Relaciones Binarias

Por: Oswaldo Heredia

RELACIONES BINARIAS Definición: Una relación binaria es una relación matemática denotada con la letra R que vincula a los elementos de dos conjuntos llamados A y B. R es un subconjunto que en forma general se representa a través de pares ordenados (a,b) y en forma general la relación se escribe: ; de forma simplificada se puede escribir A R B. Si existe más de una relación se designan las demás relaciones con S, T, etc. Puede darse el caso que los elementos de un conjunto se relacionen con ellos mismos, en este caso se expresa que R es una relación en X. Ejemplos:

Elementos De Una Relación Dominio: Si existe una relación entre dos conjuntos A y B, todos aquellos elementos del conjunto A que tiene relación con los elementos del conjunto B, conforman el conjunto Dominio de esta relación.

Rango: De manera análoga y tomando el enunciado anterior, aquellos elementos del conjunto B relacionados con elementos del conjunto A, forma el conjunto denominado Rango de dicha relación.

Dominio

Rango

Si se tiene A R Y; Dom(R) = {a A / (a,b)  R  b  B} y Rang(R) = {b B / (a,b)  R  a  A }

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE RELACIONES

Representación Cartesiana

Ejemplo:

En esta representación, el eje de las abscisas contiene los elementos del conjunto de partida y el eje de las ordenadas los elementos del conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que conforma la relación.

En este caso A={a,b,c,e} y B={3,4,5,6,7} y la relación R de A en B es: R={(a,3), (a,5), (b,7), (d,4), (e,6)}

Representación Sagital Este modo de representar relaciones binarias se utiliza los diagramas de Venn, dibujando con uno el conjunto de partida y con otro en conjunto de llegada, luego se une con flechas los elementos que cumplen con la condición dad en la relación.

De coincidir los conjuntos de partida y de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn con las flechas dibujadas en su interior.

Representación Matricial o Matriz Binaria Composición de Relaciones Se crea una matriz colocando los elementos del conjunto de partida como filas y los elementos del conjunto de llegada como columnas. La matriz se llena colocando 1 en las posiciones donde los elementos se relacionan y 0 en caso contrario. Esta representación se usa cuando los conjuntos de la relación son finitos y tiene pocos elementos.

Si R y S son relaciones de A en B y de B en C respectivamente, se define como composición de R con S al conjunto denotado de las siguientes maneras: A(S o R) C   b  B, A R B  B S C En esta composición es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al conjunto de partida de S, o en tal caso que el conjunto de llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S.

Ejemplo: Sean A={2,3,5}, B= {a,b,c,d y C= {1,4,9} R2={(a, 3), (a, 5), (b, 7), (d, 4), (e, 6)}

Si R y S son las relaciones de A en B y de B en C respectivamente, dadas por

Relación Inversa La relación inversa se da cuando existiendo una relación de A en B, existe otra relación de B en A, lo cual se simboliza de la siguiente manera: ARBBR A

R= {(2, a), (2, d), (3, c), (5, a)} S= {(a, 9), (b, 1), (d, 4)} Entonces: S o R = {(2, 9), (2, 4), (5, 9)}

-1

o así: R-1 = {(b, a) B x A / (a, b) R} y se verifica que: dom(R-1)= rang(R) rang(R-1)= dom(R) Ejemplo: A= {a, b, c} B= {1, 2, 3, 4} R A x B R= {(a, 3), (a, 1), (b, 1), (c, 4)} R-1= {(3, a), (1, a) , (1, b) , (4, c)}

Si R es una relación de A en B, S es una relación de B en C y T es una relación de C en D, entonces: T o (S o R) = (T o S) o R Si R es una relación de A en B y S en una relación de B en C, entonces: (S o R)-1 = R-1 o S-1