Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packets associated with nonuniform multiresolution analysis

Page 1

International OPEN

Journal

ACCESS

Of Modern Engineering Research (IJMER)

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packets associated with nonuniform multiresolution analysis with multiplicity D 1

Nadya A. S. Atlouba, 2Ajit Paul, 3Naser R. Naser 1 2 3 , , Department of Mathematics and Statistics, SHIATS, (Deemed to be University), Allahabad, India-211 007

ABSTRACT:- A biorthogonal wavelet packets associated with nonuniform multiresoltion analysis (NUMRA) was introduced by Firdous shah, In this paper we generalize and define the biorthogonal nonuniform multiwavelet packets associated by nonuniform multiresolution analysis with multiplicity D (NUMRA-D). Further from the meaning of Fourier transform we study their characteristics.

KEYWORDS:- NUMRA with multiplicity D, nonuniform Multiwavelet, biorthogonal wavelet packets, Riesz basis, Fourier transform.

I.

INTRODUCTION

In [9,10] Gabardo and Nashed considered a generalization of Mallat’s[16] theory of MRA based on spectral pairs where the translation set is of the form {0, đ?‘&#x;/đ?‘ } + 2ℤ, where đ?‘ ≼ 1 is an integer, 1 ≤ đ?‘&#x; ≤ 2đ?‘ − 1, đ?‘&#x; is an odd integer and đ?‘&#x;, đ?‘ are relatively prime, which is called NUMRA. In [14] we provided the necessary and sufficient condition for the existence of NUMRAMW multiplicity D. G.Gripenberg and X. Wang gave the characterization theorem for dyadic orthonormal wavelet in đ??ż2 (â„?) Wavelet packets constructed by coifman [15] it was gave rise to a large class of orthonormal bases of đ??ż2 (â„?) into direct sum of its closed subspaces Wavelet packets. Behera[2,3] has constructed nonuniform wavelet packets associated with NUMRA. In [1] we constructed multiwavelet packets associated with nonuniform multiresolution analysis with multiplicity D (NUMRA-D). Firdous [8] introduce the notion of biorthogonal wavelet packets associated with nonuniform multiresolution analysis. Our result extends the biorthogonal wavelet packets of Firdous shah into NUMRA-D in has constructed nonuniform wavelet packets associated with NUMRA.

II.

BASIC DEFINITIONS AND NOTATION

We will state some important preliminaries and notation in this section that we are need it in the recent paper. First we recall the definition of đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ as defined in [14], some of its properties and the associate multiwavelet packets [1-3, 8, 14] as follows: Definition 2.1. A nonuniform multiresolution analysis with multiplicity đ??ˇ for dilation đ?œƒ ≥ 2đ?‘ đ?‘Ž and translation Λ, is a collection {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ of closed subspaces of đ??ż2 (â„?) satisfying the following axioms: (đ?‘ƒ1) đ?‘‰đ?‘— ⊂ đ?‘‰đ?‘— +1 , đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘™đ?‘™ đ?‘— ∈ ℤ, đ?‘ƒ2 đ?‘“ ¡ ∈ đ?‘‰đ?‘— đ?‘–đ?‘“ đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘™đ?‘Ś đ?‘–đ?‘“ đ?‘“ đ?œƒ ¡ ∈ đ?‘‰đ?‘— +1 , đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘™đ?‘™ đ?‘— ∈ ℤ, (đ?‘ƒ3) đ?‘— ∈ℤ đ?‘‰đ?‘— = {0}, (đ?‘ƒ4) đ?‘— ∈ℤ đ?‘‰đ?‘— đ?‘–đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘–đ?‘› đ??ż2 (â„?), and (P5) There exist functions đ?œ‘1 , đ?œ‘ 2 , . . . , đ?œ‘ đ??ˇ ∈ đ?‘‰0 , called the scaling functions, such that the collection {đ?œ‘ đ?‘‘ (¡ − đ?œ†) âˆś đ?œ† ∈ Λ, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ} is a complete orthonormal basis for đ?‘‰0 . In the axiom (đ?‘ƒ5), the set of scaling functions ÎŚ ≥ {đ?œ‘1 , đ?œ‘ 2 , . . . , đ?œ‘ đ??ˇ } is called multiscaling function of multiplicity đ??ˇ. When đ?‘ ≼ 1, the dilation factor of đ?œƒ ensures that đ?œƒÎ› ⊂ 2ℤ ⊂ Λ. In the theory of multresolution analysis, another sequence {đ?‘Šđ?‘— }đ?‘— ∈ℤ of closed subspaces of đ??ż2 (â„?) is defined by đ?‘Šđ?‘— = đ?‘‰đ?‘— +1 âŠ? đ?‘‰đ?‘— , đ?‘— ∈ ℤ and âŠ? denotes the orthogonal complement of đ?‘‰đ?‘— in đ?‘‰đ?‘— +1 , for an đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ with dilation factor đ?œƒ. These subspaces hold the scaling property of {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ , and we have : đ??ż2 (â„?) = ⨠đ?‘— ∈ℤ đ?‘Šđ?‘— = đ?‘‰0 ⨠(⨠đ?‘— ≼0 đ?‘Šđ?‘— ) (1)

| IJMER | ISSN: 2249–6645 |

www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 53 |

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packet associated with by nonuniform multiresolution analysis with‌ A set of functions { đ?œ“ đ?‘™ âˆś 1 ≤ đ?‘™ ≤ (đ?œƒ − 1)đ??ˇ} âˆś= Ψ in đ??ż2 (â„?) is said to be a nonuniform multiwavelet associated with the đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ if the collection {đ?œ“ đ?‘™ (¡ − đ?œ†) âˆś 1 ≤ đ?‘™ ≤ (đ?œƒ − 1)đ??ˇ, đ?œ† ∈ Λ} forms an orthonormal basis for đ?‘Š0 . We call Ψ to be an đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ multiwavelet. In view of properties of đ?‘Šđ?‘— , the collection {đ?œƒ đ?‘— /2 đ?œ“ đ?‘™ (đ?œƒ đ?‘— ¡ −đ?œ†) âˆś đ?‘— ∈ ℤ, 1 ≤ đ?‘™ ≤ (đ?œƒ − 1)đ??ˇ, đ?œ† ∈ Λ} forms an orthonormal basis for đ??ż2 (â„?) if Ψ is a nonuniform multiwavelet. Below we mention a result obtained in [14] that will be used in sequel. Theorem 2.2. Suppose {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ is an đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ with dilation đ?œƒ and translation Λ. If there exist đ??ż functions đ?œ“ đ?‘˜ , 1 ≤ đ?‘˜ ≤ đ??ż, in đ?‘‰1 such that the family of functions đ?‘‰1′ âˆś= đ?œ‘ đ?‘‘ ¡ − đ?œ† ,

đ?œ“ đ?‘˜ ¡ − đ?œ† : 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ; 1 ≤ đ?‘˜ ≤ đ??ż; đ?œ† ∈ Λ

forms an orthonormal system for the generating subspace đ?‘‰1 , then; đ??ż = (đ?œƒ − 1)đ??ˇ is a necessary and sufficient condition such that the above system is complete in đ?‘‰1 . Proposition 2.3. Suppose {đ?‘‰đ?‘— }đ?‘— ∈ℤ is an đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ with dilation đ?œƒ and translation Λ. Then the space đ?‘‰1 consists precisely of the functions đ?‘“ ∈ đ??ż2 (â„?) whose Fourier transform can be written as đ??ˇ

đ?‘šđ?‘“ ,đ?‘‘ đ?œ‰ đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?œ‰),

đ?‘“ đ?œƒđ?œ‰ =

đ?‘‘=1 đ?‘“ ,đ?‘‘

for locally đ??ż2 functions đ?‘š

đ?‘Ž. đ?‘’.

đ?œ‰ ∈ â„?,

(2)

for 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ together with 2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘&#x;

đ?‘“,đ?‘‘ đ?‘š1

đ?‘“,đ?‘‘

đ?‘š đ?œ‰ = đ?œ‰ + đ?‘’ − đ?‘ đ?‘š2 đ?œ‰ , (3) đ?‘“ ,đ?‘‘ đ?‘“,đ?‘‘ 2 where đ?‘š1 and đ?‘š2 , đ?‘‘ = 1, 2, . . . , đ??ˇ, are locally đ??ż , 1/2-periodic functions. In the above proposition the space đ?‘‰1 consist functions đ?‘“ ∈ đ??ż2 (â„?). Since (1/đ?œƒ)đ?‘“(đ?‘Ľ/đ?œƒ) ∈ đ?‘‰0 , there exists a đ?‘“,đ?‘‘

đ?‘“

đ?‘“ ,1

đ?‘“ ,2

đ?‘“,đ??ˇ

sequence {đ?‘Žđ?œ† = (đ?‘Žđ?œ† , đ?‘Žđ?œ† , . . . , đ?‘Žđ?œ† 1 đ?‘Ľ đ?‘“ = đ?œƒ đ?œƒ

đ??ˇ

đ?‘“,đ?‘‘

đ?‘Žđ?œ†

)}đ?œ†âˆˆÎ› satisfying

đ??ˇ đ?‘‘=1

đ?‘“,đ?‘‘ 2

đ?œ†âˆˆÎ›

đ?‘Žđ?œ†

< ∞ such that

đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?‘Ľ − đ?œ†) ,

(4)

đ?‘‘=1 đ?œ†âˆˆÎ›

or, equivalently, by taking the Fourier transform of both sides of the previous equation, we obtained the result (2.1) and (2.2), with đ?‘šđ?‘“,đ?‘‘ đ?œ‰ = đ?‘“,đ?‘‘ đ?‘š1

(đ?œ‰) =

đ?‘“,đ?‘‘ −2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?œ† , đ?œ†âˆˆÎ› đ?‘Žđ?œ† đ?‘’ đ?‘“,đ?‘‘ −4đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘š đ?‘Ž2đ?‘š đ?‘’ đ?‘š ∈ℤ

(5) đ?‘“,đ?‘‘ đ?‘š2

, ���

(đ?œ‰) = đ?‘š ∈ℤ

đ?‘“,đ?‘‘ đ?‘Ž2đ?‘š + đ?‘&#x; đ?‘

đ?‘’

−4đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘š

.

(6)

We denote by ÎŚ and Ψ column vectors in đ??ś đ??ˇ and in đ??ś đ??ż as ÎŚ = {đ?œ‘1 , . . . , đ?œ‘ đ??ˇ } and Ψ = {đ?œ“1 , . . . , đ?œ“ đ??ż }, ′

respectively. In particular, since đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?‘Ľ) ∈ đ?‘‰0 ⊂ đ?‘‰1 , from Proposition 2.3 there are locally đ??ż2 functions đ?‘š0đ?‘‘ ,đ?‘‘ , for 1 ≤ đ?‘‘, đ?‘‘ ′ ≤ đ??ˇ, such that, for a.e. đ??ˇ

đ?œ‘đ?‘‘

đ??ˇ ′ đ?‘š0đ?‘‘ ,đ?‘‘

đ?œƒđ?œ‰ = đ?‘‘ ′ =1 đ?œ‘ đ?‘‘ ,đ?‘‘ ′

′

đ?œ‰ đ?œ‘ ′

�,� Taking �01 ≥ �01

�′

′

đ?œ‘ đ?‘‘ ,đ?‘‘ ′

2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘&#x; đ?‘

đ?‘‘,đ?‘‘ đ?‘š01 đ?œ‰ + đ?‘’−

đ?œ‰ =

′

đ?‘‘,đ?‘‘ đ?‘š02 đ?œ‰

′

đ?œ‘đ?‘‘ đ?œ‰ .

(7)

� ′ =1

đ?‘‘ ,đ?‘‘ and đ?‘š02 ≥ đ?‘š02 , in the matrix notation, this can be written as follows: ÎŚ đ?œƒđ?œ‰ = đ?‘€0 đ?œ‰ ÎŚ đ?œ‰ , đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Ž. đ?‘’. đ?œ‰ ∈ â„?, with đ?‘€0 (đ?œ‰) = đ?‘€01 (đ?œ‰) + đ?‘’ −2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘&#x; /đ?‘ đ?‘€02 (đ?œ‰) , where the matrices đ?‘€01 and đ?‘€02 defined by đ?‘‘,đ?‘‘ đ?‘€01 = đ?‘š01

′

1≤đ?‘‘,đ?‘‘ ′ ≤đ??ˇ

đ?‘‘,đ?‘‘ and đ?‘€02 = đ?‘š02

′

1≤đ?‘‘ ,đ?‘‘ ′ ≤đ??ˇ

are usually called low-pass filters (or scaling matrix filters)

associated with the scaling family ÎŚ. Similarly, in case of đ?œ“ đ?‘™ (đ?‘Ľ) ∈ đ?‘Š0 ⊂ đ?‘‰1 , where đ?‘Š0 = đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘› đ?œ“ đ?‘™ đ?‘Ľ − đ?œ† : 1 ≤ đ?‘™ ≤ đ??ż; đ?œ† ∈ Λ , there are locally đ??ż2 đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘

functions đ?‘š1

, for 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ and 1 ≤ đ?‘™ ≤ đ??ż such that, for a.e. đ?œ‰ ∈ â„?, đ??ˇ

đ??ˇ đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘

đ?œ“ đ?‘™ đ?œƒđ?œ‰ =

đ?‘š1

đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘

đ?œ‰ đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?œ‰) =

đ?‘‘=1

| IJMER | ISSN: 2249–6645 |

đ?‘š11

đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘

(đ?œ‰) + đ?‘’ −2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘&#x; /đ?‘ đ?‘š12 (đ?œ‰) đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?œ‰),

(8)

đ?‘‘=1

www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 54 |

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packet associated with by nonuniform multiresolution analysis with‌ đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘

�,� whose matrix notation is given as follows by considering �11 ≥ �11 �,� �12

đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘ đ?‘š12

≥

and

âˆś

Ψ đ?œƒđ?œ‰ = đ?‘€1 đ?œ‰ ÎŚ(đ?œ‰), đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Ž. đ?‘’. đ?œ‰ ∈ â„?, with đ?‘€1 đ?œ‰ = đ?‘€11 (đ?œ‰) + đ?‘’ −2đ?œ‹đ?‘–đ?œ‰đ?‘&#x; /đ?‘ đ?‘€12 (đ?œ‰), where the matrices đ?‘€11 and đ?‘€12 defined by đ?‘™,đ?‘‘ đ?‘€11 = đ?‘š11 1≤đ?‘™â‰¤đ??ż,1≤đ?‘‘≤đ??ˇ and đ?‘™,đ?‘‘ đ?‘€12 = đ?‘š12 1≤đ?‘™â‰¤đ??ż,1≤đ?‘‘≤đ??ˇ are usually called high-pass filters associated with the scaling family (Ψ, ÎŚ). Definition

2.4.

The

đ?œ”đ?‘™đ?‘‘ : 1 ≤ đ?‘™ ≤ đ??ż, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ

function

đ?œ‰

as

defined

as

follows

đ?œ”đ?‘™đ?‘‘ đ?œ‰ = đ??ˇđ?‘•=1 đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘™,đ?‘• đ?œ‘ đ?‘• (đ?œ‰/đ?œƒ) , đ?‘Ž. đ?‘’. đ?œ‰ ∈ â„?. (9) đ?œƒ will be called the basic nonuniform multiwavelet packets corresponding to the đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ {đ?‘‰đ?‘— âˆś đ?‘— ∈ ℤ} of đ??ż2 (â„?) associated with the dilation đ?œƒ. Note that (4.2) defines đ?œ”đ?‘™đ?‘‘ for every non-negative integer l and every đ?‘‘ such that 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ. Now đ?‘¤0đ?‘‘ = đ?œ‘ đ?‘‘ , đ?‘‘ = 1, . . , đ??ˇ is a multiscaling function of multiplicity đ??ˇ while đ?œ”đ?‘™đ?‘‘ , 1 ≤ đ?‘™ ≤ đ?œƒ − 1, đ?‘‘ = 1,¡ ¡ ¡ , đ??ˇ, are the basic multiwavelets associated with đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ. Now for any đ?‘› ∈ â„•0 = â„• {0}, we define đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ : 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ, recursively as follows. Suppose that {đ?œ”đ?‘?đ?‘‘ : 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ, đ?‘? ∈ â„•0 } are defined already. Then đ?‘‘ define đ?œ”đ?‘ž+đ?œƒđ?‘? , 0 ≤ đ?‘ž ≤ đ?œƒ − 1, by đ?‘‘ đ?œ”đ?‘ž+đ?œƒđ?‘? đ?‘Ľ =

đ??ˇ đ?‘•=1

đ?œ†âˆˆÎ› đ?œƒ

đ?‘‘,đ?‘ž,đ?‘•

đ?‘Žđ?œ†

đ?œ”đ?‘?đ?‘• (đ?œƒđ?‘Ľ − đ?œ†).

(10)

Note that (4.2) defines đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ for đ?‘› ≼ 0. Taking Fourier transform we get đ?‘‘ (đ?œ”đ?‘ž+đ?œƒđ?‘? )(đ?œ‰) = đ??ˇđ?‘•=1 đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž,đ?‘• (đ?œ‰/đ?œƒ) đ?œ”đ?‘?đ?‘• (đ?œ‰/đ?œƒ) , 0 ≤ đ?‘ž ≤ đ?œƒ − 1, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ.

(11)

Theorem 2.5.[1] Let đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ : đ?‘› ≼ 0, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ be the basic nonuniform multiwavelet packets associated with the đ?‘ đ?‘ˆđ?‘€đ?‘…đ??´ − đ??ˇ {đ?‘‰đ?‘— }. Then (i) đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ ¡ −đ?œ† : (đ?œƒ) đ?‘— ≤ đ?‘› ≤ (đ?œƒ) đ?‘— +1 − 1, đ?œ† ∈ Λ, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ is an orthonormal basis of đ?‘Šđ?‘— , đ?‘— ≼ 0. đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ (¡ −đ?œ†) âˆś 0 ≤ đ?‘› ≤ (đ?œƒ) đ?‘— − 1, đ?œ† ∈ Λ , 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ is an orthonormal basis of đ?‘‰đ?‘— , đ?‘— ≼ 0. đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ (¡ −đ?œ†) âˆś đ?‘› ≼ 0, đ?œ† ∈ Λ, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ is an orthonormal basis of đ??ż2 (â„?).

(ii) (iii)

Now as in (4), (7), (8), (9), (10) and (11) we can define: ′ đ?‘‘,đ?‘‘ ′ đ??ˇ đ?œ‰ đ?œ‘đ?‘‘ đ?œ‰ đ?‘‘ ′ =1 đ?‘š0 đ?œ“ đ?‘™ ,đ?‘‘ đ?œ“ đ?‘™ đ?œƒđ?œ‰ = đ??ˇđ?‘‘=1 đ?‘š1 đ?œ‰ đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?œ‰) đ?œ‰ đ?œ”đ?‘™đ?‘‘ đ?œ‰ = đ??ˇđ?‘•=1 đ?‘šđ?‘‘,đ?‘™,đ?‘• đ?œ‘ đ?‘• (đ?œ‰/đ?œƒ) , đ?‘Ž. đ?‘’. đ?œ‰ ∈ â„? đ?œƒ đ?‘‘ ,đ?‘ž,đ?‘• đ?‘‘ đ?œ”đ?‘ž+đ?œƒđ?‘? đ?‘Ľ = đ??ˇđ?‘•=1 đ?œ†âˆˆÎ› đ?œƒ đ?‘Žđ?œ† đ?œ”đ?‘?đ?‘• (đ?œƒđ?‘Ľ − đ?œ†) đ?‘‘ đ??ˇ đ?‘‘,đ?‘ž,đ?‘• đ?‘• (đ?œ”đ?‘ž+đ?œƒđ?‘? )(đ?œ‰) = đ?‘• =1 đ?‘š (đ?œ‰/đ?œƒ) đ?œ”đ?‘? (đ?œ‰/đ?œƒ) , 0 ≤ đ?‘ž ≤ đ?œƒ

đ?œ‘ đ?‘‘ đ?œƒđ?œ‰ =

(12) (13) (14) (15) (16)

− 1, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ

And đ?‘‘,đ?‘ž,đ?‘•

đ?‘šđ?‘–

=

đ?‘‘,đ?‘• đ?‘š0đ?‘– : đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘ž = 0, 1 ≤ đ?‘‘, đ?‘• ≤ đ??ˇ; đ?‘˜,đ?‘• đ?‘š0đ?‘– :

đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘ž ≠0; đ?‘˜ = đ?‘ž + đ?‘‘ − 1 đ?œƒ − 1 ; 1 ≤ đ?‘‘, đ?‘• ≤ đ??ˇ; 1 ≤ đ?‘ž ≤ (đ?œƒ − 1);

III.

đ?‘– = 1,2

BIORTHOGONAL MULTIWAVELET PACKETS

Definition 3.1. A pair of function đ?‘“ đ?‘Ľ , đ?‘“ (đ?‘Ľ) ∈ đ??ż2 (â„?) are biorthogonal, if their translates satisfy đ?‘“ . , đ?‘“(. −đ?œ†) = đ?›ż0,đ?œ† , đ?œ† ∈ Λ. Where đ?›ż0,đ?œ† is kronecker symbol. If đ?œ‘ đ?‘‘ đ?‘Ľ , đ?œ‘ đ?‘‘ (đ?‘Ľ) ∈ đ??ż2 (â„?) are a pair of biorthogonal scaling functions, then đ?œ‘ đ?‘‘ . , đ?œ‘ đ?‘‘ (. −đ?œ†) = đ?›ż0,đ?œ† , đ?œ† ∈ Λ, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ. (17) đ?‘‘ đ?‘‘ 2 Moreover we say that đ?œ“đ?‘&#x; . , đ?œ“đ?‘&#x; . −đ?œ† ∈ đ??ż â„? , 1 ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?œƒ − 1,1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ are pair of biorthogonal nonuniform multiwavelet associated with a pair of biorthogonal scaling functions đ?œ‘ đ?‘‘ . , đ?œ‘ đ?‘‘ (. −đ?œ†) if the family đ?œ“đ?‘&#x;đ?‘‘ . −đ?œ† : đ?œ† ∈ Λ, đ?‘&#x; = 1, ‌ , đ?œƒ − 1, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ is a riesz of đ?‘¤0 , and | IJMER | ISSN: 2249–6645 |

www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 55 |

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packet associated with by nonuniform multiresolution analysis with… 𝜑 𝑑 . , 𝜓𝑟𝑑 (. −𝜆) = 0 , 𝜆 ∈ Λ, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝜃 − 1, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 𝜑 𝑑 . , 𝜓𝑟𝑑 (. −𝜆) = 0 , 𝜆 ∈ Λ, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝜃 − 1, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 𝜓𝑟𝑑 . , 𝜓𝑠𝑑 (. −𝜆) = 𝛿𝑟,𝑠 𝛿𝑜,𝜆 , 𝜆 ∈ Λ, 1 ≤ 𝑟, 𝑠 ≤ 𝜃 − 1, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷

(18) (19) (20)

Proposition 3.2. If 𝜓𝑟𝑑 𝑥 , 𝜓𝑟𝑑 (𝑥) ∈ 𝐿2 ℝ , 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝜃 − 1 are a pair of biorthogonal nonuniform 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑤𝑎𝑣𝑒𝑙𝑒𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑒𝑑 𝑤𝑖𝑡𝑕 𝑎 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑜𝑓 𝑏𝑖𝑜𝑟𝑡𝑕𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝜑 𝑑 𝑥 , 𝜑 𝑑 𝑥 , 𝑡𝑕𝑒𝑛 𝐿2 ℝ = −1 ⊕𝑗 ∈ℤ 𝑊𝑗 = 𝑉0 ⨁ ⊕𝑗 ≥0 𝑊𝑗 =⊕𝑗 ∈ℤ ⊕𝜃𝑟=1 𝑊𝑗𝑟 Where 𝑊𝑗𝑟 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝜓𝑟𝑑 𝜃 𝑗 . −𝜆 : 𝜆 ∈ Λ, 𝑗 ∈ ℤ, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝜃 − 1, 𝑑 = 1, … , 𝐷 (21) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 Lemma 3.3. Let 𝜑 𝑥 , 𝜑 (𝑥) be a pair of scaling functions. Then 𝜑 𝑥 , 𝜑 (𝑥) are biorthogonal scaling if and only if 𝐷𝑑=1 𝜆∈Λ 𝜑 𝑑 𝜉 − 𝜆 𝜑 𝑑 (𝜉 − 𝜆) = 1 a. e ξ ∈ ℝ. Lemma 3.4. Asume that 𝜔𝑞𝑑 , 𝜔𝑞𝑑 ∈ 𝐿2 ℝ , 1 ≤ 𝑞 ≤ 𝜃 − 1, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 are a pair of biorthogonal nonuniform multiwavelet associated with a pair of biorthogonal scaling functions 𝜔0𝑑 (𝑥) and 𝜔0𝑑 (𝑥). Then, 𝜃 −1 𝜎 =0

𝐷 𝑑,𝑝,𝑕 𝑕 =1 𝑚

𝜉

𝜉

+ 2𝜋𝜎 𝑚𝑑,𝑞,𝑕 + 2𝜋𝜎 = 𝛿𝑝,𝑞 , 0 ≤ 𝑝, 𝑞 ≤ 𝜃 − 1, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 𝜃 Proof. By (11), (14), (17), (21) and Lemma 3.3, we have

(22)

𝜃

𝜔𝑝𝑑 𝜉 + 2𝜋𝜆 𝜔𝑞𝑑 𝜉 + 2𝜋𝜆

𝛿𝑝,𝑞 = 𝜆∈Λ

𝐷

𝑚𝑑,𝑝,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜆

=

𝜆∈Λ 𝑕 =1 × 𝜔0𝑑 (𝜃 −1 𝜃 −1 𝐷

𝜉 + 2𝜋𝜆 ) 𝑚𝑑 ,𝑞,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜆

𝑚𝑑,𝑝,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎

=

𝜔0𝑑 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜆

𝑚𝑑,𝑞,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎

𝜎 =0 𝑕 =1

× 𝜔0𝑑 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎) + 2𝜋𝜆

𝜔0𝑑 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎 + 2𝜋𝜆

𝜃 −1 𝐷

𝑚𝑑,𝑝,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎

=

𝑚𝑑,𝑞,𝑕 𝜃 −1 𝜉 + 2𝜋𝜎

.∎

𝜎 =0 𝑕 =1

Theorem 3.5. Suppose 𝜔𝑛𝑑 𝑥 : 𝑛 ≥ 0, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 and 𝜔𝑛𝑑 𝑥 : 𝑛 ≥ 0, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 are nonuniform multiwavelet Packets of multipilicity D with respect to a pair of biorthogonal scaling functions 𝜔0𝑑 (𝑥) and 𝜔0𝑑 (𝑥), respectively. Then, for 𝑛 ≥ 0, we have 𝜔𝑛𝑑 . , 𝜔𝑛𝑑 . −𝜆 = 𝛿0,𝜆 , 𝜆 ∈ Λ, 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝐷 (23) Proof. The proof it will be by induction, for 𝑛 = 0,1, … , 𝜃 − 1, (15) is true from (11), (14). Assume that it holds when 𝑛 < 𝑙; 𝑙 > 0. For 𝑛 = 𝑙. Order 𝑛 = 𝑞 + 𝜃𝑝, where 𝑝 ≥ 0, 0 ≤ 𝑞 ≤ 𝜃 − 1 & 𝑝 < 𝑛. We have 𝜔𝑝𝑑 . , 𝜔𝑝𝑑 (. −𝜆) = 𝛿0,𝜆 ⇔ 𝐷𝑑=1 𝜆∈Λ 𝜔𝑝𝑑 𝜉 − 𝜆 𝜔𝑝𝑑 (𝜉 − 𝜆) = 1 , 𝜉 ∈ ℝ. And 𝜔𝑛𝑑 . , 𝜔𝑛𝑑 (. −𝜆) = 𝜔𝑛𝑑 . , 𝜔𝑛𝑑 (. −𝜆) = ℝ 𝐷

= 𝑕 =1

ℝ 𝐷

𝑚𝑑,𝑞,𝑕 (𝜉/𝜃) 𝜔𝑝𝑕 (𝜉/𝜃) 𝑚𝑑 ,𝑞,𝑕

= 𝜆∈Λ

𝑕 =1 𝜃 ( 0,2𝜋 +𝜆) 𝐷

𝜃 0,2𝜋

𝐷 𝑕 =1

𝜆∈Λ 𝑕 =1

𝐷

𝑚𝑑 ,𝑞,𝑕

= 𝜃 [0,2𝜋] 𝑕 =1 𝜃−1 𝐷

𝑚𝑑,𝑞,𝑕

= [0,2𝜋] 𝜎 =0 𝑕=1

| IJMER | ISSN: 2249–6645 |

𝑚𝑑,𝑞,𝑕 (𝜉/𝜃) 𝜔𝑝𝑕 (𝜉/𝜃) 𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉

𝜉 𝜉 + 2𝜋𝜆 𝜔𝑝𝑕 + 2𝜋𝜆 𝑚𝑑,𝑞,𝑕 (𝜉/𝜃) 𝜔𝑝𝑕 (𝜉/𝜃) 𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉 𝜃 𝜃

𝜉 𝜉 + 2𝜋𝜆 𝜔𝑝𝑕 ( + 2𝜋𝜆) × 𝜃 𝜃

𝜔𝑝𝑕

=

𝑑 𝑑 𝜔𝑞+𝜃𝑝 𝜉 𝜔𝑞+𝜃𝑝 (𝜉) 𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉

𝐷

𝑚𝑑,𝑞,𝑕 𝑕 =1

𝜉 𝑚𝑑,𝑞,𝑕 (𝜉/𝜃) 𝜃

𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉

𝜉 𝑚𝑑,𝑞,𝑕 (𝜉/𝜃) 𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉 𝜃

𝜉 𝜉 + 2𝜋𝜎 𝑚𝑑,𝑞,𝑕 ( + 2𝜋𝜎) 𝑒 2𝜋𝑖𝜆𝜉 𝑑𝜉 𝜃 𝜃 www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 56 |

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packet associated with by nonuniform multiresolution analysis with‌ đ?‘’ 2đ?œ‹đ?‘–đ?œ†đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰ = đ?›ż0,đ?œ† .

=

∎

[0,2đ?œ‹]

Theorem 3.6. Suppose đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ đ?‘Ľ : đ?‘› ≼ 0, 1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ and đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ đ?‘Ľ : đ?‘› ≼ 0,1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ are Nonuniform multiwavelet Packets of multipilicity D with respect to a pair of biorthogonal scaling functions đ?œ”0đ?‘‘ (đ?‘Ľ) and đ?œ”0đ?‘‘ (đ?‘Ľ), respectively. Then, for đ?‘› ≼ 0, we have đ?œ”đ?‘žđ?‘‘1+đ?œƒđ?‘? . , đ?œ”đ?‘žđ?‘‘2+đ?œƒđ?‘? . −đ?œ† = đ?›ż0,đ?œ† đ?›żđ?‘ž 1 ,đ?‘ž 2 , đ?œ† ∈ Λ, 0 ≤ đ?‘ž1 , đ?‘ž2 ≤ đ?œƒ − 1,1 ≤ đ?‘‘ ≤ đ??ˇ (24) Proof. Similar steps in above proof. Theorem 3.7. If đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ đ?‘Ľ : đ?‘› ≼ 0, đ?‘‘ = 1, ‌ , đ??ˇ and đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ đ?‘Ľ : đ?‘› ≼ 0, đ?‘‘ = 1, ‌ , đ??ˇ are basic nonuniform multiwavelet packets with respect to a pair of biorthogonal multiscaling functions đ?œ”0đ?‘‘ (đ?‘Ľ) and đ?œ”0đ?‘‘ (đ?‘Ľ), respectively. Then, for đ?‘š, đ?‘› ≼ 0, we have đ?‘‘ đ?œ”đ?‘š . , đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ (. −đ?œ†) = đ?›żđ?‘š ,đ?‘› đ?›ż0,đ?œ† (25) Proof. For đ?‘š = đ?‘›, the result (25) follows by Theorem 3.5. When đ?‘š ≠đ?‘›, and 0 ≤ đ?‘š, đ?‘› ≤ đ?œƒ − 1 0 ≤ â„“, the result (25) can be get from Theorem 3.6. Assuming that đ?‘š ≠đ?‘›, and at least one of đ?‘š, đ?‘› does not lies in 0,1, ‌ , đ?œƒ − 1, then we can rewrite đ?‘š, đ?‘› as đ?‘š = đ?‘ž1 + đ?œƒđ?‘?1 , đ?‘› = đ?‘ž2 + đ?œƒđ?‘?2 , where đ?‘?1, đ?‘?2 ≼ 0, 0 ≤ đ?‘ž1 , đ?‘ž2 ≤ đ?œƒ − 1. Case 1. If đ?‘?1 = đ?‘?2 , then đ?‘ž1 ≠đ?‘ž2 . Therefore, Eq. (25) follows by (11),(15), Lemma and (22), i.e., đ?‘‘ đ?œ”đ?‘š . , đ?œ”đ?‘›đ?‘‘ (. −đ?œ†) = đ?œ”đ?‘žđ?‘‘1 +đ?œƒ đ?‘? 1 . , đ?œ”đ?‘žđ?‘‘2+đ?œƒ đ?‘? (. −đ?œ†) 2

= đ?œ”đ?‘žđ?‘‘1 +đ?œƒđ?‘? 1 . , đ?œ”đ?‘žđ?‘‘2+đ?œƒ đ?‘? (. −đ?œ†) 2

đ?œ”đ?‘žđ?‘‘1 +đ?œƒ đ?‘? 1 .

=

đ?œ”đ?‘žđ?‘‘2+đ?œƒ đ?‘? . −đ?œ† đ?‘’ 2 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ†đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰ 2

â„?

đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž 1 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?œ”đ?‘?đ?‘‘1 đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?œ”đ?‘?đ?‘‘2 đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž 2 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘’ 2 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ† đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰

= â„?

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž 1 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?œ”đ?‘?đ?‘‘1 đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?œ”đ?‘?đ?‘‘2 đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž 2 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘’ 2 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ† đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰

= đ?œ†âˆˆÎ› đ?œƒ ( 0,2đ?œ‹ +đ?œ†)

đ?œ”đ?‘?đ?‘‘1 đ?œƒ −1 (đ?œ‰ + đ?œ†) đ?œ”đ?‘?đ?‘‘2 đ?œƒ −1 (đ?œ‰ + đ?œ†)

= đ?œƒ[0,2đ?œ‹]

đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž 1 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘š đ?‘‘,đ?‘ž 2 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘’ 2 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ† đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰

đ?œ†âˆˆÎ› đ?œƒ −1

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž 1 ,đ?‘• đ?œƒ −1 (đ?œ‰ + 2đ?œ‹đ?œŽ) đ?‘šđ?‘‘,đ?‘ž 2 ,đ?‘• đ?œƒ −1 (đ?œ‰ + 2đ?œ‹đ?œŽ) đ?‘’ 2 đ?œ‹ đ?‘– đ?œ† đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰

= [0,2đ?œ‹] đ?œŽ =0

đ?›żđ?‘ž 1 ,đ?‘ž 2 đ?‘’ 2 đ?œ‹đ?‘–đ?œ†đ?œ‰ đ?‘‘đ?œ‰ = đ?›ż0,đ?œ† = 0

= [0,2đ?œ‹]

Case 2. If đ?‘? 1 ≠đ?‘? 2 , order đ?‘? 1 = đ?‘ž 3 + đ?œƒ đ?‘? 3 , đ?‘? 2 = đ?‘ž 4 + đ?œƒ đ?‘? 4 , where đ?‘? 3 , đ?‘? 4 ≼ 0 and 0 ≤ đ?‘ž 3 , đ?‘ž 4 ≤ đ?œƒ − 1. If đ?‘? 3 = đ?‘? 4 , then đ?‘ž 3 ≠đ?‘ž 4 . Similar to Case 1, (25) can be established. When đ?‘? 3 ≠đ?‘? 4 , we order đ?‘? 3 = đ?‘ž 5 + đ?œƒ đ?‘? 5 , đ?‘? 4 = đ?‘ž 6 + đ?œƒ đ?‘? 6 , where đ?‘? 5 , đ?‘? 6 ≼ 0 and 0 ≤ đ?‘ž 5 , đ?‘ž 6 ≤ đ?œƒ − 1. Thus, after taking finite steps (denoted by đ?‘˜ ), we obtain 0 ≤ đ?‘? đ?‘˜ , đ?‘? 2đ?‘˜ ≤ đ?œƒ − 1 and 0 ≤ đ?‘? đ?‘˜ , đ?‘ž 2đ?‘˜ ≤ đ?œƒ − 1. If đ?‘? đ?‘˜ = đ?‘? 2đ?‘˜ , then đ?‘? đ?‘˜ ≠đ?‘ž 2đ??ž .Similar to the Case 1, (25) follows. If đ?‘? đ?‘˜ ≠đ?‘ž đ?‘˜ , then đ?‘‘

đ?œ” đ?‘‘đ?‘? đ?‘˜ . , đ?œ” đ?‘? 2đ?‘˜ .

đ?‘‘

đ?‘‘

= 0, đ?œ† ∈ Λ â&#x;ş

đ?œ” đ?‘? đ?‘˜ (đ?œ‰ − đ?œ† ) đ?œ” đ?‘? 2đ?‘˜ (đ?œ‰ − đ?œ† ) = 0 đ?œ† ∈Λ

Furthermore, we obtain đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?œ” đ?‘‘đ?‘š . , đ?œ” đ?‘› (. −đ?œ† ) = đ?œ” đ?‘š . , đ?œ” đ?‘› (. −đ?œ† ) đ?‘‘

đ?‘‘

= đ?œ” đ?‘ž 1+đ?œƒ

| IJMER | ISSN: 2249–6645 |

đ?‘?1

. , đ?œ” đ?‘ž 2 +đ?œƒ đ?‘? 2 (. −đ?œ† )

www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 57 |

Biorthogonal Nonuniform Multiwavelet Packet associated with by nonuniform multiresolution analysis with‌ �

đ?‘‘

đ?œ” đ?‘ž 1 +đ?œƒ đ?‘? 1 . đ?œ” đ?‘ž 2 +đ?œƒ đ?‘? 2 (. −đ?œ† ) đ?‘’ 2 đ?œ‹đ?‘–đ?œ†

=

đ?œ‰

đ?‘‘đ?œ‰

â„?

= â„? đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž 1 ,đ?‘• đ?œƒ −1 đ?œ‰ đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž 3,đ?‘• đ?œƒ −2 (đ?œ‰ + 2��)ďż˝ ďż˝3��−2���4��−2���,ďż˝2,đ?‘•ďż˝âˆ’1���,ďż˝4,đ?‘•ďż˝âˆ’1��2������

=

â„?

đ?’Œ đ?’“ =đ?&#x;?

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; ,đ?‘• đ?œƒ −đ?‘&#x; đ?œ‰

đ?œ” đ?‘? đ?‘˜ đ?œƒ −đ?‘˜ đ?œ‰ đ?œ” đ?‘? 2đ?‘˜ đ?œƒ −đ?‘˜ đ?œ‰

đ?’Œ đ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; ,đ?‘•

đ?‘š

= đ??€ ∈đ?š˛đ?œ˝ đ?’Œ ( đ?&#x;Ž ,đ?&#x;?đ??… +đ??€ )

đ?œƒ

−đ?‘&#x;

đ?œ‰

(

đ?‘‘ đ?œ” đ?‘?đ?‘˜

đ?œƒ

−đ?‘˜

đ?œ‰

đ?&#x;?đ?’Œ đ?’“ =đ?&#x;?

đ?‘‘ đ?œ” đ?‘? 2đ?‘˜

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; +1 ,đ?‘• đ?œƒ −đ?‘&#x; đ?œ‰

đ?‘‘đ?œ‰

đ?&#x;?đ?’Œ

đ?œƒ

−đ?‘˜

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; +1 ,đ?‘• đ?œƒ −đ?‘&#x; đ?œ‰

đ?œ‰ )

đ?’“ =đ?&#x;?

đ?‘’ 2đ?œ‹đ?‘–đ?œ†đ?œ‰

đ?‘‘đ?œ‰

đ?’“ =đ?&#x;? đ?’Œ

đ?&#x;?đ?’Œ đ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; ,đ?‘•

đ?œƒ

+đ?œ†)

đ?‘‘ đ?œ” đ?‘? 2đ?‘˜

đ?‘š

= đ?œ˝ đ?’Œ [đ?&#x;Ž ,đ?&#x;?đ??… ]

đ?‘’ 2đ?œ‹đ?‘–đ?œ†đ?œ‰

−đ?‘&#x;

đ?’“ =đ?&#x;?

đ?‘šđ?‘‘ ,đ?‘ž đ?‘&#x; +1,đ?‘• đ?œƒ −đ?‘&#x; đ?œ‰

đ?œ‰ đ?’“ =đ?&#x;?

đ?œƒ −đ?‘˜ (đ?œ‰ + đ?œ† ) đ?‘’ 2đ?œ‹đ?‘–đ?œ†đ?œ‰

=0

đ?‘‘

( đ?œ” đ?‘? đ?‘˜ đ?œƒ −đ?‘˜ (đ?œ‰ đ??€ ∈đ?š˛

đ?‘‘đ?œ‰ ∎

REFERENCES [1].

Atlouba, N. A. S., Mittal, S. and Paul, A., (2015), Nonuniform Multiwavelet Packets associated ith Nonuniform Multiresolution Analysis with Multiplicity D, J. Progressive Research in Mathematics, 3(3), 192-202. [2]. Behera, B., (2007). Wavelet packets associated with nonuniform multiresolution analysis, J. Math. Anal. Appl, 328, 1237-1246. [3]. Behera, B., (2001) Multiwavelet packets and frame packets of L2(Rd), Proc. Ind. Acad. Sci., 111, 439-463. [4]. Calogero, A., & G. Garrig´os, (2001) A characterization of wavelet families arising from biorthogonal MRA’s of multiplicity d, J. Geom. Anal. 11(2), 187–217. [5]. Coifman R., & Meyer, Y., (1989). Orthonormal wave packet bases, (Yale University) [6]. Coifman R., Meyer, Y. and Wickerhauser, M. V., (1992). Wavelet analysis and signal procesing, in: Wavelets and Their Applications (eds) M B Ruskai et al (Boston: Jones and Bartlett), 153-178. [7]. Coifman, R., Y. Meyer and M. V. Wickerhauser, Size properties of wavelet packets, in: Wavelets and Their Applications (eds) M B Ruskai et al (Boston: Jones and Bartlett) (1992) 453-470. [8]. F. A. Shah, (1998). Biorthogonal Wavelet Packets Associated with Nonuniform Multiresolution, J. Information and Computing Science,9(1), (2014) 011-021. [9]. Gabardo, J. P. and Nashed, M. Z., Nonuniform multiresolution analyses and spectral pairs, J. Funct. Anal., 158(1), 209–241. [10]. Gabardo, J.-P. & Nashed, M. Z., (1998). An analogue of Cohen’s condition for nonuniform multiresolution analyses, Wavelets, multiwavelets, and their applications (San Diego, CA, 1997), 41–61, Contemp. Math., 216, Amer. Math. Soc., Providence, RI. [11]. Gabardo, J. P. & Yu, X., (2006). Wavelets associated with nonuniform multiresolution analyses and onedimensional spectral pairs, J. Math. Anal. Appl., 323(2) 798–817. 13. [12]. Long, R. & Chen, W. (1997). Wavelet basis packets and wavelet frame packets, J. Fourier Anal. Appl. 3(3) 239256 [13]. Mittal, S. and Shukla, N. K., Generalized nonuniform multiresolution analyses, preprint. [14]. Mittal, S., Shukla, N. K. and N. Atlouba, A. S., Nonuniform multiresolution analyses with multiplicity D, preprint. [15]. R. R. Coifman, Y. Meyer, S. Quake, and M. V. Wickerhauser, (1990). Signal processing and compression with wavelet packets, Technical Report, Yale University. [16]. S. G. Mallat, (1989). Multiresolutions and wavelet orthonormal bases of đ??ż2 (â„?), ChaosAmer. Math. Soc. 315, 130137. [17]. Wang, X. (1995). The study of wavelets from the properties of their Fourier transforms, Thesis (Ph.D.)Washington University in St. Louis, 138 pp. [18]. Yu, X. (2005). Wavelet sets, integral self-affine tiles and nonuniform multiresolution analyses, Thesis(Ph.D.)– McMaster University (Canada), 145 pp.

| IJMER | ISSN: 2249–6645 |

www.ijmer.com

| Vol. 5 | Iss. 8 | August 2015 | 58 |

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.