MODELACIÓN ESPACIO-TEMPORAL DEL EVENTO Enrique Ortiz Andrés HidroGaia, S.L. Rafael García Bartual Universidad Politécnica de Valencia
El conocimiento de los campos de intensidad de lluvia derivados de la ocurrencia de episodios o eventos de lluvia representa a la vez un reto científico y un objetivo de crucial interés desde el punto de vista de la ingeniería hidrológica. Desde el punto de vista científico, la observación y medida de cantidades precipitadas, así como su distribución en el espacio tiempo, se ve afectada por la naturaleza esencialmente caótica del fenómeno. Las fluctuaciones que exhibe la variable intensidad de lluvia tienen naturaleza diferente según sea la escala de observación, y esto afecta decisivamente el análisis cuantitativo del fenómeno. Estas fluctuaciones, especialmente cuando la escala de observación es muy fina (intervalos de agregación por debajo del minuto), tienen carácter errático, y las series temporales derivadas son indistinguibles de un proceso estocástico. No sorprende, por lo tanto, que hayan resultado tan populares y extendidas mundialmente las aproximaciones de modelación matemática del proceso basadas en la teoría de procesos estocásticos.
Por otro lado, y en el contexto de la ingeniería hidrológica, es claro que el correcto diseño de infraestructuras, por un lado, así como la simulación, optimización y predicción en cuencas y sistemas de recursos hidráulicos, está necesitada de herramientas cuantitativas, capaces no solo de proveer de una estimación de las cantidades precipitadas en cierto evento pasado o presente sobre un área geográfica dada o cuenca hidrográfica, sino también de posibles episodios futuros, capaces de contrastar el comportamiento de los elementos, infraestructuras involucradas, así como del sistema en su conjunto. La generación sintética de episodios, definidos en términos del campo promedio de intensidades de precipitación en intervalos adecuados (promediación areal y agregación temporal), constituye por ello una técnica hoy en día de amplio uso, en tanto que permite inferir la respuesta hidrológica, así como el comportamiento de un sistema complejo, bajo situaciones de diversa índole incluyendo episodios de carácter extremo. Y esto, bajo entendido tanto en clave del continuo temporal, es decir, en términos de simulación hidrológica continua en periodos futuros
amplios (décadas), o bien con un enfoque orientado a evento singular, de interés para análisis y modelación de crecidas máximas o de carácter extraordinario.
En este documento se presentan algunas herramientas de esta clase, desarrolladas en el contexto de la modelación hidrológica en la Comunidad Valenciana, y cuya razón de ser es la mejora de las herramientas y bases para el diseño hidrológico, modelación de cuencas y operación óptima de sistemas de recursos hidráulicos.
Estructura interna y estructura externa
El régimen hidrológico extremo que caracteriza a muchas regiones mediterráneas está fuertemente marcado por la violencia de temporales, especialmente durante los meses otoñales, en los que se producen intensidades punta por encima de los 300 mm/h, y totales acumulados diarios superiores a los 500 mm/día. Las figuras 1 y 2 muestran las estadísticas de máximos (diarios y 10 minutales) para el pluviómetro de Viveros – Valencia.
AJUSTE DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN SQRT-ETmax A LA SERIE DE PRECIPITACIONES MÁXIMAS DIARIAS DEL PLUVIOMETRO DE VALENCIA ENTRE LOS AÑOS 1921-2001 400
F ( X ) = e −κ (1+(
350
αX ) e −
αX 317
PRECIPITACIÓN MÁX DE 24 HORAS
300
k=20.03 alfa=0.437
265
250
229 200
195 164
150
125 100
97
GRINGORTEN 62 50
SQRT-ETmax CUANTILES (2,5,10,25,50,100,200,500)
0
1
10
100 PERIODO DE RETORNO
FIG. 1: Distribución de máximos anuales de precipitación diaria (mm) en Valencia
1000
AJUSTEESTADÍSTICO PARA LAS INTENSIDADES MÁXIMAS DIEZMINUTALES REGISTRADAS EN EL PLUVIOMETRO DEVIVEROS EN VALENCIA DISTRIBUCIÓN SQRT-ETmax 350
INTENSIDAD (mm/h)
300
250
200
150
100
50
0 1
10
100
1000
PERIODO DE RETORNO
FIG. 2: Distribución de máximas intensidades (mm/h) para ∆t=10 min. (Valencia)
La génesis, desarrollo y naturaleza específicas de los episodios extraordinarios de lluvia hace muy recomendable abordar por separado el problema de la modelación interna del evento, y la estructura externa del proceso asociado. Y en general, dada la fuerte intermitencia del proceso lluvioso en estas regiones, esta recomendación conduce a la distinción entre “estructura interna” y “estructura externa” del proceso de lluvia en un punto geográfico, a los efectos de su modelación estocástica.
Esta intermitencia se presenta para las diferentes escalas de agregación temporal. Las figuras 3 y 4 dan cuenta de ello. Corresponden ambas a series de intensidad de lluvia en uno de los pluviómetros de la red S.A.I.H. (Sistema Automático de Información Hidrológica) de la Confederación Hidrográfica del Júcar. Concretamente, el Pluviómetro de Rambla del Poyo.
FECHA
FIG. 4: Pluvi贸metro RAMBLA DEL POYO. Episodio 21-25 oct 2000
26-10-2000 05:40
26-10-2000 01:30
25-10-2000 21:20
25-10-2000 17:10
25-10-2000 13:00
25-10-2000 08:50
25-10-2000 04:40
25-10-2000 00:30
24-10-2000 20:20
24-10-2000 16:10
24-10-2000 12:00
24-10-2000 07:50
24-10-2000 03:40
23-10-2000 23:30
23-10-2000 19:20
23-10-2000 15:10
23-10-2000 11:00
23-10-2000 06:50
23-10-2000 02:40
22-10-2000 22:30
22-10-2000 18:20
22-10-2000 14:10
22-10-2000 10:00
22-10-2000 05:50
22-10-2000 01:40
21-10-2000 21:30
21-10-2000 17:20
21-10-2000 13:10
21-10-2000 09:00
21-10-2000 04:50
21-10-2000 00:40
20-10-2000 20:30
20-10-2000 16:20
20-10-2000 12:10
20-10-2000 08:00
I (mm/h) 150
I (mm/h) P Acum (mm)
100
75 250
200
50 150
25
100
50
0
0
P Acum (mm)
01/01/2004
01/01/2003
01/01/2002
01/01/2001
01/01/2000
01/01/1999
01/01/1998
01/01/1997
01/01/1996
01/01/1995
01/01/1994
01/01/1993
01/01/1992
01/01/1991
01/01/1990
mm
Estructura externa de la precipitaci贸n en el pluvi贸metro de la Rambla del Poyo (periodo 1990-2004)
250
200
150
100
50
0
FIG. 3: Pluvi贸metro RAMBLA DEL POYO. Serie diaria -Periodo 1990-04.
HIETOGRAMA Y VOLUMEN ACUMULADO EN EL PLUVIOMETRO DE LA RAMBLA DEL POYO 450
125 400
350
300
En este documento se hará especial énfasis en la modelación de “estructura interna”, es decir, modelos cuyo objetivo es la descripción y caracterización cuantitativa y estructural de los campos de intensidad de lluvia derivados de la ocurrencia de eventos o episodios individuales, independientes de aquellos ocurridos con anterioridad ó los posteriores en el tiempo.
Modelación estocástica temporal de la lluvia en un punto geográfico
La modelación estocástica temporal del proceso de lluvia en un punto geográfico tiene sus máximos exponentes en los modelos basados en la teoría de procesos de punteo. Sobres éstas bases, en los últimos 20 años se han construido conceptualizaciones con una analítica manejable, haciendo posible una rigurosa estimación de parámetros. Tales herramientas han sido aplicadas con éxito en diferentes partes del mundo, especialmente en aplicaciones para simulación continua de series temporales de intensidad de lluvia. La propiedad más destacable de tales aproximaciones es la capacidad de representar adecuadamente las características y descriptores estadísticos observados en las series reales, para un rango de escalas de agregación temporal que va desde ½ hora hasta 1 día, con un número muy reducido de parámetros (entre 4 y 7). Destacan, entre otros, los trabajos de BO, Z., S. ISLAM and E.A.B. ELTAHIR (1994), SALSÓN, S. y GARCÍABARTUAL, R. (1998), ISLAM, S., D.ENTEKHABI, R. BRAS and Ι. RODRIGUEZITURBE (1990), RODRIGUEZ-ITURBE, Ι., D.R.COX and V. ISHAM (1987), RODRIGUEZ-ITURBE, Ι., D.R.COX and V.ISHAM (1988), SMITHERS, J.C. , PEGRAM, G.G.S. y R.E. SCHULZE (2002), VELGUE, T., TROCH, P.A., DE TROCH, F.P. y J. VAN DE VELDE (1994).
En la mayoría de los modelos de tales investigaciones, el modelo se construye a partir de un rectángulo elemental de lluvia, de duración e intensidad aleatorias, asociado a la presencia de celdas de lluvia elementales. Los resultados son espectaculares en cuando a la reproducción de los estadísticos básicos de las series continuas de lluvia (media, correlación, % de intervalos secos, etc. ).
Las figura 5 muestra los resultados para el modelo Bartlett-Lewis, aplicado a la serie del Pluviógrafo Jardí (Barcelona) – periodo 1927-1981. En los gráficos se comparan los estadísticos empíricos, obtenidos a partir de la serie temporal, frente a aquellos obtenidos a partir de series sintéticas generadas con dicho modelo. Los estadísticos, como puede apreciarse en los gráficos, son calculados para las series agregadas con diferente intervalo ∆t (desde ½ hora hasta 24 horas).
Variance
Mean 100
3 2.5
80
simulated
historic
60
historic
mm 2
mm
2
simulated
1.5 1
40 20
0.5 0
0 0
4
8
12 16 hours
20
24
28
0
4
8
12
16
20
24
28
hours
Corr-lag1
Prob(0)
1
1
simulated
0.8
0.8
historic
0.6
0.6
0.4
0.4
simulated
0.2
0.2
historic
0
0
0
4
8
12
16
20
24
28
hours
0
4
8
12
16
20
24
28
hours
FIG. 5: Estadísticos empíricos y estadísticos de la serie sintética. Modelo BartlettLewis. Pluviómetro Jardí (Barcelona). Datos de los meses de octubre (1927-1981).
Con todo, estas aproximaciones, que tienen especial interés para la simulación continua, no son tan indicadas para la descripción del proceso interno del evento. De hecho, y aunque los estadísticos de primer y segundo orden son bien reproducidos, la distribución de extremos para duraciones cortas (∆t = 1 hora y menores) subestima claramente los cuantiles empíricos. Este resultado puede interpretarse en buena parte como resultado de asumir como unidad elemental para construcción del hietograma una celda rectangular (intensidad constante).
Un modelo concebido específicamente para caracterizar la estructura interna de episodios convectivos intensos en la región mediterránea es el propuesto por GARCÍABARTUAL y MARCO (1990), con la limitación de no poder simular (sin ayuda de otros modelos) series continuas en el tiempo.
En dicho modelo, se asume una evolución temporal refinada de la celda, con una formulación analítica que emula los procesos ó fases de crecimiento, maduración y disipación en el tiempo, como ilustra la figura 6.
T FIG. 6: Inicio, crecimiento, maduración y disipación de la actividad en una celda convectiva.
La evolución promedio esperada de intensidades asociada a estas fases, i(t), es representada mediante una función con rama ascendente y decaimiento exponencial:
i (t ) = (t − τ )α e − β (t −τ ) Donde τ es el instante de inicio de la celda, y α, β son parámetros.
El acumulado de lluvia y la máxima intensidad quedan unívocamente determinadas en función de los parámetros de celda α, β: α
α Ip = e −α β ∞
V = ∫ I (t )dt =
Γ(α + 1)
β α +1
τ
250
I (mm/h)
200
150
100
50
0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
tiempo (min.)
FIG. 7: Patrón temporal de intensidad de lluvia para una celda teórica
Esta conceptualización en términos de una función continua permite representaciones (discretizadas) de la evolución interna de la intensidad de lluvia (figura 7). El histograma complejo I(t) resulta de la superposición de todas las celdas, con instantes de nacimiento que siguen un proceso estocástico de Poisson no homogéneo en el tiempo, y parámetros αk, βk :
I (t ) =
k = Nc
∑ (t − τ
k
)α k e − β k (t −τ k )
k =1
Siendo Nc el número de celdas en un episodio ó evento lluvioso, τk el instante de nacimiento de la celda número “k”. El artículo original del año 1990 sugiere una relación no lineal entre los parámetros α, β, la cual ha sido posteriormente contrastada con información más reciente procedente de la red S.A.I.H (figura 8).
0.9 0.8 0.7
Beta
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5
6
Alfa
FIG. 8: Relación empírica observada entre los parámetros de celda, α, β, en las series S.A.I.H.
El interés de este modelo radica en la mejor descripción del proceso en una escala temporal fina, y su carácter estocástico lo hace idóneo para simulación de hietogramas sintéticos, y por lo tanto, adecuados para alimentar modelos agregados lluviaescorrentía en cuencas naturales ó modelos de hidrología urbana, donde las intensidades máximas en intervalos cortos son condicionantes en el diseño y simulación. De hecho, ha sido propuesto en la literatura un hietograma de diseño para aplicaciones urbanas, basado en la estructura estocástica interna introducida por este modelo. [García-Bartual, 1989].
Estructura estocástica espacio temporal: Modelo RAINGEN
Es factible la extensión conceptual de las premisas e hipótesis empleadas en la formulación de punto (en el tiempo), estableciéndose de esta manera los modelos multidimensionales. El requerimiento práctico de mantener una representatividad y realismo, por un lado, unido a la capacidad de generar episodios sintéticos para aplicaciones diversas, conduce a la formulación de modelos espacio-temporales como el
que aquí se describe (RAINGEN), un representante más de una amplia familia de modelos bien conocidos y de importante difusión. Se trata de los modelos multidimensionales basados en la teoría de procesos de punteo, históricamente introducidos con una formulación rigurosa y general por WAYMIRE Y OTROS (1984). Tales desarrollos iniciales, de importante alcance teórico aunque con ciertas dificultadas para su puesta en práctica, fueron adecuados y simplificados convenientemente para dar respuesta a los requerimientos prácticos de la hidrología. [ISLAM, S., BRAS, R.L. y I. RODRIGUEZ-ITURBE (1988); JACOBS, L.B., RODRIGUEZ-ITURBE, I. y P.S. EAGLESON (1988); LÁZARO, C. y R. GARCÍA-BARTUAL (1991); NORTHROP, P. (1998); RODRIGUEZ-ITURBE, I. y P.S. EAGLESON (1987); SALSÓN, S. y GARCÍA-BARTUAL (2003)]. Hoy en día, se utilizan tales modelos para comprobación de la operación de modelos distribuidos, análisis de la influencia de la variabilidad espacial de la intensidad de lluvia en la respuesta hidrológica, simulación de escenarios de crecidas extraordinarias, operación óptima de sistemas, control de crecidas, etc.
Concretamente, el modelo RAINGEN, el más reciente de ellos [Salsón y García-Bartual, 2003] está orientado a la modelación de eventos máximos de carácter convectivo, y ha sido calibrado y contrastado en la práctica con datos del SAIH de la Confederación Hidrográfica del Júcar.
La extensión de las hipótesis anteriormente manejadas exige adoptar una representación espacial de la distribución de intensidades de celda, junto con la ya introducida evolución temporal. La forma más extendida entre los modelos citados, y también en el modelo RAINGEN, es una función gaussiana (figura 9).
Intensidad
Tiempo
FIG. 9: Conceptualización del campo de intensidades – Modelo RAINGEN
La distribución espacial de celdas se produce conforme a un proceso estocástico de punteo tridimensional, no homogéneo en el tiempo. Los parámetros que gobiernan dicho proceso son λ, β, n. El primero de ellos gobierna el posicionamiento espacial (aleatorio) de centros de celda. Los otros dos, (β, n) son necesarios para definir la evolución en el tiempo del nacimiento de celdas.
Por otro lado, se postula la descripción de la intensidad de celda como sigue: −r 2
icelda = i0 ⋅ e 2 D α ⋅ e 2 ⋅ t '⋅e −α ⋅e⋅t ' 2
Donde i0, α, D son parámetros, e=2.7183, y t’= tiempo transcurrido desde el nacimiento de la celda. i0 es el valor de la intensidad máxima. El parámetro D controla la extensión espacial de la celda. Se asume variable para las diferentes celdas pertenecientes a un mismo episodio, de tal manera que para un episodio dado, (1/D) se distribuye con arreglo a una distribución gamma de dos parámetros (δ, θ): δ −1
1
−θ 2 1 θ 2 e D D 1 f 2 = Γ(δ ) D
δ
Como es casi generalizado en los modelos citados, las intensidades máximas (i0) son descritas mediante una distribución exponencial, con media E[i0]. La estimación de parámetros se aborda por el método de los momentos, empleando como estadísticos de comparación la media, varianza, covarianza, y función de media normalizada, ésta última definida según
µ (T , α , β , n) =
E [h(T , z )] E [h[∞, z ]]
siendo E[h(T, z)] el valor esperado de la precipitación acumulada a tiempo T en el punto geográfico de coordenadas z= (x, y), y E[h(∞, z)] el correspondiente valor a tiempo final (término de la tormenta).
Naturalmente, la estimación de parámetros con el método propuesto es tanto más eficaz cuanto más densa y fiable sea la información empleada. Concretamente, el uso de datos de radar debe contribuir decisivamente a una mejor caracterización de la función de covarianza, en la que queda recogido lo esencial de la estructura estadística de dependencia espacial y temporal del proceso.
RAINGEN está diseñado para proveer de campos sintéticos de precipitación a modelos con diversos objetivos en la práctica hidrológica (figura 10).
t= 6 HOURS t= 12 HOURS
t= 18 HOURS
t= 24 HOURS FIG. 10: Empleo de RAINGEN como generador de campos sintéticos de lluvia. Campo acumulado de lluvia acumulada para diferentes instantes.
El acoplamiento con modelos distribuidos (figura 11), permite investigar en las relaciones lluvia-escorrentía, asesorando en cuestiones como el riesgo hidrológico en grandes presas, control de crecidas bajo diferentes hipótesis ó escenarios futuros, probabilidad de hidrogramas con forma, pico, volumen y duraciones diversas, efectos de la variabilidad espacio temporal en la respuesta hidrológica, probabilidad de simultaneidad de contribuciones en diferentes tributarios, etc. [García-Bartual, 2003].
5000 4500 4000
Q (m3/s)
3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
10
0
0
5000
4500
4500
4000
4000
4000
3500
3500
3500
3000
3000
3000
2000
2500 2000
Tiem po (horas)
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
5
15
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
0
0 10
70
65
60
55
50
45
40
35
0 30
500
0 25
1000
500 20
1000
500 15
1500
1000
5
1500
10
1500
10
2000
2500
0
2500
Q (m3/s)
5000
4500
Q (m3/s)
5000
0
Q (m3/s)
Tiem po (horas)
Tiem po (horas)
Tiem po (horas)
FIG. 11: Acoplamiento de un modelo lluvia-escorrentía distribuido
Conclusiónes
La utilidad de este tipo de herramientas radica en la posibilidad de abordar cuantitativamente la difícil cuestión relacionada con la necesidad de contemplar en los cálculos los aspectos de forma, duración, número de picos y volumen de los hidrogramas, cuya importancia ha sido puesta de manifiesto en diversos trabajos [Témez, 2002; Cifres 2004].
Otra de las aplicaciones interesantes consiste en poder disponer de bases de datos sintéticas, que incluyan episodios de carácter extraordinarios no registrados en el pasado, con un realismo avalado por la calibración y validación previa tanto del modelo de precipitación como por el modelo distribuido de base física empleado. Esto permite la simulación de diferentes escenarios bajo una variedad de supuestos en la operación de un sistema dado, en situación de crecida. También para el entrenamiento y contraste de modelos de predicción en tiempo real de tipo data-based, es decir, construidos y conducidos por la información disponible.
De modo indirecto, se posibilita una
alternativa de modelación válida para operación en tiempo real, la cual recoge los avances previos que puedan haberse alcanzado en la calibración y puesta a punto de un modelo hidrológico más complejo y de base física, que emplee abundante información geomorfológica sobre la cuenca o sistema en cuestión. [García-Bartual, 2002].
Finalmente, y con un esquema como el descrito, es factible investigar en las relaciones T(Qp) – T(P), es decir, periodo de retorno de la lluvia y periodo de retorno del pico Qp del hidrograma generado. La figura 12 muestra los resultados obtenidos con el modelo RAINGEN acoplado a un modelo pseudo-distribuido en la cuenca del Rio Serpis. Se observa la dispersión considerable, resultado del conocido hecho de que la probabilidad de una lluvia (identificada por su total acumulado) y el caudal producido no son equivalentes. Las condiciones iniciales en la cuenca, la no linealidad de los procesos de producción de escorrentía así como la naturaleza y variabilidad del proceso espaciotemporal de lluvia, son los factores determinantes de tal resultado.
T (CAUDAL MÁXIMO)
T ( Q máx ) vs. T (Precipitación)
PERIODO RETORNO - LLUVIA
FIG. 12: T(Qp) vs. T(P), para experimentos de simulación en la cuenca del Rio Serpis.
REFERENCIAS
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SMITHERS, J.C. , PEGRAM, G.G.S. y R.E. SCHULZE (2002): Design rainfall estimation in South Africa using Bartlett-Lewis rectangular pulse rainfall models. Journal of Hydrology 258, 83-99.
VELGUE, T., TROCH, P.A., DE TROCH, F.P. y J. VAN DE VELDE (1994): Evaluation of cluster-based rectangular pulses point process models for rainfall. Water Resources Research, Vol. 30. No. 10, 2847-2857.
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