Πανελλήνιες 2029: Τα θέματα των Μαθηματικών

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α A1.



Έστω A . α) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορ ισμού το A ; (Μονάδες β) i. Πότε μια συνάρτηση f : A  έχει αντίστροφη; (Μονάδα ii. Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του (i), πώς ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση της f ; (Μονάδες

2) 1) η 3)

Μονάδες 6 A2.

Να διατυπώσετε το θεώρημα τ ου Fermat που αφορά τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης . Μονάδες 4

A3.

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ . Αν f (x)  0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδε ίξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 5

A4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα στο γράμμα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είν αι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α) Για κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο A  ( , 0)  (0,   ) με f (x)  0 για κάθε x  A , ισχύει ότι η f είναι σταθερή στο A . (Μονάδα 1 για το ν χαρακτηρισμό Σωστό/Λάθος Μονάδες 3 για την αιτιολόγηση) β) Για κάθε συνάρτηση f : A  , όταν υπάρχει το όριο της f καθώς το x τείνει στο x o  A , τότε αυτό το όριο ισούται με την τιμή της f στο x o . (Μονάδα 1 για το ν χαρακτηρισμό Σωστό/Λάθος Μονάδες 3 για την αιτιο λόγηση) Μονάδες 8

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

A5.

Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος. Αν για τα εμβαδά των χωρίων Ω 1 , Ω 2 και Ω 3 ισχύει ότι Ε(Ω 1 )=2, Ε(Ω 2 )=1 και Ε(Ω 3 )=3, τότε το





f(x)dx είναι ίσο με: 

α) 6

β) -4

γ) 4

δ) 0

ε) 2

Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β x

Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f(x)  e   , όπου   έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  την ευθεία y  2 .

B1.

, η οποία

Να αποδείξετε ότι   2 . Μονάδες 3

B2.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  x  0 έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα (2, 3) . Μονάδες 7

B3.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 (μονάδες 2) και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφή της (μονάδες 4). Μονάδες 6

B4.

Έστω f (x)   n(x  2), x  2 . Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης (μονάδες 3) και στη συνέχεια να κάνετε 1 μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f και f στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων (μονάδες 6). Μονάδες 9

1

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 2  x   , f(x)   x 1  e  x,

Γ1.

x 1 x  1.

Να αποδείξετε ότι   1 και   1 . Μονάδες 5

Γ2.

Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο τιμών της.

και να βρείτε το Μονάδες 4

Γ3.

i.

ii.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)  0 έχει μοναδική ρίζα x o , η οποία είναι αρνητική. (Μονάδες 4) 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  xo f(x)  0 είναι αδύνατη στο

(x o ,  ) .

(Μονάδες 4) Μονάδες 8 Γ4.

Ένα σημείο M(x, y) κινείται κατά μήκος της καμπύλης y  f(x), x  1. Τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο A(3, 10) , ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου M είναι 2 μονάδες ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου MOK τη χρονική στιγμή t 0 , όπου K(x, 0) και

O(0, 0) . Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ 2  με τύπο f(x)  (x  1) n(x  2x  2)  x   όπου ,   και η ευθεία (  ) : y   x  2, η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο της A(1, 1) .

Δίνονται η συνάρτηση f :

Δ1.

Να αποδείξετε ότι    1 και   2 . Μονάδες 4

Δ2.

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , την ευθεία () και τις ευθείες x  1 και x  2 . Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3.

i.

Nα αποδείξετε ότι f (x)  1, για κάθε x 

. (Μονάδες 3)

ii.

Nα αποδείξετε ότι f(  για κάθε  

1 3 )    (  1) n( 2  2  2)  , 2 2

. (Μονάδες 5) Μονάδες 8

Δ4.

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και η γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης g(x)   x  x  2, x  έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 8

Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ ( γ ι α τ ο υ ς ε ξ ε τα ζ ο μέ νου ς) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ν τ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά α λ λ ο ύ σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π οχ ώ ρ η σ ή σα ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ντ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η , κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ . λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς μ ε τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ