Ce3421972204

Page 1

www.ijmer.co m

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645

Further Results On The Basis Of Cauchy’s Proper Bound for the Zeros of Entire Functions of Order Zero Sanjib Kumar Datta1, Manab Biswas 2 1

(Department of Mathematics, University of Kalyani, Kalyani, Dist-Nadia, Pin- 741235, West Bengal, India) 2 (Barabilla High School, P.O. Haptiagach, Dist-Uttar Dinajpur, Pin- 733202, West Bengal, India)

ABSTRACT: A single valued function of one complex variable which is analytic in the finite complex plane is called an entire function . The purpose of this paper is to establish the bounds for the moduli of zeros of entire functions of order zero. Some examples are provided to clear the notions. AMS Subject Classification 2010: Primary 30C15, 30C10, Secondary 26C10.

KEYWORDS AND PHRASES: Zeros of entire functions of order zero, Cauchy’s bound , Proper ring shaped region.

I.

INTRODUCTION, DEFINITIONS AND NOTATIONS

Let, đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘§ + đ?‘Ž2 đ?‘§ 2 + đ?‘Ž3 đ?‘§ 3 +‌‌+ đ?‘Žđ?‘› −1 đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ đ?‘› ; đ?‘Žđ?‘› ≠0 Be a polyno mial of degree n . Datt and Govil [2] ; Govil and Rahaman [5] ; Marden [9] ; Mohammad [10] ; Chattopadhyay, Das, Jain and Konwar [1] ; Joyal, Labelle and Rahaman [6] ; Jain {[7] , [8]}; Sun and Hsieh [11] ; Zilovic, Roytman, Co mbettes and Swamy [13] ; Das and Datta [4] etc. wo rked in the theory of the distribution of the zeros of polynomials and obtained some newly developed results. In this paper we intend to establish some of sharper results concerning the theory of distribution of zeros of entire functions of order zero. The fo llo wing definitions are well known : Definiti on 1 The order đ?œŒ and lo wer order đ?œ† of a mero morphic function f are defined as log đ?‘‡ (đ?‘&#x;,đ?‘“) log đ?‘‡ (đ?‘&#x;,đ?‘“ ) đ?œŒ = limsup and đ?œ† = liminf ∙ log đ?‘&#x; log đ?‘&#x; đ?‘&#x; → ∞ đ?‘&#x;→∞ If f is entire, one can easily verify that log [2]đ?‘€(đ?‘&#x;,đ?‘“ )

log [2]đ?‘€(đ?‘&#x; ,đ?‘“)

đ?œŒ = limsup and đ?œ† = liminf ∙ log đ?‘&#x; đ?‘&#x; → ∞ log đ?‘&#x; đ?‘&#x;→∞ where log k đ?‘Ľ = log log k −1 đ?‘Ľ for đ?‘˜ = 1, 2, 3, ‌.. and log 0 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ . If đ?œŒ < ∞ then đ?‘“ is of fin ite order. Also đ?œŒ = 0 means that đ?‘“ is of order zero. In this connection Datta and Biswas [3] gave the following definit ion : Defini tion 2 Let f be a mero morphic function of order zero. Then the quantities đ?œŒ ∗ and đ?œ†âˆ— of f are defined by : đ?‘‡(đ?‘&#x;,đ?‘“ ) đ?‘‡(đ?‘&#x;,đ?‘“ ) đ?œŒ ∗ = limsup and đ?œ†âˆ— = liminf ∙ log đ?‘&#x; đ?‘&#x; → ∞ log đ?‘&#x; đ?‘&#x;→∞ If f is an entire function then clearly đ?œŒ ∗ = limsup đ?‘&#x;→∞

log đ?‘€ đ?‘&#x;,đ?‘“ log đ?‘&#x;

and đ?œ†âˆ— = liminf đ?‘&#x;→∞

log đ?‘€ đ?‘&#x;,đ?‘“ log đ?‘&#x;

∙

II.

LEMMAS

In this section we present a lemma which will be needed in the sequel . ∗ Lemma 1 If đ?‘“(đ?‘§) is an entire function of order đ?œŒ = 0, then for every đ?œ€ > 0 the inequality đ?‘ đ?‘&#x; ≤ log đ?‘&#x; đ?œŒ +đ?œ€ Holds for all sufficiently large đ?‘&#x; where đ?‘ (đ?‘&#x;) is the number of zeros of đ?‘“(đ?‘§) in đ?‘§ ≤ log đ?‘&#x; . Proof. Let us suppose that đ?‘“(đ?‘§) = 1. This supposition can be made without loss of generality because if đ?‘“(đ?‘§) has a zero of đ?‘“ (đ?‘§)

order ′đ?‘šâ€˛ at the origin then we may consider đ?‘” đ?‘§ = đ?‘?. đ?‘š where đ?‘? is so chosen that đ?‘”(0) = 1. Since the function đ?‘”(đ?‘§) and đ?‘§ đ?‘“(đ?‘§) have the same order therefore it will be unimportant for our investigations that the number of zeros of đ?‘”(đ?‘§) and đ?‘“(đ?‘§) differ by đ?‘š. We further assume that đ?‘“(đ?‘§) has no zeros on đ?‘§ = log 2đ?‘&#x; and the zeros đ?‘§đ?‘– ’s of đ?‘“(đ?‘§) in đ?‘§ < log đ?‘&#x; are in non decreasing order of their moduli so that đ?‘§đ?‘– ≤ đ?‘§đ?‘– +1 . Also let đ?œŒ ∗ suppose to be finite where đ?œŒ = 0 is the zero of order of đ?‘“ đ?‘§ . Now we shall make use of Jenson’s formula as state below đ?‘› 2đ?œ‹ đ?‘… 1 log đ?‘“(0) = − log + (1) âˆŤ log đ?‘“(đ?‘… đ?‘’ đ?‘–đ?œ™ ) đ?‘‘đ?œ™ . đ?‘§đ?‘– 2đ?œ‹ đ?‘–=1 0 Let us replace đ?‘… by 2đ?‘&#x; and đ?‘› by đ?‘ (2đ?‘&#x;) in (1) . đ?‘ (2đ?‘&#x;) 2đ?œ‹ 2đ?‘&#x; 1 ∴ log đ?‘“(0) = − log + âˆŤ log đ?‘“(2đ?‘&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?œ™ ) đ?‘‘đ?œ™. đ?‘§đ?‘– 2đ?œ‹ đ?‘– =1 0 Since đ?‘“ 0 = 1, ∴ log đ?‘“(0) = log 1 = 0. www.ijmer.co m

2197 | Page

www.ijmer.co m đ?‘ (2đ?‘&#x;)

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645

2đ?œ‹ âˆŤ log đ?‘“(2đ?‘&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?œ™ ) đ?‘‘đ?œ™ đ?‘§đ?‘– 2đ?œ‹ đ?‘– =1 0 đ?‘ (2đ?‘&#x;) đ?‘ (đ?‘&#x;) 2đ?‘&#x; 2đ?‘&#x; L.H.S. = log ≼ log ≼ đ?‘ đ?‘&#x; log 2 đ?‘§đ?‘– đ?‘§đ?‘– đ?‘–=1 đ?‘– =1 because for large values of đ?‘&#x;, 2đ?‘&#x; log ≼ log 2 . đ?‘§đ?‘– 2đ?œ‹ 1 R.H.S. = âˆŤ log đ?‘“(2đ?‘&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?œ™ ) đ?‘‘đ?œ™ 2đ?œ‹ 0 2đ?œ‹ 1 ≤ âˆŤ log đ?‘€(2đ?‘&#x;) đ?‘‘đ?œ™ = log đ?‘€(2đ?‘&#x;). 2đ?œ‹ 0 Again by definition of order đ?œŒ ∗ of đ?‘“(đ?‘§) we have for every đ?œ€ > 0, ∗ log đ?‘€(2đ?‘&#x;) ≤ log 2đ?‘&#x; đ?œŒ +đ?œ€ 2 . Hence fro m (2) by the help of (3) , (4) and (5) we have ∗ đ?‘ đ?‘&#x; log 2 ≤ log 2đ?‘&#x; đ?œŒ +đ?œ€ 2 ∴

log

2đ?‘&#x;

=

1

∗ log 2 đ?œŒ +đ?œ€ 2

i.e., đ?‘ (đ?‘&#x;) ≤

log 2

∗ log đ?‘&#x; đ?œŒ +đ?œ€

∙

≤ log đ?‘&#x;

log đ?‘&#x; đ?œ€ 2

đ?œŒ ∗ +đ?œ€

(2)

(3)

(4)

(5)

.

This proves the lemma.

III.

THEOREMS

In this section we present the main results of the paper. Theorem 1 Let đ?‘ƒ(đ?‘§) be an entire function having order đ?œŒ = 0 in the disc đ?‘§ ≤ log đ?‘&#x; for sufficiently large đ?‘&#x;. Also let the Taylor’s series expansion of đ?‘ƒ(đ?‘§) be given by đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌+đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š + đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) , đ?‘Ž0 ≠0, đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) ≠0 with 1 ≤ đ?‘?1 < đ?‘?2 < ‌‌< đ?‘?đ?‘š ≤ đ?‘ đ?‘&#x; − 1, đ?‘?đ?‘– ’s are integers such that for some đ?œŒ ∗ > 0, đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž đ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 ≼ ‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š ≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) . Then all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in the ring shaped region 1 đ?œŒâˆ— 1+

< � <

đ?‘Žđ?‘?1 đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘?1

1 đ?œŒâˆ—

1+

đ?‘Ž0

đ?œŒâˆ—

đ?‘Ž đ?‘ (đ?‘&#x; )

đ?‘ (đ?‘&#x;)

∙

Proof. Given that đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌+đ?‘Ž đ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š + đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) where đ?‘?đ?‘– ’s are integers and 1 ≤ đ?‘?1 < đ?‘?2 < ‌‌< đ?‘?đ?‘š ≤ đ?‘ đ?‘&#x; − 1. Then for some đ?œŒ ∗ > 0 , đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž đ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š ≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) . Let us consider đ?‘§ đ?‘„ đ?‘§ = đ?œŒâˆ— đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘ƒ ∗ đ?œŒ

= đ?œŒ

∗ đ?‘ đ?‘&#x;

= đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘Ž0 + đ?‘Ž đ?‘? 1

đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘§đ?‘?1 đ?œŒ ∗ đ?‘?1

+ đ?‘Žđ?‘? 1 đ?œŒâˆ—

đ?‘§đ?‘?đ?‘š

+∙∙∙∙∙∙ +đ?‘Žđ?‘? đ?‘š

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 đ?‘? 1

�

đ?œŒ ∗ đ?‘?đ?‘š

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )

+ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;)

+ ......+ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗

đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x; ) đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š đ?‘? đ?‘š

�

+ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) .

Therefore đ?‘„ đ?‘§ ≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 + . . . . . . + đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š . Now using the given condition of Theorem 1 we obtain that đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 + . . . . . . + đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š ≤ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x; ) + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌.+ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š ≤ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ (đ?‘&#x;)

�

đ?‘ (đ?‘&#x;)

1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š

+∙∙∙∙∙∙ +

1 đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )

(6)

for � ≠0 .

Using (6) we get for � ≠0 that � �

≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ > đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§

đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘ (đ?‘&#x;)

− đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; ) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )

1 �

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š 1

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š

∞

= đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ ∞ The geometric series đ?‘˜=1

1 đ?‘§ đ?‘˜

đ?‘ (đ?‘&#x; )

− đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ (đ?‘&#x;)

�

đ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘˜ =1

+∙∙∙∙∙∙ +

+∙∙∙∙∙∙ +

1 đ?‘§ đ?‘˜

.

1 �

đ?‘ (đ?‘&#x;)

1

+∙∙∙∙ đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; ) (7)

is convergent for

www.ijmer.co m

2198 | Page

www.ijmer.co m

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645 1 <1 𝑧 i.e., for 𝑧 > 1

and converges to 1

1

Therefore

∞

1 𝑧

𝑘

𝑘 =1 Using (7) we get fro m above that for 𝑧 > 1 𝑄 𝑧 ≥ 𝑎𝑁 (𝑟) 𝑧 = 𝑧

𝑧 −1

1

=

𝑧 −1

𝑁(𝑟)

𝑁 𝑟

1

=

𝑧 1− 1 𝑧

𝑄 𝑧

𝑎𝑁 (𝑟) ≥

i.e., if

𝑧 −1≥

𝑧 ≥ 1+ Therefore 𝑄 𝑧 does not vanish for 𝑧 ≥ 1+

≥0

𝑧 −1 𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 )

i.e., if

≥ 0 if

𝑧 −1

.

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 )

≥ 0 if 𝑎𝑁 (𝑟) −

1

𝑧 𝑁(𝑟)

𝑧 −1

i.e., if 𝑧 ≥ 1 + Therefore

𝑁(𝑟 )

𝑎0 𝜌∗ 𝑁 𝑟

−

𝑟

Now for 𝑧 > 1, 𝑄 𝑧

for z > 1.

− 𝑎0 𝜌 ∗

𝑎𝑁

∙

𝑧 −1 𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 )

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 )

> 1.

∙ ∙

So all the zeros of 𝑄 𝑧 lie in 𝑧 < 1+

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 )

∙

Let 𝑧 = 𝑧0 be any zero of 𝑃 𝑧 . Therefore 𝑃(𝑧0 ) = 0 . Clearly 𝑧0 ≠ 0 as 𝑎0 ≠ 0. Putting 𝑧 = 𝜌 ∗ 𝑧0 in 𝑄(𝑧) we get that 𝑄 𝜌 ∗ 𝑧0 = 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 . 𝑃 𝑧0 = 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 . 0 = 0. ∗ So 𝑧 = 𝜌 𝑧0 is a zero of 𝑄(𝑧) . Hence 𝜌 ∗ 𝑧0 < 1 + i.e., 𝑧0 <

1 𝜌∗

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑎 𝑁 (𝑟 )

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 )

1+

.

𝑎 𝑁 (𝑟 )

Since 𝑧0 is an arbitrary zero of 𝑃(𝑧) , therefore all the zeros of 𝑄(𝑧) lie in 𝑧<

1 𝜌∗

𝑎 0 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 )

1+

.

𝑎 𝑁 (𝑟 )

(8)

Again let us consider 𝑅 𝑧 = 𝜌∗

𝑁(𝑟) 𝑁(𝑟)

𝑧

1

𝑃

𝜌 ∗𝑧

.

Therefore 𝑅 𝑧 = 𝜌∗

𝑁(𝑟) 𝑁(𝑟)

𝑧

= 𝑎0 𝜌 ∗

𝑁 𝑟

. 𝑎0 + 𝑎𝑝 1

𝑧 𝑁(𝑟) + 𝑎𝑝 1 𝜌

1 + ∙∙∙∙∙∙ + 𝜌 ∗ 𝑝1 𝑧𝑝1 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑁 𝑟 −𝑝1

𝑧

𝑎𝑝 𝑚

1 𝜌 ∗ 𝑝𝑚 𝑧 𝑝𝑚

+ ......+ 𝑎 𝑝 𝑚 𝜌

1 𝜌 ∗ 𝑁 (𝑟 ) 𝑧 𝑁 (𝑟 ) ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚

+ 𝑎𝑁(𝑟 )

𝑧

+ 𝑎𝑁 (𝑟) .

Now 𝑅(𝑧) ≥ 𝑎0 𝜌 ∗

𝑁 𝑟

𝑧 𝑁(𝑟) − 𝑎 𝑝 1 𝜌 ∗

𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧

+ . . . . . . + 𝑎𝑝 𝑚 𝜌∗

𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑧

+ 𝑎𝑁(𝑟) .

(9)

Also 𝑎𝑝 1 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝1 + . . . . . . + 𝑎𝑝 𝑚 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 + 𝑎𝑁(𝑟 ) ≤ 𝑎 𝑝 1 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 1 +……..+ 𝑎 𝑝 𝑚 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 + 𝑎𝑁 (𝑟) ≤ 𝑎 𝑝 1 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 1 +……..+ 𝑎 𝑝 𝑚 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 + 𝑎𝑁 (𝑟) ≤ 𝑎 𝑝 1 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 1 +∙∙∙∙∙∙∙ + 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 𝑚 + 1 . Using (10) we get fro m (9) that for 𝑧 ≠ 0 𝑅(𝑧) ≥ 𝑎0 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 𝑧 𝑁 𝑟 − 𝑎𝑝 1 𝜌 ∗ 𝑁 𝑟 −𝑝 1 𝑧 𝑁 𝑟 −𝑝 1 +∙∙∙∙∙∙∙ + 𝑧 + 1 = 𝑎0

𝜌∗

𝑁 𝑟

𝑧

𝑁 𝑟

− 𝑎𝑝1

𝜌∗

𝑁 𝑟 −𝑝 1

𝑧𝑁

𝑟

1 𝑧 𝑝1

www.ijmer.co m

+∙∙∙∙∙∙ +

1 𝑧 𝑝𝑚

+

(10)

1 𝑧 𝑁 (𝑟 )

2199 | Page

www.ijmer.co m > đ?‘Ž0

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x;

�

đ?‘ đ?‘&#x;

− đ?‘Žđ?‘? 1

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1

đ?‘§đ?‘

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x;

�

đ?‘ đ?‘&#x;

− đ?‘Žđ?‘? 1

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1

đ?‘§đ?‘

1 đ?‘§ đ?‘?1

đ?‘&#x;

Therefore for � ≠0, �(�) > �0

+∙∙∙∙∙∙ +

∞ ∞

Now the geometric series đ?‘˜=1

1 đ?‘§ đ?‘˜

1 đ?‘§ đ?‘˜

đ?‘&#x;

đ?‘˜=1

1 đ?‘§ đ?‘?đ?‘š

+

1 +∙∙∙∙∙∙ đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )

.

.

(11)

is convergent for 1

<1 � i. e. , for � > 1 And converges to

1

1

So

∞

1 �

đ?‘˜ =1

Therefore for z > 1,

đ?œŒâˆ—

�(�) > �0 = �

đ?‘ đ?‘&#x;

�(�) > �

đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘˜

đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘§ −1

1

=

đ?‘§đ?‘

1

=

đ?‘§ 1− 1 đ?‘§

for z > 1.

đ?‘§ −1

đ?‘&#x;

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1

∙

đ?œŒâˆ—

− đ?‘Žđ?‘?1 đ?‘Ž0

đ?œŒâˆ—

đ?‘?1

đ?‘Ž0

đ?œŒâˆ—

đ?‘?1

đ?‘?1

−

đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1

−

�

đ?‘Ž đ?‘?1

đ?‘ đ?‘&#x;

1 đ?‘§ −1

.

đ?‘§ −1

i.e., fo r z > 1 đ?‘Ž đ?‘?1

−

đ?‘§ −1

.

Now � � > 0 if

đ?œŒâˆ—

đ?‘Ž0

đ?œŒâˆ—

đ?‘Ž0

i.e., if

đ?‘?1

đ?‘Ž đ?‘?1

≼0

đ?‘§ −1 đ?‘Ž đ?‘?1

≼

đ?‘§ −1 đ?‘Ž đ?‘?1

i.e., if đ?‘§ − 1 ≼

đ?‘Ž 0 đ?œŒ ∗ đ?‘?1 đ?‘Ž đ?‘?1

i.e., if � ≼ 1 +

đ?œŒ ∗ đ?‘?1

đ?‘Ž0

> 1.

Therefore đ?‘Ž đ?‘?1

� � > 0 if � ≼ 1 +

đ?œŒ ∗ đ?‘?1

đ?‘Ž0

∙

Since đ?‘…(đ?‘§) does not vanish in đ?‘Ž đ?‘?1

� ≼ 1+

đ?œŒ ∗ đ?‘?1

đ?‘Ž0

,

all the zeros of đ?‘…(đ?‘§) lie in đ?‘Ž đ?‘?1

� < 1+

đ?œŒ ∗ đ?‘?1

đ?‘Ž0

∙

Let đ?‘§ = đ?‘§0 be any zero of đ?‘ƒ(đ?‘§) . Therefore đ?‘ƒ đ?‘§0 = 0. Clearly đ?‘§0 ≠0 as đ?‘Ž0 ≠0. Putting đ?‘§ = đ?œŒ ∗ đ?‘§0 in đ?‘…(đ?‘§) we obtain that đ?‘…

1 đ?œŒ ∗đ?‘§ 0

= đ?œŒâˆ—

đ?‘ (đ?‘&#x;)

1

=

.

đ?‘ (đ?‘&#x;)

�0

đ?‘ (đ?‘&#x;)

1 đ?œŒ ∗đ?‘§ 0

∙ đ?‘ƒ đ?‘§0

∙ 0 = 0.

So 1 đ?œŒâˆ—đ?‘§

i.e.,

1 �0

0

<1+

đ?‘Ž đ?‘?1 đ?œŒ ∗ đ?‘?1 đ?‘Ž đ?‘?1

đ?‘Ž0

< đ?œŒâˆ— 1 +

i.e., �0 >

đ?‘Ž0

đ?œŒ ∗ đ?‘?1

1 đ?œŒâˆ— 1+

As đ?‘§0 is an arbit rary zero of đ?‘“(đ?‘§) , all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in đ?‘§ >

đ?œŒâˆ— 1+

đ?‘Ž0

đ?‘Žđ?‘?1 đ?œŒ ∗ đ?‘?1

1 đ?‘Ž0

đ?‘Žđ?‘?1 đ?œŒ ∗ đ?‘?1

∙

∙

(12)

So fro m (8) and (12) we may conclude that all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in the proper ring shaped region www.ijmer.co m

2200 | Page

www.ijmer.co m

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645 1 đ?œŒâˆ— 1+

1

< � <

đ?‘Žđ?‘?1 đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘?1

đ?œŒâˆ—

1+

đ?‘Ž0

đ?œŒâˆ—

đ?‘Ž đ?‘ (đ?‘&#x; )

đ?‘ (đ?‘&#x;)

.

This proves the theorem. Corollary 1 In view of Theorem 1 we may conclude that all the zeros of đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌+đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š + đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ đ?‘› of degree đ?‘› with 1 ≤ đ?‘?1 < đ?‘?2 ‌‌< đ?‘?đ?‘š ≤ đ?‘› − 1, đ?‘?đ?‘– ’s are integers such that for some đ?œŒ ∗ > 0, đ?‘Ž0 ≼ đ?‘Ž đ?‘? 1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š ≼ đ?‘Žđ?‘› lie in the ring shaped region 1 đ?‘Ž < đ?‘§ < 1+ 0 đ?‘Žđ?‘? 1+

đ?‘Žđ?‘›

1 đ?‘Ž0

on putting đ?œŒ ∗ = 1 in Theorem 1. Theorem 2 Let đ?‘ƒ(đ?‘§) be an entire function having order đ?œŒ = 0 . For sufficiently large đ?‘&#x; in the disc đ?‘§ ≤ log đ?‘&#x; , the Taylo r’s series expansion of đ?‘ƒ(đ?‘§) be given by đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘§ +‌‌+ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;), đ?‘Ž0 ≠0. Further for so me đ?œŒ ∗ > 0, đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) . Then all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in the ring shaped region 1 1 ∗ ′ ≤ đ?‘§ ≤ ∗ đ?‘Ą0 đ?œŒ đ?‘Ą0

đ?œŒ

where đ?‘Ą0 and đ?‘Ą0′ are the greatest roots of đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; + đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ž0 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; + đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘Ž0 = 0 and đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ + đ?‘Ž1 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž1 = 0. Proof. Let đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘§ +‌‌+ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) by applying Lemma 1 and in view of Tay lor’s series expansion of đ?‘ƒ(đ?‘§) . Also đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) . Let us consider đ?‘§ đ?‘„ đ?‘§ = đ?œŒâˆ— đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘ƒ ∗ đ?œŒ = đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x;

= đ?‘Ž0 đ?œŒ

đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1

∗ đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘§ đ?œŒâˆ—

+ đ?‘Ž1 đ?œŒ

+ đ?‘Ž2

đ?‘§2 đ?œŒâˆ— 2

∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )

+∙∙∙∙∙∙ + đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘§ + .......+ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§

đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x; ) đ?‘ (đ?‘&#x;)

.

Now đ?‘„ đ?‘§ ≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§+ . . . . . . + đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 . Also applying the condition đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) we get fro m above that đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ + . . . . . . + đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≤ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x; ) + đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ +‌‌.+ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≤ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) 1 + đ?‘§ +∙∙∙∙∙∙ + đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 = đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ (đ?‘&#x;)

∙

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; )−1

for � ≠1.

đ?‘§ −1

Therefore it follows fro m above that � �

≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§

� �

> 0 if đ?‘Žđ?‘

đ?‘ (đ?‘&#x;)

− đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ (đ?‘&#x; )

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; ) −1

∙

đ?‘§ −1

Now

đ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘&#x;

�

> đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘ (đ?‘&#x;)

− đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ ∙

�

đ?‘ đ?‘&#x;

∙

∙

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ −1

>0

đ?‘ (đ?‘&#x; )

−1

i.e., if

đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§

i.e., if i.e., if

đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ − 1 > đ?‘Ž0 đ?œŒ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘§ −1 ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x; ) − 1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘ (đ?‘&#x;)

> 0.

Let us consider đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) = 0. (13) The maximu m number of positive roots of (13) is two because maximu m nu mber of changes of sign in đ?‘” đ?‘Ą = 0 is two and if it is less, less by two. Clearly đ?‘Ą = 1 is a positive root of đ?‘” đ?‘Ą = 0. Therefore đ?‘” đ?‘Ą = 0 must have exactly one positive root other than 1. Let the positive root of đ?‘” đ?‘Ą be đ?‘Ą1 . Let us take đ?‘Ą0 = max 1 , đ?‘Ą1 . Clearly fo r đ?‘Ą > đ?‘Ą0 , đ?‘”(đ?‘Ą) > 0. If not for some đ?‘Ą2 > đ?‘Ą0 , đ?‘”(đ?‘Ą2 ) < 0 . Also đ?‘”(∞) > 0. Therefore đ?‘”(đ?‘Ą) = 0 has another positive root in ( đ?‘Ą2 , ∞) which g ives a contradiction . So for đ?‘Ą > đ?‘Ą0 , đ?‘”(đ?‘Ą) > 0. Also đ?‘Ą0 ≼ 1. Therefore đ?‘„(đ?‘§) > 0 if đ?‘§ > đ?‘Ą0 . So đ?‘„(đ?‘§) does not vanish in đ?‘§ > đ?‘Ą0 . Hence all the zeros of đ?‘„(đ?‘§) lie in đ?‘§ ≤ đ?‘Ą0 . Let đ?‘§ = đ?‘§0 be a zero of đ?‘ƒ đ?‘§ . So đ?‘ƒ(đ?‘§0 ) = 0 . Clearly đ?‘§0 ≠0 as đ?‘Ž0 ≠0. www.ijmer.co m

2201 | Page

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) www.ijmer.co m Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645 Putting đ?‘§ = đ?œŒ ∗ đ?‘§0 in đ?‘„(đ?‘§) we get that đ?‘„ đ?œŒ ∗ đ?‘§0 = đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; ∙ đ?‘ƒ đ?‘§0 = đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; ∙ 0 = 0. 1 ∗ Therefore đ?‘§ = đ?œŒ đ?‘§0 is a zero of đ?‘„(đ?‘§). So đ?œŒ ∗ đ?‘§0 ≤ đ?‘Ą0 or đ?‘§0 ≤ ∗ đ?‘Ą0 ∙ As đ?‘§0 is an arbitrary zero of đ?‘ƒ(đ?‘§) , đ?œŒ

all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in the region đ?‘§ ≤

1 đ?‘Ą đ?œŒâˆ— 0

∙

(14)

In the order to prove the lower bound of Theorem 2 let us consider

đ?‘…(đ?‘§) = đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x;

Then đ?‘…(đ?‘§) = đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x;

= đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘Ž0 +

đ?‘ đ?‘&#x;

1

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘ƒ

đ?‘Ž1 đ?œŒâˆ—đ?‘§

đ?œŒ ∗đ?‘§

.

+∙∙∙∙∙ + đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;)

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) + đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘§đ?‘

đ?‘&#x;

1 đ?œŒâˆ— đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) −1 +‌‌ + đ?‘Žđ?‘

đ?‘&#x;

.

Now đ?‘…(đ?‘§) ≼ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘ (đ?‘&#x;)

�

− đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘§đ?‘

đ?‘&#x; −1

+∙∙∙∙∙∙ + đ?‘Žđ?‘

đ?‘&#x;

.

Also đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 +∙∙∙∙∙∙∙ + đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; ≤ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 + ‌‌+ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; . So applying the condition đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x; ) we get fro m above that − đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 +∙∙∙∙∙∙ + đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; ≼ − đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 − ‌‌.− đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; ≼ − đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 +∙∙∙∙∙∙∙ +1 = − đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 −1

∙

for � ≠1.

đ?‘§ −1

(15)

Using (15) we get for đ?‘§ ≠1 that đ?‘…(đ?‘§) ≼ đ?œŒ ∗

đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘§

đ?‘ (đ?‘&#x;)

− đ?‘Ž1 ∙

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 −1

.

đ?‘§ −1

(16)

Now �(�) > 0 if

đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x; −1

đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘§

i.e., if đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘§

đ?‘ (đ?‘&#x;)

i.e., if đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘§

đ?‘ (đ?‘&#x;)

∗

i.e., if đ?‘Ž0 đ?œŒ đ?‘§ i.e., if đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘§

đ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘ đ?‘&#x;

đ?‘ (đ?‘&#x;)

− đ?‘Ž1 ∙ > đ?‘Ž1 ∙

− đ?‘Ž1 ∙

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 −1 đ?‘§ −1 đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 −1

đ?‘§ đ?‘ đ?‘&#x; −1 −1 đ?‘§ −1

>0

>0

đ?‘§ −1

đ?‘§ − 1 > đ?‘Ž1 đ?‘§ +1 − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ + đ?‘Ž1

đ?‘ đ?‘&#x; −1

�

−1 + đ?‘Ž1 > 0.

đ?‘ (đ?‘&#x;)

Let us consider đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ + đ?‘Ž1 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž1 = 0. Clearly đ?‘“(đ?‘Ą) = 0 has two positive roots, because the number of changes of sign of đ?‘“(đ?‘Ą) is two. If it is less, less by two. Also đ?‘Ą = 1 is the one of the positive roots of đ?‘“(đ?‘Ą) = 0. Let us suppose that đ?‘Ą = đ?‘Ą2 be the other positive root. Also let đ?‘Ą0′ = max 1, đ?‘Ą2 and so đ?‘Ą0′ ≼ 1. No w đ?‘Ą > đ?‘Ą0′ imp lies đ?‘“ đ?‘Ą > 0. If not then there exists some đ?‘Ą3 > đ?‘Ą0′ such that đ?‘“ đ?‘Ą3 < 0. Also đ?‘“(∞) > 0. Therefore there exists another positive root in (đ?‘Ą3 ,∞) which is a contradiction. So đ?‘… (đ?‘§) > 0 if đ?‘§ > đ?‘Ą0′ . Thus đ?‘…(đ?‘§) does not vanish in đ?‘§ > đ?‘Ą0′ . In otherwords all the zeros of đ?‘…(đ?‘§) lie in đ?‘§ ≤ đ?‘Ą0′ . Let đ?‘§ = đ?‘§0 be any zero of đ?‘ƒ đ?‘§ . So đ?‘ƒ(đ?‘§0 ) = 0. Clearly đ?‘§0 ≠0 as đ?‘Ž0 ≠0. 1 Putting đ?‘§ = ∗ in đ?‘…(đ?‘§) we get that đ?œŒ đ?‘§0

đ?‘… Therefore

1 đ?œŒ ∗ đ?‘§0

is a root of �(�). So

1 đ?œŒ ∗đ?‘§

0

1 đ?œŒ ∗đ?‘§ 0

= đ?œŒâˆ—

đ?‘ đ?‘&#x;

∙

đ?‘ đ?‘&#x;

1 đ?œŒ ∗đ?‘§

0

≤ �0′ implies �0 ≼

∙ đ?‘ƒ đ?‘§0 = 1

đ?œŒ ∗ đ?‘Ą ′0

đ?‘ đ?‘&#x;

1 �0

∙ 0 = 0.

∙ As đ?‘§0 is an arbit rary zero of đ?‘ƒ(đ?‘§) = 0,

all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in đ?‘§ ≼

1 đ?œŒ ∗đ?‘Ą ′0

∙

(17)

Fro m (14) and (17) we have all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in the ring shaped region given by 1 1 ∗ ′ ≤ đ?‘§ ≤ ∗ đ?‘Ą0 đ?œŒ đ?‘Ą0

đ?œŒ

where đ?‘Ą0 and đ?‘Ą0′ are the greatest positive roots of đ?‘” đ?‘Ą = 0 and đ?‘“(đ?‘Ą) = 0 respectively. This proves the theorem. Corollary 2 Fro m Theorem 2 we can easily conclude that all the zeros of đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘§ +‌‌+ đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ đ?‘› of degree đ?‘› with property đ?‘Ž0 ≼ đ?‘Ž1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘› lie in the ring shaped region 1 ′ ≤ đ?‘§ ≤ đ?‘Ą0 đ?‘Ą0

where đ?‘Ą0 and đ?‘Ą0′ are the greatest positive roots of đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ą đ?‘›+1 − and

đ?‘Žđ?‘› + đ?‘Ž0 đ?‘Ą đ?‘› + đ?‘Ž0 = 0

www.ijmer.co m

2202 | Page

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645 đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?‘Ą đ?‘›+1 − đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ą đ?‘› + đ?‘Ž1 = 0 respectively by putting đ?œŒ ∗ = 1. www.ijmer.co m

Remark 1 The limit of Theorem 2 is attained by đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž2 đ?‘§ 2 − đ?‘Žđ?‘§ − 1, đ?‘Ž > 0. Here đ?‘ƒ(đ?‘§) = đ?‘Ž2 đ?‘§ 2 − đ?‘Žđ?‘§ − 1, đ?‘Ž0 = −1 , đ?‘Ž1 = −đ?‘Ž, đ?‘Ž2 = đ?‘Ž2 . Therefore đ?‘Ž0 = 1, đ?‘Ž1 = đ?‘Ž, đ?‘Ž2 = đ?‘Ž2 . Let đ?œŒ ∗ = đ?‘Ž. So đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ 2 ≼ đ?‘Ž1 đ?œŒ ∗ ≼ đ?‘Ž2 holds. Hence đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž2 đ?‘Ą 3 − đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ž0 đ?‘Ą 2 + đ?‘Ž0 đ?‘Ž2 = 0 i.e., đ?‘Ž2 đ?‘Ą 3 − 2đ?‘Ą 2 + 1 = 0. 5 +1

Now đ?‘” đ?‘Ą = 0 has two positive roots which are đ?‘Ą1 = 1 and đ?‘Ą2 = ∙ So đ?‘Ą0 = max đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 = 2 ∗ 3 ∗ đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?œŒ đ?‘Ą − đ?‘Ž0 đ?œŒ + đ?‘Ž1 đ?‘Ą 2 + đ?‘Ž1 = 0 i.e., đ?‘Žđ?‘Ą 3 − 1. đ?‘Ž + đ?‘Ž đ?‘Ą 2 + đ?‘Ž = 0 i.e., đ?‘Ž(đ?‘Ą 3 − 2đ?‘Ą 2 + 1) = 0 5 +1

i.e., đ?‘Ą = 1 and đ?‘Ą =

2

5 +1 2

∙

∙

Again �0′ = max (positive roots of � � = 0) 5 +1

=

2

∙

Hence by Theorem 2, all the zeros lie in 1 đ?œŒ ∗đ?‘Ą ′0 1

i.e., đ?‘Ž

i.e.,

5+1 2

≤ � ≤ ≤ � ≤

5 −1 2đ?‘Ž

1 đ?‘Ą đ?œŒâˆ— 0 1 5+1 đ?‘Ž

2

≤ � ≤

5 +1 2đ?‘Ž

∙

Now đ?‘ƒ đ?‘§ =0 i.e., đ?‘Ž2 đ?‘§ 2 − đ?‘Žđ?‘§ − 1 = 0 i.e., đ?‘§ =

1Âą 5 2đ?‘Ž

∙

Let 1+ 5

1− 5

đ?‘§1 = and đ?‘§2 = ∙ 2đ?‘Ž 2đ?‘Ž Clearly đ?‘§1 lie on the upper bound and đ?‘§2 lie on the lower bound of the boundary. Also here the order đ?œŒ = 0 because đ?‘€(đ?‘&#x;) = đ?‘Ž2 đ?‘&#x; 2 = đ?‘Ž2 đ?‘&#x; 2 for large đ?‘&#x; in the circle đ?‘§ = đ?‘&#x; . Therefore log log đ?‘€(đ?‘&#x;) log log đ?‘Ž2 đ?‘&#x; 2 đ?œŒ = limsup = limsup log đ?‘&#x; log đ?‘&#x; đ?‘&#x; →∞ đ?‘&#x;→∞ 1 1 log đ?‘Ž 2 đ?‘&#x; 2

∙ 2 2 ∙ 2 đ?‘Ž 2đ?‘&#x; đ?‘Ž đ?‘&#x;

đ?œŒ đ?‘Ą0

đ?œŒ

2

= limsup = limsup = 0. 1 log đ?‘Ž 2 đ?‘&#x; 2 đ?‘&#x; đ?‘&#x;→∞ đ?‘&#x;→∞ ∗ 2+đ?œ€ Also đ?œŒ = 2 and đ?‘ đ?‘&#x; = 2 ≤ log đ?‘&#x; for đ?œ€ > 0 and sufficiently large đ?‘&#x; in đ?‘§ ≤ log đ?‘&#x; and đ?‘Žđ?‘› = 0 for đ?‘› ≯ đ?‘ đ?‘&#x; . Corollary 3 Under the conditions of Theorem 2 and đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌+đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š + đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) đ?‘§ đ?‘ (đ?‘&#x;) with 1 ≤ đ?‘?1 ≤ đ?‘?2 ‌‌≤ đ?‘?đ?‘š ≤ đ?‘ (đ?‘&#x;) − 1, where đ?‘?đ?‘– ’s are integers đ?‘Ž0 , đ?‘Ž đ?‘? 1 , ‌‌.., đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) are non vanishing coefficients with đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) ≼ đ?‘Ž đ?‘? 1 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? 1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; −đ?‘? đ?‘š ≼ đ?‘Žđ?‘ (đ?‘&#x;) then we can show that all the zeros of đ?‘ƒ(đ?‘§) lie in 1 1 ∗ ′ ≤ đ?‘§ ≤ ∗ đ?‘Ą0 where đ?‘Ą0 and đ?‘Ą0′ are the greatest positive roots of đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Žđ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; + đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘ (đ?‘&#x;) = 0 and đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘? 1 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; +1 − đ?‘Ž0 đ?œŒ ∗ đ?‘? 1 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘&#x; − đ?‘Žđ?‘? 1 = 0 respectively. Corollary 4 If we put đ?œŒ ∗ = 1 in Corollary 3 then all the zeros of đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘Ž0 + đ?‘Žđ?‘? 1 đ?‘§ đ?‘? 1 +‌‌+đ?‘Žđ?‘? đ?‘š đ?‘§ đ?‘? đ?‘š + đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ đ?‘› lie in the ring shaped region 1 ′ ≤ đ?‘§ ≤ đ?‘Ą0 đ?‘Ą0

where đ?‘Ą0 and đ?‘Ą0′ are the greatest positive roots of đ?‘” đ?‘Ą ≥ đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ą đ?‘›+1 − đ?‘Žđ?‘› + đ?‘Ž0 đ?‘Ą đ?‘› + đ?‘Ž0 = 0 and đ?‘“ đ?‘Ą ≥ đ?‘Ž0 đ?‘Ą đ?‘›+1 − đ?‘Ž0 + đ?‘Ž đ?‘? 1 đ?‘Ą đ?‘› − đ?‘Ž đ?‘? 1 = 0 respectively provided www.ijmer.co m

2203 | Page

www.ijmer.co m

International Journal of Modern Engineering Research (IJM ER) Vo l. 3, Issue. 4, Ju l - Aug. 2013 pp-2197-2204 ISSN: 2249-6645 đ?‘Ž0 ≼ đ?‘Ž đ?‘? 1 ≼‌‌.≼ đ?‘Žđ?‘? đ?‘š ≼ đ?‘Žđ?‘› ∙

REFERENCES [1]. [2]. [3]. [4]. [5]. [6]. [7]. [8]. [9]. [10]. [11]. [12]. [13].

Chattopadhyay, A.; Das, S.; Jain, V. K. and Knower, H.: Certain generalization of Enestrom-Kakeya theorem, J. Indian M ath. Soc., Vol. 72, No. 1 - 4(2005), pp.147 - 156. Datta, B. and Govil, N. K.: On the location of the zeros of polynomial, J. Approximation Theory, Vol. 24(1978), pp. 78 - 82. Datta, S.K. and Biswas, T.: On the definition of a meromorphic function of order zero, Int. M at. Forum, Vol. 4, No. 37(2009), pp.1851 - 1861. Das, S. and Datta, S. K.: On Cauchy’s proper bound for zeros of a polynomial , International J. of M ath. Sci. and Engg. Apples. (IJM SEA), Vol. 2, No. IV (2008), pp.241 - 252. Govil, N. K. and Rahaman, Q. I.: On the Enestrom-Kakeya theorem, Tohoku M ath. J. Vol. 20(1968), pp.126 - 136. Joyal, A., Labelle, G. and Rahaman, Q. I.: On the location of zeros of polynomials, Canad. M ath. Bull., Vol. 10(1967), pp.53 63. Jain, V. K. : On the location of zeros of polynomials, Ann. Univ. M ariae Curie-Sklodowska, Lublin-Polonia Sect. A, Vol. 30(1976), pp. 43 - 48. Jain, V. K.: On Cauchy’s bound for zeros of a polynomial, Truck. J. M ath. Vol. 30(2006), pp.95 - 100. M arden, M .: Geometry of polynomials, Amer. M ath-Soc. Providence, R.I., 1966. M ohammad, Q. G.: Location of zeros of polynomials , Amer. M ath. Monthly, Vol. 74(1967) , pp. 290 - 292. Sun, Y. J. and Hsieh, J. G.: A note on circular bound of polynomial zeros, IEEE Trans. Circuit Syst. Vol. 143(1996), pp. 476 478. Valiron, G.: Lectures on the general theory of integral functions, Chelsea Publishing Company (1949). Zilovic, M . S.; Roytman, L. M .; Combetts, P. L. and Swami, M . N. S. : A bound for the zeros of polynomials, ibid Vol. 39(1992) , pp. 476 - 478.

www.ijmer.co m

2204 | Page

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.