p f P. -0 0

::J

"""

.-1

Propriétés algébriques

Si f E L(E) , P E K[X] , Q E K[X] et À E K , on a :

(P + Q) (f) = P(f) + Q(f) ; (AP) (f) = AP(f)

@ ~

..c O'I

·c

(PQ) (f) = P(f) o Q(f) = Q(f) o P(f).

Cette dernière relation entraîne que tous les polynômes d'un même endomorphisme commutent entre eux.

>Cl.

On peut dire aussi que, pour f donné, l'application P H phisme de l'algèbre K[X] dans l' algèbre L(E).

P(f) est un mor-

Ce nlorphisme n'est pas surjectif puisque L(E) n ' est pas con1mutatif.

Stabilité

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38 • Réduction des endomorphismes

211

Pour tout P E K[X], si À est une valeur propre de f, alors JP(À) est une valeur propre de P(f).

..·-a c = ·-

Pour tout P E K [X], lm P(f) et Ker P(f) sont stables par f.

Propriété des valeurs propres

Théorème de décomposition des noyaux

Si P et Q sont premiers entre eux, on a : Ker PQ(f) =Ker P(f) E9 Ker Q(f).

3.2 Polynôme annulateur

Définition

On dit que Pest un polynôme annulateur de f si P(f) = O.

Polynôme minimal

L'ensemble des polynômes annulateurs de f, c'est-à-dire le noyau du morphisme P H P(f) , est un idéal de K[X] . L'unique polynôme normalisé qui engendre cet idéal est le polynôme minimal def.

3.3 Condition nécessaire et suffisante pour f diagonalisable

f est diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynôme scindé, annulateur de f, dont toutes les racines sont simples. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c

3.4 Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème

Si E est de dimension finie, le polynôme caractéristique de f est un polynôme annulateur de f.

O'I

·c

Le polynôme minimal de f divise donc le polynôme caractéristique de f.

> Application au calcul de Am

>Cl.

Si Pest un polynôme annulateur de A , la division euclidienne

xm = P(X) Qm.(X) + Rm.(X) entraîne

Am= Rm(A) .

~ Cette méthode reste valable même si A n'est pas diagonalisable.

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'GI

.:!::

212

Algèbre linéaire et multilinéaire

> Application au calcul de A - l Si A est inversible, on a : ao I + a1A + · · · + a 11 An = 0

d'où:

_2_ [ail+···+ a A ao

avec ao = detA =f:. 0,

JA = l

soit : - 1 1 n- 1 A · = - - [a 1 l + · · · + an A J. ao

4. Trigonalisation 4.1 Définition Un endomorphisme f E L(E) est trigonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Une matrice carrée A est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

4.2 Théorème Si le polynôme caractéristique de f est scindé, f est trigonalisable. ~ En particulier, tout endomorphisme est trigonalisable sur C.

-0 0

Les éléments diagonaux de la matrice triangulaire représentant f sont les valeurs propres de f.

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.3 Sous-espaces caractéristiques Soit À une valeur propre de f. Le sous-espace caractéristique associé est : N;i(f) = Ker [(f - À IdE)m]

où m est la multiplicité de À dans le polynôme ·minjmal de f.

~ Pour un exposant supérieur à m, le noyau ne change pas. On peut donc remplacer m par la multiplicité de À dans le polynôme caractéristique de f.

Un endomorphisme f de E est trigonalisable si, et seulement si, E est somn1e directe des sous-espaces caractéristiques de f.

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38 • Réduction des endomorphismes

213

Un tel endomorphisme f s'écrit d' une manière, et d'une seule, sous la forme f = d + n où d est diagonalisable ; n est nilpotent (c'est-à-dire: 3k E N* nk = 0);

nd = dn.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

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.!::

,zc ·--·-.:s-, E

Dualité 1. Espace dual 1.1 Forme linéaire Soit E un K-espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. L' ensemble des formes linéaires sur E est le K-espace vectoriel L(E, K). On l'appelle l'espace dual de E et on le note E*. Si E est de dimension finie, on a dim E = din1 E*. ,

1.2 Ecriture d'une forme linéaire Si E est de dimension finie et admet (e 1, ... , e11 ) pour base, toute forme linéaire f sur E est de la forme : n

i= l

i= I

où les œi = f(ei) sont des scalaires qui caractérisent f.

1.3 Forme linéaire et hyperplan Étant donnée une forme linéaire 'P sur E non nulle, le sous-espace vectoriel H = Ker 'P est un hyperplan de E. -0 0

::J

Toute forme linéaire l/J nulle sur H est colinéaire à 'P· En dimension finie, un hyperplan admet donc une équation de la forme : n

"""

.-1

Lœixi = 0.

i=l

..c O'I

·c

1.4 Base duale

Soit 13 = (e 1, ... , en) une base d'un espace vectoriel Ede dimension finie. Les formes linéaires coordonnées ('PI , ... , 'Pn) définies par

>Cl.

constituent une base 13* de E* appelée base duale de 13.

~ Le symbole de Kronecker of vaut 1 si i = j et 0 si i -::/= }.

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39 • Dualité On a donc

215

..·-a

dim E = dim E * .

G»

1.5 Bidual

'G»

·--·-.,:sE

u(x)

G»

Le bidual E ** de E est le dual de E*. Si E est de dimension finie, l'application 'P : 'P :

E**

où

'Px

'Px :

est un isomorphisme qui permet d' identifier E et E ** .

., f

·-a

~Attention, si la dimension de E n'est pas finie, 'P n'est qu'un morphisme et '~

·--

on n'identifie pas E et E**.

2. Orthogonalité 2.1 Définitions x E E et f E E * sont dits orthogonaux si f(x) =O.

Si A est une partie non vide de E, l'orthogonal de A dans E est le sous-espace vectoriel de E * : A .L = {u E E * ; Vx E A

u(x) = 0}.

Si A' est une partie non vide de E *, l'orthogonal de A' dans E * est le sousespace vectoriel de E : A'.i = {x E E ; Vu E A'

u(x) = 0}.

2.2 Propriétés en dimension finie -0 0

Si E est de dimension finie n et si F est un sous-espace vectoriel de E, on a :

::J

""'"

.-1

dim F + dim F.i = n ; F = E <==> F .i = {O} ; ( F.i) J_ = F.

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

~ Si A est une partie quelconque, on obtient (A .L ).i = Vect A.

3. Transposée d'une application linéaire 3.1 Définition Soit f une application linéaire de E dans F. La transposée de f est l ' application 1f de F* dans E * définie par :

'f:

uof

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216

Algèbre linéaire et multilinéaire

3.2 Propriétés > Linéarité de la transposition '(f + g) = tf +tg t(Àf) = ;itf > Transposée d'une composée Si f E L(E, F) et g E L(F, G), alors r(g of) = rf o tg. > Transposée d'un isomorphisme ' (Ide) = IdE* Si f est un isomorphisme, il en est de même de t f et on a :

Transposée de la transposée Si E et F sont de dimensions finies et s'ils sont identifiés à leurs biduaux respectifs, alors :

(Cf)= f.

> Représentation matricielle Si A est la matrice de f E L(E, F) dans des bases 13 de E et C de F, alors la matrice de tf E L(F*, E*) dans les bases duales 13' et C' est la matrice transposée rA.

Images et noyaux Ker Cf) = (lm f)J_

lm Cf) = (Ker f)J_

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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rg Cf) = rg f.

Formes bilinéaires

..·-a QI

'GI

·--·-.,:sE

et quadratiques 1. Définitions 1.1 Forme bilinéaire symétrique Une forme bilinéaire f sur E est une application de E x E dans K, linéaire par rapport à chaque variable. Elle est syn1étrique si : f(x, y) = f(y , x).

V(x,y) E EX E

1.2 Forme quadratique Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E s'il existe une forme bilinéaire symétrique f telle que : Vx E E

q(x) = f(x, x).

q est la forme quadratique associée à f.

-0 0

::J

"""

.-1

1.3 Forme polaire d'une forme quadratique Une forme quadratique q sur E est associée à une seule forme bilinéaire symétrique f donnée par :

V(x,y) E EX E

f(x,y) =

~ [q(x +y) - q(x) - q(y)].

..c O'I

·c

>Cl.

f est la forme polaire de q.

1.4 Forme positive Si K = IR, une forme quadratique q, et sa forme polaire f, sont dites positives Sl:

VxE E

q(x) ~O.

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218

Algèbre linéaire et multilinéaire

2. Orthogonalité Soit E un K-espace vectoriel et f une forme bilinéaire symétrique sur E.

2.1 Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux pour f si f(x ,y) =O. Une famille (xi)iET de vecteurs de E est orthogonale pour f si Vi

* j => f

(Xi' X j) = 0.

Si, de plus, f(xi, xi) = 1 pour tout i E /, la famille est orthonormale. Un vecteur x de E est isotrope pour f si f(x, x) =O.

2.2 Orthogonal d'une partie Si A est une partie non vide de E, l'ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de A est un sous-espace vectoriel. Il est noté A J_ et appelé orthogonal de A.

2.3 Noyau Le noyau de f est l'orthogonal de E: EJ_ = {x E E ; Vy E E

f(x, y) = O} = Ker f.

f est dite non dégénérée si Ker f = {0}, et dégénérée dans le cas contraire. 2.4 Forme définie positive -0 0

Si K = R, une forme bilinéaire symétrique f, et sa forme quadratique associée q, est dite définie positive si elle est non dégénérée et positive ; c'est-à-dire :

::J

Vx E E \ {O}

"""

q(x) >O.

.-1

@ ~

..c

3. Cas où E est de dimension finie

O'I

·c

>Cl. 0

Soit Ede dimension net f> = (e 1 , ... , en) une base de E.

3.1 Matrice d'une forme bilinéaire n

i=l

j=l

i,j

La matrice de f dans la base f> est la matrice A de MnOK) de terme général aij = f(ei, e j).

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40 • Formes bilinéaires et quadratiques

219

Yi En posant X=

G»

, on a:

et Y= Yn

f(x, y) = rXAY = ryAX

f est symétrique si, et seulement si, la matrice A est symétrique. 3.2 Expression d'une forme quadratique q(x) est un polynôme homogène de degré 2 en x 1 , ... , Xn (combinaison linéaire d'expressions du type x; ou Xi x.i avec i-:/= j).

Réciproquement, tout polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans 13 est une forme quadratique sur E.

3.3 Changement de base Si 13' est une autre base de E et si P est la matrice de passage de 13 à 13', alors la matrice de f dans 13' est :

3.4 Rang

Définition

Le rang de f, ou de la forme quadratique associée q, est le rang de la matrice A de f dans une base quelconque.

Propriétés

dim E = dim Ker f + rg f. -0

f est non dégénérée si, et seulement si, rg f = dim E , c'est-à-dire A inversible.

~"""

4. Réduction d'une forme quadratique

:g·c

& 8

..·-a

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Réduire une forme quadratique q sur E, c'est chercher une base de E orthogonale pour la forme polaire f.

4.1 Loi d'inertie de Sylvester Si K = IR., toute forme quadratique q de rang r peut se décomposer en combinaison linéaire de r carrés de formes linéaires indépendantes, contenant s termes à coefficients > O. Le couple (s, r - s) est la signature de q.

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'G»

·--·-.,:sE ., G»

f ·-

,zc

220

Algèbre linéaire et multilinéaire

~ Cette décomposition n'est pas unique. Mais les nombres r et s ne dépendent que de q. q est positive si, et seulement si, sa signature est (r, 0);

définie positive si, et seulement si, sa signature est (n, 0).

4.2 Méthode de décomposition de Gauss On part de: n

q(x1, ... , Xn) =

L aii xl + 2 L aiJ x;. Xi

i= 1

i<j

•Si les aii ne sont pas tous nuls, par exemple a 1 l :f:. 0, on peut écrire: q(x1, ... , Xn) = a 1l xi+ f3(x2, . . . , Xn) xi + y(x2, . .. , Xn)

= au [ x1 + -/3- 2 + Y - -1322a 11

4a11

On recommence avec la forme quadratique y -

132

qui ne comporte plus que

4a11

n - 1 variables.

• Si tous les aii sont nuls, on a, par exemple, a 12 :f:. 0 et on peut écrire : q(x1 , ... , Xn) = a12 XI X2 + X1 /31 (X3, . . . , Xn) + X2/32(X3, ... , Xn)

-0 0

::J

"""

.-1

ab=

@ ~

O'I

·c

>Cl. 0

a12

Le premier produit se transforme avec :

..c

= (a12 X1 + /32) (x2 + - - /31) +y - - - /31 /32

1 [(a+b)2 - (a-b)2 ] 4

1 et on recommence avec la forme quadratique y - - - /31/32 qui ne comporte a12

plus que n - 2 variables.

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41 •Espaces préhilbertiens

221

Espaces préhilbertiens

..·-a QI

'QI

1. Espaces préhilbertiens réels

·-a

Dé.finitions

Soit E un IR-espace vectoriel. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire 'fJ, symétrique, définie, positive. On dit que (E, 'P) est un espace préhilbertien réel. '{J(x,y) se note < xly > ou (xly) ou x. y.

Exemples n

Dans !Rn

<XI Y>= txy = L xiYi . i=l

Dans E = C([a, b] , IR) Dans M n(IR)

< f 1g

>=lb

f(t)g(t) dt .

<AI B > = tr (1AB)

1.2 Norme euclidienne -0 0

::J

Dé.finition

E étant un IR-espace vectoriel muni d'un produit scalaire, en posant

Vx E E

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

llxll = J < x 1x > ,

on définit une nonne sur E. On obtient aussi une distance en posant d(x, y) = llx - yll .

>Cl. 0

1.3 Relations entre produit scalaire et norme

Égalité de polarisation Vx E E

Vy E E

., QI

1.1 Produit scalaire

·--·-.,:sE

llx + Yll2 = llxll 2 + llyll2 + 2 < xly >,

ce qui permet d'obtenir le produit scalaire < x 1y > en fonction des normes.

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'QI

·--

222

Algèbre linéaire et multilinéaire

Identité du parallélogramme Vx E E

llx + Yll 2 + llx - Yll 2 = 2(11xll 2 + llyll2 ) .

Vy E E

~ Cette égalité est la généralisation de la propriété géométrique : dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés.

1.4 1négalité de Cauchy-Schwarz Vx E E

Vy E E

< x ly > 1 ~ llxll llyll.

L'égalité a lieu si, et seulement si, x et y sont liés.

~ Pour retenir ce théorème, pensez au cas particulier de deux vecteurs du plan et à i ·y = lfill lrYll cos (t, y).

2. Espaces préhilbertiens complexes 2.1 Produit scalaire hermitien

Définitions

Soit E un C-espace vectoriel. Un produit scalaire hermitien sur E est une application 'P de E x E dans C qui - vérifie la symétrie hermitienne, soit :

V(x, y) E E 2

-0 0

::J

"""

.-1

- est linéaire à droite, soit : V(x, Yi, Y2) E E 3

V(À1, A2) E C2

<.p(x, À1Y1 + À2Y2) = À1 <.p(x, Yi)+ À2<.p(x, Y2)

..c O'I

·c

>Cl. 0

<.p(x, y) = <.p(y, x)

- est donc semi-linéaire à gauche, soit: V(x1 ' X2, y) E E 3

V(À1' À2) E C

- est définie positive, soit : Vx E E

<.p(x, x) ~ 0

<.p(x, x) = 0 ~ x = O.

~Remarquez que, grâce à la symétrie hermitienne, on a bien <.p(x, x) E IR.

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41 •Espaces préhilbertiens

223

<.p(x,y) se note < xly > ou (x ly).

..·-a

On dit que (E, <.p) est un espace préhilbertien complexe.

'GI

·--·-.,:sE

Exemples n

Dans en

< X 1y > = t X y =

Yi .

i= l

Dans E = C([a, b], C)

< f 1g

>=lb

f(t) g(t) dt.

2 .2 Norme hermitienne

Dé.finition

E étant un C-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien, on définit une norme sur E en posant :

llxll =

Vx E E

V< X 1X > ,

2.3 Relations entre produit scalaire et norme Vy E E

llx + yll

= llxll 2 + llyll 2 + 2 Re < x 1Y>, 2

llx + Yll + llx - Yll = 2(11xll + llyll ) . 4 < x 1Y >= llx + yll

llx - yll 2 - illx + iyll 2 + illx - iyll 2

-0 0

::J

"""

.-1

2.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème (inégalité de Cauchy-Schwarz)

..c

Vx E E

O'I

·c

>Cl. 0

Vy E E

< xly > 1 ~ llxll llyll.

L'égalité a lieu si, et seulement si, x et y sont liés.

Corollaire (inégalité triangulaire)

Vx E

Vy E E

llx + yll ~ llxll + llyll

Dans cette inégalité, 1'égalité a lieu si, et seulement si, x et y sont liés avec <X 1 y> E lR+.

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-c

On obtient aussi une distance en posant d(x, y) = llx - yll .

Vx E E

224

Algèbre linéaire et multilinéaire

3. Orthogonalité (K = JR ou C) 3.1 Vecteurs orthogonaux

> Dé.finitions Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si < x 1 y > = 0 ; on note x1-y. Une fami lle de vecteurs (xi)iET est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Une famille de vecteurs (xi)iET est orthonormale si elle est orthogonale et si les vecteurs sont tous unitaires.

Propriété

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Théorème de Pythagore

Si (xi)iET est une famille orthogonale finie, on a : Il

2 Xi 11

L llxill

iE [

2 .

iEf

~ Attention, si K = R, on a l'équivalence : x1-y ~ llx + yll mais si K = C, on a seulement :

= llxll2 + llyll 2 ,

x1-y ~ llx + Yll 2 = llxll 2 + llyll 2 . La réciproque est fausse car l'égalité entraîne seulement : -0 0

Re ( < x 1 y > ) = O.

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.2 Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Dé.finitions

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien E. On dit que F et G sont orthogonaux, et on note F 1-G , quand : Vx E F

Vy E G

< x 1 y>= O.

~ Dans R3 , on dé.finit ainsi l'orthogonalité d'une droite et d'un plan, mais deux plans ne peuvent pas être orthogonaux.

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41 •Espaces préhilbertiens

225

L'orthogonal de F est le sous-espace vectoriel défini par :

FJ_ = {x E E ; Vy E F < x 1 y > = O} .

F n FJ_ = {O} ~ Attention, en général E

* F EB FJ_ et F * (FJ_) J_.

3.3 Supplémentaire orthogonal > Définition Dans un espace préhilbertien E, deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits supplémentaires orthogonaux quand : et

E=FEBG

F..LG.

Propriété

Si F et G sont supplén1entaires orthogonaux, on a F = GJ_ et G = FJ_, d'où ( FJ_) J_ = F.

> -0 0

::J

"""

.-1

Projecteur orthogonal

p E L(E) est un projecteur orthogonal quand p 2 = p et lm p ..LKer p .

lm p et Ker p sont alors supplémentaires orthogonaux.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.4 Orthogonalité en dimension finie

'GI

·--·-.,:sE

{O} J_ = E

~Attention, F ..LG n'entraîne pas G = F J_.

Propriétés

EJ_ = {0}

..·-a

Méthode d'orthogonalisation de Schmidt

Soit (x 1 , . .. , Xn) une famille libre de E; il existe une famille libre orthogonale (y1, ... , Yn) telle que Vect (x1, ... , Xn) = Vect (y1, ... , Yn). Dans la méthode de Schmidt, elle se construit par récurrence en posant : k-l

Yi = xi puis

Yk = xk -

Àï Yi

avec

i=l

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Àï = - - - -

226

Algèbre linéaire et multilinéaire

~ Si K = C, faites attention à l'ordre des produits scalaires dans Ài·

Corollaire

Tout espace préhilbertien E de dimension finie n admet une base orthonormale.

Intérêt d'une base orthonormale

Soit E muni d'une base orthonormale (e 1 , ... , en) . lî

Si x =

L Xi ei, on a Xi=< ei x >. 1

i= l

~Attention à l'ordre du produit scalaire si K = C. X et Y étant les matrices colonnes des coordonnées de x et de y, on a: n

<X l y > =

; d(x,y) = L lxi - Yïl 2 .

llxll = VfXX

i= l

Théorème

Soit Fun sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien Ede dimension finie n ; alors E = F EB F J_ .

3.5 Cas d'un sous-espace F de dimension finie dans un espace E de dimension infinie -0 0

Théorème

E = F EB Fl_

::J

On peut donc définir le projecteur orthogonal p F sur F.

0 N

Si (e 1, ... , ep) est une base orthonormale de F, on a:

..c O'I

·c

VxE E

>Cl.

pp(x)

= L < ei x > ei . 1

i= I

Dé.finition

On appelle distance d'un élément x de Eau sous-espace de dimension finie F le nombre: d(x, F) = inf llx - zll. ZEF

Théorème

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41 • Espaces préhilbertiens d(x, F) est un minimum atteint en un point, et un seul, z = PF(x),

llxll 2 = llPF(x)ll 2 + d(x, F)2 . ~ Attention, il est important que F soit de dimension finie.

> Inégalité de Bessel Si (e 1, ... , ep) est une base orthonormale de F, on a : p

VxE E

L < ei 1x > 1

2 1

J=l

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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~ llxll 2 .

227

..·QI

'GI

·--·-.:s-, E

Espaces vectoriels euclidiens

1. Généralités 1.1 Définition et premières propriétés

Définition

Un espace vectoriel euclidien E est un espace préhilbertien réel (cf fiche 41) de dimension finie n.

Propriétés

Il existe une base orthonormale 13 = (e 1, ... , e11 ) de E et, dans une telle base, pour tout x E E et y E E, on a : n

L < ei x > ei

< x l y > = txy

llxll =W.·

i=l

Si Pest un sous-espace vectoriel de E, on a E = P EB pl.. . On peut définir le projecteur orthogonal PF sur F et (pl.. ).l. = P.

1.2 Isomorphisme avec le dual -0 0

::J

Toute forme linéaire f sur un espace euclidien E s' écrit de façon unique sous la forme f(x) =<a 1 x > où a est un vecteur de E. On a donc H = (~a) .l.. .

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

1.3 Orientation

Orientation de E

Une base orthonormale 130 étant choisie, on dit que 13 est une base directe si det$0 13 > 0 et indirecte si det$0 13 < 0.

Orientation d'un hyperplan

Un hyperplan est orienté par le choix d' un vecteur normal ri . Une base 13 de H est dite directe si, et seulement si, (13,ri) est une base directe deE.

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42 • Espaces vectoriels euclidiens

229

..·-a

2. Endomorphismes orthogonaux

'GI

·--·-.,:sE

2.1 Définitions et caractérisations

Définition

Dans un espace vectoriel euclidien E, un endomorphisme f est dit orthogonal s'il conserve le produit scalaire, soit VxE E

VyE E

< f(x) 1 f(y) > = < X 1 Y >

(1).

On dit aussi que f est une isométrie vectorielle. ~En fait, la condition (1) entraîne f E L(E).

Conditions équivalentes

f E L(E) est orthogonal si, et seulement si, il vérifie l'une des conditions suivantes: (2)

f conserve la norme, soit : VxEE

llf(x)ll = llxll ;

(3) il existe une base orthonormale :B telle que f(:B) soit une base orthonormale; (4) pour toute base orthonormale :B , f (13) est une base orthonormale.

> -0 0

::J

"""

Corollaire

Un endomorphisme orthogonal f appartient à GL(E). Il est appelé auton1orphisme orthogonal de E. Ses seules valeurs propres réelles possibles sont 1 et -1.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

> Exemples Les symétries orthogonales et les réflexions sont des automorphismes orthogonaux. Mais une projection orthogonale distincte de l'identité n'en est pas un; si x E Ker p avec x :f; 0, on a llp(x)ll < llxll.

Groupe orthogonal

L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E est noté O(E) et appelé groupe orthogonal de E. C'est un sous-groupe de GL(E).

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230

Algèbre linéaire et multilinéaire

2.2 Matrices orthogonales

Définition

Une matrice carrée A est dite orthogonale si c'est la matrice de passage d'une base orthonormale :B à une base orthonormale :B'. L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre n est le groupe orthogonal d'ordre n; il est noté O(n) .

Conditions équivalentes

- Une matrice carrée est orthogonale si, et seulement si, ses vecteurs colonnes vérifient: Vi

- Une matrice carrée d'ordre n est orthogonale si, et seulement si : t A A = ln ~ t A = A - I.

Lien avec les endomorphismes

Soit :B une base orthonormale d'un espace euclidien E et A la matrice de f E L(E) dans :B. On a : A E O(n)

f E O(E).

Le groupe O(n) pour le produit de matrices est isomorphe au groupe O(E) pour la composition des applications.

> Déterminant d'une matrice orthogonale Si A est une matrice orthogonale, on a det A = + 1. -0 0

~ Attention, la condition est nécessaire mais non suffisante.

::J

"""

> Groupe spécial orthogonal

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

On appelle groupe spécial orthogonal SO (E), ou groupe des rotations de E, le sous-groupe de O(E) formé des automorphismes orthogonaux de déterminant égal à 1. De même pour les matrices: SO (n) ={A E O(n) ; detA = 1}.

2.3 Automorphismes orthogonaux en dimension 2

> Rotations La rotation d'angle() appartient à SO(E). Dans toute base :B orthonormale directe, sa matrice s'écrit :

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42 • Espaces vectoriels euclidiens cos(} ( sinB

231

..·-a

- sin 8 ) cos(}

On a det A = 1 et tr A = 2 cos 8 .

'GI

Réflexions

La matrice de la réflexion d'axe~ dans une base 13 est de la forme : cos () ( sin 8

sin () ) - cos ()

mais elle dépend de 13. Dans une base adaptée, elle s'écrit :

( ~ -~) ~ est l'ensemble des vecteurs invariants. On a det B

= -1 et tr B = O.

2.4 Automorphismes orthogonaux en dimension 3 Le classement se fait suivant la dimension de V = Ker(/ - Ide), espace vectoriel des vecteurs invariants par/.

> Cas dim V= 3 : on a alors f = Ide . > Cas dim V= 2 : f est alors la réflexion par rapport à V. Dans une base adaptée, sa matrice est :

> -0 0

Cas dim V= 1 : f est alors une rotation d'axe V. Si on oriente l'axe et si on note son angle(), sa matrice dans une base adaptée directe, est:

::J

"""

.-1

(

cos 8 sin 8 0

..c O'I

- sin 8 cos 8

·c

Étude pratique d'une rotation

Sir est la rotation d'axe dirigé par un vecteur unitaire ri et d'angle 8, on a:

>Cl.

r(t) = (ri .i )ri +cos 8 [i

- (ri .i)ri] +sin eri /\ i.

Réciproquement, soit f un automorphisme orthogonal dont l'ensemble des vecteurs invariants est une droite de vecteur directeur unitaire ri. C'est une rotation dont l'angle 8 vérifie tr A = 1 + 2 cos 8 .

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·--·-.,:sE

232

Algèbre linéaire et multilinéaire

3. Adjoint d'un endomorphisme 3.1 Définition Soit f E L(E); l'adjoint de f est l'unique élén1ent f * E L(E) tel que

Vx E E

Vy E E

< f (X) 1 Y > = < X 1 f *(y) >

3.2 Propriétés L' application <.p: f Hf* est un endomorphisme involutif de L (E), c'est-à-dire que l'on a toujours :

(f + g) * = f * + g*

(Af) * = Af*

(!*)* = f

Si 13 est une base orthonormale de E, on a :

A = mat23 f ===> t A = mat23 f *. Il en résulte (f o g) * = g* of*. Si f est inversible, alors f * est inversible et (f*) - L = (f- L) *.

Endomorphismes orthogonaux f E O(E) ~ f * = 1- 1

> Noyaux et images Ker f * = (lm f) J_

;

lm f * = (Ker f) J_

rg (f*) = rg f

-0 0

f(F) c F

::J

"""

f*(FJ_) c F J_

.-1

4 . Endomorphismes symétriques

..c O'I

·c

>Cl. 0

4.1 Définition f E L(E) est symétrique, ou autoadjoint, si f = f *, c' est-à-dire: Vx E E

Vy E E

< f(x) 1y>=<x 1f(y) >

~ Attention à ne pas confondre endomorphisme symétrique et symétrie. On note S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques de E.

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42 • Espaces vectoriels euclidiens

233

..·-a QI

4.2 Propriétés Si A est la matrice de f dans une base orthonormale 13, on a

f symétrique Ç==:::} A = A . 1

S(E) est un sous-espace vectoriel de L(E), mais pas une sous-algèbre car, si A et B sont symétriques, AB est symétrique si, et seulement si, AB = BA . p projecteur orthogonal Ç==:::} p 2 = p et p* = p.

s syn1étrie orthogonale Ç==:::} s = s- 1 = s*.

4.3 Diagonalisation des endomorphismes symétriques Soit f un endomorphisme symétrique de E. Le polynôme caractéristique de f est scindé sur R.

f est diagonalisable dans une base orthonormale. E est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de f.

Corollaire

Si A est une matrice carrée symétrique, il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telles que : A= PDP- 1 = PD'P·

~ Le calcul de p - l est immédiat puisque p- l = 'P. -0 0

::J

La plus grande valeur propre d'une matrice symétrique A est égale à

"""

.-1

@ ~

..c

sup

XAX

X;t:O ' XX

O'I

·c

>Cl.

4 .4 Forme quadratique et valeurs propres

Soit A une matrice syn1étrique réelle et q la forme quadratique associée. q est positive Ç==:::} les valeurs propres de A sont ~ 0 ; q est définie positive Ç==:::} les valeurs propres de A sont > O.

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'GI

·--·-.,:sE

143 Espaces vectoriels hermitiens 1. Généralités 1.1 Définition Un espace vectoriel hermitien E est un espace préhilbertien complexe (cf fiche 41) de dimension finie n sur C .

1.2 Propriétés Il existe une base orthonormale !B = (e 1, ••. , e11 ) de E et, dans une telle base, pour tout x E E et y E E, on a : n

< X 1y > =

llxll =

Xi Y i

i= l

2= lxd

i= l

Si F est un sous-espace vectoriel de E, on a E = F EB FJ_ . On peut définir le projecteur orthogonal PF sur F et ( p 1- ) 1- = F.

1.3 Isomorphisme avec le dual -0 0

Toute forme linéaire f sur un espace hermitien E s'écrit de façon unique sous la forn1e f( x ) = < a 1 x > où a est un vecteur de E.

::J

"""

.-1

2. Groupe unitaire

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit E un espace hermitien .

2.1 Définitions Un endomorphisme f est unitaire s'il vérifie: Vx E E

Vy E E

< f(x) 1f(y)>=<x 1y>.

~ Cette notion correspond, dans le cas réel, à f orthogonal.

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43 • Espaces vectoriels hermitiens

235

2.2 Propriétés

• Dans une base orthonormale, la matrice d'un endomorphisme unitaire est unitaire. •Si M est unitaire, alors <let M est un nombre complexe de module 1. • L'ensemble des matrices unitaires d' ordre n est un sous-groupe de GLn(C). • Toute matrice de passage entre deux bases orthonormales de E est unitaire.

3. Matrices hermitiennes 3.1 Adjoint d'un endomorphisme Soit f E L(E); l'adjoint de f est l'unique élément f * E L(E) tel que Vx E E

Vy E E

< f (x) 1 y > = < x 1 f *(y) >

3.2 Matrice Soit A et A* les n1atrices de f et f* dans une base orthonormale de E ; alors : A* = t A.

3.3 Propriétés de l'adjoint Pour tous f, g E L(E) et À E C, on a : (f + g)* = f * + g* (À f )* = À f *

(f o g)* = g* of*

; rg(f*) = rg f

(f*)* = f det(f*) = det(f).

Si f est inversible, alors f * est inversible et (f*)- = (f- 1) *. -0 0

::J

"""

.-1

3.4 Matrice hermitienne ME M n(C) est hermitienne si rA =A .

@ ~

..c

~ Cette notion correspond, dans le cas réel, à M symétrique.

O'I

·c

>Cl. 0

3.5 Endomorphisme autoadjoint f E L(E) est autoadjoint si f = f *, c'est-à-dire: Vx E E

..·-a

Vy E E

< f(x) 1y>=<x 1f(y) >

Un endomorphisme est auto-adjoint si, et seulement si, sa matrice dans une base orthonormale est hermitienne.

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'GI

·--·-.,:sE

236

Algèbre linéaire et multilinéaire

3.6 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints Soit E un espace hermitien et fun endomorphisme auto-adjoint de E. Les valeurs propres de f sont toutes réelles. Il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de f.

Corollaire

Si A est une matrice hermitienne, il existe une matrice diagonale réelle D et une matrice unitaire P telles que :

A = PDp - 1 = PD t P .

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Géométrie affine réelle 1. Espaces affines 1.1 Définitions Soit E un R-espace vectoriel de dimension n. On construit un espace affine (ensemble de points) V de direction E en se donnant une application : VxE (M,x)

--?

V M+x

telle que: VA EV

V(x,y) E E 2

A + (x +y) = (A + x) +y

VA E V, l'application x HA+ x est une bijection de E sur V. ~

Si A + x = B, on note x = AB. Une origine 0 étant fixée dans V, l'application de A dans E: ~

M~OM

est une bijection. Le choix d'une origine permet donc d'identifier espace affine et espace vectoriel.Les éléments de E seront alors indifféremment appelés vecteurs ou points. -0 0

::J

"""

.-1

1.2 Sous-espaces affines

Dé.finitions

A étant un point de E et F un sous-espace vectoriel de E , l'ensemble

w = A + F = {A + X ; X E F}

..c O'I

·c

>Cl. 0

est un sous-espace affine de E. W est de direction F et de dimension dim F.

Parallélisme

Soit deux sous-espaces affines W = A + F et W' = A' + F'. On dit que W est parallèle à W' si F est un sous-espace vectoriel de F'. On dit W et W' sont parallèles entre eux si F = F'.

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238

Géométrie Intersection

Deux sous-espaces affines W = A + F et W' = A' + F' ont une intersection non ~

vide si, et seulement si, AA' E F + F'. Leur intersection est alors un sous-espace affine de direction F n F'.

~ Deux sous-espaces affines peuvent avoir une intersection vide sans être parallèles. Pensez à deux droites dans l'espace.

2. Applications affines 2.1 Définitions Soit V et V' deux espaces affines dont les directions respectives sont les espaces vectoriels réels E et E'. Une application f de V dans V' est dite affine s'il existe un point A de V et une application linéaire r.p E L(E, E') tels que : Vx E E

f(A + x) = f(A) + r.p(x).

r.p est l'application linéaire associée à f. On peut aussi écrire :

VMEV

r.p(AM) = f(A)f(B).

Si f(A) = A, on peut alors identifier r.p et f. Si r.p est un isomorphisme, on dit que f est un isomorphisme affine. -0 0

Si E = E' et si r.p est un automorphisme, on dit que f est une transformation affine.

::J

"""

.-1

2.2 Propriétés

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

• Une application affine conserve l'alignement et le parallélisme. • La composée de deux applications affines f et g est une application affine dont l'application linéaire associée est la composée des applications linéaires associées à f et g. • Les transformations affines de V forment un groupe pour la loi o. C'est le groupe affine GA(V). L'application : GA(V) f

-7 f-7

GL(E) r.p

est un morphisme surjectif de groupes.

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44 • Géométrie affine réelle

239

2.3 Applications affines particulières

Translations

Soit u E E. La translation tu est l'application affine qui, à M

V, associe

M' E V tel que MM' = u. Son application linéaire associée est l'identité de E. L'ensemble des translations de V est un sous-groupe de GA(V).

Homothéties

Soit A E V et k ER\ {0, 1 }. L'homothétie h(A, k) de centre A et de rapport k est ~

l'application affine qui, à ME V, associe M' E V tel que AM' = kAM. Son application linéaire associée est k ldE . La composée de deux homothéties h(A, k) et h(A', k') est: - si kk' l, une homothétie de rapport kk', dont le centre est aligné avec A et A'.

- si kk' = 1, une translation. L'ensemble des homothéties et translations de V est un sous-groupe de GA(V).

Projections

Une projection est une application affine p telle que pop= p. Son application linéaire associée est un projecteur de E.

-0 0

::J

L'ensemble des points invariants de p est égal à p(A). C'est un sous-espace affine de direction lm cp. Le noyau Ker cp est un supplémentaire de lm cp.

"""

On dit que p est la projection sur p(A), parallèlement à Ker cp .

.-1

Symétries

..c O'I

·c

>Cl. 0

Une symétrie est une application affine s telle que s o s = ldA . Son application linéaire associée est une symétrie de E.

p = ~ (IdA + s) est une projection. L'ensemble des points invariants des est égal à p(A). On dit que s est la symétrie par rapport à p(A), parallèlement à Ker cp.

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240

Géométrie

> Affinités Soit k E R et p une projection de A . On appelle affinité de rapport k, de base p(A) et de direction Ker cp, l'application affine :

M H M' = kM + (1 - k) p(M).

3. Repères cartésiens 3.1 Définitions Un repère cartésien <'R de V est un couple (0, 13) où 0 est un point de V appelé origine et 13 une base de E. ~

Les coordonnées de M E V dans <'R sont les composantes de OM dans 13. Si 13 est la base canonique de Rn , <'R est le repère canonique de Rn . On écrit souvent les coordonnées de M sous forme d'une matrice-colonne X. Un repère cartésien d'un sous-espace affine West formé par un point de W et une base de la direction de W.

3.2 Changement de repère Soit (O', 13') un nouveau repère de V ; notons P la matrice de passage de 13 à 13' et Q la matrice-colonne des coordonnées de O' dans <'R. Soit M un point dont les coordonnées sont X dans le repère <'R et X' dans le repère <'R' . On a : X= PX'+ Q ~

-0 0

-7

C' est la traduction matricielle de 0 M = O' M + OO'.

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3 .3 Représentation d'une application affine Soit (0 , 13) un repère affine de E, ( O', 13') un repère affine de E' et f une application affine de E dans E' . Notons X les coordonnées de M dans E et X' les coordonnées de f (M) dans E'. Elles sont reliées par une égalité matricielle du type : X'= AX +B. ,

3.4 Equations cartésiennes • d'une droite dans le plan :

ax + by + c = 0;

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44 • Géométrie affine réelle

241

•d'un plan dans l'espace: ax + by + cz + d = 0 ;

•d'une droite dans l'espace: intersection de deux plans.

3.5 Paramétrage d'un sous-espace affine W =A + F Si (e 1, . . . , ep) est une base de F, on a: p

M EW

Ç::::::::::>

3Ai E R

M =A+

L Ài ei . i=l

De cette façon, on peut paramétrer une droite, une demi-droite, un plan, un demi-plan.

4. Barycentres 4.1 Définition n

Soit Ai, ... , An des points de E et Œ1, ... , Œn des réels avec

L Œi * O. i=l

Le barycentre du système des points pondérés {(Ai, ai); 1 ~ i ~ n} est l'unique point G tel que :

i= I -0 0

::J

"""

On a alors, pour tout point P :

L i=l

Œi

~= (

Œi)

PG .

i=I

.-1

~ En choisissant P = 0, on peut ainsi calculer les coordonnées de G.

..c O'I

·c

>Cl.

Si les coefficients Œi sont tous égaux, G s'appelle l'isobarycentre des points Ai.

~ L'isobarycentre de deux points A et Best le milieu du segment [AB] ; de trois points non alignés A, B, C le centre de gravité du triangle ABC; de quatre points non coplanaires A, B, C, D le centre de gravité du tétraèdre ABCD.

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242

Géométrie

4.2 Propriétés •Le barycentre d'un système de points pondérés n'est pas modifié si l'on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul. • Le barycentre d'un ensemble de points pondérés est inchangé si l'on remplace un sous-ensen1ble par son barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme des coefficients des points remplacés. • Si les n points appartiennent à un même sous-espace affine, leur barycentre est aussi dans ce sous-espace. • L'image d'un barycentre par une application affine est le barycentre des images, affectées des mêmes coefficients.

4.3 Parties convexes

> Segment M et N étant des points distincts de E, le segn1ent d'extrémités M et N est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs de Met N, soit : [MN] = {ÀM + (1 - À)M ; À E [0, l]}.

> Partie convexe Une partie A de E est convexe si, pour tout (M, N) E A 2 , le segment [MN ] est inclus dans A. L' intersection de deux parties convexes, l'image d'une partie convexe par une application affine, sont des parties convexes. -0 0

::J

4.4 Fonction numérique de Leibniz Soit {(Ai, œi) ; 1 ~ i < n} un système de points pondérés d'un espace affine E et f la fonction :

"""

.-1

..c

~ f (M) =

O'I

·c

>Cl.

• Si

Œi MAf .

i=l

L * 0, le système admet un barycentre G et l'on a : Œi

i=l

n 2

f(M) = f(G) + (Lœi)MG . i=l

• Si

L i=l

Œï = 0, le vecteur

Œï

~ est indépendant de M.

i= l

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Calcul vectoriel On se place dans R 3 .

1. Produit scalaire 1.1 Définition La définition générale d'un produit scalaire figure dans la fiche 41. On peut définir le produit scalaire de deux vecteurs 11 et \1 par: • si l'un des vecteurs est nul : ~

u. ~ V= O·

• si les vecteurs non nuls définissent un angle e :

11 ·l1 = 1rû111rv11 cos e. 1.2 Expression analytique ~~~

Si ( i , j , k) est une base orthonormale .~

-7

,-?

et s1 u = x z + y J + z k et v = x i + y J + z k , alors : ~ U •~ V = XX' + yy' + ZZ ' . -0 0

::J

2. Produit vectoriel

"""

.-1

2.1 Orientation de l'espace

..c O'I

·c

>Cl. 0

~~~

Un repère ( 0, OA, OB, OC) étant donné, considérons un observateur ayant les pieds en 0, la tête en Cet regardant dans la direction de A. Le repère est dit : • direct si l'observateur a le point B à sa gauche, • indirect si l'observateur a le point B à sa droite.

~ La dé.finition plus théorique de l'orientation figure dans la fiche 42.

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244

Géométrie

2.2 Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs 11 et V est le vecteur -~

. ,, .

wtel que :

• s1 u et v sont cohneaires, w = 0 , • si 11 et V ne sont pas colinéaires,

west orthogonal à 11 et à V,

de norme 1 ~11 = lfLlll lflfll sinefl,v)

et le repère ( o,11, -V, w) est direct. ~

On le note w = u /\ v .

2.3 Propriétés Le produit vectoriel est: • antisymétrique, car on a toujours : ~

u/\v= - v/\u

•bilinéaire, car on a toujours : ~ ~ r.7 ~ (Àu)/\ v =À\U /\ v)

2.4 Expression analytique ~~~

Soit ( i , j , k) est une base orthonormale directe de l'espace. ~

-0 0

Sil' on a 11 = xi +y j + z k et V = x' i + y' j + z' k, alors :

::J

"""

.-1

1-?

1---?

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

u /\ v = (yz - zy ) z + (zx - xz) J + (.xy - yx) k

2.5 Double produit vectoriel r.7 ~ U /\\V /\ W)

r.7~~

~~~

= \ U. W) V - ( U. V )w

2.6 Application L' aire d'un triangle ABC est égale à ~

llAË /\ Aëil ·

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45 • Cal.cul vectoriel

245

3. Produit mixte 3.1 Définition Le produit mixte de trois vecteurs Il, V ,W de l'espace est le réel :

(Û ,V,W) = U ·

rv /\ w)

3.2 Propriétés Le produit mixte est : • multilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chacun des vecteurs, • alterné, c' est-à-dire qu' il est nul si deux des vecteurs sont égaux. Il en résulte que le produit mixte de trois vecteurs est changé de signe quand on permute deux des vecteurs, et inchangé quand on effectue une permu tation circulaire des trois vecteurs.

3.3 Expression analytique dans une base orthonormale directe C 'est le déterminant des coordonnées des vecteurs :

ru , v , w) = y y X

-7 -7

z z

-y

x' I

+z y'

3.4 Applications -0 0

•Le volume du parallélépipède d'arêtes OA, OB et OC est égal à

::J

"""

.-1

• Trois vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leur produit ·m ixte est nul.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Géométrie euclidienne

du plan et de l'espace 1. Distances et angles 1.1 Distance d'un point à une droite ou à un plan On munit le plan, ou l'espace, euclidien d'un repère orthonormal qui définit l'orientation.

Dans le plan

Soit 1J la droite d' équation : ax + by + c = O. Le vecteur ri(a, b) est normal à 1J. . laxo + byo + cl La distance de Mo(xo , yo) à 1J est : d(Mo , 1J) = ------;:::=====--.Ya2 + b2

Dans l 'espace Soit P le plan d'équation: ax + by + cz + d =O. Le vecteur ri (a, b, c) est normal à P. . , laxo + byo + czo + dl Distance de Mo(xo, yo, zo) a P : d(Mo, P) = -------;::=========.Ya2 + b2 + c 2 -0 0

::J

La distance de Mo à la droite 1J passant par A et de vecteur directeur 11 est : ----7

d(M 1J) = llMA /\ u Il

"""

.-1

1f/111

..c O'I

·c

1.2 Distance entre deux droites

>Cl.

Perpendiculaire commune

Soit 1J1(A 1, ïl"t) et 1J2 (A2 , ~) deux droites non parallèles définies par un point et un vecteur directeur. La perpendiculaire commune à 1J1 et 1J2 est l'unique droite ~ qui rencontre 1J 1 et 1J2 et qui est orthogonale à 1J1 et 1J2 . Elle est définie par :

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46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

ME/1

247

= {

Distance entre deux droites 1 det (~,ut, U1) 1 d(1J1 1J2) - - - - - -

11ut /\ U111

1.3 Angles

> Angle orienté de deux demi-droites du plan Soit 1)1 et 1)2 deux demi-droites de vecteurs directeurs respectifs ut et U1. La mesure de leur angle orienté est celle de l'angle de vecteurs U1).

eut,

> Angle de deux droites de l'espace Soit V 1 et1J2 deux droites de vecteurs directeurs respectifs de leur angle est le réel 8 E [ 0, ~] tel que --7

cose =

ut et U1. La mesure

--7

Ut · U2 --7

--7

llu il l llu2li

> Angle de deux plans de l'espace Soit P 1 et P2 deux plans de vecteurs normaux respectifs nf et fii. La mesure de leur angle est le réel() E [ 0, ~ ] tel que --7

--7

cose = --7

--7

n1 ·n2

lln1 li lln2ll

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

> Angle d'une droite et d'un plan de l'espace Soit 1J une droite de vecteur directeur 11 et P un plan de vecteur normal fi. La mesure de leur angle est le réel() E [ 0, ~] tel que

·c

. e = rû·fil

>Cl. 0

Sln

lfÛll lffill

2. Isométries du plan et de l'espace 2.1 Isométries Une isométrie du plan (ou de l'espace) affine est une transformation affine qui conserve les distances.

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248

Géométrie

Une application affine f est une isométrie si, et seulement si, l'application linéaire associée cp est un endomorphisme orthogonal. L' ensemble des isométries est un sous-groupe du groupe affine du plan (ou de l'espace).

2.2 Déplacements, antidéplacements Si det cp = 1, on dit que f est un déplacement. Les angles orientés sont conservés. Si det cp = -1, on dit que f est un antidéplacement. Les angles orientés sont changés de signe. L'ensemble des déplacements est un sous-groupe du groupe des isométries.

2.3 Rotations f est une rotation affine si, et seulement si, cp est une rotation vectorielle. 2.4 Réflexions

Définition

f est une réflexion par rapport à un hyperplan affine H si, et seulement si, cp est une réflexion vectorielle. H est 1'ensemble des points invariants par f.

Théorème

Étant donnés deux points distincts A et B du plan ou de l'espace, il existe une réflexion, et une seule, échangeant A et B.

> Composée de deux réflexions dans le plan -0 0

::J

La composée de deux réflexions par rapport aux droites 1J 1 et 1J2 est:

- une translation si 1) 1 et 1J2 sont parallèles,

"""

- une rotation de centre n si 1J1 et 1J2 sont sécantes en n.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.

Composée de deux réflexions dans l'espace

La composée de deux réflexions par rapport aux plans P 1 et P 2 est: - une translation si P 1 et P2 sont parallèles, - une rotation d'axe~ si P 1 n P 2 = ~Réciproquement, toute translation, et toute rotation, peut se décomposer en produit de deux réflexions.

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46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

249

2.5 Déplacements du plan Tout déplacement du plan est : • soit une translation (pas de point invariant), • soit une rotation de centre n (Q est le seul point invariant).

2.6 Antidéplacements du plan Tout antidéplacement du plan est : • soit une réflexion d'axe D (les points invariants forment une droite D), • soit la composée commutative d'une réflexion d'axe D et d'une translation de vecteur non nul appartenant à la direction de D .

~Si l'on compose une réflexion so et une translation t11 sans que 11 appartienne à la direction de D, il ne s'agit pas de la forme réduite et la composition n'est pas commutative.

2. 7 Déplacements de l'espace

Vissage

On appelle vissage la composée d'une rotation r et d'une translation t. Tout vissage s'écrit, de façon unique, sous la forme réduite : r 1 o t1 = t 1 o r 1

-0 0

où r 1 est une rotation d ' axe I!!,. et de même angle que r et t 1 une translation de vecteur il appartenant à la direction de I!!,..

::J

"""

~ Il faut être dans la forme réduite pour pouvoir permuter r1 et t1.

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

Théorème

Tout déplacement del' espace est, soit une translation, soit une rotation, soit un vissage.

3.Similitudes directes du plan 3.1 Définition Soit k > O. Une similitude plane directe s de rapport k est une transformation affine du plan qui multiplie les distances par k et qui conserve les angles orientés.

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250

Géométrie

3.2 Décomposition Une application du plan dans lui-même est une similitude plane directe de rapport ksi, et seulement si, elle est la composée d'un déplacement et d'une homothétie de rapport k.

~Cette décomposition n'est pas unique.

3.3 Forme réduite Soit s une similitude plane directe. •Si s possède au moins deux points invariants, c'est l'identité du plan. • Si s n'a aucun point invariant, c'est une translation de vecteur non nul. • Si s a un seul point invariant Q, alors s s'écrit de façon unique, sous la forme : s=roh=hor

où h est l'homothétie de centre Q et de rapport k et r la rotation de centre Q et d'angle B. Q est le centre de la similitude, 8 l'angle de la similitude, k le rapport de la

similitude.

3.4 Structure algébrique L' ensemble des similitudes planes directes est un sous-groupe du groupe affine du plan. -0 0

3.5 Détermination d'une similitude plane directe

::J

"""

.-1

Étant donnés des points A, B, A' , B' tels que AB 0 et A' B' 0, il existe une similitude directe s, et une seule, transformant A en A' et B en B'.

@ ~

• Si A' B' = AB, alors s est la translation de vecteur AA'.

..c O'I

·c

>Cl. 0

• Si A' B' et AB sont colinéaires et distincts, s est une homothétie dont le centre Q est à l'intersection de (AA') et de (BB'). • Si A' B' et AB ne sont pas colinéaires, notons/ l'intersection de (AA') et de (BB'). Le centre Q de la similitude s est à l'intersection des cercles (AA' /) et (BB' /).

3.6 Utilisation des nombres complexes www.bibliomath.com

46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

251

Théorème

Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si, et seulement si, il existe deux nombres complexes a et b, avec a 0, tels que tout point M d'affixe z ait pour image M' = f(M) d'affixe: z' = az + b > Forme réduite

- Si a = 1 et b = b 1 + ib2 , alors f est la translation de vecteur 11 ( :~). - Si a

* l, f best la similitude de rapport k = lal, d' angle e = arg a et de centre

n d'affixe - 1- a

4.Cercles et sphères 4.1 Dans le plan

Équation cartésienne d'un cercle Le cercle de centre Q(a, b) et de rayon Ra pour équation: (x - a)2 +(y - b) 2 = R 2 .

Cercle de diamètre [AB] ~~ C'est l'ensemble des points M tels que MA· MB =O.

> -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

Intersection d'un cercle et d'une droite

Soit C le cercle de centre Q et de rayon R , et 1J une droite. - Si d (Q, 1J) < R , alors Cet 1J ont deux points d'intersection. Ils sont sécants. - Si d (Q, 1J) = R, alors Cet 1J ont un point d'intersection. Ils sont tangents. - Si d (Q, 1J) > R, alors C et 1J n'ont aucun point d'intersection. Ils sont extérieurs.

·c

>Cl. 0

4.2 Dans l'espace

Équation cartésienne d'une sphère

La sphère de centre Q(a, b, c) et de rayon Ra pour équation: (x - a)2 +(y- b)2 + (z - c)2 = R2 .

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252

Géométrie

Sphère de diamètre [AB] ~~

C'est l'ensemble des points M tels que MA · M B = O.

Intersection d 'une sphère et d 'un plan

Soit S la sphère de centre Q et de rayon R, et rp un plan. - Si d (Q, P) < R, alors l'intersection de Set de rp est un cercle.

~On se donne un cercle dans l 'espace comme intersection d 'une sphère et d 'un plan. - Si d (Q, P) = R, alors Set rp ont un point d'intersection. Ils sont tangents. - Si d (Q, P) > R, alors C et V n'ont aucun point d' intersection. Ils sont extérieurs.

5. Coniques 5.1 Définition par foyer et directrice Soit F un point du plan affine euclidien, V une droite ne passant pas par F , e un réel strictement positif. L' ensemble des points M tels que d(:~:JJ) = e est la conique de foyer F, de directrice V et d' excentricité e. C'est une ellipse si e < 1, une parabole si e = 1, une hyperbole si e > 1. La perpendiculaire à V passant par F est l'axe focal de la conique. -0 0

::J

"""

.-1

5.2 Parabole La parabole rp et son axe foc al ont un point commun unique, le sommet S .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

253

Dans le repère orthonormal d'origine S et admettant l'axe focal comme axe des abscisses, l'équation de P est : 2

y = 2px

où p est le paramètre de la parabole. F a pour coordonnées ( ~

,Q) ; D a pour équation x = - ~

5.3 Ellipse !J

()

BI /)

Équation réduite L'ellipse 8 et son axe focal ont deux points communs, A et A' , sommets de l'axe focal.

Le milieu 0 de [AA'] est le centre de 8. La médiatrice de [AA'] est l'axe non focal. Elle coupe l'ellipse en B et B' , sommets de l'axe non focal. -0 0

::J

"""

.-1

Si F' et D' sont les symétriques de F et D par rapport à 0, l'ellipse de foyer F', de directrice D' et d'excentricité e est la même ellipse. On pose AA' = 2a et BB' = 2b. Dans le repère orthonormal d ' origine 0 et admettant l'axe focal comme axe des abscisses et l' axe non focal comme axe des ordonnées, l'équation de 8 est :

O'I

>Cl.

a2 + b2 = 1.

..c

·c

En posant c = Va

2 -

b2 , on a FF'

= 2c, e = c et Da pour équation x = ~ a

Représentation paramétrique x = acosB { y= b sin()

() E [Ü, 2n[

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254

Géométrie

Dé.finition bifocale

Soit F et F' deux points distincts du plan et a un réel tel que F F' < 2a. L' ensemble des points M du plan tels que MF + MF' = 2a est une ellipse de foyers F et F'.

~C'est avec ce point de vue qu'un jardinier dessine une ellipse pour réaliser une composition florale.

5.4 Hyperbole

Équation réduite L' hyperbole 'H et son axe focal ont deux points communs, les somn1ets A et A'. Le milieu 0 de [AA'] est le centre de 'H. La médiatrice de [AA'] est l'axe non focal. Il ne rencontre pas l'hyperbole. -0 0

::J

"""

.-1

Si F' et 1J' sont les symétriques de F et 1J par rapport à 0, l'hyperbole de foyer F', de directrice 1J' et d'excentricité e est la même hyperbole. On pose AA' = 2a, F F' = 2c et b2 = c2 - a 2 . Dans le repère orthonormal d'origine 0 et admettant l'axe focal comme axe des abscisses et l ' axe non focal comme axe des ordonnées, l'équation de 'H est :

..c

O'I

·c

>Cl. 0

y2 - - = 1

c a2 On a : e = - et 1J a pour équation x = a c

Équation des asymptotes

b a

y= - x

y= - - X. a

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46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

255

Représentation paramétrique x =ache { y= bshe

Définition bifocale

Soit F et F' deux points distincts du plan et a un réel tel que 0 < 2a < F F'. L'ensemble des points M du plan tels que IM F - MF' 1 = 2a est une hyperbole de foyers F et F'.

6. Lignes et surfaces de niveau f étant une fonction qui, à tout point M du plan ou de l'espace, associe un réel f(M). Pour une constante donnée k, il s'agit de déterminer l'ensemble 8k des points M tels que f (M) = k. ~~

6.1 f(M) = u ·OM où 11 est un vecteur donné non nul et 0 un point donné Dans le cas du plan, 8k est une droite orthogonale à 11. Dans le cas de l' espace, 8k est un plan orthogonal à 11. ~~

6.2 f(M) = MA·MB -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

où A et B sont deux points distincts donnés du plan ou de l'espace Désignons par l le milieu de [AB]. •Si k + TA 2 < 0, 8k est vide . • Si k + l A 2 ~ 0, 8k est un cercle de centre l dans le cas du plan, une sphère de centre I dans le cas del' espace. • Dans le cas particulier où k = 0, 8 0 est le cercle de diamètre [AB] dans le cas du plan, la sphère de diamètre [AB] dans le cas de l'espace.

6.3 f(M) = MA 2 + MB2 où A et B sont deux points distincts donnés du plan ou de l'espace Désignons par Ile milieu de [AB].

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256

Géométrie

•Si k - ~ AB2 < 0, 8 k est vide. • Si k - ~ AB2 " 0, 8 k est un cercle de centre l dans le cas du plan, une sphère de centre l dans le cas de l'espace.

6.4 f(M) = MA 2 - MB2 où A et B sont deux points distincts donnés du plan ou de l'espace •Dans le cas du plan, 8 k est une droite orthogonale à (AB). • Dans le cas de l' espace, 8 k est un plan orthogonal à (AB).

6.5 f (M) = (MA, ME) où A et B sont deux points distincts donnés du plan •Si k = 0 (modulo 2n), 8 k est la partie de le droite (AB) extérieure à [AB]. •Si k = n (modulo 2n), 8 k est l'intervalle ouvert ]AB[. • Si k

* 0 et k * (modulo 2n), 8 k est un arc de cercle d'extrémités A et B. 7r

6.6 f(M) =MA

où A et B sont deux points distincts donnés du plan ou de l'espace

-0 0

::J

"""

.-1

• Si k = 1, 8 k est la médiatrice de [AB] dans le cas du plan, le plan médiateur de [AB] dans le cas de l' espace. • Si k l , 8 k est un cercle dans le cas du plan, une sphère dans le cas de l' espace.

6.7 f(M) = ~~

..c O'I

·c

>Cl. 0

où F est un point donné du plan et où M H désigne la distance de M à une droite V du plan 8 k est la conique de foyer F, de directrice V et d' excentricité k. • Si k = 1, 8 k est une parabole. •Si 0 < k < 1, 8 k est une ellipse. • Si k > 1, 8 k est une hyperbole. •Si k = 0, 8 k ne comporte que le point F. • Si k < 0, 8k est vide.

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46 • Géométrie euclidienne du plan et de 1'espace

6.8 f(M) =MF+ MF' où F et F' sont deux points distincts donnés du plan

•Si k ~ 0, 8k est vide. • Si k > 0, 8 k est une ellipse de foyers F et F'.

6.9 f(M) = IMF - MF'I où F et F' sont deux points distincts donnés du plan

• Si k < 0, 8 k est vide. • Si k = 0, 8 k la médiatrice de [F F']. • Si k > 0, 8 k est une hyperbole de foyers F et F'.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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257

Courbes paramétrées

1. Courbes planes en coordonnées paramétriques 1.1 Généralité ~

Soit F une fonction vectorielle de classe Ck (k aussi grand que nécessaire) définie sur une partie non vide D de R et à valeurs dans R2 ou R3 . L'ensemble r des points M tels que ~

OM = F(t)

t ED

est une courbe paramétrée. Si D est un intervalle, il s'agit d'un arc de courbe. ~

On dit que F(t) est une représentation paramétrique der, ou encore que ra pour équations paramétriques : X = X( t)

; y = y( t)

t E D.

~ Une même courbe r (ensemble de points) a plusieurs paramétrages. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c

1. 2 Représentation propre Pour construire r, on détermine d'abord un domaine de représentation propre, c'est-à-dire une partie D 1 de D telle que la courbe géométrique r soit entièrement décrite, et une seule fois , lorsque t décrit D 1 .

O'I

·c

>Cl. 0

~ Cette étape apparaît lorsque x et y sont périodiques avec une période commune, ou lorsqu 'elles sont toutes les deux paires.

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47 • Courbes paramétrées

259

1.3 Domaine d'étude • Si x et y sont deux fonctions impaires, r est symétrique par rapport au point 0 et il suffit de faire l ' étude sur D 1 n IR+ . • Si x est paire et y impaire, r est symétrique par rapport à la droite x' x et il suffit de faire l'étude sur D 1 n IR+. • Si x est impaire et y paire, r est symétrique par rapport à la droite y' y et il suffit de faire l'étude sur D 1 n IR+·

~ D'autres invariances de r peuvent être utilisées, par exemple une invariance par translation.

1.4 Étude locale ~

Soit p le plus petit entier tel que p (P)(to) t= 0 et q (p < q) l'ordre de la première ~ ~ dérivée telle que ( p(P)(t0 ), F (q)(t0 )) forme une base du plan vectoriel. ~

p (P)(to) est un vecteur directeur de la tangente en M(to) à r.

Si pt= l , le point M(to) est stationnaire (ou singulier). indexpoint !singulier Si p = 1, c'est un point régulier. Si p = 1 et q = 2, c'est un point birégulier. Si p impair et q pair, M(to) est un point ordinaire (cf fig. 1). Si p impair et q impair, M(t0 ) est un point d' inflexion (cf fig. 2). -0 0

::J

"""

.-1

Si p pair et q impair, M(to) est un point de rebroussement de première espèce (cf fig. 3). Si p pair et q pair, M(t0 ) est un point de rebroussement de deuxième espèce (cf fig. 4).

..c O'I

·c

>Cl. 0

fig 1

fig 2

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260

Géométrie )

J 11..l (tJ)

fig 4

fig 3

1.5 Branches infinies • La courber présente une branche infinie pour t tendant vers t0 (to fini ou non) si au moins une des coordonnées x(t) et y(t) de M tend vers l'infini lorsque t tend vers to. • Si x(t) -7 x 0 E IR et y(t) -7 +oo, alors la droite x = x 0 est asymptote à r. • Si x(t) -7 +oo et y(t) -7 y0 E IR, alors la droite y = y0 est asymptote à r . • Si x(t) -7 +oo et y(t) -7 +oo, on cherche la limite éventuelle de y(t) lorsque x(t) t tend vers to.

, · x ' x. - S 1. 1.1m -y(t) = o, r presente une b ranc h e parab o1.1que d e d.Irect1on c- tto x(t) ,, · y ' y. une b ranc h e parabo1.1que d e d.irection - S 1. 1.1m -y(t) = +oo, r presente t 4to x(t) -0 0

::J

"""

.-1

- Si lim y((t)) = a, limite finie non nulle, on étudie y(t) - ax(t). f 4 fo X t * Si lim[y(t) - ax(t)] = +oo, r présente une branche parabolique de coeffit 4 to

cient directeur a .

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

*Si lim[y(t)-ax(t)] = b, la droite y= ax+b est asymptote à r et la position t4to

de la courbe par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de y(t)-ax(t)-b.

1.6 Points multiples A est un point multiple der s'il existe au moins deux valeurs t 1 telles que M(t 1) = M(t2 ) = A. On le détermine en résolvant : x(ti) = x(t2) ; y(t1) = y(t2) ; t1

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* t2.

* de D t2

47 • Courbes paramétrées

261

2. Courbes planes en coordonnées polaires 2.1 Représentation polaire Soit ( 0 ,ei, ~) un repère orthonormal du plan. À tout point M , distinct de 0, on peut associer des coordonnées polaires (p, 8) telles que OO= pd. (0,

u, 11) est le repère polaire orthonormal lié à Met défini par : cet,u) = (}

~Il n 'y a pas unicité des coordonnées polaires d'un point. Si k E Z, alors (p, (} + 2kn) et (-p, (} + n + 2kn) repèrent le même point M.

Le point 0 est repéré par p = 0 et e quelconque. Une courbe en coordonnées polaires est l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées polaires sont liées par une relation du type p = f(B) où f est une fonction de R dans R dérivable autant de fois qu'il sera nécessaire.

2.2 Domaine d'étude Soit fla courbe d'équation polaire p = f(B) et D l'ensemble de définition de f. On détermine d'abord un domaine de représentation propre, c'est-à-dire une partie Di de D telle que la courbe géométrique r soit entièrement décrite, une fois et une seule, lorsque edécrit Di. Si f est paire, r est symétrique par rapport à la droite x' x et il suffit de faire l'étude sur D 1 n R+ . -0 0

::J

Si f est impaire, r est symétiique par rapport à la droite y' y et il suffit de faire l'étude sur Di n IR+ .

"""

.-1

@ ~

2.3 Tangente en un point

..c O'I

·c

>Cl. 0

En M(B)

* 0, r admet une tangente dirigée par le vecteur ~

T = p' (8) u + p(8) V .

En M(Bo) = 0, f admet une tangente d'angle polaire Bo.

2.4 Points d'inflexion Les points d'inflexion de r correspondent aux valeurs de 8 pour lesquelles l'une des deux expressions suivantes s'annule en changeant de signe, avec p 0 :

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262

Géométrie p2 + 2p'2 - pp"

2.5 Branches infinies • Si () ~ +oo, la courber présente une spirale. • Sie ~ 80 et p = f(8) ~ ±oo, alors l'axe OX d'angle 80 est une direction asymptotique de r. Dans le repère orthonormal direct (OX, OY), l'ordonnée de M s'écrit Y = p(()) sin(() - 80 ) et on étudie sa limite lorsque e tend vers 80 . Si lim p(8) sin((}- 80 ) = l (limite finie), alors r admet pour asymptote la droite e~eo

y= l.

~ Attention en traçant la droite Y = l à bien utiliser le nouveau repère (OX, OY). ,

2.6 Equation polaire de quelques courbes Droite passant par 0: () =cte. 1 Droite ne passant pas par 0 : p = - - - - - a cos () + b sin () Cercle de centre 0 : p =cte. Cercle passant par 0 : p = a cos e + b sine. Conique de foyer 0, de paramètre p, d'excentricité e: -0 0

::J

1 + ecos(e- Bo)

"""

.-1

@ ~

.c O'I ·c

>Cl. 0

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Propriétés des courbes 1. Longueur d'un arc de courbe Soit r un arc de courbe de classe C 2 admettant une représentation paramétrique ~~~

M(t) = (x(t), y(t), z(t)), avec t E [a, b], dans un repère orthonormal ( 0, i , j, k) de 1'espace. .

E n un point regu ier,

OM'(t) ~

. . . d. . 1 est un vecteur unitarre qui inge a tan-

110 M' (t)ll

gente en M à r.

L' arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce ~

qui revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (opposés) T + et T _. ~

. ,. de r tel que dOM soit · umtaue. · · L, a b sc1sse curv1·1·1gne s est un parametrage ds La longueur de r est : L =

1b J

x' 2 (t) + y' 2 (t) + z' 2 (t) dt.

Elle est indépendante du paramétrage choisi. -0 0

On note souvent ds =

.Jx' 2 (t) + y' (t) + z' 2 (t)dt où s est l'abscisse curviligne. 2

::J

"""

.-1

2. Enveloppe d'une famille de droites dans le plan

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.1 Définition Une famille de droites (D1) définies par: a(t) x + b(t) y+ c(t) = 0

où a, b etc sont définies et de classe et sur un intervalle/, admet pour enveloppe une courbe (E) si: • toute droite (Dr) est tangente à (E) en au moins un point de contact dit point caractéristique de (E);

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264

Géométrie

• par tout point de (E) passe au moins une droite (Di) tangente à (E) en ce point.

2. 2 Caractérisation Si le déterminant t H Li(t) =

a(t)

b(t)

a' (t)

b' (t)

ne s'annule pas sur /, la famille

(Dr) admet pour enveloppe l'ensemble des points (x,y) solutions du système:

a(t) x + b(t) y+ c(t)

{ a'(t)x + b'(t)y + c'(t) = 0

~Dans le cas particulier où a(t) x +b(t) y+c(t) est un polynôme en t de degré 2, si le déterminant Li(t) ne s'annule pas, on obtient une équation cartésienne de (E) en écrivant que le discriminant du trinôme est nul.

3. Courbure d'une courbe plane 3.1 Repère de Frenet Le repère orthonormal direct ( M, T, N) est le repère de Frenet au point M.

3.2 Formules de Frenet En un point birégulier, on a: ~

-0 0

::J

"""

.-1

dT ~ =yN

ds où y est la courbure der au point M .

dN ~ =-yT ds

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

3.3 Repérage angulaire ~~ dœ Si œ est l'angle ( i , T), on a y = ds

3.4 Rayon de courbure En un point birégulier M, la courbure est non nulle et R = ~ s'appelle rayon y

de courbure de r en M. On a :

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48 • Propriétés des courbes

265

en coordonnées paramétriques :

(x'2 + y'2) 2

R = ---x' y" - y' x" 3

(p2 + p'2) 2

R= - - - - - p2 + 2p'2 - pp"

en coordonnées polaires :

----7

Le centre de courbure en M est le point I défini par MI = RN.

4. Développée, développante (courbes planes) 4.1 Développée On appelle développée d' une courbe paramétrée r l'ensemble des centres de courbure Ide f. C'est aussi l'enveloppe des normales à r.

4.2 Développante On appelle développante de r toute courbe admettant r pour développée. Si les points M der sont repérés par l'abscisse curvilignes, les points P d'une développante vérifient : ----7

OP = OM+(so-s)T

où so est une constante.

5. Courbes de l'espace -0 0

5.1 Tangente et plan normal

"""

Soit f une courbe de classe C2 admettant une représentation paramétrique

::J

.-1

t H M(t) = ( x(t), y(t), z(t))

..c O'I

·c

>Cl. 0

dans un repère orthonormal (0 , i , j , k ) de l'espace. ~

En un point régulier, T -

OJvf'(t)

est un vecteur unitaire qui dirige la

llOM'(t)l l

tangente en M à r. En paramétrant r par l' abscisse curviligne s, on a ~

T = dds (oM) .

Le plan passant par Met orthogonal à T est le plan normal en M à r.

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266

Géométrie

5.2 Plan osculateur ~

En un point birégulier, les vecteurs OM'(t) et OM"(t) sont linéairement indépendants. Le plan osculateur en M est le plan passant par M(t) qui admet pour vecteurs directeurs ( oM1 (t), oM11 (t)).

5.3 Formules et repère de Frenet Un point est dit trirégulier, si les vecteurs ~ ~ ~ ( OM' (t), OM" (t), OM(3)(t)) sont linéairement indépendants. Le repère de Frenet en un point trirégulier est le repère orthonormal direct ~~~

(M, T, N, B) qui vérifie les formules : ~

- = yN ds

où y est la courbure der en M;

dN ~ ~ = -y T + TB ds

où T est la torsion de r en M ;

dB ~ =-TN.

N est le vecteur normal principal et B le vecteur binormal en M à r . ~~

-0 0

Le plan ( M, T, N) est le plan osculateur; le plan ( M, N, B) est le plan nor-

mal.

::J

"""

.-1

1 1 R = - est le rayon de courbure et T = - le rayon de torsion de r en M. y

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

5.4 Hélices Une hélice est une courbe de classe C 1 dont les tangentes font un angle constant

0,;

80 E J

[ avec une direction fixe appelée axe de l'hélice.

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Surfaces 1. Généralités 1.1 Représentation d'une surface Une surface S peut être représentée: •soit par une équation cartésienne f( x , y, z) = 0 où f est une fonction de classe C 1 de JR.3 dans JR., -7

•soit par des équations paramétriques OM = F(u, v).

~ Un point de S est régulier si grad f (x , y , z) famille libre.

est une * ~0 , ou si (aF~) au , av

1.2 Plan tangent •En un point régulier M(x, y , z) de S , le plan tangent en M à Sa pour équation : af af af (X - x) a x (x , y, z) + (Y - y ) ay (x, y, z) + (Z - z) az (x, y, z) = 0 ~

et grad f(x, y, z) est normal en M à S. • Sous forme paramétrique, le plan tangent en M à S est défini par les vecteurs -0 0

::J

"""

aF aF aF aF directeurs (- , -) et la normale par le vecteur directeur A · au av au av

.-1

1.3 Intersection de deux surfaces

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

• Pour déterminer explicitement l' intersection de deux surfaces 8 1 et S 2 , il est préférable que l 'une soit sous forme cartésienne et l'autre sous forme paramétrique. On reporte alors les équations paramétriques de l'une dans l 'équation cartésienne de l' autre. • En un point régulier Mo de l'intersection de S 1 et de S 2 , si les plans tangents respectifs P 1 et P 2 sont distincts, la courbe 8 1 n 8 2 a pour tangente la droite

P 1n P2.

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268

Géométrie

1.4 Surfaces réglées Une surface est réglée si elle peut être engendrée par une famille de droites dites génératrices de la surface.

~Les surfaces réglées les plus simples sont les cylindres et les cônes.

2. Cylindres 2.1 Définitions Un cylindre de direction D et de courbe directrice C est l'ensemble des droites parallèles à D et rencontrant C. Ces droites sont les génératrices du cylindre. On suppose que C n 'est pas une courbe plane dont le plan contient D.

~ Toute section du cylindre par un plan non parallèle à D peut être utilisée comme courbe directrice plane. On dit que c'est une base du cylindre. Si le plan de section est orthogonal à D, on obtient une section droite r. On parle alors de cylindre droit de baser. Un cylindre de révolution admet une section droite circulaire.

2.2 Plans tangents Le plan tangent en un point M d'une génératrice /1 d'un cylindre est défini par 11 et la tangente à Cau point d'intersection de Cet de 11. -0 0

~C'est le même pour tous les points de!:::..

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

2.3 Equations • La forme la plus générale del' équation d'un cylindre est f (P, Q) = 0 où P = 0 et Q = 0 sont les équations de deux plans non parallèles, leur intersection donnant la direction du cylindre. Avec un repère adapté, l'équation d'un cylindre droit est de la forme g(x, y) =O. •Un cylindre de révolution peut alors être représenté - sous forme cartésienne par : x 2 + y2 = R2 , • sous forme paramétrique par :

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49 • Surfaces x

= R cos 8

;

y = R sin 8

269

z = z.

Il s'agit des coordonnées cylindriques d'un point de l'espace.

3. Cônes 3.1 Définitions Un cône de sommet S et de courbe directrice C est l'ensemble des droites passant par S et rencontrant C. Ces droites sont dites génératrices du cône. On suppose que C n 'est pas une courbe plane dont le plan contient S.

~ Toute section du cône par un plan ne passant pas par S peut alors être utilisée comme courbe directrice plane. On dit que c'est une base du cône.

3.2 Plans tangents Soit M un point du cône. Il appartient à une génératrice ~ qui rencontre en P une base C du cône. Le plan tangent en M au cône passe par S et contient la tangente en P à C.

~C'est le même pour tous les points de Il. ,

3.3 Equations La forme la plus générale de!' équation d'un cône est f ( ~ ' ~) =0 -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c

où P = 0 , Q = 0 et R = 0 sont les équations de trois plans dont l'intersection est le sommet S . Comme un cône est invariant par toute homothétie de centre S, le cône est l'en~

-7

semble des points M tels que SM = À S P où À est un réel quelconque et P un point quelconque de C.

O'I

·c

>Cl. 0

4. Contours apparents 4.1 Pour une direction donnée Soit Sune surface et 11

* O.

• Le cylindre circonscrit à S, de direction 11, est l'ensemble des tangentes à S dirigées par 11.

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270

Géométrie

• Le contour apparent de S, pour la direction 11, est l ' ensemble des points de S dont la direction du plan tangent contient 11.

4.2 Pour un point donné Soit S une surface et A un point. •Le cône circonscrit à S , de sommet A, est l'ensemble des tangentes à S qui passent par A. • Le contour apparent de S , du point de vue de A, est l'ensemble des points de S dont le plan tangent contient A.

5. Surfaces de révolution 5.1 Définitions Une surface de révolution L d' axe D est obtenue en faisant tourner une courbe C autour de la droite D. Tout plan contenant D est un plan méridien et son intersection avec L est une méridienne. Les cercles, intersections de L avec des plans perpendiculaires à D, sont les parallèles de la surface. ,

5.2 Equations La forme la plus générale de l'équation d'une surface de révolution est f(P, S) = 0 où P = 0 et S = 0 sont les équations d 'un plan et d'une sphère. -0 0

::J

"""

.-1

L' axe de :L est alors la droite perpendiculaire au plan et passant par le centre de la sphère . Toute équation de la forme g (x2 + y 2 , z) = 0 représente une surface de révo~

lution d' axe ( 0 , k).

..c O'I

·c

>Cl.

6. Quadriques

6.1 Définitions Une surface du second degré f( x, y, z ) = 0 , où f est un polynôme de degré 2 par rapport aux trois variables, peut être soit deux plans, soit un cylindre, soit un cône, soit une quadrique propre de l'un des cinq types qui suivent. On peut les décrire à partir de leurs équations réduites dans un repère orthonormal.

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49 • Surfaces

271

6.2 Types de quadrique • Ellipsoïde x2

Équation réduite :

2 + 2 + 2 =1. a b c • Hyperboloïde à une nappe

Équation réduite :

-a 2 + -b2 - -c 2 = 1.

C' est une surface réglée.

• Hyperboloïde à deux nappes

Équation réduite :

-a 2 + -b2 - -c 2 = -1 .

• Paraboloïde elliptique x2

Équation réduite :

a 2 + b2 = z.

• Paraboloïde hyperbolique x2

Équation réduite :

a 2 - b2 = z .

C'est une surface réglée.

6. 3 Centres de symétrie Tout centre de symétrie d'une surface du second degré f( x , y, z) = 0 vérifie ~

grad f( x , y, z) = 0 , et la recherche d'une forme réduite se fait en prenant pour origine un tel point. -0 0

::J

6.4 Réduction de l'équation d'une surface du second degré

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Soit S une surface algébrique du second degré d'équation f (x, y, z) = 0 où f est un polynôme de degré 2 . Les termes de f de degré égal à 2 définissent une forme quadratique q dont la matrice A est symétrique et réelle. A admet donc trois valeurs propres a , {3, y. •Cas où les trois valeurs propres sont non nulles (soit rg q=3)

Si a, f3 et y sont de même signe, S peut être vide, réduite à un point, ou un ellipsoïde. Si a, f3 et y ne sont pas de même signe, S peut être un cône, un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes.

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272

Géométrie

•Cas où une seule valeur propre est nulle (soit rg q=2)

S peut être vide, un paraboloïde elliptique ou hyperbolique, une droite, deux plans sécants, un cylindre elliptique ou hyperbolique.

•Cas où deux valeurs propres sont nulles (soit rg q=l) S peut être vide, un plan, deux plans parallèles, ou un cylindre parabolique.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Calcul des probabilités

.,.

..·-·-'~

.a a .a

e a. .,.

1. Généralités

-a

-G

1.1 Expérience aléatoire Une expérience aléatoire 8 est une expérience qui, répétée dans des conditions apparemment identiques, peut conduire à des résultats différents. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers n associé à 8. On dit qu'un événement est lié à 8 si, quel que soit le résultat w E n, on sait dire si l'événement est réalisé ou non. On convient d' identifier un tel événement à l' ensen1ble des w E n pour lesquels il est réalisé. Un événement lié à 8 est donc identifié à une partie de n. ,

1.2 Evénements particuliers Un singleton {w} est un événement élémentaire.

n est l'événement certain car il est toujours réalisé. 0 est l'événement impossible car il n' est jamais réalisé.

2. Opérations sur les événements -0 0

::J

"""

.-1

2.1 Evénement contraire A A est réalisé si, et seulement si, A n'est pas réalisé .

@ ~

·c

2.2 Événement A n B

A n B est réalisé si, et seulement si, A et B sont simultanément réalisés.

..c O'I

>Cl.

n n

Plus généralement,

Ai est réalisé si, et seulement si, tous les événements

i= l

sont réalisés. Si An B = 0 , c' est-à-dire si la réalisation simultanée des événements A et B est impossible, les événements A et B sont incompatibles.

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-a U

274

Calcul des probabilités ,

2.3 Evénement A u B Au Best réalisé si, et seulement si, l'un au moins des événements est réalisé. n

Plus généralement,

LJ Ai est réalisé si, et seulement si, au moins un des événei= I

ments est réalisé.

2.4 Système complet d'événements Une partition de Q est un système complet d'événements. Autrement dit, des événements (At) 1 ~i~n forment un système complet s'ils sont n

différents de 0 , deux à deux incompatibles et si

LJ Ai = n. i=I

2.5 Inclusion A c B signifie que la réalisation de A implique la réalisation de B. 2.6 Tribu des événements •Dans le cas où Q est dénombrable, on retient P(Q) = 'Tcomme ensemble des événements liés à 8. • Dans le cas où Q est infini non dénombrable, on retient comme ensemble des événements liés à 8 , une partie 'T de P(Q) qui vérifie les propriétés suivantes : (1) Q E 'T

(2) A E 'T -0 0

A E 'T (stabilité de 'T par passage au complémentaire)

(3) Pour toute suite (A 11 )nEN d'éléments de 'T,

LJ An est encore un élément de

::J

"""

'T (stabilité de 'T par réunion dénombrable)

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

• On dit que 'T est une tribu sur n. Les trois axiomes de définition de 'T entraînent les autres propriétés : (4)

0 E 'T

(5) Pour toute suite (An)nEN d' éléments de 'T,

An est encore un élément de

nEN

'T (stabilité de 'T par intersection dénombrable) • Dans tous les cas, on appelle espace probabilisable lié à l'expérience aléatoire 8 , le couple (Q, 'T) où Q est l'univers des résultats possibles et 'T la tribu des événements liés à 8.

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50 • Calcul des probabilités

275

.,.

..·-·--

3. Probabilité

3.1 Définitions (Q, T) étant un espace probabilisable associé à une expérience aléatoire 8, on appelle probabilité définje sur Q toute application lfl> de <f>(Q) dans ~+ qui vérifie les axiomes suivants :

.a a .a

e a. .,. ~

-a

(A2 ) Pour toute réunion finie ou dénombrable d'éléments de T , deux à deux

incompatibles, on a lP'

(y A;) = ~

IP'(A;).

On appelle alors espace probabilisé le triplet (Q, T, lfl>).

~ 1P est une mesure des événements, l'unité étant telle que la masse totale est égale à 1.

3.2 Propriétés

> -0 0

::J

"""

.-1

Premières propriétés lP(A) = l - JP(A)

0 ~ lfl>(A) ~ l

lfl>( 0) = 0

A c B ==} lfl>(A) ~ lfl>(B)

Probabilité d 'une réunion

- A et B étant des événements quelconques, on a :

IP(A U B) = JP(A) + IP(B) - IP(A n B)

@ ~

..c

- Si (Ai)t ::;;i::;;n est un système complet d'événements, on a: n

·c

i= l

O'I

>Cl.

IP(Aï) = 1.

- A , B et C étant des événements quelconques, on a : l?(A U BUC) = l?(A) + l?(B) + l?(C) - l?(A n B)

- IP(A n C) - IP(B n C) + IP(A n B n C)

- Formule du crible, ou de Poincaré Pour toute famille d'événements (Ai) I ~i~n ' on a:

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:::S

276

Calcul des probabilités n

= L JP(Ai) + ... + (- l)k+l

JP(A l· n · · · n Al·k ) J

i= l

3.3 Construction d'une probabilité sur un univers fini > Cas général Soit Q = {w 1 , . .. , Wn} un univers fini . Notons A i = {wi} les événements élémentaires. Toute probabilité lP est entièrement déterminée par la donnée des nombres réels Pi = lP(Aï) vérifiant :

Probabilité d'un événement quelconque Quand on connaît les probabilités des événements élémentaires, pour obtenir la probabilité de A, on additionne les Pi correspondant aux éléments qui constituent A. Par exemple :

1P ({w1, w2, w3}) =Pi + P2 + p3.

> Probabilité uniforme Sur un unjvers fi.ni Q, l' hypothèse d' équiprobabilité définit la probabilité uniforme donnée par : JP(A) = cardA . cardQ -0 0

::J

"""

card A est souvent appelé << nombre de cas favorables >> et card Q << nombre de cas possibles >>.

.-1

4. Probabilité conditionnelle

..c O'I

·~

Soit (Q, T , JP) un espace probabilisé.

4.1 Définition Soit A un événement tel que P(A) > O. En posant, pour tout événement B : lP (B) = JP(A n B) A JP(A) on définit une probabilité appelée probabilité conditionnelle relative à A.

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50 • Calcul des probabilités

277

JPA (B) se note aussi JP(BIA) et se lit probabilité de B sachant A. ~

La notation lPA est la plus correcte pour désigner une probabilité. La notation JP'(BIA) est la plus pratique, surtout lorsque l'écriture de A se complique. Mais ne croyez surtout pas que (BIA) est un événement. IY;:s:;:::>

.,.

..=

'~ ·-

.a e a.

4.2 Propriétés JPA est une probabilité; elle en a donc toutes les propriétés. Avec l'autre écriture en ligne, on a donc :

JP(BIA) = 1 - JP(BIA) JP(B u CIA) = JP(BIA) + JP(CIA) - JP(B n CIA)

~ Veillez à avoir toujours le même conditionnement A. N 'inventez pas de formule du type : JP(BIA) + JP'(BIA) =??

4.3 Formule des probabilités composées C' est l' égalité précédente écrite en ligne: JP(A n B) = JP(A) x JP(BIA)

et sa généralisation qui commence par : JP(A n B n C) = JP(A) x JP(BIA) x JP(CIA n B). -0 0

::J

"""

.-1

4.4 Formule des probabilités totales Soit (Ai) t ~i~n un système complet d' événements de probabilités toutes non nulles. Pour tout événement B, on a:

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

JP(B) =

i= l

i= I

L JP(B n Aï) = L lP'(Ai) x JP(BIAi).

a -

4.5 Formule de Bayes Soit (A i)I ~i~n un système complet d' événen1ents de probabilités toutes non nulles et Bun événement tel que JP(B) > O. Pour tout j E [l, n], on a: JP(A j lB) = ~(A j) X JP(BIAj)

L JP(Ai) JP(BIAi) X

i= 1

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Calcul des probabilités

278

~ Les Ai sont des hypothèses pour l'événement B. La formule de Bayes donne les probabilités des hypothèses après réalisation de B. Son utilisation peut être facilitée par des représentations graphiques, comme un arbre.

5. Indépendance en probabilité ,

5.1 Evénements indépendants

> Définition On dit que deux événements A et B sont indépendants si :

lP(A n B) = lP(A) x lP(B). Si lP(A) > 0 et lP(B) > 0, cela correspond à la fois : - lP(A) = lP(AIB), soit A ne dépend pas de B; - lP(B) = lP(BIA), soit B ne dépend pas de A.

~L'indépendance de deux événements dépend de la probabilité choisie.

Propriété

Si A et B sont indépendants, alors il en est de même pour A et B, pour A et B et pour A et B.

5 .2 Indépendance mutuelle de n événements Des événements A 1 , ••• , An sont mutuellement indépendants, ou indépendants dans leur ensemble, si pour toute partie Ide [1, n], on a: -0 0

::J

"""

(n Ai) rr =

iET

lP(Ai).

iET

.-1

@ ~

~ Cette notion est plus forte que l'indépendance deux à deux.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Par exemple, il peut arriver que trois événements A, B, C soient deux à deux indépendants, mais ne vérifient pas la condition supplémentaire lP(A n B n C) = lP(A) X lP(B) X lP(C) pour l'indépendance d 'ensemble.

5.3 Expériences indépendantes Supposons que des expériences aléatoires successives soient réalisées dans des conditions telles qu'elles soient, a priori, indépendantes. Pour chaque expérience,

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50 • Calcul des probabilités

279

une probabilité a été retenue. Considérons alors un événement A, relatif à l'ensemble des n expériences, noté A = A 1 x · · ·X An, ce qui signifie qu'on s'intéresse à la réalisation successive des événements : A 1 pour la première expérience .. . A 11 pour la n-ième expérience. Alors, pour traduire la situation, on est amené à choisir comme probabilité de A: f (A) = f(Ai) X · · · f (An).

.,.

..·-·-'~

.a a .a

ea. .,. ~

Ce choix de probabilité produit définit l'indépendance des expériences aléatoires. ~ On se place dans cette hypothèse quand on parle d'expériences aléatoires suc- :::S cessives. .!!

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Variables aléatoires

1. Variable aléatoire réelle 1.1 Généralités (Q, T, f ) étant un espace probabilisé, une variable aléatoire réelle est une application: X:Q~ R

Si Best une partie de R, on définit sa probabilité par: IP1(B) = lP (X- 1(B)) à condition que l'image réciproque x- 1(B) appartienne à T. Cette probabilité se note lP(X =a) si B = {a}, lP(a <X< b) si B =]a, b[ ...

1.2 Variable aléatoire discrète

Loi de probabilité

Une variable aléatoire X est discrète quand son univers-image Q 1 = X(Q) est fini ou dénombrable. Dans ce cas, connaître la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de X, c'est connaître les probabilités élémentaires : -0 0

::J

Vxi E n1

JP(X = x;) =Pi·

"""

.-1

~ Il est toujours utile de vérifier que Pi ~ 0 et

L Pi = l.

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

> Fonction de répartition

C'est la fonction F de R dans [O, 1] définie par : Vx E R

F(x) = IP(X ~ x).

Dans le cas discret, comme F(xi) - F(xi_1) = f (X = xi) = Pi, si on connaît la fonction de répartition, on peut reconstituer la loi de probabilité de X par différences successives.

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51 • Variables aléatoires

281

.,.

1.3 Variable aléatoire à densité

Si Q 1 n'est pas dénombrable, on retient pour T la tribu engendrée par les intervalles, dite tribu des boréliens. Connaître la loi de X, c'est donc connaître les probabilités du type JP(a ~ X ~ b), ce qui revient à connaître la fonction de répartition F(x) = JP(X ~ x). Une variable aléatoire X, de fonction de répartition F, est une variable aléatoire à densité (ou variable continue) s'il existe une fonction continue par morceaux f, dite densité de probabilité de X, telle que: Vx E IR

F(x) =

f(t) dt.

Réciproquement, si f est une fonction continue par morceaux telle que 00

f(x) ;;;., 0 pour tout x et

= 1, alors f est une densité de la loi de

f(t) dt

probabilité de fonction de répartition F(x) =

f(t) dt.

Propriétés En tout point où f est continue, Fest dérivable et F' (x) = f(x). Si a < b, IP'(a < X < b) = Va E IR -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

f(t) dt.

JP(X = a) = 0.

~ Voilà de quoi surprendre : un événement dont la probabilité est nulle et qui n'est pas impossible. En fait, c'est comme la longueur d'un point qui est nulle, bien que le point (formalisé) ne soit pas vide. Mais savoir qu'une catastrophe majeure a une probabilité négligeable ne la rend pas impossible : désolé de perturber votre sommeil!

·c

>Cl. 0

1.4 Espérance mathématique et variance

Cas d'une variable discrète

Sous réserve que les séries soient absolument convergentes, on définit : l'espérance mathématique: E(X) =

..·-·-'~

Loi de probabilité

Xï Pi;

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.a a .a

e a. .,. ~

~ :::S

..!:! a CJ

282

Calcul des probabilités

la variance: V(X) =

~ (x; - E(X) ) Pi= ( ~ xf p;)- ( E(X) ) 2

l' écart type: a-(X) = /V(X).

~ Pour une série numérique, la convergence absolue est équivalente à la convergence commutative; c'est-à-dire que la somme ne dépend pas de l'ordre des termes.

Cas d'une variable à densité

Sous réserve que les fonctions à intégrer soient sommables, on définit : 00

l'espérance mathématiqne: E(X) = la variance: V(X) =

+00

tf(t) dt ;

(t - E(X)) f(t) dt

t2 f(t) dt- ( E(X))

l'écart type: a-(X) = /V(X).

1.5 Fonction d'une variable aléatoire

> -0 0

::J

Cas d'une variable discrète

Soit X une variable aléatoire discrète et <.p une fonction de IR dans IR. <.p(X) est une variable discrète dont l'espérance mathématique (si elle existe) est donnée par :

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

Soit X une variable aléatoire continue de densité f et <.p une fonction de IR dans IR, bijective avec <.p - 1 dérivable. <.p(X) est une variable continue dont l'espérance mathématique (si elle existe) est donnée par :

>Cl.

Cas d'une variable à densité

1: 00

E (rp(X)) =

rp(t) f(t) dt.

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51 • Variables aléatoires

.,.

Transformation affine V(aX + b) = a V(X).

' re'du1te . assoc1ee . ' a. . X . - E(X) est 1a varia . ble centree Y = X o-(X) On a E( Y) = 0 et V (Y) = 1.

Cas d'une variable discrète

mk = E(Xk) = L ~Pi l

µk = E [X - E(X)]k =

L (xi - E(X))kPi i

Cas d'une variable à densité

Sous réserve de sommabilité des fonctions à intégrer : 00

=E(Xk) =

x1' f(x) dx

1: 00

µk = E [X - E(X)t =

(x - E(X))kf(x) dx

Égalités remarquables

mo = 1 ; m1 = E(X) ; µo = 1 ; µ 1 = 0 ; µ 2 = o-2 -0 0

::J

"""

.-1

µ1 = m2 - mf (théorème de Koenig) µ3 = m3 - 3m1m2 + 2m~

µ4 = m4 - 4m1m3 + 6mfm2 - 3m{.

..c O'I

·c

>Cl.

2. Variable aléatoire vectorielle

2 .1 Couple de variables aléatoires Soit X et Y définies sur le même espace probabilisé.

Cas de deux variables discrètes

Connaître la loi du couple, c'est connaître les probabilités élémentaires :

Vxi

Vyj

e a. ~

-a

-u ::s

Sous réserve de convergence absolue des séries :

.a a .a

.,.

1.6 Moments mk et moments centrés µk d'ordre k EN

..·-·-'~

E(aX + b) = aE(X) + b

283

JI»(X =xi et Y= Yj) = Pij·

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-ua

284

Calcul des probabilités

On peut en déduire les lois marginales de X: P(X =xi)= LPij =Pi. j

de Y: P(Y = YJ) = LPiJ = P.J Mais, en général, les lois marginales ne permettent pas de reconstituer la loi du couple (X, Y).

Cas de deux variables à densités

La fonction de répartition du couple (X, Y) est définie sur IR2 par: F(x,y) = l?(X ~ x et Y~ y).

Le couple (X, Y) a une densité s'il existe une fonction de densité de probabilité f telle que:

ly j •X

V(x,y) E 1R2

F(x, y) =

- oo

f(u, v) dvdu.

On alors:

JP> ( (a .;; X .;; b) et (c .;; Y.;; d)) =

lbld

f(u, v) dvdu.

On peut en déduire les densités marginales +00

de X:

/1 (x) = _

f(x, y) dy

1: 00

-0 0

::J

"""

.-1

·c

& 0

de Y: fz(y) =

f(x,y) dx

Mais, en général, ces densités marginales ne permettent pas de reconstituer la densité du couple (X, Y).

2.2 Lois conditionnelles

> Cas de deux variables discrètes Loi de X pour Y = Yj fixé : mi(X _ .If"

·IY -_ Y1·) -_ f (X = xi et Y= Yj ) -_ Pij

l?(Y = Y.i)

Loi de Y pour X = xi fixé :

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P.j

51 • Variables aléatoires

285

.,.

..·-·-'~

Cas de deux variables à densités

Densité conditionnelle de X pour Y= y fixé : f(xly) =

j;(}/

Densité conditionnelle de Y pour X = x fixé : f (ylx) = f(x, y) f1(x)

2.3 Indépendance de deux variables aléatoires > Cas de deux variables discrètes V(i, j) Pij = Pï. P.J· > Cas de deux variables à densités V(x,y) E R2 f (x, y) = fi (x) f2(y). 3. Opérations sur les variables aléatoires Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé. Cumrne il s'agit de fonctions de Q dans R, la somme X+ Y et le produit XY se définissent immédiatement. Mais pour connaître les lois de probabilité, il faut connaître la loi conjointe du couple (X, Y) et pas seulement les lois marginales de X et de Y.

3.1 Lois de probabilité -0 0

::J

""'"

.-1

Cas de deux variables discrètes

L'univers-image de Z =X+ Y est constitué par les réels Zk du type Zk = Xi+ YJ et on a:

JP(Z = Zk ) =

P i}

..c

·c

>Cl.

la somme étant étendue à tous les couples (i, j) tels que la somme xi +Yi soit égale au réel fixé Zk·

Pour le produit, le résultat est analogue en considérant des produits à la place des sommes.

Cas de deux variables à densités

Si f est la densité du couple (X, Y), la densité de la loi de X+ Y est: 00

g(x) =

f(t , x - t) dt=

f(x - u, u) du.

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.a a .a

e a. .,. ~

-a

-u ::s

-ua

286

Calcul des probabilités

3.2 Covariance, corrélation Si X et Y admettent des moments d'ordre 2, leur covariance est : Cov (X, Y)= E [(X - E(X)) (Y - E(Y))]. Leur coefficient de corrélation est : Cov (X, Y) PXY = o-(X) o-(Y)

~ On dit que X et Y sont corrélées si PxY -::f.: 0, et non corrélées si PxY = O.

3.3 Paramètres > Cas général E(X +Y)= E(X) + E(Y) V(X +Y)= V(X) + V(Y) + 2 Cov (X, Y)

>- Cas où X et Y sont indépendantes Cov (X, Y)= 0 V(X +Y)= V(X) + V(Y) E(XY) = E(X)E(Y)

Mais il peut arriver que ces relations soient vérifiées sans que X et Y soient indépendantes. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Lois usuelles

.,.

..·-·-'~

.a a .a

1. Variables aléatoires discrètes

e a. .,. ~

-a

-u ::s

-ua

1.1 Loi uniforme

Situation modélisée

On tire au hasard parmi les entiers de 1 à n. Ils sont tous équiprobables et on note X le nombre obtenu.

Loi de probabilité

X suit la loi uniforme sur l'intervalle [1 , n] si l'univers-image est [1, n] et si :

1 JP(X = k) = - · n

Vk E [1, n]

Espérance et variance

E(X)

1.2 Loi de Bernoulli -0 0

::J

"""

.-1

X suit la loi de Bernoulli de paramètre p E]O,p[, notée :B(p) ou :B(l,p), si

l' univers-image est {0, 1}, et si :

lP(X = 1) = p ; lP(X = 0) = 1 - p = q

..c O'I

·c

>Cl. 0

Loi de probabilité

Situation modélisée

On considère une épreuve ayant deux issues possibles : A avec une probabilité p, A avec une probabilité 1- p. La variable aléatoire qui vaut 1 si A est réalisée et 0 si A n'est pas réalisée, suit :B(p).

Espérance et variance E(X) = p

V(X) = pq.

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288

Calcul des probabilités

1.3 Loi binomiale

Situation modélisée

On obtient une loi binomiale quand : - on répète n fois la même expérience aléatoire, les n répétitions étant indépendantes entre elles ; - on s'intéresse seulement à la réalisation ou non d'un événement fixé A de probabilité p, et on pose q = 1 - p ; - on considère la variable aléatoire X égale au nombre de fois où A a été réalisé. En langage imagé, on dispose d'une urne constituée de boules présentant un type A dans la proportion p. On effectue n tirages avec remise et on compte le nombre de boules de type A obtenues.

Loi de probabilité

X suit la loi binomiale de paramètres n E N* et p E]O, 1[, notée :B(n, p), si

l'univers-image est [0, n] et si : Vk E [0, n]

Espérance et variance E(X) = np

V(X) = npq.

> Stabilité Si X suit la loi :S(n 1, p) et Y la loi 13(n2, p ), et si X et Y sont indépendantes, alors X+ Y suit 13(n1 + n2, p). -0 0

::J

"""

.-1

1.4 Loi hypergéométrique

Situation modélisée

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

En langage imagé, on dispose d'une urne constituée de N boules dont K présentent un type A. On prélève n boules sans remise et on compte le nombre X de boules de type A obtenues. En fait la loi hypergéométrique est peu utilisée : on l'approxime par une loi binomiale dès que la taille N de la population est grande par rapport à la taille n de l'échantillon.

Loi de probabilité

Une loi hypergéométrique, notée 1-((N, n, p ), dépend de trois paramètres entiers positifs : N, n ~Net p = K proportion des éléments de type A. n

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52 • Lois usuelles

289

En notant l Ie plus petit des deux entiers K et n, l'univers-image est [O, l] et on a: Vk E [0, l]

IP'(X

=k) =

m(~,J~::n

Espérance et variance

N-n

V(X) = npq N _ l

N-1

1.5 Loi géométrique Situation modélisée

Dans les hypothèses qui conduisent à la loi binomiale, on obtient la loi géométrique quand la variable aléatoire X désigne le temps d'attente de l'événement A, c'est-à-dire le rang de la première réalisation de A.

Loi de probabilité

X suit la loi géométrique de paramètre p E ]0, 1[ si l'univers-image est N* et SI :

Vk E N*

JP(X = k) = p qk- t.

Espérance et variance

E(X) = _! p

-0 0

::J

V(X) = q p2

"""

.-1

@ ~

1. 6 Loi de Poisson

Situation modélisée

..c O'I

·c

>Cl. 0

La loi de Poisson est utilisée pour modéliser le nombre d'apparitions d'un événement rare (cf fiche 53, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson)

Les humoristes apprécieront aussi son usage pour décrire la répartition des tâches de rouille sur la coque d'un bateau de pêche!

> Loi de probabilité X suit la loi de Poisson de paramètre À > 0, notée P(À), si l'univers-image est

N et si:

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.a a .a

e a. ~

N -n est 1e f acteur d' exhaustiv1te. .. " -

..·-·-'~

.,.

En posant p = ~ et q = 1 - p, on obtient : E(X) = np

.,.

-a

-u ::s

-ua

290

Calcul des probabilités

VkE N

Espérance et variance E(X) =À

V(X) =À.

Stabilité

Si X suit la loi P(J 1) et Y la loi P(À2), et si X et Y sont indépendantes, alors X+ Y suit P(À 1 + À2).

2. Variable aléatoire à densité 2.1 Loi uniforme

> Densité X suit la loi uniforme sur le segment [a, b], notée 1J ([a, bJ), si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par:

f(x) =0

six tt. [a, b] 1

{ f(x) = b - a

Espérance et variance E(X)

-0 0

::J

"""

six E [a, b]

=a;

V(X) = (b - a)2 .

~ En statistique descriptive, quand les données sont groupées en classes, le réflexe qui consiste à remplacer chaque intervalle par son milieu est fondé sur l'hypothèse de répartition uniforme. Comme E(X) est le milieu de l'intervalle, la moyenne est inchangée. Mais la variance est modifiée. On peut alors utiliser

.-1

@ ~

..c O'I

la correction de Sheppard (retrancher fondée sur le calcul de V(X).

h2 12

où h est l'amplitude des classes)

·c

>Cl. 0

Théorème

X suit la loi uniforme 11([0, lJ) si, et seulement si, Y = a + (b - a)X suit

U([a, bJ) . À partir de la loi uniforme 1J ([O, 1]), on peut donc générer la loi unifom1e sur n'importe quel segment.

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52 • Lois usuelles

291

2. 2 Loi exponentielle

Densité

X suit la loi exponentielle de paramètre À > 0, notée Ô(À), si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par: Si X< Û

f(x) = 0 { f(x) = À e -,lx

Si X~ Û

-u

V(X)

::s

-ua

= ~2

Caractérisation de la loi exponentielle JP(X > a) > 0

{ V(a, b) E (IR+) 2

JP(X >a+ b 1 X> a)= JP(X > b)

On dit que la loi exponentielle caractérise les processus sans mémoire.

Théorème

X suit la loi exponentielle 8(1) si, et seulement si, Y= : X suit la loi exponentielle 8(À). À partir de la loi exponentielle 8(1), on peut donc générer toutes les lois exponentielles. -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

2.3 Loi normale ou loi de Gauss, ou loi de Laplace-Gauss > Densité X suit la loi de Gauss de paramètresµ et a-, notée N(µ, a-) si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par :

e a. ut

Espérance et variance

Va E IR+

.a a .a

-a

E(X)

..·-·-ut

1 ( (x-µ) ) f(x) = _r;c exp . a- V 2n 2a-2

> Espérance et variance E(X) = µ

V(X) = a-2.

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292

Calcul des probabilités

Loi normale centrée réduite La variable centrée réduite Z = X - µ suit la loi N(O, 1). <T Tout problème relatif à X se ramène à Z et on dispose (support papier ou électronique) de plusieurs tables concernant Z. - La table de la fonction de répartition notée dans ce cas particulier <l>(x) (ou Il(x)) pour la distinguer de la notation générale F(x).

.r.

Un réel x étant donné (arrondi à 10- 2 sur support papier), la table donne (x) pour x ~O. Pour x < 0, on a: (-x) = 1 - (x).

- La table des écarts réduits

-0 0

()

::J

"""

.-1

@ ~

..c

·c

>Cl. 0

Une probabilité œ étant donnée (arrondie à 10- 2 sur support papier), la table donne la valeur Za > 0 telle que P(IZI ~ Za) = a.

Stabilité

Si X suit la loi N(µ 1 , a- 1) et Y la loi N(µ2, a-2), et si X et Y sont indépendantes, alors X+ Y suit N

(µ1 + µ 1, V<TT+ a-~)·

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.,.

..·-·--

lill et approximations

Convergences

.a a .a

e a. .,. ~

-a

-u

1. Convergence en probabilité

::s

-ua

1.1 1négalités

>- Inégalité de Markov Si X est une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2, alors :

E(X2 ) Vs> 0 JP> ( IXI ~ s) ~ s2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Si X est une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2, alors : Vs> 0

JP (IX - E(X)I ~ s) ~

V(X)

~ La majoration fournie est assez médiocre. Mais c'est une étape préliminaire pour démontrer des résultats plus importants. -0 0

::J

"""

.-1

1. 2 Convergence en probabilité Si (Xn) et X sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, on dit que (Xn) converge en probabilité vers X si :

Vs> 0

..c

lim 1P(IX11 - XI> s) =O.

l'/,~00

O'I

·c

>Cl. 0

1.3 Loi faible des grands nombres

> Cas général Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes adn1ettant la même espérance µ et la même variance a-2 . 1 n En notant Mn = Xi, on a : n

i=l

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294

Calcul des probabilités

lim f>(IXn - µI > r;) = O.

n --+oo

La suite des moyennes (M,,,,) converge donc en probabilité vers la variable certaine égale àµ.

Cas des fréquences

Dans une suite d' épreuves répétées, la suite (Fn) des fréquences observées d'un événement de probabilité p converge en probabilité vers p.

~ N'imaginez pas que la suite des fréquences observées est monotone et qu'un numéro moins sorti que d'autres depuis la création du loto va rattraper son retard lors du prochain tirage !

2. Convergence en loi 2.1 Définition Soit (X11 ) une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, de fonctions de répartition respectives F 11 • Soit X une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé, de fonction de répartition F. On que (X11 ) converge en loi vers X xi, en tout point x où Fest continue, on a: lim F 11 (x) = F(x).

n--+oo

2.2 Comparaison des modes de convergence -0 0

::J

"""

.-1

Si (X11 ) converge en probabilité vers X, alors (X11) converge en loi vers X. La réciproque est fausse.

@ ~

..c

2.3 Cas particulier des variables discrètes

O'I

·c

>Cl. 0

Si les variables X11 et X sont toutes discrètes, d'univers image Q 1, la convergence en loi de Xn) vers X peut s'écrire : lim JP(Xn = Xi) = JP(X = Xi ) .

n--+oo

2.4 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson Soit (Xn) une suite de variables aléatoires discrètes telles que, pour tout n E N*, X 11 suive la loi binomiale 13(n, Pn) avec lim n Pn = À (avec À > 0). n--+oo

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53 • Convergences et approximations

295

Alors (Xn) converge en loi vers une variable aléatoire discrète X qui suit la loi de Poisson P(A), c'est-à-dire: Àk

.a a .a

lim IP(Xn = k) = e-A k!

n~oo

e a.

2.5 Théorème de la limite centrée

Notation

Soit (Xn)nEN* une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, deux à deux indépendantes, toutes de même loi d'espéranceµ et de variance a-2.

On note M11 = - ~Xi leur moyenne. n i= l

Cumrne E(Mn) =µet V(M11 ) = ~ (grâce à l 'indépendance) n

M~ = ~est la variable centrée réduite associée à M •. a-2

Théorème

La suite (M,:) converge en loi vers une variable X qui suit la loi normale centrée réduite N(O; 1) c'est-à-dire que, si a< b, on a:

lim IP'(a < M~ < b) = {b -~exp n~oo l a v2n

> -0 0

::J

"""

(-t2 dt. 2

)

Remarque

Ce théorème permet de comprendre l'importance de la loi normale puisqu 'il signifie que la somme d'un grand nombre de grandeurs aléatoires comparables et indépendantes peut se modéliser par une loi de Gauss.

.-1

3. Approximations

..c O'I

·c

>Cl. 0

Les théorèmes de convergence qui précèdent conduisent à approximer une loi par une autre loi plus facile à utiliser. Ces théorèmes sont des limites lorsque n tend vers l'infini. Mais on ne va pas attendre l'infini pour s'en servir ! On va donc fixer des seuils qui sont des conventions variables suivant les auteurs et même suivant les habitudes des pays. D'une façon générale, le choix résulte d'un compromis : plus les bon1es choisies sont élevées, meilleure est l'approximation, mais moins souvent on s'en sert.

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..·-·-ut

ut ~

-a

-u ::s

-ua

296

Calcul des probabilités

3.1 Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale Quand la taille N de la population est grande par rapport à la taille n de l'échantillon, on approxime la loi hypergéométrique par la loi binomiale !B(n, p ). La borne choisie est : N ~ 10 n. Autrement dit, quand un prélèvement se fait sans remise, mais qu' il ne dépasse pas 10 % de la population, on peut l'assimiler à un tirage avec remise.

3.2 Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson Lorsque n ~ 30, p ~ 0, 1 avec np ~ 10, on peut remplacer la loi binomiale !B(n, p) par la loi de Poisson de même espérance, soit P(np).

3.3 Approximation d'une loi binomiale par une loi normale En posant q = 1 - p , lorsque n ~ 30, np ~ 5, nq ~ 5, on peut remplacer la loi binomiale !B(n, p) par la loi normale de même espérance et de même écart type, soit N (np, .ynjiq). Attention, on approxime ici une loi discrète (information : probabilité des points) par une loi à densité (information : probabilité des intervalles). Dans ce cas, il est préférable d ' utiliser la correction de continuité.

> -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

Correction de continuité

Si k1 et k1 sont deux entiers compris entre 0 et n, les intervalles ]k1 , k1[ et [k 1, k2 ] n'ont pas la même probabilité pour la loi binomiale, alors qu'ils ont la même probabilité pour la loi normale. On peut corriger cette différences en décalant les bornes entières de 0, 5, en remplaçant ]k1, k1[ par ]k1 + 0, 5, k2 - 0, 5[ et [k1 , k1] par [k1 - 0, 5, k1 + 0, 5]. De la même façon on peut estimer la probabilité JP(X = k) relative à la loi binomiale par JP(k - 0, 5 ~X ~ k + 0, 5) calculée avec la loi normale.

·c

>Cl. 0

3.4 Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale Lorsque /l ~ 15, on peut remplacer la loi de Poisson P(/l) par la loi normale de même espérance et de même écart type, soit N (À, VA) . Là encore on remplace une loi discrète par une loi à densité. La correction de continuité est donc conseillée.

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l2!I tests statistiques

Estimation,

.,.

..·-·-'~

.a a .a

e a. .,. ~

-a

-u ::s

-ua

1. Estimation ,

1.1 Echantillonnage On s'intéresse à l'étude d'un caractère dans une population à laquelle on n'a pas accès. Si on extrait plusieurs échantillons représentatifs de taille n fixée, les différences observées entre les résultats obtenus sont dues à des fluctuations d'échantillonnage. À partir d' un échantillon, on n'a donc pas de certitudes, mais des estimations de paramètres. L' échantillonnage est dit non-exhaustif si le tirage des n individus constituant l' échantillon a lieu avec remise. Il est exhaustif si le tirage est réalisé sans remise. En fait, le plus souvent la taille d'un échantillon est faible par rapport à celle de la population et on assimile alors l'échantillonnage au cas non-exhaustif.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl.

L' échantillon utilisé doit être représentatif de la population, c'est-à-dire reproduire les catégories pertinentes pour l'étude effectuée. Pour un sondage d' opinion on reproduit les tranches d'âge, mais on ne tient pas compte de la couleur des cheveux. L' échantillon doit être constitué de manière aléatoire et non par volontariat (ce sont les râleurs qui téléphonent), ou par commodité (prélever des épis de blé seulement en bordure du champ). Pour estimer un paramètre e relatif à la population on utilise, soit une estimation ponctuelle (un seul nombre), soit un intervalle de confiance.

1.2 Estimateur Une variable aléatoire Tn, associée à un échantillon de taille n, est un estimateur sans biais d'un paramètre () si E(Tn) = B. Dans le cas contraire, l' estimateur est dit biaisé. Tn est asymptotiquement sans biais si lim E(Tn) =B. n~oo

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298

Calcul des probabilités

Tn est un estimateur convergent de ()si la suite (Tn) converge en probabilité vers 8, c'est-à-dire :

Ve> 0

lim P(ITn - BI > c) =O.

n~oo

Pour ceci, il suffit que Tn soit sans biais et que lim V(T11 ) = O. ll~OO

~ La variance étant un indicateur de dispersion, on préfère un estimateur sans biais, convergent, dont la variance soit aussi faible que possible.

1.3 Estimation d'une moyenne et d'une variance

> Notations On étudie sur la population un caractère quantitatif X dont la moyenne µ et la variance a-2 sont à estimer. Pour un échantillon de taille n, on note x 1, . .. , X n les valeurs observées et X1 , ... , Xn les variables aléatoires associées. On définit deux variables aléatoires :

X= ~ n

L Xi qui prend pour valeurs les moyennes des échantillons de taille n ; i=l Il

Ve = ~ n i= l taille n.

Lcxi - X) qui prend pour valeurs les variances des échantillons de

> -0 0

Estimation ponctuelle d'une moyenne

Théorème

::J

E(X) = µ

V(X) = ~

"""

.-1

X est donc un estimateur sans biais, convergent, deµ.

..c O'I

·c

>Cl.

Dans la pratique, on dispose d'un seul échantillon et on retient comme estimation de la moyenne théorique µ la moyenne x de l'échantillon.

Estimation ponctuelle d'une variance Théorème n-l 2 E(Ve) = a- . n Ve est donc un estimateur biaisé de a-2 . Pour obtenir un estimateur non biaisé on considère S 2 = n Ve. Ces deux estimateurs sont convergents. n- l

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54 • Estimation, tests statistiques

299

Dans la pratique, on dispose d'un seul échantillon et on retient comme estimation de la variance théorique a-2 la variance estimée : 1 n

..·-·-ut

i= l

.a a .a

~ C'est ce nombres qui est donné par les calculatrices avec des notations du type : S, s X1 <Tn-1' .. .

s2 =

'""""'(xi - :X)2. n-1 D

ea. ~

-a

Estimation d 'une moyenne par intervalle de confiance

Cas d'une population gaussienne (a- connu) Si X suit une loi normale, alors X suit 1a loi normale N (µ, ~) . Pour un risque a donné, on lit l'écart-réduit Zœ dans la table 2 et on peut affirmer, avec un risque a de se tromper, que : - za <

x-µ a- < Za

soit: µ E ] X - Zœ

~ , X + Zœ ~ [ .

Cas d'une population gaussienne (a- inconnu) La variable aléatoire T = X ~ µ suit la loi de Student à v = n - 1 degrés de

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

liberté. Pour un risque a donné, on lit le nombre ta dans la table 3 et on peut affirmer (au risque a) que : s s [ µ E X - ta Yn , X + ta Yn .

Cas d'une loi quelconque et d'un grand échantillon Si n ~ 30, la variable aléatoire Z = X~µ suit approximativement la loi nor-

male centrée réduite. L'intervalle de confiance deµ (au risque a) s'écrit donc: ] X -

Zœ

:rn,

X+ Zœ

:rn [.

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-u::s

-ua

300

Calcul des probabilités

1.4 Estimation d'une proportion

> Notations Si la population est formée d' individus ayant ou non un caractère A, on définit la variable aléatoire P qui prend pour valeurs les proportions observées p de A sur des échantillons de taille n, supposés tirés avec remise. Soit rr la probabilité pour qu'un individu, pris au hasard dans la population, présente le caractère A. C'est rr qu'il s'agit d'estimer.

Estimation ponctuelle d'une proportion

Théorème rr(l - rr) n Pest donc un estimateur sans biais, convergent, de rr. E(P) = rr;

V(P) = - -

Dans la pratique, on dispose d'un seul échantillon et on retient comme estimation de la proportion théorique rr la fréquence p de l'échantillon.

Estimation d'une proportion par intervalle de confiance

nP, nombre d'individus ayant le caractère A dans un échantillon de taille n, suit la loi binomiale 13(n, rr). On peut en déduire un intervalle de confiance de rr par cumul de probabilités élémentaires, ce qui est très pénible sans ordinateur. Si on peut approximer la loi binomiale par une loi de Gauss, alors Z = -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

P- rr

rr(l - rr)

n suit approximativement la loi normale centrée réduite. On peut donc dire (au risque œ) que : rr(l - rr) Jrr(l - rr) p- zœ J ~rr~p+zœ . n n Pour expliciter les bornes, on peut remplacer rr par p , ce qui donne l'intervalle de confiance : p(l - P) p(I - P) [ , P + Zœ · P - Zœ

] J

>- Intervalle de pari d'une proportion Avec les mêmes notations, on peut dire (au risque œ) que:

rr -zœ J

rr(l - rr)

~p~rr+zœ

Jrr(l - rr)

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54 • Estimation, tests statistiques

301

Quand on connaît la norme n, on peut donc parier, avant expérience, que p appartiendra à l'intervalle de pari, ou de fluctuation :

7T - Za

7r( 1 - 7r) . , 7T + Zct n

;r( 1 - 7r> [ • n

.,.

..·-·-'~

.a a .a

e a. .,.

2. Tests statistiques

-a

-u ::s

2.1 Test d'une hypothèse simple contre une hypothèse simple

Objectif

On formule une hypothèse nulle Ho qu'il s'agit de rejeter ou de valider. Si la conclusion est le rejet de H 0 , ce sera au bénéfice d'une hypothèse alternative H 1 précisée au préalable. Par défaut, il s'agit du contraire de Ho.

Risques

L'information étant incomplète, toute décision est associée à une prise de risque. Si on décide que Ho est fausse, le risque de se tromper est noté œ et s'appelle risque de première espèce. Si on décide que Ho est vraie, le risque de se tromper est noté f3 et s'appelle risque de deuxième espèce.

-0 0

::J

Le concepteur d'un nouveau test s'intéresse à la puissance du test qui est 1-/3. L'utilisateur d'un test s'intéresse au risque œ et ses conclusions sont donc:

"""

.-1

Ho rejetée au risque œ ;

@ ~

Ho non rejetée (ou acceptée) au risque œ.

..c O'I

·c

>Cl. 0

Fonctionnement

Dans chaque situation, on dispose d' un théorème dont le schéma est le suivant: Si Ho est vraie, et si on a des hypothèses de fonctionnement, alors une variable de décision X suit une loi théorique connue. On repère la valeur idéale que devrait prendre X. On choisit un risque œ (souvent 0, 05) et on détermine une zone (souvent en deux morceaux), de probabilité œ, éloignée de cette valeur idéale.

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-ua

302

Calcul des probabilités n

2 c

Hn rc,ietéc

Si la valeur prise par X appartient à cette zone critique, on décide de rejeter Ho au risque œ; sinon on accepte H0 .

~ Les logiciels déterminent souvent le risque minimum œ pour lequel on rejette Ho. Il vous reste alors à apprécier si ce risque est acceptable ou non.

Exemples d'utilisation

- Comparer un échantillon à une référence théorique L'hypothèse Ho consiste à supposer que les différences observées sont suffisamment faibles pour être explicables par les hasards du tirage au sort. Il s'agit d'un test de conformité.

- Comparer plusieurs échantillons L'hypothèse Ho consiste à supposer qu'ils proviennent d'une même population, c'est-à-dire que les différences observées sont explicables par les fluctuations d'échantillonnage. Il s'agit d'un test d'homogénéité.

Test bilatéral ou unilatéral?

Si le test utilisé montre une différence qui conduit à rejeter Ho, donc à accepter H 1 , on dit que le test est significatif. -0 0

::J

"""

.-1

Si le signe de la différence n' a pas d'importance pour l'expérimentateur, il s'agit d'un test bilatéral. Si le signe de la différence est important pour l'expérimentateur, on utilise un test unilatéral.

..c O'I

·c

>Cl. 0

~L'exemple typique est celui de l'efficacité d'un médicament. On a alors:

Ho : le nouveau médicament a une efficacité qui ne diffère pas de celle du traitement de référence ; H 1 : le nouveau médicament est plus efficace que le traitement de référence; l'effet ne doit pas être négatif.

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54 • Estimation, tests statistiques

303

2.2 Comparaison de deux fréquences

Comparaison d'une fréquence observée et d'une proportion théorique

Position du problème Dans une population, on étudie un caractère statistique à deux modalités A et A ; par exemple, dans une production, une pièce est défectueuse ou non. Soit n la proportion de A dans la population et p la fréquence d' apparition de A dans un échantillon de taille n. Le problème est de savoir si la différence entre n et p est significative. Notons Pla variable aléatoire dont p est une réalisation sur un échantillon de taille n.

Hypothèse nulle Ho : la fréquence observée f est conforme à la fréquence théoiique p. On va effectuer un test bilatéral si H 1 est le contraire de H0 . Mais il est possible que p soit a priori supérieure (ou inférieure) à n. Il s'agit alors d'un test unilatéral où H 1 s' écrit: la différence entre pet n est trop importante (avec un signe connu au départ) pour être explicable par les fluctuations d'échantillonnage. Théorème Supposons que l'on puisse approximer la loi binomiale par une loi normale, soit n ~ 30, np ~ 5 et n(l - p) ~ 5. Alors, si Ho est vraie, la variable aléatoire

P-n

Jrr(l: rr)

Z= - ::::===

suit approximativement la loi normale centrée réduite. -0 0

::J

"""

.-1

Décision On calcule la valeur z prise par Z. Le risque œ étant choisi, on conclut suivant la zone où se situe z.

Test bilatéral

..c O'I

·c

>Cl. 0

_.,, '-'( 1

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..·-·-ut

.a a .a

e a. ut ~

-a

-u ::s

-ua

304

Calcul des probabilités

Test unilatéral

Z2,,

> Comparaison de deux fréquences expérimentales Position du problème

Dans deux populations P 1 et P 2 , on étudie un caractère statistique à deux modalités A et A. Les fréquences d'apparition de A dans les populations P 1 et P 2 sont les nombres (inconnus) Jr1 et Jr2 . De P 1 et P 2 , on extrait deux échantillons de tailles n 1 et n2 dans lesquels les proportions observées de A sont p 1 et p 2 . Le problème est de savoir si la différence entre p 1 et p 2 est significative, ou, au contraire, explicable par les fluctuations d'échantillonnage. Hypothèse nulle (Ho) : n1 = n2 = n.

Si des raisons expérimentales a priori le justifient, on peut faire un test unilatéral. Par défaut, le test est bilatéral. -0 0

::J

Théorème

Sous (H0 ), on peut réunir les deux échantillons et estimer JT par : k1 + k2

"""

.-1

JT= - - -

n1p1 + n2P2

@ ~

..c O'I

·c

La variable aléatoire

>Cl. 0

suit approximativement la loi normale centrée réduite. Décision

Comme dans le test qui précède ; seule la formule de calcul de z diffère.

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54 • Estimation, tests statistiques

305

.,.

2.3 Comparaison de deux moyennes

> Comparaison d'une moyenne expérimentale et d'une moyenne théorique Position du problème

.a a .a

Dans une population, on étudie un caractère quantitatif X et on note E(X) = µ et V(X) = cr2 .

.,.

Sur un échantillon de taille n, les mesures observées ont pour moyenne x et pour variance estimée s2 . On connaît x, s 2 etµ et il s'agit de comparer x etµ.

Hypothèse nulle

Ho : x est conforme àµ. Il n'y a pas de différence significative entre la moyenne observée et la norme théorique. Si des raisons expérimentales a priori le justifient, on peut faire un test unilatéral. Par défaut, le test est bilatéral.

Cas d 'une population gaussienne (cr connu) La variable aléatoire Z = X ~ µ suit la loi normale centrée réduite. Vn La règle de décision en résulte (cf premier test sur les fréquences).

Cas d'une population gaussienne (cr inconnu)

-0 0

::J

"""

.-1

La variable aléatoire T = X ~ µ suit la loi de Student à Vn v = n - 1 degrés de liberté. La règle de décision est analogue à ce qui précède, en remplaçant Za (table 2) par ta (table 3).

- Cas d'une loi quelconque et d'un grand échantillon

..c O'I

·c

>Cl.

..·-·-'~

Si n ~ 30, la variable aléatoire Z = X~µ suit approximativement la loi nor-

male centrée réduite. La règle de décision en résulte.

> Comparaison de deux moyennes expérimentales (échantillons indépendants) Position du problème Dans deux populations P 1 et P 2 , on étudie une variable aléatoire X. On note:

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ea. ~

i:s

-u::s

-ua

306

Calcul des probabilités

µ 1 et <TT la moyenne et la variance de X dans P 1 ;

µ 2 et <T~ la moyenne et la variance de X dans P 2 . Tous ces nombres sont inconnus. De P 1 , on extrait un échantillon de taille n 1 pour lequel on calcule la moyenne :X 1 et la variance estimée sf. De P 2 , on extrait un échantillon de taille n2 et on calcule x2 et s~. Le problème est de savoir si la différence entre x 1 et :X2 est significative, ou, au contraire, explicable par les fluctuations d'échantillonnage.

Hypothèse nulle Ho: µ1 = µ 1. Si des raisons expérimentales a priori le justifient, on peut faire un test unilatéral. Par défaut, le test est bilatéral.

- Cas de grands échantillons Si n 1 ;;:::: 30 et n2 ;;:::: 30, sous Ho, la variable aléatoire Z =

X1 - X2 s2 __!..

s2 --1.

suit ap-

proximativement la loi normale centrée réduite. La règle de décision en résulte.

Cas de petits échantillons extraits de populations gaussiennes

-0 0

::J

"""

.-1

Faisons l'hypothèse supplémentaire <TT = <T~ . Cette valeur commune <T2 est alors estimée par : .--.. (n1 - l)sf + (n2 - l)s~ <T2 = - - - - - - - - ni+ n1 - 2 Dans ces hypothèses, la variable aléatoire

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

suit la loi de Student à v = n 1 + n2 - 2 degrés de liberté. La règle de décision en résulte.

Comparaison de deux moyennes expérimentales (échantillons appariés)

Position du problème Deux échantillons sont appariés si les mesures sont associées par paires ; c' est-

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54 • Estimation, tests statistiques

307

à-dire que chaque mesure x 1,i du premier échantillon est associée à la mesure x 2 i du deuxième échantillon. Cela entraîne la condition nécessaire n 1 = n 2 = n. '

~ Pour étudier l'efficacité d'un traitement il faut comparer des individus avant et après traitement. Si les individus sont interchangeables, on prend deux échantillons indépendants. Mais s'il y a une forte variabilité individuelle, on considère les mêmes individus avant et après traitement et les échantillons sont appariés.

Hypothèse nulle

Ho: µ1 = µ2. (H1) : µ 1 -:/=- µ2 (test bilatéral); µ1 > µ2 (ou<) (test unilatéral)

Décision Pour ne pas perdre le caractère apparié des deux échantillons, on ne considère que les différences di = x1 ,i - x2,i· L'échantillon des différences a pour moyenne d et pour variance estimées~. L'hypothèse nulle signifie que la moyenne théorique des différences est O. On est donc ramené à la comparaison d' une moyenne expérin1entale d et d'une moyenne théorique O.

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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Tables

308

TABLE 1 Fonction de répartition de la loi normale réduite Si .% uit la loi normale réduite. pour x ;?; 0, la table donne la valeur c,t>(x ) = P ( Z ~ x). Ln valeur x s' obtient par addition

(X)

des nombres insctits en marge. Pour x < 0, on a :

c,b(x) = 1 - <D(- x) . 0,09

0.00

0,01

D.02

0.03

0,04

0.05

0,06

0,07

0,08

0.0 0,1 0.2 0.3 0.4

0.500 0 0.539 8 0.579 3 0.617 9 0.6554

0,5040 0.5438 0.583 2 0.621 7 0,6591

0,508 0 0.547 8 0.5871 0.625 5 0,662 8

0.512 0 0.551 7 0.591 0 0.629 3 0.666 4

0.5160 0.555 7 0.594 8 0.6331 0.6700

0.5199 0.559 6 0,598 7 0.636 8 0.673 6

0.5239 0.5636 0,602 6 0.6406 0.677 2

0,527 9 0,567 5 0,606 4 0.6443 0.6808

0,531 9 0.535 9 0,5714 0,575 3 0,610 3 0,61 41 0,6480 0,651 7 0.684 4 0,687 9

0.5 0.6 0.7 0.9

0,691 5 0,725 7 0,7580 0.7881 0,815 9

0,695 0 0,698 5 0.7291 0,7324 0,761 , 0,7642 0,791 0 0,7939 0,818 6 0,821 2

0,701 9 0.735 7 0.767 3 0.796 7 0.823 8

0.705 4 0.708 8 0.738 9 0.742 2 0.770 4 0,7734 0.7995 0.802 3 0.826 4 0.8289

0.712 3 0.745 4 0.776 4 0.8051 0.831 6

0.7157 0.748 6 0.7794 0,807 8 0.8340

0.719 0 0.7517 0.782 3 0.810 6 0.836 5

0,722 4 0,754 9 0,785 2 0.813 3 0.838 9

1.0 1.1 1,2 1.3 1.4

0,8413 0,864 3 0,884 9 0.9032 0.9192

0,843 8 0,8461 0,848 5 0.850 8 0,866 5 0,868 6 0,870 8 0,872 9 0,886 9 0,8888 0,890 7 0,892 5 0,904 9 0,9066 0,908 2 0.909 9 0,920 7 0,922 2 0,9236 0,9251

0,8531 0.874 9 0,894 4 0.911 5 0,926 5

0.855 4 0.877 0 0.896 2 0.9131 0.927 9

0.857 7 0,879 0 0,898 0 0,914 7 0,929 2

0.8599 0.881 0 0,8997 0,9162 0.930 6

0.862 t 0.883 0 0,901 5 0.917 7 0.931 9

1.5 1.6

0,935 7 0,937 0 0.947 4 0.9484 0,957 3 0,9582 0.965 6 0,9664 0.972 6 0,9732

0,938 2 0,949 5 0,9591 0,9671 0,9738

0,939 4 0.950 5 0.959 9 0,967 8 0.974 4

0.940 6 0.951 5 0.960 8 0,9686 0.975 0

0.941 8 0,952 5 0,9616 0.969 3 0.975 6

0,942 9 0,953 5 0.962 5 0,969 9 0,9761

0.9441 0,954 5 0,9633 0,9706 0.976 7 0.981 7 0,985 7 0.989 0 0,991 6 0.993 6

o.e

1.7

1.8 1.9

0.9332 0,934 5 0.945 2 0.946 3 0.955 4 0,956 4 0.9641 0.964 9 0.9713 0.971 9

2.0 2,1 2.2 2.3 2.4

0.977 2 0.977 8 0,9821 0.9826 0,9861 0.986 4 0,989 3 0.9896 0.991 8 0.992 0

0.978 3 0.983 0 0.986 8 0.989 8 0.992 2

0.9788 0,9834 0,9871 0.9901 0.992 5

0,9793 0,9838 0.987 5 0,9904 0.992 7

0.979 8 0,984 2 0,987 8 0,990 6 0,992 9

0,980 3 0.9846 0,9881 0,990 9 0,9931

0,980 8 0,9850 0,9884 0.9911 0,9932

0,981 2 0,9854 0,988 7 0,991 3 0.9934

2.5 2,6 2,7 2,8 2.9

0,993 8 0,9940 0.995 3 0,995 5 0,996 5 0,996 6 0,997 4 0.997 5 0.998 1 0.998 2

0.9941 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2

0.994 3 0.995 7 0.996 8 0.997 7 0.998 3

0.994 5 0,995 9 0.996 9 0,997 7 0.998 4

0.994 6 0.996 0 0.997 0 0.997 8 0.998 4

0,994 8 0,9961 0,9971 0.997 9 0,998 5

0.9949 0,996 2 0,997 2 0,997 9 0,998 5

0,9951 0,995 2 0,9963 0,9964 0,997 3 0,997 4 0,998 0 0,9981 0,998 6 0,9986

"O 0 ::J

...-!

0 N

@ ......

.s::.

·;:

Cl..

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Tables

TABLE 2 Loi normale réduite (table de l'écart réduit) Si Z est une variable aléatoire qui suit Ja loi normale réduitei la table donne pour a choisi. la valeur Zcr lelle que :

a 2" 1

P(IZI ~Zn )= Q

a ..,/ 2

La valeur a: s'obtient par addition des no1nbres inscrits en n1arge. ~

0,0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

r:/j

2,576 1,598 1,254 1,015 0,824 0,659 0,510 0,372 0,240

2,326 2,170 1,555 1,514 1,227 1,200 0,994 0,974 0,806 0,789 0.643 0,628 0,496 0.482 0,358 0,345 0,228 0,215 0,100 0,088

2,054 1,476 J,1 75 0,954

l,960 1,440 J,150 0,935 0,755 0,598 0,454 0,3 19

1,881 1,405 1,126 0,915 0,739 0,583

1,645 1,282 1,036 0,842 0,674 0,524 0.385 0,253 0,126

0,113

0~772

0,613 0.468 0>332 0,202 0,075

0.189 0,063

0,440 0,305 0, 176 0,050

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

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0,07

0,08

0,09

l,8 12

1,751 1,341 1.080 0,878 0,706 0,553 0,4 12 0,279 0,151 0,025

1,695

1,372 1,103

0,896 0,722 0,568 0,426 0,292 0,164 0,038

l,311

1,058 0,860 0,690 0,539 0,399 0,266 0,138 0,013

309

TABLE 3

Lois de Student Si T esl une variable aléatoire qui suit la loi de Stuùent à v <lesrrés de libené, la table donne pour n: choisi. le nombre f Ct tel que P(I TI ~ t fJ'. = o:).

./ 2 0

0,90

o.so

80 120

0,158 0,142 0.137 0,134 0,132 0, 131 0, 130 0, 130 0,129 0,129 0,129 0, 128 0,128 0,128 0,128 0,128 0,128 0,127 0,127 0,127 0, 127 O,f27 0,127 0,127 0,127 0,127 (), 127 0,127 0,127 0,127 0,126 0,126 0,126

1.000 0.816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,71 t 0.706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677

OC1

0,126

0,674

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 40

0.001

0,30

0,20

0,10

0.05

1,963

3,0?X 1,886 t,638 1,533 1,476 1,440 l,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 l,350 1,345 1,341 1,337 1,33J 1,330 1,328

12,706 31,821 63,657 636,619 6,965 9,925 31,598 4~303 3, 182 4,54 1 5,841 12,924 8,6 10 2,776 3,747 4,604 6,8(;9 2,571 3.365 4,032 2,447 3,143 3,707 5,959 2,365 2,998 3,499 5,408 2,306 2,896 3,355 5,041 4, 781 2,262 2,821 3,250 4,587 2,228 2,764 3,169 4,437 2,201 2,718 3,106 4,3 18 2,179 2,68 1 3.055 4,221 2,160 2.650 3.012 4,140 2,145 2.624 2,977 2,131 2,602 2,947 4,073 2, 120 2,583 2,921 4,015 2,110 2,567 2,898 3,965 2,101 2,552 2.878 3,922 3,883 2,539 2,861 2,093 3.850 2,086 2,528 2.845 3,8 19 2,080 2,518 2,83 1 2,074 2,508 2,819 3,792 2,069 2,500 2,807 3,767 3,745 2,064 2,492 2,797 2,485 2,787 3,725 2,060 2,479 2,779 3,707 2,056 3,690 2,052 2,473 2.77 1 3,674 2,048 2,467 ~763 2,045 2,462 2,756 3,659 2,042 2,457 2,750 3,646 2,021 2,423 2,704 3,551 2,000 2,390 2,660 3,460 1,980 2,358 2,617 3,373 1,960

1,064

l,325

J,063

1.059 l.058 1,058 1,057 1,056 1,05.S 1,055 1,050 1,046 1.041

l,323 l,321 1,3 19 l ,318 l,316 1,315 1,314 1,313 1,3 11 1,310 1,303 1.296 1,289

6,314 2,920 2,353 2, 132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1.771 l,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,7 17 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658

1,036

1,282

1,645

1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 L,119

t,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 J,076 1,074 l,07 1 1,069 1,067 1,066 1.()61

1,060

0,02

2,326

0,01

2,576

3.291

Lorsque le degré de l iberté est infini. il s'agit du no mbre Zo correspondant à la loi normale centrée réduite (cf. table 2).

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Index

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

A Abel (lemme d'), 121 abscisse curviligne, 263 absurde, 136 accroissements finis égalité, 26 inégalité, 26 affinité, 240 aire, 115 algèbre, 160 algorithme d'Euclide, 161 analyse-synthèse, 136 angle, 246 anneau, 157 intègre, 159 principal, 158 antidéplacement, 248 application affine, 238 linéaire, 186 linéaire continue, 87 approximation de Taylor, 54 arc orienté, 111 Archimède (propriété d'), 7 argument, 167 cosinus hyperbolique, 36 sinus hyperbolique, 36 tangente hyperbolique, 36 arrangement, 150 asymptote, 19, 260 asymptote oblique, 59 automorphisme, 186

B Banach (espace de), 89

barycentre, 241 base, 183 duale, 214 base incomplète, 183 Bayes, 277 Bertrand intégrales généralisées, 63 séries, 80 Bessel (inégalité), 227 Bézout (th.), 162, 174 bidual, 215 Bienaymé-Tchebychev (inégalité de), 293 bijection, 143 binôme de Newton, 193 Bolzano-Weierstrass (th.), 10, 39 borne inférieure, 9, 13, 146 supérieure, 9, 13, 40, 146 boule fermée, 83 ouverte, 83 branche infinie, 19 parabolique, 20, 260

c caractéristique, 158 Cauchy (critère de), 16 critère de, 77 critère uniforme, 117 problème de, 65 règle de, 78 Cauchy-Lipschitz (th.), 66, 69

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312

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

Index

Cauchy-Schwarz (inégalité), 222, 223 Cayley-Hamilton (th.), 211 centre d'inertie, 108 cercle, 251 Chasles (relation de), 46 chinois (th.), 164 coefficients constants, 69 coefficients de Fourier, 128 cofacteur, 205 comatrice, 206 combinaison, 151 linéaire, 181 compacité, 88 complémentaire, 138 composition, 14 cône,269 congruence, 163 conique, 252 conjonction, 134 conjugué, 166 continuité uniforme, 21, 87 contour apparent, 269 contrainte, 101 convergence absolue, 78 commutative, 79 en loi, 294 en probabilité, 293 normale, 120 simple, 117, 118 uniforme, 117, 119 convexité,27 corps, 7, 159 ordonné, 7 corrélation, 286 courbe paramétrée, 25 8 courbure,264,266 covariance, 286 Cramer, 202 Cramer(formules de), 206 critère de Cauchy uniforme, 117 cycle, 156 cylindre, 268

d'Alembert règle de, 78 d'Alembert-Gauss (th.), 175 Darboux sommes de, 103 de Morgan (lois), 139 décomposition de Gauss, 220 déduction, 136 dense (partie), 10, 40 densité de probabilité, 281 déplacement, 248 dérivée partielle, 93 développante, 265 développée, 265 développement en série entière, 124 développement limité, 55 diagonale principale, 190 diamètre, 83 difféomorphisme, 97 différence ensembliste, 138 symétrique, 139 différentielle, 94 dimension, 184 directrice, 252 Dirichlet (th.), 129 disjonction, 134 distance, 83, 246 divergence, 116 diviseur de zéro, 159 divisibilité, 161, 172 division euclidienne, 161, 173 suivant les puissances croissantes, 174 droite numérique achevée, 10 E égalité de polarisation, 221 élément inversible, 152 maximal, 146 minimal, 146 neutre, 152

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Index

::J

...-i

0 N

@ ...... .!::.

ï:::

> o.

simple, 178 symétrisable, 152 ellipse, 253 ellipsoïde, 271 encadrement, 17, 39 endomorphisme, 186 diagonalisable , 209 orthogonal, 229 trigonalisable, 212 énergie moyenne, 127 ensemble fini, 147 quotient, 144 équation autonome, 67 caractéristique, 70 différentielle, 65 équivalence, 134 espace affine, 237 complet, 89 de Banach, 89 dual, 214 préhilbertien complexe, 223 pré.hilbertien réel, 221 espace probabilisable, 27 4 espace vectoriel, 180 euclidien, 228 hermitien, 234 normé, 82 espérance mathématique , 281 Euclide (algorithme), 173 Euler (formules), 168 Euler (th.), 163 événement, 273 excentricité, 252 expérience aléatoire, 273 exponentielle complexe, 168 extrémum global, 99 lié, 101 local, 99 F facteur intégrant, 68

famille génératrice, 181 libre, 183 liée, 183 Fermat (th.), 164 flux, 115 fonction analytique, 124 arc cosinus, 34 arc sinus, 33 arc tangente, 34 bêta, 133 continue,20 contractante, 22, 87 convexe,27 coordonnée, 92 de classe C 1 ' 93 de répartition, 280 dérivable, 23 dominée, 18 en escalier, 44 équivalente, 18 exponentielle ,30 exponentielle complexe, 37 gamma, 132 hyperbolique, 35 hyperbolique réciproque, 36 implicite, 97 indicatrice d' une partie, 141 lipschitzienne, 22, 87 localement intégrable, 60 logarithme, 29 négligeable, 18 partielle, 92 puissance, 31 sommable, 63 forme algébrique, 165 bilinéaire symétrique, 217 définie positive, 218, 220 différentielle, 110 exacte, 110 fermée, 110 linéaire, 214 polaire, 217

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313

314

Index

positive, 217, 220 quadratique, 217 trigonométrique, 165, 167 formule du binôme, 7 formules de Frenet, 264 Fourier coefficients, 128 série, 128 foyer, 252 fraction rationnelle, 177 Frenet formules, 264 repère, 264 fréquence, 127 frontière, 85 Fubini (th.), 104

"O 0

::J

...-!

0 N

@ ......

.s::.

Gauss (décomposition de), 220 Gauss (pivot de), 201 Gauss (th.), 162, 174 Gauss-Jordan, 201 génératrice, 269 gradient, 93 graphe d'une application, 141 Green-Riemann (formule de), 113 groupe, 153 alterné, 157 cyclique, 155 linéaire, 186 monogène, 155 orthogonal, 229 spécial orthogonal, 230 symétrique, 156 unitaire, 234

·;:

Cl..

H Holder (inégalité de), 28 Heine, 22 hélice, 266 homéomorphisme, 87 homothétie, 188, 239 hyperbole, 254 hyperboloïde, 271 hyperplan, 185, 214

1 idéal, 158, 173 idéal principal, 158 image, 154, 187 directe, 11 , 142 réciproque, 11, 142 implication, 134 indépendance (événements), 278 (expériences), 278 (v.a.), 285 indicatrice d'Euler, 163 inégalité de Holder, 28 de Minkowski, 28 injection, 143 intérieur, 85 intégrale absolument convergente, 63 convergente, 60 curviligne, 112 de surface, 114 divergente, 60 double, 103 triple, 106 intégrales de Bertrand, 63 de Riemann, 63 intégration par changement de variable, 52 par parties, 51 intersection, 138 intervalle, 8 inversion locale (th.), 97 isobarycentre, 241 isométrie, 247 isomorphisme, 186

J jacobien, 96, 106

K Koenig) (th .), 283 Kronecker (symbole de), 193

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Index L

-0 0

::J

"""

.-1

Lagrange méthode de, 68 multiplicateur de, 101 polynôme d' interpolation, 176 Lagrange (th.), 155 lagrangien, 101 laplacien, 94 Leibniz fonction numérique, 242 Leibniz (formule de), 25, 175 lemme d'Abel, 121 ligne de niveau, 93 limite, 15 limite centrée (th.), 295 limite monotone, 17, 40 loi associative, 152 binomiale, 288 commutative, 152 conditionnelle, 284 d' inertie de Sylvester, 219 de Bernoulli, 287 de Gauss, 291 de Laplace-Gauss, 291 de Poisson, 289 de probabilité, 280, 281 exponentielle, 291 faible des grands nombres, 293 géométrique, 289 hypergéométrique, 288 normale, 291 uniforme continue, 290 uniforme discrète, 287

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

M majorant, 8, 13, 146 Markov (inégalité de), 293 masse, 108 matrice, 190 antisymétrique, 194 carrée, 190 colonne, 190 de dilatation, 200 de passage, 195

315

de transvection, 200 diagonale, 191 échelonnée, 200 hermitienne, 235 inversible, 194, 206 jacobienne, 96 ligne, 190 orthogonale, 230 scalaire, 191 symétrique, 194 triangulaire inférieure, 190 triangulaire supérieure, 190 matrices équivalentes, 195 semblables, 195 maximum, 12 global, 99 local, 99 méthode d'Euler, 74 de Lagrange, 68 de Runge-Kutta d'ordre 3, 74 de Runge-Kutta d'ordre 4, 74 de Simpson, 49 des rectangles, 48 des trapèzes, 48 mineur, 205 minimum, 12 global, 99 local, 99 Minkowski (inégalité de), 28 minorant, 13, 146 Moivre (formule de), 168 moment, 283 moment centré, 283 moment d' inertie, 108 morphisme, 160 d'anneaux, 15 8 de groupes, 154 multiplicateur de Lagrange, 101 multiplicité d' une racine, 175 N négation, 134 nombre

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316

Index

complexe, 165 premier, 162 nombres premiers entre eux, 162 norme, 82 équivalente, 84 euclidienne, 221 hermitiennne,223 subordonnée, 88 noyau, 154, 187 numération, 164

0 opération élémentaire, 199 ordre partiel, 145 total, 145 ordre d'un élément, 155 orientation, 228, 243 orthogonalisation de Schmidt, 225 orthogonalité, 224 Ostrogradski (formule d' ), 115 ouvert étoilé, 111 simplement connexe, 111

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

p parabole, 252 paraboloïde, 271 parallélogramme, 222 Parseval (formule de), 129 partie bornée, 83, 146 compacte, 88 connexe,90 connexe par arcs, 90 convexe, 27,242 dense, 10, 85 entière, 8, 178 fermée, 85 fractionnaire, 178 majorée, 146 minorée, 146 ouverte, 85 polaire, 178

régulière (d.l. ), 55 partition, 139 permutation, 150, 156 perpendiculaire commune, 246 pgcd, 161 plan osculateur, 266 tangent, 267 plus grand élément, 8, 146 plus petit élément, 146 Poincaré (th.), 111 point adhérent, 10 birégulier, 259 caractéristique, 263 critique, 99 d'accumulation, 10, 86 d'inflexion, 259, 261 de rebroussement, 259 intérieur, 10 isolé, 85 multiple, 260 régulier, 259, 267 stationnaire, 99, 259 point fixe (th.du), 43, 90 point-col, 1OO point-selle, 1OO polynôme, 171 annulateur, 211 caractéristique, 209 irréductible, 17 6 minimal, 211 scindé, 176 polynômes pren1iers entre eux, 173 ppcn1, 162 primitive, 50 principe des bergers, 149 probabilité, 275 conditionnelle, 276 probabilités composées, 277 totales, 277 produit cartésien, 149

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Index

mixte, 245 scalaire, 221, 243 scalaire hermitien, 222 vectoriel, 243 produit par blocs, 193 produit cartésien, 139 projecteur orthogonal, 225 prolongement, 12 pulsation, 127 Pythagore (th.), 224

Q quadrique, 270 quantificateur, 135

R règle

-0 0

::J

"""

.-1

@ ~

..c O'I

·c

>Cl. 0

de Cauchy, 78 de d'Alembert, 7 8 de Rieman, 78 racine d'une équation algébrique, 175 racines n-ièmes, 169 rang d'un système, 201 d'une application linéaire, 188 d'une famille de vecteurs, 185 d' une matrice, 196, 206 rayon de convergence, 121 rayon de courbure, 264 recouvrement, 139 récurrence, 137 réflexion, 231, 248 règle de L'Hospital, 55 relation antisymétrique, 144 binaire, 144 d' équivalence, 144 d' ordre, 145 réflexive, 144 symétrique, 144 transitive, 144 repère cartésien, 240

de Frenet, 264 représentation propre, 258 reste d'un d.l. , 55 d'une série, 76 intégral, 54 restriction, 12 réunion, 138, 149 Riemann critère de, 62 intégrales généralisées, 63 règle de, 78 série, 80 SO'mmes, 47 sommes de, 103 nsque de deuxième espèce, 301 de première espèce, 301 Rolle (th.), 25 rotation, 230, 248 Runge-Kutta (méthode de), 74

s série alternée, 80 convergente, 7 6 de Bertrand, 80 de Riemann, 80 divergente, 7 6 exponentielle, 80 géométrique, 79 harmonique, 80 harn1onique alternée, 81 semi-convergente, 79 Schmidt, 225 Schwarz (th.), 94 série de fonctions, 118 de Fourier, 128 entière, 121 signature, 156, 219 similitude, 249 solution maximale, 65 somme, 182 somme directe, 182

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Index

somme partielle (série), 76 sommes de Darboux, 103 de Riemann, 103 sous-anneau, 157 sous-espace engendré, 181 propre, 208 supplémentaire, 182 vectoriel, 181 sous-groupe, 153 spectre, 208 sphère, 251 Stirling (formule de), 133 Stokes (formule de), 115 subdivision, 44 substitution, 156 suite arithmétique, 41 bornée, 38 convergente, 38 de Cauchy, 89 de fonctions, 117 extraite, 39 géométrique, 41 monotone, 40 récurrente, 42 suites adjacentes, 40 supplémentaire orthogonal, 225 surface cartésienne, 114 de révolution, 270 paramétrée, 114 réglée, 268 surjection, 143 Sylvester (loi d'inertie), 219 symétrie, 189 symétrie, 239 système complet, 274 différentiel, 72 homogène, 72, 198 incompatible, 198 systèmes équivalents, 198

T Taylor, 175 Taylor (reste intégral), 54 Taylor-Lagrange égalité de, 54 inégalité de, 54 Taylor-Young (formule de), 55 test d'homogénéité, 302 de conformité, 302 test bilatéral, 302 test unilatéral, 302 torsion, 266 trace, 196 translation, 239 transposée, 215 transposition, 156 triangle de Pascal, 151 tribu,274 troncature (d.l.), 55

V valeur absolue, 7, 13 valeur efficace, 127 valeur propre, 208 valeurs intermédiaires, 21, 90 variable centrée réduite, 283 variance,281 variation de la constante, 68, 71 vecteur isotrope, 218 propre, 208 vissage, 249 voisinage, 8, 84

Wilson (th.), 164 wronskien, 71

z zéro, 175