Livre du Professeur Math 2nd by Hightschool

mathématiques

LIVRE DU PROFESSEUR Sous la direction d’ÉRIC BARBAZO Dominique GRIHON Benoît LAFARGUE Sébastien MAIMARAN Sandrine POLLET-MOURLAN avec la participation de Marie-Luce ABADIE

Pour animer la classe, les diaporamas sont gratuitement téléchargeables sur le site www.hachette-education.com.

Mise en pages : Soft Office Maquette de couverture : Guylaine Moi www.hachette-education.com © Hachette Livre 2014, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris ISBN 978-2-01-135597-3 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Sommaire

Avant-propos

Fonctions

1 Les fonctions 7 7 L’échantillonnage 131 Pour construire le cours

Pour construire le cours

132

Diaporamas

136

Corrigés des exercices

138

2 Le premier degré 33 Pour construire le cours

Diaporamas

Corrigés des exercices

Géométrie

8 Le repérage 149

3 Le second degré 53 Pour construire le cours

150

Pour construire le cours

Diaporamas

155

Diaporamas

Corrigés des exercices

157

Corrigés des exercices

Pour construire le cours

Diaporamas

Corrigés des exercices

9 Les droites 165 4 La fonction inverse Pour construire le cours 170 73 et ses applications Diaporamas 174

Probabilités et statistiques

Corrigés des exercices

176

10 La trigonométrie 191 Pour construire le cours

192

Diaporamas

196

Corrigés des exercices

198

5 Les probabilités 95 11 Les vecteurs 209 Pour construire le cours

Pour construire le cours

210

Diaporamas

100

Diaporamas

214

Corrigés des exercices

102

Corrigés des exercices

216

6 Les statistiques 113 12 L’espace 231 Pour construire le cours

114

Pour construire le cours

232

Diaporamas

118

Diaporamas

237

Corrigés des exercices

120

Corrigés des exercices

239

Sommaire

Avant-propos Intention des auteurs et propositions de progression

La classe de Seconde générale et technologique accueille de plus en plus d’élèves. Cette augmentation des effectifs engendre une hétérogénéité de niveau de plus en plus importante au sein d’une même classe. Cette réalité impose avec plus d’acuité aux professeurs de pouvoir disposer d’une grande variété d’outils pédagogiques adaptés à tous les niveaux. Ce manuel se veut pour tous les élèves. Il est important de leur montrer que, quel que soit leur niveau, quelle que soit leur volonté, ils vont rencontrer des mathématiques partout, à la fois dans leur cursus scolaire, mais aussi dans leur vie professionnelle et quotidienne. Une culture mathématique est indispensable à tout citoyen. Une base mathématique solide est obligatoire pour les futurs économistes, ingénieurs, scientifiques. Ce sont ces deux obligations qu’il faut mener de front dans les classes de Seconde générale et technologique d’aujourd'hui. Ce manuel axe l’apprentissage des mathématiques sur la découverte des notions nouvelles à travers des situations dont les sujets d’étude sont issus de domaines variés : en sciences expérimentales, en économie, en sciences humaines, en médecine, en architecture, en sport, en mathématiques… Pour laisser aux élèves une liberté d’expression maximale et pour préparer le travail du professeur, les situations sont accompagnées : – d’une présentation de remarques utiles à la conduite de la recherche des élèves. –

d’une proposition de trace écrite des connaissances qui doivent émerger du travail des élèves pendant la séance.

Ces situations ne sont pas des activités préparatoires classiques avec des enchaînements de questions liées qui empêchent souvent des élèves faibles ou moyens d’avoir du recul sur ce qui est demandé. Elles permettent, au contraire, de mener tous les élèves, par l’activité orale ou écrite, avec des questions suffisamment ouvertes et simples, vers une trace écrite des notions nouvelles à savoir. Ainsi, deux choix sont possibles : • réaliser les traces écrites constitutives du cours à l’issue de ces situations ; • introduire les notions nouvelles du cours avant qu’elles ne soient découvertes par les élèves. Dans ce livre du professeur, dans la correction des algorithmes écrits en langage naturel, il a été décidé de n'indiquer que la partie de l'algorithme demandée. La déclaration des variables et les mots-clés de début ou de fin sont souvent manquants. Dans le cadre d'une correction avec les élèves (projection en classe ou distribution sur feuille), compléter les algorithmes par la déclaration des variables et les mots-clés sera un bon prolongement de l'exercice. D’une manière générale, le manuel est construit sur la totalité des notions et compétences exigées par le programme et inclut les objectifs majeurs des trois domaines : Fonctions, Statistiques et probabilités et Géométrie. Les chapitres sur les fonctions sont construits avec, comme fil conducteur, la résolution des équations et des inéquations qui permettent de résoudre des problèmes. Les chapitres de géométrie privilégient le calcul des distances (dans le plan ou l’espace) ainsi que les éléments essentiels de raisonnements et de démonstrations. Les chapitres concernant les statistiques et probabilités sont basés sur l’analyse de données et l’apprentissage de leurs utilisations dans la vie courante.

Avant-propos

Trois propositions de progression 1re progression • Le repérage (chap. 8) • Les fonctions (chap. 1) • Les statistiques (chap. 6) • Le premier degré (chap. 2) • Les probabilités (chap. 5) • La fonction inverse et ses applications (chap. 4) • Les droites (chap. 9) • Le second degré (chap. 3) • Les vecteurs (chap. 11) • L’échantillonnage (chap. 7) • L’espace (chap. 12) • La trigonométrie (chap. 10)

2e progression • Le repérage (chap. 8) • Les fonctions (chap. 1) • Les probabilités (chap. 5) • Les vecteurs (chap. 11) • Le premier degré (chap. 2) • Les droites (chap. 9) • Le second degré (chap. 3) • Les statistiques (chap. 6) • La fonction inverse et ses applications (chap. 4) • L’espace (chap. 12) • L’échantillonnage (chap. 7) • La trigonométrie (chap. 10)

3e progression • Le repérage (chap. 8) • Les fonctions (chap. 1) • L’espace (chap. 12) • Le premier degré (chap. 2) • Les vecteurs (chap. 11) • Le second degré (chap. 3) • Les droites (chap. 9) • Les statistiques (chap. 6) • La fonction inverse et ses applications (chap. 4) • Les probabilités (chap. 5) • L’échantillonnage (chap. 7) • La trigonométrie (chap. 10)

• Il est indispensable de mettre en place le repérage en début d’année. Il est utilisé dans pratiquement tous les chapitres. • Les généralités sur les fonctions doivent être également mises en place dès le début de l’année puisqu’elles sont utiles dans de nombreux chapitres. • Dans chaque progression, l’analyse (étude des fonctions de référence et résolution d’équations et d’inéquations associées à ces fonctions) est étalée sur l’ensemble de l’année. • L’échantillonnage n’est jamais traité en dernier chapitre. Chaque chapitre est construit de manière à pouvoir éventuellement être déplacé dans les progressions proposées. Ainsi, les notions transversales d’algorithmique et de raisonnement ont un poids et une gradation identiques dans chaque chapitre. Cette structure du manuel permet ainsi au professeur de disposer et proposer des activités de découverte, d’approfondissement ou de synthèse, quel que soit le moment de l’année où il traitera le chapitre. Cette interchangeabilité des chapitres donne également l’opportunité au professeur de conduire une progression spiralée. Le choix d’une progression relève de la liberté pédagogique de chaque professeur. La place d’un chapitre selon le moment de l’année où il est traité, induit des apprentissages différenciés. Les progressions proposées permettent de tenir compte de cette réalité en ne « reléguant » pas la géométrie ou les probabilités-statistiques à des chapitres subalternes. La première progression propose de traiter les statistiques tôt dans l’année et place les chapitres de géométrie plutôt à la fin. Les probabilités arrivent en milieu d’année scolaire. La deuxième progression met l’accent sur un enseignement des probabilités en début d’année. Les statistiques sont étudiées plutôt en deuxième partie d’année. Une grande partie concernant la géométrie, avec les vecteurs et l’espace, est davantage diffusée en cours d’année, en alternance avec l’analyse. La troisième progression place la géométrie en début d’année et resserre les statistiques, les probabilités et l’échantillonnage dans un temps plus court et plutôt en fin d’année. Les auteurs

Avant-propos

Les fonctions

Présentation du chapitre

Ce chapitre prolonge et complète les premières notions vues au Collège sur la notion de fonction d’une variable réelle. • Il pose les bases des savoirs et savoir-faire nécessaires à la résolution de problèmes qui utilisent les fonctions et leurs propriétés. • Il présente la notion de fonction à travers trois modes de définitions : fonction définie par une formule explicite, par un tableau de valeurs et par une courbe. • Le programme stipule que la notion de variation est un attendu de fin d’année scolaire. On a pris le parti d’introduire la définition d’une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle dès le début des chapitres d’analyse, afin que cette notion soit petit à petit utilisée et développée dans les chapitres qui suivent et qui traitent des fonctions de référence. • De même, un fil conducteur des chapitres d’analyse du manuel de Seconde a été lancé ici : il s’agit de la résolution d’équations et d’inéquations, qui se décline dans les trois chapitres suivants. Dans ce chapitre, on présente la résolution graphique des équations et inéquations qui seront utiles tout au long de l’année. Ces notions ont été introduites dans le cours sous forme de méthodes.

1. Les fonctions

Pour construire le cours Situation A Calculer une aire en MATHÉMATIQUES Objectifs : Définir un lien fonctionnel entre variables. Faire émerger la notion d’intervalle d’étude de la fonction introduite. Définir une fonction par une expression algébrique. Il est nécessaire de laisser un temps de recherche en groupe et de faire émerger chez les élèves les éléments mobiles et variables et les éléments fixes et constants de la figure. Notamment laisser quelques minutes puis introduire le point I’ si nécessaire. On approche la notion de lien fonctionnel et d’intervalle d’étude d’une fonction. 1. On pose AH = x ⋅ x ne peut varier qu’entre 0 et 1, car M varie de I à J. On peut faire conjecturer une expression de l’aire avec un logiciel de géométrie dynamique. Le calcul de l’aire est simple pour que la technicité ne cache pas l’enjeu de l’activité qui doit être rapide. L’aire du triangle vaut : AB × MH = MH 2 Le calcul de MH se fait en complétant la figure avec le rectangle AHI'I. Il faut démontrer que IMI' est un triangle isocèle rectangle en I'. On peut à cette occasion préciser la nature de IDJ pour faire oralement émerger D J l’idée que le triangle IMI' est lui aussi rectangle isocèle, avec des égalités d’angles par exemple. Mais la démonstration formelle n’est pas ici un objectif. Cela permettra M de réutiliser le vocabulaire vu au collège. Le chapitre est traité après le repérage, il est intéressant de montrer qu’on peut I I’ également choisir un repère pour traiter cet exercice. Aire MAB On a alors MH = MI' + I'H = x + 1. = 1,37 On définit ensuite une fonction par une expression algébrique. H A L’aire du triangle est alors une fonction affine connue des élèves : x = 0,37 Aire = MH = x + 1 L’aire est liée à la variable x par le lien ci-dessus.

L’aire du triangle varie lorsque x varie. L’aire est une fonction de la variable x que l’on peut noter Aire = f(x) = x + 1. x est un nombre réel qui varie dans l’intervalle [0 ; 1] appelé domaine de définition de la fonction. A chaque valeur de x, on peut associer une aire f(x). f(x) s’appelle l’image du nombre x. x s’appelle un antécédent de f(x). On résout alors une équation. La résolution d’équation f(x) = k est un objectif à mettre en place graduellement. Il s’agit ici de le mettre en forme sans excès de formalisme. 2. On résout le problème posé :

On cherche x  [0 ; 1] tel que x + 1 = 1 × 4 . 3 On trouve x = 4 − 1 = 1 . 3 3 Le point M sera donc au situé au tiers à partir de A sur le segment [AB] .

Pour trouver un antécédent d’un nombre k, on résout l’équation f(x) = k.

Pour construire le cours

Situation B Calculer le taux de sucre d’un jus de raisin en SCIENCES PHYSIQUES Objectifs : Comprendre la notion de « quantité exprimée en fontion d’une autre ». Fonction définie par une formule explicite. On exprime m en fonction de t (à cette occasion, on peut introduire le symbole d’équivalence). t = 2,544 × m − 2560 ⇔ 2,544 × m = t + 2560 ⇔ m = t + 2560 . 2,544

Une fonction associe, à un réel x, une image unique notée f(x) ou y. Il existe des fonctions où le lien fonctionnel entre x et y est une formule. On dit alors que la fonction est définie par une formule algébrique ou explicite. y est exprimé en fonction de x.

Situation C Utiliser un programme en PROGRAMMATION Objectifs : Définir une fonction par un programme de calcul. Prouver une égalité pour tout x. Les programmes de calculs sont vus de nombreuses fois au Collège. L’objectif est de les lier à la notion de fonction : établir la variable x et son image f (x) en montrant que l’on trouve une formule explicite (ou algébrique). On prend un réel x. On le multiplie par 2 et on ajoute 7, on obtient 2x + 7. On multiplie le résultat par 3, on obtient 3(2x + 7). On soustrait 6 fois le nombre x, on obtient 3(2x + 7) - 6x. La variable Résultat de l’algorithme s’écrit en fonction de x. On peut noter le résultat f(x) = 3(2x + 7 - 6x) 1. On obtient le tableau suivant (l’explication du choix des noms des variables peut être faite à ce moment là). x

-3

-2

Résultat

Toutes les images sont identiques. 2. En développant l’expression trouvée, on précise la valeur de f(x) : f(x) = 3(2x + 7) - 6x = 6x + 21 - 6x = 21. La fonction est donc constante. Elle prend toujours la même valeur 21.

On peut présenter une fonction par une formule explicite : une formule explicite est un programme de calcul qui fait intervenir l’antécédent pour aboutir à l’image.

1. Les fonctions

Pour construire le cours Situation D Interpréter des graphiques en ÉCONOMIE Objectifs : Savoir relier des points de manière cohérente lorsqu’on connaît le modèle. Prendre conscience qu’à partir d’un nuage de points, si on ne possède pas de modèle, on ne peut pas savoir ce qui se passe entre deux points. S’interroger sur la légitimité de relier des points donnés par une courbe même s’ils montrent une tendance. Cette situation est la première qui insiste sur l’importance du modèle, connu ou non, de la fonction sous-jacente. Dans le cas d’une fonction définie par des points sur un graphique ou un tableau de valeurs, si le modèle est connu, on peut relier les points et déterminer d’autres images ou d’autres antécédents que ceux présents dans le tableau des valeurs. Sinon, seules les valeurs du tableau définissent la fonction. 1. Le prix est fixe entre 0 et 2 h de communication. D’après le point d’abscisse 60, ce prix est de 12 €. 2. On trace alors un segment de droite horizontal du point de coordonnées (0 ; 12) au point de coordonnées (120 ; 12) : voir ci-contre. Au-delà de 2 h, le prix à la minute est constant donc le taux d’accroissement également. Ainsi, les points de cette partie de la courbe sont tous alignés. Il suffit donc de relier le point de coordonnées (120 ; 12) au point déjà présent sur le graphique de coordonnées (180 ; 18). Le vocabulaire et les éléments caractéristiques des fonctions affines sont à rappeler à cette occasion. Cela peut être l’occasion de retrouver l’expression algébrique de la fonction affine sur l’intervalle [120 ; 180]. 3. On lit donc que le client paie 15 euros pour 2 h 30 de communication.

Prix (€)

2 0

Durée de communication (min) 20

120

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Sa représentation graphique est une droite. Une fonction affine constante est de la forme f(x) = b. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses. Il suffit de connaître deux points pour tracer une fonction affine. Il suffit de connaître un point pour tracer une fonction affine constante. Le graphique ci-contre est à projeter ou à donner aux élèves après qu’ils ont relié les points du graphique par des segments ou des morceaux de courbes. Voici un relevé plus complet de l’évolution de cet indice. Si les élèves ont tenté une approximation affine entre deux points, la première réponse peut-être proche de la réalité alors que la seconde sera complètement erronée. L’important est qu’ils comprennent que la réponse donnée dépend du modèle de fonction dont on dispose. On ne peut donc faire aucune interpolation entre deux points car il n’y a pas de modèle connu.

3 020 3 000 2 980 2 960 2 940 2 920 2 900

10 11 12 13 14 15 16 17

Pour construire le cours

Situation E Mesurer un plant de tomates en SCIENCES de la VIE et de la TERRE Objectifs : Introduire la notion de fonction définie par un tableau de valeurs. Exploiter un graphique grâce au modèle induit. 1. On fait le graphique correspondant au tableau de valeurs.

40 30 20 10 0

2. Les points semblent être alignés. On peut considérer un modèle affine de la forme h = at + b. C’est l’occasion de rappeler le vocabulaire des fonctions affines et les étapes de calcul du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine. On calcule a = 25 − 17 = 2 et on calcule b = 17 - 2 × 5 = 7. 9−5 Le modèle qui semble être en jeu est h = 2t + 7. On peut vérifier avec les autres valeurs et on voit que cela coïncide (table des valeurs de la calculatrice par exemple). 3. Au bout de 31 jours, le plant de tomates devrait mesurer 2 × 31 + 7 = 69 cm. Il peut être intéressant de faire remarquer que le graphique n’est pas la seule manière pour voir un modèle affine. On peut rappeler ici qu’il y a proportionnalité des accroissements ou utiliser un raisonnement moins expert du type : « quand on ajoute 4 h, ça ajoute 8 cm, quand on ajoute 2 h, ça ajoute 4 cm (donc 2 fois moins) ». Ainsi, quand on ajoute 1 jour, cela va ajouter 2 cm. Cela permet de trouver la valeur pour 31 h par raisonnements successifs : on part de 20 et on ajoute 4 h + 4 h + 2 h + 1 h soit 11 h. Cela va donc ajouter 8 + 8 + 4 + 2 cm soit 22 cm. La hauteur au bout de 31 h sera donc de 47 + 22 cm, soit 69 cm. Cela peut être également l’occasion de revenir sur le coefficient directeur par un autre biais et de refaire le lien entre les différents points de vue.

On peut présenter une fonction par un tableau de valeurs. Un tableau de valeurs comporte deux lignes. On peut associer à chaque nombre de la première ligne, son image sur la seconde ligne. Lorsqu’on peut déterminer un modèle de fonction, on peut évaluer par cette fonction des images de réels qui ne sont pas donnés par le tableau de valeurs initial.

1. Les fonctions

Pour construire le cours Situation F Évaluer la puissance d’un panneau solaire en SCIENCES de L’INGÉNIEUR Objectifs : Faire comprendre qu’une fonction peut être définie par un tableau de valeurs. Questionner sur la possibilité de relier les points du graphique et comment si l’on peut le faire. Travailler sur une fonction qui modélise une situation. Travailler sur les images, antécédents. On peut faire faire le graphique avec un tableur ou sur papier. Cette activité poursuit le questionnement sur la représentation graphique d’une fonction définie par un tableau de valeurs. En particulier, il est ici pertinent de relier les points entre eux car on sait qu’il existe un lien fonctionnel entre la puissance et la résistance on ne connaît pas la forme explicite de la fonction (Voir le professeur de sciences physiques). 1. Le graphique avec le tableau de valeurs donné est le suivant. Le graphique obtenu est tout d’abord un ensemble de P (W . m–2) points dont les coordonnées sont les nombres issus du 16 tableau. On sait qu’il existe une formule mais qu’on ne connaît pas. 12 La puissance qui dépend de la résistance est donc une fonction dont on ne connaît pas l’expression algébrique. 8 Cette modélisation permet de considérer qu’on peut relier 4 les points obtenus. Mais comment ? On peut poser comme hypothèse que la courbe de cette R (ohms) fonction peut être approchée par une courbe reliant 0 50 100 150 200 250 les points les uns aux autres par différents moyens : segments de droites entre deux points, morceaux de courbes entre deux points. On peut ainsi utiliser cette approximation pour en déduire des images ou des antécédents de nombres qui ne sont pas dans le tableau de valeurs initial. Il est possible à cette occasion de parler de la manière de relier les points (que fait le logiciel lorsqu’on le lui fait faire), par interpolation affine que l’on pourrait calculer, ou par des morceaux de courbes qui ne sont pas des segments. Le graphique illustre que P est une fonction de R.

P (W . m–2 ) 16 12 8 4 89 0

230 100

150

200

265 250

R (ohms)

Lorsque une quantité P s’exprime en fonction d’une autre quantité R, on note P = f(R). P s’appelle l’image de R. R s’appelle un antécédent de P. 2. a. La résistance pour laquelle la puissance est maximale se situe entre 160 et 170 ohms. Les élèves auront des résultats différents selon le graphique qu’ils auront tracé. Seule la cohérence entre leur graphique et leur résultat est ici attendue. Il est important de faire remarquer aux élèves qu’il est normal d’avoir obtenu des résultats différents mais néanmoins assez proches. Le professeur de physique pourrait donner la valeur exacte fournie par la formule.

Le maximum (respectivement minimum) d’une fonction f sur un intervalle [a ; b] est, s’il existe, la plus grande (respectivement plus petite) valeur des images f(x), pour tout réel x appartenant à l’intervalle [a ; b]. 12

Pour construire le cours

b. On lit l’image du nombre 45 en utilisant, les données du tableau. Pour une résistance de 45 ohms, la puissance vaut 8 W . m-2. Il est important de signaler que le tableau fournit la valeur exacte des images pour la fonction définie par ce tableau.

45 a pour image 8. On note f(45) = 8. c. On utilise le tableau comme hypothèse. La puissance de 15,3 W ⋅ m-2 correspond à une résistance de 100 ohms. 100 est un antécédent de 15,3, car on a 15,3 = f(100). Mais il existe un autre antécédent de 15,3 W ⋅ m-2. On lit sur le graphique environ 230 ohms.

Un réel donné peut avoir plusieurs antécédents par une fonction. La résolution des équations f(x) = k est à mettre en place progressivement. La formalisation de cette recherche est un objectif de fin d’apprentissage de tous les chapitres sur les fonctions. d. Il est nécessaire de résoudre sur le graphique. La puissance est supérieure à 14 W ⋅ m-2 lorsque la courbe de la fonction est au-dessus de la droite d’équation y = 14. On trouve graphiquement que la puissance est supérieure à 14 W ⋅ m-2 pour une résistance comprise environ entre 89 et 265 ohms.

1. Les fonctions

Pour construire le cours Situation G Déterminer l’efficacité d’un médicament en MÉDECINE Objectifs : Introduire l’expression algébrique d’une Faire comprendre qu’une fonction peut être définie par une courbe. Introduire la notion de fonction croissante, décroissante sur des intervalles. Introduire la notion de maximum. Introduire la notion d’équation ou d’inéquation du type f(x) = k ou f(x) > k. Pour les trois concentrations : réintroduire rapidement les notions de quantité exprimée en fonction d’une autre quantité, et de domaine de définition. Pour le médicament A : La concentration augmente très rapidement. Elle atteint un maximum puis elle est décroissante sur l’intervalle [2 ; + [ (la borne 2 est approximative ; ce sera l’occasion de parler de valeurs exactes ou approchées). Le maximum est au-dessus des concentrations indésirables. La période thérapeutique est d’environ 6 heures (sur l’intervalle ]0 ; 6]). La concentration reste longtemps au-dessus des concentrations indésirables (environ dès la première demiheure jusqu’à 4 heures après l’administration). Introduire à cette occasion la notion f(x) > k en comparant la concentration avec 6. Ce médicament présente donc un danger, même si le produit a presque disparu au bout de 24 heures. Pour le médicament B : La fonction est croissante sur un intervalle d’environ 4 heures ([0 ; 4]) puis décroissante sur [4 ; + [. La période thérapeutique est assez longue (sur l’intervalle [1 ; 7] environ, soit 6 heures). La concentration reste toujours en dessous des concentrations indésirables (son maximum est inférieur à 6 mg/L), et n’est plus efficace au bout de 7 heures environ. Le produit a disparu au bout de 24 heures. Ce médicament est plutôt conseillé. Pour le médicament C : La concentration n’atteint jamais les concentrations thérapeutiques. Il reste encore présent dans le sang au bout de 24 heures. (L’image de 24 est environ 1 mg/L.) Ce médicament n’est pas efficace. Il est sûrement à déconseiller. La définition formelle des fonctions croissantes et décroissantes est un objectif de fin d’année de Seconde. Cette définition n’est pas dans ce chapitre. Elle sera dégagée au fur et à mesure dans les chapitres sur les fonctions affines, les fonctions de degré deux et les fonctions homographiques.

Les points de d’équation y Les points de d’équation y 14

la courbe représentative d’une fonction situés au-dessus d’une droite = k indiquent les nombres réels x tels que f(x)  k. la courbe représentative d’une fonction situés au-dessous d’une droite = k indiquent les nombres réels x tels que f(x) ¯ k.

Pour construire le cours

Situation H Comprendre la transition démographique en SCIENCES HUMAINES Objectifs : Faire comprendre qu’une fonction peut être définie par une courbe Introduire la notion de fonction croissante, décroissante sur des intervalles. Introduire la notion d’inéquation du type f(x)  g(x). La transition démographique est étudiée par les élèves en histoire-géographie en classe de Seconde. 1. On peut utiliser cette situation pour introduire la notion de fonction définie par une courbe. La fonction représentée par la courbe en vert est quasiment constante sur un intervalle de temps appelé phase pré-transitionnelle et Première phase. Cette fonction est décroissante sur l’intervalle de temps appelé « Seconde phase ». Puis cette fonction est à nouveau quasiment constante sur le dernier intervalle de temps appelé « Transition achevée ». On fait de même pour la fonction représentée en rouge.

Une courbe tracée dans un repère du plan peut présenter une fonction. Une fonction est croissante sur un intervalle D lorsque les images f(x) sont rangées dans le même ordre que les nombres x (« la courbe monte »). Une fonction est décroissante sur un intervalle D, lorsque les images f(x) sont rangées dans l’ordre contraire des nombres x (« la courbe descend »). 2. a. La fonction qui représente le taux d’accroissement naturel est représentée en violet. Elle représente la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité. Sur l’intervalle de temps appelé « Phase pré-transitionnelle », les deux fonctions représentées en rouge et en vert sont quasiment constante. Leur différence est donc quasiment constante. Sur l’intervalle de temps appelé « Première phase », la fonction en vert reste constante et la fonction tracée en rouge décroît fortement. La différence entre les deux fonctions est donc fortement croissante. Durant la « Seconde phase », le taux de mortalité reste quasiment constant alors que le taux de natalité décroît. La différence entre ces deux fonctions est alors décroissante. Durant la dernière phase, on retrouve les deux fonctions en rouge et en vert quasiment constante. La fonction en violet est donc quasiment constante. Cette activité peut être une première approche des tableaux de variations qui peuvent être introduits ici. Dans tous les cas, si on note f la fonction représentée en vert et g la fonction représentée en rouge, on a toujours f(x) ¯ g(x). b. La fonction « taux d’accroissement naturel » représentée en violet est d’abord croissante puis décroissante. Elle admet un maximum à la fin de la « Première phase ».

Le maximum (respectivement minimum) d’une fonction f sur un intervalle [a ; b] est, s’il existe, la plus grande (respectivement la plus petite) valeur des images f(x) pour tous réels x appartenant à l’intervalle [a ; b] .

1. Les fonctions

Diaporamas Les fonctions

Diaporama calcul mental

Les fonctions

1− 1 2 est : Le résultat de 1+ 1 2 a. 1 3 b. - 2 3 c. 2 3 d. - 1 3 © Hachette Livre – Mathématiques 2

Le résultat de 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 est : 5× 4 × 3×2×1 a. 55 b. 42 c. 36 d. 13 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Diaporama calcul mental

Le résultat de 1 + 2 + 3 + 4 est : 4

Diaporama calcul mental

Les fonctions

Diaporama calcul mental

2 Le résultat de 22 + 6 est : 2 +4 a. 6 4

a. 3 b. 6

b. 5

c. 10

c. 5 4

d. 5 2

d. 3 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Diaporama calcul mental

Le résultat de 99 × 101 est :

Diaporama calcul mental

9 237 - 888 est : 888 - 9237

a. 9 999

a. 7 889

b. 999

b. 1

c. 1 001

c. 8 979

d. 1 000

d. -1

Les fonctions

Diaporama calcul mental

x2 + 2x + 1 − ( x + 1)2 est : x2 + 1 a. 1 b.

1 x2 + 1

c. 0 d. 2x + 1 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Le résultat de

Diaporamas

Les fonctions

Diaporama QCM chrono

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x2 - 3x + 1.

Soit f la fonction définie par f(x) = (x2 + 1 )(3x -5).

Par la fonction f, l’image de 5 est :

f(4) vaut :

a. 26

a. -51

b. 46

b. 63

c. 36

c. 119

d. 56

d. 175 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Diaporama QCM chrono

Soit g la fonction définie par g(x) = x2 - x - 10. Par la fonction g, -4 a pour antécédent(s) :

Je suis un nombre dont le quadruple est inférieur ou égal

a. 10 seulement

à mon double.

b. 3 seulement Trouver l’intervalle auquel j’appartiens.

c. -2 seulement d. -2 et 3 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Diaporama QCM chrono

–2

–1

Images

–5

–8

–9

–8

–5

Ce tableau de valeurs est celui de la fonction définie par : a. f(x) = x - 3 b. g(x) = –3x - 11 c. h(x) = x2 - 9 d. m(x) = x2 + x - 3 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les fonctions

Diaporama QCM chrono

Quelle courbe ne représente pas une fonction ? a.

Les fonctions

Diaporama QCM chrono

Quelle courbe ne représente pas une fonction ? a.

2 0

y 1

x 1

x 1 0

2 0

0 2

y 1 1

x 1 0

1 x

1. Les fonctions

Exercices Réviser ses gammes Gamme 3 a. On lit f (–1) = 6 avec le point B. b. Les points A et C fournissent les antécédents –2 et 1 pour l’image 4.

Gamme 1 a. 3 × 2 – 4 = 2.

b. 2 × (–1) + 3 = 1. 22 4 c. 3 = 9 . d. 4 × – 1 + 3 = 2. 4

()

( )

Gamme 4 La fonction carré est l’intruse.

Gamme 2 a. Le A s’échange avec le Z, le B avec le Y et ainsi de suite jusqu’à M qui s’échange avec le N. b. CESAR devient XUHZR.

Gamme 5 La droite verte (l’image de 26 est 1). Gamme 6 a.Faux. b. Vrai. c. Vrai.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 5. 2. Capacité 4. 4. Capacité 9. 5. Capacité 2.

3. Capacité 4. 6. Capacité 8.

4 1.

3. f admet 7 pour maximum atteint en 1 et admet –3 en minimum atteint en 3.

2. Il faut et il suffit que f (2) soit négatif. 3. Il faut et il suffit que f (5) soit positif.

x –2 –1,5 –1 0 1 1,5 3 f (x) –3 –1,66 –1 –0,33 0 0,11 0,33

+ `

variation de f

2 1. f est définie sur l’intervalle [–6 ; 5].

3 1.

– `

1 0

–2

variation de f

3. L’antécédent de 0 est 1.

5 On peut penser à déterminer des images, des antécé-

dents, à résoudre des inéquations avec f (x) ou avec g(x).

1 3

–3

5. 6 = [–2 ; 3]

Corrigés des exercices d. ]-  ; 8[

1 1. a. -1  [-1 ; 2[. b. -3,7 [ [-5 ; -3,8].

–1

c. 4  [4 ; 10]. 2. a. ]2 ; + [ –5

–4

–3

–2

–1

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–3

–2

–1

b. ]-  ; -5[ – 10

–9

c. −3 ; 5   2 –5

–4

3. a. -2  x ¯ 3,5. b. x > -3. c. x  1. 2 1. L’aire d’un carré (y) est une fonction de la longueur de son côté (x). La distance parcourue par un véhicule (d) roulant à une vitesse moyenne de 90 km ⋅ h-1 est une fonction du temps de parcours (t). 2. On a y = x2 et d = 90 × t. 3 Deux fonctions peuvent-être considérées : 1. La vitesse (image) en fonction de la distance de freinage (antécédent). 2. La distance de freinage (image) en fonction de la vitesse (antécédent).

Exercices

4 1. a. On considère un nombre x, on soustrait 2 à

9 1.

ce nombre, on élève le résultat au carré, on multiplie par 3 et enfin on ajoute 4.

y 4

b. On considère un nombre x, on soustrait 3 à ce nombre, on élève le résultat au carré, on multiplie par -1 et enfin on ajoute 7.

3 2 1

2. a. On a j ( x ) = x − 2 . b. La fonction de référence x - 2 existe si et seulement si x - 2 est positif, donc j(x) existe si et seulement si x  [2 ; + [. 3. g(7) = 79 ; g(-3) = 79 ; h(7) = -9 ; h(-3) = -29 ; j(7) = 5 ; j(-3) n’est pas définie (cf. question 2.b.)

5 1. La fonction f est définie sur l’intervalle [– 2 ; 1]. 2. f(-1,01) = 2 × (-1,01)2 - 1 = 1,0402. Or 1,0402 ≠ 1,01, donc le point C n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction f.

–3 –2 –1 0 –1

–2

On place le réel -2 sur l’axe des ordonnées. Les solutions de l’équation f(x) = -2 sont les abscisses des point de la courbe d’ordonnée -2. Les solutions sont environ x = 2 et x = 3,25. 2. y 1

6 a. D’après les conventions graphiques, on peut

affirmer que la fonction est définie sur [-3,5 ; + [.

b. L’image de 2 par la fonction est -3. c. f(1) = 0. d. 4 possède trois antécédents par f. e. Le point de coordonnées (-2 ; 4) n’est pas représenté par une croix, on ne peut donc pas affirmer qu’il appartient à la courbe représentative de f.

7 1. La fonction g est définie sur l’intervalle de nombres [-1,5 ; 1]. 2. g(1) = -1 ; g(-0,5) = -2,5 ; g(-0,5) = 1 3. L’antécédent de -0,25 par la fonction g est -0,5. Les antécédents de -1 par la fonction g sont -0,25 environ et 1. Enfin, 2 n’a pas d’antécédent par la fonction g. 4. L’ordonnée du point de la courbe g d’abscisse 0 est environ -1,75. 5. L’ordonnée du point de la courbe g d’abscisse -1 est 1, donc le point de coordonnées (-1 ; -2) n’est pas sur la courbe g. 6. x

-1,5

-1

0,5

-1

f(x)

-2,5

0,25

1 0

Les solutions de l’inéquation f(x)  0 sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est strictement supérieur à 0.  = ]0,5 ; 3,5[. 3. y A

g –2

4 x

–2

–4 –6

Les solutions de l’inéquation g(x) ¯ f(x) sont les abscisses des points de g situés en dessous de f et de mêmes abscisses.  = [-3 ; -2]  [3 ; + ]. b. f(-2) = 11. 10 a. f(1) = 2. d. f 3 = 4 . c. f 1 = 1. 2 2

()

11 1. La valeur exacte probable est π. 2. La valeur exacte probable est 2 . 3. La valeur exacte probable est 3 . 12 -1 - x2 ¯ - x2 ¯ 1 - x2 ¯ 1 ¯ 1 + x2 13 1. Réponse b. 2(x - 1)2 + 1 = 2(x2 - 2x + 1) + 1 = 2x2 - 4x + 3 = f(x) 2. Réponse c. 3(x - 1)(x + 4) = 3(x2 + 4x - x - 4) = 3x2 + 9x - 12 = g(x) 0− 1 2 = −1 3. Réponse b. h (0) = 0+ 1 2 1. Les fonctions

Exercices f. La fonction f est croissante sur l’intervalle [-6 ; 6]. g. La fonction f est positive sur l’intervalle [1 ; 2]. h. La droite d’équation y = -5 coupe la courbe représentative de f en deux points dont les abscisses sont les antécédents de -5. i. La droite d’équation y = 7 coupe la courbe représentative de f en un point, 7 possède donc un unique antécédent par f. 16 a. La fonction f1(x) est positive (le carré d’un nombre est toujours positif). b. La fonction f2(x) est négative (l’opposé d’un nombre au carré est toujours négatif). c. La fonction f3(x) est négative (la somme de deux nombres négatifs est négative). d. La fonction f4(x) est positive (le quotient de deux nombres positifs est positif). e. La fonction f5(x) est négative (le quotient de deux nombres de signes opposés est négatif). f. La fonction f6(x) est négative (le quotient de deux nombres de signes opposés est négatif).

2 x (2x − 1) 2x − 1 m ( x ) = 2x −2 x = = x (4 x ) 4x 4x a. Négatif (la somme de deux nombres négatifs 14 est négative). b. Positif (la somme de deux nombres positifs est positive). c. Positif (le carré d’un nombre est toujours positif). d. Négatif (l’opposé du carré d’un nombre est toujours négatif). e. Positif ( 2 1), et le quotient de deux nombres positifs est positif). f. Négatif ( 5 3 , 3 1), et le quotient de deux nombres négatifs est négatif). 15 a. Df = [-10 ; 10]. b. Graphiquement, il semble que f(3) = 1. c. Les antécédents de -3 sont -10 et -2 environ. d. Le minimum de f sur [-10 ; 0] est -11 et il est atteint pour x = -6. e. Le maximum de f sur [0 ; 10] est 6 et il est atteint pour x = 0.

4. Réponse b.

17 Phrase

Représentation

Inégalité

[-3 ; + [

x > -3

[-3 ; + [

x > -3

− 5 ; 1  3 

- 5 x 1 3

[0 ; + [

x 0

[-  ; 7[

x ¯7

]-10 ; -2[

-10  x  -2

[-  ; 0[

x 0

Ensemble des réels supérieurs ou égaux à -3

–5

–4

–3

–2

–1

Ensemble des réels supérieurs ou égaux à -3

–5

–4

–3

–2

–1

–5

–4

–3

–2

–1

Ensemble des réels strictement positifs

–5

–4

–3

–2

–1

Ensemble des réels inférieurs ou égaux à 7

–1

– 10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–5

–4

–3

–2

–1

supérieurs ou égaux à - 1 3

–5

–4

–3

–2

–1

− 1 ; +    3 

x -1 3

Ensemble des réels supérieurs ou égaux à 1 et 2 strictement inférieurs à 3 4

–5

–4

–3

–2

–1

1 ; 3 2 4 

1 x 3 2 4

Ensemble des réels strictement supérieurs à - 5 3 et inférieurs ou égaux à 1

Ensemble des réels strictement compris entre - 10 et - 2 Ensemble des réels strictement négatifs Ensemble des réels

18 a. Vraie, tous les nombres réels strictement inférieurs à 0 sont négatifs. b. Vraie, x  0  2. c. Vraie, si x - 2 ¯ 0, alors x ¯ 0 + 2 ⇔ x ¯ 2. 20

Intervalle

d. Vraie, ]-  ; 4[ ⊂ [-  ; 4]. e. Vraie, [0 ; 2] ⊂ [-1 ; 5]. 19 1. L’algorithme permet de vérifier si un nombre x appartient ou pas à l’intervalle [ a ; b].

Exercices

2. Premier cache : « x  [ a ; b] ». Deuxième cache : « x [ [ a ; b] ». 3. VARIABLES a EST DU TYPE NOMBRE x EST DU TYPE NOMBRE DEBUT ALGORITHME AFFICHER « entrer une valeur de a » LIRE a AFFICHER « entrer une valeur de x » LIRE x SI (x ¯ a) ALORS DEBUT_SI AFFICHER x ]-  ; a] FIN_SI SINON DEBUT_SINON AFFICHER x [ ]-  ; a] FIN_SINON FIN ALGORITHME

20 1. f(0) = 1.

( )

2. f ( −2) = 11 ; f ( − 3 ) = 7 + 3 ; f − 3 = 7 . 2 3. f(1) = 2 ; f(2) = 7 ; f(3) = 16. 4. f(-2) = 11 ; f(-3) = 22 ; f(-4) = 37. 21 1. f (0) = 0 ; f ( −4) = −16 ; f 41 = 1. 2. 4x = 16 ⇔ x = 16 = 4 4 L’antécédent de 16 est 4 par la fonction f. 4x = −8 ⇔ x = −8 = −2 4 L’antécédent de -8 est -2 par la fonction f. 1 1 4 4x = ⇔ x = = 1 4 4 16 L’antécédent de 1 est 1 par la fonction f. 4 16 3. f 11 = 11; f −17 = −17; f 251 = 251. 4 4 4 22 1. f(0) = -1 ; f(1) = 2. 2. Si -1 est un antécédent de -10 par la fonction f, alors f(-1) = 10. f(-1) = -2 - 3 - 4 - 1 = -10 -1 est bien un antécédent de -10 par la fonction f. 23 1. La fonction f(x) est définie sur l’intervalle ]-  ; 6[  ]6 ; + [, le réel 6 est une valeur interdite, il est donc possible de calculer les images par f des réels 11, 7, 0 et 1. 2. Le programme de calcul est : choisir un nombre x différent de 6 soustraire 6 à ce nombre prendre l’inverse du résultat ajouter 2 24 « Un rectangle est deux fois plus long que large » se traduit mathématiquement par : L = 2l P = 2 (l + L) = 2 × (l + 2l) = 6l A = L × l = 2l × l = 2l2 25 1. La fonction f ( x ) = 2x + 3 a pour domaine de définition l’intervalle [ − 3 ; +∞[ . Le programme de 2

()

( )

calcul qui permet d’obtenir l’image d’un nombre x devra ressembler au programme suivant : • choisir un nombre x plus grand ou égal à - 3 2 • multiplier ce nombre par 2 • ajouter 3 • enfin, calculer la racine carrée du résultat

( )

2. f (0) = 3 ; f (11) = 5 ; f ( −1,5) = 0 ; f − 1 = 2,. 2 Remarque : Il n’est pas possible de calculer l’image du nombre -4 car celui-ci n’appartient pas au domaine de définition de la fonction f (cf. question 1.). 26 1. D’après le théorème de Pythagore : l2 = x2 + 32. Soit, l = x2 + 9 car l est une longueur, donc positive. Pour x = 5, on a l = 6. Pour x = 7, on a l = 58 . 27 D’après la deuxième colonne du tableau, on peut supposer que la fonction v(x) cherchée est une fonction linéaire. D’après la dernière colonne, on peut supposer que le coefficient directeur est -3. On vérifie ensuite que l’hypothèse est juste avec les colonnes une et trois. v(x) = 3x 28 Si à la taille (antécédent) on associe l’âge (image), on s’aperçoit qu’à la taille 1,62 m on associe deux images (âge), 38 ans et 47 ans. De même, si à l’âge (antécédent) on associe la taille (image), on s’aperçoit que pour 19 ans on associe deux images (taille), 1,48m et 1,53m. Ce tableau ne peut donc pas représenter une fonction. 29 1. À chaque valeur de x du tableau, on associe une image et une seule, ce tableau peut donc tout à fait représenter une fonction. 2. D’après la dernière colonne du tableau, on peut supposer qu’il s’agit d’une fonction linéaire. (Un graphique viendrait confirmer cette hypothèse, en observant que les points sont alignés entre eux et avec l’origine du repère.) 3. D’après la troisième colonne du tableau, il semble que le coefficient directeur de la fonction linéaire cherchée est 0,2. On confirme cette hypothèse avec les colonnes une et deux : f(x) = 0,2x. 30 1. À chaque valeur de x du tableau, on associe une image et une seule, ce tableau peut donc tout à fait représenter une fonction. 2. Les points alignés entre eux sur le graphique font penser que la fonction cherchée est une fonction affine. 3. Calcul du coefficient directeur de la fonction affine : y A − yB 14 − 6 = = 8 = −2 . xA − xB −5,5 − ( −1,5) −4 Calcul de l’ordonnée à l’origine b de la fonction affine : f(x) = -2x + b ; f(-3) = -2 × (-3) + b ; 9 = 6 + b ; b = 3. L’expression algébrique de y en fonction de x est y = -2x + 3. 1. Les fonctions

Exercices 31 • La courbe 1 est représentative d’une fonction, car tout réel de l’axe des abscisses a une image unique. • La courbe 2 est représentative d’une fonction, car tout réel de l’axe des abscisses a une image unique. • La courbe 3 n’est pas représentative d’une fonction, car certains points de la courbe ayant la même abscisse ont des ordonnées différentes. • La courbe 4 n’est pas représentative d’une fonction, car certains points de la courbe ayant la même abscisse ont des ordonnées différentes. • La courbe 5 est représentative d’une fonction, car tout réel de l’axe des abscisses à une image unique. • La courbe 6 n’est pas représentative d’une fonction, car certains points de la courbe ayant la même abscisse ont des ordonnées différentes. 32 1. La courbe représentant l’altitude (en km) en fonction de la température (en °C) n’est pas représentative d’une fonction, car certains points de la courbe ayant la même abscisse ont des ordonnées différentes. Par exemple les points d’abscisse -40 °C et -20 °C. 2. On peut par exemple souligner que l’on trouve la température -40 °C à quatre altitudes différentes. 3. Pour obtenir la courbe d’une fonction il suffit de représenter la température (image) en fonction de l’altitude (antécédent), dans ce cas tout réel de l’axe des abscisses a une image unique.

33 1. Graphiquement, l’image de 5 est 18. La location coûte donc 18 euros par jour, soit 5 × 18 = 90 euros pour l’intégralité du séjour. 2. Graphiquement, l’image de 7 est 16. La location coûte donc 16 euros par jour, soit 7 × 16 = 112 euros pour l’intégralité du séjour. 3. Si le client a payé 176 euros, il a forcément loué la voiture 22 euros par jour ou 16 euros par jour, car 176 n’est pas divisible par 18. S’il l’a loué 22 euros par jour, cela correspond à 8 jours de location. Or le tarif de 22 euros n’est proposé que pour 2 jours au plus. La seule possibilité est donc d’avoir loué la voiture 11 jours à 16 euros par jour.

34 1. La courbe représentant le cours en bourse du café en fonction du temps est représentative d’une fonction, car tout réel de l’axe des abscisses à une image unique. 2. Le prix du café à atteint son maximum, environ 2043 $/t, le 8 février vers 3 h 00 du matin. 3. Le 7 février à 0 h 00, le prix du café était entre 2020 et 2025 $/t. La courbe ne permet malheureusement pas d’être plus précis. V − VI 2 043 − 2 020 4. t = F = ≈ 0,0114 , soit environ VI 2 020 1,14 % d’augmentation.

35 En maths f(5) = 3 h(5) = -5 g(2) = -8

Avec le verbe être

Autre formulation 53

3 est l’image de 5 par f

5 a pour image 3 par f

5 est antécédent de 3 par f

3 a pour antécédent 5 par f

-5 est l’image de 5 par h

5 a pour image -5 par h

5 est antécédent de -5 par h

-5 a pour antécédent 5 par h

2 est un antécédent de -8 par g

-8 a pour antécédent 2 par g

36 f(-1) = -2 et f(2) = 1 : le tableau de valeurs d correspond à la fonction f(x). h(-1) = 0 ; h(0) = -1 ; h(1) = 0 ; h(2) = 3 ; h(3) = 8 : seul le tableau de valeur c correspond à la fonction h(x). g(-1) = 0 ; g(0) = -1 ; g(1) = 0 ; g(2) = 3 ; g(3) = 8 : seul le tableau de valeurs c correspond à la fonction g(x). k(-1) = 0 ; k(0) = -1 ; k(1) = 0 ; k(2) = 15 : les tableaux de valeurs a et c correspondent à la fonction k(x). 37 a. f(5) = 2 × 5 − 3 = 7 : la proposition est vraie. b. f(9) = 2 × 9 − 3 = 15 : la proposition est fausse. c. f(x) = −1 ⇔ 2x − 3 = −1 ⇔ x = 1: la proposition est vraie. d. f(0) = 2 × 0 − 3 = −3 : −3 est différent de l’ordonnée du point P, la proposition est donc fausse. e. f(−4) = 2 × (−4) − 3 = −11: la proposition est fausse. 38 1. π est l’image de −2 par la fonction h. 2. 2 est un antécédent de 7 par la fonction s. 39 a. La proposition est fausse, graphiquement l’image de 2 par la fonction h est −1. 22

Avec le verbe avoir

5  -5 2  -8

b. La proposition est fausse. La droite d’équation y = 4 coupe la courbe représentative de h en 5 points, donc 4 à 5 antécédents par h. c. La proposition est vraie, graphiquement l’image de 3 par la fonction h est 4. d. La proposition est fausse, graphiquement l’image de 3 par la fonction h est 4 et cette image est différente de l’ordonnée du point M. e. La proposition est vraie, graphiquement l’image de 5 par la fonction h est 4. f. La proposition est vraie, la droite d’équation y = 8 n’a aucun point d’intersection avec la courbe représentative de h. g. La proposition est fausse, y = 4 est une fonction, donc à chaque réel est associée une unique image. 40 a. L’image de 3 est égale à 2. b. f(1) est environ 1,5. c. 6 a pour image environ 1. d. Au nombre 0 on associe le nombre 1.

Exercices 41 1. g (0) = −4 ; g ( 3 ) = 2 − 7 3 . 2. g(−1) = 5. 3. g(−2) = 18 = yM, le point M de coordonnées (−2 ; 18) appartient à la courbe représentative de g. 4. g(3,6) = −3,28, le point N de coordonnées (3,6 ; −4) n’appartient pas à la courbe représentative de g. 5. Graphiquement, les antécédents de −4 par g sont 0 et −3,5 environ.

e. Un antécédent de 2 est 3. f. f(−3) = −1. g. −1 a pour antécédent −3. h. Au réel 1 on associe environ 1,5.

42 1.

−2

−1

u(t)

−22

−10

2. FENETRE : Xmin = −2 Xmax = 8Ymin = −25 Ymax = 25 43 1. t −1 0 1 2 5

u(t)

−25

−72

2. FENETRE : Xmin = −1 Xmax = 6Ymin = −80 Ymax = 10 44 1. f (0) = −35 ; f ( 2 ) = −37 + 12 2 ; f (7) = 0 ; f ( −2) = −63 . 2. f(x) = −35 ⇔ − x2 + 12x − 35 = −35 ⇔ x(− x + 12) = 0, équation produit nul dont les solutions sont x = 0 ou x = 12. 3. a. x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −99

f(x)

−80

−63

−48

−35

−24

−15

−8

−3

b. Pour tout réel x, f(x) ¯ 0 est une affirmation fausse, le tableau ci-dessus ne permet pas de présumer du comportement entre chaque entier relatif, de même que pour les valeurs de x  4 et x  −4. 45 1. x 0 1 2 3 4 5 2,5

f(x)

ERROR

3,5

3,3333

2. a. La fonction f n’est pas définie en 2 (division par 0), l’image de 2 par la fonction f n’existe donc pas. b. 3,333333333… = 3 + 0,333333333… = 3 + 1 = 4 3 3

46 1. r = 4 s prend la valeur 8 (2 × 4) s prend la valeur 1 (8 − 7) s prend la valeur 1(12) s prend la valeur −4 (1 − 5) L’affichage est correct. 2. a. r = 5 s prend la valeur 10 (2 × 5) s prend la valeur 3 (10 − 7) s prend la valeur 9 (32) s prend la valeur 4 (9 − 5) b. 20 + 5 = 25 25 = 5 5 + 7 = 12 12/2 = 6 On peut saisir le nombre 6 pour obtenir 20. c. f(x) = (2x − 7)2 − 5 3. L’image de 5 par la fonction f est 4. 6 est un antécédent de 20 par la fonction f. 4. −3

49 À l’aide de la calculatrice, il semble que −2 et 1

sont les antécédents de 1 par la fonction f. f(−2) = 4 − 5 = −1 ; f(1) = 2 − 3 = −1 ;

−2

−1

f(x) 220 164 116

−4

48 1. d’après l’écran de la calculatrice, f(x) = 0 pour x = 1. 2. Pour vérifier l’affichage de la calculatrice, il est possible de calculer f(1). On constate ainsi que 0 est bien l’image de 1 par la fonction f. 3. f(3) = 0, le nombre 3 est la seconde solution de l’équation f(x) = 0.

47 1. a. L’algorithme affiche la valeur 13 lorsqu’on lui entre la valeur 0. b. L’algorithme affiche la valeur 141 lorsqu’on lui entre la valeur 4. 2. f(x) = (2x + 4)2 − 3

50 a. La fonction qui associe à la durée le volume d’une baignoire qui se vide est décroissante. Plus la durée augmente, plus le volume de la baignoire diminue. b. La fonction qui donne le tarif d’expédition d’un colis selon sa masse est croissante. On peut raisonnablement supposer que plus la masse du colis est élevée, plus le tarif d’expédition sera élevé lui aussi. c. La fonction qui indique la hauteur d’un caillou jeté en l’air selon la durée écoulée est croissante puis décroissante et enfin constante. En effet, il faut distinguer 3 phases dans le mouvement du caillou, sa montée, sa chute et enfin l’état de repos du caillou lorsque celui-ci a atteint le sol (on suppose ici qu’il ne rebondit pas). d. La fonction f qui associe au côté x d’un tétraèdre régulier son volume f(x) est une fonction croissante. 1. Les fonctions

Exercices Plus le côté d’un tétraèdre régulier augmente, plus la hauteur et l’aire de la base de celui-ci augmentent, et donc plus son volume augmente.

51 a. La proposition est vraie, le tableau de varia-

tion de h permet de vérifier qu’au nombre −2 est associé l’image −1. b. La proposition est fausse, sur l’intervalle [3 ; 5], la fonction h est décroissante et les images appartiennent à l’intervalle [4 ; −2], il existe donc une valeur α appartenant à l’intervalle [3 ; 5], tel que f(α) = −1. c. La proposition est vraie, sur l’intervalle [−6 ; 3}, f(x) > −1 et f(−2) = −1. d. La proposition est fausse, h est croissante sur l’intervalle [−1 ; 3]. e. La proposition est vraie. f. La proposition est fausse, si −6 ¯ x ¯ 3, alors −1 ¯ h(x) ¯ 4.

52 a. f(3) > f(−1,5) b. f(5) > f(7) c. La fonction f n’est pas strictement monotone sur l’intervalle [−1 ; 6], on ne peut donc pas conclure.

53 1. x

-2

f(x)

-3

2. y 1 0

3. La fonction f est négative sur l’intervalle [−1 ; 0]. 4. 0,5 , 1,5 or la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 2], les images sont donc rangées dans le même ordre que les antécédents : f(0,5)  f(1,5).

54 1. a. On ne peut pas savoir. b. La proposition est fausse, car la fonction k est strictement décroissante sur l’intervalle [ 9 ; 11]. c. La proposition est vraie, car 0 est un nombre entier positif. d. La proposition est vraie, car 1 > k(10) > 0 et −3 > k(0) > −6. e. La proposition est vraie, les antécédents de 0 par la fonction k sont 7 et 11. f. −6 ¯ k(6) ¯ 0, mais cette information est insuffisante pour savoir si la proposition est vraie ou fausse. 2. a. La fonction k est positive sur l’intervalle [7 ; 11], et négative sur l’intervalle [−2 ; 7]. b. La fonction k est décroissante sur l’intervalle [−2 ; 5]  [9 ; 11] et croissante sur l’intervalle [5 ; 9]. 24

55 1. La fonction f est décroissante sur l’intervalle [−4 ; −1] et croissante sur l’intervalle [−1 ; 1]. 2. x

-4

-2

-1

1 -2

f(x)

-3

56 La fonction est le nombre de véhicules diesel vendus (images) en fonction du temps exprimé en année (antécédents). 57 x

-2

f(x)

58 1. Df = [−2 ; 5]. 2. 0 a quatre antécédents par f (la courbe représentative de f coupe quatre fois l’axe des abscisses). 3. Le minimum de f sur son ensemble de définition est −5 et ce minimum est atteint pour x = 3. 3. a. Le maximum de f sur son ensemble de définition est 4 et ce maximum est atteint pour x = 5. b. Le maximum de f sur [−1 ; 2] est 2 et ce maximum est atteint pour x = 1. 5. a. La fonction f est négative sur l’intervalle [−2 ; 4]. b. La fonction f est décroissante sur l’intervalle [1 ; 3]. 6. Si x  [1 ; 5], alors −5 ¯ f(x) ¯ 4. 7. a. 6 n’a pas d’image par f car 6 n’appartient pas au domaine de définition de f. b. 5 n’a pas d’antécédent par f, la droite d’équation y = 5 ne coupe jamais la courbe représentative de f. 8. Les abscisses des points de la courbe en dessous ou sur la droite d’équation y = −1,5 appartiennent à l’intervalle [2 ; 4]. 59 a. −1,5  [−2 ; 1]. c. −5,5  ]−6 ; −5,5]. e. 1 ” ⎡ 1 ; 1 ⎤ . 7 ⎣6 5 ⎦ g. 5 − 3 ” [0 ; + [ . 60 1. 0 ¯ x ¯ 4.

b. − π  [−4 ; −3]. d. 3,15 [ [−3,113 ; 3,149]. f. 2 2 [ [2 ; 3] . h. 2 ” [2 ; 3] . 3 2. −3 ¯ x ¯ −2.

3. x  [−7 ; −6]. 4. −x + 3 > 0 ⇔ x ¯ 3, donc x  [−  ; 3].

61 1. Il y a 23 nombres entiers dans l’intervalle [0,5 ; 23,4[. 2. Il y a 91 nombres entiers dans l’intervalle [− 60,4 ; 30,2[. 3. Les nombres 2000 et 8787 appartiennent à l’intervalle [103 ; 104]. 4. Les nombres 2 × 10− 6 et 9 × 10− 6 appartiennent à l’intervalle [10− 6 ; 10− 5]. 62 1. La formule = B1 + 0,5 tapée dans la cellule C1 permet de fixer un pas de 0,5 entre chaque abscisse dont on veut calculer l’image.

Exercices

2. =(B1-1): (B1+1) 3. a. Le domaine de définition de la fonction f est x −1 ]−  ; −1[ ]−1 ; + [, en effet le quotient x + 1 existe si et seulement si le dénominateur x + 1 ≠ 0. Le résultat affiché dans la cellule F2 indique que l’image de −1 par la fonction f n’existe pas, car la division par 0 est impossible. b. f ( −2,5) = −2,5 − 1 = −3,5 = 35 = 7 . −2,5 + 1 −1,5 15 3

2. f(2) = 14 ⇔ 2a = 14 ⇔ a = 7. 3. f(1) = -5 ⇔ a = -5. 4. f(x) = x ⇔ ax = x ⇔ (a - 1)x = 0 ⇔ a = 1 ou x = 0.

1 0

63 1 0

0,36 1

71 1. Df = [−4 ; 7]. 64 1. D’après le tableur, f(x) = (2x + 3)2. 2. a. f(1) = 25. b. f(x) = 9 ⇔ (2x + 3)2 = 9 ⇔ x = -3 ou x = 0. Or d’après la ligne 1 du tableur, le nombre affiché dans la cellule D1 est compris entre -0,5 et 0,5, il s’agit donc du nombre 0. 3. = (B1 - 1)^2 + 2

65 a. x → 3x → 3x + 2. b. x → x2 → 2x2 → 2x2 - 3. c. x → x - 1 →(x - 1)2 → 3 (x - 1)2 → 3 (x - 1)2 + 5. d. x x →xx2 2 → x2 ++11→ 21 . x +1 1 66 1. a. V = 3 × 18 × b = 6b . b. La fonction V est une fonction linéaire de coefficient directeur 6. 2. V = 1 × 27 × h = 9h . 3 3. D’après le théorème de Pythagore : x2 = y2 + h2 ⇔ y2 = x2 − h2 ⇔ y = x2 − h2 , car y est une longueur, donc positive.

67 1. Graphiquement l’abscisse du point correspondant au maximum de la courbe est d’environ 465 nm. 2,89 × 106 ≈ 6,22 × 1012 . 2. θ = 465 × 10−9 68 1. H et G d’abscisse 1 ; K et C d’abscisse 2 ; D et B d’abscisse 3. 2. F, A et H d’ordonnée 3 et E d’ordonnée 5. 3. f(-1) = 8 ; f(0) = 3 ; f(1) = 0 ; f(2) = -1 ; f(3) = 0 ; f(5) = 8. Les points A, C et B appartiennent à la courbe représentative de f. 4. g(-1) = 3 ; g(0) = 4 ; g(1) = 3 ; g(2) = 0 ; g(3) = -5 ; g(5) = -21. Les points F, H et K appartiennent à la courbe représentative de g. a 1 69 1. f (0) = 0 ; f (2) = 2a ; f 3 = 3 .

()

2. f(1) = 4, valeur exacte d’après le codage, f(5) = -1, valeur approchée. 3. -3, -1 et 3 sont des valeurs approchées des antécédents de 2 par la fonction f. 5 est une valeur approchée de l’antécédent de -1 par la fonction f. 4. f(x) = 1 a pour solution  = {-2 ; 3 ; 5}. f(x) = 0 a pour solution  = {4 ; 7}. f(x) = -2 n’a pas de solution. 5. f(x)  2 a pour solution  = [-4 ; -3]  ]-1 ; 3[. 6. f(x) est positive sur l’intervalle [-4 ; 4] et négative sur l’intervalle [4 ; 7]. 7. x

-4

-2

7 0

f(x) -1

1 8. a. Si −2 ¯ x ¯ 1, alors 1 ¯ f(x) ¯ 4. b. Si −4 ¯ x ¯ 7, alors −1 ¯ f(x) ¯ 5.

72 1. La fonction g qui associe à la longueur du côté d’un triangle équilatéral son aire est une fonction croissante. 2. Soit x un côté du triangle équilatéral et h une hauteur. D’après le théorème de Pythagore : 2 x2 = ( x )2 + h2 h2 = 3 x , or h est une longueur, 2 4 donc h = x 3 . L’aire d’un triangle est égale à 2 h × base , donc g ( x ) = 3 x2 . 4 2 3.

1 0

1. Les fonctions

Exercices 2. -5 a pour antécédent -3 par la fonction h. 3. Sur l’intervalle [2 ; 7] la fonction h est strictement croissante, de plus h(2) = -3 et h(7) = -2, donc tous les nombres appartenant à l’intervalle ]-3 ; -2[ sont susceptibles d’être des images de 4 par la fonction h. -2,5 est une valeur possible. 4. a. h(0) = 7 et -2  h(50), donc l’inégalité h(0)  h(50) est fausse. b. h(-5) = 2 et -5  h(-4)  2, donc l’inégalité h(- 5)  h(-4) est vraie. c. -3  h(1)  7 et h(2) = -3, donc l’inégalité h(1)  h(2) est vraie.

Ablanche = (aire du rectangle ABCD) - (aire du carré AMPQ + aire du rectangle PRCT) Ablanche = 80 - (x2 + (10 - x)(8 - x)) Ablanche = 80 - (2x2 - 18x + 80) Ablanche = -2x2 + 18x Pour connaître la position du point M afin que l’aire blanche soit égale à quatre fois l’aire du carré AMPQ, il faut résoudre l’équation : Ablanche = 4 × AAMPQ ⇔ -2x2 + 18x = 4x2 ⇔ -6x2 + 18x = 0 ⇔ -6x(x + 3) = 0. -2x(x + 3) = 0 est un équation produit nul avec deux solutions, x = 0 et x = -3. Dans cet exercice, seule la solution où AM = 0 est acceptable.

74 1. Df = Dg = ]−4 ; 4[.

76 1. Df = [−4 ; 5].

73 1. 0 a pour image 7 par la fonction h.

2. a. f(x) = 3 a pour solutions x = 0 et x = 3. b. f(x) = −1 a pour solution x = −3. c. g(x) = 1 a pour solutions x = −1 et x = 0,5 environ. d. f(x) = g(x) a pour solutions les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg, soit x = −1 et x = 3. 3. a. f(x)  0, pour x  ]−2 ; 4]. b. f(x) > 1 pour x  ]−1 ; 4]. c. f(x) ¯ g(x), pour x  ]−4 ; −1] ou x = 3.

2. a. f(x) = 4 a pour solutions x = -4, x = -1 ou x = 1. b. f(x) = 5 a pour solution x = -2. c. f(x) = -1 a pour solution x = 3,5 environ. 3. a. f(x)  4, a pour solutions x  ]−4 ; −1[. b. f(x)  3 a pour solutions x  ]2 ; 5]. c. f(x) > 0 a pour solutions x  [−4 ; 3].

77 1. Pour déterminer l’instant où le projectile retombera sur le sol, il faut résoudre l’équation h(t) = 0. h(t) = 0 ⇔ −5t2 + 100t = 0 ⇔ −5t(t − 20) = 0 −5t(t − 20) = 0 est un équation produit nul avec deux solutions, t = 0 (origine) et t = 20. La balle retombera sur le sol au bout de 20 secondes.

75 Soit AM = x. L’aire du rectangle ABCD est égale à 8 × 10 = 80. L’aire du carré AMPQ est égale à x2. L’aire du rectangle PRCT est égale à (10 - x)(8 - x). 2. a. t

h(t)

180

255

320

375

420

455

480

495

500

495

480

455

420

375

320

255

180

b. D’après le tableau de la question 2. a., la hauteur maximale semble être 500 m et est atteinte pour t = 10 s. 3. h(10) − h(t) = 500 − (−5t2 + 100t) = 500 + 5t2 − 100t = 5(t2 − 20t + 100) = 5(t − 10)2. Or 5(t − 10)2 > 0 ⇔ h(10) − h(t) > 0 ⇔ h(10) > h(t). À t = 10 s, le projectile a bien atteint son altitude maximale.

78 1. T(x) = −2 a pour solutions x = 0 et x = 7,25

environ. T(x) > −6 a pour solutions x  [0 ; 2]  [6 ; 20].

2. Les antécédents de 0 °C par la fonction T sont 8 h et 20 h.

2. Le point d’intersection des deux courbes est le point d’équilibre pour lequel l’offre est égale à la demande. y 81 1.

3. T(x) > 0 a pour solutions x  [8 ; 20]. 4. Le maximum de la courbe représentative de T est 5 °C et il est atteint pour x = 15 h.

79 a. Y3

b. Y6

c. Y1

d. Y5

e. Y4

f. Y2

x y

80 1. a. Pour la fonction de demande f, plus la

quantité x augmente, plus le prix y diminue.

b. Pour la fonction d’offre g, plus la quantité x augmente, plus le prix y augmente. 26

Exercices y

84 1. f(x) = (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x − 3.

x y

2. f(x) = (x + 2)2 − 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 - 1) = (x + 3)(x + 1). 3. a. f ( 2 ) = ( 2)2 + 4 2 + 3 = 5 + 4 2 . b. f(−2) = (−2 + 2)2 − 1 = −1. c. f(x) = 3 ⇔ x2 + 4x + 3 = 3 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 équation produit nul dont les solutions sont 0 ou −4. d. f(x) = 0 ⇔ (x + 3)(x + 1) = 0 équation produit nul dont les solutions sont −3 ou −1. e. f(x) = 4x + 3 ⇔ x2 + 4x + 3 = 4x + 3 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0. f. f(x) = x2 + x ⇔ x2 + 4x + 3 = x2 + x ⇔ 3(x + 1) = 0 ⇔ x = −1.

85 1. x [0 ; 5].

2 (5 − x )2 . = x , ABMN = 2 2 AMNPQ = AABCD - 2 × AAMQ - 2 × AMBN 2 (5 − x )2 AMNPQ = 52 − 2 × x − 2 × 2 2 AMNPQ = 25 - x2 - (25 - 10x + x2) AMNPQ = 10 x - 2x2 3.

2. A

AMQ

x y

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 f(x) 0 4,5 8 10,5 12 12,5 12 10,5 8 4,5

5 0

82 1. La longueur de l’intervalle [1 ; 5] est 4. 2. La longueur de l’intervalle [−1 ; 2] est 3.

3. La longueur de l’intervalle [−5,5 ; −2] est 3,5. 4. La longueur de l’intervalle [ - 2 ; 2 2] est 3 2 . 5. b − − 1 = 3 ⇔ b = 5 . 2 2 6. La longueur de l’intervalle

( )

0,5 − 1 2 . ; 0,5 + 1  est  1000 1000  1000 1 ; 0,6 + 1   7. La longueur de l’intervalle 0,6 −  n n  est 2 . n 8. 2 = 0,02 ⇔ n = 100 ⇔ ⇒ nn ==10000. 10000 n

83 a. x  3 ⇔ x − 3  0, la proposition est fausse, le nombre 0 doit être exclu de l’intervalle proposé. b. x  3 ⇔ x − 5  −2, la proposition est vraie. 1 , l’affirmation est x−3 vraie. On peut se référer au graphique de la fonction inverse pour justification.

c. x . 3 ⇔ x − 3 . 0 ⇔ 0 ,

d. x  3 ⇔ x2  9 ⇔ − x2 , 9, l’affirmation est vraie. e. x . 3 ⇔ 0 , 1 , 1 , l’affirmation est vraie. On x 3 peut se référer au graphique de la fonction inverse pour justification.

x f(x)

5 x

2,5

12,5 0

5. 12,5 - 2(x - 2,5)2 = 12,5 - 2(x2 - 5x + 6,25) = 12,5 - 2x2+ 10x - 12,5 = 10x - 2x2 = f(x). (x - 2,5)2 ˘ 0 ⇔ -2(x - 2,5)2 ¯ 0 ⇔ 12,5 - 2 (x - 2,5)2 ¯ 12,5 ⇔ f(x) ¯ 12,5. 6. L’aire du quadrilatère MNPQ admet un maximum 12,5 qui est atteint pour x = AM = 2,5.

86 1. a.

x f(x) x

0 –3 0

1 –2 1

2 –1 2

3 0 3

4 1 4

g(x)

–3

–2

–1

b. Il semble que, quelle que soit la valeur de x, les fonctions f(x) et g(x) renvoient la même image. 2. (x2 + 1) (x - 3) = x3 - 3x2 + x - 3 3 2 ( x2 + 1)( x − 3) f ( x ) = x − 3 x2 + x − 3 = = x − 3 = g( x ) x +1 x2 + 1

1. Les fonctions

Exercices 87 1. La hauteur d’un triangle équilatéral de côté

c 3 c est égale à . 2 Le point M étant sur une hauteur du triangle équila3 3  . téral x [ 0 ; 2  3 3  −x ×3 2 2. ABMC = MH × BC = = 9 3 − 3x . 2 2 4 2

(

)

88 1. Non, il faudrait élargir la taille de la fenêtre du graphique ou bien connaître la forme algébrique de la fonction f. 2. Même réponse qu’à la question 1. 89 1. La production est rentable lorsque la courbe représentative de la recette  est située au dessus de la courbe représentative du coût de production . Graphiquement, la production est rentable pour une production en tonne appartenant à l’intervalle ]500 ; 2000[. 2. Le bénéfice est maximal lorsque, pour une même abscisse, l’écart absolu entre la courbe  et  est maximal. Graphiquement, il semble que le bénéfice est maximal lorsque 1 250 tonnes sont produites. 90 1. l  [0 ; 8] 2. Il semble que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 4] et décroissante sur l’intervalle [4 ; 8]. 3. (SM) parallèle à (AB), S  [CA] et M  [CB] . D’après le théorème de Thalès : CS = SM = CM ; CS = l ; CS = 6l = 3l 8 4 6 8 CA AB CB Donc SA = 6 − 3l et l’aire du rectangle ASMR est 4 2 3 l égale à l 6 − = 6l − 3l . 4 4

(

)

Graphiquement, la fonction f(l) semble admettre un maximum de 12 cm2 atteint pour l = 4 cm.

91 2. L’équation f(x) = 0 semble admettre deux solutions d’après la courbe. 3. La conjecture semble toujours la même avec la nouvelle fenêtre. 4. a. ( x − 1,4)( x − 2 )( x + 2 ) = (x - 1,4)(x 2 - 2) = x3 - 1,4x2 - 2x + 2,8 Donc, f ( x ) = ( x − 1,4)( x − 2 )( x + 2 ) , équation produit qui admet trois solutions, x = 1,4, x = 2 et x = - 2 . b. La conjecture de la question 2. est fausse car les valeurs de 1,4 et 2 sont très proches et la résolution graphique de la calculatrice ne permet pas de distinguer ces deux solutions de l’équation f(x) = 0. 92 1. n a

3 2

17 12

577 408

1. a. Lorsque n est suffisamment grand, l’algorithme semble afficher toujours le même résultat : 1,414213562. b. Le nombre affiché semble être une très bonne approximation du nombre réel 2 . 93 Sur l’intervalle  21 ; 2 , la copie d’écran laisse supposer que la courbe représentative de la fonction f(x) est constante. Un zoom approprié sur l’intervalle  1 ; 2 permet 2 de constater que la supposition est fausse et que la courbe représentative de la fonction f(x) est décroissante sur cet intervalle.

94 Âge des feuilles (en millions d’années) x (indice stomatique en %) y (taux de CO2 atmosphérique arrondi à l’unité)

2,5

10,5

8,5

15,8

10,5

8,42

6,95

374

286

354

381

400

-12,836 × 8,5 + 489,04 ≈ 380

95 1. La vitesse de propagation de l’onde varie en fonction de la profondeur de l’océan. Plus la profondeur est importante, plus la vitesse de propagation de l’onde est grande. La vitesse est donc bien une fonction de la profondeur de l’océan. 3. a. Profondeur (m) Vitesse théorique (km ⋅ h–1) arrondie à l’unité Vitesse enregistrée (km ⋅ h–1)

7000

4000

2000

200

3,6 9,8 × 7000 ≈ 943

713

504

159

943

713

504

159

b. Les vitesses théoriques issues du modèle sont égales aux vitesses enregistrées à l’unité près : on peut donc considérer que le modèle des physiciens est tout à fait satisfaisant.

96 Lorsque le point M est confondu avec le point B, l’aire du triangle BMC est égale à 0 et l’aire du trapèze AMCD est maximale. Donc la fonction linéaire en bleu est l’aire du triangle BMC en fonction de la longueur x et la fonction affine en rouge est l’aire du trapèze AMCD en fonction de la longueur x. 28

D’après le domaine de définition des deux fonctions, x  [0 ; 5]. Lorsque x = 0, M est confondu avec le point B et lorsque x = 5, le point M est confondu avec A. Donc la longueur du segment [AB] est égale à 5. Lorsque x = 5, l’aire du triangle BMC est égale à 10 u.a. Or l’aire du triangle est égale à la hauteur multipliée

MCD

Exercices

b. Dans le problème, on cherche à maximiser l’aire du par la longueur de la base et divisée par 2. Lorsque rectangle jaune. Or l’aire d’un rectangle est le produit le point M est confondu avec le point A, on a donc : de sa longueur avec sa largeur ; avec les données de ABMC = DA × AB ⇔ 10 = DA × 5 ⇔ DA = 4 . 2 2 l’énoncé, cela revient à chercher le maximum de la Lorsque x = 0 le point M est confondu avec le point B fonction f ( x ) = 2x × 2 R2 − x2 = 4 x R2 − x2 . et l’aire du trapèze AMCD est égale à 16 u.a. Or l’aire 2. a. Arectangle = 2 × x × 2R = 2xR . d’un trapèze est égale à h × (b + B ) . On a donc : 2 2 b. x est la longueur du segment joignant un point 4 (DC + 5) DA × (DC + AB) AAMCD = ⇔ 16 = ⇔ DC + 5 = 8 ⇔ DC = 3 du cercle et le projeté orthogonal de ce point sur le 2 2 4 DC + 5 ( ) DA × (DC + AB) diamètre du cercle. La longueur x appartient donc à = ⇔ 16 = ⇔ DC + 5 = 8 ⇔ DC = 3 2 Lorsque le point M2est situé sur [AB] de sorte que le l’intervalle [0 ; R]. D’après la réponse à la question triangle CMB est rectangle en M, alors CM = 4, MB = 2 2.a., l’aire du rectangle est une fonction linéaire de et, d’après le théorème de Pythagore : x, elle sera maximale pour la plus grande valeur perCB2 = CM2 + MB2 mise de x, soit x = R. CB2 = 20. c. Amaxi du rectangle = 2R2 . CB = 20 . d. Lorsque x = R, les diagonales du rectangle sont 97 1. a. D’après le théorème de Pythagore, on a : perpendiculaires, le rectangle est alors un carré. 2 l = R2 − x2 l 2 2 ; R =x + 2 2

()

l = 2 R2 − x2 .

Accompagnement personnalisé 98 1. • La fonction f est définie sur l’intervalle [-5 ; 5].

• Le point de coordonnée (0 ; 1) appartient à la courbe f. • L’image de -5 par la fonction f est 0. • La fonction f(x) est croissante sur l’intervalle [- 5 ;- 4]. • L’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions. • 1 admet exactement deux antécédents par la fonction f(x). • Le maximum de la fonction f(x) est 3. • Le minimum de la fonction f(x) est -5. • L’abscisse du maximum est -2. • L’ordonnée du point d’abscisse 5 est -5.

99 Le volume d’un prisme est égale à Aire de la base × Hauteur, donc d’après les conventions de l’exercice, V = 1 pqs . La somme des longueurs des arêtes est 2 égale à 2p + 2q + 2r + 3s = 2 p + q + r + 3s . 2 La surface totale du prisme est la somme de l’aire de deux triangles rectangles (pq) et de trois rectangles de longueur s et de largeur respective p, q et r. Donc S = s(p + q + r) + pq. 100 f ( x ) = 3 × x +1 4 définie sur l’intervalle ]-  ; -4[  ]-4 ; + [. 1. f (1) = 3 . 5 2. f ( x ) = 1 ⇔ 3 × 1 = 1 ⇔ x + 4 = 9 ⇔ x = 5 , 3 x+4 3 1 cet antécédent est l’unique antécédent de 3 . 3. f(-1) = 1. 4. f ( x ) = 0 ⇔ 3 × 1 = 0 , cette équation quotient x+4 n’a pas de solution, Valentin a certainement commis une erreur.

(

101 a. f(-1) = 2, la proposition est fausse.

)

b. 2x + 4 = 1 ⇔ x = − 3 = −1,5 , la proposition est vraie. 2

c. 2 + 6 x = 1 + 3 x = 1 + 3 x , la proposition est 4 2 2 2 fausse. d. 22 = 4, la proposition est vraie. e. x2 = 4 ⇔ x = 2 ou x = -2, la proposition est fausse. f. (x - 2)(x + 4) = x2 + 2x - 8, la proposition est vraie. g. 3 × 1 = 1 est un contre-exemple, la proposition est 3 fausse. h. x = 2,5 est un contre-exemple, la proposition est fausse. i. Tout nombre réel supérieur à 3 est supérieur à 2, la proposition est vraie. j. L’ensemble des images de x par la fonction racine carré appartient à l’intervalle [0 ; + [. La proposition est fausse. k. Pour tout nombre x non nul, x + 2 = x + 2 = 1 + 2 , x x x x la proposition est vraie.

102 Tableau de valeurs : x f(x)

-2 13

-1,5 6,75

-1 2

x 1,5 2 2,5 f(x) 0,75 5 10,75

-0,5 -1,25 3 18

0 -3

3,5 26,75

0,5 -3,25 4 37

1 -2 4,5 48,75

Expression algébrique : f(x) = 3x2 - 2x - 3 Représentation graphique :

20 0 2

1. Les fonctions

Exercices 14 959 787 000 2. t = distance Terre-Soleil = ≈ 500 c 3 . 108 par la lumière voyageant à la vitesse c = 3 ⋅ 108 m/s 14 959 787 000 s, soit environ 8 minutes et en une année. t = distance Terre-Soleilt = ≈ 500 c 3 . 108 8 15 d = c × t = 3 ⋅ 10 × 365 × 24 × 3 600 ≈ 9,5 ⋅ 10 . 18 secondes.

103 1. 1 année-lumière est la distance parcourue

3. Terre-Soleil Distance (m)

1,5 ⋅ 1011

Distance (ua)

Proxima Centauri 4,22

× 9,5 ⋅ 1015

2,7 ⋅ 105

Andromède 2,5 ⋅ 106

Halo de la voie lactée

× 9,5 ⋅ 1015

1,6 ⋅ 1011

105 × 9,5 ⋅ 105 6,3 ⋅ 109

No problem 104 1. PP==22(l(l++LL))⇔ l l==P2P2−−LL.

(

)

A= L×l = L P −L . 2 2. A = L P − L ⇔ P − L = A ⇔ P = 2 A + L . 2 2 L L

105

(

)

(

)

Radius of the trunk (mm)

242

352

Ages (years)

1. If the radius of the trunk is 242 mm, the tree is 55 year old. 2. If the tree is 80 year old, its radius is 352 mm.

106 4x = x3 ⇔ 4x - x3 = 0 ⇔ x(4 - x2) = 0, x = 0, x = 2 or x = -2.

107 Jane increases lineary her speed during the first 20 seconds of her run to reach 4m/s, then she maintains her speed during the next 30 seconds and during the last 50 seconds she decreases her speed lineary to reach 0 m/s. 108 3 cm

x cm

m 3c x+

6 – x cm

M A

If we want C and C' to be tangent, MBE should be a rectangular triangle with the following condition (see the draw): (x + 3)2 = 32 + (6 - x)2 ; 18 x - 36 = 0 ; x = 36 = 2 . 18

109 1. • Choose a real number • Multiply this number by 5 • Subtract 6 • Divide the result by 4 2. If A = -10, then B = -14. 3. 5A − 6 = 2 ⇔ 5A − 6 = 8 ⇔ A = 14 4 5 30

4. 5A − 6 = A ⇔ 5A − 6 = 4A ⇔ A = 6. 4 5. B = 5A − 6 = 5A − 6 = 4B ⇔ A = 4B + 6 . 4 5

110 1. The domain of f is [-5 ; 4]. 2. a. f(-1) = 0, is wrong f(-1) = -4. b. One antecedent of -2 by f is 1, NPC. c. f(-4)  f(-2), is Right, f is decreasing when x below to the interval [-5 ; -1]. d. The image of -3 by f is greater than 1 is wrong f(-3) below to the interval [-4 ; -2]. e. f(1)  f(2) is wrong, f is increasing when x below to the interval [-1 ; 2]. f. f(-5)  f(2) is Right, f(-5) = -2 ; f(2) = 3. g. The maximum of f on the interval [-4 ; 2] is 4 is wrong, the maximum on this interval is 3. h. The maximum of f on the interval [-3 ; -1] is -3, NPC. i. For every x belonging to [-1 ; 2], -6  f(x)  5 is right. j. f(-2,5)  f(2,5) is right -2  f(-2,5)  -4 and 0  f(2,5)  3. k. f(1,9)  f(2,1), NPC.

111 1. The degree Celsius is the temperature unit

which is used in most countries. The 0°C was defined as the freezing point of water. 2. 5(50 − 32) = 10. 9 3. 5(100 − 32) ≈ 37,8 , the doctor should not worried, 9 37,8°C is the normal body temperature. 4. C = 5(F − 32) ⇔ 5(F − 32) = 9C ⇔ F = 9C + 32 . 9 5 5. F(0) = 32 °F ; F(100) = 212 °F . 6. Fahrenheit 451 is a science fiction book written by Ray Bradbury.

112 1. 451 is the number mentioned in this extract. 2. a. Fahrenheit 451 is a science fiction book written by Ray Bradbury and published on 1953. b.The title refers to the temperature that Bradbury understood to be the autoignition point of paper. 3. C(451) ≈ 233 °C. See the previous exercice.

Exercices

Traduction des énoncés 104 Quelques formules

110 Un tableau de variation

1. Un rectangle a un périmètre P et un côté de longueur L. Déterminez une formule qui permettrait d’obtenir son aire A en fonction de P et L. 2. Réécrivez la formule pour exprimer P en fonction de A et L.

On considère le tableau de variation de la fonction f.

105 L’âge d’un arbre

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? 2. Répondre par Vrai (V), Faux (F) ou « Pas de réponse possible » (PRP) aux affirmations suivantes : a. f (–1) = 0 ; b. Un antécédent de –2 par f est 1 ; c. f (–4)  f (–2) ; d. L’image de –3 par f est plus grande que 1 ; e. f (1)  f (2) ; f. f (–5)  f (2) ; g. Le maximum de f sur l’intervalle [–4 ; 2] est 4 ; h. Le maximum de f sur l’intervalle [–3 ; –1] est –3 ; i. Pour tout x appartenant à [–1 ; 2], –6  f (x)  5 ; j. f (–2,5)  f (2,5) ; k. f (1,9)  f (2,1).

Il existe une variété d’arbres dont l’âge est proportionnel au rayon de son tronc. La plupart du temps, lorsque cet arbre atteint 5 ans, le rayon de son tronc est 22 mm. 1. Déterminez l’âge d’un tel arbre si le rayon de son tronc est 242 mm. 2. Déterminez le rayon d’un arbre vieux de 80 ans.

106 Qui suis-je ? Je suis un nombre réel, mon quadruple est égal à mon cube. Trouvez qui je suis.

107 Un graphique temps-vitesse Ce graphique montre la vitesse atteinte par Jane en temps réel lors d’une course à pied. 1. Décrivez la course de Jane. 2. Quelle distance Jane a-t-elle parcourue ? Speed S (m/s) 5 4 3 2 1 0

100

Time t (seconds)

108 Des cercles ABCD est un carré de côté 6 cm. E est le milieu du segment [BC]. M est un point du segment [AB]. (C) est le cercle de centre M passant par A. (C’) est le cercle de diamètre [BC]. Où doit-on placer M sur le segment [AB] afin que les deux cercles soient tangents ?

109 Relier A et B

B = 5A – 6 . 4 1. Décrivez le programme qui vous permet de calculer B à partir de A. Présentez-le à l’oral. 2. Appliquez ce programme avec A = –10. 3. Vous avez trouvé 2 comme résultat du programme. De quel nombre êtes-vous parti ? 4. Est-il possible que le résultat soit égal au nombre de départ ? 5. Exprimer A en fonction de B.

x Variation de f

–5

–1

–2

3 –4

111 Échelles de température 1. Quelle unité de température est utilisée dans la plupart des pays anglophones ? Quel point de référence est utilisé pour mesurer le zéro ? 2. Toutefois, certains pays anglophones ont choisi l’échelle de Fahrenheit. Voici comment convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius : – soustraire 32 de la température en Fahrenheit ; – multiplier le résultat par 5 ; – diviser le nouveau résultat par 9. Combien font 50° Fahrenheit en degrés Celsius ? 3. Un médecin doit-il être inquiet lorsqu’un patient a une température égale à 100°F ? 4. Écrire une formule qui permet de convertir les températures en Celsius en degrés Fahrenheit. 5. Convertir en degrés Fahrenheit la température de solidification et de vaporisation de l’eau.

112 Ray Bradbury 1. Dans cet extrait, quel nombre est mentionné ? 2. Questions Internet a. À l’aide de ce nombre, du nom de l’auteur et de la date de publication, pouvez-vous trouver le titre du roman sur Internet ? b. À quel phénomène physique le titre fait-il référence ? 3. Convertir cette température en degrés Celsius.

1. Les fonctions

Le premier degré

Présentation du chapitre

Ce chapitre est l’un des plus importants de l’année de Seconde en raison de sa position charnière dans l’apprentissage de la proportionnalité et des phénomènes linéaires et affines pour les élèves issus de Collège. • Ce chapitre réactive les connaissances développées au Collège en présentant la définition des fonctions affines et en les complétant par l’utilisation du coefficient directeur. • Les fonctions affines permettent de mettre en œuvre la définition des variations. Elles sont aussi l’occasion de présenter la notion de signe d’une fonction et d’introduire les tableaux de signes. • Le chapitre suit le fil conducteur de tous les chapitres d’analyse en présentant la résolution complète des équations et inéquations du premier degré. C’est ici l’occasion de compléter la première étude graphique de résolutions d’équations et d’inéquations en montrant aux élèves que les fonctions affines permettent aussi une résolution algébrique et donc la résolution exacte des problèmes qui utilisent ces fonctions. Les exercices utilisent donc tour à tour les résolutions algébriques ou graphiques selon l’intérêt des situations. L’utilisation de calculatrices ou de logiciels est ici une bonne occasion de résoudre des problèmes et de procéder à des vérifications à la portée des élèves. • Ce chapitre est enfin l’occasion de développer des démonstrations simples mais complètes.

2. Le premier degré

Pour construire le cours Situation A Caractériser la croissance d’un plant de maïs en SCIENCES de la VIE et de la TERRE Objectif : Reconnaître une situation affine. 1. On réalise ce graphique avec un logiciel de géométrie.

2. On constate que les points représentant les variétés A et B sont alignés, mais pas les points représentant la variété C. Cette situation réactive la fonction affine vue en Troisième.

Une fonction affine est une fonction définie sur  (ensemble des nombres réels) par la relation : f (x) = mx + p, où m et p sont des réels fixés. Si p = 0, l’écriture devient f (x) = mx ; on dit alors que f est une fonction linéaire. Si m = 0, l’écriture devient f (x) = p ; on dit alors que f est une fonction constante. On peut faire démontrer que les points A1, A2 et A3 sont alignés : y − y A2 24 − 15 y A2 − y A1 15 − 11 4 1 = = et A3 = = 9 = 1 = xA2 − xA1 20 − 12 8 2 xA3 − xA2 38 − 20 18 2 On fait remarquer que ce nombre s’appelle le coefficient directeur de la droite qui passe par les points A1, A2 et A3. On fait également démontrer que les points représentant la variété C ne sont pas alignés.

Situation B Utiliser les données d’un abonnement en ÉCONOMIE Objectif : Déterminer les éléments caractéristiques d’une fonction affine : coefficient directeur, ordonnée à l’origine. 1. On note x le nombre d’heures réservée et f (x) le montant à payer chaque mois. On a donc f (x) = mx + p. 34

Pour construire le cours

On veut déterminer m. On a f (10) = 10m + p = 86 et f (15) = 15m + p = 123,50. m = 123,50 − 86 = 37,5 = 7,5 5 15 − 10 On veut déterminer p : p = 86 – 10 × 7,5 = 11. Donc f (x) = 7,5x + 11. Le tarif horaire est de 7,5 €. Le forfait mensuel est de 11 €.

Une fonction affine est représentée par une droite. Cette droite a pour équation y = mx + p. m est le coefficient directeur de cette droite et p l’ordonnée à l’origine (c’est l’image de 0 par la fonction affine). 2. En mai, le client joue 8 heures. Il va payer un montant égal à f (8) euros : f (8) = 7,5 × 8 +11 = 71. Le client va payer 71 €.

Situation C Mesurer l’allongement de tiges métalliques chauffées en SCIENCES PHYSIQUES Objectif : Exploiter le graphique d’une fonction affine et son expression. 1. Chaque droite représente une fonction affine. 2. À une température de 50°, la longueur de la tige en acier est de 300,18 cm. C’est l’occasion de réactiver la lecture graphique de l’image d’un nombre par une fonction. Cette question est aussi l’occasion de faire travailler sur les éléments caractéristiques d’une fonction affine : coefficient directeur de la droite et ordonnée à l’origine.

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p et $ la droite qui la représente dans un repère. Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points quelconques de $. yyB − − yA y A f ( xB ) − f ( xA ) = m vaut . xB − xA xAB −− xxAB Lorsque xB − xA = 1, alors yB − yA = m.

B m

1 0

A 1

3. l (t) = l0 (1 + λt) = l0 + λl0t C’est bien une fonction affine l telle que l(t) = mt + p, avec m = λl0 et p = l0. On remarque que l’ordonnée à l’origine est la longueur à froid, c’est-à-dire la longueur initiale sans chauffe. 4. Si λ = 12 × 10–6, on a l(t) = l0 + 12 × 10–6l0t. On a l0 = 300. Pour t = 50, on a l(50) = 300 + 12 × 10–6 × 300 × 50 = 300,18. 5. Pour un rail de longueur 30 mètres, soit 3 000 cm, la formule donnant la longueur du rail est : l(t) = 3 000 + 12 × 10–6 × 3 000 × t = 3 000 + 0,036t. À une température de 50°, la longueur du rail est de l(50) = 3 000 + 12 × 10–6 × 3 000 × 50 = 3 001,8. Le rail s’allonge donc de 3 001,8 – 3 000 = 1,8 cm. Le joint de dilatation doit permettre l’allongement de deux rails. Il doit donc être d’une longueur de 3,6 cm

2. Le premier degré

Diaporamas Le 1er degré

Diaporama calcul mental

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

L’équation 2x = 0 a pour solution : a. –2 Développer (2x + 1)2.

b. 0 c. 2 d. 1 2 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

Le 1er degré

L’équation 2x + 4 = 0 a pour solution :

Diaporama calcul mental

20 % de 150 correspond à :

a. –2

a. 3

b. 0

b. 30

c. 2

c. 300

d. 1 2

d. 15

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

Le nombre – 2 est solution de l’inéquation : a. 3x  0 Calculer l’image de 1 par la fonction f définie par : 5 f (x) = 2x – 1.

b. 2x + 1  0 c. 5 – x  0

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

Calculer l’image de 8 par la fonction f définie par : f (x) = 3 x – 1. 4

Le 1er degré

Diaporama calcul mental

( )

Quel est le signe du nombre π × (−5) × 2 × − 1 ? 3

Diaporamas

Le 1er degré

Diaporama QCM chrono

Le 1er degré

Parmi les fonctions définies par les expressions suivantes,

Diaporama QCM chrono

On donne f ( x ) = − 3 x + 2 . 4 3 Le coefficient directeur de la fonction f est :

une seule n’est pas affine. Laquelle ? a. f ( x ) = 2x + 1 3

b. 2 3 d. − 3 x 4

a. –3

b. f ( x ) = 2 + 1 3x

c. − 3 4

c. f ( x ) = 2x 3 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le 1er degré

Diaporama QCM chrono

Le 1er degré

Diaporama QCM chrono

Parmi les droites ci-contre, quelle est celle qui représente

Parmi les droites ci-contre, quelle est celle qui

la fonction définie par f (x) = –2x + 3 ?

représente la fonction définie par g (x) = x – 2 ?

a. d1 d1

b. d2

a. d1

d. d4

b. d2

c. d3

d. d4

Le 1er degré

Diaporama QCM chrono

Le 1er degré

Diaporama QCM chrono

L’antécédent de 0 par la fonction f définie par f (x) = 5x + 1 est :

Parmi les fonctions affines définies par les expressions

a. 1 5

suivantes, quelles sont celles qui sont croissantes sur  ? a. f ( x ) = 3 x − 2

b. g( x ) = 5 − 3 x

b. –5

5 c. h( x ) = x 3

d. k( x ) = −1 + x

c. − 1 5

d. –4 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le 1er degré x

Diaporama QCM chrono

– 

Signe de f (x)

1 3 0

+  –

Le 1er degré x

Diaporama QCM chrono

– 

Signe de f (x)

–

−1 2 0

+  +

Ce tableau de signes est celui de la fonction affine f définie

par :

par : a. f : x ∞ 3x – 1

b. f : x ∞ –3x – 1

a. f : x ∞ –2 + 4x

b. f : x ∞ –2 – 4x

c. f : x ∞ –3x + 1

d. f : x ∞ 3x + 1

c. f : x ∞ 2 + 4x

d. f : x ∞ 2 – 4x

2. Le premier degré

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. x = –7. b. x = 3. c. x = 3. d. x = –6.

Gamme 4 A (x) = 49x 2 + 14x + 1.

B (x) = 4x 2 – 20x + 25. D (x) = –12x 2 + 19x – 8.

C (a) = 9a2 –25.

Gamme 5 a. 48 b. 24 c. 37,5 d. 272.

Gamme 2 a. 6 = ]– ` ; 7[. b. 6 = ⎣⎡– 3 ; + ` ⎡⎣ . 2 c. 6 = ]8 ; + `[. d. 6 = ∅ (ensemble vide : pas de solution). e. 6 = ]–26 ; + `[.

Gamme 6 Tableau 1 : c’est un tableau de proportionnalité, car on a pour chaque colonne la relation y = 2,6x. Tableau 2 : ce n’est pas un tableau de proportionnalité, car 0 × 2 ≠ 2. Tableau 3 : c’est un tableau de proportionnalité, car on a pour chaque colonne la relation y = –3x.

Gamme 3 1. a. La fonction est x ∞ 3,50x + 55.

b. La fonction est x ∞ x 2. c. La fonction est x ∞ 0,83x + 1,80. a. La fonction est x ∞ 3x. 2. Les fonctions du a., c. et d. sont des fonctions affines.

Gamme 7 a. f est associée à la droite d3.

b. g est associée à la droite d4. c. h est associée à la droite d2. d. t est associée à la droite d1.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 1. 2. Capacité 4. 3. Capacités 3 et 6. 2 1. f (x) = x + 2 = x + 2 = 1 x + 2 .

3 1 f est affine avec m = . 3

f (x)

–

x + `

–2

– `

= 6x 2 – 2x – 4 2. f (x) = 0 ⇔ 2(x – 1)(3x + 2) = 0, c’est une équation produit dont les solutions sont 1 ou – 2 . 3.

m  0, donc f est croissante sur R. 2. x

6 1. 2(x – 1)(3x + 2) = 2(3x 2 + 2x – 3x – 2)

–1 2

– `

2x + 1

–

–3x + 5

f (x)

–

0 0

5 3

+ ` +

–

6 = ⎤⎦–` ; – 1 ⎤⎦< ⎡ 5 ; + ` ⎡. ⎣ 2 ⎣3 4 Soit x le plus petit de ces deux entiers. x + (x + 1) = 2 013 ⇔ 2x = 2 012 ⇔ x = 1 006 Les seuls nombres entiers consécutifs possibles sont 1 006 et 1 007. 5 1. p(x) = 3 2 + (3 + x) + 3 + x

= 2x + 6 + 3 2 2. AC 2 = 2(x + 3)2 l (x) = 2(x + 3)2 = 2(x + 3) = 2x + 3 2 3. !(x) = x + (x + 3) × 3 = 3x + 4,5 2

–2 3

– `

+ `

x–1

–

3x + 2

–

f (x)

–

+ +

6 = ⎤ – 2 ; 1⎡. ⎦ 3

⎣

4. f (x)  –4 ⇔ 6x 2 – 2x – 4  –4 ⇔ 6x 2 – 2x  0 ⇔ 2x(3x – 1)  0 x

1 3

– `

–

3x – 1

–

f (x)

0 0

+ ` +

–

6 = ]– ` ; 0] < ⎡⎣ 1 ; + ` ⎡⎣. 3 7 f est négative sur ⎤ –` ;

⎦

3 ⎤ et positive sur ⎡ 3 ; + ` ⎡. ⎣2 ⎣ 2⎦

g est positive sur [–3 ; 2] et négative sur [2 ; 5]. h est positive sur ]– ` ; 0]. u est négative sur [0 ; + `[. t est négative sur [–10 ; –5].

Exercices

Corrigés des exercices 1 a. f (x) = –4x + 5 est une fonction affine, m = –4 et p = 5. b. f (x) = 7 – x est une fonction affine, m = –1 et p = 7. f ( x ) = (2 + x )( x − 3) = x2 − x − 6 n’est pas une foncc. f (x) tion affine. d. f (x) f ( x ) = 3x − 2 est une fonction affine, m = 3 et p = –2. f ( x ) = 3x2 − x − 1 n’est pas une fonction affine. e. f (x) −2x + 3 2 3 f. ff (x) = − x + est une fonction affine, (x) = 5 5 5 2 3 m = − et p = . 5 5 f (−3) − f (3) 6 + 15 7 = =− . 2 a. m = −3 − 3 −6 2 7 9 f(−3) = − × (−3) + p = 6 ⇔ p = − . 2 2 7 9 L’expression de f estff (x) (x) = − x − . 2 2 g(−2) − (0) 5 b. m = . =− −2 − 0 4 5 L’expression de g est gg (x) (x) = − x . 4 f (1) − f (2) 1− 3 3 m = = =2. 1− 2 −1 f (1) = 2 × 1 + p = 1 ⇔ p = –1. L’expression de f est f (x) = 2x – 1. 4 f (0) = 2 500 et f (30) = 6 500. f (30) − f (0) 6 500 − 2 500 400 m= = = . 30 − 0 30 3 400 L’expression de f estff (x) x + 2500 . (x) = 3 1. f (x) = 3x – 5. 5

f est croissante sur , car m = 3  0. y 2.

f est croissante sur ). 7 x

Signe de f (x) x

Signe de g (x)

5 3

− `

+ ` −

7 2

− ` +

+ ` −

8 a. f (x) = –2x + 3, m = –2 donc m  0, donc la fonction f est décroissante sur . b. g (x) = 0,1x, m = 0,1donc m  0, donc la fonction g est croissante sur . x 1 c. h ( x ) = − + 2 , m = − donc m  0, donc la fonc3 3 tion h est décroissante sur . d. r (x) = 6, m = 0, donc la fonction r est constante sur . 9 La fonction f est décroissante (cela élimine b. et d.)sur  et f (0,5) = 0, l’expression de f est donc f (x) = –2x + 1. 10  = ]–  ; 1,4] (valeur approchée, car lecture graphique). 11 a. −0,3t + 2>0,5 ⇔ −0,3t > −1,5 ⇔ t ¯5 , donc  = ]–  ; 5]. 1 1 b. x + 2¯0 ⇔ x ¯ −2 ⇔ x ¯ −4 , donc  = ]–  ; –4]. 2 2 12 f ( 3 ) = 3 × 3 − 3 = 3 − 3 = 0 .

On a donc le tableau de variation suivant. x f (x)

− `

−∞ 3 +∞

+ `

4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

4 x

–1 –2 –3 –4

3. 3 5 − 5 = f

( 5 ) et 3

–5

7 −5 = f

( 7) .

Comme 5 7 et que f est croissante, on en déduit que f 5 f 7 et donc 3 5 − 5 3 7 − 5. 6 1. f (x) = 2x – 5, m = 2  0, donc la fonction f est croissante sur . 2. 2x – 5 = –1 ⇔ x = 2 donc 2 apour image –1 par f. 3. 2. 3 ⇒ f (2) .f 3 ⇒1.2 3 − 5 (car la fonction

( ) ( )

( )

Ainsi, 3x − 3>0 ⇔ f(x) >0 ⇔ x[ ⎡⎣ 3 ; +` ⎡⎣ . 13 Les équations qui ont –1 comme solution sont b. et d.. 1 5 3    14 a. 6 =  ; −1. b. 6 = 7 ; −  . c. 6 = 0 ; − . 2 3 2      3 1 15 1. f ( x) = − x . 2. g (x) = –3x. 3. h( x) = − 2 x . 2 7 3 3 16 a. f ( x) = x − , m = 0 , donc f est crois2 2 2 sante sur . 4 b. g( x ) = −3x + , m = –3  0, donc g est décroissante 3 sur . c. h (x) = –x, m = –1  0, donc h est décroissante sur . 2 3 2 d. k ( x ) = x − , m = 0, donc k est croissante sur 3 4 3 . 1 g (x) = –x + 3. h(x) = x . 17 f (x) = 2x + 2. 2 2. Faux. 3. Faux. 18 1. Vrai. 4. Vrai. 5. Vrai. 6. Vrai. 19 a. 2 × 3 − 6 = 6 − 6 = 0 , 3 est bien solution de l’équation 2x − 6 = 0 . 2. Le premier degré

Exercices  5 10 5 b. 2 ×  −  = − = −5 , − n’est pas solution de  2 2 2 l’équation 2x = 5. c. 3(0 + 1) = 3 et 2 × 0 + 3 = 3, 0 est bien solution de l’équation 3(x + 1) = 2x + 3.

20 1. Vrai : f (3 253 ) =

3 253

− 1 = 1− 1 = 0 . 3 253 1 2. Faux : ≠ 0,3333333333 . 3 2− 3 10 000 = −1 . 3. a. h (1) = = 100 . b. r (1) = 3− 2 100 21 La droite verticale de couleur orange ne représente pas une fonction affine. 22 S’il existe une telle fonction f, on a f (x) = mx + p.

( 2) = 2 f ( 7) = 2 f

2 + 4 ⇔ 2m + p = 2 2 + 4 .

7 + 4 ⇔ 7m + p = 2 7 + 4 . Ce qui donne p = 4 et m = 2. Or, dans ce cas, f (1005) = 2 × 1 005 + 4 = 2014 . Donc la proposition est vraie. b. m = –4 et p = 1. 23 a. m = 3 et p = 4. c. m = 1 et p = 5. d. m = –2 et p = 4. e. m = 0 et p = –7. f. m = 7 et p = 0. 24 1. f (5) = −3 × 5 + 2 = −13 . L’image de 5 par f est –13 8 2. −3x + 2 = 10 ⇔ −3x = 8 ⇔ x = − . 3 8 L’antécédent de 10 par f est − . 3 3. f (–2) = –3 × (–2) + 2 = 8.

y #g

4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2

–3 –4 –5

La fonction f est représentée en rouge. La fonction g est représentée en bleu. La fonction h est représentée en vert. 26 a. Fonction affine, m = –2 et p = 1. b. Fonction non affine car : f ( x ) = (2 + x )(2x − 1) = 2x2 + 3x − 1 c. Fonction affine, m = –2 et p = 3 . d. Fonction affine, m = 0 et p = 2 . 2 e. Fonction affine, m = et p = 0. 3 2 1 f. Fonction affine, m = − et p = . 3 3 40

g. Fonction non affine. h. Fonction affine, m = –1 et p = –1, car : f ( x ) = x − (2x + 1) = x − 2x − 1 = − x − 1 . 27 Droite

Coefficient directeur

Ordonnée à l’origine

Fonction associée

–3

x ∞ −3x + 2

–3

x ∞ 2x − 3

x∞ 3x 4 x∞ −2 x+5 3

3 4 −2 3

x ∞ 2x − 3

–3

y −y 2+4 6 28 m = M N = = = −5

xM − xN 0,2 − 1,4 −1,2 f(0,2) = 2 ⇔ −5 × 0,2+ p = 2 ⇔ p = 3 . La fonction f cherchée est f (x) = –5x + 3, réponse c. 10 7 29 1. f (3) = 1 ; f (5) = − 1= ; 3 3 3 2 3 1 1 2 2−3 f   = × − 1 = − 1 = − ; f 2 = 4  3 4 2 2 3 2. On résout l’équation f (x) = 2, qui équivaut à :

( )

2 9 2 x −1= 2 ⇔ x = 3 ⇔ x = . 3 3 2 9 est donc l’antécédent de 2 par la fonction f. Par la 2 7 même méthode, on trouve que est l’antécédent de 2 15 3 4 par la fonction f et que est l’antécédent de 4 2 3 par la fonction f. 2 2 3 3. f (x) = 0 équivaut à x −1= 0 ⇔ x = 1⇔ x = . 3 3 2 3  Donc 6 =   . 2  2 3 2 f (x)  0 équivaut à x −1>0 ⇔ x >1⇔ x > . 3 3 2 3   Donc 6 =  ; +  . 2 

30 La fonction g est associée à d1. La fonction f est associée à d3. La fonction h est associée à d2. f2 (x) = – 4 x + 3. 31 f1 (x) = x + 2. f3 (x) = 2x.

f4 (x) = 1 x – 2. 2

32 1.

f5 (x) = –1.

Antécédent x

−2

5 4

Image f (x)

–13

–5

2. Il ne s’agit pas d’un tableau de proportionnalité  −2 2  ≠  . C’était prévisible, car la fonction f n’est   −13 3  pas une fonction linéaire (f (0) ≠ 0), elle n’est donc pas représentative d’une situation de proportionnalité. 33 1. a. f (x) = 5,25x. g (x) = 3,50x + 12.

Exercices

F ” (DE). Les points D, E et F ne sont pas alignés. 3. On cherche la fonction h représentée par la droite (GH) : h (x) = mx + p avec : y − yG −3 − 12 15 = = − = −5. m= H 1+ 2 3 xH − xG

y 45 40 35

h (–2) = 12 ⇔ –5 × (–2) + p = 12 ⇔ 10 + p = 12 ⇔ p = 2. Ainsi, h (x) = –5x + 2. Alors h (2,53) = –5 × 2,53 + 2 = –10,65 et h (2,53) ≠ –10,5, donc K ” (GH) Les points G, H et K ne sont pas alignés.

30 25 20

36 1. x −

10 #f

5 0

2. 3

La fonction f est représentée en rouge. La fonction g est représentée en bleu. 2. a. Graphiquement, f (x)  g (x) sur l’intervalle [6,6 ; + [. b. f (x)  g (x) ⇔ 5,25x  3,50x + 12 ⇔ 1,75x  12 4848 1212 ⇔x x>x x >x 3,50 x + x12 x >x12 x )5,25 5,25 > 3,50 + 12 1 ,75 1,75 >⇔12 xx  >x > > . ) 1,75 77 1,75  48  Donc 6 =  ; +  . 7  48 c. ≈ 6,9. Si le patineur a l’intention de venir à la 7 patinoire au moins 7 fois dans l’année, il faut qu’il choisisse le tarif B avec abonnement, dans le cas contraire le tarif A est plus avantageux.

34 1. x + 2.

 t t  x = x 1+ .  100  100

Produits Prix avant augmentation Prix après augmentation

 t t  x = x 1− .  100  100

Produits Prix avant diminution Prix après diminution

150

280

350

650

135

252

315

585

3. g (x) = 0,9x. 37 1. f (x) = 2x + 3, m = 2  0, donc f est croissante sur . 2. f (x) = –4x + 5, m = –4  0, donc f est décroissante sur . 3. f (x) = x + 7, m = 1  0, donc f est croissante sur . 4. f (x) = –x + 8, m = –1  0, donc f est décroissante sur . > 00, donc f est croissante 5. f (x) f ( x ) = 3x − 2 3 , m = 3  sur . 2 3 2 6. f (x) f ( x ) = − x + , m = − 0, donc f est décroissante 7 7 7 sur . −7−7 77 ⇔ ⇔ =0 =−7− 0–2x −2−x= 2x=–7 7 x x= = x x=== . 38 1. –2x−+2−7x2x+=+707=⇔ −2−2 22 2. y

100

130

300

450

700

105 136,5 315 472,5 735

3. f (x) = 1,05x. 35 1. On cherche la fonction f représentée par la droite (AB) : f (x) = mx + p avec : y − y A −2 − 2 4 2 m= B = =− =− . xB − x A 3 + 3 6 3 ⎛ 2⎞ f ( −3) = 2 ⇔ −3 × ⎜ − ⎟ + p = 2 ⇔ 2+ p = 2 ⇔ p = 0 . ⎝ 3⎠ 2 Ainsi,ff (x) (x) = − x . 3 2 Alors ff (6) (6) = − × 6 = −4, donc C [ (AB). 3 Les points A, B et C sont donc alignés. 2. On cherche la fonction g représentée par la droite y − y D 11+ 1 12 = = = 4. (DE) : g (x) = mx + p avec m = E xE − xD 3 − 0 3 (0) = –1 ⇔ p = –1. Ainsi, g (x) = 4x – 1. Alors g (–3) g ( −3) == 4 × ( −3) − 1 = −13 et g (–3) ≠ 12, donc

6 5 4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5

3. Graphiquement, on voit que la représentation graphique de la fonction f coupe l’axe des abscisses en 7 x = 3,5 = . 2 3 2x + 3>0 ⇔ 2x > −3 ⇔ x > − . 39 2 2. Le premier degré

Exercices 1.

6 5 4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

x–3

–

x–4

–

r (x)

+ –

+ `

4 + +

–

42 1. f (x) = –2x + 1, m = –2  0, donc f est décroissante sur . 2. g (x) = –x + 3, m = –1  0, donc g est décroissante sur . 1 1 3. h( x ) = x + 2 , m = 0 , donc h est croissante sur 3 3 . 1 2 2 4. l ( x ) = x− , m= 0, donc l est croissante 3 3 3 sur . 43 Il manque : « Signe de (2x – 6)(1 – x) ». 44 1. y

–4

13 000

–5

2. La représentation graphique de la fonction f est au dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle   3  − 2 ; +  .

12 000 11 000 10 000 9 000

40 1. a. −3 2

– `

2x + 3

–

8 000

+ `

7 000

6 000

b. 5 4

– `

–4x + 5

5 000

+ `

4 000

–

3 000

+ `

–7

– `

x x+7

–

2 000

1 000

d. –x + 8

+ `

– `

–

2. On peut proposer les valeurs suivantes fonction f fonction g fonction h fonction j x1

–5

–10

–15

41 1. x

3x – 6

+ `

– ` –

2. x

x h (x)

+ `

– ` +

–

h (x) = (3x – 6)(x – 2) = 3 (x – 2)(x – 2) = 3 (x – 2)2 3. +

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000

2. f (x) = 0,5x + 6 000, m = 0,5  0, donc la fonction d’offre est croissante. g (x) = –0,375x + 13 000, m = –0,375  0, donc la fonction de demande est décroissante. 3. Graphiquement, le point d’intersection de ces deux droites a pour coordonnées (8 000 ; 10 000). Donc f (x) = g (x) pour un prix d’équilibre de 10 000 e. 4. f (x) = g (x) ⇔ 0,5x + 6 000 = –0,375x + 13 000 ⇔ 0,875x = 7 000 ⇔ x = 8 000. f (8 000) = 0,5 × 8 000 + 6 000 = 10 000. 45 1.

+ `

– `

–4x + 8

– `

–

f1 x f2

3 2

– `

+ ` +

4 5

– ` +

+ ` –

Exercices

–

+ `

Fonction associée à la droite rouge

1 2

– `

Fonction associée à la droite verte

+ `

–3 –

+ `

–

2. Droite rouge : fonction h. Droite verte : fonction g. Droite bleue : fonction f. 3. –3

– `

Signe de g (x)

Signe de h (x)

–

Signe de g (x) × h (x)

–

Antécédent x

Image f (x)

2−5 = −1. 1+ 2

−1× (−2) + p = 5 ⇔ p = 3 . gg (–9) ( −9) = − ( −9) + 3 = 12. gg ((xx)) = − x + 3 . Antécédent x

–2

–9

Image g (x)

−5 − 9 = −2 . 3+4

−2× (−4) + p = 9 ⇔ p = 1. hh ((xx)) = −2x + 1 . hh (–3) ( −3) = −2 × ( −3) + 1= 7 . Antécédent x

–4

–3

Image h (x)

–5

51 1. Non, la fonction f est affine et f (–1)  f (2), f est donc décroissante sur . 2.

1 2

+ `

–

9 8

+ 0

–

1 D’où  = ]–  ; –3]<  ; +   . 2  48 1. f (x) = 3x – 4, m = 3  0, donc la fonction f est croissante sur . x f (x)

− `

4 3

m est négatif, donc f est décroissante sur R. 13 − 7 50 m = =2. 5−2 2 × 2 + p = 7 ⇔ p = 3. f f ((xx)) = 2x + 3. ff (6) (6) = 2 × 6 + 3 = 15 .

m= + `

– `

Fonction associée à la droite bleue

f. Fonction affine : f (x) = ––22x++ 88 , donc m = – 2 , p = 8 .

4. Lorsque m  0, la fonction f est croissante, lorsque m  0, la fonction f est décroissante et lorsque m = 0, la fonction f est constante. 5. Pour que les représentations des deux fonctions affines soient parallèles, il faut que m = n. 47 1. – `

m est négatif, donc f est décroissante sur R. e. Fonction affine : f (x) = 13x + 21, donc m = 13, p = 21. m est positif, donc f est croissante sur R.

46 3. Lorsque p = 0, la fonction f est linéaire.

− 3 3

– `

d. Fonction affine : f (x) = – 5 x – 3 , donc m = – 5 , p = − 3 .

+ `

–10

– `

5 4 3

+ `

–2  x  5. Donc f (–2)  f (x)  f (5) car la fonction f est croissante sur . –10  f (x)  11. Ainsi, si x [ [–2 ; 5], f (x) [ [–10 ; 11] . 49 1. et 2. a. Fonction affine : f (x) = 3x – 4, donc m = 3, p = –4. m est positif, donc f est croissante sur R. b. Fonction affine : f (x) = –x + 17, donc m = –1, p = 17. m est négatif, donc f est décroissante sur R. c. Fonction non affine.

2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5

3. m = f(2) – f(–1) = –4 – 5 = –3. 2 – (–1)

2+1

f (–1) = 5 ⇔ –3 × (–1) + b = 5 ⇔ b = 2, donc f (x) = –3x + 2. 2. Le premier degré

Exercices 4.

56 a. x

–6

–1

1 3

image f (x)

2 –4

–13 –139

52 1. L’algorithme affiche 2. 2. L’algorithme permet de calculer l’image d’un nombre x par la fonction f définie par f (x) = 3x – 4. y +4 3. y = 3x – 4 ⇔ 3x = y + 4 ⇔ x = 3 4. x et y sont deux variables réelles Lire y x prend la valeur y + 4 3 Afficher x

125

33,75 67,5 93,75 57,75 18

2. f (x) = 0,75x. 1 4 3. g g ((xx)) = x= x . 0,75 3 54 1. 15

Montant en euros de la remise P2

10,6

18,7

0,2x

Prix soldé en euros P3

42,4

74,8

100

0,8x

93,5

125

–

x (2x – 1)

–

5 2

−1 3

– `

3x + 1

–

5 – 2x

f (x)

–

+ `

–

c. x

2. f (x) = 0,2x. 3. g (x) = 0,8x. 4. On peut constater que :

1 f(x) = 0,2x ⇔ x = f(x) ⇔ x = 5f(x) . 0,2 Ainsi, on peut passer de P2 à P1 par la fonction h définie par h (x) = 5x. 55 a. Vrai, une fonction linéaire est une fonction affine pour laquelle p = 0. b. Faux, contre-exemple : x ∞ f (x) = 3x + 4 n’est pas de la forme f (x) = mx. c. Vrai, une fonction constante est une fonction affine pour laquelle m = 0. d. Vrai, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite. e. Faux, contre-exemple : la fonction f définie par f (x) = x2 + 2 vérifie f (1) = 3 et f (2) = 6 mais n’est pas affine, donc pas linéaire. f. Faux : si g était affine, on aurait : g (5) − g(1) 7 − (−1) 8 = = 2 et également : = 5 −1 5 −1 4

g ( −2) − g(1) −6 − (−1) −5 5 = = = . −2 − 1 −3 −3 3 5 Or 2 ≠ , donc g n’est pas affine. 3 44

2x – 1

 1 5 6 =  − ; .  3 2

Prix affiché en euros P1

m =

–

+ `

 1 6 = 0 ;  .  2 b.

53 1.

Prix avant 100 60 soldes Nouveaux 75 45 prix

1 2

– `

– 3 4

– `

x – 1

–

4x + 3

–

2 (x – 1) (4x + 3)

– 0

–

5 2

– ` + + +

3–x 5 – 2x A (x)

0 0

+ `

3 + – –

0 0

– – +

b. x

–1 2

– ` – – +

x 2x + 1 B (x)

0 0

+ `

0 – + –

0 0

+ + +

c. x x+7 2x – 3 C (x)

3 2

–7

– ` – – +

0 0

+ – –

2. a. 6 = ⎤–` ; 5 ⎡ < ]3 ; + `[. ⎦ 2⎣ 1 b. 6 = ⎡⎣− ;0⎤⎦ . c. 6 = ⎤–7; 3 ⎡. ⎦ 2 2⎣

+ +

 3  6 =  − ;1 .  4  57 1. a. x

+ `

+ ` + + +

Exercices 12 . 5 2. La solution de l’équation de la question 1. est l’abscisse du point d’intersection des représentations graphiques des fonctions affines f et g . 59

58 1. 3x − 5 = −2x + 7 ⇔ 5x = 12 ⇔ x =

2. x x–1 x+2 (x – 1) (x + 2) –(x – 1) (x + 2)

y 5

–4

–3

–2

–1

–3 –4 –5

La droite qui passe par M et qui a pour coefficient directeur 2 est la représentation graphique de la fonction f définie par f (x) = 2x – 3 (car f (2) = 1 ⇔ 2 × 2 + p = 1 ⇔ p = –3). Alors on a f (1) = –1, f (3) = 3 et f (4) = 5. Donc les points E et C sont situés sur cette droite. g (x) = 0,09x + 12. 60 1. f (x) = 0,15x. 2. g (x)  f (x) ⇔ 0,09x + 12  0,15x ⇔ –0,06x  –12 ⇔ x  200. À partir de 201 tirages, on a intérêt à choisir la formule avec forfait. 1 61 1. × 97,20 = 90 euros. 1,08 1 2. × 46,50 = 50 euros. 0,93 62 1. x et y sont deux variables de type nombre Lire x y prend la valeur 0,85x Afficher y

+ + + –

0 0 0

+ `

2 – +

+ +

–

– ` – + –

0 0

+ + +

0 0

+ – –

+ –

– –

–

+ `

– + –

b. d1 c. d5 64 a. d4 d. d2 e. d3 f. d6 65 On cherche la fonction f représentée par la droite y − yA 3 − 1 2 = = . (AB) : f (x) = mx + p avec m = B xB − x A 2 + 1 3 2 2 5 f ( −1) = 1⇔ × ( −1) + p = 1⇔ − + p = 1⇔ p = . 3 3 3 5 2 Ainsi, f ( x ) = x + . 3 3 2 5 11 × 3 + = et f (3) ≠ 4, donc C ” (AB). 3 3 3 Les points A, B et C ne sont pas donc alignés. 66 1.

Alors f (3) =

y 900 800

700

600 500

200

+ `

2 3

300

(L’utilisateur devra entrer la valeur de t en pourcentage précédé d’un signe moins s’il s’agit d’une baisse.) 63 1. 1 2

1 2

– `

400

x, y et t sont trois variables de type nombre Lire x et t y prend la valeur (1+ t )x 100 Afficher y

2x – 1 –x + 3 (2x – 1) (–x + 3)

– 2x + 1 3x – 2 −2x + 1 3x − 2

–2

– –

– + – +

1 –5

–3

– `

x–2 x+3 x −2 x+3

– – + –

+ `

–2

– `

100 0

D1 est représentée en rouge. D2 est représentée en bleu. 2. Graphiquement le nombre de jours au bout desquels Monsieur D. et Madame L. pourront passer leur commande ensemble correspond à l’abscisse 2. Le premier degré

Exercices

du point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection des droites D1 et D2, soit envi71â&#x20AC;&#x160; 1. ron 34 jours. â&#x2C6;&#x2019;4 x â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;` 3. V1(t) = V2â&#x20AC;&#x2030;(t) â&#x2021;&#x201D; 800 â&#x20AC;&#x201C; 12t = 900 â&#x20AC;&#x201C; 15t 3 â&#x2021;&#x201D; 3t = 100 â&#x2021;&#x201D; t â&#x2030;&#x2C6; 33,3. â&#x20AC;&#x201C;3x + + 0 a. fâ&#x20AC;&#x2030;(0) = 32. 3x + 4 â&#x20AC;&#x201C; + 67â&#x20AC;&#x160; La tempĂŠrature de solidification de lâ&#x20AC;&#x2122;eau est de 32 Â°F. fâ&#x20AC;&#x2030;(x) â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; b. Il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas de proportionnalitĂŠ entre les degrĂŠs ďŁš 4 ďŁš 6 = ďŁş â&#x2C6;&#x2019; ; 0ďŁş . Celsius et les degrĂŠs Fahrenheit, car la fonction f nâ&#x20AC;&#x2122;est 3 ďŁť ďŁť 2. pas une fonction linĂŠaire. x 1 2 â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;` c. f (100) = 1,8 Ă&#x2014; 100 + 32 = 212 . Lâ&#x20AC;&#x2122;eau bout Ă 212 Â°F. 2x â&#x20AC;&#x201C; 7 â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; 68â&#x20AC;&#x160; k ( x ) = x + 273,15 . xâ&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; 0 x est la tempĂŠrature en Â°C et fâ&#x20AC;&#x2030;(x) la tempĂŠrature en K. xâ&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C; 0 + 69â&#x20AC;&#x160; Soit x la somme en louis dâ&#x20AC;&#x2122;or dont hĂŠritera lâ&#x20AC;&#x2122;aĂŽnĂŠ. fâ&#x20AC;&#x2030;(x) â&#x20AC;&#x201C; + Alors le deuxiĂ¨me hĂŠritera de x â&#x20AC;&#x201C; 5â&#x20AC;&#x2030;000 louis dâ&#x20AC;&#x2122;or et le dernier de x â&#x20AC;&#x201C; 5â&#x20AC;&#x2030;000 â&#x20AC;&#x201C; 3â&#x20AC;&#x2030;000 louis dâ&#x20AC;&#x2122;or. ďŁš 7ďŁš 6 = ]â&#x2C6;&#x2019; ; 1[< ďŁş2 ; ďŁş . On a donc : ďŁť 2ďŁť x + x â&#x2C6;&#x2019; 5Â 000 + x â&#x2C6;&#x2019; 5Â 000 â&#x2C6;&#x2019; 3Â 000 = 20Â 000 â&#x2021;&#x201D; 3x â&#x2C6;&#x2019;13Â 000 = 20Â 000 â&#x2021;&#x201D; 3x = ďŁą 33Â 000 2x + 3Â Â siÂ x â&#x2C6;&#x2019;2Â Â Â Â Â Â Â Â 0 + x â&#x2C6;&#x2019; 5Â 000 â&#x2C6;&#x2019; 3Â 000 = 20Â 000 â&#x2021;&#x201D; 3x â&#x2C6;&#x2019;13Â 000 = 20Â 000 â&#x2021;&#x201D; 3x = 33Â 000 72â&#x20AC;&#x160; f ( x) = ďŁ´ďŁ˛ â&#x2C6;&#x2019; x + 1Â Â si â&#x2C6;&#x2019; 2 x 4 . â&#x2021;&#x201D; x = 11â&#x20AC;&#x2030;000. ďŁ´ 2x + 5Â Â siÂ x 4Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â ďŁł Ainsi, lâ&#x20AC;&#x2122;aĂŽnĂŠ recevra 11â&#x20AC;&#x2030;000 louis dâ&#x20AC;&#x2122;or, le deuxiĂ¨me 1. 6â&#x20AC;&#x2030;000 louis dâ&#x20AC;&#x2122;or et le dernier 3â&#x20AC;&#x2030;000 louis dâ&#x20AC;&#x2122;or. y

70â&#x20AC;&#x160; a.â&#x20AC;&#x2030;(3x â&#x2C6;&#x2019; 5)2 â&#x2C6;&#x2019; ( x + 1)2 0

â&#x2021;&#x201D; â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ł(3x â&#x2C6;&#x2019; 5) â&#x2C6;&#x2019; (x +1) â&#x17D;¤â&#x17D;Ś â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ł(3x â&#x2C6;&#x2019; 5) + (x +1) â&#x17D;¤â&#x17D;Ś >0 â&#x2021;&#x201D; (2x â&#x2C6;&#x2019; 6)(4x â&#x2C6;&#x2019; 4) >0 â&#x2021;&#x201D; 8(x â&#x2C6;&#x2019; 3)(x â&#x2C6;&#x2019;1) >0 . En posantffâ&#x20AC;&#x2030;(x) ( x ) = 8( x â&#x2C6;&#x2019; 3)( x â&#x2C6;&#x2019; 1). x

â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;`

xâ&#x20AC;&#x201C;3 xâ&#x20AC;&#x201C;1 fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; +

0 0

xâ&#x20AC;&#x201C;4 3x + 2 fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

7 6 5

0 0

â&#x20AC;&#x201C; + â&#x20AC;&#x201C;

0 0

+â&#x20AC;&#x2030;`

3 + + +

2 1 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

0 â&#x20AC;&#x201C;1

c.â&#x20AC;&#x2030;(6x â&#x2C6;&#x2019; 5)(2x + 3) (2x + 3)(7 â&#x2C6;&#x2019; x ) â&#x2021;&#x201D; (6x â&#x2C6;&#x2019; 5)(2x + 3) â&#x2C6;&#x2019; (2x + 3)(7 â&#x2C6;&#x2019; x ) 0 â&#x2021;&#x201D; (2x + 3) ďŁ°ďŁŽ(6x â&#x2C6;&#x2019; 5) â&#x2C6;&#x2019; (7 â&#x2C6;&#x2019; x ) ďŁťďŁš 0 â&#x2021;&#x201D; (2x + 3)(7x â&#x2C6;&#x2019; 12) 0 . En posantffâ&#x20AC;&#x2030;(x) ( x ) = (2x + 3)(7x â&#x2C6;&#x2019; 12). 12 â&#x2C6;&#x2019;3 x â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;` 7 2

ďŁŽ 3 12 ďŁš 6 = ďŁŻ â&#x2C6;&#x2019; ;Â ďŁş . ďŁ° 2 7ďŁť

2ďŁŽ ďŁš 6 = ďŁş â&#x2C6;&#x2019; Â ;Â â&#x2C6;&#x2019; ďŁŻ<]4Â ;Â + [ . 3ďŁ° ďŁť

2x + 3 3x + 4 fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; +

+ + + +

â&#x2C6;&#x2019;2 3 â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; +

â&#x2021;&#x201D; (x â&#x2C6;&#x2019; 4)(3x + 2) .0 . En posantffâ&#x20AC;&#x2030;(x) ( x ) = ( x â&#x2C6;&#x2019; 4)(3x + 2). â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;`

â&#x20AC;&#x201C; + + â&#x20AC;&#x201C;

+â&#x20AC;&#x2030;`

î&#x20AC;ś = ]â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î ; 1]<[3 ; +â&#x20AC;&#x2030;î [. b.â&#x20AC;&#x2030;(2x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 ( x + 3)2 â&#x2021;&#x201D; (2x â&#x2C6;&#x2019;1)2 â&#x2C6;&#x2019; (x + 3)2 .0 â&#x2021;&#x201D; â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ł(2x â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; (x + 3) â&#x17D;¤â&#x17D;Ś â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ł(2x â&#x2C6;&#x2019;1) + (x + 3) â&#x17D;¤â&#x17D;Ś .0

7 2

+ + +

+â&#x20AC;&#x2030;`

â&#x20AC;&#x201C; + â&#x20AC;&#x201C;

3 â&#x20AC;&#x201C; + â&#x20AC;&#x201C;

+â&#x20AC;&#x2030;`

0 0

+ â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;

0 0

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

+â&#x20AC;&#x2030;` + + +

â&#x20AC;&#x201C;5

x, y et t sont des variables de type nombre Lire x Si x î&#x20AC;ź â&#x20AC;&#x201C;2 , yâ&#x2020;? 2x + 3 Si â&#x20AC;&#x201C;2 î&#x20AC;Ź x î&#x20AC;ź 4 , yâ&#x2020;? â&#x20AC;&#x201C;x + 1 Si x î&#x20AC;Ž 4 , yâ&#x2020;? 2x + 5 Afficher le point de coordonnĂŠes (xÂ ; y)

Exercices

73 1. En utilisant la table de la calculatrice, on entre les fonctions f et g définies par : f (x) f ( x ) = 1200 + 0,1x et g (x) g ( x ) = 1400 + 0,05x les deux salaires sont identiques pour un montant x des ventes de 4 000 euros. 0,1x + 1200 = 0,05x + 1400 ⇔ 0,05x = 200 x = 4000 ⇔ 2. Si elle envisage de réaliser plus de 4 000 euros de vente elle devra choisir la société F, sinon la société G. 74 1. Si on saisit le nombre –5, l’affichage est « –5 a pour image : 0 ». 2. Si on saisit le nombre 2, l’affichage est « 2 a pour image : –5 ». Si on saisit le nombre 12, l’affichage est « 12 a pour image : –2,5 ».

78 1.

2. Le tableau ci-dessus ne permet pas de déterminer au trajet près quel est le tarif préférable. 3. En modifiant la feuille, on obtient :

⎧x + 5 ⎪

si x < –2 si –2,x,3 ⎩⎪0,5x – 8,5 si x > 3

3. f (x) = ⎨–2x – 1

75 1. Pour x km parcourus, on consomme

7,5 x L. 100

7,5 x = 60 − 0,075x . 100 2. f (350) = 60 − 0,075 × 350 = 33,75 Au bout de 350 km, il reste 33,75 L dans le réservoir. 3. x = v × t, donc gg (t) (t ) = 60 − 0,075 × 110 × t = 60 − 8,25t (avec t en heures). 4. On calcule le temps (en heures) mis pour parcourir 350 km à une vitesse de 110 km . h–1. 350 35 . t350 = = 110 11  35  35 = 33,75 . g   = 60 − 8,25 ×  11  11 76 1. f (t) = mt + p, avec f (0) = 6 000 et f (3,5) = 1 500. 1 500 − 6 000 4 500 9000 =− =− et p = 6 000, m= 3,5 − 0 3,5 7 9000 donc f (t ) = − t + 6 000, avec t en heures. 7 9000 6 000 × 7 14 2. f(t) = 0 ⇔ − t + 6 000 = 0 ⇔ t = = 7 9 000 3 14 12 2 Or 4 h 40min h = h + h = 4 Jusqu’à 15 trajets, le tarif 1 est préférable, pour 16 3 3 3 trajets les deux tarifs 1 et 2 sont les plus intéressants Ainsi, la population de bactéries sera nulle au bout (ils sont les mêmes) ; entre 16 et 37 trajets, c’est le de 4 heures et 40 minutes. tarif 2 qui est le plus avantageux ; pour 38 trajets, 77 1. Pour tracer de façon unique les axes du les deux tarifs 2 et 3 sont les plus intéressants (ils repère, il faut les coordonnées de deux points de la sont les mêmes) ; enfin, à partir de 39 trajets, il faut droite (AB) ou les coordonnées d’un point et le coeffichoisir le tarif 3. cient directeur de la droite (AB). Nous ne connaissons 79 Magasin A : en l’état que le coefficient directeur de la droite (AB) PA = 0,9 × 610 + 0,02 × (0,9 × 610) = 549 + 10,98 = 559,98 ce qui est insuffisant pour tracer les axes du repère. PA = 0,9 × 610 + 0,02 × (0,9 × 610) = 549 + 10,98 = 559,98 euros. 2. Si l’abscisse du point B est 4, il est possible de calMagasin B : culer son ordonnée à l’aide de l’équation de la droite ; PB = 0,92 × 610 = 561,2 euros. 1 1 2 La solution la plus avantageuse est celle du maga y B = − xB + 2 = − × 4 + 2 = . 3 3 3 sin A. 1 Avec le coefficient directeur de la droite m = − , il 80 Soit x le nombre « du milieu ». 3 Alors, les 5 nombres consécutifs sont donc : x – 2, est maintenant possible de tracer les axes du repère. Doncff (x) ( x ) = 60 −

2. Le premier degré

Exercices x – 1, x, x + 1 et x + 2. On cherche donc x tel que : ( x + 1)2 + ( x + 2)2 = x2 + ( x − 1)2 + ( x − 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1+ x2 + 4 x + 4 = x2 + x2 − 2x + 1+ x2 − 4 x + 4 x2 + 2x + 1+ x2 + 4 x + 4 = x2 + x2 − 2x + 1+ x2 − 4 x + 4 ⇔ 6x = x2 − 6x ⇔ x2 − 12x = 0 ⇔ x ( x − 12) = 0 x = 0 ou x = 12 . ⇔ Les cinq nombres entiers consécutifs peuvent donc être –2, –1, 0, 1, 2 ou 10, 11, 12, 13, 14. 81 1.

2. U1 ( I ) = U2 (I ) ⇔ E − rI = E ’ + r ’I ⇔ −rI − r ’I = E ’ − E ⇔ − (r’ + r )I = E’ − E ⇔ (r’ + r )I = E − E’ E − E’ ⇔ I= . r’ + r 83 Les longueurs sont en cm et les aires en cm2 . 1. Pour x = 2, A = 2 × 7 = 14. Pour x = 7, A = 3 × 7 + 2 × 5 + 2 × 2 = 35. 2. a. A (x) = 7x pour x [ [0 ; 3]. b. A (x) = 3 × 7 + (x – 3) × 5 = 5x + 6 pour x [ [3 ; 5]. A (x) = 3 × 7 + 2 × 5 + (x – 5) × 2 = 2x + 21 pour x [ [5 ; 8]. A (x) = 3 × 7 + 2 × 5 + 2 × 3 + (x – 8) × 9 = 9x – 35 pour x [ [8 ; 9]. 84 y 1 400 1 300

1 200 1 100 1 000 900 800 700

L’abscisse du point d’intersection des deux droites qui représentent f et g est x ≈ 0,22. f (x) = g(x) ⇔ 2x + 1 = −2x + 3 ⇔

(

)

82 1.

3 −1 2 +2

≈ 0,21.

450 400 350 #U1

250 200

#U2

150 100 50 0

U1(I ) = −10I + 300 . La représentation graphique de U1 est tracée en rouge. U2 (I ) = 5I + 200. La représentation graphique de U2 est tracée en bleu. 48

400

300 100 0

U(V)

300

500

200

2 + 2 x = 3 −1

⇔x=

600

0 1

9 10 11 12 13 14 x

La première offre est représentée en rouge (f (x) = 120x), la deuxième en bleu (g (x) = 50x + 500), et la troisième en vert (h (x) = 1 200). La 1re offre est la plus intéressante si le nombre d’intervention ne dépasse pas 7. Entre 8 et 14 interventions, la 2e proposition est la plus avantageuse, et à partir de 15 interventions, il faut choisir la 3e offre. 85 Les longueurs sont en m les volumes en m3. 1. Si la hauteur est de 60 cm soit 0,6 m: V1 = 3 × 2 × 0,60 = 3,6 . Si la hauteur est de 2 m : V2 = 3 × 2 × 1,5 + 0,5 × 1× 1 = 9,5. 2. Lorsque le premier parallélépipède est plein, la hauteur h de fuel est de 1,5 m et le volume de fuel correspondant est de 9 m3. Donc, si le volume est de 9,4 m3, on a dépassé la hauteur de 1,5 m. D’après les dimensions du petit parallélépipède (1 m × 1 m × 1 m), pour que le volume de fuel soit de 9,4 cm3, il faut que le volume dans le petit cube soit de 0,4 m3. Ainsi, si on appelle h la hauteur dans le petit cube, on doit avoir 1 × 1 × h = 0,4 soit h = 0,4. Finalement, la hauteur totale de fuel est donc de 1,9 m (1,5 + 0,4). 3. a. V ( h ) = 6h pour h [ [0 ; 1,5[. b. V ( h ) = 3 × 2 × 1,5 + (h − 1,5) × 1× 1 = 7,5 + h pour h [ [1,5 ; 2,5[

Exercices

V (cm3)

Variable h est du type nombre V est du type nombre Début Algorithme Lire h Si h , 1,5 Alors V prend la valeur 6h Sinon V prend la valeur 7,5 + h Fin Si Afficher V Fin Algorithme

6. On peut par exemple le modifier comme suit.

86 1. Si la couronne du roi n’était composée que d’or, le volume d’eau déplacé par la couronne aurait du être de 51 cm3. La conclusion d’Archimède est que la couronne du roi n’est pas faite d’or pur et donc que c’est un mélange d’or et d’argent. 1 000 2. ρor = ≈ 19,6 g/cm3. 51 1 000 ρargent = ≈ 10,5 g/cm3 95 1 1 3. f ( x ) = x+ (1 000 − x ) . ρor ρargent

or (g) 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900

4. Graphiquement, on trouve que la couronne est composée d’environ 700 g d’or et de 300 g d’argent. f (x) = 65 44 ⇔ − x + 95 = 65 1 000 44 ⇔ − x = −30 1 000 1 000 ⇔ x = −30 × −44 7 500 ⇔ x= . 11 x ≈ 682(arrondi à l’unité) Algébriquement, la couronne du roi est composée de 682 g d’or et de 318 g d’argent, au gramme près. 87 On suppose que l’élève a appelé x la longueur SA. La fonction linéaire sur le graphique représente le volume de la pyramide SABCD et la fonction affine le volume du tétraèdre SEFH. Sur le graphique, on remarque que la longueur x varie de 0 à 12, ce qui signifie que la longueur AE = 12. L’ordonnée à l’origine de la fonction affine donne le volume du tétraèdre SEFH lorsque le point S est confondu avec le point A. 1 EF × EH Dans ce cas, on a Vtétraèdre = × AE × . 3 2 48 1 = 3. 48 = × 12 × 4 × EH soit EH = 16 3

Donc BC = 3. Graphiquement, on voit que les volumes des deux solides sont égaux lorsque SA = 4. Algébriquement, soit f (x), le volume du solide SABCD et g (x) le volume de SEFH. On a : 1 ff (x) ( x ) = × x × 8 × 3 = 8x et 3 1 3×8  51 95  51 95 gg (x) x ) =x +×95 × (12 − x ) = −4 x + 48. (44 f (x) = x+ − (1 000 − x ) =   x + 95 = − 3 2 1 000 1 000  1 000 1 000 1 000 Trouver la position du point S telle que les volumes des  51 95  44 51 95 deux solides soient égaux, revient à résoudre l’équation : )= x+ − x + 95 . (1 000 − x ) =   x + 95 = − 1 000 1 000  1 000 1 000 1 000 f (x) = g (x) ⇔ 8x = –4x + 48 ⇔ 12x = 48 ⇔ x = 4. 2. Le premier degré

Exercices −7 − 1 −8 = = −2 . 5 −1 4 f (1) = 1 ⇔ –2 × 1 + p = 1 ⇔ p = 3 Ainsi f (x) = –2x + 3. 2. m = –2  0, donc f est décroissante sur .

88 1. f (x) = mx + p avec m =

x − `

f (x)

y 6

300

275

1 –2

–1

200

–2

175

–3

150

–4

125

–5

4. Graphiquement, on a, en traçant la fonction constante valant 2 : y

5 4

250 225

–1

89 1. R (x) = 2,5x. 2. Les coûts fixes sont de 180 euros et les coûts variables de 1,25 euro par stylo. 3. B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 2,5x − (1,25x + 180) = 1,25x − 180 B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 2,5x − (1,25x + 180) = 1,25x − 180 . 4.

325

–3

350

–4

+ `

375

–5

–

f1 + `

3 2

– `

100 75 50 25 0

100

125 150

175 200 225

5. Par lecture graphique, on trouve qu’il faut vendre au minimum 145 stylos pour faire du bénéfice. 2 6. Il faut résoudre : 180 1 B ( x ) .0 ⇔1,25x −180.0 ⇔1,25x .180 ⇔ x . ⇔ x .144 1 ,25 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 180 B ( x ) .0 ⇔1,25x −180.0 ⇔1,25x .180 ⇔ x . ⇔ x .144 . 1,25 7. Par lecture graphique, pour p = 100, on trouve qu’il faut –1 vendre au minimum 80 stylos pour faire du bénéfice. –2 100 B(x) .0 ⇔1,25x −100.0 ⇔1,25x .100 ⇔ x . ⇔ x .80. 1,25 –3 100 B(x) .0 ⇔1,25x −100.0 ⇔1,25x .100 ⇔ x . ⇔ x .80. 1,25 –4 Par lecture graphique, pour p = 150, on trouve qu’il faut vendre au minimum 120 stylos pour faire du –5 bénéfice. Par lecture graphique :  = ] –  ; 0,8]. 150 ⇔ x .120 2 − 3 B(x) .0 3 −⇔1 2,25x −150.0 ⇔1,25x .150 ⇔ x . 1,25 5. f ( x ) > 2 ⇔ −2x + 3> 2 ⇔ −2x > 2 − 3 ⇔ x ¯ ⇔ x¯ 2 −2 150 B(x) .0 ⇔ x .120 . 2 −⇔1 3 − 2 ⇔1,25x .150 ⇔ x . 3 ,25x −150.0 1 ,25 ⇔ x¯ ( x ) > 2 ⇔ −2x + 3> 2 ⇔ −2x > 2 − 3 ⇔ x ¯ −2 2 3

Exercices

Accompagnement personnalisé 90 1. U = RI . 2. Adisque = πR2 . 1 3. Ec = mv 2 . 2 4π2 3 4. T 2 = a . GMS 5. v = gh où h est la profondeur de l’océan.

91 1. Les frais réels, en euros, sont de : Puissance fiscale

Pour 5 000 km

Pour 5 0001 km

3 CV et moins

5 000 × 0,405 = 2 025

5 001 × 0,242 + 818 ≈ 2 028,24

4 CV

5 000 × 0,487 = 2 435

5 001 × 0,274 + 1 063 ≈ 2 433,27

5 CV

5 000 × 0,536 = 2 680

5 001 × 0,3 + 1 180 ≈ 2 680,30

6 CV

5 000 × 0,561 = 2 805

5 001 × 0,316 + 1 223 ≈ 2 803,32

7 CV et +

5 000 × 0,587 = 2 935

5 001 × 0,332 + 1 278 ≈ 2 938,33

Et pour 20 000 km, la fonction affine qui permet de calculer les frais en euros change, on parle de fonction définie par morceau. Néanmoins la fonction est continue sur [0 ; + [. 2. Voir graphique ci-après. 3. On remarque sur le graphique que, pour un même kilométrage, plus la puissance fiscale du véhicule est grande, et plus les frais kilométriques à déduire sont importants.

92 1. Le mot « SECRET » se code avec le mot « WSKFSN ». 2. En utilisant, par exemple, la fonction f (x) = 19 x +1, le mot « SECRET » se code avec le mot « FZNMZY ». 3. Une condition évidemment indispensable pour une fonction de codage est que 2 lettres distinctes soient codées de façons différentes, sinon il sera impossible de décoder exactement le message. Ici, cette condition est réalisée si et seulement si a et 26 sont premiers entre eux, c’est-à-dire si a et 26 ont 1 comme seul diviseur positif. Les seules valeurs de a entre 1 et 26 vérifiant cette condition sont les 12 valeurs suivantes : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 et 25. 93 1. Les nombres du tableau indiquent, en pourcentages, le rapport des longueurs des formats A. 2. 141 % correspondent au rapport longueur/largeur en pourcentages d’une feuille de format A, soit un coefficient de 1,41 qui est une bonne approximation de 2 .

No problem 94 1. In French a « fonction linéaire » is defined by the equation of the form f (x) = mx. A linear function in English is a « fonction affine ». 2. m is called the « slope » or the « gradient » and p is called the « y-intercept ». 95 1. The corresponding value of y if x = 0 is the y-intercept: y = 2 . The corresponding point has coordinates (0 ; 2). 2. The corresponding value of y if x = 1 is y = 3 × 1+ 2 = 5 . The corresponding point has coordinates (1 ; 5). 3. The corresponding value of x if y = –2 is such as: 4 3x + 2 = −2 ⇔ 3x = −4 ⇔ x = − . 3  4  The corresponding point has coordinates  − ; −2 .  3  1. The y-intercept indicates the subscription 96 cost (20 euros). 2 2. f (x) f ( x ) = x + 20 . 5

112 = 22.4 22,4 euros. 5 97 1. P ( x ) = (70 + 2x ) × 2 + (50 + 2x ) × 2 = 8x + 240. 2. The slope of the graph of P is 8. 3. P (10) = 320 meters. 4. P(x) = 280 ⇔ 8x + 240 = 280 ⇔ 8x = 40 ⇔ x = 5 . The width x has to be equal to 5 meters for the peri meter P to be 280 meters. 98 1. Perimeter with one brick: 5 by 5. Perimeter with 2 bricks: 5 by 5 + 5 by 4. Perimeter with 3 bricks: 5 by 5 + 5 by 4 by 2. Perimeter with 4 bricks: 5 by 5 + 5 by 4 by 3. Perimeter with n bricks: 5 by 5 + 5 by 4 by (n – 1). 2. The relation of perimeter in term of number n of bricks is P = 25 + 20(n – 1) = 20n + 5. Just an observation: for the last brick, we must add 5 to the perimeter because the last brick ends length. 3. f (6) f (6) =

2. Le premier degré

Exercices Traduction des énoncés 94 « Linear functions » vs « Fonctions linéaires » En anglais, les fonctions linéaires sont définies par une équation de la forme y = mx + p. 1. Explicitez la différence entre cette équation et celle de la définition française d’une fonction linéaire. 2. Question internet : Comment nomme-t-on m et p en anglais ?

95 Relations entre variables Les égalités montrent des relations entre les variables. Par exemple, l’équation y = 3x + 2 exprime une relation entre deux nombres x et y. 1. Si x = 0, quelle est la valeur correspondante de y ? Donnez alors les coordonnées du point. 2. Si x = 1, quelle est la valeur correspondante de y ? Donnez alors les coordonnées du point. 3. Si y = –2, quelle est la valeur correspondante de x ? Donnez alors les coordonnées du point. 4. Placez les trois points précédents dans un repère et reliez-les entre eux.

96 Coûts de communication

de la téléphonie mobile Le graphique ci-dessous montre le coût des communications par mois pour un seul téléphone mobile. Ce coût dépend du nombre de minutes passées au téléphone. Coût (en euros) 50 40 20 10 Temps de communication (en minutes) 0

1. Quelle information est donnée par l’ordonnée à l’origine ?

2. Sachant que la durée des appels est évaluée en minutes, calculez l’expression de la fonction affine qui permet d’obtenir le coût des communications en fonction de leur durée. 3. Quel est le coût d’un appel d’une durée de 6 minutes ?

97 Le jardin Un jardin rectangulaire de 50 m de large sur 70 m de long est entouré d’une allée de largeur constante x, exprimée en mètres. x x 50

1. Exprimez le périmètre extérieur P en fonction de x. 2. Déterminez le coefficient directeur du graphe de la fonction P. 3. Déterminez le périmètre lorsque x = 10. 4. Calculez la valeur de x telle que P = 280 mètres.

98 Motifs géométriques Certains détails architecturaux sont réalisés à partir de motifs. Dans le mur ci-dessus, chaque brique est constituée de deux carrés de 5 cm de côté. 1. Quel est le périmètre d’une série de briques arrangées pour former un motif en escalier ? Vous pouvez commencer avec une brique, puis deux, puis trois, et ainsi de suite. 2. Déterminez la relation entre le nombre de briques et le périmètre d’un motif en escalier. 3. Question Internet Trouvez différents motifs dans des photographies de mosaïques ou d’architecture.

Le second degré

Présentation du chapitre

Ce chapitre présente aux élèves des fonctions nouvelles et différentes des modèles linéaires et affines qu’ils ont vus au Collège. La démarche du manuel a été de regrouper en un seul chapitre l’ensemble du second degré. Il s’agit donc de présenter la fonction carré en tant que nouvelle fonction de référence et les fonctions du second degré dans leur ensemble. • La fonction carré est présentée avec toutes ses propriétés. C’est l’occasion de faire une démonstration en lien avec la symétrie de la courbe. C’est aussi l’occasion de faire fonctionner la définition des variations d’une fonction en proposant la démonstration des variations de la fonction carré sur l’ensemble des réels. • Pour les fonctions du second degré, il n’est pas question de reprendre ce qui se faisait avant en classe de Première, en partant de la forme canonique qui justifie les variations ou les solutions de l’équation du second degré. L’idée est d’admettre que la courbe est une parabole, de proposer aux élèves des méthodes de détermination du sommet de la parabole et de connaître les variations sur l’ensemble des réels. • Pour trouver le sommet, les différentes formes de f (x) permettent de présenter des méthodes adaptées : la forme canonique donne immédiatement les coordonnées du sommet ; la forme factorisée (lorsque c’est possible) permet de déterminer facilement les coordonnées de deux points symétriques par rapport à l’axe de symétrie de la parabole et d’en déduire l’abscisse du sommet. Enfin, la forme développée permet aussi de déterminer facilement les coordonnées de deux points symétriques par rapport à l’axe de symétrie de la parabole (en résolvant l’équation ax2 + bx + c = c c’est-à-dire en résolvant f (x) = f (0)) et d’en déduire l’abscisse du sommet. • La résolution graphique d’équations et d’inéquations est approfondie dans ce chapitre. En revanche, il n’y a pas de systématisation de la résolution d’équation du second degré en général, mais des méthodes de résolutions dans des « cas qui marchent ».

3. Le second degré

Pour construire le cours Situation A Déterminer un lieu de points en MATHÉMATIQUES Objectif : Découvrir la fonction carrée et quelques unes de ses propriétés. M

M2 M1

A 0,2

M6 0

MA = 1,25 MN = 1,25

0,2

1. On crée un point M1 puis on trace la perpendiculaire à la droite d passant par M1 qui coupe d en N1. On demande la valeur des distances M1A et M1N1 puis on déplace M1 jusqu’à que ces distances soient égales. On fait de même pour les quatre autres points. 2. Il semble que le carré de l’abscisse de chaque point soit égal à son ordonnée. 3. Après avoir créé le curseur m puis le point M(m ; m2), on crée le point N et on fait afficher la distance MA puis la distance MN. On constate que MA = MN quelle que soit la valeur de m. 4. En activant la trace du point M, on obtient des points sur la courbe d’équation y = x2 puisque l’ordonnée du point M est le carré de l’abscisse de M. On peut conjecturer l’existence d’un axe de symétrie qui est la perpendiculaire en A à la droite d : l’axe des ordonnées. Le professeur peut alors exposer l’enjeu du chapitre : l’étude de cette fonction f définie sur  par f (x) = x2 dont la courbe est une parabole qui a des propriétés géométriques particulières, dont un axe de symétrie.

La fonction f définie sur  par f (x) = x2 est appelée fonction carré. La courbe de cette fonction s’appelle une parabole. L’origine du repère (de coordonnées (0 ; 0) est le sommet de cette parabole. Cette parabole admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. Cette activité permet de percevoir une parabole comme le lieu des points M équidistants d’un point et « d’une droite ».

Pour construire le cours

Situation B Utiliser des logiciels pour tracer des courbes en PROGRAMMATION Objectif : Découvrir des fonctions dont les courbes sont similaires à celle de la fonction carré. 1. a. Si on entre 3 pour x, l’algorithme affiche 4. b. Si on entre -1 pour x, l’algorithme affiche 12. c. f (x) = (x - 2)2 + 3 d. En développant, on obtient f (x) = x2 - 4x + 7. On peut tracer sa courbe avec la calculatrice. Les élèves peuvent être laissés en autonomie pour « faire fonctionner » cet algorithme. 2. a. Variables : x, y, z sont des nombres Lire x y prend la valeur x - 2 z prend la valeur x + 2 y prend la valeur - 3yz Afficher y Les élèves risquent d’être moins autonomes pour écrire complètement cet algorithme. b. En développant, on obtient g(x) = -3x2 - 6x + 24. On peut tracer sa courbe avec la calculatrice. 3. On trace des paraboles, sauf dans le cas où a = 0 (on obtient une droite). Si c = 0, la parabole passe par l’origine. Si b = 0, la courbe admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. La création d’un curseur est expliquée. L’utilisation de la ligne de saisie peut aussi être décrite à cette occasion.

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f pouvant s’écrire sous la forme f (x) = ax2 + bx + c avec a, b et c réels donnés et a ≠ 0. La forme f (x) = ax2 + bx + c s’appelle forme développée de f (x). La courbe de cette fonction admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Cette courbe s’appelle une parabole. Le sommet S (a ; β) de cette parabole est placé sur l’axe de symétrie de la courbe. Propriété • Si a  0 la fonction est décroissante sur • Si a  0 la fonction est croissante sur ]- ; ]- ; a] puis croissante sur [a ; + [ et a] puis décroissante sur [a ; + [ et admet admet un minimum en a qui vaut b. La parabole un maximum en a qui vaut b. La parabole est tournée « vers le bas ». est tournée « vers le haut ». α

y 1

y β

1 x

1 0

Certaines fonctions polynômes du second degré de la forme f (x) = ax2 + bx + c peuvent également s’écrire sous la forme f (x) = a(x - x1) (x - x2).Cette forme est appelée forme factorisée de f (x). (voir question 2.) Toute fonction polynôme du second degré de la forme f (x) = ax2 + bx + c peut également s’écrire sous la forme f (x) = a(x - a)2 + b. Cette forme est appelée forme canonique de f (x). (voir question 1.)

3. Le second degré

Pour construire le cours Situation C Déterminer le point d’impact d’une balle de golf en SCIENCES PHYSIQUES Objectif : Résoudre un problème à l’aide d’une fonction du second degré. 1. On cherche la distance à laquelle la balle retombe au sol. On a alors y = 0. On peut résoudre l’équation - 0,004x2 + 0,5x = 0 ⇔ x(- 0,004x + 0,5) = 0 ⇔ x = 0 ou - 0,004x + 0,5 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 125. Cette distance est donc égale à 125 m. Rappeler aux élèves que c’est en factorisant qu’on sait résoudre cette équation. 2. On obtient une parabole.

Expliquer aux élèves qu’ici, on donne la fenêtre pour tracer la courbe, mais que sinon, c’est en regardant la table de valeurs de la fonction qu’on peut conjecturer la bonne fenêtre de tracé. Le faire avec eux. 3. Cette courbe admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Ainsi, deux points de la trajectoire situés à la même hauteur sont les extrémités d’un segment dont le milieu est sur l’axe de symétrie. Pour x = 0 et x = 125, la hauteur est égale à 0. Le milieu du segment correspondant à ces deux points au sol appartient donc à l’axe de symétrie. Cet axe est donc la droite d’équation x = 0 + 125 = 62,5 . 2 Le sommet de la parabole appartient à l’axe de symétrie, c’est donc le point d’abscisse x = 62,5 et d’ordonnée y = - 0,004 × 62,52 + 0,5 × 62,52 = 15,625 La hauteur maximale de la balle est donc de 15,625 m. Confronter les points de vue des élèves sur la méthode de détermination de la hauteur maximale pour s’accorder sur le point méthode qui va suivre.

Si on dispose de valeurs x1 et x2 qui sont les solutions d’une équation f (x) = k (par exemple f (x) = 0), c’est-à-dire deux valeurs qui ont la même image par f, alors x + x2 on peut déterminer le sommet de la parabole, qui a pour abscisse xs = 1 2 et pour ordonnée ys = f (xs ). Dire aux élèves qu’il suffit de trouver des valeurs x1 et x2 avec la table de la calculatrice en cherchant des valeurs de x qui ont la même image. Faire remarquer aux élèves que si on a trouvé les coordonnées du sommet de la parabole, alors on peut aisément tracer le tableau de variation de la fonction du second degré associée.

Pour construire le cours

Situation D Modéliser une situation industrielle par une inéquation en ÉCONOMIE Objectifs :

Modéliser un problème par une inéquation. Résoudre algébriquement une inéquation nécessaire à la résolution d’un problème à partir de l’étude du signe d’une expression produit.

1. On sait que le grand carré doit avoir une aire inférieure à 225 cm2. Le côté du grand carré est 10 + 2x. On a donc à résoudre l’inéquation (10 + 2x)2 ¯ 225, ce qui équivaut, en développant, à : 4x2 + 40x + 100 ¯ 225 ⇔ 4x2 + 40x - 125 ¯ 0. D’autre part, (2x - 5)(2x + 25) = 4x2 + 50x - 10x - 125 = 4x2 + 40x - 125. Donc l’inéquation (10 + 2x)2 ¯ 225 équivaut bien à (2x - 5)(2x + 25) ¯ 0. On peut, à cette occasion, expliquer la notion d’équations et d’inéquations équivalentes (qui ont le même ensemble de solutions). 2. La fonction f est une fonction affine de coefficient positif, donc croissante sur . 5 22x x −– 5 = 0 ⇔ x = 5 . Donc f (x) est strictement négatif sur − ; 2  et strictement positif sur  5 ; +  . 2 2 On peut proposer de dresser le tableau de signes de f. La fonction g est une fonction affine de coefficient positif, donc croissante sur . 25 == 0 ⇔ x = − 25 . Donc g(x) est strictement négatif sur − ; − 25  et strictement positif sur − 25 ; + . 22x x ++ 25  2   2 2 On peut proposer de dresser le tableau de signes de g. On peut alors distinguer trois intervalles − ; − 25  , − 25 ; 5  et  5 ; +  et compléter un tableau de signes   2   2 2  2 en appliquant la règle des signes : x

- 25 2

-

5 2

Signe de f (x) = 2x - 5

Signe de g(x) = 2x + 25

Signe de (2x - 5)(2x + 25)

+ + +

On pourra signaler, dans un point-méthode, qu’il est préférable de ramener l’inéquation qui modélise le problème à une inéquation : • avec un second membre égal à 0 ; • un premier membre factorisé ; On cherche ensuite le signe de chaque facteur et on dresse un tableau de signes. On a donc S = − 25 ; 5  .  2 2 Retour au problème : x désigne une longueur, il ne peut dons pas être négatif. Ainsi, la largeur de la bande peut être comprise entre 0 cm et 2,5 cm. On peut à cette occasion faire remarquer aux élèves qu’il ne faut pas simplement résoudre l’inéquation mais faire attention à ce que les résultats trouvés soient cohérents avec les conditions du problème initial.

3. Le second degré

Diaporamas Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le signe de - x2 + 7x - 9 pour x = - 4 est :

Si x = - 3, alors - x2 - 3x - 7 est égal à : a. - 7

a. croissant

b. - 25

b. positif

c. 11

c. négatif

d. 25

d. décroissant © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

L’équation ( 2x - 7 )(- 3x + 5) = 0 a pour solution :

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le tableau de signes de la fonction f définie sur  par f (x) = - 2x + 3 est :

{ }

{

b. 3 -3 x - 2 + - 2 + Signe de f (x) + 0 Signe de f (x) + 0 -

d. 3 -3 x - 2 + - 2 + Signe de f (x) - 0 + Signe de f (x) - 0 +

a. S == 7 ; 5 2 3 b.S==  5 ; 7  3 2 c.S== 7 ; −5 2 3

}

d.S== {0}

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

L’image de 0 par la fonction f définie sur 

- 5 est solution de :

par f (x) = - 3x2 + 7x - 6 est :

a. (x - 5)(x + 2) = 0

a. 6

b. x2 + 2x - 15 = 0

b. - 2

c. x2 = 25

c. - 6

d. x2 = - 25

d. 0 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le résultat de (- 2)2 + 5 × (- 4) + 8 est : a. - 16 b. - 8 c. 32 d. 24 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Diaporamas

Le 2nd degré

Diaporama calcul mental

Le tableau de variation de la fonction f définie sur  par f (x) = - 2x + 3 est : a.

-

x f (x)

+

-

+

-1

f (x)

-

Indiquer les fonctions polynômes du second degré parmi les expressions proposées : +

f (x)

a. f (x) = (2x - 6 )(x - 4) - 2x2

-1 -

b. g(x) = (2x - 6 )(x - 4) - 2x +

c. h(x) = (- 3x)2 + 2x - 8

f (x)

Diaporama QCM chrono

d. l(x) = (2x- 6)2 - 2x2

Le 2nd degré

Diaporama QCM chrono

Indiquer les courbes qui ne peuvent pas représenter des fonctions polynômes du second degré :

Diaporama QCM chrono

Pour résoudre l’équation f (x) = - 5, l’expression algébrique de f la plus adaptée est :

1 0

a. f (x) = (x - 5)(x + 1)

1 0

b. f (x) = x2 - 4x - 5 c. f (x) = (x - 2)2 - 9 1

1 0

d. f (x) = (x + 5)2 - 14x - 30

Le 2nd degré

Diaporama QCM chrono

Le tableau de signes de la fonction f définie sur 

La courbe représentative d’une fonction polynôme

par f (x) = (- x + 3)(5x + 30) est :

du second degré f est présentée ci-dessous.

Une expression de f (x) peut être :

b. -  -6

x Signe de f (x)

- 0

3 +

+

-  -3

+ 0

Signe de f (x)

0 -

6 -

+

0 +

b. f (x) = (x - 1)2 - 4,5

d. x

Signe de f (x)

-

-6

3 -

+ +

a. f (x) = (x - 2)(x + 4)

x Signe de f (x)

- -

-3 0

6 +

+ -

1 0

c. f (x) = (x + 1)2 - 4,5 d. f (x) = 0,5(x - 1)2 - 4,5

Le 2nd degré

Diaporama QCM chrono

Soit le tableau de valeurs d’une fonction f polynôme du second degré. a. On peut dire que le sommet de la parabole a pour coordonnées (3,5 ; - 0,5). b. On peut dire que la fonction f admet un minimum sur . c. On ne peut rien dire concernant. l’extremum car on ne connaît pas l’expression de f. d. On peut dire qu’une expression de f (x) est (x - 3)(x - 4). © Hachette Livre – Mathématiques 2de

3. Le second degré

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. Vrai. b. Faux. c. Faux. d. Faux. e. Faux. f. Vrai. g. Faux. h. Faux. Gamme 2 a. Les solutions sont –3 et 3. b. Les solutions sont – 7 et 7. c. Les solutions sont 3 et − 2 . 5 d. La solution est 0. e. Pas de solution.

Gamme 5 a. f (–1) = –10. b. L’image de 2 par f est 11. c. Oui, 0 est un antécédent de –7 par f, car f (0) = –7. Gamme 6 a. A = x(5 + x). b. B = (x – 3)(x + 3). c. C = (x – 2)2. d. D = 7(x – 3).

Gamme 3 a. Produit. b. Produit. c. Somme. d. Produit. e. Somme. f. Somme. g. Somme. h. Somme. Gamme 4 a. A = 6x – 9 – 30x – 12 = –24x – 21. b. B = 42x 2 – 9x – 6. c. C = x 2 + 2x + 1. d. D = 5x – 30 + 15x –12 – 40x 2 + 32x = –40x 2 + 52x – 42.

Gamme 7 a. Les solutions sont environ –0,6 et 3,6. b. L’ensemble des solutions est :  = ]–1 ; 4[. c. L’ensemble des solutions est :  = ]–  ; 1] < [2 ; + [.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 1. 2. Capacités 5, 7 et 8. 3. Capacité 5. 4. Capacités 2 et 5. 2 1.

x f (x)

–3

1 7

–9

f (x) 3 1. a = 1,375 et b = 1,4373. 2. L’algorithme permet de déterminer un encadrement de la valeur de 2 à 0,1 près. 3. On le modifie en mettant : Tant que b – a  0,001 Si m2 – 3  0

20 – x x–4

= x 2 – 6x – 7 = f (x).

(x + 1) (x – 7) = x 2 – 6x – 7 = f (x). 2.

f (x)

– `

B (x) +

–16

– – +

–1 0 0

+ `

7 + – –

0 0

+ + +

 = ]–  ; 1] < [7 ; + [. 5 1. B(x) = R(x) – C(x) = 20x – x 2 + 4x – 80 = –x 2 + 24x – 80 et (20 – x)(x – 4) = 20x – 80 – x 2 + 4x = –x 2 + 24x – 80 = B(x). 2. x

4 1. (x – 3)2 – 16 = x 2 – 6x + 9 – 16

–

x x+1 x–7 f (x)

3. f (–5,5)  f (–4,5), car la fonction f est décroissante sur ]–  ; 3]. 4. f (x) = –7 ⇔ (x – 6)x = 0 Les solutions sont x = 6 ou x = 0. 5. f (x) = –16 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x = 3. 6. f (x)  0 ⇔ (x – 7)(x + 1)  0

4 + – –

0 0

+ + +

20 0 0

30 – + –

Pour que la production soit rentable, il faut que l’entreprise fabrique entre 4 et 20 bracelets par jour. 6 f (x) = (x – 3)(x + 1) f (x) = (x – 1)2 – 4 f (x) = x 2 – 2x – 3

Corrigés des exercices 1 1. 3 et 3,5 appartiennent à l’intervalle [2 ; 4]. La fonction est croissante sur cet intervalle, donc f (3)  f (3,5). 2. –5 et 0 appartiennent à l’intervalle [–5 ; 2]. La fonction est décroissante sur cet intervalle, donc f (–5)  f (0). 3. 1 et 2,5 n’appartiennent pas à un intervalle sur lequel la fonction est soit croissante soit décrois60

sante. On ne peut donc pas comparer leur image. 2 a. 0  1,36  1,37 et la fonction carré est croissante sur [0 ; + [, donc (1,36)²  1,37)². b. –p  –3,1  0 ⇔ (–p)2  (–3,1)2, car la fonction x 2 est décroissante sur ]–  ; 0]. 3 1. Si -4 x -3, alors 9 x2 16 . 2. Si 2 x 2, alors 2 x2 4 .

Exercices

4 a. On résout f (x) = f (0) = 10. On trouve x = 0 ou x = 4, donc l’abscisse du sommet est 2. f (2) = 18, donc le sommet S a pour coordonnées S(2;18). Comme a = –2, a est négatif, la parabole est tournée « vers le bas ». On a donc le tableau de variation suivant. x

-

+

2 18

f (x)

b. - 1 et 2 sont les solutions de l’équation g(x) = 0. Par symétrie de la courbe, l’abscisse du sommet est la moyenne de ces deux valeurs et vaut donc −1 + 2 = 0,5 et f (0,5) = -6,75. Le sommet S a pour 2 coordonnées S(0,5 ; –6,75). Comme a = 3, a est positif, la parabole est tournée « vers le haut ». On a donc le tableau de variation suivant. x

-

+

0,5

f (x)

- 6,75

c. La fonction h est donnée sous forme canonique avec a = -3, a = -1 et b = -2. Comme a est négatif la parabole est tournée « vers le bas ». On a donc le tableau de variation suivant. x

-1

-

+

-2

f (x)

5 1. –2x 2 – 9 = 0 ⇔ x 2 = –4,5, donc  = ∅. 2. –x 2 + 3  0 ⇔ –x 2  –3 ⇔ x 2  3, donc – 3 ; + [.  = ]–  ; – 3] < [

6 1. On trace la courbe représentative de la fonction − x2 + 4 x + 2 . On lit x1 ≈ –0,5 et x2 ≈ 4,5. y

7 a. 6 b. 3 c. 49 d. 2 e. 0 f. 1 8 a. Faux, car x 2 est un réel toujours positif qui ne peut être égal à –3. b. Faux. La fonction carré est croissante sur l’intervalle [0 ; + [. 2 c. Vrai, car (2 2 ) – 8 = 4 × 2 – 8 = 0 . d. Faux. Par exemple si on prend x = –1, on a bien –1  –3 mais x 2 = (–1)2 = 1 donc x 2 n’est pas supérieur à 9. e. Vrai. Si x [ ]–2 ; 0], alors x 2 [ ]0 ; 4[ et si x [ [0 ; 2[ alors x 2 [ ]0 ; 4[. f. Vrai. x 2  9 équivaut à x [ [–3 ; 3]. g. Faux. (2x – 4)(2x + 4) = (2x)2 – 16 = 4x 2 – 16. h. Faux. Si on prend x = 0 : x [ [–1 ; 2] mais x 2 = 02 = 0 n’appartient pas à [1 ; 4]. i. Vrai. x = 0 convient car 02 – 2 = –2. 9 Fonction f associée au tableau d. Fonction g associée au tableau c. Fonction h associée au tableau a.

10 p = 3 et q = –9. 11 Fonction f associée au tableau b. Fonction g associée au tableau e. Fonction h associée au tableau a. Fonction i associée au tableau d. 12 f (x) = (x + 1)(x – 3). 13 a est positif ; b est négatif ; c est positif ; d est positif ; e est négatif ; f est positif ; g est positif ; h est positif. 14 f (x) est la somme des termes (x + 1)2 et (2x + 1)2. g (x) est le produit des facteurs (3x – 1) et (x – 2). h (x) est la somme des termes x 2 et –9. i (x) est le produit des facteurs (2x – 1) et (2x – 1). 15 –0,572  –0,431 ⇔ (–0,572)2  (–0,431)2, car la fonction x 2 est décroissante sur ]–  ; 0]. 16 1. x2x 2==55 ⇔ x = 5 ou x = − 5 .

2. x2 = −1, pas de solution.

1 0

3. x 2 = 0 ⇔ x = 0. 1

17 1. x 2  9,  = ]–3 ; 3[.

2. x 2  –4,  = ]–  ; + [. 2. On trace la courbe représentative de la fonction x2 + 5 x − 1 . On lit x1 ≈ –5,2 et x2 ≈ 0,2.

3. x 2  3,  = ]–  ; – 3 [ < [ 3 ; + [. 4. x 2  –2,  = ∅.

Donc  = ]–  ; –5,2] < [0,2 ; + [.

18 a. x appartient à l’intervalle [4 ; 7], donc on a :

y 1 0

1 x

16  x 2  49. b. –6  x  –3, donc on a 9  x 3  36. c. x compris entre –2 et 5 au sens large, donc on a : 0  x 2  25.

19 xA = − 2 et xB = 7 . 1. et 2. On trouve xB − xA = 7 + 2 ≈ 4,06 . 20 1. 2,3  R  2,4 ⇔ 5,29  R2  5,76. 2. π × 5,29 × 10 V π × 5,76 × 10 . 52,9 π ¯ V ¯ 57,6π en cm3. 0,17 V 0,18 en L. 3. Le second degré

Exercices 21â&#x20AC;&#x160; 1. f ( x ) = (2x + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 4 x2 + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 3 .

2. g ( x ) = x ( x â&#x20AC;&#x201C; 3)2 = x ( x2 â&#x20AC;&#x201C; 6 x + 9) = x3 â&#x20AC;&#x201C; 6 x2 + 9 x.

3. h ( x ) = â&#x20AC;&#x201C;2( x â&#x20AC;&#x201C; 3)2 + 1 = â&#x20AC;&#x201C;2( x2 â&#x20AC;&#x201C; 6 x + 9) + 1 = â&#x20AC;&#x201C;2x2 + 12x â&#x20AC;&#x201C; 17. 4. i ( x ) = ( x â&#x20AC;&#x201C; 5)( x + 3) â&#x20AC;&#x201C; x ( x â&#x20AC;&#x201C; 2) = x2 â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 15 â&#x20AC;&#x201C; x2 + 2x = â&#x20AC;&#x201C;15.

22â&#x20AC;&#x160; 1. f ( x ) = 7x + 14 = 7( x + 2) 2. g ( x ) = x ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 2x = x ( x â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; 2) = x ( x â&#x2C6;&#x2019; 3) 3. h ( x ) = ( x + 1)( x â&#x20AC;&#x201C; 3) + ( x + 4)( x + 1) = ( x + 1)[( x â&#x20AC;&#x201C; 3) + ( x + 4)] = ( x + 1)[2x + 1]. 4. i ( x ) = (3 x â&#x20AC;&#x201C; 2)( x + 2) â&#x20AC;&#x201C; (3 x â&#x20AC;&#x201C; 2)(3 x + 1) = (3 x â&#x20AC;&#x201C; 2)[( x + 2) â&#x20AC;&#x201C; (3 x + 1)] = (3 x â&#x20AC;&#x201C; 2)[â&#x20AC;&#x201C;2x + 1]. 23â&#x20AC;&#x160; 1. ( x â&#x2C6;&#x2019; 7 )( x + 7 ) = x2 â&#x2C6;&#x2019; 7

2. ( x â&#x2C6;&#x2019; 8)( x â&#x2C6;&#x2019; 1) = x2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 8 x + 8 = x2 â&#x2C6;&#x2019; 9 x + 8 3. ( x + 3)2 â&#x20AC;&#x201C; 16 = [( x + 3) â&#x20AC;&#x201C; 4][( x + 3) + 4] = ( x â&#x20AC;&#x201C; 1)( x + 7) 4. x ( x â&#x2C6;&#x2019; 2)( x + 2) = x ( x2 â&#x2C6;&#x2019; 4) = x3 â&#x2C6;&#x2019; 4 x

24â&#x20AC;&#x160;

Ă&#x2030;tape 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y 1 0,72 0,48 0,28 0,12 0 â&#x20AC;&#x201C;0,08 â&#x20AC;&#x201C;0,12 â&#x20AC;&#x201C;0,12 â&#x20AC;&#x201C;0,08 0

Lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme permet de calculer les valeurs de la fonction fâ&#x20AC;&#x2030;(x) = 2xâ&#x20AC;&#x2030;2 â&#x20AC;&#x201C; 3x + 1 sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [0Â ;Â 1], avec un pas de 0,1.

31â&#x20AC;&#x160; 1. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x + 3 est une fonction affine, une fonction polynĂ´me du premier degrĂŠ et non du deuxiĂ¨me (pas de terme en x2). 2. g(x) est une fonction polynĂ´me de degrĂŠ 2 avec pour coefficients a = 3, b = - 2, c = -7. 3. h ( x ) = ( â&#x2C6;&#x2019;2x + 3)( x + 3) + 2x2 = â&#x2C6;&#x2019;3 x + 9 est une fonction affine. 4. l(x) est une fonction polynĂ´me de degrĂŠ 3. 5. m(x) est une fonction affine. 6. n ( x ) n = ((xâ&#x20AC;&#x201C;8 1)(x7+x1â&#x20AC;&#x201C;)(37)x=â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;56 + 24 7xx â&#x20AC;&#x201C;+ 37x â&#x20AC;&#x201C; 3 ) =x (+â&#x20AC;&#x201C;8 3) =x2â&#x20AC;&#x201C;56 x2 x++24 2 2 = â&#x20AC;&#x201C;56=x â&#x20AC;&#x201C;56 3x â&#x20AC;&#x201C;3 + 31 x x+â&#x20AC;&#x201C;31 est une fonction polynĂ´me de degrĂŠ 2 avec pour coefficients a = -56, b = 31, c = -3. 2 7. r ( x ) r=(â&#x20AC;&#x201C;2 + 3()x2 ++32)2=+â&#x20AC;&#x201C;2 +6 9)x ++29) + 2 x ) (=x â&#x20AC;&#x201C;2 2 (=x â&#x20AC;&#x201C;2+(6xx2 + 2 â&#x20AC;&#x201C; 12 16x â&#x20AC;&#x201C; 16 = â&#x20AC;&#x201C;2x= â&#x20AC;&#x201C;2 x2xâ&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201C;12

est une fonction polynĂ´me du second degrĂŠ avec pour coefficients a = - 2, b = -12, c = - 16.

Situation 2Â : expression a. Situation 3Â : expression d.

32â&#x20AC;&#x160; 1. g(x) = (x â&#x20AC;&#x201C; 3)(2x + 4) = 2(x â&#x20AC;&#x201C; 3)(x + 2), a = 0,5 et b = -12,5. Le coefficient du terme de degrĂŠ 2 est 2Â î&#x20AC;ŽÂ 0, donc la courbe reprĂŠsentative de la fonctionÂ g admet un minimum - 12,5 atteint en x = 0,5. 2. h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x2 + 4 x + 3 , Îą = â&#x2C6;&#x2019;4 = 1 et Â b = 5. â&#x2C6;&#x2019;4 Le coefficient du terme de degrĂŠ 2 est - 2Â î&#x20AC;ŹÂ 0, donc la courbe reprĂŠsentative de la fonction h admet un maximum 5 atteint en x = 1. 3. k ( x ) = ( x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + 2 , a = 1 et b = 2. Le coefficient du terme de degrĂŠ 2 est 1 î&#x20AC;Ž 0, donc la courbe reprĂŠsentative de la fonction k admet un minimum 2 atteint en x = 1.

27â&#x20AC;&#x160; fâ&#x20AC;&#x2030;(x) = 4 + 5(x â&#x20AC;&#x201C; 1)2

33â&#x20AC;&#x160; 1.

25â&#x20AC;&#x160; 1. f ( x ) = 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 = (1 â&#x2C6;&#x2019; x )(1 + x ) 2. g ( x ) = ( x + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; 16 = ( x â&#x2C6;&#x2019; 15)( x + 17) 3. h ( x ) = x2 â&#x2C6;&#x2019; 2x + 1 = ( x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 4. i( x ) = x2 â&#x20AC;&#x201C; (2x + 3)2 = ( x â&#x20AC;&#x201C; (2x + 3))( x + (2x + 3)) = (â&#x20AC;&#x201C; x â&#x20AC;&#x201C; 3)(3 x + 3) 5. j ( x ) = 4 x2 â&#x2C6;&#x2019; 49 = (2x â&#x2C6;&#x2019; 7)(2x + 7) 6. k ( x ) = 9 x2 + 24 x + 16 = (3 x + 4)2

26â&#x20AC;&#x160; Situation 1Â : expression c.

= 4 + 5(xâ&#x20AC;&#x2030;2 â&#x20AC;&#x201C; 2x + 1) = 5xâ&#x20AC;&#x2030;2 â&#x20AC;&#x201C; 10x + 9. Câ&#x20AC;&#x2122;est la forme dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction polynĂ´me du second degrĂŠ.

28â&#x20AC;&#x160; g ( x ) = 5(3 â&#x20AC;&#x201C; x )(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) = 5(6x â&#x20AC;&#x201C; 3 â&#x20AC;&#x201C; 2x2 + x ) = â&#x20AC;&#x201C;10 x2 + 35 x â&#x20AC;&#x201C; 15. 29â&#x20AC;&#x160; h ( x ) = 1 + (3x â&#x20AC;&#x201C; 2)( x â&#x20AC;&#x201C; 5) + 17x = 1 + 3 x2 â&#x20AC;&#x201C; 15 x â&#x20AC;&#x201C; 2x + 10 + 17x = 3 x2 + 11. 30â&#x20AC;&#x160; a. On ne peut pas rĂŠpondre, dâ&#x20AC;&#x2122;aprĂ¨s le tableau 28Â ÂŻÂ fâ&#x20AC;&#x2030;(10)Â ÂŻÂ 48,25. 62

b. Faux. La parabole est tournĂŠe ÂŤÂ vers le basÂ Âť, le coefficient du terme de degrĂŠ 2 dans lâ&#x20AC;&#x2122;expression de fâ&#x20AC;&#x2030;(x) est donc nĂŠgatif. c. Vrai. Sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [1 ; 7,5] la courbe reprĂŠsentative de la fonction fâ&#x20AC;&#x2030;(x) est croissante. Sur cet intervalle, les images sont rangĂŠes dans le mĂŞme ordre que les antĂŠcĂŠdents. d. Faux. Le maximum de f sur [1Â ; 12] est 48,25 et il est atteint pour x = 7,5. e. Faux. Sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [1 ; 7,5] la courbe reprĂŠsentative de la fonction fâ&#x20AC;&#x2030;(x) est croissante, f (1) = 6 11 et f (7,5) = 48,25 11. Il existe donc un unique rĂŠelÂ a appartenant Ă lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [1 ; 7,5] tel que f (Îą ) = 11 . f. Le tableau ne permet pas de conclure. g. Vrai. Le minimum de f sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [1Â ;Â 12] est 6. h. Vrai. Pour tout x appartenant Ă [1;12], f ( x ) 6 . i. Vrai. 0 6 f ( x ) 48,25 50 .

â&#x20AC;&#x201C;î

Var. de fâ&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x201C;2

+î

â&#x20AC;&#x201C;4

2. x

â&#x20AC;&#x201C;î

Var. de gâ&#x20AC;&#x2030; â&#x20AC;&#x201C;9

3 1

+î 3

Exercices

3. x

–

2 1

+

–

2,5

+

Var. de h

3. 3x2 − 14 = 0 ⇔ x2 = 14 ⇔ x = 42 ou 3 3 x = − 42 . 3 4. x ( x − 2) = x2 + 16 ⇔ x2 − 2x = x2 + 16 ⇔ x = −8 . 5. (3x − 1)2 = 0 ⇔ 3x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . 3 6. (x + 2)2 = 9 ⇔ (x + 2)2 –32 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 5 ) = 0 ⇔ x = 1 ou x = –5.

4. x Var. de i

40 1. (3x − 2)(5x + 4) = 0 ⇔ 3x − 2 = 0

–0,25

ou 5 x + 4 = 0 , soit x = 2 ou x = −4 . 5 3 2. x2 − 2x = 0 ⇔ x ( x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 . 3. (x − 1)2 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1.

41 1. Graphiquement, il semble que l’équation x2 − x − 6 = 0 admet deux solutions qui sont - 2 et 3.

34 1. x

-4

3 17

h(x) - 81 2.

y 10 0

2. a = 1, donc a  0, et donc la courbe représentative de la fonction x2 - x - 6 est tournée « vers le haut ». De plus a = 0,5 et b = –6,25, la courbe admet donc un minimum. Comme - 6,25  0, la courbe admet deux points d’intersection avec l’axe des abscisses. La fonction x2 - x - 6 peut donc se factoriser sous la forme ( x - x1 )( x - x2 ) ou x1 et x2 sont les abscisses de ses deux points d’intersection. 3. ( x + 2)( x − 3) = x2 + 2x − 3 x − 6 = x2 − x − 6 .

42 1. On pose x = AM .

35 Les fonctions h(x) et j(x) (la dernière proposée) peuvent avoir le tableau de variation proposé (a  0, a = –1 et b = 3).

AADM = 50 x = 25 x 2 30(70 − x ) ABCM = = 15(70 − x ) = 1050 − 15 x 2 AADM = ABCM ⇔ 25x = 1050 − 15x ⇔ 40x = 1050

⇔ x = 26,26 m. x

-

+

2. DM2 = 502 + x2 = x2 + 2500 CM2 = 302 + (70 − x )2 = 900 + 4900 − 140 x + x2 g(x) = x2 − 140 x + 5800 2 -2 DM = CM2 ⇔ x2 + 2500 = x2 − 140x + 5800 ⇔ 2 2 37 1. ( x − 3)( x − 1) = x − x − 3x + 3 = x − 4 x + 3 = f ( x ) x = 3300 = 165 . 140 7 = f (x) 2 − x2 = 31 ⇔ x2 + 2x + 1− x2 = 31 ⇔ x = 15 (x + 1) 2. 43 x2 + 2x + 1− x2 = 31 ⇔ x = 15 . (x + 1)2 − x2 = 31 ⇔ x 1 3 - + Les deux nombres entiers consécutifs cherchés sont x -3 0 + 15 et 16. x -1 0 + + 44 1. f (x) + 0 0 + 3. a. l’inéquation f (x)  0 a pour ensemble de solutions  = ]1 ; 3[. 2 2−–44x f ( xf (x) ) = =33 ⇔xx x + 3 = 33 ⇔ x x22–−4x4 x= = b. 00 x ( x − 4) = 0. On obtient  = {0 ; 4}.

38 La fonction i ( x ) est la seule fonction qui a pour représentation graphique la courbe de l’exercice. 39 1. 3x2 = 8 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = 2 6 3 3 ou x = − 2 6 . 3 2. 2x2 + 3 = 0 ⇔ x2 = − 3 . L’équation n’a pas de 2 solution.

2. À partir du tracé de la courbe de f et de la droite d’équation y = 2, on peut donner une valeur approchée des solutions de l’équation f (x) = 2, soit 1,7 et 4,2. 3. Le second degré

Exercices 3. Pour lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation g(x) ÂŻ 2, on voit que la courbe de g se situe entiĂ¨rement en dessous de la droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 2. Donc î&#x20AC;ś = ] -î Â ; +â&#x20AC;&#x2030;î [.

45â&#x20AC;&#x160; 1. C (0) = 30 , soit 30 000 euros. 2. C (4) = â&#x2C6;&#x2019;2 Ă&#x2014; (4)2 + 28 Ă&#x2014; 4 + 30 = 110 soit 110 000 euros. â&#x2C6;&#x2019;28 = 7 et Î˛ = C (7) = 128 . 3. Îą = â&#x2C6;&#x2019;4 Le coĂťt maximal est de 128 000 euros et il est atteint pour 7 moteurs fabriquĂŠs.

46â&#x20AC;&#x160; 1. x

2 3

-î

+î

x -3

3x - 2

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

0 0

-î

0 -

x 3 -x

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

+î

î&#x20AC;ś = ]â&#x2C6;&#x2019; î ; 0[ < ]3 ; + î [ . 3. (x â&#x2C6;&#x2019; 5)2 . 36 â&#x2021;&#x201D; ( x â&#x2C6;&#x2019; 5)2 â&#x2C6;&#x2019; 62 . 0 â&#x2021;&#x201D; (x â&#x2C6;&#x2019; 11)(x + 1) . 0. -1

-î

x x - 11

x +1

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

î&#x20AC;ś = ]â&#x2C6;&#x2019; î ; â&#x20AC;&#x201C; 1[ < ]11; + î [ .

51â&#x20AC;&#x160; 1.

+î

11 0

+ +

2. ( x - 3)(3 x - 2) 0 .

47â&#x20AC;&#x160; 1. ( x - 5)(2x - 1) 0. x

1 2

-î

+î

x -5

2x - 1

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

+ +

î&#x20AC;ś = ďŁšâ&#x2C6;&#x2019; î ; 1 ďŁš< î [ 5 ;;++â&#x20AC;&#x2030;î [. <[[5 ďŁť 2ďŁť 2. x (3 - x ) 0. x

-î

E (V)

3 -x

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

+î

3 +

+ +

La courbe reprĂŠsente une demie branche dâ&#x20AC;&#x2122;une parabole tournĂŠe vers le haut et de sommet S(0Â ;Â 0).

2. Graphiquement, PR 2 pour S ÂŻ 10,2 V.

î&#x20AC;ś = ]â&#x2C6;&#x2019; î ; 0[ < ]3 ; + î [.

48â&#x20AC;&#x160; 1. fâ&#x20AC;&#x2030;(x) = â&#x20AC;&#x201C;xâ&#x20AC;&#x2030;2 + 4 est de la forme axâ&#x20AC;&#x2030;2 + bx + c avec

a = â&#x20AC;&#x201C;1. Le coefficient a est nĂŠgatif donc la parabole est tournĂŠe vers le bas. b = 0 donc lâ&#x20AC;&#x2122;axe de symĂŠtrie est lâ&#x20AC;&#x2122;axe des ordonnĂŠes. La fonction f est donc croissante sur ]â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î Â ; 0] et dĂŠcroissante sur [0Â ; +â&#x20AC;&#x2030;î [. 2. Dans un repĂ¨re (O, I, Jâ&#x20AC;&#x2030;), on trace la courbe symĂŠtrique de la courbe de la fonction carrĂŠ par rapport Ă lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses. Puis on applique une translation de vecteur â&#x20AC;&#x201C;4OJ. On accepte une explication du styleÂ : on fait ÂŤÂ glisser la courbe de quatre carreaux vers le basÂ Âť.

49â&#x20AC;&#x160; 1. En cellule B3, la formule estÂ =B2-0,10 â&#x20AC;&#x2030;. En cellule C3, la formule estÂ =C2+30 â&#x20AC;&#x2030;. En cellule D2, la formule est =B2*C2 â&#x20AC;&#x2030;. 2. Simulation faite, la dame doit fixer un bĂŠnĂŠfice de 4,80 euros par boĂŽte (soit un prix de vente de 8,80Â euros). Dans ce cas elle vendra 1 460 boĂŽtes pour un bĂŠnĂŠfice maximal de 7 008 euros.

50â&#x20AC;&#x160; 1. x2 â&#x2C6;&#x2019; 4 < 0 â&#x2021;&#x201D; x2 < 4 â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;2 < x < 2. 2. 3x â&#x2C6;&#x2019; x2 , 0 â&#x2021;&#x201D; x(3 â&#x2C6;&#x2019; x) , 0. 64

( R E+ r ) R < 2 â&#x2021;&#x201D; E 2

2(R + r )2 R

â&#x2021;&#x201D; E < 2 Ă&#x2014; (R + r ) â&#x2021;&#x201D; E < 10,2Â V. R 52â&#x20AC;&#x160; 1. 1 ÂŻ Ď&#x2022; ÂŻ 2. 2. Graphiquement, on observe que le nombre Ď&#x2022; est compris entre 1 et 2. Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide de la calculatrice, on va dans defTable et on fixe le dĂŠbut de la table Ă 1 avec un pas de 0,1. On va ensuite dans Table et on repĂ¨re pour quelles valeurs de x la fonction change de signe (entre 1,6 et 1,7). On retourne dans defTable pour fixer le dĂŠbut de la table Ă 1,6 et un pas de 0,01, ensuite, dans Table on repĂ¨re pour quelles valeurs de x la fonction change de signe et ainsi de suite jusquâ&#x20AC;&#x2122;Ă obtenir la prĂŠcision demandĂŠe sur lâ&#x20AC;&#x2122;encadrement de Ď&#x2022;. 3. 1,618 ÂŻ Ď&#x2022; ÂŻ 1,619. 4. On reprend lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme de dichotomie de la page 85 en changeant les lignes 5 et 7Â : ligne 5Â : Tant que b - a î&#x20AC;Ž 0,001 faire et ligne 7Â : Si mÂ˛ - m - 1 î&#x20AC;Ž 0 alors et on obtient comme encadrementÂ : 1,61718 ÂŻ Ď&#x2022; ÂŻ1,61817.

Exercices

53 1. A( x ) = x2 − 13 = ( x − 13)( x + 13)

+ t = t (5t + 1) 2. B (t ) = 2 3. C ( x ) = 9 x − 7 = (3 x − 7)(3 x + 7) 5t2

4. D ( s) = ( s − 4)(2s + 7) + 3s ( s − 4) = ( s − 4)(5s + 7) 5. E ( x ) = 2(3 x − 4) − (3 x − 4)(2x + 1) = (3 x − 4)( −2x + 1) 6. F (u) = u2 − 1 + (u − 1)2 = (u − 1)(u + 1) + (u − 1)2 = (u − 1)(2u)

54 1. Graphiquement, il semble que f (x)  g (x) sur l’intervalle [–1 ; 4].

2. f (x) – g (x) = –2x 2 + 3x + 5 + 3x + 3 = –2x 2 + 6x + 8 et (–2x – 2)(x – 4) = –2x 2 + 8x – 2x + 8 = –2x 2 + 6x + 8 = f (x) – g (x) 3. –1

x – ` –2x – 2 x–4 f (x) – g (x)

+ – –

0 0

+ `

4 – – +

– + –

0 0

4. f (x)  g (x) ⇔ f (x) – g (x)  0 Or, d’après le tableau de la question 3.,  = [–1 ; 4].

55 Pour chaque question, on détermine α en résolvant l’équation f (x) = f (0). 3,5 1. α = = 1,75, β = f (α ) = −1,5625. 2 De plus, a = 1, donc a  0, donc la parabole représentative de la fonction f admet un minimum de coordonnées S(1,75 ; –1,5625). 2. α = −1 = 0,25, β = g (α ) = 3,125. −4 De plus, a = -2, donc a  0, donc la parabole représentative de la fonction g admet un maximum de coordonnées S(0,25 ; 3,125). −0,2 56 1. α = 2 = −0,1, β = f (α ) = −0,01.

- 10

- 0,1

102

f (x) - 0,01

−87,2 59 1. a. α = −8 = 10,9, β = f (α ) = 21,16 ,

le sommet de la parabole représentative de la fonction f a pour coordonnées S(10,9 ; 21,16). 0,008 b. α = = 0,004, β = g (α ) = −3,6 × 10−5 , 2 le sommet de la parabole représentative de la fonction g a pour coordonnées S(4 × 10–3 ; –3,6 × 10–5). 2. Pour la fonction f : le coefficient a = –4 est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas. Pour la fonction g : le coefficient a = 1 est positif, donc la parabole est tournée vers le haut. x

– `

+ `

10,9

f (x)

– `

+ `

0,004

g(x) - 0,000036

60 f (x) = x 2 : courbe rouge.

2. α = −15 = 2,5, β = g (α ) = 18,75. −6 De plus, a = –3, donc a  0, et donc la parabole représentative de la fonction f admet un maximum de coordonnées S(2,5 ; 8,75). 4

58 Le problème revient à trouver la longueur d’un côté d’un carré dont la diagonale mesure entre 2,40 m et 3,60 m. On note x la longueur du carré. 2,402 < 2x2 < 3,602 ⇔ 5,76 < x < 12,96 2 2 ⇔ 1,7 < x < 2,5. Pour respecter la contrainte liée à la longueur de la baie, il faudra couper le coin entre 1,7 m et 2,5 m de part et d’autre d’un des sommets du rectangle.

b. g (0) = 16 : la courbe qui coupe l’axe des ordonnées 3 16 est la courbe noire. en 3 c. h(–5) = 2 : la courbe qui passe par le point de coordonnées (–5 ; 2) est la courbe verte.

21,16

De plus, a = 1, donc a  0, et donc la parabole représentative de la fonction f admet un minimum de coordonnées S(–0,1 ; –0,01). x

2. Pour « passer » de la courbe rouge à la courbe bleue, il semble  que l’on doit effectuer une translation du vecteur -4i . On accepte une explication du style : on fait glisser la courbe de quatre carreaux vers la gauche. 3. a. f (0) = 16 : la courbe qui coupe l’axe des ordonnées en 16 est la courbe bleue.

12 f (x) - 42

57 1. La courbe rouge est la courbe représentative de la fonction carrée, c’est la seule qui est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

g (x) = x 2 – 3 : courbe bleue. h (x) = (x – 3)2 : courbe verte. l (x) = (x – 3)2 – 2 : courbe noire. m (x) = –(x + 2)2 – 3 : courbe orange. n (x) = –(x – 2)2 + 3 : courbe rose.

61 Soit x la longueur du côté du petit carré rouge. L’aire de la partie blanche de la carte en fonction de x est Ablanche = x (10 − x ) + x (6 − x ) = −2x2 + 16 x . L’aire de la partie blanche est une fonction polynôme du second degré. a = –2, donc a  0 : la parabole représentative de la fonction Ablanche est « tournée vers le bas », elle admet donc un maximum dont les coordonnées sont 3. Le second degré

Exercices α = −16 = 4, β = Ablanche (α ) = 32. Autrement dit, −4 l’aire de la partie blanche sera maximale lorsque que le carré rouge aura un côté de 4 cm. Dans ce cas, l’aire de la partie blanche sera de 32 cm2.

62 Soit x la longueur AD.

Averte = 8 x .

()

2 Ajaune = πR2 = π × x = π x2 . 2 4 π 2 Averte = Ajaune ⇔ 8x = x ⇔ 8x − π x2 = 0 4 4 π ⇔ x 8 − x = 0. 4 Équation produit nul dont les solutions sont x = 0 (solution à exclure) ou x = 32 ≈ 10,2 cm. π

(

)

63 L’explication de l’élève repose sur une observation graphique qui permet tout au plus de faire une conjecture sur le signe de la fonction f (x). La fonction étant connue, il faut utiliser ici des considérations algébriques en calculant notamment les coordonnées du sommet de la parabole. 5,5 α= = 2,75, β = f (α ) = −2,5 × 10−3 , l’ordonnée 2 du sommet de la parabole est négative, il est donc impossible de conclure que la fonction f est toujours positive.

(20 − x )2 2

= 100

⇔ (20 − x )2 − 200 = 0 ⇔ (20 − x − 10 2 )(20 − x + 10 2 ) = 0. Équation produit nul dont les solutions sont x = 20 − 10 2 ≈ 5,86 ou x = 20 + 10 2 ≈ 34 (solution à exclure). Pour répondre aux contraintes du problème, il faut placer le point E sur le segment [AD] à 20 - 10 2 m du point A.

68 Soit x la largeur constante autour de la photo-

graphie. Aphoto = 15 × 10 = 150 cm2. Acadre = 2 × (15 x ) + 2 × (10 + 2x ) × x .

La recherche de x revient à résoudre l’équation suivante : Aphoto = Acadre ⇔ 30x + 20x + 4x2 = 150 ⇔ 4x2 + 50x − 150 = 0 ⇔ (2x + 12,5)2 − 12,52 − 150 = 0 ⇔ (2x + 12,5)2 − 306,25 = 0 ⇔ (2x + 12,5 − 306,25 )(2x + 12,5 + 306,25 ) = 0

f ( x ) = 3 x2 − 2x + 1.

⇔ (2x − 5)(2x + 30) = 0 . Équation produit dont les solutions sont x = 2,5 ou x = -15 (solution à exclure).

65 1. La droite d’équation y = 2x + 1 et la parabole

69 On remarque que f (-3) et f (2) sont nuls. Donc

64 L’expression de la fonction est :

d’équation y = x 2 semblent avoir deux points d’intersection, dont les abscisses (x ≈ –2,5 et x ≈ 0,4) sont les solutions de l’équation x 2 = –2x + 1.

2. (x + 1)2 – 2 = x 2 + 2x + 1 – 2 = x 2 + 2x – 1. 3. x 2 + 2x – 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 – 2 = 0 ⇔ (x + 1 – 2)(x + 1 + 2) = 0. Équation produit nul dont les solutions sont x = –1 + 2 ou x = –1 – 2. Résoudre l’équation x 2 = –2x + 1 revient à résoudre l’équation x 2 + 2x – 1 = 0. Les solutions cherchées sont donc : x = –1 + 2 ou x = –1 – 2. Les valeurs approchées des solutions sont cohérentes avec la conjecture de la question 1.

66 1. f (0) = −28,7. 2. f ( x ) = f (0) ⇔ 10x2 − 34x = 0 ⇔ x (10x − 34) = 0. 3. Équation produit nul dont les solutions sont x = 0 ou x = 3,4. 3,4 + 0 α= = 1,7, β = f (α ) = −57,6 , de plus a = 10, 2 donc a  0, la parabole représentative de la fonction f est tournée vers le haut, elle admet donc un minimum à − 57,6 qui est atteint pour x = 1,7.

67 L’aire de l’allée est égale à l’aire du triangle ADC

moins l’aire du triangle EDF. Soit x la longueur AE. Le problème revient à résoudre l’équation suivante : (20 − x )2 1 (20 − x )2 200 − = × 400 ⇔ 200 − = 100 2 4 2 66

⇔

α = − 0,5. L’expression de la fonction f est de la forme f (x) = ax² + bx + c. f (0) = − 24, donc c = − 24 ; f (1) = − 16, donc a + b − 24 = − 16 et f (− 1) = − 24, donc a − b − 24 = − 24 ; on trouve a = b = 4. On a donc f (x) = 4 x² + 4x - 24. On calcule f (-0,5 ) = -25 et on peut alors faire le tableau de variation de f. x

- 0,5

-

+

f (x) - 25

70 1. a. DR = 30000 ≈ 8,3 m 3600 1000 × v 5 DR = = v 3600 18 b. v (km . h–1)

110

130

DR (m)

8,3

13,9

25,0

30,6

36,1

DF (m)

5,8

16,1

52,3

78,1

109,0

DA (m)

14,1

77,3

108,7 145,1

2. a. Voir tableau ci-dessus. b. Voir graphique ci-après. c. La disposition des points sur le graphique laisse deviner l’existence d’une fonction qui permettrait de les relier entre eux.

Exercices

2 73 1. f (x) = (5 - x ) (aire d’un triangle rectangle

DA (en m)

2 isocèle de côté 5 - x). 2. g(x) = 2x (aire d’un rectangle de côtés x et 2). 3.

100

10 0

v (km/h) 10

100

150

3. a. Graphiquement, si on ne veut pas que la distance d’arrêt dépasse 50 m, il faut rouler à 70 km ⋅ h-1 au plus. b. Si la distance de freinage augment de 40 % par temps de pluie, la distance d’arrêt à 110 km ⋅ h-1 passe de 108,7 m à 30,6 + 1,4 × 78,1 ≈ 140 m, soit à peine moins que la distance d’arrêt sur route sèche à 130 km ⋅ h-1.

71 1. f ( x ) = −15 ⇔ −4x2 + 16x − 15 = −15

⇔ −4x2 + 16x = 0 ⇔ 4x ( −x + 4) = 0. Équation produit nul dont les solutions sont x = 0 ou x = 4. 2. f ( x ) = 1 ⇔ −4 ( x − 2)2 + 1 = 1 ⇔ −4 ( x − 2)2 = 0 . Équation produit dont la solution est x = 2. 3. f ( x ) = 0 ⇔ (2x − 5)(2x − 3) = 0 . Équation produit dont les solutions sont x = 2,5 ou x = 1,5. 4. Résoudre l’inéquation f (x)  0 revient à chercher quand la fonction f (x) est strictement positive. x

3 2

-

2x - 5

2x - 3

f (x)

5 2 0

+ + +

D’ou  = −  ; 3  <  5 ; +  .   2  2 72 1. C a pour sommet S(3 ; -2) et passe par le point A(0 ; 16). En utilisant la forme canonique de f (x). f ( x ) = a( x − 3)2 − 2 , de plus f (0) = 16 ⇔ 9a − 2 = 16 ⇔ a = 2 . Donc f ( x ) = 2( x − 3)2 − 2 . 2. Si  a pour axe de symétrie la droite d’équation x = –2 et coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse - 2, alors le point B(–2 ; 0) est le sommet de la parabole . En utilisant la forme canonique de f (x) on trouve f ( x ) = a( x + 2)2 . De plus f ( −1) = 3 ⇔ a = 3 . Donc f ( x ) = 3( x + 2)2 .

On conjecture x ≈ 2,1. 2 4. f (x) = g(x) ⇔ (5 - x ) = 2x ⇔ (5 - x)² = 4x 2 ⇔ x² - 14 x + 25 = 0. (x - 7)² - 24 = 0 ⇔ x² - 14x + 49 - 24 = 0 ⇔ x² - 14 x + 25 = 0. Donc les deux équations sont équivalentes. 5. On résout : (x - 7)² - 24 = 0 ⇔ (x - 7 - 24 )( x - 7 + 24 ) = 0, ce qui donne deux solutions 7 + 24 qui n’est pas entre 0 et 5 et 7 - 24 ≈ 2,1 qui est la valeur pour laquelle l’aire bleue est égale à l’aire rouge.

74 1. Soit x la longueur CE. Celle-ci est égale à GD et à FE, car DGFE est un rectangle. L’aire du rectangle DGFE est égale à GD × DE , soit x × (6 − x ) = 6 x − x2 . 2. α = −6 = 3 et β = A(α ) = 9 cm2. −2 L’aire maximale que peut avoir le rectangle DGFE est de 9 cm2. 3. Le problème revient à résoudre l’équation suivante : A( x ) = 0,2 × 36 − x2 + 6 x = 7,2 − x2 + 6 x − 7,2 = 0 En s’aidant d’un tableur, on trouve que la seule solution possible est x ≈ 1,66 cm.

75 1. 2 2  x + y  −  x − y  = x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2  2   2  4 4 xy = = xy 4

( x −2 y ) > 0 ⇔ −( x −2 y ) < 0 x+y x−y x+y ⇔( − <( 2 ) ( 2 ) 2 ) x+y ⇔ xy < ( . 2 ) 2

3. Le second degré

Exercices 3. xy =

( x +2 y ) â&#x2021;&#x201D; xy = x + 2xy4 + y 2

â&#x2021;&#x201D; x2 â&#x2C6;&#x2019; 2xy + y2 = 0 â&#x2021;&#x201D; ( x â&#x2C6;&#x2019; y )2 = 0 â&#x2021;&#x201D; x = y. 4. a. 2x + 2y = 50 â&#x2021;&#x201D; x + y = 25 . x = 5 cm et y = 20 cm, donc A = 100 cm2. x = 10 cm et y = 15 cm, donc A = 150 cm2. x = 12,5 cm et y = 12,5 cm, donc A = 156,25 cm2. b. Dâ&#x20AC;&#x2122;aprĂ¨s les questions 2. et 3., le rectangle dont le pĂŠrimĂ¨tre est ĂŠgal Ă 50 cm et dont lâ&#x20AC;&#x2122;aire est supĂŠrieure Ă celle de tous les autres rectangle de 50 cm de pĂŠrimĂ¨tre est celui dont la largeur est ĂŠgale Ă la longueur, soit le carrĂŠ de 12,5 cm de cĂ´tĂŠ.

76â&#x20AC;&#x160; Le point Q est lâ&#x20AC;&#x2122;intersection des droites dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 1 x et x = 1 . Le point Q a donc pour coor4 4 2 1 1 donnĂŠes . Or xQ2 = 1 = 1 = yQ , donc le ; 4 16 4 16 point Q appartient bien Ă la parabole dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = xâ&#x20AC;&#x2030;2.

(

()

)

Le point R est lâ&#x20AC;&#x2122;intersection des droites dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 1 x et x = 1 . Le point R a donc pour coordon2 2 2 nĂŠes 1 ; 1 . Or xR2 = 1 = 1 = yR , donc le pointÂ R 2 4 2 4 appartient bien Ă la parabole dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = xâ&#x20AC;&#x2030;2. Le point S est lâ&#x20AC;&#x2122;intersection des droites dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 3 x et x = 3 . Le point S a donc pour coordonnĂŠes 4 4 2 3; 9 . Or xS2 = 3 = 9 = yS , donc le point S 4 16 4 16 appartient bien Ă la parabole dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = xâ&#x20AC;&#x2030;2.

(

)

()

77â&#x20AC;&#x160; 1. fâ&#x20AC;&#x2030;(0) = 2, le ballon est Ă 2 m du sol au dĂŠpart de sa trajectoire. 2. fâ&#x20AC;&#x2030;(10) = 3, le filet mesurant 2,43 m, la balle passera bien le filet situĂŠ Ă une abscisse ĂŠgale Ă 10. 3. fâ&#x20AC;&#x2030;(19) = -4,65, la ligne de fond ayant une abscisse ĂŠgale Ă 19 et comme fâ&#x20AC;&#x2030;(19) î&#x20AC;Ź 0, la balle Ă bien rebondi avant la limite du terrain. 78â&#x20AC;&#x160; 1. Il semble que les coordonnĂŠes du point M qui

minimise AM sont (1,5;1,3) environ. a. Le point M dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse x appartient Ă la courbe reprĂŠsentative de la fonction x , il a donc pour coordonnĂŠes M ( x ; x ) . AM = ( x â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + ( x â&#x2C6;&#x2019; 0) = x2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x + 4 . 2

b. AM est une longueur, elle est donc positive et la fonction carrĂŠ est croissante sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [0Â ; +â&#x20AC;&#x2030;î [, donc minimiser AM revient Ă minimiser AM2. c. Minimiser AM2 revient Ă trouver lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du minimum de la courbe reprĂŠsentative de la fonction polynĂ´me du second degrĂŠ f ( x ) = x2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x + 4 . Îą = 3 = 1,5 et Î˛ = f (Îą ) = 1,75 . 2 Pour que la distance AM soit minimale, il faut que le point M situĂŠ sur la courbe reprĂŠsentative de la fonction x ait une abscisse ĂŠgale Ă 1,5. Dans ce cas la distance AM est ĂŠgale Ă 1,75 .

79â&#x20AC;&#x160; 1. Les triangles AMQ et CPN dâ&#x20AC;&#x2122;une part et MBN et PDQ dâ&#x20AC;&#x2122;autre part sont isomĂŠtriques, donc QMÂ =Â PN et MNÂ =Â QP. 68

Or, si un quadrilatĂ¨re a ses cĂ´tĂŠs opposĂŠs deux Ă deux de mĂŞme mesure, alors câ&#x20AC;&#x2122;est un parallĂŠlogramme. ConclusionÂ : le quadrilatĂ¨re MNPQ est un parallĂŠlogramme. 2. Il semble que lâ&#x20AC;&#x2122;aire de MNPQ est minimale lorsque AM = 3. 3. Lâ&#x20AC;&#x2122;aire du parallĂŠlogramme MNPQ est ĂŠgale Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aire du rectangle ABCD Ă laquelle on soustrait lâ&#x20AC;&#x2122;aire des triangles AQM, MBN, NCP et PQD. Or, AAQM = ANCP et AMBN = APDQ doncÂ : AMNPQ = AABCD â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; AAMQ â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; AMBN x (4 â&#x2C6;&#x2019; x ) ďŁś x (8 â&#x2C6;&#x2019; x ) ďŁś AMNPQ = 8 Ă&#x2014; 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; ďŁŤ â&#x2C6;&#x2019;2Ă&#x2014; ďŁŤ ďŁ ďŁ 2 ďŁ¸ 2 ďŁ¸ AMNPQ = 32 â&#x2C6;&#x2019; 4 x + x2 â&#x2C6;&#x2019; 8 x + x2 AMNPQ = 2x2 â&#x2C6;&#x2019; 12x + 32 Îą = 12 = 3 , aÂ =Â 2, donc a î&#x20AC;Ž 0Â : la parabole reprĂŠsen4 tative de la fonction AMNPQ est tournĂŠe vers le haut, elle admet un minimum qui est atteint pour xÂ = 3. La conjecture de la question 2. est ainsi validĂŠe.

80â&#x20AC;&#x160; 1. Il semble que la longueur AB ne doit pas dĂŠpasser 20 cm. 2. Soit x la longueur FC. Le triangle DFC est isocĂ¨le rectangle F donc FD = x et DC = AB = 2x. Le pĂŠrimĂ¨tre du rectangle ABCD est de 50 cm donc BC = y = 25 â&#x2C6;&#x2019; 2x . Le problĂ¨me revient Ă rĂŠsoudre lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation suivanteÂ : AFCD AABCD x2 2x Ă&#x2014; 25 â&#x2C6;&#x2019; 2x ( ( )) 2 2 x 25 2x - 2x2 2 2,5 x2 - 25 2x 0 2,5 x ( x â&#x2C6;&#x2019; 10 2 ) 0 . Or, 2,5 x 0 , on cherche donc Ă rĂŠsoudre x â&#x2C6;&#x2019; 10 2 < 0 â&#x2021;&#x201D; x < 10 2 â&#x2021;&#x201D; ABÂ < 20 cm.

81â&#x20AC;&#x160; Soit x le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlĂ¨ves de la classe et p le coĂťt du transport en bus par personne. Le coĂťt du transport est de 576 euros se traduit par lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquationÂ : x Ă&#x2014; p = 576 â&#x2021;&#x201D; p = 576 (1). x Deux ĂŠlĂ¨ves ne pouvant payer, le coĂťt augmente de 1,20 euros pour chacun des autres participants se traduit par lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquationÂ : 1,20 Ă&#x2014; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) = 2p (2). En substituant p dans lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation (2) on obtientÂ : 1,20 Ă&#x2014; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) = 2 Ă&#x2014; 576 x 1,20 x ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) = 1152 1,20 x2 â&#x2C6;&#x2019; 2,40 x â&#x2C6;&#x2019; 1152 = 0 x2 â&#x2C6;&#x2019; 2x â&#x2C6;&#x2019; 960 = 0 Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un tableur, on trouve que la solution possible pour ce problĂ¨me est x = 32. En injectant cette solution dans lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation (1), on a p = 18. Finalement il y a 32 ĂŠlĂ¨ves qui participent Ă la visite et le prix du transport Ă payer par ĂŠlĂ¨ve est de 19,20Â euros.

Exercices 82 1. A( x ) semble décroissante sur l’intervalle

[0 ; 5] puis croissante sur l’intervalle [5 ; 10].

x = 1 − 0,5 ou x = 1 + 0,5 (solution à exclure car supérieure à 1). On a DH == 11 – ≈ 0,29 m. − 0,5 

x (10 − x ) 10 x (10 − x ) × 10 2. A( x ) = 100 − − − 2 2 2 2 x A( x ) = 100 − 5 x + − 5 x − 50 + 5 x 2 2 A( x ) = x − 5 x + 50. 2 2 37,5 + 1 ( x − 5)2 = x − 5 x + 12,5 + 37,5 2 2 2 = x − 5 x + 50 = A( x ) 2 3. x

(1 − x )2 = 0,5

84 1. Cet algorithme semble renvoyer le nombre x + 1. 2 2. ( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1)( x + 1 − 1) = x ( x + 1) = ( x + 1). x x x = (x + 1). 85 1. Le problème revient à étudier le signe de

10 50

A(x)

x2 - x et de regarder si cette fonction est effectivement toujours positive ou nulle comme le prétend Raoul. x

37,5 4. f (2) = f (8) = 42, donc les valeurs de x cherchées sont dans l’intervalle [0 ; 2] < [8 ; 10].

83 L’aire de la double flèche est égale à l’aire du carré à laquelle on soustrait l’aire des deux triangles rectangles clairs. Ces deux triangles sont isométriques, donc Aflèche = Acarré − 2 × Atriangle blanc . (1 − x )2 0,5 = 1 − 2 × 2 0,5 = 1 − (1 − x )2

-∞

0 -

x -1

x(x - 1)

+∞

1 +

0 0

On remarque que la fonction x2 - x est négative sur l’intervalle ]0 ; 1[ ce qui vient infirmer la croyance de Raoul et donner raison à Nadia. 2. « Le carré de tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]–  ; 0] < [1 ; + [ est supérieur ou égal à ce nombre. »

Accompagnement personnalisé 86 Soit d la distance entre la base du mur et la base de l’échelle. En utilisant le théorème de Pythagore, on a h2 + d2 = 6,25 (1). En utilisant le théorème de Thalès, on a h − 0,7 = 0,7 ⇔ hd = 0,7(h + d) (2). h d En « bricolant » l’équation (1), on a : h2 + d2 + 2hd − 2hd = 6,25 (h + d )2 − 2hd = 6,25 . On substitue hd à l’aide de l’équation (2) : (h + d )2 − 1,4(h + d ) = 6,25 (3) Soit x = h + d , l’équation (3) devient : x2 − 1,4 x − 6,25 = 0 (4) À l’aide d’un logiciel de calcul formel ou d’un tableur, on trouve que la seule solution possible est x = h + d = 3,30 ⇔ h = 3,30 − d (5). On substitue maintenant h dans l’équation (1) : (3,30 − d )2 + d2 = 6,25 2d2 − 6,60d + 4,64 = 0 (6) Avec un logiciel de calcul formel ou d’un tableur, on trouve que les solutions de l’équation (6) sont : d = 1,01 soit h = 2,29 m et d = 2,29 soit h = 1,01 m

87 1. DC = l .

ED L − l BC DC = ⇔ L = l ⇔ L(L − l ) = l2 . 2. l L−l BA ED

()

2 3. L(L − l ) = l2 ⇔ L2 − lL = l2 ⇔ L − L = 1. l l On pose x = L . l On a x2 = x + 1. 4. x − 1+ 5 x − 1− 5 2 2 5 1 1 = x2 − x + x − x − 5 x + 1 (1− 5) 2 2 4 2 2 = x2 − x − 1.

(

)(

)

5. x2 = x + 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0

(

)(

)

⇔ x − 1+ 5 x − 1− 5 = 0. 2 2 Équation produit nul dont les solutions sont x = 1 + 5 ou x = 1 − 5 (solution négative à exclure). 2 2 On trouve pour le nombre d’or ϕ = 1+ 5 ≈ 1,618 . 2

88 On demande la valeur de la taille (en m) notée T. On demande la valeur de la masse (en kg) notée M. L’IMC prend la valeur M/T2. Afficher l’IMC. Si l’IMC est inférieur à 18, afficher «  18 » Sinon, si l’IMC est strictement compris entre 18 et 25, afficher « entre 18 et 25 » Sinon afficher «  25 » 3. Le second degré

Exercices

2. x2 − 6 x + 7 = ( x − 3) − 2 .

La somme des aires de tous les rectangles est égale à : Arectangles = 0,1 × (f (0,1) + f (0,2) + … + f (1))

3. x2 − 6x + 7 = 0 ⇔ ( x − 3)2 − 2 = 0 ⇔ ( x − 3 − 2 )( x − 3 + 2 ) = 0 Équation produit nul dont les solutions sont x = 3 + 2 ou x = 3 − 2 .

2. En renouvelant le calcul avec 20 rectangles de longueur 0,05, on a : Arectangles = 0,359.

89 1. ( x − 3)2 = x2 − 6 x + 9 . 2

4. x2 + 4x − 5 = 0 ⇔ ( x + 2)2 − 9 = 0 ⇔ ( x + 5)( x − 1) = 0 Équation produit nul dont les solutions sont x = -5 ou x = 1.

90 1. La longueur des rectangles dessinés est de 0,1. La largeur du premier triangle est f (0,1) où f est la fonction x2, la largeur du deuxième rectangle est f (0,2) … la largeur du dixième rectangle est f (1) .

Arectangles = 0,1 × (0,12 + 0,22 + … + 12 ) = 0,385 .

3. En répétant l’opération ainsi avec des rectangles de longueurs de plus en plus petites, on obtient une estimation de plus en plus précise de l’aire située entre la courbe de la fonction x2 , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1. 4. La valeur final semble être Arectangles = 0,333.

No problem 91 The functions 1 and 4 are quadratic functions.

96 1. « x 2 + 3x – 4 = 0 is equivalent to x 2 = –3x + 4 ».

92 1. (4 − 2x )(6 − 2x ) = 21 × 24

⇔ 24 − 8x − 12x + 4x2 = 12 ⇔ x2 − 5x + 3 = 0. 2. x ≈ 0.697 m.

93 1. −5t2 + 20t = 0 ⇔ −5t (t − 4) = 0.

t = 0 s (ball start) or t = 4 s. The ball stays 4s in the air before hitting the ground. 2. α = −20 = 2 , β = h (α ) = 20 m. −10 The maximum height of the ball is 20 m and this maximum is reached after 2 s in the air.

94 1. x2 − 6x + 9 = ( x − 3)2 .

2 x2 − 6 x + 5 = ( x − 3)2 − 4 . 3. x2 − 6x + 5 = 0 ⇔ ( x − 3)2 − 4 = 0 ⇔ ( x − 5)( x − 1) = 0. The solutions are x = 5 or x = 1.

2 0

Graphically the solutions are x = -4 or x = 1.

97 1.

95 Using Pythagore’s theorem : 1. (175 − x )2 + x2 = 1252 ⇔ 30625 − 350x + x2 + x2 = 15625 ⇔ 2x2 − 350x + 15000 = 0 ⇔ x2 − 175x + 7500 = 0 2. ( x − 75)( x − 100) = x2 − 175 x + 7500 . 3. x2 − 175x + 7500 = 0 ⇔ ( x − 75)( x − 100) = 0 The solutions are x = 75 or x = 100.

75 m

12 5

2. 2(x − 4)2 = 60 ⇔ ( x − 4)2 − 30 = 0 ⇔ ( x − 4 − 30 )( x − 4 + 30 ) = 0 The solution is the positive solution, x = 4 + 30 ≈ 9.5 cm.

98 1. f ( x ) = x2 − 4 x + 13 , a = 1 and a > 0, so f has a minimum. 2 2. f ( x ) = x2 − 4 x + 13 = ( x − 2) + 9 .

100 m

3. The minimum value is 9 and is reached for x = 2.

Exercices

99 1. The shape of the poem evokes the shape of the moon. 2. The laws of mathematics are universal so they function everywhere, even on the moon. There are

not dependent on people, therefore they are true even on never inhabited places. 3. a. These poems are called “calligrammes”. b. Guillaume Apollinaire wrote Calligrammes.

Traduction des énoncés 91 Second degré ou non ?

95 La course

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré ? 1. x ∞ x 2 − x 2. x ∞ x 3 + x 2 + x + 1 3. x ∞ −7x + 4 4. x ∞ x (x + 2) 5. x ∞ x 2 − (x + 3)2

Une course de canoé a la forme d’un triangle rectangle. La longueur du parcours est de 300 m. La plus grande longueur de la course fait 125 m. On cherche la longueur des deux autres côtés. 1. Soit x mètres la longueur de l’un des deux côtés. Quelle est la longueur de l’autre petit côté ? Vérifiez que x 2 − 175x + 7 500 = 0. 2. Développez l’expression (x − 75)(x − 100). 3. Qu’en déduisez-vous ?

92 Le tapis Un tapis rectangulaire est placé au centre d’une pièce de 6 m de long sur 4 m de large. La distance entre les bords du tapis et les murs est de x mètres. Le tapis couvre la moitié de la surface de la pièce. 6

2. En utilisant une parabole et une droite, résoudre graphiquement l’équation x 2 + 3x − 4 = 0.

97 Une boîte

x x 4

1. Montrez que x 2 − 5x + 3 = 0. 2. Déterminez x, arrondi à 3 décimales.

93 Un ballon Un garçon tire dans un ballon. Le ballon atteint une hauteur de h mètres après t secondes. La hauteur est définie par la formule : h = 20t − 5t 2. 1. Combien de temps le ballon reste-t-il en l’air ? 2. Déterminez la hauteur maximale atteinte par le ballon.

94 Complétez le carré

96 Parabole et droite 1. Complétez la phrase : « x 2 + 3x − 4 = 0 est équivalent à x 2 = … ».

L’équation x 2 − 6x + 5 = 0 s’appelle une équation du second degré.. 1. Complétez le carré : x 2 − 6x + … = (x − …)2 2. Puis complétez l’égalité : x 2 − 6x + 5 = (x − …)2 − … 3. Utilisez la même méthode pour résoudre cette équation : x 2 − 6x + 5 = 0.

Une boîte sans couvercle est réalisée à partir d’un carton carré dans lequel on coupe des carrés de 2 cm à chaque angle et dont on replie les rectangles latéraux. 1. Réalisez le schéma de la boîte. 2. Le volume de cette boîte doit être de 60 cm3. À l’aide de votre calculatrice, déterminez la valeur approchée de la longueur du côté du carton carré arrondie au dixième.

98 Extremum La function f est definie pour tout réel x par l’expression : f (x) = x 2 − 4x + 13. 1. f a-t-elle un maximum sur  ? Un minimum sur  ? Justifiez. 2. Déterminez les valeurs de p et q afin que f puisse s’écrire sous la forme f (x) = (x − p)2 + q. 3. Déterminez la valeur de l’extremum de f.

99 Croyez-vous aux contes de fées ? Le poème suivant a été écrit par Sarah Glaz, professeur de mathématiques à l’Université du Connecticut. 1. Quelle forme ce poème évoque-t-il ? 2. Expliquez la phrase : « Vous atterrissez sur une lune qui ne fut jamais habitée mais qui fonctionne cependant selon les lois des mathématiques ». 3. Questions Internet a. Comment nomme-t-on ces poèmes ? b. Connaissez-vous un poète français qui écrivait des poèmes dont la disposition des mots et la graphie des lettres formaient un dessin ?

3. Le second degré

La fonction inverse et ses applications

Présentation du chapitre

Le chapitre intitulé Fonction inverse et ses applications est le dernier des chapitres d’analyse. Sa structure respecte l’idée générale du manuel qui consiste à mettre en place de nouvelles fonctions (fonction inverse et fonctions homographiques) dans le but de la résolution de problèmes. C’est pourquoi, il est construit de la manière suivante. • Introduction d’une nouvelle fonction dite « de référence », la fonction inverse : ses propriétés fondamentales doivent être bien connues des élèves pour la suite de leur apprentissage mathématique ; elle permet également de consolider la mise en place progressive de la notion de fonction croissante ou décroissante sur un intervalle ; • Introduction des fonctions homographiques : l’étude générale de fonctions homographiques n’est pas un attendu du programme, seule la détermination du domaine de définition d’une fonction homographique est une capacité attendue ; l’utilisation de la calculatrice, d’un traceur de courbe ou de résultats obtenus avec un logiciel de calcul formel est ici un moyen pour résoudre des problèmes issus des mathématiques mais aussi d’autres disciplines ; • Résolution algébrique d’équations et inéquations : la résolution d’équations et d’inéquations qui mettent en jeu la fonction inverse doit être maitrisée de la part des élèves. Ce chapitre complète enfin la résolution d’équations et inéquations quotients (dont les prémices ont été présentées dans le chapitre Le second degré).

4. La fonction inverse et ses applications

Pour construire le cours Situation A Étudier la vitesse d’un mobile en SCIENCES PHYSIQUES Objectif : Introduire la fonction inverse par une courbe. 1. On trace la courbe de v en fonction de t. On peut faire tracer la courbe sur un tableur.

Temps (en s) Vitesse moyenne (en m . s−1) 0,25 16 0,5 8 0,75 5,333 333 333 1 4 1,25 3,2 1,5 2,666 666 667 1,75 2,285 714 286 2 2 2,25 1,777 777 778 2,5 1,6 2,75 1,454 545 455 3 1,333 333 333 3,25 1,230 769 231 3,5 1,142 857 143 3,75 1,066 666 667 4 1 4,25 0,941 176 471 4,5 0,888 888 889 4,75 0,842 105 263 5 0,8

Cette courbe s’appelle une branche d’hyperbole. 2. On a v = d . On utilise deux valeurs exactes de la table : par exemple v = 16 et t = 0,25. t On peut faire demander à cette occasion aux élèves pourquoi il ne faut pas utiliser les valeurs 5,3333333 ou 1,777777778. On remplace : 16 = d ⇔ d = 16 × 0,25 = 4. La distance est donc de 4 m. 0,25 3. Si le mobile avait mis 8 secondes pour parcourir la distance d, la vitesse aurait été de v = 4 = 0,5m.s−1 8 On peut faire tracer aux élèves la courbe de la fonction v = 4 à la calculatrice t et leur faire remarquer qu’une hyperbole possède deux branches. On peut leur poser la question : pourquoi deux branches ? On peut enfin leur faire tracer la fonction f (x) = 1 et leur faire remarquer la x similarité de la courbe et en tirer les premières propriétés (de définition, de symétrie) par exemple.

La fonction définie sur * R* = ]-` ; 0[ ¯ ]0 ; +`[ (ensemble des nombres réels non nuls) par la relation f (x) = 1 est appelée fonction inverse. x La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine O du repère.

Pour construire le cours

Situation B Optimiser des dimensions en ARCHITECTURE Objectif : Introduire la fonction inverse par une formule. 1. L’aire de la porte doit être constante et égale à 6 m². On note l la largeur de la porte et h sa hauteur. On doit donc avoir h × l = 6. 2. On fait un tableau à la main. La discussion va porter sur les grandeurs à faire varier. La division par l’une des deux quantités va donc arriver. La discussion portera aussi sur l’intervalle auquel doit appartenir l. Si l = 0,1 m alors h = 6 m… 3. Si la porte est haute de 3 mètres, sa largeur sera de 2 mètres. 4. L’expression de h en fonction de l ne devrait pas poser de problème arriver suite aux discussions de la question 1 : h = 6 . t La discussion doit être amenée sur la validité de diviser par l. Les élèves trouveront deux branches s’ils ne règlent pas leur calculatrice sur les réels positifs seulement. On peut enfin leur faire tracer la fonction f (x) = 1 et leur faire remarquer la x similarité de la courbe et en tirer les premières propriétés (de définition, de symétrie) par exemple.

La fonction définie sur R ** == ]−` ; 0[ ¯ ]0 ; +`[ (ensemble des nombres réels non nuls) par la relation f (x) = 1 est appelée fonction inverse. x La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine O du repère.

4. La fonction inverse et ses applications

Pour construire le cours Situation C Calculer un coût moyen en ÉCONOMIE Objectif : Étudier la courbe d’une fonction homographique. 1. Le coup de fabrication de 10 violons est C (10) = 3 ×10 + 2 = 32 milliers d’euros, soit 32 000 euros. On fera remarquer l’unité ici : le millier d’euros. Le coût moyen est C10 = C(10) = 3200 euros par violon. 10 Le coût moyen est une notion dont les élèves de seconde n’ont pas l’habitude. On fera le lien avec le calcul d’une moyenne. 2. Cm (q) = C(q) = 3q + 2 = 3q + 2 = 3 + 2 q q q q q Le calcul se détaille plus ou moins selon les classes. 3. a. La courbe de la fonction Cn à la calculatrice avec la fenêtre donnée est :

b. La fonction Cn est décroissante sur l’intervalle ]0 ; + [. On peut discuter également de la branche de la courbe qui apparaît sur la gauche de l’écran et généraliser pour donner la définition d’une fonction homographique. L’étude générale des variations d’une fonction homographique n’est pas au programme.

On appelle fonction homographique une fonction f de la forme f (x) = ax + b , cx + d où a, b, c et d sont quatre nombres réels et c = / 0. La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.

Pour construire le cours

Situation D Estimer la vitesse d’absorption d’un médicament en MÉDECINE Objectif : Introduire l’expression algébrique d’une fonction homographique. vmax × [P ] . K + [P ] Il est important de faire le lien avec la notation mathématique des fonctions et leurs variables, notamment la notation utilisée souvent en sciences expérimentales « v = » qui en mathématiques est plutôt « v ([P]) ». Ici, il faut amener les élèves à bien identifier les variables et les constantes. Quelle est la variable qui joue le rôle de x ? Quel est l’intervalle d’étude (ici [0 ; + [). Un travail sur les unités est aussi nécessaire. 10[P ] 10[P ] vmax = 10 mol . L–1 et K = 4 mol . L–1 donne v = ou encore v ([P ]) = . 4 + [P ] 4 + [P ] 1. On donne v =

2. 10 −

40 = 10(4 + [P ]) − 40 = 40 + 10[P ] − 40 = 10[P ] = v 4 + [P ] 4 + [P ] 4 + [P ] 4 + [P ] 4 + [P ]

La réduction au même dénominateur avec les variables non traditionnelles n’est pas facile pour les élèves. 3. On entre la bonne formule avec les parenthèses sur la calculatrice :

On conjecture les variations : la fonction est croissante sur [0 ; + [.

On peut généraliser ensuite l’expression de la fonction v en revenant aux notations mathématiques tradition10x nelles : f (x) = et faire remarquer qu’il y a une valeur interdite, deux branches pour la courbe… 4+x

On appelle fonction homographique une fonction f de la forme f (x) = ax + b , où cx + d a, b, c et d sont quatre nombres réels et c = / 0. Une fonction homographique f est définie pour tout réel x tels que cx + d = / 0 soit d pour x = / - . c On peut noter pour l’ensemble de définition D = ⎤-` ; - d ⎡ ¯ ⎤- d ; +` ⎡ ⎦ ⎦ c ⎣ c⎣ d ou D = - - . c La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.

{ }

4. La fonction inverse et ses applications

Diaporamas La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

L’inverse de 6 est égal à :

L’inverse de − 5 est égal à : 7

a. 1 6

5 a. − 7

b. − 1 6

5 b. 7

c. − 6

c. – 7 5 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

La calculatrice affiche le résultat : 0,33333333333. Parmi les trois nombres ci-dessous, le plus grand est : a. 10 7 1 b. 0,8

La valeur probable du résultat est : a. –3 b. 1 3

c. 1

c. on ne peut pas savoir © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

On choisit un réel x non nul ; on le multiplie par deux ; La fonction f définie pour tout réel x différent de 1 par :

on ajoute 4 ; on divise le résultat par x.

f (x) = x + 1 x −1 a. est homographique

On trouve alors : a. 2x + 4 x b.

2(x + 4) x

2x + 4 x

b. n’est pas homographique c. on ne peut pas savoir © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama calcul mental

La fonction f définie pour tout réel x différent de 1 par : f (x) =

2 +1 x −1

a. est homographique b. n’est pas homographique c. on ne peut pas savoir © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Diaporamas

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

L’inverse de 5 est égal à :

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

L’opposé de 5 est égal à :

a. –5

b. 0,1

1 b. 5

c. 0,2

c. 0,2 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

L’inverse de − 1 est égal à : 3

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

L’inverse de 0,7 est égal à : a. 7

a. –3

10 b. 7

b. 1 3

c. 1,3

c. 0,3333 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

En trois heures, un véhicule a parcouru 210 km.

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

Le nombre 3 est égal à : 3 5

Sa vitesse moyenne sur le trajet est : a. 100 km . h–1

a. 3

b. 70 km . h–1

b. 5

c. 90 km . h–1

c. 1 5 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

La fonction inverse…

Diaporama QCM chrono

Le nombre 2 − 1 est égal à : 5 4 3 a. − 20 1 b. 20 c. 3 20 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

4. La fonction inverse et ses applications

Exercices Réviser ses gammes 1 Gamme 1 a. L’inverse de 2 est 2 . b. L’inverse de 1 est 3. 3 c. L’inverse de –4 est – 1 . 4 d. L’inverse de 0,1 est 10. e. L’inverse de – 5 est – 2 . 5 2 f. L’inverse de – 3 est – 1 . 3

Gamme 4 a. 60 km . h–1 ; b. 40 km . h–1 ; c. 24 km . h–1 ; d. 2 400 km . h–1.

1 Gamme 5 a. A = 2 . b. B = – 2 . c. C = – 1 . 15 5 d. D = 29 . e. E = 0. f. F = – 1 . 12 35 Gamme 6 a. A = 2 . 3 b. B ne peut pas se simplifier. c. C = 2x + 1. d. D = x – 3.

Gamme 2 a. L’opposé de 3 est –3. b. L’opposé de 1 est – 1 . 5 5 c. L’opposé de –5 est 5. d. L’opposé de 0,3 est –0,3. e. L’opposé de – 7 est 7 . 3 3

5 9 . Gamme 7 1a. A = 2 . b. B = 1 . c. C = 20 10 d. D = 4 . 5

f. L’opposé de – 5 est 5 . Gamme 3 a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Vrai. e. Vrai.

1 . Gamme 8 a. On obtient 13 b. On obtient 1 . 2x + 3

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 4. 2. Capacité 3. 3. Capacité 2. 4. Capacité 5. 2 1. c. 2. c. 3. c. 4. c. 5. b. 3 a. Vrai, car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [. b. Vrai, d’après le tableau de variation de la fonction inverse. c. Vrai, car la fonction inverse est décroissante sur ]–  ; 0[. d. Faux, par exemple si x = 0,1, alors 1 = 10. x

4 1. La valeur interdite est –3. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 3. 4 – 2x = 2 ⇔ 4 – 2x – 2 = 0 x+3 x+3 4 – 2x – 2(x + 3) = 0 ⇔ –4x – 2 = 0 ⇔ x+3 x+3 Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, donc on résout –4x – 2 = 0. L’ensemble des solutions est  = 1 . 2 2. x × y = 16 ⇔ y = 16 . x Or 4  x  8 ⇔ 1 < 1 < 1 8 x 4 ⇔ 2  16  4 x

{}

Corrigés des exercices 1 a. 5 < x < 20, la fonction inverse est décrois-

sante sur ]0 ; + `[, donc 1 ≤ 1 ≤ 1 . 20 x 5 b. 1 000 < x < 2 000 , la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + `[, donc 1 ≤ 1 ≤ 1 . 2000 x 1000 c. –4 < x < –1, la fonction inverse est décroissante sur ]– ` ; 0[, donc −1 ≤ 1 ≤ − 1 . x 4 d. –5 000 < x < –3 000 , la fonction inverse est décroissante sur ]– ` ; 0[, donc − 1 ≤ 1 ≤ − 1 . 3000 x 5000 e. 106 < x < 1015, la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + `[, donc 10−15 ≤ 1 ≤ 10−6 . x 80

f. –1015 < x < –108, la fonction inverse est décroissante sur ]– ` ; 0[, donc −10−8 ≤ 1 ≤ −10−15 . x g. 10–4 < x < 10–2, la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + `[, donc 102 ≤ 1 ≤ 104 . x h. 3 ≤ x ≤ 5, la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + `[, donc 1 ≤ 1 ≤ 1 5 x 3 << 55 , la fonction inverse est décroissante 2 33,

sur ]0 ; + `[ donc 1 < 1 < 1 . 5 x 3

Exercices

6 a. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 1.

3 a. y

{}

0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0000 1000

1200

1400

1600

1800

y –0,3

x –3x

–0,5

2x + 8

–

h(x)

–

+ +

– +

–

2 9 a. Si on choisit le chiffre 5, le résultat du programme est 5. Si on choisit le nombre 10, le résultat est 10. b. Il semble que le résultat du programme soit égal au nombre de départ choisit. 3. 1 + 1 × x − 1 = 1 + x × x − 1 = 1 + x − 1 = x x x 10000 1000 . c. 5 × 108. d. − 100 . a. . b. 10 222 1234 999 1 5 000. 11 0,0002 == 5000

–0,8 –0,9 –1,0

+ 

0 +

8 a. 0,25. b. 0,1. c. –5. d. 3. e. 2 . f. − 1 .

–0,7

–4

–3

–2

–1

( )

–0,10

–0,15

–0,20 –10 –9

– 

–0,4

–0,6

f (fx(f(x) −3 x x+++222===0 0⇔ x x==2 2 3 )x )===0 00 ⇔−3−3x x++2 2==0 0 ⇔−–3x 33 x x−−1 1 L’ensemble des solutions est  = 2 . 3 b. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 0 . g(x) g ( x )= =0 0⇔ 3 2x L’ensemble des solutions est  = ∅, car la fraction ne peut être nulle. 7 On fait un tableau de signes pour répondre à chaque question. –3x = 0 ⇔ x = 0 et 2x + 8 = 0 ⇔ x = –4.

–8

–7

–6

–5

–0,03

–0,04

–0,05 –40

–30

–20 x

4 a. f est une fonction de la forme ax + b avec cx + d a = –4 ; b = –1 ; c = –1 ≠ 0 ; d = –1, donc f est une fonction homographique. b. g n’est pas de la forme ax + b . La fonction g n’est cx + d pas homographique. c. h est une fonction de la forme ax + b avec a = 0 ; cx + d b = 4 ; c = 3 ≠ 0 ; d = 0, donc h est une fonction homographique. d. p ( x ) = x + 4 = 1 x + 4 . p est une fonction affine, 3 3 3 donc elle n’est pas homographique. 5 a. f est définie si et seulement si 2x + 4 ≠ 0 . Or 2x + 4 = 0 ⇔ x = –2. f est définie sur l’ensemble I =  \ {–2}. b. g est définie si et seulement si – x + 2 ≠ 0 . Or – x + 2 = 0 ⇔ x = 2 .  g est définie sur l’ensemble II == \ { 2} .

L’image de 0,0002 se situera à 5000 cm sur l’axe des ordonnées, soit 50 mètres ! 12 1. 4 × 0,25 = 4 × 41 = 1 cm2. 2. 0,5 × 2 = 1 × 2 = 1 cm2. 2 3. 1 × 1 = 1 cm2. Les trois rectangles ont la même aire. 13 a. f (0) = 2 ; f (1) = 2 . b. g (0) = 3 ; g (1) = 1. 2 c. h (0) = 0 ; h (1) = 4,21. 800,31 + 1 801,31 1 ; p (1) = 1. = = 1+ 800,31 800,31 800,31 14 L’antécédent de 3 par la fonction inverse est 31. L’antécédent de 3 par la fonction inverse est 2 . 3 2 1 L’antécédent de par la fonction inverse est 5 . 5 15 Si on définit l’inverse d’un réel x comme étant le nombre y tel que x × y = 1, alors 0 ne peut pas avoir d’inverse, car quand on multiplie un nombre par 0, on ne peut pas obtenir 1. Cela revient donc à dire que l’on ne peut pas diviser par 0. 1 < 1 < 1 < 1 < 1 <1 16 16 π 3 2 2 d. p (0) =

17 − 11 < − 1 < − π1 < − 41 < − 71 < − 81 3 4. La fonction inverse et ses applications

Exercices

4. V 0 0,001 0,01 0,1 0,5 1 2 4 5 10 18 La proposition est vraie. Si on prend des nombres de la forme 1010, 1020 … leurs inverses sont P 1000 100 10 2 1 0,5 0,25 0,2 0,1 de la forme 10–10, 10–20, c’est-à-dire des nombres de plus en plus proches de 0. P = 1 =1 1−3 = 3103 Pa.4 1 ; f 5. 13 10; f − = − ; f ( −32) = − 1 ; f (0,002) = 500 ; f ( −1 ( ) =V 13 19 1. f (3) = 31 ; f (4) = 0,25 ; f (5) = 0,2 ; f (11) = 11 4 3 32 −3 Pa. 6. 1L = 1 dm3 = 1000 cm3 et P = 13 = −10 25 ; f (5) = 0,2 ; f (11) = 1 ; f ( 13 ) = 1 ; f − 3 = − 4 ; f ( −32) = − 1 ; f (0,0021) = 500 ; f ( −10000) = −10 1 × 10 4. 11 32 7. P = . 4 3 13 V 8. a. ; f − 3 = − 4 ; f ( −32) = − 1 ; f (0,002) = 500 ; f ( −10000) = −1 × 10−4. P (Pa) 4 3 32

( )

2. f (3) = 0,333 ; f (4) = 0,25 ; f (5) = 0,2 ; f (11) = 1 ≈ 0,091 ; f ( 13 ) = 1 ≈ 0,277 ; 11 13 3 4 f − = − ≈ −1,333 ; f ( −32) = − 1 ≈ −0,031 ; 4 3 32

( )

f (0,002) = 500 ; f ( −10000) = −1 × 10−4 .

20 1.

y 1 0 1 0

2. a. Voir la courbe en pointillés ci-dessus. b. Pour tracer la courbe représentative de la fonction f il faut tracer la courbe représentative  de la fonction inverse et la translater du vecteur 2 j . 21 1. y

V 1

b. Le point d’abscisse 0 ne peut pas être placé sur le graphique car la fonction P est définie sur +*. 24 1. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + `[. 2. Si 0  x 2, alors 1 ≤ 1 , car la fonction inverse 2 x est décroissante sur ]0 ; + `[. Réponse b.

25 1.

x f (x)

–4 3 –3 4

–1 5

–5

y 0

1 x

1 0

26 1. Si 1  x  2, alors 21 1x 1 et 32 3x 3.

2. a. Voir la courbe en pointillés sur le dessin ci-dessus. b. Les courbes représentatives des fonction 1 et − 1 x x sont symétriques l’une de l’autre par symétrie d’axe la droite des abscisses du repère.

22 1. Faux. La fonction inverse est définie sur *. 2. Faux. La fonction inverse est décroissante sur *. 3. Vrai. C’est une propriété de la fonction inverse. 23 1. P = V1 = 21 = 0,5 Pa. 2. V = 1 = 1 = 0,25 cm3. P 4 3. La pression est une fonction inverse du volume, donc plus le volume augmente, plus la pression diminue. 82

2. Si − 2 x − 1 , alors −2 1 − 3 3 2 x 2 et −6 3 − 9 . x 2 27 1. Figure sur logiciel. 2. Il semble que le point P se déplace sur l’hyperbole représentative de la fonction inverse. 3. Les droites (AI) et (JM) sont parallèles, les points O, A, M et O, I, M sont alignés dans le même ordre. D’après le théorème de Thalès : OA = OI ; OA = OJ × OI = 1 OJ OM OM x Les coordonnées du point P sont x ; 1 . x On voit avec ses coordonnées que le point M décrit la représentation graphique de la fonction inverse lorsque x décrit l’intervalle ]–  ; 0 []0 ; + [.

(

)

−1 ; f (0) = − 1 6

−2) = −3 = 1 −12 4

Exercices

P (W)

10 000

5 000

XMIN=0 et XMAX=3. YMIN=0 et YMAX=2. 29 1. En cellule B2, on fait afficher l’image du réel de la cellule A2 par la fonction inverse. 1 000 2. En B7, le tableur indique que 0 n’a pas d’image par d (s) la fonction inverse. 0 10 50 4. Le graphique n’est pas satisfaisant car la courbe 293020 = 293020 ≈ 59 obtenue passe par le point de coordonnées (0 ; 0) ce 3. d = s. P 5000 qui est faux. 5. En éliminant le point de coordonnées (0 ; 0), on 33 1. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 4 . obtient un graphique plus proche de la courbe attenf ( x )==0 0⇔  x − 2 = 0 ⇔x x−–22==00⇔ x =x 2= 2. f(x) x−4 due de la fonction inverse. L’ensemble des solutions est  = {2}. 30 y1 = 3 est une fonction homographique définie x 2. On résout l’équation pour tout réel x ≠ −2 . pour x ≠ 0 . ⇔ f(x) f ( x )= =0 0⇔  3 x + 6 = 0 3 x3x+ +6 6==00⇔ x =x −=2–2. y2 = x + 1 est une fonction homographique définie x +2 x +2 L’ensemble des solutions est  = {∅} car –2 n’apparpour x ≠ −2 . tient pas au domaine de définition de f. y3 = 12 n’est pas homographique. x 3. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 4 . 3 y4 = 2x + 1 est affine donc pas homographique. 5x5+x 3+ = 3 0=⇔ 3− 3 . 3 1 3 x − 1 5x + 3 = 0 ⇔ x = f(x) = 0 ⇔ = = 0 f x 0  5 x + 3 = 0  x = − 0 5 + 3 = 0 = f x  x  x ( ) ( ) y5 = = x − est aussi affine. 3 x3−x 4− 4 55 2 2 2 3 S= − . L’ensemble des solutions est  31 1. f est définie si et seulement si 3x – 6 ≠ 0. 5 Or 3x – 6 = 0 ⇔ x = 2. 4. On résout l’équation pour tout réel x ≠ 3 . f est définie sur l’ensemble I =  \ {2}. 10 + 1 − x− x+5+8 8= =04 x x+ +7 7= =2−x3 2x− −1 1⇔ ⇔x− –x x8 = 8. 3 0 2 + 1 1 1 1 −  x+=+8+14 8=8=0=× 00 x4⇔ x= ==8 2. f (1) = = = −1 ; f (0) = − ; f − = = 0 ; fx( −x−2−3 − 14 ) =3 x x− −3= 3 x; fx− −3 3= 0  3 − 6 −3 6 2 10−7,5 − 12 4 − 4 15 4 9 9 − 6= {8}. +1 L’ensemble des solutions est  4 0 5 − 3 1 4 1 14 4 14 ;f − = = 0 ; f ( −2) = = ;f = = × =− −7,5 −9 résout 2 4 −12 4 15 − 6 4 5. On 9 l’équation pour tout réel x ≠ 2 . 4 10 + 1 88 ==00 44x x−−22==44x x++66 ⇔  −− 5 14 4 14 4 2 x − − 4 2 x 4 x 2 x 4 2 x 4 2 2 x − − − −44 . = × =− ;f = −9 4 9 4 15 − 6 L’ensemble des solutions est  = {∅}, car la fraction 4 ne peut être nulle. 3. 34 1. L’ensemble des solutions de l’inéquation 1 1 est  = ]–  ; 0[[1 ; + [. L’ensemble des x solutions avec x  0 est donc  = [1 ; + [. Vrai.

{ }

( )

( ) ()

()

1 0

4186 × (90 − 20) ≈ 3256 W. 32 1. P = 90

2. P = 293020 . d

2. L’ensemble des solutions de l’inéquation 1 −1 x est  = [–1 ; 0[. Faux. 4. La fonction inverse et ses applications

Exercices y

1 0

On conjecture qu’il n’y a qu’une solution :

35 1. x

–3

– 

4x – 8

–

x–3

–

g(x)

– 0

+ 

2 0

+ –

+ +

2.  = ]–  ; –3[[2 ; + [. 36 1. f(x)  2 a pour solution  = ]–  ; –5[[–1 ; + [. 2. f(x)  2 a pour solution  = ]–  ; –1[[0 ; + [. 37 1. x

−1 2

– 

2x + 1

–

x–3

–

2x + 1 x−3

+ 

3 + –

3. On réduit la fenêtre pour localiser la solution. Après suivi des instructions, la calculatrice donne :

+ 0

+ +

–

=  − 1 ; 3  2  2. x

−1 2

– 

–x + 2

–2x + 1

−x + 2 x−3

+ 0

+ 

2 0

– –

–

1. On écrit l’expression de la fonction :

= − ; 1 <[2 ; + [  2 3. x 3x

–  –

x–2

–

3x x −2

+ 

2 + –

La solution de l’équation f(x) = 3 est x = 2. On calcule f ( x ) = 2 + 1 = 3 = 3 . 2−1 1 II. Avec Casio

– 0

Le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 3).

+ 0

–

 = ]0 ; 2[ 38 I. Avec TI 1.

+ +

2. Les courbes On choisit une fenêtre assez grande :

2. Les courbes On choisit une fenêtre assez grande : 84

Exercices 42 1. 1 = 1 pour tout réel x ≠ 0.

3. On réduit la fenêtre pour localiser la solution. Après suivi des instructions, la calculatrice donne :

4. Après suivi des instructions :

x 1 = 1 ⇔x x==11 x L’ensemble des solutions est  = {1}. 2. 3 = −2 pour tout réel x ≠ 0 . 2x 3 3= = −2−⇔ −x4=x=3 =33⇔ 2−4–4x x=xx −= 3− 3 2x2x 44 L’ensemble des solutions est S == − 3 . 4 43 1. 1x 3 pour tout réel x  0. 1 3 ⇔x x 33. x L’ensemble des solutions est  = [3 ; + [. 2. 3 − 1 pour tout réel x  0. x 3 33 −−11 ⇔ ⇔ x  33 x x −− 9–9. x x −− 9 xx 33 33 L’ensemble des solutions est  = ]–  ; –9]. 3. −2 1 pour tout réel x ≠ 0 . x −−22 11 ⇔ −−xx−−22 00. xx xx

{ }

x x

–2

–  – +

–x – 2

+ 

0 – –

+ –

−x − 2

– + – Le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 3). 0 x La solution de l’équation f(x) = 3 est x = 2. L’ensemble des solutions est  = ]–  ; –2]]0 ; + [. On calcule f ( x ) = 2 + 1 = 3 = 3 . 44 1. f est définie si et seulement si 2x − 3 ≠ 0 . 2−1 1 1000 Or 2x 2x–3 − 3= =0 0⇔  x = 3 . f est définie sur l’ensemble 000 ⇔ et 40  x  50. 39 xx××yy==1 1000  yy = 2 x 3 . I = 1000 On cherche un encadrement de y, c’est-à-dire de . 2 x1000 2. 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y 4040  ⇔ 40 40 ≤x≤≤x xx≤50 ≤≤ 50 50 50 ≤≤≤ ≤≤ ≤  ≤≤≤ ≤≤≤ 20 20 ≤≤≤yyy≤≤≤ 25 25   20 25 50 50 xxx 40 40 40 50 50 50 40 40 50 xxx 40 1000 1000 ≤ 1000  ⇔  40 40≤≤ xx ≤≤50 50 11 ≤≤ 11 ≤≤ 11⇔ 1000 ≤≤1000 ≤1000 20 2020 ≤≤ y y ≤y≤25 2525. 50 50 xx 40 40 50 50 xx 40 40 Les terrains doivent avoir une largeur comprise entre J 20 et 25 m.  RR = U = 220 O 40 1. UU==RIRI⇔ x I I I

1 15

{}

R (ohms) 12 10

3. a. f(x) = –1 a pour ensemble de solution  = {–1}. b. f(x)  1 a pour ensemble de solution  = ]1,5 ; 2,3] .

⇔ ⇔ 22a⇔ 45 1. f(2) =2)2 =22a 2+a1+=12= a2a f (2f=)(2 =1=2= 22 2+a+1+1 =a 1= 1 2 −21− 1

6 4

2 2

I (A) 0

220 220 220 15 I 40 40 ⇔ 11 15 15 40 11 11 ⇔ 220 220 220 II 40 II 40 II 15 15 40 40 15 15 220 220 220 ⇔ 5,5 R 44 . 40 I 15 3 41 Le problème revient à résoudre l’équation x = 1 pour tout réel x ≠ 0 . x x = 1 ⇔x2x2==11, donc x = 1 ou x = –1. x

44 RR 44 5,5 5,5 33

1 0

4. La fonction inverse et ses applications

+ d v2

Exercices 46â&#x20AC;&#x160; 1. f ( x ) = 2xx +â&#x2C6;&#x2019;23 pour tout rĂŠel x â&#x2030; â&#x20AC;&#x201C;2.

50â&#x20AC;&#x160; 1.

2. f est dĂŠfinie si et seulement si x + 2 â&#x2030; 0. Or x + 2 = 0 â&#x2021;&#x201D; x = â&#x20AC;&#x201C;2. f est dĂŠfinie sur lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble I = {â&#x2C6;&#x2019;2} . La valeur de x pour laquelle la fonction f(x) nâ&#x20AC;&#x2122;est pas dĂŠfinie est appelĂŠe ÂŤÂ valeur interditeÂ Âť. 47â&#x20AC;&#x160; 1. x x+2

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î â&#x20AC;&#x201C;

x+4

â&#x20AC;&#x201C;

x +2 x+4

+ â&#x20AC;&#x201C;

+â&#x20AC;&#x2030;î

5 +

â&#x20AC;&#x201C;x + 5

7 â&#x2C6;&#x2019;x + 5

+ 0

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;

î&#x20AC;ś = ]5 ; +â&#x20AC;&#x2030;î [ 3. x

3 2

â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î

â&#x20AC;&#x201C;2x + 5

2(2x â&#x20AC;&#x201C; 3)

â&#x20AC;&#x201C;

â&#x2C6;&#x2019;2x + 5 2(2x â&#x2C6;&#x2019; 3)

â&#x20AC;&#x201C;

5 2 +

+ +

+â&#x20AC;&#x2030;î â&#x20AC;&#x201C; +

â&#x20AC;&#x201C;

= ďŁš â&#x2C6;&#x2019; ; 3 ďŁŽ< ďŁš 5 ; + ďŁŽ ďŁť ďŁ° 2 ďŁ° ďŁť2

48â&#x20AC;&#x160; Soit d la distance sĂŠparant Bordeaux Ă Toulouse.

2d , or t = d et t = d , donc : 1 2 t1 + t2 v1 v2

2d = 2d 2 2 = = 1 + 1 d + d d( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) 90 60 v1 v2 v1 v2 v1 v2

2d 2 2 kmâ&#x20AC;&#x2030;.â&#x20AC;&#x2030;h-1 = = 1 1 1 1 1 1 + d( + ) ( + ) 90 60 v1 v2 v1 v2

49â&#x20AC;&#x160; 2. Arose = Averte = Aorange = 0,75 . 3. A(0,5 ; 2) ; B (1 ; 1) ; C (2 ; 0,5) ; D (4 ; 0,25) ; Aâ&#x20AC;&#x2122;(0,5 ; 0) ; Bâ&#x20AC;&#x2122;(1 ; 0) ; C â&#x20AC;&#x2122;(2 ; 0) ; Dâ&#x20AC;&#x2122;(4 ; 0) . 1Ă&#x2014;3 4. Arose = 2 = 3 = 0,75 . 2 4 1 Ă&#x2014; 1,5 2 Ă&#x2014; 0,75 = 0,75 ; Aorange = = 0,75 . 2 2 5. Pour construire un trapĂ¨ze qui rĂŠpond Ă la mĂŞme conjecture Ă partir des points D et Dâ&#x20AC;&#x2122;, il faut placer deux points E et Eâ&#x20AC;&#x2122; de coordonnĂŠes respectives (8Â ; 0,125) et (8 ; 0). Averte =

+ x fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î

î&#x20AC;ś = ]â&#x20AC;&#x201C;4 ; â&#x20AC;&#x201C;2[ 2. x 7

+â&#x20AC;&#x2030;î

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;

â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x2030;î 0

â&#x20AC;&#x201C;2

+â&#x20AC;&#x2030;î 0

3. y = f( 3 ) et z = f( 5 ). On a â&#x2C6;&#x2019;2 3 5 , alors, dâ&#x20AC;&#x2122;aprĂ¨s le tableau de variations de f, on a y î&#x20AC;Ž z. 51â&#x20AC;&#x160; 1. 3 x + 1 = 1 pour tout rĂŠel x â&#x2030; 3 . xâ&#x2C6;&#x2019;3 3 x + 1 = 1ď Ž â&#x2021;&#x201D; 1 =x xâ&#x2C6;&#x2019; â&#x20AC;&#x201C;33 â&#x2021;&#x201D;x 2x ď Ž2 ď Ž xâ&#x2021;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2019;=4â&#x20AC;&#x201C;4 = xâ&#x2C6;&#x2019;2= â&#x20AC;&#x201C;2 3 x3x+ +1 = xâ&#x2C6;&#x2019;3 Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions est î&#x20AC;ś = {â&#x20AC;&#x201C;2}. 2. â&#x2C6;&#x2019; x + 4 = â&#x2C6;&#x2019;2 pour tout rĂŠel x â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019; 1 . 2x + 1 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 4 = â&#x2C6;&#x2019;2ď Žâ&#x2021;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x20AC;&#x201C;x++44==â&#x2C6;&#x2019;â&#x20AC;&#x201C;4 4 xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x20AC;&#x201C;22ď Žâ&#x2021;&#x201D; 3 x3x = =â&#x2C6;&#x2019;6â&#x20AC;&#x201C;6 ď Žâ&#x2021;&#x201D; x =xâ&#x2C6;&#x2019;=2â&#x20AC;&#x201C;2 2x + 1 Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions est î&#x20AC;ś = {â&#x20AC;&#x201C;2}. 52â&#x20AC;&#x160; 1. f (b) â&#x2C6;&#x2019; f (a) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 = a â&#x2C6;&#x2019; b = a â&#x2C6;&#x2019; b . b a ab ab ab 2. a â&#x20AC;&#x201C; b est nĂŠgatif puisque a est plus petit que b. ab est positif car a et b sont tous les deux positifs. 3. Le numĂŠrateur est nĂŠgatif et le dĂŠnominateur est positif, donc la fraction a â&#x2C6;&#x2019; b est nĂŠgative, et donc ab f(b) â&#x20AC;&#x201C; f(a) î&#x20AC;ź 0. 4. On a donc montrĂŠ que si a et b sont deux rĂŠels strictement positifs rangĂŠs dans un certain ordre, les inverses sont rangĂŠs dans lâ&#x20AC;&#x2122;ordre contraire. La fonction inverse est donc dĂŠcroissante sur ]0Â ; +î [. 5. La courbe de la fonction inverse est symĂŠtrique par rapport Ă lâ&#x20AC;&#x2122;origine du repĂ¨re. 53â&#x20AC;&#x160; 1. a. f1 = 73 x + 2 , f1 est une fonction affine donc f1 nâ&#x20AC;&#x2122;est pas une fonction homographique. b. f2 = 7 + 2 = 6 x + 7 , f2 est une fonction de la 3x 3x forme ax + b avec a = 6 ; b = 7 ; c = 3 â&#x2030; 0 ; d = 0, donc cx + d f2 est une fonction homographique. c. f3 = 7 , f3 est une fonction de la forme ax + b 3x + 2 cx + d avec a = 0 ; b = 7 ; c = 3 â&#x2030; 0 ; d = 2, donc f3 est une fonction homographique. 2 d. f4 = 5 x â&#x2C6;&#x2019; 1 + 4 = 5 x + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 1 , f4 nâ&#x20AC;&#x2122;est pas une x x fonction de la forme ax + b ce nâ&#x20AC;&#x2122;est donc pas une cx + d fonction homographique. e. f5 = 5 x â&#x2C6;&#x2019; 1 + 4 = 9 x â&#x2C6;&#x2019; 1 , f5 est une fonction de la x x ax + b forme avec a = 5 ; b = â&#x20AC;&#x201C;1 ; c = 1 â&#x2030; 0 ; d = 0 , donc cx + d f5 est une fonction homographique.

Exercices

(

)

On a S (a + b ; 0), yR = 1 + 1 et R 0 ; 1 + 1 . a b a b MR − a ; 1 + 1 − 1 , donc MR − a ; 1 . a b a b 1 1 SNb − a − b ; donc SN − a ; . b b On a bien MR = SN . + b = 0 ⇔ −3a + b = 0 60 1. f ( −3) = 0 ⇔ −3a 2x − 3 f (0) = −2 ⇔ − b = −2 ⇔ b = 6 3 5 20 Or, MH = MN + NH , donc MH = f ( x ) = + . ⎧ −3a + b = 0 ⎧ a=2 ⇔⎨ x 10 − x ⎨ b = 6 ⎩ ⎩ b=6 4. Il semble que la fonction f soit décroissante sur 2x + 6 . [0 ; 4,5] puis croissante sur l’intervalle [4,5 ;10]. Pour tout x ≠ 3 , f ( x ) = 2x − 3 2 20 3 2x + 6 10 5 9 2. f ( x ) = 4 ⇔ = 4 ⇔ 2x + 6 = 8x − 12 ⇔ −6x = −18 ⇔ x = 3 = + = +3= f 2x − 3 2 3 10 10 − 10 2 2x + 6 3 3 f (x) = 4 ⇔ = 4 ⇔ 2x + 6 = 8x − 12 ⇔ −6x = −18 ⇔ x = 3 5 × 2 × (10 − x ) + 20 × 2 × x − 9 x (10 2x − x −) 3 9 x2 − 60 x2x+ +100 − 10)2 0 5 20 9 6 = (3 x2x − = 5. + 3. f=( x ) =21x (⇔ 2x (10 − x ) 10 2x 2x (10 + x 10 − x 2 − x−) 3 = 1 ⇔ − 6x )= 2x − 3 ⇔ 6 = −3 2x + 6(3=x1−⇔ 2 + 6 = 2x − 3 ⇔ 6 = −3 , l’égalité est x )60 =1 2x 10) 5 + 20 − 9 = 5 × 2 × (10 − x ) + 20 × 2 × x − 9 x (10 − x ) = 9 xf2( − x⇔ + 100 0 2x −=3 2x (10 − x ) x 10 − x 2 2x (10 − x )fausse,2xl’équation (10 − x ) f ( x ) = 1 n’admet donc pas de solution. Graphiquement, 1 n’admet aucun antécédent par x − 9 x (10 − x ) 9 x2 − 60 x + 100 (3 x − 10)2 = 0 = 2x (10 − x ) 2x (10 − x ) la fonction f. 61 L’aire du rectangle vaut x × 1x = 1. L’aire est 20 −−99 55++ 20 00 ⇔ ff((xx))−−99 00⇔ ff( (xx) ) 99 donc constante pour tout point M. xx 10 10−−xx 22 22 22 La courbe représentative de la fonction f atteint un 62 1. x doit être supérieur ou égal à la largeur de l’allée qui passe de part et d’autre de l’espace en 9 minimum en x = 10 et ce minimum est . 2 3 herbe. Donc x  4. Même chose pour y. 55 La distance parcourue est 2d et le temps mis est 2. Dimensions du terrain en herbe : largeur : y – 2 ; 2 d d d longueur : x – 4. , et en t1 + t2. Mais t1 = et t2 = , donc v = d + d v1 v2 Donc l’aire du terrain en herbe étant égale à 1000, on v1 v2 a bien : ( x − 4)( y − 2) = 1000 . simplifiant par d, on retrouve la formule donnée. 3. On exprime y en fonction de x : 56 1. Réponse b. 2. Réponse c. 3. Réponse a. (x − 4)(y − 2) = 1000 ⇔ y − 2 = 1000 ⇔ y = 2 + 1000 x−4 x−4 1. La fonction f est définie sur  \ {2} et la fonc57 1000 1000 . tion g est définie sur  \ {3}. (x − 4)(y − 2) = 1000 ⇔ y − 2 = ⇔ y = 2+ x−4 x−4 2. h n’est pas une fonction de la forme ax + b , ce n’est 4. L’aire totale du terrain est alors : cx + d donc pas une fonction homographique. A = xy = x 1000 + 2 = 2x + 1000 x . x−4 x−4 2 2 x + 1 + 2x − 1 = ( x + 1)( x − 3) + (2x − 1)( x − 2) = x + 4 x + 3 + 2x − 5 x + 2 = 3 x2 − x + 5 5. On entre l’expression de la fonction dans la calcux −2 x +3 ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) latrice. On cherche une bonne échelle. 2 2 2 x − 2) )( x − 3) + (2x − 1)( = x + 4 x + 3 + 2x − 5 x + 2 = 3 x − x + 5 1 = 5 x2 + 20 x − 1 , f6 n’est pas une x+4 x+4 fonction de la forme ax + b ce n’est donc pas une cx + d fonction homographique. 3. C’est la fonction f3. 54 2. x varie sur l’intervalle [0 ;10] 3. MN MN == 5 et MN ××xx==55⇔  MN x NH== 20 20⇔ NH × (10 x )==20  NH (10 –− x) 10 − x f. f6 = 5 x −

(

)

(

)

( )

(

( x − 2)( x + 3)

)

( x − 2)( x + 3)

58 x2 = 2 pour x = 2 ou x = − 2 . D’après le graphique, l’abscisse du point d’intersection des courbes représentatives des fonctions f et g est positive, il s’agit donc de x = 2 . g (g (g2()2=)2=2 ) =2⇔2aa=a2=2=2a2⇔a= a=2 =2222 2 . 22 59 2. MR = SN 1−1 y − yM b a = a − b = −1 3. a. m = N = xN − xM b−a (b − a)(ab) ab b. 1 = −1 × a + b ⇔ b = 1 + 1 a b a ab L’équation de la droite (MN ) est y = − 1 x + 1 + 1 . ab a b c. 0 = − 1 xS + 1 + 1 ⇔ x = 1 + 1 × ab ⇔ a + b a b ab a b

(

)

On cherche le minimum avec les outils de la calculatrice. 4. La fonction inverse et ses applications

Exercices 1 1 3− < −2  2  − 1< − < − 1 , car la fonction inverse ⇔− 4. −3−< 22 33 est strictement décroissante sur ]–  ; 0[. Faux. 66 1. x1 = 2 pour tout réel x ≠ 0. 1 1= =2 2⇔  x x= =1 1 . xx 22 L’ensemble des solutions est  S= 1 . 2 2. 1 3 pour tout réel x  0. x Graphiquement, pour tout réel x  0, la courbe représentative de la fonction inverse est en dessous ou sur la droite d’équation y = 3 sur l’intervalle  1 ; +  . 3  1   ; + . L’ensemble des solutions est S = 3  1 3. −1 pour tout réel x ≠ 0. x 1 −1 ⇔ x + 1 0 . x x

{}

On trouve que pour une longueur de 49 mètres (arrondie au mètre), l’aire minimale du terrain est 1187 m² (arrondie au m²). La largeur du terrain est alors de 22 mètres (arrondi au mètre). 63 1. La fonction définie par l’algorithme est la fonction homographique f ( x ) = ax + b . cx + d 2. Demander d i prend la valeur –d/c afficher i

x x

64 1. C (0) = 40 euros C (2) = 2 + 40 = 42 euros C (50) = 50 + 40 = 90 euros C (10) = 10 + 40 = 50 euros 2. a. R (0) = 0 euros R (2) = 2 × 5 = 10 euros R (50) = 50 × 5 = 250 euros R (10) = 10 × 5 = 50 euros b. R ( x ) = 5 x 3. a. B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 5 x − ( x + 40) = 4 x − 40 b. B(x)  0 ⇔ 4x – 40  0 ⇔ x  10 kg L’artisan réalisera un bénéfice strictement positif s’il produit et vend plus de 10 kg de bonbons. 4. B (euros)

–1

–  –

x+1

–

x +1 x

–

0 0

–

+  + +

L’ensemble des solutions est  = ]–  ; –1[[0 ; + [. 67 1. C n’est pas de la forme ax + b . La fonction cx + d C n’est pas homographique. 2. La fonction C existe si et seulement si x ≠ 0, donc son domaine de définition est  \ {0}. 3. C (L)

1 0

x (kg)

v (km/h) 20

4. Il semble que le minium de la fonction C est atteint en x ≈ 50 km . h–1. 5. x

0 0

140

C (v) Bm ( x ) = 4 x − 40 0 x 20 4 × 15 − 40 4 2 2 ( x − 50) Bm (15) = = = ≈ 1,33 euros/kg 6. a. 0,05 = 0,05 x − 100 x + 2500 = 0,05 x − 100 + 2500 15 15 3 x x x 40 5. B  Bmm ((xx)) 33 ⇔ 44xx −− 40 33 44xx −− 40 40 33( xx − 50) 40 40 x2 − 100 x + 2500 xx 2 2500 125 0,05 = 0,05 = 0,05 x − 100 + = 0,05 x + − 5 = C (x xx x x x x ⇔ 4x – 40  3x ⇔ x  40 kg 2 ( x − 50)2 100 x + 2500 = 0,05 x − 100 + 2500 = 0,05 x + 125 − 5 = C ( x ) − 5 65 1. Faux, car = 0,05 xest− strictement 0,05la fonction inverse x x x x décroissante sur ]0 ; + [. 2 (x − 50) b. 0,05 > 0 ⇔ C ( x ) − 5 > 0 ⇔ C(x) > 5 3⇔1 1< <1 1 , car la fonction inverse est 2. 2 2< < 3  x 33 22 7. C (50) = 0,05 × 50 + 125 = 2,5 + 2,5 = 5 strictement décroissante sur ]0 ; + [. Faux. 50 3. Faux, car la fonction inverse est strictement La fonction C admet un minimum de 5 L atteint pour v = 50 km . h–1. décroissante sur ]–  ; 0[.

(

)

(

)

(

)

Exercices

68 1. Réponse b. 3. Réponse a.

2. Réponse c. 4. Réponse c. 5. Réponse c.

Variables y, x nombres réels Début Demander la valeur de x Si x est égale à 5 Afficher « x est une valeur interdite recommencez ! » Sinon y prend la valeur (2*x+3)/(5–x) Si y  2 Afficher « la valeur de x est solution de f(x)  2 » Sinon Afficher « la valeur de x n’est pas solution de f(x)  2 » Fin si Fin si Fin

L’ensemble des solutions de l’inéquation est ]1 ; 2]. AP est donc supérieure ou égale à 2 si et seulement si x est compris entre 1 et 2.

71 1. Le coefficient directeur de (AM) est :

x −1 1− 1 x = x = x −1× 1 = − 1. a( x ) = 1− x 1− x x 1− x x 2. Pour tout x positif, a( x ) est négatif. 3. La fonction a est croissante pour tout réel x  0. 4. y 1 0

5. a(x) ne peut s’annuler. Cela signifie que la droite (AM) ne sera jamais horizontale. 6. Représentation pour quelques points proches de A : y

70 1. AR = x – 1 ; AP = y – 1. 2. L’aire du rectangle est constante égale à 2 donc R × AP = ( x − 1)( y − 1) = 2 ⇔ y − 1 = 2 ⇔ y = 2 + 1 x −1 x −1 R × AP = ( x − 1)( y − 1) = 2 ⇔ y − 1 = 2 ⇔ y = 2 + 1 x −1 x −1 3. a. AP = y − 1 = 2 . x −1 b. AP > 2 ⇔ y − 1> 2 ⇔ 2 > 2 x −1 2 2 Or : >2 ⇔ − 2 > 0 ⇔ 2 − 2x + 2 > 0 ⇔ −2x + 4 > 0 x −1 x −1 x −1 x −1 2 > 2 ⇔ 2 − 2 > 0 ⇔ 2 − 2x + 2 > 0 ⇔ −2x + 4 > 0 x −1 x −1 x −1 x −1 c. On fait un tableau de signes. x signe de –2x + 4 signe de x–1 signe de −2x + 4 x −1

–  + – –

+ 

2 +

+ +

– +

–

M A

a. M doit être différent de A, sinon la droite (AM) n’est pas définie. b. (AM) devient tangente à la courbe lorsque M devient très proche de A.

4. La fonction inverse et ses applications

Exercices Accompagnement personnalisé 72 1.

75 1.

x x–4

–3

–  –

2x + 6

–

x−4 2x + 6

– 0

+ 

4 0

+ –

+ +

x−4 0 2x + 6 2. x x+2

–2

–  –

3x – 3

–

x +2 3x − 3

+ –

+ 

–

+ 0

+ +

x +2 0 3x − 3

73 2. Le point M appartient à la droite (AB) et ABCDEFGH est un cube. Les droites (AB) et (HG) sont donc parallèles et définissent un plan. Les droites (HM) et (GB) sont coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes en un point P. 3. Les droites (HG) et (BM) sont parallèles et les points B, P et G d’une part, et M,P et H d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après le théorème de Thalès : BP = BM . PG HG

2. La parabole est l’intersection d’un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle avec un autre plan tangent à la surface du cône. Une ellipse est une courbe plane fermée obtenue par l’intersection d’un cône ou d’un cylindre droit avec un plan, à condition que celui-ci coupe l’axe de rotation du cône ou du cylindre.

76 I. 1. On remplace les valeurs :

( )

3 5 32 − 2 4 9

45 9 = − 4 = 9 − 5 =1, 4 9 4 4

donc B appartient à . 2. On remplace les valeurs : 12 − 22 = 1 − 4 = 5 ≠ 1 , 4 9 4 9 36 donc C n’appartient pas à . 3. Courbe tracée avec un logiciel de géométrie :

BP = x( 2 − BP) ⇔ BP (1+ x ) = 2x ⇔ BP = 2x 1 x +1 = x( 2 − BP) ⇔ BP (1+ x ) = 2x ⇔ BP = 2x 1 x +1 La fonction qui, à x, associe la longueur BP, est une fonction homographique. 4. Si x = 0,2, BP ≈ 0,24. 5. y

On obtient une hyperbole. 4. On peut prendre les points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

1,0

0,2 0

74 1. Il faudrait que l’arête soit d’une longueur a tel que a3 = 2. 2. Si on résout f(x) = g(x) pour x  0, cela revient à résoudre x3 = 2. Avec la calculatrice, on trace les courbes de f et g et on obtient un encadrement de a : 1,2  a  1,3. 90

E(2 ; 0) et F(-2 ; 0). II. ’ d’équation 2x2 − y2 + 3 x − y + 1 = 0.

Exercices

1. On remplace dans l’équation : 2 × 12 − 22 + 3 × 1 − 2 + 1 = 2 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0, donc R appartient à ’. 2 × 12 − ( −3)2 + 3 × 1 + 3 + 1 = 2 − 9 + 3 + 3 + 1 = 0 , donc S appartient à ’. 2. On remplace dans l’équation : 2 × 02 − 12 + 3 × 0 − 1 + 1 = 0 − 1 + 0 − 1 + 1 = −1 ≠ 0 , donc T n’appartient pas à ’. 3. On obtient la courbe ci-après.

C’est une hyperbole.

No problem 77 The function f defined on the set ]–  ; 0[<]0 ; + [

by f ( x ) = 1 is called inverse function or hyperbolic x function. The number 0 has no inverse. That’s why f is undefined for x = 0. This function is decreasing on ]–  ; 0[ and on 0 ; + [. Its curve is an hyperbola. The graph of f ( x ) = 1 has x two axes of symmetry: the lines y = x and y = –x. About these two lines, one half of the hyperbola is a mirror image of the other half. 78 1. y

1 0

x×y =4⇔y = 4 x 80 1. Choose a real number Add 1 Compute the inverse of the result Multiply by 2 Substract 3

2 − 3 = −3,5 ; 2 − 3 = 53 −5 + 1 0,1 + 1 11 2 2 3. −3=2⇔ = 5 ⇔ 2 = 5x + 5 ⇔ x = − 3 x +1 x +1 5 2 2 4. − 3 = x ⇔ 2 = ( x + 3)( x + 1) ⇔ x + 4x + 3 = 2 ⇔ ( x + 2)2 = 3 x +1

4 + 2 = 0 ⇔ 4 = −2 ⇔ x = 4 = −2 x x −2 The x-intercept is –2. There is no y-intercept because the function2is unde− 3 = x ⇔ 2 = ( x + 3)( x + 1) ⇔ x2 + 4x + 3 = 2 ⇔ ( x + 2)2 = 3 x +1 fined for x = 0. 2. Find the intersection between the straight line y = 2 x = 3 − 2 or x = − 3 − 2 and the curve means solve the following equation y +1 y = 2 − 3 ⇔ y + 3 = 2 ⇔ x ( y + 3) + y + 3 = 2 ⇔ x = − 4 + 2 = 2 ⇔ 4 = 0 which has no solution. x + 1 x + 1 y +3 x x y +1 2 2 8 4 y= − 3 ⇔ y + 3 = ⇔ x ( y + 3) + y + 3 = 2 ⇔ x = − 79 1. 1,5 × y = 4 ⇔ y = 1,5 = 3 x +1 x +1 y +3 4. La fonction inverse et ses applications

Exercices 81 1. Graphs: y

A 1 0

82 1. A parabola is as a conic section, created from the intersection of a right circular conical surface and a plane which is parallel to another plane which is tangential to the conical surface. The hyperbola is the conic section, formed by the intersection of a plane and cone when the plane makes greater angle with the base than the side of the cone makes.

2. Let A( xA ; y A ) be the intersection of the curves. We can write down:  y A = x2 A   2 .  y A = xA  So we can write the equation x2A = 2 . This equation xA is equivalent to x3A = 2 . 3. Using Geogebra, the approximate value of xA is 1.26 to 2 d.p.

Circle

Ellipse

Parabola

Hyperbola

A cone is a 3-dimensional solid object that has a circular base and one vertex. 2. a. Jules Verne was a French novelist, poet, best known for his adventure novels and his profound influence on the literary genre of science fiction. b. Round the moon is a science fiction book as no one landed on the moon in Jules Verne time period. c. Parabolic ok, hyperbolic I don’t think so.

Traduction des énoncés 77 Texte lacunaire

79 Hyperbole rectangulaire

Complétez les phrases suivantes avec les mots suivants : symétrie ; indéfini ; ensemble ; décroissant ; hyperbole ; fonction inverse.

L’unité est le centimètre. Le graphique suivant montre trois rectangles dont l’aire est égale à 4 cm².

La fonction inverse f définie sur l’ …… ]− ` ; 0[ < ]0 ; + `[ par f (x) = 1 est appelée … ou fonction hyperbolique. x Le nombre 0 n’a pas d’inverse. C’est pour cela que f est …… pour x = 0. Cette fonction est …. sur ]− ` ; 0[ et sur ]0 ; + `[. Sa courbe est une …. Le graphe de f (x) = 1 a deux axes x de ….. : les droites y = x et y = – x. En ce qui concerne ces droites, la moitié de l’hyperbole est comme le reflet de l’autre moitié de l’hyperbole.

78 Un graphique et une équation 1. Tracez la courbe représentative de la fonction f définie par f (x) = 4 + 2 pour tout nombre x différent de 0. x 2. Calculez l’intersection avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. 3. La droite d’équation y = 2 est appelée une asymptote horizontale. Expliquez pourquoi la courbe représentative de la fonction f ne peut couper l’asymptote. 92

y M3 M2

1 0

1,5

1. Quelles sont les coordonnées du point M3 ? 2. Tracez cinq autres rectangles dont l’aire est égale à 4 cm2. 3. Soit M (x ; y) un point tel que le rectangle OPMQ a une aire égale à 4 cm², avec P sur l’axe des abscisses et Q sur l’axe des ordonnées. Donnez l’expression de y en fonction de x.

80 Un programme Soit x, différent de –1, et y deux nombres réels tels que :

2 − 3. x +1 1. Décrivez le programme qui permet de calculer y à partir de x. Répondez à l’oral. 2. Appliquez ce programme avec x = 5 et x = 0,1. y=

Exercices

3. Vous avez trouvé 2 au résultat du programme. De quel nombre êtes-vous partis ? 4. Est-il possible de trouver un résultat égal au nombre utilisé en début d’exercice ? Calculez alors x en fonction de y.

81 Duplication du cube La duplication du cube est l’un des plus célèbres problèmes des mathématiques. Elle consiste à construire un cube dont le volume est égal au double de celui d’un cube donné. Soit x la longueur du côté d’un cube. Son volume est x3. Soit y la longueur du côté du cube dont le volume est deux fois plus important. Son volume est y3. Le problème consiste à résoudre y 3 = 2x 3. 1. Tracez les graphiques des fonctions f (x) = x 2 et g (x) = 2 sachant que x est la longueur de l’arête du cube. x 2. Démontrez que l’intersection des deux courbes permet de résoudre le problème. 3. En utilisant votre graphique, donnez une valeur approchée de la solution du problème.

82 Voyage autour de la Lune Le roman Autour de la Lune fut écrit par Jules Verne. Dans cette célèbre fiction, l’auteur imagine un voyage dans l’espace à destination de la Lune. L’histoire et les discussions entre les divers personnages reflètent la tentative de Jules Verne quant à la résolution de cette question scientifique. 1. Expliquez les définitions de l’hyperbole et de la parabole données par Barbicane. 2. Pouvez-vous tracer des sections coniques : qu’est-ce qu’un cône ? Comment nomme-t-on une droite qui est parallèle à l’un des côtés du cône ? 3. Questions Internet a. Qui est Jules Verne ? b. À l’aide de l’introduction, pouvez-vous déduire le genre auquel appartient Autour de la Lune ? Justifiez. c. Les hypothèses émises par Jules Verne étaient-elles toutes fausses ?

4. La fonction inverse et ses applications

Les probabilités

Présentation du chapitre

Ce chapitre propose une formalisation de la notion de probabilités que les élèves ont découverte en classe de Troisième. Il s’agit de passer de notions intuitives à la présentation d’expériences aléatoires, de modèles de probabilité, de vocabulaire et de quelques propriétés qui s’y réfèrent. • Le vocabulaire est nouveau : expérience aléatoire, évènements élémentaires, univers, modèle de probabilité. Il est important de faire travailler les élèves sur ces nouvelles expressions. • L’enjeu est de montrer des modélisations en probabilités : le modèle équiréparti et le modèle posé lorsqu’on réalise un très grand nombre d’expériences aléatoires. Il est ici primordial d’associer l’outil informatique pour faire comprendre la notion de stabilisation de la fréquence. • La notion de probabilité d’un évènement est formalisée et approfondie avec l’évènement contraire, l’intersection et la réunion de deux évènements et leurs probabilités respectives. • L’utilisation d’arbres pondérés est très largement utilisée car elle s’avère être un outil très maniable et explicatif. Le chapitre est source de nombreuses utilisations de tableur, d’algorithmes et de logiciels traceurs de diagrammes ou de courbes.

5. Les probabilités

Pour construire le cours Situation A Approcher la probabilité de tomber « à plat » en MATHÉMATIQUES Objectifs : Constater la stabilisation de la fréquence. Proposer un modèle de probabilité à partir de fréquences observées. 1. Nombre de lancers cumulés Fréquence de 0 (arrondi à 10–3)

100

150

200

12 = 0,24 50

31 = 0,31 100

47 ≈ 0,313 150

64 = 0,32 200

Le professeur a l’occasion, au moment de compléter les cellules, de développer ou de rappeler des capacités de base liées à l’utilisation d’un tableur : entrer une formule avec « = », compter le nombre d’items dans une plage donnée avec « NB.SI(plage ; item) »…

Pour construire le cours

5. Dans la question 2., on peut constater un début de stabilisation de la fréquence autour d’une valeur à peu près égale à 0,31. Dans la question 4., cette tendance à la stabilisation se confirme, mais plutôt autour d’une valeur légèrement supérieure de 0,33.

Choisir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire d’univers Ω, c’est associer à chaque issue un nombre (positif) qui représente au mieux les chances de réalisation de cette issue. Ce nombre est appelé probabilité de l’issue correspondante. Comme Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles, la somme de leurs probabilités doit valoir 1. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence de chaque issue a tendance à se stabiliser autour d’une valeur (loi des grands nombres). On prend alors cette valeur comme probabilité de l’issue. On peut expliquer que, par exemple dans le cas du lancer d’un dé équilibré, pour des raisons de « symétrie », chaque issue a autant de chances de se produire qu’une autre. On parle alors d’équiprobabilité. Ainsi, si une expérience comporte 6 issues équiprobables, la probabilité de chacune d’entre elle qui sera choisie comme modèle vaudra 1/6. Autre exemple : On fait tourner la roue présentée ci–dessous. Les issues possibles sont « obtenir rouge » (noté R) et « obtenir bleu » (noté B). Étant donné qu’un quart du contour est bleu et que les trois autres quarts sont rouges, on choisit le modèle suivant :

Issue Probabilité

0,75

0,25

5. Les probabilités

Pour construire le cours Situation B Découvrir les probabilités avec un fichier clients en ÉCONOMIE Objectifs : Définir l’intersection et la réunion de deux évènements et l’évènement contraire. Découvrir la formule p(A < B) = p(A) + p(B) – p(A  B). Les élèves peuvent être laissés en autonomie pour mener l’activité jusqu’à son terme, car ils ont déjà utilisé les probabilités au collège. Il faut juste rajouter un peu de formalisme proposé par l’énoncé. 1. p (M) = 87 = 0,435 . 200 113 2. a. p M = = 0,565 . 200

( )

b. p(M) + p M = 1. Ω

Par définition de A , l’ensemble constitué des issues de A et des issues de A est l’univers Ω. Ainsi, p (A ) + p (A ) = p (Ω ) , donc p (A ) + p (A ) = 1 ou encore p (A ) = 1 − p (A ) .

3. a. Il y a 11 personnes célibataires sans enfant habitant une maison, donc p = 11 = 0,055 . 200 30 = 0,15. b. D’après les notations, p(E  M) = 71 = 0,355 et p(C  M) = 200 200 La probabilité pour que la fiche choisie soit celle d’une personne en couple avec enfants habitant une maison est égale à 0,355. La probabilité pour que la fiche choisie soit celle d’une personne en couple sans enfant n’habitant pas une maison est égale à 0,15.

Soient A et B deux évènements d’un univers Ω. On appelle A  B (se lit «A inter B») l’évènement constitué des issues qui sont à la fois dans A et dans B.

Ω A

B A B

4. a. La probabilité pour que la fiche choisie soit celle d’une personne habitant une maison ou ayant des enfants est égale à 11 + 5 + 71 + 26 = 113 = 0,565 . 200 200

On appelle A  B (se lit «A union B») l’évènement constitué des issues qui sont dans A ou dans B (c’est–à–dire, dans A dans B, mais éventuellement dans les deux).

Ω A

B A B

b. On peut ajouter l’effectif des personnes habitant une maison et celui ayant des enfants, mais dans ce cas on a compté deux fois les 71 personnes qui ont ces deux caractéristiques. On peut donc écrire : p(M < E) = p(M) + p(E) − p(M > E) ⇔ p(M < E) = 87 + 97 − 71 ⇔ p(M < E) = 113 = 0,565 . 200 200 200 200

Soient A et B deux évènements d’un univers Ω. On a alors p (A  B) = p (A) + p (B) – p (A  B). 98

Pour construire le cours

Situation C Calculer les probabilités sur le chemin de l’école en VIE QUOTIDIENNE Objectif : Utiliser un arbre et appréhender les règles de calcul qui s’y rattachent. 1. On appelle A l’évènement « ses parents amènent à la gare » et T l’évènement « il prend son train ». On peut alors représenter la situation par un arbre, en utilisant les évènements contraires de A et de T : Pour faire comprendre aux élèves les règles de calcul avec un arbre pondéré, on peut revenir à un arbre de choix avec : – • deux branches qui mènent à A et trois branches à A ; – • de chacune de ces branches partent deux ou une branches pour T et T. – – On a ainsi quinze branches dont quatre mènent à (A et T), deux à (A et T), six à (A et T) – – et trois à (A et T), ce qui explique la multiplication des probabilités rencontrées sur un chemin donné : 4 , 2 , 6 et 3 . 15 15 15 15

2 5

3 5

2 3 A

1 3 2 3

1 3

T T

La somme de ces quatre probabilités étant égale à 1, on peut expliquer que pour avoir la probabilité de l’évènement T, on peut faire la somme des probabilités « des chemins » qui mènent à l’évènement T. 2. L’adolescent ne marche pas quand il prend son train. On cherche donc la probabilité de l’évènement T. D’après ce qui précède, on a p(T) = 2 × 2 + 3 × 2 = 10 = 2 . 5 3 5 3 15 3

Règles à connaître pour construire et/ou compléter un arbre pondéré : • la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut 1 ; • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ; • la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins menant à cet évènement.

5. Les probabilités

Diaporamas Les probabilités

Diaporama calcul mental

Les probabilités

Diaporama calcul mental

Il y a 30 % de demi–pensionnaires dans le lycée et, parmi Le résultat de 2 × 1 × 3 est : 3 2 4 a. 1 4 5 b. 9 6 c. 24 3 456 d. 24

eux, 50 % sont des filles. Le pourcentage de filles demi–pensionnaires dans le lycée est de : a. 50% b.1,5% c. 15% d. 20% © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les probabilités

Le résultat de

Diaporama calcul mental

Les probabilités

Diaporama calcul mental

On lance 2 500 fois une pièce de monnaie truquée et on obtient 732 fois « Face ». La fréquence de « Face » vaut environ :

2× 1+5×1 est : 3 8 6 2 7 a. 24 7 b. 12 1 c. 2 11 d. 24

a. 0,03 b. 3 c. 0,3 d. 0,7

Les probabilités

Diaporama calcul mental

Le résultat de 1 − 2 3 −5 a. 3 1 b. 27 3 c. 9 19 d. 27

Diaporama calcul mental

( )

Le résultat de 1 − 1 est : 3 8 a. 27 26 b. 27 6 c. 9 8 d. 9 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

100

Les probabilités

()

900 − 100 est : 800 − 100 900 a. 800 700 b. 800 8 c. 7 1 d. 8

Le résultat de

Les probabilités

est :

Diaporamas

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

Dans un groupe, il y a 63,5 % de filles.

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

25 % de 50 %, c’est équivalent à :

Quel est le pourcentage de garçons ?

a. la moitié de

a. 26,5 %

1 4

b. 12,5 %

b. 27,5 %

c. 36,5 %

1×1 4 2

d. 0,125 %

d. 37,5 % © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

Indiquer le nombre qui ne pouvant pas être considéré comme une probabilité.

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

Dans cet arbre, pour obtenir p(N), on doit faire : 2×3 3 5 1 3 b. × 3 10 1 3 +2×3 c. × 3 10 3 5 3 +3 d. 10 5 a.

17 13 13 b. 17 a.

c. π − 3 d. 2 − 1 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

On tire un nombre entier au hasard entre 5 et 21.

On lance un dé cubique équilibré.

Quelle est la probabilité qu’il soit impair ?

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 ?

1 a. 2 9 b. 17 9 c. 16

3 6 2 b. 3 2 c. 6 4 d. 6 a.

d. on ne peut pas répondre © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les probabilités

Diaporama QCM chrono

Hommes

Femmes

Adultes 18,1 % 27,3 % Enfants 31,7 % 22,9 % Quel est le pourcentage d’enfants dans ce groupe ? a. 53,6 % b. 54,6 % c. 49,8 % d. 45,4 % © Hachette Livre – Mathématiques 2de

5. Les probabilités

101

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. À ce jeu, la probabilité de gagner est 27 . 50 b. En France, la probabilité de rencontrer un droitier est 0,88. c. Aux USA, la probabilité d’être dans une famille qui ne parle pas anglais en famille est 0,3. d. Parmi les étudiants, la probabilité de ne pas trouver de logement est 0,6. e. Dans la classe de mon cousin, la probabilité d'être un garçon est 1 . 3 Gamme 2 Parmi les 10 boules, 7 sont vertes, donc la probabilité vaut 0,7. Gamme 3 a. 20 × 150 = 30, donc 30 personnes ont 100

peur de l’avion.

b. 30 % des Français ont les yeux bleus.

c. 0,000 001 = 0,0001 soit 0,0001 %. 100

d. La probabilité que la machine se dérègle après trois heures est 0,15. Gamme 4 La probabilité d’obtenir deux « Pile » . Gamme 5 La somme des probabilités est égale à 1, donc celle manquante est 1 . 20

Gamme 6 On compte en tout 158 personnes. a. La probabilité d'être un homme est 46 . 158

b. On trouve 34 .

158 Gamme 7 On multiplie les probabilités « sur un chemin » de l’arbre, donc la probabilité cherchée vaut 1 . 12

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 2. 2. Capacités 1 et 4. 3. Capacités 1 et 4. 2 1.

1 3

0,6

2 3 1 3

0,4

6 Un arbre donne :

p(15, 15, 15) = 7 × 6 × 5 = 7 .

7 1. p (R  C) = p (R) + p (C) – p (R  C) = 0,26 + 0,38 – 0,12 = 0,52 – 2. p (R  C) = 1 – 0,52 = 0,48.

N 2 3

2. p (B, B) = 0,6 × 1 = 0,2. 3

3. p (B, N) + p (N, B) = 0,6 × 1 + 0,4 × 2 = 7 . 3

calcul des fréquences. Issue 1 2 3 4 5 6 Fréquence 0,1162 0,19 0,1262 0,217 0,0837 0,2662

Le nombre élevé de répétitions pousse à considérer ce tableau comme loi de probabilité. 2. p (« Pair ») = 0,19 + 0,2175 + 0,26625 = 0,67375. 4

102

11 10

3 1. On a lancé le dé 800 fois, ce qui nous amène au

a b 1 1 2 3 4 5 6 7 8

Sur les 64 tirages possibles, on compte 36 issues favorables. On obtient une probabilité égale à 36 ou 64 encore 9 . 16 5 Si p désigne la probabilité d’obtenir « Face », alors 3p est celle de « Pile ». Ainsi p + 3p = 1, d’où p = 0,25.

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

On s’aperçoit que le « 5 » est le plus fréquent. 9 1. p (« rouge ») = 0,1 + 0,3 = 0,4. 2. p (« 2 ») = 0,3 + 0,1 + 0,2 = 0,6. 3. p (« bleu » et « 2 ») = 0,2. 4. p (« vert » et « 1 ») = 0,3. 10

Face 1 2p

Face 2 2p

Tranche p

Comme 2p + 2p + p = 1, on a p = 0,2. p (« une face ») = 0,2 + 0,2 = 0,4.

Exercices

Corrigés des exercices 1 1. Ω = {lundi ; mardi ; mercredi ; jeudi ; vendredi ; dimanche} 2. A = {mardi ; mercredi ; vendredi ; samedi ; dimanche} 2 Issue

Rouge

Verte

Noire

Probabilité

3 = 1 12 4

5 12

4 = 1 12 3

17 h 30

17 h 35

17 h 40

5 = 1 500 100

10 = 1 500 50

240 = 12 500 25

17 h 45

17 h 50

17 h 55

110 = 11 500 50

80 = 4 500 25

55 = 11 500 100

3 1. Issue Probabilité

8 1. p ( V  P) = p ( V ) + p (P) − p ( V  P) = 4 + 13 − 1 = 16 = 4 52 52 52 52 13 2. Dans un jeu de 52 cartes, il y a quatre as et treize cœurs (dont l’as de cœur). Il y a donc 36 cartes qui ne sont ni des as, ni des cœurs. p = 36 = 9 . 52 13 9 On doit avoir p = p(1) = p(3) = p(5) = p(7) = p(9). On doit aussi avoir 2p = p(0) = p(2) = p(4) = p(6) = p(8). Et par ailleurs, pour respecter la dernière condition, on a 5 p + 10 p = 1 soit p = 1 . 15 On en déduit le modèle de probabilité suivant. Issue

Issue Probabilité

2. p(« 17 h 50 ») = 4 . 25 3. p(« + ou – 5 min ») = 1 + 12 + 11 = 36 = 18 . 50 25 50 50 25 4 On suppose le dé équilibré, la situation est équiprobable donc p(« 3, 6, 9, 12 ») = – 4 – 1 . 12 3 5 1. p(F  Mi) = 0,16. 2. p(Ma  F) = p(Ma) + p(F) – p(F  Ma) = 0,69 + 0,49 – 0,33 = 0,85. + 30 = 11 6 1. p(F) = 80 1000 100 2. p (F  S) = p (F) + p (S) − p (F  S) = 110 + 90 + 30 − 30 1000 1000 1000 = 200 = 2 . 1000 10

7 1. Faux, pour que la fréquence de « Face » soit égale à 0,5, le nombre de lancers doit être pair. 2. p (P  F) = 1 × 3 = 1 , la proposition est vraie. 2 6 4 3. 4 × 3 × 2 × 1 = 24, la proposition est vraie. 4. Faux, il y a une combinaison permettant d’obtenir la somme 2 (1 + 1), alors qu’il y a trois combinaisons permettant d’obtenir la somme 4 (1 + 3 ; 2 + 2 ; 3 + 1). 5. p(M  N) = p(M) + p(N) – p(M  N) ⇔ p(M  N) = –p(M  N) + p(M) + p(N) = –0,41 + 0,55 + 0,38 = 0,52. La proposition est fausse. 6. p = 1 × 1 = 1 , la proposition est fausse. 2 2 4 7. p = 4 , la proposition est fausse. 5 8. Il y a six façons différentes d’ordonner les trois lettres O, L et E, Léo a donc une probabilité égale à 1 d’écrire le mot Olé. La proposition est fausse. 6 9. La proposition est vraie. 10. 1 2 × random() + 1 3 , la proposition est vraie.

Probabilité Issue Probabilité

2 15

1 15

2 15

1 15

2 15

1 15

2 15

1 15

2 15

1 15

10 Tous les nombres compris entre 0 et 1 sont susceptibles d’être une probabilité associée à un événement. Les bonnes réponses sont : 7 1 − 1 ; 2 ; 3 − 1 ; 10−20 . 3 2 6 11 1. p (H) = 9 = 23 . 2. p (F  G) = 2 . 9 3. p (F  K) = 0 . 4. p (F  H) = 7 . 9 12 Les phrases 1, 2 et 4 utilisent des probabilités.

()

13 1. Vrai, car p(A) + p( A ) = 1. 2. Faux, car p ( A  B) = p ( A ) + p (B) − p ( A  B). 3. Faux, car p ( A  B) = p ( A ) + p (B) − p ( A  B). 4. Faux, car p(A) = 0,6 et p(B) = 0,8.

14 1. La situation n° 1 correspond au modèle C. 2. La situation n° 2 correspond au modèle A. 3. La situation n° 3 correspond au modèle B. 15 a. → p3

b. → p5 e. → p2

d. → p1

c. → p4

16 Nombre de lancers

100

1 000

Nombre de « Pile »

507

0,4

0,54

Fréquence à 5 décimales

10 000 100 000 4 984

50 028

0,507 0,4984 0,50028

Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence se stabilise autour de la probabilité de l’issue. 5. Les probabilités

103

Exercices b. « La neige n’est pas verglacée » c. « La piste est ouverte ou verglacée (ou les deux) » d. « La piste est fermée et la neige n’est pas verglacée. »

17 1. Issue Probabilité

0,6

0,4

2. L’instruction = ENT(ALEA() + 0,4) permet d’afficher un 1 dans 40 % des cas et 0 dans 60 % des cas environ si on répète l’expérience un grand nombre de fois.

(

)

1. p (Blanche) = 1− p Blanche = 1− 0,3 = 0,7 . 2. p (Bleue) = 1 − p ( Verte) − p (Blanche) = 1 − 0,2 − 0,7 = 0,1.

2. p (B) = 7 = 0,7. 10

20 1. Probabilité

2 n 1 devient proche de 1 lorsque n se rapproche 1− 2 de + . Avec la calculatrice on a : n pour n = 3, 1 − 1 = 0,875 ; 2 n 1 pour n = 4, 1 − = 0,9375 . 2 La probabilité d’avoir au moins une fois « Face » dépasse 0,9 à partir de 4 lancers.

()

() ()

4 = 0,4 . 19 1. p ( A) = 10

Nombre de sonneries

()

n 29 0 21 1, donc 1 devient proche de 0 et

5

0,05

0,2

0,3

0,2

0,1

0,15

p( 5) = 1 –0,05 – 0,2 – 0,3 – 0,2 – 0,1 = 0,15 2. p( 4) = p(1) + p(2) + p(3) = 0,15 + 0,2 + 0,3 = 0,55 = 5 . 21 1. p ( A) = 150 360 12 2. p (B) = 210 = 7 . 360 12 3. p (C) = 75 = 5 . 360 24 22 p (cœur ) = 13 ; p (as) = 4 ; p ( figure) = 12 ; 53 53 53 1 p ( joker ) = 53 p(joker)  p(as)  p(figure)  p(coeur)

30 1. Le sac d’Aline ne contient que des billes rouges, c’est donc elle, avec une probabilité de 1, qui a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge. 2. Le sac de Bernard contient 10 billes rouges et 30 billes noires, celui d’Aline contient 5 billes rouges soit deux fois moins que dans le sac de Bernard. Pour qu’ils aient la même probabilité de tirer une bille rouge il faut que le sac d’Aline contienne deux fois moins de billes noires que celui de Bernard, soit 15 billes noires. 45 = 0,9. 31 1. p (D) = 50 2. p (F) = 20 = 0,4. 50 0,6 3. Femme 0,1

0,9

Gaucher

3. A  B = {ter ; ver}. 4. A  B = {ter ; sur ; ver ; bar ; pur ; net} . 5. A = {pas ; bis ; net} .

p(C1  C2) = p(C1) + p(C2) – p(C1  C2) = 0,76 + 0,59 – 0,47 = 0,88.

25 1. a. Avec les évènements A et B, la probabilité

de gagner 5 euros s’écrit p(A  B). b. p ( A  B) = 2 = 1 . 30 15 2. a. Avec les évènements A et B, la probabilité de gagner 2 euros s’écrit p(A<B). b. p ( A  B) = 10 = 1. 30 3 26 p(A > B) = p(A) + p(B) – p(A  B) = 0,73 + 0,54 – 1 = 0,27.

27 a. V  A b. V  A c. V d. A

28 a. O 104

Homme

17 45

Femme

Droitier 28 45

23 1. A = {ter ; sur ; ver ; bar ; pur}. 2. B = {ter ; ver ; net} .

0,4

Homme

4. p (D  F) = 0,9 × 17 = 0,34 . 45 32 1. p ( A  B) = 41 × 23 = 61, réponse c. 1 3 1 13 2. p (B ) = p ( A  B ) + p A  B = + × = , 6 4 2 24 réponse d. 13 11 = 3. p B = 1− p (B ) = 1− , réponse c. 24 24 4. p ( A  B) = p ( A ) + p (B) − p ( A  B) = 1 + 13 − 1 = 15 = 5 , réponse a. 4 24 6 24 8 1. Par lecture du diagramme, 34 % des conseil33 lers municipaux sont des femmes, donc p = 0,34. 2. De même, on obtient une probabilité égale à 0,21. 3. On obtient ici une probabilité de 0,67.

(

)

( )

34 1. La zone mauve compte les 20 élèves qui ont choisi les deux options. La zone bleue compte les 60 élèves qui ont choisi l’option 1 mais pas la 2. La zone verte compte les 160 élèves qui ont choisi l’option 2 mais pas la 1. On peut signaler que tous les élèves ont choisi au moins une option.

Exercices 39 B

2. a. p(« option 1 ») = 80 = 1 . 240 3 b. p(« deux options ») = 20 = 1 . 240 12 13 . 1. p A = ( ) 35 49 14 . 2. p (B) = 49

B+N

⇔ B = 0,575N = 0,575 × 17 ⇔ B = 23. 1− 0,575 0,425 L’urne contient 23 boules blanches.

40 1. Lors du premier tirage, il y a 7 chocolats au lait parmi 11 chocolats dans le ballotin. Lorsqu’un chocolat au lait a été tiré, il n’y a plus que 6 chocolats au lait parmi 10 chocolats dans le ballotin. 2. 6

3. p (C) = 2 . 49 4. p (D) = 26 . 49

( )

(

)

155 69 = 500 100

3. p S  A = 1− p (S  A )

37 On construit un arbre dont les premières branches indique le choix de l’urne puis les secondes branches donnent la répartition des billets. Il conduit au calcul suivant : p = 7 × 1 + 2 × 2 + 1 × 1 = 11 . 10 10 10 5 10 3 60 38 1. = ENT(6*ALEA())+1 : la formule permet de simuler aléatoirement le résultat du lancer d’un dé cubique. = MAX(B13 ;C13) : la formule permet de conserver le plus grand des deux chiffres indiqués par les dés. = NB.SI($D$13:$D$1012;E13) : la formule permet de dénombrer, sur 1 000 lancers, le nombre de fois ou le plus grand des deux chiffres indiqués par les dés est respectivement 1,2, 3, 4, 5 et 6. = F13/1000 : la formule permet de calculer la fréquence de chacun des 6 résultats possibles. 2. f1 < f2 < f3 < f4 < f5 < f6. Il semble que les fréquences du plus grand des deux chiffres indiqués par les dés sont rangées dans l’ordre croissant. 3. 1

Dé 1

4 10

Noir

Noir 3 10

155 235 105 43 . = 1− − + = 500 500 500 100

Dé 2

Au lait

7 10

4 11

= 1− p (S ) − p ( A ) + p (S  A )

10 Au lait

7 11

36 1. Un diagramme de Venn convient ici. 2. p S = 1− p ( S ) = 1−

= 0,575 ⇔ B = 0,575(B + N )

p (1) = 1 < p (2) = 3 < p (3) = 5 < p (4) = 7 36 36 36 36 9 < p (5) = < p (6) = 11 . 36 36

Au lait Noir

3. p = 7 × 4 + 4 × 7 = 28 . 11 10 11 10 55 41 Dé 2

Dé 1

64 96

96 128

Il y a 10 issues favorables pour 36 issues au total. La probabilité cherchée est donc 10 = 5 . 36 18 1. On construit un arbre dont les premières 42 branches indiquent le choix du premier jeton, puis les secondes branches donnent le choix du 2e jeton. Chaque branche de l’arbre est pondérée par le même nombre 0,25 (tirage avec remise). On obtient pour l’univers Ω = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, …, DC, DD}, soit 16 issues équiprobables au total. 2. p(BD) = 1 . 16 3. p(AC, BC, CC, DC) = 4 = 1 . 16 4 4. p(« pas de A ») = 9 16 43 1. La somme des branches partant d’un nœud vaut 1, donc on complète facilement l’arbre. 2. p(S) = p (M  S ) + p M  S = 1 × 3 + 2 × 1 = 7 . 3 4 3 2 12 44 1. L’arbre obtenu présente trois étapes, la première propose trois choix et les deux suivantes deux choix, ce qui donne un univers à 3 × 2 × 2 = 12 issues équiprobables. 2. Le mot CIO a une probabilité de 1 . 12 Un diagramme de Venn donne : 45 a. p(N < V) = 1 – 13 = 15 . 28 28

(

)

5. Les probabilités

105

Exercices b. p(N < V) = 7 . 28 46 p = 18 × 1 = 1 . 36 2 4 47 1. a. = ENT(2*ALEA()) , la formule permet de simuler aléatoirement le résultat du lancer d’une pièce équilibrée : elle renvoie un 0 ou un 1 selon que 2*ALEA() soit plus petit ou plus grand que 1. b. Celle instruction permet de compter le nombre de « Face » lors des trois tirages. Ici, on a obtenu PFF soit deux « Face ». c. Travail sur tableur. d. Dans les cellules E2 jusqu’à E1001, on a le nombre de « Face » pour 1 000 tirages de trois pièces. On y compte le nombre de fois où on rencontre aucune fois « Face ». La division par 1 000 donne la fréquence d’apparition expérimentale de l’événement « Pas de « Face » pendant trois tirages ». e. Tableur. 2. Ne pas obtenir de « Face » sur 3 lancers, cela revient à s’arrêter à chaque fois que Face apparaît. L’événement « Face n’apparaît pas » peut s’écrire aussi « Pile arrive trois fois » d’ou une probabilité de 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125 qu’il faut comparer à la fréquence expérimentale obtenue avec le tableur.

48 1. Une simulation sur tableur permet de conjecturer que p(6)  p(9). 2. Dé 2

Dé 1

p (6) = 5 p (9) = 4 . 36 36 π + 2 − π = 2 m2. = A 49 grisée 2 2 Acarré = 4 m2. Agrisée 2 p= = = 0,5 . Acarré 4

(

)

50 1. C1 C2 C3 Total

Enseignants

Élèves

Total

130

185

250

2. a. p = 185 = 0,74 . 250 32 b. p = = 0,128 . 250 3. p = 35 = 7 . 185 37 4. p = 23 . 75 106

51 1. Les variables a,b et c peuvent prendre la valeur 0 ou 1. 2. Si n = 5, l’algorithme affiche 5 fois le commentaire perdu ! ou gagné ! et un fois la valeur de f. 3. La variable g est un compteur qui compte le nombre de partie gagnée. La variable f permet de calculer la fréquence de partie gagnée. 4. On peut conjecturer que la probabilité de gagner une partie est proche de 0,026. 5. 0,2 1 0,4

1 0,3

0,6

0,7

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,4

0,6

p(G) = 0,3 × 0,4 × 0,2 = 0,024.

52 Après une simulation sur tableur, il semble que sur 100 lancers, il arrive environ 1 fois que l’on obtienne 6 piles d’affilés. 53 1. Le déplacement n’est qu’aléatoire car il faut que la condition random()  0.2 soit remplie pour que le kangourou avance, or la fonction random() renvoit aléatoirement un nombre compris entre 0 et 1. 2. On peut qualifier le kangourou de paresseux, car la condition random()  0.2 n’est remplie que dans 20 % des cas. 3. Variables X EST_DU_TYPE NOMBRE K EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME X PREND_LA_VALEUR 0 POUR K ALLANT DE 1 à 3 SI(random() < 0,2) ALORS DEBUT SI X PREND_LA_VALEUR X + 1 FIN_SI FIN POUR AFFICHER X FIN_ALGORITHME

4. Les différentes positions possibles sont 0, 1, 2 ou 5. 0,2

0,8

D 0,2

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

D 0,8

0,2

Exercices

Issue Probabilité

(0,8)3 = 0,12

3 × 0,82 × 0,2 = 0,384

3 × 0,22 × 0,8 = 0,096

(0,2)3 = 0,008

54 1.

0,81

Part

0,19

Non Part

0,84

Part

0,16

Non Part

0,69

Part

0,31

Non Part

G1 0,38 0,43

0,19 G3

2. a. p(Part) = 0,38 × 0,81 + 0,43 × 0,84 + 0,19 × 0,69 = 0,8001.

On obtient alors un univers Ω = {blanc, noir} avec un sac contenant 135 jetons, dont 78 blancs. Ainsi, p(blanc) = 78 = 26 . La répartition en urne change 135 45 donc la « chance » d’obtenir un jeton blanc.

59 1. Cette instruction renvoie la valeur 2. 2. Cette instruction renvoie un nombre réel compris entre 1 et 7 (7 ne pouvant pas être atteint). 3. La partie entière d’un tel nombre est 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 4. Le résultat affiché est le nombre de lancers qu’il a fallu faire pour avoir un 3. 5. On peut penser à un lancer de dé que l’on reproduit tant que l’on obtient pas 3. 60

1 8

1 3

0,4

Roses

0,6

Blanches

0,75

Roses

0,25

Blanches

Marron

2 3

Mauve

1. p(Marron  Roses) = 1 × 0,4 = 2 . 15 3 2. p(Roses) = p(Marron  Roses) + p(Mauve  Roses) = 1 × 0,4 + 2 × 0,25 = 0,3 . 3 3 56 L’arbre présente ici trois étapes avec, à chaque étape, deux choix : réussite ou pas. 1. p(« 3 réussites ») = 0,8 × 0,6 × 0,25 = 0,12. 2. p(« au moins 2 réussites ») = 0,8 × 0,6 × 0,75 + 0,8 × 0,4 × 0,25 + 0,2 × 0,6 × 0,25 = 0,36 + 0,08 + 0,03 = 0,47.

57 1. Le premier titre a 10 chances sur 150 d’être

10 . 150 2. Après un premier titre écouté, il reste 149 titres à écouter, dont les 10 préférés de Xavier , soit une probabilité de 10 . 149 3. De même, après 20 premiers « mauvais » titres, il reste 130 titres, dont les 10 préférés, soit une probabilité de 10 130

un titre préféré de Xavier, soit une probabilité de

58 1.

0,3

0,7

0,3

0,4

0,6

C1 0,25 5 8 1 8

2 8

Vert

2 9

b. On obtient un taux de votants de 80,01 %.

Blanc

5 8

Rouge

1 8

7 9

Blanc 2 8

Blanc 5 8

Vert

Vert Rouge

p(« même couleur ») = p(V,V) + p(B,B) = 2 × 2 + 7 × 1 = 11 . 9 8 9 8 72

61 On calcule dans un premier temps les probabilités associées à la somme de deux dés tétraédriques en s’aidant d’un tableau à double entrées. Dé 2

Dé 1

On calcule les probabilités associées à la somme de trois dés tétraédriques en s’aidant d’un arbre pondéré.

2. p(C1  B) = 0,25 × 0,3 = 0,075. 3. p(B) = 0,25 × 0,3 + 5 × 0,7 + 1 × 0,4 = 9 . 8 8 32 5. Les probabilités

107

Exercices 1 S=3 2

1 16

Acceptées

Refusées

Total

3 S=5

Valables

93 100

1 900

95 000

4 S=6

Non valables

1 000

4 000

5 000

1 S=4

Total

94 100

5 900

100 000

2 S=5

3 S=6 4 S=7

1 8

1 S=5 2 S=6

3 16

3 S=7 4 S=8

3 16 1 8

3 S=8

4 S=9

1 S=7

2 S=8

3 S=9 4 S = 10

1 16

1 S=8 2 S=9

3 S = 10 4 S = 11 1 S=9 2 S = 10

3 S = 10 4 S = 12

Sommes

Probabilités

1 3 6 10 12 12 10 6 3 1 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64

10 11 12

Sur 36 issues, 18 sont impaires. On obtient l’arbre suivant : 0,5

Impaire

0,5

Paire

0,5

Pile

0,5

Face

Ainsi, p(« face ») = 0,5 × 0,5 = 0,25.

66 1. On peut raisonnablement supposer que la probabilité de l’événement « la longueur AB est strictement supérieure à 0,5 » est 0,5. 2. Travail sur Tableur. 3. La formule =ALEA() est à entrer dans les cellules B2 et C2.

D’après le tableau ci–dessus, les sommes 7 et 8 ont la plus grande probabilité d’apparition.

4. =MAX(B2:C2)–MIN(B2:C2)

2 62 1. p (b 5) = 6

6. Tableur 7. La formule =SOMME($E$2:E2)/A2 permet de calculer la fréquence d’apparition de la condition AB  0,5. 8.

2. p (b = m) = 6 = 1 36 6 3. p (b m) = 21 = 7 36 12

63 1. Il existe 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, nombres à cinq chiffres composés uniquement de 1 et de 2. 2. a. p = 2 = 1 . 32 16 b. Un nombre est un multiple de 3 si la somme des chiffres qui le compose est un multiple de 3. Il y a 10 issues favorables sur les 32 possibles, donc p = 10 = 5 . 32 16 108

65 2

2 S=7

94100 = 0,941. 100 000 1000 = 0,01 . b. p (acheteur ) = 100 000 1900 p (vendeur ) = = 0,019 . 100 000 2. a. p ( A ) =

1 S=6

1 4

64 1.

2 S=4

5. =SI(D20,5,1,0)

Exercices

9. Plus le nombre d’expérience est grand, et plus la fréquence observée est proche de la probabilité de l’événement AB  0,5. Donc, d’après le nuage de points ci–dessus, p = 0,25.

70 1.

67 On calcule la probabilité d’obtenir trois fois la

même face quand on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée. On a p = 2 × 1 × 1 × 1 = 1 . 2 2 2 4 On calcule la probabilité d’obtenir deux fois le même nombre quand on lance deux fois un dé cubique équilibré. On a p = 6 × 1 × 1 = 1 . 6 6 6 On a donc plus de chance d’obtenir trois fois la même face quand on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée, que d’obtenir deux fois le même chiffre en lançant deux fois un dé équilibré.

(

)

68 Si la tortue gagne, c’est que le « 6 » n’apparaît pas pendant les 6 lancers. La probabilité que la tortue 10 gagne est donc p ( tortue) = 5 ≈ 0,16 . 6 Le lièvre a donc plus de chance de gagner à ce jeu que la tortue.

()

69 1. Les variables a, b et c peuvent prendre la valeur 0 ou 1. 2. Si n = 5, l’algorithme affiche 5 fois le commentaire perdu ! ou gagné ! et un fois la valeur de f. 3. La variable g est un compteur qui compte le nombre de partie gagnée. La variable f permet de calculer la fréquence de partie gagnée. 4. On peut conjecturer que la probabilité de gagner une partie est proche de 0,026. 5. 0,2 0,4

0,6

1 0,3

0,7

0,4

0,6

Attrape le fromage

Ouvre une trappe

Allume une lumière

Total

Rat dressé

Rat sauvage

Total

100

2. a. p ( A ) = 54 = 0,54 ; 100 60 p (B) = = 0,60. 100 b. A  B, le rat est dressé et est capable d’attraper un morceau de fromage. p ( A > B) = 36 100 = 0,36 . c. A < B, le rat est dressé ou est capable d’attraper un morceau de fromage. p(A < B) = p(A) + p(B) – p(A  B) = 0,54 + 0,60 – 0,36 = 0,78. d. A , le rat n’est pas capable d’attraper un morceau de fromage. p A = 1− p ( A ) = 1− 0,54 = 0,46. 3. a. La ligne de code « Pour I allant de 1 à 10 faire » permet de dire que l’on souhaite tester 10 rats. b. La variable K représente le nombre de rat sachant attraper le fromage, la variable L représente le nombre de rat sachant ouvrir une trappe et la variable M représente le nombre de rats sachant allumer la lumière.

( )

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

p(G) = 0,3 × 0,4 × 0,2 = 0,024.

Accompagnement personnalisé 71 1. a. F  G. b. F  G. c. F  G. 2. a. Le dossier tiré est celui d’un garçon gaucher. b. Le dossier tiré est celui d’un garçon droitier. c. Le dossier tiré est celui d’un garçon ou d’un gaucher. 3. p(F  G) = 0,05.

(

)

p F  G = 0,46 . p(F  G) = 0,51 + 0,11 – 0,05 = 0,57.

( ) p ( F  G) = 0,43 .

p F  G = 0,06 .

p(F < G) = 0,49 + 0,11− 0,06 = 0,54 .

72 À faire en classe. 73 Travail sur tableur : il peut s’avérer utile d’orienter les élèves les plus bloqués vers le n° 47 page 147. 5. Les probabilités

109

Exercices 74 On suppose que par « obtenir deux « Pile » » on entend « obtenir au moins deux « Pile » » On calcule la probabilité d’obtenir au moins deux « Pile » en lançant quatre fois la pièce équilibrée. On obtient p = 1 – 0,54 – 4 × 0,54 = 0,6875. On suppose que par « obtenir trois « Pile » » on entend « obtenir au moins trois « Pile » ». On calcule la probabilité d’obtenir au moins 3 « Pile » en lançant 6 fois la pièce équilibrée. On obtient p = 1 – 0,56 – 6 × 0,56 – 15 × 0,56 = 0,65625 On a donc plus de chance d’obtenir au moins deux « Pile » en lançant quatre fois la pièce équilibrée. 75 1. Il y a 12 × 11 × 10 × 9 = 1 180 possibilités pour que les quatre personnes n’aient pas leur anniversaire le même mois, parmi 12 × 12 × 12 × 12 = 20 11880 736 possibilités, donc p = ≈ 0,57 . 20 736 2. On calcule la probabilité qu’aucune des dix personnes ait leur anniversaire le même mois. On obtient p = 12 × 11 × 10 × 9 × 810× 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ≈ 0,004 . 12 La probabilité de l’évènement recherchée dans la question est la probabilité de l’événement contraire, soit p = 1 − 12 × 11 × 10 × 9 × 810× 7 × 6 × 5 × 4 × 3 12 ≈ 0,996. 3. p = 1 − 365 × 364 × 363 ×10362 × … × 356 = 0,1169 365 4. À faire en fonction du nombre d’élèves dans la classe. 5. p = 1 − 365 × 364 ×23… × 343 = 0,5073 , à partir de 365 23 personnes on a plus d’une chance sur deux d’avoir au moins deux anniversaires le même jour. 76 1. 0,2 0,3 0,5

– 30 ans 31 et 61 ans + 61 ans

0,1

0,9

0,08

0,92

0,15

0,85

Moins de 30 ans

Entre 31 et 60 ans

Plus de 61 ans

Total

Effet

2,4

7,5

11,9

Pas d’effet

27,6

42,5

88,1

Total

100

Avec l’arbre : p(S) = 0,2 × 0,1 + 0,3 × 0,08 + 0,5 × 0,15 = 0,119 Avec le tableau : p(S) = 11,9 %. 2. Les résultats obtenus avec l’arbre ou le tableau sont identiques.

77 Après un travail autour du tableur ou d’un algorithme, on peut inviter les élèves à mettre en place une table de vérité. b

On obtient alors p(a  b) =

78 p

1–p

6 =3 . 16 8 p

1–p

L’énoncé demande à trouver p tel que p(« au moins un moteur fonctionne »)  0,5. Or p(« au moins un moteur fonctionne ») = 1 – p(« les deux moteurs en panne ») = 1 – p2 Ainsi il reste à résoudre 1 – p2  0,5 avec p positif. On obtient p  0,5 .

No problem 79 1. Let N the number of surveyed people. So we

can write down: N × 0,1 = 30. So: N = 30 = 300. 0.1 2. 300 × 0.63 = 189. 189 people opted for route B.

80 1. Impossible.

2. Even. 3. Likely. 4. Certain. 5. Likely. 6. Unlikely. 110

81 Number of trials

100

150

200

Frequency of letter A

Relative frequency of letter A (%)

25,5

Exercices

1. The table above watch that when we make the experience a large number of time the frequency of appearance of A is close to the theoretical frequency which is 25%. 2.

2. There are 50 girls in the school. 8 go to school by car and 42 girls don’t use car. The probability is: 42 = 0.84. 50 3. There are 25 pupils who ride to school. Among them, there are 20 boys. The probability is: 20 = 0.8. 25

82 1. There are 23 + 32 = 55 red counters into the bag. The total number of counters is 100. The probability for a counter to be red is: 55 = 0.55. 100 2. There are 19 blue counters with the number 1. The probability is 19 = 0.19. 100 83 1. The total of pupil is 120. There are 23 + 17 = 40 pupils who walk to school. The probability for a pupil to walk to school is: 40 = 1 . 120 3

0.4

0.6

0.4

0.6

0.4

0.6

1. p = 0.4 × 0.4 = 0,16 2. p = 2 × 0.4 × 0.6 = 0.48 3. p = 0.6 × 0.6 = 0.36 4. 0.16 + 0.48 + 0.36 = 1, we can verify that the sum of probabilites is equal to 1.

85 1. The narrator mentions Arithmetic. Arithmetic is a branch of mathematics which focus on whole numbers and their properties of basic operations applied to this numbers: adding, subtracting, multiplication and division. This branch of mathematics especially studies prime numbers. 2. Webquest dedicated to the pupils…

Traduction des énoncés 79 Fréquences relatives Une rocade doit être créée afin d’éviter un centre–ville. Trois trajets différents ont été envisagés. Avant d’opter pour l’une de ces solutions, une enquête est menée auprès les habitants. Trajet Fréquence relatives

A 0,27

B 0,63

C 0,1

30 personnes ont opté pour le trajet C. 1. Combien de personnes au total ont été interrogées ? 2. Combien de personnes ont opté pour le trajet B ?

80 Combien de chances y–a–t–il pour que ça arrive ? La probabilité ou la chance consiste à décrire la façon dont quelque chose est susceptible de se produire. Nous essayons souvent de deviner, d’anticiper la probabilité que quelque chose se produise ou pas. Évaluer les chances et exprimer une probabilité implique d’anticiper et de décrire les chances que tel ou tel évènement ait lieu. Décrivez les évènements suivants comme : impossible ; improbable ; équiprobable ; probable ; certain. 1. Vous lancez un dé non pipé et obtenez un 70. 2. Vous lancez un dé non pipé et obtenez un chiffre impair. 3. Lorsque on lance un dé non pipé 600 fois, on obtient le 6 au moins 80 fois.

4. Il pleuvra pendant 3 jours consécutifs en août. 5. Aujourd’hui, il pleut quelque part sur la Terre. 6. On lance une pièce 5 fois et elle retombe côté Face à chaque fois.

81 De la fréquence à la probabilité Une roue est constituée de trois parties : un premier quart du disque porte la lettre A, un deuxième quart la lettre B et la partie restante la lettre C. Le tableau ci–dessous indique le nombre de fois où la flèche tombe sur la lettre A par rapport au nombre de fois où la roue a été tournée. 10 2

Nombre d’essais Fréquence de la lettre A

50 100 150 200 14 23 39 51

1. Commentez les résultats et donnez une explication. 2. Imaginez et tracez un graphique qui pourrait montrer la fréquence relative de la roue lorsque la flèche tombe sur le C en fonction du nombre de fois où l’on tourne la roue.

82 Des jetons Ce tableau montre des jetons bleus ou rouges qui portent les chiffes de 1 ou 2. 1 2

Rouge

Bleu

23 32

19 26 5. Les probabilités

111

Exercices Les jetons sont mis dans un sac et l’un d’eux est pioché au hasard. 1. Calculez la probabilité que le jeton soit rouge. 2. Quelle est la probabilité que le jeton soit bleu et porte le numéro 1 ?

83 En chemin pour l’école Ce tableau indique par quel moyen les élèves du niveau 7 se rendent à l’école de Lindfield. À pied En bus En voiture En vélo

Garçon

Fille

23 15 12 20

17 20 8 5

1. Un élève de 7e est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que cet élève se rende à l’école à pied ? 2. Une élève de 7e est choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle ne se rende pas à l’école en voiture ? 3. Un élève de 7e qui va à l’école en vélo est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon ?

112

84 À l’heure ? La probabilité qu’Amanda soit en retard à l’école est de 0, 4. Utilisez un arbre pondéré afin d’évaluer la probabilité que pendant deux jours consécutifs : 1. elle soit en retard deux fois ; 2. elle soit en retard une seule fois précisément ; 3. elle ne soit jamais en retard ; 4. que peut–on vérifier ?

85 Gargantua Comment Gargantua fut instruit par Ponocrates et ainsi soumis à la discipline, de façon à ne pas perdre une heure de la journée. 1. À quel domaine des mathématiques le narrateur fait– il référence dans la première phrase ? 2. Questions Internet a. Qui est François Rabelais ? Qu’est–ce qui rend le personnage Gargantua si particulier ? b. Pourquoi les œuvres de Rabelais ont–elles été une source d’inspiration pour Les voyages de Gulliver de Jonathan Swift ?

Les statistiques

Présentation du chapitre

Ce chapitre approfondit les notions de statistiques déjà vues en grande partie au Collège. Il reprend les trois types d’outils : outils de synthèse des observations, outils de représentations des séries statistiques et outils de caractérisations numériques. • Les notions de moyenne et de médiane sont déjà bien connues. Il s’agit dans ce chapitre de mettre en valeur les différentes utilisations de ces deux indicateurs et de montrer la pertinence de chacun dans des situations de comparaison. • Les utilisations des logiciels d’outils graphiques, du tableur et de la calculatrice sont particulièrement nécessaires dans ce chapitre. En particulier, le fonctionnement de la calculatrice, exigible en Seconde, doit être bien établi pour l’utilisation des listes de valeurs. • Le travail d’un statisticien doit être réalisé sur des données le plus souvent tirées de situations réelles. C’est pourquoi les exercices présentent soit des valeurs d’une série statistique en grand nombre, qu’il faut savoir trier avant de traiter l’étude quantitative, soit des situations déjà observées et triées pour lesquelles il est nécessaire de mettre en œuvre les indicateurs de position ou de dispersion, dans un but d’analyse ou comparatif.

6. Les statistiques

113

Pour construire le cours Situation A Définir la fidélité d’un client en ÉCONOMIE Objectif : Revoir la notion de médiane. Il s’agit donc de faire deux groupes de 40 personnes. En cumulant les effectifs, les 40 personnes les moins assidues sont celles qui ont fait 15 visites mensuelles ou moins (1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 14 + 17 = 40), la quarantième personne en a fait 15. La quarante et unième personne a fait 20 visites. Il semble donc qu’il faille réaliser 20 visites pour obtenir sa carte de fidélité. Mais si la quarante et unième personne avait réalisé 16 visites, la réponse à la question aurait été 16 ! On peut montrer ici la nécessité d’une convention : fixer une valeur, la médiane, pour répondre à ce genre de problème. Toute valeur entière entre 15 et 20 pourrait convenir pour ce problème. Par convention, on calcule la médiane de la manière suivante : Me = 15 + 20 = 17,5 . 2 La médiane est donc égale à 17,5. C’est l’occasion alors de : – r appeler que c’est en cumulant les effectifs qu’on peut déterminer la médiane quand les données sont dans l’ordre croissant ; – faire remarquer que la médiane n’est pas forcément une valeur de la série de données et que lorsque l’effectif total est pair, on calcule la moyenne des deux valeurs « centrales » ; – prolonger l’activité dans le cas d’un effectif total impair (rajouter une valeur par exemple) afin de préciser que dans ce cas, il n’y a qu’une valeur centrale et que la médiane est alors égale à cette valeur. – mettre l’accent sur l’utilité de ce paramètre dans un cas comme celui-ci, en interprétant par une phrase la valeur de la médiane.

Etant donné une série statistique dont on a rangé les termes dans l’ordre croissant, une médiane est une valeur telle que 50 % des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales et 50 % des valeurs lui soient supérieures ou égales. Dans la pratique, si les valeurs sont rangées par ordre croissant : - si le nombre de termes est impair, de la forme 2n + 1, la médiane de la série est le terme de rang n + 1; - si le nombre de termes est pair, de la forme 2n, la médiane de la série est la demi-somme des valeurs des termes de rang n et n + 1 (par convention).

Situation B Analyser les résultats d’un concours en SCIENCES HUMAINES Objectifs : Passer des effectifs aux fréquences puis aux fréquences cumulées croissantes. Calculer une moyenne pondérée. Représenter une série statistique. 1. Le caractère étudié ici est le nombre d’exercices traités par les candidats d’un concours. Les valeurs qu’il peut prendre sont les nombres entiers entre 0 et 8. 2. L’effectif total de la série est 76 + 92 + … + 4 = 800. 3. Le nombre moyen d’exercices traités se calcule grâce à la moyenne pondérée : 0 × 76 + 1× 92 + 2 × 84 + … + 7 × 32 + 8 × 4 = 2584 = 3,23 . 800 800 114

Pour construire le cours

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

5. Pour calculer chaque fréquence, on divise l’effectif correspondant par l’effectif total (ici 800). Nombre d’exercices traités

Effectif des candidats

184

176

100

0,095

0,115

0,105

0,23

0,22

0,125

0,065

0,04

0,005

Fréquence Fréquence cumulée croissante

6. a. On cumule les fréquences correspondant à un nombre d’exercices traités allant de 0 à 3 : 0,095 + 0,115 + 0,105 + 0,23 = 0,545. La fréquence cumulée croissante pour la valeur 3 vaut donc 0,545. Le professeur peut demander ici une interprétation de ce résultat en termes de pourcentages. b.Voir tableau ci-dessus : on cumule les fréquences jusqu’au nombre d’exercices correspondant. Nombre d’exercices traités

Effectif des candidats

184

176

100

Fréquence

0,095

0,115

0,105

0,23

0,22

0,125

0,065

0,04

0,005

Fréquence cumulée croissante

0,095

0,21

0,315

0,545

0,765

0,89

0,955

0,995

Le professeur fait remarquer ici que la fréquence cumulée pour une valeur est égale à la somme de la fréquence de cette valeur et de la valeur de la fréquence cumulée pour la valeur précédente, et que la dernière fréquence cumulée vaut nécessairement 1 (quand on travaille avec des valeurs exactes !). 7. La fréquence cumulée croissante pour la valeur 6 est égale à 0,955. Cela signifie que 95,5 % des candidats ont résolu 6 exercices ou moins. 8. Les candidats qui ne sont pas reçus sont donc ceux qui ont résolu 4 exercices ou moins. La fréquence cumulée croissante pour la valeur 4 est 0,765, donc le pourcentage cherché correspond donc à la fréquence 1 – 0,765 = 0,235. 23,5 % des candidats sont donc reçus à ce concours. On peut aller jusqu’à évoquer les fréquences cumulées décroissantes si besoin. Un travail utile sur les expressions « au moins », « au plus », « 4 ou moins », « 5 ou plus » peut être mené.

L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus ayant cette valeur suivant le caractère étudié. L’effectif total est le nombre d’individus de la population. C’est la somme des effectifs de toutes les valeurs du caractère. La fréquence d’une valeur xi est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif effectif de x i total : fréquence de xi = . effectif total

6. Les statistiques

115

Pour construire le cours Situation C Distinguer la régularité d’un joueur en SPORT Objectif : Utiliser la moyenne et un paramètre de dispersion pour évaluer position et homogénéité d’une série. 1. On calcule la moyenne du score de chaque tireur : • Nora : 11,8 ; • Oscar : 12 ; • Pam : 11,2. C’est donc Oscar le meilleur tireur car sa moyenne est la plus élevée des trois. On peut demander si on peut faire d’autres remarques au regard des scores de chaque joueur afin de faire émerger la régularité ou l’irrégularité de certains tireurs. 2. En regardant simplement les scores, on voit que Nora est la plus régulière et qu’Oscar est irrégulier. Mais sur des séries de grand effectif, cette observation n’est pas aussi évidente à réaliser. Il faut donc des paramètres qui permettent de répondre à ce questionnement dans tous les cas. Pour estimer la régularité, on peut calculer l’étendue des scores de chaque joueur : • Nora : 13 – 11 = 2 • Oscar : 19 – 2 = 17 • Pam : 16 – 2 = 14 C’est donc Nora qui, avec ce critère, est la plus régulière et Oscar le tireur le plus irrégulier. On peut alors engager un questionnement sur l’efficacité de l’étendue, notamment au regard des valeurs marginales : si on ôte le score 2 d’Oscar, l’étendue diminue presque de moitié ! On peut aussi demander si on voit d’autres manières d’estimer la régularité, notamment si on avait des séries de 100 ou 1 000 scores pour chaque joueur. Les notions de quartiles et d’écart interquartiles sont alors indiquées. Pour estimer la régularité, on peut calculer les quartiles et l’écart interquartile de chaque joueur : 5 = 1,25 et 3 × 5 = 3,75 si les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, le 1er quartile est donc la 2e valeur 4 4 et le 3e quartile la 4e valeur. • Nora : Q1 = 12 et Q3 = 12, Q3 – Q1 = 0 ; • Oscar : Q1 = 10 et Q3 = 18, Q3 – Q1 = 8 ; • Pam : Q1 = 10 et Q3 = 14, Q3 – Q1 = 4. C’est donc Nora qui, avec ce critère, est la plus régulière et Oscar le tireur le plus irrégulier.

La moyenne d’une série nous renseigne sur le niveau des valeurs de cette série. Deux séries qui ont la même moyenne peuvent être très différentes en termes de régularité des valeurs. La dispersion d’une série peut se mesurer de diverses façons. On appelle étendue la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite. On peut aussi utiliser les quartiles de la série : Le 1er quartile est la plus petite valeur de la série statistique telle qu’au moins un quart (25 %) des données soient inférieures ou égales à cette valeur. Il se note Q1. Le 3e quartile est la plus petite valeur de la série statistique telle qu’au moins trois quarts (75 %) des données soient inférieures ou égales à cette valeur. Il se note Q3. L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ; Q3]. La longueur de cet intervalle s’appelle l’écart interquartile. C’est donc Q3 - Q1. En pratique, pour calculer Q1, on range les termes de la série statistique dans l’ordre croissant, on calcule n , on arrondit à l’entier supérieur : c’est la position 4 du premier quartile. Pour Q3, on fait de même en calculant 3 n . 4

116

Pour construire le cours

Situation D Gérer des demandes de crédits en ÉCONOMIE Objectifs : Étudier une série statistique regroupée en classes et comprendre le sens et la courbe des effectifs cumulés croissants. Estimer une médiane. 1. Cette valeur est l’effectif cumulé croissant pour l’intervalle [20 ; 30[. Cela signifie que 32 dossiers ont été traités en moins de 30 minutes. C’est la borne de droite de l’intervalle qui permet d’interpréter cette valeur. 2. L’effectif total est dossiers, car l’effectif cumulé croissant pour le dernier intervalle est . 3. Durée en minutes Effectif

[0 ; 10[

[10 ; 20[

[20 ; 30[

[30 ; 40[

[40 ; 50[

Le premier effectif est égal au premier effectif cumulé croissant, les suivants sont les différences entre deux effectifs cumulés consécutifs. 4. L’effectif cumulé croissant utile ici est celui de l’intervalle [20 ; 30[ : 32. Le pourcentage correspondant est lié à la fréquence cumulée croissante correspondante : 32 = 0,64. 50 64 % des dossiers ont été traités en moins de minutes. 5. Dans le cas de données regroupées en intervalles, on calcule la moyenne en prenant des valeurs égales à la valeur centrale de chaque intervalle. m = 5 × 5 + 10 × 15 + …6 × 45 = 1290 = 25,8 minutes. C’est le temps moyen de traitement d’un dossier. 50 50 6. Avec le graphique, il suffit de lire la durée en minutes correspondant à un effectif de (moitié de l’effectif total). On lit donc l’abscisse du point de la courbe qui a une ordonnée égale à . On obtient une médiane environ égale à minutes. Cela signifie que la moitié des dossiers est traitée en moins de minutes, et l’autre moitié en plus de minutes. On peut évoquer la manière de construire le graphique des effectifs cumulés croissants à partir du tableau qui est donné ; on fait remarquer qu’un graphique équivalent peut être tracé avec les fréquences cumulées croissantes.

Diagramme des E.C.C. (ou F.C.C.) Durée en minutes

Effectif cumulé croissant

[0 ; 10[

[10 ; 20[

[20 ; 30[

[30 ; 40[

[40 ; 50[

- La courbe des E.C.C (effectifs cumulés croissants) est constituée de segments reliant les points de coordonnées (0 ; 0) ; (10 ; 5) ; ... ; (50 ; 50) On peut estimer graphiquement la valeur de la médiane comme abscisse du point de la courbe d’ordonnée 50 = 25. 2 On peut procéder de même pour les quartiles, le premier quartile étant l’abscisse du point d’ordonnée 50 = 12,5 et le troisième l’abscisse du point d’ordonnée 3 × 50 = 37,5. 4 4 - Etant donné une série statistique, une médiane est une valeur Me telle que 50 % des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales et 50 % des valeurs lui soient supérieures ou égales.

6. Les statistiques

117

Diaporamas Les statistiques

Diaporama calcul mental

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Quelle est la moyenne des notes suivantes ? Que valent 45 % de 300 ?

10 – 12 – 8 – 6 – 14 – 20 – 0

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Quelle est la médiane de chaque série ? Que valent le 1er et le 3e quartile de cette série ? a. 5 – 7 – 8 – 10 – 12 – 14 – 20 4 – 6 – 7 – 8 – 8 – 9 – 10 – 10 – 10 – 12 – 14 – 16 b. 4 – 8 – 9 – 11 – 12 – 15

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Dire si chaque proposition est vraie ou fausse. Si on augmente une série de 10 notes de 1 point chacune : a. la moyenne augmente de 1 point ;

Que valent 10 % de 1 153 ?

b. la médiane augmente de 1 point; c. les quartiles augmentent de 1 point.

Les statistiques

Diaporama calcul mental

Modifier une seule note de cette série pour obtenir une médiane de 12 :

5 – 7 – 8 – 10 – 12 – 14 – 15

118

Diaporamas

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

Quelle note manque-t-il dans cette série pour avoir une moyenne de 11 ?

b. 1

c. 10

d. 20

Diaporama QCM chrono

Fréquences Fréquences cumulées

10 23 7 9 33 40 83

a. 0-43-92-100

b. 10-76-92-100

c. 10-43-92-100

d. 0-76-92-100

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

Que valent le 1er quartile, la médiane et le 3e quartile de la série statistique suivante ?

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

« 1 123 candidats reçus sur les 4 432 qui se sont présentés » . Cela représente environ :

–7 ; –2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 ; 10 ; 15 ; 23

a. 40 %

a. 0,5 ; 7 ; 9,5

b. -2 ; 7 ; 10

c. 3 ; 9 ; 15

d. 3 ; 7 ; 10

b. 25 % c. 50 % d. 60 %

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

Quelle est la moyenne de cette série statistique regroupée en classe ? Classes Effectifs

[0 ; 20[ 4

[20 ; 50[ 1

Les valeurs manquantes de ce tableau sont (de gauche à droite):

9 – 12 – 7 – 8 – 16 – 7 – 15 – 12 – 13 a. 11

Les statistiques

[50 ; 70[ 5

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

On a entré les notes d’une classe dans une calculatrice et obtenu l’affichage suivant. Quelle(s) affirmation(s) est (sont) vraie(s) ? a. Il y a 30 élèves dans cette classe.

a. 35

b. 37,5

b. 25 % des élèves ont une note supérieure ou égale à 7.

c. 48

d. 21

c. Toutes les notes sont situées entre 5 et 17. d. La moitié des élèves a une note supérieure à 10,6. © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Les statistiques

Diaporama QCM chrono

On a relevé le nombre de fois par semaine où les employés d’une entreprise mangent sur place. 18

Quelle(s) affirmation(s) est (sont) vraie(s) ?

Nombre de personnes

16 12

a. Il y a 10 employés dans cette entreprise.

b. La majorité des employés mangent sur place

une fois par semaine.

4 0

1 2 3 4 Nombre de repas

c. Aucun employé ne mange 5 fois par semaine sur place. d. 19 employés mangent au moins 2 fois par semaine sur place. © Hachette Livre – Mathématiques 2de

6. Les statistiques

119

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. 25 %, c’est un quart ; ici on trouve 1 050. b. 0,7 × 30 = 7 × 3 = 21 filles. c. 50 %, c’est la moitié ; ici on trouve 2 342. d. Sur 100 élèves, 7,8 sont internes, soit 7,8 % d’internes. e. Diviser par 10 revient à déplacer la virgule ; ici on trouve 168,7. f. Sur 100 candidats, 70 sont reçus, soit 70 % de reçus. g. 0,4 × 160 = 4 × 16 = 64. Gamme 2 a. Sur 10 boules, 3 sont rouges, soit une fréquence de 0,3. b. Sur 10 boules, 7 sont vertes, soit un pourcentage de 70 %. Gamme 3

3 × 6 + 2 × 8 × 11+ … + 2 × 19 = 11,96. 25

b. Vrai (75 % – 25 % = 50 %). c. Faux, il faut utiliser le 1er quartile ici.

Gamme 5 a. La moyenne des filles vaut 152,33. b. La moyenne des garçons vaut 163,625. c. La médiane des filles est 151. d. Une médiane des garçons est 163. Gamme 6 a. Il faut compter 83 jeunes au total. b. 48 jeunes ont plus de 15 ans. c. 28 ≈ 0,337, soit 33,7 %. 83 d. 83 – (7 + 8) = 68, donc 68 ont au moins 12 ans. Sur 1600 élèves, 420 + 600 sont demi1020 pensionnaires, soit = 63,75 % 1600

Gamme 7

Gamme 4 a. Faux, il faut utiliser la médiane ici.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 4. 2. et 3. Capacité 2. 4. Capacité 5.

4 1.

Diamètre Effectif ECC Fréquence FCC

Étendue Moyenne Médiane 16 10 10 16 10,05 10

Amphi A Amphi B

3 1. Moyenne = 2,9 ; médiane = 3 ; étendue = 5. 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5

[9 ; 10[ [10 ; 11[ [11 ; 12[ [12 ; 13[ 15 12 14 9 15 27 41 50 0,3 0,24 0,28 0,18 0,3 0,54 0,82 1

2. On lit 27 pièces. 3. On obtient 70 %. 5

Groupe A Groupe B

Me 12 18

Q1 10 14

Q2 17 22

Les enfants de la campagne semblent passer plus de temps à jouer aux jeux vidéo.

Corrigés des exercices 1 1. La population étudiée est l’ensemble des familles d’une commune. 2. Le caractère étudié est le nombre d’enfants par famille, il est donc quantitatif. Nombre d’enfants

116

214

275

297

310

314

Fréquences 0,37

0,31

0,19

0,07

0,04

0,01

FCC

0,68

0,87

0,94

0,98

0,99

3. Nombre

de familles EEC

120

0,37

2 On range dans la série dans l’ordre croissant : 0 ; 12 ; 15 ; 18 ; 25 ; 26 ; 32 ; 34 ; 37 ; 46 ; 54 ; 54 ; 56 ; 57 ; 63 ; 67 ; 75 ; 83. On calcule la moyenne : x = 0 + 12 + 15 + … + 83 = 754 ≈ 41,9 . 18 18 Le nombre de valeurs est N = 18, donc pair. La médiane correspond à la demi-somme des valeurs de rang 9 et 10. Me = 37 + 46 = 41,5 . 2 N = 4,5, donc Q est la 5e valeur soit Q = 25. 1 1 4 3N = 13,5 , donc Q3 est la 14e valeur soit Q3 = 57. 4

Exercices valeurs de rang 5 et 6, soit 12 + 13 = 12,5. Pour aug2 = 49,95la médiane d’un point, il faut augmenter le 13 x = 15 × 16 + 25 × 22 + 40 × 34 + 55 × 48 + 65 × 80 = 9990menter 200 200 de deux points. 55 × 48 + 65 × 80 = 9990 = 49,95 . 200 4. La médiane ne peut augmenter que d’un point en 1. La série est quantitative à caractère discret. 4 changeant le 13 en 15 ; en l’augmentant plus, c’est la Nombre d’appartements 2. note de rang 7 (15) qui deviendrait la note de rang 6. 350 5. En augmentant le 13 de deux points et en baissant 300 le 5 de deux points, la médiane augmente d’un point 250 et la moyenne reste inchangée. 200 6. Pour diminuer la moyenne d’un point il faut baisser 150 une note de 10 points. Il est possible de le faire avec 100 une note supérieure ou égale à 10, mais, dans ce cas, 50 l’ordre des notes est modifié et la médiane aussi. 0 = 4,25 et 17 × 3 = 12,75, donc toutes les 11 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 Nombre de pièces séries de 17 valeurs qui, classées dans l’ordre croissant, admettent 30 comme valeur de rang 5 et 50 5 1. Effectif comme valeur de rang 13 sont possibles. 12 1. Pays A : x = 5 000 5000 euros, 105 60 Me = 100, Smax = 49 100 euros. Pays B : x = 2100 euros, Me = 2 000, Smax = 3 000 20 Me = 2 000, Smax = 3 000 euros. 2. a. On peut supposer que la personne gagnant 49 100 euros par mois est la plus prédestinée pour acheter un bijou de 10 000 euros, le choix du pays A 0 5 10 15 20 25 30 35 Distance (en km) serait donc préférable. b. La moyenne n’est ici pas le bon indicateur de la 2. x = 2,5 × 20 + 10 × 60 + 22,5 × 105 ≈ 16,3 km 185 qualité de vie dans les deux pays. Il vaut mieux regar3. N = 92,5 , la médiane est la 93e valeur, soit environ der la médiane et, dans ce cas, il est préférable de 2 vivre dans le pays B. 16 km. c. Même si la richesse est une valeur toute relative, 6 1. La fréquence de parties gagnées est de 0,3. on peut raisonnablement supposer que la personne 2. La fréquence de Français droitiers est de 0,88. gagnant 49 100 euros dans le pays A est riche. 3. La fréquence de Français ne parlant aucune langue 13 Le maire et son opposant ont tous les deux étrangère est de 0,4. raison. Chaque graphique est juste. Mais l’échelle 4. La fréquence de filles dans la classe de ma voisine choisie sur l’axe des ordonnées permet à chacun de est de 0,6. donner une interprétation différente. 5 1 7 La fréquence d’apparition du 3 est 20 = 4 (la Le maire a choisi une échelle pour laquelle les somme des fréquences est égale à 1). colonnes sont toutes d’une hauteur à peu près identique. Son graphique permet de montrer une régula8 8 + 14 + 5 +610 + 11+ x = 10 ⇔ x = 12 . rité, donc peu de fluctuation du chômage. 9 1re situation : à l’intérieur du premier groupe, Son opposant a choisi une échelle qui donne l’impresles 10 personnes ont 16 ans et, à l’intérieur du deusion d’une grande irrégularité, donc une moins bonne xième groupe, les 10 personnes ont 14 ans. Chloé maîtrise du nombre de chômeurs. aura intérêt à choisir le premier groupe. = 0,48 . 14 1. f = 12 2e situation : à l’intérieur du premier groupe, 5 per25 sonnes ont 12 ans et 5 personnes ont 20 ans, et à 2. f = 7 ≈ 0,47 . 15 l’intérieur du deuxième groupe, 5 personnes ont 16 ans et 5 personnes ont 12 ans. Chloé aura intérêt à 3. f = 12 + 8 = 20 = 0,5, soit 50 %. 40 40 choisir le deuxième groupe. La fréquence d’apparition du 1 est : 15 10 1. On peut, par exemple, augmenter la note f = 65 = 0,1625 . 12 d’un point et diminuer la note 13 d’un point sans 400 changer la moyenne. 12 + 15 + 8 + 10 + 25 + 21 + 14 + 14 = 119 = 14,875 16 x = 2. On peut augmenter de 10 points une note inférieure 8 12 15 8 10 25 21 +814 + 14 = 119 = 14,875 + + + + + . à 10, si la note 8 par exemple se transforme en 18, la x = 8 8 La proposition est donc vraie. moyenne augmente d’un point. 96 + 12 × 123 = 2514 = 9,21 3. 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 18 ; 19 17 1. x = 5 × 54 + 8 ×273 273 5 54 8 96 12 123 = 2514 = 9,21 × + × + × 10 = 5 , la médiane est la demi-somme entre les x= euros. 273 273 2

3 On utilise le centre de chaque classe.

6. Les statistiques

121

Exercices 2. 123 ≈ 0,45 , donc environ 45 % des membres du 273 club ont payé l’entrée au tarif le plus haut. + 86 = 111 = 0,888 . 18 1. f = 1425 + 25 + 86 125

2. Au moins la moitié des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 7. Au moins 25 % des élèves ont obtenu une note inferieure ou égale à 4. Au moins 75 % des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 8. 29 6 ; 10 ; 14 ; 30. 12,5 × 14 + 17,5 × 25 + 22,5 × 86 30 1 ; 1 ; 32 ; 33 ; 33. ≈ 20,4 kg. 2. x = 125 31 8 ; 15 ; 28 ; 30 ; 40 ; 58 ; 60 ; 70 ; 72 ; 100 ; 123. 19 xAlexia = 12 + 2 × 11 + 3 × 9 = 61 ≈ 10,2 . 32 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 6 6 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14. xLauriane = 15 + 2 × 8 + 3 × 10 = 61 ≈ 10,2 . N = 22 = 11 : la médiane est la demi-somme entre 6 6 2 2 Les deux élèves sont de même niveau en mathémala valeur de rang 11 et la valeur de rang 12, soit tiques ce trimestre. Me = 6 + 7 = 6,5 . 2 20 N 22 24,5 × 105 + 39,5 × 102 + 59,5 × 74 + 85 × 28 ≈ 43,324 = 4 = 5,5 : le premier quartile est la valeur de 1. x = 309 rang 6, soit Q1 = 6 . + 59,5 × 74 + 85 × 28 ≈ 43,32 euros. 3N = 75 = 16,5 : le troisième quartile est la valeur 4 4 2. f = 207 ≈ 0,67 . 309 de rang 17, soit Q3 = 8 . 21 1. 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 33 Couleur Rouge Jaune Bleu Noir Blanc 12 ; 13 ; 14 ; 28 ; 45 ; 68 ; 87. Effectif 45 81 18 9 27 N = 21 = 10,5 : la médiane est la valeur de rang 11, 2 2 Fréquence en % 25 45 10 5 15 soit Me = 8 . 22 1. Vrai : si la moyenne du groupe est de 13, N = 21 = 5,25 : le premier quartile est la valeur de 4 4 il peut être vu comme si l’ensemble des personnes rang 6, soit Q1 = 5 . constituant le groupe avait eu 13 (13 × 20 = 260). 3N = 63 = 15,75 : le troisième quartile est la valeur 2. Faux. 4 4 3. Faux en général et vrai si la taille des deux groupes de rang 16, soit Q3 = 13 . est la même. 2. Q3 − Q1 = 13 − 5 = 8 et e = 87 – 0 = 87. 4. Vrai. 34 1. Me = 9,5 : au moins la moitié des souris 5. Faux : la moyenne augmente de 3 = 0,6 point. adultes du laboratoire mesure 9,5 cm ou moins. 5 2. Q1 = 9 : au moins 25 % des souris adultes du labo23 1. Faux (exemple : 1 ; 2 ; 6, x = 3, Me = 2 ). ratoire mesure 9 cm ou moins. 2. Faux, le premier quartile peut aussi être égal à la Q3 = 11 : au moins 75 % des souris adultes du labomédiane. ratoire mesure 11 cm ou moins. 3. Faux, voir exercice 12. 35 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 4993. 4. Vrai. Me = 1, x = 5000 = 625 . 8 24 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. 36 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7. 25 5 ; 7 ; 9 ; 15 ; 16 ; 18 ; 19. Me = 4, x = 28 = 4 . 7 26 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 16 ; 17. 1. 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 22 ; 22. 37 N = 5 , la médiane est la demi-somme Me = 13,5 . 2 2. Q = 11 ; Q = 20 . 1 3 entre les valeurs de rang 5 et de rang 6, soit 3. 3 ; 7 ; 8 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18 ; 22 ; 22 ; 22 ; 36 ; 43. 10 + 11 Me = = 10,5 . 2 Me = 16 . 26 ; 27 ; 30 ; 32 ; 40 ; 42 ; 47 ; 51 ; 58. 27 4. Q1 = 14 ; Q3 = 22. N = 4,5 , la médiane est la valeur de rang 5, soit 5. On remarque que les indicateurs (médiane, pre2 mier quartile et troisième quartile) sont supérieurs Me = 40 . dans la série des garçons, on peut en déduire que 28 1. 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; globalement les garçons passent plus d’heures par 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10. semaine devant la télévision que les filles. N = 25 = 12,5 : la médiane est la valeur de rang 13, = 13 et x2 = 200 = 12,5 . 38 1. x1 = 195 2 2 15 16 soit Me = 7 . 2. Groupe 1 : ∆ Q = Q3 − Q1 = 15 − 11 = 4 . N = 25 = 6,25 : le premier quartile est la valeur de Groupe 2 : ∆ Q = Q3 − Q1 = 15 − 10 = 5 . 4 4 3. Les moyennes des groupes 1 et 2, ainsi que les écarts rang 7, soit Q1 = 4 . interquartiles, sont relativement proches, les deux 3N = 75 = 18,75 : le troisième quartile est la valeur groupes ont des résultats et une dispersion des notes 4 4 à l’intérieur de chaque groupe qui sont comparables. de rang 19, soit Q3 = 8 . 122

Exercices

47 1.

Taille en cm

Fréquence

FCC

[135 ;145[

0,05

250

[145 ;155[

0,15

0,20

200

[155 ;165[

0,30

0,50

[165 ;175[

0,25

0,75

[175 ;185[

0,15

0,90

[185 ;195[

0,10

Effectif

350 300

150 100 50 0

21 22

Âge

Effectif

200 160 120 80 40 0

Épaisseur (en mm)

Fréquence

1 0

2 Rouge

Bleu

Noir

Vert

Jaune

Couleurs

42 Marron : 50 % Bleu : 25 % Noir : 12,5 % Vert : 12,5 %

2. 75 % des touristes mesurent moins de 1,75 m. 3. 1 – 0,20 = 0,80, soit 80 % de touristes mesurent au moins 1,55 m. 11,1 48 1. x ≈ 10,9. 2. Me = 11. Au moins 50 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 11. 3. Q1 = 7 et Q3 = 15 . Au moins 25 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 7, au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 15. 4. ∆ Q = Q3 − Q1 = 15 − 7 = 8 , 50 % des élèves ont une note comprise entre 7 et 15 . 5. f = 16 ≈ 0,46 . 35 6. Effectif

Régime

DemiInternes Externes pensionnaires

Effectif

197

44 1. N = 186 .

Note

49 1. Réponse b. 2. Réponse c. 3. Réponse a. 50 1. Le caractère étudié est le nombre d’articles

achetés par des clients dans un supermarché. Le caractère est quantitatif discret. 2. Nombre de clients 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

2. N = 93 , la médiane est la demi-somme entre la 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 Nombre d’articles valeur de rang 93 et la valeur de rang 94. 3. Me = 11 + 11 = 11 . 2 x = 1 × 15 + 2 × 12 + 3 × 14 + 4 × 8 + 5 × 6 + 6 × 5 + 7 × 5 = 208 = 3,2 11,1 3. x ≈ 11,1. 65 65 x = 1 × 15 + 2 × 12 + 3 × 14 + 4 × 8 + 5 × 6 + 6 × 5 + 7 × 5 = 208 = 3,2 . 45 1. 65 Note 0 1 2 653 4 5 51 1. Classe d’âges Effectif cumulé Effectif Effectif

ECC

2. N = 17,5 : la médiane est la valeur de rang 18, soit 2 Me = 3 . − 12 = 7 = 0,28 , soit 28 % de salariés 46 1925 25 gagnent entre 2 000 et 3 000 euros.

[0 ; 3[

[3 ; 6[

[6 ; 9[

[9 ; 12[

[12 ; 15[

[15 ; 18[

6 6. Les statistiques

123

Exercices

2. N = 50 = 25 . La médiane est la demi-somme 2 2 entre la valeur de rang 25 et la valeur de rang 26. La médiane est donc située dans l’intervalle [9 ; 12[. Au moins 50 % des enfants de moins de 18 ans du village ont entre 9 et 12 ans et moins. 3. 4 × 1,5 + 5 × 4,5 + 11 × 7,5 + 15 × 10,5 + 9 × 13,5 + 6 × 16,5 489 x= = 50 50 9 × 13,5 + 6 × 16,5 489 = = 9,78 ans. 50 52 1. L’étude statistique a porté sur : 334 + 52 + 14 = 400 villes. 1 000 × 334 + 3 000 × 52 + 7 000 × 14 = 1 470 2. x = 400 × 52 + 7 000 × 14 = 1 470 habitants. 0 3.

124

56 1 240 × 0,3 = 372 , soit 372 élèves du lycée préfèrent l’hiver. 1 240 × 0,1 = 124 , soit 124 élèves du lycée préfèrent le printemps. 1 240 × 0,45 = 558 , soit 558 élèves du lycée préfèrent l’été. 1 240 × 0,15 = 186 , soit 186 élèves du lycée préfèrent = 9,78 l’hiver. 57 Avant la publicité : x ≈ 2,23 ; Me = 3 ; Q1 = 1 ; Q3 = 3 . Après la publicité : x ≈ 3,03 ;Me = 3 ; Q1 = 2 ; Q3 = 4 . Avant la publicité, le nombre moyen de vélos vendus par jour est d’environ 2,23, au moins 25 % des jours du mois ont connu 1 vente ou moins, et au moins 75 % des jours du mois ont connu 3 ventes ou moins. Après la publicité, le nombre moyen de vélos vendus par jour est d’environ 3,03, au moins 25 % des jours du mois ont connu 2 ventes ou moins, et au moins 75 % des jours du mois ont connu 4 ventes ou moins. À la vue de ces paramètres statistiques, on peut considérer que la campagne publicitaire a eu un réel impact sur la vente de vélos. 58 1. N = 70 ; e = 130 − 70 = 60 km . h–1 ; x = 75 × 13 + 85 × 17 + 95 × 20 + 105 × 12 + 115 × 5 + 125 × 3 = 6530 ≈ 93,3 70 70 20. 53 1. 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ;7518 ; × 13 + 85 × 17 + 95 × 20 + 105 × 12 + 115 × 5 + 125 × 3 = 6530 ≈ 93,3 km . h–1. x = 70 70 x = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 14 + 18 + 20 = 102 = 12,75 8 8 13 17 + ≈ 0,429, soit environ 42,9 % des conduc2. + 12 + 14 + 18 + 20 = 102 = 12,75 . 70 8 N 88 teurs ne dépassent pas 90 km . h–1. = = 4 . La médiane est la demi-somme entre 3. et 4. 2 2 la valeur de rang 4 et la valeur de rang 5, soit 70 Me = 11 + 12 = 11,5 . 60 2 52,5 2. Pour baisser la moyenne d’1 point, il faut baisser 50 une note supérieure ou égale à 8 de 8 points. En abaissant la valeur 18 de 18 à 10, la moyenne passe 40 35 de 12,75 à 11,75. 30 3. En augmentant le 11 de deux points et en diminuant le 18 de deux points, la médiane passe de 11, 20 17,5 5 à 13 et la moyenne reste inchangée. ; min == 11,82 ; max 11,82 ; max ==11,9 ; 11,87; min 11,9 ; Q1 = 11,87 ; Q3 = 11,89 ; 54 1. Muriel : x ≈ 11,87 10 Q = 0,02 Me = 92,5 Q1 = 11,87 ; Q3 = 11,89 ; ∆Q = 0,02. Q1 = 83 Q3 = 102 11,88 ; min = 11,84 ; max = 11,92 ; Quitterie : x ≈≈ 11,87; min = 11,82 ; max = 11,9 ; Q1 = 11,87 ; Q3 = 11,89 ; Q 0=700,0280 90 100 110 120 130 Q1 = 11,86 ; Q3 = 11,91 ; ∆Q = 0,05.. 59 1. 500 × 15 = 7 500 h. 2. a. L’écart interquartile est un indicateur de dis2. 1000 × 9 = 9 000 h. persion, la série de Muriel ayant un intervalle interquartile plus faible que celui de Quitterie l’entraîneur 3. x = 7500 + 9000 = 11 h. 1500 devra sélectionner Muriel s’il privilégie la régularité. 1. Sur l’axe des abscisses, on doit lire la distance 60 b. En utilisant les deux graphiques on s’aperçoit que de livraison en kilomètres, sur l’axe des ordonnées on Muriel ne possède que 5 performances inférieures ne doit rien lire, les effectifs sont déterminés en dénomou égales à 11,87 s alors que Quitterie en possède 8. brant le nombres de carreaux dans chaque rectangle. L’entraîneur devra donc sélectionner cette dernière s’il souhaite battre ou égaler le record de 11,87 s. 2. d = 18 × 2,5 + 10 × 7,5 + 8 × 12,5 + 4 × 17,5 = 7,25 40 18 11,82 8 × 12,5 + 4 × 17,5 × 2,5 +s,10 × 7,5 3. Le record de Muriel est de celui de +Quitterie d = = 7,25 km. 40 n’est que de 11,84 s. Si l’entraîneur espère réaliser la 44,5euros. p = 18 × 25 + 10 × 45 + 8 × 60 + 4 × 100 ==44,5 meilleure performance possible, il devra sélectionner 40 Muriel. N 3. = 20 , la médiane est la demi-somme entre 55 x = 0 × 0,06 + 1 × 0,14 + 2 × 0,2 + 3 × 0,26 + 4 × 0,04 + 5 ×2 0,12 + 6 × 0,12 + 7 × 0,06 la valeur de rang 20 et la valeur de rang 21, soit 1 × 0,14 + 2 × 0,2 + 3 × 0,26 + 4 × 0,04 + 5 × 0,12 + 6 × 0,12 + 7 × 0,06 Me = 45 + 45 = 45 euros. x = 3,22 enfants par foyer. 2

Exercices 61 4. x = 14 × 350 + 36 × 600 = 530 euros. 62 1.

Total Effectif 30 25 17 72 Angle au centre 150° 125° 85° 360°

2. Cornflakes : 30 Muesli : 25 Porridge : 17

× 144 = 288 pins. 63 1. 54 27 2. 348 × 27 = 174. 54 360 − (174 + 144 + 27) = 15°. L’angle au centre qui correspond aux frênes est de 15°, ce qui correspond à un effectif de 15 × 54 = 30 frênes. 27 3. 54 + 288 + 348 + 30 = 720, il y a 720 arbres dans la forêt. 64 1. 40 filles et 48 garçons ont été mesurés. 2. La plus grande des filles mesure 160 cm. Il semble que 3 garçons mesurent plus de 160 cm, ce qui représente 3 = 0,0625 , soit 6,25 % des garçons. 48 3. Filles : min = 120 ; Q1 ≈ 130 ; Me ≈ 136 ; Q3 ≈ 143 ; max = 160. Garçons : min = 125 ; Q1 ≈ 142 ; Me ≈ 147 ; Q3 ≈ 152 ; max = 170

65 1.

Temps en min [0 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 60[ [60 ; 120[ [120 ; 240[

Fréquence 3% 8% 27 % 43 % 19 %

FCC 3% 11 % 38 % 81 % 100 %

66 x ≈ 11,92 min ; Me = 10 ; Q1 = 5 ; Q3 = 15. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Effectif

Temps (en min)

67 L’échelle d’aire est 1 carreau pour 2,5 employés. 65 + 2,5 + 2,5 + 1 = 71, il y a 71 employés dans l’entreprise. 3. Vrai. 68 1. Vrai. 2. Vrai. 69 1. Le caractère étudié est le nombre de demandeurs d’emplois hommes de moins de 25 ans dans 36 communes de la région centre. Le caractère est quantitatif discret. 2. x ≈ 62,4 . 3. Me = 14,5 ; Q1 = 8 ; Q3 = 43 . 4. ΔQ = 43 − 8 = 35 . 5. La médiane étant inférieure à la moyenne, le président de la Région privilégiera la médiane pour mettre en valeur les résultats de ces communes. 6. 1 008 semble très loin des autres valeurs du tableau. 7. x ≈ 35,4 ; Me = 14 . Le fait de supprimer la valeur extrême 1 008 fait baisser quasiment de moitié la moyenne, alors qu’elle ne fait baisser la médiane que d’un demi-point. 70 1. 70 60 55,5 50 40 37 30

100

18,5

10 80

75 50 40 25

Me = 76 Q1 = 45 0

Q3 = 112 80

120

100 120 140

2. Me ≈ 82 ; Q1 ≈ 62 ; Q3 ≈ 97 ; ΔQ = 35 . Cette année, le temps médian de récupération ainsi que l’écart interquartile sont supérieurs à ceux de l’année précédente. On peut supposer que le groupe de cette année est moins sportif et moins homogène que celui de l’année dernière. 71 Salaire en euros Effectif Fréquence FCC

Me = 82 Q1 = 62 Q3 = 97

160

200

240

[1 000 ; 1 500[ [1 500 ; 2 000[ [2 000 ; 3 000[ [3 000 ; 29 000[

125 55 16 4

62,5% 27,5% 8% 2%

62,5% 90% 98% 100%

3. Graphiquement, on lit Me ≈ 76, Q1 ≈ 45 et Q3 ≈112. Au moins 50 % des étudiants passent 76 min ou moins sur leur portable, au moins 25 % des étudiants passent x = 125 × 1 250 + 55 × 1 750 + 16 × 2 500 + 4 × 16 000 = 1 782,5 45 min ou moins sur leur portable, et au moins 75 % des 200 125 × 1 250 1 750 +sur 16leur + 55ou×moins × 2 500 + 4 × 16 000 = 1 782,5 x =passent étudiants 112 min portable. 200 6. Les statistiques

125

Exercices

On détermine l’équation de la droite passant par les sième quartile correspond à l’abscisse du point d’orpoints A(1 000 ; 0) et B(1 500 ; 62,5) . donnée 200 × 0,25 = 50 , soit Q3 ≈ 21 . 62,5 Pour la moyenne, on trouve m= = 0,125 . 500 19 × 2,5 + 22 × 7,5 + 40 × 12,5 + 56 × 17,5 0 = 0,125 × 1000 + p ⇔ p = −125 . + 51 × 22,5 + 7 × 27,5 + 5 × 35 . y = 0,125 x − 125 t = ≈ 16 min 200 On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 25 qui cor73 x = 0,5 × 0,20 + 1 × 0,45 + 1,5 × 0,30 + 2 × 0,05 = 1,1 respond au premier quartile : x = 0,5 × 0,20 + 1 × 0,45 + 1,5 × 0,30 + 2 × 0,05 = 1,1 L. 25 = 0,125x − 125 ⇔ x = 1 200 . 1. 24 × 20 = 480 . 74 Au moins 25 % des salariés gagnent 1 200 euros ou Il y a 480 employés dans l’usine. moins dans le mois. On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 50 qui cor2. d = 2,5 × 140 + 7,5 × 100 + 160 × 15 + 80 × 30 = 5 900 = 14,75 400 400 respond à la médiane : 2,5 × 140 + 7,5 × 100 + 160 × 15 + 80 × 30 5 900 d = = = 14,75 km. 50 = 0,125x − 125 ⇔ x = 1 400 400. 400 75 1. Au moins 50 % des salariés gagnent 1 400 euros ou Hommes Femmes Total moins dans le mois. Bonne 142 56 198 On détermine l’équation de la droite passant par les points B (1 500 ; 62,5) et C (2 000 ; 60). Mauvaise 59 78 137 27,5 Total 201 134 335 m= = 0,055 . 500 201 = 0,6. Il y a 60 % d’hommes dans l’entreprise. 2. 90 = 0,055 × 2000 + p ⇔ p = −20 . 335 y = 0,055 x − 20 . 3. 137 ≈ 0,41 . Il y a environ 41 % de salariés mécon335 On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 75 qui cortents dans l’entreprise. respond au troisième quartile : 75 = 0,055x − 20 ⇔ x ≈ 1727 . Au moins 75 % des salariés gagnent 1 727 euros ou moins dans le mois. On constate que la moyenne est supérieure au troisième quartile, on peut donc suspecter une valeur extrême qui fait de la moyenne une valeur non représentative de la série. 72 1. 63 personnes attendent 20 minutes ou plus à la caisse. 2. 200 − 181 = 19 : il y a 19 personnes qui attendent moins de 5 minutes à la caisse. 3. 63 − 12 = 52 : il y a 52 personnes qui attendent entre 20 et 25 minutes. 4. L’ordonnée du point E indique le nombre de personne (63) qui attendent au moins le temps indiqué par l’abscisse du point E (20 min). 5. Graphiquement, la médiane correspond à l’abscisse du point d’ordonnée 200 = 100 , soit Me ≈ 16,5 . Le 2 premier quartile correspond à l’abscisse du point d’ordonnée 200 × 0,75 = 150 , soit Q1 ≈ 11 . Le troi-

4. 56 ≈ 0,17 . Il y a environ 17 % de femmes satis335 faites dans l’entreprise. 5. 78 ≈ 0,58. Parmi les femmes, elles sont environ 134 58 % à être mécontentes dans l’entreprise. 76 1. Trois séries statistiques sont exploitées dans ce tableau. Le caractère étudié est le nombre de jeunes âgés de moins de 26 ans bénéficiant de mesure d’aide à l’emploi, c’est un caractère quantitatif discret. 2. En 2010, 419 jeunes en alternance ont bénéficié d’un apprentissage. 3. En 2012, 49 jeunes étaient dans un emploi non marchand. 4. 15 + 8 = 23 ≈ 0,0177 , soit environ 1,77 % 658 + 642 1 300 des jeunes ont bénéficié en 2011 et 2012 d’un emploi marchand hors alternance parmi les jeunes de moins de 26 ans bénéficiant de mesures d’aide à l’emploi. 5. En 2010, sur 100 emplois occupés par des jeunes, 24,7 sont des emplois bénéficiant de mesures d’aide.

Accompagnement personnalisé 77 1. Le pluviomètre est un instrument qui mesure la quantité de précipitations (pluie, neige, etc.) tombée durant un intervalle de temps donné et en un endroit précis. 2. 1 × 1 × 0,001 = 0,001 m3, soit 1 L. 3. Au cours du mois d’avril 2013, il est tombé 92,1 mm d’eau, soit l’équivalent de 92,1 L par m2. La surface totale de la toiture du jardinier étant de 240 m2, il était susceptible de récupérer 240 × 92,1 ≈ 2 482 L durant le mois d’avril 2013, ce qui est nettement insuffisant 126

par remplir la cuve de 4 000 L qu’il souhaite installer. 4. (voir tableau ci-après) Ces résultats montrent une grande variabilité des précipitations d’une année à l’autre pour le mois d’avril. Le mois d’avril 2012 est celui qui, en moyenne, a connu le plus de pluie avec une médiane plus élevée aussi. 5. Le jardinier s’il focalise son attention sur l’année 2012 a raison d’espérer pouvoir remplir sa cuve. Il faudrait les données de plusieurs années pour obtenir des moyennes plus constructives.

Exercices

78 Il est intéressant de se rapprocher des collègues de SES et de STMG qui ont des logiciels dédiés. 79 Budget pour mise en peinture de la salle à manger Fourniture Main d’œuvre Description Peinture au kg Pinceau 1 Pinceau 2 Rouleau Divers Main d’œuvre

Taux de TVA en % 20 10 Prix unitaire HT 4,83 3,75 3,25 7,92 8,33 17,00

Prix unitaire TTC 5,80 4,50 3,90 9,50 10,00 18,7

Quantité 7 1 2 2 1 9

Total HT 33,83 3,75 6,50 15,83 8,33 153,00

Total TTC 40,60 4,50 7,80 19,00 10,00 168,30

Montant TVA 6,77 0,75 1,30 3,17 1,67 15,30

Total

221,25

250,20

28,95

Cellule B8 : =C8/(1+($B$4/100)) Cellule C13 : =B13*(1+($B$5/100)) Cellule E8 : =D8*B8 Cellule F8 : =D8*C8 Cellule G8 : =F8–8 Cellule E15 : =SOMME(E8:E13)

6. Les statistiques

127

Exercices No problem 3. Carbon dioxide represented a little more than the three fourths of global emissions in 2007. 4. The right answer is b.: a pie chart. 0 1 2 3 4 5 Number of times late 5. As emissions have increased by 70 % since 1970, 11 8 3 3 3 2 Frequency if x was the quantity in 1970, then x × 1.7 = 49 so 11 19 22 25 28 30 Added frequency x = 49 . 1.7 N = 30 = 15 , the median is the half sum between So, in 1970, the global emissions were around 28.8 2 2 the data of rank 15 and the data of rank 16: Gt CO2e. If y was the global emissions in 1990, then Me = 1 + 1 = 1 . 2 49 . Therefore, in 1990, the y × 1.24 = 49 so y = 1.24 3. x = 11 × 0 + 8 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 + 2 × 5 = 1.5 30 global emissions were around 39.5 Gt CO2e. x = 11 × 0 + 8 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 + 2 × 5 = 1.5 . 6. Percentage increase between 1970 and 1990 : 30 81 2 ; 3 ; 4 ; 13 ; 17 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 39.5 − 28.8 × 100 = 37.2% . N = 12 = 6 , the median is the half sum between the 28.8 2 2 1. The world population increases from year 0 84 data of rank 6 and the data of rank 7: to year 2100 Me = 20 + 20 = 20 . 2. m = 2,52 − 1,65 = 0.0174 and 1.65 2 50 x ≈ 14.9 . = 0.0174*1 900 + p so, p = –31.41. The mean is more representative to describe the y = 0.0174 x − 31.41. data. 3. y = 0.0174 × 2100 − 31.41 ≈ 5.13 which is not rea82 sonable to forecast the world population in 2100 if we 1. x = 1 250 × 125 + 1 750 × 55 + 11 000 × 20 = 2 362.5 compare the value to 9.46. 200 85 1. “Lies, damned lies, and statistics” is a phrase x = 1 250 × 125 + 1 750 × 55 + 11 000 × 20 = 2 362.5 euros. 200 describing the persuasive power of numbers, particThe median belongs to the interval [1 000 ; 1 500[. ularly the use of statistics. 2. The median is the best value to comment the data, 2. Illustrations of facts can lead to opposite concluthe mean is biased by one or few “extrem values”. sions (ie using different scales on same data). 83 1. As given in the text, GHG means “greenhouse 3. a. Mark Twain was an American author and humorgases”. ist. 2. The quantity of gas is measured in Gt CO2e, which means gigaton of CO2 equivalent. b. He wrote The Adventures of Tom Sawyer (1876).

80 1. Frequency means “effectif” in French.

Traduction des énoncés 80 Retard à l’école Ce tableau montre combien de fois les étudiants d’une même classe sont en retard sur une semaine. Nombre de retards

Fréquence

1. Quelle est la traduction française de frequency ? 2. Déterminez la médiane en additionnant les effectifs des valeurs rangées dans l’ordre, jusqu’à atteindre la valeur centrale des données. 3. Calculez la moyenne.

81 Les paramètres Les notes d’un groupe de 20 étudiants sont les suivantes : 20 - 13 - 20 - 04 - 20 - 20 - 17 - 20 - 03 - 02 - 20 - 20. 128

Calculez la médiane et la moyenne. Commentez les résultats.

82 Les revenus Le tableau suivant présente la distribution des salaires d’une compagnie américaine. Salaire (en $) Fréquence

1 000-1 500 125

1 500-2 000 2 000-20 000 55

1. En utilisant les données du tableau, calculez la moyenne et évaluez la médiane. 2. Quel est le meilleur indicateur pour décrire les données : la moyenne ou la médiane ?

Exercices

Les émissions des six gaz1 à effets de serre définis par le protocole de Kyoto ont augmenté de 70 % depuis 1970 et de 24 % depuis 1990, atteignant 49 gigatonnes équivalent CO2 en 2004. CO2 : 76,7 % CH4 : 14,3 % N2O : 7,9 % PFC + HFC + SF6 : 1,1 % (les gaz fluorés ) 1. Dioxyde de carbone (CO2) ; protoxyde d’azote (N2O) ; méthane (CH4) ; hydrofluorocarbones (HFC) ; perfluorocarbones (PFC) ; hexafluorure de soufre (SF6) Source: IPCC 3d working group, 2007.

1. Que signifie GES ? 2. Quelle unité est utilisée dans le document pour mesurer la quantité globale de gaz à effet de serre ? 3. Commenter la part du dioxyde de carbone dans les émissions totales en 2007. 4. Choisir la bonne réponse ; le diagramme donné est : a. un diagramme en batons ; b. un diagramme circulaire ; c. un histogramme. 5. Calculer les émissions totales de GES en 1970 et en 1990. 6. De quel pourcentage ces émissions ont-elles augmenté entre 1970 et 1990 ?

84 L’évolution de la population mondiale Le tableau suivant présente la population mondiale depuis l’année 0 jusqu’à l’année 2100. 0

1000 1250 1500 1750

0,30 0,31 0,40 0,50 0,79 1800 1850 1900 1910 1920 0,95 1,26 1,65 1,75 1,86

• Il y a les mensonges, les satanés mensonges et les statistiques. • Les faits sont têtus, mais les statistiques sont plus souples. Mark Twain

1. Expliquez la première citation. Pouvez-vous donner un exemple qui l’illustre ? 2. En utilisant les graphiques suivants issus de deux journaux fictifs, pouvez-vous justifier la seconde citation de Mark Twain ? Le journal Cahot commente : « Notre pays a souffert d’une tragique fluctuation du taux de chômage cette année. » 10,5 10,0 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0

Le journal Plat commente : « Le chômage a connu peu de variations cette année. » 30 20 10

2,07 2,30 2,52 3,02 3,70

1980 1990 1999 2000 2010 4,44 5,27 5,98 6,06 6,79 2020 2030 2040 2050 2100 7,50 8,11 8,58 8,91 9,46

nv Fé i e r vr ie M r ar s Av r il M ai Ju i Ju n il l e Se A t pt oû em t O c bre N o to b ve r e D é mb ce r e m br e

1930 1940 1950 1960 1970

Année Population (en milliards) Année Population (en milliards) Année Population (en milliards) Année Population (en milliards) Année Population (en milliards)

85 Mark Twain

nv Fé i e r vr ie M r ar s Av r il M ai Ju J u in il l e Se A t pt oû em t O c bre N o to b ve r e D é mb ce r e m br e

Les émissions de gaz à effets de serre

1. Décrivez l’évolution de la population mondiale. 2. Entre 1900 et 1950, on peut supposer que la population mondiale est une fonction affine du temps. Estimez son coefficient directeur. 3. Est-il raisonnable de penser que la population mondiale sera une fonction affine du temps jusqu’en 2100 ?

83 Écologie

3. Questions Internet a. Qui est Mark Twain ? b. Quel est le plus célèbre roman de Mark Twain ?

6. Les statistiques

129

L’échantillonnage

Présentation du chapitre

Ce chapitre constitue une nouveauté des programmes de 2009. Il s’avère délicat à enseigner pour deux raisons essentielles : • les élèves ont encore peu d’habitudes pour les raisonnements mélangeant des résultats statistiques et des résultats de probabilités ; rien d’étonnant à cela, puisque ces notions (les probabilités notamment) sont en cours d’acquisition depuis la classe de troisième ; • les contenus mathématiques sous-jacents sont difficiles et les validations des principaux résultats théoriques ne sont pas accessibles à ce niveau d’études (notion d’échantillons, de fluctuation, d’intervalles de fluctuation et de confiance). Il est donc indispensable, dans ce chapitre particulièrement, d’allier un discours mathématique rigoureux à l’utilisation pertinente des outils informatiques : discours rigoureux pour mettre en place la notion d’échantillons, d’intervalle de fluctuation, d’utilisation de la règle de décision ou de l’estimation ; utilisation de l’outil informatique pour expliquer des résultats et bel et bien les « valider » sans qu’ils n’aient l’air de « sortir du chapeau ». Le cours contient les définitions exigibles illustrées de nombreux exemples. En particulier, il est indispensable de montrer, avec la simulation informatique, la fluctuation d’échantillonnage et la notion d’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Un effort tout particulier a été fait dans l’utilisation de l’intervalle de fluctuation, en mettant en place une règle de décision. Les Outils et méthodes montrent, par l’expérimentation, la notion d’échantillon et la notion d’estimation d’une proportion par un intervalle de confiance (non exigible). Les rubriques S’organiser pour apprendre et Faire un bilan de ses capacités sont particulièrement importantes dans ce chapitre. En effet, les contextes sont particulièrement riches en textes à lire, à analyser et à comprendre. Les élèves ont souvent du mal à trier l’information et à ajuster leurs raisonnements et leurs réponses. Ils se trouvent rapidement pris au dépourvu. Il est donc nécessaire de leur montrer que les notions sont plus faciles à mettre en œuvre si on perçoit bien la situation à laquelle on est confronté.

7. L’échantillonnage

131

Pour construire le cours Situation A Compter des nombres premiers en MATHÉMATIQUES Objectifs : Identifier les paramètres n, p et f. Situer un échantillon par rapport à une « norme ». 1. Population : les nombres entiers entre 1 et 100. Caractère étudié : être un nombre premier (primalité d’un nombre). 2. On peut inviter les élèves à compléter un crible d’Ératosthène en l’expliquant rapidement. 1

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Crible d’Eratosthène pour les entiers de 1 à 100 Il reste à trouver la proportion théorique du caractère et pour cela, il faut connaître le nombre de nombres premiers compris entre 1 et 100. Ce sont les nombres en gris dans le tableau, il y en a 25, d’où p = 25 = 0,25. 100 3. L’échantillon est constitué des 50 nombres entiers tirés au hasard entre 1 et 100. Le tirage au sort de 50 nombres constitue un échantillon de taille 50.

Un échantillon de taille n est constitué des résultats obtenus par n répétitions indépendantes d’une même expérience aléatoire. 4. La fréquence de nombres premiers qui est observée dans cet échantillon est f = 38 = 0,76. 50 On peut dire dans un premier temps que cette fréquence est relativement éloignée de la proportion théorique et donc penser qu’elle relève plutôt de l’extraordinaire. Le professeur peut alors exposer l’enjeu du chapitre : comment savoir si un échantillon relève du banal ou de l’extraordinaire ? Pour cela, il peut proposer de simuler sur tableur un certain nombre d’échantillons et montrer que la fréquence varie d’un échantillon à l’autre mais de manière relativement « encadrée » pour finir de convaincre les élèves.

Lorsque qu’on considère un caractère dont on connaît la proportion théorique p dans une population, on peut observer un échantillon et se demander si celui-ci est « représentatif » de la population au regard de ce caractère. On calcule la fréquence d’apparition f de ce caractère dans cet échantillon et il s’agit maintenant de déterminer une méthode permettant de décider si celui-ci relève du banal ou plutôt de l’extraordinaire. La différence entre p et f est-elle « significative » ou pas? Cette activité n’est qu’une première approche et cette notion est développée de manière plus détaillée dans les autres situations.

132

Pour construire le cours

Situation B Analyser des résultats aléatoires en SCIENCES HUMAINES Objectifs : Interpréter une simulation. Comprendre la notion d’intervalle de fluctuation. Les deux parties sont à faire dans le même temps de recherche car elles sont liées. On met à disposition des élèves le fichier tableur correspondant. • 1. L’instruction =ENT(2*ALEA()) renvoie un nombre entier aléatoire entre 0 et 1, donc ici 0 ou 1. Si on convient que le 1 correspond à l’obtention d’un « Pile » et le 0 à l’obtention d’un « Face », on peut considérer que la formule saisie simule le lancer d’une pièce équilibrée. On peut interroger les élèves sur la signification des colonnes de la feuille de calcul intitulées échantillon. 2. =NB.SI(B3:B102;1)/100 : cette formule compte le nombre de « 1 » dans la colonne B et on calcule la fréquence du « 1 ». 3. Le nombre trouvé varie d’un échantillon à l’autre mais celui-ci doit rester relativement faible à chaque simulation. • 1. Il y a un point commun aux deux situations : en effet, le tirage aléatoire de 100 élèves d’Aquitaine, si on s’intéresse au genre (garçon ou fille), peut être assimilé à un tirage de pièce (Pile ou Face) dans la mesure où la proportion théorique de chaque caractère est considérée comme égale à 0,5. 2. On peut donc utiliser la même simulation sur tableur pour décider si la fréquence de filles dans l’échantillon respecte la parité annoncée par le Président du Conseil régional. On peut observer, grâce à la simulation, que la grande majorité des échantillons simulés à parité (p = 0,5), ont une fréquence entre 0,4 et 0,6 (la fréquence fluctue mais reste proche de 0,5 sans lui être forcément égale). Ainsi la fréquence observée de 0,44 ne paraît pas anormale en terme de respect de la parité. Pour cette partie, il est important de faire remarquer aux élèves que c’est une situation similaire à la précédente et donc que la simulation est identique. Pourtant les deux situations ont une présentation différente dans les questionnements.

Un échantillon de taille n est la liste des résultats obtenus par n répétitions d’une même expérience aléatoire dans des conditions strictement identiques. On a simulé des échantillons de taille 100 et les résultats obtenus sont les listes de cent chiffres 0 ou 1 correspondant à Pile (1) ou Face (0). Lorsqu’on s’intéresse à la fréquence d’apparition d’un caractère (ici « Pile »), cette fréquence fluctue autour d’une valeur théorique qu’on appellera p (ici la probabilité d’obtenir « Pile », c’est-à-dire p = 0,5). Ce phénomène s’appelle la fluctuation d’échantillonnage. Néanmoins, cette fluctuation, bien que due au hasard, peut être quantifiée. En effet, on observe (et on admet ici) que 95 % au moins de ces fréquences appartiennent à l’intervalle [0,4 ; 0,6]. On obtient cet intervalle par le calcul : ⎡p − 1 ; p + 1 ⎤ . ⎣⎢ n n ⎦⎥ On peut faire vérifier aux élèves que cette formule donne bien l’intervalle [0,4 ; 0,6] dans le cas étudié. Sous certaines conditions (par exemple n  25 et 0,2  p  8 ou encore n  30 et np  5 et n(1 – p)  5) qui ne sont pas à connaître des élèves, 95 % des échantillons ont une fréquence qui se trouve dans cet intervalle.

Cet intervalle s’appelle « intervalle de fluctuation au seuil de 95 % » de la fréquence du caractère observé. Lorsqu’on trouve un échantillon pour lequel la fréquence du caractère observé appartient à l’intervalle de fluctuation, rien ne permet d’affirmer que cet échantillon sort de l’ordinaire.

7. L’échantillonnage

133

Pour construire le cours Situation C Contrôler une production en SCIENCES de L’INGÉNIEUR Objectif : Prendre une décision à partir d’une simulation. 1. Population : capots de voiture d’une usine donnée. Caractère étudié : présence du défaut de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Proportion théorique du caractère : 20 = 0,20. 100 Taille de l’échantillon : 50. Fréquence de l’échantillon : 13 = 0,26. 50 2. On met le fichier à disposition des élèves. 3. En regardant les fréquences simulées, on constate qu’il n’y a quasiment jamais de fréquence en dehors de l’intervalle proposé. Ainsi, on peut penser que la fréquence de défauts dans cet échantillon n’est pas « anormale » car elle appartient à cet intervalle. Le responsable de la production n’a donc pas de raison particulière de s’inquiéter. Faire observer aux élèves que, bien que les fréquences fluctuent, elles restent quand même relativement proches de la fréquence théorique, soit 0,2. La fluctuation est « encadrée ». On peut amener progressivement le questionnement suivant : « En décidant de ne pas prendre en compte les 5 fréquences les plus « atypiques », dans quel intervalle se situent les 95 autres, soit 95 % des fréquences ? » Selon les élèves, l’intervalle considéré ne sera pas forcément le même mais ils seront tous suffisamment proches les uns des autres pour décider d’une convention. Chacun peut alors vérifier qu’au moins 95 % de ses résultats se situent dans l’intervalle : ⎡0,2 – 1 ; 0,2 + 1 ⎤ ≈ [0,058 ; 0,342] (on arrondit de façon à élargir l’intervalle « exact »). ⎣⎢ 50 50 ⎦⎥ On peut alors préciser qu’un raisonnement mathématique (pas à la portée des élèves de Seconde) permet de prouver qu’au moins 95 % des résultats sont dans cet intervalle. Une fréquence appartenant à cet intervalle n’est donc pas considérée comme anormale.

Un échantillon de taille n est la liste des résultats obtenus par n répétitions d’une même expérience aléatoire dans des conditions strictement identique. Ici, on a simulé des échantillons de taille 50 et les résultats obtenus sont les listes de cinquante « 1 » ou « 0 » correspondant à la présence du défaut ou non. Lorsqu’on s’intéresse à la fréquence d’apparition d’un caractère (ici, le défaut), celle-ci fluctue autour d’une proportion théorique qu’on appelle p (la probabilité d’obtenir ce défaut, c’est-à-dire p = 0,2). Ce phénomène s’appelle la fluctuation d’échantillonnage. Néanmoins, cette fluctuation, bien que due au hasard, n’est pas si chaotique qu’on pourrait le croire. On peut mathématiquement la quantifier : en effet, on peut prouver (et on admet ici) que 95 % au moins de ces fréquences appartiennent à l’intervalle ⎡p − 1 ; p + 1 ⎤ sous certaines conditions (qui ne sont pas à connaître : n  25 ⎣⎢ n n ⎦⎥ et 0,2  p  0,8 ou encore n  30 et np  5 et n(1 - p)  5). Cet intervalle s’appelle intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence du caractère observé. Ainsi, lorsqu’on trouve un échantillon pour lequel la fréquence du caractère observé appartient à l’intervalle de fluctuation, on n’a pas de raison de penser qu’autre chose que le hasard intervient.

134

Pour construire le cours

Situation D Simuler pour comprendre un fait démographique en SCIENCES de la VIE et de la TERRE Objectif : Simuler et utiliser l’intervalle de fluctuation. 1. et 2.

3. La fréquence de filles nées dans cette ville mexicaine est : 47 ≈ 0,734. 64 En regardant les fréquences simulées, on constate qu’il n’y a quasiment jamais de fréquence de filles aussi élevée. Cette situation semble donc « hors normes », cela ne provient probablement pas que du hasard. 4. Faire observer aux élèves que, sur le graphique, bien que les fréquences fluctuent, elles restent quand même relativement proches de la fréquence théorique 0,5. On peut amener progressivement le questionnement suivant : « En décidant de ne pas prendre en compte les 5 fréquences les plus « atypiques », dans quel intervalle se situent les 95 autres, soit 95 % des fréquences ? » Selon les élèves, l’intervalle considéré ne sera pas forcément le même, mais ils seront tous suffisamment proches les uns des autres pour décider d’une convention. Chacun peut alors vérifier qu’au moins 95 % de ses résultats se situe dans l’intervalle ⎡0,5 – 1 ; 0,5 + 1 ⎤ . ⎣⎢ 64 64 ⎦⎥ On peut alors préciser qu’un raisonnement mathématique (pas à la portée des élèves de Seconde) permet de prouver qu’au moins 95 % des résultats sont dans cet intervalle.

Un échantillon de taille n est la liste des résultats obtenus par n répétitions d’une même expérience aléatoire dans des conditions strictement identique. Ici, on a simulé des échantillons de taille 64 et les résultats obtenus sont les listes de soixante quatre 0 ou 1 correspondant à des garçons ou des filles. Lorsqu’on s’intéresse à la fréquence d’apparition d’un caractère (ici, les filles), celle-ci fluctue autour d’une proportion théorique qu’on appellera p (ici : probabilité d’obtenir une fille, c’est-à-dire p = 0,5). Ce phénomène s’appelle la fluctuation d’échantillonnage. Néanmoins, cette fluctuation, bien que due au hasard, n’est pas si chaotique qu’on pourrait le croire. On peut mathématiquement la quantifier : en effet, on peut prouver (et on admet ici) que 95 % au moins de ces fréquences appartiennent à l’intervalle ⎡p − 1 ; p + 1 ⎤ sous certaines conditions (qui ne sont pas à connaître n  25 ⎢⎣ n n ⎥⎦ et 0,2  p  0,8 ou encore n  30 et np  5 et n(1 - p)  5). Cet intervalle s’appelle intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence du caractère observé. Ainsi, lorsqu’on trouve un échantillon pour lequel la fréquence du caractère observé n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, on peut raisonnablement penser (avec un risque d’erreur de 5 %) que ce phénomène est dû à un autre facteur que le hasard. Une règle de décision peut alors être mise en place (voir page 188 du manuel).

7. L’échantillonnage

135

Diaporamas L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

Calculer de tête : a. 0,5 – 1 25

Garçons

120

Filles

Quelle est la fréquence de filles ?

b. 0,5 + 1 25

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

Garçons

Filles

Collégiens

260

350

Lycéens

110

150

Total

200

300

500

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

Total

Parmi les garçons de ce panel, quelle est la fréquence

L’intervalle [0,304 ; 0,412] est inclus dans : a. [0,30 ; 0,41]

b. [0,31 ; 0,42]

c. [0,30 ; 0,42]

d. [0,31 ; 0,41]

de collégiens ? © Hachette Livre – Mathématiques 2de

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

1 vaut : 400 a.

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

76 est compris entre :

1 b. 1 20 200

c. 0,05

d. 20

L’échantillonnage

Diaporama calcul mental

Quelle est l’amplitude de l’intervalle [0,359 ; 0,417] ?

136

a. 75 et 77

b. 7 et 8

c. 8 et 9

d. 4 900 et 6 400

Diaporamas

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

Le nombre 0,39 appartient à l’intervalle :

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

On donne l’intervalle de fluctuation ⎡0,7 – 1 ; 0,7 + 1 ⎤ . ⎣ 10 10 ⎦ n vaut :

a. ⎡0,5 – 1 ; 0,5 + 1 ⎤ ⎣⎢ 100 100 ⎦⎥ 1 1 ⎤ ; 0,4 + b. ⎡⎢0,4 – ⎣ 10 000 10 000 ⎦⎥

a. 10 b. 10

c. ⎡0,3 – 1 ; 0,3 + 1 ⎤ ⎣⎢ 25 25 ⎥⎦

c. 100

d. 100

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

On donne l’intervalle de fluctuation [0,65 ; 0,85]. Une urne contient 250 boules dont 127 sont rouges

On a : a. n =

et les autres sont vertes.

1 et p = 0,7 100

La proportion de boules vertes est :

b. n = 100 et p = 0,75

a. 127 b. 250 123 250

c. n = 10 et p = 0,75

c. 123 d. 123 250 127

d. n = 0,75 et p = 100 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

Pour simuler le tirage au hasard de jetons dans un sac On lance 100 fois une pièce de monnaie qui a 1 chance sur 4 de tomber sur « pile ». L’intervalle de fluctuation de la fréquence de « Pile » est : a. [0,65 ; 0,85]

b. [0,24 ; 0,26]

c. [0,74 ; 0,76]

d. [0,15 ; 0,35]

contenant 60 % de jetons noirs, l’instruction à entrer dans une cellule du tableur pour que le chiffre 1 corresponde à l’obtention d’un jeton noir peut être : a. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;60) b. =ENT(60*ALEA()) c. =ENT(ALEA()+0,4) d. =ENT(ALEA()+0,6)

L’échantillonnage

Diaporama QCM chrono

On lance 10 000 fois une pièce de monnaie et on obtient 9 108 fois « Face ». Alors : a. La pièce est forcément truquée. b. Ce n’est pas possible d’obtenir ce tirage. c. On ne peut rien dire. d. On peut dire que la pièce est truquée avec un risque d’erreur de 5 %. © Hachette Livre – Mathématiques 2de

7. L’échantillonnage

137

Exercices Réviser ses gammes Ces deux variations reviennent donc à multiplier par 0,9 × 1,15 = 1,035 soit une hausse de 3,5 %. d. Faux car une augmentation de 10 % revient à multiplier par 1,10 et une baisse de 10 % revient à multiplier par 0,9. Ces deux variations reviennent donc à multiplier par 1,1 × 0,9 = 0,99 soit une baisse de 1 %.

Gamme 1 a. n = 10.

b. n ≈ 30. c. n = 5. d. n = 10. Gamme 2 La phrase b. n’a pas de sens car une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Gamme 3 a. La fréquence de personnes qui regardent la télévision entre 2 h et 4 h par jour est égale à : 54 = 0,54. 100 b. La fréquence de personnes qui regardent la télévision entre plus de 2 h par jour est égale à : 54 + 22 = 0,76. 100 Gamme 4 a. Vrai. b. Faux, cela revient à multiplier par : 100 – 10 = 0,9. 100 100 c. Vrai, car une baisse de 10 % revient à multiplier par 0,9 et une augmentation de 15 % revient à multiplier par 1,15.

Gamme 5 a. Le nombre de personnes interrogées vaut 6 + 11 + 18 + 10 + 5 = 50. b. La fréquence de personnes qui préfèrent le jaune est 10 = 0,2. 50 Gamme 6 a. p  [0,6 ; 0,8]. b. q  ⎡0,6 – 1 ; 0,6 + 1 ⎤ . ⎣ 10 10 ⎦ c. r  ⎡⎢0,3 – 1 ; 0,3 + 1 ⎤⎥ . ⎣ n n⎦ Gamme 7 1. 0,2 – 1 = 0,1 et 100 0,2 + 1 = 0,3, donc la bonne réponse est b. 100 2. 0,3 – 1 ≈ 0,23 et 0,3 + 1 ≈ 0,37, donc la 200 200 bonne réponse est c.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacité 2.

2. Capacités 1 et 4. 3. a. Capacité 2. b. Capacités 1 et 2. 2 1. 2 – 2 – 6 – 3 – 1 – 5 – 5.

2. pair-pair-impair-pair-impair-pair-pair. 3. blanche-rouge-verte-verte-rouge-blanche-verte. 3 p = 0,15 (supposé)

n = 400 f = 92 = 0,23 400 I = ⎡0,15 – 1 ; 0,15 + 1 ⎤ ⎣⎢ 400 400 ⎦⎥ I = [0,1 ; 0,2] f ” I, donc on peut rejeter (avec un risque d’erreur de 5 %) l’affirmation. 4 p = 0,72 (supposé) n = 150 f = 107 ≈ 0,713 150 I = ⎡0,72 – 1 ; 0,72 + 1 ⎤ ⎣⎢ 150 150 ⎦⎥

138

I = [0,638 ; 0,802] f  I, donc on n’a pas de raison de contredire le fournisseur. 5 p est le centre de l’intervalle [0,66 ; 0,86] donc

p = 0,66 + 0,86 = 0,76. 2

18 ≈ 0,486 (supposé) 6 1. p =

n = 200

I = ⎡ 18 – 1 ; 18 + 1 ⎤ ⎢⎣ 37 200 37 200 ⎥⎦ I = [0,415 ; 0,558] 2. fAndernos = 104 = 0,52 200 116 = 0,58 fBiarritz = 200 fAndernos  I, donc on ne peut pas remettre en cause le caractère aléatoire de la roulette d’Andernos. fBiarritz ” I, donc on peut remettre en cause le caractère aléatoire de la roulette de Biarritz (avec un risque d’erreur de 5 %). 7 1. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)

2. =SI (ALEA()<0,3;0;1)

3. Oui, car si n augmente, 1 diminue. n

Exercices 5. p = 0,33 (connu) n = 893 f = 340 ≈ 0,381 893 I = ⎡⎢0,33 – 1 ; 0,33 + 1 ⎤⎥ ⎣ 893 893 ⎦ I = [0,296 ; 0,364] f ” I, donc on peut considérer (avec un risque d’erreur de 5 %) que cette ville n’est pas représentative de la population.

Corrigés des exercices 1 1. La population est l’ensemble des grains de café dans un sac de 100 kg. Le caractère étudié : « Le grain est-il robusta ? ». La proportion théorique du caractère vaut p = 0,30 (proportion de grains de robusta dans le sac de 100 kg). Dans cette population, en prélevant 153 grains de café, on crée un échantillon de taille 153. 2. Pour le caractère étudié, l’échantillon présente une fréquence égale à f = 45 ≈ 0,29. 153 2 Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

0,25

0,24

0,278

L’étendue des fréquences est de : 0,278 – 0,24 = 0,038. Elle a baissé par rapport à la question 2. de l’exercice résolu 2.

3 1. Le caractère étudié est : « Le foyer regardet-il Direct 2 à 20 h ? ». La proportion théorique du caractère vaut p = 0,31. La taille de l’échantillon est de 1 000. Pour le caractère étudié, l’échantillon présente une fréquence égale à f = 260 = 0,26. 1000 2. n = 1 000  25 et 0,2  p  0,8 I = ⎡p – 1 ; p + 1 ⎤ ⎢⎣ n n ⎥⎦ = ⎡⎢0,31– 1 ; 0,31+ 1 ⎤⎥ ⎣ 1000 1000 ⎦ = [0,278 ; 0,342] L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,278 ; 0,342]. La fréquence f observée dans l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que la proportion théorique avancée par Direct 2 est fausse.

4 n = 500  25 et 0,2  0,27  0,8

I = ⎡p – 1 ; p + 1 ⎤ ⎣⎢ n n ⎦⎥ = ⎡0,27 – 1 ; 0,27 + 1 ⎤ ⎢⎣ 500 500 ⎥⎦ = [0,225 ; 0,315] L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,225 ; 0,315]. La fréquence f = 140 = 0,28 obser500 vée dans l’échantillon est dans l’intervalle. On ne peut pas dire que l’échantillon n’est pas représentatif de la population au regard du caractère étudié.

5 a. D’après le graphique, la fréquence de boules rouges au bout de 60 tirages vaut environ 0,34. L’affirmation est donc fausse. b. Si l’urne contient exactement 15 boules rouges, la fréquence observée, lorsque n est grand, doit se rapprocher de 15 = 0,3. Or, ce n’est pas le cas gra50 phiquement (elle se rapproche de 0,4), la proposition est donc fausse. c. Lorsque n est grand, la fréquence observée se stabilise autour de 0,4, on peut donc raisonnablement penser que la probabilité de tirer une boule rouge est de 0,4. La proposition est vraie. 6 p est le centre de l’intervalle de fluctuation. Or 0,48 + 0,38 = 0,43 , donc p = 0,43. 2 L’amplitude de l’intervalle de fluctuation vaut : 0,48 – 0,38 = 0,10, elle est égale à 2 . n 2 ⇔ n = 20, donc n = 400. 0,10 = n

7 Graphiquement, on peut penser que p = 0,3 et que [0,2 ; 0,4] est l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. L’échantillon de taille 100 et de fréquence 0,45 ne semble donc pas représentatif du caractère étudié, avec un risque de 5 % de se tromper. 7. L’échantillonnage

139

Exercices 8 Graphiquement, on peut penser que p = 0,6 et que [0,5 ; 0,7] est l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Dans ce cas, il semble que . Il semble donc que 0,2 = 2 ⇔ n = 10. n Il semble que n = 100. 9 1. La fréquence théorique d’obtenir « Pile » avec une pièce équilibrée est p = 0,5. n = 50  25 et 0,2  p  0,8. I = ⎡0,5 – 1 ; 0,5 + 1 ⎤ = [0,35 ; 0,65]. ⎣⎢ 50 50 ⎦⎥ La fréquence observée est f = 34 = 0,68 : cette fré50 quence n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, on peut affirmer, avec un risque de 5 %, de se tromper, que la pièce de monnaie est truquée. 2. 2 802 ≈ 0,21, réponse c. 13 456 1 = 2 ⇔ n = 60, donc n = 3 600. 10 30 n

11 I =

⎡p – 1 ; p + 1 ⎤ ⎢⎣ n n ⎥⎦

= ⎡0,65 – 1 ; 0,65 + 1 ⎤ ⎢⎣ 1600 1600 ⎥⎦ = [0,625 ; 0,675]. Réponse c.

12 ALEA() renvoie un nombre aléatoire de l’intervalle [0 ; 1[. ALEA()+0,4 renvoie donc un nombre aléatoire de l’intervalle [0,4 ; 1,4[. ENT renvoie la partie entière d’un nombre. Ainsi, la formule =ENT(ALEA()+0,4) renvoie 0 avec une probabilité de 0,6 (car 1 – 0,4) et 1 avec une probabilité de 0,4 (car 1,4 – 1). La formule considérée peut donc simuler le tirage d’un nombre entier 0 ou 1 avec une probabilité de 0,6 pour l’obtention du 0. La proposition a. est donc inexacte. La proposition b. est correcte à condition de faire correspondre à « 0 » le tirage du jeton vert et à « 1 » le tirage d’un jeton d’une autre couleur. La proposition c. est exacte. La proposition d. est correcte à condition de faire correspondre à « 1 » le tirage du jeton rouge et à « 0 » le tirage d’un jeton d’une autre couleur. 13 1. =ENT(ALEA()+0,5) simule le tirage d’un nombre entier 0 ou 1 avec une probabilité de 0,5 pour chacun. Cette formule simule, par exemple, le résultat du lancer d’une pièce non truquée (« 0 » pour « Pile » et « 1 » pour « Face », par exemple). 2. =ENT(10*ALEA()) simule le tirage, de façon équiprobable, d’un nombre entier compris entre 0 et 9 (bornes comprises). 3. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;20) simule, de façon équiprobable, le tirage d’un nombre entier entre 1 et 20 (bornes comprises). 4. =ENT(ALEA()+0,2) simule le tirage du nombre 0 avec une probabilité de 0,8 et du nombre 1 avec une 140

probabilité de 0,2. Cette formule permet, par exemple, de simuler le tirage d’une boule rouge dans une urne contenant 10 boules, dont 2 rouges.

14 1. La population est l’ensemble des coques de protection pour téléphones portables produites par l’entreprise. 2. Le caractère étudié est : « La masse de la coque est-elle supérieure à 13 grammes ? ». 3. p = 2 640 . 12 000 4. La taille de l’échantillon est 150. 15 1. Population concernée : les personnes de 30 à 34 ans dans l’Union européenne. 2. Caractère étudié : « La personne a-t-elle achevé ses études supérieures ? ». 3. p = 0,36. 4. L’échantillon est composé de personnes vivant en France et ayant entre 30 et 34 ans. La taille de l’échantillon est 1 000. 5. f = 380 = 0,38. 1000 16 1. La population concernée est l’ensemble des entreprises créées dans le secteur industriel français en 2011. 2. Caractère étudié : « L’entreprise est-elle une autoentreprise ? ». 3. p = 7 888 ≈ 0,40. 19 940 4. L’échantillon est composé d’entreprises créées dans le secteur industriel français en 2011. La taille de l’échantillon est 10 × 19 940 = 1 994. 100 698 ≈ 0,35. 5. f = 1994 17 1. Pour la copie d’écran présente dans l’exercice et en considérant que l’on complète avec des zéros si le nombre n’a pas suffisamment de décimales, cela donne : GF-GG-GF-FF-GF GG-GG-GF-GF-GG FG-FF-GG-FG-FF FG-FG-GG-GF-GG GG-FG-GF-GG-GF 2. Fratrie Effectif

Garçon/Garçon Garçon/Fille Fille/Fille 9

3. D’après le tableau ci-dessus, il y a 9 familles avec 2 garçons. 4. f = 9 = 0,36. 25 5. Les résultats dépendent des simulations obtenues. 6. Les résultats dépendent des simulations obtenues.

18 1. =ENT(ALEA()+0,5) ou =ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) ou =ENT(2*ALEA()) 2. I = ⎡ p – 1 ; p + 1 ⎤ ⎢⎣ n n ⎥⎦ = ⎡0,5 – 1 ; 0,5 + 1 ⎤ . ⎢⎣ 100 100 ⎥⎦ 3. =NB.SI(B3:B102 ;1)/100

Exercices

4. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,4 ; 0,6]. La fréquence observée dans l’échantillon est dans l’intervalle. On n’a pas de raison de dire que l’échantillon n’est pas représentatif de la population pour le caractère étudié. On considère que le maire n’a pas tort. 19 1. I = ⎡⎢ p – 1 ; p + 1 ⎤⎥ ⎣ n n⎦ 1 = ⎡0,38 – ; 0,38 + 1 ⎤ ⎣⎢ 800 800 ⎦⎥ = [0,344 ; 0,416]. 2. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,344 ; 0,416]. La fréquence f = 200 = 0,28 800 observée dans l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que l’échantillon n’est pas représentatif de la population française au regard du caractère étudié (avoir au moins un chat). 3. À faire en classe. 20 1. I = ⎡⎢ p – 1 ; p + 1 ⎤⎥ ⎣ n n⎦ = ⎡0,39 – 1 ; 0,39 + 1 ⎤ ⎣⎢ 1342 1342 ⎦⎥ = [0,362 ; 0,418]. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,362 ; 0,418]. La fréquence f = 0,26 observée dans l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que l’échantillon n’est pas représentatif de la population française vis-à-vis du caractère étudié (être du groupe A+). 8 = 0,25. 21 1. p = 32 2. I = ⎡0,25 – 1 ; 0,25 + 1 ⎤ ⎣⎢ 200 200 ⎦⎥ = [0,179 ; 0,321].

3. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,179 ; 0,321]. La fréquence f = 56 = 0,28 observée 200 dans l’échantillon est dans l’intervalle. On n’a pas de raison de dire que l’échantillon n’est représentatif.

22 La probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé cubique équilibré est p = 0,5. 1 1 ⎤ = [0,485 ; 0,515]. ; 0,5 + I = ⎡0,5 – ⎢⎣ 5 000 5 000 ⎥⎦ L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,485 ; 0,515]. La fréquence f = 2 375 = 0,475 observée dans 5 000 l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que le dé est truqué. Il serait donc bon de mener une enquête pour usage de dés truqués ! 23 I = ⎡⎢⎣0,05 – 1 ; 0,05 + 1 ⎤⎥⎦ 2 500 2 500 = [0,03 ; 0,07]. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,03 ; 0,07]. La fréquence f = 180 = 0,072 observée 2 500

dans l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que la chaîne est déréglée. 24 I = ⎡⎣⎢0,21– 1 ; 0,21+ 1 ⎤⎦⎥ 380 380

= [0,158 ; 0,262]. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est 76 I = [0,158 ; 0,262]. La fréquence f = = 0,2 observée 380 dans l’échantillon est dans l’intervalle. Le cabinet de contrôle n’a pas de raison de penser que l’affirmation du responsable de la fabrication est fausse. 1 ; 1 + 1 ⎤ = [0,19 ; 0,47]. 25 I = ⎡⎢⎣ 31 – 50 3 50 ⎥⎦ L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,19 ; 0,47]. Les fréquences observées par les pêcheurs 4 et 7 sont dans l’intervalle. En revanche, les fréquences observées par les pêcheurs 1, 2, 3, 5, 6 et 8 ne sont pas dans l’intervalle de fluctuation. 75 % des pêcheurs observent un excès de gardons dans l’étang, ce qui devrait pousser les pêcheurs à parler d’une seule voix pour affirmer que l’annonce du club est fausse (avec un risque d’erreur). 1 ; 0,04 + 1 ⎤ 26 I = ⎡⎢⎣0,04 – 500 500 ⎥⎦ = [–0,005 ; 0,085]. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [–0,005 ; 0,085]. Les fréquences observées sont 32 f1 = 26 = 0,052 et f2 = 500 = 0,064, ces deux fré500 quences sont dans l’intervalle de fluctuation, on ne peut donc pas conclure que la chaîne de production fonctionne mal.

27 53 % des élèves qui passent leur baccalauréat en France ont une mention. Un professeur souhaite expliquer dans une conférence internationale sur l’enseignement que dans 95 % des échantillons, le pourcentage des élèves français ayant leur bac avec une mention reste compris entre deux valeurs assez proches de 53 %. Écrire un algorithme qui permet de simuler 200 échantillons de taille 500, de calculer les fréquences d’élèves qui ont une mention dans chaque échantillon et de représenter graphiquement la situation. 28 1. Au premier coup d’œil, il semble que les faces

4 et 6 ont une fréquence d’apparition bien différente des autres et qui pose question sur le bon équilibrage du dé. 2. Si le dé n’est pas truqué, la fréquence d’apparition de chacune des faces est f = 1 . 6 1 1 1 1 ⎡ ⎤ 3. I = – ; + ⎣⎢ 6 500 6 500 ⎦⎥ = [0,121 ; 0,212]. Les fréquences d’apparition observées des faces 6 et 4 ne sont pas dans l’intervalle de fluctuation, on peut donc affirmer, avec un risque d’erreur de 5%, que le dé est truqué. 7. L’échantillonnage

141

Exercices 29 1. La proportion d’hommes se présentant au

704 concours est p = = 704 . 704 + 1438 2 142 L’intervalle de confiance est : I = ⎡ 704 – 1 ; 704 + 1 ⎤ ⎣⎢ 2 142 500 2 142 500 ⎦⎥ = [0,283 ; 0,374]. La fréquence observée est f = 188 = 0,376 : cette 500 fréquence est en dehors de l’intervalle de fluctuation, on peut donc dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que le jury n’a pas respecté la parité dans son mode de recrutement. 2. La proportion de femmes se présentant au 1356 concours est p = = 1356 . 1356 + 698 2 054 L’intervalle de confiance est : I = ⎡ 1356 – 1 ; 1356 + 1 ⎤ ⎢⎣ 2 054 500 2 054 500 ⎥⎦ = [0,615 ; 0,705]. 341 La fréquence observée est f = 500 = 0,682, cette fréquence est dans l’intervalle de fluctuation, on n’a donc pas de raison de dire que le jury n’a pas respecté la parité dans son mode de recrutement.

30 I = ⎡⎣⎢0,37 – 1 ; 0,37 +

1 ⎤ 200 200 ⎦⎥ = [0,29 ; 0,45]. La fréquence observée est f = 92 = 0,46. Cette fré200 quence est en dehors de l’intervalle de fluctuation, on peut donc dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que la campagne publicitaire a eu un impact sur les ventes. 1 ; 0,21+ 1 ⎤ 31 I = ⎡⎣⎢0,21– 200 200 ⎦⎥

= [0,139 ; 0,281].

La fréquence observée est f = 26 = 0,13. Cette fré200 quence est en dehors de l’intervalle de fluctuation, on peut donc affirmer que la société spécialisée dans la mesure d’audience va dire à la chaîne de télévision que son annonce est mensongère, avec un risque de se tromper de 5 %.

32 2n = 0,2 ⇔ n = 10 ⇔ n = 100.

Pour tester l’efficacité de la pommade avec un intervalle d’amplitude 0,2, il faut un échantillon de 100 personnes.

33 1. Pour simuler 80 tirages avec remise d’une boule rouge dans une urne contenant 7 boules rouges et 3 boules blanches, on peut entrer la formule =ENT(ALEA()+0,7) dans la cellule A1 et l’étirer jusqu’à la cellule A80 (le « 1 » représentera alors l’obtention d’une boule rouge). 2. Pour afficher la fréquence de boules rouges obtenue on peut écrire dans la cellule A82, =SOMME(A1 :A80)/80 . La comparaison dépend de la simulation obtenue. 34 1. I = ⎡⎣⎢0,5 – 142

1 1 ⎤ ; 0,5 + 3 000 3 000 ⎦⎥ = [0,481 ; 0,519].

2. La formule =ENT(2*ALEA()) permet de simuler les nombres « 0 » ou « 1 » avec une probabilité de p = 0,5 pour chacun. 3. 0,525 correspond à la fréquence d’apparition du caractère pour un échantillon de taille 1 000. 4. La formule =SI(B1003<=0,519;1;0) affiche un « 1 » si la cellule B1003 contient une valeur inférieure ou égale à 0,519 et « 0 » sinon. La formule =SI(B1003>=0,481;1;0) affiche un « 1 » si la cellule B1003 contient une valeur supérieure ou égale à 0,481 et 0 sinon. La formule =B1004*B1005 affiche donc un « 1 » si les cellules B1004 et B1005 contiennent toutes les deux un « 1 » et « 0 » sinon. Ainsi, cela permet de vérifier si la fréquence obtenue en cellule B1003 appartient à l’intervalle de fluctuation d’un échantillon de taille 3 000. 5. Dans le meilleur des cas 80 % des fréquences simulées appartiennent à l’intervalle de fluctuation d’un échantillon de taille 3 000. En passant d’un échantillon de taille 1 000 à un échantillon de taille 3 000, on multiplie donc par environ 4 la probabilité d’obtenir un échantillon non représentatif de l’échantillon.

35 I = ⎡⎣⎢0,35 –

1 1 ⎤ ; 0,35 + 2 000 2 000 ⎦⎥ = [0,327 ; 0,373]. La fréquence observée de fleurs rouges est f = 760 = 0,13, cette fréquence n’est pas dans l’in2 000 tervalle de fluctuation à 95 %, l’échantillon ne permet donc pas de confirmer le contenu de la notice. On peut faire le même constat en raisonnant sur les fleurs jaunes.

36 I = ⎡⎢⎣0,06 –

1 ; 0,06 + 1 ⎤ 400 400 ⎥⎦ = [0,01 ; 0,11]. La fréquence observée de naissance prématurée sur un échantillon de 400 femmes ayant un travail 50 = 0,125. Cette fréquence est supépénible est f = 400 rieure à la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, l’hypothèse des chercheurs est donc acceptée (le travail pénible a une incidence sur les naissances prématurées). 1 1 37 1. Avec l’intervalle de confiance ⎡⎣⎢f – n ; f + n ⎤⎦⎥ , on obtient les fourchettes de sondages suivantes : 1 ; 0,19 + 1 ⎤ IChirac = ⎡0,19 − ⎢⎣ 1 000 1 000 ⎥⎦ = [0,158 ; 0,222] 1 ; 0,18 + 1 ⎤ IJospin = ⎡0,18 − ⎢⎣ 1 000 1 000 ⎥⎦ = [0,148 ; 0,212] 1 ; 0,14 + 1 ⎤ ILe Pen = ⎡0,14 − ⎣⎢ 1 000 1 000 ⎦⎥ = [0,108 ; 0,172] Les trois résultats aux élections (19,88 ; 16,18 et 16,86) appartiennent respectivement aux intervalles de fluctuation au seuil de 95 % des candidats Chirac, Jospin et

Exercices

Le Pen. Les intervalles se « chevauchent », il n’est donc pas possible de déterminer, à partir de ces estimations (fourchettes), le classement des candidats. Les statisticiens ont donc eu raison d’affirmer que ce scénario ne pouvait pas être écarté. 2. On aurait pu éviter cette surprise si les instituts de sondage fournissaient une fourchette et non un pourcentage brut. 38 p = 0,66 +2 0,74 ⇔ p = 0,7. 0,74 – 0,66 = 2 ⇔ n = 2 ⇔ n = 28 0,08 n ⇔ n = 625. 39 1. Le programme simule le tirage d’une boule dans l’urne. Il affiche en sortie un numéro associé à la couleur de la boule tirée, « 1 » pour une boule blanche, « 2 » pour une boule rouge et « 3 » pour une boule noire. 2. Cela donne en langage naturel (sous algobox) (à traduire selon les modèles de calculatrice).

La taille de l’échantillon est de 1 600. IB = ⎡f − 1 ; f + 1 ⎤ ⎣⎢ n n ⎦⎥ 1 ; 0,285 + 1 ⎤ = ⎡0,285 − ⎣⎢ 1 600 1 600 ⎦⎥ = [0,26 ; 0,31]. 100 − (39 + 28,5) = 32,5. Il y a donc 32,5 % des personnes de l’échantillon qui ont déclaré vouloir voter pour le candidat C. IC = ⎡f − 1 ; f + 1 ⎤ ⎣⎢ n n ⎦⎥ 1 1 ⎤ ⎡ = 0,325 − ; 0,325 + ⎣⎢ 1 600 1 600 ⎦⎥ = [0,30 ; 0,35]. 2. La borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % du candidat A est supérieure aux bornes supérieures des intervalles de confiance à 95 % des candidats B et C. Il est donc possible de dire que le candidat A arrivera en tête le soir des élections, mais on ne peut pas classer les candidats B et C car les fourchettes se « chevauchent ».

42 I = ⎡⎣⎢0,791−

1 ; 0,791+ 1 ⎤ 870 870 ⎦⎥ = [0,757 ; 0,825]. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,757 ; 0,825]. La fréquence f = 339 ≈ 0,39 obser870 vée dans l’échantillon n’est pas dans l’intervalle. On peut dire, avec un risque d’erreur de 5 %, que l’échantillon n’est pas représentatif de la population au regard de ce caractère. La constitution des jurys dans l’état du Texas ne pouvait donc pas être considérée comme impartiale.

43 1. I = ⎡⎢0,50 −

3. I = ⎡f − 1 ; f + 1 ⎤ ⎢⎣ n n ⎥⎦ = ⎡0,35 − 1 ; 0,35 + 1 ⎤ ⎣⎢ 100 100 ⎦⎥ = [0,25 ; 0,45]. D’après l’intervalle de confiance au niveau de 95 %, il y a entre 25 % et 45 % de boules rouges dans l’urne. ⎡f − 1 ; f + 1 ⎤ ⎢⎣ n n ⎥⎦ 1 ; 0,46 + 1 ⎤ = ⎡0,46 − ⎣⎢ 1 000 1 000 ⎦⎥ = [0,428 ; 0,492]. L’intervalle de confiance permet d’estimer, au seuil de 95 %, que la proportion de Français du groupe sanguin O est comprise entre 42,8 % et 49,2 %. 2. [64 545 000 × 0,428 ; 64 545 000 × 0,492] = [27 625 260 ; 31 756 140]. Le nombre de Français ayant un groupe sanguin O se situe donc entre 27 625 260 et 31 756 140 au niveau de confiance de 95 %. 2 41 1. 0,415 – 0,365 = 2 ⇔ n = 0,05 n ⇔ n = 40 ⇔ n = 1 600.

40 1. I =

1 ; 0,50 + 1 ⎤ ⎣ 625 625 ⎦⎥ = [0,46 ; 0,54]. 2. f = 290 = 0,464. 625 3. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,46 ; 0,54]. La fréquence f = 0,464 observée dans l’échantillon est dans l’intervalle. L’horticulteur n’a pas de raison de penser qu’il n’y a pas autant de crocus jaunes que de crocus violets dans ces compositions. 4. I = ⎡⎢0,46 − 1 ; 0,46 + 1 ⎤⎥ ⎣ 625 625 ⎦ = [0,42 ; 0,5]. Si la proportion réelle de bulbes jaunes avait été de 46 %, la fréquence observée appartiendrait toujours au nouvel intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. On ne peut donc pas affirmer avec certitude que la composition affichée par le fournisseur est exacte mais juste qu’elle n’est pas incompatible avec l’échantillon considéré.

44 IA = ⎡⎣⎢0,50 − 1 ; 0,50 + 1 ⎥⎦⎤ 150 150

= [0,418 ; 0,582].

IB = ⎡⎢0,50 − 1 ; 0,50 + 1 ⎤⎥ = [0,455 ; 0,545]. ⎣ 500 500 ⎦ 7. L’échantillonnage

143

Exercices La fréquence observée de garçons dans le panel A appartient à l’intervalle de fluctuation IA alors que celle observée dans le panel B n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation IB. Malgré un pourcentage de garçons moins élevé dans le panel A, c’est bien celui-ci qui respecte le plus la parité filles-garçons. 45 1. IA = ⎡⎢0,07 − 1 ; 0,07 + 1 ⎥⎤ ⎣ 400 400 ⎦ = [0,02 ; 0,12]. ⎡ IB = 0,07 − 1 ; 0,07 + 1 ⎤ = [0,030 ; 0,110]. ⎢⎣ 650 650 ⎥⎦ 2. fA = 33 = 0,0825 et fB = 78 = 0,12. 400 650 La fréquence de composants défectueux fA observée dans l’atelier A appartient à l’intervalle de fluctuation IA, au seuil de 95 %. On ne peut donc pas considérer que l’atelier A ne respecte pas le cahier des charges de l’entreprise. La fréquence de composants défectueux fB observée dans l’atelier B est supérieure à la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation IB , au seuil de 95 %. On peut donc considérer, avec un risque d’erreur de 5 %, que l’atelier B ne respecte pas le cahier des charges de l’entreprise.

46 1. I = ⎡⎣⎢0,0497 −

1 ; 0,0497 + 1 ⎤ 3 742 3 742 ⎦⎥ = [0,033 ; 0,067]. 2. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,033 ; 0,067]. La fréquence f = 191 ≈ 0,051 observée dans 3 742 l’échantillon est dans l’intervalle. L’hôpital n’a donc pas de raisons de prendre des mesures supplémentaires de prévention.

47 1. =ENT(ALEA()+0,5) ou =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) ou =ENT(2*ALEA()) 2. Pour simuler 50 échantillons de taille 100 de naissances de filles, il faut étirer la formule entrée en cellule B3 jusqu’à la cellule B102 pour obtenir un échantillon de taille 100, puis étirer ces mêmes formules vers la droite de la colonne B, afin d’obtenir les 50 échantillons désirés. 3. On peut écrire, par exemple : =SOMME(B3:B102)/100 . 4. =SI(B104>=0,4;1;0) affiche « 1 » si la fréquence de filles dans la cellule B104 est supérieure ou égale à 0,4 et « 0 » sinon. =SI(B104<=0,6;1;0) affiche « 1 » si la fréquence de filles dans la cellule B104 est inférieure ou égale à 0,6 et « 0 » sinon. =B105*B106 affiche « 1 » si la fréquence de filles est comprise entre [0,4 ; 0,6] et « 0 » sinon. 5. Si le résultat est souvent supérieur à 48, cela signifie qu’au moins 96 % des échantillons de taille 100 simulés appartiennent à l’intervalle de fluctuation. On vient ainsi vérifier que dans plus de 95 % des cas, la fréquence observée appartient bien à l’intervalle de fluctuation.

144

48 1. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;9) . 2. =ALEA.ENTRE.BORNES(0;9) 3. Les nombres entiers 9 et 7 dans les cellules respectives B1 et C1 étant différents, la formule renvoie le nombre « 0 » dans la cellule E1. 4. a. =SOMME(E1:E1000)/1000 1 ;f+ 1 ⎤ b. I = ⎡⎢f – ⎣ n n ⎦⎥ 1 ⎡ = 0,012 − ; 0,012 + 1 ⎤ ⎢⎣ 1000 1000 ⎥⎦ = [–0,020 ; 0,044]. La proportion théorique semble donc être inférieure à au niveau de confiance 0,95. 46 = 0,46 et f = 1275 = 0,51. 49 1. a. f1 = 100 2 2 500 b. f2  f1, le centre B à la meilleure réussite à ce concours. 2. a. IA = ⎡0,55 − 1 ; 0,55 + 1 ⎤ ⎢⎣ 100 100 ⎥⎦ = [0,45 ; 0,65]. b. f1 appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de cet échantillon. 1 ; 0,55 + 1 ⎤ 3. a. IB = ⎡0,55 − ⎣⎢ 2 500 2 500 ⎦⎥ = [0,53 ; 0,57]. b. f2 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de cet échantillon. 4. Le centre A est le plus représentatif du résultat national à ce concours. 50 1. I = ⎡⎢⎣0,60 − 1 ; 0,60 + 1 ⎤⎥⎦ 105 105 = [0,502 ; 0,698]. 2. Les fréquences des plants malades observées après utilisation des produits A, B ou C sont inférieures à la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. On peut donc considérer, avec un risque d’erreur de 5 %, que ces trois produits ont un réel effet. 51 1. La commande ALEA() renvoie un nombre réel entre 0 et 1 (1 exclu). La formule =2* ALEA() renvoie donc un nombre réel entre 0 et 2 (2 exclu). L’instruction ENT donnant la partie entière d’un nombre, la formule =ENT(2*ALEA()) renvoie donc 0 ou 1 de manière équiprobable. 2. À faire sur tableur 3. La formule =SOMME(B3:B1003)/1000 entrée en cellule B1004 permet de calculer la fréquence de « Pile » obtenue pour le premier échantillon de taille 1 000. La formule =SI(B1004>=0,532;1;0) entrée en cellule B1005 permet d’afficher le nombre « 1 » si la fréquence observée est supérieure ou égale à 0,532 ou le nombre « 0 » le cas échéant. 4. À faire sur tableur. 5. a. À faire sur tableur. b. La simulation permet d’estimer que dans environ 5 % des cas la fréquence observée de « Pile » obtenus sur 1 000 lancers est supérieure ou égale à 0,532. Cette observation conduit naturellement à ne pas jouer à ce jeu.

Exercices

1 = 0,2, S = 0,3 + 1 = 0,4. 52 1. I = 0.3 – 100 100

2. L’algorithme permet de calculer les bornes inférieure et supérieure d’un intervalle de fluctuation connaissant la proportion p et la taille de l’échantillon n. 3.

53 1. Au premier coup d’œil, il semble que les faces 4 et 2 ont une fréquence d’apparition nettement différente des autres, ce qui pose question sur le bon équilibrage du dé. 2. Si le dé n’est pas truqué, la probabilité d’apparition de chacune des faces est p = 1 . 6 1 1 1 1 ⎡ ⎤ 3. I = − ; + ⎣⎢ 6 300 6 300 ⎦⎥

= [0,108 ; 0,225].

Les fréquences d’apparition observées des différentes faces sont toutes dans l’intervalle de fluctuation, on ne peut donc pas exclure que le hasard seul peut expliquer ces écarts.

54 1. Réponse b. 2. Réponse b. 3. Réponse c. 4. Réponse c. 5. Réponse b.

Accompagnement personnalisé 55 1. Si on souhaite interroger au hasard 100 personnes de l’entreprise, sans qu’il y ait de « biais », il suffit d’attribuer un numéro à chacun des 1 300 employés, puis de faire un tirage aléatoire de 100 numéros entre 1 et 1 300. 2. Agents de Techniciens Ouvriers maîtrise

Secteur

Managers

Nombre d’employés

637

572

Fréquence

0,02

0,05

0,49

0,44

Nombre de personnes à interroger

Homme

Femme

Total

Science-Fiction

Roman

200

274

107

Biographie

100

120

220

Total

313

376

689

57 1. IHollande = ⎡0,5163 − 1 ; 0,5163 + 1 ⎤ ⎣⎢ 1000 1000 ⎦⎥

= [0,485 ; 0,548].

ISarkozy = ⎡0,4837 − 1 ; 0,4837 + 1 ⎤ ⎣⎢ 1000 1000 ⎦⎥ = [0,452 ; 0,516]. 2. Dans cet article, on ne précise pas dans quelles conditions a été effectué le sondage précédent (taille de l’échantillon inconnue). En supposant que le premier sondage a été réalisé dans les mêmes conditions, on obtient les fourchettes suivantes : 1er sondage

2nd sondage

Sarkozy

[0,428 ; 0,502]

[0,438 ; 0,502]

Hollande

[0,508 ; 0,572]

[0,498 ; 0,562]

Il est donc impossible de dire si le point récupéré par le candidat Sarkozy sur le candidat Hollande est significatif ou pas. En effet, le « gain d’un point dans les sondages » ne permet pas d’affirmer que le candidat Sarkozy a réellement 1 point de plus dans les opinions des Français si on raisonne en terme de fourchettes de sondage. 7. L’échantillonnage

145

Exercices Cependant, sur le 2nd sondage, les fourchettes « se chevauchent », il est donc devenu impossible d’en tirer une conclusion sur le classement des candidats. 58 1. I = ⎡⎣⎢0,548 − 1 ; 0,548 + 1 ⎤⎦⎥ 338 338 = [0,493 ; 0,603] L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est I = [0,493 ; 0,603]. La fréquence observée dans l’échantillon est dans l’intervalle. On ne peut pas dire que l’échantillon n’est pas représentatif de la population étudiée, on considère donc qu’il l’est. 2. I’ = ⎡ 181 − 1 ; 181 + 1 ⎤ ⎣⎢ 338 338 338 338 ⎦⎥ = [0,481 ; 0,590]. Ainsi, le pourcentage d’élèves préférant se servir eux-mêmes est compris entre 48,1 % et 59 %. L’intendance ne peut donc pas être sûre que cela concerne une majorité d’élèves.

3. Pour que le chef d’établissement soit davantage convaincu du changement, il faudrait que la borne inférieure de l’intervalle de confiance soit supérieure ou égale à 0,5, soit 181 – 1  0,5. 338 n On calcule la valeur de n minimale pour que cette condition soit remplie. 181 – 1  0,5 ⇔ – 1 > –12 338 338 n n ⇔ 1 < 12 338 n ⇔ n > 338 12 2 338 ⇔n 12 Il suffit de prendre n  794. Pour convaincre définitivement le chef d’établissement, il faudra interroger au moins 794 élèves.

( )

No problem 59 1. No female have been taken into account in

this survey, neither male under 11 were interviewed. In a more general view, not enough people have been interviewed. 2. There is a total of 630 students in Years 9, 10 and 11.The student’s frequency of each Year is the following: f9 = 210 = 1 , f10 = 225 ≈ 0,36, f11 = 195 ≈ 0,31. 630 630 3 630 A sample of 50 students should be composed as following to be representative of the population: N9 = 50 × 210 ≈ 17, N10 = 50 × 225 ≈ 17, 630 630 N11 = 50 × 195 ≈ 15. 630

60 1. Susan’s question is not a very good question, as the answer could be subjective and not a number. Her question could be: « How many hours do you watch television per day? », and she can also provide under the question tick boxes with different answers. 2. How many kilometers from the supermarket do you live? How many times do you come to the supermarket per month? When you come to the supermarket, how much money do you spend in average? 3. It’s not a good idea to interviewed people at the local supermarket because only people who lives not far away from the supermarket will be studied, therefore his investigation could be biased. For example, 146

if the supermarket is closed to an university, then he will interview mainly students. He would like to interview only women whereas he should select men and women, as they both do shopping. Finally, his study will be biased by interviewing people only on Tuesday morning, as only a few people can shop on that day.

61 1. When you toss a fair coin you have equal probability to obtain head or tail (50 per cent). When you compare this probability to the frequency of heads obtained with a sampling you can notice a difference that comes from statistical effects due to the sample size. The larger the sampling is, the smaller the difference will be. 2. I = ⎡0,50 − 1 ; 0,50 + 1 ⎤ = [0,358 ; 0,641]. ⎣⎢ 50 50 ⎦⎥ The relative frequency belongs to the sampling interval at 95%. 62 1. When you flipped a coin, there is an equal chance to obtain tail or head, but the character obtains 98 heads out of 100 trials, and then 196 heads out of 200 trials. As it’s possible but very unlikely, the character feels “under a curse”. 2. a. and b. The brothers Arkady and Boris Strugatsky were Soviet-Russian science fiction authors who collaborated on their fiction. c. He seems to think that where there is fluctuation, which involves randomness, we can’t do mathematics.

Exercices

Traduction des énoncés 59 Les statistiques : différentes méthodes d’échantillonnage

Lorsqu’il est nécessaire d’obtenir des informations représentatives d’une population constituée d’un grand nombre d’individus, il n’est pas possible d’interroger chaque individu. Alors, on a recours à un échantillon d’opinions. L’échantillon choisi doit être assez vaste pour que les résultats soient représentatifs de l’ensemble de la population ciblée. Si ce n’est pas le cas, les résultats peuvent être faussés ! 1. Une étude doit être menée afin de tester l’hypothèse suivante : « les enfants ont trop de devoirs ». L’âge et le sexe des personnes participant à cette enquête ont été reportés dans le tableau suivant. Âge 11 11-16

17-25

26-50 50

Homme

Femme

Trouvez trois raisons qui montrent que ces résultats sont erronés. Les conclusions sont plus fiables lorsque l’échantillon de la population est large. Avec un échantillonnage aléatoire simple, tout le monde peut être sélectionné sur un pied d’égalité. Avec un échantillonnage aléatoire semblable à la structure de la population, le groupe sélectionné est divisé en différentes catégories ou strates, tels que le sexe, les groupes d’âge. Un échantillon aléatoire proportionnel à chaque catégorie est alors prélevé. Ainsi, en tenant compte de la taille de la catégorie, il est possible de parer au manque d’exactitude de l’échantillonnage aléatoire simple. 2. Une enquête sur les pratiques sportives est menée auprès d’une population d’élèves en classe de niveaux 9, 10 et 11 (équivalents aux niveaux 4e, 3e et 2de). L’établissement compte 210 élèves de 4e, 225 élèves de 3e et 195 élèves de 2de. On prélève un échantillon de 50 étudiants. Combien d’étudiants sélectionneriez-vous dans chaque niveau ?

60 Construire un questionnaire Un questionnaire est un ensemble de questions destiné à collecter des données pour un sondage. Il doit : • être formulé dans un langage simple ; • inclure des questions courtes auxquelles les gens peuvent répondre avec précision ; • inclure des cases à cocher ; • ne pas proposer de questions ouvertes ; • ne pas proposer de questions orientées ; • présenter les questions dans un ordre logique.

1. Susan mène une enquête sur les habitudes des téléspectateurs. L’une des questions proposée dans le sondage est : « Combien de temps passez-vous à regarder la télévision ? » Son amie Sheila lui dit que cette question n’est pas très appropriée. Pouvez vous expliquer pourquoi la question de Susan ne convient pas et trouver deux façons de l’améliorer. Rédigez vos réponses. 2. Jerry effectue une enquête sur les habitudes de consommation des personnes effectuant leurs achats dans les supermarchés. Il déclare : « Les gens qui habitent loin des supermarchés viendront moins fréquemment et dépenseront plus d’argent chaque fois qu’ils feront leurs courses. » Rédigez trois questions qui permettraient à Jerry de prouver qu’il a raison. 3. Byron étudie les habitudes des consommateurs. Il a prévu d’interroger 50 femmes ayant l’habitude de faire leurs courses dans un supermarché de proximité le mardi matin. Donnez trois raisons pour lesquelles il pourrait obtenir des résultats biaisés.

61 Fluctuation d’échantillonnage, intervalle de fluctuation

« Supposons que l’on tire à Pile ou Face 50 fois et que l’on tombe 27 fois côté Face et 23 fois côté Pile. Le côté Face est envisagé comme un succès. La fréquence observée du côté n 27 = 54 %. Face est : = N 50 La probabilité que la pièce tombe côté face est de 50 %. La différence entre la fréquence observée de 54 % et la probabilté de 50 % est due à la petite taille de l’échantillon. »

1. Expliquez la différence entre « probabilité » et « fréquence observée ». 2. Dans l’exemple cité ci-dessus, la fréquence observée appartient-elle à l’intervalle fluctuation à 95 % ?

62 L’hypothèse de la marche aléatoire

1. Sachant que la probabilité de tomber sur Pile ou Face est égale à 0,5, pouvez-vous expliquer la raison pour laquelle le personnage pense être « sous le coup d’une malédiction » ? 2. Questions Internet a. Qui sont Arkady et Boris Strugatsky ? b. À quel genre littéraire se sont-ils consacrés ? c. Dans le passage précédant cet extrait, l’homme déclare au personnage principal : « Comment pourraisje être mathématicien, moi qui suis fluctuation ? » À la lumière de la fluctuation d’échantillonnage, pouvezvous expliquer ce que cet homme veut dire ?

7. L’échantillonnage

147

Le repérage

Présentation du chapitre

Ce chapitre doit être traité dès le début de l’année scolaire. Il formalise la notion de repère (orthonormé) et met en place précisément la notion de coordonnées d’un point dans un repère, de coordonnées du milieu d’un segment et de la distance entre deux points. • Ce chapitre permet dès le début de l’année d’introduire des algorithmes simples avec les premières instructions d’affectation, d’entrées et de sorties. • Il permet également de réaliser des démonstrations simples et de mettre en place des raisonnements : implication, réciproque, appartenance d’un point à un ensemble, etc. • Il est l’occasion également de lier géométrie et algèbre par l’étude de situations qui présentent des problèmes géométriques dans lesquels les grandeurs numériques et les méthodes algébriques entrent en jeu. • Enfin, il réinvestit toute la géométrie plane vue au collège, dans l’utilisation régulière des propriétés des figures géométriques classiques et les transformations (symétries axiales, centrales, etc).

8. Le repérage

149

Pour construire le cours Situation A Se repérer sur un site archéologique en SCIENCES HUMAINES Objectifs : Apprendre à se repérer dans le plan. Justifier le recours au repérage. Mettre en place le vocabulaire : abscisse et ordonnée. Cette activité peut être menée en classe uniquement à l’oral. Chacun des élèves pouvant donner son avis. On peut orienter les débats en signalant que chaque carreau de la grille doit pouvoir être repéré, d’où le recours à une numérotation sur le modèle du « touché-coulé », de l’échiquier, d’un plan de ville ou plus scientifiquement de la boîte de Pétri avec sa grille de comptage en SVT… Pour ne pas commettre de confusion, ces exemples utilisent des lettres d’un côté et des nombres de l’autre. En proposant une grille n’utilisant que des nombres, il devient important d’être rigoureux pour ne pas intervertir des « cases ». La justification de n’utiliser que des nombres se fait par le besoin de repérer tous les points du plan et donc de passer du discret au continu. 4 3 2 1 1

La case repérée par les nombres 2 et 3 par exemple n’est pas évidente à identifier, il y a deux possibilités. Il est nécessaire de donner un ordre bien défini aux deux nombres. Il est alors temps de mettre en avant la notion d’abscisse, d’ordonnée et de couple de coordonnées.

Dans un repère (O, I, J ) du plan, on peut associer à tout point M un unique couple de nombres réels (x M ; y M ) appelé couple de coordonnées du point M dans le repère (O, I, J ). x M est appelé abscisse du point M et y M est appelé ordonnée du point M. Une barrière à lever est ce passage du discret au continu qui bloque certains élèves : pour accompagner ce passage, il est utile de proposer un repère (orthonormé) et de faire placer des points de coordonnées entières 1 puis petit à petit faire intervenir des nombres non entiers positifs : –3 ; 2,5 ; –4,25 ; … 3 Chaque point du plan est alors repérable… Il reste à rentrer dans la généralisation du repérage en mettant en avant des repères non orthonormés.

150

Pour construire le cours

Situation B Se déplacer sur un plateau d’échecs en THÉORIE DES JEUX Objectif : Introduire la notion de repérage. 1. Le cavalier blanc occupant la case F5 peut se déplacer sur les cases D4, D6, E3, E7, G3, G7, H4 ou H6. On fait remarquer que les cases possibles sont repérées par une lettre et un chiffre. Il faut donc deux éléments pour repérer une case et ces deux éléments désignent une case unique. Aucune de ces positions ne met le cavalier en position d’attaquer le roi noir.

8 7 6 5 4 3 2 1 A

Définir un repère du plan, c’est se donner trois points O, I et J non alignés et pris dans cet ordre. O est l’origine du repère. Les droites (O I ) et (OJ ) sont sécantes en O. Ce repère se note (O, I, J ). (O I ) s’appelle l’axe des abscisses ; il a pour unité la longueur O I. (OJ ) s’appelle l’axe des ordonnées ; il a pour unité la longueur OJ. 2. Si la reine se place en G7, elle est protégée par le cavalier et elle met le roi « Échec et Mat ».

8. Le repérage

151

Pour construire le cours Situation C Trouver une « position particulière » en VIE QUOTIDIENNE Objectif : Construire l’abscisse du milieu d’un segment sur une droite graduée. Pour chacune des questions, il convient de placer les valeurs sur une droite graduée (la même pour toutes les x + x2 questions) pour faire émerger la formule 1 . 2 1. 5 litres d’eau à 38 °C mélangés à 5 litres d’eau à 20 °C donnent 10 litres d’eau à une température de 38 + 20 = 29 °C. 2 A

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Température

2. Le nombre de cuillères le plus approprié est 6 : 5 + 7 = 6. 2 0

10 11 Nombre de cuillères

3. La note sur le bulletin sera de 15 + 12 = 13,5. 2 D 0

M 0

R 6

G 13

E 14

17 Notes

L’abscisse de R est 5 + 13 = 9. 2 5. yM

M R

yR yN

I xN

On fait le lien avec la question précédente pour déterminer les valeurs de l’abscisse et de l’ordonnée de R.

Soient deux points A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) dans un repère (O, I, J ). Le milieu M du segment [AB] est le point de coordonnées (x M ; yM ) définies par : y + yB x M = xA + xB et y M = A . 2 2

152

Pour construire le cours

Situation D Caractériser les quadrilatères en MATHÉMATIQUES Objectif : Revoir de façon synthétique des résultats sur les quadrilatères. Il s’avère efficace de vidéo-projeter un quadrilatère avec un logiciel de géométrie et de déplacer ses sommets au fur et à mesure de la discussion qui s’instaure en classe. On peut dans un premier temps ne remplir l’organigramme qu’en s’intéressant aux côtés puis refaire un organigramme uniquement avec les diagonales… Les choix pédagogiques sont variés et peuvent être dictés par les besoins du chapitre : on montrera notamment qu’un quadrilatère est un parallélogramme en précisant que ses diagonales se coupent en leur milieu… A

Quadrilatère

B Deux côté opposés parallèles

C Les côtés opposés parallèles 2 à 2 ou Les côtés opposés 2 à 2 égaux ou Les angles opposés 2 à 2 égaux ou Les diagonales se coupent en leur milieu ou Un centre de symétrie ou Deux côtés parallèles et de même longueur

D Trapèze

A Les deux côtés parallèles de même longueur

Parallèlogramme

Un angle droit ou Diagonales de même longueur

Deux côtés consécutifs égaux ou Diagonales perpendiculaires

D B

Rectangle

Losange

Deux côtés consécutifs égaux ou Diagonales perpendiculaires

Un angle droit ou Diagonales de même longueur

D Carré

8. Le repérage

153

Pour construire le cours Situation E Calculer une distance en MATHÉMATIQUES Objectif : Construire la formule de la longueur d’un segment dans un repère orthonormé. 1. M et N sont placés dans le repère orthonormé. On place A le point du plan qui a la même abscisse que M et la même ordonnée que N. On trace ensuite le triangle ANM qui est rectangle en A du fait que le repère soit orthonormé. 2. Sur la figure on lit M(2 ; 7) et N(7 ; 1). 3. Il peut être utile de proposer aux élèves de lire une distance sur une droite graduée pour se rendre compte par eux-mêmes qu’une soustraction suffit. Ici, on trouve AM = yM – yA = yM – yN et AN = xN – xA = xN – xM. 4. Le triangle ANM est rectangle, donc cela permet l’emploi du théorème de Pythagore qui livre la formule :

MN = ( xM − xN ) 2 + ( y M − y N ) 2 : c’est la distance entre les points M (x M ; y M ) et N (x N ; y N ) dans un repère orthonormé.

154

Diaporamas

Le repérage

Diaporama calcul mental

Le repérage

Diaporama calcul mental

3 + 1 est égal à : 5 4 a. 3 20 4 b. 20 c. 17 20

20 est égal à : a. 5 2 b. 2 5 c. 4 5

Le repérage

Diaporama calcul mental

Le repérage

Diaporama calcul mental

Le nombre –3 est solution de l’équation :

Si 2x = 5, alors :

a. 3x = 0

a. x = 5 2

b. x = 0 3

b. x = 3

c. 2x = –6

c. x = 2 5

Le repérage

Diaporama calcul mental

Le repérage

Diaporama calcul mental

Sur l’axe gradué (O, I ) le point A a pour abscisse : A

Si x = 5 et y = 3, alors (x – y)2 est égal à : –3

a. –2

–2

–1

b. 2

a. –1,7

c. 4

b. –1,6

c. –1,5 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le repérage

Diaporama calcul mental

Sur l’axe gradué (O, I ), l’abscisse du symétrique de A par rapport à I est : A –4

–3

–2

–1

a. –6 b. - 2 c. –3 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

8. Le repérage

155

Diaporamas Le repérage

Diaporama QCM chrono

Le repérage

Diaporama QCM chrono

Dans un repère (O, I, J ), on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 0).

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

La longueur AB est :

a. (–1 ;1)

a. 20

b. (2 ; 1)

b. 8

c. (4 ; 2)

c. 0 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

Le repérage

Diaporama QCM chrono

Dans la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme.

Le repérage

Diaporama QCM chrono

Dans la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme.

A A

Dans le repère (A, B, D), les coordonnées de D sont : a. (0 ; –1) b. (1 ; 0) c. (0 ; 1)

Dans le repère (A, B, D), le point M a ses coordonnées : a. positives b. négatives c. de signe contraire

Le repérage

Diaporama QCM chrono

Le repérage

Diaporama QCM chrono

La solution de l’équation x − 1 = 5 est : 2 a. 11

L’équation –3 – x = 1 est : 2 a. –1

b. 9

b. –5

c. 4

c. –2

156

Exercices

Réviser ses gammes Gamme 1 1. a. x = 3 5 . b. x = 7 2 . c. 3 3 .

d. x = 2 7. 2. a. x = 3 3 . b. x = –2 3 . Gamme 2 a. 17 . b. 4 = 1 . c. 9. d. 11 . e. – 1 . 12 15 20 12 3 f. – 17 . 5 Gamme 3 a. 172 = 289 et 82 + 152 = 289 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle. b. Si on exprime la longueur AB en prenant comme unité le carreau du quadrillage, on a : AB2 = 22 + 32 = 13. 2 De même, on a BC = 62 + 42 = 52 et AC2 = 82 + 12 = 65.

Or 13 + 52 = 65 ⇔ AB2 + BC2 = AC2. Le triangle ABC est donc rectangle en B. Gamme 4 a. x = 9 . b. x = 15 . c. x = 13. d. x = 21 . 2 2 e. x = – 7 . f. x = 6. 5 Gamme 5 a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux. e. Vrai. Gamme 6

Le joueur doit annoncer les cases F3, G3

et H3. Gamme 7 (0 ; 0) ; (1 ; 0) ; (2 ; 0) ; (3 ; 0) ; (4 ; 0) ; (5 ; 0) ; (6 ; 0) ; (7 ;0) ; (1 ;1) ; (2 ; 1) ; (3 ; 1) ; (4 ; 1) ; (5 ; 1) ; (6 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 2) ; (4 ; 2) ; (5 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 3) ; (3 ; 4).

Faire un bilan de ses capacités 1 a. Capacités 2 et 4. b. Capacité 1. c. Capacité 1. d. Capacité 3. e. Capacités 2 et 4. 2 1. a. 2. a. 3. c. 4. c. 5. c. 6. b. 7. a. 8. b. 3 a. Dans le repère (A, B, D) par exemple, on a A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(1 ; 1) ; D(0 ; 1) ; E(2 ; 1) ; F 1 ; 2 ; G 1 ; 1 .

( ) ( )

3 3 b. !ABCD = 9 cm2. !BEC = 3 × 3 = 4,5 cm2. 2

!DCF = 3 × 3 = 4,5 cm2. 2

c. Dans le repère (A, B, D), le point H a pour coordonnées (1 ; 2). d. On trouve que : DB = BE = EH = HD = 3 2 cm, donc PDBEH = 12 2 cm.

Corrigés des exercices 1 1. L’origine du repère (A, F, D) est le point A,

l’axe des abscisses est la droite (AF) et l’axe des ordonnées est la droite (AD). 2. A (0 ; 0), F (1 ; 0), D (0 ; 1), B (2 ; 0), C (2 ; 1), G (2 ; 0,5), E (1 ; 0,5). 2 B (0 ; 0), C (0 ; 0), A (0 ; 1), D (3 ; 0,5), E (–2 ; 0,5), F (1 ; –1), G (–1 ; 2), H (–1 ; –0,5). y 3 A

Soit L le milieu de [FI]. x + xI 1+ 1 xL = F = =1 2 2 y + yI 3 + 0 = = 1,5. et yK = F 2 2 Les diagonales du quadrilatère EFGI ont le même milieu c’est donc un parallélogramme. y 5 1.

F F 1 0

B x

A C B

4 1. E (3 ; 2), F (1 ; 3), G (–1 ; 1). 2. Soit K le milieu de [EG]. x + xG 3 – 1 xK = E = =1 2 2 y + yG 2 + 1 et yK = E = = 1,5. 2 2

2. r = AB = (xA – xB )2 + (y A – yB )2 = (2 – 3)2 + (–2 – 1)2 = 1+ 9 = 10. 3. On calcule la distance AC et on la compare au rayon du cercle de centre A et passant par B. AC = (xA – xC )2 + (y A – yC )2 = (2 + 1)2 + (–2 + 4)2

= 9 + 4 = 13 . 8. Le repérage

157

Exercices La longueur AC est différente de r, le point C n’appartient pas au cercle de centre A et passant par B. 4. On calcule la distance AD et on la compare au rayon du cercle de centre A et passant par B. AD = (xA – xD )2 + (y A – yD )2 = (2 – 1)2 + (–2 – 1)2 = 1+ 9 = 10 . La longueur AD est égale à r, le point D appartient au cercle de centre A et passant par B. 6 1. 6 5. 2. –2 5 . 3. 0. 4. 13 . 7 1. Réponse b. 2. Réponse c. 3. Réponse b. 4. Réponse a. 5. Réponse b. 6. Réponse c. 7. Réponse a. 8. Réponse a. 8 y

Ainsi, les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur et un point commun, elles sont donc confondues. On peut donc en déduire que les points A, B et C sont alignés. 14 Le point A à pour abscisse –2. Le point B à pour abscisse 5. Le point C à pour abscisse –0,5. Le point D à pour abscisse 2. Le point E à pour abscisse 3,5. Le point O à pour abscisse 0. Le point I à pour abscisse 1. 15 C –5

–4

D –3

–2

–1

1 0

D C

9 1. F (0,5 ; 0,5) et G (–2 ; 1). 2. H (–0,5 ; 5,5). 3. Dans un repère (O, I, J ) tous les points de la bis! ont leur abscisse égale à leur sectrice de l’angle IOJ ordonnée. 10 1. Tous les points appartenant à l’axe des abscisses d’un repère du plan ont pour ordonnée 0. 2. Tous les points appartenant à l’axe des ordonnées d’un repère du plan ont pour abscisse 0. 11 1. Faux, si un point est à égale distance des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice du segment. 2. Faux, le trapèze est un contre exemple. 3. Vrai, c’est la définition du symétrique dans une symétrie centrale. 4. Vrai, c’est la définition d’un cercle. 5. Faux, xM = xM’ . 12 Les calculs sont justes mais l’égalité de longueur AC = BC implique juste que le point C appartient à la médiatrice du segment [AB], cela ne signifie pas qu’il soit au milieu du segment. y –y – 2014 = 1. 13 xB – x A = 2015 2014 – 2013 B A yC – y A 2016 – 2014 = = 1. xC – xA 2015 – 2013

1 0H1

G E

158

16 A (2 ; 3), B (–4 ; 2), C (4 ; –3), D (0 ; –2,5) et E (–3 ; –4). 17 1. a. Les points Q, M et N ont une ordonnée positive. b. Le point P a une abscisse et une ordonnée strictement négatives. 2. M (3 ; 2), N (1,5 ; 0), P (–1,5 ; –1), Q (–2 ; 2) et R (0 ; –2). 18 1. A (–4 ; 2), D (0 ; 4), E (2 ; 1) et H (0 ; –1). y 2. C

B H

3. Les points K et A ont la même abscisse. Les points B et A ont la même ordonnée. Les points D et H ont une abscisse nulle. Les points K et I ont une ordonnée nulle. Les points E et G ont des abscisses opposées. Les points B et G ont des ordonnées opposées. 19 a. Musée des Beaux-Arts (–1 ; –2). b. Cathédrale Saint-André (1 ; –2). c. Archives municipales (3 ; –2). d. Place Gambetta (–1 ; 1). e. Marché des grands hommes (1 ; 3). 20 Point

Couleur Jaune Orange Orange Blanc Rouge Jaune Score

Le score de Zoé est de 50 points. x +x 4,2 – 5,2 21 1. xI = A 2 C = 2 = –0,5 y + yC –3,6 + 1 = = –1,3 . et yI = A 2 2 2. On remarque que le point B est le milieu du segment [AC].

22 1. Soit L le milieu de [AC] :

xA + xC –1+ 1 = =0 2 2 y + yC 4 – 1 et yL = A = = 1,5 . 2 2 xL =

Exercices

Soit M le milieu de [BD] : x + xD 3 – 3 xM = B = =0 2 2 yB + yD 2 + 1 et yM = = = 1,5. 2 2 2. L et M ont les mêmes coordonnées, donc les segments [AC] et [BD] ont le même milieu. 3. Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme.

23 1. A (–2 ; 1), B (–1 ; 1), C (1 ; 4) et D (2 ; –1).

xA + xB –2 – 1 = = –1,5 et y A + yB = 1+ 1 = 1. 2 2 2 2 Le milieu de [AB] a pour coordonnées (–1,5 ; 1). xB + xC –1+ 1 y + yC 1+ 4 = = 0 et B = = 2,5. 2 2 2 2 Le milieu de [BC] a pour coordonnées (0 ; 2,5). xC + xD 1+ 2 y + yD 4 – 1 = = 1,5 et C = = 1,5 . 2 2 2 2 Le milieu de [CD] a pour coordonnées (1,5 ; 1,5). xD + xA 2 – 2 y + y A –1+ 1 = = 0 et D = = 0. 2 2 2 2 Le milieu de [DA] a pour coordonnées (0 ; 0). 3. Les résultats précédents sont confirmés par le graphique. x +x 24 1. A 2 M = 0 ⇔ xM = –xA ⇔ xM = –2 ; de même, yM = –yA ⇔ yM = –5.

D’où M (–2 ; –5). x + xN = 2 ⇔ xN = 4 – xB ⇔ xN = 9. 2. B 2 yB + yN = 5 ⇔ yN = 10 – yB ⇔ yN = 9. 2 D’où N (9 ; 9).

29 AB = (–3 + 1)2 + (6 – 2)2 = 4 + 16 = 20 = 2 5. CB = (–3 + 7)2 + (6 + 1)2 = 16 + 49 = 65. AC = (–7 + 1)2 + (–1– 2)2 = 36 + 9 = 3 5. CB 2 = 65 et AB 2 + AC 2 = 20 + 45 = 65. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 30 Soit le point I milieu du segment [RC]. x + xC –8 + 10 xI = R = =1 2 2 y + yC 2 + 6 et yI = R = = 4. 2 2 D’où I (1 ; 4). Soit le point J milieu du segment [ET]. x + xT xJ = E = –5 + 7 = 1 2 2 yE + yT et y J = = –3 + 11 = 4. 2 2 D’où J (1 ; 4). Les diagonales du quadrilatère RECT ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme. RC = (10 + 8)2 + (6 – 2)2 = 324 + 16 = 340. ET = (7 + 5)2 + (11+ 3)2 = 144 + 196 = 340. Les diagonales du parallélogramme RECT ont la même longueur, c’est donc un rectangle. RE = (–5 + 8)2 + (–3 – 2)2 = 9 + 25 = 34. EC = (10 + 5)2 + (6 + 3)2 = 225 + 81 = 306. Le rectangle RECT possède deux côtés consécutifs de longueur différente ce n’est donc pas un carré. y 31 1.

25 1. AK = (3 – 4)2 + (–1– 3)2 = 1+ 16 = 17. BK = (3 + 1)2 + (–1– 0)2 = 16 + 1 = 17. 2. Le point K est équidistant des points A et B, il appartient donc à la médiatrice du segment [AB].

A 1 0

3. AL = (0,5 – 4)2 + (3 – 3)2 = 12,25 = 3,5. BL = (0,5 + 1)2 + (3 – 0)2 = 2,25 + 9 = 11,25. AL ≠ BL, le point L n’appartient pas à la médiatrice du segment [AB].

H 1

C B

1. DA = (–5 – 3)2 + (–2 + 1)2 = 64 + 1 = 65.

DB = (–4 – 3)2 + (3 + 1)2 = 49 + 16 = 65. DC = (–4 – 3)2 + (–5 + 1)2 = 49 + 16 = 65. 2. Les points A, B et C sont équidistants du point D, ils appartiennent au cercle de centre D et de rayon 65 . 3. DE = (10 – 3)2 + (3 + 1)2 = 49 + 16 = 65. DF = (6 – 3)2 + (–7 + 1)2 = 9 + 36 = 45. Seul le point E appartient au cercle défini à la question 2. 27 A (–3 ; 1), B (2 ; 3), C (0 ; –2). AB = (2 – 3)2 + (3 – 1)2 = 25 + 4 = 29. CB = (2 – 0)2 + (3 + 2)2 = 4 + 25 = 29. AB = CB donc le triangle ABC est isocèle en B.

28 AB = (1+ 1)2 + (0 – 0)2 = 4 = 2. CB = (1– 0)2 + (0 – 3)2 = 1+ 3 = 4 = 2. AC = (0 + 1)2 + ( 3 – 0)2 = 1+ 3 = 4 = 2. AB = CB = AC, donc le triangle ABC est équilatéral.

2. AB = (6 – 4)2 + (–4 – 2)2 = 4 + 36 = 40 = 2 10. CB = (6 – 0)2 + (–4 + 2)2 = 36 + 4 = 40 = 2 10. . AB = CB donc le triangle ABC est isocèle en B. 3. AC = (0 – 4)2 + (–2 − 2)2 = 16 + 16 = 32 = 4 2. Le triangle ABC est isocèle en B, le pied de la hauteur issue de B est donc aussi le milieu du segment [AC], donc AH = 1 AC = 2 2. 2 Dans le triangle ABH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : AB2 = BH2 + HA2 40 = BH2 + 8 BH 2 = 32 BH = 4 2. x +x y +y 32 1. A 2 B = –22+ 2 = 0 et A 2 B = 3 2+ 1 = 2.. Le point K est donc le milieu de [AB]. 8. Le repérage

159

Exercices y

2. A 1 0

Le point K semble être le point d’intersection des deux médiatrices. 3. AK = BK car K est le milieu de [AB] donc K appartient à la médiatrice de [AB]. BK = (0 – 2)2 + (2 – 1)2 = 4 + 1 = 5. CK = (0 + 1)2 + (2 – 4)2 = 1+ 4 = 5. BK = CK donc K appartient à la médiatrice de [BC]. Le point K est donc bien le point d’intersection des deux médiatrices. On a donc AK = BK = CK. Ainsi, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du côté [AB]. Le triangle ABC est donc rectangle en C. 33 1. On cherche les coordonnées du milieu de [MP] qui, comme MNPQ est un parallélogramme, est aussi le milieu de [NQ] : xM + xP –1+ 2 y + yP 2 – 3 = = 0,5 et M = = –0,5. 2 2 2 2 Le milieu de [MP] a pour coordonnées (0,5 ; –0,5). On a donc : xQ + xN = 0,5 ⇔ xQ = 1 – xN ⇔ xQ = –4. 2 yQ + yN = −0,5 ⇔ yQ = –1 – yN ⇔ yQ = –5. 2 Le point Q a donc pour coordonnées (–4 ; –5). 2. On cherche les coordonnées du milieu de [MP] qui, comme MRNP est un parallélogramme, est aussi le milieu de [RP] : xM + xN –1+ 5 y + yN 2 + 4 = = 2 et M = = 3. 2 2 2 2 Le milieu de [MP] a pour coordonnées (2 ; 3). xR + xP = 2 ⇔ xR = 4 – xP ⇔ xR = 2. 2 yR + yP = 3 ⇔ yR = 6 – yP ⇔ yR = 9. 2 Le point R a donc pour coordonnées (2 ; 9). 3. Le milieu de [RQ] a pour coordonnées : xR + xQ –4 + 2 y + yQ 9 – 5 = = –1 et R = = 2. 2 2 2 2 Ce sont les coordonnées du point M, qui est donc le milieu du segment [RQ]. Soit I le milieu du segment [PN], la droite (MI) est parallèle à la droite (RN), car RMNP est un parallélogramme. Dans le triangle QNR, I est le milieu de [QN] et (MI) est parallèle à la droite (RN), d’après le théorème des milieux le point M est le milieu de [QR]. −1 + 7 x +x 34 A 2 C = 12 2 12 = 41 −7 + 3 y A + yC 10 10 = −4 = −1 . et = 20 5 2 2 3 −1 −1 + 1 xB + xD y + yD = 2 = 1 et B = 5 = −1 . 4 2 2 2 5 2 160

Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme. x +x 35 R 2 T = 32+ 0 = 23 et yR + yT = 2 + 2 2 = 3 2 . 2 2 2 xS + xU 3 3 − 2 3 3 = = 2 2 2 yS + yU − 2 + 4 2 3 2 et . = = 2 2 2 Les diagonales du quadrilatère RSTU ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme. 36 R (–3 ; –1), E (–4 ; 1), C (2 ; 4) et T (3 ; 2). xR + xC −3 + 2 −1 y + yC −1+ 4 3 et R = = = = . 2 2 2 2 2 2 xE + xT yE + yT 1+ 2 3 −4 + 3 −1 = = et = = . 2 2 2 2 2 2 Les diagonales du quadrilatère RECT ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme. RE = (−4 + 3)2 + (1+ 1)2 = 1+ 4 = 5. RT = (3 + 3)2 + (2 + 1)2 = 36 + 9 = 45 = 3 5. TE = (−4 − 3)2 + (1− 2)2 = 49 + 1 = 50 = 5 2. TE2 = 50. RE2 + RT 2 = 5 + 45 = 50. TE2 + RE 2+ RT 2 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RTE est rectangle en R. Le parallélogramme RECT possède un angle droit, c’est donc un rectangle. 37 On calcule les longueurs RK, KL, LM et MR. RK = (−3 − 2)2 + (0 + 5)2 = 25 + 25 = 50 = 5 2 . KL = (−4 + 3)2 + (7 − 0)2 = 1+ 49 = 50 = 5 2 . LM = (1+ 4)2 + (2 − 7)2 = 25 + 25 = 50 = 5 2 . MR = (2 − 1)2 + (−5 − 2)2 = 1+ 49 = 50 = 5 2 . Les quatre côtés sont de même longueur, donc le quadrilatère est un losange. y + yU −2 − 1 −3 x +x = = et S . 38 S 2 U = 1−2 4 = −3 2 2 2 2 xQ + xA −2 − 1 −3 yQ + y A −4 + 1 −3 = = = = et . 2 2 2 2 2 2 Les diagonales du quadrilatère SQUA ont le même milieu, c’est donc un parallélogramme. SQ = (−2 − 1)2 + (−4 + 2)2 = 13 . SA = ( −1− 1)2 + (1+ 2)2 = 13 . Le parallélogramme SQUA possède deux côtés consécutifs de même longueur, c’est donc un losange. QA = ( −1+ 2)2 + (1+ 5)2 = 26. On a donc SQ2 + SA2 + 13 + 13 = 29 = QA2. Le triangle SQA est donc rectangle en S, le losange SQUA possède un angle droit, c’est donc un carré. 39 BA2 = (0 – 1)2 + (3 – 1)2 = 1 + 4 = 5. CA2 = (–1 – 1)2 + (0 – 1)2 = 4 + 1 = 5. DA2 = (0 – 1)2 + (–1 – 1)2 = 1 + 4 = 5. EA2 = (3 – 1)2 + (2 – 1)2 = 4 + 1 = 5. Donc les points B, C, D et F appartiennent au cercle de centre A et de rayon 5 .

Exercices

40 1.

A E

2. A (–1 ; 1), B (0 ; 1), C (0 ; 0), D (–1 ; 0), E (–2 ; 0), F (–2 ; –1), G (0 ; –1), N (0 ; –2) et M (1 ; 0). x + xN 1+ 0 1 = = 3. xI = M 2 2 2 yM + yN 0 − 2 = = −1. et yI = 2 2 D’où I 1 ; –1 . 2 1 xE + xI −2 + 2 −3 xJ = = = 2 2 4

(

)

yE + yI 0 − 1 −1 . = = 2 2 2 D’où J −3 ; −1 . 4 2 et y J =

(

)

44 Il s’agit d’une erreur de parenthèse, il aurait fallu taper : (5 – 2)/2 et (–3 + 3)/2. 45 Le point A a pour ordonnée entière 2. Le point B a pour abscisse rationnelle non entière 1 . 3 Le point C a pour abscisse irrationnelle 2. Le point A a pour abscisse décimale 0,5. 46 1. Faux, les angles d’un triangle équilatéral sont de 60°, les axes ne sont donc pas perpendiculaires. 2. Faux, l’angle formé par les demi-droites [AB) et [AC) est de 90° mais il faudrait en plus que AB = AC. 3. Vrai, c’est la définition. 4. Vrai. Tous les points de même abscisse sont situés sur une même droite verticale d’équation x égal à l’abscisse en question. y 47 1. B D

2. C (2 ; 1) et D (–2 ; 2). y 48 1. B

41 Xmin = –2

Xmax = 3 Ymin = –1 Ymax = 1

1 0

42 1.

2. L (2 ; 3) et U (4 ; 5). 49

1 0

N 0

2. a. Dans le repère (O, C, D) : A (–2 ; 2) et B (–1 ; 1). b. Dans le repère (O, D, C) : A (2 ; –2) et B (–1 ; –1). 3. Dans le repère (E, C, D) : O (1 ; 1). y 43 1. 60 50 40 30 20 10 0

2. a. Pour x = 23, y = 3,05 × 23 + 3,15 = 73,3. Cette valeur semble cohérente avec la valeur de 73,5 V proposée. b. Pour y = 96, on a : 96 = 3,05x + 3,15 ⇔ x = 96 – 3,15 ≈ 30,4 A. 3,05 Cette valeur semble en désaccord avec l’intensité de 53 A proposée.

50 Le point O a pour coordonnées (0 ; 0). La diagonale d’un carré de côté 1 cm a une diagonale qui mesure 2 cm. Le point O a donc pour coordonnées ( 2 ; 0) . Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Les points A et C ont pour coordonnées respectives 2 ; 2 et 2 ; − 2 . 2 2 2 2 51 Le point O a pour coordonnées (0 ; 0). Le point A a pour coordonnées (0 ; 2). La hauteur d’un triangle équilatéral est aussi une médiatrice de ce triangle, si I est le point de coordon-

(

) (

)

8. Le repérage

161

Exercices nées (1 ; 0), le triangle OIB est rectangle en I et donc OI 2 + IB 2 = OB2 d’après le théorème de Pythagore. D’où IB 2 = 22 – 12 = 3, donc IB = 3 . Le point B a donc pour coordonnées (1 ; 3 ) . 52 1. –1,5  x  0. Les abscisses des points représentés en vert sont comprises entre –1,5 et 0. 2. –2  y  8. Les ordonnées des points représentés en rouge sont comprises entre –2 et 8. y 53 1. M(x ; y)

M’1(–x ; y)

M’2(x ; –y)

M’4(–x ; –y)

2. M’1 (–x ; y). 3. M’2 (x ; –y). 4. M’3 (y ; x). 5. M’4 (–x ; –y). 6. a. A (xA ; yA) et M (xM ; yM). Si N (xN ; yN) est le point symétrique du point M par rapport à A, alors A est le milieu du segment [NM]. xN + xM = xA ⇔ xN = 2xA – xM 2 yN + yM = yA ⇔ yN = 2yA – yM 2 b. xN PREND_LA_VALEUR 2xA – xM yN PREND_LA_VALEUR 2yA – yM

54 1. S (2 ; 2), E (3 ; 4), F (1 ; 5) et T (–1 ; 3). 2. SE = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 = 1+ 4 = 5 . FE = (3 − 1)2 + (4 − 5)2 = 4 + 1 = 5 . FS = (2 − 1)2 + (2 − 5)2 = 1+ 9 = 10 . SE = FE, donc le triangle FSE est isocèle en E. FS2 = 10. SE2 + FE2 = 5 + 5 = 10. FS2 = SE2 + FE2, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FSE est isocèle rectangle en E. x + xF 2 + 1 = = 1,5 3. xM = S 2 2 y + yF 2 + 5 = = 3,5. et yM = s 2 2 D’où M (1,5 ; 3,5). 4. a. MS = (2 − 1,5)2 + (2 − 3,5)2 = 0,25 + 2,25 = 2,5. MF = (1− 1,5)2 + (5 − 3,5)2 = 0,25 + 2,25 = 2,5 . ME = (3 − 1,5)2 + (4 − 3,5)2 = 2,25 + 0,25 = 2,5. b. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse. 5. y F

S R

1 0

162

( ) ( ) ( −3 −2 3 ) + (1− 23 3 ) 2

1− 3 − 2 + 5 − 3 3 − 2 2 2 2

SR = 9 + 6 3 + 3 + 1− 6 3 + 27 = 40 = 10. 4 4 4

( ) ( ) = ( 3 − 3 ) + ( −1− 3 3 ) 2 2 2

1− 3 + 1 + 5 − 3 3 − 3 2 2 2

SR =

TR =

M’3(y ; x)

Le triangle RST semble équilatéral. TS = (2 + 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 1 = 10.

TR = 9 − 6 3 + 3 + 1+ 6 3 + 27 = 40 = 10. 4 4 4 TS = SR = TR, le triangle RST est donc bien équilatéral. y 55 A B 1 0

D x

Le graphique laisse supposer que O (5 ; 3) est le centre du cercle cherché. OA = (5 − 3)2 + (3 − 5)2 = 4 + 4 = 2 2. OB = OC =

(5 − 5 − 2 2 )2 + (3 − 3)2 2 (5 − 5)2 + (3 − 3 + 2 2 )

= 2 2. = 2 2.

OD = (5 − 7) + (3 − 1) = 4 + 4 = 2 2. Les points A, B, C et D sont donc bien cocycliques. Ils appartiennent au cercle de centre O (5 ; 3) et de rayon 2 2 . 56 1. A (a ; 0), B (a + b ; 0) et C (a + b ; 1). 2. Il semble que l’ordonnée du point D soit égale au produit de a par b. 3. Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore : AC2 = b2 + 1. Dans le triangle ODA rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore : AD2 = a2 + yD2. Dans le triangle DAC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : DC2 = AD2 ⇔ DC2 = a2 + yD2 + b2 + 1. (1) On calcule DC2 à l’aide des coordonnées des points D et C. DC2 = (a + b – 0)2 + (1 – yD)2 = a2 + 2ab + b2 + 1 – 2yD + yD2. (2) On a donc, d’après (1) et (2) : a2 + yD2 + b2 + 1 = a2 + 2ab + b2 + 1 – 2yD + yD2 ⇔ 0 = 2ab – 2yD ⇔ yD = ab. 57 Le point I appartient au segment [AB] tel que AI = x. Le point J appartient au segment [DC] tel que CJ = x. ABCD est un parallélogramme donc (AB) parallèle à (DC) ⇒ (AI) parallèle à (JC). De plus AI = JC. Or, un quadrilatère avec deux côtés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. Donc, AICJ est un parallélogramme. 2

Exercices

Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, O est le milieu de [AC] donc O est aussi le milieu de [IJ ] quelque soit la position de I sur le segment [AB]. y 58 1.

1 0

2. x  y. 3. La portion de plan contenant tous les points tels que leur abscisse positive est inférieure à leur ordonnée est délimitée par la demi-droite [Oy) et la droite y = x sur l’intervalle [0 ; + [. y 59

2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Ainsi, les triangles rectangles OPA et OAQ ayant la même hypoténuse [OA], ils ont le même cercle circonscrit de centre le milieu du segment [OA]. II. Construction de la figure 1. Tracer le segment [OA]. Tracer le cercle de centre le diamètre [OA]. Appeler P et Q les deux points d’intersection de ce cercle avec le cercle . Tracer les droites (AP) et (QA). 2. Les triangles OAP et OAQ sont inscrits dans le cercle de diamètre [OA], ils sont donc rectangles respectivement en P et Q. Or comme la droite (AP) est perpendiculaire au rayon [OP] en P appartenant au cercle, elle est tangente (en P) au cercle de centre O. De même, la droite (AQ) est tangente (en Q) au cercle de centre O. 62 1. B (2 ; 120°) et C (4 ; –150°). 2. E

D C

O I

1 0

La propriété se traduit mathématiquement par y = 2x + 3. Les points vérifiant l’ensemble des propriétés sont les points situés sur la droite d’équation y = 2x + 3. 60 Les diagonales d’un carré de 1 de côté sont égales à 2 . De plus, les diagonales d’un carré sont perpendiculaires de même longueur et se coupent en leur milieu. Donc : C (2 + 2 ; 0), B 4 + 2 ; 2 et D 4 + 2 ; − 2 . 2 2 2 2 Dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi la médiatrice, donc l’abscisse du point E est égale à l’abscisse du milieu du segment [CF]. xE = 2 + 2 + 6 = 8 + 2 = 4 + 2 . 2 2 2 L’ordonnée du point E est égale à la longueur de la hauteur. Celle-ci est égale à 3 dans un triangle 2 équilatéral de côté a. Dans notre cas, a = 6 − (2 + 2 ) = 4 − 2.

(

) (

)

yE = (4 − 2 ) 3 = 2 3 − 6 . 2 2 6 2 D’où E 4 + . ; 2 3 − 2 2 61 I. Étude de la figure construite 1. [OP] est un rayon du cercle de centre O et (AP) est la tangente au cercle au point P, le triangle OPA est donc rectangle en P. De même le triangle OAQ est rectangle en Q.

(

)

63 Entre l’abscisse 0 et l’abscisse 50, il y a 51 graduations entières (on tient compte des points sur le rectangle !) De même, entre l’ordonnée 0 et l’ordonnée 20, il y a 21 graduations entières. Le nombre de points à coordonnées entières dans le rectangle OUVW est le résultat du produit de 51 par 21 soit 1 071. 64 1. Manipulation sur logiciel. 2. Manipulation sur logiciel. 3. Manipulation sur logiciel. 4. Le triangle OAB semble rectangle isocèle en O et ce quelque soit la position des curseurs a et b. 5. a. OA = a2 + b2 AB = (−b − a)2 + (a − b)2 = b2 + 2ab + a2 + a2 − 2ab + b2 = 2(a2 + b2 ) b. OA = OB et AB2 = OA2 + OB2, le triangle AOB est donc rectangle isocèle en O. 65 1. Manipulation sur logiciel. 2. Manipulation sur logiciel. 3. Il semble que les points O, A et M sont alignés et ce, quelque soit la valeur de a et de x. 4. a. 1 + 2 = 3 + 4 b. 4 ≠ 0 c. A (1 ; a), M (x ; ax), O (0 ; 0), P (x ; 0), I (1 ; 0) 1 = a × 1 = a 2 2 a + ax ) × ( x − 1) a ( x + 1)( x − 1) a(x2 − 1) ( 2 = = = 2 2 2 2 3 = x × ax = ax 2 2 8. Le repérage

163

Exercices d. D’après a., 4 = 1 + 2 – 3 2 2 D’où 4 = a + a(x − 1) − ax = 0 . 2 2 2 L’hypothèse faite est donc fausse et les points O, A et M sont donc alignés. 66 1. A (1 ; 1), B (–1,5 ; 2,5) et C (–2 ; –2). x + xC −1,5 − 2 2. xK = B = = −1,75 2 2 y + yC 2,5 − 2 = = 0,25 et yK = B 2 2

68 1.

C A H M B

N 0

d’où K (–1,75 ; 0,25). 3. ABDC parallélogramme ⇔ Les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Donc : ⎧ 1+ xD = −1,75 ⎪⎪ ⎪⎧ xD = −4,5 2 ⇔ ⎨ ⎨ ⎪⎩ yD = −0,5 ⎪ 1+ yD = 0,25 2 ⎪⎩

Les points M, N et P semblent alignés. 2. La droite (d ) a pour équation y = x. 3. a. Les points A et B semblent symétriques par rapport à la droite d. b. Les points C et D semblent symétriques par rapport à la droite d. Conjecture : Lorsqu’un point est symétrique d’un autre par rapport à la droite d, alors l’abscisse de 4. E symétrique de C par rapport à A ⇔ A milieu de l’un est égale à l’ordonnée de l’autre et l’ordonnée [CE]. de l’un est égale à l’abscisse de l’autre, autrement Donc : dit leurs coordonnées sont échangées. ⎧ −2 + xE =1 ⎪⎪ ⎧ 4. a. Si A et B sont symétriques par rapport à la droite x = 4 ⎪ E 2 ⇔⎨ . ⎨ d alors le point H milieu de [AB] appartient par défini⎪ −2 + yE = 1 ⎩⎪ yE = 4 tion à d, car d est alors la médiatrice de [AB]. 2 ⎪⎩ D’où xH = yH. y 5. x + xB y A + yB xH = yH ⇔ A = ⇔ xA + xB = y A + yB E 2 2 xA + xB y A + yB xH = yH ⇔ ⇔ xA + xB = y A + yB (1) = B 2 2 b. Si A et B sont symétrique par rapport à la droite d, 1 alors la droite d est la médiatrice de [AB]. K A Comme l’abscisse de O est égale à son ordonnée, 0 1 x D alors O appartient à la droite d. Ainsi O est équidistant A F de A et de B : OA = OB ce qui implique OA2 = OB2, soit : OA2 = OB2 ⇔ xA2 + y A2 = xB2 + yB2 ⇔ xA2 + xB2 = yB2 – yA2 (2). 6. a. Voir graphique ci-dessus. b. EF = (3 − 4)2 + (−1− 4)2 = 1+ 25 = 26 . 2 2 AF = (3 − 1) + (−1− 1) = 4 + 4 = 8 = 2 2 EA = (1− 4)2 + (1− 4)2 = 9 + 9 = 18 = 3 2 On remarque que EF2 = AF2 + EA2, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle enA. 7. Le centre du cercle circonscrit au triangle AEF rectangle en A est le milieu de son hypoténuse [FE] et son rayon est égal à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. On note G le centre du cercle circonscrit au triangle AEF : x + xF 4 + 3 xG = E = = 3,5 2 2 y + yF 4 − 1 et yG = E = = 1,5 . 2 2 D’où G (3,5 ; 1,5) et r = 1 EF = 26 . 2 2 67 1. BIEN VU. 2. 2122-12-2211. 164

c. D’après (2) : xA2 − xB2 = yB2 − y A2 ⇔ ( xA − xB )( xA + xB ) = ( yB − y A )( yB + y A ) . En utilisant (1) : ( xA − xB )( y A + yB ) = ( yB − y A )( yB + y A ) ⇔ ( xA − xB )( y A + yB ) − ( yB − y A )( yB + y A ) = 0 ⇔ ( y A + yB )[( xA − xB ) − ( yB − y A )] = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. (1)

Soit y A + yB = 0⇒ xA + xB = 0 et donc, d’après (2), y A = −yB et xA = −xB . Dans ce cas, il manque une information pour conclure. On peut ajouter que L(1 ; 1)  d est aussi équidistant de A et B : ⇔ ( xA − 1)2 + ( y A − 1)2 = ( xB − 1)2 + ( yB − 1)2 ⇔ xA2 − 2xA + 1+ y A2 − 2y A + 1 = xB2 − 2xB + 1+ yB2 − 2yB + 1 ⇔ xA2 − 2xA + y A2 − 2y A 2 2 = ( −xA ) + 2xA + ( −y A ) + 2y A ⇔ −2xA − 2y A = 2xA + 2y A ⇔ xA = −y A

Exercices

Et donc, comme y A + yB = 0, yB = −y A = xA et, comme xA + xB = 0, xB = −xA = y A.

Afficher « abscisse du point A » Lire xA Afficher « abscisse du point B » Lire xB Afficher « ordonnée du point A » Lire yA Afficher « ordonnée du point B » Lire yB Afficher « longueur AB » Affecter à AB la valeur (xB − xA )2 + (yB − y A )2 Afficher AB

Soit ( xA − xB ) − ( yB − y A ) = 0 ⇔ xA − xB = yB − y A (1)

⇒ ( y A + yB − xB ) − xB = yB − y A ⇔ −2xB = −2y A ⇔ xB = y A Et donc, d’après (1), xA + xB = y A + yB ⇔ yB = xA + xB − y A ⇔ yB = x A + y A − y A ⇔ yB = x A .

Ce qui donne sous Algobox :

5. a. On calcule les coordonnées du milieu H de [AB] où les points A et B ont leurs coordonnées échangées : x + xB xA + y A y + yB y A + x A et A , d’où : xH = A = = 2 2 2 2

(

)

xA + y A y A + xA . ; 2 2 On a bien l’abscisse et l’ordonnée de H, milieu de [AB], H

70 A. Une conjecture 1. 2. 3. 4. 5. a. C

qui sont égales ; le milieu de [AB] appartient donc à

la droite d. b. OA = xA2 + y A2 . OB =

xB2

yB2

B’

y A2

xA2

= OA .

A’

C1 S

Deux points A et B ont leurs coordonnées telles que

xA = xB et yA = yB si et seulement si les points A et B

H 0

sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Afficher « abscisse du point A » Lire xA Afficher « ordonnée du point A » Lire yA Afficher « abscisse du point B » Lire xB Afficher « ordonnée du point B » Lire yB Afficher « Coordonnées du point M milieu de [AB] : (» Affecter à xM la valeur (xA + xB)/2 Afficher xM Afficher « ; » Afficher « ordonnée du point M milieu de [AB] » Affecter à yM la valeur (yA + yB)/2 Afficher yM Afficher « ) »

Ce qui donne sous Algobox :

B1 C’ 1

B x

5. b. S (–0,5 ; 3). 6. On peut conjecturer l’existence d’un cercle de centre S passant par A’, B’, C’, A1, B1 et C1. A’(1,5 ; 4,5), B’(–2,5 ; 4,5), C’(1 ; 1), A1(–2,5 ; 1,5), B1(1,5 ; 1,5) et C1(–2 ; 5). B. Une démonstration SA’ = 22 + 1,52 = 2,5 SB’ = 22 + ( −1,5)2 = 2,5 SC’ = 1,52 + 22 = 2,5 SA1 = ( −2)2 + ( −1,5)2 = 2,5 SB 1 = 22 + ( −1,5)2 = 2,5 SC1 = ( −1,5)2 + 22 = 2,5 Les points B’, C’, A’, A1, B1 et C1 sont équidistants du point S, ils appartiennent tous au cercle de centre S et de rayon 2,5. 71 2. Les coordonnées du milieu de [AC] sont : xA + xC y A + yC ; = −1+ 1 ; −2 + 4 = (0;1). 2 2 2 2 Ainsi, J est bien le milieu de [AC]. 3. ABCD parallélogramme ⇔ [AC] et [BD] ont le même milieu ⎧ xB + xD =0 ⎪⎪ ⎪⎧ 3 + xD = 0 ⎪⎧ xD = −3 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩ 1+ yD = 2 ⎪⎩ yD = 1 ⎪ yB + yD = 1 2 ⎪⎩ D’où D (–3 ; 1).

(

) (

)

8. Le repérage

165

Exercices 4. AB = 42 + 32 = 5. AD = ( −2) + 32 = 13. 2

BD = ( −6)2 + 02 = 6. BD2 ≠ AB2 + AD2 donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABD n’est pas rectangle en A. Ainsi, le parallélogramme ABCD n’est pas un rectangle. 5. E −3 + 1 ; 1+ 4 d’où E (–1 ; 2,5). 2 2 3 1+ 4 + 1 F ; d’où F (2 ; 2,5). 2 2 G 3 − 1 ; 1− 2 d’où G (1 ; –0,5). 2 2 −1− 3 H ; −2 + 1 d’où H (–2 ; –0,5). 2 2 6. Le milieu de [EG] a pour coordonnées : −1+ 1 ; 2,5 − 0,5 = (0 ;1) . 2 2 Le milieu de [FH] a pour coordonnées 2 − 2 ; 2,5 − 0,5 = (0 ;1). 2 2 Ainsi [EG] et [FH] ont le même milieu J, EFGH est donc un parallélogramme. 72 1. carré = 64 carreaux. 2. rectangle = 65 carreaux, l’aire du rectangle est différente de celle du carré, ce qui est naturellement impossible. 3. a. A’(5 ; 0), B’(8 ; 0), C’(13 ; 0). b. On suppose A  (OC). OA’ = 5 ≈ 0,385 et OA = 29 ≈ 0,387, OC’ 13 OC 194 OA’ OA donc . ≠ OC’ OC Donc, d’après le théorème de Thalès, les droites (AA’) et (CC’) ne sont pas parallèles, ce qui est en contradiction avec le fait que A et A’ d’une part, et C et C’ d’autre

( ( (

(

) )

)

(

)

(

)

part, ont la même abscisse. Ainsi, la supposition de départ est fausse et A ” (OC). De la même manière, on suppose B  (OC). OB' = 8 ≈ 0,615 et OB = 73 ≈ 0,613 OC OC ' 13 194 OB’ OB donc . ≠ OC’ OC Donc, d’après le théorème de Thalès, les droites (BB’) et (CC’) ne sont pas parallèles, ce qui est en contradiction avec le fait que B et B’ d’une part et C et C’ d’autre part ont la même abscisse. Ainsi, la supposition de départ est fausse et B ” (OC). c. Le milieu de [OC] a pour coordonnées : 0 + 13 ; 0 + 5 = (6,5 ; 2,5). 2 2 Le milieu de [BA] a pour coordonnées : 8 + 5 ; 3 + 2 = (6,5 ; 2,5). 2 2 Ainsi, [OC] et [BA] ont le même milieu, donc OBCA est un parallélogramme. d. trapèze rose = 5 × (5 + 3) = 20 . 2 (5 + 3) = 20 . trapèze vert = 5 × 2 trapèze bleu = 8 × 3 = 12 . 2 trapèze jaune = 3 × 8 = 12 . 2 La somme des aires des figures géométriques colorées du rectangle est égale à 64 carreaux. L’aire du rectangle est égale à 65 carrés, l’aire du parallélogramme OBCA est donc égale à 1 carreau. e. En réarrangeant le puzzle, les pièces ne s’ajustent pas exactement les unes aux autres, laissant vide un mince parallélogramme d’aire un carreau quasiment invisible à l’œil nu.

(

)

(

)

Accompagnement personnalisé 73 Les distances sont exprimées en km et arron-

dies à l’unité.

1. DB = (51− 41) × 2π × 6 370 ≈ 1 112 . 360 × 6 370 ≈ 9 784 . 2π 2. NNY = (74 + 14) × 360 2 xB2 74 1. 2 + yB2 = 12 + 0,752 = 1,0625 ≠ 1 , donc le point B n’appartient pas à l’ellipse (E).

( 2 ) + 02 = 1 , donc le point H x 2 2. a. H + yH2 = 2 2 appartient à l’ellipse (E). 2

()

2 2 xG2 + yG2 = 1 + 1 = 1 + 1 = 3 ≠ 1, donc le point G 2 2 4 4 2 2 n’appartient pas à l’ellipse (E). 2 xL2 + yL2 = (− 2) + 02 = 1, donc le point L appartient 2 2 à l’ellipse (E).

( )

2 xP2 + yP2 = 1 + − 2 = 1 + 2 = 1 , donc le point P 2 4 2 2 2 appartient à l’ellipse (E).

166

b. On suppose qu’un point M de coordonnées (x ; y) appartienne à (E). xM12 2 ( −x )2 + yM12 = + y2 = x + y2 = 1 2 2 2 car M(x ; y)  (E) donc M1  (E). xM22 2 ( −x )2 + yM22 = + ( −y )2 = x + y2 = 1 2 2 2 car M(x ; y)  (E) donc M2  (E). xM3 2 2 2 + yM3 2 = x + ( −y )2 = x + y2 = 1 2 2 2 car M(x ; y)  (E) donc M3  (E). Si M(x ; y) appartient à (E), alors les points M1(–x ; y), M2(–x ; –y) et M3(x ; –y) appartiennent aussi à (E). 3. On constate que MF + MF’ semble constant (environ 2,83) quelque soit la position du point M. Preuve : MF + MF’ = ( x − 1)2 + ( y − 0)2 + ( x + 1)2 + ( y − 0)2

= x2 − 2x + 1+ y2 + x2 + 2x + 1+ y2 2 2 Or, M  (E) ⇔ x + y2 = 1 ⇔ y2 = 1− x , donc : 2 2

Exercices MF + MF’ =

Comme M  (E), on a –2  x  2, donc x – 2  0 ⇒ ( x − 2)2 = 2 − x et x + 2 > 0 ⇒ ( x + 2)2 = x + 2 . D’où MF + MF’ = 1 ( x − 2)2 + 1 ( x + 2)2 = 1 (2 − x ) + 1 ( x + 2) 2 2 2 2 = 1 (2 − x + x + 2) = 4 = 2 2 . 2 2 Cette somme de longueurs est donc bien constante, quelle que soit la position du point M sur l’ellipse.

2 2 − 2x + 1+ 1− x + x2 + 2x + 1+ 1− x 2 2

x2 − 2x + 2 + x2 + 2x + 2 2 2 = 1 ( x2 − 4x + 4) + 1 ( x2 + 4x + 4) 2 2 2 1 1 = ( x − 2) + ( x + 2)2 2 2 =

No problem 75 Let x be the distance between the wall and the

base of the ladder. 62 = 42 + x2 ⇔ x2 = 36 – 16 ⇒ x = 20 = 2 5 The base of the ladder is 2 5 m far away from the wall. (≈ 4.47 m) 76 1. The line (OI) is the x-axis. The line (OJ) is the y-axis. The point O is called origin. 2. (O, I, J ) is assumed to be orthonomal means that the lines (OI) and (OJ) are perpendicular and that OI = OJ = 1. 3. AB = ( −1− 2)2 + (4 + 3)2 = 9 + 49 = 58 ≈ 7,6

77 1. “If A, B and C are points of a circle where

segment [AC] is a diameter of the circle, then the triangle ABC is right-angled at B. 2. The converse: if the triangle ABC is right-angled at B, then the hypotenuse [AC] is a diameter of the circumcircle of ABC. 3. OM = (3)2 + (0)2 = 9 = 3 ON = ( −1)2 + ( −4)2 = 1+ 16 = 17 MN = ( −1− 3)2 + ( −4)2 = 16 + 16 = 4 2 so MN2 = 32 OM2 + ON2 = 9 + 17 = 26 MN2 ≠ OM2 + ON2, that’ why OMN is not a right-angled triangle, so the origin O doesn’t belong to the circle of diameter [MN]. 78 HP = (4 − 0)2 + (6 − 3)2 = 16 + 9 = 5 HL = ( −3 − 0)2 + (7 − 3)2 = 9 + 16 = 5 PL = ( −3 − 4)2 + (7 − 6)2 = 49 + 1 = 5 2 The perimeter of triangle HPL is 10 + 5 2 , which is around 17.07. ! = ABC ! = 116° 79 ADC ! BAD = 360 – (2 × 116 + 48) = 80° (because in a quadrilateral, the sum of the measures of the angles is 360°). + (1.5 = +256.25 + 6.25 = 31.25 = +(2 AB = AB(=2 3)+2 3+)(21.5 + 1)2+ 1=)2 25 = 31.25 80 AB 2 3 –)1.5 =+9 + 2.25 = 11.25 ( –1– +)(23+–(1.5 =)2 9 2.25 = 11.25 BC BC = (=–1– 2)2 2

3)2+ 1=)2 4 =+4 = 20 ( –1+ AC AC 16+ 16 = 20 = (=–1+ 3)2 3+)(23++(1

AB2 = 31.25 BC2 + AC2 = 11.25 + 20 = 31.25 AB2 = BC2 + AC2, so ACB is right-angled at C, the centre of the circumcircle ABC is the midpoint K of [AB], which coordinates are −3 + 2 ; −1+ 1.5 , that is 2 2 to say K (–0.5 ; 0.25). The radius of the circumcircle is AB = 31.25 . 2 2

(

)

2 == –( –2 = +16 + 0,25 = 16,25 (1–)21,5=)2 16 RM( –2 81 =RM RM 2)2–+2()1–+1,5 0,25 = 16,25 2 2 4 + 12,25 = 16,25 (5 –)21,5=) 4=+ 12,25 RN =RN(4= – 2(4)2–+2()5 +– 1,5 = 16,25

RM = RN, therefore R belongs to the perpendicular bisector of segment [MN]. 82 x is the side of the big grey square. Abig square = x2 2 Acircle = π × x (the radius is π ) 2 4 2 Asmall square = x (the diagonal of the small square is 2 the diameter x so the side is x ) 2 π × x2 − x2 4 2 = π − 2 ≈ 28% 4 x2 83 1. The perpendicular to (OA) at O cuts the circle of centre O and radius 1 at a point B, then OB = 1. The hypotenuse of the right-angled triangle OAB measures 12 + 12 = 2 . Then we can construct 3 on the same sketch: on the perpendicular line to (AB) at A, you built point C such that AC = 1. The hypotenuse of the right-angled triangle ABC measures 2

12 + 2 = 1+ 2 = 3 . 2. For Descartes, a line is a segment. Explanation of Descartes’ sentence: Let a, b and c three lines or segments (that’s to say: a is the length of the first one, b length of the second one and so on). Descartes says: a is to b as the line c is to unity. That is to say: a = c . b 1 We find a segment GH such that: 5 is to 2 as GH is to unity: 5 = GH . The length of the fourth segment 2 1 is GH = 2,5. 3. Webquest : dedicated to the pupils… 8. Le repérage

167

Exercices Traduction des énoncés 75 L’échelle Une échelle de 6 m de long repose sur un mur. Si le haut de l’échelle est à 4 m du sol, à quelle distance est le pied de l’échelle par rapport au mur sur lequel elle repose ?

76 Système de coordonnées Soit (O, I, J ) un repère. 1. Comment nomme-t-on la droite (OI) ? La droite (OJ) ? 2. Comment nomme-t-on le point O ? 3. On suppose que (O, I, J) est orthonormé. Que cela signifie-t-il ? 4. Le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée –3. B a pour abscisse –1 et pour ordonnée 4. Calculez la longueur AB et exprimez le résultat arrondi à la première décimale.

77 Le théorème de Thalès anglais 1. Complétez la phrase concernant le théorème de Thalès : « Si A, B and C sont des points d’un cercle et si le segment [AC] en est un diamètre, alors … » 1. Énoncez la réciproque du théorème précédent. 1. Dans le repère (O, I, J), M (3 ; 0) et N (–1 ; –4) sont deux points. L’origine du repère appartient-elle au cercle de diamètre [MN] ?

78 Le périmètre d’un triangle Les sommets d’un triangle sont H (0 ; 3), P (4 ; 6) et L (–3 ; 7). Calculez le périmètre du triangle HLP arrondi à deux décimales.

168

79 Un cerf-volant ! = 116°. Angle ABC A = d ; b = c ! = 48°. Angle BCD ! et BAD !. Déterminez les angles ADC 80 Cercles circonscrits Soit A(–3 ; –1), B(2 ; 1,5), C(–1 ; 3) trois points dans un repère orthonormé. Démontrez que le triangle ABC est rectangle en C et trouvez le centre et le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC. 81 Une droite particulière

Soit M (–2 ; 1), N (4 ; 5), R (2 ; 1,5). R appartient-il à la médiatrice du segment [MN] ?

82 Proportion d’une aire

Un carré bleu est inscrit dans un cercle blanc. Ce même cercle blanc est inscrit dans un carré gris. Quel est le pourcentage d’aire blanche dans la figure ?

83 La géométrie de René Descartes 1. Soit le segment [OA] dans un système de coordon-

nées cartésiennes tel que OA = 1. La construction cicontre donne le nombre AB = 2 obtenu grâce aux seules droites et au cercle. Expliquez cette construction et construisez le nombre 3 . 2. Descartes a écrit « Étant données deux autres lignes, trouver une quatrième ligne qui sera à la première des lignes données ce que l’autre est à l’unité ». À l’aide du graphique ci-dessus, et en utilisant la méthode de Descartes, pouvez-vous trouver la longueur d’un quatrième segment ? 3. Questions Internet a. Qui est René Descartes ? b. Quelle approche novatrice et fondamentale développa-t-il quant à la pensée mathématique ?

Les droites

Présentation du chapitre

Ce chapitre complète celui des fonctions affines en présentant la notion d’équation d’une droite quelconque. Les liens avec le chapitre 2 sont donc très fréquents sans pour autant être redondants. Il repose principalement sur deux points essentiels : toute droite non parallèle à l’axe des abscisses est la représentation graphique d’une fonction affine (ce qui impose de mettre en place la notion d’équation de droite en général) ; et les positions relatives de deux droites. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique est particulièrement employée dans ce chapitre. La propriété d’appartenance d’un point à une droite et la construction d’une droite connaissant un point et son coefficient directeur sont de bons exemples d’utilisation de ces outils. L’étude de la position relative de deux droites (parallèles ou sécantes) est également un domaine d’utilisation d’outils géométriques dynamiques ou calculatoires : dynamique pour faire émerger la propriété de l’égalité des coefficients directeurs dans le cas de deux droites parallèles ; calculatoire (y compris le calcul formel) pour déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites. La notion de systèmes linéaires et leur résolution n’est pas exigible. Mais ce chapitre est l’occasion de montrer des méthodes qui mettent en jeu cette notion.

9. Les droites

169

Pour construire le cours Situation A Déterminer le coût de travaux en SCIENCES DE L’INGÉNIEUR Objectifs : Considérer une droite comme courbe représentative d’une fonction affine. Définir une équation de droite non parallèle à l’axe des ordonnées. Interpréter graphiquement son coefficient directeur d’une droite et son ordonnée à l’origine. 1. Le point du graphique d’abscisse 1 800 a une ordonnée égale à 400. Le client paie donc 400 € pour 1 800 briques. 2. Le point du graphique d’ordonnée 100 a une abscisse égale à 300. Pour 100 €, le client peut donc acheter 300 briques. 3. C’est le prix payé alors que le nombre de briques est 0. Il s’agit donc des frais « fixes » du type « frais de livraison » ou « frais de dossier ». 4. La courbe étant une droite, la fonction f mise en jeu est une fonction affine ; elle est définie par une expression algébrique de la forme : f (x) = mx + p. D’après la question précédente, on a (0) = 40, ce qui implique que p = 40. D’après le graphique, f (300) = 100. On sait alors calculer la valeur du coefficient m, grâce au cours sur les fonctions affines : m = f(300) – f(0) = 100 – 40 = 60 = 0,2 300 – 0 300 300 On a donc f (x) = 0,2x + 40. 5. D’après la question précédente, on a m = 0,2 et p = 40. 6. Si x = 3 000, alors y = f (3 000) = 0,2 × 3 000 + 40 = 640. Pour l’achat de 3 000 briques, le client paie donc 640 €. 7. Si y = 1 000, alors on a 1 000 = 0,2 × x + 40, ce qui équivaut à 0,2x = 1 000 – 40 d’où 0,2x = 960, soit x = 4 800. Avec 1 000 €, le client peut donc avoir 4 800 briques. Le professeur fait le lien entre fonction affine et droite, en faisant le lien entre les résultats des questions 6. et 7. et l’aspect graphique : les points de coordonnées (3 000 ; 640) et (4 800 ; 1 000) appartiennent à la droite d’équation y = 0,2x + 40 car leurs coordonnées vérifient cette égalité. Une équation d’une droite est donc utile pour déterminer les points qui appartiennent à cette droite. 8. a. Nombre de briques initialement achetées

300

800

400

Prix initial prévu

100

200

120

Nombre de briques supplémentaires achetées

500

1 500

100

Prix à payer au total

200

500

140

Différence entre prix initial et prix final

100

300

b. Ces deux lignes sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est égal à m = 0,2. Le professeur a l’occasion ici d’illustrer que l’augmentation du prix est proportionnelle à l’accroissement du Δy nombre de briques, et plus généralement que m représente « ». L’achat d’une brique supplémentaire fait Δx augmenter le prix de m euros, ici 0,2 e.

Toute droite (AB ) non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation du type y − yA y = mx + p avec m = B et p un nombre réel. m est appelé coefficient xB − xA directeur de la droite (AB ) et p ordonnée à l’origine de la droite (AB ). Remarque : Cela signifie qu’un point M (xM ; yM) appartient à (AB ) si et seulement si 1 m yM = mxM + p. +1 Par exemple, comme : m × 0 + p = p, le 0 1 p point N (0 ; p) appartient à la droite (AB ), c’est pour cette raison que p est appelé ordonnée à l’origine. Ordonnée à Coefficient l’origine

170

directeur

Pour construire le cours

Situation B Étudier la demande en fonction du prix en ÉCONOMIE Objectifs : Tracer une droite dans le plan repéré. Utiliser une équation de droite. 1. On peut remarquer avec un logiciel de géométrie que les points sont presque alignés. Il est judicieux de demander aux élèves de représenter la situation « à la main » sur papier afin de leur faire choisir les unités sur les axes, de faire émerger la problématique de « relier les points » ou non en fonction de ce que font les élèves. Un débat intimement lié au programme de Seconde peut être alors efficacement mené. 2. Les points ne sont pas vraiment alignés, mais en vue d’une modélisation, on peut « faire passer » une droite assez près de tous ces points. Le professeur a l’occasion ici d’évoquer la notion de modélisation : il est assez légitime ici de faire comme si les points étaient alignés, c’est-à-dire comme si la quantité vendue était une fonction affine du prix du kilo. 3. Le professeur demande ici aux élèves de tracer la droite donnée comme modèle sur le même graphique que les points du tableau afin de rappeler la méthode de tracé d’une part, et de justifier le modèle d’autre part. a. Si on fixe le prix à 12 euros le kilo, alors on prend, avec le modèle choisi, x = 12 et on calcule y. y = –1,4x + 21 = –1,4 × 12 + 21 = 4,2 On peut alors prévoir que la quantité vendue sera de 4,2 kg par jour. Lors d’une modélisation, on remplace la réalité par le modèle choisi. On calcule donc y à l’aide de l’expression –1,4x + 21. b. Si on veut vendre 15 kg, alors on prend, avec le modèle choisi, y = 15 et on calcule x. –1,4x + 21 = 15 ⇔ –1,4x = –6 ⇔ x = 6 . 1,4 On a donc x ≈ 4,29. Le prix du kilo doit alors être fixé à 4,29 e. Une modélisation permet de faire des prévisions, et donc de prendre des décisions a priori.

Le coefficient directeur de la droite choisie ici peut être tracé sur le graphique : il permet de dire que si le kilo de cerises augmente d’un euro, la quantité vendue par jour baisse de 1,4 kg.

9. Les droites

171

Pour construire le cours Situation C Étudier les médianes en MATHÉMATIQUES Objectifs : Déterminer une équation d’une droite passant par deux points donnés. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites. Déterminer si un point appartient à une droite. 1. En observant la figure, les trois médianes du triangle semblent concourantes. Il est possible de demander aux élèves de représenter la situation « à la main » sur papier mais l’intérêt du logiciel dynamique est de conjecturer que les médianes sont concourantes quelle que soit la nature du triangle ABC. 2. A (0 ; 0), B (1 ; 0) et C (0 ; 1). 3. D’après la formule donnant les coordonnées du milieu d’un segment, on a I 1 ; 1 , J 0 ; 1 et K 1 ; 0 . 2 2 2 2 4. d1 a une équation de la forme y = mx + p avec p = 0, car d1 passe par l’origine A du repère. 1 y – yA 2 – 0 On a m = I = = 1. xI – xA 1–0 2 Donc d1 a pour équation y = x. 1–0 y – yB = 2 = – 1 . Comme J appartient à d2, alors p = 1 d2 a une équation de la forme y = mx + p. On a m = J 2 2 xJ – xB 0 –1 (ordonnée à l’origine de d2). Donc d2 a pour équation y = – 1 x + 1 . 2 2 On peut proposer plusieurs méthodes de détermination de l’équation d’une droite : système, y – yA = m(x – xA )… 5. Les coordonnées de L vérifient à la fois l’équation de d1 et celle de d2. On résout donc le système d’équations : ⎧x = 1 ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎧⎪y = x ⎪ 3. ⎨y = – 1 x + 1 ⇔ ⎨x = – 1 x + 1 ⇔ ⎨x + 1 x = 1 ⇔ ⎨ 3 x = 1 ⇔ ⎨x = 1 × 2 ⇔ ⎨x = 1 ⇔ ⎨x = 1 ⇔ ⎨ 1 y = ⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩2 ⎩ ⎩ ⎩ 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ⎩ 3

( ) ( )

( )

On a donc L 1 ; 1 . 3 3 C’est une des applications importantes des équations de droites : localiser un point défini comme intersection de deux droites. y – yC 6. d3 a une équation de la forme y = mx + p. On a m = K = 0 – 1 = –2. Comme C appartient à d3, alors p = 1 xK – xC 1–0 (ordonnée à l’origine de d3). 2 On a donc, pour équation de d3, y = –2x + 1. Pour montrer que le point L appartient à la droite d3, on se demande si ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite. –2 × 1 + 1 = – 2 + 3 = 1 , donc L appartient à la droite d3, car –2xL + 1 = yL. 3 3 3 3 On peut rappeler ici l’utilité et l’utilisation d’une équation de droite : prouver qu’un point appartient ou non à cette droite.

Lorsque, dans un repère, deux droites d1 et d2 sont sécantes, elles ont un point d’intersection K dont les coordonnées (x ; y ) vérifient à la fois les équations de ces deux droites. Ainsi, pour déterminer les coordonnées de K, il suffit de résoudre le système formé de ces deux équations.

172

Pour construire le cours

Situation D Observer l’allongement d’un ressort en SCIENCES PHYSIQUES Objectif : Découvrir à quelle condition deux droites sont parallèles. 1. Pour m = 0, la longueur n’est pas 0, donc L n’est pas proportionnel à m. Il est possible de justifier différemment : deux produits en croix non égaux, pour m = 120, L = 236 mais pour m = 360 (3 × 120), L n’est pas égal à 3 × 236… On rappelle qu’un contre-exemple suffit pour nier une affirmation. 2. a.

On développe les capacités d’utilisation d’un tableur pour représenter graphiquement des données. b. Si on admet que les points sont alignés, on cherche une équation de la droite correspondante. Le coefficient directeur de cette droite vaut 320 – 200 = 120 = 0,3. L’ordonnée à l’origine est égale à 200 (si 400 – 0 400 m = 0, alors L = 200). Donc y = 0,6x + 200 est une équation de la droite cherchée. Comme la masse m est en abscisse sur le graphique et la longueur L en ordonnées, on écrit donc L = 0,3m + 200. On adapte les notations habituelles au contexte de la situation : L = 0,3m + 200 au lieu de y = 0,3x + 200.

Il semble que la première droite et celle relative au deuxième ressort soient parallèles. En rappelant l’interprétation graphique du coefficient directeur m d’une droite, on peut convaincre aisément les élèves de la raison pour laquelle les deux droites sont parallèles : elles ont le même coefficient directeur.

Dans un repère, on considère deux droites d1 d1 d’équation y = mx + p et d 2 d’équation y = m’x + p’. m J d2 d1 et d2 sont parallèles si et seulement si m = m’ +1 I (c’est-à-dire qu’elles ont le même coefficient O m’ directeur). +1 Remarques : Si les droites d1 et d2 n’ont pas le même coefficient directeur, alors elles sont sécantes. Dans le cas où les droites d1 et d2 sont parallèles à l’axe des ordonnées d’équations respectives x = c et x = c’, elles sont parallèles entre elles. 9. Les droites

173

Diaporamas Les droites

Diaporama calcul mental

Si x = -3 et y = -2x - 4, alors y est égal à :

Les droites

Diaporama calcul mental

Si y = -15 et y = x + 20, alors x est égal à :

a. 10

a. 35

b. 2

b. 5

c. -2

c. -35

d. -10

Les droites

Diaporama calcul mental

Si, pour tout nombre x, f(x) = -2x + 4, alors f est :

Les droites

Diaporama calcul mental

L’équation (-3x – 2)(-3x + 7) = 0 a pour solution :

{

a. 2 ; 3 b. ⎡ −2 ⎣3 c. 2 ; 3 d. ⎡ −2 ⎣3

a. croissante b. positive

{

c. négative d. décroissante

}

−7 3 ; 7⎤ 3⎦ 7 3 ; −7 ⎤ 3⎦

}

Les droites

Diaporama calcul mental

L’image de -7 par la fonction f, définie sur  par f(x) = − 2 + 4, est : x

Les droites

Diaporama calcul mental

L’image de 0 par la fonction f, définie sur  par f(x) = -7 x - 6, est :

a. − 10 7

a. -13

b. 42 7

b. -42

c. -2

c. -6 d. 13

Les droites

Diaporama calcul mental

-6 est solution de : a. (-x + 6)(x - 3) = 0 b. (6 + x2) = 0 c. x + 4 = 2x + 10 d. x - 6 = 2x © Hachette Livre – Mathématiques 2de

174

Diaporamas

Les droites

Diaporama QCM chrono

Les droites

Parmi les équations suivantes, indiquer celle(s) qui est (sont) celle(s) d’une droite :

Une équation de la droite rouge est : y a. y = - 3x - 3

a. x = 4

b. y = 3x - 3

b. y = 7

c. y = 3x + 3

1 1

Diaporama QCM chrono

c. y = x2

d. y = - 3x + 3

Les droites

Diaporama QCM chrono

La droite d d’équation y = 2x - 3 est : y

Diaporama QCM chrono

Soit d la droite d’équation y = -7x + 3.

a. la droite verte

Les droites

Une équation de la parallèle à d passant par A(0 ; 5) est :

b. la droite bleue

a. y = - 7x + 5

c. la droite rouge

b. y = 5

d. la droite rose

c. y = 7x + 5 d. y = 5x + 3

Les droites

Diaporama QCM chrono

Soient d la droite d’équation y = 3x - 1 et d’ la droite d’équation y = 2x. Le point d’intersection de d et d’ est : a. A(2 ; 3)

Les droites

Diaporama QCM chrono

Soient d la droite d’équation y = -7x - 13 et d’ la droite d’équation y = 7x + 13. Ces deux droites sont : a. parallèles

b. B(1 ; 2)

b. parallèles à l’axe des abscisses

c. C (-1 ; -2)

c. parallèles à l’axe des ordonnées

d. D (2 ; 1)

Les droites

Diaporama calcul mental

Soient les points A(-2 ; 3) et B(4 ; 0). Le coefficient directeur de la droite (AB) : a. vaut - 1 2 b. vaut -2 c. n’existe pas d. vaut 1 2 © Hachette Livre – Mathématiques 2de

9. Les droites

175

Exercices Réviser ses gammes b. Vrai. Gamme 1 a. Faux. d. Vrai. e. Vrai

c. L’abscisse du point de  d’ordonnée 2 est 3 .

c. Faux. f. Faux.

d. L’antécédent de 4 par f est 1. e. L’abscisse du point de  situé sur l’axe des abscisses est 2.

Gamme 2 a. f est associée à 1.

b. g est associée à 4. c. h est associée à 2. d. l est associée à 3. e. s est associée à 5.

Gamme 5 1. f (x) = – 5 x. 2. g (x) = 3x + 4. 2

{}

Gamme 6 La fonction affine est définie par –2x + 4.

{} {}

Gamme 3 a.  = 1 . b.  = 5 . 2 3 7 7 c.  = . d.  = {0}. e.  = . 2 8

{}

Gamme 7 2 400 2 484

Gamme 4 a. L’image de 3 par f est –4.

1 000 1 035

12 000 12 420

75 000 77 625

Le coefficient qui permet de passer de la première à la deuxième ligne est 1,035.

b. L’ordonnée du point de  d’abscisse –5 est 28.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacités 3 et 4. 2. Capacité 1. 3. Capacité 5. 4. Capacité 3. 5. Capacités 2 et 5 2 1. c. 2. b. 3 1. On détermine le coefficient directeur de la droite (HK) :

Les deux droites (AB) et (BC) n’ont pas le même coefficient directeur, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 5 1. y = 2x, d1. y = 3, d3. y = 1,5x + 5, d4. x = 4, d2. y = –0,5x + 3, d6. y = –x – 3, d5. 2. Les coordonnées du point d’intersection de d1 et d4 sont (10 ; 20).

– 2 = –2. m = –6 1+ 3 Les droites HK et d ont des coefficients directeurs différents, elles sont donc sécantes. 2. –6 = –2 × 1 + p ⇔ p = –4 Une équation de la droite HK est y = –2x – 4. 3. Le point d’intersection de (HK) et d a pour coordonnées − 7 ; 2 .

(

6 –2 × 0 + 3 = 3, donc A  d. –2 × (–5) + 2 = 12, donc B  d. –2 × 13 + 3 = –23, donc C  d.

–2 × 1 + 3 = 7 ≠ − 8 , donc D ” d.

)

3 3 4 m(AB) = − 5 et m(BC) = − 8 . 13 8

–2 × 3 + 3 ≠ 3 , donc E ” d. –2 × p + 3 = 3 – 2p, donc F  d.

Corrigés des exercices 1 1.

F 1 0

2. Le point E n’appartient pas à Δ car –(–2) + 3 ≠ 4 ; le point F appartient à Δ car 2 = –1 + 3. y − yE 3. m = F = 2 − 4 = −2 . xF − xE 1+ 2 3 −2 −2 f ( −2) = x+p⇔4= × ( −2) + p ⇔ p = 4 − 4 = 3 3 3 f ( −2) = −2 x + p ⇔ 4 = −2 × ( −2) + p ⇔ p = 4 − 4 = 3 3 3 ) = −2 x + p ⇔ 4 = −2 × ( −2) + p ⇔ p = 4 − 4 = 8 3 3 3 3 L’équation de la droite (EF) est y = − 2 x + 8 . 3 3 176

8 3 8 3

Le point A appartient à la droite d’, car 3 = 1 × 2 + 2 2 Le point B appartient à la droite d, car 1 = –3 + 4 y −y 3 1. m = xw − xV = 42 −− 03 = 21 . W V 1 f (0) = × 0 + p ⇔ p = 3 . 2 L’équation de la droite (VW) est y = 1 x + 3 . 2 2. Les droites d et (VW) ont des coefficients directeurs différents, elles sont donc sécantes.

⎧ = 2x + 1 ⎪ ⇔ ⎨ 1x + 3 ⎪⎩ 2

Exercices ⎧ 2. 4 ⎧ ⎧ y = 2x + 1 ⎧ 1 ⎪ x=3 ⎪ 3x = 2 ⎪ ⎪ 2 x + 3 = 2x + 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⎨ 1 ⎪ y = 11 ⎪⎩ y = 2 x + 3 ⎪ y = 2x + 1 ⎪⎩ y = 2x + 1 I 3 ⎩ ⎩ O J ⎧ ⎧ 4 x = 3 1 x + 3 = 2x + 1 x = 2 ⎪ ⎪ 3 2 ⇔⎨ . ⇔⎨ 2 11 11 1. L’ordonnée du point de ∆ d’abscisse - 21 est ⎪ y = 2x + 1 ⎪ y= y = 2x + 1 3 ⎩ ⎩ - 11. 4 2. L’abscisse du point de ∆ d’ordonnée 5 est 4. Les droites d et (VW) se coupent en K 4 ; 11 . 3 3 3. L’abscisse du point de ∆ situé sur l’axe des abs4 1. Coefficient directeur de ( AB ) : cisses est –6. y A − yB 4 5 + 10,5 m= = = −9. 12 1. a. 6 = 47 = 1,75 , la droite (MN) passe par xA − xB 1− 2 l’origine du repère. Coefficient directeur de (EB) : 2. b. La droite (MN) a aussi pour coefficient directeur y − yB = 49 + 5 = − 54 = − 27 m= E 1,75. xE − xB 8 4 −4 − 2 3. a. La droite (MN) et la droite d’équation y = –2x + 1 Les coefficients directeurs n’étant pas égaux, les ont des coefficients directeurs différents, elles sont droites (AB) et (EB) sont sécantes et les points A, B, donc sécantes. et E ne sont pas alignés. 13 Puisque d2 a pour équation x = –2, l’axe des 2. D’après la question 1. Le coefficient directeur de ordonnées se trouve à 2 carreaux vers la droite de la droite (AB) est –9. la droite rouge. Puisque l’ordonnée à l’origine de la Coefficient directeur de (CD): droite d1 est 1, l’axe des abscisses est à 1 carreaux yD − yC 66 4 62 − + en dessous de l’intersection de l’axe des ordonnées = m= =− . xD − xC 32 − 25 7 et de d1, d’où la figure suivante. Les coefficients directeurs n’étant pas égaux, les y droites (AB) et (CD) sont sécantes. d2 5 1. Vrai, l’abscisse du point A est –2, elle satisfait d1 donc l’équation x = –2. 1 2. Faux, la droite d’équation x = 3 est verticale et la x droite d’équation y = 3 est horizontale, elle sont donc 0 1 sécantes. 3. Faux, deux droites sont sécantes ou parallèles f (1) − f (3) 14 m = 1 − 3 = 3 −−211 = 4 . (strictement parallèles ou confondues). 4. Vrai, les deux droites ont le même coefficient direcf ( −2) − f (0) teur (5). 15 m = −2 − 0 = 5−−24 = − 21. 5. Faux, 1 + 0,17 ≠ 0,5 . 3 y = − 1x + 4 . 2 6. Faux, le parallélisme de deux droites est indépen 1. g (0) = −3 . 16 dant du repère choisi. 2. g (1) − g (0) = 1 + 3 = 4 . 6 Coefficient directeur de (AB) : 3. La droite ( AB ) a pour équation y = 4 x − 3 . y − yB m= A = 67 − 78 = 11. 17 1. f ( −2) = 3 × ( −2) − 1 = −7 . xA − xB 0−1 2. Par une fonction affine, chaque réel possède un 7 L’abscisse du point C est 0, l’ordonnée à l’origine unique antécédent. de la droite (CD) est l’ordonnée du point C, soit 627. 3x − 1 = 7 ⇔ x = 8 . 3 8 y 18 R S T

(

Abscisse Ordonnée

1 –3

3 0

9 A (0 ; 1), B (1 ; 1), B (1 ; 0) et D (0 ; 0). L’équation de la droite (BD) est y = x . L’équation de la droite (AC) est y = − x + 1. 10 1.

)

7 6

1 0

J I

19 1. 2 × ( −1) − 5 = −7 ≠ 7 : le point A n’appartient pas à la droite d. 2. 2 × 2 − 5 = −1 : le point B appartient à la droite d. 9. Les droites

177

Exercices 3. 2 × 13 − 5 = 3 = 1,5 : le point C appartient à la 4 2 droite d. y 20 A 1 0

A 1

24 1.

B A

1 0

y A − yB = 1− 3 = 2 . xA − xB 2−7 5 2 3. 1 = × 2 + p ⇔ p = 1 . 5 5 4. y = 2 x + 1 . 5 5 2 5. × 100 + 1 = 201 = 40,2 et 40,2 ≠ yC : le point C 5 5 5 n’appartient donc pas à la droite d. 25 La droite a pour équation y = −2x + 4 . 26 2 = 5 × ( −3) + p ⇔ p = 17 . La droite a pour équation y = 5 x + 17 . 27 Droite verte : x = 3 . Droite rouge : y = 2 . Droite bleue : y = 5 x . Droite violette : y = 1 x + 1. 5 Droite orange : y = −3 x + 2 . 2. m =

28 m = 54 −− 02 = 52 .

On trouve donc y = 2 x + 2 . 5 178

Saisir XA Saisir YA Saisir YB Saisir XB Si XA = XB, afficher « pas de coefficient directeur » Sinon, affecter (YB – YA)/(XB – XA) à m Afficher « m= », m

21 La droite d1 a pour coefficient directeurmm == − 21, et celui de la droite d2 est m’ = 4 . 3 1 11 . 1 1 1. − × + 2 = − + 2 = 22 3 2 6 6 1 1 11 1 2. = − x + 2 ⇔ − x = − ⇔ x = 11. 3 3 6 6 2 y A − yB 3 7 − 23 1. m = x − x = 0 − 1 = 4. A B 2. D’après les coordonnées du point A, l’ordonnée à l’origine de la droite (AB) est 3. 3. y = 4 x + 3 . y 4.

29 L’équation de la droite est y = 31 x − 2 . 30

31 –4 ≠ 3, donc les droites d et d’ ne sont pas parallèles. 32 Coefficient directeur de la droite (AB) : y − yB m= A = 1− 4 = 3. xA − xB −3 − 5 8 Coefficient directeur de la droite (CD ) : y − yD m= c = −2 + 1 = 1 . xc − xD 2−5 3 Les coefficients directeurs des droites (AB) et (CD) sont différents, les deux droites sont donc sécantes. 33 Les droites d1 et d5 sont parallèles. Les droites d3 et d6 sont parallèles. Les droites d4 et d7 sont parallèles. 34 Coefficient directeur de la droite (EF) : y − yF = −5 + 2 = −3 = 1 . m= E xE − xF −4 − 5 −9 3 Coefficient directeur de la droite (GH) : y − yH m= G = 2 − 4 = −2 = 1 . xG − xH −1 − 5 −6 3 Les coefficients directeurs des droites (EF) et (GH) sont égaux, les deux droites sont donc parallèles. 35 Coefficient directeur de la droite (AB) : y − yB m= A = 3 + 1 = 4. xA − xB −2 + 3 Calcul de l’ordonnée à l’origine : 1 = 4 × 2 + p ⇔ p = −7 . Une équation de la droite cherchée est y = 4 x − 7 . 36 Coefficient directeur de la droite (RS) : y − yS m= R = −2 − 4 = −6 = − 1. xR − xS 7+5 12 2 Coefficient directeur de la droite (ST) : y − yT m= S = 4 + 4 = 8 = − 1. xS − xT −5 − 11 −16 2 Les coefficients directeurs des droites (RS) et (ST) sont égaux, les deux droites sont donc confondues et les points R, S et T sont alignés. 37 Coefficient directeur de la droite (AB) : y − yB m= A = 1 + 2 = 3 = 1. xA − xB 4+5 9 3 Coefficient directeur de la droite (BC ) : y − yC −2 − 2,1 −4,1 m= B = = = 41 . xB − xC −5 − 7,4 −12,4 124 Les coefficients directeurs des droites (AB) et (BC) sont différents, les deux droites sont donc sécantes et les points A, B et C sont non alignés. 38 Coefficient directeur de la droite (VW) : y − yW m= V = −1 − 11 = 2. xV − xW −1 − 5

Exercices

Calcul de l’ordonnée à l’origine de la droite (VW) :

−1 = 2 × ( −1) + p ⇔ p = 1. L’équation de la droite (VW) est y = 2x + 1. 2 × 2 + 1 = 5 = yU , le point U appartient à la droite (VW). 39 Coefficient directeur de la droite (AB) : y − yB m= A = 33 − 54 = 2,1. xA − xB 10 − 20 Calcul de l’ordonnée à l’origine de la droite (AB) : 33 = 2,1× 10 + p ⇔ p = 12 . L’équation de la droite (AB) est y = 2,1x + 12 . 2,1 × 30 + 12 = 75 . Pour que le point C d’abscisse 30 soit aligné avec les points A et B, il faut que l’ordonnée du point C soit égale à 75. 40 −5 × ( −3) − 11 = 4 = ys . 2 × ( −3) + 10 = 4 = ys . ⎧ y = −x + 2 ⎪ Le point S appartient aux droites d⎨et d’ et 1les deux⇔ = −donc x +1 ⎪⎩ yS est droites ne sont pas parallèles, le point 4 bien le point d’intersection des deux droites. 41 Les droites d et d’ ne sont pas parallèles, leur point d’intersection vérifie le système : x=3 x=3 ⎪⎧ x = 3 ⎪⎧ ⎪⎧ . ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ y = −7x + 15 y = −7 × 3 + 15 ⎩⎪ ⎩⎪ ⎩⎪ y = −6

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Entrer m Entrer p Affecter à y la valeur 5m + p Afficher y

47 1. Réponse c. 2. Réponse b. 3. Réponse c. 4. Réponse b. 48 Dans le repère (A, B, D) l’équation de la droite (BL) est y = − 1 x + 1 et l’équation de la droite (DK) 4 est y = − x + 2 . Les droites (BL) et (DK) ne sont pas parallèles, leur point d’intersection E vérifie le système : ⎧ ⎧ y = −x + 2 ⎧ ⎧ y = −x + 2 y = −x + 2 ⎪ y= ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 1 1 x=4 ⎪⎩ ⎪ x= ⎪⎩ −x + 2 = − 4 x + 1 ⎪⎩ y = − 4 x + 1 3 ⎩ ⎧ 2 ⎧ y = −x + 2 y = y = −x + 2 ⎪ ⎪ 3 . ⇔⎨ ⇔⎨ 4 1 x = −x + 2 = − x + 1 4 ⎪ x= ⎪⎩ 3 4 3 ⎩ L’équation de la droite (AC) est y = 1 x . 2 1 × 4 = 2 = y , donc le point E appartient à la droite E 2 3 3 (AC) et les points A, E et C sont alignés. y

42 Les droites d et d’ ne sont pas parallèles, leur point d’intersection vérifie le système :

⎧⎪ y = 3x − 1 y = 3x − 1 ⎪⎧ y = 5 ⎪⎧ ⎪⎧ y = 3x − 1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ y = 7x − 9 x=2 ⎪⎩ 3x − 1 = 7x − 9 ⎩⎪ x = 2 ⎩⎪ ⎩⎪

⎧⎪ ⎧⎪ y = 5 ⎧⎪ y = 3x − 1 = 3x − 1 y = 3x − 1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ . = 7x − 9 x=2 ⎩⎪ x = 2 ⎩⎪ ⎩⎪ 3x − 1 = 7x − 9 43 Les droites d et d’ ne sont pas parallèles, leur point d’intersection vérifie le système : ⎧⎪ ⎧⎪ ⎧⎪ y = 0 y=0 y=0 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩⎪ 0 = −2x − 716 ⎩⎪ x = −358 ⎩⎪ y = −2x − 716

⎧⎪ ⎧⎪ y = 0 y=0 y=0 ⇔⎨ . ⇔⎨ = −2x − 716 ⎪ 0 = −2x − 716 ⎪ x = −358 ⎩ ⎩ Donc le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; –358). 44 Les coordonnées trouvées par Rémi avec le logiciel ne sont pas les coordonnées exactes du point d’intersection des droites d et d’ car elles ne vérifient pas les équations de d et d’. Les deux droites n’étant pas parallèles, si Rémi souhaite trouver les coordonnées exactes du point d’intersection des deux droites, il doit résoudre algébriquement le système suivant :  y = 4 x − 1 .   y = −3 x + 2

45 1. xA = 1 et y = 5. 2. xA = –4 et y = 14. 3. L’algorithme permet d’obtenir l’ordonnée du point d’abscisse xA de la droite d’équation y = mx + p, où les valeurs de m et p sont entrées par l’utilisateur. Lorsque l’on fait fonctionner l’algorithme, il affiche xA et y.

1 L

0 A1

B x

49 1. 2 500

Salaire (en euros)

2 000 1 500 1 000 500 0

Ventes (× 102 euros) 0

80 100 120 140 160 180 200

2. Graphiquement, il semble qu’à partir de 14 000 euros de ventes mensuelles, il est préférable de choisir le salaire variable. 50 1. Coefficient directeur de la droite (AE): y − yE m= A = 6 − 2 = 4 = −2. xA − xE −4 + 2 −2 Coefficient directeur de la droite (EC) : y − yE m= C = −6 − 2 = −8 = −2. xC − xE 2+2 4 Les droites (AE) et (EC) ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles et les points A, E et C sont alignés. 2. Coefficient directeur de la droite (AB) : y − yB = 6 − 8 = −2 = 1 . m= A xA − xB −4 − 2 −6 3 1 3. 2 = × ( −2) + p ⇔ p = 8 . 3 3 L’équation de la droite d est y = 1 x + 8 . 3 3 4. Les points B et C ont la même abscisse, ils appartiennent donc à la droite d’équation x = 2. 9. Les droites

179

Exercices ⎧ ⎧ x=2 x=2 ⎪ 5. ⎪⎨ . F 2 ; 10 . ⇔ ⎨ 8 10 1 3 ⎪⎩ y = 3 x + 3 ⎪⎩ y = 3

(

)

On détermine les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d3 : ⎧ y = 2x − 4 ⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = − ⎪ ⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ 1 9 1x − 9 ⇔ ⎨ y = x − 2x − 4 = x =1 ⎩⎪ ⎩⎪ x = 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 4 4 4

51 Soit A (0,8 ; 0,8) et B (1,30 ; 0) 1. On détermine le coefficient directeur la droite ⎧ ⎧ y de = 2x − 4 y = 2x − 4 ⎪⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = −2 ⎪ ⎪ (AB) : ⇔⎨ . y A − yB 0,8 − 0 ⎨ y 8= 1 x − 9 ⇔ ⎨ 2x − 4 = 1 x − 9 ⇔ ⎨ m= = =− . x =1 ⎩⎪ ⎩⎪ x = 1 ⎪⎩ 4 4 4 0,8 − 1,30 ⎪⎩ 5 4 xA − xB On détermine les coordonnées du point d’intersection On calcule l’ordonnée à l’origine de la droite (AB) : des droites d2 et d3 : 0 = − 8 × 1,30 + p ⇔ p = 10,4 = 2,08 . 5 5 ⎧ ⎧ 3 13 ⎧ y = − 3 x + 13 ⎪ y = −2x + 2 ⎪ ⎪ y = − 3 x + 13 2 2 L’équation de la droite (AB) est y = − 8 x + 2,08 . 2 2 ⇔ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ 5 ⎪ y = 1x − 9 ⎪ − 3 x + 13 = 1 x − 9 ⎪⎩ x=5 La hauteur à laquelle l’échelle touche le mur corres4 4 4 4 2 ⎩ ⎩ 2 pond à l’ordonnée à l’origine de la droite (AB), soit ⎧ ⎧ 3 13 ⎧ y = − 3 x + 13 2,08m. ⎧⎪ y = −1 ⎪ ⎪ y = −2x + 2 ⎪ y = − 3 x + 13 2 2 2 2 2 2 ⇔⎨ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ 2. L = 1,3 + 2,08 ≈ 2,45 m. ⎨ ⎩⎪ x = 5 ⎪⎩ ⎪ y directeur = 1 x − 9 de la ⎪ − 3 x + 13 = 1 x − 9 x=5 52 1. On détermine le coefficient 4 4 2 4 4 ⎩ 2 ⎩ droite (RS) : On trouve A (3 ; 2), B (1 ; –2) et C (5 ; –1). yR − yS 3 2 + 1 1 55 1. La parallèle à d passant par l’origine du . m= = =− = xR − xS 3 − 9 −6 2 repère a pour coefficient directeur celui de d et pour On détermine le coefficient directeur de la droite (TU) : ordonnée à l’origine 0. Donc l’équation de cette droite yT − yU 3 4 1 1 − + est y = −3 x . m= = =− =− . xT − xU 10 − 4 6 2 2. Le coefficient directeur est –3 et la droite passe Les droites (RS) et (TU) ont le même coefficient direcpar le point de coordonnées (–2 ; 0) ; donc la droite a teur, elles sont donc parallèles. pour équation y = −3 x − 6 . On détermine le coefficient directeur de la droite (RU) : 56 1. Sur l’intervalle [0 ; 2][3 ; 4], la vitesse augy − yU m= R = 2 + 1 = 3 = −3. mente linéairement au cours du temps, le mouvexR − xU 3 − 4 −1 ment de la rame est accéléré. On détermine le coefficient directeur de la droite (TS) : Sur l’intervalle [2 ; 3][4 ; 4,5], la vitesse est constante y − yS m= T = −4 + 1 = − 3 = −3. au cours du temps, le mouvement est uniforme. xT − xS 10 − 9 1 Sur l’intervalle [4,5 ; 6], la vitesse diminue linéaireLes droites (RU) et (TS) ont le même coefficient direcment au cours du temps, le mouvement est décéléré. teur, elles sont donc parallèles. 0,3 = 0,15 km . min–2. 2. a = 2. Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 deux à deux est un parallélogramme, le quadrilatère 3. a = 0 km . min–2. −0,5 RSTU est donc un parallélogramme. = −1. 4. a = 6 − 4,5 3 53 Soit F’ le milieu de [EG] : 1 5. 0 = − × 6 + p ⇔ p = 2 . 3 xF ' = 12 + 6 = 9 et yF ' = 4 + 3 = 3,5. 2 2 L’équation de la droite (EF) est y = − 1 x + 2 . 3 On détermine le coefficient directeur de la droite (KF’) : y = − 1 × 5 + 2 = 1. yK − yF ' 3 3 −1,5 − 3,5 m= = = −2,5. La vitesse atteinte à 5 minutes du point A est : 11 − 9 xK − xF ' 1 km . min–1. On détermine le coefficient directeur de la droite (KF) : 3 y − yF −1,5 − 6 m= K = = −2,5 . 57 Soit H1 le projeté orthogonal du point H sur la xK − xF 11 − 8 droite (AB) et H2 le projeté orthogonal du point H sur Les coefficients directeurs des droites (KF’) et (KF) la droite (AD). sont égaux, les deux droites sont donc parallèles et Dans le repère (A, H1, H2), l’équation de la droite (AH) les points K, F et F’ sont alignés. a pour équation y = x et l’équation de la droite (FC) Le point K appartient bien à la médiane issue de F est y = x − 1. du triangle EFG. Les droites (FC) et (AH) ne sont pas confondues. 54 On détermine les coordonnées du point d’inter58 L’équation de la droite (DB) est y = − 58 x + 5 et section des droites d1 et d2 : l’équation de la droite (EF) est y = 2 . ⎧ y = 2x − 4 ⎧ y = 2x − 4 Les du point G satisfont le système ⎪⎧ y = 2 ⎪ ⎪ ⎪⎧ y = 2x − 4 coordonnées ⇔ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ d’équation suivant : 3 13 3 13 x=3 ⎪⎩ x = 3 ⎪⎩ ⎪⎩ y = − 2 x + 2 ⎪⎩ 2x − 4 = − 2 x + 2 ⎧ ⎧ y =2 y =2 ⎧ ⎪ ⎪ x−4 y = 2x − 4 ⎧⎪ y = 2 ⎧⎪ y = 2x − 4 ⎪ ⇔ . ⎨ ⎨ ⇔⎨ . ⇔⎨ x = 24 = 4,8 y = −5x +5 3 x + 13 ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ x + 13 2x − 4 = − 5 8 x=3 ⎩ ⎩ ⎩⎪ x = 3 ⎩⎪ ⎪⎩ 2 2 2 180

Exercices

On trouve G (4,8 ; 2). 62 Soient x le prix d’un triangle de verre bleu et y 4,8 × 3 le prix d’un triangle de verre blanc. = 7,2 . ADGE = 2 x et y sont les solutions du système d’équation sui2 × (4,8 + 8) = 12,8 . AEGBA = vant : 2 2x = −2y + 5,50 2 × 3,2 ⎪⎧ 2x = −2y + 5,50 ⎪⎧ 4x + 4y = 11 ⎪⎧ ABGF = = 3,2 . ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ 2x + 6y = 9,10 ⎪⎩ 2x + 6y = 9,10 ⎪⎩ −2y + 5,50 + 6y = 9,1 3 × (3,2 + 8) = 16,8 . AFGDC = 2 ⎧⎪ 4x + 4y = 11 ⎧⎪ 2x = −2y + 5,50 ⎧⎪ ⎧⎪ x = −y + 2,75 2x = −2y + 5,50 ⇔⎨ ⇔⎨ été ⇔ ⎨ 59 1. Entre le point A et le point⎨ B,2x8+L6yont= 9,10 y = 0,90 ⎩⎪ 2x + 6y = 9,10 ⎩⎪ −2y + 5,50 + 6y = 9,10 ⎩⎪ consommé en 60 minutes. Le travail⎩⎪effectué est un travail ⎧de 4x déplacement. ⎧⎪ 2x = −2y + 5,50 ⎧⎪ ⎧⎪ x = −y + 2,75 ⎧⎪ x = 1,85 + 4y = 11 2x = −2y + 5,50 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ Entre le point B et le point⇔ C, ⎨36 L ont été consommé ⎨ = 9,10 2x + 6y = 9,10 −2y + 5,50 + 6y = 9,10 y = 0,90 ⎩⎪ y = 0,90 ⎩⎪ ⎩⎪ 2x + 6y ⎩⎪ heure. en 90 minutes, soit 24 L en une Le travail effec-⎩⎪ tué est un travail de terrassement. 2x = −2y + 5,50 ⎪⎧ x = 1,85 ⎪⎧ 4x + 4y = 11 ⎪⎧ 2x = −2y + 5,50 ⎪⎧ ⎪⎧ x = −y + 2,75 ⇔le⎨point C et le point ⇔ ⇔⎨ ⇔⎨ Entre D, l’engin ne consomme ⎨ ⎨ 2x + 6y = 9,10 + 6y = 9,10 y = 0,90 ⎪⎩ y = 0,90 ⎪⎩ 2x + 6y = 9,10 ⎪⎩ −2y + 5,50 rien, on ⎪⎩peut raisonnablement supposer qu’il ne fonc ⎪⎩ tionne pas. Le prix du vitrail numéro 3 est de : Entre le point D et le point E, la pente laisse supposer 3 × 1,85 + 5 × 0,90 = 10,05 euros. que l’on est en train de remplir le réservoir de l’engin. 63 Entre le point E et le point F, 20 L ont été consommé Distance (en km) 11 en 100 minutes, soit 12 L en une heure. Le travail C 10 effectué est un travail de chargement. 9 2. Au point F, il est 14 h 30 et le réservoir contient 8 7 60 L, si l’engin continue son travail de chargement 6 pendant une heure il va consommer 12 L suppléA 5 mentaires il restera donc 48 L de carburant dans le B 4 réservoir à la fin de la journée. 3 2 60 L’équation de la droite (FC) est y = − x + 4 , 1 3 t (en min) l’équation de la droite (CE) est y = − x + 3 . 0 5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Les coordonnées du point A satisfont le système 1. Graphiquement, l’abscisse du point d’intersection d’équation suivant : entre les deux courbes est le temps nécessaire à ⎧ y = −x + 4 ⎧ y = −x + 4 ⎪⎧ y = 1,5 ⎪ ⎪ Alexandre pour doubler Coralie. Il la doublera environ ⎨ 3 x + 3 ⇔ ⎨ −x + 4 = − 3 x + 3 ⇔ ⎨ x = 2,5 y = − 27 min et 30 s après le départ de Coralie. ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ 5 5 ⎧ 2. Le coefficient directeur de la droite (BC) est plus x+4 y = −x + 4 ⎪⎧ y = 1,5 ⎪ . ⇔ ⇔ grand que celui de la droite bleue qui représente le ⎨ ⎨ 3x +3 3 ⎪⎩ x = 2,5 ⎪⎩ −x + 4 = − 5 x + 3 parcours d’Alexandre. La vitesse de Coralie est donc 5 plus grande que celle d’Alexandre juste avant leur On a donc A (2,5 ; 1,5). arrivée. 2,5 ACAF = = 1,25 cm2. 2 64 Le coefficient directeur de cette droite est --32 1,5 2 = 0,75 cm . AAGE = (par lecture graphique) et l’ordonnée à l’origine est –1, 2 61 On détermine le coefficient directeur de la droite donc une équation de la droite tracée est y = 2 x – 1. 3 (AB) : y − yA 65 Soient x le prix d’une rose et y le prix d’une tulipe. = 6 − 2 = 1. m= B xB − xA 4 + 4 2 x et y sont les solutions du système d’équation suiOn détermine le coefficient directeur de la droite (CI) : vant : y − yI m= C = 2 − 0 = 1. ⎧⎪ 5x + 8y = 20,80 ⎪⎧ 5x − 8x + 28 = 20,80 ⎪⎧ x = 2,40 xC − xI 5 −1 2 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ y = −x + 3,5 6x + 6y = 21 ⎪⎩ On détermine le coefficient directeur de la droite (BC) : ⎩⎪ ⎩⎪ y = 1,10 y − yC ⎧⎪ 5x − 8x + 28 = 20,80 ⎧⎪ x = 2,40 . = 20,80 m= B = 6 −⎧⎪2 5x = −+48y ⇔⎨ ⇔⎨ . xB − xC 4 −⎨5 y = −x + 3,5 + 6y = 21 ⎪ ⎩⎪ y = 1,10 ⎩⎪ 6x On détermine le coefficient directeur de la droite (CA): ⎩ Le prix d’une rose est de 2,40 euros et de 1,10 pour y − yA 2 − 2 m= C = = 0. une tulipe. xC − xA 5 + 4 Les coefficients directeurs des droites (AB) et (CI) sont égaux, les deux droites sont donc parallèles et le quadrilatère ABCI est un trapèze.

66 1. Les coefficients directeurs des droites d1 et d2 sont différents, les deux droites sont donc sécantes. 9. Les droites

181

Exercices

⎧ 2x + 5 ⎪ ⇔⎨ 5 x− ⎪⎩ 2

2. Les coordonnées du point B satisfont le système d’équation suivant : ⎧ 1 ⎧ y = −2x + 5 5 ⎪ 2 x − 2 = −2x + 5 ⎪⎧ x = 3 ⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ 5 1 ⎪⎩ y = −1 ⎪⎩ y = 2 x − 2 ⎪⎩ y = −2x + 5 1 x − 5 = −2x + 5 ⎪⎧ x = 3 2 2 . ⇔⎨ ⎩⎪ y = −1 y = −2x + 5 On trouve B (3 ; –1). 3. −2 × 2 + 5 = 1 = y A et 1 × 1 − 5 = −2 = yD , les 2 2 points A et D appartiennent respectivement aux droites d1 et d2. 4. Dans le triangle BAD : BA2 = 1 + 4 = 5 ; BD2 = 4 + 1 = 5 ; DA2 = 1 + 9 = 10 . DA2 = BA2 + BD2 , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BAD est rectangle en B et les droites d1 et d2 sont perpendiculaires.

67 1. y A = 23 × 33 − 1 = 21.

2. 25 = −6x + 14 ⇔ x = − 11 . 6 7 3. 0 = −6x + 14 ⇔ x = , le point F a pour coordon3 nées 7 ; 0 . 3 4. −5 = 2 × 0 + b ⇔ b = −5 , l’équation de la droite d 3 est y = 2 x − 5 . 3 5. Les coefficients directeurs des droites ∆ et ∆’ sont différents, les deux droites sont donc sécantes. Les coordonnées de leur point d’intersection satisfont le système suivant :

( )

⎧ 2x −1 ⎪ 3 ⇔⎨ ⎪⎩ x + 14

⎧ ⎧ 2 2 ⎧⎪ x = 2,25 ⎪ −6x + 14 = 3 x − 1 ⎪ y = 3x −1 ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎪⎩ y = −6x + 14 ⎪⎩ ⎩⎪ y = 0,5 y = −6x + 14 −6x + 14 = 2 x − 1 ⎪⎧ x = 2,25 3 ⇔⎨ . ⎪⎩ y = 0,5 y = −6x + 14 On trouve K (2,25 ; 0,5).  y = − x + 4

. 68 1.   y = 2x − 2

69 1. Saisir XA Saisir YA Saisir m Si m = 0 afficher « l’équation de la droite est y = »YA Sinon, affecter YA – mXA à p Afficher « l’équation de la droite est y= » m « x+ » p

2. Saisir XA Saisir YA Saisir p Si YA = p afficher « l’équation de la droite est y= »YA Sinon affecter (YA – p)/XA à m Afficher « l’équation de la droite est y= » m « x+ » p

3. Saisir XA Saisir YA Saisir XB Saisir YB Si XA = XB afficher « l’équation de la droite est x = » XA Sinon, si YA = YB afficher « l’équation de la droite est y = »YA Sinon affecter (YB – YA)/(XB – XA) à m Affecter YA – mXA à p Afficher « l’équation de la droite est y = » m « x+ » p

70 Le temps sur l’axe des abscisses est en minute, ainsi les droites représentées sur le graphique devrait être y = 11 x et y = 1,5 x + 15 . De plus, les 6 pentes des droites représentées sont fausses à cause d’un problème d’échelle sur l’axe des ordonnées. Cicontre le graphique qu’aurait du produire Jessica : 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Distance (en km)

t (en min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

⎧⎪ y = −x + 4 ⎪⎧ y = −x + 4 ⎪⎧ y = 2 ⎪⎧ y = −x + 4 2. ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ Graphiquement, on s’aperçoit qu’il faut 45 min à la ⎨ x=2 2 ⎪⎩ ⎪⎩ x =pour ⎪⎩ −x + 4 = 2x − 2 ⎪⎩ y = 2x − 2 voiture rejoindre le camion. Ce résultat peut être confirmé algébriquement en résolvant l’équation ⎧⎪ y = −x + 4 ⎧⎪ y = 2 ⎧⎪ y = −x + 4 = −x + 4 11t = 1,5t + 15 ⇔ 2 t = 15 ⇔ t = 45 min. ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ . 6 6 = 2x − 2 x=2 ⎪⎩ ⎪⎩ x = 2 ⎪⎩ −x + 4 = 2x − 2 Pour calculer le nombre de kilomètres nécessaires En résolvant le système de la question 1. On trouve les coordonnées du point d’intersection des deux droites représentées sur le graphique. On peut donc facilement vérifier graphiquement que ce point a pour coordonnées (2 ; 2). 182

à la voiture pour rejoindre le camion, il faut calculer l’ordonnée du point d’intersection des deux droites : 1,5 × 45 + 15 = 82,5 . Il faut donc 82,5 km à la voiture pour rejoindre le camion (ce résultat est en accord avec le graphique).

Exercices

On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 50 : 71 1. a. Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors il est équidistant des points A et B ; autrement x = 75 + 228 ≈ 21,6 = Q3 . 14 dit, MA = MB . MA et MB étant des longueurs (donc Soit le point L’ symétrique du point L par rapport 73 positives) on a M  d1 ⇔ MA = MB ⇔ MA2 = MB2. à C. Dans le triangle LL’A, en utilisant la réciproque du b. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = ( x − 6)2 + ( y − 4)2 théorème de Pythagore, on démontre aisément que ⇔ x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 = x2 − 12x + 36 + y2 − 8y + 16 les droites (CB) et (L’A) sont parallèles. ⇔ x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 = x2 − 12x + 36 + y2 − 8y + 16 Soit H’ le point d’intersection des droites (LH) et (L’A). ⇔ y = −2x + 11. Dans le triangle LH’A d’après le théorème de Thalès, 2. De même, pour la médiatrice du segment [AC] : on démontre que H’A = 2HB. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = ( x − 4)2 + ( y − 5)2 De même, dans le triangle LL’H’, on démontre que 2 − 4x + 4 + y 2 − 4y + 4 = x2 − 8x + 16 + y2 − 10y + 25 ⇔ x L’H’ = 2CH. ⇔ x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 = x2 − 8x + 16 + y2 − 10y + 25 Comme le point H est le milieu du segment [CB], on a H’A = H’L’. ⇔ y = − 2 x + 5,5 . 3 Dans le triangle LL’A, les droites (AC) et (LH) sont 3. Le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est deux médianes. Or, dans un triangle, les médianes l’intersection de deux des médiatrices du triangle. se coupent au tiers de la base et aux deux-tiers du Les coordonnées du centre du cercle circonscrit au sommet. triangle satisfont le système suivant : Conclusion : La droite (HL) coupe le segment [AC] aux ⎧ ⎧ y = −2x + 11 y = −2x + 11 ⎧ ⎧⎪ la deux-tiers de y = −2x + 11 y longueur = 2,75 AC à partir de A. ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ y 2 2 74 ⎪⎩ y = − 3 x + 5,5 ⎪⎩ −2x + 11 = − 3 x + 5,5 ⎩⎪ x = 4,125 ⎩⎪ x = 4,125 ⎧ + 11 y = −2x + 11 ⎪⎧ y = −2x + 11 ⎪ ⎪⎧ y = 2,75 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 1 + 5,5 ⎪⎩ x = 4,125 ⎪⎩ x = 4,125 ⎪⎩ −2x + 11 = − 3 x + 5,5 −2x + 11 0 1 x ⎧⎪ y = 2,75 ⎧⎪ y = −2x + 11 ⇔⎨ . ⇔⎨ 2 1 = − x + 5,5 ⎩⎪ x = 4,125 ⎩⎪ x = 4,125 3 Les coordonnées du centre du cercle circonscrit sont (4,125 ; 2,75) . Pour construire les deux droites, il faut chercher si 4. possible des points à coordonnées entières. Pour la question 1., on trouve les points de coordonnées (4 ;0) et (–2 ; –2). Pour la question 2., il n’y a pas de points à coordonnées entières. On choisit un repère dont l’unité est divisible par 7 pour placer le point de coordonnées 0; 4 , puis on avance de trois unités vers la droite 7 et on descend d’une unité pour obtenir un deuxième point de la droite . 1. 100 – 66 = 34 : il y a 34 % d’étudiants âgés 72 75 On détermine l’équation de la droite représentée graphiquement : d’au moins 21 ans. 4 − 2,5 2. Médiane ≈ 20,5 ans : il y a au moins la moitié des m= = 0,75 et p = 4 − 0,75 × 2 = 2,5 . 2−0 étudiants qui ont au plus 20 ans et 6 mois. On trouve donc y = 0,75 x + 2,5 . Q1 ≈ 19,5 : 25 % des étudiants ont 19,5 ans ou moins. On calcule l’ordonnée du point d’abscisse 5 : Q3 ≈ 21,5 : 75 % des étudiants ont 21,5 ans ou moins. y = 0,75 × 5 + 2,5 = 6,25 . 3. On détermine l’équation de la droite passant par Vanessa devra don payer 6,25 euros pour une course 34 − 16 = 18 les points A (19 ; 16) et B (20 ; 34) : m = 20 − 19 de 5 km. et p = 16 − 18 × 19 = −326 . 76 1. V1 ( x ) = 7,5 x . V2 ( x ) = −15x + 315 . On a donc y = 18 x − 326 . V (en cm3) On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 25 : 350 x = 25 + 326 = 19,5 = Q1 . 300 18 250 On détermine l’équation de la droite passant par les 200 points B (20 ; 34) et C (21 ; 66) : y = 32x − 606 . 150 On calculel’abscisse du point d’ordonnée 50 : 100 x = 50 + 606 = 20,5 = Me . 50 32 0 On détermine l’équation de la droite passant par les 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 points C (21 ; 66) et D (23 ; 94) : y = 14 x − 228 . x (en cm)

( )

9. Les droites

183

Exercices 2. Les coordonnées du point d’intersection des deux droites semblent être (14 ; 100). Cela signifie que le volume du prisme est égal à celui du pavé droit lorsqu’ils valent tous les deux environ 100 cm3. La x + 5 =14 2ycm. valeur de x correspondante est alors ⎧⎪d’environ ⇔ ⎨ = 2x 3. Les coordonnées du point d’intersection des deux ⎪⎩ y + 17 droites satisfont le système suivant : y = 7,5x y = 7,5x ⎪⎧ ⎪⎧ ⎪⎧ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ ⎪⎩ 7,5x = 15x + 315 ⎪⎩ y = −15x + 315

78 Il faut donc résoudre le système suivant :

x = 2y − 5 ⎪⎧ ⎪⎧ x + 5 = 2y ⎪⎧ x = 2y − 5 ⎪⎧ x = 13 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ y=9 ⎪⎩ y = 9 ⎪⎩ y + 17 = 2x ⎪⎩ y + 17 = 4y − 10 ⎪⎩ ⎧⎪ ⎧⎪ x = 2y − 5 ⎧⎪ x = 13 x = 2y − 5 ⇔⎨ ⇔⎨ . ⎨ y=9 ⎪⎩ y = 9 ⎩⎪ ⎩⎪ y + 17 = 4y − 10 Il faut entrer 13 en B1 et 9 en B2. y = 7,5x 79 ⎪⎧ 1. a. y = 105 ⇔⎨ Hauteur(en cm) x = 14 = 14 ⎪⎩ x 11

= 7,5x y = 7,5x ⎪⎧ y = 7,5x ⎪⎧ y = 105 ⎪⎧ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ . 15x + 315 ⎪⎩ x = 14 ⎪⎩ x = 14 ⎪⎩ 7,5x = 15x + 315 Algébriquement, le volume du prisme est égal à celui du pavé droit sont égaux et valent tous les deux 105 cm3 pour x = 14 cm. y 77 1. C

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x (en mois)

1 0

B 1

2. a. Si M appartient à la médiatrice de [AB] alors il est équidistant des points A et B autrement dit MA = MB. MA et MB étant des longueurs (donc positives) on a : M  d1 ⇔ MA = MB ⇔ MA2 = MB2. b. ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = ( x − 5)2 + ( y − 0)2

⎧ 3x + 9 ⎪ ⇔ ⎨ x−5 ⎪⎩ 5

b. Graphiquement, il faudra 8 mois pour que les deux plantes atteignent la même taille de 8 cm. 2. La taille de la première plante est modélisée par la droite d’équation y = x et la taille de la deuxième plante est modélisée par la droite d’équation y = 0,5x + 4. Les coordonnées du point d’intersection des deux droites satisfont le système suivant : y=x y=x ⎪⎧ y = 8 ⎪⎧ y = x ⎪⎧ ⎪⎧ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ x = 8 ⎪⎩ x = 8 ⎪⎩ x = 0,5x + 4 ⎪⎩ y = 0,5x + 4

⇔ x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = x2 − 10x + 25 + y2 y=x y=x ⎪⎧ y = 8 ⎪⎧ y = x ⎪⎧ ⎪⎧ ⇔ 6x + 2y = 20 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ . ⎨ ⎪ x = 0,5x + 4 ⎪⎩ y = 0,5x + 4 ⎩⎪ x = 8 ⎩⎪ x = 8 ⇔ y = −3x + 10 . ⎩ 3. La droite d2 est la hauteur issue de C du triangle 80 ABC, elle est donc perpendiculaire à la droite (AB). Saisir t La droite d1 est la médiatrice du segment [AB], elle Si t  1, affecter à d la valeur 10*t est donc perpendiculaire à la droite (AB). Sinon, affecter à d la valeur 20 t + 10 Deux droites perpendiculaires à une même troisième 3 3 Afficher la valeur de d droite sont parallèles. Conclusion : les droites d2 et d1 81 Soit x le débit du premier robinet et y le débit du sont parallèles et ont le même coefficient directeur. deuxième robinet. Le problème revient à résoudre le Le point C appartient à d2, donc 6 = −3 + p ⇔ p = 9 . système suivant : L’équation de la droite d2 est y = −3 x + 9 . 5 ⎧⎪ 6x + 4y = 120 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 4. L’équation de la droite (AB) est y = 1 x − . 3 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ Les coordonnées de H satisfont le système suivant : ⎩⎪ 2x + 3y = 65 ⎩⎪ −6x − 9y = −195 ⎩⎪ −5y = −75 ⎧ y = −3x + 9 ⎧ y = −3x + ⎧⎪9 3x + 2y⎧= y60 ⎧⎪+ 9 6x + ⎪⎧4yy ==120 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 −0,6 ⎪ = −3x ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 5 + 3y = 65x = 3,2 −6x − 9y x= =−195 1x − 5 1 x − 2x −5y = −75 y = 15 y = −3x + 9 = 3,2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ ⎩ 3 3 5 3 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 ⎧⎪ 6x + 4y = 120 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 ⎧⎪ 3x + 2y = 60 ⎪⎧ x = 10 y = −3x + 9 ⎨ ⎧ y = −3x +⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ . ⎨ ⎨ ⎨ ⎧ 9 y = −0,6 ⎪+ 3y = 65 ⎪ − 9y = −195 2x −6x −5y = −75 y = 15 . ⎩⎪ y = 15 ⎩⎪ ⇔ ⎨ ⎩⎪⇔ ⎨ ⎩⎪ ⎩⎪ 5 1 −3x + 9 = x − x = 3,2 ⎩⎪ ⎩⎪ x = 3,2 3 3 Le débit du premier robinet est de 10L/min et pour Les coordonnées du point H sont (3,2 ; –0,6). le deuxième de 15L/min. Il faut résoudre l’équation suivante pour déterminer 5. CH = (3,2 − 1)2 + ( −0,6 − 6)2 = 48,4 . le temps (en heures) nécessaire au remplissage de la piscine : AB = (5 − 2)2 + (0 + 1)2 = 10 . 10t + 15t = 325 ⇔ 25t = 325 ⇔ t = 13 . 48,4 × 10 Il faudra donc 13 h pour remplir la piscine. AABC = = 11 cm2. 2

184

⎧⎪ 3 ⇔⎨ ⎩⎪ ⎧⎪ x = 1 ⎨ ⎩⎪ y = 1

⎧ 3x +1 ⎪ 8 ⇔⎨ 1x + 4 ⎪ 2 ⎩

Exercices

Si le prix est porté à 90 euros en 2014, on peut s’attendre à environ 7 040 abonnés. 2. On calcule l’abscisse du point d’ordonnée 10 000 : A 1900 10 000 = –54 x + 11 900 ⇔ x = ≈ 35 . 1 54 Pour espérer 10 000 abonnés en 2014, il faudra fixer 0 1 x un prix de l’ordre de 35 euros. 85 Soit le repère (O, I, J) dans lequel A (8 ; 0), B B (0 ; –1), C (1 ; –1) et D (6 ; –2) On détermine une équation de la droite (CD) : m = −2 + 1 = −1 et −1 = − 1 × 1+ p ⇔ p = − 4 . 2. Équation de la droite (AB) : m = −3 − 1 = −4 = −1 5 5 6 −1 5 2+2 4 et 1 = −1× ( −2) + p ⇔ p = −1. L’équation de la droite (CD) est y = − 1 x − 4 . 5 5 L’équation de la droite (AB) est y = − x − 1. On cherche maintenant l’abscisse du point d’ordonÉquation de la droite (AC) : née –1,50 appartenant à cette droite : m = 4 − 1 = 3 et 1 = 3 × ( −2) + p ⇔ p = 5 . −1,50 = − 1 x − 4 ⇔ x = 3,50 . 4 2 2+2 4 5 5 L’équation de la droite (AC) est y = 3 x + 5 . La marque doit être placée à 3,50 m du bord le moins 4 2 profond de la piscine. 3. Les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) 86 Équation de la droite (OH) : y = 31 x . sont différents, les deux droites sont donc sécantes. Équation de la droite (DB) : y = − x + 6 . Le point A (–2 ; 1) appartenant à chacune des deux Équation de la droite (FC) : y = 3 x − 12 . droites est le point d’intersection des deux droites. On détermine les coordonnées du point d’intersection 83 Soit A (0 ; 0), B (8 ; 0), C (8 ; 4), D (0 ; 4) et E (0 ; 1). des droites (OH) et (DB) : Équation de la droite (EC) : y = 3 x + 1. 8 ⎧ ⎧ ⎧ y = 1x 1 ⎪ ⎪ y = 1x Équation de la droite (DB) : y = − 1 x + 4 . ⎪⎧ y = 1,5 ⎪ y = 3x 3 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎨ Les coordonnées du point d’intersection des deux ⎪⎩ x = 4,5 ⎪ y = −x + 6 ⎪ 1 x = −x + 6 ⎪⎩ x = 4,5 ⎩ ⎩ 3 droites satisfont le système suivant : ⎧ ⎧ ⎧ y⎧ = 1 x 1 1 ⎧ ⎧ ⎪⎧ y = 1,5 ⎪ y = 3x 3 x + 1 ⎪ y ⎧= y3 =x 3 x + 1⎪ 3= 16 3x +1 y = y = y ⇔⎨ ⇔ ⇔ . ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 8 8 7 1 x⎨= −x + 6 ⎪⎩ x = 4,5 ⇔⎨ ⎪⎩ x = 4,5 ⎪⇔ ⎪⇔ ⎨ y =⎨−x + 6 ⎪ y = − 1x + 4 ⎪ 3 x + 1 = − 1 x + 4⎩ ⎪ x = 24 ⎩ 3 ⎪ x = 24 On détermine 7 les coordonnées du point d’intersection 2 2 7 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 8 des droites (OH) et (FC) : ⎧ ⎧ 3 16 y = 3x +1 ⎧ ⎧ ⎪ y = 8x +1 ⎪ y= 7 8 ⎧ y = 1x 1 ⇔⎨ . ⇔⎨ ⎧⎪ y = 1,5 ⎪ y = 1x ⎪ ⎪ y = 3x 3 3 x + 1= − 1x + 4 24 24 3 ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ x= ⎪ x= 7 7 8 2 ⎪⎩ x = 4,5 ⎩ ⎩ ⎪ y = 3x − 12 ⎪ 1 x = 3x − 12 ⎪⎩ x = 4,5 3 ⎩ ⎩ Les coordonnées du point F sont 24 ; 16 ⎧ ⎧ . ⎧ y = 1x 7 7⎪ y = 1 x 1 ⎪ ⎪⎧ y = 1,5 ⎪ y = 3x 3 24 3 3× ⇔⎨ ⇔ ⇔ . ⎨ ⎨ ⎨ 36 7 1 x = 3x − 12 . AEFD = = ⎪⎩ x = 4,5 ⎪ ⎪ ⎪ y = 3x − 12 x = 4,5 2 7 ⎩ ⎩ 3 ⎩ 32 On détermine les coordonnées du point d’intersection 4× 7 = 64 . ACFB = des droites (DB) et (FC) : 2 7 y = −x + 6 ⎪⎧ y = −x + 6 ⎪⎧ y = 1 ⎪⎧ ⎪⎧ y = −x + 6 Apapillon = AEFD + ACFB = 36 + 64 = 100 cm2. ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ 7 7 7 ⎪⎩ x = 4,5 ⎪⎩ x = 4 ⎪⎩ −x + 6 = 3x − 12 ⎪⎩ y = 3x − 12 84 1. On calcule le coefficient directeur de la droite y= −x + 6: y = −x + 6 ⎪⎧ y = −x + 6 ⎪⎧ y = 1,5 ⎪⎧ passant par les points (59 ; 8 714) et⎪⎧(69 ; 8 174) ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ . ⎨ y = 3x − 12 ⎪⎩ x = 4,5 ⎪⎩ x = 4,5 ⎪⎩ −x + 6 = 3x − 12 m = − 540 = −54 . ⎪⎩ 10 Les trois droites sont concourantes en un point de On calcule le coefficient directeur de la droite passant coordonnées (4,5 ; 1,5). par les points (69 ; 8 174) et (80 ; 7 580) : 87 Dans le triangle TOP, E est le milieu de [TP] et K m = − 594 = −54 . est le milieu de [OP] : PK = 1 et PE = 1 . 11 PO 2 PT 2 Les coefficients directeurs des deux droites sont D’après la réciproque du théorème de Thalès, les égaux, les deux droites sont parallèles et les trois droites (TO) et (EK) sont parallèles. points sont alignés. Le point E appartient à la droite (KN) donc les droites On détermine une équation de cette droite : (TO) et (NK) sont parallèles. 8714 = −54 × 59 + p ⇔ p = 11 900 . Soit R le point d’intersection des droites (EM) et (NP). On a donc y = −54 x + 11 900 . Dans le triangle KNP, les droites (ER) et (KP) sont On calcule l’ordonnée du point d’abscisse 90 : parallèles, car le quadrilatère OEMP est un paralléy = −54 × 90 + 11 900 = 7 040. logramme. Le point E est le milieu du segment [NK] ;

82 1.

y C

(

)

9. Les droites

185

Exercices

d’après le théorème de ⎧⎧ ⎧⎧ ⎧⎧ ⎧⎧ le point ⎧⎧la droite des milieux, 44 2x 2x yy==2x 2x ==2x 2x 1 1 ⎪⎪ yy==2x ⎪⎪ yy==55 ⎪ ⎪⎪ yy==2x ⎪⎪ = 1yyEM ⎪ R est le milieu de [NP] et ER = KP =⇔ . OP ⇔ ⇔ ⇔⎨⎨ 55 ⇔⎨⎨ ⇔⎨⎨ ⎨⎨ 2 4⇔⎨⎨ 4 11 22 ⇔ yy==−−11xx++11 2x 2x==−− xx++11 ⎪⎪ xx==22 ⎪⎪ xx==55 ⎪⎪ 22xx==11 22 (SP) et⎪⎪(RM) sont 22 Dans le triangle NPM,⎪⎪les droites 55 ⎩⎩ ⎩⎩ ⎩⎩ ⎩⎩ ⎩⎩ . deux médianes du triangle, elles sont donc sécantes 1× 1 en un point appelé G, le centre de gravité du triangle. ABUW = 5 2 = 1 cm2. Propriété de la médiane : le centre de gravité est situé 2 20 au tiers de la base et au deux-tiers du sommet. Donc AAWVD = ACarré − AABU − ABCV + ABUW = 1 − 1 − 1 + 1 = 11 RG = 1 RM = 1 × 3 EM = 1 EM . Les points E, R, G et 4 4 20 20 3 3 4 4 M étant alignés dans cet ordre, le point G est le milieu AAWVD = ACarré − AABU − ABCV + ABUW = 1 − 1 − 1 + 1 = 11 cm2. 4 4 20 20 RG 1 RP 1 de [EM]. = et = . RE 2 RN 2 91 Soit x le côté du plus petit terrain carré et y le D’après la réciproque du théorème de Thalès, les côté du plus grand terrain carré. droites (PG) et (NE) sont parallèles, donc les droites On cherche les valeurs de x et de y en résolvant le (SP) et (NK) sont parallèles. système suivant : Or, deux droites parallèles à une même troisième ⎧⎪ y2 − x2 = 600 ⎧⎪ y2 − x2 = 600 ⎧⎪ (75 − x)2 − x2 = 600 droite sont parallèles et, donc, (SP) est parallèle à (TO). ⇔⎨ ⇔ ⇔⎨ ⎨ y = −x + 75 ⎩⎪ ⎩⎪ 4x + 4y = 300 ⎩⎪ y = −x + 75 88 Le tarif A est représenté graphiquement en vert, le tarif B en bleu et le tarif C en en rouge. ⎧⎪ y2 − x2 = 600 ⎧⎪ y2 − x2 = 600 ⎧⎪ (75 − x)2 − x2 = 600 ⎧⎪ x = 33,5 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ à choisir le Graphiquement, le consommateur a intérêt y = −x + 75 4x + 4y = 300 y = −x + 75 ⎪⎩ y = 41,5 ⎩⎪ tarif B s’il visionne trois films ou moins⎩⎪dans le mois, ⎩⎪ le tarif C s’il⎧visionne entre qutre et enfin, ⎧ (75 − x)2 − x2 = 600 ⎧⎪ dix y2 −films x2 =et, 600 ⎪⎧ x = 33,5 ⎪ y2 − x2 = 600 ⎪ ⇔films ⇔⎨ . le tarif A s’il⎨visionne plus de 10 ⎨ dans le mois. ⇔ ⎨ y = −x + 75 ⎪ y = 41,5 ⎪ ⎪⎩ 4x + 4y = 300 ⎪⎩ y = −x + 75 ⎩ ⎩ Prix (en euros) 55 Le prix du plus petit terrain est égal à : Tarif B 55 33,5 × 33,5 × 500 = 561 125 euros. 45 Le prix du plus grand terrain est égal à : 40 41,5 × 41,5 × 500 = 861 125 euros. 35 Tarif A 30 92 (AB) x = 1 (AD) y = 0 (DC) x = 9 (BC) y = 7 25 (FG) x = 5 (IH) x = 6 (GH) y = 2 (KJ) x = 2 Tarif C 20 (JM) y = 4 (ML) x = 4 (KL) y = 6 (OP) x = 8 15 (RS) x = 7 (TU) x = 7,5 (ST) y = 9 10 (BE ) y = 1 x + 13 (EC ) y = − 1 x + 23 2 2 2 2 5 0

Nombre de films

93 1. On détermine une équation de la droite (AD) : les points A et D ont la même ordonnée, l’équation de la droite (AD) est y = 2 . On détermine une équation de la droite (BC) : m = 4 − 3 = 1 et 3 = 1 × 4 + p ⇔ p = 5 . 3 3 7−4 3 5 1 L’équation de la droite (BC) est y = x + . 3 3 Les coefficients directeurs des deux droites sont différents, elles sont donc sécantes en E. Les coordonnées du point E satisfont le système d’équation suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

89 Soit le point I milieu du segment [ST]. xS + xT y + yT = 3 et yI = S = 2. 2 2 On montre que la droite (RI) est une fonction linaire. m = 2 +1 = 2. 3 + 1,5 3 On détermine la valeur de p : 2 = 2 × 3 + p ⇔ p = 0 . 3 L’équation de la droite (RI) est y = 2 x , qui est la 3 représentation graphique d’une fonction linéaire, elle passe donc par l’origine du repère. xI =

1× 1 1× 1 2 1 2 90 1. AABU = 2 = 4 cm . ABCV = 2 2 = 41 cm2. 2. Dans le repère (A, D, B), la droite (AU) a pour équation y = 2x et la droite (BV) a pour équation y = − 1 x + 1. 2 3. Les coordonnées du point W satisfont le système d’équation suivant : ⎧ ⎧ ⎧ y = 2x y = 2x ⎪ y = 2x ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⇔ ⎨ 5 ⎨ ⎨ 1 1 ⎪ 2x =1 ⎪ y = −2x +1 ⎪ 2x = − 2 x + 1 ⎩ ⎩ ⎩ 186

⎧ ⎧ y =2 y =2 ⎪ ⎪⎧ y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎨ 5 1 1x + 5 ⇔ ⎨ x = 1 . y = x + 2 = ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ 3 3 3 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Le point E a pour coordonnées (1 ; 2) 2. On détermine une équation de la droite (BA) : m = 2 − 3 = 1 et 2 = 1× 3 + p ⇔ p = −1. 3−4 L’équation de la droite (AB) est y = x − 1 On détermine une équation de la droite (DC) : ⎧ y=4 y = 2x m =⇔4⎪− 2 =5− 2 et 4 = − 2 × 7 + p ⇔ p = 26 . 3 3 7 ⎨− 10 2 3 x=2 ⎪ x= 5 ⎩ de la5droite (DC) est y = − 2 x + 26 . L’équation 3 3

⎧ x −1 ⎪ 2 x + 26 ⇔ ⎨ ⎪ 3 3 ⎩ ⎧ x −1 ⎪ 2 x + 26 ⇔ ⎨ ⎪ 3 3 ⎩

Exercices

Les coefficients directeurs des deux ⎧ ⎧ droites sont dif- ⎧ 2 y = −2x + 12 férents, elles sont donc sécantes en ⎪ ⎪ y=5 ⎪ yF.= −2x + 12 ⎨ 5 ⇔ ⎨ −2x + 12 = 1 x − 5 ⇔ ⎨ 1 système Les coordonnées du point F satisfont le ⎪ x = 29 . ⎪ ⎪ y = 2x − 2 2 2 d’équation suivant : 5 ⎩ ⎩ ⎩ 2 = 4 + 4 ⎧= 8 . ⎧ ⎧ ⎧ LP LE2 = 36 + 144 = 180 . 24 y = y = x − 1 y = x − 1 y = x − 1 25 25 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨4 16 20 ⎨ 2 26 26 26 2 2 2 EP = + = 29. ⎪ y = −3x + 3 ⎪ x − 1= − 3 x + 3 ⎪ x − 1 = − 3 x + 3 25 ⎪25x = 25 5 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ LE2 + EP2 = LP2 : d’après la réciproque du théorème ⎧ ⎧ 24 y = x −1 y = x −1 de Pythagore, le triangle LEP est rectangle en E. ⎪ y= 5 ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ On vérifie enfin que le point L appartient à la droite 26 26 2 2 x − 1= − x + ⎪ x = 29 d’équation ⎪ x − 1= − 3 x + 3 3 3 y = −2x + 12 : −2 × 7 + 12 = −2 = YE . 5 ⎩ ⎩ La droite d’équation y = −2x + 12 est la hauteur ⎧ 24 y = x −1 issue de L dans le triangle KPL. ⎪ y= 5 . ⇔⎨ 96 D’après les propriétés physique du rebond de la x − 1 = − 2 x + 26 29 ⎪ x= 3 3 balle, celle-ci passe par les points des coordonnées 5 ⎩ (76 ; 0) et (133 ; 38). 24 29 ; . Le point F a pour coordonnées 5 5 On détermine l’équation de la droite passant par ces 3. xG = 14 = 7 et yG = 5 = 2,5 . xH = 10 = 5 et deux points : 2 2 2 29 24 1+ 2+ m = 38 − 0 = 38 = 2 5 5 6 133 − 76 57 3 = 3,4 et yK = = 3,4. yH = = 3 . xK = 2 2 2 et 0 = 2 × 76 + p ⇔ p = − 152. 3 3 On détermine le coefficient directeur de la droite (GH) : 152 2 3 − 2,5 0,5 1 L’équation est y = x − . = =− . m= 3 3 5−7 −2 4 On détermine l’ordonnée du point de cette droite dont On détermine le coefficient directeur de la droite (KH) : 3,4 − 3 0,4 1 l’abscisse correspond au bord de la table, à savoir 190. m= = =− . 3,4 − 5 −1,6 4 On trouve y = 2 × 190 − 152 = 76 cm. 3 3 Les droites (GH) et (KH) ont le même coefficient direc 1. On détermine une équation de la droite (AB) : 97 teur, elles sont donc parallèles et les points G, K et H sont alignés. m = 0 − 4 = 4 et 4 = 4 × 0 + p ⇔ p = 4 . 3 −3 − 0 3 94 Lire XA L’équation de la droite (AB) est bien y = 4 x + 4 . 3 Lire YA 2. Les points C et D ont pour coordonnées respectives Lire XB (0 ; –4) et (3 ; 0). Lire YB ⎧ 4 ⎪ y = −3x −4 , On obtient [BC] : ⎨ Si XA = XB, l’équation de la droite d symétrique de ⎪⎩ x [[−3; 0]

(

)

la droite (AB) est la droite (AB) d’équation x = XA. Sinon XA’ prend la valeur XA YA’ prend la valeur –YA XB’ prend la valeur XB YB’ prend la valeur –YB m prend la valeur (YB’ – YA’)/(XB’ – XA’) p prend la valeur YA’ – mXA’ L’équation de la droite d symétrique de la droite (AB) est la droite d’équation y = mx + p

⎧ 4 ⎪ y = −3x +4 [AD] : ⎨ et [CD] : ⎪⎩ x [[0; 3]

⎧ 4 ⎪ y = 3x −4 . ⎨ ⎪⎩ x [[0; 3]

98 1. L’algorithme complété est le suivant :

95 1. On détermine une équation de la droite (KP) :

m = 1 et 0 = 1 × 5 + p ⇔ p = −2,5 . 2 2 L’équation est y = 1 x − 5 . 2 2 2. Les droites (KP) et la droite d’équation y = −2x + 12 n’ont pas le même coefficient directeur, elles sont donc sécantes en un point E. Les coordonnées du point d’intersection E vérifient le système suivant : ⎧ ⎧ ⎧ 2 y = −2x + 12 ⎪ y=5 ⎪ y = −2x + 12 ⎪ ⎨ 5 ⇔ ⎨ −2x + 12 = 1 x − 5 ⇔ ⎨ 1 ⎪ x = 29 ⎪ y = 2x − 2 ⎪ 2 2 5 ⎩ ⎩ ⎩

2. La condition écrite ainsi permet d’éviter de diviser par 0. 9. Les droites

187

Exercices Accompagnement personnalisé 3. Méthode graphique :

99 1. CA = 5 + 15 × 0,35 = 10,25 euros.

CB = 5,20 + 15 × 0,30 = 9,70 euros. Il est préférable pour le client de choisir la compagnie B. 2. CA = 5,50 + 20 × 0,50 + 5 = 20,50 euros. CB = 5,40 + 20 × 0,45 + 5 = 19,40 euros. Il est préférable pour le client de choisir la compagnie B. 3. 5,20 + 0,30x + 3 = 12,31 ⇔ x = 12,31− 8,20 = 13,7 0,30 + 0,30x + 3 = 12,31 ⇔ x = 12,31− 8,20 = 13,7 . 0,30 Il doit déclarer à sa société 13,7 km. 4. 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Prix (en euros) Tarif de jour A Tarif de jour B Tarif de nuit A Tarif de nuit B

Prix (en euros)

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Quantité (en L) 0

9 10 11 12 13 14 15

101 À faire en classe. 102 1. Une lettre de 20 g doit être affranchie à

0,63 euro. Une lettre de 50 g doit être affranchie à 1,05 euros. Une lettre de 30 g doit être affranchie à 1,05 euros. 2. On peut raisonnablement penser que la masse de la lettre est comprise entre ]250 g ; 500 g]. 3. Prix (en euros) 5,0

Distance (en km) 0

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

On remarque que, quel que soit le kilométrage, la compagnie B est plus avantageuse que la A la nuit. De jour, à partir de 4 km, la compagnie B devient plus avantageuse que la compagnie A. 100 1. P1L = 2 × 2,50 + 1,50 = 6,50 euros. P5L = 5 × 2,50 + 1,50 = 14 euros. P7L = 7 × 2,50 + 3 = 20,50 euros. 2. 12 × 2,50 + 4,50 = 34,50 euros. Avec 35 euros, on peut acheter au plus 12 L de jus de pommes.

4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0

Masse (en kg) 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

103 Récipient a. associée à la courbe 3. Récipient b. associée à la courbe 2. Récipient c. associée à la courbe 1. Récipient d. associée à la courbe 4.

No problem 104 1.

105 A (0 ; 0), H (1 ; 1), G (8 ; 1) and D (9 ; 0). The equation of (AH) is y = x and the équation of (GD) is y = − x + 9 . The coordinates of (AH) and (GD) intersection are :

Distance (miles)

Time (h)

2. v = 18 = 9 miles/h. 3. Show the graph above. 2 4. The cyclist will reached Bournemouth à 14 h 15min. 5. They are at the same distance from Bournemouth at 13 h 42min. 188

y=x y=x ⎪⎧ y = 4,5 ⎪⎧ ⎪⎧ ⇔⎨ ⇔⎨ . ⎨ ⎪⎩ x = −x + 9 ⎪⎩ x = 4,5 ⎪⎩ y = −x + 9 The hook is 4,5 dm far from the line (AD). 106 Slope of line (AB) : m = −53−−21 = − 43 . Slope of line (CD) : m = −5 − 3 = − 8 = − 4 . 6−0 6 3 Lines (AB) and (CD) have the same slope, they are parallel. 107 1. The height of the point B reached by the top of the ladder is 5 meters. m = 2 = −2 . 0 = −2 × 2,5 + p ⇔ p = 5 . −1

Exercices 2. BG2 = OG2 + OB2 = 2,52 + 52 = 31,25 . BG = 31,25 ≈ 5,59 m. 3. y = −2x + 7 . 0 = −2x + 7 ⇔ x = 3,5 m. 108 1. A

–1

2. a. Jorge Luis Borges was an Argentine short story writer. b. A short story is fictional work of prose that is shorter in length than a novel. c. He promises that a single line labyrinth is invisible and unceasing.

Traduction des énoncés 104 Un graphique distance-temps

106 Parallélisme

Le graphique suivant représente un trajet à vélo de Bournemouth au New Forest National Parc.

Dans un repère orthonormé, A(2 ; 1), B(5 ; –3), C(0 ; 3) et D(6 ; –5). Montrez que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Distance (miles)

107 Les échelles Pour nettoyer une fenêtre située à l’étage d’une maison, il est nécessaire de placer l’échelle de sorte qu’elle touche la façade d’un abri de jardin. Les coordonnées représentent les distances à partir de O, en mètres, sur chaque axe comme indiqué ci-dessous.

Toit a

d 0 13 h

14 h

1. Tracez le graphique sur votre feuille. 2. Quelle est la vitesse moyenne du cycliste en miles par heure ? 3. Un autre cycliste parcourt le trajet depuis New Forest jusqu’à Bournemouth à la vitesse constante de 12 miles par heure. A 13h, le cycliste se trouve à 15 miles de Bournemouth. Sur le même schéma, tracez le graphique qui représente le parcours de ce cycliste jusqu’à Bournemouth. 4. A quelle heure le cycliste rejoint-il Bournemouth ? 5. A quelle heure les deux cyclistes sont-ils à la même distance de Bournemouth ?

105 Le cadre B

Maison

Temps (heures)

C E

G D

Comme le montre l’illustration ci-dessus, un cadre photo est constitué de deux rectangles. ABCD (9 dm de long et 8 dm de large) et EFGH ont tous les deux le même centre et des côtés parallèles. La largeur entre les rectangles est partout la même : 1 dm. Afin de suspendre le cadre, le crochet (de derrière) doit être placé à l’intersection des droites (AH) et (GD). À quelle distance le crochet est-il de la droite (AD) ?

E (1,5 ; 2)

g 1 D

Échelle

Abri de jardin F

0 f

G (2,5 ; 0) x

1. Déterminez la hauteur du point B représentant le haut de l’échelle. 2. Déterminez la longueur de l’échelle arrondie au centimètre. 3. Une seconde échelle, touchant le haut du toit (7 m de haut), est parallèle à la première. À quel endroit repose-t-elle sur le sol ?

108 Le labyrinthe des droites Lonnrot, un détective, est en charge d’une enquête. Il doit capturer Scharlach qui a commis trois meurtres. Lonnrot croit à la cohérence ainsi qu’à la logique des choses. Sa méthode d’investigation est intellectuelle et scientifique. Mais à la fin de la nouvelle, Lonnrot réalise que Scharlach a utilisé sa propre intelligence pour le traquer et le tuer. 1. Tracez la « ligne du labyrinthe » mentionnée dans le texte et placer les points A, B, C et D avec une bonne échelle. 2. Questions Internet a. Qui est Borges ? b. Que désignent les termes « short story » ? c. Que promet Scharlach à Lonnrot à la fin du texte ? 9. Les droites

189

La trigonométrie

Présentation du chapitre

La trigonométrie est un chapitre aux notions difficiles, car théoriques. La notion d’enroulement de la droite numérique autour d’un cercle est délicate à la fois dans la conception que s’en font les élèves et dans l’utilisation qui en découle. Il s’agit donc de faire le lien entre les notions de sinus et cosinus vues dans le triangle rectangle avec les notions de sinus et cosinus d’un nombre réel. • Il est important de beaucoup travailler sur le cercle trigonométrique. Les situations proposées dans les pages Pour construire le cours ont pour objet de familiariser l’utilisation d’un cercle trigonométrique et de montrer que la représentation graphique devient un outil puisqu’elle permet de déterminer des positions ou de retenir des mesures d’angles particuliers. • La notion de radian n’est pas au programme. Néanmoins, il paraît difficile de ne pas en parler du tout. Le parti pris a été de présenter le radian comme nouvelle mesure des angles en mettant en place, sur des exemples simples, le lien de proportionnalité entre mesure en degré de l’angle au centre et l’abscisse du point de la droite graduée qui « s’enroule autour du cercle ». • La notion de sinus et cosinus d’un nombre réel est très différente de celle vue au collège. L’enjeu est ici de faire le lien entre la nouvelle définition et les sinus et cosinus vus dans le triangle rectangle. • L’utilisation de la calculatrice est très importante dans ce chapitre. Il a été fait une part importante à cette utilisation dans l’ensemble du chapitre et spécialement dans la rubrique Outils et méthodes.

10. La trigonométrie

191

Pour construire le cours Situation A Se repérer sur une carte en GÉOGRAPHIE Objectif : Introduire la lecture du repérage circulaire. 1. Le nombre 3 permet d’affirmer que le point est sur le cercle de centre O et de rayon 3. Il y a une infinité de tels points. L’angle 45° détermine le seul point à l’intersection de ce cercle et de la demi-droite d’origine O qui fait un angle de 45° dans le premier quadrant. La question va se poser du point symétrique par rapport à l’axe des abscisses pour lequel l’angle est aussi de 45° pour un élève issu de Collège qui n’a pas encore vu les angles orientés. C’est l’occasion d’introduire un sens de parcours ou de lecture sur le cercle.

Dans un repère orthonormé (O, I, J ), le cercle de centre O et de rayon 1 parcouru de I vers J dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé le cercle trigonométrique. On note I le point de coordonnées J Sens trigonométrique (1 ; 0), et J le point de coordonnées ou sens direct (0 ; 1), ainsi que I’ et J’ les symétriques respectifs de I et J par rapport à O. I’ O I

J’

2. Le point C est repéré par ses coordonnées cartésiennes : son abscisse 2, son ordonnée 0. Le point D est repéré par le rayon du cercle auquel il appartient (4) et l’angle de la demi-droite sur laquelle il se trouve (0 degré). On fait remarquer que la notation est presque identique. 3. Les coordonnées de B sont identiques. B appartient à la demi-droite d’origine O et passant par A. Le point B peut aussi être repéré par le rayon du cercle sur lequel il se trouve et l’angle entre l’axe des abscisses et la demi-droite [OA) : si on considère que 1,41 est une valeur approchée de 2 , on peut donc donner B ( 2 ; 45°) . De même, C (2 ; 0°) et F (2 ; 60°) mais l’angle doit être lu dans le sens négatif. Et on a G (3 ; 210°), l’angle étant mesuré dans le sens de parcours positif. C’est l’occasion d’introduire deux manières de donner une mesure d’angle selon le sens de parcours sur le cercle.

192

Pour construire le cours

Situation B Mesurer un temps en SCIENCES de la VIE et de la TERRE Objectif : Introduire la notion de périodicité circulaire. 1. Lorsque l’aiguille indique la graduation 12, elle a pu faire plusieurs tours ou non. Les différentes durées sont donc soit 12 secondes soit 12 secondes auxquelles ont été ajoutées plusieurs tours entiers d’aiguilles. La durée n’a pas excédé 15 minutes, soit 900 secondes. Un tour faisant 36 secondes, on cherche donc les nombres entiers k tels que 12 + 36k  900. On réinvestit la résolution d’inéquation en faisant remarquer que l’inconnue est un nombre entier naturel. On trouve k  24. On peut présenter les différentes durées de l’expérience grâce à un tableur. 2. L’aiguille a fait 16 tours. Un cercle a un périmètre égal à 2p × R. Ici le rayon vaut 5. Pour s’arrêter la première fois sur la graduation 12, l’aiguille a parcouru un tiers de tour. Donc la longueur parcourue par l’aiguille est 10π cm. 3 L’aiguille a ensuite réalisé 16 tours, soit une longueur de 16 × 10p = 160p. La distance parcourue par l’aiguille est alors de 10π + 160p ≈ 513,1 cm. 3 Il n’est pas utile de parler de radian ici. En revanche, on se sert de cette situation pour introduire l’enroulement de la droite numérique sur le cercle.

Dans un repère orthonormé ( O, I, J), on considère le cercle trigonométrique et la droite d tangente au cercle au point I. On définit sur cette droite un repère d'origine I comme indiqué sur la figure ci-contre. On imagine que la droite d s’enroule autour du cercle. • Pour tout nombre réel a, le point d’abscisse a sur d coïncide avec un unique point M du cercle trigonométrique. M s’appelle l’image de a sur le cercle trigonométrique. • Réciproquement, à tout point M du cercle trigonométrique correspond une infinité de points de la droite d. Si a est l’abscisse d’un de ces points sur d, tous les autres points de d ont pour abscisse a + 2p, a + 4p, ..., a - 2p, a - 4p...

2π

π J O

π 2

π 2 M α1 I

–π 2

10. La trigonométrie

193

Pour construire le cours Situation C Mesurer la longueur d’une piste de course en SPORT Objectif : Associer un arc et un angle. 1. Angle en degrés

180

360

Longueur L

p×1

A M

π 2

210

Position de M

π 4

M O

π 3

7π 6

! est un quart de la longueur du cercle de rayon 1 hm. Donc elle vaut π hm. 2. La longueur de l’arc AB 2 Après trois tours supplémentaires, la longueur L parcourue est L = π + 3 × 2p hm. 2 Bien faire remarquer que le rayon vaut 1 ici. Mais l’unité étant l’hectomètre, on peut avoir la valeur exacte en fonction de p. La mesure de l’angle correspondant en degrés est 90. 3. Le coureur a parcouru une distance de 11π hm. Étant donné que π correspond à une distance égale à un 2 2 quart du cercle, le coureur a parcouru 11 quarts de cercle à partir de A. Il arrive donc au point symétrique de B par rapport à (OA). 4. a. Pour aller plus vite, le chemin le plus court est de parcourir dans le sens contraire de celui indiqué par la flèche verte. La distance parcourue est alors de 5π . 6 C’est l’occasion de parler de mesure négative. ! mesure alors 150°. L’angle AOC

Dans un repère orthonormé (O, I, J ), on considère le cercle trigonométrique et la droite d tangente au cercle au point I. On définit sur cette droite un repère d'origine I comme indiqué sur la figure ci-contre. On imagine que la droite d s’enroule autour du cercle. • Pour tout nombre réel a, le point d’abscisse a sur d coïncide avec un unique point M du cercle trigonométrique. M s’appelle l’image de a sur le cercle trigonométrique. • Réciproquement, à tout point M du cercle trigonométrique correspond une infinité de points de la droite d. Si a est l’abscisse d’un de ces points sur d, tous les autres points de d ont pour abscisse a + 2p, a + 4p, ..., a - 2p, a - 4p... Conséquence : à chaque réel a on associe un point M sur le cercle trigonométrique. a est lié ! . Ceci permet de définir à l'angle au centre IOM une nouvelle unité d'angle appelée radian.

194

2π

π J O

π 2

π 2 M α1 I

–π 2

Pour construire le cours

Situation D Déterminer le signe des coordonnées d’un point mobile en MATHÉMATIQUES Objectif : Introduire le sinus et le cosinus d’un nombre réel. Cette situation travaille sur le signe des coordonnées du point M mobile sur le cercle trigonométrique, sans parler de sinus et cosinus. Après avoir travaillé sur le signe de ces quantités, il ne reste plus qu’à introduire les définitions. 1. L’abscisse de M est positive lorsque le point M se situe sur le cercle entre A et J. Puis elle est négative lorsque le point M se situe sur le cercle entre J et J’. Enfin, elle est à nouveau positive lorsque le point M se situe sur le cercle entre J’ et B. 2. L’ordonnée de M est positive lorsque le point M se situe sur le cercle entre A et I’. Puis elle est négative lorsque le point M se situe sur le cercle entre J et B.

Soit α un nombre réel et soit M l’image de α sur le cercle trigonométrique. Dans le repère (O, I, J) : • l’abscisse de M s’appelle le cosinus de α, noté cos (α) ; • l’ordonnée de M s’appelle le sinus de α, noté sin (α) ; • le point M a pour coordonnées M (cos (α) ; sin (α)).

Sens trigonométrique ou direct

H cos(α)

sin(α)

On peut également en déduire facilement les propriétés du sinus et cosinus d’un nombre réel.

Pour tout réel α, on a : • -1  cos (α)  1 et -1  sin (α)  1 ; • cos2 (α) + sin2 (α) = 1.

10. La trigonométrie

195

Diaporamas La trigonométrie

La trigonométrie

Diaporama calcul mental

Le périmètre d’un cercle de rayon 3 vaut :

Diaporama calcul mental

L’aire d’un disque de rayon 3 vaut :

a. 6p

b. 9p

c. 18,85

La trigonométrie

Diaporama calcul mental

π + 3π vaut : 2 4

π + π vaut : 3 6

Diaporama calcul mental

a. π 2 b. 2π 6

a. 4π 4 b. 5π 4 c. 4π 6

La trigonométrie

Diaporama calcul mental

Le triangle ABC ci-contre est équilatéral. ! est : La mesure en degrés de l’angle CAH

c. 30°

a. 60°

b. 45°

196

Diaporama calcul mental

Dans la figure ci-contre, la mesure ! est : en degrés de l’angle BAC

a. 60° b. 45°

c. 30°

Diaporamas

La trigonométrie

Diaporama QCM chrono

Parmi les points

Diaporama QCM chrono

Parmi les points

B M

indiqués sur le cercle

trigonométrique ci-contre,

celui qui correspond au réel 3π est : 2 a. A’

A’

b. B

celui qui correspond au réel 3π est : 4 a. B

A’ N

b. M

B’

c. B’

B’

La trigonométrie

Diaporama QCM chrono

Parmi les réels suivants, celui

qui a pour image le point P

sur le cercle trigonométrique ci-contre est :

ci-contre est :

A’

a. 5π 6 2π b. 3

Diaporama QCM chrono

Parmi les réels suivants, celui qui a pour image le point P

sur le cercle trigonométrique

5π a. − 4

7π b. 4 c. − 7π 4

B’

c. 3π 4

La trigonométrie

Diaporama QCM chrono

( )

La trigonométrie

Diaporama QCM chrono

( )

cos 5π vaut : 4

sin − 2π vaut : 3 a. 2 2

3 a.− 2

3 b. − 2

c. − 2 2

La trigonométrie

Diaporama QCM chrono

Pour tout réel x, cos(–x) vaut : a. cos (x) b. –cos (x) c. sin (x)

10. La trigonométrie

197

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. 3π . b. 16π . c. 2π . d. 7π . e. – π . f. π . 12 3 4 3 4 6 Gamme 2 a. π ≈ 0,785 ou 0,786. 4 b. π ≈ 1,047 ou 1,048. 3 c. – π ≈ –0,523 ou –0,524. 6 25π d. ≈ 39,269 ou 39,270. 2

.  et DAC c. DAF

Gamme 6 a. L’hypoténuse est [AC].  est [AB]. b. Le côté adjacent à CAB  c. Le côté opposé à CAB est [BC].

( ) AC  = BC . e. sin (CAB ) AC

 = AB . d. cos CAB

Gamme 3 a. 6p. b. 2p. c. π . d. p. e. π . 6 2 Gamme 4 Sur chaque dessin, les points A, B, C, D, E et F correspondent aux réponses a., b., c., d., e. et f.. A –6

B –4 A

F –2 B

CD 0

–π

2 C D

 et BAC . Gamme 5 a. EAC .  et BAC b. DAF

4 E

( )

()

( )

Gamme 7 a. Dans le triangle AEC rectangle en E,  = AE = 3 . cos CAE AC 4 b. On en déduit, avec la calculatrice, que :  = cos–1 3 ≈ 41,4°. CAE 4  ≈ sin (41,4°) ≈ 0,661. c. sin CAE

Faire un bilan de ses capacités 1 a. Capacité 4. b. Capacité 3. c. Capacités 5 et 6. d. Capacité 1.

b. L’arc rouge mesure 3π . 4

11π – π = 5p ; ce n’est pas un « multiple » 2 a. Faux : 2

de 2p. b. Vrai : cos2(x) = 1 – 0,42 = 0,84. c. Faux : – 5π et – π ont la même image sur le cercle 2 2 trigonométrique, donc sin – 5π = sin – π = –1.

( 2)

d. Faux : a = 1 − 3 + 3 = 1 .

2 2 2 2 e. Faux : cos 11π ≈ 0,223 . 7 f. Faux : pour x = – π , cos (x) = 0 et sin (x) = –1. 2 g. Vrai : c’est le cas par exemple des réels – π et 3π . 2 2 h. Vrai : comme x  [0 ; p] et que cos (x) = 0, alors x = π 2

( )

et donc sin (x) = 1.

a. sin2(x) = 1 – (–0,8)2, donc sin (x) = ± 0,6. Or x  ⎡ π

⎣2

donc sin (x)  0 et donc sin (x) = 0,6.

()

2 b. cos2 ( x ) = 1− 2 , donc cos( x ) = ± 5 .

3 3 Or x  ⎡0 ; π ⎤ , donc cos (x)  0 et donc cos (x) = 5 . ⎣ 2⎦ 3 c. sin (x) = 1 – 0,32, donc sin (x) = ± 0,91 . Or x  ⎡ 3π ; 2π ⎤ , donc sin (x)  0 et donc sin (x) = – 0,91. ⎣2 ⎦ 2 2 d. cos ( x ) = 1− −4 5 donc cos( x ) = ± 5 . Or x  ⎡⎣π ; 3π ⎤⎦ , donc 3 2 cos (x)  0 et donc cos (x) = – 5 . 3

( )

5 1. c. 2. a.

5π π 3 a. On peut associer à A le réel – , à B le réel –

et à C le réel 3π .

Corrigés des exercices 1 1. La longueur d’un arc de cercle trigonométrique d’angle au centre 60° est de π . 3 2. La longueur d’un arc de cercle de rayon 4 et d’angle au centre 120° est 2π × 4 = 8π . 3 3

O P4

198

; π⎤ , ⎦

(

Exercices

, 15π , – 9π et – 17π correspondent 3 Les réels 7π 4 4 4 4

au même point que le réel – π sur le cercle trigo4 nométrique. 4 Angle en degrés

70 7π 18

Angle en radians

5 5π 6

2π 3π 3 4

120 2π 3

22,5 π 8

sin J 2 2

π 3

3 2 1 2

– 2 π– 2 –π 2 –

π 4

1 2

240 4π 3

π 6

2 3 2 2

225 5π 4

I cos

– 5π 6 – 3π 4 2π – 3

– 2 2

–π 4

–1 2 – 3 2

–π 4 π – 3

–π 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a. cos − π = 1 et sin − π = − 3 . 2 3 2 3 b. cos 3π = − 2 et sin 3π = 2 . 2 4 2 4 c. cos 5π = − 3 et sin 5π = 1 . 6 2 6 2 3π −5π 6 a. A = cos 2 − sin 2 = 0 − ( −1) = 1 b. B = [cos( x ) − sin(x)][cos( x ) + sin(x)] + 2sin2 ( x )

= cos2 ( x ) − sin2 ( x ) + 2sin2 ( x ) = cos2 ( x ) + sin2 ( x ) = 1 =π 7 a. 4π + 3π 4 b. 5π + π = π 6 6 2π 4π − = − 2π c. 3 3 3 d. π − π = − π 4 3 12 8 a. Par 12. b. Par 36. c. Par 8. 9 Les longueurs sont en dm et les aires en dm2. a. P = π + 2. 2 b. P = π + 2. 4 π c. A = . 4 10 a. cos 3π = 21 b. cos π = 2 4 2 c. sin π = 1 2 6 π cos = 0 d. 2 11 Dans le triangle ACD rectangle en D on a : DC 1 ! = DC ⇔ AC = sin DAC ⇔ AC = ! sin(45°) AC sin DAC DC 1 ! = DC ⇔ AC = = 1 = 2 = 2. DAC ⇔ AC = ! sin(45°) AC 2 2 sin DAC 2

( ) ( ) ( )

(

)

( )

)

(

)

Dans le triangle BEH rectangle en H, on a : ! = HE ⇔ HE = BE × sin EBH ! sin EBH BE = 1× sin(60°) = 3 . 2 π er x = . ≈ 0,8660254038. 12 Dans le 1 cas, sin 3 π Dans le 2nd cas,cos x = . ≈ 0,7071067812. 4 13 Les deux camarades ont tort, car : 1,513487947  1 or –1  cos (x)  1 pour tout x. 14 Sans juger de la qualité de la technique, on ne peut que constater qu’elle fonctionne pour les angles cités. 15 1. Réponse b. 2. Réponse a. 3. Réponse c.  0. 16 a. cos 5π 8 b. cos −π  0. 7 c. sin 3π  0. 13 d. cos −11π  0. 9 e. cos2 5π  0. 9

( )

( ) ( ) ( ) ( ) f. 1+ sin ( 3π )  0. 5 2

g. Pour tout réel, –cos2 x – sin2 x  0. 17 1. Image de –x : point A. Image de x + p : point C. Image de x – p : point C. 2. cos (–x) = cos (x). sin (–x) = sin (x). cos (p + x) = –cos (x). sins (p + x) = –sin (x). cos (p – x) = –cos (x). sin (p – x) = sin (x). 18 Fraction du cercle Longueur ! de l’arc AB Mesure de l’angle en degré

1 12

1 8

1 6

1 4

1 3

1 2

3 4

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 2

120 180 270 360

19 1. a. I’ b. J c. J’ d. I e. I’ 2. a. a. A b. B c. C b. a. G b. C c. H d. C 3. 2π ; 8π ; 14π ; – 4π ; – 10π . 3 3 3 3 3 5π π 20 a. Vrai : 2 − 2π = 2 . b. Vrai : − π + 2π = 7π . 4 4 7π 5π − + 2π = . c. Vrai : 6 6 d. Faux : 2π − π = π qui n’est pas un multiple de 2p. 3 3 3 . 21 7π et – 5π 3 3 10. La trigonométrie

199

Exercices

( )

29 1. a. cos 3π + sin 2π = 21 + 1 = 32

b. – 7π ; 17π . 6 6 2π 10π ; . c. – 3 3 ; – π → 7π ; 12p → 2p ; 23 p → 3p ; 2π → 5π 2 4 4 7π π π 3π 5π 7π – → ; →– ; → ; 7π → – 5π . 4 4 2 2 3 3 6 6

b. sin π − cos(0) = 2 − 1 = 2 − 2 4 2 2 2. Vérification à la calculatrice 30 1. π rad soit 45°. 4 ! , le 2. La droite (OM) est la bissectrice de l’angle IOJ ⌢ point partage donc l’arc IJ en deux arcs de même longueur. ! = 90°, HOM ! = 45°, donc 3. Dans le triangle HOM, MHO ! OMH = 45° (car la somme des angles d’un triangle vaut 180°). Le triangle est donc isocèle rectangle en H. 4. Dans le triangle OHM rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : OM2 = OH2 + HM2 ⇔ 20H2 = 1 ⇔ OH = HM = 2 . 2 5. cos π = OH = 2 . 4 2 sin π = OK = HM = 2 . 4 2 ! = π rad = 60°. 31 1. AOM 3 2. Dans le triangle AOM, OA = OM = 1, il est donc isocèle en O, de plus, il a un angle de 60°. Le triangle AOM est donc équilatéral. 3. Dans un triangle équilatéral, une hauteur est aussi une médiane. H, le pied de la hauteur issue de M est donc aussi le milieu du segment [OA], or OA = 1, donc OH = 1 . 2 4. Dans le triangle OHM rectangle en H, d’après le

2π 3

5π

– 7π 4 I – 6π

11π 6 – 5π 3π 2 2

25 1. a. 180°.

b. 60°. c. 135°. 270 ≈ 86°. d. π 2. a. π . 6 π b. . 2 π c. . 4 125π d. = 25π . 180 36 e. 40π = 2π . 180 9 26 Point I : 0. Point M : π . 4 π Point J : . 2 Point N : 3π . 4 Point I’ : p. Point P : 5π . 4 Point J’ : – π . 2 Point Q : – π . 4 27 1. Rouge. 2. Vert. Son abscisse est négative, son ordonnée aussi. 3. cos 121π  0 et sin 121π  0. 6 6 La couleur du point associé est donc bleue. 28 1. a. Le point associé à –3 est vert. b. Le point associé à –1 est jaune. c. Le point associé à 1,6 est rouge. d. Le point associé à 5 est jaune. e. Le point associé à 153 est rouge. 2. Le cosinus de –3 est négatif et son sinus est négatif. Le cosinus de –1 est positif et son sinus est négatif. Le cosinus de 1,6 est négatif et son sinus est positif. Le cosinus de 5 est positif et son sinus est négatif. Le cosinus de 153 est négatif et son sinus est positif.

(

200

( )

; 3π . 22 a. – 5π 2 2

)

(

)

( )

( ) ( )

théorème de Pythagore :

()

2 OM2 = OH2 + HM2 ⇔ 1 = 1 + HM2 ⇔ 1 = 1 + HM2 2 4 ⇔ HM2 = 3 ⇔ HM = 3 4 2 π 1 π cos = OH = . = HM = 3 . 5. et sin 2 3 2 3 ! 6. POB = 90° – 30° = 60°. De la même manière qu’à la question 2., on démontre que le triangle POB est équilatéral. Soit P’ le pied de la hauteur issue de P dans le triangle OPB. OP’ = 1 et P’P = 3 (cf. question 2. et 3.) 2 2 3 π cos = PP’ = et sin π = OP’ = 1 . 2 6 2 6 π 2 32 1. sin 4 = 2 . Or 2  1 ⇔ 2 . 1 ⇔ sin π . 1 , le résultat de 2 4 2 2 la calculatrice est donc forcément faux. 2. Le réel – 2π est situé dans le 3e quadrant du cercle 3 trigonométrique, son cosinus est donc négatif et a pour valeur l’opposé de la valeur de cos π = 1 , le 2 3 résultat affiché par l’écran de la calculatrice est donc exact. 33 L’unité est le mètre.

( )

Dans le triangle ABP rectangle en B, on a : ! = PB ⇔ AB × tan BAP ! tan BAP AB = 500 × tan(37°) ≈ 377 (arrondi à l’unité)

(

)

(

)

Exercices

34 Le cosinus d’un angle prend toutes les valeurs possibles situées entre –1 et 1. Il est donc possible de trouver un réel x tel que cos (x) = 0,8. 35 1. Soit x = 3π et y = 2π . sin π + π = sin 5π = 1 2 3 2 6 π π 3 et sin + sin = + 1 = 3 + 2 ≠ 1. 2 2 2 3 2 Donc sin (x + y) n’est pas toujours égal à sin (x) + sin (y).

(

( )

)

( ) ()

( ) ( ) et cos( π ) + cos( π ) = 1 ≠ – 3 . 2 2 3 2

2. cos π + π = cos 5π = – 3 3 2 6 2

Donc cos (x + y) n’est pas toujours égal à cos (x) + cos (y). – 3π = 15π = 5π qui n’est pas un mul36 a. 18π 5 5 5 tiple de 2p. Donc ces deux réels n’ont pas la même image sur le cercle trigonométrique. b. – 5π – 7π = – 12π = –4π qui est un multiple de 2p. 3 3 3 Donc ces deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique. c. 5π – – 19π = 5π + 19π = 26π = 13π qui n’est 6 6 6 6 6 3 pas un multiple de 2p. Donc ces deux réels n’ont pas la même image sur le cercle trigonométrique. d. 17π – – 7π = 17π + 7π = 24π = 6π qui est un 4 4 4 4 4 multiple de 2p. Donc ces deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique.

(

)

39 a. x

π 4

–π 4

3π 4

7π 4

9π 4

cos (x)

2 2

− 2 2

2 2

sin (x)

2 2

− 2 2

2 2

– 2 2

2 2

π 6

–π 6

3π 6

7π 6

9π 6

cos (x)

2 2

− 3 2

sin (x)

1 2

–1 2

–1

π 3 1 2

–π 3 1 2

3π 3

3 2

– 3 2

c. x cos (x) sin (x)

40 1. 5π 6

( )

J E

–π 2

–π 3

5π 4

15π 6

– 11π 3

cos (x)

–1

1 2

– 2 2

1 2

–1

– 3 2

– 2 2

3 2

sin (x)

π 38 a. p  3 ⇔ 3π  1 et p  4 ⇔ 4  1,

π donc 4  1  π . 3 b.

J E

c. 4π ≈ 4,2 et 3π ≈ 4,7, 3 2 4π donc  4,3  3π . 2 3 Voir le cercle trigonométrique ci-contre pour visualiser la position approximative du point D.

π 3

4π 3

π 4

D 3π 2

3 2

–1

–π 4

π 6

π 4

π 3

cos (x)

3 2

2 2

1 2

sin (x)

1 2

2 2

3 2

9π 3

π 3 π 4 π 6

4π 3

O D

3π 4

2. A

–1

7π 3 1 2

π a. Sur le cercle trigonométrique, l’image du réel – 4 π est le symétrique de l’image du réel 4 par rapport à la droite (OI). cos – π = cos π = 2 . 2 4 4 b. Sur le cercle trigonométrique, l’image du réel 5π 6 est le symétrique de l’image du réel π par rapport 6 à la droite (OJ). sin 5π = sin π = 1 . 2 6 6 c. Sur le cercle trigonométrique, l’image du réel 4π 3 est le symétrique de l’image du réel π par rapport 3 au point O. cos 4π = –cos π = – 1 . 2 3 3 d. Sur le cercle trigonométrique, l’image du réel 3π 4 est le symétrique de l’image du réel π par rapport 4 à la droite (OJ). sin 3π = sin π = 2 . 2 4 4

( )

10. La trigonométrie

201

Exercices 41 Les nombres 0,283 et 0,284 sont respectivement des valeurs approchées de cos (5) par défaut et par excès à 10–3 près. π ≈ 0,259 (arrondi à 10–3 près). 42 sin 12 43 1. Pour x = 0, l’égalité sin (2x) = 2sin (x) est vérifiée. 2. Pour x = π , sin 2 × π = sin(π) = 0 et 2sin π = 2, 2 2 2 l’égalité est donc fausse dans ce cas. Il suffit de ce contre-exemple pour affirmer que l’égalité sin (2x) = 2sin (x) n’est pas vraie pour tout réel x. 44 a. Le réel x est associé à un point appartenant au cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. La valeur du cosinus est l’abscisse du projeté orthogonal de ce point sur l’axe des abscisses. On a donc –1  cos (x)  1 quelque soit la valeur du réel x. La proposition est donc vraie.

J M

( )

(

()

)

b. Il existe une infinité de nombres réels x tel que sin (x) = 0, tous les nombres réels tels que x = kp, avec k  , satisfont cette condition. Faux. c. On sait que cos π = 1 . C’est donc vrai. 2 3 d. Il suffit de trouver un contre-exemple pour montrer que la proposition est fausse. Or cos (0) = 1 et sin (0) = 0 ≠ 1. Faux. 45 Les longueurs sont en cm et les aires en cm2. 2 1. A = 70 × π × 5 = 175π ≈ 15,27. 360 36 2. P = 70 × 2 × π × 5 + 5 + 5 = 35π + 10 ≈ 16,11. 18 360 46 cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ⇔ sin2 (x) = 1 – 0,152 ⇔ sin2 (x) = 0,9775. Donc, sin (x) = 0,9775 ou sin (x) = – 0,9775. Or x est compris entre 0 et p, donc sin (x)  0 et sin (x) = 0,9775. J 47 1. 2. a.

()

M x O

b. Le point N est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O, origine du repère. c. cos (x + p) = –cos(x) et sin (x + p) = –sin(x). 3. a. J P

Le point Q est le symétrique du point M par la symétrie axiale d’axe la droite (OI). cos (–x) = cos (x) et sin (–x) = sin (x). = cos − π = cos π = 2 48 cos 7π 4 4 4 2 π π 3π sin = sin − = −sin = −1 2 2 2 sin − 5π = −sin − π = sin π = 3 2 3 3 3 π 3 cos = 2 6 16π sin − = sin 2π = sin π = 3 3 3 3 2 cos (12p) = cos (0) = 1. 49 Les distances sont en kilomètres.

( ( ( (

( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( )

Dans le triangle SVT rectangle en V, on a : ! = SV ⇔ SV = ST × sin STV ! sin STV ST ⇔ SV = 149,6 × 106 × sin(48°) ⇒ SV ≈ 1,1× 108.

( )

50 1.

J A B

2. Si le point A est l’image du nombre π , pour que le 4 ! triangle ABC soit équilatéral, il faut que l’angle ABC ! mesure 60°, donc que l’angle AOC mesure 120° (soit 2π ), donc le point B est par exemple l’image du 3 nombre π + 2π = 11π . 4 3 12 De même, le point C peut être l’image du nombre 11π + 2π = 19π . 12 3 12 51 1. J A

M O

D C

b. Le point P est le symétrique du point M par la symétrie axiale d’axe la droite (OJ). c. cos (p – x) = –cos (x) et sin (p – x) = sin (x). 202

π 2. Si le point A est l’image du nombre 3 , pour que le quadrilatère ABCD soit un carré, il faut que ses diagonales soient perpendiculaires, donc il faut que le point B soit l’image du nombre π + π = 5π , que le 3 2 6

Exercices point C soit l’image du nombre 5π + π = 8π et que le 6 2 6 8π π point D soit l’image du nombre + = 11π . 6 2 6 1. 52 J B

O D

F E

2. Si le point A est l’image du nombre π , pour que 6 le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier, il faut que les angles au centre mesurent 60° 360 , 6 donc il faut que le point B soit l’image du nombre π + π = 3π = π , que le point C soit l’image du 6 3 6 2 nombre π + π = 5π , que le point D soit l’image du 2 3 6 5π π nombre + = 7π , que le point E soit l’image du 6 3 6 7π π 9π nombre + = = 3π et que le point F soit 6 3 6 2 3π π l’image du nombre + = 11π . 2 3 6 53 1. a. π

( )

5π 6 π

3 O

3 π 4 1

b. 1 < cos(1) < 2 et 2 < sin(1) < 3 . 2 2 2 2 3 2. –1  cos (3)  – et 0  sin (3)  1 . 2 2 3. π < 2 < 2π donc – π > –2 > – 2π et l’image de 2 3 2 3 –2 est ainsi dans le 3e quadrant. 3 . D’où – 1  cos (–2)  0 et –1  sin (–2)  – 2 2 4 × (180 − 30) × 30 54 1. sin (30°) = 40 500 − (180 − 30) × 30 = 21 sin (45°) =

4 × (180 − 45) × 45 = 12 ≈ 0,70588 40 500 − (180 − 45) × 45 17

sin (60°) =

4 × (180 − 60) × 60 = 32 ≈ 0,86486 40 500 − (180 − 60) × 60 37

( ) ( ) ( )

2. sin π = 1 . 2 6 π sin ≈ 0,70711. 4 sin π ≈ 0,86603. 3 Les valeurs sont différentes mais relativement proches.

55 1. Cette instruction sert à calculer la valeur en radians d’un angle x donné en degrés. 2. Si on entre x = 30, l’algorithme affiche 0,5235987756. 3. Si on entre x = 45, l’algorithme affiche 0,7853981634. 4. SI (s  0 ET c  0) ALORS DEBUT _SI AFFICHER « M, image de x, est sur le troisième quadrant. » FIN_SI SI (s  0 ET c  0) ALORS DEBUT _SI AFFICHER « M, image de x, est sur le 4e quadrant. » FIN_SI

5. Pour x = 0, on a pour affichage : M, image de x, est sur le premier quadrant. M, image de x, est sur le quatrième quadrant. Cet affichage est normal, car le point image appartient aux deux quadrants en même temps. Idem pour x = 360. 56 1. a. a1 = 1 sin π1 cos π1 = 0. b. a5 = 5 sin π cos π ≈ 2,38. 5 5 π c. a20 = 20 sin cos π ≈ 3,09. 20 20 π cos π ≈ 3,12. d. a30 = 30 sin 30 30 2. Il semble que plus n est grand et plus an se rapproche de p. 3. b. À partir de n = 15, an ≈ p à 0,1 près. 4. n prend la valeur 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D prend la valeur p Tant que D  0,1 Début tant que n prend la valeur n + 1 a prend la valeur n* sin π * cos π n n D prend la valeur p – a Fin tant que Afficher la valeur de n

( )

( ) ( ) ( ) ( ) A = 1 − (− 1) − (− 1) + 1 = 2 2 2 2 2 π 2. B = cos( ) × cos( 2π ) × cos( 4π ) × cos( 5π ) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 B = ( ) × (− ) × (− ) × ( ) = 2 2 2 2 16 π 3π 3. C = sin( − ) − sin( − ) − sin( π ) + sin( 3π ) 4 4 4 4 − cos 4π + cos 5π 57 1. A = cos 3π − cos 2π 3 3 3

( )

C=− 2 − − 2 − 2 + 2 =0 2 2 2 2 3π π 4. D = sin − × sin − × sin π × sin 3π 4 4 4 4 4 2 1 D= = 4 2 2 58 1. cos 2π + 2sin 2π + 2cos 2π – sin 2π = (0 + 2)2 + (2 × 0 – 1)2 = 4 + 1 = 5. Donc l’égalité est vraie pour x = π . 2

( )

( ( )

( )

( )) ( ( )

( )

( ))

10. La trigonométrie

203

Exercices

(cos( 4π ) + 2sin( 4π )) + (2cos(4) – sin( 4π )) 2

62 1.

( ) ( ) 2

M x

O N

Le point N est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O, origine du repère. Les abscisses des points N et M sont opposées d’où l’égalité suivante : cos (x + p) = –cos (x). 2. sin π – x = cos(x) 2

(

)

N π–x 2

Le point N est le symétrique du point M par la symétrie axiale d’axe la droite d’équation y = x. L’abscisse du point M est donc égale à l’ordonnée du point N, d’où l’égalité suivante : sin π – x = cos(x) . 2 1. J 61 M

(

)

O 0,3

2. cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ⇔ sin2 (x) = 1 – 0,32 d’où : sin(x) = 1– 0,32 = 0,91 ou sin(x) = – 1– 0,32 = – 0,91. Or x est un nombre réel compris entre 0 et p, donc sin (x)  0 et donc sin (x) = 0,91 . 3. À la calculatrice, on trouve x ≈ 72,54°. sin (72,54°) ≈ 0,9539 et 0,91 ≈ 0,9539. 204

= 3 2 + 2 = 9 × 2 + 2 = 20 = 5. 4 4 2 2 4 Donc l’égalité est vraie pour x = π . 4 2. (cos (x) + 2 sin (x))2 + (2 cos (x) + sin (x))2 = cos2 (x) + 4 cos (x) sin (x) + 4 sin2 (x) + 4 cos2 (x) –4 cos (x) sin (x) + sin2 (x) = 5 (cos2 (x) + sin2 (x)) = 5. 59 1. a. En tapant Arcos (0,2) sur la calculatrice en mode radian, on obtient a ≈ 1,369 à 10–3 près. 2. sin (a) ≈ 0,980 à 10–3 près. 60 1. a. En essayant différents exemples à la calculatrice, on conjecture que l’égalité cos(x + p) = –cos(x) est vraie pour tout x. J b.

0,6 O

2. cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ⇔ cos2 (x) = 1 – 0,62 ⇔ cos2 (x) = 0,64. D’où cos (x) = 0,64 = 0,8 ou cos (x) = – 0,64 = –0,8. Or x est un nombre réel compris entre π et 3π donc 2 2 cos (x)  0 et cos (x) = –0,8. 3. x ≈ 143,13° ou 2,498 rad. 63 Les longueurs sont en cm et les aires en cm2. 1. L’aire de chacun des secteurs circulaires BOA et DOC est égale à : 2 AS = 25 × π × 5 = 125π . 360 72 Dans le triangle COA isocèle en O, la hauteur issue de O est égale à 5 × sin (25°) et la base CA est égale à 2 × 5 × cos (25°) = 10 × cos (25°) et l’aire du triangle COA est égale à : Atriangle = 5 × sin(25°) × 10 × cos(25°) 2 = 25 sin(25°) cos(25°) L’aire rouge est égale à : Arouge = 2 × 125π + 25 sin(25°) cos(25°) ≈ 20,48 72 L’aire verte est égale à l’aire du demi-disque moins l’aire rouge soit : Averte = 25π − 125π + 25sin(25°)cos(25°) 2 36 325π = – 25sin(25°)cos(25°) ≈ 18,79. 36 Ainsi l’aire rouge est la plus grande. 2. Le rapport entre l’aire rouge et l’aire verte est constant quel que soit le rayon du demi-cercle, ce rapport ne dépend que de l’angle au sommet du secteur BOA. Donc la réponse est vraie quel que soit le rayon du cercle. 64 Point A : cos (x)  0 et sin (x)  0. Point J : cos (x) = 0 et sin (x)  0. Point H : cos (x)  0 et sin (x) = 0. Point N : cos (x) = 0 et sin (x)  0. Point B : cos (x)  0 et sin (x)  0. 65 1. a. ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. ! AOB = 360° = 60°, OA = OB = 1 et AOB est un triangle 6 isocèle en O avec un angle de 60°, le triangle AOB est donc un triangle équilatéral. b. AB = 1 et tous les côtés de l’hexagone régulier sont égaux, donc Phexagone = 6. c. Pcercle = 2p. Phexagone ≈ Pcercle ⇔ 2p ≈ 6 ⇔ p ≈ 3. ! = 360° = 30° , OAB ! = 60° , ! = 60° et AOG 2. a. AOB 12 ! = 90° (triangle inscrit dans un cercle dont l’un des DBA ! = 180° – 90° – 60° = 30°, côtés est un diamètre) ; BDA

(

)

Exercices ! = 90° (triangle inscrit dans un cercle dont l’un DGA des côtés est un diamètre). ! ! = BOA b. MDO = 30° (angle au centre et angle inscrit 2 ! = 180° – 90° – 30° = 60°, interceptant le même arc), MOD ! DMO = 90°. ! = 90°, AOG ! = 30°, OGN ! = 60°. GNO Les triangles DMO et ONG ont donc bien les mêmes angles. ! = DN et cos GDA ! = GD . 3. cos GDN GD DA ! ! ! ! 4. GDN = GDA ⇒ cos GDN = cos GDA ⇔ DN = GD GD DA ⇔ GD2 = DN × DA ⇔ GD2 = DN × 2 = (DO + ON) × 2 = (1 + ON) × 2. 5. DG2 = 2 × (1 + ON) = 2 × (1 + DM), or le triangle DOM est isocèle en O, donc DM = 1 DB. 2 DG2 = 2 × 1+ 1 DB = 2 + DB. 2 6. Dans le triangle DBA rectangle en A, on a : DA2 = AB2 + BD2 ⇔ BD2 = 3 ⇔ BD = 3 . DG2 = 2 + DB = 2 + 3 d’après 5. Dans le triangle DGA rectangle en G, on a : AD2 = GD2 + GA2 ⇔ 4 = 2 + 3 + GA2 ⇔ GA2 = 2 – 3 ⇔ GA = 2 – 3 . Pdodécagone = 12 × 2 – 3 . Pdodécagone ≈ Pcercle ⇔ 2p ≈ 12 × 2 – 3

(

)

( ) ) ( )

(

)

⇔ p ≈ 6 × 2 – 3 ≈ 3,1058.

66 1.

O – 10 4

2. cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ⇔ cos2 (x) = 1 – 10 16 ⇔ cos2 (x) = 3 , d’où cos (x) = 3 ou cos (x) = – 3 8 2 2 2 2 or cos (x)  0, car x est un réel compris entre – π et 2 0. Donc cos (x) = 3 . 2 2 À la calculatrice, on a x ≈ –0,912 rad. 67 1. I(1 ; 0) ; B 21 ; 23 ; C – 21 ; 23 ;

) ( ) D(–1 ; 0) ; E ( – 1 ; – 3 ) ; F ( 1 ; – 3 ) . 2 2 2 2 (

! = 60°. 2. IOB 3. IOB est un triangle isocèle avec un angle de 60°, il est donc équilatéral. 4. IOB est un triangle équilatéral donc AB = OA = 1. Phexagone = 6 × IB = 6.

3 2 = 3. AOIB = 2 4 Ahexagone = 6AOAB = 3 3 . 2 5. Phexagone = 5 × 6 = 30.

68 1. Faux, cos (0) = 1 et cos (2 × 0) = 1. 2. Faux, sin (p) = 0 et cos (p) = –1. 3. Faux, si x  ⎡– π ; π ⎤ alors cos (x)  0. ⎣ 2 2⎦ 4. Faux, si cos (x)  0 alors on peut avoir x  ⎡ π ; 3π ⎤ . ⎣2 2 ⎦ 15 15 1 2 , cos (x) = car si 5. Vrai, cos (x) = 1– = 4 16 16 π ⎡ ⎤ x  – ;0 alors cos (x)  0. ⎣ 2 ⎦ 6. Faux, si x  ⎡ π ; π ⎤ alors cos (x)  0 et sin (x)  0. ⎣2 ⎦ 7. Vrai, –599π – π = –600π = –200π = –100 × 2π 3 3 3 qui est un multiple de 2p. h ⇔ h = 10 × tan (27°) ≈ 5,10. La hau69 tan (a) = 10 teur de l’arbre est d’environ 5,10 m (arrondi au cm). n1sin(α) sin(50°) ≈ 1,34 (au centième 70 n2 = sin(β) = sin(35°) près). 71 Les longueurs sont en cm. 1. Dans le triangle RNU rectangle en U, on a : ! = NU . cos RNU RN 1000 1000 Donc cos(24°) = ⇔ RN = RN cos(24°) ⇒ RN ≈ 1095 (arrondi à l’unité). 2. Dans le triangle MNR rectangle en N, d’après le théorème de Pythagore : 2 ⎛ 1000 ⎞ MR2 = MN2 + NR2 ⇔ MR2 = 8002 + ⎝ cos(24°) ⎠ 2 1000 ⎞ ⇒ MR ≈ 1356 ⇒ MR = 8002 + ⎛ ⎝ cos(24°) ⎠ (arrondi à l’unité). 3. Dans le triangle MNU rectangle en N, d’après le théorème de Pythagore : MU2 = MN2 + NU2 ⇔ MU2 = 8002 + 1 0002 ⇔ MU2 = 1 640 000 ⇒ MU = 1640 000 ⇒ MU ≈ 1 281(arrondi à l’unité). 4. Dans le triangle MUR rectangle en U, on a : 1640 000 . cos(a) = MU = RM 1000 ⎞ 2 ⎛ 2 800 + ⎝ cos(24°) ⎠ D’où a ≈ 19° (arrondi au degré près). = cos 5π = − 2 72 a. cos 125π 2 4 4 b. sin −77π = sin 3π = −1 2 2 c. cos 65π = cos − π = 1 2 3 3 −317π 5π = sin − = −1 d. sin 2 6 6 1. On a, d’après le logiciel : 73 cos (2x) = 2 cos2 (x) – 1. D’où cos π = cos 2 × π = 2cos2 π – 1. 6 12 12 2. J

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) I

10. La trigonométrie

205

Exercices

( )

Donc cos π . 0. 12 3. D’après 1. on a: 3 = 2cos2 π – 1 2 12

( )

3 +1 ⇔ cos2 π = 2 ⇔ cos2 π = 3 + 2 . 12 12 4 2

( ) D’où cos( π ) = 12

( )

3 +2 = 4

(

)

74 1. Pour t = 0,1 s : i (0,1) = 16 sin 0,3 + 6π ≈ 11,74.

3 +2. 2

(

)

Pour t = 1 s : i (1) = 16 sin 3 + π ≈ –5,96. 6 2. i (t) = 0 ⇔ sin 3t + π = 0. 6 On peut par exemple prendre 3t + π = 0 ⇔ t = – π . 6 18 3. Il existe une infinité de valeurs pour lesquelles l’intensité est nulle : il suffit d’ajouter à – π n’importe 18 quel multiple de 2p.

(

)

Accompagnement personnalisé 75 Les longueurs sont en cm et les aires en cm2.

1. Le rayon du secteur qui forme la face latérale du cône est 5 2. Le périmètre de la base est 10p. Si a est l’angle au sommet du patron, on a donc le tableau de proportionnalité suivant : Angle au sommet en degrés Longueur de l’arc de cercle

360 10p 2

a 10p

D’où a = 360 = 180 2 ≈ 255°. 2 Reste alors à tracer le patron. 2. Alatérale = 72 × 50 × π = 10π. 360 76 P3  P1  P8  P4  P10  P9  P6  P5  P7  P2 . La valeur la plus précise est P10. 77 1. 3141592653589793238462643383279 2. On trouve une très bonne approximation du nombre p. 3. « Jadis, mystérieux, un problème bloquait Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs. » 4. Il en existe en Allemand : Dir, o Held, o Alter Philosoph, du Reisen-Genie! Wie, viele Tausende bewundern Geister Himmlisch wie du und Göttlich! En Anglais : Yes, I have a great statement to relate. May I have a large container of coffee How I wish I could recollect of circle round The exact relation Archimede unwound. 78 1. On connaît actuellement plus de 200 milliards de décimales de p. 2. Les décimales de p ne sont pas périodiques, c’est un nombre irrationnel. 3. « D’abord parce que son histoire est fascinante. Il y a 4 000 ans déjà, les Grecs anciens, comme Archimède, essayaient de calculer les décimales de Pi. Pendant des siècles, les plus grands mathématiciens du monde, à l’instar de Newton, les ont découvertes petit à petit. À partir des années 1940, les calculs se sont accélérés, et avec les ordinateurs de plus en plus performants que nous avons aujourd’hui, on ne 206

cesse de repousser le nombre de décimales connues. Et Pi est encore loin d’avoir révélé tous ses secrets ! Les mathématiciens se posent toujours des questions, comme par exemple celle de savoir si chaque chiffre apparaît le même nombre de fois parmi les décimales. Pour l’instant, tout indique qu’il y a autant de 9 que de 1 ou de 3. Mais on peut toujours imaginer que cela change ! Pi fascine enfin parce que c’est un nombre paradoxal : il s’inscrit dans un cercle, une figure fermée, mais en même temps, il est infini. On ne se serait pas posé la question de l’infini sans Pi. » Daniel Tammet

79 1.

2. Test de l’algorithme 3. Lorsque n est très grand, on voit apparaître un quart de cercle de centre O, origine du repère, et de rayon 1. 4. Les points M sont tracés si et seulement si x 2 + y 2  1, c’est-à-dire si la distance OM est inférieure ou égale à 1, c’est-à-dire si M appartient au disque de centre O et de rayon 1. 5. a. La probabilité qu’un point M apparaisse à l’intéπ × 12 rieur du cercle trigonométrique est de 42 = π . 4 1 b. Pour n assez grand, la fréquence du nombre de points apparaissant à l’intérieur du cercle trigonométrique se rapproche donc de π . Ainsi, en calculant 4 cette fréquence et en la multipliant par 4, on obtient une approximation de p. C’est ce que fait cet algorithme.

Exercices

No problem ; 80 cos(a) = AB AC

83 1.

sin(a) = BC . AC sin (31°) = 0.515 ; 81 cos (61°) = 0.85 ; sin (1°) = 0.017 ; cos (179°) = –0.999. 82 a.

Let a be the angle of elevation of the sun: using trigonometry, tan (a) = 222 . 345 a is approximately equal to 32.76°. b.

sin (x) O

I cos (x)

2. Let x be a real number. M is the corresponding point on the unit circle. cos (x) is defined by the x-coordinate of point M in the frame of reference (O, I ; J). sin (x) is defined by the y-coordinate of point M in the frame of reference (O, I ; J). 84 A = – 23 – 23 – 23 = – 3 23 . B = –1 – 2 – 1 = –2 – 2 . 2 2 ! – B! . ! = B! = C! = 180° so C! = 180° – A A 85 Therefore, C! = 86°.

( ) = sin(B! ) ⇔ b = a = sin(B! ) so b ≈ 6.19. ! a b sin( A ) ! sin( A ) = sin(C! ) ⇔ c = a = sin(C! ) so c ≈ 7.14. ! a c sin( A ) ! sin A

86 1. Let h be the height of the kite: using trigono-

Let h be the height of the church spire; 18° is the angle of elevation: using trigonometry, tan(18°) = h ⇔ h = 80 × tan(18°). 80 h is approximately equal to 26 m. c.

metry, sin (27°) = h ⇔ h = 58 × sin(27°). h is approxi58 mately equal to 26 m. 2. Using trigonometry, cos (27°) = PS ⇔ 58 PS = 58 × cos(27°). PS is approximately equal to 52 m. 87 C 50° D

Let h be the height of the building, 73° is the angle of elevation: using trigonometry, tan (73°) = h – 5 ⇔ h – 5 = 50 × tan (73°) 50 ⇔ h = 5 + 50 × tan (73°). h is approximately equal to 169 ft.

Using trigonometry, sin (50°) = DE ⇔ DE = 10 × sin (50°). DE is approxi10 mately equal to 7.7 cm. cos (50°) = CE ⇔ CE = 10 × cos (50°). CE is approxi10 mately equal to 6.4 cm. As BC = BE + EC, then BC ≈ 3 + 6.4 ≈ 9.4 cm. 88 1. 314159265358979323846. These figures are the first 21 digits of p. 2. Imagination of the pupils… 3. Yes, I have a great statement to relate. May I have a large container of coffee How I wish I could recollect of circle round The exact relation Archimede unwound. 10. La trigonométrie

207

Exercices Traduction des énoncés 80 Quotients Dans un triangle rectangle, il existe deux quotients trigonométriques : le sinus et le cosinus, abrégés en sin et cos. Écrivez ces quotients en fonction des côtés du triangle suivant. C

Hypoténuse Côté opposé A

C b

C c

! = 34° ; a = 4 ; B! = 60° ; calculez C, b et c. On donne A 86 Une personne faisant voler un cerf-volant libère 58 m de longueur de corde. Cette dernière fait un angle de 27° avec le sol.

Côté adjacent

81 Les touches de la calculatrice À l’aide de votre calculatrice, donnez la valeur approchée des nombres suivants arrondie au millième. a. sin(31°) b. cos(61°) c. cos(1°) d. cos(179°) 82 Des problèmes concrets Résoudre les problèmes suivants. Utilisez un graphique pour vous aider à répondre à chaque question. a. Un pylône haut de 222 pieds projette une ombre de 345 pieds de long. Trouvez la mesure de l’angle d’élévation du soleil. b. L’angle d’élévation du clocher d’une église est évalué à 18° à partir d’un point situé à 80 mètres de sa base. Déterminez la hauteur du clocher. c. Valentin, dont les yeux sont à 5 pieds du sol, se tient debout à 50 pieds de la base d’un immeuble. Il regarde selon un angle de 73° en direction d’un point situé au sommet du toit de cet immeuble. Quelle est la hauteur de l’immeuble ? Donnez le résultat au pied entier près. 83 Le cercle unitaire Un cercle unitaire est un cercle de rayon 1 unité. Le centre de ce cercle est l’origine du repère. 1. Tracez un cercle unitaire. 2. En utilisant le cercle et votre leçon, donnez la définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel. 84 Sinus et cosinus d’un nombre réel Donner la valeur exacte des nombres suivants. A = sin 4π + cos 5π − sin 2π 3 6 3 B = sin 7π + cos 5π − sin − 3π 2 4 2 85 « Résoudre des triangles » Au Royaume-Uni, les étudiants apprennent à « résoudre des triangles ». Tous les triangles sont caractérisés par six éléments : trois côtés et trois angles. « Résoudre un triangle » signifie trouver tous les côtés et les angles inconnus. Pour cela, vous avez besoin de connaître au moins trois de ces éléments ainsi que la « règle des sinus » : ! sin A sin C! sin B! . = = a b c

( ) ( )

( )

208

( ) ( )

( )

()

? P

27° S

1. À quelle hauteur vole le cerf-volant ? Donnez votre réponse au mètre près. 2. Quelle est la distance PS ? Donnez votre réponse au mètre près. 87 Trapèze Dans le trapèze ci-dessous, deux côtés et un angle sont connus : ! = 50°. AD = 3 cm, DC = 10 cm et BCD C 50° D

Calculez les longueurs AB et BC. 88 Textes mnémotechniques pour un nombre célèbre Beaucoup de textes ont été inventés afin de mémoriser les décimales du nombre pi. Par exemple, le texte proposé donne 21 décimales de p. 1. Écrivez le nombre de lettres de chaque mot. Expliquer pourquoi ce texte révèle 21 décimales de p ? 2. Inventez un texte en anglais qui fait apparaître au moins dix décimales de p. 3. Question Internet Trouvez d’autres textes ou poèmes mnémotechniques qui traitent du nombre p.

Les vecteurs

Présentation du chapitre

Ce chapitre est difficile pour les élèves car il propose beaucoup de notions nouvelles et d’applications géométriques et numériques. • L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique est particulièrement conseillée dans ce chapitre. Le lien entre translation et vecteurs s’en trouve facilité. Les situations de la rubrique Pour construire le cours montrent de tels exemples d’utilisation. • Le passage d’un vecteur aux extrémités connues par des points A et B à la notion de vecteur libre, la somme et la multiplication d’un vecteur par un nombre réel sont des notions difficiles car théoriques. Là encore, l’utilisation d’un logiciel permet, dans la rubrique Outils et méthodes, de montrer la notion de représentant d’un vecteur et de mettre en lien les sommes, différences ou multiplication par un nombre avec l’impact géométrique qui en découle. • Les coordonnées d’un vecteur sont l’occasion de mettre en place des démonstrations simples dans un chapitre aux notions difficiles. • Le calcul des coordonnées d’un vecteur ou la règle de colinéarité de deux vecteurs permettent d’utiliser les instructions conditionnelles algorithmiques. Beaucoup d’exercices en lien avec la rubrique Outils et méthodes en proposent. • Enfin, ce chapitre fait le lien entre géométrie pure et géométrique algébrique.

11. Les vecteurs

209

Pour construire le cours Situation A Comprendre un dispositif mécanique en SCIENCES DE L’INGÉNIEUR Objectifs : Comprendre la notion de translation et de vecteur. Définir des vecteurs égaux. 1. A

F G H

F’ G’ H’

2. Les segments [AB], [FF’], [GG’] et [HH’] sont parallèles et de même longueur. 3. L’image de G par la translation de vecteur AB est le point G’. L’image de H par la translation de vecteur AB est le point H’. Le professeur fait remarquer que le vecteur AB matérialise le déplacement de A vers B. Il indique les caractéristiques de ce déplacement : – sa direction (celle de la droite (AB)) ; – son sens (de A vers B) ; – sa longueur (la distance AB). Si A est différent de B, on parle alors de la direction, du sens et de la longueur du vecteur AB. 4. Les vecteurs FF’, GG’ et HH’ sont égaux au vecteur AB. 5. Le quadrilatère ABF’F est un parallélogramme, car les côtés [AB] et [FF’] sont parallèles et de même longueur. Dire que le point D est l’image du point C par la translation qui transforme A en B signifie donc aussi que ABDC est un parallélogramme ou encore que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. 6. On est sûr alors que les côtés [AF] et [BF’] sont aussi parallèles et de même longueur (car ABF’F est un parallélogramme), donc AF = BF’ (pour la direction, on regarde la figure).

Soient A et B deux points du plan. A tout point C du plan, on associe l’unique point D du plan tel que ABDC soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On dit alors que le point D est l’image du point C par la translation qui transforme A en B. Cette translation est aussi appelée translation de vecteur AB. On dit que A est son origine et B son extrémité. On dit que deux vecteurs AB et CD sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D. On note AB = CD. Soient AB et CD deux vecteurs différents du vecteur nul. • AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. • AB = CD si et seulement si AB et CD ont même direction, même sens, et même longueur.

210

Pour construire le cours

Situation B Modéliser les déplacements de bateaux en GÉOGRAPHIE Objectifs : Découvrir les coordonnées d’un vecteur dans un repère. Faire le lien avec les coordonnées de points. 1.

B’ C’ B

1 0

A’ 1

A C

⎛ 1⎞ 2. a. Le point A’ a pour coordonnées ⎜ ⎟ . ⎝ 1⎠ ⎛ 5⎞ b. On vérifie que le vecteur AA’ a pour coordonnées ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ Les coordonnées d’un vecteur u peuvent aussi s’écrire en ligne : (x ; y). 3. La translation de vecteur AA’ permet de décrire le déplacement (parallèle à la même vitesse) du bateau B. ⎛ 5⎞ ⎛ 0⎞ Les coordonnées de B’ sont ⎜ ⎟ . On vérifie que le vecteur BB’ a pour coordonnées ⎜ ⎟ et que deux vecteurs ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ égaux ont donc les mêmes coordonnées. On peut facilement lire les coordonnées d’un vecteur u dans un repère, en repérant le déplacement entre l’origine et l’extrémité de ce vecteur parallèlement aux axes. ⎛ –2 ⎞ 4. a. Le point C’ a pour coordonnées ⎜ ⎟ . Le déplacement du bateau C s’est fait de 1 km vers l’ouest et de 3 km ⎝ 1⎠ vers le nord. ⎧xC’ = xC + xu! b. On ajoute aux coordonnées de C celles du vecteur u pour obtenir les coordonnées de C’ : ⎨ . ! ⎩yC’ = yC + yu c. Par conséquent, les coordonnées du vecteur CC’ s’obtiennent en soustrayant celles de C à celles de C’ :  = x − x ⎧xCC’ C’ C ⎨y  = y − y . C’ C ⎩ CC’

Dans un repère (O, I, J ), on considère un vecteur u et le point M (x ; y ) tel que OM = u (OM est donc le représentant de u d’origine O). ⎛x⎞ On appelle coordonnées du vecteur u le couple ⎜ ⎟ (c’est-à-dire que les coordonnées ⎝ y⎠ du vecteur u sont les mêmes que celles du point M). Dans un repère, si A(xA ; yA ) et B (xB ; yB ) alors AB a pour coordonnées ⎛ xB − xA ⎞ ⎜ ⎟. ⎜⎝ y B − y A ⎟⎠ Dans un repère, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

11. Les vecteurs

211

Pour construire le cours Situation C Définir la colinéarité en MATHÉMATIQUES Objectifs : Découvrir la notion de vecteurs colinéaires. Introduire la condition de colinéarité. 1.

C 2u

2 0

–3u x

–u

Les vecteurs u et 2u ont la même direction, le même sens et la longueur du vecteur 2u est deux fois celle du vecteur u. ⎛ –2 ⎞ 2. Les coordonnées du vecteur 2u sont, d’après le logiciel, ⎜ ⎟ . ⎝ 6⎠ ⎛ −1+ (−1) ⎞ ⎛ −2 ⎞ . = On vérifie par le calcul : 2u = u + u, donc 2u a pour coordonnées ⎜ ⎝ 3 + 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ On peut alors définir des vecteurs colinéaires. ⎛ ⎞ 3. Les coordonnées du vecteur –u sont, d’après le logiciel, ⎜ 1 ⎟ . ⎝ –3 ⎠ On fait remarquer qu’un vecteur et son opposé sont des vecteurs colinéaires. L’enchaînement des deux translations associées à u et à –u transforme donc A en A. C’est la translation de vecteur AA = 0. ⎛ 3⎞ 4. Les coordonnées du vecteur –3u sont, d’après le logiciel, ⎜ ⎟ . ⎝ –9 ⎠ Les coordonnées de –3u sont proportionnelles à celles de u. Il est alors pratique d’introduire la condition de colinéarité avec la notion de tableau de proportionnalité vue au Collège, ce qui permet de justifier rapidement que « xy’ = x’y » via les produits en croix égaux. ⎛ –1 ⎞ ⎜ 2 ⎟ 1 5. Les coordonnées d’un vecteur u devraient être ⎜ ⎟ . 2 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠

On considère une translation de vecteur u qui transforme A en B. La translation qui transforme B en A est la translation de . A u vecteur noté -u. Ce vecteur -u est appelé opposé du vecteur u car il a la même direction et la même longueur que u –u mais il est de sens opposé à u. ⎛x⎞ ⎛ −x ⎞ Dans un repère, on considère u ⎜ ⎟ . Alors, -u a pour coordonnées ⎜ . ⎝ y⎠ ⎝ − y ⎟⎠ ⎛x⎞ Dans un repère, on considère u ⎜ y ⎟ et k un nombre réel. ⎝ ⎠ ⎛k x⎞ On note ku le vecteur de coordonnées ⎜ k y ⎟ . ⎝ ⎠ u 4 2

–8

2 –4

J O

–2 u

212

1,5 u 3

I 6

Pour construire le cours

Remarque : Le vecteur ku a la même direction que le vecteur u. Si k  0, le vecteur ku a le même sens que celui de u et sa longueur est k fois celle de u. Si k  0, le vecteur ku a le sens opposé à celui de u et sa longueur est -k fois celle de u. (Dans ce cas, -k est positif ! ) Soient u et v deux vecteurs non nul. On dit que u et v sont colinéaires lorsque l’un est le produit de l’autre par un réel. On considérera par convention que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. ⎛ ⎛x⎞ Dans un repère, on considère deux vecteurs u ⎜ ⎟ et v ⎜ ⎝ ⎝ y⎠ • u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées Cela équivaut à dire que le tableau suivant est un tableau

u v

1ère coordonnée x x’

x’ ⎞ y’ ⎟⎠ . sont proportionnelles. de proportionnalité :

2e coordonnée y y’

• u et v sont colinéaires si et seulement si x y’ = x’y (produits en croix égaux).

11. Les vecteurs

213

Diaporamas Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ? a.

–2

–7,5

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Lire les coordonnées des points de la figure dans le repère (O, I, J). A

D J

c. −2 3

7 3

–7

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Dans le repère (O, I, J), donner les coordonnées du point C pour que ABCD soit un parallélogramme.

Indiquer la (les) proposition(s) vraie(s).

a. Tout parallélogramme est un rectangle.

D J O

b. Tout losange est un parallélogramme. I

c. Un parallélogramme qui a un angle droit est un carré.

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

Dans un repère, le point A a pour coordonnées (–3 ; 2)

Dans un repère orthonormé, le point A a pour

et le point B (5 ; –4).

coordonnées (–3 ; 7) et le point B (–3 ; 2).

Donner les coordonnées du milieu du segment [AB].

Calculer la distance AB.

Les vecteurs

Diaporama calcul mental

On considère l’équation –x + 4 = 4. Cette équation : a. n’a aucune solution ; b. a une solution ; c. a deux solutions.

214

Diaporamas

Les vecteurs

Diaporama QCM chrono

Les vecteurs

Diaporama QCM chrono

Dans un repère orthonormé, le point A a pour coordonnées

(3 ; –2) et le point B (2 ; 4).

Les coordonnées du vecteur BA sont :

Les coordonnées du vecteur AD dans le repère (O, I, J) sont : ⎛ –1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ –5 ⎞ ⎛ 5⎞ a. ⎜ ⎟ b. ⎜ ⎟ c. ⎜ ⎟ d. ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ –1 ⎠ ⎝ −1⎠

⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞ a. ⎜ ⎟ b. ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ c. ⎜ ⎟ d. ⎜ ⎝ −4 ⎟⎠ ⎝ −6 ⎠

Les vecteurs

Diaporama QCM chrono

L K

Les vecteurs

⎛ 3⎞ Soit u de coordonnées ⎜ ⎟ et v de coordonnées ⎝ –2 ⎠

Pour que ces deux vecteurs soient colinéaires, il faut :

⎛ 4,5 ⎞ ⎜ y ⎟. ⎝ ⎠

a. y = –5

Les vecteurs qui semblent colinéaires sont :

b. y = 3

a. AD et GH

b. EF et KL

c. y = –3

c. AD et RD

d. MN et GH

d. y = 0,5

Les vecteurs

Diaporama QCM chrono

⎛ −5 ⎞ ⎛ 3⎞ Soit u de coordonnées ⎜ ⎟ et v de coordonnées ⎜ ⎟ . ⎝ 8 ⎠ ⎝ 5⎠ Le vecteur 3u – 2 v a pour coordonnées :

Diaporama QCM chrono

Si ABCD est un parallélogramme, les égalités vraies sont : a. AB = CD b. AB = DC

⎛ −8 ⎞ ⎛ ⎞ a. ⎜ ⎟ b. ⎜ −15 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 24 ⎠

c. AC = BD

⎛ −21 ⎞ ⎛ −21 ⎞ c. ⎜ d. ⎜ ⎝ −14 ⎟⎠ ⎝ −34 ⎟⎠

d. AD = BC

Les vecteurs

Diaporama QCM chrono

⎛ 4 ⎞ Si, dans un repère, on a A(–2 ; 3) et AB ⎜ ⎟ . ⎝ −3 ⎠ Alors B a pour coordonnées :

a. (2 ; 0)

b. (6 ; –6)

c. (–6 ; 6)

d. (6 ; 0)

11. Les vecteurs

215

Exercices Réviser ses gammes Gamme 1 a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux. e. Vrai. f. Faux. g. Vrai. h. Vrai. i. Faux. Gamme 2 O(0 ; 0) ; I(1 ; 0) ; J(0 ; 1) ; A(3 ; –1) ; B(–2 ; 1) ; C(2 ; 2) ; D(–1 ; –2). Gamme 3 On trace les droites (AB) et (BC). On trace le cercle de centre C et de rayon AB et le cercle de centre A et de rayon BC. L’intersection des deux cercles est le point D.

Gamme 5 a. K (7 ; 4,5). b. Les coordonnées du milieu de [BD] sont (7 ; 4,5) ; c’est donc K. c. [AC] et [BD] ont même milieu, donc ABCD est un parallélogramme. 2 2 Gamme 6 AB = (6 − 2) + (4 − 1) = 25 = 5 .

Gamme 7 Vrai. Gamme 8 a. Non. b. Non. c. Oui. d. Non. e. Non. f. Non.

Gamme 4 FG = ( −2 − 2) + (2 − 4) = 20 FG ≈ 4,47. 2

Gamme 9 A(4 ; 3).

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacités 1 et 2. 2. Capacité 2. 3. Capacité 6. 4. Capacités 2 et 8. 5. Capacités 3 et 4.    ⎛ 4⎞  ⎛ 8⎞  ++ 2AB CD = 2AB , donc (CD) et (AB) sont 2 AB ⎜ ⎟ , CD ⎜ ⎟ et CD ⎝1 ⎠ ⎝ 2⎠ parallèles.  ⎛ xU – 5 ⎞  ⎛ 4 ⎞ . 3 HK ⎜ ⎟ et UT ⎜ ⎝ −8⎠ ⎝ yU + 3⎟⎠

5 1. b. 2. b. 3. a. 6

– 2u v

v v

HKUT est un parallélogramme si et seulement si HK = TU ⇔ xU – 5 = 4 et yU + 3 = –8. Donc U (9 ; –11).   ⎛ –5⎞  0   20 2. −u ⎛⎜ ⎞⎟ . 3. 3u − 4v ⎛⎜ ⎞⎟ . 4 1. u + v ⎜ ⎟ . ⎝10 ⎠ ⎝ –7⎠ ⎝ 9⎠

u+v

–u

v–u

Corrigés des exercices Les coordonnées des vecteurs sont ici écrites en ligne afin de rendre la présentation des corrigés plus compacte.

(

)

donc AB 3 ; – 7 . 3 1. AB 2 – 21 ;1– 10 2 3 3

(

)

(

)

CD 1– 5 ; 7 – 0 donc CD − 3 ; 7 . 2 3 2 3 2. On en déduit que AB = –CD. y

0 1

E –v

u+v

5 1. y

3 u 2

u C A

2 0

216

L v

2 On lit GH (–3 ; –2), EF (2 ; –2), u (–2 ; 1) et v (4 ; 1).

)

G FE + FG

(

2u + 3v

v v

2. a. u – v (–4 + 5 ; 8 – 0) donc u – v (1 ; 8).

Exercices

b. AB (4 ; –6) et CB (3 ; –7). AB + 3CB (4 + 9 ; –6 – 21), donc AB + 3CB (13 ; –27). 6 3 × 2 3 = –2 × (–3). Ainsi, les vecteurs u et v sont colinéaires. 7 1. AB (1 ; –9) et BE (–6 ; 54). 1 × 54 = –9 × (–6). Ainsi les points A, B et E sont alignés. 2. CD (7 ; –62). 7 × (–9) ≠ 1 × (–62). Ainsi, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. 8 a. – 31 b. 8 3 c. 4 d. 5 4 9 a. AE + EG = AG b. BF + AB = AF c. –RS + RT = ST d. CM – CN = NM

16 1. Le vecteur colinéaire à u (–1 ; 2) qui a pour première coordonnée 3 a pour deuxième coordonnée –6. 2. Le vecteur colinéaire à v (5 ; –3) qui a pour 1ère cordonnée –15 a pour 2e cordonnée 25. 17 « La translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v est la translation de vecteur w (5 ; –6). » b. DB. 18 a. 0. 1. a. Vraie. 19 b. Fausse. c. Fausse. d. Vraie. e. Fausse. f. Fausse. 2. AB = IH = CD = EF. 3. GD = CJ = EB = IK = LH. 4. DE = FL = BI = JA. 20

e. EB + BP + PL = EL D

f. AB + BA = 0 H

10 a. x = 8

b. x = 8 c. y = 9 d. y = –7 11 a. 5 × 5 ≠ 3 × 8, le tableau a. n’est pas un tableau de proportionnalité. b. 4,5 × 20 = 5 × 18, le tableau c. est un tableau de proportionnalité. c. – 1 × 6 = –1 × 2, le tableau b. est un tableau de 3 proportionnalité. d. –3 × (–12) ≠ –2 × 18, le tableau d. n’est pas un tableau de proportionnalité. 12 1. RL = KJ : vrai, KJLR est un parallélogramme. 2. RL = KJ : vrai, KJLR est un parallélogramme. 3. RL = KL : on ne peut pas savoir. 4. LJ = KR : faux, KJLR est un parallélogramme ⇔ LJ = RK. 5. Faux, R est l’image de L par la translation de vecteur JK. 6. RK + JI = RI + IK + JI = IK : vrai. 7. Faux. 8. LK = –2KI : vrai, car I est le milieu du segment [KL]. 13 a. –u (–2 ; –6) b. u + v (–3 ; 9) c. 3u + 2v (–4 ; 24) d. –5u – v (–5 ; –33) e. 5u – 2v (20 ; 24) f. 1 u – v (6 ; 0) 2 ,1 14 2u 47 , 52 ; 7u 2, 57 ; 5u 10 7 15 1. A (6 ; 4) 2. B (4 ; 3) 3. D (8 ; –2) 4. F (4 ; –8)

( ) ( ) ( )

B A

F C

21 1. B I

2. a. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. b. Le point D est l’image du point C par la translation du vecteur AB. c. Les vecteurs CA et DB sont égaux. 22 1. E C D

A B F

2. CD = AB ⇔ ABDC est un parallélogramme, donc CA = DB. 3. Voir figure ci-dessus. 4. ABDC est un parallélogramme ⇒ (CD)  (AB). ABCE est un parallélogramme ⇒ (CE)  (AB). Donc (CD)  (CE) et les points E, C et D sont alignés. 5. Si F est l’image de A par la translation de vecteur CB, alors le quadrilatère ACBF est un parallélogramme et AC = FB. 11. Les vecteurs

217

Exercices 23

2. AC + KE = AN = JF 3. AH + IB = AD = CF 4. IJ + NC = NA = FJ 5. LC + DE = LI = HE 36 AB (5 – (–3) ; 4 – 1), donc AB (8 ; 3).

B u

u u

CD (5 – 2 ; –1 – (–2)), donc CD (3 ; 1). AB + CD (8 + 3 ; 3 + 1), donc AB + CD (11 ; 4). 37 1.

24 1. Faux, G est l’image de Q par la translation de vecteur FL. 2. Faux, si CH = RA alors le quadrilatère CHAR est un parallélogramme. 3. Vrai. 4. Vrai. 5. Faux, si P a pour image T par la translation de vecteur XW, alors WTPX est un parallélogramme. 6. Vrai. 25 On lit : AB (3 ; 1), GH (–3 ; 5), u (4 ; –1) et v (–2 ; –2). 26 On détermine les coordonnées des vecteurs suivants par lecture graphique : CD (1 ; 2), u (–3 ; 2) et v (1 ; –4). y 27

v u

v u+v

u T u

v u+v v

3. w

T u

B v

u u+v

1 –1

u u

0 x

T u+v

28 AB (3 – (–2) ; –1 – 7), donc AB (5 ; –8).

AC (0 – (–2) ; 5 – 7), donc AC (2 ; –2). CB (3 – 0 ; –1 – 5), donc CB (3 ; –6). 29 1. AB (3 – (–2) ; –1 – 0), donc AB (5 ; –1). DC (5 – 0 ; 4 – 5), donc DC (5 ; –1). On trouve AB = DC. 2. Les vecteurs AB et DC sont colinéaires, les droites (AB) et (DC) sont parallèles et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 30 UT (–3 – 5 ; 0 – (–2)), donc UT (–8 ; 2).

38 u + v (–1 + 2 ; 4 – 6), donc u + v (1 ; –2). 39 AB (–3 – 2 ; –2 – (–7)), donc AB (–5 ; 5). BC (0 – (–3) ; 9 – (–2)), donc BC (3 ; 11). AC (0 – 2 ; 9 – (–7)), donc AC (–2 ; 16). AB + BC (–5 + 3 ; 5 + 11), donc AB + BC (–2 ; 16) et AB + BC = AC. 40 w

TV (3 – (–3) ; –5 – 0), donc TV (6 ; –5).

NP (6 – 4 ; 9 – 5), donc NP (2 ; 4). On trouve donc MN = NP. 2. Les vecteurs MN et NP sont colinéaires, les points M, N et P sont alignés et le point N est le milieu de [MP]. 34 RS (1 – 4 ; 2 – (–2)), donc RS (–3 ; 4). UT (2 – 5 ; –5 – (–9)), donc UT (–3 ; 4). RS = UT, le quadrilatère RSTU est un parallélogramme. 35 1. AB + BF = AF 218

–v – w

v –w

VU (5 – 3 ; –2 – (–5)), donc VU (2 ; 3). 31 1. H (3 + 2 ; 2 + 3), donc H (5 ; 5). 2. F (5 – 2 ; –1 – 3), donc F (3 ; –4). 32 AB (6 – 2 ; 0 – (–3)), donc AB (4 ; 3) et AB = u. 33 MN (4 – 2 ; 5 – 1), donc MN (2 ; 4).

R –v

41 1. v (–3 ; 9). 2. w (2 ; –6). 3. z – 1 ; 3 . 4 4 42 1. AE = 3AC

(

)

2. GD = –2AC 3. DE = 1 GB 3 4. BG = 3 CA 2

v w – v

Exercices

5. DG = – 4 DC 3 1 6. EG = AB 4 1. a (5 ; –3) 43 2. b (13 ; 0) 3. c (4 ; –2) 4. d 25 ; 29 6 6 44 On trouve w = –2a, a = –z, w = 2z, c = 4t et s = –6d.

(

)

52 u

1 2 BC

Variables : x, y, z, t, k Entrer x non nul Entrer y Entrer z Entrer t Si x × t = y × z alors Afficher « Les vecteurs sont colinéaires » K prend la valeur z/x Afficher k Sinon Afficher « Les vecteurs ne sont pas colinéaires »

47 1. AB (8 ; 3) et CD (3 ; 1). 8 × 1 ≠ 3 × 3, les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires. 2. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes. 48 1. AB (2 ; –2) et AC (6 ; -6). 2. 2 × (–6) = –2 × 6, les vecteurs AB et AC sont colinéaires, les droites (AB) et (AC) sont parallèles et les points A, B et C sont alignés. 49 1. KN (3 ; 2) et ML (3 ; 2). 2. KN = ML, les vecteurs KN et ML sont colinéaires, les droites (KN) et (ML) sont parallèles. 50 1. MN (3 ; 2) et MN 2 = 9 + 4 = 13. MP (–4 ; 6) et MP 2 = 16 + 36 = 52. NP (–7 ; 4) et NP 2 = 49 + 16 = 65. NP 2 = MP 2 + MN 2, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M. 2. Pour que le quadrilatère PMNQ soit un rectangle, il faut que MN = PQ. MN (3 ; 2) et PQ (xQ + 2 ; yQ – 5).

{

x =1 xQ + 2 = 3 ⇔ Q yQ – 5 = 2 yQ = 7 On trouve donc Q (1 ; 7). 51 AF (xF + 2 ; yF – 5) et u (2 ; 3).

MN = PQ ⇔

AF = u ⇔

{

x =0 xF + 2 = 2 ⇔ F yF – 5 = 3 yF = 8

On trouve donc F (0 ; 8).

2AB – u

A 3u B 3 1 2 AB + 2 u

3. BC = –2u 53

45 1. 2 × 7,5 = 3 × 5 : les vecteurs u et v sont colinéaires. 2. –3 × 2 ≠ 1 × 6 : les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. 3. 7 × 15 = 5 × 4 : les vecteurs u et v sont colinéaires. 3 7 4 4. 2 2 × 2 = –1× (–4) : les vecteurs u et v sont colinéaires. 46 En modifiant l’algorithme indiqué, on obtient l’algorithme suivant en langage naturel.

z S

w v

u+v

54 1. Si le quadrilatère DEFG est un parallélo-

gramme alors FG = ED. 2. FG (x + 1 ; y – 2). 3. ED (5 ; –4). x=4 x + 1= 5 FG = ED ⇔ . ⇔ y – 2 = –4 y = –2 On trouve donc G (4 ; –2). 55 On trace donc sur le dessin :

{

–F

F S

56 1. D (1 ; 1). 2. BC (2 ; –1) et AD (xD + 1 ; yD – 2). x =1 x + 1= 2 ⇔ D AD = BC ⇔ D . yD – 2 = –1 yD = 1

{

On trouve donc D (1 ; 1). 57 1. y

G F

1 0

C 1

2. a. AB (7 ; 1) et BC (8 ; 1). 7 × 1 ≠ 8 × 1, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Faux. b. DE (3 ; –3) et FG (–1,5 ; 1,5). 3 × 1,5 = –3 × (–1,5), les vecteurs DE et FG sont colinéaires et les droites (DE) et (FG) sont parallèles. Vrai. c. DG (3,75 ; 2,75) et BE (–1 ; –0,75). 3,75 × (–0,75) ≠ 2,75 × (–1), les vecteurs DG et BE ne sont pas colinéaires, les droites (DG) et (BE) ne sont pas parallèles. Faux. d. OA (–4 ; –2) et OF (4,25 ; 2,5). –4 × 2,5 ≠ –2 × 4,25, les vecteurs OA et OF ne sont pas colinéaires, les points O, A et F ne sont pas alignés. Faux. 11. Les vecteurs

219

Exercices 58 EB (–5 ; 2,5) et SI (–5 ; 2,5), donc EB = SI ; le quadrilatère BISE est un parallélogramme.

BI = 12 + 5,52 = 31,25 et SI = (–5)2 + 2,52 = 1,25. On a donc BI = SI. EBIS est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange. 59 AN (2 ; 1) et EG (4 ; 2), donc EG = 2AN : les vecteurs EG et AN sont colinéaires et les droites (EG) et (AN) sont parallèles. Le quadrilatère ANGE est un trapèze. y 60 1. 1 R 4 RS T

(

3u – v

)

(

)

( )

J’

K’ I

F’

(

)

L’

I’

62 OP (–1 ; 2) et OQ 32 ; − 3 . –1 × (–3) = 2 × 3 , les vecteurs OP et OQ sont coli2 néaires, les points O, P et Q sont donc alignés. 63 1. On complète les pointillés : x2 prend la valeur xC-xD y2 prend la valeur yC-yD Si (x1=x2 et y1=y2) alors…..

2. Il faut compléter l’algorithme précédent avec : x3 est du type nombre y3 est du type nombre x4 est du type nombre y4 est du type nombre x2 prend la valeur xC-xD y2 prend la valeur yC-yD x3 prend la valeur xA-xD y3 prend la valeur yA-yD x4 prend la valeur xC-xB y4 prend la valeur yC-yB Si (x1y2=x2y1 ou x3y4=x4y3) alors Début si Afficher « ABCD est un trapèze » Sinon Début sinon Afficher « ABCD n’est pas un trapèze » Fin sinon

220

2. RT = 1 RS, les vecteurs RT et RS sont colinéaires 4 et les points R, T et S sont alignés. 3. RS (5 ; –2), 1 RS 5 ; − 1 et RT (xT + 3 ; yT – 2). 4 2 4 ⎧xT + 3 = 5 ⎧x = – 7 ⎪ 4. 4 ⇔⎪ T RT = 1 RS ⇔ ⎨ ⎨ 3 1 4 ⎪⎩yT – 2 = – ⎪⎩yT = 2 2 3 7 On trouve donc T – ; . 4 2 4. SR (–5 ; 2) et TS 15 ; − 3 . 4 2 5 4 4 – = −5 × = – et 2 = 2 × – 2 = − 4 . 3 3 15 15 3 −3 2 4 On a donc SR = − 4 TS 3 L 61 u

(

Entrer xA Entrer yA Entrer xB Entrer yB Entrer xC Entrer yC Entrer xD Entrer yD u prend la valeur xB-xA v prend la valeur yB-yA t prend la valeur xD-xC w prend la valeur yD-yC Si u=t et v=w alors Afficher « les vecteurs AB et CD sont égaux » Sinon Afficher « les vecteurs AB et CD ne sont pas égaux »

u A

–2 v

B 0

u+v

(

)

4. – 1 u − 3 ; − 1 et 4u (16 ; –12). 2 2 3 w − + 16 ; − 1– 12 donc w 29 ; − 13 . 2 2 1. AB (4 ; –2) et AC (6 ; –3). 66 4 × (–3) = –2 × 6, les vecteurs AB et AC sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés. 2. AE (3 ; 2) et BF 1 ; 1 . 2 3 3 × 1 = 2 × 1 , les vecteurs AE et BF sont colinéaires 3 2 et les droites (AE) et (BF) sont parallèles. Le quadrilatère AEFB est un trapèze. F 67 1.

(

()

)

(

)

( )

C I

2. Le point I est le milieu [AB] et le point E est le symétrique du point I par rapport à B, donc on a : AI = IB = BE = 1 AB. 2 3 − EC = EA + AC = 2 AB + AB + BC = − 1 AB + BC. 2 FC = FA + AC = –3AD + AB + BC = –3BC + AB + BC = AB – 2BC. On remarque que EC = − 1 FC, les vecteurs EC et FC 2 sont colinéaires, les points F, C et E sont alignés. 68 Comme le point M appartient à l’axe des abscisses, alors yM = 0. AB (2 ; 3) et AM (xM – 3 ; –2). Comme le point M appartient à la droite (AB), les points M, A et B sont alignés et les vecteurs AB et AM sont colinéaires.

Exercices

2 × (–2) = 3(xM – 3) ⇔ 3xM = 9 – 4 ⇔ xM = 5 . 3 Le point M a pour coordonnées 5 ; 0 . 3 69 1. La translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC. 2. La translation de vecteur AC. 3. AB (5 ; 2), BC (8 ; –4) et AC (13 ; –2). 70 1. Soit I le milieu du segment [AD]. xI = 2 + 9 = 5,5 et yI = 3 + 4 = 3,5. 2 2

( )

ID = (9 – 5,5)2 + (4 – 3,5)2 = 12,2 + 0,25 = 12,5. IB = (3 – 5,5)2 + (1– 3,5)2 = 6,25 + 6,25 = 12,5. IB = ID, donc le point B appartient bien au cercle de diamètre [AD]. 2. Le point E diamétralement opposé à B est tel que IB = EI. IB (–2,5 ; –2,5) et EI (5,5 – xE ; 3,5 – yE). x =8 –2,5 = 5,5 – xE ⇔ E IB = EI ⇔ . –2,5 = 3,5 – yE yE = 6

{

On trouve E (8 ; 6). 3. Les diagonales du quadrilatère ABDE se coupent en leur milieu, c’est donc un parallélogramme. Le triangle ABD est inscrit dans un cercle et un de ses côtés [AD] est un diamètre du cercle, il est donc rectangle en B. Le quadrilatère ABDE est un rectangle. 4. BF (xF – 3 ; yF – 1) et AD (7 ; 1). F est l’image de B par la translation de vecteur AD donc BF = AD. x –3 = 7 . Ainsi F yF − 1 = 1 D’où F(10 ; 2). y + yF x + xF = 4 . On retrouve les coor5. E = 9 et E 2 2 données de D, donc D est le milieu de [EF]. 71 1. Simon semble avoir raison. 2. AM = rAB – 3AC AN + NM = rAB – 3AB – 3BC NM = (r – 3)AB – 3BC – AN NM = (r – 3)AB – 3BC + 3AB – rAC NM = (r – 3)AB – 3BC + 3AB – rAB – rBC NM = –(3 + r)BC Les vecteurs NM et BC sont colinéaires quelle que soit la valeur de r, les droites (NM) et (BC) sont parallèles. = 2. 72 D’après les données de l’énoncé, CD AB 5 Comme ABCD est un trapèze, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Donc, d’après le théorème de Thalès, GC == GD CD .. GD += + CD on a : GC GA GA GB AB GB AB 2 Donc GC = GA et GD = 2 GB. Les points G, C et A 5 5 d’une part, et G, D et B d’autre part, sont alignés dans

{

le même ordre, les égalités démontrées précédemment restent vraies vectoriellement, soit GC = 2 GA et 5 GD = 2 GB. 5 De plus, GE = GC + CE = 2 GA + 1 CD = 2 GA + 1 AB. 5 5 5 2 Et GF = GA + 1 AB. 2

Donc GE = 2 GF, les vecteurs GE et GF sont coli5 néaires, les points G, E et F sont alignés.

73 1.

B K

2. KC = KA + AC KC = 3 BA + AB + BC 2 KC = − 3 AB + AB + BC 2 KC = − 1 AB + BC 2 AC + CL = 3AD CL = 3BC – AC CL = 3BC – AB – BC CL = 2BC – AB. CL = 2KC, les vecteurs CL et KC sont colinéaires, les points C, L et K sont alignés.

74 1. AC (–2 ; –3) et BL (xL – 7 ; –2). Comme AC ≠ 0 et que les droites (AC) et (BL) sont parallèles, alors il existe une relation de la forme BL = kAC. ⎧xL = − 4 + 7 xL – 7 = –2k ⎪ 3 BL = kAC ⇔ ⇔⎨ –2 = −3k 2 ⎪⎩k = 3 17 ⎧xL = ⎪ 3. ⇔⎨ 2 ⎪⎩k = 3 On trouve donc L 17 ; 2 . 3 2. AC (–2 ; –3) et CP (1,5 ; yP + 2). Comme AC ≠ 0 et que les points A, C et P sont alignés, alors il existe une relation de la forme CP = kAC. k = –0,75 1,5 = –2k CP = kAC ⇔ . ⇔ yP + 2 = −3k yP = 0,25 On trouve P (2,5 ; 0,25).

{

(

)

{

75 1. MS (–3 – xM ; –5 – yM) et MT (8 – xM ; 1 – yM).

{

⎧⎪x = 27 –3 – xM – 24 + 3xM = 0 2 ⇔⎨ M –5 – yM – 3 + 3yM = 0 ⎪⎩yM = 4 On trouve M 27 ; 4 . 2 2. MS – 3MT = 0 ⇔ MS – 3MT. Les vecteurs MS et MT sont colinéaires et les points M, S et T sont alignés. 76 1. AC (29 ; 59) et BC (26 ; 53). 29 × 53 ≠ 59 × 26, le point C n’appartient pas à la droite . 2. AE (–149 ; –298) et BE (–152 ; –304). –149 × (–304) = –298 × (–152), le point E appartient à la droite . 77 1. BE (12 ; –3) et BD (8 ; –2). 3 BD (12 ; –3), on a bien BE = 3 BD. 2 2 MS – 3MT = 0 ⇔

(

)

11. Les vecteurs

221

Exercices 2. Les vecteurs BE et BD sont colinéaires, les points B, D et E sont alignés. 78 AB (3 ; 6) et EM (x – 3 ; 2x – 6). Comme (AB) et (EM) sont p arallèles, AB et EM sont colinéaires donc : 3(2x – 6) = 6x – 18 et 6(x – 3) = 6x – 18. On a 3(2x – 6) = 6(x – 3) quelle que soit la valeur de x, les vecteurs AB et EM sont donc colinéaires et les droites (AB) et (EM) sont parallèles. 79 1. On choisit A(1 ; 1), B(4 ; 2), C(–3 ; 4) et D(1 ; 3).

1 0

B I

A x

2. Le quadrilatère IJKL semble être un parallélogramme. 3. Le point I est le milieu du segment [AB], donc y + yB 1+ 2 x + xB = = 1,5. xI = A = 2,5 et yI = A 2 2 2 De même, le point J milieu du segment [BC] a pour coordonnées (0,5 ; 3), le point K milieu du segment [CD] a pour coordonnées (–1 ; 3,5) et le point L milieu du segment [DA] a pour coordonnées (1 ; 2). JK ( –1,5 ; 0,5) et IL ( –1,5 ; 0,5). JK = IL, le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. – 7; 1 + 2 80 NU 21 2 3 2 NU 7 ; 7 2 6 33 – 7; 1 + 8 TI 2 3 2 19 19 TI ; 2 6 7 × 19 = 7 × 19 , les vecteurs NU et TI sont coli2 6 6 2 néaires, les droites (NU) et (TI) sont parallèles et le quadrilatère NUIT est un trapèze de bases[NU] et [TI]. 81 u (x ; 3) et v (2 3 ; 9). u et v colinéaires ⇔ 9x = 2 3 × 3 ⇔ x = 2 . 3 y 82 1.

( ( )

)

G x

( (

83 1.

Il semble que le quadrilatère MAGE soit un rectangle. 2. ME (3 ; 1) et AG (3 ; 1), donc ME = AG. Le quadrilatère MAGE est un parallélogramme. De plus, AE (1 ; 7) et MG (5 ; –5), donc AE = 5 2 = MG, le parallélogramme MAGE possède deux diagonales de même longueur, c’est donc un rectangle.

84 1. MP (–3 ; –6) et MR (5 ; 1), donc MP + MR (2 ; –5). 2. Pour que le quadrilatère MPSR soit un parallélogramme, il faut que MP + MR = MS. x =5 x –3 = 2 ⇔ S MP + MR = MS ⇔ S . yS – 2 = −5 yS = –3

{

On trouve donc S (5 ; –3).

85 1. AB (4 ; 2) et CD (–6 ; –3). 4 × (–3) = 2 × (–6), les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les droites (AB) et(CD) sont parallèles. 2. Le réel k indiqué existe car les vecteurs AB et CD sont colinéaires et que CD ≠ 0. k = – 2 . On a AB = – 2 CD car – 2 × (–6) = 4 3 3 3 2 et – × (–3) = 2. 3 86 1. Voir figure. 2. Voir figure. 3. Il semble que les points A, P et Q soient alignés. 4. Dans le repère (A, B, C), on a AP (–1 ; 2) et AQ 3 ; – 3 2 –1 × (–3) = 2 × 3 , les vecteurs AP et AQ sont coli2 néaires, les points A, P et Q sont alignés.

(

y 1 0

–AB + 2AC

Il semble que le quadrilatère TAGE soit un carré. 2. GA (4 ; 2) et ET (4 ; 2). GA = ET, le quadrilatère TAGE est donc un parallélogramme. De plus, GE (2 ; –4) et GE = 2 5 = GA, le parallélogramme TAGE possède deux côtés consécutifs de même longueur : c’est donc un losange. Enfin, GT (6 ; –2) et EA (2 ; 6) donc GT = EA, le losange TAGE possède deux diagonales de même longueur : c’est donc un carré. 222

T 1 0

A 3 2 AB – 3AC

C x

)

Exercices

87 1.

EF = 2 AB + EA 5 EF = 2 AC + 2 CB + EC + CA 5 5 3 EF = – AC – 2 BC + 1 BC 5 2 5 3 1 EF = – AC + BC. 5 10 On remarque que EF = 1 ED, les vecteurs EF et ED 5 sont colinéaires, les points E, F et D sont alignés.

CB – 2AC

2. CD = CB – 2AC. BC + CD = 2CA. BD = 2CA. 3. Les vecteurs BD et AC sont colinéaires, les droites (BD) et (AC) sont parallèles. 88 1. 56 × 16 = 32 × 28, les vecteurs u et v sont colinéaires. 2. –256 × ⎛ − 7455 ⎞ = 420 × 142, les vecteurs u et v ⎝ 32 ⎠ sont colinéaires. 3. 17,2 × 707 ≠ 10,1 × 14, les vecteurs u et v ne sont 82 pas colinéaires. 89 1.

Entrer xA Entrer yA Entrer xB Entrer yB Entrer xC Entrer yC Entrer xD Entrer yD u prend la valeur xB-xA v prend la valeur yB-yA t prend la valeur xD-xC w prend la valeur yD-yC Si u*w=v*t alors Afficher « les droites (AB) et (CD) sont parallèles » Sinon Afficher « les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles »

91 D

C C

E A

F 2 5 AB

1 3 CB J

–2AC A D

2. Voir figure. 3. Il semble que la droite (DE) passe toujours par le point F quelle que soit la position des points A, B et C. 4. AD = –2AC AE + ED = –2AC ED = –2AC + EA ED = –2AC + EC + CA ED = –2AC + 1 BC + CA 2 ED = –3AC + 1 BC 2 AF = 2 AB 5 AE + EF = 2 AB 5

CJ = 1 CB 3 CD + DJ = 1 CB 3 1 DJ = CB + DC 3 DJ = 1 CB + CA 3 JI = JA + AI JI = JC + CA + 1 AB 2 1 JI = BC + CA + 1 AC + 1 CB 3 2 2 1 1 1 JI = CB – CB + CA – CA 3 2 2 1 1 JI = CB + CA 6 2 On remarque que JI = 1 DJ, les vecteurs JI et DJ sont 2 colinéaires, les points D, I et J sont alignés. 11. Les vecteurs

223

Exercices 92

96 1.

K 1 0

A x

A D

1. AB (–3 ; 1), BC (–1 ; 3) et AC (–4 ; 4). AB = 10 , BC = 10 et AC = 4 2. AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B. 2. Voir figure. x =4 x +2= 6 ⇔ D 3. BD = 2BA ⇔ D . yD = −2 yD = –2

{

On a donc D (4 ; –2). 4. EB (2 ; –6) et BC (–1 ; 3). 2 × 3 = –6 × (–1), les vecteurs EB et BC sont colinéaires, les points E, B et C sont alignés. 5. AC (–4 ; 4) et ED (8 ; –8). –4 × (–8) = 4 × 8, les vecteurs AC et ED sont colinéaires, les droites (AC) et (ED) sont parallèles. 6. Le point K est le milieu du segment [ED], donc xK = –4 + 4 = 0 et yK = 6 – 2 = 2. 2 2 AC (–4 ; 4) et KE (–4 ; 4). AC = KE donc le quadrilatère ACEK est un parallélogramme. 93 1. AB = (3 ; –1). 2. I 5 ; 3 . 2 2 3. D (x ; y), BD (x – 4 ; y – 1) et CA (–2 ; –1). Donc pour les coordonnées de D, on trouve x = 2 et y = 0. 94 1. a. CM = CB + BM ⇔ CM = –BC + 21 AB. b. On a donc CN = CD + DA + AN = CD + DA + 3AD = CD + 2AD = 2AD – DC. 2. On suppose que ABCD est un parallélogramme alors DC = AB et AD = BC, d’où CN = 2BC – AB = 2CM. Donc CN et CM sont colinéaires et les points C, M et N sont alignés. 95 1.

2. BJ = BA + AJ = 3IA + 3AC = 3(IA + AC) = 3IC 3. Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites (BJ) et (IC) sont parallèles. 97 1. MA = 32 AB ⇔ AM = 32 BA M

D C D’

B B’

2. AD’ = 1 AB + 1 AC = 1 (AB + AC) = 1 AD, donc les 3 3 3 3 vecteurs sont colinéaires. 224

2. NA = 2 AB ⇔ AN = 2 BA 5 5 N

3. PA = 3 PB ⇔ PA = 3 (PA + AB) 2 2 1 ⇔ − PA = 3 AB ⇔AP = –3BA 2 2 A

98 1. a. b. F

3BC C

( )

C’

D B A

G 1 2 BA

c. Dans le repère (B, A, C), on a A(1 ; 0), B(0 ; 0) et C(0 ; 1). ABCD est un parallélogramme donc : xD – 0 = 1– 0 xD = 1 CD = BA ⇔ ⇔ d’où D(1 ; 1). yD − 1 = 0 – 0 yD = 1

{ {

{

xF – 0 = 3(0 – 0) xF = 0 ⇔ d’où F(0 ; 3). yF − 0 = 3(1– 0) yF = 3 ⎧xG − 1 = 1 (1− 0) ⎧⎪x = 3 ⎪ 2 AG = 1BA ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ G 2 d’où G 3 ; 0 . 2 2 ⎪⎩yG − 0 = 1 (0 − 0) ⎩⎪yG = 0 2 d. Donc FD (1 ; –2) et FG 3 ; – 3 . 2 3 donc FD et FG sont colinéaires. 1 × (–3) = –2 × 2 e. Les vecteurs FD et FG sont colinéaires, les droites (FD) et (FG) sont confondues et les points F, D et G sont alignés. 2. a. b. c. Voir ci-dessus.

BF = 3BC ⇔

( )

()

(

)

Exercices

yD − yF 1− = −2 6= =–2−.5 xD − xF 1+ 3 12 Le point D appartient à la droite (FD), donc : 1 = –2 × 1 + p ⇔ p = 3.

d. m =

L’équation de la droite (FD) est y = –2x + 3. e. –2xG + 3 = –2 × 3 + 3 = 0 = yG, donc le point G 2 appartient bien à la droite (FD). f. Le point G appartient à la droite (FD), donc les points F, D et G sont alignés. 3. a. b. Voir figure ci-avant. c. BF = 3BC BD + DF = 3BC DF = 3BC + DB DF = 3AD + DA + AB DF = 2AD + AB d. AG = 1 BA 2 AD + DG = 1 BA 2 DG = – 1 AB – AD 2 e. On remarque que DG = – 1 DF, les vecteurs DG et 2 DF sont colinéaires et les points F, D et G sont alignés. 99 1. On trace en violet le vecteur demandé. 2. On trace en jaune le vecteur demandé.

5 2. On a HG = 3 = 2 . Les vecteurs HG et KB ont KB 2,5 3 même direction et même sens. Donc HG = 2 KB. 3 102 1. 2. D E C 3 2 AC

3AB

3. AD = 3 AC 2 AE + ED = 3 AC 2 3 ED = AC – AE 2 ED = 3 AC – AB – BE 2 ED = 3 AC – AC – AB 2 ED = 1 AC – AB 2 y AF = 3AB v u AE + EF = 3AB J B EF = 3AB – AE O I x A EF = 3AB – AB – BE EF = 2AB – AC 1. 100 On remarque que ED = – 1 EF, les vecteurs ED et EF 2 I sont colinéaires et les points E, D et F sont alignés. 103 EF (–3 ; –2), FH (2 ; –3), GH (–3 ; –2) et EG (2 ; –3). A L EF = GH, le quadrilatère EFGH est un paralléloH gramme. G J De plus, EF = FH = 13, le parallélogramme possède K deux côtés consécutifs de même longueur, EFHG est O donc un losange. 1 O (0 ; 0), I (1 ; 0), J (0 ; 1), H 1 ; 0 , K 0; 1 , L 1 ; 1 , G 1 ; 1 et A 2 ;FG (5 ; –1) et EH (–1 ; –5) et FG = EH = 26 , le 2 2 2 2 3 3 Enfin, 3 6 losange possède deux diagonales de même longueur, K 0; 1 , L 1 ; 1 , G 1 ; 1 et A 2 ; 1 2 2 2 3 3 3 6 est un carré. 1 2. IK −1; et IA − 1 ; 1 . 104 AB (5 ; –5), DC (5 ; –3), AD (–3 ; –5) et BC (–3 ; –3). 2 3 6 AB ≠ DC et AD ≠ BC, le quadrilatère ABCD n’est pas un On remarque que IA = 1 IK, les vecteurs IA et IK sont 3 parallélogramme. donc colinéaires et les points I, K et A sont alignés. De plus, 5 × (–3) ≠ –5 × 5 et –3 × (–3) ≠ –5 × (–3), les 3. D’après la question 2. le point A est situé au tiers vecteurs AB et DC d’une part et AD et BC d’autre part de la longueur IK en partant de I. ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) et (DC) 101 1. On pose x = EB = BG. Dans le triangle BCK, d’une part, et (AD) et (BC) d’autre part, ne sont pas le point G appartient au segment [CB] et le point H parallèles, le quadrilatère ABCD est donc quelconque. appartient au segment [CK]. Les droites (HG) et (KB) 105 S est le symétrique de P par rapport à Q, donc sont parallèles. Q est le milieu du segment [SP]. D’après le théorème de Thalès, on a : T est le symétrique de S par rapport à R, donc R est CG = HG ⇔ 5 − x = x ⇔ 7,5x = 12,5 ⇔ x = 5 . 2,5 CB KB 5 3 le milieu du segment [ST]. Pour que H appartienne à la droite (KC) il faut que Dans le triangle SPT, Q est le milieu de [SP] et R est le le point E soit situé sur le segment [AB] à 5 cm du milieu de [ST]. D’après le théorème de la droite des 3 milieux, (QR) est parallèle à (PT). point B.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

11. Les vecteurs

225

Exercices 106 1.

108 1.

B’

N C’

T 1

B 1

2. MA (2 – x ; –3 – y). 3. MF (–x ; 5 – y) et MH (6 – x ; –y). 4. MA + MF + MH = 0 ⇔

{

2− x − x +6− x = 0 −3 − y + 5 − y − y = 0

⎧x = 8 ⎪ 3 ⇔⎨ 2 y = ⎪⎩ 3

( ) ( )

On a M 8 ; 2 . 3 3 5. AM 2 ; 11 , xT = 6 = 3 et yT = 5 , soit AT 1; 11 . 2 2 2 3 3 On remarque que AM = 2 AT. 3 10 6. HM – ; 2 , xU = 2 = 1 et yU = 2 = 1, soit HU (–5 ; 1). 3 3 2 2 On remarque que HM = 2 HU. 3 7. L’intersection des médianes d’un triangle est située à 1 de la base et à 2 du sommet. D’après les ques3 3 tions 5. et 6., le point M est bien le centre de gravité du triangle AFH. 107 1. a.

(

( )

)

Abscisse 4

Ordonnée 2

b. 4 × 3 = 2 × 6, il s’agit d’un tableau de proportionnalité, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. c. les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. d. AC

Abscisse –1

Ordonnée –3

–2

–1 × (–2) ≠ 1 × (–3), les vecteurs AC et BD ne sont pas colinéaires. e. Le quadrilatère ABDC est un trapèze. f. AE (–2 ; 0), CF − 4 ; 2 , EF − 1 ; – 1 , AC (–1 ; –3) 3 3 On remarque que − 1 × (–3) = –1 × (–1), les vecteurs 3 EF et AC sont colinéaires, les droites (EF) et (AC) sont parallèles et le quadrilatère AEFC est un trapèze. 2. u et v colinéaires ⇔ xy’ = x’y

(

226

) (

)

M A 1

C A’

2. Voir figure. 3. A’ (3 ; 0), B’ (–3 ; 6) et C’ (9 ; 3). 4. A’B’ (–6 ; 6), AB (–2 ; 2), B’C’ (12 ; –3), BC (4 ; –1), C’A’ (–6 ; –3) et CA (–2 ; –1). On remarque que A’B’ = 3AB, B’C’ = 3BC et C’A’ = 3CA. 5. M 1; 3 et N 3; 9 ; ainsi OM 1; 3 et ON 3; 9 . 2 2 2 2 On remarque que ON = 3OM, les vecteurs ON et OM sont colinéaires et les points O, N et M sont alignés. 6. ON = 3OM, cf. question 5. 109 1. MNP et MPC sont deux triangles équilatéraux. ! = PCM ! = 60° et NPC ! = CMN ! = 2 × 60 = 120° . MNP Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme. Le quadrilatère CMNP est un parallélogramme et MN = CP. 2. P

( ) ( )

( )

N M

EF E

M est le milieu du segment [CF] et M est le milieu du segment [EP], les diagonales du quadrilatère PFEC se coupent en leur milieu, c’est donc un parallélogramme et CP = EF. 4. a. MN + MP = EN b. MN + MC = MP c. MN + MC + ME = 0 d. MC – EM = FE 5. ED = –MN + MP 110 1. AB (1 ; 1) et BC (–5 ; –5), on remarque que BC = –5AB, les vecteurs AB et BC sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés. 2. AC (–4 ; –4), donc AC = –4AB. 3. BD (1 ; –3), 5BD (5 ; –15) et BE (xE – 3 ; yE – 2). x =8 xE − 3 = 5 ⇔ E BE = 5BD ⇔ yE − 2 = −15 yE = −13

{

4. AD (2 ; –2) et CE (10 ; –10). On remarque que CE = 5AD, les vecteurs CE et AD sont colinéaires et les droites (CE) et (AD) sont parallèles.

111 1. MN = (3 + 1)2 + ( −2 − 1)2 = 25 = 5 , MP = (0 + 1)2 + (2 − 1)2 = 2 et NP = (0 − 3)2 + (2 + 2)2 = 25 = 5 .

Exercices

Le triangle est isocèle en N. y 2. Q

N S

3. On trouve Q (–0,5 ; 1,5) et R (2 ; 0,5). 4. NS (5 ; –2) et RQ – 5 ;1 . On a NS = –2RQ. 2 5. On peut en déduire que les droites (NS) et (RQ) sont parallèles. y 112 1.

(

)

B J

( ) ( )

{

113 1. On trouve M (2 ; 0).

( )

I D

( )

2. On trouve M 2 ; 4 . 3 3. On trouve D (–3 ; –3). 4. On trouve I (0,5 ; –1). 5. IM 3 ; 7 et MB 3 ; 14 . On a 2IM 3 ; 14 = MB, donc 2 3 3 3 les vecteurs sont colinéaires. Les points I, M et B sont donc alignés. 6. On trouve J 3 ; 4 . 2 9 7. DJ ;7 et BI – 9 ; – 7 . 2 2

( )

On a DJ = BI, donc les vecteurs sont colinéaires et les droites (DJ) et (BI) sont parallèles. ⎧xN – 3 = 3 2 – 3 ⎪ 2 2 ⇔ xN = 3 8. JN = 3JM ⇔ ⎨ yN = –4 ⎪⎩yN – 4 = 3 4 – 4 3 9. a. BC (–1 ; –5) et BN (–2 ; –10). On a BN = 2BC, donc les vecteurs sont colinéaires et les points B, C et N sont alignés. b. NC = NJ + JM + MC = –3JM + JM + 1 AC 3 = 2MJ + 1 AC 3 = 2MA + 2AJ + 1 AC 3 = 2MA + AB + 1 AC 3 = 2MC + 2CA + AB + 1 AC 3 2 = AC – 2AC + AB + 1 AC 3 3 = –AC + AB = CB.

(

( ) ( ) (

)

(

)

2. On trouve P 3 ; 2 . 2 3. Pour tout point Q, on a : QA + QB – 2QC = QA + QA + AB – 2(QA + AC ) = AB – 2AC. Comme AB – 2AC ≠ 0 (on peut vérifier avec le calcul des coordonnées), aucun point Q ne satisfait cette égalité. 114 On détermine les coordonnées des différents points de la figure : A (0 ; 0), B (1 ; 0) et D (0 ; 1). AC = AB + BC = AB + AD donne C (1 ; 1). On fait de même pour tous les points : on trouve E (0 ; 2), F (1 ; 2) et G (1 ; 0,5). Équation de (AC) : y = x. Équation de (BE) : y = –2x + 2. Coordonnées du point d’intersection I de ces droites I 2;2 . 3 3 Équation de (DG) : y = – 1 x + 1. 2 On vérifie que les coordonnées de I vérifient cette équation.

( )

Accompagnement personnalisé 115 Le vecteur AB avec A (xA ; yA) et B (xB ; yB) a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA). On a A (–1 ; 5) et B (2 ; 6). En remplaçant par les valeurs, on a AB (2 – (–1) ; 6 – 5), donc AB (3 ; 1). 2. Si on a R (2 ; –3) et S (–7 ; 3), alors RS (–7 – 2 ; 3 – (–3)), donc RS (–9 ; 6). 3. Si le point C est le symétrique de A par rapport à B, alors AB = BC. 4. Si ABCD est un parallélogramme de centre O, alors on a : OA + OB + OC + OD = 0. 5. Si on a A (5 ; –1), B (2 ; 2), C (6 ; 3) et D (9 ; 0), alors : AB (2 – 5 ; 2 – (–1)), donc AB (–3 ; 3) ; DC (6 – 9 ; 3 – 0), donc DC (–3 ; 3). Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

116 C B A J I O D 11. Les vecteurs

227

Exercices 117 1. Le quadrilatère MRSQ semble être un parallélogramme et ce quelle que soit la position du point R sur le segment [QP]. 2. NS = NR + NP NR + RS = NR + NP RS = NP RS = MQ 3. RS = MQ, donc le quadrilatère MRSQ est un parallélogramme quelle que soit la position du point R sur le segment [QP]. 118 « AB + CD = AD + DB + CB + BD, donc AB + CD = AD + CB. » 119 1. 2. y

2MA + 3MA + 3AB = 0

L 1 0

3. Il semble que le quadrilatère IJKL soit un parallélogramme. 4. a. Dans le repère (A, B, C), on a A (0 ; 0), B (1 ; 0), C (0 ; 1), D (x ; y), I 1 ; 0 , J 1 ; 1 , K x ; y + 1 et 2 2 2 2 2 y L x ; . 2 2 y y KJ 1– x ; – et LI 1– x ; – . 2 2 2 2 On remarque que KJ = LI, le quadrilatère KJIL est un parallélogramme. b. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC]. D’après le théorème de la droite des milieux, IJ = 1 AC et les droites (IJ) et (AC) sont 2 parallèles. Sous forme vectorielle, ces relations se traduisent par IJ = 1 AC. 2

( ) ( ) (

228

( ) ( )

)

En procédant de la même manière dans le triangle DAC, on a LK = 1 AC. 2 On a donc IJ = LK et le quadrilatère KJIL est un parallélogramme. 120 1. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux des côtés, alors cette droite est parallèle au troisième côté. Dans un triangle, le segment joignant le milieu de deux des côtés mesure la moitié du troisième côté. 2. Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors IJ = 1 BC. 2 121 2MA + 3MB = 0

(

)

5MA = –3AB AM = 3 AB 5 Pour placer le point M, on se place sur le point A et on reporte le vecteur 3 AB : l’extrémité de ce vecteur 5 correspond à la position du point M. 122 1. Le point M appartient à la droite (AB), les points M, A et B sont donc alignés. Ainsi, les vecteurs AM et AB sont colinéaires. AM (xM – xA ; 0 – yA) et AB (xB – xA ; xB – yA). AM et AB colinéaires ⇔ (xM – xA) × (yB – yA) = (xB – xA) × (0 – yA). 2. La ligne de commande demande d’exprimer la variable xM en fonction de toutes les autres. Le résultat obtenu est l’expression de xM en fonction des coordonnées des points A et B tel que le point M appartienne à la droite (AB) et à l’axe des abscisses. Comme la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des abscisses, on a yB ≠ yA, c’est-à-dire yB – yA ≠ 0. Cette expression est donc toujours définie. 3. xH = 1 × (3 × 1− 2 × 3) = 1,5 1− 3 xK = 1 × (1× 1− 4 × 4) = 5 1− 4 xG = 1 × ((−1) × 1− (−1) × 3) = −1 1− 3

Exercices

No problem 123 1. The translation which maps shade F onto

shade G is 3LM. 2. The translation which maps shade F onto shade H is 4LM – 4LU.

124 ABCD is a parallelogram ⇔ AD = BC

{

x=3 x+3= 6 . ⇔ y −5 = 2 y =7 The coordinates are (3 ;7). 125 1. OP = 21 a AB = AO + OB = –OA + OB = –a + b AQ = 1 AB = – 1 a + 1 b 2 2 2 1 PQ = b 2 SR = 1 b 2 2. PQ = SR ⇔ SRQP is a parallelogram. 126 1. AB = (−4)2 + (−6)2 = 52 = 2 13 2. AEB and ADC are straight lines and (ED) is parallel to (BC). Using the intercept theorem : AE = ED = 2 and AE = 4 13 . 3 AB BC 3 ⇔

(

)

3. AB (–4 ; –6) and 2 AB − 8 ; – 4 3 3 8 ⎧⎪xE − 4 = − ⎧⎪x = 4 3⇔⎨ E 3 AE = 2 AB ⇔ ⎨ 3 ⎩⎪yE = 3 ⎩⎪yE − 7 = −4 20 = 2 ⇒ a ≈ 63° 127 1. tan(a) = 10

2. tan(a) = 100 ⇔ x = 100 = 50 x tan(a) K (50 ; 100). y 3. tan(a2 ) = 1 = ⇒ y = 25 2 50 L (100 ; 75). 128 1. y

t = 0,15 M 1 0

2. Research of students

Traduction des énoncés 123 Une grille F

A S

U M

À partir de la grille ci-dessus : 1. Exprimez la translation qui transforme F en G en fonction des vecteurs LM et LU. 2. Exprimez la translation qui transforme F en H en fonction des vecteurs LM et LU.

124 Un parallélogramme

1. Exprimez OP, AB, AQ, PQ et SR en fonction de a, b et c. Vous pouvez utiliser la « loi du triangle » si cela s’avère nécessaire. 2. Trouvez la nature particulière du quadrilatère PQRS.

126 Vecteurs et théorème de Thalès

« The intercept theorem » est appelé le « théorème de Thalès » en français. Dans la figure ci-dessous, AEB et ADC sont alignés. (EC) est parallèle à (BC) et ED = 2 . BC 3 A

Soient les points A (–2 ; 4), B (–3 ; 5) et D (4 ; 6). Déterminez les coordonnées du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

125 Dans un quadrilatère « The triangle law » est appelée « relation de Chasles » en France. Dans la figure ci-dessous, OABC est un quadrilatère. Soient a, b et c respectivement les vecteurs OA, OB et OC.

E B

D C 11. Les vecteurs

229

Exercices Les coordonnées de A et B sont (4 ; 7) et (0 ; 1) dans un repère orthonormé. 1. Calculez la longueur AB. 2. Calculez la longueur AE. 3. Trouvez les coordonnées de E.

127 Le jeu vidéo

Dans un jeu vidéo, l’écran (voir la figure ci-dessous) est un carré de 100 unités de côtés. Chaque joueur doit entrer un vecteur afin de pouvoir définir la trajectoire de la balle. La balle part de O (0 ; 0). C

10 O

u 10

Max entre le vecteur u (10 ; 20) et la balle se déplace en formant un angle de a° avec [OA].

230

1. Quelle est la valeur de a ? 2. Calculez les coordonnées du point K, point d’impact de la balle lorsque celle-ci rebondit sur le côté [BC]. 3. Quand la balle touche le côté [BC], son rebond est tel que la nouvelle trajectoire est définie par le vecteur v (20 ; –10). Calculez les coordonnées du point L, point d’impact de la balle lorsque celle-ci touche le côté [BA].

128 Les courbes de Bézier

L’art vectoriel est l’une des deux formes d’art pour laquelle les artistes ont recours aux ordinateurs. L’art vectoriel offre des images simples. Celles-ci sont constituées de lignes, points, polygones et courbes définis par des vecteurs. L’image suivante illustre le résultat. Dans les graphiques vectoriels, les courbes de Bézier sont utilisées pour modéliser des courbes régulières. Les courbes de Bézier ont été trouvées et expérimentées en 1962 par Pierre Bézier. 1. Soit t un nombre réel tel que t  [0 ; 1]. Une courbe de Bézier est définie par les points variables M(5t 2 – 2t – 1 ; 3t 2 – 4t + 3) pour tout t  [0 ; 1]. En utilisant un logiciel de géométrie, tracez le graphique de cette courbe de Bézier. 2. Questions Internet a. Qui est Pierre Bézier ? b. Préparez un exposé sur l’art vectoriel.

12 4

L’espace

Présentation du chapitre

Ce chapitre reprend beaucoup de notions du Collège (patrons d’un solide, surfaces et volumes, solides de l’espace, utilisation des propriétés de géométrie plane dans des plans de l’espace, etc.). L’enjeu du chapitre est de préciser les représentations de solides dans l’espace, de caractériser les positions relatives des droites entre elles, des droites et des plans et des plans entre eux en donnant des propriétés précises et qui permettent d’élaborer de vraies démonstrations. • L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique dans l’espace est particulièrement recommandée ici. La rubrique Outils et méthodes et de nombreux exercices proposent une familiarisation de cet outil. • Ce chapitre est l’occasion de réaliser des démonstrations qui utilisent les propriétés du cours. Mais la résolution de problèmes ne doit pas être seulement théorique. De nombreuses situations et exercices proposent l’étude de problèmes en lien avec la réalité. • La notion de section est introduite sur des exemples simples. Mais rien n’empêche, avec un logiciel de géométrie dynamique, de proposer des situations plus complexes ou des ouvertures culturelles pour faire le lien entre parabole (chapitre 3) ou hyperbole (chapitre 4) et section d’un cône (développé dans la rubrique Accompagnement personnalisé).

12. L’espace

231

Pour construire le cours Situation A Optimiser un volume en ÉCONOMIE Objectifs : Remobiliser les formules de calculs des volumes. Gérer des solides complexes. Utiliser les résultats de géométrie plane pour calculer des longueurs et des aires. 1. Pour la première question, il est intéressant de faire réfléchir les élèves aux différentes dimensions de solides. Il en faut trois pour définir un parallélépipède rectangle : la longueur, hauteur et profondeur, deux pour un cylindre : le rayon et la hauteur et une pour la sphère : le rayon.

Vc ylindre = p × R 2 × h Vpavé droit = L × h × p Vsphère = 4 × p × R 3 3 Il convient de faire un rappel sur les unités sans oublier les unités de contenance (en Litre) 2. Pour le premier flacon La contenance du premier flacon se calcule par soustraction. Il est C nécessaire de disposer du volume du pavé droit et de celui du cylindre. Pour le cylindre, on a toutes les dimensions : Vcylindre = p × 32 × 5 = 45 p cm3. En revanche, les dimensions du pavé sont à déterminer. Sa hauteur est la même que celle du cylindre, à savoir h = 5 cm. Sa profondeur et sa longueur sont égales, car la pierre est à base E A B carrée, pour déterminer cette valeur, on a besoin d’une vue de dessus du solide. On peut faire émerger cette idée en classe en suggérant de trouver un plan qui contient les dimensions cherchées. Le rayon du cylindre mesure 3 cm donc on en déduit que : AE = AC = 3 cm. La valeur de la longueur et de la profondeur est CE, que l’on obtient D via le théorème de Pythagore dans le triangle AEC rectangle en A (les diagonales d’un carré ont la même longueur et se coupent en leur milieu perpendiculairement). Après calculs, on obtient CE = 3 2 cm. Ainsi, on obtient le volume du pavé droit : Vpavé droit = 3 2 × 3 2 × 5 = 90 cm3. Finalement, le volume utile du premier flacon est V1 = 45p – 90 ≈ 51,37 cm3. Pour le 2e flacon E C D La contenance de ce flacon se calcule aussi par soustraction. Chacune des sphères a pour volume Vsphère = 4 × p × 33 = 36 p cm3. 3 La hauteur du pavé droit est égale au double du diamètre des sphères, à savoir 12 cm. La valeur de sa profondeur et sa longueur s’obtient ici aussi à partir de la vue de dessus. A Le rayon des sphères est 3 cm, donc DE = DG = 6 cm. Ainsi, le pavé a pour dimensions 12 cm, 6 cm et 6 cm, et donc pour volume on trouve Vpavé droit = 12 × 6 × 6 = 432 cm3. Finalement, le volume utile du 2e flacon est : V2 = 432 – 2 × 36 p ≈ 205,81 cm3. Conclusion G 51,37 cm3 contre 205,81 cm3, le parfumeur portera son choix sur le F premier flacon s’il veut celui avec la plus petite contenance. Cette situation n’est qu’un réinvestissement du travail mené en collège. La seule trace écrite qu’un élève peut conserver est le fait de se placer dans un plan approprié pour y faire des calculs de géométrie plane.

232

Pour construire le cours

Situation B Dessiner un immeuble en perspective en ARCHITECTURE Objectifs : Représenter un solide complexe. Identifier les arêtes et les faces visibles. Préparer les règles de la perspective cavalière. Repérer une section de solide par un plan. 1. Dans la mesure du possible, distribuer aux élèves, par petits groupes, 27 cubes identiques (sucres, dés, apéricubes…). La manipulation concrète permet aux élèves les plus en difficulté de rentrer dans l’activité. À partir de là, on peut encadrer le travail en soulignant que les arêtes parallèles en réalité doivent rester parallèles sur le dessin. Les longueurs sont représentées proportionnellement sur le dessin : les milieux sont respectés par exemple. Une entrée plus facile est de commencer par l’étage du dessus puis de descendre. Deux alternatives se présentent : • on propose de tracer toutes les arêtes avant d’enlever les cubes numérotés, et ensuite on efface celles en trop avant de rajouter les arêtes qui deviennent visibles. • ou, plus difficile, on propose aux élèves de construire le solide final directement. En conclusion, il convient de bien mettre en avant que la perspective utilisée ici n’est pas encore la perspective cavalière. La figure finale est la suivante :

La perspective cavalière nécessite le choix d’un plan de face à représenter en vraie grandeur. Les fuyantes sont représentées toutes parallèles avec une longueur proportionnelle à la longueur réelle (coefficient en général compris entre 0 et 1). Le parallélisme est respecté. Avec la perspective cavalière, l’immeuble est représenté ainsi :

Représenter une vue en choisissant un plan de représentation implique de perdre la notion de profondeur. On trace les arêtes visibles en vraie grandeur. La vue avec le plan du dessus est celle-ci…

ou celle-ci si on conserve les arêtes qui n’appartiennent pas au plan du dessus.

La vue avec le plan de face est celle-ci…

ou celle-ci si on conserve les arêtes qui n’appartiennent pas au plan du dessus.

12. L’espace

233

Pour construire le cours Situation C Déterminer une longueur de câble minimum en SCIENCES DE L’INGÉNIEUR Objectifs : Manipuler la notion de patron Calculer des longueurs grâce aux résultats de géométrie plane. 1. En tout premier lieu, il convient de laisser libres les élèves quant à la réalisation de leur patron. Il sera alors possible d’insister sur la consigne qu’il aurait fallu formuler ainsi : « …de réaliser un patron du parallélépipède… »

Un pavé droit possède de nombreux patrons, par exemple : ...

Tout l’enjeu de cette situation réside dans le choix du patron qui va permettre de minimiser le déplacement sur les parois entre les points B et G. 2. Pour aller de B à G le plus rapidement possible, il est évident qu’il ne faut considérer que deux cas. Soit on parcourt les faces BCFE puis CDGF. B

La ligne droite étant le chemin le plus court, il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de Pythagore. Dans le premier cas, le système électrique mesure 49 + 289 = 338 . Dans le second cas, on obtient 361+ 25 = 386 . A D On obtient donc le système électrique suivant. C Le théorème de Thalès permet de déterminer à quelle hauteur de l’arête CF B il faut faire passer le système électrique. H 5 On obtient 7 × ≈ 2,06 cm. G 17 E

F 12 cm

234

5 cm

7 cm

Soit on parcourt les faces ABCD puis CFGD.

Pour construire le cours

Situation D Étudier des positions relatives en MATHÉMATIQUES Objectif : Savoir lire une perspective cavalière. Appréhender les positions relatives des droites et plans dans l’espace. Au Lycée, la géométrie dans l’espace ne se contente plus de visionner des solides de l’intérieur. On a besoin de prolonger des segments en dehors des solides. C’est une nouveauté pour les élèves et cela va demander un certain temps d’adaptation. 1. Cette question vise à illustrer le fait que deux droites parallèles en réalité apparaissent parallèles sur le dessin. Il y a de nombreux choix de couple solution : Des droites verticales comme (AD) et (FG) par exemple. Des droites « horizontales » comme (DC) et (EF) par exemple. Des droites « obliques » comme (AH) et (BG) par exemple. L’essentiel est de bien appuyer le sens intuitif du parallélisme dans l’espace.

Contrairement à la géométrie plane, « deux droites parallèles » n’est pas le contraire de « deux droites sécantes ». 2. Pour sortir des faces évidentes, on peut proposer (HB) et (BG). 3. C’est ici que se pose la bonne question et que le recours à la matérialisation avec les murs de la classe prend son rôle.

(AD) et (BG) sont deux droites non sécantes et non parallèles, on dit qu’elles sont non coplanaires. 4. Des faces « parallèles » fournissent par extension des plans parallèles : les plans (BCF) et (DAE) fonctionnent bien ici. 5. La notion de perpendicularité est encore bien intuitive entre un plan et une droite. On peut citer la droite (AC) et le plan (DCG). 6. Pour dépasser les faces du cube, on peut proposer les plans (AEG) et (DCG) qui se coupent suivant la droite (CG). 7. (AD) et (GCB) forment une solution possible. 8. Toute droite faisant intervenir deux des points A, E, H ou D convient. Pour synthétiser ces informations, on peut proposer une trace de cours succincte largement suffisante en classe de Seconde.

1. Plans de l'espace Plans sécants

Plans parallèles confondus

strictement parallèles

’

’ ’

L’intersection des plans est une droite. 3 > 3’ = d

Tous les points de 3 et 3’ sont communs. 3> 3’ = 3 (ou 3’)

Aucun point n’est commun. 3 > 3’ = ∅

12. L’espace

235

Pour construire le cours 2. Droites de l'espace Droites coplanaires (dans un même plan) parallèles parallèles sécantes strictement confondues d’

Droites non coplanaires d’

d’

d > d’ = {A}

d > d’ = ∅

d > d’ = d = d’

d > d’ = ∅

3. Droites et plans de l'espace Sécants

Parallèles

Strictement parallèles d

d > 3 = {A}

d > 3 = ∅

d incluse dans 3 d

236

d > 3 = d

Diaporamas

L’espace

Diaporama calcul mental

L’espace

Diaporama calcul mental

Comme 1 L = 1 dm3, on peut dire que 12,5 L correspond à : Ce patron d’un solide est celui : a. 125 cm3

a. d’un tétraèdre b. d’une pyramide

b. 12 500 cm3

L’espace

Diaporama calcul mental

L’espace

Diaporama calcul mental

Ce patron est celui d’un solide qui a :

a. 12 sommets

a. 12 arêtes

b. 8 sommets

b. 5 arêtes

c. 5 sommets

c. 8 arêtes

L’espace

Diaporama calcul mental

Parmi ces 4 patrons de cube, quel est celui pour lequel la

L’espace

Diaporama calcul mental

On représente un cube en perspective cavalière.

face opposée à la rouge est la bleue ? a.

F D

Parmi les faces suivantes, quelle est celle qui est visible : a. CDHG

b. EFGH

L’espace

Diaporama calcul mental

Si le volume d’un pavé droit de longueur 5 cm et de hauteur 3 cm est égal à 30 cm3,

L’espace

Diaporama calcul mental

Si on coupe un cylindre par un plan, peut-on obtenir une section rectangle ?

alors sa profondeur mesure :

a. Oui

a. 10 cm

b. Non

b. 2 cm

c. Ça dépend de ses dimensions

12. L’espace

237

Diaporamas L’espace

L’espace

Diaporama QCM chrono

Soit ABCDE la pyramide ci-contre.

Diaporama QCM chrono

Si toutes les dimensions d’une boîte de conserve sont doublées, peut-on mettre deux fois plus de raviolis dedans ?

On peut dire que :

a. I appartient au plan (ACD)

b. I n’appartient pas au plan (ACD) c. I appartient peut-être au plan (ACD)

a. Oui.

b. Non, plus de deux fois. C

c. Non, moins de deux fois.

L’espace

Diaporama QCM chrono

Soit le cube ABCDEFGH ci-contre.

Existe-t-il un solide à 4 faces et 6 arêtes de même longueur ?

milieux respectifs des

a. Oui.

segments [AD], [BC], [FG] et [EH]. Les points S et T sont les

b. Non.

a. ST = EB

L’espace E

Soit le cube ABCDEFGH ci-contre. Les A

respectifs des segments [AD], [BC], [FG]

et [EH]. Les points S et T sont les centres respectifs des faces ABFE et DCGH.

b. (ST)  (AD)

respectifs des segments [AD], [BC], [FG]

S B

G T

L’intersection des plans (AFD) et (EBH) correspond à : a. la droite (SB)

L’espace

Diaporama QCM chrono

ABCDEFGH est un cube. I appartient au segment [GC].

H E

G F I

Les droites (EH) et (BC) sont :

a. coplanaires

C B

b. non coplanaires Le point I appartient au plan : c. (EAC)

238

points I, J, K et L sont les milieux

respectifs des faces ABFE et DCGH.

b. L, K, J et D sont coplanaires

b. (DAG)

Diaporama QCM chrono

et [EH]. Les points S et T sont les centres

a. S, K, A et J sont coplanaires

a. (EGB)

Soit le cube ABCDEFGH ci-contre. Les

G T

L’espace

Diaporama QCM chrono

ABFE et DCGH.

points I, J, K et L sont les milieux

centres respectifs des faces

c. On ne peut pas savoir.

F S

Les points I, J, K et L sont les

Diaporamas Exercices

Réviser ses gammes Gamme 1 1. Aire du triangle : 4 cm2. Aire du parallélogramme : 8 cm2. Aire du disque : 4p cm2. Aire du trapèze : 21 = 10,5 cm2. 2

Gamme 5

5 cm

2 cm

Gamme 2 V = 600 cm3.

2 cm

Gamme 3 125 cm3 = 125 000 mm3. 4,7 cL = 47 cm3. 4 350 cm3 = 4,35 dm3. 27,5 mL = 27,5 cm3. 120 m3 = 0,12 dam3. 437 L = 0,437 m3. Gamme 4 Bleu Orange Vert

Faces 5 7 8

4π cm

Gamme 6 Rouge-Vert-Bleu. Gamme 7 a. Vrai. b. Vrai. c. Vrai. d. Vrai.

Arêtes Sommets 9 6 15 10 18 12

Gamme 8 1. c. 2. b. 3. c.

Faire un bilan de ses capacités 1 1. Capacités 3 et 4. 2. Capacité 1. 3. Capacité 2. 4. Capacité 3. 2 1. Dans le triangle ABC rectangle en B, en utilisant le théorème de Pythagore, on trouve AC = a 2. Comme les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, on a : AO = 1 AC = a 2 . 2 2 2. Dans le triangle SAO rectangle en O, en utilisant le théorème de Pythagore, on trouve SO = a 2 . 2 3 2 a 2 a 1 2 . 3. VSABCD = × a × = 3 2 6 a = 2, on a: 4. Pour 3 2) 2 4 2 ( VSABCD = = = . 6 6 3 3 ABCD est un carré de côté 4 cm, et les quatre triangles sont isocèles de côtés 4 et 2 6 cm.

4 1. c. 2. a. 3. c. 5 Les plans (HGF) et (DBC) sont parallèles. Le plan (FHM)

coupe ces deux plans respectivement selon les droites (FH) et (PM). D’après la propriété 4 du cours, ces deux droites sont parallèles entre elles. 6 1.

Corrigés des exercices 1 1. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Il y a 6 faces : ABCD, EFGH, BFGC, CGHD, HDAE et EFBA. Il a 12 arêtes : [AB], [BC], [CD], [DA], [EF], [FG], [HG], [HE], [EA], [FB], [GC] et [HD]. 2. V = L × l × h = AB × AD × EA = 6 × 4 × 3 = 72 Le volume du parallélépipède rectangle est donc de 72 cm3. 2 Les volumes sont en cm3. Vcylindre = (pR2) × h = 160 p

Vbille = 4 pR3 = 256π 3 3 Vrestant = Vcylindre – Vbille = 160p – 256π = 224p 3 3 3. Les volumes sont en cm 3 2 Vcône = πr × h = 100π 3 256π 4 Vsphère = πR3 = 36 π. = 36π 3 3 Vlibre = Vcône – Vsphère = 100p – 36p = 28p 12. L’espace

239

Exercices 4

11 Les longueurs sont en cm. On a (CB) parallèle à (C’B’) donc, d’après le théorème de Thalès, on a : C’B’ = SB’ ⇔ C’B’ = 2 ⇔ C’B’ = 3. 8 CB SB 12 12 Solide 1 : patron B. Solide 2 : patron A. Solide 3 : patron C. Solide 4 : patron D. Solide 5 : patron E. 13

C N

D J

5 a. Vrai, car le point Q appartient à la droite (EF) qui appartient au plan (ABE). b. Vrai, car les droites (EG) et (AC) sont strictement parallèles, donc elles définissent un plan. 6 1. Vrai. 2. Faux. 3. Vrai. 4. Vrai. 5. Faux. 6. Faux. 7. Vrai. 8. Vrai. 7 a. La droite (FE) est parallèle à la droite (AD) donc la droite d parallèle à la droite (AD) passant par G est parallèle à la droite (FE). Ces deux droites ne sont pas confondues car G appartient à d mais pas à (FE). Deux droites strictement parallèles définissant un plan, les droites d et (FE) en définissent un. Ce plan contient le point G car ce dernier appartient à la droite d. Donc la droite d parallèle à la droite (AD) passant par G est contenue dans le plan (EFG). b. D

F A E

8 a. Les plans (AIJ) et (CID) contiennent évidemment le point I. Le plan (AIJ) contient évidemment le point J. Le point J appartient à la droite (CD) contenue dans le plan (CID), donc J [ (CID). b. C’est le triangle AIJ.

14 Chacun des onze patrons est le patron d’un cube. b. 1 L = 1 000 cm3 15 a. 1 L = 1 dm3

c. 100 dm3 = 100 000 cm3 d. 1 m3 = 1 000 L e. 1 mm3 = 0,001 cm3 f. 1 cL = 0,01 L 3 est de : Le volume en cm 16 V = 4 π × R3 = 4 π × 83 = 2 048 π , 3 3 3 soit environ 2 144,66. Ce qui donne, en litres, 2 048 π , soit environ 2,14. 3 000 17 Les longueurs sont en cm. 1. La longueur de l’arc rouge est égale au périmètre du disque de rayon 3 cm. P = 2pr = 6p ≈ 18,85. 2. Dans le triangle SAH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : SA = 16 + 9 = 25 = 5 . 3. La longueur de l’arc de cercle rouge est proportionnel à l’angle a. Le périmètre du cercle de centre S et de rayon SA = 5 est de 10p et correspond à un angle de 360°, d’ou le tableau de proportionnalité suivant. 10p 360°

18,85 216°

4. A

D I

J C

216° S

r=3 5

9 Le volume en cm3 du cylindre est de :

V = pr2 × h = p × 12 × 3 = 3p. 10 La longueur est donné en cm. FC = 52 + 52 = 50 = 5 2 . 240

A’

Exercices

18 Tous les volumes sont en cm3.

Vbleu = 1 × 52 × 5 = 125 . 3 3 2 Vvert = p × 2,5 × 5 = 31,25p. Vorange = 4 π × 2,53 = 62,5 π = 125π . 3 3 6 31,25 π = 125π 1 2 × π × 2,5 × 5 = . Vrose = 3 3 12 Vviolet = 1 × 52 × 5 = 125 . 3 3 19 Les longueurs sont en cm et les aires en cm2. 1. A

b. Faux, car N [ (ABF), (DC) est incluse dans le plan (DCG) ; or ces deux plans sont strictement parallèles. Donc N ” (DC). c. On voit clairement que M ” (CD). sur la perspective donc il ne peut lui appartenir dans la réalité. 2. FBC est un triangle rectangle en B, DCJ est un triangle est isocèle en HIJ est un triangle isocèle rectangle en H et le triangle IJF est un triangle isocèle en F. 3. On a les arêtes [DH] et [FB] parallèles et de même longueur. Ainsi, FBDH est un parallélogramme et les diagonales [HB] et [DF] se coupent (en leur milieu P). 22 a.

D M

2. [AM] est la hauteur de la pyramide. [BD] est la diagonale du carré BCDE de côté 4 cm, donc BD = 4 2 et BM = 2 2 (car les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu). Dans le triangle BMA rectangle en M, d’après le théorème de Pythagore, on a : AM = BA2 − MB2 = 16 − 8 = 2 2 . 3. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. AH = 42 − 22 = 12 = 2 3 . L’aire d’un des triangles équilatéraux est 4 × 2 3 = 4 3. 2 D’où, Apyramide = 4 × (4 3 ) + 42 = 16( 3 + 1) . 20 1. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle BCM rectangle en B, on a : MC2 = x2 + 32 ⇔ MC = x2 + 9 . D’après le théorème de Pythagore dans le triangle EFM rectangle en F, on a : EM2 = EF2 + FM2 ⇔ EM2 = 42 + (5 – x)2 ⇔ EM2 = x2 – 10x + 41. D’où EM = x2 − 10x + 41 . 2. La trajectoire a donc une longueur égale à L(x) = x2 − 10x + 41 + x2 + 9 . 3. a. On entre cette fonction dans la calculatrice, pour x [ [0 ; 5]. On obtient un trajet maximum pour x = 5 qui vaut environ 9,8 cm. b. On obtient l’écran suivant :

23 Le point I appartient à la droite (EG) et le point J appartient à la droite (GC), la droite (IJ) appartient donc au plan (EGC). Les droites (EG) et (AC) sont strictement parallèles et définissent donc un plan, le plan (EGC). Les droites (IJ) et (AC) sont coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes. La construction 2 est donc correcte. 24 I

H J E

F O

25 a. Le trajet minimum est donc obtenu pour x ≈ 2,2 et vaut environ 8,6 cm. 21 a. Vrai, d’après le théorème des milieux dans le triangle EHG.

D A

12. L’espace

241

Exercices b.

La hauteur en cm du triangle ABC vaut 42 – 22 = 12 = 2 3. 26 1. Ce patron est celui d’un cylindre. 2.

6. Faux : Si elles ont deux points communs, elles sont confondues donc parallèles et non sécantes. 31 a. Le point K. b. La droite (KJ). c. Pas d’intersection (ou l’intersection est vide). d. Pas d’intersection (ou l’intersection est vide). 32 Le point M appartient à la droite (BC) incluse dans les plans (BCD) et (ABC), donc M [ (BCD) et [ (ABC). 2. et 3. O I

J C

M 4

33 Les longueurs sont en cm et les volumes en cm3. 1. 2 × 2 × 2 = 8. Donc 8 cubes de 2 cm de côté peuvent être placés dans la boîte cubique de 5 cm de côté. 2. Vboîte = 5 × 5 × 5 = 125. Vcubes = 8 × 2 × 2 × 2 = 64. Vlibre = Vboîte – Vcubes = 125 – 64 = 6. 34 Les longueurs sont en cm et les volumes en

27 1. a. 2. c. 3. a. 4. b. 5. b. 6. b. 7. b.

28 Bleu-vert-rouge 29 1. I appartient à la droite (AB), donc le point B appartient au plan (AIE). Les points I et B appartiennent aux plans (AIE) et (BIG), l’intersection des deux plans est donc la droite (BI). 2. Les points A, I, B, C, J et D sont coplanaires, les plans (ADI) et (BJC) sont confondus. Leur intersection est donc le plan (ADI) (ou (BJC)). 3. Les plans (HEF) et (BJC) sont des plans contenants respectivement deux faces opposés du cube ABCDEFGH, ils sont donc strictement parallèles. Leur intersection est donc vide. 30 1. Vrai : c’est la définition de deux droites non coplanaires. 2. Faux : si un point appartient à deux plans alors ceux-ci sont soit sécants selon une droite (passant par ce point), soit confondus. 3. Faux : une droite et un plan peuvent être strictement parallèles. 4. Vrai : tout point de la droite (AB) appartient au plan, celle-ci est donc incluse dans le plan. 5. Faux : pour déterminer un plan, deux droites doivent être sécantes ou strictement parallèles. 242

cm3. On considère le triangle rectangle isocèle ADC comme base de la pyramide et [AB] comme la hauteur de la pyramide. Les triangles ABC et ABD étant rectangles en A, la droite (AB) est donc perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (ADC) donc perpendiculaire au plan (ADC) AD × AC × AB 3 × 3 × 3 2 = 2 = 4,5. V= 3 3 35 Toutes les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. 1. Dans le triangle OAB rectangle isocèle en O, d’après le théorème de Pythagore. AB2 = 2a2, donc AB = a 2 . De même pour les longueurs AC et BC. 1 × AO × Aire 1 × a × a × a = a33 . AireOBC 2. VOABC OABC = OBC OBC = 3 3 6 2 3. Dans le triangle OHB rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore OH2 = OB2 – BH2, donc 2 2 OH2 = a2 – a 2 . D’où OH2 = a et par suite 2 2 OH = a = a 2 . 2 2 Dans le triangle OAH rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore, AH2 = AO2 + OH2, 2 donc AH2 = a2 + a 2 . 2 2 D’où AH2 = 3a et donc, AH = a 3 = a 6 = a 6 . 2 2 4 2 a 2×a 6 2 = a2 12 4. AireABC = BC × AH = 2 4 2

( )

2 2 = a ×2 3 = a 3 . 4 2

Exercices

5. VOABC = 1 × hauteur × AireABC 3 2 2 1 = hauteur × a 3 = hauteur × a 3 . 3 2 6 3 2 3 D’après 2., VOABC = a , d’où a = hauteur × a 3 . 6 6 6 On en déduit : a3 3 hauteur = 26 = a × 26 = a = a 3 . 6 a 3 3 a 3 3 6 36 Les longueurs sont en cm et les volumes en cm3. 1.

G Q

H P

3 773 3 773 π × 0,8 = π. 12000 15000 3 773 3 773 π= π. mjeu = 12 × 15000 1 250 3 773 La masse totale du jeu est de π kg, soit environ 1 250 9,483 kg. 38 Il y a 12 cubes ayant deux de leurs faces peintes en bleu, la probabilité de tirer un de ces cubes au hasard est 12 = 4 . 27 9 39 Les longueurs sont en cm et les volumes en cm3. Dans le triangle SOM rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore, on a : SO2 = SM2 – OM2 = 52 – 32 = 16. D’où SO = 4. Le volume du petit cône (en cm3) est de : Vpetit cône = 1 × π × r2 × SO = 1 × π × 32 × 4 = 12π. 3 3 Le grand cône est un agrandissement du petit dans le rapport R = 5 . Donc son volume vaut : r 3 3 Vgrand cône = Vpetit cône × 5 = 12π × 125 = 500 π. 3 27 9 D’où Vtronc de cône = Vgrand cône – Vpetit cône mquille =

()

= 500 π – 12π = 392 π. 9 9 40 1. a. Faux : A, B, C et P sont non coplanaires, car les droites (AB) et (PC) sont non parallèles et non sécantes, elles sont donc non coplanaires. Vrai : M, N, E et H sont coplanaires car les droites (NM) et (EH) sont parallèles (elles sont toutes les deux parallèles à (AD), elles définissent donc un plan. Vrai : M, C, P et F sont coplanaires car le point P appartient à la droite (FC) or une droite et un point n’appartenant pas à cette droite définissent un plan. Vrai : N, B, P et G sont coplanaires car le point P appartient à la droite (BG) or une droite et un point n’appartenant pas à cette droite définissent un plan. Vrai : M, P, E et F sont coplanaires car le point M appartient à la droite (DC) et le point P appartient à la droite (FC), les points M et P appartiennent donc au plan (FCD). Faux : E, G, A et B sont non coplanaires car les droites (EG) et (AB) appartiennent respectivement à deux plans parallèles et les deux droites sont non parallèles, elles sont donc non coplanaires. b. Vrai : (AN) et (DC) sont sécantes en C car le point N appartient à la droite (AC) les droites (AN) et (DC) sont coplanaires et sécantes en C. Vrai : (AG) et (BH) sont sécantes car les droites (BH) et (AG) sont non parallèles, elles appartiennent au plan (HGBA) ((HG) et (BA) sont parallèles), elles sont donc sécantes. Faux : (QP) et (FG) sont non sécantes car si elles étaient sécantes, leur point d’intersection appartiendrait au plan (FGC) ; or la droite (QP) coupe ce plan en P qui n’appartient pas à la droite (FG). Faux : (FG) et (MP) sont non sécantes car si elles étaient sécantes, leur point d’intersection appartien

2. EP = 2 2 = 2 2 3. Les plans (ABE) et (EFG) sont perpendiculaires, donc toute droite appartenant à un des deux plans est orthogonale à toute droite appartenant à l’autre plan. De plus, les droites (EG) et (AE) sont sécantes en E, elles sont donc perpendiculaires et le triangle AEG est rectangle en E. 4. Dans le triangle AEP rectangle en E, d’après le théorème de Pythagore, on a : AP = EA2 + EP2 = 22 + ( 2 ) = 4 + 2 = 6 . 2

5. Dans le triangle BEG, le point P est le milieu du segment [EG] et le point Q est le milieu du segment [GB] (car les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu), donc, d’après le théorème de la droite des milieux : PQ = EB = 2 2 = 2 . 2 2 6. Le solide GEBF est un tétraèdre. 2×2 ×2 aire(GFB) × EF = 2 =4. V= 3 3 3 1029 37 Vcylindre = p × 3,52 × (28 – 7) = 257,25p = 4 p. 1029 Le volume du cylindre est donc de p cm3. 4 3 Vsphère = 4π × 3,5 = 343 π . 3 6 Le volume de la sphère est donc de 343 π cm3. 6 1029 3 087 3 773 343 686 π+ π= π+ π= π. Vquille = 4 12 12 6 12 3 773 Le volume de la quille est donc de π cm3 soit 12 3 773 π dm3. 12000

12. L’espace

243

Exercices drait au plan (FGC) ; or la droite (MP) coupe ce plan en P qui n’appartient pas à la droite (FG). Vrai : (EF) et (MP) sont sécantes car les droites (EF) et (MP) sont incluses dans le plan (EFCD) ((EF) et (CD) sont parallèles) et non parallèles, elles sont donc sécantes. Vrai : (NQ) et (DF) sont sécantes car les droites (NQ) et (DF) sont incluses dans le plan (HFBD) ((HF) et (DB) sont parallèles) et non parallèles, elles sont donc sécantes. c. Vrai : le point D appartient au plan (ABC). Le plan (ABC)et la droite (DH) sont donc sécants en D. Vrai : le point Q appartient au plan (EFG). Le plan (EFG) et la droite (MQ) sont sécants en Q. Vrai : la droite (AP) est non parallèle au plan (MNQ) (sinon P appartiendrait au plan parallèle à (MNQ) passant par A, c’est-à-dire au plan (DAE), ce qui est faux car P appartient à (BCG)), donc le plan (MNQ) et la droite (AP) sont sécantes. Faux : le point N appartient à la droite (DB), il appartient donc au plan (DBH), le point F appartient également à ce plan. Ainsi, la droite (NF) est incluse dans le plan (DBH). Faux : la droite (QP) est parallèle à la droite (EB) (théorème des milieux) contenue dans le plan (ABE), elle est donc parallèle à ce plan. Vrai : la droite (MP) est parallèle à la droite (FD) (théorème des milieux), or la droite (FD) coupe le plan (EHQ) en F. La droite (MP) et le plan (EHQ) sont donc sécants. 2. Les points B et C appartiennent aux plans (ABD) et (BCP) la droite (BC) est l’intersection des plans (ABD) et (BCP). Les points F et G appartiennent aux plans (EHG) et (BCP), la droite (FG) l’intersection des plans (EHG) et (BCP). Les points Q et N appartiennent aux plans (DBF) et (AEG), la droite (QN) est l’intersection des plans (DBF) et (AEG). Les points M et N appartiennent aux plans (MNQ) et (ABC) la droite (MN) est l’intersection des plans (MNQ) et (ABC). Les plans (MNQ) et (BCP) sont parallèles, donc disjoints. Leur intersection est donc vide. Les plans (MNB) et (DCA) sont confondus, leur intersection est donc le plan (DCA) ou le plan (MNB). 41 1. Le point O appartient à la droite (EG), il appartient donc au plan (EDG). Le point D appartient au plan (EDG), donc la droite (OD) est incluse dans le plan (EDG). Les droites (HD) et (FB) sont parallèles non confondues, elles définissent donc un plan. Le point O appartient à la droite (HF), il appartient donc au plan (HDBF). Le point D appartient au plan (HDBF) la droite (OD) est donc incluse dans le plan (HDBF) Les plans (EDG) et (HDBF) (ou (HDB)) étant non confondus, leur intersection est la droite (OD). 244

4 4 H B O 4

Les longueurs sont en cm. Dans le triangle HGF rectangle isocèle en G, d’après le théorème de Pythagore, on a HF = 42 + 42 = 4 2 . Comme O est le milieu de [HF], on a OH = HF = 2 2 . 2 Dans le triangle HOD rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a : OD = 42 + (2 2)2 = 24 = 2 6. 42 I

G Q

D N A

P B

1. Le plan (IJK) coupe le plan (EFG) selon la droite (IJ), or les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles, donc l’intersection du plan (IJK) et (ABC) est une droite parallèle à (IJ). Or K appartient au plan (ABC), c’est donc la parallèle à (IJ) passant par K. 2. La section du cube par le plan (IJK) est l’hexagone IJQPMN : d’après 1., on trace la droite (MP) parallèle à (IJ) passant par K ; on cherche alors le point d’intersection L des droites (IJ) et (EF), coplanaires dans (EFG). La droite (LM) coupe (AE) en N. On peut alors soit faire de même avec l’intersection des droites (IJ) et (FG), en utilisant le point P pour trouver Q, ou simplement tracer la droite (PQ) comme la parallèle à (NI) passant par P. 43 1.

P’

d’

P d

Soit P le plan défini par les droites d et D, P’ le plan défini par les droites d’ et D. d et d’ étant parallèles, elles définissent un plan Q. Les droites d et D appartenant au plan P, elles sont coplanaires, donc soit parallèles, soit sécantes.

Exercices On suppose que d et D sont sécantes en un point I. I [ d et d [ Q ⇒ I [ Q ⇒ I [ d’ I [ D et D , P’ ⇒ I [ P’ Donc I appartient à d et d’, ce qui est impossible, car d et d’ sont parallèles. Ainsi, la supposition de départ est fausse et d et D sont donc parallèles. Comme, de plus, d et d’ sont parallèles entre elles, alors D est parallèle à d et à d’. 2. On a ainsi démontré le théorème du toit. 44 1. Faux : d’après le théorème de la droite des milieux la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB’). Les droites (AB’) et (AD) sont perpendiculaires car contenues dans deux plans perpendiculaires. Les droites (AD) et (A’D’) sont parallèles donc les droites (IJ) et (A’D’) ne sont pas parallèles. 2. Vrai : on a JB = KC et (JB) parallèle à (KC) par construction. Ainsi, JKCB est un parallélogramme et (JK) est parallèle à (BC), JK = CB. De même, par construction, AD = BC et (AD) et (BC) sont parallèles. On a donc AD = JK et (AD) et (BC) sont parallèles. Donc AJKD est un parallélogramme et donc (AJ) et (DK) sont parallèles. 45

}

sont sécants selon la droite bleue d, donc d’après le théorème du toit, ces trois droites sont parallèles. Donc d est parallèle aux droites (IJ) et (BC) 47 a. A

J B

2. Les plans (AIJ) et (ABD) sont non confondus, car I n’appartient pas à (ABD) et le point A appartient aux deux plans, ils sont donc non parallèles, les deux plans sont donc toujours sécants. L H G 48 1. I

49 1.

A D B

I K

R P

D C

46 1. Dans le triangle ABC, le théorème des milieux

assure que (IJ) est parallèle à (BC). 2. A K

I J B

2. J est le milieu de [AC] et I est le milieu de [AB], les droites (CI) et (JB) sont donc deux médianes du triangle ABC, le point S, intersection des droites (CI) et (JB) est le centre de gravité du triangle ABC 3. Voir figure (en rouge) 4. Voir figure pour la construction du point P intersection des droites (IK) et du plan (BDC). 50 1. D

D G

Le point E est l’intersection des droites (KJ) et (DC) (coplanaires dans (ADC)). Le point F est l’intersection des droites (KI) et (DB) (coplanaires dans (ADB)). L’intersection des plans (IJK) et (BDC) est la droite (EF). d est donc la droite bleue (EF). 3. Les plans (IJK) et (BDC) contiennent deux droites parallèles entre elles : (IJ) et (BC). Ces deux plans

I B G

H E

2. Le polygone obtenu est un trapèze. En effet, les plans (EFG) et (ABC) étant parallèles, les droites intersections de ces deux plans avec le plan (IEG) sont parallèles. 12. L’espace

245

Exercices ≠ AN donc (MN) n’est pas parallèle à 51 1. AM AB AC

(BC), or ces droites sont coplanaires dans (ABC), donc elles sont sécantes. Même démonstration pour les deux autres couples de droites. 2. Le point I est sur (MN) donc dans le plan (MNP), ainsi que sur (BC) donc dans le plan (BCD). Le point J est sur (NP) donc dans le plan (MNP), ainsi que sur (CD), donc dans le plan (BCD). Le point K est sur (MP), donc dans le plan (MNP), ainsi que sur (BD) donc dans le plan (BCD). Ces trois points appartiennent donc à l’intersection des plans (MNP) et (BCD). Ces deux plans n’étant ni parallèles, ni confondus, leur intersection est une droite. Donc I, J et K appartiennent à une même droite : ils sont alignés. 52 1. Dans le triangle ABD, I est le milieu de [AB] et L est le milieu de [AD], donc d’après le théorème de la droite des milieux, les droites (IL) et (DB) sont parallèles. De même dans le triangle DBC, les droites (KJ) et (DB) sont parallèles. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles, donc les droites (LI) et (KJ) sont parallèles. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC], donc d’après le théorème de la droite des milieux, les droites (IJ) et (AC) sont parallèles. De même dans le triangle DAC, les droites (KL) et (AC) sont parallèles. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles, donc les droites (LK) et (AC) sont parallèles. 2. Un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme, donc le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. 53 Les longueurs sont en cm et les volumes en cm3. π × 0,32 × 1 = 0,03π. Vgrand cône = 3 π × 0,072 × 0,4 = 49 π. Vpetit cône = 75 000 3 Vhotte = Vgrand cône – Vpetit cône 2 250 = 0,03p – 49 π = π – 49 π 75 000 75 000 75 000 2 201 = π ≈ 0,09. 75 000 54 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3 1. Les droites (FK) et (GI) sont sécantes en B et les droites (FG) et (KI) sont parallèles, donc, d’après le théorème de Thalès, on a KI = BI . FG BG 3 KI = × 8 = 6. 4 On a également, pour la même raison, BK = 3 , donc BF 4 3 BK = × 8 = 6 et donc, FK = 2. 4 Dans le triangle EFK rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore, on a : EK = EF 2 + FK 2 = 64 + 4 = 68 = 2 17. . AEKI = KI × KE = 6 × 2 17 = 6 17. 2 2 246

Dans le triangle EKI rectangle en K, d’après le théorème de Pythagore, on a : EI = EK 2 + KI2 = 68 + 36 = 104 = 2 26. Dans le triangle IKE rectangle en K, on a : ! = KI = 6 . D’où KIE ! ≈ 54°. cos KIE EI 2 26 55

( )

H C

D A

Les plans (SAB) et (SDC) sont sécants (ils contiennent le point S). (AB) est incluse dans (SAB) et (DC) est incluse dans (SDC) et ces deux droites sont parallèles, donc, d’après le théorème du toit, l’intersection d de ces deux plans est la parallèle à ces deux droites passant par S. d et (FB) sont coplanaires dans (FAB) et non parallèles, elles sont donc sécantes en un point P. Ce point P appartient à la droite d, donc au plan (SDC). 56 1. Le point M appartient à la droite (AC) et à la droite (IK), il appartient donc aux plans (ABC) et (IJK). Le point N appartient à la droite (AB) et à la droite (IJ), il appartient donc aux plans (ABC) et (IJK). Les plans (IJK) et (ABC) n’étant pas confondus (le point A appartient au plan (ABC) mais pas au plan (IJK), l’intersection de ses deux plans est la droite (MN). 2. Les droites (KJ) et (BC) sont coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes en un point L. Les droites (KJ) et (BC) appartiennent respectivement aux plans (IJK) et (ABC), leur point d’intersection L est donc situé sur la droite d’intersection des plans (KJ) et (ABC) soit sur la droite (MN). Ainsi, les droites (KJ), (BC) et (MN) passent par le point L. Elles sont donc concourantes. 57 Les longueurs sont en cm et les volumes en cm3. 1. La hauteur du petit cône est de 10 cm alors que celle du grand cône est de 15 cm. Le petit cône est donc une réduction du grand dans le rapport 10 = 2 . 15 3 Le diamètre du petit cône est donc une réduction du diamètre du grand cône dans le même rapport. Il vaut donc 9 × 2 = 6. 3 Vgrand cône = 1 × (aire de la base) × hauteur 3 = 1 × p × 4,52 × 15 = 101,25p. 3 Vpetit cône = 1 × (aire de la base) × hauteur 3 = 1 × p × 32 × 10 = 30p. 3 3 (ou Vpetit cône = 2 × Vgrand cône). 3

()

Exercices Vtronc de cône = Vgrand cône – Vpetit cône = 101,25p – 30p

= 71,25p.

58 Pour les questions 1 à 4, sauf mention contraire,

les longueurs sont en km et les volumes en km3. 1. VTerre = 4 × 6 3713 ≈ 1,08 × 1012. 3 V 2. Vhémisphère nord = Terre ≈ 5,42 × 1011. 2 3. Léquateur = 2p × 6 371 = 12 742p ≈ 40 030,174. 4. C’est comme si on construisait un cercle dont la longueur est d’environ 12 742p + 0,001 km. 12 742π + 0,001 ≈ 6 371,000 159. Lcorde = 2pR’ ⇔ R’ ≈ 2π 6 371,000 159 km – 6 371 km = 0,000 159 km = 15,9 cm Ainsi la distance entre la Terre et la corde est d’environ 15,9 cm. 5. Dans cette question, les longueurs sont en cm. Sur le même principe : Léquateur = 2p × 6 = 12p ≈ 37,699. C’est comme si on construisait un cercle dont la longueur est d’environ 12p + 100 cm. Lcorde = 2pR’ ⇔ R’ ≈ 12π + 100 ≈ 21,9. 2π 21,9 cm – 6 cm = 15,9 cm Ainsi, la distance entre la balle et la corde est encore d’environ 15,9 cm. Dans cette question, les longueurs sont en m. Sur le même principe : Léquateur = pd. C’est comme si on construisait un cercle dont la longueur est d’environ pd + 1 m. Lcorde = pd’ ⇔ d’ ≈ πd + 1 ≈ d + 1 . π π d’ – d = 1 , donc r’ – r = d’ − d = 1 . 2π 2 π La distance entre la sphère et la corde est donc de 1 , 2π soit environ 0,159 m = 15,9 cm. Ainsi, cette distance est constante quel que soit le diamètre de la sphère de départ. 59 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. 1. D’après les dimensions données et le théorème de Pythagore, la longueur de la génératrice du cône vaut 32 + 42 = 5 . Alatérale cône = prl = p × 3 × 5 = 15p. A1 sphère = 1 × 4pr2 = 2p × 32 = 18p. 2 2 Ajouet = Alatérale cône + A1 sphère = 15p + 18p = 33p. 2

2. Vcône = 1 pr2 × h = 1 p × 32 × 4 = 12p. 3 3 V1 sphère = 1 × 4 πr 3 = 2 π × 33 = 18π. 2 3 3 2 Vjouet = Vcône + V1 sphère = 12p + 18p = 30p.

et N appartiennent au plan (SAB)) donc P appartient au plan (SAB). Le point P appartient à la droite (DM) et la droite (DM) est incluse dans le plan (SDC) (car les points D et M appartiennent au plan (SDC)), donc P appartient au plan (SDC). b. Les plans (SAB) et (SDC) sont non confondus (car A appartient au plan (SAB) mais pas au plan (SDC)). Les points S et P appartiennent à chacun des deux plans, l’intersection de deux plans étant une droite, il s’agit donc de la droite (SP). c. Les droites (DC) et (AB) sont parallèles (car ABCD est un parallélogramme) et appartiennent respectivement aux plans (SDC) et (SAB). La droite (SP) est la droite d’intersection des plans (SDC) et (SAB). D’après le théorème du toit, la droite (SP) est donc parallèle aux droites (AB) et (DC). 61 1. Les droites (BC) et (AD) sont (strictement) parallèles car ABCD est un carré. 2. a. La droites (BC’) est incluse dans le plan P (car les points B et C’ appartiennent à ce plan). b. La droite (B’C) est incluse dans le plan P (car les points B’ et C appartiennent à ce plan). 3. a. Les droites (AA’) et (DD’) sont strictement parallèles, car AA’D’D est un carré. b. Deux droites strictement parallèles définissent un plan, les droites (AA’) et (DD’) définissent donc le plan (ADD’). 4. Les droites (AC’) et (BC) sont non coplanaires, elles n’appartiennent pas à un même plan. En effet, les points B, C et C’ appartiennent à un même plan (le plan P) et le point A n’appartient pas à ce plan. 62 1. A H

2. Voir figure ci-dessus 3. Conjecture : les droites (BC) et (HE) semblent sécantes. 4. Les droites (BE) et (CH) sont parallèles, donc coplanaires, elles définissent le plan (ECHB). Les droites (BC) et (HE) appartiennent au plan (ECHB), et elles sont non parallèles : elles sont donc sécantes. 63 1. A

60 1. La droite (MN) est parallèle à la droite (BC) et ABCD est un parallélogramme donc les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Les droites (MN) et (AD) sont donc parallèles. 2. a. Le point P appartient à la droite (AN) et la droite (AN) est incluse dans le plan (SAB) (car les points A

N D B I

P M

J C

12. L’espace

247

Exercices 2. Le point I appartient au segment [BC] et le point J appartient au segment [CD]. Ces deux segments étant inclus dans le plan (BCD), les points I et J appartiennent aux plans (AIJ) et (BCD). La droite d’intersection des plans (AIJ) et (BCD) est donc la droite (IJ). 3. a. N appartient au segment [AJ] et M appartient à la demi droite [AI), les points N et M appartiennent donc au plan (AIJ). Ainsi, les points M, N, I et J appartiennent à un même plan. b. Les droites (MN) et (IJ) sont coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes. Leur point d’intersection Q est situé sur la droite (IJ). Or la droite (IJ) est incluse dans le plan (BCD) donc le point Q appartient au plan (BCD). Ainsi, les points P et Q sont confondus. P appartient donc à la droite (IJ). 64 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. 1.

66 1. Le point (AB) appartient aux plans (DFI) et (EFG) il appartient donc à la droite d’intersection des deux plans. 2. Le point I appartient à la droite (AB) incluse dans le plan (ABC). Ainsi les points I et D appartiennent aux plans (DIF) et (ABC) qui sont non confondus. L’intersection de ses deux plans est donc la droite (ID). 3. ABCDEFGH est un cube, les plans (ABC) et (EFG) sont donc parallèles et non confondus. Comme le plan (EFG) coupe le plan (ABC) selon la droite (ID), la droite d’intersection de (EFG) avec (DFI) est parallèle à la droite (ID). D est donc la parallèle à la droite (ID) passant par le point F. I B A 4. 5.

E H

7,5

4,5

2. a. Dans le triangle SAB rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : SA = SB2 – AB2 = 49 – 36 = 13 ≈ 3,6 b. Dans le triangle SAB rectangle en A : ! ≈ 31°. ! = BA = 6 , d’où SBA cos SBA BS 7 c. BC2 = 7,52 = 56,25. BA2 = 62 = 36. AC2 = 4,52 = 20,25. Donc BC2 = BA2 + AC2 et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 6 × 4,5 = 13,5 d. AABC = 2 A × SA 13,5 × 13 + ≈ 16 VSABC = ABC 3 3 e. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en S et les droites (NM) et (CB) sont parallèles. Donc, d’après le théorème de Thalès : SM = NM ⇔ NM = SM × CB . CB SB SB D’où NM = 4,2 × 7,5 = 4,5. 4 a. (BC) et (B’C’) sont deux droites parallèles. 65 b. (BCD) et (B’C’D’) sont deux plans parallèles. c. (BCD) et (DCC’) sont deux plans sécants et ont pour intersection la droite (DC). d. (AA’) et (BC) sont deux droites ni sécantes ni parallèles. e. (A’D’) et AB) sont deux droites non coplanaires.

( )

248

67 1. Les droites (AK) et (DH) sont sécantes en M et les droites (HK) et (DA) sont parallèles, donc, d’après le théorème de Thalès : MK = KH . MA DA Or le point K est le milieu du segment [HE], donc : KH = 1 HE = 1 DA . 2 2 D’où MK = 1 . MA 2 Comme les points A, K et M sont alignés, on peut dire que le point K est le milieu de [MA]. 2. On peut démontrer de la même manière que le point L est le milieu du segment [AN]. Dans le triangle AMN, K est le milieu de [MA] et L est le milieu de [AN], donc, d’après le théorème des milieux, les droites (KL) et (MN) sont parallèles. 68 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. Vcône = 1 × πr2 × h = 1 × πr2 × 15 = 5πr2 . 3 3 V1 sphère = 1 × 4 πr’3 = 1 × 4 × π × 63 = 1296π. 2 3 2 3 2 Vcône = V1 sphère ⇔ 5pr2 = 1 296p ⇔ r2 = 259,2. 2

Il faut donc choisir un rayon pour le cône de 259,2 cm, soit environ 16 cm. 69 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. Vbrique = 19 × 8,8 × 6 = 1 003,2. Soit h la hauteur de jus d’orange dans le récipient cylindrique en cm. On a alors : 1003,2 , d’où h ≈ 14,5. p × 4,72 × h = 1 003,25 ⇔ h = 22,09π 70 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. On suppose que les balles touchent les bords de la boîte. Ainsi, le côté de la boîte mesure deux fois le diamètre d’une balle, soit 12,8 cm.

Exercices Vboîte = 12,82 × 6,4 = 1 048,576. V4 balles = 4 × 4 × × 3,23 = 524,288π . 3 3 524,288 π V4 balles = ≈ 0,524. Vboîte 3 × 1048,576 Les 4 balles occupent donc environ 52,4 % du volume de la boîte. 71 Les longueurs sont en cm, les aires en cm2 et les volumes en cm3. La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a, que l’on peut déterminer à l’aide du théorème de Pythagore, mesure a 3 . 2 Ainsi, la hauteur du triangle de base de ce prisme droit vaut 3 3 . 2 3× 3 3 2 × 10 = 45 3 . Vprisme = Abase × h = 2 2 72 1. Les droites (EF) et (HD) sont non coplanaires. En effet, si (EF) et (HD) étaient coplanaires, alors les quatre points E, F, D et H le seraient aussi. Alors nécessairement, D appartiendrait au plan (EFH), ce qui est faux, car le cube n’est pas plat. 2. (HD) et (FB) sont parallèles et HD = FB, donc HFBD est un parallélogramme ; (HF) et (DB) sont donc parallèles, et donc coplanaires. 3. a. La droite (HG) est incluse dans le plan (FGH). Le point I appartient à (EF), incluse dans le plan (FGH) et le point J appartient à (FG), incluse dans le plan (FGH). Les droites (IJ) et (HG) sont donc coplanaires (dans le plan (FGH)).

b. La droite d’intersection du plan (IJK) et (CGH) est la droite (LK). H

G L

J I

4. La section du cube par le plan (IJD) est le polygone IJMDN. H

G L

J I

N D

Accompagnement personnalisé 73 Les longueurs sont en m, les volumes en m3.

1. V1 = p × × 1,5 = 18,375p ≈ 57,73. 2 2. a. V2 = π × 3,5 × 3,5 = 42,875π ≈ 57,73. 3 3 b. D’après le théorème de Pythagore : 3,52

g = 3,52 + 3,52 = 24,5 ≈ 4,95. c. tan α = 3,5 = 1, soit α = 45° et a = 90°. 2 3,5 2 3 42,875π 0,5 3. Vpetit cône = × = 42,875π ≈ 0,13. 3 1029 3,5 V3 = V2 = Vpetit cône 14663,25π = 42,875π − 42,875π = ≈ 44,77. 1029 3 1029 4. Le petit cône est une réduction du premier cône. Comme dans le premier, le rayon de la base est égal à la hauteur, il en est de même dans le second. En effet : r = hpetit cône ⇔ r = hpetit cône ⇔ h petit cône = r. R R h R

( )

V4 = p × 0,52 × 0,5 = 0,125p ≈ 0,39. 14663,25π 5. V5 = V1 + V3 + V4 = 18,375p + + 0,125π 1029 33699,75π = ≈ 102,89. 1029 74 1.

Le tétraèdre L’hexaèdre L’octaèdre Le dodécaèdre L’icosaèdre

Nombre de sommets 4 8 6 20 12

Nombre d’arêtes 6 12 12 30 30

Nombre de faces 4 6 8 12 20

2. Tétraèdre : 4 – 6 + 4 = 2 Hexaèdre : 8 – 12 + 6 = 2 Octaèdre : 6 – 12 + 8 = 2 Dodécaèdre : 20 – 30 + 12 = 2 Icosaèdre : 12 – 30 + 20 = 2 12. L’espace

249

Exercices No problem 75 1. d. 2. a. 3. e. 4. b. 5. g. 6. h. 7. f. 8. c. 76 1.

77 a.

a. e. b.

b. f.

78 1. The first inventive construction Marianne Moore alludes to is a half-spherical nest. 2. The other inventive construction she alludes to is an icosasphere and a icosahedron. 3. Icosahedron is an “icosaèdre” in French. An icosasphere does not exist.

2. A and C nets are nets for a cube.

Traduction des énoncés 75 Des figures en 3-D

Les figures 3-D réalisées à base de polygones s’appellent des polyèdres. Nommez chacune des figures 3-D suivantes.

250

d g

cube ; b parallélépipède rectangle ; c tétraèdre ; sphère ; e prisme à base triangulaire ; f cylindre ; cône ; h pyramide à base carrée

76 Patron de polyèdres

Un patron de polyèdre est une figure en 2-D qui représente le polyèdre déplié. Si vous avez un patron de polyèdre, vous pouvez le replier afin d’obtenir le polyèdre. Réciproquement, si vous avez un polyèdre, vous pouvez dessiner son patron. Par exemple : la figure ci-contre est le patron d’une pyramide à base carrée. Si vous le repliez, vous obtenez :

1. Dessiner les patrons de tous les polyèdres de l’exercice 75. 2. Parmi les patrons suivants, lesquels sont ceux d’un cube ?

Exercices

77 Perspective cavalière

78 L’icosasphère

La perspective cavalière est une projection oblique dont le plan frontal est tracé à l’échelle et dont les droites parallèles restent parallèles. Arête Arête cachée Sommet

Tracez en perspective cavalière : a. un cube ; b. une pyramide à base carrée ; c. un tétraèdre.

Plan frontal

Marianne Moore (1887-1972) était une poétesse qui aimait jouer avec les sons et y compris ceux présents dans le champ mathématique. Dans son poème de 1950, intitulé Icosasphere, elle célèbre d’originales constructions. 1. Quelle est la première construction ingénieuse à laquelle Marianne Moore fait allusion dans les vers « Les oiseaux qui se nichent dans la densité verte et évaporée, entrelacent petits bouts de cordes, plumes et duvet de chardon en courbes paraboliques et concentriques ». 2. Quelles sont les deux autres ingénieuses constructions que la poétesse évoque ? 3. Questions Internet a. Qu’est-ce qu’un icosaèdre ? b. Les « icosasphères » existent-elles vraiment ?

12. L’espace

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