Hướng trong hinh học phẳng nguyễn minh ha pdf by Huy

Nguyễn Minh Hà

NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ

Mục lục Lời giới thiệu

iii

Lời nói đầu

Các ký hiệu

vii

Chương 1.

Hướng của đoạn thẳng

§1.

Hình thang và hình bình hành

§2.

Đoạn thẳng

§3.

Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó 3.1. Các định nghĩa 3.2. Các định lí 3.3. Hướng của đoạn thẳng định hướng

4 4 10 17

§4.

18 18 19 20

§5.

21 21 22 26

§6.

27 27 29

Vectơ, hướng và phương của nó 4.1. Các định nghĩa 4.2. Các định lí 4.3. Hướng và phương của vectơ Hướng và phương của tia 5.1. Các định nghĩa 5.2. Các định lí 5.3. Hướng và phương của tia Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 6.1. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp 6.2. Đường thẳng định hướng

§7.

Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng

Chương 2. §8. §9.

Hướng của góc

Góc giữa hai tia

Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan 9.1. Góc định hướng giữa hai tia

31 37 37 44 44 i

Mục lục

9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Cơ sở, tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Sự không trùng lặp, sự trùng lặp của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Nguồn và cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Các định lí về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt cùng đỉnh

Sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng giữa hai tia 10.1. Hai góc định hướng giữa hai tia có cùng đỉnh 10.2. Hai góc định hướng giữa hai tia bất kỳ 10.3. Hướng của góc định hướng giữa hai tia, mặt phẳng định hướng 10.4. Hướng của tam giác và hướng của đa giác lồi

45 46 47 51

§10.

Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia 11.1. Số đo của góc định hướng giữa hai tia 11.2. Góc lượng giác giữa hai tia

63 63 68 76 77

§11.

81 81 82

§12.

86 86 87 90

§13.

91 91 92 94

§14.

95 95 97 101

Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ 12.1. Góc giữa hai vectơ 12.2. Góc định hướng giữa hai vectơ 12.3. Góc lượng giác giữa hai vectơ Cung, cung định hướng, cung lượng giác 13.1. Cung 13.2. Cung định hướng 13.3. Cung lượng giác Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng 14.1. Góc giữa hai đường thẳng 14.2. Góc định hướng giữa hai đường thẳng 14.3. Góc lượng giác giữa hai đường thẳng

§15.

Một vài kết quả cơ bản

105

Tài liệu tham khảo

109

Tra cứu theo vần

111

Lời giới thiệu Cùng bạn đọc, Thuở còn là học sinh phổ thông, khi học bài góc lượng giác tôi cảm thấy có gì đó bất ổn nhưng không hiểu vì sao mình lại có cảm giác đó. Sau này, sống bằng nghề dạy Toán và làm toán, tôi mới hiểu rằng cái đồng hồ chính là nguyên nhân của sự bất ổn đó, khái niệm góc lượng giác được định nghĩa thông qua cái đồng hồ nhưng cái đồng hồ lại không phải là khái niệm của hình học phẳng. Trong hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclid phẳng, gọi tắt là hình học phẳng, mọi khái niệm phải được định nghĩa thông qua hai khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng và ba quan hệ cơ bản: liên thuộc, nằm giữa, toàn đẳng. Mải mê với công việc riêng của mình, tôi không hề nghĩ rằng lại có một người quan tâm đến việc định nghĩa góc lượng giác mà không sử dụng cái đồng hồ, nói theo cách của những người làm toán chuyên nghiệp, quan tâm tới vấn đề xây dựng lý thuyết về hướng trong hình học phẳng. Cầm trong tay bản thảo hơn một trăm trang cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng”, hơn một trăm trang mà viết trong hơn mười năm trời, tôi thực sự bất ngờ vì cái tình yêu âm thầm và bền bỉ mà tác giả của nó, TS Nguyễn Minh Hà dành cho Toán học. Với những gì mà tôi biết về TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn đề rất hợp lý của “Hướng trong hình học phẳng”, chắc rằng cuốn sách này là một tài liệu rất đáng đọc cho bất kỳ ai quan tâm tới hình học phẳng, đặc biệt là sinh viên khoa Toán của các trường Đại học sư phạm và Cao đẳng sư phạm. Hãy đọc “Hướng trong hình học phẳng” để xem cái cách mà TS Nguyễn Minh Hà vất cái đồng hồ ra khỏi hình học phẳng. GS. TSKH Nguyễn Văn Khuê

iii

Lời nói đầu Tôi xây căn nhà nhỏ của tôi trong toà nhà lớn của Hilbert và Euclid Hướng là khái niệm quan trọng của hình học. Tuy nhiên, từ thời Euclid cho tới trước thời của Descartes hướng không được coi là khái niệm của hình học. Từ khi có phương pháp toạ độ của Descartes tình trạng trên đã phần nào được giải quyết, bằng các khái niệm ma trận và định thức hướng đã trở thành khái niệm của hình học. Chú ý rằng “phần nào được giải quyết” chứ không phải “hoàn toàn được giải quyết”, khi không có phương pháp toạ độ người ta vẫn chỉ có thể nói tới hướng dưới dạng mô tả. Vì vậy những vấn đề liên quan tới hướng thường bị né tránh, trong toàn bộ tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert [1] không có dòng nào dành cho khái niệm hướng. Không có khái niệm hướng, không thể trình bày một cách chặt chẽ nhiều vấn đề của hình học (góc lượng giác, vectơ, lí thuyết biến hình, . . . ). Không có khái niệm hướng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong học tập, giảng dạy và nghiên cứu hình học. Không có khái niệm hướng, hình học phẳng - một trong những ngành khoa học cổ xưa nhất của nhân loại - tưởng như không còn điều gì đáng bàn sau khi Hilbert viết tác phẩm “Cơ sở hình học” cho đến ngày hôm nay vẫn chưa hoàn chỉnh. Vì sao lại cứ phải né tránh? Liệu có thể nói tới khái niệm hướng mà không cần sử dụng phương pháp toạ độ hay không? Nhiều năm nay những câu hỏi này đã thôi thúc tôi hướng tới mục tiêu: xây dựng lí thuyết về hướng, trước hết là trong hình học phẳng, không sử dụng phương pháp toạ độ, đủ tốt cho việc làm toán. Giờ đây lí thuyết này đã được xây dựng xong. Cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng” mà bạn đang có trong tay chứa đựng toàn bộ lí thuyết đó, nó bao gồm hai chương: Chương I-Hướng của đoạn thẳng; Chương II-Hướng của góc. Tôi dành lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Duy Khánh, người đã có nhiều đóng góp trong việc trình bày và biên tập cuốn sách. Tôi rất mong nhận được những nhận xét quý giá từ độc giả. Nguyễn Minh Hà

Các ký hiệu

A = B: các điểm A , B trùng nhau. A 6= B: các điểm A , B khác nhau. A, B / X Y : hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ X Y . A / X Y / B: hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ X Y . AB: đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểm A, B. AB: độ dài đoạn thẳng AB (nếu không có gì nhầm lẫn). AB: đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B (nếu không có gì nhầm lẫn). a ≡ b: các đường thẳng a, b trùng nhau. a 6≡ b: các đường thẳng a, b không trùng nhau. a ∥ b: các đường thẳng a, b song song. a ∥≡ b: các đường thẳng a, b hoặc song song hoặc trùng nhau. a ⊥ b: các đường thẳng a, b vuông góc.

vii

viii

Các ký hiệu

a 6⊥ b: các đường thẳng a, b không vuông góc. a ∩ b = O : các đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm O .

# »

AB: đoạn thẳng định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là điểm B.

#»

0 : đoạn thẳng định hướng-không.

# »

# » # »

# »

# » # »

AB ↑↑ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng hướng. AB ↑↓ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD ngược hướng.

# » # » # » −−→ AB ∥ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng phương. # »

# »

# » # »

# »

# » # »

AB = CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD bằng nhau. AB 6= CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD khác nhau.

# »

AB: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB (nếu không có gì nhầm lẫn).

# »

[ AB]: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB.

#»

0 : vectơ-không (nếu không có gì nhầm lẫn).

#»

[ 0 ]: vectơ-không.

#» #» #» a ↑↑ b : các vectơ #» a , b cùng hướng. #» #» #» a ↑↓ b : các vectơ #» a , b ngược hướng . #» #» #» a ∥ b : các vectơ #» a , b cùng phương. #» #» #» a ⊥ b : các vectơ #» a , b vuông góc. #» #» #» a = b : các vectơ #» a , b bằng nhau. #» #» #» a 6= b : các vectơ #» a , b khác nhau.

Các ký hiệu

# »

AB: tia có gốc là điểm A và đi qua điểm B (nếu không có gì nhầm lẫn). I x ↑↑ J y: các tia I x, J y cùng hướng. I x ↑↓ J y: các tia I x, J y ngược hướng. I x ≡ J y: các tia I x, J y trùng nhau. I x ∥ J y: các tia I x, J y cùng phương. I x ⊥ J y: các tia I x, J y vuông góc. I x ⊂ J y: tia I x thuộc tia J y. Ox0 : tia đối của tia Ox. x0 x: đường thẳng chứa hai tia Ox và Ox0 . yx: đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox và O y. y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, O y. xO

# » # » AOB: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O A, OB. # » y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O AO A, O y. # » : góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, OB xOB . (Ox, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là tia O y.

# » # »

# »

(O A, OB): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối # » là tia OB. (O A, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối là tia O y.

# »

(Ox, OB) góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là # » tia OB.

Các ký hiệu

(I x, I y) ↑↑ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) cùng

hướng. (I x, I y) ↑↓ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) ngược

hướng. 4 ABC : tam giác ABC . 4 ABC ↑↑ 4 X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z cùng hướng. 4 ABC ↑↓ 4 X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z ngược hướng.

(Ox, O y)k : góc lượng giác giữa hai tia có góc định hướng giữa hai tia sinh là (Ox, O y) và có chu kì là k.

#» #» 〈 #» a , b 〉: góc giữa hai vectơ có các cạnh là các vectơ #» a, b. #» ( #» a , b ): góc định hướng giữa hai vectơ có cạnh đầu là vectơ #» a , cạnh cuối #» là vectơ b . #» #» #» #» ( #» a , b ) ↑↑ ( #» c , d ): các góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) cùng hướng. #»

#»

( #» a , b ) ↑↓ ( #» c , d ): góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) ngược hướng.

#»

( #» a , b )k : góc lượng giác giữa hai vectơ có góc định hướng giữa hai vectơ #» sinh là ( #» a , b ) và có chu kì là k. Ù AB: cung có hai đầu mút là các điểm A, B. å AB: cung định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là điểm B. å å : các cung định hướng å å cùng hướng. AB ↑↑ CD AB, CD å å : các cung định hướng å å ngược hướng. AB ↑↓ CD AB, CD å AB k : cung lượng giác có cung định hướng sinh là å AB và có chu kì là k.

〈a, b〉: góc giữa hai đường thẳng có các cạnh là các đường thẳng a, b.

Các ký hiệu

(a, b): góc định hướng giữa hai đường thẳng có cạnh đầu là đường thẳng a, cạnh cuối là đường thẳng b. (a, b) ↑↑ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) cùng

hướng. (a, b) ↑↓ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) ngược

hướng. (a, b)k : góc lượng giác giữa hai đường thẳng có góc định hướng giữa hai đường thẳng sinh là (a, b) và có chu kì là k.

: Kết thúc một phép chứng minh.

Chương 1

Hướng của đoạn thẳng

1. Hình thang và hình bình hành Theo quan niệm thông thường, hình thang và hình bình hành là hai khái niệm khác nhau và được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song và bộ hai cạnh đối còn lại thuộc hai đường thẳng không song song. Định nghĩa 2. Hình bình hành là tứ giác lồi mà mỗi bộ hai cạnh đối cùng thuộc hai đường thẳng song song. Định nghĩa 1 có vẻ rõ ràng nhưng lại không phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp. Do đó nó không thuận tiện cho việc làm toán. Vì vậy, gần đây, trong nhiều tài liệu người ta định nghĩa hình thang như sau. Định nghĩa 3. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song. Trong định nghĩa 3, bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang có thể thuộc hai đường thẳng hoặc song song hoặc không song song. Do đó hình bình hành là một hình thang đặc biệt. 1

1. Hướng của đoạn thẳng

Định nghĩa 3 phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp. Vì vậy nó thuận tiện cho việc làm toán. Do đó nó được coi là định nghĩa chính thống và chính thức được sử dụng trong cuốn sách này. Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song của hình thang được gọi là cạnh đáy của nó. Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang được gọi là cạnh bên của nó. Do đó, đối với hình bình hành, một hình thang đặc biệt, ta có hai cách quan niệm về cạnh đáy và cạnh bên. Cụ thể, với hình bình hành ABCD , nếu coi AB, CD là cạnh đáy thì AD, CB là cạnh bên, nếu coi AD, CB là cạnh đáy thì AB, CD là cạnh bên. Theo cách kí hiệu thông thường, một tứ giác lồi K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X được kí hiệu là ABCD , trong đó (A, B, C, D) là một hoán vị của (X , Y , Z, T) và (AB, BC, CD, D A) là một hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X ). Do đó K được kí hiệu bởi một trong tám cách sau: X Y ZT, Y ZT X , ZT X Y , T X Y Z, X T ZY , T ZY X , ZY X T, Y X T Z . Theo thói quen, cách kí hiệu trên cũng được dùng để kí hiệu hình thang K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X . Tuy nhiên, với cách kí hiệu này ta không thể biết được cạnh nào trong bốn cạnh X Y , Y Z, ZT, T X là cạnh đáy của K . Đó là nguyên nhân của nhiều bất lợi trong việc làm toán. Vì vậy, trong cuốn sách này hình thang K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T , bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X và hai cạnh đáy là X Y , ZT được kí hiệu là ABCD , trong đó (A, B, C, D) là một hoán vị của (X , Y , Z, T), (AB, BC, CD, D A) là một hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X ) và (AB, CD) là một hoán vị của (X Y , ZT). Do đó K được kí hiệu bởi một trong bốn cách sau: X Y ZT, ZT X Y , Y X T Z, T ZY X . Chú ý 4. 1) Nếu một trong bốn tứ giác lồi ABCD, CD AB, BADC, DCBA là hình thang thì cả bốn cùng là hình thang. 2) Nếu một trong tám tứ giác lồi ABCD, BCD A, CD AB, D ABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC là hình bình hành thì cả tám cùng là hình bình hành.

2. Đoạn thẳng Trong mục này, một số kiến thức cơ bản về đoạn thẳng được nhắc lại. Định nghĩa 5. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau A, B được gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là AB hoặc kí hiệu là BA . −−→ −−→

Định nghĩa 6. Giao của các tia AB, BA được gọi là miền trong của đoạn thẳng AB.

2. Đoạn thẳng

Định nghĩa 7. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau A, B cũng được gọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau: AB, BA, A A, BB. Định nghĩa 8. Miền trong của đoạn thẳng-không là tập hợp rỗng. Các điểm A, B được gọi là đầu mút của đoạn thẳng AB. Với sự xuất hiện của khái niệm đoạn thẳng-không, thuật ngữ đoạn thẳng mang một ý nghĩa mới: đoạn thẳng có thể là đoạn thẳng-khác không (hai đầu mút khác nhau) và cũng có thể là đoạn thẳng-không (hai đầu mút trùng nhau). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm đoạn thẳng, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: đoạn thẳng-khác không, đoạn thẳng-không. Chú ý 9. 1) Gốc O của tia Ox không thuộc tia Ox. 2) Hình gồm tia Ox và điểm O được gọi là tia Ox mở rộng. 3) Các đầu mút của đoạn thẳng AB không thuộc miền trong của đoạn thẳng AB. Nếu ta qui ước một đoạn thẳng nào đó có độ dài bằng 1 thì đối với mỗi đoạn thẳng tồn tại duy nhất một số thực dương biểu thị độ dài của đoạn thẳng đó. Nếu không có gì nhầm lẫn thì độ dài đoạn thẳng AB được kí hiệu đơn giản là AB. Chú ý 10. AB = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng-không. Định nghĩa 11. Hai đoạn thẳng AB, CD được gọi là bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau. Để biểu thị hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau, ta viết AB = CD . Định lí 12. Nếu điểm C hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong hai đầu mút của đoạn thẳng AB thì AB = AC + CB (hệ thức Chasles cho đoạn thẳng). Trong định lí 12, đoạn thẳng AB có thể là đoạn thẳng-không. Chú ý 13. 1) Thay cho cách nói điểm C thuộc miền trong của đoạn thẳng AB ta còn có các cách nói đơn giản hơn: điểm C thuộc đoạn thẳng AB, điểm C nằm trong đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa các điểm A, B. 2) Nếu điểm C thuộc đường thẳng AB, không nằm trong đoạn thẳng AB, khác các điểm A, B thì ta nói điểm C nằm ngoài đoạn thẳng AB.

1. Hướng của đoạn thẳng

Định nghĩa 14. Hình thang có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳngkhông được gọi là hình thang-không. A

h.1

C=D

h.2

Tam giác ABC không phải là hình thang-không nhưng tứ giác ABCD với C = D là hình thang-không có một cạnh đáy là đoạn thẳng-khác không AB và một cạnh đáy là đoạn thẳng-không CD (h.1, h.2). Với sự xuất hiện của khái niệm hình thang-không, thuật ngữ hình thang mang một ý nghĩa mới: hình thang có thể là hình thang-khác không (hai cạnh đáy là những đoạn thẳng-khác không) và cũng có thể là hình thang-không (có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳng-không). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm hình thang, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: hình thang-khác không, hình thang-không.

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó Trong mục 2, khi định nghĩa đoạn thẳng ta không phân biệt thứ tự hai đầu mút của nó. Trong mục này, ta làm quen với một khái niệm mới: đoạn thẳng mà thứ tự hai đầu mút của nó phân biệt. 3.1. Các định nghĩa. Định nghĩa 15. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) được gọi là # » đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là AB. # » Khi các điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB được gọi là đoạn thẳng định hướng-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách # » # » # » sau: BA , A A , BB. Các điểm A, B theo thứ tự được gọi là đầu mút đầu, đầu mút cuối # » của đoạn thẳng định hướng AB. Khi cần thiết, thay cho thuật ngữ đoạn thẳng định hướng ta có thể nhấn mạnh bằng các thuật ngữ: đoạn thẳng định hướng-khác không

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

(hai đầu mút khác nhau); đoạn thẳng định hướng-không (hai đầu mút trùng nhau). # » Định nghĩa 16. Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB là độ dài của đoạn thẳng AB. # » # » Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là | AB|. Vậy # » | AB| = AB. # » # » Chú ý 17. | AB| = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng định hướng-không. Đoạn thẳng AB được gọi là đoạn thẳng sinh của đoạn thẳng định # » hướng AB. Vậy độ dài của đoạn thẳng định hướng là độ dài của đoạn thẳng sinh của đoạn thẳng định hướng đó. Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta chứng minh bổ đề 20 mà còn có vai trò quan trọng trong nhiều tình huống khác. Bổ đề 18. (Bổ đề hình thang) Nếu AB ∥ CD thì 1) Hoặc A, D / BC hoặc A / BC / D . 2) A, D / BC khi và chỉ khi ABCD là hình thang. 3) A / BC / D khi và chỉ khi ABDC là hình thang. Chứng minh. 1) Hiển nhiên. 2) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1). Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A, B và nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, D (h.3). E

B (∆)

h.3

Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. AD , BC song song. Hiển nhiên B, C / AD . Trường hợp 2. AD , BC không song song. Gọi E là giao điểm của AD và BC . Vì A, D / BC nên E không thuộc đoạn thẳng AD . Kết hợp với

1. Hướng của đoạn thẳng

đoạn thẳng AD thuộc (∆), suy ra E không thuộc (∆). Từ đó, chú ý rằng đoạn thẳng BC thuộc (∆), suy ra E không thuộc đoạn thẳng BC . Điều đó có nghĩa là B, C / AD . Tóm lại, trong cả hai trường hợp ta đều có B, C / AD (2). Từ (1) và (2), chú ý rằng A, D / BC , suy ra ABCD là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD , suy ra ABCD là hình thang. Điều kiện đủ. Vì ABCD là hình thang nên ABCD là tứ giác lồi. Do đó A, D / BC . 3) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1). Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A , B và nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , D . Vì A / BC / D nên AD và BC cắt nhau. Gọi F là giao điểm của AD và BC (h.4). B

(∆)

h.4

Vì A / BC / D nên F thuộc đoạn thẳng AD . Do đó A, F / BD và D, F / AC (2). Vì F thuộc đoạn thẳng AD nên F thuộc (∆). Từ đó chú ý rằng đoạn thẳng BC thuộc (∆), suy ra F thuộc đoạn thẳng BC . Do đó C, F / BD và B, F / AC (3). Từ (2) và (3) suy ra A, C / BD và B, D / AC (4). Từ (1) và (4) suy ra ABDC là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD , suy ra ABDC là hình thang. Điều kiện đủ. Vì ABDC là hình thang nên ABDC là tứ giác lồi. Do đó A / BC / D . Chú ý 19. Nửa mặt phẳng bờ a và đường thẳng a không có điểm chung. Bổ đề 20. (Bổ đề ba hình thang) Nếu ba đường thẳng AB, CD, X Y đôi một không trùng nhau và ABY X , DCY X là hình thang thì ABCD cũng là hình thang.

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

Chứng minh. Gọi Z là giao điểm của X Y và BC . Có bốn trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. Z = Y (h.5). B

Y =Z

h.5

Vì Z = Y nên Y thuộc BC . Do đó BY ≡ BC ≡ CY . Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY và D, X / CY . Vậy A, D / BC (1). Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y . Kết hợp với AB 6≡ CD , ta có AB ∥ CD (2). Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCD là hình thang. Trường hợp 2. Z = X (h.6). B

X =Z

h.6

Vì Z = X nên X thuộc BC . Do đó BX ≡ BC ≡ C X . Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo bổ đề 18, A / BX / Y và D / C X / Y . Vậy A, D / BC (1). Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y . Kết hợp với AB 6≡ CD , ta có AB ∥ CD (2). Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCD là hình thang. # » Trường hợp 3. Z thuộc tia X Y và Z 6= Y (h.7).

1. Hướng của đoạn thẳng

h.7

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo chú ý 4, BA X Y và CD X Y cũng là hình thang. Do đó, theo bổ đề 18, B, Y / A X và C, Y / D X . # » Từ đó, chú ý rằng Z thuộc tia X Y , suy ra B, Z / A X và C, Z / D X . Kết hợp với AB ∥ X Z và CD ∥ X Z , theo bổ đề 18, suy ra BA X Z và CD X Z là hình thang. Vậy, lại theo chú ý 4, ABZ X và DCZ X cũng là hình thang. Do đó, theo trường hợp 1, ABCD là hình thang. # » Trường hợp 4. Z thuộc tia đối của tia X Y (h.8). B

h.8

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY và # » D, X / CY . Từ đó, chú ý rằng Z thuộc tia đối của tia X Y , suy ra A, Z / BY và D, Z / CY . Kết hợp với AB ∥ Y Z và DC ∥ Y Z , lại theo bổ đề 18, suy ra ABY Z và DCY Z cũng là hình thang. Do đó, theo trường hợp 2, ABCD là hình thang. Bổ đề 20 khẳng định sự hợp lý của các định nghĩa 21, 22. # » # » Định nghĩa 21. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là cùng hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho các tứ giác ABY X và CDY X là hình thang (có thể là hình thang-không) (h.9, h.10, h.11, h.12, h.13, h.14).

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

h.9

h.10 C=D

C=D

h.12

h.11

A=B=C=D

A=B C=D

h.14

h.13

# » # » # » # » Để biểu thị AB, CD cùng hướng, ta viết AB ↑↑ CD . # » # » Định nghĩa 22. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là ngược hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho các tứ giác ABY X và CD X Y là hình thang (có thể là hình thang-không) (h.15, h.16, h.17, h.18, h.19, h.20). B

h.15

h.16

1. Hướng của đoạn thẳng

C=D

h.17

h.18

A=B=C=D

A=B C=D

h.19

h.20

# » # » # » # » Để biểu thị AB, CD ngược hướng, ta viết AB ↑↓ CD . # » # » Định nghĩa 23. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. # » # » # » # » Để biểu thị AB, CD cùng phương, ta viết AB ∥ CD . # » # » Định nghĩa 24. Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. # » # » # » # » # » Để biểu thị AB, CD bằng nhau (khác nhau), ta viết AB = CD ( AB 6= # » CD ). 3.2. Các định lí. Định lí 25. Đoạn thẳng định hướng-không cùng hướng với mọi đoạn thẳng định hướng. # » # » Chứng minh. Giả sử A A là đoạn thẳng định hướng-không và BC là đoạn thẳng định hướng bất kỳ. Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. B = C (h.21). Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và B = C . Vì A AY X và # » # » BCY X cùng là hình thang-không nên A A ↑↑ BC .

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

A=A

B=C B

h.22

h.21

Trường hợp 2. B 6= C (h.22). Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và song song với BC sao cho BCY X là hình thang. Vì A AY X là hình thang-không và BCY X là # » # » hình thang nên A A ↑↑ BC . Định lí 26. Đoạn thẳng định hướng-không ngược hướng với mọi đoạn thẳng định hướng. # » # » Chứng minh. Giả sử A A là đoạn thẳng định hướng-không và BC là đoạn thẳng định hướng bất kỳ. Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. B = C (h.23). Dựng đường thẳng X Y không đi qua A và B = C . Vì A AY X và BC X Y # » # » cùng là hình thang-không nên A A ↑↓ BC . A=A

A=A

B=C C

h.23

h.24

Trường hợp 2. B 6= C (h.24). Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A và song song với BC sao cho BC X Y là hình thang. Vì A AY X là hình thang-không và BC X Y là # » # » hình thang nên A A ↑↓ BC . Định lí 27. Đoạn thẳng định hướng-không cùng phương với mọi đoạn thẳng định hướng.

1. Hướng của đoạn thẳng

Định lí 27 là hệ quả trực tiếp của các định lí 25, 26. Định lí 28. Các đoạn thẳng định hướng-không bằng nhau Chứng minh. Theo định lí 25, các đoạn thẳng định hướng-không cùng hướng. Từ đó, theo chú ý 10, suy ra các đoạn thẳng định hướng-không bằng nhau. Chú ý 29. Bởi định lí 28, các đoạn thẳng định hướng-không cùng được # » #» #» ký hiệu là 0 . Vậy, với mọi điểm A , A A = 0 . Định lí 30. Với hai đường thẳng AB và CD không trùng nhau, ta có # » # » ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB ↑↑ DC . Chứng minh. Điều kiện cần. Dựng đường thẳng ∆ song song với các đường thẳng AB, CD và cắt các đoạn thẳng AD , BC tương ứng tại X , Y (h.25). B

∆

h.25

Vì ABCD là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, D / BC . Từ đó, chú ý rằng X , Y theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AD , BC , suy ra A, X / BY và D, X / CY . Kết hợp với AB ∥ Y X và DC ∥ Y X , lại theo bổ đề 18, suy ra # » # » ABY X và DCY X là hình thang. Vậy AB ↑↑ DC . # » # » Điều kiện đủ. Vì AB ↑↑ DC nên tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho ABY X và DCY X là hình thang. Từ đó, chú ý rằng các đường thẳng AB, CD, X Y đôi một khác nhau, theo bổ đề 20, suy ra ABCD là hình thang. Định lí 31. Với hai đường thẳng AB, CD , ta có AB ∥≡ CD khi và chỉ khi # » # » AB ∥ CD . Chứng minh. Điều kiện cần. Dựng đường thẳng ∆ song song với các đường thẳng AB, CD . Trên ∆ lấy các điểm X , Y sao cho ABY X là hình thang (h.26, h.27, h.28, h.29).

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

Theo bổ đề 18, hoặc CDY X hoặc CD X Y là hình thang. Do đó, theo # » # » # » # » # » # » định lí 30, hoặc AB ↑↑ CD hoặc AB ↑↓ CD . Vậy AB ∥ CD . B

∆

∆ X

h.26

h.27 D

∆

∆ X

h.28

h.29

# » # » # » # » # » # » Điều kiện đủ. Vì AB ∥ CD nên hoặc AB ↑↑ CD hoặc AB ↑↓ CD . Do đó tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho hoặc ABY X và CDY X là hình thang hoặc ABY X và CD X Y là hình thang. Điều đó có nghĩa là tồn tại đường thẳng X Y sao cho AB ∥ X Y và CD ∥ X Y . Vậy AB ∥≡ CD . Định lí 32. Với hai điểm A, B, ta có # » # » 1) AB ↑↑ AB. # » # » 2) AB ↑↓ BA . Chứng minh. Nhờ các định lí 25, 26, ta chỉ cần chứng minh định lí 32 trong trường hợp A 6= B. Dựng đoạn thẳng-khác không X Y sao cho ABY X là hình thang (h.30).

1. Hướng của đoạn thẳng

h.30

1) Vì ABY X là hình thang nên ABY X và ABY X là hình thang. Do # » # » đó AB ↑↑ AB. 2) Vì ABY X là hình thang nên, theo chú ý 4, ABY X và BA X Y là # » # » hình thang. Do đó AB ↑↓ BA . # » # » # » # » Định lí 33. Với hai đoạn thẳng định hướng AB, CD , ta có AB ↑↑ CD khi # » # » và chỉ khi AB ↑↓ DC . Chứng minh. Nhờ các định lí 25, 26, ta chỉ cần chứng minh định lí 33 # » #» # » #» trong trường hợp AB 6= 0 và CD 6= 0 . B

h.31

Các điều kiện sau tương đương (h.31). # » # » 1) AB ↑↑ CD . 2) Tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho ABY X và CDY X là hình thang. 3) Tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho ABY X và DC X Y là hình thang. # » # » 4) AB ↑↓ DC . Chú ý, hiển nhiên 1 ⇔ 2; theo chú ý 4, 2 ⇔ 3; hiển nhiên, 3 ⇔ 4.

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

Định lí 34. Nếu ba điểm A, B, C đôi một khác nhau thì # » # » 1) C nằm ngoài đoạn thẳng AB khi và chỉ khi C A ↑↑ CB. # » # » 2) C nằm trong đoạn thẳng AB khi và chỉ khi C A ↑↓ CB. Chứng minh. 1) Điều kiện cần. Không mất tính tổng quát giả sử C # » thuộc tia đối của tia AB. Dựng đoạn thẳng-khác không X Y sao cho CBY X là hình thang (h.32). Vì CBY X là hình thang nên, theo chú ý 4, BC X Y cũng là hình # » thang. Do đó, theo bổ đề 18, B, Y / C X . Vì C thuộc tia đối của tia AB nên A, B / C X . Vậy A, Y / C X . Từ đó, chú ý rằng C A ∥ X Y , lại theo bổ đề 18, suy ra AC X Y là hình thang. Lại theo chú ý 4, C A X Y cũng là hình thang. C

h.32

# » Tóm lại CBY X và C AY X là hình thang. Điều đó có nghĩa là C A ↑↑ CB. # » # » Điều kiện đủ. Vì C A ↑↑ CB nên tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho C AY X và CBY X là hình thang (h.32). Do đó, theo chú ý 4, AC X Y và BC X Y cũng là hình thang. Từ đó, theo bổ đề 18, suy ra A, Y / C X và B, Y / C X . Vậy A, B / C X . Kết hợp với C A ∥ X Y ∥ CB, suy ra C thuộc đường thẳng AB nhưng không nằm trong đoạn thẳng AB. Nói cách khác, theo chú ý 13, C nằm ngoài đoạn thẳng AB. # »

2) Điều kiện cần. Dựng đoạn thẳng-khác không X Y sao cho C A X Y là hình thang (h.33). Vì C A X Y là hình thang nên, theo chú ý 4, ACY X cũng là hình thang. Do đó, theo bổ đề 18, A / C X / Y . Vì C thuộc đoạn thẳng AB nên A / C X / B. Vậy B, Y / C X . Kết hợp với CB ∥ X Y , lại theo bổ đề 18, suy ra BC X Y là hình thang. Lại theo chú ý 4, CBY X cũng là hình thang.

1. Hướng của đoạn thẳng

h.33

Tóm lại C A X Y và CBY X cùng là hình thang. Điều đó có nghĩa là # » # » # » Điều kiện đủ. Vì C A ↑↓ CB nên tồn tại đoạn thẳng-khác không X Y sao cho C A X Y và CBY X là hình thang (h.33). Do đó, theo chú ý 4, ACY X và BC X Y cũng là hình thang. Từ đó, theo bổ đề 18, suy ra A / C X / Y và B, Y / C X . Vậy A / C X / B. Kết hợp với C A ∥ X Y ∥ CB, suy ra C thuộc đoạn thẳng AB. # » # » # » Định lí 35. Với ba đoạn thẳng định hướng-khác không AB, CD, EF , ta có # » # » # » # » # » # » 1) Nếu AB ↑↑ CD ; CD ↑↑ EF thì AB ↑↑ EF . # » # » # » # » # » # » 2) Nếu AB ↑↑ CD ; CD ↑↓ EF thì AB ↑↓ EF . # » # » # » # » # » # » 3) Nếu AB ↑↓ CD ; CD ↑↓ EF thì AB ↑↑ EF . # »

C A ↑↓ CB.

# » # » # » # » # » # » # » # » Chứng minh. 1) Vì AB ↑↑ CD ; CD ↑↑ EF nên AB ∥ CD ; CD ∥ EF . Do đó, theo định lí 31, các đường thẳng AB, CD, EF đôi một hoặc song song hoặc trùng nhau. Dựng đường thẳng X Y song song với các đường thẳng AB, CD, EF (h.34). Y

h.34

3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

Theo bổ đề 18, hoặc ABY X là hình thang hoặc ABX Y là hình thang, hoặc CDY X là hình thang hoặc CD X Y là hình thang, hoặc EFY X là hình thang hoặc EF X Y là hình thang. Không mất tính tổng quát giả sử ABY X là hình thang (1). # » # » Nếu CD X Y là hình thang thì AB ↑↓ CD , mâu thuẫn. Vậy CDY X # » # » là hình thang. Do đó, nếu EF X Y là hình thang thì CD ↑↓ EF , lại mâu thuẫn. Vậy EFY X là hình thang (2). # » # » Từ (1) và (2), suy ra AB ↑↑ EF . # » # » # » # » # » # » # » # » 2) Vì AB ↑↑ CD ; CD ↑↓ EF nên, theo định lí 33, AB ↑↑ CD ; CD ↑↑ FE . # » # » # » # » Do đó, theo phần 1, AB ↑↑ FE . Vậy, lại theo định lí 33, AB ↑↓ EF . # » # » # » # » # » # » # » # » 3) Vì AB ↑↓ CD ; CD ↑↓ EF nên, theo định lí 33, AB ↑↑ DC ; DC ↑↑ EF . # » # » Do đó, theo phần 1, AB ↑↑ EF . 3.3. Hướng của đoạn thẳng định hướng. Theo các định lí 32, 35, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 36. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là hướng của đoạn thẳng định hướng. # » Hướng của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng AB # » được gọi đơn giản là hướng của đoạn thẳng định hướng AB. Thuật ngữ hướng của đoạn thẳng định hướng giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 21. Cụ thể, hai đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của đoạn thẳng định hướng. # » # » Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng định hướng-khác không ngược hướng thì, theo định lí 35, mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của # » đoạn thẳng định hướng AB ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướng # » thuộc hướng của đoạn thẳng định hướng CD . Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 37. Hai hướng của đoạn thẳng định hướng được gọi là ngược nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳng định hướng này và mỗi một đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳng định hướng kia ngược hướng. Theo định lí 31, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tương đương.

1. Hướng của đoạn thẳng

Định nghĩa 38. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là phương của đoạn thẳng định hướng. # »

Phương của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng # »

AB được gọi đơn giản là phương của đoạn thẳng định hướng AB.

Thuật ngữ phương của đoạn thẳng định hướng giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng phương trong định nghĩa 23. Cụ thể, hai đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là cùng phương nếu chúng cùng thuộc một phương của đoạn thẳng định hướng. Mỗi phương của đoạn thẳng định hướng chứa hai hướng của đoạn thẳng định hướng và đó là hai hướng của đoạn thẳng định hướng ngược nhau.

4. Vectơ, hướng và phương của nó Sử dụng các khái niệm: hai đoạn thẳng định hướng cùng hướng, hai đoạn thẳng định hướng ngược hướng, dễ dàng đi đến các khái niệm: hướng của vectơ, phương của vectơ. 4.1. Các định nghĩa. Theo các định lí 32, 35, chú ý rằng trong tập hợp các đoạn thẳng quan hệ bằng nhau là quan hệ tương đương, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng quan hệ bằng nhau cũng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 39. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ bằng nhau trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng được gọi là vectơ. # » # » Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là [ AB]. Khi không quan tâm tới các đầu mút của các đoạn thẳng định hướng thuộc # » # » # » vectơ, thay cho việc kí hiệu vectơ bởi các kí hiệu [ AB], [CD], [EF]..., người #» ta còn kí hiệu vectơ bởi các kí hiệu [ #» a ], [ b ], [ #» c ]... Định nghĩa 40. Vectơ chứa các đoạn thẳng định hướng-không được gọi #» là vectơ-không, kí hiệu là [ 0 ]. #» Định nghĩa 41. Hai vectơ [ #» a ], [ b ] được gọi là cùng hướng nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này cùng hướng với mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ kia. #» Để biểu thị [ #» a ], [ b ] cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 21.

4. Vectơ, hướng và phương của nó

#» Định nghĩa 42. Hai vectơ [ #» a ], [ b ] được gọi là ngược hướng nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ kia. #» Để biểu thị [ #» a ], [ b ] ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 22. #» Định nghĩa 43. Hai vectơ [ #» a ], [ b ] được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. #» Để biểu thị [ #» a ], [ b ] cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 23. Định nghĩa 44. Độ dài của vectơ là độ dài của các đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ. Chú ý 45. 1) Các đoạn thẳng định hướng thuộc cùng một vectơ có độ dài bằng nhau. 2) Độ dài của vectơ [ #» a ] được kí hiệu là |[ #» a ]| . 3) Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. #» Định nghĩa 46. Hai vectơ [ #» a ], [ b ] được gọi là bằng nhau (khác nhau), nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này bằng (khác) mỗi đoạn thẳng đinh hướng thuộc vectơ kia. #» Để biểu thị [ #» a ], [ b ] bằng nhau (khác nhau) ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 24. #» Định nghĩa 47. Hai vectơ [ #» a ], [ b ] được gọi là đối nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này và mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ kia ngược hướng và có độ dài bằng nhau. #» #» Để biểu thị [ #» a ], [ b ] đối nhau, ta viết [ #» a ] = −[ b ]. 4.2. Các định lí. # » # » Định lí 48. Với hai đoạn thẳng định hướng AB, CD , ta có # » # » # » # » 1) AB ↑↑ CD khi và chỉ khi [ AB] ↑↑ [CD]. # » # » # » # » 2) AB ↑↓ CD khi và chỉ khi [ AB] ↑↓ [CD]. # » # » # » # » 3) AB ∥ CD khi và chỉ khi [ AB] ∥ [CD]. # » # » # » # » 4) AB = CD khi và chỉ khi [ AB] = [CD]. Định lí 48 là hệ quả trực tiếp của định lí 35.

1. Hướng của đoạn thẳng

#» Định lí 49. Vectơ [ 0 ] cùng hướng với mọi vectơ. Định lí 49 là hệ quả trực tiếp của các định lí 25, 48. #» Định lí 50. Vectơ [ 0 ] ngược hướng với mọi vectơ. Định lí 50 là hệ quả trực tiếp của các định lí 26, 48. #» Định lí 51. Vectơ [ 0 ] cùng phương với mọi vectơ. Định lí 51 là hệ quả trực tiếp của các định lí 27, 48. Định lí 52. Với hai điểm A, B, ta có # » # » 1) [ AB] ↑↑ [ AB]. # » # » 2) [ AB] ↑↓ [BA]. Định lí 51 là hệ quả trực tiếp của các định lí 32, 48. # » # » # » # » Định lí 53. Với hai vectơ [ AB], [CD], ta có [ AB] ↑↑ [CD] khi và chỉ khi # » # » [ AB] ↑↓ [DC]. Định lí 53 là hệ quả trực tiếp của các định lí 33, 48. #» Định lí 54. Với ba vectơ-khác không [ #» a ], [ b ], [ #» c ], ta có #» #» 1) Nếu [ #» a ] ↑↑ [ b ]; [ b ] ↑↑ [ #» c ] thì [ #» a ] ↑↑ [ #» c ]. #» #» #» #» #» #» 2) Nếu [ a ] ↑↑ [ b ]; [ b ] ↑↓ [ c ] thì [ a ] ↑↓ [ c ]. #» #» 3) Nếu [ #» a ] ↑↓ [ b ]; [ b ] ↑↓ [ #» c ] thì [ #» a ] ↑↑ [ #» c ].

Định lí 54 là hệ quả trực tiếp của các định lí 35, 48. 4.3. Hướng và phương của vectơ. Theo các định lí 52, 54, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các vectơ-khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 55. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là hướng của vectơ. Hướng của vectơ chứa vectơ [ #» a ] được gọi đơn giản là hướng của vectơ #» [ a ]. Thuật ngữ hướng của vectơ giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 41. Cụ thể, hai vectơ-khác không cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của vectơ. #» Nếu [ #» a ] và [ b ] là hai vectơ ngược hướng thì, theo định lí 54, mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ [ #» a ] ngược hướng với mỗi vectơ thuộc hướng #» của vectơ [ b ]. Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau.

5. Hướng và phương của tia

Định nghĩa 56. Hai hướng của vectơ được gọi là ngược nhau nếu mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ này và mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ kia ngược hướng. Theo các định lí 52, 54, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các vectơkhác không quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 57. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là phương của vectơ. Phương của vectơ chứa vectơ [ #» a ] được gọi đơn giản là phương của vectơ [ #» a] . Thuật ngữ phương của vectơ giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng phương trong định nghĩa 43. Cụ thể, hai vectơ-khác không cùng phương nếu chúng cùng thuộc một phương của vectơ. Mỗi phương của vectơ chứa hai hướng của vectơ và đó là hai hướng của vectơ ngược nhau. # » Chú ý 58. Nếu không có gì nhầm lẫn thì vectơ [ AB] được kí hiệu đơn # » giản là AB. Tương tự vectơ [ #» a ] được kí hiệu đơn giản là #» a.

5. Hướng và phương của tia Tiếp tục sử dụng các khái niệm: hai đoạn thẳng định hướng cùng hướng, hai đoạn thẳng định hướng ngược hướng, dễ dàng đi đến các khái niệm: hướng của tia, phương của tia. 5.1. Các định nghĩa. Cho tia I x và điểm A thuộc I x. Theo chú ý 9, A khác I . Do đó, theo định #» lí 34, hướng của đoạn thẳng định hướng I A không phụ thuộc vào cách chọn điểm A (h.35). I

h.35

#» Nói cách khác, khi A thay đổi trên tia I x đoạn thẳng định hướng I A luôn thuộc một hướng của đoạn thẳng định hướng. Nhận xét này khẳng định sự hợp lý của định nghĩa sau. Định nghĩa 59. Hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với tia #» I x là hướng của đoạn thẳng định hướng I A với A thuộc tia I x. Định nghĩa 60. Hai tia I x, J y được gọi là cùng hướng nếu các hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng bằng nhau.

1. Hướng của đoạn thẳng

Để biểu thị I x, J y cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách ký hiệu sau định nghĩa 21. Định nghĩa 61. Hai tia I x, J y được gọi là ngược hướng nếu các hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng ngược nhau. Để biểu thị I x, J y ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu định nghĩa 22. Định nghĩa 62. Hai tia I x, J y được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. Để biểu thị I x, J y cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 23. 5.2. Các định lí. Định lí 63. Với hai tia I x, J y, các mệnh đề sau tương đương (h.36). 1) I x ↑↑ I y. 2) Với mọi điểm A thuộc tia I x, với mọi điểm B thuộc tia J y, ta có #» # » I A ↑↑ JB. 3) Tồn tại điểm A thuộc tia I x, tồn tại điểm B thuộc tia J y sao cho #» # » I A ↑↑ JB. I

h.36

Định lí 63 là hệ quả trực tiếp của định lí 35. Định lí 64. Với hai tia I x, J y, các mệnh đề sau tương đương (h.37). 1) I x ↑↓ J y. 2) Với mọi điểm A thuộc tia I x, với mọi điểm B thuộc tia J y, ta có #» # » I A ↑↓ JB. 3) Tồn tại điểm A thuộc tia I x, tồn tại điểm B thuộc tia J y sao cho #» # » I A ↑↓ JB.

5. Hướng và phương của tia

h.37

Định lí 64 là hệ quả trực tiếp của định lí 35. Định lí 65. Với mọi tia I x, ta có 1) I x ↑↑ I x. 2) I x ↑↓ I x0 , ở đây, I x0 là tia đối của tia I x. Định lí 65 là hệ quả của các định lí 34, 63, 64. Chú ý 66. Nếu không có gì nhầm lẫn thì tia đối của tia I x được kí hiệu đơn giản là I x0 . Đương nhiên tia đối của tia I x0 là tia I x (không được hiểu là tia I x00 ). Định lí 67. Với hai tia I x, J y, ta có I x ↑↑ J y khi và chỉ khi I x ↑↓ J y0 . Định lí 67 là hệ quả trực tiếp của các định lí 34, 35, 63, 64. Định lí 68. Với ba tia I x, J y, K z, ta có 1) Nếu I x ↑↑ J y; J y ↑↑ K z thì I x ↑↑ K z. 2) Nếu I x ↑↑ J y; J y ↑↓ K z thì I x ↑↓ K z. 3) Nếu I x ↑↓ J y; J y ↑↓ K z thì I x ↑↑ K z. Định lí 68 là hệ quả trực tiếp của các định lí 35, 63, 64. Định lí 69. Nếu hai tia I x, J y thuộc hai đường thẳng song song thì 1) I x ↑↑ J y khi và chỉ khi I x, J y cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ I J. 2) I x ↑↓ J y khi và chỉ khi I x, J y thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ I J . Chứng minh. 1) Lấy X ∈ I x; Y ∈ J y. Các điều kiện sau tương đương (h.38). 1) I x ↑↑ J y. #» # » 2) I X ↑↑ JY . 3) I X Y J là hình thang.

1. Hướng của đoạn thẳng

4) X I JY là hình thang. 5) X , Y / I J . 6) I x, J y cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ I J . Chú ý, theo định lí 63, 1 ⇔ 2; theo định lí 30, 2 ⇔ 3; theo chú ý 4, 3 ⇔ 4; theo bổ đề 18, 4 ⇔ 5; hiển nhiên 5 ⇔ 6. I

J Y

h.38

h.39

2) Lấy X ∈ I x; Y ∈ J y. Các điều kiện sau tương đương (h.39). 1) I x ↑↓ J y. #» # » 2) I X ↑↓ JY . #» # » 3) I X ↑↑ Y J . 4) I X JY là hình thang. 5) X IY J là hình thang. 6) X / I J / I . 7) I x, J y thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ I J . Chú ý, theo định lí 64, 1 ⇔ 2; theo định lí 33, 2 ⇔ 3; theo định lí 30, 3 ⇔ 4; theo chú ý 4, 4 ⇔ 5; theo bổ đề 18, 5 ⇔ 6; hiển nhiên 6 ⇔ 7. Định lí 70. Cho hai tia I x, J y cùng hướng và không cùng thuộc một đường thẳng; cho ∆ là đường thẳng không chứa I, J và không song song với x0 x, y0 y. Khi đó 1) I, J / ∆ khi và chỉ khi ∆ hoặc cùng cắt I x, J y hoặc cùng cắt I x0 , J y0 . 2) I / ∆ / J khi và chỉ khi ∆ hoặc cùng cắt I x, J y0 hoặc cùng cắt I x0 , J y. Chứng minh. Trên các tia I x, J y theo thứ tự lấy các điểm A, B. Gọi X , Y theo thứ tự là giao điểm của ∆ và các đường thẳng x0 x, y0 y. #» # » Vì I x ↑↑ J y nên, theo định lí 63, I A ↑↑ JB (1). #» #» #» #» # » #» Theo định lí 34, hoặc I X ↑↑ I A hoặc I X ↑↓ I A hoặc JY ↑↑ JB hoặc # » #» JY ↑↓ JB (2).

5. Hướng và phương của tia

∆ I

∆ X

h.40

h.41

1) Các điều kiện sau tương đương (h.40, h.41). 1) I, J / ∆. 2) I, J / X Y . 3) I X Y J là hình thang. #» # » 4) I X ↑↑ JY .  ( #» #» I X ↑↑ I A  # » #»  JY ↑↑ JB ( #» #» 5)   I X ↑↓ I A  # » #» JY ↑↓ JB.

 ½

X ∈ Ix   ½ Y ∈ Jy 6)  X ∈ I x0  Y ∈ J y0 .  ( ∆ cắt I x   ∆ cắt J y ( 7)   ∆ cắt I x0  ∆ cắt J y0 .

Chú ý, vì ∆ ≡ X Y nên 1 ⇔ 2; theo bổ đề 18, 2 ⇔ 3; theo định lí 30, 3 ⇔ 4; vì (1) và (2) nên, theo định lí 35, 4 ⇒ 5; vì (1) nên, theo định lí 35, 5 ⇒ 4; theo định lí 34, 5 ⇔ 6; vì ∆ ≡ X Y nên 6 ⇔ 7. 2) Các điều kiện sau tương đương (h.42, h.43). 1) I / ∆ / J . 2) I / X Y / J . 3) I X JY là hình thang. #» # » 4) I X ↑↑ Y J .

1. Hướng của đoạn thẳng #» # » 5) I X ↑↓ JY .  ( #» #» I X ↑↑ I A  # » #»  JY ↑↓ JB ( #» #» 6)   I X ↑↓ I A  # » #»

JY ↑↑ JB.

 ½

X ∈ Ix  Y ∈ J y0  7)  ½ X ∈ I x0  Y ∈ J y.  ( ∆ cắt I x   ∆ cắt J y0 ( 8)   ∆ cắt I x0  ∆ cắt J y. ∆ X

∆ A

h.42

h.43

Chú ý, vì ∆ ≡ X Y nên 1 ⇔ 2; theo bổ đề 18, 2 ⇔ 3; theo định lí 30, 3 ⇔ 4; theo định lí 33, 4 ⇔ 5; vì (1) và (2) nên, theo định lí 35, 5 ⇒ 6; vì (1) nên, theo định lí 35, 6 ⇒ 5; theo định lí 34, 6 ⇔ 7; vì ∆ ≡ X Y nên 7 ⇔ 8. Chú ý 71. Nếu không có gì nhầm lẫn thì đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox, Ox0 được kí hiệu đơn giản là xx0 . 5.3. Hướng và phương của tia. Theo các định lí 65, 68, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các tia quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 72. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các tia được gọi là hướng của tia . Hướng của tia chứa tia I x được gọi đơn giản là hướng của tia I x. Thuật ngữ hướng của tia giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng

6. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng

hướng trong định nghĩa 60. Cụ thể, hai tia được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của tia. Nếu I x và J y là hai tia ngược hướng thì mỗi tia thuộc hướng của tia I x ngược hướng với mỗi tia thuộc hướng của tia J y. Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 73. Hai hướng của tia được gọi là ngược nhau nếu mỗi tia thuộc hướng của tia này và mỗi tia thuộc hướng của tia kia ngược hướng. Theo các định lí 65, 68, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các tia quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 74. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương trong tập hợp các tia được gọi là phương của tia. Phương của tia chứa tia I x được gọi đơn giản là phương của tia I x. Thuật ngữ phương của tia giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng phương trong định nghĩa 62. Cụ thể, hai tia cùng phương nếu chúng cùng thuộc một phương của tia. Mỗi phương của tia chứa hai hướng của tia và đó là hai hướng của tia ngược nhau.

6. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng Để tiến tới khái niệm đường thẳng định hướng ta cần có khái niệm phương hỗn tạp. 6.1. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp. # » Định nghĩa 75. Đoạn thẳng định hướng AB và vectơ [ #» a ] được gọi là # » cùng hướng (ngược hướng) nếu AB cùng hướng (ngược hướng) với mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc [ #» a ]. # » Để biểu thị AB và [ #» a ] cùng hướng (ngược hướng), ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 21 (22). # » Định nghĩa 76. Đoạn thẳng định hướng AB và vectơ [ #» a ] được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. # » Để biểu thị AB và [ #» a ] cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 23.

1. Hướng của đoạn thẳng

# » Định nghĩa 77. Đoạn thẳng định hướng AB và tia Ox được gọi là cùng # » hướng (ngược hướng) nếu AB cùng hướng (ngược hướng) với mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với Ox. # » Để biểu thị AB và Ox cùng hướng (ngược hướng), ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 21 (22). # » Định nghĩa 78. Đoạn thẳng định hướng AB và tia Ox được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. # » Để biểu thị AB và Ox cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 23. Định nghĩa 79. Vectơ [ #» a ] và tia Ox được gọi là cùng hướng (ngược hướng) nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc [ #» a ] cùng hướng (ngược hướng) với mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với Ox. Để biểu thị [ #» a ] và Ox cùng hướng (ngược hướng), ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 21 (22). Định nghĩa 80. Vectơ [ #» a ] và tia Ox được gọi là cùng phương nếu chúng hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. Để biểu thị [ #» a ] và Ox cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 23. Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 81. Mỗi lớp tương đương sinh bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia được gọi là hướng hỗn tạp. # » Hướng hỗn tạp chứa đoạn thẳng định hướng AB (chứa vectơ [ #» a ], # » chứa tia Ox) được gọi đơn giản là hướng hỗn tạp AB (hướng hỗn tạp [ #» a ], hướng hỗn tạp Ox). Thuật ngữ hướng hỗn tạp giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong các định nghĩa 75, 77, 79. Cụ thể, một đoạn thẳng định hướng-khác không và một vectơ-khác không, một đoạn thẳng định hướng-khác không và một tia, một vectơ-khác không và một tia được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng hỗn tạp.

6. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng

Định nghĩa 82. Hai hướng hỗn tạp được gọi là ngược nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng-khác không, mỗi vectơ-khác không và mỗi tia thuộc hướng hỗn tạp này ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướngkhác không, mỗi vectơ-khác không và mỗi tia thuộc hướng hỗn tạp kia. Đương nhiên hai đoạn thẳng định hướng-khác không cùng thuộc một hướng của đoạn thẳng định hướng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một hướng hỗn tạp; hai vectơ-khác không cùng thuộc một hướng của vectơ khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một hướng hỗn tạp; hai tia cùng thuộc một hướng của tia khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một hướng hỗn tạp. Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 83. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia được gọi là phương hỗn tạp. # » Phương hỗn tạp chứa đoạn thẳng định hướng AB (chứa vectơ [ #» a ], # » chứa tia Ox) được gọi đơn giản là phương hỗn tạp AB (phương hỗn tạp [ #» a ], phương hỗn tạp Ox). Thuật ngữ phương hỗn tạp giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng phương trong các định nghĩ 76, 78, 80. Cụ thể một đoạn thẳng định hướng-khác không và một vectơ-khác không, một đoạn thẳng định hướng-khác không và một tia, một vectơ-khác không và một tia được gọi là cùng phương nếu chúng cùng thuộc một phương hỗn tạp. Đương nhiên hai đoạn thẳng định hướng-khác không cùng thuộc một phương của đoạn thẳng định hướng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một phương hỗn tạp; hai vectơ-khác không cùng thuộc một phương của vectơ khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một phương hỗn tạp; hai tia cùng thuộc một phương của tia khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một phương hỗn tạp. Mỗi phương hỗn tạp chứa hai hướng hỗn tạp và đó là hai hướng hỗn tạp ngược nhau. 6.2. Đường thẳng định hướng. Trước hết xin lưu ý rằng một đoạn thẳng định hướng được gọi là thuộc một đường thẳng nếu đoạn thẳng sinh của nó thuộc đường thẳng đó.

1. Hướng của đoạn thẳng

Cho đường thẳng ∆. Theo định lí 31, các đoạn thẳng định hướngkhác không thuộc ∆ cùng phương. Do đó chúng cùng thuộc một phương hỗn tạp. Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 84. Phương hỗn tạp chứa các đoạn thẳng định hướng-khác không thuộc đường thẳng ∆ được gọi là phương hỗn tạp tương thích với ∆. Dễ dàng thấy rằng mỗi đoạn thẳng định hướng-khác không thuộc ∆ hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướngkhác không, mỗi vectơ-khác không, mỗi tia thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Nhận xét này cho ta ba cách định hướng đường thẳng ∆. Cách thứ nhất, định hướng ∆ bằng đoạn thẳng định hướng-khác không. Định nghĩa 85. Cho đường thẳng ∆. Lấy đoạn thẳng định hướng-khác # » không AB thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành phần # » (∆, AB) được gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi đoạn thẳng định # » hướng AB. # » Đoạn thẳng định hướng CD thuộc ∆ được coi là có hướng dương (âm) # » khi nó cùng hướng (ngược hướng) với đoạn thẳng định hướng AB. Theo các định lí 25, 26, các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ # » vừa cùng hướng vừa ngược hướng với đoạn thẳng định hướng AB. Do đó các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. # » Đoạn thẳng định hướng AB được gọi là đoạn thẳng định hướng của # » đường thẳng định hướng (∆, AB). Nếu không có gì đặc biệt thì đoạn thẳng định hướng của đường thẳng định hướng thường được coi là có độ dài bằng 1. Cách thứ hai, định hướng ∆ bằng vectơ-khác không. Định nghĩa 86. Cho đường thẳng ∆. Lấy vectơ-khác không [ #» a ] thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành phần (∆, [ #» a ]) được gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi vectơ [ #» a ]. # » Đoạn thẳng định hướng CD thuộc ∆ được coi là có hướng dương (âm) # » khi CD cùng hướng (ngược hướng) với vectơ [ #» a ]. Theo các định lí 25, 26, các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ vừa cùng hướng vừa ngược hướng với vectơ [ #» a ]. Do đó các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm.

7. Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng

Vectơ [ #» a ] được gọi là vectơ định hướng của đường thẳng định hướng #» (∆, [ a ]). Nếu không có gì đặc biệt thì vectơ định hướng của đường thẳng định hướng thường được coi là vectơ đơn vị. Cách thứ ba, định hướng ∆ bằng tia. Định nghĩa 87. Cho đường thẳng ∆. Lấy tia Ox thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành phần (∆, Ox) được gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi tia Ox. # » Đoạn thẳng định hướng CD thuộc ∆ được coi là có hướng dương (âm) # » khi CD cùng hướng (ngược hướng) với tia Ox. Theo các định lí 25, 26, các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ vừa cùng hướng vừa ngược hướng với tia Ox. Do đó các đoạn thẳng định hướng-không thuộc ∆ được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. Tia Ox được gọi là tia định hướng của đường thẳng định hướng (∆, Ox). Chú ý 88. 1) Đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox, Ox0 và được định hướng bởi tia Ox cũng được kí hiệu đơn giản là xx0 . 2) Nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ đoạn thẳng định hướng có hướng dương (âm) được thay bởi thuật ngữ đoạn thẳng định hướng dương (âm) và các thuật ngữ đường thẳng ∆ định hướng bởi đoạn thẳng # » định hướng AB, đường thẳng ∆ định hướng bởi vectơ [ #» a ], đường thẳng ∆ định hướng bởi tia Ox cùng được thay bởi thuật ngữ đường thẳng định hướng ∆.

7. Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng Trong mục này, khái niệm độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng, công cụ quan trọng giúp ta đại số hóa hình học phẳng về phương diện độ dài đoạn thẳng được giới thiệu. Định nghĩa 89. Cho đường thẳng định hướng ∆. Độ dài đại số của # » đoạn thẳng định hướng CD thuộc ∆ được kí hiệu là CD và được xác định như sau  # »   CD nếu CD có hướng dương # » CD = − CD nếu CD có hướng âm  # » #»  0 nếu CD = 0 . Chú ý 90. |CD | = CD . Định lí 91. Nếu hai điểm C , D cùng thuộc đường thẳng định hướng ∆ thì CD = −DC .

1. Hướng của đoạn thẳng

Chứng minh. Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. C = D . Theo chú ý 17, CD = 0 = −DC . Trường hợp 2. C 6= D . Theo chú ý 90, |CD | = CD = DC = |DC |. Mặt khác, theo định lí 32, # » CD ↑↓ DC . Do đó CD và DC không cùng dấu. Vậy CD = −DC . # »

# » # » Định lí 92. Nếu CD, EF là hai đoạn thẳng định hướng-khác không cùng thuộc đường thẳng định hướng ∆ thì # » # » 1) CD ↑↑ EF khi và chỉ khi CD.EF > 0. # » # » 2) CD ↑↓ EF khi và chỉ khi CD.EF < 0. # » Chứng minh. Gọi AB là đoạn thẳng định hướng của đường thẳng định hướng ∆. 1) Các điều kiện sau tương đương. # » # » 1) CD ↑↑ EF .  ( # » # » CD ↑↑ AB  # » # »  EF ↑↑ AB ( # » # » 2)   CD ↑↓ AB  # » # » EF ↑↓ AB.

 (

CD > 0   EF > 0 ( 3)   CD < 0  EF < 0.

4) CD.EF > 0. Chú ý, theo định lí 35, 1 ⇔ 2; hiển nhiên, 2 ⇔ 3; hiển nhiên 3 ⇔ 4. 2) Các điều kiện sau tương đương # » # » 1) CD ↑↓ EF .  ( # » # » CD ↑↑ AB  # » # »  EF ↑↓ AB  ( 2)  # » # » CD ↑↓ AB  # » # » EF ↑↑ AB.

7. Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng

 (

CD > 0   EF < 0 ( 3)   CD < 0  EF > 0.

4) CD.EF < 0. Chú ý, theo định lí 35, 1 ⇔ 2; hiển nhiên, 2 ⇔ 3; hiển nhiên 3 ⇔ 4.

Định lí 93. Nếu ba điểm C, D, M cùng thuộc đường thẳng định hướng ∆ và đôi một khác nhau thì 1) M nằm ngoài đoạn thẳng CD khi và chỉ khi MC.MD > 0. 2) M nằm trong đoạn thẳng CD khi và chỉ khi MC.MD < 0. Chứng minh. 1) Các điều kiện sau tương đương. 1) M nằm ngoài đoạn thẳng CD . # » # » 2) MC ↑↑ MD . 3) MC.MD > 0. Chú ý, theo định lí 34, 1 ⇔ 2; theo định lí 92, 2 ⇔ 3. 2) Các điều kiện sau tương đương. 1) M nằm trong đoạn thẳng CD . # » # » 2) MC ↑↓ MD . 3) MC.MD < 0. Chú ý, theo định lí 34, 1 ⇔ 2; theo định lí 92, 2 ⇔ 3.

Định lí 94. Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc đường thẳng định hướng ∆ thì 1) AB = AC + CB (hệ thức Chasles cho đoạn thẳng định hướng ). 2) AB = CB − C A . Chứng minh. 1) Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. A = B. Có hai khả năng xảy ra. Khả năng 1.1. A = B = C (h.44). A=B=C

h.44

1. Hướng của đoạn thẳng

Theo chú ý 17, AB = 0 = 0 + 0 = AC + CB. Khả năng 1.2. A = B 6= C (h.45). C

A=B

h.45

Theo chú ý 17 và định lí 91, AB = 0 = AC − AC = AC − BC = AC − (−CB) = AC + CB.

Trường hợp 2. A 6= B. Có năm khả năng xảy ra. Khả năng 2.1. C = A . Theo chú ý 17, AB = 0 + AB = AC + CB. Khả năng 2.2. C = B. Theo chú ý 17, AB = AB + 0 = AC + CB. Khả năng 2.3. C nằm trong đoạn thẳng AB (h.46). A

h.46

Theo định lí 93, AB.AC > 0 và C A.CB < 0. Từ đó, theo định lí 91, suy ra AB, AC, CB cùng dấu. Mặt khác vì C nằm trong đoạn thẳng AB nên, theo định lí 12, AB = AC + CB. Vậy AB = AC + CB. # » Khả năng 2.4. C thuộc tia đối của tia AB (h.47). C

h.47

Theo định lí 93, AB.AC < 0 và C A.CB > 0. Từ đó, theo định lí 91, suy ra AC khác dấu với AB, CB. Mặt khác vì A nằm trong đoạn thẳng BC nên, theo định lí 12, AB = − AC + CB. Vậy AB = AC + CB. # » Khả năng 2.5. C thuộc tia đối của tia BA (h.48). A

h.48

Theo định lí 93, AB.AC > 0 và C A.CB > 0. Từ đó, theo định lí 91, suy ra CB khác dấu với AB, AC . Mặt khác vì B nằm trong đoạn thẳng AC

7. Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng

nên, theo định lí 12, AB = AC − CB. Vậy AB = AC + CB. 2) Theo phần 1, AB = AC + CB. Từ đó, theo định lí 91, suy ra AB = − C A + CB = CB − C A . Định lí 95. Nếu A, B là hai điểm phân biệt và k là số thực khác 1 thì tồn tại duy nhất điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho

MA MB

= k.

Chứng minh. Có ba trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. k = 0. Chọn M trùng A . Theo chú ý 17,

MA MB

AA AB

= 0 = k.

Trường hợp 2. k > 0. Chọn M ngoài đoạn thẳng AB sao cho

MA = k. Theo định lí 93, MB

M A.MB > 0.

Vậy, theo chú ý 90,

¯ M A ¯ |M A| M A ¯= =¯ = = k. MB MB | MB| MB

Trường hợp 3. k < 0.

Chọn M trong đoạn thẳng AB sao cho

MA = − k. Theo định lí 93, MB

M A.MB < 0.

Vậy, theo chú ý 90, Nếu

MA MB

M0 A M0B

MA MB

= −|

MA MB

|=−

|M A| | MB|

=−

MA = −(− k) = k. MB

thì, theo định lí 94,

MA AB

MA MB − M A

M0 A M0B − M0 A

M0 A

Điều đó có nghĩa là M A = M 0 A . Do đó, lại theo định lí 94, M A = Vậy MM 0 = 0. Nói cách khác, theo chú ý 17, M = M 0 .

M0 M + M A.

Chú ý 96. Nếu ta nói đến độ dài đại số của một đoạn thẳng định hướng thuộc một đường thẳng thì đường thẳng đó đã được định hướng. Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta chứng minh định lí 98 mà còn có vai trò quan trọng trong nhiều tình huống khác. Bổ đề 97. (Bổ đề trung điểm) Nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì các điều kiện sau tương đương. 1) M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. Hướng của đoạn thẳng

2) M A = MB. 3) M A = − MB. 4) 2AM = AB. Chứng minh. (1 ⇒ 2) Hiển nhiên. (2 ⇒ 3) Nếu M không thuộc đoạn thẳng AB thì hoặc A thuộc đoạn thẳng MB hoặc B thuộc đoạn thẳng M A . Do đó, theo định lí 12, M A 6= MB, mâu thuẫn. Vậy M thuộc đoạn thẳng AB. Từ đó, theo định lí 93, suy ra M A.MB < 0. Kết hợp với M A = MB, ta có M A = − MB. (3 ⇒ 4) Theo định lí 91, 2AM = AM + AM = AM − M A . Từ đó, chú ý rằng M A = − MB, theo định lí 94, suy ra 2AM = AM + MB = AB. (4 ⇒ 1) Theo định lí 91, AM = 2AM − AM = 2AM + M A . Từ đó, chú ý rằng 2AM = AB, theo các định lí 91, 94, suy ra − M A = AM = AB + M A = MB. Vậy, theo định lí 93 và chú ý 90, M nằm trong đoạn thẳng AB và M A = MB. Nói cách khác M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Định lí 98. Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng thì các điều kiện sau tương đương. 1) Các đoạn thẳng AC, BD có cùng trung điểm. 2) AB = DC . 3) AD = BC . Chứng minh. (1 ⇒ 2) Gọi O là trung điểm chung của các đoạn thẳng AC, BD . Theo bổ đề 97, − O A = OC ; OB = − OD . Từ đó, theo định lí 94, suy ra AB = OB − O A = − OD + OC = DC.

(2 ⇒ 1) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AC . Theo bổ đề 97, O A = − OC . Từ đó, chú ý rằng AB = DC , theo các định lí 91, 94, suy ra OB = O A + AB = − OC + DC = − (OC − DC) = − (OC + CD) = − OD

Từ đó, chú ý rằng O ∈ AC ≡ BD , theo bổ đề 97, suy ra O là trung điểm của đoạn thẳng BD . Tóm lại 1 ⇔ 2. Tương tự 1 ⇔ 3.

Chương 2

Hướng của góc

8. Góc giữa hai tia Trong mục này, một số kiến thức cơ bản về góc giữa hai tia được nhắc lại. Định nghĩa 99. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai tia cùng gốc và không cùng thuộc một đường thẳng Ox, O y được gọi là góc giữa hai tia, y hoặc kí hiệu là hoặc kí hiệu là xO yOx. Định nghĩa 100. Giao của nửa mặt phẳng bờ xx0 chứa tia O y và nửa mặt phẳng bờ yy0 chứa tia Ox được gọi là miền trong của góc giữa hai y. tia xO Định nghĩa 101. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai tia trùng nhau Ox, O y cũng được gọi là góc giữa hai tia (góc giữa hai tia-không, khi y, cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau: xO yOx, xOx, yO y

(h.49). O

x= y

h.49

Chú ý 102. Trong hình 49, ký hiệu x = y được hiểu là tia Ox trùng tia O y. Định nghĩa 103. Miền trong của góc giữa hai tia-không là tập hợp rỗng. 37

2. Hướng của góc

Định nghĩa 104. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai tia đối nhau Ox, O y cùng với một nửa mặt phẳng bờ yx cũng được gọi là góc giữa hai y hoặc tia (góc giữa hai tia-bẹt, khi cần nhấn mạnh), hoặc kí hiệu là xO kí hiệu là yOx (h.50). y

h.50

Định nghĩa 105. Nửa mặt phẳng bờ yx trong định nghĩa 104 là miền y. trong của góc giữa hai tia-bẹt xO Chú ý 106. 1) Đường thẳng yx trong các định nghĩa 104, 105 là đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox, O y. 2) Khi ta nói tới một góc giữa hai tia-bẹt, miền trong của nó đã được chỉ định. Điểm O được gọi là đỉnh, các tia Ox, O y được gọi là cạnh của góc giữa y. hai tia xO Nếu các điểm A, B theo thứ tự thuộc các tia Ox, O y thì thay cho các kí y, y, yO BOx hiệu xO yOx ta có thể dùng các kí hiệu AOB, BO A, AO A, xOB, y. để chỉ góc giữa hai tia xO Với sự xuất hiện của các khái niệm góc giữa hai tia-không, góc giữa hai tia-bẹt, thuật ngữ góc giữa hai tia mang một ý nghĩa mới, góc giữa hai tia có thể là góc giữa hai tia-khác không và khác bẹt (hai cạnh là hai tia không cùng thuộc một đường thẳng), có thể là góc giữa hai tia-không (hai cạnh là hai tia trùng nhau), có thể là góc giữa hai tia-khác không (hai cạnh là hai tia không trùng nhau), có thể là góc giữa hai tia-bẹt (hai cạnh là hai tia đối nhau) và cũng có thể là góc giữa hai tia-khác bẹt (hai cạnh là hai tia không đối nhau). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm góc giữa hai tia, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: góc giữa hai tia-khác không và khác bẹt, góc giữa hai tia-không, góc giữa hai tia-khác không, góc giữa hai tia-bẹt, góc giữa hai tia-khác bẹt. y và đường Độ dài phần giao của miền trong của góc giữa hai tia xO y, kí tròn tâm O , bán kính 1 được gọi là số đo (tính theo radian) của xO hiệu là sđ xO y. y được Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai tia xO kí hiệu đơn giản là xO y. Đương nhiên 0 ≤ xO y ≤ π. π Ngoài radian người ta còn đo góc giữa hai tia bằng độ, radian = 90 o

(đọc là 90 độ). Tuy nhiên, để cho đơn giản, trong cuốn sách này góc giữa

8. Góc giữa hai tia

hai tia chỉ được đo bằng radian. Theo thói quen, cách viết α radian được thay bằng cách viết đơn giản hơn α. y = 0 khi và chỉ khi xO y là góc giữa hai tia-không. Chú ý 107. 1) xO y = π khi và chỉ khi xO y là góc giữa hai tia-bẹt. 2) xO π y = khi và chỉ khi x0 x ⊥ y0 y. 3) xO

dy, zJ dt được gọi là bằng nhau Định nghĩa 108. Hai góc giữa hai tia xI nếu số đo của chúng bằng nhau. dy, zJ dt bằng nhau, ta viết xI dy = zJ dt. Để biểu thị xI

Định lí 109. Nếu tia Oz hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong y thì xO y = hai cạnh của góc giữa hai tia xO xOz + zO y (hệ thức Chasles cho góc giữa hai tia). y có thể là góc giữa hai tiaTrong định lí 109, góc giữa hai tia xO không và cũng có thể là góc giữa hai tia-bẹt.

Chú ý 110. Thay cho cách nói tia Oz thuộc miền trong của góc giữa hai y ta còn có các cách nói đơn giản hơn: tia Oz nằm trong góc giữa tia xO y, tia Oz nằm giữa các tia Ox, O y. hai tia xO Định lí 111. Cho đường thẳng xx0 và hai tia I y, J z sao cho I, J thuộc xx0 . Khi đó • Các điều kiện sau tương đương (h.51). 1) I y ↑↑ J z. 2) Các tia I y, J z cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ x0 x và dy = xJ dz. xI 3) Các tia I y, J z cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ x0 x và 0 J z. x0 I y = x • Các điều kiện sau tương đương (h.52). 1) I y ↑↓ J z. 2) Các tia I y, J z thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ x0 x 0 J z. dy = x và xI 3) Các tia I y, J z thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ x0 x dz. và x0 I y = xJ

2. Hướng của góc

x y

h.51

h.52 x0

Phần 1 của định lí 111 là hệ quả trực tiếp của phần 1 của định lí 69 và định lí cơ bản sau: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hai góc đồng vị bằng nhau. Phần 2 của định lí 111 là hệ quả trực tiếp của phần 2 của định lí 69 và định lí cơ bản sau: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hai góc so le bằng nhau. 0 O y0 . y = x Định lí 112. Với hai tia Ox, O y ta có xO 0 O y0 trong định lí 112 được gọi là hai góc giữa hai tia y, x Hai góc xO đối đỉnh. Để chứng minh định lí 114 ta cần có bổ đề sau.

Bổ đề 113. (Bổ đề tia thuộc tia) Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một # » # » # » # » đường thẳng và A 6= C, B 6= D thì AC ↑↑ BD khi và chỉ khi hoặc BD ⊂ AC # » # » hoặc AC ⊂ BD . Chứng minh. Điều kiện cần. Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. A = B. Có hai khả năng xảy ra. Khả năng 1.1. C = D . # » # » Đương nhiên AC ≡ BD . Khả năng 1.2. C 6= D . # » # » Vì AC ↑↑ BD nên, theo định lí 34, A = B nằm ngoài đoạn thẳng CD . # » # » Điều đó có nghĩa là AC ≡ BD . Trường hợp 2. A 6= B. # » # » Nếu B không thuộc tia AC và A không thuộc tia BD thì A thuộc đoạn # » # » thẳng BC và B thuộc đoạn thẳng AD . Do đó, theo định lí 34, AC ↑↓ AB # » # » # » # » và BD ↑↓ BA . Từ đó, theo các định lí 33, 35, suy ra AC ↑↓ BD , mâu thuẫn. Vậy có hai khả năng xảy ra. # » Khả năng 2.1. B thuộc tia AC .

8. Góc giữa hai tia

# » # » # » Lấy điểm M thuộc tia BD . Vì B thuộc tia AC và M thuộc tia BD nên A không thuộc đoạn thẳng BC và B không thuộc đoạn thẳng DM . # » # » Do đó, theo định lí 93, AB.AC > 0 và BM.BD > 0. Vì AC ↑↑ BD nên, theo định lí 92,

AC BD

> 0. Vậy, theo định lí 94, AM.AC = (AB + BM)AC =

AB.AC + BM.AC = AB.AC + BM.BD ·

AC BD

> 0. Từ đó, lại theo định lí 92,

suy ra AM ↑↑ AC . Do đó, theo định lí 34, A không thuộc đoạn CM . Điều # » # » đó có nghĩa là M thuộc tia AC . Vậy BD ⊂ AC . # » Khả năng 2.2. A thuộc tia BD . # » # » Tương tự khả năng 2.1, AC ⊂ BD . # » # » Điều kiện đủ. Lấy điểm M đồng thời thuộc các tia AC, BD sao cho min{ M A, MB} > max{ AC, BD, AB}. Theo định lí 12, A, B, M theo thứ tự # » nằm ngoài các đoạn thẳng MC, MD, AB. Do đó, theo định lí 34, AC ↑↑ # » # » # » # » # » # » AM ; BD ↑↑ BM ; M A ↑↑ MB. Từ đó, theo các định lí 33, 35, suy ra AC ↑↑ # » BD . dy = zJ dt. Định lí 114. Nếu I x ↑↑ J z; I y ↑↑ J t thì xI

Chứng minh. Có ba trường hợp cần xem xét. ·

dy = 0 xI dy = 0. Không mất tính tổng quát giả sử xI d zJ t = 0. dy = 0 nên, theo chú ý 107, I x ≡ I y. Do đó, theo định lí 65, I x ↑↑ Vì xI I y. Kết hợp với I x ↑↑ J z; I y ↑↑ J t, theo định lí 68, ta có J z ↑↑ J t. Từ đó, dt = 0. Vậy xI dy = zJ dt. theo bổ đề 113, suy ra J z ≡ J t. Lại theo chú ý 107, zJ · dy = π xI dy = π. Trường hợp 2. d Không mất tính tổng quát giả sử xI zJ t = π. dy = π nên, theo chú ý 107, các I x, I y đối nhau. Do đó, theo định lí Vì xI 65, I x ↑↓ I y. Kết hợp với I x ↑↑ J z; I y ↑↑ J t, theo định lí 68, ta có J z ↑↓ J t. Từ đó, theo định lí 67 và bổ đề 113, suy ra J z ≡ J t0 . Lại theo chú ý 107, dt = π. Vậy xI dy = zJ dt. zJ  dy 6= 0  xI    xI dy 6= π Trường hợp 3. d  zJ t 6= 0    d zI t 6= π.  · 0 x x ≡ z0 z      x0 x ∥ z 0 z  Vì I x ↑↑ J z; I y ↑↑ J t nên, theo định lí 31, 63, · 0    y y ≡ t0 t    y0 y ∥ t0 t.

Trường hợp 1.

2. Hướng của góc

Do đó có bốn khả năng xảy ra. ½

x0 x ≡ z 0 z (h.53) y0 y ≡ t0 t. dy 6= 0; xI dy 6= π nên I = x0 x ∩ y0 y. Do đó I = x0 x ∩ y0 y = z0 z ∩ t0 t = J . Từ Vì xI đó, chú ý rằng I x ↑↑ J z; I y ↑↑ J t, theo bổ đề 113, suy ra I x ≡ J z; I y ≡ J t. dy = zJ dt. Vậy xI

Khả năng 3.1.

y=t

I=J

x0 = z 0

x=z

h.53 y0 = t 0

x0 x ≡ z 0 z (h.54) y0 y ∥ t0 t.

Khả năng 3.2.

I x=z

x0 = z 0

h.54

Vì x0 x ≡ z0 z; y0 y ∥ t0 t nên I, J cùng thuộc x0 x ≡ z0 z; I 6= J . Từ đó, chú ý rằng I x ↑↑ J z, theo bổ đề 113, suy ra hoặc J z ⊂ I x hoặc I x ⊂ J z . Kết hợp với dy = zI dy = zJ dt. I y ↑↑ J t, theo định ½lí 111, ta có xI Khả năng 3.3.

x0 x ∥ z 0 z (h.55) y0 y ≡ t0 t.

y=t I

x J y0 = t0

h.55

8. Góc giữa hai tia

dy = zJ dt. Tương tự khả năng 3.2, xI ½

Khả năng 3.4.

x0 x ∥ z 0 z y0 y ∥ t0 t.



J nằm  J nằm dy 6= 0; xI dy 6= π nên I = x0 x ∩ y0 y. Do đó  Vì xI   J nằm J nằm

dy trong góc xI trong góc xI y0 trong góc x0 I y 0 I y0 . trong góc x dy (h.56). Không mất tính tổng quát giả sử J nằm trong góc xI y

h.56 y0

Vì x0 x, y0 y cắt nhau và t0 t ∥ y0 y; z0 z ∥ x0 x nên x0 x, t0 t cắt nhau và y0 y, z0 z cắt nhau. Đặt E = x0 x ∩ t0 t; F = y0 y ∩ z0 z. dy nên J thuộc nửa mặt phẳng bờ y0 y chứa Vì J nằm trong góc xI tia I x. Từ đó, chú ý rằng J thuộc t0 t và t0 t ∥ y0 y, suy ra E thuộc tia I x. Điều đó có nghĩa là Ex ⊂ I x. Do đó, theo bổ đề 113, I x ↑↑ Ex. Kết hợp với d = zJ dt. I x ↑↑ J z, theo định lí 68, ta có Ex ↑↑ J z. Vậy, theo định lí 111, xEt 0 0 Tương tự như trên F thuộc tia I y và F y ↑↑ J t. Vì z z ∥ x x nên F, J / x0 x. Vì F thuộc tia I y nên I thuộc tia F y0 . Từ đó, theo định lí 70, suy ra E thuộc tia J t0 . Do đó J thuộc tia Et. Điều đó có nghĩa là J t ⊂ Et. Vậy, theo bổ đề 113, Et ↑↑ J t. Kết hợp với I y ↑↑ J t, theo định lí 68, ta có Et ↑↑ I y. d = xI dy. Từ đó, theo định lí 111, suy ra xEt d d Tóm lại xI y = zJ t. dy, zJ dt trong định lí 114 được gọi là hai góc giữa hai tia có Hai góc xI các cạnh tương ứng cùng hướng. dy = zJ dt. Định lí 115. Nếu I x ↑↓ J z; I y ↑↓ J t thì xI 0 I y0 . dy = x Chứng minh. Theo định lí 112, xI

Theo định lí 65, I x ↑↓ I x0 ; I y ↑↓ I y0 . Từ đó, chú ý rằng I x ↑↓ J z; I y ↑↓ J t, theo định lí 68, suy ra I x0 ↑↑ J z; I y0 ↑↑ J t.

2. Hướng của góc

0 I y0 = zJ dt. Do đó, theo định lí 114, x

dy = zJ dt. Vậy xI

dy, zJ dt trong định lí 115 được gọi là hai góc giữa hai tia có Hai góc xI các cạnh tương ứng ngược hướng.

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan Trong mục 8, khi định nghĩa góc giữa hai tia ta không phân biệt thứ tự hai cạnh của nó. Trong mục này, ta làm quen với một khái niệm mới: góc giữa hai tia mà thứ tự hai cạnh của nó phân biệt. 9.1. Góc định hướng giữa hai tia. Định nghĩa 116. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai tia cùng gốc và không đối nhau (Ox, O y) được gọi là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt, cũng kí hiệu là (Ox, O y). Khi các tia Ox, O y trùng nhau, góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y) được gọi là góc định hướng giữa hai tia-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách sau: (O y, Ox), (Ox, Ox), (Ox, O y). Định nghĩa 117. Miền trong của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt y. (Ox, O y) là miền trong của góc giữa hai tia xO Định nghĩa 118. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai tia cùng gốc và đối nhau (Ox, O y) cùng với một nửa mặt phẳng bờ yx được gọi là góc định hướng giữa hai tia-bẹt, cũng kí hiệu là (Ox, O y). Định nghĩa 119. Nửa mặt phẳng bờ yx trong định nghĩa 119 được gọi là miền trong của góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y). Chú ý 120. Khi ta nói tới một góc định hướng giữa hai tia-bẹt, miền trong của nó đã được chỉ định. Điểm O được gọi là đỉnh, các tia Ox, O y theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y). Nếu các điểm A, B theo thứ tự thuộc các tia Ox, O y thì thay cho kí # » # » # » # » hiệu (Ox, O y) ta có thể dùng các kí hiệu (O A, OB), (O A, O y), (Ox, OB) để chỉ góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y). Cùng với thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-không, ta có thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-khác không. Cùng với thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-không và thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-bẹt, ta có thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-khác không và khác

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

bẹt. Khi không cần phân biệt, các thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia-không, góc định hướng giữa hai tia-khác không, góc định hướng giữa hai tia-bẹt, góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt, góc định hướng giữa hai tia-khác không và khác bẹt cùng được thay bằng thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia. 9.2. Cơ sở, tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh. Định nghĩa 121. Với hai số thực dương khác nhau a, b, tập hợp B(Ox, O y) = {(Ox, a); (O y, b); (Ox0 , −a); (O y0 , − b)} được gọi là cơ sở của góc định hướng giữa hai tia khác bẹt (Ox, O y). Định nghĩa 122. Các phần tử của B(Ox, O y) được gọi là các tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y). Mỗi tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y) có hai thành phần, thành phần thứ nhất-phần hình, thành phần thứ haiphần số. Cho hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) với các cơ sở tương ứng là B(Ox, O y) = {(Ox, a); (O y, b); (Ox0 , −a); (O y0 , − b)}; B(Oz, Ot) = {(Oz, c); (Ot, d); (Oz0 , − c); (Ot0 , − d)}.

Nếu a, b, c, d đôi một khác nhau thì tập hợp B(Ox, O y) ∩ B(Oz, Ot) = ;. Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 123. Với B(Ox, O y) = {(Ox, a); (O y, b); (Ox0 , −a); (O y0 , −b)}, B(Oz, Ot) = {(Oz, c); (Ot, d); (Oz0 , − c); (Ot0 , − d)} và a, b, c, d là bốn số thực dương đôi một khác nhau, tập hợp B(Ox, O y, Oz, Ot) = B(Ox, O y)∪{B(Oz, Ot) được gọi là cơ sở của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot). Định nghĩa 124. Các phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot) cũng được gọi là các tia cơ sở của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot). Đương nhiên mỗi tia cơ sở của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) cũng có hai thành phần, thành phần thứ nhất-phần hình, thành phần thứ hai-phần số. Định nghĩa 125. Cho hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) với cơ sở là B(Ox, O y, Oz, Ot). Lấy một phần tử bất kì của B(Ox, O y, Oz, Ot) và kí hiệu phần hình của nó là Om. Có hai nửa mặt phẳng bờ m0 m. Hình gồm một trong hai nửa mặt phẳng bờ m0 m và tia Om được

2. Hướng của góc

gọi là nửa mặt phẳng bờ m0 m mở rộng bởi tia Om. Có hai nửa mặt phẳng m0 m mở rộng bởi tia Om. Kí hiệu bởi (M) một trong hai nửa mặt phẳng bờ m0 m mở rộng bởi tia Om. Tồn tại đúng ba phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot) khác phần tử có phần hình là Om và phần hình của chúng thuộc (M). Kí hiệu phần hình của ba phần tử đó là On, O p, Oq ≤ mO theo quy tắc sau: mOn p≤ mOq (h.57, h.58, h.59, h.60, h.61). p

m0 = n0

m=n

h.57 h.58

p0 p=q

m0 = n0

m0 = n0 = p 0

m=n

h.59

m=n= p

h.60 q0

p0 = q0

m0 = n0 = p 0 = q 0

m=n= p=q

h.61

Cách kí hiệu phần hình của các phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot) như trên được gọi là cách kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot). Vì có tám cách chọn tia Om và với mỗi tia Om lại có hai nửa mặt phẳng bờ m0 m nên có mười sáu cách kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot). Chú ý 126. Vì có rất nhiều bộ bốn số thực dương đôi một khác nhau nên hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) có rất nhiều cơ sở. Tuy nhiên phần hình của các tia cơ sở của hai cơ sở bất kì tương ứng trùng nhau. Do đó nếu không kể tới sự sai khác về mặt kí hiệu thì chỉ có mười sáu cách kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot). 9.3. Sự không trùng lặp, sự trùng lặp của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh.

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

Định nghĩa 127. Hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là không trùng lặp nếu các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t đôi một khác nhau (h.57). Định nghĩa 128. Hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là trùng lặp nếu các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t không đôi một khác nhau. Khi hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp, có 4 khả năng xảy ra (h.58, h.59, h.60, h.61). • Trùng lặp loại một: Trong các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t có đúng

một bộ hai đường thẳng trùng nhau (h.58). • Trùng lặp loại hai: Trong các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t có đúng

hai bộ hai đường thẳng trùng nhau (h.59). • Trùng lặp loại ba: Trong các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t có đúng

một bộ ba đường thẳng trùng nhau (h.60). • Trùng lặp loại bốn: Các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t trùng nhau

(h.61). Chú ý 129. Nếu (Ox, O y), (Oz, Ot) không trùng lặp thì (Ox, O y), (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác không. Nếu hoặc (Ox, O y) hoặc (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-không thì (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp. 9.4. Nguồn và cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tiakhác bẹt có cùng đỉnh. Định nghĩa 130. Cho hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) với cơ sở là B(Ox, O y, Oz, Ot). Kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot) như cách kí hiệu trong định nghĩa 125. Kí hiệu N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 là các tập con bốn phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot) sao cho bốn phần tử thuộc các tập con này theo thứ tự có phần hình là Om, On, O p, Oq; On, O p, Oq, Om0 ; O p, Oq, Om0 , On0 ; Oq, Om0 , On0 , O p0 ; Om0 , On0 , O p0 , Oq0 ; On0 , O p0 , Oq0 , Om; O p0 , Oq0 , Om, On; Oq0 , Om, On, O p. Mỗi tập con N i (i = 1, 2, 3, . . . , 8) được gọi là nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) với cơ sở là B(Ox, O y, Oz, Ot). Chú ý 131. 1) Khi ta nói tới nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot), B(Ox, O y, Oz, Ot) đã được chỉ định. 2) Nếu không kể đến sự sai khác về kí hiệu, các nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) được xác định một cách duy nhất không phụ thuộc vào cách kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot).

2. Hướng của góc

3) Cách kí hiệu trong định nghĩa 130 được gọi là cách kí hiệu các nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) tương thích với cách kí hiệu chuẩn của B(Ox, O y, Oz, Ot) trong định nghĩa 125. 4) Mỗi nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) có hai phần tử thuộc B(Ox, O y) và hai phần tử thuộc B(Oz, Ot). Định nghĩa 132. Một nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là thực nếu nó không chứa hai phần tử có phần hình là hai tia đối nhau. Dễ dàng thấy rằng một nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) là thực khi và chỉ khi tồn tại những đường thẳng không đi qua O và cắt tất cả các phần hình của các phần tử trong nguồn. Định nghĩa 133. Một nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là ảo nếu nó chứa hai phần tử có phần hình là hai tia đối nhau. Dễ dàng thấy rằng một nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) là ảo khi và chỉ khi không tồn tại những đường thẳng không đi qua O và cắt tất cả các phần hình của các phần tử trong nguồn. Định nghĩa 134. Tích của tất cả các phần số của các phần tử thuộc một nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là đặc số của nguồn . Định nghĩa 135. Dấu của đặc số của một nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia khác-bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là dấu của nguồn đó. Định nghĩa 136. Một nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là dương (âm) nếu dấu của nó dương (âm). Định nghĩa 137. Hai nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cùng dấu nếu dấu của chúng hoặc cùng dương hoặc cùng âm. Định nghĩa 138. Hai nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là trái dấu nếu dấu của chúng một dương và một âm. Định nghĩa 139. Hai nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là đối nhau nếu chúng không có phần tử chung.

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

Chú ý 140. Sử dụng cách kí hiệu trong các định nghĩa 125, 130, ta thấy, với i = 1, 2, 3, ..., 8, N i , N i+4 (N9 = N1 ; N10 = N2 ; N11 = N3 ; N12 = N4 ) là hai nguồn đối nhau, phần hình của các phần tử của nguồn này tương ứng là tia đối của phần hình của các phần tử của nguồn kia. Vậy hai nguồn đối nhau là hai nguồn cùng dấu . Định nghĩa 141. Hai nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là kề nhau nếu chúng có chung đúng ba phần tử. Chú ý 142. Sử dụng cách kí hiệu trong các định nghĩa 125, 130, ta thấy, với i = 1, 2, 3, . . . , 8, N i , N i+1 (N9 = N1 ) là hai nguồn kề nhau, mỗi một trong hai tập hợp N i \ (N i ∩ N i+1 ) và N i+1 \ (N i ∩ N i+1 ) chỉ có đúng một phần tử và phần hình của phần tử trong tập hợp này là tia đối của phần hình của phần tử trong tập hợp kia, ta gọi chúng là hai tia đối nhau của hai nguồn kề nhau. Vậy hai nguồn kề nhau là hai nguồn trái dấu. Định nghĩa 143. Hai nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cách nhau nếu chúng có chung đúng hai phần tử. Chú ý 144. Sử dụng cách kí hiệu trong các định nghĩa 125, 130, ta thấy, với i = 1, 2, 3, . . . , 8, N i , N i+2 (N9 = N1 ; N10 = N2 ) là hai nguồn cách nhau, mỗi một trong hai tập hợp N i \ (N i ∩ N i+2 ) và N i+2 \ (N i ∩ N i+2 ) có đúng hai phần tử và phần hình của hai phần tử trong tập hợp này tương ứng là tia đối của phần hình của hai phần tử trong tập hợp kia, ta gọi chúng là hai bộ hai tia đối nhau của hai nguồn cách nhau. Vậy hai nguồn cách nhau là hai nguồn cùng dấu. Định nghĩa 145. Đường thẳng ∆ không đi qua O và cắt các đường thẳng x0 x, y0 y được gọi là cát tuyến của góc định hướng giữa hai tiakhác bẹt (Ox, O y). Chú ý 146. Vì ∆ chỉ có một giao điểm với đường thẳng x0 x và một giao điểm với đường thẳng y0 y nên tồn tại đúng hai phần tử của B(Ox, O y) mà phần hình của chúng bị cắt bởi ∆. Định nghĩa 147. Nếu ∆ là cát tuyến của góc định hướng giữa hai tiakhác bẹt (Ox, O y) và ∆ ∩ x0 x = X ; ∆ ∩ y0 y = Y thì đoạn thẳng định hướng # » X Y được gọi là vết của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) trên ∆. Vết của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y) trên cát tuyến ∆ của (Ox, O y) và độ dài đại số của nó theo thứ tự được kí hiệu là #» ∆ (Ox, O y) và ∆(Ox, O y).

2. Hướng của góc

Định nghĩa 148. Đặc số của cát tuyến ∆ của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y) với cơ sở B(Ox, O y) = {(Ox, a); (O y, b); (Ox0 , −a); (O y0 , −b)}, được kí hiệu là ∆[Ox, O y] và được xác định như sau   a.b khi X ∈ Ox, Y ∈ O y    a.(− b) khi X ∈ Ox, Y ∈ O y0 ∆[Ox, O y] =  (−a).b khi X ∈ Ox0 , Y ∈ O y    (−a).(− b) khi X ∈ Ox0 , Y ∈ O y0 .

Chú ý 149. Khi ta nói tới đặc số của cát tuyến của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), B(Ox, O y) đã được chỉ định. Định nghĩa 150. Đường thẳng ∆ không đi qua O và cắt các đường thẳng x0 x, y0 y, z0 z, t0 t được gọi là cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot). Đương nhiên ∆ là cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tiakhác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) khi và chỉ khi ∆ vừa là cát tuyến của (Ox, O y) vừa là cát tuyến của (Oz, Ot). Nếu ∆ là cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì, theo chú ý 146, có bốn phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot), hai phần tử thuộc B(Ox, O y) và hai phần tử thuộc B(Oz, Ot), mà phần hình của chúng bị cắt bởi ∆. Do đó bốn phần tử này cùng thuộc một nguồn thực. Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 151. Nguồn thực của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) mà phần hình của các phần tử của nó cùng bị cắt bởi cát tuyến ∆ của (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là nguồn sinh của ∆. Định nghĩa 152. Dấu của nguồn sinh của cát tuyến ∆ của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là dấu của ∆. Định nghĩa 153. Tích ∆[Ox, O y].∆[Oz, Ot] được gọi là đặc số của cát tuyến ∆ của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot). Chú ý 154. ∆[Ox, O y].∆[Oz, Ot] chính là đặc số của nguồn sinh của ∆. Do đó dấu của ∆ đối với hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) chính là dấu của ∆[Ox, O y].∆[Oz, Ot]. Định nghĩa 155. Cát tuyến ∆ của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là dương (âm) nếu dấu của nó đối với hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) là dương (âm). Định nghĩa 156. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cùng dấu nếu dấu của chúng

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

đối với hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) hoặc cùng dương hoặc cùng âm. Định nghĩa 157. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là trái dấu nếu dấu của chúng đối với hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) một dương và một âm. Định nghĩa 158. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cùng nguồn nếu chúng có cùng một nguồn sinh. Đương nhiên hai cát tuyến cùng nguồn là hai cát tuyến cùng dấu. Định nghĩa 159. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là đối nguồn nếu các nguồn sinh của chúng là hai nguồn đối nhau. Theo chú ý 140, hai cát tuyến đối nguồn là hai cát tuyến cùng dấu. Định nghĩa 160. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là kề nguồn nếu các nguồn sinh của chúng là hai nguồn kề nhau. Theo chú ý 142, hai cát tuyến kề nguồn là hai cát tuyến trái dấu. Định nghĩa 161. Hai cát tuyến ∆, ∆0 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cách nguồn nếu các nguồn sinh của chúng là hai nguồn cách nhau. Theo chú ý 144, hai cát tuyến cách nguồn là hai cát tuyến cùng dấu. 9.5. Các định lí về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt cùng đỉnh. Trước khi phát biểu và chứng minh các định lí cơ bản về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh xin giới thiệu một bổ đề quan trọng. Bổ đề 162. (Bổ đề bốn điểm) Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một tia # » # » # » # » # » # » gốc A mở rộng và AB ≤ AC ≤ AD thì AB ↑↑ AC ↑↑ AD ↑↑ BC ↑↑ BD ↑↑ CD. Chứng minh. Có tám trường hợp cần xem xét: 1) A 6= B 6= C 6= D , 2) A = B 6= C 6= D , 3) A 6= B = C 6= D , 4) A 6= B 6= C = D , 5) A 6= B = C = D , 6) A = B 6= C = D , 7) A = B = C 6= D , 8) A = B = C = D . Để cho đơn giản ta chỉ chứng minh bổ đề trong trường hợp 1, trường

2. Hướng của góc

hợp phức tạp nhất (phép chứng minh bổ đề trong các trường hợp còn lại tương tự và đơn giản hơn phép chứng minh bổ đề trong trường hợp 1) (h.62). B

h.62

Vì AB ≤ AC ≤ AD nên, theo định lí 34, # »

# » # »

# »

DC ↑↑ DB; CB ↑↑ C A (1);

# »

# » # »

# »

AB ↑↑ AC ; AB ↑↑ AD ; BC ↑↑ BD (2).

# » # » # » # » Từ (1), theo các định lí 33, 35, suy ra CD ↑↑ BD ; BC ↑↑ AC (3). # » # » # » # » # » Từ (2) và (3), theo định lí 35, suy ra AB ↑↑ AC ↑↑ AD ↑↑ BC ↑↑ BD ↑↑ # » CD . Định lí 163. Nếu ∆, ∆0 là hai cát tuyến cùng nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Chứng minh. Vì ∆, ∆0 là hai cát tuyến cùng nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) nên chúng có chung nguồn sinh. Kí hiệu phần hình của các phần tử ≤ thuộc nguồn sinh chung của ∆, ∆0 là Om, On, O p, Oq sao cho mOn mO p≤ mOq (h.63). Giả sử ∆ theo thứ tự cắt Om, On, O p, Oq tại M, N, P,Q ; ∆0 theo thứ tự cắt Om, On, O p, Oq tại M 0 , N 0 , P 0 ,Q 0 . ≤ mO Vì mOn p≤ mOq nên MN ≤ MP ≤ MQ; M 0 N 0 ≤ M 0 P 0 ≤ M 0 Q 0 .

Vậy, theo bổ đề 162, ( # » # » # » # » # » # » MN ↑↑ MP ↑↑ MQ ↑↑ NP ↑↑ NQ ↑↑ PQ # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0

# »

M N ↑↑ M P ↑↑ M Q ↑↑ N P ↑↑ N Q ↑↑ P 0 Q 0 .

(1)

Có hai mươi tư trường hợp cần xem xét. Tuy nhiên vì X Y .ZT = − X Y .T Z = −Y X .ZT = Y X .T Z với mọi bộ bốn điểm thẳng hàng X , Y , Z, T và vì vai trò của (Ox, O y), (Oz, Ot) bình đẳng trong phép chứng minh này nên ta chỉ cần xem xét ba trường hợp. # » # » #» #» Trường hợp 1. ∆ (Ox, O y) = MN; ∆ (Oz, Ot) = PQ .

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

∆

∆0

n N

M0 N0 P0

O Q0

h.63

#» # » #» # » Đương nhiên ∆0 (Ox, O y) = M 0 N 0 ; ∆0 (Oz, Ot) = P 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MN.PQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) =

M 0 N 0 .P 0 Q 0 ≥ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. # » # » #» #» Trường hợp 2. ∆ (Ox, O y) = MP; ∆ (Oz, Ot) = NQ . #»0 # 0 »0 #»0 # » Đương nhiên ∆ (Ox, O y) = M P ; ∆ (Oz, Ot) = N 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MP.NQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 P 0 .N 0 Q 0 ≥ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. # » #» # » #» Trường hợp 3. ∆ (Ox, O y) = MQ; ∆ (Oz, Ot) = NP . #»0 # 0 »0 #»0 # » Đương nhiên ∆ (Ox, O y) = M Q ; ∆ (Oz, Ot) = N 0 P 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MQ.NP ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 Q 0 .N 0 P 0 ≥ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. Tóm lại, trong mọi trường hợp ta đều có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

2. Hướng của góc

Định lí 164. Nếu ∆, ∆0 là hai cát tuyến đối nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Chứng minh. Vì ∆, ∆0 là hai cát tuyến đối nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) nên nguồn sinh của chúng đối nhau. Kí hiệu phần hình của các phần ≤ mO tử thuộc nguồn sinh của ∆ là Om, On, O p, Oq sao cho mOn p≤ mOq. Dễ thấy phần hình của các phần tử thuộc nguồn sinh của ∆0 là Om0 , On0 , O p0 , Oq0 (h.64). q

p Q

∆

∆0

N M0

O N0

h.64 P0

Giả sử ∆ theo thứ tự cắt Om, On, O p, Oq tại M, N, P,Q ; ∆0 theo thứ tự cắt Om0 , On0 , O p0 , Oq0 tại M 0 , N 0 , P 0 ,Q 0 . ≤ mO Vì mOn p≤ mOq nên MN ≤ MP ≤ MQ . 0 On0 ≤ m 0 O p0 ≤ à à ≤ mO Cũng vì mOn p≤ mOq nên, theo định lí 112, m 0 0 0 0 0 0 0 Oq0 . Do đó M N ≤ M P ≤ M Q . à m Vậy, theo bổ đề 162, ( # » # » # » # » # » # » MN ↑↑ MP ↑↑ MQ ↑↑ NP ↑↑ NQ ↑↑ PQ # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0

M N ↑↑ M P ↑↑ M Q ↑↑ N P ↑↑ N Q ↑↑ P Q .

Từ đó, tương tự phép chứng minh định lí 163, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

Định lí 165. Nếu ∆, ∆0 là hai cát tuyến kề nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Chứng minh. Vì ∆, ∆0 là hai cát tuyến kề nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) nên nguồn sinh của chúng kề nhau. Kí hiệu phần hình của các phần ≤ mO tử thuộc nguồn sinh của ∆ là Om, On, O p, Oq sao cho mOn p≤ 0 mOq và Om, Om là hai tia đối nhau của hai nguồn sinh kề nhau của ∆, ∆0 . Dễ thấy phần hình của các phần tử thuộc nguồn sinh của ∆0 là Om0 , On, O p, Oq (h.65). p n

∆

∆0 Q

h.65

Giả sử ∆ theo thứ tự cắt Om, On, O p, Oq tại M, N, P,Q ; ∆0 theo thứ tự cắt Om0 , On, O p, Oq tại M 0 , N 0 , P 0 ,Q 0 . ≤ mO Vì mOn p≤ mOq nên MN ≤ MP ≤ MQ . ≤ mO ≥ π − mO Cũng vì mOn p≤ mOq nên π − mOn p ≥ π− mOq. Do 0 Oq ≤ m 0O p ≤ m 0 On. Điều đó có nghĩa là M 0 Q 0 ≤ đó, theo định lí 109, m M0 P 0 ≤ M0 N 0.

Vậy, theo bổ đề 162, ( # » # » # » # » # » # » MN ↑↑ MP ↑↑ MQ ↑↑ NP ↑↑ NQ ↑↑ PQ # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0

M Q ↑↑ M P ↑↑ M N ↑↑ Q P ↑↑ Q N ↑↑ P 0 N 0 .

(1)

Cũng như phép chứng minh định lí 163, ta chỉ cần xem xét ba trường hợp.

2. Hướng của góc # » # » #» #» Trường hợp 1. ∆ (Ox, O y) = MN; ∆ (Oz, Ot) = PQ . #» # » #» # » Đương nhiên ∆0 (Ox, O y) = M 0 N 0 ; ∆0 (Oz, Ot) = P 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 33, 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MN.PQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 N 0 .P 0 Q 0 ≤ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0. # » # » #» #» Trường hợp 2. ∆ (Ox, O y) = MP; ∆ (Oz, Ot) = NQ . #» # » #» # » Đương nhiên ∆0 (Ox, O y) = M 0 P 0 ; ∆0 (Oz, Ot) = N 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 33, 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MP.NQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 P 0 .N 0 Q 0 ≤ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0. # » #» # » #» Trường hợp 3. ∆ (Ox, O y) = MQ; ∆ (Oz, Ot) = NP . #»0 # 0 »0 #»0 # » Đương nhiên ∆ (Ox, O y) = M Q ; ∆ (Oz, Ot) = N 0 P 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo định lí 33, 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MQ.NP ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 Q 0 .N 0 P 0 ≤ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0. Tóm lại, trong mọi trường hợp ta đều có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Định lí 166. Nếu ∆, ∆0 là hai cát tuyến cách nguồn của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Chứng minh. Vì ∆, ∆0 là hai cát tuyến cách nguồn của (Ox, O y), (Oz, Ot) nên nguồn sinh của chúng cách nhau. Kí hiệu phần hình của các phần ≤ mO tử thuộc nguồn sinh của ∆ là Om, On, O p, Oq sao cho mOn p≤ mOq 0 0 và Om, Om ; On, On là hai bộ hai tia đối nhau của hai nguồn sinh cách nhau của ∆, ∆0 . Dễ thấy phần hình của các phần tử thuộc nguồn sinh của ∆0 là Om0 , On0 , O p, Oq (h.66).

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

n P0

∆0

P Q0

N O

∆

h.66

q0 p0

Giả sử ∆ theo thứ tự cắt Om, On, O p, Oq tại M, N, P,Q ; ∆0 theo thứ tự cắt Om0 , On0 , O p, Oq tại M 0 , N 0 , P 0 ,Q 0 . ≤ mO Vì mOn p≤ mOq nên MN ≤ MP ≤ MQ . ≤ mO ≤ ≤ Mặt khác vì mOn p≤ mOq ≤ π nên mO p − mOn mOq − mOn . π − mOn 0 . Điều đó có nghĩa p ≤ nOq ≤ nOm Từ đó, theo định lí 109, suy ra nO 0 0 Om0 ≤ à là π − nO p ≥ π − nOq ≥ π − nOm . Lại theo định lí 109, n n0 Oq ≤ 0 0 0 0 0 0 0 n O p. Do đó N M ≤ N Q ≤ N P .

Vậy, theo bổ đề 162, ( # » # » # » # » # » # » MN ↑↑ MP ↑↑ MQ ↑↑ NP ↑↑ NQ ↑↑ PQ # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0 # 0 »0

# »

N M ↑↑ N Q ↑↑ N P ↑↑ M Q ↑↑ M P ↑↑ Q 0 P 0 .

(1)

Cũng như phép chứng minh định lí 163, ta cũng chỉ cần xem xét ba trường hợp. # » # » #» #» Trường hợp 1. ∆ (Ox, O y) = MN; ∆ (Oz, Ot) = PQ . #» # » #» # » Đương nhiên ∆0 (Ox, O y) = M 0 N 0 ; ∆0 (Oz, Ot) = P 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 33, 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MN.PQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 N 0 .P 0 Q 0 ≥ 0.

2. Hướng của góc

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. # » # » #» #» Trường hợp 2. ∆ (Ox, O y) = MP; ∆ (Oz, Ot) = NQ . #» # » #» # » Đương nhiên ∆0 (Ox, O y) = M 0 P 0 ; ∆0 (Oz, Ot) = N 0 Q 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MP.NQ ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) =

M 0 P 0 .N 0 Q 0 ≥ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. # » #» # » #» Trường hợp 3. ∆ (Ox, O y) = MQ; ∆ (Oz, Ot) = NP . # 0 »0 #» # » #» Đương nhiên ∆ (Ox, O y) = M Q ; ∆ (Oz, Ot) = N 0 P 0 . Kết hợp các đẳng thức trên và (1), theo các định lí 35, 92, suy ra ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) = MQ.NP ≥ 0; ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) = M 0 Q 0 .N 0 P 0 ≥ 0.

Do đó ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. Tóm lại, trong mọi trường hợp ta đều có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Định lí 167. Nếu ∆, ∆0 là các cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì 1) ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0 khi ∆, ∆0 cùng dấu. 2) ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0 khi ∆, ∆0 trái dấu. Chứng minh. Kí hiệu phần hình của các phần tử của B(Ox, O y, Oz, Ot) là Om, On, O p, Oq, Om0 , On0 , O p0 , Oq0 , như cách kí hiệu trong định nghĩa 125. Kí hiệu các nguồn của B(Ox, O y, Oz, Ot) là N1 , · · · , N8 , như cách kí hiệu trong định nghĩa 130. Tuỳ theo từng trường hợp số các nguồn thực và số các nguồn ảo của B(Ox, O y, Oz, Ot) thay đổi như sau q

m0 = n0

m=n

h.67 q0

n0 p0

h.68 q0

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

p=q

m0 = n0

m0 = n0 = p 0

m=n

h.69

m=n= p

h.70 q0

p0 = q0

m0 = n0 = p 0 = q 0

m=n= p=q

h.71

• (Ox, O y), (Oz, Ot) không trùng lặp. Tám nguồn thực: N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 ; không nguồn ảo (h.67). • (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại một. Sáu nguồn thực : N1 , N3 , N4 , N5 , N7 , N8 ; hai nguồn ảo: N2 , N6 (h.68). • (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại hai. Bốn nguồn thực: N1 , N3 , N5 , N7 ; bốn nguồn ảo: N2 , N4 , N6 , N8 (h.69). • (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại ba. Bốn nguồn thực: N1 , N4 , N5 , N8 ; bốn nguồn ảo: N2 , N3 , N6 , N7 (h.70). • (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại bốn. Hai nguồn thực: N1 , N5 ; sáu nguồn ảo: N2 , N3 , N4 , N6 , N7 , N8 (h.71).

Với i = 1, 2, 3, . . . , 8, ta kí hiệu C i là tập hợp các cát tuyến của (Ox, O y), (Oz, Ot) có nguồn sinh là N i . 1) Có năm trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. (Ox, O y), (Oz, Ot) không trùng lặp. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có tám nguồn thực: N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 ; không nguồn ảo nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 1.1. ∆ ∈ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ C7 . Vì ∆, ∆0 cùng dấu nên, theo chú ý 144, ∆0 ∈ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ C7 . Do đó ∆, ∆0 hoặc cùng nguồn hoặc đối nguồn hoặc cách nguồn. Vậy, theo các định lí 163, 164, 166, ta có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Khả năng 1.2. ∆ ∈ C2 ∪ C4 ∪ C6 ∪ C8 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

2. Hướng của góc

Trường hợp 2. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại một. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có sáu nguồn thực: N1 , N3 , N4 , N5 , N7 , N8 ; hai nguồn ảo: N2 , N6 nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 2.1. ∆ ∈ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ C7 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Khả năng 2.2. ∆ ∈ C4 ∪ C8 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Trường hợp 3. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại hai. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có bốn nguồn thực: N1 , N3 , N5 , N7 ; bốn nguồn ảo: N2 , N4 , N6 , N8 nên chỉ xảy ra một khả năng ∆ ∈ C 1 ∪ C 3 ∪ C 5 ∪ C 7 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Trường hợp 4. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại ba. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có bốn nguồn thực: N1 , N4 , N5 , N8 ; bốn nguồn ảo: N2 , N3 , N6 , N7 nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 4.1. ∆ ∈ C1 ∪ C5 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Khả năng 4.2. ∆ ∈ C4 ∪ C8 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Trường hợp 5. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại bốn. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có hai nguồn thực: N1 , N5 ; sáu nguồn ảo: N2 , N3 , N4 , N6 , N7 , N8 nên chỉ xảy ra một khả năng ∆ ∈ C 1 ∪ C 5 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Tóm lại ta luôn có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

2) Có năm trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. (Ox, O y), (Oz, Ot) không trùng lặp. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có tám nguồn thực: N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 ; không nguồn ảo nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 1.1. ∆ ∈ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ C7 .

9. Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan

Không mất tính tổng quát giả sử ∆ ∈ C1 . Vì ∆, ∆0 trái dấu nên, theo các chú ý 140, 144, ∆0 ∈ C2 ∪ C4 ∪ C6 ∪ C8 . Lấy ∆00 ∈ C8 . Vì C1 và C8 là hai nguồn kề nhau nên ∆ và ∆00 là hai cát tuyến kề nguồn. Do đó, theo định lí 165, ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot) ≤ 0.

Theo chú ý 140, 144, ∆00 , ∆0 cùng dấu. Do đó, theo phần 1, ∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Mặt khác vì (Ox, O y), (Oz, Ot) không trùng lặp nên, theo chú ý 129, ∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot) 6= 0.

Kết hợp ba bất đẳng thức trên, ta có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Khả năng 1.2. ∆ ∈ C2 ∪ C4 ∪ C6 ∪ C8 . Tương tự khả năng 1.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Trường hợp 2. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại một. Bỏ qua trường hợp đơn giản: hoặc (Ox, O y) hoặc (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-không. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có sáu nguồn thực: N1 , N3 , N4 , N5 , N7 , N8 ; hai nguồn ảo: N2 , N6 nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 2.1. ∆ ∈ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ C7 . Không mất tính tổng quát giả sử ∆ ∈ C1 . Vì ∆, ∆0 trái dấu nên, theo chú ý 144, ∆0 ∈ C4 ∪ C8 . Lấy ∆00 ∈ C8 . Vì C1 và C8 là hai nguồn kề nhau nên ∆ và ∆00 là hai cát tuyến kề nguồn. Do đó, theo định lí 165, ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot) ≤ 0.

Theo chú ý 140, ∆00 , ∆0 cùng dấu. Do đó, theo phần 1, ∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0.

Mặt khác vì (Ox, O y), (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác không nên, theo chú ý 129, ∆00 (Ox, O y).∆00 (Oz, Ot) 6= 0. Kết hợp ba bất đẳng thức trên, ta có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Khả năng 2.2. ∆ ∈ C4 ∪ C8 . Tương tự khả năng 2.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

2. Hướng của góc

Trường hợp 3. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại hai. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có bốn nguồn thực: N1 , N3 , N5 , N7 ; bốn nguồn ảo: N2 , N4 , N6 , N8 nên, theo các chú ý 140, 144, (Ox, O y), (Oz, Ot) không thể có hai cát tuyến trái dấu. Vậy trường hợp 3 không xảy ra. Trường hợp 4. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại ba. Bỏ qua trường hợp đơn giản: hoặc (Ox, O y) hoặc (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-không. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có bốn nguồn thực: N1 , N4 , N5 , N8 ; bốn nguồn ảo: N2 , N3 , N6 , N7 nên có hai khả năng xảy ra. Khả năng 4.1. ∆ ∈ C1 ∪ C5 . Tương tự khả năng 2.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Khả năng 4.2. ∆ ∈ C4 ∪ C8 . Tương tự khả năng 2.1, ta cũng có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Trường hợp 5. (Ox, O y), (Oz, Ot) trùng lặp loại bốn. Vì B(Ox, O y, Oz, Ot) có hai nguồn thực: N1 , N5 ; sáu nguồn ảo: N2 , N3 , N4 , N6 , N7 , N8 nên, theo chú ý 140, (Ox, O y), (Oz, Ot) không thể có hai cát tuyến trái dấu. Vậy trường hợp 5 không xảy ra. Tóm lại ta luôn có ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot).∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0.

Định lí 168. Nếu ∆, ∆0 theo thứ tự là cát tuyến dương, cát tuyến âm của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) thì #» #» #» #» 1) ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Oz, Ot) khi và chỉ khi ∆0 (Ox, O y) ↑↓ ∆0 (Oz, Ot). #» #» #» #» 2) ∆ (Ox, O y) ↑↓ ∆ (Oz, Ot) khi và chỉ khi ∆0 (Ox, O y) ↑↑ ∆0 (Oz, Ot). Chứng minh. 1) Các điều kiện sau tương đương. #» #» 1) ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Oz, Ot). 2) ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) ≥ 0. 3) ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≤ 0. #» #» 4) ∆0 (Ox, O y) ↑↓ ∆0 (Oz, Ot). Chú ý, theo các định lí 25, 92, 1 ⇔ 2; theo định lí 167, 2 ⇔ 3; theo các định lí 26, 92, 3 ⇔ 4. 2) Các điều kiện sau tương đương.

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

#» #» 1) ∆ (Ox, O y) ↑↓ ∆ (Oz, Ot). 2) ∆(Ox, O y).∆(Oz, Ot) ≤ 0. 3) ∆0 (Ox, O y).∆0 (Oz, Ot) ≥ 0. #» #» 4) ∆0 (Ox, O y) ↑↑ ∆0 (Oz, Ot). Chú ý, theo các định lí 26, 92, 1 ⇔ 2; theo định lí 167, 2 ⇔ 3, theo các định lí 25, 92, 3 ⇔ 4.

10. Sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng giữa hai tia 10.1. Hai góc định hướng giữa hai tia có cùng đỉnh. Định nghĩa 169. Hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cùng hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong phần 1 của định lí 168. Để biểu thị (Ox, O y), (Oz, Ot) cùng hướng, ta viết (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot). Định nghĩa 170. Hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là ngược hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong phần 2 của định lí 168. Để biểu thị (Ox, O y), (Oz, Ot) ngược hướng, ta viết (Ox, O y) ↑↓ (Oz, Ot). Định lí 171. Góc định hướng giữa hai tia-không cùng hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt và cùng đỉnh với nó. Định lí 171 là hệ quả trực tiếp của định lí 25. Định lí 172. Góc định hướng giữa hai tia-không ngược hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt và cùng đỉnh với nó. Định lí 172 là hệ quả trực tiếp của định lí 26. Định lí 173. Với hai tia Ox, O y không đối nhau, ta có 1) (Ox, O y) ↑↑ (Ox, O y). 2) (Ox, O y) ↑↓ (Ox0 , O y). 3) (Ox, O y) ↑↓ (Ox, O y0 ). 4) (Ox, O y) ↑↑ (Ox0 , O y0 ). 5) (Ox, O y) ↑↓ (O y, Ox). Định lí 173 là hệ quả trực tiếp của các định lí 25, 26, 32.

2. Hướng của góc

Định lí 174. Nếu (Ox, O y), (Oz, Ot) là hai góc định hướng giữa hai tiakhác bẹt thì (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot) khi và chỉ khi (Ox, O y) ↑↓ (Ot, Oz). Định lí 174 là hệ quả trực tiếp của định lí 33. Định lí 175. Nếu tia Oz hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong hai cạnh của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y) thì 1) (Ox, Oz) ↑↑ (Ox, O y). 2) (Oz, Ox) ↑↓ (Oz, O y). Định lí 175 là hệ quả trực tiếp của định lí 25, 26, 34. Định lí 176. Với ba góc định hướng giữa hai tia-khác không và khác bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot), (Ou, Ov), ta có 1) Nếu (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↑ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). 2) Nếu (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↓ (Ou, Ov). 3) Nếu (Ox, O y) ↑↓ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). Chứng minh. 1) Dựng đường thẳng ∆, đồng thời là cát tuyến của (Ox, O y), (Oz, Ot), (Ou, Ov). Không mất tính tổng quát giả sử ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Oz, Ot). Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. ∆ là cát tuyến dương của (Oz, Ot), (Ou, Ov). Vì ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Oz, Ot) và cát tuyến dương của (Oz, Ot), (Ou, Ov) nên ∆[Ox, O y].∆[Oz, Ot] > 0; ∆[Oz, Ot].∆[Ou, Ov] > 0. Do đó ∆[Ox, O y].∆[Ou, Ov] > 0. Vậy ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Ou, Ov) (1). Vì (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot) ;(Oz, Ot) ↑↑ (Ou, Ov); ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Oz, Ot) và cát tuyến dương của (Oz, Ot), (Ou, Ov) nên #» #» #» #» ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Oz, Ot); ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Ou, Ov).

#» #» #» Từ đó, chú ý rằng ∆ (Ox, O y), ∆ (Oz, Ot), ∆ (Ou, Ov) là các đoạn thẳng #» #» định hướng-khác không, theo định lí 35, suy ra ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Ou, Ov) (2). Từ (1) và (2) suy ra (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). Trường hợp 2. ∆ là cát tuyến âm của (Oz, Ot), (Ou, Ov). Vì ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Oz, Ot) và cát tuyến âm của (Oz, Ot), (Ou, Ov) nên ∆[Ox, O y].∆[Oz, Ot] > 0; ∆[Oz, Ot].∆[Ou, Ov] < 0. Do đó ∆[Ox, O y].∆[Ou, Ov] < 0. Vậy ∆ là cát tuyến âm của (Ox, O y), (Ou, Ov) (1).

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

Vì (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↑ (Ou, Ov); ∆ là cát tuyến dương của (Ox, O y), (Oz, Ot) và cát tuyến âm của (Oz, Ot), (Ou, Ov) nên #» #» #» #» ∆ (Ox, O y) ↑↑ ∆ (Oz, Ot); ∆ (Ox, O y) ↑↓ ∆ (Ou, Ov).

#» #» #» Từ đó, chú ý rằng ∆ (Ox, O y), ∆ (Oz, Ot), ∆ (Ou, Ov) là các đoạn thẳng #» #» định hướng-khác không, theo định lí 35, suy ra ∆ (Ox, O y) ↑↓ ∆ (Ou, Ov) (2). Từ (1) và (2) suy ra (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). 2) Vì (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) nên, theo định lí 174, (Oz, Ot) ↑↑ (Ov, Ou). Từ đó, chú ý rằng (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot), theo phần 1, suy ra (Ox, O y) ↑↑ (Ov, Ou). Vậy, lại theo định lí 174, (Ox, O y) ↑↓ (Ou, Ov). 3) Vì (Ox, O y) ↑↓ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) nên, theo định lí 174, (Ox, O y) ↑↑ (Ot, Oz); (Ot, Oz) ↑↑ (Ou, Ov). Từ đó, theo phần 1, suy ra (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). Định lí 177. Nếu (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt, (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt thì các mệnh đề sau tương đương 1) Tồn tại tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y) sao cho (Ox, Ou) ↑↑ (Oz, Ot). 2) Với mọi tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), ta có (Ox, Ou) ↑↑ (Oz, Ot). Nhờ định lí 171, ta chỉ cần chứng minh định lí 177 trong trường hợp (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác không.

Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của các định lí 175, 176. Điều kiện đủ hiển nhiên đúng. Định lí 178. Nếu (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt, (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt thì các mệnh đề sau tương đương 1) Tồn tại tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y) sao cho (Ox, Ou) ↑↓ (Oz, Ot). 2) Với mọi tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), ta có (Ox, Ou) ↑↓ (Oz, Ot). Nhờ định lí 172, ta chỉ cần chứng minh định lí 178 trong trường hợp (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-khác không.

Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của các định lí 175, 176. Điều kiện đủ hiển nhiên đúng. Định nghĩa 179. Góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y) và góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Oz, Ot) được gọi là cùng hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong định lí 177.

2. Hướng của góc

Để biểu thị (Ox, O y), (Oz, Ot) cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 169. Định nghĩa 180. Góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y) và góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Oz, Ot) được gọi là ngược hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong định lí 178. Để biểu thị Ox, O y), (Oz, Ot) ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 170. Định lí 181. Nếu (Ox, O y), (Oz, Ot) là hai góc định hướng giữa hai tiabẹt thì các mệnh đề sau tương đương 1) Tồn tại tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), tồn tại tia Ov thuộc miền trong của góc (Oz, Ot) sao cho (Ox, Ou) ↑↑ (Oz, Ov). 2) Với mọi tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), với mọi tia Ov thuộc miền trong của góc (Oz, Ot), ta có (Ox, Ou) ↑↑ (Oz, Ov). Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của các định lí 175, 176. Điều kiện đủ hiển nhiên đúng. Định lí 182. Nếu (Ox, O y), (Oz, Ot) là hai góc định hướng giữa hai tiabẹt thì các mệnh đề sau tương đương 1) Tồn tại tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), tồn tại tia Ov thuộc miền trong của góc (Oz, Ou) sao cho (Ox, Ou) ↑↓ (Oz, Ov). 2) Với mọi tia Ou thuộc miền trong của góc (Ox, O y), với mọi tia Ov thuộc miền trong của góc (Oz, Ot), ta có (Ox, Ou) ↑↓ (Oz, Ov). Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của các định lí 175, 176. Điều kiện đủ hiển nhiên đúng. Định nghĩa 183. Hai góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là cùng hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong định lí 181. Để biểu thị (Ox, O y), (Oz, Ot) cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 169. Định nghĩa 184. Hai góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y), (Oz, Ot) được gọi là ngược hướng nếu chúng thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương trong định lí 182. Để biểu thị (Ox, O y), (Oz, Ot) ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 170.

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

Định lí 185. Góc định hướng giữa hai tia-không cùng hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia cùng đỉnh với nó. Định lí 185 là hệ quả trực tiếp của định lí 171. Định lí 186. Góc định hướng giữa hai tia-không ngược hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia cùng đỉnh với nó. Định lí 186 là hệ quả trực tiếp của định lí 172. Định lí 187. Với hai tia Ox, O y, ta có 1) (Ox, O y) ↑↑ (Ox, O y). 2) (Ox, O y) ↑↓ (Ox0 , O y). 3) (Ox, O y) ↑↓ (Ox, O y0 ). 4) (Ox, O y) ↑↑ (Ox0 , O y0 ). 5) (Ox, O y) ↑↓ (O y, Ox). Trong định lí 187, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y), (O y, Ox) có cùng miền trong, các góc định hướng giữa hai tiabẹt (Ox, O y), (Ox0 , O y0 ) có miền trong là hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ yx = y0 x0 . Định lí 187 là hệ quả trực tiếp của định lí 173. Định lí 188. Với hai góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y), (Oz, Ot), ta có (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot) khi và chỉ khi (Ox, O y) ↑↓ (Ot, Oz). Trong định lí 188, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (Oz, Ot) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt hai góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Oz, Ot), (Ot, Oz) có cùng miền trong. Định lí 188 là hệ quả trực tiếp của định lí 174. Định lí 189. Nếu tia Oz hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong hai cạnh của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) thì 1) (Ox, Oz) ↑↑ (Ox, O y). 2) (Oz, Ox) ↑↓ (Oz, O y). Trong định lí 189, chú ý sau đặc biệt quan trọng: khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt và tia Oz trùng tia O y các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, Oz), (Ox, O y) có cùng miền trong. Định lí 189 là hệ quả trực tiếp của định lí 175.

2. Hướng của góc

Định lí 190. Với ba góc định hướng giữa hai tia-khác không (Ox, O y), (Oz, Ot), (Ou, Ov), ta có 1) Nếu (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot; (Oz, Ot) ↑↑ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). 2) Nếu (Ox, O y) ↑↑ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↓ (Ou, Ov). 3) Nếu (Ox, O y) ↑↓ (Oz, Ot); (Oz, Ot) ↑↓ (Ou, Ov) thì (Ox, O y) ↑↑ (Ou, Ov). Định lí 190 là hệ quả trực tiếp của định lí 176. 10.2. Hai góc định hướng giữa hai tia bất kỳ. Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta đi đến khái niệm ảnh của góc giữa hai tia (góc định hướng giữa hai tia) mà còn có vai trò quan trọng trong nhiều tình huống khác. Bổ đề 191. (Bổ đề hình bình hành) Nếu bốn điểm A, B, C, D đôi một khác nhau và không cùng thuộc một đường thẳng thì các mệnh đề sau tương đương (h.72). 1) ABCD là hình bình hành. 2) AB ∥ CD ; AD ∥ CB. # » # » 3) AB = DC . # » # » 4) AD = BC . 5) Các đoạn thẳng AC, BD có cùng trung điểm. Chứng minh. (1 ⇒ 3) Gọi O là giao điểm của các đoạn thẳng AC, BD . C

h.72

Vì ABCD là hình bình hành nên, theo chú ý 4, ABCD và ADCB là # » # » # » # » hình bình hành. Theo định lí 30, AB ↑↑ DC ; AD ↑↑ BC . Theo định lí 33, # » # » # » # » AB ↑↓ CD ; AD ↑↓ CB. Theo định lí 111, C AB = ACD ; ACB = C AD . Vậy # » # » ∆ ABC = ∆CD A . Do đó AB = CD . Tóm lại AB = DC . (3 ⇒ 5) Gọi O là giao điểm của AC, BD .

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

# » # » # » # » # » # » Vì AB ↑↑ DC nên, theo định lí 33, AB ↑↓ CD ; BA ↑↓ DC . Theo định = BDC . Do đó O thuộc lí 111, B / AC / D ; C AB = ACD ; A / BD / C ; DBA = BDC . Điều đó có nghĩa các đoạn thẳng AC, BD và C AB = ACD ; DBA # » # » là O AB = OCD ; OBA = ODC . Kết hợp với AB = | AB| = |DC | = CD , suy ra ∆O AB = ∆OCD . Do đó O A = OC; OB = OD . Vậy, các đoạn thẳng AC, BD có cùng trung điểm. (5 ⇒ 2) Gọi O là trung điểm chung của các đoạn thẳng AC, BD .

Đương nhiên B / AC / D . # » # » # » # » Theo định lí 34, O A ↑↓ OC ; OB ↑↓ OD . Do đó, theo định lí 112, AOB = . Kết hợp với O A = OC; OB = OD , ta có ∆O AB = ∆OCD . Do đó O COD AB = OCD . # » # » Vậy, theo định lí 111, AB ↑↓ CD . Từ đó, chú ý rằng A, B, C, D không cùng thuộc một đường thẳng, suy ra AB ∥ CD . Tương tự AD ∥ CB. (2 ⇒ 1) Vì AB ∥ CD; AD ∥ CB nên A, B / CD ; B, C / D A ; C, D / AB; D, A / BC . Do đó ABCD là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD; AD ∥ CB, suy ra ABCD là hình bình hành. (1 ⇒ 4) Tương tự phép chứng minh 1 ⇒ 3. (4 ⇒ 2) Tương tự phép chứng minh 3 ⇒ 2.

y (góc định hướng giữa hai tiaCho góc giữa hai tia-khác bẹt xO khác bẹt (Ox, O y)) và phép tịnh tiến T #» u . Gọi O 1 x1 , O 1 y1 theo thứ tự là ảnh của các tia Ox, O y qua T #» . Theo bổ đề 191 và định lí 63, các tia u Ox, O y theo thứ tự cùng hướng với các tia O1 x1 , O1 y1 . Từ đó, chú ý rằng hai tia Ox, O y không đối nhau, theo chú ý 107 và định lí 114, suy ra các tia O1 x1 , O1 y1 không đối nhau. Vậy xá 1 O 1 y1 là góc giữa hai tia-khác bẹt ((O1 x1 , O1 y1 ) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt). Nhận xét trên khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. y (góc định hướng Định nghĩa 192. Cho góc giữa hai tia-khác bẹt xO giữa hai tia-khác bẹt (Ox, O y)) và phép tịnh tiến T #» u . Qua T #» u các tia Ox, O y theo thứ tự biến thành các tia O1 x1 , O1 y1 . Góc giữa hai tia-khác bẹt xá 1 O 1 y1 (góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt (Ox1 , O y1 )) được gọi là y (góc định hướng giữa hai tia-khác ảnh của góc giữa hai tia-khác bẹt xO bẹt (Ox, O y)) qua T #» u. y (góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y)) Cho góc giữa hai tia-bẹt xO và phép tịnh tiến T #» u . Gọi O 1 x1 , O 1 y1 theo thứ tự là ảnh của các tia

2. Hướng của góc

Ox, O y qua T #» u . Theo bổ đề 191 và định lí 63, các tia Ox, O y theo thứ tự cùng hướng với các tia O1 x1 , O1 y1 . Từ đó, chú ý rằng các tia Ox, O y đối nhau, theo chú ý 107 và định lí 114, suy ra các tia O1 x1 , O1 y1 đối nhau. Đương nhiên qua T #» u miền trong của góc giữa hai tia-bẹt xO y (góc định hướng giữa hai tia-bẹt (O1 x1 , O1 y1 )), nửa mặt phẳng xác định bờ yx, biến thành nửa mặt phẳng bờ y1 x1 . Nhận xét trên khẳng định sự

hợp lí của định nghĩa sau. y (góc định hướng giữa hai Định nghĩa 193. Cho góc giữa hai tia-bẹt xO tia-bẹt (Ox, O y)) và phép tịnh tiến T #» u . Qua T #» u các tia Ox, O y theo thứ tự biến thành các tia O1 x1 , O1 y1 . Góc giữa hai tia-bẹt xá 1 O 1 y1 (góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox1 , O y1 )) có miền trong là ảnh của miền trong y (góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y)) của góc giữa hai tia-bẹt xO y (góc định hướng #» qua T u được gọi là ảnh của góc giữa hai tia-bẹt xO giữa hai tia-bẹt (Ox, O y)) qua T #» u.

Để chứng minh định lí 196, bên cạnh bổ đề 191 ta cần có thêm bổ đề sau. # » # » Bổ đề 194. (Bổ đề độ dài đại số) Nếu AB, CD là hai đoạn thẳng định hướng-khác không cùng phương và các vectơ định hướng của các đường thẳng định hướng AB, CD cùng hướng thì # » # » 1) AB ↑↑ CD khi và chỉ khi AB.CD > 0. # » # » 2) AB ↑↓ CD khi và chỉ khi AB.CD < 0. Chứng minh. 1) Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. AB ≡ CD . # » # » Theo định lí 92, AB ↑↑ CD khi và chỉ khi AB.CD > 0. Trường hợp 2. AB ∥ CD . # » # » Gọi X Y và ZT theo thứ tự là đoạn thẳng định hướng của các đường # » # » thẳng AB và CD , X Y ↑↑ ZT (h.73, h.74). X

h.73

h.74

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

Các điều kiện sau tương đương. # » # » 1) AB ↑↑ CD .  ( # » # » AB ↑↑ X Y  # » # »  CD ↑↑ ZT ( # » # » 2)   AB ↑↓ X Y  # » # » CD ↑↓ ZT.

 (

AB > 0   CD > 0 ( 3)   AB < 0  CD < 0.

4) AB.CD > 0 Chú ý, theo định lí 35, 1 ⇔ 2; hiển nhiên, 2 ⇔ 3; hiển nhiên 3 ⇔ 4. # » # » Tóm lại, trong cả hai trường hợp, AB ↑↑ CD khi và chỉ khi AB.CD > 0. 2) Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. AB ≡ CD . # » # » Theo định lí 92, AB ↑↓ CD khi và chỉ khi AB.CD < 0. Trường hợp 2. AB ∥ CD . # » # » Gọi X Y và ZT theo thứ tự là đoạn thẳng định hướng của các đường # » # » thẳng AB và CD , X Y ↑↑ ZT (h.75, h.76). X

h.75

Các điều kiện sau tương đương. # » # » 1) AB ↑↓ CD .  ( # » # » AB ↑↑ X Y  # » # »  CD ↑↓ ZT  ( 2)  # » # » AB ↑↓ X Y  # » # » CD ↑↑ ZT.

h.76

2. Hướng của góc

 (

AB > 0   CD <0 ( 3)   AB < 0  CD > 0.

4) AB.CD < 0 Chú ý, theo định lí 35, 1 ⇔ 2; hiển nhiên, 2 ⇔ 3; hiển nhiên 3 ⇔ 4. # » # » Tóm lại, trong cả hai trường hợp, AB ↑↓ CD khi và chỉ khi AB.CD < 0. Chú ý 195. Nếu trong một tình huống nào đó có hai đường thẳng song song cùng được định hướng thì các đoạn thẳng định hướng của chúng được quy ước là cùng hướng. Định lí 196. Nếu các góc định hướng giữa hai tia (O2 x2 , O2 y2 ), (O2 z2 , O2 t2 ) theo thứ tự là ảnh của các góc định hướng giữa hai tia (O1 x1 , O1 y1 ), (O1 z1 , O1 t 1 ) qua phép tịnh tiến TO# 1 O»2 thì 1) (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↑ (O1 z1 , O1 t1 ) khi và chỉ khi (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↑ (O2 z2 , O2 t2 ). 2) (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↓ (O1 z1 , O1 t1 ) khi và chỉ khi (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↓ (O2 z2 , O2 t2 ) Chứng minh. 1) Bỏ qua trường hợp đơn giản: một trong bốn góc (O1 x1 , O1 y1 ), (O1 z1 , O1 t 1 ), (O2 x2 , O2 y2 ), (O2 z2 , O2 t 2 ) là góc định hướng giữa hai tiakhông. Có ba trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. Cả hai góc (O1 x1 , O1 y1 ) và (O1 z1 , O1 t1 ) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt. Có hai khả năng xảy ra. Khả năng 1.1. O1 = O2 . Hiển nhiên đúng. Khả năng 1.2. O1 6= O2 . Không mất tính tổng quát giả sử ½

B(O1 x1 , O1 y1 , O1 z1 , O1 t 1 ) = {(O1 x1 , a), (O1 y1 , b), (O1 z1 , c), (O1 t 1 , d)} B(O2 x2 , O2 y2 , O2 z2 , O2 t 2 ) = {(O2 x2 , a), (O2 y2 , b), (O2 z2 , c), (O2 t 2 , d)}.

(1)

Dựng cát tuyến ∆1 của hai góc (O1 x1 , O1 y1 ), (O1 z1 , O1 t1 ). Gọi ∆2 là ảnh của ∆1 qua phép tịnh tiến TO# 1 O»2 . Đương nhiên ∆1 ∥ ∆2 và ∆2 là cát tuyến của hai góc (O2 x2 , O2 y2 ), (O2 z2 , O2 t2 ). Giả sử ∆1 theo thứ tự cắt các đường thẳng x10 x1 , y10 y1 , z10 z1 , t01 t1 tại X 1 , Y1 , Z1 , T1 ; ∆2 theo thứ tự cắt các đường thẳng x20 x2 , y20 y2 , z20 z2 , t02 t 2 tại X 2 , Y2 , Z2 , T2 (h.77).

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

∆1

x1 T1 X1

z2 t2

∆2 T2 Y2

h.77 O2

Dễ thấy                                      

 ½

                                    

 ½

X 1 ∈ O 1 x1   ½ X 2 ∈ O 2 x2  X 1 ∈ O1 x10  X 2 ∈ O2 x20  ½

Y1 ∈ O1 y1   ½ Y2 ∈ O2 y2  Y1 ∈ O1 y10  Y2 ∈ O2 y20 (2) Z 1 ∈ O 1 z1   ½ Z 2 ∈ O 2 z2  Z1 ∈ O1 z10  Z2 ∈ O2 z20  ½

T1 ∈ O1 t 1   ½ T2 ∈ O2 t 2  T1 ∈ O1 t01  T2 ∈ O2 t02 .

Từ (1) và (2) suy ra dấu của ∆1 đối với (O1 x1 , O1 y1 ), (O1 z1 , O1 t1 ) cũng chính là dấu của ∆2 đối với (O2 x2 , O2 y2 ), (O2 z2 , O2 t2 ) (3).

2. Hướng của góc

# » # » # » # » # » Mặt khác vì X 1 X 2 = O1 O2 = Y1 Y2 nên, theo bổ đề 191, X 1 Y1 = X 2 Y2 . Vậy, theo bổ đề 194, X 1 Y1 = X 2 Y2 . Tương tự Z1 T1 = Z2 T2 . Tóm lại X 1 Y1 .Z1 T1 = X 2 Y2 .Z2 T2 . Điều đó có nghĩa là ∆(O1 x1 , O1 y1 ).∆(O1 z1 , O1 t 1 ) = ∆(O2 x2 , O2 y2 ).∆(O2 z2 , O2 t 2 ).  ½ ∆(O1 x1 , O1 y1 ).∆(O1 z1 , O1 t 1 ) > 0  ∆(O2 x2 , O2 y2 ).∆(O2 z2 , O2 t 2 ) > 0  Do đó  ½  ∆(O1 x1 , O1 y1 ).∆(O1 z1 , O1 t 1 ) < 0 ∆(O2 x2 , O2 y2 ).∆(O2 z2 , O2 t 2 ) < 0.  ½ #» #» ∆ (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↑ ∆ (O1 z1 , O1 t 1 ) #» #»  ∆ (O x , O y ) ↑↑ ∆ (O2 z2 , O2 t 2 )  (4) Vậy, theo định lí 92,  ½ #» 2 2 2 2 #»  ∆ (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↓ ∆ (O1 z1 , O1 t 1 ) #» #» ∆ (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↓ ∆ (O2 z2 , O2 t 2 ).

Từ (3) và (4) suy ra (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↑ (O1 z1 , O1 t 1 ) khi và chỉ khi (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↑ (O2 z2 , O2 t 2 ).

Trường hợp 2. Có đúng một trong hai góc (O1 x1 , O1 y1 ) và (O1 z1 , O1 t1 ) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. Trường hợp 2 là hệ quả trực tiếp của trường hợp 1. Trường hợp 3. Cả hai góc (O1 x1 , O1 y1 ) và (O1 z1 , O1 t1 ) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. Trường hợp 3 là hệ quả trực tiếp của trường hợp 1. 2) Dễ thấy các điều kiện sau tương đương. 1) (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↓ (O1 z1 , O1 t1 ). 2) (O1 x1 , O1 y1 ) ↑↑ (O1 t1 , O1 z1 ). 3) (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↑ (O2 t2 , O2 z2 ). 4) (O2 x2 , O2 y2 ) ↑↓ (O2 z2 , O2 t2 ). Chú ý, theo định lí 188, 1 ⇔ 2; theo phần 1, 2 ⇔ 3; theo định lí 188,

3 ⇔ 4.

Định lí 196 khẳng định sự hợp lí của các định nghĩa 197, 198. Định nghĩa 197. Hai góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) được gọi là cùng hướng nếu tồn tại điểm O sao cho ảnh của (I x, I y) qua phép # » và ảnh của (J z, J t) qua phép tịnh tiến T # » là hai góc định tịnh tiến T IO JO hướng giữa hai tia (đương nhiên cùng đỉnh, đỉnh O ) cùng hướng.

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

Để biểu thị (I x, I y), (J z, J t) cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 169. Định nghĩa 198. Hai góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) được gọi là ngược hướng nếu tồn tại điểm O sao cho ảnh của (I x, I y) qua phép # » và ảnh của (J z, J t) qua phép tịnh tiến T # » là hai góc định tịnh tiến T IO JO hướng giữa hai tia (đương nhiên cùng đỉnh, đỉnh O ) ngược hướng. Để biểu thị (I x, I y), (J z, J t) ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 170. Định lí 199. Góc định hướng giữa hai tia-không cùng hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia. Định lí 199 là hệ quả trực tiếp của định lí 185. Định lí 200. Góc định hướng giữa hai tia-không ngược hướng với mọi góc định hướng giữa hai tia. Định lí 200 là hệ quả trực tiếp của định lí 186. Định lí 201. Nếu I x ↑↑ J z, I y ↑↑ J t thì 1) (I x, I y) ↑↑ (J z, J t). 2) (I x, I y) ↑↓ (J z0 , J t). 3) (I x, I y) ↑↓ (J t, J z0 ). 4) (I x, I y) ↑↑ (J z0 , J t0 ). 5) (I x, I y) ↑↓ (J t, J z). Trong định lí 201, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (I x, I y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt (J z, J t) cũng là góc định hướng giữa hai tia-bẹt và miền trong của (J z, J t) là ảnh của miền trong của (I x, I y) qua phép tịnh tiến T I# J» , các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (J z, J t), (J z0 , J t0 ) có miền trong là hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ tz = t0 z0 , các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (J z, J t), (J t, J z) có cùng miền trong. Định lí 201 là hệ quả trực tiếp của định lí 187. Định lí 202. Với hai góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t), ta có (I x, I y) ↑↑ (J z, J t) khi và chỉ khi (I x, I y) ↑↓ (J t, J z). Trong định lí 202, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (J z, J t) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt hai góc định hướng giữa hai tia-bẹt (J z, J t), (J t, J z) có cùng miền trong. Định lí 202 là hệ quả trực tiếp của định lí 188.

2. Hướng của góc

Định lí 203. Với ba góc định hướng giữa hai tia-khác không (I x, I y), (J z, J t), (K u, K v), ta có 1) Nếu (I x, I y) ↑↑ (J z, J t); (J z, J t) ↑↑ (K u, K v) thì (I x, I y) ↑↑ (K u, K v). 2) Nếu (I x, I y) ↑↑ (J z, J t); (J z, J t) ↑↓ (K u, K v) thì (I x, I y) ↑↓ (K u, K v). 3) Nếu (I x, I y) ↓↓ (J z, J t); (J z, J t) ↓↓ (K u, K v) thì (I x, I y) ↑↑ (K u, K v). Định lí 203 là hệ quả trực tiếp của định lí 190. 10.3. Hướng của góc định hướng giữa hai tia, mặt phẳng định hướng. Theo các định lí 187, 203, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai tia-khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Định nghĩa 204. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai tia-khác không được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai tia. Hướng của góc định hướng giữa hai tia chứa góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được gọi đơn giản là hướng của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y). Thuật ngữ hướng của góc định hướng giữa hai tia phần nào giải thích ý nghĩa của các thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 197. Cụ thể, hai góc định hướng giữa hai tia-khác không được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của góc định hướng giữa hai tia. Dễ dàng thấy rằng có hai hướng của góc định hướng giữa hai tia và mỗi một góc định hướng giữa hai tia thuộc hướng của góc định hướng giữa hai tia này ngược hướng với mỗi một góc định hướng giữa hai tia thuộc hướng của góc định hướng giữa hai tia kia. Đó là lí do để ta nói rằng hai hướng của góc định hướng giữa hai tia trong quan hệ cùng hướng là hai hướng của góc định hướng giữa hai tia ngược nhau. Định nghĩa 205. Mặt phẳng được gọi là định hướng nếu trên đó một trong hai hướng của góc định hướng giữa hai tia được đánh dấu bởi dấu cộng (+) và hướng của góc định hướng giữa hai tia còn lại được đánh dấu bởi dấu trừ (–). Hướng của góc định hướng giữa hai tia mang dấu cộng (dấu trừ) được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai tia dương (âm). Góc định hướng giữa hai tia thuộc hướng của góc định hướng giữa hai tia dương (âm) được gọi là góc định hướng giữa hai tia có hướng

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

dương (âm). Nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia có hướng dương (âm) được thay bởi thuật ngữ góc định hướng giữa hai tia dương (âm). Theo các định lí 199, 200, các góc định hướng giữa hai tia-không được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. Thông thường người ta quy ước hướng dương là hướng ngược với hướng quay của kim đồng hồ, hướng âm là hướng trùng với hướng quay của kim đồng hồ. Cách diễn đạt trên được hiểu như sau. Khi muốn định hướng một mặt phẳng nào đó, đặt ngửa (trong tưởng tượng) một cái đồng hồ (có kim và có mười hai số được đánh số từ 1 tới 12) lên mặt phẳng đó và kí hiệu điểm đặt trục của đồng hồ là O . Góc định hướng giữa hai tia (O2, O1) được coi là có hướng dương và, theo định lí 173, góc định hướng giữa hai tia (O1, O2) được coi là có hướng âm (h.78). 12 11

1 2

O 4

8 7

5 6

h.78

10.4. Hướng của tam giác và hướng của đa giác lồi. # » # » # » # » # » # » Định lí 206. Với mọi tam giác ABC , ta có ( AB, AC) ↑↑ (BC, BA) ↑↑ (C A, CB). Chứng minh. Qua A dựng đường thẳng ∆ song song với BC . Đương # » nhiên B, C / ∆. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K bất kì. Đương nhiên B / ∆ / K . Vì B / ∆ / K và B, C / ∆ nên C / ∆ / K . Do đó ∆ cắt đoạn thẳng CK . Gọi L là giao điểm của ∆ và CK (h.79). # » Vì K thuộc tia đối của tia AB nên A thuộc đoạn thẳng BK . Do đó B / AC / K . Vì L thuộc đoạn thẳng CK nên K, L / AC . Vậy B / AC / L.

2. Hướng của góc

Kết hợp với AL ∥ CB, theo bổ đề 18, suy ra BCLA là hình thang. Điều # » đó có nghĩa là tia AC thuộc miền trong của góc định hướng giữa hai tia # » # » # » # » # » # » ( AB, AL). Vậy, theo các định lí 174, 175, 176, ( AB, AC) ↑↑ ( AC, AL). # » Vì L thuộc đoạn thẳng CK nên tia AL thuộc miền trong của góc # » # » định hướng giữa hai tia ( AC, AK). Do đó, theo các định lí 174, 175, # » # » # » # » ( AC, AL) ↑↑ ( AL, AK). K

h.79

∆

# » # » Vì BCLA là hình thang nên, theo định lí 30, BC ↑↑ AL. Vì A thuộc # » # » đoạn thẳng BK nên, theo các định lí 33, 34, BA ↑↑ AK . Vậy, theo định lí # » # » # » # » 201, (BC, BA) ↑↑ ( AL, AK). # » # » # » # » Tóm lại, theo định lí 203, ( AB, AC) ↑↑ (BC, BA) (1). # » # » # » # » Tương tự (BC, BA) ↑↑ (C A, CB) (2). # » # » # » # » Từ (1) và (2), lại theo định lí 203, suy ra ( AB, AC) ↑↑ (BC, BA) ↑↑ # » # » (C A, CB). Định lí 206 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 207. Hướng của góc định hướng giữa hai tia chứa các góc # » # » # » # » # » # » định hướng giữa hai tia ( AB, AC), (BC, BA), (C A, CB) được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với tam giác ABC . Định nghĩa 208. Hai tam giác ABC, A 0 B0 C 0 được gọi là cùng hướng nếu các hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với chúng bằng nhau. Để biểu thị hai tam giác ABC, A 0 B0 C 0 cùng hướng, ta viết 4 ABC ↑↑ 4 A B0 C 0 . 0

10. Các vấn đề về hướng của hai góc định hướng

Định nghĩa 209. Hai tam giác ABC, A 0 B0 C 0 được gọi là ngược hướng nếu các hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với chúng ngược nhau. Để biểu thị hai tam giác ABC, A 0 B0 C 0 ngược hướng, ta viết 4 ABC ↑↓ 4 A B0 C 0 . 0

Định lí 210. Với mọi tam giác ABC , ta có 1) 4 ABC ↑↑ 4 ABC . 2) 4 ABC ↑↑ 4BC A ↑↑ 4C AB. 3) 4 ABC ↑↓ 4 ACB; 4BC A ↑↓ 4BAC; 4C AB ↑↓ 4CBA . Định lí 211 là hệ quả trực tiếp của các định lí 188, 207. Định lí 211. Với ba tam giác ABC, A 0 B0 C 0 , A 00 B00 C 00 , ta có 1) Nếu 4 ABC ↑↑ 4 A 0 B0 C 0 ; 4 A 0 B0 C 0 ↑↑ 4 A 00 B00 C 00 thì 4 ABC ↑↑ 4 A 00 B00 C 00 . 2) Nếu 4 ABC ↑↑ 4 A 0 B0 C 0 ; 4 A 0 B0 C 0 ↑↓ 4 A 00 B00 C 00 thì 4 ABC ↑↓ 4 A 00 B00 C 00 . 3) Nếu 4 ABC ↑↓ 4 A 0 B0 C 0 ; 4 A 0 B0 C 0 ↑↓ 4 A 00 B00 C 00 thì 4 ABC ↑↑ 4 A 00 B00 C 00 . Định lí 212 là hệ quả trực tiếp của định lí 204. Định lí 212. Nếu hai điểm M, N không thuộc đường thẳng AB thì 1) M, N / AB khi và chỉ khi 4 M AB ↑↑ 4 N AB. 2) M / AB / N khi và chỉ khi 4 M AB ↑↓ 4 N AB. Chứng minh. Điều kiện cần của 1) (h.80). N

h.80

# » # » Vì M, N / AB nên các tia AM, AN cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ # » AB. Do đó hoặc tia AM thuộc miền trong của góc định hướng giữa hai

2. Hướng của góc

# » # » # » tia ( AB, AN) hoặc tia AN thuộc miền trong của góc định hướng giữa hai # » # » # » # » # » # » tia ( AB, AM). Từ đó, theo định lí 175, suy ra ( AB, AM) ↑↑ ( AB, AN). Vậy, theo các định lí 210, 211, 4 M AB ↑↑ 4 N AB. Điều kiện cần của 2) (h.81). Vì M / AB / N nên đường thẳng AB cắt đoạn MN . Gọi K là giao điểm của AB và MN . Có hai trường hợp cần xem xét. # » Trường hợp 1. K thuộc tia AB. M

h.81 N

# » # » # » Vì K thuộc tia AB nên tia AB trùng tia AK . Vì M / AB / N nên K # » thuộc đoạn MN . Vậy tia AB thuộc miền trong của góc định hướng giữa # » # » # » # » # » # » hai tia ( AM, AN). Do đó, theo định lí 175, ( AB, AM) ↑↓ ( AB, AN). Vậy, theo các định lí 210, 211, ∆ M AB ↑↓ ∆ N AB. # » Trường hợp 2. K thuộc tia BA . Theo trường hợp 1, ∆ MBA ↑↓ ∆ NBA . Vậy, theo các định lí 210, 211, ∆ M AB ↑↓ ∆ N AB. Điều kiện đủ của 1). Phản chứng. Điều kiện đủ của 2). Phản chứng.

Theo các định lí 210, 211, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các tam giác quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Có hai lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ tương đương này, lớp các tam giác có hướng dương (gồm những tam giác mà hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với chúng dương) và lớp các tam giác có hướng âm (gồm những tam giác mà hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với chúng âm). Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 213. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các tam giác được gọi là hướng của tam giác .

11. Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia

Hướng của tam giác chứa tam giác ABC được gọi đơn giản là hướng của tam giác ABC . Thuật ngữ hướng của tam giác giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 209. Cụ thể, hai tam giác cùng hướng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một hướng của tam giác. Để biểu thị 4 ABC có hướng dương (âm) , ta viết 4 ABC + (− ). Hoàn toàn tương tự với các khái niệm hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với tam giác, hai tam giác cùng hướng, hai tam giác ngược hướng, hướng của tam giác, ta cũng có các khái niệm hướng của góc định hướng giữa hai tia tương thích với đa giác lồi, hai đa giác lồi cùng hướng, hai đa giác lồi ngược hướng, hướng của đa giác lồi.

11. Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia 11.1. Số đo của góc định hướng giữa hai tia. Trong mục này, khái niệm số đo của góc định hướng giữa hai tia, công cụ quan trọng giúp ta đại số hoá hình học phẳng về phương diện số đo góc, được giới thiệu. Định nghĩa 214. Trên mặt phẳng định hướng, số đo của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được kí hiệu là sđ(Ox, O y) và được xác định như sau   sđ(Ox, O y) nếu (Ox, O y) có hướng dương −sđ(Ox, O y) nếu (Ox, O y) có hướng âm sđ(Ox, O y) =  0 nếu (Ox, O y) là góc giữa hai tia-không.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được kí hiệu đơn giản là (Ox, O y). Đương nhiên −π ≤ (Ox, O y) ≤ π. y. Chú ý 215. 1) |(Ox, O y)| = xO 2) (Ox, O y) = 0 khi và chỉ khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-không. 3) (Ox, O y) = ±π khi và chỉ khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. π 4) (Ox, O y) = ± khi và chỉ khi xx0 ⊥ yy0 .

Định lí 216. Với hai tia Ox, O y, ta có (Ox, O y) = – (O y, Ox). Trong định lí 216, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y), (O y, Ox) có cùng miền trong.

2. Hướng của góc

Định lí 216 là hệ quả trực tiếp của định lí 187. Hai góc (Ox, O y), (O y, Ox) trong định lí 216 gọi là hai góc định hướng giữa hai tia đối nhau. Định lí 217. Với hai tia Ox, O y, ta có (Ox, O y) = (Ox0 , O y0 ). Trong định lí 217, chú ý sau đây đặc biệt quan trọng: khi (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt các góc định hướng giữa hai tia-bẹt (Ox, O y), (Ox0 , O y0 ) có miền trong là hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ yx = y0 x0 . Định lí 217 là hệ quả trực tiếp của các định lí 112, 187. Hai góc (Ox, O y), (Ox0 , O y0 ) trong định lí 217 được gọi là hai góc định hướng giữa hai tia đối đỉnh. Định lí 218. Nếu I x ↑↑ J z, I y ↑↑ J t thì 1) (I x, I y) = (J z, J t) khi (I x, I y) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt. 2) (I x, I y) = ±(J z, J t) khi (I x, I y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. Định lí 218 là hệ quả trực tiếp của các định lí 114, 201. Hai góc (I x, I y), (J z, J t) trong định lí 218 được gọi là hai góc định hướng giữa hai tia có các cạnh tương ứng cùng hướng. Định lí 219. Nếu I x ↑↓ J z, I y ↑↓ J t thì 1) (I x, I y) = (J z, J t) khi (I x, I y) là góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt. 2) (I x, I y) = ±(J z, J t) khi (I x, I y) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. Định lí 219 là hệ quả trực tiếp của các định lí 115, 201, 203. Hai góc (I x, I y), (J z, J t) trong định lí 219 được gọi là hai góc định hướng giữa hai tia có các cạnh tương ứng ngược hướng. Có một vấn đề tế nhị cần lưu ý, trên mặt phẳng không định hướng ta có thể nói tới góc định hướng giữa hai tia nhưng không thể nói tới số đo của góc định hướng giữa hai tia. Vì vậy, để cho thuận tiện, trong cuốn sách này nếu đã nói tới góc định hướng giữa hai tia thì mặt phẳng chứa góc định hướng giữa hai tia đó được coi là đã được định hướng. 11.2. Góc lượng giác giữa hai tia. Định nghĩa 220. Bộ hai thành phần ((Ox, O y), k) (k ∈ Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai tia, kí hiệu là (Ox, O y)k .

11. Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia

Điểm O được gọi là đỉnh, các tia Ox, O y theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, O y)k . Góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được gọi là góc định hướng giữa hai tia sinh của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, O y)k , số nguyên k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, O y)k . Định nghĩa 221. Số đo của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, O y)k được kí hiệu là sđ(Ox, O y)k và được xác định như sau sđ(Ox, O y)k = sđ(Ox, O y) + k2π. Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, O y)k được kí hiệu đơn giản là (Ox, O y)k .

Chú ý 222. (Ox, O y)0 = (Ox, O y). Định lí 223. Với ba tia Ox, O y, Oz và ba số nguyên k, l, m, ta có 1) (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π) (hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai tia). 2) (Ox, O y)k ≡ (Oz, O y)m − (Oz, Ox)l (mod 2π). ·

Tia Ox trùng tia O y Tia Ox trùng tia O y0 . Không mất tính tổng quát giả sử góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) có hướng dương. Có sáu trường hợp cần xem xét. · y Tia Oz nằm trong góc xO Trường hợp 1. (h.82) Tia Oz trùng tia Ox. Chứng minh. Bỏ qua các trường hợp đơn giản:

h.82

Theo các định lí 109, 174, 175, ta có y = (Ox, O y)0 = xO xOz + zO y = (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

2. Hướng của góc

Do đó (Ox, O y)k·≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). 0 Tia Oz nằm trong góc yOx Trường hợp 2. (h.83) Tia Oz trùng tia O y. z y

h.83

Theo các định lí 109, 174, 175, ta có y = (Ox, O y)0 = xO xOz + zO y = (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). Trường hợp 3. Tia Oz trùng tia Ox0 (h.84). y

z = x0

h.84

Theo chú ý 215, có hai khả năng xảy ra. Khả năng 3.1. (Ox, Oz)0 = π. Theo các định lí 109, 189, ta có y = π − (Ox, O y)0 = xO zO y = (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). Khả năng 3.2. (Ox, Oz)0 = −π. Theo các định lí 109, 189, ta có y = π − (Ox, O y)0 = xO zO y = 2π − π − zO y = 2π + (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

11. Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). 0 O y0 (h.85). Trường hợp 4. Tia Oz nằm trong góc x x0

h.85

Theo các định lí 109, 174, 175, 189, ta có y = 2π − (Ox, O y)0 = xO xOz − zO y = 2π + (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). Trường hợp 5. Tia Oz trùng với tia O y0 (h.86). x0

z = y0

h.86

Theo chú ý 212, có hai khả năng xảy ra. Khả năng 5.1 (Oz, O y)0 = π. Theo các định lí 109, 189, ta có y = π − (Ox, O y)0 = xO xOz = (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). Khả năng 5.2 (Oz, O y)0 = −π. Theo các định lí 109, 189, ta có y = π − (Ox, O y)0 = xO xOz = 2π − π − xOz = 2π + (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

2. Hướng của góc

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). 0 Ox (h.87). Trường hợp 6. Tia Oz nằm trong góc y x0

y0 x z

h.87

Theo các định lí 109, 174, 175, ta có y = − (Ox, O y)0 = xO xOz + zO y = (Ox, Oz)0 + (Oz, O y)0 .

Do đó (Ox, O y)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, O y)m (mod 2π). 2) Theo định lí 216, (Ox, Oz)0 = – (Oz, Ox)0 . Do đó (Ox, Oz)l = – (Oz, Ox)l . Vậy, theo phần 1, (Ox, O y)k ≡ (Oz, O y)m − (Oz, Ox)l (mod 2π).

Chú ý 224. Khi không quan tâm tới chu kì của các góc lượng giác giữa hai tia, định lí 223 được viết đơn giản như sau 1) (Ox, O y) ≡ (Ox, Oz) + (Oz, O y) (mod 2π). 2) (Ox, O y) ≡ (Oz, O y) − (Oz, Ox) (mod 2π).

12. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ 12.1. Góc giữa hai vectơ. Định nghĩa 225. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai vectơ-khác không #» #» #» a , b được gọi là góc giữa hai vectơ, hoặc kí hiệu là 〈 #» a , b 〉 hoặc kí hiệu #» #» là 〈 b , a 〉. #» #» Các vectơ #» a , b được gọi là cạnh của góc giữa hai vectơ 〈 #» a , b 〉. Định lí 114 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. y được gọi là góc giữa hai tia Định nghĩa 226. Góc giữa hai tia xO #» #» tương thích với góc giữa hai vectơ 〈 a , b 〉 nếu các tia Ox, O y theo thứ tự #» cùng hướng với các vectơ #» a, b.

12. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ

Định nghĩa 227. Số đo của góc giữa hai vectơ là số đo của góc giữa hai tia tương thích với nó. #» #» Số đo của góc giữa hai vectơ 〈 #» a , b 〉 được kí hiệu là sđ〈 #» a , b 〉. Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai vectơ được kí #» #» hiệu đơn giản là 〈 #» a , b 〉. Đương nhiên 0 ≤ 〈 #» a , b 〉 ≤ π. #» #» Định lí 228. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có 〈 #» a , b 〉 = 0 khi và chỉ #» khi #» a ↑↑ b . Định lí 228 là hệ quả trực tiếp của nhận xét 107. #» #» Định lí 229. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có #» a ↑↓ b khi và chỉ khi #» 〈 #» a , b 〉 = π. Định lí 229 là hệ quả trực tiếp của nhận xét 107. #» #» π Định lí 230. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có 〈 #» a , b 〉 = khi và chỉ 2 #» khi #» a ⊥ b. Định lí 230 là hệ quả trực tiếp của nhận xét 107. #» #» #» #» #» #» #» Định lí 231. Nếu #» a , b , #» c , d 6= 0 và #» a ↑↑ #» c ; b ↑↑ d thì 〈 #» a , b 〉 ↑↑ 〈 #» c , d 〉. Định lí 231 là hệ quả trực tiếp của định lí 114. #» #» #» #» #» #» #» Định lí 232. Nếu #» a , b , #» c , d 6= 0 và #» a ↑↓ #» c ; b ↑↓ d thì 〈 #» a , b 〉 ↑↑ 〈 #» c , d 〉. Định lí 232 là hệ quả trực tiếp của định lí 115. 12.2. Góc định hướng giữa hai vectơ. Định nghĩa 233. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai vectơ-khác không và #» không ngược hướng ( #» a , b ) được gọi là góc định hướng giữa hai vectơ#» khác bẹt, cũng kí hiệu là ( #» a , b ). Chú ý 215 và định lí 218 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 234. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai vectơ-khác không và #» ngược hướng ( #» a , b ) cùng với một trong hai số π, −π được gọi là góc định #» hướng giữa hai vectơ-bẹt, cũng kí hiệu là ( #» a , b ). Chú ý 235. Khi ta nói tới một góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt, một trong hai số π, −π trong định nghĩa của nó đã được chỉ định.

2. Hướng của góc

#» Các vectơ #» a , b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc #» định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ). Nếu không có gì nhầm lẫn thì các thuật ngữ góc định hướng giữa hai vectơ-khác bẹt, góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt cùng được thay bởi thuật ngữ góc định hướng giữa hai vectơ. Định lí 219 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 236. Góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được gọi là góc định hướng giữa hai tia tương thích với góc định hướng giữa hai vectơ#» khác bẹt ( #» a , b ) nếu các tia Ox, O y theo thứ tự cùng hướng với các vectơ #» #» a, b. Định nghĩa 237. Số đo của góc định hướng giữa hai vectơ-khác bẹt là số đo của góc định hướng giữa hai tia tương thích với nó. Định nghĩa 238. Số đo của góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt là một trong hai số π, −π trong định nghĩa của nó. #» Số đo của góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ) được kí hiệu là #» sđ( #» a , b ). Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc định hướng giữa hai #» #» #» vectơ ( #» a , b ) được kí hiệu đơn giản là ( #» a , b ). Đương nhiên −π ≤ ( #» a , b ) ≤ π. #» #» Chú ý 239. |( #» a , b )| = 〈 #» a , b 〉. #» #» Định nghĩa 240. Hai góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) được gọi cùng hướng nếu tích các số đo của chúng không âm. #» #» Để biểu thị ( #» a , b ), ( #» c , d ) cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 169. #» #» Định nghĩa 241. Hai góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) được gọi là ngược hướng nếu tích các số đo của chúng không dương. #» #» Để biểu thị ( #» a , b ), ( #» c , d ) ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 170. Đương nhiên ta có các định lí sau. Định lí 242. Góc định hướng giữa hai vectơ có số đo bằng không cùng hướng với mọi góc định hướng giữa hai vectơ. Định lí 243. Góc định hướng giữa hai vectơ có số đo bằng không ngược hướng với mọi góc định hướng giữa hai vectơ.

12. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ

Định lí 244. Với ba góc định hướng giữa hai vectơ có số đo khác không #» #» #» ( #» a , b ), ( #» c , d ), ( #» e , f ), ta có #» #» #» #» #» #» 1) Nếu ( #» a , b ) ↑↑ ( #» c , d ); ( #» c , d ) ↑↑ ( #» e , f ) thì ( #» a , b ) ↑↑ ( #» e , f ). #» #» #» #» #» #» 2) Nếu ( #» a , b ) ↑↑ ( #» c , d ); ( #» c , d ) ↑↓ ( #» e , f ) thì ( #» a , b ) ↑↓ ( #» e , f ). #» #» #» #» #» #» 3) Nếu ( #» a , b ) ↑↓ ( #» c , d ); ( #» c , d ) ↑↓ ( #» e , f ) thì ( #» a , b ) ↑↑ ( #» e , f ). Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Có hai lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ tương đương này, lớp các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo dương và lớp các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo âm. Định nghĩa 245. Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo khác không được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai vectơ . Hướng của góc định hướng giữa hai vectơ chứa góc định hướng giữa #» hai vectơ ( #» a , b ) được gọi đơn giản là hướng của góc định hướng giữa hai #» vectơ ( #» a , b ). Thuật ngữ hướng của góc định hướng giữa hai vectơ phần nào giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 241. Cụ thể, hai góc định hướng giữa hai vectơ có số đo khác không cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của góc định hướng giữa hai vectơ. Hướng của góc định hướng giữa hai vectơ gồm các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo dương (âm) được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai vectơ dương (âm). Góc định hướng giữa hai vectơ thuộc hướng của góc định hướng giữa hai vectơ dương (âm) được gọi là góc định hướng giữa hai vectơ có hướng dương (âm). Nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ góc định hướng giữa hai vectơ có hướng dương (âm) được thay bởi thuật ngữ góc định hướng giữa hai vectơ dương (âm). Theo các định lí 242, 243, các góc định hướng giữa hai vectơ có số đo bằng không được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. #» #» Định lí 246. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) = 0 khi và chỉ #» khi #» a ↑↑ b . Định lí 246 là hệ quả trực tiếp của chú ý 215. #» #» Định lí 247. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) = ±π khi và chỉ #» a ↑↓ b . khi #»

2. Hướng của góc

Định lí 247 là hệ quả trực tiếp của chú ý 215. π #» #» Định lí 248. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) = ± khi và chỉ 2 #» khi #» a ⊥ b. Định lí 248 là hệ quả trực tiếp của chú ý 215. #» #» #» Định lí 249. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) = − ( b , #» a ). Định lí 249 là hệ quả trực tiếp của định lí 216. #» #» #» #» #» Định lí 250. Nếu #» a , b , #» c , d 6= 0 và #» a ↑↑ #» c ; b ↑↑ d thì #» #» #» 1) ( #» a , b ) = ( #» c , d ) khi ( #» a , b ) là góc định hướng giữa hai vectơ-khác bẹt. #» #» #» 2) ( #» a , b ) = ±( #» c , d ) khi ( #» a , b ) là góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt. Định lí 250 là hệ quả trực tiếp của định lí 218. #» #» #» #» #» Định lí 251. Nếu #» a , b , #» c , d 6= 0 và #» a ↑↓ #» c ; b ↑↓ d thì #» #» #» 1) ( #» a , b ) = ( #» c , d ) khi ( #» a , b ) là góc định hướng giữa hai vectơ-khác bẹt. #» #» #» 2) ( #» a , b ) = ±( #» c , d ) khi ( #» a , b ) là góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt. Định lí 251 là hệ quả trực tiếp của định lí 219. 12.3. Góc lượng giác giữa hai vectơ. #» Định nghĩa 252. Bộ hai thành phần (( #» a , b ), k) (k ∈ Z) được gọi là góc #» lượng giác giữa hai vectơ, kí hiệu là ( #» a , b )k . #» Các vectơ #» a , b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc #» lượng giác giữa vectơ ( #» a , b )k . #» Góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ) được gọi là góc định hướng #» giữa hai vectơ sinh của góc lượng giác giữa hai vectơ ( #» a , b )k , số nguyên #» k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai vectơ ( #» a , b )k . #» Định nghĩa 253. Số đo của góc lượng giác giữa hai vectơ ( #» a , b )k được #» kí hiệu là sđ( #» a , b )k và được xác định như sau #» #» sđ( #» a , b ) = sđ( #» a , b ) + k2π. k

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai vectơ #» #»

( #» a , b )k được kí hiệu đơn giản là ( #» a , b )k .

13. Cung, cung định hướng, cung lượng giác

#» #» Chú ý 254. ( #» a , b )0 = ( #» a , b ).

#» Định lí 255. Với ba vectơ-khác không #» a , b , #» c và ba số nguyên k, l, m, ta có #» #» 1) ( #» a , b )k ≡ ( #» a , #» c )l + ( #» c , b )m (mod 2π) (Hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai vectơ). #» #» 2) ( #» a , b ) ≡ ( #» c , b ) − ( #» c , #» a ) (mod 2π). k

Định lí 255 là hệ quả trực tiếp của định lí 223. Chú ý 256. Khi không quan tâm tới chu kì của các góc lượng giác giữa hai vectơ, định lí 255 được viết đơn giản như sau #» #» 1) ( #» a , b ) ≡ ( #» a , #» c ) + ( #» c , b ) (mod 2π). #» #» 2) ( #» a , b ) ≡ ( #» c , b ) − ( #» c , #» a ) (mod 2π). #» Định nghĩa 257. Nếu #» a , b là hai vectơ-khác không và k, m (m 6= 0) là hai số nguyên thì ³ ´ #» #» #» 1) m( #» a , b )k = m ( #» a , b )0 + k2π = m( #» a , b )0 + km2π. 2)

´ 1 1 #» #» 1 ³ #» #» k #» ( a , b )k = a , b )0 + 2π. ( a , b )0 + k2π) = ( #» m m m m

13. Cung, cung định hướng, cung lượng giác 13.1. Cung. Định nghĩa 258. Cho đường tròn (O, R). A, B là hai điểm thuộc (O, R). Bộ hai thành phần ( AOB, (O, R)) được gọi là cung của đường tròn (O, R), Ù (O,R ) . hoặc kí hiệu là Ù AB/(O,R ) hoặc kí hiệu là BA/ Ù (O,R ) theo thứ Nếu không có gì nhầm lẫn thì các kí hiệu Ù AB/(O,R ) , BA/ Ù (O) hay đơn giản hơn Ù Ù. tự được thay bởi các kí hiệu Ù AB/(O) , BA/ AB, BA

Các điểm A, B được gọi là đầu mút của cung Ù AB . Góc giữa hai tia AOB và cung Ù AB được gọi là góc giữa hai tia và cung tương ứng với nhau. Định nghĩa 259. Giao của miền trong của góc giữa hai tia AOB và đường tròn (O, R) được gọi là miền trong của cung ( AOB, (O, R)). Định nghĩa 260. Độ dài miền trong của cung ( AOB, (O, R)) chia cho R được gọi là số đo (tính theo radian) của cung ( AOB, (O, R)), kí hiệu là sđ Ù AB.

2. Hướng của góc

Dễ dàng thấy rằng số đo của góc giữa hai tia AOB và số đo của cung Ù AB bằng nhau. Nói cách khác góc giữa hai tia và cung tương ứng với nhau có số đo bằng nhau. Đương nhiên 0 ≤ sđ Ù AB ≤ π. Chú ý 261. 1) sđ Ù AB = 0 khi và chỉ khi AOB là góc giữa hai tia-không. Ù 2) sđ AB = π khi và chỉ khi AOB là góc giữa hai tia-bẹt. π AB = khi và chỉ khi O A ⊥ OB. 3) sđ Ù 2

Định lí 262. Nếu điểm C hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong hai đầu mút của cung Ù AB thì Ù + sđCB Ù (hệ thức Chasles cho cung). sđ Ù AB = sđ AC

Định lí 262 là hệ quả trực tiếp của định lí 109. Chú ý 263. 1) Nếu không có lưu ý gì đặc biệt thì các cung xuất hiện trong cùng một tình huống luôn được coi là các cung của cùng một đường tròn. 2) Thay cho cách nói cung Ù AB của đường tròn (O, R) ta còn có cách nói khác: cung Ù AB thuộc đường tròn (O, R). 13.2. Cung định hướng. Định nghĩa 264. Cho đường tròn (O, R). A, B là hai điểm thuộc (O, R). # » # » Bộ hai thành phần ((O A, OB), (O, R)) được gọi là cung định hướng của đường tròn (O, R), kí hiệu là å AB/(O,R ) . Nếu không có gì nhầm lẫn thì kí hiệu å AB/(O,R ) được thay bởi å AB/(O) hay đơn giản hơn å AB. Các điểm A, B theo thứ tự được gọi là đầu mút đầu, đầu mút cuối của cung định hướng å AB. # » # » Góc định hướng giữa hai tia (O A, OB) và cung định hướng å AB được gọi là góc định hướng giữa hai tia và cung định hướng tương ứng với nhau. Cung định hướng được gọi là dương (âm) nếu góc định hướng giữa hai tia tương ứng với nó là góc định hướng giữa hai tia dương (âm). Định nghĩa 265. Số đo của cung định hướng å AB (tính theo radian) å được kí hiệu là sđ AB và được xác định như sau   AB nếu å AB dương  sđ Ù å Ù sđ AB = −sđ AB nếu å AB âm   0 nếu A ≡ B.

13. Cung, cung định hướng, cung lượng giác

Chú ý 266. |sđ å AB| = sđ Ù AB. # » # » Dễ dàng thấy rằng số đo của góc định hướng giữa hai tia (O A, OB) và số đo của cung định hướng å AB bằng nhau. Nói cách khác góc định hướng giữa hai tia và cung định hướng tương ứng với nhau có số đo bằng nhau. Đương nhiên −π ≤ sđ å AB ≤ π. # » # » Chú ý 267. 1) sđ å AB = 0 khi và chỉ khi (O A, OB) là góc định hướng giữa hai tia-không. # » # » 2) sđ å AB = ±π khi và chỉ khi (O A, OB) là góc định hướng giữa hai tia-bẹt. π # » # » 3) sđ å AB = ± khi và chỉ khi O A ⊥ OB. 2

å được gọi là cùng hướng Định nghĩa 268. Hai cung định hướng å AB, CD nếu tích số đo của chúng không âm. # » # » å cùng hướng, ta viết AB Để biểu thị å AB, CD ↑↑ CD . å được gọi là ngược hướng Định nghĩa 269. Hai cung định hướng å AB, CD nếu tích số đo của chúng không dương. # » # » å ngược hướng, ta viết AB Để biểu thị å AB, CD ↑↓ CD . Đương nhiên ta có các định lí sau.

Định lí 270. Cung định hướng có số đo bằng không cùng hướng với mọi cung định hướng. Định lí 271. Cung định hướng có số đo bằng không ngược hướng với mọi cung định hướng. å EF å, Định lí 272. Với ba cung định hướng có số đo khác không å AB, CD, ta có å , CD å ↑↑ EF å thì å å. 1) Nếu å AB ↑↑ CD AB ↑↑ EF å , CD å ↑↓ EF å thì å å. 2) Nếu å AB ↑↑ CD AB ↑↓ EF å , CD å ↑↓ EF å thì å å. 3) Nếu å AB ↑↓ CD AB ↑↑ EF

Trong các định nghĩa 268, 269 và các định lí 270, 271, 272, các cung định hướng không cần phải cùng thuộc một đường tròn. Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các cung định hướng có số đo khác không (không cần phải cùng thuộc một đường tròn) quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Có hai lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ tương đương này, lớp các cung định hướng có số đo dương và lớp các cung định hướng có số đo âm.

2. Hướng của góc

Định nghĩa 273. Mỗi lớp tương đương sinh bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các cung định hướng có số đo khác không (không cần phải cùng thuộc một đường tròn) được gọi là hướng của cung định hướng. Hướng của cung định hướng chứa cung định hướng å AB được gọi đơn å giản là hướng của cung định hướng AB. Thuật ngữ hướng của cung định hướng giải thích phần nào ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 268. Cụ thể, hai cung định hướng cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của cung định hướng. Hướng của cung định hướng gồm các cung định hướng có số đo dương (âm) được gọi là hướng của cung định hướng dương (âm). Cung định hướng thuộc hướng của cung định hướng dương (âm) được gọi là cung định hướng có hướng dương (âm). Nếu không có gì nhầm lẫn, thuật ngữ cung định hướng có hướng dương (âm) được thay bởi thuật ngữ cung định hướng dương (âm). Theo các định lí 270, 271, các cung định hướng có số đo bằng không được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. Định lí 274. Với hai điểm A, B ta có å sđ å AB = − sđBA.

Định lí 274 là hệ quả trực tiếp của định lí 216. Chú ý 275. 1) Nếu không có lưu ý gì đặc biệt thì các cung định hướng xuất hiện trong cùng một tình huống luôn được coi là các cung định hướng của cùng một đường tròn. 2) Thay cho cách nói cung å AB của đường tròn (O, R) ta còn có cách nói khác: cung å AB thuộc đường tròn (O, R). 13.3. Cung lượng giác. Định nghĩa 276. Cho đường tròn (O, R). A, B là hai điểm thuộc (O, R). # » # » Bộ hai thành phần ((O A, OB)k , (O, R)) (k ∈ Z) được gọi là cung lượng giác của đường tròn (O, R), kí hiệu là å AB k /(O,R ) . å k /(O,R ) theo Nếu không có gì nhầm lẫn thì các kí hiệu å AB k /(O,R ) , BA å k /(O) hay đơn giản hơn å å k. thứ tự được thay bởi å AB k /(O) , BA AB k , BA

Các điểm A, B và số nguyên k theo thứ tự được gọi là đầu mút đầu, đầu mút cuối và chu kì của cung lượng giác å AB k .

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng

# » # » Góc lượng giác giữa hai tia (O A, OB)k và cung lượng giác å AB k được gọi là góc lượng giác giữa hai tia và cung lượng giác tương ứng với nhau. Định nghĩa 277. Số đo của cung lượng giác å AB k được kí hiệu là sđ å AB k và được xác định như sau sđ å AB k = sđ å AB + k2π. Chú ý 278. sđ å AB0 = sđ å AB. # » # » Dễ dàng thấy rằng số đo của góc lượng giác giữa hai tia (O A, OB)k và số đo của cung lượng giác å AB k bằng nhau. Nói cách khác góc lượng giác giữa hai tia và cung lượng giác tương ứng với nhau có số đo bằng nhau. Định lí 279. Với ba điểm A, B, C và ba số nguyên k, l, m, ta có å l + sđCB å m (mod 2π) 1) sđ å AB k ≡ sđ AC (hệ thức Chasles cho cung lượng giác). å m − sđC å 2) sđ å AB k ≡ sđCB A l (mod 2π).

Định lí 279 là hệ quả trực tiếp của định lí 223. Chú ý 280. 1) Khi không quan tâm tới chu kì của cung lượng giác, định lí 279 được viết đơn giản như sau å +sđCB å (hệ thức Chasles cho cung lượng giác). (mod 2π) • sđ å AB ≡ sđ AC å − sđC å • sđ å AB ≡ sđCB A (mod 2π).

2) Nếu không có lưu ý gì đặc biệt thì các cung định hướng xuất hiện trong cùng một tình huống luôn được coi là các cung định hướng của cùng một đường tròn. 3) Thay cho cách nói cung å AB k của đường tròn (O, R) ta còn có cách å nói khác: cung AB k thuộc đường tròn (O, R).

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng 14.1. Góc giữa hai đường thẳng. Định nghĩa 281. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai đường thẳng a, b được gọi là góc giữa hai đường thẳng, hoặc kí hiệu là 〈a, b〉 hoặc kí hiệu là 〈 b, a〉.

2. Hướng của góc

Các đường thẳng a, b được gọi là cạnh của góc giữa hai đường thẳng 〈a, b〉. Các định lí 114, 115 khẳng định sự hợp lí của các định nghĩa sau. y được gọi là góc giữa hai tia tương Định nghĩa 282. Góc giữa hai tia xO y ≤ π . thích với góc giữa hai đường thẳng 〈a, b〉 nếu xx0 ∥≡ a; yy0 ∥≡ b; xO

Định nghĩa 283. Số đo của góc giữa hai đường thẳng 〈a, b〉 là số đo của các góc giữa hai tia tương thích với nó. Số đo của góc giữa hai đường thẳng 〈a, b〉 được kí hiệu là sđ〈a, b〉. Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai đường thẳng π 〈a, b〉 được kí hiệu đơn giản là 〈a, b〉. Đương nhiên 0 ≤ 〈a, b〉 ≤ . 2

Định lí 284. Với hai đường thẳng a, b, ta có 〈a, b〉 = 0 khi và chỉ khi a ∥≡ b. Định lí 284 là hệ quả trực tiếp của chú ý 107. π

Định lí 285. Với hai đường thẳng a, b, ta có 〈a, b〉 = khi và chỉ khi 2 a ⊥ b. Định lí 285 là hệ quả trực tiếp của chú ý 107. Định lí 286. Nếu các đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ∥≡ c; b ∥≡ d thì 〈a, b〉 = 〈 c, d 〉.

Định lí 286 là hệ quả trực tiếp của định lí 114. Định lí 287. Nếu các đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ⊥ c; b ⊥ d thì 〈a, b〉 = 〈 c, d 〉. Chứng minh. Có ba trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. 〈a, b〉 = 0. Vì 〈a, b〉 = 0 nên, theo định lí 284, a ∥≡ b. Kết hợp với a ⊥ c; b ⊥ d , ta có c ∥≡ d . Do đó, lại theo định lí 284, 〈 c, d 〉 = 0. Vậy 〈a, b〉 = 〈 c, d 〉. π Trường hợp 2. 〈a, b〉 = . Vì 〈a, b〉 =

nên, theo định lí 285, a ⊥ b. Kết hợp với a ⊥ c; b ⊥ d , ta π

có c ⊥ d . Do đó, lại theo định lí 285, 〈 c, d 〉 = . 2 Vậy 〈a, b〉 = 〈 c, d 〉. π Trường hợp 3. 0 < 〈a, b〉 < . 2

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng

y là góc giữa hai tia tương thích với 〈a, b〉 (h.88). Giả sử xO z t

x0 O

h.88 y0

Trên nửa mặt phẳng bờ x0 x chứa tia O y dựng tia Oz sao cho Oz ⊥ Ox. Trên nửa mặt phẳng bờ y0 y chứa tia Oz dựng tia Ot sao cho Ot ⊥ O y. y = 〈a, b〉 < π = Vì 0 < 〈a, b〉 = xO xOz và O y, Oz cùng thuộc một nửa mặt 2

phẳng bờ x0 x nên, theo định lí 109, O y thuộc miền trong của góc xOz. π d . Từ đó, chú ý rằng Do đó, lại theo định lí 109, 0 < yOz < xOz = = yOt

2 Oz, Ot cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ y0 y, suy ra Oz thuộc miền d . Vậy, vẫn theo định lí 109, trong của góc yOt π y = d − d xO xOz − yOz = − yOz = yOt yOz = zOt. 2

Mặt khác vì z0 z ⊥ x0 x ∥≡ a ⊥ c; t0 t ⊥ y0 y ∥≡ b ⊥ d nên z0 z ∥≡ c; t0 t ∥≡ d . y = zOt d < π , ta có 〈a, b〉 = 〈 c, d 〉. Vậy, chú ý rằng xO 2

14.2. Góc định hướng giữa hai đường thẳng. Định nghĩa 288. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai đường thẳng không vuông góc (a, b) được gọi là góc định hướng giữa hai đường thẳng-khác vuông, cũng kí hiệu là (a, b). Chú ý 215 và định lí 218 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 289. Bộ có phân biệt thứ gồm hai đường thẳng vuông góc π π (a, b) cùng với một trong hai số ; − được gọi là góc định hướng giữa 2

hai đường thẳng-vuông, cũng kí hiệu là (a, b). Chú ý 290. Khi ta nói tới một góc định hướng giữa hai đường thẳngπ π vuông, một trong hai số ; − nói trong định nghĩa của nó đã được chỉ 2 2 định.

2. Hướng của góc

Nếu không có gì nhầm lẫn thì các thuật ngữ góc định hướng giữa hai đường thẳng-khác vuông, góc định hướng giữa hai đường thẳng-vuông cùng được thay bởi thuật ngữ góc định hướng giữa hai đường thẳng. Các đường thẳng a, b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b). Các định lí 218, 219 khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau. Định nghĩa 291. Góc định hướng giữa hai tia (Ox, O y) được gọi là góc giữa hai tia tương thích với góc định hướng giữa hai đường thẳng-khác π π vuông (a, b) nếu x0 x0 ∥≡ a; y0 y ∥≡ b; − < (Ox, O y) < . 2

Định nghĩa 292. Số đo của góc định hướng giữa hai đường thẳng-khác vuông là số đo của các góc định hướng giữa hai tia tương thích với nó. Định nghĩa 293. Số đo của góc định hướng giữa hai đường thẳngπ π vuông là một trong hai số ; − trong định nghĩa của nó. 2

Số đo của góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b) được kí hiệu là sđ(a, b). Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc định hướng giữa hai π đường thẳng (a, b) được kí hiệu đơn giản là (a, b). Đương nhiên − ≤ (a, b) ≤

Chú ý 294. |(a, b)| = 〈a, b〉. Định nghĩa 295. Hai góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) được gọi là cùng hướng nếu tích các số đo của chúng không âm. Để biểu thị (a, b), (c, d) cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 169. Định nghĩa 296. Hai góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) được gọi là ngược hướng nếu tích các số đo của chúng không dương. Để biểu thị (a, b), (c, d) ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sau định nghĩa 170. Đương nhiên ta có các định lí sau. Định lí 297. Góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo bằng không cùng hướng với mọi góc định hướng giữa hai đường thẳng. Định lí 298. Góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo bằng không ngược hướng với mọi góc định hướng giữa hai đường thẳng.

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng

Định lí 299. Với các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo khác không (a, b), (c, d), (e, f ), ta có 1) Nếu (a, b) ↑↑ (c, d), (c, d) ↑↑ (e, f ) thì (a, b) ↑↑ (e, f ). 2) Nếu (a, b) ↑↑ (c, d), (c, d) ↑↓ (e, f ) thì (a, b) ↑↓ (e, f ). 3) Nếu (a, b) ↑↓ (c, d), (c, d) ↑↓ (e, f ) thì (a, b) ↑↑ (e, f ). Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương. Có hai lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ tương đương này, lớp các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo dương và lớp các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo âm. Định nghĩa 300. Mỗi lớp tương đương sinh bởi quan hệ cùng hướng trong tập hợp các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo khác không được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng. Hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng chứa góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b) được gọi đơn giản là hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b). Thuật ngữ hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng phần nào giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 296. Cụ thể, hai góc định hướng giữa hai đường thẳng cùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng. Hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng gồm các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo dương (âm) được gọi là hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng dương (âm). Góc định hướng giữa hai đường thẳng thuộc hướng của góc định hướng giữa hai đường thẳng dương (âm) được gọi là góc định hướng giữa hai đường thẳng có hướng dương (âm). Nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ góc định hướng giữa hai đường thẳng có hướng dương (âm) được thay bởi thuật ngữ góc định hướng giữa hai đường thẳng dương (âm). Theo các định lí 297, 298, các góc định hướng giữa hai đường thẳng có số đo bằng không được coi là vừa có hướng dương vừa có hướng âm. Định lí 301. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) = 0 khi và chỉ khi a ∥≡ b. Định lí 301 là hệ quả trực tiếp của chú ý 215.

100

2. Hướng của góc π

Định lí 302. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) = ± khi và chỉ khi 2 a ⊥ b. Định lí 302 là hệ quả trực tiếp của chú ý 215. Định lí 303. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) = – (b, a). Định lí 303 là hệ quả trực tiếp của định lí 216. Định lí 304. Nếu các đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ∥≡ c; b ∥≡ d thì 1) (a, b) = (c, d) khi a 6⊥ b. 2) (a, b) = ±(c, d) khi a ⊥ b. Định lí 304 là hệ quả trực tiếp của định lí 218 và chú ý 215. Định lí 305. Nếu các đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ⊥ c; b ⊥ d thì 1) (a, b) = (c, d) khi a 6⊥ b. 2) (a, b) = ±(c, d) khi a ⊥ b. π

Chứng minh. 1) Vì a 6⊥ b nên, theo định lí 302, (a, b) 6= ± . Do đó có ba 2

trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. (a, b) = 0. Vì (a, b) = 0 nên, theo định lí 301, a ∥≡ b. Kết hợp với a ⊥ c; b ⊥ d , ta có a ∥≡ b. Do đó, lại theo định lí 301, (c, d) = 0. Vậy (a, b) = (c, d). π Trường hợp 2. 0 < (a, b) < . 2

Giả sử (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia tương thích với (a, b) và không mất tính tổng quát giả sử (Ox, O y) có hướng dương (h.89). z y

x O

h.89 y0

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng

101

Trên nửa mặt phẳng bờ x0 x chứa tia O y dựng tia Oz sao cho Oz ⊥ Ox. Trên nửa mặt phẳng bờ y0 y chứa tia Oz dựng tia Ot sao cho Ot ⊥ O y. π Vì 0 < (a, b) = (Ox, O y) = (a, b) < = xOz và O y, Oz cùng thuộc một nửa 2

mặt phẳng bờ x0 x nên, theo định lí 109, O y thuộc miền trong của góc π d . Từ đó, chú xOz. Do đó, lại theo định lí 109, 0 < yOz < xOz = = yOt 2

ý rằng Oz, Ot cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ y0 y, suy ra Oz thuộc d . Vậy, vẫn theo định lí 109, miền trong của góc yOt y = (Ox, O y) = xO xOz − yOz =

d − d = (Oz, Ot) − yOz = yOt yOz = zOt

Mặt khác vì z0 z ⊥ x0 x ∥≡ a ⊥ c; t0 t ⊥ y0 y ∥≡ b ⊥ d nên z0 z ∥≡ c; t0 t ∥≡ d . π Vậy, chú ý rằng 0 < (Ox, O y) = (Oz, Ot) < , ta có (a, b) = (c, d). 2

Trường hợp 3. − < (a, b) < 0. 2

Theo định lí 303, 0 < (b, a) < . Do đó, theo trường hợp 2, (b, a) = (d, c). 2

Vậy, lại theo định lí 303, (a, b) = (c, d).

2) Vì a ⊥ b nên, theo định lí 302, (a, b) = ± . Vì a ⊥ b; a ⊥ c; b ⊥ d 2 π 2

nên c ⊥ d . Do đó, lại theo định lí 302, (c, d) = ± . Vậy (a, b) = ±(c, d).

14.3. Góc lượng giác giữa hai đường thẳng. Định nghĩa 306. Bộ hai thành phần ((a, b), k) (k ∈ Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai đường thẳng, kí hiệu là (a, b)k . Các đường thẳng a, b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (a, b)k . Góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b) được gọi là góc định hướng giữa hai đường thẳng sinh của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (a, b)k , số nguyên k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (a, b)k . Định nghĩa 307. Số đo của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (a, b)k được kí hiệu là sđ(a, b)k và được xác định như sau (a, b)k = (a, b) + kπ

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (a, b)k được kí hiệu đơn giản là (a, b)k . Chú ý 308. (a, b)0 = (a, b).

102

2. Hướng của góc

Để chứng minh định lí 311 ta cần có một bổ đề. Bổ đề 309. (Bổ đề gốc) Với hai đường thẳng AB, CD và hai số nguyên k, l , ta có " # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 1) # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 ± π.

# » # » 2) (AB, CD)k ≡ ( AB, CD)l (mod π). Chứng minh. 1) Có năm trường hợp cần xem xét. π # » # » Trường hợp 1. 0 < ( AB, CD)0 < . 2

Giả sử (Ox, O y) là góc định hướng giữa hai tia tương thích với (AB, CD) và không mất tính tổng quát giả sử (Ox, O y) có hướng dương. Có bốn khả năng xảy ra. # » # » Khả năng 1.1. AB ↑↑ Ox, CD ↑↑ O y (h.90). # » # » Theo định lí 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = ( AB, CD)0 . y

y0 C

h.90

# » # » Khả năng 1.2. AB ↑↑ Ox0 , CD ↑↑ O y (h.91). y = π − Theo các định lí 109, 189, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = xO # » # » 0 0 x O y = π + (Ox , O y)0 = π + ( AB, CD)0 . y

y0 C

h.91

14. Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng

103

# » # » Khả năng 1.3. AB ↑↑ Ox, CD ↑↑ O y0 (h.92). y = π − Theo các định lí 109, 189, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = xO # » # » 0 xO y0 = π + (Ox, O y )0 = π + ( AB, CD)0 . y

y0 D

h.92

# » # » Khả năng 1.4. AB ↑↑ Ox0 , CD ↑↑ O y0 (h.93). # » # » Theo các định lí 217, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = (Ox0 , O y0 )0 = ( AB, CD)0 . y

y0 D

h.93

π # » # » Trường hợp 2. − < ( AB, CD)0 < 0.

Tương tự trường hợp 1. Trường hợp 3. (AB, CD)0 = 0.

" # » # » ( AB, CD)0 = 0 Vì (AB, CD)0 = 0 nên, theo chú ý 215, # » # » ( AB, CD)0 = ±π. " # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 Do đó # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 ± π. π Trường hợp 4. (AB, CD)0 = . 2 π π # » # » Vì (AB, CD)0 = nên, theo chú ý 215, ( AB, CD)0 = ± . 2 2 " # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 Do đó # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 + π.

104

2. Hướng của góc π

Trường hợp 5.(AB, CD)0 = − . 2

π # » # » nên, theo chú ý 215, ( AB, CD)0 = ± . 2 2 " # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 Do đó # » # »

Vì (AB, CD)0 = −

(AB, CD)0 = ( AB, CD)0 − π.

2) Hệ quả trực tiếp của phần 1.

Chú ý 310. Khi không quan tâm tới chu kì của góc lượng giác giữa hai đường thẳng và góc lượng giác giữa hai vectơ, bổ đề 304 được viết đơn giản như sau # » # » (AB, CD) ≡ ( AB, CD) (mod π). Định lí 311. Với ba đường thẳng a, b, c và ba số nguyên k, l, m, ta có 1) (a, b)k ≡ (a, c)l + (c, b)m (mod π) (hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai đường thẳng). 2) (a, b)k ≡ (c, b)m – (c, a)l (mod π). Chứng minh. 1) Trên a, b, c theo thứ tự lấy các đoạn thẳng-khác không AB, CD, EF . Theo bổ đề 309 và định lí 223, ta có (a, b)k ≡ (AB, CD)k (mod π)

# » # »

≡ ( AB, CD)k (mod π)

# » # »

≡ ( AB, EF)l + (EF, CD)m (mod π) ≡ (AB, EF)l + (EF, CD)m (mod π) ≡ (a, c)l + (c, b)m (mod π).

2) Theo định lí 304, (a, c)0 = – (c, a)0 . Do đó (a, c)l = – (c, a)l . Từ đó, theo phần 1, suy ra (a, b)k ≡ (c, b)m – (c, a)l (mod π).

Chú ý 312. Khi không quan tâm tới chu kì của các góc định hướng giữa hai đường thẳng, định lí 311 được viết đơn giản như sau 1) (a, b) ≡ (a, c) + (c, b) (mod π) (hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai đường thẳng). 2) (a, b) ≡ (c, b) – (c, a) (mod π). Định nghĩa 313. Nếu a, b là hai đường thẳng và k, m (m 6= 0) là hai số nguyên thì ³

1) m(a, b)k = m (a, b)0 + kπ = m(a, b)0 + kmπ.

15. Một vài kết quả cơ bản

105

´ 1 1³ k (a, b)k = (a, b)0 + kπ = m(a, b)0 + π. m m m

15. Một vài kết quả cơ bản Trong mục này, một loạt các kết quả cơ bản được giới thiệu. Nhờ các kết quả cơ bản này, các phép biến đổi góc lượng giác giữa hai vectơ và góc lượng giác giữa hai đường thẳng trở nên đơn giản hơn. #» #» Định lí 314. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ 0 (mod 2π) #» khi và chỉ khi #» a ↑↑ b . Định lí 314 là hệ quả trực tiếp của định lí 246. #» #» Định lí 315. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ π (mod 2π) #» khi và chỉ khi #» a ↑↓ b . Định lí 315 là hệ quả trực tiếp của định lí 247. #» #» #» Định lí 316. Với hai vectơ-khác không #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ − ( b , #» a ) (mod 2π). Định lí 316 là hệ quả trực tiếp của định lí 248. #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» Định lí 317. Nếu #» a , b , a0 , b0 6= 0 và #» a ↑↑ a0 ; b ↑↑ b0 thì ( #» a , b ) ≡ ( a0 , b0 ) (mod π). Định lí 317 là hệ quả trực tiếp của định lí 250. #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» Định lí 318. Nếu #» a , b , a0 ; b0 6= 0 và #» a ↑↓ a0 ; b ↑↓ b0 thì ( #» a , b ) ≡ ( a0 , b0 ) (mod π). Định lí 318 là hệ quả trực tiếp của định lí 251. #» #» #» #» #» #» #» Định lí 319. Nếu #» a , b , a0 6= 0 và ( #» a , b ) ≡ ( a0 , b ) (mod π) thì #» a ↑↑ a0 . #» #» #» Chứng minh. Vì ( #» a , b ) ≡ ( a0 , b ) (mod 2π) nên, theo các định lí 255, 316, #» #» #» #» ( #» a , a0 ) ≡ ( #» a , b ) − ( a0 , b ) ≡ 0 (mod 2π). #» Do đó, theo định lí 314, #» a ↑↑ a0 .

#» #» #» #» Định lí 320. Với bốn vectơ-khác không #» a , b , #» c , d , ta có ( #» a , b ) ≡ ( #» c , d) #» #» (mod 2π) khi và chỉ khi ( #» a , #» c ) ≡ ( b , d ) (mod 2π). Chứng minh. Các điều kiện sau tương đương. #» #» 1) ( #» a , b ) ≡ ( #» c , d ) (mod 2π). #» #» 2) ( #» a , #» c ) + ( #» c , b ) ≡ ( #» c , d ) (mod 2π). #» #» 3) ( #» a , #» c ) ≡ ( #» c , d ) − ( #» c , b ) (mod 2π).

106

2. Hướng của góc #» #» 4) ( #» a , #» c ) ≡ ( b , d ) (mod 2π).

Chú ý, theo định lí 255, 1 ⇔ 2; hiển nhiên 2 ⇔ 3; theo định lí 255, 3 ⇔ 4. #» #» #» #» Định lí 321. Với bốn vectơ-khác không a , b , c , d , ta có #» #» #» #» ( #» a , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( #» c , b ) (mod 2π). Chứng minh. Theo định lí 255, ta có #» #» #» #» #» #» #» #» ( #» a , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( d , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( #» c , b ) (mod 2π). Định lí 322. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ 0 (mod π) khi và chỉ khi a ∥≡ b. Định lí 322 là hệ quả trực tiếp của định lí 301. π

Định lí 323. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ (mod π) khi và chỉ 2

khi a ⊥ b. Định lí 323 là hệ quả trực tiếp của định lí 302.

Định lí 324. Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ − (b, a) (mod π). Định lí 324 là hệ quả trực tiếp của định lí 303. Định lí 325. Nếu các đường thẳng a, b, a0 , b0 thỏa mãn a ∥≡ a0 ; b ∥≡ b0 thì (a, b) ≡ (a0 , b0 ) (mod π). Định lí 325 là hệ quả trực tiếp của định lí 304. Định lí 326. Nếu các đường thẳng a, b, a0 , b0 thỏa mãn a ⊥ a0 ; b ⊥ b0 thì (a, b) ≡ (a0 , b0 ) (mod π). Định lí 326 là hệ quả trực tiếp của định lí 305. Định lí 327. Nếu các đường thẳng a, b, a0 thỏa mãn (a, b) ≡ (a0 , b) (mod π) thì a ∥≡ a0 . Chứng minh. Vì (a, b) ≡ (a0 , b) (mod π) nên, theo định lí 311, 324, (a, a0 ) ≡ (a, b) − (a0 , b) ≡ 0 (mod π).

Do đó, theo định lí 322, a ∥≡ a0 .

Định lí 328. Với bốn đường thẳng a, b, c, d, ta có (a, b) ≡ (c, d) (mod 2π) khi và chỉ khi (a, c) ≡ (b, d) (mod 2π).

15. Một vài kết quả cơ bản

107

Chứng minh. Các điều kiện sau là tương đương. 1) (a, b) ≡ (c, d) (mod π). 2) (a, c) + (c, b) ≡ (c, d) (mod π). 3) (a, c) ≡ (c, d) − (c, b) (mod π). 4) (a, c) ≡ (b, d) (mod π). Chú ý, theo định lí 311, 1 ⇔ 2; hiển nhiên 2 ⇔ 3; theo định lí 311, 3 ⇔ 4. Định lí 329. Với bốn đường thẳng a, b, c, d, ta có (a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, b) (mod π).

Chứng minh. Theo định lí 311, ta có (a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (d, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, b) (mod π).

# » # »

Định lí 330. Nếu ( AB, CD) ≡ ( X Y , ZT) (mod 2π) thì (AB, CD) ≡ (X Y , ZT) (mod π).

Định lí 330 là hệ quả trực tiếp của bổ đề 309. # » # » Định lí 331. Với hai vectơ-khác không AB, CD , ta có # » # » # » # » # » # » # » # »

( AB, CD) ≡ π + (BA, CD) ≡ ( AB, DC) + π ≡ (BA, DC) (mod 2π).

# » # » # » # » Chứng minh. Theo định lí 32, AB ↑↓ BA , CD ↑↓ DC . Vậy, theo các định lí 255, 315, 318, ta có # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ ( AB, BA) + (BA, CD) ≡ π + (BA, CD) (mod 2π); # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ ( AB, DC) + (DC, CD) ≡ ( AB, DC) + π (mod 2π); # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ (BA, DC) (mod 2π). Định lí 332. Với ba điểm đôi một khác nhau A, B, C , ta có # » # » # » # » # » # » ( AB, AC) + (BC, BA) + (C A, CB) ≡ π (mod 2π). # » # » # » # » # » # » Chứng minh. Theo định lí 32, AB ↑↓ BA , BC ↑↓ CB, C A ↑↓ AC . Vậy, theo các định lí 255, 315, 331, ta có # » # » # » # » # » # » # » # » # » # »

# » # »

( AB, AC) + (BC, BA) + (C A, CB) ≡ ( AB, AC) + (BC, BA) + ( AC, BC) (mod 2π)

# » # »

≡ ( AB, BA) ≡ π (mod 2π).

Tài liệu tham khảo

[1] David Hilbert, Foundations of Geometry. Open Court, Illinois, 1999.

109

Tra cứu theo vần

bổ đề ba hình thang, 6, 12 bổ đề bốn điểm, 51, 52, 54, 55, 57 bổ đề độ dài đại số, 70, 74 bổ đề gốc, 102, 104, 107 bổ đề hình bình hành, 68 bổ đề hình thang, 5, 12, 15, 16, 24, 78 bổ đề tia thuộc tia, 40, 42, 43 bổ đề trung điểm, 35, 36

hướng, 94 ngược hướng, 93 số đo, 92 cung lượng giác, 94 chu kì, 94 đầu mút cuối, 94 đầu mút đầu, 94 số đo, 95

cát tuyến âm, 50 đối nguồn, 51 đặc số, 50 cách nguồn, 51 cùng dấu, 50 cùng nguồn, 51 của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh, 50 dương, 50 kề nguồn, 51 trái dấu, 51 cung của đường tròn, 91 đầu mút, 91 số đo, 91 cung định hướng, 92 âm, 92 cùng hướng, 93 dương, 92 đầu mút cuối, 92 đầu mút đầu, 92

định hướng đường thẳng, 30 đoạn thẳng, 2 đầu mút, 3 miền trong, 3 đoạn thẳng định hướng, 4, 30, 49 bằng nhau, 10 cùng hướng, 8–10 cùng phương, 10, 30 độ dài, 5 độ dài đại số, 31 đoạn thẳng sinh, 5, 29 hướng, 17 âm, 30 dương, 30 khác nhau, 10 ngược hướng, 9, 11 đoạn thẳng định hướng-không, 4, 5, 10, 11, 30, 31 đoạn thẳng-không, 3, 4 miền trong, 3 đường thẳng định hướng, 30

111

112

góc định hướng giữa hai đường thẳng cùng hướng, 98 cạnh đầu, 98 cạnh cuối, 98 hướng, 99 khác vuông, 97 số đo, 98 ngược hướng, 98 vuông, 97 số đo, 98 góc định hướng giữa hai tia, 45, 75 đỉnh, 44 cạnh đầu, 44 cạnh cuối, 44 số đo, 81, 93 tương thích với đa giác lồi, 81 tương thích với tam giác, 78 góc định hướng giữa hai tia-bẹt, 44, 69, 70, 75 miền trong, 44, 75 góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt, 45, 50, 69 ảnh phép tịnh tiến, 69, 70 cát tuyến, 49 âm, 62 đối nguồn, 54 dấu, 50 dương, 62 cùng đỉnh, 47 cùng hướng, 63 cơ sở, 45, 47 phần hình, 49, 50 tia cơ sở, 45 đặc số, 50 miền trong, 44 ngược hướng, 63 vết, 49 góc định hướng giữa hai tia-khác không, 44 hướng, 76 góc định hướng giữa hai tia-không, 44, 45, 47, 61, 93 cùng hướng, 63, 67, 75 hướng âm, 77 hướng dương, 77 ngược hướng, 63, 67, 75 góc định hướng giữa hai vectơ cùng hướng, 88

Tra cứu theo vần

cạnh đầu, 88 cạnh cuối, 88 hướng, 89 ngược hướng, 88 số đo, 88 góc định hướng giữa hai vectơ-bẹt, 87, 90 số đo, 88 góc định hướng giữa hai vectơ-khác bẹt, 87, 90 góc giữa hai đường thẳng, 95 cạnh, 96 số đo, 96 góc giữa hai tia, 37, 38, 68, 92 đối đỉnh, 40 đỉnh, 38 cạnh, 38 tương ứng cùng hướng, 43 tương ứng ngược hướng, 44 miền trong, 37, 44, 91 số đo, 38, 87, 96 tương thích với góc giữa hai đường thẳng, 96, 97 tương thích với góc giữa hai vectơ, 86 góc giữa hai tia-bẹt, 38, 39, 69, 92 ảnh phép tịnh tiến, 70 miền trong, 38 góc giữa hai tia-khác bẹt, 38, 69 ảnh phép tịnh tiến, 69 góc giữa hai tia-khác không, 38 góc giữa hai tia-không, 37–39, 81, 92 miền trong, 37 góc giữa hai vectơ, 86 cạnh, 86 số đo, 87 góc lượng giác giữa hai đường thẳng, 101, 105 cạnh đầu, 101 cạnh cuối, 101 chu kỳ, 101, 104 góc định hướng giữa hai đường thẳng sinh, 101 số đo, 101 góc lượng giác giữa hai tia, 82, 95 đỉnh, 83 cạnh đầu, 83

Tra cứu theo vần

cạnh cuối, 83 chu kỳ, 83, 86 góc định hướng giữa hai tia sinh, 83 số đo, 83, 95 góc lượng giác giữa hai vectơ, 90, 105 cạnh đầu, 90 cạnh cuối, 90 chu kỳ, 90, 91, 104 góc định hướng giữa hai vectơ sinh, 90 số đo, 90 hình thang-không, 4, 9, 11 hệ thức Chasles cung, 92 cung lượng giác, 95 đoạn thẳng, 3 đoạn thẳng định hướng, 33 góc giữa hai tia, 39 góc lượng giác giữa hai đường thẳng, 104 góc lượng giác giữa hai tia, 83 góc lượng giác giữa hai vectơ, 91 hướng âm, 30, 77 dương, 30, 77 hướng của đa giác lồi, 81 hướng của tam giác, 80 âm, 81 dương, 81 hướng hỗn tạp, 28, 29 ngược nhau, 29 mặt phẳng định hướng, 81 nguồn, 47, 48 âm, 48 đối nhau, 48, 51 đặc số, 48 ảo, 48 cách nhau, 49, 51 cùng dấu, 48, 49 dấu, 48 dương, 48 kề nhau, 49, 51 nguồn sinh, 50 thực, 48, 50 trái dấu, 48, 49 phép tịnh tiến, 69, 70

113

phương hỗn tạp, 29–31 quan hệ bằng nhau, 18 lớp tương đương, 18 cùng hướng, 17, 20 lớp tương đương, 17, 20, 26, 28 cùng phương, 17, 21, 29 lớp tương đương, 21, 27, 29 tương đương, 17, 18, 20, 26, 28 tia cùng hướng, 21 cùng phương, 22 hướng của tia, 26 ngược hướng, 22 phương của tia, 27 tia cơ sở, 45 phần hình, 45, 46 cách kí hiệu chuẩn, 46, 48 phần số, 45, 48 vectơ, 18 độ dài, 19 định hướng, 31 bằng nhau, 19 cùng hướng, 18 cùng phương, 19 hướng của vectơ, 20 ngược hướng, 19 vectơ-không, 18

Hướng trong hình học phẳng NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ Số 9 - Ngõ 26 - Phố Hoàng Cầu - Hà Nội ĐT: (04)66860751 - Fax: (04)66860752 VPGD: Số 45 TT2 KĐT Văn Phú - Q. Hà Đông - TP. Hà Nội Email: nxbdantri@gmail.com Website: nxbdantri.com.vn Chịu trách nhiệm xuất bản: Bùi Thị Hương Chịu trách nhiệm bản thảo: Nguyễn Phan Hách - Đỗ Hoàng Sơn Biên tập: Nguyễn Duy Khánh Trình bày: Nguyễn Duy Khánh Bìa: Quách Lê Anh In 2000 cuốn, khổ 16 x 24 cm tại Công ty TNHH In và DVTM Phú Thịnh Lô B2-2-5 KCN Nam Thăng Long - Bắc Từ Liêm - Hà Nội Số đăng ký KHXB Quyết định xuất bản số do Nhà xuất bản Dân Trí cấp ngày In xong, nộp lưu chiểu quý II/2015