4. Resultados

1. Realización de gráficos Para poder comprender mejor los datos de la investigación se deben realizar unos gráficos en los que aparezcan las componentes que intervienen en el proyecto y sus vectores correspondientes, como se puede apreciar en la imagen 4.

Imagen 4: Relación vectorial entre los cuerpos celestes que intervienen en la investigación (Titán, Saturno y el Sol) (fuente: elaboración propia)

En la imagen 4 se pueden observar los tres componentes básicos que se estudian: Sol, Saturno y Titán. Entre estos, siempre hay uniones representadas con vectores como se muestran en la figura. En este caso los vectores que se representan son los siguientes: - �� ⃗⃗⃗ : distancia que existe desde el centro de Saturno al centro de Titán. - �� ⃗⃗ ��−������: distancia que existe desde el centro del Sol al centro de Saturno. - �� ⃗⃗⃗ : distancia que existe desde el centro del Sol al centro de Titán. Este se ha calculado mediante la expresión [11].

�� ⃗⃗⃗ = �� ⃗ +�� ⃗ ��−������ [11]

Imagen 5: Relación vectorial entre Titán y Saturno (fuente: elaboración propia) En la imagen 5 se pueden observar más vectores, que en este caso relaciona puntos en la superficie de Titán y Saturno y sus respectivos centros. En esta figura se observa: -�� ⃗⃗ : distancia en el eje x desde el centro de Saturno al centro de Titán.

-�� ⃗⃗⃗ : distancia que existe entre el centro de Titán a un punto de la superficie de este. -�� ⃗⃗⃗ : distancia que existe desde el centro de Saturno al centro de Titán. Este se calcula mediante la expresión [12].

�� ⃗ = �� ⃗+�� ⃗⃗ [12]

También se pueden observar distintos ángulos (α, β) que se irán utilizando a lo largo del proyecto.

2. Cálculo de las órbitas de los distintos cuerpos 2.1 Cálculo de la órbita de Titán utilizando como punto de referencia a Saturno En primer lugar, para poder realizar las operaciones necesarias para la investigación es necesario calcular la órbita que realiza Titán utilizando a Saturno como sistema de referencia, para ello se han ejecutado las siguientes operaciones para obtener los siguientes vectores: - �� ⃗⃗ : vector de posición desde el centro de Saturno al centro de Titán. - �� ⃗⃗⃗ : distancia que existe entre el centro de Titán a un punto de su superficie. También se deben calcular las coordenadas cartesianas en cada eje. Esto se ha realizado mediante las expresiones [13] y[14]. �� = ��0 +����0 ·��+ 1 2 ·��2 [13]

�� = ��0 +����0 ·��+ 1 2 ·��2 [14]

A su vez, para poder obtener esos parámetros se han realizado las siguientes operaciones: Para �� (ángulo entre el vector posición y la horizontal) se ha utilizado la expresión [15]. �� =����������( �� ) [15]��

Cabe destacar que en este caso se observa que el arcotangente es una ecuación que proporciona dos resultados, por lo que se ha tenido que realizar la siguiente modificación en la fórmula de la tabla de Excel para obtener el ángulo correspondiente en cada caso:

Imagen 6: Ejemplo casilla H11 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Para �� ⃗⃗⃗ : Se ha utilizado la Ley de Gravitación Universal mediante la expresión [1].

Imagen 7: Ejemplo casilla K10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

En este caso se descompondrá la fuerza para cada coordenada como se observa en las expresiones [16] y [17].

- ���� =��·cos(��) [16] - ���� =��·sin(��) [17]

Para ��: Se ha utilizado la 2ª Ley de Newton con ayuda de la expresión [2]. �� ⃗ =

�� ⃗ �� Para la aceleración se hará al igual que con los parámetros anteriores, en el eje �� se utilizará ����, y en el eje �� se utilizará ����.

Imagen 8: Órbita de Titán respecto al centro de Saturno (fuente: elaboración propia) Para �� ⃗⃗⃗ (vector velocidad): Se utiliza la ecuación del MRUA mediante las

expresiones [18] y [19]. ���� =����0 +���� ·�� [18] ���� =����0 +���� ·�� [19]

Tabla 2: Elementos de la órbita de Titán respecto al centro de Saturno (fuente: elaboración propia)

2.2 Cálculo de la posición de distintos puntos sobre la superficie de Titán respecto de su centro (trayectoria que realiza sobre su propio centro) Para ello, primero se debe establecer un ángulo inicial en la superficie de Titán el cuál será el punto de partida para la investigación. En este caso se calculan varios parámetros como son: - ��: ángulo de Titán que hay entre �� ⃗⃗ y �� ⃗ Este se calcula con ayuda de la expresión [20]. �� =��0 +��·�� [20] Donde ��0 es el ángulo inicial (en el caso de este proyecto son 0º es decir, está en el perihelio) y �� es la velocidad angular de Titán, calculado mediante la expresión [21].

2�� �� [21]

- ��: distancia en el eje x desde el centro Titán hasta su superficie. Para obtener �� se utiliza la expresión [22]. �� =�� ⃗⃗ ·cos(��+��0) [22]

Imagen 9: Ejemplo casilla B10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

- ��: distancia en el eje y desde el centro Titán hasta su superficie. Para obtener �� se realiza prácticamente el mismo procedimiento siguiendo la ecuación [23].

�� =�� ⃗⃗ ·sin(��+��0) [23]

Imagen 10: Ejemplo casilla C10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

- �� ⃗⃗⃗ : distancia que existe desde el centro de Titán a un punto de la superficie de este. �� sería el módulo entre las dos distancias calculadas anteriormente. Este también coincide con el radio de Titán.

Imagen 11: Ejemplo casilla E10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Tabla 3: Órbita de Titán respecto de su centro con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia) Tabla 4: Órbita de Titán sobre sí mismo con ángulo inicial 120º (fuente: elaboración propia)

Imagen 12: Gráfico de la órbita de Titán respecto a su centro (fuente: elaboración propia)

2.3 Cálculo de la órbita de Saturno utilizando como punto de referencia al Sol Para poder calcular la órbita de Saturno respecto del Sol se han realizado las mismas operaciones que en el punto 2.1 de este proyecto, variando los datos correspondientes que se necesitan en esta órbita. Se deben obtener los siguientes vectores que son los que intervienen en este cálculo:

- �� ⃗⃗ ��−������: distancia del centro del Sol al centro de Saturno. - �� ⃗⃗ ������−��������: distancia del centro de Saturno a distintos puntos de su superficie, esta corresponde al radio de Saturno. También ha sido necesario determinar las coordenadas cartesianas en cada eje. Esto ha sido posible mediante a las ecuaciones [13] y [14]. A su vez, para poder calcular esos parámetros se han realizado los siguientes cálculos: Para �� (ángulo entre el vector posición y la horizontal) se ha obtenido con la ayuda de la expresión [15].

Imagen 13: Ejemplo casilla B13 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

�� �� =����������( )�� Al igual que en el caso anterior el arcotangente proporciona dos resultados, por lo que se ha tenido que realizar la siguiente modificación en la fórmula de la tabla de Excel para obtener el ángulo correspondiente en cada caso:

Imagen 14: Ejemplo casilla H11 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Para �� ⃗⃗⃗ : Se ha utilizado la Ley de Gravitación Universal, es decir:

�������� ·�������� ��2

Imagen 15: Ejemplo casilla K10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

En este caso cada coordenada se calculará mediante las expresiones [24] y [25]. - ��′ �� = ��′ ·cos(��) [24] - ��′ �� =��′ ·sin(��) [25] Para �� ⃗⃗⃗: Se ha utilizado la 2ª Ley de Newton:

�� ⃗ �� Para la aceleración se hará lo mismo que con todos los parámetros, en el eje X se utilizará ��′ ��, y viceversa. Para �� ⃗⃗⃗⃗ : Se utiliza la ecuación del MRUA mediante las ecuaciones [26] y [27].

Imagen 16: Órbita de Saturno respecto del Sol (fuente: elaboración propia) - ���� =����0 +���� ·�� [26]

- ���� =����0 +���� ·�� [27]

Para realizar la imagen 16 se ha tenido que modificar el intervalo de tiempo ya que con el establecido tardaba demasiado en dar una vuelta

completa, por lo que la variación de tiempo es cada 3500s en vez de cada 100s.

Tabla 5: Elementos de la órbita de Saturno respecto del Sol (fuente: elaboración propia)

3. Cálculo de diferentes posiciones en la superficie de los cuerpos, en el ecuador de

estos

3.1 Cálculo de distintos puntos sobre la superficie de Titán respecto al centro de

Saturno

Para calcular puntos en la superficie de Titán respecto a su centro se necesitan dos vectores (ambos obtenidos en los apartados 2.1 y 2.3): - �� ⃗⃗: vector que va desde el centro de Saturno al centro de Titán. - �� ⃗⃗⃗ : vector que va del centro de Titán hasta su superficie. La suma de ambos vectores es la que va a originar un vector que vaya del centro de Saturno a un punto de la superficie de Titán (�� ⃗ ), como se observa en la expresión [28]. �� ⃗ = �� ⃗+�� ⃗⃗ [28] Con respecto a las coordenadas se realiza mediante las expresiones [29] y [30]. ���� ⃗⃗⃗⃗⃗ =���� ⃗⃗⃗⃗+���� ⃗⃗⃗⃗⃗ [29] ���� ⃗⃗⃗⃗⃗ =���� ⃗⃗⃗⃗+���� ⃗⃗⃗⃗⃗ [30]

Imagen 17: Ejemplo casilla A4 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Tabla 6: Vectores que intervienen entre Saturno y Titán (fuente: elaboración propia) Para el vector que va desde un punto de la superficie de Titán al centro de Saturno (��′ ⃗⃗⃗⃗ ) se realizan los mismos pasos anteriores, pero con signo contrario ya que el vector tiene sentido opuesto, como se muestra en la tabla 6.

3.2 Cálculo de distintos puntos de la superficie de Titán respecto al centro del Sol Para determinar un punto de la superficie de Titán respecto del Sol se realizan los mismos pasos que en el apartado anterior, pero en este caso los vectores que intervienen son los siguientes:

- �� ⃗⃗ ��−������: vector que va desde el centro del Sol al centro de Titán. - �� ⃗⃗⃗ : vector que va del centro de Titán hasta su superficie. Por lo que la suma de vectores se corresponde con la expresión [31]. �� ⃗⃗⃗ =�� ⃗ ��−������ +�� ⃗⃗ [31] Y respecto a las coordenadas se realizaría con las ecuaciones [32] y [33]. ���� ⃗⃗⃗⃗⃗ =�� ⃗ ��−�������� +�� ⃗⃗ �� [32] ���� ⃗⃗⃗⃗⃗ =�� ⃗ ��−������ �� +�� ⃗⃗ �� [33] También se aplica el paso de realizar el vector con sentido contrario, llamado �� ⃗⃗⃗′ y se calcula al igual que en el punto 3.1 pero con los datos correspondientes a este apartado.

Tabla 7: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 100s (fuente: elaboración propia)

Tabla 8: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 3500s (fuente: elaboración propia) Imagen 18: Gráfica de la posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 100s (fuente: elaboración propia)

Imagen 19: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 3500s (fuente: elaboración propia)

4. Se han calculado las altitudes

4.1 Cálculo de la altitud del centro de Saturno respecto a un punto sobre la superficie de Titán

En primer lugar, se calcula la altitud de

Saturno respecto de un punto de la superficie de Titán, para ello se utilizan los vectores

Imagen 20: Altitud de Saturno respecto a un punto de la superficie de Titán (fuente: elaboración propia) mostrados en la imagen 20 (�� ⃗⃗ y ��′ ⃗⃗⃗⃗ ).

Para obtener esta altitud se realiza un producto vectorial utilizando las propiedades del producto escalar mediante las expresiones [34] y [35]. �� ⃗⃗ ·��′ ⃗⃗⃗⃗ =�� ⃗⃗ ·��′ ⃗⃗⃗⃗ ·cos�� [34] �� ⃗⃗ ·��′ ⃗⃗⃗⃗ =���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′ �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′ �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [35]

Ambas ecuaciones se pueden igualar, haciendo así que se determine la expresión para calcular la altitud (ecuación [37]). �� ⃗⃗ ·��′ ⃗⃗⃗⃗ ·cos�� =���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′ �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′ �� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [36] �� = ������������(

���� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′�� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +���� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �� ⃗⃗ ·��′ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·��′�� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) [37]

Seguidamente se sustituyen los valores correspondientes que se han calculado anteriormente y se consiguen los ángulos que se necesitan. Es importante mencionar que al dato obtenido al calcular los ángulos hay que restarle 90º para conseguir el ángulo que se busca. Esto se debe a que esos 90º son el resultado del producto vectorial entre la prolongación del vector �� ⃗⃗ y el vector ��′ ⃗⃗⃗⃗ , por lo que si se busca el ángulo �� (altura) se deben restar esos 90º a este.

Tabla 9: Elementos para el cálculo de altitud de Saturno (fuente: elaboración propia)

Imagen 21: Ejemplo casilla H5 de la hoja de cálculo altura (rad) (fuente: elaboración propia)

La última columna corresponde a la altura en grados y no radianes. La conversión de grados a radianes se realiza mediante la expresión [38]. ��(������)=

180º [38]

2�������� En la imagen 23 se puede observar cómo hay una pequeña variación de 0,1º siendo así el ángulo 29,9º en vez de 30º como se muestra en la imagen 22. Esto se debe a que la órbita es elíptica y no circular.

Imagen 22: Gráfica altura de Saturno con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia) Imagen 23: Gráfica altitud de Saturno con ángulo inicial 120º un tercio de vuelta (fuente: elaboración propia)

Imagen 24: Gráfica altitud de Saturno con ángulo inicial 0º vuelta completa (fuente: elaboración propia)

4.2 Cálculo de la altitud del Sol respecto a un punto sobre la superficie de Titán

Imagen 25: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán (fuente: elaboración propia) Para determinar la altitud

del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán se realizan los

mismos pasos que en el apartado anterior. Esta vez se utilizan los

vectores �� ⃗⃗ ��−�������� y �� ⃗⃗⃗ .

La expresión de la altitud en este caso se calcula mediante la ecuación [40]. �� ⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� = �� ⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� ·cos�� [39]

�� ⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� = ���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� �� +���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·�� ⃗ ��−���������� [40] Ambas ecuaciones se pueden igualar, haciendo así que se determine la expresión para calcular la altitud (ecuación [42]). �� ⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� ·cos�� =���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� �� +���� ⃗⃗⃗⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� �� [41] �� = ������������(���� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·�� ⃗ ��−�������� �� ⃗⃗⃗⃗ �� +���� ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · ·�� ⃗ ��−�������� �� ⃗ ��−����������) [42] Seguidamente se sustituyen los valores correspondientes que se han calculado anteriormente y se consiguen los ángulos que se necesitan. Es importante mencionar que al dato obtenido al calcular los ángulos hay que restarle 90º para conseguir el ángulo que se busca (justificado en el apartado anterior).

Tabla 10: Elementos para el cálculo de la altitud del Sol respecto a Titán (fuente: elaboración propia)

Imagen 26: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia) Imagen 27: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán con ángulo inicial 120º (fuente: elaboración propia)

Imagen 28: Cuerpos celestes que intervienen en la simulación (fuente: elaboración propia)

En la imagen 27 se observa un cambio, esto se debe a que el ángulo va variando con el transcurso de tiempo desde los 90º a los -90º (270º) y viceversa, haciendo así que cambie de dirección la gráfica y se forme ese “pico”.

5. Realización de la simulación Para finalizar este proyecto de investigación, se ha realizado una simulación para poder observar mejor el propósito de este proyecto y verificar los cálculos obtenidos en los apartados anteriores. El primer paso para realizarla es crear, en este caso, tres esferas para formar los tres elementos que componen el sistema (Titán, Saturno y el Sol). Tras esto, se han agregado diferentes texturas para que fueran más realistas. También se ha escalado, de la forma más exacta posible, el tamaño de los cuerpos, así como las distancias de sus órbitas, las velocidades y las velocidades angulares. Cabe destacar que no se han podido escalar las medidas reales para que sean así en la simulación, debido a que los datos son muy grandes y distintos a la vez, por eso para el proyecto se han realizado dos simulaciones. La primera de ellas en la que el radio de la órbita de Saturno respecto del Sol se ajusta más con la realidad y la segunda en la que se han acercado Saturno y Titán para poder observar mejor todos los cuerpos del sistema.