Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Solution de l'équation de Laplace à trois dimensions en coordonnées sphériques avec conditions aux limites Dirichlet, Neumann ou Robin par la méthode de séparation des variables, passage à deux dimensions Le système de coordonnées sphériques est défini par le changement de variable : x r Sin( )Cos ( ) y r Sin( ) Sin( ) z r Cos ( )
Typiquement nous recherchons la solution du problème aux limites intérieur en coordonnées sphérique sur un espace limité dans l'espace des valeurs r 0, lr ; 0, ; 0,2 Dans ce système de coordonnées l'équation de Laplace s'écrit sous la forme : 1 2 T ( r , , ) 1 T ( r , , ) 1 2T (r , , ) T ( r , , ) 2 0 r 2 Sin( ) 2 r r r 2 r Sin( ) r Sin( ) 2T (r , , ) 2 T ( r , , ) 1 2T (r , , ) Cos ( ) T ( r , , ) T ( r , , ) 2 2 r 2 r r r 2 r Sin( ) 2 1 T (r , , ) 2 0 r Sin( ) 2 Le Jacobien en coordonnées sphériques et la métrique sont : x r y J det r z r
x Sin( )Cos ( ) rCos ( )Cos ( ) y det Sin ( ) Sin( ) rCos ( )Cos ( ) Cos ( ) rSin ( ) z Sin( )Cos ( ) Cos ( )Cos ( ) Sin( ) Sin( ) 2 J r det Sin( ) Sin( ) Cos ( )Cos ( ) Sin ( )Cos ( ) Cos ( ) Sin ( ) 0 x y z
rSin ( ) Sin( ) rSin ( )Cos ( ) 0
J r 2 Sin( ) ds 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 Sin( )d 2
Le gradient dans ce système de coordonnées prenant la forme : 1 T ( r , , ) 1 T (r , , ) T (r , , ) Grad T (r , , ) I I r I r r rSin
Les conditions mixtes de Robin sur une iso-surface r=Cste (sphère) ou θ=Cste (cône de révolution) prennent alors la forme : Iso surface r Cste Iso surface Cste C .L.
.
T ( r , , ) 1 T ( r , , ) T (r , , ) f ( , ) C.L. T (r , , ) f ( r , ) r r r r0 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Si les conditions sont homogènes, et dans le cadre de la méthode de séparation des variables, il vient pour une surface θ=Cste (cône de révolution) Séparation des variables T ( r , , ) R ( r )( ) ( ) Iso surface Cste C .L.
1 ( ) ( ) 0 r 0
La variabilité radiale de la condition aux limites introduit donc une difficulté de résolution supplémentaire puisque le système de valeur propre et fonction propre angulaire dépendrait alors de la position en r (en clair cela m'est insurmontable). Dans ce cas de figure on simplifie le problème en supposant, de manière tout à fait académique et certainement irréaliste, que la condition aux limites mixte possède des coefficients indépendant de l'espace. Ce peut être réaliste pour une configuration de cône creux où l'épaisseur radiale est faible et donc le facteur r variant peu. Mais certainement faux pour un cône complet. Car dans la limite des rayons faibles, la condition aux limites se comporte comme une condition de Neumann, tandis que dans les rayons grand, c'est plutôt une condition de Dirichlet. En conclusion les solutions sont exhibées volontairement avec des conditions mixtes fixes, comme suit Iso surface Cste C .L.
( ) ( ) 0 0
ce qui permet d'ailleurs de condenser en une seule formule, les deux cas limites Dirichlet et Neumann. En revanche les problèmes avec condition de Neumann ou de Dirichlet sont eux susceptible d'être résolus entièrement par la méthode de séparation des variables. Singularité du système de coordonnées sphérique 3D et régularité du gradient Dans le cas où le domaine d'étude de la solution de l'équation de Laplace comporte l'origine r=0, et les valeurs d'angle θ=0, θ=π, (soit l'axe z finalement) alors le système de coordonnées sphériques comporte une singularité. Cela se traduit par l'annulation du Jacobien sur l'axe z et la singularité "apparente" du Gradient de toute fonction solution de l'équation de Laplace. La solution doit donc neutraliser la singularité apparente du gradient en assurant une valeur bornée à ce dernier soit : (r , , ) / r 0 ou 0,
1 T ( r , , ) 1 T ( r , , ) T (r , , ) Grad T (r , , ) I I r I r r rSin 2
2
1 T ( r , , ) 1 T (r , , ) 2 Grad T (r , , ) 2 2 r r r Sin 2 Singularité du Jacobien 2
J
1 T ( r , , ) 1 2 2 r r Sin 2
r 0
r 2 Sin 0
T ( r , , )
2
T ( r , , ) condition Grad T (r , , ) reste bornée r , ,
2
Cste r 0 , 0 ,
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Cette contrainte n'est en général pas évoquée car elle est de facto remplie par la contrainte de finitude de la solution. Par exemple, les solutions admissibles par séparation des variables dans le système de coordonnées sphériques (voir plus loin) sont : T ( r , , ) R ( r )( ) ( ) R ( r ) A r n B r ( n 1) finitude en r 0 , R (r ) r n ( ) A Ρnm Cos ( ) B Qnm Cos ( ) tq m n finitude en 0 ou ( ) A Ρn Cos ( ) B Qn Cos ( ) finitude en 0 ou
( ) Ρnm Cos ( )
( ) Ρn Cos ( )
( ) A Cos ( ) B Sin( )
. Le respect de la finitude de la solution pour les valeurs r=0 et θ=0, θ=π suffit pour assurer la condition de finitude du gradient, voyons ce qu'il advient avec des indices entiers pour les fonctions de Legendre : Cos ( ) Sin( ) R ( r ) r n ( ) Ρnm Cos ( ) ' ( ) Sin( ) Ρnm ' Cos ( ) ( ) ' ( ) ou Sin( ) ou Cos ( ) 2
1 T ( r , , ) 1 G 2 2 2 r r Sin
T ( r , , )
2
2 2 Cos ( ) 2 n Sin ( ) r 2 n Sin 2 ( ) r 2 2 ou Sin ( ) ou Cos ( ) 2 m Ρ m Cos ( ) 2 Ρn ' Cos ( ) n 2 2 2 r r Sin ( )
2 2 Cos ( ) m 2n2 2 Gr Sin ( ) Ρn ' Cos ( ) 2 ou Sin ( )
Régularité du terme
Ρ Cos( )
2 Sin ( ) 2 ou Cos ( ) Ρ m Cos ( ) 2 n Sin 2 ( )
2
m n
Sin 2 ( ) Expansion en série trigonométrique Ρn Cos ( )
2 2 n 2 ( n!) 2 n 1 1 3 n 1n 2 Sin( n 1) Sin( n 3) Sin(n 5) ( 2n 1)! 2n 3 2!2n 32n 5
1 m n m 1k 2 ( n m 1) 2 k m Ρnm Cos ( ) Sin Sin( n m 2k 1) 3 3 k 0 n k! n 2 2 k m 1
Ρn Cos ( ) 2
Sin 2 ( ) Pour 0
Ρn Cos ( ) 2 Sin ( ) 2
Ρ Cos ( )
2
m n
Sin ( ) 2
A11
Sin(n 1) 2 A Sin 2 ( )
13
Sin(n 1) Sin( n 3) Sin(n 3) A33 2 Sin ( ) Sin 2 ( ) 2
A11 ( n 1) 2 A13 (n 1)(n 3) A33 ( n 3) 2 Cste Sin
2m
A
11
(n m 1) 2 A13 ( n m 1)(n m 3) A33 (n m 3) 2 0 lorsque m 0
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Pour des géométries comme les cônes sphériques, ainsi que les sections de cône sphérique, il advient que l'on développe les solutions comme une série de fonction de Legendre d'indices non entiers, par exemple sous cette forme (voir plus loin) afin de respecter les conditions de finitude de la solution : n solution de l ' équation Pm (Cos( 0 )) 0 n
B r
T (r , )
n 0 ,
n
n
Pn (Cos ( ))
La condition de régularité du gradient devient alors : R ( r ) r ( ) Ρ Cos ( ) ' ( ) Sin( ) Ρ ' Cos ( ) n
n
2
G
n
2 1 T ( r , ) r Sin ( ) m Ρn ' Cos ( ) 2 2 r r
Gr
2 n 2
2n
Sin ( )Ρ 2
m n
2
Régularité du terme
' Cos ( )
2
Ρ Cos ( ) m n
2
Sin 2 ( )
Expansion en série trigonométrique 1 1 k (n 1 k) n 1k 2(n 1) 2 2 2 k Ρn Cos ( ) Sin(n 2k 1) Sin(n 2k 1) 3 3 3 k 0 k 0 n k! n k! n k 2 2 k 2
Ρ Cos( )
2
n
Sin 2 ( ) Pour 0
Ρ Cos( )
A11
Sin(n 1) 2 A Sin 2 ( )
13
Sin(n 1) Sin(n 3) Sin(n 3) A33 2 Sin ( ) Sin 2 ( ) 2
2
n
Sin 2 ( ) G fini si n 1
A11 (n 1) 2 A13 (n 1)(n 3) A33 (n 3) 2 Cste
La condition de régularité du gradient se résume donc à la condition de valeur propres supérieures ou égale à 1 (finalement c'est un résultat similaire à une géométrie radiale à deux dimensions, ou axi-symétrique). Dans les exemples donnés de valeurs propres pour le cône sphérique pour un angle d'ouverture aigu, la première valeur propre est bien supérieure à 1, les autres étant nécessairement supérieures. Par contre lorsque l'angle d'ouverture θ 0 est supérieure à π/2 (comme si l'on avait une sphère évidée dans sa partie inférieure par un cône sphérique), alors au moins la première valeur propre est inférieure à 1. Dans ce cas, on peut faire appel au raisonnement impliquant la construction de la solution sur le problème complémentaire du cône à la sphère entière. Appelons problème n°1, le problème sur le cône d'angle obtu. Il y a existence et unicité de la solution du problème de Dirichlet intérieur construite par les fonctions de l'angle obtus. Cette solution s'étend mathématiquement à toute la sphère, donc sur les frontières du cône d'angle aigu. Cela induit donc un problème aux limites de Dirichlet n°2 sur le cône d'angle aigu. Ce dernier se construit également à l'aide des fonctions propres qui possède la régularité du gradient requise sur le système de fonctions et valeurs propres 'n solution de l ' équation Pm' (Cos ( 0 ))
. Et par existence et unicité de la solution cela induit le respect de la régularité du gradient de la solution dans son domaine complémentaire (le domaine de départ) qui doit être identique à la solution du problème n°1. Ce type de raisonnement s'étend à n
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d'autres types de configuration avec des domaines complémentaires. Pour démontrer la régularité du gradient, on a exploité les formules de développement en série trigonométrique des fonctions de Legendre : Expansion en série trigonométrique Ρn Cos ( )
2 2 n 2 (n!) 2 n 1 1 3 n 1n 2 Sin( n 1) Sin( n 3) Sin( n 5) (2n 1)! 2n 3 2!2n 32n 5
1 m n m 1k 2 ( n m 1) 2 k m Ρnm Cos ( ) Sin Sin( n m 2k 1) n, m R 3 3 k 0 n k! n 2 2 k 1 k ( p 1 k) 1 2 2 Ρ p Cos ( ) Sin( p 2k 1) p R 3 2 k 0 k ! p k 2 2 2 n 1 ( n!) 2 n 1 1 3 n 1n 2 Qn Cos ( ) Cos (n 1) Cos ( n 3) Cos ( n 5) (2n 1)! 2n 3 2!2n 32n 5 m 1
1 m n m 1k m 2 ( n m 1 ) 2 k m Qnm Cos ( ) Sin Cos ( n m 2k 1) n, m R 3 3 k 0 n k! n 2 2 k ( k) où ( ) k est le symbole de Pochhammer (α ) k α (α 1) (α k-1) (l ) fonction Gamma ( )
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Voici quelques valeurs spéciales des fonctions de Legendre qui servent également pour déterminer les conditions de finitude des solutions de l'équation de Laplace. 1 2 Cos 2 2 Ρ 0 Ρ 1 1 Ρn 1 (1) n n N Ρ 1 Sign( Sin( 2 1 2 2 2 2 2 2 Sin Sin 2 2 2 2 Ρ ' 0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 Cos 2 2 2 Ρ 0 2 1 2 2 2 2 2 2 1 Sin 2 Sin 2 2 2 2 2 Ρ ' 0 1 1 1 1 2 2 2 2 Tan 2 Q 1 Q 1 Q 0 1 2 2 1 1 Comme formule de réflexion de Gamma 2 2 1 Sin Cos 2 2 1 2 1 Sin 2 1 Tan 2 Tan 2 2 2 2 Q 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 Cos 2 2 Q 1 Q 1 Z Q ' 0 1 2
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Les solutions l'équation séparée dans les trois coordonnées sphériques r,θ,φ sont : T ( r , , ) R ( r )( ) ( ) cas général 2 R ' ( r ) 22 R ( r ) 0 r r Cos ( ) 3 ' ' ( ) ' ( ) 2 ( ) 0 Sin( ) Sin 2 ( ) R ' ' (r )
' ' ( ) 3 ( ) 0 si 2 n( n 1) et 3 m 2
avec n, m entier ,
2 n( n 1) R' (r ) R ( r ) 0 R ( r ) A r n B r ( n 1) 2 r r Cos ( ) m2 m m ' ' ( ) ' ( ) n( n 1) ( ) 0 ( ) A Ρn Cos ( ) B Qn Cos ( ) tq m n 2 Sin( ) Sin ( ) R ' ' (r )
' ' ( ) m 2 ( ) 0 ( ) A Cos ( m ) B Sin( m ) Ρnm z Fonction de Legendre associées de première espèce de degré n et d ' ordre m
Qnm z Fonction de Legendre associées de deuxième espèce de degré n et d ' ordre m valeur propre nulle si 2 0, 3 0 R(r ) A B / r 1 Cos ( ) ( ) C D Log[ ] 1 Cos ( ) ( ) E F Lorsque le problème aux limites se développe sur des corps totalement sphériques alors les solutions doivent être 2π-périodique tant en θ que φ, il vient nécessairement que les paramètres n et m sont des entiers. De plus le développement des fonctions de Legendre associées (polynômes associées dans le cas de première espèces) est contraint par les valeurs d'ordre limité m dans l'intervalle [0,+n]. La forme la plus générale de solutions d'un problème aux conditions aux limites sphériques :
A
m n
T r , ,
n 0 m 0
rn
r n Brn r ( n 1) An Ρnm Cos ( ) Bn Qnm Cos ( ) AmCos ( m ) Bm Sin( m )
La solution Logarithmique comporte une singularité à angle nul, et n'est donc pas retenue-> D=0. Il y a une relation d'orthogonalité des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce : 1
dz Ρ z Ρ z 0 si n l m n
m l
1
1
dz Ρ z m n
1
2
1
,
dz Q z Q z 0 si n l m n
m l
1
1
,
dz P z Q z 0 si n l m n
m l
1
0 si m 0 1 n m n 1 2(n m)! (1) m (1) n 2 m 2 m m dz Ρ z 2 2 n (2n 1)(n m)! 1 n m n 3 ! 2 2
.
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Lorsque l'on réduit à deux dimensions et que la géométrie du problème et des conditions aux limites implique, par exemple, que la solution ne dépend pas de ϕ, alors les deux équations séparées sont : T ( r , ) R ( r )( ) 2 R ' ( r ) 22 R (r ) 0 r r cas général Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) 2( ) 0 Sin( ) R' ' (r )
si 2 n( n 1) avec n entier , 2 n( n 1) R' (r ) R (r ) 0 R (r ) A r n B r ( n 1) r r2 Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) n(n 1)( ) 0 ( ) A Ρn Cos ( ) B Qn Cos ( ) Sin( ) R' ' (r )
Ρn z Polynôme de Legendre de degré n Qn z Fonction de Legendre de deuxième espèce de degré n 1 Cos ( ) ] 1 Cos ( ) La solution logarithmique comporte toujours une singularité à angle θ=0, et n'est donc pas retenue-> D=0. Les relations d'orthogonalité des polynômes et fonctions de Legendre de première et deuxième espèces sont: 1 1 1 2 dz Ρ z Ρ z , dz Q z Q z 0 et m,m ' m m' m m' dz Pm z Qm' z 0 si m m' 2m 1 1 1 1 valeur propre nulle si 2 0 R ( r ) A B / r ; ( ) C D Log[
1
1
1
1
0
0
Pm z (1) m Pm z dz z k Ρm z dz z Ρm z dz z k Ρm z (1 (1) k m ) dz z k Ρm z 1
1
dz z
1
k
0
1
k
Ρm z 0 k Z / k m dz z k Ρm z 0 k Z /( k m pair ) et k m 0
1
Pour k m dz z m Ρm z 1
m 1
2 m! et 2m 1!
1
m dz z Ρm z 0
2 m m! 2m 1!
1
Si k m impair et k m alors dz z k Ρm z 0 1
k m 2 m 1 k! ! 2 k Si k m pair et k m alors dz z Ρm z et k m 1 !k m 1! 2 1
k m 2 m k! ! 2 k 0 dz z Ρm z k m !k m 1! 2 1
Lorsque la géométrie du problème et des conditions aux limites implique que l'on puisse réduire à une seule dimension radiale (r) et que, par exemple, la solution ne dépend que de cette variable r, alors la solution de l'équation devient : T ( r ) A B / r . Cette solution radiale en r présente une singularité en r=0, et ne peut donc être utilisée que lorsque le domaine ne comprend pas l'origine(une sphère creuse par exemple).
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On verra plus loin que l'orthogonalité des fonctions propres s'étend à toute combinaison linéaire de fonctions de Legendre de première et deuxième espèces solution du problème de Sturm-Liouville en coordonnées sphérique sur un intervalle quelconque dans [-1,1]. La partie angulaire des équations séparées peut être réécrite par un changement de variable : ' ' ( )
Cos ( ) m2 ' ( ) p ( p 1) ( ) 0 Sin( ) Sin 2 ( )
dz ( ) d 2 z ( ) Sin( ) 1 z 2 Cos ( ) d d 2 d( ( z )) d( z ) dz ( ) d ( z ) Sin( ) d dz d dz 2 dz ( ) d' ( ( z )) d d ( z ) 2 z Sin( ) d( z ) 2 d ( z ) ' ' ( ) Sin( ) 1 z 2 1 z 2 d dz dz dz dz 2 1 z 2 dz z Cos ( )
1 z 2
d 2 ( z ) d ( z ) d( z ) m2 z z p ( p 1 ) 1 z 2 ( z ) 0 dz 2 dz dz
m2 z 1' ' ( z ) 2 z ' ( z ) p ( p 1) 2 z 1( z ) 0 2
Qui est l'équation "officielle" des fonctions de Legendre, et dont la résolution dans les cas de paramètre p et m réels donne une extension des polynômes de Legendre initiaux. Cette équation dans le cas où le problème ne dépend pas de l'angle φ (m=0) donne : z 2 1' ' ( z ) 2 z ' ( z ) p( p 1)( z ) 0 Le problème de Sturm-Liouville pour une configuration sphérique peut se présenter sous deux formes plus générales : à trois dimensions : 2 1 z 2 mp ' ' ( z ) 2 z mp ' ( z ) p( p 1) 1 m z 2 mp ( z ) 0 m m C.L. a1 p ( z1 ) b1 p ' ( z1 ) 0 a2 mp ( z 2 ) b2 mp ' ( z 2 ) 0
Et à deux dimensions : 1 z 2 n ' ' ( z ) 2 z n ' ( z ) p( p 1) n ( z ) 0 C.L. a1 n ( z1 ) b1 n ' ( z1 ) 0 a2 n ( z 2 ) b2 n ' ( z 2 ) 0 où m est paramètre entier naturel positif et p une valeur réelle déterminer par les conditions aux limites du problème de Sturm-Liouville. Les fonctions propres de ce problème de Sturm-Liouville s'exprime comme une combinaison linéaire de fonctions de Legendre de première et deuxième espèce : n ( z ) a P ( z ) b Q ( z ) n
n
les valeurs propres sont calculées de telle manière que les conditions aux limites soient respectées.
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L'orthogonalité des fonctions propres se démontre pareillement aux cas des fonctions de Bessel : m2 m (1) 1 z 2 mp ' ' ( z ) 2 z mp ' ( z ) p ( p 1) 1 z 2 p ( z ) 0 m2 m ' ' ( z ) 2 z mp' ' ( z ) p ' ( p '1) p' ( z ) 0 1 z2 C.L. (3) a1 mp ( z1 ) b1 mp ' ( z1 ) 0
1 z 2
( 2)
m p'
( 4) a1 mp' ( z1 ) b1 mp' ' ( z1 ) 0 (5) a2 mp ( z 2 ) b2 mp ' ( z 2 ) 0 (6) a2 mp' ( z 2 ) b2 mp' ' ( z 2 ) 0
( z ) b
(3) mp' ( z1 ) ( 4) mp ( z1 ) b1 mp ' ( z1 ) mp' ( z1 ) mp ( z1 ) mp' ' ( z1 ) 0 (7) (3) mp' ( z 2 ) ( 4) mp
2
2
m p
' ( z 2 ) mp' ( z 2 ) mp ( z 2 ) mp' ' ( z 2 ) 0 (8)
m2 (1) mp' ( z ) ( 2) mp ( z ) 1 z 2 mp' ( z ) mp ' ' ( z ) 2 z mp' ( z ) mp ' ( z ) p ( p 1) 1 z2
m2 m 1 z 2 mp ( z ) mp' ' ' ( z ) 2 z mp ( z ) mp' ' ( z ) p ' ( p '1) p ( z ) mp' ( z ) 0 2 1 z m m 2 m m m m p ( p 1) p ' ( p '1) p ( z ) p ' ( z ) 1 z p ' ( z ) p ' ' ( z ) p ( z ) p ' ' ' ( z )
2 z mp' ( z ) mp ' ( z ) mp ( z ) mp' ' ( z ) 0 p ( p 1) p ' ( p '1) mp ( z ) mp' ( z )
d 1 z 2 mp ' ( z ) mp' ( z ) mp ( z ) mp' ' ( z ) 0 dz
d 1 z 2 mp ' ( z ) mp' ( z ) mp ( z ) mp' ' ( z ) p p ' p p '1 mp ( z ) mp' ( z ) 0 dz intégrant sur l'interval z1 ,z 2
1 z 2
z2
dz ( z ) ( z ) m p
z1
m p'
dz mp ( z ) mp' ( z )
( z ) mp' ' ( z ) mp ' ( z ) mp' ( z )
p p ' p p'1 2 1 z
z2
m p
z2 z1
z2
m d mp' ( z ) d mp ( z ) m p ( z) p' ( z) dz dz z1
z1
p p' p p '1
et comme précédemment 1 z 2 mp ( z ) mp' ' ( z ) mp ' ( z ) mp' ( z )
z2 z1
0 voir
(7,8)
z2
dz mp ( z ) mp' ( z ) 0 si p p ' z1
On a de la même façon la relation avec les fonctions de Legendre de degré p : z2
d p ' ( z ) d p ( z ) 2 p' ( z) 1 z p ( z ) dz dz z z2 1 z1 dz p ( z ) p ' ( z ) p p' p p'1
1 z
( z ) p ' ' ( z ) p ' ( z ) p ' ( z ) z 0 dz p ( z ) p ' ( z ) 0 si p p ' z2
2
p
1
z2
z1
m m p ( z ) p ' ( z )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Le calcul de la norme des fonctions propres se fait comme suit pour les fonctions de Legendre solution du problème sphérique à trois dimensions: mp' ( z ) p ' et en passant à la limite p ' 0 Posons p p ' p ' et substituons mp ( z ) mp' ( z ) p ' d en considérant les fonctions dépendant de z et p ' dz z m m p ' ( z ) p ( z ) mp ( z ) mp' ( z ) z z 2 mp' ( z ) mp' ( z ) mp' ( z ) mp' ( z ) mp' ( z ) m m mp' ( z ) p ' ( z ) ( z ) p' p' z zp ' p ' z p ' z m m 2 m p ' ( z ) p ' ( z ) p' ( z) m p ' ( z ) p ' z zp ' p ' p '
z2
z1
2
dz mp ( z )
2 p ' 1 z
z2
mp' ( z ) mp' ( z ) 2 mp' ( z ) m ( z ) p' p ' z zp ' z1 p ' p p '1
z2
mp ( z ) mp ( z ) 2 mp ( z ) m ( z ) p p z z p z2 z1 2 m lorsque p p ' dz p ( z ) z1 2 p 1 On obtient un résultat similaire pour les fonctions de Legendre solution du problème sphérique à deux dimensions :
z2
z1
dz p ( z ) 2
2 1 z
2 1 z
z2
p ( z ) p ( z ) 2 p ( z ) ( z ) p p z zp z1
2 p 1
Pour les dérivées premières des fonctions de Legendre de degré p réel ou de degré p et d'ordre m (entier), il existe des formules permettant de les calculer. Celles concernant les dérivées premières en z sont : P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) Q ( z ) 2 zQ ( z ) Q 1 ( z ) 0 ou Ν 2 z z 1 z z 1 m P ( z ) 1 Qm ( z ) 1 z Qm ( z ) m Qm1 ( z ) 0 ou Ν 2 z Pm ( z ) m Pm1 ( z ) 2 z z 1 z z 1 Il existe plusieurs relations pour déterminer les intégrales indéfinies des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce : Ρ 1 z Ρ 1 z 2 1 Q 1 z zQ z dz Q z Ρ z z2 1 dz Ρ z ( 1)z
dz Ρ z
Q 1 z Q 1 z 2 1 zΡ z Ρ 1 z dz Ρ z 1 Q z z2 1 dz Q z ( 1)z
dz Q z
Ρ 1 z zΡ z zQ z Q 1 z dz Q z 1
dz Ρ z
.
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Pour ce qui est des dérivées premières du paramètre réel ν, les formules sont plus complexes pour les fonctions P de Legendre et de Legendre associées: Fonctions de Legendre de première espèce k
(F1)
P ( z ) k ( ) k ( 1) k (k v 1) (v k 1) 1 z 0 , Z tel que 1 z 1 2 2 k! 2 k 1
k P ( z ) Cos ( ) ( ) k ( 1) k (k v) (k v 1) 1 z (F 2 ) P ( z ) 2 Sin ( ) k! 2 k 0
0 , Z tel que (F 3 )
1 z 1 2
P ( z ) k 1 1 z 2 k 0 k ! 2
0
tel que
k
k jk
r k r j ( j) j r S v ( 1) r S k( k ) ( 1) k 1 j 1 r 1
1 z 1 2
k k A ( z ) Sin ( ) ( k )( k 1) (k v 1) ( k v) 1 z (k 1) k! 2 k 0 F 4 P ( z ) Cos ( ) P ( z ) 1 A ( z ) Sin( ) 1 z 0 tel que 1 2 Fonctions de Legendre associées de première espèce
(F1 )
Pm ( z ) Cos ( ) (1 z ) m / 2 k ( ) k ( 1) k P ( z ) (k v) (k v 1) 1 z m/2 Sin( ) (1 z ) 2 k 0 ( k m 1) k !
k 0 , Z tel que (F 2 )
1 z 1 2
Pm ( z ) (1 z ) m / 2 k 1 1 z m/2 (1 z ) k 0 ( k m 1) k ! 2
0
tel que
k
k jk
rk r j ( j) j r S v (1) r S k( k ) ( 1) k 1 j 1 r 1
1 z 1 2
k m / 2 k m (k )(k 1) 1 z A ( z ) Sin( ) (1 z ) ( k v 1 ) ( k v ) (1 z ) m / 2 k 0 ( k m 1) k! 2 F 3 m P ( z ) Cos ( ) P m ( z ) 1 Am ( z ) Sin( ) 1 z k 0 , Z tel que 1 2 ( k) où ( ) k est le symbole de Pochhammer (α ) k α (α 1) (α k-1) (l ) fonction Gamma ( ) ' ( ) ( ) fonction Digamma dérivée log arithmique de la fonction Gamma ( ) ( )
S k( j ) nombre de Stirling de première espèce
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour trouver la dérivée seconde de l'expression, on substitue l'expression de la dérivée première en z dans la dérivée seconde, soit : 2 P ( z ) P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) 2 P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) P ( z ) P 1 ( z ) 2 z 2 2 z z z 1 z z 1 z 1 2 Pm ( z ) z
Pm ( z ) Pm1 ( z ) z m zPm ( z ) m Pm1 ( z ) 2 Pm ( z ) zPm ( z ) Pm1 ( z ) z2 1 z z2 1 z2 1
On peut également prendre la formule F1 et dériver directement selon z : Fonctions de Legendre de première espèce k
P ( z ) k ( ) k ( 1) k (k v 1) (v k 1) 1 z k 0 , Z tel que 1 z 1 (F1) 2 2 k! 2 k 1 2 P ( z ) P ( z ) z z k 1
k 2 P ( z ) ( ) k ( 1) k 1 z 1 z k (k v 1) (v k 1) 1 k 0 , Z tel que 2 z 2 2k! 2 k 1
Pour les fonctions Q de Legendre, on développe les dérivées premières du paramètre réel ν selon les formules suivantes : Cos ( ) Q ( z ) Q ( z ) (1) (v 1) P ( z ) Sin( ) F1 k k ( ) k ( 2 1) k 1 Log 1 z ( k 1) (v 1) (k v 1) ( k v) 1 z 2 k! 1 z 2 k 0 k k A ( z ) Sin( ) (k ) (k 1) ( k v 1) (k v ) 1 z ( k 1) k! 2 k 0 F2 2 1 Q ( z ) P ( z ) Cos ( ) A ( z ) A ( z ) 2 2 Sin( ) 2Sin( ) 1 z 0 , Z tel que 1 2 ( k) où ( ) k est le symbole de Pochhammer α k α (α 1) (α k-1) ( )
( ) fonction Digamma dérivée logarithmique de la fonction Gamma ( )
(l ) fonction Gamma ' ( ) ( )
(1) ( ) dérivée première de la fonction Digamma S k( j ) nombre de Stirling de première espèce
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour les fonctions Q de Legendre associées, on développe les dérivées premières du paramètre réel ν selon les formules suivantes : Cos ( ) Cos ( ) P ( z ) (1 v) 2 (1 v) (1 v) P ( z ) Sin( ) Sin( ) k i / 2 k Q ( z ) e ( z 1) ( ) k (1 ) k 1 z F1 (k v) (k v 1) /2 2 Sin( ) ( z 1) k 0 (1 k ) k! 2 k (v 1) 2 ( z 1) / 2 k ( ) k (1 ) k 1 z (k v) (k v 1) /2 ( z 1) 2 k 0 (1 k ) k! 1 z k 0 , Z tel que 1 2 (1 v) 2 (1 v) (1 v) P ( z ) k j k r k Q ( z ) ei ( z 1) / 2 k 1 j r 1 z ( j) j r (k ) r F2 S v ( 1 ) S ( 1 ) k k 2 Sin( ) ( z 1) / 2 k 0 ( k 1) k! 2 j 1 1 r 1 k 1 z /2 j k r k (v 1) 2 ( z 1) k 2 r ( j) j r (k ) j r ( 1) S k ( 1) Sk v ( z 1) / 2 1 k 0 ( k 1) k! j 1 r 1 0
tel que
1 z 1 2
k / 2 k A ( z ) Sin( ) (1 z ) ( k )( k 1) (k v 1) ( k v) 1 z (1 z ) / 2 k 0 ( k 1) k! 2 F3 2 Sin( ) Cos ( ( )) 1 Q ( z ) P ( z ) Q ( z ) A ( z ) A ( z ) 2 Sin( ) Sin( ( )) 2 Sin ( ( )) 2 Sin( ( )) 1 z k 0 , Z tel que 1 2 ( k) où ( ) k est le symbole de Pochhammer (ααk α (α 1) (α k-1) (l ) fonction Gamma ( ) ' ( ) ( ) fonction Digamma dérivée logarithmique de la fonction Gamma ( ) ( )
(1) ( ) dérivée première de la fonction Digamma S k( j ) nombre de Stirling de première espèce
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
En développant l'intégrale de la norme , on obtient le résultat suivant :
Forme1 z
z2
dz p ( z ) 2
2 1 z
z2
p ( z ) p ( z ) 2 p ( z ) ( z ) p p z z p z1
2 p 1 p z p z 2 p z p z avec Développons A 1 z 2 p z 1
p z z 2 p ( z ) 1 z p p 1 ( z ) 2 p z p ( z ) p 1 ( z ) et 2 pz z 1 z 1 p p p z p z p ( z ) p 1 ( z ) 2p z z p ( z ) p 1 ( z ) A 1 z2 p z 2 1 z 1
p
z
p z
p z p ( z ) p 1 ( z ) z 1 2
p ( z ) p 1 ( z ) p z p p
p ( z ) p 1 ( z ) ( z ) z p ( z ) p z z p ( z ) p 1 ( z ) p p z z p p p p z p 1 z p z z p ( z ) p 1 ( z ) p p 1 ( z ) p ( z) p p p
Forme 2 z
z2 1
p 1
dz p z 2
p z z p ( z ) p 1 ( z )
p z p 1 z p p 1 ( z ) p ( z) p p z 1
z2
2 p 1
ou bien encore
Forme 2 z
z2 1
dz p z
2
2 p z p 1 z p z 1 p z p ' z p 1 ( z ) p ( z) 2 2 p 1 p p p z
z2
1
Nous appliquerons notamment ces formules dans le cas de configuration de corps en cône sphérique pour des conditions aux limites de Dirichlet ou Neumann. Considérons un problème aux limites quelconque dans une sphère, alors selon le système de coordonnées sphériques et ses propriétés de symétrie, les contraintes sur la solution sont les suivantes, et elles doivent s'appliquer sur une configuration de corps sphérique ou même de révolution sphérique comme un cône sphérique ou un hémisphère : T ( r , , ) fini T ( r , , ) périodique en de période 2 soit T ( r , , ) T ( r , , 2 ) T (r , , ) T (r , , ) T ( r , , 2 ) périodique en de période 2 soit T ( r , , ) fonction paire en soit T ( r , , ) T ( r , , ) T ( r , , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable La périodicité en angle φ de la solution, permet d'exclure les valeurs propres négative conduisant à des fonctions exponentielles. Mais elle permet également de restreindre les valeurs de m, à des valeurs seulement entières. ' ' ( ) 3 ( ) 0 3 m 2 ' ' ( ) m 2 ( ) 0 ( ) e m
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
De même la condition de parité en θ implique une solution en variable de Cos(θ), et de plus la condition de continuité et dérivabilité en θ=0, exclut la fonction de Legendre de deuxième type qui diverge pour la valeur z=Cos(θ)=1, soit θ=0. De même la solution des fonctions de Legendre n'est possible que si les deux paramètres sont liés par la contrainte m<=n. C'est la raison pour laquelle la sommation sur m dans la série est étendue de -n à +n. Par principe de superposition on recherche donc en général la solution sous la forme d'une série : T (r , , )
A
r n 1 Bn ,m r n Pnm (Cos ( ))Ce im DCe im
A
r n 1 Bn ,m r n Pnm (Cos ( ))CCos (m ) DSin(m )
n 0 , m n , n
équivalent T (r , , )
n 0 , m n , n
n ,m
n ,m
Et lorsque le problème ne dépend pas de l'angle azimutal φ : T ( r , ) An r n 1 Bn r n Pn (Cos ( )) n 0 ,
On verra que pour un cône sphérique que la solution s'écrit également sous la forme de série mais cette fois avec des degrés non entiers, par exemple pour un problème homogène de Dirichlet en θ=θ0 et indépendant de l'angle φ n solution de l ' équation P (Cos ( 0 )) 0 T (r , )
A r
n 1,
n
n
n 1
Bn r n Pn (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
On exploite les relations d'orthogonalité et les formules intégrales comme suit : 1 2 (n m)! z Cos ( ) dz Ρnm z Ρlm z d Sin( ) Ρnm Cos ( ) Ρlm Cos ( ) n,l (2n 1) (n m)! 1 0 m Pn z Pn z (1) n Pn z z m m m Pn z n m m 2 m 2 Pn z Ρnm z (1 z 2 ) m 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 z ) (1) n m Ρnm z z m z m Ρnm z (1) n m Ρnm z Ρnm z (1) m (1 z 2 ) m 2
1
dz Ρ z d Sin( ) Ρ Cos ( ) m n
(1)
m n
1
0
1
1
1
0
m
n m n 1 (1) n 2 m 2 m 2 2 nm n3 ! 2 2
1
1
0
0
m m m nm m dz Ρn z dz Ρn z dz Ρn z (1 (1) ) dz Ρn z 1
1
0
0
(1) m (1) m (1) n dz Ρnm z (1) n (1) m (1) n dz Ρnm z n n 1 m (1) m 2 2 m 1 m! 2 m m 2 n m ! dz Ρ z d Sin ( ) Ρ Cos ( ) n 0 n 0 n m m m 1 n 3 n m ! ! 2 2 2 2 m, m' Z 1
2
2
2
0
0
0
im im ' d e e 2 m,m'
ip ip ' m m d e e d Sin( ) Ρn Cos( )Ρl Cos( ) n,l p , p '
4 (n m)! (2n 1) (n m)!
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Notons par ailleurs les valeurs suivantes d'intégrales d'après la norme des fonctions propres 1 2 2 ( n m)! m m n m m 1 dz Ρn z (2n 1) (n m)! et Ρn z (1) Ρn z 1
1
1
1
m m m m dz Ρn z dz Ρn z dz Ρn z 2 dz Ρn z 2
1
2
0
1
2
0
dz Ρnm z 2
0
2
0
1 ( n m)! (2n 1) ( n m)!
Lorsque les conditions aux limites sont indépendantes de l'angle azimutal φ, alors la solution ne dépend également plus de l'angle. Considérons un problème aux limites quelconque dans une sphère r,θ, alors selon le système de coordonnées sphériques et ses propriétés de symétrie, les contraintes sur la solution sont les suivantes : T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable Par principe de superposition on recherche la solution sous la forme d'une série : T (r , )
A r n
n 0 ,
n 1
Bn r n Pn (Cos ( ))
Des calculs de normes sur les polynômes de Legendre on peut également écrire (voir plus loin) 1 2 2 n 1 dz Ρn z (2n 1) et Ρn z (1) Ρn z 1
1
dz Ρn z 2 dz Ρn z 2
1
2
0
1
dz Ρn z 2
0
1 (2n 1)
Les fonctions de Legendre possède également des formules de récurrence entre indices (entiers ou non entiers) voisins
1 2 3 4 5 6
(2 3) z ( 2) Ρ 1 z Ρ 2 z ( 1) ( 1) (2 1) z ( 1) Ρ z Ρ 1 z Ρ 2 z Ρ 1 z ( 1) Ρ 1 z ( 2 1) zΡ z Ρ z
( 2 3) z ( 2) Q 1 z Q 2 z ( 1) ( 1) (2 1) z ( 1) Q z Q 1 z Q 2 z Q 1 z ( 1)Q 1 z ( 2 1) zQ z Q z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
On exploite les relations d'orthogonalité et diverses propriétés qui s'écrivent : 1 2 z Cos ( ) dz Ρn z Ρl z d Sin( ) Ρn Cos ( ) Ρl Cos ( ) nl ( 2n 1) 1 0 Ρn z base orthogonale des polynomes de degré n sur l'intervalle 1,1 1
dz z k Ρn z 0 pour tout k n 1
1
dz z
1
k
1
Ρn z dz z Ρn z dz z Ρn z (1 (1) k
0
1
dz z
1
k
k
k n
0
1
) dz z k Ρn z 0
Ρn z 0 k Z / k n impair ou ( k n pair et k n)
1 1
dz z Ρn z 0 k Z / (k n pair et k n) k
0
1
2 n 1 n! dz z Ρ z et n 2n 1! 1 n
k n 2 n 1 k! ! 2 k Si k n pair et k n alors dz z Ρn z et k n 1 !k n 1! 2 1
1
n dz z Ρn z 0
2 n n! 2n 1!
k n 2 n k ! ! 2 k 0 dz z Ρn z k n !k n 1! 2 1
1
1
1
0
0
0
Il reste à déterminer pour k n impair dz z k Ρn z ; Pour k 0, dz Ρn z 0 si n pair et dz Ρn z 0 si n impa Ρn 1 z Ρn 1 z Ρn 1 1 Ρn 1 1 1 Ρn 0 2n 1 1 n n 2 2 2 si n 2m 1 impair Ρ2 m 1 0 Ρ2 m 1 0 0 si n 2m pair , Ρn 1 0 Ρn 1 0 0 L'intégral e indéfinie donne dz Ρn z
si n impair Ρn 1 0 0
2 n n 1 2 2
Ρn 1 0 0
n n 3 2 2
1 1 1 dz Ρ z Ρ 0 Ρ 0 n 1 n 1 0 n 2n 1 2n 1 2 n n 1 n n 3 2 2 2 2 1
si n impair
( n 1)! n 2 n n ( n 1)! n 1 2 2 ! 2 1 n
(1)
n 1 2
n 1 2n ! 2 n!
n 2 n 1 n 1 2 n 1 n 1! n! 2n 1 ( 1) 2 2n 1 ( 1) 2 si n 2n 1 alors 2 (2n 1)! 2 ( 2n 1)! 1
dz Ρ2 n1 z 0
(1) n (2n 1)! ( 1) n 1 ( 2n 1)! 4n 3 2 2 n 1 ( n 1)!n! 2 2 n 1 ( n 1)!n!
( 1) n (2 n 1)! (2n 1)! 2n(2 n 1) 2 n 1 2 n 1 4 n 3 2 (n 1)!n! 2 4( n 1)n( n 1)!n!
n n 1 ( 2n 1) (1) n ( 2n 1)! 1 ( 2n 1)! 1 1 ( 2n)! 1 dz Ρ2 n 1 z 2 n ( 4n 3) 2 2 n 1 ( n 1)!n! 2( n 1) 2 ( n 1)!( n 1)! 2 2 2 n ( n!) 2 (n 1) 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Problème intérieur, sphère pleine (r,ϑ,φ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. ne dépendant que de l'angle ϑ et pas de l'angle azimutal φ Soit le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) r l 1 Heaviside( / 2) r
fonction de Heaviside
T (r , ) fini
La solution est indépendante de φ et se développe en série de polynôme de Legendre D T (r , ) C An r n 1 Bn r n Pn (Cos ( )) r n 1, T (r , )
A r
n 0 ,
n
n 1
Bn r n Pn (Cos ( )) en posant P0 ( z ) 1 (également orthogonal à Pn ( z ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
La condition de finitude implique que An=0 d'où : T (r , )
Bn r n Pn (Cos( ))
Pn
n 0 ,
2
1
dz Ρn z d Sin( ) Ρn Cos ( ) 2
1
0
C.L. T (r , , ) r l 1 Heaviside( / 2) r
1 2
1
d Sin( ) Ρ Cos( ) 2n 1 dz Ρ z n
et
Bn
n
0
n
lr Pn
2
2 (2n 1)
fonction de Heaviside
/2
B0
2
0
2lr
n
1 1 n 2lr 2 n n 1 n n 3 2 2 2 2
1 1 B2 m 0 B2 n 1 2 n 1 2lr 1 2n n 1 1 2n n 2 2 2 1 1 B2 n 1 2 n 1 2lr 1 n n! 1 n (n 1)! 2 2
(n 1)! n 2 n n (n 1)! n 1 2 2 ! 2 1 n
(1)
n 1 2
n 1 2n ! 2 n!
n 2 n 1 n 1 2 n 1 n 1! n! 2n 1 (1) 2 2n 1 (1) 2 2 (2n 1)! 2 (2n 1)!
(1) n (2n 1)! (1) n 1 (2n 1)! (1) n (2n 1)! (2n 1)! 2n(2n 1) 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2lr 2 (n 1)!n! 2 4(n 1)n(n 1)!n! 2 (n 1)!n! 2 (n 1)!n! 2lr 1n (2n 1)!(4n 3) (1) n (2n 1)! (2n 1) 2 n 1 2 n 1 1 B 2 n 1 2 n 1 2 (n 1)!n! 2(n 1) 2lr lr 2 2 n 1 (n 1)!(n 1)! B2 n 1
1 (2n 1)!(4n 3) r 1 T (r , ) 2 n 0, 2 2 n 1 (n 1)!(n 1)! lr n
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
ou bien r 1 1 T (r , ) 2 2 n 0, lr
2 n 1
1n
(2n)! (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Lorsque les conditions aux limites sont inversées, soit T (r , ) 0 T (r , , ) fini T (r , ) r l Heaviside( / 2)
fonction de Heaviside
r
Alors la solution est de la forme :
B0
1 2
et
B2 n 0 et
Bn
d Sin( ) Ρn Cos( )
/2
2
n
lr Pn
B2 n 1
1
2n 1 dz Ρn z 0
2lr
n
1
1
n
2n 1 dz Ρn z 0
2lr
n
1n (2n 1)!(4n 3) lr
2 n 1
2 2 n 1 (n 1)!(n 1)!
1 (2n 1)!(4n 3) r 1 T (r , ) 2 n 0, 2 2 n 1 (n 1)!(n 1)! lr n
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
ou bien r 1 1 T (r , ) 2 2 n 0, lr
2 n 1
1n
(2n)! (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Supposons maintenant que les hémisphères supérieure et inférieure soit à des températures différentes respectivement T0 et T1. Alors par principe de superposition nous avons : 2 n 1 n 1 1 ( 2n 1)!(4n 3) r T ( r , ) T0 P ( Cos ( )) 2 n 1 2 n 0, 2 2 n 1 ( n 1)!( n 1)! lr 2 n 1 n 1 1 ( 2n 1)!( 4n 3) r T1 P ( Cos ( )) 2 n 1 2 n 1 2 n 0, 2 ( n 1)!( n 1)! lr
1 (2n 1)!(4n 3) r T T T ( r , ) 0 1 T0 T1 2 n 1 2 ( n 1)!( n 1)! lr n 0 , 2 n
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
ou bien r T T T T T ( r , ) 0 1 0 1 2 2 n 0 , l r
2 n 1
1n
(2n)! ( 4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Si T0 =1 et T1=-1 alors T (r , ) 2
1n (2n 1)!(4n 3) r
n 0 ,
2 2 n 1 ( n 1)!( n 1)! lr
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
ou bien r T ( r , ) n 0 , l r
2 n 1
1n
( 2n)! ( 4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour le problème plus général : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l f ( ) r
T ( r , ) fini
Ici les couleurs sur la sphère figurent la variabilité des conditions aux limites en θ et indépendante de φ
La solution s'écrit :
B0 d Sin( ) f ( ) 0
Bn d Sin( ) f ( ) Ρn Cos ( ) 0
B 2n 1 r T ( r , ) 0 Bn 2 n 1, 2 lr
n
Pn (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Si le problème s'exprime sous la forme : T (r , ) 0 T (r , ) fini T (r , ) r l f (Cos ) r
Alors la solution s'écrit sous la forme : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
T (r , )
B0 2n 1 r Bn 2 n 1, 2 lr
Voyons
quelle
est
la
n
Pn (Cos ( ))
solution
lorsque
la
condition
aux
limites
est
paire
:
f (Cos ) f (Cos ) f (Cos ) . Avec la variable z f ( z ) f ( z ) . Cette symétrie se
traduit également par la symétrie des conditions aux limites entre les deux hémisphères. La solution s'écrit alors : z Cos ( )
1
1
B0 dz f ( z ) 2 dz f ( z ) 1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
Bn dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z 1
1
Bn (1 ( 1) n ) dz f ( z ) Ρn z B2l 1 0 0
T (r , )
B0 4l 1 r B2l 2 l 1, 2 lr
1
B2 l 2 dz f ( z ) Ρ2l z 0
2l
P2l (Cos ( ))
f ( z ) 1 B2 l 0 T (r , ) 1
Lorsque la condition aux limites est impaire : f (Cos ) f (Cos ) . Avec la variable z f ( z ) f ( z ) , la solution s'écrit alors :
z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 0 1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
Bn dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z 1
1
Bn (1 (1) n ) dz f ( z ) Ρn z B2l 0 0
T (r , )
l 0 ,
B2l 1
4l 3 r 2
l r
1
B2l 1 2 dz f ( z ) Ρ2l 1 z 0
2 l 1
P2l 1 (Cos ( ))
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Problème intérieur et extérieur, sphère pleine (r,ϑ,φ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. ne dépendant que de l'angle ϑ et pas de l'angle azimutal φ Soit le problème :
T (r , ) 0 r lr ,
T ( r , ) r l f ( ) r
T ( r , ) fini
La solution est indépendante de φ et se développe en série de polynôme de Legendre D T (r , ) C An r n 1 Bn r n Pn (Cos ( )) r n 1, T (r , )
A r
n 0 ,
n 1
n
Bn r n Pn (Cos ( )) en posant P0 ( z ) 1 (également orthogonal à Pn ( z ))
Avec la condition de finitude de la solution à l'infini, il vient facilement : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
T (r , )
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
B0 2n 1 lr Bn 2 n 1, 2 r
n 1
Pn (Cos ( ))
En continuité la solution à l'intérieur de la sphère est : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
T (r , )
1
Bn dz f ( z ) Ρn z
B0 2n 1 r Bn 2 n 1, 2 lr
1
n
Pn (Cos ( ))
Application à un problème d'électrostatique : soit une charge électrique placée au dessus d'une sphère conductrice à la distance b du centre de la sphère de rayon a, toujours à l'intérieur (b<a), qui induit une répartition de charge sur la surface. La sphère étant conductrice la charge induit une répartition de charges opposées sur la surface de la sphère. Cette dernière se trouve alors placée au potentiel nul sur la surface de la sphère. Quel est le potentiel à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère chargée ? Attention, il y a un piège, l'équation à l'intérieur de la sphère est une équation de Poisson, car il y a un terme source (la charge électrique), tandis qu'à l'extérieur c'est une équation de Laplace (sans terme source). Le principe du maximum et du minimum s'applique à l'extérieur mais pas à l'intérieur. C'est la raison pour laquelle le potentiel à l'intérieur n'est pas identiquement nul tandis que celui à l'extérieur l'est. Le potentiel crée par la charge électrique est de la forme : T (r , )
q r r'
q r r ' 2r.r ' 2
2
q lr b 2lr bCos 2
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Les distances en coordonnées sphériques se développe en série des fonctions propres angulaires : n
1 x 2 x'2 2 xx' Cos () x lr
x' b
1 x' Pn (Cos ()) x n 0, x n
b Pn (Cos ()) n 0 , l r
1
1 2 lr b 2 2lr bCos lr n
1 1n x' Pn (Cos ()) 2 2 x x x' 2 xx' Cos () x n 0, 1
L'angle étant celui entre les deux vecteurs x et x'. Cette angle ici puisque la charge est placée sur l'axe z à la distance b de l'origine a un angle nul et l'angle entre les deux vecteurs se confond donc avec l'angle θ du système de coordonnées sphériques. Afin de ramener les deux problèmes à un problème de Laplace, on tire parti du potentiel à la surface, et l'on recherche les solutions des problèmes intérieur (Poisson) et extérieur (Laplace) sous la forme de l'addition du potentiel de la charge électrique et d'un potentiel U(r,θ). De cette façon le nouveau potentiel U(r,θ)devient solution d'un problème strictement de Laplace : T (r , )
q
U (r , )
r b 2r bCos 2
2
r Intérieur U (r , ) An n 0 , lr
n
q Pn (Cos ( )) U (r , ) r l r lr
n
1b q An U ( r , ) lr l r lr Posons x lr
T (r , )
T (r , )
x'
br lr
x x' 2 xx' Cos ( ) 2
2
r 2 b 2 2r bCos
1 lr
q
q 2 2 r b 2r bCos lr
n
br 2 Pn (Cos ( )) n 0 , lr
1 2
br 2 lr 2brCos ( ) lr
q
2
n 1
n
1b q Bn U ( r , ) lr l r lr Posons x r
x' b
2
r
n
b Pn (Cos ( )) n 0 , lr
n 1
n
Pn (Cos ( ))
q b Pn (Cos ( )) r n 0, r
n
x x' 2 xx' Cos ( ) 2
r b 2r bCos 2
n
b lr n 0 , l r r 1
q 2
Pn (Cos ( )) U (r , ) r l
q lr
1 b Pn (Cos( )) r n 0, r
q r b 2rbCos ( ) 2
2
0
1 r b 2rbCos ( ) 2
2
n
br 2 Pn (Cos n 0 , lr
br 2 lr 2brCos ( ) lr q ql 1 r 2 2 2 2 r b 2r bCos b l 2 l r 2 r 2r r Cos ( ) b b
l Extérieur U (r , ) Bn r r n 0 ,
T (r , )
n
br 2 Pn (Cos ( )) T (r , ) n 0 , l r 1
q
n
b Pn (Cos ( )) n 0 , lr
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
On retrouve bien le fait que le potentiel à l'extérieur est nul du fait des conditions aux limites nulles du problème. On retrouve pour le problème intérieur la solution donnée à l'aide de la méthode de images électriques pour la sphère conductrice, soit un dipôle constitué par la charge électrique de départ placée à la distance b et une charge de signe opposé placée sur le même axe à la distance lr2/b du centre de la sphère et de charge -qlr/b. L'équation de Laplace en coordonnées sphériques : T (r , , )
1 2 T (r , , ) 1 T (r , , ) 1 2T (r , , ) r Sin ( ) 0 2 2 r 2 r r 2 r Sin( ) r Sin( )
est invariante par la transformation r'->R2/r : Si T (r , , ) solution de Alors U (r , , )
1 2 T ( r , , ) 1 T ( r , , ) 1 2T (r , , ) r Sin ( ) 0 2 2 r 2 r r 2 r Sin( ) r Sin( )
R R2 T , , est également solution U r , , rU r , , ,U r , , 0 r r
Notons r ,
et
sachant que T r ' , , r 'T r ' , , , T r ' , , 0
R U (r , , ) R R dr ' T (r ' , , ) R R 3 T ( r ' , , ) 2 T r ' , , 2 T r ' , , 3 r r r r dr r ' r r r ' 3 U (r , , ) R T ( r ' , , ) r2 RT r ' , , r r r ' 2 U (r , , ) R 2 T (r ' , , ) R 2 T r ' , , R 4 2T (r ' , , ) R 2 2 3 r R T r ' , , r r r r r ' r r ' r r '2 Posons r '
2
2 T r ' , , 2T (r ' , , ) R T r ' , , 2 T (r ' , , ) 2 r' 2 r ' r ' r r ' r ' 2 r ' r ' 2 3 2 5 r' T r ' , , T (r ' , , ) r ' 1 2 T (r ' , , ) r '5 5 2 rU 5 2r ' r '2 r' 5 r 'T r ' , , R r ' r '2 r ' R R r ' r '
R3 r2
,U r , ,
r '5 r '5 T r ' , , U U r , , r 'T r ' , , ,T r ' , , 0 c.q. f .d . , r , R5 R5
. Ce qui confirme le résultat de la construction de la solution à l'aide de la méthode des images en électrostatique.
Exemple d'électrostatique : problème extérieur de Dirichlet, sphère dans un champ électrique uniforme axe z, portée au potentiel 0 En utilisant le développement en série de polynôme de Legendre, avec la forme requise du potentiel à l'infini, la solution doit être de la forme : A T r , r r 0 Lim T r , E0 z E0 rCos T r , E0 rCos n n1 Pn Cos r n0 r A P1 Cos Cos T r , 21 E0 rCos r r0 2 r A1 3 2 E0 r0 0 A1 E0 r0 T r , E0 r0Cos r r0 r0 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple d'électrostatique : problème extérieur de Dirichlet, sphère dans un champ électrique uniforme axe z, portée au potentiel V0 Cette fois la sphère est au potentiel V0, on rajoute le terme en 1/r à la solution précédente : r0 2 r r T r , E0 r0Cos V0 0 r r0 r . et dans ce cas il y a les deux termes des polynômes de Legendre P0 et P1 Exemple gravitationnel: problème intérieur et extérieur Poisson/Dirichlet, champ gravitationnel interne et externe à une sphère, homogénéisation de l'équation de poisson En utilisant le développement en série de polynôme de Legendre, avec la forme requise du potentiel à l'infini, la solution doit être de la forme : Intérieur Poisson Tint r , , Q0 4 Tint r , , Tint r Extérieur Laplace Text r , , 0 Text r , , Text r Tint r , , r r Text r , , r r 0
0
Text r , , Tint r , , n n r r0 r r0
Tint r , , Text r , , r r r r0 r r0
1 2 Q0 r 2 r2 part part Tint r 2 r Tint r Tint r Q0 Tint r 2 r r r 6 3 part hom hom Tint r Tint r Tint r Tint r 0 homogénéisation de l ' équation de Poisson . L'homogénéisation de l'équation de poisson, conduit par le respect des conditions de continuité aux expressions suivantes et les solutions intérieure et extérieure de l'équation : 2 Q r2 B Q0 r0 B Q0 r0 B Tint r 0 Ar Text r Ar0 A 2 6 r 6 r0 3 r0 A
3 3 B Q0 r0 Q0 r0 Q0 r0 B Q0 r0 2 2 r0 B Ar 2 0 2 3 6 6 3 r0 r0 3
Qr Qr 2B 0 0 B 0 0 6 12
3
A
..
B Q0 r0 Q0 r0 4Q0 r0 Qr 0 0 2 3 12 12 4 r0
2 2 2 Q0 r 2 Q0 r 2 Q0 r0 r Q0 r0 1 r 1 r 2 r 2 r Tint r Ar r0 r0 3 r0 6 6 4 2 3 r0 2 r0
Text r
Q0 r0 Q r r r0 r0 r0 0 0 0 Tint r0 Text r0 12r 12 r 3 r 3 3
2
2
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Fonction génératrice des polynômes de Legendre et des fonctions associées de Legendre La fonction génératrice des polynômes de Legendre est définie telle que le développement de Taylor autour de l'origine donne les polynômes de Legendre :
t
G ( z, t )
n
Pn ( z )
n 0 ,
On peut montrer que la fonction génératrice est la suivante : 1
G ( z, t )
1 t 2 2 zt
z 1,1 et
t n Pn ( z )
n 0 ,
1
t 1 dz 1
Pn ( z ) 1 t 2 2 zt
2t n 2n 1
la formule donne alors : a a 1
t2 t 2z 2 a a
n
a
a 2 t 2 2 zat a
z Cos
a
a 2 t 2 2 zat
t Pn ( z ) n 0 , a
a 2 t 2 2atCos n
1 t Pn (Cos ) 2 2 a t 2atCos a n 0, a 1
.
La fonction génératrice des fonctions de Legendre de deuxième espèce est la suivante : z t 1 t 2 2 zt Log 1 t 2 2 zt 1 z2
t nQ ( z ) n 0, n
1
G ( z, t )
z 1,1 et
t 1
La fonction génératrice des fonctions associées de Legendre est la suivante :
P ( z ) 1 1 z m
m n
1
GL ( z , t )
1 t 2 zt 2m ! 1 1 z 2 m! 1 t m 2 2
m
1 2
2
m
t
n
n 0 ,
1m n 1 z 2 2 ( z)
m n
P
2 n n!
Pn ( z ) Gm ( z , t ) 1
m
tm 2
2 zt
1 z
1 22mm!!
t
m
m
1 t
2
1 m 2
m
2 zt
m
m
1 2
nm
t
n
n m ,
n
d mn 1 z 2 dz m n m d m GL ( z , t ) 1 z2 2 dz m
1 2m 1!! 1 z 2
On peut aussi écrire puisque Pnm ( z ) 0 m 2 2
m
d m Pn ( z ) dz m
m 2 2
m 2
tm
1 t
2
2 zt
1 m 2
t
n 0 ,
n
Pnm ( z )
n, m N
Pnm ( z )
Les fonctions associés de Legendre d'ordre négatif sont définis ainsi : Pn m ( z ) 1
m
l m ! P m ( z ) l m ! n
En coordonnées sphérique la distance entre deux points s'exprime comme suit : xr , , x' r ' , ' , ' x x' r 2 r '2 2rr ' Cos ' Sin Sin 'Cos ' 1 angle entre x, x'
x x' r 2 r '2 2rr ' Cos
Cos Cos ' Sin Sin 'Cos ' 1 Dans le même plan azimutal ' x x' r 2 r '2 2rr ' Cos '
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ce qui conduit à la formule pour les puissances négatives impaires de la distance entre deux points dans un même plan azimutal:
2m 1!!1 z
1m t m
m 2 2
t
n
Pnm ( z ) t
x' x
1 t 2 zt P ( z )1 z n m ! 2 m! dz 1 t n m ! 2m !2n 1 1 t 2 zt 1 x' x x' 2m 1!!1 z t P x x x' 2 zxx' 1 m 2
2
1
m 2 2
m n
m
2
1
1 2
m
2
2m ! 2 m m!
m
2
2
2
x x'
m
1 2
z Cos ( ' )
Posons n
m
1 2
x' m Pn (Cos ( ' )) n 0 , x
2 m m! 1 2m ! Sin m ( ) x'm x m 1
2 m m! 1 2m ! Sin m ( ' ) x m 1 x'm m
2 m 1
n 0 ,
m n
m
x '2 2 xx' Cos ( ' ) 1
n
1 2
x'2 2 xx' Cos ( ' )
1
x
m 1
m
1m x'm x m 1
x
2 m!
m 1
m n m
m 2 2
Sin m ( ' )
n 0 ,
2m 1!! 2mm !
n
x' m Pn (Cos ( ' )) n 0 , x
n
x' m Pn (Cos ( ' )) n 0 , x n
Cas particulier m 0
2 m m! 1 1 1 x' 1 Pn (Cos ( ' )) 2m ! 2m 1!! x x' x n 0 , x
Existe-t-il une formule similaire pour les puissances positives impaires de la distance entre deux points ?
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Problème intérieur, sphère pleine (r,ϑ,φ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. ne dépendant que de l'angle φ Soit le problème : T (r , , ) 0 T (r , , ) fini T (r , , ) r l f ( ) r
Ici la couleur figure la variabilité des conditions aux limites suivant
l'angle φ et indépendante de θ
. Dans ce problème on revient à une géométrie à 3 dimensions, et une solution dépendant bien des trois coordonnées sphériques.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
La solution respectant les contraintes de finitude sur le domaine intérieur de la sphère s'écrit comme suit: m n
T r , ,
r
n
n0 m0
m n
Ρ
Ρnm Cos ( ) An ,m Cos ( m ) Bn ,m Sin( m )
m n 2 z (1) (n m)! Ρnm z Ρn0 z Ρn z Ρnn z (1) (2nn)! 1 z ( n m)! 2 n! m n
T r , ,
m n
An,m r n Ρnm Cos ( ) eim
n 0 m n
Y ,
n 2
n n
Ρ
z 1 z
n 2 2
2 n n!
m n
Cn,m r n Ρnm Cos ( ) eim
n 0 m n
(2n 1)n m ! m Ρn Cos ( ) e im 4 n m !
m n
S
n 0 m n
2
0
0
n ,m
r nYnm ,
Y , d Sin( ) d Ynm , Ynm , 1 2
m n
tq
Le respect des conditions aux limites donnent la solution suivante : 2 2 2 (2n 1)n m ! m Ynm , Ρn Cos ( ) e im tq Ynm , d Sin( ) d Ynm , 1 4 n m ! 0 0 r T r , , S n ,m n 0 m n lr m n
2
0
0
n
m Yn ,
S n, m d f ( ) d Sin( )Ynm ,
En développant une solution avec les harmoniques sinusoïdales classiques, supposons que la condition aux limites est une fonction paire de l'angle, il vient : Condition aux limites f ( ) f ( )
Ρnm Cos ( ) d Sin( )Ρnm Cos ( ) 2
2
0
2n m ! (2n 1)n m !
Ρ0 z 1 Ρ0 Cos ( ) d Sin( ) 2 2
0
2
Cos ( m ) d Cos 2 ( m ) (1 m ,0 ) 2
0
m n
T r , ,
B
n,m
n0 m0
m dz Ρn z d f ( ) Cos(m )
1
0
Ρnm Cos ( ) Cos ( m ) 2
T r , , 1
r n 1 l r
2
2
Bn ,m
2
m d Sin( ) Ρn Cos( ) d f ( ) Cos(m ) 0
0
Ρ Cos ( ) Cos (m ) m n
2
2
n n m 1 m ( 1) n ( 1) m 2 m 2 2 2 m 1dz Ρn z n 3 n m ! 2 2 1
1
dz Ρ z 2 0
1
A0 2 n
n n m 1 (2n 1) m n m (1) n ( 1) m 2 m 2 n m ! 2 2 A Ρ m Cos ( ) Cos (m ) m n n 3 n m n m ! m 1 2 ! 2 2
A0 d f ( ) 0
m Ρn Cos ( ) Cos (m )
2
1
Bn ,m
r lr
n
2
0
0
Am d f ( ) Cos (m ) 2 d f ( ) Cos (m )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
f ( ) 1 Lorsque la fonction limite est par exemple , alors la solution est bien triviale puisque les coefficients sont tous nuls sauf pour la valeur m=0, et également pour toutes les valeurs de n, sauf la valeur n=0, comme suit : 2
Am d Cos (m ) 2 m , 0 0
Ρnm Cos ( ) Ρn Cos ( )
1
dz Ρ z 2 n
n,0
1 m n
T r , ,
n 0 m0
4 n , 0 m , 0 r 2(1 m , 0 ) lr
n
Ρn Cos ( ) Cos (m ) T r , , Ρ0 Cos ( ) 1 .
Supposons que la condition aux limites est une fonction impaire de l'angle azimutal φ, il vient : Condition aux limites f ( ) f ( ) 1
Comme
dz Ρ z 0
si m 0 il vient n 0
m n
1
r 1 T r , , n 1 lr
n
n n m 1 (2n 1) m n m (1) n (1) m 2 m 2 n m ! 2 2 A Ρ m Cos ( ) Sin( m ) m n n 3 n m m 1 n m ! 2 ! 2 2
2
0
0
Am d f ( ) Sin( m ) 2 d f ( ) Sin( m )
Prenons par exemple une fonction limite impaire du type : Condition aux limites 3 3 f ( ) 1 0, , 1 , , 1 , , 1 ,2 2 2 2 2 f ( ) f (2 ) f ( ) ' 2 2 Am d f ( ) Sin (m ) 2 d f ( ) Sin( m ) 2 d Sin(m ) d Sin( m ) 0 0 0 2 0 si m impair 2 2 m Cos ( m ) Cos (m )02 Am (1) m 2Cos 1 0 si m 4 p m m 2 2 8 8 si m 4 p 2 4 p 2 m 2
n 1
lr
1 r T r , ,
n
n n m 1 ( 2n 1) ( 1) n ( 1) m 2 m m n n m ! 2 2 Ρ m Cos ( ) Sin( m ) n n 3 m 2,m4 p 2 n m ! nm ! 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Et une fonction limite paire comme suit donne la solution suivante : Condition aux limites 2 2 4 f ( ) 0 0, et 1 , et 3 3 3 f ( ) f ( 2 ) f ( ) 2
A0 d f ( ) 0
4 0 ,2 3
2 3
0 si m 3 p 2 3 Am 2 d f ( ) Cos ( m ) 2 d Cos (m ) Sin( m )2 1 si m 3 p 1 m m 2 3 0 1 si m 3 p 2 3 1 T r , , 3 n n m 1 Mod ( m , 3) n ( 2 n 1) ( 1) n ( 1) m 2 m Ρnm Cos ( ) Cos ( m ) ( 1) m n 3 r nm ! 2 2 n 3 n 8 n 1 lr m 1,m3 p 1,3 p 2 n m ! m ! 2 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Sphère pleine (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Neumann inhomogènes en r=lr. Si le problème s'exprime sous la forme : T (r , ) 0 Tr' (r , )
r lr
f (Cos )
T (r , ) fini
Alors la solution (à une constante près quelconque) s'écrit sous la forme : z Cos ( )
1
Bn dz f ( z ) Ρn z
B0 quelconque
1
T (r , ) B0
n 1,
Bn
2n 1 r r
n 1
Pn (Cos ( ))
n lr
2
Conditions aux limites paires f (Cos ) f (Cos ) : z Cos ( )
1
B0 quelconque
B2 n 2 dz f ( z ) Ρ2 n z 0
4n 1
2 n 1
T (r , ) B0 B2 n P2 n (Cos ( )) 2 n 1, Conditions aux limites impaires f (Cos ) f (Cos ) : z Cos ( )
r r 2n lr
1
B0 quelconque
B2 n 1 2 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
T (r , ) B0
n 1,
B2 n 1
4n 3 2
r r 2n 1 lr
2n
P2 n 1 (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Sphère pleine (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Robin inhomogènes en r=lr. Si le problème s'exprime sous la forme : T ( r , ) 0 Tr' ( r , ) hT ( r , )
r lr
f (Cos )
T ( r , ) fini
Alors la solution s'écrit sous la forme : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
B 2n 1 r r T ( r , ) 0 Bn 2h n 1, 2( n hlr ) lr
n 1
Pn (Cos ( ))
Avec des conditions aux limites paires f (Cos ) f (Cos ) : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 0
1
B2 n dz f ( z ) Ρ2 n z
4n 1 r r B T (r , ) 0 B2 n h n 1, ( 2n hlr ) lr
0
2 n 1
P2 n (Cos ( ))
Avec des conditions aux limites impaires f (Cos ) f (Cos ) : z Cos ( )
1
B2 n 1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
4n 3
r T (r , ) B2 n 1 r ( 2n 1 hlr ) lr n 0 ,
2n
P2 n 1 (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Hémisphère pleine (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. homogènes en ϑ=π/2 Commençons par un problème dans une hémisphère soumise aux conditions : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 1 r
T ( r , ) / 2 0 T ( r , ) fini
Utilisons une astuce, et considérons le problème d'une sphère pleine soumise aux conditions aux limites impaires en ϑ T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 1 pour [0, / 2] r
T ( r , ) r l 1 pour [ / 2, ] r
T ( r , ) fini
On voit que la solution de ce problème doit nécessairement comporter une valeur nulle sur la tranche. Dans ces conditions la solution du deuxième problème dans l'hémisphère supérieure est la solution du premier problème dans le même hémisphère. Le deuxième problème possède la solution suivante comme nous l'avons vu dans un exemple précédent : T (r , ) 2
1n (2n 1)!(4n 3) r
n 0 ,
2 2 n 1 ( n 1)!( n 1)! lr
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
ou bien r T ( r , ) n 0 , l r
2 n 1
1n
( 2n)! ( 4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Pour le problème plus général sur l'hémisphère : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l f (Cos ) r
T ( r , ) / 2 0 T ( r , ) fini
On utilise également l'extension au problème de la sphère avec des conditions aux limites impaires, soit : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l f (Cos ) pour 0, / 2 r
T ( r , ) r l f (Cos ) r
T ( r , ) fini
pour / 2,
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Alors la solution s'écrit sous une forme équivalente à celle d'une sphère porté à des conditions aux limites impaires : z Cos ( ) Cos ( ) Cos ( ) z f ( z ) f ( z ) 1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
B0 dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) 0 0
1
0
0
1
0
1
0
1
Bn dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z ( 1) n dz f ( z ) Ρn z 0
1
(1 ( 1) n ) dz f ( z ) Ρn z 0
1
B2 n 0
B2 n 1 2 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
1
C n dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
r T ( r , ) C n 4n 3 n 0 , lr
2 n 1
P2 n 1 (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Sphère creuse (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr2 et Dirichlet homogènes en r=lr1. Soit le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) r l 0 r1
T (r , ) r l 1 si 0, / 2 0 sinon r2
La solution est indépendante de φ et se développe en série de polynôme de Legendre r 2 n 1 l 2 n 1 lr 1 r1 l 1 n r r 1 1 1 (2n 1)!(4n 3) r P (Cos ( )) T (r , ) 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 lr1 n 0, 2 (n 1)!(n 1)! l lr 1 1 r2 lr1 lr 2 lr 2
Pour un problème plus général : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T ( r , ) r l f ( ) r2
cela donne :
B0 d Sin( ) f ( ) 0
Bn d Sin( ) f ( ) Ρn Cos ( ) 0
r n l n 1 r1 lr1 1 B0 2n 1 lr1 r r T (r , ) Bn Pn (Cos ( )) 2 lr1 n 1, 2 l n l n 1 1 r 2 r1 lr1 lr 2 lr 2
Si le problème s'exprime sous la forme : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T ( r , ) r l f (Cos ) r2
T ( r , ) fini
Alors la solution s'écrit sous la forme : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
r n l n 1 r1 lr1 1 B0 2n 1 lr1 r r T (r , ) Bn Pn (Cos ( )) 2 lr1 n 1, 2 l n l n 1 1 r 2 r1 lr1 lr 2 lr 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour le problème des deux hémisphères portées à des températures différentes: T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T ( r , ) r l T0 si 0, / 2 r2
T ( r , ) r l T1 si / 2, r2
il vient : r 2 n 1 l 2n 1 lr1 r1 l 1 n r T T 1 (2n 1)!(4n 3) r1 r P (Cos ( )) T (r , ) 0 1 T0 T1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 lr1 (n 1)!(n 1)! l n 0, 2 lr 1 1 r2 lr1 lr 2 lr 2 ou bien r 2 n 1 l 2n 1 lr1 r1 l 1 r T T (2n)! (4n 3) r1 r T0 T1 n P (Cos ( )) T (r , ) 0 1 1 2 n 1 2 2n 2 n 1 2 n 1 2 lr1 2 2 ( n 1 ) l 2 n! n 0, l r1 1 r2 lr1 lr 2 lr 2
Si T0 =- T1=1 alors r 2 n 1 l 2n 1 r1 l n r r 1 1 (2n 1)!(4n 3) P (Cos ( )) T (r , ) 2 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 (n 1)!(n 1)! l n 0 , 2 lr1 r2 lr1 lr 2 ou bien r 2 n 1 l 2n 1 r1 l r (2n)! (4n 3) r1 n P (Cos( )) T (r , ) 1 2 n 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1 2 n! 2(n 1) l n 0 , lr1 r2 lr1 lr 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Sphère creuse (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Robin inhomogènes en r=lr2 et Dirichlet homogènes en r=lr1. Si le problème s'exprime sous la forme : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T (r , ) T (r , ) r l f (Cos ) ' r
r2
T ( r , ) fini
Alors la solution s'écrit sous la forme : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
T (r , )
B0 2
T (r , )
B0 2
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
r n l n 1 l Bn 2n 1 r1 1 r 1 lr1 r r Pn (Cos ( )) lr1 lr1 n 1, n l n n 1 l n 1 l n l n 1 2 1 r1 r 2 r1 2 r 2 l l lr1 lr 2 r 2 r 2 l l l r 2 lr 2 r 2 r1 n r l n 1 r1 lr1 B 2 n 1 n 1 lr1 r r Pn (Cos ( )) n n 1 l n 1 , l n l n 1 r1 r1 2 r 2 l l l l l l r 2 r 2 r2 r2 r2 r1
Qui redonne la solution lorsque la condition devient de Neumann α=1 et β=0 : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
1 et 0 r n l n 1 l r1 Bn 2n 1 r1 1 l r1 r B r P (Cos ( )) T (r , ) 0 n n n 1 2 lr1 n l n 1 l n 1, 2 r1 2 r 2 lr 2 l r 1 lr 2 lr 2 lr 2 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ainsi que la solution de Dirichlet lorsque α=0 et β=1 : z Cos ( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
0 et 1 r n l n 1 l Bn 2n 1 r1 1 r 1 lr1 r B r P (Cos ( )) T (r , ) 0 n 2 lr1 n 1, l n l n 1 r2 r1 1 2 lr1 lr 2 lr 2
Dans l'expression : z Cos( )
1
B0 dz f ( z ) 1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
r n l n 1 Bn 2n 1 r1 lr1 r
lr1 1 B0 r T (r , ) Pn (Cos( )) n 1 2 n 1, l n l n l n 1 r 1 r1 2 r 2 l l l l l l r 2 r 2 r2 r2 r2 r1
Calculons la solution quelque soit les valeurs de α et β pour des valeurs particulières de la fonction limites : Pour une fonction par palier, hémisphère supérieur à 1, hémisphère inférieur à 0. si T (r , ) r l 1 Heaviside( / 2) fonction de Heaviside r
1 1 Bn dz Ρn z 2n 1 2 n n 1 n n 3 0 2 2 2 2 1
B0 1 et
B2 n 0
B2 n 1
1n (2n 1)!(4n 3) 2 ( n 1)!(n 1)!( 4n 5) 2n
1 1n (22n n)!2 (4n 3) ( 4n 5) 2 n! 2( n 1)
r 2 n 1 l 2 n 2 P (Cos ( )) lr1 r1 l 1 2 n 1 r r 1 1 1 r T (r , ) (4n 5) B2 n 1 2 n 1 2n 2 2 l 2 n 0, 2n 2 lr1 r 2 ( 2n 1) lr1 l lr 2 lr 2 lr1 lr 2 lr 2 r 2 lr1 1 1 r T (r , ) 2 lr1 lr 2 lr 2 r 2 n 1 l 2 n 2 P (Cos ( )) r1 l 2 n 1 r r 1 1 ( 2n)! ( 4n 3) n 1 2 n 2 2 n 1 2n2 2 n 0, 2 n! 2(n 1) l 2n 2 r 2 ( 2n 1) lr1 l lr1 lr 2 lr 2 r2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour une fonction par palier, hémisphère supérieur à 0, hémisphère inférieur à 1. si T (r , ) r l Heaviside( / 2) fonction de Heaviside r
alors on a démontré que comme B2 n 0 et
1
1
/2
0
0
n d Sin( ) Ρn Cos( ) dz Ρn z 1 dz Ρn z
B2 n 1 0
lr1 1 1 r T (r , ) 2 lr1 lr 2 lr 2
r 2 n 1 l 2 n 2 P (Cos ( )) r1 lr1 2 n 1 r
1 1n (22n n)!2 (4n 3) 2n 2 2 n 0, 2 n! 2(n 1) l 2 n 1 2n 2 r 2 (2n 1) lr1 l lr1 lr 2 lr 2 r2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour une fonction par palier, hémisphère supérieur à 1, hémisphère inférieur à -1, la solution est la superposition de la solution hémisphère supérieur +1 - Solution hémisphère inférieur 1: si T (r , ) r l 1 2 Heaviside( / 2) fonction de Heaviside r
l r1 1 r 1 2 l r1 lr 2 lr 2 T (r , ) r 2 n 1 l 2 n 2 r 1 P (Cos ( )) 2 n 1 lr1 r ( 2n)! ( 4n 3) 1 n 2 n 1 2n2 2 1 2 2 n n!2 2(n 1) n 0, 2n 2 lr 2 ( 2n 1) lr1 l lr1 lr 2 lr 2 r2 f ( ) 1 Heaviside ( / 2 ) hémisphère supérieur à 1
lr1 1 r 1 2 l r1 lr 2 lr 2 2 n 1 2n 2 r lr1 P2 n 1 (Cos ( )) lr 1 r ( 2n)! ( 4n 3) 1 n 2 n 1 2n2 2 1 2 2 n n!2 2(n 1) n 0, 2n 2 lr 2 ( 2n 1) lr1 l lr1 lr 2 lr 2 r 2 f ( ) Heaviside ( / 2 ) hémisphère inférieur à 1
T (r , )
1
n
n 0,
r 2 n 1 l 2 n 2 P (Cos ( )) r1 lr1 2 n 1 r
( 2n)! ( 4n 3) 2 2n2 2 2 n n! 2( n 1) l 2 n 1 2n 2 r 2 ( 2n 1) lr1 l lr1 lr 2 lr 2 r2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple: Hémisphère creux (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr2 et homogènes en r=lr1. Soit le problème : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T ( r , ) r l 1 r2
T ( r , ) / 2 0
En utilisant le problème équivalent de la sphère creuse dont les deux hémisphères sont soumises à des conditions aux limites de Dirichlet impaires. r 2 n 1 l 2n 1 r1 l n r 1 ( 2n 1)!( 4n 3) r1 P (Cos ( )) T (r , ) 2 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ( n 1)!(n 1)! l n 0 , 2 l r2 r1 lr1 l r2 ou bien r 2 n 1 l 2 n 1 r1 l r n ( 2n )! ( 4n 3) r1 P (Cos ( )) T ( r , ) 1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n! 2( n 1) l n 0 , l r2 r1 lr1 l r2
Pour un problème plus général : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T ( r , ) r l f ( ) r2
T ( r , ) / 2 0
Par l'équivalence avec le problème aux limites suivant sur la sphère creuse : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T (r , ) r l T ( r , ) r l
r 2 , [ 0 ,
r 2 , [
2]
2, ]
f (Cos ) f (Cos )
T ( r , ) fini
cela donne : 1
C n dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
T (r , )
4n 3 C
n 0 ,
n
r n l n 1 r1 lr1 r l n l n 1 r 2 r1 lr1 lr 2
P2 n 1 (Cos ( ))
Exemple : Hémisphère creux (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Robin inhomogènes en
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
r=lr2 et Dirichlet homogènes en r=lr1. Si le problème s'exprime sous la forme : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T (r , ) T (r , ) ' r
r lr 2
f (Cos )
T (r , ) 0 2
T ( r , ) fini
Alors peut voir que la solution est également celle du problème suivant sur la sphère : T ( r , ) 0 T ( r , ) r l 0 r1
T (r , ) T (r , ) ' r
Tr' (r , ) T (r , )
r l r 2 , [ 0, 2 ] r l r 2 , [ 2, ]
f (Cos ) f (Cos )
T ( r , ) fini
En effet supposons le problème précédent de la sphère creuse, alors la solution se développe sous la forme : z Cos ( ) f ( z ) f ( z ) 1
1
Bn (1 (1) n ) dz f ( z ) Ρn z
B0 dz f ( z ) 0 1
B2 n 0
0
B2 n 1 0
T (r , )
n 1,
r 2 n 1 l 2 n 2 B2 n 1 r1 l r1 r
4n 3
2n2 l 2 n 1 2n 2 r 2 2n 1 lr1 lr1 lr 2 lr 2 lr 2
2
P2 n 1 (Cos ( ))
Comme seuls les coefficients impairs sont présents alors la valeur en θ=π/2 des polynômes de Legendre est nulle P2 n 1 (0) 0 . Il vient T(r,π/2)=0, ce qui correspond aux conditions aux limites du problème de l'hémisphère. La solution est donc : 1
B2 n 1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
T (r , )
4n 3
n 0 ,
lr 2 lr1
r 2 n 1 l 2 n 2 B2 n 1 r1 lr1 r 2 n 1
2n 1 lr1 lr 2 lr 2
2n2
2n 2 lr 2
P2 n 1 (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Lorsque α=1 et β=0, à la solution il faut ajouter une constante B0 (auparavant quelconque dans un problème de sphère avec condition de Neumann fixé ) mais qui est là fixé à 0 par la condition aux limites à la base de l'hémisphère, cela donne donc : 1 et 0 B0 0 1
B2 n 1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
T (r , )
4n 3
n 0 ,
lr 2 lr1
r 2 n 1 l 2 n 2 B2 n 1 r1 lr1 r 2 n 1
2n 1 lr1 lr 2 lr 2
2n2
2n 2 lr 2
P2 n 1 (Cos ( ))
Lorsque la fonction limite =1, alors la solution se présente sous la forme : r 2 n 1 l 2 n 2 r1 l r n ( 2 n )! ( 4 n 3) r1 T ( r , ) 1 2 n P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 n 1 2n2 2 ( n 1 ) 2 n ! n 0 , l 2 n 1 l 2 n 2 r2 r1 lr1 lr 2 l l r2 r2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Hémisphère pleine (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Robin inhomogènes en r=lr Pour le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) fini
Tr' (r , ) T (r , ) r l f (Cos ) r
T (r , ) / 2 0
Il suffit de passer à la limite l r1->0 dans les résultats précédents sur l'hémisphère creux, en éliminant le terme en 1/r pour respecter la condition de finitude de la solution, soit :
T (r , )
4n 3
n 0 ,
r 2 n 1 B2 n 1 l r1
lr 2 lr1
2 n 1
2n 1 lr 2
P2 n 1 (Cos ( ))
r 2 n 1 B2 n 1 lr 2
4n 3
n 0 ,
2n 1 lr 2
lr 2 lr 2 n 1
1
B2 n 1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 0
r B2 n 1 lr et T (r , ) 4n 3 P2 n 1 (Cos ( )) 2n 1 n 0, lr
P2 n 1 (Cos ( ))
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : Cône sphérique plein d'angle ϑ0, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumis à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=l r. homogènes en ϑ0 Soit le problème : T (r , ) 0 T ( r , ) r l f (Cos ) r
T ( r , ) 0 0
T ( r , ) fini
La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable T (r , ) 0 Pour respecter la condition aux limites , on est amené à rechercher une extension des polynômes de Legendre de degré entier à des fonctions de Legendre de degré non entier λn Pn (Cos ( )) P (Cos( )) n tq P (Cos( 0 )) 0 . 0
n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple si l'on prend la valeur 0 / 2 , alors on retrouve les valeurs propres λn =2n+1, si l'on prend l'angle 0 / 3 , alors les 20 premières valeurs propres λn
=
1.77729,4.76278,7.75826,10.7561,13.7548,16.754,19.7534,22.753,25.7526,28.7524,31.7521,34. 752,37.7518,40.7517,43.7516,46.7515,49.7514,52.7513,55.7512,58.7512
si l'on prend l'angle 0 / 7 , alors les 20 premières valeurs propres λn =
4.85051, 11.7962, 18.7798, 25.7719, 32.7673, 39.7643, 46.7622, 53.7606, 60.7594, 67.7585, 74.7577, 81.757, 88.7565, 95.756, 102.756, 109.755, 116.755, 123.755, 130.754, 137.754
si l'on prend l'angle 0 10 / 7 , alors les 20 premières valeurs propres λn =
0.802557, 2.55757, 4.30927, 6.06011, 7.8106, 9.56093, 11.3112, 13.0613, 14.8115, 16.5616, 18.3117, 20.0617, 21.8118, 23.5618, 25.3119, 27.0619, 28.812, 30.562, 32.312, 34.062
En respectant la contrainte de finitude et par principe de superposition on recherche la solution sous la forme d'une série : T ( r , ) An r 1 Bn r P (Cos ( )) Bn r P (Cos ( )) n
n
n
n
n 0 ,
n
n 0 ,
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne la solution pour ce problème de Dirichlet: 0
Bn d Sin( ) f (Cos ) Ρn Cos 0
z Cos Bn
Cos 0
dz f ( z ) Ρn z 1
n tq P (Cos ( 0 )) 0 n
1
dz f ( z ) Ρn z
Cos 0
T (r , )
n 0,
Ρn z 2
dz Ρ z
2
r lr
n
2
n
Cos
Bn
Ρn z
1
0
Ρn Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Selon les formules pour le calcul de la norme d'une fonction de Legendre de degré non entier : 2 1 z
z2
z1
dz Ρ n z 2
comme
Ρ n z
n zP ( z ) P z 1
z
z2
Ρ n z Ρ n z 2 Ρ n z Ρ n z z z n n z1 2n 1
2
n
2 1 z
dz Ρ n z 1
2
0
2 1 z
n
1
( z ) ( z 2 1)
Ρ n z z
0 Cos 0
posons 0
z 1 1
Ρ n z Ρ n z 2 Ρ n z Ρ n z z z n n 0 2n 1
1
Ρ n z n 2 Ρ n z zP ( z ) P ( z ) Ρ z n 1 n z 2 1 n z n n 0 2n 1
1
Ρ z 2 Ρ n z 2 n P n 1 ( z ) zP n ( z ) 1 z Ρ n z n z n n 0 2n 1
or Ρ n 0 0 Ρ n 1 1 Ρ n 1 1
n
Ρ n 0
P
( 0 ) P n 1 ( 0 )
n Ρ 0 P 2n 1 2n 1 n on obtient le même résultat avec la formule générale sur les normes
1
n
0 n
dz p z 2
0
n P 2n 1
n
Ρ n z
p z z p ( z ) p 1 ( z )
1
( 0 )
Ρ n 0 n
2
n
n
1
( 0 )
p z p 1 z p p 1 ( z ) p ( z) p p 0 2 p 1 1
p z Ρ n ( z )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour les dérivées premières des fonctions de Legendre de degré p réel, il existe des formules permettant de les calculer. Celles concernant les dérivées premières en z sont : P ( z ) 2 n zP ( z ) P 1 ( z ) n 0 ou Ν z z 1 Il vient donc (voir expression précédente) : Ρ 0 2 n Ρ z P ( ) 2n 1 n 1 0 Pour ce qui est des dérivées premières du paramètre réel ν, les formules ont déjà été données auparavant dans le texte sont plus complexes: n
n
n
n
n
n
F 2 P ( z ) Cos( ) P ( z ) ( ) k ( 2 1) k (k v) (k v 1) 1 z Sin( ) k! 2 k 0 k
k 0 , Z tel que
F 3
1 z 1 2
P ( z ) k 1 1 z 2 k 0 k! 2
0
tel que
k
k j k
r k r j ( j) j r S v ( 1) r S k( k ) ( 1) k 1 j 1 r 1
1 z 1 2
où ( ) k est le symbole de Pochhammer
( ) k α (α 1) (α k-1)
( k) ( )
(l ) fonction Gamma
( ) fonction Digamma dérivée logarithmique de la fonction Gamma ( )
' ( ) ( )
S k( j ) nombre de Stirling de première espèce On retrouve la valeur de la norme de fonctions de Legendre de degré entier impaire, qui correspond au cas θ0=π/2 : 0 Cos ( / 2) 0 n 2n 1 ; Pn 1 (0) P2 n (0)
1 2n 2 n 2 1 2n 1 2n n 1 n! 2 2 2 2 2 n 11 2n 1 1 (1) 2 2 2 n 1 ! 2n ! (1) n 2 2 n 1 n 1! 2 2n 1 P2 n (0) (1) n 2 n 2 2n 1! 2n 1! 2 2 n! P2 n (0)
Ρ2 n 1 z 2
2n 1 P (0) 2n 1 2n ! P (0) P2 n (0) (1) n 4n 3 2 n 1 4n 3 2 2 n n!2 2 n 1
P (0) 2 2 n n! comme (1) n 2 n 1 2n 1! 2
Ρ2 n 1 z 2
1 4n 3
1
résultat établi précédemment n , dz Ρn z 0
2
1 (2n 1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Nous avons affirmer que la valeur de la dérivée sur les degrés entier à la valeur zéro: P (0) 2 2 n n! (1) n 2n 1! 2 n 1 2
Il existe plusieurs formules (Radosław Szmytkowski, On the derivative of the Legendre function of the first kind with respect to its degree, 2005) qui montre que la valeur de la dérivée première est fonction d'un polynôme de Bromwich: P ( z ) z 1 Pn ( z ) Log Rn ( z ) n 2 Rn ( z ) appelé polynome de Bromwich de degré n Plusieurs formes pour Rn ( z ) k n
1 Pk ( z ) Pk 1 ( z )Pnk ( z ) k 1 k
(1) Rn ( z )
k n
(2) Rn ( z ) 2 (1) n k k 1
2k 1 Pk ( z ) Pn ( z ) (n k )(n k 1)
(n k )! (3) Rn ( z ) 2 (n k 1) (n 1) z 1 2 2 k 1 ( k!) ( n k )! k n
k n
(4) Rn ( z ) 2 (2n 1) (n 1) Pn ( z ) 2 (1) n k k 1
k n
(5) Rn ( z ) 2 (1)
nk
k 1
k
2k 1 Pk ( z ) (n k )(n k 1)
(n k )! (n k 1) (k 1) z 1 2 (k!) (n k )! 2
k
(l ) fonction Gamma ' ( ) ( ) On peut vérifier que (la valeur n'est pas donnée dans les articles de recherche, mais on peut tester numériquement la validité de la formule pour le terme de degré zero des polynômes de Bromwich au moins sur les 200 premiers termes de la suite). P (0) z 1 P2 n 1 (0) Log R2 n 1 (0) P2 n 1 (0) 0 2 n 1 2 P (0) R2 n 1 (0) 2 n 1
( ) fonction Digamma dérivée logarithmique de la fonction Gamma ; ( )
2 2 n n! 2n 1! 2
Comme R2 n 1 (0) (1) n
c.q. f .d .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Il existe une relation de récurrence entre les polynômes de Bromwich et les polynômes de Legendre que l'on va appliquer pour démontrer ce résultat: 1 Pn1 ( z ) Pn1 ( z ) (n 1) Rn 1 ( z ) (2n 1) zRn ( z ) n Rn 1 ( z ) 2n 1 1 (n 1) Rn 1 (0) n Rn 1 (0) Pn1 (0) Pn1 (0) 2n 1 1 avec n 2n (2n 1) R2 n 1 (0) 2n R2 n 1 (0) P2 n1 (0) P2 n1 (0) 4n 1 2n R (0) comme P2 n 1 (0) P2 n 1 (0) 0 R2 n 1 (0) 2 n 1 (2n 1) 2n 2n 2 R (0) (1) n 2n 2n 2 2 R2 n 1 (0) R2 n ( 2 n 1) (0) 2 n 3 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 1) (2n (2n 3)) R2 n 1 (0) (1) n
2n 2n 2 2 (2n 1)(2n 1) (3)
R1 (0) (1) n
2 n n! R1 (0) (2n 1)(2n 1) (3)
2 n n!(2n)(2n 2) (2) R1 (0) (2n 1)(2n)(2n 1) (2)(1)
(1) n
R2 n 1 (0) (1) n
2 n n!2 n n! R1 (0) (2n 1)!
2 2 n n! R1 ( z ) z 1 R1 (0) 1 R2 n 1 (0) (1) c.q. f .d (2n 1)! La solution de ce problème de Dirichlet sur le cône sphérique devient donc : 2
n
1
0 Cos 0 Bn dz f ( z ) Ρn z T (r , ) 0
Lorsque fθ(θ)=T0 alors : 0 Cos 0 n
tq Ρn 0 0
Ρn 1 z Ρn 1 z
dz Ρ z
2n 1
n
Ρn 0 0
n
n
n 1
.
n 0,
n
n 0 ,
r Bn Ρn 0 lr Pn 1 ( 0 ) n
T (r , )
n 0,
1
Ρn 1 0 r 2 Ρn z lr Bn
r n 1 Ρ l n n 0 Pn 1 ( 0 ) r 2n 1 n
n
Ρn Cos
Ρn 0 n P ( ) Ρv 1 1 2n 1 n n 1 0
1
n Ρn 1 0 n 1Ρn 1 0
Ρn 1 0
T (r , ) T0
2
2n 1
Ρ 1 z Ρn 1 z Bn T0 dz Ρn z n 2n 1 0 0
2n 10 Ρ 1 0 Ρ 1 0 n
Ρn z
n
n
n 1Ρ 1 0 n
n
Ρn Cos
n
Bn Ρn 1 0 Ρn 1 0 T0 2n 1
n 1 1
Bn n Ρn 1 0 T0 2n 1 tq Ρn 0 0
2n 1
r Ρn Cos T0 Ρ n 0 lr n 0, n n 1 n
n
Ρn Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour un problème du type suivant, il se décompose par principe de superposition en un problème sur un cône infini qui a la solution triviale T=T0 et du problème précédent. T (r , ) 0 Tc (r , ) 0 Tc (r , ) 0 T (r , ) r l 0 Tc (r , ) T0 Tc (r , ) r l T0 T (r , ) T0 Tc (r , ) T0 Tc (r , ) 0 0 0 T (r , ) T0 T (r , ) fini c T (r , ) fini r l r c r
0
r
Dans ce cas la solution est immédiatement trouvée : r 2n 1 T (r , ) T0 1 Ρn 0 lr n 0 , n n 1 n
Ρn Cos
n
n
tq Ρn 0 0 0 Cos 0
Lorsque θ0 = π/2, on reprend la valeur de la dérivée paramétrique : 2 P (0) 2 2 n n! 0 0 0 Ρ 0 0 (1) n n Ρ n 1 1 2n 1! n 2 2 n 1 n
n
4n 32n ! r T (r , ) T0 1 (1) n 2 n 0, 2n 12 2 n n! lr
n
Ρ n Cos
4n 32n ! r 0 T (r ,0) T0 1 (1) n 2 n 0, 2n 12 2 n n! lr
n
. On va maintenant regarder la solution dans une section de cône non borné entre un rayon minimum et et l'infini : T (r , ) 0 r , lr r ,0 0 , T (r , ) r l f (Cos ) r
T (r , ) 0 0
Limr T (r , ) 0
La solution s'écrit : 0
Bn d Sin( ) f (Cos ) Ρn Cos 0
z Cos Bn
1
dz f ( z ) Ρn z
Cos 0
n tq Pn (Cos( 0 )) 0
T (r , )
Ρn z 2
1
dz Ρ z
Cos
n 0 ,
2
n
0
lr 2 Ρn z r Bn
n 1
Ρn Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ce qui donne lorsque fθ(θ)=T0 : 2n 1 lr T (r , ) T0 Ρ r n 0, n n 1 0 n
n 1
Ρn Cos
n
tq Ρn 0 0
n
.
Décomposition de l'unité Les deux solutions des problèmes intérieurs et extérieurs de Dirichlet permettent d'écrire une formule de décomposition de l'unité sur le système des fonctions propres angulaires. Cette formule est particulièrement utile pour des calculs ultérieurs : 2 n 1 r Ρ Cos (1) T ( r , ) T0 n tq Ρ 0 0 Ρ 0 lr n 0 , n n 1 n n
n
n
n
(2) T ( r , ) T0
2n 1
lr Ρn 0 r n 0 , n n 1 n
T0 1 r lr 1
2n 1
n 0 ,
n n 1
Avec les normes Ρn z 2
1
n 0 ,
Ρn 1 0
n 1 Ρ z
2
Ρn 0
n 1
Ρn Cos
n
tq Ρn 0 0
Ρn Cos
n
Ρn 0 n P ( ) 2n 1 n n 1 0
Ρn Cos
n
Pour le problème lorsque θ0 = π/2 T (r , ) 0 Tc (r , ) 0 Tc (r , ) 0 T ( r , ) r l 0 Tc (r , ) T0 Tc (r , ) r l T0 Tc (r , ) T0 0 Limr T (r , ) fini Tc (r , ) r lr r
0
T (r , ) T0
r Tc (r , ) 0 0 T Lim T (r , ) 0 r c
Donne : P (0) 0 0 0 Ρ 0 0 2 n
2 2 n n! 2n 1! 2
(1) n n 2 n 1
n n Ρ n 1 1
4n 32n ! lr 2 n 2 Ρ Cos T (r , ) T0 1 (1) n n 2 n 0, 2n 12 2 n n! r 4n 32n ! lr 2 n 2 0 T (r ,0) T0 1 (1) n 2 2n n 0, r 2 n 1 2 n !
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : pour un problème de Dirichlet du type : T (r , ) 0 r , lr1 r lr 2 ,0 0 ,
T (r , ) r l flr1 (Cos ) T (r , ) r l flr 2 (Cos ) r1
r2
T (r , ) 0 0
Limr T (r , ) 0
on montre facilement que la solution se présente sous la forme : n tq Pn (Cos( 0 )) 0 z Cos
1
Ρn z 2
dz Ρ z
2
n
Cos
0
n 1 r lr 2 lr 2 r n
T (r , )
n 0 ,
Bn
Ρn z
Cn
Ρn z
n 0,
2
2
Ρn Cos
Ρn Cos
l n l n 1 r1 r 2 l lr 2 r1
r n l n 1 r1 lr1 r l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2
avec 1
Bn
dz
Cos
0
1
Cn
dz
Cos
flr 1 ( z ) Ρn z
0
flr 2 ( z ) Ρn z
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Le problème suivant est subtilement différent, même s'il se présente d'une manière assez similaire, il se développe sur un cône infini. T (r , ) 0 r , 0 r ,0 0 T 0 r lr T (r , ) 0 0 0 lr r Limr T (r , ) 0
Avec cette exemple la recherche de la solution du problème peut mettre en oeuvre une transformation de Mehler, et un calcul d'intégrale à contour dans le plan complexe ainsi que l'application du théorème des résidus. La solution s'écrit (voir l'article Steady-State Heat Conduction in a Circular Cone de ROKURO MUKI and ELI STEIRNBERG, 1959): n tq Ρ 0 0 0 Cos 0 n
n 1 r T 1 Ρn Cos 0 r l 0 n 0, Ρn 0 lr n n T (r , ) n 1 1 lr T Ρn Cos lr r Ρ 0 n n 0 r 0 , n 1 n
. On peut également trouver cette solution à l'aide du principe de superposition. Les apparences sont trompeuses mais il ne s'agit pas tout à fait du même calcul car les deux exemples précédents montrer soit un domaine bornée avec deux conditions l'une homogène et l'autre inhomogènes, soit un domaine non-bornée mais également avec le même de conditions aux limites. Il n'y a donc aucune raison que la solution soit de valeur T 0 à la surface de rayon lr. Pour autant, on peut au moins utiliser un de nos résultat pour prouver que cette solution est bien continue sur la surface r=lr.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
En effet la solution du problème intérieur s'écrivait :
2n 1
r T (r , ) T0 Ρn 0 lr n 0, n n 1 n
T (lr , ) T0 n 0,
2n 1
n n 1
Ρn 0
n
Ρn Cos
n
tq Ρn 0 0
Ρn Cos 1
n
Injectée dans la solution à la valeur r lr 2 1 1 1 Ρ Cos n 1 Ρ Cos n Ρ Ρ n 0, Ρn 0 n n 0 n 0 n 0, 1 n n n n n n n 1 n 1 2n 1 2n 1 Ρ Cos 1 1 Ρ Cos Ρn 0 n 1 n 1 n n 0, Ρn 0 n n n 1 n n 0, n T (lr , ) n n T0 n 1 1 Ρ Cos Ρ Cos 0r l n 0, Ρn 0 n 1 n Ρn 0 n n 0 , n 1 n n n 1 Ρn Cos lr r n 0, 1 Ρn 0 n n
Et la continuité est démontrée. C'est déjà un bonne indice que le calcul de la solution de notre problème a des chances d'être juste, corroboré indirectement et partiellement par le résultat d'un autre problème. Finalisons la construction de la solution, le problème de départ peut se décomposer ainsi : T (r , ) T1 (r , ) T 2 (r , ) 1 0 r lr ,0 0 2 lr r ,0 0 T1 (r , ) T0 0
T 2 (r , ) 0 0
T1 (r , ) r l T 2 (r , ) r l r
r
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Le deuxième problème est un problème aux limites avec conditions homogènes qui a la solution formelle : n tq Ρ 0 0 0 Cos 0 n
T 2 (r , )
2n 1
n 0,
n
Cn lr Ρn 0 r Pn 1 ( 0 ) n
n 1
Ρn Cos lr r
. On a voit que le premier problème se décompose encore en deux sous problèmes : T11 (r , ) 0 T12 (r , ) 0 T1 (r , ) 0 T11 (r , ) T0 T12 (r , ) r l T0 f ( ) T1 (r , ) r l f ( ) T11 (r , ) T0 T12 (r , ) 0 T1 (r , ) T0 T (r , ) T 11 0 r l T12 (r , ) fini 0
r
r
0
0
r
T1 (r , ) T0 T12 (r , ) On voit que T12 (r , ) est solution du même problème aux limites homogène sur la surface du cône
que T1 (r , ) . La différence essentielle c'est que l'un est un problème extérieur et l'autre intérieur. Il vient donc la décomposition avec les même fonctions propres angulaires : n tq Ρ 0 0 0 Cos 0 n
T1 ( r , ) T0
n 0,
2n 1 n
r Bn Ρn 0 lr Pn 1 ( 0 ) n
n
Ρn Cos 0 r lr
Appliquons la décomposition de l'unité dans le système de fonctions propres angulaires, il vient : r 2n 1T0 2n 1 Bn T1 ( r , ) Ρ Ρ n n 0 n 0 lr n 0, Pn 1 ( 0 ) n n 1 n n
n
Ρ Cos 0 r l r n
La condition de continuité des solutions et celle de continuité de la dérivée première radiale donnent immédiatement : T1 (r , ) r l T 2 (r , ) r l r
r
T0 Bn Cn T0 Bn Cn n 1 Pn 1 (0 ) Pn 1 (0 ) n n 1 n Pn 1 ( 0 ) n Pn 1 ( 0 )
n 1Cn B n 1Cn T1 (r , ) T (r , ) n Bn 2 n r r lr n Pn 1 ( 0 ) lr n Pn 1 ( 0 ) n r l r r lr
Ces deux conditions conduisent donc à un système d'équation linéaire des coefficients qui a la solution triviale : 2n 1 C T P 1 (0 )n B n 1Cn T P 1 ( 0 ) T0 Cn n 0 n 0 n 1 P 1 ( 0 ) n n 12n 1 n 2n 1 . n
n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ce qui donne bien les deux solutions une fois injectées ces valeurs des coefficients : n tq Ρ 0 0 0 Cos 0 n
r 1 T1 ( r , ) T0 1 Ρn 0 lr n 0 , n n
n
1 lr T 2 ( r , ) T0 Ρn 0 r n 0 , n 1 n
Ρn Cos 0 r lr n 1
Ρn Cos lr r c.q. f .d
. Il n'est donc pas forcément besoin de développer des techniques de calcul opérationnel (transformation de Mehler) pour trouver cette solution. Regardons maintenant le comportement de cette solution lorsque l'angle d'ouverture du cône est π/2 :
.
0 0 Ρn 0 0 n 2n 1 Ρ n 1 1
P (0) 2 2 n n! (1) n n 2 n 1 2n 1! 2
4n 32n ! Ρ Cos 1 partition de l ' unité 2 n 1 2 2n 122 n n! n 0, 2 n 1 T1 (r , ) 4n 32n ! 2n ! r n n (1) Ρ2 n 1 Cos (1) 2 n Ρ2 n 1 Cos lr r 2 2 T0 2n 122 n n! 2 n! lr n 0, n 0, 2n 1! lr 2 n 2 Ρ Cos c.q. f .d T 2 (r , ) (1) n 2 n 1 2 T0 2n 12 2 n n! r n 0, 2n 12n ! Ρ Cos continuité T (l , ) 1 r (1) n 2 n 1 2 T0 2n 122 n n! n 0, 2 n 1 T1 (r ,0) 2n ! r n 0 1 (1) 2 n 2 T0 2 n! lr n 0, r 2n! x 2 n1 développement en série de Taylor autour de 0 de x Posons x (1) n 2 n 2 lr 2 n! n 0, 1 x2 Or
(1) n
T1 (r ,0) x r r 1 1 T1 (r ,0) T0 1 2 2 2 2 T0 1 x lr r lr r 2
C'est exactement le résultat trouvé dans l'article "Steady-State Heat Conduction in a Circular Cone" de ROKURO MUKI and ELI STEIRNBERG, 1959.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Exemple : continuons dans la foulée de cet exemple, pour prendre en considération le problème suivant, qui cette fois possède trois zones de décomposition distinctes : T (r , ) 0 T (r , ) 0 T (r , ) T0 T (r , ) 0 0
0
r0 ,lr 1
0
rlr 1 ,lr 2
rlr 2 ,
Problème qui décompose en trois sous-problèmes : T ( r , ) T1 ( r , ) T 2 ( r , ) T3 (r , ) qui sont définis par les conditions aux limites suivantes : T1 (r , ) 0 T1 (r , ) r l T 2 (r , ) r l T1 (r , ) r l T 2 h (r , ) r l r1
T1 (r , ) 0
r0 ,lr 1
r1
r1
r1
0
T 2 (r , ) 0 T 2 T0 T 2 h T 2 (r , ) r l T1 (r , ) r l T 2 h (r , ) r l T1 (r , ) r l r1
T 2 (r , ) 0
rl r 1 ,l r 2
r1
r1
r1
0
T0 T0
T 3 (r , ) 0 T 3 (r , ) r l T 2 (r , ) r l T 2 h (r , ) r l T 3 (r , ) r l r2
T 3 (r , ) 0
rl r 2 ,
r2
0
r2
r1
T0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Auquel il faudra également appliquer les conditions de continuité C 0 et C1 T1 (r , ) r l T 2 (r , ) r l r1
r1
T 2 (r , ) r l T3 (r , ) r l r2
r2
T1 (r , ) T ( r , ) 2 r r r l r 1 r l r 1 T 2 (r , ) T ( r , ) 3 r r r lr 2 r l r 2
. Les solutions formelles des trois problèmes sont les suivantes : n tq Pn (Cos( 0 )) 0 z Cos
1
Ρn z
dz Ρ z
2
Cos
T1 (r , ) T 3 (r , )
An
n 0 ,
Ρn z
2
r lr1
lr 2 2 Ρn z r Dn
n 0,
n
2
n
0
Ρn Cos
n 1
Ρn Cos
Pour le problème central on fait intervenir deux fonctions limites au rayon inférieur et supérieur : n tq Pn (Cos ( 0 )) 0 z Cos
1
Ρn z
dz Ρ z
2
2
n
Cos
0
n
T 2 (r , ) T0
n 0,
n 0 ,
Cn
Ρn z
2
Bn
Ρn z
2
Ρn Cos
Ρn Cos
n 1 r lr 2 lr 2 r
l n l n 1 r1 r 2 l lr 2 r1
r n l n 1 r1 lr1 r l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2
. Bn et Cn représente les contributions respectives des conditions aux limites inhomogènes en lr1 et lr2.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
En introduisant la partition de l'unité en série de fonctions propres angulaires, il vient : n tq Pn (Cos ( 0 )) 0 z Cos
1
Ρn z
dz Ρ z
2
Cos
T 2 (r , ) T0
n 0,
n 0,
Cn
Ρn z
2
Ρn 1 ( 0 )
n 1 Ρ z
2
Ρn Cos
n
Ρn Cos
2
n
0
n 0,
Bn
Ρn z
Ρn Cos
2
r n l n 1 r2 lr 2 r l n l n 1 r1 r 2 l lr 2 r1
r n l n 1 r1 lr1 r l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2
En appliquant les conditions de continuité, on obtient deux équations linéaires : Ρ 1 ( 0 ) An T0 Bn n 1 Ρ 1 ( 0 ) Dn T0 Cn n 1 .
.
n
n
Les conditions de continuité de la dérivée donne des équations sensiblement plus compliquées, pour cela il faut écrire les dérivées suivantes : d r dr lr1
n
r l r 1
d r dr lr 2 d r dr lr1
n
r l r 2
n
d r dr lr 2
r l r 2
n
r l r 1
n 1
n l r1
d lr 1 dr r
n lr 2
d lr 2 dr r
l n r 2 l r 2 lr 1
n
l n r1 l r1 l r 2
n
r lr 1
n 1
n 1 lr1
r lr 2
d l r1 dr r
n 1 lr 2
n 1
d lr 2 dr r
n 1
r lr 2
1 l r1 n lr 2 lr 2
r l r 1
1 lr 2 n lr1 lr1
n 1
n 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ce qui donne les équations suivantes : n 1 l n r1 1 lr 2 B n l n n lr 2 r1 2n 1Cn n An n n 1 l l n l n 1 r1 lr 2 r 2 r1 l l lr 2 lr1 r1 r2 n 1 l n r 2 1 lr1 C n n n lr1 lr 2 2n 1Bn n 1Dn l n l n 1 l n l n 1 r1 r 2 r 2 r1 l l lr 2 lr1 r1 r2 n
2n 1Cn lr 2 2n 1Bn l r1 n 1Dn n 1Cn n n 1 n n 1 l r1 lr 2 lr 2 lr1 l l l lr 2 r1 r1 r2
que l'on peut légèrement simplifier :
n An n Bn
2n 1 lr 2
n 1
Bn
lr1
n
l r1 lr 2 l lr 2 r1
n 1
2n 1Cn l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2 n
2n 1 lr 2 Cn 2n 1Bn l r1 n 1Dn n 1Cn n n 1 n n 1 l r1 lr 2 lr 2 lr1 l l l lr 2 r1 r1 r2
Ce qui donne : An Bn T0
Ρn 1 ( 0 )
n 1
et
nT0
Ρn 1 ( 0 )
n 1
Dn Cn T0
2n 1 lr 2
n 1
n 1
l r1
n
Ρn 1 ( 0 )
l r1 lr 2 l lr 2 r1
Bn n 1
2n 1Cn l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2 n
2n 1 lr 2 Cn Ρ 1 ( 0 ) 2n 1Bn l r1 n 1T0 n n n 1 n n 1 lr1 lr 2 lr 2 lr1 n 1 l l l lr 2 r1 r1 r2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Posons : U T0
Ρn 1 ( 0 )
n 1
(1)
An Bn U
(2)
Dn Cn U
l (3) 2n 1 r 2 lr 1
B 'n
n 1
Bn n
l r1 lr 2 l lr 2 r1
n 1
C 'n
Cn n
n 1 l r 2 lr1 l lr1 r2
B 'n 2n 1C 'n nU n
l (4) 2n 1B'n 2n 1 r 2 C 'n n 1U lr 1
Et l'inversion du système final sur Bn et Cn donne : Ρ 1 ( 0 ) Bn Cn U T0 B 'n C 'n 1 n 1 l l lr 2 l r1 r1 r2
.
n
n
lr 2 lr1
(1)
An Bn U
(2)
Dn Cn U
l (3) r 2 l r1
n 1
B ' n C ' n
n
n
lr1 lr 2
n 1
nU 2n 1
n
(4)
l 1U B 'n r 2 C 'n n 2n 1 lr1
n n n 1 1U lr 2 lr 2 nU lr 2 n 1U B 'n C 'n B 'n n 2n 1 2n 1 lr1 2n 1 lr1 l r1 2 n 1 n l n 1U U lr 2 n 1 nU lr 2 B'n 1 r 2 l 2 1 2 1 l r1 2n 1 lr1 n n r1 n n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Soit :
B 'n
l n U r 2 n n 1 l r1 2n 1 lr 2 l r1
n
l n l n 1 r1 r 2 l lr 2 r1
n lr1 U n n 1 lr 2 l n l n 1 2n 1 r1 r 2 l lr 1 r2
n n 1 1 lr1 lr 2 U n l l n 1 n r 2 r1 lr 2 nU nU C 'n B 'n n n 1 2n 1 2n 1 lr 1 2n 1 lr1 lr 2 l lr 1 r2
l n l n l n 1 r2 U n n 1 nU r 2 r1 lr 1 lr1 lr 2 C 'n l n l n 1 l n l n 1 r2 r1 2n 1 2n 1 r 2 r1 l l lr 2 lr 2 r1 r1 n 1 lr1 U C 'n n 1 n l n l n 1 lr 2 2n 1 r 2 r1 l lr 2 r1
.
En revenant aux coefficients initiaux An,Bn,Cn,Dn : n lr1 U n n 1 lr 2 Bn 2n 1
n 1 lr1 U n 1 n lr 2 Cn 2n 1
U n 1 lr1 An U Bn 1 2n 1 lr 2
n
Un lr1 Dn U Cn 1 2n 1 lr 2
n 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Ce qui donne finalement les solutions : n tq Pn (Cos ( 0 )) 0 z Cos
Ρn z 2
1
dz Ρ z
Cos
T1 (r , ) T0
1
n 0,
T 2 ( r , ) T0 T0
T0
n 0,
T 3 ( r , ) T0
2
n 0,
2
0
Ρn 1 ( 0 ) n 1 lr1 n r n 1 Ρ Cos n 1 2n 1 lr 2 lr1 n
1
n 0,
1 Ρn z
Ρn z
2
n
Ρn z
2
n r n l n 1 1 lr1 r2 n n l lr 2 r Ρn 1 ( 0 ) r2 Ρn Cos n 1 2n 1 l n l n 1 r1 r 2 l lr 2 r1
n 1 r n l n 1 1 lr1 r1 n n lr1 l r Ρn 1 ( 0 ) r 2 Ρn Cos n 1 2n 1 l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2
Ρn z
n 1 1 n lr1 lr 2 n 1 Ρn Cos n 1 2n 1 lr 2 r
Ρn 1 ( 0 )
1 2
En exprimant la norme des fonctions propres coniques, on obtient : Ρ 0 2 n n tq P (Cos ( 0 )) 0 z Cos Ρ z P ( ) 2n 1 n 1 0 n
n
n
n
l n r n 1 1 r1 Ρ Cos T1 (r , ) T0 n l l Ρ n 0 , n n 0 r 2 r1 n n r n l n 1 1 lr1 r2 n l n lr 2 r r2 T 2 ( r , ) T0 T0 Ρ Cos Ρn 0 n l n l n 1 n 0, n n 1 r1 r 2 l n lr 2 r1 n 1 r n l n 1 1 lr1 r1 n n lr1 l r r2 T0 Ρn Cos Ρ l n l n 1 n 0, n n 1 n 0 r 2 r1 l n lr1 r2
l n 1 l n 1 1 1 r1 r 2 T 3 ( r , ) T0 Ρn Cos Ρn 0 lr 2 r n 0, n 1 n
.
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
On peut tenter de simplifier l'expression de la solution sur le domaine : n n 1 n n 1 l n l n 1 l n l n 1 lr1 lr 2 lr 2 lr 2 lr1 lr1 r1 r2 r2 r1 Or lr 2 lr1 l r1 lr1 lr1 lr 2 lr 2 lr 2 lr 2 lr1
Ρn Cos
n n n 1 lr1 r lr 2 T 2 ( r , ) T0 T0 n n 1 r 1 n 0, Ρn 0 lr1 n lr 2 n lr 2 lr 2 n n 1 n lr 2 lr1 n 1 n n 1 Ρn Cos lr1 lr 2 r lr1 T0 1 n n 1 r n 0, Ρn 0 lr1 n lr 2 n lr 2 lr1 lr1 n n 1 n lr 2 lr1
T 2 ( r , ) T0 T0
n 0,
Ρn Cos
Ρn 0 lr1 n lr 2 n n 1 n lr 2 l r1
n 1
n n n 1 n n 1 n 1 1 lr1 r lr 2 1 lr1 lr 2 r lr1 n n n l l n r r r 2 r 2 lr 2 lr1 lr1 L'expression n n n 1 n n 1 n 1 1 lr1 r lr 2 1 lr1 lr 2 r lr1 n n n l l n r r r 2 r 2 lr 2 lr1 lr1 n n n n 1 1 r n l r1 lr 2 n 1 lr1 r lr 2 1 n n n n l l l lr 2 r r r2 r2 r2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 l r l lr 2 r l l l l r 2 l r1 n 1 r 2 r1 n r1 n 1 r 2 n r1 lr 1 lr 1 l r1 l r 1 lr 1 r lr1 r lr 2 lr 2 n n n 1 n n 1 n 1 r lr1 lr 2 lr 2 lr1 lr1 n 1 n lr 2 l r 2 lr1 r lr 2 lr1 n n 1 l n l n 1 r lr1 r1 r2 n 1 n lr 2 r lr1 lr 2 n n 1 1 r lr1 Ρ Cos n l n r n r2 T 2 (r , ) T0 T0 Ρ n 0, n n 1 n 0 n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Résumons pour le problème : T (r , ) 0 T (r , ) 0 T (r , ) 0
0
r0 ,l r 1
rlr 1 ,lr 2
T0
T (r , ) 0
rl r 2 ,
0
1 [0, 0 ] 0, lr1 2 [0, 0 ] lr1 , lr 2 3 [0, 0 ] lr 2 , .
Le résultat trouvé pour les solutions dans les trois sous-domaines du cône sphérique : n tq P (Cos ( 0 )) 0 z Cos n
l n r n 1 1 r1 Ρ Cos T1 ( r , ) T0 n lr 2 lr1 Ρ 0 n 0, n n n n n 1 1 r lr1 Ρ Cos n l n r n r2 T 2 ( r , ) T0 T0 Ρ n 0, n n 1 n 0 n
l n 1 l n 1 1 1 r1 r 2 T 3 ( r , ) T0 Ρn Cos lr 2 r Ρ 0 n 0, n n 1 n .
Les expressions vérifient bien la condition de continuité : T1 (lr1 , ) T0 n 0 ,
l n 1 r1 1 Ρ Cos n Ρn 0 lr 2 n n
n 1 lr1 Ρ Cos n l n n r2 2n 1 T 2 (lr1 , ) 1 1 Ρ Cos Ρn 0 Ρn 0 n T0 n 0, n 0 , n n 1 n n 1 n n
l n l n r1 r1 1 n 1 1 lr 2 lr 2 T 2 (lr1 , ) Ρ Cos Ρn Cos n Ρ Ρ T0 n 0, n 0, n n 1 n 0 n n 0 n n T 2 (lr 2 , ) T0 n 0 , T 2 (lr 2 , ) T0 n 0, T 3 (r , ) T0 n 0 ,
2n 1 n n 1
Ρn 0 n
n 1 1 lr1 Ρ Cos n n n lr 2 Ρn Cos Ρ n 0, n n 1 n 0 n
1 l n 1 Ρn Cos Ρn Cos lr1 n r1 1 n n n 0, Ρn 0 lr 2 Ρn 0 lr 2 n 1 n n 1 n n
l n 1 1 r1 1 Ρn Cos Ρn 0 lr 2 n 1 n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
Pour un cône d'angle ouvert θ0 = π/2 :
P (0) 2 2 n n! (1) n 2n 1! n 2 n 1 2
0 Cos ( 0 ) 0 Ρn 0 0 n 2n 1 Ρ n 1 1
P (0) 2 2 n n! 2 2 n n! n ( 1) n 2n 1 (1) n 2n 1! 2n ! n 2 n 1 2
2
2 n 1 r 2 n 1 (1) n 2n ! lr1 T1 ( r , ) T0 1 Ρ2 n 1 Cos 2n n!2 lr 2 lr1 n 0, 2
(1) n 2n ! r T1 (r , ) T0 2n n!2 lr1 n 0, 2
2 n 1
r lr 2
2 n 1
Ρ Cos 2 n 1
n n 1 r l ( 1) 2n 1 2n 1 r1 2n ! Ρn Cos r lr 2 n
T 2 ( r , ) T0 T0
n 0,
2n 12 2 n n!
2
2n 2 l 2 n 2 (1) n 2n 1! lr1 r 2 T 3 (r , ) T0 1 Ρ2 n 1 Cos 2 n 1 n!2 lr 2 r n 0, n 12 2n 2 2n 2 (1) n 2n 1! lr 2 lr1 Ρ2 n 1 Cos T 3 ( r , ) T0 2 2 n 1 r r n 1 2 n ! n 0, 2n3 2n 3 (1) n 1 2n 1! r lr1 r lr 2 Ρ2 n 1 Cos T 3 (r , ) T0 2n 1 2 l r l r 2 n 1 ! n 0, r2 r1
Or :
n 0 ,
(1) n
2n ! x 2n 1 2 2 n! 2n
développement en série de Taylor autour de 0 de
. x 1 x2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-
On abouti pour les domaines Ω1 et Ω3 à des expressions simples sur l'axe z, toute tendant vers 0 lorsque r=0 ou r=∞ : 2 n 1 2 n 1 r T1 ( r , ) (1) n 2n ! r Ρ Cos Ρ 1 1 2 n 1 2 2n l 2 n 1 T0 n! lr1 n 0 , 2 r2 2 n 1 2 n 1 r T1 ( r ,0) (1) n 2n ! r r r 2 2n 2 2 T0 n! lr1 n 0, 2 lr 2 lr 1 r 2 lr 2 r 2
2n3 2n 3 T 3 (r , ) ( 1) n 1 (2n 1)! r lr1 r lr 2 Ρ2 n 1 Cos 2 n 1 2 T0 lr 2 r n 1! lr1 r n 0, 2
2n 3 2n 3 T 3 (r ,0) ( 1) n 1 ( 2n 1)! r lr1 r lr 2 2n 1 2 T0 lr 2 r n 1! lr1 r n 0, 2
(1) n 1 ( 2n 1)! r lr1 2n1 n 1!2 l r n 1, 2 r1
T 3 (r ,0) T0
r 2
lr 1 r 2
2n 3
r lr 2 lr 2 r
2n3
2 n 1 2 n 1 n r lr 2 ( 1) ( 2n)! r lr1 2 2 n n 0, 2 n! lr1 r l r r 2
r
2
lr 2 r 2
Pour le domaine Ω2, on utilise l'expression simplifiée obtenu qui donne : 2 n 1 2n 2 r l 2n ! Ρ Cos (1) 2n 1 2n 1 r1 n l r r2 n
T 2 ( r , ) T0 T0
2n 12 2 n n!
2
n 0 ,
.
2 n 1 2n 2 l r1 2n 1 r 2n 1 l n r r2 T 2 ( r ,0) (1) 2n ! 1 2 2n T0 2 n 1 2 n ! n 0,
T ( r ,0) (1) n 2n ! r 2 1 2n T0 n!2 lr 2 n 0, 2
2 n 1
r (1) n 1 2n 1! lr1 Or 1 lr1 n 0, 2 2n 1 n 1!2 r T 2 ( r ,0) r r 2 T0 lr 2 r 2 lr1
lr 1 r 2 lr1
2
r ( 1) n 1 2n 1! lr1 lr1 n 0, 2 2 n 1 n 1!2 r
2 n 11
2 n 11
r (1) n 1 2n 1! lr1 lr1 n 1, 2 2 n 1 n 1!2 r r
r 2 lr 1
2
2 n 11
r r 2 lr 2
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-291
La continuité est bien assurée, contrôle formel pour écarter le risque d'une erreur de calcul manifeste : T1 (lr1 ,0) T0 T 3 (lr 2 ,0) T0 T 2 (lr1 ,0) T0 T 2 (lr 2 ,0) T0
lr1 2
lr 1 l r1
2
lr 2 2
l r1 l r 2
2
l r1 2
lr 1 lr 1
2
lr 2 2
l r 2 lr 1
2
lr 1 2
lr 2 lr 1
2
lr 2 2
lr 2 lr 2
2
lr 1 2
l r 1 lr 2
2
lr 2 2
lr 2 lr 2
2
1 l r1 2 2 2 lr 2 l r1 lr 2 2
l r 1 lr 2
2
1 2
1 lr 1 2 2 2 lr 2 lr 1
lr 2 2
lr 2 l r1
2
1 2
. En conclusion sur l'axe z : la solution a la forme très simple suivante qui est par exemple la température donnée sur l'axe z par une couronne circulaire plan portée à la valeur T0 entre lr1 et lr2 : T1 ( r ,0) T 3 (r ,0) T 2 (r ,0) T0 T0 T0
r 2
lr 1 r
T ( r ,0) 1 1 r 2 l 2 r2 T0 lr 2 r 2 r1
2
r 2
lr 2 r 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-292
Cette fonction, définie sur l'axe z, contient un maximum, à la valeur de r suivante : T1 ( r ,0) T 3 (r ,0) T 2 (r ,0) T0 T0 T0
lr 1 r
2 T ' (r ,0) lr 1 T0 l 2 r2 r1
0
l
2 r1
r 2 l r1
r
2
lr 2
2
l r l r l r
3 2 2
l
2
r2
2/3
r2
2
lr1
4/3
lr1 lr1 lr 2 4/3 4/3 lr 2 lr1
2
r1
2
2/3
3 2 2
2
3 2 2
lr 2
r2
3 2
r 2
4/3
4/3
2
r 2
lr 2 r 2
2 1 lr 2 r 2 1 2/3 2/3 r 2 4 / 3 4 / 3 lr 2 lr1 4/3 lr 2 lr 2 lr 1 4/3
4/3
l l r r21/ 3 r 2 2 / 3 r lr 2 lr1 2
2/3
lr 1 lr 2 lr1
2/3
2/3
lr 2
2/3
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-293
Exemple : Cône sphérique plein d'angle ϑ0, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumis à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=l r. et de Neumann homogènes en ϑ0 Soit le problème : T (r , ) 0 T (r , ) r l f (Cos ) r
T (r , ) '
0
0
T (r , ) fini
La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir : T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable T' (r , ) 0 Pour respecter la condition aux limites , on est amené à rechercher une extension des polynômes de Legendre de degré entier à des fonctions de Legendre de degré non entier λn Pn (Cos ( )) P (Cos ( )) , ce qui donne la condition suivante pour établir les valeurs propres du problème de Sturm-Liouville. dP ( z ) P ( z ) 0 Cos ( 0 ) ; 0 2 n zP ( z ) P 1 ( z ) n 0 ou Ν 0
n
n
n
dz
z
z 0
z 1
n
n
n 0 Pn ( 0 ) Pn 1 (0 ) 0 0 2 1 n 0 ou 0 Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 0
Exemple si l'on prend la valeur 0 / 2 , alors on retrouve les valeurs propres λn =2n n≥0, si l'on prend l'angle 0 / 3 , alors les 21 premières valeurs propres λ = 0, 3.19569, 6.21953, n
9.22885, 12.2338, 15.2369, 18.239, 21.2405, 24.2416, 27.2426, 30.2433, 33.2439, 36.2444, 39.2448, 42.2452, 45.2455, 48.2458, 51.246, 54.2462, 57.2464, 60.2466
si l'on prend l'angle 0 / 7 , alors les 20 premières valeurs propres λn =
0, 8.05252, 15.14, 22.1738, 29.1917, 36.2028, 43.2104, 50.2158, 57.22, 64.2232, 71.2258, 78.228, 85.2298, 92.2313, 99.2326, 106.234, 113.235, 120.236, 127.236, 134.237, 141.238
En respectant la contrainte de finitude et par principe de superposition on recherche la solution sous la forme d'une série : T ( r , ) An r 1 Bn r P (Cos ( )) Bn r P (Cos ( )) n
n 0 ,
n
n
n
n 0 ,
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-294
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne, en incluant la valeur propre 0 (dû à la condition homogène de Neumann): Ρ0 z 1 0
Bn d Sin( ) f (Cos ) Ρn Cos 0
z Cos 0 Cos ( 0 ) 0
1
0
Ρn z dz Ρn z
1
Ρ0 z dz 1 0 2
2
0
n
0
1
1
2
1
Bn dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z
B0 dz f ( z )
0
n 0 ou 0 Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 0
tq
B0 Bn T (r , ) 1 0 n 0, Ρ z 2 n
r lr
n
Ρn Cos
Selon les formules pour le calcul de la norme d'une fonction de Legendre de degré non entier : 2 1 z
z2
z1
dz Ρ n z 2
C.L.
P n ( z ) z
z
n zP ( z ) P z 1
2
n
2 1 z
dz Ρ n z 1
2
0
n
1
( z ) ( z 2 1)
Ρ n z
2
z
0
n
0
2 Ρ n 0
2n 1
n z
1 Ρ 2
Ρ n z 2
0
n
0 et z 1 1
1 Ρ
0 Cos 0
Ρ n z Ρ n z 2 Ρ n z Ρ n z z z n n 0 2n 1
Ρ Ρ n 0 2 Ρ n 0 2 ) ( 1 0 n 0 Ρ n 0 z z n n 2n 1
posons
0 et n , P n (1) 0 z 0
Ρ n z
comme
z2
Ρ n z Ρ n z 2 Ρ n z Ρ n z z z n n z1 2n 1
0
2 Ρ n 0
2n 1
n z
or
Ρ n 0 z
0 C .L.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-295
développons la dérivée seconde : P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) 2 P ( z ) P ( z ) zP ( z ) P n n 2 z z 1 z z z2 1 2 P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) P ( z ) P 1 ( z ) 2 n z 2 z z 1 z 1 n
n
n
n
n
zPn ( z ) Pn 1 ( z )
Pn ( z )
2 Pn ( z )
z 1 2
z z
z 0
2
z
n
n
n
1
( z)
n
1 Ρn z n z
1 Ρn z Pn ( z ) Pn 1 ( z ) 2 n z n z z 1
Pn ( z )
n
n
or
2
n
z 0
1 Ρn z Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2 n 0 n z z 0 1 0
n P n ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 0 2 0 1
On obtient la valeur de la norme de la fonction de Legendre de degré non entier, solution du problème de Sturm-Liouville avec des conditions adiabatiques : P ( 0 ) P 1 ( 0 ) n 2 Ρ z Ρ 0 0 2n 1 n
n
n
n
on obtient le même résultat avec la formule générale sur les normes
1
0
dz p z 2
p z z p ( z ) p 1 ( z )
p z p 1 z p p 1 ( z ) p ( z) p p 0
Ρ Ρ n Ρ ( 0 ) 1 0 Ρ 1 ( 0 ) 0 n n 2n 1 n
2
2 p 1
n
n
Ρn z
1
n
comme
P ( 0 ) P 1 ( 0 ) n Ρ 0 0 2n 1 n
n
n
Ρn 1 ( 0 ) 0 Ρn ( 0 )
p z Ρn ( z )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-296
On retrouve la valeur de la norme de fonctions de Legendre de degré entier pair, qui correspond au cas θ0=π/2 : n 0 ou 0 Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 0
0 Cos ( / 2) 0 Pn 1 (0) 0 n 2n
tq
n0
2n ! 2 2 n! 2n ! P (0) 2n ! P (0) 2n 2n 2 Ρ2 n z (1) n (1) n 2 2n 2n 4n 1 2 n! 1 4n 1 2 n!2 2 n1 2 2n P (0) n! n 2 cas C.L. Dirichlet (1) 2n 1! 2 n 1 2 2 2 2n2 2n P (0) (n 1)! 2 2 n n! n! n 2 n n 2 (1) (1) (1) 2n 1! 2 n 1 4n 2 2n 1! 2n2n ! on a vu que P2 n (0) (1) n
2n
n
1
1 1 2 Ρ2 n z résultat établi précédemment n , dz Ρn z 4n 1 (2n 1) 0 La solution du problème s'écrit donc : 0 Cos ( 0 ) 2
1
B0 dz f ( z ) 0
n
tq
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 0
n 0 ou 0 Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 0
B0 2n 1 T (r , ) 1 0 n 0, n
r Bn Pn ( 0 ) lr Pn 1 ( 0 ) Ρn 0 0
n
Ρn Cos
Lorsque fθ(θ)=1 alors on a : 0 Cos ( 0 ) n tq n 0 ou 0 P ( 0 ) P 1 ( 0 ) 0 n
1
Bn dz Pn ( z )
B0 1 0
0
1 2n 1
P
0 n
( 0 ) Pn 1 ( 0 )
1 2n
n
P 1
1
n 1
( z ) Pn 1 ( z ) 0
1 2n 1
1
0
T (r , )
n 1
( 0 ) Pn 1 ( 0 )
en utilisant la forme alternative de l'intégral e indéfinie dz Pn ( z ) Bn dz Pn ( z )
P
1 zPn ( z ) Pn 1 ( z ) n 1
1 1 1 zPn ( z ) Pn 1 ( z ) P 1 ( 0 ) 0 Pn ( 0 ) 0 0 n 1 n 1 n
1 0 1 1 0
Et l'on retrouve bien la solution triviale T(r,θ)=1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-297
A titre d'illustration, choisissons une autre fonction limite de profil : f ( ) 1 Heaviside( 1 ) avec 1 0, 0 et posons 1 Cos (1 ) 1
B0 dz (1 1 ) 1
1
Bn dz Ρn z 1
1 2n
Ρ 1
n 1
z Ρ 1 z 1 n
1
1 2n 1
Ρ
n 1
1 Ρ 1 1 n
Il vient la solution suivante : 0 Cos ( 0 ) 1 Cos (1 ) n tq n 0 ou 0 P ( 0 ) P 1 ( 0 ) 0 n
1 1 T (r , ) 1 0 n 0,
n
Ρ Ρ
r Pn ( 0 ) lr Pn 1 ( 0 ) n Ρn 0 0 n 1
1
n 1
1
n
Ρn Cos
Considération sur les valeurs propres du problème aux limites solution d'équation transcendantales. On a vu que pour les deux problèmes précédents, les valeurs propres étaient déterminées par la résolution d'une équation transcendantales de la forme : 0 Cos ( 0 ) Problème de Dirichlet
n
tq
Pn ( 0 ) 0
Problème de Neumann
n
tq
dPn ( z ) dz
0
. Il est possible d'expliciter quels sont ces valeurs propres dans les cas limites d'angle d'ouverture faible ou au contraire très ouvert. De nombreux travaux ont été effectué sur le sujet essentiellement entre 1900 et 1960. Les résultats obtenus sont remarquablement résumés dans l'ouvrage de référence de Louis Robin de 1959 : « Fonctions Sphériques de Legendre et Fonctions Sphéroïdales Tome III » z 0
Estimation des valeurs propres du problème de Dirichlet sur le cône sphérique Ces résultats portent sur les racines de l'équation sur les fonctions associés de Legendre dont l'ordre est entier . tq Pm (Cos ( 0 )) 0 Tout d'abord, les racines de l'équation n avec m réel ou entier et θ0 donnés ne peuvent être complexes. Les solutions sont donc nécessairement réels, et d'autre part elles sont en nombre infini (résultat de Sturm-Liouville). n
De plus suivant la formule sur les fonctions de Legendre associées : Pmn ( z ) Pmn 1 ( z )
pour toute racine n de l ' équation Pmn (Cos 0 ) 0 il correspond la racine n 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-298
Le calcul des racines de l'équation, fait appel à un développement asymptotique des fonctions de Legendre valable lorsque les degrés sont assez grands et l'angle d'ouverture loin des valeurs limites 0 et π , utilisé dans un article de MacDonald de 1900 « Zeroes of the Spherical Harmonic, considered as a function of N ». Dans cet article il utilise le développement pour des ordres entiers négatifs, sachant que de toute façon les zéros des fonctions associées de Legendre d'ordre positif et négatif sont strictement identiques, en vertu de la relation : m n m 1 m n m 1 P m ( z ) 1 Pm ( z ) Pm ( z ) 1 P m ( z ) n m 1 n m 1 . n
n
n
n
P n m (z )
P mn (z )
D'après cette formule, on peut remarquer pour les zéros de qu'en plus des zéros de , il y a les pôles de la fonction n m 1 , donc les valeurs n 0,1,2,, m 1 doivent être systématiquement ajoutées lorsque l'on déduit les zéros des ordres positifs d'après ceux des ordres négatifs. Dans la suite de nos calculs, contrairement à la reprise des résultats faîte dans l'ouvrage de L.Robin, on préfère partir du développement d'ordre négatif ainsi que dans l'article de MacDonald : Cos n 0 m Pn m (Cos ( 0 ))
n m 1 2 3 Sin 0 n 2
1 2
2 2 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos n 0 m 2 p 1 2 2 2 p p 2 p ! 2 3 2 5 2 2 p 1 Sin 0 n n n p 1
Transformons cette expression en utilisant la fonction bifactorielle : 2n 32n 52n 2 p 1 1 3 2n 1 2n 32n 52n 2 p 1 1 3 2n 1
2n 2 p 1!! 2n 1!!
1
2
2l 1
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 2
l p 1
2
l 0
4m 2
Cos n 0 m 2 2 1 l p 1 2 2 2 2 l 1 4 m 2 1 ! ! m 1 2 n n Pn m (Cos ( 0 )) l 0 3 Sin 0 n Cos m 2 p 1 2 n 0 2 2 2p p 2 p!2n 2 p 1!!Sin 0 p 1
0 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-299
Pour les fonctions de Legendre de première espèce, m=0, il vient :
1 3 2 p 1 1 3 2 p 1 2 p 1!! 2
2
2
2
2
n 1
3 2n 1 2p 1 n 2n 1!! n 2 p 1!! p 2 2 2 n 1 n p 1 3 2n 1!! 2 n 3 2n 2 p 1!! 2 n p 2 2
2n 1!! 2
Cos n 0 2 1 2 2n 1!! n 12n 1!! 2 0 P n (Cos ( 0 )) 3 2 Sin 0 n 2 p 1 ! ! Cos 2 p 1 n 0 2 2 22 p p!2n 2 p 1!!Sin p 0 p 1 2 1 2 1 p Cos 2 p 1 n 0 Cos n 0 2 2 2 n 12 n 1 2 2 3 n 1 p p p 1 Sin 0 2 n 1 3 2 p ! p Sin n n 0 2 2 en posant 0! 1
2 1 1 p Cos 2 p 1 n 0 2 2 2 n 1 2 P n (Cos ( 0 )) 3 p Sin 0 p 0 p! n p 2Sin 0 2
Cette dernière formule peut également se généraliser dans le cadre des fonctions de Gegenbauer de première espèce. Ce type de formule servira également pour la détermination approchée des zéros des fonctions de Gegenbauer (pour des valeurs restreinte du paramètre dimensionnel) pour des valeurs fixes de l'angle θ0. Par ailleurs L.Robin précise dans son livre que cette série converge pour des valeurs de θ0 entre [π/6, 5π/6]. En première approximation, les racines de l'équation pour les grandes valeurs λn correspondent à l'annulation du terme en cosinus, en négligeant les termes 1/λ n de la série : 1 1 Cos n 0 m 0 0 n 0 m 2n 1
2
2 2
2
2
4
2
1 1 n 0 2m 4n 3 n 4n 2m 3 2 4 4 2 4 0
Cette formule donne pour une fonction de Legendre de première, en posant m=0 : n
1 4n 3 2 4 0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-300
Et le développement asymptotique de la fonction associée est le suivant en première approximation : 1
2 1 n m 1 2 Cos n 0 m 0 O Pn m (Cos ( )) 3 Sin 0 2 4 2 n n 2
Lorsque n
1
3 2 1 z a 2 1 m 1 n 2 Sin n 0 m 0 O z a b 1 O Pn m (Cos ( )) n n z b 2 2 4 z Sin 0 n 1
m n
P
(Cos ( )) n
m
1 2
2 1 2 Sin n 0 m 0 O 2 2 4 Sin 0 n 1
m n
P
(Cos ( )) n
m
2 1 2 Sin n 0 0 m O 2 2 4 n Sin 0 n
En posant m=0, il vient pour la fonction de Legendre de première espèce :: 1
2 1 2 Sin n O Pn (Cos ( )) 2 4 n Sin n
.
qui est l'expression donnée dans l'ouvrage de N.N.Lebedev «SPECIAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS, Prentice Hall 1965 » . Au passage on remarque que l'écart entre deux valeurs propres asymptotiques est de λn+1- λn= π/θ0. N.N.Lebedev donne également le développement asymptotique pour les grandes valeurs du degré des fonctions de Legendre de deuxième espèce. Développement qui peut servir pour estimer les racines à grande valeur dans les problèmes de section coniques sphériques creuses : 1
2 1 Cos n O Qn (Cos ( )) 2 4 2n Sin n
En meilleur approximation, la méthode de calcul des racines est plus complexe, elle se base sur l'expression d'un développement limité de la formule introduite dans un article de MacDonald : 3 3 Posons x n n 0 m x 0 m 0 x 1 0 2m 1 2 2 2 2 2 4 2 4 2n 3 x 2n 5 x 1 2n 7 x 2 2n 2 p 1 2n 3 2 p 2 x p 1 2 2 2 2 2 Cos 0 x 1 2m 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 n m 1 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Pn m (Cos ( 0 )) 3 Sin 0 n Cos 0 x 1 2m 1 p 2 4 3 p p 2 p ! x x 1 x 2 x p 1 Sin p 1 0 m Equation Pn (Cos( 0 )) 0
12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos 0 x 1 2m 1 p 4 0 Cos 0 x 1 2m 1 3 p p 4 2 p ! x x 1 x 2 x p 1 Sin p 1 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-301
Ce qui donne en développant le cosinus de la sommation : Cos 0 x 1 2m 1
4
1 4m 3 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos 0 x 1 2m 1 Cos p Sin 0 x 1 2m 1 Sin p 4 4 0 3p p 2 p ! x x 1 x 2 x p 1 Sin p 1 0 2
2
2
2 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p Cotan 0 x 1 2m 1 1 4 23 p p! x x 1x 2x p 1Sin p 0 p 1
p 1
1
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1x 2x p 1Sin p 0 2
1
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1x 2x p 1Sin p 0 2
p 1 Cotan 0 x 1 2m 1 2 4 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 1 23 p p! x x 1x 2x p 1Sin p 0 p 1 De plus Cotan z Tan z 2 Cotan 0 x 1 2m 1 Tan 0 x 1 2m 1 Tan 3 2m 0 x 1 4 4 4 2
1
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1x 2x p 1Sin p 0 2
p 1 Tan 3 2m 0 x 1 2 4 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 1 3p p 2 p ! x x 1 x 2 x p 1 Sin p 1 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-302
Si l'on pose :
1
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0 2
N ( x) p 1 D( x) 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0 p 1 Tan 3 2m 0 x 1 U ( x ) 4 3 2m 0 x 1 ArctanU ( x ) n 3 2m Arctan U ( x ) n 0 x 1 n N 4 4 3 2m 4n ArctanU ( x) 4 3 2m 4n ArctanU ( x) x 1 1 0 4 0 0
U ( x)
Posons
t 1
3 2m 4n x t ArctanU ( x ) 4 0 0
On sait que la solution d'ordre zéro de l'équation transcendantale est donnée par : 1 4n 2m 3 t n 3 n 2 4 0 2 La variable t est donc la valeur d'ordre 0 de l'inconnu x, à partir de laquelle on calcule les termes plus élevés du développement. Il convient donc plutôt de noter t comme suit : x0. L'équation transcendantale prend donc également la forme : 3 2m 4n x x0 0 Posons x0 1 4 0
U ( x)
1
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0 2
N ( x) p 1 D( x) 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0 p 1
1
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p p 22 p p! x x 1 x 2 x p 12Sin 0
2
2
N ( x) p 1 D( x) 12 4m 2 32 4m2 2 p 12 4m2 Cos p 1 p 22 p p! x x 1 x 2 x p 12 Sin 0 p 1 ArctanU ( x ) Tan x x0 0 U ( x ) x x0 0 Tan U ( x ) ArctanU ( x ) .
U ( x)
Ce sont les diverses formes employées dans le livre de L.Robin et l'article de MacDonald.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-303
Donnons le développement de la fonction U(x) autour de x 0 :
U ( x)
1
2
1
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p p 22 p p! x x 1 x 2 x p 12 Sin 0
2
2
N ( x) p 1 D( x) 12 4m2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 p 22 p p! x x 1 x 2 x p 12Sin 0 p 1 2 2 2 2 2 2 1 4m Sin b 1 4m 3 4m Sin2 b 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin3 b1 2 3 2 3 221 2 Sin 0 22 2 2!2 Sin 0 2233!2 Sin 0
U ( x)
Posons
1
a1
1
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p p 22 p p!2Sin 0
2
Posons a p
2
N ( x) p 1 D( x) 12 4m2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0 p 1
b p
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 23 p p! x x 1 x 2 x p 1Sin p 0
2
1
4m 2 Cos 221 2 Sin 0
2
2
1
2
a2
4m 2 32 4m 2 Cos 2 2 22 2 2!2 Sin 0
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p p 22 p p!2Sin 0 2
a3
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos 3 3 2233!2 Sin 0
bp b1 b2 N ( x ) x x x 1 x x 1 x 2 x p 1 ap D ( x ) 1 a1 a2 x x x 1 x x 1 x 2 x p 1
On retrouve le développement de MacDonald, retranchant 1 à la variable x, y=x-1 : Si
y x 1
bp b1 b2 N ( y ) y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y p ap a2 D ( y ) 1 a1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y p
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-304
MacDonald donne une expression intermédiaire de N(y)/D(y), due à la propriété suivante du développement : 1 1 1 C ( y) C 2 ( y) C 3 ( y) D( y ) 1 C ( y) ap a1 a2 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y p bp b1 b2 N ( y) y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y p
C ( y)
N ( y ) b1 b2 1 C ( y ) C 2 ( y ) C 3 ( y ) D ( y ) y 1 y 1 y 2 au troisième ordre
C ( y)
a1
a2
a3
y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3
2
C 2 ( y)
a1 2a1a2 2 y 1 y 12 y 2
C 3 ( y)
a1 y 13
3
a1 a2 a3 1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 2 3 1 C ( y) C ( y) C ( y) 2 3 2a1a2 a1 a1 y 12 y 12 y 2 y 13 b1 b2 b3 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 a1 a2 a3 1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 2 3 2a1a2 a1 a1 y 12 y 12 y 2 y 13 b2 b3 b1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 2 a1b2 a2b1 a1 b1 a1b1 2 2 2 3 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 N ( y) c1 c2 c3 d2 d3 e3 2 3 2 D ( y ) y 1 y 1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 c1 b1
c2 a1b1
2
c3 a1 b1
d 2 b2
d 3 a1b2 a2b1
e3 b3
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-305
Au quatrième ordre cela donne :
au quatrième ordre a1 a2 a3 a4 C ( y) y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 2
C 2 ( y)
2
a1 2a1a2 a2 2a1a3 2 2 2 2 2 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 3
a1 3a1a2 C ( y) 3 y 1 y 13 y 2 b1 b2 b3 b4 N ( y) y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 3
a a2 a3 a4 1 1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 2 2 a1 2a1a2 a2 2a1a3 1 C ( y ) C 2 ( y ) C 3 ( y ) 2 2 2 2 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 y 1 3 3a1a2 a1 3 3 y 1 y 1 y 2 b2 b3 b4 b1 y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 a1b1 a2b1 a3b1 2 2 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 N ( y ) y 1 D( y ) a1b2 a2b2 a1b3 y 12 y 2 y 12 y 22 y 12 y 2 y 3 2 3 a12b1 a1 b2 2a1a2b1 a1 b1 3 3 3 4 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 1 2 3 2 b1 a1b1 a1 b1 a1 b1 b2 a2b1 a1b2 2a1a2b1 a1 b2 2 3 4 2 3 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 N ( y ) y 1 y 1 y 1 y 1 D( y ) b3 a2b2 a1b3 a3b1 b4 2 2 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 y 2 y 1 y 2 y 3 N ( y) c1 c2 c3 c4 d2 d3 d4 D ( y ) y 1 y 12 y 13 y 14 y 1 y 2 y 12 y 2 y 13 y 2 e3 e4 f4 g4 y 1 y 2 y 3 y 12 y 22 y 12 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 c1 b1
c2 a1b1
2
c3 a1 b1
d 2 b2
d 3 a1b2 a2b1
e3 b3
e4 a2b2
.
3
c4 a1 b1 2
d 4 2a1a2b1 a1 b2
f 4 a1b3 a3b1
g 4 b4
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-306
Retranscrit dans la variable x, cela donne au quatrième ordre : N ( x ) c1 c2 c3 c4 d2 d d 2 3 4 2 3 3 4 D( x) x x x x x x 1 x x 1 x x 1 e3 e f4 g4 2 4 2 2 x x 1 x 2 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3
U ( x)
c1 b1
2
c2 a1b1
3
c3 a1 b1
d 2 b2
d 3 a1b2 a2b1
e3 b3
e4 a2b2
c4 a1 b1 2
d 4 2a1a2b1 a1 b2
f 4 a1b3 a3b1
g 4 b4
.
On peut également introduire la notation suivante : N ( x) 1 1 2 3 4 ordre croissant de D( x) x c c d2 c d e3 avec 1 1 2 22 3 33 2 3 x x x x 1 x x x 1 x x 1 x 2 c d e f4 g4 4 44 3 4 2 4 2 2 x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3
U ( x)
U ' ( x0 )
d 1 dx
x x0
d 2 dx
x x0
d 3 dx
x x0
d 3 dx
U ' ( x0 ) 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' x x0
2c2 1 1 d2 2 ordre 3 2 3 x x x 1 x x 1
1 '
c1 ordre 2 x2
3 '
x 1 x 2 x x 2 x x 1 3c3 1 2 d3 2 3 e3 ordre 4 2 2 2 4 x x x 1 x 2 x 1 x 2 x x 1
'4
4c4 1 3 1 1 2 d4 3 4 e4 2 2 3 2 2 2 5 x x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 '
x x 1 x 2 x x 1 x 3 x x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f4 ordre 5 2 2 2 x 2 x 1 x 2 x 3
. Appliquons la formule de Lagrange qui donne le développement d'une fonction analytique quelconque f(z) autour d'une racine de l'équation transcendantale : Equation
z z0 uF ( z )
Développement de
f ( z ) autour de z0
u k d k 1 k f ' (t )F (t ) k 1 k 1 k! dt
f ( z ) f ( z0 )
t z0
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-307
Appliquée à l'équation trouvée, il vient : zx u
1 0
z0 x0
F ( x) ArctanU ( x)
d k 1 ArctanU (t ) k k k 1 k 1 0 k! dt
x x0
1
f ( x) x
t x0
1 k 1 ArctanU ( x0 ) 0 1 d ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) ArctanU (t ) 2 k 2 2 2! 0 dt 0 2 1 U ( x0 ) 2 t x0 2 k 3 1 3 d 2 ArctanU (t ) 3 6 0 dt t x0 ArctanU ( x0 ) 2U ' ( x0 ) 2 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) U " ( x0 ) 1 U ( x0 ) 2 ArctanU ( x0 ) 2 3 2 0 1 U ( x0 ) 2 Soit la série
x x0
1 ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) ArctanU ( x0 ) 2 2 0 0 1 U ( x0 )
ArctanU ( x0 )
2 0 1 U ( x0 ) 3
2 2
2U ' ( x ) 1 U ( x ) ArctanU ( x ) U "( x )1 U ( x ) ArctanU ( x ) 2
0
2
0
De plus si U ( x0 ) 1 ArctanU ( x0 ) U ( x0 )
0
0
0
1 U ( x0 ) 3 1 U ( x0 ) 3 3 5
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-308
Rien qu'en se restreignant au deuxième terme en θ0, et en ne développant que les termes maximum de quatrième ordre en x0 , il vient : Développement maximum au quatrième ordre 1 1 3 5 ArctanU ( x0 ) U ( x0 ) U ( x0 ) U ( x0 ) 3 5 1 1 1 3 5 x0 U ( x0 ) 3 U ( x0 ) 5 U ( x0 ) 0 1 1 3 5 x U ( x0 ) U ( x0 ) U ( x0 ) U ' ( x0 ) 3 5 1 2 0 2 1 1 3 5 1 U ( x0 ) U ( x0 ) U ( x0 ) 3 5 Notant U ( x0 ) 1 2 3 4
U ' ( x0 ) 1 ' 2 ' 3 ' 4 '
U ( x ) 1 U ( x ) 3 1 U ( x ) 5 1 3 3 2 0 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 5 3 U ' ( x ) ' ' ' 0 1 2 3 1 1 3 5 U ( x0 ) U ( x0 ) U ( x0 ) U ' ( x0 ) 11 ' 2 '1 1 ' 2 3 5 1 2 2 1 1 2 21 2 21 3 2 1 1 2 3 4 11 ' 21 '1 ' 2 11 '1 2 '1 ' 2 2 1 1 2 3 4
x x0
1 1 3 1 2 1 2 3 4 1 31 2 2 11 '1 2 '1 ' 2 0 3 0
En portant les valeurs : c1 b1
c2 a1b1
2
c3 a1 b1
3
c4 a1 b1 2
d 2 b2
d 3 a1b2
d 4 2a1a2b1 a1 b2
e3 b3
e4 a2b2
f 4 a1b3 a3b1
1
c1 x0
2
g 4 b4
c2 d2 c d e3 3 33 2 3 2 x x 1 x x 1 x0 2 x0 x0 x0 x0 1 0 0 0 0
c4 d e f4 g4 3 4 2 4 2 2 4 x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3 c 2c d d2 1 ' 12 2 ' 32 2 2 2 x0 x0 x0 x0 1 x0 x0 1
4
x x0
1 1 3 1 2 1 2 3 4 1 31 2 2 11 ' 2 '1 1 ' 2 0 3 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-309
Il vient : x0 1
3 4n 2m n x 3 n valeur propre de Pnm Cos0 0 4 0 2
b1 b2 ab 1 a b a2b1 b3 2 3 1 21 3a1 b1 b1 1 22 3 3x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 2a1a2b1 a1 b2 b1 b2 a2b2 a1b3 a3b1 1 2 2 4 3 2 0 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x x0 b4 x 1 x 2 x 3 x 0 0 0 0 1 3a1b12 2b b b bb 3 1 2 13 2 1 2 2 2 4 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 0 x0 .
Valeurs des zéros des fonctions associées de Legendre pour m> 0 Si m est un nombre non entier positif, la formule est obtenue en remplaçant m par -m, de telles manière que les valeurs propres obtenues soient positives, il vient : x0 1 3 4n 4s 2m avec s m le plus grand entier inférieur à m 4 0
b1 b2 ab 1 a b a2b1 b3 2 3 1 21 3a1 b1 b1 1 22 3 3x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 2a1a2b1 a1 b2 b1 b2 a2b2 a1b3 a3b1 1 4 3 2 2 2 0 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x x0 b4 x 1 x 2 x 3 x 0 0 0 0 1 3a1b12 2b b b bb 3 1 2 13 2 1 2 2 2 4 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 0 x0 3 n x n valeur propre de Pmn Cos 0 0 2 .
Si m est un nombre entier positif : x0 1 3 4n 2m m N 4 0 b1 b2 ab 1 a b a2b1 b3 2 3 1 21 3a1 b1 b1 1 22 3 3x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 2a1a2b1 a1 b2 b1 b2 a2b2 a1b3 a3b1 1 2 2 4 3 2 0 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x x0 b4 x0 1 x0 2 x0 3 x0 1 3a1b12 2b b b bb 3 1 2 13 2 1 2 2 2 4 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 0 x0 3 n 0,1,2,, m 1 x n 0 n valeur propre de Pmn Cos 0 0 2 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-310
Exemple de calcul numérique, avec les racines des fonctions de Legendre de première espèce (m=0). Il vient : 12 Sin 1232 Sin2 123252 Sin3 1232527 2 Sin4 b1 21 b2 2 2 b b 3 4 2 3 4 2 2 Sin 0 2 2!2Sin 0 2 233!2Sin 0 2 2 4 4!2Sin 0 a1
Cos 32 Cos 2 a 2 2 2 21 2 Sin 0 22 2 2!2 Sin 0
x0 1
3 4n n x 3 4 0 2
a3
123252 Cos 3 3 2233!2 Sin 0
a4
1232527 2 Cos 4 4 22 4 4!2 Sin 0
0 2
b1 b2 ab 1 a b a2b1 b3 2 3 1 21 3a1 b1 b1 1 22 3 3 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 2a1a2b1 a1 b2 b1 b2 a2b2 a1b3 a3b1 1 4 3 2 2 2 0 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x x0 b4 x 1 x 2 x 3 x 0 0 0 0 1 3a1b12 2b b b bb 2 4 3 1 2 13 2 1 2 2 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 0 x0
Pour une valeur de θ0=π/4, voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 2.5479 ≠0= 0.0478992 ≠1= -0.000898998 ≠2= -0.000290972 Racine n° 2 = 6.52221 ≠0= 0.0222103 ≠1= -0.0000834764 ≠2= -0.0000184569 Racine n° 3 = 10.5143 ≠0= 0.0143259 ≠1= -0.0000210041 ≠2= -3.09537*10 -6 Racine n° 4 = 14.5106 ≠0= 0.010553 ≠1= -8.07055*10 -6 ≠2= -8.27674*10-7 Racine n° 5 = 18.5083 ≠0= 0.00834815 ≠1= -3.89873*10 -6 ≠2= -2.91016*10-7 Racine n° 6 = 22.5069 ≠0= 0.00690368 ≠1= -2.17028*10 -6 ≠2= -1.22498*10-7 Racine n° 7 = 26.5059 ≠0= 0.00588465 ≠1= -1.32975*10 -6 ≠2= -5.85594*10-8 Racine n° 8 = 30.5051 ≠0= 0.00512743 ≠1= -8.72995*10 -7 ≠2= -3.07741*10-8 Racine n° 9 = 34.5045 ≠0= 0.00454269 ≠1= -6.03738*10 -7 ≠2= -1.74005*10-8 Racine n° 10 = 38.5041 ≠0= 0.00407757 ≠1= -4.34819*10 -7 ≠2= -1.0429*10-8
Pour une valeur de θ0=π/3, voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 1.77729 ≠0= 0.0272883 ≠1= -0.000237078 ≠2= -0.0000134362 Racine n° 2 = 4.76278 ≠0= 0.0127794 ≠1= -0.00002498 ≠2= 1.94608*10 -6 Racine n° 3 = 7.75826 ≠0= 0.00825885 ≠1= -7.04956*10 -6 ≠2= 6.19713*10-7 Racine n° 4 = 10.7561 ≠0= 0.00608784 ≠1= -2.92696*10 -6 ≠2= 2.19138*10-7 Racine n° 5 = 13.7548 ≠0= 0.00481733 ≠1= -1.48805*10 -6 ≠2= 9.06012*10-8 Racine n° 6 = 16.754 ≠0= 0.00398444 ≠1= -8.57495*10 -7 ≠2= 4.24327*10-8 Racine n° 7 = 19.7534 ≠0= 0.00339663 ≠1= -5.38288*10 -7 ≠2= 2.18842*10-8 Racine n° 8 = 22.753 ≠0= 0.00295975 ≠1= -3.59653*10 -7 ≠2= 1.21731*10-8 Racine n° 9 = 25.7526 ≠0= 0.00262232 ≠1= -2.52002*10 -7 ≠2= 7.19397*10-9
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-311
Pour une valeur de θ0=2π/3, voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 0.601509 ≠0= -0.0234907 ≠1= -0.000378679 ≠2= -0.000157394 Racine n° 2 = 2.11286 ≠0= -0.0121369 ≠1= -0.0000629402 ≠2= -0.000023714 Racine n° 3 = 3.61694 ≠0= -0.00805657 ≠1= -0.0000194109 ≠2= -6.63981*10 -6 Racine n° 4 = 5.119 ≠0= -0.00600139 ≠1= -8.051*10 -6 ≠2= -2.47032*10-6 Racine n° 5 = 6.62023 ≠0= -0.00477308 ≠1= -3.99159*10 -6 ≠2= -1.09126*10-6 Racine n° 6 = 8.12104 ≠0= -0.00395893 ≠1= -2.23191*10 -6 ≠2= -5.42464*10-7 Racine n° 7 = 9.62162 ≠0= -0.00338065 ≠1= -1.36094*10 -6 ≠2= -2.94224*10-7 Racine n° 8 = 11.1221 ≠0= -0.00294909 ≠1= -8.85813*10 -7 ≠2= -1.70708*10-7 Racine n° 9 = 12.6224 ≠0= -0.00261487 ≠1= -6.06602*10 -7 ≠2= -1.04521*10-7
Exemple de calcul numérique, avec les racines des fonctions de Legendre de première espèce (m quelconque). Il vient : 12 m 2 Sin b 12 m2 32 m 2 Sin2 b 12 m 2 32 m 2 52 m 2 Sin3 b1 21 2 3 2 3 2 2Sin 0 2 2 2 2!2Sin 0 2233!2 Sin 0 b4 a1 a4
1
2
1
m 2 32 m 2 52 m 2 7 2 m 2 Sin4 4 22 4 4!2 Sin 0
m 2 Cos 2 2 Sin 0 2
21
1
2
a2
1
2
m 2 32 m 2 Cos 2 2 22 2 2!2 Sin 0
m 2 32 m 2 52 m 2 7 2 m 2 Cos 4 4 22 4 4!2 Sin 0
a3
1
2
m 2 32 m 2 52 m 2 Cos 3 3 2233!2 Sin 0
si m 0 ou m 0 et m N x0 1 4 3 4n 4s 2m s 0 si m 0 s m si m 0 et m N 0 3 si m 0 et m N x 1 3 4n 2m 0,1,2,, m 1 x n 0 0 n 4 0 2 3 n x 0 2 2 b1 b2 ab 1 a b a2b1 b3 2 3 1 21 3a1 b1 b1 1 22 3 3 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x0 x0 1 x0 x0 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 2a1a2b1 a1 b2 b1 b2 a2b2 a1b3 a3b1 1 2 2 4 3 2 0 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 2 x0 x x0 b4 x 1 x 2 x 3 x 0 0 0 0 1 3a1b12 2b b b bb 2 4 3 1 2 13 2 1 2 2 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 0 x0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-312
Prenons par exemple m=1, et notons que la fonction associée de Legendre de première espèce d'ordre 1 est définie comme suit par une formule de Rodrigues : Pm z 1 1 z 2 2 m
m
m P ( z ) P ( z ) Pm z 1 z 2 m z z .
Donc les zéros de la dérivée première des fonctions de Legendre sont les zéros des fonctions associées de Legendre de première espèce d'ordre 1. Pour une valeur de θ0=π/4, m=1 , voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 4.40533 ≠=0= -0.0946708 ≠=1= -0.0015862 ≠=2= -0.0000636312 Racine n° 2 = 8.44711 ≠=0= -0.0528874 ≠=1= -0.000293227 ≠=2= -1.92644*10 -6 Racine n° 3 = 12.4633 ≠=0= -0.0366712 ≠=1= -0.0000999829 ≠=2= -7.20891*10 -8 Racine n° 4 = 16.4719 ≠=0= -0.0280603 ≠=1= -0.0000452943 ≠=2= 2.86222*10 -8 Racine n° 5 = 20.4773 ≠=0= -0.0227226 ≠=1= -0.0000242023 ≠=2= 2.24911*10 -8 Racine n° 6 = 24.4809 ≠=0= -0.0190904 ≠=1= -0.0000144081 ≠=2= 1.346*10 -8 Racine n° 7 = 28.4835 ≠=0= -0.016459 ≠=1= -9.25733*10 -6 ≠=2= 7.93428*10-9 Racine n° 8 = 32.4855 ≠=0= -0.014465 ≠=1= -6.29512*10 -6 ≠=2= 4.80415*10-9 Racine n° 9 = 36.4871 ≠=0= -0.0129019 ≠=1= -4.47265*10 -6 ≠=2= 3.01113*10-9 Racine n° 10 = 40.4884 ≠=0= -0.0116436 ≠=1= -3.29065*10 -6 ≠=2= 1.95232*10-9
Pour une valeur de θ0=π/3, m=1, voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 3.19569 ≠=0= -0.0543088 ≠=1= -0.000778612 ≠=2= -0.000162786 Racine n° 2 = 6.21953 ≠=0= -0.0304708 ≠=1= -0.000139809 ≠=2= -0.0000157221 Racine n° 3 = 9.22885 ≠=0= -0.0211506 ≠=1= -0.0000466639 ≠=2= -3.32024*10 -6 Racine n° 4 = 12.2338 ≠=0= -0.0161909 ≠=1= -0.0000208572 ≠=2= -1.02612*10 -6 Racine n° 5 = 15.2369 ≠=0= -0.0131137 ≠=1= -0.0000110479 ≠=2= -3.98408*10 -7 Racine n° 6 = 18.239 ≠=0= -0.0110188 ≠=1= -6.53821*10 -6 ≠=2= -1.80236*10-7 Racine n° 7 = 21.2405 ≠=0= -0.00950065 ≠=1= -4.18338*10 -6 ≠=2= -9.10053*10-8 Racine n° 8 = 24.2416 ≠=0= -0.00835006 ≠=1= -2.83612*10 -6 ≠=2= -4.99221*10-8 Racine n° 9 = 27.2426 ≠=0= -0.00744797 ≠=1= -2.01045*10 -6 ≠=2= -2.92197*10-8 Racine n° 10 = 30.2433 ≠=0= -0.00672174 ≠=1= -1.47655*10 -6 ≠=2= -1.80176*10-8
Pour une valeur de θ0=2π/3, m=1, voici la simulation pour les 10 premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1 et 2): Racine n° 1 = 1.42412 ≠=0= 0.0491233 ≠=1= -0.00100119 ≠=2= -0.000176662 Racine n° 2 = 2.90434 ≠=0= 0.0293405 ≠=1= -0.000216727 ≠=2= -0.0000145459 Racine n° 3 = 4.39574 ≠=0= 0.0207447 ≠=1= -0.0000780079 ≠=2= -1.5423*10 -6 Racine n° 4 = 5.891 ≠=0= 0.0160029 ≠=1= -0.0000364012 ≠=2= 2.96706*10 -8 Racine n° 5 = 7.38801 ≠=0= 0.0130121 ≠=1= -0.0000198364 ≠=2= 1.92877*10 -7 Racine n° 6 = 8.88596 ≠=0= 0.0109579 ≠=1= -0.0000119777 ≠=2= 1.59753*10 -7 Racine n° 7 = 10.3845 ≠=0= 0.00946138 ≠=1= -7.77875*10 -6 ≠=2= 1.12605*10-7 Racine n° 8 = 11.8833 ≠=0= 0.00832328 ≠=1= -5.33392*10 -6 ≠=2= 7.70399*10-8 Racine n° 9 = 13.3824 ≠=0= 0.00742891 ≠=1= -3.81486*10 -6 ≠=2= 5.29038*10-8 Racine n° 10 = 14.8817 ≠=0= 0.0067077 ≠=1= -2.82172*10 -6 ≠=2= 3.68532*10-8
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-313
On peut aussi développer en puissance de τ=1/x :
1 ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) ArctanU ( x0 ) 2 0 0 2 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) 2 2 2U ' ( x0 ) 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) U " ( x0 ) 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) 3 2 2 2 0 1 U ( x0 ) d U ' ( ) U ' ( x ) U ' ( ) 2 2U ' ( ) U ' ' ( x ) 2 2U ' ( ) ' 4U ' ' ( ) 2 3U ' ( ) dx x 1 ArctanU ( ) 2U ' ( ) x x0 ArctanU ( ) 2 2 0 0 1 U ( ) x x0
ArctanU ( ) 3
2 0 1 U ( ) 3
U ( x0 )
2 2
N ( x0 ) D ( x0 )
2 U ' ( ) 1 U ( ) ArctanU ( ) U ' ' ( ) 2U ' ( )1 U ( ) ArctanU ( )
avec
2
2
bp b1 b2 N ( x) x x x 1 x x 1 x 2 x p 1 ap D ( x) 1 a1 a2 x x x 1 x x 1 x 2 x p 1
b2 2 b3 3 b4 4 N ( ) b 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 1 Si 2 x0 a3 3 a4 4 D( ) 1 a a2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3
Ce qui donne l'estimation suivante, à l'aide d'un petit calcul sur Mathematica en développant à l'ordre 4 en τ et l'ordre 2 en θ0 : 3 2 b b1 b2 a1b1 2 a1 b1 a2b1 1 b2 a1b2 b3 3 0 3 3 2 2 3 x x0 a1b1 a1 b1 a1b2 a2b1 2a1a2b1 a1b3 a3b1 b2 a1 b2 a2b2 b1 b2 3b3 b4 3 2 b12 3 a1b12 b1b2 0
A l'ordre 5 en τ et l'ordre 3 en θ0 :, nous avons : 3 b b1 b2 a1b1 2 a12 b1 a2b1 1 b2 a1b2 b3 3 3 3 3 2 2 a1b1 a1 b1 a1b2 a2b1 2a1a2b1 a1b3 a3b1 b2 a1 b2 a2b2 b1 b2 3b3 b4 0 4 2 2 2 3 x x0 4 5a1 b1 5a2b1 5a1b2 10a1a2b2 10a1a2b1 10a1a3b1 15a1b1 b2 15a1 a2b1 10a1 b1 b 5 5b 5a 2b 5a 2b 5a b 3 5a 3b 10a b 5b 2b 5b b 2 5a b 5a b 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 4 1 1 4 5 1 2 2 35b3 15a3b1 15a1b3 5a1 b3 5a2b3 5a3b2 5b1 b3 30b4 5b5 3 5 3 2 2 2b1 2 2 2 2 2 4 2 2 b1 3 a1b1 b1b2 9a1 b1 6a2b1 2b1 6b1b2 12a1b1b2 3b2 6b1b3 3 3 0 0
L'amélioration des résultats en passant aux ordres supérieurs est surtout manifeste lorsque m > 1.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-314
Estimation des racines pour quelques valeurs limites de θ0 : θ0=π/2 Si θ0=π/2, on a déjà indiqué les valeurs propres du problème de Dirichlet (cas de la demi-sphère qui sont entières), on peut aussi raisonner à partir de la valeur des fonctions de Legendre associées en 0 qui est connu : 2m sachant que n n m n m 1 1 1 2 2 Les racines sont les pôles de la fonction Gamma n m n m 1 1 k ou 1 k ' k , k ' N 2 2 n m 2k 1 ou n 2(k '1) m 1 Pmn (0)
n m 2 k
ou
n 2k ' m 1 k , k ' 0, k , k ' N
n0
.
On retrouve donc pour m=0, les valeurs propres 1,3,5... Estimation des racines pour quelques valeurs limites de θ0 : θ0 proche de zéro Dans ce cas on doit utiliser un autre développement en série des fonctions associées de Legendre à l'aide des fonctions de Bessel : x 0 2 0 1
Pn m (Cos 0 )
1 nCos 0 2
m
J m ( x ) Sin 2 J m 1 ( x) Sin 2 2 J m 2 ( x) 6 J m 3 ( x) 2 3 x 3 0 Sin J m 2 ( x) J m 3 ( x) J m 4 ( x) 2 6 2 x 2 Sin 4 0 x J m 6 ( x) 17 x J m 5 ( x) 11 J m 4 ( x) 4 J m 3 ( x) 60 8 3x 2 72 5 0 O Sin 2
avec x 2n Sin 0 2
Posons t Sin 0 2 x 2 1 J m ( x ) tJ m 1 ( x) t 2 J m 2 ( x) 6 J m 3 ( x) 32 3 x t J m 2 ( x ) J m 3 ( x ) J m 4 ( x ) 1 m 2 6 x P n (Cos 0 ) m 2 0 17 x 11 4 nCos 4 x t J ( x ) J ( x ) J ( x ) J ( x ) m 6 m 5 m 4 m 3 2 60 8 3x 72 5 O t x 2 J m ( x) tJ m 1 ( x ) t J m 2 ( x) J m 3 ( x) 6 3 x 2 Pn m (Cos 0 ) 0 t 3 J m 2 ( x) J m 3 ( x ) J m 4 ( x) 0 2 6 x 2 x 17 x 11 4 t 4 J m 6 ( x ) J m 5 ( x) J m 4 ( x) J m 3 ( x) O t 5 60 8 3x 72
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-315
La première approximation des racines de l'équation transcendantale est donc fournie par le premier terme du développement s'annulant, soit les racines de l'équation avec les fonctions de Bessel : J m 2n Sin 0 0 Pour m 0 J 0 2n Sin 0 0 2
2
x0 Soit x0 la n ième racine de J m x0 0 2n Sin 0 x0 n 2 2 Sin 0 2.
Pour améliorer ce résultat, on doit résoudre l'équation transcendantale suivante par approximation successive sur le développement en puissance de t : 0 2 3 4 5 t Sin On suppose 2 x0
tq
J m x0 0
x x0 a1t a2t a3t a4t O (t )
J m ' ( x0 ) J m 1 ( x0 )
J m 1 ' ( x0 )
m 1 J x0
m 1
( x0 )
Développement à l ' ordre 1 de t x
tq
J m ( x) tJ m 1 ( x) 0 J m ( x) tJ m 1 ( x)
J m ( x) J m ( x0 ) x x0 J m ' ( x0 ) x x0 J m ' ( x0 ) x x0 J m 1 ( x0 )
J m 1 ( x) J m 1 ( x0 ) x x0 J m 1 ' ( x0 ) tJ m 1 ( x ) tJ m 1 ( x0 ) x x0 tJ m 1 ' ( x0 )
x x0 J m ' ( x0 ) tJ m 1 ' ( x0 ) tJ m 1 ( x0 ) x x0 J m 1 ( x0 ) tJ m 1 ' ( x0 ) tJ m 1 ( x0 ) x x0
t t x x0 t m 1 1 t x0
. A l'ordre 2 de t, on a besoin des relations suivantes en exprimant toutes les fonctions de Bessel en fonction Jm+1(x) : J m ( x0 ) 0
J m ' ( x0 ) J m 1 ( x0 )
J m 1 ( x0 ) x0
J m 1 ' ( x0 )
m 1 J x0
m 1
( x0 )
2m 1m 2 J m 2 ' ( x0 ) 1 J m 1 ( x0 ) 2 x0 4m 1m 2 3m 5 4m 1m 2 m 3 J m 3 ( x0 ) 1 J m 1 ( x0 ) J m 3 ' ( x0 ) J m 1 ( x0 ) 2 3 x0 x0 x0 . J m 2 ( x0 )
2m 1 J m 1 ( x0 ) x0
J m ' ' ( x0 )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-316
Et les calculs se développent comme suit : Développement à l ' ordre 2 de t x
tq
x 1 J m ( x) tJ m 1 ( x) t 2 J m 2 ( x) J m 3 ( x) 0 6 2
J m ( x) x x0 J m 1 ( x0 )
x x0 2 2
J m 1 ( x) J m 1 ( x0 ) x x0 J m 1 ' ( x0 )
J m 1 ( x0 ) x0
2m 1 2m 1m 2 J m 2 ( x) J m 2 ( x0 ) x x0 J m 2 ' ( x0 ) J m 1 ( x0 ) x x0 1 2 x0 x0 4m 1m 2 3m 5 4m 1m 2 m 3 J m 3 ( x) J m 3 ( x0 ) x x0 J m 3 ' ( x0 ) J m 1 ( x0 ) 1 x x0 2 3 x x x 0 0 0 x x0 J m 1 ( x0 )
x x0 2 2
J m 1 ( x0 ) m 1 tJ m 1 ( x0 )1 x x0 x0 x0
m 1 x x0 2m 1m 2 J m 1 ( x0 ) 1 2 2 x0 x0 2 t 0 x 4m 12m 2 1 x x0 3m 5 4m 1m 3 2 m 3 6 J m 1 ( x0 ) x0 x0 x0 x x0 2 t 1 x x m 1 x x0 0 2 x0 x0 m 1 x x 2m 1m 2 0 1 2 2 x0 x0 3m 5 4m 1m 2 m 3 x x0 4m 1m 2 2 t 1 x x0 0 2 3 6 x0 x0 x0 x0 4m 1m 2 1 x x0 3m 5 4m 1m 2 m 3 2 3 6 x x x 0 0 0 2 3 t x x0 t O t à l ' ordre 2 de t t 2 x x0 O t 3 2 2 x x0 t
2m 1 1 x 4m 1m 2 x x0 t t 2 0 1 0 2 2 x0 6 x0 x0 2m 1 2m 1m 2 1 x x x0 t t 2 0 3 x0 2 x0 6 x0
4m 11 m 3 x x 4 1 m2 3 x x0 t t 2 0 x0 t t 2 0 1 2 6 x0 6 x0 6 6 x0 x x0 t t 2
x0 1 4m 2 1 2 6 x0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-317
On donne ici le résultat lorsque l'on porte le développement jusqu'au 4ème ordre en t : x x0 t t 2
x0 6
1 4m 2 1 2 x0
17 x0 592m 2 40m 13 48m 4 6480m 2 28400m 7720 t4 3 180 x0 360 x0 360 x0 nième zéro de la fonction de Bessel J m x0 0 avec x 0 m t Sin 2 n 2t valeur approchée de Pn (Cos 0 ) 0 .
Pour les racines des ordres m> 0 des fonctions associées de Legendre, nous avons :
1 4m 2 2 x0 x x0 t t 1 2 6 x0 17 x0 592m 2 40m 13 48m 4 6480m 2 28400m 7720 t 4 3 360 180 x0 360 x0 Si m N x0 nième zéro de la fonction de Bessel J m x0 0 x 0 avec m t Sin 2 n 2t valeur approchée de Pn (Cos 0 ) 0 x n 0,1,2,, m 1 2t 2 x x0 t t 2 x0 1 1 4m 2 6 x0 2 17 x0 592m 40m 13 48m 4 6480m 2 28400m 7720 Si m N t 4 3 180 x0 360 x0 360 x0 nième zéro de la fonction de Bessel J m x0 0 avec x 0 m t Sin 2 n 2t valeur approchée de Pn (Cos 0 ) 0
Pour une valeur de θ0=π/12, m=0, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1,2 et 4): Racine n° 1 = 8.68121 !=0= -0.530836 !=1= -0.0308359 !=2= -0.000155068 !=4= -0.00170987 Racine n° 2 = 20.5832 !=0= -0.56232 !=1= -0.06232 !=2= -0.000306622 !=4= -0.000143993 Racine n° 3 = 32.5535 !=0= -0.595853 !=1= -0.0958528 !=2= -0.000467658 !=4= -0.0000407981 Racine n° 4 = 44.5394 !=0= -0.629813 !=1= -0.129813 !=2= -0.00063145 !=4= -0.0000200562 Racine n° 5 = 56.5312 !=0= -0.663931 !=1= -0.163931 !=2= -0.000796323 !=4= -0.0000141443 Racine n° 6 = 68.5258 !=0= -0.698126 !=1= -0.198126 !=2= -0.000961724 !=4= -0.0000124806 Racine n° 7 = 80.522 !=0= -0.732363 !=1= -0.232363 !=2= -0.00112742 !=4= -0.0000123957 Racine n° 8 = 92.5191 !=0= -0.766626 !=1= -0.266626 !=2= -0.0012933 !=4= -0.0000130053 Racine n° 9 = 104.517 !=0= -0.800907 !=1= -0.300907 !=2= -0.00145931 !=4= -0.0000139588 Racine n° 10 = 116.515 !=0= -0.835199 !=1= -0.335199 !=2= -0.00162539 !=4= -0.0000150983
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-318
Pour une valeur de θ0=π/12, m=1, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1,2 et 4): Racine n° 1 = 14.1446 !=0= -0.533304 !=1= -0.0333039 !=2= -0.000141903 !=4= -0.0000326839 Racine n° 2 = 26.3023 !=0= -0.571996 !=1= -0.0719958 !=2= -0.000337279 !=4= -0.000316919 Racine n° 3 = 38.363 !=0= -0.607966 !=1= -0.107966 !=2= -0.000515063 !=4= -0.000266655 Racine n° 4 = 50.3952 !=0= -0.643163 !=1= -0.143163 !=2= -0.000687524 !=4= -0.000219363 Racine n° 5 = 62.4152 !=0= -0.678031 !=1= -0.178031 !=2= -0.000857689 !=4= -0.000185246 Racine n° 6 = 74.4287 !=0= -0.712728 !=1= -0.212728 !=2= -0.00102666 !=4= -0.000160648 Racine n° 7 = 86.4386 !=0= -0.747327 !=1= -0.247327 !=2= -0.00119492 !=4= -0.000142456 Racine n° 8 = 98.446 !=0= -0.781862 !=1= -0.281862 !=2= -0.00136273 !=4= -0.000128653 Racine n° 9 = 110.452 !=0= -0.816354 !=1= -0.316354 !=2= -0.00153025 !=4= -0.000117953 Racine n° 10 = 122.457 !=0= -0.850817 !=1= -0.350817 !=2= -0.00169754 !=4= -0.000109514
Pour une valeur de θ0=π/12, m=4, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1,2 et 4): Racine n° 1 = 28.5764 !=0= -0.491888 !=1= 0.00811154 !=2= 0.000346688 !=4= -0.0068959 Racine n° 2 = 41.8265 !=0= -0.55852 !=1= -0.0585201 !=2= -0.0000994765 !=4= -0.00473294 Racine n° 3 = 54.4471 !=0= -0.609048 !=1= -0.109048 !=2= -0.000394145 !=4= -0.00364662 Racine n° 4 = 66.8272 !=0= -0.653349 !=1= -0.153349 !=2= -0.000636513 !=4= -0.00297804 Racine n° 5 = 79.0862 !=0= -0.694489 !=1= -0.194489 !=2= -0.000853748 !=4= -0.0025217 Racine n° 6 = 91.2746 !=0= -0.733786 !=1= -0.233786 !=2= -0.00105676 !=4= -0.00218937 Racine n° 7 = 103.418 !=0= -0.771906 !=1= -0.271906 !=2= -0.00125086 !=4= -0.00193619 Racine n° 8 = 115.531 !=0= -0.809227 !=1= -0.309227 !=2= -0.001439 !=4= -0.00173678 Racine n° 9 = 127.623 !=0= -0.84598 !=1= -0.34598 !=2= -0.00162292 !=4= -0.00157562 Racine n° 10 = 139.699 !=0= -0.882313 !=1= -0.382313 !=2= -0.00180377 !=4= -0.00144269
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-319
Estimation des racines pour quelques valeurs limites de θ0 : θ0 proche de π Pour cela on utilise maintenant le développement hypergéométrique suivant, dans lequel on suppose m non entier : Posons 0 m Tan m F n , n 1;1 m; Sin 2 2 2 n m 1 n m Pmn (Cos 0 ) Sin(n )m Cotan m F , 1;1 m; Sin 2 n n 2 2 .
Cas m<0, et m non entier : Dans ce cas la première expression du membre droit : Tan m 0 Tan m 2 2
m Tan m F n , n 1;1 m; Sin 2 n m 1 n m 2 2
devient infinie, il faut annuler cette expression pour trouver en première approximation les racines de l'équation transcendantale. Elles correspondent aux pôles des fonctions Gamma du dénominateur en première approximation, soit : n m 1 n m 1 k n m k 1 k N n m n m k n k m
k N
. Pour obtenir une approximation de degré supérieur, on annule le membre droit de l'égalité, soit : m Tan m F n , n 1;1 m; Sin 2 n m 1 n m 2 2 Sin (n )m Cotanm F n , n 1;1 m; Sin 2 2 2
. Et selon L.Robin, par commodité d'écriture changeons m en -m, soit à rechercher les solutions pour m>0, cette fois-ci : m Tan m F n , n 1;1 m; Sin 2 n m 1m n 2 2 Sin (n ) m Cotan m F n , n 1;1 m; Sin 2 2 2
F n , n 1;1 m; Sin 2 1 m n m 1m n 2 Tan 2 m Sin (n ) m 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 2 1 n m 1 Comme Sin(m n ) z 1 z m n Sin( z ) F n , n 1;1 m; Sin 2 Sin (n ) m n m 1 2 Tan(m n ) Tan 2 m 2 m n m 1 Cos (m n ) F n , n 1;1 m; Sin 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-320
m est ici positif, l'angle β, complément de θ0 à π, est très petit, donc la tangente Tan(β/2) peut être remplacée par β/2, les deux séries hypergéométriques tendent toutes deux vers 1, et le membre droit de l'équation peut être confondu avec sa tangente, il vient : Tanm n 2
2m
m n m 1 Sin(n ) m n m 1 Cos (m n )
2 m m n m 1 Sin(n ) Tanm n Tan 2 m m 1 Cos ( m ) n n m n k 2 n m k 2
2m
2m
m n m 1 Sin(n ) m n m 1 Cos (m n )
m n m 1 Sin(n ) m n m 1 Cos (m n )
. En itérant une fois cette équation on trouve le premier ordre d'approximation des racines λ n : 2m 0 (0n ) 0n k m 1n m k 2 mm0 nmm11 CosSin (m 0n ) n k 2
2m
m k 2m 1 Sin(k m ) m k 1 Cos (k )
k 2
2m
m k 2m 1 Sin(m ) Or m k 1
m 1 m
Sin(m )
k 2m 1 k m 1 m k 1 2 2m
k 2m 1 k 2m 1 1n m k 1n k m m 1k 1 2 m 1 m k 1 2 m . Solution en deuxième approximation de Pn m (Cos 0 ) 0 avec m 0 2m
2m
On note avec ce résultat que l'approximation est moins avec les valeurs k plus grande., soit les racines successives croissantes. Cas m > 0, m entier Lorsque m est un entier, il existe une formule qui relie les deux fonctions de Legendre associées d'ordre opposé : n m 1 m Pm (Cos 0 ) (1) m P (Cos0 ) n m 1 n
n
n
mêmes racines que
Pn m (Cos 0 )
racines n m 1 n m 1 k n m k 1 n m 1 De plus
n m 1 n m 1 k ' n k 'm 1 n m 1 n m
n m, m 1,, m 1 2m valeurs
n restreint aux valeurs positives 0 2m k 2m 1 0 , 1 , 2 , , m 1 k m k 0 n 2 m m 1 k 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-321
Cas m > 0, m non entier Lorsque m n'est pas entier alors c'est le second terme du membre droit de l'expression de départ qui devient infini, et qu'il convient d'annuler, soit : Tan m 0 Tan m 2 2
Sin(n )m Cotan m F n , n 1;1 m; Sin 2 Sin(n ) 0 2 2
En première approximation on a donc bien les valeurs λ n=k entier quelconque. Pour obtenir une approximation de degré supérieur, on annule une fois de plus l'expression du développement de la la fonction de Legendre en fonction de la tangente , comme suit : F n , n 1;1 m; Sin 2 Sin(n )m m 2 Tan 2 m n m 1 n m 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 2
F n , n 1;1 m; Sin 2 Sin(n ) m 2 Tan 2 m Cos (n ) n m 1 n m m Cos (n ) 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 m 2 Tan(n ) Tan 2 m n m 1 n m m Cos (n ) 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 2 .
En réalisant les mêmes approximations qu'avec le calcul m<0, soit l'angle β, complément de θ 0 à π, est très petit, sa tangente Tan(β/2) peut être remplacée par β/2, les deux séries hypergéométriques tendent toutes deux vers 1, et le membre droit de l'équation peut être confondu avec sa tangente, il vient : F n , n 1;1 m; Sin 2 Sin (n ) m 2 Tan 2 m Cos (n ) n m 1 n m m Cos (n ) 2 F n , n 1;1 m; Sin 2 2
n k
m n m 1 n m m Cos (n ) 2
m n k n m 1 n m m Cos (n ) 2
2m
2m
m k, k 0 0 0 n m 1 n m m Cos (n ) 2 0 n
1 n
n k 1
k
Comme
m k m 1 k m m 2
2m
m k 1 k m 1 k m m 2 k
2m
m k m 1 k k m 1 1 n k k m m 1 k m 1m m 1 2
2m
2m
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-322
On trouve donc finalement pour m> 0 : 2m k m 1 0 n k m 1m k m 1
2
k N
. Pour m=0 (soit le cas de la fonction de Legendre de première espèce, on applique un développement donné dans l'ouvrage de Louis Robin : F n , n 1;1; Sin 2 2 Tan(n ) 2 2 Log Cotan (n ) F n , n 1;1; Sin 2 p p n p 1 ( p ) p 2 1 Sin p 1( p!) 2 2 n p 0
2
p n p 1 ( p ) Ici F n , n 1;1; Sin 2 1 1 p Sin 2 0 (n ) 0 2 2 2 p 0 n p 1( p!) 1 1 2 Tan(n ) Cotan 2 2 2 Log Cotan Log Cotan (n ) 2 2 1 1 n k k 2 2 2 Log Cotan Log 2 p
n k
si
n k 0
1 2 2 Log
Soit finalement en deuxième approximation : n k
1 1 k 0 2 2 Log 2 Log 2 0
.
Illustrons par quelques valeurs numériques. Pour une valeur de θ0=17π/18, m=-1.6, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1) et l'écart Δ1 entre ces deux approximations: Racine n° 1 = 1.60235 !=0= 0.0023511 !=1= -0.000126691 Δ1= 0.00247779 Racine n° 2 = 2.60919 !=0= 0.00919252 !=1= -0.00121419 Δ1= 0.0104067 Racine n° 3 = 3.62181 !=0= 0.0218134 !=1= -0.00524399 Δ1= 0.0270574 Racine n° 4 = 4.64058 !=0= 0.0405753 !=1= -0.0153434 Δ1= 0.0559187 Racine n° 5 = 5.66517 !=0= 0.0651684 !=1= -0.0354852 Δ1= 0.100654 Racine n° 6 = 6.69494 !=0= 0.0949355 !=1= -0.0701365 Δ1= 0.165072 Racine n° 7 = 7.72911 !=0= 0.129114 !=1= -0.123996 Δ1= 0.25311 Racine n° 8 = 8.76697 !=0= 0.166974 !=1= -0.201844 Δ1= 0.368818 Racine n° 9 = 9.80787 !=0= 0.207875 !=1= -0.30847 Δ1= 0.516345 Racine n° 10 = 10.8513 !=0= 0.251279 !=1= -0.448656 Δ1= 0.699935
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-323
Pour une valeur de θ0=17π/18, m=1 ou -1, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1) et l'écart Δ1 entre ces deux approximations: Racine n° 1 = 1.01453 !=0= 0.0145328 !=1= -0.000698044 Δ1= 0.0152309 Racine n° 2 = 2.04054 !=0= 0.0405352 !=1= -0.00515741 Δ1= 0.0456926 Racine n° 3 = 3.07482 !=0= 0.0748162 !=1= -0.016569 Δ1= 0.0913852 Racine n° 4 = 4.11495 !=0= 0.114946 !=1= -0.037363 Δ1= 0.152309 Racine n° 5 = 5.15923 !=0= 0.159231 !=1= -0.0692324 Δ1= 0.228463 Racine n° 6 = 6.20652 !=0= 0.206517 !=1= -0.113331 Δ1= 0.319848 Racine n° 7 = 7.25601 !=0= 0.256014 !=1= -0.17045 Δ1= 0.426464 Racine n° 8 = 8.30717 !=0= 0.307173 !=1= -0.241138 Δ1= 0.548311 Racine n° 9 = 9.3596 !=0= 0.359605 !=1= -0.325785 Δ1= 0.685389
Pour une valeur de θ0=17π/18, m=1.6, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1) et l'écart Δ1 entre ces deux approximations: Racine n° 1 = 1.00052 !=0= 0.000523983 !=1= -0.000011308 Δ1= 0.000535291 Racine n° 2 = 2.00445 !=0= 0.0044545 !=1= -0.000363125 Δ1= 0.00481762 Racine n° 3 = 3.01351 !=0= 0.0135082 !=1= -0.00232112 Δ1= 0.0158293 Racine n° 4 = 4.02859 !=0= 0.0285873 !=1= -0.00834785 Δ1= 0.0369351 Racine n° 5 = 5.04974 !=0= 0.049745 !=1= -0.0219526 Δ1= 0.0716975 Racine n° 6 = 6.0765 !=0= 0.0764966 !=1= -0.0473446 Δ1= 0.123841 Racine n° 7 = 7.10812 !=0= 0.10812 !=1= -0.0891085 Δ1= 0.197229 Racine n° 8 = 8.14385 !=0= 0.143855 !=1= -0.151988 Δ1= 0.295843 Racine n° 9 = 9.183 !=0= 0.183002 !=1= -0.240773 Δ1= 0.423775 Racine n° 10 = 10.225 !=0= 0.224963 !=1= -0.36025 Δ1= 0.585213
Pour une valeur de θ0=27π/28, m=0, voici la simulation pour les premières racines de l'équation transcendantale, avec les différences par approximation d'ordre successivement supérieur (0,1) et l'écart Δ1 entre ces deux approximations: Racine n° 1 = 0.171513 !=0= 0.171513 !=1= -0.00206017 Δ1= 0.173574 Racine n° 2 = 1.23469 !=0= 0.234693 !=1= 0.0611191 Δ1= 0.173574 Racine n° 3 = 2.28625 !=0= 0.286247 !=1= 0.112673 Δ1= 0.173574 Racine n° 4 = 3.33301 !=0= 0.333006 !=1= 0.159432 Δ1= 0.173574 Racine n° 5 = 4.37715 !=0= 0.377147 !=1= 0.203574 Δ1= 0.173574 Racine n° 6 = 5.41965 !=0= 0.419653 !=1= 0.24608 Δ1= 0.173574 Racine n° 7 = 6.46105 !=0= 0.461051 !=1= 0.287477 Δ1= 0.173574 Racine n° 8 = 7.50165 !=0= 0.501655 !=1= 0.328081 Δ1= 0.173574 Racine n° 9 = 8.54167 !=0= 0.541668 !=1= 0.368094 Δ1= 0.173574 Racine n° 10 = 9.58123 !=0= 0.581227 !=1= 0.407654 Δ1= 0.173574
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-324
Valeurs propres du problème de Neumann sur le cône sphérique pour des valeurs moyennes de l'angle d'ouverture π/6≤θ0 ≤5π/6 Selon la méthode employée dans l'article de MacDonald, ce sont deux articles quasiment introuvable du mathématicien indien Bolanath Pal, parus en 1919-1920 dont voici les références, « « On the Numerical Calculation of the Roots of the Equations Pnm ( ) 0 and
d m Pn ( ) 0 d
regarded as Equations in n. [Part I, Part II] », Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 19191920. Les deux articles donnent la solution approchée des racines des dérivées premières des fonctions de Legendre associées . Pour établir une valeur approchée des racines, les articles tirent partie d'une formule reliant les dérivées des fonctions associées de Legendre
dd P
0 Cos( 0 ) 0 2 1
m n
( 0 ) n 0 Pn m ( 0 ) n m Pn m1 ( 0 )
Ici nous choisissirons de développer sur des ordres négatifs à l'instar de l'article MacDonald.En utilisant la formule donnée précédemment pour le développement des fonctions associées 1 Cos n 0 m Pn m (Cos ( 0 ))
n m n m
2 1 1 Sin 0 n n 2 2
1 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 2 p 1 Cos n 2 0 m 2 2 p 1 4 2 p p 2 p ! 2 3 2 5 2 2 p 1 Sin 0 p 1 n n n
1 Cos n 0 m 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 n m 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Pn m1 (Cos ( 0 )) 1 Sin 0 2 p 1 n 2 Cos n 2 0 m 2 2 p 1 4 2 p p 2 p ! 2 1 2 3 2 2 p 1 Sin 0 n n n p 1 d m 0 2 1 P ( 0 ) d n
1 Cos n 0 m 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m n 0 1 2 p 1 n 2 Cos n 2 0 m 2 2 p 1 4 2 p 1 p 2 p!2n 32n 2 p 1Sin 0 2 n m 2 p 1 n m 1 Sin 0 1 n Cos m n 2 0 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 2 p 1 Cos m 2 p 1 n 0 2 2 4 2p p 2 p!2n 12n 2 p 1Sin 0 p 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-325
On peu aussi écrire l'expression comme suit :
2 0
dd P
1
m n
( 0 )
1 2n 0 1 Cos n 0 m Cos n 0 m 2 2 4 2n 1 2 2 4 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 1 2p p 2 p ! 2 1 2 2 p 1 Sin 2 n m 1 2 n n 0 1 Sin 0 2 p 1 n Cos n m 2 p 1 0 2 p 1 2 2 4 2n 0 2 p 1 Cos n 0 m 2 p 1 2 2 4 2n 2 p 1
En développant à l'ordre p=1, cela donne : 1
2 d m n m 1 2 2 0 1 P n ( 0 ) 1 Sin 0 d n 2 3 3 12 4m 2 Cos n 0 m 2 2 4 1 n 0 Cos n 0 m 1 2 2 4 42n 3Sin 0 n 2 1 3 12 4m 2 Cos n 0 m 2 2 4 1 Cos n 2 0 m 2 4 42n 1Sin 0
1 1 Cos n 0 m Cos n 0 m 2 4 2 2 4 2 n 0 1 1 1 n 2 Sin 0 2 2 Sin 0 2 2 1 3 m 2 Cos n 0 2 2 4 2 1 4m 2n m 1 3 1 22n 1 2 Sin 0 2 n 2 3 3 m Cos n 0 2 2 2 4 2 n 0 1 4m 3 1 22n 3 n 2 Sin 0 2 2 .
En utilisant le fait que Cos[x]=-Sin[x-π/2], c'est le début du développement donné dans l'article de Pal Bholanath, en changeant m en -m puisqu'il choisit développer des ordres positifs.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-326
En première approximation la formule s'annule pour les racines de grandes valeurs telles que : n 0 1 1 Cos n 0 m Cos n 1 0 m 1 2 2 4 2 2 4 n 2
1 1 0Cos n 0 m Cos n 1 0 m 2 2 4 2 2 4 1 Posons n 0 m Cos 0Cos 0 0 Cos 0 2 2 4
Cos 0 Cos Cos 0 Sin Sin 0 Cos 1 0 Sin 0 1 0 0
En posant Cos r 1 0
2
2
Sin r0 1 0 Tan 2
2
0 1 0
2
Cos 0 Cotan ( 0 ) Sin 0
2k 1 2 2 0 1 0 Sin 0 1 0 0 Cos 0 2 2 2k 1 1 2k 1 n 0 m 0 2 2 2 4 2 2 1 5 m 1 5 1 5 n 0 k 0 n 2k m 1 n 2k m 2 4 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 3 5 1 Posons x n et x0 1 2 k m n 2k m x0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 Pour trouver les approximations d'ordre supérieur, on doit transformer le développement initial : 1 x n 2 1 1 n 0 m x 0 2m 1 n 0 m x 1 0 2m 1 2 2 4 4 2 2 4 4 0 2 2 p 1 0 m 2 p 1 x 1 0 2m 1 p 1 n n x 2 2 4 4 2 n 1 2 x n 2 p 1 1 0 m 2 p 1 x 0 2m 1 p 2 2 4 4 1 2 x 1 n 2 2n 1 x 1 2n 3 x 2 2n 5 x 3 2n 2 p 1 x p 2n 2 p 1 x p 1 2 2 2 2 2 Cos x 1 0 2m 1 4 Cos x 0 2m 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 0 2 x 1 Cos x 1 0 2m 1 p Cos x 0 2m 1 p 4 4 2 p p p 2p 2 p ! x 2 x 3 x p 1 2 Sin 2 p ! x 1 x 2 x p 2 Sin p 1 p 1 0 0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-327
D'abord développons le cosinus dans la sommation, ainsi que Cos x 0 2m 1 en fonction 4
des deux expressions : Cos x 1 0 2m 1 et Sin x 1 0 2m 1 , il vient : 4
4
Cos x 1 0 2m 1 4 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 1 2 x 0 2 x 1 Cos x 1 0 2m 1 4 Cos p Sin x 1 0 2m 1 4 Sin p p 2p 2 p ! x 2 x 3 x p 1 2 Sin 0 p 1
Cos x 1 0 2m 1 4 Cos 0 Sin x 1 0 2m 1 4 Sin 0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos x 2 m 1 Cos p Sin x 2 m 1 Sin p 0 0 0 0 4 4 p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1
2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 0 1 p 2p 2x 1 p 1 2 p!x 2 x 3 x p 12Sin 0 Cos x 1 0 2m 1 2 4 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 0 p Cos 0 22 p p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1 2 2 2 2 2 2 1 2 x 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p 0 p 2p 2x 1 p 1 2 p!x 2 x 3x p 12Sin 0 Sin x 1 0 2m 1 2 2 2 2 2 2 4 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p 0 p Sin 0 22 p p! x 1 x 2 x p 2 Sin 0 p 1
Il vient alors une forme similaire à celle trouvée dans l'article de MacDonald : Sin x 1 0 2m 1 4 N x Dx Cos x 1 0 2m 1 4 2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 0 1 p 2p 2 x 1 p 1 2 p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 N x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p 0 p Cos 0 22 p p! x 1 x 2 x p 2 Sin 0 p 1
1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Sin p 0 p 2p 2 x 1 p 1 2 p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 D x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p 0 Sin 0 p 22 p p! x 1 x 2 x p 2 Sin 0 p 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-328
On fait alors apparaître la valeur x 0, soit dans cette première forme de développement, comme suit : Sin x 1 0 2m 1 3 4 Tan x 1 0 2m 1 avec x0 2k m 4 2 0 2 Cos x 1 0 2m 1 4
4k 2m 3 x 1 x0 0 x 10 2m 1 k 1 4 4 . Comme la tangente est définie à un nombre kπ près, l'équation transcendantale des racines devient alors pour la première forme : N x Tan x 1 x0 0 U x 0 Cos 0 Dx x x0 0 x 0
Cos p 0 Cos p 1 2 Sin p 1 p 0 p 1 2 Sin p Sin p 1 Cos p 1 0 2 2 Cos 0 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p Cos 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 p 1 2 x 1 2 x 1 N x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p 1 p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1 2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p Cos 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 p 1 2 x 1 Dx 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p 1 Sin 0 p 22 p p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1
Donnons l'expression des développements dans cette première forme pour p=1 : Cos 0 0 0 Cos Sin 0 Sin Cos 0 2 Sin 0 1 N x
Cos 0 1 2 x 12 4m 2 Cos Cos 0 2 x 1 2 x 1 8 x 2Sin 0
N x
Cos 0 1 2 x 12 4m 2 Cos 0 2 x 1 2 x 1 8 x 2
1 2 x Cos 12 4m2 Sin Sin 12 4m 2 Sin 0 0 0 2 x 1 8 x 2 Sin 0 8 x 1Sin 0 2 2 2 2 1 2 x 1 4m Cos 0 1 4m 2 D x Sin 0 2 x 1 8 x 2 Sin 0 8 x 1Sin 0 . D x
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-329
Choisissons maintenant de développer à partir de la même expression de départ le cosinus de la sommation ainsi que Cos x 1 0 2m 1 en fonction des deux expressions : 4
Cos x 0 2m 1 et Sin x 0 2m 1 , il vient une expression similaire à celle de l'article 4 4
de MacDonald : Cos x 0 2m 1 4 Cos 0 Sin x 0 2m 1 4 Sin 0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 1 2 x 0 2 x 1 Cos x 2 m 1 Cos p Sin x 2 m 1 Sin p 0 0 0 0 4 4 p 2p p 1 2 p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0
Cos x 0 2m 1 4 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos x 0 2m 1 4 Cos p Sin x 0 2m 1 4 Sin p p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1 2 2 2 2 2 1 2 x 1 4m 3 4m 2 p 1 4m 2 Cos p 0 0 Cos 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 p 1 2 x 1 Cos x 0 2m 1 2 2 2 2 2 2 4 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p p 2p 1 2 p! x 1 x 2 x p 2 Sin 0 p 1
1 2 x 1 2 x 12 4m 2 32 4m2 2 p 12 4m 2 Sin p 0 Sin 0 0 0 p 2 x 1 p 1 22 p p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 2 x 1 Sin x 0 2m 1 2 2 2 2 2 2 4 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p p 2p 2 p ! x 1 x 2 x p 2 Sin p 1 0
2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 0 Cos 0 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 p 1 2 x 1 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p p 2p 1 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1
Sin x 0 2m 1 4 2 2 2 2 2 2 Cos x 0 2m 1 1 2 x 0 Sin 0 1 2 x 0 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin pp 0 2p 4 2 x 1 2 x 1 p 1 2 p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-330
Si l'on présente l'autre développement comme suit : Sin x 0 2m 1 3 4 Tan x 0 2m 1 avec x0 2k m 4 2 0 2 Cos x 0 2m 1 4 x x0 0 x 0 4k 2m 3 x x0 0 x 0 2m 1 k 1 4 4 2 Et pour cette seconde forme développement, on obtient : N x Tan x x0 0 U x 0 Cos 0 2
Dx
Cos p 0 Cos p 1 2 Sin p 1 p 0 p 1 2 Sin p Sin p 1 Cos p 1 0 2
2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 1 0 Cos 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 p 1 2 x 1 N x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p p 2p 1 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1 2 2 2 2 2 2 1 2 x 1 2 x 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Cos p 1 0 Sin 0 0 p 2 x 1 p 1 22 p p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 2 x 1 D x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2 Sin 0 p 1
Les développement restreint à p=1 donnent : Cos 0 0 0 Cos Sin 0 Sin Cos 0 2 Sin 0 1
1 2 x 12 4m 2 Sin2 12 4m 2 Cos N x 1 0 Cos 0 2 2 x 22 Sin 0 22 x 12 Sin 0 2 x 1 1 2 x Sin 12 4m 2 Sin 1 2 x 12 4m 2 Cos 2 D x 0 0 0 2 x 1 2 2 x 12Sin 0 2 x 1 22 x 22 Sin 0 .
Pour retrouver les développement de Bholanath Pal, on remarque qu'il utilise la variable x 0, or nous avons ici : N x Tan x x0 0 Cotan x x0 0 U x
Dx
2
Tan x x0 0
D x L x N x M x
avec
M x N x L x D x
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-331
Avec :
2 1 2 x 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 1 Sin 0 0 p 22 p p! x 2 x 3 x p 12 Sin 0 p 1 2 x 1 L x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p p 2p 2 p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1
2 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 1 p 22 p p! x 1 x 2 x p 2Sin 0 p 1 M x 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 2 p 1 4m Sin p 1 1 2 x Cos 0 p 2 x 1 0 22 p p! x 2 x 3 x p 12Sin 0 p 1
Les développement restreint à p=3 donnent maintenant : 0
Cos 0 0 Cos Sin 0 Sin Cos 0 2 Sin 0 1
12 4m 2 Cos2 12 4m 2 32 4m 2 Cos3 Sin 0 2 2 1 2 2 2 x 2 2 Sin 0 2 2! x 2 x 32 Sin 0 1 2 x 0 2 2 2 2 2 2 1 4m 3 4m 5 4m Cos4 2x 1 Lx 3 2 3 2 3!x 2 x 3x 4 2 Sin 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4m Sin 1 4m 3 4m Sin 2 1 4m 3 4m 5 4m Sin 3 21 2 2 3 2 x 12 Sin 0 2 2!x 1 x 2 2 Sin 0 2 2 233! x 1x 2 x 32 Sin 0
12 4m 2 Cos 12 4m 2 32 4m 2 Cos2 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos3 1 2 21 x 12 Sin 2 3 2 2 2 2 ! x 1 x 2 2 Sin 2 233!x 1x 2 x 32 Sin 0 0 0 12 4m 2 Sin 2 12 4m 2 32 4m 2 Sin 3 Cos M x 0 2 21 2 2 2 x 2 2 Sin 0 2 2!x 2 x 32 Sin 0 1 2 x 2x 1 0 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin 4 3 2 3 2 3!x 2 x 3x 4 2 Sin 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-332
On pose maintenant les variables suivantes : 12 4m2 Sin b1 0 Cos b2 2Sin 0 2 22 b3 b5 b7
0 12 4m 2 Cos 2 12 4m2 32 4m2 Sin2 b 2Sin 0 4 2 22 24 2! 2Sin 0 2 0 12 4m 2 32 4m 2 Cos 3 2 24 2! 2Sin 0 2
b6
1
2
0 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos 4 2 263! 2Sin 0 3
b2 p
1
2
b2 p 1
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin3 263! 2Sin 0 3 b8
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 7 2 4m 2 Sin4 28 4! 2Sin 0 4
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 2 2 p p! 2Sin 0 p 2
0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 2 22 p p! 2Sin 0 p
1 2 x b3 b5 b7 b1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 1 L x b4 b6 b2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 2 2 1 4m Cos a1 0 Sin a2 2 2 2 2Sin 0
a3 a5 a7
12 4m2 32 4m2 Cos2 0 12 4m 2 Sin2 a 2Sin 0 4 2 22 24 2! 2Sin 0 2 0 12 4m 2 32 4m 2 Sin3 2 24 2! 2Sin 0 2
a6
1
2
0 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin4 2 263! 2Sin 0 3
a2 p 1 a2 p
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos 3 263! 2Sin 0 3 a8
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 7 2 4m 2 Cos 4 28 4! 2Sin 0 4
0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Sin p 1 2 2 2 p p! 2Sin 0 p
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 22 p p! 2Sin 0 p 2
1 2 x a3 a5 a7 a1 1 x 1 x 2 x 2x 3 x 2 x 3x 4 M x a4 a6 a2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 L x 2b1 0 Sin 0 Cos 0 Sin 0 De plus Tan x x0 0 et Cotan 0 Tan 2 M x 1 2a1 1 Cos 0 Sin 2 0
Ce sont les deux formes données dans l'article de Bholanath Pal :
b2 b1 1 2 x b4 b3 1 2 x b6 b5 1 2 x b8 b7 1 2 x x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 x 1x 2x 3x 4 a a1 1 2 x a4 a3 1 2 x a6 a5 1 2 x a8 a7 1 2 x M x 1 2 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 x 1x 2x 3x 4 L x
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-333
L'équation transcendantale est alors développée en ordre de x croissant, x étant directement lié à la valeur des racines supposées importantes. Supposons que l'on envisage un développement inverse d'ordre 3 sur la variable x. Numérateur L(x) et dénominateur M(x) étant minimum d'ordre 0, il faut les développer tous deux à l'ordre 3, et dans ces calculs, les résultats divergent de l'article original de Pal car nous séparons nettement les expressions de même ordre inverse 1/(x+1) , il vient : b2 b1 1 2 x b4 b3 1 2 x b6 b5 1 2 x b8 b7 1 2 x x 1 x 1x 2 x 1x 2 x 3 x 1x 2x 3x 4 b b1 2 2 x b1 b4 b3 4 2 x 3b3 b6 b5 6 2 x 5b5 b8 b7 8 2 x 7b7 L x 2 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 x 1 x 2x 3 x 4 b b1 2b3 b4 3b3 2b5 b6 5b5 2b7 b8 7b7 2b9 L x 2b1 2 x 1 x 1x 2 x 1x 2 x 3 x 1x 2x 3x 4 L x
b b 2b3 b 3b3 2b5 b6 5b5 2b7 b8 7b7 2b9 L x 2b1 1 2 1 4 2b1 x 1 2b1 x 1 x 2 2b1 x 1 x 2 x 3 2b1 x 1 x 2 x 3 x 4 a a1 1 2 x a4 a3 1 2 x a6 a5 1 2 x a8 a7 1 2 x M x 1 2 x 1 x 1x 2 x 1 x 2 x 3 x 1x 2x 3x 4 a a1 2a3 a4 3a3 2a5 a6 5a5 2a7 M x 1 2a1 2 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 a a1 2a3 a4 3a3 2a5 a6 5a5 2a7 M x 1 2a1 1 2 1 2a1 x 1 1 2a1 x 1x 2 1 2a1 x 1 x 2 x 3 a a1 2a3 a 3a3 2a5 a 5a5 2a7 a 7 a7 2a9 Posons A1 2 A2 4 A3 6 A4 8 1 2a1 1 2a1 1 2a1 1 2a1 B1
b2 b1 2b3 2b1
B2
b4 3b3 2b5 2b1
B3
b6 5b5 2b7 2b1
B4
b8 7b7 2b9 2b1
B1 B2 B3 B4 1 L x 2b1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1x 2x 3x 4 A2 A3 A4 M x 1 2a1 1 A1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1x 2x 3x 4 1 1 1 V x V 2 x V 3 x M x 1 2a1
A1 A2 A3 V x x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 avec 2 3 2 A1 A2 A1 3 V 2 x A1 V x x 12 x 12 x 2 x 13 A1 A2 A3 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 2 3 1 V x V x V x 2 3 2 A1 A2 A1 A1 x 12 x 12 x 2 x 13
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-334
Dans ces conditions il est plus simple de développer les expressions obtenues, comme suit, et en usant de notation similaire à celle de MacDonald : B1 B2 B3 1 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 L x 2b1 2 3 M x 1 2a1 A1 A2 A3 A1 2 A1 A2 A1 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 12 x 12 x 2 x 13 B1 A1 A12 A1 B1 A12 B1 A13 B2 A2 2 A A A1B2 A2 B1 1 2 1 2 3 2 x 1 x 1 x 2 L x 2b1 x 1 x 1 x 1 x 2 M x 1 2a1 B3 A3 x 1 x 2 x 3 L x c1 c2 c3 d2 d3 e3 Tan 1 2 3 2 M x x 1 x 1 x 1 x 1x 2 x 1 x 2 x 1x 2x 3 c1 B1 A1
2
2
c2 A1 A1 B1
3
c3 A1 B1 A1
d 2 B2 A2
d 3 2 A1 A2 A1B2 A2 B1
e3 B3 A3
L'expression de l'équation transcendantale prend alors la forme suivante en développant au troisième ordre inverse en x, et en groupant les termes de même ordre : Lx c1 0 1 1 2 3 tel que 0 Tan 1 M x x 1 c2 d2 c3 d3 e3 2 3 2 3 2 x 1 x 1x 2 x 1 x 1 x 2 x 1x 2x 3 Tanx x0 0
. Appliquons la formule de Lagrange qui donne le développement d'une fonction analytique quelconque f(z) autour d'une racine de l'équation transcendantale : Equation
z z0 uF ( z )
k 1
k
Développement de
u d k f ' (t )F (t ) k 1 k ! dt k 1
f ( z ) f ( z0 )
f ( z ) autour de z0 zx u
Ici
t z0
1 0
z0 x0
d k 1 ArctanU (t ) k k 1 k 1 0 k! dt
F ( x) ArctanU ( x )
f ( x) x x x0
1 k
t x0
1 1 d ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) k 1 ArctanU ( x0 ) k 2 ArctanU (t ) 2 2 0 2! 0 dt 0 2 1 U ( x0 ) 2 t x0 1 d2 k 3 ArctanU (t ) 3 3 2 6 0 dt t x0 2 2 ArctanU ( x0 ) 2U ' ( x0 ) 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) U " ( x0 ) 1 U ( x0 ) ArctanU ( x0 ) 2 3 2 0 1 U ( x0 ) 2 1 ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) Soit la série x x0 ArctanU ( x0 ) 2 0 0 2 1 U ( x0 )
ArctanU ( x0 )
2 0 1 U ( x0 ) 3
2 2
2U ' ( x ) 1 U ( x ) ArctanU ( x ) U "( x )1 U ( x ) ArctanU ( x ) 2
0
2
0
De plus si U ( x0 ) 1 ArctanU ( x0 ) U ( x0 )
0
0
0
1 U ( x0 ) 3 1 U ( x0 ) 3 3 5
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-335
Il vient donc le développement formel de l'approximation avec les dérivées successives de l'ArcTangente. En effet on ne peut utiliser le développement simple de ArcTan[U(x)]=U(x)-U(x) 3/3, car U(x) n'est pas de faible valeur : Tan x x0 0 0 1 1 2 3 U ( x) n
n
Soit
1 1 1 d 1 d2 x0 ArcTanU ( x) x x 0 ArcTanU ( x) ArcTanU ( x) 2 3 2 2 0 2! 0 dx x x0 3! 0 dx x x0 1 1 ArctanU ( x0 ) U ' ( x0 ) x0 ArctanU ( x0 ) 2 2 2 0 0 1 U ( x0 )
ArctanU ( x0 )
2 0 1 U ( x0 ) 3
2 2
2U ' ( x ) 1 U ( x ) ArctanU ( x ) U "( x )1 U ( x ) ArctanU ( x ) 2
2
0
0
0
0
0
0
Mais on peut développer l'ArcTangente autour de Tan(β) comme suit : U ( x) 0 1 1 2 3 Tan 0 1 2 3 z0 0 z z0 0 1 2 3 De plus 0 1 2 3 1 puisque en ordre inverse de x0 d 1 ArcTan z dz 1 z2
d2 2z ArcTan z dz 2 1 z2
d3 3z 2 1 ArcTan z 2 3 dz 3 1 z2
2
z z0 d ArcTanz z z0 d 3 ArcTanz d ArcTan z0 0 0 dz 2! dz 2 3! dz 3 2 3 0 1 2 3 2 3 0 2 1 1 2 3 3 ArcTanU ( x) ArcTanTan 0 1 2 2 2 2 3 3 1 0 1 0 1 0 2
ArcTan z ArcTan z0 z z0
3
2
Ce qui donne les approximations suivantes restreinte à l'ordre inverse 3 : 2 2 3 0 2 3 3 0 1 ArcTanU ( x) 0 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 0 1 0 3 1 0
U ( x) 0 0 1 2 3 U ' ( x) 0 1 ' 2 ' ordre inverse 2 ArctanU ( x)
U ' ( x) 2 1 U ( x)
0 0 1 2 1 ' 2 ' 01 ' 0 1 2 0 2 ' 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 3
1 1 Restreint à l ' ordre inverse 1 2 2 2 1 0 1 1 1 0
2 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 0 1 1 0 1 0 1 2 1 0
2 2 3 1 2 0 1 1 0 1 '1 2 0 11 ' 01 ' 0 1 2 0 2 ' 1 ' ' 0 1 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0
ArctanU ( x)
U ' ( x) 01 ' 0 2 ' 0 1 2 0 11 ' 2 2 2 2 1 U ( x) 1 0 1 0 2
Ce qui donne finalement le développement : 1 0 x 1 0 1 2 3 0 2 2 2 0 1 0 1 0 n ' ' 2 1 2 ' 0 1 2 0 1 1 1 0 2 2 2 2 0 1 0 1 0
2
1
2
21 2
3 1
3 1 31 2
0
2 3
0
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-336
On va maintenant donner les développements aux ordres croissant de τ=1/x , en repartant des expressions originales de L(x) et M(x) : A1
a2 a1 2a3 1 2a1
A2
B1
b2 b1 2b3 2b1
B2
a4 3a3 2a5 1 2a1 b4 3b3 2b5 2b1
A3 B3
a6 5a5 2a7 1 2a1
b6 5b5 2b7 2b1
Ap Bp
a2 p 2 p 1a2 p 1 2a2 p 1 1 2a1
b2 p 2 p 1b2 p 1 2b2 p 1 2b1
Bp B1 B2 B3 L x 2b1 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 x 1x 2x p Ap A1 A2 A3 M x 1 2a1 1 x 1 x 1x 2 x 1x 2x 3 x 1x 2x p Bp B1 2 B2 3 B3 1 1 L x 1 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 p Tan Ap A1 2 A2 3 A3 x M x 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 p 1
Il est maintenant facile grâce à Mathematica de donner une expression du développement à un ordre quelconque de τ, voici celui à l'ordre 3 en angle et τ : 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Sin p 1 a2 p 1 0 2 22 p p! 2Sin 0 p
a2 p b2 p
1
2
1
b2 p 1
2
2
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 22 p p! 2Sin 0 p
Ap
a2 p 2 p 1a2 p 1 2a2 p 1 1 2a1
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 22 p p! 2Sin0 p
0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 12 4m 2 Cos p 1 2 22 p p! 2Sin 0 p
Bp
b2 p 2 p 1b2 p 1 2b2 p 1 2b1
3 2k m 0 0 Tan 2 0 2 2 2 2 2 B A 1 0 A1 B1 A1 B1 0 A1 B1 1 0 2 2 2 0 2 2 3 2 2 1 02 1 0 3 1 0 1 0 1 1 1 3 A B B A 1 2 2 3 A B A B 1 4 n x0 2 2 3 3 0 2 1 1 2 0 x0 2 0 3 0 2 2 3 2 2 3 2 2 3 A1 B1 0 A1 3 0 3 A1 B1 B1 0 1 3 0 2 2 1 0 2 2 6 A1 A2 0 B1 B2 1 0 2 2 2 1 2 0 A1 A1 B1 B2 A2 0 A1 B1 3 0 A1 B1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 0 3 2 0 A1 B1 3 0 1 0 2 Quant aux résultats de Bholanath Pal, dans leurs formes « originales », ils sont partiellement repris dans un article de 1950 de P.A.Carrus et C.G.Treunfels, « Table of roots and incomplete integrals of associated Legendre functions of fractional orders ». x0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-337
L'article ne les calcule que pour la valeur m=1. A partir des mêmes coefficients de départ dans l'expression L(x)/M(x) : 12 4m2 Cos a1 0 Sin a2 2Sin0 2 22 a3 a5 a7
0 12 4m 2 Sin2 12 4m2 32 4m2 Cos2 a 4 2Sin 0 2 22 24 2! 2Sin 0 2 0 12 4m 2 32 4m 2 Sin3 2 24 2! 2Sin0 2
a2 p
b3 b5 b7
2
0 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin4 2 263! 2Sin0 3
a2 p 1
b1
1
a6
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos 3 263! 2Sin 0 3
1
2
a8
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 7 2 4m 2 Cos 4 28 4! 2Sin 0 4
0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 1 2 2 2 p p! 2Sin0 p
2
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 22 p p! 2Sin 0 p 2
12 4m2 Sin 0 Cos b2 2 22 2Sin 0
12 4m2 32 4m2 Sin2 0 12 4m 2 Cos 2 b 2 22 2Sin 0 4 24 2! 2Sin 0 2 0 12 4m 2 32 4m 2 Cos 3 2 24 2! 2Sin 0 2
b6
1
2
0 12 4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Cos 4 2 263! 2Sin 0 3
b2 p
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 Sin3 263! 2Sin 0 3 b8
1
2
4m 2 32 4m 2 52 4m 2 7 2 4m 2 Sin4 28 4! 2Sin 0 4
4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Sin p 2 2 p p! 2Sin 0 p 2
0 12 4m 2 32 4m 2 2 p 1 4m 2 Cos p 1 2 22 p p! 2Sin0 p La fraction L(x)/M(x) se développe sous la forme : 1 2 x b3 b5 b7 b1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3x 4 ~ x 1 Lx L x b4 b6 b2 x 1 x 1x 2 x 1x 2 x 3 b2 p 1
2
1 2 x 1 2 x a3 a5 a7 a1 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3x 4 ~ M x M x a4 a6 a2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 b3 b5 b7 b4 b6 ~ L x 1 2 x b1 b2 x 2 x 2x 3 x 2x 3x 4 x 2 x 2 x 3 a3 a5 a7 a4 a6 ~ M x A 1 2 x a2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3x 4 ~ Lx L x ~ 0 1 2 3 On pose A 1 a1 x1 2a1 M x M x .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-338
Avec les quatre expressions fonctions de x : 0
1 2 x a3 1 b 1 2 x b3 b1 1 2 x 1 0 a2 2 A A 2 x A 2 x
2 a 1 2 x a5 1 1 2 x a3 1 1 2 x a3 b 1 2 x b3 0 4 a2 2 a2 2 2 x A 2 x 2 x A 2 x 2 x 3 x A 2 1 b4 1 2 x b5 A 2 x 2 x 3 x
1 2 x a7 1 2 x a3 a4 1 2 x a5 a6 2 a2 2 x 2 x 2 x 3 x 0 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x A 2 A 1 1 2 x a 3 A a2 2 x 2 1 a4 1 2 x a5 1 1 2 x a3 1 2 x b3 3 2 a2 b2 A 2 x 2 x 3 x A 2 x 2 x 1 1 2 x a3 b4 1 2 x b5 2 a2 2 x 2 x 2 x 3 x A 1 2 x b7 b6 1 A 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x
Le développement de la solution est alors donnée par : 3 x0 2k m Tan x x0 0 0 1 2 3 ( x) 2 0 2 n
1 1 1 d 1 x0 ArcTan ( x) x x 0 ArcTan ( x ) 2 3 2 0 2! 0 dx x x0 3! 0
.
d2 dx 2 ArcTan ( x) x x0
1 1 3 3 2 2 2 2 2 0 1 2 3 3 0 1 3 0 1 3 0 2 3 0 3 31 2 3 01 6 01 2 1 n x0 0 2 1 ' ' ' ' ' ' 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 2 0
Laissons donc maintenant cette question de l'évaluation approchée des valeurs propres pour revenir à la suite d'exemples de problèmes aux limites en configuration sphérique conique.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-339
Problème aux limites mixte de Robin en configuration conique-sphérique Exemple : Cône sphérique plein d'angle ϑ0, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumis à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=l r. et de Robin homogènes en ϑ0 Soit le problème :
T (r , ) 0 T (r , ) fini
T ( r , ) r l f (Cos ) ' T' (r , ) T ( r , ) r
0
0
La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable On peut transformer la condition aux limites en variable z=Cos(ϑ) ' T' (r , ) T (r , ) 0 0
z Cos( ) 0 Cos ( 0 ) T (r , ) T (r , ) dz T (r , ) Sin( ) z d z ' ' T (r , ) T (r , ) ' Sin( 0 )Tz' (r , z ) T (r , z ) 0
z 0
' Sin( 0 ) Tz' (r , z ) T (r , z )
z 0
On est amené à rechercher une extension des polynômes de Legendre de degré entier à des P (Cos ( )) P (Cos ( )) fonctions de Legendre de degré non entier λn n , ce qui donne la condition suivante pour établir les valeurs propres du problème de Sturm-Liouville. dP ( z ) P ( z ) 0 Cos ( 0 ) ; P ( z ) 0 2 n zP ( z ) P 1 ( z ) n
n
dz
n
n
z 0
z
z 1
n
n
n 0 Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) Pn (0 ) 0 2 0 1
Exemple
si l'on prend la valeur 0 / 7 ; 1 / 2 ; 1 / 2 , alors on trouve les 20 premières valeurs propres λn =7.93878, 15.0781, 22.1311, 29.1591, 36.1765, 43.1882, 50.1968, 57.2032, 64.2083, 71.2123, 78.2157, 85.2185, 92.2209, 99.2229, 106.225, 113.226, 120.228, 127.229, 134.23, 141.231. si l'on prend la valeur 0 5 / 6 ; 1 / 2 ; 1 / 2 , alors on trouve les 20 premières valeurs propres λn =1.01732, 2.21493, 3.41202, 4.60986, 5.8083, 7.00714, 8.20625, 9.40555, 10.605, 11.8045, 13.0041, 14.2038, 15.4035, 16.6033, 17.8031, 19.0029, 20.2027, 21.4026, 22.6025, 23.8023.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-340
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne: (il n'est pas nécessaire d'inclure la valeur propre 0 dans le cas général où β≠0, si β=0 alors c'est une condition de Neumann homogène et la valeur propre nulle ne doit pas être oubliée): z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz f ( z ) Ρn z
2
0
n
2
0
n 0 Pn (0 ) Pn 1 (0 ) Pn ( 0 ) 0 0 2 1
tq
T (r , )
1
Ρn z dz Ρn z
Bn
Ρn
n 0 ,
z
2
r lr
n
Ρn Cos
Selon les formules des dérivées premières et seconde d'une fonction de Legendre de degré non entier : z2
z2
z1
2 1 z 2 Ρn z Ρnzz Ρn z Ρnzz z1 2n 1
dzΡn z
2
Ρn z Ρn z 2 Ρn z Ρ z avec n Développons A 1 z 2 Ρn z 2 n zPn ( z ) Pn 1 ( z ) z z z z 1 2 Pn ( z ) Pn ( z ) Pn 1 ( z ) 1 et 2 zPn ( z ) Pn 1 ( z ) 2 n z z z 1 z 1 Ρn z n 1 Pn ( z ) Pn 1 ( z ) A 1 z 2 zPn ( z ) Pn 1 ( z ) Ρn z 2 zPn ( z ) Pn 1 ( z ) 2 n z 2 z 1 z 1 z 1
Ρn z
Pn ( z ) Pn 1 ( z ) ( z ) zPn ( z ) Ρn z zPn ( z ) Pn 1 ( z ) n Ρn z z Ρn z P ( z ) P 1 ( z ) n Pn 1 ( z ) zPn ( z ) Ρn z zPn ( z ) Pn 1 ( z ) n zΡn z n Ρn z n Ρn z Ρn 1 z Ρn z z Pn ( z ) Pn 1 ( z ) n Pn 1 ( z ) Pn ( z ) n
P
n 1
Ρn z Ρn 1 z Pn ( z ) Ρn z z Pn ( z ) Pn 1 ( z ) n Pn 1 ( z ) z 1 2n 1
z2
z1
dz Ρn z
2
z2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-341
Dans le cas particulier de notre problème les limites sont définies ainsi z 1=μ0 et z2=1 et le calcul des normes devient : posons 0 Cos 0 z1 0 z 2 1 Ρn z Ρn 1 z Pn ( z ) Ρn z z Pn ( z ) Pn 1 ( z ) n Pn 1 ( z ) 0 2n 1
dz Ρn z 1
2
0
1
Ρn z Ρn 1 z 0 on a P (1) 0 Ρn z z Pn ( z ) Pn 1 ( z ) n Pn 1 ( z ) Pn ( z ) z 1
Ρn z
2
or
Ρn 1 0 Ρn 0 Ρn 0 Pn 1 ( 0 ) 0 Pn ( 0 ) n Pn ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2n 1
n 0 Pn (0 ) Pn 1 (0 ) Pn (0 ) 0 Pn (0 ) 2 n 0 2 n Pn 1 (0 ) 2 0 1 0 1 0 1
n 0 n 0 1 Pn 1 ( 0 ) (1) Pn 1 ( 0 ) Pn ( 0 ) (2) 2 n 0 n 0 1 Première forme (1)
Pn ( 0 )
2
0 2 1 P 1 ( 0 ) Ρn 0 Ρn 1 0 n n n Ρn z Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2 1 2 0 n 0 2 1 2n 1 0 n 0 Deuxième forme (2) 2
2 Pn ( 0 ) 0 1 Ρn 0 Ρn 1 0 0 n 0 2 1 Ρn 0 Ρn z n 2n 1 n n si 1 et 0 C.L. de Dirichlet Pn ( 0 ) 0 2
Ρn 0 n Pn 1 ( 0 ) 2n 1 n si 1 et 0 C.L. de Neumann Pn 1 ( 0 ) 0 Pn ( 0 ) Ρn z 2
Ρn z 2
Pn ( 0 ) P 1 ( 0 ) n Ρn 0 n 0 2n 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-342
z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz f ( z ) Ρn z 0
n
tq
1
Ρn z dz Ρn z 2
2
0
n 0 Pn (0 ) Pn 1 (0 ) Pn ( 0 ) 0 2 0 1 n
r Bn 2n 1 Ρn Cos lr T (r , ) (1) 2 n 0 , Ρ 0 1 Pn 1 ( 0 ) Ρn 1 0 n n Pn 1 ( 0 ) n 0 Pn 1 ( 0 ) 2 2 2 1 0n 0 1 0 n 0
ou bien n
r Bn 2n 1 Ρn Cos lr T (r , ) 2 0 1 Ρ 0 Ρn 1 0 0 n 0 2 1 Ρn 0 n 0 , n Pn ( 0 ) n n n
( 2)
Lorsque fθ(θ)=1, on obtient alors : z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz Ρn z 0
n
tq
T (r , )
1 2 n 1
P
n 1
( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2n 1Bn Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 )
n 0 Pn (0 ) Pn 1 (0 ) Pn ( 0 ) 0 2 0 1
n 0 ,
P
n 1
( 0 ) Pn 1
r ( ) l 0
r
n
Ρn Cos
0 2 1 P 1 ( 0 ) Ρn 0 Ρn 1 0 n n n Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2 1 2 0n 0 2 1 0 n 0
ou bien n
r Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) Ρn Cos lr T (r , ) 2 0 1 Ρ 0 Ρn 1 0 0 n 0 2 1 Ρn 0 n 0 , n Pn ( 0 ) n n n
( 2)
(1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-343
Etude des cas limites α=1, β=0 (homogène Neumann) et α=0, β=1 (homogène Dirichlet) Pour ce qui est du passage à la limite α->0, β->1, la forme (1) donne directement la solution déjà énoncée précédemment : z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz f ( z ) Ρn z
2
0
n
1
Ρn z dz Ρn z
2
0
tq Pn ( 0 ) 0 n
r Ρn Cos l 2n 1 T (r , ) Bn r Ρn 0 n n 0 , Pn 1 ( 0 )
Pour le passage à la limite α->1, β->0, la forme (2) donne également la solution déjà énoncée précédemment : z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz f ( z ) Ρn z
1
Ρn z dz Ρn z 2
0
2
0
n 0 P (0 ) P 1 ( 0 ) soit n 0 ou 0 2 1 Pour n 0 terme identique cas Neumann
n
tq
n
n
1
Pour
n 0 Bn dz f ( z )
0 P ( 0 ) P 1 ( 0 ) n
Ρ0 z 1 0 2
0
n
r Bn Ρn Cos B0 2n 1 lr T (r , ) Ρn 0 1 0 n 0, n Ρn 1 0 Pn ( 0 ) 0
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-344
Exemple : Cône sphérique creux d'angle ϑ0, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumis à des conditions aux limites de Dirichlet homogènes en r=l r1 , inhomogènes en r=lr2. et de Robin homogènes en ϑ0 Soit le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) r l 0 r1
T (r , ) r l f (Cos ) r2
z Cos et 0 Cos 0
' T' (r , ) T (r , ) T (r , ) fini
0
0 Tz' (r , z ) T (r , z )
z 0
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-345
En suivant la suite de calcul effectué dans l'exemple précédent, on trouve la solution suivante, exprimée sous deux formes : z Cos 0 Cos ( 0 )
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 0
n
tq
2
2
0
n 0 P (0 ) P 1 ( 0 ) P ( 0 ) 0 02 1 n
n
n
Bn 2n 1 T (r , )
1
Ρn z dz Ρn z
n 0 ,
r n l n 1 r1 lr1 r
l n l n 1 r 2 r1 l lr1 r2
Ρn Cos
0 2 1 P 1 ( 0 ) Ρn 0 Ρn 1 0 n n n Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2 1 2 0 n 0 2 1 0 n 0
ou bien r n l n 1 r1 lr1 r Bn 2n 1 Ρ Cos l n l n 1 n r 2 r1 l lr1 r2 T (r , ) 2 0 1 Ρ 0 Ρn 1 0 0 n 0 2 1 Ρn 0 n 0 , n Pn ( 0 ) n n n
( 2)
(1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-346
Lorsque fθ(θ)=1, on obtient alors : z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz Ρn z 0
n
tq
1 2 n 1
P
n 1
n 0 P (0 ) P 1 ( 0 ) P ( 0 ) 0 02 1 n
n
n
P
n 1
T (r , )
( 0 ) Pn 1 ( 0 ) 2n 1Bn Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 )
n 0 ,
( 0 ) Pn 1 ( 0 )
r n l n 1 r1 lr1 r
n
lr 2 lr1 l lr1 r2
n 1
Ρn Cos
0 2 1 P 1 ( 0 ) Ρ Ρn 1 0 n n n Pn 1 ( 0 ) n 0 Pn 1 ( 0 ) 2 1 2 0 n 0 2 1 0 n 0
ou bien r n l n 1 r1 lr1 r Pn 1 ( 0 ) Pn 1 ( 0 ) Ρ Cos l n l n 1 n r 2 r 1 l lr1 r2 T (r , ) 0 2 1 Ρ 0 Ρn 1 0 0 n 0 2 1 Ρn 0 n 0 , n Pn ( 0 ) n n n
( 2)
Etude des cas limites α=1, β=0 (homogène Neumann) et α=0, β=1 (homogène Dirichlet) Pour ce qui est du passage à la limite α->0, β->1 (Dirichlet), la forme (1) donne directement la solution déjà énoncée précédemment : z Cos 0 Cos ( 0 ) 1
Bn dz f ( z ) Ρn z 0
n
1
Ρn z dz Ρn z 2
2
0
tq Pn ( 0 ) 0
T (r , )
n 0 ,
2n 1 B n
n
r n l n 1 r1 lr1 r l n r2 lr1
Ρn Cos n 1 lr1 P ( ) Ρn 0 n 1 0 lr 2
(1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-347
Pour le passage à la limite α->1, β->0, la forme (2) donne également la solution déjà énoncée précédemment (en y ajoutant la valeur propre nulle car la condition homogène est de Neumann) : z Cos 0 Cos ( 0 ) n 0 P (0 ) P 1 (0 ) 0 n 0 ou 0 P (0 ) P 1 (0 ) n tq 2 0 1 n
n
n
1
On rajoute la solution n 0 B0 dz f ( z ) et 0
1
n 0 Bn dz f ( z ) Ρn z et 0
Ρn z 2
2n 1Bn lr1 1 B0 r T (r , ) 1 0 lr1 n 0, 1 lr 2
n
1
Ρ0 z dz 1 0 2
0
n Pn ( 0 ) Ρn 1 0 Ρn 0 0 2n 1
r n l n 1 r1 lr1 r
Ρ Cos l n l n 1 n r 2 r1 l lr1 r2 Ρ Ρ n Pn ( 0 ) n 1 0 0 n 0
(2)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-348
Problèmes aux limites sur des sections coniques-sphériques Quelques propriétés des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce pour les degrés λ n non entiers pour des problèmes aux limites de Dirichlet Les fonctions et valeurs propres du problème aux limites ont les propriétés suivantes : n ( z )
Pn ( z )
Pn ( 1 )
Qn ( z )
n tq
Qn ( 1 )
Pn ( 2 )
Pn ( 1 )
n ( 1 ) 0 Qn ( 1 ) n ( 2 ) 0
Qn ( 2 )
Les fonctions de Legendre utilisées ici sont donc à degré non entiers, en tant que racine de l'équation transcendantale. Il se trouve que lorsque justement les degrés sont non entiers, alors les fonctions sont liées par des formules de liaison (dans ce cas le terme en sinus ne s'annulent pas!): Pn ( z ), Pn ( z ) linéairement indépendantes
Qn ( z ), Qn ( z ) linéairement indépendantes Pn ( z ) Qn ( z )
2 Cos (n )Qn ( z ) Qn ( z ) Sin(n )
Cos(n ) Pn ( z ) Pn ( z ) 2 Sin(n )
. Formons les combinaisons linéaires paires et impaires des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce, il vient : 2Cos (n ) 1 Q ( z ) Q ( z ) P ( z ) P ( z ) Sin(n ) Cos(n ) 1 P ( z ) P ( z) Q ( z ) Q ( z ) 2 Sin(n ) De même : 2Cos (n ) 1 Q ( z) Q ( z) P ( z ) P ( z ) Sin(n ) Cos (n ) 1 P ( z ) P ( z) Q ( z ) Q ( z ) 2 Sin(n ) Donnons quelques propriétés des valeurs propres et des fonctions propres dans le cas ϑ 2=π- ϑ1, μ1=- μ2 : P ( 2 ) Q ( 2 ) 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 n tq P ( 1 ) Q ( 1 ) n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2 1 1 2 n
Ce qui donne : P ( 2 ) Q ( 2 ) P ( 2 ) Q ( 2 ) n
P n ( 2 )
Q n ( 2 ) Q n ( 2 )
n
Cos( ) P Cos( ) P n
tq
n
P n ( 2 )
n
Cos( ) 1 Cos( ) 1 Cos( ) ( ) Cos ( )
( 2 ) Pn ( 2 )
n
n
n
n ( 2 ) Pn 2
n
2
n
n
2
1
n
2
P ( 2 ) Qn ( 2 ) P ( ) Q ( ) 1 n 2 n 2 1 n P ( 2 ) Q ( 2 ) Pn ( 2 ) Qn ( 2 ) n n 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-349
Il apparait donc deux cas de figure selon les valeurs propres: le cas de valeurs identiques ou opposées aux extrémités : P ( 2 ) Q ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques aux extrémités P ( 2 ) Q ( 2 ) n
n
n
Cas 1
n
Pn ( 2 ) Pn ( 2 )
Qn ( 2 ) Qn ( 2 )
valeurs opposées aux extrémités
En appliquant cette dernière propriété remarquable des fonctions propres aux limites du domaine, en la combinant avec les formules de liaisons entre fonctions de première et deuxième espèce, il vient pour le cas pair : P ( 2 ) Q ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques aux extrémités P ( 2 ) Q ( 2 ) n
n
n
n
2Cos (n ) 1 Pn ( 2 ) Qn ( 2 ) Sin(n )
Cos (n ) 1 Pn ( 2 ) 2 Sin(n ) Et pour le cas impair : P ( 2 ) Qn ( 2 ) Cas n 1 valeurs opposées aux extrémités Pn ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ( 2 )
Pn ( 2 ) Qn ( 2 )
2Cos(n ) 1 Qn ( 2 ) Sin(n )
Cos(n ) 1 Pn ( 2 ) 2 Sin(n )
. De ces diverses formules on peut tirer une propriété remarquable des fonctions propres à savoir : P ( 2 ) Q ( 2 ) Cas 1 P ( 2 ) Q ( 2 ) n
n
n
n
Fonctions propres n ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( 2 )
impaires
n ( z ) n ( z ) Cas 1
Pn ( 2 ) Pn ( 2 )
Qn ( 2 ) Qn ( 2 )
Fonctions propres n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( 2 )
paires
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-350
Illustrons ce résultat par le graphe des 8 premières fonctions propres du problème de Dirichlet homogène aux angles 1 / 7 2 6 / 7 :
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-351
Démontrons la propriétés de parité des fonctions propres, et raisonnons avec les fonctions propres de la forme : n ( z )
Les
Pn ( z ) Pn ( 2 )
calculs
n ( z )
Qn ( z )
Qn ( 2 )
seraient
Pn ( z ) Pn ( 1 )
identiques
Qn ( z ) Qn ( 1 )
avec
Pn ( z ) Pn ( 2 )
les
fonctions
propres
de
la
forme
:
Qn ( z ) Qn ( 2 )
.
Premier cas α=1 On applique successivement les formules de liaison sur les fonctions de Legendre, les combinaisons paires ou impaires et les valeurs extrêmes, et cela donne : n ( z ) n ( z )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( 2 )
2 Sin(n )
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) 2 Qn ( 2 )Cos(n ) 1 2Sin(n ) P ( 2 )Cos (n ) 1 Sin(n ) 2Sin(n ) n
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z )Cos(n ) Pn ( z ) Pn ( 2 )Cos(n ) 1
Qn ( z )Cos (n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z ) Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ( 2 )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
n ( z ) fonction impaire
Pn ( z )Cos (n ) 1 Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-352
Deuxième cas α=-1 On applique également les formules de liaison sur les fonctions de Legendre, les combinaisons paires ou impaires et les valeurs extrêmes, et cela donne : n ( z ) n ( z )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Qn ( 2 )
2 Sin(n )
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) 2 Qn ( 2 )1 Cos(n ) 2Sin(n ) P ( 2 )Cos (n ) 1 Sin(n ) 2Sin(n ) n
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z )Cos (n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z ) Qn ( 2 )Cos(n ) 1
Qn ( z ) Qn ( 2 )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Qn ( z )
Pn ( z ) Pn ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( z )
Pn ( z )Cos (n ) 1 Pn ( z ) Pn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
n ( z ) fonction paire
La conséquence des propriétés de parité des fonctions propres sur les intégrales utilisées dans le développement en série est immédiate à savoir : Premier cas α 1 n ( z ) fonction impaire
Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) An
2
dz
2
f ( z ) n ( z ) 0
Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z ) An
2
2
2
0
dz f ( z ) n ( z ) 2 dz f ( z) n ( z ) 0
Deuxième cas α 1 n ( z ) fonction paire Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) An
2
dz
2
2
f ( z ) n ( z ) 2 dz f ( z ) n ( z ) 0 0
Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z ) An
2
dz
2
f ( z ) n ( z ) 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-353
En d'autres termes, lorsque la condition aux limites est paire, alors seules les coefficients des fonctions propres paires donnent un résultat non nul, par construction la solution est donc bien paire. Il en est de même pour la condition aux limites impaire où dans la série seuls les coefficients des fonctions propres impaires sont non nuls, conduisant à une solution impaire. Caractérisons précisément le système des valeurs et fonctions propres de ce problème aux limites de Dirichlet sur la section sphérique symétrique. En revenant aux propriétés connues d'un système de Sturm-Liouville, l'équation différentielle de la partie angulaire devient ici un système régulier de Sturm-Liouville, et non un système singulier comme avec le cas de la sphère complète : 2 p z 1 z 2 p z 0 p 2 p 2 1 2 w( z ) 1 q( z ) 0
Dans ces conditions toutes les propriétés d'un système régulier de Sturm-Liouville s'appliquent et notamment : - il y a une infinité de valeur propres tendant vers l'infini - comme les conditions homogènes sont de Dirichlet, les valeurs propres sont toutes positives, et de plus il y a un nombre grandissant de zéros des fonctions propres à mesure que les valeurs propres augmentent, en plus des deux zéros fixés aux extrémités par les conditions homogènes de Dirichlet - on peut fixer la plus petite valeurs propre à la fonction propre ne possédant que les seuls deux zéros des extrémités, par conséquent ne s'annulant pas en zéro, cette fonction propre de valeur propre minimale est nécessairement paire ( α=-1) : ( z ), (0 ) 1 - concernant les fonctions propres de valeur propre supérieure, prenons la première immédiatement au dessus ( z ) 1 0 , alors d'après les propriétés dîtes d'oscillation, il y a 0
1
nécessairement au moins un zéro entre les deux zéros ( z ) . Comme cette fonction ne peut 0
comporter que trois zéros, elle est nécessairement impaire et s'annule donc en zéro : (0) 0 donc ( z ) impaire, (1 ) 1 1
1
- on étend le même raisonnement en appliquant successivement le théorème "d'oscillation", pour conclure que ( z ) paire, (2 ) 1, 4 zéros puis alternativement pour les fonctions propres : 2
(n ) (1) n 1 2 zéros venant des conditions aux limites n ( 2 ) n ( 2 ) 0 2 p ( z ) paire, 2 p 2 zéros 2 p1 ( z ) impaire, 2 p 3 zéros , 2 p (0) 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-354
Quelques propriétés des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce pour les degrés λ n non entiers pour des problèmes aux limites de Neumann A la manière de l'étude précédente réalisée sur le problème aux limites de Dirichlet pour une configuration symétrique de section sphérique, dégageons quelques propriétés des valeurs et fonction propres pour un problème de Neumann dans une configuration symétrique : 2 1 2 Cos (1 ), 1 2 P' ( 2 ) 2 n 2 P ( 2 ) P 1 ( 2 ) P' ( 2 ) 2 n 2 P ( 2 ) P 1 ( 2 ) 2 1 2 1 Q' ( 2 ) 2 n 2Q ( 2 ) Q 1 ( 2 ) Q' ( 2 ) 2 n 2Q ( 2 ) Q 1 ( 2 ) 2 1 2 1 n
n
n
soit n
n
n
n 0 ou
tq
n
n
P'n ( 2 ) P ( 2 ) ' n
n
n
Q' n ( 2 )
ou
Q ( 2 ) ' n
n
n
P 2
P 2
n
n
( 2 ) Pn 1 ( 2 )
P (2 ) ' n
( 2 ) Pn 1 ( 2 )
Pn ( z )
Posons le choix des fonctions propres suivantes n ( z )
n
Q 2
Q 2
n
n
( 2 ) Qn 1 ( 2 )
( 2 ) Qn 1 ( 2 )
Qn ( z ) Q' n ( 2 )
Voici quelques propriétés de liaison des dérivées premières des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce pour les indices λn non entiers. Pn ' ( z ) Qn ' ( z )
2 Cos (n )Qn ' ( z ) Qn ' ( z ) Sin(n )
Cos(n ) Pn ' ( z ) Pn ' ( z ) 2 Sin(n )
. Formons les combinaisons linéaires paires et impaires des dérivées premières des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce, il vient : 2Cos (n ) 1 P ' ( z ) P ' ( z ) Q ' ( z ) Q ' ( z ) Sin(n ) Cos (n ) 1 P ' ( z ) P ' ( z ) Q ' ( z ) Q ' ( z ) 2 Sin(n ) De même : 2Cos (n ) 1 P ' ( z ) P ' ( z ) Q ' ( z ) Q ' ( z ) Sin(n ) Cos (n ) 1 P ' ( z) P ' ( z ) Q ' ( z ) Q ' ( z ) 2 Sin(n ) Donnons quelques propriétés des valeurs propres et des fonctions propres dans le cas ϑ 2=π- ϑ1, μ1=- μ2 : 2 1 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 1 2 P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) n tq ou P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) . n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-355
Ce qui donne : Posons
Pn ' ( 2 )
Pn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 )
Cos( ) P Cos( ) P
Cos( ) 1 Cos( ) 1 ' ( ) Cos( ) Cos( )
' ( 2 ) Pn ' ( 2 )
n
n
n
n ' ( 2 ) Pn
2
n
2
n
n
2
1
n
2
P ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) P ' (2 ) Qn ' ( 2 ) 1 n n 1 P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) P ' ( ) Q ' ( ) 2 2 n n n n 2
Il apparait donc deux cas de figure selon les valeurs propres: le cas de valeurs identiques ou opposées aux extrémités : P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques des dérivées aux extrémités P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) n
n
n
Cas 1
n
Pn ' ( 2 ) Pn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 )
valeurs opposées des dérivées aux extrémités
En appliquant cette dernière propriété remarquable des fonctions propres aux limites du domaine, en la combinant avec les formules de liaisons entre fonctions de première et deuxième espèce, il vient pour le cas α=1 : P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques aux extrémités P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) n
n
n
Pn ' ( 2 )
n
2Cos (n ) 1 Qn ' ( 2 ) Sin(n )
Cos(n ) 1 Pn ' ( 2 ) 2 Sin(n ) Et pour le cas α=-1 : P ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Cas n 1 valeurs opposées aux extrémités Pn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 )
Pn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 )
2Cos (n ) 1 Qn ' ( 2 ) Sin(n )
Cos (n ) 1 Pn ' ( 2 ) 2Sin(n )
. De ces diverses formules on peut tirer une propriété remarquable des fonctions propres à savoir : P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) Cas 1 P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) n
n
n
n
Fonctions propres n ( z )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
paires
n ( z ) n ( z ) Cas 1
Pn ' ( 2 ) Pn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 )
Fonctions propres n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
impaires
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-356
Démontrons la propriétés de parité des fonctions propres, et raisonnons avec les fonctions propres de la forme :
n ( z )
propres de la forme :
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
n ( z )
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
Pn ( z ) Pn ' ( 1 )
. Les calculs seraient identiques avec les fonctions
Qn ( z ) Qn ' ( 1 )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
.
Premier cas α=1 On applique successivement les formules de liaison sur les fonctions de Legendre, les combinaisons paires ou impaires et les valeurs extrêmes des dérivées premières, et cela donne : n ( z ) n ( z )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 )
2 Sin(n )
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) 2 Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1 2Sin(n ) P ' ( 2 )Cos (n ) 1 Sin(n ) 2Sin(n ) n
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z )Cos (n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z ) Qn ' ( 2 )Cos(n ) 1
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Qn ( z )
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos(n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( 2 )Cos (n ) 1
n ( z ) fonction paire
Pn ( z )Cos (n ) 1 Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ' ( 2 )Cos(n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ( 2 )Cos (n ) 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-357
Deuxième cas α=-1 On applique également les formules de liaison sur les fonctions de Legendre, les combinaisons paires ou impaires et les valeurs extrêmes des dérivées premières, et cela donne : n ( z ) n ( z )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z )
Qn ( z )
Pn ' ( 2 )
Qn ' ( 2 )
2 Sin(n )
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) 2 Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1 2Sin(n ) P ' ( 2 )Cos (n ) 1 Sin(n ) 2Sin(n ) n
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z )Cos (n ) 1 Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ' ( 2 )
n ( z ) n ( z ) n ( z )
Pn ( z ) Pn ' ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos(n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ( z )Cos (n ) 1 Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Pn ( z ) Pn ( z )
Pn ' ( 2 )Cos (n ) 1
Qn ( z ) Qn ( z )
Qn ' ( 2 )Cos (n ) 1
n ( z ) fonction impaire
La conséquence des propriétés de parité des fonctions propres sur les intégrales utilisées dans le développement en série est immédiate, à savoir : Premier cas α 1 n ( z ) fonction paire
Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) An
2
dz
2
Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z )
2
f ( z ) n ( z ) 2 dz f ( z ) n ( z ) 0
An
0
2
dz
2
f ( z ) n ( z ) 0
Deuxième cas α 1 n ( z ) fonction impaire Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z ) An
2
dz f ( z ) n ( z ) 0
An
2
2
dz f ( z ) n ( z) 2 dz f ( z ) n ( z ) 0
. En d'autres termes, lorsque la condition aux limites est paire, alors seules les coefficients des fonctions propres paires donnent un résultat non nul, par construction la solution est donc bien paire. Il en est de même pour la condition aux limites impaire où dans la série seuls les coefficients des fonctions propres impaires sont non nuls, conduisant à une solution impaire. 2
2
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-358
Caractérisons précisément le système des valeurs et fonctions propres de ce problème aux limites de Neumann sur la section sphérique symétrique. En revenant aux propriétés connues d'un système de Sturm-Liouville, l'équation différentielle de la partie angulaire devient ici un système régulier de Sturm-Liouville : 2 p z 1 z 2 p z 0 p 2 p 2 1 2 w( z ) 1 q( z ) 0
Dans ces conditions toutes les propriétés d'un système régulier de Sturm-Liouville s'appliquent et notamment : - il y a une infinité de valeur propres tendant vers l'infini - comme les conditions homogènes sont de Neumann, les valeurs propres sont toutes positives, et de plus il y a un nombre grandissant de zéros des fonctions propres à mesure que les valeurs propres augmentent, en plus des deux zéros fixés aux extrémités par les conditions homogènes de Dirichlet - on peut fixer la plus petite valeurs propre à la fonction propre ne possédant qu'un seul zéros à la valeur z=0, par conséquent cette fonction propre de valeur propre minimale est nécessairement impaire ( α=-1) car elle s'annule en z=0 : ( z ), (0) 0, (0 ) 1 0
0
- concernant les fonctions propres de valeur propre supérieure, prenons la première immédiatement au dessus ( z ) 1 0 , alors d'après les propriétés dîtes d'oscillation, il y a 1
nécessairement au moins un zéro avant z=0 et un autre également après . Comme cette fonction ne peut comporter que deux zéros, elle est nécessairement paire et ne s'annule pas en zéro : (0) 0 donc ( z ) paire, (1 ) 1 - on étend le même raisonnement en appliquant successivement le théorème "d'oscillation", pour conclure que ( z ) impaire, (0) 0, (2 ) 1, 3 zéros puis alternativement pour les 1
1
2
2
fonctions propres : (n ) (1) n 1 Les pentes aux extrémités sont nulles voir C.L. ' ( 2 ) ' ( 2 ) 0 n
2 p ( z ) impaire, 2 p 1 zéros , 2 p (0) 0
n
.
2 p1 ( z ) paire, 2 p 2 zéros
Illustrons ces résultats par les graphes des 8 premières fonctions propres du problème de Neumann homogène aux angles 1 / 7 2 6 / 7 :
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-359
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-360
Quelques propriétés des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce pour les degrés λ n non entiers pour des problèmes aux limites « mixtes » de Robin dans le cas d'un problème entièrement symétrique On rappelle que les problèmes aux limites homogènes angulaires de ce type n'ont pas exactement cette forme, car les conditions aux limites mixtes de type Robin présentent en théorie une dépendance radiale. Mais en première approximation ou bien encore de manière tout à fait théorique, on peut se pencher sur ce genre de problème avec des paramètres indépendant des variables du système de coordonnées .
Soit les fonctions propres du problème ( z ) n
Pn ( z )
2 P ( 2 ) 2 P ( 2 ) ' n
n
Q n ( z )
2Q ( 2 ) 2 Q ( 2 ) ' n
n
Avec les propriétés suivantes sur les valeurs propres et sur les coefficients des conditions aux limites symétriques : ' 2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2 Q' ( 2 ) 2 Q ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ' 1 P' ( 1 ) 1 P ( 1 ) 1 Q' ( 1 ) 1 Q ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 Symétrie 1 2 et 1 2 et 1 2 n
n
n
n tq
n
n
n
n
n
n
n
n
n
' P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ' P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Le choix des fonctions propres devient donc : n ( z )
Pn ( z )
P ( 2 ) P ( 2 ) ' n
n
Qn ( z )
Q ( 2 ) Q ( 2 ) ' n
n
Rappelons quelques propriétés supplémentaires sur des combinaisons linéaires des fonctions de Legendre :
P n ( z ) P n ( z ) P n ( z ) P n ( z )
2Cos (n ) 1 Q n ( z ) Q n ( z ) Sin(n )
2Cos (n ) 1 Q n ( z ) Q n ( z ) Sin(n )
P n ' ( z ) P n ' ( z )
2Cos (n ) 1 Q n ' ( z ) Q n ' ( z ) Sin(n )
Cos (n ) 1 Pn ( z) Pn ( z) 2 Sin(n ) Cos (n ) 1 Q n ( z ) Q n ( z ) Pn ( z ) Pn ( z ) 2Sin(n ) Q n ( z ) Q n ( z )
Cos (n ) 1 Pn ' ( z ) Pn ' ( z) 2Sin(n ) 2Cos (n ) 1 Qn ' ( z ) Qn ' ( z ) P n ' ( z ) P n ' ( z ) Sin(n ) Cos (n ) 1 Pn ' ( z) Pn ' ( z ) Q n ' ( z ) Q n ' ( z ) 2 Sin(n ) 2Cos (n ) 1 Qn ' ( z) Qn ' ( z ) Qn ( z) Qn ( z) P n ' ( z ) P n ' ( z ) P n ( z ) P n ( z ) Sin(n ) 2Cos (n ) 1 Qn ' ( z ) Qn ' ( z ) Qn ( z) Qn ( z) P n ' ( z ) P n ' ( z ) P n ( z ) P n ( z ) Sin(n ) Cos (n ) 1 Pn ' ( z) Pn ' ( z ) Pn ( z ) Pn ( z ) Q n ' ( z ) Q n ' ( z ) Q n ( z ) Q n ( z ) 2 Sin(n ) Cos (n ) 1 Q n ' ( z ) Q n ' ( z ) Q n ( z ) Q n ( z ) Pn ' ( z) Pn ' ( z) Pn ( z) Pn ( z ) 2 Sin(n ) Q n ' ( z ) Q n ' ( z )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-361
Et les propriétés de liaisons :
2 Cos(n )Q ( z ) Q ( z ) Q ( z ) 2Sin( ) Cos(n ) P ( z ) P ( z ) Sin(n ) n 2 Cos(n ) P ' ( z ) P ' ( z ) P ' ( z ) Cos (n )Q ' ( z ) Q ' ( z ) Q ' ( z ) Sin(n ) 2Sin(n ) . Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) P n ( z )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Cos (n ) Pn ' ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Cos (n ) Pn ( 2 ) Pn ( 2 ) ' Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) Cos(n ) Pn ' ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Cos (n ) Pn ( 2 ) Pn ( 2 )
Cos ( ) P
( ) P
Cos( ) 1 ( ) Cos ( )
Cos (n ) Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) n ' ( 2 ) Pn
n
2 1
n ' ( 2 ) Pn
2
n
2
n
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) 1 P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
Il apparait donc deux cas de figure selon les valeurs propres: le cas de valeurs identiques ou opposées aux extrémités : P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques aux extrémités P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 )
Cas
1
P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) valeurs opposées aux extrémités P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 )
En appliquant cette dernière propriété remarquable des fonctions propres aux limites du domaine, en la combinant avec les formules de liaisons entre fonctions de première et deuxième espèce, il vient pour le cas Θ=1 : P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Cas 1 valeurs identiques aux extrémités P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 )
P' n ( 2 ) P n ( 2 ) P' n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Pn ' ( 2 ) P n ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Pn ( 2 )
2Cos (n ) 1 Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) Sin(n )
P' n ( 2 ) P n ( 2 )
2Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Sin(n )
Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ( 2 )
Cos(n ) 1 Pn ' (2 ) Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Pn ( 2 ) 2 Sin(n ) Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) P'n ( 2 ) P n ( 2 ) 2 Sin(n ) .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-362
Et pour le cas Θ=-1 : P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) Cas 1 valeurs impaires aux extrémités P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) n
n
n
n
n
n
n
n
P ( 2 ) P n ( 2 ) P ( 2 ) P n ( 2 ) ' n
' n
Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Pn ( 2 )
2Cos (n ) 1 Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) Sin(n )
P' n ( 2 ) P n ( 2 )
2Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Sin(n )
Qn ' ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ( 2 )
Cos(n ) 1 Pn ' (2 ) Pn ' ( 2 ) Pn (2 ) Pn ( 2 ) 2 Sin(n ) Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) 2 Sin(n ) De ces diverses formules on peut tirer une propriété remarquable des fonctions propres à savoir : P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Cas 1 P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 )
Fonctions propres n ( z )
Pn ( z )
Qn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
paires
n ( z ) n ( z ) Cas
1
P'n ( 2 ) Pn ( 2 ) P'n ( 2 ) Pn ( 2 )
Fonctions propres n ( z )
Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Qn ( 2 )
Pn ( z )
Qn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
impaires
n ( z ) n ( z )
Démontrons la propriétés de parité des fonctions propres, et raisonnons avec les fonctions propres de la forme : ( z ) n
Pn ( z )
Qn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-363
Premier cas Θ=1 On applique successivement les formules de liaison sur les fonctions de Legendre et les valeurs extrêmes sur l'intervalle, et cela donne : n ( z ) n ( z )
Pn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z ) Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z ) 2 Sin(n ) 2Cos (n ) 1 Q ' ( ) Q ( ) 2Sin(n ) Cos (n ) 1 P ' ( ) P ( ) n 2 n 2 n 2 n 2 Sin(n ) 2 Sin(n )
Qn ( z )Cos (n ) Qn ( z )
n ( z ) n
Qn ( z )
' n
Pn ( z )Cos (n ) Pn ( z )
Cos(n ) 1 Q ( 2 ) Q ( 2 ) Cos(n ) 1 P' ( 2 ) P ( 2 ) Q ( z )Cos(n ) 1 Q ( z ) Q ( z ) P ( z )Cos (n ) 1 P ( z ) P ( z ) ( z) Cos(n ) 1 Q' ( 2 ) Q ( 2 ) Cos(n ) 1 P' ( 2 ) P ( 2 ) ' n
n
n
n
n
n
n ( z ) n ( z ) n ( z )
n
n
n
n
Cos (n ) 1 Q
n
n
Qn ( z ) Qn ( z ) ' n
n
( 2 ) Qn ( 2 )
n
Pn ( z ) Pn ( z )
Cos( ) 1 P
' n
n
( 2 ) Pn ( 2 )
Qn ( z ) Qn ( z ) Pn ( z ) Pn ( z ) 1 ' 2 Cos (n ) 1 Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) Cos (n ) 1 P'n ( 2 ) Pn ( 2 )
n ( z ) fonction paire
Deuxième cas Θ=-1 On applique également les formules de liaison sur les fonctions de Legendre et les valeurs extrêmes des dérivées premières, et cela donne : n ( z )
P n ( z )
P ( 2 ) P n ( 2 ) ' n
Q n ( z )
Q ( 2 ) Q n ( 2 ) ' n
Q n ( z )Cos (n ) Q n ( z ) 2 Sin( ) 2Cos ( ) 1 n n Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) Sin(n ) n ( z ) P n ( z )Cos (n ) P n ( z ) 2Sin(n ) Cos (n ) 1 P'n ( 2 ) P n ( 2 ) 2 Sin(n ) Q n ( z )Cos (n ) Q n ( z ) P n ( z )Cos (n ) P n ( z ) n ( z ) Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Qn ( 2 ) Cos(n ) 1 P'n ( 2 ) Pn ( 2 )
n ( z )
Q n ( z )Cos (n ) 1 Q n ( z ) Q n ( z )
Cos(n ) 1 Q
n ( z ) n ( z )
' n
( 2 ) Q n ( 2 )
Q n ( z ) Q n ( z )
Cos(n ) 1 Q
' n
P n ( z )Cos (n ) 1 P n ( z ) P n ( z )
Cos(n ) 1 P'
( 2 ) Q n ( 2 )
n
( 2 ) P n ( 2 )
P n ( z ) P n ( z )
Cos( ) 1 P n
' n
( 2 ) P n ( 2 )
P n ( z ) P n ( z ) Q n ( z ) Q n ( z ) 1 n ( z ) ' 2 Cos (n ) 1 P n ( 2 ) P n ( 2 ) Cos (n ) 1 Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) n ( z ) fonction impaire
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-364
La conséquence des propriétés de parité des fonctions propres sur les intégrales utilisées dans le développement en série est immédiate, à savoir : Premier cas 1 n ( z ) fonction paire
Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) An
2
dz
2
Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z )
2
f ( z ) n ( z ) 2 dz f ( z ) n ( z ) 0
An
0
2
dz
2
f ( z ) n ( z ) 0
Deuxième cas 1 n ( z ) fonction impaire Condition aux limites paire f ( z ) f ( z ) Condition aux limites impaire f ( z ) f ( z ) An
2
dz f ( z ) n ( z) 0
An
2
2
dz f ( z ) n ( z ) 2 dz f ( z) n ( z) 0
. En d'autres termes, lorsque la condition aux limites est paire, alors seules les coefficients des fonctions propres paires donnent un résultat non nul, par construction la solution est donc bien paire. Il en est de même pour la condition aux limites impaire où dans la série seuls les coefficients des fonctions propres impaires sont non nuls, conduisant à une solution impaire. 2
2
0
En revenant aux propriétés connues d'un système de Sturm-Liouville, l'équation différentielle de la partie angulaire devient ici un système régulier de Sturm-Liouville, 2 p z 1 z 2 p z 0 p 2 p 2 1 2 w( z ) 1 q( z ) 0
Dans ces conditions toutes les propriétés d'un système régulier de Sturm-Liouville s'appliquent et notamment : - il y a une infinité de valeur propres tendant vers l'infini - comme les conditions homogènes sont de Robin, et que les paramètres des conditions aux limites mixtes sont ainsi : 2 1 0 ; 2 0 ; 1 2 0 et 1 0 n 0 , 2 1 les valeurs propres sont toutes positives, et de plus il y a un nombre grandissant de zéros des fonctions propres à mesure que les valeurs propres augmentent, en plus des deux zéros fixés aux extrémités par les conditions homogènes de Dirichlet - on peut fixer la plus petite valeur propre à la fonction propre ne possédant aucun zéro , par conséquent cette fonction propre de valeur propre minimale est nécessairement paire ( Θ=1) car elle s'annule en z=0 : ( z ), (0) 0, (0 ) 1 - concernant les fonctions propres de valeur propre supérieure, prenons la première immédiatement au dessus ( z ) 1 0 , alors d'après les propriétés dîtes d'oscillation, il y a 0
0
1
nécessairement au moins un zéro . Comme cette fonction ne peut comporter qu'un seul zéro, elle est nécessairement impaire et s'annule en zéro : (0) 0 donc ( z ) impaire, (1 ) 1 1
1
- on étend le même raisonnement en appliquant successivement le théorème "d'oscillation", pour conclure que ( z ) paire, (0) 0, (2 ) 2 zéros puis alternativement pour les fonctions 2
(n ) (1)
2
n
C.L. n ' ( 2 ) n ( 2 ) n ' ( 2 ) n ( 2 ) 0
propres : ( z ) paire, 2 p zéros , (0) 0 2p
2p
2 p1 ( z ) impaire, 2 p 1 zéros 2 p1 (0) 0
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-365
Illustrons ces résultats par les graphes des 10 premières fonctions propres du problème de Robin homogène aux valeurs d'angles et de paramètres de conditions aux limites : 1 / 7 2 6 / 7 1 / 2 1 / 2 dont voici les trente premières valeurs propres : 0.158808,1.32868,2.5988,3.92371,5.27689,6.64555,8.02332,9.40682,10.7941,12.1841,13.576,14. 9692,16.3636,17.7588,19.1547,20.5511,21.9479,23.3451,24.7427,26.1404,27.5384,28.9366,30.33 5,31.7335,33.1321,34.5308,35.9296,37.3285,38.7275,40.1266 : λ0=0.158808 λ0= 1.32868
λ0= 2.5988
λ0= 5.27689
λ0= 3.92371
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-366
Calcul de la norme des fonctions propres du problème aux limites de Dirichlet Pour le calcul de la norme des fonctions propres on remarque que les formules concernant la dérivée première en z des fonctions de Legendre de deuxième espèces est identique, à savoir : Q ( z ) 2 zQ ( z ) Q 1 ( z ) 0 ou Ν z z 1 Q ( z ) 1 2 z Q ( z ) Q1 ( z ) 0 ou Ν z z 1 Le résultat obtenu précédemment avec les seules fonctions de première espèce est donc applicable aux fonction de Legendre de deuxième espèce (théoriquement calculable): Qn z Qn 1 z Qn ( z ) Qn z z Qn ( z ) Qn 1 ( z ) n Qn 1 ( z ) 1 2n 1
2
Qn z dz Qn z 2
2
1
2
Et ce qui est vrai pour les fonctions de Legendre de première et deuxième espèces, l'est également pour toute combinaison linéaire : ( z ) aP ( z ) bQ ( z ) : n
n
n z n 1 z n ( z ) n z z n ( z ) n 1 ( z ) n n 1 ( z ) 1 2n 1
2
n z dz n z 2
2
1
n
2
On peut également opter pour une évaluation numérique directe des normes des fonctions propres. En effet les formules de calcul des dérivées paramétriques (en λ) des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce ont la désagréable habitude de diverger lorsque les valeurs propres sont d'indice supérieur (soit les grandes valeurs propres). Cela rend totalement inefficace leur utilisation car dans ce cas il faut accumuler un grand nombre de termes dans les séries pour espérer avoir une convergence. On donnera donc également les formules des solutions en gardant la notation littérale sans développement ultérieur 2
n z dz n z 2
2
1
La norme de la fonction propre se calcul avec cette formule établie précédemment : n z n 1 z n ( z) n z z n ( z ) n 1 ( z ) n n 1 ( z ) 1 2n 1
n z
2
2
z n n 1 ( z ) n 1 2n 1 2
comme n 1 n 2 0 n z
2
n 2 n 1 n n 1 ( 2 ) n 1 ( 1 ) 2n 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-367
Partons des fonctions propres et réalisons une dérivation formelle par rapport aux paramètres : n z
P n ( z ) P n ( 1 )
Q n ( z ) Q n ( 1 )
n z
P n ( z ) Q n ( z ) 1 1 P n ( 1 ) Q n ( 1 )
P ( z ) P ( 1 ) Q n ( z ) Q n ( 1 ) n n 2 2 Q n ( 1 ) P n ( 1 )
n z
n 1
n 2
Q n ( z ) Q n ( z ) Q n ( 1 ) 1 P n ( z ) P n ( z ) P n ( 1 ) 1 P n ( 1 ) P n ( 1 ) Q n ( 1 ) Q n ( 1 )
0
n 2
0
Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 1 ) 1 P n ( 2 ) P n ( 2 ) P n ( 1 ) 1 P n ( 1 ) P n ( 1 ) Q n ( 1 ) Q n ( 1 )
Avec ce résultat la norme se calcule finalement comme suit : 2 P 1 ( 2 ) Q 1 ( 2 ) 2 n z 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 2n 1 P ( 1 ) Q ( 1 ) n
n
n
n
n
n
n
n z
On note
2
n
1 P ( 2 ) P ( 2 ) P ( 1 ) n n n P n ( 1 ) P n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) P n ( 1 ) n 2n 1 Pn (1 ) Qn (1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 1 ) 1 Q ( ) Q n ( 1 ) n 1
N n n 1 ( 2 )
n 2
n z 2
n N 2n 1 n
1 P ( 2 ) P ( 2 ) P ( 1 ) n n n P n ( 1 ) P 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) P n ( 1 ) Nn n Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 1 ) 1 P n ( 1 ) Q ( ) Q n ( 1 ) n 1
.
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-368
Pour ce qui est des dérivées premières des fonctions de deuxième espèce du paramètre réel ν, les formules sont plus complexes et ont déjà été données auparavant dans le texte: F1 Q ( z ) Cos ( ) Q ( z ) (1) (v 1) P ( z ) Sin( ) ( ) k ( 1) k 1 1 z 1 z Log ( k 1) (v 1) (k v 1) (k v ) 2 k! 1 z 2 k 0 2
k
k 0 , Z tel que
F 3
k
1 z 1 2
Cos ( ) Cos ( ) P ( z ) (1 v) 2 m (1 v ) (1 v) P ( z ) Sin( ) Sin( ) k Q ( z ) ( z 1) / 2 k ( ) k (1 ) k 1 z i (k v) (k v 1) e 2 Sin( ) ( z 1) / 2 k 0 (1 k ) k! 2 k / 2 k ( z 1) ( ) k (1 ) k (k v) (k v 1) 1 z (v 1) 2 /2 ( z 1) 2 k 0 (1 k ) k! k 0 , Z tel que
F 4
1 z 1 2
(1 v) 2 m (1 v) (1 v ) P ( z ) k j k r k Qm ( z ) ( z 1) / 2 k 1 r 1 z j i ( j) j r e S v ( 1) r S k( k ) ( 1) k /2 2 Sin( ) ( z 1) 1 k 0 ( k 1) k ! 2 j 1 r 1 k jk r k ( z 1) / 2 k 1 r 1 z j ( j) j S v (1) r S k( k ) ( 1 (v 1) 2 k /2 ( z 1) 1 k 0 ( k 1) k! 2 j 1 r 1 0
tel que
1 z 1 2
où ( ) k est le symbole de Pochhammer (ααk α (α 1) (α k-1)
( k) ( )
(l ) fonction Gamma
( ) fonction Digamma dérivée logarithmique de la fonction Gamma ( ) (1) ( ) dérivée première de la fonction Digamma S k( j ) nombre de Stirling de première espèce
' ( ) ( )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-369
Si l'on prend une fonction propre de la forme : n z
P n ( z )
P n ( z )
P n ( 2 )
Q n ( z )
Q n ( 2 )
il vient : n z
P n ( 2 )
Q n ( z )
Q n ( 2 )
n z
P n ( z ) Q n ( z ) 1 1 P n ( 1 ) Q n ( 1 )
P ( z ) P ( 2 ) Q n ( z ) Q n ( 2 ) n n 2 2 Q n ( 2 ) P n ( 2 )
n z
n 2
n 1
P n ( z ) P n ( z ) P n ( 2 ) Q n ( z ) Q n ( z ) Q n ( 2 ) 1 1 P n ( 2 ) P n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 )
0
n 1
n z
2
0
P n ( 1 ) P n ( 1 ) P n ( 2 ) Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) 1 1 P n ( 2 ) P n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 )
Et la norme s'écrit : 2 n z 2n 1 n
n
1
( 1 )
n 1
n 1 ( 1 )
P n 1 ( 1 ) P n ( 2 )
Q n 1 ( 1 ) Q n ( 2 )
1 P n ( 1 ) P n ( 1 ) P n ( 2 ) P n ( 2 ) P n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) P n ( 2 ) n 2n 1 Pn (2 ) Qn (2 ) Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) 1 _ Q ( ) Q n ( 2 ) n 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-370
Calcul de la norme des fonctions propres du problème aux limites de Neumann Pour ce calcul, on va momentanément revenir à la formule originale établie pour des fonctions propres sphériques : 2
dz
2
n
2 1 z
(z)
1
2
n ( z ) n ( z ) 2 n ( z ) n ( z ) z z 1 2n 1
2
2 n ( z ) 2 1 z n ( z ) 2 z n ( 1 ) n ( 2 ) 2 1 0 dz n ( z ) 2n 1 z z 1
Comme
Sachant cela, partons des fonctions propres et réalisons une dérivation formelle par rapport aux paramètres des fonctions propres du problème de Neumann : P ( 1 ) Q ( 1 ) P ' ( 1 ) Q ' ( 1 ) n
n
n z
z P n ( z )
P n ' ( 1 )
n
z
n
Q n ( z )
Q n ' ( 1 )
n z
P n ( z ) Q n ( z ) 1 1 P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 )
P ( z ) 2 P ( 1 ) Q n ( z ) 2Q n ( 1 ) n n 2 2 z z Q n ' ( 1 ) P n ' ( 1 )
n z
P n ( z ) Q n ( z ) Q n ( z ) 2Q n ( 1 ) P n ( z ) 2 P n ( 1 ) 1 1 P n ' ( 1 ) P n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 ) z
2 n z
2 n 1
z
2 P n ( z ) P n ' ( z ) 2 P n ( 1 ) 2Q n ( z ) Q n ' ( z ) 2Q n ( 1 ) 1 1 P n ' ( 1 ) z P n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z 2 n 2
0 z 2 P n ( 2 ) P n ' ( 2 ) 2 P n ( 1 ) 2Q n ( 2 ) Q n ' ( 2 ) 2Q n ( 1 ) 2 n 2 1 1 z P n ' ( 1 ) z P n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z . z
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-371
On peut aussi développer la dérivée en z des fonctions de Legendre : Ρ z 2 P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) P ( z ) P 1 ( z ) 2 n zP ( z ) P 1 ( z ) 2 n z 2 z z 1 z z 1 z 1 n
n
n
2 P n ( z ) z
1 Ρ n z P n ( z ) P n 1 ( z ) 2 n z n z z 1
P n ( 1 ) 2
z
Q n ( 1 ) 2
z
n
n
n
n
n
n P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) 1 2 1 1
n Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) 1 2 1 1
2Q n ( z ) z
P n ( 2 ) z
Q n ( 2 )
z
1 Q n z Q n ( z ) Q n 1 ( z ) 2 n z n z z 1
n P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 2 2 2 1
2
2
n Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 2 2 2 1
n 1Pn (1 ) Pn 1 (1 ) Pn ' (2 ) 2 n 2 Pn (2 ) Pn 1 (2 ) 2 1 1 2 1 Q n ' ( 1 ) 2 n 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ' ( 2 ) 2 n 2Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 P n ' ( 1 )
2 n 2 z
2 P n ( 2 ) P n ' ( 2 ) 2 P n ( 1 ) 2Q n ( 2 ) Q n ' ( 2 ) 2Q n ( 1 ) 1 1 P n ' ( 1 ) z P n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z
Avec ce résultat la norme se calcule finalement comme suit : 2 ( 2 ) 2 1 ( ) 2 2 P ( 2 ) Q ( 2 ) 2 z z (2 ) 2n 1 P ' ( 1 ) Q ' ( 1 )
n
n
n
n z 2
On note
n
n
n
n
n
1 P 2
2
n
2n 1 P
N n n ( 2 )
n
(2 ) ' ( 1 )
2 n ( 2 ) z
Q n ( 2 ) n ( 2 ) Q n ' ( 1 ) z 2
n z
2
1 N 2
2
2n 1
n
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-372
Si l'on prend une fonction propre de la forme : n z
P n ( z )
P n ' ( 2 )
Il vient : P n ' ( 2 ) P n ( z )
P n ' ( 2 )
P n ( 2 ) z Q n ( z )
Q n ' ( 2 )
Q n ( z )
Q n ' ( 2 ) Q n ' ( 1 )
n z
Q n ( 2 ) z P n ( z ) Q n ( z ) 1 1 P n ' ( 2 ) Q n ' ( 2 )
P ( z ) 2 P ( 1 ) Q n ( z ) 2Q n ( 1 ) n n 2 2 z z Q n ' ( 2 ) P n ' ( 2 )
n z
2 n z
2 n 2
z
P n ( z ) Q n ( z ) P n ( z ) 2 P n ( 2 ) Q n ( z ) 2Q n ( 2 ) 1 1 P n ' ( 2 ) P n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) Q n ' ( 2 ) z
2 P n ( z ) P n ' ( z ) 2 P n ( 2 ) 2Q n ( z ) Q n ' ( z ) 2Q n ( 2 ) 1 1 P n ' ( 2 ) z P n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) z 2 n 1
0 z z 2 P n ( 1 ) P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) 2 n 1 z 1 1 2Q n ( 1 ) z
0
2 P n ( 2 ) z
n Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) 1 2 1 1
2Q n ( 2 ) z
n P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 2 2 2 1
n Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 2 2 2 1
n 1Pn (1 ) Pn 1 (1 ) Pn ' (2 ) 2 n 2 Pn (2 ) Pn 1 (2 ) 2 1 1 2 1 Q n ' ( 1 ) 2 n 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ' ( 2 ) 2 n 2Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 P n ' ( 1 )
2 n 1 z
2 P n ( 1 ) P n ' ( 1 ) 2 P n ( 2 ) 2Q n ( 1 ) Q n ' ( 1 ) 2Q n ( 2 ) 1 1 P n ' ( 2 ) z P n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) z
Avec ces résultats la norme se calcule finalement comme suit : 2 ( 1 ) 2 1 1 ( 1 ) P ( 1 ) Q ( 1 ) 2 z z ( 1 ) 2n 1 P ' ( 2 ) Q ' ( 2 )
n
n
n
n
n
n
n z 2
n
1 P 2 1
n
2n 1 P
n
( 1 ) ' (2 )
Q n ( 1 ) n ( 1 ) Q n ' ( 2 ) z
n
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-373
Calcul de la norme des fonctions propres du problème aux limites de Robin Les fonctions propres sont de la forme : ( z ) n
Pn ( z )
P ( 1 ) 1P ( 1 ) ' 1 n
n
Qn ( z )
1Q ( 1 ) 1Q ( 1 ) ' n
n
Et le système de fonctions propres et de valeurs propres provient des racines de l'équation transcendantale : n ( z )
Pn ( z )
P ( 1 ) 1 P ( 1 ) ' 1 n
n
Qn ( z )
1Q ( 1 ) 1Q ( 1 ) ' n
n
' 2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ' 1P' ( 1 ) 1P ( 1 ) 1 Q' ( 1 ) 1Q ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Partons de l'expression suivante possible pour le calcul des normes : 2
n z dz n ( z ) 2
2 1 z
2
1
2
n ( z ) n ( z ) 2 n ( z ) n ( z ) z z 1 2n 1
Sachant cela, partons également des fonctions propres et réalisons une dérivation formelle par rapport aux paramètres des fonctions propres du problème de Robin: P ( 1 ) Q ( 1 ) P ( z ) Q ( z ) P ' ( 1 ) Q ' ( 1 ) z ' ' z z 1P ( 1 ) 1P ( 1 ) 1Q ( 1 ) 1Q ( 1 ) n
n
n
n z
n
1 P ( 1 ) 1P n ( 1 )
P n ( z )
' 1 n
n z
n
n
P n ( z ) ' 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 )
n
n
n
1 1Q ( 1 ) 1Q n ( 1 )
n
Q n ( z )
' n
2 P n ( 1 ) P n ( 1 ) Q n ( z ) 1 1 2 ' z 1Q ( 1 ) 1Q ( 1 ) n n
P ( z ) P n ( z ) 1 n ' ' 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 )
Q ( z ) Q n ( z ) 1 n ' ' 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
n
2Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) 1 1 2 z
2 P n ( 1 ) P n ( 1 ) 1 1 z
2Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) 1 1 z
2 P n z P n z 1 1 z 2 n z n z 1 1 1 P n ( 1 ) z 1P'n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1P'n ( z ) 1P n ( z ) 2 P n ( 1 ) 1 1 ' z 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 )
2Q z Q n z 1Q' n ( z ) 1Q n ( z ) n 1 1 z 1Q' n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 2 n 1 n 1 2 n 2 n 2 1 1 0 2 2 0 z z 1 ' 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
.
2Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) 1 1 z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-374
Là encore on parvient à une simplification « relative » du calcul de la norme : 2
2 1 z
n z dz n ( z ) 2
1
n 1 2
1
1
2
2
n ( z ) n ( z ) 2 n ( z ) n ( z) z z 1 2n 1
n 1
z n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) n ( 1 ) n ( 1 ) 1 n 1 n ( 1 ) ( ) 1 z z z 1 n n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) n 1 n ( 1 ) 1 n ( 1 ) n ( 1 ) 0 z z z 1
1 ( ) z( ) n
2
2
n z dz n ( z ) 2
2
2
n
2
2
n (2 )
2n 1
1
2 n ( 2 ) z
.
Il suffit de calculer la dérivée seconde à l'aide des expressions suivantes: n z
P ( z ) P n ( z ) 1 n ' ' 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 )
Q ( z ) Q n ( z ) 1 n ' ' 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
2 n z z
1 ' 1P n ( 1 ) 1P n ( 1 )
1 ' 1Q n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
2 P n ( 1 ) P n ( 1 ) 1 1 z
2Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) 1 1 z
2 P z P'n ( z ) n 1P'n ( 1 ) 1P n ( 1 ) z
2Q z Q' n ( z ) n 1Q' n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) z
2 P n ( 1 ) P n ( 1 ) 1 _ 1 z
2Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) 1 1 z
soit à l'aide des valeurs des dérivées premières et secondes des fonctions de Legendre: 2 2 P ( 1 ) P ( 1 ) P 1 ( 1 ) P ( 2 ) P ( 2 ) P 1 ( 2 ) 2 n 1 2 n 2 z z 1 1 2 1 n
2Q n ( 1 )
n
n
n
n
n
2 n Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 2 n 2 1 2 z z 1 1 2 1 P n ' ( 1 ) 2 n 1P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) P n ' ( 2 ) 2 n 2 P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 Q n ' ( 1 ) 2 n 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ' ( 2 ) 2 n 2Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 .
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-375
La norme devient : n ( z )
P ( 1 ) 1P ( 1 )
n ( 2 ) z n 2
Pn ( 2 )
' 1 n
1Q ( 1 ) 1Q ( 1 )
P ( 2 ) ' n
P ( 1 ) 1 P ( 1 ) ' 1 n
Qn ( 2 )
' n
n
n
Q ( 2 ) ' n
1Q ( 1 ) 1Q ( 1 ) ' n
n
P ( 2 ) P n ( 2 ) 1 n ' ' 1Pn ( 1 ) 1Pn ( 1 ) 1 P n ( 1 ) 1 Pn ( 1 )
Q ( 2 ) Qn ( 2 ) 1 n ' ' 1Qn ( 1 ) 1Qn ( 1 ) 1Qn ( 1 ) 1Qn ( 1 )
2 n 2 z
n
2Qn ( 1 ) Qn ( 1 ) 1 1 z
2 P 2 P' n ( 2 ) 1 n 1 P' n ( 1 ) 1 Pn ( 1 ) z 1 P' n ( 1 ) 1 Pn ( 1 )
2Q 2 Q' n ( 2 ) 1 n 1Q' n ( 1 ) 1Qn ( 1 ) z 1Q' n ( 1 ) 1Qn ( 1 )
1 ( ) z( ) n
2
n z 2
2 Pn ( 1 ) Pn ( 1 ) 1 1 z
2
dz
2
n
( z)
2
1
. Certes l'expression n'est pas simple !
2
n
2
2n 1
2 Pn ( 1 ) Pn ( 1 ) 1 _ 1 z
2Qn ( 1 ) Qn ( 1 ) 1 1 z
n ( 2 )
2 n ( 2 ) z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-376
Imaginons de prendre les fonctions propres sous la forme : n ( z )
Pn ( z )
P ( 2 ) 2 P ( 2 ) ' 2 n
n
Qn ( z )
2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) ' n
.
n
Alors on calculerait les dérivées paramétriques comme suit : P ( 2 ) Q ( 2 ) P ( z ) Q ( z ) P ' ( 2 ) Q ' ( 2 ) z ' ' z z 2 P ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) n
n
n
n
n
P n ( z ) Q n ( z ) 1 1 ' P ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 )
n z
n
' 2 n
P n ( z ) 2 P'n ( 2 ) 2 P n ( 2 )
n
n
n
n z
n
n
2 P n ( 2 ) P n ( 2 ) Q n ( z ) 2 2 2 z 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) n n
P ( z ) P n ( z ) 1 n ' ' 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 )
Q ( z ) Q n ( z ) 1 n ' ' 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 )
2Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) 2 2 2 z
2 P n ( 2 ) P n ( 2 ) 2 2 z
2Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) 2 2 z
2 P n z P n z 2 2 2 z n z n z 1 2 2 ' 2 ' 1P n ( z ) 1P n ( z ) P n ( 2 ) P n ( 2 ) z 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2 2 ' P ( ) P ( ) z 2 n 2 2 n 2
2Q z Q n z 2Q' n ( z ) 2Q n ( z ) n 2 2 z 2Q' n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2 n 2 n 2 2 n 1 n 1 2 2 0 1 1 0 z z
1 ' 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 )
2Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) 2 2 z
Là encore on parvient à une simplification « relative » du calcul de la norme : 2
n z dz n ( z ) 2
2
1
2
2 n 2
2
2 1 z
2
n ( z ) n ( z ) 2 n ( z ) n ( z ) z z 1 2n 1
n 2
z n ( 2 ) n ( 2 ) 2 n ( 2 ) n ( 2 ) n ( 2 ) 2 n 2 n ( 2 ) n (2 ) z z z 2 2 n ( 2 ) n ( 2 ) n ( 2 ) n 2 n ( 1 ) 2 n ( 2 ) n ( 2 ) 0 z z z 2 n z
2
n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) 1 n ( 1 ) 2 z z 2 dz n ( z ) 2 1 n 1
2 1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-377
Il suffit de calculer la dérivée seconde à l'aide des expressions suivantes: n z
P ( z ) P n ( z ) 1 n ' ' 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2 P n ( 2 )
Q ( z ) Q n ( z ) 1 n ' ' 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 )
2 n z z
2 P n ( 2 ) P n ( 2 ) 2 2 z
2Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) 2 2 z
2 P z P'n ( z ) 1 n 2 P' n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) z 2 P'n ( 2 ) 2 P n ( 2 )
2Q z Q' n ( z ) 1 n 2Q' n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) z 2Q' n ( 2 ) 2Q n ( 2 )
2 P n ( 2 ) P n ( 2 ) 2 _ 2 z
2Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) 2 2 z
soit à l'aide des valeurs des dérivées premières et secondes des fonctions de Legendre: 2 2 P ( 1 ) P ( 1 ) P 1 ( 1 ) P ( 2 ) P ( 2 ) P 1 ( 2 ) 2 n 1 2 n 2 z z 1 1 2 1 n
n
2Q n ( 1 )
n
n
n
n
2 n Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 2 n 2 1 2 z z 1 1 2 1 P n ' ( 1 ) 2 n 1P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) P n ' ( 2 ) 2 n 2 P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 Q n ' ( 1 ) 2 n 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ' ( 2 ) 2 n 2Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 1 1 2 1 .
La norme devient : n ( z ) n ( 1 ) z n 1
Pn ( z )
P ( 2 ) 2 P ( 2 ) ' 2 n
P ( 2 ) 2 P ( 2 ) ' 2 n
n
n
Q ( 1 ) ' n
2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) ' n
n
P ( 1 ) Pn ( 1 ) 1 n ' ' 2 Pn ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) 2 Pn ( 2 )
z
2Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) 2 2 z
2
2 Pn ( 2 ) Pn ( 2 ) 2 2 z
2 P 1 P' n ( 1 ) 1 n 2 P' n ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) z 2 P' n ( 2 ) 2 Pn ( 2 )
2Q 1 Q' n ( 1 ) 1 n 2Q' n ( 2 ) 2Qn ( 2 ) z 2Q' n ( 2 ) 2Qn ( 2 )
n z
.
2Q ( 2 ) 2Q ( 2 )
P ( 1 ) ' n
Q n ( z )
' n
Q ( 1 ) Qn ( 1 ) 1 n ' ' 2Qn ( 2 ) 2Qn ( 2 ) 2Qn ( 2 ) 2Qn ( 2 )
2 n 1
n
2 Pn ( 2 ) Pn ( 2 ) 2 _ 2 z
2Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) 2 2 z
n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) 1 1 n ( 1 ) 2 z z 2 dz n ( z ) 2 1 n 1
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-378
Exemple : Section conique-sphérique pleine entre les angles ϑ 1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. homogènes en ϑ1 et ϑ2 Soit le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) r l f (Cos ) r
T (r , ) 0 1
T (r , ) 0 2
T (r , ) fini
. La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité, doit être continue et dérivable Pour respecter la condition aux limites T (r , ) 0 1
T (r , ) 0 2
,
on est amené à rechercher une extension des polynômes de Legendre de degré entier à des P (Cos ( )) P (Cos ( )) fonctions de Legendre de degré non entier λn n , ainsi que des fonctions de Q (Cos ( )) Q (Cos ( )) Legendre de deuxième espèce : n . n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-379
En respectant la contrainte de finitude et par principe de superposition on recherche la solution sous la forme d'une série : T ( r , ) r Cn P (Cos ( )) Dn Q (Cos ( )) n
n
n 0 ,
n
T ( r , ) 0 C n Pn (Cos ( 2 )) Dn Qn (Cos ( 2 )) 0 Dn Cn 2
Pn (Cos ( 2 )) Qn (Cos ( 2 ))
P (Cos ( )) Qn (Cos ( )) r n C n n P ( Cos ( )) Q ( Cos ( )) n 0 , 2 n 2 n P (Cos (1 )) Qn (Cos (1 )) 0 T ( r , ) 0 r n C n n 1 P ( Cos ( )) Q ( Cos ( )) n 0 , 2 n 2 n Pn (Cos (1 )) Qn (Cos (1 )) n tq Pn (Cos ( 2 )) Qn (Cos ( 2 )) T (r , )
Comme 2 1 Cos ( 2 ) Cos (1 ) on pose 1 Cos ( 2 ) et 2 Cos (1 ) de telle manière que 1 2
n
tq
Pn ( 2 ) Pn ( 1 )
n (Cos ( )) n ( z )
Qn ( 2 ) Qn ( 1 )
Pn (Cos ( )) Pn (Cos ( 2 ))
Pn ( z ) Pn ( 1 ) 2
Qn (Cos ( )) Qn (Cos ( 2 ))
et z Cos ( )
Qn ( z ) Qn ( 1 )
2
1
2
n (Cos ( )) d Sin( ) n (Cos ( )) dz n ( z ) dz n ( z ) n ( z ) 1
2
2
2
2
2
1
Exemple
si l'on prend l'angle 1 / 7 2 6 / 7 , alors les 10 premières valeurs propres λn =
0.785441,
2.23009, 3.64994, 5.06115, 6.46833, 7.8733, 9.27695, 10.6797, 12.0819, 13.4837
si l'on prend l'angle 1 / 7 2 5 / 14 , alors les 10 premières valeurs propres λn = 8.80259, 13.4792, 18.1509, 22.8207, 27.4895, 32.1576, 36.8254, 41.493, 46.1603
Les fonctions propres du problème de Sturm-Liouville s'écrivent donc : P (Cos ( )) Q (Cos ( )) n ( ) P (Cos ( 2 )) Q (Cos ( 2 )) n
n
n
n
ou n ( z)
Pn ( z ) Pn ( 1 )
Qn ( z ) Qn ( 1 )
4.1092,
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-380
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne : P ( 2 ) Q ( 2 ) 1 Cos 2 ; 2 Cos1 n tq P ( 1 ) Q ( 1 ) z Cos n z
P n ( z )
P n ( 1 )
2
2
1
1
n
n
n
n
Q n ( z )
2
n z dz n z 2
Q n ( 1 )
2
1
n 2 n n 1 ( 2 ) 2n 1
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z ) Q n ( z ) Bn Cn 2n 1 Pn (1 ) Qn (1 ) r T ( r , ) l n Nn n 0, r
n
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) n 1 n
ou bien Bn Cn P ( 1 ) Q ( 1 ) r n T ( r , ) n 2 l n 0, r n z
n
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) 1 n n
En prenant en compte les formules d'intégrales indéfinies : Q z Q 1 z 1 dz Ρ z Ρ 1 z Ρ 1 z dz Q z 1 2 1 2 1 Ρ 1 z zΡ z Q 1 z zQ z 2 dz Ρ z dz Q z zΡ z Ρ 1 z zQ z Q 1 z 3 dz Ρ z dz Q z 1 1 z 2 1 Ρzz z 2 1 Qzz 4 dz Ρ z dz Q z ( 1) ( 1)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-381
Lorsque la fonction limite fθ(z)=1, on a 2
2
1
1
Bn dz P n ( z ) Cn dz Q n ( z )
N n n 1 ( 2 )
n 2
en utilisant les trois formes des intégrales indéfinies
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n 1 ( 1 )
1 Bn Bn '
2n 1P
n
( 1 )
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n 1 ( 1 )
P n ( 1 )
1 Bn 'Cn ' r T ( r , ) Nn n 0, n lr
n
et
et Cn '
Cn
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 1 )
2n 1Q
n
( 1 )
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ( 1 )
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) n 1 n
ou bien
2 Bn 2 soit Bn ' T ( r , )
P n ( 2 ) P n ( 1 )
P n 1 ( 1 ) P n 1 ( 2 ) P n ( 1 )
P n 1 ( 1 ) P n 1 ( 2 ) P n ( 1 )
n 0,
et
Cn '
2n 1 Bn 'Cn ' r n
2
Nn
n
l r
1
et
Cn 2
Q n ( 2 ) Q n ( 1 )
Q n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 2 ) Q n ( 1 )
1
Q n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 2 ) Q n ( 1 )
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q n ( 1 ) n
ou bien
3 Bn soit Bn '
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n ( 1 )
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n ( 1 )
2 et
P n ( 2 ) P n ( 1 ) Cn '
2n 1 Bn 'Cn ' r T ( r , ) l Nn n 0, n n 1 r .
n
1
et
Cn
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ( 1 )
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ( 1 )
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) 1 n n
2
Q n ( 2 ) Q n ( 1 )
1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-382
Avec les formes littérales des normes des fonctions propres : P ( z ) Q ( z ) 2 2 n z z dz z P ( 1 ) Q ( 1 ) n
2
n
n
n
1 Bn '
1
n
n
Pn 1 ( 2 ) Pn 1 ( 2 ) Pn 1 ( 1 ) Pn 1 ( 1 ) Pn ( 1 )
Bn 'Cn ' r T (r , ) 2 n 0 , 2 1 z l r n
n
n
et
Cn '
Qn 1 ( 2 ) Qn 1 ( 2 ) Qn 1 ( 1 ) Qn 1 ( 1 ) Qn ( 1 )
Pn (Cos ) Qn (Cos ) P ( 1 ) Qn ( 1 ) n
ou bien
2 Bn ' T (r , )
Pn 1 ( 1 ) Pn 1 ( 2 ) Pn ( 1 )
1 Bn 'Cn ' r 2 n 0 , n z lr n
Cn '
et n
Qn 1 ( 1 ) Qn 1 ( 2 ) Qn ( 1 )
Pn (Cos ) Qn (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) 1 n n
ou bien
3 Bn '
Pn 1 ( 2 ) Pn 1 ( 1 ) Pn ( 1 )
1 Bn 'Cn ' r T (r , ) 2 n 0 , n 1 z lr n
Cn '
et
n
Qn 1 ( 2 ) Qn 1 ( 1 ) Qn ( 1 )
Pn (Cos ) Qn (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) n 1 n
Le cas particulier où ϑ2=π- ϑ1 entraînant μ1=- μ2. Cela donne une condition aux limites paires et il s'ensuit que la solution du problème aux limites doit également être paire. Plus généralement un problème pour lequel ϑ2=π- ϑ1, μ1=- μ2, avec une condition aux limites paire doit normalement conduire à une solution paire : f ( ) f ( ) T (r , ) T ( r , )
avec une condition aux limites impaire doit normalement conduire à une solution impaire : f ( ) f ( ) T ( r , ) T ( r , )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-383
Exemple : Section sphérique pleine entre les angles ϑ 1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. de Neumann homogènes en ϑ1 et ϑ2 Soit le problème : T ( r , ) 0 T (r , ) r l f (Cos ) avec z Cos r
T (r , ) ' z
Tz' (r , )
1 2
0 0
T (r , ) fini
La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité, doit être continue et dérivable On est amené comme dans l'exemple précédent à rechercher une série comportant les extensions des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce de degré entier à des degrés non entier P (Cos ( )) P (Cos ( )) Qn (Cos( )) Q (Cos ( )) λn. Soit n , . En respectant la contrainte de finitude et par principe de superposition on recherche la solution sous la forme: T (r , ) B0 r Cn P (Cos ( )) DnQ (Cos ( )) Comme 2 1 Cos ( 2 ) Cos (1 ) n
n
n
n
n 0 ,
n
on pose 1 Cos ( 2 ) et 2 Cos (1 ) de telle manière que 1 2
n 1P (1 ) P 1 (1 ) P' (2 ) 2 n 2 P (2 ) P 1 (2 ) 2 1 1 2 1 Q' ( 1 ) 2 n 1Q ( 1 ) Q 1 ( 1 ) Q' ( 2 ) 2 n 2Q ( 2 ) Q 1 ( 2 ) 1 1 2 1 Tz' ( r , z ) 0 Cn 2 n 1 P ( 1 ) P 1 ( 1 ) Dn 2 n 1Q ( 1 ) Q 1 ( 1 ) 0 z 1 1 1 1 P' n ( 1 )
n
n
n
n
n
n
n
n
1
P Q
n
( )
n
n
n
n
n
n
Pn ( z ) Q n ( z ) r n Cn 1P ( 1 ) P 1 ( 1 ) 1Qn ( 1 ) Qn 1 ( 1 ) n 0 , 1 n ( 1 ) Q n 1 1 n n 2Qn ( 2 ) Qn 1 ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) Pn 1 ( 2 ) 0 T ( r , ) z 0 r n C n 2 n 2 1Qn ( 1 ) Qn 1 ( 1 ) 2 1 1P n ( 1 ) Pn 1 ( 1 ) n 0 , 2 Pn ( 2 ) Pn 1 ( 2 ) 2Qn ( 2 ) Qn 1 ( 2 ) soit n tq n 0 ou 1 Pn ( 1 ) P n 1 ( 1 ) 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Dn Cn
1 n
( 1 ) Pn 1 ( 1 )
ou encore n ( z )
P' n ( 2 ) P' n ( 1 ) Pn ( z )
P' n ( 1 )
T (r , z )
Q' n ( 2 ) Q' n ( 1 )
Q n ( z )
Q' n ( 1 )
2
n ( z )
2
dz 1
n
( z)2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-384
Exemple
si l'on prend l'angle 1 / 7 2 / 2 1 5 / 14 , alors les 20 premières valeurs propres λn = 4.33461, 8.92499, 13.5624, 18.2138, 22.8712, 27.5316, 32.1938, 36.8571, 41.5211, 46.1857, 50.8506, 55.5158, 60.1813, 64.8469, 69.5127, 74.1786, 78.8445, 83.5106, 88.1767, 92.8428
si l'on prend l'angle 1 / 7 2 1 6 / 7 , alors les 20 premières valeurs propres λn = 1.19646, 2.49885, 3.8465, 5.21496, 6.59421, 7.97964, 9.36888, 10.7606, 12.1541, 13.5489, 14.9445, 16.3409, 17.7378, 19.1352, 20.5328, 21.9308, 23.329, 24.7274, 26.126, 27.5247
si l'on prend l'angle 1 / 14 2 3 / 7 , alors les 20 premières valeurs propres λn =
2.60589, 5.30231, 8.04798, 10.8157, 13.5946, 16.3799, 19.1691, 21.9608, 24.7542, 27.5489, 30.3446, 33.1409, 35.9378, 38.7352, 41.5329, 44.3308, 47.129, 49.9274, 52.726, 55.5247
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne : z Cos 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 n
P P
2 n
n 0 ou
tq
1 n
n ( z)
P n ( z )
P n ' ( 1 )
( 1 ) P n 1
Q n ( z )
Q ( ) Q
( 2 ) P n 1 ( 2 )
Q n ' ( 1 )
1
2
n
1
n
( )
( 2 ) Q n 1 ( 2 ) ( 1 ) Q n 1
2
2
1
1
1
2
B0 dz f ( z ) 1
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z ) Q n ( z )
Bn Cn P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 )
Fn
1 2
n z 2
0 z
2
n 1 z
n
(2 )
2n 1
B0
T ( r , ) comme
2
2 n ( 2 )
r Fn lr
n 0 ,
n 2 z
z
n
1 N 2
2
0 z 2 1
2n 1 (Cos ) Q (Cos )
P n P ' ( 1 ) n 2 n z
n
2
n
Q n ' ( 1 )
0 1 n ( 1 ) n 1 ( 1 ) 2 n ( 2 ) n 1 ( 2 ) 0
La norme, comme on l'a vu se calcule à partir des données suivantes : 2 2 P ( 1 ) n P ( 1 ) P 1 ( 1 ) P ( 2 ) n P ( 2 ) P 1 ( 2 ) 2 2 1 2 z z 1 1 2 1 n
n
2Q n ( 1 ) z
P n ( 1 )
n
Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) 2 n 1 1 1
n
2Q n ( 2 ) z
n
n
n Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) 2 2 2 1
P n ( 2 ) n 1P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) P n ' ( 2 ) 2 n 2 P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 2 z z 1 1 2 1 Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ' ( 1 ) 2 n 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) Q n ' ( 2 ) 2 n 2Q n ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) z z 1 1 2 1 P n ' ( 1 )
2 n 2 z
.
2 P n ( 2 ) P n ' ( 2 ) 2 P n ( 1 ) 2Q n ( 2 ) Q n ' ( 2 ) 2Q n ( 1 ) 1 1 P n ' ( 1 ) z P n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z Q n ' ( 1 ) z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-385
Il vient la solution du problème (sans oublier la solution de valeur propre nulle) 2
B0 dz f ( z ) 1
n ( z )
T ( r , )
P n ( z )
P n ' ( 1 )
2
2
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z )Q n ( z ) 1
1
Q n ( z )
Q n ' ( 1 )
B0 2 1 n 0 ,
2
n z dz n ( z ) 2 2
Fn
1
r Fn lr
n
Bn Cn P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 )
P n (Cos ) Q n (Cos ) 1P ( 1 ) P 1 ( 1 ) 1Qn ( 1 ) Qn 1 ( 1 ) n n 2 n z
.
En prenant en compte les formules d'intégrales indéfinies : Ρ z Ρ z Q z Q z dz Ρ z 1 2 1 1 dz Q z 1 2 1 1 (1) Ρ z zΡ z Q z zQ z ( 2) dz Ρ z 1 dz Q z 1 zΡ z Ρ z zQ z Q z dz Ρ z 1 1 dz Q z 1 1 (3) z 2 1 Ρzz z 2 1 Qzz ( 4) dz Ρ z ( 1) dz Q z ( 1) Lorsque la fonction limite fθ(z)=1, on a 2
2
1
1
Bn dz Pn ( z ) Cn dz Qn ( z ) en utilisant les équations (3) 2 P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 1 Pn ( 1 ) Pn 1 ( 1 ) Bn n 1
Fn
Cn
Q ( ) Qn 1 ( 2 ) 1 2 Pn ( 2 ) Pn 1 ( 2 ) 2 n 2 n 1 Pn ' ( 1 ) Qn ' ( 1 )
Q 2
0
On retrouve donc la solution triviale, puisque B0=μ2-μ1: T(r,θ)=1.
n
( 2 ) Qn 1 ( 2 ) 1Q n ( 1 ) Qn 1 ( 1 )
n 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-386
Lorsque la fonction limite fθ(z) présente un profil en fonction de Heaviside, il vient : 2 1 2 f ( z ) 1 si z 1 , 1 f ( z ) 0 si z 1 , 2
B0
1 2 2
dz 1
2 1 2
Bn
2
1 2 2
dz P
1
n
( z ) Cn
1 2 2
dz Q
1
n
( z)
en utilisant les équations (3) 1 2 1 2 2 P n P n 1 1 1P n ( 1 ) P n 1 ( 1 ) 2 2 2 Bn n 1
1 2 1 2 2 Q n Q n 1 1 1Q n ( 1 ) Q n 1 ( 1 ) 2 2 2 Cn n 1
1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 P n P n 1 1 Q n Q n 1 1 2 2 2 2 2 2 Fn P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 ) 2 P n ( z ) Q n ( z ) 2 n ( z) n z dz n ( z ) 2 P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 ) 1
T ( r , )
1 2 n 0,
r Fn lr
n
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ' ( 1 ) Q ' ( ) n 1 n 2 n 1 n z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-387
Exemple : Section sphérique pleine entre les angles ϑ 1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet inhomogènes en r=lr. de « Robin » homogènes en ϑ1 et ϑ2 Soit le problème : T (r , ) 0 T ( r , ) fini T ( r , ) r l f (Cos ) avec z Cos r
1 Cos 2 2 Cos 1
1 Tz' ( r , z ) 1 T ( r , z ) 0 z 1 ' 2 Tz ( r , z ) 2 T ( r , z ) z 0 2
La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité, doit être continue et dérivable On est amené comme dans l'exemple précédent à rechercher une série comportant les extensions des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce de degré entier à des degrés non entier P (Cos ( )) P (Cos ( )) Qn (Cos( )) Q (Cos ( )) λn. Soit n , . En respectant la contrainte de finitude et par principe de superposition on recherche la solution sous la forme: T (r , ) r Cn P (Cos ( )) DnQ (Cos ( )) 1 Cos ( 2 ) et 2 Cos (1 ) n
n
n
n
n 0 ,
n
n 1P (1 ) P 1 (1 ) P' (2 ) 2 n 2 P (2 ) P 1 (2 ) 2 1 1 2 1 Q' ( 1 ) 2 n 1Q ( 1 ) Q 1 ( 1 ) Q' ( 2 ) 2 n 2Q ( 2 ) Q 1 ( 2 ) 1 1 2 1 P' n ( 1 )
n
n
n
n
2 Tz' (r , z ) 2 T (r , z )
n
n
n
n
n
n
n
0 2 Cn P' n ( 2 ) DnQ' n ( 1 ) 2 Cn P n ( 2 ) DnQ n ( 2 ) 0
z 2
2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) P ( z ) Q ( z ) Dn Cn T ( r , z ) r C n 2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) n 0 , ' ' 2 P ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) T (r , ) z 0 n tq n 0 ou 1 P' ( 1 ) 1P ( 1 ) 1Q' ( 1 ) 1Q ( 1 ) n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
n
n ( z )
P n ( z )
P ( 2 ) 2 P ( 2 ) ' 2 n
n
n
Q n ( z )
2
2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) ' n
n
n
n ( z )
n
2
dz
n
( z )2
1
C'est un système régulier de Sturm-Liouville,: 2 p z 1 z 2 p z 0 p 2 p 2 1 2 w( z ) 1 q( z ) 0
Dans ces conditions toutes les propriétés d'un système régulier de Sturm-Liouville s'appliquent et notamment : - il y a une infinité de valeur propres tendant vers l'infini - comme les conditions homogènes sont de Neumann, les valeurs propres sont toutes positives si les deux rapports ont les signes suivant : Si 2 0 et 1 0 n 0 2 1 Ce qui est bien le cas avec tous les paramètres pris pour positif.
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-388
On examinera plus particulièrement des catégories de problèmes aux limites entièrement symétrique par rapport au plan hémisphérique, avec une section sphérique elle-même symétriques Soit : Problèmes aux limites entièrement symétriques
T (r , ) 0 T (r , ) fini T (r , ) r l f (Cos ) avec z Cos r
Tz' (r , z ) T (r , z ) 0 z2 2 Cos 1 1 Cos 1 2 ' Tz (r , z ) T (r , z ) z 0 2 ' ' P n ( 2 ) P n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) n tq n 0 ou ' P n ( 2 ) Pn ( 2 ) Q' n ( 2 ) Q n ( 2 ) n ( z )
Pn ( z )
P ( 2 ) P ( 2 ) ' n
n
Qn ( z )
Q ( 2 ) Q ( 2 ) ' n
n
Exemple: pour un problème entièrement symétrique si l'on prend les valeurs : 1 / 7 ; 2 1 6 / 7 ; 1 / 2 ; 1 / 2 , alors on trouve les 30 premières valeurs propres λn = 0.158808,1.32868,2.5988,3.92371,5.27689,6.64555,8.02332,9.40682,10.7941,12.1841,13.576,14. 9692,16.3636,17.7588,19.1547,20.5511,21.9479,23.3451,24.7427,26.1404,27.5384,28.9366,30.33 5,31.7335,33.1321,34.5308,35.9296,37.3285,38.7275,40.1266 Exemple: pour un problème entièrement symétrique si l'on prend les valeurs : 1 / 20 ; 2 1 19 / 20 ; 1 / 2 ; 1 / 2 , alors on trouve les 30 premières valeurs propres λn = 0.0233022,1.04614,2.0884,3.14607,4.21537,5.29336,6.37782,7.46719,8.5603,9.65633,10.7546,11 .8548,12.9564,14.0593,15.1631,16.2678,17.3731,18.4791,19.5856,20.6925,21.7998,22.9075,24.0 154,25.1236,26.232,27.3406,28.4494,29.5583,30.6674,31.7767 La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne la forme de la solution: z Cos 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 n
2 P' n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2Q' n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 1P'n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1Q' n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
tq n 0 ou
n ( z)
n z
2
P n ( z )
P ( 2 ) 2 P n ( 2 ) ' 2 n
Q n ( z )
2Q ( 2 ) 2Q n ( 2 ) ' n
n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) 1 n ( 1 ) 2 z z 2 dz n ( z ) 2 1 n 1
2
2 1
2
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z ) Q n ( z ) 1
T ( r , )
1
n 0,
r Fn lr
n
Fn
voir précédemment
Bn Cn ' P ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) ' 2 n
P n (Cos ) Q n (Cos ) 2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) n n n n 2 n z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-389
Le résultat important sur la structure des fonctions propres et le développement en série de la solution aux problème mixte de Dirichlet-Robin sur une configuration entièrement symétrique est le suivant : n ( z )
Pn ( z )
Qn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
C.L. n ' ( 2 ) n ( 2 ) n ' ( 2 ) n ( 2 ) 0 ( n )
Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 )
Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 )
(1) n
2 p ( z ) paire, 2 p zéros , 2 p (0) 0 2 p1 ( z ) impaire, 2 p 1 zéros 2 p1 (0) 0 n z 2
2
dz z
Cas n1
2
n
2
f ( z ) paire f ( z ) f ( z )
2
2
2
2
dz f ( z ) Pn ( z) Cn
Bn F2 n
dz
B2 n C2 n 0 ' P ( 2 ) P2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) ' 2 n
P
' 2 n1
B2 n 1 C2 n 1 F2 n 1 0 ' ( 2 ) P2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 )
T (r , )
r F2 n lr
2 n
P2 n (Cos ) Q2 n (Cos ) P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) 2n 2n 2n 2n 2 n z
n 0 ,
Cas n2
2
2
2
dz f ( z ) Pn ( z) Cn
F2 n 1
2
f ( z ) impaire f ( z ) f ( z )
2
Bn
f ( z ) Qn ( z )
P
' 2 n 1
dz
f ( z ) Qn ( z ) B2 n C2 n
B2 n 1 C2 n 1
B2 n 1 C2 n 1 0 ' ( 2 ) P2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 )
B2 n C2 n F2 n 0 ' P ( 2 ) P2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) ' 2 n
T (r , )
n 0 ,
r F2 n 1 lr
2 n1
P2 n1 (Cos ) Q2 n1 (Cos ) ' ' P ( 2 ) P ( 2 ) Q ( 2 ) Q ( 2 ) 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n1 z
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-390
Extension aux cas de l'hémisphère porté à la condition de Dirichlet homogène nulle sur la base Dans la configuration symétrique précédente, lorsque les conditions aux limites sont impaires, la solution est construite à l'aide de seules fonctions impaires, ce qui conduit à ce que la valeur sur la tranche (base) soit exactement nulle. C'est donc également la solution d'un problème aux limites sur une hémisphère évidé par un cône supérieure d'angle θ1 : T (r , ) 0 T (r , ) fini T (r , ) r l f (Cos ) f z ( z ) avec z Cos r
2 Cos 1
Tz' (r , z ) T (r , z ) T (r , z ) / 2, z 0 0
1 , z 2
0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-391
Avec pour solution : n ( z )
Pn ( z )
Qn ( z )
P ( 2 ) Pn ( 2 ) Q ( 2 ) Qn ( 2 ) ' n
' n
n ' ( 2 ) n ( 2 ) n ' ( 2 ) n ( 2 ) 0 ( n )
Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 ) (1) n Pn ' ( 2 ) Pn ( 2 ) Qn ' ( 2 ) Qn ( 2 )
2 p ( z ) paire, 2 p zéros , 2 p (0) 0 2 p1 ( z ) impaire, 2 p 1 zéros 2 p1 (0) 0 n z 2
2
Bn
dz
2
2
2
dz n z 2 dz n z 2
2
2
0
f ( z ) Pn ( z ) Cn
2
dz
2
f ( z ) Qn ( z ) B2 n C2 n
B2 n 1 C2 n 1
B2 n 1 C2 n 1 F2 n 1 0 ' ' P2 n1 ( 2 ) P2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 ) B2 n C2 n F2 n 0 ' P ( 2 ) P2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) Q2 n ( 2 ) ' 2 n
Comme F2 n 1 0 et
2 p1 ( z ) impaire
2
2
0
0
Alors B2 n 1 2 dz f ( z ) P2 n1 ( z ) C2 n 1 2 dz f ( z ) Q2 n1 ( z ) B2 n 1 C2 n 1 F2 n 1 0 ' ' P2 n1 ( 2 ) P2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 ) Q2 n1 ( 2 )
T (r , )
n 0 ,
r F2 n 1 lr
2 n1
P2 n1 (Cos ) Q2 n1 (Cos ) P' ( 2 ) P ( 2 ) Q' ( 2 ) Q ( 2 ) 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n1 z
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-392
Exemple : Section sphérique creuse d'angle ϑ1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet homogènes en r=lr1 et inhomogènes en r=lr2 , homogènes en ϑ1 et ϑ2. T ( r , ) 0 T (r , ) fini T ( r , ) r l 0 T (r , ) r l f (Cos ) r1
Soit le problème :
r2
T ( r , ) 0 T ( r , ) 0 1
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-393
En reprenant les résultats d'un exemple précédent, nous avons : P ( 2 ) Q ( 2 ) P ( z ) Q ( z ) 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 n tq z Cos n z P ( 1 ) Q ( 1 ) P ( 1 ) Q ( 1 ) 2
2
1
1
n
n
n
n
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z ) Q n ( z )
n
n
2
n z dz n z 2
1
2
n
n
n 2 n n 1 ( 2 ) 2n 1
2n 1 z 2 n Nn Nn n 2n 1 n
1 P ( 2 ) P ( 2 ) P ( 1 ) n n n P n ( 1 ) P 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) P n ( 1 ) Nn n Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 1 ) P n ( 1 ) 1 Q ( ) Q n ( 1 ) n 1 n n 1 Bn r l C n r1 l r 2n 1 Pn ( 1 ) Qn (1 ) r1 P n (Cos ) Q n (Cos ) T ( r , ) n Nn l n l n 1 P n ( 1 ) Q n ( 1 ) n 0, r 2 r1 l lr1 r2 n 1 n Bn Cn r lr1 P (Cos ) Q (Cos ) P ( 1 ) Q ( 1 ) lr1 r n n ou bien T (r , ) n n 2 n n 1 P ( ) Q ( ) l n 0, 1 1 n z n n r 2 lr 1 l lr1 r2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-394
Lorsque la fonction limite fθ(z)=1, on a :
En utilisant les trois formes des intégrales indéfinies 1 P ( 2 ) P ( 2 ) P ( 1 ) n n n P n ( 1 ) P 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) P n ( 1 ) Nn n Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 1 ) 1 P n ( 1 ) Q ( ) Q n ( 1 ) n 1
1 Bn '
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n 1 ( 1 )
P n ( 1 )
et
Cn '
r n l n 1 r1 l P (Cos ) Q (Cos ) r 1 Bn 'Cn ' r1 n T ( r , ) n n n 1 N P ( ) Q n ( 1 ) n 0, n n n 1 l l r 2 r1 l lr1 r2 P ( ) P ( ) Q ( ) Q n 1 ( 2 ) 2 ou bien Bn ' n 1 1 n 1 2 et Cn ' n 1 1 P n ( 1 ) Q n ( 1 ) r n l n 1 r1 l r 2n 1 Bn 'Cn ' r1 T ( r , ) 2 Nn l n l n 1 n n 0, r 2 r1 l lr1 r2
3 ou bien Bn '
P n 1 ( 2 ) P n 1 ( 1 ) P n ( 1 )
et
Cn '
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) n 1 n
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 )
r n l n 1 r1 l 2n 1 Bn 'Cn ' r1 r T ( r , ) Nn l n l n 1 n 0, n n 1 r 2 r1 l lr1 r2
Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 2 ) Q n 1 ( 1 ) Q n 1 ( 1 )
Q n ( 1 )
P n (Cos ) Q n (Cos ) P ( 1 ) Q ( ) 1 n n
Q n ( 1 )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-395
avec les expressions formelles des normes des fonctions propres : En utilisant les trois formes des intégrales indéfinies P ( ) P ( ) P 1 ( 1 ) P 1 ( 1 ) Q 1 ( 2 ) Q 1 ( 2 ) Q 1 ( 1 ) Q 1 ( 1 ) 1 Bn ' 1 2 1 2 et Cn ' P ( 1 ) Q ( 1 ) n
n
n
n
n
n
n
n
n
n 1 r lr1 r Pn (Cos ) Qn (Cos ) 1 Bn 'C n ' lr1 T (r , ) 2 n n 1 2 1 P ( ) Q ( ) n 0, n n 1 n 1 n z lr 2 l r1 lr1 lr 2 P ( ) P ( ) Q ( ) Qn 1 ( 2 ) 2 ou bien Bn ' n 1 1 n 1 2 et Cn ' n 1 1 Pn ( 1 ) Qn ( 1 ) n
r n l n 1 r1 r Pn (Cos ) Qn (Cos ) 1 Bn 'C n ' lr1 T (r , ) 2 n n 1 P ( ) Q ( ) n 0, n z n 1 n 1 n lr 2 lr1 lr1 lr 2 P ( ) P ( ) Q ( ) Qn 1 ( 1 ) 3 ou bien Bn ' n 1 2 n 1 1 et Cn ' n 1 2 Pn ( 1 ) Qn ( 1 ) r n l n 1 r1 r Pn (Cos ) Qn (Cos ) 1 Bn 'C n ' lr1 T (r , ) 2 Qn ( 1 ) l n l n 1 Pn ( 1 ) n 0, n 1 z n r 2 r1 l lr1 r2
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-396
Exemple : Section sphérique creuse d'angle ϑ1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet homogènes en r=lr1 et inhomogènes en r=lr2 , Neumann homogènes en ϑ1 et ϑ2 Soit le problème : T (r , ) 0 T (r , ) fini T (r , ) r l 0 T (r , ) r l f (Cos ) r1
r2
Tz ' (r , ) 0 Tz ' (r , ) 0 1
2
En suivant les résultats d'un exemple précédent, il vient : n ( z)
P n ( z )
P n ' ( 1 )
2
B0 dz f ( z ) 1
Q n ( z )
Q n ' ( 1 )
1 2
n z 2
2
n
(2 )
2 n ( 2 ) z
2n 1
2
2
1
1
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z )Q n ( z )
Fn
Bn Cn P n ' ( 1 ) Q n ' ( 1 )
r n l n 1 r1 lr1 P (Cos ) Q (Cos ) r n Fn n n n 1 l P ' ( ) Q ' ( ) 1 1 n n r 2 lr1 lr 1 l l 1 r2 B0 r r1 T ( r , ) 2 2 1 lr1 n 0, n z 1 l r2
Lorsque la fonction limite fθ(z)=1, on a 2
2
1
1
Bn dz Pn ( z ) Cn dz Qn ( z ) en utilisant les équations (3) 2 P n ( 2 ) P n 1 ( 2 ) 1 Pn ( 1 ) Pn 1 ( 1 ) Bn n 1
Fn
Cn
Q ( ) Qn 1 ( 2 ) 1 2 Pn ( 2 ) Pn 1 ( 2 ) 2 n 2 n 1 Pn ' ( 1 ) Qn ' ( 1 )
On retrouve bien la solution triviale, puisque B0=μ2-μ1:
Q 2
n
( 2 ) Qn 1 ( 2 ) 1Q n ( 1 ) Qn 1 ( 1 )
0
lr 1 1 r T (r , ) lr 1 1 lr 2
n 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-397
Lorsque la fonction limite fθ(z) présente un profil en fonction de Heaviside, il vient : 2 1 2 f ( z ) 1 si z 1 , 1 f ( z ) 0 si z 1 ,
2
2
Il vient 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 P n P n 1 1 Q n Q n 1 1 2 2 2 2 2 2 Fn P' n ( 1 ) Q' n ( 1 ) P n ( z ) Q n ( z ) 2 n ( z) ' voir précédemment pour n z P n ( 1 ) Q' n ( 1 ) r n l n 1 r1 lr1 P (Cos ) Q (Cos ) r n Fn n ' ' n n 1 l P ( ) Q ( ) 1 1 n n r 2 lr1 lr 1 l l 1 2 r2 1 n r r1 T ( r , ) 2 2 2 2 l n z 1 r1 n 0, n 1 1 1 lr 2 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-398
Exemple : Section sphérique creuse entre les angles ϑ 1,ϑ2, en coordonnées sphériques (r,ϑ) soumise à des conditions aux limites de Dirichlet homogènes en r=lr1 et inhomogènes en r=lr2 et Robin homogènes en ϑ1 et ϑ2 Soit le problème : T (r , ) 0 T (r , ) fini T (r , ) r l 0 r1
T (r , ) r l f (Cos ) avec z Cos r2
1 T (r , ) 1 T ( r , ) 0 ' z
1
2 T (r , ) 2 T (r , ) 0 ' z
2
On peut aussi écrire les conditions aux limites sous la forme 1 Cos 2 2 Cos 1 1 Tz' (r , z ) 1 T (r , z )
z 1
2 Tz' (r , z ) 2 T (r , z )
z 2
0 0
1 0, 2 0, 1 0, 2 0 La solution doit comporter les mêmes contraintes que pour les solutions sur la sphère, à savoir T (r , ) fini T (r , ) fonction paire en soit T (r , ) T (r , ) T (r , ) ne comporte aucune singularité, doit être continue et dérivable On est amené comme dans l'exemple précédent à rechercher une série comportant les extensions des fonctions de Legendre de première et deuxième espèce de degré entier à des degrés non entier P (Cos ( )) Pn (Cos ( )) Qn (Cos ( )) Q (Cos ( )) λn. Soit n , . n
L'équation transcendantale des valeurs propres et les fonctions propres s'écrivent (voir le problème avec la section sphériques pleine : 2 P' ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q ( 2 ) n tq n 0 ou 1 P' ( 1 ) 1 P ( 1 ) 1Q' ( 1 ) 1Q ( 1 ) n
n
n
n ( z )
Pn ( z )
n
n
n
Qn ( z )
P ( 2 ) 2 P ( 2 ) 2Q ( 2 ) 2Q ( 2 ) ' 2 n
n
' n
n
n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-399
La prise en compte de la condition aux limites inhomogènes en r=l r, donne la forme de la solution: z Cos 1 Cos 2 ; 2 Cos 1 n
n 0 ou
tq
n ( z)
2 P' n ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2Q' n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 1P'n ( 1 ) 1P n ( 1 ) 1Q' n ( 1 ) 1Q n ( 1 )
P n ( z )
P ( 2 ) 2 P n ( 2 ) ' 2 n
2
n z dz n ( z ) 2
2 1
2
1
2
2
Q n ( z )
2Q ( 2 ) 2Q n ( 2 ) ' n
n ( 1 ) n ( 1 ) 2 n ( 1 ) 1 n ( 1 ) z z 2n 1
Bn dz f ( z ) P n ( z ) Cn dz f ( z ) Q n ( z ) 1
1
Fn
Bn Cn ' P ( 2 ) 2 P n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) 2Q n ( 2 ) ' 2 n
r n l n 1 r1 lr1 r P n (Cos ) Q n (Cos ) Fn ' ' n n 1 l P ( ) P ( ) Q ( ) Q ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n r 2 lr 1 l lr1 r2 T ( r , ) 2 n 0, n z
.
Tableau synoptique des normes des fonctions propres angulaires d'un problème aux limites sur une section sphériques Formules communes pour le calcul des normes P ( z ) zP ( z ) P 1 ( z ) Q ( z ) 2 zQ ( z ) Q 1 ( z ) 0 ou Ν 2 z z 1 z z 1 2 P ( z ) 1 Ρ z P ( z ) P 1 ( z ) 2 z 0 ou Ν z z z 1 2Q ( z ) 1 Q z Q ( z ) Q 1 ( z ) 2 z z z z 1
0 ou Ν
P ( z ) k ( ) k ( 1) k (k 1) ( k 1) 1 z 2 k! 2 k 1 0 , Z
tel que
k
1 z 1 2
Q ( z ) Cos ( ) Q ( z ) (1) ( 1) P ( z ) Sin ( )
( ) k ( 1) k k!2 k 0
k
0 , Z
1 1 z 1 z Log (k 1) ( 1) (k 1) (k ) 2 1 z 2 tel que
k
1 z 1 2
où ( ) k est le symbole de Pochhammer
α k
α (α 1) (α k-1)
( k) ( )
(l ) fonction Gamma
( ) fonction Digamma dérivée logarithmi que de la fonction Gamma ( ) (1) ( ) dérivée première de la fonction Digamma
' ( ) ( )
.
Tableau synoptique des normes des fonctions propres angulaires d'un problème aux limites sur une section sphériques Expression des normes Problèmes aux limites
Système
de
valeurs
propres, Système de Fonctions propres Normes des fonctions propres angulaire
équation transcendantale :
n
angulaires
n (z )
2
n ( z ) P n ( z )
Neumann sur un cône d'angle P ( 0 ) n 0 d'ouverture θ0 :
n ( z ) Pn ( z )
0 Cos 0
z Cos
z Cos
z
Dirichlet sur une section P ( 2 ) Q ( 2 ) n n conique-sphérique d'angles θ1 P n ( 1 ) Q n ( 1 ) et θ2 : 1 2 2 Cos 1 1 Cos 2 z Cos Dirichlet sur une section P ( 2 ) Q ( 2 ) n n conique-sphérique d'angles θ1 P ( ) Q n ( 1 ) n 1 et θ2 : 1 2 2 Cos 1 1 Cos 2 z Cos
Neumann sur une section P ( 2 ) z Q ( 2 ) z n n conique-sphérique d'angles θ1 P n ( 1 ) z Q n ( 1 ) z et θ2 : 1 2 2 Cos 1 1 Cos 2 z Cos
2
1
Dirichlet sur un cône d'angle P ( 0 ) 0 n d'ouverture θ0 : 0 Cos 0
2
n z dz n ( z ) n z 2
n ( 0 ) 0 n ( 0 )
n ( z )
2
P n ( 1 )
Q n ( z ) Q n ( 1 )
n ( 1 ) n ( 2 ) 0
n ( z )
P n ( z ) P n ( 2 )
n ( 1 ) z
Pn ( z )
n ( 2 ) z
0
2
Q n ( z ) Q n ( 2 )
Qn ( z )
Pn ( 1 ) z Qn ( 1 ) z
n 1
2 Ρn 0 z
Q n ( 1 ) Q n ( 1 ) Q n ( 2 ) 1 P n ( 1 ) P n ( 1 ) Pn ( 2 ) 1 Pn ( 2 ) Pn ( 2 ) Q n ( 2 ) Q n ( 2 )
2
1 P n ( 2 ) Pn ( 2 ) P n ( 1 ) 1 Q n ( 2 ) Q n ( 2 ) Qn ( 1 ) Pn ( 1 ) P n (1 ) Qn ( 1 ) Qn ( 1 )
n z
z
Ρ n 0
n 2 n n 1 ( 2 ) 2n 1
2 n 2
0
2n 1
n z
n ( 1 ) n ( 2 ) 0 n ( z )
n 2
n
0
n z
0 P n ( z )
Pn 1 ( 0 )
1 Ρ
2
z
n
2n 1
n
2n 1
n 1 ( 1 )
n 1
2 2 1 Pn ( 2 ) P n ' ( 2 ) P n ( 1 ) P n ' ( 1 ) z P n ' ( 1 ) z
2Q n ( 2 ) Q n ' ( 2 ) 2Q n ( 1 ) 1 Q n ' ( 1 ) z Qn ' ( 1 ) z
1 2
n z 2
2
n
( 2 )
2 n ( 2 )
2n 1
z
Expression des normes (suite) Problèmes aux limites
Système
de
valeurs
propres, Système de Fonctions propres angulaires Normes des fonctions propres angulaires n
équation transcendantale :
Neumann sur une section P ( 2 ) z Q ( 2 ) z n n conique-sphérique d'angles θ1 P ( ) z Q n 1 n ( 1 ) z et θ2 : 1 2 2 Cos 1 1 Cos 2 z Cos
n (z )
2
n z dz n ( z ) 2
Pn ( z )
n ( z )
2 n 1
Qn ( z )
Pn ( 2 ) z Pn ( 2 ) z
n ( 1 ) z
n ( 2 ) z
z
0
2Q n ( 1 ) Qn ' ( 1 ) 2Q n ( 2 ) 1 Q n ' ( 2 ) z Q n ' ( 2 ) z
1 2
1
n z
n
n
n
n
n
n
n
n
1 2 2 Cos1 1 Cos 2 z Cos
2
2 Pn ( 1 ) Pn ' ( 1 ) 2 P n ( 2 ) 1 P n ' ( 2 ) z Pn ' ( 2 ) z
2
Mixte Robin sur une section 2 P' ( 2 ) 2 P (2 ) 2Q' ( 2 ) 2Q (2 ) conique-sphérique d'angles θ1 1P' (1 ) 1P (1 ) 1 Q' (1 ) 1Q (1 ) et θ2 :
1
n ( z )
Pn ( z )
Qn ( z )
n z
' 1 n
1'n ( 1 ) 1n (1 ) 0 ' 2n ( 2 ) 2n (2 ) 0
( 1 )
2 n ( 1 ) z
2n 1
P ( z ) 2 P ( 1 ) P ( z ) P ( 1 ) 1 1P' (1 ) 1P (1 ) 1 z 1 1P' ( 1 ) 1P ( 1 )
P (1 ) 1Pn (1 ) Q (1 ) 1Qn ( 1 ) ' 1 n
n
n
n
n
n
n
n
n
2 n z z
P
' 1 n
Q 1
' n
1 ( 1 ) 1Pn ( 1 )
2 P z n
z
n z 2
Mixte Robin sur une section P ( 2 ) 2 P (2 ) Q ( 2 ) 2Q (2 ) conique-sphérique d'angles θ1 P (1 ) 1P (1 ) Q (1 ) 1Q (1 ) et θ2 :
1 2 2 Cos 1 1 Cos 2 z Cos
n
n
n
n ( z)
n
P n ( z )
( 1 ) 1 n ( 1 ) 0 ' 2 n ( 2 ) 2 n ( 2 ) 0 ' 1 n
Q n ( z )
n z
P ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) Q ( 2 ) 2Qn ( 2 ) ' 2 n
' 2 n
' 1 n
2 P n ( 1 ) P'n ( z ) P ( ) 1 1 n 1 _ ( 1 ) 1P n ( 1 ) z
' n
n
n
2
2
n
Q ( z ) Qn ( z ) 1 n 2Q ( 2 ) 2Q n (2 ) 2Q' n ( 2 ) 2Qn ( 2 )
z
1
(2 )
2n 1
' n
n z
Q n ( 1 ) 2
z
1
Qn ( 1 )
2 n ( 2 ) z
P ( z ) 2 Pn ( 2 ) Pn ( z ) Pn ( 2 ) 1 n 2 P'n (2 ) 2 Pn (2 ) 2 z 2 2 P'n ( 2 ) 2 Pn ( 2 )
2
2Qn ( 2 ) Qn ( 2 ) 2 2 z
P z P (z) 1 n P ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) z 2 P'n ( 2 ) 2 Pn ( 2 ) 2
' n
' 2 n
2 Pn ( 2 ) P ( ) 2 2 n 2 _ z
Q z Qn ( 2 ) Q ( z) Qn ( 2 ) 1 n 2Q' n ( 2 ) 2Q n (2 ) z 2Q' n (2 ) 2Qn (2 ) 2 z 2 2
P
1 ( ) z( ) 2
n
n
Q z Q ( z) 1 n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) z 1Q' n ( 1 ) 1Q n ( 1 ) 2
' 2 n ' 1 n
n
n
2
' 2 n ' 1 n
n
n
Q ( z ) 2Q ( 1 ) Q ( z ) Q ( 1 ) 1 1Q' ( 1 ) 1Q ( 1 ) 1Q' (1) 1Q (1) 1 z 1 n
n
n
n z 2
' n
1 ( ) z( ) 2 1
n
1
n
1
2n 1
n
(1 )
2
2 n (1 ) z
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-403
Solutions de l'équation de Laplace à l'extérieur d'un domaine Ω Problème : soit à rechercher la solution de l'équation de Laplace à l'extérieur d'une sphère à 3 dimensions dont les conditions aux limites de Dirichlet dépendent des angles θ et ϕ, puis du seul angle θ : T (r , , ) 0 (r , , ) r lr T (r , , ) r l f ( , ) T (r , , ) r 0 r
.
Les solutions séparées de l'équation de Laplace sont : T ( r , , ) R ( r )( ) ( )
.
2 n( n 1) R' (r ) R ( r ) 0 R ( r ) A r n B r ( n 1) 2 r r Cos ( ) m2 m m ' ' ( ) ' ( ) n( n 1) ( ) 0 ( ) A Ρn Cos ( ) B Qn Cos ( ) tq m n 2 Sin( ) Sin ( ) R ' ' (r )
' ' ( ) m 2 ( ) 0 ( ) A Cos ( ) B Sin( ) Ρnm z Fonction de Legendre de degré n et d ' ordre m
Qnm z Fonction de Legendre de deuxième espèce de degré n et d ' ordre m
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-404
Lorsque l'on réduit à deux dimensions, lorsque la géométrie du problème et des conditions aux limites ne dépendent pas de ϕ, alors les solutions sont : T ( r , ) R ( r )( ) 2 n( n 1) R' (r ) R ( r ) 0 R ( r ) A r n B r ( n 1) 2 r r Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) n( n 1)( ) 0 ( ) A Ρn Cos ( ) B Qn Cos ( ) Sin ( ) R' ' (r )
Ρn z Polynôme de Legendre de degré n Qn z Fonction de Legendre de deuxième espèce de degré n
Compte tenu des contraintes déjà définies dans le cas du problème intérieur : T ( r , , ) fini T ( r , , ) périodique en de période 2 soit T ( r , , ) T ( r , , 2 ) T (r , , ) T (r , , ) T ( r , , 2 ) périodique en de période 2 soit T ( r , , ) fonction paire en soit T ( r , , ) T ( r , , ) T ( r , , ) ne comporte aucune singularité en θ 0, continue et dérivable Cela conduit au choix d'une partie radiale décroissante en r, et d'une partie angulaire construite à l'aide des fonctions de Legendre de première espèce. La solution se développe sous la forme d'une série : T ( r , , ) An , m r n 1 Pnm (Cos ( ))CCos (m ) DSin( m ) n 0 , m n , n
Lorsque les conditions aux limites ne dépendent pas de ϕ. La solution s'écrit : T ( r , ) An r n 1 Pnm (Cos ( )) n 0 ,
Limitons nous au cas sans dépendance à ϕ. Compte tenu des conditions aux limites, nous avons alors la solution générale sous la forme : z Cos ( )
1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z
B0 dz f ( z ) 1
T (r , )
1
2n 1 lr B0 lr Bn 2 r n 1, 2 r
n 1
Pn (Cos ( ))
Ce qui conduit aux solutions suivantes avec des conditions aux limites spécifiques : f ( ) 1 Heaviside( / 2)
T (r , )
1 lr 1 lr 2 r 2 n 0 , r
f ( ) Heaviside( / 2) T (r , )
1 lr 1 lr 2 r 2 n 0 , r
2n2
fonction de Heaviside
1n
( 2n)! (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1) .
fonction de Heaviside 2n2
1n
( 2n)! (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
f ( ) T0 1 Heaviside( / 2) T1 Heaviside( / 2)
fonction de Heaviside
T T1 lr T0 T1 lr 1n (2 2n n)!2 (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) T (r , ) 0 2 2 n! 2(n 1) 2 r n 0 , r donnant la solution triviale T (r , ) T0 lr dans le cas où la température est identique à la surface r 2n2
de la sphère.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-405
T0 1 T1 1 T (r , )
f ( ) 1 2 Heaviside( / 2)
lr n 0, r
2n 2
1n
fonction de Heaviside
(2n)! (4n 3) P2 n 1 (Cos ( )) 2 2 2 n n! 2(n 1)
Lorsque les conditions aux limites sont impaires en angle il vient : f ( ) f ( ) f ( z ) f ( z ) z Cos ( ) 1
B0 dz f ( z ) 0 1
T (r , )
n 0,
B2 n1
1
Bn dz f ( z ) Ρn z B2 n 0 1
4n 3 lr
1
1
1
0
B2 n 1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 2 dz f ( z ) Ρ2 n1 z
2n 2
P2 n1 (Cos ( ))
r
2
.
Lorsque les conditions aux limites sont paires en angle il vient : f ( ) f ( ) f ( z ) f ( z ) z Cos ( ) 1
0
1
0
1
0
1
1
0
B0 dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) 2 dz f ( z ) 0
1
0
1
0
1
0
1
Bn dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z dz f ( z ) Ρn z (1) n dz f ( z ) Ρn z 0
1
(1 ( 1) n ) dz f ( z ) Ρn z B2 n 1 0 0
1
1
1
0
B2 n dz f ( z ) Ρ2 n z 2 dz f ( z ) Ρ2 n z T (r , )
n 1,
.
B2 n
4n 1 lr 2 n1 P 2
r
2n
(Cos ( ))
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-406
Problème : soit à rechercher la solution de l'équation de Laplace à l'extérieur d'une sphère à 3 dimensions dont les conditions aux limites sont de type Robin inhomogènes et dépendent de l' angle θ uniquement : T (r , , ) 0 (r , , ) r lr
Tr' (r , ) T (r , ) z Cos ( )
r lr
f ( ) T (r ) r 0
1
B0 dz f ( z ) 1
.
1
Bn dz f ( z ) Ρn z 1
n 1
1 Bn 2n 1 B r T (r , ) 0 Pn (Cos ( )) 2 n 1, (n 1) 2 2 n 1 n2 l lr lr lr r 1 r
n 1
lr B 2n 1 r T (r , ) 0 Bn Pn (Cos ( )) 2 2 n 1, ( n 1) lr lr . lr r
Lorsque les conditions aux limites sont impaires en angle il vient : f ( ) f ( ) f ( z ) f ( z ) z Cos ( ) 1
B0 0
1
B2 n1 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 2 dz f ( z ) Ρ2 n 1 z 1
0
2n 2
T (r , )
n 0,
B2 n1
4n 3 2
lr r P2 n 1 (Cos ( )) ( 2 n 2) lr
Lorsque les conditions aux limites sont paires en angle il vient : f ( ) f ( ) f ( z ) f ( z ) z Cos ( ) 1
1
B0 dz f ( z ) 2 dz f ( z ) 1
0
B2 n 1 0
1
1
1
0
B2 n dz f ( z ) Ρ2 n z 2 dz f ( z ) Ρ2 n z 2 n 1
lr B0 4n 1 r T (r , ) B2 n P2 n (Cos ( )) 2 2 n 1, ( 2n 1) lr lr lr r
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-407
Solution des problèmes extérieur et intérieur électrostatique sur des corps géométrique de révolution connaissant la valeur du potentiel sur l'axe de révolution (d'après Jackson, Classical Electrodynamics) Connaissant la valeur sur l'axe de révolution, en notant la valeur z=r, et si l'on peut développer cette solution en puissance (ou inverse des puissances) de r selon les limites du domaine borné et le problème intérieur et extérieur, comme suit : axe axe
z rCos ( )
z0 0 z 0
r T ( z r ) An n 0 , lr
lr défini la limite du domaine borné
n
z lr
T (z r)
l Bn r r n 0 ,
n 1
z lr
Alors les solutions des problèmes intérieur et extérieur dans tous l'espace deviennent : T (z r)
r An n 0 , lr
n
Pn (Cos ( ))
z lr
T (z r)
l Bn r r n 0 ,
n 1
Pn (Cos ( ))
z lr
.
Fonction génératrice des polynômes de Legendre Fonction génératrice
1 w 2 zw 1 2
P ( z)w
n 0 ,
n
n
1
Pn (0) wn P2 n (0) w2 n 1 w2 n 0, n 1, Deux points dans le même plan azimutal r , r ' , ' z 0
z Cos ' r r ' w
r r'
r' r 2 r '2 2rr ' Cos '
1 1 r Pn (Cos ') r r ' r ' n 0, r'
r Pn (Cos ') r' n 0 ,
n
n
.
Exemple : Problème extérieur, anneau fin de rayon lra avec une densité linéique de charge q constante, placé à l'origine des coordonnées dans le plan (x,y), potentiel dans tout l'espace, application de la construction précédente : En construisant la solution du potentiel pour un anneau avec une densité linéique de charge q. avec la solution élémentaire de l'équation de Poisson (intégration sur le plan de l'anneau), on trouve le potentiel sur l'axe de symétrie z :
T (z r)
2q z lra 2 1 r l 2lra q ra 2 2 lra r 2lra q z lra 2 l r 1 ra r .
Soit en utilisant la fonction génératrice, donnant le développement en puissance de z (soit ici de r) :
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-408
T (z r)
n 2n r r 2 q 2 q Pn (0) 2 q P2 n (0) r lra 2 n 0 , n 0 , lra lra r 1 2lra q lra 2 n 1 2 n 1 lra r 2 2 lra q lra lra 2 q P ( 0 ) 2 q P ( 0 ) r lra n r 2n r 2 n 0 , n 0 , lra r 1 r
La solution est donc la suivante : r P2 n 0 n 0, lra T ( r , ) 2 q lra P2 n 0 r n 0,
2n
P2 n Cos r lra
2 n 1
P2 n Cos r lra
n 1 ( 2 n )! n 0, n P2 n 0 1 2 n T ( r , ) 2 q 2 2 n! n 1 n 0, n 1 Q 2 qlra Q n 0, T ( r , ) charge totale lra n 1 n 0,
2n
( 2n)! r P2 n Cos r lra 2 2 2 n n! lra ( 2n)! lra 2 2 2 n n! r
2 n 1
P2 n Cos r lra
2n
( 2n)! r P2 n Cos r lra 2 22 n n! lra ( 2n)! lra 2 22 n n! r
2 n 1
P2 n Cos r lra
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-409
Pour calculer le potentiel de départ sur l'axe z :
r r ' distance entre le point sur l'axe z r et un point sur l'anneau r ',
indépendante de l'angle polaire dans le plan de l'anneau dl ' dl ' q 2 r r' lra z 2
T (z r) q
dl ' lra d T ( z r )
2
qlra 2
lra z
2
d
2qlra 2
lra z 2
. Si l'anneau est placé au dessus (ou en dessous) du plan (x,y) à une valeur z=za, le potentiel sur l'axe z est alors le suivant : 2qlra
T (z r) Tan
lra z za 2
lra za
2
Cos
Cos 1,1
w
Comme
2qlra
2
2
lra za z 2 2 zza
za 2
lra za
za
2
2
lra za
Lim Cos 1
2
Cos
z a
2 2 lra za 1 T (z r) l 2z 2 a ra z 1 z
1
0
z 2
lra za 1
1 w 2w
2qlra l 2z 2 a ra T (z r) 2ql ra 2 lra za 2
2
z lra za
2
z 2
lra za
2
lra za
2
2
lra za
2
n 0,
2
2 za 2
lra za
2
2
w
P ( ) w
2
z lra za
2
n
n
1
2
2 zz a 2
2qlra
2
2
2
2qlra
lra za z
lra za z
2
2
2
2
w 1
za P n 2 2 n 0 , lra za
z l 2 z 2 a ra
n
za Pn 2 2 n 0 , lra za
l 2 z 2 a ra z
n 1
2
z lra za
2
2
z lra za
2
.
Le potentiel en tout point s'écrit alors :
T ( r , )
2qlra 2
lra za
2
za P n 2 n 0, l z 2 a ra za Pn 2 n 0, lra za 2
r P Cos n 2 l z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za n r
n 1
2
r lra za
2
2
r lra za
2
. qui est aussi égal à l'expression suivante en utilisant la parité des polynômes de Legendre :
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-410
T ( r , )
2qlra 2
lra za
2
P n n 0 , Pn n 0,
za 2
lra za
2
za 2
lra za
2
r P Cos n l 2z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za n r
n 1
2
r lra za
2
2
r lra za
2
. Revenons à l'anneau centré sur l'origine dans le plan (x,y) et calculons maintenant la valeur du potentiel dans le plan z=0 : r n 0, lra T r , 2 q 2 lra r n 0,
2n
2 n 1
P2 n 02
r lra
P2 n 02
r lra
. Pour la valeur r=lra, cette somme diverge donc le potentiel sur l'anneau est infini. Exemple : Problème extérieur, filament fin de longueur 2l avec une densité linéique de charge q, potentiel dans tout l'espace, application de la construction précédente : En construisant la solution du potentiel sur l'axe z pour le filament avec une densité linéique de charge q, il vient : r r ' distance entre le point d ' observation r et un point sur le filament r ',
T ( x, y , z ) q
l
dl ' dl ' T ( x, y , z ) q 2 r r' x 2 y 2 z l ' l
T ( x, y , z ) q ArcSinhu
z l x2 y2 z l 2
x y
zl T ( x, y , z ) qLog z l
x y 2
2
2 x 2 y 2 z l 2 x 2 y 2 z l
z l z l z l T (0,0, z ) qLog z l z l
T (0,0, z )
1 l zl z l T (0,0, z ) qLog 2q z l n 0 2n 1 z
La solution est donc la suivante pour r> l P Cos l T ( r , ) 2 q 2 n 2n 1 r n 0
2 n 1
r l
2
z l
ArcSinhu Log u 1 u 2
De plus
rCos l r 2 l 2 2rlCos Sphérique T ( r , ) qLog rCos l r 2 l 2 2rlCos z l 2 z l 2 Axi Cylindrique T ( , z ) qLog 2 2 z l z l
z l
q
.
2 n 1
du 1 u2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-411
Pour r<l, on utilise l'expression littérale : rCos l r 2 T (r , ) qLog rCos l r 2 r Cos 1 T (r , ) qLog l r Cos 1 l
l 2 2rlCos l 2 2rlCos r2 r 2 Cos 2 l l 2 r r 1 2 2 Cos l l 1
Exemple : Problème extérieur, sphéroïde allongé (grand axe a, petit axe b) de potentiel V0, potentiel dans tout l'espace extérieur, application de la construction précédente. On part de l'expression connue du potentiel dans l'espace extérieur en coordonnées sphéroïdales allongées : T ( , ) V0
Q0 Cosh Q0 Cosh0
x 2 y 2 cSinh Sin z cCosh Cos
a cCosh0 b cSinh 0 c Q0 Cosh
a 2 b2
Cosh 1 1 Log 2 Cosh 1
.
Sur l'axe z, il vient : 0,
z cCosh z 0 Cosh
z Q0 c T ( z ) V0 a Q0 c
z 1 Q0 Log c 2
z c
z 1 1 1 c Log z 1 1 2 c
Extérieur du sphéroïde allongé z c Q0 x x T ( z)
V0 1 c Q0 Cosh 0 n 0 2n 1 z
c z c z
x3 x 2 n 1 x 2 n 1 3 2n 1 n 0 2n 1
zr 2 n 1
en coordonnées sphériques
P2 n Cos
.
La valeur sur le plan z=0 devient : V0 1 c Q0 Cosh 0 n 0 2n 1 r
Plan équatorial T ( r ,0) T ( r ,0)
c z
2 n 1
V0 1 c T ( r , ) Q0 Cosh 0 n 0 2n 1 r
T ( r ,0)
x
2 n 1
P2 n 0
x 2 y 2 r cSinh
V0 P2 n 0 Q0 Cosh 0 n 0 2n 1Sinh 2 n 1
c 1 r Sinh P2 n 0 1
V0 1n 2n 2 2n ! 2 n 1 Q0 Cosh 0 n 0 2 n! 2n 1Sinh
n
2n ! 2 2 n! 2n
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-412
Profil sur le plan qui se révèle identique au profil calculé en coordonnées sphéroïdales allongées : T ( r ,0)
V0 Q Cosh 1n 2n 2 2n ! V0 0 2 n 1 Q0 Cosh 0 n 0 Q0 Cosh 0 2 n! 2n 1Sinh
Q0 Cosh 1
n
2
n0
2n
2n ! n! 2n 1Sinh 2n 1 2
.
Exemple : Problème extérieur, sphéroïde aplati (grand axe a, petit axe b) de potentiel V0, potentiel dans tout l'espace extérieur, application de la construction précédente. On part de l'expression connue du potentiel dans l'espace extérieur en coordonnées sphéroïdales allongées : T ( , ) V0
Q0 iSinh Q0 iSinh 0
x 2 y 2 cCosh Sin z cSinh Cos
a cCosh0 b cSinh 0 c Q0 iSinh
a 2 b2
iSinh 1 1 1 ArcCotanSinh Log ArcCotanSinh T ( , ) V0 2 ArcCotanSinh0 . iSinh 1 i
Sur l'axe z, il vient : 0,
z cSinh z 0
z ArcCotan c T ( z ) V0 b ArcCotan c
z c
Sinh
Extérieur du sphéroïde aplati z c
1 1 1 z 1 n ArcCotan 3 1 2 n 1 c x 3 x 2 n 1 x 2 n 1x 2 n 1 n0 n
1n
c T ( z) 2n 1 z b ArcCotan n 0 c V0
1n
zr 2 n 1
en coordonnées sphériques
P2 n Cos
La valeur sur le plan z=0 devient :
1n
c T ( r ,0) b 2n 1 r ArcCotan n 0 c V0
Plan équatorial
T ( r ,0)
V0
2 n 1
P2 n 0
x 2 y 2 r cCosh
1n
z c
2 n 1
c T ( r , ) 2n 1 r b ArcCotan n 0 c V0
x
1
2n 1 Cosh b
2 n 1
c 1 r Cosh
P2 n 0 P2 n 0 1
ArcCotan n 0 c 2n ! V0 1 T ( r ,0) 2 2 n 1 2n b 2 n! 2n 1Cosh ArcCotan n 0 c
n
2n ! 2 2 n! 2n
.
( r , )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-413
Profil sur le plan qui se révèle identique au profil calculé en coordonnées sphéroïdales aplati: T ( r ,0)
V0 2n ! Q iSinh iV0 0 2 2 n 1 2n Q0 iSinh 0 n 0 2 n! 2n 1Cosh Q0 iSinh0
iQ0 iSinh n 0
2
2n
2n ! n! 2n 1Cosh 2n 1 2
.
Exemple : Problème extérieur, anneau fin de rayon lra avec une densité linéique de charge q constante, potentiel dans tout l'espace, placé au dessus d'un plan infini conducteur d'angle θ0, de valeur nulle pour le potentiel à la surface du plan La reconfiguration des charges dans l'anneau ne se modifie pas en présence du plan conducteur puisque la géométrie respecte la symétrie autour de l'axe de révolution. La densité de charge linéique est donc censé rester constante, et l'on peut employer la méthode des images électriques afin de placer une anneau de charge inverse sous le plan et à égale distance. Sur l'axe le potentiel devient alors : 2qlra
T (z r)
2
2
lra za z 2 zza 2
2qlra
T (z r)
2
lra za
2
2qlra
2
2
lra za z 2 2 zza
za P n 0, n l 2 z 2 a ra za Pn 2 n 0, lra za 2
P n
za 2
lra za
P n
2
za 2
lra za
2
z l 2 z 2 a ra
n
l 2 z 2 a ra z
n 1
2
z lra za
2
2
z lra za
2
Le potentiel en tout point s'écrit alors :
2qlra
T ( r , )
2
lra za
2
za P n 2 2 n 0, lra za za Pn 2 2 n 0, lra za
P n P n
za 2
lra za
2
za 2
lra za
2
r P Cos n l 2z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za n r
n 1
2
r lra za
2
r lra za
D'autre part compte tenu des propriétés de parité des polynômes de Legendre, il vient : Pn
za 2
lra za
2
za 1n P n l 2z 2 a ra
za P2 n 1 l 2z 2 n 0, a 4qlra ra T ( r , ) 2 2 lra za za P2 n 1 2 2 n 0, lra za T ( r , 0) 0 P2 n 1 0 0
r P Cos 2 n 1 l 2z 2 a ra
2 n 1
2 2 P Cos lra za 2 n 1 r
2n 2
2
2
2
2
r lra za
2
r lra za
. De part cette construction à l'aide de la méthode des images on a bien une solution qui s'annule sur le plan de « réflexion » et respecte la condition aux limites du plan d'iso-potentiel nul.
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-414
Exemple : Problème extérieur, anneau fin de rayon lra, placé à l'origine avec une densité linéique de charge q, potentiel dans tout l'espace, entourant une sphère conductrice de rayon ls, la>ls, de valeur nulle pour le potentiel à la surface de la sphère Là encore la configuration des charges dans l'anneau ne se modifie pas en présence de la sphère conductrice puisque la géométrie respecte la symétrie autour de l'axe de révolution. Le potentiel total est donc l'ajout du potentiel précédemment calculé de l'anneau avec un potentiel dit de surface tel que le potentiel résultant est nul sur la sphère conductrice : T r , Ta r , Ts r , ls la n 1 n 0, Ta ( r , ) 2 q n 1 n 0,
P2 n Cos r la
( 2n)! la 2 2 2 n n! r
Ts r , tq Ts r , r l Ta r , r l s
Ts r , 2 q
2n
( 2n)! r 2 2 2 n n! la
2 n 1
( 2n)! ls 2 q 1 2 n 2 2 n! la n 0, n
s
1n n 0, T r , 2 q n 1 n 0,
a
2n
ls r
l n ( 2 n )! 1 22n n!2 l s
n 0 ,
P2 n Cos r la
( 2n)! 2 2 2 n n!
r l a
( 2n)! 2 2 2 n n!
2 n 1 l la s r la
2n
l s la
2 n 1
2n
P2 n Cos
ls r 2n
2n
P2 n Cos
2 n 1
ls r
P2 n Cos ls r la
2 n 1
P2 n Cos r la
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-415
Exemple : problème intérieur, anneau fin de rayon la, centré à l'origine avec une densité linéique de charge q, potentiel dans tout l'espace, à l'intérieur d'une sphère conductrice de rayon ls, la<ls, de valeur nulle pour le potentiel à la surface de la sphère Là encore la configuration des charges dans l'anneau ne se modifie pas en présence de la sphère conductrice puisque la géométrie respecte la symétrie autour de l'axe de révolution. Le potentiel total est donc l'ajout du potentiel précédemment calculé de l'anneau avec un potentiel dit de surface tel que le potentiel résultant est nul sur la sphère conductrice : T r , Ta r , Ts r , la ls n 1 n 0, Ta ( r , ) 2 q n 1 n 0,
P2 n Cos r la
( 2n)! la 2 2 2 n n! r
Ts r , tq Ts r , r l Ta r , r l s
Ts r , 2 q
2n
( 2n)! r 2 2 2 n n! la
2 n 1
( 2n)! la 2 q 1 2 n 2 2 n! ls n 0 , n
s
l n ( 2 n )! 1 22n n!2 la
n 0 ,
1n n 0, T r , 2 q n 1 n 0,
P2 n Cos r la
s
2 n 1
P2 n Cos
2n
r l a
( 2n)! 2 2 2 n n!
2 n 1 l la a r ls
2 n 1
r P2 n Cos ls
( 2n)! 2 2 2 n n!
2n
l a ls
2 n 1
2n
r ls
r ls
2 n 1
P2 n Cos r la
2n
P2 n Cos la r ls .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-416
Exemple : Problème du potentiel dans tout l'espace intérieur à un cône infini, anneau fin de rayon lra avec une densité linéique de charge q, placé à la hauteur za au dessus du sommet du cône conducteur d'angle θ0, de valeur nulle pour le potentiel à la surface du cône. L'anneau étant situé à l'intérieur du cône, on peut exprimer la contrainte suivant des angles : za
0 Cos
2
lra za
2
Cos 0
. Là encore la configuration des charges dans l'anneau ne se modifie pas en présence du cône conducteur puisque la géométrie respecte la symétrie autour de l'axe de révolution. Le potentiel total est donc l'ajout du potentiel précédemment calculé avec un potentiel dit de surface tel que le potentiel résultant est nul sur le cône conducteur. Il vient : T r , Ta r , Ts r , Ts r , A
1
1 r
dr
B
2
Cos i
1 i 2
0
f r 1 Cos Log r B r
2qlra 2
lra za
2
za Pn n 0, l 2 z 2 a ra za Pn 2 n 0, lra za 2
f r Ts r , 0
A
0
P1
d A Cos Log r B Sin Log r P
0
Ta r ,
Ts r , Ta r ,
0
T r , 0 Ts r , tq
2qlra 2
lra za
2
2qlra 2
lra za
2
2qlra 2
lra za
2
dr 0
za Pn 2 2 n 0, lra za
Cos 0
f r Sin Log r r
r P Cos n l 2z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za n r
n 1
za P n 2 2 n 0, lra za za Pn 2 n 0, lra za 2
za Pn 2 2 n 0, lra za
0
2
r lra za
2
r lra za
r P Cos 0 n l 2z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za 0 n r
n 1
1 n 2 2 P Cos lra z a 2 0 n 2 2 lra za
l ra 2 z a 2
1 n 2 2 P Cos lra z a 2 0 n 2 2 lra za
2
2
r lra za
2
dr Cos Log r r
n 1 2
dr
n
1 2
l ra 2 z a 2
Cos Log r r
l ra 2 z a 2
n
3 2
dr Sin Log r r
n
0
n 1 2
l ra 2 z a 2
dr
2
r lra za
0
2
Sin Log r r
n
3 2
1 2
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-417
Calculons les intégrales suivantes :
u Log r r eu
Log x Log x x e 1u 1 Cos u Sin u dr r Cos Log r du e 1u Cos u 1 2 2 0 x Log x Log x e 1u 1 Sin u Sin u 1u Sin u dr r Sin Log r du e 1 2 2 dr rdu 0 1 u e 1 Cos u Sin u 1 u Cos u dr r Cos Log r du e 1 2 2 Log x x Log x e 1 u 1 Sin u Sin u 1 u dr r Sin Log r du e Sin u x 1 2 2 Log x Log x
x x 1 1Cos Log x Sin Log x dr r Cos Log r 12 2 0 Si 1 x 1 1Sin Log x Cos Log x dr r Sin Log r x 12 2 0 x 1 1Cos Log x Sin Log x dr r Cos Log r 12 2 x Si 1 1 1Sin Log x Cos Log x dr r Sin Log r x 12 2 x
Soit pour les intégrales de l'expression ci-avant : 2n 1 2 2n 3 2
2
2 lra za 2
l ra z a
2 n 1 2 4
2
dr r
Cos Log r
0
2
2 lra za l ra 2 z a 2
dr r
2
2 n 1 4
Sin Log r
0
2
2 lra za
dr r
2
2 2 2n 1Cos Log lra za 2 Sin Log lra 2 z a 2 2 2 2n 1 4
2n 1Sin Log lra 2 za 2 2 Cos Log lra 2 za 2 2 2 2n 1 4
2 n 1 4
Cos Log r
l ra 2 z a 2
2
2 lra za
dr r
2
l ra z a
2
Sin Log r
2
2 n 1 4
2 2 2n 1Cos Log lra za 2 Sin Log lra 2 za 2 2 2 2n 1 4
2n 1Sin Log lra 2 za 2 2 Cos Log lra 2 za 2 2 2 2n 1 4
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-418
Avec les expressions intermédiaires, les coefficients s'écrivent : l ra 2 z a 2
1
l
2 ra
4
za
l
2 ra
n 2 2
2
za
ra
4
l
2n 1Cos Log
1 2 4
l ra 2 z a 2
2 ra
n 2 2
B
l
2
n 1 2
2n 1Sin Log
2 ra
za
8qlra 2
za
n
1 2
2
lra za
2
n 1 2
dr
Cos Log r r
l ra 2 z a 2
1 2 4
8qlra
ra
2
n
3 2
2 2 lra za
dr Sin Log r r
2n 12 4 2
l
lra za
0
za
A
1 2
l ra 2 z a 2
2n 12 4 2
za
n
0
1
l
dr Cos Log r r
dr
Sin Log r r
n
3 2
2 2 lra za
za Pn 2 2 n 0 , lra za
2n 1Cos Log lra 2 za 2 P Cos 0 2 2 n 2n 1 4
za P n 2 l z 2 n 0 , a ra
2n 1Sin Log lra 2 za 2 P Cos 0 2 n 2n 1 4 2
1 2 4
1 2 4
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-419
Injectons les expressions dans la solution, il vient :
Ta r ,
Ts r ,
2qlra 2
lra za
l
2
8qlra 2 ra
za
za Pn n 0, l 2 z 2 a ra za Pn 2 n 0, lra za 2
1 2 4
r
T r , Ta r , Ts r ,
2n 1P
n 0 ,
n
r P Cos n l 2z 2 a ra
n
2 2 P Cos lra za n r
n 1
za 2
lra z a
2
2
r lra za
2
2
r lra za
2
r Cos Log 2 2 lra za P Cos d 0 0 n 2n 12 4 2
n z r 2 2 a Pn P Cos r lra za l 2z 2 n l 2z 2 n 0, a a ra ra 2qlra n 1 2 2 l 2z 2 lra za z 2 2 a P Cos ra a r lra za Pn 2 2 n r n 0, lra za T r , z P Cos a 2n 1Pn n 0 l 2z 2 ra a 8qlra r 1 Cos Log 2 2 4 n 0 , r l 2 z 2 P 1 Cos lra za i a ra 2 d 2 2 0 P 1 Cos 0 2n 1 4 i 2
.
P 1 Cos i 2 P 1 Cos 0 i 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-420
Représentation intégrale de la solution du problème extérieur de Dirichlet inhomogène sur la surface d'une section conique-sphérique à trois dimensions Pour le problème extérieur :
z Cos et 0 Cos 0
T ( r , ) 0
(r , ) 0, 0 , Condition T (r , ) f r (r ) 0
Limr T (r , ) 0 Limr f r (r ) 0
Lim T (r , )
finie
. Comme nous l'avons vu les fonctions suivantes sont solutions de l'équation de Laplace : 1 Ar Cos Log r Br Sin Log r Qˆ 1 i Cos ( ) P 1 i Cos( ) r 2 2 ˆ ( ) A Ρ 1 Cos ( ) B Q 1 Cos ( ) A Ρ 1 Cos ( ) C P 1 Cos ( ) r (r )
i 2
i 2
i 2
i 2
La condition de finitude en θ=π, implique que cette solution se développe sous la forme : T ( r , )
1 Ar Cos Log r Br Sin Log r Ρ 1 Cos ( ) i r 2
L'introduction similaire d'un développement en en intégrale de Fourier généralisée de la fonction limite, conduit à la représentation intégrale suivante de la solution du problème extérieur : Ρ 1 Cos ( ) i 1 T ( r , ) d Fc Cos Log r Fs Sin Log r 2 Ρ 1 Cos ( 0 ) r 0 i 2
avec
1 f (r ) F dr r Cos Log (r ) c r 0 F 1 dr f r (r ) Sin Log (r ) s 0 r
Conditions sur la fonction limite
f r ( r ) continue f r (r ) bornée sur tout interval [r1, r 2] f r (r ) est finie dr r 0
On traite le même problème d'électrostatique que celui de Lebedev : on doit trouver le potentiel électrostatique à l'extérieur d'un cône conducteur gardé au potentiel 0, si l'on place à une distance a sous le sommet une charge q. Pour cela on effectue les mêmes calculs en inversant le signe de le l'argument cosinus de l'angle. : q q T ( r , ) U ( r , ) T ( r , ) 0 U ( r , ) 2 2 2 2 0 0 r a 2a r Cos r a 2a r Cos 0
1 U ( r , ) r
Ρ
d F Cos Log r F Sin Log r Ρ c
0
avec Fc
s
1 i 2
1 i 2
Cos( )
Cos( 0 )
qCos Log (a) qSin Log (a) Ρ 1 Cos ( 0 ) Fs Ρ 1 Cos ( 0 ) i i aCosh a Cosh 2 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-421
La solution du problème est alors donnée par l'intégrale : q U ( r , ) a r
T ( r , )
0
q a r
d r Cos Log Cosh a
q r a 2 Cos a r
0
Ρ
1 i 2
Cos( ) Ρ 1 i Cos( 0 ) 2
Ρ
1 i 2
Cos(0 )
d r Cos Log Cosh a
Cos( ) Ρ 1 i Cos(0 )
Ρ
1 i 2
2
Cos( 0 ) 1 i
Ρ
2
Au passage on revérifie aisément que la condition aux limites est bien respectée, à l'aide de transformée et transformée inverse de Fourier suivante : Ρ 1 Cos ( ) Cos s Ρ 1 Cos ( ) i i 2 Cos s 1 2 2 ds 2 d 0 Cosh Cosh Coshs Cos Coshs Cos 0 Ρ 1 Cos ( ) Cos s Ρ 1 Cos ( ) i i 2 Cos s 1 2 2 ds 2 d 0 Cosh Cosh Coshs Cos Coshs Cos 0 T ( r , )
q a r
r a 2 Cos a r
r s Log T ( r , ) 0 a 2Coshs
q
q a r
0
d r Cos Log Cosh a
Ρ
1 i 2
Cos ( ) Ρ 1 i Cos( 0 ) 2
Cos ( 0 ) 1 i
Ρ
2
q r a 2 Cos 0 a r
1 2 Coshs Cos 0
r a T ( r , ) 0 0 a r
Exemple : Problème du potentiel dans tout l'espace extérieur à un cône infini, anneau fin de rayon lra avec une densité linéique de charge q, placé à la distance za au dessus ou en dessous du sommet du cône conducteur d'angle θ0, de valeur nulle pour le potentiel à la surface du cône. L'anneau étant situé à l'extérieur du cône, il y a lieu de tenir compte de la contrainte suivante des angles : za za za 0 Cos ou za 0 et 0 Cos Cos 0 2 2 2 2 lra za lra za .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-422
Là encore la configuration des charges dans l'anneau ne se modifie pas en présence du cône conducteur puisque la géométrie respecte la symétrie autour de l'axe de révolution. Le potentiel total est donc l'ajout du potentiel précédemment calculé avec un potentiel dit de surface tel que le potentiel résultant est nul sur le cône conducteur. Dans ces deux configurations de l'anneau, on utilise l'expression alternative du potentiel de l'anneau pour l'exprimer à l'aide de l'angle complémentaire π-θ : T r , Ta r , Ts r , T r , 0 Ts r , tq Ts r , Ta r , 0
2qlra
Ta r ,
2
lra za
2
Pn n 0, Pn n 0,
0
za 2
lra za
2
r P Cos n l 2z 2 a ra
0
n 2
r lra za
2
n 1
2 2 2 2 P Cos lra za r lra za 2 2 n r lra za P 1 Cos i 1 Ts r , d A Cos Log r B Sin Log r 2 P 1 Cos 0 r 0
za
i 2
A
1
dr
0
f r 1 Cos Log r B r
dr 0
f r Sin Log r r
n z r 2 2 P Cos a Pn r lra za 0 2 2 n 2 2 n lra za 2qlra 0, lra za f r Ts r , 0 n 1 2 2 lra za l 2z 2 z 2 2 a P Cos ra a Pn r lra za 0 2 2 n r n 0, lra za Par transposition du signe des cosinus, les expressions A(τ) et B(τ) se calculent de la même manière et la solution s'écrit, en considérant za pour sa valeur algébrique sur l'axe z: n za r 2 2 Pn P Cos r lra za 2 2 n 2 2 n 0 , lra za lra za 2qlra n 1 2 2 l 2z 2 lra za za 2 2 ra a P Cos r lra za Pn 2 2 n r n 0 , l z ra a T r , z a 2n 1Pn Pn Cos 0 2 2 l z ra a 8qlra r 1 Cos Log 2 2 4 n 0 , r l 2 z 2 P 1 Cos lra za i ra a 2 d 0 P 1 Cos 0 2n 12 4 2 i 2 On traite le cas où za=0 plus loin en retrouvant la même expression en posant za=0 et en notant que la sommation ne se fait que sur les indices paires.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-423
Exemple : Problème du potentiel dans tout l'espace extérieur à un cône infini, anneau fin de rayon lra avec une densité linéique de charge q, placé perpendiculairement au cône à l'origine, entourant le sommet du cône conducteur d'angle θ0, de valeur nulle pour le potentiel à la surface du cône. C'est un cas particulier d'un calcul déjà réalisé. Pour les mêmes raisons la densité de charge linéique reste identique dans l'anneau une fois en présence du cône conducteur. Le potentiel total est l'ajout du potentiel précédemment calculé avec un potentiel dit de surface tel que le potentiel résultant est nul sur le cône conducteur. Il vient : T r , Ta r , Ts r , Ts r , A
1
1 r
0
0
d A Cos Log r B Sin Log r P
1 i 2
0
T r , 0 Ts r , tq Ts r , Ta r ,
dr
0
f r 1 Cos Log r B r
dr 0
Cos
P1
i 2
0
Cos 0
f r Sin Log r r
n ( 2 n )! r P2 n Cos r lra Ta ( r , ) 2 q 1 2 n 2 2 n ! n 0 , lra 2n
1 (22n n)!2 lra 2 n! r n 0 , n
2 n 1
P2 n Cos r lra
2n r P2 n 0 P2 n Cos 0 r lra lra n 0, f r Ts r , 0 2q 2 n 1 lra r lra P2 n 0 P2 n Cos 0 r n 0,
A 2q B 2q
1 P 0 P Cos 2n 2n 0 2n l n 0 , ra 1 P 0 P Cos 2n 2n 0 2n l n 0 , ra
l ra
dr Cos Log r r
2n
1 2
lra
2 n 1
0
l ra
dr Sin Log r r 0
2n
dr
Cos Log r 3 2n r 2
dr
Sin Log r 3 2n r 2
l ra 1 2
lra
2 n 1
l ra
Calculons les intégrales ci dessus, et nous avons 4 n 1 1 l ra 2n 2 4 n 1Cos Log l 2 Sin Log l 2 l ra ra ra dr r 2 Cos Log r 2 2 0 4n 1 4 4 n 1 1 l ra 2n 2lra 2 4n 1Sin Log lra 2 Cos Log lra dr r 2 Sin Log r 4n 12 4 2 0 4 n 1 3 2n 2 4 n 1Cos Log l 2 Sin Log l 2 l 2 ra ra ra dr r Cos Log r 2 2 4 n 1 4 l ra 4 n 1 3 2n 2lra 2 4n 1Sin Log lra 2 Cos Log lra 2 Sin Log r dr r 4n 12 4 2 l ra .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-424
Avec l'expression intermédiaire : 1 lra
2n
dr Cos Log r r
2n
1 2
lra
2 n 1
0
1 lra
l ra
2n
l ra
dr Sin Log r r
dr
Cos Log r r
l ra
1 2n 2
lra
2 n 1
0
dr
2n
3 2
Sin Log r
l ra
r
2n
3 2
1
44n 1lra 2 Cos Log lra 4n 12 4 2 1
44n 1lra 2 Sin Log lra 4n 12 4 2
.
Il vient la solution du problème extérieur : 2n r P2 n 0 P2 n Cos r lra lra n 0, 2 q 2 n 1 lra P2 n Cos r lra P2 n 0 r n 0, T r , r Cos Log P 1 Cos 8 q l lra 2 i ra 4n 1P2 n 0 P2 n Cos 0 d 2 2 P Cos 4 n 1 4 r n 0, 1 0 0 i 2 .
Exemple : Problème extérieur, disque fin de rayon ld avec une densité surfacique de charge q constante placé à l'origine des coordonnées dans le plan x,y, potentiel dans tout l'espace, application de la construction précédente : Pour calculer le potentiel du disque sur l'axe z, on intègre la solution élémentaire de Poisson sur le plan du disque (double intégrale en coordonnées polaires du disque) : r r ' distance entre le point sur l'axe z r et un point sur le disque r '
T (z r) q S
ds ' q r r'
2
ld
0
0
T ( z r ) q d
ds '
2 z2
ds ' d
2 ld 2 2q ld z 2 z 2q z l 2 z2 2 z2 d
T ( z 0) 2ql d .
Pour un disque annulaire de rayon ld1et ld2, on a : T ( z r ) 2q ld 2 2 z 2 ld 12 z 2 .
Développons la solution selon la distance z=r sur l'axe z>0, sachant que la fonction est paire. 2
z ld
x
z ld
x
De plus De plus
ld ld x T ( z r ) 2q 2qld 2 2 z 1 1 x2 z ld z z ld 1 T ( z r ) 2q 2qld 2 ld x 1 x2 z z 1 ld ld
T ( z ld )
2ql d 1 2
( 2n)! x 2 n x ( 2n)! x 2 n 1 n 1 2 2 n 1 n!n 1! 1 1 x 2 n 0 2 2 n 1 n!n 1! 1 1 x 2 n 0 1 ( 2n)! x 2 n ( 2n)! x 2 n 2 n n 1 x x 2 1 2 n 1 1 x 1 2 n 1 2 n!n 1! 2 n!n 1! n 0 n 0 x 1 x2
1
1
n
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-425
La solution dans tout l'espace s'écrit: 2 n 1 ( 2n)! ld n T ( r , 0 ) 2 ql 1 pour r ld d 2 2 n 1 n!n 1! r n 0 2n 2 r ( 2n)! T ( r ,0) 2ql 1 r 1n pour d 2 n 1 ld n 0 2 n!n 1! ld 2 n 1 ( 2n)! ld n T ( r , ) 2 ql 1 P2 n Cos d 2 2 n 1 n!n 1! r n 0 r ( 2n)! n T ( r , ) 2ql 1 r Cos 1 2 n 1 d ld 2 n!n 1! ld n 0 2 n 1 P2 n 0 ld T ( r , ) 2 ql P2 n Cos d n 0 2n 1 r P2 n 0 r T ( r , ) 2ql 1 r Cos d ld 2 n 0 n 1 ld
pour
2n 2
r ld
pour
2n 2
r ld
P2 n 2 Cos
pour
r ld
r ld
P2 n 2 Cos
pour
r ld
2 n 1 ( 2n)! ld n T ( r , ) 2 Q 1 P2 n Cos pour r ld 2 2 2 n 1 n!n 1! r n0 Q qld 2n 2 charge totale r ( 2n)! n T ( r , ) 2Q 1 r Cos 1 P2 n 2 Cos 2 n 1 ld ld 2 n!n 1! ld n 0
pour
r ld
Sur le plan z=0, la valeur du potentiel est donné par : P2 n 02 ld 2 n 1 pour T r , ql d n 0 n 1 r 2 P2 n 0 P2 n 2 0 r T r , 2ql 1 1 d 2 2 n 0 n 1 ld
r ld
2n 2
pour
r ld
.
Pour r=ld, il vient :
P 0 T ld , qld 2 n 2 n 0 n 1
P2 n 02 4 T l , ql 4 4ql d d d 2 n 0 n 1 1 P 0 P2 n 2 0 P 0 P2 n 2 0 2 2 4 T ld , 2qld 1 2 n De plus 2 n 2 2 2 n 1 n 1 n0 n 0 2
Egalement
De plus
1 4 2 T ld , 2qld 1 2 2qld 4qld 2 2
. Le potentiel n'est donc pas infini à la surface du disque.
et T 0, 2qld 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-426
Exemple : Problème intérieur/extérieur, hémisphère portant une densité surfacique de charge constante, application de la construction précédente : Pour calculer le potentiel à l'extérieur de l'hémisphère sur l'axe z, on intègre la solution élémentaire de Poisson sur la surface de l'hémisphère (double intégrale en coordonnées sphérique) : r r ' distance entre le point sur l'axe z (r ) et un point dans l ' hémisphère (r ) T (z r) q S
ds ' ds ' q 2 2 r r' lh z 2lh zCos '
T ( z r ) 2qlh
2
2
0
Sin d lh z 2lh zCos 2
2
2qlh
2
ds ' lh Sin dd 2
1
' 0
d
2
lh z 2 2lh z
0
2
T (z r)
1 0 2qlh 2qlh 2 2 lh z 2 2lh z lh z 2 2lh z 0 1 lh z z
T (z r)
2qlh 2 lh z 2 z
l 2 z 2 l z z l h h h
lh z 2 2qlh
z
2 2 lh z z lh z lh
z2 z lh 1 1 z lh 2 l lh h 2 2qlh lh lh T (z r) z 1 2 1 z lh z z z 2 lh lh z 1 2 1 z lh z z
1 x 2 1 x 2 1 n0
n
2
z0
( 2n)! ( 2n)! n x 2 n 1 x 2 x 1 x x 2 1 2 n 1 x 2n n!n 1! 2 n!n 1! n0
2 n 1
1 x x 1 ( 2n)! n 1 1 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n ! n 1 ! n 0 2
.
La solution dans tout l'espace est donc : 2 n 1 r ( 2n)! n T ( r ,0) 2qlh 1 1 pour r lh 2 n 1 2 n ! n 1 ! l n 0 h 2n 2 ( 2n)! lh lh n pour r lh T ( r ,0) 2qlh 1 2 n 1 r 2 n ! n 1 ! r n0 2 n 1 r ( 2n)! n T ( r , ) 2qlh 1 1 P2 n 1 Cos pour r lh 2 n 1 2 n ! n 1 ! l h n0 2n 2 ( 2n)! lh lh n P2 n 1 Cos pour r lh T ( r , ) 2qlh 1 2 n 1 r 2 n ! n 1 ! r n0 2 n 1 r Q ( 2n)! n T ( r , ) 1 1 P2 n 1 Cos pour r lh 2 n 1 2 l 2 n ! n 1 ! l h h Q 2qlh n 0 2 n 1 charge totale ( 2n)! 1 1 lh n P2 n 1 Cos pour r lh T ( r , ) Q 1 2 n 1 r r 2 n ! n 1 ! r n0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-427
Exemple : Problème intérieur/extérieur, hémisphère portant une densité volumique de charge constante, application de la construction précédente : Pour calculer le potentiel sur l'axe z de l'hémisphère, on intègre la solution élémentaire de Poisson sur le volume de l'hémisphère (triple intégrale en coordonnées sphérique) : r r ' distance entre le point sur l'axe z (r ) et un point dans l ' hémisphère (r ) T (z r) V
dv ' dv' q 2 2 r r' r z 2rzCos ' 2
lh
T ( z r ) 2 dr r 2 0
0
Sin d 2
l
lh
r z 2rzCos 2
2 h T (z r) dr r r 2 z 2 2rz z 0
dv' r 2 Sin dd
1
2 dr r 2 0
l
0
2 h dr r z 0
1 0
r
2
d r z 2 2rz 2
z2 r z
3 2 3 lh 2 2 l z z 2 h 2 2 2 T (z r) dr r r z lh z z 3 3 z 0
Si z lh T ( z r )
2 2 2 lh z 3z
Si z [0, lh ] T ( z r ) T (z r)
3 2
3
z 3 lh
2 2 2 lh z 3z
2 2 2 lh z 3z
Si z 0 T ( z r )
3 2
3
3 2
2 z 3 lh
2 2 2 lh z 3z
3 2
' 0
3 2
lh 3 z 3 dr r r z 0
3lh z 2 2
lh z 3 3 z lh 3 dr r ( z r ) dr r ( r z ) z 0
3lh z 2 2
lh 2 2 2 z 3 3 dr r ( r z ) lh z 3 z 0
3 2
3
z 3 lh
3lh z 2 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-428
La solution dans tout l'espace pour z> lh devient : 2 3 3 lh 2 z 2 2 3 x 2 2 lh 2 3x 2 3 2 1 x3 T x x 1 x 1 2 1 x z 3 2 3x 2 2 ( 2n)! ( 2n)! n n 1 x 2 1 x 2 1 2 n 1 x 2 n x 1 x 2 x 1 2 n 1 x 2n 3 2 n ! n 1 ! 2 n ! n 1 ! n 0 n 0
Si z lh
x
1 y2 dyy 1 y 2 3 0
x
1
1 x
1
1 x2
3 2
3 2 2
x2
T x
2 lh 3
x
2 x 1n 2n 2(2n)! x 2n 4 2 n0 2 n!n 2 ! 0
3x 2 ( 2n)! n 3 1 2 n 2 x 2n 4 2 2 n ! n 2 ! n0
3x 2 x3 ( 2n)! n 2 x1 3 1 2 n 2 x 2 n 1 2 n ! n 2 ! n0
2
( 2n)! n x 3 1 2 n 2 x 2 n 2 2 n!n 2 ! n 0
2 lh T r ,0 3 T r ,
3 2
2
2 lh 3
2
2n 2 lh ( 2n)! lh 3 1n 2n 2 r 2 n ! n 2 ! r n 0 2n 2 lh ( 2n)! lh 3 1n P2 n 1 Cos 2 n 2 r 2 n!n 2 ! r n0
.
La solution dans tout l'espace pour z€[0,lh] est : 3 3x 2 2 1 x 1 2 x3 z 2 lh 2 Si z 0, lh x T x lh 3 x 2 3 3x (2n)! n Comme 1 x 2 2 1 3 1 2 n 2 x 2n 4 2 2 n ! n 2 ! n 0 2
1 x
3 2 2
T x
2 x3 1 x
3x ( 2n)! 2 3 3 x 2 x 2 3 1n x 2n 3 2n 2 2 2 2 n ! n 2 ! n 0
2
2 lh 3 3 x ( 2n)! n 2 x 2 3 1 2 n 2 x 2n 3 3 2 2 2 n!n 2 ! n0
2 2n 3 r r ( 2n)! 3 3 r n 2 3 1 2 n 2 2 2 lh 2 n!n 2 ! lh n 0 lh 2 2n 3 2 r r 2 lh ( 2n)! 3 3 r n T r , Cos 2 P2 Cos 3 1 2 n 2 P2 n 3 Cos 3 2 2 lh 2 n!n 2 ! lh n 0 lh
2 lh T r ,0 3
.
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-429
La solution dans tout l'espace pour z€[-lh,0] devient : T ( z)
2 2 2 lh z 3z
Si z 0
et
1 x
1
3 2 2
1 x
3 2 2
3 2
3
z 3 lh
3lh z 2 2
z 2lh x T x lh 3
z lh
2
1 x2
3 2
x3 1 x
3x 2
3x 2 ( 2n)! n 3 1 2 n 2 x 2n 4 2 2 n!n 2 ! n0
x3 1 x
2lh T r ,0 3
2
3x ( 2n)! 2 3 3 x x 2 3 1n x 2n 3 2n 2 2 2 2 n!n 2 ! n0
2 2n 3 r ( 2n)! 3 3 r r n 3 1 2 n 2 2 2 lh lh 2 n!n 2 ! lh n 0
2lh T r , 3
2
2 2n 3 r r ( 2n)! 3 3 r n Cos P2 Cos 3 1 2 n 2 P2 n 3 Cos 2 2 lh 2 n!n 2 ! lh n 0 lh
La solution dans tout l'espace pour z<-lh devient :
2 2 2 T ( z) lh z 3z
3 2 2 2 2 3lh z 2 3 lh 3lh z 3 3 z lh z 1 z lh 2 3z 2 z
3 2
3
3
3 2 3 2 2 2x 3 lh lh 2z 2 3 3 3 3 lh z 1 z z z 3lh 2 z 3 z z
Si z 0
et
1 x
1
3 2 2
1 x2
z lh
3 2
x
lh 2lh T x z 3
2
3 2 3 2 2 3 lh lh lh 1 1 2 z z z
3 3x 2 2 2 1 x3 x 1 2 2 x
3x 2 ( 2n)! n 3 1 2 n 2 x 2n 4 2 2 n!n 2 ! n0
1 x3 x
2
3x 2 2 x 3 1n n 0
2
( 2n)! x 2n 2 n!n 2 !
2n 2
2n 2 ( 2n)! lh lh n 3 1 2n 2 r 2 n ! n 2 ! r n 0 2 n2 2 2lh ( 2n)! lh lh n T r , P2 n 1 Cos 3 1 2 n 2 3 2 n!n 2 ! r n 0 r
T r ,0
2lh 3
2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-430
Le problème des deux sphères de rayon a de potentiel opposé placé à distance l'une de l'autre ou d'une sphère de potentiel V0 placé au dessus d'un plan conducteur à la hauteur zs en présence également d'un champs électrique E0 constant selon l'axe z. Ce problème est idéalement résolu en utilisant les coordonnées orthogonales bisphérique, toutefois on trouve dans la littérature des auteurs l'ayant résolu en coordonnées sphériques en obtenant toutefois une expression bien moins simple, que voici. Soit donc deux sphères placées de part et d'autre de l'axe z. Par principe de superposition on peut admettre que la solution est construite à partir d'une composante dont l'origine des coordonnées se trouve sur la sphère supérieure, une composante liée à l'origine de la sphère inférieure et une composante liée au champ électrique :
T (r , ) n 0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i E0 z n 1 n 1 rs ri n 0 ri r ri 0 r point d'observation
z rCos
rs r rs 0 rs 0 ri 0 centres respectifs des sphère supérieure et inférieure
. Le système de coordonnées sphériques peut être soit sur le plan médian , soit au centre de l'une ou l'autre des sphères. Selon le plan médian Les deux sphères sont donc à la distance 2zs l'une de l'autre. Dans ces conditions on a : r x, y , z x, y , rCos ri 0 0,0, z s rs 0 0,0, z s 2 2 2 ri r ri 0 r 2 z s 2r.ri 0 r 2 z s 2 z s z r 2 z s 2 z s rCos 2 2 2 rs r rs 0 r 2 z s 2r.rs 0 r 2 z s 2 z s z r 2 z s 2 z s rCos
T ( r , )
An Pn Cos s Bn Pn Cos i E0 rCos n 1 n 1 rs ri n 0
. Selon des coordonnées sphériques basées sur le plan médian, les deux sphères sont de potentiels opposés et le champ est une fonction impaire de z. Il en résulte que le potentiel résultant dans tous l'espace est également une fonction impaire de z. De même selon la géométrie du problème, la solution est tant une fonction de r et θ, qu'une fonction de coordonnées cylindriques axisymétriques, soit ρ et z, et nous pouvons écrire : n 0
T (r , ) T ( , z )
r
2 z2
x 2 y 2 T ( , z ) T ( , z ) . Cela entraîne une condition
d'annulation sur le plan médian. Les deux conditions aux limites et la condition d'annulation sont: T (r , ) r r V0 T (r , ) r r V0 T (r , ) z 0 0 s i rs ri deux points respectifs des sphères supérieure et inférieure .
Sur le plan médian, z=0 où la condition d'annulation s'applique, les angles sont liés par la relation : i s z 0 Cos s Cos i rs ri 1 n n T ( r , ) n 1 An 1 Bn Pn Cos s 0 An 1 Bn n 0 rs
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-431
Comment s'applique les deux conditions aux limites. Condition d'annulation sur le plan médian
. Conditions aux limites sur la sphère supérieure
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-432
Conditions aux limites sur la sphère inférieure
Lorsque le système de coordonnées est basé sur la sphère supérieure , on a : r x, y , z x, y, rCos rs 0 0,0,0 ri 0 0,0,2 zs 2 2 2 ri r ri 0 r 2 4 z s 2r.ri 0 r 2 4 z s 4 z s z r 2 4 z s 4 z s rCos
A P Cos Bn Pn Cos i rs r rs 0 r s T (r , ) n n n 1 E0 zs rCos n 1 r ri n 0 n 0
Et dans ce cas pour la condition aux limites supérieure on utilise le développement des termes de la sphère inférieure : l 2 z s rsCos s ri Cos i Pn Cos i rs l l n ! 1 Pl Cos s n 1 x 2 z s R ri 2 z s rs l!n! 2 z s l n 1 ri l 0
Lorsque le système de coordonnées est basé sur la sphère inférieure , on a :
r x, y , z x, y, rCos rs 0 0,0,2 z s ri 0 0,0,0 2 2 2 rs r rs 0 r 2 4 z s 2r.rs 0 r 2 4 z s 4 z s z r 2 4 zs 4 zs rCos ri r ri 0 r
i T (r , ) n0
An Pn Cos s Bn Pn Cos E0 z s rCos n 1 r n 1 rs n 0
Et dans ce cas pour la condition aux limites inférieure on utilise le développement des termes de la sphère supérieure : l 2 z s ri Cos i rs Cos s Pn Cos s ri n l n ! 1 Pl Cos i n 1 x 2 z s R rs 2 z s rs l!n! 2 z s l n 1 rs l 0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-433
Traitons la condition aux limites de la sphère supérieure . En transposant ce développement dans l'expression de la solution pour la condition aux limites supérieure, il vient : z z s rCos s
l P Cos rs l l n ! T (r , ) r r V0 An n n 1 s Bn 1 P Cos s E0 zs rCos s l n 1 l s l!n! 2 zs rs n0 l 0 En inversant l ' ordre de sommation 1 l n ! rs n E z r P Cos n T (r , ) r r V0 Pn Cos An n 1 1 Bl 0 s s 1 s l!n! 2 z s l n 1 n0 l 0 rs Rayon de la sphère a rs a 1 an n l 1 l n ! V0 Pn Cos An n 1 Al 1 E0 zs aP1 Cos l n 1 l!n! 2 z s n 0 l 0 a Orthogonalité des polynômes de Legendre
1 1l 1 Al V0 E0 z s pour n 0 A0 l 1 a l 0 2 z s a 1 l A1 2 1 l 1 A E a pour n 1 2 zs l 2 l 0 l 0 a l n ! a n A 0 pour n 1 1 An n 1 1n l 1 l l!n! 2 z s l n 1 l 0 a A a En posant U n n n1 a 2 zs l 1 l 1 l l U 0 1 U l V0 E0 zs pour n 0 U 0 1 U l V0 E0 z s pour n 0 l 0 l 0 l l 1 U1 1 l 1l 2U l E0 a pour n 1 U1 1 l 1l 1U l E0 a pour n 1 l 0 l 0 l n ! n l 1 l n l n ! l n l n 1U l 0 pour n 1 U l 0 pour n 1 U n 1 U n 1 l!n! l!n! l 0 l 0
Ce système d'équation linéaire peut s'écrire de manière matricielle : U 0 U U1 U n
G Gn ,l Gn ,l
l n ! l n 1 l n
l!n!
1 G .U V U 1 G .V 1
Avec U n
An a n 1
V0 E0 z s 1 matrice identité V E0 a 0 a 2 zs
. L'inversion de la matrice peut être approchée par un développement sur la variable λ lorsque λ<1 : p
1 G 1 1 pG p
Gp G .G . G
. La condition aux limites sur la sphère supérieure s'écrit : p 1
p fois
n l 1 l n ! l n 1 V0 E0 z s Pn Cos U n U l 1 E0 aP1 Cos l!n! n0 l 0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-434
Pour la condition aux limites sur la sphère inférieure, on utilise le développement :
l 2 z s ri Cos i rs Cos s Pn Cos s ri n l n ! 1 Pl Cos i n 1 x 2 z s R rs 2 z s rs l!n! 2 z s l n 1 rs l 0 l ri P Cos n l n ! T (r , ) r r V0 An 1 Pl Cos i Bn n n 1 i E0 z s riCos i l n 1 i l!n! 2 zs ri n 0 l 0
Comme
An 1 Bn n
rayon de la sphère ri a
l n ! a l P Cos B Pn Cos i E z aCos V0 Bn l i n 0 s i l!n! 2 z s l n 1 a n 1 n0 l 0 l n ! a l P Cos B Pn Cosi E z aCos V0 Bn l i n 0 s i l!n! 2 z s l n 1 a n 1 n 0 l 0 l n ! an B V0 Pn Cos i Bl n n1 E0 z s aCos i l n 1 l!n! 2 z s a n 0 l 0 l n ! an B V0 E0 z s Pn Cos i Bl n n1 E0 aCos i l n 1 l!n! 2 z s a n 0 l 0 Orthogonalité des polynômes de Legendre l 1 1 1 1 1 Bl V0 E0 zs A0 Al V0 E0 z s pour n 0 B0 l 1 a l 0 2 z s a l 0 2 z s l 1 1 a 1 l 1 1l 1 a l 2 Al E0 a pour n 1 B1 2 l 1 B E a A l 0 1 l 2 2 a a 2 zs 2 zs l 0 l 0 n B l n ! a l n ! a n 1l 1 A 0 pour n 1 1 n n n1 B 0 A 1 l n l l!n! 2 z s l n 1 a n 1 l!n! 2 z s l n 1 l 0 l 0 a
1 1l 1 Al V0 E0 z s pour n 0 A0 l 1 a l 0 2 z s a 1 l A1 2 l 1 1 Al E0 a pour n 1 l 2 a 2 z l 0 s l n ! a n 1l n 1 A 0 pour n 1 1 An n 1 l l!n! 2 z s l n 1 a l 0 Système linéaire identique à celui de la condition aux limites de la sphère supérieure
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-435
Sphères dans les coordonnées origines sur le plan conducteur médian :
Une fois ce système linéaire inversé, on peut aussi exprimer la solution du problème, en prenant comme référence du système sphérique de la sphère supérieure: r rs
s
T ( r , ) n 0
ri
r 2 4 z s 4 z s rCos 2
An Pn Cos n A P Cos 1 n n n 1 i E0 z s rCos n 1 r ri n0
Pn Cos i rl l l n ! 1 Pl Cos r 2 z s n 1 l!n! 2 z s l n 1 ri l 0 2 z s rCos riCos i l! 2 zs l n P Cos r 2 z l n Pn Cos i 1 l s n 1 n!l n ! r l 1 ri l n
E0 z s rCos rl l n l n ! A Pn Cos A 1 P Cos r 2 z n n s l n 1 l n 1 r l ! n ! T ( r , ) n 0 2 zs n0 l 0 l n l! 2 zs P Cos r 2 z l A Pn Cos A 1 n n l s r n 1 n!l n ! r l 1 n0 l n n 0 E0 zs rCos n 1 n l n ! l n 1 a r l n Pn Cos r 2 z s r U n a 1 U l l!n! n 1 An U n a T ( r , ) n 0 l 0 n 1 l n n! a U 1n U n l Pn Cos r 2 z s n l l!n l ! l 0 n 0 r .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-436
On peut aussi exprimer la solution du problème, en prenant comme référence du système sphérique le plan conducteur médian (voir ci-dessus) :
T ( r , ) n 0
ri
An Pn Cos s n A P Cos 1 n n n 1 i E0 rCos n 1 rs ri n 0
r z s 2 z s rCos 2
2
rs
r 2 z s 2 z s rCos 2
r 2 z s 2 z s rCos 2
Pn Cos i rl l l n ! 1 Pl Cos r z s n 1 l!n! zs l n 1 ri l 0 z s rCos riCos i l n l! zs l n Pn Cos i 1 Pl Cos r z s n 1 n!l n ! r l 1 ri l n Pn Cos s rl l l n ! 1 Pl Cos r zs n 1 l!n! z s l n 1 rs l 0 z s rCos rs Cos s l n l! zs l n Pn Cos s 1 Pl Cos r z s n 1 n!l n ! r l 1 rs l n Pn Cos s rl n l n ! 1 Pl Cos r z s n 1 l!n! z s l n 1 rs l 0 l n l! zs Pn Cos s Pl Cos r z s n 1 l 1 rs l n n!l n ! r
E0 rCos rl rl n l n ! l n l n ! A Pl Cos An 1 Pl Cos r zs n 1 l!n! z s l n 1 l!n! z s l n 1 T ( r , ) n 0 l 0 n0 l 0 l n l n l! zs l! zs l A P Cos A 1 P Cos r z n l n l s l 1 l 1 n ! l n ! r n ! l n ! r n 0 l n n 0 l n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-437
En inversant l'ordre des sommations puis les indices n et l, il vient : Inversion de l ' ordre de sommation puis n l
E0 rCos 1 l l n ! r n P Cos 1 1n Al 1 r zs n T (r , ) l!n! zs l n 1 n 0 l 0 l n n! n l Pn Cos 1 1n Al z r z s s n 1 r l ! n l ! n 0 l 0 E rCos 0 l n 1 n r n l l n ! a r zs Pn Cos 1 1 U l 1 T (r , ) l!n! z s n 0 a l 0 n 1 n l l n n! z s a P Cos 1 1n Ul r zs n r l ! n l ! a l 0 n 0 E0 rCos l n 1 2 n 1 r l l 2n 1! a P2 n 1 Cos U l 1 r zs T ( r , ) n 0 a l!2n 1! z s l 0 2 2n 2 2 n 1 l l 2 n 1 2n 1! z s a P2 n 1 Cos U l r zs l!2n 1 l ! a l 0 n 0 r .
On retrouve bien l'annulation du potentiel sur le plan conducteur (z=0).
En coordonnées bi-sphérique, le système des deux sphères correspond à deux iso-surfaces :
x2 y2 c
Sin Cosh Cos
zc
0 x 2 y 2 z cCotanh 0 2
zs c
.
Cosh 0 Sinh 0
et
Sinh Cosh Cos 2
c
2
zs a 2
c 2 Sphères disjointes Sinh 2 0
Cosh 0 c , S1 c Sinh0 Sinh0 c S c Cosh0 , 2 Sinh Sinh 0 0
0 ,0 espace entre les deux sphères Cosh 0 c Lim z c , , 0 ( x, y , z ) S 2 c Sinh 0 Sinh0 c 0 , ( x, y , z ) S1 c Cosh 0 , Lim z c Sinh Sinh 0 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-438
Et la solution en coordonnées bi-sphériques s'écrit :
x2 y2 c
T ( , )
Sin Cosh Cos
2Cosh 2Cos e
zc
1 n 0 2
n 0
T ( z ) T ( ,0)
Sinh Cosh Cos
z 0 ArcCotanh s c 1 1 Cosh n Sinh n 2 V1 V2 2 V1 V2 Pn Cos 2 1 2 Cosh n 1 Sinh n 0 0 2 2 c
2
zs a 2
1 1 Sin n 0 n 1 Sin n 0 0 2 2 V 2 e V1 2 2Cosh 2Cos 1 1 Sinh 2 n 0 Sinh 2 n 0 n 0 2 2 P Cos n
z z z s a, z s a T ( z ) T ( , ) 2 ArcTanh a Sinh Axe z 0, z c Cosh 1 z z a, z a T ( z ) T ( ,0) 2 ArcCotanh z s s a z z z s a , z s a 2 ArcTanh c n T ( z ) T ( , ) 2Cosh 1 e 2 n 0
1 n 0 2
1 1 Cosh n Sinh n 2 V1 V2 2 V1 V2 2 1 2 Cosh n 1 Sinh n 0 0 2 2
z z z s a , z s a 2 ArcCotanh c T ( z ) T ( ,0) 2Sinh e 2 n 0
1 n 0 2
1 1 Cosh n Sinh n 2 V1 V2 2 V1 V2 2 1 2 Cosh n 1 Sinh n 0 0 2 2
A titre d'illustration voici les deux profils sur l'axe z dans l'espace entre les deux sphères calculés avec la solution en coordonnées sphériques et bi-sphérique (potentiel fixé à 1,-1 sur les sphères):
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-439
Et de même les profils « au dessus » des deux sphères. Pour les coordonnées sphériques, il faut au moins 8 termes pour obtenir une approximation suffisante tandis qu'en coordonnées bisphériques seuls 4 suffisent (potentiel fixé à 1,-1 sur les sphères):
On obtient la formule du développement des puissances inverses de la distance de la manière suivante en utilisant la fonction génératrice des polynômes de Legendre. Le premier développement est valable pour la condition aux limites sur la surface de la sphère supérieure : r l l 1 Pl Cos r x 1 l 0 x l 2 2 x r 2 xrCos x l 1 Pl Cos r x l 0 r
l 1 1 l 0 2 2 x r 2 xrCos 1l l 0
rl Pl Cos r x x l 1 xl Pl Cos r x r l 1
1 1 R x 2 r 2 2 xrCos 2 2 x r 2 xrCos R x rCos R Cos n l ! 1 dn 1 P Cos d n 1 n 1n n! n On montre que n 1 n! n 1 n l 1 dx R dx x n!l! x n l 1 R Posons
dn l x l l!n ! x l n n! n!ll! n ! x l n dx n
n 1 l l d 1 r P Cos r x n l 1 l n dx x d 1 l 0 n dx R dn l 1 1 l 1 n x l Pl Cos r x r dx l 0
Pn Cos l n ! 1 P Cos r x n l n 1 n ! 1 r l 1 n! l n 1 l! n! x l n 1 R l 0 l! l 1 1n n! Pn Cos 1 l 1 n! x l n Pl Cos r x n 1 r n ! l n ! R l 0 Pn Cos rl l l n ! 1 Pl Cos r x n 1 l! n! x l n 1 l 0 R l! xl n l n Pn Cos 1 Pl Cos r x R n 1 n!l n ! r l 1 l n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-440
Le deuxième développement est valable pour la condition aux limites sur la surface de la sphère inférieure. Il revêt une forme similaire : r l l 1 Pl Cos r x 1 l 0 x l x 2 r 2 2 xrCos x l 1 Pl Cos r x n 0 r
Posons
Pn Cos rl l l n ! 1 Pl Cos r x n 1 l!n! x l n 1 R l 0 R x 2 r 2 2 xrCos l! xl n l n x rCos RCos Pn Cos 1 Pl Cos r x n 1 n!l n ! r l 1 R l n
rl n Pn Cos l l n ! 1l Pl Cos r x 1 1 n 1 l n 1 l!n! x R l 0 l! xl n l n 1n Pn Cos 1 1l Pl Cos r x n 1 l 1 n ! l n ! r R l n Pn Cos rl n l n ! 1 Pl Cos r x n 1 l! n! x l n 1 l 0 R l! x l n Pn Cos Pl Cos r x l 1 R n 1 l n n!l n ! r
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-441
Le problème des deux sphères de rayon a de même potentiel V0 placé à distance 2zs l'une de l'autre. Au vu de la symétrie du problème aux limites, la solution doit être paire en z : T ( r , ) T ( , z )
r
2 z2
x 2 y 2 T ( , z ) T ( , z )
. La solution se développe d'après les contributions des sphères supérieure et inférieure :
T ( r , ) n 0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i n 1 n 1 rs ri n 0 ri r ri 0 r point d'observation
rs r rs 0 rs 0 ri 0 centres respectifs des sphère supérieure et inférieure .
On rappelle que l'on a les relations suivantes pour un système de coordonnées basé sur le plan médian : r x, y , z x, y, rCos ri 0 0,0, z s rs 0 0,0, z s 2 2 2 ri r ri 0 r 2 z s 2r.ri 0 r 2 z s 2 z s z r 2 z s 2 z s rCos 2 2 2 rs r rs 0 r 2 z s 2r.rs 0 r 2 z s 2 z s z r 2 z s 2 z s rCos
T ( r , ) n 0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i n 1 n 1 rs ri n0
Les deux conditions aux limites sont : T (r , ) r r V0 T (r , ) r r V0 s i rs ri deux points respectifs des sphères supérieure et inférieure .
La condition aux limites supérieure donne l'expression suivante :
l P Cos rs l l n ! T ( r , ) r r V0 An n n 1 s Bn 1 Pl Cos s l n 1 s l!n! 2 z s rs n 0 l 0 En inversant l ' ordre de sommation et rs a A an n l n ! T ( r , ) r r V0 Pn Cos s n n1 Bl 1 l n 1 s l!n! 2 z s n 0 l 0 a
La condition aux limites inférieure donne l'expression suivante :
.
l ri P Cos n l n ! T (r , ) r r V0 An 1 Pl Cos i Bn n n 1 i l n 1 i l!n! 2 z s ri n0 l 0 En inversant l ' ordre de sommation et ri a an 1 l l n ! T (r , ) r r V0 Pn Cos i Al 1 Bn n 1 l n 1 i l!n! 2 z s a n0 l 0
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-442
Si maintenant l'on suppose que les coefficients sont liés par la relation suivante, alors les deux expressions précédentes conduisent au même système linéaire : an 1 n l l n ! An 1 Bn V0 Pn Cos i Al 1 Bn n 1 l n 1 l!n! 2 z s a n0 l 0 an l l n ! n 1n 1 Pn Cos i Al 1 l n 1 An 1 l!n! 2 z s a n 0 l 0 an 1 n l n l n ! 1 Pn Cos i Al 1 An n 1 l n 1 l!n! 2 z s a n 0 l 0 an 1 n n l n ! 1 Pn Cos i Bl 1 An n 1 l n 1 l!n! 2 zs a n 0 l 0 A an n l n ! V0 Pn Cos s n n1 Bl 1 l n 1 l!n! 2 z s n0 l 0 a
.
Autrement dit, il s'agit de montrer que la relation An 1 Bn découle de la propriété de parité. Développons des expressions de la solution à rechercher selon le système de coordonnées du plan médian : n
T (r , ) n 0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i n 1 n 1 rs ri n 0
2 2 2 ri r 2 z s 2 z s rCos rs r 2 z s 2 z s rCos r 2 z s 2 z s rCos z s rCos ri Cos i z s rCos rs Cos s z s rCos rs Cos s Pn Cos s rl n l n ! 1 Pl Cos r z s n 1 l! n! z s l n 1 rs l 0 l n zs l! Pn Cos s Pl Cos r z s n 1 l 1 rs l n n!l n ! r
Pn Cos i rl l l n ! 1 Pl Cos r z s n 1 l! n! z s l n 1 ri l 0 l n zs l! l n Pn Cos i 1 Pl Cos r z s n 1 n!l n ! r l 1 ri l n rl rl n l n ! l l n ! P Cos Bn 1 P Cos r z s An 1 l n 1 l l n 1 l l! n! z s l!n! z s n 0 l 0 n 0 l 0 T (r , ) l n l n l! zs l! zs l n A Pl Cos Bn 1 Pl Cos r z s n l 1 l 1 n ! l n ! r n ! l n ! r n 0 l n n 0 l n En inversant l ' ordre de sommation puis l n rn l n l n ! r zs Pn Cos Al 1 Bl 1 l n 1 l! n! z s l 0 n 0 T (r , ) n l l n n! zs l n P Cos Al Bl 1 r zs n n 1 l ! n l ! r l 0 n 0
La propriété de parité exigent que seuls les termes paires sont non nuls, il vient alors : Si n 2m 1 alors Al 1 Bl 1 0 Al 1 Bl 0 Al 1 Bl . l
n
l
l
Ce qui démontre l'assertion et prouve en même temps que les deux conditions aux limites sur les sphères supérieure et inférieure ne conduisent qu'à une seul système d'équations linéaires.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-443
Revenons donc à ce système linéaire : an 1 l l n ! n V0 Pn Cos i Al 1 An 1 n 1 l n 1 l!n! 2 z s a n0 l 0 an 1 1 n l n l n ! V0 Pn Cos i 1 Al 1 An n 1 Posons U n An n 1 l n 1 l!n! 2 z s a a n 0 l 0 A0 A n
1 Al a l 1 l l 1 1 V a l 0 a 2 zs l 1 0 1 a
Posons
n 1
l 0
n0
l n 1 Al 1l n l n ! a l n 1 0 l 1 a l!n! 2 z s
U U n
T
G Gnl Gnl 1
l n
l n
l l U 0 1 U l V0 n 0 l 0 U 1l n l n ! l nU 0 n0 n l l!n! l 0
l n ! l!n!
a 2 zs
n0
1 nl V V0 ,0,,0
T
1 G .U V U 1 G .V L'inversion de la matrice peut être approchée par un développement sur la variable λ lorsque λ<1 : 1
p
1 G 1 1 1p pG p
Gp G .G . G
. Et la solution s'exprime dans le système de coordonnées sphériques du plan médian, comme suit : p 1
p fois
rn n l l n ! r zs Pn Cos 1 1 Al 1 l n 1 l!n! z s l 0 n 0 T (r , ) n l l n n! zs P Cos 1 1n A r zs n l n 1 l ! n l ! r l 0 n 0 l n 1 n r l n ! a Pn Cos 1 1n U l 1l r z s l!n! z s n 0 a l 0 T (r , ) n 1 n l l n a n! z s n r zs Pn Cos 1 1 U l l!n l ! a l 0 n 0 r .
Cette solution est à comparer avec la solution en coordonnées bi-sphériques, dont on rappelle dans ce cas l'expression : Sin Sinh z 2 x2 y 2 c zc c z s a 2 0 ArcCotanh s Cosh Cos Cosh Cos c
T ( , ) V0 2Cosh 2Cos e n0
Axe z 0, z c
1 n 0 2
1 Cosh n 2 Pn Cos 1 Cosh n 0 2
z z s a, z s a T ( z ) T ( , ) Sinh Cosh 1 z z s a, z s a T ( z ) T ( ,0)
z n z z s a, zs a 2 ArcTanh T ( z ) T ( , ) 2V0Cosh 1 e c 2 n 0
z z z s a, zs a 2 ArcCotanh T ( z ) T ( ,0) 2V0 Sinh e c 2 n 0
.
1 n 0 2
1 n 0 2
1 Cosh n 2 1 Cosh n 0 2
1 Cosh n 2 1 Cosh n 0 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-444
A titre d'illustration voici les deux profils sur l'axe z dans l'espace entre les deux sphères calculés avec la solution en coordonnées sphériques et bi-sphérique (potentiel fixé à 1 et 1 sur les sphères):
Et de même les profils « au dessus » des deux sphères. Pour les coordonnées sphériques, il faut au moins 8 termes pour obtenir une approximation suffisante tandis qu'en coordonnées bisphériques seuls 4 suffisent (potentiel fixé à 1 et 1 sur les sphères):
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-445
Le problème des deux sphères de rayon a1 et a2 et de potentiel V1 et V2 placé à distance 2zs l'une de l'autre. Commençons par la résolution du problème en coordonnées bi-sphériques. Sin Sinh zc Cosh Cos Cosh Cos Si 1 0 et 2 0 sphères disjointes
x2 y2 c
1, 2
2 c2 2 2 x y z cCotanh1 Sinh 2 1 Sphères c2 x 2 y 2 z cCotanh 2 2 Sinh 2 2
Cosh1 c , S1 c Sinh1 Sinh1 c S c Cosh 2 , 2 Sinh Sinh 2 2
1 , 2 espace entre les deux sphères Cosh 1 c Lim z c 0,0,c S1 ,1 ( x, y, z ) S1 c , Sinh1 Sinh1 c 2 , ( x, y, z ) S 2 c Cosh 2 , Lim z c 0,0, c S 2 Sinh 2 Sinh 2 Axe z 0,
z c, c z c, c 0
z et 2 ArcTanh c z et 2 ArcCotanh c
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-446
Les paramètres du système de coordonnées sont calculés comme suit à l'aide de la distance entre les sphères et leur rayon respectif : a1
x2 y2 c c Sinh 1
Cosh 1
Sin Cosh Cos
a2 c 2 a1 a1
Sinh Cosh Cos
Cosh1 Cosh 2 2 z s c Sinh1 Sinh 2
c Sinh 2
2
zc
c 2 a2 a2
Cosh 2
2
2 z s a1Cosh1 a2Cosh 2 c 2 a1 c 2 a2 2
4
c 2
4
a1 a2 4 z s
c
2
1
16 z s
2 2
4 zs
2
2
4 z
2 2 2 a a2 4 z s 2 c 2 a1 1 2 16 z s 2 2 2 2 a1 a2 4 z s 2 c a 2 2 16 z s
2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 4zs
Cosh 1
Sphères
2a a
2 2
2
2
2
a1 a2 4 z s 4 z s a1
2
Cosh 2
2
2
4 z s a1 a2 4 z s a2
2
4 z 2 a12 a2 2 Cosh1 c S1 s , , a1 S1 c Sinh1 Sinh1 4 zs 2 2 2 4 z s a1 a2 c Cosh 2 , a2 S 2 c Sinh , Sinh S 2 4zs 2 2
2
2
2 s
2
a1 a2 2 16 z s
2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-447
Le problème aux limites correspond à un problème de Dirichlet simple dans l'intervalle η€[-η1,η2], dont la solution est à rechercher sous la forme : 1 1 Sin n 1 Sin n 2 2 2 B P Cos T ( , ) 2Cosh 2Cos An n n 1 1 n0 Sinh n 1 2 Sinh n 1 2 2 2 V1 T ( , ) V1 Bn Pn Cos 1 2Cosh1 2Cos n 0
T ( , ) V2 2
Comme An V2 e
V2 An Pn Cos 2Cosh 2 2Cos n 0
1
2Cosh1 2Cos 1 n 2 2
Bn V1e
e n 0
1 n 1 2
Pn Cos
1
2Cosh 2 2Cos
1 n 1 2
1 n 1 Sin n 1 2 V e 2 2 2 1 Sinh n 1 2 2 T ( , ) 2Cosh 2Cos 1 Sin n 2 n 0 1 2 V e n 2 1 1 1 Sinh n 1 2 2 P Cos n
.
e n 0
1 n 2 2
Pn Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-448
En présence d'un champ électrique externe, la solution prend la forme : 1 1 Sin n 1 Sin n 2 2 2 B P Cos 2Cosh 2Cos A n n n 1 1 n 0 Sinh n 1 2 Sinh n 1 2 T ( , ) 2 2 E0 cSinh Cosh Cos V1 Sinh1 T ( , ) V1 E0 c Bn Pn Cos 3 1 2Cosh 1 2Cos Cosh Cos 2 n 0 1
T ( , ) V2 2
V2 Sinh 2 E0 c An Pn Cos 3 2Cosh 2 2Cos Cosh Cos 2 n0 2
1 1 w 2 2 wCos
1 w n Pn Cos w e 1 n 0 w w 2Cos w
n n Pn z 1 2 2 n 2 w 2 Pn Cos e 2 Pn Cos dz e 2Cosh 2Cos n 0 Cosh z 2n 1 n 0 1
Dérivation V1, 2
An e
Sinh 3
2 E0 c
Sinh1, 2 1, 2
Bn e
1 n 1 2
1
2Cosh 2Cos
V2 E0c2n 1
1
1
1 n
3 2
1
V1, 2 E0 c2n 1e
1 n 1 , 2 2
n0
V1 E0c2n 1
2Cosh 2Cos 1 Sin n 1 n 1 2 2 e 2 V2 E0 c2n 1 1 Sinh n 1 2 2 T ( , ) Pn Cos 1 n 0 Sin n 2 n 12 1 2 e V1 E0 c2n 1 1 Sinh n 1 2 2 E0 cSinh Cosh Cos
.
1
1 n Pn z 2 2e 2 n e 2 Pn Cos dz 3 2 Sinh n 0 1 Cosh z 2
2Cosh 2Cos 2
2Cosh 1, 2 2Cos 1 n 2 2
1
Pn Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-449
Les intégrales suivantes sont en relation avec les calculs précédents :
1 n 1 P z 2 2 x x2 1 2 dz n x z 2n 1 1 1 1 n Pn z n 2 2 2 2 dz 1 x x 1 2 n 1 x z 1
Brychkov vol 2 2.17.1.n12
1 n 1 P z 2 2 x x2 1 2 dz n 3 x2 1 1 x z 2 1 1 n Pn z 2 2 n 2 2 dz 1 x x 1 3 2 x 1 1 x z 2
1
De plus Brychkov vol 2 2.17.1.n13
dz
1
Brychkov vol 2 2.17.1.n12
Pn z 1 4 2Qn y Qn y Pn z yz y z n 0 2n 1
1 4 Qn Cosh Pn Cos Cosh Cos n 0 2n 1
Le profil sur l'axe z se calcule à partir des coordonnées bi-sphériques, en posant les valeurs suivantes des coordonnées bi-sphériques : c
2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 2 z s a1 a2 4 zs
z et 2 ArcTanh c 2 2 2 4 z s 2 a12 a2 2 4 z a1 a2 z a1 , s a2 4 z 4 z s s T z T 2 ArcTanh z , c 2 2 2 4 z 2 a12 a2 2 4 z a1 a2 z s a1 , s a1 T z V1 4zs 4zs 2 2 2 4 z 2 a12 a2 2 4 z a1 a2 z s a2 , s a2 T z V2 4 zs 4zs 2 2 2 4 z a1 a2 z 0 et 2 ArcCotanh z s a2 4 zs c 2 2 2 4 z a1 a2 T z T 2 ArcCotanh z ,0 z s a1 4zs c
Revenons maintenant à la recherche de la solution en coordonnées sphériques :
T (r , ) n 0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i E0 z n 1 n 1 rs ri n0 ri r ri 0 r point d'observation
rs r rs 0 rs 0 ri 0 centres respectifs des sphère supérieure et inférieure .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-450
On rappelle que l'on a les relations suivantes pour un système de coordonnées basé sur le plan situé entre les deux sphères: r x, y , z x, y, rCos ri 0 0,0, z1 rs 0 0,0, z 2 z1 z 2 z s 2 2 2 ri r ri 0 r 2 z1 2r.ri 0 r 2 z1 2 z1 z r 2 z1 2 z1rCos 2 2 2 rs r rs 0 r 2 z 2 2r.rs 0 r 2 z 2 2 z 2 z r 2 z 2 2 z 2 rCos
T (r , ) n0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i E0 rCos n 1 n 1 rs ri n0
Les deux conditions aux limites sont : T ( r , ) r r V2 T ( r , ) r r V1 s i rs ri deux points respectifs des sphères supérieure et inférieure .
La condition aux limites supérieure donne l'expression suivante :
n A a2 n l n ! T ( r , ) r r V2 E0 z 2 E0 a2Cos Pn Cos s nn1 Bl 1 l n 1 s l!n! 2 z s n 0 l 0 a2 .
La condition aux limites inférieure donne l'expression suivante : T ( r , ) r r
i
n a1 1 l l n ! V1 E0 z1 E0 a1Cos Pn Cos i Al 1 Bn n 1 l n 1 l! n! 2 z s a1 n 0 l 0 .
Posons les valeurs suivantes :
a1a2 2 zs
Un
An
a1a2
n 1 2
Wn
Bn
n 1
a1a2 2
n 1 n 2 l n ! a a1 2 n n l 2 V2 E0 z 2 E0 a2Cos Pn Cos s U n Wl 1 l!n! a1 n 0 l 0 a2 n n 1 2 a2 2 l l n ! n l a1 V1 E0 z1 E0 a1Cos Pn Cos i U l 1 Wn l! n! n 0 a2 a1 l 0 .
Ce qui conduit au système d'équations linéaires : l 0 3 2 a2 2 l 1 ! a U1 Wl 11l E0 2 l! a1 a1 l 0 1 n a2 2 n n l l n ! U n Wl 1 0 a l ! n ! 1 l 0 U0
a2 a1
W V l
l
2
E0 z 2
a2 a1
a1 a U l l W0 V1 E0 z1 1 a2 l 0 a2 3 2 a1 2 a 1 l l 1! W1 E0 1 U l 1 l! a2 a2 l 0 1 n a 1 2 n n l l n ! Wn 0 a U l 1 l!n! 2 l 0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-451
Retranscrit à l'aide d'une notation matricielle : Posons
U U n
G S GnlS
G I GnlI
T
W Wn
T
n a GnlS 1 2 a1 l a GnlI 1 1 a2
1 nl V S
n
1 2
1 n 2
l n
l n
a2 V2 ,0,,0T a1
l n ! l! n!
l n ! l! n!
VI
a1 V1 ,0,,0T a2
S S 2 S I 1 S S I 1 G .U V U 1 G .G .V G .V I I 2 I S 1 I I S 1 G .W V W 1 G .G .V G .V .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-452
Une fois ce système linéaire inversée, la solution s'écrit avec les développements respectifs des contributions des sphères supérieures et inférieures dont la forme dépend du l'emplacement du plan entre les sphères, déterminé par les positions -z1, et z2 qui sont à priori quelconque :
T (r , ) rs 0
ri 0
n0
An Pn Cos s Bn Pn Cos i E0 rCos n 1 n 1 rs ri n0
centres respectifs des sphères supérieure et inférieure
Contrainte z1 z 2 2 z s 2 ri r ri 0 r 2 z1 2 z1rCos z1 rCos ri Cos i
2 2 rs r rs 0 r 2 z 2 2 z 2 rCos r 2 z 2 2 z 2 rCos z 2 rCos rs Cos s z 2 rCos rs Cos s
Pn Cos s 1n l n ! r l P Cos r z 2 n 1 l n 1 l l!n! rs z2 l 0 l n l! z2 Pn Cos s Pl Cos r z 2 n 1 l 1 rs l n n!l n ! r
Pn Cos i 1l l n ! r l P Cos r z1 n 1 l n 1 l l!n! ri z1 l 0 1l n l! z1l n P Cos r z Pn Cos i l 1 n 1 l 1 ri l n n!l n ! r
rl n l n ! P Cos r z 2 An 1 l n 1 l l!n! z 2 n 0 l 0 l n l! z2 An Pl Cos r z 2 l 1 n ! l n ! r n 0 l n T (r , ) E0 rCos l l n ! r l Bn 1 Pl Cos r z1 l!n! z1l n 1 n0 l 0 l n l! z1 l n Pl Cos r z1 Bn 1 l 1 n!l n ! r n0 l n
En inversant l ' ordre de sommation
puis
ln
rn l l n ! P Cos A 1 r z2 n l l n 1 l!n! z 2 l 0 n 0 n l l n n! z2 Pn Cos Al r z2 n 1 l!n l ! r n 0 l 0 T (r , ) E0 rCos n P Cos B 1n l n ! r r z1 n l l!n! z1l n 1 n0 l 0 n l l n n! z1 nl P Cos B 1 r z n l 1 n 1 l!n l ! r l 0 n0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-453
Illustration du plan médian coïncidant avec l'origine des coordonnées bi-sphériques
Le choix des positions -z1, et z2 est libre, toutefois pour comparer la solution sphérique avec la solution bi-sphérique, notamment sur l'axe z, un choix s'impose : z1 1
2
2
4 z s a1 a2 4 zs
2
z2 2
2
2
2
4 z s a2 a1 4zs .
Il peut alors survenir des problèmes de convergence des séries précédentes. Dans ce cas on doit alors jongler entre les différentes solutions pour un choix judicieux du développement en série, selon les positions dans l'espace. Par exemple si le plan est choisit exactement médian, alors les rayons de convergences des séries coïncident pour la valeur r=zs, et l'on a la solution : z1 z 2 z s
l n ! r n A 1l B 1n r z P Cos l l s n l!n! z s l n 1 l 0 n0 T (r , ) n l l n zs n! nl P Cos Al Bl 1 r zs n n 1 l 0 l!n l ! r n0 .
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-454
Si le plan passe exactement au centre de la sphère inférieure, alors : z1 0
ri r z2 2 zs i
2 rs r 2 4 z s 4 z s rCos 2 z s rCos rs Cos s
rn l l n ! r 2zs Pn Cos Al 1 l n 1 l!n! 2 z s l 0 n 0 Bn Pn Cos T (r , ) E0 rCos n l l n r n 1 n0 n! 2 z s P Cos A r 2zs n l l!n l ! r n 1 l 0 n 0 .
Si le plan passe exactement au centre de la sphère supérieure, alors : 2 r r 2 4 z s 4 z s rCos rs r z2 0 i s 2 z s rCos ri Cos i rn n l n ! Pn Cos Bl 1 r 2zs l n 1 l!n! 2 z s A P Cos n 0 l 0 T (r , ) n n n 1 E0 rCos n l l n r n0 n! 2 z s P Cos B 1n l r 2zs n l n 1 l ! n l ! r l 0 n0 .
z1 2 z s
Si le plan est identique au plan bi-sphérique, soit les positions des centres des sphères est 2 2 2 respectivement -z1,z2 : z1 1 4 z s a1 a2
4 zs
z2 2
2
2
4 z s a2 a1 4zs
2
alors il 'n'y a aucune
translation de variable à réaliser. Le profil sur l'axe z, avec des positions quelconque z1 et z2 se calcule comme suit : 0 si z 0 z z1 a1 , z 2 a2 T ( z ) T ( z , ) si z 0 z z1 a1 , z1 a1 T z V1 z z 2 a2 , z 2 a2 T z V2 z z 2 a2 0 l n
T z Al n 0 l 0
n l
n! z2 l!n l ! r n 1
zn n l n ! z z1 Bl 1 l n 1 l ! n ! z1 n0 l 0 E0 rCos nl l n n! z1 nl Bl 1 z z1 n 1 l ! n l ! z n 0 l 0
z z1 a1 n z n l l n ! 1 A 1 z z 2 l l n 1 n l l n l!n! z 2 l 0 n! z1 n0 n nl T ( z ) 1 Bl 1 E0 rCos n 1 n l l n l ! n l ! z n 0 l 0 n ! z n 2 1 Al z z2 n 1 l!n l ! z l 0 n0
Et si l'on doit comparer les deux profils en coordonnées sphériques et bi-Sphériques, alors il faut procéder à une translation de variable sur l'axe z, comme suit : 1
2
2
4 z s a1 a2 4 zs
2
2
2
2
4 z s a2 a1 4 zs
2
1 z1 z 2 2 1 2 z1 z 2 2 z s Tsphérique ( z 1 z1 ) TBi sphérique ( z ) Tsphérique ( z z 2 2 ) TBi sphérique ( z )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-455
A titre d'illustration voici le profil sur l'axe z d'un problème aux limites à deux sphères, hors de la présence d'un champ électrique, calculé soit en coordonnées sphériques soit en coordonnées bisphériques, pour des paramètres suivants : – a1=0.5 – a2=2 – V1=-1 – V2=2 – zs=3 – E0=0 La convergence en coordonnées est obtenu après seulement 4 termes du développement, tandis qu'il faut plus de 10 termes en coordonnées sphériques. On a utilisé le plan médian pour les positions z positive et au delà du rayon de la sphère supérieure. Pour les positions en dessous du rayon de la sphère inférieure également (translation de la forme 1
2
2
4 z s a1 a2 4 zs
2
2
2
2
4 z s a2 a1 4zs
2
Tsphérique ( z 1 z s ) Tsphérique ( z z s 2 ) TBi sphérique ( z )
). Entre la sphère inférieure et le plan médian, on a utilisé le développement sur le plan bi-sphérique (pas de translation dans ce cas) :
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-456
Problèmes aux limites de Laplace homogène en dimension radiale sur des sections coniques pleines et creuses Dans tous les problèmes coniques-sphériques envisagés jusqu'à présent, seuls les problèmes homogènes en dimension angulaire ont été résolus. Il s'agissait de problème du type : T ( r , ) 0 T (r , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 T ( r , ) r l f1 (Cos ) r1
T ( r , ) r l f 2 (Cos ) r2
' z
T (r , z ) ou Tz' ( r , z ) Tz' (r , z ) ou Tz' ( r , z )
z 1 z2
0 0
On a même exhibé quelques propriétés intéressantes des fonctions propres angulaires, des fonctions de Legendre de degré non entier. Ce faisant on a utilisé dans la séparation des variables (prenons pour simplifier l'équation sphérique en r,θ) les équations séparées suivantes : T ( r , ) R ( r )( ) 2 ( 1) R ' ' ( r ) R ' (r ) R (r ) 0 R ( r ) A r B r ( 1) r r2 Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) ( 1)( ) 0 ( ) A Ρ Cos ( ) B Q Cos ( ) Sin( ) Ρ z Fonction de Legendre de degré Q z Fonction de Legendre de deuxième espèce de degré 1 Cos ( ) valeur propre nulle si 0 R ( r ) A B / r ; ( ) C D Log [ ] 1 Cos ( ) Seulement les valeurs λ entières (sphère complète) ou non entière (cône) positives ont été envisagées. Envisageons un autre type de problèmes homogènes dans la dimension radiale, à savoir : T (r , ) 0 T (r , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 1Tr' (r , ) 1T (r , )
r l r 1
2 Tr' (r , ) 2T (r , ) Tz' (r , z ) ou T (r , z ) Tz' (r , z ) ou T (r , z )
r lr 2 z 1 z 2
0 conditions mixtes licites avec coefficients constants 0 f1r (r ) f 2 r (r )
Ci dessous une cône creux en rouge la surface aux conditions aux limites inhomogènes et en bleu les deux surfaces aux conditions aux limites homogènes (r=Cste)
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-457
Ci dessous une section conique creuse en bleu la surface aux conditions aux limites inhomogènes et en rouge les surfaces aux conditions aux limites homogènes (r=Cste)
Dans ce cas il convient de trouver un système de fonctions propres dans la dimension radiale ( 1) permettant un développement en série. Ce n'est pas le cas avec les fonctions R( r ) A r B r pour le premier choix de valeur de λ.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-458
Mais revenons à l'équation aux dérivées secondes, et transformons là par un changement de variable : 2 ( 1) R ' ' ( r ) R ' (r ) R (r ) 0 r e t r r2 1 1 1 dr rdt R' ( r ) R ' (t ) R ' ' ( r ) 2 R ' (t ) 2 R ' ' (t ) r r r 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) R ' ' ( r ) R ' (r ) R (r ) 0 2 R ' (t ) 2 R ' ' (t ) 2 R ' (t ) R (t ) 0 2 r r r r r r2 R ' ' (t ) R ' (t ) ( 1) R (t ) 0 Equation caractéristique x 2 x ( 1) x 0 Discriminant 1 4 ( 1) 2 1
2
Sous la forme R ' ' ( r )
2 R ' ( r ) 2 R ( r ) R' ' (t ) R ' (t ) R (t ) 0 Discriminant 1 4 r r
Le discriminant s'annule pour la valeur λ=-1/2 ou μ=1/4, donnant la solution suivante, sans que cette solution ne corresponde pour autant à la solution de valeur propre nulle qui elle demeure R(r)=A+B/r : R(t ) 0 t Log (r ) 4 t t Log ( r ) A A t 2 2 Be e Ae B e 2 B r B ou r r
R' ' (t ) R' (t ) 2t R(t ) Ae
1 B r A r .
Pour les valeurs tel que μ>1/4, alors la valeur λ( λ+1)<1 et les solutions radiales sont en puissance de r, non oscillante. Les solutions radiales générales s'expriment sous la forme : R' ' (t ) R ' (t ) R (t ) 0 t Log ( r ) 2 0 1 Si 1 4 0
1 1 4 2
1
t 1 1 1 4 R (t ) Ae 2 2
1 4
t
Be 2
1
1 4
R (t ) Ae t 1 Be t
1 1 4 1 1 4 1 R(t ) Ae t Be t 1 R (t ) Ae t 1 Be t 2 2 R ( r ) Ar 1 Br Si 1 4 0
1 i 4 1 2 t t t t t 1 i 4 1 i 4 1 i 4 1 2 1i 4 1 2 2 2 2 R(t ) Ae Be e Ae Be 4 1 4 1 1 R(r ) A Cos Log (r ) B Sin Log (r ) 2 2 r
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-459
Nous avons ainsi trouvé des fonctions oscillantes pour le cas μ<1/4, il suffit alors de contraindre ces fonctions à respecter les conditions aux limites radiales : Soit pour une fonction sinusoïdales s'annulant en lr1 et lr2, on trouve immédiatement : l 4 1 Posons et Log r 2 2
l r1
l Conditions R(lr1 ) R(lr 2 ) 0 Log r 2 n n l r1 n Log r l 1 r1 Rn (r ) Sin r l Log r 2 l r1
ou bien
Rn (r )
n Log r l l r1 r1 Sin r l Log r 2 l r1
Pour une condition de Neumann de part et d'autre : dR (lr1 ) dR (lr 2 ) t t1 Conditions 0 et 0 Posons t Log ( r ) t1 Log (lr1 ) t 2 Log (lr 2 ) dr dr t 2 t1 l t t1 t t Log r 4 1 t 2 t1 Log r 2 1 l 2 l r1 r1 dR (lr1 ) dR (lr 2 ) dR (0) dR (1) Conditions 0 0 dr dr d d t 1 2 R ' (t ) R ' ( ) R(t ) e 2 C Cos ( t ) D Sin( t ) R ( ) e A Cos ( ) B Sin ( ) Rr' (r ) r r lr 1 Conditions R' ( ) 0 R' ( )
R' ( )
2 1 e ASin( ) BCos ( ) A Cos ( ) B Sin( ) 2 l r1
2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 2 lr 1
Conditions R' (0) R' (1) A B 0 sauf si Sin( ) 0 n Dans ce cas R' (0) 0 B R( )
A 0 A 2 B 2
1 2 e 2 Cos ( ) Sin( ) lr 1
n Log r 1 n lr1 Rn (r ) Cos 2 l r Log lr 2 Log r 2 l lr 1 r1
ou bien
n l Log r 2 lr 1
n Log r l r1 Sin Log lr 2 l r1
n Log r l n lr1 Rn ( r ) r1 2 Cos r l Log lr 2 Log r 2 l l r1 r1
n Log r lr1 Sin Log lr 2 l r1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-460
Pour des conditions de Dirichlet en bas et de Neumann en haut : dR(lr 2 ) 0 dr 1 2 R(0) 0 A 0 R( ) e Sin( ) et lr1
Conditions R(lr1 ) 0 et
Conditions R' (1) 0
n R( )
1 e l r1
2
tq
2 Sin( ) R' ( ) e Cos ( ) 2 lr1
Sin( ) 2 Cos ( )
r Sin( n ) Log lr1
Il vient l Log r 2 l r1 n tq Sin( n ) 2 n Cos ( n ) Rn (r )
r 1 Sin n Log ou bien r lr 1
Rn (r )
r lr 1 Sin n Log r lr1
Et enfin pour des conditions de Dirichlet en haut et de Neumann en bas : Conditions
dR(lr1 ) 0 et dr
R(lr 2 ) 0
t Log (r ) t1 Log (lr1 ) t 2 Log (lr 2 )
Posons
t2 t t 2 t1
4 1 2
l t t l t 2 t1 Log r 2 2 t t 2 Log r 2 r l r1 dR(lr1 ) dR(1) Conditions 0 et R(lr 2 ) 0 R(0) 0 et 0 dr d 1 1 2 lr 2 lr 2 R( r ) C Cos ( Log ) D Sin( Log ) R( ) e A Cos ( ) B Sin( ) r lr 2 r r R' (r )
R' ( ) Conditions R' ( ) 0 r
R' ( )
2 1 e ASin( ) BCos ( ) A Cos ( ) B Sin( ) 2 lr 2
R' ( )
2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 lr 2 2
2 Sin( ) R(0) 0 A 0 R' ( ) e B Cos ( ) 2 lr 2 dR(1) 0 Sin( ) 2 Cos ( ) d 2
R( ) e Sin( ) Il vient n Rn (r )
.
tq
1 l Sin n Log r 2 ou bien r r
l Sin( n ) 2 n Cos ( n ) Log r 2 lr 1 Rn (r )
lr 2 l Sin n Log r 2 r r
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-461
Orthogonalité et normalisation des fonctions propres radiales construites On peut se convaincre facilement de l'orthogonalité en appliquant directement les résultats d'un système de Sturm-Liouville : d 2 d R ( r ) R (r ) 0 r dr dr Système de Sturm Liouville w( r ) 1
p(r ) r 2
s(r ) 0
Il vient alors la propriété : Rn (r ) rn (r ) lr 2
dr
2
(r ) rm (r ) rn (r ) n ,m
r n
lr 1
2
rn (r )
lr 2
dr
r n
(r )
2
. On va calculer les normes des fonctions propres directement par leur intégrale, mais avant exprimons des intégrales avec les fonctions propres radiales et une fonction quelconque sous la forme normalisée suivante : lr 1
1 n ( r ) lr 2 r I dr f (r ) Rn (r ) g (r ) lr 1 f (r ) r n AnCos n Bn Sin n Rn ( r )
r'
r et r ' lr1 lr 2
t l Log r 2 l r1
r r n r AnCos n Log Bn Sin n Log l r1 l r1
l Log r 2 t l r1 lr 2
lr 2
g (r ) I dr f (r ) Rn (r ) dr n ( r ) r lr 1 lr 1
lr 1
1
g (r ' ) dr ' n (r ' ) r'
Log lr 2 lr 1
1
0
0
dt g (t )n t d g ( )n
Cette intégrale est valable quelque soit les valeurs propres et fonctions propres associées de nos différents problèmes sur le cône. Appliquons cette série de transformation à la fonction propre elle-même : n n l Log r 2 lr1
r 1 Sin n Log r lr1 r 1 f (r ) Sin n Log r lr 1
Rn (r )
1
Il vient
I d Sinn 0
2
lr 2
1
lr 1
0
I dr Rn (r ) 2 d n
l Log r 2 lr1 2 2
2
avec
n Sinn
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-462
En l'appliquant à la forme Cosinus : n n l Log r 2 lr 1
r 1 Sin n Log r lr1 r 1 f (r ) Cos n Log r l r1
Rn (r )
1
I d Cos n Sinn 0
1 d Sin2n 0 2 0
Cela permet d'appliquer le résultat avec une combinaison de fonctions sinusoïdales lorsque le jeu de valeurs propres est identiques Deux résultats peuvent donc être donnés : Conditions de Dirichlet
Rn (lr1 ) Rn (lr 2 ) 0
l n Log r Log r 2 1 lr 1 R ( r ) 2 lr1 Rn (r ) Sin n 2 r Log lr 2 lr1 dRn (lr1 ) dRn (lr 2 ) Conditions de Neumann 0 dr dr n Log r n Log r l 1 n lr1 Sin r1 Rn (r ) 2 Cos lr 2 r l l Log r 2 Log r 2 Log l lr 1 lr1 r1 n Log r l 1 r1 Soit Rn (r ) A Cos n r Log lr 2 l r1 l Log r 2 2 lr 1 A 2 B 2 Rn ( r ) n n 2 n An 2 et Bn 1 lr 2 Log lr1
n Log r l r1 B Sin n Log lr 2 l r1
l Log r 2 2 lr 1 lr 2 2 2 2 Rn ( r ) 1 4 n Log 2 lr1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-463
Pour les problèmes combinés, conditions de Dirichlet en bas et de Neumann en haut : dR (lr 2 ) 0 dr Sin( n ) 2 n Cos ( n )
Conditions R (lr1 ) 0 et
n
tq
Rn (r )
r 1 Sin n Log r l r1
lr 2
1
lr 1
0
I dr Rn (r ) 2 d n
2
1
Rn (r ) d Sin n 2
2
0
2
avec n Sin n
1 d 1 Cos 2 n 2 0
Sin2 n Sin2 n Sin n Cos n 1 1 2 n 2 n 2 n 0 2 1
2Cos n Rn (r ) 1 2
2
2
mais aussi 2
Rn (r )
Sin n 1 2 2 2 n
2
Avec le problème combiné, Conditions de Dirichlet en haut et de Neumann en bas, on change l'intégration : 1 n (r ) lr 2 r I dr f (r ) Rn (r ) g (r ) lr 1 f (r ) r n AnCos n Bn Sin n Rn (r )
r'
r lr 2 lr 2
et r '
t l Log r 2 lr1
lr 2
l l n r AnCos n Log r 2 Bn Sin n Log r 2 r r
l Log r 2 t lr1 1
0
1
g (r ) g (r ' ) I dr f (r ) Rn (r ) dr n (r ) dr ' n (r ' ) dt g (t )n t d g ( )n r r ' lr 1 lr 1 l r 1 lr 2 Log l r 2 l r 1 0
n AnCos n Bn Sin n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-464
En conséquence la norme est égale à : dR (lr1 ) Conditions 0 et R (lr 2 ) 0 dr n tq Sin( n ) 2 n Cos ( n ) l
Rn (r )
1
r2 1 l 2 Sin n Log r 2 I dr Rn ( r ) 2 d n r r lr 1 0
Rn (r ) d Sin n
1 d 1 Cos 2 n 20
2Cos n 1 2
1
2
2
0
2
Rn (r )
2
avec n Sin n
1 Sin2 n 1 Sin n Cos n
2
2 n
2
n
mais aussi 2
Rn (r )
Sin n 1 2 2 2 n
2
Calcul des normes en théorie de Sturm-Liouville Dans le cadre d'un problème de Sturm-Liouville régulier r lr1 , lr 2 p(r ) 0 w(r ) 0 d (r ) d s(r ) w(r ) (r ) 0 p(r ) dr dr valeur propre de l ' opérateur de Sturm Liouville Les normes se calculent de la manière suivante :
d (r ) d p(r ) dr dz
w(r ) s(r ) (r ) 0
lr 2
( r ) (r ) 2 (r ) (r ) l dr w(r ) (r ) p(r ) r r lr1 r1
lr 2
2
On rappelle d'autre part que la valeur propre de l'opérateur de Sturm-Liouville dans notre problème était transformée de la manière suivante : p p 1 forme de Legendre 1 i 4 1 4 1 1 i 2 2 2 4 1 1 p i 2 2
Cas 1 4 0 p En posant
En conséquence les dérivées paramétriques sur les valeurs propres changent de nature : 4 1 1 En posant v 2 d 2vdv 2 4 Appliquées ces formules à notre problème, il vient : p(r ) r 2
w( r ) 1 ( r ) R (r ) lr 2
1 2 R ( r ) R (r ) 2 R ( r ) dr R ( r ) r R ( r ) 2 r r l lr 1 r1
lr 2
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-465
Rappelons également les valeurs des dérivées premières en coordonnées et en paramètres pour une des formes des fonctions propres : t Log (r ) t1 Log (lr1 ) t 2 Log (lr 2 )
Posons
t t1 t 2 t1
l t 2 t1 Log r 2 lr 1
t t1 t t
r Log r lr1e lr 1 R (r ) R ( ) R ( ) Posons R' ,r (r ) et R' , ( ) et R' , ( ) r R ' ( ) R' , ( )e r r 1 R (r ) A Cos Log B Sin Log R' ,r (r ) , r lr 1 r lr1 lr1
1
1 R ( ) e l r1
2
A Cos( ) B Sin( )
R' , ( )
2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 2 lr1
R' , ( )
2 e A Sin( ) B Cos ( ) l r1
' 2 R ( ) R , ( ) 2 A B e B Cos ( ) A Sin( ) Sin( ) B Cos ( ) A 2 2 lr1
Exprimons la norme à l'aide de la variable normalisée τ, il vient : R (r ) R ( ) R ( ) Posons R' ,r (r ) et R' , ( ) et R' , ( ) r ' 2 2 R ( )e R ( r ) e R ( ) R' ,r (r ) , et lr 1 r lr1 l R (r ) r1 2 2
l R ( r ) r1 2 2
r lr1e
1
R ( ) R ( ) 2 R ( ) e R ( ) 0 1
' 2 R ( ) ' e R ( ) R ( ) R ( ) , , 0
Retrouvons alors les résultats des normes dans le cas de Dirichlet de part et d'autres : Condition de Dirichlet R ( )0 0 et 1
Sin( )10 0 Cos ( )10 1 Cos 2 ( )10 1
A 0, B 1 R' , ( ) 2
R ( r )
2 e Cos ( ) lr1
R' , ( )
1 Cos 2 ( )0 2 2
2 e Cos ( ) lr1
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-466
Dans le cas Dirichlet en bas et Neumann en haut, il vient : R (0) 0 et
n
R' , (1) 0
Sin ( n ) 2 n Cos ( n )
tq
R' , ( )
2 Sin( ) e Cos ( ) 2 lr1
2 R ( ) e 2 l r1 R' , (0)
R' , (1)
R (1)
e
e
R' , ( )
1 2 e Sin ( ) lr1
2 e Cos ( ) l r1
Cos ( )1 Sin ( ) 2
lr1
R' , (0) 0
2 R (0) lr1
2
2
Sin( ) e ' Cos ( ) Cos ( ) R , (1) 2 l r1 l r1
2
lr 1
Sin( )
l R ( r ) r1 2 2
A 0, B 1 R ( )
2 R (1) e 2 Cos ( )1 Sin( ) 2 lr 1 1
' 2 R ( ) l r1 ' 2 R (1) ' ' e R ( ) R ( ) R ( ) e R ( 1 ) R ( 1 ) R ( 1 ) , , , , 0 2
Sin( ) Cos ( ) Cos ( ) Sin ( ) Cos ( ) 1 Sin ( ) 2 2
1 2
1 Sin( ) Cos ( ) 1 Sin( ) Cos ( ) 2 2
Ce qui est le résultat déjà trouvé en calculant directement l'intégrale !
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-467
Rappelons également les valeurs des dérivées premières en coordonnées et en paramètres pour la deuxième forme choisie des fonctions propres (cas Neumann en bas et Dirichlet en haut): Posons
t Log (r ) t1 Log (lr1 ) t 2 Log (lr 2 )
t2 t t 2 t1
l t 2 t1 Log r 2 lr1
t2 t l t t 2 Log r 2 r lr 2 e r R (r ) R ( ) R ( ) Posons R' ,r (r ) et R' , ( ) et R' , ( ) r R ' ( ) R' , ( )e 1 l l A Cos Log r 2 B Sin Log r 2 R' ,r (r ) , R (r ) r lr 2 r r r
R ( )
1 e lr 2
2
A Cos( ) B Sin( )
2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 2 lr 2
R' , ( )
2 R ( ) e A Sin( ) B Cos ( ) lr 2 ' ,
' 2 R ( ) R , ( ) 2 A B e B Cos ( ) A Sin( ) Sin( ) B Cos ( ) A 2 2 lr 2
Exprimons la norme à l'aide de la variable normalisée τ, il vient : R ( r ) R ( ) R ( ) Posons R' ,r (r ) et R' , ( ) et R' , ( ) r ' 2 2 R ( )e R ( r ) e R ( ) R' ,r (r ) , et lr 2 r lr 2 0
R ( ) R ( ) l 2 R ( ) R (r ) r 2 e R ( ) 2 1 2
1
l 2 R ( ) R ( r ) r 2 e R' , ( ) R' , ( ) R ( ) 2 0 2
r lr 2 e
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-468
Dans le cas Dirichlet en haut et Neumann en bas , il vient : R (0) 0 et
n
R' , (1) 0
Sin ( n ) 2 n Cos ( n )
tq
R' , ( )
2 Sin( ) e Cos ( ) 2 lr1
2 Rv ( ) e 2 lr 2 R' , (0)
R' , (1)
1 e lr 2
A 0, B 1 R ( ) R' , ( )
2
Sin( )
2 e Cos ( ) lr 2
Cos ( )1 Sin ( ) 2
lr 2
2 R (0) lr 2
R' , (0) 0
2
e Sin ( ) Cos ( ) 2 lr 2
R' , (1)
2
e Cos ( ) lr 2
e2 R (1) Sin( ) lr 2 l R ( r ) r 2 2 2
2 R (1) e2 Cos ( )1 Sin( ) 2 lré 1
' 2 R ( ) lr 2 ' 2 R (1) ' ' e R ( ) R ( ) R ( ) e R ( 1 ) R ( 1 ) R ( 1 ) , , , , 0 2
Sin( ) Cos ( ) Cos ( ) Sin ( ) Cos ( ) 1 Sin ( ) 2 2
1 2
1 Sin( ) Cos ( ) 1 Sin( ) Cos ( ) 2 2
Ce qui est le résultat déjà trouvé en calculant directement l'intégrale ! Il ne reste plus qu'à calculer par ce moyen, la norme pour des conditions homogènes de Neumann de part et d'autre, donnons l'expression la plus générale de la norme quelque soit les coefficients A,B, il vient après une session de calcul sur Mathematica : 2
R ( r )
1 2
A2 B 2 A B A 2 B 2 A B Cos 2 Sin2 2
Pour les conditions homogènes de Neumann de part et d'autre, on retrouve la norme calculée. Si A 2 et B 1 et Sin2 0 et Cos 2 1 il vient : 2 R (r ) 1 4 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-469
Formes des fonctions angulaires associées Les fonctions angulaires associées sont solutions de l'équation différentielle : Si 1 4 0 1 1 i 4 1 1 i 2 2 4 1 En posant 2 Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) ( 1)( ) 0 ( ) A Ρ 1 Cos ( ) B Q 1 Cos ( ) i i Sin( ) 2 2
Ρ
1 i 2
Q
1 i 2
z Fonction de Legendre de degré 1 i 2
z Fonction de Legendre de deuxième espèce de degré 1 i 2
Aussi appelées fonctions coniques ou fonctions de Mehler
Sans oublier la solution de valeur propre nulle des équations séparées: 1 Cos ( ) Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) 0 0 ( ) A B Log Cotan C D Log Tan E F Log Sin( ) 2 2 1 Cos ( ) On rappelle que les fonctions de Legendre de première et deuxième espèce sont reliées par les formules de liaison : 2 P ( z ) Cos( )Q ( z ) Q ( z ) Q ( z ) Cos( ) P ( z ) P ( z ) Sin( ) 2Sin( ) . Lorsque τ=-1/2+i ν, il vient :
1 Cos i Q 1 ( z ) Q 1 ( z ) i i 2 i 2 2 2 1 Cos i P 1 ( z ) P 1 ( z ) Q 1 (z) i i 1 2 i 2 2 2 2Sin i 2 P1
( z)
i 2
i 2
e
i e
2 1 Sin i 2
1 e i Cos i 2
1 e Sin i 2 Q
1 i 2
(z)
i 2
i 2
e 2i
i
i 2
i 2
e 2
i
e e i Sinh( ) 2
e e Cosh( ) 2i
i Sinh( ) P 1 ( z ) P 1 ( z ) P 1 ( z ) i Sinh( ) P 1 ( z ) i i i i 2Cosh( ) 2 2 2 2 Cosh( ) 2
Il est facile de démontrer la valeur réelle de la fonction de première espèce, en utilisant la propriété miroir des fonctions de Legendre : P ( z ) P ( z ) 1 1 1 i i i 1 2 2 P ( z ) P 1 ( z ) 2 P1
i 2
( x) P 1
i 2
( x) P 11 ( x) P 1
i 2
( x) P 1
i 2
( x)
réel
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-470
La fonction de Legendre de première espèce est à valeur réelle et on l'appelle communément la fonction conique de première espèce ou fonction de Mehler. On voit que le calcul de la fonction de Legendre de deuxième espèce donne un résultat imaginaire. Il faut alors choisir une valeur réelle pour une fonction de deuxième espèce. Certains ont choisit cette dernière fonction, en prenant comme valeur à définir sa partie réelle, comme fonction conique de deuxième espèce : Qˆ 1 ( z ) Re Q 1 ( z ) P 1 ( z ) i 2 2 i 2 Cosh( ) 2 i . Sinh( ) Im Q 1 ( z ) P 1 ( z) i 2 Cosh( ) 2 i 2 En effet, on ne peut prendre la partie imaginaire car cette dernière n'est pas linéairement indépendante de la fonction conique de première espèce. Au passage il est évident que la partie réelle d'une fonction à valeur imaginaire, tout comme sa partie imaginaire respecte également l'équation différentielle à partir du moment où tous les autres éléments de l'équation différentielle sont à valeur purement réelle. L'association entre fonctions radiales et angulaires est donc la suivante : n valeurs définies par les conditions aux limites homogènes radiales rn ( r )
1 r
r An Cos n Log r Bnr Sin n Log r n ( ) An Ρ 1 Cos ( ) Bn Qˆ 1 Cos ( ) i n i n l r1 lr1 2 2
Toute solution du problème aux limites présente le développement en série suivant : B r T (r , ) A0r 0 A0 B0 Log tan
n 1
1 r
r
2
r An Cos n Log r Bnr Sin n Log r An Ρ 1 Cos ( ) Bn Qˆ 1 Cos ( ) l l i n i n r1 r1 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-471
Exemple : soit le problème aux limites : T (r , ) 0 T (r , ) fini
z Cos et 0 Cos 0 T (r , ) r l 0 T (r , ) r l 0 T (r , z ) z f r (r ) r1
r2
0
On écarte rapidement la partie de valeur propre 0 identiquement nulle, et d'après l'étude des fonctions propres la solution se développe en série ainsi : r r 1 n 1 T (r , ) Rn (r ) Sin n Log An Sin n Log Ρ 1 Cos( ) n r
l r1
n 1
l Log r 2 l r1
i n 2
r
lr 2
r n (r ) Sin n Log n ( ) Sin n lr1 l Log r 2 2 lr1 Rn (r ) 2
An
lr 2
I n l r 1 S n S n d e 0
2
r
2
Rn (r ) Ρ
Log l r 2 l r 1
r et
2 dr f r ( r ) Rn (r )
(r ) Rn (r )
lr 1
Cos ( 0 )
r l r1
lr1
l Log r 2 Ρ 1 Cos ( 0 ) l r 1 2 i n
t r lr1e l Log r 2 lr1 2
1
t 2
dt f r (t )e n t lr1 d e
2
Supposons que la fonction limite est constante f r (r ) Ts , il vient : 1 l f r ( ) Ts S n Ts d e 2 Sin n Log r 2 Cos n (1) n lr1 0
e
lr 2 (1) n n lr1 4Ts n 1 e Cos n 4Ts n lr1 lr 2 (1) Sn 4 T n s 2 2 4 n 2 2 2 4 n 2 2 1 4 n lr 1
n 1
1
2
8T T (r , ) s r
n
Cos( ) Ρ lr1 lr 2 (1) n r 12 i n Sin n Log 2 4 n 2 2 lr1 Ρ 1 i Cos( 0 ) n
Supposons que la fonction limite soit de la forme : f r ( r ) Ts lr1 f r ( ) Ts e 2 r
1
S n Ts d Sin n 0
T (r , )
4Ts
n
S 2 n 1 Ts
2
lr1 lr 2
n
.
r , il vient :
n Cos n (1) n l Log r 2 lr1
1 ( 1) n S2n 0 n
n
2
f r ( r ) Ts
t
l f r ( )n Log r 2 lr 1 0 0 Cos( ) Ρ l r1 r 12 i n f r ( ) Sin n T (r , ) 2 S n Sin n Log l Ρ Cos( ) r n 1 0 r 1 1 i n
f (r ) I n dr f r ( r ) Rn ( r ) dr r n (r ) lr1 r lr 1 lr 1 1
lr 2
1 i n 2
Normalisation de l'intégrale
lr 2
dr f
lr1
et
Sin n 0
2 ( 2n 1)
r Cos ( ) Sin 2 n 1 Log Ρ 1 l r1 lr1 2 i 2 n1 Cos ( 0 ) ( 2n 1) Ρ 1 r n 0
i 2 n1 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-472
Exemple : soit le problème aux limites : T (r , ) 0 T (r , ) fini z Cos et 0 Cos 0 Tr' (r , ) Tr' (r , )
0
r l r 1
0
r l r 2
T (r , z ) z f r ( r )
. La partie radiale de la solution de valeur propre nulle A 0+B0/r donne une constante dans ce cas. Et la partie angulaire donne également une constante, du fait du respect de la condition de finitude de la solution à angle θ=0. D'après l'étude des fonctions propres la solution se développe don en série ainsi : 0
R0 ( r ) A0r
0 ( ) A0 B0 Log tan 2 1 r
T (r , ) A0
A0
A 2 n 1
n
lr 2
lr 2
lr 1
lr 1
dr f r (r ) R0 ( r )
2
dr f
An
0
r r Cos n Log Sin n Log Ρ 1 Cos ( ) l r1 lr1 2 i n
r
(r )
n
n ( ) 2 nCos n Sin n
n
lr 2
R0 (r ) dr lr 2 lr1 2
l r 2 l r1
lr 2
dr f
n
et
2 n Cos n Log r Sin n Log r l l r1 r1
1 r
Rn (r )
l R0 (r ) 1 Log r 2 lr 1 Lim Log tan B0 0 et 0 ( ) 1 2
B0r C .L.Neumann B0r 0 r
lr 1
lr 2
r
( r ) Rn (r )
lr1
Rn (r )
2
2 dr f r (r ) Rn (r ) lr1
1 4 n
2
Normalisation de l'intégral e r e t lr 2
1
lr1
0
I n dr f r ( r ) Rn (r ) lr1 d e 1
S n d e
2
2
2 1 4 n 2
r t r lr1e lr1
t
f r ( )2 n Cos n Sin n
f r ( )2 nCos n Sin n
0
l S0 T (r , ) 2 r1 lr 2 lr1 r
2
Rn (r )
S0
lr 2
dr f
r
(r )
lr 1
Sn 2 1 4 n
n 1
Ρ Cos ( ) 1 i 2 nCos n Log r Sin n Log r 2 n l l Ρ r1 r1 1 i n Cos ( 0 ) 2
avec n
n
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-473
Supposons que la fonction limite est constante = Ts, il vient immédiatement S n =0 : 1
S n Ts d e
2
2 nCos n Sin n 0
0
n
n l Log r 2 l r1
lr 2
S 0 Ts dr Ts lr 2 lr1 lr 1
Sin n 0
puisque
et la solution se réduit bien à la valeur triviale T(r,θ)= Ts Avec une fonction limite de la forme :
n Cos n ( 1) n lr 2 Log lr1
et
1
S n Ts d 2 n Cos n Sin n 0
S 0 Ts
lr 2
lr 1 dr 2Ts lr1 r
lr 1
T (r , )
Ts r , il vient
lr1 f r ( ) Ts e 2 r
f r ( r ) Ts
n
f r (r )
2Ts lr1 l r 2 l r1
4Ts
lr 2 lr1
Sin n 0
Ts 1 Cos n S 2 n 0 n
S 2 n 1 Ts
2 (2n 1)
2 2 n 1Cos 2 n 1 Log r Sin 2 n 1 Log r Ρ 1 Cos ( ) lr1 lr 1 lr1 2 i 2 n1 2 1 4 2 n 1 (2n 1) Ρ 1 Cos ( 0 ) r n 0
i 2 n1 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-474
Exemple : soit le problème aux limites : T (r , ) 0 T (r , ) fini z Cos et 0 Cos 0 T ( r , ) r l 0 T ' ( r , ) r l 0 T ( r , z ) z f r ( r ) r1
r2
0
.
On écarte rapidement la partie de valeur propre 0 identiquement nulle, et d'après l'étude des fonctions propres la solution se développe en série ainsi : 1 r
T (r , )
A Sin n
n 1
n
r Log Ρ 1 Cos ( ) l r 1 2 i n
n
l Sin( n ) 2 n Cos ( n ) Log r 2 lr 1
tq
lr 2
Rn (r )
2
r 1 Sin n Log r l r1
Rn (r )
An
dr f r (r ) Rn (r )
lr 1
2
Rn (r ) Ρ
1 i n 2
Sin n Cos n 1 2 n
lr 2
1
lr1
0
I n dr f r ( r ) Rn ( r ) lr1 d e
2
Cos( 0 )
lr 2
2 dr f r (r ) Rn ( r ) lr 1
Sin n Cos n Ρ 1 Cos ( 0 ) 1 n 2 i n
Normalisation de l'intégrale 1
f r ( ) n lr1 S n S n d e
2
f r ( ) Sin n
0
r Sin n Log Ρ 1 Cos ( ) i n lr1 l r1 2 T (r , ) 2 Sn r n 1 Sin n Cos n Ρ 1 Cos ( 0 ) 1 2 i n n Supposons que la fonction limite est constante f r (r ) Ts , il vient : l Log r 2 l r1
T (r , )
n
1
f r ( ) Ts S n Ts d e 2 Sin n S n Ts 0
8Ts
l r1 r
n
1 4 n 1
2
n
4 n 1 4 n 2
r Sin n Log Ρ 1 Cos ( ) i n lr1 2 Sin n Cos n Ρ 1 Cos ( 0 ) 1 2 i n n
Sin( n ) 2 n Cos ( n )
tq
.
T f r (r ) s r , il vient : Supposons que la fonction limite soit de la forme : l f r ( r ) Ts r1 f r ( ) Ts e 2 n tq Sin( n ) 2 n Cos ( n ) r 1
S n Ts d Sin n Ts 0
1 Cos n n
T ( r , ) 2Ts
lr1 r
r Ρ 1 Cos ( ) l r 1 2 i n n Sin n Cos n Ρ 1 Cos( 0 )
1 Cos n Sin n Log
n 1
i n 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-475
Exemple : soit le problème aux limites sur une section conique-sphérique : T (r , ) 0 T (r , ) fini
z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1
T ' ( r , ) r l 0 T ' ( r , ) r l 0 T ( r , z ) z f1 ( r ) T ( r , z ) z f 2 ( r ) r1
r2
1
2
.
Qui se décompose en deux sous-problèmes : T (r , ) 0 T ( r , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 T ' ( r , ) r l 0 T ' ( r , ) r l 0 T ( r , z ) z 0 T ( r , z ) z f 2 ( r ) r1
r2
1
2
ainsi que : T (r , ) 0 T (r , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 T ' ( r , ) r l 0 T ' ( r , ) r l 0 T ( r , z ) z f1 ( r ) T ( r , z ) z 0 r1
r2
1
2
Le premier problème se résout par les calculs suivants sur la partie angulaire : 1 Cos Valeur propre radiale nulle 0 ( ) A0 B0 Log Tan C0 D0 Log 2 1 Cos 1 Cos 2 Sin 1 Cos Tan 0, , Sin 1 Cos 2 Tan Cos 1 1 Cos 2 Cos 1 2 1 1 Tan 2 1 1 2
1 2 Tan 1 1 2 2
Valeur propre radiale non nulle n ( z ) An Ρ
1 i n 2
T (r , z ) z 0 n ( z ) 1
Ρ
z
Ρ
1
1 i n 2
1 i n 2
Qˆ
z
Qˆ
1
1 i n 2
1 i n 2
z Bn Qˆ 1 i z 2
n
1 Cos Log 1 Cos 0 ( ) 1 1 1 Log 1 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-476
Ainsi que sur la partie radiale permettant de donner l'expression du premier problème : B0 C .L.Neumann B0 0 r
R0 ( r ) A0 Rn (r )
1 r
2
T (r , ) A0 0 ( )
1 r
lr 2
A0
1 Cos Log 1 Cos 0 ( ) 1 1 1 Log 1 1
A 2 n 1
n
n
2
lr1
lr 1
R0 (r ) 0 2 2
lr 1
lr 2 lr1 0 2 r et
lr 2
1
lr1
0
I n dr f 2 ( r ) Rn (r ) lr1 d e S n , 2 d e
2
( z)
z
Ρ
1
1 i n 2
1 i n 2
lr 2
dr f 2 (r )
Normalisation de l'intégrale
1 n
Ρ
Qˆ
z
Qˆ
1
1 i n 2
1 i n 2
r r Cos n Log Sin n Log n1 Cos ( ) lr 1 lr1
lr 2
dr f 2 (r )
1
lr 2
R0 (r ) dr lr 2 lr1
2 n Cos n Log r Sin n Log r n ( ) 2 n Cos n Sin n l l r1 r1
1 4 n Rn (r ) 2 2
l R0 ( r ) 1 Log r 2 lr 1
et
2
An
1 4 n 2 n 2
r t r lr1e lr 1
f 2 ( )2 n Cos n Sin n
S0,2
n
t
f 2 ( )2 n Cos n Sin n
0
n
1 2 Log 1 2 0 ( 2 ) 1 1 1 Log 1 1
2 dr f 2 ( r ) Rn ( r ) lr 1
lr 2
dr f
2
(r )
lr1
1 1 1 Cos Log S 0, 2 Log 1 Cos 1 1 T (r , ) 1 1 1 2 Log lr 2 lr1 Log 1 1 1 2 2
l r1 r
Sn,2
1 4 n 1
2
n
2 n Cos n Log r Sin n Log r n Cos ( ) l l r1 r1 n 2
avec n
n
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-477
L'expression du deuxième problème donne : 1 r
Rn (r )
2 n Cos n Log r Sin n Log r l l r1 r1
1 Cos Log 1 Cos 0 ( ) 1 1 2 Log 1 2 1
S n ,1 d e
2
2 n
( z)
Ρ
z
Ρ
2
1 i n 2
1 i n 2
n ( ) 2 n Cos n Sin n
Qˆ
z
Qˆ
2
1 i n 2
1 i n 2
f1 ( )2 n Cos n Sin n S 0,1
0
lr 2
dr f (r ) 1
lr 1
1 2 1 Cos Log S 0,1 Log 1 1 Cos 2 T (r , ) 1 2 1 1 Log lr 2 lr1 Log 1 2 1 1 S n ,1 l r r n Cos ( ) 2 r1 2 Cos Log Sin Log n 2 l n n r n 1 1 4 n r1 lr1 n 1
avec n
n
. Lorsque les deux fonctions limites sur les tranches de la section conique-sphérique creuse sont constantes, alors on a la nullité de tous les termes de valeur propres non nulle puisque : f1 ( ) T1 f 2 ( ) T2 1
S n ,1 T1 d e 0
1
Or
d e 0
2
2
2 nCos n Sin n
1
S n , 2 T2 d e
2
2 nCos n Sin n
0
2 2 nCos n Sin n 2e Sin n 0
Dans ce cas la solution devient triviale est s'écrit : 1 2 1 Cos Log Log 1 Cos 1 2 T ( r , ) T1 T2 1 2 1 1 Log Log 1 1 2 1
.
1 1 1 Cos Log Log 1 Cos 1 1 Log 1 1 Log 1 2 1 1 1 2 .
L'obtention de cette solution triviale qui ne dépend plus de r n'est pas un hasard, puisque les conditions aux limites inhomogènes choisies sont constantes et les conditions homogène de Neumann implique aucun gradient dans la direction radiale. Tout cela ne peut que conduire à une solution ne dépendant plus de r. Une telle configuration est totalement équivalente à la formulation d'une équation de Laplace dans l'unique coordonnées angulaire θ. Si l'on réintroduit un problème aux limites avec la coordonnée azimutale φ, c'est un moyen de simuler dans un domaine à trois dimensions, la répartition d'un solution ne dépendant que des angles θ et φ. C'est ce que nous allons aborder dans le point suivant :
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-478
Problème aux limites sur une section conique-sphérique creuse avec des conditions aux limites en dépendance azimutale Rappelons la séparation de l'équation de Laplace en coordonnées sphérique r,θ,φ : T ( r , , ) R (r )( ) ( ) cas général 2 R ' ( r ) 22 R ( r ) 0 r r 3 Cos ( ) ' ' ( ) ' ( ) 2 ( ) 0 Sin ( ) Sin 2 ( ) R' ' (r )
' ' ( ) 3 ( ) 0 si 2 ( 1) et 3 m 2
avec m entier ,
2 ( 1) R' (r ) R(r ) 0 r r2 Cos ( ) m2 ' ' ( ) ' ( ) ( 1) ( ) 0 Sin ( ) Sin 2 ( ) R' ' (r )
' ' ( ) m 2 ( ) 0 ( ) A Cos (m ) B Sin(m ) valeur propre nulle si 2 0, 3 0 R(r ) A B / r ( ) C D Log[
1 Cos ( ) ] 1 Cos ( )
( ) E F
Il s'agit de résoudre des problèmes aux limites dont les conditions aux limites sont homogènes radialement dans des configurations géométriques radialement creuses et dont les conditions aux limites inhomogènes présentent une dépendance azimutale d'angle φ : T (r , , ) 0 T (r , , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 1Tr' (r , , ) 1T (r , , )
r lr 1
2 Tr' (r , , ) 2T (r , , ) Tz' (r , z, ) ou T (r , z , ) Tz' (r , z, ) ou T (r , z , )
r lr 2 z 1 z 2
0 conditions mixtes licites avec coefficients constants 0 f1r (r , ) f 2 r (r , )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-479
Fonctions propres radiales Pour ce qui est des fonctions propres radiales, nous avons vu qu'elles avaient la forme suivante, sur laquelle on peut appliquer des conditions aux limites homogènes de Robin. r l 4 1 l l Log Log r 2 ( 1) r lr1e e 2 r 2 e 2 r1 lr1
R(t ) e
t 2
2
l r1
2
A Cos ( ) B Sin( )
Rr' (r )
R ' (t ) R ' ( ) r r
2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 2 lr1
1
R ' (0) T (r , , ) 1T (r , , ) 1 1 R (0) 0 r l r1 r lr 1
2
R ' (1) T (r , , ) 2T (r , , ) 2 2 R (1) 0 r lr 2 r l r 2
R(0)
1 1 2 A R (1) e A Cos ( ) B Sin( ) lr1 lr 1
R' (0) 1 A B 2 lr1
1
R' (1) 1 2 A B e Cos ( ) B Sin( ) A 2 2 lr1
R' (0) R ' (0) 1 R (0) 0 1 1lr1R (0) 0 l r1
21 B 2lr11 1 A B 2lr11 1 et R ( )
2
lr 2
C Cos( t ) D Sin( t )
1 R( ) e lr1 R' ( )
l r1
1 e l r1
2
21 Cos ( ) 2lr11 1 Sin( )
R' (1) R ' (1) 2 R(1) 0 2 2lr 2 R (1) 0 lr 2
A A 21 B 2lr11 2
2 Cos ( )4lr11 Sin( ) 41 2 2lr11 1 lr 2 2 41 Cos ( ) 22lr11 1 Sin( ) 0
4 Cos ( )lr1 2 1 lr 21 2 Sin( ) 41 2 4lr1lr 2 1 2 1 2 2lr1 2 1 2lr 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
0 1 2 1 Sin( ) 0 1 1 2 0 Sin( ) 0 0 1 2 1 2 Cos ( ) Sin( ) 0 1 2 1 2 Cos ( ) Sin( )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-480
D'où le résultat des fonctions propres radiales : R( )
1 e lr1
R( r )
1 r
2
21 n Cos ( n ) 2lr11 1 Sin( n )
21 n Cos n Log r 2lr11 1 Sin n Log r l l r1 r1
n tq 4 n Cos ( n )lr1 2 1 lr 21 2 Sin( n ) 41 2 n 4lr1lr 2 1 2 1 2 2lr1 2 1 2lr 21 2 . Les fonctions angulaires azimutales: 2
2 2 L'équation séparée peut revêtir deux formes : ' ' ( ) m ( ) 0 ou ' ' ( ) m ( ) 0 Compte tenu de la périodicité 2π exigé par la solution lorsque la configuration géométrique du domaine présente une révolution complète en angle ϕ, alors et seulement dans ce cas la première forme de l'équation est retenue et le paramètre m est entier. En conséquence les fonctions ont une forme très simple, ( ) A Cos ( m ) B Sin( m ) , et l'on peut classer les fonctions propres
par classe de symétrie par rapport aux conditions aux limites du problème aux limites: Propriétés de symétrie des conditions aux Symbole limites symétrie
de Fonctions propres utilisées dans le cas d'un disque complet en angle creux ou plein
f ( ) f ( ) et
f ( ) f ( )
Y+,X+
Cos (2m )
f ( ) f ( ) et
f ( ) f ( )
Y+,X-
Sin2m 1
f ( ) f ( ) et
f ( ) f ( )
Y-,X+
Cos 2m 1
f ( ) f ( ) et
f ( ) f ( )
Y-,X-
Sin(2m )
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-481
Les fonctions angulaires en θ: Les fonctions angulaires associées sont solutions de l'équation différentielle avec un paramètre m entier: Si 1 4 0 1 1 i 4 1 4 1 1 i En posant 2 2 2 2 Cos ( ) m ' ' ( ) ' ( ) ( 1) ( ) 0 2 Sin( ) Sin ( )
( ) A Ρ 1m
i 2
Cos ( ) B Ρ1mi Cos ( ) 2
ou bien ( ) A Ρ
m 1 i 2
Cos ( ) B Ρm1 i Cos ( ) 2
ou bien ( ) A Ρ
Cos ( ) B Qˆ 1m
ou bien ( ) A Ρ m1
Cos ( ) B Qˆ m1 i Cos( )
m 1 i 2 i 2
i 2
2
Cos( )
2
1 z Fonctions associées de Legendre de degré i i
Ρ 1m
Qˆ 1m
2
i 2
m
et d ' ordre m
z Deuxième solution linéairement indépendante
Aussi appelées fonctions coniques ou fonctions de Mehler
Sans oublier la solution de valeur propre nulle des équations séparées: Cos ( ) m2 ' ' ( ) ' ( ) ( ) 0 Sin( ) Sin 2 ( ) 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) B Sinh m Log 0 ( ) A Cosh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Si
1 Cos ( ) m 0 0 ( ) A B Log 1 Cos ( )
. Choisissons pour la suite de prendre pour fonctions coniques celles des ordres négatifs -m.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-482
On démontre que la valeur de la fonction associée de Legendre est bien réelle à l'aide de la propriétés de miroir suivantes : Ρ z Ρ z 1 1 i i ( 1) 2 2 Ρ z Ρ 1 z Ρ m x Ρ m x Ρ(m 1) z Ρ m z c.q. f .d
.
Dans la construction de la seconde solution, la fonction Ρ 1m x Ρ 1m x i i 2 est linéairement indépendante de 2 et également de valeur réelle. On rappelle que les fonctions associées de Legendre de première sont reliées par les formules de liaisons m m 1 P m ( z ) 1 Pm ( z ) m 1 1 m i P 1m ( z ) 1 i 2 2
1 i m 2 P m ( z) 1 i m 2
De même entre les fonctions associées de première et deuxième espèce : P ( z )
2 Cos Q ( z ) Q ( z ) Sin
Cos P ( z) P ( z) 2Sin 2 P ( z ) Cos Q ( z) Q ( z) Sin Q ( z ) Cos P ( z ) P ( z ) 2 Sin Lorsque τ=-1.2+i ν, et avec m entier il vient : 1 2 Cos i m Q 1m ( z ) Q 1m ( z ) P 1m ( z ) i i i 1 2 2 2 2 Sin i m 2 m 1 2 1 1m Cos i Q 1m ( z ) Q 1m ( z ) i i 1 2 2 2 Sin i 2 Q ( z )
m 1 1 1m Cos i P 1m ( z ) P 1m ( z ) i i 1 2 i 2 2 2 2Sin i 2 1 1 Cos i i Sinh( ) Sin i Cosh( ) 2 2
Q 1m ( z )
m 1 i 2
Q
m 1 i Sinh( ) 1m P 1m ( z ) P 1m ( z ) ( z) i i 2Cosh( ) 2 2
Q 1m ( z ) i 2
m m 1 P 1 ( z ) i 1m Sinh( ) P 1m ( z ) i 2 Cosh( ) 2 i 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-483
La fonction associée de Legendre de première espèce, à valeur réelle et on l'appelle communément également la fonction conique associée de première espèce ou fonction associée de Mehler. On voit que le calcul de la fonction associée de Legendre de deuxième espèce donne un résultat imaginaire. Il faut alors choisir une valeur réelle pour une fonction de deuxième espèce. Certains ont choisit cette dernière fonction, en prenant comme valeur à définir sa partie réelle, comme fonction conique de deuxième espèce : m ( z ) Re 1 Q 1m ( z ) P 1m ( z ) i i i 2 Cosh ( ) 2 2 2 Sinh( ) m Im Q 1m ( z ) P 1 ( z) i 2 Cosh ( ) 2 i 2 En effet, on ne peut prendre la partie imaginaire car cette Qˆ 1m
dernière n'est pas linéairement indépendante de la fonction conique de première espèce. Au passage il est évident que la partie réelle d'une fonction à valeur imaginaire, tout comme sa partie imaginaire respecte également l'équation différentielle à partir du moment où tous les autres éléments de l'équation différentielle sont à valeur purement réelle. L'association entre fonctions radiales et angulaires est donc la suivante : n valeurs définies par les conditions aux limites homogènes radiales 1 (r ) r r n
n , m ( ) An Ρ 1m Cos ( ) Bn Qˆ 1m Cos ( ) r r r i n i n r An Cos n Log Bn Sin n Log 2 2 l l r 1 r 1 m ( ) Am Cos (m ) Bm Sin (m )
Toute solution du problème aux limites présente le développement en série suivant : A0 B0 Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( )
r B0r T (r , ) A0 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) r Am Cosh m Log Bm Sinh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) m 1 A Cos ( m ) B Sin (m ) m m
1 r An Cos n Log r Bnr Sin n Log r l l r r1 r1 An Ρ 1m Cos ( ) Bn Qˆ 1m Cos ( ) i n i n n 1 m 0 2 2 An Cos ( m ) Bn Sin (m )
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-484
Exemple: nous allons prendre volontairement des conditions aux limites radiales homogènes de Neumann, afin d'illustrer le passage à une configuration de coque sphérique : T (r , , ) 0 T (r , , ) fini z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1 Tr' ( r , , )
r lr 1
0 Tr' (r , , )
r lr 2
0
T (r , z , ) z T1r f1r ( ) T ( r , z , ) z T2 r f 2 r ( )
. Le calcul des coefficients radiales met en oeuvre une double intégration sur la variable radiale et la variable azimutale. Si les conditions aux limites ne présente aucune dépendance radiale, il est clair que lors du calcul l'intégrale : 1
1
d e 0
2
2
2 2 nCos n Sin n 2e Sin n 0
Tous les coefficients à indice n non nul s'annule. La partie radiale en valeur propre nulle, compte tenu des deux conditions aux limites homogènes est une constante. Cela confirme donc que la solution ne dépend pas de r. Il ne reste du développement que les termes uniquement angulaires : 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) A Cosh m Log B Sinh m Log 1 Cos ( ) m m 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) T (r , ) A0 B0 Log 1 Cos ( ) m 1 A Cos ( m ) B Sin (m ) m m
Autrement dit il s'agit également de la résolution d'un problème sur une coque sphérique de la forme : 2T ( , ) Cos ( ) T ( , ) 1 2T ( , ) 0 T ( , ) fini 2 Sin( ) Sin( ) 2
z Cos et 1 Cos 2 et 2 Cos 1
T ( z , ) z T1 f1 ( ) T ( z , ) z T2 f 2 ( ) 1
2
Problème que l'on résout comme d'habitude en deux sous-problèmes : 2T ( , ) Cos ( ) T ( , ) 2T ( , ) Cos ( ) T ( , ) 1 2T ( , ) 1 2T ( , ) 0 0 2 2 2 Sin( ) Sin( ) Sin ( ) Sin ( ) 2 T ( , ) fini z Cos T ( , ) fini z Cos 1 Cos 2 et 2 Cos 1 1 Cos 2 et 2 Cos 1 T ( z , ) z 0 T ( z , ) z T2 f 2 ( ) T ( z , ) z T1 f1 ( ) T ( z , ) z 0 1
2
1
2
La forme des fonctions angulaires en θ est la suivante : 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Log Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 2 2 1 1 0 ( 1 ) 0 0 ( ) 1 0 ( 2 ) 0 0 ( ) 1 1 1 1 2 Log Log 1 1 1 2 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Sinh m Log Cosh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 2 2 m ( 1 ) 0 m ( ) 1 1 1 1 Cosh m Log Sinh m Log 1 1 1 1 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Cosh m Log Sinh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 1 1 m ( 2 ) 0 m ( ) 1 2 1 2 Cosh m Log Sinh m Log 1 1 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-485
Avec les conditions aux limites angulaires et en les décomposant par symétrie : f 2 ( ) f 2,Y , X ( ) f 2,Y , X ( ) f 2,Y , X ( ) f 2,Y , X ( ), sachant que f 2 ( ) f 2 (2 ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2,Y , X ( ) 2 4 4 f 2 ( ) f 2 r ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2 ( ) f 2,Y , X ( ) f 2,Y , X ( ) 4 4 f1 ( ) f1,Y , X ( ) f1,Y , X ( ) f1,Y , X ( ) f1,Y , X ( ), sachant que f1 ( ) f1 (2 ) f 2,Y , X ( )
f1 ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1 ( ) f ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1,Y , X ( ) 1 4 4 f ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1 ( ) f ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1 ( ) f1,Y , X ( ) 1 f1,Y , X ( ) 1 4 4 Et les fonctions angulaires : 1 2 1 1 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Log Log Log 1 2 1 1 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 2 1 2 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( 2 ) 1 1 1 2 1 1 Log Log Log 1 1 1 2 1 1 f1,Y , X ( )
1 1 1 2 Log 1 1 1 2 1 0 ( 1 ) 1 2 Log 1 2
1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Cosh m Log Sinh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 2 m ( ) 1 1 1 1 Cosh m Log Sinh m Log 1 1 1 1
1 1 1 2 Sinh m Log 1 1 1 2 2 m (2 ) 2 1 1 Sinh 2m Log 1 1 1 1 1 2 Sinh m Log 1 1 1 2 1 m ( 1 ) 2 1 2 Sinh 2m Log 1 2
.
1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Sinh m Log Cosh m Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 1 m ( ) 1 2 1 2 Cosh m Log Sinh m Log 1 2 1 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-486
On peut présenter le résultat comme la somme de 8 séries, sans omettre la solution de valeur propre nulle :
2 0 ,Y , X
A
d f 2,Y , X ( ) 0
2 2 m ,Y , X
A
d f 2,Y , X ( )Cos (2m ) 0
A22m 1,Y , X dz f 2,Y , X ( ) Sin2m 1 0
A01,Y , X d f1,Y , X ( ) 0
0
A
d f 2,Y , X ( ) Sin (2m ) 0
A22m 1,Y , X d f 2,Y , X ( )Cos 2m 1 0
A21m ,Y , X d f1,Y , X ( )Cos (2m ) 0
A21m 1,Y , X dz f1,Y , X ( ) Sin2m 1
2 2 m ,Y , X
A21m ,Y , X d f1,Y , X ( ) Sin(2m ) 0
A21m 1,Y , X d f1,Y , X ( )Cos 2m 1 0
1 1 1 Cos ( ) Log Log 2 A0 ,Y , X 1 1 1 Cos ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 Log Log 1 1 1 1 2 1 2 2 22 m ( ) 22 m 1 ( ) 2 T (r , ) T2 A2 m ,Y , X 2 Cos (2m ) A2 m 1,Y , X 2 Sin2m 1 2 m ( 2 ) 2 m 1 ( 2 ) m 0 m 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 m 1 Cos 2m 1 Am2 ,Y , X 22 m Sin2m A2 m 1,Y , X 2 2 m 1 ( 2 ) 2m (2 ) m 1 m 0 1 2 1 Cos ( ) Log Log 1 A0,Y , X 1 2 1 Cos ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 Log Log 1 1 1 2 1 2 1 2 1 12 m ( ) ( ) T1 A2 m ,Y , X 1 Cos (2m ) A21m 1,Y , X 12 m 1 Sin2m 1 2 m ( 1 ) 2 m 1 ( 1 ) m 0 m 1 1 1 2 m 1 ( ) ( ) 1 Cos 2m 1 A21m ,Y , X 12 m Sin2m A2 m 1,Y , X 1 2 m 1 ( 1 ) 2 m ( 1 ) m 1 m 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-487
Lorsque les fonctions limites sont constantes, seuls les composants Y+X+ sont retenues et la solution devient triviale avec le seul terme de valeur propre nulle : f 2 ( ) 1 A02,Y , X f1 ( ) 1 A01,Y , X 1 1 1 2 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Log Log Log Log 1 1 1 2 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) T (r , ) T2 1 T1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Log Log Log Log 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2
T (r , )
T1 T2 Log 1 Cos ( ) T2 Log 1 1 T1 Log 1 2 1 Cos ( ) 1 1 Log 1 1 Log 1 2 1 1 1 2
1 2
C 'est la solution de répartition de la température sur une coque sphérique d'angle d'ouverture θ1 et θ2, où sur θ1 la température est à T2 (μ2=Cos(θ1)) et sur θ2, la température est à T1 (μ1=Cos(θ2)). Prenons une condition limite azimutale de symétrie Y+,X+ sur la frontière θ1 et une condition limite azimutale de symétrie Y+,X- sur la frontière θ2 de la forme : f1 ( ) 1 A01,Y , X 1 0 f 2 ( ) f 2 ( ) symétrie Y , X 1 0
Il vient :
A01,Y , X d
A21m ,Y , X 0 m 0
0
A22m 1,Y , X dz Sin2m 1 0
2 2m 1
1 Cos ( ) 1 Cos ( ) Sinh 2m 1 Log Cosh 2m 1 Log 1 Cos ( ) 1 Cos ( ) 2 2 m 1 ( ) 1 1 1 1 Cosh 2m 1 Log Sinh 2m 1 Log 1 1 1 1 1 1 1 2 Sinh 2m 1 Log 1 1 1 2 2 2 m 1 ( 2 ) 2 1 1 Sinh 22m 1 Log 1 1 T (r , )
4 T2 m 0
1 2 1 Cos ( ) Log Log 1 2 1 Cos ( ) ( ) Sin2m 1 T1 1 ( 2 ) 2m 1 1 2 1 1 1 2 Log Log 1 2 1 1 1 2 .
2 2 m 1 2 2 m 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-488
Représentation intégrale de la solution du problème intérieur de Dirichlet inhomogène sur la surface d'une section conique-sphérique à trois dimensions Bien que les fonctions radiales d'une section conique-sphérique ne soient pas apte à représenter une solution sous la forme de série sur un cône plein, du fait de sa rapide oscillation autour de l'origine. N Lebedev dans son ouvrage « SPECIAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS, Prentice Hall 1965 » les utilisent pour exprimer sous forme intégrale la solution du problème de Dirichlet suivant : T (r , ) 0 z Cos et 0 Cos 0 (r , ) 0, 0, 0 T (r , ) f r (r ) 0
Condition Limr T ( r , ) 0 Limr f r ( r ) 0
Comme nous l'avons vu les fonctions suivantes sont solutions de l'équation de Laplace :
1 Ar Cos Log r Br Sin Log r r ( ) A Ρ 1 Cos ( ) B Qˆ 1 Cos ( ) r (r )
i 2
i 2
La condition de finitude en θ=0, implique que cette solution se développe sous la forme :
1 Ar Cos Log r Br Sin Log r Ρ 1 Cos ( ) i r 2
T (r , )
Supposons maintenant, comme le fait N.Lebedev, que la fonction limite sur la surface du cône admette un développement en intégrale de Fourier généralisée, soit : Posons Log (r ) d
dr r
r f r (r )
d F Cos F Sin c
s
0
Fc Fs
1
1
d
r f r (r )Cos
d
r f r (r ) Sin
1 1
f r (r ) Cos Log (r ) r
dr 0
f r (r ) Sin Log (r ) r .
dr 0
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-489
Le respect de la condition aux limites de Dirichlet conduit à la solution suivante : T (r , )
T (r , )
1 r
1 Ar Cos Log r Br Sin Log r Ρ 1 Cos ( ) i r 2 Développement intégrale sur le paramètre τ
d A Cos Log r B Sin Log r Ρ r
r
1 i 2
0
Cos ( )
Comme T (r , ) f r (r ) 0
1 r
r r d A Cos Log r B Sin Log r Ρ 0
Ar
Fc Cos ( 0 )
Ρ
1 i 2
1 T (r , ) r
Br
Ρ
Fs Cos ( 0 )
Cos ( 0 ) 1 i 2
1 r
1 i 2
Ρ
d F Cos Log r F Sin Log r Ρ c
s
1 i 2
1 i 2
0
d F Cos F Sin c
s
0
Cos ( ) Cos ( 0 )
avec Fc Fs
1
1
f r (r ) Cos Log (r ) r
dr 0
f r (r ) Sin Log (r ) r
dr 0
Dans la littérature, il y a une condition pour que le développement de Fourier existe sur la fonction limite f(r) (voir E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, second edition, Oxford University Press, London (1950), Théoreme 3, p. 13): f r (r ) continue f r (r ) bornée sur tout interval [r1, r 2]
dr 0
f r (r ) r
est finie
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-490
L'exemple que donne Lebedev est un problème d'électrostatique : on doit trouver le potentiel électrostatique à l'intérieur d'un cône conducteur gardé au potentiel 0, si l'on place à une distance a de son sommet une charge q. La solution se développe comme suit par décomposition du potentiel en deux fonctions. Nous verrons par la suite que le problème à résoudre est en fait une équation de Poisson (celle dont le terme source représente la charge placée dans l'axe du cône), dont on connaît une solution particulière ( le potentiel d'une charge libre dans tout l'espace) qui certes ne répond pas aux conditions aux limites imposées, mais qui ajoutée à la solution de l'équation de Laplace aux conditions aux limites de valeurs opposées sur la surface conique donne bien la solution du problème aux limites de Poisson. Pour cela il vient donc le problème aux limites de Laplace suivant : q q T (r , ) U (r , ) T (r , ) 0 U (r , ) 0 0 r 2 a 2 2a r Cos r 2 a 2 2a r Cos 0
Ρ 1 Cos ( ) i 1 U (r , ) d Fc Cos Log r Fs Sin Log r 2 Ρ 1 Cos ( 0 ) r 0 i 2
q Cos Log ( r ) q dr Cos Log ( r ) avec Fc dr 2 2 0 r r a 2a r Cos 0 a 0 r r a 2Cos 0 a r a Log ( a ) r r Log (r ) Log (a ) Log e Log ( a ) et e r a a
r a Log ( a ) Log ( a ) q Cos e e 2 Cosh Log (a) Fc d a r a 2 Cosh Log (a) 2Cos 0
s Log (a) Fc Fc
q
ds a
q
ds a
Cos s Log (a) 2 Coshs 2Cos 0
Cos s Cos Log (a) Sin s Sin Log (a) 2 Coshs 2Cos 0
Sin s Or ds 0 Sin s impair et 2 Coshs 2Cos 0
Fc
Or
ds 0
Fc .
2qCos Log (a) 0 ds 2 a
Cos s Cos s ds 2 Coshs 2Cos0 2 0 ds 2 Coshs 2Cos0
Cos s 2qCos Log (a) 0 ds Coshs Cos 0 a
Cos s Coshs Cos 0
Cos s Ρ 1 Cos ( 0 ) Coshs Cos 0 Cosh 2 2 i 2qCos Log (a) qCos Log (a) Ρ 1 Cos ( 0 ) Ρ 1 Cos ( 0 ) a 2Cosh 2 i aCosh 2 i
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-491
De même : Sin Log (r ) q dr 0 r r 2 a 2 2a r Cos Fs 2 a 0 qSin Log (a ) Fs Ρ 1 Cos ( 0 ) aCosh 2 i Fs
q
Sin s Log (a ) Coshs Cos 0
ds
.
La solution du problème est alors donnée par l'intégrale : q U ( r , ) a r
q U ( r , ) a r
0
0
Ρ 1 Cos ( ) Cos Log (a) Cos Log r 2 i d Ρ 1 Cos ( 0 ) Cosh 2 i Sin Log ( a) Sin Log r Ρ 1 Cos ( 0 ) d r Cos Log Cosh a
Ρ
1 i 2
i 2
Cos( ) Ρ 1 i Cos( 0 ) 2
Cos( 0 ) 1 i
Ρ
2
T ( r , )
q a r
1 r a 2 Cos a r
Intégrale majorée par
r
1 i 2
Cos( ) Ρ 1 i Cos( 0 ) 2
Cos( 0 ) 1 i
Ρ
0
2
d
Cosh Ρ
1 i 2
0
d
Cosh Cos Log a
Ρ
Cos ( 0 )
1 2Sin 0 2
voir plus bas
.
Intégrales et représentations intégrales des fonctions coniques de Mehler d'ordre 0 Les deux représentations intégrales des fonctions associées de Legendre de première espèce sont valables l'une pour pour x> 1 et l'autre pour x€[-1,+1] (voir « W.Magnus, F.Oberhettinger, R.P.Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics » page 185 pou x>1 et 188 pour x€[-1,1]) :
Ρ
x
Ρ x
1 1 1 x 2 2 Cosh t 2 2 2 dt 1 0 x Cosht 12
Re 0 1,2, Re 1 0
x 1,1
1 1 x 2 1 2 Cosh t 2 2 2 dt 1 0 x Cosht 12
Re 0 1,2, Re 1 0
x 1
1 i 2
0 Re 0 Ρ 0 1
i 2
x
2
1 1 i i 1 Sin 2 2 Ρ01
2
x i
2 Cos t Cosh dt 1 0 x Cosht 2
1 Coshi t 2 dt 1 1 1 i i 0 x Cosht 2 2 2
1 Sin i 2
valable pour
Cos i Cosh
x 1,1 et
x 1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-492
On en tire celles pour la fonction de Mehler d'ordre zéro dans les deux intervalles considérés. Ρ
Cosh 2Cosh d
Ρ
Cos 2Cosh d
Cos 2Cosh 2Cosh
1 i 2
0
Cos 2Cos 2Cosh
1 i 2
. Appliquons ces deux représentations intégrales à des expressions déduites par l'application de la transformée de Fourier et de son inverse : 1 2 Cos d Cos x d 2Cosh 2Cosh x 2Cosh 2Cosh 0 0
0
1 2Cosh 2Cosh x
0
d Cos x Ρ 1 Cosh Cosh 2 i
1
x i
2Cosh 2Cos
0
x i
1 2Cosh 2Cos
1 2 2Cos 2Cosh x
0
d Cosh Ρ 1 Cosh Cosh 2 i
0
0
1 2Cos 2Cosh x
d Cos x d
0
Cos 2Cos 2Cosh
d Cos x Ρ 1 Cos Cosh 2 i
1 2Cos 2Cos
x i x i
d Cosh Ρ 1 Cosh i Cosh 2
1 2Cos 2Cos
0
0
d Cosh Ρ 1 Cos i Cosh 2
d Cosh Ρ 1 Cos Cosh 2 i
En posant soit x=0, soit β=π, 1 d Ρ Cos 12 i Cosh 2Cos 2 0 d Ρ 1 Cos d Ρ 1 Cos 0 i i Cos 1 1 2 2 2 Cos 2 Cosh Cosh 0 2 0 0
0
d Ρ
1 i 2
2Cos 2 Cos 0
Cosh
1 1 0 2Cos 2Sin 0 2 2
L'intégrale majorante se déduit de la formule précédente.
1 2Cos 0 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-493
Il reste également à donner ces représentations intégrales : Ρ Cosh
2 1 Cotan d 1 2 2Cosh 2Cosh 2
1 Re 0
Ρ Cos
1 Cos 2
2 d 1 0 2Cos 2Cos 2
1 2 Cosh i Ρ 1 Cos d 1 i 2 0 2 2Cos 2Cos 2
Egalement
Q Cosh
d
pour
1 1 2 Sin i Re Ρ 1 Cosh Cotanh dt 1 i 2 2 2 2Cosh 2Cosh 2
De même
1 Sinh 2
e
1 2 1
2Cosh 2Cosh 2
1 1 i Re Q 1 Cosh i 2 2 2
pour
d
1 Re e i 1
2Cosh 2Cosh 2
Autres représentations intégrales des fonctions coniques de Mehler d'ordre supérieur Toujours en utilisant les deux représentations intégrales des fonctions associées de Legendre de première espèce sont valables l'une pour pour x> 1 et l'autre pour x€[-1,+1], (voir « W.Magnus, F.Oberhettinger, R.P.Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics » page 185 pou x>1 et 188 pour x€[-1,1]) : Ρ x
Ρ
x
1 1 1 x 2 2 Cosh t 2 2 2 dt 1 0 x Cosht 12
Re 0 1,2, Re 1 0
x 1,1
1 1 x 2 1 2 Cosh t 2 2 2 dt 1 0 x Cosht 12
Re 0 1,2, Re 1 0
x 1
1 i Re 0 2 1 x 2 1 2 2 Cos t 2 Ρ 1 x dt 1 i 1 1 2 i i 0 x Cosht 2 2 2 1 1 x 2 2 2 Cos t 2 Ρ 1 x dt 1 i 1 1 2 i i 0 x Cosht 2 2 2
Re
1 2
x 1
Re
1 2
x 1,1
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-494
On en tire celles pour la fonction de Mehler d'ordre supérieur dans les deux intervalles considérés. Ρ 1
2
Ρ 1
2
1 Sinh Cos 2 d 1 1 1 Cosh Cosh 2 i i 0 2 2
2
Cosh i
2
Cos i
1 Sin Cos 2 d 1 1 1 Cos Cosh 2 i i 0 2 2
1 Re 0 2
1 Re 0 2
x 1,1
Appliquons ces deux représentations intégrales à des expressions déduites par l'application de la transformée de Fourier et de son inverse : 1 2 Cos d Cos x d 1 1 0 Cosh Coshx 2 0 Cosh Cosh 2
1
Cosh Coshx
1 2
x i 1 1 2
Cosh Cos
1 2 Sinh 2
1 2 Sinh 2
1 2 Sinh 2
1
1
d 2 i 2 i Cos x Ρ
1 i 2
0
1
1
1
1
Cosh
d 2 i 2 i Cosh Ρ
1 i 2
0
Cosh
x i 1 1 2
Cosh Cos 1
1 2
Cos Cosh x
1 1
Cos Coshx 2
x i 1 1 2
Cos Cos
2
0
d 2 i 2 i Cosh Ρ 0
Cos
0
Cos Cosh 2
d Cos x d
1 i 2
Cosh
1
1 1 d i i Cos x Ρ 1 Cos i 1 2 2 2 2 Sin 0 2
1 2 Sin 2
1 2 Sin 2
1
1
1
1
d 2 i 2 i Cosh Ρ
1 i 2
0
Cos
x i 1 1 2
Cos Cos
d 2 i 2 i Cosh Ρ 0
1 i 2
Cos
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-495
On a également ces représentations intégrales dîtes formules de Mehler-Dirichlet (voir A.Erdelyi, H Bateman, Higher transcendantal functions, volume 1 » page 155 et 156, aussi « W.Magnus, F.Oberhettinger, R.P.Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics » page 186) : 1 Cos 2
2 Sin 1 d Re 1 1 2 Cos Cos 2 0 2 1 Cosh 2 2 Sinh 1 Ρ Cosh d Re 1 1 2 Cosh Cosh 2 0 2 2 Sin Cosh 1 d Re Ρ 1 i Cos 1 1 2 2 Cos Cos 2 0 2 1 i 2 Cos 1 Ρ Cosh 2 Sinh d Re 1 1 i 1 2 Cosh Cos 2 0 2 2
Ρ Cos
De même Ρ Cosh 2 1 Re 2 Re 0
avec
Sinh
1 Cos 1 2
1 Sinh 2
Cosh Cosh 2
si
d
1
1 i 2
2 Sinh Sin d 1 1 1 1 2 Cosh Cosh 2 Sinh i i 2 2 2 1 1 1 1 pour Re Comme i i 2 2 2 2 Cosh
Ρ 1
Si
0 Ρ
1 i 2
Ρ
Cosh i
1 i 2
Cosh
Cosh
2
d
1 1 Sinh i i 2 2
Sin
1
Cosh Cosh 2
2Cosh Sin 2 Sin d Cotanh d 1 1 Sinh Cosh Cosh 2 2Cosh 2Cosh 2
1 2
i Sinh e e d pour 1 1 2 Cosh Cosh 2 2 1 i Sinh e i i Q 1 Cosh e d 1 i 2 2 1 2 Cosh Cosh 2 2 Egalement
Q Cosh
1 Re 2 Re 1 0 pour
1 1 Re 2 2
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-496
Exemples divers de représentations intégrales Revenons à notre exemple électrostatique en cours. Remarque sur le respect de la condition sur les fonctions limites : on a vu qu'il peut exister un développement intégral de la solution du problème aux limites si la condition suivante, est respectée : f r (r ) continue f r (r ) bornée sur tout interval [ r1, r 2]
dr
f r (r )
est finie
r
0
f r (r )
q
f r (r )
r a 2a r Cos 0 2
2
1 r a 2a r Cos 0 2
2
Nous aurions pu par exemple vérifier que ces propriétés étaient bien respectées dans le problème électrostatique ou de source de chaleur ponctuelle. La fonction limite de la forme suivante respecte par évidence bien les deux premières conditions, il reste à démontrer la finitude de l'intégrale. Et le problème réside essentiellement sur les limites respectives de l'intégration. Il suffit de prouver la finitude de l'intégration d'un coté sur une borne suffisamment grande et de l'autre une borne suffisamment petite pour trouver des encadrements finis.
dr
f r (r ) r
0
dr
c
f r (r ) r
b
dr
et
f r (r )
0
r
c suffisamment petit c a b suffisament grand b a
Pour l'intégrale sur l'intervalle supérieur, il vient :
dr
f r (r ) r
b
dr b
1 r
1 r a 2a r Cos 0 2
2
b a r a 0
0 [0, ] r a r 2 a 2 2a r Cos 0 r a
dr b
1 r
1 r a 2a r Cos 0 2
2
dr b
1 1 r (r a )
dr b
1 (r a ) 3 / 2
dr
r
b'
3/ 2
fini
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-497
Pour l'intégrale inférieure, il vient : c
dr
f r (r ) r
0
c
1 r
dr 0
1 r a 2a r Cos 0 2
2
c a r a 0 et 0 [0, ] a r r 2 a 2 2a r Cos 0 a r c
c
1 1 1 0 dr r a r 0 dr r
dr 0
r a 2a r Cos 0 2
2
r x dr 2 xdx 2 r dx 2
Posons c
c
1
c'
1 1 dx 2 2 2 (a x ) r ar a 0 x'
Posons
dr 0
1 1 r ar
x' x / a
c ''
dx ' 2 0 (1 x'2 ) a
c ''
dx' 2 1)
( x' 0
Cosh (u ) Sinh (u ) Cosh(u ) du x'2 1 dx' 2 Sinh(u ) Sinh (u ) 2
2
c ''
c ''' c f r (r ) dx ' du Arcosh ( c ' ' ' ) Arcosh ( 0 ) 0 ( x'2 1) 0 0 dr r
L'intégrale
dr
fini
f r (r ) r
0
a donc une valeur finie.
Remarque sur le cas θ0=π/2 : si l'angle d'ouverture du cône est droit, alors le cône forme un plan de séparation et le problème d'électrostatique est un problème bien connu de charges induites par une charge ponctuelle placée au dessus du plan, que l'on peut par exemple résoudre par la méthode des images électriques, et dont la solution est le potentiel d'un dipôle, dont la charge opposée est placée symétriquement au plan. Dans ce cas on sait donc que le potentiel a la valeur suivante : q q T (r , ) r 2 a 2 2a r Cos r 2 a 2 2a r Cos . Revenons à la solution intégrale et calculons sa valeur lorsque θ 0=π/2, il vient : Ρ
1 i 2
0 Cos ( 0 ) 0 2 T (r , )
Ρ
Cos ( 0 )
1 i 2
Cos( 0 )
q r a 2a r Cos 2
2
q a r
1
d
r
Cosh Cos Log a Ρ
1 i 2
0
Cos( )
Il faut donc prouver que : 0 Cos ( 0 ) 0 2
1 a r
d
r
Cosh Cos Log a Ρ 0
1 i 2
Cos ( )
1 r a 2a r Cos 2
2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-498
D'après la formule, il vient avec le changement de variable ci-dessous : 1 d Cos x Ρ 1 Cosh 2Cosh 2Cosh x 0 Cosh 2 i 1 2Cosh x 2Cos
i 1
r a 2a r Cos 2
2
1 a r
0
d Cos x Ρ 1 Cos Cosh 2 i 1
r a 2 Cos a r
r a r x Log 2Cosh ( x ) a r a
Posons
1 r a 2Cos a r
r d Cos Log 1 a Ρ 1 Cos i Cosh a r 0 2
r d Cos Log a Ρ 1 Cos i Cosh 2 0
1 r a a r 2Cos a r
1 r 2 a 2 2a r Cos
On retrouve un résultat identique à celui déduit de la méthode des images, c'est donc un bon indice que la formule de Lebedev est juste. Prenons un autre exemple, où la fonction limite est produite cette fois-çi par le potentiel d'un fil de longueur infini uniformément chargé, placé le long de l'axe du cône. Le potentiel étant proportionnel à Log(d) où d est la distance d'un point du cône au fil, il vient une fonction limite de la forme : f r (r ) Log (rSin ) f r (r ) Log (r ) Log ( Sin ) Partie f r (r ) Log (r )
dr
f r (r ) r
0
dr
Log (r ) r
0
1
dr 0
Log (r ) r
e1
Log (r ) Log (r ) dr dr r r 1 e1 fini
dr
Log (r )
e1
1
Et dr 0
r
1
Log (r ) r
dr r 1
1
1 dr Log (r 2 ) dr Log (r ) [r rLog (r )]10 1 fini 2 0 0
Mais qui ne répond pas aux critères pour développer une solution intégrale.
c.q. f .d
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-499
Prenons un autre exemple, où la fonction limite est constante sur un support bornée et nulle ailleurs : 1 si r 0, r0 f r (r ) T0 0 si r ]a,)
f r (r )
dr
r
0
r0
T0 0
dr 2T0 r0 r
finie
Plus généralement toute fonction limite à support bornée [0,a] et également bornée sur cette intervalle convient pour développer une solution intégrale, puisque.
f r (r )
f r (r ) C dr
r
r0
dr 2C r0 r
C
finie
. Prenons maintenant des conditions aux limites de la forme : 0
0
r sur [0, r0 ] f r (r ) T0 0 sur [r0 ,]
0
La condition s'écrit : r0
T0 dr r
1 / 2
0
1 / 2
r 0 1/ 2
finie si 1 / 2
On peut donc calculer la représentation intégrale : 1 T (r , ) r
d F Cos Log r F Sin Log r Ρ c
s
T 0 F 0 dr r 1/ 2Cos Log (r ) 0
r0
c
C dr r
1 / 2
Cos Log (r )
r
T 0 F 0 dr r 1/ 2 Sin Log (r ) 0
1 / 2 Cos d e
0
0
0
S dr r 1/ 2 Sin Log (r )
1/ 2 Sin d e
e 1/ 2 0 1 / 2 Cos 0 Sin 0 2 1 / 22
F Cos Log r F Sin Log r T r 0 0
e 1/ 2 0 1 / 2 Sin 0 Cos 0 2 2 1 / 2
1 / 2
s
Cos ( 0 )
c
0
r0
c
1 i 2
1 i 2
0
r
avec
Cos( )
Ρ
1 / 2 Cos Log r Sin Log r r r 0 0 2 2 1 / 2
Il vient la solution sous forme de la représentation intégrale suivante : T (r , )
T0 r0
1 / 2 Cos Log r Sin Log r Ρ Cos( ) 1 r0 r0 r0 2 i d r 0 Ρ 1 Cos ( 0 ) 2 1 / 22
i 2
Lorsque β=0, soit des conditions aux limites constantes et à support borné, il vient : T (r , )
2T0
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r0 0 0 2 d 2 r 0 4 1 Ρ 1 Cos( 0 ) i 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-500
Représentation intégrale pour le cas β=0 et θ0=π/2
T ( r , ) 2r0 T0
0
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r Ρ Cos ( ) 1 r0 r0 r0 2 i d 2 r 0 Ρ 1 0 4 2 2 1
T (r , ) 2 T0
i 2
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r0 0 0 2 d 2 r 0 4 1 Ρ 1 0
i 2
Sur l'axe z, soit θ=0, il vient : 0 ; Ρ
1 i 2
0
Ρ
1 i 2
1 1 T (r ,0) 2r0
T (r ,0) 2 T0
0
T ( r ,0) 2 r0 T0
0
i 2
Cos Log r 2 Sin Log r r0 r0 r0 d r 0 4 2 1 Ρ 1 0
3 i 3 i 4 2 4 2
3 i A iB 4 2
T0
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r r0 r0 r0 d 2 r 0 4 2 2 1 Ρ 1 0
i 2
3 i A Re 4 2
3 i B Im 4 2
3 i A iB Ρ 1 0 2 i A B2 4 2 2 2 1 Cos Log r r r0 0 d r 0
T (r ,0) 2 T0
r 2 Sin Log r0 2 2 4 2 1
Cos Log r 2 Sin Log r r r0 r0 0 d 2 r 0 4 1
3 i 3 i 4 2 4 2
3 i 4 2
3 i 4 2
Voici les profils représentés graphiquement, suivant les diverses valeurs du paramètre β :
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-501
Lien avec d'autres formules, solutions du même problème Pour un cône sphérique fini d'angle ouvert dont la condition limite radiale est homogène et constante sur la surface latérale du cône : T (r , ) 0 T (r , ) r r 0 T ( r , ) T0 0
0
T (r , ) fini
n r 2n 1 T (r , ) T0 1 Ρn Cos Ρ n 0 r0 n 0, n n 1 n
n
tq Ρn 0 0
0 Cos 0
Ce n'est pas exactement ce résultat qu'il nous faut utiliser, mais celui sur le cône sphérique non bornée, dont nous avons également calculer la solution par un développement en série avec ce même type de fonction limite constante. Dans ce cas la solution est la suivante : n tq Ρ 0 0 0 Cos 0 n
n T (r , ) 0 r 1 Ρn Cos 0 r r0 T0 1 r , 0 r ,0 Ρ 0 0 n 0, n r0 n n T0 0 r r0 T ( r , ) T (r , ) 0 0 r r n 1 1 0 r0 T Ρn Cos r0 r 0 Ρn 0 r n 0 , Limr T (r , ) 0 n 1 n
Dans ce cas le profil de solution sur l'axe z était particulièrement simple : T (r , ) x r T0
1
1 x2
x
r0 .
Autant dire qu'il faudrait démontrer que : 2 1 x
d 0
Cos
3 i Log x 2 Sin Log x 4 2 2 4 1
3 i 4 2 1
x 1 x2 .
Il est clair qu'en calculant numériquement cette intégrale afin d'en représenter le graphe par symétrie, les deux fonctions semblent coïncider numériquement :
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-502
Prenons encore un autre exemple, où la fonction limite est constante sur un support bornée netre r si r r1 , r2 f r (r ) T0 0 si r [0, r1[]r2 ,) r1 et r2 et nulle ailleurs :
0
On peut calculer la représentation intégrale : 1 T (r , ) r
d F Cos Log r F Sin Log r Ρ c
s
1 i 2
1 i 2
0
r
T 2 F 0 dr r 1/ 2Cos Log (r ) r1
T F 0
c
avec
Cos ( )
Ρ
r2
2
r1
1
c
r2
dr r
Cos( 0 )
1 / 2
Sin Log ( r )
r1
C dr r 1/ 2Cos Log (r ) d e 1/ 2 Cos
e
1 / 2 2
1 / 2 Cos 2
r0
0
0
S dr r 1/ 2 Sin Log ( r )
Sin 2 e 1/ 2 1 1 / 2 Cos 1 Sin 1 2 1 / 2 2
d e
1 / 2
Sin
e 1/ 2 2 1 / 2 Sin 2 Cos 2 e 1/ 2 1 1 / 2 Sin 1 Cos 1 2 1 / 22
F Cos Log r F Sin Log r c
s
1/ 2 1 / 2 Cos Log r Sin Log r r2 r r 2 2 r r 1/ 2 1 / 2 Cos Log Sin Log r1 r1 r1 T0 2 1 / 2 2
Il vient la solution sous forme de la représentation intégrale suivante : T (r , )
T0 r1
T0 r2
1 / 2 Cos Log r Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r2 2 2 2 d 2 2 r 0 Ρ 1 Cos ( 0 ) 1 / 2
i 2
1 / 2 Cos Log r Sin Log r Ρ Cos ( ) 1 r1 r1 r1 2 i d 2 r 0 Ρ 1 Cos ( 0 ) 2 1 / 2
i 2
Lorsque β=0, soit des conditions aux limites constantes et à support borné, il vient : T (r , )
2T0
2T0
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r2 2 2 2 d 2 r 0 4 1 Ρ 1 Cos ( 0 ) i 2
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ Cos ( ) 1 r1 r1 r1 2 i d 4 2 1 r 0 Ρ 1 Cos ( 0 )
i 2
.
Problèmes aux limites de Laplace en coordonnées sphériques- p-503
Représentation intégrale pour le cas β=0 et θ0=π/2 T ( r , ) 2r2 T0
2r1
2r1
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r Ρ Cos ( ) 1 r1 r1 r1 2 i d 2 r 0 Ρ 1 0 4 2 2 1
i 2
0
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r Ρ Cos ( ) 1 r2 r2 r2 2 i d 2 r 0 Ρ 1 0 4 2 2 1
T ( r , ) 2r2 T0
i 2
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r2 2 2 2 d r 0 4 2 1 Ρ 1 0
i 2
Cos Log r 2 Sin Log r Ρ r r 1 i Cos ( ) r1 1 1 2 d 2 r 0 4 1 Ρ 1 0
i 2
Sur l'axe z, soit θ=0, il vient : 0 ; Ρ
1 i 2
1 1
T (r ,0) 2r2 T0
2r1
0
2
1 i 2
0
3 i 3 i 4 2 4 2
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r 3 i 3 i r r 4 2 4 2 r2 2 2 d 2 2 r 0 4 2 1
Ρ
2 1 Cos Log r 2 Sin Log r 3 i r1 r1 r1 4 2 d 2 r 0 4 2 2 1
Cos Log r 2 Sin Log r r r r2 2 2 d 2 r 0 4 1
T (r ,0) 2 T0
3 i 4 2
3 i 3 i 4 2 4 2
Cos Log r 2 Sin Log r 3 i 3 i r r 4 2 4 2 r1 1 1 d 2 r 0 4 1
Comme on a supposé que l'intégrale suivante représentait le profil sur l'axe z : 2 1 x
d
Cos
3 i 3 i Log x 2 Sin Log x x 4 2 4 2 1 4 2 1 1 x2 .
0
On retrouve bien le profil de la solution : T ( r ,0 ) T0
r r r1 2
2
r r r2 2
2
.