UNIDAD I Objetivo
Identificar las diferencias entre cálculo diferencial y cálculo integral.
Cálculo: es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y determinación de longitudes, áreas y volúmenes. En Economía algunos usos son: Oferta y Demanda Utilidad Ganancia Excedente del consumidor y productor Ingresos Costos Producción Consumo Calculo Diferencial: estudia los incrementos (∆ ) de las variables.
El incremento (∆ ) de una variable ( ) es el aumento o disminución que experimenta.
∆ =
−
Regla Fundamental de la Derivada
= lim ∆ →
Ejemplo: 1. Derivar:
=
+
+
( +∆ )− ( ) ∆
= lim ∆ →
= lim ∆ →
( + ∆ ) + 3( + ∆ ) + 5 − ( ∆ +2 ∆ +∆ = lim ∆ →
+ 3 + 5)
+ 3 + 3∆ + 5 − ∆
∆
−3 −
+ 2 ∆ + 3∆ ∆
= lim ∆ + 2 + 3 ∆ →
= 0+2 +3 =2 +3
Cálculo Integral: es el proceso inverso de la derivación. Recibe otros nombres: Anti derivada Función Primitiva Integral Ejemplo:
Función = =
Función Primitiva
+ +
Integral =
=3
Derivada
+2
=
+
Diferencial
=
+2
+2
La integral tiene dos propósitos: a) El proceso inverso de la derivación. b) Calcular el área bajo la curva. Objetivo: Determinar Integrales a partir de la diferenciación de la Integral indefinida y sus fórmulas. Integral Indefinida Constante de Integración
∫ ( )
= ( )+
Integral Indefinida
Función
Fórmulas Fundamentales de Integración 1. ∫
=
2. ∫( + ) 3. ∫ 4. ∫
+ =
=∫ ∫
=
5. ∫
= ln| | +
7. ∫
=
6. ∫ 8. ∫ 9. ∫
=
+∫ +
+ +
=−
=
+
+
;
( )
;
≠ −1
;
> 0;
≠1
= ln|
|+
= ln|
+
10. ∫
|+
= ln|
11. ∫ 12. ∫
= ln|
13. ∫
= tan u +
14. ∫
−
= sec u +
16. ∫
= −csc u +
17. ∫
Determinar las integrales de: =
2. ∫(6 + 2)
3. ∫ √
|+
= −ctg u +
15. ∫
1. ∫
|+
+
= ∫6 = 6∫ =6
=3
= ∫ =
4 3
+2 +
+2 +
+
3 + 4 3 = + 4 =
4. ∫(1 − )√
+ ∫2 + 2∫
= ∫(1 − )
Ejercicios
=
=∫ = =
5. ∫(3 − 4)
=9
=3
√
=
=−
−
−
= =−
2 3
3
− −
5 2
2 5
+
− 24 − 16)
− 24
− 24
− 12
2
+ 16 +
+ 16 +
6 −6
− 2
−∫
= ∫ −
=
3 2
= ∫(9
=9 6. ∫
−
+
1 + 2
−
13 3 13
3
−6
6
1
− 6 ln| | +
+ 16
APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo: Resolver problemas de integración a partir de condiciones iniciales. Constante de Integración Sea la Integral: =
Nota:
(4 − 3)
Las parábolas cortan en el eje y.
4 = −3 2
El valor de la constante solo hace desplazar a la parábola. El valor el punto de corte con eje y. = 2de c−determina 3 +
y
=2
−3 +2
=2
=2
−3 +1
−3 −1 x
=2
−3 −2
Familia de curvas
Problemas con condiciones iniciales. ´= 8 −4
1.
(2) = 5
=? (4) =?
a) b)
= ∫(8 − 4)
=
A.
−
+
a) Cond. Inicial ( , )
= ( B.
)− ( )+
=−
Reemplazo c en punto en A. =
−
−
Función Primitiva
( )= (
b)
( )= =
2.
−
(− ) = a)
b) =
A.
(
− )
=
)− ( )−
=?
−
=?
+
Cond. Inicial. − ;
= =
=
( ) +
− (− ) + +
Reemplazo c en A. a) =
b)
=
=
−
−
−
+
+
+
=−
3. La tasa de crecimiento de una especie de bacteria se estima por medio de = 800 +
; donde
es el número de bacterias (en miles) después de
horas. Si ( ) = 40000 encuentre habrá a las 8 horas. DATOS N= Número de bacterias (en miles) T= horas = 800 +
a)
= ∫(800 + 200 ) = 800 + 200 +
Condición inicial (5; 40000) 40000 = 800(5) + 200 + 40000 − 1000 = 200 + 36000 − 200 = = 6317.37
( ) y el número de bacterias que
Reemplazo c = 800 + 200
+ 6317.37
(8) = 800(8) + 200 + 6317.37 (8) = 6400 + 596.191,59 + 6.317,37 (8) = 608.908,97
b)
4. Dieta para ratas: un grupo de biólogos estudio los efectos nutricionales en ratas a las que se alimento con una dieta en la que 10% era proteína, la proteína consistió n levadura y harina de maíz. En un periodo de tiempo el grupo encontró que la razón de cambio (aprox) del aumento promedio de peso 6 (en gramos) De una rata, con respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica fue =−
DATOS = = % =
a)
25
+2 ;0 ≤
= 38
= 10, entonces .
+2 ;0 ≤ =∫ −
=−
≤ 100 .Si
50
≤ 100 +2
+2 +
Condición inicial (10; 38) 10 + 2(10) + 50 38 = −2 + 20 + 38 + 2 − 20 = = 20 38 = −
Reemplazo c =−
+ 2 + 20
Peso de una rata en (g)
5. Obtenga
la
ecuación
de
la
curva
cuya
pendiente
es
= 2 − 5 y pasa por el punto (5,4). a)
La derivada de una función en un punto equivale a la pendiente de la recta tangente.
= ∫(2 − 5) = −5 +
Condición inicial (5; 4) 4 = 5 − 5(5) + 4 = 25 − 25 + =4 Reemplazo c
6. a)
=
−5 +4
= 2 − 3 siendo
= ∫(2 − 3) = −3 +
= 2 cuando
Condición inicial (3; 2) 2 = 3 + 3(3) + 2= 9−9+ =2 Reemplazo c
b)
7.
=
−3 +2
(5) = (5) -3(5)+2 (5) = 25 − 15 + 2 (5) = 12 `` =
−6
= 3. Hallar el valor de
cuando
= 5.
`(0) = 2 (1) = −1 =? a)
` = ∫( `=
3
− 6)
−6 +
Condición inicial (0; 2) 0 − 6(0) + 3 2= 0−0+ =2 2=
Reemplazo `= b)
3
=∫ =
12
−6 +2 −6 +2 −3
+2 +
Condición inicial (1; -1) 1 − 3(1) + 12 1 −1 − +3= 12 1 =− 12 −1 =
Reemplazo =
12
−3
+2 −
1 12
APLICACIONES EN FISICA
=
=
=
= ``( )
1. La aceleración de un objeto después de t segundos esta dada por `` = 84 + 24, la velocidad a los 8 segundos. Esta dada por `(8) = 2891 / ; y la posición a los 2 segundos es (2) = 184 . Encuentre ( ).
DATOS `` = 84 + 24 `(8) = 2891 (2) = 184 a)
/
` = ∫(84 + 24) ` = 42 − 24 +
Condición inicial (8; 2891) 2891 = 42(8) + 24(8) + 2891 − 2688 − 192 = = 11
Reemplazo
b)
` = 42
− 24 + 11
= 14
− 24
= ∫(42
− 24 + 11)
+ 11 +
Condición inicial (2; 184) 184 = 14(2) − 24(2) + 11(2) + 184 − 112 − 48 − 22 = =2
Reemplazo = 14
− 24
+ 11 + 2
APLICACIÒN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS DE ADMINISTRACIÒN Y ECONOMÌA OBJETIVO: Resolver problemas financieros (administración y economía) mediante la aplicación de la integral indefinida. FORMULAS: = =
COSTO
ò
= ( )
`` = `( )
`( )
=
= ( )+
CONDICIÒN INICIAL: Costo fijo o inicial, valor del costo cuando =
( )
INGRESOS =
`( ) =
∗
= ( ) `( )
= ( )+
= = ù
= 0 (0, )
CONDICIÒN INICIAL: Ingreso es 0 cuando la cantidad de demanda es nula (0,0) =
ò
Ingreso promedio (ingreso por unidad) equivale al precio por unidad. Las gráficas de ingreso promedio y demanda son iguales.
EJERCICOS: 1. El costo marginal ( `) como función de las unidades producidas( ), esta dado por ` = 1064 − 0,005 . Si el costo fijo es 16,3. Hallar las funciones de costo total y costo promedio. a)
= ∫(1064 − 0.005 ) = 1064 − 0.025 + Condición inicial (0; 16,3) 16.3 = 1064(0) − 0.025(0) + = 16.3 Reemplazo
= 1064 − 0.025 =
+ 16.3
1064 − 0.025
COSTO TOTAL
+ 16.3
= 1064 − 0.025 +
.
COSTO PROMEDIO
2. El costo marginal como función de las unidades producidas (o producción) x, está dada por ` = 2 + 60 − 5 . Si el costo fijo es 65, hallar las funciones de costo total y costo promedio. a)
= ∫(2 + 60 − 5
)
= 2 + 30
−
5 + 3
Condición inicial (0; 65) 65 = 2(0) + 30(0) − = 65
5(0) + 3
Reemplazo = 2 + 30 =
−
+ 65
COSTO TOTAL
5 − 3 + 65
2 + 30
= 2 + 30 −
+
COSTO PROMEDIO
3. Si la función de ingreso marginal es `( ) = 8 − 6 − 2 función de ingreso total y la función de demanda. a)
= ∫(8 − 6 − 2 ) 2 =8 −3 − + 3 Condición inicial (0; 0) 0 = 8(0) − 3(0) − =0
2(0) + 3
Reemplazo =8 −3
−
INGRESO TOTAL
. Determinar la
=
8 −3
2 − 3
=8−3 −
FUNCIÒN DE DEMANDA
4. Si la función de ingreso marginal función de demanda.
a)
= ∫(12 − 8 + = 12 − 4
+
3
`( ) = 12 − 8 +
. Determine la
)
+
Condición inicial (0; 0) 0 = 12(0) − 4(0) + =0
(0) + 3
Reemplazo = 12 − 4 =
12 − 4
INGRESO TOTAL
+ + 3
= 12 − 4 +
FUNCIÒN DE DEMANDA
5. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es = 2000 − 20 − 3
a)
= ∫(2000 − 20 − 3
. Encuentre la función demanda.
)
= 2000 − 10
+
+
Condición inicial (0; 0) 0 = 2000(0) − 10(0) + =0
+
Reemplazo = 2000 − 10 =
2000 − 10
+
INGRESO TOTAL
+
= 2000 − 10 +
FUNCIÒN DE DEMANDA
6. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de 4000 (loa costos fijos son como la renta y el seguro, que permanecen constantes a todos los niveles de producción en un periodo determinado). Si la función de costo marginal es
= 0,000001(0,002
− 25 ) + 0,2. Encuentre el
costo total de producción y calcule cuando vale 10000lb en una semana. a)
= ∫(0,000001(0,002 = (0,000000002 =
0,000000002 3
− 25 ) + 0,2)
− 0,000025 + 0,2)
− 0,0000125
+ 0,2 +
Condición inicial (0; 4000) 0,000000002(0) − 0,0000125(0) + 0,2(0) + 3 = 4000
4000 =
Reemplazo =
COSTO TOTAL (10000) =
0,000000002 3
− 0,0000125
+ 0,2 + 4000
0,000000002(10000) − 0,0000125(10000) + 0,2(10000) + 4000 3
(10000) = 666.67 − 1250 + 2000 + 4000 (10000) = 5416.67
INGRESO NACIONAL, CONSUMO NACIONAL Y AHORRO
= ( )
=
=
´ = ´( ) Si
=
= + = − ´
´( )
ó
´=1− ´ ´=1− ´
ó ó
ℎ
= ( )+
CONDICIÓN INICIAL: (x, c) FORMACIÓN DE CAPITAL Es el proceso de incrementar la cantidad acumulada de los bienes de capital.
( )= ´( ) = ( )=
( )=
ó ó ´( )
( )
=
ó
CONDICIÓN INICIAL: (t, k (0)) Capital inicial EJERCICIOS: 1) La propensión marginal al consumo (en miles de millones es de unidades monetarias) es
= 0,7 +
,
√
. Cuando el ingreso es 0 el consumo vale 8 mil
millones de unidades monetarias. Determine la función de consumo. ,
a) ∫ 0,7 + √ = 0,7 +
0,2 1 2
= 0,7 + 0,4
+
CONDICIÓN INICIAL (0,8) 8 = 0,7(0) + 0,4(0) + =8
REEMPLAZO C 2) La propensión marginal al ahorro vale . Cuando el ingreso es 0 el consumo es de 11 mil millones de unidades monetarias. Obtener la función de consumo. ´=1− ´ 1 = 1− ´ 3 2 ´= 3
= =
2 3
2 + 3
CONIDCIÓN INICIAL (0,11) =1 =
+ 11
F. CONSUMO
3) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 5 ; la acumulación inicial de bienes de capital a = 0 es (0); hallar la función que representa el capital . ( )=
5
5 + 10 7 7 ( )= + 2 ( )=
CONDICIÓN INICIAL (0, k (0)) 7 (0) 2 = (0)
0=
( )=
+ + (0)
F. CAPITAL
4) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 15 , la acumulación inicial de capital a = 0 es 30; encontrar la función que represente el capital k. ( )=
15
( )=
5 + 5 4
( ) = 12
+
CONDICIÓN INICIAL (30, k (0)) 30 = 12(0) + = 30 ( ) = 12
+ 30
F. CAPITAL
5) La Función de costo marginal para la producción es = 10 + 24 − 3 , si el costo (total) de producir una unidad es 25, determine la función de costo total y la función de costo promedio. ´=
= Condición Inicial ( ,
)
(
=
6) Si el ingreso marginal es
=
´=
=
Condición Inicial ( , )
−
+
−
)
+
−
+
+
= =
total y de demanda.
+
=
+
+
−
−
−
+
+
+
− , determine las funciones de ingreso
=− −
−
+
=− −
+
=− −
+
=
=−
−
+
7) La propensión marginal al consumo (en miles de millones de u.m.) es: = 0.5 +
, cuando el ingreso es cero, el consumo es de 6 mil millones
de u.m. Establezca la función de consumo. ´= . + =
Condición Inicial ( , )
. +
= .
+
= . ( )+ = .
=
3
3
1
1 /
( ) /
+
+ + +
8) La propensión marginal al ahorro (en miles de millones de u.m.) es: = 1 − 0.4 −
, cuando el ingreso es nulo, el consumo cale 9 mil millones
de u.m. Establezca la función de consumo. ´ = 0.4 +
6
1
=
0.4 +
= .
Condición Inicial ( , )
+
6
1 /
+
= . ( )+ ( )+ =
/
= . +
+
9) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 20 / y la acumulación inicial de bienes de capital a = 0 es 25, determine la función que representa el capital.
Condición Inicial ( ,
)
( )=
20
=
( )
( )=
=
( )=
/
+ + +
UNIDAD 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN OBJETIVO: Aplicar las diferentes técnicas de integración, para resolver integrales de mayor grado de dificultad. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE) Ejercicios: Resolver las siguientes integrales: 1) ∫(
=
+ 2) − 3
= +2 =3
=
+ 3 ( + 2) = + 3
2) ∫(
=
+ 2) −
=3
=
1 3
+2
=
1 3
2 + 3 2 = ( + 2) + 3
=
3) ∫ (
)
=
8
(
+ 2)
=
=3
8 3
= = = 4) ∫
=
=8
1 3
=
8 4 = 3 −2 3
4 + + 2)
3( √
=
+2
1 3
=
=3
= = =
5) ∫
+2
1 3
=
4 ( 9
(
(
4 9
=
1 3
1 3
+ 2) +
)
)
=
2
=( +6 ) =2 +6 = 2( + 3) = ( + 3)
=
1 2
=
6) ∫ 3 √1 − 2
=
3 ( 4
3 4
= 1−2
−
= −4
3 4
=−
3 4
( ) .
1 = − (1 − 2 2
7) ∫ √
−2
(1 − 2
∫ (1 − 2
−
=1−2 = −4 4
)
=−
) +
1 2
+
)
=
−
1 4
=
1 2
+
+6 ) +
1 4
−
−
3 2
1 6
1 − (1 − 2 6
8)
2
) +
= −1 =2 =
1 2
1 ln + 2
9) ∫
(
√
1 ln( 2
)
− 1) +
1+2 + /
+2
10) ∫
X+2
x+1
-x-1
1
1
2
1 2
+
+ 4 3
+
2 + 3 5 2 2 +
2 5
+
∫
+∫
1+
1 +1
=
+1
=
+ ln +
+ ln( + 1) +
11)
−
=− =−
− −
12) ∫ 1
-1 −
+1 1
1− −
+1 +1 +1
=
=
+1
ln +
− ln( 13) ∫ (
)
+2 +2 +1 1 1− +2 +1 1 − +2 +1 1 +2 +1
= +1 =
+ 14) ∫ √ 5
1 =− + 1 + +1
√3
+4
=3 +4 =6
+ 1) +
=
6
5 6
5 6 1 2 5 + 3 5 (3 3
+ 4) +
15) ∫(2 + )(4 +
2
=4 + +5 =4+2 = 2(2 + ) = (2 + )
1 2
16) 1−
−2
+ 5)
1 3 = + 2 4 8 3 3 (4 + + 5 ) + 8
2 +1
+1
− 2∫
= +1 =
−2 −2
+
− 2ln( + 1) + 17) ∫
+
+2
2
2 2 2
+2
2 +2
= +2 =
+2
+2
+2 +2
+
+ 2ln( + 2) + 18) ∫
(
−2 +
)(
√
−2
)
−
−2
2 2 − −4 5 3 19) ∫
= 1 2 1 2
+2 +2
= 2 + 2 = 2( + 1)
1 ln( 2
+ + 2 + 2) +
20) ∫
=2 1 2 1 2
1 2
+
=2
=
+ + 21) ∫(
+ 1)
= ( + 1)
= =
4
(
+1
+ 1) + 4 1−
22) ∫ +1
−
+1
= =
+1
−
+
−
− ln(
+ 1) +
INTEGRALES POR PARTES Sean
y
funciones derivadas para : (
Reglas:
)= =
=
(
+
)−
−
a) La parte que se iguala a debe ser fácilmente integrable. b) ∫ no debe ser mas complicada que ∫ . Ejercicios
1. ∫
=
=
= =
=
=
2. ∫
−
−
=
−
= =
=
= − cos
+
=
−
= − cos +
= − cos +
3. ∫ ln
cos
+
= ln =
1
=
= ln
= ln
ln
4. ∫ √1 +
=
3
−
3
= ln
− 3
−
1 9
3
1 +
=
=
= (1 + ) =
√1 +
=
2 (1 + ) 3
=
−
2 (1 + ) − 3
2 (1 + ) 3
√1 +
5. ∫
√1 +
2 22 (1 + ) − (1 + ) 3 35
=
2 4 (1 + ) − (1 + ) + 3 15
=
=
=2
=
= − cos =
−
=−
cos +
=−
+
cos 2
=
=
= cos =
=
=
=−
=
−
−
cos + 2 (
+
+ cos )
6. ∫
=−
cos + 2
+ 2 cos +
=
=3 =
=2 =2
=
=
2
1 2
1 2
=
=
=
2
= =
2
−
2
=
=
=2
− −
2
3
=
=
= =
− −
2
= =
2
−
2
−
2
2
−
=
=
=
=
= =
= = =
2
− 2
2
−
3 2
− 3 4
=
3 2
2
−
2
− −
2
2
−
2 2
+
3 4
4
−
2 2
−
− +
3 8
4 4
+
=
=2
=
= −3 −
= −3
=−
=
3
1 3
=−
=−
1 3
=−
3
3
=
=−
− −
3
=−
+
=
=
=
=−
−
3
3
(2
)
=
−
=−
3
=− =− =− =− =−
3 3
3
3 3
+
2 − 3
+ +
−
2 − 3 +
−
2 9
−
1 3
2 − 3
3 3
3
+ + 3
−
1 3
1 − 3 3 −
2 27
9
+
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOCISIÓN EN FRACCIONES PARCIALES ( ) ( ) = ( )
( )
Fracción propia Fracción impropia
( )
,
ó
Toda fracción racional impropia, se pude expresar como la suma de un polinomio y una fracción propia. Ejm: =
+1
−
+1
Toda fracción racional propia, se puede expresar como la suma de fracciones simples, cuyos denominadores son de la forma: ( + ) y ( + + ) . CASO 1 FACTORES LINEALES DISTINTOS +
CASO 2 FACTORES LINEALES IGUALES +
+
(
+ )
+⋯
(
+ )
CASO 3 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS +
+
+
CASO 4 FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES
EJERCICIOS: 1. ∫
Denominador:
+
+
+
+
+
+
+
− 4 = ( + 2)( − 2)
+⋯
(
+
+
+ )
.
1 = + −4 +2 −2 1 = ( − 2) + ( + 2)
Reemplazo en x el valor que anula al denominador. 1 = ( − 2) 1 = (−2 − 2) 1 = (−4) 1 =− 4 1 = ( + 2) 1 = (2 + 2) 1 = (4) 1 = 4 −4
=
1 −4
+2
1 4 −2
+
1 1 = ln( + 2) + ln( − 2) + −4 4 4
2. ∫
(
)
Denominador: +1 = + −6
+
+
−6 = (
+3
+
+ 1 = ( + 3)( − 2) +
−2
+
( − 2) +
− 6) = ( + 3)( − 2) ( + 3)
Reemplazo en x el valor que anula al denominador. + 1 = ( + 3)( − 2) 0 + 1 = (0 + 3)(0 − 2) 1 =− 6 + 1 = ( − 2) −3 + 1 = (−3)(−3 − 2)
=−
2 15
+ 1 = ( + 3) 2 + 1 = (2 + 3) 3 = 10 ( + 1) = + −6
3. ∫
(
)
1 −6
+
2 15 +3
−
+
3 10 −2
( + 1) 1 2 3 = − lnx − ln( + 3) + ln( − 2) + + −6 6 15 10
Denominador: ( − ) − ( − 1) = ( − 1) − ( + 1) = ( + 1)( − 1) (3 + 5) = + + − − +1 +1 − 1 ( − 1) 3 + 5 = ( − 1) + ( + 1)( − 1) + ( + 1)
Reemplazo en x el valor que anula al denominador. 3 + 5 = ( − 1) 3(−1) + 5 = (−1 − 1) 1 = 2 3 + 5 = ( + 1)( − 1) 3(1) + 5 = (1 + 1)(1 − 1) = 3 + 5 = ( + 1) 3(1) + 5 = (1 + 1) =4 =0
3(0) + 5 =
1 (0 − 1) + (0 + 1)(0 − 1) + 4(0 + 1) 2
=−
1 2 1 2 +1
(3 + 5) = − − +1
−1
+
4 ( + 1)
(3 + 5) 1 1 4 = ln(x + 1) − ln( − 1) + − − +1 2 2 −1
4. ∫ − 2
+
1 −2
− −
( + 1) −
( + 1) −
− −
−1
=
+
+
( − 1)
+ 1 = ( − 1)( ) + ( − 1) + Reemplazo en x el valor que anula al denominador. + 1 = ( − 1)( ) 0 + 1 = (0 − 1)(0) =0 + 1 = ( − 1) 0 + 1 = (0 − 1)(0) = −1 +1= 1+1= 1 =2
=2 2 + 1 = (2 − 1)(2) − 1(2 − 1) + 2 = −2
− − 5. ∫
− −
−1
− −
−1
+
Denominador
+
−2
= =
2
+2
= (
−
+
−2 − 4 ( = + + −2 − 4 = ( −2 − 4 =
0=
+
−2 − 4 =
( + )
1
2 −1
+
− 2 ln( − 1) +
+ 1) Casi I con caso III
−2 − 4 + +
−2 − 4 = (
−1
+
=
+
+
(
+
+
+ 1) + ( + ) ( + + 1)
+ 1) + (
+
+
+
+
)+(
+
+ 1)
+ )
+
+
)+
( + )+ ( + )+
=0
−2 = ( + ) + = −2 = −4 =4 =2
−2 − 4 + +
−2 − 4 + +
− − + +
= −4
= −4 ln( ) + 2
=−
( )+
4 +2 + +1
+
(
2 +1 + +1 +
+ )+
6. ∫ (
+ 16 = + 4)
8
+ + +4 ( + (
+ 16 =
8
+ 16 =
8
+4
+ 16 =
8 8
8 + 16 + 8 + 16
−
8 (
)
+
=8
0=
=0
16 = (4 + ) 4 +
= 16
4 +
=0
= 16 =0
+ + +4 (
8
+ + 4)
8 16 − + 4 ( + 4) +4
− 16
+
+4 +
+
+ (4 + ) + (4 + )
+
=
+ 4) +
+ 4 + (4 + ) +
+
+ 16 =
+ + 4)
(
+ 4)
= 1 2
=2
1 ln( 2 =
1 2
=2
1 − ln( 2
4 (
(
+4
=
2
=
+ 4) +4
=
2
+ 4)
=
+ 4) − 8( + )−
+ 4) +
+
+
UNIDAD 3 INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO: Aplicar el teorema fundamental del cálculo y sus propiedades, en la resolución de problemas aplicadas a la economía y áreas bajo la curva. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [ , ] y F es cualquier anti derivada de f en el intervalo, entonces: ( )
PROPIEDADES:
= ( )− ( )
1. Si f es continua y ( ) ≥ 0 , en [ , ], entonces ∫
( )
puede
interpretarse como el área de la región limitada por la curva x y las líneas = y = ( )
2. ∫
=
( )
∫
3. ∫ [ ( ) ± ( )]
=∫
4. ∫
( )
=∫
( )
5. ∫
( )
=∫
( )
−
+ 6)
EJERCICIOS: 1) ∫ (3 −
;
( )
+∫
±∫
( )
( )
+6 2 3 (−1) 3 − + 6(3) − (−1) − + 6(−1) 2 2 9 1 27 − + 18 − −1 − − 6 2 2
= ( ), el eje
= 48
2) ∫ (4
+ (
4 3 = 1 2
=2
+
+ +1
U 8
+ 1)
(
=
2
(
+ 1)
+ 1)
=
+ 1) 8 ((2) + 1) ((1) + 1) 3(2) + + 3(1) + 8 8 609 4.56 + 8 80.68 3
3) ∫
+
(
√
(1+ = 1+
)
1 4
=4
U 2
(1 +
=
4
=
)
(1 + 1 ) − (1 + 0 )
0.7071 − 0.5 0.207
4) La definición de costo marginal de un fabricante es
= 0.6 + 2, si la
producción actual es = 80, por semana. ¿Cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?
(0.6 + 2)
0.3
0.6 2
+2
+ 2 = 0.3(100 ) + 2(100) − 0.3(80 ) − 2(80) 3200 − 2080 = 1120
Nos costará incrementar las unidades de 80 a 100 $1120 5) La función de costo marginal de un fabricante es
= 0.003
− 0.6 +
40, si C esta en dólares. Determine el costo de incrementar la producción de 100 a 200 unidades. (0.003
− 0.6 + 40)
0.001
− 0.3
+ 40
0.001(200 ) − 0.3(200 ) + 40(200) − 0.001(100 ) + 0.3(100 ) − 40(100) = 2000 Nos costará incrementar las unidades de 100 a 200 $2000.
6) La función de Ingreso marginal de un fabricante es
=
, si r esta
en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante, si la producción aumenta de 400 a 900 unidades.
1000 100
1000
100
20 100
20 100(900) − 20 100(400) 6000 − 4000 = 2000
El cambio en el ingreso total es de $2000, si la producción incrementa de 400 a 900 unidades. 7) Altas de un hospital. Para un grupo de personas hospitalizadas supóngase que la razón de altas está dado por ( ) = (
∗
)
, donde f
(t) es la proporción del grupo dado de alta por día al termino de t ¿Qué proporción a sido dada de alta al final de 700 días? ( )=
81 ∗ 10 (300 + )
81000000 −
(300 + )
27000000 24 = (300 + ) 25
24 de 25 pacientes han sido dados de alta en 700 días.