aplicacion de la transformada de laplace y series de fourier.

UNIVERVERSIDAD FERMIN TORO VICE RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIEIRIA ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECANICO

Proyecto de aplicación de la transformada de Laplace y series de Fourier en Ingeniería Mecánica

Autores:

Héctor Hernández.

Omar Pineda.

Rafael Peralta.

CABUDARE, MARZO DE 2018

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La Transformada de Laplace de una función f (t); que resulta ser:

Donde s es una variable compleja y e-st es llamado el núcleo de la transformación. Sabemos que es una herramienta importante para el análisis del comportamiento de un sistema en el domino de la frecuencia.

Luego, la respuesta de frecuencia, se refiere a la respuesta en estado estable de un sistema sujeto a una señal senoidal de amplitud fija, pero con una frecuencia que varía con cierto rango.

Simulación en multisim

Modelo matemático Realizamos el modelo matemático para la figura del circuito y procedemos a hacer la suma de corrientes en el nodo y observamos claramente que entra la corriente de la resistencia R1 y a del capacitor, también entra la corriente de la resistencia R2. A la salida tenemos corriente igual a cero ix=o

Sustituimos estor tres términos en la ecuación 1

Luego aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación 2 para obtener la función de transferencia.

Finalmente la función de transferencia nos queda

Tomaremos en cuenta también que la función de transferencia es:

Por lo que en la ecuación 3 hay un cero y no hay polos, entonces.

Sea S = jw , haciendo H(s) - H(w) sustituyendo nos quedara

Haciendo w=2πf

Sustituimos los valores

DESARROLLO DEL LA SIMULACION Procedemos a simular el circuito en el software de multisim.

Resultados de la simulación a 90 Hz

Nos muestra que la señal de salida pasa perfectamente.

Resultados de la simulaciรณn a 5 Hz

EJEMPLO 2 DE APLICACIร N A UN CIRCUITO

En el siguiente circuito la fuente es continua que ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posiciรณn del interruptor, una vez que pase esto ya no experimentara mรกs cambios.

Se desea obtener v(t) para t >o Para cualquier instante se tiene

Ec.1

Esto indica que la fuente sólo se aplica para t > 0 Ec.2

Sustituyendo 2 en 1 se obtiene Ec.3

Aplicando la Transformada de Laplace a la Ec.3 Nos queda la Ec.4

Teniendo en cuenta que para t<o no había energía en el circuito v(0- ) = 0 V, Con lo que queda de la forma

APLICACIONES DE LA SERIE DE FOURIER

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma

Ejemplo 1: Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal 1.

La serie de Fourier tiene el siguiente aspecto

a0 / 2 ® valor medio a1, a2, b1, b2,... ® coeficientes de Fourier W 0... ® Frecuencia (2·p /T) n · w 0 ... ® harmónicos

Ejemplo 2:

f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) - 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+....

Ejemplo 3:

Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

AnalĂ­ticamente tenemos:

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, corresponde al espectro de frecuencias de la señal.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

CONCLUSION

En la ingeniería mecánica, la transformada de Fourier se utiliza para pasar el dominio de la frecuencia de una máquina para así obtener de forma información que no es evidente en el dominio temporal, Por ejemplo, es más fácil saber dónde está ubicado el problema de la maquina a través de una señal que se concentra en un solo punto, indicando donde debemos revisar el problema. También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y. por consiguiente, se usa para diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados si conocemos la densidad de esta falla en el sistema. Esto es muy útil para el diseño de un mantenimiento preventivo para realizar paradas programadas, a través de este sistema que nos va indicando cada cuanto ocurre la falla y en qué punto.

REFERECIAS

Gonzales, G. (1997). Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones. Departamento de matemรกtica y computaciรณn. Estado Zulia. https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier