Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Méthode de résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques 3D sur des domaines non bornés par les transformations intégrales de Hankel On aborde en quelques pages les problèmes aux limites cylindriques sur des domaines non bornés radialement et partiellement bornés sur l'axe z. Les conditions aux limites sur l'axe z sont inhomogènes. Les solutions de base obtenues par séparation sont les suivantes dans le cas où les conditions aux limites présentent une dépendance d'angle polaire : T ( r , , z ) A Cos (n ) B Sin( n ) C Cosh(z ) D Sinh(z ) E J n (r ) F Yn (r ) . Si les conditions aux limites sont axi-symétriques (pas de dépendance d'angle polaire), alors les solutions se restreignent au cas n=0 : T ( r , z ) C Cosh (z ) D Sinh(z ) E J 0 (r ) F Y0 (r ) Si le domaine radiale est non borné, par exemple r€[0,+∞], dans ce cas les solutions séparables ne forment pas en général un système à partir duquel on peut développer une série discrète de fonctions propres notamment parce que les conditions de finitude des solutions ne peuvent être respecter en même temps en 0 et +∞ pour les fonctions radiales. Si le domaine est non borné supérieurement, r€[r0,+∞], alors toute fonction de la forme : Y0 (r0 ) J 0 (r ) Y0 (r ) J 0 (r0 ) respecte manifestement une condition aux limites homogène de Dirichlet en r=r0, mais pas la condition de finitude en r=+∞. Devant cette impossibilité de construction, on peut envisager des formes intégrales comme solutions d'un problème aux limites axi-symétrique non borné en r€[0,+∞] et borné en z avec des conditions aux limites inhomogène en z€[0,z0], soit proposer une solution de la forme :
T (r , z )
d J
0
(r )C Cosh(z ) D Sinh(z )
. Les coefficients C et D sont alors devenus des fonctions du paramètre d'intégration que l'on peut considérer variant dans spectre continu de valeur propre λ. Pour cela on est aidé par l'existence d'une transformation de Hankel qui garantie le développement de toute fonction ayant les propriétés adéquates en un couple de formes intégrales dénommées couramment intégrales de Fourier-Bessel. 0
La plupart des exemples donnés ci-dessous sont tirés de deux ouvrages d'exemples et d'exercices de Physique Mathématique : N.N.Lebedev, Special Functions and their applications, 1965 ainsi que N.N.Lebedev, I.P.Skalskaya et Y.S.Ufliand, 1965, « Problems of Mathematical Physics », section 2 « The Hankel transform » pages 160 et suivantes. Les énoncés ont été parfois modifiés pour ne faire apparaître que la formalisation mathématique du problème aux limites de Laplace, sans se préoccuper de la forme exacte des grandeurs physiques en jeu. On utilisera également la transformation de Hankel dans la section dédiée aux systèmes de coordonnées paraboloïdal ou parabolique de révolution, en s'inspirant également des exercices proposés dans cet ouvrage.
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Le théorème suivant a lieu : Théorème de Hankel avec les fonctions de Bessel de première espèce Pour toute fonction f(x) sur l'intervalle [0,+∞) dont la variation est bornée sur tout intervalle [0,x0], et telle que l'intégrale est finie :
dx
f ( x) x
0
Cette dernière admet la représentation intégrale suivante, dès lors que le paramètre ν > -1/2, aux
0
0
points de continuité de la fonction : f ( x) d J (x) dt tJ (t ) f (t ) Au point de discontinuité de la fonction, on écrit : f ( x 0) f ( x 0) 2
0
0
d J (x) dt tJ (t ) f (t )
Cette formule intégrale peut se décomposer afin d'introduire la transformée de Hankel de la fonction f(x) :
F
dt tJ (t ) f (t )
transformée de Hankel
0
d J (x) F
f ( x)
transformée inverse de Hankel
0
Transformation de Hankel avec les fonctions de Bessel de deuxième espèce Un développement intégral existe utilisant les fonctions de Bessel de deuxième espèce et les fonctions de Struve pour l'inversion, avec les mêmes conditions imposées aux fonctions f(x) (la variation est bornée sur tout intervalle [0,x0], et telle que l'intégrale est finie :
dx 0
f ( x)
d 0
Y (t ) H (x)
x H (x) dt t Y (t ) f (t ) 0
fonction de Bessel de deuxième espèce fonction de Struve
F ( ) dt t Y (t ) f (t ) 0 f ( x ) d x H ( x ) F ( ) 0
.
f ( x) x ) :
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Transformation sur l'intervalle [x0,+∞) appelée transformation de Weber-Orr ou WeberDirichlet : condition homogène de Dirichlet sur le rayon intérieur Un développement intégral existe également sur l'intervalle [x 0,+∞) utilisant les fonctions de Bessel de première et deuxième espèce, avec les mêmes conditions imposées aux fonctions f(x) (la variation est bornée sur tout intervalle [x0,x1], et telle que l'intégrale est finie :
dx
f ( x ) x ),
0
pour des fonctions f(x) s'annulant en x=x0 : , x, x0 f x d dt t , t , x0 f (t ) J x0 2 Y x0 2 x 0
x x0 0
pour
0
, x, x0 J x Y x0 Y x J x0 , x0 , x0 0 J x
Y x
fonction de Bessel de première espèce fonction de Bessel de deuxième espèce
F , x 0 dt t , t , x0 f (t ) x0 , x, x0 f x d F , x0 2 2 J ( x ) Y ( x ) 0 0 0
En cas de discontinuité
1 f x 0 f x 0 2
, x, x d J (x ) Y (x ) F , x
0
2
0
0
2
0
0
Transformation sur l'intervalle [x0,+∞) appelée transformation de Weber-Neumann : condition homogène de Neumann sur le rayon intérieur Un développement intégral existe également sur l'intervalle [x 0,+∞) utilisant les fonctions de Bessel de première et deuxième espèce, avec les mêmes conditions imposées aux fonctions f(x) (la variation est bornée sur tout intervalle [x0,x1], et telle que l'intégrale est finie :
dx
f ( x ) x ),
0
pour des fonctions f(x) dont la dérivée première s'annule en x=x 0 : , x, x0 f x d dt t , t , x0 f (t ) pour x x0 0 2 2 J ' x Y ' x 0 x 0 0 0
, x, x0 J x Y ' x0 Y x J ' x0 avec J x
Y x
J ' x
J y y y x
Y ' x
Y y y y x
fonction de Bessel de première espèce fonction de Bessel de deuxième espèce
F , x 0 dt t , t , x0 f (t ) x0 , x, x f x 0 d J ' (x0 )2 Y ' 0(x0 )2 F , x0
En cas de discontinuité
1 f x 0 f x 0 2
, x, x d J ' (x ) Y ' (x ) F , x
0
2
0
0
2
0
0
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Transformation sur l'intervalle [x0,+∞) appelée transformation de Weber-Robin: condition homogène de Robin sur le rayon intérieur D'après l'article de R.K.M. Thambynayagam et T.M.Habashy, 2003 « A new Weber-Type Transform », un développement intégral existe également sur l'intervalle [x 0,+∞) utilisant les fonctions de Bessel de première et deuxième espèce. Un autre article de 2009, plus récent de Z.Xinhong.T.Dengke « A generalized Weber transform and its inverse formula » en revendique également la paternité, en se calquant sur la démonstration de l'article original de E.C.Titchmarsh de 1924 « Weber's Integral Theorem », formalise correctement la transformation de Weber-Robin généralisation du problème de Dirichlet et de Neumann, notamment sur les points de discontinuité de la fonction représentait intégralement. Plus tôt l'ouvrage des édition Mir de V.Ditkine.A.Prudnikov, « Transformations intégrales et calcul opérationnel » évoque une transformation de ce type en page 71, avec un renvoie de référence qui s'avère hélas impropre après recherches des articles de J.L.Griffith. La première mention que je trouve de cette transformation est dans l'article de 1932, de S.Goldstein « Some Two-Dimensional Diffusion Problems with Circular Symmetry », en page 87, formule 227. Les conditions de convergence imposées aux fonctions f(x) sont les mêmes (la variation est bornée
sur tout intervalle [x0,x1], et telle que l'intégrale est finie :
dx
f ( x ) x ), pour des fonctions
0
f(x) dont une combinaison linéaire de la fonction et de sa dérivée première s'annule en x=x 0 : , x, x0 f x d dt t , t , x0 f (t ) J x0 hJ ' x0 2 Y x0 hY ' x0 2 x 0 0
J x fonction de Bessel de première espèce Y x fonction de Bessel de deuxième espèce
pour
x x0 0
, x, x0 J x Y x0 hY ' x0 Y x J x0 hJ ' x0
, x0 , x0 h ' , x0 , x0 0 avec
J ' x
J y y y x
Y ' x
Y y y y x
' x
y y y x
.
F , x 0 dt t , t , x0 f (t ) x0 , x, x0 f x d F , x0 J x0 hJ ' x0 2 Y x0 hY ' x0 2 0
En cas de discontinuité 1 f x 0 f x 0 2
, x, x d J x hJ ' x Y x hY ' x F , x
0
2
0
0
0
2
0
0
0
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En posant h=α/β, il vient : f x
d 0
x J ' x0 J x0 2 Y ' x0 Y x0 2
f ' x0 f x0 0
dt t t f (t )
x0
J x fonction de Bessel de première espèce Y x fonction de Bessel de deuxième espèce
x J x Y ' x0 Y x0 Y x J ' x0 J x0 avec
J ' x
J y y y x
Y ' x
Y y y y x
' x
y y y x
' x0 x0 J ' x0 Y ' x0 Y x0 Y ' x0 J ' x0 J x0 J x0 Y ' x0 Y x0 Y x0 J ' x0 J x0 Y x0 J ' x0 J x0 Y ' x0 Y ' x0 J x0 J ' x0 Y 0 x 0 F dt t t f (t ) x0 x f x d J ' x J x 2 Y ' x Y x 2 F 0 0 0 0 0
Et l'on retrouve les deux transformations intégrales Weber/Dirichlet (α=0, β=1) et Weber/Neumann (α=1, β=0).
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Intégrales définies obtenues par la transformée inverse de Weber-Dirichlet
, x, x0 J x Y x0 Y x J x0
F , x 0 dt t , t , x0 f t x0 , x, x0 f x d J x 2 Y x 2 F 0 0 0
Prenons la fonction puissance : f(x)=xμ. La condition imposée pour la convergence de la transformation intégrale est notamment la finitude de l'intégrale :
dt t
t
x0
dt t
1 2
Lim t
t
x0
3 2
0
3 2
Nous allons voir que cette condition est trop restrictive et que la transformation a lieu également pour puissance inférieure à -1/2. Soit donc la transformée de la fonction puissance : f x x F
1 1 1 Y x dt t J t J x Y t 0 0 dt t 2 x0 x0
Et utilisons les intégrales indéfinies des fonctions de Bessel en relation soit avec les fonctions de Lommel de première espèce, soit de deuxième espèce : dz z J ( z ) z 1J ( z ) s 1, 1 ( z ) J 1 ( z ) s , ( z ) s , ( z ) Lommel première espèce dz z Y ( z ) z 1 Y ( z ) s 1, 1 ( z ) Y 1 ( z ) s , ( z )
dz z J ( z ) z 1J ( z ) S dz z Y ( z ) z 1Y ( z ) S
S , ( z ) Lommel deuxième espèce
1, 1
1, 1
( z ) J 1 ( z ) S , ( z )
( z ) Y 1 ( z ) S , ( z )
. voir :A. Erdelyi. H. Bateman « HIGHER TRANSCENDENTAL FUNCTIONS VOL II », page 90, formule , G.N.Watson « A treatise on the theory of Bessel functions », Cambridge University Press 1944 en page 350, du chapitre 10, section 10.72 « Functions expressible in terms of Lommel's functions », A.P.Prudnikov.Yu.A.Brychkov.O.I.Marichev-Integrals and Series - Volume 2 - Special Functions, section 1.8.1, page 37 formule 3. Les fonctions de Lommel de première espèce ont un comportement asymptotique presque similaire à celui des fonctions de deuxième espèce, à ceci près qu'elles oscille fortement autour de la position asymptotique qui est une fonction puissance du paramètre μ-1. Dans ces conditions il est nettement plus pratique de prendre les fonctions de deuxième espèce dont le comportement asymptotique et plus « régulier ». Ici prenons donc les fonctions de Lommel de deuxième espèce, qui sont en relation avec les polynômes de Neumann, pour des valeurs particulières des paramètres :
S1, 2 m x xO2 m x
S 1, 2 m x
S 2m x 4m
1 O0 x x 1 4 x avec O2 x 3 S 0, 2 m1 x O2 m1 x avec x x 2m 1 1 16 192 O4 x x x 3 x 5 4 S0 x 0 S 2 x 2 On x polynômes de Neumann x avec S n x polynômes de Schläfli S x 8 96 4 2 4 x x
1 O1 x 2 x O x 3 24 3 x2 x4
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Pour ces valeurs du moins, on observe le comportement asymptotique suivant : m m N Lim S1, 2 m x 1 , Lim S 0, 2 m1 x 0 , Lim S 1, 2 m x 0 , ce qui est en accord avec x
x
x
le comportement asymptotique connu des fonctions de Lommel de deuxième espèce (en fonction de puissance) à savoir : 12 2 12 2 32 2 1 . 1 S , x x
1
x
2
x
O
6 x
4
Dans ces conditions de paramètres coïncidant avec les polynômes de Neumann, l'intégrale indéfinie s'annule toujours en +∞ pour μ<-1 (et plus précisément μ<-1/2), comme suit : x x1 J 1 x1 S 1, x1 J x1 S , 1 x1 1 1
J t x0 J 1 x0 S 1, x0 J x0 S , 1 x0 x1 x1 Y 1 x1 S 1, x1 Y x1 S , 1 x1 1 x dt t Y t x0 Y 1 x0 S 1, x0 Y x0 S , 1 x0 0
dt t
x0
x1
Y x0 dt t x0
1
x1
J t J x0 dt t 1 Y t x0
x1 J 1 x1 S 1, x1 J x1 S , 1 x1 Y x0 x0 J 1 x0 S 1, x0 J x0 S , 1 x0 x1 Y 1 x1 S 1, x1 Y x1 S , 1 x1 J x0 x0 Y 1 x0 S 1, x0 Y x0 S , 1 x0 x0 S 1, x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0
x1 S , 1 x1 Y x0 J x1 J x0 Y x1 x1S 1, x1 Y x0 J 1 x1 J x0 Y 1 x1 S , 1 x1 x1
1
Comme
S 1, x1 x1
A x1 x1 S , 1 x1 Y x0 J x1 J x0 Y x1 x1S 1, x1 Y x0 J 1 x1 J x0 Y 1 x1 x1
1
J x x Si
Y x0 J x1 J x0 Y x1 Y x0 J 1 x1 J x0 Y 1 x1 x1
1 2
Y x x
1 2
A x1 x1
1 2
x xS 1 Lim A x1 0 F 0 1,1 0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 x1 0 2
.
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En calculant l'expression sur Mathematica par les substitutions adéquates, on parvient à l'expression asymptotique suivante de A(x1) qui confirme la validité d'utilisation des intégrales définie : x1 J x1 Y x0 Y x1 J x0 A x1 J x Y x 1 J x0 x1 Y x0 x x x1 x x x1
J x x
1 2
A x1 x1
Y x x
1 2
1 J x x 2 x x x1
1 2
Lim A x1 0
pour
x1
1 Y x x 2 x x x1
.
1 2
Il vient donc :
1 dt t 1 J t x0 J 1 x0 S 1, x0 J x0 S , 1 x0 2 x0
Si
Si
1 dt t 1 Y t x0 Y 1 x0 S 1, x0 Y x0 S , 1 x0 2 x0
F
x0 S 1, x0
Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 1 Prenons maintenant les formules qui relient les fonctions de Bessel à leur dérivée, ainsi que la valeur du Wronskien des fonctions de Bessel de première et deuxième espèce, il vient : J x Y x J 1 x J x Y 1 x Y x x x x x J x0 Y x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 Y x0 J x0 x x Y x0 J x0 2 2 Et J x0 Y x0 x x x0 x0 x xS 2 S 1, x0 J x0 Y x0 F 0 1, 2 0 Y x0 J x0 x x 2 Formule de la transformée de Weber-Dirichlet de la fonction puissance : x 2S 1 1 F dt t Y t J x0 J t Y x0 1, 2 0 2 x0 Il vient par exemple pour μ=-1 , ν=1: 1 S0,1 x0 F x0
2
dt Y t J x J t Y x x 1
1
0
1
1
x0
Et pour μ=-2 , ν=2 : S 1, 2 x0
1 F x0 2 2
dt
x0
0
2
0
Y2 t J 2 x0 J 2 t Y2 x0 2 t 2 x0 2
La transformée inverse de Weber-Dirichlet donne donc l'intégrale définie suivante : x Y x J x0 J x Y x0 x si x x0 S 1 d 1, 1 0 2 2 0 si x x0 J x0 2 Y x0 2 0
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Cela donne par exemple dans le cas particulier où μ=-2 et μ=-1: S x Y x J x0 J x Y x0 x x0 d 1, 1 0 x 2 J x0 2 Y x0 2 0
2 d S 1, x0 0
2
0
Y x J x0 J x Y x0 2 2 2 2x J x0 Y x0
d Y2 x J 2 x0 J 2 x Y2 x0 x0 2 x J 2 x0 2 Y2 x0 2
2
.
Y x J x0 J x Y x0 1 d S 0, x0 2x J x0 2 Y x0 2 0
1 S 0,1 x0
1 x0
0
d Y1 x J1 x0 J1 x Y1 x0 x0 2 x J1 x0 2 Y1 x0 2
x x0
pour
Cas 1, 2 Prudnikov.vol.2.formule.2.3.17.1.page.275 d Y x J x J x Y x x 0 J x0 02 Y x0 2 0 2 x0
Il se trouve que la formule obtenue marche également pour le cas μ=0 (même si ce ne sont pas les conditions formelles d'application de l'intégrale indéfinie). 1 Y0 x J 0 x0 J 0 x Y0 x0 x x0 0 0 S1, 0 x0 1 d 2 J 0 x0 2 Y0 x0 2 0 . Cas 0 Prudnikov.vol.2.formule.2.3.17.1.page.275 d Y x J x J x Y x x 0 J x0 02 Y x0 2 0 2 x0
Au passage l'intégrale de Prudnikov représente une transformée inverse de Weber-Dirichlet et nous obtenons l'intégrale définie suivante en inversant la transformation : Y x J x0 J x Y x0 x0 , x x0 d 2 2 x J x0 2 Y x0 2 0
2 x dx x 0 Y x J x0 J x Y x0 2 x x0
2 dx x Y x J x J x Y x x 1
0
0
x0
En réalité cette intégrale est facile à calculer à l'aide d'intégrales indéfinies très connues, il vient :
dx x
1
J x x1 J 1 x 1
x1 J 1 x x 2
Pour
1 dx x J x
dx x
1
1 2
x1 J 1 x
Y x x1 Y 1 x
Lim x1 J 1 x 0
x
1 dx x Y x J x0 J x Y x0
x0
1
x0
J x0 Y 1 x0 Y x0 J 1 x0
x0 Y x0 J x0 2 x0 2 J x0 Y x0 2 2 2 x x x0 x0 1
x1 Y 1 x
1 dx x Y x
1
2 dx x Y x J x J x Y x x 1
0
x0
0
2
0
2
0
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Comme on a démontré facilement la valeur de l'intégrale définie précédente, en appliquant la transformée inverse de Weber-Dirichlet, on démontre la formule de Prudnikov : 1 d Y x J x0 J x Y x0 x0 . 0 2 2 x J x0 2 Y x0 2 Pour toutes les valeurs de paramètre où sont établies les correspondances avec les polynômes de Neumann , il vient pour μ=-2 : x O x S1, 2 m x0 x0O2 m x0 S 0, 2 m 1 x0 0 2 m 1 0 2m 1 S x Y2 m x J 2 m x0 J 2 m x Y2 m x0 2 d 2 m 2 2 2 4m 2x J 2m x0 Y2m x0 0
x x0
4
d 0
2 12 Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 x0 1 2 x 2 2 x J 4 x0 2 Y4 x0 2 0
d Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 x0 Sachant que 2 x J 4 x0 2 Y4 x0 2 0
2 2 d Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 2 x0 x0 x 1 0 0 3 24 x x J 4 x0 2 Y4 x0 2
4
.
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Et pour les deux cas incluant μ=-1 μ=0 : x O x S1, 2 m x0 x0O2 m x0 S0, 2 m 1 x0 0 2 m1 0
2m 1 Y x J 2 m 1 x0 J 2 m1 x Y2 m1 x0 2m 1 1 2m 1 d O2 m 1 x0 2 m1 2 xx0 J 2m1 x0 2 Y2m1 x0 2 0
x x0
3
d 8 Y3 x J 3 x0 J 3 x Y3 x0 x0 1 2 x0 2 2 x J 3 x0 2 Y3 x0 2
0
Comme
0
0
d Y3 x J 3 x0 J 3 x Y3 x0 x0 2 x J 3 x0 2 Y3 x0 2
2 3 d Y3 x J 3 x0 J 3 x Y3 x0 x0 x0 1 3 16 x x J 3 x0 2 Y3 x0 2
x x0
0 2m d O2 m x0 0
2
0
Y2 m x J 2 m x0 J 2 m x Y2 m x0 2 x0 J 2m x0 2 Y2m x0 2
d 4 Y2 x J 2 x0 J 2 x Y2 x0 1 2 x0 2 2 J 2 x0 2 Y2 x0 2
d Y x J x J x Y x x 0 2 J 2 2 x0 02 Y22 x0 22 0 2 x0
Or
3
2
2 d Y2 x J 2 x0 J 2 x Y2 x0 2 x0 x 1 0 0 3 8 x 2 J 2 x0 2 Y2 x0 2 d 16 192 Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 1 4 2 2 x0 2 J 4 x0 2 Y4 x0 2 4 x0 4 0
d Y x J x J x Y x x 0 4 J 4 4 x0 02 Y44 x0 42 0 2 x0
Or
4
4 d 12 Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 2 x0 1 x 1 0 0 3 2 x0 2 J 4 x0 2 Y4 x0 2 32 x 4 2 2 d Y4 x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 2 x0 x0 Et comme 3 x0 1 24 x x J 4 x0 2 Y4 x0 2 0 x0 2 1 x0 2 d Y x J 4 x0 J 4 x Y4 x0 4 1 1 5 4 x 0 x 3 x 384 J 4 x0 2 Y4 x0 2 0
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Intégrales définies obtenues par la transformée inverse de Weber-Neumann F , x 0 dt t , t , x0 f t x0 , x, x0 J x Y ' x0 Y x J ' x0 , x, x0 f x d J ' x 2 Y ' x 2 F 0 0 0
Prenons également la fonction puissance : f(x)=xμ. La condition imposée pour la convergence de la transformation intégrale est notamment la finitude de l'intégrale :
dt t
t
x0
dt t
1 2
Lim t
x0
3 2
t
0
3 2
Nous allons voir que cette condition est trop restrictive et que la transformation a lieu également pour puissance inférieure à -1/2. f x x F , x0
1 1 1 Y ' x dt t J t J ' x Y t . 0 0 dt t 2 x0 x0
En utilisant les intégrales indéfinies des fonctions de Bessel en relation avec les fonctions de Lommel de deuxième espèce et dans les mêmes conditions d'application de la formule de l'intégrale indéfinie (soit μ <-1/2) , il vient :
dt t
1
J t x0 J 1 x0 S 1, x0 J x0 S , 1 x0
1
Y t x0 Y 1 x0 S 1, x0 Y x0 S , 1 x0
x0
dt t x0
J x Y x J 1 x J x Y 1 x Y x x x x x J x0 Y x0 2 2 Y x0 J x0 x x x0 x0 F , x0
1 1 1 Y ' x dt t J t J ' x Y t 0 0 dt t 2 x0 x0
F , x0
F , x0 F , x0 F , x0 F , x0
Y x0 J 1 x0 S 1, x0 J x0 S , 1 x0 x0 Y 1 x0 x0 2 x0 J 1 x0 x J x0 Y 1 x0 S 1, x0 Y x0 S , 1 x0 0 S 1, x0 J x0 Y 1 x0 Y x0 J 1 x0 1 1 x0 S , 1 x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 x0 S , 1 x0 S 1, x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 1 x0 S , 1 x0 S 1, x0 Y x0 J ' x0 J x0 Y ' x0 2 2 S 1, x0 x0 S , 1 x0 x0
2
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Toujours dans G.N.Watson « A treatise on the theory of Bessel functions », Cambridge University Press 1944 en page 350, du chapitre 10, section 10.72 « Functions expressible in terms of Lommel's functions », il est donné les formules des dérivées des fonctions de Lommel de deuxième espèce : S , x S , x 1S 1, 1 x x x x S 1, S 1, x S , 1 x x x S x 1 1, S 1, x0 x0 S , 1 x0 x x0 x x 0
S 1, x0 x0 S , 1 x0 x0
S 1, x x
.
S 1, x x
x x0
S y D'où le résultat assez court suivant : F 2 1 1, . y y x
x x0
S 1, y y
y x0
0
Formule de la transformée de Weber-Neumann de la fonction puissance : F
2 dt t J x Y ' x Y x J ' x
S 1, y
1
0
0
1
x0
y
. y x0
La transformée inverse de Weber-Neumann donne donc : 2
1 0 d
S 1, y Y x J ' x J x Y ' x x si x x 0 . 0 0 2 2 y J ' x0 Y ' x0 0 si x x0 y x0
Ou encore plus exactement avant de passer à une limite donnée :
2
1 S 1, y 1 y y x0
d 0
J y J x Y y Y x x si x x y y x0 y y x0 0 2 2 Y y 0 si x x0 J y y y x0 y y x0
Si maintenant on pose x=x0, puis x0=1, il vient : J y J x Y y 2 Comme Y x0 0 y y x y y x x0 0 0 4 2 x0
2
0
x0 1
1
d
d 0
1
S 1, y y y x0 2 2 Y y J y y y y x0 y x0
S 1, y y y
2 2 2 Y y J y y y y y
1
.
2 4
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Soit donc l'intégrale indéfinie logiquement valable pour les valeurs μ<-1/2 : 1 1 d 2 2 0
S 1, '
J '
2
Y '
2
2 . 4
Pour des valeurs particulières des paramètres, les fonctions de Lommel sont associées aux polynômes de Neumann :
S1, 2 m x xO2 m x
O0 x avec O2 x O4 x
1 x 1 4 x x3 1 16 192 x x3 x5
4 S0 x 0 S 2 x 2 S 2m x x S 1, 2 m x avec 8 96 4m S x 4 x2 x4
S 0, 2 m1 x
x O2 m1 x avec 2m 1
On x polynômes de Neumann S n x polynômes de Schläfli
Dans ce qui suit on utilise la formule suivante, donnée d'abord sans démonstration 1 2 . : d 1 0 3 J ' 2 Y ' 2 4
1 O1 x 2 x O x 3 24 3 x2 x4
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Il vient les diverses intégrales définies dont on remarque qu'elles s'appliquent également au cas μ=0 : 1 2 d 1 2 2 2 S 1, 2 2 S 1, 2 ' 3 3 J 2 ' 2 Y2 ' 2 8 0
1 12 2 48 4 S 1, 4 ' 3 5 2 2 d 24 1 1 1 2 3 1 2 d 0 3 J 4 ' 2 Y4 ' 2 16 J 4 ' 2 Y4 ' 2 8 0
2 4 S 1, 2
0
d 5
1 2 384 Y4 ' 2
J '
2
4
1 1 S 0,1
1 1 S 0,1 ' 2
0
d 3
1 2 J1 ' 2 Y1 ' 2 4
8 d 1 2 1 4 0 2 S1, 2 3 S1, 2 ' 3 5 J 2 ' 2 Y2 ' 2 32 . 0 1 8 1 24 1 3 S 0,3 3 S 0,3 ' 2 4 d 24 1 2 1 1 2 3 1 2 d 0 3 J 3 ' 2 Y3 ' 2 12 J 3 ' 2 Y3 ' 2 4 0
0
d 5
J '
2
1 2 144 Y3 '
3
16 192 1 24 4 S1, 4 ' 32 3 5 2
d 24 1 2 1 0 5 2 J 4 ' 2 Y4 ' 2 128
d
1
2
J ' Y ' 4608 2
7
0
2
0 4 S1, 4 1
4
2
4
d 0
1 5
1 2 J 4 ' 2 Y4 ' 2 384
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Pour toutes les valeurs de paramètre où sont établies les correspondances avec les polynômes de Neumann, il vient : O O2 m 1 ' S1, 2 m ' O2 m O2 m ' S 0, 2 m 1 ' 2 m 1
2m 1
S 1, '
1
d J ' Y '
Comme
2
2
2
0
2 2m d 0
S 2 m ' 1 m 2 2 J ' 2 Y ' 2
1 2m 1 d 0
0 d 0
4
2
.
1 O2 m 1 O2 m 1 ' 2m 1 2 2 2 J 2 m 1 ' Y2 m1 ' 4
1 O2 m O2 m ' 2 2 J 2 m ' 2 Y2 m ' 2 4
Dans ce qui précède on a utilisé la formule suivante : 1 1 2 d 0 3 J ' 2 Y ' 2 4
Étudions maintenant la transformée de Weber-Neumann de la fonction puissance négative x-ν:
dx x
1
J x x1 J 1 x 1
x1 J 1 x x 2
Pour
dx x
1
1 2
Y x x1 Y 1 x
Lim x1 J 1 x 0
x
x1 J 1 x x1 Y 1 x 1 dx x Y x 1 J x 1 Y x J 1 x J x Y 1 x Y x x x x x . 1 x dx x1 Y x J ' x0 J x Y ' x0 0 J ' x0 Y 1 x0 Y ' x0 J 1 x0 x0 1 dx x J x
1
1
x 0 J ' x0 Y x0 Y ' x0 J x0 x0 x0
2 2 x0 x0 2 x01
x 2 dx x J x Y ' x Y x J ' x x 0
0
2
x0
1 0
Il vient alors par la transformée inverse, l'intégrale définie suivante : 1 d J x Y ' x0 Y x J ' x0 x0 2 x J ' x0 2 Y ' x0 2 0 2 x0
d 1 2 x0 2 2 0 3 4 Y y J y y y x y y x 0 0
Comme
J x0 Y ' x0 Y x0 J ' x0
2
d 1 2 x0 0 J ' x0 2 Y ' x0 2 4 . d 1 2 0 3 J ' 2 Y ' 2 4
On a donc démontré la formule utilisée pour établir les diverses intégrales indéfinies.
2
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Transformation généralisée de Weber-Orr vers l'arrière D'après l'article de C.Nasim de 1989, « Associated weber integral transforms of arbitrary orders », une transformation intégrale généralisée de Weber-Orr est possible, et construite selon la formule suivante : , , x, x0 J x Y x0 Y x J x0
F , x0 dx x , , x, x0 f ( x) x0 . , , x, x0 f x d J x 2 Y x 2 F , x0 0 0 0
Plus précisément l'article étudie la transformation intégrale avec le noyau suivant construit à partir du paramètre μ=ν-α : , , x, x0 J x Y x0 Y x J x0
F , x 0 dx x , , x, x0 f ( x) x0 , , x, x0 f x d F , x0 J x0 2 Y x0 2 0
L'inversion y est prouvée lorsque les paramètres sont définies tel que μ=ν-α , avec : 3 3 0 si N 0 2
1 2 3
4
2
4
3 2 4 2 0 2 0,1
1 1 2 3 2 4 2 0 2 0,1 2 5 2 3 9 2 4 3 0 3 0,1,2 3 2
Transformation généralisée de Weber-Orr (cas μ=ν-1) 1, , x, x0 J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 F , x 0 dx x J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 f ( x) x0 J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 F , x0 f x d J x0 2 Y x0 2 0 Autre formulation
1 J x 1 Y x J ' x J 1 x J x Y ' x Y 1 x Y x x x x x J y J y En notant J ' x J ' x y y x y y x
1, , x, x0 J ' x Y x0 Y ' x J x0
Notons que 1, , x0 , x0 J ' x0 Y x0 Y ' x0 J x0
2 x0
Wronskien
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
De plus : J x
J 1 x J x x
x
Y x Y 1 x Y x x x
Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0
J x0 Y x0 2 1 Y x0 J x0 x0 x x
2 1 2 1 De plus J 2 x J 1 x J x Y 2 x Y 1 x Y x x x 2 1 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 x0 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0
.
4 1 2 x0 2
Rappelons les intégrales indéfinies suivantes : dz z J ( z ) z 1J ( z ) S 1, 1 ( z ) J 1 ( z ) S , ( z ) S , ( z ) Lommel deuxième espèce dz z Y ( z ) z 1Y ( z ) S 1, 1 ( z ) Y 1 ( z ) S , ( z )
Calculons la transformée intégrale de la fonction puissance xμ:
dt t
1
J 1 t x0 J 2 x0 S 1, 1 x0 1 J 1 x0 S , 2 x0
1
Y 1 t x0 Y 2 x0 S 1, 1 x0 1 Y 1 x0 S , 2 x0
x0
dt t x0
1 1 1 Y x dt t J t J x dt t Y t 0 1 0 1 2 x0 x0 x Y x0 J 2 x0 S 1, 1 x0 1 J 1 x0 S , 2 x0 F , x0 02 J x0 Y 2 x0 S 1, 1 x0 1 Y 1 x0 S , 2 x0 x S 1, 1 x0 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0 F , x0 01 1 S , 2 x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 1 S , 2 x0 2 2 1 F , x0 1 2 S 1, 1 x0 x0 2 x0 1S , 2 x0 2 1S 1, 1 x0 F , x0 3 x0
F , x0
F , x0
2x 1S x 2 1S dx x J x Y x Y x J x x
x0
1
0
1
0
1
0
, 2
0
3
0
1, 1
x0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
D'après l'ouvrage de Watson sur les fonctions de Bessel et relatives aux fonctions de Bessel, nous avons : x
S , x
x 1S 1, 1 x S , x x
x
x 1S , 2 x 2 1S 1, 1 x x Comme
S , x
x
S 1, 1 x
x S 1, 1 x x
x 1S , 2 x 1S 1, 1 x
1S 1, 1 x
.
S , x x 1S 1, 1 x
x S 1, 1 x x 1 S 1, 1 x x 1S , x x x 1S , 2 x 2 1S 1, 1 x x 1S , x
On arrive encore une fois à un résultat fort simple : 2 1 F , x0 S , x0 2 F , x0
.
2 1 dx x J x Y x Y x J x S x
1
1
1
0
0
2
,
0
x0
S , x0 J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 x d 2 2 1 0 2 1 J x0 Y x0
x x0
Prenons maintenant la valeur x=x0, il vient : J 1 x0 Y x0 Y 1 x0 J x0
2 x0
0
.
1 S , x0 d 2 x0 . 2 J x0 2 Y x0 2 4 1
Au vue de l'intégrale la valeur de x0 est non essentielle, et l'on peut prendre la valeur x0=1 : S , S 1, d 2 1 d 2 1 2 2 2 2 2 3 0 J Y 4 1 J Y 4 2 0 1
0
S 1, d 2 J 2 Y 2 4
0
0
S 0, d 2 2 J 2 Y 2 4 1
Si l'on se donne comme paramètre ceux pour lesquels les fonctions de Lommel de deuxième espèce coïncident avec des polynômes de Neumann ou de Shläfli :
S1, 2 m x xO2 m x
S 1, 2 m x
.
S 2m x 4m
1 O0 x x 1 4 x avec O2 x 3 S0, 2 m 1 x O2 m1 x avec x x 2 m 1 1 16 192 O4 x x x 3 x 5 4 S0 x 0 S 2 x 2 On x polynômes de Neumann x avec S n x polynômes de Schläfli S x 8 96 4 2 4 x x
1 O1 x 2 x O x 3 24 3 x2 x4
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Alors on peut écrire : 1 2 S 1, 2 1 4 S 1, 4 0 3 S 0,3
Comme
0
1 2
0
d 1 2 3 J 2 2 Y2 2 8
1 12 1 2 2
1 8 1 2 2
0
0
d 8 1 2 1 3 2 J 3 2 Y3 2 8
d 1 2 2 3 J 3 Y3 16 2
Plus généralement on constate que :
0
d 12 1 2 1 3 2 J 4 2 Y4 2 16
0
d 1 2 5 J 3 2 Y3 2 128
d 1 2 . 3 J 2 Y 2 8 1
Pour démontrer le résultat de cette intégrale définie, calculons la transformée de Weber-Orr d'une fonction puissance x1-ν :
dx x
2
J 1 x x 2 J 2 x 3
dx x
2
Y 1 x x 2 Y 2 x
3 Lim x 2 J 2 x 0 2 x x 2 J 2 x x 2 Y 2 x 2 2 dx x J x dx x Y x 1 1 2 x dx x 2 J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 0 J 2 x0 Y x0 Y 2 x0 J x0 x0 x 2 J 2 x x 2
Pour
Comme Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0
4 1 dx x J x Y x Y x J x x
4 1 2 2 x0
x0
2
1
0
1
0
3
0
Comme on a démontré facilement la valeur de l'intégrale définie précédente, en appliquant la transformée inverse de Weber-Dirichlet, on démontre la formule suivante : 3 d J x Y x0 Y 1 x J x0 x1 x0 . x x0 2 1 2 4 1 J x0 2 Y x0 2 0 Cela donne pour x=x0 et x0=1 : 2 3 d 1 2 x0 d 1 2 2 2 2 2 3 3 0 J Y 8 1 2 0 J x0 Y x0 8 1
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Transformation généralisée de Weber-Orr vers l'arrière (cas μ=ν-2) F , x 0 dx x J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 f ( x) x0 . J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 F , x0 f x d J x0 2 Y x0 2 0
On a besoin de quelques formules, comme suit : J x Y x J 1 x J x Y 1 x Y x x x x x 2 2 2 2 J 3 x J 2 x J 1 x Y 3 x Y 2 x Y 1 x x x Y x0 J 3 x0 J x0 Y 3 x0 2 2 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 x0 Y x0 J 1 x0 J x0 Y 1 x0 2 x0 4 1 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0 2 2 x0 Y x0 J 3 x0 J x0 Y 3 x0 2 1 4 1 2 2 2 x0 x0
Transformée de Weber-Orr généralisée vers l'arrière (cas μ=ν-2) de la fonction puissance xμ :
dt t
1
J 2 t x0 J 3 x0 S 1, 2 x0 2 J 2 x0 S , 3 x0
1
Y 2 t x0 Y 3 x0 S 1, 2 x0 2 Y 2 x0 S , 3 x0
x0
dt t x0
1 1 1 Y x dt t J t J x dt t Y t 0 2 0 2 2 x0 x0 . Y x J x S x 2 J x S x x 0 3 0 1, 2 0 2 0 , 3 0 F , x0 02 J x0 Y 3 x0 S 1, 2 x0 2 Y 2 x0 S , 3 x0 x S 1, 2 x0 Y x0 J 3 x0 J x0 Y 3 x0 F , x0 01 2 S , 3 x0 Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0 2 2 F , x0 4 2 2 x0 4 1 2 S 1, 2 x0 2x0 1 2 S , 3 x0 x0
F , x0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
D'après l'ouvrage de Watson sur les fonctions de Bessel et relatives aux fonctions de Bessel, nous avons : 1 2 S , x x 1S 1, 1 x x 1S 1, 1 x
2
S 2, x x 1 1 1S , x
3
x
4
x
S , x x
S , x x 1S 1, 1 x
S , x
S , x x 1S 1, 1 x x 4 1 2 S 1, 2 x 2 x 1 2 S , 3 x 2 x 1 2 S , 1 x 1 2 x 1 2 S x 4 2 1 S x 2 x 1 2 S x , 3 1, 2 , 1 x 1S , 2 x 2 1S 1, 1 x x 1S , x Résultat précédent x S 1, 2 x 2 1S 2, 1 x x 2 S 1, x 1 S 2, 1 x x 2 S , 1 x 2 x 1 S 2, 1 x 2 S , 1 x 2 Calculons 2 x 1 2 S , 3 x x 4 1 2 S 1, 2 x xxS 1, 2 x 2 1 2 S , 1 x
x 1 S 2, 1 x x xS 1, 2 x 2 1 1 x2 1x x S 1, 2 x 2 1S 2, 1 x x2 2 1x 2 S 1, x
Compte tenu de ces relations, il vient : x 2 4 1 2S 1, 2 x 2 x 1 2S , 3 x xxS 1, 2 x 2 1 2 S , 1 x
x2 2 1x 2 S 1, x 2 F , x0 3 x0 S 1, 2 x0 2 1 2 S , 1 x0 x0
F , x0
2
F , x0
2 2 1 x0 2 S 1, x0
dx x J x Y x Y x J x 1
2
0
2
0
2
x0
En inversant la transformation généralisée de Weber-Orr, il vient ; x x0
2
d 2 1 x0 2S 1, x0 J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 x 2 2 0 1 J x0 Y x0
d J x Y x Y x J x x 2 1x 2S x J x Y x 2
1
0
0
1,
0
2
0 2
0
2 2 1 x0 2 S 1, x0
2
0
2
0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Transformée de la fonction puissance x2-ν : Calculons la transformée de Weber-Orr généralisée d'une fonction puissance x2-ν :
dx x
3
J 2 x x 3 J 3 x 5
dx x
3
Y 2 x x 3 Y 3 x
5 Lim x 3 J 3 x 0 2 x x 3 J 3 x x 3 Y 3 x 3 3 dx x J x dx x Y x 2 2 3 x dx x 3 J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 0 J 3 x0 Y x0 Y 3 x0 J x0 x0 x 3 J 3 x x 2
Pour
Comme Y x0 J 3 x0 J x0 Y 3 x0
dx x
3
x0
4 1 2 1 2 2 x0 2
J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 2 x0 2
4 1 2 1 2 2 x 0
2 dx x J x Y x Y x J x x x
2 x0
3
2
0
2
2
0
0
4
x0
2
4 1 2
0
Par la valeur de l'intégrale définie précédente, en appliquant la transformée inverse de WeberDirichlet, on démontre la formule suivante : 2 J x Y x0 Y 2 x J x0 2 x0 . 5 d 2 x x0 3 2 x0 4 1 2 2 x 0 2 2 J x0 2 Y x0 2 x 0
Posons quelques notations des intégrales indéfinies suivantes : I 01, x, x0 I 21, x, x0
d J x Y x Y x J x x 0 J x0 02 Y x0 2 0 2 x0
0
I1,2 x, x0
d J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 J x0 2 Y x0 2
d J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 x x0 0 2 2 2 4 1 J x0 Y x0 x
0
I 23, x, x0
d J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 3 J x0 2 Y x0 2
0
1
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
On arrive aux résultats suivants : 2
2 x Alors x0 I 2 , x, x0 4 1 2 I 2 , x, x0 x0 0 2 x 2 1 2 1 De plus J 2 x J 1 x J x Y 2 x Y 1 x Y x x x 2 1 J 1 x Y x0 Y 1 x J x0 J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 x J x Y x Y x J x 0 0 . 2
1
3
I 21, x, x0
2 1 2 x I1, x, x0 I 01, x, x0 0 x 2 x
1
d I 2 , x, x0
5 2
1
0
x0 x0 0 x 2 x
J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 0 J x0 2 Y x0 2
d J x Y x0 Y 2 x J x0 2 x I 2 , x, x0 3 2 x0 0 2 2 8 1 2 x J x0 Y x0 0
2
3
Ce qui une fois réinjecté dans la formule de la transformée inverse d'une fonction puissance, donne : d J x Y x Y x J x x 2 1x 2S x J x Y x 2
x x0
0
1
1,
0
2
0
d
0
1
S 1, x0
0
2
0
x x0
2
0 2
0
J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 x 2 2 J x0 2 Y x0 2
Passons maintenant à la limite x=x0 pour la fonction puissance x2-ν : d J x Y x Y x J x 2 x 0 3 2 J x0 02 Y2x0 2 0 8 1 2 x0 x0
2
Comme Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0
4 1 2 2 x0
.
4
d 1 2 x0 5 2 2 2 J x0 Y x0 32 1 2 0
Soit en s'affranchissant de la valeur x0, il vient : 5 d 1 2 . 2 0 5 J 2 Y 2 32 12 2 Il se trouve que le passage à la limite x=x0 ne produit pas de contradiction dans ce cas. Mais il n'en est pas de même pour une fonction puissance quelconque. Comme on va le voir par la suite.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Passage à la limite en x=x0 pour la fonction puissance xμ : Comme Y x0 J 2 x0 J x0 Y 2 x0
x x0
d
1
S 1, x0
0
4 1 2 x0 2
J 2 x0 Y x0 Y 2 x0 J x0 x0 2 2 J x0 2 Y x0 2
S 1, x0 d 2 2 3 x0 contradiction 2 2 1 2 J x0 Y x0 8 0
Or on a établit auparavant
0
.
S 1, d 2 1 2 2 3 J Y 4 2
Donc par ce simple passage à la limite x=x0 dans ce cas, on ne parvient pas à établir la formule S 1, d 2 1 correcte. Si l'on part de la bonne formule à savoir : 0 3 J 2 Y 2 4 2 Il vient les formules suivantes que l'on a déjà établit avec la transformation généralisée de WeberOrr du cas μ=ν-1 : S 1, d 2 2 J 2 Y 2 4 0 2 2 S 1, 2
1 2
0
2 4 S 1, 4 S 1, 4
d 1 2 3 J 2 2 Y2 2 8 1 12 1 2 2
0
d 12 1 2 1 3 2 J 4 2 Y4 2 16
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Transformation généralisée de Weber-Orr vers l'arrière (cas μ=ν-l) Commençons par formaliser quelques résultats sur les intégrales définies que l'on vient de calculer Règles de récurrence sur certaines intégrales définies Soit l'intégrale définie suivante : I l,p x, x0
d J l x Y x0 Y l x J x0 . p J x0 2 Y x0 2
0
Appliquons lui les règles de récurrence des fonctions de Bessel, il vient :
2 1 2 1 J 1 x J x Y 2 x Y 1 x Y x x x 2 l l 2 1 l 1 2 l 1 2 l 1 J l x J l 1 x J l 2 x Y l x Y l 1 x Y l 2 x x x 2 l 1 2 l 1 J l 1 x J l 2 x Y x0 Y l 1 x Y l 2 x J x0 d x x I l,p x, x0 p 2 2 J x Y x 0 0 0 J 2 x
2 l 1 d J l 1 x Y x0 Y l 1 x J x0 2 1 l p 1 I l,p x, x0 I l 1, x, x0 I lp2, x, x0 2 2 0 p 1 x J x Y x x 0 0 I l,p x, x0 2 1 l p 1 d J l 2 x Y x0 Y l 2 x J x0 I p x, x I l 1, x, x0 I lp2, x, x0 l , 0 2 2 p x J x0 Y x0 0
Appliquons ces règles de récurrences aux résultats obtenus auparavant, à savoir : d J x Y x0 Y x J x0 x0 1 1 I 0, x, x0 2 x J x0 2 Y x0 2 0
2
I 21, x, x0
0
d J 2 x Y x0 Y 2 x J x0 0 J x0 2 Y x0 2
x, x0 d2 J 1 x Y x02 Y 1 x J2 x0 x0 x0 4 1 x J x0 Y x0 0
1
3
I1,
4
d J x Y x0 Y 2 x J x0 2 x I 2 , x, x0 3 2 x0 0 2 2 8 1 2 x J x0 Y x0 0
2
3
2
2 2 p 1 I 2 , x, x0 I1,p x, x0 x 2 2 3 p 2 I 3,2 x, x0 I 2 , x, x0 I1,2 x, x0 x
l 3 I 3,p x, x0 l 3
2
x I 3, x, x0 x0 0 4 1 x 2
1
x0 x x0 0 x 4 1 x
0
d J 3 x Y x0 Y 3 x J x0 0 2 J x0 2 Y x0 2
0
De ces résultats, nous pouvons par exemple faire l'hypothèse : d J x Y x0 Y l x J x0 0 l N I l,l1 x, x0 l 1 l 0. 2 2 J x Y x 0 0 0
.
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Dérivons l'intégrale précédente : J l x l l Y 1 x J l 1 x J l x Y l 1 x Y l x x x x x l 1
I l ,
x, x0 dl1 0
J l x Y x0 Y l x J x0 0 J x0 2 Y x0 2
l l J l x Y x0 Y l 1 x Y x J x0 J l 1 x d x x l l 2 2 2 J x0 Y x0 0
J l 1 x Y x0 Y l 1 x J x0 l I l 1 x, x 0 l , 0 x J x0 2 Y x0 2 0 I ll 1,2 x, x0 0 Donc on arrive au résultat suivant : I l,l3 x, x0 d J l x Y x0 Y l x J x0 0 . 0 l 3 J x0 2 Y x0 2
d
l 2
Si on applique la récurrence à l'intégrale identiquement nulle on arrive au même résultat: 2 1 l l 2 l l 1 l 1 l 1 l
1
I l 1, x, x0 I l 2 , x, x0 I l , x, x0 I l 1, x, x0 x x 2 I l,l1 x, x0 2 1 l I ll 1 , x, x0 I ll 21, x, x0 x l 1 l Comme I l , x, x0 I l 1, x, x0 0 2 I ll 21, x, x0 0 I l,l3 x, x0 0 I l ,
x , x0
Ce résultat reste valable tant que l'intégrande garde une puissance en 1/λ. Mais la règle de récurrence établit ne permet pas pour l'instant de calculer toutes les intégrales définies de la forme proposée. Calculons la transformée généralisée de Weber-Orr pour μ=ν-l pour une fonction puissance xl-ν :
dx x
l 1
J l x x l 1 J l 1 x
x l 1 J l 1 x x
1 l 2
l 1 dx x J l x
dx x
l 1
dx x
Pour l
x l 1 J l 1 x
1 2
l 1
Y l x x l 1 Y l 1 x
Lim x l 1 J l 1 x 0
x
l 1 dx x Y l x
J l x Y x0 Y l x J x0 x0
x0
l 1
J
x l 1 Y l 1 x
l 1
.
x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0
Le produit croisé obtenu fait intervenir les polynômes de Lommel selon la formule suivante : J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0
1 2 Rl , l x0 x0
Terme dominant J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 1 2l 1 2 l Terme dominant Rl , l 2l 1 1 2 l l l x x0 0 l 1 l 1 x0
La transformée de Weber-Orr généralisée de la fonction puissance xl-ν est donc la suivante :
l 1 dx x J l x Y x0 Y l x J x0
x0
l 1 2 x0 Rl , l 2 x0
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On peut donc déduire de la transformée inverse l'intégrale définie suivante valable pour x> x0 : 1 J x Y x Y x J x d l l 0 Rl , l x0 l J x0 02 Ylx0 2 0 2 x0 x Si par hypothèse tous les termes non dominant du polynôme de Lommel conduisent à des intégrales identiquement nulles. Il ne reste que le terme dominant qui donne l'intégrale suivante : d l J x Y x Y x J x l 0 l 1 2 1 2 l l J x0 02 Ylx0 2 0 2 x0 x
d J l x Y x0 Y l x J x0 l 1 x0 x l 2 2 l 1 2 1 2 l J x0 Y x0
0
Ce qui est le résultat recherché. Reste à démontrer que les termes non dominants de l'intégrande conduisent à une valeur nulle. Il se trouve que les polynômes de Lommel sont soit des polynômes paires ou impaires, les termes successifs sont donc séparés à chaque fois d'une puissance double. Or nous avons démontré par la règle de récurrence que les deux intégrales suivantes étaient identiquement nulle : d J x Y x0 Y l x J x0 I l,l1 x, x0 l 1 l 0 J x0 2 Y x0 2 0 . l 3
I l ,
x, x0 dl3 J l x Y x02 Y l x J2 x0 0 J x Y x
0
0
0
Les deux intégrandes sont donc séparées par une puissance double de 1/λ. Par ailleurs le terme immédiatement inférieur au terme dominant dans l'intégrande de départ est identiquement nul : 1 1 d J x Y x0 Y l x J x0 l 2 l 1 l Terme antérieur au terme dominant dans Rl , l 0 J x0 2 Y x0 2 x0 0 On a donc bien le résultat que toutes les autres intégrales sont nulles hormis celle du terme dominant. On arrive aux résultats suivants : , l
tq
0 l N
I l,l1 x, x0
d J l x Y x0 Y l x J x0 0 l 1 J x0 2 Y x0 2
0
J l x Y x0 Y l x J x0 0 J x0 2 Y x0 2 0 d J x Y x0 Y l x J x0 0 en dérivant autant de fois qu'il le l 2 p 1 I l , x, x0 l 2 p 1 l J x0 2 Y x0 2 0 l d J l x Y x0 Y l x J x0 l x0 l 1 I l , x, x0 l 1 l 1 x0 2 1 2 l x J x0 2 Y x0 2 0 I l,l3 x, x0
d
l 3
faut
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Si à partir de la dernière formule on passe à la limite x=x0, il vient : d J x0 Y x0 Y l x0 J x0 l I l,l1 x0 , x0 l 1 l l 1 x0 2 2 2 1 2 l J x0 Y x0 0 De plus J l x0 Y x0 Y l x0 J x0
1 2 Rl 1, 1l x0 x0
.
1 d 1 2 l 1 l 2 Rl 1, 1l x0 2 2 l 2 x 2 1 2 l 0 J x0 Y x0 0
d 1 2 1 R 0 l 2 l 1, 1l J 2 Y 2 2l 2 1 2 l
Tirons partie des relations de récurrence sur les polynômes de Lommel suivantes :
0 1 2
1 1 R1, 0 R0, 1 x x 1 1 2 1 1 Rl 1, 1 Rl 1, 1 Rl , x x x x 1 1 2 l 1 Rl 1, Rl 1, Rl , x x x x
.
1 Rl 1, l 1 1 Rl 1, l 1 1 2 l 1 Rl , l 1 x
x
x
x
Réalisons une combinaison linéaire de deux intégrales successives, permettant de reproduire la relation (2), il vient également un résultat notable: d 1 2 1 R l 1 , 1 l 2 2 l 2 l 2 0 2 1 2 l J Y
d 1 2 1 R 0 l 3 l , l J 2 Y 2 2l 3 1 2 l l 1 d 1 1 2 l 1 1 R Rl , l 0 2 2 l 2 l 1, 1l J Y
0
d
l 2
0
1 1 Rl 1, 1l 2 2 J Y
d 1 1 0 l 2 Rl 1, 1l J 2 Y 2 0
d
l 1
0
1 1 Rl , l 0 2 2 J Y
Cette dernière relation est très pratique pour trouver des nouvelles intégrales définies : d 1 1 0 l 1 Rl , l J 2 Y 2 0 .
3 2
5 2
Nous savons que :
d 1 2 0 3 J 2 Y 2 8 1 d 1 2 0 5 J 2 Y 2 32 12 2
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Prenons l=2, les deux intégrales précédentes vérifient bien la relation établie: 4 1 2 1 l 2 R2, 2 1 2
d 1 1 0 3 R2, 2 J 2 Y 2 0
0
d 4 1 2 1 . 1 0 2 2 3 2 J Y
d 1 1 0 5 J 2 Y 2 4 1 2
d
1
J Y 2
3
2
0
Prenons l=3, il vient une nouvelle intégrale : 4 2 8 1 2 3 1 l 3 R3, 3 3
d 1 1 0 4 R3, 3 J 2 Y 2 0
d 2 1 3 1 1 0 2 4 3 J Y 2
0
d 1 1 0 7 J 2 Y 2 2 1 3
d
1
J Y 2
5
2
0
d 1 2 0 7 J 2 Y 2 64 13 2 3
Prenons l=4, il vient encore une nouvelle intégrale : 12 2 3 16 1 2 3 4 1 l 4 R4 , 4 1 2 4
d 1 1 0 5 R4, 4 J 2 Y 2 0
d 1 2 5 11 0 9 J 2 Y 2 512 14 22 3 4
.
Transformée Généralisée de Weber-Orr vers l'arrière de la fonction puissance xμ : Prenons également la fonction puissance : f(x)=xμ. . La condition imposée pour la convergence de la transformation intégrale est notamment la finitude de l'intégrale :
dt t t
x0
dt t
1 2
Lim t t
x0
3 2
0
3 2
Le comportement asymptotique des fonctions de Lommel de deuxième espèce à +∞ est connu: 12 2 12 2 32 2 1 1 S , x x
1
x
2
x
O
6 x
4
1
Celui des fonctions de Bessel également : J x x 2
Y x x
1 2
1 J x x 2 x
1 Y x x 2 x
Rappelons les intégrales indéfinies suivantes faisant intervenir les fonctions de Lommel de deuxième espèce (mais également de première espèce, toutefois ces dernières sont moins commodes à utiliser): dz z J ( z ) z 1J ( z ) S 1, 1 ( z ) J 1 ( z ) S , ( z ) S , ( z ) Lommel deuxième espèce dz z Y ( z ) z 1Y ( z ) S 1, 1 ( z ) Y 1 ( z ) S , ( z )
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Il advient donc les expressions suivantes des intégrales définies liées à la transformation de WeberOrr généralisée, uniquement valable pour μ<-1/2 : 1 dz z J l ( z ) z l J l ( z )S , l 1 ( z ) J l 1 ( z )S 1, l ( z )
dz z
Y l ( z ) z l Y l ( z ) S , l 1 ( z ) Y l 1 ( z ) S 1, l ( z )
1
1 dt t J l t x0 J l 1 x0 S 1, l x0 l J l x0 S , l 1 x0 x0 dt t 1 Y t x Y l 0 l 1 x0 S 1, l x0 l Y l x0 S , l 1 x0 x0 F , x0 Y x0 dt t 1 J l t J x0 dt t 1 Y l t x0 x0 1 F , x0 2 Y x0 dt t 1 J l t J x0 dt t 1 Y l t . x0 x0 x Y x0 J l 1 x0 S 1, l x0 l J l x0 S , l 1 x0 F , x0 02 J x0 Y l 1 x0 S 1, l x0 l Y l x0 S , l 1 x0 x S 1, l x0 J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 F , x0 01 l S , l 1 x0 J l x0 Y x0 Y l x0 J x0 1 2 Rl 1, 1l J l x0 Y x0 Y l x0 J x0 x0 x0 Comme 1 2 J Rl , l l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 x0 x0 F , x0
1 1 2 l R S x R S x l 1 , 1 l , l 1 0 l , l 1 , l 0 x x 2 0 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
L'expression à simplifier est la suivante : l Rl 1, 1l 1 S , l 1 x Rl , l 1 S 1, l x . x
Utilisons les récurrences sur les polynômes de Lommel : 1 1 R1, 0 R0 , 1 x x 1 Rl 1, 1 1 Rl 1, 1 1 2 1 Rl , 1 x x x x 2 Rl 1, 1 Rl 1, 1 2 l Rl , 1 x x x x 1 1 2 l 1 1 Rl , l Rl 1, l 1 x Rl 1, l 1 x x x 1 Rl 2, l 2 1 Rl , l 1 2 l Rl 1, l 1 1 x x x x 1 1 2 l 1 1 Rl 2 , l 2 Rl 3, l 3 Rl 1, l 1 x x x x
0
Ainsi que les récurrences sur les fonctions de Lommel : 1 2 S , x x 1S 1, 1 x x 1S 1, 1 x
1 2 l S 1, l x x l S , l 1 x x l S , l 1 x 2 l S 1, l x l S , l 1 x l S , l 1 x x
1 2 l 1 S 2, l 1 x x l 2S 1, l x x l S 1, l 2 x . x l 2 S 1, l x l S 1, l 2 x S 2, l 1 x 2 l 1 1 2 S 2, l 1 x x l 2 l S , l 1 x x 1 S 2, l 1 x l S , l 1 x l 2
x
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Il vient : 1 1 Rl 1, 1l l S , l 1 x Rl , l S 1, l x x x 1 2 l S 1, l x 1 Rl 1, 1l l S , l 1 x Rl , l S 1, l x x x x
2 l 1 1 1 Rl 1, 1l l S , l 1 x Rl 1, 1l Rl , l S 1, l x x x x x 1 1 x S 2, l 1 x 1 Rl 1, 1l Rl 2, l 2 S 1, l x x l 2 x 1 1 Rl 1, 1l x 1 S 2, l 1 x Rl 2, l 2 l 2 S 1, l x x x l 2
.
1 1 1 Rl 1, 1l x 2 l 1x xRl 1, 1l x l S 1, l 2 x 2 l 1 1 1 x Rl 2, l 2 Rl 1, 1l l 2 S 1, l x x x x 2 l 1 l 2 1 1 1 Rl 1, 1l x 2 l 1x xRl 1, 1l x l S 1, l 2 x 1 xR l 2 S 1, l x l 3, l 3 x 2 l 1 l 2
Le calcul a l'air juste, mais en réalité il n'est pas tellement plus simple. Le seul mérite c'est de diminuer l'ordre du polynôme de Lommel :
l Rl 1, 1l 1 S , l 1 x Rl , l 1 S 1, l x x
x
1 . 2 l 1x Rl 1, 1l x x l Rl 1, 1l x S 1, l 2 x . 1
1
1 x l 2R S 1, l x l 3, l 3 x 2 l 1 l 2
Vérification si l=2 :
1 4 1 2 R2, 2 1 x2 x 2 1x 2 S 1, x 2 1 . 2S , 3 x 1 4 12 2S 1, 2 x x x 2 1x 2 S 1, x 2 2 2 x 1 2 S , 3 x x 4 1 2 S 1, 2 x x 1 l 2 Rl 3, l 3 0 x
1 1 2 1 Rl 1, 1l R1, 1 x x x
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
En inversant la transformée, il vient l'intégrale définie suivante : l , , x, x0 J l x Y x0 Y l x J x0 f x x
x x x0
d F , x0 0
x x x0
x
x x x0
0
2
l , , x, x0
0
J x0 2 Y x0 2
1 1 S , l 1 x0 Rl , l S 1, l x0 l , , x, x0 l Rl 1, 1l d x0 x0 2 1 J x0 Y x0 2
1 1 S , l 1 x0 Rl , l S 1, l x0 l , , x, x0 l Rl 1, 1l d x0 x0 x 2 2 1 2 J x0 Y x0
Transformation généralisée de Weber-Neumann vers l'arrière Ce qui suit est tout à fait expérimental, et sans aucune preuve formelle, mais imaginons que l'inversion de la transformation construite comme telle, soit possible : , , x, x0 J x Y ' x0 Y x J ' x0
F , x 0 dx x , , x, x0 f ( x) x0 . , , x, x0 f x d J ' x 2 Y ' x 2 F , x0 0 0 0
Plus précisément regardons les transformations avec le paramètre μ=ν-l : l , , x, x0 J l x Y ' x0 Y l x J ' x0
F , x 0 dx x l , , x, x0 f ( x) x0 l , , x, x0 f x d J ' x 2 Y ' x 2 F , x0 0 0 0
Calculons la transformée généralisée de Weber-Orr pour μ=ν-l pour une fonction puissance xl-ν :
dx x x
l 1
l 1
dx x
x0
J l x x l 1 J l 1 x
J l 1 x x
dx x
l 1
1 l 2
J l x
l 1
dx x
Pour l
x l 1 J l 1 x
1 2
l 1
Y l x x l 1 Y l 1 x
Lim x l 1 J l 1 x 0
x
dx x
l 1
Y l x
J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 x0
l 1
J
x l 1 Y l 1 x
l 1
x0 Y ' x0 Y l 1 x0 J ' x0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Le produit croisé obtenu fait intervenir les polynômes de Lommel qui sont en relation de récurrence comme suit :
0 1 2
1 1 R1, 0 R0 , 1 x x 1 1 2 1 1 Rl 1, 1 Rl 1, 1 Rl , x x x x 1 1 2 l 1 Rl 1, Rl 1, Rl , x x x x
2 Rl 2, 1l 1 Rl , 1l 1 2
1 Rl 1, 1l x x x x 1 1 1 1 Rl 1, 1l Rl 2 , 1l Rl , 1l Rl 1, 1l x x x x x x 1 1 1 1 Rl 1, 1l Rl 2 , 1l Rl , 1l Rl 1, 1l x x x x x x
Le produit croisée se présente maintenant comme suit : J x Y x J 1 x J x Y 1 x Y x x x x x J ' x0 J 1 x0 J x0 Y ' x0 Y 1 x0 Y x0 x0 x0 Y x0 J l 1 x0 Y 1 x0 x0 J l 1 x0 Y ' x0 Y l 1 x0 J ' x0 Y l 1 x0 J 1 x0 x J x0 0
J l 1 x0 Y 1 x0 Y l 1 x0 J 1 x0 J l 1 x0 Y ' x0 Y l 1 x0 J ' x0 x J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 0 . 1 2 Rl 1, 1l J l x0 Y x0 Y l x0 J x0 x0 x0 1 2 Comme J 1l x0 Y 1 x0 Y 1l x0 J 1 x0 Rl 1, l x0 x0 J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 2 Rl , l 1 x0 x0 1 1 2 Rl 1, l R J l 1 x0 Y ' x0 Y l 1 x0 J ' x0 l , l x0 x0 x0 x0 1 1 2 J l x0 Y ' x0 Y l x0 J ' x0 x Rl , 1l x x Rl 1, 1l x 0 0 0 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Cela donne l'intégrale définie suivante :
l 1 dx x J l x Y ' x0 Y l x J ' x0
x0
l
2 x0 2
1 1 x Rl , l x Rl 1, l x 0 0 0
On peut donc déduire de la transformée inverse, si tant est que l'inversion soit prouvée, l'intégrale définie suivante valable pour x> x0 : 1 1 J x Y ' x Y x J ' x l l d 0 x0 Rl , l x0 Rl 1, l x0 l J ' x0 02 Yl' x0 2 0 2 x0 x Conjecture générale qui reste à démontrer
d
p N
l 2 p
0
J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 0. J ' x0 2 Y ' x0 2
De même en dérivant par rapport à x, il vient :
p N
d
l 2 p 1
0
J l ' x Y ' x0 Y l ' x J ' x0 0. J ' x0 2 Y ' x0 2
Cela a une conséquence importante, comme les termes dominants des deux polynômes de Lommel 1 2l 1 2 l Rl , l l x l x0 0 sont respectivement : 1 2l 1 1 2 l 1 Rl 1, l l x l 1 x0 0
Alors :
0
1 J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 d Rl 1, l 0 J ' x0 2 Y ' x0 2 x 0
L'intégrale indéfinie prend alors la forme : 1 J x Y ' x Y x J ' x d l l 0 2 Rl , l x0 l J ' x0 02 Yl' x0 2 0 2 x0 x0 x On constate pour les mêmes raisons que seul le terme dominant du polynôme de Lommel reste, il vient alors une intégrale définie de forme assez simple :
0
J x Y ' x0 Y l x J ' x0 d 2l 1 2 l B l l 2 l 2 l x0 x0 x l l 2 l 2 J ' x0 2 Y ' x0 2 x0 x0
d J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 1 l 1 x0 x l 2 2 l2 2 1 2 l J ' x0 Y ' x0
0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Maintenant le passage formel à x=x0 peut être réalisé sans dommage, et l'on obtient :
d J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 1 l 1 x0 x l 2 2 l 2 2 1 2 l J ' x0 Y ' x0
0
0
0
Rl , 1l 1 Rl 1, 1l 1 x x x d 2 0 0 0 l 2 x0 l 3 2l 2 1 2 l J ' x0 2 Y ' x0 2 1 1 Rl , 1l Rl 1, 1l d 2 l 2 2 2 l 3 2 1 2 l J ' Y '
Pour l=0 :
0
Pour l=1 :
0
0
d 1 2 2 2 3 J ' Y ' 4 d 1 2 . 5 J ' 2 Y ' 2 8 2 1
2 1 1 d 2 2 5 J ' 2 Y ' 2 16 1 2
Pour l=2 :
2 1 0
2 1 0
0
d 1 2 2 7 J ' 2 Y ' 2 16 1 2 8 2 1 d 1 2 1 1 2 2 7 J ' Y ' 8 1 2 2
d 1 2 3 4 7 J ' 2 Y ' 2 32 3 12 2
Par contre pour des valeurs paires ou impaires trop importantes, il y a un problème de convergence de l'intégrale numérique probablement lié à l'implémentation des fonctions de Bessel et à leur dérivée première.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Transformée Généralisée de Weber-Neumann vers l'arrière de la fonction puissance xμ : 1 dt t J l t x0 J l 1 x0 S 1, l x0 l J l x0 S , l 1 x0 x0 dt t 1 Y t x Y l 0 l 1 x0 S 1, l x0 l Y l x0 S , l 1 x0 x 0 J ' x0 J 1 x0 J x0 Y ' x0 Y 1 x0 Y x0 x0 x0 F , x0 Y ' x0 dt t 1 J l t J ' x0 dt t 1 Y l t x0 x0 1 F , x0 2 Y ' x0 dt t 1 J l t J ' x0 dt t 1 Y l t x0 x0 x Y ' x0 J l 1 x0 S 1, l x0 l J l x0 S , l 1 x0 F , x0 02 J ' x0 Y l 1 x0 S 1, l x0 l Y l x0 S , l 1 x0 Y x0 J l 1 x0 S 1, l x0 l J l x0 S , l 1 x0 Y 1 x0 x0 x F , x0 02 J 1 x0 x J x0 Y l 1 x0 S 1, l x0 l Y l x0 S , l 1 x0 0
S 1, l x0 J l 1 x0 Y 1 x0 Y l 1 x0 J 1 x0 x0 l S , l 1 x0 J l x0 Y 1 x0 Y l x0 J 1 x0 F , x0 1 S 1, l x0 J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 x 0 l S , l 1 x0 J l x0 Y x0 Y l x0 J x0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Ce qui donne le résultat final : 1 2 Rl 1, 1l J l x0 Y x0 Y l x0 J x0 x0 x0 J l 1 x0 Y x0 Y l 1 x0 J x0 2 Rl , l 1 x0 x0 Comme 1 2 J Rl 1, l l 1 x0 Y 1 x0 Y l 1 x0 J 1 x0 x0 x0 1 2 Rl 2, l 1 J l x0 Y 1 x0 Y l x0 J 1 x0 x0 x0 1 1 l S , l 1 x0 Rl 2, l 1 S 1, l x0 Rl 1, l x0 x0 2 x0 F , x0 x0 1 1 1 x S 1, l x0 Rl , l x l S , l 1 x0 Rl 1, 1l x 0 0 0
F , x0
2 2
1 1 Rl 1, 1l l S , l 1 x0 Rl 2, l 1 x0 x0 x0 1 1 S 1, l x0 Rl 1, l x x Rl , l x 0 0 0
Une fois cette fonction inversée, on obtient l'intégrale indéfinie suivante valable pour x> x0 : 1 Rl 2 , l 1 x 0 l S , l 1 x0 1 J l x Y ' x0 Y l x J ' x0 d R x 0 1 x l 1, 1l x 2 J ' x0 2 Y ' x0 2 0 0 1 1 S x R R 0 l 1, l l , l 1, l x0 x0 x0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Application des transformées de Hankel à la résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace : problème de Dirichlet axial sur le demi-espace z>0 Si nous revenons au développement intégral de la solution du problème aux limites suivant : T ( r , z ) 0 r [0, ) T ( , z )
fini
z 0, z0 T (r , z ) z 0 f1 r T ( r , z ) z z f 2 r 0 C Sinhz D Sinh z0 z T (r , z ) d J 0 (r ) Sinhz0 0
z 0, T (r , z ) z 0 f r T ( r , z ) d J 0 (r )e z C 0
Il paraît alors assez naturel d'identifier les fonctions paramétriques d'après les transformées de Hankel respectives des fonctions limites, et d'après le théorème de Hankel, pourvu que les fonctions limites respectent les conditions requises, on écrit : C
dr rJ
0
(r ) f 2 r
D
dr rJ
0
(r ) f1 r
. Imaginons que le problème aux limites soit sur le domaine z également non bornée, le demi espace des valeurs positives, il vient une solution de la forme 0
0
z 0, T (, z ), T ( r ,)
T ( r , z ) 0 r [0, )
T (r , z )
d J
0
(r )C e
C
z
dr rJ
0
0
fini T (r , z ) z 0 f r
(r ) f r
.
0
Si la fonction limite est de la forme :
r0 f r T0 r r0 C T 0 dr rJ 0 ( r ) dz zJ 0 ( z ) zJ1 ( z ) f r 0 r r0 0
C
T0 2
r0
dz zJ 0 ( z ) 0
T0 r0 J1 (r0 ) T (r , z ) T0 r0 d J 0 (r ) J1 (r0 )e z 0
Le profil de la solution sur l'axe z est alors le suivant :
r 0 T (0, z ) T0 r0 d J 0 (0) J1 (r0 )e
z
.
T (0, z ) J 0 (0) 1 r0 d J1 (r0 )e z T0 0
. On peut calculer explicitement cette intégrale d'après l'intégrale définie donnée dans les tables de A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov et O.I.Marichev- « Integrals and Series, Volume 2 - Special Functions » page 183, section 2.12.8, formule n°3 : 0
px dx e J (cx) 0
c p2 c2
p
p2 c2
Re p Imc
.
Par identification des termes, il vient : p z 1 c r0
x
r0
z z 2 r 2 0 2 2 z r0
z d J1 (r0 )e 0
T (0, z ) T0
r0
2
2 2 z 2 r0 z z 2 r0
Re 1
r0
1
2
z 2 r 2 z z 2 r 2 0 0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
C'est exactement le profil trouvé dans le cas limite d'un cône d'angle ouvert droit en coordonnées sphérique, avec un disque de rayon fini porté à une valeur constante, l'extérieur du disque étant placé à la valeur nulle, il suffit de remplacer par l'expression : T (0, z ) x 1 x2 x 1 1 2 2 2 T0 1 x 1 x 1 x 1 x2 x
z T (0, z ) x r0 T0
1 z2 z2 z 1 2 1 2 r0 r0 r0
r0
2
z 2 r 2 z z 2 r 2 0 0
Par contre on ne peut retrouver la solution donnée dans le livre de J.D.Jackson, Classical Electrodynamics, page 92, formule n°3.178, pour un disque placée à l'origine sur le plan (x,y) T (r , z ) 2 2r0 ArcSin 2 z 2 r r z 2 r r 2 T0 0 0
r0 r 0 T (0, z ) 2 ArcSin z2 r 2 T0 0
.
Ce qui est tout à fais normal car le problème aux limites du disque de J.D.Jackson est fondamentalement différent dans la nature des conditions aux limites. Application des transformées de Hankel à la résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace : problème de Robin axial sur le demi-espace z>0 Cette fois sur le disque de rayon r0, la condition aux limites est inhomogène de Robin : T ( r , z ) 0 r [0, )
C.L. T (r , z )
z 0, T ( , z ), T (r , )
fini
T ( r , z ) T (r , z ) f r z z 0
0
0
z 2 d J 0 (r )C e d J 0 (r )C d J 0 (r )C f r 0
z T (r , z ) d J 0 (r )C e 0 d J 0 (r ) C f r 1 0 C dr rJ 0 (r ) f r 0
.
Si la fonction limite est de la forme :
r0 f r T0 r r0 T0 C dr rJ 0 (r ) dz zJ 0 ( z ) zJ1 ( z ) 0 f r 0 r r0
C
r
0 T0 T0 r0 dz zJ 0 ( z ) J1 (r0 ) T (r , z ) T0 r0 2 0
0
d
J 0 (r ) J1 (r0 )e z
Cette fois le profil sur l'axe z change de forme : J 0 (0) J1 (r0 )e z T (0, z ) J ( r )e z r 0 T (0, z ) T0 r0 d J 0 (0) 1 r0 d 1 0 T0 0 0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Je n'ai pas trouvé d'intégrale définie dans le cas des deux paramètres non nuls, par contre lorsque le problème mixte est de Neumann, il existe une intégrale définie, donnée également dans les tables de A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov et O.I.Marichev- « Integrals and Series, Volume 2 - Special Functions » page 183, section 2.12.8, formule n°4 :
a 1 px a dx x e J (cx) I 0
I 1
n 1
n
I c 1
c
n 1 p n 1
c p
I0
p2 c2
Re p Imc
Re 1
p 2 c 2 p p2 c2
p2 c2 p
p2 c2 p
p2 c2 p p2 c2
c c 2
p2 c2 p
p2 c2
c p2 c2
p
p2 c2
.
Par identification des termes à la valeur a=0, il vient : J ( r )e z r0 p z 1 c r0 x d 1 0 2 z z 2 r0 0 T (0, z ) r0 T0
0
1 2 J1 (r0 )e z 1 r0 1 d T0 1 T (0, z ) 2 2 z z r0 z 1 z2 r 1 0 .
Application des transformées de Hankel/Weber à la résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace : problème de Dirichlet axial sur une bande centrée de hauteur 2z0 Si nous revenons au développement intégral de la solution du problème aux limites suivant : T (r , z ) 0 r [r0 , )
z z0 , z0 T ( , z )
T (r , z ) z z f1 r T (r , z ) z z f 2 r 0
T (r , z )
fini
C.L.Homogène T (r , z ) r r 0 0
0
d J
0
(r )Y0 (r0 ) Y0 (r ) J 0 (r0 )
C Sinh z z0 D Sinh z0 z Sinh2z0
. Dans l'application des conditions aux limites et par identification des termes des transformations de Weber : 0
f ( r ) 0 d 0 (r ) F 0 (r ) f ( r ) d dt t ( t ) f ( t ) 0 2 2 J ( r ) Y ( r ) 0 r0 0 0 0 0 dt t 0 (t ) f (t ) r 0 . F 2 2 J ( r ) Y ( r ) 0 0 0 0 0 (r ) J 0 (r )Y0 (r0 ) Y0 (r ) J 0 (r0 )
J 0 ( r )
fonction de Bessel de première espèce
Y0 (r )
fonction de Bessel de deuxième espèce
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Il vient :
z z0 , z0 T (, z )
T (r , z ) 0 r [r0 , )
C.L.Homogène T (r , z ) r r 0
fini
T (r , z ) z z f1 r T (r , z ) z z f 2 r 0 r J 0 r Y0 r0 Y0 r J 0 r0 0
0
0
f1 r
d r D D J
dt t t f t 0
0
0
1
r0
(r0 ) Y0 (r0 ) 2
0
2
f 2 r
dt t t f t 0
d 0 r C C
2
r0
J 0 (r0 ) 2 Y0 (r0 ) 2
. Comme premier cas particulier, supposons que les deux fonctions limites sont identiques : 0
dt t t f t 0
0 r J 0 r Y0 r0 Y0 r J 0 r0 C
x0
J 0 (x0 ) 2 Y0 (x0 ) 2 Sinh z0 z Sinh z0 z T ( r , z ) d C 0 r Sinh2z0 0 Cosh z T (r , z ) d C 0 r Cosh z0 0 .
Encore plus particulièrement supposons que les fonctions sont en plus constantes, il vient : z z0 , z0 T (, z )
T (r , z ) 0 r [ r0 , ) T (r , z ) z z T0
T (r , z ) z z T0
0
0
fini
C.L.Homogène T (r , z ) r r 0 0
T (r , z ) r r 0 0
C Y0 r0 dt t J 0 t J 0 r0 dt t Y0 t r0
r0
1 dt t J t t J t 0
r0
2
1
r0
1 dt t Y t t Y t 0
r0
2
1
r0
Lim t J1 t Lim t Y1 t 0
t
t
r0 Y0 r0 J1 r0 J 0 r0 Y1 r0 r0 J 0 r0 Y1 r0 Y0 r0 J1 r0 J r Y r Y r J r r Cosh z T (r , z ) T0 r0 d 0 0 1 0 20 0 1 02 0 Cosh z0 J 0 (r0 ) Y0 (r0 ) 0 C
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
De plus il existe une relation liant les fonctions de première et deuxième espèce, à savoir : 0 r J 0 r Y0 r0 Y0 r J 0 r0 0 r0 0 0 ' r J 0 ' r Y0 r0 Y0 ' r J 0 r0 J1 r Y0 r0 Y1 r J 0 r0 J ' x J x J 1 x 2 x Identité du Wronskien Wz J x , Y x x Y ' x Y x Y x 1 x Wz J x , Y x J x Y ' x J ' x Y x J 1 x Y x J x Y 1 x J1 x Y0 x J 0 x Y1 x
2 2 J 0 x Y1 x J1 x Y0 x x x
0 ' r0 J 0 r0 Y1 r0 J1 r0 Y0 r0 J 0 r0 Y1 r0 J1 r0 Y0 r0
2 r0
2 r0
.
Ce qui permet de trouver le résultat final : 2 J r Y r Y0 r0 J 0 r Cosh z T ( r , z ) T0 d 0 0 0 2 2 0 Cosh z0 J 0 (r0 ) Y0 (r0 ) . Pour le problème suivant, le résultat découle de suite : T (r , z ) 0 r [r0 , ) z z0 , z0 T (, z ) T (r , z ) 0 T (r , z ) z z 0 T (r , z ) r r T0 z z0 0 0 ~ T (r , z ) T0 T (r , z ) ~ ~ T (r , z ) 0 r [r0 , ) z z0 , z0 T (, z ) T (r , z ) z z T0 T ( r , z ) z z T0 T (r , z ) r r 0 0 0 0 2 ~ T (r , z )
d 0
2 T ( r , z ) T0 1
fini
fini
C.L.Homogène T (r , z ) r r 0
J 0 r0 Y0 r Y0 r0 J 0 r Cosh z 2 2 Cosh z0 J 0 (r0 ) Y0 (r0 )
d 0
J 0 r0 Y0 r Y0 r0 J 0 r Cosh z J 0 (r0 ) 2 Y0 (r0 ) 2 Cosh z0
0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Application des transformées de Hankel à la résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace : problème de Dirichlet axial électrostatique dans l'espace plan de hauteur 2z 0, potentiel dû à une charge placée à l'origine des coordonnées Dans ce cas la charge provoque un potentiel de la forme : T0
Tq (r , z )
x y z 2
2
T0
2
r z2 2
. La charge induite sur les plaques du conducteur parfait annule le potentiel sur ces derniers en z=+z0 et z=-z0. Le potentiel se décompose en deux sous la forme : T0
T (r , z ) Tq (r , z ) Ts (r , z )
r z2 2
Ts ( r , z )
. Le dernier potentiel est solution du problème aux limites homogènes sur les plaques hautes et basses, à savoir : z z0 , z0 T (, z )
Ts (r , z ) 0 r [0, ) T0
Ts (r , z ) z z
r 2 z0
0
Ts (r , z ) Comme
d C J 0 r
dx e
px
J (cx)
0
px dx e J 0 (cx) 0
c
p c 2
2
p
p2 c2
p c
2
0
0
0
dr
r J 0 r r 2 z0
2
Ts (r , z ) T0
r J 0 r
0
t 2 z0
dr
Re p Imc
dr r
1 r z 2
1 r2 z2
2
Cosh z d C J r Cosh z
0
0
0
Re 1
d
0
J 0 ( r )
2
e z J 0 ( r )
1 r z2 2
e z
e z0 e z 0 C T0
d e 0
z d e J 0 (r )
2
Par application du théorème de Hankel
C T0
Sinh z0 z Sinh z0 z Ts (r , z ) Sinh2z0
c 2
r 2 z0
0
0
T0
T (r , z ) z z
2
fini
z0
Cosh z J 0 r T (r , z ) Cosh z0
T0 r z 2
2
T0
d e 0
z0
J 0 r
Cosh z Cosh z0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Application des transformées de Hankel à la résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace : problème de Neumann axial électrostatique dans de demi espace z>0, potentiel dû à un disque de rayon r0 posé à la terre appliquant un courant continu Dans ce cas il s'agit d'un problème inhomogène de Neumann en z=0 : Cette fois sur le disque de rayon r0, la condition aux limites est inhomogène de Robin : T ( r , z ) 0 r [0, )
C.L.
T (r , z ) z z 0
z 0, T (, z ), T ( r , )
fini
T ( r , z ) d J 0 (r )C e z 0 f r C 1 dr rJ (r ) f r 0 0 .
Si la fonction limite est de la forme : T0 r T0 0 f r 2 r r0 r0 C dr rJ 0 (r ) dz zJ 0 ( z ) zJ1 ( z ) r0 2 0 f r 0 r r 0 C
T0 1 2 r0 2
T (r , z )
T0 r0
r0
dz zJ 0 ( z ) 0
d 0
T0 r0 Tr J1 (r0 ) T (r , z ) 0 20 2 2 r0 r0
d 0
J 0 (r ) J1 (r0 )e z 2
1 J 0 (r ) J1 (r0 )e z
Le profil sur l'axe z change de forme : T (0, z ) 1 J ( r ) e z d 1 0 T0 r0 0 . L'intégrale dans les tables de A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov et O.I.Marichev- « Integrals and Series, Volume 2 - Special Functions » page 183, section 2.12.8, formule n°4 donne par identification des termes à la valeur a=0, il vient : J ( r )e z r0 p z 1 c r0 x d 1 0 2 z z 2 r0 0 T (0, z ) 1 T0 r0
d
0
J1 (r0 )e z 1 1 2 2z z z 2 r0
si
r0 0
. Regardons la répartition de potentiel dans le cas limite où r0->0 : T J (r ) J1 (r0 )e z r T ( r , z ) 0 d 0 J1 (r0 ) 0 r0 0 2 T (r , z )
T0 r0 2r0
d J 0
0
( r )e z
T0 2 z2 r2
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Méthode de résolution des problèmes aux limites de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques 3D sur des secteurs d'angle cylindriques non bornés par les transformations intégrales de Kontorovich-Lebedev. Problèmes de Dirichlet inhomogène angulaire sur des secteurs d'angle illimité en r, illimité ou limité en z On aborde en quelques pages les problèmes aux limites cylindriques sur des domaines non bornés radialement et partiellement bornés sur l'axe z, en forme de secteur cylindrique, auxquels on applique des conditions aux limites inhomogènes angulaire. La plupart des exemples donnés ci-dessous sont tirés des deux ouvrages d'exemples et d'exercices de Physique Mathématique : N.N.Lebedev, Special Functions and their applications, 1965, section 6.5 « The Dirichlet problem for the Wedge », N.N.Lebedev, I.P.Skalskaya et Y.S.Ufliand, 1965, « Problems of Mathematical Physics », section 5 « Integral Transform Involving Cylinder Functions of Imaginary order » pages 194 et suivantes. Les énoncés ont été parfois modifiés pour ne faire apparaître que la formalisation mathématique du problème aux limites de Laplace, sans se préoccuper de la forme exacte des grandeurs physiques en jeu. Le problème de Dirichlet inhomogène angulaire est le suivant sur un solide cylindrique non borné en r et z, seules les conditions aux limites angulaire suffisent à le définir. C .L. T ( r , , z ) f1 ( r , z ) 1
T (r , , z ) f 2 ( r , z ) 2
Par la suite on définira d'autres problèmes sur des domaines non-bornés radialement avec des configurations géométriques plus complexes toujours sur des secteurs d'angle. La séparation des variables dans les trois coordonnées cylindriques donnent trois équations différentielles ordinaires, et les solutions de chacune, notamment les solutions radiales sont alors dans la catégorie des fonctions modifiées de Bessel d'ordre purement imaginaire, et dont la partie imaginaire de l'ordre est non nécessairement entière : 2T ( r , , z ) 1 T (r , , z ) 1 2T ( r , , z ) 2T (r , , z ) 2 0 T (r , , z ) R(r )( ) Z ( z ) r 2 r r r 2 z 2 d 2 R(r ) 1 dR(r ) 2 d 2 ( ) d 2 Z (z) 2 2 R ( r ) 0 ( ) 0 2 Z ( z) 0 2 2 r2 dr 2 r dr d dz Solution du type R( r ) Ar J i i r BrYi i r Ar I i r Br K i r
Fonctions de Bessel modifiées d ' ordre imaginaire ( ) A Cosh B Sinh Z ( z ) Az Cos z Bz Sin z
. Nous savons également que les fonctions de Bessel modifiée de première et deuxième espèce présentent une singularité en zéro par une oscillation rapide qui les rend impropre a être utilisées dans des développement en série. Par ailleurs la fonction de première espèces I doit être écartée car elle divergent lorsque r tend vers l'infini. La solution de base est donc la suivante : T r , , z K i r A Cosh B Sinh Az Cos z Bz Sin z
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
L'idée de Kontorovich et de son élève à l'époque N.N.Lebedev, est de tenter d'utiliser cette solution de base : T r , , z T , r , , z K i r A Cosh B Sinh Az Cos z Bz Sin z non dans une série, mais dans une intégrale sur le paramètre de valeur propre. A cet effet supposons que les fonctions limites sont paires en z, et admettent une représentation intégrale de Fourier-Cosinus : f p r , z
d g p r , Cos z g p r, 0
2
f p r , z Cos z
dz 0
Si la fonction est impaire alors, on utilise la transformée de Fourier sinus : f p r , z
d g p r, Sin z g p r, 0
2
f p r , z Sin z
dz 0
Et si la fonction n'est ni paire ni impaire, on sépare le problème en deux sous-problèmes avec respectivement les fonctions limites suivantes : f p r , z
f p r , z f p r , z
f p r , z
2
f p r , z f p r , z 2
On cherche alors la solution du problème sous la forme d'une double intégrale (sur le spectre radiale et angulaire, ici prenons une fonction limite paire) : Sinh 2 Sinh 1 T r , , z d Cos z d K i r G1 , G2 , Sinh 2 1 Sinh 2 1 0 0 L'application des conditions aux limites de Dirichlet donne : T r , , z 1
T r , , z 2
0
0
0
0
0
0
d Cos z d Ki r G1 , d Cos z d K i r G2 ,
d g r, Cos z 1
d g r , Cos z 2
g1 r , d K i r G1 , 0 g r , d K r G , i 2 0 2
Dès lors la solution dépend des valeurs des fonctions G1 et G2 qui sont les coefficients de l'expansion intégrale par le noyau de la fonction K d'ordre imaginaire. Cette expansion intégrale est possible grâce à une théorème dû à ses deux co-auteurs, Kontorovich et Lebedev. Le théorème permet de calculer les fonctions G1 et G2 par le biais d'un transformation intégrale (et son inverse) . La solution formelle du problème est alors la suivante (voir le théorème de la transformation intégrale) : g r , K i ( r ) 2 2 p 1,2 g p r , dz f p r , z Cos z G p , 2 Sinh dr p 0 r 0 T r , , z
Sinh 2 Sinh 1 G2 , Sinh 2 1 2 1
d Cos z d K r G , Sinh i
0
0
1
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Théorème de Kontorovich-Lebedev avec les fonctions de Bessel modifiées d'ordre imaginaire également appelées fonctions de MacDonald Pour toute fonction f(x) sur l'intervalle [0,+∞) : 1 - continue par morceau et dont la variation est bornée sur tout intervalle [x1,x2] de [0,+∞] et 1 2
2 - telle que les intégrales sont finies : dx f ( x) Log 1 et x
x
0
dx f ( x) 1 2
Cette dernière admet la représentation intégrale suivante, pour x>0 : f ( x)
2 2
d Sinh 0
K i ( x ) K (t ) . dt f (t ) i x 0 t
Au point de discontinuité de la fonction la formule intégrale est la suivante : f ( x 0) f ( x 0) 2 2 2
d Sinh 0
K i ( x ) K (t ) dt f (t ) i x 0 t
Par le changement de variable, et le changement de fonction : x r t La formule intégrale devient : 2 K ( ) x f ( x) g , r 2 d Sinh K i ( r ) d f ( ) i 0 0
2 f ( ) g , g , r 2
d Sinh K ( r ) d g , i
0
0
En simplifiant l'expression de la fonction g , r g r g r
2 2
d Sinh K i ( r ) d g 0
0
Si rhr g r rhr hr
2 2
2 2
K i ( )
K i ( )
d Sinh K i ( r ) d h K i ( ) 0
d Sinh 0
x f ( x) g , r
0
K i ( r ) r
d h K ( ) i
0
Et les conditions de validité du développement intégral est assurée par la finitude des intégrales suivantes : 1 2
dx 0
1 2
f ( x)
1 Log dr x x 0
1 2
r f ( r ) r
1 2
g , r 1 1 dr Log Log r r 0 r
1
1
2 2 g , r g r 1 1 1 dr Log dr Log dr hr Log r r r r r 0 0 0
dx f ( x) 1 2
dr 1 2
g , r
r
dr 1 2
g , r r
dr 1 2
g r r
dr 1 2
r hr
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Les trois formules intégrales : f ( x)
2 2
d Sinh 0
K i ( x ) K (t ) dt f (t ) i x 0 t
2 2
0
0
2 hr 2
g r
d Sinh K i ( r ) d g
K ( r ) 0 d Sinh i r
K i ( )
d h K ( ) i
0
peuvent se décomposer afin d'introduire les diverses formes des transformées et transformées inverses de Kontorovich-Lebedev des fonction f, g, h : f ( x)
1
g r
2 2
d Sinh 0
K i ( x ) K (t ) dt f (t ) i x 0 t
~ f ( x) f ( )
~ K (t ) K dt f (t ) i transformée de Kontorovich Lebedev f t 0 ~ K ( x) 2 ~ 1 K ~ ( x) d Sinh f i transformée inverse de Kontorovich Lebedev 2 f 0 x
2 2
d Sinh K i ( r ) d g 0
0
K i ( )
g (r ) g~ ( )
~ g K i ( ) transformée de Kontorovich Lebedev K g d 0 2 ~ 1 K ( r ) d Sinh g~ K i ( r ) transformée inverse de Kontorovich Lebedev ~ 2 g 0
2
2 hr 2
Sinh K i ( r ) 0 d r
d h K ( ) i
~ h(r ) h ( )
0
~ K h d g K i ( ) transformée de Kontorovich Lebedev 0 ~ K i ( r ) 2 ~ 1 K transformée inverse de Kontorovich Lebedev h~ ( x) 2 d Sinh h r 0
3
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : le développement intégral de la fonction suivante, relève d'une transformation de Kontorovich-Lebedev qui permet d'associer la fonction à sa transformée : 2 Sinh K i ( x ) 2 Sinh f ( x) x e xCos d x e xCos d K i ( x ) . 0 Sin 0 Sin x Par comparaison avec la première des formules de la transformée inverse, on en déduit ceci : 2 Sinh K i ( x) f ( x) x e xCos d 0 Sin x 2 ~ K ~f 1 ( x) 2
te
dt
dt e
t
~
d Sinh f 0
tCos
t
0
K i (t )
dt e
K i ( x ) f ( x) x
tCos
K i (t )
0
K i (t ) Lim 0
0
~ x e xCos f
Sinh Sin Sinh
Sinh Sin Sinh
Sinh Sin Sinh Sinh
.
En prenant un paramètre imaginaire α->i α : 2 Sin Sin xCosh xe d K i ( x) dt e tCosh K i (t ) 0 Sinh Sinh Sinh 0 Prenons le développement en intégrale de Fourier-Cosinus de la fonction de MacDonald, selon son ordre ν (voir la table des transformations de Fourier de F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.20 Modified Bessel Functions of Variable Order, formule 20.5, page 100), on reconnaît là une formule de transformée intégrale de Kontorovich-Lebedev, et en utilisant l'une quelconque de ses formes, il vient : ~ K (t ) K dt f (t ) i f x Cosh t e 2 K x 0 d Cos i 0 x x 2 ~ 1 K ~ ~ K i ( x ) 2 f ( x) 2 d Sinh f x 0 ~ Cos f Sinh
dt 0
dt 0
e t Cosh K i (t ) Cos t Sinh
dt 0
d Cos 0
K i x x
e t Cos K i (t ) Cosh t Sinh
e K i (t ) t Sinh t
Ces traitements sont non nécessairement valide voir plus bas
Toutefois, les conditions d'application du théorème de Kontorovich-Lebedev sur la finitude des intégrales ne sont pas vérifiées dans ce cas : f ( x)
e
x Cosh
x
1 2
dx
1 2
e x Cosh 1 1 Log dx Log x x x 0 x
f ( x)
0
Mais en revanche pour la première fonction, les conditions sont remplis : f ( x)
1 2
xe x Cosh dx 0
1
f ( x)
1 2 1 Log dx e x Cosh Log x x 0 x
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
De même que pour la fonction 1 2
1 2
f ( x)
e 1 Log dx x x 0
f ( x) e x Cosh dx 0
x Cosh
x
1 Log x
Pourtant, on peut utiliser la dérivation par rapport au paramètre pour retrouver des intégrales déjà calculées auparavant : e t Cosh K i (t ) e t Cosh K i (t ) Sin Cos Sinh dt t t Sinh t Sinh 0
dt 0
dt e
t Cosh
K i (t )
0
dt e
t
K i (t ) Lim 0
0
Sin Sinh Sinh
Sin Sinh Sinh Sinh
.
Autre exemp le : D'après l'ouvrage A.Erdelyi, H.Bateman, Higher Transcendental Functions, volume 2, page 55, formule (42) K 0M
a 2 b 2 2abCos
2
d
K i (a) K i b Cosh
0
En posant la valeur θ=π, il vient : K 0M
a 2 b 2 2ab K 0M a b
K 0M a x
2
d
2
d
K i (a) K i b
0
K i ( a ) K i x
0
En identifiant l'expression comme une transformée de Kontorovich-Lebedev, il vient en utilisant la première formule : ~ K t K dt f (t ) i f M t K 0 a x 2 K x 0 d K i (a) i 0 x x ~ 2 K x 2 ~ 1 K ~ x d Sinh f i 2 f 0 x
~ K i a f Sinh
dt 0
K
M 0
t K i (t ) t
dt
K
M 0
a t K i (t )
0
K i 0 Sinh
t
K i a Sinh
d 0
K i a
K i x x
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Autre exemp le : D'après l'ouvrage A.Erdelyi, H.Bateman, Higher Transcendental Functions, volume 2, page 55, formule (42) Si on revient à la première expression : K
M 0
2 a x 2axCos 2
2
d
K i (a)Cosh K i x
0
Par identification des termes de la transformée de Kontorovich-Lebedev, il vient en utilisant la première formule : K 0M
a 2 x 2 2axCos
2 d K
x
i
(a)Cosh
0
~ K i t K f dt f (t ) t 0 ~ 2 K x 2 ~ 1 K ~ x d Sinh f i 2 f 0 x
K i x x
~ K i a Cosh f Sinh
dt
K
M 0
d
K i (a)Cosh
0
K i x x
a t 2 2atCos K i (t ) K i a Cosh t Sinh 2
0
.
Autre exemple : démontrons la formule intégrale :
dx
1 e x
x
0
Cosh 1 2 K i x Sinh
En prenant pour cela la première formule de la transformée inverse de Kontorovich-Lebedev, il vient :
1 e x
x
Cosh 1 K i x 2 2 d Sinh 0 Sinh x
2 2
1 e x
2
0 d Cosh 2 1 Ki x
Cela revient à démontrer que
x
2
Comme
2
d Cosh 0
K i x 1 2 x
d Cosh 0
e x
2
d
K i x
0
K i x 1
Cette dernière assertion est obtenu à l'aide de la formule intégrale (voir la table des transformations de Fourier de F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.20 Modified Bessel Functions of Variable Order, formule 20.5, page 100), qui donne par la substitution α->iα : e x Cosh
2
e x Cos
x Cosh i d Cos K i x e 0
2
d Cosh K i x 0
2
d Cosi K x i
0
2 1 d Cosh K i x 2 0 2
Ce qui démontre l'assertion et par suite la valeur de l'intégrale à l'aide de la transformée de Kontorovich-Lebedev.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Autre exemple : démontrons la formule intégrale suivante,
dx
1 e
xCosh
x
0
Cosh Cos 2 K i x Sinh
Supposons que la formule s'écrit à l'aide de deux inconnus :
1 e dx
0
xCosh
K x i
x
ACosh B 2 Sinh
Nous avons alors :
1 e
xCosh
x
ACosh B 2 K i x 2 2 2 d Sinh 0 Sinh x
1 e xCosh Comme
2
2
A 1 et
1 e dx
0
2
d Cos K i x et 1 0
0
0
1 e dx
0
x xCos
x
K x Cosh 2 Cos Sinh i
K x Cosh 2 Cosh Sinh i
2
2 B K i x 2
d ACosh
B Cos
xCosh
2
0
K x B i x
B K i x 2
On a donc établit les deux formules suivantes :
d ACosh
d ACosh
e xCosh
1 e xCosh
2
d Cosh 0
Cos K i x 2
d Cosh 0
K i x
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple d'une transformation mixte Kontorovich-Lebedev et Mehler Fock Dans la table sur les transformations de Kontorovich-Lebedev et Mehler-Fock F.Oberhettinger, « Tables of Lebedev, Mehler and Generalized Mehler Transforms », la transformée suivante de Kontorovich-Lebedev nous est donnée en page 10 :
d Tanh P 1
0
2
2
K i x i
x e x e x
2 P 1 i K i x 2 d Sinh 0 x 2 Cosh
2 2
2 x
d Tanh P 0
1 i 2
K i x
x e 2
. En inversant cette intégrale vue sous la forme d'une transformation de Kontorovich-Lebedev, il vient, une représentation intégrale de la fonction conique de Mehler de première espèce : f ( x)
2 2
d Sinh 0
K i ( x ) K (t ) dt f (t ) i x 0 t
~ f ( x) f ( )
~ K i (t ) transformée de Kontorovich Lebedev K f dt f (t ) t 0 ~ K ( x) 2 ~ 1 K ~ ( x) d Sinh f i transformée inverse de Kontorovich Lebedev 2 f 0 x
P 1 ~ 2 2 i x f f ( x) e dt 2 Cosh 2 0
Ici
P1
i
2
3 2
Cosh dt e x
P 1 x K i (t ) 2 2 i e 2 2 Cosh t
K i (t ) t
. Vue sous la forme d'une transformation intégrale de Mehler-Fock, il vient une représentation intégrale de la fonction de MacDonald : 2
0
f ( x)
d P 1
0
2
x Tanh dy f ( y ) P 1 i y i
~ f ( x) f ( )
2
1
~ ~ M f f ( ) Tanh dx f ( x) P 1 i x transformée de Mehler Fock 2 1 ~ ~ 1 M ~ ( x) f ( x) d f ( ) P 1 x transformée inverse de Mehler Fock f i 2 0
Comme
d Tanh K P i
0
1 i 2
x
~ x e x f Tanh K i f ( x) x e x 2 2
x Tanh K i Tanh dx x e P 1 x K i dx e x x P 1 x i i 2 2 0 2 2 0 Et l'on retrouve cette formule en page 23 du même ouvrage, F.Oberhettinger, « Tables of Lebedev, Mehler and Generalized Mehler Transforms », la transformée suivante de Kontorovich-Lebedev. L'examen de ces tables permet de déduire toute une série de représentation intégrale liée à la présence mixte des noyaux de ces deux transformations intégrales : Kontorovich-Lebedev et Mehler-Fock.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Revenons au problème de départ, en utilisant la deuxième formule des transformées de Kontorovich-Lebedev : ~ g K i ( ) K d transformée de Kontorovich Lebedev g 0 2 ~ 1 K ~ K ( r ) transformée inverse de Kontorovich Lebedev d Sinh g ~ (r ) g i 2 0
g p r ,
d G , K r p
pour p 1,2
i
0
g p r , G p ,
2 2
0
0
d Sinh g~ K i ( r )
d G , K r p
i
2 ~ 2 Sinh d g p , K i ( ) Sinh g 0 2 2
La solution formelle du problème est donc : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z )
T (r , , z ) f 2 (r , z )
1
2
g1 r , G1 ,
2
dz f1 r, z Cos z 0
g 2 r ,
2
g , K i ( ) 2 Sinh d 2 0
T r , , z
0
0
d Cos z d
1
dz
f 2 r , z Cos z
0
G2 ,
g 2 , K i ( ) 2 Sinh d 0 2
Sinh 2 Sinh 1 K i r G1 , G2 , Sinh 2 1 Sinh 2 1
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Il arrive souvent que les fonctions limites ne permettent pas de garantir la finitude de la première l'intégrale pour l'application du théorème de Kontorovich-Lebedev : 1 2
g p r ,
dr
r
0
. 1 Log r
Dans ce cas on régularise le problème en introduisant des fonctions modifiées : g *p r , g p r , g p 0, e r , et l'on assume que les conditions de finitude de l'intégrale sur la fonction modifiée est assurée, soit : 1 2
g *p r ,
dr
r
0
. 1 Log r
On résout alors le problème avec ces fonctions modifiées : g *p r ,
* d G p , K i r
G *p ,
g *p , K i ( ) 2 Sinh d 0 2
. Il existe un développement connu de la fonction exponentielle en fonction de MacDonald : 0
e x
2
d
K i x
0
Pour le prouver on utilise la transformée de Fourier-Cosinus sur un ordre variable de la fonction de MacDonald : e x Cosh
2
x d Cos K i x 0 e 0
2
d
K i x
0
Ce qui implique : g p 0, e r
2 g p 0, d K i r 0
Ce qui permet de revenir facilement aux termes G, de la manière suivante : g *p r ,
d G , K r
* p
i
0
g r , d G p , K i r 0
p
g p 0, e r
2 g p 0, d K i r 0
g *p r , g p r , g p 0, e r g p r ,
0
0
* d G p , K i r
2 g p 0, d K i r 0
d G p , K i r
2 g p 0, d K i r 0
2 2 G , G p , g p 0, G p , G *p , g p 0, * p
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
La solution dans ce cas s'écrit maintenant : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z ) 1
g p r , g *p r , 1 2
2
G *p , T r , , z
.
2
dz f p r , z Cos z g p 0, 0
2 dz f p r , z Cos z e r 0
tel que dr 0
T (r , , z ) f 2 (r , z )
g *p r , r
1 Log r
2
dz
f p 0, z Cos z
0
2 0 dz f p 0, z Cos z
dz f r , z e
p
r
0
p 1, 2
g *p , K i ( ) 2 Sinh d 0 2
et
G p , G *p ,
2 g p 0,
Sinh Sinh d Cos z 0 0 d K i r G1 , Sinh 22 1 G2 , Sinh 2 11
f p 0, z Cos z
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : potentiel d'une charge q, placée devant un demi-plan conducteur à une distance a de l'origine. Le demi-plan conducteur parfait est dans le plan <x,o,z>, le bord du plan coïncide avec l'axe z. On suppose que la charge est dans le même plan <x,o,z>, placé à la distance a de l'origine, soit en coordonnées cartésiennes q placé en (-a,0,0).
Le potentiel crée par la charge q est le suivant : Tq (r , , z )
q
x a
2
y z 2
x r Cos Tq (r , , z ) 2 2 r x y
2
q x a 2ax y 2 z 2 2
2
q r a 2ar Cos z 2 2
2
. La solution est recherchée sous la forme d'une addition du potentiel crée par la charge q et d'un potentiel recherché : T (r , , z ) Tq (r , , z ) T0 (r , , z ) T (r , , z ) 0 0 T (r , , z ) 2 0
q r a 2ar Cos z 2 2
2
T0 (r , , z )
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Le potentiel T0(r,ϑ,z) répond alors au condition aux limites suivante : T0 (r , , z ) 0 T0 (r , , z ) 2 f p r , z
q r a 2ar z 2
2
2
q
r a 2 z 2 .
La transformée de Fourier-Cosinus de la fonction limite est la suivante (voir la table des transformations de Fourier de F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.1 Algebraic Function, formule 1.32, page 5): g p r , M 0
K ( x)
2q
Cos z
dz r a 0
2
z
2
fonction de MacDonald
2q M K 0 r a
K 0M ( x) Lim K i ( x) 0
K ( x ) K i ( x ) M
.
Dans ce cas la valeur en r=0 est la suivante : g p 0,
2q M K 0 a .
Et la fonction modifiée est la suivante : 2q M 2q r M K 0 r a e K 0 a 2q g *p r , K 0M r a e r K 0M a . g *p r ,
Posons nous la question : est-ce que l'intégrale suivante est finie : 1 2
dr 0
g p r , r
1 2
K 0M r a 1 2q 1 Log dr Log r r 0 r
En utilisant par exemple Mathematica, on se convainc facilement que cette intégrale diverge : Clear[MacDonald]; MacDonald[0,x_]:=Limit[Re[BesselK[I ν,x]],ν->0]; Plot[MacDonald[0, x], {x, 0, 0.000011}]
mu = 0.5; a = 2; Clear[IntMacDonald]; IntMacDonald[ε_] := NIntegrate[MacDonald[0, mu (x + a)]/x Log[1/x], {x,ε], 0.5}]; Print[IntMacDonald[0]] ; donne 4.73288*109
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Posons nous maintenant la seconde question : est-ce que l'intégrale suivante est finie : 1 2
g *p r ,
dr
r
0
1 2
K 0M r a e r K 0M a Log 1 1 2q Log dr r r 0 r
Avec le code Mathematica suivant : mu = 0.5; a = 2; Clear[IntMacDonaldModified]; IntMacDonaldModified[ε_]:=NIntegrate[(MacDonald[0,mu (x+a)]-Exp[-mu x] MacDonald[0,mu a])/x Log[1/x], {x, ε, 0.5}]; IntMacDonaldModified[0]=-0.0667506
Ces deux résultats justifient donc pleinement la régularisation opéréee par modification de la transformée de Fourier-cosinus de la fonction limite. Le coefficient G se calcule donc comme suit : G *p ,
g *p , K i ( ) 2 Sinh d 0 2
G *p ,
4q K 0M a e K 0M a K i ( ) Sinh d 0 3
. L'évaluation de l'intégrale est assez compliquée, faisant appel à plusieurs formules plus ou moins connue sur les intégrales définies des fonctions de MacDonald :
d
I
K a e M 0
0
x I
dx
K 0M a K i ( )
K x a e M 0
x
K 0M a K i x
x
0
K M x a K i x e x K i x I dx 0 K 0M a dx x x 0 0
Nous avons établit avec les quelques exemples données de transformations de KontorovichLebedev que l'intégrale suivante s'évaluait comme suit :
dt 0
K 0M a t K i (t ) K i a t Sinh
Il vient donc :
e t K i (t ) dt 0 t Sinh
De même
dx 0
K 0M x a K i x K i a x Sinh
K M x a K i x e x K i x I dx 0 K 0M a dx x x 0 0
Ki a K 0M a Sinh 4q 4q G *p , 3 Sinh I 3 Sinh K i a K 0M a Sinh I
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Le résultat du calcul littéral de l'intégrale donne donc :
4q M K 0 a K i ( a) 2 2 4q G p , G *p , g p 0, G *p , 2 K 0M a 4q G p , 2 K i ( a) G *p ,
Ce qui donne la solution du problème : T0 r , , z T0 r , , z
4q 2
0
0
4q 2
0
0
0
0
d Cos z d K i r d Cos z d
K i r
K i ( a ) Sinh 2 Sinh Sinh2 K i ( a ) Sinh 2 Sinh 2 Sinh Cosh
a b Sinh 2 Sinh Sinhb a Sinh b a 2 Sinhb Cosha 2 Sinh Cosh T0 r , , z
4q 2
d Cos z d
Cosh K i r K i ( a ) Cosh
On pourrait utiliser cette formule: K 0M r a 2
d
.
K i ( a) K i r
0
Ainsi qu'il est établit dans l'ouvrage A.Erdelyi, H.Bateman, Higher Transcendental Functions, volume 2, page 55, formule (42) mettre la valeur θ=π. K
M 0
2 a b 2abCos 2
2
d
K i (a) K i b Cosh
. Mais en fait on a mieux à faire, en intervertissant les intégrations de la solution : 4q T0 r , , z 2
4q 2
0
0
0
d Cos z d
Cosh K i r K i ( a ) Cosh
Cosh d d Cos z K i r K i ( a ) 0 Cosh 0
. Regardons maintenant la transformée de Fourier-Cosinus du produit des fonctions de MacDonald, et l'on trouve dans la table des transformations de Fourier de F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.17 Modified Bessel Functions of Arguments x, x2 and 1/x, formule 17.23, page 90), la formule suivante :
17.23 dx Cosx y K a x K (b
y)
0
i
x
br
yz
d Cos z K i a K i r 0
a 2 b2 y 2 2 P 1 2a b 4Cos a b 2 i
aa a2 r 2 z2 2 P 1 2a r 4Cosh a r 2 i
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
T0 r , , z
4q 2
d 0
q ar
T0 r , , z
Cosh d Cos z K i r K i a Cosh 0
d
a2 r 2 z2 Cosh P 1 Cosh 2 2 i 2a r
. Maintenant c'est là où les coïncidences font bien les choses, dans la section du présent document dédié aux coordonnées toroïdales, dans l'exemple : « solution du problème de Dirichlet sur le domaine extérieur d'une coupole ou coquille sphérique », on a démontré une formule extrêmement importante donnée dans l'ouvrage en russe « A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov, O.I.Marichev, Integrals and Series - Volume 3 - More Special Functions» en page 181 formule 2.17.24.6 (mais la formule contient une légère erreur dans le deuxième terme à droite qui est corrigée dans ce qui suit), et que nous avons également démontré quelques pages plus loin : Cosh b
d Cosh P
1 i 2
2
0
c
Cosh b
0
d Cosh P
1 i 2
2
0
1 1 2 Arctan 1 Cos b 2 c Cos b c Cos b
c
1 Arctan c Cos b 2
2
1 Cos b ArcCotan c Cos b 1 Cos b 2 c Cos b c Cos b
1 Cos b ArcCos 1 c Cosh b 2 d P c 0 Cosh 2 12 i c Cos b
Appliquons cette formule à notre cas, il vient :
d 0
Cosh b 1 1 2 Arctan 1 Cosb P c 1 c Cosb Cosh 2 2 i 2 c Cos b
d 0
b
c
a2 r 2 z2 2a r
a r z Cosh P 1 2 Cosh 2 i 2a r 2
2
Cos Cos
2
1 2 1 Arctan 2 2 2 a r z 2 Cos 2a r
1 2 Arctan 2a r 2 2 2 2 a r z 2a rCos
1 2 Arctan 2a r a 2 r 2 z 2 2a rCos
.
1 Cos a 2 r 2 z 2 2a rCos
2a r
ar
1 Cos 2 a r z 2a rCos 2
2
1 Cos a2 r 2 z2 Cos 2a r
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
et la solution devient, après ces divers calculs : T0 r , , z
q ar
1 2 Arctan 2a r a 2 r 2 z 2 2a rCos ar
1 2 Arctan 2a r 2 2 2 a r z 2a rCos Or 21 Cos 4 Sin 2 2
T0 r , , z
q
1 Cos 2 a r z 2a rCos 2
2
1 Cos a 2 r 2 z 2 2a rCos
.
Et oh ! Miracle, le résultat final s'exprime d'une manière plutôt simple : 2 ar Sin q 2 1 2 Arctan T0 r , , z 2 2 2 2 2 r a 2arCos z r a 2arCos z 2 q T r , , z T0 r , , z r 2 a 2 2arCos z 2 2 ar Sin 2q 2 T r , , z Arctan 2 2 2 2 2 r a 2arCos z r a 2arCos z 2
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : potentiel d'une charge q, placée devant un demi-plan conducteur dans le plan <x,o,z> à un point quelconque dans le plan <x,o,y> externe au conducteur, aux coordonnées polaire r=r 0 et θ= θ0 Le demi-plan conducteur parfait est dans le plan <x,o,z>, le bord du plan coïncide avec l'axe z. On suppose que la charge est dans le plan <x,o,y>, placée à la distance r0 de l'origine et d'angle θ0, soit en coordonnées cartésiennes q placé en (r0Cos(θ0),r0Sin(θ0),0).
. Le potentiel crée par la charge q est le suivant : Position de q r0Cos 0 , r0 Sin 0 ,0
Tq (r , , z )
q
x r0Cos 0
2
x r Cos y r Sin Tq (r , , z ) r x2 y2 Tq (r , , z )
y r0 Sin 0 z 2 2
q x 2 y 2 r0 2r0 xCos 0 ySin 0 z 2 2
q r r0 2r r0 Cos Cos 0 Sin Sin 0 z 2 2
2
q r r0 2r r0Cos 0 z 2 2
2
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
La solution est recherchée sous la forme d'une addition du potentiel créé par la charge q et d'un potentiel recherché : T (r , , z ) Tq (r , , z ) T0 (r , , z )
q r r0 2r r0Cos 0 z 2 2
2
T0 (r , , z )
T (r , , z ) 0 0 T (r , , z ) 2 0
Le potentiel T0(r,ϑ,z) répond alors au condition aux limites suivantes : T0 (r , , z ) 0 T0 (r , , z ) 2 f p r , z
.
q r r0 2r r0Cos 0 z 2 2
2
. La transformée de Fourier-Cosinus de la fonction limite est la suivante (voir la table des transformations de Fourier de F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.1 Algebraic Function, formule 1.32, page 5): g p r , K 0M ( x)
2q
Cos z
dz 0
r r0 2r r0Cos 0 z 2
2
fonction de MacDonald
2
2q M 2 K 0 r 2 r0 2r r0Cos 0
K 0M ( x) Lim K i ( x) 0
KM ( x) K i ( x)
.
Dans ce cas la valeur en r=0 est la suivante : g p 0,
2q M K 0 r0 .
Et la fonction modifiée est la suivante : 2q M 2q r M 2 K 0 r 2 r0 2r r0Cos 0 e K 0 r0 2q 2 M 2 r M g *p r , K 0 r r0 2r r0Cos 0 e K 0 r0 . g *p r ,
Le coefficient G se calcule donc comme suit :
g *p , K i ( ) 2 G , 2 Sinh d 0 * p
K M 2 r 2 2 r Cos e K M r K ( ) 0 0 0 0 0 0 i 4 q G *p , 3 Sinh d 0
dt 0
e t K i (t ) e K i ( ) K 0M r0 d K 0M r0 t Sinh Sinh 0
2 K 0M 2 r0 2 r0Cos 0 K i ( ) 4q Sinh M G , 2 d K 0 r0 0 2 M 2 2 2 2 M 2 2 K 0 r0 2 r0Cos 0 K i ( ) K 0 r0 2 r0Cos 0 K i ( ) d 0 d 0 * p
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Nous avons établi dans les quelques exemples des transformées de Kontorovich-Lebedev : Comme
dt
K 0M
0
a 2 t 2 2atCos K i (t ) K i a Cosh t Sinh
t
2 K 0M t 2 2 r0 2t r0Cos 0 K i (t ) K r Cosh i 0 0 dt t Sinh 0 .
Le résultat du calcul littéral de l'intégrale donne donc :
4q K i r0 Cosh 0 K 0M r0 2 2 4q G p , G *p , g p 0, G *p , 2 K 0M r0 4q G p , 2 K i r0 Cosh 0 G *p ,
Ce qui donne la solution du problème : T0 r , , z T0 r , , z
4q 2
0
0
4q 2
0
0
d Cos z d K i r d Cos z d
a b
K i r
K i r0 Cosh 0 Sinh 2 Sinh Sinh2 K i r0 Cosh 0 Sinh 2 Sinh 2Sinh Cosh
Sinh 2 Sinh Sinhb a Sinhb a 2Sinhb Cosha 2Sinh Cosh T0 r , , z
4q 2
0
0
d Cos z d
Cosh Cosh 0 K i r K i r0 Cosh
Cosh 2 0 Cosh 0 2 Cosh 2 0 Cosh 0 2q T0 r , , z 2 d Cos z d K i r K i r0 0 Cosh 0 Cosh Cosh 0
. A l'aide de la formule suivante dans F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.17 Modified Bessel Functions of Arguments x, x2 and 1/x, formule 17.23, page 90) :
d Cos z K i r0 K i r 0
Il vient T0 r , , z
2q 2
d 0
r 2 r2 z2 2 P 1 0 2r0 r 4Cosh r0 r 2 i
.
Cosh 2 0 Cosh 0 0 d Cos z K i r Ki r0 Cosh
q T0 r , , z 2 r0 r
r0 2 r 2 z 2 Cosh 2 0 Cosh 0 P 1 0 d i Cosh 2 2 r r 0 2
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
La formule suivante dans « A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov, O.I.Marichev, Integrals and Series Volume 3 - More Special Functions» en page 181 formule 2.17.24.6 (attention erreur corrigée dans le présent document), donne dans notre cas : Cosh b
d Cosh P 2
0
d 0
1 i 2
1 1 2 Arctan 1 Cos b c Cosb 2 c Cos b
c
b 2 0
2
c
r0 r 2 z 2 2r0 r
Cos 2 0 Cos 0
r0 2 r 2 z 2 Cosh 2 0 P 1 i Cosh 2 2r0 r 2
1 2 1 Arctan 2 2 2 r r z 2 0 Cos 0 2r0 r
1 2 Arctan 2r r 0 2 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0
1 2 Arctan 2r r 0 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 r0 r
d 0
1 Cos 0 2 r0 r z 2r0 rCos 0
2r0 r
1 Cos 0 2 2 2 r0 r z Cos 0 2r0 r
b 0
2
2
1 Cos 0 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 2
2
c
r0 r 2 z 2 2r0 r
r0 2 r 2 z 2 Cosh 0 P 1 Cosh 2 2 i 2r0 r
1 2 1 Arctan 2 r r2 z2 2 0 Cos 0 2r0 r
1 Cos 0 2 2 2 r0 r z Cos 0 2r0 r
1 2 Arctan 2r r 0 2 2 2 2 r0 r z 2r0 rCos 0
1 2 Arctan 2r r 0 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0
2r0 r
r0 r
1 Cos 0 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0
1 Cos 0 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Et la solution devient, après ces divers calculs : T0 r , , z
q 2 r0 r
d 0
d 0
r0 2 r 2 z 2 Cosh 2 0 P 1 i Cosh 2 2 r r 0 2
r0 2 r 2 z 2 Cosh 0 P 1 Cosh 2 2 i 2r0 r
T0 r , , z
q 2 r0 r
1 2 Arctan 2r r 0 2 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 q
1 2 Arctan 2r r 0 2 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 q
1 Cos 0 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 2
1 Cos 0 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 2
Le résultat final s'exprime ainsi : q
T r , , z T r , , z
r 2 r0 2r r0Cos 0 z 2 2
q 2 r 2 r0 2r r0Cos 0 z 2 2
q
r0 r z 2r0 rCos 0 2
T0 r , , z
2
2
q
r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 2
q 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0 2
Arctan 2r0 r
1 Cos 0 2 r0 r z 2r0 rCos 0
Arctan 2r0 r
1 Cos 0 2 r0 r 2 z 2 2r0 rCos 0
2
2
En posant ϑ0=π, on retrouve bien la formule de l'exemple précédent : q
T r , , z
r 2 r0 2r r0Cos 0 z 2 2
.
T0 r , , z
0 Cos Cos Cos q q T r , , z 2 2 2 r 2 r0 2r r0Cos z 2 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos
Arctan 2r0 r r0 r z 2r r0Cos
1 Cos 2 r0 r z 2r r0Cos
Arctan 2r0 r 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos
1 Cos 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos
q
2
2
T r , , z
2
q
2
2
Arctan 2r0 r 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos 2q
1 Cos 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
On peut écrire aussi la solution sous cette forme : T r , , z
Arctan 2r r 0 r 2 r0 2 2r r0Cos 0 z 2 2 q
Arctan 2r r 0 r0 2 r 2 z 2 2r r0Cos 0 2 q
Pour x 0 T r , , z
1 Arctan x Arctan x 2
et
posons
1 Cos 0 2 r0 r z 2r0 rCos 0 2
2
1 Cos 0 2 r0 r z 2r0 rCos 0 2
2
Cosh
2
r0 r 2 z 2 2r0 r
1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 2 2 2 2 0 r r0 2r r0Cos 0 z q
1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 2 2 2 2 0 r0 r z 2r r0Cos 0 ou bien q
T r , , z
1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 2 2 2 2 0 r r0 2r r0Cos 0 z q
q
r0 r 2 z 2 2r r0Cos 0 2
Cosh Cos 0 Arctan 1 Cos 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
On va tenter de retrouver la formule donnée dans l'ouvrage N.N.Lebedev, I.P.Skalskaya et Y.S.Ufliand, 1965, « Problems of Mathematical Physics », exercice 422, page 198. Pour cela introduisons les expressions suivantes : Sachant que pour x 0
x2
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
2 x2 2 1 x2
1 Arctanx Arctan x 2
et
2x 2 Arctanx Arctan 2 1 x
0 Cosh Cos 2 x2 2 2 2 2 0 1 x2 Cosh Cos 2 2
Cosh Cos 2 1 Cosh Cos 2
0 2 0 2
0 Cosh Cos 0 2 2 2 Cosh Cos 2 2 Cosh Cos 0 2 2 0 0 Cosh Cos Cosh Cos 2 2 2 2
2 x2 2 1 x2
0 0 Cosh Cos Cosh Cos 2 2 2 2 0 Cos 2
2 x2 2 1 x2
0 Cosh 2 Cos 2 2 2 0 Cos 2
x1
0 2 0 2
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
0 Cosh 2 Cos 2 2 2 0 Cos 2 2
0 2 x1 2 2 0 1 x1 2
Cosh Cos 0 1 Cos 0
Cosh Cos 0 1 Cos 0
Cosh Cos 0 2 Arctan x2 et Arctan Cosh Cos 0 2 Arctanx1 Arctan 1 Cos 0 1 Cos 0 1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 0 2 Arctan x2 Arctan 2 1 Cos 0 Cosh Cos 0 2 1 Cos 0 2 Arctan 1 2 Arctan 1 Arctan x 2 x2 2 2 Cosh Cos 0 2 1 Cos 0 2 Arctan 1 Arctan x 2 1 Cosh Cos 0 1 1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 2 Arctan x 2 0 2
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Posons : 1
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
0 1 2 0 x1 2
2
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
0 1 2 0 x2 2
1 Cos 0 2 Arctan 1 Arctan 2 Cosh Cos 0 1 Cos 0 Arctan Cosh Cos 2 Arctan 2 2 0 T r , , z
2 Arctan 1 2 r 2 r0 2r r0Cos 0 z 2 2 q
2
2 Arctan 2 2 2 r0 r 2 z 2 2r r0Cos 0 2 q
T r , , z
T r , , z
2qArctan 1
r r0 2r r0Cos 0 z 2
2
2qArctan 1
2
r r0 2r r0Cos 0 z 2 2
2
Arctan 2 2 r0 r z 2r r0Cos 0 2q
2
2
2
1 2qArctan 2
r0 r 2 z 2 2r r0Cos 0 2
2q Arctan 1 T r , , z r 2 r0 2 2r r0Cos 0 z 2
2 2 2 r0 r z 2r r0Cos 0 1 Arctan 2
. En quelque sorte, on retrouve l'expression dans N.N.Lebedev, I.P.Skalskaya et Y.S.Ufliand, 1965, « Problems of Mathematical Physics », exercice 422, page 198, mais il semble y avoir une petite erreur de signe dans la solution de l'exercice qui s'avère être la suivante, si nos calculs sont justes : 1
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
T r , , z
0 2 0 2
2
Cosh Cos 2 Cosh Cos 2
2q Arctan 1 2 2 r r0 2r r0Cos 0 z 2
0 2 0 2
2 2 2 r0 r z 2r r0Cos 0 . Arctan 2
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : potentiel d'une charge q, placée extérieurement à un secteur d'angle 2θ0 conducteur à une distance a de l'origine. Le secteur d'angle conducteur parfait est orienté avec le bord coïncidant avec l'axe z, il est centré sur l'axe x, avec un angle 2θ0. On suppose que la charge est dans le plan <x,o,z>, placé extérieurement à la distance a de l'origine. Soit en coordonnées cartésiennes la charge q est placée en (-a,0,0).
Le potentiel créé par la charge q est le suivant : q
Tq (r , , z )
x a
2
y z 2
x r Cos Tq (r , , z ) 2 2 r x y
2
q
x a 2ax y 2 z 2 2
2
q r a 2ar Cos z 2 2
2
. La solution est recherchée sous la forme d'une addition du potentiel crée par la charge q et d'un potentiel recherché : T (r , , z ) Tq (r , , z ) T0 (r , , z )
q r 2 a 2 2ar Cos z 2
T0 (r , , z )
T (r , , z ) 0 T (r , , z ) 2 0 0
1 0
0
2 2 0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Le potentiel T0(r,ϑ,z) répond alors aux conditions aux limites suivantes : q
T0 (r , , z ) T0 (r , , z ) 2 f p r , z 0
r a 2ar Cos 0 z 2 2
0
1 0
2 2 0
g p r ,
2q M K 0 r 2 a 2 2a rCos 0
2
. L'expression de la transformée de Fourier-Cosinus de la fonction limite est relativement identique en la forme à celle de l'exemple précédent (substitution r 0->a, ϑ0-> π-ϑ0), il vient donc :
Et la fonction modifiée est donc la suivante : g *p r ,
g p 0,
2q M K 0 a
2q K 0M r 2 a 2 2a rCos 0 e r K 0M a .
Le coefficient G se calcule donc de manière similaire à l'aide de la formule : Comme
dt
K 0M
0
a 2 t 2 2atCos K i (t ) K i a Cosh t Sinh
Ce qui donne :
4q K i a Cosh 0 K 0M a 2 2 4q G p , G *p , g p 0, G *p , 2 K 0M a 4q G p , 2 K i a Cosh 0 G *p ,
Ce qui donne en chemin vers la solution du problème : 1 0
2 2 0
T0 r , , z
4q 2
2 1 2 20
0
0
d Cos z d K i r
1 0 2 2 0
K i a Cosh 0 Sinh 2 0 Sinh 0 Sinh 2 20
a 0 b Sinha b Sinha b 2Sinha Coshb 4q T0 r , , z 2
0
0
4q 2
0
0
T0 r , , z
d Cos z d d Cos z d
2Cosh 0 Sinh 0 Cosh K i r K i a Sinh2 0 Cosh Cosh 0 K i r K i a Cosh 0
Cosh 0 Cosh 0 2 2q Cosh 0 Cosh 0 T0 r , , z 2 d Cos z d K i r K i a 0 Cosh 0 0 Cosh Cosh 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
A l'aide de la formule suivante dans F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.17 Modified Bessel Functions of Arguments x, x2 and 1/x, formule 17.23, page 90) :
d Cos z K i r0 K i r 0
Il vient T0 r , , z
2q 2
T0 r , , z
d 0
r 2 r2 z2 2 P 1 0 2r0 r 4Cosh r0 r 2 i
.
Cosh 0 Cosh 0 0 d Cos z K i r Ki a Cosh 0
q 2 ar
d
a2 r 2 z 2 Cosh 0 Cosh 0 P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2
. Et là on semble stopper dans l'élan des formules miracles, aucune n'est présente sous le boisseau. 0
Ce qui ne nous empêche pas de donner la solution formelle du problème : q
T r , , z
q 2 ar
d 0
r a 2ar Cos z 2 2
2
a2 r 2 z 2 Cosh 0 Cosh 0 P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2
Cas limite de l'angle θ0=π/2 Dans ce cas l'expression prend la forme q
T r , , z
q 2 ar
d 0
r a 2ar Cos z 2 2
2
a2 r 2 z2 2Cosh Cosh 0 P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2 q
T r , , z
r 2 a 2 2ar Cos z 2
q ar
d
a2 r 2 z 2 Cosh P 1 i Cosh 2a r 2
. En consultant l'ouvrage en russe « A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov, O.I.Marichev, Integrals and Series - Volume 3 - More Special Functions» en page 182 formule 2.17.25.3, il est donné la formule suivante : 0
1 1 2.17.25.3 dx Cosb x P1 i c 2 2 c 1 2 c Coshb 2 P Cosh x
1 Coshb c Coshb .
2
0
On peut transformer cette formule en par le changement b->ib, et donner ses deux déclinaisons pour la valeur μ=0 : 1 1 2.17.25.3 bis dx Coshb x P1 i c 2 2 c 1 2 c Cosb 2 P Cosh x 2
0
Cosb x P 1 c dx 0 Cosh x 2 i 0 P0 x 1 dx Coshb x P Cosh x 1 i c 2 0
0
1 Cos b c Cos b
1 2 c Coshb 1 2 c Cosb
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
L'application de la dernière formule à notre cas donne immédiatement :
dx 0
Coshb x P 1 c Cosh x 2 i
T r , , z
1 2 c Cos b
q r 2 a 2 2ar Cos z 2 q
r a 2ar Cos z 2
2
T r , , z
2
q ar
d 0
b
c
a2 r 2 z2 2a r
a2 r 2 z2 Cosh P 1 i Cosh 2a r 2 1
2
r a 2ar Cos z 2
q ar
a r z2 Cos 2a r 2
q 2
x
2
2
q a r z 2a rCos 2
2
2
Ce qui est exactement la solution trouvée par la méthode des images électriques, soit le champ d'un dipôle de charges inverses placées symétriquement au plan conducteur parfait.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : potentiel d'une charge q, placée intérieurement à un secteur d'angle 2θ 0 conducteur à une distance a de l'origine. Le secteur d'angle conducteur parfait est orienté avec le bord coïncidant avec l'axe z, il est centré sur l'axe x, avec un angle 2θ0. On suppose que la charge est dans le plan <x,o,z>, placé intérieurement à la distance a de l'origine. Soit en coordonnées cartésiennes la charge q est placée en (a,0,0).
Le potentiel créé par la charge q est le suivant : q
Tq (r , , z )
x a
2
y z 2
x r Cos Tq (r , , z ) 2 2 r x y
2
q x a 2ax y 2 z 2 2
2
q r a 2ar Cos z 2 2
2
. La solution est recherchée sous la forme d'une addition du potentiel crée par la charge q et d'un potentiel recherché : T (r , , z ) Tq (r , , z ) T0 (r , , z )
q r a 2ar Cos z 2 2
2
T0 (r , , z )
T (r , , z ) 0 T (r , , z ) 0 0
1 0
0
2 0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Le potentiel T0(r,ϑ,z) répond alors aux conditions aux limites suivantes : q
T0 (r , , z ) T0 (r , , z ) f p r , z 0
1 0
r a 2ar Cos 0 z 2 2
0
2
2 0
. L'expression de la transformée de Fourier-Cosinus de la fonction limite est la suivante : g p r ,
2q M K 0 r 2 a 2 2a rCos 0
Et la fonction modifiée est donc la suivante : g *p r ,
g p 0,
2q M K 0 a
2q K 0M r 2 a 2 2a rCos 0 e r K 0M a .
Le coefficient G se calcule donc de manière similaire à l'aide de la formule : Comme
dt
K 0M
0
a 2 t 2 2atCos K i (t ) K i a Cosh t Sinh
Ce qui donne :
4q K i a Cosh 0 K 0M a 2 2 4q G p , G *p , g p 0, G *p , 2 K 0M a 4q G p , 2 K i a Cosh 0 G *p ,
Ce qui donne en chemin vers la solution du problème : 1 0
2 0
T0 r , , z a 0
4q 2
0
0
d Cos z d
b
T0 r , , z T0 r , , z T0 r , , z
2 1 20
1 0 2 0
K i r
K i a Cosh 0 Sinh 0 Sinh 0 Sinh20
Sinha b Sinha b 2Sinha Coshb
4q 2
0
0
4q 2
0
0
2q 2
0
0
d Cos z d d Cos z d d Cos z d
2Cosh 0 Sinh 0 Cosh K i r K i a Sinh20 Cosh 0 Cosh K i r K i a Cosh0 Cosh 0 Cosh 0 K i r K i a Cosh0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
A l'aide de la formule suivante dans F.Oberhettinger, « Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions », édition 1990, section 1.17 Modified Bessel Functions of Arguments x, x2 and 1/x, formule 17.23, page 90) :
d Cos z K i a K i r 0
Il vient T0 r , , z
2q 2
T0 r , , z
d 0
a2 r 2 z2 2 P 1 2a r 4Cosh a r 2 i .
Cosh 0 Cosh 0 0 d Cos z K i r K i a Cosh 0
q 2 ar
d
a2 r 2 z 2 Cosh 0 Cosh 0 P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2
. Et là on semble encore stoppé dans l'élan des formules miracles ! Ce qui ne nous empêche pas de donner la solution formelle du problème : T r , , z
q 2 ar
d 0
0
q r a 2ar Cos z 2 2
2
a2 r 2 z2 Cosh 0 Cosh 0 P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2
Cas limite de l'angle θ0=π/2 Dans ce cas l'expression prend la forme T r , , z
q 2 ar
d 0
T r , , z
q r a 2ar Cos z 2 2
2
a2 r 2 z2 2Cosh 0 Cosh P 1 i Cosh Cosh 0 2a r 2 q r 2 a 2 2ar Cos z 2
q ar
d 0
a2 r 2 z2 Cosh P 1 Cosh 2 i 2a r
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
En consultant l'ouvrage en russe « A.P.Prudnikov, Yu.A.Brychkov, O.I.Marichev, Integrals and Series - Volume 3 - More Special Functions» en page 182 formule 2.17.25.3, il est donné la formule suivante : 1 1 2.17.25.3 dx Cosb x P1 i c 2 2 c 1 2 c Coshb 2 P Cosh x
1 Coshb c Coshb .
2
0
On peut transformer cette formule en par le changement b->ib, et donner ses deux déclinaisons pour la valeur μ=0 : 1 1 2.17.25.3 bis dx Coshb x P1 i c 2 2 c 1 2 c Cos b 2 P Cosh x
1 Cos b c Cosb
2
0
Cos b x P 1 c dx i Cosh x 2 0 P00 x 1 dx Coshb x P c Cosh x 1 i 2 0
0
1 2 c Coshb 1 2 c Cos b
L'application de la dernière formule à notre cas donne immédiatement :
dx 0
Coshb x P 1 c Cosh x 2 i
T r , , z
1 2 c Cos b
q r 2 a 2 2ar Cos z 2 q
r a 2ar Cos z 2
2
T r , , z
2
q ar
d 0
b
c
a2 r 2 z 2 2a r
a2 r 2 z2 Cosh P 1 Cosh 2 i 2a r
1 2
r a 2ar Cos z 2
q ar
a r z2 Cos 2a r 2
q 2
x
2
2
q a r z 2a rCos 2
2
2
Ce qui est exactement la solution trouvée par la méthode des images électriques, soit le champ d'un dipôle de charges inverses placées symétriquement au plan conducteur parfait.
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Problème aux limites de Dirichlet inhomogène angulaire sur un domaine bornée en z et non bornée en r Etudions maintenant le problème suivant bornée en z, avec des conditions aux limites homogènes en z. C.L. T (r , , z ) f1 (r , z )
T (r , , z ) f 2 (r , z )
1
2
T (r , , z ) z 0 T (r , , z ) z l 0 z
Cette fois-ci les fonctions axiales présentent des valeurs propres discrètes répondant aux conditions homogènes axiales. Il convient donc de rechercher la solution sous forme d'un mixte de série et de représentation intégrale, comme suit : n Sinh 2 Sinh 1 T r , , z Sin n z d K i n r G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 n 1 0 n lz Chaque fonction limites se développe en série de fonctions propres axiales l n n n 2 f p r , z g p r , n Sin z g p r , n dz f p r , z Sin z où
n
z
lz
n 1
lz
lz
0
Il est alors aisée de calculer l'expression des coefficient G p, comme suit :
~ g K i ( ) K d transformée de Kontorovich Lebedev g 0 2 ~ 1 K ~ K ( r ) transformée inverse de Kontorovich Lebedev ( r ) d Sinh g ~ i 2 g 0
g p r , n
d G , K r p
n
i
pour p 1,2
0
g p r , n
2 2
G p , n
0
0
d Sinh g~ K i ( n r )
d G , K r p
n
i
n
2 ~ 2 Sinh d g p , n K i ( n ) Sinh g 0 2 2
La solution formelle du problème est donc : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z )
T (r , , z ) f 2 (r , z )
1
2
T (r , , z ) z 0 T ( r , , z ) z l 0 z
lz
n 2 n dz f p r , z Sin z où n lz 0 lz lz g , n K i ( n ) 2 G p , n 2 Sinh d p 0 g p r , n
T r , , z
n
n 1
p 1,2
n Sinh 2 Sinh 1 Sin z d K i n r G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 lz 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Il arrive également que les conditions de finitude de l'intégrale garantissant l'application du théorème de Kontorovich-Lebedev ne soit pas remplie, et dans ce cas comme précédemment, on procède à une régularisation des coefficients de développement des fonctions limites. En réalisant les mêmes types de calculs, la solution formelle s'écrit maintenant : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z )
T (r , , z ) f 2 (r , z )
1
2
T (r , , z ) z 0 T ( r , , z ) z l 0 z
lz
l
g p r , n
n n 2 2 z dz f r , z Sin z g 0 , dz f p 0, z Sin z p p n lz 0 lz 0 lz lz
g *p r , n
n 2 z dz f p r , z e n r f p 0, z Sin z lz 0 lz
l
1 2
g *p r , n
tel que dr
r
0
G *p , n T r , , z
1 Log r
n 1
n
n lz
p 1,2
p 1, 2
g *p , n K i ( n ) 2 Sinh d 0 2
n
où
et
G p , n G *p , n
2 g p 0, n
n Sinh 2 Sinh 1 Sin z d K i n r G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 lz 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : répartition de la température dans un secteur d'angle de rayon infini d'épaisseur lz, et d'angle ϑ0, dont toutes les faces sont portées à la température nulle, tandis que la frontière ϑ= ϑ0 est à la température f r Sin nz z lz
Le problème aux limites est donc le suivant, avec le développement de la solution : n T (r , , z ) f r Sin z z 0 lz T ( r , , z ) z l 0 1 0 2 0
C.L. T (r , , z ) 0 0 T (r , , z ) z 0 1
f
z
r , z 0 g r , n 0 * 1
n f 2 r , z f r Sin z z lz g 2* r , n
n f 2 0, z f 0Sin z z lz
l
n n 2 z dz Sin z z f r e n r f 0 Sin z lz 0 lz lz
où
n
n lz
l
z n n 2 f r e n r f 0 dz Sin z z Sin z lz lz lz 0 2 lz g 2* r , n f r e n r f 0 n ,nz f r e n r f 0 n, nz lz 2
g 2* r , n
g 2 r , n f r n ,nz g 2 0, n f 0 n, nz
G2* , n
f e n f 0 K i ( n ) 2 Sinh d 0 2
G2 , n G2* , n
2 g 2 0, n
n Sinh T r , , z Sin z z d K i nz r G2 , nz Sinh 0 lz 0
Continuons les développements, il vient :
G2* , nz
f e 2 Sinh d 2 0
G2 , nz G2* , nz
nz
.
f 0 K i ( nz )
2 f 0
f e nz f 0 K i ( nz ) Sinh K r f 0 d i nz 0 n z 2 T r , , z Sin z d l z 0 Sinh Sinh 0
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : répartition de la température dans un secteur d'angle de rayon infini d'épaisseur lz, et d'angle ϑ0, dont toutes les faces sont portées à la température nulle, tandis que la frontière ϑ= ϑ0 est à la température f(r,z) Ce sont les mêmes développements que l'exemple précédent, à ceci près que toutes les harmoniques axiales sont utilisées : 1 0
2 0
C.L. T (r , , z ) 0 0
T (r , , z ) f (r , z ) 0
T (r , , z ) z 0 T (r , , z ) z l 0 z
lz
l
n n 2 2 z dz f r , z Sin z g 2 0, n dz f 0, z Sin z lz 0 lz 0 lz lz n g 2* r , n g 2 r , n e n r g 2 0, n où n lz g 2 r , n
l
Posons
z n f n r dz f r , z Sin z lz 0
G2* , n
l
z n f n 0 dz f r , z Sin z lz 0
g 2 , n e n r g 2 0, n K i ( n ) 2 Sinh d 0 2
f n ( ) e n r f n (0) K i ( n ) 4 G , n 2 Sinh d lz 0 * 2
4 l f n 0 K r z i n n n f n e f n 0 K i ( n ) n 4 T r , , z Sin z d Sinh d 2 l z n 1 lz 0 0 Sinh Sinh 0
n Sinh r K i l z Sinh 0 n n 4 n n T r , , z Sin z d f e f 0 K n n i l z n 1 lz 0 f 0 Sinh d lz 0 n
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Si l'on suppose que la fonction limite est indépendante du rayon, alors, il vient :
n Sinh r K i l z Sinh 0 n 4 n n n T r , , z Sin z f 0 d 1 e K i l n l z n 1 z 0 1 Sinh d lz 0
n Sinh K i r n l z Sinh 0 4 n Sin z f n 0 d n l z n 1 K i n lz 0 1 Sinh d 1 e 0
n Sinh K i r n l z Sinh 0 4 n Sin z f n 0 d l z n 1 lz 0 1 Sinh d 1 e K i 0
Comme nous avons vu dans les premiers exemples de transformations de Kontorovich-Lebedev
que l'intégrale
d
1 e
2 n1
K
0
i
2 n 1
d
1 e K ,
0
i
prenait la valeur suivante :
1 Sinh 1 e K i 2 1 d Cosh Sinh 2 . 0
1 e K Cosh d
0
i
Il vient : T r , , z
4 lz
n
n n Sinh Sin z f n (0) d K i r Cosh 2 lz l z Sinh 0 0
. On peut encore simplifier ce calcul, en utilisant la représentation intégrale suivante ( voir l'ouvrage A.Erdelyi, H.Bateman, Higher Transcendental Functions, volume 2, page 82, section « Modified Hankel functions », formule (25) ) : n 1
K x Cos 2
dt Cosx Sinht Cosh t
1 i K i x Cosh 2 K i n x
si
x0
et
1 Re 1
0
1 Cosh 2
dt Cosx Sinht Cos t 0
dt Cos
n
x Sinht Cos t
0
.
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Il vient :
Cosh Cosh Sinh Sinh 2 2 K i n r d 0 d Sinh 0 Sinh 0 0
Sinh d dt Cos n r Sinht Cos t Sinh 0 0 0
1 Cosh 2
dt Cos r Sinht d n
0
Sin 0 Sinh Cos t Comme d Sinh 0 t 0 Cos Cosh 0 0
0
Cos n r Sinht Sin Cosh Sinh 0 2 d K i n r dt Sinh 0 t 0 0 Cos Cosh 0 0
La solution du problème s'écrit alors : T r , , z
4 lz
n
n 1
l
avec
n Cos Sin r Sinht n lz 0 Sin z f n 0 dt l t z 0 Cos Cosh 0 0
z n f n 0 dz f z Sin z lz 0
dt Cos r Sinht Cos t n
0
Sinh Cos t Sinh 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Exemple : répartition de la température dans le quadrant 0≤x<∞,0≤y<∞,0≤z<lz, toutes les faces sont portées à la température nulle, tandis que la x=0 est à la température T0 Cette configuration géométrique correspond à un secteur d'angle droit. Il vient de la solution précédente : 1 0
2
2
C.L. T (r , , z ) 0 0
T (r , , z ) T0 2
lz
T (r , , z ) z 0 T ( r , , z ) z l 0 z
n l z 2 2 n T0 dz Sin z T0 1 1 g 2 r , 2 n 0 lz 0 l z n l z 4T0 2l zT0 g 2 r , 2 n 1 g 2 0, 2 n 1 f 2 n1 (r ) f 2 n1 (0) 2n 1 2n 1 g 2 r , n
où
2 n 1
2n 1 lz
2n 1 Sinh r K i lz Sinh 2n 1 2 Sin z lz 8T0 n T r , , z 2 d 2n 1 2 n 1 1 e K i 2n 1 n0 0 Sinh lz d 1 0 2n 1 Sinh r 2n 1 K i lz Sin z Sinh n lz 8T d 2 T r , , z 20 0 2n 1 n0 Sinh 1 e K i 1 0 d .
Nous avons vu dans les premiers exemples de transformations de Kontorovich-Lebedev que
1 e
l'intégrale
d
2 n1
K
0
i
2 n 1
d 0
1 e K ,
i
prenait la valeur suivante :
1 Sinh 1 e K i 2 1 d Cosh Sinh 2 . 0
Cosh 1 e K d
0
i
Le résultat final attendu est donc le suivant : T r , , z
8T0 2
n
n 0
2n 1 Sin z Cosh Sinh lz 2n 1 d 2 K i r 2n 1 lz 0 Sinh 2 .
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
En utilisant la représentation intégrale suivante : K i x
1 Cosh 2
dt Cosx Sinht Cos t 0
1 Cosh 2
K i n x
dt Cos
n
x Sinht Cos t
0
Il vient :
Cosh Cosh Sinh Sinh 1 2 2 d K r d dt Cos n r Sinht Cos t i n 0 0 0 Sinh Sinh Cosh 2 2 2
d 0
Sinh Sinh 2
0
0
0
dt Cos n r Sinht Cos t
dt Cos n r Sinht
Sinh Cos t Sin2 Cosh2 t Cos 2 0 Sinh 2 Cosh Sinh Sin2 Cos n r Sinht 2 d K i n r dt Cosh2 t Cos2 0 0 Sinh 2
d
Sinh Cos t Sinh 2
Comme
d
Le résultat peut donc s'écrire sous une forme plus simple : T r , , z
8T0 2
T r , , z
n
n 0
2n 1 Sin z lz dt Cos n r Sinht 0 Cosh2 t Cos2 2n 1 n
8T0 Sin2 2 n0
2n 1 2n 1 Sin z Cos r Sinht lz lz dt 2n 1 Cosh2t Cos2 . 0
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Démontrons la formule qui permet de calculer l'intégrale :
d 0
Sinh Cos t Sinh 2
Il vient : p Sin q Sinh p Cosr 0 d Sinhq 2q r p Cos Cosh q q
d 0
Sinh p Cosr Sinhq
Comme
d 0
d 0
d 0
p 0, q
Sinh p Coshir 1 Sinhq 2
d 0
Sinh p ir Sinh p ir Sinhq
Sinha a Tan b a Sinhb 2b 2b
p ir Sinh p ir et Tan Sinhq 2q 2q
d 0
p ir Sinh p ir Tan Sinhq 2q 2q
p ir p ir Sin Sin 2q 2q p ir p ir Sinh p Coshir Tan Tan 0 d Sinhq 2q 2q 2q 2q Cos p ir Cos p ir 2q 2q
p ir p ir p ir p ir Sin Cos Cos Sin 2q 2q 2q 2q 2q p ir p ir Cos Cos 2q 2q 1 Cosa Cosb Cos a b Cosa b Sina Cosb Cosa Sinb Sina b 2 p Sin q 2q r p Cos Cosh q q
Soit en réalisant les substitutions suivantes, le résultat attendu : p Sin q Sinh p Cos r p 0, q 0 d Sinhq 2q r p Cos Cosh q q
p
r t
q
Sinh Cos t Sin2 d 2 Cosh2 t Cos2 0 Sinh 2 .
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Et de même : p Sin q Sinh p Cos r 0 d Sinhq 2q r p Cos Cosh q q
p
p 0, q
Sin 0 Sinh Cost q 0 d Sinh 0 t 0 Cos Cosh 0 0
r t
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Problèmes de Dirichlet inhomogène angulaire, Dirichlet homogène radial Le problème de Dirichlet inhomogène angulaire décrit précédemment était non borné en r et borné ou non-borné en z. Introduisons une condition aux limites radiale homogène : T r , , z 0
C.L. T r , , z f1 r , z 1
T r , , z f 2 r , z 2
T r , , z r l 0 r
La solution de base issue de la séparation des variables est cette fois la suivante : T r , , z K i r I i lr K i lr I i r A Cosh B Sinh Az Cos z Bz Sin z Pour une fonction ni paire ni impaire, on sépare le problème en deux sous-problèmes avec respectivement les fonctions limites suivantes : f p r , z
f p r , z f p r , z 2
f p r , z
f p r , z f p r , z 2
On cherche la solution du problème sous la forme d'une double intégrale (sur le spectre radiale et angulaire) en introduisant un noyau intégrale qui s'annule en r=lr : Li r , lr I i r K i lr I i lr K i r T r , , z
Sinh Sinh d Cos z 0 0 d Li r , lr G1 , Sinh 22 1 G2 , Sinh 2 11
L'application des conditions aux limites de Dirichlet donne : p 1,2
g p r ,
T r , , z 1
T r , , z
dz
f p r , z Cos z
0
0
0
0
0
0
0
d Cos z d Li r , lr G1 , d Cos z d Li r, lr G2 ,
2
g p r ,
2
d g r , Cos z 1
d g r, Cos z 2
d L r , l G , i
r
p
0
Dès lors la solution dépend des valeurs des fonctions G1 et G2 qui sont les coefficients de l'expansion intégrale par le noyau L d'ordre imaginaire. Comme nous exposons les résultats de l'article, voici la solution formelle du problème : Comme
Si
lr ~ g x Li x, ~ g r Li r , lr g , lr dr g , dx x r 0 0 g r 2 d Sinh g ~ , l L r , l r i r 2 2 I i lr 0
g p r ,
d G , L r , l p
0
Alors
G p ,
i
r
pour p 1,2
l g p r , Li r , lr 2 Sinh r dr 2 I i lr 2 0 r
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Et la solution formelle du problème est la suivante : Li r , lr I i r K i lr I i lr K i r p 1,2
g p r ,
G p , T r , , z
2
dz
f p r , z Cos z
0
l g p r , Li r , lr 2 Sinh r dr 2 I i lr 2 0 r Sinh Sinh d Cos z 0 0 d Li r , lr G1 , Sinh 22 1 G2 , Sinh 2 11
Cette expansion intégrale est possible grâce à un article qui étend la transformation intégrale de Kontorovich-Lebedev, dans une article de 1965 des auteurs Ya. S. Uflyand, E. A. Yushkova : « Solution of the Dirichlet problem for a finite wedge by means of special integral transforms using Bessel functions » Transformation intégrale de « Ya. S. Uflyand, E. A. Yushkova » pour le problème de Dirichlet Pour toute fonction f(x) sur l'intervalle [0,α), telle que f( α)=0, si : 1 - continue par morceau et dont la variation est bornée sur tout intervalle [x1,x2] de [0,α] et 2 - telle que l'intégrale est finie : dx f ( x) Log 1
x
0
x
Alors cette dernière admet la représentation intégrale suivante, pour x € [0,α] : Li x, I i x K i I i K i x 2 L x, L t , . f ( x) 2 d Sinh i dt f (t ) i 2 0 t I i 0 En terme de transformée et transformée inverse modifiée de Kontorovich-Lebedev, il vient : 2 L x, L t , f ( x) 2 d Sinh i dt f (t ) i 2 0 t I i 0 ~ Li t , transformée f ( , ) dt f (t ) t 0 f ( x) 2 d Sinh Li x, ~ f , transformée inverse 2 2 0 I i
L'article indique que lorsque la limite α tend vers l'infini, alors on retrouve la transformation de Kontorovitch-Lebedev : Lim I i Lim
2 f ( x) 2
Li x, I x K i I i Lim i K i x K i x I i I i I i
K t 0 d Sinh K i x 0 dt f (t ) it
.
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Pour un problème aux limites sur le secteur d'angle borné en z, alors la solution s'écrit : Li x, I i x K i I i K i x x n r nlr n
T r , , z
n 1
où
n
Sinh 2 Sinh 1 Sin n z d Li n r , nlr G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 0
n lz
Chaque fonction limite se développe en série de fonctions propres axiales : f p r , z
n
n 1
l
n n 2 z g p r , n Sin z g p r , n dz f p r , z Sin z lz 0 lz lz
Il est alors aisée de calculer l'expression des coefficient G p, comme suit : Comme
Si
lr ~ g x Li x, ~ g n r Li n r , nlr g , dx g , l dr n r x r 0 0 g r 2 d Sinh g ~ , l L r , l n r i n n r 2 2 I i nlr 0
g p r , n
d G , L r , l p
0
Alors
G p , n
n
i
n
n r
pour p 1,2
l g p r , n Li n r , nlr 2 Sinh r dr 2 I i nlr 2 0 r
La solution formelle du problème est donc : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z ) 1
T (r , , z ) f 2 (r , z ) 2
T ( r , , z ) r l T ( r , , z ) z 0 T ( r , , z ) z l 0 r
lz
z
n 2 n dz f p r , z Sin z où n lz 0 l lz z l g p r , n Li n r , nlr 2 Sinh r G p , n 2 dr 2 r I i n l r 0 g p r , n
T r , , z
n
n 1
p 1,2
Sinh 2 Sinh 1 Sin n z d Li n r , nlr G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 0
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Problèmes de Dirichlet inhomogène angulaire, Robin homogène radial Dans l'article suivant daté de 1966 de E. A. Yushkova : « Certain singular boundary value problems for the Bessel equation and their applications in mathematical physics », l'auteur introduit une représentation intégrale qui donne la solution du problème de Dirichlet inhomogène sur un secteur d'angle de rayon limité, avec une condition de Robin homogène radiale. T r , , z 0
C.L. T r , , z f1 r , z T r , , z f 2 r , z 1
2
T r , , z T r , , z 0 r r lr
La construction de la solution du problème se ramène à la représentation intégrale d'un forme f(x) sur un intervalle bornée [0,α] répondant à une condition de Robin en x= α de la forme : Transformation intégrale de « E. A. Yushkova » pour le problème mixte de Dirichlet et Robin Pour toute fonction f(x) sur l'intervalle [0,γ), telle que f'(γ)+hf(γ)=0, si : 1 - continue par morceau et dont la variation est bornée sur tout intervalle [x1,x2] de [0,α] et 2 - telle que l'intégrale est finie : dx f ( x) Log 1
x
x
0
Alors cette dernière admet la représentation intégrale suivante, pour x € [0,α] : H i x, K i x I i ' hI i I i x K i ' hK i 2 f ( x) 2
H i x,
d Sinh I ' hI dt 2
0
i
i
0
f (t )
H i t , . t
I i ' hI i I i ' hI i I i ' hI i 2
En terme de transformée et transformée inverse modifiée de Kontorovich-Lebedev, il vient : 2 H i x , H t , f ( x) 2 d Sinh dt f (t ) i 2 0 t I i ' hI i 0 ~ L t , f ( , ) dt f (t ) i transformée t 0 ~ H i x , f ( x) 2 d Sinh f , transformée inverse 2 2 I ' hI 0 i i
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Lorsque l'on prend pour paramètre h=β/α, soit : H i x, K i x I i ' I i I i x K i ' K i f ( x)
2 2
d Sinh 0
H i x ,
dt I ' I 2
i
f (t )
0
i
H i t , t
. Posons Ri x, H i x, K i x I i ' I i I i x K i ' K i f ' ( ) f ( ) 0 2 Ri x, Ri t , f ( x) 2 d Sinh I ' I 2 dt f (t ) t 0 0 i i
Dans le cas β=0, α=1, condition homogène de Neumann, il vient : Ri x, K i x I i ' I i x K i ' f ' ( ) 0 2 f ( x) 2
Ri x,
d Sinh I ' 0
2
i
R t , 0 dt f (t ) i t
.
Dans le cas β=1, α=0, condition homogène de Dirichlet, il vient la solution décrite précédemment à savoir : f ( ) 0 Ri x, K i x I i I i x K i f ( x)
2 2
d Sinh
Ri x,
0
dt I 2
i
0
f (t )
Ri t , t
L'article indique que lorsque la limite γ tend vers l'infini, alors on retrouve la transformation de Kontorovitch-Lebedev : I ' I x H i x , K i ' hK i K i x i h i I i I i I i Lim
H i x, hK i x I i
H i x, 1 H i t , f (t ) . d Sinh dt 2 0 I i I ' I i t 0 i h I i
2 f ( x) 2
2 2
0
0
f ( x)
d Sinh K i x dt K i x
f (t ) t
Résolution des problèmes aux limites de Laplace en cylindriques 3D par les transformations de Hankel et les transformations de Kontorovich-Lebedev– p 212
Application de la transformation intégrale « E. A. Yushkova » aux problèmes aux limites sur un secteur d'angle de rayon limité et de hauteur limitée ou infinie : La solution formelle du problème illimité en z: C.L. T (r , , z ) f1 (r , z )
T (r , , z ) f 2 (r , z )
1
2
T r , , z T r , , z 0 r r lr
Ri x, K i x I i ' I i I i x K i ' K i
2 g r , dz f p r , z Cos z lr p 0 lr g p r , Ri r , lr Sinh G , 2 dr p 2 I i ' I i 2 0 r
pour p 1,2
T r , , z
Sinh d Cos z d R r, l G , Sinh
Sinh 1 G2 , Sinh 2 1 2 1
i
0
r
1
0
2
.
La solution formelle du problème limité en z est donc : C.L. T (r , , z ) f1 (r , z ) 1
T (r , , z ) f 2 (r , z ) 2
T r , , z T r , , z 0 r r lr
T (r , , z ) z 0 T (r , , z ) z l 0 z
Ri x, K i x I i ' I i I i x K i ' K i g p r , n G p , n T r , , z
l
n 2 z dz f p r , z Sin z lz 0 lz
où
n
n lz
p 1,2
lr g p r , n Ri n r , nlr 2 Sinh dr 2 I i ' I i 2 0 r
n
n 1
n lr
Sinh 2 Sinh 1 Sin n z d Ri n r , nlr G1 , n G2 , n Sinh 2 1 Sinh 2 1 0 .