Reporte de matemáticas república dominicanav7 by Heurística Educativa

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN SEXTO DE PRIMARIA EN REPÚBLICA DOMINICANA

Armando Loera Varela

Julio, 2012.

ÍNDICE PÁGINA Introducción 3 1. Descripción de la muestra 4 2. Comparación de las lecciones de matemáticas de República 26 Dominicana con resultados del estudio TIMSS video 1999 y 1995. 3. Diferencias en las lecciones de matemáticas por diversos 85 tipos de escuelas de República Dominicana. 4. Flujos pedagógicos de lecciones de matemáticas 98

INTRODUCCIÓN. Uno de los debates más relevantes actualmente se refiere a la mejora del desempeño pedagógico de los docentes como una de las claves estratégicas para la mejora de la calidad de la educación. Sin embargo, la discusión debe ser estructurada con base en buen conocimiento sobre qué es lo que efectivamente los docentes hacen, o no hacen, en sus aulas. A pesar de los avances en la investigación pedagógica, todavía faltan evidencias sobre las estrategias efectivas para configurar oportunidades de aprendizaje. Especialmente, falta investigación cualitativa y mixta que tenga posibilidad de sentar bases substantivas en la promoción de políticas educativas, particularmente en la formación de maestros y en la actualización de los docentes en servicio. El Banco Interamericano de Desarrollo (BID) ha impulsado el estudio BIDvideos con el propósito de avanzar en el conocimiento sobre los desempeños pedagógicos de los docentes en América Latina, especialmente en la identificación de los métodos de enseñanza de las matemáticas y la ciencia en primaria, la comparación de aspectos relevantes del desempeño de docentes de la región con docentes de países desarrollados y la identificación de brechas entre los desempeños de los docentes al interior de los sistemas educativos. El estudio BIDvideos ha seguido la estrategia de definición de muestra, desarrollo de trabajo de campo y codificación de los estudios TIMSS videos de 1995 (matemáticas) y 1999 (matemáticas y ciencias) en países desarrollados. La investigación de campo se ha realizado en Paraguay, República Dominicana y el estado mexicano de Nuevo León, específicamente en escuelas participantes en el Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), que implementó el Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE), de la Oficina Regional para América Latina de la UNESCO. Entre los objetivos, en consecuencia, se encuentra la comparación de los desempeños pedagógicos de los profesores de sexto grado de los tres sitios del estudio con los docentes de países como Australia, Hong Kong, Japón, Estados Unidos, Alemania, Suiza, Holanda y la República Checa. Debe tomarse en cuenta que el estudio TIMSS video se efectuó en octavo grado (el equivalente en nuestra región a octavo grado). La base del estudio consiste en registros en video de las lecciones de matemáticas y ciencias, los que se complementan con videos de aula, de escuela y entrevistas registradas también en video de los docentes sobre sus lecciones. Se complementa la información con encuestas a los directores de las escuelas y de los docentes participantes. En este documento se presentan los desempeños pedagógicos de los docentes de República Dominicana en sus lecciones de matemáticas. En la sección primera se describe la muestra de maestros, aulas y escuelas participantes. En la segunda sección se comparan los resultados con los obtenidos por los estudios TIMSS videos, inicialmente se muestran los resultados comparados con el estudio 1999, más sistemático y completo, y posteriormente los resultados con el estudio 1995. En la tercera sección se comparan los desempeños de los docentes en escuelas de diverso estrato (urbanas o rurales), con diversa gestión (estatales, no estatales de congregaciones religiosas y no estatales particulares) y las escuelas agrupadas por nivel en los desempeños en el examen de matemáticas de SERCE de República Dominicana (bajo, medio y alto). En la cuarta sección se presenta un estudio exploratorio sobre los flujos pedagógicos-modelos de enseñanza- que se aprecian en lecciones de matemáticas.

1. DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA. Las escuelas participantes en este estudio fueron seleccionadas de las que participaron en el estudio SERCE. En ese estudio, cuyo trabajo de campo se realizó en el año 2005, la muestra efectiva de la República Dominicana fue de 106 escuelas. Diez de esas escuelas ya no estaban en servicio para julio de 2010, cuando iniciamos el trabajo de campo para el estudio BIDvideos, por lo que la muestra seleccionable de escuelas quedó en 96 escuelas. La muestra idónea para estudios comparativos basados en lecciones registradas en video fue establecida en los estudios TIMSS videos 1995 y 1999 en 100 escuelas por país. Tabla 1. Muestra general del estudio BIDvideos en República Dominicana Sitio

República Dominicana

MUESTRA SERCE EN SEXTO GRADO CON DATOS DE CIENCIA Y MATEMÁTICAS

ESCUELAS DEL ESTUDIO SERCE SELECCIONABLES PARA EL 2010

MUESTRA ESTUDIO BIDVIDEOS

COBERTURA DEL ESTUDIO BIDVIDEOS RESPECTO A LA MUESTRA SERCE SELECCIONABLE

106

100%

Al comparar nuestra muestra con la de SERCE resulta que tenemos 2.3% más escuelas públicas en nuestro estudio, por lo que se puede inferir que la mayor parte de las diez escuelas que ya no siguieron operando eran escuelas privadas.

Clasificación interna de las escuelas. Para identificar modalidades diferentes de enseñar las ciencias se han conformado tres agrupamientos de escuela , según su estrato, tipo de gestión y nivel de desempeño mostrado en la prueba de matemáticas de SERCE1, relativo a los promedios obtenidos solo por escuelas Dominicanas. Si bien los resultados de SERCE se obtuvieron en el 2005, y nuestro trabajo de campo registrando en videos los desempeños pedagógicos de los docentes de ciencias de sexto grado son de 2010, en general es difícil que una escuela cambie en poco tiempo su nivel de desempeño. De cualquier manera los resultados que consideran este agrupamiento deben ser tomados con precaución. Por su estrato, de las 96 escuelas, 61 (63.5%) son escuelas urbanas y 35 son escuelas rurales (36.5%). Según la clasificación elaborada por SERCE, considerando el tipo de gestión, existen en esta muestra 72 escuelas (75%) que son estatales de gobierno nacional (siguiendo la nomenclatura de SERCE), 8 escuelas (8.3%) no estatales de congregación religiosa, 2

La coordinación del estudio SERCE amablemente compartió su base de aprovechamiento escolar. Sobre ella hemos estimado los promedios de las escuelas participantes en nuestro estudio. La clasificación de las escuelas por los niveles de logro es responsabilidad nuestra.

5 escuelas (2.1%) no estatales de organismos no gubernamentales y 14 escuelas (14.6%) no estatales particulares. El nivel de desempeño en la prueba SERCE de ciencias para sexto grado se estableció en tres niveles, a partir de su media (419.23) y desviación estándar (25.78) a nivel escuela. a) bajo logro relativo: con promedio por escuela del mínimo, 365.01, a 406.27 (menos de una desviación estándar a partir de la media obtenida por la muestra de sexto grado de República Dominicana). En este grupo se ubican 29 escuelas. b) medio logro relativo: corresponde a una desviación estándar a partir de la media, es decir, están escuelas cuyos promedios fueron de 407.36 a 429.28. A esta clasificación corresponden 45 escuelas de la muestra. c) alto logro relativo: se ubican escuelas cuyo rendimiento promedio fue de 433.09 a 521.96 (máximo puntaje promedio en SERCE por escuelas Dominicanas en ciencias del sexto grado). Un total de 22 escuelas se agrupan en esta categoría. En las escuelas urbanas de esta muestra son más frecuentes los niveles altos y medios en la prueba SERCE y en el ámbito rural el nivel bajo. Tabla 2. Estrato República Dominicana Nivel de logro relativo en SERCE ciencias

Bajo 14 (22.9%)

Urbano 61 (63.5%) Medio 31 (50.8%)

Alto 16 (26.2%)

Rural 35 (36.4%) Medio 14 (40.0%)

Bajo 15 (42.8%)

Total

Alto 6 (17.1%)

Por su nivel de desempeño promedio en la prueba de ciencia del estudio SERCE es más frecuente encontrar a las escuelas estatales en el nivel bajo y medio; las no estatales de congregación religiosa en los niveles bajo y medio; las no estatales particulares en el nivel alto y medio; las no estatales de ONG´s (organismos no gubernamentales) en el nivel medio y alto. Tabla 3. Tipo de gestión República Dominicana

Nivel de logro relativo en SERCE ciencias

Estatal, gobierno nacional

Bajo

72 (75.0%) Medio

Alto

26 36.1%

34 47.2%

12 16.6%

No estatal, congregación religiosa 8 (8.3%) Bajo Medio Alto 3 37.5%

3 37.5%

2 25.0%

No estatal, particulares

Bajo 0

14 (14.5%) Medio 7 50.0%

Alto 7 50.0%

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) bajo medio Alto 0

1 50.0%

Total 96

6 Características de los docentes. Los docentes participaron de manera voluntaria, sin recibir un pago (como fue el caso de TIMSS). Entre las características de los docentes que se toman en cuenta para su caracterización están su género, edad, máximo nivel de escolaridad, años de experiencia docente, experiencias como docentes del sexto grado, número de cursos de capacitación recibidos y estimación del nivel de dificultad en la enseñanza de la ciencia. A excepción del género (que se registró por observación directa del video), el resto de los datos se han obtenido de la encuesta aplicada. A diferencia de Paraguay y Nuevo León, los otros participantes en este estudio, en el sexto grado de República Dominicana es poco común encontrar el mismo maestro enseñando matemáticas y ciencias. Sólo en 36 de las 96 escuelas (37.5%) se encontró al mismo docente enseñando tanto matemáticas como ciencias. Por lo que la caracterización de esta sección corresponde a los docentes de matemáticas. Los docentes Dominicanos se comparan siguiendo tres criterios: a) estrato de la escuela: distinguiendo entre urbanas y rurales. La clasificación se basa en los datos del SERCE, confirmada en el trabajo de campo con los funcionarios del Ministerio de Educación. b) tipo de gestión, considerando la clasificación de SERCE: considerando estatales del gobierno nacional, no estatales pertenecientes a una escuela religiosa y no estatales pertenecientes a particulares. La ubicación de cada escuela en su tipología correspondiente se tomó de los datos de SERCE y se confirmó con los funcionarios del Ministerio de Educación. c) nivel de logro relativo, considerando los resultados de sexto grado en la prueba aplicada para ciencias de SERCE. Esta estimación se basa en cálculos propios, con base en la base de datos proporcionada por la coordinación técnica del estudio SERCE. Del grupo de maestros de República Dominicana un 17.7% de ellos mencionó recordar la participación de su escuela en el estudio, que se había realizado cinco años antes.

7 Género de los docentes. En las lecciones de matemáticas de nuestro estudio participan 66 maestras (68.8%) y a 30 maestros (31.3%) de República Dominicana. La proporción de maestros varones en ciencias resultó de 15.6%, es decir existe una diferencia de 15.7% de más maestros varones en matemáticas que en ciencias en las mismas aulas de República Dominicana. En esta muestra la mayor parte de los maestros varones laboran en el ámbito rural, y por parte de las docentes mujeres en el ámbito urbano. Tabla 4. Género República Dominicana

Masculino 30 (31.3%)

Estrato

Urbano 16 (53.3%)

Femenino 66 (68.8%) Rural 14 (46.6%)

Urbano 45 (68.1%)

Total

Rural 21 (31.8%)

Los maestros varones trabajan preferentemente en escuelas estatales. En las escuelas no estatales se encuentran con mayor frecuencia a maestras.

Tabla 5. Género República Dominicana Tipo gestión

Estatal gobierno nacional

24 (80%)

Masculino 30 (31.3%) No estatal, No estatal, congregación organismo no religiosa gubernamental

3 (10.0%)

No estatal, particulares

Estatal gobierno nacional

3 (10.0%)

48 (72.7%)

Femenino 66 (68.8%) No estatal, No estatal, congregación organismo no religiosa gubernamental

5 (7.5%)

Total

No estatal particulares

2 (3.0%)

11 (16.6%)

Si se considera el nivel de logro obtenido por la escuela en la prueba SERCE, es más frecuente encontrar maestras en las escuelas que obtuvieron alto nivel de logro relativo. Tabla 6. Género República Dominicana Nivel de logro relativo en SERCE matemáticas

Bajo logro relativo 10 (33.3%)

Masculino 30 (31.3%) Medio logro relativo

Alto logro relativo

14 (46.6%)

6 (20.0%)

Bajo logro relativo 19 (28.7%)

Femenino 66 (68.8%) Medio logro relativo

Total

Alto logro relativo

31 (46.9%)

16 (24.2%)

8 Edad de los docentes. Los maestros videograbados promedian poco más de cuarenta y un años de edad en esta muestra de la República Dominicana (con una desviación estándar de 7.7). El docente más joven dijo tener 21 años y el mayor de 57 años. Siete docentes de matemáticas no proporcionaron el dato de su edad. Tabla 7. Edad de los docentes Sitio

Promedio en años

República Dominicana (89)

41.0

Desviación estándar 7.7

Mínimo

Máximo

De los docentes participantes en el estudio, los docentes rurales son mayores que los urbanos, aunque la diferencia es mínima. Tabla 8. Edad Estrato (89)

Urbano 55 (61.7%) 40.6 (8.0)

Rural 34 (38.2%) 41.7 (7.2)

Los maestros más jóvenes en promedio son los que laboran en escuelas no estatales, de organismos no gubernamentales y también de las no estatales particulares. Los maestros de escuelas estatales muestran el mayor promedio de edad. Tabla 9. Edad Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión (89)

67 (75.2%) 42.3 (7.7)

No estatal, congregación religiosa 6 (6.7%) 37.8 (2.4)

No estatal, particulares 14 (15.7%) 36.9 (8.0)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.2%) 36.0 (2.8)

Los maestros con mayor edad laboran en escuelas que obtuvieron altos resultados relativos en la prueba de matemáticas de SERCE. Tabla 10. Edad

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (89)

Bajo 26 (29.2%) 41.0 (7.9)

Medio 41 (46.0) 40.7 (7.6)

Alto 22 (24.7) 41.6 (8.1)

9 Mayor nivel de escolaridad. La mayor parte de los docentes (79), se han especializado en universidades. Lo cual representa el 82.3% de la muestra de la República Dominicana. Tabla 11. Máximo nivel de escolaridad República Dominicana (96) Técnica no universitaria Pedagógica no universitaria Universitaria Posgrado Total

% 4.2 5.2 82.3 8.3 100

Al informar sobre su máximo nivel de escolaridad destaca que casi todos los docentes rurales afirman contar con educación universitaria, por arriba de los maestros urbanos. Tabla 12. Nivel de escolaridad por estrato República Dominicana (96)

Urbano 61 (63.5%) 6.5% 6.5% 75.4% 11.4% 100%

Técnica no universitaria Pedagógica no universitaria Universitaria Posgrado Total

Rural 35 (36.4%) 0 2.8% 94.2% 2.8% 100%

La educación universitaria (licenciatura) es la dominante en todas las modalidades de gestión. Tabla 13. Nivel de escolaridad por tipo de gestión (96) República Dominicana (96)

Estatal, gobierno nacional

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 0

No estatal, particular

72 (75.0%) 4.2%

No estatal, congregación religiosa 8 (8.3%) 0

Técnica no universitaria

4.1%

12.5%

7.1%

83.3%

62.5%

100%

85.7%

Posgrado

6.9%

25.0%

7.1%

Total

100%

Pedagógica universitaria Universitaria

14 (14.5%) 0

Destaca el hecho de que los docentes con educación universitaria se ubiquen en escuelas que obtuvieron nivel bajo, primero, y en segundo lugar, en el nivel alto.

10 Tabla 14. Nivel de escolaridad por nivel de logro académico República Dominicana (96)

Bajo 29 (30.2%) 0 3.4% 93.1% 3.4% 100

Técnica no universitaria Pedagógica no universitaria Universitaria Posgrado Total

Medio 45 (46.8%) 6.6% 8.8% 71.1% 13.3% 100

Alto 22 (22.9%) 4.5% 0 90.9% 4.5% 100

Años de experiencia docente. La experiencia docente promedio de quienes participan en el Estudio es de aproximadamente doce años y medio, con un rango que va de docentes en su primer año a docentes con 29 años de experiencia. Tabla 15. Años de experiencia docente Sitio República Dominicana (95)

Promedio

Desviación estándar 7.3

12.4

Mínimo

Máximo

Por estrato. Los docentes de escuelas rurales declaran contar con mayor experiencia docente que los de las escuelas urbanas. Tabla 16. Años de experiencia docente Estrato (95)

Urbano 61 (64.2%) 12.0 (7.4)

Rural 34 (35.7%) 13.3 (7.2)

Tipo de gestión. Los docentes que declaran mayor antigüedad docentes son los de las escuelas estatales, los que cuentan con menos años de experiencia serían los docentes de escuelas no estatales, de ONG´s.

11 Tabla 17. Años de experiencia docente Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión (95)

71 (74.7%) 13.2 (7.3)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.4%) 11.3 (7.8)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.1%) 7.00 (2.8)

No estatal, particulares 14 (14.7%) 10.3 (7.7)

En promedio, los maestros con más antigüedad se encuentran en el nivel alto de logro relativo según los resultados de SERCE. Al mismo tiempo en esta muestra se observa mayor dispersión en las edades de los maestros que integran el nivel alto de logro. Tabla 18. Años de experiencia docente Bajo 28 (29.4%) 13.7 (7.1)

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas

Medio 45 (47.3%) 10.9 (7.0)

Alto 22 (23.1%) 14.0 (8.1)

Experiencia como docentes del sexto grado. En promedio los docentes que participan en el estudio han sido asignados, en promedio, cuatro veces al sexto grado. Tabla 19. Años de experiencia como docente de sexto grado Sitio República Dominicana (96)

Promedio

Desviación estándar 3.9

4.0

Mínimo

Máximo

Por estrato. Los docentes de las escuelas rurales señalan haber sido asignados más veces al sexto grado durante su carrera. Tabla 20 Años de experiencia como docente de sexto grado Estrato

Urbano 61 (63.5%) 3.9 (3.7)

Rural 35 (36.4%) 4.4 (4.3)

Por tipo de gestión. Los maestros de las escuelas no estatales particulares declaran haber enseñado más veces en el cuarto grado. En cambio los docentes de las escuelas no estatales de ONG´s los que menos veces han sido asignados a ese grado.

Tabla 21. Años de experiencia como docente de sexto grado Estatal, gobierno nacional 72 (75.0%) 4.2 (3.7)

Tipo de gestión

No estatal, congregación religiosa 8 (8.3%) 2.5 (1.3)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0) 2.0 (1.4)

No estatal, particulares 14 (14.5%) 4.3 (5.6)

Los maestros de la muestra que han sido asignados más veces al sexto grado estaban laborando en las escuelas con más altos resultados en la prueba SERCE de sexto grado en ciencias. Tabla 22. Años de experiencia como docente de sexto grado Bajo 29 (30.2%) 4.2 (3.6)

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (96)

Medio 45 (46.8%) 3.1 (2.6)

Alto 22 (22.9%) 5.8 (5.7)

Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas. El grupo de maestros han recibido en promedio 3.1 cursos de capacitación sobre la enseñanza de las matemáticas ya sea en su proceso de formación o como parte de los cursos de actualización. Un 31.3% de los docentes señalan no haber recibido nunca algún curso de capacitación. Por otra parte uno de los docentes afirmó haber recibido 30 cursos. Tabla 23. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Sitio República Dominicana (95)

Promedio

Desviación estándar 5.2

3.1

Mínimo (34 casos) 0

Máximo (1 caso) 30

Los docentes de escuelas rurales responden el cuestionario señalando que han recibido más cursos de matemáticas, con mayor variación, que los docentes de las escuelas urbanas. Tabla 24. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Estrato

Urbano 61 (64.2%) 2.7 (4.0)

Rural 34 (35.7%) 3.9 (6.9)

13 Son los maestros de las escuelas estatales los que señalan haber recibido en promedio mayor cantidad de cursos de capacitación para la enseñanza de las ciencias. Tabla 25. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión

71 (74.7%) 3.3 (5.9)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.4%) 2.7 (3.1)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.1%) 1.0 (1.4)

No estatal, particulares 14 (14.7%) 2.6 (2.4)

Los docentes que afirman haber recibido más cursos de capacitación laboran en escuelas que obtuvieron el nivel medio en la prueba de matemáticas en SERCE. Tabla 26. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Bajo 28 (29.4%) 2.9 (6.5)

Resultados en SERCE sexto grado ciencias

Medio 45 (47.3%) 3.4 (4.9)

Alto 22 (23.1%) 2.9 (4.1)

Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Se solicitó a los docentes que calificaran el nivel de dificultad que les representa la enseñanza de la matemática, en un rango de 1 (menor grado de dificultad) a 10 (máximo grado de dificultad). Un grupo conformado por el 38.9% de docentes de la muestra calificó en 1 el grado de dificultad, es decir mínimo. No resulta ninguna asociación entre los cursos de capacitación para la enseñanza de la ciencia y la calificación de dificultad en la enseñanza de esta materia. Tabla 27. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Sitio República Dominicana (95)

Promedio 2.8

Desviación estándar 2.4

Mínimo

Máximo

Por estrato. Los docentes de las escuelas urbanas manifiestan un mayor grado de dificultad en la enseñanza de las matemáticas que los de las escuelas rurales.

14 Tabla 28. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Estrato

Urbano 61 (64.2%) 2.9 (2.5)

Rural 34 (35.7%) 2.7 (2.4)

Por tipo de gestión. Los docentes que señalan tener más dificultad para la enseñanza de las matemáticas son los que laboran en escuelas no estatales de ONG´s. Tabla 29. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión

71 (74.7%) 2.7 (2.2)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.4%) 3.5 (2.9)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.1%) 7.0 (4.2)

No estatal, particulares 14 (14.7 %) 2.5 (2.8)

Por nivel de logro en SERCE. Los docentes de las escuelas que obtuvieron más altos niveles de logro en la prueba de matemáticas de SERCE califican la enseñanza de la ciencia como más difícil, que los que laboran en escuelas que obtuvieron nivel medio y alto. Tabla 30. Nivel de dificultad para la enseñanza de las ciencias en sexto grado.

Resultados en SERCE sexto grado ciencias

Bajo 28 (29.4%) 2.9 (2.3)

Medio 45 (47.3%) 2.4 (2.0)

Alto 22 (23.1%) 3.6 (3.1)

15 Características del aula. Los datos sobre el aula que nos interesan son el tamaño del grupo de alumnos, la disponibilidad y uso de recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas, la presencia de equipamiento y mobiliario. Los datos se obtuvieron de la encuesta aplicada al tiempo del registro en video. Tamaño del grupo. En promedio los maestros de matemáticas indicaron una matrícula de 26.6 alumnos por grupo de sexto grado, un poco mayor que el reportado por los docentes de ciencias para los mismos grupos (26.5 alumnos por grupo). Esta cantidad de alumnos puede variar de los alumnos efectivamente presentes en la sesión en la que se videograbó la clase de ciencias ya que se refiere a alumnos matriculados en el grado. El rango va de 4 alumnos hasta 53 en los grupos de este nivel. Tabla 31. Número de alumnos Sitio República Dominicana (96)

Promedio

Desviación estándar 10.6

26.6

Mínimo

Máximo

Por estrato. En las escuelas urbanas el número de alumnos matriculados en los grupos superan a los de escuelas rurales. Tabla 32. Número de alumnos Estrato

Urbano 61 (63.5%) 29.6 (10.3)

Rural 35 (36.4%) 21.4 (9.0)

Por tipo de gestión. Los grupos que mayor cantidad de alumnos tienen en promedio, están en las escuelas no estatales de organismos no gubernamentales. Las escuelas no estatales particulares son las que manifiestan contar con los grupos más pequeños. Tabla 33. Número de alumnos Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión

72 (75.0%) 26.6 (10.4)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.3%) 27.1 (14.0)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 34 (2.8)

No estatal, particulares 14 (14.5%) 25.2 (10.5)

16 Los grupos con menos alumnos son los que obtuvieron en la prueba SERCE los niveles más bajos, mientras que los que tienen más alumnos obtuvieron más altos promedios relativos. Tabla 34. Número de alumnos.

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas

Bajo 29 (32.2%) 24.3 (8.5)

Medio 45 (39.5%) 28.2 (11.4)

Alto 22 (28.1%) 26.4 (11.1)

Disponibilidad y uso de recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas. A través de una encuesta se preguntó a los docentes sobre la disponibilidad de los siguientes recursos didácticos, con base en la lista del cuestionario aplicado en el estudio SERCE relativo al mismo concepto. Los docentes con disponibilidad de los primeros once recursos didácticos para las matemáticas, listados en el numeral anterior expresaron a través de la misma encuesta el nivel de frecuencia de su uso, considerando los siguientes niveles de frecuencia: 0) nunca. 1) algunas clases. 2) la mayoría de las clases. 3) todas las clases. Sobre el nivel de frecuencia se consideran el promedio en la respuesta. A mayor promedio se estima mayor uso, según lo reportan los mismos docentes. Por disponibilidad y frecuencia de uso destacan el material objeto, los libros de texto, las láminas, los cuadernos de trabajo y los globos terráqueos. Estos materiales fueron observados en su uso en algunas de las lecciones registradas en video. Tabla 35. DISPONIBILIDAD DE RECURSOS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS Material manipulativo del medio 94.8% Libro de texto para matemáticas 94.8% Calculadoras 66.7% Cuaderno de trabajo para matemáticas 54.2% Ábacos 50.0% Bloques lógicos 37.5% Regletas cuisinier 31.6% Material multibase 35.4% Geoplanos con ligas 21.9% Tangramas 20.8%

17 De los 10 recursos considerados los docentes de matemáticas reportan una media de 5.0 (en ciencias la media resultó de 3.8) recursos disponibles en sus aulas. Únicamente 5.3% de los docentes reportan contar con los diez recursos. Tabla 36. Recursos para la enseñanza de las matemáticas Sitio

Promedio

República Dominicana

5.0

Desviación estándar 2.1

Mínimo

Máximo

Los docentes con disponibilidad de los diez recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas listados en el numeral anterior expresaron a través de la misma encuesta el nivel de frecuencia de su uso, considerando los siguientes niveles de frecuencia: 0) nunca. 1) algunas clases. 2) la mayoría de las clases. 3) todas las clases. Respondieron la frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de la ciencia (los 10 ítemes del cuestionario) únicamente 78 de los 100 docentes. La media de uso resulta en .77 (ciencias reportó en las mismas aulas .64 de sus recursos, en un rango de 0 a 4). Tabla 37. Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Sitio

Promedio

Desviación estándar

República Dominicana (78)

.77

Por estrato. Los docentes de las escuelas urbanas cuentan con más recursos didácticos disponibles para la enseñanza de las matemáticas, sin embargo en la frecuencia del uso no resultan diferencias entre maestros urbanos y rurales. Tabla 38. Recursos para la enseñanza de las matemáticas Estrato

Urbano Rural 61 34 (64.2%) (35.7%) 5.1 4.9 (2.1) (2.0) Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Urbano Rural 56 29 (65.8%) (34.1%) .7 .7 (.3) (.3)

18 Por tipo de gestión. Los docentes de las escuelas no estatales de congregaciones religiosas tienen menos recursos disponibles para la enseñanza de matemáticas en sus aulas que los docentes del resto del tipo de escuelas. Los docentes que señalan en la encuesta que más usan recursos para la enseñanza de las matemáticas son los de las escuelas no estatales particulares y de organizaciones no gubernamanetales. Tabla 39. Recursos para la enseñanza de las matemáticas Tipo de gestión

Estatal, gobierno nacional

No estatal, No estatal, de No estatal, congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 71 8 2 14 (74.7%) (8.4%) (2.1%) (14.7%) 4.9 4.5 5.0 6.1 (2.1) (1.6) (2.8) (2.2) Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 63 7 2 13 (74.1%) (8.2%) (2.3%) (15.2%) .7 .5 .9 .9 (.3) (.1) (.5) (.3)

Por resultados en logro de SERCE. Se obtiene una relación lineal entre la disponibilidad de recursos disponibles para la enseñanza de las matemáticas y los niveles de frecuencia de su uso, con los niveles de logro académico que se obtuvieron en matemáticas en el estudio SERCE, de manera que los docentes que cuentan con menos recursos laboran en escuelas que obtuvieron los menores niveles de logro, y los docentes que cuentan con más recursos obtuvieron los más altos niveles de logro. Tabla 40. Recursos para la enseñanza de las matemáticas

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas

Bajo Medio Alto 29 45 21 (30.5%) (47.3%) (22.1%) 4.4 5.1 5.7 (1.8) (2.2) (2.2) Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Bajo Medio Alto 25 40 20 (29.4%) (47.0%) (23.5%) .6 .8 .8 (.3) (.3) (.3)

19 Equipamiento y mobiliario del aula. Como complemento del trabajo de campo se obtuvieron videos de las aulas sin lecciones (por lo tanto sin alumnos), que tuvieron el propósito de identificar los recursos disponibles en el aula el día del registro de las lecciones. No se considera la calidad de los recursos, solamente su presencia. Los videos de aula han sido codificados de manera que se pueda hacer una auditoría de los siguientes 18 recursos: Tabla 41. Equipamiento y mobiliario de aula Pizarra Mesabancos para alumnos Sillas para alumnos Mesas para el docente Afiches Libro de texto en el aula Libreros en el aula Material de referencia Globo terráqueo Juegos de geometría Televisión Biblioteca de aula Plantas Material para experimentos Proyector Computadora en el aula para el docente Computadoras en el aula para alumnos Pantallas

100% 100% 100% 99.0% 76.0% 59.4% 25.0% 8.3% 7.3% 6.3% 6.3% 5.2% 3.1% 2.1% 1% 1% 0% 0%

Como se observa, se consideran diferentes recursos a los considerados como didácticos en la encuesta. En el video se considera más el nivel de enriquecimiento pedagógico del ambiente del aula. La media de equipamiento y mobiliario de aula es de 8.0, con un mínimo de 6 y un máximo de 14, de los 18 elementos listados en el inventario. Tabla 42. Equipamiento y mobiliario de aula Sitio República Dominicana (95)

Promedio 8.0

Desviación estándar 1.5

Mínimo

Máximo

Por estrato. En los videos de aula se detectan más recursos didácticos en las escuelas rurales que en las escuelas urbanas.

20 Tabla 43. Equipamiento y mobiliario de aula Estrato

Urbano 60 (63.1%) 7.6 (1.1)

Rural 35 ((36.8%) 8.6 (1.7)

Por tipo de gestión. Las aulas de las escuelas estatales y no estatales de ONG´s muestran más equipamiento y mobiliario en las aulas de las lecciones de ciencias registradas en video. Tabla 44. Equipamiento y mobiliario de aula Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión

71 (74.7%) 8.0 (1.6)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.4%) 7.6 (1.0)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.1%) 8.0

No estatal, particulares 14 (14.7%) 7.7 (.9)

Por nivel de logro académico. Se registraron más recursos didácticos en las aulas que obtuvieron el estudio SERCE más bajos logros en la prueba SERCE de ciencias. Tabla 45. Equipamiento y mobiliario de aula

Resultados en SERCE sexto grado ciencias

Bajo 31 (32.6%) 8.2 (1.9)

Medio 37 (38.9%) 7.8 (1.2)

Alto 27 (28.4%) 7.8 (1.2)

21 Características de la escuela. De la escuela hemos considerado datos de las encuestas, diarios de campo de las investigadoras de campo y de los videos tomados en escuelas y aulas, que fueron codificados de acuerdo a un inventario de atributos y recursos. Los datos son sobre aspectos del contexto de la escuela y la calidad de su infraestructura. El clima organizacional en la escuela y la identificación de cambios recientes. Contexto e infraestructura de la escuela. En los videos de escuela se han considerado catorce aspectos sobre características del contexto y la calidad de la infraestructura, que se presentan en la tabla 46: Tabla 46. Contexto e infraestructura de la escuela (88) Servicio eléctrico en el vecindario de la escuela Barda o cerca Patio de la escuela Se observa transporte público cerca de la escuela El nombre de la escuela aparece en su frente Escuela luce ordenada Escuela luce limpia Escuela luce con mantenimiento adecuado Se observa pavimento frente a la escuela Existe jardín Se identifica a la dirección o a las oficinas administrativas Se identifica a biblioteca de escuela Se identifica aula de cómputo Se identifica laboratorio

95.8% 93.8% 90.6% 87.5% 83.3% 83.3% 71.9% 71.9% 65.6% 44.8% 44.8% 13.5% 7.3% 3.1%

En varios casos no se recibieron videos de escuela, o habiéndolos recibido no se pudo identificar la característica. Por lo que la estimación se basa en 88 casos (91.6%). El promedio de atributos del contexto y de la infraestructura de la escuela resultó de 8.7, de los 14 considerados en el inventario realizado al video de escuela. Tabla 47. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela Sitio República Dominicana (88)

Promedio 8.7

Desviación estándar 2.5

Mínimo

Máximo

Por estrato. Las escuelas urbanas (a diferencia de las aulas) muestran mejor contexto y calidad de la infraestructura que las rurales.

Tabla 48. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela Estrato (88)

Urbano 60 (68.1%) 9.1 (2.7)

Rural 28 (31.8%) 7.8 (1.9)

Por tipo de gestión. Las escuelas no estatales, especialmente las de ONG´s, muestran mejor contexto y calidad de la infraestructura. Tabla 49. Equipamiento y mobiliario de aula Estatal, gobierno nacional 65 (73.8%) 8.3 (2.5)

Tipo de gestión (88)

No estatal, congregación religiosa 8 (9.0%) 9.7 (2.3)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.2%) 10.5 (.7)

No estatal, particulares 13 (14.7%) 9.6 (2.5)

Por nivel de resultados en SERCE. Las escuelas que obtuvieron los mejores resultados en la prueba SERCE de matemáticas son las que muestran mejor condición de su infraestructura y contexto. La relación es lineal entre el contexto y la calidad de la infraestructura de la escuela y los resultado de matemáticas. Tabla 50. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela

Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (88)

Bajo 25 (28.4%) 7.7 (2.8)

Medio 42 (46.5%) 8.4 (2.3)

Alto 21 (23.8%) 10.4 (1.7)

Clima organizacional de la escuela. Para identificar el nivel del clima organizacional de la escuela se consideraron algunos de los rasgos formulados en el estudio SERCE. Es necesario considerar que en ese estudio este factor resultó fuertemente asociado a los niveles de logros académicos de los alumnos. Los directivos de los alumnos fueron los informantes sobre este tema. Para distinguir diferentes niveles de clima organizacional de la escuela se solicitó a los directores que calificaran a sus escuelas en cuatro categorías (mal, regular, bien y muy bien) respecto a los siguientes aspectos:

23 Tabla 51. Clima organizacional de la escuela Autoevaluación del directivo (96) Concepto Participación de los padres de familia Trabajo en equipo del personal docente Comunicación entre los docentes Colaboración de los profesores en actividades que propone la dirección Entusiasmo de los profesores Orgullo de los profesores por pertenecer a la escuela Relaciones entre los profesores Relaciones entre profesores y estudiantes Relaciones entre estudiantes Relaciones entre profesores y padres de familia Comunicación con las autoridades educativas fuera de la escuela

Mal 1.0%

Regular 19.8% 2.1% 2.15 2.1%

Bien 54.2% 27.1% 28.1% 15.6%

Muy bien 25.0% 70.8% 69.8% 82.3%

Promedio 3.0 3.6 3.6 3.8

1.0% 1.0%

37.5% 27.1%

61.5% 70.8%

3.6 3.7

1.0% 4.2% 4.2%

22.9% 28.1% 57.3% 46.9%

76.0% 70.8% 37.5% 49.0%

3.7 3.7 3.3 3.4

6.3%

44.8%

49.0%

3.4

Según los directivos el aspecto del clima organizacional de la escuela con mejor puntaje se presenta en la relación entre profesores y estudiantes, en cambio el más bajo se da en cuanto a la participación de los padres de familia. Considerando los cuatro niveles de cada aspecto del clima organizacional en un indicador compuesto se obtiene un promedio de 3.5 (en un rango posible de 1 a 4). Varios directores no contestaron todas las preguntas. Específicamente, en cinco casos no se contó con información sobre cada una de las dimensiones consideradas, por lo que la estimación se basa en 93 escuelas. Tabla 52. Clima organizacional de la escuela Sitio República Dominicana (93)

Promedio

Desviación estándar .3

3.5

Mínimo

Máximo

Por estrato. Los directivos califican igual el nivel de clima organizacional en escuelas urbanas y rurales. Tabla 53. Clima organizacional de la escuela Estrato (93)

Urbano 59 (63.4%) 3.5 (.3)

Rural 34 (36.5%) 3.5 (.3)

24 Por tipo de gestión. Los directivos que autocalifican mejor su clima organizacional son las escuelas no estatales particulares, y los relativamente más bajos las escuelas no estatales de ONG´s. Tabla 54. Clima organizacional de la escuela Estatal, gobierno nacional

Tipo de gestión (93)

70 (75.2%) 3.5 (.3)

No estatal, congregación religiosa 8 (8.6%) 3.5 (.3)

No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.1%) 3.4 (.1)

No estatal, particulares 13 (13.9%) 3.7 (.1)

Por nivel de resultados en SERCE, el mejor nivel de clima organizacional se muestra en las escuelas que obtuvieron alto nivel relativos en la prueba de ciencias de SERCE, aunque la diferencias es mínima en los tres niveles.

Tabla 55. Clima organizacional de la escuela

Resultados en SERCE sexto grado ciencias (93)

Bajo 30 (32.2%) 3.5 (.3)

Medio 38 (40.8%) 3.5 (.3)

Alto 25 (26.8%) 3.6 (.3)

Criterio para designar al docente de sexto grado. Según los directivos el criterio dominante consiste en su propia decisión, en la que toma en cuenta la experiencia previa de los docentes. Le sigue el acuerdo que toman los docentes al inicio del ciclo escolar.

Tabla 56. Criterio para designar docente en el sexto grado (según declaración de los directivos) (88) Directivo decido con base en la experiencia Acuerdo entre los docentes Directivo decide con base en darle continuidad al docente con el mismo grupo (mismo maestro que en quinto grado) Directivo decide con base en solicitud del docente Otro Total

% 53.4 38.6 3.4 2.3 2.3 100.0

25 Cambios recientes en las escuelas. En el cuestionario a los directivos se les preguntó sobre aspectos de la escuela que según su criterio o información (si han llegado recientemente) ha mejorado en sus escuelas a partir de la participación en el estudio SERCE. La mayor parte de los directivos perciben que sus escuelas han mejorado en la mayor parte de los rasgos cuestionados. Especialmente señalan que se ha mejorado en la calidad pedagógica de los docentes, la calidad del edificio escolar, la calidad del clima de aprendizaje y la cantidad de docentes. En los rasgos que la mayor parte considera que se han mantenido igual se encuentra la cantidad de recursos didácticos disponibles, la preparación de los docentes (tanto en ciencias como en matemáticas), la cantidad de alumnos y la calidad de los logros (matemáticas y ciencias). Tabla 57. PERCEPCIÓN DE CAMBIOS EN LA ESCUELA Ha POR DIRECTIVOS (2005-2010) empeorado (96) Ha habido cambios con relación a la cantidad de alumnos Ha habido cambios con relación a la cantidad de aulas Ha habido cambios con relación a la cantidad de docentes Ha habido cambios con relación a la calidad del edificio del centro escolar Ha habido cambios con relación a la cantidad de recursos de enseñanza Ha habido cambios con relación a la calidad del mobiliario escolar Ha habido cambios con relación a la preparación de la calidad pedagógica de los docentes Ha habido cambios con relación a la preparación de los docentes en Ciencias Ha habido cambios con relación a la preparación de los docentes en Matemáticas Ha habido cambios con relación a la calidad de los logros de los alumnos de sexto en Ciencias Ha habido cambios con relación a la calidad de los logros de los alumnos de sexto en Matemáticas Ha habido cambios con relación a la calidad del clima de aprendizaje

Se ha mantenido igual

Ha mejorado

11.6% 4.2% 38.5% 14.7%

37.9% 53.1% 39.8% 33.7%

50.5% 42.7% 57.0% 51.6%

20.0%

37.9%

42.1%

4.2%

32.3%

63.5%

13.5%

86.5%

1.1%

34.0%

64.9%

2.1%

38.9%

58.9%

2.1%

18.8%

79.2%

3.2

24.3%

72.6%

2.1%

16.7%

81.3%

2. COMPARACIÓN DE LAS LECCIONES DE CIENCIAS DE REPÚBLICA DOMINICANA CON RESULTADOS DEL ESTUDIO TIMSS VIDEO 1999. En la presente sección se comparan características de la muestra de lecciones de matemáticas de República Dominicana con los resultados del estudio TIMSS video 19992 así como de resultados del estudio TMSS video 19953. Debe recordarse que en nuestro estudio participaron sextos grados, mientras que en ambos estudios TIMSS videos participaron octavos grados (segundo de secundaria). Algunas características de las lecciones son probablemente más atribuibles a la estructura de la secundaria que a aspectos pedagógicos. En esta sección se consideran primero las variables del estudio TIMSS video 1999 y posteriormente la comparación de las lecciones de matemáticas de República Dominicana con los del estudio TIMSS video 1995. Es necesario tomar la comparación con precaución debido a que no siempre se puede realizar de manera adecuada. El punto más importante a considerar radica en el hecho de que en los reportes del estudio TIMSS video no se identifica siempre el porcentaje de lecciones en que ocurren los eventos considerados en su análisis. En los videos de las lecciones de República Dominicana no siempre encontramos presentes las categorías supuestas por el estudio TIMSS, por ello se indicará en el texto a qué porcentaje de lecciones corresponden los datos cuando sea el caso que los datos reportados por TIMSS no especifiquen el porcentaje de lecciones.

Hiebert, James, et al., 2003, Teaching Mathematics in Seven Countries: Results From the TIMSS 1999 Video Study, NCES, US Department of Education, Washington, DC. 3 Los datos del reporte TIMSS video 1995 son tomados del reporte: Stigler, J. W., et al., 1999, The TIMSS Videotape Classroom Study: Methods and Findings from an Exploratory Research Project on Eight.Grade Mathematics Instruction in Germany, Japan, and the United States, NCES, Washington, D.C.

27 A. COMPARACIÓN DE LAS LECCIONES DE REPÚBLICA DOMINICANA CON LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS DE TIMSS VIDEO 1999. Muestra de lecciones. En el estudio TIMSS video 1999 participaron escuelas que participaron en el estudio TIMSS-R. El tamaño de la muestra e lecciones de matemáticas en el estudio TIMSS video 1999 resultó como se muestra en la siguiente tabla4. Tabla 58. TIMSS VIDEO 1999 País

Australia Estados Unidos Holanda Hong Kong Japón República Checa Suiza Total

Número de lecciones de matemáticas registradas en video 87 83 78 100 50 100 140 638

Los videos de las lecciones de Japón fueron los mismos que fueron analizados en el estudio TIMSS video 1995. La muestra de lecciones de matemáticas de República Dominicana es de 96, con escuelas participantes en el estudio SERCE, las que fueron seleccionadas de manera aleatoria, como ya se indicó en la sección anterior. Duración promedio de las lecciones. En el estudio de TIMSS video 1999 (p.37) el rango de la duración promedio de las lecciones de matemáticas resultaron con un máximo de 51 minutos, correspondientes a las lecciones de Estados Unidos, y un mínimo de 41 minutos, de las lecciones de Hong Kong. En algunos países el tiempo empleado para la lección es más homogéneo entre el total de sus lecciones videograbadas, que en otros. Por ejemplo, en Japón y la República Checa, existe muy poca desviación estándar y el tiempo marcado por la clase que duró menos comparado con la clase que duró más tiempo, es reducido entre sí. En otros países se registraron clases con tiempos de poco más de 18 minutos hasta clases de más de dos horas. El Promedio del tiempo de la lección de matemáticas en la muestra de República Dominicana se ubica en el rango de los participantes en el estudio TIMSS video 1999, por encima de Hong Kong y por debajo del resto de los participantes.

Los datos del tamaño de la muestra corresponden al artículo: Givvin, Karen Bogard, et al., “Are There National Patterns of Teaching? Evidence from the TIMSS 1999 Video Study”, Comparative Education Review, Vol. 49, No. 3, August, 2005, p. 319.

28 Tabla 59. Media

Mediana

Mínimo

Máximo

Sitio de la escuela

Desviación estándar

Horas/minutos/segundos Australia

0:47:00

0:45:00

0:28:00

1:30:00

0:13:00

República Checa

0:45:00

0:41:00

0:50:00

0:01:00

Hong Kong

0:41:00

0:36:00

0:26:00

1:31:00

0:14:00

Japón

0:50:00

0:45:00

0:55:00

0:02:00

Holanda

0:45:00

0:35:00

1:10:00

0:07:00

Suiza

0:46:00

0:45:00

0:39:00

1:05:00

0:03:00

Estados Unidos REPÚBLICA DOMINICANA

0:51:00

0:46:00

0:33:00

1:59:00

0:17:00

0:43:08

0:41:55

0:09:10

1:41:57

0:12:56

Los resultados que se presentan a continuación siguen los lineamientos establecidos por los estudios TIMSS videos, tanto en 1995 como 1999. Algunos resultados se presentan por la tasa de las lecciones, y otros por la duración de los segmentos dedicados a cierta actividad. En este último caso no debe inferirse que esas actividades se ejecutan en todas las lecciones sino en algunas. . Figura 1.

Los datos de las lecciones de Japón corresponden a los resultados del estudio de 1995.

29 Tiempo dedicado a la instrucción de matemáticas. En el análisis del tiempo de la lección se distinguió el tiempo dedicado efectivamente a la instrucción de matemáticas, y el tiempo dedicado a otras actividades, como la organización de la lección (ordenar a los alumnos, distribuir material, entre otras actividades). Se asumen que mientras más tiempo se dedica a la instrucción más oportunidades se ofrece a los alumnos para aprender el contenido de la lección. En el grupo de países del estudio TIMSS video 1999 las lecciones de Japón y la República Checa son las que obtuvieron el más alto promedio de tiempo dedicado a instrucción. Los promedios más bajos los obtuvieron Australia, Holanda y Estados Unidos. En la muestra de República Dominicana (96 lecciones) el tiempo dedicado a la instrucción fue de 95% del tiempo de la lección, que lo ubicaría igual que Australia y Holanda entre los participantes del estudio TIMSS 1999. Además, en 89% de esas clases se dedicó algún segmento a organizar la clase, estos segmentos duran en promedio 2% del tiempo de la lección. En 50% de las lecciones se presentan actividades que no se relacionan con la enseñanza o la organización de actividades, a los que se dedica un 6% del tiempo de esas lecciones. En el 17% de las lecciones la clase fue interrumpida por alguna fuente externa o se dedican a otras actividades, lo que representa un promedio en esas clase del 3% del tiempo. El tiempo dedicado a organizar la clase de matemáticas o a actividades que no se dedican ni a la enseñanza ni a la organización resultan varias veces más frecuentes que los mostrados en las lecciones de TIMSS video 1999. Figura 2.

Tiempo dedicado a problemas en trabajo privado. Para el estudio TIMSS video 1999 la lección de matemática se entiende a partir de la centralidad de los procesos de formulación y solución de problemas, especialmente cuando se trabaja de manera privada. Por lo que se enfoca la atención al tiempo a distinguir como se usa el tiempo cuando los alumnos trabajan de manera individual o en pequeños grupos (trabajo privado). Especialmente si el tiempo se dedica a problemas o a otras actividades Las lecciones de matemáticas correspondientes a los países del estudio TIMSS obtuvieron resultados que van de Holanda, con el máximo tiempo dedicado a problemas, con 91% del tiempo, a Australia, que obtuvo el menor porcentaje de ese grupo con 81% del tiempo. Las lecciones de matemáticas de República Dominicana muestran que en el 75% que el promedio de tiempo de los segmentos centrados en problemas es de 50%. El resultado ubica a estas lecciones por debajo del mínimo de TIMSS video 1999. Figura 3.

Problemas independientes, concurrentes y de sólo respuesta. Como la clase de matemáticas se caracteriza por el trabajo con problemas, en el estudio de TIMSS video 1999 (p.43) se plantea como uno de sus propósitos conocer cuál es la naturaleza de los problemas que se manejan en la lección de matemáticas. Se trató de precisar cómo el tipo de problemas planteados en clase se relaciona con la organización de la lección. Estos tipos de problemas son considerados sólo si los segmentos duran más de 45 segundos y fueron tratados de tres maneras diferentes de acuerdo con el rol que jugaron en la lección:

31 1) Problemas independientes. Se presentaron como problemas simples y que se trabajaron en tiempos claramente definidos. Son problemas que fueron tratados de manera pública o privada. 2) Problemas con solamente respuesta. En este caso se trata de problemas de los que solamente la solución es compartida. Generalmente se trata de problemas que fueron encargados como tarea previamente o como parte de un examen. 3) Problemas concurrentes, en los que se formulan varios problemas relacionados, en los que la solución de uno sirve para resolver el resto. En Japón, República Checa, Hong Kong y Estados Unidos la mayor parte del tiempo se dedicó a problemas independientes. En cambio, en Holanda, Australia y Suiza la mayor parte del tiempo se dedicó a problemas concurrentes. En los países participantes del estudio TIMSS video 1999 muy poco tiempo se dedica a problemas en los que solo se presenta solución, con esta forma de estrategia las lecciones de Estados Unidos obtienen 3%. No se identifican segmentos de tiempo con esta estrategia en Australia, la República Checa, Hong Kong o Japón. Los resultados de las lecciones en que se presentan segmentos de República Dominicana muestran que sobresale el tiempo dedicado a los problemas independientes (sólo el 50% de las lecciones muestran segmentos dedicados a problemas independientes). En el tiempo dedicado a problemas concurrentes sobresale por encima de Japón, la República Checa, Hong Kong o Estados Unidos. Los segmentos dedicados a problemas concurrentes en la República Dominicana son el 22%. El tiempo dedicado a resolver solo problemas es mayor en República Dominicana de lo reportado en las lecciones de los participantes en el estudio TIMSS video, con un 45%. Los segmentos que muestran esta actividad son el 28%. Figura 4.

32 Propósito de la lección. Los problemas de matemáticas junto con segmentos en donde no se trabaja con problemas, pueden ser empleados con diferentes finalidades (TIMSS video 1999, p.49). En general se consideran tres propósitos diferentes: 1) Revisión de contenido ya visto. El tiempo de la clase se dedicó al reforzamiento de contenido previamente visto, o algo que ya se aprendió en clases anteriores. 2) Práctica de nuevo contenido. En este tiempo de la lección se dedicó a practicar con contenido recientemente incorporado, o bien contenido nuevo introducido en la lección actual. 3) Introducción de nuevo contenido. Esta parte de la lección se dedicó a tratar contenido nuevo que no había sido trabajado en lecciones anteriores. En los países del TIMSS se distinguen dos grupos de resultados, según sea la mayor frecuencia en la formulación de propósitos de la lección. Entre los países que destacan por que en sus lecciones se trata de introducir contenido nuevo se encuentra la República Checa, Estados Unidos y Australia. Entre los países que destacan porque en sus lecciones se trata de practicar nuevo contenido destacan Japón, Hong Kong, Suiza y Holanda. Los resultados de República Dominicana muestran que en estas lecciones se dedica la mayor parte del tiempo a revisar contenido ya visto (segmentos con esta actividad se identifican en el 94.7% de las lecciones). Le sigue en orden de frecuencia el tiempo dedicado a practicar contenido nuevo.

Figura 5.

33 Cambios en el propósito de la lección. El estudio TIMSS video 1999 considera su en la lecciones de matemáticas se hicieron actividades solamente de revisión de contenido ya visto o si la lección se dedica a varios propósitos, no sólo a revisar lo anterior sino a practicar con nuevos contenidos. Esta situación pedagógica, señala, podría aumentar o reducir las oportunidades del estudiante de tener más claras las temáticas nuevas que va a aprender (p.52). Las lecciones de Hong Kong mostraron el mayor promedio del estudio TIMSS, con una media de 3 cambios. En Japón y Holanda, en contraparte, solamente se presentó un cambio de propósito, mientras que en el resto de los países, se dio un promedio de 2 cambios por lección. Los resultados de los análisis de República Dominicana muestran que se presentaron en promedio dos cambios, que lo ubica en la media del grupo TIMSS. Los cambios en las lecciones fueron identificados en el 56.2% de las lecciones. Figura 6.

Tiempo en interacción pública, privada o el estudiante presenta información. Las oportunidades de aprendizaje pueden estructurarse para todo el grupo, que en la terminología del estudio TIMSS video 1999 se denomina “interacción pública”, para un alumno en particular o se les organiza para trabajar en pequeños grupo, a los que se le llama “interacción privada”, o si se abre la oportunidad para que los estudiantes tomen un rol activo y presenten información al resto. En las lecciones del estudio TIMSS video 1999 dominó la interacción pública en el tiempo de la lección, con la excepción de Holanda, en que denominó la interacción privada. El mayor tiempo de presentación de la información por parte de los estudiantes se dio en las lecciones de la República Checa. En las lecciones de República Dominicana se identificó en el 100% de las lecciones mayor

34 tiempo a interacción pública 63%. En 77% de las lecciones se identificaron segmentos con interacción privada, que duran el 28% del tiempo de la lección. En ambas actividades dentro del rango del estudio TIMSS video 1999. En el 49% de las lecciones se identificó que el estudiante presenta información, con un promedio de 9% del tiempo de la lección. Figura 7.

Cambios de interacción Los cambios de interacción son los que los docentes propician en el ambiente de aprendizaje de los alumnos (TIMSS video 1999, p.53), ofreciendo diferentes clases de experiencias de aprendizaje a los estudiantes. Existen lecciones en donde los estudiantes pueden interactuar públicamente con el maestro en discusiones o con otros compañeros. La interacción puede darse también de manera privada cuando los estudiantes trabajan en pequeños grupos, por ejemplo. En una misma lección se pueden presentar segmentos con ambos tipos de interacción. Así como el maestro introduce cambios en el propósito de la lección, también ofrece al estudiante cambios en la forma de interactuar con la finalidad de ofrecer diversas experiencias de aprendizaje. En el estudio TIMSS 1999 las lecciones de Japón mostraron mayor promedio de cambios por lección de matemáticas, con 8 por lección. Por otra parte, en Holanda los cambios mostraron el menor promedio con 3 por lección. El número de cambios en la República Dominicana es de dos cambios de interacción, que es menos que las registradas en la lección de Holanda, que obtuvo el número más bajo de TIMSS. Estos cambios fueron identificados en el 94.7% de las lecciones.

35 Figura 8.

Tipo de trabajo en interacción privada. Como ya se indicó, se entiende en el estudio TIMSS video 1999 como interacción privada a la oportunidad de aprendizaje en que se estructura la actividad para los alumnos en lo individual o para que interactúen en pare o en pequeños grupos. Por lo que es importante distinguir una modalidad de trabajo de la otra, considerando únicamente segmentos con interacción privada. En los países participantes en TIMSS domina el tiempo dedicado al trabajo individual, llegando a 95% del tiempo en interacción privada en Hong Kong. El mínimo lo obtuvieron las lecciones de Australia. En las lecciones de República Dominicana también domina el tiempo individual, ya que se presenta en 69.8% de las lecciones, en segmentos que en promedio duran el 41% del tiempo de la lección. Segmentos en donde se trabaja en pares o pequeños grupos fueron identificados en el 23.9% de las lecciones, con una duración promedio de 35% del tiempo de la lección.

36 Figura 9.

Tarea para la casa. El hecho de que el maestro decida o no encargar tarea para la casa, puede tener incidencia en la manera en cómo se organiza la clase. Por ejemplo, el maestro puede revisar la tarea en clase posibilitando que los estudiantes tengan retroalimentación sobre los temas (Reporte TIMSS video 1999, pp. 56-57), por lo que es tomado como un elemento para caracterizar a las lecciones. Del grupo de participantes de TIMSS las lecciones de la República Checa fueron las que mostraron más frecuencia en que se encarga tarea para la casa, con 78%. En contraste, en Japón, esta práctica es mucho menos frecuente, con apenas 36% de las lecciones en que realiza. En las lecciones de República Dominicana se encontró que en 70% de ellas se encarga tarea, que la ubica en un nivel semejante a Holanda, por debajo de la República Checa pero en más alto nivel que el resto del grupo de lecciones estudiadas en el TIMSS

37 Figura 10.

Problemas asignados como tarea para la casa. En las tareas encargadas para resolver en casa se considera el número de problemas por lección de matemáticas. En el grupo de países del TIMSS video 1999 el máximo número promedio de matemáticas a ser asignados como tareas lo obtiene Holanda, con diez. Japón no aparece. El número promedio de problemas que resultó en República Dominicana es de 5, idéntico a Australia, que ocupa el segundo lugar en el estudio TIMSS video 1999. En 49% de las lecciones se identifica que la tarea consiste en solucionar problemas. Figura 11.

38 Problemas de tarea revisados o discutidos en la lección. Para precisar el rol de la tarea encargada para la casa, el estudio TIMSS video 1999 (p.58) registró el número de problemas revisados, corregidos o discutidos durante la clase. En Holanda más problemas en promedio fueron discutidos o corregidos durante la lección, con un promedio de doce. En contraste, en Japón, Hong Kong y República Checa prácticamente no se revisaron o se discutieron durante la clase problemas que se hayan encargado de tarea para la casa. En República Dominicana el promedio resultante es de tres problemas revisado o discutido en la lección, pero corresponde únicamente al 8.3% de las lecciones. Figura 12.

Planteamiento del propósito de la clase. Formular el propósito de la lección, se señala en el reporte de TIMSS video 1999 (p.59) permite considerar un aspecto de la enseñanza que permite a los estudiantes a encontrar más fácilmente los puntos clave de la lección de matemáticas. En el grupo de lecciones de los países participantes en el TIMSS el rango va de un mínimo que obtiene Holanda con un 21% de las lecciones a 91% de las lecciones que obtiene la República Checa. En República Dominicana se superan la tasa de los países del TIMSS ya que en el 93% de las lecciones se plantea al menos un propósito de la clase.

39 Figura 13.

Resúmenes de la lección. Un apoyo adicional para que los estudiantes puedan reconocer las ideas claves de la lección, se relaciona con la elaboración de resúmenes de la clase (reporte TIMSS video 1999, p.60). Varios o un resumen de toda la lección se apreciaron en un porcentaje menor a la enunciación de propósitos. En Japón el 28% de las lecciones contenían resúmenes. Por otra parte, en Holanda no se registró la elaboración de resumen alguno en el transcurso de la lección. En República Dominicana en poco más de la mitad de las lecciones se registró la elaboración de por lo menos un resumen de la clase, una tasa mayor, por mucho, que las lecciones del TIMSS 1999. Figura 14.

40 Interrupciones externas a la clase. Al contrario del efecto esperado por la formulación de los objetivos o la elaboración de resúmenes de clase, las interrupciones externas a la clase, pueden romper con la secuencia o el flujo de las dinámicas de aprendizaje y enseñanza (Reporte TIMSS video 1999, p.61). Las interrupciones externas pueden ser anuncios públicos para los alumnos, la búsqueda de personas, el que el maestro sea requerido por alguna cuestión, etc. son ejemplos de interrupciones externas. En el grupo de lecciones de TIMSS video 1999 las interrupciones externas ocurren en aproximadamente en un tercio de las lecciones de matemáticas en Holanda, en al menos una ocasión. En Japón ocurrieron el menor número de interrupciones (9%). En República Dominicana se presentaron interrupciones en el 21% de las lecciones, que lo ubicaría a la mitad en el rango mostrado por las lecciones del grupo de TIMSS video 1999. Figura 15.

41 Actividades no relacionadas con las matemáticas. Además de las interrupciones se pueden presentar en clase otras actividades que implique ausencia de oportunidades para aprender matemáticas. Se trata de lapsos en los que se desarrollan otro tipo de actividades, sobre todo cuando la actividad matemática ya comenzó. Una actividad no relacionada con las matemáticas se da cuando al menos por 30 segundos se desarrolla una actividad que no se relaciona con la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas. Las actividades no relacionadas con las matemáticas se encuentran dentro de la lección de matemáticas cuando la lección ha comenzado. No se consideran tales actividades no relacionadas con las matemáticas las que se hacen al principio o al final de la lección. Se trata más bien de actividades que interrumpen el flujo de la clase ya comenzada (Reporte TIMSS video 1999, p. 62). Este tipo de actividades se dio en mayor grado en Holanda con 23%. En Japón no se registraron actividades de este tipo. En un 30% de las lecciones de matemáticas de República Dominicana se presenta al menos un segmento con actividad no relacionada con las matemáticas. Usualmente pueden ser rezos, juegos motivadores (no relacionados con el tema) o situaciones creadas por indisciplina. Figura 16.

42 Anuncios públicos no relacionados con las actividades matemáticas en desarrollo. Existen otras formas en las que el maestro puede interrumpir la dinámica de la lección de matemáticas (TIMSS video 1999, p. 63) y esta puede darse cuando los alumnos están trabajando de manera privada. La interrupción puede darse mediante anuncios sobre otras actividades o hechos no relacionados con la actividad matemática. Holanda sobresale entre los países participantes en el que se registraron más interrupciones debidas a anuncios no relacionados con actividades matemáticas. Este tipo de situaciones se dio en menor grado en la República Checa. En República Dominicana un 42% de las lecciones mostraron segmentos de anuncios públicos no relacionado con actividades para aprender matemáticas. Después de Holanda se ocuparía el segundo lugar por tasa de frecuencia en las lecciones de TIMSS video 1999. Figura 17.

43 Temas de matemáticas. En el estudio TIMSS video 1999 (p.68) fueron seleccionadas las temáticas de la lección de matemáticas, a partir de la muestra de lecciones de los países participantes. Los temas se dividieron en 5 categorías: 1) Número. Números, fracciones, decimales, porcentajes, proporciones, etc.; 2) Geometría. Medidas (áreas y perímetros), Geometría plana, Geometría de tres dimensiones (volúmenes); 3) Estadística. Representación de datos, gráficos, probabilidad; 4) Álgebra. Ecuaciones lineales, igualdades y desigualdades, ecuaciones cuadráticas o de más grado, etc. Los temas de geometría prevalecieron más en Japón que en cualquier otro país participante. Temas relacionados con álgebra estuvieron presentes en la República Checa, Hong Kong, Holanda y Estados Unidos. En las lecciones de matemáticas de República Dominicana encontramos una sola área como dominante, la de números, al que corresponde el 95% de las lecciones. La poca diversidad puede deberse a que el trabajo de campo se realizó en aproximadamente tres meses, pero llama la atención que al igual que en las lecciones de ciencias hay poca diversidad temática. Por lo que se recomienda un análisis del programa de estudios. Figura 18.

44 Nivel de complejidad. Generalmente en el currículum de estudios oficial, los temas se van ordenando de acuerdo con su complejidad. Los temas elementales que sirven para comprender otros se ponen antes. La comprensión de un tema es necesaria para entender otro que sigue más adelante (Reporte TIMSS video 1999, pp. 69-70). La complejidad de las matemáticas en este estudio, depende de muchos factores, entre otros la capacidad de los estudiantes y su experiencia en la temática. Una tipo de complejidad que puede medirse independientemente de las características de los estudiantes, se trata de la complejidad del procedimiento, o el número de pasos que se requiere para resolver un problema. En el estudio de TIMSS video 1999 se desarrolló un esquema para tratar de apreciar este tipo de complejidad: 1) Baja complejidad. Se emplean procedimientos convencionales. El estudiante no necesita de detenerse en muchos pasos o decisiones. No contiene sub-problemas. 2) Complejidad media. Se emplean procedimientos convencionales, pero se necesitan más de cuatro pasos o decisiones para que el estudiante resuelva el problema. Es posible que al menos tenga un sub-problema. 3) Alta complejidad. Se emplean procedimientos convencionales, se requieren más de cuatro pasos o decisiones y contiene más de un sub-problema. En Australia alrededor de las tres cuartas partes de las lecciones de matemáticas se manejaron problemas de baja complejidad. En los países TIMSS dominan la baja complejidad. Una excepción es Japón, cuyo porcentaje es más alto en problemas de complejidad media e incluso problemas de complejidad alta. En las lecciones de República Dominicana dominan los problemas de baja complejidad, en mayor porcentaje que las de cualquiera del TIMSS. Es necesario recordar que todas las lecciones corresponden al nivel de primaria, mientras que las de aquel estudio a secundaria. Figura 19.

45 Pruebas de los problemas. Aspectos que tienen que ver con la resolución de problemas hacen de las matemáticas, un área distintiva de las demás ciencias (Reporte TIMSS video 1999, p.73). Uno de los aspectos que caracteriza a las clases de matemáticas es el razonamiento adicional que debe hacerse, llamado “prueba” de la solución del problema. Una prueba en matemáticas es algo más que enumerar casos, se trata más de una demostración que implica probar la validez de todos los casos. Las pruebas “demostrativas” de este tipo implican procedimientos deductivos. En este estudio, se clasifica como prueba de este tipo, cuando el maestro o el alumno verifican el procedimiento y el resultado de un problema. En el caso de Japón el 26% de los problemas de las lecciones de matemáticas contuvieron “pruebas” de este tipo, mientras que en el resto de los países de esta muestra tasas muy bajas, llegando a no detectarse en Australia, Holanda y Estados Unidos. En República Dominicana el 16% de lo problemas incluyeron prueba. El total de problemas vistos en las 96 lecciones de matemáticas fueron 814. Por lo que la realización de pruebas como actividad específica es más frecuente que en las lecciones de TIMSS video 1999, con la excepción de Japón. Figura 20.

El 39% de las lecciones en Japón contienen al menos una prueba de las soluciones de los problemas de matemáticas. De igual manera que en la anterior caracterización de las lecciones por porcentaje de problemas que incluyen pruebas, no se detecta en Australia, Holanda y estados Unidos. En República Dominicana el 34% de las lecciones presentaron segmentos en que se incluía al menos una prueba, lo que lo ubicaría en segundo lugar en comparación con TIMSS.

46 Figura 21.

Relación entre problemas matemáticos. Existen diversos factores que afectan el desarrollo de la lección en matemáticas. Como se ha visto, las interrupciones de diferentes tipos, por ejemplo, afectan la fluidez de la lección. Otro tipo de factores también puede influir en este flujo y puede residir en el propio contenido de la lección. Entre ellos destaca el contenido que se desarrolla mediante el planteamiento de problemas a través de la lección o de la secuencia de lecciones sobre un tema. La forma en que este tipo de seguimiento en el planteamiento de los problemas puede influir en el desarrollo mismo de la lección, porque puede darle coherencia y claridad. En este punto se observa dentro de la lección como se relacionaron los problemas entre sí. En el reporte TIMSS video 1999 (p. 76) los aspectos a considerar para caracterizar a la lección fueron los siguientes: 1) Repetición. El problema planteado fue el mismo o semejante en su mayor parte. Se entiende que es un tipo de repetición del problema. Para resolverse requiere de las mismas operaciones, en lo fundamental. 2) Matemáticamente relacionado. Se relacionó al problema con otro precedente, enfatizando el aspecto matemático. Para resolverse requiere de operaciones adicionales, resaltando algunas operaciones del problema previo o bien resolviendo el problema de manera diferente al anterior. 3) Temáticamente relacionado. El problema planteado se relacionó con el anterior pero solamente desde el punto de vista de que tratan sobre el mismo tema o un tema similar. Puede ser también que se relaciona con temas de la vida cotidiana. 4) No relacionado. El problema planteado no se relacionó con el anterior. Requirió de operaciones nuevas y un replanteamiento. En la generalidad de los países participantes los problemas planteados en la lección fueron una repetición de problemas previos ya planteados. Este proceso es más notorio en Australia y Suiza. En menor grado, pero también con porcentajes importantes por lección,

47 el resto de los países tiene en su mayoría lecciones que se caracterizaron por llevar a cabo este mismo proceso para resolver problemas. Japón es la excepción respecto a los países participantes en el TIMSS video 1999 ya que se registraron más lecciones en las que problemas planteados se relacionaron matemáticamente con otros previamente planteados. En las lecciones de República Dominicana la repetición de los problemas con los previos es el patrón dominante, con una tasa de frecuencia igual al de Hong Kong entre los que participan en el estudio TIMSS video 1999. Los problemas matemáticamente relacionados casi no aparecen (4%). En las lecciones de los países participantes en el TIMSS ocupan el segundo lugar (en Japón el tercer lugar). Figura 22.

Representaciones. Un aspecto a considerar en las lecciones de matemáticas es la manera como se representa la información matemática contenida en los problemas, los que pueden contener números o bien otros símbolos convencionales. Aunque también en ocasiones pueden incluir dibujos o diagramas, tablas o gráficos (Reporte TIMSS video 1999, p. 86). Los diagramas que se incluyeron en registro contenían los elementos necesarios para resolver el problema, no así aquellos a los que les faltaba esta información (como fotos o ilustraciones). Las gráficas que se registraron como tales contuvieron despliegues de información tales como barras o líneas. Las tablas se definieron a partir de los conjuntos de números, signos o palabras que

48 mostraron relaciones de manera comprensiva. En Japón hasta un 83% de las lecciones contuvieron problemas con dibujos o diagramas (es necesario recordar que la mayor parte de las lecciones de ese país giró en torno a temas de geometría). Las lecciones de la República Checa es la que obtuvo la menor tasa de dibujos o diagramas en los países del estudio TIMSS video 1999, aunque predominan sobre las tablas y las gráficas. En República Dominicana la tasa de problemas en que se trabaja con representaciones gráficas es más bajo que lo mostrado en las lecciones del estudio TIMSS video 1999. Figura 23.

49 Material físico o instrumentos aplicados a matemáticas. El papel de los materiales físicos o instrumentos es frecuente en las lecciones de matemáticas. Algunos se usan por los maestros para ilustrar relaciones entre objetos matemáticos o como instrumentos para medir diversos tipos de cantidades (por ejemplo los tangramas). En el reporte de TIMSS video 1999 (p. 87) se afirma que es importante considerarlos para entender la dinámica pedagógica de las lecciones. Los materiales físicos que se registraron incluyeron reglas, compases (en general juego geométrico) por una parte y por otra tangramas, bloques, etc. También, figuras geométricas, como sólidos y material para cortar. El uso de estos materiales solamente se registra cuando apoyan en la resolución de problemas, no usos de otro tipo como por ejemplo subrayar en el pizarrón una palabra con una regla). En el grupo de participantes en TIMSS 1999 Japón se detectó el mayor uso de este tipo de materiales en poco más de un tercio de los problemas de las lecciones. El menor uso en ese grupo lo representa Holanda, con apenas un 3% de los problemas en que se usa el material físico o instrumentos en la enseñanza de las matemáticas. Los docentes participantes en las lecciones de matemáticas de República Dominicana usan material físico o instrumentos en un 16% de los problemas de matemáticas que enseñan en la muestra de lecciones de nuestro estudio. Figura 24.

50 Material físico o instrumentos aplicados a problemas de geometría. En el estudio de TIMSS video 1999 (p.88) se hizo un análisis focalizado al uso de materiales físicos instrumentos en la enseñanza de la geometría, específicamente en la enseñanza de los planos. Se trató de una muestra pequeña, por lo que TIMSS video 1999 recomienda tener precaución en la interpretación de los resultados. Con estos parámetros se puede ver que en casi la mitad de las lecciones de Suiza que tratan los planos se usan los materiales físicos o instrumentos, mientras que Estados Unidos no mostró uso de los mismos. En la muestra de lecciones de República Dominicana se identificó una sola lección que presenta problemas geométricos y en ella si se usaron instrumentos. Figura 25.

51 Aplicaciones. Las aplicaciones consisten en la solución de problemas semejantes a uno ya solucionado, empleando el mismo procedimiento. También puede consistir en que resuelva un problema que corresponda a un contexto diferente a los ya solucionados. Las aplicaciones son referencias concretas de la forma de aprender a resolver un problema al cambiarlo de contexto. En este sentido, más que manejo de símbolos, emplean gráficos, diagramas e incluso descripciones verbales. El reporte de resultados de TIMSS video 1999 (p. 90) resalta la importancia de las aplicaciones debido a que los estudiantes se ven en la necesidad de tomar decisiones sobre la forma de resolver este tipo de problemas. Este tipo de aplicaciones es más exigente para los estudiantes, desde el punto de vista conceptual, que los ejercicios basados en meras repeticiones de problemas. En los países participantes en el estudio TIMSS, las lecciones de Japón son las que involucran más aplicaciones, con casi tres cuartas partes de ellas con segmentos en las que se presentan esos procesos. En Estados Unidos se obtuvo la menor frecuencia de lecciones con aplicaciones dentro de los participantes en ese estudio, llegando apoco más de un tercio de las lecciones. En República Dominicana los resultados de lecciones con problemas que involucran aplicaciones son semejantes a las lecciones de Estados Unidos, aunque con una frecuencia aun menor, por lo que se ubicaría por debajo del grupo de las lecciones de los países participantes en el TIMSS.

Figura 26.

52 Soluciones presentadas públicamente. De acuerdo al estudio TIMSS video 1999 (p.91) la noción de soluciones presentadas públicamente consiste en solicitar a los estudiantes que sus respuestas a los problemas sean presentados al resto del grupo. La magnitud del trabajo matemático que los estudiantes llevan a cabo, puede medirse contrastando el trabajo público del privado que ellos realizaron al resolver los problemas planteados. La presentación de los resultados para toda la clase posiblemente ofrece más posibilidades de que los alumnos hayan estado trabajando con los mismos problemas y que entonces se puede discutir públicamente este problema. Por el contrario cuando el problema y su solución no son presentados públicamente entonces se elimina la posibilidad de la discusión pública y permanece solamente en el ámbito de lo privado de los alumnos. En la generalidad de los países se presentaron públicamente en mayor porcentaje las soluciones a problemas independientes. En la República Checa en poco más de tres cuartos de las lecciones de matemáticas se presentaron públicamente las soluciones a problemas concurrentes. En este último tipo de problemas, Japón y Hong Kong, tienen también un porcentaje importante (61% del total). Hacia el interior de cada país participante, resalta Holanda con un contraste importante entre el trabajo de los dos tipos de problemas. En las lecciones de República Dominicana el contraste entre las lecciones en que se presentan soluciones independientes y concurrentes es amplio. En el 82% de las lecciones se trabaja en problemas independientes con solución pública, mientras que en 4% de las lecciones de matemáticas se trabajó con problemas concurrentes cuyas soluciones se presentaron públicamente. Figura 27.

53 Métodos alternativos. Un modelo general de enseñanza de las matemáticas consiste en que el maestro muestra a los alumnos el método o procedimiento para resolver los problemas y después les pide a los alumnos que hagan prácticas con esto con problemas y métodos similares. Sin embargo se conoce que los alumnos pueden aprender más si se los docentes les ofrecen opciones para buscar su mejor método de solución. Los métodos de solución se pueden presentar por escrito o de manera verbal; ser presentados solamente por los maestros, en combinación con los alumnos o solamente los alumnos. En el grupo de países participantes en el TIMSS video 1999 las lecciones de Japón mostraron más situaciones en donde se involucraron métodos alternativos para la solución del problema (42%). La menor frecuencia en ese grupo lo obtienen las lecciones de la República Checa, con un 16%. En el caso de las lecciones de República Dominicana en 5% de las mismas se identificaron segmentos de lecciones en que los docentes planteaban opciones para solucionar problemas. Figura 28.

Si en vez del porcentaje de lecciones se considera el porcentaje de problemas se obtienen los siguientes resultados. En promedio, en Japón, 17% de los problemas se presentaron por los docentes con opciones para su solución. Las lecciones de Australia tuvieron la menor tasa con 2% de los problemas formulados de manera que se ofreciera más de una solución. En República Dominicana un 2% de los problemas de las lecciones fueron presentados de manera que se ofrecían al menos un problema con más de una solución. Lo que lo ubica igual que Australia y República Checa.

54 Figura 29.

Los estudiantes con la opción de manejar métodos alternativos de solución. Los maestros pueden ofrecer a los alumnos un cierto margen para que se ocupen de resolver los problemas por sí mismos o bien pueden darles un método y pedirles que lo sigan para futuros problemas similares. En el estudio de TIMSS video 1999 se registró el manejo de métodos alternativos de solución (p. 94) cuando el maestro explícitamente decir a los estudiantes que usen un método propio para resolver el problema o bien se les pidió a los estudiantes que escogieran de entre dos o más métodos alternativos presentados antes. Esta última opción también debe ser manejada explícitamente. Es importante notar que no se registraron las situaciones en que los alumnos trabajan con métodos alternativos, sin que se haya manejado explícitamente. En las lecciones de Estados Unidos hasta en el 45% de las lecciones de matemáticas, los estudiantes manejaron métodos alternativos para encontrar la solución al problema planteado. El porcentaje resulta importante también para Japón, en el cual se registraron situaciones como esta en poco menos del tercio de sus clases. En Holanda no hubo registros de este tipo. En República Dominicana en el 4% de las lecciones los estudiantes manejaron métodos alternativos, por debajo de lo mostrado en las lecciones de los participantes en el estudio TIMSS 1999.

Figura 30.

El porcentaje de problemas de este tipo en las lecciones de matemáticas en general en los países, es bajo. Es de resaltar el caso de Japón con un 15% de los problemas en total que se manejaron en las clases de matemáticas. En Holanda no se registraron lecciones con estas características. En las lecciones de matemáticas de República Dominicana sólo en 2% de los problemas de las lecciones de matemáticas los alumnos tuvieron la opción de escoger entre más de un método de solución. Figura 31.

56 Participación de los estudiantes en el método de examen de problemas. En el estudio TIMSS video se trató de identificar la ocurrencia de un método al que denominaron “examen de problemas”, que requiere de cuatro condiciones: a) los alumnos tienen opción de solución de problemas. b) los diversos métodos de solución de problemas se presentan de manera pública. c) Al menos uno de los métodos de solución se presenta por un estudiante. d) se formula una crítica o análisis de un método particular o se comparan los métodos de solución. En el reporte de TIMSS video 1999 (p.95) se indica que no es muy claro si los estudiantes fueron involucrados en este tipo de método. Se explica que los datos parecen no ser congruentes por el comportamiento “raro” de los porcentajes por lección y del número de problemas por lección que fueron examinados. Con estas consideraciones, en Japón se examinaron los problemas por parte de los estudiantes en hasta un 24% de las lecciones de matemáticas. En cambio en Holanda no se registra ningún caso. En República Dominicana únicamente se detectó una lección en que se empleó el método de examinar el problema. Figura 32.

A nivel del porcentaje de problemas, corresponde a Japón la mayor tasa en el grupo de participantes en el estudio TIMSS video 1999. Ni en la República Checa ni en Holanda se reporta ningún registro.

57 Figura 33.

Resumen del problema. El docente tiene la posibilidad en su gestión pedagógica de hacer un resumen de los pasos y de cómo se resolvió un problema planteado (Reporte TIMSS video 1999, p. 96). Este proceso brinda la oportunidad a los estudiantes de repasar las etapas y procedimientos para resolver el problema. Se registró como opción de este tipo cuando el maestro incluyó en el resumen la mayoría de los pasos que llevaron a la solución o hizo una revisión crítica de las reglas matemáticas del problema. En los países participantes en TIMSS video 1999 las lecciones de Japón son las que muestran mayor ocurrencia de resúmenes, mientras que las de Estados Unidos la menor. En las lecciones de República Dominicana el 3% de los problemas fueron tratados de manera que los docentes resumieron la secuencia de etapas seguidas para su solución. Este tipo de eventos se presentó en 52% de las lecciones. Figura 34.

58 Tipos de problemas matemáticos. En la formulación para resolver los problemas de matemáticas se clasificaron en tres tipos (Reporte TIMSS video 1999, p. 99). Estos fueron: 1) Uso de procedimientos. El problema enunciado fue resuelto aplicando un procedimiento de un conjunto de procedimientos. 2) Enunciación de conceptos. Los problemas enunciados fueron nombrados por convención matemática o como un ejemplo de con concepto matemático. 3) Elaborar o hacer conexiones. Los problemas enunciados implicó la construcción de relaciones entre las ideas matemáticas, hechos o procedimientos. Por ejemplo resolver ecuaciones, fracciones, decimales, manipular símbolos algebraicos, simplificar expresiones, resolver ecuaciones, encontrar áreas o perímetros. La estrategia de análisis aplicada en TIMSS consideró que estas opciones eran mutuamente excluyentes. En nuestro estudio encontramos que en muchos de los mismos problemas podían usarse procedimientos y elaborar conexiones, al mismo tiempo, por lo que no las consideramos excluyentes. Sin embargo para darles un tratamiento semejante a TIMSS se han sumado las tres opciones y se ha visto cual es el porcentaje que le corresponde a cada quien. En los países participantes en TIMSS video 1999 las lecciones de Japón fueron las que demostraron predominancia de las conexiones en los procesos de solución de los problemas. En el resto de los países se siguen procedimientos básicamente (en Japón la relación es 51% a 41%). En las lecciones de Suiza no se registraron lecciones bajo estas categorías. En las lecciones de República Dominicana se trataron 49% de problemas en que se siguen procedimientos (con relación al total de problemas 83% fueron de este tipo), en 45% de los problemas se elaboran o hacen conexiones (con relación al total de problemas 76.5% fueron de este tipo) y en 5% de los problemas se enuncian conceptos (con relación al total de problemas 8.7% fueron de este tipo). Figura 35.

59 Procedimientos matemáticos cuando se solucionan problemas. En la caracterización de los problemas formulados en las lecciones de matemáticas se identificó (Reporte TIMSS video 1999 p. 103) si se enfatizaban sólo soluciones, se usaron fundamentalmente procedimientos, se identificaban conceptos o se realizaban conexiones. Como se hace notar en el reporte, no siempre fue posible notar que esos procesos se aplicaron durante la lección de matemáticas (datos de la figura 5.9, p. 101). En los problemas de las lecciones del grupo de países participantes en TIMSS video 1999 la tasa más alta de uso de procedimientos correspondió a Estados Unidos y la más baja a Japón. En cambio en Japón se obtuvo la mayor tasa relativa de conexiones y la identificación de conceptos. Los problemas de las lecciones de Australia mostraron la mayor tasa en la presentación de soluciones, mientras que Japón mostró la tasa menor. En los procedimientos aplicados para la solución de problemas en las lecciones de República Dominicana no consideramos excluyentes las opciones, pero para tener un marco de comparación con TIMSS se les sumó y se identifica el porcentaje que le correspondería. De cualquier forma se identifica el porcentaje de cada opción respecto al total de problemas formulados. Los problemas en los que se presentan solo soluciones representan el 10% respecto al total de soluciones (frente al total de problemas formulados sería el 17.1%), donde en su solución se usan procedimientos son 42% (frente al total de problemas formulados sería el 69.1%), los que se solucionan con identificación de conceptos o definiciones serían el 10% (frente a 17% de problemas formulados) y un 37% a los que se aplican conexiones, por ejemplo, relaciones o razonamiento matemático) (frente al total de problemas le correspondería el 60.6%). Figura 36.

Trabajo privado. Además del trabajo público (ante todo el grupo) llevado a cabo en las lecciones de matemáticas, se registraron tiempos y actividades relacionadas con el trabajo privado (individual o en pequeños grupos (Reporte TIMSS video 1999, p. 104). Durante el trabajo privado, se pudo registrar dos tipos de actividades: 1) Repetir procedimientos que han sido demostrados antes (usualmente de manera pública) o que se han aprendido en lecciones anteriores. 2) Hacer algo más que repetir los procedimientos, como desarrollar otros nuevos o bien modificar otros que ya se han aprendido. Existieron amplias diferencias hacia el interior de países participantes en el estudio TIMSS video 1999, como República Checa, Estados Unidos, Holanda, Hong Kong, entre el porcentaje dedicado a repetir los procedimientos demostrados y el “hacer algo más” que repetir lo aprendido. En contraste, en Japón los datos se invierten. En el 65% de las clases de ese país contuvo trabajo privado con actividades nuevas o de búsqueda de nuevos procedimientos. En las lecciones de República Dominicana se identificaron 568 trabajados de manera privada en el 79% de las lecciones. Un 93% formulan para repetir los procedimientos que han sido formulados y diferentes. Un 4% de los procedimientos no fueron considerados categorías.

Figura 37.

problemas para ser de los problemas se en 3% se hace algo en algunas de estas

61 Tiempo dedicado a actividades no relacionadas con problemas matemáticos. La estrategia de análisis aplicada en el estudio TIMSS video 1999 asume que la mayor parte del tiempo de la lección de matemáticas se emplea en la presentación y el trabajo con problemas. Sin embargo se reconoce que existen actividades dentro de la clase que no necesariamente están relacionadas con temas matemáticos (Reporte TIMSS video 1999, p.106). Estas actividades no matemáticas fueron consideradas en 4 categorías: 1) Información matemática. Se presenta y se discute el nuevo material que se manejará en clase o incluso material previamente visto. 2) Información contextual. Se presentan y explican los objetivos de la lección. Este tiempo puede ser dedicado también a hacer una descripción histórica o a poner ejemplos de la vida real. 3) Actividad matemática. Se trata de poner juegos o completar otras tareas no directamente relacionadas con algún problema matemático. 4) Anuncios. Por ejemplo se anuncia la tarea, se habla de un próximo examen, etc. En las lecciones de los países participantes en el TIMSS video 1999 el tiempo de la lección en la que no se relaciona con problemas se dedica a información relacionada con la misma materia, especialmente en Japón. Las excepciones son la República Checa y Suiza. Le siguen en porcentaje del tiempo los segmentos dedicados a información del contexto (dominante tanto en la República Checa como en Suiza), anuncios y segmentos dedicados a actividades prácticas. En el caso de las lecciones de República Dominicana identificamos lecciones de matemáticas pero que coinciden en diversos tipos de segmentos que no se dedican a matemáticas, especialmente segmentos con anuncios que pueden presentarse en las mismas lecciones en donde se presenta información matemática o del contexto (por lo tanto no se consideran excluyentes los datos para República Dominicana). Figura 38.

62 Recursos usados durante la lección. En el reporte de TIMSS video 1999 (p. 113) se distinguen los siguientes recursos didácticos: 1) Pizarrón. Incluye el pizarrón tradicional como los pizarrones blancos. 2) Proyector. Abarca el proyector, video y proyectores de computadoras. 3) Libros de texto / hojas de trabajo. Incluye libros de texto, hojas de revistas, hojas de trabajo, hojas de estudio, etc. 4) Material especial para matemáticas. Abarca materiales tales como papel para hacer gráficas, tablas, sólidos geométricos, reglas, cinta para medir, compases (juego geométrico) e incluso software que apoye el desarrollo de modelos en las computadoras. 5) Material objeto. Forman parte de esta categoría objetos como los dados, mondadientes, mapas, periódicos o revistas, frijoles, etc. 6) Calculadoras. Se encuentran en esta categoría las calculadoras tradicionales y las que tienen la propiedad de elaborar gráficos. En los países participantes en el estudio TIMSS video 1999 dominan las lecciones en las que se usa la pizarra, los libros de texto/hojas y el material matemático especial. En el caso de Estados Unidos, Suiza y Australia se observa uso de proyectores. En el caso de las lecciones de República Dominicana la pizarra es el recurso dominante, seguida de libro de texto/hojas, material objeto (más que cualquier país del TIMSS video 1999) y en pocos casos el proyector. Figura 39.

63 En cuanto al empleo de calculadoras, en Holanda fue muy frecuente el uso de este recurso en las lecciones de matemáticas (se registró hasta en un 91% de las clases). En Suiza y Australia se detectó también que la calculadora se empleó en más de la mitad de las lecciones de matemáticas. En Japón, según TIMSS video 1999 (p. 115) se detectaron tan pocos casos que no se reportó el dato. En las lecciones de República Dominicana el empleo de las calculadoras se registró en el 1% de las lecciones de matemáticas. Figura 40.

Participación en la lección del docente o de los alumnos. La participación por docentes o alumnos en la lección fue medida en TIMSS en número de palabras expresadas (Reporte TIMSS video 1999, p.109), ya sea por maestros o alumnos. En todos los casos dominan los docentes, en las siguientes relaciones: Australia 6.83 veces, República Checa 6.61 veces, Hong Kong 9.05 veces, Japón 6.72 veces, Holanda 5.29 veces y Estados Unidos 5.79 veces. Figura 41.

64 En las lecciones de República Dominicana no hemos contado las palabras del docente o de los alumnos sino que hemos contado el tiempo en que participan el o la docente y los alumnos. La media de porcentaje de tiempo de la lección en que hablan los docentes es de 42.41% (desv. Típica de 21.27), en cambio los alumnos (que no participan en 9 de las 96 lecciones) hablan una media de 10.34 % del tiempo de la lección. Esta es una relación de 4.10 veces más, lo que ubicaría a las lecciones de República Dominicana con mayor participación de los alumnos que las de los países del estudio TIMSS, encaso de que esta comparación sea aceptable. Figura 42.

65 B. COMPARACIÓN CON LAS LECCIONES DE REPÚBLICA DOMINICANA CON LAS DE TIMSS VIDEO 1995. En esta sección se presentan los resultados comparativos de las lecciones de matemáticas de República Dominicana con los resultados del estudio TIMSS video 1995, en el que participaron Japón, Estados Unidos y Alemania. Debe hacerse notar que la estrategia y criterios de análisis aplicados en el estudio TIMSS 1995 son diferentes a los del estudio TIMSS 1999. Tamaño de la Muestra. El estudio TIMSS video 19956 consistió en comparar las acciones pedagógicas de los docentes en el octavo grado de escuelas participantes en el estudio TIMSS. Se diseñó un muestreo aleatorio con una cuota de 100 escuelas por cada país participante. Sin embargo únicamente Alemania cumplió con la cuota. Los investigadores del estudio señalaron que la muestra de Japón a pesar de ser la mitad de lecciones que lo que inicialmente se había propuesta sería suficiente por la gran homogeneidad del país. Tabla 60. TIMSS VIDEO 1995 País

Alemania Estados Unidos Japón Total

Número de lecciones de matemáticas registradas en video 100 81 50 231

Como ya se indicó, la muestra de República Dominicana consiste en 96 lecciones de sexto grado, de escuelas participantes en el estudio SERCE. Tiempo por modalidad de trabajo docente. En el estudio TIMSS video 1995 se distinguen tres modalidades de estrategias docentes: 1) Trabajo para todo el grupo, en la que el docente explica, presenta o desarrolla alguna actividad dirigida a todos los alumnos. 2) Trabajo de manera individual que cada estudiante desarrolla en su mesa. 3) Trabajo combinado, en la que se presentan segmentos dirigidos a todo el grupo, como otros segmentos en que el docente organiza a los alumnos para trabajar en su mesa. En los países participantes en el estudio TIMSS video 1995 dominó el trabajo para todo el grupo, con una mayor proporción del tiempo en las lecciones de Alemania. En este grupo de países Japón obtuvo la tasa más alta de trabajo individual. En este estudio las lecciones 6

Stigler, J. W., et al., 1999, The TIMSS Videotape Classroom Study: Methods and Findings from an Exploratory Research Project on Eight.Grade Mathematics Instruction in Germany, Japan, and the United States, NCES, Washington, D.C. Los datos citados en esta sección corresponden a este reporte.

66 son clasificadas como pertenecientes a un tipo o a otro. En las lecciones de RepĂşblica Dominicana encontramos que en el 99% de las lecciones se ofrece trabajo general para todo el grupo y en 70% de las lecciones se organiza la clase para que se trabaje en el mesabanco. En el porcentaje de tiempo (considerando todas las lecciones) dedicado a cada modalidad de trabajo queda el 60% del tiempo dedicado a trabajo en general para todo el grupo y 40% del tiempo dedicado a mesabanco. Figura 43.

Si se considera Ăşnicamente el tiempo de trabajo privado (en mesabanco), observamos que en las lecciones de RepĂşblica Dominicana el 75.6% del tiempo se emplea de manera individual, 18.9% a trabajo en mesa organizados en grupos o equipos y un 5.3% del tiempo a estrategias combinadas. Figura 44.

Metas de la lección para el maestro. El contenido de la lección videograbada fue calificada de acuerdo a una escala en la que el primer nivel consiste en que toda la lección tiene contendido nuevo a todo el contenido de la lección consiste en revisión. En el grupo de lecciones del estudio TIMSS 1995 obtiene mayor frecuencia en que la mayor parte del contenido es nuevo o es mitad y mitad. Alemania, obtuvo mayor frecuencia en todo es nuevo y en la mayor parte es revisión. Estados Unidos en la categoría de todo es revisión. La mayor parte de las lecciones de República Dominicana se ubican en la categoría “Todo es revisión”. El menor porcentaje lo ocupa la categoría de que todo el contenido es nuevo para los alumnos. Figura 45.

Temas de la lección. Por otra parte se llevó también el registro sobre el cambio de temas dentro de la lección, entre otras cosas, para determinar el número de temas (y cambios) manejados en la lección por el maestro (Reporte TIMSS video 1995, p. 47). En Estados Unidos se detectó, en promedio, un mayor número de temas manejados en la clase de matemáticas en el grupo de participantes de las lecciones de TIMSS video 1995. En las lecciones de República Dominicana se presentaron en promedio 1.3 veces de temas vistos por lección, misma tasa que la resultante en Japón, el más bajo en los participantes del estudio TIMSS video 1995. Figura 46.

Conceptos y aplicaciones. En el estudio de TIMSS video 1995 (p. 48) se analizaron las lecciones con la finalidad de detectar si se manejaron conceptos, aplicaciones o ambas cosas. Las nociones por cada categoría son amplias: 1) Conceptos. En la lección solamente se presentaron enunciados, o principios, propiedades o definiciones matemáticas (como teoremas o fórmulas). También se ubica en esta categoría la enunciación de métodos mediante los cuales se resuelven problemas. Un concepto se pudo haber presentado de manera abstracta o a través de ejemplos. 2) Aplicación. Se entiende como el empleo de un procedimiento derivado de los conceptos para resolver un problema. No necesariamente los conceptos son discutidos o enunciados. Enfatiza más bien el desarrollo de habilidades para resolver un problema.

3) Ambos. Se incluyen tanto conceptos como su aplicación en la solución de un problema. En el grupo de lecciones de los países participantes en el TIMSS video 1995 la mayor parte de las lecciones de Estados Unidos contienen segmentos de aplicaciones, mientras que en Japón dominan las lecciones en que se presenta tanto la aplicación como la inclusión de conceptos. Alemania manifiesta la mayor tasa de lecciones en que se incluyen solamente conceptos. En el caso de República Dominicana la mayor parte de las lecciones incluyen tanto conceptualización como aplicaciones; en segundo lugar aplicaciones solamente y por último conceptos solamente. Figura 47.

Enunciación y desarrollo de conceptos. En las lecciones en donde se presentaron conceptos, estos se pudieron haber desarrollado o enunciados solamente (Reporte TIMSS video 1995, p. 50). Se entiende que un concepto se expresó solamente cuando no se explicó, desarrolló o aplicó. En ocasiones la enunciación de conceptos, sin desarrollarlos, se refiere a recordar conceptos previamente vistos o como un apoyo para que el estudiante tenga más elementos para resolver un problema. Por otra parte, un concepto fue desarrollado cuando solamente es explicado por el maestro solamente o en colaboración con sus estudiantes, con la finalidad de mejorar la comprensión del propio concepto. También se desarrolla un concepto cuando se deriva en pruebas o experimentos.

70 Tanto en Japón como en Alemania la mayor parte de los temas de las lecciones fueron desarrollados, en contraste a Estados Unidos, que son básicamente enunciados. En el caso de los temas de las lecciones de República Dominicana la mayor parte fueron desarrollados en 79% se presentan en 78% de las lecciones), entre Japón (83%) y Alemania (77%), y en donde solo se enunciaron conceptos 21% (se presenta en 28% de las lecciones). Figura 48.

Incremento de la complejidad en las aplicaciones. Si se trabaja con más de un problema en el estudio TIMSS video 1995 (p. 52) se consideró si el o los problemas subsiguientes tienen el mismo grado de dificultad, o la incrementan, o se reduce, en el transcurso de la lección. El incremento de la complejidad en los problemas subsiguientes puede ser que se presente en el procedimiento o bien en el nivel conceptual. El aumento en la dificultad significa que el problema requiere de operaciones adicionales a las del problema anterior. El aumento en la complejidad conceptual se refiere a la incorporación de mayor información matemática. En general en los países participantes los problemas subsiguientes planteados permanecen con el mismo nivel de complejidad o bien lo disminuyen. Esto es más notorio en Alemania. La brecha es más reducida en Japón, en donde casi en la mitad de las lecciones, los problemas subsiguientes aumentaron en complejidad. En el caso de las lecciones de República Dominicana domina la permanencia del nivel de complejidad. La menor tasa lo obtienen lecciones que aumentan su complejidad, a un nivel semejante a Alemania, y por debajo de Japón y Estados Unidos. En 4% segmentos de lección, con el cambio de temas, aumentaron la complejidad (por lo que da 14% en vez de 10% ese grupo de lecciones).

Figura 49.

Métodos alternativos de solución. Como se ha explicado previamente, los métodos alternativos de solución, posibilitan concebir procedimientos alternos para resolver problemas, más allá de que el maestro prescriba el método que lleva a la solución. En este caso el maestro puede dar un método para encontrar la solución a un problema y pedirles a los alumnos que los apliquen en problemas similares. El maestro también puede, no solamente ofrecer un método específico de solución, sino que puede proponer otro u otros adicionales a los alumnos. Por su parte los estudiantes pueden encontrar cierta libertad que les permita buscar procedimientos alternativos de solución diferentes de los que el maestro propone (Reporte TIMSS video 1995, p.54). En el caso de Japón, los datos indican que los estudiantes trabajan más con métodos alternos para solucionar problemas, que Alemania y Estados Unidos. En el caso de los Estados Unidos, los datos se invierten y es el lugar en donde se presentan más casos de lecciones en las que el maestro presenta a los estudiantes diferentes métodos para solucionar un problema. En las lecciones de República Dominicana las proporciones de lecciones en que el docente o los alumnos presentan métodos alternativos de solución son iguales pero muy reducidos (3%).

Figura 50.

Principios, propiedades y definiciones. En el estudio TIMSS video 1995 se reúnen en una sola categoría los principios y las propiedades, como nociones diferentes a las definiciones. Las definiciones son enunciaciones con contenido matemático que permiten entender un término, seguidas por sus características o propiedades. Una enunciación que no conforma una definición completa fue codificada en este estudio como principio o propiedad. La información matemática manejada en la lección que no se codificó como definición, se ubicó como principio o propiedad. Los promedios entre Alemania, Estados Unidos y Japón son semejantes en lo que se refiere al número de principios y propiedades enunciados en la clase. En República Dominicana el registro de principios o propiedades, así como definiciones es mayor que los países participantes en el TIMSS video 1995. Figura 51.

Estructura de la lección. En el reporte TIMSS video 1995 (p.63) se estudia la estructura de la lección a través de nodos y enlaces. En este caso se trata de elaborar una caracterización general del desarrollo de la lección, entre los países participantes. Con ese fin se tomaron las siguientes nociones: (1) Motivación. Se aplicó cuando en la tarea o situación se usó para promover que los alumnos ofrecieran principios, propiedades o una definición. 2) Ilustración. De alguna forma se ejemplificó un principio general que después se explicó. 3) Razonamiento deductivo. Se registró el empleo de razonamiento de lo general a lo particular o se desarrollaran aplicaciones en la lección. 4) Complejidad. Cuando se detectó aumento en la dificultad del problema. Adicionalmente se incluye la categoría de razonamiento inductivo. En las lecciones del TIMSS video 1995 la presentación de ilustraciones durante la lección comparte porcentajes muy semejantes los países participantes. En cuanto a la motivación de los alumnos destacan las lecciones de Japón, en contraste a las de Estados Unidos. En el aumento de la complejidad de los problemas destacan las lecciones de Japón. En la aplicación del razonamiento deductivo destacan las lecciones de Japón. En el caso de las lecciones de República Dominicana en menos lecciones se presentan ilustraciones que en las lecciones de los participantes de TIMSS video 1995. En la motivación y aplicación de razonamiento deductivo se ubicaría sólo después de Japón. En el aumento de complejidad después de Alemania. Figura 52.

Foco del control. En el reporte TIMSS video 1995 (p.68) se pregunta por el nivel de opciones que tuvieron los estudiantes para desarrollar su tarea o actividad. Si los estudiantes estuvieron totalmente controlados en el desarrollo de la tarea o bien tuvieron algunas opciones para ellos. Cuando se registra la opción en este estudio de “tarea controlada” se entiende que el maestro proporciona los procedimientos de solución de los problemas y pide a los estudiantes que se apeguen a este procedimiento para resolver otros problemas similares. En este sentido, el maestro no les pidió a los estudiantes nada más que seguir el procedimiento dado. La otra opción que se registra en el estudio es la de “tarea controlada por el alumno” que significa que el estudiante tuvo la libertad de decidir sobre los procedimientos que le ayudaron a resolver el problema. Una tercera opción se reúne en una combinación de las dos anteriores. Los resultados del estudio TIMSS video 1995 muestran que en las lecciones de Estados Unidos las tareas controladas por el maestro alcanzan el 83% del total de las lecciones de matemáticas. Las lecciones de Japón muestran equilibrio entre la tarea controlada por alumno y maestro con el método de solución en controlado por los alumnos. El menor porcentaje de las lecciones de este país expresan tareas controladas por los docentes. En el caso de las lecciones de matemáticas de República Dominicana domina la tarea controlada por el docente, aunque en un porcentaje menor a la de Estados Unidos. En ninguna lección se mostró tarea y método controlado por alumno y maestro. Figura 53.

Organización del grupo de alumnos. Al considera su organización los autores del reporte TIMSS video 1995 señalan que pareciera como que las clases videograbadas, tuvieran más similitudes que diferencias al considerar especialmente la estructura de su organización (p. 71). Los datos muestran que el arreglo del grupo o de la clase por filas es común en las aulas en las que se videograbaron las lecciones. Así predomina la estructura por filas en los tres países, de manera por particular en Japón. En Alemania sobresale como una forma peculiar de organización la de U con filas. En el caso de las lecciones de matemáticas de República Dominicana la estructura dominante también es la de filas, pero en la estructura por grupos o en “U” manifiesta mayor frecuencia que la de los países participantes en TIMSS video 1995. Figura 54.

Interrupciones externas. Como se ha comentó antes, las interrupciones rompen con el flujo de la clase y propician la desconcentración de los alumnos. Algunos tipos de interrupciones externas son por ejemplo, los anuncios sobre actividades, la visita de personas al salón o en general visitantes. En ninguna de las lecciones de Japón se registraron interrupciones externas. En Estados Unidos se manifiestan interrupciones en 28% de las lecciones. En el caso de las lecciones de República Dominicana la tasa de interrupciones es menor que la de las lecciones de Estados Unidos.

Figura 55.

Tarea para la casa. Se acepta en el reporte de TIMSS video 1995 (p. 83) que la relevancia pedagógica de la tarea para la casa es un tema a debate entre especialistas. Unos creen que la tarea ayudará a mejorar el rendimiento de los estudiantes. Otros no lo aceptan. De cualquier forma encargar tarea para la casa es una práctica que se da más frecuentemente en unos lugares más que en otros. En Estados Unidos y Alemania es más frecuente que los maestros propicien que los alumnos compartan trabajando en la tarea para la casa (37% y 38% respectivamente). En Japón no hubo registro de esta práctica, aunque compartir la tarea se dio en el 10% de las clases de matemáticas. En la cuarta parte de las lecciones de matemáticas de Estados Unidos se trabajó con la tarea encargada para la casa. En las lecciones de República Dominicana en 4% de las lecciones se trabajó en tarea y en 7% de las lecciones los alumnos compartieron la tarea.

Figura 56.

Explicaciones o demostraciones. Las clases en las que se emplea la forma más tradicional de enseñanza consisten en que en ellas los docentes hablan o hacen demostraciones (Reporte TIMSS video 1995, p. 84). En los países participantes en el TIMSS en la mayor parte de las clases de Japón contienen segmentos en las que los docentes explican o demuestran. En el caso de Alemania y Estados Unidos pocas de sus lecciones contienen segmentos con estas estrategias. En el caso de República Dominicana en casi todas (93%) no contuvo algún segmento con explicaciones o demostraciones. Figura 57.

Temas que se trabajan en mesa o conceptualmente. Los temas que se desarrollan conceptualmente son diferenciados de los que se trabajan en la mesa de los alumnos, en los que se supone aplicación de procedimientos o práctica (Reporte TIMSS video 1995, p. 89). En los tres países participantes en el estudio TIMSS video 1995 dominan los temas que se desarrollan en mesa por los alumnos, es decir que se permite la práctica. En las lecciones de República Dominicana dominan los temas que se trabajan en mesa. Figura 58.

. Uso de materiales instruccionales. En el desarrollo de las clases videograbadas, se observó una amplia variedad de herramientas pedagógicas (Reporte TIMSS video 1995, p.90). De los materiales más comunes que se usaron en estas clases, están la pizarra (tanto por docentes como por alumnos) y el proyector. El predominio del pizarrón como parte de los materiales que se usaron en las clases videograbadas, resulta darse con mucha frecuencia. Incluso en Japón se empleó en el 100% de las clases. En las lecciones de Estados Unidos se usó sólo en 67% de las lecciones, con un 58% de ellas con uso de proyectores, los que tuvieron poco uso en Japón. En República Dominicana es predominante el uso de la pizarra y no se detectó el uso del proyector en las lecciones de matemáticas. Figura 59.

Materiales instruccionales adicionales. Otros materiales instruccionales fueron empleados por maestros y alumnos en las clases videograbadas. Estos materiales son las hojas de trabajo, los libros de texto, las computadoras, las calculadoras, material objeto, herramientas especiales para matemáticas y posters o afiches. Las hojas de trabajo fueron más empleadas en Estados Unidos y Japón, mientras que los libros de texto se usaron más en Alemania y en Estados Unidos, también. En Japón predominó el empleo de herramientas especiales para matemáticas y de los posters o afiches. En las lecciones de República Dominicana se usa de manera frecuente las hojas de trabajo, las herramientas matemáticas y el material objeto. Por el uso de cartulinas ocuparía el

80 segundo lugar en los participantes del estudio TIMSS video 1995. El uso de libros de texto o calculadoras es bajo en comparación con aquellos países. Figura 60.

Uso de la pizarra por los alumnos. La pizarra se emplea de muchas formas y para varios fines. Un procedimiento usual es que los alumnos pasen a la pizarra a realizar ejercicios frente al grupo. En Alemania y Japón los alumnos usaron el pizarrón en el 60% de las lecciones, mientras que en Estados Unidos el porcentaje es menor, llegando al 47% de las lecciones. En 88% de las lecciones de República Dominicana se identificaron segmentos en que los alumnos acuden a la pizarra a realizar ejercicios, más frecuentemente que en cualquiera de los países participantes en el estudio TIMSS video 1995. Figura 61.

Uso del proyector. En el 100% de las lecciones de matemáticas en Japón los estudiantes emplearon el proyector en algún momento de la clase. Su empleo resultó ser mayor que en Alemania y esta mayor que Estados Unidos. En República Dominicana se registró empleo del proyector por parte de los alumnos en una lección.

Figura 62.

Permanencia de la información en el pizarrón. En el reporte del estudio TIMSS videos 1995 (p.95) se comenta la relevancia del potencial efecto que la permanencia de la información en el pizarrón puede tener en la comprensión de la lección por parte de los estudiantes. Expresa el estudio que si la información es borrada deja de estar disponible para el estudiante. La información en el pizarrón que no es borrada, continúa como un recurso constante para los estudiantes a través de la lección. En Japón, en el 83% de las lecciones de matemáticas la información escrita en el pizarrón permaneció hasta el final de la clase. En Alemania el porcentaje resulta ser también importante. En Estados Unidos, en casi la mitad de las lecciones la información permaneció hasta el final y en la otra mitad fue borrada antes de que terminara la clase. En República Dominicana en el 56% del total de las lecciones, lo escrito o dibujado en el pizarrón continuó hasta el final de la lección. Figura 63.

82 Manejo de material objeto. El material objeto fue caracterizado previamente como el tipo de material que puede ser manipulado por el maestro o por los estudiantes. En estas estimaciones se consideran solo las lecciones en donde se usa material objeto. En Japón se observa que en algunas lecciones predomina la manipulación de objetos solamente por los maestros y en otras ocurre la combinación de ambos en el manejo de objetos de este tipo. En Estados Unidos se les facilita con mayor frecuencia el manejo de estos materiales a los estudiantes. En las lecciones de República Dominicana domina el uso conjunto del material objeto, tanto por docentes como por alumnos, le sigue el uso sólo por parte de los docente y finalmente por parte de alumnos únicamente. Figura 64.

Coherencia de la lección. Uno de los indicadores para medir la coherencia de la lección está dada por los enlaces o relaciones que el maestro hace con ideas o experiencias de otras lecciones (TIMSS video 1995, p.117). Estos enlaces se analizan hacia el interior de la lección y entre las lecciones. Los enlaces son referencias explícitas que hace el maestro a ideas o eventos de la lección o de otras lecciones. La referencia debe ser concreta y debe ser relativa a la actual actividad. En Japón, en la mayoría de las lecciones se hace mención mediante enlaces, de ideas o eventos de otras lecciones. En Estados Unidos los porcentajes son menores pero aun relativamente altos. En República Dominicana el 35% de las lecciones se hicieron este tipo de enlaces.

83 Figura 65.

De la misma forma, en Japón los maestros establecen más conexiones o enlaces dentro de la misma lección. Los porcentajes del resto de los países son más parecidos entre sí. En las lecciones de República Dominicana en casi las dos terceras partes de las lecciones de matemáticas los maestros hacen enlaces con ideas o eventos (por ejemplo contextualizando o con definiciones), más que en las lecciones de Alemania o Estados Unidos. Figura 66.

Tiempo dedicado a prácticas rutinarias, aplicaciones o invención de nuevas situaciones. En el estudio TIMSS video 1995 entre las actividades de las lecciones se distinguieron tres, en las que se consideró el tiempo dedicado: 1) Procedimientos de práctica rutinaria, en la que los estudiantes ejercitan los algoritmos que les permiten solucionar los problemas. 2) Aplicación de conceptos, en la que los alumnos se dedican a memorizar o trabajar en las definiciones de los temas vistos.

3) Pensar o inventar nuevas situaciones, en la que los docentes solicitan a los alumnos que reflexionen sobre estrategias innovadoras o propias para enfrentar un problema. En las lecciones de Estados Unidos y Alemania, entre los países participantes en el estudio TIMSS video 1995, domina el tiempo dedicado a la práctica rutinaria de los procedimientos. En cambio en Japón la mayor parte del tiempo se dedica a la aplicación de los conceptos. En las lecciones de este país una proporción importante de tiempo (15%) se dedica a pensar o inventar soluciones innovadoras. En República Dominicana la mayor parte del tiempo de las lecciones se dedica a la aplicación de los conceptos (61.3%), en

Figura 67.

DIFERENCIAS EN LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS POR DIVERSOS TIPOS DE ESCUELAS DE REPÚBLICA DOMINICANA. 3.

En esta sección se identifican las diferencias en la enseñanza de las matemáticas correspondientes a diferentes tipos de escuelas de República Dominicana. Se contrastan las características de las lecciones considerando los criterios de análisis aportados por el estudio TIMSS video 1999, pero con relación a escuelas con los siguientes criterios: a) Comparación por el estrato (urbano o rural) de la escuela. El segmento de lecciones correspondientes a escuelas urbanas es de 63.5% y el de lecciones en escuelas rurales de 36.5%. b) Comparación por el tipo de gestión en la escuela (estatal, gobierno nacional; no estatal, de congregación religiosa; no estatal, particular). El segmento correspondiente a lecciones de escuelas estatales es de 75%, el de no estatales religiosas de 8.3%, el de no estatales de organismo no gubernamental 2.1% y el de no estatales privadas de 14.6%. c) Comparación por nivel de logro en ciencias, dentro del estudio SERCE. La prueba se SERCE se aplicó en el año 2005 y el trabajo de campo de nuestro estudio se realizó en el año 2010, por lo que si bien son las mismas escuelas, los docentes (y obviamente los alumnos) son diferentes. Sin embargo por otros estudios se cuenta con indicios de que los niveles promedio de desempeño de las escuelas suele sostenerse a lo largo de varios ciclos escolares. Se consideran tres niveles de desempeño promedio de las escuelas en la prueba SERCE: alto, medio y bajo relativos a la muestra de República Dominicana, bajo los criterios descritos en la sección 1. El segmento de lecciones de lecciones correspondientes a escuelas de bajo promedio rendimiento relativo en SERCE es de 30.2%, 46.9% de lecciones de nivel medio y 22.9% de lecciones en escuelas de nivel alto relativo. Las comparaciones entre los diversos tipos de escuela de República Dominicana se desarrollan siempre y cuando existan suficientes datos. Por lo que algunas variables con bajo nivel de ocurrencia no se contrastan las diferencias internas.

Duración de la lección de matemáticas. Las lecciones fueron registradas en video por dos cámaras, una enfocada de manera preferente sobre el docente y la otra a los alumnos. Ambos registros son considerados en la codificación ya que el programa usado, Videograph, permite que se encadenen de manera que se observan los eventos de manera contemporánea. El registro sobre el que se hace la codificación es sobre la cámara que sigue al docente. En muy pocos casos se presentaron problemas de edición o de grabación en la cámara del docente, sólo en esa circunstancia se basa el conteo en la cámara de alumnos. El conteo de la duración de la lección de matemáticas inicia cuando explícitamente el o la docente indica que inicia, y deja de considerarse cuando el mismo docente indica a los alumnos o los investigadores de campo que en ese momento termina la lección.

86 La duración de las lecciones de ciencias naturales de sexto grado registradas en video es de poco más de una hora. De las registradas en video la lección más breve duró poco más de nueve minutos y la más extensa de una hora y cuarenta y dos minutos. Tabla 61 Duración de la lección de matemáticas Sitio República Dominicana (96)

Promedio 00:43:08

Desviación estándar 00:12:57

Mínimo

Máximo

00:09:10

01:41:57

El promedio de duración de las lecciones de matemáticas en escuelas rurales es mayor que las lecciones en escuelas urbanas, por poco más de dos minutos. Por tipo de gestión la duración de la lección es mayor en las escuelas estatales que en las no estatales. La duración de la clase de matemáticas guarda una relación lineal con los resultados de la prueba de matemáticas de SERCE, de manera que la mayor duración de las lecciones en este estudio corresponde a las escuelas que obtuvieron mejor resultado relativo en SERCE. Tabla 62. . Duración de la lección de matemáticas Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 61 de 61 lecciones (100%) 35 de 35 lecciones (100%) 00:38:56 00:40:12 (00:14:29) (00:09:05) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares 72 de 72 lecciones religiosa gubernamentales 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 14 de 14 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 00:43:50 00:40:17 00:33:07 00:42:37 (00:13:12) (00:13:54) (00:01:17) (00:12:01) Bajo Medio Alto 29 de 29 lecciones 45 de 45 lecciones 22 de 22 lecciones (100%) (100%) (100%) 00:42:22 00:42:56 00:44:33 (00:09:51) (00:15:20) (00:11:31)

Porcentaje del tiempo del tiempo efectivamente dedicado a la instrucción del tema. Los docentes señalaron lo que ellos consideran la lección de ciencias indicando a los investigadores de campo cuando iniciaba y cuando terminaba. Pero es claro que en ese tiempo suceden diversos tipos de eventos. Se entiende por tiempo efectivamente dedicado a instrucción del tema (ciencia) al que emplea el docente a generar oportunidades de aprendizaje en sus alumnos. Por lo que se elimina el tiempo en que se organizan los eventos de la clase, el de las interrupciones y el dedicado a otras actividades fuera de la enseñanza de la ciencia, como pasar lista de alumnos presentes o a rezar. El porcentaje de tiempo dedicado a la instrucción de matemáticas es de más del 92%.

87 Tabla 63. Tiempo de la lección dedicado a instrucción Sitio República Dominicana (96)

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 00:39:39 90.39%

Desviación estándar 00:12:17 8.11

El porcentaje de la lección efectivamente dedicada a la instrucción de matemáticas es muy poco mayor en las escuelas rurales, y en las escuelas no estatales de congregaciones religiosas: Con relación a los niveles de logro también se manifiesta una relación lineal entre el porcentaje del tiempo efectivamente dedicado a la enseñanza y los resultados obtenidos en la prueba de matemáticas de SERCE. Tabla 64. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a instrucción Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 61 de 61 lecciones (100%) 35 de 35 lecciones (100%) 90.13% 90.86% (8.66) (7.14) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 72 de 72 lecciones 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 14 de 14 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 89.76% 95.68% 86.92% 91.11% (8.31) (4.0) (18.42) (6.81) Bajo Medio Alto 29 de 29 lecciones 45 de 45 lecciones 22 de 22 lecciones (100%) (100%) (100%) 89.65% 90.20% 91.77% (8.74) (8.76) (5.67)

Porcentaje del tiempo en que se presentan interrupciones. En 16 lecciones de matemáticas se presentaron interrupciones, las que en promedio tienen una duración de poco más del 1% del tiempo de la lección. Tabla 65 Tiempo de la lección en que se presentan interrupciones Sitio República Dominicana (16)

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 00:00:33 1.16%

Desviación estándar 00:00:32 1.16

Las lecciones de las escuelas urbanas presentan más interrupciones que en las rurales, pero en las rurales duran un poco más. En las escuelas estatales son más frecuentes, pero en promedio duró más la interrupción de la escuela no estatal de congregación religiosa (no se

88 presentan en las de ONG´s o en particulares). La menor tasa de interrupciones se presentó en escuelas que tuvieron un desempeño medio. Tabla 66. Porcentaje del tiempo de la lección en que se presentan interrupciones Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 13 de 61 lecciones (21.31%) 3 de 35 lecciones (8.57%) 1.04% 1.71% (.75) (2.49) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 12 de 72 lecciones 4 de 8 lecciones 0 de 2 lecciones 0 de 14 lecciones (100%) (100%) (0%) (0%) 1.10% 1.35% (1.19) (1.23) Bajo Medio Alto 5 de 29 lecciones 6 de 45 lecciones 5 de 22 lecciones (17.24%) (13.33%) (22.72%) .77% 1.85% .74% (.48) (1.65) (.56)

Porcentaje de tiempo dedicado a problemas. En el 75.0% de las lecciones fue posible identificar segmentos dedicados a formular o a resolver problemas. La duración promedio de estos segmentos resultó de poco menos de 28 minutos, es decir alrededor del 60% del tiempo de la lección. Tabla 67. Tiempo de la lección dedicado a problemas Sitio República Dominicana (72)

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 00:27:57 60.01%

Desviación estándar 00:14:41 27.11

El tiempo dedicado a problemas es mayor en escuelas rurales y en las escuelas no estatales particulares. Al considerar el desempeño en SERCE se observa mayor tiempo dedicado a problemas en lecciones que se ubican en el nivel medio, pero se dedica mayor tiempo en las lecciones de escuelas con mayor nivel.

89 Tabla 68. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a problemas Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 40 de 61 lecciones (65.57%) 32 de 35 lecciones (91.42%) 58.40% 62.02% (27.45) (26.98) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 53 de 72 lecciones 6 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 11 de 14 lecciones (73.61%) (75.0%) (100%) (78.57%) 58.43% 55.84% 55.87% 70.63% (27.55) (26.47) (42.66) (24.21) Bajo Medio Alto 17 de 29 lecciones 37 de 45 lecciones 18 de 22 lecciones (58.62%) (82.22%) (81.82%) 54.83% 60.26% 64.39% (28.01) (27.88) (25.25)

Tiempo dedicado a problemas independientes. En la mitad de las lecciones de matemáticas se dedica tiempo a trabajar con problemas independientes, a los que se dedica un poco más de veinte minutos en promedio, es decir poco más del 48% del tiempo de la lección. Tabla 69. Tiempo dedicado a problemas independientes Sitio República Dominicana (48)

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 00:20:57 47.15%

Desviación estándar 00:14:16 32.35

Los problemas independientes son más frecuentemente trabajados en escuelas rurales que en urbanas; en escuelas no estatales, aunque los segmentos dedicados a estos problemas duran más en las estatales; y en escuelas de bajo y alto desempeño en el examen de matemáticas SERCE, con mayor duración de los segmentos en el nivel medio.

90 Tabla 70. Porcentaje del tiempo dedicado a problemas independientes Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 25 de 61 lecciones (40.98%) 23 de 35 lecciones (65.71%) 42.68% 52.01% (32.85) (31.80) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 34 de 72 lecciones 5 de 8 lecciones 1 de 2 lecciones 8 de 14 lecciones (47.22%) (62.50%) (50.0%) (57.14%) 49.37% 41.92% 45.98% (32.83) (34.55) (31.48) Bajo Medio Alto 13 de 29 lecciones 21 de 45 lecciones 14 de 22 lecciones (44.82%) (46.66%) (63.63%) 41.64% 50.40% 47.40% (31.65) (33.41) (33.08)

Tiempo dedicado a problemas concurrentes. Los problemas concurrentes son más complejos y se presentan en sólo 21.87% de la muestra. En esas lecciones se les dedica poco más de veinte minutos en promedio. Tabla 71. Tiempo dedicado a problemas concurrentes Sitio República Dominicana (21)

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 00:20:25 39.06%

Desviación estándar 00:18:50 31.32

Los problemas concurrentes son más frecuentes en lecciones de escuelas urbanas, pero el tiempo que se les dedica es mayor en las escuelas rurales. Por tipo de gestión es muy semejante su ocurrencia en las tres modalidades de escuela, aunque el tiempo dedicado es mayor en las escuelas estatales, dedicándose a ellas más de la mitad del tiempo de la lección. Por nivel de desempeño en SERCE sobresalen las lecciones que se ubican en el nivel alto, pero se les dedica más tiempo a los problemas concurrentes en las lecciones de escuelas que se ubican en el nivel medio.

91 Tabla 72. Porcentaje del tiempo dedicado a problemas concurrentes Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 11 de 61 lecciones (18.03%) 10 de 35 lecciones (28.57%) 28.93% 50.21% (23.83) (35.65) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 13 de 72 lecciones 0 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 6 de 14 lecciones (18.05%) (0%) (100%) (42.85%) 40.05% 50.77% 33.03% (32.18) (28.14) (33.96) Bajo Medio Alto 5 de 29 lecciones 10 de 45 lecciones 6 de 22 lecciones (17.24%) (22.22%) (27.27%) 41.45% 41.96% 32.24% (38.03) (29.20) (33.57)

Tipo de interacción. Las interacciones pueden ser públicas, es decir, dirigidas a todos los estudiantes al mismo tiempo (como en las exposiciones, explicaciones y demostraciones), privadas (se organiza a los alumnos para que trabajen de manera individual, en pares o pequeños grupos) o se ofrece la oportunidad a los alumnos de presentar información. La interacción pública es la dominante, se presenta en todas las lecciones y es el tipo de interacción que dura más tiempo de la lección (casi 60% en promedio). La interacción privada se presenta en el 77% de las lecciones analizadas, con una duración de poco más de un tercio de esas lecciones. Finalmente las lecciones en las que estudiantes presentan información son alrededor de la mitad, a lo que se dedica menos del 18% del tiempo de la lección en promedio. Tabla 73. Tipos de interacción República Dominicana Interacción pública (96)

Interacción privada (74)

Estudiante información (47)

presenta

Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento

Promedio 0:25:48 59.67%

Desviación estándar 0:12:48 23.76

0:15:11 34.03%

0:10:13 20.71

0:07:40 17.60%

0:06:53 15.68

92 Las interacciones públicas se presentan más frecuentemente en escuelas rurales, estatales y de bajo nivel de logro en el examen de matemáticas de SERCE. Tabla 74. Porcentaje del tiempo dedicado a interacción pública Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 61 de 61 lecciones (100%) 35 de 35 lecciones (100%) 58.28% 62.09% (22.29) (26.29) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 72 de 72 lecciones 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 14 de 14 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 62.04% 58.71% 54.17% 48.81% (23.62) (21.90) (21.29) (24.89) Bajo Medio Alto 29 de 29 lecciones 45 de 45 lecciones 22 de 22 lecciones (100%) (100%) (100%) 62.80% 60.20% 54.45% (22.51) (22.37) (28.03)

La interacción privada es más frecuente en lecciones de escuelas urbanas, aunque duran más en las lecciones de las escuelas rurales. En escuelas no estatales, especialmente de organismos no gubernamentales y particulares. Por nivel de logro en SERCE se identifica como más frecuente y de mayor duración en las lecciones de las escuelas de alto desempeño. Tabla 75. Porcentaje del tiempo dedicado a interacción privada Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 50 de 61 lecciones (81.96%) 24 de 35 lecciones (68.57%) 31.93% 38.40% (20.06) (21.79) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 52 de 72 lecciones 7 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 13 de 14 lecciones (72.22%) (87.50%) (100%) (92.85%) 33.57% 27.97% 37.07% 38.67% (20.58) (21.97) (9.06) (22.69) Bajo Medio Alto 22 de 29 lecciones 34 de 45 lecciones 18 de 22 lecciones (75.86%) (75.55%) (81.81%) 34.01% 33.10% 35.80% (20.61) (18.70) (25.18)

La presentación de información por los estudiantes es más frecuentemente encontrada en las lecciones de escuelas urbanas, en escuelas estatales y en escuelas de alto desempeño relativo en la prueba SERCE. Tabla 76. Porcentaje del tiempo dedicado a presentación de información por estudiantes Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 31 de 61 lecciones (50.82%) 16 de 35 lecciones (45.71%) 18.99% 14.91% (17.66) (10.90) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 31 de 72 lecciones 6 de 8 lecciones 1 de 2 lecciones 9 de 14 lecciones (43.05%) (75.0%) (50.0%) (64.28%) 18.64% 18.19% 16.43% 13.77% (18.33) (13.34) (4.65) Bajo Medio Alto 14 de 29 lecciones 22 de 45 lecciones 11 de 22 lecciones (48.27%) (48.88%) (50.0%) 11.65% 17.20% 25.97% (10.74) (14.39) (20.49)

Tiempo que docente y alumnos hablan. Una manera de identificar que tan tradicional o frontal es la manera de enseñar es identificar que tanto dominan los docentes en los intercambios verbales durante las lecciones. En las lecciones de matemáticas de República Dominicana los docentes hablan en promedio 18 minutos y medio, es decir, 42.4% del tiempo de la lección. En cambio los estudiantes hablan en promedio cuatro minutos y medio, es decir, poco más del 10% del tiempo de la lección, y no se les permite participan en todas las lecciones (se identificó participación de los alumnos en 90.6% de las lecciones). Tabla 77. Tiempo en que se habla República Dominicana Docente (96)

Alumnos (87)

Promedio 0:18:20 42.41%

Desviación estándar 0:10:25 21.27

0:04:22 10.34%

0:04:36 11.21

Se encuentra que los docentes hablan más en lecciones de escuelas rurales, no estatales de congregaciones religiosas y que tuvieron bajo nivel de desempeño en la prueba de

94 matemáticas de SERCE (se da una relación inversamente proporcional, mientras menos habla el docente en la lección se tuvo mejor desempeño en la escuela en la prueba SERCE). Tabla 78. Porcentaje del tiempo que habla el docente Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 61 de 61 lecciones (100%) 35 de 35 lecciones (100%) 41.97% 43.19% (20.57) (22.72) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 72 de 72 lecciones 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 14 de 14 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 42.20% 47.76% 33.52% 41.72% (22.15) (16.46) (.02) (21.18) Bajo Medio Alto 29 de 29 lecciones 45 de 45 lecciones 22 de 22 lecciones (100%) (100%) (100%) 44.44% 42.52% 39.52% (18.39) (23.51) (20.55)

Es más frecuente encontrar que hablen los alumnos en escuelas rurales aunque por mayor tiempo en las lecciones de las urbanas, en escuelas no estatales de congregaciones religiosas y en escuelas que obtuvieron alto nivel relativo en la prueba de matemáticas de SERCE. Tabla 79. Porcentaje del tiempo que hablan los alumnos Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 53 de 61 lecciones (86.88%) 34 de 35 lecciones (97.14%) 11.93% 7.87% (13.20) (6.53) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 65 de 72 lecciones 7 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 13 de 14 lecciones (90.2%) (87.5%) (100%) (92.85%) 10.76% 14.29% 10.97% 6.04% (11.98) (13.06) (7.01) (3.94) Bajo Medio Alto 25 de 29 lecciones 40 de 45 lecciones 22 de 22 lecciones (86.2%) (88.88%) (100%) 9.71% 9.59% 12.43% (8.89) (12.35) (11.63)

95 Tipo de práctica. La práctica pedagógica que desarrollan los docentes en las lecciones de matemáticas puede consistir en desarrollo o aplicación conceptual, práctica rutinaria o mecánica en la solución de problemas o promover que los estudiantes piensen o inventen modalidades de solución alternativas y propias. En la mayor parte de las lecciones se dedica más tiempo al manejo conceptual de los temas, siguiendo la aplicación rutinaria. En sólo dos lecciones se encontró que los alumnos desarrollaran su propia solución, y a ello se dedicó menos de un minuto. Estas escuelas no se caracterizan porque son muy pocas y el tiempo muy breve como para conformar un patrón. Tabla 80. Tipos de interacción República Dominicana Práctica rutinaria (65)

Aplicación de conceptos (72)

Estudiante inventa alternativas (1)

piensa o nuevas

Promedio 0:23:30 55.25%

Desviación estándar 0:17:59 38.18

0:27:34 61.34%

0:14:15 24.53

0:04:11 7.47%

Es más frecuente encontrar práctica rutinaria en lecciones de escuelas rurales, escuelas estatales y de bajo nivel de desempeño relativo (aunque es un poco más frecuente de encontrar segmentos con este tipo de actividad en escuelas de alto desempeño).

96 Tabla 81. Porcentaje del tiempo en práctica rutinaria Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 40 de 61 lecciones (65.57%) 25 de 35 lecciones (66.78%) 48.05% 66.78% (34.92) (41.00) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 50 de 72 lecciones 5 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 8 de 14 lecciones (69.44%) (62.5%) (100%) (57.14%) 60.84% 48.80% 7.83% 36.20% (39.72) (4.91) (.25) (31.02) Bajo Medio Alto 21 de 29 lecciones 28 de 45 lecciones 16 de 22 lecciones (72.41%) (62.22%) (72.72%) 66.04% 47.40% 54.83% (40.32) (35.94) (38.18)

Es más frecuente encontrar el manejo conceptual de las lecciones en escuelas urbanas, en escuelas no estatales de congregaciones religiosas y particulares. Además en escuelas que obtuvieron un lugar medio en el desempeño en el promedio del examen de matemáticas aplicado por el estudio SERCE. Tabla 82. Porcentaje del tiempo en aplicación de conceptos Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 50 de 61 lecciones (81.96%) 22 de 35 lecciones (62.85%) 61.74% 60.44% (22.74) (28.77) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 50 de 72 lecciones 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 12 de 14 lecciones (69.44%) (100%) (100%) (85.71%) 60.80% 64.07% 48.06% 63.99% (26.53) (18.34) (25.18) (20.76) Bajo Medio Alto 18 de 29 lecciones 38 de 45 lecciones 16 de 22 lecciones (62.06%) (84.44%) (72.72%) 54.65% 64.38% 61.64% (26.91) (23.69) (23.80)

97 Número de problemas por lección. En una lección promedio de matemáticas en República Dominicana se formulan y resuelven en promedio casi diez problemas. En la mitad de las lecciones se formulan problemas que se conectan con la vida cotidiana, con un promedio semejante al promedio general de formulación de problemas. Tabla 83. Número de problemas tratados en la lección República Dominicana Número de problemas en la lección (85) Número de problemas en cuya formulación se usa conexión con la vida cotidiana (35)

Criterio Problemas

Promedio 9.58

Desviación estándar 8.70

Problemas

4.20

3.33

Los segmentos con problemas son más frecuentes de ser encontradas en las lecciones de matemáticas de las escuelas urbanas, pero se observa un mayor número de problemas en las escuelas rurales. Por tipo de gestión sobresale por número de problemas las escuelas no estatales particulares y las lecciones de escuelas que obtuvieron alto desempeño relativo en la prueba SERCE. Tabla 84. Número de problemas tratados en la lección Estrato

Tipo de gestión

Nivel de logro en SERCE

Urbano Rural 59 de 61 lecciones (96.72%) 23 de 35 lecciones (65.71%) 9.14 12.04 (9.11) (8.33) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, nacional congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 63 de 72 lecciones 8 de 8 lecciones 2 de 2 lecciones 12 de 14 lecciones (87.50%) (100%) (100%) (85.71%) 8.40 11.13 8.00 16.33 (7.97) (9.43) (5.65) (10.92) Bajo Medio Alto 24 de 29 lecciones 41 de 45 lecciones 20 de 22 lecciones (82.75%) (91.11%) (90.90%) 9.42 9.32 11.10 (11.13) (6.87) (9.66)

98 4. FLUJOS PEDAGÓGICOS DE LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS DE REPÚBLICA DOMINICANA. Muestra. Los modelos de enseñanza de matemáticas correspondientes a República Dominicana, se derivan del análisis de 22 mapas de clase de grupos de sexto grado de escuelas primarias y sus respectivas narrativas. La revisión de videograbaciones permitió recuperar información puntual del tipo de problemas matemáticos planteados. El programa de matemáticas de sexto grado7 presenta cuatro grupos de contenidos: Números y operaciones, Geometría, Mediciones y Recolección, organización y análisis de datos. En un total de 21 clases (95.5%) se trataron contenidos ubicados en el grupo denominado Números y operaciones y únicamente en una clase (4.5%) el contenido corresponde al grupo Recolección, organización y análisis de datos. Ver Tabla I. En referencia a los contenidos del grupo Números y operaciones, en el programa de matemáticas se expresa: 12.3.1. Propósitos de la Matemática en el Segundo Ciclo Números y Operaciones. En este ciclo se estudiarán los números naturales, las fracciones comunes y decimales, los números enteros, racionales, irracionales y reales y se realizarán las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, radicación. En el propósito anterior se observa que se hace mención explícita del trabajo con operaciones básicas, sin mencionar problemas matemáticos. Esto puede asociarse al mayor número de clases donde se enfatizan los algoritmos y sus componentes, sin considerar este tipo de problemas.

Secretaría de Estado de Educación (2004). Nivel básico. Diseño curricular. Serie Innova 2000.

99 Tabla 85. Casos

1149913 1132318 1046817 1057034 1063814 1229312 2051318 1101711 1093322 1051021 1114823 1196111 2005229 1184412 1230518 1168635 1230329 1142814 3005918 15017315 2030111 2040627

Contenidos que se trabajaron

Adición (concepto y algoritmo). Adición (algoritmo). Adición (propiedades asociativa, conmutativa y clausurativa). Multiplicación (componentes e identificación de un término desconocido). Problemas matemáticos que implican adición y sustracción. Problemas matemáticos que implican operaciones básicas. Potenciación. Potenciación y radicación. Números decimales (lectura y escritura). Fracciones (representación, simplificación, suma). Fracciones (división, lectura y representación). Fracciones propias. Fracciones (impropias, propias y mixtas). Fracciones (suma). Mínimo común múltiplo. Fracciones (multiplicación y división). Números primos. Números primos y compuestos. Mínimo común múltiplo. Mínimo común múltiplo. Máximo común divisor. Redondeo. Gráfica de barras (comparativos).

Ubicación en el programa

Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones. Números y operaciones Números y operaciones. Recolección, organización y análisis de datos.

Presentación de problemas matemáticos No Si No Si Si Si No No No No No No No No No No No No No No No No

Los problemas matemáticos. En cuatro de los casos (18.2%) se plantearon problemas matemáticos durante el desarrollo de la clase. Dichos problemas presentan las siguientes características: a) Son problemas que se resuelven con operaciones básicas. b) Presentan diferentes niveles de complejidad, por ejemplo, en el Caso 1132318 (Ver Tabla II) se solicita a los alumnos encontrar el costo total de dos productos que cuestan 10 pesos cada uno, en el Caso 1229312 (Ver Tabla V) la consigna es establecer el número de productos de 20 pesos que se pueden adquirir con 500 pesos. c) En tres casos los problemas hacen alusión a situaciones cotidianas (transacciones de compra o venta), en el Caso 1057034 se solicita a los alumnos que identifiquen una incógnita, en relaciones entre números: 25 X a = 75. d) Únicamente en el Caso 1057034 los problemas planteados se realizan después de que el docente presenta el procedimiento que se debe realizar.

100 e) Los propósitos por los que se plantean los problemas varían en cada caso:    

Resolver problemas para identificar los componentes del algoritmo utilizado y posteriormente realizar nuevos algoritmos. Mostrar el procedimiento de resolución del problema y posteriormente aplicarlo a problemas semejantes. Enfatizar funcionalidad de las matemáticas, desarrollo de algoritmos y componentes de la adición y la sustracción. Presentar funcionalidad de las matemáticas.

Tabla 86. Caso 1132318

Problemas planteados

Contenido: Adición. El docente cuestiona a los alumnos en relación a productos que compran en el mercado y anota en el pizarrón: Tostada, 10 pesos, jugo, 10 pesos. Luego marca una línea debajo de las cantidades. Pasa a un alumno al pizarrón, hace una suma con los datos y anota 20 como resultado. Luego escribe otros artículos los anota y escribe sus precios: Pantalón 250, blusa 100 y marca nuevamente una línea. Otro alumno pasa a realizar la suma y escribe el resultado: 350. Se plantea una tercera situación: Compro 11 salamis y cada salami cuesta 100 pesos, sigue con 500 pesos de jugo, 100 pesos de (…) 3 botellas de 50 pesos cada una… Pasa un alumno y obtiene el resultado, 1850 pesos. Antes de esto, el docente preguntó: ¿Cuánto costaron esos 11 salamis?, uno de los alumnos responde 1100 pesos. Algoritmos presentados Función de los problemas Los alumnos resolvieron los El docente presenta una clase de repaso. Presenta tres problemas planteados con las problemas que los alumnos resuelven con adiciones, siguientes adiciones: mismas que él utiliza para identificar sumandos y recordar el algoritmo de la adición. Finalmente plantea a 10 250 1100 los alumnos la realización de algoritmos. +10 +100 + 500 A partir de los algoritmos que los 20 350 100 alumnos realizan, el docente indica a El docente 50 los alumnos las partes de la adición y plantea 50 les recuerda el algoritmo. problemas y los 50 alumnos los resuelven. 1850 El docente presenta adiciones para que los alumnos los resuelvan.

101 Tabla 87. Caso 1057034

Problemas planteados Contenido: Multiplicación. Encontrar el valor de a. 8 X a = 16 Encuentra los términos en cada caso. a) 32 X a = 96 b) 25 X a = 75 c) 8 X a = 80 Algoritmos presentados Función de los problemas La maestra explica como encontrar el valor de a En este caso la docente utiliza un problema (incógnita): Cambiamos el signo de multiplicar por para mostrar un procedimiento para obtener el de dividir. Luego hace una anotación en el su solución. Posteriormente presenta pizarrón que toma directamente de un libro de nuevos problemas a los alumnos para texto. aplicar el procedimiento mostrado.

Nota: Si el término de una multiplicación es uno de los factores, para hallarlo se divide el producto por el factor conocido.

8 X a = 16 La maestra plantea que el valor de a se obtiene al dividir 16 / 8 y anota el valor de a, que es dos.

La maestra recuerda a los alumnos los términos de la multiplicación (factores y producto). La maestra plantea un problema (identificar el factor de una multiplicación) y un procedimiento de solución.

Los alumnos aplican el procedimiento mostrado para resolver problemas del mismo tipo.

102 Tabla 88. Caso Problemas planteados 1063814 Contenido: Problemas matemáticos (adición y sustracción). La maestra les plantea en forma oral un problema: Van a compran una lata de leche que tiene un costo de 330 pesos con 500 pesos, y pregunta si les va a sobrar dinero. Francisco, uno de los alumnos contesta a solicitud de la maestra y dice que sobran 270 pesos, sus compañeros levantan la mano. La maestra les pregunta que si el resultado presentado por su compañero es correcto, los alumnos dicen a coro que no. Luego cuestiona al grupo: ¿Qué pasó con Francisco?, le da la palabra a Javier, y él responde: 170. La maestra insiste en la pregunta: ¿Qué pasó con Francisco? Otro alumno responde que su compañero restó mal y concluye que el resultado correcto son 170 pesos. A continuación la maestra plantea de manera oral una serie de problemas en las que toma como referencia el número de alumnos del grupo. Solicita por ejemplo restar del total de alumnos (37), el número de alumnos de una de las filas (6). La maestra comenta acerca de la existencia de una cafetería en la escuela y el camión repartidor de refrescos y solicita a los alumnos que escriban o piensen en un problema que implique suma y resta. El camión de refrescos trae a la cafetería 2000 refrescos. En la cafetería quedan 1000 refrescos. Si se venden 500 refrescos. ¿Cuántos refrescos tiene la cafetería? ¿Cuántos refrescos quedan en esta cafetería?

Algoritmos presentados La maestra plantea un problema que algunos alumnos resuelven con cálculo mental (implica la sustracción 500 – 220).

Función de los problemas A partir del problema la maestra enfatiza la funcionalidad de las matemáticas en situaciones cotidianas.

La maestra menciona que en el aula hay 37 alumnos que están formados en filas, que algunas filas tienen seis y otras siete niños. Pregunta a una de las niñas qué cantidad de alumnos tienen dos filas, ella responde que 14, y pasa al pizarrón: 7 +7 14 La maestra solicita restar del total de alumnos, el número alumnos ubicados en una de las filas. Un alumno escribe en el pizarrón: 37 -6 31 Se plantean dos problemas que los alumnos resuelven con una suma y una resta. 2000 3000 +1000 - 500 3000 2500

La maestra utiliza la suma realizada por una alumna para explicar su algoritmo. Posteriormente señala en la operación los sumandos y la suma o total.

La maestra utiliza la sustracción para señalar minuendo, sustraendo y diferencia, luego comenta con los alumnos acerca del significado de estos términos.

Nuevamente los algoritmos se utilizan para que los alumnos identifiquen los componentes de la adición y la sustracción.

103 Tabla 89. Caso Problemas planteados Contenido: Problemas matemáticos (operaciones básicas). 1229312

Situación 1: La maestra comenta: Vamos a hacer un jugo, para ello necesitamos comprar… Algunos alumnos responden: azúcar y limón. La maestra continúa: Bien, pues se necesita una lata de 25 limones y una libra de azúcar… nosotros no contamos con que viene la tía con sus hijos, entonces se necesita más jugo, si requerimos de media lata más de limones, ¿cuántos limones nos van a dar? Los alumnos responden que 12. La maestra enseguida pregunta: ¿Lo vamos a hacer con la misma azúcar? Los alumnos responden que no. ¿Qué necesitamos además de los limones para completar nuestro jugo? Media libra de azúcar, responden los alumnos. La maestra indica, entonces ya podemos hacer el jugo con 1 ½ de limones y 1 ½ libra de azúcar y el jugo va a dar para todos. Situación 2: La maestra plantea: Sucede que Juanito cumple años y le vamos a preparar un bizcocho, ¡Mmm! ¿De qué quieren el bizcocho? De chocolate, responde un alumno. La maestra continúa: ¿De chocolate? ¡Muy bien! Para hacer el bizcocho vamos a comprar: tres libras de harina y vamos a comprar a $20.00 pesos cada libra, también vamos a comprar 10 tablas de chocolate. Cuando estamos haciendo los preparativos podemos notar que la vasija donde estamos preparando la masa le falta la mitad para que se llene y el bizcocho quede bien, si le falta la mitad para que la vasija quede bien, ¿qué cantidad de harina más vamos a comprar? Se escucha que algunos alumnos responden: Tres libras. La maestra entonces cuestiona: ¿Y cuántas tablas más de chocolate? Algunos alumnos contestan: 10. La maestra finaliza: Tres libras más de harina y 10 chocolates y listo, ya está nuestro bizcocho hecho y nos lo comemos. Situación 3: La maestra indica: Vamos a otra situación que se puede presentar… la ferretería, en la ferretería hay especial de blocks a $20.00 pesos cada uno, la mamá de Margarita le dio $500.00 pesos para que ella los comprara, ¿qué ustedes creen? ¿Cuántos blocks puede comprar Margarita? Se escucha un silencio, luego se escuchan varias respuestas: 25, 20, 30… La maestra pregunta: ¿Están calculando? Los alumnos responden de manera afirmativa. Entonces la maestra replantea el problema: Por $100 pesos, ¿cuántos blocks le van a dar? Algunos alumnos responden que cinco. Ella continúa: Si por cada $100 pesos le van a dar 5 blocks, entonces, ¿ella va a comprar…? Algunos alumnos responden: 25 blocks. Situación 4: Muy bien, dice la maestra, también podemos subir escaleras, y plantea: Carlos va a subir escaleras al tercer piso. Cada escalón está compuesto de 15 escalones, ¿cuántos escalones ha subido? Se escucha que algunos alumnos responden que 45. La maestra menciona: Luego Carlos se devuelve 25, ¿en qué escalón quedó? Algunos alumnos responden: Veinte. Situación 5: La maestra presenta otra situación: Cuando nosotros utilizamos el agua, cuando yo era pequeñita como ustedes, el agua no era como ahora, había que cargarla, había entonces un jovencito que cargaba el agua, él duraba toda la mañana llenando un tanque al que se le echaban 300 galones, el tanque nunca se llenaba porque él tenía que ir a la escuela en la tarde y la gente sacaba los galones que necesitaba. Si a un tanque se le echan 300 galones de agua y Josefina saca 25 galones, María saca 10 y su mamá 15 galones, veamos ¿cuántos galones quedan? Algunos alumnos responden que 250 galones. La maestra se pasea por entre los equipos y observa los cálculos que se están haciendo Situación 6: En esta situación la maestra establece: Para el desayuno escolar trajeron para tres días la leche, si para un día trajeron 900 unidades, ¿cuántas unidades trajeron para los tres días? Se escucha que los alumnos responden: 2700, 2070, 1800. La maestra confirma una de las respuestas: Muy bien 2700 unidades y hace un planteamiento adicional: Entonces en la escuela tenemos 1200 niños y para cada día 900 unidades, si es una unidad para cada niño, ¿cuántas unidades hacen falta? Los alumnos responden que 300 unidades. Bien, reafirma la maestra, si es una unidad para cada niño y trajeron 900, hacen falta 300. Situación 7: En este caso la maestra señala que van a calcular algunos años: Yo nací en 1963, a ver, ¿cuántos años tengo? Los niños sonríen, hacen cálculos contando con sus dedos y entre risas se escucha la respuesta: 47 años. La maestra agrega un nuevo problema: Si nuestra universidad cumple años en octubre y fue inaugurada en 1538, ¿cuántos años han pasado desde entonces?

Algoritmos presentados Función de los problemas No es posible observar los algoritmos que los alumnos Los problemas se plantean para que los alumnos aplican para la resolución de problemas, algunos practiquen diversos procedimientos de solución. incluso se realizan mentalmente.

104 Errores en los conceptos presentados. En el análisis realizado fue posible detectar que en algunas de las clases los docentes presentan algunos errores; al revisar cálculos de los alumnos, en representaciones gráficas de fracciones o en la explicación de procedimientos específicos. En estas tablas se incluyeron casos adicionales a los 22 analizados para este reporte. a) Revisión de cálculos Tabla 90. Ejemplos de errores al revisar cálculos. Caso Situación 3005918 La maestra explica que para obtener el mínimo común múltiplo se realizan los siguientes pasos:  Descomponer factores.  Identificar factores comunes.  Identificar factores no comunes.  Multiplicar factores comunes y no comunes. En otro segmento presenta un ejercicio en el que los alumnos deben encontrar el m.c.m. de los siguientes pares de números: a. 7 y 5 b. 42 y 34 c. 56 y 36 Un alumno pasa al pizarrón y obtiene el m.c.m. de 7 y 5. A continuación es el turno de una alumna, quien pasa al pizarrón para obtener el m.c.m. de 42 y 34. De manera inicial, la alumna sigue el primer procedimiento que explicó la maestra. 42 21 7 1

2 3 7

34 17 1

2 17

La maestra observa el procedimiento de la alumna y le da algunas indicaciones (inaudible). La alumna borra el procedimiento que había realizado y anota: M.C.M. 76 El procedimiento está inconcluso y el m.c.m. es erróneo, el resultado correcto es 714. La maestra no comenta al respecto, pregunta al grupo que si el resultado obtenido es correcto. Se escucha que una alumna contesta que si. La maestra borra el pizarrón y decide que no se realice el tercer ejercicio (obtener el m.c.m. de 56 y 36).

105 b) Representación de fracciones. Los docentes presentan ejemplificaciones de fracciones, sin considerar que cada parte en la que se divide el entero deber ser de igual magnitud. Tabla 91. Ejemplos de errores al representar fracciones. Caso Situación 1051021

Representación gráfica de 2/4, presentada por el docente.

Representación gráfica de 1/3, presentada por un alumno y validada por el docente.

2005929

1801115

Representación gráfica de 3/6 Representación gráfica de 2/6, presentada por el docente. presentada por el docente. Este caso se presenta en este grupo por la confusión que se presenta durante la clase en los alumnos. El docente anota en el pizarrón: “Una fracción es una parte de un todo…” y representa con apoyo de un alumno :

= 2/5 Posteriormente los alumnos presentan dificultades, cuando se les solicita comparar de manera gráfica 2/3 y 2/5.

106 c) Presentación de procedimientos Tabla 92. Ejemplos de errores en procedimientos presentados. Caso Situación 2030111 En el primer segmento de la clase la maestra establece con los alumnos reglas para realizar redondeos. Ma.- Según la ley del redondeo dice que cuando ustedes van a redondear un número que es el cinco, ¿qué pasa con ese número? Tres alumnos levantan la mano. Ma.- Vamos a ver. ¡Ana! Ana.- Se le aumenta uno. Ma.- Bien, se le aumenta uno, vamos a darle un aplauso El grupo aplaude. Ma.- Y si ustedes están redondeando un número que es 4 o menos de 4, ¿qué pasaría? Doce alumnos levantan la mano y la maestra otorga la palabra a un alumno. Ao.- Se pasa igual. Ma.- Muy bien, se pasa… As.- (A Coro) Igual. M: Muy bien vamos a darle un aplauso M: Yo les voy a poner ahora, algunos ejercicios… Posteriormente en el pizarrón se presenta el siguiente ejercicio que ha sido resuelto por los alumnos de manera grupal y revisado por la docente. A cada alumno se le felicitó por su respuesta y se le brindó un aplauso.

1) 372 2) 583 3) 672 4) 293 5) 184

300 600 700 200 100

El Redondeo Redondea hacia la centena 6) 465 400 7) 573 600 8) 682 700 9) 364 300 10) 483 400

El redondeo se hizo a la centena más próxima, al considerar el valor de la centena y no de la decena. Caso

1114823

Situación Para mostrar el algoritmo de división Procedimiento inicial: de fracciones, la maestra empieza a explicar desde el pizarrón. Anota y expresa en voz alta: Escribo los mismos números, luego le pongo un signo de por, multiplico el primero por el primero, el abajo por el de abajo, numerador por numerador ¿y? Cambio en el procedimiento: espera respuesta de los niños, quienes

107 a coro dicen -denominador por denominador, dice: tres por dos es seis y ¿cuatro por tres? Los alumnos responden: Doce. Posteriormente la maestra se percata del error y borra el desarrollo de la operación uno y le dice a los alumnos que les va a explicar de nuevo. ¾ ÷ 2/3. Dice: Escribo la misma fracción ¾ ÷ 2/3= ¾ pongo el signos de “x” y luego invierto los números: ¾ ÷ 2/3 = 3/4 x 3/2= Cuestiona al grupo: ¿Tres por tres? A coro responden 9, ella continúa: Y ¿cuatro por dos? Todos dicen: Doce. Esta clase tiene como tema los criterios de divisibilidad. La maestra explica a los alumnos que para identificar si un número es divisible entre tres, se divide entre tres para identificar si se obtiene una división exacta. Luego establece 18020427 que el procedimiento para identificar si el número es divisible entre cinco, se divide entre cinco. En ambos casos deja de lado los criterios de divisibilidad: Un número es divisible por tres si la suma de sus dígitos es un múltiplo de tres y un número es divisible por cinco, si termina en cero o en cinco. En este caso la docente plantes un procedimiento erróneo para obtener el 23008239 mínimo común múltiplo. A partir de este procedimiento llega a concluir que el m.c.m. de 8, 10 y 16 es 10 y el m.c.m. de 12 y 14 es 42. El docente presenta errores al ubicar fracciones en rectas numéricas. Utiliza la siguiente recta para determinar que entre más se acerca una fracción

18001115 al entero, es mayor. Casi al finalizar la clase el docente muestra una secuencia de fracciones en la recta numérica donde después de 7/8 ubica ocho enteros.

108 Modelos de enseñanza. Para la identificación de los modelos de enseñanza de las clases de matemáticas de República Dominicana, se trabajó con un procedimiento inductivo. Se utilizaron los mapas y narrativas elaboradas a partir de las clases de matemáticas videograbadas. En algunos casos se recurrió a las videograbaciones para observar en detalle procedimientos y ejercicios presentados en el pizarrón. Inicialmente se realizó un análisis diacrónico en el que se focalizó la atención en los segmentos presentes en los mapas de clase y la sucesión de acciones durante la clase. Posteriormente en un análisis sincrónico se identificaron las acciones específicas que llevaron a cabo los docentes y los alumnos. El análisis permitió identificar grupos de secuencias y acciones con características comunes y definir cuatro modelos de práctica.

Modelos identificados A continuación se presentan cada uno de los tres modelos identificados de acuerdo a su nivel de complejidad. Modelo 1 El primer modelo es el más sencillo. En éste, el docente tiene como propósito presentar definiciones o conceptos, para luego solicitar la repetición de estos por los alumnos, ya sea de manera individual o grupal. En algunos casos la clase concluye con el uso de dichos conceptos (Figura I). Una variante de este modelo se presenta cuando el docente solicita a los alumnos investigar de manera previa los conceptos que se van a tratar en la clase (Figura II). La siguiente declaración de una de las docentes ilustra este modelo. La maestra se encuentra al frente del aula y se dirige a los alumnos: –¡Miren niños! El truco de la Matemática es mirar al profesor cuando está al frente. Si bajan la mirada, ya no entienden lo que hice, si por ejemplo yo explico y él (señala a un alumno) se voltea y da la espalda pues ya no entiende nada de lo que yo hice. El problema de la Matemática es no prestar atención. Caso 1114823 Figura 68. Representación del Modelo 1. El docente presenta definiciones o conceptos base

Los alumnos repiten definiciones.

De manera individual

De manera grupal

Los alumnos realizan ejercicios de identificación de conceptos que el docente revisa.

109 Figura 69. Una variante del Modelo 1.

Los alumnos investigan conceptos y los dan a conocer al grupo.

El docente solicita a los alumnos que establezcan una asociación de conceptos con ejemplos, de manera grupal.

Los alumnos relacionan conceptos y ejemplos de éstos, de manera individual.

Ejemplo del Modelo 1. Basado en el Caso 1122114 Al inicio de la clase de matemáticas la maestra se ubica al frente del aula. Los estudiantes se encuentran sentados en bancas unitarias distribuidas en filas. Ella indica al grupo que la clase va a dar inicio y les informa que el tema son las fracciones. La mayoría de los alumnos escuchan a la maestra con atención. Ella inicia la clase y les indica que las fracciones: “…son la cantidad de partes en las que se divide la unidad”. Escribe esta definición en el pizarrón y muestra una representación gráfica de un círculo dividido en octavos y los cuestiona acerca del número de partes en las que se divide y las partes que tiene marcadas. Se escucha que algunos de los alumnos responden a coro que son ocho partes y se muestran tres partes marcadas. La maestra anota a la derecha de la figura 3/8 y señala en dicha fracción el numerador y el denominador. Escribe en el pizarrón que el denominador es el número de partes en las que se divide el entero y el numerador las partes que se toman de dicho entero, al momento de escribir lee las definiciones. Luego repite nuevamente los conceptos de numerador y denominador y hace alusión a la representación gráfica de tres octavos que se encuentra en el pizarrón. Pregunta a los estudiantes que si hay dudas, algunos responden que no. La maestra informa que hay fracciones propias e impropias. Define las propias como aquéllas que tienen mayor el denominador que el numerador y luego menciona que las impropias son las que tienen mayor el numerador los alumnos interrumpen y dicen a coro: Que el denominador. La maestra escribe en el pizarrón una serie de fracciones y les solicita a los alumnos que anoten a la derecha la letra P si son propias y la letra I si son impropias. Les pide a los alumnos que copien la información que se ha escrito en el pizarrón y realicen el ejercicio de clasificación de fracciones. El mayor tiempo de la clase se dedica a esta actividad. La maestra observa el trabajo que los alumnos realizan en su cuaderno y esporádicamente realiza algún comentario acerca de la actividad que llevan a cabo. En la última etapa de la clase solicita a varios alumnos que alternadamente pasen al pizarrón e identifiquen si las fracciones son propias o impropias, actividad que resuelven correctamente. Al terminar, todos le entregan su cuaderno a la maestra para que les revise la copia de conceptos y ejemplos y el ejercicio de identificación de fracciones resuelto.

110 Modelo 2. En el segundo modelo, el docente presenta un procedimiento único para resolver problemas o aplicar fórmulas. A partir de la presentación del procedimiento, se observa una segunda una etapa de aplicación con dos opciones: a) En la primera opción, un alumno utiliza el procedimiento expuesto y sirve como modelo al grupo. El docente observa en esta actividad una reafirmación de su propia exposición. Luego el resto de los alumnos del grupo aplicarán el procedimiento mostrado. b) La segunda opción es que todos los alumnos apliquen de manera inmediata el procedimiento explicado. En una siguiente etapa algunos alumnos demuestran como llevaron a cabo dicho procedimiento.

Figura 70. Representación del Modelo 2 El docente presente un procedimiento o algoritmo Uno o varios alumnos aplican el procedimiento ante el grupo.

Los alumnos aplican el procedimiento mostrado de manera individual.

Aplicación de procedimientos de manera individual: • En el aula. • Como tarea extraescolar.

Aplicación de procedimientos por un alumno (modelaje ante el grupo).

111 Ejemplo del Modelo 2. Basado en el Caso 11003015 En un rincón del aula se encuentra la maestra en su escritorio. Es posible observar que revisa algunos de sus apuntes y pide a los alumnos que preparen su cuaderno de matemáticas. Los alumnos se distribuyen en filas de mesabancos individuales en donde se intercalan niños y niñas. La maestra escribe en el pizarrón la frase: Operaciones con fracciones, al mismo tiempo se escucha que dice: -El día de hoy vamos a ver las operaciones con fracciones-. A continuación recuerda a los alumnos que los números fraccionarios se componen de numerador y denominador, los alumnos repiten a coro: Numerador y denominador. La maestra les señala en una fracción que escribe en el pizarrón el numerador, e indica que el numerador se encuentra en la parte superior de la fracción, luego señala el denominador y menciona que se ubica en la parte inferior. La maestra escribe en el pizarrón la frase: Suma de números racionales y escribe en el pizarrón ¼ + 2/4 = Se dirige al grupo y comenta: -Tenemos una suma con denominadores iguales, ¿cuál es el proceso?- A lo que ella mima responde de manera inmediata: -Cuando yo voy a hacer una suma debo determinar si los denominadores son iguales o diferentes, aquí los denominadores son…- Los alumnos responden a coro: -Iguales-. La explicación de la maestra sigue: -¿Entonces qué hago? Voy a sacar el mismo denominador. Lo paso igualEn este momento se observa en el pizarrón que escribe el número cuatro y queda de la siguiente manera: ¼ + 2/4 = /4. Pregunta a los alumnos que si comprenden: -¿Me siguen?, ¿van conmigo?- Se escucha que la mayoría de los alumnos responden que si. A continuación la maestra indica que se suman los denominadores y pregunta: -¿Uno más dos?- Los alumnos responden a coro: -Tres-, ella escribe la respuesta en el pizarrón y la operación queda resuelta: ¼ + 2/4 = ¾. La maestra les solicita que tomen nota de lo que se encuentra escrito en el pizarrón. Varios alumnos dicen de forma alternada que han terminado de copiar. La maestra señala: -Ahora vamos a ver, si los denominadores de la suma son diferentesMuestra la suma 8/3 + 5/2 = y explica: -Ahora yo voy a buscar un número que me permita dividir entre los dos denominadores, multiplico los dos denominadores y obtengo un denominador común.- Cuestiona a los alumnos: -¿Tres por dos es igual a…?, ellos responden: -Seis-. La maestra anota el seis y continúa su explicación: -Tres por dos, seis, seis entre tres a dos, por ocho, dieciséis. Coloco el dieciséis en el numerador y anoto el signo de suma. Ahora digo seis dentro de dos, tres, por cinco, quince- Al decir lo anterior ha escrito lo siguiente en el pizarrón: 8/3 + 5/2 = 16 + 15 6 La maestra dice: -Ahora sumamos 16 más 15 y tenemos 31, paso mi común denominador que es el…- Los alumnos responden a coro: -Seis-. La maestra indica que terminaron, al momento que anota 31/6. Cuestiona al grupo que si entienden el proceso a lo que los alumnos responden que si. La maestra los pide que copien el ejemplo del pizarrón y enfatiza que hay dos procedimientos para sumar, con denominadores iguales y con denominadores diferentes. Cuando terminan la copia la maestra escribe en el pizarrón varias sumas para que los alumnos las realicen de manera individual en su cuaderno. Ellos lo hacen, en tanto, la maestra pasa a varios alumnos al pizarrón a que resuelvan las sumas, ella les enfatiza o recuerda los pasos que tienen que realizar. Finalmente la maestra escribe otra serie de sumas en el pizarrón para que los alumnos las copien y realicen de tarea. –Para poner el práctica eso que hemos visto-, les dice.

112 Modelo 3. El Modelo 3 se identifica como una combinación de las principales acciones que se realizan en el Modelo 1, donde el docente presenta conceptos de manera general o acompañados de ejemplos (énfasis en conceptos) y el Modelo 2, en el cual el docente explica los procedimientos que el alumno debe seguir principalmente para efectuar un algoritmo, en uno de los casos para resolver problemas. Este tercer modelo se puede presentar gráficamente como una secuencia entre los modelos 1 y 2. Figura 71. Representación del Modelo 3

Modelo 1 Definición de conceptos

Modelo 2 Presentación de procedimientos específicos para realizar un algoritmo o resolver un problema.

Los conceptos se plantean por el docente a partir de definiciones, en algunas ocasiones acompañados de representaciones gráficas o la presentación de situaciones, que sirven como ejemplos. Los procedimientos son dados a conocer por el docente. Una característica básica es que son únicos y válidos. Ocasionalmente en esta etapa se mencionan nuevamente los conceptos planteados de manera inicial.

113 Ejemplo del Modelo 3. Basado en el Caso 21000415 La maestra ha iniciado la clase, escribe en el pizarrón la fecha y menciona que se va a trabajar con la asignatura de matemáticas. Se dirige al grupo que se conforma por alumnos y alumnas distribuidos en cuatro filas, y les indica que el tema es la potenciación. Luego procede a escribir en el pizarrón: La potenciación. Pregunta a los alumnos acerca del concepto de potenciación, ellos permanecen callados, La maestra anota en el pizarrón y al mismo tiempo dice: -La potenciación es la operación inversa a la radicación- Luego escribe en el pizarrón los elementos de dicha operación. En el pizarrón se observa lo siguiente: Los elementos de la potenciación: Base: Es el número que se repite cuantas veces lo indique el exponente. Exponente: Es el número que nos indica cuántas veces se multiplica la base. Potencia: Es el producto o resultado de la operación La maestra lee cada uno de los conceptos escritos en el pizarrón y a continuación muestra un ejemplo en el cual identifica la base, el exponente y la potencia. 23 = 2 X 2 X 2 = 8 Pregunta a los alumnos que si entendieron. Algunos de los alumnos responden que si y les dice que si tienen alguna duda pueden preguntar. A continuación les pide que copien en sus cuadernos la información que se encuentra escrita en el pizarrón. Como siguiente actividad la maestra anota en el pizarrón un ejercicio que consiste en obtener potencias. Los alumnos lo copian y realizan de manera individual. La maestra camina por entre las butacas y observa el trabajo de los alumnos. Ocasionalmente hace algún comentario a algunos alumnos en referencia a lo que están copiando. La maestra se dirige la pizarrón y ejemplifica nuevamente como obtener una potencia: -Hay que fijarse en base, mirar el exponente y multiplicar tantas veces la base como lo indica el exponente- Enfatiza que la base se multiplica, pues ha observado que algunos alumnos están sumando: -No estamos sumando, estamos multiplicando-, les reitera dos o tres veces. El tiempo de la clase transcurre, los alumnos trabajan de manera individual. Finalmente la maestra pasa al frente a algunos alumnos a que obtengan las potencias que conformaron el ejercicio. Se revisa que el procedimiento sea el explicado. La clase concluye con un ejercicio donde a partir de una multiplicación, los alumnos deben anotar la base y el exponente. Un ejemplo es el siguiente: 4 X 4 X 4 =

114 Modelo 4. El cuarto modelo se presenta de manera incipiente. No hay suficientes casos que presenten elementos para definirlos. Son dos los casos de los 22 analizados los que podrían ubicarse en este modelo (1229312 y 2040627) Este modelo corresponde a clases en las que es posible observar que los alumnos presentan un papel más activo durante las actividades que se plantean, aunque es el docente es quien dirige las acciones a realizar.

Figura 72. Representación inicial del Modelo 4 basado en el caso 1229312 El docente presenta problemas matemáticos asociados a la vida cotidiana. Son problemas que se pueden resolver con diferentes operaciones.

Los alumnos deciden el procedimiento que van a utilizar para resolver los problemas planteados, incluso si los realizan por escrito o con cálculos mentales.

El docente confronta resultados y establecen uno como correcto, con independencia del procedimiento

Ejemplo del Modelo 4. Basado en el Caso 1229312 Es la primera hora de clases. Los alumnos se encuentran sentados en sillas individuales alrededor de mesas de trabajo, forman equipos de cuatro. La maestra se dirige al grupo desde el frente del aula, menciona que van a trabajar con matemáticas, y establece las características de la actividad que van a realizar en la clase. Van a analizar situaciones de la vida diaria y plantea a los alumnos que no es necesario que escriban, que deben reflexionar acerca de lo que ella les va a decir, pero aclara que si requieren efectuar cálculos por escrito, pueden hacerlos en su cuaderno. Las situaciones que la maestra presenta de manera oral, se refieren a diferentes recetas de cocina; jugos, postres y bizcochos. Menciona la cantidad de ingredientes necesarios para su elaboración y plantea diversos problemas que implican variación proporcional. –…entonces requiero el doble de azúcar-, se escucha que dice. Los alumnos hacen cálculos y responden, a veces uno, en otras son varios quienes responden al unísono. La dinámica de la clase continúa de la misma manera, en una segunda parte las situaciones son de compra-venta, que requieren la realización de operaciones de suma o resta. Algunos alumnos realizan cálculos en su cuaderno de manera constante, otros prefieren hacerlos mentalmente y presentan resultados exactos o aproximaciones. En uno de los problemas los alumnos presentan varias respuestas, la maestra los escucha atenta, enfatiza que hay varios resultados, plantea nuevamente el problema y presenta el resultado correcto. La maestra concluye esta parte de la clase al enfatizar la importancia de la matemática en situaciones diarias.