Manual Matematica Basica II CUNORI 2015

Page 1

MANUAL MATEMATICA BASICA II

CONTENIDO

1

Limites 1.1 Límite de una función 1.2 Continuidad

14

1.3 Asíntotas

18

1.4 Recta tangente

23

2 3

2

La derivada 2.1

La derivada

30

2.2

Derivación implícita

33

2.3

Recta tangente

35

Aplicaciones de la derivada 3.1

Razón de cambio

39

3.2

Máximos y mínimos

46

33

optimización

53

4 5

La integral 4.1

Integrales

62

4.2

Teorema fundamental del calculo

69

4.3

Integrales por sustitución

75

Aplicaciones de la integral 5.1

Área bajo la curva

84

5.2

Solidos de revolución

89

5.3

Longitud de arco

97

5.4

Área de una superficie de revolucion

100

5.5

Trabajo

103

5.6

Cantros de masa

106

1.1 Límite de una función En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lím como en lím (an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a. Lím (x) →L

cuando

x →a

Y se lee "f(x) tiende a L cuando x tiende a a" Esto significa que los valores de f(x) se aproximan más y más Al número L cuando x se acerca cada vez más al número a (desde cualquier lado de a, por la izquierda y por la derecha de a pero diferente de un número) Límite de una función: Enfoque Informal Se considera la función. f(x) =16 – x2 4+x Cuyo dominio son todos los números reales excepto el 4 aunque no es posible evaluar f en 4 porque al sustituir – por x se obtiene una cantidad indefinida. Muestran que cuando x tiende a -4 por la izquierda o por la derecha, parece que los valores de la función f(x) tiende a 8; en otras palabras, cuando x esta próxima a -4, f(x) está cerca de 8. Para interpretar de manera gráfica la información numérica en (1), observe que para todo numero x ≠ -4, la función f puede simplificarse por cancelación: f(x) = 16 - x2= (4 + x) (4 – x) = 4 – x 4+x 4+x Suponga que L denota un número finito. El concepto de f(x) que tiende a L a medida que x tiende a un número a puede definirse informalmente de la siguiente manera. Si f(x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a es L.

2

3

El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha representa la palabra tiende, entonces el simbolismo indica que x tiende al número a por la izquierda. Es decir, a través de los números que son menores que a, y significa que x tiende a a por la derecha, es decir, a través de los números que son mayores que a. Finalmente, la notación significa que x tiende a a desde ambos lados, en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de a sobre una recta numérica Algebra de los límites A continuación se recogen las primeras reglas de paso al límite. Aunque tienen una estructura intuitiva sencilla, se demuestran con la definición rigurosa de límite. Reglas del cálculo de límites

Recuerda siempre evaluar los límites para saber qué proceso llevar a cabo

4

Veamos algunos casos de cómo aplicar estas reglas:

Limites laterales En general una función f (x) puede hacerse arbitrariamente próximo a un número L1 al tomar x suficiente mente cerca pero sin que sea igual a un número a por la izquierda , entonces se escribe. f(x) → L1 cuando x → -aEjemplo 1

o bien

lim f(x) = L1 x→ a-

5

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Limites infinitos Se presenta el caso que cuando x → a la función toma valores grandes y más grandes a medida que nos aproximamos a a, en este caso decimo que la función f(x) diverge a infinito en el punto x = a. Ejemplo 1 Halla con una tabla Solución: tomamos valores próximos a 0

Atención cuando escribimos lo hacemos en el sentido anterior en el cálculo de un límite, pues recuerda que la división por 0 no está definida.

6

Ejemplo 2 Halla por una tabla Solución: damos valores próximos a 2

Limites indeterminados Con las reglas que hemos aprendido de límites, se nos presentan situaciones más complicadas en las que no podemos dar la solución sin haber un estudio detallado de la función. Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

7

Cålculos de límite 

đ?&#x;Ž đ?&#x;Ž

Por factorizaciĂłn Consiste en descomponer los polinomios en factores. Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

 Por el conjugado Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado del denominador Ejemplo 1 Calcular el conjugado

Ejemplo 2 Calcular por el conjugado

Limites trigonométricos Antes de analizar este tipo de límites recordemos algunos conceptos básicos de la trigonometría y de lo relacionados con esos conceptos, luego estudiaremos los límites de las funciones seno y coseno cuando el ángulo tiende a cero, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados. Se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

9

10

Si es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumple:

Límites trigonométricos especiales

Si medimos el ángulo en radianes y sabiendo que nuestro denominador no puede ser cero, realicemos una tabla de valores con valores próximos a cero tanto por la izquierda como por la derecha:

Podemos deducir entonces que:

11

Ejemplo 1 Halla el valor de

Soluci贸n: en esta funci贸n debemos aplicar la propiedad fundamental de los racionales que permite hallar racionales equivalentes:

Ejemplo 2 Halla el valor de

Ejemplo 3 Hallar el valor de

Es importante que te aprendas bien las identidades trigonom茅tricas, recuerda siempre practicar

12

Ejemplo 4 Hallar el valor de

Ejemplo 5 Hallar el valor de

Soluci贸n: Recordemos que el coseno de 60 grados

es

13

1.2 14

Continuidad ¿Qué es una función continua? Para una primera aproximación gráfica, si piensas en el grafo de una función, decimos que una función es continua cuando podemos recorrer el grafo de la función sin tener que realizar ningún salto. Observa las figuras de abajo

La función de la izquierda no presenta ningún salto y decimos que es continua la función de la derecha presenta un salto en el punto x = 2. Decimos que no es continua en ese punto. Definición de continuidad Sea f una función y a ∊ Dom(f) decimos que f es continua en x = a cuando

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan las condiciones: La función está definida en x = a, es decir exista f(a). Exista el límite de f en x = a. Los dos valores anteriores coincidan.

Discontinuidad Decimos que una función es discontinua en el punto x = a cuando no es continua en x = a. Tipos de continuidad

A continuación analizamos cada uno de los tipos de discontinuidad que hemos clasificado en la parte superior. Discontinuidad evitable Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad evitable cuando existe ∃ , pero no coincide con f(a). Se tienen que los límites laterales coinciden

Ejemplo La función signo

En x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues

Y el salto es 1-(-1)=2.

15

16

Discontinuidad de salto finito Decimos que una funci贸n en el punto x = a presenta una discontinuidad de salto finito cuando existe los limites laterales u son distintos.

Ejemplo Analizar la continuidad de

Son distintos, luego en x = 0 hay una discontinuidad de salto finito. Discontinuidad de salto infinito Decimos que una funci贸n en el punto x = a presenta una discontinuidad de salto infinito cuando alg煤n limite lateral de f(x) en x = a es infinito. En las figuras se muestran dos ejemplos de salto infinito en x = a

Estas funciones presentan una discontinuidad de salto infinito en x = a.

Ejemplo Hallar (a) para que f(x) sea continua en x = 1

Para que sea continua en x = 1

17

1.3

18

Asíntotas Cuando una función en la proximidad de un punto x = a o en el infinito se aproxima a una recta tanto como queramos decimos que tiene una asíntota o que la función tiene una rama asintótica. En caso contrario decimos que tiene una rama parabólica. Las funciones polinómicas y = p(x) no tiene asíntotas, solo ramas parabólicas. Las funciones racionales y = , donde p(x) y Q(x) son polinomios. Puede tener asíntotas de tres tipos:

a) Asíntota vertical b) Asíntota horizontal c) Asíntota oblicua Asíntota vertical

Ejemplo 1 Halla y representar la asíntota vertical de

Tiene como asíntota vertical el Eje OY, x = 0

Ejemplo 2 Halla la asĂ­ntota de F(x) =

Ejemplo 3 Halla y representa la asĂ­ntota vertical de y =

19

20

Asíntota horizontal

Ejemplo 1 Halla y representa la asíntota horizontal de y =

Para dibujarla, lo más cómodo Es dar valores grandes a x

Ejemplo 2 Halla y representa la asíntota horizontal de y = Asíntotas horizontales y = 1

Para dibujarla, lo más cómodo es dar valores grandes a x.

21

Asíntota Oblicua Una función f(x) en la proximidad de infinito decimos que tiene como asíntota oblicua, cuando se aproxima a una recta.

Primero explicamos cómo calcularlas para funciones racionales y después damos una expresión más general.

Si dividimos, la podemos expresar como

Y para valores de x tan grandes como queramos, cuando tenemos que

como

Es decir para valores de x “grandes” la función toma valores cercanos a x, y por tanto su grafica se aproxima a la recta y = x. en este caso la asíntota oblicua es

22

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

1.4 23

Recta tangente Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad Diferenciable de dimensiรณn 1. Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de direcciรณn.

La tangente a en es la recta direcciรณn que alrededor de .

que pasa por

y que tiene la misma

La tangente es la posiciรณn lรญmite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por Si es punto de una funciรณn f (no es el caso en el grรกfico precedente), entonces la recta tendrรก como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto lo tanto, la pendiente de la tangente TA serรก:

y

las del punto

. Por

Es, por definiciรณn, f '(a), la derivada de f en a. La ecuaciรณn de la tangente es

:

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas orto normales, es dada por.

Siendo su ecuaciรณn: Suponiendo claro estรก que simplemente

. Si

entonces la recta normal es

24

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación en el punto La ecuación de la recta tangente es: vamos a averiguar la pendiente en

Utilizando la definición anterior

Luego por lo que . Para averiguar b sustituimos el punto (1,-2) como sigue: de donde b = -1. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es y = -x -1. Ejemplo 2 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación En el punto (2,2) Solución: Como

averiguamos primero la pendiente de la recta tangente.

Como , entonces La ecuación de la recta normal es y = 1x + b. sustituyendo en la ecuación anterior Se obtiene b = 0 Por tanto, la ecuación de la recta normal es y = x Ejemplo 3 Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales. Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva. Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación, entonces . Calculemos

Como Si es

se tiene que

y por tanto

entonces el punto de tangencia

La ecuación de la recta tangente es: Sustituimos (2,4) y se obtiene que b=4. Entonces la ecuación de la recta tangente es y=4x4.

25

26 Pon a prueba tus conocimientos realizando los siguientes ejercicios

Ejercicios

 Calcular los siguientes límites. 2

1. lim+

8. lim+

�→0 3� 3

đ?‘Ľâ†’0 đ?‘Ľ 2 −1 2đ?‘Ľâˆ’3

2. lim+ đ?‘Ľ2 −1

9. lim−

3. lim− 3đ?‘Ľ

10. lim−

4. lim− đ?‘Ľ2 −1

11. lim

5. lim− 1−đ?‘Ľ

12. lim

6. lim+ 1−đ?‘Ľ

13. lim

7. lim+

14. lim+

�→1

2

�→0 �→1

1

�→1

2đ?‘Ľ+1

�→0



3đ?‘Ľ −3+đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’1 1

đ?‘Ľâ†’+∞ 1−đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 đ?‘Ľâ†’+∞ 1+đ?‘Ľ −đ?‘Ľ

1

�→1

�→1 �→1

3

3+đ?‘Ľ

đ?‘Ľâˆ’1

đ?‘Ľâ†’+∞ 2−đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľâ†’2 đ?‘Ľâˆ’2

Calcular los lĂ­mites siguientes dividiendo por la mayor potencia cuando sea necesario.

15. lim

1

đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ

16. lim đ?‘Ľ + đ?‘Ľâ†’∞

17. lim

18. lim 1

đ?‘Ľ 2đ?‘Ľâˆ’1

đ?‘Ľâ†’∞ 1+3đ?‘Ľ

3đ?‘Ľ 2

đ?‘Ľâ†’−∞ đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ5

19. lim

đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 4.98 +1 √đ?‘Ľ

20. lim

đ?‘Ľâ†’−∞ 1+đ?‘Ľ

 Calcular los lĂ­mites siguientes por la tĂŠcnica de descomposiciĂłn. đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľâˆ’2

đ?‘Ľ2

21. lim đ?‘Ľ2 +3đ?‘Ľâˆ’10

23. lim đ?‘Ľ2 −10đ?‘Ľ+25

22. lim đ?‘Ľ2 +4đ?‘Ľâˆ’5

24. lim √đ?‘Ľ2

�→2

�→5

đ?‘Ľ 2 −4đ?‘Ľ+3

√đ?‘Ľ+2 −4 đ?‘Ľâ†’2

�→1



Calcular los lĂ­mites siguientes aplicando la tĂŠcnica de conjugado. 2−√đ?‘Ľ đ?‘Ľâ†’4 đ?‘Ľâˆ’4

2−√đ?‘Ľ+2 đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľâ†’2

25. lim+ 

26. lim+

Calcule los siguientes lĂ­mites trigonomĂŠtricos. 27. lim

�→0

tan(3x) đ?‘Ľ sin(2đ?‘Ľ)+sin(3đ?‘Ľ)

28. lim sin(4�)+sin(5�) �→0

đ?‘Ľ+đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (2đ?‘Ľ)

29. lim đ?‘Ľ+đ?‘ đ?‘–đ?‘›2(3đ?‘Ľ) đ?‘Ľâ†’0

33. lim

sin(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’đ?œ‹ đ?‘Ľâˆ’đ?œ‹ sinâ Ą(2đ?‘Ľâˆ’1)

34. lim1 �→

2

35. limđ?œ‹

4đ?‘Ľ 2 −1 cosâ Ą(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’ 2đ?‘Ľâˆ’đ?œ‹

30. lim

�→0

31. lim

�→0

32. lim

�→�



1−cos(đ?‘Žđ?‘Ľ) đ?‘Ľ 1−cos(đ?‘Žđ?‘Ľ) đ?‘Ľ2 sin(đ?‘Ľ)−sin(đ?‘Ž)

2

36. limđ?œ‹ đ?‘Ľâ†’

4

37. limđ?œ‹ đ?‘Ľâ†’

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž

4

tan(4đ?‘Ľ) 4đ?‘Ľâˆ’đ?œ‹ sin(2đ?‘Ľ)−1 4đ?‘Ľâˆ’đ?œ‹

Halla (a) para que las funciones sean continuas en x=1. �+�⠥⠥⠥⠥�≤1

��⠥⠥⠥⠥⠥�≤1

38. đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = â Ąď ť â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą2â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1<đ?‘Ľ

40. â„Ž(đ?‘Ľ ) = ď ť đ?‘Ľâˆ’đ?‘Žâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1<đ?‘Ľ

39. đ?‘”(đ?‘Ľ ) = â Ąď ť â Ąâ Ąâ Ąâ Ą1â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1<đ?‘Ľ

41. đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = â Ąď ť â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1<đ?‘Ľ

�2 �⠥⠥⠥⠥�≤1



Dada la funciĂłn 2đ?‘Ľ+đ?‘Žâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąđ?‘Ľâ‰¤âˆ’1

42. đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = â Ąď ť −đ?‘Ľ2+2â Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâˆ’1<đ?‘Ľâ‰¤1 đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ąâ Ą1<đ?‘Ľ

 Hallar a para que f(x) sea continua en x=1.  ¿es continua en x=1?

�2 �+2⠥⠥⠥⠥�≤1

27

28

 Hallar y representar, si las hay, las asíntotas verticales de las funciones. 2+�

43. đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = â Ą 3−đ?‘Ľ

đ?‘Ľ2

44. đ?‘”(đ?‘Ľ ) = â Ą đ?‘Ľ+1

 Hallar y representar, si las hay, las asíntotas horizontales en las funciones. 2+�

45. đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = â Ą 3−đ?‘Ľ

đ?‘Ľ2

46. đ?‘”(đ?‘Ľ ) = â Ą đ?‘Ľ2 +1

 Hallar y representar, si las hay, las asíntotas oblicuas de las funciones. 47. � (� ) = ⠥

2+đ?‘Ľ 2 2+đ?‘Ľ

48. đ?‘”(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ 2 −2 1−đ?‘Ľ

 Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gråfica de la ecuación en el punto dado. Dibuje la gråfica de la ecuación y muestre un segmento de la recta tangente en el punto. 49. 50. 51. 52.

đ?‘Ś = 9 − đ?‘Ľ 4 ; (2,5). đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ; (−2,0). đ?‘Ś = 1 − đ?‘Ľ 3 ; (2, −7). đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 ; (−2,4)

2.1 LA DERIVADA La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemåtica, según cambie el valor de su variable independiente. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geomÊtricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gråfica de la función en dicho punto. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. Cålculos de la derivada:

Ejemplo 1

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 7

Como 7 es una constante, entonces la derivada de la funciĂłn serĂĄ o. đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = 0 Ejemplo 2

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ

Se debe bajar el exponente 2, y se multiplica con 3, luego a ese exponente 2 se le resta 1, de la siguiente manera: đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (2)(3)đ?‘Ľ 2−1 + (1)(2)đ?‘Ľ 1−1 = 6x + 2.

30

31

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘’ đ?‘Ľ

Ejemplo 3

Se debe tener en cuenta que la derivada de đ?‘’ đ?‘Ľ , es igual a đ?‘’ đ?‘Ľ . đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = 2 ∗ đ?‘’ đ?‘Ľ = 2đ?‘’ đ?‘Ľ . đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 4đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ

Ejemplo 4

En este caso que tenemos una constante antes del lnx, se trabaja la derivada del lnx y el resultado se multiplica con la constante. 1 đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (4) ( ) đ?‘Ľ 4 = . đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ ) = cos(7 − 2đ?‘Ľ )

Ejemplo 5

Lo primero que debemos de realizar es la derivada de lo que se encuentra en el parĂŠntesis y luego la derivada de coseno. đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = −(−2) ∗ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (7 − 2đ?‘Ľ ) = 2 ∗ đ?‘ đ?‘’đ?‘›(7 − 2đ?‘Ľ ). Ejemplo 6

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = sec(5đ?‘Ľ + 2) đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (5) tan(5đ?‘Ľ + 2) ∗ sec(5đ?‘Ľ + 2) .

1) Derivada de un Producto: - đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘ˆ. đ?‘‰ ) = đ?‘ˆđ??ˇđ?‘Ľđ?‘‰ + đ?‘‰đ??ˇđ?‘Ľđ?‘ˆ 2) Derivada de un Cociente: -

�

đ?‘Łđ??ˇđ?‘Ľđ?‘˘âˆ’đ?‘˘đ??ˇđ?‘Ľđ?‘Ł

đ?‘Ł

đ?‘Ł2

đ??ˇđ?‘Ľ ( ) =

3) Regla de la cadena -

Intenta aprender las formulas practicando ejercicios y no de memoria, esto facilitara tu aprendizaje

đ??ˇđ?‘Ľ[đ?‘“(đ?‘”(đ?‘Ľ ))] = đ?‘“´[đ?‘”(đ?‘Ľ)] ∗ đ?‘”´(đ?‘Ľ) đ??ˇđ?‘Ľ{đ?‘“[đ?‘”(â„Ž(đ?‘Ľ ))]} = đ?‘“´(đ?‘”[â„Ž(đ?‘Ľ )]) ∗ đ?‘”´[â„Ž(đ?‘Ľ )] ∗ â„Ž´(đ?‘Ľ)

32

Ejemplo 1

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (5đ?‘Ľ 2 − 3)(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 4) Se deriva el primero y se copia el segundo, mas, se copia el primero y se deriva el segundo. đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (10đ?‘Ľ )(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 4) + (5đ?‘Ľ 2 − 3)(2đ?‘Ľ + 1) = 10đ?‘Ľ 3 + 10đ?‘Ľ 2 + 40đ?‘Ľ + 10đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ − 3 = 20đ?‘Ľ 3 + 15đ?‘Ľ 2 + 34đ?‘Ľ − 3. Ejemplo 2

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

3đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ + 2 5đ?‘Ľ 2 + 1

El divisor se eleva al cuadrado, luego en la parte del dividiendo se deriva el dividiendo y se copia el divisor, menos, se copia el dividiendo y se deriva el divisor. (9đ?‘Ľ 2 + 1)(5đ?‘Ľ 2 + 1) − (3đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ + 2)(10đ?‘Ľ) đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (5đ?‘Ľ 2 + 1)2 =

45đ?‘Ľ 4 + 9đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ 2 + 1 − 30đ?‘Ľ 4 − 10đ?‘Ľ 2 − 20đ?‘Ľ 25đ?‘Ľ 4 + 1 =

15đ?‘Ľ 4 + 4đ?‘Ľ 2 − 20đ?‘Ľ + 1 25đ?‘Ľ 4 + 1

Ejemplo 3

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (1 + đ?‘Ľ 2 )3 Lo primero por hacer es derivar la primera funciĂłn que serĂ­a el cubo, se copia lo que se encuentra dentro del parĂŠntesis. Y luego se multiplica por la derivada de lo que estĂĄ dentro del parĂŠntesis. đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = 3(1 + đ?‘Ľ 2 )2 (2đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ(1 + đ?‘Ľ 2 )2

2.2

33

DerivaciĂłn ImplĂ­cita La derivaciĂłn implĂ­cita se puede utilizar en los casos donde resulta muy complicado expresar la ecuaciĂłn explĂ­citamente en funciĂłn de una variable. Una correspondencia o una funciĂłn estĂĄ definida en forma implĂ­cita cuando no aparece despejada la (y) sino que la relaciĂłn entre x e y viene dada por una ecuaciĂłn de dos incĂłgnitas cuyo segundo miembro es cero. Una funciĂłn y(x) se llama implĂ­cita cuando estĂĄ definida de la forma F(x, y)=0 en lugar de la habitual. La EcuaciĂłn define a ´´y´´ como una funciĂłn de ´´x´´ đ?‘Ś = 3 − 4đ?‘Ľ 2

Ideas claves en la derivaciĂłn implĂ­cita: 1) Y es funciĂłn de x: đ?‘Ś = đ?‘”(đ?‘Ľ) đ??ˇđ?‘Ś

2) Encontrar la derivada de y con respecto x: đ??ˇđ?‘Ľ 3) Como considerar derivaciones como: đ?‘‘ - đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 3 ) = 3đ?‘Ľ 2 -

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(đ?‘Ś 4 ) = 4đ?‘Ś 3 ∗ (đ?‘Ľ 2

√đ?‘Ś) =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘

1

đ?‘‘đ?‘Ś

(đ?‘Ľ 2 ) ∗ √đ?‘Ś + đ?‘Ľ 2 (√đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľ ∗ √đ?‘Ś + đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś −1/2 ∗ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

Ejemplo 1

đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ś 5 + 3đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ś = 1

đ?‘‘đ?‘Ś =? đ?‘‘đ?‘Ľ

3đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ś 4 ∗ đ?‘ŚÂ´ + 6đ?‘Ľ − 6đ?‘ŚÂ´ = 0 −5đ?‘Ś 4 ∗ đ?‘ŚÂ´ − 6đ?‘ŚÂ´ = −3đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ*(-1): 5đ?‘Ś 4 ∗ đ?‘ŚÂ´ + 6đ?‘ŚÂ´ = 3đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ đ?‘ŚÂ´(5đ?‘Ś 4 + 6) = 3đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ 3đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ đ?‘ŚÂ´ = 5đ?‘Ś 4 + 6 đ?‘‘đ?‘Ś 3đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ 5đ?‘Ś 4 + 6

Ejemplo 2

đ?‘‘đ?‘Ś =? đ?‘‘đ?‘Ľ

3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 − 5đ?‘Ľ + √đ?‘Ľđ?‘Ś = 4

3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 − 5đ?‘Ľ + (đ?‘Ľđ?‘Ś)1/2 = 4 1 3 ∗ đ?‘Ś 2 + 3đ?‘Ľ ∗ 2đ?‘Ś ∗ đ?‘ŚÂ´ − 5 + (đ?‘Ľđ?‘Ś)−1/2 ∗ (đ?‘Ľđ?‘Ś)´ = 0 2 3đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ľđ?‘Ś ∗ đ?‘ŚÂ´ − 5 +

1 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

3đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ľđ?‘Ś ∗ đ?‘ŚÂ´ − 5 + 6đ?‘Ľđ?‘Ś ∗ đ?‘ŚÂ´ + đ?‘ŚÂ´ ∗ (6đ?‘Ľđ?‘Ś +

đ?‘Ľđ?‘ŚÂ´ 2√đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ľ 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

đ?‘Ś 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

+

đ?‘Ľđ?‘ŚÂ´ 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

= 5 − 3đ?‘Ś 2 −

đ?‘Ś 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

6đ?‘Ľđ?‘Ś + 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

Realiza las operaciones paso a paso y evita brincarte pasos. Ten paciencia y veras que conforme mĂĄs practiques iras realizando los ejercicios automĂĄticamente.

=0

đ?‘Ś 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

) = 5 − 3đ?‘Ś 2 −

5 − 3đ?‘Ś 2 − đ?‘ŚÂ´ =

∗ (đ?‘Ś + đ?‘Ľđ?‘ŚÂ´) = 0

đ?‘Ś 2√đ?‘Ľđ?‘Ś

34

2.3

35

Recta tangente Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular despacio para una variedad diferenciable de dimensiĂłn. Ya sea una curva, un punto regular y un punto anguloso. En la mayorĂ­a de los casos, la tangente a una curva no cruza la curva en el punto de tangencia (aunque podrĂĄ, si continĂşa, cruza la curva en otros lugares lejos del punto de la tangente) Este es el caso, por ejemplo, de todas las tangentes a un cĂ­rculo o una parĂĄbola. Sin embargo, en los puntos excepcionales llamados puntos de inflexiĂłn, la recta tangente atraviesa la curva en el punto de tangencia.

RECTA TANGENTE GRAFICO

Por el contrario, puede ocurrir que la curva se encuentra por completo en un lado de una lĂ­nea recta que pasa por un punto sobre ella, y sin embargo, esta lĂ­nea recta no es una lĂ­nea tangente. Este es el caso, por ejemplo, para una lĂ­nea que pasa por el vĂŠrtice de un triĂĄngulo y no se cruzan en el triĂĄngulo, donde la recta tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometrĂ­a convexa, estas lĂ­neas se llaman lĂ­neas de apoyo. Ejemplo 1 1

1

Hallar la ecuaciĂłn de la recta tangente a la curva đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’2en el punto (4, 2) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ − 2)−1 đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = −1 ∗ (đ?‘Ľ − 2)−2 ∗ (1) −1 đ?‘“´(đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ − 2)2 −1

−1

đ?‘šđ?‘Ą = đ?‘“´(4) = (4−2)2 = (2)2 =

−1

1

đ?‘ƒ (4, 2)

4

EcuaciĂłn de la recta tangente (E.R.T.) đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š ∗ (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1) đ?‘Śâˆ’

1 −1 (đ?‘Ľ − 4) = 2 4

đ?‘Śâˆ’ đ?‘Ś=

1 −1 = đ?‘Ľ+1 2 4

−1 1 đ?‘Ľ+1+ 4 2

đ?‘šđ?‘Ą =

−1 4

Respuesta: −1 3 đ?‘Ś= đ?‘Ľ+ 4 2 Ejemplo 2

Hallar la ecuaciĂłn de la recta tangente a la curva đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 2 đ??żđ?‘›đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ en el punto de abscisa 1. đ?‘ƒ(1,4) đ?‘Ś = 3(1)2 ∗ đ?‘™đ?‘›1 + 4(1) đ?‘Ś = 4 Derivamos: đ?‘‘đ?‘Ś 1 = 6đ?‘Ľ ∗ đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ 2 ∗ + 4 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = 6đ?‘Ľ ∗ đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ + 4 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘šđ?‘Ą = 6(1) ∗ đ?‘™đ?‘›1 + 3(1) + 4 đ?‘šđ?‘Ą = 7 đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1) đ?‘Ś − 4 = 7(đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ś − 4 = 7đ?‘Ľ − 7 đ?‘Ś = 7đ?‘Ľ − 7 + 4 Respuesta: đ?‘Ś = 7đ?‘Ľ − 3

36

37

Pon a prueba tus conocimientos realizando los siguientes ejercicios

Ejercicios. En los siguientes problemas, encuentre la derivada. 1) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (6đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ)2 (đ?‘Ľ 5 + đ?‘Ľ 6 )4 (5đ?‘Ľ 2 +7đ?‘Ľ+2)2

2) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 +6 3) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ + 4)ln(3đ?‘Ľ + 5) 4) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = ln(4đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ + 5)6 5) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = ln( 3√(đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ − 5)2 ) 2 6) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ 6 + 5)23đ?‘Ľ 5 2 3 7) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘’ (đ?‘Ľ +đ?‘Ľ +8) 5 8) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 đ?‘’ đ?‘Ľ 9) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (4đ?‘Ľ 3 + 5đ?‘Ľ 2 + 5) 10) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ąđ?‘”5 (đ?‘Ľ 2 ) 11) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (9đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 5)đ?‘Ąđ?‘”(9đ?‘Ľ 3 + 8đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 6)5 đ?‘‘đ?‘Ś

12) đ?‘Ľ 2 ∗ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ś = đ?‘Ś ∗ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ 13) 5đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ś 5 = ln(đ?‘Ľđ?‘Ś) 14) đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ś 3 = 3đ?‘Ľđ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

=?

=? đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

=?

 Hallar las rectas tangentes de las siguientes funciones. 15) đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ś 3 = 4đ?‘Ľđ?‘Ś + 1 đ?‘ƒ(2,1) 16) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 + 1 đ?‘Ľ = 1

3.1 Razón de cambio

39

Razón de cambio es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. En matemáticas la razón de cambio más usada es la velocidad: v=d/t (distancia recorrida por unidad de tiempo). Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a como se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad. La razón de cambio con el tiempo ds/dt se interpreta como la velocidad del objeto. En general, una razón de cambio con el tiempo es la respuesta a la pregunta: ¿cuan rápido cambia la cantidad?. Por ejemplo: si V representa el volumen que cambia con el tiempo, entonces dV/dt es la razón, o cuán rápido cambia el volumen con respecto al tiempo t. ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO

1. Lee varias veces con cuidado el problema. Si puedes, traza un esquema o dibujo de la situación. 2. Identifica con símbolos todas las cantidades que cambian con el tiempo. 3. Escribe todas las razones que te proporcionan. Usa notación de derivadas para escribir la razón que deseas encontrar 4. Escribe una ecuación o función que relaciones todas las variables que hayas introducido. 5. Diferencia con respecto al tiempo t la ecuación o la función encontrada en el paso anterior. Este paso puede requerir el uso de diferenciación implícita. La ecuación resultante después de la diferenciación relaciona las razones de cambio con el tiempo de la variable.

40

Ejemplo 1

Un globo esfĂŠrico se infla con aire a razĂłn de 20 pies3/min Âża que razĂłn cambia el radio cuando este es de 3 pies? PLANTEAMIENTO

r

Leemos detenidamente el problema y trazamos un dibujo de la situaciĂłn.

dV/dt es el volumen con respecto al tiempo y que cambia conforme se infla el globo. dr/dt es el radio con respecto al tiempo el cual aumenta conforme se infla el globo. dV/dt= 20pies3 /min y la razĂłn que nos đ?‘‘đ?‘&#x; piden es: đ?‘‘đ?‘Ą =? đ?‘&#x; = 3

Identificamos todas las variables que cambian con el tiempo

Escribimos las razones que nos dan y las que nos piden.

En este caso serĂĄ la fĂłrmula del volumen de una esfera. Dado que nuestro globo es esfĂŠrico y relaciona el volumen con el radio 4 đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 3 3

ecuaciĂłn que relacione

đ?‘‘đ?‘‰ 4 đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹ ∗ đ?‘&#x;3 đ?‘‘đ?‘Ą 3 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘‰ 4 đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹ ∗ (3đ?‘&#x; 2 ) đ?‘‘đ?‘Ą 3 đ?‘‘đ?‘Ą

Derivamos

đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘‘đ?‘&#x; = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

Escribimos una

nuestras variables

Simplificando nuestra ecuaciĂłn nos queda

20 = 4𝜋𝑟 2

𝑑𝑟 𝑑𝑡

Sustituimos los valores conocidos. Sustituyendo nos quedaría:

𝑑𝑟 20 5 = = 𝑑𝑡 4𝜋𝑟 2 𝜋𝑟 2

Despejamos dr/dt que es lo que nos piden nos queda:

5 5 5 = = 2 2 𝜋𝑟 (3) 𝜋 9𝜋

Sustituyendo el radio nos queda nuestra respuesta como:

Conclusión 5

El radio aumenta a una razón de 9𝜋

Recuerda siempre leer detenidamente el problema que te dan para poder plantear de manera eficiente tu estrategia para resolverlo

41

42

Ejemplo 2

Una mujer que corre a razĂłn constante de 10 km/h cruza un punto P en direcciĂłn al norte. Diez minutos despuĂŠs, un hombre que corre a razĂłn de 9 km/h cruza por el mismo punto P en direcciĂłn al este. Âżcuan rĂĄpido cambia la distancia entre los corredores 20 minutos despuĂŠs de que el hombre cruza por el punto P?

PLANTEAMIENTO Observamos nuestro problema e identificamos: (t) serĂĄ el tiempo medido en horas desde el instante en que el hombre cruza el punto P. el hombre serĂĄ (H) y la mujer serĂĄ (M), cada uno encontrĂĄndose en el eje x y y respectivamente a partir del punto P. y por ultimo (z) serĂĄ la distancia entre los dos corredores. Con estas variables identificamos dos razones:

đ?‘‘đ?‘Ľ = 9 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ś = 10 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž đ?‘‘đ?‘Ą

Y necesitamos encontrar: �� =? �� Cuando t=1/3

20 minutos=1/3h

Como el triangulo que forman las variables es un triangulo rectångulo, nuestras variables estån relacionadas por el teorema de pitagoras: �2 = �2 + �2

Insertamos nuestras variables en la ecuación y diferenciamos � 2 � � � = �2 + �2 �� �� ��

43

Diferenciando nos queda: 2�

�� �� �� = 2� + 2� �� �� ��

Al utilizar las razones que conocemos nos quedara: �

�� = 9� + 10� ��

Para obtener las distancias corridas por el hombre utilizamos: distancia=razĂłn x tiempo. 1

Hombre: đ?‘Ľ = 9 ∗ 3 = 3 đ?‘˜đ?‘š Mujer: como ella ha corrido 1/6h mas que el hombre a partir del punto P. 1

1

entonces su distancia recorrida serĂĄ: đ?‘Ś = 10 ∗ (3 + 6) = 5 đ?‘˜đ?‘š Entonces: đ?‘§ = √32 + 52 = √34 Sustituimos nuestros valores en nuestra ecuaciĂłn original: √34

�� = 9(3) + 10(5) ��

đ?‘‘đ?‘§ 9(3) + 10(5) 77 = = = 13.21 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž đ?‘‘đ?‘Ą √34 √34 ConclusiĂłn

Las personas se alejan a razĂłn de 13.21 km/h

44

Ejemplo 3

Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1.8 m/s. una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. ¿a que velocidad varia el angulo de depresión de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando este dista 24 metros de la base de la torre?

PLANTEAMIENTO Sea x la distancia recorrida por el hombre en el instante t. sea α la medida, en radianes, del angulo de depresión en el instante t.

Dato: Rapidez con que el hombre se aleja del edificio; o sea, dx/dt = 1 , 8m/seg. Encontrar: Variación del Angulo de depresión cuando el hombre se encuentra a 24 metros de distancia del edificio; es decir, dα/dt cuando x = 24 m La ecuación que relaciona las variables esta dada por la razón: tan α = 18 x (*) La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente a ambos lados de (*), con respecto del tiempo, lo cual nos conduce a:

Finalmente, para determinar la variación del ´Angulo de depresión en el instante en que x = 24, primero se debe calcular el valor para el cos α en ese mismo instante Ahora bien, dado que:

Por lo tanto, sustituyendo

45

Se obtiene que:

Conclusión

Se concluye que el ángulo de depresión disminuye a una velocidad de 0.036 radianes cada segundo.

Lee detenidamente para plantear tu problema, recuerda que el teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas pueden ser de mucha ayuda en la resolución de la mayoría de problemas de razón de cambio

46

3.2 Máximos y mínimos. Los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática. Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 1. Determinar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decreciente 2. Aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de una función. Definición de funciones crecientes y decrecientes  una función f es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo x1<x2 implica f(x1)>f(x2)  una función f es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1<x2 f(x1)>f(x2)

Una función es creciente si, cuando x se mueve hacia la derecha, su grafica asciende, y es decreciente si su grafica desciende. Criterio para las funciones crecientes y decrecientes Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) 1. si f’(x)>0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b] 2. si f’(x)<0 para todo x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] 3. si f’(x)=0 para todo x en (a,b), entonces f es constante en [a,b]

Estrategias para determinar los intervalos en los que una funciĂłn es creciente o decreciente.

47

Sea f continua en el intervalo (a,b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales f es creciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos> 1. localizar los puntos críticos de f en (a,b), y utilizarlos para determinar intervalos de prueba. 2. Determinar el signo de f’(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.

Ejemplo 3 2

Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 es creciente o decreciente. Solucion: para determinar los puntos criticos de f, igualar a cero f’(x). 3 đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 2 đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ = 0

Escribir la funcion original. Derivar e igualar f’(x) a cero.

Factorizar . 3x(x-1)=0 X=0,1

Puntos criticos.

Procedemos a realizar una tabla donde evaluaremos los tres intervalos generados a partir de nuestros puntos criticos.

(−∞, 0)

Intervalo

(0,1)

(1, ∞)

Valor de prueba

x=1

X=1/2

X=2

Signo f’(x)

+

-

+

Creciente

Decreciente

Creciente

de

ConclusiĂłn

Grafica

48

Criterio de la primera derivada Una vez que se han determinado los intervalos de crecimiento o decrecimiento, es fácil localizar los extremos relativos de la función. Criterio de la primera derivada

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces c puede clasificarse como sigue. 1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). 2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). 3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.

Realiza tus derivadas con cuidado para evitar equivocaciones

Concavidad y el criterio de la segunda derivada   

49

Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava arriba o cóncava abajo. Encontrar cualesquiera puntos de inflexión de la gráfica de una función Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos de una función

Concavidad Definición de concavidad Sea f derivable en un intervalo abierto I. la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en el intervalo.

Para determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba o hacia abajo se necesita determinar los intervalos sobre los cuales f’ sea creciente o decreciente. criterio de concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. 1. Si f’’’(x)>0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. 2. Si f’’’(x)<0 para todo x en I, entonces la gráfica de f en cóncava hacia abajo en I.

50

Para aplicar este criterio, se localizan los valores de x para los cuales f’’(x)=0 o f’’(x) no existe. Segundo, se usan los valores de x para determinar los intervalos de prueba. Por ultimo se prueba el signo de f’’(x) en cada uno de los intervalos de prueba.

Puntos de inflexión definición de punto de inflexión sea f una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la grafica de f tiene una recta tangente en este punto (c,f(c)), entonces este punto es un punto de inflexión de la grafica de f si la concavidad de f cambia de cóncava arriba a cóncava abajo o viceversa en ese punto.

Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x para los cuales f’’(x)=0 o f’’(x) no existe. Esto es similar al procedimiento para localizar los extremos relativos de f. Criterio de la segunda derivada Además de un método para analizar la concavidad, es posible utilizar la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y minimos relativos. Se basa en el hecho de que si la grafica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c y f’(c)=0, f(c) debe ser un minimo relativo de f. de manera similar, si la grafica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f’(c)=0, f(c) debe ser un máximo relativo de f. Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f’(c)=0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. Si f’’(c)>0, entonces f tiene un minimo relativo en (c,f(c)). 2. Si f’’(c)<0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f’’(c)=0, entonces el criterio falla. Es es, f quizá tenga un máximo relativo, un minimo relativo o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada.

Ejemplo 5

Encontrar los extremos relativos correspondientes a đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −3đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ

3

51

SoluciĂłn Empezando con la determinaciĂłn de los puntos crĂ­ticos de f. đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ ) = −15đ?‘Ľ 4 + 15đ?‘Ľ 2 = 15đ?‘Ľ 2 (1 − đ?‘Ľ 2 ) =0 X= -1,0,1

Igualar f’(x) a cero. Puntos criticos

Empleando đ?‘“ ′′ (đ?‘Ľ ) = −60đ?‘Ľ 3 + 30đ?‘Ľ = 30(−2đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ) Se puede aplicar el critero de la segunda derivada como se indica a continuaciĂłn.

Punto

(-1,-2)

(1,2)

(0,0)

Signo de f’’(x)

+

-

0

ConclusiĂłn

Minimo relativo

MĂĄximo relativo

Falla de prueba

52

Te dejo algunas sugerencias para que realices satisfactoriamente tus graficas utilizando los criterios de la primera y segunda derivada

Sugerencias para el estudiante Para dibujar la grafica de una función y=f(x) utilizando los criterios de primera y segunda derivada, sigue el procedimiento siguiente> 1. Calcula la primera y segunda derivada 2. Calcula los valores críticos de la primera derivada, resolviendo la ecuación f’(x)=0, y encontrando los valores para los cuales la primera derivada no existe. 3. Calcula los valores críticos de la segunda derivada, resolviendo la ecuación f’’(x)=0 y encontrando los valores para los cuales la segunda derivada no existe. 4. A partir de los números críticos de la primera y segunda derivada, construye los intervalos correspondientes. Construye una tabla para hacer el análisis. 5. Para cada intervalo determina si la función es creciente o decreciente evaluando un numero del intervalo en la primera derivada. Determina si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo evaluando el mismo valor en la segunda derivada. 6. Con el análisis de los intervalos anterior y posterior a cada numero critico, determina si en el valor critico hay un máximo relativo, un minimo relativo, o un punto de inflexión. Utiliza para ello los criterios de primera derivada, segunda derivada y el del punto de inflexión. 7. Para dibujar la gráfica primero localiza los puntos correspondientes a máximos, mínimos y puntos de inflexión, luego dibuja los arcos de curva correspondientes a cada intervalo según los resultados contenidos en la tabla construida anteriormente.

3.3 Optimización

53

En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo: Donde es un vector y representa variables de decisión, es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema. Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solución de un sistema de igualdades o desigualdades. Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. Es muy importante que domines estos temas para poder optimizar

Conceptos a saber para realizar problemas de optimización 

Máximos y mínimos Derivación Criterios de la primera y segunda derivada

 

     

Pasos a seguir para la resolución de ejercicios de optimización: Leer bien el problema Plantear función a optimizar Dejar en función de única variable Hallar primera derivada Detectar máximos y mínimos con segunda derivada Interpretar solución

54

Ejemplo 1

Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Ejemplo 2

55 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

Ejemplo 3

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

56 Ejemplo 4

Un sector circular tiene un perĂ­metro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor ĂĄrea.

Ejemplo 5

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea mĂĄximo.

57 Pon a prueba tus conocimientos con los siguientes ejercicios de Razón de cambio

Ejercicios. 1) Dos aviones vuelan en trayectoria perpendicular el uno hacia el otro. Uno de ellos dista 150 millas del punto de encuentro de las trayectorias a una velocidad de 450 mi/h. el otro se mueve a 600 mi/h y se encuentra a 200 millas del punto de encuentro. ¿a qué ritmo decrece la distancia entre los aviones? 2) En una fabrica un rollo de acero se desenrolla sobre una superficie horizontal a una velocidad constante de 50 cm/s. la forma circular de la sección permanece en este estado y la lámina tiene un espesor de 5mm. ¿a qué velocidad decrece el radio del rollo cuando este es de 150 cm? 3) Se vierte agua en un tanque cónico de radio 2 metros y altura 8 metros a razón de 5 m3/min. Cuando el nivel del agua es de 4 metros, este sube a una razón de 1m/min. El tanque tiene una fuga en su parte inferior y se desea encontrar la velocidad de fuga en ese mismo instante. 4) Un láser ubicado en tierra sigue continuamente un avión que se le acerca a 50 m/seg y que vuela a 2000m de altura de la tierra. Con que velocidad cambia el ángulo de giro del láser con respecto a la horizontal cuando el avión dista 2000m del láser.

58

5) Un bloque cubico de hielo con arista de longitud 20 cm. Comienza a fundirse a las 8 a.m. cada arista decrece de manera uniforme de ahí en adelante y mide 8 cm. A las 4 p.m. ¿Cuál fue la razón de cambio del volumen del bloque al medio día? 6) Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12 cm. Su radio decrece a una razón constante. Comienza a derretirse cuando t=0 (hrs.) y tarda 12 hrs. En desaparecer. A) ¿Cuál es la razón de cambio del volumen cuando t=6? 7) Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3y=x3+2. Encuentre los puntos sobre la curva en los cuales la ordenada está cambiando 9 veces más rápido que la abscisa. 8) Suponga que en cierto mercado, x miles de canastillas de naranjas se surten diariamente cuando p dólares es el precio por canastilla. La ecuación de oferta es: px-20p-3x+105=0. Si el suministro diario decrece a una tasa de 250 canastillas por día, ¿a qué tasa está variando el precio cuando la oferta diaria es de 5,000 canastillas? 9) Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyo radio aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 metros, este aumenta a una rapidez de 50 cm/s. ¿a qué rapidez aumenta el área del circulo formado por dicha onda? 10) La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (kelvin) y la presión P (en atmosferas) con un volumen V (en litros), es PV=nRT; donde n es el número de moles del gas y R=0.0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P=8 atm y que aumenta a razón de 0.10 atm/min, además V=10 litros y disminuye a razón de 0.15 l/min. Determinar la razón de cambio de T con respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n= 10 mol.

59 AquĂ­ te dejo estos ejercicios de mĂĄximos y mĂ­nimos para que practiques y en el examen no se te dificulte

Encuentre los extremos relativos, los intervalos donde f(x) es creciente, decreciente, concavidad, puntos de inflexiĂłn y su grĂĄfica, de las siguientes funciones. 11) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ + 2 12) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3 − 3đ?‘Ľ 2 13) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 4 − 8đ?‘Ľ 2 + 3 14) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľ 2 −6đ?‘Ľ+9 5

4

15) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 3 − 5đ?‘Ľ 3 2

16) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 (5 − đ?‘Ľ) 17) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 4 − 12đ?‘Ľ 3 + 48đ?‘Ľ 2 − 64đ?‘Ľ 18) đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

√đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 −10đ?‘Ľ+25) 4

60

Practica con estos problemas sobre optimización y recuerda siempre analizar el problema

19) Se desea construir una caja rectangular cerrada con base cuadrada y volumen de 32000 cm cúbicos. Encuentre las mediciones de la caja que requiera la menor cantidad de material. 20) Se producirá un canalón con sección transversal rectangular al doblar cantidades iguales de los extremos de una plancha de aluminio de 30 cm de ancho. ¿Cuáles son las mediciones de la sección transversal de modo que el volumen sea máximo? 21) Un barco B y dos ciudades costeras A y C forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

3.1 Integrales FunciĂłn primitiva o anti derivada: Es tambiĂŠn llamada anti derivaciĂłn, esto se debe porque ĂŠl integrar es ĂŠl procedimiento opuesto a derivar; ya que si una funciĂłn primero se deriva y luego se integra al final del procedimiento total se llegara a la misma respuesta que la funciĂłn original derivada al comienzo. -

La FunciĂłn primitiva de una funciĂłn dada đ?‘“(đ?‘Ľ), es otra funciĂłn đ??š(đ?‘Ľ) cuya derivada es la funciĂłn dada. đ?‘­Â´(đ?’™) = đ?’‡(đ?’™)

-

Si una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciĂĄndose todas ellas en una constante. [đ?‘­(đ?’™) + đ?’„]´ = đ?’‡´(đ?’™) + đ?&#x;Ž = đ?’‡´(đ?’™) = đ?’‡(đ?’™)

Integrales indefinidas Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.La idea de la integral indefinida supuso un paso mås en el camino de la abstracción emprendido por las matemåticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las åreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del anålisis matemåtico. En cålculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función es una función F cuya derivada es f, es decir, F′ = f. Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo. -

Se representa por âˆŤ đ?’‡(đ?’™)đ?’…đ?’™ Se lee : đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’?đ?’…đ?’†đ?’™đ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’†đ?’“đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’…đ?’†đ?’™ âˆŤ es el signo de integraciĂłn. đ?’‡(đ?’™) es el đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’?đ?’…đ?’? o funciĂłn a integrar. đ?’‡(đ?’™) es đ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’†đ?’“đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’…đ?’†đ?’™, e indica cuĂĄl es la variable de la funciĂłn que se integra. đ?‘Ş es la đ?’„đ?’?đ?’?đ?’”đ?’•đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’† đ?’…đ?’† đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’„đ?’ŠĂłđ?’? y puede tomar cualquier valor numĂŠrico real.

62

63

- Si đ??š(đ?‘Ľ) es una primitiva de đ?‘“(đ?‘Ľ) se tiene que: âˆŤ đ?’‡(đ?’™)đ?’…đ?’™ = đ?‘­(đ?’™) + đ?’„

Recuerda: Para comprobar que la primitiva de una funciĂłn es correcta, basta con derivar.



Linealidad de la integral indefinida

-

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

âˆŤ[đ?’‡(đ?’™) + đ?’ˆ(đ?’™)]đ?’…đ?’™ = âˆŤ đ?’‡(đ?’™)đ?’…đ?’™ + âˆŤ đ?’ˆ(đ?’™)đ?’…đ?’™ La integral del producto de una constante por una funciĂłn es igual a la constante por la integral de la funciĂłn.

âˆŤ đ?’Œđ?’‡(đ?’™)đ?’…đ?’™ = đ?’Œ âˆŤ đ?’‡(đ?’™)đ?’…đ?’™

64

Tabla de Integración FUNCIÓN SIMPLE

FUNCIÓNCOMPUESTA

∫ 𝑑𝑥 − +𝑐 ∫ 𝑘𝑑𝑥 − 𝑘𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 −

𝑥 𝑛+1 (𝑛 ≠ 1) 𝑛+1

∫ 𝑢(𝑥 )𝑑𝑥 −

𝑑𝑥 − ln|𝑥 | + 𝑐 𝑥 𝑎𝑛 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − +𝑐 ln 𝑎 𝑎𝑥 𝑥 ∫ 𝑎 𝑑𝑥 − +𝑐 ln 𝑎 ∫

∫

𝑢(𝑥)𝑛+1 + 𝑐(𝑛 − 1) 𝑛+1

𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 − ln 𝑢(𝑥 ) + 𝑐 𝑢(𝑥)

∫ 𝑎𝑢𝑥 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑢𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑥(𝑢)𝑢(𝑥 )𝑑𝑥 −

𝑎𝑢(𝑥) +𝑥 𝑐 ln a

∫ sin 𝑥𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐

∫ sin 𝑢(𝑥 )𝑑𝑥 = − cos 𝑢(𝑥 ) + 𝑐

∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

∫ cos 𝑢(𝑥 )𝑑𝑥 = sin 𝑢 (𝑥) + 𝑐

∫

1 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫−

1 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

∫

𝑢 2 (𝑥 ) = 𝑡𝑔𝑢(𝑥 ) + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢(𝑥 )

∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑢(𝑥 ))𝑢´(𝑥) = 𝑡𝑔𝑢 (𝑥) + 𝑐 𝑢2 ∫− 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑢(𝑥) + 𝑐 𝑠𝑒𝑛2 𝑢(𝑥)

∫(−1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐

∫(−1 − 𝑡𝑔2 𝑢(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫− 𝑑𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑥 + 𝑐 √1 − 𝑥 2 1 ∫− 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 + 𝑐 √1 − 𝑥 2

𝑢´(𝑥 )𝑠𝑒𝑛𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 = sec 𝑢(𝑥 ) + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢(𝑥 ) 𝑢´(𝑥 )cos(𝑥) ∫− 𝑑𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑢(𝑥) + 𝑐 𝑠𝑒𝑛2 𝑢(𝑥) 𝑢´(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sen u( 𝑥) + 𝑐 √1 − 𝑢2 (𝑥) 𝑢´(𝑥) ∫− 𝑑𝑥 √1 − 𝑢2 (𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos u( 𝑥) + 𝑐 𝑢´(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tg 𝑢(𝑥) + 𝑐 1 − 𝑢2

∫

∫

1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tg 𝑥 + 𝑐 1 − 𝑥2

∫

65

Recuerda practicar todos los dĂ­as para obtener mejores resultados

Ejemplo 1

âˆŤ 7đ?‘‘đ?‘Ľ = 7đ?‘Ľ + đ??ś Utilizando la fĂłrmula No. 2 de integraciĂłn Ejemplo 2

âˆŤ 0 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??ś Nos da đ??ś como resultado puesto que la multiplicaciĂłn de 0 por đ?‘Ľ, sigue siendo 0 Ejemplo 3 7 4 1 2 3 1 5 âˆŤ đ?‘Ľ −4 + 3đ?‘Ľ 8 − đ?‘Ľ −7 + 7đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ −3 đ?‘‘đ?‘Ľ 5 9

đ?&#x;’

đ?&#x;‘

đ?&#x;?đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;‘

đ?&#x;’

đ?&#x;•

đ?&#x;•

đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’™ đ?&#x;– − đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;” đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ + đ?‘Ş đ?&#x;‘

Siempre agregando al final la constante C.

Utilizando la fĂłrmula No.3 de integraciĂłn, procedemos a sumarle 1 a cada exponente con su respectivo tĂŠrmino, dividiĂŠndolo por el mismo. (đ?‘› + 1)

. Ejemplo 4 4

âˆŤ

2

9

đ?‘Ľ −3 + 5đ?‘Ľ 5 − 6đ?‘Ľ −4 8

3đ?‘Ľ −12

đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 1: Separar la expresiĂłn en 3 integrales con igual denominador, sabiendo por la fĂłrmula No.2 que es vĂĄlido sacar el nĂşmero como constante. 4

2

9

1 đ?‘Ľ −3 5 đ?‘Ľ5 6 đ?‘Ľ −4 âˆŤ 8 + âˆŤ 8 + âˆŤ 8 3 3 3 đ?‘Ľ −12 đ?‘Ľ −12 đ?‘Ľ −12

Paso 2: Realizar divisiĂłn de exponentes cuando se tiene la misma base, en este caso đ?‘Ľ. (Se copia la base y se restan los exponentes).

2 16 19 1 5 âˆŤ đ?‘Ľ −3 + âˆŤ đ?‘Ľ 15 − 2 âˆŤ đ?‘Ľ −12 3 3

Paso 3: Se procede a integrar. 2

15

19

1 đ?‘Ľ −3+1 5 đ?‘Ľ 16+1 đ?‘Ľ −12+1 ( )+ ( ) − 2( ) 19 3 −2 +1 3 15 + 1 − 12 + 1 3 16

Paso 4: Resolviendo las operaciones correspondientes y Simplificando llegamos a la respuesta

1

đ?‘Ľ3 +

NĂłtese que el nĂşmero que estaba afuera de la integral, pasa a multiplicar la expresiĂłn. .

25 31 24 − 7 đ?‘Ľ 15 + đ?‘Ľ 12 + 31 7

Ejemplo 5

âˆŤ

1 25

đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 1: Se procede a pasar multiplicando el denominador con el numerador. Sabiendo que ahora tendrĂĄ exponente negativo. 2

âˆŤ đ?‘Ľ −2 đ?‘Ľ −5 đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 2: Resolviendo la multiplicaciĂłn de potencias con igual base. 12

âˆŤ đ?‘Ľ − 5 đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 3: Integrando 12

đ?‘Ľ − 5 +1 +đ??ś 12 − 5 +1 Paso 4: Simplificando se obtiene la respuesta 5 7 − đ?‘Ľ −5 + đ??ś 7

66

67

Ejemplo 6

âˆŤ(đ?‘Ľ + 2)3 đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 1: Integrando; se le suma 1 al exponente, dividiendo por el mismo la expresiĂłn dada. 1 (đ?‘Ľ + 2)4 4 Paso 2: Por Ăşltimo se le agrega la constante.

1 (đ?‘Ľ + 2)4 + đ??ś 4

Recuerda siempre agregar la constante +c a tu integral

Ejemplo 7

âˆŤ 5đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 1: Aplicar la fórmula de integración No. 6 5� ��5

Ejemplo 8

âˆŤ 2đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

68

Paso 1: Multiplicar los enteros đ?‘Ľ

âˆŤ 10 đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 2: Aplicar la fórmula de integración No. 6 10� ��10

Ejemplo 9

âˆŤ 32đ?‘™đ?‘œđ?‘”3 (√đ?‘Ľ+6)đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 1: Aplicar la propiedad de los logaritmos đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? = đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘? 2

âˆŤ 3đ?‘™đ?‘œđ?‘”3 (√đ?‘Ľ+6) đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 2: Aplicar la propiedad de los logaritmos đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘ƒ = đ?‘ƒ âˆŤ(√đ?‘Ľ + 6)2 đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 3: Utilizando el producto notable (đ?‘Ž + đ?‘?)2 = đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?2 2

âˆŤ [(√đ?‘Ľ) + 2(√đ?‘Ľ)(6) + (6)2 ] đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 4: Realizando las operaciones correspondientes âˆŤ(đ?‘Ľ + 12√đ?‘Ľ + 36) đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 5: Integrando nos queda que 1

đ?‘Ľ 1+1 12đ?‘Ľ 2+1 + + 36(đ?‘Ľ ) + đ??ś 1 1+1 2+1 Paso 6: Simplificando

3 1 2 đ?‘Ľ + 8đ?‘Ľ 2 + 36đ?‘Ľ + đ??ś 2

69

3.2 Teorema Fundamental del CĂĄlculo El teorema fundamental del cĂĄlculo establece que la derivaciĂłn y la integraciĂłn (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la divisiĂłn y la multiplicaciĂłn. La pendiente de la recta tangente se definiĂł utilizando el ∆đ?‘Ś cociente ∆đ?‘Ľ (la pendiente de la recta secante). De manera similar, el ĂĄrea de la

regiĂłn bajo una curva se definiĂł utilizando el producto ∆đ?‘Śâˆ†đ?‘Ľ (el ĂĄrea de un rectĂĄngulo). De tal modo, al menos en una etapa de aproximaciĂłn primitiva, las operaciones de derivaciĂłn y de integraciĂłn definida parecen tener una relaciĂłn inversa en el mismo sentido en el que son operaciones inversas la divisiĂłn y la multiplicaciĂłn. El teorema fundamental del cĂĄlculo establece que los procesos de lĂ­mite (utilizados para definir la derivada y la integral definida) preservan esta relaciĂłn inversa.

Si una funciĂłn đ?‘“ es continua en el intervalo cerrado [đ?‘Ž, đ?‘?] đ?‘Ś đ??š es una antiderivada de đ?‘“ en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?], entonces:

đ?‘?

âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘?) − đ??š(đ?‘Ž). đ?‘Ž

DemostraciĂłn: La clave para la demostraciĂłn consiste en escribir la diferencia đ??š (đ?‘?) − đ??š(đ?‘Ž) en una forma conveniente. Sea ∆la siguiente particiĂłn de [đ?‘Ž, đ?‘?]. Mediante la resta y suma de tĂŠrminos anĂĄlogos, se obtiene: đ??š (đ?‘?) − đ??š (đ?‘Ž) = đ??š (đ?‘Ľđ?‘› ) − đ??š (đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 ) + đ??š (đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 )−. ‌ ‌ ‌ . . đ??š (đ?‘Ľ1 ) + đ??š (đ?‘Ľ1 ) − đ??š(đ?‘Ľ0 ) đ?‘›

= ∑[đ??š(đ?‘Ľđ?‘– ) − đ??š(đ?‘Ľđ?‘–−1 )]. đ?‘–=1

De acuerdo con el teorema del valor medio, se sabe que existe un nĂşmero đ?‘?đ?‘– en el đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘œ Subintervalo tal que: đ??š ′ (đ?‘?đ?‘– ) =

đ??š (đ?‘Ľđ?‘– ) − đ??š(đ?‘Ľđ?‘–−1 ) . đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘Ľđ?‘–−1

Como đ??š ′(đ?‘?đ?‘– ) = đ?‘“ (đ?‘?đ?‘– ), puede dejarse que ∆đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘Ľđ?‘–−1 y obtenerse: đ?‘›

đ??š (đ?‘?) − đ??š (đ?‘Ž) = ∑ đ?‘“ (đ?‘?đ?‘– )∆đ?‘Ľđ?‘– . đ?‘–=1

Esta importante ecuaciĂłn dice que al aplicar repetidamente el teorema del valor medio, se puede siempre encontrar una colecciĂłn de đ?‘?đ?‘– tal que la constante đ??š (đ?‘?) − đ??š(đ?‘Ž) es una suma de Riemann de đ?‘“ en [đ?‘Ž, đ?‘?] para cualquier particiĂłn. El teorema fundamental del cĂĄlculo garantiza que el lĂ­mite de sumas de Riemann sobre las particiones con ‖∆‖ → 0 existe. AsĂ­, al tomar el lĂ­mite (cuando ‖∆‖ → 0) produce: đ?‘?

đ??š (đ?‘?) − đ??š (đ?‘Ž) = âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?‘Ž

Estrategias para utilizar el teorema fundamental del cĂĄlculo 1. Suponiendo que se conozca una anti derivada o primitiva đ?‘“, se dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el lĂ­mite de la suma. Cuando se aplica el teorema fundamental del cĂĄlculo, la siguiente notaciĂłn resulta conveniente: đ?‘?

âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ)] đ?‘Ž

đ?‘? đ?‘Ž

= đ??š (đ?‘?) − đ??š(đ?‘Ž) 3

Por ejemplo, para calcular âˆŤ1 đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ, es posible escribir: 3

âˆŤ đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ = 1

đ?‘Ľ 4 3 34 14 81 1 ] = − = − = 20. 4 1 4 4 4 4

No es necesario incluir una constante de integraciĂłn C en la anti derivada o primitiva ya que: 3

đ?‘? âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = [đ??š (đ?‘Ľ ) + đ??ś ] đ?‘Ž 1 = [đ??š (đ?‘?) + đ??ś ] − [đ??š (đ?‘Ž) + đ??ś ]

= đ??š (đ?‘? ) − đ??š (đ?‘Ž ) .

70

71

Ejemplo 1 2

âˆŤ (đ?‘Ľ 2 − 3)đ?‘‘đ?‘Ľ 1

SoluciĂłn: Evaluar primero el mayor, restĂĄndole el menor đ?‘Ľ3 2 [ − 3đ?‘Ľ] 1 3 8 1 ( − 6) − ( − 3) 3 3 −

2 3

Ejemplo 2 4

âˆŤ 3√đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 1

SoluciĂłn: Evaluar primero el mayor, restĂĄndole el menor 4

3âˆŤ đ?‘Ľ

1â „ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

1 3

đ?‘Ľ2 4 3[ ] 3 1 2 3

2(4)2 − 2(1)

3â „ 2

= 14 Integrales racionales En la integraciĂłn de funciones racionales se trata de hallar la integral đ?‘ƒ(đ?‘‹) âˆŤ đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ, siendo đ?‘ƒ (đ?‘‹) đ?‘Ś đ?‘„(đ?‘Ľ ) polinomios. En primer lugar, supondremos el grado de đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) es menor que el de Q(x), si no fuera asĂ­ se dividirĂ­a. âˆŤ

đ?‘ƒ (đ?‘Ľ ) đ?‘… (đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ??ś (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘„ (đ?‘Ľ ) đ?‘„ (đ?‘Ľ )

đ??ś(đ?‘Ľ)Es el cociente yđ?‘…(đ?‘Ľ) el resto de la divisiĂłn polinĂłmica.

72

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raĂ­ces del denominador nos encontramos con los siguientes casos: 1. El denominador tiene solo raĂ­ces reales simples đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

La fracciĂłn đ?‘„(đ?‘Ľ) puede escribirse asĂ­: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) đ??´ đ??ľ đ??ś âˆŤ = + + ‌ đ?‘„(đ?‘Ľ) (đ?‘Ľ − đ?‘Ž) (đ?‘Ľ − đ?‘?) (đ?‘Ľ − đ?‘?) đ??´, đ??ľ y đ??ś son nĂşmeros que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x. Ejemplo 4

2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 1 âˆŤ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ Paso 1: Aplicar la fĂłrmula 2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 1 đ??´ đ??ľ đ??ś = + + 3 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1) (đ?‘Ľ + 2) Paso 2: Se efectĂşa la suma 2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 1 đ??´(đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ + 2) + đ??ľ(đ?‘Ľ )(đ?‘Ľ + 2) + đ??ś (đ?‘Ľ )(đ?‘Ľ − 1) = đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ + 2) Paso 3: Como las fracciones tienen igual denominador, los numeradores han de ser iguales. 2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 1 = đ??´(đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ + 2) + đ??ľ(đ?‘Ľ )(đ?‘Ľ + 2) + đ??ś (đ?‘Ľ )(đ?‘Ľ − 1) Paso 4: Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador

Paso 5: Se calculan las integrales de las fracciones simples

73

âˆŤ

2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ − 1 1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ + 2âˆŤ − âˆŤ 3 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’1 2 đ?‘Ľ+2

Paso 6: Integrando obtenemos la respuesta final 1 1 ln(đ?‘Ľ ) + 2 ln(đ?‘Ľ − 1) − ln(đ?‘Ľ + 2) + đ??ś 2 2

Ejemplo 5

âˆŤ

3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5 đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ + 3)3

Paso1: Aplicar la fĂłrmula 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5 đ??´ đ??ľ đ??ś = + + 3 2 (đ?‘Ľ + 3) (đ?‘Ľ + 3)3 đ?‘Ľ + 3 (đ?‘Ľ + 3) Paso 2: Realizar suma de fracciones 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5 đ??´(đ?‘Ľ + 3)2 + đ??ľ(đ?‘Ľ + 3) + đ??ś = (đ?‘Ľ + 3)3 (đ?‘Ľ + 3)3 Paso 3: Eliminar el denominador, pues es igual en ambos lados de la ecuaciĂłn 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5 = đ??´(đ?‘Ľ + 3)2 + đ??ľ(đ?‘Ľ + 3) + đ??ś Paso 4: Para calcular A, B y C, sustituirđ?‘Ľ = −3 3(−3)2 − 2(−3) + 5 = đ??´(−3 + 3)2 + đ??ľ(−3 + 3) + đ??ś Paso 5: Despejar para C đ??ś = 38 Paso 6: Derivar la ecuaciĂłn, sustituir nuevamente đ?‘Ľ = −3 y encontrar el valor de B 6đ?‘Ľ − 2 = 2đ??´(đ?‘Ľ + 3) + đ??ľ 6(−3) − 2 = 2đ??´(−3 + 3) + đ??ľ đ??ľ = −20 Paso 7: Volver a derivar la ecuaciĂłn y encontrar el valor de A 6 = 2đ??´ đ??´=3 Paso 8: Ya que encontramos los valores de A, B y C, los sustituimos en la primera expresiĂłn.

3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5 3 20 38 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ − âˆŤ +âˆŤ 3 2 (đ?‘Ľ + 3) (đ?‘Ľ + 3) (đ?‘Ľ + 3)3 (đ?‘Ľ + 3)

Paso 9: Integrar = 3đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ + 3) −

20(đ?‘Ľ + 3)−2+1 38(đ?‘Ľ + 3)−3+1 + −2 + 1 −3 + 1

Paso 10: Simplificando, se llega a la respuesta requerida 3 ln(đ?‘Ľ + 3) +

20 19 − +đ??ś đ?‘Ľ + 3 (đ?‘Ľ + 3)2

74

3.3

75

Integrales por sustituciĂłn

Cuando se usa la sustituciĂłn de u en una integral definida, muchas veces es conveniente determinar los lĂ­mites de integraciĂłn para la variable u en vez de convertir la anti derivada o primitiva de nuevo a la variable x y calcular en los lĂ­mites originales. Este cambio de variable se establece explĂ­citamente en el siguiente teorema. La demostraciĂłn sigue del teorema en combinaciĂłn con el teorema fundamental del cĂĄlculo. El mĂŠtodo de integraciĂłn por sustituciĂłn o cambio de variable se basa en la regla de la cadena. âˆŤ đ?‘“´(đ?‘Ľ ) ∙ đ?‘ĽÂ´ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š (đ?‘Ľ ) + đ??ś El mĂŠtodo se basa en identif icar una part e de lo que se va a int egrar con una nueva variable , de modo que se obtenga una int egral mĂĄs sencilla. 

Pasos para int egrar por sustit uciĂłn 1Âş. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos tĂŠrminos. đ?‘˘=đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘ĽÂ´ đ?‘‘đ?‘Ľ Se despeja đ?‘˘ y đ?‘‘đ?‘Ľ, sustit uyendo en la int egral âˆŤ đ?‘“´(đ?‘Ľ ) ∙ đ?‘ĽÂ´

đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š (đ?‘˘) đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘ĽÂ´

2Âş. Si la integral resultante es mĂĄs sencilla, procedemos a integrar âˆŤ đ?‘“´(đ?‘˘)đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘“ (đ?‘˘) + đ??ś 3Âş. Se vuelve a la variable inicial đ?‘“ (đ?‘˘ ) + đ??ś = đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ??ś

Ejemplo 1

âˆŤ √đ?‘Ľ 2 − 4 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 3

76

Paso 1: Definir cuĂĄl serĂĄ đ?‘˘ y su derivada đ?‘˘ = đ?‘Ľ2 − 4 đ?‘‘đ?‘˘ = 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 = đ?‘˘ + 4 Paso 2: Sustituir valores âˆŤ √đ?‘˘đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ Paso 3:El nĂşmero 2 pasa a dividir, fuera de la integral 1 1 âˆŤ đ?‘˘2 đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘˘ 2 Paso : Se sustituye đ?‘Ľ 2 = đ?‘˘ + 4 1 1 âˆŤ đ?‘˘2 (đ?‘˘ + 4)đ?‘‘đ?‘˘ 2

Paso 5: Se multiplican los tĂŠrminos 3 1 1 âˆŤ đ?‘˘2 + 4đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘ 2

Paso 6: Integrando nos queda que 1 2 5 8 3 [ đ?‘˘2 + đ?‘˘2 ] + đ?‘? 2 5 3 Paso 7 Multiplicando y sustituyendo la đ?‘˘, obtenemos la respuesta 5 3 1 2 4 (đ?‘Ľ − đ?‘˘)2 + (đ?‘Ľ 2 − 4)2 + đ?‘? 2 3

77

Ejemplo 2

âˆŤ

đ?‘Ľ3 √đ?‘Ľ 2 − 4

đ?‘‘đ?‘Ľ

Paso 1: Definir cuĂĄl serĂĄ đ?‘˘ y su derivada đ?‘˘ = đ?‘Ľ2 − 4 đ?‘‘đ?‘˘ = 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 = đ?‘˘ + 4 đ?‘‘đ?‘Ľ =

1 �� 2�

Paso 2: Sustituir lo anteriormente despejado đ?‘Ľ3 1 âˆŤ đ?‘‘đ?‘˘ √đ?‘˘ 2đ?‘Ľ 1

Paso 3: Se saca el 2 , se elimina quedando đ?‘Ľ 2 en el numerador y sustituyendo queda 1 đ?‘˘+4 âˆŤ 1 đ?‘‘đ?‘˘ 2 đ?‘˘2 Paso 4: Dividir el denominador entre cada uno de los tĂŠrminos del numerador 1 1 1 âˆŤ đ?‘˘2 + 4đ?‘˘âˆ’2 đ?‘‘đ?‘˘ 2 1

Paso 5: Integrar, multiplicar el 2 1 1 2 3 [ đ?‘˘2 + 8đ?‘˘2 ] + đ?‘? 2 3 1 1 3 đ?‘˘2 + 4đ?‘˘2 + đ?‘? 3

Paso 6: Sustituir la đ?‘˘ 3 1 1 2 (đ?‘Ľ − 4)2 + 4(đ?‘Ľ 2 − 4)2 + đ?‘? 3

78

Ejemplo 3

√đ?‘Ą − 3 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą √đ?‘Ą + 1

Paso 1: Definir đ?‘˘, su derivada y demĂĄs igualaciones que pudieran servir đ?‘˘ = √đ?‘Ą + 1 đ?‘‘đ?‘˘ =

1 −1 đ?‘Ą 2 đ?‘‘đ?‘Ą 2 1

đ?‘‘đ?‘Ą = 2đ?‘Ą 2 đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘Ą = (đ?‘˘ − 1)2 √đ?‘Ą = đ?‘˘ − 1 Paso 2: Sustituir en la integral âˆŤ

√đ?‘Ą − 3 1 2đ?‘Ą 2 đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘

Paso 3: Sacar el 2 y multiplicar tĂŠrminos 2âˆŤ

đ?‘Ą − 3√đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘

Paso 4: Dejar todo en tĂŠrminos de đ?‘˘ y operar (đ?‘˘ − 1)2 − 3(đ?‘˘ − 1) 2âˆŤ đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘ 2âˆŤ

đ?‘˘2 − 2đ?‘˘ + 1 − 3đ?‘˘ + 3 đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘ 2âˆŤ

đ?‘˘2 − 5đ?‘˘ + 4 đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˘

Paso 5: Dividir cada tĂŠrmino del numerador, entre el denominador 2 âˆŤ đ?‘˘ − 5 + 4đ?‘™đ?‘›đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ Paso 6: Integrar y multiplicar el 2 1 2 [ đ?‘˘2 − 5đ?‘˘ + 4đ?‘™đ?‘›đ?‘˘] + đ?‘? 2 1

đ?‘˘2 − 10đ?‘˘ + 8đ?‘™đ?‘›đ?‘˘ + đ?‘?

79

Paso 7: Sustituir la � 1

(√đ?‘Ą + 1)2 − 10(√đ?‘Ą + 1) + 8 ln(√đ?‘Ą + 1) + đ?‘?

Ejemplo 4

đ?‘Ľ3

âˆŤ3 đ?‘‘đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2 + 1 Paso 1: Definir đ?‘˘, su derivada y demĂĄs igualaciones que pudieran servir đ?‘˘ = đ?‘Ľ2 + 1 đ?‘‘đ?‘˘ = 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ =

1 �� 2�

đ?‘Ľ2 = đ?‘˘ − 1 Paso 2: Sustituir en la integral âˆŤ

�3 1 �� 1 2� �3

Paso 3: Dejar todo en tĂŠrminos de đ?‘˘ 1 đ?‘˘âˆ’1 âˆŤ 1 đ?‘‘đ?‘˘ 2 đ?‘˘3 Paso 5: Dividir cada tĂŠrmino del numerador, entre el denominador 2 1 1 âˆŤ đ?‘˘3 − đ?‘˘âˆ’3 đ?‘‘đ?‘˘ 2 1

Paso 6: Integrar y multiplicar el 2 3 5 3 2 đ?‘˘3 − đ?‘˘3 + đ?‘? 10 4 Paso 7: Sustituir la đ?‘˘ 3 10

5

3

2

(đ?‘Ľ 2 + 1)3 − (đ?‘Ľ 2 + 1)3 +c 4

80

Ejemplo 5

âˆŤ

√1 + √đ?‘Ą √đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

Paso 1: Definir đ?‘˘, su derivada y demĂĄs igualaciones que pudieran servir đ?‘˘ = 1 + √đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘˘ =

1 −1 đ?‘Ą 2 đ?‘‘đ?‘Ą 2 1

đ?‘‘đ?‘Ą = 2đ?‘Ą 2 đ?‘‘đ?‘˘ Paso 2: Sustituir en la integral âˆŤ

√đ?‘˘ 2√đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘˘ √đ?‘Ą

Paso 3: Sacar el 2 e integrar 1

2 âˆŤ đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘ 2 3 2 [ đ?‘˘2 ] + đ?‘? 3 Paso 4: Multiplicar el 2 y sustituir la đ?‘˘ 4 3 đ?‘˘2 + đ?‘? 3 3 4 (1 + √đ?‘Ą)2 + đ?‘? 3

Ejemplo 6

âˆŤ

√đ?‘¤ √1 − √đ?‘¤

��

Paso 1: Definir đ?‘˘, su derivada y demĂĄs igualaciones que pudieran servir đ?‘˘ = 1 − √đ?‘¤ 1 1 đ?‘‘đ?‘˘ = − đ?‘¤ −2 đ?‘‘đ?‘¤ 2

81

đ?‘‘đ?‘¤ = −2√đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘¤ = (1 − đ?‘˘ )2 Paso 2: Sustituir en la integral âˆŤ

√đ?‘¤ (−2√đ?‘¤)đ?‘‘đ?‘˘ √đ?‘˘

Paso 3: Sacar el −2, multiplicar tĂŠrminos −2 âˆŤ

đ?‘¤ √đ?‘˘

��

Paso 4: Dejar todo en tĂŠrminos de đ?‘˘ −2 âˆŤ

( 1 − đ?‘˘ )2 1

��

đ?‘˘2 Paso 5: Operar el binomio al cuadrado (đ?‘Ž − đ?‘?)2 = đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?2 −2 âˆŤ

1 − 2đ?‘˘ + đ?‘˘2 1 đ?‘˘2

��

Paso 6: Dividir cada tĂŠrmino del numerador, entre el denominador 1

1

3

−2 âˆŤ đ?‘˘âˆ’2 − 2đ?‘˘2 + đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘

Paso 7: Integrar y multiplicar el 2 1 4 3 2 5 −2 [2đ?‘˘2 − đ?‘˘2 + đ?‘˘2 ] + đ?‘? 3 5

Paso 8: Multiplicar el −2 y sustituir la đ?‘˘

1 �)2

−4(1 − √

3 5 8 4 2 (1 (1 + − √đ?‘¤) − − √đ?‘¤)2 + đ?‘? 3 5

Practica las siguientes integrales

1. ∫ 4𝑥 5 𝑑𝑥 −1

2. ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 4

−3

7

2

3

1

3. ∫ 𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥 7 𝑑𝑥 3 6 7 4. ∫ 𝑥(𝑥 2 − 5)3 𝑑𝑥 5. ∫ 2(√𝑥 2 − 2)𝑥 3 𝑑𝑥 1 3 𝑡 2 −1

6. ∫(𝑡 + 𝑡 )2 (

𝑡2

)𝑑𝑡

82

5.1 Área bajo la curva

84

Antes de explicar un poco acerca de lo que es Área bajo la Curva tenemos que tener presentes lo que es el teorema fundamental del cálculo y para que nos sirve en este tema. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Existe una forma más sencilla para evaluar una integral definida que calculando el límite dé una suma. Esta "manera más sencilla" se logra por medio del teorema fundamental del cálculo. En el siguiente teorema se ve que el concepto de anti derivada de una función continua constituye el puente entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. Dada una función f(x) continua en el intervalo [a, b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más grande y mejor la aproximación al valor del área.

Ejemplo 1

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

85

El área sobre el eje OX es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje OX (en el intervalo dado), por tanto se puede escribir:

Ejemplo 2

Calcular el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

86

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejemplo 3

Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

87

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parรกbola.

Ejemplo 4

Calcular el รกrea limitada por las grรกficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

Ejemplo 5

Hallar el รกrea de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parรกbola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parรกbola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parรกbola.

Recuerda siempre colocar medidas en tu respuesta, en caso que no te proporcionen, coloca unidades cuadradas.

88

5.2

89

Solidos de revoluciĂłn Las aplicaciones de la integral son diversas y completas, esto hasta en el campo de la geometrĂ­a, en este caso en figuras en tres dimensiones, ya que un sĂłlido de revoluciĂłn es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operaciĂłn geomĂŠtrica de rotaciĂłn de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En tĂŠrminos mĂĄs prĂĄcticos se aplica la integraciĂłn para obtener figuras sĂłlidas formadas por una o varias funciones al girar alrededor de un eje fijo.

Sea S un sĂłlido tal que S estĂĄ entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida del ĂĄrea de la secciĂłn plana S, perpendicular al eje x, estĂĄ dada por A(x), donde A es continua en [a,b], entonces la medida del volumen de S estĂĄ dado por: đ?‘?

âˆŤ đ??´(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Existen diferentes mÊtodos para llevar a cabo el cålculo del volumen generado al girar determinado número de funciones a travÊs de un eje establecido, entre estos encontramos: 

MĂŠtodo de Anillos.



MĂŠtodo de Capas CilĂ­ndricas.



MĂŠtodo de Discos.

Cada uno de estos con caracterĂ­sticas diferentes con la intenciĂłn de tener la opciĂłn para utilizar el mĂŠtodo mĂĄs adecuado posible al tipo de grĂĄfica seleccionado. MĂŠtodo de Anillos Este mĂŠtodo se basa en varios tĂŠrminos que lo caracterizan para ser llamado asĂ­, estos son los siguientes:  Si la regiĂłn que giramos para formar un sĂłlido que no toca o pasa por el eje de rotaciĂłn, el sĂłlido obtendrĂĄ un hueco, formando de esta forma un tipo de arandela (otra forma de llamar este mĂŠtodo) o bien un anillo.  Se forman secciones trasversales que son perpendiculares al eje de rotaciĂłn.  Se cuenta con un radio interno y otro externo. La fĂłrmula utilizada, a travĂŠs de la integral definida, en este caso es la siguiente: đ?‘?

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ [(đ?‘“ (đ?‘Ľ ))2 − (đ?‘”(đ?‘Ľ ))2 ]đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Siendo f(x) la funciĂłn mayor y g(x) la menor. Nota: Ambas funciones deben ser continuas, al menos en el intervalo de [a,b]. InterpretĂĄndolo de otra forma, utilizando la Ăşltima caracterĂ­stica mencionada obtenemos:

đ?‘?

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ [(đ?‘…)2 − (đ?‘&#x;)2 ]đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Donde: R = f(x) y r = g(x).

90

91

Ejemplo 1

Determine el volumen del sĂłlido formado al girar en el eje x la regiĂłn comprendida entre la curva y= x2 + 1 y la recta y = x + 3. đ?‘Ľ2 + 1 = đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ − 2 = 0 X1= 2 X2= -1

2

đ?‘Ł = đ?œ‹ âˆŤ [(đ?‘Ľ + 3)2 − (đ?‘Ľ 2 + 1)2 ]đ?‘‘đ?‘Ľ −1 2

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ [(đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 9) − (đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 2 + 1)]đ?‘‘đ?‘Ľ −1 2

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ (−đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 2 + 6x + 8)đ?‘‘đ?‘Ľ −1 2 1 1 đ?‘‰ = đ?œ‹ [− đ?‘Ľ 5 − đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ] 5 3 −1

�=

117 3 � 5

MĂŠtodo de Capas CilĂ­ndricas Este mĂŠtodo es el que pasa a ser el mĂĄs eficaz, ya que cuenta con un enfoque mĂĄs amplio que los demĂĄs.

92

Para trabajar con Capas CilĂ­ndricas es necesario establecer nuestro diferencial de modo paralelo al eje de rotaciĂłn, a diferencia del MĂŠtodo de anillos que se usa perpendicular. La fĂłrmula a utilizar en esta secciĂłn es la siguiente:

Eje x

Eje y

h(y) p(x) b h(x)

p(y)

a

a

đ?‘?

đ?‘‰ = 2đ?œ‹ âˆŤđ?‘Ž đ?‘?(đ?‘Ś)â„Ž(đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś

Los ejes de rotaciĂłn pueden contar con un desplazamiento, no necesariamente debe ir en los ejes x o y

đ?‘?

đ?‘‰ = 2đ?œ‹ âˆŤđ?‘Ž đ?‘?(đ?‘Ľ)â„Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ś

b

93

Ejemplo 1

Encontrar el volumen obtenido al girar la región limitada por la gråfica y = 3x –x2 y el eje x, alrededor de la recta x=-1.

SegĂşn la fĂłrmula đ?‘?

đ?‘‰ = 2đ?œ‹ âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ )â„Ž(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž 3

đ?‘‰ = 2đ?œ‹ âˆŤ (đ?‘Ľ + 1)(3đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ 0 3

đ?‘‰ = 2đ?œ‹ âˆŤ (2đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ 0

2 3 3 2 1 4 3 đ?‘‰ = 2đ?œ‹ [ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ] 3 2 4 0 đ?‘‰=

45 3 đ?œ‹đ?‘˘ 2

94

MĂŠtodo de Discos

En este mĂŠtodo volvemos al concepto de establecer un diferencial de una forma perpendicular al eje de rotaciĂłn.

Para calcular el volumen de un sĂłlido de revoluciĂłn por el mĂŠtodo de los discos, utilizar una de las fĂłrmulas siguientes:

Eje x

Eje y b

a a

b đ?‘?

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤđ?‘Ž (đ?‘“(đ?‘Ľ))

2

đ?‘?

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤđ?‘Ž (đ?‘“(đ?‘Ś))

2

95

Ejemplo 1

Encuentre el sĂłlido de revoluciĂłn generado al girar en el eje x la funciĂłn đ?‘Ś = √đ?‘Ľ y la recta x=1.

1

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ (√đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ 0

1

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 0

1 1 đ?‘‰ = đ?œ‹ [ đ?‘Ľ] 2 0 đ?‘˝=

đ??… đ?&#x;‘ đ?’– đ?&#x;?

Ejemplo 2

Encuentre el sĂłlido de revoluciĂłn generado al girar en el eje y la funciĂłn đ?‘Ś = √đ?‘Ľ y la recta x=1.

Se pasa la funciĂłn a funciĂłn de y. đ?‘Ľ = đ?‘Ś2

1

đ?‘‰ = đ?œ‹ âˆŤ (đ?‘Ś 2 )2 đ?‘‘đ?‘Ś 0

1

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦 4 𝑑𝑦 0

1 5 1 𝑉 = 𝜋[ 𝑦 ] 5 0 𝑽=

𝟏 𝝅𝒖𝟑 𝟓

96

5.3

97

Longitud de arco Sea f la funciĂłn continua en el intervalo cerrado [a, b] y considere la grĂĄfica de esta funciĂłn definida por la ecuaciĂłn y=f(x), la cual se muestra en la figura 1. La porciĂłn de la curva desde el punto A(a,f(a)) hasta el punto B(b,f(b)) de denomina arco. Se desea asignar un nĂşmero a lo que intuitivamente se considera como la longitud de dicho arco. Si el arco es un segmento de recta desde el punto (x1, y1) hasta el punto (x2,y2), se sabe por la fĂłrmula de la distancia entre dos puntos que su longitud estĂĄ dada por √(đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2)2 + (đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2)2 . Si la funciĂłn f y su derivada f’ son continuas en el intervalo cerrado [a,b], entonces la longitud de arco de la curva y = f(x) a partir del punto (a, f(a)) hasta el punto (b, f(b)) estĂĄ dada por đ?‘?

đ??ż = âˆŤ √1 + [đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ )]2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Ejemplo 1 2

Calcule la longitud de arco de la curva đ?‘Ś = đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ [1,1] â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ (8,4). 2

đ?‘Œ´ = 3 đ?‘Ľ −1/3

derivamos

Encontrar la longitud por medio de la formula general 8

4

S= âˆŤ1 √1 + 9đ?‘Ľ2/3 đ?‘‘đ?‘Ľ 8

sustituimos en la formula

2/3

1 9đ?‘Ľ +4 S= 3 âˆŤ1 √ đ?‘‹ 1/3 đ?‘‘đ?‘Ľ

Resolvemos la integral por el mĂŠtodo de sustituciĂłn A fin de evaluar esta integral considere đ?‘˘ = 9đ?‘Ľ 2/3 + 4; entonces đ?‘‘đ?‘˘ = 6đ?‘Ľ −1/3 đ?‘‘đ?‘Ľ. Cuando x = 1, u = 13; cuando x = 8, u = 40. Por tanto, 40

1

S= 18 âˆŤ13 đ?‘˘1/2 đ?‘‘đ?‘˘ 1

3

2

S= 18 [3 �2 ] [13,40] S=

1 27

3

3

(402 − 132 )

S= 7.634u Resultado Obtenido.

98

Ejemplo 2

( y  1)3  x 2 en el intervalo [0,8].

Encontrar la longitud de arco de SoluciĂłn

Se empieza resolviendo para x en tÊrminos de y, x   ( y  1) elige el valor positivo de x por lo tanto la derivada serå:

3 2

se

1 dy 3  ( y  1) 2 ; Como se eligió el valor positivo de x pero se integrarå en dx 2

tĂŠrminos de y se necesita encontrar el contra dominio o el intervalo en Y , este serĂĄ: [1,5] b

s

ďƒ˛

1   f ´( x) 

2

a

2

1 ďƒŚ3 ďƒś 1  ďƒ§ ( y  1) 2 ďƒˇ dy ďƒ¨2 ďƒ¸

5

sď€˝ďƒ˛ 1

5

s

ďƒ˛ 1

5

5ďƒś ďƒŚ9 y  ďƒˇdy ďƒ§ 4ďƒ¸ ďƒ¨2

ďƒŠ 3 1 ďƒŞ  9 y  5 2 ďƒŞ 3 8ďƒŞ ďƒŤ 2

s

1 2 ďƒ˛1

 9 y  5 dy

5

ďƒš 3 3 ďƒş ďƒś 1 ďƒŚ 2 2  40  4 ďƒ§ ďƒˇ  9.073 ďƒş 27 ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒş ďƒť1

Ejemplo 3

Encuentre la longitud de arco de đ?‘Œ=

1 8 1

đ?‘Œ=

đ?‘‹4 8

1

+ 4đ?‘‹ 2 en el intervalo [1, 2]

1

đ?‘‹ 4 + 4 đ?‘‹ −2 Ordenamos la ecuaciĂłn de manera conveniente 1

đ?‘Œ´ = 2 đ?‘‹ 3 − 2 đ?‘‹ −3 derivamos la ecuacion 2

2 1 1 S = âˆŤ1 √1 + [2 đ?‘‹ 3 − 2 đ?‘‹ −3 ] đ?‘‘đ?‘Ľ sustituimos la derivada en la formula 2

1

1

1

S= âˆŤ1 √1 + [4 đ?‘Ľ 6 − 2 + 4 đ?‘‹ −6 ] dx

desarrollamos

99

2

1

1

1

S= âˆŤ1 √4 đ?‘‹ 6 + 2 + 4đ?‘‹6 dx 2

1

1

S= âˆŤ1 √(2 đ?‘‹ 3 + 2đ?‘‹ 3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ cuadrado perfecto 2 1

S= âˆŤ1 S= S=

1 8 1 8

2

1

đ?‘‹ 3 + 2đ?‘‹3 dx

eliminamos la raiz

1

đ?‘‹ 4 − 4 đ?‘‹ −2 [1, 2] 1

1

integramos 1

(2)4 − 4 (2)−2 −[8 (1)4 − 4 (1)−2 ] Sustituimos los intervalos

31

1

S= 16 + 8 ≥ đ?&#x;?. đ?‘śđ?&#x;”đ?&#x;‘đ?’–

resultado obtenido

5.4 Ă rea de una superficie de revoluciĂłn El ĂĄrea de una superficie de revoluciĂłn se forma cuando se hace girar un objeto en una recta. Si la derivada es positiva y continua gira entorno al eje x ahora si es negativa y continua gira entorno al eje y đ?‘?

2đ?œ‹ âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ľ )√1 + [đ?‘“ ′(đ?‘Ľ) ]2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Ejemplo 1

1)

Y=x

[1,3] rota eje x � (� ) = ��′(� ) = 1 3

đ?‘† = 2đ?œ‹ âˆŤ đ?‘Ľ √1 + 12 đ?‘‘đ?‘Ľ 1 3

đ?‘† = 2đ?œ‹âˆš2 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 1 3

đ?‘Ľ2 đ?‘† = 2√2đ?œ‹ | | 2 1 đ?‘† = 2√2đ?œ‹

(3)2 (1)2 9 1 8 − 2√2đ?œ‹ = 2√2đ?œ‹ ( − ) = 2√2đ?œ‹ ( ) = 2√2đ?œ‹(4) 2 2 2 2 2 2 = 8√2đ?œ‹ = 35.54 đ?‘˘

100

101

Ejemplo 2

𝑦 = 𝑥3

[0,2]

en eje x

𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 2 2

𝑆 = 2𝜋 ∫0 𝑥 3 √1 + (3𝑥 2 )2 𝑑𝑥 2

𝑆 = 2𝜋 ∫0 𝑥 3 √1 + 9𝑥 4 𝑑𝑥 1

2

𝑆 = 2𝜋 ∫0 𝑥 3 (1 + 9𝑥 4 )2 𝑑𝑥 1

2

𝑆 = 2𝜋 ∫0 𝑥 3 𝑢2 𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑢 = 1 + 9𝑥 4

𝑑𝑥

= 36𝑥 3

𝑑𝑢 36𝑥 3

= 𝑑𝑥

3

𝑢2 𝑑𝑢 𝑆 = 2𝜋 𝑥 3 3 36𝑥 3 2 𝑆=

2𝜋 36

3

2𝑢2 2 ] 3 0

∙

=

1𝜋 18

2

3

2

3

∙|

2𝑢2 3

| 0 2

3 2

0

0

0

[0,1]

en eje x

3

(1 + 9𝑥 4 )2 2𝑢2 𝑢2 | = 203.15 𝑢2 𝑆=| ∙ 𝜋| = | ∙ 𝜋| = 𝜋 | 54 27 27

Ejemplo 3

𝑦 = √𝑥 𝑦´ = 2

1 √𝑥 1

1

2

𝑆 = 2𝜋 ∫0 √𝑥 √1 + (2 𝑥) √ 1

1

1

4𝑥+1

𝑆 = 2𝜋 ∫0 √𝑥√1 + (4𝑥) = 2𝜋 ∫0 √𝑥√ 𝑆=

2𝜋 2

4𝑥

1

= 2𝜋 ∫0 √𝑥

√4𝑥+1 √4𝑥

1

∫0 √4𝑥 + 1 1

𝑆 = 𝜋 ∫ (4𝑥 + 0

1 1)2

1

𝜋 = ∫ 4(4𝑥 + 4 0

1 1)2

3 1

𝜋 (4𝑥 + 1) 2 | =| 3 4 2 0

𝑑𝑥

3 1

3 1

0

0

(4𝑥 + 1)2 𝜋 2(4𝑥 + 1)2 | = 𝜋| | 𝑆= | 4 3 6 3

52 𝑆 = 𝜋( )−0 6 𝑆 = 5.85 𝑢2 Ejemplo 4

𝑦 = √16 − 𝑥 2

[o,√7]

eje y 𝑦 2 = 16 − 𝑥 2 𝑥 2 = 16 − 𝑦 2 𝑥 = √16 − 𝑦 2 𝑥´ =

𝑆 = 2𝜋 ∫

√7

0

−𝑦 √16 − 𝑦 2

−𝑦 √16 − 𝑦 2 √1 + ( ) √16 − 𝑦 2

102

5.5

103

Trabajo En física se utiliza el tÊrmino trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un cuerpo cuando Êste es movido cierta distancia debido a una fuerza que actúa sobre Êl. Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazåndolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido. Es decir: W=F¡x Ejemplo 1

Si W libras-pie es el trabajo necesario para levantar un peso de 70 lb hasta una altura de 3 pie, entonces W= (70)(3) =210 jouls Una de las diferencias del tema de trabajo en matemĂĄtica con fĂ­sica es que en matemĂĄticas, la fuerza varia mientras que en fĂ­sica permanece constante. La unidad de mediciĂłn para el trabajo depende de las unidades de fuerza y distancia. En el sistema inglĂŠs, donde la fuerza se mide en libras y la distancia en pies, el trabajo se mide en libras-pie. En el sistema SI, la unidad de fuerza es el newton, la unidad de distancia es el metro y la unidad de trabajo es un newton-metro denominado joule. En el sistema CGS la unidad de fuerza es la dina, la unidad de distancia es el centĂ­metro y la unidad de trabajo es una dina-centĂ­metro llamada ergio. Ejemplo 2

Se desea determinar el trabajo realizado al levantar una roca cuya masa es de 8 kg a una altura de 4 m. se utiliza la formula F=ma, donde F newtons es la fuerza necesaria para dar a la masa de m kg una aceleraciĂłn de a metros por segundo al cuadrado. En este caso la fuerza es la fuerza de gravedad y la aceleraciĂłn es aquella debida a la gravedad, la cual es 9.81m/đ?‘ 2 . la masa es 8 kg. Por tanto, M = 8 y a = 9.81 y F = ma = (8)(9.81) = 78.5

Ahora que ya conocemos la fuerza y tenemos una distancia podemos calcular el trabajo realizado. Si W joules es el trabajo, entonces W = fd = (78.5)(4) = 314.

104

Es importante saber tambiĂŠn que el trabajo realizado por una fuerza variable F al mover un objeto en forma rectilĂ­nea de un punto a, a un punto b, estĂĄ dado por: đ?‘?

đ?‘‘

1. T=âˆŤđ?‘Ž đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ. ; đ?‘‡ = âˆŤđ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘?

2. đ?‘‡ = đ?œŒ âˆŤđ?‘Ž đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ Donde la funciĂłn es la distancia, el diferencial puede ser el volumen o ĂĄrea y đ?œŒ es la densidad. Ejemplo 3

Un objeto se empuja en el plano desde x=0 hasta x=10, pero debido al viento, la fuerza que debe aplicarse en el punto x es: đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 10. SoluciĂłn: al mover el objeto desde la posiciĂłn inicial x hasta la posiciĂłn final x +∆đ?‘Ľ, la distancia recorrida es ∆đ?‘Ľ y la fuerza aplicada es de đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 10 por lo tanto el trabajo realizado en ese pequeĂąo recorrido es: đ?‘¤(đ?‘Ľ ) = (3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 10) ∙ ∆đ?‘Ľ El trabajo total se obtiene mediante la suma. En este caso, la integral representa esta suma: 10

đ?‘¤ = âˆŤ (3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 10)đ?‘‘đ?‘Ľ 0

3 3 đ?‘Ľ2 = | đ?‘Ľ − + 10đ?‘Ľ| 3 2 = 1050 đ??˝. Ejemplo 4

Un peso de 150 libras se fija en un extremo de una cadena cuyo peso es de 2 libras por pie. Inicialmente el peso se suspende con 10 pies de cadena sobre el borde de un edificio de 100 pies de altura. Considerando sĂłlo la fuerza de la gravedad, calcular el trabajo realizado cuando el peso se baja hasta una posiciĂłn de 10 pies sobre el suelo.

105

SoluciĂłn: 1) Determinar la funciĂłn fuerza de acuerdo a la posiciĂłn del cuerpo: Tenemos una fuerza fija equivalente a 150 libras mĂĄs otra fuerza variable correspondiente al peso de la cadena f(x)= 150+ 2x , la cadena tiene un peso de 2libras/pie 2) El trabajo realizado es la suma de las fuerzas ejecutadas en el intervalo (10,90) 90

đ?‘¤ = âˆŤ (150 + 2đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ 10

2 = [150đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 3 ] 3 = 20000 đ??˝.

Recuerda siempre analizar detenidamente los problemas. FĂ­jate siempre en que sistema de medidas estas trabajando para evitar errores.

5.6 Centros de masa Los tĂŠrminos "centro de masa" y "centro de gravedad ", se utilizan como sinĂłnimos en un campo gravitatorio uniforme, para representar el punto Ăşnico de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a las fuerzas y pares externos. El concepto de centro de masa es el de un promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote de un balancĂ­n respecto de los pares producidos. Para encontrar el centro de masa, primero debemos de encontrar los momentos. đ?‘?

đ?‘€đ?‘Ľ = đ?œŒ âˆŤ [ đ?‘Ž

đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) ] [đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘”(đ?‘Ľ)]đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘?

đ?‘€đ?‘Ś = đ?œŒ âˆŤ đ?‘Ľ [đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘”(đ?‘Ľ)]đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘€ = đ?œŒ âˆŤ [đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘”(đ?‘Ľ)] đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Con ayuda de las formulas dadas podemos encontrar el centro de masa, que se darĂĄ en forma de una coordenada (đ?‘ĽĚ… , đ?‘ŚĚ…). đ?‘ĽĚ… =

�� �

;

đ?‘ŚĚ… =

�� �

Ejemplo

Hallar la posiciĂłn del centro de masa del triĂĄngulo de la figura.

106

107

Solución: 𝑎

Ecuación de la recta (hipotenusa) 𝑦 = − 𝑥 + 𝑎 𝑏

Elemento diferencial de área, dA=y*dx 𝑥𝑐𝑚 =

∫ 𝑥 ∗ 𝑑𝐴 1 = 𝑏 3 ∫ 𝑑𝐴

𝑏 𝑎 1 ∫ 𝑥 ∗ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥(𝑦 ∗ 𝑑𝑥) = ∫ 𝑥 (− 𝑥 + 𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑏 2 𝑏 6 0 𝑏 𝑎 1 ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝑥 = ∫ (− 𝑥 + 𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑏 𝑏 2 0

Elemento diferencial de área, dA=x*dy 𝑦𝑐𝑚 =

∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴 1 = 𝑎 3 ∫ 𝑑𝐴

𝑎 𝑏 1 ∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦(𝑥 ∗ 𝑑𝑦) = ∫ 𝑥(− 𝑦 + 𝑏) 𝑑𝑦 = 𝑎2 𝑏 𝑎 6 0 𝑎 𝑏 1 ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥 ∗ 𝑑𝑦 = ∫ (− 𝑦 + 𝑏) 𝑑𝑦 = 𝑎𝑏 𝑎 2 0

108

Realiza los siguientes ejercicios de área bajo la curva utilizando la integral definida

Ejercicios.

1. Encuentra el área entre y = 7 - x 2 y x eje y entre los valores x= -1 y x =2

2. Encuentra el área de la región encerrada entre las curvas y = x 2 - 2x + 2 y= -x 2 + 6.

3. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y = −x2 + 4x.

109

Encuentre el sĂłlido de revoluciĂłn generado por la funciĂłn o las funciones dadas con su respectivo eje de rotaciĂłn. Usar MĂŠtodo de Discos o de Arandelas. 4. đ?‘Ś = 9 − đ?‘Ľ 2 , đ?‘Ś = 0; đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ 5. đ?‘Ś = (đ?‘Ľ − 2)2 , đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0; đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ 6. đ?‘Ś = √đ?‘Ľ − 1, đ?‘Ľ = 5, đ?‘Ś = 0; đ?‘Ľ = 5 Usar mĂŠtodo de capas cilĂ­ndricas 7. đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 , đ?‘Ľ = 1, đ?‘Ś = 0; đ?‘Ľ = 3 8. đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 + 2, đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 4, đ?‘Ś = 1; đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ 

Encuentre la longitud de arco de cada ejercicio. 9. đ?‘Ś =

2 3

3

[0,1]

đ?‘Ľ2 + 1 3

1

1

[1,4]

10. đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 2 3

[0,2]

11. đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 12. đ?‘Ś = 13. đ?‘Ś = 3

1)2

đ?‘Ľ4

1

2 3

[1,3]

+ 8đ?‘Ľ2

4

(đ?‘Ľ 2 +

[1,4]

14. đ?‘Ś =

đ?‘Ľ6

1

+ 2đ?‘Ľ

6

1

[ , 2] 2

15. (đ?‘Ś + 1)2 = 4(đ?‘Ľ + 1)3 [−1,0] 3

16. đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 2

[0,1] [1,27]

17. đ?‘Ś = đ?‘Ľ 3 3

18. đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 2

[0,4]



Encuentre el trabajo de lo que se le pide.

19. Una partícula se mueve a lo largo del eje x mediante una fuerza impulsora f(x) = 3x2 + 4x newtons. Calcular cuåntos joules de trabajo se realizan con esa fuerza para trasladar la partícula. a) desde x = 0 hasta x = 7 m. b) desde x = 2 m hasta x = 7 m. 20. un tanque de agua, en forma de cubo de 10 pies de lado, se llena con agua. Encuentre el trabajo realizado para bombear toda el agua hasta un punto situado a 5 pies por arriba del tanque. 21. un resorte de longitud de 1⠄2 m sin estirar se alarga hasta una longitud de 1 m por medio de una fuerza de 50 N. encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitud de 1 m hasta una longitud de 1.5 m. 

Encuentre cada uno de los centros de masa.

22. considere una placa de metal delgada con densidad constante, que ocupa la regiĂłn encerrada por el eje x y la parĂĄbola de ecuaciĂłn y=2đ?‘Ľ 2 . Halle las coordenadas de su centro de masa. 23. encuentre el centroide de la regiĂłn acotada por las grĂĄficas de y=−đ?‘Ľ 2 + 3 y đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ − 1

Dedica por lo menos dos horas diarias para repasar los contenidos de mate. No dejes todo a Ăşltima hora.

110

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.