mt411253

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά

ISBN Set 978-960-06-5659-6 Τ.Α´ 978-960-06-5661-9 Κωδικός Βιβλίου: 0-10-0209

E´

Δη μο τ

ικο ύ

α´ τεύχος

(01) 000000 0 10 0209 6

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

0-10-0209_cover.indd 1

18/4/2018 3:55:54 µµ

Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

10-0209.indd 1

16/04/2018 15:04

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

ΚΡΙΤΕΣ–ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ

ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ EΠΙΜΕΛΕΙΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΕΠ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Σπυρίδων Δουκάκης, Εκπαιδευτικός ΠΕ03 Βασιλική Καρακώστα, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Γεώργιος Μπαραλής, Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Ιωάννα Σταύρου, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Δέσποινα Πόταρη, Καθηγήτρια Ε.Κ.Π.Α. Δημήτριος Ζυμπίδης, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ70 Μαρία Λάτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Σοφία Στασινοπούλου Γλυκερία Τσιμούρτου Δημήτριος Μπόντης Αθανάσιος Σκούρας, Σύμβουλος Α΄ ΥΠ.Π.Ε.Θ. Κλεοπάτρα Μουρσελά, Εισηγήτρια Ι.Ε.Π. ΠΕ08 Ευάγγελος Συρίγος, Ειδικός Σύμβουλος Ι.Ε.Π. Ιουλιανή Βρούτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ02 ΙΤΥΕ ‘‘ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ’’

Το παρόν εκπονήθηκε με την υπ. αρ. 21/16-06-2016 Πράξη του Δ.Σ. του Ι.Ε.Π. ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γεράσιμος Κουζέλης Πρόεδρος του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

10-0209.indd 2

16/04/2018 15:04

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Κωνσταντίνος Βρυώνης

Σπυρίδων Δουκάκης

Γεώργιος Μπαραλής

Βασιλική Καρακώστα

Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

10-0209.indd 3

16/04/2018 15:04

ενότητα 1

ενότητα 3

Κεφ. 1 Υπενθύμιση – Α' μέρος

7

Κεφ. 13 Οι κλασματικοί αριθμοί

39

Κεφ. 2 Υπενθύμιση – Β' μέρος

9

Κεφ. 14 Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας

41

Κεφ. 3 Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα

11

Κεφ. 4 Οι φυσικοί αριθμοί

13

Κεφ. 5 Αξία θέσης ψηφίου στους φυσικούς αριθμούς

Κεφ. 15 Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης

43

15

Κεφ. 6 Σύγκριση και διάταξη στους φυσικούς αριθμούς

Κεφ. 16 Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων

45

17

Κεφ. 7 Στρογγυλοποίηση στους φυσικούς αριθμούς

Κεφ. 17 Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων

47

19

1ο επαναληπτικό κεφάλαιο

21

Κεφ. 18 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

49

Κεφ. 19 Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα-Αντίστροφοι αριθμοί

51

Κεφ. 20 Διαίρεση κλασμάτων

53

Κεφ. 21 Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

55

3ο επαναληπτικό κεφάλαιο

57

ενότητα 2

10-0209.indd 4

Κεφ. 8 Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

25

Κεφ. 9 Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς

27

Κεφ. 10 Πολλαπλάσια και διαιρέτες

29

Κεφ. 11 Κριτήρια διαιρετότητας

31

Κεφ. 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

33

2ο επαναληπτικό κεφάλαιο

35

ενότητα 4 Κεφ. 22 Συλλογή οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων

61

Κεφ. 23 Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Μέση τιμή

63

Κεφ. 24 Πιθανότητες

65

4ο επαναληπτικό κεφάλαιο

67

16/04/2018 15:04

Ενότητα

10-0209.indd 5

1

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 6

16/04/2018 15:04

Υπενθύμιση - Α΄ μέρος Τι θυμόμαστε από τα Μαθηματικά των προηγούμενων τάξεων • Μετράμε από το 999.980 ως το 1.000.000.

• Γράφουμε τον μεγαλύτερο πενταψήφιο αριθμό: _ _ _ _ _ • Γράφουμε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό: _ _ _ _ • Γράφουμε τον προηγούμενο και τον επόμενο του αριθμού: __________ < 198.090 < ________ • Γράφουμε <, > ή = στα ζευγάρια των αριθμών: 345.180 __ 43.854 94.894 __ 98.494 890.182 __ 890.182

Αριθμοί

Πρόσθεση

2 9 7 5 + 2 8 ______________

9

9 4

- 6 3 7 ______________

8.000 + 4.000 = 129.999 + 356.001 = 45.700 + 239.135 + 3.300 =

Προσθέτουμε κάθετα τους αριθμούς: 14.287 + 36 + 4.002 +369 =

3.600 - 1.700 = 642.800 - 4.800 = 640.090 - 300.080 =

Αφαιρούμε κάθετα τους αριθμούς: 1.000.000 - 345.804 =

2 x 500.000 = 4 x 250.000 = 8 x 125.000 = 12 x 50.000 = 150 x 600 =

Πολλαπλασιάζουμε κάθετα τους αριθμούς: 378 x 19 = 206 x 54 =

480.000 : 4 = 480.000 : 12 = 480.000 : 10.000 = 480.000 : 160 = 480.000 : 12.000 =

Διαιρούμε κάθετα τους αριθμούς: 84.900 : 6= 107.352 : 18=

Το υπόλοιπο της διαίρεσης 2.502 : 5 είναι ...

450.000 : 7 =

8

και αφαίρεση 1 5

1

7 7

Πολλαπλασιασμός

1 5

x 1 ______________

6 9

+ 1 ________________

8 4 0

Διαίρεση τέλεια (υ=0) 7 8 3 1 8 - 7 2 4 3 6 3 - 5 9 0 - 9 0

και ατελής (υ≠0) 7 8 2 8 - 7 4 3 6 5 - 5 1 1 2 - 1 8 4

7 10-0209.indd 7

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Υπενθύμιση - Α΄ μέρος Κλάσματα

Δεκαδικοί αριθμοί

Γράφουμε πώς διαβάζουμε τα κλάσματα:

1 ...........................

2

1 ...........................

4

3 ...........................

4

5 ...........................

7

1 ...........................

10

1 ...........................

100

Γράφουμε πώς διαβάζουμε τους δεκαδικούς αριθμούς:

0,9

0,12

0,123

1,9

1,26

12,306

1 =0,1 10 Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς + =

4,8 + 1 = 4,8 + 0,1 = 4,8 + 0,01 = 4,8 + 0,001 =

Προσθέτουμε κάθετα τους αριθμούς: 36 + 3,6 + 0,36 + 3

4,8 – 1 = 4,8 - 0,1 = 4,8 - 0,01 = 4,8 - 0,001 =

Αφαιρούμε κάθετα τους αριθμούς: 100,02 - 23,65 =

0,2 + 0,5 = 0,7 Συμμιγείς αριθμοί

Μετατρέπουμε τους δεκαδικούς αριθμούς σε συμμιγείς: 1,248 μ.

3,600 κ.

1,5 ώρ.

2018 έτ. 9 μήν. 12 ημ. Αριθμογραμμή

Συμπληρώνουμε τους αριθμούς στην αριθμογραμμή:

0

1.000.000

8 10-0209.indd 8

16/04/2018 15:04

Υπενθύμιση - B΄ μέρος Τι θυμόμαστε από τα Μαθηματικά των προηγούμενων τάξεων Γεωμετρία

Αντιστοιχίζουμε τις ευθείες με τις ονομασίες τους:

• •

•

• •

•

Γεωμετρικά σχήματα

2

παράλληλες τεμνόμενες

κάθετες

Αναγνωρίζουμε τα γεωμετρικά σχήματα:

...................... ............................ ........................ ................. Καθένα από τα παραπάνω γεωμετρικά σχήματα έχει: α. τέσσερις __________________ β. τέσσερις __________________ γ. τέσσερις __________________

Γράφουμε ποια από τα παραπάνω γεωμετρικά σχήματα έχουν: α. όλες τις πλευρές τους ίσες: ___________________________ β. όλες τις γωνίες τους ορθές: ___________________________ Γεωμετρικά στερεά

Αναγνωρίζουμε τα γεωμετρικά στερεά:

9 10-0209.indd 9

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Υπενθύμιση - B΄ μέρος Μετρήσεις

Μετράμε το μήκος

Αναφέρουμε γνωστά μας μεγέθη και τις αντίστοιχες μονάδες με τις οποίες τα μετράμε. Υπολογίζουμε την περίμετρο των παρακάτω σχημάτων.

2 εκ.

2 εκ.

4 εκ.

Περίμετρος τετραγώνου =

Περίμετρος ορθογωνίου =

Μετράμε την επιφάνεια

Υπολογίζουμε το εμβαδό των παρακάτω σχημάτων.

2 εκ.

2 εκ.

4 εκ.

Εμβαδό τετραγώνου = Μετράμε τον χρόνο

Εμβαδό ορθογωνίου =

Γράφουμε τι ώρα θα δείχνει το ρολόι της εικόνας 2 ώρες και 45 λεπτά μετά: ........................ Γράφουμε τι ώρα έδειχνε το ρολόι της εικόνας πριν από 1 ώρα και 15 λεπτά: ........................ Τα σχολεία κλείνουν 15 Ιουνίου και ανοίγουν 11 Σεπτεμβρίου. Υπολογίζουμε πόσες ημέρες είναι οι καλοκαιρινές διακοπές μας. __________________________________________________

Μετράμε το βάρος

Γράφουμε το βάρος μας: ....................... Μετράμε με ακρίβεια το βάρος μας σε: ............ και ............

Μετράμε τη χωρητικότητα

Γράφουμε τη χωρητικότητα την οποία έχει συνήθως: • ένα μεγάλο μπουκάλι νερό: .................

• ένα μικρό μπουκάλι νερό: .................

10 10-0209.indd 10

16/04/2018 15:04

3

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα Διερεύνηση

Ένα κατάστημα αθλητικών ειδών πούλησε 200 μπάλες. Οι 80 ήταν μπάλες του μπάσκετ και οι υπόλοιπες ήταν του βόλεϊ και του ποδοσφαίρου. Οι μπάλες του βόλεϊ ήταν διπλάσιες από αυτές του ποδοσφαίρου. Πόσες μπάλες του βόλεϊ και πόσες του ποδοσφαίρου πούλησε το κατάστημα;

1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα, έτσι ώστε να διακρίνουμε: Τι προσπαθούμε να βρούμε;

Τι γνωρίζουμε;

2. Προτείνουμε στρατηγικές με τις οποίες νομίζουμε ότι μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα. Επιλέγουμε τη στρατηγική με την οποία θα προσπαθήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα.

Παρουσιάζουμε με δικό μας τρόπο το πρόβλημα και το πώς θα το λύσουμε.

3. Συζητάμε με ποιες μαθηματικές σχέσεις μπορούμε να εκφράσουμε αυτά που γνωρίζουμε και πώς μπορούμε να βρούμε αυτό το οποίο ζητάμε.

4. Απαντάμε στο πρόβλημα.

5. Συζητάμε πώς μπορούμε να ελέγξουμε την απάντησή μας.

11 10-0209.indd 11

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Όταν λύνουμε ένα πρόβλημα, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Διαβάζουμε και διακρίνουμε: • Τι προσπαθούμε να βρούμε; • Τι γνωρίζουμε;

Πόσες μπάλες του βόλεϊ και πόσες του ποδοσφαίρου πούλησε το κατάστημα;

2. Σχεδιάζουμε πώς θα λύσουμε το πρόβλημα: • Ποια στρατηγική ή στρατηγικές θα χρησιμοποιήσουμε; • Ποιο εργαλείο ή ποια εργαλεία θα χρησιμοποιήσουμε;

• 200 μπάλες συνολικά

• 80 μπάλες μπάσκετ

• μπάλες βόλεϊ διπλάσιες από ποδοσφαίρου Στρατηγικές

Εργαλεία

 Παρουσιάζω το πρόβλημα  ζωγραφιά Δοκιμάζω, ελέγχω, αναθεωρώ πίνακας Αναζητώ ένα μοτίβο κατάλογος Επιχειρηματολογώ διάγραμμα Εργάζομαι αντίστροφα θεατρικό παιχνίδι Λύνω ένα πιο απλό πρόβλημα αντικείμενο

3. Λύνουμε το πρόβλημα: Με ποιες μαθηματικές σχέσεις μπορούμε να εκφράσουμε και να βρούμε τη λύση του προβλήματος;

Οι μπάλες του βόλεϊ και του ποδοσφαίρου είναι 200 80=120. Επειδή οι μπάλες του βόλεϊ είναι διπλάσιες από τις μπάλες του ποδοσφαίρου, σε μία μπάλα ποδοσφαίρου και μία μπάλα βόλεϊ αντιστοιχούν τρεις μπάλες ποδοσφαίρου. Επομένως, οι μπάλες του ποδοσφαίρου είναι 120 : 3 = 40 και οι μπάλες του βόλεϊ είναι 2 x 40 = 80.

4. Απαντάμε στο πρόβλημα.

Το κατάστημα πούλησε 80 μπάλες του βόλεϊ και 40 μπάλες του ποδοσφαίρου.

5. Αναστοχαζόμαστε.

Το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι λογικό, γιατί 80 + 40 + 80=200 μπάλες συνολικά. Οι πράξεις που κάναμε είναι σωστές και η απάντησή μας σαφής.

Εφαρμογή Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα χρησιμοποιώντας τετραγωνισμένο χαρτί. Κάθε κουτί στο τετραγωνισμένο χαρτί αντιστοιχεί σε μία μπάλα. Από τις 200 μπάλες, οι 80 είναι του μπάσκετ (). Σε κάθε δύο μπάλες του βόλεϊ () αντιστοιχεί μία ποδοσφαίρου (). πό το σχέδιο στο τετραγωνισμένο χαρτί φαίνεται ότι το Α κατάστημα πούλησε ____ μπάλες του βόλεϊ και ___ μπάλες του ποδοσφαίρου.

Αναστοχασμός 1. Ο Νίκος στο ίδιο πρόβλημα έγραψε την απάντηση: «Το κατάστημα πούλησε 80 και 40». Εξηγούμε γιατί είναι λανθασμένη η απάντησή του.

2. Συζητάμε γιατί σε κάθε πρόβλημα γράφουμε τη λύση και την απάντησή του.

3. Η Αγγελική υποστηρίζει ότι ο τρόπος με τον οποίο λύνουμε τα προβλήματα στα

Μαθηματικά μάς βοηθά να λύσουμε και τα προβλήματα που συναντάμε στη ζωή μας. Συμφωνείτε μαζί της; Ναι ή όχι και γιατί;

12 10-0209.indd 12

16/04/2018 15:04

4

Οι φυσικοί αριθμοί Διερεύνηση

Κάνουμε συνολικά 13 διαφορετικά μαθήματα, τα οποία μας τα διδάσκουν 6 εκπαιδευτικοί.

Φέτος στο τμήμα μας είμαστε 21 μαθητές και μαθήτριες. Το πρωί άργησα

...

1 .

4

Για να πάμε στο υπόγειο της πολυκατοικίας μας, πατάμε στον ανελκυστήρα το κουμπί -1 .

Έφτασα στο σχολείο σε χρόνο 0.

Έχω 2,50 €, για να ψωνίσω στο κυλικείο.

ξετάζουμε ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι φυσικοί αριθμοί και Ε δικαιολογούμε την απάντησή μας.

................................................................................................................................................. Αναγνωρίζουμε τη συσκευή που δείχνει η κάθε εικόνα και παρατηρούμε τα πληκτρολόγιά τους.

2 1

3

6

5

9

8

4 7

%

0

8

7 √

C

ON

.

MCR

M-

+

3

2

1

-

6

5

4

÷

×

9

M+

=

0

1. Πόσα πλήκτρα με αριθμούς έχει το πληκτρολόγιο κάθε συσκευής; ............

2. Ποια είναι και πώς ονομάζουμε τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για

να

γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς;.............................................................

3. Στην αριθμομηχανή τσέπης της διπλανής εικόνας έχουν σβηστεί τα ψηφία από ορισμένα πλήκτρα. Χρησιμοποιούμε μόνο μία φορά κάθε ψηφίο από αυτά που δεν έχουν σβηστεί και γράφουμε: • τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό: ……………………..

• τον μικρότερο φυσικό αριθμό: ………………………..

...

M- M+ √ MC MR

CE ON

4 1 .

% ÷

8 9 × 6 2 3 + =

υζητάμε ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός και γιατί δεν υπάρΣ χει ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

13

10-0209.indd 13

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Οι φυσικοί αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

• Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, …, 98, 99, 100, ..., ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.

• Καθένας από τους φυσικούς αριθμούς εκφράζει ολόκληρες μονάδες, εκτός από το 0.

• Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τα δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9.

• Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό, εκτός από τον αριθμό 0, ο οποίος έχει μόνον επόμενο, τον αριθμό 1.

• Ο αριθμός 0 είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός.

• Μεγαλύτερος φυσικός αριθμός δεν υπάρχει γιατί για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει ο επόμενός του.

3 βιβλία, 183 μαθήτριες, 165.000 €

• Οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί είναι: 0, 2, 4, 6, 8 , ..., • Οι περιττοί φυσικοί αριθμοί είναι: 1, 3, 5, 7, ...,

Προηγούμενος αριθμός

Αριθμός

59.779 999.999 10.000.008

0 59.780 1.000.000 10.000.009

138,

66.000,

1.357.192

269,

258.021,

Επόμενος αριθμός 1 59.781 1.000.001 10.000.010

10.200.865

Εφαρμογή Να βρείτε τη σχέση με την οποία δημιουργείται κάθε αριθμητικό μοτίβο και να συμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν. Έπειτα να δείξετε τη σχέση αυτή για κάθε αριθμητικό μοτίβο στην αριθμογραμμή. α. 0, 1, 2, 3, __, __, __, __, __, __, __, __, 12, __, __, __, __, __, __, __, __, 21. β. 0, 2, 4, 6, __, __, __, __, __, __, __, __, 24, __, __, __, 32. γ. 1, 3, 5, 7, __, __, __, __, __, __, __, __, 25, __, __, 31. Σε καθένα από τα παραπάνω αριθμητικά μοτίβα εξετάζουμε τη σχέση την οποία έχει ο δεύτερος αριθμός με τον πρώτο, ο τρίτος με τον δεύτερο κ.ο.κ. Έτσι έχουμε: α. 1= 0+1, 2=1+1, 3=2+1, ... β. 2=0+2, ............................ γ. ........................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Αναστοχασμός 1. Ο επόμενος φυσικός αριθμός του 1.000 είναι ο: α. 1.010 β. 1.001 γ. 1.100 2. Ο προηγούμενος αριθμός του 10.000.000 είναι ο: α. 99.999.999 β. 9.999.999 γ. 9.099.999 3. Η Αγγελική υποστηρίζει ότι, αν ένας φυσικός αριθμός γράφεται χρησιμοποιώντας μόνο το ψηφίο 9, τότε ο επόμενός του έχει ένα παραπάνω ψηφίο. Έχει δίκιο η Αγγελική; 4. Γράφουμε έναν φυσικό αριθμό κι εξηγούμε πώς βρίσκουμε τον προηγούμενο και τον επόμενό του.

14 10-0209.indd 14

16/04/2018 15:04

5

Αξία θέσης ψηφίου στους φυσικούς αριθμούς Διερεύνηση

...

υζητάμε πώς μπορούμε να διαβάζουμε και να γράφουμε πολυψήφιους Σ αριθμούς Κίνα είναι η χώρα με τον μεγαλύτερο πληθυσμό σε όλο τον κόσμο. Σύμφωνα Η με την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της την 1η Ιουλίου του 2016 ο πληθυσμός της ήταν περίπου 1.400.000.000 κάτοικοι. Πηγή: http://data.stats.gov.cn/

1. Πόσα και ποια είναι τα διαφορετικά ψηφία στον αριθμό που δείχνει τον πληθυσμό της Κίνας;

.....................................................................................................................................................

2. Τοποθετούμε τον αριθμό που δείχνει τον πληθυσμό της Κίνας στον παρακάτω πίνακα αξίας θέσης. Εξηγούμε πώς εργαστήκαμε.

3. Ποιο είναι το ψηφίο με τη μεγαλύτερη αξία στον παραπάνω αριθμό;

.....................................................................................................................................................

Ποια είναι η αξία του; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

.....................................................................................................................................................

4. Ποιο είναι το άθροισμα της αξίας των ψηφίων του παραπάνω αριθμού;

.....................................................................................................................................................

5. Σύμφωνα με τις προβλέψεις του ΟΗΕ, το 2050 η χώρα με τον μεγαλύτερο πληθυσμό σε όλο τον κόσμο θα είναι η Ινδία, που θα έχει 300 εκατομμύρια περίπου περισσότερους κατοίκους από αυτούς που είχε η Κίνα τον Ιούλιο του 2016. Εξηγούμε πώς μπορούμε να βρούμε ποιος θα είναι ο πληθυσμός της Ινδίας το 2050 και έπειτα τον γράφουμε στον πίνακα αξίας θέσης. Πηγή: http://www.un.org/

Δ

Μ

E Δ Μ x100

x1

E

x10

Μ

x1.000

x100.000.000

Δ

x10.000

E

ΜΟΝΑΔΕΣ

x100.000

Μ

•

x1.000.000

Δ

ΧΙΛΙΑΔΕΣ

•

x10.000.000

E

x1.000.000.000

ΕΚΑΤΟΜΜΎΡΙΑ

x10.000.000.000

•

x100.000.000.000

ΔΙΣΕΚΑΤΟΜΜΎΡΙΑ

Πληθυσμός Κίνας 1-7-16 Πληθυσμός Ινδίας 2050

15 10-0209.indd 15

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Αξία θέσης ψηφίου στους φυσικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Η αξία των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού εξαρτάται από τη θέση των ψηφίων στον αριθμό.

3.000=

3ΜΧ

3Δ

=30

3Μ

=3

3.333 300=

3Ε

Μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό: • με ψηφία

Γράφουμε: 1.400.000.000

• με λέξεις

Διαβάζουμε: ένα δισεκατομμύριο τετρακόσια εκατομμύρια

Μπορούμε να αναλύσουμε έναν αριθμό σε άθροισμα της αξίας των ψηφίων του.

Η αξία του ψηφίου 1 στον αριθμό 1.400.000.000 είναι 1ΜΔ=1.000.000.000 και του 4 είναι 4ΕΕ= 400.000.000. Αναλύουμε: 1.000.000.000+400.000.000

χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1, 4 και 0.

Εφαρμογή Ποια είναι η σχέση που έχει η αξία κάθε θέσης με την αμέσως προηγούμενη και την αμέσως επόμενή της;

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

10 = ... x 1 100 = ... x 10

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

x1

x10

x100

. ΕΜ ΔΜ ΜΜ

x1.000

x10.000

ΕΧ ΔΧ ΜΧ x100.000

.

x1.000.000

x10.000.000

ΕΕ ΔΕ ΜΕ x100.000.000

.

x1.000.000.000

x10.000.000.000

x100.000.000.000

ΕΔ ΔΔ ΜΔ

1.000 = ... x 100 10.000 = ... x 1.000 ................................ Η αξία κάθε θέσης είναι ....................................... από την αμέσως προηγούμενή της και ................................ από την αμέσως επόμενή της.

Αναστοχασμός 1. Στον αριθμό 356.723.156 το ψηφίο 7 είναι στη θέση των: Α. Εκατοντάδων Εκατομμυρίων Β. Εκατοντάδων Χιλιάδων Γ. Δεκάδων Χιλιάδων 2. Στην ανάλυση του αριθμού 6.752.180=6.000.000+700.000+...+2.000+100+80 λείπει το: Α. 500.000 Β. 50.000 Γ. 5.000 3. Ο Αντρέι έγραψε τον αριθμό τρία δισεκατομμύρια τετρακόσιες πενήντα χιλιάδες έξι ως εξής: 3.450.006.000. Είναι σωστό ή λάθος ό,τι έγραψε και γιατί; ................................................................................................................................................................

16 10-0209.indd 16

16/04/2018 15:04

6

Σύγκριση και διάταξη στους φυσικούς αριθμούς Διερεύνηση

Στον διπλανό πίνακα αναφέρεται το πλήθος των τουριστών από κάθε ήπειρο που επισκέφτηκαν την Ελλάδα το 2015, σύμφωνα με τον Ελληνικό Οργανισμό Τουρισμού.

Ήπειρος

Πλήθος τουριστών

Ευρώπη

20.715.664

Ασία

1.515.386

Αφρική

61.685

Αμερική

1.094.750

Ωκεανία

211.970

α. Συμπληρώνουμε τον πίνακα αξίας θέσης και τοποθετούμε τους παραπάνω αριθμούς.

1. Από ποια ήπειρο ήταν οι περισσότεροι τουρίστες οι οποίοι επισκέφτηκαν την Ελλάδα το 2015;

.................................................................................................................................................

2. Από ποια ήπειρο ήταν οι λιγότεροι;

..................................................................................................................................................

3. Πόσο περισσότεροι ήταν οι τουρίστες από την Ασία σε σύγκριση με τους τουρίστες από την Αμερική;

..................................................................................................................................................

...

Συζητάμε πώς συγκρίνουμε πολυψήφιους αριθμούς:

α. με διαφορετικό πλήθος ψηφίων: ....................................................................................................................... β. με ίσο πλήθος ψηφίων: ......................................................................................................................... β. Βάζουμε στη σειρά τους αριθμούς του πίνακα με το πλήθος των τουριστών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο. _____________<____________<____________<____________<_____________

17 10-0209.indd 17

16/04/2018 15:04

Ενότητα 1

Σύγκριση και διάταξη στους φυσικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς, μετράμε το πλήθος των ψηφίων τους. α. Αν οι δύο φυσικοί αριθμοί έχουν διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι αυτός ο οποίος έχει τα πιο πολλά ψηφία.

α. διαφορετικό πλήθος ψηφίων

16.230.010

>

οκτώ ψηφία β. Αν οι δύο φυσικοί αριθμοί έχουν ίσο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε τα ψηφία τους ξεκινώντας από τα αριστερά προς τα δεξιά. Μεγαλύτερος είναι αυτός ο οποίος έχει το μεγαλύτερο ψηφίο στην ίδια θέση.

6.513.010 επτά ψηφία

β. ίσο πλήθος ψηφίων

16.230.010

>

15.130.109

γιατί 6>5 στις Μονάδες Εκατομμυρίων

Εφαρμογή Να γράψετε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας τα ψηφία 2, 7 και 9 από μία φορά το καθένα. Έπειτα να τους συγκρίνετε και να τους τοποθετήσετε πάνω στην αριθμογραμμή. Οι τριψήφιοι αριθμοί που γράφονται με τα ψηφία 2, 7 και 9 είναι: ................................................................................................................................................................. Η σειρά τους, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, είναι: ..................................................................................................................................................................

0

1.000

Αναστοχασμός 1. Η Αγγελική έγραψε: 2.397.726 < 235.987. Ποιο είναι το λάθος της; 2. Εξηγούμε γιατί 2.398.726 > 2.397.726.

3. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι ο μεγαλύτερος πενταψήφιος αριθμός είναι ο 99.990. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί; 4. Βρίσκουμε όλους τους τριψήφιους άρτιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 882.

5. Χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1, 0 και 8, μία φορά το καθένα, η Δανάη βρήκε έξι αριθμούς που υποστηρίζει ότι είναι τριψήφιοι. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί;

18 10-0209.indd 18

16/04/2018 15:04

7

Στρογγυλοποίηση στους φυσικούς αριθμούς Διερεύνηση

1. Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται οι πέντε μεγαλύτερες πόλεις της Ελλάδας και οι αριθμοί των κατοίκων τους με βάση την απογραφή του 2011: •μ ε ακρίβεια και • μετά τη στρογγυλοποίηση.

Πόλεις

Πλήθος κατοίκων με ακρίβεια

Πλήθος κατοίκων μετά τη στρογγυλοποίηση

Αθήνα

3.218.218

3.218.000

Θεσσαλονίκη

1.012.597

1.013.000

Πάτρα

168.202

168.000

Ηράκλειο

153.653

154.000

Λάρισα

144.651

145.000

Συγκρίνουμε τους αριθμούς που δείχνουν το πλήθος των κατοίκων κάθε πόλης πριν από τη στρογγυλοποίηση και μετά τη στρογγυλοποίηση. Ποια ψηφία και σε ποια θέση έχουν αλλάξει σε κάθε αριθμό;

...

Συζητάμε σε ποια θέση κάθε αριθμού έχει γίνει η στρογγυλοποίηση.

2. Αναφέρουμε περιπτώσεις από την καθημερινή μας ζωή στις οποίες μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε φυσικούς αριθμούς.

...............................................................................................................................................

...

υζητάμε άλλες περιπτώσεις αριθμών στις οποίες δεν μπορούμε να χρηΣ σιμοποιήσουμε τη διαδικασία της στρογγυλοποίησης. Εξηγούμε γιατί ο αριθμός κυκλοφορίας ενός αυτοκινήτου αναφέρεται πάντα με ακρίβεια.

19 10-0209.indd 19

16/04/2018 15:04

Στρογγυλοποίηση στους φυσικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Η στρογγυλοποίηση είναι μια διαδικασία με την οποία μπορούμε να αντικαταστήσουμε έναν αριθμό με κάποιον λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του. Η στρογγυλοποίηση γίνεται ως εξής: 1.Προσδιορίζουμε τη θέση του ψηφίου του αριθμού στην οποία θα κάνουμε τη στρογγυλοποίηση.

2.Εξετάζουμε το ψηφίο που βρίσκεται στην αμέσως επόμενη δεξιά θέση. Αν είναι: • 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο αυτό και όλα όσα είναι δεξιά του με το 0 και αφήνουμε ίδιο το ψηφίο της θέσης στην οποία κάνουμε τη στρογγυλοποίηση.

• 5, 6, 7, 8 ή 9, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο αυτό και όλα όσα είναι δεξιά του με το 0 και αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της θέσης στην οποία κάνουμε τη στρογγυλοποίηση.

Ενότητα 1 Παραδείγματα

Στρογγυλοποίηση των αριθμών 1.252.678 και 1.256.990:

Δ.Χ.

1.252.678

1.250.000

Ε.Μ.

1.256.940

1.256.900

Δ.Χ.

1.256.990

1.260.000

Ε.Μ.

1.252.678

1.252.700

Εφαρμογή Να δείξετε τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 45.210 στις Εκατοντάδες με τη βοήθεια της αριθμογραμμής: 45.210

45.000

45.200

45.500

46.000

Ο φυσικός αριθμός 45.210 στην αριθμογραμμή βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 45.000 και 46.000 και, συγκεκριμένα, είναι πιο κοντά στο 45.000 από ό,τι στο 46.000. Η στρογγυλοποίησή του στις Εκατοντάδες δίνει τον αριθμό 45.200.

Αναστοχασμός 1. Εξηγούμε πώς η στρογγυλοποίηση στις ΕΧ του 83.456.057 δίνει τον αριθμό 83.500.000.

2. Η Αγγελική υπολόγισε ότι το άθροισμα 5.134 + 6.237 είναι περίπου 11.000. Εξηγούμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να σκέφτηκε.

3. Η Δανάη υπολόγισε πως η διαφορά 8.978 - 4.209 είναι περίπου 4.800. Σε ποια θέση στρογγυλοποίησε; 4. Ο Νίκος υπολόγισε πως το γινόμενο 190 x 110 είναι περίπου 20.000. Σε ποια θέση στρογγυλοποίησε τους παράγοντες του γινομένου; 5. Ο Αντρέι υπολόγισε πως το πηλίκο 3.565 : 6 είναι περίπου 600. Εξηγούμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να σκέφτηκε.

20 10-0209.indd 20

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 1

Κεφάλαια 1 - 7

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να διαβάζω, να γράφω και να αναγνωρίζω φυσικούς αριθμούς, ü να αναγνωρίζω την αξία θέσης κάθε ψηφίου στους φυσικούς αριθμούς, ü να αναλύω και να συνθέτω φυσικούς αριθμούς με διαφορετικούς τρόπους , ü να διατάσσω και να συγκρίνω φυσικούς αριθμούς, να στρογγυλοποιώ και να κάνω νοερούς υπολογισμούς, ü ü να λύνω προβλήματα με φυσικούς αριθμούς.

Ασκήσεις __________________________________________________________________________ Γράφουμε ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί: 2

4

________________________________________________

6

Γράφουμε ποιοι είναι οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί: 1

3

________________________________________________

5

Γράφουμε ποιοι είναι οι περιττοί φυσικοί αριθμοί: ΧΙΛΙΑΔΕΣ

ΜΟΝΑΔΕΣ

Μ

E

Δ

Μ

E

Δ

Μ

E Δ Μ

x1.000.000

x100.000

x10.000

x1.000

x100

x1

Δ

x10

E

x10.000.000

•

x100.000.000

•

x1.000.000.000

ΕΚΑΤΟΜΜΎΡΙΑ

x10.000.000.000

•

x100.000.000.000

ΔΙΣΕΚΑΤΟΜΜΎΡΙΑ

____________________________________________ Αναλύουμε τον αριθμό 2.709.036: ____________________________________________ Γράφουμε τον αριθμό που έχει 3ΔΕ 6ΕΧ 3ΔΧ 9Μ: ____________________________________________

α. διαφορετικόπλήθος πλήθοςψηφίων ψηφίων διαφορετικό

16.230.010

>

οκτώ ψηφία

Βάζουμε στη σειρά τους αριθμούς από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο:

6.513.010 επτά ψηφία

3.508.970, 350.890,

_______________________________________________

β.ίσο ίσοπλήθος πλήθοςψηφίων ψηφίων

16.230.010

>

459.810, 45.890.000, 45.258

15.130.109

γιατί 6>5 στις Μονάδες Εκατομμυρίων

Στρογγυλοποιούμε τον αριθμό 12.453.089: στις Δ στις ΜΧ στις ΕΧ στις ΔΕ

21 10-0209.indd 21

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 1

Κεφάλαια 1 - 7

1ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Ο Αντρέι φτιάχνει με τουβλάκια μια σκάλα. Για το πρώτο σκαλοπάτι χρησιμοποιεί ένα τουβλάκι, για το δεύτερο δύο τουβλάκια, για το τρίτο τρία, ... Πόσα τουβλάκια χρειάζεται, για να φτιάξει με τον ίδιο τρόπο μια σκάλα με 10 σκαλοπάτια;

2ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Σε 3 τελάρα χωράνε 12 κιλά μήλα. Πόσα κιλά μήλα χωράνε σε 246 τελάρα;

3ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Η Δανάη ανοίγει τον κουμπαρά της και βρίσκει 146 κέρματα των 50 λεπτών του €. Με αυτά αγοράζει μία μπλούζα των 15 €, ένα παντελόνι των 20 € κι ένα μπουφάν. Με πόσα € αγοράζει το μπουφάν χωρίς να πάρει ρέστα;

4ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Η κυρία Μαρία την πρώτη ημέρα μάζεψε από την πορτοκαλιά της 8 πορτοκάλια, τη δεύτερη ημέρα τριπλάσια πορτοκάλια από την πρώτη, την τρίτη διπλάσια από τη δεύτερη και την τέταρτη ημέρα τόσα πορτοκάλια, όσα είχε μαζέψει όλες τις προηγούμενες ημέρες. Πόσα πορτοκάλια μάζεψε από την πορτοκαλιά της η κυρία Μαρία και τις τέσσερις ημέρες;

5ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Τα παιδιά της Ε΄ τάξης κάθονται γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι σε καρέκλες που είναι τοποθετημένες σε ίσες μεταξύ τους αποστάσεις και αριθμημένες ως εξής: 1, 2, 3, ... Ο Νίκος κάθεται στην καρέκλα με τον αριθμό 7 και απέναντί του κάθεται η Δανάη στην καρέκλα με τον αριθμό 18. Πόσα είναι τα παιδιά της Ε΄ τάξης;

22 10-0209.indd 22

16/04/2018 15:04

Ενότητα

10-0209.indd 23

2

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 24

16/04/2018 15:04

8

Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς Διερεύνηση

...

Συζητάμε τι είναι η πρόσθεση και τι η αφαίρεση

Το Μουσείο της Ακρόπολης άρχισε να λειτουργεί τον Ιούνιο του 2009. Από τότε προσελκύει πολλούς επισκέπτες από όλο τον κόσμο.

Μουσείο Ακρόπολης

Έτος λειτουργίας

Πλήθος επισκεπτών

πρώτο

1.950.539

δεύτερο

1.309.859

τρίτο

1.143.886

τέταρτο

1.036.059

πέμπτο

1.161.555

έκτο

1.460.135

έβδομο

1.425.100

Διατυπώνουμε και λύνουμε με βάση τον πίνακα: α. ένα πρόβλημα πρόσθεσης: _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________

Λύση

Απάντηση:____________________________________________________________________________

Συμπληρώνουμε τα κενά με τις λέξεις: προσθετέοι και άθροισμα Στο πρόβλημα πρόσθεσης, από δύο ή περισσότερους φυσικούς αριθμούς, τους οποίους ονομάζουμε ............................., βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε ................................ β. ένα πρόβλημα αφαίρεσης: _____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________

Λύση

Απάντηση:____________________________________________________________________________

Συμπληρώνουμε τα κενά με τις λέξεις: μειωτέος, αφαιρετέος και διαφορά Στο πρόβλημα αφαίρεσης, από δύο φυσικούς αριθμούς, τον .................... και τον ................. .................., βρίσκουμε έναν αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε ................... Αν προσθέσουμε τη ....................... στον .............................., παίρνουμε ως άθροισμα τον .........................................

25 10-0209.indd 25

16/04/2018 15:04

Ενότητα 2

Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

• Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό, ο οποίος λέγεται άθροισμα.

• Οι αριθμοί οι οποίοι προστίθενται λέγονται προσθετέοι.

Παραδείγματα προσθετέοι

}

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

120.900 + 25.086 = 145.986 άθροισμα 1 185 28 + 12.570

}

προσθετέοι

12.783 άθροισμα Επειδή 8+5=13, αναομαδοποιούμε τις 13 Μονάδες σε 1 Δεκάδα και 3 Μονάδες.

• Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς, τον μειωτέο και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό, που λέγεται διαφορά.

μειωτέος - αφαιρετέος = διαφορά 90.639 - 80.325 = 10.314 4 11

647.516 - 26.125 621.391

μειωτέος -αφαιρετέος διαφορά

Επειδή στη θέση των Δεκάδων το 2 δεν αφαιρείται από το 1, αναομαδοποιούμε μία Εκατοντάδα σε 10 Δεκάδες.

Εφαρμογή 1. Τα αγόρια της τάξης μας είναι ......... και τα κορίτσια ......... Να δείξετε στην παρακάτω αριθμογραμμή πόσα είναι τα παιδιά της τάξης.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2. Τα παιδιά της τάξης μας είναι ......... Από αυτά τα ......... είναι αγόρια. Να δείξετε πόσα είναι τα κορίτσια της τάξης.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Αναστοχασμός 1. Ο Αντρέι έγραψε: 12.382 + 12.258=12.258 + 12.382. Εξηγούμε πώς σκέφτηκε.

2. Αναφέρουμε τρόπους με τους οποίους μπορούμε να επαληθεύσουμε μια πρόσθεση και τρόπους με τους οποίους μπορούμε να επαληθεύσουμε μια αφαίρεση.

3. Η Αγγελική έγραψε: 12.382 - 12.258=12.258 - 12.382. Εξηγούμε ποιο είναι το λάθος της.

4. Εξηγούμε για ποιον λόγο στην κάθετη πρόσθεση και την κάθετη αφαίρεση γράφουμε τους αριθμούς έτσι ώστε οι Μονάδες να είναι κάτω από τις Μονάδες, οι Δεκάδες κάτω από τις Δεκάδες, κ.ο.κ.

26 10-0209.indd 26

16/04/2018 15:04

9

Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς Διερεύνηση

1. Ο πίνακας του πολλαπλασιασμού είναι γνωστός και ως προπαίδεια. Συζητάμε τρόπους με τους οποίους μπορούμε να τον συμπληρώσουμε.

α. Ποιο είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με το 1;

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

......................................................................... β. Ποιο είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με το 0; ......................................................................... γ. Π οιο είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με τον εαυτό του; .........................................................................

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

δ. Γ ράφουμε πολλαπλασιασμούς στους οποίους το γινόμενο είναι: • πολλαπλάσιο του 2: ...................................................................................................................

• πολλαπλάσιο του 10: ..................................................................................................................

ε. Ποιο μοτίβο μάς βοηθά να θυμόμαστε ή να βρίσκουμε την προπαίδεια του 9; .................................................................................................................................................

στ. Ποια μοτίβα χρησιμοποιούμε, για να συμπληρώσουμε τον πίνακα του πολλαπλασιασμού;

2. Διατυπώνουμε και λύνουμε ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικούς διψήφιους αριθμούς:

................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................

...

Συζητάμε:

• Πότε σε ένα πρόβλημα κάνουμε πολλαπλασιασμό; • Ποιες στρατηγικές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, για να πολλαπλασιάσουμε διψήφιους αριθμούς;

27 10-0209.indd 27

16/04/2018 15:04

Ενότητα 2

Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό, ο οποίος λέγεται γινόμενο των αριθμών αυτών.

{

παράγοντες

{

8 x 9 = 72

Οι αριθμοί οι οποίοι πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου.

4 3 6 x 2 7

3 0 5 2 + 8 7 2

1 1 7 7 2

γινόμενο

Ένας υπάλληλος παίρνει για κάθε εβδομάδα που εργάζεται 250 €. Πόσα € παίρνει τον μήνα; 4 x 250 € = 1.000 € Η Μαρία έχει 6 βόλους. Ο Γιάννης έχει διπλάσιους βόλους από τη Μαρία. Πόσους βόλους έχει ο Γιάννης; 2 x 6 βόλοι = 12 βόλοι

Εφαρμογή 1. Να δείξετε ότι στον πολλαπλασιασμό δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς. α. με τετραγωνισμένο χαρτί: β. με ράβδους: 8

6 x 8 = 8 x 6

6

8 6

8 6

8

6

8

6

6

8 6

6

6x8=8x6

2. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το γινόμενο 6x8 στην αριθμογραμμή; Ξεκινάμε με το διπλό γινόμενο 6 x 6 = 36, οπότε 6 x 8 = 36 + 6 + 6 = 48

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το γινόμενο 5x7 στην αριθμογραμμή; Ξεκινάμε με το διπλό γινόμενο 7 x 7 = 49, οπότε 5 x 7 = 49 - 7 - 7 = 35

0

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

Αναστοχασμός 1. Ο Νίκος γνωρίζει ότι 4 x 4 =16. Πώς μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτό το γινόμενο, για να βρει πόσο κάνει 4 x 7;...................................................................................................

2. Η Δανάη βρήκε το γινόμενο 8 x 9 πολλαπλασιάζοντας 8x10 και αφαιρώντας το 8. Εξηγούμε και γενικεύουμε τη στρατηγική της Δανάης ....................................................

28 10-0209.indd 28

16/04/2018 15:04

10

Πολλαπλάσια και διαιρέτες Διερεύνηση

1. Χρωματίζουμε στον πίνακα του πολλαπλασιασμού τα πολλαπλάσια του 2 με κόκκινο και γράφουμε το μοτίβο:

......................................................................

Χρωματίζουμε στον πίνακα του πολλαπλασιασμού τα πολλαπλάσια του 5 με μπλε και γράφουμε το μοτίβο:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

......................................................................

Ποιοι αριθμοί είναι χρωματισμένοι με μοβ;

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι χρωματισμένος με μοβ;

...................................................................................................................................................

2. Επιλέγουμε έναν άλλο αριθμό από το 1 ως το 10 και χρωματίζουμε με κίτρινο τα πολλαπλάσιά του στον πίνακα του πολλαπλασιασμού. Γράφουμε το μοτίβο:

...................................................................................................................................................

Επιλέγουμε κι άλλον έναν αριθμό από το 1 ως το 10 και χρωματίζουμε με γαλάζιο τα πολλαπλάσιά του στον πίνακα του πολλαπλασιασμού. Γράφουμε το μοτίβο:

...................................................................................................................................................

Ποιοι αριθμοί είναι χρωματισμένοι με πράσινο;

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι χρωματισμένος με πράσινο;

...................................................................................................................................................

...

Συζητάμε:

α. Ποια ζευγάρια αριθμών έχουν γινόμενο τον αριθμό 8;................................................................. Ποιοι αριθμοί διαιρούν το 8; …….................................................................................................... β. Ποια ζευγάρια αριθμών έχουν γινόμενο τον αριθμό 12;............................................................... Ποιοι αριθμοί διαιρούν το 12;.........................................................................................................

29 10-0209.indd 29

16/04/2018 15:04

Ενότητα 2

Πολλαπλάσια και διαιρέτες Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που σχηματίζονται από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

0 x 3, 1 x 3, 2 x 3, 3 x 3,..., δηλαδή 0, 3, 6, 9,...

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι διαφορετικοί από το 0 ονομάζεται το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών, εκτός από το 0.

Πολλαπλάσια του 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

Οι διαιρέτες του αριθμού 8 είναι: 1, 2, 4 και 8 γιατί 8 : 1 = 8, 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 και 8 : 8 = 1.

Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού.

Οι διαιρέτες του αριθμού 12 είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Πολλαπλάσια του 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... Κοινά Πολλαπλάσια του 2 και του 5: 0, 10, 20, ... Ε.Κ.Π. (2,5)=10

Εφαρμογή Να γράψετε έναν πολλαπλασιασμό και μια διαίρεση που δείχνει το παρακάτω σχήμα.

10

100

50

...................................................................

10

100

50

...................................................................

10

5

Αναστοχασμός 1. Η Δανάη υποστηρίζει ότι κάθε πολλαπλάσιο του 5 τελειώνει σε 5. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί; 2. Αναφέρουμε παραδείγματα που δείχνουν ότι κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλον είναι πολλαπλάσιό του.

3. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι το 0 είναι πολλαπλάσιο όλων των φυσικών αριθμών. Έχει δίκιο; Nαι ή όχι; 4. Ο Αντρέι υποστηρίζει ότι, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο φυσικό αριθμό, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Αναφέρουμε παραδείγματα που δικαιολογούν την άποψή του.

30 10-0209.indd 30

16/04/2018 15:04

11

Κριτήρια διαιρετότητας Διερεύνηση

Ένας ανθοπώλης έχει 4.32 ¨ κυκλάμινα και φτιάχνει ανθοδέσμες, που καθεμιά έχει ίσο αριθμό κυκλάμινων χωρίς να περισσεύει κανένα. Συζητάμε ποιο είναι το ψηφίο που λείπει, έτσι ώστε κάθε ανθοδέσμη να περιέχει:

• 2 κυκλάμινα: .......................................................................................................................................................

• 5 κυκλάμινα: .......................................................................................................................................................

• 10 κυκλάμινα: .......................................................................................................................................................

• 3 κυκλάμινα: .......................................................................................................................................................

• 9 κυκλάμινα: .......................................................................................................................................................

...

Συζητάμε ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο των φυσικών αριθμών που

διαιρούνται με:

• το 2: ..............................................................................................................................................

• το 5: ..............................................................................................................................................

• το 10: ............................................................................................................................................

...

Συζητάμε ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων των φυσικών αριθμών που

διαιρούνται με:

• το 3: ..............................................................................................................................................

• το 9: ..............................................................................................................................................

31 10-0209.indd 31

16/04/2018 15:04

Ενότητα 2

Κριτήρια διαιρετότητας Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Για να διαπιστώσουμε αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, χωρίς να κάνουμε διαίρεση, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες, που τους ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας.

Το κριτήριο διαιρετότητας του 2 είναι o κανόνας που μας πληροφορεί πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με: α. το 2, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: 0, 2, 4, 6 ή 8.

Ο αριθμός 3.256 διαιρείται με το 2, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 6.

β. το 5, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: 0 ή 5.

Ο αριθμός 654.385 διαιρείται με το 5, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 5.

γ. το 10, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.

Ο αριθμός 2.649.350 διαιρείται με το 10, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

δ. το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Ο αριθμός 26.163 διαιρείται με το 3, γιατί 2+6+1+6+3=18, που διαιρείται με το 3.

ε. το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Ο αριθμός 85.356 διαιρείται με το 9, γιατί 8+5+3+5+6=27, που διαιρείται με το 9.

Εφαρμογή Να συμπληρώσετε στα τετράγωνα τα ψηφία που λείπουν, έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται με το 2 και το 9.

3¨5¨ Για να διαιρείται με το 2, το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι: _, _, _, _ ή _. Αν είναι 0, τότε το ψηφίο στο πρώτο τετράγωνο είναι το 1, οπότε ο αριθμός είναι:

__________

Αν είναι 2, τότε το ψηφίο στο πρώτο τετράγωνο είναι το 8, οπότε ο αριθμός είναι:

__________

Αν είναι 4, τότε το ψηφίο στο πρώτο τετράγωνο είναι το 6, οπότε ο αριθμός είναι:

__________

Αν είναι 6, τότε το ψηφίο στο πρώτο τετράγωνο είναι το 4, οπότε ο αριθμός είναι:

__________

Αν είναι 8, τότε το ψηφίο στο πρώτο τετράγωνο είναι το 2, οπότε ο αριθμός είναι:

__________

Οι αριθμοί που προκύπτουν είναι: _________________________________

Αναστοχασμός 1. Ένας άρτιος ή ένας περιττός αριθμός διαιρείται με το 2; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

2. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι ο αριθμός 1 είναι διαιρέτης όλων των φυσικών αριθμών. Εξηγούμε πώς μπορεί να σκέφτηκε.

3. Η Αγγελική υποστηρίζει ότι ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο ενός άλλου, αν η διαίρεσή τους είναι τέλεια. Εξηγούμε πώς μπορεί να σκέφτηκε.

4. Εξηγούμε γιατί, αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, ο αριθμός που προκύπτει, αν αλλάξουμε τη σειρά των ψηφίων του, διαιρείται κι αυτός με το 3.

5. Συζητάμε τη χρησιμότητα των κριτηρίων διαιρετότητας.

32 10-0209.indd 32

16/04/2018 15:04

Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

12

Διερεύνηση

1. Ένας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Πόσες θέσεις έχει συνολικά ο χώρος στάθμευσης; Λύνουμε το παραπάνω πρόβλημα και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε προβλήματα διαίρεσης.

Λύση

. ..................................................................................................................................................

. ..................................................................................................................................................

Πρόβλημα

. ..................................................................................................................................................

. ..................................................................................................................................................

. ..................................................................................................................................................

...

Συζητάμε πόσα προβλήματα διαίρεσης μπορούμε να διατυπώσουμε με

βάση το παραπάνω πρόβλημα.

α. Σε τι μοιάζουν αυτά τα προβλήματα; β. Σε τι διαφέρουν αυτά τα προβλήματα;

2. Σε πόσες σειρές του παραπάνω χώρου σταθμεύουν 152 αυτοκίνητα; Σε πόσες σειρές του σταθμεύουν 156 αυτοκίνητα;

...

Συζητάμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να δείξουμε το πηλίκο

καθεμιάς από τις παραπάνω διαιρέσεις με τη βοήθεια:

α. τετραγωνισμένου χαρτιού β. υλικού δεκαδικής βάσης

33 10-0209.indd 33

16/04/2018 15:04

Ενότητα 2

Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Όταν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ και δ, τότε μπορούμε να βρούμε δύο άλλους μοναδικούς φυσικούς αριθμούς π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ x π + υ.

Διαιρετέος διαιρέτης

Ο αριθμός Δ ονομάζεται Διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.

1 3 5 7 1 9 πηλίκο

- 7

Το υπόλοιπο είναι πάντα αριθμός μικρότερος από τον διαιρέτη και μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός.

6 5 - 6 3 υπόλοιπο

Αν το υπόλοιπο υ είναι 0, τότε έχουμε μία Τέλεια Διαίρεση: Δ = δ x π

2

1 9 2 - 1 2

1 2 1 6

7 2 7 2

-

0 Η διαίρεση της μορφής Δ = δ x π +υ λέγεται Ευ-

135 = 7 x 19 + 2 192 = 12 x 16 + 0

κλείδεια Διαίρεση. Εφαρμογή

1245

Να υπολογίσετε το πηλίκο της διαίρεσης 1.245:40. Μπορούμε να αναλύσουμε τον αριθμό, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

1000 +

200

+

25 ομάδες 5 ομάδες των 40 των 40

40

+

1 ομάδα των 40

5 υπόλοιπο

1.245 = 40 x (... + ... + ...) + 5 = 40 x ... + 5 Το πηλίκο της διαίρεσης 1.245:40 είναι ... και η διαίρεση είναι ατελής.

Αναστοχασμός 1. Προτείνουμε έναν τρόπο επαλήθευσης της διαίρεσης: 249 : 20.

2. Ποιο είναι το πηλίκο μιας διαίρεσης, όταν ο Διαιρετέος είναι ίσος με τον διαιρέτη; 3. Ποιο είναι το πηλίκο μιας διαίρεσης, όταν ο διαιρέτης είναι ο αριθμός 1; 4. Ποιο είναι το πηλίκο μιας διαίρεσης, όταν ο Διαιρετέος είναι 0; 5. Ανφέρουμε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι η τέλεια διαίρεση είναι αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

34 10-0209.indd 34

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 2

Κεφάλαια 8 - 12 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα:

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 10 9 10 18 20 27 30 36 40 45 50 54 60 63 70 72 80 81 90 90 100

ü να αναγνωρίζω και να παρουσιάζω με διαφορετικούς τρόπους καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, ü ν α αναγνωρίζω, να διατυπώνω και να εφαρμόζω στρατηγικές νοερών υπολογισμών, ü ν α κάνω πράξεις με πολυψήφιους φυσικούς αριθμούς, ü να βρίσκω τα πολλαπλάσια, τα κοινά πολλαπλάσια, το Ε.Κ.Π. και τους διαιρέτες ενός αριθμού, ü να διατυπώνω και να εφαρμόζω τα κριτήρια διαιρετότητας των αριθμών: 2, 5, 10, 3 και 9, ü να λύνω προβλήματα με φυσικούς αριθμούς.

Ασκήσεις ___________________________________________________________________________ Προσθέτουμε τους φυσικούς αριθμούς:

+

41.785 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

2

3

4

5

6

7

8

59.183

539.815

4.082

5.808.075

Αφαιρούμε τους φυσικούς αριθμούς:

9

41.785

59.183

Ελέγχουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης με δύο διαφορετικούς τρόπους. α. β. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

x

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6 7

6 7

12 14

18 21

24 28

30 35

36 42

42 49

48 56

54 63

60 70

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10 10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

2

5

10

3

9

4

25

Γράφουμε τα πολλαπλάσια του 12 και του 15 ως το 120.

10

1 2 3

Πολλαπλασιάζουμε τους φυσικούς αριθμούς: 4 x 25 x 36.984 = 8 x 459.895 x 125=

10

Γράφουμε τους διαιρέτες του 24 και του 60.

8

Συμπληρώνουμε τα ψηφία που λείπουν, έτσι ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται με το 3 και με το 5: 67 Συμπληρώνουμε τους αριθμούς που λείπουν: 45.600=____x ____ +________

35 10-0209.indd 35

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 2

Κεφάλαια 8 - 12

1ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Ένα εργαστήριο ζαχαροπλαστικής έφτιαξε τη μια ημέρα 684 σοκολατάκια και την άλλη 536. Θέλει να τα συσκευάσει σε κουτιά που καθένα χωράει 20 σοκολατάκια. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί;

2ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Η Δανάη έχει στη συλλογή της 457 γραμματόσημα. Αν ο Νίκος τής δώσει 39 από τα γραμματόσημά του, τότε θα έχουν τον ίδιο αριθμό γραμματοσήμων. Πόσα γραμματόσημα έχει ο Νίκος;

3ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Σε μια θεατρική παράσταση η τιμή του εισιτηρίου είναι για τους ενήλικες 18 € και για τα παιδιά 2 € λιγότερα. Πόσα € θα πληρώσει μια οικογένεια με τρία παιδιά, για να παρακολουθήσει την παράσταση;

4ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Ο Αντρέι, για να φτιάξει το γλυκό που του αρέσει, χρειάζεται ακριβώς ένα λίτρο νερό. Βρήκε στην κουζίνα ένα δοχείο των 5 λίτρων κι ένα δοχείο των 3 λίτρων. Πώς μπορεί να μετρήσει με αυτά τα δοχεία το νερό που χρειάζεται; 5 λ.

3 λ.

5ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Ο παππούς του Νίκου έχει στο μπαλκόνι του μια τριανταφυλλιά, μια γαριφαλιά κι έναν κάκτο. Η τριανταφυλλιά χρειάζεται πότισμα κάθε 2 ημέρες, η γαριφαλιά κάθε 3 και ο κάκτος κάθε 5. Σήμερα πότισε και τις τρεις γλάστρες. Πόσες ημέρες μετά θα ποτίσει ξανά και τις τρεις;

36 10-0209.indd 36

16/04/2018 15:04

Ενότητα

10-0209.indd 37

3

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 38

16/04/2018 15:04

13

Οι κλασματικοί αριθμοί Διερεύνηση

1. Τα παιδιά της τάξης ύστερα από επίσκεψή τους σε ένα μουσείο με έργα του Ολλανδού ζωγράφου Μοντριάν, δημιούργησαν τους δικούς τους πίνακες. Ένας από αυτούς είναι και ο παρακάτω.

Κόβουμε τα κομμάτια του πίνακα από το παράρτημα και με τη βοήθεια τους υπολογίζουμε. Γράφουμε με αριθμό το μέρος του πίνακα που καλύπτουν τα γεωμετρικά σχήματα:

Δ

Α=

Ε

Γ

Β= Γ=

A

Δ=

B

...

Ε=

υζητάμε τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να Σ υπολογίσουμε το μέρος που καλύπτει το σχήμα Ε.

2. Η Δανάη διάλεξε τις χάντρες της εικόνας, για να φτιάξει ένα βραχιόλι. Γράφουμε με αριθμό το μέρος από τις συνολικές χάντρες που είναι:

α. κίτρινες: ……….

...

β. κόκκινες: ………

υζητάμε τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να Σ εκφράσουμε το μέρος των κίτρινων και κόκκινων χαντρών.

39 10-0209.indd 39

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Οι κλασματικοί αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Κάθε κλάσμα είναι ένας αριθμός. Σχηματίζεται από τον αριθμητή και τον παρονομαστή, που λέγονται όροι του κλάσματος και χωρίζονται με τη γραμμή κλάσματος.

Παραδείγματα

3 αριθμητής

γραμμή κλάσματος 4 παρανομαστής

όροι του κλάσματος

Διαβάζουμε: τρία τέταρτα

Ένα κλάσμα μπορεί να εκφράζει μια ποσότητα από κάτι ολόκληρο, το μέρος ενός όλου. Το ολόκληρο ή όλο το λέμε ακέραιη μονάδα.

2 από το σύνολο των γεωμετρικών σχη5 μάτων είναι τρίγωνα.

Τα

Όταν το κλάσμα δείχνει το μέρος ενός όλου τότε: • ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζουμε το όλο.

• Ο αριθμητής δείχνει πόσα από αυτά τα ίσα μέρη παίρνουμε. Όταν ο παρονομαστής είναι ίσος με τον αριθμητή, το κλάσμα είναι ίσο με την ακέραιη μονάδα.

Μέρος του όλου 4 Τα της πίτσας έχουν ντομάτα 6 Παρονομαστής: 6, σε τόσα ίσα κομμάτια χωρίζουμε Αριθμητής: 4, τόσα κομμάτια έχουν ντομάτα 1 1

=

2 2

=

3 3

=

4 4

= ... =

15 15

= ... =1

Εφαρμογή Κλάσματα στην αριθμογραμμή 4 1, 3 Να τοποθετήσετε πάνω στην αριθμογραμμή τα κλάσματα: και 4 4 4 1o βήμα: Χωρίζουμε κάθε μονάδα στην αριθμογραμμή σε …………………………… ……………………………………………………………

0

1

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 .

2ο βήμα: Προσδιορίζουμε πάνω στην αριθμογραμμή την κλασματική μονάδα 4 3ο βήμα: Για να τοποθετήσουμε το κλάσμα 3 , επαναλαμβάνουμε 3 φορές την κλασματική μονάδα 4 1 . Προσδιορίζουμε πάνω στην αριθμογραμμή το κλάσμα 3 .

4 4 4ο βήμα: Προσδιορίζουμε πάνω στην αριθμογραμμή το κλάσμα 4 .

4 4 Παρατηρούμε ότι = ……

4

Αναστοχασμός 1.

Γράφουμε με κλάσμα το μέρος των παιδιών της τάξης μας που έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό:

..........................................................................................................................................................

2. Βρίσκουμε κλάσματα μικρότερα, ίσα και μεγαλύτερα της μονάδας.

3. Δημιουργούμε μία έντυπη ή ψηφιακή αφίσα και καταγράφουμε σε αυτήν τρεις εκφράσεις από την καθημερινή μας ζωή στις οποίες χρησιμοποιούμε κλάσματα. Σχεδιάζουμε εικόνες, για να αναπαραστήσουμε τα κλάσματα αυτά.

40 10-0209.indd 40

16/04/2018 15:04

14

Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας Διερεύνηση

Η Δανάη, η Αγγελική και ο Αντρέι φτιάχνουν προσκλήσεις για τη γιορτή του σχολείου τους. Ας κόψουμε δύο ίδια χαρτόνια σε 4 ίσα κομμάτια το καθένα. Χρειαζόμαστε 8 προσκλήσεις.

Παίρνω τα τρία κομμάτια.

α΄ τρόπος: Σχεδιάζουμε τα κομμάτια από τα χαρτόνια που έχουν τα κορίτσια. Γράφουμε κάτω από κάθε κομμάτι το κλάσμα που εκφράζει το μέρος του χαρτονιού.

Γράφουμε με κλάσμα το μέρος από το χαρτόνι που έχουν συνολικά τα κορίτσια: Παρατηρούμε ότι στο κλάσμα αυτό ο αριθμητής είναι …………………………… από τον παρονομαστή.

β΄ τρόπος: Σχεδιάζουμε τα κομμάτια και γράφουμε με κλάσματα το χαρτόνι που έχουν τα κορίτσια, σχηματίζοντας: και

τα ολόκληρα χαρτόνια 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

+

τα μέρη του χαρτονιού που έμειναν.

+

=1+

Παρατηρούμε = 1ότι +

=1

=1

41 10-0209.indd 41

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή είναι μεγαλύτερα από τον αριθμό 1.

5 >1 3

Τα κλάσματα αυτά μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε μεικτούς αριθμούς γράφοντας χωριστά τις ακέραιες μονάδες τους.

5 3

3

=

3

+

2 3

=1+

2 3

=1

2 3

(μεικτόσ)

Εφαρμογή Μετατροπή ενός κλάσματος σε μεικτό αριθμό και αντίστροφα 1. Να μετατρέψετε το κλάσμα

9 σε μεικτό αριθμό.

4

1. Ο παρονομαστής δείχνει ότι χωρίζουμε την ακέραιη μονάδα σε ……… ίσα μέρη.

4 4

0

.

Το κάθε μέρος της είναι το

4 4

2. Ο αριθμητής δείχνει ότι παίρνουμε ………. ίσα μέρη. Πρέπει να χωρίσουμε και άλλες ακέραιες μονάδες.

0

9 = 4

+

+

1

0

=1+1+

2

3

4 4

4 4

3. Συνολικά παίρνουμε 2 ακέραιες μονάδες και το 1 της επόμενης.

4

Άρα:

1

1 4

2

4 4

1

1 4

2

3

9 4

21 4

9 4

3

1 1 1 =2+ =2 4 4 4

1 σε κλάσμα.

4 Ο παρονομαστής δείχνει ότι χωρίζουμε την ακέραιη μονάδα σε ……… ίσα μέρη.

2. Να μετατρέψετε τον μεικτό αριθμό 2

Η ακέραιη μονάδα είναι ίση με Άρα: 2

1 4

=2+

1 4

=1 + 1 +

.

1 4

=

+

+

=

9 4

Αναστοχασμός Αν το κλάσμα α είναι μεγαλύτερο της ακέραιης μονάδας, ποιος αριθμός μπορεί να είναι το α; 3 Τι συμπεραίνουμε; . ……………………………………………………………..

42 10-0209.indd 42

16/04/2018 15:04

15

Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης Διερεύνηση

Η γιαγιά θέλει να μοιράσει εξίσου μερικές σοκολάτες στα 4 εγγόνια της. α. Αν οι σοκολάτες είναι 8, τι μέρος από αυτές θα πάρει το κάθε παιδί; Γράφουμε την πράξη και υπολογίζουμε: ………………………………………………

...

ταν μοιράζουμε, το αποτέλεσμα είναι πάντοτε φυσικός αριθμός; Ό Συζητάμε με τους συμμαθητές και τις συμμαθήτριές μας.

β. Αν οι σοκολάτες είναι 3, τι μέρος από αυτές θα πάρει το κάθε παιδί; Δυσκολεύομαι με τη διαίρεση. Πόσο κάνει 3 : 4 ; Για να βρω το μέρος, θα σχεδιάσω τις σοκολάτες και θα τις χωρίσω.

Εργαζόμαστε με τον τρόπο τον οποίο μας προτείνει ο Νίκος. άθε παιδί θα πάρει Κ της σοκολάτας.

...

Παρατηρούμε το σχέδιο και συζητάμε τι δείχνουν οι όροι του κλάσματος.

Αριθμητής: ....................................................................................................... Παρονομαστής: ...............................................................................................

Άρα

:

=

........................................................................................................................... γ. Αν οι σοκολάτες είναι 5, τι μέρος από αυτές θα πάρει το κάθε παιδί; Εργαζόμαστε σχεδιάζοντας και χωρίζοντας τις σοκολάτες Κάθε παιδί θα πάρει σοκολάτες.

Άρα

:

ή

=

43 10-0209.indd 43

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Κάθε κλάσμα εκφράζει το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή.

3 = 3:4 4

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος.

5 = 5:1 =

24 = 24:5 5

,

5 1

ή

5=

5 10 15 = = κλπ.

1 2 3

Στρατηγικές διαχείρισης αριθμών 1. Μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό. Μετατρέπουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.

3 7 9 3 Π.χ. α. =3:10=0,3 β. =3:5=0,6 γ. = 7:9=0,777… δ. = 9:2=4,5 5 9 2 10 Σημείωση: Χρησιμοποιούμε την αριθμομηχανή τσέπης, για να βρούμε το αποτέλεσμα.

2. Μετατροπή ενός κλάσματος μεγαλύτερου της μονάδας σε μεικτό αριθμό.

36 σε μεικτό αριθμό.

7 1. Διαιρούμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή, 36 7 36 - 35 5 γιατί = 36:7.

7 1 2. Ο ακέραιος του μεικτού αριθμού είναι το πηλίκο της διαίρεσης και δείχνει πόσες επτάδες χωράνε στο 36.

3. Το κλάσμα του μεικτού έχει: α. αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και 1 36 β. παρονομαστή τον διαιρέτη. Άρα =5 7 7 π.χ. Μετατρέπουμε το κλάσμα

5

1 7

Εφαρμογή Ο Νίκος και οι 4 φίλοι του μοιράστηκαν εξίσου 6 μήλα. Τι μέρος από τα μήλα πήρε το κάθε παιδί; Θέλουμε να μοιράσουμε τα 6 μήλα στα 5 παιδιά. α΄ τρόπος: Χωρίζουμε κάθε μήλο σε 5 ίσα μέρη, όσα είναι τα παιδιά. Κάθε κομμάτι είναι το Κάθε παιδί θα πάρει 6 τέτοια κομμάτια, όσα είναι τα μήλα, δηλαδή 6 x β΄ τρόπος: Θα κάνουμε διαίρεση 6:5 =

1 .

5

1 6 = .

5 5

6 6 1 . Κάθε παιδί πήρε τα ή1 των μήλων.

5 5 5

Αναστοχασμός 1. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορεί να είναι μηδέν; 2. Κάθε κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης. Φτιάχνουμε ένα πρόβλημα διαίρεσης. Τι δείχνει ο αριθμητής και τι ο παρονομαστής;

44 10-0209.indd 44

16/04/2018 15:04

16

Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων Διερεύνηση

1. Οι μαθητές και οι μαθήτριες της Ε΄ τάξης κάνουν συλλογή από γραμματόσημα. Παρατηρούμε την παρακάτω σελίδα. Έχω γεμίσει με γραμματόσημα 9 τα της σελίδας.

12

...

Συζητάμε ποιο παιδί έχει δίκιο.

1. Διπλώνουμε κατάλληλα μια σελίδα Α4 και χρωματίζουμε τα

2. Διπλώνουμε ξανά την ίδια σελίδα και χρωματίζουμε τα

...

Έχεις γεμίσει τα 3 της σελίδας.

4

3 της σελίδας.

4

9 αυτής.

12

Συγκρίνουμε τα δύο κλάσματα.

Τα δυο κλάσματα εκφράζουν το ……..... μέρος της σελίδας.

3 Πώς προκύπτουν οι όροι του κλάσματος 9 από τους όρους του κλάσματος ; 4 12 …………………………………………………………………………………………………………………………………

6 2. Εκφράζουμε το κλάσμα 12 με κλάσματα που έχουν μικρότερους όρους χρησιμοποιώντας τις ράβδους κλασμάτων του παραρτήματος.

6 = = = 6 4 2 12 Πώς προκύπτουν οι όροι των κλασμάτων που βρήκαμε από τους όρους του 6 ; 12 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... Ποιο κλάσμα έχει τους μικρότερους όρους; ..................................................................................

45 10-0209.indd 45

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός όλου λέγονται ισοδύναμα ή ίσα.

Παραδείγματα

1/12

1

1/3

1 4 = 3 12 Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό.

6 3 3x2 = = 8 4 4x2

Αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό, με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση.

2 16 16 : 8 = = 3 24 24 : 8

Τα κλάσματα που οι όροι τους δεν απλοποιούνται λέγονται ανάγωγα.

3 , 4

5 , 7

1 8

Εφαρμογή 8 1. Ο λαγός και η χελώνα τρέχουν την ίδια διαδρομή. Ο λαγός έχει διανύσει τα 20 2 της διαδρομής και η χελώνα τα της. Να τοποθετήσετε τα δύο κλάσματα πάνω 5 στην αριθμογραμμή. Τι παρατηρείτε; Τοποθετούμε τα κλάσματα στην αριθμογραμμή, την οποία χωρίζουμε κάθε φορά κατάλληλα. Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα βρίσκονται στο …………………

0 σημείο της αριθμογραμμής.

8 Επαλήθευση: Απλοποιούμε το κλάσμα , ώστε να γίνει ανάγωγο.

20 8 8: = 20 20 :

=

1

2 8 2 2 8 = Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα ή και είναι ………………….

5 20 20 5 5

2. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των κλασμάτων

1 2 και .

3 3

1 1x Βρίσκουμε για καθένα από τα παραπάνω κλάσματα ένα ισοδύναμό του. = 3 3x 2 2x = = 3 3x Ανάμεσα στα κλάσματα και που δημιουργήσαμε, βρίσκεται το κλάσμα .

=

και

Αναστοχασμός 1. Πόσα ισοδύναμα κλάσματα έχει κάθε κλάσμα; 2. Χρησιμοποιούμε τις ράβδους κλασμάτων του παραρτήματος και δημιουργούμε κλάσματα 6 ισοδύναμα με το .

8

46 10-0209.indd 46

16/04/2018 15:04

17

Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων Διερεύνηση Τα παιδιά έχουν χωριστεί σε ζευγάρια και παίζουν ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι.

4 της πίστας-διαδρομής και α. Ο ήρωας του Νίκου έχει καλύψει τα 7 5 του Αντρέι τα .

7 β. Ο ήρωας της Αγγελικής έχει καλύψει τα 2 της πίστας-διαδρομής 17 και της Δανάης τα 2 .

19 1 της πίστας-διαδρομής και γ. Ο ήρωας του Ορέστη έχει καλύψει το 2 17 της Κέλλυ τα .

31 δ. Ο ήρωας του Σπύρου έχει καλύψει τα 16 της πίστας-διαδρομής και 27 της Λίας τα 18 .

24 Ποιος ήρωας έχει καλύψει τη μεγαλύτερη διαδρομή σε κάθε ζευγάρι;

...

υγκρίνουμε τα κλάσματα (<,=,>) και περιγράφουμε τη στρατηγική που Σ χρησιμοποιήσαμε σε κάθε περίπτωση.

α΄ ζευγάρι

β΄ ζευγάρι

γ΄ ζευγάρι

δ΄ ζευγάρι

47 10-0209.indd 47

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων Στρατηγικές σύγκρισης

Εξήγηση των στρατηγικών

Στα κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.

5 4 > 7 7

Στα κλάσματα που έχουν ίσους αριθμητές, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει μικρότερο παρονομαστή.

9 9 > 5 6

Ένα κλάσμα που έχει μεγαλύτερο αριθμητή και μικρότερο παρονομαστή από ένα άλλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από αυτό.

18 16 > 24 27

Μπορούμε να συγκρίνουμε κλάσματα χρησιμοποιώντας ένα κοινό σημείο αναφοράς.

12 8 > 13 9

Tα 5 είναι περισσότερα από τα 4 μέρη του ίδιου μεγέθους (έβδομα).

Παίρνουμε ίδιο αριθμό από μέρη (9), αλλά τα πέμπτα είναι μεγαλύτερα σε μέγεθος μέρη από τα έκτα.

Παίρνουμε και περισσότερα μέρη (18) και μεγαλύτερου μεγέθους, αφού τα εικοστά τέταρτα είναι μεγαλύτερα από τα εικοστά έβδομα.

Tα δύο κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Το

12 13

1 , το 13 1 8 οποίο είναι λιγότερο από το που απέχει το .

9 9

βρίσκεται πιο κοντά στο 1, γιατί απέχει

Εφαρμογή 3 5 Να συγκρίνετε τα κλάσματα και .

7 8 α΄ τρόπος: Μετατρέπουμε σε ισοδύναμα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή.

• Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών: Ε.Κ.Π. (7,8) = …………………………………………

•Δ ημιουργούμε κλάσματα ισοδύναμα με τα αρχικά με παρονομαστή ίδιο με το Ε.Κ.Π. (7,8).

3 5 3x 5x Έχουμε: = = και = = .

7 8 7x 8x •Σ υγκρίνουμε τους αριθμητές των δύο νέων κλασμάτων, άρα

.

β΄ τρόπος: Συγκρίνουμε ως προς ένα κοινό σημείο αναφοράς.

•Ε πιλέγουμε το

1 ως σημείο αναφοράς, για να συγκρίνουμε τα δύο κλάσματα.

2

• Συγκρίνουμε το

5 1 1 4 5 4 5 με το . Το είναι ισοδύναμο με το . Είναι > , άρα 8 2 2 8 8 8 8

• Συγκρίνουμε το

3 1 1 3 3 3 3 με το . Το είναι ισοδύναμο με το . Είναι < , άρα 7 2 2 6 7 6 7

• Επομένως , έχουμε τελικά:

.

1 .

2 1 .

2

1 2

Αναστοχασμός 1.

Βρίσκουμε κλάσματα που είναι μικρότερα από το

1 .

2

13 17 και είναι ισοδύναμα ή όχι; Αιτιολογούμε την απάντησή μας.

15 19 Βρίσκουμε κλάσματα όσο γίνεται πιο κοντά στο 1.

2. Τα κλάσματα 3.

48 10-0209.indd 48

16/04/2018 15:04

18

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Διερεύνηση

1. Χρησιμοποιούμε το τετραγωνισμένο χαρτί, για να αναπαραστήσουμε με ράβδους ή ορθογώνια τα κλάσματα και να υπολογίσουμε τα αθροίσματα και τις διαφορές: 4 2 7 3

β. – . α. + 8 8 8 8

3 4 + = 8 8

7 2 – = 8 8

2. Χρησιμοποιούμε ράβδους κλασμάτων, για να αναπαραστήσουμε και να υπολογίσουμε αθροίσματα και διαφορές κλασμάτων.

1 1 + = 2 5

1 2 1 5 1 10

1 10

ΑΘΡΟΙΣΜΑ 1 1 1 10 10 10

1 10

1 10

Τα μέρη ευθυγραμμίζονται

α. Εξηγούμε τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε ο Νίκος και έπειτα συμπληρώνουμε το άθροισμα. ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

1 , να χρησιμοποιήσει τις ράβδους 1 ; 8 10 Εξηγούμε: ....................................................................................................................................

β. Θα μπορούσε ο Νίκος, αντί για τις ράβδους

3 1 γ. Χρησιμοποιούμε τις ράβδους για να βρούμε τη διαφορά – .

4 8 Εξηγούμε τον τρόπο εργασίας μας. ................................................................ ................................................................

1 4

1 4

1 4

3 1 – = 4 8

1 8

................................................................

δ. Ποιες άλλες ράβδους θα μπορούσαμε ΔΙΑΦΟΡΑ να χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τη διαφορά;.................................................................................................................

...

υζητάμε με ποιον τρόπο προσθέτουμε και αφαιρούμε κλάσματα με Σ ίδιους (ομώνυμα) και με διαφορετικούς (ετερώνυμα) παρονομαστές.

49

10-0209.indd 49

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα, ενώ τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα. Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές, ενώ παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο. Στο τέλος, κάνουμε απλοποίηση.

2 7 , 5 5 ομώνυμα

2 3 9 , , 5 7 4 ετερώνυμα

•

2 1 2x2 1x3 + = + 6 4 6x2 4x3

•

4 3 4x5 3x3 – = – 3 5 3x5 5x3

4 3 7 + = 12 12 12

=

=

20 9 11 – = 15 15 15

Εφαρμογή

3 1 +2 4 2 α΄ τρόπος: Μετατρέπουμε τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα.

3 1 6 + 2 =…………………………………………………………………………….……………………………………

4 2

1. Να βρείτε το άθροισμα: 6

β΄ τρόπος: Προσθέτουμε χωριστά τις ακέραιες μονάδες από τα κλάσματα.

3 1 3 1 6 +2 =8+ + = ………………………………………………………………………………..

4 2 4 2 Σε κάθε περίπτωση, στο τέλος, μετατρέπουμε πάλι σε μεικτό αριθμό και, αν γίνεται, κάνουμε και απλοποίηση.

1 1 1 – 14 1 4 2. Με τη βοήθεια του μοντέλου , να κάνετε την παρακάτω 1 1 2 1 αφαίρεση: 3 – 1 4 4 4

. ...................................................................................................

1 1

. ...................................................................................................

1 1 – 1

. ...................................................................................................

1 4

. ...................................................................................................

1 4

1 4

Περιγράφουμε τη διαδικασία:...........................................................

4

4

1 4

1 4

1 4

1

. ................................................................................................... . ...................................................................................................

1 4

1 –

1 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

Αναστοχασμός 1 1. Επιλέγουμε δύο κλάσματα των οποίων η διαφορά είναι και ο παρονομαστής τους είναι 4 διαφορετικός από το 4. ………………………………………….

2. Πώς θα μπορούσε να μας βοηθήσει το Ε.Κ.Π. στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων; 3. Γιατί στην πρόσθεση πρέπει να μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα;

50 10-0209.indd 50

16/04/2018 15:04

19

Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα – Αντίστροφοι αριθμοί Διερεύνηση

1. Κάθε ξύλινο ράφι της βιβλιοθήκης της τάξης έχει μήκος

2 μ.

3

Πόσα μέτρα ξύλου θα χρειαστεί, για να αντικατασταθούν 3 ράφια;

2. Χρησιμοποιούμε τα γεωμετρικά σχήματα του παραρτήματος, για να βρούμε τα παρακάτω γινόμενα, αν το εξάγωνο είναι η ακέραιη μονάδα. α.

3x

1 = 2

β.

2x

1 = 6

6x

1 = 6

γ.

...

3. Τα

4x

1 = 2

1 2 1

1 x2= 6

3x

1 3

1 = 3

1 6

εξάγωνο

Τι παρατηρούμε σε κάθε περίπτωση στα παραπάνω γινόμενα; 2 1 ενός οικοπέδου είναι κήπος. Στο του κήπου αυτού φυτέψαμε λουλούδια.

3 5

Τι μέρος του οικοπέδου καλύπτεται από λουλούδια; Πρέπει να βρούμε το δηλαδή το

1 2 x .

5 3

1 2 των του κήπου, 5 3

Σχεδιάζουμε στο παραπάνω σχήμα και υπολογίζουμε:

4. Βρίσκουμε τα γινό-

μενα με τη βοήθεια των μοντέλων αναπαράστασης.

...

α.

β.

1x

2 = 3

2 1 x = 3 2

γ.

2 1 x = 3 4

δ.

2 1 x = 3 8

ι θα συμβεί, αν πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με ακόμα μικρότερες Τ κλασματικές μονάδες; 51

10-0209.indd 51

16/04/2018 15:04

Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα – Αντίστροφοι αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Ενότητα 3

Παραδείγματα

Στον πολλαπλασιασμό ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα, ο φυσικός αριθμός μάς δείχνει πόσες φορές προσθέτω το κλάσμα με τον εαυτό του. Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, το γινόμενο παραμένει το ίδιο. Το γινόμενο φυσικού αριθμού με κλάσμα ή κλάσματος με φυσικό αριθμό είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή με τον φυσικό αριθμό και παρονομαστή τον παρονομαστή του κλάσματος.

+ 3x 2 7

+

=

2 2 2 2 6 3x2 = + + = = 7 7 7 7 7 7

{ 2 2 x3=3x 7 7 3

Όταν ζητάμε ένα μέρος ενός αριθμού, φυσικού ή κλασματικού, κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Χ

=

Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

1 2 2 1x2 x = = 5 3 15 5x3 1 2 Βρίσκουμε το του .

5 3

Αντίστροφοι αριθμοί λέγονται δυο αριθμοί που το γινόμενό τους είναι 1.

1 5 5 7 5 1 35 x5= x = = 1, x = =1 5 1 5 5 7 5 35

Εφαρμογή

A

B

Γ

1 1 1. Να βρείτε το από το μιας σοκολάτας.

3 2 1 α΄ τρόπος: α. Αναπαριστάνουμε τη σοκολάτα με ένα ορθογώνιο. Χρωματίζουμε το . β. Χωρίζουμε 2 1 το σε 3 ίσα μέρη και από αυτά χρωματίζουμε το 1. γ. Χωρίζουμε όμοια και το υπόλοιπο 2 1 1 1 ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι το του του ορθογωνίου είναι το του ορθογωνίου.

3 2 6 1 1 1 1 1 1x1 β΄ τρόπος: Βρίσκουμε το του με πολλαπλασιασμό: x = = 3 2 3 2 6 3x2 1 2. Να βρείτε το γινόμενο 2 x 1 .

4 1 1 1 2 2 α΄ τρόπος: 2 x 1 = 2 x (1 + ) = (2x1) + (2 x ) = 2 + =2 4 4 4 4 4 1 5 2 10 β΄ τρόπος: μετατροπή μεικτού σε κλάσμα μεγαλύτερο της μονάδας : 2 x 1 =2 x = =2 4 4 4 4

Αναστοχασμός 5 1 1 x είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το ; 6 2 2 3 1 3 2. Τι θα προτιμούσαμε; Τα της μισής πίτσας ή το των της ίδιας πίτσας; 4 2 4 3. Όταν πολλαπλασιάζουμε δυο κλάσματα μικρότερα από το 1, το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή

1.

Το γινόμενο

μεγαλύτερο από το καθένα κλάσμα; Δίνουμε ένα παράδειγμα.

52 10-0209.indd 52

16/04/2018 15:04

20

Διαίρεση κλασμάτων Διερεύνηση

Οι μαθητές και οι μαθήτριες της Ε΄ τάξης φτιάχνουν στο μάθημα των εικαστικών αφίσες και προσκλήσεις για τις εκδηλώσεις τους.

2 α. Τα κορίτσια φτιάχνουν προσκλήσεις με τα του χαρτονιού. Για καθεμιά χρησιμοποιούν το 3 1 του χαρτονιού. Πόσες προσκλήσεις φτιάχνουν; 6 1. Βάζουμε  στη μαθηματική πράξη που μας οδηγεί στο αποτέλεσμα: 1 2

6 3 2. Χρωματίζουμε :

τα

1 2 : 6 3

2 του χαρτονιού 3

το

2 1 : 3 6 Πόσες φορές χωράει το

1 του χαρτονιού.

6

1 στα 6

2 της ακέραιης μονάδας: 3

3. Ξαναχρωματίζουμε, έτσι ώστε τα δύο κλάσματα να έχουν κοινούς παρονομαστές (ομώνυμα) και επαναδιατυπώνουμε την ερώτηση:

«Πόσες φορές χωράει …………………………………………………………………….»

1

1

1 5

Οι κοινοί παρονομαστές δείχνουν ότι έχουμε ίδιου μεγέθους μέρη (έκτα). Αρκεί, επομένως, να διαιρέσουμε μόνο τους αριθμητές.

1 5

1 πράξη: Κάνουμε την 1 5

2 1 4 1 ÷ = ÷ = 3 6 6 6

÷

=

.

Άρα τα κορίτσια θα φτιάξουν ………. προσκλήσεις.

3 β. Τα αγόρια έχουν 3 ίδια χαρτόνια για να φτιάξουν αφίσες. Για καθεμιά χρησιμοποιούν τα 5 του χαρτονιού. Πόσες αφίσες φτιάχνουν; 1. Β άζουμε  στη μαθηματική πράξη που μας οδηγεί στο αποτέλεσμα: 3 3 3: 5 5 2. Χρησιμοποιούμε τις ράβδους κλασμάτων:

3 :3 5

3

1

Πόσες φορές χωράει το

1 5

Κάνουμε την πράξη: 3 ÷

3 5

στις 3 ακέραιες μονάδες;

3 3 = ÷ = 5 5 5

÷

=

.

Άρα τα αγόρια θα φτιάξουν ………. αφίσες.

53 10-0209.indd 53

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Διαίρεση κλασμάτων Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Για να διαιρέσουμε δυο ομώνυμα κλάσματα, διαιρούμε τους αριθμητές τους.

3 4 3 : =3:4= , 5 5 4

Για να διαιρέσουμε δυο ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και έπειτα διαιρούμε τους αριθμητές τους. Όταν σε μια διαίρεση οι αριθμοί είναι διαφορετικής μορφής, τους μετατρέπουμε όλους στην ίδια μορφή.

6 3 : =6:3=2 8 8

5 2 6 10 18 10 : = : = 10 :18 = = 9 3 5 15 15 18

2,5 : 3

5 1 25 7 25 35 25 = : = : = 25 : 35 = = 7 2 10 2 10 10 35

Πρόσθετη μαθηματική ιδέα

Εξήγηση του κανόνα

Ένας άλλος τρόπος για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα είναι να αντιστρέψουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και, αντί για διαίρεση, να κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις: Π.χ. Μοιράζω 6 μπαλόνια σε 3 παιδιά. α. Κάνω διαίρεση: 6 : 3 = 2 μπαλόνια. β. Κάνω πολλαπλασιασμό: Αφού τα παιδιά είναι 3, το 1 των μπαλονιών: καθένα θα πάρει το 3 1 6 6x = = 6 : 3 = 2 μπαλόνια.

3 3 1 6 γ. Επομένως: 6 : 3 = 6 x = =6:3=2 3 3

π.χ.

2 4 2 5 8 : = x = , 3 5 3 4 15 6:

3 6 4 24 6x4 = x = = =8 4 1 3 3 3

Σημείωση: Ο διαιρετέος μπορεί να είναι και κλάσμα.

Εφαρμογή 3 Στη γιορτή της Δανάης οι καλεσμένοι μοιράστηκαν εξίσου τα ενός ταψιού με μουσακά. Πόσοι 4 1 ήταν οι καλεσμένοι, αν κάθε κομμάτι μουσακά ήταν του ταψιού; 16 α΄ τρόπος: Με τη βοήθεια της αριθμογραμμής Στην αριθμογραμμή, από το 0 έως το 1 αντιστοιχεί ολόκληρο το ταψί. Βρίσκουμε τα

0

1 4

1 16

2 4

3 4

1

12 16

3 . Χωρίζουμε την αριθμογραμμή σε ... ίσα μέρη και παίρνουμε 4

1 του ταψιού, γι’ αυτό ξαναχωρίζουμε την αριθμογραμμή σε ... ίσα 16 3 1 μέρη. Μετράμε πόσες φορές χωράει το είναι στα . Βρίσκουμε ................. κομμάτια, άρα οι 4 16 καλεσμένοι είναι 12.

3 1 β΄ τρόπος: Δημιουργία ομώνυμων κλασμάτων: : = : = ...................... καλεσμένοι.

4 16 3 3 1 48 γ΄ τρόπος: Αντιστροφή του διαιρέτη και πολλαπλασιασμός: : = x = = 4 16 4 ...................... καλεσμένοι τα .... . Κάθε κομμάτι είναι το

Αναστοχασμός 1.

2.

1 μιας σοκολάτας σε 4 παιδιά. Τι μέρος της σοκολάτας θα πάρει το κάθε παιδί; 2 Σ υζητάμε τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα Δημιουργούμε μια αφίσα με τους τρόπους αυτούς.

Μοιράζουμε το

54 10-0209.indd 54

16/04/2018 15:04

21

Αναγωγή στην κλασματική μονάδα Διερεύνηση

1. Τα

παιδιά στην αυλή του σχολείου έπαιξαν το παιχνίδι «διελκυστίνδα». Είχαν ένα σκοινί μήκους 20 μέτρων. Για να παίξουν το παιχνίδι, χρησιμο2 του σκοινιού. Πόσα μέτρα σκοινιού χρησιμοποίησαν; ποίησαν τα 5

...

Συζητάμε τους δύο τρόπους τους οποίους μας προτείνουν τα παιδιά.

Θέλουμε να βρούμε ένα μέρος του σκοινιού. Κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Γνωρίζουμε το μήκος όλου του 2 σκοινιού. Για να βρούμε τα του, 5 μπορούμε να βρούμε πρώτα το 1 . μήκος του 5

5 του σκοινιού είναι 5 1 Το του σκοινιού είναι 5 2 Τα του σκοινιού είναι 5 Τα

μέτρα. : 5= 4 μέτρα. x

= 8 μέτρα.

Χρησιμοποίησαν ...... μέτρα σκοινιού.

2. Φτιάχνουμε ένα αντίστροφο με το παραπάνω πρόβλημα και το λύνουμε. ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... Τα

2 του σκοινιού είναι ....... μέτρα.

5

Το

1 του σκοινιού είναι ....... : 2= ....... μέτρα.

5

Τα

5 του σκοινιού είναι ....... ....... = ....... μέτρα.

5

Γνωρίζουμε το μέρος του σκοινιού που χρησιμοποίησαν και αναζητούμε το μήκος όλου του σκοινιού.

Όλο το σκοινί είχε μήκος ...... μέτρα.

55 10-0209.indd 55

16/04/2018 15:04

Ενότητα 3

Αναγωγή στην κλασματική μονάδα Στρατηγική επίλυση προβλήματος Xρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αναγωγής στην κλασματική μονάδα, όταν : 1. Γνωρίζουμε το όλο και θέλουμε να βρούμε ένα κλασματικό του μέρος.

2. Γνωρίζουμε ένα κλασματικό μέρος του όλου και θέλουμε να βρούμε: α) το όλο ή β) ένα άλλο κλασματικό μέρος του όλου.

Παραδείγματα 1. Πόσα γραμμάρια είναι τα

4 του κιλού; 10

3 του σχολείου μας είναι 93 παιδιά. Πόσα παιδιά 5 φοιτούν στο σχολείο μας;

2α. Τα

2 μιας σοκολάτας ζυγίζουν 50 γραμμάρια. Ο 5 3 Μπιλ έφαγε τα αυτής. Πόσα γραμμάρια της σοκο5 λάτας έφαγε;

2β. Τα

Εφαρμογή Υπολογίζω το κλασματικό μέρος του όλου, όταν γνωρίζω κάποιο άλλο κλασματικό του μέρος.

2 3 Τα μιας σοκολάτας ζυγίζουν 50 γραμμάρια. Ο Νίκος έφαγε τα αυτής. Πόσα γραμμάρια της 5 5 σοκολάτας έφαγε; Σκέψη

2 της σοκολάτας ζυγίζουν 50 γραμμάρια και θέλουμε 5 3 1 να βρούμε πόσα γραμμάρια ζυγίζουν τα της σοκολάτας.

5 5 1 • Βρίσκουμε πρώτα την τιμή της κλασματικής μονάδας, δηλαδή του της σοκολάτας.

5 2 1 Αφού ξέρουμε τα και ζητάμε το , διαιρούμε με το 2.

5 5 3 • Βρίσκουμε πόσο ζυγίζουν τα της σοκολάτας.

5 1 3 Αφού ξέρουμε το και ζητάμε τα , πολλαπλασιάζουμε με το 3.

5 5 Λύση • Γνωρίζουμε ότι τα

2 της σοκολάτας ζυγίζουν ……… γραμμάρια.

5 1 •Τ ο της σοκολάτας ζυγίζει ……. : ……. = …….. γραμμάρια.

5 3 •Τ α της σοκολάτας ζυγίζουν ….. x …… = …….. γραμμάρια.

5 •Τ α

Απάντηση: Ο Νίκος έφαγε τα …………. γραμμάρια της σοκολάτας.

Αναστοχασμός Γιατί η παραπάνω στρατηγική επίλυσης προβλήματος ονομάζεται μέθοδος αναγωγής στην κλασματική μονάδα;

56 10-0209.indd 56

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 3

Κεφάλαια 13 - 21

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να εκφράζω: α) το μέρος ενός όλου με κλάσμα, β) το πηλίκο μιας διαίρεσης με κλάσμα, ü να τοποθετώ κλασματικούς αριθμούς πάνω στην αριθμογραμμή, ü να διατάσσω και να συγκρίνω κλασματικούς αριθμούς, ü να αναγνωρίζω, να κατασκευάζω και να απλοποιώ ισοδύναμα κλάσματα, ü να κάνω πράξεις με κλάσματα και με μεικτούς αριθμούς, ü να λύνω προβλήματα με κλασματικούς αριθμούς.

1η Άσκηση ________________________________________________________________________ α. Χωρίζουμε τα παρακάτω τετράγωνα σε τέσσερα ίσα μέρη με διαφορετικό τρόπο το καθένα.

1ος τρόπος

2ος τρόπος

3ος τρόπος

4ος τρόπος

β. Χρωματίζουμε στο διπλανό τετράγωνο: Ø

το

1 του τετράγωνου κίτρινο 2

Ø

το

1 του τετράγωνου μπλε 8

Ø

το

1 του τετράγωνου κόκκινο 4

Ø

το

1 του τετράγωνου πράσινο 16

• Τι μέρος του τετραγώνου έμεινε αχρωμάτιστο; ……………………………………..………………………

2η Άσκηση ________________________________________________________________________ Βρίσκουμε τρία κλάσματα μεγαλύτερα από το

1 2 και μικρότερα από το .

7 7

……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

10-0209.indd 57

57 16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 3

Κεφάλαια 13 - 21

3η Άσκηση ________________________________________________________________________ α. Σ υμπληρώνουμε στα κουτάκια τους κλασματικούς αριθμούς που βρίσκονται στα σημεία πάνω στην πρώτη αριθμογραμμή.

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

β. Τοποθετούμε στην κατάλληλη αριθμογραμμή το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα για κάθε κλασματικό αριθμό που γράψαμε.

4η Άσκηση ________________________________________________________________________ Βρίσκουμε τον αμέσως προηγούμενο και επόμενο φυσικό αριθμό σε καθένα από τα παρακάτω κλάσματα και μεικτούς αριθμούς.

2 8 11 5 21 6 3

1 4

1ο Πρόβλημα_______________________________________________________________________ Διαβάζουμε σε μια συνταγή τα υλικά και τις ποσότητες που θα χρειαστούμε, ώστε να φτιάξουμε μπισκότα με τους φίλους και τις φίλες μας. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις θα φτιάξουμε μεγαλύτερη ποσότητα μπισκότων; Υπογραμμίζουμε τη σωστή απάντηση και εξηγούμε την επιλογή μας.

α. Όταν πολλαπλασιάσουμε την ποσότητα των υλικών με το

1 .

2

β. Όταν πολλαπλασιάσουμε την ποσότητα των υλικών με το 2. γ. Όταν διαιρέσουμε την ποσότητα των υλικών με το

1 .

3

δ. Όταν διαιρέσουμε την ποσότητα των υλικών με το 3.

58 10-0209.indd 58

16/04/2018 15:04

Ενότητα

4

59 10-0209.indd 59

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 60

16/04/2018 15:04

22

Συλλογή, οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων

Ε΄ τάξη σχολείου της Αθήνας

Διερεύνηση

Τα παιδιά της Ε΄ τάξης ενός δημοτικού σχολείου στην Αθήνα έκαναν μια έρευνα, στην οποία κατέγραψαν τις ώρες παιχνιδιού και ξεκούρασης που έχουν συνολικά τις καθημερινές της εβδομάδας. Κάνουμε στην τάξη μας μια αντίστοιχη έρευνα και καταγράφουμε τα αποτελέσματα.

Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού τις καθημερινές ημέρες της εβδομάδας

1. Συμπληρώνουμε τον πίνακα.

10 10

5

15

5

10

5

10

6

15

5

5

5

5

5

5

9

7

14

5

6

11

ΡΑ

Ε΄ τάξη σχολείου της Αθήνας Καταμέτρηση με γραμμές

2. Οργανώνουμε τα δεδομένα μας συμπληρώνοντας τους πίνακες συχνοτήτων.

Η τάξη μας

Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού τις καθημερινές ημέρες της εβδομάδας

Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύει την απάντηση ενός συμμαθητή μας ή μιας συμμαθήτριάς μας.

Ώρες ξεκούρασης και παιχνιδιού τις καθημερινές

5

ΡΗ Ω

Ε ΛΕΥΘ

Ε

4

0 – 4 ώρες

Η τάξη μας

Συχνότητα Καταμέτρηση εμφάνισης με γραμμές με αριθμό

Συχνότητα εμφάνισης με αριθμό

1

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

5 – 9 ώρες 10 – 14 ώρες

ΙΙΙΙ 6

15 – 20 ώρες άλλο

3. Αναπαριστάνουμε τα δεδομένα σε διπλό ραβδόγραμμα. Ώρεσ ξεκούρασησ και παιχνιδιού τισ καθημερινέσ ημέρεσ τησ εβδομάδασ

16 14

Αριθμόσ μαθητών

12 10 8 6

Με κόκκινο χρώμα φτιάχνουμε τις ράβδους του σχολείου μας δίπλα από τις ράβδους του σχολείου της Αθήνας.

• Πόσα παιδιά έλαβαν μέρος σε κάθε έρευνα; • Τι δείχνει το ύψος των ράβδων;

4 2 0

0-4 ώρεσ

5-9 ώρεσ

10-14 ώρεσ

15-20 ώρεσ

• Πόσες ώρες για ξεκούραση έχουν τα περισσότερα παιδιά του σχολείου μας τις καθημερινές;

...

Ε´ τάξη σχολείου τησ Αθήνασ Η τάξη μασ

υγκρίνουμε τα αποτελέσματα Σ των δύο ερευνών.

61 10-0209.indd 61

16/04/2018 15:04

Ενότητα 4

Συλλογή, οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Η συλλογή, η οργάνωση, η επεξεργασία, η αναπαράσταση και η ερμηνεία ενός συνόλου αριθμητικών δεδομένων μάς βοηθά να βγάζουμε συμπεράσματα, να κάνουμε προβλέψεις και να παίρνουμε αποφάσεις.

α. Σε πόσο χρόνο τρέχεις τα 100 μέτρα;

Ο πίνακας συχνοτήτων μάς δείχνει πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε δεδομένο στην καταγραφή μας.

Υπάρχουν πολλοί τύποι διαγραμμάτων για την αναπαράσταση των δεδομένων: π.χ. ραβδόγραμμα, εικονόγραμμα, σημειόγραμμα, διάγραμμα γραμμής.

14,8

14,9

15,3

15,7

15,5

16

15,2

15,2

16,1

15,6

15,5

14,8

15,3

14,9

17

15,1

15,3

15,6

14,8

16,2

15,6

15,2

15,5

15,3

Πίνακας συχνοτήτων

Διάγραμμα Γραμμήσ

Πόσες ταινίες είδαν οι μαθητές τον τελευταίο μήνα Ταινίες

Καταμέτρηση με γραμμές

0

ΙΙΙΙ

1

ΙΙΙΙ

2

ΙΙΙΙ

39 38,5

Συχνότητα 4

ΙΙΙΙ

Πυρετόσ Ασθενούσ

39,5

Θερμοκρασία σε oC

Η συλλογή δεδομένων γίνεται με μετρήσεις, πειράματα, έρευνες κ.λπ., ενώ η οργάνωση και η αναπαράστασή τους με πίνακες και διαγράμματα.

Σε πόσα δευτερόλεπτα τρέχεις τα 100 μέτρα;

38 37,5 37 36,5 36

9

35,5

ΔΕΥ

4

ΤΡΙ

ΤΕΤ

ΠΕΜ

ΠΑΡ

ΣΑΒ

ΚΥΡ

Σημειόγραμμα

Εικονόγραμμα

x x

0 ταινίες

x x

1 ταινία

x x

x

x

x x x

x x x

x x x

0 ταινίες

1 ταινία

2 ταινίες

2 ταινίες Κάθε

αντιστοιχεί σε 2 μαθητές

Εφαρμογή Πίνακας συχνοτήτων - ραβδόγραμμα Τα παιδιά μιας Ε΄ τάξης ερεύνησαν πόσες Αποτελέσματα έρευνας ώρες παρακολουθούν τηλεόραση κάθε εβδο16 5 8 0 3 9 μάδα.

1. Οργανώνουμε τα δεδομένα που συλλέξαμε στον πίνακα συχνοτήτων, στον οποίο καταμετρούμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε δεδομένο. Επειδή στα δεδομένα εμφανίζονται πολλές διαφορετικές τιμές, τα ομαδοποιούμε: 0-4, 5-9, 10-14 και 15-19 ώρες.

2. Παρουσιάζουμε τα δεδομένα με ένα ραβδόγραμμα, στο οποίο βάζουμε τίτλο. Κάθε άξονας χωρίζεται σε ίσα διαστήματα.

0

5

7

9

8

2

2

15

5

1

7

15

9

13

4

8

4

8

Ώρες

Καταμέτρηση

0-4

ΙΙΙΙ

ΙΙΙ

5-9

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ

Συχνότητα 8

ΙΙ

12

10 - 14

Ι

1

15 - 19

ΙΙΙ

3

Ώρεσ παρακολούθησησ τηλεόρασησ ανά εβδομάδα

14

Αριθμόσ παιδιών

12 10 8 6 4 2 0

0-4

5-9

10-14

15-19

Ώρεσ

Αναστοχασμός 1. Στην αναπαράσταση των δεδομένων κάποιοι αριθμοί δείχνουν τις τιμές των δεδομένων και κάποιοι άλλοι πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε τιμή. Δίνουμε ένα παράδειγμα.

62 10-0209.indd 62

16/04/2018 15:04

23

Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Mέση τιμή Διερεύνηση

Ο Τζέιμς σημείωσε στους δέκα πρώτους αγώνες μπάσκετ της ομάδας του τους πόντους που φαίνονται στο ραβδόγραμμα:

Σύνολο πόντων του Τζέιμσ ανά αγώνα

35

Σύνολο πόντων

30

α. Παρατηρούμε το ραβδόγραμμα: 1. Πόσους πόντους σημείωσε συνολικά και στους δέκα αγώνες;

30

25

25

20

26 23

25

17

15 10

25

15

13

11

5 0

1οσ αγ.

2οσ αγ.

3οσ αγ.

4οσ αγ.

5οσ αγ.

6οσ αγ.

……………………………….……………

2. Αν οι συνολικοί πόντοι μοιράζονταν εξίσου και στους 10 αγώνες, πόσους πόντους θα σημείωνε σε κάθε αγώνα;

7οσ αγ.

8οσ αγ.

9οσ 10οσ αγ. αγ.

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

3. Χαράζουμε μια κόκκινη γραμμή παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, που θα δείχνει το ύψος των ράβδων, εάν οι συνολικοί πόντοι μοιράζονταν εξίσου και στους 10 αγώνες. β. Συμπληρώνουμε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων. Σύνολο διαφορετικών πόντων ανά αγώνα 13

Καταμέτρηση με γραμμές

Συχνότητα εμφάνισης

1

1 Ποια είναι η μικρότερη τιμή πόντων;.....................

2. Π οια είναι η μεγαλύτερη τιμή πόντων; ................

3. Π οια τιμή πόντων εμφανίζεται πιο συχνά; ........... γ. Διατάσσουμε τους πόντους με τη σειρά από τους λιγότερους, ανά αγώνα, στους περισσότερους. ………………………………………….……………………… Ποια τιμή ή ποιες δύο τιμές βρίσκονται στη μέση της διάταξης και χωρίζουν το σύνολο των τιμών σε δυο ίσα μέρη, από τα οποία το ένα μέρος έχει τις μικρότερες τιμές και το άλλο τις μεγαλύτερες;

............................................................................................................................................................

...

Συζητάμε και κάνουμε προβλέψεις για το μέλλον του παίκτη.

•Μ ε βάση τα δεδομένα, ποια πρόβλεψη μπορούμε να κάνουμε για την πορεία του παίκτη στη διάρκεια της αγωνιστικής περιόδου; • Ποιοι πιθανοί παράγοντες μπορούν να ανατρέψουν τις προβλέψεις μας;

63 10-0209.indd 63

16/04/2018 15:04

Ενότητα 4

Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Mέση τιμή Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Κατά την επεξεργασία των αριθμητικών δεδομένων, βρίσκουμε κάποιες χαρακτηριστικές τιμές, χρήσιμες στην ερμηνεία των δεδομένων. Μία από αυτές είναι η μέση τιμή ή μέσος όρος.

Οι μετρήσεις της θερμοκρασίας στη Λαμία κάθε 4 ώρες στις 25/12/2017 ήταν: 3 oC, 1 oC, 5 oC, 12 oC, 8 oC, 7 oC.

Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή ή τον μέσο όρο, προσθέτουμε τις τιμές όλων των δεδομένων και διαιρούμε το άθροισμά τους με το πλήθος των δεδομένων. άθροισμα δεδομένων Μέση τιμή ή μέσος όρος = πλήθος δεδομένων

12

12

11

11

10

10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

Μέση τιμή ή μέσος όρος 3+1+5+12+8+7 6

=

36 = 6 oC. 6

Εφαρμογή Υπολογίζω τη μέση τιμή Σύμφωνα με το Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών, η μέση μηνιαία βροχόπτωση στην Αθήνα τον περασμένο αιώνα ήταν 33,29 χιλιοστά. Συγκρίνουμε τη μέση μηνιαία βροχόπτωση της Αθήνας με αυτήν της πόλης των Ιωαννίνων την ίδια περίοδο. Παρατηρούμε και σχολιάζουμε το διάγραμμα.

1. Άθροισμα των δεδομένων: 124,2 +111,6 + 95,4 + 78 + 69,3 + 43,5 + 32 + 31,2 + 54 + 99,5 + 167,9 + 174,9 = 1081,5.

2. Πλήθος των δεδομένων: 12.

Μέση μηνιαία βροχόπτωση - Ιωάννινα

200

3. Άρα η μέση τιμή είναι:

174,9

180

Η μέση τιμή της βροχόπτωσης το καλοκαίρι στα Ιωάννινα είναι περίπου όση είναι η μέση μηνιαία τιμή όλου του έτους για την Αθήνα.

140 120

Ύψοσ νερού σε χιλ.

1081,5 = 1081,5 : 12 = 90,125 χιλ.

12 Παρατηρούμε ότι η μέση μηνιαία βροχόπτωση στα Ιωάννινα είναι σχεδόν τριπλάσια από αυτήν της Αθήνας.

167,9

160

100 80

124,2 111,6 95,4

99,5 78

69,3

60 40

43,5 32

20

54 31,2

0

ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΙ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ

Αναστοχασμός 1. Η μέση τιμή ενός συνόλου δεδομένων είναι πάντα η τιμή ενός από τα δεδομένα; 2. Αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή του ύψους 180 αγοριών Ε΄ δημοτικού, μπορούμε να εκτιμήσουμε το ύψος που έχουν όλα τα αγόρια στην ηλικία αυτή; 3. Αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή της θερμοκρασίας ενός τόπου σε χρονικό διάστημα 7 ημερών, μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της θερμοκρασίας του ίδιου τόπου και για τις επόμενες 7 ημέρες; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

64 10-0209.indd 64

16/04/2018 15:04

24

Πιθανότητες Διερεύνηση

Παίζουμε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζει μόνον όποιος φέρει στον διπλανό τροχό το χρώμα που έχει επιλέξει. Ποιο χρώμα θα διάλεγες για εσένα; α. Κάνουμε προβλέψεις για το πείραμα τύχης.

...

υζητάμε πόσο πιθανό είναι να έρθει καθένα από τα Σ χρώματα, αν περιστρέψουμε τον τροχό.

β. Κάνουμε το πείραμα τύχης. Χωριζόμαστε σε ομάδες και χρησιμοποιούμε τον τροχό από το παράρτημα. Περιστρέφουμε τον τροχό 20 φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματά μας.

1. Παρατηρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε χρώματος. Ποιο χρώμα είναι πιο πιθανόν να εμφανίζεται κάθε φορά;

........................................................................

Αποτελέσματα της ομάδας μου Χρώμα

Καταμέτρηση με γραμμές

Συχνότητα εμφάνισης με αριθμό

πράσινο κίτρινο μπλε κόκκινο Το μπλε είναι μόνο σε 1 από τα 8 ίσα μέρη.

Το βέλος μπορεί να σταματήσει σε καθένα από τα 8 ίσα μέρη. Το κίτρινο χρώμα είναι στα 4 από αυτά.

2. Πόσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί κόκκινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού; ....................................................................................................................................................

3. Πόσες φορές αναμένουμε να εμφανιστεί πράσινο χρώμα σε 8 περιστροφές του τροχού; .................................................................................................................................................... γ. Γ ράφουμε με κλάσμα την πιθανότητα εμφάνισης κάθε χρώματος, όταν περιστρέφουμε τον τροχό. , κόκκινο = , μπλε = , πράσινο = Πιθανότητα να έρθει: κίτρινο = δ. Τοποθετούμε τα κλάσματα στην παρακάτω κλίμακα.

0

...

αδύνατο να συμβεί

1 το ίδιο πιθανό να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

υγκρίνουμε τις πιθανότητες που υπολογίσαμε, με τον τρόπο αυτό, με Σ τις αρχικές μας προβλέψεις.

65

10-0209.indd 65

16/04/2018 15:04

Ενότητα 4

Πιθανότητες Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Ένα πείραμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμά του, όταν το κάνουμε, ονομάζεται πείραμα τύχης.

Αν ρίξουμε ένα ζάρι 1000 φορές, δεν μπορούμε να προβλέψουμε πόσες φορές θα εμφανιστεί κάθε αριθμός.

Σε ένα πείραμα τύχης, το πόσο πιθανό είναι να έρθει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα λέγεται πιθανότητα και μπορεί να υπολογιστεί με ένα κλάσμα:

Η πιθανότητα να έρθει 3, αν ρίξουμε ένα ζάρι είναι: 1 πόσες φορές το 3 στο ζάρι = .

6 πλήθος των αριθμών στο ζάρι

πλήθος των επιθυμητών αποτελεσμάτων πιθανότητα = πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων Η πιθανότητα να έρθει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα μπορεί να εκφραστεί με μια κλίμακα που εκτείνεται από το αδύνατο να συμβεί έως το βέβαιο ότι θα συμβεί. H μέση της κλίμακας αντιπροσωπεύει αυτό που είναι πιθανό τόσο να συμβεί, όσο και να μην συμβεί.

Όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Το πλήθος των επιθυμητών αποτελεσμάτων είναι 1 (το 3 εμφανίζεται μία φορά στα 6 αποτελέσματα).

0

αδύνατο να συμβεί

1

το ίδιο πιθανό να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

Εφαρμογή Εκφράζω την πιθανότητα με κλάσμα Μέσα σε μια τσάντα βρίσκονται ανακατεμένες ομοιόμορφες μπάλες. Οι 5 είναι κόκκινες, οι 2 κίτρινες και 3 είναι μπλε. α. Υπολογίζουμε την πιθανότητα να τραβήξουμε: πλήθος από κίτρινες μπάλες 2 = πλήθος από όλες τις μπάλες 10 πλήθος από κόκκινες μπάλες 5 1 = = 2. μια κόκκινη μπάλα: (μισές – μισές πιθανότητες). πλήθος από όλες τις μπάλες 10 2

1. μ ια κίτρινη μπάλα:

3. μια πράσινη μπάλα:

πλήθος από πράσινες μπάλες 0 = = 0. Η πιθανότητα είναι 0, δηλαδή είναι πλήθος από όλες τις μπάλες 10

αδύνατο να συμβεί, γιατί δεν υπάρχει πράσινη μπάλα.

4. μια κόκκινη ή κίτρινη ή μπλε μπάλα: πλήθος από κόκκινες και κίτρινες και μπλε μπάλες πλήθος από όλες τις μπάλες

=

(5+2+3) 10 = = 1.

10 10

Η πιθανότητα είναι 1, δηλαδή είναι βέβαιο ότι θα συμβεί, γιατί οι μπάλες στην τσάντα είναι μόνο κόκκινες, κίτρινες και μπλε. β. Τοποθετούμε τις παραπάνω πιθανότητες στην παρακάτω αριθμογραμμή.

2 10

0 αδύνατο να συμβεί

1 2

1

το ίδιο πιθανό να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

Αναστοχασμός 1. Ο Νίκος ισχυρίζεται ότι σε ένα παιχνίδι τύχης με αριθμούς από το 1 έως το 20, το 17 είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί, επειδή είναι ο τυχερός του αριθμός. Έχει δίκιο; 2. Ρίχνουμε ένα ζάρι 10.000 φορές. Πόσες περίπου φορές θα έρθει ο αριθμός 2;

66 10-0209.indd 66

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 4

Κεφάλαια 22 - 24

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να διατυπώνω ερωτήματα που μπορούν να απαντηθούν με δεδομένα, ü να συλλέγω δεδομένα μέσω ερευνών, μετρήσεων ή πειραμάτων, ü να οργανώνω τα δεδομένα σε πίνακες, να αναπαριστάνω τα δεδομένα σε διαγράμματα, ü ü να εξηγώ ένα διάγραμμα και να επιχειρηματολογώ με βάση τα δεδομένα, ü να βρίσκω τη μέση τιμή, ü να διατυπώνω προβλέψεις και να καταγράφω τη συχνότητα εμφάνισης ενός αποτελέσματος κατά την επανάληψη ενός πειράματος τύχης, ü να υπολογίζω την πιθανότητα ενός αποτελέσματος με κλάσμα.

1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Τα παιδιά της Ε΄ και της ΣΤ΄ τάξης έκαναν μια έρευνα για το ποιο άθλημα τους αρέσει πιο πολύ. Κάθε παιδί διάλεξε μόνο ένα άθλημα. Συμβουλευόμαστε τον πίνακα των δεδομένων και οργανώνουμε τα δεδομένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων. Αναπαριστάνουμε τα δεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα.

Αγαπημένο άθλημα Π

Π

Π

Σ

Μ

Μ

Β

Μ

Σ

Π

Β

Σ

Σ

Μ

Κ

Κ

Σ

ΠΠ

Μ

Β

Π

Κ

Σ

Β

Β

Σ

Β

Μ

Π

Π

Ποδόσφαιρο: Π, Μπάσκετ: Μ, Βόλεϊ: Β, Κολύμβηση: Κ, Πινγκ Πονγκ: ΠΠ, Στίβος: Σ

1. Πίνακας συχνοτήτων Άθλημα

Καταμέτρηση με γραμμές

2. Ραβδόγραμμα

Συχνότητα εμφάνισης με αριθμό

Ποδόσφαιρο Μπάσκετ Βόλεϊ Κολύμβηση Πινγκ Πονγκ Στίβος

67 10-0209.indd 67

16/04/2018 15:04

επαναληπτικό 4

Κεφάλαια 22 - 24

2ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Βρίσκουμε τη μέση τιμή των δεδομένων που παρουσιάζονται σε κάθε διάγραμμα. Βιβλία που πήραν από τη δανειστική βιβλιοθήκη

τα αδέλφια μου 7

Αριθμόσ βιβλίων

Θανάσησ Ανέτ Σίλβιο Δήμητρα Δανάη

6 5 4 3 2 1 0 Μαρία

: ένα άτομο

Νίκοσ

Βίλντα

Στέλλα

Αιμίλιοσ

Παιδιά

3ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Χρησιμοποιούμε την παρακάτω κλίμακα, για να εκφράσουμε πόσο πιθανό είναι να προκύψουν τα ακόλουθα χρώματα, αν περιστρέψουμε τον τροχό.

0 αδύνατο να συμβεί

1 το ίδιο πιθανό να συμβεί τόσο όσο και να μη συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

α. Μοβ: .......................................................................................................................... β. Κίτρινο: ................................................, γ. Ποτέ πράσινο: ..................................... δ. Κόκκινο ή πράσινο ή μοβ: .........................................................................................

4ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Μέσα σε ένα μαύρο κουτί έχουμε 1 κόκκινη, 1 πράσινη και 1 άσπρη μπάλα. Τραβάμε μία μπάλα, καταγράφουμε το αποτέλεσμα στον πίνακα συχνοτήτων και τοποθετούμε ξανά την μπάλα στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα τύχης συνολικά 30 φορές.

1. Πριν ξεκινήσουμε το πείραμα, προβλέπουμε πόσες φορές θα τραβήξουμε μια άσπρη μπάλα. .........................................................................................................................................................

2. Κάνουμε το πείραμα και αναπαριστάνουμε τα αποτελέσματα του πειράματος σε εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα.

3. Συγκρίνουμε την πρόβλεψή μας με τα αποτελέσματα του πειράματος τύχης. Καταμέτρηση με γραμμές

Συχνότητα εμφάνισης

κόκκινες μπάλες άσπρες μπάλες

30

30

28

28

26

26

24

24

22

22

20

20

18

18

16

16

14

14

12

12

10

10

8

8

6

6

4

4

2

πράσινες μπάλες

2

0

0

κόκκινεσ

άσπρεσ

πράσινεσ

Ραβδόγραμμα

κόκκινεσ

άσπρεσ

πράσινεσ

Εικονόγραμμα

68 10-0209.indd 68

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 69

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 70

16/04/2018 15:04

Κεφάλαιο 13

Δ Ε

Γ

A B



Κεφάλαιο 24

10-0209.indd 71

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 72

16/04/2018 15:04

Προτεινόμενα κεφάλαια: 16, 18, 20

1 1 2

1 2

1 3 1 4

1 3 1 4

1 3 1 4

1 4



1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

10-0209.indd 73

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 74

16/04/2018 15:04

Κεφάλαιο 19

1

1

1

1 2

1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6



1 6

1 2

10-0209.indd 75

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 76

16/04/2018 15:04



Κεφάλαιο 19

10-0209.indd 77

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 78

16/04/2018 15:04

10-0209.indd 79

16/04/2018 15:04

Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α').

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.

10-0209.indd 80

16/04/2018 15:04

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά

ISBN Set 978-960-06-5659-6 Τ.Α´ 978-960-06-5661-9 Κωδικός Βιβλίου: 0-10-0209

E´

Δη μο τ

ικο ύ

α´ τεύχος

(01) 000000 0 10 0209 6

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

0-10-0209_cover.indd 1

18/4/2018 3:55:54 µµ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά

ISBN Set 978-960-06-5659-6 Τ.B´ 978-960-06-5886-6 Κωδικός Βιβλίου: 0-10-0211

E´

Δη μο τ

ικο ύ

β´ τεύχος

(01) 000000 0 10 0211 9

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

0-10-0211_cover.indd 1

29/06/2018 12:08

Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ β΄ τεύχος

10-0211.indd 1

28/06/2018 11:27

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

ΚΡΙΤΕΣ–ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ

ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ EΠΙΜΕΛΕΙΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΕΠ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Σπυρίδων Δουκάκης, Εκπαιδευτικός ΠΕ03 Βασιλική Καρακώστα, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Γεώργιος Μπαραλής, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΚΠΑ Ιωάννα Σταύρου, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Δέσποινα Πόταρη, Καθηγήτρια ΕΚΠΑ Δημήτριος Ζυμπίδης, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ70 Μαρία Λάτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ70 Σοφία Στασινοπούλου Γλυκερία Τσιμούρτου Δημήτριος Μπόντης Αθανάσιος Σκούρας, Σύμβουλος Α΄ ΥΠΠΕΘ Κλεοπάτρα Μουρσελά, Εισηγήτρια ΙΕΠ ΠΕ08 Ευάγγελος Συρίγος, Ειδικός Σύμβουλος ΙΕΠ Ιουλιανή Βρούτση, Εκπαιδευτικός ΠΕ02 ΙΤΥΕ ‘‘ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ’’

Το παρόν εκπονήθηκε με την υπ. αρ. 21/16-06-2016 Πράξη του Δ.Σ. του ΙΕΠ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γεράσιμος Κουζέλης Πρόεδρος του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής

10-0211.indd 2

28/06/2018 11:27

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Κωνσταντίνος Βρυώνης

Σπυρίδων Δουκάκης

Γεώργιος Μπαραλής

Βασιλική Καρακώστα

Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά Ε΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ β΄ τεύχος

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

10-0211.indd 3

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 4

28/06/2018 11:27

ενότητα 5 Κεφ. 25 Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί Κεφ. 26 Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς

ενότητα 7 7

Κεφ. 36 Μετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες

37

Κεφ. 37 Προσανατολισμός στον χώρο 39 9

Κεφ. 38 Είδη γωνιών

41

Κεφ. 39 Μέτρηση γωνιών

43

Κεφ. 27 Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς

11

Κεφ. 28 Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς

Κεφ. 40 Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες

45

13

Κεφ. 29 Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς

Κεφ. 41 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές

47

15

Κεφ. 42 Καθετότητα – Ύψη τριγώνου

49

Κεφ. 43 Συμμετρία

51

Κεφ. 30 Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς

17

Κεφ. 44 Κύκλος -Μήκος κύκλου

53

Κεφ. 31 Η έννοια του ποσοστού

19

7ο επαναληπτικό κεφάλαιο

55

Κεφ. 32 Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών

21

5ο επαναληπτικό κεφάλαιο

23

ενότητα 8

ενότητα 6 Κεφ. 33 Οι αρνητικοί αριθμοί

27

Κεφ. 34 Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα

29

Κεφ. 35 Ισότητες και ανισότητες

31

6ο επαναληπτικό κεφάλαιο

33

Κεφ. 45 Μονάδες μέτρησης του μήκους

59

Κεφ. 46 Γεωμετρικά σχήματα – Η περίμετρος

61

Κεφ. 47 Μονάδες μέτρησης της επιφάνειας

63

Κεφ. 48 Εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου

65

Κεφ. 49 Γεωμετρικά στερεά – Ο όγκος 67 Κεφ. 50 Μονάδες μέτρησης του όγκου και της χωρητικότητας 69 Κεφ. 51 Μονάδες μέτρησης της μάζας 71 Κεφ. 52 Μονάδες μέτρησης του χρόνου 73 8ο επαναληπτικό κεφάλαιο

10-0211.indd 5

75

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 6

28/06/2018 11:27

Ενότητα

10-0211.indd 7

5

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 8

28/06/2018 11:27

25

Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί Διερεύνηση

1. Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων ενός Δημοτικού Σχολείου έβαψε με πράσινο χρώμα μέρος ενός τοίχου του σχολείου. α. Α ναπαριστάνουμε με ένα τετράγωνο τον τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εκφράζουμε το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα με: δεκαδικό κλάσμα:

10

ή

Το αρχικό τετράγωνο είναι η ακέραιη μονάδα.

δεκαδικό αριθμό: ……… ή ………

β. Παρατηρούμε με τον μεγεθυντικό φακό το τετράγωνο που αναπαριστάνει τον τοίχο. Κάθε τετραγωνάκι του είναι χωρισμένο σε …… ίσα μέρη και επομένως η ακέραιη μονάδα είναι χωρισμένη σε ……………. ίσα μέρη. Εκφράζουμε το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα με: .........

δεκαδικό αριθμό: ………… δεκαδικό κλάσμα: 1.000

2. Ο Σύλλογος Γονέων και Κηδεμόνων στη συνέχεια χρωμάτισε τη διπλάσια επιφάνεια. ακέραιο µέρος (38)

α. Χρωματίζουμε το μέρος της επιφάνειας του τοίχου που καλύφθηκε με πράσινο χρώμα και το εκφράζουμε με:

δεκαδικό µέρος (57)

38,57 υποδιαστολή (,)

δεκαδικό κλάσμα

δεκαδικό αριθμό

...... ...... ...... ή ή ...... ...... ......

...... ή ...... ή ......

β. Εκφράζουμε τα παραπάνω δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς με μεικτό αριθμό: ………………………………………….……………………………………… ακέραιο µέρος (38) δεκαδικό µέρος (57) γ. Τοποθετούμε τους αριθμούς 16 , 8 , 0,8 και 1,6 στην αριθμογραμμή.

38,57 10 10 υποδιαστολή (,)

0

...

1

2

υζητάμε τον τρόπο με τον οποίο μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα Σ σε δεκαδικούς αριθμούς και το αντίστροφο.

9

10-0211.indd 9

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

H ακέραιη μονάδα μπορεί να χωριστεί σε 10, 100, 1.000 ίσα μέρη κ.λπ. Τα δέκατα, τα εκατοστά και τα χιλιοστά της μονάδας μπορούμε να τα γράψουμε με κλάσμα ή δεκαδικό αριθμό.

1 10

• ένα δέκατο: • ένα εκατοστό: • ένα χιλιοστό:

ή 0,1

1 ή 0,01 100 1 ή 0,001 1.000

• 1 = 10 δεκ. = 100 εκ. = 1.000 χιλ. Τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 10, 100, 1.000 κ.λπ. ονομάζονται δεκαδικά κλάσματα και μπορούν να γραφτούν και με τη μορφή δεκαδικών αριθμών και το αντίστροφο.

• Οι δεκαδικοί αριθμοί έχουν δύο μέρη, ακέραιο και δεκαδικό, που χωρίζονται με υποδιαστολή.

• Το ακέραιο μέρος δείχνει τις ακέραιες μονάδες. Το δεκαδικό μέρος δείχνει μέρη της ακέραιης μονάδας.

• Στο δεκαδικό μέρος τα ψηφία είναι: 1 αν έχω χωρίσει την ακέραιη μονάδα σε 10 ίσα μέρη, 2 αν έχω χωρίσει σε 100, 3 αν έχω χωρίσει σε 1.000 κ.λπ.

• Ο δεκαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί και με τη μορφή μεικτού αριθμού.

4 = 0,4 10 0,543 =

32 = 0,32 100

543 1.000

1,2 =

12 10

583 = 5,83 100 3,31 =

331 100

38 ακέραιες μονάδες και 57 εκατοστά της ακέραιης μονάδας. ακέραιο µέρος (38)

δεκαδικό µέρος (57)

38,57 υποδιαστολή (,)

38,57 =

3857

100

ή

38,57 = 38

57 100

Εφαρμογή Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα 3 14 και σε δεκαδικούς αριθμούς.

20 5 Μετατρέπουμε σε ισοδύναμα δεκαδικά κλάσματα και έπειτα σε δεκαδικούς αριθμούς.

3 3x5 15 .

3 = 15 = …………… α. = = Επομένως 20 20 x 5 100 20 100 14 = 14 x 2 = 28 = 20 + 8 = 2 8 = 2,8 ή 14 = 5 + 5 + 4 = 2 4 = 2 4 x 2 = 2 8 =…...… β.

5x2 5x2 5 10 10 10 10 5 5 5 5 5 10 1. Να μετατρέψετε τα κλάσματα

2. Να μετατρέψετε τους δεκαδικούς αριθμούς 0,8 και 1,45 σε κλάσματα ή μεικτούς. Μετατρέπουμε τους δεκαδικούς αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα και έπειτα τα δεκαδικά κλάσματα σε ισοδύναμα ανάγωγα κλάσματα.

8 8:2 145 = 100 + 45 = 1 + 45 = 1 + 45 : 5 = 1 9 ή = = . β. 1,45 = α. 0,8 = 20 10 10 : 2 100 : 5 100 100 100 100

Αναστοχασμός 1. Σε έναν δεκαδικό αριθμό μικρότερο της ακέραιης μονάδας, ποιο είναι το ακέραιο μέρος; 2. Πώς μπορούμε να γράψουμε έναν φυσικό αριθμό με τη μορφή δεκαδικού αριθμού; 3. Πόσα δέκατα είναι ο δεκαδικός αριθμός 2,4; Πόσα εκατοστά είναι ο ίδιος αριθμός;

10 10-0211.indd 10

28/06/2018 11:27

26

Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς Διερεύνηση

Ο Έλληνας Ολυμπιονίκης Λευτέρης Πετρούνιας αναδείχτηκε Παγκόσμιος Πρωταθλητής στο άθλημα των κρίκων στις 7/10/2017 στο Μόντρεαλ του Καναδά. Στον πίνακα αναγράφονται οι επιδόσεις των έξι πρώτων αθλητών κατά τη σειρά με την οποία αγωνίστηκαν: Χώρα

Αθλητής

Βαθμολογία

Ουκρανία

Ραντιβίλοφ

14,933

Τουρκία

Τσολάκ

15,066

Ρωσία

Αμπλιάζιν

15,333

Γαλλία

Αΐτ Σαΐντ

15,258

Ελλάδα

Πετρούνιας

15,433

Κίνα

Λιου

15,266

α. Παρατηρούμε τον πίνακα και απαντάμε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιος αθλητής πήρε την υψηλότερη βαθμολογία; . .................................................................

2. Ποιος αθλητής πήρε τη χαμηλότερη βαθμολογία; ...................................................................

3. Ποιος αθλητής έχει βαθμολογία κοντά στο 15

1 ; . ..................................................................

2

β. Τοποθετούμε τους παραπάνω αριθμούς στον πίνακα αξίας θέσης:

x 1

x 1

x

x 0,1

x 0,01

x 0,001

δέκατα

εκατοστά

χιλιοστά

10

Αριθμός

x 100

x 10

x1

Εκατοντάδες

Δεκάδες

Μονάδες

,

100

1 1.000

, , , , , , Ακέραιο μέρος

,

Δεκαδικό μέρος

Υποδιαστολή γ. Αναλύουμε τον αριθμό 15,258: 15,258 = (1 x 10) + (5 x 1) + (2 x ……) + (5 x ……..) + (…… x 0,001) ή 15,258 = (1 x 10) + (5 x 1) + (….. x 1 )+ (…… x 1 )+ (8 x ………)

100 10 Στο δεκαδικό μέρος ποιο ψηφίο έχει τη μεγαλύτερη αξία; …………………………………… δ. Γράφουμε σε σειρά τους παραπάνω αριθμούς του πίνακα από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο: ............................................. < ............................................. < ............................................ < ............................................. < ............................................. < ............................................

11 10-0211.indd 11

28/06/2018 11:27

Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Αξία θέσης ψηφίου στους δεκαδικούς

Ενότητα 5

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Σε έναν δεκαδικό αριθμό κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, έχει διαφορετική αξία.

4εκ. = 0,04

0,4 = 4δεκ.

4,444 4 = 4Μ

Μπορούμε να γράψουμε έναν δεκαδικό αριθμό: α. με ψηφία, β. με λέξεις.

4χιλ. = 0,004

α. 32,006 β. τριάντα δύο και έξι χιλιοστά

Οι δεκαδικοί αριθμοί, όπως και οι φυσικοί, μπορούν να αναλυθούν με το δεκαδικό τους ανάπτυγμα.

3,315 = 3 Μ + 3 δεκ. + 1 εκ. + 5 χιλ. = = (3 x1) + (3 x 0,1) + (1 x 0,01) + (5 x 0,001)

Ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος. Για να συγκρίνουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς με το ίδιο ακέραιο μέρος, συγκρίνουμε το δεκαδικό τους μέρος, πρώτα τα δέκατα, μετά τα εκατοστά κ.λπ.

26,5 > 24,998

• • • •

(γιατί 26 > 24)

Συγκρίνω: 19,76 και 19,7499 ίδιο ακέραιο μέρος (19 =19), ίδια δέκατα (7=7), διαφορετικά εκατοστά ( 6 > 4), άρα 19,76 > 19,7499.

Εφαρμογή Τοποθετώ δεκαδικούς αριθμούς στην αριθμογραμμή 1. Να βρείτε τους δεκαδικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στα σημεία Α, Β, Γ και Δ της αριθμογραμμής: 0 A

B

0,5 Γ

1

∆

Με βάση τα γνωστά σημεία πάνω στην αριθμογραμμή παρατηρούμε ότι η ακέραιη μονάδα είναι 0 A B 0,5 Γ 1 ∆ χωρισμένη σε 100 ίσα μέρη. Επομένως: Αª0,07

Βª ..……..

0 A

0

B

Γª………..

0,5 Γ

Δª…………

1

∆

0,1

2. Να τοποθετήσετε πάνω στην αριθμογραμμή το ένα εκατοστό και το ένα χιλιοστό: 0

0,1

0

0,1

3. Να τοποθετήσετε πάνω στην αριθμογραμμή τους αριθμούς 1,42και 1,40: 0 0

2

0

2

Αναστοχασμός 1. Αν προσθέσουμε ένα μηδέν στο τέλος ενός δεκαδικού αριθμού, αλλάζει η αξία του; 2. Γράφουμε δεκαδικούς αριθμούς από τους οποίους ο ένας είναι 100 φορές μεγαλύτερος από τον άλλο.

3. Βρίσκουμε έναν δεκαδικό αριθμό που βρίσκεται ανάμεσα στο 3,74 και το 3,75.

12 10-0211.indd 12

28/06/2018 11:27

Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς Διερεύνηση

27

1. Συχνά στην καθημερινή ζωή κάνουμε εκτιμήσεις για διάφορες καταστάσεις. Για να αγοράσω 2 κιλά κουτσομούρες και 1 κιλό μουρμούρες, θα χρειαστώ περίπου 43 €.

Το ύψος του πεύκου είναι περίπου 16 μέτρα.

α. Υπολόγισε σωστά η Αγγελική τα χρήματα που θα χρειαστεί, για να αγοράσει ψάρια;

Γιατί πολλοί έμποροι δίνουν στα προϊόντα τους τιμές που τελειώνουν σε 0,99; β. Τι νομίζετε ότι έλαβε υπόψη του ο Νίκος, για να εκτιμήσει το ύψος του πεύκου;

2.

Η απόσταση από τα Φαλάσαρνα στην Κνωσό είναι περίπου 198 χμ.

Φαλάσαρνα

52,2 χμ.

Χανιά

80,9 χμ.

64,5 χμ. Ρέθυμνο

Κνωσός

α. Σε ποιο ψηφίο στρογγυλοποίησε τους αριθμούς η Δανάη; ........................................................................ β. Τοποθετούμε τους δεκαδικούς αριθμούς που δείχνουν τις χιλιομετρικές αποστάσεις στις διπλανές αριθμογραμμές. Σε ποιον φυσικό αριθμό είναι κάθε δεκαδικός αριθμός πιο κοντά;

52

53

64

65

80

81

Στρογγυλοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς με τη βοήθεια των αριθμογραμμών. Εξηγούμε τη σκέψη μας.

............................................................................

............................................................................

.....................................................................................................................................................

...

υζητάμε διαφορές ανάμεσα στις έννοιες «εκτίμηση» και Σ «στρογγυλοποίηση». Δίνουμε παραδείγματα.

13

10-0211.indd 13

14,71

14,72

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Η εκτίμηση είναι ένα χρήσιμο εργαλείο στην καθημερινή ζωή, γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίζουμε κατά προσέγγιση διάφορα μεγέθη.

• Το μήκος του μολυβιού είναι περίπου 8 εκ.

• Το ταξίδι θα διαρκέσει περίπου 2,5 ώρες.

• Το γινόμενο 7,99 x 2,47 είναι περίπου 8 x 2,5 = 20.

Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς γίνεται όπως και στους φυσικούς αριθμούς.

1. Προσδιορίζουμε τη θέση του ψηφίου του αριθμού στην οποία θα κάνουμε τη στρογγυλοποίηση.

2. Εξετάζουμε το ψηφίο που βρίσκεται στην αμέσως επόμενη δεξιά θέση. Αν είναι:

0, 1, 2, 3 ή 4, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο αυτό και όλα όσα είναι δεξιά του με το 0.

5, 6, 7, 8 ή 9, τότε αντικαθιστούμε το ψηφίο αυτό και όλα και 52 όσα είναι δεξιά του με το 0 53 αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της θέσης στην οποία κάνουμε τη στρογγυλοποίηση.

Στρογγυλοποιούμε στα δέκατα τους αριθμούς: α. 23,846 β. 23,876. α. Σ την αμέσως επόμενη δεξιά θέση από το 8 είναι το 4. Τα ψηφία 4, 6 θα αντικατασταθούν με 0. Ο αριθμός θα γίνει: 23,800 ή 23,8. β. Σ την αμέσως επόμενη δεξιά θέση από το 8 είναι το 7. Το ψηφίο 8 στα δέκατα θα αντικατασταθεί με το 9 και τα ψηφία 7, 6 θα αντικατασταθούν με το ψηφίο 0. Ο αριθμός θα γίνει: 23,900 ή 23,9.

64

65

Εφαρμογή 81 1. Το σχολείο80θέλει να αγοράσει 5 μπάλες ποδοσφαίρου καθεμία από τις οποίες κοστίζει 19,87 €. Θα φτάσουν 100 € για την αγορά αυτή; • Ο αριθμός 19,87 μπορεί να στρογγυλοποιηθεί στον αριθμό 20. Είναι 5 x 20 = …….. .

• Επομένως τα 100 € φτάνουν και θα περισσέψουν μερικά λεπτά του ευρώ.

2. Να στρογγυλοποιήσετε τον δεκαδικό αριθμό 14,728 στα εκατοστά με τη βοήθεια της αριθμογραμμής: 14,71

14,72

14,73

14,728

Ο αριθμός 14,728 βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 14,72 και 14,73 και είναι πιο κοντά στο

……..… από ό,τι στο ………. . Η στρογγυλοποίησή του στα εκατοστά δίνει τον αριθμό ……. .

Αναστοχασμός 1. Εξηγούμε γιατί ο αριθμός 9,5 που στην αριθμογραμμή βρίσκεται ακριβώς στη μέση ανάμεσα στο 9 και στο 10, στρογγυλοποιείται στο 10 και όχι στο 9.

2. Το πλάτος ενός τζαμιού είναι 0,76 μ. Επειδή έσπασε και θέλουμε να παραγγείλουμε καινούργιο, μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στα δέκατα;

14 10-0211.indd 14

28/06/2018 11:27

28

Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς Διερεύνηση

2,565 χµ.

Ο Νίκος και η Αγγελική έκαναν μια βόλτα στο βουνό με τα ποδήλατά τους. Στην αρχή της διαδρομής το ταχύμετρο στο ποδήλατο του Νίκου έδειχνε 26,030 χμ. και στο τέλος της διαδρομής 29,4 χμ. Ποια διαδρομή ακολούθησε μαζί με την Αγγελική; Λύση 1. Υ πολογίζουμε το μήκος της διαδρομής Α και της διαδρομής Β:

0,805 χµ.

∆ιαδροµή Α ∆ιαδροµή Β

Διαδρομή Α Χρησιμοποιώντας το υλικό δεκαδικής βάσης

Αριθμός Μονάδες 2,565

Δέκατα

Εκατοστά

2,905 χµ. Διαδρομή B Υπολογίζοντας με κάθετη πράξη

Χιλιοστά

0,805

...........

Γράφουμε στον παραπάνω πίνακα τον αριθμό που βρήκαμε.

2. Υπολογίζουμε τη χιλιομετρική απόσταση που διένυσαν τα παιδιά χρησιμοποιώντας το υλικό δεκαδικής βάσης: 29,4 – 26,03 = ………… χμ.

Απάντηση: Τα παιδιά ακολούθησαν τη διαδρομή ……..

15 10-0211.indd 15

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

• Στους δεκαδικούς αριθμούς προσθέτουμε ή αφαιρούμε μέρη ίδιας αξίας: χιλιοστά με χιλιοστά, εκατοστά με εκατοστά, δέκατα με δέκατα, μονάδες με μονάδες κ.λπ.

• Στις κάθετες πράξεις προσέχουμε κάθε ψηφίο ίδιας αξίας να είναι το ένα κάτω από το άλλο.

12,8 + 4,9 = 17,7

8,25 - 3,12 = 5,13

Στην αφαίρεση δεκαδικών αριθμών ορισμένες φορές χρειάζεται να μετατρέψουμε ακέραιες μονάδες του μειωτέου σε δέκατα, εκατοστά ή χιλιοστά, ώστε να κάνουμε την αφαίρεση.

2,3 -1,6 = 0,7

Στην πρόσθεση, αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

3,2 + 5,7 = 8,9

Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει.

(0,58 + 0,25) + 0,75 = 0,83 + 0,75 = 1,58 0,58 + (0,25 + 0,75) = 0,58 + 1 = 1,58

14,200

+ 12,818

δ εκ χιλ

ΔΜ

16,784

δ εκ χιλ

ΔΜ

-

6,103

29,602

και

8,097

5,7 + 3,2 = 8,9

ή

Εφαρμογή Η Αγγελική αγόρασε ένα βιβλίο αξίας 12, 80 € και ένα κουτί με μαρκαδόρους αξίας 6,35 €. Αν είχε 50 €, πόσα ρέστα πήρε; α. Κάνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος, για να αποφύγουμε πιθανά λάθη στις πράξεις: 12,80 + 6,35 είναι περίπου 13 + 6 =19 € . Άρα 50 – 19 = 31 € περίπου ήταν τα ρέστα. β. Υπολογίζουμε ακριβώς: 12,80 + 6,35 = ……………€ πλήρωσε. Τα ρέστα που πήρε ήταν 50 – 19,15 = 50,00 – 19,15 = …………. € . (Για ευκολία στην αφαίρεση προσθέτουμε μηδενικά στο τέλος του αριθμού με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία). γ. Ελέγχουμε το αποτέλεσμα: Πρέπει να είναι κοντά στην εκτίμηση που κάναμε.

Αναστοχασμός 1. Ποιος αριθμός προκύπτει, αν προσθέσουμε ένα δέκατο στον δεκαδικό αριθμό 2,9; 2.

Βρίσκουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς με άθροισμα περίπου 9.

3.

Βρίσκουμε δύο αριθμούς με διαφορά μεγαλύτερη από 2,5 και μικρότερη από 3.

4.

Βρίσκουμε το άθροισμα 5 χιλιοστά και 40 εκατοστά και 10 μονάδες.

16 10-0211.indd 16

28/06/2018 11:27

Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς Διερεύνηση

29

1. Αξιοποιούμε τις ιδέες των παιδιών και υπολογίζουμε το γινόμενο 0,8 x 0,4 με διαφορετικούς τρόπους: Θα μετατρέψω τους δεκαδικούς α. Μετατρέπουμε τους δεκαδικούς αριθμούς σε κλάσματα. αριθμούς σε κλάσματα.

0,8 x 0,4 =

x

=

= …….

•Σ υζητάμε αν το γινόμενο θα είναι ίδιο αλλάζοντας τη σειρά των παραγόντων. β. Χρησιμοποιούμε μοντέλα αναπαράστασης

Έχω ένα μέρος της ακέραιης μονάδας, το 0,4. Θέλω να βρω το 0,8 του 0,4. Θα χρησιμοποιήσω το τετράγωνο, για να αναπαραστήσω την ακέραιη μονάδα.

•Χ ρησιμοποιούμε το παραπάνω μοντέλο αναπαράστασης και χρωματίζουμε τα μέρη της ακέραιης μονάδας, για να βρούμε το γινόμενο 0,8 x 0,4. Είναι: 0,8 x 0,4 = ………….…. γ. Κάνουμε την πράξη κάθετα Για να δω πού θα βάλω την υποδιαστολή κάνω εκτίμηση. Το γινόμενο 0,8 x 0,4 ισούται περίπου με 1 x 0,4 = 0,4.

8 x 4 = 32. Οπότε 0,8 x 0,4= 0,32.

8 :10

x

4 :10

=

32 :100

0,8 x 0,4 = 0,32

0,8 x 0,4 32 +0 0 0, 3 2

•Υ πολογίζουμε στο τετράδιό μας με κάθετη πράξη το γινόμενο 3,4x1,06 και χρησιμοποιούμε τους παραπάνω τρόπους, για να βάλουμε την υποδιαστολή.

...

Περιγράφουμε όλες τις παραπάνω στρατηγικές που χρησιμοποιήσαμε.

2. Χρησιμοποιούμε την αριθμομηχανή τσέπης, για να υπολογίσουμε τα γινόμενα: α. 2,85 x 10 = ………..

β. 2,85 x 100 = …………

γ. 2,85 x 1.000 = ……………

8

7

% √

4 C

δ. 2,85 x 0,1 = ………..

...

ε. 2,85 x 0,01 = …………

στ. 2,85 x 0,001 = ……………

ON

MCR

-

6

M-

+

3

2

1

÷

×

9 5

.

M+

=

0

ι συνέβη στον δεκαδικό αριθμό, όταν τον πολλαπλασιάσαμε με τους Τ παραπάνω αριθμούς; Γιατί; 17

10-0211.indd 17

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Όταν πολλαπλασιάζουμε δεκαδικούς αριθμούς ή δεκαδικό αριθμό με φυσικό αριθμό: α. Κάνουμε εκτίμηση του γινομένου. β. Κάνουμε την πράξη κάθετα, σαν να ήταν οι παράγοντες φυσικοί αριθμοί, και έπειτα τοποθετούμε την υποδιαστολή στη σωστή θέση. γ. Ελέγχουμε το γινόμενο με βάση την εκτίμησή μας.

4,16 x 3,2 = α. Κάνω εκτίμηση: 4x3=12 β. Υπολογίζω: 4,16x3,2=13,312 γ. Ε λέγχω: To 13,312 είναι κοντά στο 12.

Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

4,16 x 3,2 x 1,2 = 3,2 x 1,2 x 4,16 = 13,312

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1.000, ο αριθμός μεγαλώνει 10, 100, 0,4 φορές αντίστοιχα. Επομένως η υποδιαστο1.000 λή μετακινείται 1, 2 ή 3 θέσεις δεξιά αντίστοιχα.

10 x 3,4 = 34 100 x 3,4 = 340 (συμπληρώνω ένα μηδενικό).

4,16 x 3,2 832 + 1248 13,312

0,8

Εφαρμογή Να υπολογίσετε το γινόμενο 0,8 x 3,2. α. Κάνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος: 0,8 x 3,2 είναι περίπου 1 x 3 = 3.

0,8 β. Υπολογίζουμε ακριβώς: 8 32 8 x 32 256 α΄ τρόπος: 0,8 x 3,2 = x = = = …………

3,2 10 10 100 100 β΄ τρόπος: Χρησιμοποιούμε μοντέλα αναπαράστασης. γ΄ τρόπος: Κάνουμε την πράξη κάθετα.

0,8 3,2

Το τετράγωνο αναπαριστά την ακέραιη μονάδα. Ζωγραφίζουμε με κίτρινο χρώμα το 3,2. Μετά με πράσινο χρώμα ζωγραφίζουμε το 0,8 από το 3,2. Μετράμε και αναδιατάσσουμε τα πράσινα τετραγωνάκια. Με τον παραπάνω τρόπο αναπαραστήσαμε τον δεκαδικό αριθμό 2,56. γ. Ελέγχουμε το αποτέλεσμα: To 2,56 είναι κοντά στο 3.

0,8 x 3,2 16 +24 2,56

Αναστοχασμός 1. Ποιος αριθμός προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 2,5 με 10 εκατοστά; 2. Όταν πολλαπλασιάζουμε δυο δεκαδικούς αριθμούς μικρότερους από το 1, το γινόμενό τους είναι μικρότερο από τον κάθε αριθμό ξεχωριστά. Εξηγούμε γιατί συμβαίνει αυτό.

18 10-0211.indd 18

28/06/2018 11:27

30

Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς Διερεύνηση

1. Υπολογίζουμε το πηλίκο 2,4 : 4.

• Χρησιμοποιούμε το μοντέλο αναπαράστασης, για να βρούμε το πηλίκο 2,4 : 4.

•

Είναι 2,4 : 4 = ………….…. .

2. Υπολογίζουμε το πηλίκο 3 : 0,6. α΄ τρόπος: Υπολογίζουμε πόσες φορές χωρά το 0,6 στις 3 ακέραιες μονάδες. Επομένως 3 : 0,6 = …… . β΄ τρόπος: Κάνουμε την πράξη ακολουθώντας τη συμβουλή του Νίκου. Μπορούμε να μετατρέψουμε τον διαιρέτη σε φυσικό αριθμό και ταυτόχρονα να αλλάξουμε τον διαιρετέο.

3. Η Αγγελική θέλει να μοιράσει εξίσου σε 4 βαζάκια 134 γραμμάρια μαρμελάδας. Πόσα γραμμάρια μαρμελάδας θα βάλει σε κάθε βαζάκι; Αφού είναι 4 βαζάκια, θα κάνω διαδοχικές αφαιρέσεις του 4 από το 134.

...

Θα βρω ένα πολλαπλάσιο του 4 που πλησιάζει στο 134.

4 x 30=120 (μένουν 14), 4 x 3=12 (μένουν 2), 4 x 0,5=2 (μένουν 0). Άρα σε κάθε βαζάκι θα βάλουμε 33,5 γραμμάρια μαρμελάδας.

υζητάμε πώς η σκέψη του Νίκου μας οδηγεί στην Σ κάθετη πράξη.

Από τον τρόπο του Νίκου ª

στην κάθετη πράξη της διαίρεσης

4 x 30 = 120 μονάδες

30 φορές (3 δεκάδες) χωράει το 4 στο 134.

4 x 3 =12 μονάδες

3 φορές (3 μονάδες) χωράει το 4 στο 14.

Το υπόλοιπο είναι 2 μονάδες που τις μετατρέπουμε σε 20 δέκατα.

Το υπόλοιπο είναι 2 μονάδες που τις μετατρέπουμε σε 20 δέκατα.

4 x 5 = 20 δέκατα

0,5 φορές (5 δέκατα) χωράει το 4 στο 2.

134 4 - 12 33,5 14 - 12 20

4. Χρησιμοποιούμε την αριθμομηχανή τσέπης, για να υπολογίσουμε τα πηλίκα:

α. 8,25 : 10 = ………..

β. 82,5 : 100 = …………

γ. 825 : 1.000 = ……………

δ. 8,25 : 0,1 = ………..

ε. 82,5 : 0,01 = …………

στ. 825 : 0,001 = ……………

%

7 √

8 4

C

1

ON

9 5 0

× 6

2

.

3

÷ -

MCR

+

M-

M+

=

19 10-0211.indd 19

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Για να διαιρέσουμε φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς με φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς, μπορούμε να εργαστούμε, όπως μάθαμε, με πολλούς τρόπους. Σε μια κάθετη διαίρεση φυσικού ή δεκαδικού αριθμού με φυσικό αριθμό: α. διαιρούμε τις ακέραιες μονάδες, β. μετατρέπουμε το υπόλοιπο σε δέκατα και προσθέτουμε ταυτόχρονα τα δέκατα που μπορεί να έχει ο Διαιρετέος, γ. βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο, γιατί μετά διαιρούμε τα δέκατα της ακέραιης μονάδας, δ. δ ιαιρούμε τα δέκατα της μονάδας, ε. μετατρέπουμε το νέο υπόλοιπο σε εκατοστά, προσθέτουμε τα εκατοστά που μπορεί να έχει ο Διαιρετέος και συνεχίζουμε τη διαίρεση.

7 4 -4 1,75 30 -28 20 -20 00

3,48 4 -0 0,87 34 -32 28 -28 00

Στη διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε Διαιρετέο και διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει.

3,2 : 0,25 = (3,2x100) : (0,25x100) = = 320 : 25 = 12,8

Όταν διαιρούμε έναν φυσικό ή δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1.000, ο αριθμός μικραίνει, αντίστοιχα, 10, 100, 1.000 φορές. Επομένως η υποδιαστολή μετακινείται, αντίστοιχα, 1, 2 ή 3 θέσεις αριστερά.

3,4 : 10 = 0,34 3,4 : 100 = 0,034 3 : 1.000 = 0,003

Εφαρμογή Να υπολογίσετε το πηλίκο 2,48 : 4. α΄ τρόπος: Χωρίζουμε τις 2 ακέραιες μονάδες, τα 4 δέκατα και τα 8 εκατοστά σε ….. ίσα μέρη. Επομένως 2,48 : 4 = …….. .

2,48 4

β΄ τρόπος: Κάνουμε τη διαίρεση κάθετα.

Αναστοχασμός 1. Όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό ή φυσικό αριθμό με το 0,1 ή το 0,01 ή το 0,001, το πηλίκο είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από τον διαιρετέο; Εξηγούμε την απάντησή μας.

2.

Πότε το πηλίκο μιας διαίρεσης είναι μικρότερο από το 1;

20 10-0211.indd 20

28/06/2018 11:27

31

Η έννοια του ποσοστού Διερεύνηση

1.

ΣΗ

ΤΩ

Π ΕΚ

%

50

ΝΕΑ 0% 8 ΙΚΑ Τ Η ίας ιτυχ νίκη σ ΑΘΛ π ε η ό τη οστ

Ποσ

άλ δα Μεγτην ομά ” Βόλου

10 για τραπήσ τα σ 8 σ οντα “Α π ί ρ τ

...

Παρατηρούμε τις εικόνες. Συζητάμε τι εκφράζουν οι αριθμοί.

2. Στον παρακάτω πίνακα καταγράφονται οι απαντήσεις των 200 μαθητών και μαθητριών

ενός δημοτικού σχολείου στα ερωτήματα μιας έρευνας που πραγματοποιήθηκε στο σχολείο τους.

Τι τρώω για πρωινό; Απαντήσεις

Ποσοστό

...

Συζητάμε τι εκφράζει κάθε ποσοστό.

α. Χρωματίζουμε στο κυκλικό διάγραμμα τα ποσοστά που εκγάλα με δημητριακά 38% φράζουν το μέρος των μαθητών και μαθητριών που έδωσε χυμός πορτοκαλιού 17% την κάθε απάντηση.

β. Βρίσκουμε το πλήθος των μαθητών και μαθητριών που έδωσε την καθεμία απάντηση. γάλα

45%

γάλα

γάλα με δημητριακά

χυμός πορτοκαλιού

πλήθος μαθητών/ μαθητριών

γάλα γάλα με δημητριακά χυμός πορτοκαλιού

3. Ο Αντρέι, κατά τη διάρκεια της επίσκεψής του σε ένα εργαστήριο ψηφιδωτών, έφτιαξε το τετράγωνο ψηφιδωτό της παρακάτω εικόνας. Εκφράζουμε το μέρος της επιφάνειας του ψηφιδωτού που καλύπτεται με:

Χρώμα

Με δεκαδικό αριθμό

Με κλάσμα με παρονομαστή το 100

Με ποσοστό στα εκατό (%)

κόκκινο

πράσινο κίτρινο μπλε

21 10-0211.indd 21

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Η έννοια του ποσοστού Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Το ποσοστό εκφράζει το μέρος μιας ποσότητας. Το ποσοστό στα εκατό (%) είναι ένα μέρος από τα 100 ίσα μέρη στα οποία χωρίζουμε την ακέραιη μονάδα.

Το ποσοστό στα εκατό (%) μπορεί να εκφραστεί με δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή το 100 και με δεκαδικό αριθμό. Η ποσότητα που εκφράζει ένα ποσοστό εξαρτάται από την τιμή στην οποία αναφέρεται.

• Τα 25% των 200 κιλών λάδι. Χωρίζουμε το 200 σε 100 ίσα μέρη και παίρνουμε τα 25 από αυτά.

200 : 100 = 2 και 2 x 25 = 50 κιλά.

40% =

40 = 0,40 100

• 20% των 80 € είναι 16 €.

• 20% των 120 € είναι 24 €.

3 20

Εφαρμογή

15 100

3 1. Να εκφράσετε με ποσοστό στα εκατό (%) το κλάσμα .

20 3 α΄ τρόπος: Βρίσκουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 20 15 3 3x5 με παρονομαστή το 100. Είναι: = = = 15% 100 20 20 x 5 3 β΄ τρόπος: Κάνουμε διαίρεση. Είναι: = 3:20 = 0,15 = 15% 20 2. Ο Νίκος, στην περίοδο των εκπτώσεων, αγόρασε μία μπάλα ποδοσφαίρου με έκπτωση 30%. Η αρχική τιμή της, πριν από την έκπτωση, ήταν 15 €. Πόσα € πλήρωσε; α΄ τρόπος:

30 30 Σκέψη: Η έκπτωση είναι τα της αρχική τιμής, δηλαδή είναι τα του 15.

100 100 Λύση 30 450 30 x 15 Υπολογίζουμε την έκπτωση σε €. Είναι x 15 = = = 4,50 ή 100 100 100 30 x 15 = 0,30 x 15= 4,50 ή 15: 100 = 0,15 και 0,15 x 30 = 4,50 € 100 Ο Νίκος πλήρωσε 15 – 4,50 = 10,50 € β΄ τρόπος: Σκέψη: Η έκπτωση είναι 30% , δηλαδή ο Νίκος πλήρωσε τα 70 % της αρχικής τιμής. Λύση 70 70 70 x 15 1.050 Ο Νίκος πλήρωσε x 15 = 0,70 x 15 = 10,50 € ή x 15 = = = 10,50 € 100 100 100 100 ή 15:100 = 0,15 και 0,15x70= 10,50 €

Αναστοχασμός 1. Εξηγούμε την πρόταση: «Η τιμή του πετρελαίου αυξήθηκε 8%» 2.

Ένα παντελόνι που κόστιζε 90 € πωλείται με έκπτωση 50%. Ποια είναι η νέα τιμή του;

3.

Βρίσκουμε παραδείγματα από την καθημερινή ζωή στα οποία χρησιμοποιούμε ποσοστά.

22 10-0211.indd 22

28/06/2018 11:27

32

Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών Διερεύνηση

1. Οι τέσσερις φίλοι φτιάχνουν μια πολύχρωμη σημαία για μια

θεατρική παράσταση που ετοιμάζει η τάξη τους. Αφού κάθε παιδί ζωγράφισε ένα μέρος της σημαίας, μετά όλα τα παιδιά μαζί συζητάνε ποια χρώματα θα χρησιμοποιήσουν, για να ζωγραφίσουν το αχρωμάτιστο μέρος της σημαίας τους. α. Βοηθάμε τα παιδιά να υπολογίσουν με διαφορετικούς τρόπους το μέρος της σημαίας που έχει μείνει ακόμα αχρωμάτιστο.

1. Ο Αντρέι και η Αγγελική υπολογίζουν με κλάσματα:................................................................

....................................................................................................................................................

2. Η Δανάη υπολογίζει με δεκαδικούς αριθμούς: ......................................................................

....................................................................................................................................................

3. Ο Νίκος υπολογίζει με ποσοστά: .............................................................................................

....................................................................................................................................................

β. Υπολογίζουμε το μέρος της σημαίας το οποίο, τελικά, τα παιδιά ζωγράφισαν κίτρινο και το εκφράζουμε με διαφορετικούς τρόπους.

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

0 1 A 3 ........................................................................................................................

2. Παρατηρούμε τις διπλανές εικόνες.

Με ποιον τρόπο μπορούμε να εκφράσουμε:

0

1

A

3

α.

β.

γ.

δ.

140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

ε.

α. τον αριθμό που είναι στο σημείο Α της αριθμογραμμής; . ......................................................... β. τα λιπαρά που έχει το κουτί γάλα; . ............................................................................................. γ. το μέρος του μεγάλου τριγώνου που είναι το χρωματισμένο τρίγωνο; . ................................... δ. το ύψος του παιδιού; ................................................................................................................... ε. την απόσταση Αθήνα – Πάτρα; ....................................................................................................

...

Συζητάμε στην τάξη τις επιλογές μας.

23

10-0211.indd 23

28/06/2018 11:27

Ενότητα 5

Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Μπορούμε να εκφράσουμε μια ποσότητα ή ένα μέρος αυτής με φυσικό αριθμό, με δεκαδικό αριθμό, με κλασματικό ή μεικτό αριθμό ή και με ποσοστά.

Παραδείγματα 1 • 180 λεπτά = 2,5 ώρες = 2 ώρες 2 1 • της πίτας 2 • το 0,5 του λίτρου • το 25% των 80 €

Εφαρμογή Η Αγγελική έφτιαξε μπισκότα για τους φίλους και τις φίλες της . Ο Νίκος έφαγε το 15% του 1 συνολικού αριθμού των μπισκότων. Ο Αντρέι έφαγε το και η Δανάη έφαγε το 0,20 του συνολικού 4 αριθμού των μπισκότων. Όταν τα παιδιά έφυγαν, είχαν απομείνει 16 μπισκότα. Πόσα μπισκότα έφτιαξε συνολικά η Αγγελική; Λύση 1ο βήμα: Εκφράζουμε τους αριθμούς με κλάσματα.

1 15 20 3 15% = = και 0,20 = = .

100 100 5 20 2ο βήμα: Βρίσκουμε με κλάσμα το μέρος των μπισκότων που έφαγαν τα παιδιά.

1 1 3 3 3 Είναι: + + = + + = = του συνολικού αριθμού των μπισκότων.

4 5 5 20 20 20 20 3ο βήμα: Εκφράζουμε με κλάσμα τα μπισκότα που έμειναν.

3 2 Τα 16 μπισκότα που έμειναν είναι το 1 = του συνολικού αριθμού μπισκότων.

5 5 4ο βήμα: Κάνουμε αναγωγή στην κλασματική μονάδα.

2 Γνωρίζουμε πόσα μπισκότα είναι τα του συνόλου και θέλουμε να βρούμε πόσα μπισκότα είναι το 5 5 σύνολο, δηλαδή τα . Θα κάνουμε αναγωγή στην κλασματική μονάδα.

5 2 • Τα των μπισκότων είναι 16 μπισκότα.

5 1 • Το των μπισκότων είναι 16 : 2 = 8 μπισκότα.

5 5 • Τα είναι 8 x 5 = 40 μπισκότα.

5 Απάντηση Η Αγγελική έφτιαξε συνολικά 40 μπισκότα.

Αναστοχασμός 1.

2.

Γράφουμε το ποσοστό 75% με κλάσμα στην απλούστερη μορφή του.

1 Εκφράζουμε με δεκαδικό αριθμό το 40% του .

5

24 10-0211.indd 24

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 5

Κεφάλαια 25 - 32

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να μετατρέπω τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και το αντίστροφο, ü να διατάσσω και να συγκρίνω δεκαδικούς αριθμούς, ü να στρογγυλοποιώ δεκαδικούς αριθμούς, ü να προσθέτω και να αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς, ü να πολλαπλασιάζω δεκαδικό με φυσικό αριθμό και δεκαδικό με δεκαδικό αριθμό, ü να διαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς με φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς, ü να εκφράζω με ποσοστά δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς, ü να λύνω προβλήματα με δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά.

1η Άσκηση ________________________________________________________________________ Στο διπλανό τετράγωνο χρωματίζουμε: α. τα

2 του με κόκκινο χρώμα 5

β. το 0,03 του με πράσινο χρώμα γ. το 17% του με κίτρινο χρώμα Εκφράζουμε το μέρος του τετραγώνου που έμεινε αχρωμάτιστο με κλάσμα, με δεκαδικό αριθμό και με ποσοστό:

Κλασματικός αριθμός

Δεκαδικός αριθμός

Ποσοστό %

2η Άσκηση ________________________________________________________________________ 0

1

Τοποθετούμε τους παρακάτω αριθμούς στην αριθμογραμμή: α. 42%

β. 0,6

γ. 3 10

δ. 1 1 5

0

ε. 0,76

1

3η Άσκηση ________________________________________________________________________ Βρίσκουμε 3 δεκαδικούς αριθμούς με τρία δεκαδικά ψηφία, οι οποίοι, όταν στρογγυλοποιηθούν στα δέκατα, δίνουν άθροισμα 10.

25 10-0211.indd 25

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 5

Κεφάλαια 25 - 32

4η Άσκηση ________________________________________________________________________ Η Δανάη και ο Νίκος έχουν τις διπλανές κάρτες. Χρησιμοποιώντας και τις τέσσερις κάρτες σχηματίζουν αριθμούς. Καταγράφουμε όλους τους αριθμούς που είναι δυνατόν να σχηματιστούν και τους διατάσσουμε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.

1

3

0

,

5η Άσκηση ________________________________________________________________________ Η Αγγελική πρόσθεσε κάθετα τους αριθμούς 3,036 και 32,5 και βρήκε άθροισμα 6,286. Ποιο λάθος νομίζετε ότι έκανε; ........................................................................................................................................................... Κάνουμε εκτίμηση του αποτελέσματος, ώστε να ελέγξουμε το παραπάνω άθροισμα. ...........................................................................................................................................................

6η Άσκηση ________________________________________________________________________ O Αντρέι πληκτρολόγησε έναν αριθμό στην αριθμομηχανή τσέπης. Τον πολλαπλασίασε με το 100 και στην οθόνη εμφανίστηκε ο αριθμός

.

α. Ποιον αριθμό πληκτρολόγησε αρχικά; . ...................................................................................... β. Ποια πράξη χρειάζεται να κάνει και ποιον αριθμό να πληκτρολογήσει μετά, ώστε να εμφανιστεί ο αριθμός

;

...........................................................................................................................................................

1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ α. Π οια από τις δυο σοκολάτες έχει μεγαλύτερη περιεκτικότητα σε κακάο; ....................................................................................................................... β. Υ πολογίζουμε τα γραμμάρια κακάου που περιέχονται σε καθεμία σοκολάτα. .......................................................................................................................

2ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 5%. Μικρό χρονικό διάστημα μετά η τιμή του προϊόντος αυξήθηκε πάλι 5%. Τρεις μήνες μετά αυξήθηκε τρίτη φορά κατά 5%. Η συνολική αύξηση ήταν 15%; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

26 10-0211.indd 26

28/06/2018 11:27

Ενότητα

10-0211.indd 27

6

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 28

28/06/2018 11:27

33

Οι αρνητικοί αριθμοί Διερεύνηση

4

1. Οι αριθμοί στα κουμπιά του ανελκυστήρα στο διπλανό κτίριο συμβολίζουν

3

πόσους ορόφους μακριά είναι ο κάθε όροφος από το ισόγειο.

2

α. Ποιο κουμπί θα πατήσουμε, για να ανέβουμε στον τρίτο όροφο; ....................

1

β. Ποιο κουμπί θα πατήσουμε, για να κατέβουμε στο δεύτερο υπόγειο; .............

0

γ. Πόσους ορόφους μακριά από το ισόγειο βρίσκεται το τέταρτο υπόγειο; .......

-1 -2

δ. Αν θέλουμε να ανέβουμε από το τρίτο υπόγειο στον δεύτερο όροφο, πόσους ορόφους θα ανέβουμε με τον ανελκυστήρα; .......................................

-3 -4

ε. Δύο φίλοι βρίσκονται σε διαφορετικούς ορόφους, που απέχουν το ίδιο από το ισόγειο. Σε ποιους ορόφους είναι δυνατόν να βρίσκονται;

...................................................................................................................................................

2. Στο

χιονοδρομικό κέντρο της Βασιλίτσας στα Γρεβενά στις 6/3/2018 η ελάχιστη θερμοκρασία ήταν 4 βαθμοί Κελσίου (°C) κάτω από το μηδέν και η μέγιστη 3 βαθμοί Κελσίου (°C) πάνω από το μηδέν.

α. Ζωγραφίζουμε με κόκκινο χρώμα τη στάθμη του υγρού στο θερμόμετρο για καθεμία από τις παραπάνω θερμοκρασίες. β. Εκφράζουμε με αριθμό:

• την ελάχιστη θερμοκρασία: .....................................................

• τη μέγιστη θερμοκρασία: .........................................................

ελάχιστη µέγιστη θερµοκρασία θερµοκρασία 40

40

30

30

20

20

10

10

0

0

-10

-10

-20

-20

-30

-30

-40

-40

°C

°C

γ. Πόσοι °C είναι η διαφορά της μέγιστης από την ελάχιστη θερμοκρασία;

......................................................................................................................

δ. Την επόμενη ημέρα η ελάχιστη θερμοκρασία μειώθηκε ακόμα κατά 2 °C. Ποια ήταν η ελάχιστη θερμοκρασία την ημέρα αυτή; …………°C. ε. Τοποθετούμε τους αριθμούς που εκφράζουν τις θερμοκρασίες που καταγράψαμε πάνω στην παρακάτω αριθμογραμμή.

-10

-5

0

5

10

στ. Διατάσσουμε τους αριθμούς που τοποθετήσαμε στην αριθμογραμμή από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.

...................................................................................................................................................

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

29 10-0211.indd 29

28/06/2018 11:27

Ενότητα 6

Οι αρνητικοί αριθμοί Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε αριθμούς -10 που έχουν μπροστά τους το σύμβολο «-». Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται αρνητικοί αριθμοί.

α. Η θερμοκρασία είναι0-2 °C, δηλαδή 25βαθ-5 μούς κάτω από το 0. β. Ο χώρος στάθμευσης είναι στο -1, έναν όροφο κάτω από -10το ισόγειο (0). -5

Οι αρνητικοί αριθμοί στην αριθμογραμμή τοποθετού-10 -5 0 νται αριστερά από το μηδέν και σε ίσες αποστάσεις από αυτό, όπως αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί δεξιά από το μηδέν.

-3 -2 -1αρνητι0 1 Οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους -4 αντίστοιχους κούς αριθμούς λέγονται ακέραιοι αριθμοί.

Όλοι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι του 0. Όσο πιο αριστερά βρίσκεται ένας αριθμός πάνω στην αριθμογραμμή, τόσο πιο μικρός είναι.

-4

5-3

-2

-1

0

10 1

2

3

-4 2

3

4

10 0

4

-3

-2

-1

0

… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3

Εφαρμογή Κάθε κόκκινη μάρκα δείχνει τον αριθμό 1 και κάθε μπλε μάρκα τον αριθμό -1. Μία κόκκινη και μία μπλε μάρκα μαζί αλληλοεξουδετερώνονται κι έτσι δεν μένει τίποτα (0). α. Να παρατηρήσετε τις εικόνες και να συμπληρώσετε τα κουτάκια με τονγ.αριθμό που δείχνει β. α. δ. η κάθε εικόνα.

β.

α.

α.

β.

γ.

δ.

ε. γ.

ε.

β. Να αναπαραστήσετε τον αριθμό -3 χρησιμοποιώντας μάρκες και των δύο χρωμάτων. Μπορούμε να σκεφτούμε πολλούς τρόπους αναπαράστασης: • Τρεις μπλε μάρκες μας δίνουν τον αριθμό ………..

• Μία κόκκινη και μια μπλε μάρκα μαζί κάνουν μηδέν (0).

• Επομένως 4 μπλε και 1 κόκκινη μάρκα μας δίνουν τον αριθμό -3. Κάθε συνδυασμός που έχει μπλε και κόκκινες μάρκες, έτσι ώστε οι μπλε να είναι 3 περισσότερες από τις κόκκινες μας δίνει τον αριθμό -3.

Αναστοχασμός 1. Ποιος αριθμός βρίσκεται πιο κοντά στο μηδέν, ο -5 ή ο 3; 2. Αν τοποθετήσουμε στην αριθμογραμμή τον αριθμό -4 και τον αριθμό 4, ποιος αριθμός θα βρίσκεται στη μέση αυτής της απόστασης; 3. Ανάμεσα σε δύο ακέραιους αριθμούς πάνω στην αριθμογραμμή, ποιος είναι ο μικρότερος;

30 10-0211.indd 30

28/06/2018 11:27

1

2

34

Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα Διερεύνηση

1. Μια κορδέλα που αποτελείται από 20 τετραγωνάκια διακοσμείται με σχήματα, όπως φαίνεται παρακάτω:

α. Βρίσκουμε το τμήμα που επαναλαμβάνεται:

................................................................................................................................................... β. Με ποιο σχήμα θα είναι διακοσμημένο το τελευταίο τετραγωνάκι της κορδέλας;

...

ρίσκουμε έναν κανόνα για τον τρόπο με τον οποίο επαναλαμβάνεται το Β τετράγωνο σχήμα στην κορδέλα.

2. Ο Αντρέι και ο Νίκος βάζουν 28 τενεκεδά-

πυραμίδες

κια σε σειρές και φτιάχνουν πυραμίδες. Αν τοποθετούν τα τενεκεδάκια τους με τον τρόπο που δείχνει η διπλανή εικόνα, έχουν τόσα ακριβώς τενεκεδάκια, ώστε η πυραμίδα τους να έχει συνολικά 7 σειρές; α. Παρατηρούμε την εικόνα και συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα.

1η

2η

3η 4η

4η

...

Πυραμίδα

1η

2η

3η

Πλήθος σειρών

1

2

3

...

Πλήθος από τενεκεδάκια

1

1+2

1+2+3

...

...

7η

β. Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστούν ο Αντρέι και ο Νίκος, για να φτιάξουν: 5 σειρές:……. ,

...

6 σειρές:……,

7 σειρές:…..…

υζητάμε στην τάξη έναν κανόνα με τον οποίο μπορούμε να υπολογίΣ ζουμε το πλήθος από τενεκεδάκια σε οποιαδήποτε παρόμοια πυραμίδα.

31 10-0211.indd 31

28/06/2018 11:27

Ενότητα 6

Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Το γεωμετρικό μοτίβο είναι ένα σχέδιο που δημιουργείται με την επανάληψη ενός στοιχείου του.

Το αριθμητικό μοτίβο δημιουργείται με μια σειρά αριθμών που ανάμεσά τους υπάρχει μια σχέση σταθερή και επαναλαμβανόμενη.

Παραδείγματα

(στοιχείο που επαναλαμβάνεται: ένα κόκκινο τετράγωνο – δύο κίτρινα τετράγωνα) • 3, 6, 9, 12, 15, 18, … (κάθε φορά προσθέτουμε 3) • 1, 2, 1, 2, 1, 2, … (επανάληψη των αριθμών 1 και 2)

Εφαρμογή Να παρατηρήσετε το παρακάτω μοτίβο.

α. Να περιγράψετε τον τρόπο με τον οποίο δημιουργείται το μοτίβο. Το μοτίβο δημιουργείται από την επανάληψη μιας πεντάδας σχημάτων με την εξής σειρά: τρίγωνο – ορθογώνιο - ……………..………. - ……..……………….. - ………….…………………. β. Ποιο είναι το 20ό σχήμα του παραπάνω μοτίβου; Το παραπάνω μοτίβο έχει …… πεντάδες. Για να βρούμε το 20ό σχήμα του μοτίβου, επεκτείνουμε το παραπάνω μοτίβο κατά μία πεντάδα. Tο τελευταίο σχήμα κάθε πεντάδας σχημάτων είναι το …………………… . Επομένως το 20ό σχήμα είναι το ………………… . γ. Αν το μοτίβο έχει συνολικά 29 σχήματα, πόσοι κύκλοι υπάρχουν σε αυτό; α΄ τρόπος: Αν το μοτίβο είχε συνολικά 30 σχήματα, θα αποτελούνταν από 6 ολόκληρες πεντάδες σχημάτων με τελευταίο σχήμα το ………………….. . Στη συγκεκριμένη περίπτωση το μοτίβο έχει 29 σχήματα και στην τελευταία πεντάδα το μόνο σχήμα που λείπει είναι το ………………………... . Επομένως έχουμε συνολικά ………κύκλους. β΄ τρόπος: Το μοτίβο με τα 29 σχήματα αποτελείται από 5 ολόκληρες πεντάδες και από τα τέσσερα πρώτα σχήματα της έκτης πεντάδας, στην οποία περιλαμβάνεται ο κύκλος. Επομένως το μοτίβο έχει …… κύκλους.

Αναστοχασμός 1. Η Αγγελική δημιούργησε το αριθμητικό μοτίβο: 3

6

12 . Ποιος μπορεί να είναι ο κανόνας

του μοτίβου; Έχει δώσει η Αγγελική επαρκείς πληροφορίες για το μοτίβο της; 2. Αναζητάμε φωτογραφίες και περιγράφουμε μοτίβα που συναντάμε στη φύση και στην τέχνη.

32 10-0211.indd 32

28/06/2018 11:27

35

Ισότητες και ανισότητες Διερεύνηση

1. Παρατηρούμε τα στερεά στις παρακάτω ζυγαριές. Οι δυο ζυγαριές ισορροπούν.

ζυγαριά Α

ζυγαριά Β

α. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Α. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύβος ή η σφαίρα; Εξηγούμε την απάντησή μας. ........................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

β. Παρατηρούμε τη ζυγαριά Β. Ποιο στερεό ζυγίζει περισσότερο; Ο κύλινδρος ή η σφαίρα; Εξηγούμε την απάντησή μας. ..................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

γ. Πόσο ζυγίζει το κάθε στερεό, αν ο κύλινδρος ζυγίζει 200 γρ. ;

: 200 γρ.

: …………………….

: …………………….

2. Παρατηρούμε την παρακάτω ζυγαριά. α. Τοποθετούμε το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) στην παρακάτω σχέση, για να δηλώσουμε ποια στερεά ζυγίζουν περισσότερο.

β. Ποια και πόσα στερεά χρειάζεται να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε, ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει;

Προτείνουμε δύο τρόπους σχεδιάζοντας τα στερεά σε κάθε μέρος της ζυγαριάς.

α΄ τρόπος

β΄ τρόπος

33 10-0211.indd 33

28/06/2018 11:27

Ενότητα 6

Ισότητες και ανισότητες Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Το ίσον (=) είναι το σύμβολο της ισότητας και φανερώνει πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του.

• 5 = 2 x 2,5

Το μεγαλύτερο (>) και το μικρότερο (<) είναι τα σύμβολα της ανισότητας και φανερώνουν πως ό,τι βρίσκεται αριστερά τους είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, αντίστοιχα, από ό,τι βρίσκεται δεξιά τους.

• 5 < 2 x 3,5

• 10 + 2 = 4 x 3 • 18 :

=7+2

• 4 + 5 > 6 + • 18 +

2 5

<4 x 6

Εφαρμογή 1. Να συμπληρώσετε με τον κατάλληλο αριθμό το κουτάκι στην ισότητα 12 + =4x5 Στην ισότητα ό,τι βρίσκεται αριστερά από το ίσον έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του.

•

Δεξιά από το ίσον έχουμε 4 x 5 = ………. .

• Αριστερά από το ίσον έχουμε 12 + τον αριθμό ………. .

= ……. . Επομένως θα συμπληρώσουμε το κουτάκι με

2. Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των πράξεων και να συμπληρώσετε τα κουτάκια με τους κατάλληλους αριθμούς. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. α. Αν 7 + 8 = 20 - 5, τότε 20 – β. Αν 11 + 6 = 29 – 12 γ. (5+7) +

και

= 7 + 8.

29 – 12 = 4 + 13, τότε 11 + 6 = 4 +

.

= 5 + (7 + 4)

3. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς με τους οποίους μπορείτε να συμπληρώσετε το κουτάκι στην ανισότητα 9 + < 23 - 7. Να εξηγήσετε πώς σκεφτήκατε. Το δεύτερο μέρος της ανισότητας κάνει 23 – 7 = ……... . Επομένως 9 +

< …….. .

Άρα μπορούμε να συμπληρώσουμε το ………. , ………. , ………. ,

με έναν από τους αριθμούς:

………. , ………. , ………. ,

……….

Αναστοχασμός 1. Ο Νίκος, για να προσθέσει 3+5+3+1, έγραψε: 3+5=8+3=11+1=12. Αν και βρήκε το σωστό αποτέλεσμα, ποιο είναι το λάθος που έχει κάνει; Εξηγούμε πώς σκεφτήκαμε.

2. Γράφουμε αριθμούς με τους οποίους μπορούμε να συμπληρώσουμε το 6+

στην ανισότητα

> 10 . Εξηγούμε τη σκέψη μας.

34 10-0211.indd 34

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 6

Κεφάλαια 33 - 35

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να επεκτείνω την αριθμογραμμή και να τοποθετώ σε αυτήν τους αρνητικούς αριθμούς, ü να συγκρίνω και να διατάσσω ακέραιους αριθμούς, ü να αναγνωρίζω, να περιγράφω και να επεκτείνω αριθμητικά και γεωμετρικά μοτίβα, ü να διερευνώ και να συμπληρώνω ανισότητες και ισότητες με τον κατάλληλο αριθμό.

1η Άσκηση ________________________________________________________________________ Συμπληρώνουμε τους αριθμούς που λείπουν στα παρακάτω αριθμητικά μοτίβα. α.

0,001

0,01

β.

5.000

500

γ.

18

26

1

10

1.000

50

0,5

0,005

34

50

66

2η Άσκηση ________________________________________________________________________ Στο παρακάτω μοτίβο ανακαλύπτουμε τον κανόνα και σχεδιάζουμε το επόμενο σχήμα.

3η Άσκηση ________________________________________________________________________ Ποιος αριθμός αντιστοιχεί σε κάθε σχήμα, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες;

5+

= 30 + 8

2x

= 24 - 9

3x

=

21 :

= 10 + 6

=

=

=

= 30 - 23

35 10-0211.indd 35

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 6

Κεφάλαια 33 - 35

1ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Κατά την επίσκεψή τους σε ένα θέατρο τα παιδιά μετρούσαν το πλήθος των θέσεων του θεάτρου. Παρατήρησαν ότι η πρώτη από τη σκηνή σειρά είχε 30 θέσεις, η δεύτερη σειρά είχε δύο θέσεις περισσότερες από την πρώτη, η τρίτη σειρά 2 θέσεις περισσότερες από τη δεύτερη κ.ο.κ. Όλες οι σειρές ήταν 10. Πόσες θέσεις είχε το θέατρο;

2ο Πρόβλημα ____________________________________________________________________ Αντικείμενα

Πόντοι +5

+10

Στον διπλανό πίνακα παρουσιάζονται οι πόντοι τους οποίους κερδίζει ή χάνει ο ήρωας σε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι, όταν αγγίζει καθένα από τα αντικείμενα. Στην πρώτη πίστα του παιχνιδιού ο ήρωάς μας ξεκινά με 0 πόντους. Στο τέλος της πρώτης πίστας έχει συγκεντρώσει 2 κέρματα, 1 κλειδί και έχει αγγίξει δύο φορές νερό και μία φορά φράχτη. Πόσους πόντους έχει ο ήρωάς μας στο τέλος της πρώτης πίστας;

-10 -5

Υπολογίζουμε με τη βοήθεια της αριθμογραμμής:

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

36 10-0211.indd 36

28/06/2018 11:27

Ενότητα

10-0211.indd 37

7

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 38

28/06/2018 11:27

36

Mετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες Διερεύνηση

1. Πώς μπορούμε να κάνουμε μεγέθυνση Ένας αρχιτέκτονας έφτιαξε το διπλανό σχέδιο ενός διαμερίσματος σε κλίμακα 1 ή 1:100.

100 10,3 τ.µ.

...

5,70 µ.

13,4 τ.µ.

Συζητάμε:

α. τι είναι η κλίμακα, 4,2 τ.µ.

4 τ.µ.

β. π ώς μπορούμε να υπολογίσου-

6,3 τ.µ.

με τις πραγματικές διαστάσεις του διαμερίσματος με βάση το Κλίµακα 1:100

σχέδιο του αρχιτέκτονα.

8,10 µ.

2. Πώς μπορούμε να κάνουμε σμίκρυνση Οι μαθητές της Ε΄ τάξης μέτρησαν τις διαστάσεις του δαπέδου της αίθουσάς τους και βρήκαν ότι έχει μήκος 6 μ. και πλάτος 5 μ. Σχεδιάζουμε το δάπεδο της αίθουσας με βάση τις πραγματικές διαστάσεις της: α. σε κλίμακα

1 ή 1:100, 100

β. σε κλίμακα

1 ή 1:50.

50

39 10-0211.indd 39

28/06/2018 11:27

Ενότητα 7

Mετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες

4

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες • Για να μεγεθύνουμε ένα σχέδιο ή μια εικόνα, πολλαπλασιάζουμε κάθε απόσταση μεταξύ δύο σημείων του σχεδίου ή της εικόνας με τον ίδιο αριθμό.

• Για να σμικρύνουμε ένα σχέδιο ή μια εικόνα, διαιρούμε κάθε απόσταση μεταξύ δύο σημείων του σχεδίου ή της εικόνας με τον ίδιο αριθμό. Η κλίμακα ενός σχεδίου ή μιας εικόνας εκφράζει τη σχέση ανάμεσα στην απόσταση δύο σημείων του τελικού σχεδίου ή της τελικής εικόνας και στην αντίστοιχη απόσταση στο αρχικό σχέδιο ή στην αρχική εικόνα.

Παραδείγματα

1 2

μεγέθυνση 4

2 φορές

1

8

2

σμίκρυνση

2 4

1 ή 1:2 σημαίνει ότι 1 εκ. στο 2 4 τελικό σχέδιο αντιστοιχεί σε 2 εκ. του αρχικού.

2 Κλίμακα ή 2:1 σημαίνει ότι 2 εκ. στο 1 τελικό σχέδιο αντιστοιχούν σε 1 εκ. του αρχικού.

8

Κλίμακα

2

Εφαρμογή Τα Ιωάννινα απέχουν από την Αθήνα 313 χμ. σε ευθεία γραμμή. Να βρεις πόσα εκ. είναι η απόστασή τους σε έναν χάρτη κλίμακας 1:3.130.000. Κλίμακα 1 : 3.130.000 σημαίνει ότι 1 εκ. στον χάρτη αντιστοιχεί σε 3.130.000 εκ., δηλαδή ο χάρτης δείχνει την απόσταση 3.130.000 φορές μικρότερη. Η πραγματική απόσταση των Ιωαννίνων από την Αθήνα είναι 313 χμ.= 313.000 μ.= 31.300.000 εκ. Επομένως στον χάρτη η απόσταση είναι 31.300.000 εκ : 3.130.000 = 10 εκ.

Αναστοχασμός 1. Κυκλώνουμε τις περιπτώσεις στις οποίες γίνεται μεγέθυνση: α. στο μικροσκόπιο β. στο τηλεσκόπιο 2. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι η κλίμακα είναι το πηλίκο της απόστασης στο σχέδιο προς την πραγματική απόσταση. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί; 3. Η Δανάη υποστηρίζει ότι, αν το μήκος που μετρήθηκε στην επιφάνεια της γης είναι 900 μ., τότε σε χάρτη κλίμακας 1 : 90.000 αντιστοιχεί σε 1 εκ. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί;

40 10-0211.indd 40

28/06/2018 11:27

37

Προσανατολισμός στον χώρο Διερεύνηση

1. Το σκάκι είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής, το οποίο παίζεται ανάμεσα σε δύο παίκτες. Στους επίσημους αγώνες οι κινήσεις κάθε παρτίδας καταγράφονται.

Προέκυψε επομένως η ανάγκη να μπορεί κανείς να προσδιορίσει με μοναδικό τρόπο κάθε συγκεκριμένη θέση πάνω στη σκακιέρα.

8 7 6

α. Χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο γράμμα και αριθμό, προσδιορίζουμε τη θέση του Αξιωματικού λευκού χρώματος πάνω στη σκακιέρα: . ...........................................................

5 4 3

β. Σε ποια οριζόντια γραμμή και κατακόρυφη στήλη βρίσκεται ο Βασιλιάς μαύρου χρώματος; ...........................................

2 1 α

,

β

γ

δ

Bασιλιάς

ε

ζ

η

θ

Αξιωματικός

γ. Ποιο κομμάτι του σκακιού βρίσκεται στη θέση (ζ ,5); ............................................................................................... Πύργος

Ίππος

Πιόνι

δ. Ε ίναι αρκετό να γνωρίζουμε ότι ο Βασιλιάς λευκού χρώματος βρίσκεται στη γραμμή 8, για να προσδιορίσουμε με μοναδικό τρόπο τη θέση του; Εξηγούμε. …………………………….......

2. Τα παιδιά παίζουν το παιχνίδι του κρυμμένου θησαυρού και κρατάνε στο χέρι τους έναν χάρτη και τις οδηγίες. Θα ψάξουμε στη θέση Α.

ΟΔΗΓΙΕΣ: Ψάξτε στη ρίζα του δέντρου που είναι 6 τετράγωνα ανατολικά και 3 τετράγωνα βόρεια από το εκκλησάκι. Σημείωση: πλευρά τετραγώνου = 50 μέτρα.

10 9 8 7

Α

6 5 4 3

Β

2

α. Ποιο παιδί έχει δίκιο; . ..........................................

Θα ψάξουμε στη θέση Β.

1 0 0 1

2

3

4

5

6

7

β. Αν γράψουμε το σημείο Β ως (6,3), πώς θα γράψουμε το σημείο Α; . ...................................... γ. Α ν ο χάρτης δεν είχε σημείο αναφοράς το εκκλησάκι αλλά το κιόσκι, τι θα άλλαζε;

................................................................................

...

10-0211.indd 41

Συζητάμε στην τάξη τη βοήθεια που προσφέρουν οι δύο κάθετες αριθμογραμμές και το σημείο αναφοράς, το (0,0), στον προσδιορισμό της θέσης ενός συγκεκριμένου σημείου πάνω στον χάρτη με έναν μοναδικό τρόπο.

41 28/06/2018 11:27

Ενότητα 7

Προσανατολισμός στον χώρο Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Για τον προσδιορισμό ενός σημείου χρησιμοποιούμε δύο αριθμογραμμές κάθετες μεταξύ τους, μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. Ο προσδιορισμός της θέσης κάθε σημείου γίνεται με τον συνδυασμό των δύο τιμών οι οποίες δείχνουν πόσο απέχει το σημείο αυτό οριζόντια και κατακόρυφα από τις αριθμογραμμές.

K

Οι τιμές εξαρτώνται κάθε φορά 2 από το σημείο αναφοράς, δηλαδή το σημείο (0,0).

(3,1) 1

Εφαρμογή

0

1

2

K

2

(3,1)

1 2

K

0

1

0

2

3

(3,1)

1

Το 1 σημείο 2 3Κ είναι το (1,2)

3

1. Τα παιδιά έχουν κατασκηνώσει στο δάσος. Πώς θα μετακινηθούν από τη σπηλιά (Σ) όπου έστησαν τη σκηνή τους, στην πηγή (Π), για να πάρουν νερό;

3

α. Τ α σημεία Σ και Π απέχουν μεταξύ τους στην οριζόντια αριθμογραμμή 3 τετράγωνα, δηλαδή ………... μέτρα και στην κατακόρυφη 1 τετράγωνο, δηλαδή …….. μέτρα. β. Ο χάρτης δείχνει τον βορρά. Επομένως, για να πάνε από τη σπηλιά στην πηγή με τη βοήθεια πυξίδας, θα περπατήσουν 600 μέτρα βόρεια και μετά ……..…. μέτρα δυτικά.

2. Τα παιδιά, όταν γύρισαν, είπαν στους συμμαθητές τους ότι κατασκήνωσαν στη θέση (2,1) σε μια σπηλιά. Είχαν δίκιο; α. Τ ο σημείο Σ, όπου βρίσκεται η σπηλιά, στον χάρτη των παιδιών είναι …… τετράγωνα ανατολικά από το Ε και ... τετράγωνο βόρεια. Άρα είναι το σημείο (…,…) β. Αν όμως τα παιδιά χρησιμοποιούσαν έναν χάρτη, όπως τον διπλανό, με ένα άλλο σημείο αναφοράς, π.χ. την πηγή, τότε 0 1 2 3 4 το σημείο Σ θα ήταν (3, -2), δηλαδή διαφορετικό.

-1 Άρα η θέση του κάθε σημείου εξαρτάται από το σημείο αναφο-2 ράς.

2

3

1

2 1

-1

0

-1

0

1

2

3

-1

πλευρά τετραγ

πλευρά τετραγώνου = 600 µέτρα

0 -1 -2 -3

1

0

2

-1

1

3

4

2

3

4

-2 -3

-3 πλευρά τετραγώνου = 600 µέτρα= 600 µέτρα πλευρά τετραγώνου πλευρά τετραγώνου = 600 µέτρα

Αναστοχασμός 1. Σε έναν χάρτη ο οποίος στο πάνω μέρος δείχνει τον βορρά, εξηγούμε ποια πόλη βρίσκεται πιο δυτικά: αυτή που είναι στο σημείο (2,9) ή αυτή που είναι στο σημείο (9,2);

42 10-0211.indd 42

1

-1

28/06/2018 11:27

38

Είδη γωνιών Διερεύνηση

1. Οι δείκτες των ρολογιών στις παρακάτω εικόνες δείχνουν διαφορετική ώρα. φ

ω

β

θ

ρ

µ

δ

η

...

Συζητάμε ομοιότητες και διαφορές που παρατηρούμε στις γωνίες που σχηματίζουν οι δείκτες των ρολογιών. α γ

β

α. Γράφουμε τα ζεύγη των γωνιών που έχουν το ίδιο άνοιγμα.

...................................................................................................................................................

β. Κατατάσσουμε τις γωνίες ανάλογα με το άνοιγμά τους.

1. Οι γωνίες ………. και ……….. είναι ορθές.

α.

β.

γ.

2. Οι γωνίες ………. και ………. είναι μικρότερες από την ορθή.

3. Οι γωνίες ………., ………. , ………. και ………. είναι μεγαλύτερες από την ορθή.

4.

Ελέγχουμε χρησιμοποιώντας τον γνώμονα.

2. Η Αγγελική και ο Νίκος χρησιμοποίησαν τους γνώμονες που είχαν και κατασκεύασαν τις παρακάτω γωνίες.

Μεγαλύτερη είναι η γωνία που έχει μεγαλύτερο μήκος πλευρών.

...

Συζητάμε αν έχει δίκιο η Αγγελική και εξηγούμε στους συμμαθητές και τις συμμαθήτριές μας τον τρόπο με τον οποίο σκεφτήκαμε.

43 10-0211.indd 43

28/06/2018 11:27

Ενότητα 7

Είδη γωνιών Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Οι γωνίες διακρίνονται σε: • Οξείες, οι οποίες είναι μικρότερες από την ορθή γωνία, • Ορθές, • Αμβλείες, οι οποίες είναι μεγαλύτερες από την ορθή γωνία.

Παραδείγματα

α

γ

β

α

γ

β

οξεία γωνία ορθή γωνία αμβλεία γωνία

Εφαρμογή Να κόψετε τον κύκλο από το παράρτημα. Να διπλώσετε το χαρτί σε δύο ίσα μέρη. Να διπλώσετε α. β. γ. ξανά το χαρτί σε δύο ίσα μέρη.

• Τι γωνία προέκυψε μετά τα τρία παραπάνω βήμα-

α.

β.

γ.

τα;………………………………………………………….. …………………………………………………………....... ………………………………………………………….......

• Πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το “εργαλείο” αυτό, για να ελέγξετε το είδος της γωνίας; …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

• Να χρησιμοποιήσετε το “εργαλείο” που φτιάξατε. Να εντοπίσετε μέσα στην τάξη τα τρία είδη γωνιών που μάθατε και να εξηγήσετε το είδος τους. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

Αναστοχασμός 1. Πώς μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι μια γωνία είναι οξεία ή αμβλεία; 2.

Πώς μας βοηθά μια σελίδα χαρτιού μεγέθους Α4 να βρούμε το είδος μιας γωνίας;

3. Ανοίγουμε την πόρτα της τάξης μας. Σχηματίζουμε μία οξεία, μία ορθή και μία αμβλεία γωνία. Συζητάμε τι σημαίνει η έκφραση: «Άνοιξε περισσότερο την πόρτα».

44 10-0211.indd 44

28/06/2018 11:27

39

Μέτρηση γωνιών Διερεύνηση

1. α. Πόσες πλευρές και πόσες κορυφές έχει κάθε γωνία;

Α

.....................................................................

β. Ο Νίκος ονόμασε στον παρακάτω πίνακα τη χρωματισμένη γωνία του σχήματος 1. Συμπληρώνουμε τον πίνακα ονομάζοντας τη χρωματισμένη γωνία του σχήματος 2.

>

Σχήμα 1

>

ω

ABΓ

...

Σχήμα 2

...

2.

Π ω Β

Γ

Σ

θ Ρ Σχήµα 2

Σχήµα 1

Συζητάμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να ονομάσουμε μια γωνία. πλευρά

αρατηρούμε τις παραπάνω γωνίες. Ποια από τις Π δύο είναι άνοιγµα ^ μεγαλύτερη; ω = 170

˚

Λ με τους οποίους

Συζητάμε τους τρόπους Μ Ν μπορούμε να συγκρίνουμε τις δύο γωνίες.

α΄ τρόπος: α. Πώς μπορούμε να συγκρίνουμε τις γωνίες με τον τρόπο που προτείνει ο Νίκος;

Α

Θα αποτυπώσω τις δυο γωνίες σε κορυφή χαρτιά. πλευρά διαφανή

......................................................................................................................

ρ

...................................................................................................................... β. Ποια γωνία είναι η μεγαλύτερη; ............................................................ Α β΄ τρόπος: Αξιοποιούμε την ιδέα της Δανάης και τις πληροφορίες του Αντρέι και με τη βοήθεια του κύκλου μετράμε τις γωνίες. Αν μετρήσω κάθε γωνία με την ίδια μονάδα μέτρησης, μπορώ να τις συγκρίνω.

Β

Οι αρχαίοι χώρισαν τον κύκλο σε 360 ίσα μέρη που τα ονόμασαν μοίρες (°). Με αυτόν μετρούσαν τις γωνίες.

α. Χ ρησιμοποιούμε διαφανές χαρτί και βρίσκουμε σε πόσα ίσα μέρη του κύκλου αντιστοιχεί το άνοιγμα καθεμίας από τις γωνίες.

120O Σχήμα 1: ………….… , Σχήμα 2: ……....…….

Α

β. Ποια γωνία είναι η μεγαλύτερη; ………………………

90O

60O 30O 20O 10O 1O 0O, 360O

150O 180O

O

γ. Π αρατηρούμε και συζητάμε τι θα συμβεί, αν μετρήσουμε 210O με τον μπλε, τον κόκκινο ή τον πράσινο κύκλο.

330O 240O

270O

300O

45 10-0211.indd 45

28/06/2018 11:27

^

β

Α Π Γ

Β

Ρ Σχήµα 2

Σχήµα 1

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Σ

θ

Β

πλευρά

άνοιγµα Α γωνία.

• Μία ^ γωνία 180° ονομάζεται ευθεία ^ ω = 170˚ β Λ • Η ορθή γωνία είναι 90°.

Ν

κορυφή

Β

πλευρά άνοιγµα

κορυφή

πλευρά

Π

ω Α

Γ Β Ρ Π Σχήµα 2 Σχήµα 1 Α θ ω β^ Β Γ Ρ Γ Σχήµα 2 Σχήµα 1 πλευρά

^

ή ˚η γωνία ABΓ Η γωνίαωβ= 170

Μ^ Ν ω = 170˚

Λ

Μ

άνοιγµα πλευρά άνοιγµα

κορυφή

πλευρά

Ν κορυφή

Β

Σ

θ

πλευρά

ρ Α

Γ

ρ ρ = 180° Α

πλευρά

>

Μ

Α

Παραδείγματα

Λ

ρ ) με ένα όργανο που • Μετράμε σε μοίρες ( ° Β τη γωνία Γ Ρ Α Σχήµα 2 Σχήµα 1 λέγεται μοιρογνωμόνιο.

• Ένας κύκλος διαιρείται σε 360°. Π

ω

Ενότητα 7

>

>

• Η γωνία έχει δύο πλευρές και μία κορυφή.

• Η γωνία μπορεί να ονομαστεί με: ^ ü ένα μικρό γράμμα στο εσωτερικό της, ω = 170˚ ü τρία κεφαλαία γράμματα, απόΛ τα οποία Μ πάντα Ν το μεσαίο γράμμα είναι η κορυφή της. Γράφουμε τη γωνία προσθέτοντας ένα ειδικό σύμβολο ( ) πάνω από τη γωνία. Α

Σ

θ

ω

>

Μέτρηση γωνιών

Β

ρ

Εφαρμογή Α

Α 1. Να χρησιμοποιήσετε το μοιρογνωμόνιο, για να κατασκευάσετε μία γωνία 70°.

O Β

Β

1ο βήμα: Κατασκευάζουμε με τον γνώμονα τη μία πλευρά της γωνίας και σημειώνουμε την κορυφή Ο και ένα σημείο Α.

2ο βήμα: Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στην κορυφή της γωνίας. Α

Α

O

3ο βήμα: Η μία πλευρά της γωνίας πρέπει να διέρχεται Oαπό την ένδειξη 0 της κλίμακας στο μοιρογνωμόνιο. Α

O

4ο βήμα: Μετράμε πάνω στην κλίμακα που αντιστοιχεί στο 0 που χρησιμοποιήσαμε. Βρίσκουμε το 70° και βάζουμε εκεί ένα σημείο Β.

5ο βήμα: Σχεδιάζουμε τη δεύτερη πλευρά της γωνίας ενώνοντας το σημείο Β με την κορυφή Ο.

6ο βήμα: Η γωνία ………… είναι αυτή που κατασκευάσαμε.

Αναστοχασμός 1. Η Αγγελική και η Δανάη μέτρησαν μία γωνία με το μοιρογνωμόνιό τους. Η Δανάη είπε ότι η γωνία είναι 130° και η Αγγελική 50°. Ποιο λάθος φαίνεται ότι κάνει ένα από τα δύο κορίτσια; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

2.

Σχεδιάζουμε μία γωνία και την ονομάζουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους.

3.

Οι πλευρές μίας γωνίας βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Πόσες μοίρες είναι η γωνία;

46 10-0211.indd 46

28/06/2018 11:27

40

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες Διερεύνηση

1. Βρίσκουμε ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στα παρακάτω τρίγωνα και τις συζητάμε στην τάξη.

β

α γ

ε

ζ

δ

θ

η

α. Βρίσκουμε δύο ομοιότητες που έχουν όλα τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους.

β

1η ομοιότητα: .......................................................................................................................

2η ομοιότητα: .......................................................................................................................

ε φ α ζ με κοινό χαρακτηριστικό το είδος β. Κατατάσσουμε τα παραπάνω τρίγωνα σε τρεις ομάδες φ

θ σε μία μόνον ομάδα. ω των γωνιών που έχουν, έτσι ώστε θ κάθε τρίγωνο να ανήκει ω

γ 1η ομάδα

Είδος γωνιών

δ

Τα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .

2η ομάδα 3η ομάδα

θ

Τρίγωνα

α

β

η

Τα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .

ε

Τα τρίγωνα έχουν ……………………………………............…… .

ζ

π να βρούμε το άθροισμα 2. Σχεδιάζουμε σε χαρτόνι τρίγωνα και προτείνουμε τρόπους, για β των γωνιών τους.

γ

φ

< < <

θ

η

α+β+γ=180˚

< < <

δ

ω

θ

Κόβουμε τιςργωνίες του στριγώνου και γ τις τοποθετούμε τη μία δίπλα στην α Οξυγώνιο τρίγωνο άλλη, έτσι ώστε όλες μαζί να σχηματίφ γωνία.˚ Ορθογώνιο τρίγωνο ζουν μια καινούργια π+ρ+σ=180

θ

ω

θ φ

ω

Παρατηρούμε ότι:

>

>

>

Αµβλυγώνιο θ + φ + ω =..........................................................

...

< < <

φ

ω+φ+θ=180˚

θ

ω

θ

φ

ω

π

β στην τάξη αν το άθροισμα των γωνιών είναι το ίδιο για

Συζητάμε οποιοδήποτε τρίγωνο. ρ σ γ

α

47 Οξυγώνιο τρίγωνο

< < <

Ορθογώνιο τρίγωνο

< < <

10-0211.indd 47

τρίγωνο

π+ρ+σ=180˚ 28/06/2018 11:27

φ φ

θ

θ

ω

ω

Ενότητα 7

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

• Κάθε τρίγωνο έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές.

• Όλα τα τρίγωνα έχουν τουλάχιστον 2 οξείες γωνίες.

π

β

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

γ

ρ α

σ

Οξυγώνιο τρίγωνο

< < <

Ορθογώνιο τρίγωνο

< < <

π+ρ+σ=180˚

α+β+γ=180˚

Το τρίγωνο που περιέχει: ü τρεις οξείες γωνίες ονομάζεται οξυγώνιο, ü ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο, ü αμβλεία γωνία ονομάζεται αμβλυγώνιο.

θ ω

φ

Αµβλυγώνιο τρίγωνο

< < <

ω+φ+θ=180˚

Εφαρμογή Να κατασκευάσετε μέσα στο πλαίσιο ένα τρίγωνο. α. Να ονομάσετε τις γωνίες του. β. Με τη βοήθεια του μοιρογνωμόνιου να μετρήσετε κάθε γωνία του. γ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Γωνία

Μοίρες

Είδος γωνίας

δ. Με βάση τον παραπάνω πίνακα να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου: .……………………..…… ε. Να συζητήσετε στην τάξη το ενδεχόμενο κάποιοι συμμαθητές σας και κάποιες συμμαθήτριές σας να μην έχουν βρει την ίδια τιμή στο άθροισμα των γωνιών του τριγώνου με εσάς, αλλά κάποια άλλη τιμή κοντά σε αυτήν.

• Γιατί μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο; • Με ποιον τρόπο θα μπορούσατε να εργαστείτε, ώστε να ισχυριστείτε με σιγουριά ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°;

Αναστοχασμός 1.

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει 2 αμβλείες γωνίες; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

2. Με βάση τις μοίρες των γωνιών του τριγώνου, ποιο είναι το είδος του τριγώνου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις; α. 80°, 65°, 35° 3.

β. 90°, 75°, 15°

γ. 114°, 33°, 33°

Εξηγούμε γιατί ένα τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο οξείες γωνίες.

48 10-0211.indd 48

28/06/2018 11:27

41

Eίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές Διερεύνηση Κατασκευάζουμε τρίγωνα και συγκρίνουμε τις πλευρές τους και τις γωνίες τους. α. Διπλώνουμε μια σελίδα χαρτί μεγέθους Α4, όπως φαίνεται στην εικόνα, έτσι ώστε να σχηματιστεί τετράγωνο. Έπειτα διπλώνουμε το τετράγωνο με τέτοιον τρόπο, ώστε η κορυφή Ε να συμπέσει με την κορυφή Α.

A

B

∆

Γ

A

B

∆

A A

B B

Ζ

Ε

∆

Γ

A

B

∆

Γ

Γ

B A Γ

>

>

Ε A B A B A B A A B α1. Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου ΑΒΖ.

A B A B Ζ Η A B

Οι πλευρές ΑΖ και ΑΒ είναι …………………………..Ζ. ∆ AΘ A Γ B Ε ∆ Γ B ∆ Ζ Ε α2. Τι συμπεραίνουμε για τις δύο οξείες γωνίες ΑΖΒ και ΑΒΖ ; Ζ A Ε B Ε ∆ Γ ∆ Γ

................................................................................................................................................... Γ ∆Ζ Η Γ ΓΕ ∆

ΖA

Ζ Η A Ε ΖΕ ∆ B Η B AA BB AA BA Ε A B A B B Η Ζ Θ Η Γ ∆ Γ Ζ ∆ Η Ε ΓΖ Ζ Ε Γ ∆ ∆ Γ ∆A ΕΖΗ. B Γ ∆ του τριγώνου Γ Ε ΕΗ β1. Με δίπλωση συγκρίνουμε τις δύο πλευρές ΕΖ και A Ε Ε ∆ Γ Ζ Η

Οι πλευρές ΕΖ και ΕΗ είναι ………………………….. . ∆ Ζ B Η A A BΕ A Α ΕB Η Ζ Ε B AΕ B A A ∆ Η Ζ β2. Τι συμπεραίνουμε για τις δύο οξείες γωνίες ΕΖΗ και ΕΗΖ ; Ε Ζ Α Ζ ∆ Η Ζ Γ Ε ∆ ΘΑ

................................................................................................................................................... ∆ Γ Ε ∆ Γ ΗΖ Η A B AΕ B γ. Κ όβουμε το εξάγωνο από το παράρτημα. Ενώνουμε με μία Ε ευθεία την κοΖ Η ρυφή Α με την κορυφή Δ και την κορυφή Β με την Ε. Σχηματίζεται, έτσι, το Γ Ζ Η Ε ∆ Η Ζ τρίγωνο ΕΔΗ. Ε ∆ Ε ∆ Η Ζ Ε ∆Ε Α Α Α Η γ1. Με δίπλωση συγκρίνουμε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου ΕΔΗ. Α Η

Οι πλευρές ΕΗ, ΕΔ και ΔΗ είναι ………………………….. . Η B

>

>

Ζ β. Διπλώνουμε μία σελίδα χαρτί μεγέθουςA Α4, έτσι B A ώστε η κορυφή Α και η κορυφή Β να συμπέσουν A στο σημείο Θ. Κόβουμε τα μέρη που περισσεύουν ∆ Ζ Ε και έτσι έχουμε το τρίγωνο ΕΖΗ.

γ2. Τι συμπεραίνουμε για τις τρεις οξείες γωνίες του τριγώνου; Ε ∆ ∆ Ε

...................................................................................................................................................

...

Α

Α

Συζητάμε στην τάξη ποια είδη τριγώνων μπορούμε να διακρίνουμε με Α κριτήριο τις πλευρές των τριγώνων.

Ε

Α

49 10-0211.indd 49

28/06/2018 11:27

A A B Eίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές

B

A

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα Ζ Ε

∆ ∆ Γ Το τρίγωνο που έχει: ü και τις τρεις πλευρές του ίσες λέγεται ισόπλευρο, ü μόνο τις δύο πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές, ü όλες τις πλευρές του άνισες λέγεται σκαληνό. A A

ΓΓ

60˚

B

60˚

Α

AΜ

Β

Ζπ

Π

ρ

ρ

B

π

Π

ρ

ρ

ισοσκελές τρίγωνο ΠΤ=ΤΡ και π=ρ

Ζ ∆

Γ

Λ

Η Γ

Θ

B

Ν

σκαληνό τρίγωνο

Η

Ζ

Εφαρμογή 60˚

Β

ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ

Τ

Ε

A

60˚

< <

• Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες. ∆ • Το ισοσκελές τρίγωνο έχειΖδύο γωνίες ίσες, Ε αυτές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές.

• ΤοΓ σκαληνό τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες άνισες. Ε

Α

Τ

60˚

B

60˚

B

Ενότητα 7

Η

Ε

Γ ∆ >

>

ισοσκελές τρίγωνο ισόπλευρο τρίγωνο 1. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΔΕ με πλευρά ΑΕ=4εκ. και γωνία Α = 65° και E = 65°. ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ ΠΤ=ΤΡ και π=ρ 1ο βήμα: Σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ = 4εκ.

< <

Η

Λ

2ο βήμα: Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στο

Α

65˚

Ε

σημείο Α και την ένδειξη 0 της κλίμακας του μοιρογνωμόνιου

Μ

Ν

που θα χρησιμοποιήσουμε πάνω στην πλευρά ΑΕ και προς τα δεξιά. σκαληνό τρίγωνο

Ε

∆

3ο βήμα: Βρίσκουμε στην κλίμακα το 65° και βάζουμε μια τελεία. Ενώνουμε την τελεία με το σημείο Α. Σχηματίζουμε με τον τρόπο αυτό μια γωνία 65°.

Α

Α

Ε βήμα 1ο, 2ο και 3ο

4ο βήμα: Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3. Κατασκευάζουμε με τον ίδιο τρόπο μία γωνία 65° τοποθετώντας το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στο σημείο Ε.

Α

65˚ βήμα 4ο και 5ο

Ε

5ο βήμα: Προεκτείνουμε τις δύο πλευρές των γωνιών, μέχρι να συναντηθούν στο σημείο Δ. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΑΔΕ.

Αναστοχασμός 1. Χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το μοιρογνωμόνιο, εξηγούμε γιατί κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60°.

2.

Μπορεί ένα σκαληνό τρίγωνο να είναι και αμβλυγώνιο;

50 10-0211.indd 50

28/06/2018 11:27

42

Καθετότητα - Ύψη τριγώνου Διερεύνηση Φιλ ικώ ν

1. Ποια διαδρομή πρέπει να ακολουθήσουν τα παιδιά,

για να φτάσουν από τη στάση λεωφορείου στο Cine Paris, διανύοντας τη μικρότερη απόσταση; Την οδό Σμύρνης ή την οδό Ανατολής, αν ο κινηματογράφος απέχει το ίδιο από τις δύο οδούς;

CINE PARIS

Σμύρ νης

ΣΤΑΣΗ ΛΕΩΦΟΡΕΙΟΥ

ς ία Ροδεσ

• Κάνουμε μία εκτίμηση: ................................

Βύρωνος

Παναχαϊκού

Ανατολής

..........................................................................

...

Συζητάμε στην τάξη τις επιλογές μας και καταλήγουμε σε συμπεράσματα για το πώς μετράμε την απόσταση.

2. Βρίσκουμε την απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία.

Α

Τοποθετούμε τον γνώμονα με τη μία από τις κάθετες πλευρές πάνω στην ευθεία και τον σύρουμε κατά μήκος της ευθείας μέχρι το σημείο Α. Εκεί σχεδιάζουμε μία ευθεία.

Α

(ε)

(ε)

Α

Α

Α

Α (ε)

(x)

Α

(x)

(ε)

(ε)

(ε)

Α

Α

(ε)

(x)

Α

(x)

B

Η απόσταση είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, δηλαδή το μέρος της ευθείας που αρχίζει από το Α και τελειώνει στο Β. (ε)

(ε)

(ε)

B

Α

3. Χρησιμοποιούμε τον γνώμονα, για να σχεδιάσουμε τις αποστάσεις

από τις άλλες δύο κορυφές Β και Γ του τριγώνου προς τις απέναντί τους πλευρές.

ΑΒ

Β

∆

...

∆

Γ

Γ Συζητάμε στην τάξη τις παρατηρήσεις μας για

τα τρία ευθύγραμμα τμήματα που δείχνουν τις αποστάσεις των κορυφών του τριγώνου από τις απέναντί τους πλευρές.

51 10-0211.indd 51

28/06/2018 11:27

Ενότητα 7

Καθετότητα - Ύψη τριγώνου Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Κάθετες ονομάζονται δύο ευθείες που τέμνονται, έτσι ώστε να σχηματίζουν γωνία 90°.

• Για να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες, χρησιμοποιούμε τον γνώμονα.

Παραδείγματα (α) (α) (α)

(α) και Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από ένα σημείο τέμνει κάθετα μια ευθεία ονομάζεται απόσταση του σημείου από την ευθεία.

• Η απόσταση είναι η πιο σύντομη διαδρομή που ενώνει το σημείο με την ευθεία. Σημείωση: Ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας ευθείας που έχει δύο σημεία για άκρα.

(β) Γράφουμε: α β (β) Διαβάζουμε: η ευθεία (β) α είναι κάθετη στην ευθεία β.

(β)

(ε) (ε) (ε) Α

∆ ∆∆

Α ΑΑ

Η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία (ε) είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ.

90˚ 90 90 ˚˚

(ε)

∆ • Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή 90˚ ∆∆ Χ ενός τριγώνου και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά∆ ΧΧ ονομάζεται ύψος του τριγώνου. Φ ΦΦ • Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.

• Τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο ση- ∆ ΧΕ μείο. ΕΕ Ψ ΨΨ Φ

Εφαρμογή

Ε

Τρίγωνο ΔΕΖ με τα τρία ύψη ΔΨ, ΕΧ και ΖΦ. ΔΨ ΕΖ ΖΦ ΔΕ Ζ ΕΧ ΔΖ ΖΖ

Ζ

Ψ

Β ΒΒ ∆ Να κατασκευάσετε τα ύψη στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε το σημείο στο οποίο ∆∆ τέμνονται. Β Α Ε ΑΑ ΕΕ∆ Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. Παρατηρούμε ότι, για να φέρουμε το ύψος ΒΕ από την κορυφή Β στην πλευρά ΑΓ, χρειάζεται να προεκτείνουμε την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η πλευρά αυτή.

Ε

Α

Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, για να φέρουμε και το ύψος ΓΖ από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ.

Γ ΓΓ Γ

Ζ ΖΖ Ζ

Τα ύψη τέμνονται σε σημείο εκτός του τριγώνου. Προεκτείνουμε και τα τρία ύψη και βρίσκουμε το σημείο στο οποίο τέμνονται.

Αναστοχασμός 1.

Πού βρίσκεται το σημείο όπου συναντιούνται τα τρία ύψη ενός ορθογώνιου τριγώνου;

2.

Πού βρίσκεται το σημείο όπου συναντιούνται τα τρία ύψη ενός αμβλυγώνιου τριγώνου;

3.

Ποια είναι τα δύο ύψη του ορθογώνιου τριγώνου που είναι πάντοτε σχεδιασμένα;

52 10-0211.indd 52

28/06/2018 11:27

43

Συμμετρία Διερεύνηση

1. Συνδυάζουμε μεταξύ τους 4 ίδια τετράγωνα, έτσι ώστε το σχήμα που θα προκύψει να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συμμετρίας.

• Σχεδιάζουμε τα σχήματα που φτιάξαμε στο μιλιμετρέ χαρτί.

• Σχεδιάζουμε τους άξονες συμμετρίας σε κάθε σχήμα, όπως στο παράδειγμα:

∆

Β

Γ

Α

∆

...

Α

Συζητάμε στην τάξη πόσα διαφορετικά σχήματα βρήκαμε.

2. Ο Νίκος άλλαξε το σχήμα Α στο σχήμα Γ χρησιμοποιώντας διαδοχικά άξονες συμμετρίας.

Β

Β

Γ

Γ

Α

κεφτόμαστε δύο διαφορετικούς τρόπους, για να •Σ κάνουμε το ίδιο.

Διπλώνω στην ευθεία του άξονα συμμετρίας και το σχήμα Α αλλάζει θέση και προσανατολισμό. Κάνω το ίδιο στο σχήμα Β με νέο άξονα συμμετρίας και προκύπτει το σχήμα Γ.

...

A

Β

Συζητάμε στην τάξη τις αλλαγές που αναμένουμε στο αρχικό σχήμα, αν ο άξονας συμμετρίας κόβει το σχήμα ή αν βρίσκεται εκτός του σχήματος. σχήµα µε 6 άξονες συµµετρίας

σχήµα µε κανένα άξονα συµµετρίας

53 10-0211.indd 53

28/06/2018 11:27

Γ

Β ∆

Β

Γ

Ζ

Η

Ενότητα 7

Συμμετρία Α

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας μία ευθεία γραμμή, όταν μπορεί να χωριστεί σε δύο τμήματα, ώστε το ένα να συμπίπτει με το άλλο, διπλώνοντας το χαρτί κατά μήκος αυτής της γραμμής.

• Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας συμμετρίας του σχήματος.

• Ένα σχήμα μπορεί να έχει κανένα, ένα, δύο ή περισσότερους άξονες συμμετρίας.

∆

A

Παραδείγματα Β

Γ

Ζ

Η

Ε

σχήµα µε 6 άξονες συµµετρίας

Μπορούμε να βρούμε το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς κάποια ευθεία, που την ονομάζουμε άξονα συμμετρίας, όταν διπλώσουμε το χαρτί κατά μήκος της ευθείας αυτής.

Α

A

Β

Ε

Α

Γ

Β

Α

Θ

Β

Γ

Θ

σχήµα µε κανένα άξονα συµµετρίας

Α’

Γ

Γ’

Β’

Εφαρμογή Να σχεδιάσετε το συμμετρικό του σχήματος ΑΒΓΔ ως προς άξονα συμμετρίας την κόκκινη ευθεία. Β Ζ α. Διπλώνοντας το χαρτί κατά μήκος της κόκκινης σχήµα ευθείας, Γ Η Θ µε κανένα ∆ βρίσκουμε το συμμετρικό του σχήματος ΑΒΓΔ,άξονα που είναι το συµµετρίας σχήµα µε 6 ΕΖΗΘ. άξονες συµµετρίας Α Β Ζ Ε • Τα συμμετρικά σημεία των Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα τα ∆ Γ Η Θ σημεία Ε, Ζ, Η, Θ.

• Όπως γίνεται φανερό με τη δίπλωση, τα συμμετρικά σημεία απέχουν το ίδιο από τον άξονα Β Ζ συμμετρίας. ∆ ΓΑ Ε Η Θ β. Βρίσκουμε την απόσταση του σημείου Α από τον άξονα συμμετρίας. Το συμμετρικό του σημείο Ε βρίσκεται σε ίση απόσταση από τον άξονα συμμετρίας. Α Β Ζ Ε • Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε τα σημεία Ζ, Η, Θ. ∆ Γ Η Θ γ. Ενώνουμε τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ και σχεδιάζουμε το σχήμα ΕΖΗΘ που είναι συμμετρικό του ΑΒΓΔ ωςΒ προς την κόκκινη Γ ευθεία, που είναι ο άξονας συμμετρίας.

Αναστοχασμός

Β A

Ε

Α

Α’

Γ Β

Α

1.

Ποια κορυφή ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας του;

2.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να έχει άξονα συμμετρίας;

3.

Οι άξονες συμμετρίας ενός ισόπλευρου τριγώνου, τι άλλο είναι στοΒτρίγωνο;

A

54 σχήµα µε 6 άξονες συµµετρίας 10-0211.indd 54

Α

Γ

Γ’

Γ

Γ’

Α’

Β’

Β’

σχήµα µε κανένα άξονα συµµετρίας

σχήµα µε κανένα

28/06/2018 11:27

Γ’

α δ

44 O

Κύκλος - Μήκος κύκλου Διερεύνηση

1. Γνωρίζουμε το σχήμα του κύκλου:

1. Κόβουμε προσεχτικά τον μπλε κύκλο από το παράρτημα.

2. Διπλώνουμε το χαρτί σε δύο ίσα μέρη. Ζωγραφίζουμε πράσινη τη γραμμή δίπλωσής του.

3. Διπλώνουμε και πάλι το χαρτί, ώστε να σχηματιστούν τέσσερα ίσα μέρη. Ζωγραφίζουμε κόκκινη τη δεύτερη γραμμή δίπλωσής του.

4. Ζωγραφίζουμε μαύρο το σημείο Ο στο οποίο τέμνονται οι γραμμές δίπλωσης. α. Ονομάζουμε την πράσινη και την κόκκινη γραμμή και το σημείο Ο. πράσινη: …………………… κόκκινη: ……………… σημείο Ο: …………………… β. Π αρατηρώντας το σχήμα του κύκλου, συμπληρώνουμε τις προτάσεις.

• Η …………………………………… είναι διπλάσια της ………………………..

Ο

• .Η μέτρηση της …………..……… γραμμής μας δίνει το μήκος του κύκλου.

2. Εντοπίζουμε το σχήμα του κύκλου σε αντικείμενα της τάξης μας και: α. Με μια μεζούρα ή με ένα κομμάτι σπάγκου και χάρακα μετράμε το μήκος κύκλου και τη διάμετρο του κάθε αντικειμένου.

μεζούρα

β. Συμπληρώνουμε τον πίνακα και υπολογίζουμε με την αριθμομηχανή.

Αντικείμενα

μήκος κύκλου (σε εκ.)

διάμετρος (σε εκ.)

μήκος κύκλου: διάμετρος (σε εκ.)

24,7

7,8

3,17

χάρτινος κύκλος χείλος ποτηριού

227 ÷ 9 × % 7 8 - MCR 5 6 √ 4 M3 + C 1 2 M+ . = ON 0

γ. Τοποθετούμε το αποτέλεσμα κάθε διαίρεσης στην αριθμογραμμή:

2

...

2,5

3

3,5

4

Συζητάμε στην τάξη ανάμεσα σε ποιους αριθμούς βρίσκονται τα αποτελέσματα των διαιρέσεών μας.

55

10-0211.indd 55

28/06/2018 11:27

Ο

Ενότητα 7

Κύκλος - Μήκος κύκλου Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Τα κύρια στοιχεία του κύκλου είναι: το κέντρο Ο, η ακτίνα α και η διάμετρος δ.

α δ O

Για να υπολογίσουμε το μήκος κύκλου, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό π με τη διάμετρο του κύκλου. μήκος κύκλου =π x δ=3,14 x δ Ο αριθμός που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π είναι με προσέγγιση εκατοστού 3,14.

Η διάμετρος του κύκλου είναι 3 εκ.

Επομένως: μήκος κύκλου = π x δ=3,14 x 3=9,42 εκ.

Ιστορικό σημείωμα Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του προσεγγίζεται όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια και είναι ο αριθμός 3,14159265… που έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται σε όλον τον κόσμο με το ελληνικό γράμμα π και στους υπολογισμούς χρησιμοποιούμε την προσεγγιστική του τιμή 3,14.

Εφαρμογή 1. Να υπολογίσετε το μήκος ενός κύκλου ακτίνας 3 εκ. Το μήκος του κύκλου είναι: μήκος κύκλου =3,14 x δ

α δ O

Επειδή η διάμετρος ενός κύκλου είναι διπλάσια της ακτίνας, έχουμε: μήκος κύκλου = 3,14 x 2 x ……. = 3,14 x ……. =…….. εκ.

2. Να υπολογίσετε την ακτίνα ενός κύκλου που το μήκος του είναι 15,7 εκ. α μήκος κύκλου =3,14 x δ Το μήκος του κύκλου είναι: δ Αφού το μήκος του κύκλου είναι 15,7, έχουμε: O δ = 15,7: 3,14 άρα : δ = ……….. Για να βρούμε την ακτίνα, θα διαιρέσουμε τη διάμετρο διά δύο.

Ο α

Άρα α= ...... : ......=....... εκ.

Αναστοχασμός 1. Δύο κύκλοι με διαφορετικό μέγεθος ακτίνας μπορεί να έχουν το ίδιο μήκος κύκλου; Δικαιολογούμε την απάντησή μας.

2.

Η Αγγελική υποστηρίζει ότι ο αριθμός π είναι 3,14 εκ. Έχει δίκιο ή όχι και γιατί;

3.

Πόσες ακτίνες και πόσες διαμέτρους έχει ένας κύκλος;

56 10-0211.indd 56

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 7

Κεφάλαια 36 - 44

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να αναγνωρίζω και να περιγράφω τη μεγέθυνση και τη σμίκρυνση ενός σχεδίου ή μιας εικόνας σε διάφορες κλίμακες, ü να περιγράφω τοποθεσίες και διαδρομές σε απλούς χάρτες, ü να διακρίνω τα είδη των γωνιών, ü να συγκρίνω και να σχηματίζω γωνίες, να διακρίνω τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές, ü ü να χαράζω γεωμετρικά σχήματα με τη βοήθεια οργάνων, ü να χαράζω τα ύψη ενός τριγώνου, ü να υπολογίζω το μήκος ενός κύκλου, ü να αναγνωρίζω συμμετρικά σχήματα και σχήματα με άξονες συμμετρίας, ü να εντοπίζω τους άξονες συμμετρίας, ü να κατασκευάζω το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς άξονα σε τετραγωνισμένο χαρτί.

1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Η Δανάη με τον Αντρέι παίζουν το παιχνίδι που τους 4 έμαθε η Αγγελική. Ο παίκτης ή η παίκτρια που θα 3 ίδια γραμμή ή στην ίδια συμπληρώσει 4 Χ ή 4 Ο στην στήλη κερδίζει. Η Δανάη έχει το Χ και ο Αντρέι το Ο.

4 3

2

2

α. Η Δανάη βάζει Χ στο σημείο: 1 μπροστά και 3 1 (…. , ….). επάνω, δηλαδή στο σημείο

1

β. Ο Αντρέι βάζει Ο στο σημείο: 0 1 3 2μπροστά 3 4 και 2 επάνω, δηλαδή στο σημείο (….. , …..).

•Κ αταγράφουμε τις επόμενες κινήσεις των παιδιών.

0

1

2

3

4

Σηµείο αρχής

γ. Η Δανάη βάζει Χ στο σημείο: ……………………………………… , δηλαδή στο σημείο (….. , …… ). δ. Ο Αντρέι βάζει Ο στο σημείο: …………………….……………… , δηλαδή στο σημείο (….. , …… ).

•Π ού είναι καλύτερα να βάλει Χ η Δανάη τώρα; Δικαιολογούμε την επιλογή μας.

Ο ............................................................................................................. Ο

.............................................................................................................

•Π αίζουμε με έναν συμμαθητή μας ή με μια συμμαθήτριά μας το ίδιο παιχνίδι. Για κάθε κίνηση που κάνουμε προσδιορίζουμε το σημείο.

4 3 2 1 0

1

2

3

4

2ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________

Σηµείο

Σε έναν χάρτη της Ελλάδας, με τη βοήθεια της κλίμακας στην οποία είναι σχεδιασμένος, υπολογίζουμε σε χιλιόμετρα την πραγματική απόσταση σε ευθεία γραμμή Θεσσαλονίκη – Κομοτηνή.

57 10-0211.indd 57

Ο

Ο

28/06/2018 11:27

44 33 22 11

επαναληπτικό 7

444 333

4

4

3

3

2 Κεφάλαια 36 - 44 2

222 111

1

1

3ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________

00 11 22 33 44

0 0 01 1 12 2 23 3 34 4 4

0

1

2

3

4 0

Σχεδιάζουμε με το μοιρογνωμόνιο τις παρακάτω γωνίες. Τις ονομάζουμε με μικρά γράμματα της Σηµείο αρχής Σηµείο αρχής Σηµείο αλφαβήτας και γράφουμε από κάτωαρχής το είδος της κάθε γωνίας. γωνία 30°

γωνία 100°

γωνία 90°

ΟΟ

ΟΟ

1

2

Σηµείο

γωνία 180°

Ο

Ο

Ο

Ο

....................................... ....................................... ....................................... .......................................

4

4

3

3

2 2 4ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ 1

1 τρίγωνο. Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο, ένα ισοσκελές και ένα ορθογώνιο ισοσκελές 0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

Σηµείο αρχής

Ο

Ο

5ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Σχεδιάζουμε το συμμετρικό του σχήματος ως προς άξονα συμμετρίας την κόκκινη ευθεία.

58 10-0211.indd 58

3

28/06/2018 11:27

Ενότητα

10-0211.indd 59

8

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 60

28/06/2018 11:27

45

Μονάδες μέτρησης του μήκους Διερεύνηση

Ο Νίκος χρειάζεται μία βιβλιοθήκη για το δωμάτιό του. Στο Διαδίκτυο βρήκε το σκίτσο της βιβλιοθήκης που του αρέσει.

80 εκ.

28 εκ.

75 εκ.

2 µ.

Ποιες είναι οι διαστάσεις της βιβλιοθήκης; ............................................................................................................................................................. Με ποιες μονάδες μέτρησης εκφράζεται καθεμία από αυτές και ποια σχέση έχουν μεταξύ τους; ............................................................................................................................................................. Μία άλλη βιβλιοθήκη που έχει υπόψη του ο Νίκος έχει τις παρακάτω διαστάσεις: Πλάτος: 96 εκ. Βάθος: 35 εκ. Ύψος: 197 εκ. Πώς μπορεί ο Νίκος να συγκρίνει τις διαστάσεις της μίας βιβλιοθήκης με αυτές της άλλης; ............................................................................................................................................................. Με ποιες διαφορετικές μορφές αριθμών μπορούμε να εκφράσουμε τις διαστάσεις μιας βιβλιοθήκης; .............................................................................................................................................................

...

Συζητάμε ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους και ποια η σχέση της με τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της.

61 10-0211.indd 61

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Μονάδες μέτρησης του μήκους Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο αριθμός που εκφράζει το αποτέλεσμα της σύγκρισής του με ένα άλλο, το οποίο θεωρούμε μονάδα μέτρησης.

Βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο (μ. ή m). α. Υποδιαιρέσεις του μέτρου είναι: • το δεκατόμετρο ή παλάμη (δεκ. ή dm), • το εκατoστόμετρο ή εκατοστό ή πόντος (εκ. ή cm), • το χιλιοστόμετρο ή χιλιοστό (χιλ. ή mm). β. Πολλαπλάσια του μέτρου είναι: • το χιλιόμετρο (χμ. ή km).

• το ναυτικό μίλι (χρησιμοποιείται στη ναυσιπλοΐα).

α. β. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος β με μονάδα μέτρησης το α είναι 3.

1 μ. = 10 δεκ. ή 1 δεκ.= 1δεκ. =10 εκ. ή 1 εκ.=

1 μ. = 0,1 μ.

10

1 δεκ. = 0,1 δεκ.

10

1 εκ. =10 χιλ. ή 1 χιλ. =

1 εκ. = 0,1 εκ.

10

1 χμ. = 1.000 μ.

1 ναυτικό μίλι = 1.852 μ.

Για να μετατρέψουμε μία μονάδα μέτρησης του μήκους στην αμέσως μικρότερή της, πολλαπλασιάζουμε με το 10, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερή της, διαιρούμε με το 10.

x 10 µ.

x 10 δεκ.

: 10

x 10 εκ.

: 10

χιλ. : 10

Εφαρμογή 200 µ.

90 µ.

Η αυλή ενός σχολείου έχει το σχήμα της διπλανής εικόνας. Να υπολογίσετε την περίμετρό της. Η περίμετρος της αυλής, δηλαδή το άθροισμα του μήκους των πλευρών της, είναι:

45 µ.

..............................................................................................

20 µ.

90 µ.

20 µ.

110 µ.

...............................................................................................

45 µ.

Αναστοχασμός 1. Η Δανάη μέτρησε το μήκος της γόμας της κι έγραψε στο τετράδιό της τον αριθμό 5. Τι ξέχασε να γράψει δίπλα στο 5; 2.

Εξηγούμε γιατί διαιρούμε με το 1.000, όταν μετατρέπουμε τα μέτρα σε χιλιόμετρα.

3. Αναφέρουμε τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε, για να μετρήσουμε το μήκος, το πλάτος και το πάχος του βιβλίου των Μαθηματικών μας.

4. Διακρίνουμε τη μορφή κάθε αριθμού κι εξηγούμε γιατί οι παρακάτω αριθμοί εκφράζουν ίσο μήκος:

α. 1,06 μ.

β. 1μ. 6 εκ.

γ.

106 μ.

100

δ. 1

6 μ.

100

ε. 106 εκ.

στ. 10,6 δεκ.

62 10-0211.indd 62

28/06/2018 11:27

Γεωμετρικά σχήματα – Η περίμετρος Διερεύνηση

...

46

Συζητάμε τα είδη των γραμμών που αναγνωρίζουμε στην παραπάνω ζωγραφιά των μαθητών και των μαθητριών της Ε΄τάξης.

Στο χαρτί με τις τελείες σχεδιάζουμε κλειστές τεθλασμένες γραμμές και φτιάχνουμε διάφορα γεωμετρικά σχήματα:

...

Συζητάμε:

α. σε ποιες ομάδες μπορούμε να διακρίνουμε τα γεωμετρικά σχήματα, αν μετρήσουμε το πλήθος των κορυφών τους, β. τι μετράμε, αν προσθέσουμε τα μήκη όλων των πλευρών κάθε γεωμετρικού σχήματος.

63 10-0211.indd 63

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Γεωμετρικά σχήματα – Η περίμετρος Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Το σχήμα που φτιάχνεται από μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή και οι πλευρές του τέμνονται μόνο σε σημεία που είναι κορυφές του ονομάζεται πολύγωνο. Το τρίγωνο, το τετράπλευρο, το πεντάγωνο και το εξάγωνο είναι πολύγωνα με τρεις, τέσσερις, πέντε και έξι κορυφές αντίστοιχα. τρίγωνο τετράπλευρο πεντάγωνο εξάγωνο Ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

Περίμετρος (Π) ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του.

2 εκ.

3 εκ.

4 εκ.

Πτρ. = 2 εκ. + 3 εκ. + 4 εκ. = 9 εκ.

Εφαρμογή Να βρείτε τις περιμέτρους: α. ενός ισόπλευρου τριγώνου, β. ενός τετραγώνου, γ. ενός κανονικού πενταγώνου και δ. ενός κανονικού εξαγώνου, καθένα από τα οποία έχει μήκος πλευράς 4,5 εκ. Να γράψετε το συμπέρασμά σας. Επειδή η περίμετρος είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών κάθε πολυγώνου και κάθε κανονικό πολύγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες, οι περίμετροί τους είναι:

α. Πισόπλευρου τριγώνου = _ ___________________

β. Πτετραγώνου = ____________________

γ. Πκανονικού πενταγώνου = _____________________

δ. Πκανονικού εξαγώνου = ___________________

Επομένως, για να βρούμε την περίμετρο ενός κανονικού πολυγώνου, ................................... το μήκος της πλευράς .......................................................................

Αναστοχασμός 1. Εξηγούμε γιατί το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο είναι κανονικά πολύγωνα.

2. Η Δανάη υποστηρίζει ότι όλα τα εξάγωνα είναι κανονικά. Έχει δίκιο ή όχι και γιατί; 3. Εξηγούμε γιατί το ορθογώνιο και ο ρόμβος δεν είναι κανονικά πολύγωνα.

4. Ο Νίκος θέλει να σχεδιάσει ένα τετράγωνο, ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο, καθένα από τα οποία έχει περίμετρο 24 εκ. Πώς θα υπολογίσει το μήκος της πλευράς του κάθε σχήματος;

64 10-0211.indd 64

28/06/2018 11:27

Μονάδες μέτρησης της επιφάνειας Διερεύνηση

47

Σχεδιάζουμε στο παρακάτω τετραγωνισμένο χαρτί ένα τετράγωνο με πλευρά 1 εκ.

Πόσα τέτοια τετράγωνα έχει το τετραγωνισμένο χαρτί της παραπάνω εικόνας; .............................................................................................................................................................

Υπολογίζουμε πόσα τετράγωνα με πλευρά 1 χιλ. έχουν: α. το τετράγωνο που σχεδιάσαμε ............................................................................................................................................................. β. το τετραγωνισμένο χαρτί της εικόνας .............................................................................................................................................................

...

Συζητάμε ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της επιφάνειας και ποια η σχέση της με τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της.

65 10-0211.indd 65

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Μονάδες μέτρησης της επιφάνειας Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Εμβαδό ενός επίπεδου σχήματος είναι ο αριθμός που εκφράζει το αποτέλεσμα της σύγκρισής του με ένα άλλο επίπεδο σχήμα το οποίο θεωρούμε μονάδα μέτρησης. Βασική μονάδα μέτρησης της επιφάνειας είναι το τετραγωνικό μέτρο (τ.μ.), που είναι ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 1 μ. Α. Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου είναι: • το τετραγωνικό δεκατόμετρο (τ.δεκ.), • το τετραγωνικό εκατοστόμετρο (τ.εκ.), • το τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (τ.χιλ.).

Παραδείγματα

Η σκιασμένη επιφάνεια του σώματος είναι 6 τ.εκ. ή έχει εμβαδό 6 τ.εκ.

1 τ.μ. = 100 τ.δεκ. ή 1 τ.δεκ.= 1 τ.δεκ. = 100 τ. εκ. ή 1 τ.εκ.= 1 τ.εκ. = 100 τ.χιλ. ή 1 τ.χιλ.=

Β. Πολλαπλάσια του τετραγωνικού μέτρου είναι: • το τετραγωνικό χιλιόμετρο (τ.χμ.).

• το στρέμμα (στρέμ.).

1 τ.μ.

100

1 τ.δεκ.

100 1 τ.εκ.

100

1 τ.χμ. = 1.000 στρέμ.

1 στρέμ. = 1.000 τ.μ.

Για να μετατρέψουμε μία μονάδα μέτρησης της επιφάνειας στην αμέσως μικρότερή της, πολλαπλασιάζουμε με το 100, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερή της, διαιρούμε με το 100.

x 100 τ.µ. : 100

x 100 τ.δεκ.

x 100 τ.εκ.

: 100

τ.χιλ. : 100

Εφαρμογή Μέσα στο οικόπεδο του κυρίου Γιάννη, το οποίο έχει επιφάνεια 2 στρέμ., θα κατασκευαστεί ένας δρόμος επιφάνειας 200 τ.μ., που θα το χωρίσει σε δύο οικόπεδα το ένα διπλάσιας επιφάνειας από το άλλο. Να βρείτε πόσο θα είναι το εμβαδό κάθε οικοπέδου μετά την κατασκευή του δρόμου.

H επιφάνεια του αρχικού οικοπέδου είναι 2 στρέμ.= 2 x 1.000 τ.μ. = 2.000 τ.μ. Η επιφάνεια των δύο οικοπέδων θα είναι: 2.000 - 200 = 1.800 τ.μ. Επειδή το ένα οικόπεδο θα έχει διπλάσια επιφάνεια από το άλλο, η επιφάνεια των δύο οικοπέδων θα αποτελείται από τρία ίσα μέρη. Επομένως 1.800 : 3 = 600 τ.μ. θα είναι η επιφάνεια του ενός οικοπέδου και 2 x 600 = 1.200 τ.μ. του άλλου.

Αναστοχασμός 1. Η Δανάη μέτρησε την επιφάνεια του θρανίου της κι έγραψε τον αριθμό 0,048. Τι ξέχασε να γράψει δίπλα στον αριθμό; 2. Εξηγούμε γιατί διαιρούμε διά 1.000.000, όταν μετατρέπουμε τα τ.μ. σε τ.χμ.

3. Αναφέρουμε ποια μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε, για να μετρήσουμε την επιφάνεια του δαπέδου ενός σπιτιού.

4. Αναγνωρίζουμε τη μορφή κάθε αριθμού κι εξηγούμε γιατί οι παρακάτω αριθμοί εκφράζουν ίση επιφάνεια: 40.002 2 α. 4,0002 τ.μ. β. 4 τ.μ. 2 τ.εκ. γ. τ.μ. δ. 4 τ.μ. ε. 400,02 τ.δεκ.

10.000 10.000

66 10-0211.indd 66

28/06/2018 11:27

Εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου Διερεύνηση

48

Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 5 μονάδες και μετά υπολογίζουμε το εμβαδό του.

μία μονάδα Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα ορθογώνιο με μήκος 5 μονάδες και πλάτος 3 μονάδες και μετά υπολογίζουμε το εμβαδό του. Σχεδιάζουμε τη μία διαγώνιό του ενώνοντας δύο μη διαδοχικές κορυφές του.

...

Συζητάμε:

α. ποια σχήματα προκύπτουν, β. πόσο είναι το εμβαδό του καθενός από αυτά, γ. π οια είναι η σχέση του εμβαδού τους με το εμβαδό του ορθογωνίου. Σχεδιάζουμε στο διπλανό τετραγωνισμένο χαρτί ένα ορθογώνιο τρίγωνο και υπολογίζουμε το εμβαδό του.

...

υζητάμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό οποιουδήποτε ορΣ θογώνιου τριγώνου.

67 10-0211.indd 67

28/06/2018 11:27

Εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου

Ενότητα 8

Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τετραγώνου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος της πλευράς του επί τον εαυτό της.

2 μονάδες

Ετετραγ. = μήκος πλευράς x μήκος πλευράς = 2 μονάδες x 2 μονάδες = 4 τετ. μονάδες Για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος επί το πλάτος του, όταν αυτά μετριούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης.

5 μονάδες 3 μονάδες Εορθογ. = μήκος x πλάτος = 5 μονάδες x 3 μονάδες = 15 τετ. μονάδες

Για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός ορθογώνιου τριγώνου, πολλαπλασιάζουμε τα μήκη των κάθετων πλευρών του, όταν αυτά μετριούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης, και μετά διαιρούμε το γινόμενο αυτό με το 2.

3 μονάδες 5 μονάδες

Εορθ.τριγώνου=

μήκος κάθ.πλευράς x μήκος κάθ.πλευράς =

3x5 2

=

15 2

2

=

= 7,5 τετ. μονάδες

Εφαρμογή Ένας κήπος σε σχήμα τετραγώνου έχει εμβαδό 36 τ.μ. Να βρείτε την περίμετρό του. Το εμβαδό ενός τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της πλευράς του επί τον εαυτό της. Ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει γινόμενο 36, είναι ο 6. Επομένως το τετράγωνο με εμβαδό 36 τ.μ. έχει μήκος πλευράς ..............., άρα η περίμετρός του είναι: ..............................................................

Αναστοχασμός 1. Ο Νίκος έγραψε ότι η περίμετρος ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 10 τ.εκ. Εξηγούμε γιατί δεν είναι σωστό το αποτέλεσμά του.

2. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου είναι 12 τ.μ. Το μήκος και το πλάτος του μπορεί να είναι: α. 1 μ. και 12 μ. β. 2 μ. και 6 μ. γ. 3 μ. και 4 μ. δ. 6 μ. και 6 μ.

3. Το εμβαδό ενός τετραγώνου είναι 144 τ.μ. Η περίμετρός του είναι: α. 12 μ. β. 48 τ.μ. γ. 0,48 μ. δ. 480 δεκ. ε. 480 εκ.

4. Εξηγούμε γιατί δεν μπορούμε να βρούμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου, αν το μήκος και το πλάτος του δεν έχουν υπολογιστεί με την ίδια μονάδα μέτρησης.

68 10-0211.indd 68

28/06/2018 11:27

49

Γεωμετρικά στερεά – Ο όγκος Διερεύνηση Αναγνωρίζουμε τα γεωμετρικά σχήματα σε κάθε εικόνα:

...

Συζητάμε ποια γεωμετρικά στερεά μπορούμε να σχηματίσουμε με τα παραπάνω αναπτύγματα.

Αναγνωρίζουμε τα παρακάτω γεωμετρικά στερεά και τη σχέση που έχουν με τα χρωματισμένα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα.

... ...

υζητάμε σε τι διαφέρουν τα στερεά από τα επίπεδα γεωμετρικά σχήΣ ματα.

Συζητάμε ποιο γεωμετρικό στερεό μπορούμε να αναγνωρίσουμε στο μπαούλο της παρακάτω εικόνας. Ποια από τα παραπάνω γεωμετρικά στερεά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, για να μετρήσουμε τον χώρο μέσα στο μπαούλο;

...

υζητάμε πώς μπορούμε να μετρήσουμε τον Σ χώρο μέσα στο μπαούλο.

69 10-0211.indd 69

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Γεωμετρικά στερεά – Ο όγκος Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες Στον φυσικό μας κόσμο, εκτός από τα γεωμετρικά σχήματα που είναι επίπεδα, συναντάμε και γεωμετρικά στερεά, όπως είναι: ο κύβος, το ορθογώνιο, ο κύλινδρος, ο κώνος, η πυραμίδα και η σφαίρα.

Παραδείγματα

κύβος

κώνος

Ορισμένα γεωμετρικά στερεά έχουν επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες, οι οποίες ονομάζονται έδρες.

πυραμίδα

σφαίρα

έδρα

Όγκος ενός στερεού σώματος είναι ο χώρος τον οποίο καταλαμβάνει το στερεό. Ο όγκος εκφράζεται με τον αριθμό που προκύπτει από τη σύγκριση του στερεού με ένα άλλο το οποίο θεωρούμε μονάδα μέτρησης.

ορθογώνιο παραλ/δο κύλινδρος

κυβική μονάδα Όγκος ορθογωνίου = 5 x 4 x 3 =60 κυβ. μονάδες Όγκος κύβου = 3 x 3 x 3 = 27 κυβικές μονάδες κυβική μονάδα

Μία κυβική μονάδα είναι ο όγκος ενός κύβου με μήκος ακμής μία μονάδα.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

γεωμετρικό στερεό Όγκος γεωμετρικού στερεού = 10 κυβ. μονάδες.

1

2

Εφαρμογή

3

4

5

6

7

8

9

10

Να υπολογίσετε πόσες κυβικές μονάδες είναι ο όγκος του παρακάτω γεωμετρικού στερεού. Το γεωμετρικό στερεό Α μπορεί να αναλυθεί στα γεωμετρικά στερεά: Β, Γ και Δ. Ο όγκος του γεωμετρικού στερεού είναι ..................................................................... γεωμ. στερεό Α

γεωμ. στερεό Β

γεωμ. στερεό Γ

γεωμ. στερεό Δ

Αναστοχασμός 1. Αναφέρουμε γεωμετρικά στερεά που η μία τουλάχιστον έδρα τους είναι:

α. τετράγωνο β. κυκλικός δίσκος.

2. Η Δανάη υποστηρίζει ότι το ανάπτυγμα του ορθογωνίου αποτελείται από τρία ζευγάρια ίσων ορθογωνίων. Έχει δίκιο; 3. Εξηγούμε γιατί δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σφαίρα για τη μέτρηση του όγκου ενός στερεού σώματος.

70 10-0211.indd 70

28/06/2018 11:27

Μονάδες μέτρησης του όγκου και της χωρητικότητας Διερεύνηση

50

Αναγνωρίζουμε τα γεωμετρικά σχήματα στην παρακάτω εικόνα: 10 εκ.

10 εκ.

10 εκ.

Πόσοι κύβοι με μήκος ακμής 1 εκ. χωράνε στον κύβο της εικόνας; Πόσοι κύβοι με μήκος ακμής 1 χιλ. χωράνε στον κύβο της εικόνας;

...

Συζητάμε:

α. σ ε ποια μέτρηση και με ποιον τρόπο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κύβο της παραπάνω εικόνας, β. ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του όγκου και ποια η σχέση της με τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της. Η Δανάη έχει ένα ενυδρείο. Πώς μπορεί να μετρήσει πόσο νερό χρειάζεται, για να το γεμίσει;

...

υζητάμε πότε χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης το λίτρο (l) και πότε Σ το χιλιοστόλιτρο (ml).

71

10-0211.indd 71

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Μονάδες μέτρησης του όγκου και της χωρητικότητας Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα 1µ.

Βασική μονάδα μέτρησης του όγκου των στερεών είναι το κυβικό μέτρο. Το κυβικό μέτρο είναι ένας κύβος με μήκος ακμής 1 μ.

1 μ. Υποδιαιρέσεις του κυβικού μέτρου είναι: • το κυβικό δεκατόμετρο (κ.δεκ.), • το κυβικό εκατοστόμετρο (κ.εκ.), • το κυβικό χιλιοστόμετρο (κ.χιλ.).

1εκ.

1δεκ.

1κ.εκ.

1κ.δεκ.

1κ.µ.

1 κ.μ.

1000 1 1 κ.δεκ. = 1.000 κ. εκ. ή 1 κ.εκ.= κ.δεκ.

1000 1 1 κ.εκ. = 1.000 κ.χιλ. ή 1 κ.χιλ.= κ.εκ.

1000 1 κ.μ. = 1.000 κ.δεκ. ή 1 κ.δεκ. =

Χωρητικότητα ενός δοχείου είναι ο όγκος της ποσότητας με την οποία μπορεί να γεμίσει το δοχείο. Βασική μονάδα μέτρησης της χωρητικότητας είναι το λίτρο. Λίτρο είναι ο όγκος ενός κύβου με μήκος ακμής 1 δεκατόμετρο. Η πιο συνηθισμένη υποδιαίρεση του λίτρου είναι το χιλιοστόλιτρο (ml).

1l

όγκος δοχείου = 19 κ.δεκ χωρητικότητα

δοχείου

x 1.000

Για να μετατρέψουμε μία μονάδα μέτρησης του όγκου στην αμέσως μικρότερή της, πολλαπλασιάζουμε με το 1.000, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερή της, διαιρούμε με το 1.000.

κ.µ. : 1.000

= 17l x 1.000

κ.δεκ.

x 1.000

κ.εκ.

: 1.000

500ml

κ.χιλ.

: 1.000

Εφαρμογή Ο Νίκος έχει κύβους καθένας από τους οποίους έχει μήκος ακμής 2 εκ. Θέλει να γεμίσει με αυτούς ένα κουτί που εσωτερικά έχει μήκος 6 εκ., πλάτος 10 εκ. και ύψος 12 εκ. Πόσους κύβους χρειάζεται ο Νίκος, για να γεμίσει το κουτί του; Λύση Ο όγκος κάθε κύβου είναι .......................... Ο όγκος του κουτιού είναι ..................... Για να γεμίσει το κουτί του, ο Νίκος χρειάζεται ..........................................................

Αναστοχασμός 1. Η Δανάη έγραψε: 30 ml < 0,003 L. Έχει δίκιο; 2. Ο Νίκος διάβασε ότι χρειάζεται να πίνει δύο λίτρα νερού την ημέρα. Ένα ποτήρι νερού έχει χωρητικότητα 250 ml. Πόσα ποτήρια νερού χρειάζεται να πίνει την ημέρα; 3. Εξηγούμε γιατί ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης 35 τ.εκ. και ύψος 8 εκ. είναι 280 κ.εκ.

4. Αναφέρουμε παραδείγματα από την καθημερινή μας ζωή στα οποία η χωρητικότητα μετριέται σε φλιτζάνια τσαγιού.

72 10-0211.indd 72

28/06/2018 11:27

51

Μονάδες μέτρησης της μάζας Διερεύνηση

Ο ζυγός σύγκρισης της διπλανής εικόνας ισορροπεί. Αριστερά είναι τοποθετημένα τέσσερα πορτοκάλια. Δεξιά είναι τοποθετημένα δύο πορτοκάλια κι ένα από τα σταθμά που μετρούν τη μάζα, το οποίο ζυγίζει 0,5 κ. Αν όλα τα πορτοκάλια έχουν την ίδια μάζα, πόσο ζυγίζει κάθε πορτοκάλι;

.............................................................................................................................................................

Πότε ένας ζυγός σύγκρισης ισορροπεί; ............................................................................................................................................................. Ποιο μέγεθος μετράμε με τον ζυγό σύγκρισης; .............................................................................................................................................................

...

υζητάμε ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της μάζας και ποια η Σ σχέση της με τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της.

Στην καθημερινή μας ζωή μετράμε το βάρος σε κιλά.

...

0

0

2

1

4

2

6

3

8

4

10

5

Συζητάμε σε τι διαφέρει η μάζα από το βάρος.

Αναφέρουμε παραδείγματα μετρήσεων στις οποίες χρησιμοποιούμε καθέναν από τους παραπάνω ζυγούς.

73 10-0211.indd 73

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Μονάδες μέτρησης της μάζας Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Η μάζα είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα των υλικών σωμάτων, η οποία εκφράζει το ποσό της ύλης από την οποία αποτελείται ένα σώμα. Στην καθημερινή μας ζωή συχνά μπερδεύουμε τη μάζα με το βάρος. Ενώ η μάζα ενός σώματος είναι σταθερή, το βάρος του, δηλαδή η δύναμη που ασκείται στο σώμα λόγω της έλξης της Γης, μεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. Μετράμε τη μάζα ενός σώματος με τον ζυγό σύγκρισης με ίσους βραχίονες, καθώς και με άλλες μορφές ζυγών. Βασική μονάδα μέτρησης της μάζας είναι το κιλό (κ.) ή χιλιόγραμμο. α. Υποδιαιρέσεις του κιλού είναι: • το γραμμάριο (γρ. ή g), • το χιλιοστό του γρ. (mg). β. Πολλαπλάσιο του κιλού είναι ο τόνος (τόν. ή t).

1 κ.

1.000 1 1 γρ. = 1.000 mg ή 1 mg = γρ.

1.000 1 τ.

1 τ. = 1.000 κ. ή 1 κ. = 1.000 1 κ. = 1.000 γρ. ή 1 γρ. =

Για να μετατρέψουμε μία μονάδα μέτρησης της μάζας στην αμέσως μικρότερή της, πολλαπλασιάζουμε με το 1.000, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερή της, διαιρούμε με το 1.000.

x 1.000 κ. : 1.000

x 1.000 γρ.

mg. : 1.000

Εφαρμογή Να βρείτε τι μέρος του κιλού ζυγίζουμε με τα παρακάτω σταθμά:

1 γρ. =

1 κ.

1.000

250 γρ. =

1 250 = κ.

4 1.000

100 γρ. =

100 1 = κ.

1.000 10

500 γρ. =

500 1 = κ.

1.000 2

Αναστοχασμός 1. Η Δανάη ζύγισε τις δύο σακούλες με τα πράγματα που αγόρασε από το σούπερ μάρκετ και βρήκε ότι η σακούλα Α έχει μάζα 1 κ. και η σακούλα Β 129.000 mg. Ποια σακούλα έχει μεγαλύτερη μάζα; 2. Σε μια συνταγή για μακαρόνια χρειάζονται 230 γρ. λαχανικών και διπλάσια ποσότητα μακαρονιών. Ποια είναι η μάζα σε κιλά των μακαρονιών της συνταγής; 3. Ο Νίκος υποστηρίζει πως η μάζα ενός ανθρώπου στην επιφάνεια της θάλασσας είναι διαφορετική από αυτήν στην κορυφή του Ολύμπου. Έχει δίκιο; Ναι ή όχι και γιατί; 4. Περιγράφουμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν ζυγό σύγκρισης, για να ζυγίσουμε ένα σώμα.

74 10-0211.indd 74

28/06/2018 11:27

52

Μονάδες μέτρησης του χρόνου Διερεύνηση

• Τι δείχνει κάθε ψηφίο του διπλανού ψηφιακού ρολογιού; • Κάθε πότε αλλάζει; • Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να δείχνει το ψηφιακό ρολόι και τι εκφράζει ο καθένας από αυτούς;

...

υζητάμε με ποια μορφή αριθμού μπορούμε να Σ γράψουμε την ένδειξη του ψηφιακού ρολογιού.

Σχεδιάζουμε τους δείκτες στο αναλογικό ρολόι, έτσι ώστε να έχει την ίδια ένδειξη με το ψηφιακό.

Μια οικολογική οργάνωση για την προστασία του θαλάσσιου οικοσυστήματος κυκλοφόρησε την παρακάτω αφίσα.

Πλαστικό λασ ό ποτήρι ήρι

Γνωρ ρίίζε ζετε πόσα χρόνια χρειάζ ονται, για να διαλυθούν στη θά λασ σσα; Λαστιχένια σόλα

50 χρόνια

Χαρτοπετσέτα

50-80 χρόνια

2-4 εβδομάδες

Πλαστικό μπουκάλι

450 χρόνια Μάλλινο ρούχο Μάλλ ρού ύχο ύχο

1-5 χρόνια

Πετονιά

600 χρόνια

Εφημερίδα

Κουτί αλουμινίου

6 εβδομάδες

80-200 χρόνια Χάρτινη συσκευασία γάλακτος

Κόντρα πλακέ

3 μήνες

1-3 χρόνια

Φίλτρο τσιγάρου

1-5 χρόνια Φλούδα πορτοκαλιού

2-5 εβδομάδες

Γυάλινο μπουκάλι

1.000.000 χρόνια

...

Κουτί κονσέρβας

Πλαστική σακούλα

50 χρόνια

10-20 χρόνια

υζητάμε πώς μπορούμε να συγκρίνουμε τη χρονική διάρκεια που χρειάΣ ζονται τα διάφορα αντικείμενα, για να διαλυθούν στη θάλασσα.

75 10-0211.indd 75

28/06/2018 11:27

Ενότητα 8

Μονάδες μέτρησης του χρόνου Βασικές μαθηματικές έννοιες και διεργασίες

Παραδείγματα

Βασική μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (δ. ή s.) Πολλαπλάσια του δευτερόλεπτου είναι το λεπτό ( λ. ή min) και η ώρα ( ώρ. ή h) Για μετρήσεις μεγάλης χρονικής διάρκειας χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης του χρόνου: α. την ημέρα (ημ.) Πολλαπλάσια της ημέρας είναι η εβδομάδα (εβδ.), ο μήνας (μήν.) και το έτος (έτ.) ή ο χρόνος (χρ.). β. το έτος Πολλαπλάσια του έτους είναι ο αιώνας (αι.) και η χιλιετία.

1 λ. = 60 δ.

ή

1 δ. =

1 ώρα = 60 λ. ή 1 λ. =

1 λ.

60

1 ώρ.

60

1 ημέρα = 24 ώρ.

1 εβδ. = 7 ημ.

1 μήν. = 30 ημ.

1 έτ. = 12 μήν. = 365 ημ. Ο μήνας έχει 30 ή 31 ημέρες, εκτός από τον Φεβρουάριο που έχει 28 και κάθε 4 χρόνια 29. Στα Μαθηματικά θεωρούμε, συνήθως, ότι: 1 μήν. = 30 ημ. και 1 έτ. = 360 ημ.

1 αι. = 100 έτ.

1 χιλιετία = 10 αι. = 1.000 έτ. x 12

Για να μετατρέψουμε μία μονάδα μέτρησης του χρόνου στην αμέσως μικρότερή της, πολλαπλασιάζουμε, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερή της, διαιρούμε. Ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που δίνεται.

ετ. : 12

x 30 µήν.

x 24 ηµ.

: 30

x 60

ώρ. : 24

x 60 λ.

: 60

δ. : 60

Εφαρμογή Να σχεδιάσετε τους δείκτες σε κάθε ρολόι, έτσι ώστε να δείχνουν:

εννέα και μισή

έξι και δέκα

οχτώ παρά είκοσι

τέσσερις παρά πέντε

Αναστοχασμός 1. Συζητάμε τι είναι το χρονόμετρο και τι μετρά.

2. Η Δανάη υποστηρίζει ότι, όταν το ρολόι δείχνει 20:00, η ώρα είναι 9 μετά το μεσημέρι. Έχει δίκιο ή όχι; 3. Ο Νίκος υποστηρίζει ότι, όταν η ώρα είναι τρεις παρά τέταρτο, το ρολόι δείχνει δύο ώρες και 45 λεπτά. Έχει δίκιο ή όχι; 4. Πόσα χρόνια περίπου έχουν περάσει από το χτίσιμο του Παρθενώνα; α. 1.500 χρόνια β. 500 χρόνια γ. 2,5 χιλιετίες δ. 12 αι.

5. Αναφέρουμε παραδείγματα μέτρησης του χρόνου κι εκφράζουμε κάθε αποτέλεσμα ως φυσικό, κλασματικό, δεκαδικό και συμμιγή αριθμό.

76 10-0211.indd 76

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 8

Κεφάλαια 45 - 52

Στα κεφάλαια αυτά έμαθα: ü να πραγματοποιώ μετατροπές μονάδων μέτρησης διάφορων μεγεθών χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που έχει η βασική μονάδα μέτρησης ενός μεγέθους με τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της, ü να μετρώ διάφορα μεγέθη χρησιμοποιώντας τυπικές και άτυπες μονάδες μέτρησης, ü να εκφράζω τα αποτελέσματα των μετρήσεων με διαφορετικές μορφές αριθμών, ü να υπολογίζω την περίμετρο επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους, ü να υπολογίζω τα εμβαδά τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου, ü να αναγνωρίζω, να ονομάζω, να ταξινομώ και να συνδέω μεταξύ τους γεωμετρικά σχήματα και γεωμετρικά στερεά, ü να σχεδιάζω γεωμετρικά σχήματα και γεωμετρικά στερεά, ü να αναλύω ή να συνθέτω γεωμετρικά σχήματα και γεωμετρικά στερεά, ü να λύνω σχετικά προβλήματα.

Ασκήσεις __________________________________________________________________________ Αντιστοιχίζουμε μεγέθη με μονάδες μέτρησης: επιφάνεια

μήκος

όγκος

χρόνος

μάζα

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

μ.

κ.μ.

τ.μ.

κ.

ώρ.

Κυκλώνουμε τη μονάδα μέτρησης με την οποία θα μετρήσουμε: την απόσταση ανάμεσα σε δύο πόλεις: Α. μ. Β. χιλ. Γ. χμ. Δ. τ.μ.

την επιφάνεια ενός χαλιού: Α. μ. Β. τ.μ. Γ. τ.εκ. Δ. κ.μ.

τον όγκο μιας ντουλάπας: Α. μ. Β. τ.μ. Γ. κ.μ. Δ. l

τη χωρητικότητα μιας πισίνας: Α. μ. Β. τ.μ. Γ. κ.μ. Δ. l

τη διάρκεια ενός αγώνα ποδοσφαίρου: Α. ημ. Β. ώρ. Γ. λεπ. Δ. δευτ.

την ηλικία ενός πλάτανου: Α. ημ. Β. μήν. Γ. έτ. Δ. αι.

77 10-0211.indd 77

28/06/2018 11:27

επαναληπτικό 8

Κεφάλαια 45 - 52

1ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Το κουτί της διπλανής εικόνας έχει μήκος 40 εκ., πλάτος 25 εκ. και ύψος 10 εκ. Πόση κορδέλα θα χρειαστεί η Δανάη, για να τυλίξει το κουτί με τον τρόπο που φαίνεται στην εικόνα;

2ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Ο Γιάννης έκοψε τετράγωνα με μήκος πλευράς 12 εκ. σε διάφορα χρώματα κι έφτιαξε το διπλανό κολάζ. Πόση είναι η περίμετρος και πόσο το εμβαδό της επιφάνειας του κολάζ;

3ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ 9

2 5

8 3

8

Σε έναν υπαίθριο χώρο στήθηκε μια εξέδρα η οποία έχει το σχήμα και τις διαστάσεις που φαίνονται στη διπλανή εικόνα. Ποιος είναι ο όγκος της εξέδρας;

9 10

4ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Μια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει εσωτερικά μήκος 8 μ., πλάτος 6 μ. και ύψος 4,5 μ. Πόσα € ξοδεύει 5 ο κύριος Γιώργος, για να γεμίσει τα της πισίνας, αν κάθε κυβικό 6 μέτρο νερού κοστίζει 2,7 €;

5ο Πρόβλημα ______________________________________________________________________ Ο Γιάννης γεννήθηκε στις 31 Δεκεμβρίου 2010. Η αδερφή του, η Μαρία, είναι έναν χρόνο και μία ημέρα μεγαλύτερή του. Πότε γεννήθηκε η Μαρία;

78 10-0211.indd 78

28/06/2018 11:27

Κεφάλαια 25, 29, 30, 31



Επαναληπτικό 8

10-0211.indd 79

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 80

28/06/2018 11:27

ï&#x20AC;£ 10-0211.indd 81

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 82

28/06/2018 11:27

Κεφάλαιο 38



Κεφάλαιο 44

10-0211.indd 83

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 84

28/06/2018 11:27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ï&#x20AC;£

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10-0211.indd 85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 86

28/06/2018 11:27

10-0211.indd 87

28/06/2018 11:27

Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α').

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.

10-0211.indd 88

28/06/2018 11:27

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

Κωνσταντίνος Βρυώνης Σπυρίδων Δουκάκης Βασιλική Καρακώστα Γεώργιος Μπαραλής Ιωάννα Σταύρου

Μαθηματικά

ISBN Set 978-960-06-5659-6 Τ.B´ 978-960-06-5886-6 Κωδικός Βιβλίου: 0-10-0211

E´

Δη μο τ

ικο ύ

β´ τεύχος

(01) 000000 0 10 0211 9

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

0-10-0211_cover.indd 1

29/06/2018 12:08