Pocket Book
DISCRETE MATH Content: Ernest Julio Andreal Kelvin A. Minor Slamet Sumasto
Cover: Izzi Dzikri
KATA PENGANTAR Tidak ada kata lain selain ucapan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa. Tanpa rahmatNya,
penulis
menyelesaikan
yakin
tidak
pembuatan
dapat
pocketbook
Matematika Diskrit ini dengan baik. Pembuatan pocketbook ini ditujukan bagi semua pelajar khususnya mahasiswa/i Binus University yang sedang mendapatkan mata kuliah
Matematika
Diskrit.
Di
dalam
pocketbook ini akan dibahas Matematika Diskrit yang akan dipakai secara lengkap melalui penjelasan yang sistematis. Setelah membaca pocketbook ini, penulis berharap agar pembaca dapat lebih mengerti dan memahami tentang Matematika Diskrit.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak terutama Mathematics and Statistics Department Binus University yang telah membantu kami dalam proses perbaikan dan penyelesaian buku serta pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu namanya yang
membantu
dalam
pembuatan
pocketbook ini. Akhir kata, penulis menyadari bahwa pocketbook ini jauh dari sempurna dan mengharapkan
kritik
serta
saran
untuk
pengembangan pocketbook.
Jakarta, 14 Juli 2016
Penulis
1 DAFTAR ISI PROPOSITION ALGEBRA ....................... 2 PENERAPAN LOGIKA MATEMATIKA .... 14 PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA .. 29 TEORI HIMPUNAN BIASA .................... 41 TEORI HIMPUNAN KABUR .................. 56 FUNGSI ............................................... 79 KOMBINATORIKA ............................... 92 GRAPH & APLIKASINYA ...................... 97
2
TOPIK 1 Proposition Algebra
-
Pengertian Proposisi
-
Tabel Kontingensi
-
Ekuivalen dalam Logika
-
Argumen
-
Sifat-Sifat pada Aljabar Proposisi
3 A. Pengertian Proposisi Proposisi adalah kalimat deklaratif yang dapat bernilai benar, salah, atau keduanya. Proposisi bukanlah kalimat seru maupun kalimat tanya. Contoh: 1.) Tadi pagi hujan. [Dapat bernilai benar atau salah.] 2.) Besok akan hujan. [BUKAN sebuah proposisi.] 3.) [Bukan sebuah proposisi, melainkan kalimat terbuka.] 4.) Jika , maka . [Kalimat yang benar.] B. Tabel Kontingensi Misalkan a dan b dua proposisi. Tabel berikut menjelaskan hubunganhubungan yang dapat terjadi di antara mereka dan juga nilai kebenarannya masing-masing.
4 Nilai “BENAR” diwakili oleh huruf , dan nilai “SALAH” diwakili oleh huruf .
(
(
dan
)
(
atau
)
atau eksklusif
)
(Jika (
maka
)
Jika dan hanya jika (Bukan
)
)
C. Ekuivalen dalam Logika Dua proposisi dikatakan ekuivalen secara logis jika dan hanya jika mereka mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan hubungan dalam tabel kontingensi.
5 Contoh: Perhatikan pernyataan berikut : 1.) Joko rajin dan pintar. 2.) Adalah tidak benar jika Joko tidak rajin ataupun tidak pintar. Kita dapat membuat tabel kontingensi untuk kedua pernyataan di atas seperti berikut. ( artinya “rajin”, dan artinya “pintar”) :
6 Jika kita lihat baris-baris yang diarsir abuabu (baris dan ), terlihat bahwa semua kemungkinan nilai kebenaran pada setiap kolom yang sama pada masing-masing baris ternyata sama. Kita dapat simpulkan bahwa dan ekuivalen secara logis. D. Argumen Argumen adalah sekumpulan premis dan kesimpulan yang berperan dalam pengambilan keputusan. Sebuah argumen dikatakan valid jika semua premisnya bernilai benar dan kesimpulannya juga bernilai benar.
7 Berikut ini adalah beberapa cara menulis argumen:
-------
Argumen-argumen berikut sering ditemukan dalam berbagai permasalahan. Huruf dan mewakili dua pernyataan yang berbeda. Modus Ponens
---------
Modus Tollens
-----------
8 Silogisme
---------------
Catatan: Lambang artinya “jadi�. Berikut ini adalah dua contoh penggunaan argumen di atas. Jika Kim rajin, maka ia lulus. Kim rajin. Kim lulus. Jika dia rajin, maka ia lulus. Dia lulus. Dia rajin.
9 Untuk mencari tahu apakah kedua argumen valid atau tidak, kita buat tabel kontingensi untuk masing-masing argumen. artinya “rajin”, dan
artinya “lulus”.
10 Kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut untuk memeriksa apakah suatu argumen valid atau tidak: 1.
Carilah baris pada tabel kontingensi di mana nilai kebenaran untuk semua premis adalah benar.
Untuk argumen pertama, premis-premis yang diketahui adalah dan , dan baris di mana nilai kebenaran untuk kedua premis tersebut bernilai benar adalah baris pertama. Untuk argumen kedua, premis-premis yang diketahui adalah dan , dan baris di mana nilai kebenaran untuk kedua premis tersebut bernilai benar adalah baris pertama dan ketiga.
11 2.
Periksa nilai kebenaran dari kesimpulan jika kedua premis bernilai benar. Lakukan ini untuk semua baris yang dimaksud pada langkah pertama. Jika satu saja dari kesimpulan-kesimpulan bernilai salah, kita dapat menyimpulkan bahwa argumen tersebut tidak valid, sebaliknya argumen itu valid.
Pada argumen pertama, nilai kebenaran dari kesimpulan adalah benar saat nilai kebenaran semua premis benar, yang menunjukkan bahwa argumen itu valid. Untuk argumen kedua, nilai kebenaran dari kesimpulan-kesimpulan tidak semuanya benar saat nilai kebenaran semua premis benar. Ini terlihat pada baris ketiga dari tabel kontingensi, di mana kesimpulannya salah saat semua
12 premisnya benar. Jadi, argumen kedua tidaklah valid. E. Sifat-sifat pada Proposition Algebra Misalkan , , dan tiga proposisi yang berbeda. Sifat-sifat berikut berlaku untuk semua proposisi tersebut. 1. Sifat Idempoten ; 2. Sifat Asosiatif
3. Sifat Distributif
13 4. Sifat Penyerapan
5. Sifat Komutatif ; 6. Sifat Identitas ; ; 7. Sifat Komplemen ; 8. Sifat Involusi
9. Sifat de Morgan
;
14
TOPIK 2 Penerapan Logika Matematika
-
Logic Gate Dasar
-
Penggunaan Logic Gate dan Penyederhanaan Sirkuit
-
Karnaugh Map
15 A. Logic Gate Dasar Logic gate mempunyai minimal 1 input (masukan) berupa input hidup (ON; biasanya diwakili dengan angka ) atau mati (OFF; biasanya diwakili dengan angka ). Dalam logic circuit digital terdapat tiga gate utama yang dipakai untuk membuat sirkuit yaitu: 1. AND (DAN) (dilambangkan dengan Diagram gate AND:
)
16 Tabel kontingensi gate AND:
2. OR (ATAU) (dilambangkan dengan Diagram gate OR:
)
17 Tabel kontingensi gate OR:
3. NOT (TIDAK) (dilambangkan dengan ) Diagram gate NOT:
18 Tabel kontingensi gate NOT:
B. Penggunaan Logic Gate dan Penyederhanaan Sikruit Kita dapat membuat sirkuit sebesar dan serumit apapun sesuai kebutuhan. Tetapi akan lebih baik jika kita dapat membuat sirkuit yang sederhana agar kita tidak membuang-buang tempat dan sumber daya. Penyederhanaan sirkuit dilakukan dengan memanfaatkan sifat-sifat proposition algebra yang sudah dibahas sebelumnya.
19 Contoh: Sederhanakan logic circuit berikut.
Jawab: Untuk menyederhanakan circuit di atas, kita tentukan bentuk ekspresi output (hasil akhirnya) menggunakan semua input yang ada (dalam hal ini input yang ada adalah dan ). Dari gambar circuit di atas kita amati bahwa: 1. Input A terhubung ke gate OR dan AND. 2. Input B terhubung ke gate AND. 3. Output dari gate AND terhubung ke gate OR.
20 Dari pengamatan 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan bahwa output dari gate AND adalah . Dari pengamatan 1 dan 3, kita dapat simpulkan bahwa output dari gate OR adalah
.
Dengan demikian, ekspresi output dari sirkuit adalah:
.
Dari ekspresi itu, kita dapat mencari bentuk sederhananya dengan cara berikut. [Sifat Identitas]
[Sifat Distributif]
21 [Sifat Identitas] [Sifat Identitas] Bentuk sederhana dari adalah saja. Gambar ekspresi adalah
circuit
dari
Ketika kita ingin membuat suatu logic circuit, kita ingin sirkuit tersebut sederhana dan mudah dimengerti. Ada suatu cara yang telah diciptakan untuk memudahkan proses pembuatan sirkuit dan pemahaman logic dari sirkuit tersebut, yaitu Karnaugh Map.
22 C. Karnaugh Map Karnaugh map adalah cara lain untuk menuliskan tabel kebenaran. Di dalam Karnaugh map juga terdapat nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai input. Input dalam Karnaugh map biasanya dibagi menjadi 2, yaitu setengah dari semua input beserta semua kemungkinan kombinasinya pada kolom paling kiri, dan sisa dari semua input beserta semua kemungkinan kombinasinya pada baris paling atas.
23 Contoh Karnaugh map dengan 4 input. Karnaugh map lebih mudah dipahami karena kita bisa melihat langsung polapola yang muncul di dalamnya. Contoh: Misalkan kita ingin menyederhanakan bentuk logika berikut.
Perhatikan bahwa ada tiga input pada bentuk di atas, yaitu , dan . Sukusuku yang mengandung huruf-huruf yang berdekatan dihubungkan dengan hubungan DAN (AND), dan suku-suku yang dihubungkan dengan tanda tambah ( ) mempunyai hubungan ATAU (OR). Pada Karnaugh map, suku-suku yang tertera pada bentuk di atas diberi angka
24 untuk menandakan bahwa suku tersebut bernilai benar jika masingmasing input tunggal memenuhi kriteria suku tersebut (contoh: bernilai jika , , dan ). Sukusuku yang tidak terdapat pada bentuk di atas diberi angka pada Karnaugh map. Kita dapat membuat Karnaugh map dari bentuk di atas seperti ini:
Karnaugh map dari bentuk
Ada beberapa pola menarik yang dapat kita lihat pada Karnaugh map di atas.
25 1. Terdapat dua angka bersebelahan, yaitu pada dan . 2. Terdapat dua angka bersebelahan, yaitu pada dan . 3. Terdapat dua angka berdekatan atas dan bawah, suku dan .
yang suku yang suku yang yaitu
Cara membaca Karnaugh map adalah sebagai berikut. Dari pola 1, dan mempunyai dua input yang sama, yaitu dan . Dari pengamatan ini, kita dapat menyederhanakan dua suku tersebut menjadi satu, yaitu . Dari pola 2, dan mempunyai dua input yang sama, yaitu
26 dan . Dari pengamatan ini, kita dapat menyederhanakan dua suku tersebut menjadi satu, yaitu . Dari pola 3, dan mempunyai dua input yang sama, yaitu dan . Dari pengamatan ini, kita dapat menyederhanakan dua suku tersebut menjadi satu, yaitu . Berdasarkan tiga pengamatan tersebut, kita dapat menuliskan dua bentuk sederhana dari bentuk , yaitu: 1. Dari pola 1 dan 2 bentuk sederhana yang terbentuk adalah . 2. Dari pola 3; bentuk sederhananya yang terbentuk adalah .
27 Bentuk paling sederhana yang kita dapat adalah . Tips Menggunakan Karnaugh Map Ada hal yang patut kita perhatikan saat kita menggunakan Karnaugh Map, yaitu bahwa Karnaugh Map dibuat dengan sedemikian rupa sehingga lebih banyak pola muncul dan terlihat jelas. Hal ini semakin terlihat jelas apabila terdapat lebih banyak input. Contoh: Menggunakan contoh bentuk di atas, kita juga dapat membuat Karnaugh map dari bentuk itu sebagai berikut:
28
Tabel di atas adalah cara lain membuat Karnaugh Map dari bentuk
Perbedaan map di atas dengan map yang pertama ditunjukkan adalah bahwa pola 2 kurang terlihat jelas karena letaknya saling berjauhan.
29
TOPIK 3 Pembuktian dalam Matematika
-
Pembuktian Langsung
-
Induksi Matematika
-
Pembuktian Menggunakan Kasus
-
Pembuktian dengan Kontradiksi
30 A. Pembuktian Langsung Pembuktian langsung adalah salah satu cara pembuktian di mana kita membuktikan suatu teorema atau rumus menggunakan berbagai definisi, aksioma, teorema, serta logika dan penalaran, untuk menarik kesimpulannya. Ketika kita melakukan pembuktian langsung, kita berpikir secara deduktif. Contoh pembuktian langsung: > Buktikan bahwa jumlah suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah suatu bilangan ganjil. Sebelum kita mulai membuktikan pernyataan di atas, ada baiknya kita mengetahui sifat bilangan ganjil dan genap. Sebuah bilangan dikatakan ganjil apabila ia memenuhi bentuk
31 untuk sembarang bilangan bulat . Sebuah bilangan dikatakan genap apabila ia memenuhi bentuk untuk sembarang bilangan bulat . Setelah mengenal sifat bilangan ganjil dan genap, kita dapat mulai membuktikan pernyataan di atas. BUKTI Misalkan sebuah bilangan ganjil dan sebuah bilangan genap. Bilangan memenuhi bentuk untuk sembarang bilangan bulat , sedangkan bilangan memenuhi bentuk untuk sembarang bilangan bulat . Jika kita jumlahkan dan , kita dapat menuliskannya sebagai berikut:
32 Nilai ganjil
dapat berupa bilangan ataupun genap, namun jika dikali lalu ditambah , maka hasil akhirnya akan berupa bilangan ganjil. Jadi, jumlah dari sebuah bilangan ganjil dan genap akan selalu bernilai ganjil. B. Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian yang terdiri dari tiga langkah, yaitu: 1. Membuktikan bahwa kasus awal bernilai benar. (Base Step) 2. Menganggap bahwa kasus kebenar. (Hypothesis step) 3. Membuktikan bahwa kasus kejuga benar. (Inductive Step)
33 Contoh induksi matematika dalam pembuktian : > Misalkan sebagai jumlah bilangan asli pertama.
Buktikan bahwa untuk semua
BUKTI 1.) Buktikan bahwa . (Base Step)
Ternyata
berlaku untuk
,
berlaku untuk
.
34 2.) Anggap berlaku untuk semua . 3.) Tunjukkan bahwa juga berlaku.
Telah kita ketahui bahwa
Jika diganti dengan jumlah yang baru adalah
Kita ganti bentuk dengan lalu disederhanakan.
, maka
35
Terbukti bahwa . Dengan demikian,
berlaku untuk semua
.
C. Pembuktian Menggunakan Kasus Pembuktian menggunakan kasus adalah suatu cara pembuktian di mana kita melihat semua kasus yang mungkin yang membuat suatu pernyataan benar. Contoh pembuktian menggunakan kasus:
36 > Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat , maka akan selalu genap. Hal yang perlu kita ketahui adalah karena merupakan suatu bilangan bulat, dapat berupa bilangan ganjil atau bilangan genap. Kita akan melihat dua kasus tersebut satu per satu. BUKTI Misalkan suatu bilangan bulat, maka dapat berupa bilangan ganjil atau bilangan genap. Kasus 1: Jika ganjil, maka untuk sembarang bilangan bulat masukkan ke bentuk .
. Kita
37 Nilai dari akan selalu genap karena merupakan suatu kelipatan . Jadi, bernilai genap untuk yang bernilai ganjil. Kasus 2: Jika genap, maka untuk sembarang bilangan bulat masukkan ke bentuk .
. Kita
Nilai dari akan selalu genap karena merupakan suatu kelipatan . Jadi, bernilai genap untuk yang bernilai genap. Kesimpulannya, akan selalu bernilai genap untuk sembarang bilangan bulat .
38 D. Pembuktian dengan Kontradiksi Pembuktian dengan kontradiksi adalah suatu cara pembuktian suatu teorema di mana kita menganggap dugaan awal kita benar dan kesimpulannya salah, lalu dengan menggunakan aksioma, definisi, teorema yang sudah diketahui sebelumnya, dan aturan pengambilan keputusan, kita ciptakan suatu kontradiksi. Pembuktian dengan cara ini juga disebut pembuktian tidak langsung. Contoh pembuktian dengan kontradiksi: > Buktikan bahwa bilangan irasional. BUKTI Anggap
adalah suatu rasional.
Artinya
kita dapat menuliskan sebagai suatu pecahan dari dua bilangan bulat dan yang kita anggap tidak mempunyai faktor
39 yang sama (dengan kata lain, pecahan itu tidak bisa disederhanakan lagi.)
Dari sini, kita dapat menyatakan hubungan antara dan sebagai berikut.
Ini menunjukkan bahwa (dan juga ) adalah bilangan genap. Berarti untuk semua bilangan bulat . Jika kita masukkan ke dalam persamaan
40 , maka persamaan itu akan berubah menjadi
Ini menunjukkan bahwa (dan juga ) adalah bilangan genap. Namun, jika dan sama-sama genap, berarti mereka mempunyai faktor yang sama, yaitu . Ini adalah kontradiksi dari anggapan awal, yaitu bahwa dan tidak mempunyai faktor yang sama. Jadi,
tidak mungkin rasional.
41
TOPIK 4 Teori Himpunan Biasa
-
Teori Himpunan Crisp
-
Diagram Venn
-
Hubungan antar Himpunan
-
Sifat-Sifat Himpunan
42 A. Himpunan Crisp Himpunan adalah sekumpulan objek. Himpunan biasanya dilambangkan dengan “{}�. Contoh: 1. adalah himpunan semua bilangan asli lebih kecil dari 10. Himpunan berikut:
dapat ditulis dengan cara
Anggota-anggota himpunan dipisahkan dengan tanda koma ( , ). 2.
adalah himpunan semua bilangan bulat. Himpunan dapat ditulis sebagai berikut:
43 Tiga titik ( ) di akhir atau awal himpunan artinya adalah bahwa himpunan tersebut mempunyai anggota yang tak terhingga sehingga tidak bisa ditulis semua anggotanya. Cara lain menjelaskan adalah sebagai berikut:
himpunan
Maksud dari notasi ini adalah bahwa adalah semua bilangan di mana adalah anggota bilangan bulat ( ). Tanda pemisah titik dua ( : ) dapat diartikan sebagai “di mana ...�.
44 B. Diagram Venn Dua atau lebih himpunan dapat mempunyai anggota yang mempunyai dua atau lebih sifat umum. Kejadian tersebut akan lebih jelas terlihat apabila digambarkan dengan bantuan gambar. Gambar yang dimaksud adalah diagram Venn. Diagram Venn terdiri dari beberapa bagian yaitu: 1. Dalam diagram Venn terdapat suatu himpunan utama yang paling besar yang disebut himpunan semesta (himpunan universal). Biasanya himpunan ini dilambangkan dengan huruf . Berikut contohnya:
Himpunan semesta
45 2. Di dalam diagram Venn terdapat semua anggota himpunan yang telah didefinisikan sebelumnya. Anggotaanggota himpunan dilambangkan dengan titik-titik pada diagram yang disertai nama anggota. Contoh:
Himpunan semesta yang berisi 6 huruf pertama pada alphabet
46 3. Anggota-anggota yang mempunyai sifat yang sama dikumpulkan dalam suatu lingkaran. Lingkaran tersebut dinamai dengan satu huruf atau dengan kata-kata. Suatu diagram Venn dapat mempunyai paling sedikit satu lingkaran. Contoh:
Himpunan semesta U adalah himpunan 4 bilangan asli pertama. Himpunan K adalah himpunan 4 bilangan asli pertama yang kurang dari 3.
47 4. Jika terdapat dua atau lebih lingkaran, satu lingkaran dapat terlihat saling terpisah, bertumpang tindih, atau berada di dalam lingkaran lain.
Himpunan A dan B terpisah
Himpunan A dan B tumpang tindih
48
Himpunan B di dalam himpunan A Posisi lingkaran terhadap lingkaran lain dalam diagram Venn mempunyai arti. Hal ini akan dijelaskan pada sub bab berikutnya. C. Hubungan antar Himpunan Terdapat beberapa hubungan yang dapat terjadi antara satu atau lebih himpunan, yang digambarkan dengan posisi lingkaran terhadap lingkaran lain. Berikut adalah hubungan-hubungan yang dapat terjadi antara dua atau lebih himpunan.
49 1. Gabungan Gabungan dua himpunan terjadi bila suatu anggota himpunan semesta dapat memasuki salah satu himpunan atau himpunan lainnya. Hubungan gabungan dilambangkan dengan lambang . Contoh:
Gabungan antara himpunan dan yaitu ( ). 2. Irisan Irisan dua himpunan dan mengandung anggota-anggota yang memenuhi deskripsi himpunan dan
50 Hubungan gabungan dengan lambang . Contoh:
dilambangkan
Irisan antara himpunan dan ( ).
yaitu
3. Komplemen Komplemen suatu himpunan adalah semua anggota himpunan yang BUKAN anggota himpunan yang dimaksud, namun masih merupakan anggota himpunan semesta. Hubungan komplemen dilambangkan dengan huruf “c� kecil atau tanda aksen ( ‘ ) di kanan atas nama himpunan (Contoh:
51 komplemen himpunan dilambangkan dengan atau Contoh:
Himpunan
bisa ).
beserta komplemennya ( atau ).
4. Himpunan bagian Suatu himpunan disebut sebagai himpunan bagian dari himpunan lain bila semua anggota himpunan tersebut merupakan anggota dari himpunan yang menyelubunginya. Himpunan bagian dilambangkan dengan (atau jika himpunan yang “lebih kecil� dapat sama dengan himpunan yang “lebih besar�).
52 Contoh:
Himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan . ( atau ) Jika anggota semua himpunan bagian sama dengan semua anggota himpunan yang menyelubunginya, maka kedua himpunan bagian tersebut sama dengan himpunan yang menyelubunginya. Dua himpunan yang sama disatukan dengan tanda sama dengan ( ).
53 Contoh:
Himpunan sama dengan himpunan . ( ) karena mempunyai anggotaanggota yang sama, yaitu 1, 2 dan 3. D. Sifat-sifat Himpunan Berikut ini adalah sifat-sifat yang ada dalam teori himpunan. Terdapat kemiripan sifat-sifat antara teori himpunan dan proposition algebra. 1. Sifat Idempoten ;
54 2. Sifat Asosiatif
3. Sifat Distributif
4. Sifat Penyerapan
5. Sifat Komutatif ; 6. Sifat Identitas ; ;
55 7. Sifat Komplemen ; 8. Sifat Involusi
9. Sifat de Morgan
;
56
TOPIK 5 Teori Himpunan Fuzzy
-
Pengenalan Himpunan Fuzzy
-
Definisi Himpunan Fuzzy
-
Operasi pada Himpunan Fuzzy
-
Jenis-Jenis Himpunan Fuzzy
57 A. Pengenalan Himpunan Fuzzy Dalam kehidupan sehari-hari, kita selalu melihat beberapa benda, orang, atau apapun itu, dikelompokkan dalam suatu kelompok. Dengan kata lain, mereka merupakan anggota dari himpunan mereka masing-masing. Contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari adalah himpunan orangorang yang mempunyai badan tinggi. Kita andaikan himpunan ini mempunyai suatu syarat seseorang dapat dikatakan “tinggi�, yaitu jika ia mempunyai tinggi badan minimum . Misalkan A dan B adalah salah dua anggota himpunan ini. A mempunyai tinggi badan , sedangkan B mempunyai tinggi badan . Menurut syarat himpunan ini, A dikatakan tinggi, namun B dikatakan tidak tinggi. Misalkan C dan
58 D juga anggota himpunan ini. C mempunyai tinggi badan , sedangkan D mempunyai tinggi badan . Menurut syarat himpunan, C dikatakan tinggi, sedangkan D dikatakan tidak tinggi. Jika kita pikirkan, dalam kehidupan nyata, C lebih tinggi daripada A, dan D lebih pendek daripada B. Tinggi mereka sangatlah beragam, tidak hanya sekadar “tinggi� atau “pendek�. Jika kita hanya terpaku pada himpunan biasa yang sudah kita kenal, maka kita akan sulit mendeskripsikan mereka masing-masing dengan tepat. Untuk mengatasi keadaan ini, diciptakan suatu konsep himpunan yang baru, yaitu himpunan fuzzy. Konsep himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.
59 B. Definisi Himpunan Fuzzy Sebuah himpunan fuzzy (Fuzzy Set) adalah sebuah himpunan di mana anggotanya mempunyai keanggotaan yang tidak jelas/fuzzy. Sebuah anggota himpunan fuzzy dapat berstatus anggota pasti, anggota tidak pasti, atau sama sekali bukan anggota himpunan tersebut. Secara matematis, himpunan fuzzy dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan adalah sebuah himpunan fuzzy, himpunan semesta, dan . , mempunyai derajat keanggotaan, yang dilambangkan dengan . Nilai berkisar dalam interval ( ). Semakin nilai mendekati , semakin tinggi derajat keanggotaan dalam .
60 Secara singkat, himpunan fuzzy dituliskan sebagai :
C. Operasi pada Himpunan Fuzzy 1) Gabungan
2) Irisan
3) Komplemen
4) Support
5) Alpha-cut
dapat
61 6) Kardinalitas (Jumlah anggota)
D. Jenis-Jenis Himpunan Fuzzy 1. Himpunan Fuzzy Diskrit Himpunan fuzzy diskrit adalah himpunan fuzzy yang anggota-anggotanya terpisah-pisah/diskrit dan berbeda-beda. Himpunan fuzzy diskrit dituliskan sebagai
Contoh: Diberikan dua himpunan fuzzy yang diuraikan sebagai berikut:
dan
62 Tentukan
, , .
Jawab: -
-
-
-
-
-
,
, , , dan
63 -
2. Himpunan Fuzzy Kontinu Himpunan fuzzy kontinu adalah himpunan fuzzy di mana anggotaanggotanya bersifat kontinu, dan derajat keanggotaan setiap anggota dipetakan oleh fungsi , di mana adalah suatu himpunan dan adalah suatu anggota himpunan semesta.
Contoh: Diberikan dua himpunan fuzzy dan yang dijabarkan sebagai berikut.
64
Tentukan
dan , dan
, ,
Jawab: Pertama-tama kita gambar grafik fungsi dan terlebih dahulu. Dari grafik tersebut, kita akan menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diajukan.
65
Grafik fungsi
dan
dan Komplemen dari sebuah himpunan fuzzy adalah . Hal itu juga berlaku untuk himpunan Maka dari itu, dan berturut-turut adalah :
66
Kita tentukan terlebih dahulu himpunan . Gabungan dari himpunan dan adalah himpunan yang isinya semua anggota masing-masing himpunan di mana diambil derajat keanggotaan yang terbesar. Oleh karena itu, adalah daerah yang diarsir seperti berikut pada grafik fungsi.
Grafik fungsi himpunan
dan
beserta (diarsir)
67 Dari gambar, terlihat bahwa anggota himpunan adalah semua bilangan real yang memenuhi . Nilai dan tidak masuk karena derajat keanggotaan mereka adalah . Ingat bahwa Jadi,
.
Kita tentukan terlebih dahulu himpunan . Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang isinya semua anggota masing-masing himpunan di mana diambil derajat keanggotaan yang terkecil. Oleh karena itu, adalah daerah yang diarsir seperti berikut pada grafik fungsi.
68
Grafik fungsi himpunan
dan
beserta (diarsir)
Dari gambar, terlihat bahwa anggota himpunan adalah semua bilangan real yang memenuhi . Nilai dan tidak masuk karena derajat keanggotaan mereka adalah . Ingatlah akan definsi support yang telah dijelaskan sebelumnya. Jadi,
.
69 Kita sudah mendapatkan nilai dari dan sebelumnya. Kita gambar grafik fungsi dari himpunan dan terlebih dahulu.
Grafik fungsi
Himpunan
dan
(diarsir)
70 Dari gambar, terlihat bahwa anggota himpunan adalah semua bilangan real . Jadi,
.
Soal ini meminta kita menentukan semua anggota himpunan yang mempunyai derajat keanggotaan lebih dari atau sama dengan . Pertama-tama, kita lihat kembali grafik fungsi himpunan .
71 Semua anggota himpunan tergambar pada grafik dibawah ini. Garis lurus yang memotong dan adalah garis .
Untuk
menentukan
secara
persis
anggota-anggota , kita tentukan dahulu perpotongan garis dengan kurva himpunan dan . Anggota dengan nilai terkecil terletak pada bagian kiri titik potong garis dengan kurva . Kita tentukan titik potong tersebut.
72
Karena
terletak di kiri
,
maka anggota terkecil adalah . Sekarang kita tentukan anggota terbesar dalam himpunan
, yang
73 terletak pada bagian kanan titik potong garis dengan kurva .
Karena ,
maka adalah
terletak di kanan anggota terbesar .
74 Cara mengerjakan soal ini mirip dengan soal sebelumnya, namun terdapat suatu perbedaan. Kita lihat kembali grafik dari himpunan .
Semua anggota himpunan tergambar pada gambar berikut. Garis lurus yang memotong dan adalah garis .
75 Dari gambar, telihat bahwa ternyata keanggotaan terpecah menjadi 2 bagian. Kita cari keanggotaan masing - masing bagian. 1. Perpotongan
dengan
.
76 Kita dapatkan yang terdapat pada arsiran bagian kanan dan yang terdapat pada arsiran bagian kiri. 2. Perpotongan dengan .
Kita dapatkan yang terdapat pada arsiran bagian kanan dan yang terdapat pada arsiran bagian kiri.
77 Sekarang kita perhatikan keanggotaan arsiran bagian kiri dan bagian kanan dan sederhanakan kedua bagian tersebut. Pada arsiran bagian kiri, kita dapatkan dan sebagai anggota . Namun, adalah anggota terbesar pada arsiran bagian kiri. Jadi, sebagian anggotaanggota (bagian kiri) adalah . Pada arsiran bagian kanan, kita dapatkan dan sebagai anggota . Namun, adalah anggota terkecil pada arsiran bagian kanan. Jadi, sebagian lain anggota-anggota (bagian kanan) adalah .
78 Jika anggota-anggota bagian kiri digabung dengan anggota-anggota bagian kanan, maka secara keseluruhan, anggota-anggota adalah atau . .
79
TOPIK 6 Fungsi -
Definisi
-
Tipe-Tipe
-
Domain
-
Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
-
Fungsi Komposisi
-
Fungsi Invers
-
Invers dari komposisi
80 A. Definisi Fungsi Fungsi merupakan pemetaan domain (daerah asal) dan kodomain (range). Contoh:
Domain Codomain : Range B. Tipe-Tipe Fungsi 1. Satu-satu (injektif) , di mana satu codomain berpasangan dengan satu domain.
81 Contoh:
2. Pada / Onto (surjektif) yang
memenuhi
, di mana semua codomain adalah range . Contoh:
82 3. Korespondensi satu-satu (bijektif) Gabungan dari fungsi surjektif dan injektif. Contoh:
C.Domain dari Sebuah Fungsi Bentuk
83
Contoh: Tentukan domain dari
Jawab:
Penyebut tidak boleh sama dengan 0, berarti:
84 dan Agar bentuk dalam akar sama dengan 0, maka atau .
Jadi, domain dari fungsi
adalah:
D. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Fungsi genap
simetris terhadap sumbu
85 Fungsi ganjil
simetris terhadap titik
Bukan keduanya Contoh: Tentukan apakah fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya!
Fungsi ganjil.
adalah fungsi
86 Contoh: Tentukan
apakah
simetris terhadap titik atau bukan keduanya!
, sumbu
Fungsi simetris terhadap sumbu
,
.
E. Fungsi Komposisi
Contoh 1: Diketahui Tentukan
dan
!
87 Jawab:
Contoh 2: Diketahui dan Jawab:
. Tentukan
!
88 Contoh: dan Tentukan
!
Jawab:
Misalkan Koefisien masing-masing suku disamakan
=
89 Dari koefisien , didapat 1) berarti . Dari koefisien
(Pers.
, didapat
(Pers. 2; dimasukkan nilai lalu didapat
) menjadi .
Dari konstanta, didapat (Pers. 3), dimasukkan nilai , sehingga didapat . Jadi, . F.Fungsi Invers berarti Contoh: Diketahui Tentukan inversnya !
dan
90 Jawab:
91 G.Invers dari Fungsi Komposisi Jika , , dan adalah tiga buah fungsi, dan , , dan masing-masing, maka
adalah inversnya
92
TOPIK 7 Kombinatorika
-
Faktorial
-
Aturan Hitung
-
Permutasi dan Kombinasi
93 Ketika kita ingin menghitung suatu kejadian atau kemungkinan yang dapat terjadi, ada beberapa cara yang dapat kita gunakan untuk menyederhanakan penghitungan. Ada tiga cara yang paling umum digunakan, yaitu dengan menggunakan aturan hitung, permutasi, dan kombinasi. Sebelum mempelajari ketiga cara tersebut, ada baiknya kita mengenal suatu notasi yang sangat berguna dalam penghitungan, yaitu faktorial. A. Faktorial Faktorial merupakan notasi singkat yang melambangkan perkalian bilanganbilangan bulat dari n hingga 1. Faktorial dari dilambangkan dengan yang mempunyai arti sebagai berikut. Contoh:
94 B. Aturan Hitung Contoh: Menghitung jumlah cara membuat plat nomor polisi jika karakter pertama adalah sebuah huruf dan 3 karakter sisanya adalah angka. Urutan angka “000” tidak diperbolehkan. Kita dapat membuat kemungkinan plat nomor dengan cara membuat 4 kotak berbeda untuk tiap karakter yang diminta.
Huruf
Angka
Angka
Angka
Terdapat 26 kemungkinan huruf untuk karakter pertama dan 10 kemungkinan angka untuk tiga karakter setelahnya. Karena urutan angka “000” tidak diperbolehkan, maka jumlah semua kemungkinan angka pada plat nomor akan dikurangi 1.
95 Jumlah kemungkinan pembuatan plat nomor adalah: Kemungkinan huruf x [Kemungkinan angka x Kemungkinan angka x Kemungkinan angka - pengecualian urutan angka �000� pada plat nomor] plat nomor. C. Permutasi Permutasi digunakan bila kita ingin menghitung jumlah kemungkinan pemilihan / pengambilan / penempatan terurut yang dapat terjadi. Contoh: Menghitung jumlah kemungkinan memilih orang dari orang yang ada untuk menduduki jabatan presiden dan wakil presiden. Dalam hal ini, kita harus memperhatikan urutan pemilihan.
96 Permutasi orang dari orang dapat dilambangkan sebagai berikut.
D. Kombinasi Kombinasi digunakan bila kita ingin menghitung jumlah kemungkinan pemilihan / pengambilan / penempatan tidak terurut yang dapat terjadi. Contoh: Menghitung jumlah cara mendapatkan bola merah dari sebuah tas yang berisi n bola. Dalam hal ini, urutan pengambilan tidak perlu diperhatikan. Kombinasi bola merah dari tas yang berisi bola dapat dilambangkan sebagai berikut.
97
TOPIK 8 Graph dan Aplikasinya
-
Maximum Flow Diagram
-
Minimum Spannig Tree
-
Shortest Path
-
Mendeskripsikan Graph dengan Menggunakan Matriks
-
Graph Khusus
-
Bilangan Kromatik
-
Finite State Automata
98 A. Maximum Flow Diagram Maximum flow diagram adalah suatu diagram yang digunakan untuk melihat mengalirnya suatu entitas misalnya air, oli, barang dll. dan mementukan aliran tercepat atau terbanyak. Maximum flow diagram dimulai dari initial vertex (titik awal) dan berakhir di terminal vertex (titik tujuan atau akhir). Contoh:
Sebuah perusahaan memiliki masalah dengan aliran oli. Vertex-vertex (titik-titik) pada graph mewakili kota dan angka
99 pada tiap edge (rusuk) mewakili kapasitas debit oli dalam . Berapakah total debit oli yang mengalir dari kota ke kota ? (Anggap oli mengalir ke kanan dan tidak ada oli yang mengalir ke kiri / belakang / mundur.) Langkah-langkah pengerjaan: 1.Tentukan semua lintasan aliran yang mungkin. 2. Hitung kapasitas / debit pada masingmasing lintasan yang telah ditemukan pada langkah sebelumnya. 3. Hitung total kapasitas / debit dari semua lintasan yang mungkin. Jawab: 1. Lintasan-lintasan aliran oli yang mungkin adalah
100
2. Debit oli pada masing-masing lintasan adalah:
3. Total debit oli dari kota adalah :
ke kota
101 B. Minimum Spanning Tree Minimum spanning tree merupakan bentuk spesial dari graph yang tidak memiliki cycle atau path tertutup, akan tetapi semua vertex (titik) terhubung. Contoh:
Graph ini adalah pemandangan tempat rekreasi pada sebuah pulau. Di pulau ini akan dibangun MRT. Tentukan total panjang lintasan MRT terkecil yang dapat menghubungkan semua tempat pada pulau tersebut! (Satuan panjang yang digunakan adalah meter ( ))
102 Langkah-langkah pengerjaan: 1. Mulai dari jarak terkecil 2. Bentuk pohon rentang (spanning tree) 3. Cari jarak berikutnya 4. Sambung semua titik (tidak ada cycle atau path yang tertutup.) Jawab:
. Minimum spanning tree dari soal di atas adalah
103 C. Shortest Path Shortest path digunakan untuk mengetahui jalan terpendek dari suatu verteks awal ke verteks yang lainnya (verteks akhir). Verteks biasanya melambangkan suatu tempat, sedangkan edge melambangkan waktu tempuh atau jarak yang harus dilalui dari satu verteks ke verteks berikutnya. Contoh:
Tentukan jarak terpendek dari ke ! (Satuan panjang yang digunakan adalah kilometer ( ))
104 Langkah-langkah pengerjaan: 1. Kumpulkan semua rute yang mungkin. 2. Hitunglah jarak setiap rute. 3. Tentukan rute yang mempunyai jarak total paling kecil. Jawaban :
Rute terpendek adalah
dengan jarak total
105 D. Mendeskripsikan Graph dengan Matriks Diketahui graph berikut:
Terlihat bahwa graph ini mempunyai 3 titik (verteks atau node) ( , , dan ) dan 4 edge ( , , , dan ). Graph ini dapat dideskripsikan menggunakan matriks. Ada 3 cara yang umum digunakan, yaitu dengan menggunakan: 1. Edge Matrix (Matriks Rusuk) Matriks ini menjelaskan hubunganhubungan yang ada di antara 1 rusuk dengan rusuk lain yang berdekatan. Jika kita dapat “pergi� dari suatu rusuk
106 menuju rusuk yang lain dengan melalui hanya 1 titik. Kita bisa menuliskan angka sebagai elemen matriks yang terdapat pada perpotongan kolom satu rusuk dengan baris rusuk yang lain.
2. Adjacency Matrix (Matriks Titik) Matriks ini menjelaskan hubunganhubungan yang ada di antara satu verteks dengan verteks-verteks lain. Angka yang terdapat pada elemen tiap
107 matrix menunjukkan banyaknya rusuk yang menghubungkan 2 titik yang berdekatan secara langsung.
3. Incidence Matrix (Matrix TitikRusuk) Matrix ini menjelaskan hubunganhubungan yang ada di antara suatu titik dengan rusuk-rusuk yang tehubung dengannya. Jika suatu titik terhubung dengan suatu edge, maka kita dapat menuliskan angka pada elemen matrix
108 yang merupakan perpotongan baris titik dan kolom rusuk yang bersesuaian.
E. Graph Khusus Beberapa jenis graph khusus yang sering dijumpai adalah: 1. Traversable Graph Traversable graph adalah graph yang semua rusuknya dapat dilewati satu kali (digambar tanpa mengangkat alat tulis) dan melewati semua rusuk.
109
Ada banyak jalan yang bisa dilalui, salah satunya adalah melewati vertex-vertex dengan urutan 2 - 3 - 4 - 1 - 2 - 3. 2. Eulerian Graph Eulerian graph adalah graph yang semua rusuknya dapat dilewati satu kali dan membentuk trail / jalan tertutup (awal dan akhir jalan sama) dan melewati semua rusuk.
Pada contoh graph tersebut, salah satu jalan yang bisa dilalui adalah melewati
110 vertex-vertex dengan urutan 1 - 2 - 5 - 4 - 5 - 2 - 3 - 4 - 1. 3. Hamiltonian Graph Hamiltonian graph adalah graph yang semua verteks-nya dapat dilewati satu kali dan membentuk path tertutup dan melewati semua vertex.
Pada graph di atas, salah satu jalan yang dapat dilalui adalah dengan melalui verteks–verteks dengan urutan 1 - 2 - 3 4 - 1.
111 4. Teori Euler: 1. Semua graph yang memiliki maksimal dua verteks ganjil bersifat traversable dan saat menentukan path mulailah dari vertex ganjil. 2. Suatu graph dikatakan graph Eulerian jika semua verteksnya genap (jumlah rusuk yang terhubung pada tiap titik merupakan suatu bilangan genap). F. Bilangan Kromatik Bilangan kromatik menyatakan jumlah warna terkecil yang mungkin dan yang bertemu pada suatu titik dengan syarat tidak boleh memiliki warna yang sama. Bilangan kromatik digunakan untuk pewarnaan graph. Ada 3 jenis pewarnaan pada graph, yaitu: 1. Pewarnaan titik (vertex), dilambangkan dengan
.
112 2. Pewarnaan
rusuk
(edge),
dilambangkan dengan 3. Pewarnaan daerah
.
dilambangkan dengan
.
(area),
Daerah / region dianggap adjacent atau bertemu bila sisinya berhimpit. Contoh: Berikut adalah sebuah graph dengan 6 titik dan 8 rusuk.
Kita tentukan semua bilangan kromatik dari graph di atas.
113 1. Bilangan kromatik vertex dari graph tersebut adalah
.
2. Bilangan kromatik rusuk dari graph tersebut adalah
.
114 3. Bilangan kromatik daerah dari graph tersebut adalah
.
G. Deterministic Finite-State Automata Sistem Finite Automata (FA) adalah suatu sistem paling sederhana yang menggambarkan bagaimana suatu program bekerja. Contoh gambar FA adalah sebagai berikut
115 Contoh FA tersebut mempunyai buah state (keadaan) dan buah symbol. Bentuk FA dapat ditampilkan dalam bentuk yang lain, yaitu: 1. Definisi Formal 5-tuples 5-tuple dari suatu FA terdiri dari , , , , dan . Penjelasan masing-masing tuple adalah sebagai berikut. -
-
= himpunan contoh di atas,
untuk .
= himpunan simbol input, untuk contoh di atas,
-
status/state,
.
= himpunan semua gabungan state awal, input, dan state yang dituju setelah mendapat input tersebut.
116 =
-
=
state awal (Initial State)
= himpunan accepting state, untuk contoh di atas :
Accepting state pada sebuah FA ditandai dengan sebuah state yang dilingkari tebal atau dilingkari 2 kali.
117 2. Dengan Table State Untuk contoh FA di atas, table state yang bersesuaian adalah:
State di
yang diberi tanda asterisk (*)
adalah accepting state dari FA. String pada suatu FA adalah kumpulan berurutan dari simbol input yang tersedia pada FA yang dimaksud, yang dapat dimasukkan dalam FA. Contoh string yang mungkin untuk FA di atas: 10110, 01001.
118 Dalam sebuah FA, jika string berakhir di salah satu accepting state di , maka string itu diterima / accepted dan bila tidak demikian maka string itu ditolak/rejected. Kumpulan semua string yang accepted disebut dengan language. Untuk menentukan apakah suatu string diterima atau ditolak, kita masukkan string itu dalam FA. Dalam memasukkan string ke dalam FA, kita ikuti langkahlangkah berikut: 1. Mulai dari state awal. 2. Baca simbol pertama, dimulai dari kiri. 3. Tentukan state selanjutnya jika mendapat simbol itu. 4. Lanjutkan ke simbol selanjutnya, dan ulangi langkah 3 dan 4 hingga semua symbol telah terbaca.
119 Contoh: Untuk string 10110, state-state yang dikunjungi secara berturut-turut adalah:
<Awal>
.
Untuk string 01001, state-state yang dikunjungi secara berturut-turut adalah: <Awal> String
10110
diterima
karena
terakhir yang dikunjungi adalah
.
state , yang
merupakan accepting state. Sedangkan string 01001 tidak diterima karena state terakhir yang dikunjungi adalah
, yang bukan merupakan
accepting state FA di atas.
REFERENSI http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematica l_logic http://en.wikipedia.org/wiki/Set_(mathem atics) L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets". http://en.wikipedia.org/wiki/Function_(ma thematics) http://www.homeschoolmath.net/teachin g/proof_square_root_2_irrational.php http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatori cs http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theor y
PROFIL Himpunan Matematika merupakan Himpunan
Mahasiswa (HIMMAT) salah
satu
Mahasiswa
Jurusan (HMJ) di BINUS UNIVERSITY.
HIMMAT
adalah wadah penyaluran aspirasi, kreativitas, dan bakat serta pengembangan diri dari mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan Matematika BINUS UNIVERSITY. HIMMAT berasaskan kekeluargaan dan kode etik berorganisasi di BINUS UNIVERSITY. HIMMAT didirikan pada tanggal 21 April 1999. HIMMAT adalah organisasi yang bersifat kekeluargaan, kemahasiswaan, keilmuan, dan kemasyarakatan.