H02025764

Page 1

International Journal of Engineering Inventions e-ISSN: 2278-7461, p-ISSN: 2319-6491 Volume 2, Issue 2 (January 2013) PP: 57-64

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of IntegroDifferential Equations of Operators with Impulsive Action Dr. Raad N. Butris Assistant Prof. Department of Mathematics Faculty of Science University of Zakho Iraq-Duhok-Kurdistan Region

Abstract:- In this paper we investigate the existence and approximation of the construction of periodic solutions for nonlinear systems of integro-differential equation of operators with impulsive action, by using the numerical-analytic method for periodic solutions which is given by Samoilenko. This investigation leads us to the improving and extending to the above method and expands the results gained by Butris. Keyword and Phrases:- Numerical-analytic methods existence of periodic solutions, nonlinear integrodifferential equations, subjected to impulsive action of operators.

I.

INTRODUCTION

They are many subjects in mechanics, physics, biology, and other subjects in science and engineering requires the investigation of periodic solution of integro-differential equations with impulsive action of various types and their systems in particular, they are many works devoted to problems of the existence of periodic solutions of integro-differential equations with impulsive action . samoilenko[5,6] assumed a numerical analytic method to study to periodic solution for ordinary differential equation and this method include uniformly sequences of periodic functions’ as Intel studies [2,3,4,7,8]. The present work continues the investigations in this direction. These investigations lead us to the improving and extending the above method and expand the results gained by Butris [1]. đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ??´đ?‘Ľ, đ??ľđ?‘Ľ, đ?‘‘đ?‘Ą Δđ?‘Ľ

đ?‘Ą=đ?‘Ą đ?‘–

đ?‘Ą

đ?‘”(đ?‘Ą, đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ(đ?‘ ))đ?‘‘đ?‘ ), đ?‘Ą ≠đ?‘Ąđ?‘– đ?‘Ąâˆ’đ?‘‡

đ?‘Ą

= đ??źđ?‘– (đ?‘Ľ, đ??´đ?‘Ľ, đ??ľđ?‘Ľ,

đ?‘” đ?‘ , đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‘đ?‘ ) đ?‘Ąâˆ’đ?‘‡

â‹Ż (1.1) Where đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ ⊂ đ?‘…đ?‘› , đ??ˇ is closed bounded domain. The vector functions đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤) and đ?‘”(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) are defined on the domain đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ ∈ đ?‘…1 Ă— đ??ˇ Ă— đ??ˇ1 Ă— đ??ˇ2 Ă— đ??ˇ3 = −∞, ∞ Ă— đ??ˇ Ă— đ??ˇ1 Ă— đ??ˇ2 Ă— đ??ˇ3 â‹Ż 1.2 Which are piecewise continuous functions in đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ and periodic in đ?‘Ą of period đ?‘‡, where đ??ˇ1 , đ??ˇ2 and đ??ˇ3 are bounded domain subset of Euclidean spaces đ?‘…đ?‘š . Let đ??źđ?‘– đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ be continuous vector functions, defined on the domain (1.2) and đ??źđ?‘–+đ?‘? đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ = đ??źđ?‘– đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ , đ?‘Ąđ?‘–+đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘– + đ?‘‡ â‹Ż 1.3 For all đ?‘– ∈ đ?‘§ + , đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ, đ?‘Ś ∈ đ??ˇ1 , đ?‘§ ∈ đ??ˇ2 , đ?‘¤ ∈ đ??ˇ3 and for some number đ?‘? . Let the operators A and B transform any piecewise continuous functions from the domain đ??ˇ to the piecewise contiuous function in the domain đ??ˇ1 and đ??ˇ2 respectively. Moreover đ??´đ?‘Ľ đ?‘Ą + đ?‘‡ = đ??´đ?‘Ľ(đ?‘Ą) and đ??ľđ?‘Ľ đ?‘Ą + đ?‘‡ = đ??ľđ?‘Ľ đ?‘Ą . Suppose that đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ , đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??źđ?‘– (đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤) and the operators A, B satisfy the following inequalities: đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ ≤ đ?‘€, đ??źđ?‘– (đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤) ≤ đ?‘ , â‹Ż 1.4 đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , đ?‘¤1 − đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 , đ?‘¤2 ≤ đ??ž( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + đ?‘§1 − đ?‘§2 + đ?‘¤1 − đ?‘¤2 ) đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 − đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ≤ đ?‘„( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + đ?‘§1 − đ?‘§2 ) â‹Ż 1.5 And đ??źđ?‘– đ?‘Ą, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , đ?‘¤1 − đ??źđ?‘– đ?‘Ą, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 , đ?‘¤2 ≤ đ??ż( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + đ?‘§1 − đ?‘§2 + đ?‘¤1 − đ?‘¤2 ) â‹Ż 1.6

www.ijeijournal.com

P a g e | 57

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations‌ đ??´đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ??´đ?‘Ľ2 đ?‘Ą ≤ đ??ş đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ?‘Ľ2 đ?‘Ą â‹Ż 1.7 đ??ľđ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ??ľđ?‘Ľ2 đ?‘Ą ≤ đ??ť đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ?‘Ľ2 đ?‘Ą For all đ?‘Ą ∈ đ?‘…1 , đ?‘Ľ, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??ˇ, đ?‘Ś, đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 ∈ đ??ˇ1 , đ?‘§, đ?‘§1 , đ?‘§2 ∈ đ??ˇ2 and đ?‘¤, đ?‘¤1 , đ?‘¤2 ∈ đ??ˇ3 where đ?‘€, đ?‘ , đ??ž, đ?‘„, đ??ż and đ??ş, đ??ť are a positive constants. Consider the matrix đ?‘‡ đ??ž1 đ??ž1 Λ= â‹Ż 1.8 3 đ?‘?đ?‘‡đ??ž2 2đ?‘?đ??ž2 Where đ??ž1 = đ??ž 1 + đ??ş + đ??ť + đ?‘„ 1 + đ??ş + đ??ť , đ??ž2 = đ??ż[1 + đ??ş + đ??ť + đ?‘„(1 + đ??ş + đ??ť)] We define the non-empty sets as follows đ?‘‡ 4đ?‘? đ??ˇđ?‘“ = đ??ˇ − đ?‘€ (1 + ) 2 đ?‘‡ â‹Ż 1.9 đ?‘‡ 4đ?‘? đ??ˇ1đ?‘“ = đ??ˇ1 − đ??şđ?‘€ (1 + ) 2 đ?‘‡ and đ?‘‡ 4đ?‘? đ??ˇ2đ?‘“ = đ??ˇ2 − đ??ťđ?‘€ (1 + ) 2 đ?‘‡ â‹Ż 1.10 đ?‘‡2 4đ?‘? đ??ˇ3đ?‘“ = đ??ˇ3 − đ?‘„đ?‘€ (1 + ) 2 đ?‘‡ Furthermore, we suppose that the greatest Eigen-value đ?œ†đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ of the matrix Λ does not exceed unity, i.e. đ?‘‡ đ?‘‡ Λ = đ??ž1 + đ?‘?đ??ž2 (2 + đ??ž1 ) < 1 â‹Ż 1.11 2 2 Lemma 2.1. Let đ?‘“(đ?‘Ą) be a continuous (piecewise continuous) vector function in the interval 0 ≤ đ?‘Ą ≤ đ?‘‡. Then đ?‘Ą

0

1 (đ?‘“ đ?‘ − đ?‘‡

�

đ?‘“(đ?‘ )đ?‘‘đ?‘ )đ?‘‘đ?‘ ≤ đ?›ź đ?‘Ą max đ?‘“ đ?‘Ą , đ?‘Ąâˆˆ 0,đ?‘‡

0 đ?‘Ą

Where đ?›ź đ?‘Ą = 2đ?‘Ą(1 − đ?‘‡ ) . (For the proof see [3]) . Assume that đ??´đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 , đ??ľđ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘§đ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0

and

đ?‘Ą

�� �, �0 =

đ?‘”(đ?‘ , đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ??´đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ??ľđ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 )đ?‘‘đ?‘ , đ?‘Ąâˆ’đ?‘‡

đ?‘š = 0,1,2, â‹Ż

II.

APPROXIMATE SOLUTION

The investigation of a periodic approximate solution of the system (1.1) makes essential use of the statements and estimates given below. Theorem 2.1. If the system of integro-differential equations with impulsive action(1.1) satisfy the inequalities (1.3) to (1.7) and the conditions (1.8), (1.10) has a periodic solution đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 , passing through the point 0, đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ0 ∈ đ??ˇđ?‘“ , đ??´đ?‘Ľ0 ∈ đ??ˇ1đ?‘“ and đ??ľđ?‘Ľ0 ∈ đ??ˇ2đ?‘“ , then the sequence of functions: đ?‘Ą

đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘Ľ0 +

[đ?‘“(đ?‘ , đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 ) − 0

�

1 − đ?‘‡

đ?‘”(đ?‘ , đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 ) đ?‘‘đ?‘ ]đ?‘‘đ?‘ + 0

+

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ) − 0<đ?‘Ą đ?‘– <đ?‘Ą đ?‘?

−

� �

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ) đ?‘–=1

â‹Ż 2.1 With đ?‘Ľ0 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘Ľ0 ,

đ?‘š = 0,1,2, â‹Ż

www.ijeijournal.com

P a g e | 58

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations… is periodic in 𝑡 of period 𝑇, and uniformly convergent as 𝑚 → ∞ in 𝑡, 𝑥0 ∈ 𝑅1 × 𝐷𝑓 = −∞, ∞ × 𝐷𝑓 ⋯ 2.2 0 To the vector function 𝑥 (𝑡, 𝑥0 ) defined on the domain (1.2), which is periodic in 𝑡 of period 𝑇 and satisfying the system of integral equation 𝑡

𝑥 𝑡, 𝑥0 = 𝑥0 +

[𝑓(𝑠, 𝑥 𝑠, 𝑥0 , 𝑦 𝑠, 𝑥0 , 𝑧 𝑠, 𝑥0 , 𝑤 𝑠, 𝑥0 ) − 0

1 − 𝑇

𝑇

𝑔(𝑠, 𝑥 𝑠, 𝑥0 , 𝑦 𝑠, 𝑥0 , 𝑧 𝑠, 𝑥0 , 𝑤 𝑠, 𝑥0 ) 𝑑𝑠]𝑑𝑠 + 0

+

𝐼𝑖 (𝑥 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤 𝑡𝑖 , 𝑥0 ) − 0<𝑡 𝑖 <𝑡 𝑝

−

𝑡 𝑇

𝐼𝑖 (𝑥 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤 𝑡𝑖 , 𝑥0 ) 𝑖=1

⋯ 2.3 Which a unique solution of the system (1.1) provided that 𝑀𝑇 4𝑝 𝑥 0 𝑡, 𝑥0 − 𝑥0 ≤ (1 + ) ⋯ 2.4 2 𝑇 and 𝑇 4𝑝 𝑥 0 𝑡, 𝑥0 − 𝑥𝑚 (𝑡, 𝑥0 ) ≤ 𝜆𝑚 1 − 𝜆 −1 𝑀 (1 + ) ⋯ 2.5 2 𝑇 1 for all 𝑚 ≥ 1, 𝑡 ∈ 𝑅 , where the eigen-value 𝜆 of the matrix Δ is a positive fraction less than one. Proof. Consider the sequence of functions 𝑥1 𝑡, 𝑥0 , 𝑥2 𝑡, 𝑥0 , ⋯ , 𝑥𝑚 𝑡, 𝑥0 , ⋯, defined by recurrence relation (2.1). Each of the functions of the sequence is periodic in 𝑡 of period 𝑇. Now, by Lemma 1.1, we have 𝑡

𝑥𝑚 𝑡, 𝑥0 − 𝑥0 = 𝑥0 + [𝑓(𝑠, 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑠, 𝑥0 ) − −

1 𝑇

0

𝑇

𝑔(𝑠, 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑠, 𝑥0 ) 𝑑𝑠]𝑑𝑠 + 0

+

𝐼𝑖 (𝑥𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 ) − 0<𝑡 𝑖 <𝑡 𝑝

−

𝑡 𝑇

𝐼𝑖 (𝑥𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 ) − 𝑥0 ≤ 𝑖=1

𝑡 ≤ (1 − ) 𝑇 𝑡 + 𝑇

𝑇

𝑡

𝑓(𝑠, 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑠, 𝑥0 ) 𝑑𝑠 + 0

𝑓(𝑠, 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑠, 𝑥0 ) 𝑑𝑠 + 𝑡

+

𝐼𝑖 (𝑥𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 ) + 0<𝑡 𝑖 <𝑡 𝑝

+

𝑡 𝑇

𝐼𝑖 𝑥𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑦𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑧𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0 , 𝑤𝑚 𝑡𝑖 , 𝑥0

≤

𝑖=1

≤ 𝛼 𝑡 𝑀 + 2𝑝𝑀 𝑇 4𝑝 ≤ 𝑀 (1 + ) 2 𝑇 From (1.7) and (2.4), we have 𝑇 4𝑝 𝐴𝑥𝑚 𝑡, 𝑥0 − 𝐴𝑥0 ≤ 𝑄𝑀 (1 + ) 2 𝑇 𝑇 4𝑝 𝐵𝑥𝑚 𝑡, 𝑥0 − 𝐵𝑥0 ≤ 𝐻𝑀 (1 + ) 2 𝑇

⋯ 2.6

⋯ 2.7

www.ijeijournal.com

P a g e | 59

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations… for all 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 . Also 𝑡

𝑤𝑚 𝑡, 𝑥0 − 𝑤0 (𝑡, 𝑥0 ) =

𝑔 𝑠, 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝐴𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 , 𝐵𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 𝑑𝑠 − 𝑡−𝑇 𝑡

−

𝑔 𝑠, 𝑥0 , 𝐴𝑥0 , 𝐵𝑥0 𝑑𝑠 ≤ 𝑡−𝑇

𝑡

≤

𝐾( 𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 − 𝑥0 + 𝐴𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 − 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑥𝑚 𝑠, 𝑥0 − 𝐵𝑥0 )𝑑𝑠 𝑡−𝑇

𝑡

≤ 𝑡−𝑇

𝑇 4𝑝 𝑇 4𝑝 𝑇 4𝑝 [𝐾(𝑀 (1 + ) + 𝐺𝑀 (1 + ) + 𝐻𝑀 (1 + ))]𝑑𝑠 2 𝑇 2 𝑇 2 𝑇 𝑇 4𝑝 = 𝐾𝑀 (1 + )(1 + 𝐺 + 𝐻) 2 𝑇

For 𝑚 = 1, in (2.1), we get 𝑥2 𝑡, 𝑥0

𝑡 − 𝑥1 (𝑡, 𝑥0 ) ≤ (1 − ) 𝑇

⋯ 2.8

𝑡

𝐾( 𝑥1 𝑠, 𝑥0 − 𝑥0 + 𝑦1 𝑠, 𝑥0 − 𝑦0 (𝑠, 𝑥0 ) 0

+ 𝑧1 𝑠, 𝑥0 − 𝑧0 (𝑠, 𝑥0 ) + 𝑤1 𝑠, 𝑥0 − 𝑤0 (𝑠, 𝑥0 ) )𝑑𝑠 + 𝑇

𝑡 + 𝑇

𝐾( 𝑥1 𝑠, 𝑥0 − 𝑥0 + 𝑦1 𝑠, 𝑥0 − 𝑦0 (𝑠, 𝑥0 ) + 𝑡

+ 𝑧1 𝑠, 𝑥0 − 𝑧0 (𝑠, 𝑥0 ) + 𝑤1 𝑠, 𝑥0 − 𝑤0 (𝑠, 𝑥0 ) )𝑑𝑠 + +

𝐿 𝑥1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑥0 + 𝑦1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑦0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) + 0<𝑡 𝑖 <𝑡

+ 𝑧1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑧0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) + 𝑤1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑤0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) ) + 𝑡 + 𝑇

𝑝

𝐿 ( 𝑥1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑥0 + 𝑦1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑦0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) + 𝑖=1

+ 𝑧1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑧0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) + 𝑤1 𝑡𝑖 , 𝑥0 − 𝑤0 (𝑡𝑖 , 𝑥0 ) ) + 𝑡

𝑡 𝑇 4𝑝 ≤ (1 − ) [𝐾(1 + 𝐺 + 𝐻 + 𝑄(𝐿 + 𝐺 + 𝐻)) 𝑀 (1 + )]𝑑𝑠 + 𝑇 2 𝑇 +

𝑡 𝑇

𝑇

𝑡

0

𝑇 4𝑝 [𝐾(1 + 𝐺 + 𝐻 + 𝑄(𝐿 + 𝐺 + 𝐻)) 𝑀 (1 + )]𝑑𝑠 + 2 𝑇

𝑇 4𝑝 +[𝐿(1 + 𝐺 + 𝐻 + 𝑄(𝐿 + 𝐺 + 𝐻))]𝑀 (1 + ) ≤ 2 𝑇 𝑇 4𝑝 ≤ 𝛼(𝑡)[𝐾(1 + 𝐺 + 𝐻 + 𝑄(𝐿 + 𝐺 + 𝐻))]𝑀 (1 + ) + 2 𝑇 4𝑝 +𝐿𝑝𝑀𝑇(1 + 𝐺 + 𝐻 + 𝑄(𝐿 + 𝐺 + 𝐻))(1 + ) ≤ 𝑇 𝑇 ≤ 𝑁1 𝛼 𝑡 + 𝑀1 = 𝑁1 + 𝑀1 2 If the following inequality is true 𝑥𝑚 𝑡, 𝑥0 − 𝑥𝑚−1 (𝑡, 𝑥0 ) ≤ 𝑁𝑚−1 𝛼 𝑡 + 𝑀𝑚−1 𝑇 ≤ 𝑁𝑚−1 + 𝑀𝑚−1 2 for all 𝑚 = 1,2, ⋯ . then, we shall to prove that 𝑇 𝑇 𝑥𝑚 +1 𝑡, 𝑥0 − 𝑥𝑚 (𝑡, 𝑥0 ) ≤ 𝐾1 (𝑁𝑚−1 + 𝑀𝑚−1 )𝛼(𝑡) + 2𝑝𝐾2 (𝑁𝑚−1 + 𝑀𝑚−1 ) 2 2

⋯ 2.10

⋯ 2.11

⋯ 2.12

for all 𝑚 = 0,1,2, ⋯ .

www.ijeijournal.com

P a g e | 60

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations‌ By mathematical induction, we have đ?‘Ľđ?‘š +1 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 − đ?‘Ľđ?‘š (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) ≤ đ?‘ đ?‘š đ?›ź đ?‘Ą + đ?‘€đ?‘š ≤ Where

đ?‘‡ đ?‘ + đ?‘€đ?‘š , 2 đ?‘š

đ?‘‡ đ?‘ đ?‘š+1 = đ??ž1 đ?‘ đ?‘š + đ??ž1 đ?‘€đ?‘š , 2 đ?‘€đ?‘š+1 = đ?‘?đ??ž2 đ?‘‡đ?‘ đ?‘š + 2đ?‘?đ??ž2 đ?‘€đ?‘š ,

â‹Ż 2.13

â‹Ż 2.14 đ?‘ 0 = đ?‘€ , đ?‘€0 = 2đ?‘?đ?‘€ .

đ?‘š = 0,1,2, â‹Ż. It is sufficient to show that all solutions of (2.14) approach zero as đ?‘š → ∞ , i.e. it is necessary and sufficient that the eigen values of the matrix Λ are assumed to be within a unit circle. It is well-known that the characteristic equation of the matrix Λ is đ?‘‡ đ?‘‡ đ??ž1 + đ?‘?đ??ž2 (2 + đ??ž1 ) < 1 â‹Ż 2.15 2 2 and this ensures that the sequence of functions (2.1) is convergent uniformly on the domain (2.2) as đ?‘š → ∞ . Let lim đ?‘Ľđ?‘š (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) = đ?‘Ľâˆž đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 â‹Ż 2.13 đ?‘š →∞

Since the sequence of functions (2.2) is periodic in đ?‘Ą of period đ?‘‡, then the limiting is also periodic in đ?‘Ą of period đ?‘‡. Moreover, B lemma 1.1 and (2.15) and the following inequality đ?‘˜ −1

đ?‘Ľđ?‘š+1 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 − đ?‘Ľđ?‘š (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) ≤ đ?‘˜âˆ’1

≤ �=0

đ?‘Ľđ?‘š+đ?‘–+1 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 − đ?‘Ľđ?‘š +đ?‘– (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) ≤ đ?‘–=0

đ?‘‡ 4đ?‘? đ?œ†đ?‘š+đ?‘– đ?‘€ (1 + ) 2 đ?‘‡

the inequalities (2.4) and (2.5) are satisfied for all đ?‘š ≼ 0 . Finally, we have to show that đ?‘Ľ(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) is unique solution of (1.1). on the contrary, we suppose that there is at least two different solutions đ?‘Ľ(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) and đ?‘&#x;(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) of (1.1). From (2.3), the following inequality holds: đ?‘Ľ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 đ?‘Ą + đ?‘‡ đ?‘Ą + đ?‘‡

đ?‘Ą ≤ (1 − ) đ?‘‡

�

đ??ž1 đ?‘Ľ đ?‘ , đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘ , đ?‘Ľ0 đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ??ž1 đ?‘Ľ đ?‘ , đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘ , đ?‘Ľ0 đ?‘‘đ?‘ + 0

đ?‘‘đ?‘ +

đ??ž2 đ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0

+

0<đ?‘Ą đ?‘– <đ?‘Ą

đ?‘?

đ??ž2 đ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0

â‹Ż 2.16

đ?‘–=1

Setting đ?‘Ľ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x; đ?‘Ą, đ?‘Ľ0

= đ?‘• đ?‘Ą , the inequality (2.16) can be written as:

đ?‘Ą đ?‘•(đ?‘Ą) ≤ (1 − ) đ?‘‡

đ?‘Ą

0

đ?‘Ą đ??ž1 đ?‘•(đ?‘ )đ?‘‘đ?‘ + đ?‘‡

�

đ??ž1 đ?‘•(đ?‘ ) đ?‘‘đ?‘ + đ?‘Ą

0<đ?‘Ą đ?‘– <đ?‘Ą

đ?‘Ą đ??ž2 đ?‘•(đ?‘Ąđ?‘– ) + đ?‘‡

đ?‘?

đ??ž2 đ?‘•(đ?‘Ąđ?‘– ) đ?‘–=1

Let maxđ?‘Ąâˆˆ[0,đ?‘‡] đ?‘•(đ?‘Ą) = đ?‘•0 ≼ 0 . By iteration, we get: đ?‘• đ?‘Ą ≤ đ?‘ đ?‘š đ?›ź đ?‘Ą + đ?‘€đ?‘š â‹Ż 2.17 From (2.14), we have: đ?‘‡ đ?‘ đ?‘š+1 đ?‘ đ?‘š đ??ž1 = đ??ž1 2 â‹Ż 2.18 đ?‘€đ?‘š+1 đ?‘€đ?‘š đ?‘?đ?‘‡đ??ž2 2đ?‘?đ??ž2 which satisfies the initial conditions đ?‘ 0 = 0, đ?‘€0 = đ?‘•0 That is đ?‘š đ?‘‡ đ?‘ đ?‘š 0 đ??ž1 đ??ž1 = â‹Ż 2.19 2 đ?‘•đ?‘š đ?‘€đ?‘š đ?‘?đ?‘‡đ??ž2 2đ?‘?đ??ž2 Hence it is clear that if the condition (2.15) is satisfied then đ?‘ đ?‘š → 0 and đ?‘€đ?‘š → 0 as đ?‘š → ∞. From the relation (2.17) we get đ?‘•(đ?‘Ą) ≥ 0 or đ?‘Ľ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘&#x; đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 , i.e. đ?‘Ľ(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) is a unique solution of (1.1). ∎

III.

EXISTENCE OF SOLUTION www.ijeijournal.com

P a g e | 61

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations‌ The problem of the existence of periodic solution of period � of the system (1.1) is uniquely connected with the existence of zeros of the function Δ(�0 ) which has the form �

Δ �0

1 = [ �(�, � 0 �, �0 , � 0 �, �0 , � 0 �, �0 , � 0 (�, �0 )) �� + � 0

đ?‘?

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľ 0 đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś 0 đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§ 0 đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤ 0 (đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ))],

+

â‹Ż 3.1

đ?‘–=1

since this function is approximately determined from the sequence of functions �

Δm �0

1 = [ �(�, �� �, �0 , �� �, �0 , �� �, �0 , �� (�, �0 )) �� + � 0

đ?‘?

+

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š (đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ))]

â‹Ż 3.2

đ?‘–=1

where đ?‘Ľ 0 (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) is the limiting of the sequence of functions (2.1). Also đ?‘Ś 0 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ??´đ?‘Ľ 0 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 , đ?‘§ 0 đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ??ľđ?‘Ľ 0 (đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) and đ?‘Ą

0

đ?‘”(đ?‘ , đ?‘Ľ 0 đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ??´đ?‘Ľ 0 đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ??ľđ?‘Ľ 0 (đ?‘ , đ?‘Ľ0 )) đ?‘‘đ?‘ .

đ?‘¤ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘Ąâˆ’đ?‘‡

Now, we prove the following theorem taking in to ///// that the following inequality will be satisfied for all đ?‘š ≼ 1. đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? Δ đ?‘Ľ0 − Δđ?‘š (đ?‘Ľ0 ) ≤ đ?œ†đ?‘š 1 − đ?œ† −1 (đ??ž1 + đ??ž2 ) (1 + ) â‹Ż 3.3 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ Theorem 3.1. If the system of equations (1.1) satisfies the following conditions: (đ?‘–) the sequence of functions (3.2) has an isolated singular point đ?‘Ľ0 = đ?‘Ľ 0 , Δđ?‘š (đ?‘Ľ0 ) ≥ 0, for all đ?‘Ą ∈ đ?‘…1 ; (đ?‘–đ?‘–) the index of this point is nonzero; (đ?‘–đ?‘–đ?‘–) there exists a closed convex domain đ??ˇ4 belonging to the domain đ??ˇđ?‘“ and possessing a unique singular point đ?‘Ľ 0 such that on it is boundary Γđ??ˇ4 the following inequality holds đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? inf Δđ?‘š (đ?‘Ľ 0 ) ≤ đ?œ†đ?‘š 1 − đ?œ† −1 (đ??ž1 + đ??ž2 ) (1 + ) x∈Γđ??ˇ 4 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ for all đ?‘š ≼ 1. Then the system (1.1) has a periodic solution đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) for which đ?‘Ľ 0 ∈ đ??ˇ4 . Proof. By using the inequality (3.3) we can prove the theorem is a similar way to that of theorem 2.1.2 [2]. Remark 3.1. When đ?‘… đ?‘› = đ?‘…1 , i.e. when đ?‘Ľ 0 is a scalar, theorem 3.1 can be proved by the following. Theorem 3.2. Let the functions đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤) and đ??źđ?‘– (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤) of system (1.1) are defined on the interval [đ?‘Ž, đ?‘?] in đ?‘…1 . Then the function (3.2) satisfies the inequalities: đ?‘? 0 đ?‘š −1 min Δ đ?‘Ľ ≤ − đ?œ† 1 − đ?œ† (đ??ž + đ??ž) đ?‘š 1 đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘‡ 2 đ?‘Ž+ 1+ ≤đ?‘Ľ 0 ≤đ?‘?− 1+ 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ â‹Ż 3.4 đ?‘? max Δđ?‘š đ?‘Ľ 0 ≼ đ?œ†đ?‘š 1 − đ?œ† −1 (đ??ž1 + đ??ž2 ) đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘‡ đ?‘Ž+ 1+ ≤đ?‘Ľ 0 ≤đ?‘?− 1+ 2

�

2

�

Then (1.1) has a periodic solution in đ?‘Ą of period đ?‘‡ for which đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘Ľ 0 0 ∈ [đ?‘Ž + (1 + ), đ?‘? − (1 + )] . 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ Proof. Let đ?‘Ľ1 and đ?‘Ľ2 be any points of the interval đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? [đ?‘Ž + (1 + ), đ?‘? − (1 + )] such that 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ Δđ?‘š đ?‘Ľ1 = min Δđ?‘š đ?‘Ľ 0

,

max Δ� � 0

.

đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘Ž+ 1+ ≤đ?‘Ľ 0 ≤đ?‘?− 1+ 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡

Δ� �2 =

đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘Ž+ 1+ ≤đ?‘Ľ 0 ≤đ?‘?− 1+ 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡

By using the inequalities (3.3) and (3.4) , we have Δđ?‘š đ?‘Ľ1 = Δđ?‘š đ?‘Ľ1 + Δđ?‘š đ?‘Ľ1 − Δđ?‘š đ?‘Ľ1 < 0 , Δđ?‘š đ?‘Ľ2 = Δđ?‘š đ?‘Ľ2 + (Δđ?‘š đ?‘Ľ2 − Δđ?‘š đ?‘Ľ2 ) > 0 .

www.ijeijournal.com

â‹Ż 3.5

3.6

P a g e | 62

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations‌ The continuity of Δ(đ?‘Ľ 0 ) and by using (3.6), there exists a point đ?‘Ľ 0 , đ?‘Ľ 0 ∈ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , such that Δ(đ?‘Ľ 0 ) ≥ 0, đ?‘€đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€đ?‘‡ i.e. đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 ) is a periodic solution in đ?‘Ą of period đ?‘‡ for which đ?‘Ľ 0 (0) ∈ [đ?‘Ž + (1 + ), đ?‘? − (1 + 2

4đ?‘?

�

2

)] . ∎ đ?‘‡ Similar results can be obtained for other class of integro-differential equations of operators with impulsive action. In particular, the system of integro-differential equations which has the form đ?‘? đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ??´đ?‘Ľ, đ??ľđ?‘Ľ, đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘” đ?‘ , đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‘đ?‘ , đ?‘Ž đ?‘Ą đ?‘Ą

,

� ≠��

−∞

đ?‘?(đ?‘Ą đ?‘– )

Δđ?‘Ľ = |đ?‘Ą=đ?‘Ą đ?‘– đ??źđ?‘– (đ?‘Ľ, đ??´đ?‘Ľ, đ??ľđ?‘Ľ,

đ??š đ?‘Ą, đ?‘ đ?‘” đ?‘ , đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‘đ?‘ ,

đ?‘” đ?‘ , đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘‘đ?‘ , đ?‘Ž(đ?‘Ą đ?‘– )

đ?‘Ąđ?‘–

,

đ??š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘ đ?‘”(đ?‘ , đ?‘Ľ đ?‘ , đ??´đ?‘Ľ đ?‘ , đ??ľđ?‘Ľ(đ?‘ ))đ?‘‘đ?‘ ) −∞

â‹Ż 3.7 In this system (3.7), let the vector functions đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤ , đ?‘”(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) and scalar functions đ?‘Ž đ?‘Ą , đ?‘?(đ?‘Ą) are periodic in đ?‘Ą of period đ?‘‡, defined and continuous on the domain. đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘• ∈ đ?‘…1 Ă— đ??ş Ă— đ??ş1 Ă— đ??ş2 Ă— đ??ş3 Ă— đ??ş4 = = −∞, ∞ Ă— đ??ş Ă— đ??ş1 Ă— đ??ş2 Ă— đ??ş3 Ă— đ??ş4 â‹Ż 3.8 Let đ??źđ?‘– đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘• be a continuous vector function which are defined on the domain (3.8). A matrix đ??š đ?‘Ą, đ?‘ is defined and continuous in đ?‘…1 Ă— đ?‘…1 and satisfies the condition đ??š đ?‘Ą + đ?‘‡, đ?‘ + đ?‘‡ = đ??š đ?‘Ą, đ?‘ which đ??š đ?‘Ą, đ?‘ ≤ đ?›ż đ?‘’ −đ?›ž đ?‘Ąâˆ’đ?‘ , 0 ≤ đ?‘ ≤ t ≤ T , where đ?›ż, đ?›ž are a positive constants. Suppose that the functions đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘•) and đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ , đ??źđ?‘– đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘• are satisfying the following inequalities: đ?‘“(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘•) ≤ đ?‘€ , đ?‘”(đ?‘Ą, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ≤ đ?‘ , â‹Ż 3.9 ≤ đ??ž ∗ ( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + + đ?‘§1 − đ?‘§2 + đ?‘¤1 − đ?‘¤2 + đ?‘•1 − đ?‘•2 ); đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 − đ?‘” đ?‘Ą, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ≤ đ?‘„ ∗ đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + đ?‘§1 − đ?‘§2 ; â‹Ż 3.10 đ??źđ?‘– đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , đ?‘¤1 , đ?‘•1 − đ??źđ?‘– đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 , đ?‘¤2 , đ?‘•2 ≤ đ??żâˆ— ( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 + + đ?‘§1 − đ?‘§2 + đ?‘¤1 − đ?‘¤2 + đ?‘•1 − đ?‘•2 ); â‹Ż 3.11 and đ??´đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ??´đ?‘Ľ2 đ?‘Ą ≤ đ??ş ∗ đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ?‘Ľ2 đ?‘Ą , â‹Ż 3.12 đ??ľđ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ??ľđ?‘Ľ2 đ?‘Ą ≤ đ??ť ∗ đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ?‘Ľ2 đ?‘Ą . 1 for all đ?‘Ą ∈ đ?‘… , đ?‘Ľ, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??ş, đ?‘Ś, đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 ∈ đ??ş1 , đ?‘§, đ?‘§1 , đ?‘§2 ∈ đ??ş2 , đ?‘¤, đ?‘¤1 , đ?‘¤2 ∈ đ??ş3 , đ?‘•, đ?‘•1 , đ?‘•2 ∈ đ??ş4 , Provided that đ??´đ?‘Ľ đ?‘Ą + đ?‘‡ = đ??´đ?‘Ľ đ?‘Ą , đ??ľđ?‘Ľ đ?‘Ą + đ?‘‡ = đ??ľđ?‘Ľ đ?‘Ą , đ??źđ?‘–+đ?‘? đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘• = đ??źđ?‘– (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘¤, đ?‘•) and đ?‘Ąđ?‘–+đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘– + đ?‘‡. Define a non-empty sets as follows: đ?‘€âˆ— đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€âˆ— đ?‘‡ 4đ?‘? đ??şđ?‘“ = đ??ş − (1 + ) , đ??ş1đ?‘“ = đ??ş1 − đ??ş ∗ (1 + ), 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ đ?‘€âˆ— đ?‘‡ 4đ?‘? đ?‘€âˆ— đ?‘‡ 4đ?‘? ∗ ∗ đ??ş2đ?‘“ = đ??ş3 − đ??ť (1 + ) , đ??ş4đ?‘“ = đ??ş4 − đ?›˝đ?‘„ (1 + ) , â‹Ż 3.13 2 đ?‘‡ 2 đ?‘‡ ∗ đ?›ż đ?‘€ đ?‘‡ 4đ?‘? đ??ş5đ?‘“ = đ??ş5 − đ?‘„∗ (1 + ) . đ?›ž 2 đ?‘‡ Furthermore, the largest Eigen-value of đ?›žđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ of the matrix đ?‘‡ đ??ž1 đ??ž1 Γ= 2 đ?‘?đ??ž2 đ?‘‡ 2đ?‘?đ??ž2 is less than unity, i.e. đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , đ?‘¤1 , đ?‘•1 − đ?‘“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 , đ?‘¤2 , đ?‘•2

www.ijeijournal.com

P a g e | 63

Periodic Solutions for Nonlinear Systems of Integro-Differential Equations‌ 1 đ?‘‡ đ??ž1 đ?‘‡ 4đ?‘?đ??ž1 đ??ž2 đ?‘‡ [đ??ž1 + 2đ?‘?đ??ž2 + ( + 2đ?‘?đ??ž2 )2 + ]< 1, 2 3 3 3

â‹Ż 3.14

�

where đ??ž1 = đ??ž ∗ [1 + đ??ş ∗ + đ??ť ∗ + đ?‘„∗ + đ?‘„∗ (1 + đ??ş ∗ + đ?›˝)], đ?›ž

∗

∗

�

∗

∗

đ??ž2 = đ??ż [1 + đ??ş + đ??ť + đ?›ž đ?‘„ + đ?‘„ ∗ (1 + đ??ş ∗ + đ?›˝)] and đ?›˝ = max0≤đ?‘Ąâ‰¤đ?‘‡ đ?‘? đ?‘Ą − đ?‘Ž(đ?‘Ą) . Theorem 3.2. If the system of integro-differential equations with impulsive action (3.7) satisfying the above assumptions and conditions has a periodic solution đ?‘Ľ = đ?œ“ đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 , then there exists a unique solution which is the limit function of a uniformly convergent sequence which has the form đ?‘Ą

đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ą, đ?‘Ľ0 = đ?‘Ľ0 +

[đ?‘“(đ?‘ , đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘•đ?‘š (đ?‘ , đ?‘Ľ0 )) − 0

1 − đ?‘‡

�

đ?‘“(đ?‘ , đ?‘Ľđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘ , đ?‘Ľ0 , đ?‘•đ?‘š (đ?‘ , đ?‘Ľ0 )) đ?‘‘đ?‘ ]đ?‘‘đ?‘ + 0

+

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘•đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ) − 0<đ?‘Ą đ?‘– <đ?‘Ą đ?‘?

−

� �

đ??źđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘§đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘¤đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 , đ?‘•đ?‘š đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ľ0 ) đ?‘–=1

⋯ 3.15 with �0 �, �0 = �0 , � = 0,1,2, ⋯. The proof is a similar to that of theorem 1.1. If we consider the following mapping �

Δm �0

1 = [ �(�, �� �, �0 , �� �, �0 , �� �, �0 , �� �, �0 , �� (�, �0 )) �� + �

đ?‘? đ?‘–=1 đ??źđ?‘–

+

0

(�� �� , �0 , �� �� , �0 , �� �� , �0 , �� �� , �0 , �� (�� , �0 ))].

Then we can state a theorem similar to theorem 2.2, provided that đ??ž1 đ?‘‡

(

3

+ 2đ?‘?đ??ž2

)2

+

4đ?‘?đ??ž1 đ??ž2 đ?‘‡ 3

â‹Ż 3.16 1 đ?‘‡ đ?›žđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = [đ??ž1 + 2đ?‘?đ??ž2 + 2

3

]< 1,

Remark 3.2. It is clear that when we put đ??źđ?‘– ≥ 0, we get a periodic solution for the systems (1.1) and (3.7) without introducing impulsive action.

REFERENCES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

Butris, R. N. , Existence of a periodic solutions for nonlinear systems of differential equations of operators with impulsive action, Iraq,Mosul Univ J. Ed. and Sci., Vol.(15),(1994). [2] Butris,R.N.and Saied El.M.On periodic solutions for certain systems of integro-differen tial equations Iraq ,Mosul Univ., J.of Educ_and Sci., vol 31, (1998) [3] Korol, I. I. , On periodic solutions of one class of systems of differential equations, Ukrainian, Mathematical J. Vol.57, No. 4, (2005). [4] Perestyuk ,N.A.On periodic solutions of some of differential equations. In asymptotic and qualitative method in the theory of nonlinear oscillations. Ukrainian Academy of sciences, Kiev (1971) [5] Samoilenko, A. M. and Perestyuk, N. A. , Differential equations with impulsive action, Ukrainian, Kiev, (1987). [6] Samoilenko, A. M. and Ronto, N. I. , Numerical-analytic methods of investigating periodic solutions, Ukrainian, Kiev, (1976). [7] Tian yu. and Dehong Ji. , Weigao Ge. Existence and non existence results of impulsive first-order problem with integral boundary condition, J. Nonlinear analysis, Vol. 71, (2009). [8] Voskresenskii E.V., periodic solutions of nonlinear system sand the averaging method, translated form differential equations . State Univ .,vol 28. No 4.(1992).

www.ijeijournal.com

P a g e | 64

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.