Solucionario

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Solucionario manual de matemรกtica bรกsica II CAPITULO 1. Primer inciso.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

De la recta buscada, se tiene el punto Y la pendiente dada por (1): m = 4, Sustituyendo estos valores en la f贸rmula de la recta Punto-pendiente

se tiene:

50.

De la recta buscada, se tiene el punto (-2, 0): Y la pendiente dada por (1): m = -4 Sustituyendo estos valores en la formula de la recta Punto-pendiente

51.

De la recta buscada, se tiene el punto (2, -7): Y la pendiente dada por (1) m = -12 Sustituyendo estos valores en la f贸rmula de la recta Punto-pendiente

52.

CAPITULO 2. 1. falta el ejercicio

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. Derivamos Implícitamente: (𝑎 ∗ 𝑏)´ = 𝑎´ ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑏´ 2𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑥 2 ∗ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑦 ∗ 𝑦´ = 𝑦´ ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑦 ∗ 𝑦´ − 𝑦´𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑦´ ∗ (𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑦´ =

𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦 (𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 )

𝑑𝑦 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦 = 2 𝑑𝑥 (𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 13. 5𝑥 3 + 2𝑦 5 = 𝐿𝑛𝑥 + 𝐿𝑛𝑦 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑀 ∗ 𝑁) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑀 + 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑁 15𝑥 2 + 10𝑦 4 ∗ 𝑦´ = 10𝑦 4 ∗ 𝑦´ −

1 1 + ∗ 𝑦´ 𝑥 𝑦

1 1 ∗ 𝑦´ = − 15𝑥 2 𝑦 𝑥

1 1 𝑦´ ∗ (10𝑦 4 − ) = − 15𝑥 2 𝑦 𝑥 1

𝑦´ =

𝑥

− 15𝑥 2 1

(10𝑦 4 − 𝑦) 1−15𝑥 3

𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑𝑥 (10𝑦5 −1) 𝑦

𝑑𝑦 𝑦(1 − 15𝑥 2 ) = 𝑑𝑥 𝑥(10𝑦 5 − 1) 14. Derivamos implícitamente ambos lados con respecto a x 3𝑥 2 + 3𝑦 2 ∗ 𝑦´ = 3 ∗ 𝑦 + 3𝑥 ∗ 𝑦´ 3𝑦 2 ∗ 𝑦´ − 3𝑥 ∗ 𝑦´ = 3𝑦 − 3𝑥 2 3𝑦´ ∗ (𝑦 2 − 𝑥 ) = 3 ∗ (𝑦 − 𝑥 2 ) 3 ∗ (𝑦 − 𝑥 2 ) 𝑦´ = 3 ∗ (𝑦 2 − 𝑥 ) 𝑑𝑦 (𝑦 − 𝑥 2 ) = 𝑑𝑥 (𝑦 2 − 𝑥 )

15. 3𝑥 2 + 3𝑦 2 ∗ 𝑦´ = 4 ∗ 𝑦 + 𝑦´ ∗ 4𝑥 + 0 3𝑦 2 ∗ 𝑦´ − 4𝑥𝑦´ = 4𝑦 − 3𝑥 2 𝑦´(3𝑦 2 − 4𝑥 ) = 4𝑦 − 3𝑥 2 4𝑦 − 3𝑥 2 𝑦´ = 2 3𝑦 − 4𝑥 𝑑𝑦 4𝑦 − 3𝑥 2 = 𝑑𝑥 3𝑦 2 − 4𝑥

𝑚𝑡 =

𝑚𝑡 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

4(1) − 3(2)2 4 − 12 −8 8 = = = 3(1)2 − 4(2) 3−8 −5 5 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦−1=

8 (𝑥 − 2) 5

5(𝑦 − 1) = 8(𝑥 − 2) 5𝑦 − 5 = 8𝑥 − 16 5𝑦 = 8𝑥 − 16 + 5 5𝑦 = 8𝑥 − 11 𝑦=

8𝑥 − 11 5

𝑦=

8 11 𝑥− 5 5

16. 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 2 𝑦 = 𝑓 (1) = (1)3 + 1 = 2𝑃(1,2) 𝑚𝑡 = 𝑓´(1) = 3(1)2 = 3 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 1)

đ?‘Ś − 2 = 3đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 3 − 2 đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 1

CAPITULO 3. 1. El årea de un círculo decrece a razón de 2π cm2 /s. ¿Con quÊ razón decrece el radio del círculo cuando su årea es 75π cm2. Solución. A= πr2 , dA=-2π, dr=? dt

Si A= 75Ď€

dt

dA= 2Ď€r ,

dA= dA . dr

dr

dt

dr

-2Ď€= 2Ď€r dr

dt

dr= -1

dt

dt

r

cuando A= 75Ď€ el radio r=√75, lugo dr= -1 = -1 = √3 cm/seg dt √75

5√3

15

2. La altura de un cono decrece 3cm/s., mientras su radio aumenta 2cm/s. cuando el radio mide 4cm y la altura 6cm. ÂżEstĂĄ aumentando o disminuyendo el volumen del como?, ÂżCon quĂŠ razĂłn?

SoluciĂłn.

1

V= 3Ď€r2 h,

�� ��

1

= 3Ď€(2đ?‘&#x;â„Ž

đ?‘‘â„Ž đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘&#x;

= -2cm/s ,

đ?‘‘â„Ž

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œ‹

= 2cm/s ,

�� ��

=? Si r?4cm. y

h=6cm.

đ?œ‹

+ đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘Ą ) = 3 (2(4)(6)(2) + (4)2 (−3)) = 3 (48) = 16Ď€ cm3 /s

Entonces, el volume del cono estĂĄ aumentando a razĂłn de 16Ď€ cm3 /s.

3. Un bloque cĂşbico de hielo con arista de longitud 20cm comienza a fundirse a las 8am. Cada arista decrece de manera uniforme de ahĂ­ en adelante y mide 8cm a las 4pm. ÂżCuĂĄl fue la razĂłn de cambio del volumen del bloque al mediodĂ­a?

SoluciĂłn.

X Cuando t= 0 (8am), x= 20cm X

t= 8 (4pm), x= 8cm t= 4 (12pm), x= 14cm

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

��

=-3cm/h,

�� ��

r= x3

đ?‘‘đ?‘Ľ

=?

= 3x2 ,

�� ��

=

�� ��

∙

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

3

3

2

2

= 3x2 (− )= 3(14)2(− )= -882cm3/h

4. La figura muestra una cometa en el aire a una altura de 400m. La cometa es impulsada de manera horizontal a razĂłn de 10m/s alejĂĄndose de la persona que sostiene la cuerda de la cometa al nivel del suelo ÂżCon quĂŠ razĂłn aumenta la longitud e la cuerda cuando ya se han tenido 500m? SoluciĂłn.

Y đ?‘‘đ?‘Ľ

400m

đ?‘‘đ?‘Ą

X

đ?‘‘đ?‘Ś

= 10 ,

đ?‘‘đ?‘Ą

cuando y= 500

de la figura, se tiene: y= √đ?‘Ľ 2 + (400)2

si y= 500 , x= 300 , luego:

=?

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

=

300 √3002+(400)2

∙ 10 = 6m/s

đ?‘‘đ?‘Ś

= đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ľ

√đ?‘Ľ 2+(400)2

đ?‘‘đ?‘Ľ

∙ đ?‘‘đ?‘Ą

5. Una partĂ­cula se mueve a lo largo de la curva 3y= x3 + 2 . Encuentre los punto sobra la curva en los cuales la ordenada estĂĄ cambiando 9 veces mĂĄs rĂĄpido que la abscisa.

SoluciĂłn.

đ?‘‘đ?‘Ś

3y= x3 + 2 ,

=9 đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

3( )= 3x2 ( )

Si x= 3, y=

29 3

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

3(9

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ľ

)= 3x2 ( )

x= Âą3

đ?‘‘đ?‘Ą

29

, el punto es (3, 3 ). Si x= -3 , y= −

25 3

25

, el punto es (−3, 3 )

6. Una escalera de 4m de largo se apoya contra un muro vertical, la base empieza a deslizarse a razĂłn de 0.25m/s ÂżA quĂŠ velocidad cae la parte superior de la escalera cuando la base estĂĄ a 1.50m del muro?

SoluciĂłn.

Y

đ?‘‘đ?‘Ľ

4m

đ?‘‘đ?‘Ą

= 0.25m/s

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

= ? si

Cuando x= 1.50m ,

x= 1.50m

y= 3.7 , pues x2 + y2

X Derivando implĂ­citamente: đ?‘‘đ?‘Ľ

2x đ?‘‘đ?‘Ą + 2y

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

=0

đ?‘‘đ?‘Ś

2(1.5)(0.25)+2(3.7) đ?‘‘đ?‘Ą = 0

đ?‘‘đ?‘Ś

0.75

đ?‘‘đ?‘Ą

7.4

=−

~-0.1m/s

7. Supongamos que el volumen del tronco de un ĂĄrbol es proporcional al cubo de su diĂĄmetro y que este crece en aĂąo uniformemente. Muestre que la velocidad de crecimiento del volumen, siendo el diĂĄmetro igual a 90cm, es 25 veces mayor que la del crecimiento para el caso del diĂĄmetro igual a 18cm.

SoluciĂłn.

Sea V el volumen del tronco y D su diåmetro, entonces V=kD3 Derivando respecto al tiempo se tiene: ��1

Cuando D= 90

�� ��2

Cuando D= 18 Luego

đ?‘‘đ?‘Ą

��1

1

�� ��

đ?‘‘đ??ˇ

= 3kD2( ) đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ??ˇ

= 3k (90)2( đ?‘‘đ?‘Ą ) đ?‘‘đ??ˇ

đ?‘‘đ??ˇ

= 3k (18)2( đ?‘‘đ?‘Ą )

= 3k (90)2 3đ?‘˜(18)2 đ?‘‘đ?‘Ą

��2 ��

đ?‘‘đ?‘Ą

1

= 3đ?‘˜(18)2

90 2 ��2

��1

= (18) đ?‘‘đ?‘Ą

��2 ��

��1

= 25 đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

��2 ��

8. Una roca lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Luna a una velocidad de 24m/s (aprox. 86 km/h) alcanza uno altura de s= 24t – 0.8t2 metros en t segundos. a. Halle la velocidad y la aceleración de la roca en el instante t. b. ¿Cuånto tiempo tarda la roca en alcanzar su punto mås alto? c. ¿QuÊ atura måxima alcanza la roca? d. ¿Cuånto tiempo tarda la roca en alcanzar la mitad de su altura måxima? e. ¿Cuånto tiempo estå la roca en el aire?

SoluciĂłn.

đ?‘Łđ?‘œ = 24m/s , altura: s(t)= 24t – 0.8t2

đ?‘‘đ?‘

a. V(t)= �� = 24 – 1.6t m/s2

y

đ?‘‘2 đ?‘

a(t)= đ?‘‘đ?‘Ą 2 =

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

= -1.6 m/s2

b. La roca alcanza su punto mås alto cuando v= 0, es decir: 24 – 1.6t= 0 t= 15s c. Como a los t= 15s la roca estå en el punto mås alto, entonces la altura que alcanza la roca es: s(5)= 24 (15) – 0.8 (15)2 = 180m d. La mitad de la altura es 90m, entonces:

15

t= 15Âą 2 √2 , es decir, t= 4.4s cuando la roca estĂĄ subiendo y t=25.6s cuando la roca estĂĄ de bajada. 90= 24t – 0.8t2

e. La roca estĂĄ en el aire si s ˃ 0 , entonces 24t – 0.8t2 ˃ 0 t(t – 30) Ë‚ 0 , de donde t Ďľ 0.30 , es decir, la roca estĂĄ en el aire durante 30s aproximadamente.

9. Una bola de nieve esfĂŠrica se funde de modo que la razĂłn de decremento de su volumen es proporcional al ĂĄrea de su superficie. A las 10am su volumen es 12.7m3 y a las 11am su volumen es 6.35m3. ÂżCuĂĄndo se fundirĂĄ toda la bola de nieve?

SoluciĂłn.

4

��

3

đ?‘‘đ?‘Ą

V= πr3

= 4Ď€r2 ,

t= 0 (10am), V= 12.7m3 , �� ��

đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘‘đ?‘&#x;

đ?‘‘đ?‘&#x;

= đ?‘‘đ?‘&#x; ∙ đ?‘‘đ?‘Ą = 4Ď€r2 đ?‘‘đ?‘Ą = 4Ď€kr2

�� ��

= kA= 4Ď€kr2

t= 1 (11am), V=6.35m đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

=k

r(t) = k t + b

4

V(t)= 3Ď€ (k t + b)3

(si la derivada es una constante la funciĂłn es lineal) 4

t= 0

V(0)= 3Ď€ (k t + b)3= 12.7

t= 1

V(1)= 3Ď€ (k t + b)3= 6.35

4

b= 1.4473 4 3

Ď€ (k t + 1.4473)3= 6.35

k= -

0.29854 entonces: r(t)= -0.29854t + 1.4473 la bola de nieve se fundirĂĄ cuando r= 0, es decir: r(t)= -0.29854t + 1.4473= 0 t~ 4.85h se funde completamente cerca de las 14h 51min de ese dĂ­a

10. Un hombre de 1.7m de estatura se aleja, a 6.34km/h, de una fuente luminosa que se encuentra a 3m de altura. ÂżA quĂŠ velocidad se traslada la sombra que proyecta su cabeza?

SoluciĂłn.

Sea y la distancia horizontal que separa al hombre de la fuente luminosa. Z: la longitud de la sombra X: la distancia del extremo mĂĄs alejado de la sombra a la fuente Del grĂĄfico por semejanza de triĂĄngulo se tiene:

đ?‘Ľ đ?‘Ľ 3

=

3

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

=

� 1.7

1.7

3m (2.308) y

simplificado se obtiene: x= 1.7m

derivando respecto al tiempo

tenemos: đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

= (2.308)

2.308(6.34)=14.63km/h

Y

Z

11. f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x=−1

Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0

MĂĄximo

f''(1) = 6 > 0

MĂ­nimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

x=1

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

=

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0) 12.

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0

Mínimo

f"(1) = − 6 < 0

Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2) 13.

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2)4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13 Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)

14.

Candidato a extremo: 7/5.

CAPITULO 4. 1. âˆŤ 4x 5 dx 4 âˆŤ x 5 dx 4đ?‘Ľ 5+1 +đ?‘? 5+1 4đ?‘Ľ 6 +đ?‘? 6 2 6 đ?‘Ľ +đ?‘? 3

2. โ ซ x

โ 1โ 3 dx

โ 1

๐ ฅ โ 3 +1 +๐ โ 1โ + 1 3 2

๐ ฅ โ 3 +๐ 2โ 3 3 2โ ๐ ฅ 3+๐ 2

4 โ 3โ 5 3

3.โ ซ x

4 โ 3โ x 5+1

โ ซ5

โ 3โ 5+1

7 2โ 3 6

+ x

7 2โ x 3+1

+6

2โ 3+1

3 1โ 7 7

+ x

3 1โ x 7+1

+7

1โ 7+1

dx dx 4 2โ x 5 5 2 5

+

7 5โ x 3 6 5

+

3

3 8โ x 7 7 8 7

20 2โ 21 5โ 3 8 x 5+ x 3 + x โ 7 10 30 8 2x

4. โ ซ x (x 2 โ 5)3 dx

2โ 5

+

7 5โ 3 8 x 3 + x โ 7 + c 10 8

sustituciรณn: ๐ ข = ๐ ฅ2 โ 5 ๐ ๐ ข = 2๐ ฅ ๐ ๐ ฅ

โ ซ

๐ ๐ ข 3 ๐ ข 2

1 โ ซ ๐ ข3 ๐ ๐ ข 2 1 4 ๐ ข +๐ 8 1 2 (๐ ฅ โ 5)4 + ๐ 8

5.โ ซ 2(โ x 2 โ 2 )x 3 dx 2 โ ซ(x 2 โ 2)

1โ 3 2x

dx

sustituciรณn: ๐ ข = ๐ ฅ2 โ 2 ๐ ๐ ข = 2๐ ฅ ๐ ๐ ฅ

โ ซ x 2 (u)

1โ 2

โ ซ(u + 2)u 3โ 2

โ ซ (u

du 1โ 2

du

1โ 2)

+ 2u

du

2 5โ 4 3 u 2 + ๐ ข โ 2 + ๐ 5 3 2 2 4 5 3 (x โ 2) โ 2 + (๐ ฅ 2 โ 2) โ 2 + ๐ 5 3

6. โ ซ(t + 1โ t)

3โ 2 2 t โ 1 ( 2 ) t

dt

sustituciรณn: โ ซ๐ ข

3โ 2 ๐ ๐ ข

๐ ข = t + 1โ t

2 5โ ๐ ข 4 + ๐ ๐ ๐ ข = 1 + โ 1โ 2 t 5 5โ 2 t2 โ 1 (t + 1โ t) 4 + ๐ ๐ ๐ ข = 5 t2

7.โ ซ

1 ex +1 1

โ ซ ex +1

sustituciรณn: x

๐ โ ๐ ฅ ๐ โ ๐ ฅ

โ ซ โ โ ซ

๐ ๐ ข = โ ln|u| + c ๐ ข

โ ln|1 + eโ x | + c

๐ โ ๐ ฅ ๐ ๐ ฅ 1 + ๐ โ ๐ ฅ

๐ ข = 1 + eโ x ๐ ๐ ข = โ eโ x dx

8. โ ซ

โ 1+โ t

dt

โ t

sustituciรณn:

1 โ 1โ 2 dt 2

๐ ข = 1 + โ t๐ ๐ ข = t

2 โ ซ โ u du 2โ ซu

1โ 2

du

3 2 [2โ 3 u โ 2 ] + c 3โ 4 (1 + โ t) 2 + c 3

x3 dx

9. โ ซ 3

๐ ข = x 2 + 1๐ ๐ ข = 2x dx

sustituciรณn:

โ x2 +1

1 x 2 du โ ซ 2 u1โ 3 1 (u โ 1)du โ ซ 1 2 u โ 3 2 1 โ ซ (u โ 3 2

โ 1โ 3 )du

โ u

1 3 5 3 2 [ u3 โ u3 ] 2 5 2 5

3 (x 2 10

10. โ ซ โ ซw -2โ ซ -2โ ซ

2

3 2

+ 1)3 โ (x 2 + 1)3 + c

(โ w)dw โ 1โ โ w

sustituciรณn:

1 2

๐ ข = 1 โ โ ๐ ค๐ ๐ ข = โ w

โ 1โ 2 dw

du u

1โ 2

(1โ u)2 1 u โ 2

du

(1โ 2u+u2 ) 1 u โ 2

-2[2 ๐ ข

1โ 2

2 3

du

โ ๐ ข

3โ 2

-4(1 โ โ ๐ ค)

2 5

+ ๐ ข

1โ 2

2

5โ 2

+ ๐ ]

โ (1 โ โ ๐ ค) 3

3โ 2

2

+ (1 โ โ ๐ ค) 5

5โ 2

+๐

w = (1 โ u)2

CAPITULO 5. 4. 𝑦 = 9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝟑

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟖𝟏 − 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 )𝒅𝒙 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏𝟐𝟗𝟔𝝅 𝟑 𝒗 = 𝟐𝝅 [𝟖𝟏𝒙 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 ] = 𝒖 𝟓 𝟓 𝟎

5.𝑦 = (𝑥 − 2)2 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝟐

𝒗 = 𝝅 ∫ (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎

𝝅 𝟑𝟐 𝟐 [(𝒙 − 𝟓)𝟓 ]𝟎 = 𝝅 𝒖𝟑 𝟓 𝟓

6.𝑦 = √𝑥 − 1, 𝑥 = 5, 𝑦 = 0; 𝑥 = 5 𝟐

𝒗 = 𝝅 ∫ [𝟓 − (𝒚𝟐 + 𝟏)]𝟐 𝒅𝒚 𝟎 𝟐

𝒗 = 𝝅 ∫ [𝟒 − 𝒚𝟐 ]𝟐 𝒅𝒚 𝟎 𝟐

𝟖 𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝒗 = 𝝅 ∫ (𝟏𝟔 − 𝟖𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 )𝒅𝒚 = 𝝅[𝟏𝟔𝒚 − 𝒚𝟑 + 𝒚𝟓 ]𝟐𝟎 = 𝝅 𝒖𝟑 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 7.𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 1, 𝑦 = 0; 𝑥 = 3 𝟏 𝟏 𝟑 𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟑 − 𝒙)𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝝅[𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 ]𝟏𝟎 = 𝝅 𝒖𝟑 Escriba aquí la ecuación. 𝟒 𝟐 𝟎

8.𝑥 = 𝑦 2 + 2, 𝑦 = 𝑥 − 4, 𝑦 = 1; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝟐

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒚[𝒚 + 𝟒 − (𝒚𝟐 + 𝟐)]𝒅𝒚 𝟏 𝟐

𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟐𝒚 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 )𝒅𝒚 = 𝟐𝝅 [𝒚𝟐 + 𝟏

𝟏 𝟑 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏𝟗 𝒚 − 𝒚 ]𝟏 = 𝝅 𝒖𝟑 𝟑 𝟒 𝟔

3

9. 𝑦 = 2⁄3 𝑥 2 + 1 [0,1] 2 3

3 2

3

𝑦´ = ( )( )𝑥 2−1 1

𝑦´ = 𝑥 2 Encontrar la longitud por medio de la formula general 1

1 S= ∫0 √1 + [𝑋 2 ]2 𝑑𝑥 1

S= ∫0 √1 + 𝑋 𝑑𝑥

Resolvemos la integral por sustituciĂłn u= x+1 du= dx 1

1

S= âˆŤ0 đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘ 3

2 3

S= �2 [0,1] 3

2 3

S= (đ?‘Ľ + 1)2 [0, 1] 3

2 3

3

2 3

đ?‘ = (0 + 1)2 − (1 + 1)2 s = 1.219 u 1 3

3

1

10. Encuentre la longitud de arco de đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 2en el intervalo [1, 4] 1

1

1

1

đ?‘ŚÂ´ = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ −2 2

2

1

1

2

4 1 1 S = âˆŤ1 √1 + [ đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ −2 ] đ?‘‘đ?‘Ľ 2

4

S= âˆŤ1 √1 +

1 4

2

[đ?‘Ľ − 2 + đ?‘Ľ −1 ] dx

1

4 1 1 1 S= âˆŤ1 √ đ?‘Ľ 2 + + đ?‘Ľ −1 dx 4

2

4

1

1

4 1 1 S= âˆŤ1 √( đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ −2 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2

41

1

2

1

1 2

S= âˆŤ1 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ −2 dx 2

S=

1 3 đ?‘Ľ2 3

1

+ đ?‘Ľ 2 [1, 2]

S=

3 1 (4)2 3

S=

14 4 − 3 3

S=

10 3

1

1 3

3

1

+ (4)2 − [ (1)2 + (1)2 ]

u

11. Encuentre la longitud de arco de đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1en el intervalo [0, 2] đ?‘ŚÂ´ = 1 2

S = âˆŤ0 √1 + [1]2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2

S= âˆŤ0 √1 + 1 dx

2

S= âˆŤ0 √2 dx S= √2 (2)- √2 (0) S= 2.82 u 12. Encuentre la longitud de arco de đ?‘Ś = đ?‘Ś=

1 4 đ?‘Ľ 8

đ?‘Ľ4 8

+

1 4đ?‘Ľ 2

en el intervalo [1, 2]

1 4

+ đ?‘Ľ −2

1 2

1 2

đ?‘ŚÂ´ = đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ −3 2

2 1 1 S = âˆŤ1 √1 + [ đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ −3 ] đ?‘‘đ?‘Ľ 2

2

2

1 4

1 2

1 4

S= âˆŤ1 √1 + [ đ?‘Ľ 6 − + đ?‘Ľ −6 ] dx 2

1

1

1

S= âˆŤ1 √ đ?‘Ľ 6 + + 6 dx 4 2 4đ?‘Ľ 2

1

1

2

2đ?‘Ľ 3

S= âˆŤ1 √( đ?‘Ľ 3 + 21

S= âˆŤ1 đ?‘Ľ 3 + 2

S=

1 4 đ?‘Ľ 8

S=

1 (2)4 8

S=

31 16

+

1 2đ?‘Ľ 3

)2 đ?‘‘đ?‘Ľ

dx

1 4

− đ?‘Ľ −2 [1, 2] −

1 (2)−2 4

1 8

1 4

− [ (1)4 − (1)−2 ]

1 8

S= 2. O63 u 13. Encuentre la longitud de arco de đ?‘Ś = 1

�´ = (� 2 + 1 )2 2x 1

2

4 S = âˆŤ1 √1 + [(đ?‘Ľ 2 + 1 )2 2đ?‘Ľ] đ?‘‘đ?‘Ľ 4

S= âˆŤ1 √1 + [(4đ?‘Ľ 2 + 1)(4đ?‘Ľ 2 ) ] dx 4

S= âˆŤ1 √1 + 4đ?‘Ľ 4 + 4đ?‘Ľ 2 dx 4

S= âˆŤ1 √(2đ?‘Ľ 2 + 1)2 đ?‘‘đ?‘Ľ 4

S= âˆŤ1 2đ?‘Ľ 2 + 1 dx

2 3

3

(đ?‘Ľ 2 + 1 )2en el intervalo [1, 4]

S=

2 3 đ?‘Ľ 3

S=

2 (4)3 3

S=

140 5 − 3 3

+ đ?‘Ľ[1, 2] 2 3

+ 4 − [ (1)3 + 1]

S= 45 � 14. Calcular la longitud de arco de la gråfica de y= y’=

3đ?‘Ľ 2 6

−

1 2

2

2

1 4

S= âˆŤ1 √ (đ?‘Ľ + 2 +

1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ4

đ?‘†=âˆŤ 1 2

1 đ?‘Ľ3 2 3

1 đ?‘Ľ

1 2 1 (đ?‘Ľ + 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ

1 2

− ] [ , 2] 13

1 23 1 1 1 đ?‘† = [ − ] − [2 − 1 ] 2 3 2 2 3 2

�=

1 13 47 ( + ) 2 6 24

S=

33 u 16

15. Calcular la longitud de arco de la grafica (đ?‘Ś + 1)2 = 4(đ?‘Ľ + 1)3 [−1,0] Operamos y despejamos y de la ecuaciĂłn. đ?‘Ś = 2(đ?‘Ľ + 1)3/2 − 1 Derivamos đ?‘ŚÂ´ = 3(đ?‘Ľ + 1)1/2 Sustituimos en la fĂłrmula original. 0

âˆŤ √1 + 9(đ?‘Ľ + 1)đ?‘‘đ?‘Ľ −1

1 2

en el intervalo [ , 2]

2 1 )] dx 2 đ?‘Ľ

2

�= [

1 2đ?‘Ľ

1 ) đ?‘Ľ2

2 1 S= âˆŤ1 √1 + [ (đ?‘Ľ 2 −

2

+

1 2đ?‘Ľ

y’= (đ?‘Ľ 2 −

2

đ?‘Ľ6 6

0

âˆŤ √(9đ?‘Ľ + 10)đ?‘‘đ?‘Ľ −1

IntegraciĂłn por sustituciĂłn đ?‘˘ = 9đ?‘Ľ + 10 đ?‘‘đ?‘˘ = 9đ?‘‘đ?‘Ľ 3 1 đ?‘† = [(9đ?‘Ľ + 10)2 ] (−1,0) 9

S = 2.27 u 16. Calcular la longitud de arco de la siguiente función � = � 3/2 [0,1] �´ = 3/2� 1/2 Sustituimos en la formula general. 1

đ?‘† = âˆŤ √1 + (3/2đ?‘Ľ 1/2 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ 0

Operamos el Cuadrado. 1

âˆŤ √1 + 9/4đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 0

Sustituimos por medio de la integral � = 1 + 9/4� �� =

9 đ?‘‘đ?‘Ľ 4

4 1 đ?‘† = âˆŤ đ?‘˘1/2 đ?‘‘đ?‘˘ 9 0 3 4 đ?‘† = [2/3đ?‘˘2 ] (0,1) 9

S = 0.29 u 17. Calcular la longitud de arco de đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2/3 [1,27] 2 y´ = đ?‘Ľ −1/3 3 Sustituimos en la formula general S = âˆŤ √1 + (2/3đ?‘Ľ −1/3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ 27

đ?‘†=âˆŤ 1

√1 + 4/9đ?‘Ľ −2/3 đ?‘‘đ?‘Ľ

Sustituimos por medio de integraciĂłn đ?‘˘ = 1 + 4/9đ?‘Ľ −2/3 đ?‘‘đ?‘˘ = −

8 −5/3 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 27

Operamos �=

8 2 27 [3/8đ?‘Ľ 3 (1 + 4/9đ?‘Ľ −3 )](1,27) 8

S= 27.28 u 18. Encontrar la longitud de arco de la siguiente ecuación 3� 3/2 [0,4] 9 �´ = � 1/2 2 Sustituimos en la fórmula original 4

đ?‘† = âˆŤ √1 + (9/2đ?‘Ľ 1/2 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ 0 4

đ?‘† = âˆŤ √1 + 81/4đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 0

Sustituimos por medio de la integración u = 1 + 81/4x �� = 81/4�� Operamos �=

4 4 1/2 âˆŤ đ?‘˘ 81 0 3

4 81 2 �= [2/3 (1 + ) ](0,4) 81 4� S = 5.36 u 19.

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