CALCULO INTEGRAL

UNIDAD I Objetivo 

Identificar las diferencias entre cálculo diferencial y cálculo integral.

Cálculo: es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y determinación de longitudes, áreas y volúmenes.

En Economía algunos usos son:  Oferta y Demanda  Utilidad  Ganancia  Excedente del consumidor y productor  Ingresos  Costos  Producción  Consumo Calculo Diferencial: estudia los incrementos (∆ ) de las variables.

El incremento (∆ ) de una variable ( ) es el aumento o disminución que experimenta.

∆ =

−

Regla Fundamental de la Derivada

= lim ∆ →

Ejemplo: 1. Derivar:

=

+

+

( +∆ )− ( ) ∆

= lim ∆ →

= lim ∆ →

( + ∆ ) + 3( + ∆ ) + 5 − ( ∆ +2 ∆ +∆ = lim ∆ →

+ 3 + 5)

+ 3 + 3∆ + 5 − ∆

∆

−3 −

+ 2 ∆ + 3∆ ∆

= lim ∆ + 2 + 3 ∆ →

= 0+2 +3 =2 +3

Cálculo Integral: es el proceso inverso de la derivación. Recibe otros nombres:  Anti derivada  Función Primitiva  Integral Ejemplo:

Función = =

Función Primitiva

+ +

Integral =

=3

Derivada

+2

=

+

Diferencial

=

+2

+2

La integral tiene dos propósitos: a) El proceso inverso de la derivación. b) Calcular el área bajo la curva.

Objetivo: Determinar Integrales a partir de la diferenciación de la Integral indefinida y sus fórmulas.

Integral Indefinida Constante de Integración

∫ ( )

= ( )+

Integral Indefinida

Función

Fórmulas Fundamentales de Integración 1. ∫

=

2. ∫( + ) 3. ∫ 4. ∫

+ =

=∫ ∫

=

5. ∫

= ln| | +

7. ∫

=

6. ∫ 8. ∫ 9. ∫

=

+∫ +

+ +

=−

=

+

+

;

( )

;

≠ −1

;

> 0;

≠1

= ln|

|+

= ln|

+

10. ∫

|+

= ln|

11. ∫ 12. ∫

= ln|

13. ∫

= tan u +

14. ∫

−

= sec u +

16. ∫

= −csc u +

17. ∫

Determinar las integrales de: =

2. ∫(6 + 2)

3. ∫ √

|+

= −ctg u +

15. ∫

1. ∫

|+

+

= ∫6 = 6∫ =6

=3

= ∫ =

4 3

+2 +

+2 +

+

3 + 4 3 = + 4 =

4. ∫(1 − )√

+ ∫2 + 2∫

= ∫(1 − )

Ejercicios

=

=∫ = =

5. ∫(3 − 4)

=9

=3

√

=

=−

−

−

= =−

2 3

3

− −

5 2

2 5

+

− 24 − 16)

− 24

− 24

− 12

2

+ 16 +

+ 16 +

6 −6

− 2

−∫

= ∫ −

=

3 2

= ∫(9

=9 6. ∫

−

+

1 + 2

−

13 3 13

3

−6

6

1

− 6 ln| | +

+ 16

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo: Resolver problemas de integración a partir de condiciones iniciales.

Constante de Integración Sea la Integral: =

Nota:

(4 − 3)

Las parábolas cortan en el eje y.

4 = −3 2

El valor de la constante solo hace desplazar a la parábola.

El valor el punto de corte con eje y. = 2de c−determina 3 +

y

=2

−3 +2

=2

=2

−3 +1

−3 −1 x

=2

−3 −2

Familia de curvas

Problemas con condiciones iniciales. ´= 8 −4

1.

(2) = 5

=?

(4) =?

a) b)

= ∫(8 − 4)

=

A.

−

+

a) Cond. Inicial ( , )

= ( B.

)− ( )+

=−

Reemplazo c en punto en A. =

−

−

Función Primitiva

( )= (

b)

( )= =

2.

−

(− ) = a)

b) =

A.

(

− )

=

)− ( )−

=?

−

=?

+

Cond. Inicial. − ;

= =

=

( ) +

− (− ) + +

Reemplazo c en A. a) =

b)

=

=

−

−

−

+

+

+

=−

3. La tasa de crecimiento de una especie de bacteria se estima por medio de = 800 +

; donde

es el número de bacterias (en miles) después de

horas. Si ( ) = 40000 encuentre habrá a las 8 horas.

DATOS N= Número de bacterias (en miles) T= horas = 800 +

a)

= ∫(800 + 200 ) = 800 + 200 +

Condición inicial (5; 40000) 40000 = 800(5) + 200 + 40000 − 1000 = 200 + 36000 − 200 = = 6317.37

( ) y el número de bacterias que

Reemplazo c = 800 + 200

+ 6317.37

(8) = 800(8) + 200 + 6317.37 (8) = 6400 + 596.191,59 + 6.317,37 (8) = 608.908,97

b)

4. Dieta para ratas: un grupo de biólogos estudio los efectos nutricionales en ratas a las que se alimento con una dieta en la que 10% era proteína, la proteína consistió n levadura y harina de maíz. En un periodo de tiempo el grupo encontró que la razón de cambio (aprox) del aumento promedio de peso 6 (en gramos) De una rata, con respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica fue =−

DATOS = = % =

a)

25

+2 ;0 ≤

= 38

= 10, entonces .

+2 ;0 ≤ =∫ −

=−

≤ 100 .Si

50

≤ 100 +2

+2 +

Condición inicial (10; 38) 10 + 2(10) + 50 38 = −2 + 20 + 38 + 2 − 20 = = 20 38 = −

Reemplazo c =−

+ 2 + 20

Peso de una rata en (g)

5. Obtenga

la

ecuación

de

la

curva

cuya

pendiente

es

= 2 − 5 y pasa por el punto (5,4). a)

La derivada de una función en un punto equivale a la pendiente de la recta tangente.

= ∫(2 − 5) = −5 +

Condición inicial (5; 4) 4 = 5 − 5(5) + 4 = 25 − 25 + =4 Reemplazo c

6. a)

=

−5 +4

= 2 − 3 siendo

= ∫(2 − 3) = −3 +

= 2 cuando

Condición inicial (3; 2) 2 = 3 + 3(3) + 2= 9−9+ =2 Reemplazo c

b)

7.

=

−3 +2

(5) = (5) -3(5)+2 (5) = 25 − 15 + 2 (5) = 12 `` =

−6

= 3. Hallar el valor de

cuando

= 5.

`(0) = 2 (1) = −1 =? a)

` = ∫( `=

3

− 6)

−6 +

Condición inicial (0; 2) 0 − 6(0) + 3 2= 0−0+ =2 2=

Reemplazo `= b)

3

=∫ =

12

−6 +2 −6 +2 −3

+2 +

Condición inicial (1; -1) 1 − 3(1) + 12 1 −1 − +3= 12 1 =− 12 −1 =

Reemplazo =

12

−3

+2 −

1 12

APLICACIONES EN FISICA

=

=

=

= ``( )

1. La aceleración de un objeto después de t segundos esta dada por `` = 84 + 24, la velocidad a los 8 segundos. Esta dada por `(8) = 2891 / ; y la posición a los 2 segundos es (2) = 184 . Encuentre ( ).

DATOS `` = 84 + 24 `(8) = 2891 (2) = 184 a)

/

` = ∫(84 + 24) ` = 42 − 24 +

Condición inicial (8; 2891) 2891 = 42(8) + 24(8) + 2891 − 2688 − 192 = = 11

Reemplazo

b)

` = 42

− 24 + 11

= 14

− 24

= ∫(42

− 24 + 11)

+ 11 +

Condición inicial (2; 184) 184 = 14(2) − 24(2) + 11(2) + 184 − 112 − 48 − 22 = =2

Reemplazo = 14

− 24

+ 11 + 2

APLICACIÒN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS DE ADMINISTRACIÒN Y ECONOMÌA OBJETIVO: Resolver problemas financieros (administración y economía) mediante la aplicación de la integral indefinida.

FORMULAS: = =

COSTO

ò

= ( )

`` = `( )

`( )

=

= ( )+

CONDICIÒN INICIAL: Costo fijo o inicial, valor del costo cuando =

( )

INGRESOS =

`( ) =

∗

= ( ) `( )

= ( )+

= = ù

= 0 (0, )

CONDICIÒN INICIAL: Ingreso es 0 cuando la cantidad de demanda es nula (0,0) =

 

ò

Ingreso promedio (ingreso por unidad) equivale al precio por unidad.

Las gráficas de ingreso promedio y demanda son iguales.

EJERCICOS: 1. El costo marginal ( `) como función de las unidades producidas( ), esta dado por ` = 1064 − 0,005 . Si el costo fijo es 16,3. Hallar las funciones de costo total y costo promedio. a)

= ∫(1064 − 0.005 ) = 1064 − 0.025 + Condición inicial (0; 16,3) 16.3 = 1064(0) − 0.025(0) + = 16.3 Reemplazo

= 1064 − 0.025 =

+ 16.3

1064 − 0.025

COSTO TOTAL

+ 16.3

= 1064 − 0.025 +

.

COSTO PROMEDIO

2. El costo marginal como función de las unidades producidas (o producción) x, está dada por ` = 2 + 60 − 5 . Si el costo fijo es 65, hallar las funciones de costo total y costo promedio. a)

= ∫(2 + 60 − 5

)

= 2 + 30

−

5 + 3

Condición inicial (0; 65) 65 = 2(0) + 30(0) − = 65

5(0) + 3

Reemplazo = 2 + 30 =

−

+ 65

COSTO TOTAL

5 − 3 + 65

2 + 30

= 2 + 30 −

+

COSTO PROMEDIO

3. Si la función de ingreso marginal es `( ) = 8 − 6 − 2 función de ingreso total y la función de demanda. a)

= ∫(8 − 6 − 2 ) 2 =8 −3 − + 3 Condición inicial (0; 0) 0 = 8(0) − 3(0) − =0

2(0) + 3

Reemplazo =8 −3

−

INGRESO TOTAL

. Determinar la

=

8 −3

2 − 3

=8−3 −

FUNCIÒN DE DEMANDA

4. Si la función de ingreso marginal función de demanda.

a)

= ∫(12 − 8 + = 12 − 4

+

3

`( ) = 12 − 8 +

. Determine la

)

+

Condición inicial (0; 0) 0 = 12(0) − 4(0) + =0

(0) + 3

Reemplazo = 12 − 4 =

12 − 4

INGRESO TOTAL

+ + 3

= 12 − 4 +

FUNCIÒN DE DEMANDA

5. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es = 2000 − 20 − 3

a)

= ∫(2000 − 20 − 3

. Encuentre la función demanda.

)

= 2000 − 10

+

+

Condición inicial (0; 0) 0 = 2000(0) − 10(0) + =0

+

Reemplazo = 2000 − 10 =

2000 − 10

+

INGRESO TOTAL

+

= 2000 − 10 +

FUNCIÒN DE DEMANDA

6. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de 4000 (loa costos fijos son como la renta y el seguro, que permanecen constantes a todos los niveles de producción en un periodo determinado). Si la función de costo marginal es

= 0,000001(0,002

− 25 ) + 0,2. Encuentre el

costo total de producción y calcule cuando vale 10000lb en una semana. a)

= ∫(0,000001(0,002 = (0,000000002 =

0,000000002 3

− 25 ) + 0,2)

− 0,000025 + 0,2)

− 0,0000125

+ 0,2 +

Condición inicial (0; 4000) 0,000000002(0) − 0,0000125(0) + 0,2(0) + 3 = 4000

4000 =

Reemplazo =

COSTO TOTAL (10000) =

0,000000002 3

− 0,0000125

+ 0,2 + 4000

0,000000002(10000) − 0,0000125(10000) + 0,2(10000) + 4000 3

(10000) = 666.67 − 1250 + 2000 + 4000 (10000) = 5416.67

INGRESO NACIONAL, CONSUMO NACIONAL Y AHORRO

= ( )

=

=

´ = ´( ) Si

=

= + = − ´

´( )

ó

´=1− ´ ´=1− ´

ó ó

ℎ

= ( )+

CONDICIÓN INICIAL: (x, c) FORMACIÓN DE CAPITAL Es el proceso de incrementar la cantidad acumulada de los bienes de capital.

( )= ´( ) = ( )=

( )=

ó ó ´( )

( )

=

ó

CONDICIÓN INICIAL: (t, k (0)) Capital inicial EJERCICIOS: 1) La propensión marginal al consumo (en miles de millones es de unidades monetarias) es

= 0,7 +

,

√

. Cuando el ingreso es 0 el consumo vale 8 mil

millones de unidades monetarias. Determine la función de consumo. ,

a) ∫ 0,7 + √ = 0,7 +

0,2 1 2

= 0,7 + 0,4

+

CONDICIÓN INICIAL (0,8) 8 = 0,7(0) + 0,4(0) + =8

REEMPLAZO C 2) La propensión marginal al ahorro vale . Cuando el ingreso es 0 el consumo es de 11 mil millones de unidades monetarias. Obtener la función de consumo. ´=1− ´ 1 = 1− ´ 3 2 ´= 3

= =

2 3

2 + 3

CONIDCIÓN INICIAL (0,11) =1 =

+ 11

F. CONSUMO

3) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 5 ; la acumulación inicial de bienes de capital a = 0 es (0); hallar la función que representa el capital . ( )=

5

5 + 10 7 7 ( )= + 2 ( )=

CONDICIÓN INICIAL (0, k (0)) 7 (0) 2 = (0)

0=

( )=

+ + (0)

F. CAPITAL

4) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 15 , la acumulación inicial de capital a = 0 es 30; encontrar la función que represente el capital k. ( )=

15

( )=

5 + 5 4

( ) = 12

+

CONDICIÓN INICIAL (30, k (0)) 30 = 12(0) + = 30 ( ) = 12

+ 30

F. CAPITAL

5) La Función de costo marginal para la producción es = 10 + 24 − 3 , si el costo (total) de producir una unidad es 25, determine la función de costo total y la función de costo promedio. ´=

= Condición Inicial ( ,

)

(

=

6) Si el ingreso marginal es

=

´=

=

Condición Inicial ( , )

−

+

−

)

+

−

+

+

= =

total y de demanda.

+

=

+

+

−

−

−

+

+

+

− , determine las funciones de ingreso

=− −

−

+

=− −

+

=− −

+

=

=−

−

+

7) La propensión marginal al consumo (en miles de millones de u.m.) es: = 0.5 +

, cuando el ingreso es cero, el consumo es de 6 mil millones

de u.m. Establezca la función de consumo. ´= . + =

Condición Inicial ( , )

. +

= .

+

= . ( )+ = .

=

3

3

1

1 /

( ) /

+

+ + +

8) La propensión marginal al ahorro (en miles de millones de u.m.) es: = 1 − 0.4 −

, cuando el ingreso es nulo, el consumo cale 9 mil millones

de u.m. Establezca la función de consumo. ´ = 0.4 +

6

1

=

0.4 +

= .

Condición Inicial ( , )

+

6

1 /

+

= . ( )+ ( )+ =

/

= . +

+

9) Si el flujo de inversión está dado por ( ) = 20 / y la acumulación inicial de bienes de capital a = 0 es 25, determine la función que representa el capital.

Condición Inicial ( ,

)

( )=

20

=

( )

( )=

=

( )=

/

+ + +

UNIDAD 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN OBJETIVO: Aplicar las diferentes técnicas de integración, para resolver integrales de mayor grado de dificultad.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE) Ejercicios: Resolver las siguientes integrales: 1) ∫(

=

+ 2) − 3

= +2 =3

=

+ 3 ( + 2) = + 3

2) ∫(

=

+ 2) −

=3

=

1 3

+2

=

1 3

2 + 3 2 = ( + 2) + 3

=

3) ∫ (

)

=

8

(

+ 2)

=

=3

8 3

= = = 4) ∫

=

=8

1 3

=

8 4 = 3 −2 3

4 + + 2)

3( √

=

+2

1 3

=

=3

= = =

5) ∫

+2

1 3

=

4 ( 9

(

(

4 9

=

1 3

1 3

+ 2) +

)

)

=

2

=( +6 ) =2 +6 = 2( + 3) = ( + 3)

=

1 2

=

6) ∫ 3 √1 − 2

=

3 ( 4

3 4

= 1−2

−

= −4

3 4

=−

3 4

( ) .

1 = − (1 − 2 2

7) ∫ √

−2

(1 − 2

∫ (1 − 2

−

=1−2 = −4 4

)

=−

) +

1 2

+

)

=

−

1 4

=

1 2

+

+6 ) +

1 4

−

−

3 2

1 6

1 − (1 − 2 6

8)

2

) +

= −1 =2 =

1 2

1 ln + 2

9) ∫

(

√

1 ln( 2

)

− 1) +

1+2 + /

+2

10) ∫

X+2

x+1

-x-1

1

1

2

1 2

+

+ 4 3

+

2 + 3 5 2 2 +

2 5

+

∫

+∫

1+

1 +1

=

+1

=

+ ln +

+ ln( + 1) +

11)

−

=− =−

− −

12) ∫ 1

-1 −

+1 1

1− −

+1 +1 +1

=

=

+1

ln +

− ln( 13) ∫ (

)

+2 +2 +1 1 1− +2 +1 1 − +2 +1 1 +2 +1

= +1 =

+ 14) ∫ √ 5

1 =− + 1 + +1

√3

+4

=3 +4 =6

+ 1) +

=

6

5 6

5 6 1 2 5 + 3 5 (3 3

+ 4) +

15) ∫(2 + )(4 +

2

=4 + +5 =4+2 = 2(2 + ) = (2 + )

1 2

16) 1−

−2

+ 5)

1 3 = + 2 4 8 3 3 (4 + + 5 ) + 8

2 +1

+1

− 2∫

= +1 =

−2 −2

+

− 2ln( + 1) + 17) ∫

+

+2

2

2 2 2

+2

2 +2

= +2 =

+2

+2

+2 +2

+

+ 2ln( + 2) + 18) ∫

(

−2 +

)(

√

−2

)

−

−2

2 2 − −4 5 3 19) ∫

= 1 2 1 2

+2 +2

= 2 + 2 = 2( + 1)

1 ln( 2

+ + 2 + 2) +

20) ∫

=2 1 2 1 2

1 2

+

=2

=

+ + 21) ∫(

+ 1)

= ( + 1)

= =

4

(

+1

+ 1) + 4 1−

22) ∫ +1

−

+1

= =

+1

−

+

−

− ln(

+ 1) +

INTEGRALES POR PARTES Sean

y

funciones derivadas para : (

Reglas:

)= =

=

(

+

)−

−

a) La parte que se iguala a debe ser fácilmente integrable. b) ∫ no debe ser mas complicada que ∫ .

Ejercicios

1. ∫

=

=

= =

=

=

2. ∫

−

−

=

−

= =

=

= − cos

+

=

−

= − cos +

= − cos +

3. ∫ ln

cos

+

= ln =

1

=

= ln

= ln

ln

4. ∫ √1 +

=

3

−

3

= ln

− 3

−

1 9

3

1 +

=

=

= (1 + ) =

√1 +

=

2 (1 + ) 3

=

−

2 (1 + ) − 3

2 (1 + ) 3

√1 +

5. ∫

√1 +

2 22 (1 + ) − (1 + ) 3 35

=

2 4 (1 + ) − (1 + ) + 3 15

=

=

=2

=

= − cos =

−

=−

cos +

=−

+

cos 2

=

=

= cos =

=

=

=−

=

−

−

cos + 2 (

+

+ cos )

6. ∫

=−

cos + 2

+ 2 cos +

=

=3 =

=2 =2

=

=

2

1 2

1 2

=

=

=

2

= =

2

−

2

=

=

=2

− −

2

3

=

=

= =

− −

2

= =

2

−

2

−

2

2

−

=

=

=

=

= =

= = =

2

− 2

2

−

3 2

− 3 4

=

3 2

2

−

2

− −

2

2

−

2 2

+

3 4

4

−

2 2

−

− +

3 8

4 4

+

=

=2

=

= −3 −

= −3

=−

=

3

1 3

=−

=−

1 3

=−

3

3

=

=−

− −

3

=−

+

=

=

=

=−

−

3

3

(2

)

=

−

=−

3

=− =− =− =− =−

3 3

3

3 3

+

2 − 3

+ +

−

2 − 3 +

−

2 9

−

1 3

2 − 3

3 3

3

+ + 3

−

1 3

1 − 3 3 −

2 27

9

+

INTEGRACIÓN POR DESCOMPOCISIÓN EN FRACCIONES PARCIALES ( ) ( ) = ( )  

( )

Fracción propia Fracción impropia

( )

,

ó

Toda fracción racional impropia, se pude expresar como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Ejm: =

+1

−

+1

Toda fracción racional propia, se puede expresar como la suma de fracciones simples, cuyos denominadores son de la forma: ( + ) y ( + + ) .

CASO 1 FACTORES LINEALES DISTINTOS +

CASO 2 FACTORES LINEALES IGUALES +

+

(

+ )

+⋯

(

+ )

CASO 3 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS +

+

+

CASO 4 FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES

EJERCICIOS: 1. ∫

Denominador:

+

+

+

+

+

+

+

− 4 = ( + 2)( − 2)

+⋯

(

+

+

+ )

.

1 = + −4 +2 −2 1 = ( − 2) + ( + 2)

Reemplazo en x el valor que anula al denominador.

1 = ( − 2) 1 = (−2 − 2) 1 = (−4) 1 =− 4 1 = ( + 2) 1 = (2 + 2) 1 = (4) 1 = 4 −4

=

1 −4

+2

1 4 −2

+

1 1 = ln( + 2) + ln( − 2) + −4 4 4

2. ∫

(

)

Denominador: +1 = + −6

+

+

−6 = (

+3

+

+ 1 = ( + 3)( − 2) +

−2

+

( − 2) +

− 6) = ( + 3)( − 2) ( + 3)

Reemplazo en x el valor que anula al denominador. + 1 = ( + 3)( − 2) 0 + 1 = (0 + 3)(0 − 2) 1 =− 6 + 1 = ( − 2) −3 + 1 = (−3)(−3 − 2)

=−

2 15

+ 1 = ( + 3) 2 + 1 = (2 + 3) 3 = 10 ( + 1) = + −6

3. ∫

(

)

1 −6

+

2 15 +3

−

+

3 10 −2

( + 1) 1 2 3 = − lnx − ln( + 3) + ln( − 2) + + −6 6 15 10

Denominador: ( − ) − ( − 1) = ( − 1) − ( + 1) = ( + 1)( − 1) (3 + 5) = + + − − +1 +1 − 1 ( − 1) 3 + 5 = ( − 1) + ( + 1)( − 1) + ( + 1)

Reemplazo en x el valor que anula al denominador.

3 + 5 = ( − 1) 3(−1) + 5 = (−1 − 1) 1 = 2 3 + 5 = ( + 1)( − 1) 3(1) + 5 = (1 + 1)(1 − 1) = 3 + 5 = ( + 1) 3(1) + 5 = (1 + 1) =4 =0

3(0) + 5 =

1 (0 − 1) + (0 + 1)(0 − 1) + 4(0 + 1) 2

=−

1 2 1 2 +1

(3 + 5) = − − +1

−1

+

4 ( + 1)

(3 + 5) 1 1 4 = ln(x + 1) − ln( − 1) + − − +1 2 2 −1

4. ∫ − 2

+

1 −2

− −

( + 1) −

( + 1) −

− −

−1

=

+

+

( − 1)

+ 1 = ( − 1)( ) + ( − 1) + Reemplazo en x el valor que anula al denominador. + 1 = ( − 1)( ) 0 + 1 = (0 − 1)(0) =0 + 1 = ( − 1) 0 + 1 = (0 − 1)(0) = −1 +1= 1+1= 1 =2

=2 2 + 1 = (2 − 1)(2) − 1(2 − 1) + 2 = −2

− − 5. ∫

− −

−1

− −

−1

+

Denominador

+

−2

= =

2

+2

= (

−

+

−2 − 4 ( = + + −2 − 4 = ( −2 − 4 =



   

0=

+

−2 − 4 =

( + )

1

2 −1

+

− 2 ln( − 1) +

+ 1) Casi I con caso III

−2 − 4 + +

−2 − 4 = (

−1

+

=

+

+

(

+

+

+ 1) + ( + ) ( + + 1)

+ 1) + (

+

+

+

+

)+(

+

+ 1)

+ )

+

+

)+

( + )+ ( + )+

=0

−2 = ( + ) + = −2 = −4 =4 =2

−2 − 4 + +

−2 − 4 + +

− − + +

= −4

= −4 ln( ) + 2

=−

( )+

4 +2 + +1

+

(

2 +1 + +1 +

+ )+

6. ∫ (

+ 16 = + 4)

8

+ + +4 ( + (

+ 16 =

8

+ 16 =

8

+4

+ 16 =

8 8

8 + 16 + 8 + 16

−

8 (

)

+

=8

0=

=0

16 = (4 + ) 4 +

= 16

4 +

=0

= 16 =0

+ + +4 (

8

+ + 4)

8 16 − + 4 ( + 4) +4

− 16

+

+4 +

+

+ (4 + ) + (4 + )

+

=

+ 4) +

+ 4 + (4 + ) +

+

+ 16 =

+ + 4)

(

+ 4)

= 1 2

=2

1 ln( 2 =

1 2

=2

1 − ln( 2

4 (

(

+4

=

2

=

+ 4) +4

=

2

+ 4)

=

+ 4) − 8( + )−

+ 4) +

+

+

UNIDAD 3 INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO: Aplicar el teorema fundamental del cálculo y sus propiedades, en la resolución de problemas aplicadas a la economía y áreas bajo la curva.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [ , ] y F es cualquier anti derivada de f en el intervalo, entonces: ( )

PROPIEDADES:

= ( )− ( )

1. Si f es continua y ( ) ≥ 0 , en [ , ], entonces ∫

( )

puede

interpretarse como el área de la región limitada por la curva x y las líneas = y = ( )

2. ∫

=

( )

∫

3. ∫ [ ( ) ± ( )]

=∫

4. ∫

( )

=∫

( )

5. ∫

( )

=∫

( )

−

+ 6)

EJERCICIOS: 1) ∫ (3 −

;

( )

+∫

±∫

( )

( )

+6 2 3 (−1) 3 − + 6(3) − (−1) − + 6(−1) 2 2 9 1 27 − + 18 − −1 − − 6 2 2

= ( ), el eje

= 48

2) ∫ (4

+ (

4 3 = 1 2

=2

+

+ +1

U 8

+ 1)

(

=

2

(

+ 1)

+ 1)

=

+ 1) 8 ((2) + 1) ((1) + 1) 3(2) + + 3(1) + 8 8 609 4.56 + 8 80.68 3

3) ∫

+

(

√

(1+ = 1+

)

1 4

=4

U 2

(1 +

=

4

=

)

(1 + 1 ) − (1 + 0 )

0.7071 − 0.5 0.207

4) La definición de costo marginal de un fabricante es

= 0.6 + 2, si la

producción actual es = 80, por semana. ¿Cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?

(0.6 + 2)

0.3

0.6 2

+2

+ 2 = 0.3(100 ) + 2(100) − 0.3(80 ) − 2(80) 3200 − 2080 = 1120

Nos costará incrementar las unidades de 80 a 100 $1120 5) La función de costo marginal de un fabricante es

= 0.003

− 0.6 +

40, si C esta en dólares. Determine el costo de incrementar la producción de 100 a 200 unidades.

(0.003

− 0.6 + 40)

0.001

− 0.3

+ 40

0.001(200 ) − 0.3(200 ) + 40(200) − 0.001(100 ) + 0.3(100 ) − 40(100) = 2000 Nos costará incrementar las unidades de 100 a 200 $2000.

6) La función de Ingreso marginal de un fabricante es

=

, si r esta

en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante, si la producción aumenta de 400 a 900 unidades.

1000 100

1000

100

20 100

20 100(900) − 20 100(400) 6000 − 4000 = 2000

El cambio en el ingreso total es de $2000, si la producción incrementa de 400 a 900 unidades.

7) Altas de un hospital. Para un grupo de personas hospitalizadas supóngase que la razón de altas está dado por ( ) = (

∗

)

, donde f

(t) es la proporción del grupo dado de alta por día al termino de t ¿Qué proporción a sido dada de alta al final de 700 días? ( )=

81 ∗ 10 (300 + )

81000000 −

(300 + )

27000000 24 = (300 + ) 25

24 de 25 pacientes han sido dados de alta en 700 días.