m6klyan by illya Dobro

Розділ І. Подільність чисел § 1. П о д і л ь н і с т ь н а т у р а л ь н и х ч и с е л 1.

Д іль н и ки н а тур а льн о го числа

Ріве нь А

В X X ш X о (Б О

П од іл и т и одне число на друге — це озн ачає знайти таке трете число, яке при множенні на друге дає перше. Тобто якщ о а : Ь = с, то а — Ьс. Я кщ о число а ділиться націло на 6, то число Ь називають дільником числа а. Властивості подільності: 1) Сума двох чисел має ту саму остачу від ділення на д, щ о і сума остач від ділення цих чисел на п. 2) Добуток двох чисел має ту сам у остачу від ділення на п, щ о і добуток остач від ділення цих чисел на п. 3) Я к щ о два числа відрізняються одне від одного на число, кратне п, то й остачі від ділення цих чисел на л збігаються. 4) Я к щ о число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток, і навпаки. 5) Я к щ о добуток двох чисел, одне з яких взаємно просте з числом п, ділиться на /і, .то друге з цих чисел ділиться на п.

4. а) 450 : 18 - 25; 18 — дільник 450; б) 5166 : 126 " 41; 126 — дільник 5166; в) 25108 : 7 * 3586 (ост. 6); 7 — не дільник 25 108. 5. а) 759 : 23 '* 33; 23 — дільник 759; б) 5885 : 245 = 24 (ост. 5); 245 — не дільник 5885; в) 10 326 : 6 - 1721; 6 — дільник 10 326. 6. 2, 4, 12, 15, ЗО, 45. 7. З, 6, 10, 15. 30, 35. 8. Дільники числа 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12; числа 23: 1; 23; числа 72: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72. 9. Дільники числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54; числа 56: 1. 2, 4, 7, 8, 14. 28, 56. 10. Н і, не можна. 2 грн 45 коп. = 245 когг., 245 не кратне 25. 11. Н а острові може бути: 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24 мешканців. Рівень Б 12. а) 3 * 5 • 7 » 105; б) 12 • 7 - 84. 13. 20, 40, 60, 80. 14. 18, 36, 54, 72. 15. 150, 225, 300, 375, 450. 16. 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450. 17. 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 15, 21, 23, ЗО, 35, 42, 70, 105, 210. 18. Це числа 15 і 9. 20. 3000 кг : 70 кг = 42 (ост. 60). Відповідь: 42 мішки.

Вправи д л я повторення 22. 6, 10, 14. У сі ці числа мають лише чотири дільники: 1; саме це число і ще дна числа. При діленні на одне із них отримаємо у частці друге число. Наприклад: б : 1 = 6; 6 : б = 1; 6 : 2 * 3; 6 : 3 * 2. 23. Треба роздати кож ном у з чотирьох друзів по одному яблуку, а п’ятому другу віддати яблуко в кошику. 24. Ф ерм ер зібрав усього 8,5 : 0,4 = 21,25 ц яблук. Відповідь: 21,25 ц. 25. Розв’язання: 1) 3200 : 100 • 14 - 448 (гри) — прибуток за рік. 2) 3200 + 448 - 3648 (грн) — стане сума через рік. Відповідь: 3648 грн стане сума вкладу через рік. 19

1Г

б) 9 = 2 1 4 4

121

6 = 4 6 : 40 18 11

7 Ц

54 6

1 40 ’ 417 Ю

2301

1656

37’ 7 10

3517 31

... =184; 14 31

2. Ознаки п о д іл ь н о с ті на 2, 5,10 Рівень А Н а 2 діляться тільки ті натуральні числа, які закінчуються цифрами 0, 2, 4, 6 і 8. Т ак і натуральні числа називаються п арн и м и , інш і — неп ар ними. Н а 5 діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються на 0 та 5. Н а 10 діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються на 0. 32. а) 468, 796; б) 305, 875; в) 350, 590; г) 568, 436; д) 975, 465; е) 300, 560. 33. Діляться на 2: 34; 150; 864; 8800; 1000; 23 158; на 5: 150: 8800; 1000; 3205; 753 435; на 10: 0; 150; 8800; 1000. 34. 280. 35. Щ об 127* було пврним, треба поставити 0, 2, 4, 6, 8; щоб було непарним, треба поставити 1 ,3 , 5, 7, 9; щоб ділилося на 5: 0, 5; щоб ділилося на 10: 0. 36. Добуток 518375 • 436 833 • 385 144 ділиться на 2; на 5; на 10. 37. Остання цифра в сумі дає 5, отже, сума ділиться тільки на 5. 38. П а 2 діляться: 5714, 1754; на 5 діляться: 1475, 7045; на 10 діляться: 5710, 4570. 39. 9026 — ділиться на 2; 9620 — ділиться на 5 і на 10; 6290 — ділиться на 10 і т і 5. Рівень Б 40. Ділиться на 2: 1 034 567 892; ділиться на 5: 1023 467 895; ділиться на 10: 1234 567 890. 41. а) 9 876 543 102; б) 9 876 432 105. 42. 1090. 43. 9200.

44. 182, 184, 186, 188, 192, 194, 196, 198, 202, 204. 45. П ’ятдесят парних та п’ятдесят непарних, двадцять ділиться на 5, десять ділиться на 10. 46. Наталка викреслила всі парні числа (їх 96), окрім тих, що закінчуються цифрою 0 (їх 19), тобто (96 - 19) чисел. Марійка викреслила всі числа, що закінчуються цифрою 5 (їх 19). Дівчатка разом викреслили (96 - 19) + 19 - 96 чисел. Усього було 193 числа, тоді залишалося: 193 - 96 97 чисел. 47. З грн 48 коп. = 348 коп. 348 не мас дільником число 5, а 1 копійка — це нерозмінна монета. Це значить, що продавець помилився. 48. Н а 5 діляться числа, як і закінчуються цифрою 0 або 5. Я к щ о в остачі одержали 4, то це число може закінчуватися або цифрою 4, або цифрою 9. 49. Н а 4 діляться: 148, 400, 12 296, 90000; на 25 діляться: 275, 400, 43150, 85 225, 90000. 50. Н а 4 ділиться 8752; на 25 ділиться 8250. 51. 95 036 ділиться на 4; 96 350 ділиться на 25. 52. Ділиться на 2, але не ділиться на 4. В прави д л я повторення 54. Альбом і книжка разом коштують 5 грн ЗО коп. - 50 коп. » 4 грн 80 коп. ** 480 коп. Альбом коштує 480 : (1 + 3) - 120 коп. » 1 грн 20 коп. Книжка коштує 4 грн 80 коп. - 1 грн 20 коп. - 3 грн 60 коп. Відповідь: 3 грн 60 коп.; 1 грн 20 коп. 55. а) Задумали число: (14,5 + 6,7) : 8 * 21,2 : 8 = 2,65. Відповідь: 2,65. 6) Задумали число 8,8 : 4 +• 7,6 * 9 Г8. Відповідь: 9,8. 56. а) 45019- 10045 : (50008 - 49871 + 68)- 103 - 45019 - 4 9 x 1 0 3 - 39 972; б) (73,25 - 54,17) : 0,04 + 709,3 = 477 + 709,3 - 1186,3. 3. Ознаки п о д іл ь н о с ті на 9 і З Рівень А Н а Вділяться тільки ті натуральні числа, сума циф р яких ділиться на 9. Н а 3 діляться лише ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3. І

61. а) 141, 576, 77124, 39645; б) 12805; в) 576, 39645; г) 141, 77124. 62. Н а 3 діляться: 486, 25 620, 153 990; на 9: 486, 153 990; на 3 і 2: 486, 25620, 153990; на 3 і 5: 25 620, 153990; на 9 і 5: 153990; на 9 і 10: 153990. 63. а) Рівняння має натуральні корені; б) Рівняння не мас натуральних коренів. 64. а) 123; 126; 6) 3225; 3221; в) 44 850, 44 856. 65. а) 534 ділиться на 3; 234 ділиться на 9; б) 3333 ділиться на 3; 9333 ділиться на 9; в) 18 741 ділиться на 3; 78 741 ділиться на 9.

66. Число ділиться на 3, але не ділиться на 9. Рівень Б Н а 4 діляться ті парні натуральні числа, в яких дві останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 4. Н а 25 діляться ті натуральні числа, в як и х дві останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 25. На 8 (125) діляться ті натуральні числа, у яких три останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 8 (125). Н а 6 діляться ті парні натуральні числа, які діляться на 3. Н а 15 діляться ті натуральні числа, я к і діляться на 5 і 3. 67. Найбільше трицифрове число, яке ділиться і на 3, і на 9, — 999. 68. 100 : 3 "■ 33 (ост. 1); 34 • 3 =• 102 — найменше, щ о ділиться на 3; 100 : 9 = 11 (ост. 1); 9-12 - 108 — найменше, що ділиться на 9. 69. а) 468; б) 108. 70. а) 2130; б) 76410; в) 19995; г) 94905. 71. Так. 72. Таке число ділиться на 3 і на 9, тому що сума його цифр, яка дорівнює 45, ділиться і на 3, і на 9. 73. 315 ділиться на 15; 312, 318 діляться на 6. 74. 8100; 6102; 4104; 2106; 9108. Ці числа мають бути парними, і сум а цифр цих чисел має ділитися на 9. 75. Я к щ о число не ділиться на 2, то це непарне число. Число ділиться на 5, тоді воно мас закінчуватися цифрою 0 або 5, але це число непарне, тоді воно закінчується тільки цифрою 5. Ш укане число має першу цифру 1, останню — 5 і ділиться на 9, тобто сум а цифр цього числа ділиться на 9. Враховуючи всі умови, маємо ш укане число: 135. 76. Число ділиться на 2, тоді воно парне. Т акож воно ділиться на 5, тоді остання цифра 0. Число ділиться на 9 , тоді сума цифр числа ділиться на 9. Враховуючи всі умови, маємо ш укане число: 270. * 78. До числа 241 найближче, яке ділиться на 9, буде число 243, до числа 451 — 450; до числа 2378 — 2376. 79. Варіанти: 215421; 515421; 815421. Вправи д л я повторення 36 *Уо 81. Кукурудзою засіяли 80 • —---- - 28,8 га. Соняшником засіяли 80 - 28,8 = 100 % = 51,2 га поля. Соняш ником засіял и на 51,2 - 28,8 22,4 га більше. Відповідь: на 22,4 га. 82. У сховищі залишилося 8 * (100 % - 57 % - 22 % ) : 100 % = 1,68 т капусти. У магазини відправили 8 • ^

22 %

= 1,76 т. У магазини відправили на 1,76 -

- 1,68 в 0,08 т більше, ніж залишили у сховищі. Відповідь: на 0,08 т більше у магазини. 83. а) (376 002 - 83 304) : 207 і 10 003 - 1414 + 10003 - 11417; б) (1617 * 1872: 18)• 103 - 9999 - 145840.

4. П рості та складені числа Рівень А

Число називається п рост и м , якщ о мас лише два дільники: 1 і саме число. Я кщ о у числа більше двох дільників, то воно с складеним. Число 1 не с складеним і не є простим.

88. 41, 26, 63, 72. 82, 91; 26 має чотири дільники: 1, 2, 13, 26; . 41 має два дільники: 1, 41; 63 має шість дільників: 1, 3, 7, 9, 21, 63; 72 має десять дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, 72; 91 має чотири дільники: 1, 7, 13, 91. 89. 37; 43; 14; 33; 40; 65. 90. 541 701 — складене, бо воно ділиться на 9 і на 3; 5929 — складене, бо воно ділиться на 7; 14 641 — складене, бо воно ділиться на 11. 91. 341 105 — ділиться на 5, отже, воно складене; 43681 — ділиться на 11, складене; 1 177649 — ділиться на 7, складене. 92. а) 3175; б) 1023; в) 51477. 93. а) 7041; б) 4185; в) 18396. Рівень Б 94. а) ні; б) ні; в) 123. 95. а) складене; 6) складене; в) складене. 96. а) складеним; б) складеним; в) складеним. 9 7 / а) так; б) ні; в) так. 98.* Це числа 6, 9, 12 ..., тобто числа, як і кратні 3. 9 9 / Н і, не буде. Я к щ о число п — просте, то воно є непарним, тобто наступне за ним (п + 1) буде парним, а отже, ділитиметься на 2. ВСтепенем прави д л я називається повторення добуток однакових множників. П іднесенням до степ ен я називається знаходження добутку однакових множників. Н а приклад: 2 • 2 • 2 • 2 = 24, де 2 — осн ова степеня, 4 — показник степеня. 101. Відстань м іж містами: 5 *=60 • 2 — = 60 • ~ = 135 км. 60 60 Відповідь: 135 км. ЗО 102. Мотоцикліст проїхав: 40 • 1 = 6 0 км. Він міг би проїхати цей шлях за 60 60 : (40 + 10) = 1,2 год. Мотоцикліст прибув би на 1 год 30 хв - 1 год 12 хв - 18 хв раніш е. Відповідь: 18 хвилин. 103. 5 - 3,62 = 12,96 (см2) = 0,1296 (дм2). Відповідь: 0,1296 дм2. 104. V = 11» - 1331 (см3) * 1,331 (дм3). Відповідь: 1,331 дм3. 105. а) З 2- 2а = 9 - 8 = 1; б) (107 - 972 : 36)2 = (107 - 27)* = 802 - 6400.

5. Розкладання н а тур а льн и х ч и се л на прості множники

Кожне просте число м ож на подати у вигляді добутку не менш ніж двох простих чисел, відмінних від 1. Розкл ад ом на п р о с т і м нож ники називають запис числа у вигляді до бутку простих множників. 360 =* 2 • 2 • 2 • 3 • 3 * 5 ” 23 * З 2 • 5. 360 2 2 180 90 2 3 45 15 3 5 5 1 П раворуч від риски записуються найменші дільники чисел: спочатку 360, потім 180, потім 90 і т. д. по черзі. Розкладом на прості множники буде добуток цих найменших дільників. і___________ 108. а) 28 - 22• 7: 35 - 5 • 7; 56 - 23- 7; 64 ~ 26; 67 _ просте число; б) 120 ^ 2і • 3 • 5; 165 - 3 • 5 • 11; 459 - З 5*• 17; 2000 = 2‘ • 5*; 17 787 3 5929 7 847 7 11 121 11 11 іі і 17787- 3 • 72 • I I 2. 109. а) 33 = 3 11; 36 * 2-2-3 3; 74 - 2 3-7 • 9 1 - 7 - 13; 98 - 2-7-7; б) 250 ° ;2-5 5 5; 4 0 8 - 2 - 2 2 3-17; 576 = 2- 2 2 2- 2 :2-3-3; 11 100~ 5-5 • 2 • 3 • 2 • 37; 78 720 - 5 • 2 • 2 2 ■2 2 2 •2 3 41. 110. п « 23-3 • 163 ділиться на 2, 6, 12. 111. л =» 2*- З 3• 52- 7 ділиться на 5, 6, 16, 35. 112. п ~ 3 • 7 • 11. Дільники п: 1, 3, 7, 11, 3 • 7 , 3 * 11, 7 • 11, 3 • 7 • 11. Відповідь: 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231. 113. а) 42 = 2 3 * 7 , дільники 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42; 106 “ 2 • 53,, дільники 106: 1, 2, 53, 106; 110 = 2 • 5 • 11, дільники 110: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 , П О ; б) 44 - іг • 2 • 11, дільники 44: 1, 2, 4, 22, 44; 54 - 2 • з • г 1 • 3, дільники 54: 1, 2, 3, 6, 9,, 18, 27 , 54; 140 » 2 • 2 • 5 • 7, дільники 140: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14,, 20, 35, 70, 140. 114. а) дільники 30: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, ЗО; дільники 154: 1, 2. 7, 11. 22, 77, 154; дільники 186: 1, 2, 3, 6, 31, 186; б) дільники 45: 1, 3. 5, 9, 15, 45; дільники 56: 1, 2, 4, 7, 8, 28, 56: дільники 242: 1, 2, 3, 47, 242. Рівень Б 115. п = 23* 41, дільники п: 1, 2, 4, 8, 41, 82, 164, 328. 116. Дільники: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24, 131, 262, 393, 786, 1572. 3144. 117. 25, 49.

ПОЯСНЕННЯ

Рівень А

118. Найбільше таке число: 100 : 17 --= 5 (ост. 15); 17-5 = 85; такі числа: 1 • 17; 2 • 17; 3 • 17; 5 • 17, тобто 17, 34, 51, 85. 119.* а) 330 = 2 • 3 • 5 • 11, б) 702 = 3 • 3 • 2 • 3 • 13, а = 2. а — 2, Ь * 3, с = 13. 120- Серед чисел, менших від 100, щ о діляться на 7, знайдемо ті, щ о діляться на 3 і є парними. Це числа 42 і 84. Н а 4 ділиться число 84. Дівчинка знайшла 84 гриби. Вправи д л я повторення к X X ID X о к о с

Д ія м и першого ст у п е н я називають додавання і віднімання, другого ст уп ен я — множення та ділення, т р е т ь о г о ст у п е н я — піднесення до степеня. Д ії одного ступепя виконуються у будь-якому порядку, але сп о чатку виконуються д ії вищого ступеня. Для обчислення значення виразу доцільно застосувати розподільний з а кон множення відносно додавання (віднімання): (а + Ь)с = а с + Ьс; (а - Ь)с = а с - Ьс.

121. а) 0,2 0,35+ 1.2 0,35 + 2,2 0.35 + 3,2 0,35 ♦-4,2 -0,35 = 0,35 • (0,2 + 1,2 + + 2,2 + 3,2 +4,2) = 0,35 • 11 - 3.85; б) (1705 : 100 - 205 : 100)2 - ((1705 - 205) : ІООУ ~ 152 « 225; в) (135 • 50 - 80 • 50) : 10000 - (135 - 80) • 50 : 10000 - 55 • 50 : 10000 = = 0,275. 122. З а третю годину автомобіль проїхав: 178 - 121 - 57 км, за другу годину — 118 - 57 *- 61 км. Відповідь: 61 км. 123. Вантажний автомобіль їхав 140 : 56 2,5 години, 28 км він проїхав за 28 : 56 = 0,5 години. Легковий автомобіль їхав 2,5 - 0,5 - 2 години зі швидкістю 140 : 2 * 70 км/год. Відповідь: 70 км/год. 6. Н айбільш ий с п іль н и й д іль н и к Рівень А

от X X ш X о ос о с

Я к щ о одне число ділиться на друге націло, то перше число називається к р а т н и м другого, друге — дільником першого. Спільним дільником кількох н а т у р а л ь н и х чисел називають число, на яке діляться усі ці числа націло. Найбільшим спільним дільником (Н С Д ) кількох натуральних чисел називають найбільший дільник, на який діляться ці числа націло. Щ об знайти НСД кількох натуральних чисел, потрібно їх розкласти на прості множники і перемножити усі спільні множники; цей добуток і буде найбільшим спільним дільником. Числа, у яких НСД дорівню є 1, називають взаєм но п рост и м и .

131. а) НСД ( т ; п) •= 50; б) Н СД ( т ; п) - 49. 132. а) 12 - 22 •3; 8 - 2*; НСД (12; 8) = 22 - 4; б) 36 = 22 • З 2; 48 - 24 • 3; НСД (36; 48) = 22 • 3 - 4 • 3 = 12; в) 50 - 2 • 52; 175 - 52 • 7; НСД (50; 175) - 5* - 25; г) 100 - 22 • 52; 81 - З 4; НСД (100; 81) - 1; д) 6 = 2 • 3; 18 = 2 • З 2; НСД (2; 6; 18) * 2; е) 24 - 2а • 3; 36 - 22 • З 2; 42 - 2 • 3 • 7; НСД (24; 36; 42) = 2 • 3 = 6.

ШШ 438 ШШМАТЕМАТИКА Г. М. Янченко, В. Р. Кравчук Ш

133. а) НСД (9; 12) = 3; в) НСД (6; 18) = 6; д) НСД (6; 14; 36) = 2;

б) НСД <48; 72) = 24; г) НСД (12; 35) - 1; е) НСД (32; 64; 96) = 32.

134. а) НСД (6; 15) - 3; в) НСД (18; 132) = 6; 135. а) так; б) так; в) ні; г) ні.

б) НСД (8; 27) = 1; г) НСД (72; 96) - 24.

136. а) 7 і 4000 — взаємно прості; б) так; в) так; г) ні. 137. 5, 7, 11. 400

1 3 5 7 8 ’ 8 ’ 8 ’ 8 " 6 6

139’ 1 : 5Рівень Б 140. НСД (16; 12) - 6; Н СД (18; 24) - 6; Н СД (18; 6) = 6. 141. НСД (48; 36) = 12 — найбільша кількість подарунків. Відповідь: 12. 142. Найменша кількість квадратів — це НСД (56; 48) * 8. Відповідь: 8 квадратів. 143. НСД (48; ЗО; 24) — 6 — найбільша кількість кубів. Відповідь: 6. 144. Потрібно знайти найбільший спільний дільник чисел 90, 405, 135. НСД (90; 405; 135) - 45. Відповідь: 45. 145. НСД (58; 87) = 29 - кількість учнів у класі. Зошитів у лінійку: 58 : 29 - 2; зошитів у клітинку: 87 : 29 ~ 3. Відповідь: 29; 2; 3. 146. Числа 475 і 625 діляться на 25. Р озм ір плитки повинен бути 25 х 25 см. Треба викласти (475 : 25) стовпчиків плиток по 625 : 25 = 25 плиток у к о ж ному. Тобто потрібно 475 : 25 • 25 - 475 плиток. 147. По-перше, це власники тих номерів, як і мають у своєму запису по дві однакові цифри: 11, 22, 33, 44, 55, 66,' 77, 88, 99 — 9 учнів. Т акож це власники номерів: 12, 15, 24, 36, 48. Усього призи одержали 14 учнів. Вправи д л я повторення 148. Середня швидкість: (210 + 210) : (3 -» 4) = 60 км/год. Відповідь: 60 км/год. 149. Середня швидкість мотоцикліста: 135 : 3 — 45 км/год. З а третю годину він проїхав 45 км, за другу годину — (135 - 45 - 2) : 2 := 88 : 2 = 44 км, за першу — 135 45 - 44 - 46 км. Відповідь: 46 км; 44 км; 45 км. 150. У середньому з 1 га зібрали (352 + 20 7 ): (38 + 18) = 11,18 т картоплі. Відповідь: 11,18 т. 151. 11 \; 11,23; 11 \; 11,3. 5 4 х8,8 *4.4 ґ N - 3 ,2 9 X -- - ^ 6 , 1 6 ^ ----►(іО.бб)— - И 7 ,2 7 ^

1) 0,7 • 8,8 - 6,16; 2) 6,16 + 4,4 - 10,56; 3) 10,56 • 3,29 = 7,27;

1) 2,5 • 16 = 40; 2) 40 - 20 = 20; 3) 40 • 0,5 = 20. 7. Кратні н а тур а льн о го числа. Найменше с п іль н е кратне Рівень А

ск X X UI X о СХ О С

Будь-яке число, яке ділиться на п, наливається к р а т н и м числа п. Це стосується лише натуральних чисел і ділення без остачі. Спільним к р а т н и м кількох н а т у ра л ь н и х чисел є число, яке ділиться на всі ці числа без остачі. Найменше спільне к р а т н е ( Н С К ) кількох натуральних чисел — най менше число, яке ділиться на всі ці числа націло. Наприклад: НСК (10; 15) = 2 • 3 • 5 = ЗО; 10 «= 2 • 5; 15 = 3 • 5. Щ об знайти НСК кількох чисел, потрібно ці числа розкласти на прості множники, потім розклад одного числа доповнити простими множника ми інших чисел, яких бракує, і знайти добуток цих множників.

156. а) 342 : 19 =18 — так;

в) 9225 : 45 - 205 — так.

б) 21324 : 108 - 197,(4) - ні; 157. а) 492 : 41 «= 12 — так; в) 4028 : 212 “ 19 — так. б) 14544 : 24 = 606 — так; 158. 35, 70, 105, 140. 159. 112, 140. 160. а) НСД (8; 9) » 1, отже, 8 і 9 —- взаємно прості; НСК (8; 9) = 72; б) НСД (12; 7) = 1; 7 і 12 — взаємно прості; НСК (12; 7) - 84; в) НСД (4; 25) » 1; 4 і 25 — взаємно прості; НСК (4; 25) - 100. 161. а) НСК ( т ; п ) - 2 • 3 • 3 • 5 • 7 - 630; б) НСК (т ; п) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 11 ~ 792. 162. НСК ( т . л, *) - 2 3 • 3 • 5 • 11 • 2 • 2 - 3960. 163. а) 9 - 3 • 3 - З 2; 24 = 2 ■2 • 2 • 3 - 2* • 3; НСК (9; 24) > 23 • З 2 « 8 • 9 - 72; б) 15 - 3 • 5; 35 - 5 • 7; НСК (15; 35) « 5 ■3 • 7 - 105; в) 48 - 2 • 2 • 2 • 3 - 24 • 3; 60 - 22 • 3 • 5; НСК (48; 10) - 24 • 3 • 5 » 240; г) НСК (24; 108) - 23 • З 3 - 216; 24 - 2і • 3; 108 2 2 54 27 3 9 3 3 3 1 108 = 22 • З3; д) НСК (12; 18; 42) = 22 • З2 • 7 « 4 • 9 • 7 ~ 252; 12 - 2* - 3; 18 - 2 -З 2; 41 = 2 3 7; е) НСК (360; 540; 640) = 27 • З 3 • 5 = 17 280; 360 540 2 640 2 2 270 2 180 2 320 2 135 3 90 2 160 2 45 3 45 3 80 2 15 3 15 3 40 2 5 5 5 5 20 2 2 1 10 1 360 = 2а • З 2 • 5; 540 == 22 • З 3 • 5; 5 5 1 640 = 27 • 5.

а) 12 “ 22 • 3; 16 - 2 і; НСК (12; 16) = 24 • 3 = 48; 25 - 52; 35 ~ 5 • 7; НСК (25; 35) - 5 2 • 7 = 175; 80 - 2* • 5; 60 = 22 • 3 • 5; НСК (80; 60) = 24 • 3 • 5 - 240; 110 2 121 11 55 5 11 11 11 11 1 1 110 = 2 • 5 * 1 1 ; 121 - 1 НСК (110; 121) - 2 • 5 - 11* « 10 - 121 - 1210; д) 16 = 2‘ ; 24 = 23- 3; 36 ~ 22 • З2; НСК (16; 24; 36)2« • З 2 = 144; 2 680 2 е) 340 2 510 170 2 3 2 255 340 5 170 2 85 5 85 17 17 17 17 85 5 17 17 1 1 340 « 22 • 5 17; 510 « 2 • 3 5 - 1 7 ; 1 680 = 2* • 5 • 17; НСК (340; 510; 680) = 23 >* 1 7 * 3 — 2040.

164. б) . в) г)

165. а) НСК (3; 6) = 6; б) НСК (12; 18) * 36;

в) НСК (6; 8; 12)

24.

166. Найменше чотирицифрове число 1000. 1000 : 29 = 34 (ост. 14). Найменше чотирицифрове число, кратне 29: 29 • 35 = 1015. Відповідь: 1015. 167. 1000 ; 64 - 15 (ост. 40); 64 • 16 = 1024 — найменше чотирицифрове число, кратне 64. Відповідь: 1024. 166. 3000 : 55 =* 54 (ост. 30); 54 — максимальна кількість ящ иків, яку можна завантажити. 55 • 53 - 2915, 53 ящ ики також м ож на завантажити. Відповідь: 53; 54. 170. Найменше трицифрове число — 100, найбільше — 999. 100 : 46 = 2 (ост. 8); 999 : 46 * 21 (ост. 33). Трицифрових чисел, кратних 46, є дев’ятнадцять штук. Н а цифру 6 зікінчуються: 46 • 6 «= 276, 46 • 16 « 736. 171. 100 : 43 * 2 (ост. 14); 999 : 43 - 23 (ост. 11); таких чисел 21. М нож ачи З (остання цифра 43) послідовно на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, знаходимо, що тільки 3 • 5 дають останню цифру 5. 43 -5 — 215; 43-15 = 645. Відповідь: 215; 645. Рівень Б 172. НСД (6; 8) • НСК (6; 8) - 2 • 24 » 48; 6 • 8 - 48; НСД (18; 24) • НСК (18; 24) = 6 • 72 = 432; 18 • 24 - 432. 173. НСД (12; ЗО) - 60 — найменша кількість олівців. Відповідь: 60 олівців. 174. НСК (3; 4) - 12. Відповідь: 12 м. 175. Вони вирушать через НСК (48; 56) « 336 хвилин, тобто о 6 год + + 5 год 36 хв = 11 год 36 хв. Відповідь: o l l год 36 хв. 176. Для цього знайдемо найменше спільне кратне: НСК (42; 63; 84) * 252 мм. Відповідь: 252 мм.

177. НСК (9; 12; 18) = 36, тобто теплоходи зустрінуться через 36 у квітні. 178. Так, мають через НСК (15; 18) = 90 см від точки 0. Відповідь: так. 179. а) 0; 2; 4; 6; 8. б) будь-якою. в) будь-якою, крім цифри 0. Вправи д л я повторення 600% 180. Увесь шлях 3,9 км • тггт' = 6 км. О О /о

Відповідь: 6 км. 181. Р озв ’язання: 1) 14,85 - 1,25 = 13,6; 2) 13,6 : 2 = 6,8 — друге число; 3) 6,8 + 1,25 * 8,05 — перше число. Відповідь: 8,05 дорівнює перше число; 6,8 — друге число. ГЗ 5 2\ л 3 + 5 - 2 . 6 ,6 +_ =4+ =4+ = 4 ; 182. а ) 5 3 + 15 - 2 = (5 + 1-2) + 7 7 7 7 7 7 7 7 7 б) 5 ? +8 4 - 9 2 = (5 +8 ) +(- + - І - 9 - = 13+ 11 - 9 2 = 1 4 - 9 11 11 19 v M i l 11 19 11 19 19 17 ,1 7 = 1 3 1 9 - 9 2- = (1 3 - 9 ) +f 1? - 2 1 = 4 + =4 19 19 v М 19 19 J 19 19 в) 10- 4 - + 3 -9 ) = 1 0 - f(4 + 3) + f 8 + 19 25 25 Г 25 25 =

10-

7 +1

2 'ї 25

= i o - f 7 + 27 25

= 1 0 - 8 2 = 9 25 - 8 2 = 1 2? . 25 25 25 25

Задачі д л я п овторення § 1 183. Дільники 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Дільники 38: 1, 2, 19, 38. Дільники 172: 1, 2, 4, 43, 86, 172. 184. На 2 діляться: 288, 600, 1512, 23110. На 3 діляться: 117, 195, 288, 600, 1512, 2055. 413 775. Н а 5 діляться: 195, 600, 2055, 23110, 413 775. Н а 9 діляться: 117, 288, 1512, 413 775. 185. а) 2430; б) 72360. 186. 1; 2; 29; 61; 42; 102; 121. Дільники 2: 1, 2; дільники 121: 1, 11, 121. Дільники 29: 1, 29; дільники 102:Л1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102. Дільники 61: 1, 61; дільники 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. 187. 22 - 2 • 11; 32 - 25; 51 = 3 • 17; 126 = 2 • 3* -7; 400 = 24 • 52; 7429 - 17 • 19 * 23. 188. а) НСД (15: 120) ~ 15 — ні; в) НСД (101; 265) = 1 —‘ так; б) НСД (42; 25) = 1 — так; г) НСД (1200; 2401) - 1 — так. 189. а) НСК (2; 28) = 2; б) 33 - 3 • 11;

132 2 66 2 33 3 11 132 - 22 • 3 • 11; 11 НСД (33; 132) = З 11 - 33; 1 в) 36 »*■22 • З2; 162 2 81 3 27 3 9 3 162 * 2 • З 4; 3 3 НСД (36; 162) - 2 З 2 - 2 • 9 ° 18; 1 г) 102 2 51 3 17 17 102 = 2 • 3 • 17; 81 = З 4; 1 НСД (102; 91) = 3; д) 4 = 22; 6 « 2 • 3; 16 = 24; НСД (4; 6; 16) - 2; е) 42 - 2 • 3 • 7; 70 = 2 • 5 • 7; 112 2 56 2 28 2 14 2 7 7 112 - 2 ‘ • 7; НСД (42; 70; 112) * 2 • 7 - 14. 1 190. а) НСК (8; 24) « 24; б) НСК (12; 52) = 156; в) НСК (45; 105) « 315;

г) НСК (64; 96) - 192; д) НСК (15; 35; 45) « 315; е) НСК (160; 240; 400) = 2400.

191. НСД (54; 45) — 9 груп. У кожній групі по 54 : 9 = 6 — шестикласників і 45 : 9 - 5 — п’ятикласників. Група може мати 6 + 5 = 1 1 учнів. Відповідь: 11 учнів. 192. НСК (240; 360) * 720 (см) — довжина труби. Відповідь: 720 см. 193. Я к щ о учнів більше 20, тобто найменше 21, а зошитів 203, то кожен учень міг купити менше 10 зошитів, бо 21 • 10 «* 210 > 203. Серед чисел, менших за 10, треба знайти кратне числу 203. Остання цифра у цьому числі 3, тоді добуток кратного (менше 10) й інш ого числа повинен зак ін чуватися цифрою 3. Це добуток 7 • 9 « 63. Тобто кожен учень купив 7 зошитів. 203 ; 7 = 29 — учнів у класі. Відповідь: у класі навчається 29 учнів, і кожен купив 7 зошитів.

Розділ II. Звичайні дроби § 2. Д о д а в а н н я і в ід н ім а н н я з в и ч а й н и х д р о б ів 8.

О сновна в ла с ти в іс ть д р о б у

Рівень А Д робові числа використовують для позначення кількох частин цілої ве личини. Дробове число м ас вигляд - , д е а — чисельник дробу. Ь — його знамень ник. Я кщ о а і Ь — натуральні, то цей дріб називають звичайним. Знаменник показує, на скільки частин ціла величина була поділена. Чисельник — скільки частин узяли. Ч астка від ділення буде дорівню ва ти дробу, в якому чисельник — це ділене, а знаменник — дільник. О сновна в л а ст и в іст ь дробу: якщ о знаменник і чисельник помножити або поділити на одне йте ж саме число, отриманий дріб буде д орівню ва ти даному. 200

201.

і = — 2 = 8 П = 44 4 = 16 5 = 2-° 10 = 40 З 12 ; 5 2 0 1 12 48 1 1 4 5 11 441 7 28'

15 = 3 25

50 = 10

5 ; 60

2-6 _ 12

202.

З ’б

10 = 2

12 ; 35

15 = 3

7 ; 20

4 ; 40

12_6 _ 72 ' 37• 6 = 224

18*17- 6

102’ 44-6

72 : 6

96 : 6

84 : 6

144 : 6

25 = 5

30 = 6

8 і 25

18 : 6 = З

264* 4 2 : 6

1 2 = _6 . 3 ^ 1 36 204.

З*

4 . 4 2 = 8 . 4 _ 4 5 „ 2 0 . 4 _ 4-6 и 24 10 " 40 • 2 = 20* 10 " 10 5 * 50* 10 " 10 6 " 60 *

ч 5 10 , . 1 І 5 . а ) Г г і . , = 14; б ) - = -

4 16 = 8; в)ч --= 20

г) 15-5.,-в. 24 8 5 206. а) б

л* _ х 3() 5 б, ЗО “ 5 ^ 5 • 5 - 25;

ЗО X

10 11;

30 _ 10 3 10 X X ТТ; X = 11 3 * 33.

24 З 207. НСД (24; 32) = 8; — = 208. а

4 с.ч

__________ ф

2 4 4 см = 40 мм; 40 мм _ • = 16 мм; 40 м м ,Л • * 16 мм. 5 10 Ці довжини рівні.

209. З кг 200 г - 3200 г; - м аси =

оопП

= 800 г; 4 4 2 3200 г 2 ... - маси = --- ---- = »00 г. Ц і маси однакові. о о

Р івень Б 1 2 2Ю . о — — *---- *---------- •------- і— ► І І Л Л 2 — - 2~ 4 2 8 4 4 8 _ л

1_ 5

' а) 2

1 3

3 1 2

1*>

1 0 = -*; 3 г). 4 2 16. = 3 ; в ч3 ) ---= ---11 40 4 7 56

х - 1 = 2, х = 3.

5 - 20 _ 5 4 215. а) 9 ” х + 5 х + 5*

18 _ 3 _ 3 6 6 ) 24~х - 6 ~ х -6;

х + 5 = 9 • 4 = 36; х = 31;

х - 6 ° 4; х * 10. 1

216. 2 год ЗО хв - 150 хв, - • 150 хв « 50 хв;

Результати однакові. 2

від 3 грн:

4 0 0 •9

5 5 Результати однакові. 25 • 101 = 2525 * 33 101

219

8 1

20 4 х + 4 = 35, х = 3 1 ;б ) — = ^ , х - 2 = 4, х = 6; 2о 5

214. а) І = £ ,

217.

10 : ) 3 ~ 9 : В) 5 ’ 20 ; Г) 12 “ 6 1 Д) 5 = 100 ; е) 32 ~ 4 *

0^0 а)ч 2 = 14 ; б) 18 213. 5 5-7 'ііб

в) — 40

5405

297

6831*

• 150 хв - 50 хв.

4 ЧПО•Р = 120 коп.; • від 3 грн: " = 120 коп. 10 5

25 • 10101 = 252 525

3333 *' 33 10101

235

25 = 2525 _ 252 525

333333 : 33

3333

333333’

Вправи д л я повторення 220. а) НСД (42; 63) - 21; б) НСД (48; 72) - 24. 221. У першому мішку х кг картоплі, у другому — (104 - х) кг картоплі. У першому мішку стало (х - 25) кг картоплі, у другому — (104 - х + 2,5) кг. х - 2,5 “ 104 - х + 2,5; 2х = 109; х - 54,5 кг картоплі у першому м іш ку, 104 - 54,5 - 49,5 кг — у другому. Відповідь: 54,5 кг; 49,5 кг. 222. У першому ящ ику х кг помідорів, у другому — 2х кг, у третьому — (х + 2) кг. х + 2х + х + 2 = 30,8; 4х = 28,8; х = 7,2 кг — у першому ящ ику; 2 • 7,2 = 14,4 кг — у другому; 7,2 + 2 * 9,2 кг — у третьому. Відповідь: 7,2 кг; 14,4 кг; 9,2 кг.

223. а) 4 різнокольорові гвоздики: 1, 2, 3, 4. 123; 234; 134; 124. Усього: 4 способи, б) 5 різнокольорових гвоздик: 1. 2, 3, 4, 5. 123; 124; 125; 134; 135; 145; 234; 235; 345; 245. Усього: 10 способів. 9. Застосування о сновної в л а с ти в о с ті д р о б у Рівень А Я к щ о чисельник і знаменник дробу поділити на їх спільний дільник, то така дія називається ск ороч ен н ям дробу. Дріб, який не можна скоротити, називають н еск орот н и м . 1 = 2- А = 1 . 2? = 3 • 42 = 3 . 53 - А І0 ~ 5 * 15 5* 35 5 * 56 “ 4 ’ 77 ' 11 " 1 2 _ 1 . 3 _ 1 . 4 _ 1 . 5 6 _ 1. 7 8 _ 2 228* 1 2 ; 12 б ’ 12 4 * 12 9 = 3 10 5 11 12

3 ; 1 2 ; 12

2 ; і 2 512

З*

4*12 ~ 6 ’ 12 1 . 2

1 . 3 . 4

= 1

229* 20* 20 “ 10* 20*20 9

- 1 . 6

5*20

4 *2 0

10 _ 1 1 1 1 2 _ 3 1 3 1 4

3 . 7 . 8

= 2 .

10*20*20 “ 5 ; 15 = 3 16 = 4

17 18 = 9

2 0 ’ 20 " 2 ’ 20*20 " 5*’ 2 0 ; 20 = 10 і 20 " 4 ; 20 " 5 і 2 0 ; 20 " 1 0 ; 20.' 36 3 35 1 230. НСД (36; 48) = 12, 48 = ^ ; НСД (35; 105) - 35, 105 = 3 ; НСД (63; 81) * 9, з® = д ; НСД (84; 154) - 14, ^

= £ ;

625 5 НСД (625; 1000) - 125, 1000 = 8 • _ . 25 5 , 2 231. = =1» 15 З 3 6 = 3. 232’ 8 ~ 4 ’ 45

, 1 64 8 ,3 300 „ 186 31 = 1 ; = = 1 ; =4;= = 64 8 8 40 5 5 75 120 20 55 И = ! 2 Ї8 = 3 . 144 8 2 2 . 63 _ 3 9 “ 9 ’ 42 7 ’- 54 “ 3 ~ 3* 231 ~ ї ї ’ 475

2 33.0, 4

234.

2 ; 0,25

0 .5 = 1 ; 0 ,8 =

* ; 0,05

0 ,1 2 5 = і ;

;

0 .0 8 0 ,2 4

2 6

2о

;

0,65

;

■ ч* и оо

237

; 0 ,8 7 5 = І ;

85% = 0,85 = 17 ; 32% = 0.32 = 8 . 20 25 3 3 3 3 11 + ; г) 235 а) М = 2 :б ) 10~ 10 = 5 * В 8 12 1 24 1 = 16 1 = 12 7 5 _ 40 3 9 2 1

75%

481 3 48; 4 48 б * 4 8 ; 16 1 *18 18 2 2 24. 12 3 3 9 = ; 2 2 18 36 З 3 12 36* 4 4 9

48 * 24 27 36;

5 - 1 12 2* _ І4 48'

, 11 1—. 20 399 _ 21 25‘

® ; 16%

1 _ 1-6 = 6 . 4 = 4-4 = 16. б ” 6-6

36* 9

9-4

7 _ 7 • 2 _ 14

3 6 ’ 18

18-2

36*

238. 3 = 0 ,6 = 6 0 % ; 7 = 0 ,7 = 70% ; 9 = 0.45 = 4 5 % ; 3. = 0,75 = 75% ; 5 Ю 20 4 4 = 0 ,1 6 = 16 % . 25 239. ^ = 0,5 = 50% ; 1 = 0 ,2 5 = 2 5 % ; 9 = 0 ,9 = 9 0 % ; 7 = 0 ,2 8 = 28% . 2 4 10 25 Р івень Б 42

125

144

' 720 " 120 ’ 300 ” 50 * 500 ” 4 * 900 241. 25 г = 0,025 кг 160 г = 0,160 кг = 825 г =■0,825 кг

40 1 40 33

4 25 ‘

кг; 125 г = 0,125 кг = кг; 250 г ** 0,25 кг *=

кг;

кг. 20 3125 1 15 500 1 242. 3125 г = ї 5 5 5 к г - 3 8 кг: 15500 г - ^ к г - іб ^ г ; 150 З кг; 7 кг 150 г * 7 , кг » 7 кг. 1000 8 1000 20 90 1 130 1 243. 90 хв год - 1 ^ год; 130 хв - 60 год - 2 ^ год; 18 375 -

18 375

кг; 950 г = 0,950 кг =

кг = 18

270 1 310 1 лп год - 4 год; 310 хв год - 5 с год; ои 5 ои о „ 12 1 5 год 12 хв - 5 год - 5 с год. ои 5 1 2 244. 125 коп. « 1,25 грн грн; 440 коп. = 4,40 грн * 4 - грн; 40 5 8 З 732 коп. = 7,32 грн грн; 7 грн 6 коп. * 7,06 грн » 7 грн. ^о ои 245. Д ріб скоротиться на 48 : (3 + 5) “ 48 : 8 - 6. Отже, початковий дріб 270 хв -

3 6 = 18 6 •6

ЗО ’

Відповідь:

. 30 2 2 2 4 2 2 3 6 246 7 = 7^2 = 14 ; 14 ~ 4 96 15; 7 = 7-3 = 2 Ї ; 2 1 - 6 - 1 5 . Відповідь:

£1

Вправи для повторення 248. а) НСК (42; 36) * 252; б) НСК (150; 100) - 300; в) НСК (26; 39) = 78. _ 5 6 3 3 4 5 8 8 * 7 < 7 ; 5 ^ 7 ; 9 <9 ; 9*11“ 250. НСК (36; 42) = 252. К овзанярі зустрінуться через 252 с. Відповідь: 252 с.

251. 8325. 252. У старш их класах навчається 560 • 0,25 — 140 учнів. У середніх — (1560 - 140) • 0.45 -* 189 учнів. У молодших — 560 - 140 - 189 «- 231 учень. Відповідь: 231 учень. 10. Зведення д р о б ів д о сп іль н о го знаменника. П орівняння др о б ів Рівень А

ск X £ ш X V в о с

Щ об п ор ів н я т и дроби. їх перетворюють так* щоб знаменники були од наковими. Щ об звест и дроби до спільного ( найменшого) знам енника, потрібно: а) знайти спільне кратне знаменників дробів; б) для кожного дробу знайти додатковий множник: для цього потрібно спільний знаменник дробів поділити на кожний зі знаменників дробів; в) чисельник і знаменник дробів помножити на відповідний додатковий множник. З двох дробів із однаковими знаменниками менший той, у якого чисель ник менший. З двох дробів із однаковими чисельниками менший той, у якого знамен ник більший. Д р іб дорівню є 1, якщ о його чисельник і знаменник — рівні.

255. а) НСК (8; 6) - 24; ~

і ^

; б) НСК (14; 21) - 42; ^

5 77 НСК (42; ЗО) * 210; — і 210 210 3 7

в)

35 ; г) НСК (48; 30) - 240; 240 1 7

25в- а) 20 1 ЗО * З = 9 . 7 = 14

б) 6 1 15 ’ 1 _ 5 7 _ 14

20 ~ 6 0 5 ЗО " 60 *’ 7 .5 В) 24 1 36* 7 _ 21 5 _ 10 24 _ 72 ’ 36 " 7 2 ’ 3 = 21 _ 16 257. а) * < 8 56і = 56 5 25 4 = 28

6 ~ 3 0 : 15 “ 5 0 1 7 . 1 . Г) 36 1 4 8 ’ 7 _ 28 1 _ З 36 " 1 4 4 * 48 " 144' 1 = 14 5 _ 15

В)

258. 2 3 в) 3

105 < 15 105: 2 3 а) 3 1 4’ 8 9 2 3. 3 < — 12 4 " 121 3 < 4 ’ 3 11. 7 1 29’ 87 11 _ 77 2 0 3 ’ 7 < 29*

259. а) НСК (3; 4; в) - 12;

24 - і • . 240

б) 3 4 2 < 14 42 * 11 = 33 17 = 34

7 ' 203 > 29

і Д ;

Г) 12

3 6 < 18

36‘

5 . 7 . б) 16 1 20* 5 _ 25 7 _ 28

80 20 31 . 19

7 .

80 * 16 < 20*

Г) 54 1 3 6 ’ 11 31 _ 62 54 ‘ 108 > 36

19 = 57

1 0 9 ; 54 > 3 6 '

® : * ; Ц ; 6) НСК (5; 4; 10) = 20; Ц ; £ ; £

448 Ш МАТЕМАТИКА Г. М. Янченко, В. Р. Кравчук

;

. ) Н СК <9; 4; 1 2 ) - 8 6 ; 1

260 а ) 2 ; 3 ; б ; б ; б ; б 1 б )6 ; 9* 5 4 4 25 4 28 В )7 ’ 3 5 ’ 5* 3 5 ’ 35* 3 5 ' ^ 1 10 3 15 2 8 3 6 2 20* 4 20 * 5 2 0 ’ 10 20 ’ 1 1. 2 5 5 . 11. 17 1 _ 2 ’ 3 * 9 * б 1 9 * 18 ’ 18* 2 17 5 11 5 1 1 В ід п о в ід ь :- ; б ; і 5 5 9 ; 2 ; 3 ;

ЗО

12 ’ 36 * 3 6 ’ 3 6 :

10 9

20’ 5 1 _ 6

18’ 3 2 д.

2 1 3 3

20 ’ 1 0 ’ 5 ’ 2 ’ 5 ’ 4 ’ 10 * 2 _ 4 5 _15 5 1 0

18; 9

184

Рівень Б 20 66 7 263. а) НСК (24; 16; 96) - 96; — ; - ; — ; 140 468 75 б) НСК (36; 20; 48) - 720; ^ ^ ^ ; 12 14 33 45 в) НСК (9; 27; 18; 6) = 54; 54 ; ^ ^ . 5

6 . 14

5 _ 25 .

6 = 18

14 _ 98

264‘ а) 2 1 ’ 3 5 ’ 1 5 ' 21 ” 1 0 5 ’ 35 ~ 105 * 15 ” 1 0 5 ’ 5 23 7 5 100 23 345 7 _ 84 б) 48 ’ 64 ’ 8 0 ' 48 " 960 ’ 64 ” 960 ’ 80 ~ 960 ’ 4 17 1 1 3 4 = 16 17 _ 51 11 _ 55 В) 15* 2 0 ’ Ї 2 ; 10

6 0 ’ 20

6 0 і 12

3 = 18

б О ’ іО

1 = _35_- 3 - 63 5 = 75 . 7 98 . 11 - 1 1 0 . ‘ 6 210 * 10 " 210 1 14 210 1 15 * 210 ? 21 * 210 ’ 16 _ 96 11. 7 .1 6 . 5 . З .1 35

210 21 ’ 15 * 35 ’ 14 ’ 10 * 6 * 2 5 7 7 9 17

2б6* 3 ’ 6 ’ 8 ’ 12 ’ 16 ’ 24.* 2 _ 32 5 _ 40 7 __ 42 7 _ 28 3

48’ 6

Відповідь:

267. а) 3 3 = 3 2 7 < 3 4 = 3 28 ; ' 7 63 9 63 ’ в)

;

9 = 2 7 . 17 = 34

48’ 8 4 8 ’ 12 4 8 ’ 16 5 17 2 7 9 ь ; -4 ; 12; 16*

0,7 = 4 9 < 5 = 5 Р ; 70 7 70

4 8 ’ 24

48*

б) 2 3 = 2 9 < 1 7 = 2 І ° ; 9 4 12 6 12’ г) 5,8 = 5 44 < 64 = 5 45 ' 55 11 55

23 4 23 161 _ 4 18 162 23 0 4 268. а) — і 2 ; = < 2 -= — = ; <2 ; } 9 7 9 63 7 7 63 9 7 86 47 86 688 47 705 86 47 ' 15

120

в) 4 і 0 ,3 5 :0 ,3 5 = 7 = 77 < 4 = 80 :

ЕЬЛЙ 15 Усі І ЛР. 6 к.і

220

2 20

8 4 >0,35;

18* 9

18*

5 269. Батько Наталі витрачав — 5 _ 50

7 _ 49

7 год, а батько Ірини — __год.

42 “ 420 60 ' 420 ‘ Відповідь: батько Наталі. 16 7 270. В 1 кг рису міститься — кг крохмалю, а в 1 кг ячменю — кг крох16 64 7 49 21 12 малю: д = • 21 84 12 84 Відповідь: в 1 кг рису крохмалю більше. от , — 9 км — першим стаєр, 11 км — другии, - 17 271. _ км — третій; Зо 4о (б 9 = 36 . 11 = 33 . 17 _ 34 36 “ 1 4 4 ’ 48 1 4 4 ’ 72 144 ' Найбільше пробіг перший, найменше — другий. 272. Оля за один крок пройде 6

1 0 2 .1 2 = 120.

1 7 0 ’ 17

12 м, а Таня — ^ м.

\70 *

102 120 6 12 170 < 170* ТОДІ ю < 17 * тобто ° лін крок К°Р ° ТШИЙЗ 5 273. Одна частина триметрової колоди дорівнює м, а п’яти метрової — м; З _ 27

5 _ 35

7 " 63* 9 27 Ьо

< 1

274

35 Ьо

63' 3 5 тоді _ < л » тобто частини п’ятиметровоі колоди довші. 7

1 _ 12

4 = 36 : 3 _ 36 ■Ш укані дроби: 3 6 : 36 ■

. 1 4 1 6 5 275‘ а) 3 " 1 2 5 2 = 12 * Ш Укане число: 1 2 * З

6) 7 = 14 : 7 = 14 • Шуквне число: 14 = 2 5

= 25

5 + 2 = 28 . 9 = 63

9 + 2 = 55

6* 8 ” 40 ' 8 + 2 40 ’ 5 ” 35 ' 5 + 2 35 ’ Для неправильного дробу це тверження неправильне. 1 2 3 2 . 4 З _ 11 15 277. а) < ; б) > ; в) > ; г) < 4 3 4 5 5 8 24 28 278. Щ одня площа збільшується у 2 рази. Я к щ о на 10-й день заросла половина, тобто 1 2 2

1 1 2 2

ставу, то на дев’ятий день заросло вдвічі менше, тобто 1, частина ставу. 4 *

а якщ о а > 6, то дріб називають неправильним. Щ об виділити цілу ч аст и н у у неправильному дробі, потрібно чисельник поділити на знаменник; одерж ана неповна частка буде цілою частиною дробу, остача — чисельником дробу, знаменник залишиться тим самим. Щ об дріб із цілою частиною перетворити у неправильний, потрібно цілу частину помножити на знаменник і до їх добутку додати чисельник. Ця сума буде чисельником нового дробу, знаменник залишиться тим самим.

2 8 0 .а) 2® + ^ = 2 ® = з І ; 4 4 4 2

ПОЯСНЕННЯ

Вправи д л я повторення

б) 3 - + 1 і = 5; 6 6

281. 012; 021; 102; 120; 201; 210.

11. Д о да вання і віднімання др о б ів з різними знаменниками Рівень А

Ь ї “ ~ Ь ~ 'а е а > с ‘ Щ об знайти сум у або різни ц ю дробів з цілою ч а с т и н о ю , потрібно ок ре мо додати або відняти цілі та дробові частини, а потім результати запи« сати поряд як одне число. Щ об д од ат и аб о в ід н ят и дроби з різн и м и знам енникам и, потрібно зве сти їх до спільного знаменника, виконати додавання або віднімання чи сельників і підписати спільний знамениик. Додавання дробів підпорядковується переставній та сполучній власти востям. 1 ) а + Ь = Ь + а — п е ре ст ав н а в л а ст и в іст ь . Від перестановки доданків результат (сума) не зміниться. 2) (а + 6) + с = а + (6 + с) — сполучна в л а ст и в іст ь . Я к щ о до суми двох чисел додати третє, то дістанемо результат, аналогічний додаванню пер шого числа до суми другого і третього. 3) а + b > а; а + Ь > Ь. Сума двох чисел завжди більша за кожний із доданків. 4) а + 0 = а; 0 + а — а. Я к щ о один із доданків - нуль, то сума дорівню є іншому доданку. Віднім ання дробів не підпорядковується переставній та сполучній влас тивостям.

ПОЯСНЕННЯ

П ри додаванні аб о віднім анні дробів з однаковим и знам енникам и тре ба додати або відняти їх н і чисельники, а знаменник залишити без змін. а с а± с

Властивості віднімання: 1) а — (Ь + с) « а - Ь — с; 2) (а + Ь) - с - а + (Ь — с) = (а — с) + Ь; 3) а — (Ь — с) = (а — Ь) + є; 4) а - 0 = а ; 0 - 0 = 0. 1

1 1 5 +2 7 283. а) - + - = — — 2 5 10 10 ; 1 1 = 15 + 1 _ 16

Д 2 ” 3 6 ’ 6 1 З _ 2 _ 2 7 - 8 = 19 Є) 4

9 '

~ 36 ; 1 12

284 а) 5 + 4 _ 20 + 20 ~ 20 * 9 4 5 24 28 5 . а > 1 * +ф

б) І

Г) 4 + 6 12 12 12 ; З _ 1 = 12-5 = 7 Є) 5

З +6 ~ 6 'б 2; 1 +5 _ 3 +1 0 _ 1 3 _ 1 1

В) 2 + ЗО ЗО 30 і _ 1 = 3-2 _ 1

1 2 + 1 3

5 _ 7 Ж) 12 18 17 5 3 5 54 - + - = 8 4 8 15 г) 16 12

= 20;

гІ 2 - 1ї = 1 36 36' 6 11 , 3 + = = 1 -; 8 8 8 45 20 25 48

1 +4 * = 5 * = 6 4 ,

і *

+ і в = 1 й + й = 1 |9в :

в) 4 +2 8 = 1 2 +2' ‘ 0 = 2 52 = 3-7..; } 15 9 45 45 45 45* г) 3 5 +5 13 = 3 1 0 +5 39 = 9 7 = 9 1 . 7 21 14 42 42 42 6 0 5 7 321287+ 21 = 149 _

5 .

286 а 9 + 12 = 9 + 12 36 + 36 36 ~ з в ; 4 1 4 36 28 180 208 с 33 б) +5 = + - = +— } 5 7 5 7 35 35 35 35; у 1 0 2 й2 92 26 276 130 в) 18 +8 - = - + — « -- + ....... 406 = 2 7 Х-; 5 3 5 3 15 15 15 15 . с 1 0 4 71 46 213 92 305 „ 1 1 г) 5 — + 2 —• = + = — . =7--. 14 21 14 21 42 42 42 42 б )5 - 6 = 4 7 - б = 4 1; 7 7 7 7

287. а) в ) 4 - 1 3 = 3 4 - 1 3

=21 4

г) 1 1 - 7 3 = 1 0 8 - 7 3 = 3 ® . 8 8 8 8

1 а ) 3 - - і І = 3 6 - 1 5 =2 5 3 15 15 15

б) 4 1 - 3 1 = 4 5 - 3 4 = 1 ^ ; 4 5 20 20 20

в) 5 ? - 2 - * = 5 — - 2 - - = 3 - ; ’ 7 14 14 14 14

г) 4 7 - 1 3 = 4 2 8 - 1 2 7 = 3 1 . 9 4 36 36 36

288.

. 1 а)

1 _ 12 2

5 _ 7

10 ’ 10

10 1

в) 3 3 - 1 6 = 2 4 9 - 1 24 = 1 2 5 : 4 7 28 28 28 ’

3 1 - 3 - 2 2 8 - 9 = 2 19 ■ 6 8 24 24 24 ’

г) 6 3 - 2 2 = 5 2 4 - 2 10 = 3 І 4 ; 5 3 15 15 15’

е) 4 2 - 11 = 3 28 . 11 = 3 1 7 ; 1 5 20 20 20 20 *

3 ’

e ) 2 ? - l 4 = l 3 5 - l 16- = 1 9 . } 4 5 20 20 20 *

ж ) 12 - 7 - = 12 — - 7 20 = 5 ~ . } 12 9 36 36 36

, _ 4 63 4 59 ^ 5 290. a) 7 - - = --------------- — = 6 - ; 9 9 9 9 9 7 3 _ 7 6_ 1 B )8

4 ~8

6) 1 0 - 3

100

8 ~ 8*

Г) 4 ’ 10 7

291. a) 0,3+ 1 = 3 + 1 = ? + 5 ' 6 10 6 30 30 в) 0 ,3 6 - 1 = 9 - 1 } 3 25 3

61 = 6 V 10 10

20 " 20

л oc 2 1 2 7 8 15 6) 0,25 + - = - + • = + = ; 7 4 7 28 28 28

27 _ 25 = 2

ЧІнКЕьЧЇ 75

75 '

1 4 1 16 , 5 . 1 4) - +1 = + 1 —2 j 7 5 4 20 20 20

5 ) 2 1 - 1 - ! 6 3 - 20 1 20 3 60 60

293. a)

12 6

10 + 9

12+

12”

- â

43 60 '

1 12;

6 . 19 я 25 e o J L 12 + 12 12 12 *

І2

1 + П = 2 _ 1 +3 12 + 4 ! 3 ’ 12

2_ 1_ 1

8 - _ l_ 3 _ 7 - 3 _ 4 _ 1 12

12 ~ 3 * 14

3 0 ’ 1 5 + 6 " 30

25 ^ 14 _ 39 # 7 30~30

294 aU - i l 6)

3 16

14 _ 1 І6 16

13 16

3 7 _ 4 + 3 J ' 7 - 2)* 3 _ 5 8 4 J 16 [S S ) 16 8 + 16 X 1 1 295 a) 3 + 4 9 7 в) + ; 20 10

1« + 16

13 16

2 1 5 _ _ 3 + 2 _ 1 0 - 9 +1 2 _ 1 3 5 4 +3 - 5 12 = 12 12 6 ; ' 21 ~ 14 + 7 “ 42 42 ; 2 27 + 4 2 - 8 61 15 60 60 1 60 * "

„ 17 ( 1 П 17 5 - 4 16 = 4 = 296. a ) --------= ----------------------------20 ( 4 5 J 20 20 20 5 : 1 (Z П 1 5 - 1 8 +5 12 1 б )2-І5-б) = 30 " 30 " 15 ; 8) I l _ f 5 + 1 ) = B 12 ~ ! 1 2 + 8 I

_ 1 - 6 _ 1= 4_ 1 = 3 8 12 8 8 8 8

23. , л л 1 л 0 9 1 1 27 -10 + 6 297. а) 0 ,9 — + 0 ,2 = -----+ - = ---- — --ЗО * З 10 3 5 30 19 2 3 2 2 3 24 + 4 0 - 4 5 6)0.4+ = + + 3 4 5 3 4 60 60 * 2 З 5 11 18 1 1 1 3 2 1 4 б) - _+ 298. а) - + - -■- + " = = 2 3 6 6 6 6 6 3 4 8 + 12 24 (2 3 ] 7 7 7 1 3 21 8 9 5 V +. ^ = — + = ; Г) 1 5 " ( З "" 5 / 15 ' 8 3 8 24 24 24 6 9 1 5 3 1 5 3 0,125 + я) 0,25+ - = + - = С) 1 6 “ А) 7 4 4 7 4 14

15 22 1 _ + _ =1 24 24 24 _ 1 2. " 15

2 + 4

16 "

16 + 16

З а) 5 +* 7 б ) ---X 7 12

3 3 3 15-1 2 л = 4 ’ Х = 4 ~5 = 20 20 : 1 7 1 7-3 1 — ; X ------ ш ---з ; 4 12 4 12 4 - 3 +5 1 1 1 =1 В) * ~ 12 3 ~4 ; Х 12 12 2 ' 3 10 _10 1 0 9з 1 300. а)*+ п - д3 ; X - 33 п 33 33 33* 8 25 1 б ) Х ” і6 10 + 5 * Х 80 + 80 з _ _ j_ А _ В) 8 X ~ 1 2 ' X ~ S 12 " 24 301. М аса другої деталі: 7

14-3

. 32

+8 80 80 2 _7_ _ 24 24

16 ’

(кг). 24 24 11 Відповідь: тг кг. 24 3 1 9 2 11 302 -+ -- = - - + . (га). 16 24 48 48 48 11 Відповідь: га. 48 303. З а два дні заасфальтували 1 6+ 6-3 9 З - + 3 (км) дороги. 15 + 15 10 зо ЗО 10 Відповідь: ^

км.

304. Ш ирина прямокутника

7 12

3 12

Р = 2 . ( Л + ± 1 = 15 ( М,

Відповідь: 1

м. 6

305. З а третий день Ігор прочитав 1 рінок. Відповідь:

2 7

1 З

21-6-7

кількості сто-

01 13 195 , . . 0 1 1 39 4 35 175 , . 306. а - 3 = = (м); Ь - 3 ---- ------- - — = --- (м): 4 4 60 4 3 12 12 12 60

35 2 175 24 199 с = — + - = ---+— = --- (м); 12 5 60 60 60

п , 199 175 569 л 29 , ч Р = а +Ь +с = ♦ ---= --- = 9 — (м). 60 60 60 60

29 Відповідь'. 9 — м. 60 Р івень Б ^ . 1 7 л ^ 5 + 7 + 14 13 , 3 309. а) + + 0,7 = — ----- = — = 1 — ; N 20 20 10 10 1 + -? +0,7 = 0,25 + 0,35 + 0,7 = 1,3; 4 20 „ 11 17 Л1 11 + 6 8 - 2 0 59 б) + - 0,1 = = — ; 200 50 200 200 + " I - 0.1 = о, 055 + 0,34 - 0,1 = 0,295; 200 50 7 3 2 8 - 6 + 17 39

в)

' 25

+ 0 ,1 7 =

------= •—

100

;

100

7 - 3 +0,17 = 0,28 + 0,06 +0,17 = 0,39. 25 50 9 2 3 108 16 18 106 = 53 1) 50 + 75 І 00 600 + 600 600 600 5 11 7 20 33 14 39 13 б) 27 + 36 54 108 * 108 108 108 5 21 _ 7 = 25 126 _ 140 = 1 В) 96 + 80

480 + 480

480

300

36’

480'

. о 5 ,7 _ 56 40 49 . , 112-40-49 _ 23 311. а) 8 - -1 = 7 -1 =6-1+ =5 ; 7 8 56 56 56 56 56 0 2 6 , 19 . , 14 + 18-19 , 1 3

3 +7

•

і—

= 121;

в) 7 9 - 2 3 - 2 1 = 6 - 2 - 2+ І ? “- ? “ 5 = 2 4 . 10 5 2 10 5 п о оЧ 4 3 2 5 5 5 4 +5 3 + 5 2 + 5 . . _ 0 . + = 1 + 1 + 1 = 3; 312. а) + + + + +- = --- +• 9 8 7 7 8 9 9 8 7 , 1 1 1 1 1 1 2 - 6 +4 - 3 +2 - 1 8 2. 6)1+ - + = --------- = = ; 2 3 4 6 12 12 12 З .і 3 о 1 +5 с 5 - 1 - зо 1 +6 * 5 =11 + 1 0 - 4 + 5=11 -11. в) ------; 2 6 3 2 12 12 12 г) 3 1 +4 7 - 3 8 - [ 5 1 - 2 1 1 = з і + 4-7 - 3 8 - 3 3 - 2 = 5 7 --32 = 25 6 12 9 І 2 З І 6 12 9 6 36 36 Д)

63-8 Г з 1 - 2 М +Г4 3 - 2 1 1 - Г 4 1 - з М = 56 8 7 ) і 11 2 к 8 7) 10 3 68 = 75 = 25 96 96 + 96 ” 96 “ 32

45 = І 5 36 4

, 28-11 63-8 , 17 +1 ------ = 1 — 22 56 22

. а ) 5 І - ( 2 А + І 1 = 5 І _ Г 2 і± І 5 '| = 4 40 _ 2 1 9 = 2 Х ; З

2 І

З І

ЗО

7 7 = 5 Х - З ^ ^ 4 = 4 6 4 - 3 6? = 1 Х . -ІЗ-А. + 16 + 8 З 16 48 48 48

б) 5

315. а) 6 ^ - 5

- 4 — = 2-1 2 - 49 = 5 3 ;6) 10- 5 1 - 4 7 4 32 32 32 32 8 32

0 3 П 1 _ 9 + 2 _11 1) 3-- + 2- = 5 + а 5 -; ; 4 6 12 12 3_ 3_1 1 - 6 _5 )

)

10-

29 32

2) 9 4 - 5 11 = 3 5 2 - 33 = 3 1? . ) 9 12 36 36 ' 4) 4 3 + 2 5 = 6 9 + 20 = 7 5 } 8 6 24

317. 7 - + 2 - = 10 --; Ю -4- - 4 4 = -7-; 7 3 +2 1 = 1 0 ™ 5 3 15 15 5 15 5 2 10 Ю 1- - 4 1 = 5 А 10 5 10 5 З 2 3 2 5 2 7 - 8 + 25 = 7318. а ) Д Г - 6 “ = ” - 9 ; г = ї - і + 6 і = 6 + 36 9 29-20 - 2- = 3- - 2- = 1 6) 4 ^ - - дг = | + 2 | ; х = 4 ^ - - - - 2 - = 3 } 24 6 9 24 6 9 24 9 8 9 ' _5' . , 1 .5 5 - 6 + 10 л3 + 1 - = 5 — ; х = 4 + ------- = 4 - ; в) Х 6 2 12 * 12 4 Г) V

5Г

і 1 і о с . 6 - 3 +8 .11 = 1 - ; х = 1-- 2 — + 5 - = 4 --- ---- = 4 4 4 8 3 24 24 '

319.

6> 6 6 - [ 4 2 - ^ = 3:

х = 4 І +З - 6 І = 1 - . дг-2— + 1 - - - = З І ; 12 3 2 4 2 6 3 320. За четвертий день туристи пройшли 1 - [ 5 5 11 1 — — + — +— шляху. 24 16 48 Відповідь: - шляху. 4 321. З а третій день продали , 2 36 , 2 9 25-10-9 5 ~ 100 Відповідь:

~ 5 _ 25 = 25’

25--- = 25

\ 322. 1-[ - + 0,3 8 Відповідь: третя

23 3 23 — — третя частина; л < " 40 8 40 частина довша.

323. АС - Р - (АВ +■В С ) в 12 - 7 ~ = 4 * См; ™ ВС

» 7 о 25 “ 10 0 5 _4 5 26-15 , 11 7 — 4 =2 - = 2 - см; А В ** 7 - - 2 = 4 = 4 - см; 18 9 18 6 * 9 6 18 18 11 5 5 Відповідь: 4 - см; 2 см; 4 см. 18 о 9 ( 5^ 324. У першому ящ ику х кг яблук, у другому — х - 4 ^ 6 2 ^ = х + х - 4 ^ ; 2 х = 6 7 - ; х = 3 3 ^ кг. 8 8 4 ® Відповідь: у першому ящику 33 — кг яблук, у другому — 29 кг. 8 / і ч 325. Нехай площа першої ділянки х а , тоді другої І 14 — х | а. X — -1 =

и 4 -1 1 3

- Х + -1 ;

6 *

0 2х

ц і- + 1 4 4 : 2 = 14 = л 1 л4 2- ; х —— -— ; 3 3 3* З 22 _ 1 ... , .1 _ 1 _ х = =7 а — площа перш ої ділянки, 14 - - 7 - = 7 а — площа другої. 3 3 3 3

Відповідь: 7

а; 7 а.

326. Перший кран за 1 хвилину наповнить • ванни, другий — *_ . 1о 12 1 1 4 +5 9 З “ + = ^ = во = 20 частинУ зап°внять, працюючи разом. Відповідь:

З £\}

327. Перший кран за 1 хв заповнив ^ бака, а другий ^ .

[З + 0 ,3 ^ = і з•

) 18

бака.

Відповідь: 328. Один кран за 1 хв заповнює

бака, другий —

1 1 2 +3 5 роботи заповнять зб + = ~ = —

Зо

. З а 1 хв спільної

1 6 5 Л бака, ^ = 72 > 72 * 0т ж е» крани за

1 хв спільної роботи наповнять менше, ніж ” частини бака. 1^ Відповідь: ні. , , , ~ « 1 1 1 1 7 1 329. Перший трактор за один день зорав ^ поля, а другий 4 ' ^ ^ 4 ~ 12 > 2 Відповідь: так. 330. Розв'язання: Нехай, працюючи сам, другий робітник виконає завдання за х годин, тоді 1 за 1 годину він зробить ~ частину завдання. Перший робітник за одну

годину зробить — частину, а разом вони за одну годину зроблять 1 час10 б тину завдання. Складемо і розв'яж ем о рівняння:

1 1- 1 2 - і __L І =iz l

10 + х

6 : х ~6

10 : х

ЗО :

1 - І . 1 - і. х

З О : х ~ 15 • 1

Відповідь: — частину завдання виконував другий робітник за 1 годину. 331. За 1 хвилину Вінні-ІІух пройде

частину шляху, а П'ятачок ^

части-

1 1 5+ 4 9 ну. Разом за 1 хвилину вони пройдуть 2о + 25 "" 100 ~ 100 частин ШЛЯХУ-

,= Я к щ о весь шлях візьмемо за одиницю, тобто 1 подолати

100

100 , 100

то їм залишиться

частину шляху.

100

332. За 1 хе Карлсон і Малюк з'їдять

♦

* —— = - банки. Отже, банку вони б і

з'їдять за 1 : ^ = 2 хв. Відповідь: 2 хв. Вправи для повторення 334. Ром їязаннл : 1) 7.2 • 5 : 18 •» 2 (см) довжина однієї сторони. 2) 7,2 - 2 * 5.2 (см) — двох інших сторін разом. 3) 5,2 : 2 « 2.6 (см) — кожна я двох інших сторін. Відповідь: 2 см; 2.6 см: 2,6 см — довжини сторін трикутника. 335. Poja'njaHMx: 1) 100 - 75 - 25 (% ) — надлили. 2) 5 : 25 100 - 20 (т) — було спочатку. Відповідь: 20 т бензину було в цистерні спочатку. 336. P o jo 'hjuhhm : 1 ) 8 - 6 - 2 (год) — треба працювати, щоб зробити 8 деталей і ще 2 зайві деталі. 2 ) 8 + 2 = 1 0 (дет.) — зробить за 2 години. 3) 10 : 2 ■ 5 (дет.) робить за 1 голину. 4) 5 • 8 • 40 (дет.) — зробить за 8 годин. 5) 40 - 2 - 38 (дет.) — мав зробити. Відповідь: 38 деталей мав виготовити робітник. 337. Н і; ні; так; ні; ні. — відповідь «ні*, тому щ о пари чисел мають спільні дільники: 2; 5: 3 і 9: 7. Тільки у випадку 19 і 543 — числа не мають спільного дільника. 338. 1; 2; 4; 5; 8 ; 10; 20: 25; 40; 50; 100; 200; 250; 500; 1000. 339. В Андрія е 10 варіантів вибору двох книг із п'яти. 2 7 11 7 340 t = 0 .4 ;- - = 0.35; — = 0 .4 4 ;— = 0.14 . 5 20 25 50

Завдання д л я повторення § 2 « і * - * . , 4. 20:5 4 3 ^ 1 8 ,2 1 2 .1 1 5 .2 .1 9

341. « . * ; 20 х _ 2 .20 З

30’ З

’

30’ 5

ЗО’ 2 “ ЗО’ З ’ ЗО’

15 -*-28

~ 80;

' а) 16 + 20 11

..З г) 5 4

д) 4 1 - 2 2 = 3 13 - 2 8 = 1 5 12 3 12 12 12 є) 6 -

/ 1 2 +3 П

+ 0,25 = 6 -

’ ’ 2 ’ 5*

б) 2 1 + 3 3 = 2 і + 3 9 = 5 13 ; ; 6 8 24 24 24 ’

в ) 7 - 3 3 = 6 П - 3 3 =3 8 ; 11

1.2

„1 5 ,1 4 1 в —5 “ 1 —4 > 10 20 20 20

е) 20 і - 3 П = 1 9 75 - 3 22 = 1 6 53 14 35 70 70 70 В ^ 3 ^ + 1 =гб1 _ 4 5 = 6 9 _ 4 5 1 + 3 4 4 36 36 36 36 36

= 2*; ж) 4

9 + 18

= 4 10 + 13 18 18

з) 1 2 7 - 4 7 - ( б 1 - 4 2 1 = 8 9 12 і, 4 З І

28-21 36

^24_ 7

4 + Ю + 13 - 17 _ 4 1

18 ~ 18 ]

З ’

, 45-24 „43 л 21 .11 —і =о : - і ----- -- і 36 36 36 18 г

и)2 - (1,5 - 2) - (1 2 - 0.75) = (2 - 1,5) + 2 - 1 2 + 0.75 - 0,5 + 0.75 - 1 - 0.25. 344. а - Ь + 3 і = 5 ^ - 2 3 + 3 1 = 6 4 _ 3 + 2 = 6 3 4 2 8 4 8 8 2 5 +56 ;х 22 22 ’

345. а) х - ^ ї ї = ^ 22 ' Х б) V

= ГТ1 7 •

З 70 - 3 42 ; X = 28 ; 45 45 45

3 14; х 15

в) 2 - - ( - - х | = 2 ,5 ; х = 2,5 - 2,75 + 0,5; х - 0,25; г ) 4 , 8 - [ б - 4- - х ] = | ; х - 0 . 6 - 4 . 8 4 6,8; І 5 і 5 346. 7 - +

2 ,6 .

П 7 — 2 — = 14 — - 2 -- = 1 2 12 5 = 12 — 5 3 15 15

Відповідь: 12

15 347. Л існи к пройшов 1

4 -+ 4 і + +І 4 1 - 1 = 13 + 1 - 1 - І З ® “ 2 * 13 -- км. З 4 4 6 12 12 3 6 Відповідь: 13 км. 348. Горохом засіяли 1Відповідь:

1 І 20-5-4 1 20 = 1- " - ' 20 4 100 4 5

частину.

11 частину поля 20

349. Перший екскаватор за годину викопає - траншеї, другий —■* . За годину 6 9 1 1 3 +2 5 .. * разом вони викопають: + = = траншеї. Залишиться викопати 6 9 18 18 18 5 13 -- - - * - частину. 18 18 18 Відповідь:

ІО

350. Поїзди за годину пройдуть разом 1 + 1 = 4 + ® = 7 шляху. Відстань між З 4 12 12 12 7 5 ними становить: - - . „ = Л шляху. 12

5 Відповідь: - ^ .

Розділ II. Звичайні дроби § 3. М н ож е н н я і д іл е н н я звичай них д р о б ів 12. Множення звичайних д роб ів Рівень А Д о б у т к о м двох дробів буде дріб, у якого чисельник с добутком чисель ників дробів, а знаменник — добутком зннменників. а т а т Ь п Ь •п Множення дробів підпорядковується розподільній, переставній і сп о лучній властивостям. а • Ь » Ь • а — переставний закон м н ож ен н я. Від переставлення співмножників добуток не змінюється. 1 • а ** а • 1 • а а •0 « 0 •а - 0 (о • Ь) • с т а(Ь • с) — сполучна в л а ст и в іст ь м нож ення. Щ об помножити добуток двох чисел на трете, досить перше число помножити на добуток інших двох. (а-*- 6 ) ' С “ а - с + Ь ' С — розподільна в л а ст и в іст ь м нож ення. Щ об помножити суму (різницю ) на деяке число, треба кожний доданок (змен шуване і від’ємник) помножити на це число й отримані добутки додати (відняти). 2 3 . 3 3 8

5 _ 1

7 16 . 2

20 ; } 10 6 " 4 ; В) 8

3 1 Г) 12 ‘ І5

2 9:

4 18 8 19 18 3 8 27 6 11 32 8 Д) 9 19 19 : Є) 24 19 " 4 ; С) 9 28 " 7 ' Ж) 12 33 " 9 ; ( 2 3Ч з ]

4 АП * 121 * 9 ’ И> ^ 1 2 ] "’ 144

35«. а) Л ■24 = 9 ; б) 1 8 ’ '9

= 9 * ; в) 100- 3 = 1 5 = 7 1 ; 3 40 2 2’

G>Mi>:!4I>Mï>J4^-KD

363. а) 2 21 - 3 • 4і = 2 2 - 1 = 2 - ; б) 3 * 2 - 1 = 7 • 2 - - = 6 2 ; 3 4 9 3 3 3 2 3 2 3 3 її [ з 1 -1 2 1 4 /

г ) Ї 2 І м М .1 .Ч * - П « = *

I 2

. 11

л)

З]

5 i2

2 1

3 2

+ •-

ЗІ 5

°- î.*= 3 - « = l

2 5 3 5 З

e , f 4 * l V f i 2 - 5 ' w 8 - 7 22 [7

2} \ 9

6 J

2 5’

15 = 1

7 = 1 .

14 18

364. н)10‘ Ч г Ч = 10 ^ = 27; б) 1 4 1 - 2 і ]= 4 9 : .5 2 10 9. 2 4 І 9 4

ю з Ч 1- 1). 3і, 2 3 ; ^

“' ^

22 5

10 1 12 _ 4

5 ” 3 "

e V

6) 0 - 2 5 5 v

•)0 -3 ' з ’ ї о V » : . _ 1 . _

28 3 14 g 2 = З

и.2. З

о) 0 .125 • 2 2 s 1 2 5 З 1 000 3

1 000 1000 З

366. З З Ч - 100* . . “ 0 - 1 - 1 : З З 3 1 00 з 7 1 0. 50 50 1 1 . 1^ 7 7 7 * 100 14* 6

1 1 100 ; 24 •

367. 5 5 % = 5 5 • 1 » 1 ; 3 4 % * З 4 • 1 * 1 ; 9 9 100 18 7 7 100 28 2 1 Ч - 2 1 1.

100

- 16. 75

368. ! » * 100% = 20% ; 1 = 1 • 100% Г 50%; 2 2

3 « 3 • 100% = 60% ;

2 * 100%. 2 = 200%~

66 2 % : З

1 1 = 4 100%= 400% = 1 3 3 *% ; 3 3 з з 0.3 - 0.3 • 100% - 3 0 % : 2.5 - 2.5 • 100% - 250% . 369.

3 « 3 • 100% = 3 0 % ;

1 = 1 • 100% ^ 25% ;

5 = 5 • 100% = 83 1 % ; 6 6 3

1.4 - 1.4 370. a)

1 2 X 5 • 1007с. = 166 2 % ; 3 3 З 100% - 140% .

+ = = 9 9 9 3 4 5 1 в) - • - а - - а . 5 8 2 2 9 371. а) 8 а - З а + - о - 6 о ; 5 5

| a + J a = 5 e + | a = l | а; 8 2 8 8 8

6) - х -

1 1 х — х=-х; 3 3 6

9 З 1 в)-у • • = — и. 9 8 12

. Кравчук

372. а) х : § = 5 25 д: = 28

^ ; 28 2

б) і / : і і = 2 І ; 8 4 У= 9 ?. 4 8 * 81

_5_ х = 14 ; 373. а) х

7 21 З х = 31 7

в) § * + 2 £\х = 2,7 ; У і/

Зд: = 2,7; дг - 0,9.

32 1

1 9 б) г : 3 - = 1 — ; в )4 | х - 2 | х = 24; } 3 10 1 2х = 24; г = 19 10 = 19 = б -. 12. 10 З З з’ X

31 _9 31

»«• * - И

- £ в * 4 Відповідь: см^. 49

З 10 375-

5 27 = 9 ДМ

376. К = ( 3 ]3 = 3 3 3 = - 2 І м ’ . (5 ] 5 5 5 125 і)77 т/ 5 1 3 5 7 3 1 3 377. V ~ ■2 --- = ------ = 1 дм . 7 3 5 7 3 5 Відповідь: 1 дм*. Рівень Б 3 7 8 .а) 3 3 1 13 = 2 4 . 49 = 14 = 4 2 7 36 7 36 З З 18 0 3 8 18 15 8 12 в) 3 •-= • = ; ' 25 4 9 25 4 9 5 д) 7 • 1 - 24 7 1 = 7 • 6 24 • — = 126; 12 5 2 12 5 2 1 9 1 25 2 16 х 1 379. а) 3 • 1 8 5 15 8 5 15 " З б)

б) 5 2 • 2 2 = 27 • 20 = 12; 5 9 5 9 г) 9 . 4 1 . 3 1 = 9 . Ш . 10 = И 11 ЗО 3 11 ЗО З е)

( А 0 П 03 1 13 15 1 0 1 4 -3 -3 + = • + =3 5 3 4 4 15 4 4 2

2 2 1 = 12; в) 9 2 1,2 + 2 2 1 . 2 - 2 1 1,2 = 1,2 9 - + 2 - 2 3 3 3 З З З г) 0,5 з Ч з * 2 - і Ч = 8 + 3 = 4 3 5 2 7 5 5 з ( 2\ 66 8 ,, З Д ) 10 4 • 1 2 - 25 - =11 ; 5 5 5 5 9 е)

'1 1 П + + 3 4 5

З 2 +2,6 І = 47 • 6 = 4 7 5 ] 60 10

380. а < І —а при будь-якому а > 0, оскільки 1 < 1- .

1 4 = 1 8 9 18

2 2 381. а > ~ о при будь-якому а > 0, оскільки 1 > - .

8 382* а) 15

2-4

3 5

3 5:

V 1 - 11 - 1 в) 7 ” 7 - ї " 7 о 7 , 7 8 * ‘ а -1.

2 1 3 9’

, , 2 17 Г ) 1г 1 и 2 1 7 -

Г ,; 5,і. Ь '

а - 8;

•о

383. а)

2 1

б ) 27 ~ 3 *9

9 (І . •- = 1 Г ) гі 9 д я 1 -1 = 1 й 11 сі - </, с - 11; рівність вірна при будь-якому <і х 0 .

1 С , 8 ) — • —= 1 1 11 1

б> 8

ІЛ

83 384 [ з - + 2 — )( 3 - - 2 - — - 5 100 ** *' ^ 5 10 Д 5 10 385. Питания: «Правдолюби й обмянщики живуть разом?» «Так* — обманщики, «ні* — правдолюби. Вправи для повторення 386. За 0.4 голини автомобіль проїде 0.4 -75 - 30 км. З а 1.2 години — 1.2 * 75 - 90 км. Відповідь: ЗО км; 90 км. 387. З а течіею річки катер пройшов 4.2 • 0.65 *■2,73 км ■ 2 км 730 м. Відповідь: 2 км 730 я . 388. Гречкою засіяли 240 - 240 • 0,4 - 240 • (1 - 0,4) - 144 га. Відповідь: 144 га. 389. Можна одержати 6 0 - 1 -

16 'і

*60 -

= 21,6 кг сушених слив.

Відповідь: 2 1 . 6 кг. ^ ^ 390. П'ять наборів м ож на скласти з одним блокнотом, та п’ять з іншим. Усього можна «-класти десять різних наборів. 391. За хвилину виливалося 6 ♦ 8 - 14 м* води. Усю воду випустили за 280 : : 14 - 20 секунд. Через першу трубу витекло 6 • 20 - 120 м1 води. Відповідь: 120 м*. 392. Нехай перший поїзд їхав х годин, другий — (х - 1) годин; перший проїхав 70х км. а другий (дг - 1М?0 -*-10) км. Разом вони пройшли 520 км. 70* + 80х 80 - 520; 150дг - 600; х *• 4 години. Поїзди зустрінуться на відстані 4 • 70 - 280 км від Львова. Відповідь: 280 км. 13. Задачі на множення д роб ів Рівень А Щ об знайти дріб віО числа. погрібно число помножити на цей дріб.

3 4

з =3 4

396. - кг печива коштує 4 -

гри:

I1 і кг печива коштує 5 -4 А=К 5 гри. 4 4

397. За ^ год людина пройде 4

^ = 2 * км. 3 2 6 3 1 3 1 13 1 .1 1 За - год: 4 • - = 3 км. За = «А км10 ГОА: V 4 3 4 4 10 зо с.

398. За 24 хв слимак проповзе 2

-24 = 2 м; за 0,5 години слимак проповзе

399. В обох ящиках 15 + 15 •1 * = 15 З Відповідь: 35 кг.

|=15-

= 35 кг яблук.

400. 3 = 2 - 2 - 3 = 14— м2. 5 5 25 9 29 401. Площа Карпатського парку становить 325 1— = 3 2 5 — - = 471,25 км2, 20 20 Синевирського парку — 471,25 • 1,16 - 546,65 км2. Відповідь: 471,25 км2; 546,65 км2. *02. 8г

р т

= ( 72 + 72 2 1 Ь . 2 = 288 м2. З

403. а) 2 5 ■ - = 1 0 ; 5

б) ® 12 * 32 = 10 2 ; 9 З З

B)4 Ü 23 * =4 M 3 = 4 I =1Ü 4:

г ) 1 6 ' 0,55 “ 8 ,8 ‘

404. а) 40 3 = 30; б) 7 12 = 1 0 * ; 4 8 2

в) 2 1 ^ == 7 ; 3 6 9

405. У зерносховищі зберігається 4500 • Відповідь: 2500 т.

г) 0.35 6 = 2 1 10

= 2500 т пшениці.

406. Висота Ай-Петрі 2060-

= 1236 м.

407. У басейні залишилося 1250 •[ 1 - - |= 1250 • 2 = 750 м3 води. Відповідь: 750 м3.

408. S = 64 64 0,25 =-*64 64- 1 = 1024 м2. Відповідь: 1024 м2. 409. Р - 3,6 + 3,6 • і і + 3,6 ? = 3,б| 1

з Відповідь: 10,8 см.

410. а) 24 . 15% = 3.6; б) 15 •

100%

- + - = 3,6 3 = 10,8 см. з з

= 6; в) 1.5

2-4% = 0.36; 100%

« . ) # ! . « Ь . 2? . * * = 0 .4 2 . 4 100% 4 100% 411. а ) 20% = і ; 1 2 - і = 2 —; б )2 5 % = і ;

1.2-1 = - ;

в)37% = - ^ - ;1 0 37 = 3 7 ; г)20% = І ; 100 100 10 5

3 20

412. У 40 кг огірків 4 0 ----- = 38 кг води. 100% Відповідь: 38 кг. 4З 413. 43% = ; маса бурого ведмедя ЛQ

700 • - =301 кг « 300 кг. 100 Відповідь: 300 кг. 414. Запиш емо зростання акцій у вигляді дробу: 5% = 0,05. 1) Вартість акцій зросла у грудні на: 2000 • 0,05 * 100 (грн). 2) Вартість пакету акцій у грудні: 2000 + 100 - 2100 (грн). Відповідь: 2100 грн. 415. 8% - 0,08. 1) Вартість 100 кг сиру: 100 • 15 * 1500 (грн). 2) Вартість доставки: 1500 -0,08 - 120 (грн). 3) Вартість сиру з доставкою: 1500 + 120 * 1620 (грн). 416. Ш видкість вантажного автомобіля 240 : 4 = 60 км/год. Швидкість легкового автомобіля

120

-60 = 72 км/год; він пройшов 72 • 4 - 288 км.

417. Збільшене число: 100 + 100 • 120 - 120

20%

100% Відповідь: 96. 418. 200- ^

22 %

= 120, зменшене число:

100% = 1 2 0 - 2 4 = 96.

= 2 0 — 10% від одержаного числа; 200 - 20 = 180 — зменшене

число; 180- ^

= 18 — 10% від одержаного числа; 180 + 18 = 198.

Відповідь: 198. Рівень Б 419. М аса повітря у кімнаті: 1 оо с а 75% 6* -------75% 2= 104,49 кг. 1,29-6-6------

100%

100% З

Відповідь: 104,49 кг. 420. З а перший день продали 1,2 • 0,2 = 240 кг * 0,24 т. За другий день (1,2 - 0,24) -* = 0,32 т = 320 кг. Відповідь: 320 кг. 421. Задача П іф агора.

Нехай у П іфагора було х учнів, тоді - х учнів вивчас математику, - х 2 4 учнів — досліджує таємниці природи; і х учнів вправлясться силою. М ає мо рівняння: 1

х = --* + —х + - х +3; 2 4 7 14 7 4 х = — х + — х + — jc + 3; 28 28 28

28 * 28' 28 ’ гв" Відповідь: 28 учнів. 422. З а дві години велосипедист проїхав

40% + (100% - 4 ° % ) '”~ ~ - 40%+ 42% = 82% дистанції. Відповідь: 82% . 7 +520 — = 120 + 140 = 260 км. 13 26 За четвертий день проїхали: (520 - 260 - 40) : 2 + 40 = 150 км. Відповідь: 150 км.

423. За перші два дні туристи проїхали 520 •

424. Перший трактор за 2 дні зоре

2 З

поля. Другий трактор —

1 2

поля.

і . +1 > 1 З 2 Відповідь: так. 2

425. За 1 хв спільної роботи крани наповнять

1 4+ 5 9 +- = = = 15 12 60 60

з І 1 3 19 3 19 3 ЛЛ ванни. За 6 _ хв крани наповнять 6 • = = ванни. 20 З 3 20 3 20 20 Відповідь: ні. 426. Розв’язання:

1) Робін зон Крузо знайшов усього зерен: 24 • 54 + 27 • 48 — 24 • 27 • 2 + 24 • 2 «• 27 • 24 • 2 • (1 + 1) = 27 • 24 • 24 • 2 • 2 — - 27-24-4; 2) Вродило в нього - зерен кожного виду і в нього стало всього зерен: З 1 (24 54) • 54 * 1 • (27 • 48) • 48 = 1 • 24 • 27 • 2 • 27 2 + 1 • 27 • 24 2 24 2 = 3 1 3 24-27 4 (27 +24) = * -24-27-2-2-(27 + 24) = '• \ 3) У скільки разів стало більше зерен, ніж знайшов: 24 -27 4 (27 +24) 27 -24 4 _ 24 • 27 • 4 • (27 +24) З" 1 " 3 24■27•4• (27 + 24) 27 + 24 51 _ = ---- —і= • = = 1 7 (разів). З • 27• 24• 4 3 3

27 • 27 -4 ~

Вправи д л я повторення 427. Найменше число — 10 278, найбільше — 87 621. 428. Найбільше число — 87620, найменше — 12670.

-» а

3)5,5- 3 7 = 5 4 - 3 7 = 1 5 8 8 8 8

430. 73.4 - 15х - 51.5; 15* - 73,4 - 51,5: х - 2 1 . 9 : 15; х - 1.46: х • у - 34.31.

(11,7 + у) • 24 - 844.8: 11,7 + у « 844.8 : 24; у - 35.2 - 11,7; у - 23,5.

Відстань дорівнює швидкості руху, помноженій на час руху. Відставок між автомобілями, які рухаються в одному напрямку, з часу виходу лег кового автомобіля з кожним моментом зменшується. Н а скільки швидкість легкового автомобіля більша від швидкості вантажного, на стільки ж зменшується м іж ними відстань за відповідну одиницю часу. 431. Розв'язання: 1) 85 60 - 25 (км/год) — більша швидкість легкового автомобіля. 2) 60 : 25 - 2,4 (год) — наздожене легковий автомобіль вантажний. 3) 85 ■2.4 - 204 (км) — відстань від Вінниці. Відповідь: на відстані 204 км від Вінниці легковий автомобіль наздожене вантажний. 432. Розв'язання: 1) 28 : 7 • 4 - 16 (те.) —■мавпи. 2 ) 28 - 16 - 1 2 (тв.) — решта без мавп. 3) 1 2 : 3 • 2 - 8 (тв.) — крокодили. 4) 12 - 8 - 4 (тв.) — носороги. Відповідь: 16 мавп. 8 крокодилів. 4 носороги прийшли до Айболіта. 433. а)3дг- 1; б) х • 7 - 1; в) 0 .5 * - 1; 1

* * 3 і

х " 7'

1 - 2

14. В заєм н о оберн ен і числа Рівень А

Я кщ о у виразі 7 ' — » 1 в - /і, Ь т т . то дроби — та т- називаються Ь л Ь п взаємно оберненими.

К 5

437. 1, 6 • 0,625 » - • - ш і — взаємно обернені; 2 438.

-• 0,425 в • * 1 — взаємно обернені. 17 17 40

1 . 7. 5 . 4 . 7 . 5. 100. 5 . 20

100' 8' 13 ‘ 4 5 ’ 4 4 ’ 3 ; 17 * Ї8* 147 * 1 4 5 11 10 100 2 100 439. 1 2 ; 5 : 62 ; 1 1 7 : 3 : 7 ; 9 ; 123 *

“>І (І 4)=(І І ) 4=4;в>(5 Зз)

&) 3з =3з;

■>(М °'37) П = 25 П 0' 37 =0-87: Г)

„ 3 1 5 5 7 3

„ 1 3 5 7 5 3

Д> 0 , 2 (2*7 1 5 > г ° - 2 , 5 2,71 = 2,71;

Відповідь: - . 446. З + 1 = 3 £ > 2; ? + о = V = 2 а > 2; 3 3 3 2 6 6 9

+ 10 = 2

> 2;

+ 1 - 2.

Ь 447. а) Я к щ о дріб правильний, то а > Ь, оберненим до нього є дріб — — неправильний. б)* Н і, не могли, тому що одержаний дріб — правильний, а обернений правильному — неправильний. 448. Наймолодшій дитині 5 років, тоді інш им дітям — 7, 11, 13, 17, 19 років. Вправи д л я повторення 449. Нехай одне число — * , друге — 5*, 5* - * - 128; 4 * = 128; х = 32 — одне число, 5* * 5 • 32 - 160 — друге число. Відповідь: 160; 32. 450. Друге судно наздожене перше через х годин. 30* - 25* - 5 * - 10, * ~ 10 : 5 *= 2 години. Відповідь: 2 години. 451. Н а 75 - 67 =» 8 котлів пішло 748 - 300 ** 448 кг чавуну. М аса одного котла — 448 : 8 -* 56 кг. Відповідь: 56 кг. 452. Ділене дорівнює 63 • 3 = 189. Відповідь: 1 8 9 . 453. Дільник дорівнює 285 : 50 = 5,7. Відповідь: 5,7.

15. Ділення звичайних дробів Рівень А Щоб поділити один дріб на другий, потрібно перший дріб помножити а т а п на дріб, обернений до другого: т : — “ Т — . о п о т ЛСТ , 3 • 9 - 3 8 2 457* а) 4 ' 8 " 4 ■9 " 3 •

б )? : 1 - 5 . 4 . 5 . 21; 8 4 8 2 2

в) 4 • 1 = 4 2 - 8 - 1 * 7*2 7 7 4 63 = 1 23 ; Д) 40 10 * 9 " 40 7 З . 45 = 3 77 є) 11 * 77 “ 11 * 45 15 2 з) 2

7 3 7 7 ч 3 5 3 9 27 2 е) ; = - = -= і 5 9 5 5 25 25 8 8 1 2 Ж) 9 ’ 4 = 9 4 = 9 : н) 7 : 4 9 = 7 1 „ V . 41 41 49 287 8 . 8 _ 8 27 9 ‘ 27 9 8

5 3 5 4 8’4 " 8 З 12 # З 12 20 3 1 в) 25 ' 20 25 3 5 21 . 35 = 21 64 * 1 1. Д) 5 32 ' 64 “ 32 35 1 4 16 5 20 459. а) 5 =6 З'5 З 4 ~ З 13 в) 3 7 : 4 = 52 • ^ = ; 15 15 4 15

458. а)

г) 5 : 3 0 = А . Л . X . 32 32 ЗО 192

б ) 2 : 1 3 = 2 ! - 2 = 12 : 8 11 г, « : 1 і 11 11 11 12

д) 7 1 :1 2 = 22 • 9 =6. З 9 3 11 460. а) 4 :2

=4- - = 1 5 12 З 2 ,5 30 7 в) 4 = 6; 7'7 " 7 5 =З Д) I і : І 2 = 5 3 4 3 4 5 4' З 7 7 а • = 2о 2 • 7 461. а : = а 7 З З 7 3

6) 5 5 : 2 5 - « . і - 8 7 7 25 35 16 г) 6 2 : 2 4 = 20 • 7 27 З 7 3 18

16 7 ^ іб = &1 7 3 3 З 0.

4 6 3в)ЇХ = 462. 3 : 8 9

32 1 - - = --;3 9 8

З 2 4*3’

*= 3 4 2

32 • 9 = 8; З 5 1 = 3 9 4 9 2 2 Х 7 ~7 ' 2 2 Х '7' 7і

1 8~ 8’

х = 1;

В) 3 - Х

г) 2 - х = г - %

= 5;

}

* : — 10 • X = 5 З ’ _

X =

t 1

ДС= 5 -- - - = 1 - ; 10 2 2* JC i

1 8

465. а) 2 ; 0 , 3 = - : — =

3 10

» 1

« »

’

д) 0,18 : 1 = 9 • 3 = 27 . З 50 50 б) 8 : 1, 2 = 8 • 5 = 20 ; 9 9 6 27 , _ . З 12 7 . 3 г) 2,4 : = • =5 ; 7 5 3 5

1 .

6 3

І = 2; 5 3

в) 3 . 5 : 2 і - 7 •3 - ? . 1 1 3 2 7 2 2

3’

Сф

, Л

— = 2^; 9 9

г) о , 7 : 2 1 = 7 3 = 3 ; З 10 7 10 4 4 5 466. а) :0,4= • =2; О

. «6 = ч 1 ; х = ---36 1 г)х 5— 7 7 6

=6 2 =6

6)*.?=1І; 5 5

у = 2 \-

: 5 : 24

X -

464. «О * -8 = 4 : * = ї ' з

ь ) у г

5 7’ 24 . 12

Л) 0 ,1 6 :* = ? ? = 3 ® . 9 5 4 5 467. а) 10 - 2 :

= 10 - 2 5 = 10 - 10 = 0;

б) 2 ‘ : 10 + ‘ = 5 ■ X 2 3 2 10 в> К - з і

5 - » i V 1 2 - 18;

г) 2 1 : Г 2 1 - 3 ] = 2 * : 6 = 9

Д)

е)

4 4

^4,2-1 * : 3,5

46«. а) ( 1 2 + 2 1

б) 13

+2 6

7 1« З 12 ;

= 3 = 1 І ;

4 6

5 =<4,2-1,5)-5 = 2,7-5 = 13,5; :8 =

7 2 2

2> 8

7 * 3

5 = 23 6 = 6 ,2

= 1

6 5 13 =4

1 -

З 5

в) 3 * : 5 - 2 і -З2 = 1 0 - 7 2 = 2 1 8 16 3 7 3 3 Рівень Б 4 6 9 .а ) ( о >5 :1 ,2 5 + і | : і і - ^ ] . 11 = | і 1 6)

[ з 1 - 7 ] -6

] 11

Г_® _ 1 33 11

10 _ 7 11

2 11

+ --

і) —

22 + 4 9 - 1 5 _ 56 _ — -----

11 _ 1

9 1 1 * 3 3 10

5 11

1110

- 1 1

1 5

21 _ 14 ^ 8

1 _ 6 3 - 1 4 | 8 - 3 _ 49 | 1 _ 98 -1 1 ; 109

I I ~ 33 ^ з о ’ 1 0 ' * 83 * лг 6 17 7 7 _ 4 7 ). ,1,25 + = : 9 72 Г 7 28 9 _ 7 4

47 4 + 6

17 = 28

9 5

72 5 + 7

ЗО ~3 3 + 6 _ бб' 5 47 5 6 17 -: + --4 72 4 7 28 47 + 7

14 + 35

45 ~ 90 + 28

140

1 43 66 1

" 20 :

.(! ,1 ) , 1 2 17 3 1 17 9 7 17 19 г) +2 1 : 7 — • + = —- + = ♦- = Іч2 2) 2 3 21 7 3 21 21 21 21 21 ._ л

, 2,5 6.3

15.75

. 10_

ТгеІГ ж" и - “ 4 .5 ..]

1 з

,1 6

гг = 1гг:

27-8

• " « ( » “ ■І • ‘ І ) * * - £ •

• И

> Н

* Н

«> ( ! ' “ } І * ’ 5 : ■ ’ г .‘

- *

" М 12

- ї і - *

2 2 9 472. а й а : - , якщ о а - 8 . 8 : - * 8 - - » 3 6 , 8 < 36. 9 9 2 Я к щ о а - 12 — 1 2 : ~ » 1 2 ? » 5 4 . 12 < 54. 9 2 7 7 2 7 9 7 Я кщ о а — 9 9-9 9 2 2 7 7 2 _ < . тобто мвсмо. щ о а < а : ■, при діленні числа на правильний дріб

У •

отримаємо більше число. 473. ай а : 1- , якщ о а - ІЗ . 1 9 9

; 13 :

= 13 •

= 9, 13 > 9.

Я кщ о а - 26; 26 : 1 3 = 26 • 9 = 18. 26 > 18. 9 13 8 8 13 8 9 8 8 8 Я кш о о — • — ; — = —• — в — • > . 9 ’ 9 9 9 13 13 ' 9 13 Тобто маємо, щ о а > а : і \ при діленні числа на неправильний дріб отри-

маємо менше число.

474. а) 3 - : д: = 1 - ; 10

Х = 3 *’ 3 ; х = 2:

. 1 01

6) ^ 1 ^ 3 - ;

Ю ^ ~ 3 у ~ 4;

5’

. 8

1 .

Ю -дг+^І; 2

2 9

^ " 3 ‘ 9, Х ~ 3 8 ; х - 3/4;

Г) 5 і +0,6(/ = 4 : і ; д)

ь{1 ^ - 0 , 2 x 1 = Мх.§-1,

0 ,6у = 16 - 5 л»

у - 10,5 : 0,6;

* -§ • * 13 С 1 х = — =6 -;

У ~ 17,5;

475. а) х : 2 - = 1,5 - ;

3 =3 2 3

. 1/^2 П 6) 4 - - х — = 1,5; 1

2^3 [3

* “ 2 9 8 " 8’

1; е) ? х - ~ х = 2 | ; 7 21 8 16 х = 21 7 16 . ^ х = 7 21 * 16 21 х = ----- ; х = 6. 7 8 2 2

^ " ( г ' э * 2 ) ’ 2

, 1

4 *

— = О 1- х - — - - = — 5 10 4 5 20'

в\ - х + — х 2 3

476. Я к щ о б жінки продавали лимони окремо, тоді ціна одного лимона була б

100 (коп.) — у перш ої ж інки. 2 200 2 грн = 200 коп. 0 (коп.) — у другої ж інки. 1 грн = 100

К О П .- 77-

«5

Середня ціна одного лимона у цьому випадку буде (100 + 200 ( 300 + 40 01. о _ 700 700 1 _ 350 .... : 2 б' Г 6 -2 " 6 2" 6 2 З

2 6

1 3 (коп‘)

Я к щ о лимони продаються разом , тоді їх ціна буде: З грн - 300 коп. 58

= 60 (коп.) 5

< 60, тобто маємо, щ о ціна одного лимона у другому випадку більша,

о тому й отримали за всі лимони більше, ніж планували. 60-58

1 З

2 3

5 3

(коп.) — більше ціна у другому випадку.

Усього лимонів 60 штук, тоді ^ • 60 = 5 • 20 = 100 (коп.) З 100 коп. = 1 грн — отримали більше на 1 грн. Вправи д л я повторення ~ „ ... - , 129,2 + 66,4 195,6 . 477. Середній урожай з 1 га: —- ~ ^ --- = — ^ - = 32,6 ц. Відповідь: 32,6 ц. 478. У 6-А класі навчається 20 : Відповідь: 32 учні.

5 8 = 20 • = 3 2 учні. 8 5

„ _ 100 % = 2 0 га. 479. Площа ділянки становить 7 • •ОКОї' Відповідь: 20 га. 460. Площа меншої ділянки: 24,8 : (3 + 1) - 24,8 : 4 = 6,2 а. Площа більшої — 6,2 • 3 = 18,6 а. Відповідь: 6,2 а; 18,6 а. 481. М аса малої деталі — х кг, маса великої — (2х) кг. 10 • 2х + 36х - 8,4; 56х = 8,4;

х - 0,15 кг - 150 г •- маса малої деталі; 0,15 • 2 - 0.3 кг - 300 кг ~ маса великої. Відповідь: 150 г; 300 г. 482. Перш і 80 км автомобіль проїхав ля 80 : 60 - - години, решту шляху — «5 4 2 2 за 2 - = години, щ о становить 75 - = 5 0 км. Автомобіль подолав 80 + 3 3 З + 50 - 130 км. Відповідь: 130 км. 483. б способами (яблуко — груша, груша — яблуко, яблуко — слива, слива — яблуко, слива — груш а, груша — слива). 16. Задачі на ділення д р о б ів Рівень А Щ об знайти число *а його дробом, потрібно лаку величину його дробу розділити на цей дріб.

487. Група пройде 2 - : — * - ■^ - 3 км; 4 4 4 3 . 1 3 9 5 15 „ З 9 1 9 . 9 . 1 2 : - ■ =3 км; : ■ 2 * =4 км. 4 5 4 3 4 4 4 2 4 2 2 2 1 1 2 4 13 488. Ширина прямокутника 2 :2 ■ 1 м. 2 :1 « 1 м. 3 3 7 3 5 27 489. Один метр тканини коштус 183.75 : 7 і - 183.75: 7,5 - 24.5 грн « 24 грн 50 коп. Відповідь: 24 грн 50 коп. 490. 1 3 ' : 0.03 » 2 7 • * 450. 2 2 3 Відповідь: 450 пакетиків. 491. в - 40 • 40:1 ^ * 160 - = 120 м*. З 4 Відповідь: 120 м*. 492. Розв'язання: 4401 9 , 1 З , З > 4 = 4 2 = 2: 9 2)

5 9 4 9 : 4 “ 4 ’5 = 5

2 = 4 3 ~ 2 1

9 2

3 1

З ~ 2 <«> - ДРУ™ сторои ..

— третя сторона.

9 3 9 45 ♦ЗО ♦ 36 111 ,1 1 3) 4 * 2 * 5 = 20 * 20 = 5 20 (м) “ Відповідь: периметр трикутника дорівнює 5 ^ 493. а) 2 1 : 1 =21-4 = 8 4 : 4 в) 14 : 0.7 - 14 - 1 0 = 20; 7

(м).

6 ) 3 0 : І = 30-® = 4 5 ; 3 2 г) 0.609 : 0.21- 6 0 9 . 1 0 _ 29 1000 21 100

494. а) 25

б) 2 2 : 7 = 2 2 ; в) 3,6 : 0,45 = 8; 4 8 7

г) 0,342 : 0,18 = 1 9 . 10 3 4 495. Площа поля 78 : — = 78 — = 104 га. 4 З Відповідь: 104 га. 496. Розв'язання: 5 6 5 = 250 т.

І---- 1---- 1---- 1---- 1---- >---j

І 250 : 5 ■6 - 300 (т). 6 Відповідь: 300 т маса завантаженого літака. 4 5 ( 497. Залишилося виготовити 120 : — 120 ** 120 • - 120 - 120! 5 4 ^ - 120 •- = 3 0 столів. 4 Відповідь: ЗО столів. ( 2 \ 13 15 498. Треба взяти 52 : 1 = 52 : = 52 • = 6.0 ц цукрового піску. ~^ І 15 у 15 13 Відповідь: 60 ц. ' 499. 10

км — це

5 5 Відповідь: 26 км.

всього шляху: 10

500. а) 36 : 0,15 =» 36 у

2 5

=26 к.м.

= 240;

335 ТГ 1 б> 41: Т оо = 4 1 : ш о ~ 4 1 : з = 41 3 = 123 • 501. а) 7 . 20 = 20 ; б) 3 • 7 .100 = 70. 7 2 15 4 502. Треба взяти 60 : 0,75 = 60 • - = 80 кг жита. 9 Відповідь: 80 кг. 503. З 100 = 25.

Відповідь: 25 учнів. ок 504. S - ЗО • ЗО : 0,48 = 900 • - - = 1875 м2. 12 Відповідь: 1875 м2. 80 7®і ( к л 505. За три дні посадили 96 + 98 : - + 96 : = 96 1 + + 100 100 4 3 - » ( з . , ; ) -= 96 • 12 = 344 дерева. Відповідь: 344. 506. 1) Запишіть 25% десятковим дробом;

2) В одному ящику 5 кг яблук, що становить 25% яблук у другому ящику. Скільки яблук у другому ящику? Рівень Б 3 (3 5 ) [3 37,5% ^ 27 І З ? 507. Маса постаменту 2 ,7 -- -- : — • - : — -- = . 4 4 8 І І 4 100% І 10 І 4 27 27 64 243 , ОЛ = ■= =4,00 т. 10 64 15 50 Відповідь: 4,86 т. 5 0 8 . Горизонтальні дільники становлять

Л 5 З

70%

100% - 30% - 3 0 % - - ^ - = 70% - 21% = 49% шляху. 100% в, _ 49% 49 100 Довжина дороги 24,5 : = -• =50 км. 100% 2 49 Відповідь: 50 км.

_Л

509. Слив завезли 100% - (60% +■25%) - 15%. Усього завезли 45- ^ 15 - 300 кг. Яблук завезли 300-

100

=180 кг. Груш завезли 300--- -- 75 кг. 100

Відповідь: 180 кг; 75 кг. При розв’язуванні задач на спільну роботу слід визначити, яка частина роботи береться за одиницю, адже часто розрахунки проводяться не для конкретних одиниць вимірювання, якими характеризується обсяг робо ти, а для частин роботи, узятої за умовну одиницю. 510. Нехай перша машина виконає всю роботу за х годин. Дві машини вико нають роботу за 6 годин. Половину часу (3 год) машини працювали разом. А другу половину часу друга машина працювала сама 5 годин. Тоді всю роботу друга машина зможе виконати за 5 • 2 - 10 годин. За одну годину обидві машини зроблять — усієї роботи, перша машина — * роботи, 6 х а друга машина — — всієї роботи. Складемо і розв’яжемо рівняння: 1 + 1 = 1 1_ 1 * + 10 6 : х 6

J_ 1 5-3 10 1 х ‘ ЗО ’

1 2 1 1 * = з о : ; = І 5 ' * " 1 6 (гм )Відповідь: за 15 годин виконає роботу перша машина, за 10 годин — друга машина. 511. Нехай обидві машини виконають роботу разом за х годин. Перша маши на за 1 годину виконає

всієї роботи, друга —

1 усієї роботи, а разом 30

вони виконають за 1 годину * усієї роботи. Складемо і розв’яжемо рівняння: х -1+ L - I 20 + ЗО ~ х ;

дг — 12 (год). Відповідь: за 12 годин дві машини можуть виконати роботу. 512. Розв'язання: 1) 4 : 1 • 3 = 12 (сл.) — залишилося після середнього сина. 2) 12 : 2 • 3 — 18 (сл.) — залишилося після молодшого сина. 3) 18 : 2 * 3 - 27 (сл.) — було спочатку. Відповідь: 27 слив було на тарілці спочатку. 20 515. І) 100% - 80% = 20% — сухої маси в траві; 1000--- - = 200 кг. 100 100 2) 100% - 20% = 80% — су х ої маси в сіні; 200--- = 250 кг. 80 Відповідь: 250 кг. 516*. Суха маса у дереві становить 5 • (1 - 0,64) = 5 • 0,36 = 1,8 ц. Через тиждень у дереві суха маса становить 100% - 55% = 45%. М аса дерева через тиждень 1,8 : 0,45 - 4 ц. Зменшилася маса на 5 - 4 = 1 ц. Відповідь: 1 ц. 517. Випив однаково кави і молока, тому що кави була ціла чаш ка, тобто 1. ч 1 Молока він доливав -1 , потім 0 , а потім 1 . чашки, тобто 1 2 3 6 2 це ціла чашка.

1 1 6 ,= 1 — 3 6 6

Вправи д л я повторення 518. а) 8,45 • 9,6 - 7,8 • 8,45 * 8,45 • (9,6 - 7,8) - 8,45 - 1.8 — 15,21; б) 37,5 + (62,8 - 27,5) : 4 « 37,5 - 35,3 : 4 - 46,325. 519. а) 31,2 : х + 6,7 - 31,2 : 10 + 6,7 * 3,12 + 6,7 - 9,82; б) 38,5 + а : Ь - 38,5 + 19,8 : 90 - 38,5 + 0,22 » 38,72. 520. Розв’язання: А ---- 9 км/год С ---► 12 км/год І-------------------- 1------------180 12 км/год -

1000 м/хв •» 200 м/ х в; 60

9 *1000 -г—• м/хв - 150 м/хв; 60 1) 200 - 150 - 50 (м/хв) — більша швидкість Сергія. 2) 180 : 50 * 3,6 (хв) — дожене. Відповідь: через 3,6 хв Сергій наздожене Андрія. 9 км/год -

521. Довжина КІЯ — 3 см 5 мм ч 7 мм = 4 см 2 мм, довжина M N — 3 см 5 мм + + 4 см 2 мм = 7 см 7 мм; Ж жхг - ./І, 7 см 7 мм 7,7 _ M N довший М К у -- —-- = — - = 2 , 2 рази. 3 см 5 мм 3,5 Відповідь: 2,2 рази. 522. 5 - 860 (860 - 360) - 430 000 м2 = 4300 а = 43 га. 523. 16 способів (2 способи — усі монети у кожну кишеню; 8 способів — одну монету + 3 монети; 6 способів — по 2 монети у кож ну кишеню).

17. Перетворення звичайних д р о б ів у десяткові. Періодичні десяткові дроби

Рівень А Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, достатньо його чи7 сельннк поділити на знаменник. Наприклад: — = 0,35. Якщо при діленні чисельника на знаменник будемо мати нескінченний дріб, у якого одна або кілька цифр повторюються в одній і тій же по* 7 слідовності, то такий дріб називають періодичним. Наприклад: ^ ~ 0,1(5). У таких випадках говорять про наближене перетворення звичайних дробів у десяткові. Чистий періодичний дріб — такий дріб, у якого період починається одразу після коми, мішаний — такий, між комою і періодом якого є одна або кілька цифр, що не повторюються. 526. 2 = 0.75; 2 ^ = 2,4; ‘ =0,125; 5 *4 = 5,112; * = 0,(3); 1* =1,1(6). 4 5 8 125 З о 527. З - = 3,5; 2 4 -2,16; 17 =0,2125;

1 =0,(1); 9

З 5 =3,(45). 11 3

528. а) 0,3 + - - 0,3 + 0,75 - 1,05; б) 0,21 +1

- 0,21 + 1,4 = 1.61;

в) 0,36 - ® = 0,36 - 0,15 - 0,21; г) 3,2 - Ц = 3.2 - 0.42 » 2,78. ои

529. а) -- 0,15 = 0,2-0,15 = 0,05;

б) 3 ? +2,125 = 3,375 +2,125 = 5.5; 8

в) 5,4- 4 =5,4-0,16 = 5,24;

г) 3 +2,03 = 0.075 +2,03 = 2,105.

£%)

3 530. Ширина прямокутника: 3,6 — • - 3,6 - 1,75 " 2.85 дм. 4 Відповідь: 2,85 дм. З 531. Швидкість катера за течією: 22,5 +2--— —22,5 + 2,075 = 24,575 км/год; 40 проти течії: 22,5 - 2,075 = 20,475 км/год. Відповідь: 24,575 км/год; 20, 425 км/год. 7 532. Швидкість катера у стоячій воді: 24 ^ км/год - 2,2 км/год = 22,15 км/год. Швидкість катера проти течії: 22,15-2,2 = 19,95 км/год. Відповідь: 22,15 км/год; 19,95 км/год. Рівень Б 533. ^ - 0,1(3); 8

- 3,(90); 8 ^ - 8.41 (6); 1 ^ - 1,(148).

534. ^ = 0.0(5); 2 * = £

=2.1(36); 6 ^ =6.2(3).

535. а) (3.25 + 1 - ) : 2 = (3,25 + 1,25) : 2 = 4,5 : 2 = 2,25; 4 б) (3 7 + 1 2 + 4,15): 3 =(3,35 + 1.4 + 4,15): 3 = 8.9 : 3 = 2.9(6); 20 5 з в) (10 + 9 С + 15,005) : 3 = (10 + 9,375 + 15,005) : 3 = 11,46. о

536. а) І і 0,53. 3 = f'-2 .*-5-*-2 = 60 = 0,60; 0.60 > 0,53. э 5 5-2 5 2 100 б) 0,3 і 1 . З 2 в) 0 і 0,67. 3 1 . г) 7 1 0,15. 537' М 4

і = 0 ,(3 ); 0,3 < 0,(3), тобто 0,3 < . « ** о 2 = 0,(6); 0,(6) < 0,67, тобто < 0 ,6 3 . 3 3 1 100 100. 15-7 105 100 105 1 7 100 - 7 0 0 . 100 7 - 7 0 0 . 700 С 7 0 0 . тобто ? < 0 , 1 5

Л Л = ,ПП =0>75: I =0,7142857 = 0,71; ! = 0 ,8 (3 ); 4-5-5 100 7 6

0,71; 0,75; 0,8; 0.8 (3), тобто ° ;

; 0.8;

Серед двох десяткових дробів меншин (більший) той дріб, у якого число цілих — менше (більше); якщ о цілі частини однакові, то той дріб мен ший (більший), у якого число десятих — менше (більше); якщ о число десятих однакове, то порівнюють соті і т. д. П ри округленні користуються таким правилом: якщ о перша з відкину тих цифр менша, ніж 5, то останню .1 залишених цифр не змінюють, а якщ о перш а з відкинутих цифр більша, ніж 5, то останню залишену цифру збільшують на одиницю.

сх X X ш X о о: О с

538. Усього автомобіль проїхав 48 км + 43,2 км +4 4 — км = 135,75 км. Се20 редня швидкість автомобіля 135,75 : 3 ■ 45,25 км/год. 17 539. Швидкість другого туриста становить (9,3 ~ 4 ’ 1) : 1 “ 9,3 - 4,85 - 4,45 км/год. Відповідь: 4,45 км/год. 540. Другий пішохід пройшов: 4.9 к м / г о д -1 год = 4,9 км. Перший пройшов: 9 — - 4,9 = 4,725 км. Його швидкість 4,725 : 1 = 4,725 км/год. Відповідь: 4,725 км/год. 541. У вівторок о 6 годині ранку гусениця буде на позначці 6 метрів. їй залишилось піднятися на 3 метри вгору. Знайдемо, за скільки часу вона піднімається на 1 метр: 12 год = 720 хв, 720 : 5 = 144 (хв), тобто на 1 метр вона піднімається за 144 хвилини. Н а 3 метри їй потрібно 144 • 3 * 432 хв * 7 год 12 хв. 6 год + 7 год 12 хв = 13 год 12 хв. Відповідь: у вівторок о 13 год 12 хв гусениця підніметься на висоту 9 м.

Вправи для повторення 542. а) 2,45 = 2; 7.87 = 8 : 24.9 =* 25; б) 1,542 = 1.5; 0.1118 * 0.1; 5,757 * 5.8; 0.02 * 0. 543. Нехай угору лижник пройшов х км, прямолінійно — (х + 1), згори — (х + + 1,4) км. Усього пройшов: х + х + 1 + х + 1,4 або 10,5 км. Зх + 2,4 - 10,5; Зх - 8,1; х - 2,7 км — вгору. 2.7 + 1,4 - 4,1 км - 4 км 100 м пройшов згори. Відповідь: 4 км 100 м. 544. Нехай на другому складі стало х ц борошна, на першому — 2х ц борошна, х + 2х + 175 + 210 - 760; З х * 375; х - 125 ц стало на другому складі, на ньому було 125 + 210 - 325 ц борошна; 2 • 125 " 250 ц — стало на першому складі; 250 + 175 • 425 д борошна було на першому складі. Відповідь: 425 ц; 335 ц. 4 1 15-6-5 4 545. У третьому альбомі 1 - ттг ~ г * -- 7 7 -- * — усіх марок, ідо становить 10

4 15 60 марок, 60 ; ^ = 60 - ^ “ 225 марок було в Олега. Відповідь: 225. 18. Вправи на всі д ії з і звичайними д роб ам и Рівень А П оряд ок дій: 1) піднесення до степеня; 2) м ноження та ділення; 3) додаван ня і віднімання. Д ії одного степеня виковуютмгя у будь-якому порядку.

[ 1 ^ 1 1 ] . З ^ О +5 - в . З . 7 5 ( 4 * 8 ~ 5 ] * 55 Т 40 ' 55 40 З 3

24 ;

5 Î

І )

( ï

i ) J i

l ï

f i

£ ï=

e j [5 5J \8 8J [ 5‘ S J \ 5’ 8J

= і

2 2

1 1 2 2= 4 3 3 9 9~ 2187 ; 2 2 2 7 7 7 7 7 3 3

2 7 2 7 2

3 7

63*

549. 3 = 0,6; 7- = 0,35; * = 0,625; 9 = 0,36. 5 20 8 25 6 550. a) ~ ї ~

4-7

6-5 _ 30

3 4

4 4

16 ; 16 > 1 6 ’ To6t° 4 > 16 ;

13 2

7-3

18 2

36* 12 3

3 6 ’ 36 > 3 6 ,т0бт0 18 < 12* 1 2

551* a ) 8 * X = 4 »

3 “ 3 5 1

I 2

x m* al3 l

7 4 X

6-7 * 3 5 ’ 7 5 * 35* 35 < 3 5 ’ Т0бТ0 5 < 7 ;

1 5

X ------ ;

3 3»

8 ’ 1 ;

X = -

9 *

Відповідь: x = 32 1 1 8)

Відповідь: x = 9

r) 2 — г x = 3 — ; Г) 3 5 *

1 3 X = 5 :

x=22 :3 *; 3 5 * 8 18 8 5 . x =— x = —: — 3 18; 3 5 4 5 20 x = 3 9 27 20 Відповідь: x = — . 27

JC = — : 1 — ;

5 3' 3 3

X =

Відповідь: x - -20

Рівень 6 552. a) 14 3 + 1 -16 7 I 8 4

1 -

= 1 4 3 + 2 —16

= 14 — 16 7 = 14 5 -14 =

« 40n 1 1 - f\3- n 1 1 1b

16 Усі ГЛ Р. 6 кд

8 ’

6 1 = 4 0 2 - 3 1 " . 1 = 3 9 13 31 11 11 11 31 11 11

9 = 39 4 11

в) 8 ,5 ( 1 6 ,1 7 - 13,97) ♦ 4 - : 1 1 = 8.5 2 .2 * - - - = 8 6 8 7 = 18,7+ 1 5 = 18.7 ♦ 3,75 = 22,45; 4 г) f 3 2 + 1 2 2 «-2-3 1 ): 1 = [ і 4 + в + 2 4 _ б )-36 = 14 2 6 -36 г 530; [ 9 3 6,1 36 ^ 36 j 36 д, 2 2 2 : l , 3 - 2 . f 5 1 + l 1 - 2 3 ) - 1 5 6 7 v 7 2 14 j 7

1 0 - 2 - 7 2 +2 1 - 3 1 =

120 62 58 а 2 = 7 • 7 = 7 * 7 ' 2 3- - 0 ,0 1 0 5 :0 ,0 0 7

—

-3

9Ù

11 20

її ‘

5__ і __________ ____ 3—4__ 2 я 2_2 = 2° = і 1 3

’

3 ~4

52 40

30 40

»3. 1 ' 8 *

1 _ 1 16 _ 2 16 ' 8

65 :

4 _ 5

’ 16 13 “ 4 ;

..5 . 1 5 8 2 3) ;3 = = ; 4 8 4 25 5

. 2 . 5 ... 4) 6 : = 6 - =15; 5 2

5) 6 : 1 - 6 9 - 5 4 ;

4, 2 1 : 1- . 2 1 . 4 - 2 1 . 1 0 і ; « 7 : 2 і - 7 . 2 - 2 . ' 8 4 8 2 2 2 21 З 554. а) 8 ( 4 х ♦ 5у) ♦ 3 - = 8 •! 4 -2 - ♦ 5• 1.5 1♦3 - - 8 • 17 ♦3 - = 139- ;

6,2|х-8У:(З х - П .8 ,.г І 4|-8 І : ( 3 4 І - Н І | = _ 14 25 5 6 35 5 -----------------= 3 7

1 .( 2 5 59 ] 35 2 ‘ ( ‘2 5 J " З 245-15 20 ------------------------- = 10 — ; 21 21

1 . 125 - 1 1 8 в 35 _ 1 10 2* 10 в 3 ~2 7

М і (1 0 2 0 8 * 9 - 1 (2 3 в) 4.25 : х > у - ♦ ----- І = 4 : 3 - ♦ 8 -------У ІЗ Л 12 ; 4 5 12 17 5 32 , 1 л2 . , 3 +8 ,,11 ---- — + =1 +10 =11 - = 11— . 4 17 3 4 3 12 12 555. а) З х + 4у + 0,5, я к щ о х = 2 - . З

у = -;

3 2 ^ + 4 —+ 0,5 = 3 —+ —+0,5 = 7 +0 ,5 + 0,5 = 8; 3 8 3 2 1 1 3 2 б) 5 х - Зу + , як щ о х = - , у = - ;

• ї ї . . . . * . » . . , . 3 8

в). о2

4 3

4 4 *

^ 1 1 : х + у : 4, якщ о х = ,і/ = ,1;

_ 1 1 , 1 . 7 3 6 1 2 — : - + 1- : 4 = —• — + —• — 3 3 5 3 1 5 4

6 ^ 3 „ З 7 + --- 7 + — —7 — 20 10 10

556. а) 4 - 3-Л 5 10 V 3 81 = 4 ’ 4 ■ ~ 10 ■— 27 = 4 *4 ■° * 1 = 4 *3 =

0 ,7 . ЗО - - • — = 21 - —• — = 21 - 16,75 = 4,25 = В ; А > В; 2 67 2 2 б) 1 1 1 : ( 2 2 + 6 ? ) = ^

9 [

= 100.А

3 3 7 23 4 4 - : 5-+ 3 ,2 - 2 - = — — + 3,2 - 2,875 - 0,8 + 0.325 = 1,125 - В ; А > 5 4 о 5 2.6 1

5 5 7 . а ) дг: | + і і

= 2 § ;

б) 1 4 і 2 3 - У

х : - = 1--- ; 5 8 11 2 11

- ( і —

У : — = 2,5; 15

15.

44’

* Н

3 7 2 3

_35_24. 4 !/“ і 0 10' _ и 4 _ 22 _ г_7_ 10 3 “ 15 “ 15 '

х = 5 — : 10 —; 15 4 15 41

3 4

15*

д ) ( 2 ^ + З І ) : х = 10,25;

г ) , -5 : ( 2И 3

2 - + - * / = ---- ;

5 х = —.

х =

_ 9 +5 5 11 2 --- х = ---15 2 15 = И

02 9 4 2 — V ----- ; З 4 5 = 40 _ 27 = 13

5- 2

Є) 4б г - 3 ( 21 + І г) = П; 4 і г - 3

? - г = 11; З

— 2 = 19; 2 = 19 “ = 6. 6 19

19. Те ксто в і задачі 559. Р = 2,4 + 2 • 2,4

Відповідь: 8 см. 560. З а

з ®

години

12 10 7) 1 - = 2,4 1+ ~ = ----- = 8 см. 6 З 5 З

літак пролетить 600

= 225 км;

М АТЕМАТИКА Г. М. Янченко, В. Р. Кравчук Ш 483

9*4

за 1 г~ години — 600 • 1 = 600 • - = 625 к и. 24 24 24 З 33 561. Д овж ина залізниці становить (55 ♦ 60) 6 - = 1 1 5 -- = 759 км. 5 5 Відповідь: 759 км. 562. Розв'язання: 16 км - 16000 м; 1 год - 60 хв; Д ™>А - 60 1: 15 = 4хв;

16000 м : 4 хв - 4000 м/хв - 240 км/год. Відповідь: 240 км/год швидкість боліда. 563. Розв'язання: 6 1 м = 6,5 м - 650 см; 650 см : 50 см - 13 шматків.

Відповідь: 13 шматків дроту одержали. 564. Розв'язання: 1 кг - 1000 г; 10 1 кг » 10,5 кг = 10500 г;

1 кг = 1000 1: 8 = 125 г — у кожному пакеті.

10500 г : 125 г « 84 пакети. Відповідь: 84 пакети одержали. 565. Розв'язання: Нехай один шматок х м. тоді другий — Зх м. Мотузка завдовжки 18 м. Складемо і розв'яж ем о рівняння: х + Зх - 18; 4х -* 18; х - 18 : 4; х - 4.5 (м) — перший шматок. 4.5 • 3 - 13,5 (м) — другий шматок. Відповідь: 4.5 м — довжина першого шматка; 13,5 м — довжина другого шматка. 566. Розв'язання: З

1)1 - 4

1 4

— горобців залишилося.

2) 36 • 1 : 4 - 8 (гор.) — залишилося. Відповідь: 8 горобців залишилося. 567. Розв'язання: 8 : 2 • 7 - 28 (р.) — матері. Відповідь: 28 років матері. 568. Розв'язання: 1) 80 • 3 : 40 - 6 (хв) — реклама. 2 ) 80 ■ * 6 ** 8 6 (хв) —- фільм з рекламою. Відповідь: 8 6 хв триває фільм з рекламою. 2 3 2 569. Перша сторона — 6 г • * 2 см. інші дві — (6,4 - 2 ,4 ): 2 - 2 см. Відповідь: 2 см. /

570. Гречкою засіяли 240 ■ 1 Відповідь: 144 га.

|- 240 • г = 144 га.

571. Відстань м іж селами становить 3 ,6 : Відповідь: 6,3 км.

18 ^ 63 = -• = = 6 , 3 км. 4 1

572. Маса міді у сплаві становить 3 -(1 - 0 ,4 ) * 1,8 кг. Відповідь: 1,8 кг. 573. Розв'язання: 1) 6 00 : 100 • 14 =» 84 (грн) — прибуток за рік. 2) 6 00 + 84 = 684 (грн) — матиме через рік. Відповідь: 684 грн матиме на рахунку вкладник через рік. 574. Розв'язання: 1) 180 : 100 • 15 * 2 7 (грн) — зниж ка. 2) 180 - 27 - 153 (грн) — стала ціна. Відповідь: 153 грн став коштувати костюм. 575 ..Розв'язання: Пароплавом злочинець проплив 75% того шляху, що проїхав поїздом, тоб то на 25% менше, ніж поїздом, або на 40 км менше. Маємо, що 40 км — це 25% шляху поїздом. 1) 40 : 25 : 100 « 160 (км) — проїхав поїздом. 2) 160 - 40 - 120 (км) — пароплавом. 3) 160 : 2 = 80 (км) — автомобілем. 4) 160 + 120 + 8 0 » 3 6 0 (км) — усього. Відповідь: 36 0 км подолав злочинець всього. 576. Розв'язання: 1) 100 - 15 - ЗО = 55% — акціонерні товариства. 2) 55 : 100 •6 0 = 33% — закритого типу. Відповідь*. 3% усіх підприємств становлять акціонерні товариства закри того типу. 577/ Довжина товарного поїзда 3 - - (15 + 12) = 2 7 -----= 90 м.

Відповідь: 90 м. 578. Розв'язання: 1) 100 - 25 - 75% - решта. 2) 75 : 100 • 55 « 4 1 ,2 5 % — з ’їв другий товстун. 3) 100 - 2 5 - 4 1 ,2 5 - 3 3 ,7 5 % — з 'їв третій. 4) 3 ,2 : 100 • 3 3 ,7 5 - 1,08 (кг) — з ’їв третій товстун. Відповідь: 1 ,08 кг торта з ’їв третій товстун. 579. З другого ящика треба забрати (ЗО •(1 - 0 ,4 ) - ЗО • 0 ,4 ) : 2 = -» 30 •(1 - 0 ,4 • 2) : 2 «= 3 кг. Відповідь: 3 кг. 580. Розв’язання: 2 3 3 1 1 = — решта молока. 2) - •- = — випив Мурко. 5 5 5 3 5 2 1 3 3 2 3) + = — разом Барбос і Мурко. 4) 1 = — залишилося. 5 5 5 5 5 5) 1,2 : 2 •5 - 3 (л) — було спочатку. Відповідь: 3 л молока було в каструлі. 581. За 2 години спільної роботи обидва трактору зорють 1) 1 -

9 2 - і 1 , 1 = 29 - 9 - = __поля. 40 20 І 8 10

Відповідь:

' д

583. Розв’язання:

1 За одну годину вантажний автомобіль проїде ^ частину шляху, а легковий — О

1 0 1(* 1 (3 5 - частину шляху. За одну годину разом вони проїдуть + = части£ 3 2 6 ну ш ляху. Увесь ш лях візьмемо за одиницю, тоді вони зустрінуться через

1=6=,(«*)• 1 год - 60 хв. 60 • 6 : 5 - 72 (хв) --- зустрінуться. 72 хв - 1 год 12 хв. В ідп овідь: через 1 год 12 хв автомобілі зустрінуться. 5 8 4 . Р о з в ’я з а н н я :

Нехай другий тракторист зоре поле за х годин. За 1 годину перший тракто-

риет зробить “

частину роботи, другий — ^ частину, а разом вони зроб

лять - чвстину роботи. Складемо і розв’яжемо рівняння:

і +і_ і

і - А . А= 1

10 + х 6; х 6 10 1 х 3 0 ’ х ' 15 ! х * 15 (год) — другий тракторист. В ідп овідь: за 15 годин другий такторист може зорати поле. 585. Р озв'я зан н я : Нехай на х днів гусям і качкам вистачить корму. За один день качки

з ’ідять — корму, а гуси — „ корму. За один день разом вони з'їдять 30 45 х корму. Складемо і розв'яж ем о рінняиня:

і і.і, 2 і.«1

30 + 45 = х ; 90 “ х ; 18 х ; х - 18 (дн). В ід п о відь: на 18 днів вистачить качкам і гусям разом. 586. Було заготовлено 2 400

0 .2 - 2 4 0 0 '

З • 1 = 180

саджанців грабів.

В ід п о відь: 180. 587. Третю годину автомобіль іль мас іпроїхати зі швидкістю 2 1 0 - 2 1 0 - 4 - 2 1 0 - : 1 - 2 10 15 “ 4 " 6 « 210

&І

1 *■ 7 0 км/год.

В ідп овідь: 70 км/год. 588. У першому і другому ящиках 63

•

5 12

318

- 3 7 ,1 кг слив, у друга*

му і третьому — 6 3 ,6 ■0 .7 - 4 4 .5 2 кг слив. У третьому ящику 63.6 - 37,1 «• - 2 6 ,5 кг глив, у першому 6 3 ,6 4 4 ,5 2 1 9 ,08 кг слив, у другому — 6 3 .6 - 26 .5 - 19.08 - 18.02 кг слив. В ід п о відь: 19,08 кг; 18.02 кг; 2 6 ,5 кг. 589. Третій трактор зорав 21

5 ( с\ о 21 •^ = 2і| 1 ! = 21 •^ = 6 га, другий зорав —

21 - 21 •0 .6 - 21(1 - 0 .6 ) = 21 0 ,4 » 8.Л га, перший — 21 - 6 - 8 ,4 - 6,6 га поля. В ідп овідь: 6,6 га; 8 ,4 га: 6 га. 590. Р - 4 ,5 ; 0 ,3 - 9 • 10 - 15 см; 2 З

5 = 4 ,5 (15 : 2 - 4 ,5 ) - 4 ,5 (7 ,5 - 4 , 5 ) = 1 3,5 см2. Відповідь: 1 3,5 см2. 591. Площа городу становить 4 5 0 : (1 - 0 ,7 ) = 4 5 0 •— = 1500 м2. З Ширина городу — 1500 : 60 = 25 м. Відповідь: 25 м. 5 1 592. Висота акваріума становить: 84 : 0, 8 : (7 ,5 ■4) = 84 • • - ■ - 3 ,5 дм. 4 ЗО Відповідь: 3 ,5 дм. 593. Нехай маса сплаву х г, тоді міді у ньому 0 , 4 * г, а срібла — (1 - 0,4)х — — 0,6л: г; 0,6л: - 0,4л: = 200; 0,2л: - 2 0 0 ; х — 1000 г ~ 1 кг — маса сплаву. Відповідь: 1 кг. 594. Робітник мав виготовити 09 • Ю0% + 15% 100% __ 92: — = 92 • = 8 0 деталей. 100% 115% Відповідь: 80. _ОІ. ІТ і 1 1 60-5-3 13 м 595. Цегла становить 1 ------ = — — = усіх матеріалів. Матеріалів 12 20 60 15 А 13 13 15 _ привезли 6 , 5 ; - = = 7 , 5 т. 15 2 13 Відповідь: 7, 5 т. 596. Нехай у бочці було х л води, спочатку відлили 0,5л: л води, потім 0 ,5 • * х л. 1 Усього відлили 4 0 л, або (0,5л: + 0 ,5 —л:) л води. З 0,5л: + 0 ,5 • ~ х - 40; «і

0 , 5 * (1 + і ) = 40; 0 , 5 * - 40 ^ ; о 4 х - 30 •2 * 60 л води. Відповідь: 60 л. 597. Перший самоскид вивіз 1 - 0 ,4 - 0 , 3 = 0 ,3 усієї руди. Було заготовлено 120 : 0,3 - 120 10 = 4 0 0 т руди, о Відповідь: 4 00 т.

(

25 ^ 142 І

17 =51: 42

Швидкість автомобіля — 126 ^ : 1 = 75 км/год. 42 Відповідь: 126 км; 75 км/год. 599. Площа поля становить: 9 -4 -3 9 9 -8• - 36га. 8 :: [ 1 - 4 - 1 - 8 .

3 ,

Відповідь: 36 га. 600. У цистерні спочатку було: Г, 1 5А 0 3 0 - 2 - 2 5 0 30 ол , = 2 : -------------- = 2 = 20 т бензину. 1 --------15 6 30 З

42 =5117

- = 1 2 6 км.

0 1 2 7 - 6 1 . . . . 601. З км становить - - - = — = —- відстані між містами. Відстань між 3 7 21 21 містами становить 3 : - = 3 •21 = 63 км. 21 Відповідь: 63 км. 602. Довжина дистанції становить: 12 # 2 5 - 9 - 8 2,4 : (1 - 0,36 - 0 ,36 •8 ^ = 2,4 : ^ 1 - 9 - 9 8 1 = ( 9 ^ 25 25 9 ; 5 : 25 12 25 = • = 7,5 км. 5 8 Відповідь: 7,5 км. 603. Початковий вклад був: 180: 1 - 1 - ( і - М - 2 ) = 1 8 0 : ( — 2 - 2 ) = 1 8 0 : 6 = 1 8 0 - * =450 грн. З 3 5 3 3 5 15 2 Відповідь: 450 грн. 604. Другий автомобіль їхав: 55 : 60 * ** години. Другий за цей час проїхав АЛй

л 3 5 теж 55 км. 55 •2 = 110 км становить 1 - = шляху. Увесь шлях становить о

8 3 11 66 55 110 - = 176 км. Перший автомобіль їхав 176- : 60 + = + = 5 8 12 60 60 = 121 - 2 1 = 2 год 1 хв. 60 60 Відповідь: 2 год 1 хв. 605. Розв'язання: Нехай обидва оператори зможуть набрати текст за х днів. 1 За один день перший оператор набере ” частину тексту, а другий — 1 1 - частину. Разом за один день вони наберуть частину тексту. 4 х Складемо і розв'яжемо рівняння: 1 1 1 7 1 12 5 ---- ; х — і г ; х = 1 — (дні) — потрібно двом операторам. •5 4 X 1£ ДГ і 7 1 - д н і < 2дні, тобто 2 днів буде достатньо. 7 Відповідь: обидва оператори, працюючи разом, зможуть набрати текст за 2дні. 606. Суха маса у 340 кг свіжих яблук становить 100% - 8 5 % ,, 340= 51 кг. 100 % 100% - 8 5 % Маса сушених яблук становить 51 : = 6 0 кг. 100 % Відповідь: 60 кг.

Розділ НІ. Відношення і пропорції § 4. Відношення і пропорції

Віднош ення — число, яке показує, у скільки разів одна величина більша за іншу або яку частину одна величина становить від іншої. Числа, які входять до складу цього відношення, є його ч лен а м и . Перше — попе редній, друге — наступний. Властивості відношення: т т п 1) - = -г---п Ь -п 2) Відношення величин можна замінити відношенням чисел: 15 см : 3 см « 15 : 3 - 5 : 1. 3) Відношення великих чисел можна замінити відношенням менших чисел: 1 2 0 : 1 0 «* 12 : 1. 4) Відношення дробових чисел можна замінити відношенням цілих чисел:

ПОЯСНЕННЯ

20. Віднош ення. О с н о в н а в л а с т и в іс т ь віднош ення

7 6 21 12 : = : • = 2 1 : 12. 2 3 6 6 5) Відношення можна замінити відсотками або відсотковим відношен ням: 7 : 8 = 0,875 = 87,5%. Р івень А 609. а) 37 5 : 15 - 25; в )1 5 :4 5 = 1; З д) 3 ,5 : 0,7 » 5 : 1 - 5 ;

б) 102 : ЗО - 17 ; 5 - 3 \ \ 5 г) 130 : 6 2 = 5 : 2 = 2 * ; 2 е) 0 ,7 2 : 1,2 = 3 : 5 - 0 ,6 ;

е) * : * = 2 : 1 = 2 ; ж) 1 . 4 : 2 ® = 7 7 : 1 4 0 = 1 1 : 2 0 = 0,55. 3 6 11 • 610. а) 3 дм : 2 дм в 3 : 2 = 1,5; б) 2 дм : 100 см — 2 дм : 10 дм — 1 : 5 - 0 ,2 ; в) 1 м : 5 дм - 10 дм : 5 дм = 2 : 1 = 2; г) 1 т : 25 ц * 10 ц : 2 5 ц • 2 : 5 » 0 ,4 ; д) 2 ц : 4 0 0 к г * 2 ц : 4 ц - 1 : 2 - 0 ,5 ; е) 2 грн : 50 коп. - 2 0 0 коп. : 50 коп. - 4 : 1 * 4 . 611. а) 18 : 12 - 3 : 2; б) 4 ,5 : 1 ,05 - 30 : 7; в) 0 ,5 : 1 = 3 : 2; о і 2 1 г) : 1 = 20 : 3; д) 4 : 1 = 4 : 1 ; е) 24 0 г : 3 6 0 г - 2 : 3; З 10 3 6 є) 25 см : 4 дм == 25 см : 40 см = 5 : 8; ж ) 2 кг : 8 ц » 2 кг : 8 0 0 кг = 1 : 4 0 0 ; з) 3 грн : 120 коп. = 30 0 коп. : 120 коп. * = 5 : 2 . 612. На першому полі врожайність більша у 4 8 : 3 6 = 4 : 3 “ 1 * рази. З Урожайність на другому полі становить 36 : 48 = 3 : 4 - 0 ,4 8 частину врожайності першого поля.

613. 4 : 3 .2 = - — У стільки разів друга труба довша від п ертої; 3 ,2 : 4 - 4 — 4 5 стільки становить довжина першої труби від довжини другої. 614. 10 : 6

^ — у стільки разів весь маршрут більший за частку, що

припадає на околиці. На околиці припадає 6 : 10 = ^ маршруту. 615. Заасфальтовано 4.2 : (4.2 1.8) - 4.2 : 6 » 7 : 10 —0 .7 частину дороги. Не заасфальтовано 1 .8 : 6 - 3 : 10 - 0 .3 частину дороги. З Нсзаасфальтовниа дорога становить 1.8 : 4 .2 - 3 : 7 „ заасфальтованої. Заасфальтована дорога довше у 4 .2 : 1.8 = 7 : 3 616. а) 50 : 150 - 1 : 3 ;

2 * рази. О б) 150 : 225 * 2 : 3; 300 2 г> « 0 * З

») 18 : 72 - І : 4 ; 617. а) 125 : 50 - 5 : 2 ;

б) 17 : 102 - 1 : 6 ; г) 72 « 1 . 216 З

в) 112 : 48 ® 7 : 3; 618. а) 0.3 : 0. 27 - 30 : 27 - 10 : 9; 6 )0 .0 3 : 1.2 - 3 : 120 - 1 : 40: 619. а) 1.5 : 0 .3 - 5 : 1; 6 ) 0 .0 2 :2 ,2 - 1 :1 1 0 ;

в) 1 : 2 « 5 : 8 ; г) 1 . 5 : 3 1 - 9 : 2 0 .

в) 1 : \ * 3 : 2 ;

г ) 1 * : 2 І -4:5.

50 1 620. — - “ - частину. 200 4 7 621. 4 т - 4000 кг.

840 84 42 21 « = = частину. 4000 400 200 100

622. 5 ц 20 кг - 520 кг. 520 * 52 * 6 .5 разів. 80 8 623. 4.5 м - 450 см.

ІСЛ

- 30 разін. 15 624. 1) 1.5 + 0 .7 5 - 2 .2 5 (м*). 2) 2 .2 5 : 1.5 - 1.5 (разів). 625. Р озв'я зан н я : 1 ) 18 • 2 : 3 = 12 (горил). 2) 1 2 : 2 - 6 (о р а н г у т а н г ів ).

3) 18 » 12 + 6 - 3 6 (мавп) — усього. 6 _ 1 4 > 3 6 = 6 <частикУ>в ід п о в ід ь : ^ частину всіх мавп становили орангутанги. 626. Р озв'я.іапня: 1) 0 .3 кг - 3 кг;

5 грн 4 0 коп. = 5 4 0 коп. 5 4 0 : 3 • 10 — 1800 (коп.) — коштує 1 кг сиру. 2) 4 грн = 4 0 0 коп. 2 5 0 г = - к г ; 4 0 0 : 1 • 4 - 1600 (коп.) — коштує 1 кг бринзи. 4 1800 = 1,125 і , о , рази. 1600 Відповідь: у 1 ,12 5 рази дорожче коштує 1 кг сиру. 627. Розв’язання: 4 1) 0 , 4 к г = — к г ; 10 4 грн 80 коп. *■ 4 8 0 коп. 4 8 0 : 4 • 10 " 1 200 (коп.) — коштує 1 кг цукерок. 2) 200 г = 1 к г ; 5 1 грн 20 коп. = 120 коп. 120 : 1 • 5 = 6 0 0 (коп.) — коштує 1 кг печива. 0 ,1 2 0 ° « 6 0 0 = 2 р*™Відповідь: у 2 рази дорожче коштує 1 кг цукерок. 628. Розв'язання: 1) 2 км - 2 000 м; 0 ,5 год = ^

год; 2 0 0 0 : 5 • 10 - 4 0 0 0 (м) — Андрій за 1 год.

2) 15 хв = 1 год; 4 20 : 1 •4 = 8 0 (м) — черепаха за 1 год. 4000 80~ разів. Відповідь: у 50 разів швидкість Андрія більша від швидкості черепахи. 629. Треба перевернути число 6 6 6 , і отримаємо число 999. 630. Є (3 • 5) варіантів вибору. 631. 6 способів: 1 - 2 ,3 ; 1 - 3 ,2 ; 2 - 1 .3 ; 2 - 3 ,1 ; 3 - 1,2; 3 - 2,1. Рівень Б 632 а ) 1 і * 5 8 х ~ 16 ’ 5 5 5 Х ~ 16 8

= ї5 : ; _ 25 ~ 128 *

.7 5 = -—• В) х ‘ 1 -з -“ 66»75 ;

3 у 11 _3. У 7*

= 11 7 1

2 5 г)І 1 - - ^ : 2 - = - ;

Х . 1 І = 7.5; Х З . 15 3 х —— - — • х 2 5* 9 * = -- = 4 ,5 ; х 2 633. У чотирьох цистернах стало Відповідь: 39 т.

.12; 5 24 5 , 2 5 = 1 ----------- 10 1 0 * 7 = — =0,7. 10 38 - 2 + 3 = 39 т.

В и п а д к о в а п о д ія — подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування. І м о в ір н іс т ь — це числова характеристика можливості появи випадко вої події за певної умови, яка може бути відтворена иеобмежеку кількість разів. ім о в ір н іс т ю в и п а д к о в о ї п о д їі називається відношення кількості еле ментарних полій, я к і сприяють цій події, до кількості всіх однаково можливих несумісних подій, які утворюють помну групу подій під час певного випробування, імовірність позначають Р (Л ) — — , де л — загальна

кількість однаково можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу; т — число елементарних полій, які сприяють події А. 634. а) неможлива; г) вірогідна; б) випадковії: д) випадкова; в) неможлива; е) випадкова. 635. а) випадкова; г) випадкова; б) неможлива; д) вірогідна; в) випадкова; е) неможлива. 636. а) А — більш імовірно; В — менш імовірно; б) А — менш імовірно; В — більш імовірно. 637. а) А і В — рівноймовірно; 6М — менш імовірно: В — більш імовірно. в) А і В — рівноймовірпо. 638. а) готуватимуть уроки; б) підуть на озеро. 639. а) рівноймовірно; б) «Максим вибрав картку з числом, кратним З»; в) рійноймовірно. 640. а) «контролер вибрав небраковану деталь»; б) «контролер вибрав деталь першого сорту*; в) рівно ймовірно. $41. Чорних шапок більш е, тому ця подія с більш імовірною. 642. Р озв'язан н я: 1) 9 : 3 * 11 — 33 (р.) - матері. 2) 33 : 3 • 5 - 55 (р.) - бабусі. В ідп овідь: 55 років бабусі. 643. 0 ,3 7 5 ; 0 ,1 7 5 ; 0 .5 5 ; 0 ,2 8 5 7 1 4 2 . * ЗО; б) : 1= 2• 6= 12- 4;15 3 6 3 1 3 в) 7.8 : 0 .1 2 - 65.

А 6 Л4Л4 .а

)

645. За 1 годину першою трубою можна заповнити

* частину басейну, а

другою трубою — * частину басейну. За 1 годину двома трубами можна

6 1 1 1+2 3 1 , х заповнити * = = частину басейну, тобто половину. 6 3 6 6 2

Таким чином, цілий басейн можна заповнити двома трубами за

2 го д и н и .

646. Може випасти тільки 2 варіанти: або «герб», або «число*, тому

ймовірність: а ) ^ ; б ) * - Таке жеребкування справедливе, бо ймовірності С*

Сл

рівні. ч 4 1 996 498 249 647. а) = — ; б) — = - = . 1000 250 1 000 50 0 250 адя

ч а)

2500 1 97500 195 - — = — і б )- — = . . = . . 100000 40 100000 200 40

XV 20 4 649. Біла кулька — - - = ; жовта кулька — 25 5 ч8 2 _ч12 З 650. а) - = ; б) - = 20 5 20 5 З 6 5 1 - 1065

130 _ _65_ 69 6 ” 3 4 8 ’

1 8 2 + 73 _ 25 5 _ 8 5 § 69 6 “ 696 ” 2 3 2 ’

5 1 = . 25 5

146 + 130 + 165 = 441 696 ~ ' ” б 9 б'

653. Серед чисел від 1 до 24 е 8 дільників числа 24. Усього чисел 24. Тоді 8 1 ймовірність дорівнює 24 = з ' 654. Іра могла набрати одну з десяти цифр від 0 до 9 , тому ймовірність дорівн ю е 1‘0 .

655. а) Усього дітей у двох класах 1 6 + 1 2 + 1 4 + 1 6 “ 58 , а дівчаток усього — ЗО _ 15 16 + 14 - ЗО, тому ймовірність дорівнює 53 “ 29 * б) Усього дітей — 5 8 , хлопців із 6 -Б класу — 16, тому ймовірність 16 = 8 58 29 ’ ___ _ „ 3 1 5 656. З першого пакета: ймовірність — = = ; 15 5 25 З 3 1 з другого пакета — ; з третього пакета — •• = — . 25 ЗО 10 5 10 3 6 1 _ 5 Л-_ = • тоді маємо, що з першого пакета ймовірність ль ои с ь о и іи ои найбільша, а з третього — найменша. 4 _ 2 3 _ 1. в) = 1 ; б) 6 3 6 " з ; г )е ' 6 2’ О Л А О 1 129 4 . й6 2 8 . в) = ; б) 658. а) 27Ї * 27 Г )27 2 3 6’/ V У г27 9

-і

660. За 1 хв через першу трубу — * бака; через другу трубу — бака. За 1 хв 4 12 ~ 2 хв через обидві Л . двома трубами — 1 + 1 = 3 + 1 = 4о =1 о частина бака. За 4 12 12 12 З труби — ^ 2 - 2 частини бака. З З 661. За 1 хв пішки пройде 1,5 : 20 - 0,0 75 км, а на роликах за 1 хв проїде 6 : 10 = = 0 ,6 км. 0 ,6 : 0 ,0 7 5 = 8 разів — більша швидкість на роликах, ніж пішки.

50 < 63л , отже, 1 < Л И 0,14. 450 50 9 23. Пропорція Пропорція — рівність двох відношень. У пропорції т : п = а : Ь т та Ь — крайні члени, п та а — середні члени. Якщо значення лівого відношення у пропорції дорівнює значенню пра вого, то пропорція правильна. Добуток крайніх членів пропоріїії дорівнює добутку середніх: m * Ь =* п •а — основна властивість пропорції. У пропорції можна робити перестановки, не порушуючи її правильності. Рівень А 668. а) 24 : 30 - 28 : 35 - так; в) 2,1 : 0,7 - 1,5 : 0,5 — так; 24 •35 » ЗО •28; 2.1 •0,5 - 0,7 • 1,5; б) 2,5 : 2 + 40 : 32 — так;

г)1 ~ : ~ ■ 2 : 1 — так; З З

2,5 •32 * 2 •40;

4 1= 1. З З б) 3,5 3 - 21 •0,5, так;

669. а) 9 •12 * 3 27, иі; в) 35 •0,06 “ 1,05 2, так;

ї ї * -6; 6 * вп ;

г) 2 - 1 « —•4, так. 5 5 1 б) 5 : - = 90 : х; 2 5х = 9 0 - ; Л * ~ 9:

в) 0,5 : х = 15 : 2,4;

г) О.Д : 2 = х : 5 ;

15х « 0,5 •2,4;

2х = і

670. а) х : 2 - 3 : 11;

•5 .

х«0,08; ДГ = ^ ї ч 12,3 _ х 2 .5 _ 11 Д) "б 4’ 9) 4 2х * 6х = 12,3 •4; 5х - 44; х = 8,2; х — 8,8. 671. а) 75 : ЗО - х : 3; ЗОх - 225; х = 7,5; б) 1,5 : 0,3 = 9 : х; 1,5х - 2.7; х - 1,8; х 2.4 в) - s ; 20х « 12; х « 0,6; г)дг:1Г

4Ф

5 * = 6: * - 9 -

672. а) ОД : 2 - X : 6 ; х - 0,1 • 6 : 2; х =■ 0 , 3 ;

2,5 11 б) — = — ;

в) 7 : Зх = 2 : 9 ; Зх - 7 • 9 : 2; Зх ~ 3 1 ,5 ; X « 31,5 : 3; X = 10,5; Х+1 5 д) 6 - g;

2 х = 4 • 11 : 2,5 ; 2 х — 17,6; х - 17,6 : 2 = 8 ,8 ; г) 4 : (х - 3) = 2 : 3; х - 3 = 4 • 3 : 2; X 3 = 6; х = 6 + 3; X = 9; , 1 , 1 е) X . 2 “ • g ;

х + 1 - 6 • 5 : 3;

х =і і - 4 :і ;

X + 1 = 10;

X=у

X = 10 - 1;

X=~

у ;

= 18.

х-9; 5х 25 673. а) — = — ; О

5х - 3 • 25 : 2; 5х = 3 7 ,5 ; X « 3 7 ,5 : 5; X » 7,5.

12,3 X б) - т - = 7 ;

w _ п _ 0 в) (х - 5) : 9 - 7 : 3;

х = 12,3 - 4 : 6 ; х = 8 ,2 .

5-21х - 21 + 5 - 26

у _ п

Q . 7 . о.

674. а) і г) 5 : 20 - 2 ,5 : 10. 6 7 5 .а ) | : х = 0 . 2 : 0 , 3 ; 9 X = ^ 0 , 3 : 0,2;

Ч 2 9 *

Хі

8у _ 6,4 676. а) у ; 8у - 6 , 4 - 9 ; 0 , 4 5 ; 8 у - 128; у ~ 128 ; 8; ^ = 16.

2 в) і М 15

* =

д: = § 15 : 1 2 , 4 ;

4£,

3 5 154 15 ; 4 V = 1 0 --15 * б) х X х X

в) 2 , 4 : ( 0 , 5 г ) = 3 , 6 : і | ; З 2 л к 24 5 36 2.4 1 - 3 . 6 ; ’ = J.Ö ' з ’ 10 ’ 0

5 , . V j e . >0.2 X , 10

=1. X

б )* :-» 7 :~ % ; 2 11

+ + -

3 . 3 124 * 3 00 150 75 X = ----- = ----- ; X = --372 186 ' 93

х + 3 _ 3 ,6 14 ; 3 - 14 • 3 , 6 : 0 ,7 ; 3 - 72; 7 2 - 3; 69.

40 , = 4 0 . ^ = 10 3 6 : 2 36 ‘ 1 0 : 2 9

' 2

10 ^100 5 : * 45 1

* * 2— = 2§ ; 45

2! Г ) і ^ =- 3 ; 27

2,1

/ - 1 . 8 * 2 7 2 -1- : 2 .1 ; і - 1 , 8 * —

І - 1 .8 =

І - ■~

X, >1,

;

= 3 0 ; ( - 1.8 - ЗО; Г ~ ЗО + 1.8 - 3 1 ,8 .

677. а) 3 1 : (17 - х ) ~ 0 .5 ; 0 .2 5 ; б) 7:| — у |= 5 6 : 3 .2 ; 17 - х = 3 ^ •0 .2 5 : 0 , 5 :

^ у = 7 3 ,2 :5 в ;

,-г * 1 7 -х « -; _ 17

ч.

5 1 -5

х* — 7 .2 678. 1) ' 5

ііу у = 0 ,4 : __Ч

х= 1 ' з :

•

;

*'* ю ' ч ; 46

,Е1

= Т : ХЛ1 5 зу

0 25 :

у - 7,2 •0 .2 5 : 5 ; у " 0 ,3 6 .

у я Го: у - і-і2)

7 -д ;

х - 0 .3 6 - 7 : 9 ; х ■ 0 .2 8 .

Рівень Б 679. а) 10 : 4 - 15 : 6 ; 6 : 15 - 4 : 10; 10 : 15 ~ 4 : 6 : б) 1 : 1,2 - 2 .5 : 3 ; 3 : 2 .5 - 1.2 : 1; 1 : 2 .5 - 1,2 : 3; 25 ЗО б 5 6 ЗО в) ; ■ ; = . 5 6 ЗО 25 5 25 п т к І п І 680. , = : -* ; І к т п т к 681. Потрібно взяти 10 міш ків по 6 0 кг і 5 міш ків по 8 0 кг: 60 • 10 * 80 • 5 - 6 0 0 ♦ 4 0 0 - 1000 кг. Вправи д ля повторення 682. 5 , - а , •а , — 2 5 с.м2. а, - 5 см; в г - а 3 ■а г, а г - 2а, ~ 2 •5 см = 10 см; 5 , - 10 см - 10 см - 100 см1. 683. Ш лях м іж двомн містами становить 70 • 3 — 2 1 0 х м . Мотоцикліст подолас цей ш лях за 2 1 0 : 40 ~ 5 .2 5 год - 5 год 15 хя. В ід п о в ід ь : 5 год 15 хв. 684. Швидкість Тараса: 3 : 5 л 0 ,6 кроків за 1 секунду, Сергія — 5 8 » 0.625 кроків за секунду. В ід п о відь: Сергій ходить швидше.

685. Продуктивність праці першого робітника — 3 : 8 2 3 ^ 15 2 другого — 4 : 10 = “ деталі за хвилину. 3 40 < 5

деталі за хвилину, 16 40*

Відповідь: у другого працівника. 686. Маса 15 деталей становить (2 1 ,6 : 4) • 15 ^ 81 кг. Відповідь: 81 кг.

Якщ о дві змінні величини пов'язані м іж собою так, що при зменшенні (збільшенні) однієї з них друга теж зменшується (збільшується) у стіль ки ж разів, то такі величини називають прям о пропо рційн им и, а з а лежність між ними — прям ою пропорційніст ю . Якщо при зменшенні (збільшенні) однієї величини друга збільшується (зменшується) у стільки ж разів, то вони називаються обернено пропор ц ій н и м и , а залежність між ними — оберненою пропорційніст ю . Рівень А 688. Кулька об’ємом 2 ,5 см8 має масу ( 3 9 : 5) • 2 ,5 =* 19,5 г. Відповідь: 19,5 г. 689. З 2 5 0 кг насіння вийде 37 • 2 5 0 : 100 - 9 2 ,5 кг олії. Відповідь: 9 2 ,5 кг. «mr. 42 -- 1302 ; х - -----------36 1302= 1 1 1 6 грн. 690. 36 х 42 Відповідь: 1116 грн. 691. Розв'язання: 1) 180 : 150 - 1,2 (рази) — збільшилась довжина ескалатора. 2) 3 • 1,2 «■ 3 ,6 (хв) — потрібно пасажиру. Відповідь: за 3 ,6 хв підніметься пасажир. 692. Треба взяти (80 : 14) • 35 *» 200 к г картоплі. 693. Потрібно взяти 200 : 3 7 • 185 * 1 0 0 0 кг буряків. Відповідь: 1000 кг. 694. Вийде 149,4 : 9 9 ,6 • 30 ^ 45 костюмів. Відповідь: 45 костюмів. 20 0,5 695. —' ” ттг” ; х " 40 0 0 0 кг * 40 т. х 1000 Відповідь: 40 т. 696. Довжина траси на карті х см. Запишемо пропорцію: 1 см — 5 0 0 0 0 0 см; х см — 15 0 0 0 0 0 0 ; х « 15 0 0 0 0 0 0 : 5 0 0 0 0 0 = 30 см. Відповідь: ЗО см. -•=— * ------; х - 8 ,4 •1 0 0 0 0 0 0 - 8 4 0 0 0 0 0 см - 84 км. 1 1 000 000 Відповідь: 84 км. 698. Нехай масштаб 1 : х см. Запишемо пропорції: 1200 см — 24 см; х см — 1 см; 1200 _Л х = — — =5 50. 24 Відповідь: 1 : 50.

697.

ПОЯСНЕННЯ

24. Пряма і пропорційна залеж ність

АС 2 28 - С Я 2 А С-* С В - 28 (см). = -■ АС - 2Ъ - С В . тоді ■— ■ = - ; 2СВ = (28 - С В) • 5; 2СЯ - 140 - 5С В ; 5СЯ + 2 С В = 140; 7 СЯ - 140; СЯ - 140 : 7; СЯ = 2 0 (см); ЛС - 28 - 20 - 8 (см). В ідп овідь: АС " 8 см , СЯ « 20 см.

Щоб поділити число на частини, пропорційні даним числам, потрібно поділити йога пн суму цих чисел і .»найдену частку послідовно помножи ти на кожне з них.

700. Р озв'я зан н я : а ♦ Ь + с ~ 90 см; а : Ь : с * 3 : З ; 4, а » Ь * 3 частини; с - 4 частини; а + 6 + с » 3 + 3 + 4 * 1 0 частин; 9 0 см : 10 9 (см) — частина; а - / > - 3 - 9 ~ 2 7 ( с м ) ; с - 4 •9 - 36 (см). В ід п о відь: 27 см; 27 см ; 36 см.

701. Усього 28 частин сум іш і: 28 — 56 кг; 25 — х кг; х - 50 кг глини; 28 56 кг; 2 — х кг: х - 4 кг піску; 28 — 56 кг; 1 — х кг; х - 2 кг гіпсу. В ідп овідь: 50 кг; 4 к г ; 2 кг. Рівень Б 702. Ванна потрібно З • (9.1 : (3 + 2 + 2)) 3 .9 кг. житнього борошна 2 •(9,1 : (3 ♦ 2 • 2)) 2 ,6 кг, олійного лаку 2 ,6 кг. В ідп овідь: 3 ,9 кг; 2 ,6 кг; 2 ,6 кг. 703. Р озв'язан н я: 7 1) На «Таврії* на 1км — л бензину, а на 140 7 700 100км — •100 ■ * 5 (л ) бензину. 2) На «Ниві» на 1 к м —

1ои

я бензину, а на

•100 = Ь 12 (л) бензину. 1*>0 150 3) 12 - 5 - 7 (д) — більше. В ідп овідь: на 7 л бензину витрачас більше водій на «Ниві». 704. Площа підлоги становить: 6,8 • 100 ■4 ,5 • 100 3 0 6 0 0 0 см* - 3 0 ,6 м*. Фарби потрібно 3 0 .6 : 7 ,5 • 0 .7 5 - 3 ,0 6 кг. В ідп овідь: 3,0 6 кг. 705. Р озв'язан н я: 1) I I год 39 хв — 11 год 24 хв “ 15 хв — проїхав 16 км. ЮОкм —

2) За 1 хн — — км. 3) 1,5 гад = 90 хв. За 9 0 хв —

'9 0 (к м ). І ® - 90 * * 9 б ( к и ) . 18 15 1 В ідп овідь: 96 км проїде електропоїзд за 1,5 год.

706. Довжина на плані — б см. Реальна довжина — 12 м = 1 200 см. Масштаб: 1 : 200. а) висота на плані — 2 см; реальна — 4 0 0 см - 4 м. б) висота з дахом на плані — 4 см; реальна — 8 0 0 см = 8 м. Відповідь: 4 м — висота стін реального будинку; 8 м — висота будинку з дахом. 707. Комбікорму потрібно 180 : 36 : 20 • 15 • 24 = 90 кг. Відповідь: 90 кг. 1944 х 708. ——— — продуктивність праці першої бригади; — продуктивність 36 24 праці другої бригади. Складемо пропорцію: І * 44- 36

30,

* — 50. 24 24 ЗВ.ДСИ х = —

50 1144 * 2160 м .

01СЛ з

Відповідь: 2 1 6 0 м3. 709. V = 18 0 ,5 •3 =■ 27 м3 — об’єм першої стіни; V “■ 15 •0 ,2 5 * х — об’см другої стіни. Складемо пропорцію: 27 — 10 800» 15 0 ,2 5 х - 54 00 , 5 400 27 звідси х -------------------------- = 3 ,6 м . 1 0 8 0 0 15 0 , 2 5 Відповідь: 3,6 м. 710. Маса сплаву становить 2 ,8 • (1+ 2 + 2 ) : 2 - 7 кг. Відповідь: 7 кг. 711. У відношенні АВ : ВС - 3 : 4 , А В — 3 частини, ВС — 4 частини. У відношенні ВС : АС - 2 : 3 , ВС — 2 частини, АС — 3 частини. Якщо у цьому відношенні взяти ВС — 4 частини, то АС буде 6 частин, тобто ВС : АС = - 4 : 6 . Запишемо загальне відношення: АВ : ВС : АС - 3 : 4 : 6 . Усього маємо 3 + 4 + 6 ** 13 частин. А В + ВС + АС - 3 2 ,5 см. 3 2 .5 см : 13 2 ,5 (см) — одна частина. 2 .5 • 3 * 7 ,5 (см) — сторона АВ. 2 ,5 - 4 - 1 0 (см) — сторона ВС. 2 .5 •6 — 15 (см) — сторона АС. 712. Число трикімнатних відноситься до числа чотирикімнатних як 3 : 2, або 6 : 4. Маємо 2-кімн. + 3-кімн. + 4-кімн. = 180 квартир, їх відношення 2-кімн. : 3-кімн. : 4-кімн. = 5 : 6 : 4 . Усього 5 + 6 + 4 - 1 5 частин. 180 кв. : 15 = 12 (кв.) — одна частина. 12 • 5 ■* 60 (кв.) — 2-кімнатних, 12 • 6 - 72 (кв.) — 3-кімнатних, 12 •4 = 48 (кв.) — 4-кімнатних. 713. Розв'язання. Нехай дочка отримає х доларів, тоді мати — 2 х доларів, а син — (2х • 2) доларів. Усього 2 8 0 0 0 0 доларів. Складемо і розв’яжемо рівняння: х + 2х + 4х = 28 0 00 0 ; 7х - 2 8 0 0 0 0 ; х - 2 8 0 0 0 0 : 7; х = 40 0 0 0 (д.) — дочка.

4 0 0 0 0 • 2 - 8 0 0 0 0 (д .) — мати. 8 0 0 0 0 - 2 - 160 000 <д.) - сни. В ідповідь: 4 0 0 0 0 доларів отримає дочка, 160000 доларів — син, 8 0 0 0 0 — мати. Вправи д л я повторення 714. а) 6 4 5 3 2 8 - 328 : 8 + 198 • 306 - 6 4 5 3 2 8 - 41 + 6 0 5 8 8 - 7 0 5 8 7 5 ; б ) 713,4 : (61 - 2 6 ,2 ) + 4 ,8 •3 ,5 - 7 1 3,4 : 3 4 ,8 -♦ 16,8 - 2 0 ,5 4 16,8 - 3 7 ,3 ; .1 , 2 . 3 9 8 .3 .3 _ 1. в) 4 —•2 — 6 — = —- — 6 — = 1 2 - 6 - = 5 - ; 2 3 4 2 3 4 4 4 ( 8 _ 1 Ї І 0 = 8 - 3 11 = 1 {3 3 11 І 11 33 10 6 715. 15. 2 4 ,5 х - 33..6 6 : у - 2 4 .5 •0 ,2 - 3 ,6 : 1,6 - 4 ,9 -* 22,2 ,2 5 - 2 ,6 5 . 716. а) (х - 1,84) - 4,5 - 0 ,4 ; б) 7т + 24 - Зш - 4 6 ,4 ; х - 0,4 + 4 .5 + 1 ,8 4 ; 4т - 4 6 ,4 - 24; х - 6 ,7 4 ; т - 2 2 ,4 : 4; т - 5 ,6 ; в) 0 ,5 •(1 + 3,2х) - 5 ,3 ; г) 3,1(3у + 2 ,503) - 17,41 - 57,3; 3 ,2 х - 5 ,3 : 0 ,5 - 1; Зу - (57,3 + 1 7 ,4 1 ); 3,1 - 2,503; х - 9 ,6 : 3 .2 ; у - 2 1 .5 9 7 : 3; х « 3; у - 7 ,1 9 9 . 717. $_ = $ . + 2 5 * . */>•//♦ г & е , = (6 ,5 + 4 .6) •2 •5 + 2 •6,6 •4,6 — 170,8 дм*; V - 6 .5 •4 ,6 •5 " 1 4 9 ,5 дм». В ідп овідь: 170,8 д м '; 1 4 9,5 дм*. 25. Відсоткове відношення В ідсот ком (п роц ен т ом ) називають одну готу частину аелюопти: 0.01 ■ 1 % . Щоб д еся т к о в и й д р іб зап и са т и у в ід с о т к а х , потрібко помножити його на 100. Щоб знайти п ев н у к іл ь к іс т ь в ід с о т к ів в ід ч и с л а , потрібно поділити його на 100 і помножити на кількість відсотків, п % від числа т дорівт

Іоо п’ Щоб знайти ч и с л о з а й ого в ід с о т к а м и , потрібно відому частину числа помножити на 100 і розділити иа число відсотків. Якщо п % від числа т а 100 становить в, то т = --------- . п Щоб знайти, с к іл ь к и в ід с о т к ів о д н е ч и сл о ст а н о в и т ь в ід ін ш о го , по трібно ці числа поділити одне на інше і частку помножити на 100. Число п становить — * 1 0 0 % відсотків від числа т . т Задачі на відсоткове відношення мають велике практичне застосування. При розв’язуванні задач на процентне відношення двох чисел часто трапляються помилки, пов'язані з неправильним вибором основного числа, тобто числа, з яким треба порівнювати. Тому кожного разу, ана лізуючи зм іст задач і, треба передусім з ’ясувати, яке число с основним. 84 723 . -100”/' - 21% — становлять вершки. 400 724.

100% - 3 1 ,2 5 % — маса гасу.

' Ю 0% = 8 7 ,5 % — виборців узяли участь.

725.

726. 1) У червні — ЗО днів, тому ЗО - 12 = 18 (дн.) — сонячних.

18 2)----- 100% = 6 0 % — сонячних днів. оО 727. 1) 2 0 0 - 8 = 192 (кг) — втрачає.

192

200

•100% = 9 6% — маси втрачає чайний лист.

728. 1) 16 - 10,4 = 5 ,6 (кг) — втрачає. 5 6 2) ^ •100% = 3 5 % — маси втрачає м ’ясо. 729. Р озв'язання:

20000

. Ю0% = 8 7 ,5 % — проголосували у місті Л.

25 80 0

•100% = 8 0 ,6 2 5 % — проголосували у місті В . 32000 ^ 87,5%. > 8 0 ,6 2 5 % . Відповідь: у місті А виборці були активнішими. 730. Розв'язання: 1) 2 0 0 • 20 : 100 - 4 0 (г) — солі було у 2 0 % -му розчині. 2) 2 00 + 120 » 3 2 0 (г) — води стало. 40 3) ооа ' % - 12,5% — солі в новому розчині. 0^0 Відповідь: 1 2.5 % солі в новому розчині. 731. Розв’язання: 1) 3 00 : 100 • 5 =* 15 (г) — солі було. 2) 15 + 75 * 90 (г) — солі стало. 3) 3 00 + 75 - 3 7 5 (г) — стала маса розчину. 90 4) •100% = 24% __ Солі стало. 2)

Відповідь: 24% солі в новому розчині. 732. Треба взяти 2 ящики по 16 кг; 4 ящики по 17 кг і 1 ящик на 40 кг, тоді вийде 16 • 2 + 17 • 4 4 4 0 = 32 + 68 + 40 - 140 кг. Вправи д л я повторення 733. а) 2 2 ,5 9 2 : 32 - 0 .2 4 8 - 0 ,7 0 6 - 0 , 2 4 8 = 0 ,4 5 8 - А; 1, 25 • 541 - 6 7 5 ,8 0 2 * 6 7 6 ,2 5 - 6 7 5 ,8 0 2 = 0 ,4 4 8 - В ; А > В; б) (162 - 38) •2,5 - 68,8 : 16 = 124 •2,5 - 4,2875 - 310 - 4,2875 = 305,7125 - А; 5 8 • 5 ,3 - 11 0,4 : 4 8 = 3 0 7 ,4 - 2 ,3 - 3 0 5 ,1 - В ; А > В. 734. Середня врожайність становить (34 • 35 -і- 36 • 15) : (15 + 35) = 1730 : 50 -•* = 3 4 ,6 ц з 1 га. Відповідь: 3 4 ,6 ц з 1 га. 735. Розв'язання: 1) 100 - 45 = 5 5 % — другого сорту. 2) 2 2 0 : 100 ■ 55 - 121 (кг) — другого сорту. Відповідь: 121 кг яблук другого сорту завезли до магазину. 736. Розв’язання: 1) 100 - 55 - 45 (% ) — залишилось.

2) 180 : 45 • 100 - 4 0 0 (коп.) — було спочатку. 4 0 0 кой. - 4 гри. В ідп овідь: 4 грн мав Андрій спочатку. 26. Відсоткові розрахунки Рівень А

737. І спосіб. 45% Перший трактор зоряв 5 6 --------- --- 2 5 ,2 га.

100 %

I I спосіб.

14 9 126 ОЕ 1 « 9 . Перший трактор зорав 5 6 - 9 = =25 гя. 100 20 20 5 5 5 I I I сп осіб. Нехай перший трактор зорав х гя. Запишемо пропорцію: 56 га — 100 % ; х га — 45 % ; 56 •45 х ■ » 2 5 .2 га. 100 В ід п о відь: 25 ,2 га. 45% -

Ч4 26

52 2 6 100 _п -= ; х = ----- -— ■ 50. х 100 52 В ід п о відь: 50 га. 739. І спосіб. Перший трактор зоран (18 : 40) • 100 % - 4 5 % поля. I I спосіб. 2)

Перший трактор зо рак — = Д

частику поля, що становить ^ •100%

- 45 % . I I I спосіб. Нехай перший трактор зоряв х % поля. Отримаємо пропорцію: 40 га — 100 % ; 18 га — х % ; _ 18 100% = 45 % . 40

97%

740. а) 25 0 •—— = 6 7 .5 ; 100%

б) 1.25- ? 2 % = 0 ,9 . 100%

741. а) 7 .5 - 0 ,6 4 - 4 ,8 ;

б)

742. а) х — 100 % ; 0 ,7 -

35 % ;

х = 0 .7 743. а)

100 : 35 - 2: = 35;

20 1 _ 1

21 40 42 б) х - 100 % ; і|

5% ;

х = 1 2 1 0 0 % : 5% ^ 33 1

6) 4

: 0 ,1 5 = 28

744. Цукрової тростини треба взяти 1>о-

100% 1, 8* 1 0 0 % — ——— = -----— ----- = 20 т.

1UÜ Л* — 9 1 /о

У /о

Відповідь: 20 т. 745. 4 ,^ Т = 3 0 т . 0 ,8 5 Відповідь: ЗО т. 746. Нехай автомобіль проїде 5 0% ш ляху за х хв. Запишемо пропорцію: 12% — 15 хв; 50% — х хв; 5 0 1 5 = 62 л о- 1 хв = 1і год 2о - 1 хв. х = --------12

Відповідь: 1 год 2 - хв. 2 36 747. Робітник виготовив: а) •1 0 0 % = 9 0 % плану; 42 40 б) . 1 0 0 % = 1 0 5 % плану. 40 748. Нехай бригада мала виготовляти за планом х столів, тоді одержимо про порцію 2 — 4 %; х — 100 % ; 2-100% х = — = 5 0 столів. 4% Відповідь: 50 столів. 749. 20 •0 ,0 5 = 1 ; 2 0 + 1 = 21 деталь. Відповідь: 21 деталь. 750. Розв'язання: 1) 4 00 ; 100 • 15 = 60 (грн) — становлять 1 5 % . 2) 4 0 0 + 60 - 460 (грн) — через рік. Відповідь: 460 грн буде на рахунку через рік. 751. Розв'язання: 1) 1 0 0 + 1 7 - 117% — було через рік. 2) 8 1 9 : 177 • 100 = 7 0 0 (грн) — було спочатку. Відповідь: 700 грн поклав у банк вкладник. 752. Розв'язання: 0(4 _ __ 1 0 0 % = 16% — річних. 51Ю

Відповідь: 16% річних нарахував банк. 753. Розв'язання: 1) 100 - 15 — 8 5 % — коштує навесні. 2) 160 : 100 •8 5 = 136 (грн) — навесні. Відповідь: 136 грн коштуватиме куртка навесні. 754. Розв'язання: 1) 100 + 6 = 106% — коштує через півроку. 2) 9 5 0 : 100 • 106 = 1007 (коп.) — стане ціна. 1007 коп. — 10 грн 7 коп. Відповідь: 10 грн 7 коп. буде ціна масла через півроку. 755. Розв’язання: 1) 30 : 6 = 5 (ст.) — за годину спочатку. 2) 100 + 20 - 120% — буде продуктивність. 3) 5 : 100 • 120 - 6 (ст.) — за годину набиратиме. Відповідь: 6 сторінок тексту набиратиме оператор протягом години.

756. Р озв 'я зан н я : -™ ™ -.1 0 0 % = 4 3 .7 5 % . 16000 В ід п о відь: 4 3 .7 5 % прибутку витратив підприємець на розширення вироб ництва. 757. 2,4 0 ,1 5 - 0 ,3 6 м — різниця м іж стрибками; 2,4 4 0 ,3 6 - 2 ,7 6 м — довжина стрибка другого учня. В ід п о в ід ь: 2 ,7 6 м. 758. Р озв'я зан н я :

1) т і!!!! ' Ю®% = 105% — у жовтні.

4000 2) 105 - 100 =* 5 ( % ) — зростання вартості. В ід п о відь: на 5% зросла вартість пакету акцій. 759. На

•1 0 0 % г 2 0 % — площа під полуницями більша. 50 В ідп овідь: 20 % . 760. Р озв 'я зан н я :

1) 1 грн - 100 коп. 100

•100% = 125% — у таксі. 80 2) 125 - 100 - 25 ( % ) - більше в таксі. В ід п о відь: иа 25% вартість проїзду в таксі більша, ніж в автобусі. 761. 80 - 56 - 24: 24 - 0 ,3 - 3 0 % . 80 В ід п о відь: 3 0 % . 762. 80 - 20 - 6 0 м різниця між довжиною і шириною;

60 80

60 20

■ 0 ,7 5 ■ 75% — ширина менше довжини; = 3 = 300% — довжина більша від ширини.

В ідп овідь: 3 0 0 % ; 7 5 % . Рівень Б 763. З 1 га поля зібрали 48 : 1,6 « ЗО ц пшениці. Площа поля становить: 100%

1.6 •— ------- 20 га. Пшениці зібрали 20 •ЗО - 600 ц.

о%

В ідп овідь: 60 0 ц. 764. а - 36 0 ,2 5 - 9 гм ; Ь - 9 : 0 ,7 5 - 12 см ; с - Р - (а ♦ Ь) - 36 - 21 •* 15 см. В ідп онідь: 9 см; 12 см ; 15 см. 765. Торік фермер « - » » ■ • 8 10о Г Л о % ‘ >■* " • В ідп овідь: 1,5 га. 766. Р о з в ’я за н н я : 1) 2 : 25 ** 0 ,0 8 (км/хв) — швидкість Віниі-ІІуха. 2) 2 : 20 - 0,1 (км/хв) — швидкість П 'ятачка. 3 ) 0°08 ' 1 0 0 % _ 125% ~ швидкість П 'ятачка.

4) 125 - 100 = 25 { % ) — більше швидкість П ’ятачка. Відповідь: на 25% більша швидкість П ’ятачка. 767. Розв'язання: 2 км = 2 0 0 0 м; 1) 75 + 50 « 125 (м/хв) — швидкість зближення. 2) 2 000 : 125 = 16 (хв) — до зустрічі. 3) 75 • 16 * 1200 (м) — пройде П ’ятачок. 4) 50 • 16 = 8 00 (м) — пройде Вінні-Пух. 5) 8 00

= 150% ~ пройде П ’ятачок.

6) 150 - 100 - 50 (% ) — більше. Відповідь: на 50 % більшу відстань пройде П’ятачок. 768. Розв'язання: 1) 100 - 45 - 4 2 ,5 = 1 2,5 (% ) — коштує піаніно. 2) 14000 : 100 • 12,5 в 1750 (грн) — піаніно. Відповідь: 1750 грн коштує піаніно. 769. Нехай робітники виготовили * деталей. Тоді другий робітник виготовив 0 , 4 * деталей, третій — (1 - 0 ,3 - 0 ,4 )х * 0 , 3 * деталей. Отримаємо рівняння: 0 , 4 * - 0 , 3 * « 8; 0 , 1 * - 8. * ** 80 деталей. Відповідь: 8 0 деталей. 770. Розв'язання: 1290 1) 1250 ~ * ^ » 2 % — коштуватиме холодильник. 2) 1 0 3,2 - 100 * 3 ,2 (% ) підвищення ціни. 3) 4 - 3,2 - 0 ,8 (% ) — не вистачає до інфляції 4 % . Відповідь: ні, не правильно, бо у виробника враховано тільки 3 ,2 % ін фляції, а треба 4 % . 771. Розв'язання: 1) 100 + 14 = 114 ( % ) — буде через рік. 2) 5 0 0 : 100 • 114 = 5 7 0 (грн) — буде через рік. 3) 100 + 17 117 ( % ) — буде ще через рік. 4) 5 7 0 : 100 • 117 - 6 6 6 ,9 (грн) — буде через 2 роки. Відповідь: 6 6 6 ,9 грн матиме вкладник через 2 роки. 772. Розв’я.іання: 1) 2 0 0 0 0 : 100 • 8 «■ 1600 (грн) — за рік (12 місяців). 9 З 2) = А (частини) — становлять 9 місяців від 12 місяців (1 року). їм 3 3) 1600* = 1200 (грн) — за 9 місяців. 4 4) 2 0 0 0 0 + 1200 = 21 2 0 0 (грн) — повинен повернути. Відповідь: 21 2 0 0 грн повинен повернути підприємець через 9 місяців. 773. Розв’язання: 1) 100 + 7 « 107 ( % ) — повернув через рік. 2) 3 2 1 0 0 : 107 • 100 = 30 0 0 0 (грн) — брав у кредит. Відповідь: 3 0 0 0 0 грн кредиту брав підприємець. 774. Розв’язання: 1)

1 00% = 130% — ціна для магазину.

2) 130 - 100 - 30 (% ) — прибуток. Відповідь: 30% прибутку має видавництво з кожної книжки.

775. Р озв'язан н я: 1 ) 100 + 10 « 110 (% ) — для магазину. 2) 9 : 100 • 110 = 9 .9 (гри) — для магазину. 3) 100 + 20 = 120 ( % ) — після націнки. 4) 9 .9 : 100 • 120 « 1 1.88 (грн) — ціна в магазині. В ід п о в ід ь: 11.88 грн ціна книжки в магазині. 776. Р озв'язан н я: 1 ) 100 * 20 - 120 ( % ) — після націнки. 2) 5 ,5 0 : 100 • 120 - 6.6 (грн) — після націнки. 3) 100 - 5 = 95 (% ) — для опту. 4) 6.6 : 100 •95 ■ 6 ,2 7 (грн) — оптова ціна. В ідп овідь: 6 грн 27 коп. оптова ціна книжки. 777. Р озв'язан н я: 1) 55 : 2 - 27,5 (% ) — зробив кожен за перший день. 2) 100 - 55 - 45 (% ) — разом за другий день. 3) Шпунтик — х% за другий день. Гвинтик — 2х% за другий день, тоді * + 2х - 45; Зх - 4 5 ; х - 4 5 : 3; х - 15 (% ) — Шпунтик за другий день. 15 • 2 - 30 (% ) — Гвинтик за другий день. 4) 2 7 ,5 15 “ 42 ,5 ( % ) — зробив Шпунтик усього. 5) 27 ,5 + 30 - 5 7 ,5 ( % ) — зробив усього Гвинтик. В ід п о відь: 42 .5 % роботи виконав Шпунтик за два дні; 5 7,5% роботи — Гвинтик. 778. Після першої переоцінки товар коштував 150 - 150 •0 .2 120 грн. після другої — 120 + 120 • 0 ,2 - 144 грн.

Відповідь'. 141 гри. 779. 150 0 ,2 30 грн — різниця між початковою і другою ціною; 150 + 3 0 - 180 грн — друга ціна; 180 0,2 - 36 грн - різниця між другою й останньою цінами; 180 - 3 6 - 144 гри — остання ціна. В ідп овідь: 144 грн. 780. Нова ціни становить 100 - 100 •0 .2 ~ 8 0 грн. Треба підняти на в ° 100% = 2 5 % . 80 В ідп овідь: 25 % . 781. У початковому сплаві міді було 12 • 0 ,4 5 « 5,4 кг. Маса нового сплаву 100% становить 5.4 ■ * 13.5 кг. Чистого олова треба додати 13,5 - 12 - 1,5 кг. 40% В ід п о в ід ь: 1,5 кг. 782. 180 : 0 ,1 2 - 1500 г — маса всього розчину; 1500 - 180 - 1320 г. В ідп овідь: 1320 г. ^

783*. Нехай початкова ціна на товар х гри, після зниження — х - 0 ,2 х - 0,8 х . Треба підвищити на х ~ 0,8 -100% = 2 5 % . 0.8 В ідп овідь: і И % . 9 784*. Нехай одне число х, тоді друге х * 0 ,2 •х - 1,2х. Перше число більше у 1,2х : х - 1,2 рази. Друге число дорівнює: 11 : (1 + 1 ,2) = 5, перше —

1,2 ■ 5 - 6. Відповідь: 1,2 рази; 6 і 5. 785. Розв’язання: Нехай морозиво коштує х коп., тоді у Сергія було (х - 46) коп., а в Андрія — (х - 5) коп. Разом у них було (х - 1) коп. Складемо і розв’яжемо рівняння: х - 4 6 + х - 5 = х - 1; 2х - х 4 6 + 5 - 1; х - 50 (коп.). Відповідь: 50 коп. коштує порція морозива. Вправи д л я повторення 786. а) 0 ,5 * 1,6 14,911 : 3 ,7 = 0 ,8 + 4 ,0 3 = 4 ,8 3 ; б) 1 ,3 (3 1 3 ,2 : 8 ,7 - 5 ,3 ) = 1,3(36 - 5 ,3 ) - 3 9 ,9 1 ; в) 9 ,3 9 6 : 2,7 - 5 ,6 •0 ,2 = 3 ,4 8 - 1 , 1 2 = 2 ,3 6 ; г) 12,5 • 2 ,5 - 8 ,6 • 2,5 + 2,1 • 2 ,5 - 2 ,5 (1 2 ,5 - 8 ,6 + 2 ,1 ) = 15;

д) 0 , 4 2 +

: 0 ,0 1 2 8 = - 1 ( 1 + 4 : 0 ,0 1 2 8 ) = — •— 25 25 2

= 5 0,16;

е) 2 , 52 - 1,5* + 3 3 = (2 ,5 - 1,5)(2,5 + 1,5) + 3 3 = 4 + 3 3 = 7 3 . 7 7 7 47 2 1 787. а) 3 , 6 г - 4 ,5 = 1 5 ,3 ; б) 0 ,4 (х + 1 ,6 ) - 3 ,2 4 ; в) 5 —- —лг = 3 - ; * = 19,8 : 3 ,6 ; х - 3 ,24 : 0 ,4 - 1 ,6; 9 9 3 * “ 5, 5; х = 6 ,5 ; х = 5 - - 3 ~ •- ™ 9 5 9 2 х -1 0 4 6 у -1,2 8 _5 788. а) 7 - з ; 6) ? & ; в) у - 2 6' X = —~ + 10;

у = 5_® + 1, 2;

у = 5 ^ +2;

1 х = 1 9 - ', З

17 у=5— ; 35

у - 11,6. 9 *

1 9 789. Треба збільшити у 7 : 3 — = 7 -------- 2 ,2 5 рази. 9 28 Відповідь: 2 ,2 5 рази. 79

а)

17 2

ое

10 0 1 3 =Зз .

в ) з о = б .

К оло — фігура, що складається з точок, рівновіддалених від однієї точ ки — центра кола. Радіус — будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром. Позначається: Я або г. Д овж ина радіуса кола — відстань від точок кола до його центра. Хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола. Д іа м ет р — хорда, яка проходить через центр кола. Д овж ина кола визначається за формулою: С = тій або С = 2пг, де п — відношення довжини кола до його діаметра, л = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 ... Рівень А 801. а) С = п • (і; С - 3 ,1 4 • 2 ,5 - 7,85 см ; С - 3 , 1 4 •36 С = 3 ,1 4 •0 ,2 4 = 0 ,7 5 3 6 м.

ПОЯСНЕННЯ

27. Коло. Довж ина кола

6) С - 2яг, С - 2 • 5 - 3.14 - 3 1 .4 см; С - 2 •3.14 • 3 .6 “ 2 2 ,6 0 8 см; С - 2 0.4 3,1 4 - 2 ,5 1 2 м. 802. а) С - я 3 - 9,4 2 см ; б) С - 2 •я 6 * 3 7 .6 8 см; С = 0 ,8 я * 2 .5 1 2 дм ; С - 2 •я ■1.4 - 8 ,7 9 2 дм; С - я •0 ,1 2 * 0 ,3 7 6 8 м; С - 2 •я 1 .2 * 7 ,536 см. 803. С, ™ г. •5 .5 см * 1 7 ,3 см ; С , —я - 6 ,5 см * 20,4 см; <*, 5.5 а. 804. Планер пролетів 4 • 25 •2 •3 ,1 4 - 6 2 8 м. В ідп овідь: 62 8 м. 805. С - я •</; д = - = 1 1 : Ц = 11 ~

В ід п о відь: 3,5 м. 33 806. г - — = 5 , 25см .

= 3 ,5 м.

2л

807. Верблюд пройде 3 • 2 ■3 ,1 4 - 18,84 км. В ідп овідь: 18.84 км.

810. а) Відстань до т. А — 3 см — це коло з центром у точці А і радіусом АО ■ 3 см. б) Відстань до т. В — 2 см цс коло з центром у точці В і радіусом В ії • 2 см. 811. Накреслимо коло з центром у точці А і радіусом 3 см. Пряма а може перетинати коло у двох точках, в одній точці або взагалі не перетинати. Це залежить від того, на якій відстані знаходиться точка А від прямої а: а) Відстань від т. А б) Відстань від т. А до прямої а < 3 см: до прямої а дорівнює 3 см: а

АО - 3 см - Я;

АО * 3 см; в) Відстань від т. А до прямої о > 3 см:

812. A B - 4 c m ; OA - OB « 2 c m ; Я = 2 cm. 813. AB — найменша; AD — найбільша. AD = Я + OA, OA ~ Я - AB => AD - Я + Я - A B, AD - 2 R - A B ; AD + A B 2 Я = AD + A B=> Я 2 814. /СА - 5 m m ; K B ■■ 15 m m ; K B * Ä + OK; OK = R - KA => K B = R + R - ÄA, K B = 2 R - KA; 2R = KB + KA; 2 R ■» 5 m m + 15 m m * 20 m m ; R - 20 m m : 2 = 10 m m . Відповідь: 20 m m — діаметр; 10 m m — радіус.

Р івень Б 815. Можна облетіти за (6 3 7 0 + 10) •2- п : 1200 33,4 години. Відповідь: 3 3 ,4 години. 816. С - 2яЯ; R « г + Л, г “ 6 3 7 0 км, h * 3 6 0 0 0 км; і * 24 год. Розв'язання: 1) 6 3 7 0 + 3 6 0 0 0 = 42 3 7 0 (км) — Я. 2) 2 • 3, 14 • 42 3 7 0 * 26 6 0 8 3 ,6 (км) — С. 3) 26 6 0 8 3 ,6 : 24 « 1 1 0 8 7 (км/год) — швидкість. Відповідь\ * 1 1 0 8 7 км/год — швидкість супутника. 817. Д = С2 - С, - 2 •я •г1 - 2 •ті •гг * 6 , 2 8 см. Відповідь: 6 ,2 8 см. 818. Радіус збільшився на (2 2 6 ,0 8 - 1 57 ) : 2 • 3 ,1 4 - 11 см. Відповідь: 11 см. 819. Р - (3 + 2) • 2 - 3, 14 • 1 - 6 ,8 6 см. Відповідь: 6 ,8 6 см. _1_ 820. 80 см * 0 ,0 0 0 8 км, 2 хв год. ЗО Швидкість тепловоза становить 3 ,14

0 ,0 0 0 8 •8 0 0

Відповідь: 6 0 ,3 км/год. 821. Розв'язання: Насипаємо цукор на одну шальку терезів, поки стрілка не покаже 1 кг. Ставимо гирю вагою 1 кг на другу ш альку, терези врівноважаться, і стрілка покаже 0 кг. Насипаємо на першу шальку ще цукру, поки стрілка знову покаже 1 кг. Тепер на першій шальці маємо 2 кг цукру. Знімаємо з другої шальки гирю і кладемо її на першу шальку до цукру. Тепер на першій шальці 3 кг ваги (2 кг цукру і 1 кг гиря). Робимо 1-е зважування: насипаємо на другу шальку цукор, поки стрілка не покаже 1 кг. На цій шальці маємо 4 кг цукру, тому що 3 кг цукру ми насипали до врівноважування з першою шалькою (на ній 3 кг ваги), і ще досипали 1 кг цукру, поки стрілка не показала 1 кг. Відсипаємо 4 кг цукру після 1-го зважування. Зробимо ще два таких зважування й отримаємо 4 кг • 3 = 12 кг цукру.

Робимо 4-е зважування: знімаємо з першої шальки з цукром гирю 1 кг, і на ній залишається 2 кг цукру. Ставимо гирю на другу шальку і відсипає мо з першої шальки цукор, поки шальки не врівноважаться. Цс станеться тоді, коли з першої шальки відсипимо 1 кг цукру, бо 2 кг - 1 кг 1 кг цукру (гиря важить теж 1 кг). Після 4-го зважування масмо відсипаним 12 кг + 1 кг « 13 кг цукру. В ідп овідь: треба зробити щонайменше 4 зважування. Вправи д л я повторення 822. У саду росте 180 - 120 - (180 - 120) 0 .3 - 6 0 - 18 - 42 груші. В ідп овідь: 42 груші. 823. У третьому місті 2 8 5 - 120 - 120 •0 ,8 =* 69 тис. мешканців. В ід п о відь: 6 9 тис. мешканців. 824. За три дні посадили 96 + 72 + 72 : 0 ,8 - 2 5 8 дерев. В ідп овідь: 258 дерев. 825. а) (х ♦ 0 ,0 5 ) 0.6» - 5 .4 ; б) (1 ,5 - х ) 7 ,2 - 1,2»; х *= 5.4 : 0 .3 6 - 0 .0 5 ; х - 1 ,5 - 1,44 : 7 .2 ; х - 15,05. х * 1,3. 28. Круг. Площа круга

П л ощ а кр у га визначається формулою: 5 « ^ С * г » - ^ - я г - г » я г2; 5 •» яг*.

П л о щ а к р у га — добуток половини довжини кола на радіус.

Рівень А

828. Я - 3.14 52 - 78.5 см»: 5 = 3.14 121= 379,94 см*: Я е 3.14 •0,3* = « 0 .2 8 2 6 см»; б) 5 = ^ ; $ = 0 .2 8 2 6 м»; 4 4 3.14 •7* 5 * - 3 8 .4 6 5 м’ .

829. а) 5 ~ я 8* - 201 см1; 5 - я •14* - 6 1 5 ,4 4 дм*; Б - я - (2,5)* * 19,625 м '; б) 5 - 7 •(1.6)* « 2 м»; 5 - ” •5*«. 1 9 .6 2 5 м*. 4 4 830. а) 5 « 3,14 - і 2 * 3 .1 4 см»; б) 5 = 3 ,1 4 І 2 - 3 .1 4 0 ,7 2 = 1,1014 см2;

в) $ = 3,1 4 - - 1 - І = 2,14 см 7; 4

831. а) $ . 2

г) 5 * 1 •1 ♦ 4 3 ,1 4 І 2 : 2 * 7 .2 8 см*.

2 - 3 .1 4 0 . 5 7 = 2 .4 3 см»; б) 5 = 3 - 2 - 3 . 1 4

— = 2 .8 6 см»; 4

Рівень Б С

Сг

С*

А 7 1*

832. 5 = яг~;С « 2 я г;г = — ; 5 = я -------- - — - — -*— ■=177 м2. 2я <2я)2 4я 4 3.14 В ід п о відь: 177 м*. пСг О 833. 5 - яг»; С « 2яг; г = — ; $ - = 50 .2 4 см*. В ідп овідь: 5 0 ,2 4 см*. 834. 5 доя = : 6 = я 12 2 : 6 = 3.14 144 : 6 = 7 5 .3 6 см*. В ідш м ідь: 7 5 ,3 6 см '. 835. Площа збільшиться у яг 2 : я - (Зг )2 г 9 разів. В ідп овідь: 9 разів.

836. 1 ) 5 = 4 п - І 2 : 4 = 3 ,1 4 см2; 2 ) в = 3 - я - 1 * : 2 = 4 .71 см г; 3 ) 5 = я 2г - 2 - я - І * : 2 = 9 , 4 2 смг. 837. Радіус такого круга дорівнює 0 ,6 : 2 “ 0 ,3 м. в = я 0 , 3 2 = 0 ,2 8 м2. Відповідь: 0 ,2 8 см. - = 10 см; 5 - пг2; в - 3 1 4 см2. 2 Відповідь: 314 см 2.

838. г =

839. 5 = 3 ^ — 2 8 ,2 6 м2. Фарби потрібно 5 •120 г = 3 3 9 0 г. Відповідь: 3 3 9 0 г. 840. Розв'язання: Найближче наступне число після 2 3 9 3 2 , яке читається однаково з обох боків, — це 24 0 4 2 км. 24 042 - 23 9 3 2 - 110 (км) — проїхав автомобіль за 2 години. 110 : 2 = 55 (км/год) — швидкість. Відповідь: автомобіль рухався зі швидкістю 55 км/год. Вправи д л я повторення 8 4 1 .,)

б) 3 2 + 1 5 : 0 , 5 = 3 2 + - 9 •2 = 3 2 + 19 * 3 2 + 2 5 = 6; 7 14 7 14 7 7 7 7 в) 4 , 1 5 -

- 1‘

= 4 , 1 5 - ( 2 , 5 - 1 , 7 5 ) = 3 ,4 .

•4« m „ , 1 .5 9 11 842. Туристи пройшли 4 1 === 2 о 2 6

33 Л =о км. 4 4

Відповідь: 8 * км. 9 27 .3 843.Р = 2 1 + 2 І 1 1 + 2 1 - 2 = 2 - | і + 1 1 + 2 = -3 = = 6 м. 4 4 4 4 4 3 4 3 4І 3 3 3 Відповідь: 6 - м . 4 844. З першого поля зібрали 81 • 28 = 2 2 6 8 ц ячменю. Площа другого поля —

7 2 268 : 27 : - • = 144 га. А Відповідь: 144 га. 29. С то в п ч а с ті та кругові діаграми 850. Пшениця — 5 0 % ; кукурудза — 2 5 % ; картопля — 2 0 % ; овочі — 5 % . 1) 160 : 100 * 5 0 - 80 (га) — пшениця; 2) 160 : 100 • 25 ^ 40 (га) — кукурудза; 3) 160 : 100 • 20 32 (га) — картопля; 4) 160 : 100 - 5 = 8 (га) — овочі. 853. Тихий океан — 4 9 , 8 % ; Атлантичний океан — 2 5 ,8 % ; Індійський океан — 2 0 ,8 % ; Північний Льодовитий океан — 3 ,6 % ; Світовий океан — 1 0 0 % . 855. Жито — 3 5 % ; буряк — 1 0 % ; гречка — 4 0 % ; картопля — 1 5 % ; 1) 2 4 0 : 100 •3 5 « 84 (га) — жито; 2) 2 40 : 100 • 40 “• 96 (га) — гречка; 3) 2 40 : 100 • 10 — 24 (га) — буряк; 4) 2 4 0 : 100 • 15 - 36 (га) - картопля.

857. Р о з в 'я з а н н я :

1 )1 — = - — грошей залишилося; 2) 6 • 1 : 4 • 1 ,5 (грн) — залишилось. 4 4

В ід п о в ід ь: 1,5 гри залишилося в Олега. 8 5 8 . Р о з в ’я з а н н я :

1) 1 8 :

= 1 8 - 5 : 2 = 45(грн ) — було. 2) 45 - 18 - 27 (грн) — залишилося.

В і д п о в і д ь : 2 7 гри зали ш и лося в тята. 8 5 9 . Р озв 'я зан н я :

1) 1 - 2 = 1 — лимони. 2) 330 •' = 1 1 0 (кг) — лимонів. З

В ідп овідь: 110 кг лимонів завезли в магазин. 8 6 0 . Р озв'я зан н я : , » . 2 7

1)1 -

усіх м ісць зайняли пасажири.

2 )2 8 : 7 » 28 - 9 : 7 - 3 6 (м .) — у вагоні всього. 9

В ід п о відь: вагон розрахований на 36 пасажирів. Задачі д л я повторення § 4 8 6 1 . а) 8 : 24 - 1 : 3 - - ; б) 2 * : 5’ * 30 : 5 = 6; З 7 14

в) 6 ,4 м : 40 см ~ 6 4 0 см : 40 см - 16 : 1 - 16. 8 6 2 . « ) 1 8 : і | я 7 ^ : | — істинна;

б) 1,2 : 0.2 - 12 ; 2 - 6 ; 1 - 1,8 : 0 ,3 - істинна; в)1 * : у * 0 ,7 : 0 ,3 5 — істинна. 8 63 . 2 1 : 5 = 7 : 15; 15 : 7 - 5 : 2 1 ; 15 : 5 - 7 : 2 1 .

8 6 4 . а) 4 ,5 ; (Зх) - 5 : 3 8 ;

б) 2х : 9 * 3 \ : 2 * ; З

х - 4 ,5 - 1 8 : 5 : 3 ;

*« »

х - 5 ,4 ;

х - 7 ,5 ;

•> 5

1 20 1 З

ХЕ5 Т :3 :5 ;

^ :~ :2 ; •>

D' 5 : fІ i2* ) « 7 5 : 1 5 ; х - 5 • 15 : 75 • 2;

20 л 2

х = з* = 6 з : 865. 25 : 5 т 105 : 2 1 ; 5 : 1 *• 15 : 3 - пропорція істинна. При діленні лівої і правої частин на різні числа пропорція лишається істинною. 866. 2 : 3 - 6 : 9; 10 : 15 «= 36 : 54 — пропорція істинна. 867. Запишемо пропорцію: 4 ,8 см — 192 км; 5 ,6 см — х км: 5 ,6 192 224 км . 4 ,8 В ідп овідь: 224 км.

100 % 868. У книжці 40 • ■_ о - = 2 0 0 сторінок. 2 0 /о

Відповідь: 200 сторінок. 869. Вийде 25 * 0,21 *■ 5 ,2 5 ц вершків. Відповідь: 25 ц. 870. 7 : 8 ■ 100 % - 8 7 .5 % : ^ 1 0 0 14 871. У червні випало на

% - 25 % .

. 1 0 0 % = 4 7 , 5 % опадів більше.

Відповідь: 4 7 ,5 % . 2235 _ 1362 872. Довжина Дністра менша від довжини Дніпра на “ - -1 0 0 % 2285 « 4 0 , 4 % . Довжина Дніпра більша від довжини Дністра на 2 2 8 5 - 1 3 6 2 1оо 1362

8% .

Відповідь: 4 0 ,4 % ; 6 7 ,8 % . 873. Першого дня Сергій прочитав 1 5 0 • 0 ,4 * 6 0 сторінок, другого — 150 • = 5 0 сторінок, третього — 150 - 60 - 50 = 40 сторінок. З Відповідь: 60; 50; 40 сторінок. 874. Вишень треба взяти 4,1* = 5 кг. а „ 1 0 0 % -1 8 % Відповідь: о кг. 875. У руді міститься Л Відповідь: 7,6 % .

К г - Ю 0 % = 7,6 % міді. 1,8 т

876. Руди потрібно 1 ,95 • = ЗО т. 6 ,5 % Відповідь: 30 т. , 20% І , 1 1 20-4-5 11 877. Горохом засіяли 1 “ 100<,/у " 4 = 1 5 “ 4 “ 20 ~ “ 20

ЧаСТИН П0ЛЯ‘

Відповідь:

частин. /А} 878. У бібліотеці 0 ,7 5 • 0 ,0 9 - 0 ,0 6 7 5 книжок — підручники з математики. У бібліотеці 5 40 : 0 ,0 6 7 5 * 8 0 0 0 книжок. Відповідь: 8 0 0 0 книжок. 879. У новому сплаві

Відповідь: 50 % міді.

40 + 4

І 4 •1 0 0 % = 50 % міді.

,9 - ^ +і 880. У новому розчині ----- 159.—------ 1 0 0 % = 19 + 1

** * * •1 0 0 % = 9 ,7 5 % . 20

Відповідь: 9 ,7 5 % . 881. Робітник виготовить 56 деталей за 2 ,2 5 : 36 * 56 = * 3,5 години - 3 год 30 хв. Відповідь: 3 год 30 хв. 882. ОА — радіус, ЛВ — діаметр, ВС — хорда, СОА — сектор.

4п

4 3.14

В ід п о в ід ь: 12.56 дм ?. 31,4* 884. Площа клумби становить .

4 •о , 14

= 78,5 м*. Можна висалити 78,5 : 0 ,8 *

= 98 кущ ів троянл. В ід п о відь: 98 кущ ів. 885. Хвилиння стрілка пройде 2 •3,14 - 1 5 : 2 = 47,1 мм “ 4,71 см; 2 3,14 • 15 : 4 = 2 .3 5 5 см. В ідп овідь: 4.71 см ; 2 ,3 5 5 см. 886. Довжина кола збільшиться на 2пгг - 2лг, = 2л(гг - г,) = 2я 10 = 6 2 ,2 см. В ід п о відь: 6 2 ,2 см. 887*. Довжина екватора становить 6 3 7 0 * 2 • 3,14 * 4 0 0 0 3 ,6 км. Трос підні меться на (4 0 0 0 9 ,6 - 0 ,0 6 2 8 ) : (2 •3 ,1 4 ) 6 370 - 6370.01 - 6 370 - 10 м. В ідп овідь: 10 м.

0 8 'і* | -

(

0 ,5 0 2 4

мг, площм квидрата —

0 .8 і ш 0,6 4 мг, площа відходів - 0,64 - 0 ,5 0 2 4 - 0 ,1 3 7 6 м*. Площа відходіи 0,1 3 7 6 становить 1 0 0 % = 2 1 ,5 % від площі квадрата. 0,6 4 В ід п о відь: 2 1 ,5 % . Завдання д л я самоперевірки Рівень І 1. б) 4 . 2. б) ні. 3. а) 2.

4. г) 12 кг. 5. а) коло; б) круг; в) кругова діягряма. 6. г) 3 1 ,4 см .

Рівень II 7. 2.6 : х - 13 : 20; х - 2.6 20 : ІЗ ; х - 4. 8. 60 0 : 100 • 15 я 90 (грн) — на 90 гри буде більше грошей. 9. 5 - А ґ ; г - 4 см. А - 3 ,1 4 ; 3 «■ 3.14 • 4 г » 50 ,2 4 (см г) — площа круга. Рівень /// 10. (х - 7) : 0 .2 - 15 : 4; х - 7 - 0 .2 - 15 : 4; х - 7 - 0 .7 5 ; х - 0 ,7 5 ♦ 7; х - 7,75. 11. Ро.м'я.шння: 1) 2400 : 3 2 0 0 • 100 - 75 (% ) — першого Гатунку. 2) 100 - 75 - 25 ( % ) — вищого ґатунку. В ід п о відь: 25% борошна вищого ґатунку.

12. Розв’язання: 1) 6 0 : 80 • 100 - 75 (% ) — швидкість вантажного автомобіля. 2) 100 - 75 - 2 5 ( % ) - більше. Рівень IV л їм 13. 1)21 2 =2 1 = 5 4 (ц) — з другої ділянки. г 7

2) 21 + 54 = 75 (ц) — з двох ділянок. 3) 21 : 75 • 100 -» 28 ( % ) — з першої ділянки. Відповідь: 2 8 % помідорів зібрали з першої ділянки. 14. Розв'язання: 1) 300 : 15 • 100 = 2 0 0 0 (г) — 15% розчин солі. 2) 2000 + 500 - 2 5 0 0 (г) — новий розчин. 3) 3 0 0 : 2005 • 100 « 12 (% ) — новий розчин солі. Відповідь: 12% солі містить новий розчин солі. 15. 1) Квадрат мас площу: а ** 3 см; ~ а 2, * (3 см)2 = 9 см2; 2) Круг має площу: г = 3 см, я = 3, 1 4 . $ кі> - яг2, 5 кр = 3,14 •3 (см)2 =• 2 8 ,2 6 с м 2. Площа фігури на малюнку дорівнює: 5 ▼ = 5 КВ-

— Л 5 '•Р.

-•5 а *■ 2 8 ,2 6 см2 : 4 = 7 ,0 6 5 см2. Маємо: 4 кр = 9 см2 - 7 ,0 6 5 см2 = 1,935 см2. Відповідь: 1,935 см 2 дорівнює площа фігури.

Розділ II. Раціональні числа та дії над ними § 5. Раціональні числа. Додавання і віднімання раціональних чисел ЗО. Додатні та від’ємні числа. Число 0 Для позначення температури повітря використовують числа, які нази ваються додат ним и, якщо температура вища за нуль, і від'єм ним и, якщо температура нижча за нуль. Число нуль є ні додатним, ні від’ємним. Рівень А 894. а) +15°С; б) -2 °С ; в) -2 0 °С ; г) +7°С. 895. а) +2061 м; б) + 8 8 4 8 м; в) - 2 2 1 1 м; г) - 5 8 0 3 м. 896.

Команда

Забито м ’ячів

Пропущено м ’ячів

Різниця м ’ячів

«Зоря*

«Нива*

«Лисоня*

-2

«Бровар»

-10

7------------------------ 5

897. — •— І--- •--- 1----1----1----1--- •— І----1----1----1----1----1--- •--- 1— •— П

Іі

898. Точка В лежить на 5 + 3 “ 8 клітинок праворуч від точки О. 899. Точка А лежить на 4 клітинки ліворуч від точки О. 2

Д/

А'

900. —V — і— •— і— • -“*— »— »— •— і— »— і— і— і— %■ V

Точка N лежить на 6 - 4 =» 2 клітини ліворуч від точки О. Точка К лежить на 6 + 4 “ 10 клітинок праворуч від точки О. 901. В ід п о відь: 8 клітинок. Рівень Б Дата

903.

Температура повітря о 12 год

Зміна температури за 8 год

Температура повітря о 20 год

3.09

■пвх

Знизилась на 5'С

+ 134?

7.09

+ 12Т

Підвищилась на Ї Х

+ 13°С

15.09

■*11°С

Знизилась на 2°С

17.09

+ 10Т

Підвищилась на 3°С

5.11

♦3°С

1.12

- 2®

3.12

-5*С

Підвищилась на 3°С

8.12

- 7 СС

Знизилась на 5°С

ш ин

+9Х + 13°С

Знизилась на 4*0

-І^С

Підвищилась на 2°С

0"С -2°С - 12*0

^ »«лоспоопст 2 км —•— і-----\-------------------- 1---- 1----і— •--------- ► І----1 С

Ті

а ли м іь

Велосипедист проїхав село й . яке знаходиться на 10 - б ■ 4 км південніше села В . отж е, велосипедист знаходиться на 6 - 4 - 2 км південніше села О і на 12 - б - б км північніше від села А. 904. 10 хв -

- год. о

5 , - 72 “ - 12 км пройшов автомобіль за 10 хв;

5 , - 48 •^ - 8 км пройшов мотоцикліст за 10 хв; 5 - 24 + 12 ♦ 8 - 4 4 км. В ідпп лідь: 44 км. 905. а) За добу піднявся від гілки на +32 см - 23 см - +9 см; б) за добу опустився від гілки на + 32 см - 41 см - - 9 см. 906. 25 0 м 4 3 0 0 м - 3 5 0 м " 2 0 0 м — глибина. Вправи д л я повторення 908. а) 3 76 2 08 - 134 4 1 5 : 435 - 78 2 0 8 - 3 0 9 - 77 8 9 9 ; б) 342 342 : 38 + 123 • 217 - 9 0 0 9 + 26 691 - 35 700; в) 1 .2 5 - 0 ,4 4 [ 1 ^ - 0 . 5 + 1.125; (З } 4 4 5 6 4 2 8 8 г) (9 6 ,6 + 9 8 .6 ) : 6 .4 - 0 ,0 5 : 0 .5 - 3 0 ,5 - 0.1 - 3 0 .4 . 909.

Г)

п 0

0 .8

■1

1.4

-> о"

В (0 . 8 ) “ 0 .8 - 5 - 4 клітинки; С (І. 4) ~ 1,4 • 5 - 7 клітинок; ^ | І£ ) * 5

в ; 516 В

5 ” б клітинок; е [ 2 ^ = ^ - 5 =

12 клітинок,

М А Т Е М А Т И К А Г. М . Я нченко, В . Р. Кравчук

910. /Л О В = 9 0 ф, Z КОВ - 90° : (4 + 1) - 90" : 5 = 18°; ^АОК - 18 • 4 - 72°. Відповідь: 18°; 72°.

Координатна прям а — це пряма з визначеним напрямом, початком відліку та одиничним відрізком. Координата точки — число, яке показує положення точки на прямій. Зліва від початку відліку (точки О) л еж ать від'ємні числа, справа — додатні. Точки, рівновіддалені від точки О з різних боків від неї, називають про т и леж н им и. Ц ілі числа — натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль. Додатні числа (дробові і цілі), від'ємні (дробові і цілі) і число нуль нази вають раціональн им и. Рівень А = А (0 ,4 );С

= С(1,8);£>

В ( 3); А Г ^ - 1 ^ = А - ( - Х . 8 ) ; і ( - 1 ) ; Л Г ^ - | Щ - 0 ,8 ). 917. а) 2; - 1 ; - 3 ; б) - 4 ; 0 ; 8; в) - 1 8 5 ; - 1 9 0 ; - 2 5 0 ; г) 6 ; 7, 5; 8. С Е К 918. ”•— •Г"і— — *■ - 3 - 2І "І* 919. -•» -2-І - 1’8

3.5

*0.5

0.8 1 1.2

І----1----К + -6 ,5 -4 ,5 -2 0 1 З 921. 6; - 6 ; 5; - 5 ; 4 ; - 4 ; 3 ; - 3 ; 2; - 2 ; 1; - 1 . 920.

і 3 . 1 9 2 2 . - 9 ; 0 ,2 5 ; 9 ; - 1 - ; - 5 ,6 ; 4

__________________ і

923.

Число +3 -5 -7 +2 -10 +4 -1 0 0 3

Протилежне число -(+ 3) - - 3 -(-5 ) - 5 -(-7 )= 7 -(+ 2 ) = - 2 - ( - 1 0 ) - 10 -( + 4 ) - -4 - ( - 1 0 0 3 ) = 1003

924. Координата точки С — 3 ,5 - 5 - - 1 , 5 ; С (-1 ,5 ). 925. В (1). 926. Точку А треба перемістити праворуч на 4 + 2 = 6 одиниць. 927. На 7 одиниць ліворуч.

ПОЯСНЕННЯ

31. Координатна пряма. Раціональні числа

Рівень Б 928. а) - т = - 3 ; 4; 1 .5 ; - 2 .4 ; 0 ; б) к - - 2 ; ЗО; 4 .1 ; - 5 .2 4 ; в) - ( - Ь) = - 8; 0 .4 5 ; О. 929. а) -(+ 7 ) - - 7 ; б) - ( - 1 1 ) - 11; в) - ( - 7 5 ) - 75; г ) - ( * 9 1 ) 930. а) - 5 ти - 1 ; б) -6 та 0; в) -8 та 2. 931.

А'

л < -6 )

91.

«2)

Л/

К ( - 8); М (-3 ); АГ(5). 932. Точку А{ -2) перемістили на +9 одиниць і отримали точку В (7), бо - 2 + 9 - + 7. Точку В (7) перемістимо на +9 одиниць і отримаємо точку С (І 6), бо +9 + 7 - +16. 933.

-4

-1

-6

-5

-х

-2

-3

-4

934. а) 1; 2 ; б) - 2; -- 1 ; а) - 5 ; - 4 ; - 3; - і > ;- 1 - 0; 1 в) - ("X ) 935. а) -х 19; б) ’’Х - 2 .3 ; X “ - 2 .3 ; X ж •4. х - 19; 936. а) - х *- 4, б) -X - - 3 .5 ; в) - ( - * ) х - --4; х •- 3 .5 ; X - 8. 937. Цифр усього чотири. Кожна цифра з іншими може скласти по 3 комбі нації. тобто буде 4 • 3 - 12 комбінацій. Також 4 комбінації, коли цифри подвоєні ( 1 1 . 22 і т. д.). Усього маємо 12 ♦ 4 - 16 комбінацій коду.

Вправи для повторення 1 938. Хизяїн пройшов за 2 хв ^ -40 Л)

12»

1 2

4 6 • * у 5

20-18

хазяїна становить: - : — = — - ЗО = 4 км/год. 15 ои 15 В ідп овідь: 4 км/год. 7 1 939. Лисиця добіжить до нори за 1.4 : ЗО • і) «їО пробіжить 36

і ои

2 км. Ш видкість — 15

150

гол. 'За цей час пес

= 1,68 км. що менше на 3 0 0 м + 1,4 км - 1.7 км. Лиси-

ця встигне сховатися. В ідп овідь: так. 94°. На

20 - їй 2()

100% = 1 0 % .

В ід п о відь: 10 % . 941. Висота ялинки збільш илась на В ід п о відь: 8 % .

2 16 —2 ’ ^

-1 0 0 % <

9 4 2 .» .4 = 1 2 = 1 1 8 ; 1 4 = 1 20 ; 3 7 = 3 5 6 ; 3 5 = 3 45 5 45 9 45 9 72 8 72 9 . 5 2 6 1 10 4 - =4 ; 4 4 7 ; 0 .7 5 = 3 • 7 21 З 21 4 12’ 6 12 0 ,7 5 ;^ ; 1,4; 1

;3 ^ ; 3

;4 * ;4 7

8%.

М одуль числа — відстань від початку відліку до точки на координатній прямій, що відповідає цьому числу. Модуль додатного числа і числа нуль — це саме число, модуль від’ємно го числа — це протилежне йому число. Наприклад, |—4| = 4; |3| = 3. Для розв’язування рівнянь та нерівностей найзручнішим є таке озна чення модуля: а , якщо а > 0, \а\ = - а , якщо а < 0.

ПОЯСН ЕН НЯ

32. М о д у л ь числа

Рівень А 946. |2,1| = 2,1; |-1,8[ = 1,8; |0,2| = 0 ,2; |-3,01| = 3,01; |-0,23| = 0,2 3. 947. |дг| = 5 ,6; 100; 0 ,0 1 ; 0 ,2 7 ; 40 ,2 . 94«. а) 'х = 6;

б) |*| = | ;

х - - 6 або 6 ;

х ~ \ аб° “ \ ; о З г) |х| = 0; х = 0;

в) \х\ = 1,2; х = 1,2 або - 1 , 2 ; Д) 1*1 = - 2 ; такого х не існує. 949. 950.

- 1 5 ; 15; 0 ; - 0 , 7 ; 0 ,7 . О, ,

-4 ,5

А,

Н,

♦— * ■» » " ♦ - и— і— -3

-2

К, с

К,

- 0 , 5 0 0 .5

і—

Л,

• 2

і—

В,

------------

А,(2); А2( - 2 ) ; Б х{ 3); В 2( - 3 ) ; С(0); />,(4,5); Я 2( - 4 , 5 ) ; £ ,( 0 ,5 ) ; £ 2( - 0 ,5 ) . осі ” 3 ,5 3 ,5 ЭЭ1* — МИ— І— » ——— Н М -»-— - 4 - 2 , 5 - 1 0 1 2,5 4 952. а) |14| = 14;|19,5| = 19,5;|0,29| = 0,29;|7,2| = 7 , 2 ; для - 1 такого числа не

існує. б)!- 2 = 2; - 5 , 1 = 5,1; -8 9; = 89; - 2 0 = 20; для - 5 такого числа не існує. 953. а) - 5 1 7 - 311 = 5 1 7 - 3 1 1 = 206;

б)|—10| • - 2 ,5 ; = 10 2 ,5 = 25; в ) і- 6 ,4 : 1, 6 = 6 , 4 : 1,6 = 4; г ) - 7 , 2 і ; 1-1,8’ = 7 , 2 : 1 , 8 = 4; д ) - 0 , 5 і - - 0 , 1 = 0 ,5 0 ,1 = 0 ,0 5 ; е) 1,51 + - 0 , 3 7 2 = 1,51 + 0 ,3 7 2 = 1,882. 954. а) |-1,7| - |-0,9| - 1,7 - 0 ,9 * 0 ,8 ;

б) |Ю,2| + |-3,8| - 10,2 + 3 ,8 - 14;

в) |-65| •0 ,8 = 65 •0 ,8 - 5 2 ;

г) |-4,2| : |-14| - 4,2 : 14 = 0 ,3 ;

д) |-2,5| • |-20| = 2 ,5 •20 = 50;

е) |-1,05| : |-1,5| = 1 ,05 : 1,5 = 0,7.

955. а) 3, 81 > - 3 , 0 1 ;

г) 5,1 > 0;

б) - 1 1 , 1 < |-12 ;

в) 0,72; < - 0 ,7 3 ,;

д)|-49,1 =|49,1|;

е)г 1 2 ,3 ;> 0 .

956. а) Найбільший модуль |—18|; б) Найбільший модуль |- 90|.

Рівень Б 957. а) 1 4 і-1-5,1|* -

= 14 і - 6,1 ■і « 14,5 - 1,02 * 13.48; 5 1 2 5

б) - 7 І | : У - 4 , 2 = 2| . ; ; - 4 , 2 = 1 0 - 4 . 2 = 5,8. 958. а-\ Ь \ а = 5 ^ - |-0.4|* 5 1 - 3 , 1 5 . 4 4 959. а) і*і - 0.3 = 2;

б ) М + ^ = 3; О

|jc|= 2 + 0.3;

Н =3 - і ;

х = 2,3 або “ 2,3;

2 2 х = 2 — або - 2 —; З U

в) 4 - 2 х = 0 , 2 ;

г) |х|+ 10 = 0;

|*| = ( 4 - 0 , 2 ) : 2; х — 1,9 або - 1 ,9 ;

И «-10; такого х не існує.

960. а) |х| + 1 - 5; |х| - 4; х - 4 або х — - 4 ; в) 2|xj - 1 , 6 - 2 ;

б) 1 - |х| = 0,2; W “ 0.8; х - 0,8 або ж - -0 ,8 ; г) И + 1 , 2 - 0 ;

М - 1,8; х - 1,8 або х - - 1 ,8 ;

W - -1 .2 ; такого х не існує.

961. а) И < 4 ; х - - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; в) |х|< 2.53; х - - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2;

б) |х| £ 4; х - -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3; 4; г) |х|< -2 ; такого х не існує.

962. а) ]х| < 2; цілі числа: - 1 , 0, 1; б) \х\ < 3; цілі числа: - 3 , -2 , - 1 . 0. 1. 2, 3; в) \х\ < 3,8; цілі числа: - 3 , -2 , - 1 , 0, 1, 2, 3; г) |х| < 0; такого х не існує. 963. а) 9 цілих чисел; б) 11 цілих чисел; в) 11 цілих чисел; г) 91 ціле число. 964. |х| > 3 ; - 4 ; - 5 ; ~6... 965. х - -6 ; - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; -1 . 966. а)) u jrw . а |Л.| < V «з ,; і і

° 'І І

*І

_ 3

о ’ _ 9 1 ~2 -1

0 0

, 1

. ..

2 оі

З З 968. а) МН = |х|•2 = |-2,5| -2 = 5; б) |х| = М1Я : 2 = 6 : 2 = 3. 969. Так. 970. Ні, тому що може бути х = у; х - -у. 971. Мудрець до батькового табуна поставив свого коня. Коней стало 17 + 1 = = 18 голів. Старший син отримав половину: 18 : 2 « 9 коней, середній отримав третину: 18 : 3 6 коней, а молодший отримав дев'яту частину: 18 : 9 « 2 коня. Разом сини отримали 9 + 6 + 2 = 1 7 коней, а свого коня мудрець забрав.

Вправи д л я повторення 972. а) 9841 > 10 5 5 9 ; б) 10 ,40 - 10 ,4 ; в) 8,41 > 8 ,4 0 9 ;

,7 21 . 1 .8 с 1 к1 , 3 5 г) 1 — = 1 — > 1 — = 1 -г- ; д) 5 - > 5 ; е) < Л* 8 28 3 24 2 3 ' 4 б 973. Зх - 3 , 5 = 8; х = 11,5:3; 115 1 115 23 5 х = • ; х = —— = — = 3 - . 10 З ЗО 6 6 974. а) а = - 2 , 6 ; і ; 0 ; б) -к = - 7 ; - ( - * ) - 7. о 975. Відстань між автомобілями буде (80 + 80 •0,65) Відповідь: 66 км.

0,5 ** 66 км.

36 З 976*. Між мотоциклістами буде (24 + 24 : 0 ,7 5 ) • т т - 28 = 56 • _ - 28 оО 5 в 3 3 ,5 - 28 *= 5 ,6 км. Відповідь: 5,6 км. 33. Порівняння чисел

Із двох додатних чисел більше те, у якого модуль більший. Із двох від'ємних чисел більше те, у якого модуль менший. Кожне додатне число більше від будь-якого від’ємного числа та нуля, і навпаки: кожне від’ємне менше від будь-якого додатного і нуля. Рівень А 980. -• -і— і— і— •— і— •— •— і— •—

-5,5

-г

а) 1 < 4; б) 0 < 3; е) - 2 > - 5 , 5 ;

оі

3 4

в) 0 > - 4 ; є) - 4 < 3;

г) - 4 > - 5 , 5 ; ж ) 3 > -2.

д) 4 > - 4 ;

981. а) - 1 3 0 < 45; б) 4 ,2 > 4 ,0 2 ; в) - 2 > - 2 , 1 ; г) - 0 , 7 9 > - 0 , 8 ; р1 . 3 - 9 1 - 8 д) - 5 < 4 ; е) ~ = <= ; З 8 24 3 24

е> 5 30 982. а) 1990 > 1909; д)3->-3; 7

6 ЗО ’ Ж) б ) - 0 , 6 < 0;

2 - V в) - 9 , 8 < - 9 ,7 8 ;

г ) - 0 ,0 4 > - 0 , 4 ;

е> " о > - Д ;

є) - 0 ,4 *

ж ) |-7| > -| 6 ^ !.

9 8 3 . , - 6 ; 3 ,2 ; - ( - 2 ) ; 0 , 3 ; -

;

о,

] ; -0 ,3 1 ;-3 ,1 .

984. - 4 1 ; - 1 5 ; - 1 0 ; - 0 , 8 ; 0 ,7 ; 12; - ( - 1 4 ) ; І-17|; 18. 985. —1,5 лежить між - 2 та - 1 ; - 0 , 2 5 лежить м іж - 1 та 0 ; - 4

- 5 та - 4 ; 0 ,3 5 лежить між 0 та 1. - 2 < - 1 , 5 < -1 ; -1 < -0 ,2 5 < 0 ; - 5 < -4

< - 4 ; 0 < 0 ,3 5 < 1.

986. а) - 1 ; 0; 1; 2; б) - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; в) - 7 ; - 6 ; - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 . 987. а) - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; б) - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; в) - 1 1 ; - 1 0 ; - 9 ; - 8 ; - 7 ; - 6 ; - 5 .

лежить м іж

988. - 4 ; - 5 ; - 6 ; - 7 ; - 8 . 989. - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1. - 5 ,1

990. н— щ— і— і— »— »— *-► -5 -4

-3 -2 " І

991. а) - 5 < О; б) 7 > 0; в) * < 0; г) Ь > 0 .

Рівень Б 992. - 4 ,3 ; - 1 , 9 ; - - ; -0 ,02 ; 0,5; 3,2. «і 993. а) х = -1 ; 0; 1,2; б ) х « 0; 1; 2; 3; 4; 994. а) - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; б) - 1; 0; 1; 2; 3; 995. а>> 0

1 2

в) * - -3 9 ; -3 8 ; -37 . в) -3 2 ; - 31 ; -3 0 ; -2 9 .

6 ) ^ 4 ^ ^ - - 2 < * < 1; -2-і о і

І < х < 4;

в) -2,5 < х < 0 . -2.6 2 -1 0 996. а) — і ♦ » і—і------ ; ♦ ♦ б) о і -3 -2 в) таких цілих чисел немає. 997. Цілих чисел є 60. Відповідь: 60. 998. Найменше число: -2 3 , найбільше: - 1 .

<—н

999.

Найбільше ціле число: - 4 ; найменше ціле число: -3 7 . 1000. а) можна сказати, що а < Ь; б) не можна сказати, модуль якого числа більший. 1001. Правильна нерівність: а > Ь. 1002. Правильна нерівність: а > Ь.

1003. \а\ < |6|. 1004. а) 3); 6) 4); в) 1); г) 2). 1005. Кожен із гостей Кролика може 2 рази посидіти на кожній із табуреток,

поки його друзі мінятимуть табуретки. Наприклад: П’ятачок на жовтій, Іа на червоній, Вінні-Пух на синій. П’ятачок на жовтій, Іа на синій, ВінніГІух на червоній. І так зроблять усі троє гостей. Тоді маємо 3 - 2 - 6 способів. вправи д л я повторення

1006. а)( ' + 0 . 6 І-1 і - 0 . 3 7 8 = ( і + ^З | 5 [З 5 ) 5 340 + 89 1 500 252’

189 500

14 9 15 5

189 = 1 17 _ 189 500 25 500

б)| 0 , 7 5 : 0 ,03 - 23 * 1 : 1 * + 5,72 = (25 - 2 3 ,5 ): 1,5 + 5,72 = 1 +5, 72 = 6,72. 1007. а) 36

18 9 З 1

48 24

12 6 З 1

36 - 2 •2 •3 •3; 48 = 2 •2 • 2 •2 •3; НСД (36; 48) - 2 - 2 - 3 - 12.

НСК (36; 48) - 2 • 2 • 3 • 3 * 2 • 2 = 144. 54 = 2 • 3 • 3 • 3; б) 54 2 126 2 126 - 2 • 3 - 3 • 7; 27 3 63 3 3 9 3 21 7 НСД (5 4; 126) * 2 3 3 7 1 1 НСК (54; 126) = 2 * 3 * 3- 3 •7 - 3 78. .1 0 0 % 1 1 00% _ 5 3 20% ’ * 3 20% 2 !>% 1009. 240 - 240 •-= ^ ~ = 180 , 100%

2 3

1008. * = 1,5

1010. 80 + 8 0 - 1 5 % = 8 0 + 12 = 92. 100% 34. Додавання в ід ’ємних раціональних чисел

Сумою двох раціональн их чисел з однаковими знакам и є число, яке має той самий знак, що й доданки, а модуль його є сумою модулів цих доданків. Рівень А 1012. а) - 1 7 + ( - 1 5 ) = - ( 1 7 + 15) - - 3 2 б) - 9 9 + ( - 1 1 ) - - ( 9 9 + 11) - - 110; в) - 1 1 3 + ( - 1 7 ) = -(1 1 3 + 17) - - 1 3 0 г) - 3 5 + ( - 4 2 ) = - ( 3 5 + 42) « - 7 7 ; д) - 4 1 + ( - 1 1 5 ) - -( 4 1 + 115) - - 156; е) - 2 7 + ( - 8 3 ) ~ - ( 2 7 + 83) - - 1 0 0 ; е) - 1 8 + ( - 4 3 ) - - ( 1 8 + 43) = - 6 1 ; ж) - 1 1 , 1 + ( - 1 4 ) - - ( 1 1 , 1 + 14) = - 2 5 , 1 ; з) - 1 7 + ( - 2 1 ,7 ) - - ( 1 7 + 21, 7) - - 3 8 , 7 . 6) - 2 8 8 + ( - 8 4 9 ) = - 1 1 3 7 ; 1013. а) - 1 4 2 + ( - 3 6 ) - - 1 7 8 ; в) - 2 3 1 8 + ( - 8 8 3 9 ) = - 1 1 1 5 7 ; г) 13,7 + ( - 1 1 , 9 ) = - 2 5 , 6 ; е) - 3 7 5 + ( - 6 ,3 2 ) = - 3 8 1 ,3 2 ; д) -8 0 ,8 1 + ( - 6 , 3 2 ) - - 8 8 ,1 3 ; €)- | \

-2-

= - 3 ; ж)

-42 + 9

2 = -4 2 + З 9

= »4 8

= -6 = - і 10 + - 4 12 12 12 1014. а) - 8 3 + ( - 2 8 ) = - 1 1 1 ; б) - 7 9 3 + ( - 2 8 7 ) - - 1 0 8 0 ; в) - 1 0 973 + ( - 4 9 0 8 ) = - 1 5 8 81; г) - 1 , 3 1 + ( - 9 , 9 ) = - 1 1 , 2 1 ; д) - 8 , 8 2 + ( - 9 . 7 8 ) - - 1 8 , 6 ; е) - 1 9 9 + ( - 8 , 9 2 ) » - 2 0 7 , 9 2 ; 3) _ 1 6 +

ж) -1

-2

1 б ;

8 ^ 12) "24 1015. а) - 4 8 + ( - 2 0 5 + ( - 8 5 3 ) ) - - ( 4 8 + 2 0 5 + 85 3) «= - 1 1 0 6 ; б) ( - 9 ,3 ) + ( - 2 , 7 7 ) + ( - 2 6 ,9 3 ) - - ( 9 ,3 і 2 ,7 7 + 2 6 ,93 ) - - 3 9 . 1016. а) ( - 1 7 + (- 1 5 4 )) + (- 9 09 ) - - 1 0 8 0 ; б) - 7 , 5 6 + ( - 6 , 5 + ( - 2 3 ,0 4 ) ) = - 3 7 , 1 .

1017. - 1 .2 + ( - а ) - 1.2 -+ ( - 5 ) -

6 .2 ; - 1 .2 * ( - а ) -

-1 ,2 + ( - 17.9) - - 1 9 ,1 ;

- 1 . 2 + ( - « > “ - 1 . 2 + f - l ~ j = - 2 .7 . 1018. - 1 .2 + ( - 4 .5 ) - - 5 . 7 ; '1 . 2 + ( 1 7 , 9 ) -

1 9 .1 ; -1.2 + f ~ 1 * 1 “ " 2 . 7 .

1019. a ) - 3 2 ( - 1 9 ) > - 6 3 ; 6 ) - 8 3 + ( - 3 8 ) < -1 0 0 .

Рівень Б 2

, n л\

І020 я) " з +

(і * Т

і г 'і

(1 0 -+ 3 6 '

” ]=

, 1

Ї 5:

6) - 0 .7 5 + j - 2 ? j = - ( 0 ,7 5 + 2 .4 ) = - 3 .1 5 : в) - 3

+ ( - 0 .4 3

(-5 .3 8 )) = - ( 3 . 2 5 * 0 . 4 3 + 5 .3 8 )= - 9 .0 6 ; 25 + 18 +

)

♦ ( З ь (-1 .5 ))

; М

* Ы 5 Г~

9 = - 8 2. З

1021. о) - 4 * т ( - 1 .5 ) - - 5 * ;

б )^ (-0 .2 ) + і -З 2 |j + ( - 1 . 6 ■+ ( -4 ) ) - - 9 .2 .

10». ( ^

♦ ( - £ ) ) - -в * .

1024. За три дні ріпсвь у річці змінився ня 9 + (- 8) + (-6 ,5 ) ** (9 + 8 + 6 ,5 ) ■ - - 2 3 .5 см. В ід п о відь: - 2 3 .5 см. 1025. ( - 1 .5 ) + ( - 3 .5 ) - - 5 *0 . 1026. ЗО зо 5 5 ЗО 5

зо

ЗО

зо

ЗО

Вправи д ля повторення 1027. а)|-15.82| 0 . 2 5 + 1 4 ^ |-7.3j + j-0.31| g -

1 5 .82 • 0 .2 5 + 14,5 • 7 .3 +

+ 0.3 1 •0 .2 - 1 0 9 .8 6 7 ;

6) 0 ,3 -1 - 1 4 ,8 -+9 2 —2 .3 - 3 .2 •- 0 .2 5 = 0 .3 - 14.8 •+ 9.4 • 2.3 - 3 .2 - 2 5 ,2 6 . 1028. Вийде 2.7 - 2 . 7 - 7 5 % = 0 .6 7 5 т сіна. 100 % В ід п о відь: 0 ,6 7 5 т. 1029. Продуктивність праці майстра вища на ^ В ідп овідь: 25 40

•1 0 0 % - 25 % .

0 .2 5 -

1030. Нехай треба додати х г солі, тоді одержимо; (160 + х) •

20%

= х*

х - 0 ,2 х = 160 •0 , 2; х = 32 : 0 ,8 ** 4 0 г солі. Відповідь: 40 г. 35. Д о давання д в о х ч и с е л із різними знаками

Сумою двох р а ціо н а льн их чисел з р ізн и м и знак ам и є число, яке має знак доданка з більшим модулем, а модуль його дорівнює різниці мо дулів доданків. Сумою двох протилежних чисел є нуль. Власт ивост і додавання: Для додавання раціональних чисел зберігаються переставна і сполучна властивості. 1. Від перестановки доданків сума не змінюється: а + Ь = Ь + а. 2. При заміні кількох доданків їх сумою результат додавання не зм і нюється: (а + Ь) + с *= а + (Ь + с).

х X ш X о СЕ

О С

Рівень А 1035. а) - 1 2 3 + 715 - 715 - 123 = 592; б) - 8 + 16,3 - 16,3 - 8 = 8,3; в) 5, 8 + ( - 1 , 7 ) = 5 ,8 - 1,7 = 4,1; г) - 8 , 4 5 + 1,4 *= - ( 8 , 4 5 - 1 , 4 ) = - 7 , 0 5 ; д) 2 + ( - 0 , 7 1 ) - 2 - 0,71 = 1,29; е) - 4 , 3 2 + 4.31 - -<4,32 - 4,31) - - 0 ,0 1 . 1036. а) - 2 7 + (+19) - - ( 2 7 - 19) - - 8 ; б) 100 + (- 12 7) - 100 - 127 - - 1 2 7 + 100 - -<127 - 100); - - 2 7 ; в) - 8 1 + (+1 03) * 103 - 81 - 22; г) 87 + ( - 1 1 0 ) * - 110 + 87 - - ( 1 1 0 - 87); - - 2 3 ; д) - 8 5 + (+19) - - (85 - 19) - - 6 6 ; е) - 1 2 0 + (+ 39 ) - - (120 - 39) - - 81. 1037. а ) Л + 2 Л - і Л ; ' З З З З З

б)_ 7 + 7 « 0 ; ^ 10 10

-ґ? -| ] = - Ь ^9 9 ) 9 1038. а) 23 + ( - 1 5 ) - 8; в) - 3 , 8 + 6,4 - 2 ,6 ;

г ) - 3 + 2 1 = - ( з - 2 1 ^|= - 4 . 5 [ 5] 5 б) - 4 7 , 5 + 111 ,5 - 64; г) 18 + ( - 1 2 , 7 5 ) - 5.25;

д) 2,6 74 + ( - 2 , 6 4 7 ) - 0 ,0 2 7 ;

е)-|

+~ - - - . У

1039. - 4 , 3 + 1,8 = - 2 , 5 ; - 4 , 3 + ( - 5 , 4 ) = - 9 , 7 . 1040. а) ( - 1 0 + ( - 1 5 ) ) + 21 - - 2 5 + 21 - - 4 ; б) - 1 , 2 + ( - 5 + 17) = - 1 , 2 + 12 - 10,8 ; в) ( - 1 1 , 2 + 7,3) + (12 + ( - 5 , 3 ) ) - - 3 , 9 + 6,7 =• 2,8. 1041. - 2 + ( - 3 , 4 ) - - 5 , 4 ; 10 + ( - 1 5 , 4 ) - - 5 , 4 . 1042. а) - 5 2 0 + 6 0 0 - 8 0 > 0; б) - 3 0 0 + 26 0 = - 4 0 < 0; в) 14,2 + ( - 1 1 ) = 3 ,2 > 0; г) - 7 , 2 + 14 = 6 , 8 < 7; д) 50 + ( - 4 0 , 1 ) = 9 ,9 < 10; е) - 9 , 3 + ( - 1 , 1 4 ) = - 1 0 , 4 4 < - 8 . 1043. а) - 3 7 + 97 > 0; б) 80 + ( - 4 2 ) > 0; в) - 3 1 + 100 > 0; г) - 2 0 + 30 > - 1 0 ; д) - 1 , 2 + 4 , 5 > 3 ; е) - 1 1 + і > - 8 . 1044. х + ( - 1 , 7 ) - - 8 , 9 ; х - - 7 , 2 ; так. 1045. а) - 1 5 + 1 7 + ( - 5 1 ) + 93 + ( - 7 8 ) = 310 - ( 7 8 + 15 + 51) ~ 1 1 0 - 144 = - 3 4 ; б) 405 + ( - 1 3 0 ) + ( - 3 8 4 ) + 15 + ( - 4 9 1 ) = 42 0 - 130 - (491 + 384) = 290 - 8 75 - -585;

в) 47 + (-8 ) + (-23) + (-9 ) + (-17) Ч 23 + 34 - (23 - 23) + (34 - 17 - 8 - 9) + + 47 - 47. 1046. а) - 1 ,9 + (-7,3) 4 14,1 + (-0 ,7 ) + 8,8 =-- 14,1 - 1,9 + 8.8 - (7.3 + 0,7) = - 21 - 8 « 13; б) 8,25 + (-5,72) + (-4.1) + 3,65 + (-0,88) * 8,25 + 3,65 - 4,1 - (5,72 + 0.88) - 7.8 - 6,6 - 1.2; 1047. а ) 75 + (-5 3 ) + (-5 7 ) + 35 + (-4 8 ) = -5 8 ; б) -154 + (-3 4 6 ) + 154 + (-9 2) +187 = - 351; в) - 6 ,7 + 4,8 + (-5 ,3 ) + (-7 ,7 ) + 12,8 - - 2 ,1 ; Р ів е н ь Б 1048. а ) ( -15) + 11 = - 4 ; б ) 15 + ( - 1 1 ) = 4; в) (-7 ) + 7 = 0;

г) (-1 4 ) (-14) - - 28. 1049. а ) 6 + (-9 ) = - 3 ; б) (- 14) + ( - 7 ) = - 2 1 ; в) 11 + 11 - 22. 1050. а) - 6 , 2 + - = -6 , 2 + 0,75 = - 5 ,4 5; 4 , 5 . л 5 З 1

в )б + (“°’5) = б “ б = з ; 5 Д) - 0 , 2 + 8 = 8 - 3 15 15 15 15 4 -1,57; 1051. а) 4,23 + - 5 5/ 1 » -5 в) 0,25 + - 5

, ^ ■ 2 0 - 3о 3 3 = - З о л 13 ; б) 2 + (-4,1) 3 ЗО ЗО ЗО

г) 5 4 + (-1 ,3 ) = 5,16 - 1 , 3 = 3,86; Є ) - , 2 + °-6 = 6 0 - 6 ^ = і б ) - 4 б + 3 '2 “ - з о :

- 5 + 1.2 І + 3 1 = 36 - 25 + 105 = з 13 б) 22 22 ЗО 15 1053. а) -5 + а > - 5 ; о > 0 — додатне; б) - 1 0 + а < - 1 0 ; а < 0 — від’ємне; в) 50 + (-а ) > 50; а < 0 — від’ємне. 1054. Увечері температура стала 2°С + (-4°С) - -2°С. Відповідь: -2°С. 1055. |а + 6| < |а|+ |6|. а) о «= 3; Ь * 5 3 + 5 = 8 = 3; + 15|; б) а - - 2 ; Ь « - 4 - 2 + (-4) = -6 = 6 = - 2 + !-4| ; в) а - 5; Ь - - 7 .5 + (-7) = - 2 = 2 < 5 +; - 7 = 12. Рівність а + Ь = |а; + р\ — виконується, коли а і Ь одного знака. Нерівність а + 6і < а + Ь — виконується, коли а і Ь різних знаків. 1052. а)

5,25 * - 5

5 І = - 2 1 + 2 1 - 2 1056. а) - 2 * + * + Г - 5 ^ + 2 1 = - 2 1 + 2 1 2 6 3 2 3 6 6 2 3 3 15-10 6 ( 0 7^ Л1 0 1 СА 5 _ 25 - 24 С 1 б) - 4 ,1 + - 2 + 9 + 2 = - 6 +11 = 5 =5 ; ( 10; 3 2 5 6 ЗО ЗО 8: 1-б !

6 , 2 5 + ( - 4 ) = 2 ,2 5 ; 6)- і + ( - 4 + 2 і + [ - 1 1 ] = 2 і З 1 6; 2 ^ 6^ 2 // 5 = 2 > +Г - 1 ^ 6 ' 2 І З 1058. а) |7 + (5,1) + ( - 1 , 9 ) + ( - 1 . 6 ) + 3,7 + 0,5) = 7,5 - (5,1 + 1,6 - 3,7) - 1,9 = - . 7 , 5 - 3 - 1 , 9 = 2 ,6 = 2 , 6 ; ;7Ч - 5 , 1 ! + - 1 , 9 + ;-1,6і + 3,7 + Ю,5 = 7 + 5,1 + 1,9 + 1,6 + 3 ,7 + 0 , 5 = = 14 + 5,8 = 9,8; б) 7 + 3 ,7 + 0,5- = 1 1 ,2 ;|7 +; 3, 7 + 0,5- = 7 + 3 ,7 + 0 , 5 = 11,2; в) - 5 , 1 + ( - 1 , 9 ) + ( - 1 , 6 ) = - 8 ,6 ; = 8,6; .-5,1 + - 1 , 9 + - 1 , 6 = 5 ,1 + 1.9 + 1 . 6 = 8 ,6 . Модуль суми дорівнює сумі модулів, коли числа одного знака. 1059. 1,7 + ( - 3 , 4 ) + (- 2,7) + 1,6 - - 2 , 8 ; а) 2 ,8 ; б) + 2,8. 1060. 1 зелена кулька, 6 білих, 13 червоних або 2 зелені кульки, 12 білих і 6 червоних. Якщ о зелених кульок буде більш ніж 2, тоді всіх разом буде більш ніж 20 штук. Вправи д л я повторення 1061. а) 7,9 + 4 ,6 8 = 12,58; б) 8 ,5 7 - 3 ,3 8 - 5,1 9; в) 3 ,86 - 2,6 - 1,26.

1062. Маса деталі становить

Відповідь: 96 % .

0 8 * -1 0 0 % = 9 6% від маси заготовки. 20 —

1063. Маса сортового зерна становить

•100% = 95%

початкової

маси. Відповідь: 95 % . 1064. За третій день учню залишилось прочитати 1 8 0 - 1 8 0 - 30% - Ґ і 8 0 +9 100% І 100% — 63 сторінки або Відповідь: 35 % .

180

= 180 (1 - 0 ,3 - 0 ,3 ) - 9 - 180 ‘ 0 ,4 - 9

•100% = 3 5 % .

36. Віднімання раціональних чисел

Віднім ання — дія, за допомогою я к о ї за відомими сумою та одним із доданків знаходять другий доданок. Щоб відняти будь-яке число, досить до зменшуваного додати протилеж не до нього число. т — п = т + (—ті); а — 0 = а + 0. Рівень А 1067. а) - 3 1 - ( - 2 8 ) - -3 1 + 28; в) - 3 7 - 21 - 37 ч ( -21); д) а - ( - 9 ) = а + 9; 1068. а) 5 - 27 - - 2 2 ; в) - 7 - 28 - - 3 5 ;

б) г) е) б) г)

50 - ( - 3 2 ) - 50 + 32; а - 10 = а + (- 1 0 ); 7 - ( - а ) — 7 + а. -5 - (-11) « - 5 + 1 1 = 6 ; - 1 1 - 15 - - 2 6 ;

д) 11 - 39 - - 2 8 ; е) -4 1 - ( - 5 ) - - 4 1 + 5 - - 3 6 . 1069. а) - 1 9 - ( - 1 6 ) - - 1 9 + 16 - - 3 ; 6) - 1 8 - 9 = - 2 7 ; в) 7 - ( - 4 0 ) - 7 + 40 - 4 7 ; г) - 5 - ( - 1 .5 ) - - 5 + 1.5 - - 3 .5 ; я) 2 .5 - 7 .5 - - 5 ; е) 4 - ( - 1 .6 ) - 4 * 1.6 - 5.6. 1070. а) 17 - ( - 3 5 ) - 5 2 ; 6) 1 4 - 3 1 - - 1 7 ; а) - 1 1 - 40 - - 5 1 ; • г) - 5 - ( - 1 . 5 ) - - 3 . 5 ; д ) - 0 .2 - 1.03 - - 1 . 2 3 ; е ) - 9 - ( -1 0 ,1 ) - 1.1. 1071. а> , 1 - ф Л ; 6 ,

- 5 - 7 ; - 1 2 ; ; . ) б ; - 7 ^ - 1 І .

1072. а) - 5 - 2 * ~ - 7 - * ; б ) 8 * - ( - 1 0 ) - 1 8 * ; 2

«5

-4*. 1073. а) - 1 + 5 - ( - 1 2 ) - -1 + 5 + 12 - 16; б) - 1 7 - 8 - ( - 2 5 ) - - 1 7 + ( - 8) + 2 5 - 0; в) 40 - ( - 7 6 ) - 38 - 4 0 + 76 + ( -3 8 ) - 78. 1074. а) 11 * ( - 7 ) + ( - 2 ) - 2; 6) 35 + 4 0 + ( - 1 2 ) - 6 3 ; в) - 5 .7 15 * 6.6 - 1 5 .9 . 1075. в) а —Ь - - 1 5 - 3 5 «* - 5 0 ; Л - а - 35 - ( -1 5 ) » 35 + 15 - 50; |а - *| - 50.1«) - о! = 5 0 ; \а - Ь] = 50 = \Ь - а|; б) а - Ь - 50 - ( - 8 2 ) - 50 + 82 - 132; 6 - й - -82 - 50 - - 1 3 2 ; |а -Ь| « 132; \Ь-о\ = 1 3 2 ; І а - 6|= | 5 - а ). в) а - Ь - - 1 2 0 - 45 - -1 6 5 ; 5 - а - 45 - (-1 2 0 ) - 45 ♦ 120 - 165. а - Ь = 1 6 5 ; |5- в| ■ 165. 1076. а) - 7 + х - - 1 5 ; х « - 1 5 + 7; х - - 8.

Перевірка: - 7 + ( - 8) ■ - ( 7 + 8) • 15.

б) х + ( - 3 5 ) - - 2 0 ; в) - 1 1 + х - - 1 8 ; Х - - 2 0 + 3 5; Х--18+11; х - 15. х - -7 . Перевірка: Перевірко: 15 + ( - 3 5 ) - - 2 0 ; - 1 1 + ( - 7 ) - ~ (1 1+7) - - 1 8 . 1077. а) х + 9 - 4 ; х - - 5 ; - 5 + 9 - 4; б) 21 + х - - 7 ; х - - 2 8 ; 21 + ( -2 8 ) - - 7 ; я) х + ( - 1 5 ) - - 2 .2 ; х - - 7 ; - 7 + ( - 1 5 ) - - 2 .2 . 1078. а) А В = |-1І ♦ |4| = 5 ; б) М Х я |-1#5{ ♦

« 4; в) К Ь = |-8.3| -|-2.1] = 6 ,2 .

1079. а) С й - |-7 - (-2>; - 5 ; б) ЕР - |7 .1 - 1 . 3 1- 5 .8 ; в) М Н - І-3 .2 - 4,8! - 8. 1080. Уранці температура стала -1 2 °С + (-4 °С ) - -1 6 °С . В ідп овідь: - 16 °С. 1061. Уранці температура була -І^ С + 5'С - 4 еС. В ід п о в ід ь: 4*С. 1082. [-4 - 3| - 7°С. В ід п о відь: на 7°С. 1083. а) - 5 СС - (-9°С ) - -5 °С ■*- 9°С - 4*С; б) - 9 ’С - (-5 °С ) - - 9 4 3 + 5°С - -4°С . Різниці відрізняються янаками. Рівень Б

б) 8 - ( - 1 , 2 ) + | - 7 + ( - і А ) = 8 - 7 + и 2 + 0 , 8 - і | = 2 § ; 5

„ , ,2. _1 2 _ ІЛ2 2 Ч 0 1 1 П1 в) - 7 + ( - І ) - 2 + ~ - 7 - (1 + ) - 2 = - 1 0 - ; ' 3 3 3 3 3 3 З ч . 1 0 1 .1 .2 1 . . 1 0 1ч 2 1 , 1 . г) 4 - 3 - - 4 - + 5 - - - = ( 4 ~г - 3 ) + 5 - 4 =2. 2 2 3 3 3 2 2 3 3 З 1085. а) б і “ 8 + - 1 + 2 , 5 - 1 0 « б 1 - 1 - 3 Ї + 2 , 5 + 4 4 4, + ( ( - 8) - 10) =- 4 , 5 + 2 , 5 - 18 - - 1 1 ; 6> 1 - 5 + 2 І - 1 ! + ( “ 2 ) = 2 Ц - П - 2 = - ^ . 8 6 4 6 8 3 24 1086. а) х + 7 - 18 - х + 24 - * - х + 2 4 - 18 + 7 = 13; б) 4 - а - 19 - 11 + а + 2 5 - а - а + 2 5 + 4 - 19 - 11 * - 1 . 1087. а) 9 - с + 10 + с - 71 = - 52 ; б) а - 2 + Ь - 18 - Ь - а т 30 - 10. 1088. а) х + 19 - 25 = - 8 ; б) 10 - х - 4 « - 2 ; х - 25 - 8 — 19; х - 10 - 4 + 2; х = -2; х • 8; в) 40 - х + 35 - 7 0 = 8; х * 40 + 35 - 70 - 8; х - - 3 . 1089. а)|х| + 7 = 11;

б) 1 0 ,2 - |х| = 3 , 8 ;

|*| = 4 ; х = 4 або - 4 ;

|х| = 6 ,4 ; х = 6 ,4 або - 6 , 4 ;

в) И - 5 . 2 - - 2 ; |х| = 3 , 2 ; х - 3 ,2 або - 3 , 2 ;

г) |х - 2| = 8 ; х - 10 або х - - 6 ;

1090. а) 8 - х - 5 - 7 - 15; х = -9 ;

б) |х| - 2 , 5 - 8 ,8 ; | х | -1 1 ,3 ; х - - 1 1 , 3 або х - 11, 3;

в) |х + 5] = 1; х + 5 - 1 або х + 5 - - 1 ; х — - 4 або х - - 6 . 1091. а) 4 0 - 20 - ( - 6 0 ) - 30 + 50 ~ 1 00; б) 8 0 - 10 + 70 + 50 + ( - 9 0 ) - 100. 1092. Точка В може мати координати: В (8 ), В ( - 2).

В прави д л я повторення / ^ \2 ( в \2 1034. в = пгг = ЯІ ^ І =3 , 1 4 - 1 - ! = 3 , 1 4 - 1 6 = 5 0 ,2 4 см2.

Відповідь: 5 0 ,2 4 сма. 4М е . 5 3 24-10-9 5 1095. У третій цистерні міститься 1 ------------= ------- ---------= — частина бензи12 8 24 24 З 8 ну. У трьох цистернах 18 : = 18 • = 48 т бензину. 8 З 5 Відповідь: _ : частина; 48 т. 1096. Мотоцикліст проїхав 1 9,5 + 1 - •и = 1 9 ,5 + 1,25и = 1 9 ,5 + 1,25 •18 - 42 км. 4 Відповідь: 42 км.

1097. Витрати бензину мотоцикла менші на

25 —8 4

г 6 6 ,4 % .

В ідп овідь: 66.4 % . 125% , __ 1098. Нехай один кут х . тоді другий ^ ^ 7- •* = І.лЬ х . х + 1 ,2 5 х - 180°; 2 .2 5 х - 180“; х - 80 °: 1.25 •80° - 100*. В ідп овідь: 80°; 100°.

37. Розкриття дужок Якщо перед дужками стоїть знак » - » . то. розкриваючи дужки, потрібно змінити знак кожного доданка на протилежний. Наприклад, т - (л + к) * т - п Якщо перед дужками с т о ї т ь знак •+•. то, розкриваючи дужки, треба зберегти знак кожного доданка. Наприклад, т + (п + к) - т + л + к. Рівень А 1100. а) 5 + (т - л) - 5 + т - п ; б) 7 - ( - а ♦ 6) - 7 + а • 6; в) - 3 - (т + п) - - 3 - т - л ; г ) 5 - ( а - Ь + е ) - Ь - а + Ь-е. 1101. а) 11 - ( - 4 5 - 17) - 11 + 4 5 + 17 - 73: б) 14 + (15 - 41) - 14 + 15 - 41 « - 1 2 ; ь) -8 - (+ 5 3 - 48) - -8 - 53 + 4 8 - - 1 3 ;

1104. о) 9 - (а + 37) - 9 а - 37 - - 2 8 - о; б) -(4 - а + 2) - 118 - - 4 ►а - 2 * 118 - а - 124; в) Ь + (78 - Ь - 19) - Ь - Ь + 59 - 59; г) - ( а +51) - ( - а - 4 9 ) - - а - 51 о * 49 «* - 2 . 1105. а) - 24 - (56 - о) «= -24 56 « а - а 8 0 ; б ) 4 1 ( 52 + 6 - 15) * 4 1 - 5 2 - 6 + 1 5 - 4 - 6 ; в) - ( - 5 + а ) - 72 - 5 - а - 72 - - 67 - а; г) ( а 6) ^ (42 + а - 58) •» а + 6 + 42 + а - 58 " 2а + 16. Рівень Б 1106. а + 6 - ( 6 - с ) + < / - а + 6 - 6 » с + < / - а + с + с/ - -3 .1 + ( - 0 .2 ) + (-5 ) - - 8 .3 . 1107. Т. 0 ,2 .2 - (-0 .3 ,3 5 ) + ( (- 0 .3 5 ) - (-3 )) + 1.8 - 0 ,2 4* 0 ,3 5 - 0 .3 ,3 5 + 3 + 1 ,8 - 5.

-(‘4НИНИНН)-(Н)= / . І Ї М

1. - 1

1 3

1 2

1 4

1\ М

1 3

1 \ (1

1 1 1 1 5 4 6 5

1> М

, 1 аі -

5 а

6 6

1109. а) * ( “8 .5 - 3 .3 ♦ 6 . 4 ) - - - 8 ,5 < 3 .3 - 6 .4 - 1 = 5 .4 - 1 = 54 - 1 = 27 - 1 , ' З З 3 10 3 5 З

81-5 76 1 15 15 15’ 6) (4,8 - 5,3) - ( - 4 ,3 + 4,8) = 4,8 - 5,3 + 4,3 - 4,8 - - 5 , 3 + 4,3 - -(5 ,3 - 4,3) = ** - 1 . 1110. а) ( - 5 + а) + (-а + 2,3) = -5 + а - а + 2 ,3 = - 2 , 7 ; б) (0,35 + т) + ( - 4 ,4 - т - 2,65) = 0 ,3 5 + т - 4 ,4 - т - 2,65 = - 7 ,7 ; в) (а - Ь) + (6 - а) = а - b + Ь - а = 0 ; r ) ( f l - £ > + c) + ( 6 - a + 3) = a - 6 + c + b - fl + 3 = c + 3. 1111. а) (с + 17,1) - (8.5 + с) = с +17,1 - 8 . 5 - с - 8,6; ' 6) (-о + Ь) - (Ь ~ а) - -а + b - b + а = 0; в) (fl + b) - (Ь + с) = а + Ь - b - с - а - с; г) (~fl + b + & ) - ( b - ö - - 2 ) ==- a + b - t - k - b + a + 2 = fc-+2. 1112. а) 4 ,8 - (5,8 + аг) - 1,2; б) (х + 7,2) - 14 - 2,3; 4,8 - 5,8 - х = 1,2; х + 7,2 - 14 = 2,3; -1 - х = 1,2; х - 6 ,8 = 2,3; х = - 1 - 1,2; х - 2 ,3 + 6,8; х - -2 ,2 ; х * 9,1; в) - 9 + (14,7 - х) - 1,3; - 9 + 14,7 - х = 1,3; 5,7 - х - 1,3; х - 5,7 - 1,3 - 4,4;

г) - ( х - 1,9) - 15 = 14,1; - х + 1,9 - 15 - 14,1; - х - 13,1 * 14,1; х = -2 7 ,2 .

1113. а) 8,3 - ( - 3 ,2 + х) = 12; б) - (х - 2,25) + 4 ,88 « 1,3; 8 ,3 + 3 ,2 - х = 12; - х + 2 ,25 + 4,88 - 1,3; х - 11,5 - 12 - - 0 , 5 ; х - 5 ,8 3. 1114. а) - 4 + 3 - 7 = - 4 - (7 - 3); б) b - а + 5 - Ь + (5 - а); в) 8 - а + b - 8 + {Ь - а); г) 5 - а ~ b - 5 - (а + Ь). 1115. а) 5 + (8 - 3); 5 - ( - 8 + 3);

в) а + ( - 5 + b); а - (5 - 6);

б) 7 + ( - а + Ь); 7 - (а - Ь); г) - 4 + (а + Ь)\ - 4 - <-а - 6).

Вправи для повторення 1117. Довжина АС становить 1 5 - І 15 • + 15 4 4 / ° 2 ^ 100% 100% З = 15 - (6,6 - 4,4) = 4 см. Відповідь-. 4 см. 1118. Лип у парку 450• ^ = 6 0 ; осик у парку 60• *9®^* = 7 5 , 15 80% Лип і осик у парку 60 + 75 = 135. Відповідь: 135. 1119. Водій їхав з пункту А в пункт В 180 : (180 : 3 + 180 : 3 •0,2) “ 180 : (60 + + 12) - 2,5 год. Отже, водій виїхав о 10 - 2,5 = 7 год 30 хв. Відповідь: 7 год ЗО хв. 2 1120. По шосе мотоцикліст їхав 60 ■ : 4 0 = 1 годину, ґрунтовою дорогою —

/ 2^ 3 60• І 1 і : (40 : 2) = 20 : 20 = 1 годину. Мотоцикліст їхав 1 + 1 = 2 години. Відповідь: 2 години.

1121. а) Натуральні: 5; 506; 8. Цілі: 5; - 8 ; 506; 8; -2 0 6 . З 1 Дробові: 4,25; 1 - ; -1 ,6 ; 0,125; ~ 4 ~ ; э

б ) - 5 ,8 ; - 4 ,2 5; - 1 ? ; -5 0 6 ; - 8 ; 1,6; -0,1 25 ; 206; 4 ^ ; Э

в) |б! = 5;‘- 8 = 8 ; 4,25| = 4,25; |1 ~ = 1 3 ; 506 = 5 06;:8- = 8; • 5' 5 1-1,6 = 1 ,6 :0 ,1 2 5 = 0,125; -2 0 6 = 206; - 4 = 4 -; 44 4,25 =!- 4-‘ : ;і-8 =:8і;|1?і = і-1,6!; 1 О г) -2 0 6 ; - 8 ; - 4 ; - 1 ,6 ; 0,125; 1 ; 4,25; 5; 8; 506. 4

1122. а) ■• н— - 3 .5

б)точка Е

С О

—•—і— •—•— і— ►

- 2 -1 .5 - 1 - 0 ,5

.V о 2

2 .5

Л/ /=*

і—♦--3 .5

має протилежну координату;

в) точки з модулем координат 2: А (-2), N(2); точки з модулем координат 3.5: В (-3,5); М(3,5); точка з модулем координати 0: О. 1123. а) - Ь - -1,2; 3; б) * - 4; - ; 4 1124. а)|-у| = 2.3; 0,6; б) |-(-с)| = 2; 3. 1125. а)|-1,5| + |0,98|= 1,5+ 0,98 = 2,48; б ) - 1 100;- 1-295 = 1 1 0 0 - 2 9 5 = 805;

в) г 2,4 2 , 5 - 6 = 2,4 2 , 5 - 6 = 0. 1126. а) х +4 = 9;

6) Н - 1 = 5 ;

х — 5 або - 5 ;

X - 1!

в) 10 - |хі = 3,5;

г) 2 |х|- 4 = 6;

х - 6,5 або -6 ,5 ;

х = 5, або -5.

«60 - і д

1127. а) дг < 0 і |х| > 5; б) х < 0 М < 4 ; х - -6; -7 ; -8; х - - 4 ; -3; -2. 2 1 8 6 7 1128. < х < — — ; лг — — — . З 2 12 12 12 1129. -3 ,4 < х < - 3 ,3 , х - -3 ,3 5 . 1130. а) - 2 < х < 2;

х = - І ; 0; 1;

б) - 2 ,5 < х < - 1 ; х - -2;

в) |х|< 1,5; х - - 1 ; 0; 1.

Задачі для повторення § 5 1131. а) І -4 —+ 18,5 і - І -1 0 - + (-15, 6 ) | = - 4,5 + 18,5 + 10,6 + 15,6 =

= 14 + 26,2 = 40,2;

= - 2 3 + 26,2 = 3,2; в ) ( - 4 ——18, 5 1 — 10 —- ( - 1 5 , 6 ) ] = - 4 , 5 - 1 8 ,5 + 1 0 ,6 - 15, 6 = - 2 3 - 5 = - 2 8 ; І 2 ) V 5 )

г)[ ■-4 І - ( - 1 5 , 6 1 + 1 1 8 ,5 + 1 —10 ^ ) І = - 4 , 5 + 1 5 , 6 + 1 8 , 5 - 1 0 , 6 = 14 + 5 = 19. і 1132. -•— і— і— #— і-8 -5 - З І ' 0 1 3 4 а) - 3 + 4 = 1 — від точки 3 відкладаємо 4 одиничних відрізки праворуч; б) - 5 + ( - 2 ) — - 7 — від точки - 5 відкладаємо 2 одиничних відрізки ліворуч; в) - 8 + 3 = - 5 — від точки - 8 відкладаємо 3 одиничних відрізки праворуч. 1133. а) 14 = 6 + 8; - 6 — 5 + (-11); - 1 1 « - 1 3 + 2; - 1 , 2 - - 2 + 0,8; б) 14 = 20 - 6; - 6 - 3 - 9; - 1 1 - - 5 - 6 ; - 1 . 2 - - 1 - 0,2. 1134. а + ( - Ь) - Д - & - - 2 1 - 9 « - 3 0 . 1135. а + Ь - 17 + ( - 1 1 ) - 6. З 12 1136. в) - 2 — - 4 - = - 2 — + 4 - 16 16 16

15 =-6— ; 16

г) - 1 0 , 8 + - 3 * ; = - 1 0 , 8 + 3 , 2 = - 7 , 6 ; І 5і 2 , 7 - ( - 3 , 1 + 4) = 2 , 7 - 0 , 9 _ 1,8 1 ,2 - 2 Д -0 ,9 -0 ,9 ґ_3 _ 4 5 6 ( 2 _ 8 є) 11 ~ 17 \ і 1 ї ї ” 17 17 - - і ч- — = 110 ~ 68 11 + 1 7 187

~ ; З 11

6 __ 4 о 2 ( 8 ■— + — + 11 11 ^ 17 17 " 17

42 187 1

1 1 ч, 2 0 ,5 - 15 * І - ] 1 5 “ + 3 : + 11, 5 = 1 2 - 2 0 , 5 + 1 5 “ - 1 5 ^ - 3 - ) 3 6 -11,5 = 1 2 - 3 2 - 3 ,5 =-23,5. 1137. а) 4 ,3 5 - 5 - ( 1, 63 - 2 ,7 2 ) - 4 , 3 5 - 5 - 1 ,63 + 2 ,7 2 » 0 ,6 5 + 1 ,0 9 = 0 ,4 4 ; б) (0,211 + 0,817) - (0,302 - 0,7) - 0,211 + 0,817 - 0,302 + 0,7 = 0,515 + 0,911 - 1,426. 1138. а) - 5 , 3 + а + 7,2 + ( - 1 , 8 ) - о + 7 ,2 - 7,1 - а + 0 , 1; б) Ь + 8 ,3 + ( - 1 4 , 2 ) + 11 - Ь « 8 ,3 - 1 4, 2 + 11 - 5, 1; в) а - (а + 6) + (Ь - с) «- а - а - Ь + Ь - с » - с ; г) -т + ( т - л) - {к - а) - - т + т - л - 6 + а = а - п - / ? .

ж) 1 2 -

1139. а) 5 - 2 - (7 + 3 ,2 - 3); б) 4 +5 - (7 + 9 - 14). 1140. а) 5 + х = - 7 , 8 ; х - - 7 , 8 - 5; х - -12,8;

в) 11 - х - 8 - - 2 . 3 ; х - 3 + 2 ,3 ; х - 5 ,3 ; д) (х + 7) - 11 - - 8 ; х = - 8 + 4; х - -4 ; 1141. а) \х = 2 , 7 ; х = 2 ,7 або х = - 2 , 7 ;

б) 4 - х - - 1 , 2 ; х «■ 4 + 1, 2; х * 5, 2; г) - х + 7 — 18 - 5; х - - 1 1 - 5; х = -16; е) 14 - (х + 9) — - 2 1 ; х = 5 -г 2 1 ; х - 26. б) |х + 9| = 3; х = - 6 або х - - 1 2 ;

в) І* - 1| = О; х ■» 1; д ) | 2 - * | = 7; х - 9 або х = - 5 ;

г) |х + 5| = - 2 ; х не існує; е) |3.5 - дс| = 10; х ~ - 6 , 5 або х = 13,5.

1142. \а + 5І = 0 ; а + 5 Відповідь: а * - 5 .

« 0; а - - 5 .

1 143 .

С П

— •— і— * • <*+3 ► а -2 а а-1,5 1144. Середина відрізка відповідає числу (а + 3 + (а - 3)) : 2 = 2а : 2 = а. 1145. а) АВ = |-3| + 12[ = 3 + 2 = 5 ; б) АВ = |-5| + |4| = 5 + 4 = 9 ; в) А В = |-7| - 1-2| = 7 - 2 = 5. 1146. ■*— і— і— •— і— і — і— ► — <---- •—«►-► -3

В може мати координати 7 та - 3 . Таких точок дві. 1147. х може дорівнювати: —4 —7 — —11 або 7 - 4 = 3. А( - 1 1 ) або Л(3). 1148.* 1)|х| < 4 ; х •- 3, 2 ,1 ,0. - 1 , -2 . - 3 ; 2) 3 + 0 - 3; 2 + 1 = 3; 3) 0 + ( - 1 ) - - 1 ; 1 + ( - 2 ) - - 1 . Такі цілі числа: 2; 1; - 2 або 3; 0; - 1 . 1149. За день температура збільшилась на 6 °С - З °С 3 З °С.

§ 6. М н о ж е н н я і д і л е н н я р а ц і о н а л ь н и х ч и с е л 38. Множення раціональних чисел

Добутком двох раціональних чисел із різними знаками є від’ємне число, а модулем добутку с добуток модулів множників: а •( - 6 ) = - ( а •Ь). Добутком двох чисел з однаковими знаками є додатне число, а модулем добутку с добуток модулів множників: а •Ь = +(а •Ь); - а •( - Ь ) = +(а •Ь). Якщо один Із множників — нуль, то добуток дорівнює нулю. Добуток може дорівнювати нулю толі і тільки тоді, коли хоча б один із множ ників дорівнює нулю. Рівень А 1154. а) 11 • 72 - 792; в) - 1 1 • 72 = * 792; 1155. а) - 0 , 2 • 3 = -0 ,6 ; в) ( - 1 , 2 ) •( - 2 ) = 2, 4; 1156. а) - 1 6 •2, 5 - - 4 0 ; в) - 1 , 2 * ( - 0 , 8 ) = 0 ,9 6 ;

б) г) б) г) б) г)

- 1 1 •( - 7 2 ) - 792; 11 •( - 7 2 ) = - 7 9 2 . 2 * ( - 0 , 6 ) » -1,2; - 0 , 1 •( - 2 0 ) = 2. - 4 •(- 1 0 ,5 ) = 42; 8 •( - 4 ,0 5 ) - - 3 2 , 4 .

Зї 1 . Л _ 2 (-3) = = - і ; в) = - б :б)5 4 I 2 9 10 2 -2 9 = -16 1159. а) - 5 3 = - 5 -1 6) З З З 7 9 7 1 51 в) -З 7 -5 - 2 1 7 2 7 2 1161, - 1 2 Ь - - 1 2 ; 12; - 9 ; 78. 1162. - 2 5 •( - 1 ) - 25; - 2 5 •8 - - 2 0 0 ; - 25 ( - 0 , 1 6 ) - 4; - 2 5 •6,4 - - 1 6 0 .

1158а)- И

ШШ 534 Ш М АТЕМ АТИКА Г. М . Янченко, В. Р. Кравчук

-3

-0,3

0 ,5

-0,2х

-х

0,6х

0,06х

-0,1х

1163.

1164. а) - 1 6 + В • ( - 0 ,5 )

•)5|

3 8 -0,075х

- її 4 0,25х

16 - 4 =* - 2 0 ; б) - 2 •( - 1 , 8 - 1 , 2 ) = 6;

8) +6 = - — -- + 6 = -4 — + 6 = 1— . 9 3 9 27 27

1165. а) - 0 , 4

( - 1 0 ) - 7 = - 3 ; б) (0,1 - 0 .6 ) 8 = - 4 ; в) ~ • - 1

1166. а ) х + х + х * + х + х = 5 х ; б) Зх + Зх + Зх + Зх = 4 •Зх = 12х; в ) - а - а - а — 3 •(- а ) “ - З а . 1167. а) - 7 , 2 •( - 1 5 ) > 100; б) 100 • ( - 3 ) < 3 0 0 ;

в)

0 ,2 •( - 1 4 ) < - 2 , 5 .

Рівень Б 1168. а) ( - 7 , 6 - .5,8 + 4 ,5 ) •(6 ,3 - 8 ,2 ) = - 8 , 9 •( - 1 , 9 ) - 16, 91; б) - 2 , 6 9 •( - 0 ,8 ) + 0 ,7 • (4, 3 - 7,8) = 2 , 1 5 2 - 2 , 4 5 - - 0 ,2 9 2 ; в ) - 1 0 , 8 •( - 7 , 6 - 6 ,8 •( - 3 ,5 ) ) = - 1 0 , 8 •( - 7 , 6 + 2 3 ,8 ) = - 1 7 4 , 9 6 ; г) ( - 7 , 6 5 • ( - 0 .4 ) - 5 ) •(3 - 1,02) - - 1 . 9 4 • 1,98 - - 3 ,8 4 1 2 ; д) ( - 2 , 3 6 + 6 ,8 2 - 5 ,4 5 ) * (4 6 ,5 - 9 1 , 5 ) + ( - 4 5 ,0 9 ) = - - 0 , 9 9 •( - 4 5 ) - 4 5 ,0 9 - 4 4 , 5 5 - 4 5 ,0 9 - - 0 ,5 4 . 12 50 10 1 б і°-2 6 1169. а) 5 ,6 + 515 15 5 + З 4 14 15 * б) - 0 , 7 5

2 - 7 і . ( - 0 , 3 ) = - 3 2 + 29 • 3

4 9

f i - i 10.f - M 1 17 , 27J

j =

- * + 2 7 - 2 21 ” 20 - 2 6 40 120 120 *

f , 27 4 ) = - 3 , 44 •21 = - 21 = - 44 , 20; - 3 , 4 • 1 -ь 17 27 / 17 5 v. 35 35 18 36-

1170. а) - 2 0 , 5 •( - 4 6 )

9 ,8 ( - 1 , 0 5 ) * 9 5 3 ,2 9 ; 5 б) 1,2 •( - 6 , 3 9 + 4 ,8 4 ) - 6 •2 4 ,6 = - 2 2 , 3 6 ; В)- 4 *

.(-1 .5 ) - З *

-1

10,8 ;

Г) ~ 3 7 ( ~ 2 2 + 3 ’ 7 ~ ^ 5 ) = 1® 7 1171. - 5 - 5 •( - 1 ) ; - 1 0 = - 1 • 10; 9 = - 1 •( - 9 ) ; - 0 , 6 - -1 •0 ,6 ; - 1 , 8 = - 1 • 1,8. 1172. 1 = 1 * 1 = -1 - ( - 1 ) ; 9 = 3 3 = - 3 ( - 3 ) ; 16 = 4 •4 - - 4 •( - 4 ) ; 100 - 10 10 - - 1 0 (- 1 0 ). Числа можна записати двома способами. 1173. - 1 - 1 •( - 1 ) ; - 9 - - 3 • 3; - 1 6 - - 4 • 4; - 1 0 0 - - 1 0 • 10. 1174. а) - 6 •х = - 4 , 2 ; б) 8 • х - - 5 , 6 ; в) - 1 1 • х - - 7 7 ; х = 0 ,7 ; х —-0 ,7 ; х = 7. 1175. х * (х + 2) - 0; х — 0; х = - 2 . 1176. а) а •Ь > 0, коли а і b одного знака ; б) а ■Ь < 0, коли а і Ь різного знака; в) а ’ Ь — 0, коли а = 0 або ft =* 0.

1177. аЬ < 0, Ьс 1178. аЬ > 0, Ьс 1) а > 0 , Ь > 2) а < 0 , Ь < Відповідь: асі

> 0 ; ас може дорівнювати - 2 ; 2; 0 дорівнювати не може. < 0, с<і > 0, 0, с < О, <і < 0, отже, асі < 0 ; 0 , с > 0, сі > 0 , отж е, асі < 0. < 0. 1179. Нехай 4" - А. Якщ о п —- парне число, тоді остання цифра добутку А буде 6, бо 4 2 = 16. Якщ о п — непарне число, тоді остання цифра добутку А буде 4, бо 4 3 = 24. Ми маємо 4 21, тобто добуток 21 множника, кожен із яких дорівнює 4. Число 21 — непарне, тому цифра такого добутку дорівнює 4. в п р а в и д л я повторення 1180. Менше число дорівнює 12, 5 : ( 1 + 4) * 2 ,5 , більше — 2 ,5 * 4 = 10. Відповідь: 2 ,5 ; 10. 1181*. Нехай одне число х , тоді друге — 10 • х , Юх + х * 1 3 2 ; 11х ** 132; х = 12 — менше число, 12 • 10 = 1 2 0 — більше число. Відповідь: 12 і 120. 1 1 5 1182. За 1 хв, працюючи разом, насоси наповнять — + г т = ^ басейну. Ба20 «ЗО ои 5 60 0 сейн насоси наповнять за 1 : = = 1 2 хв. 60 5 Відповідь: 12 хв. 1183. а) - 5 , 6 + а + ( - а —0 ,8 ) * - 5 , 6 + а - а —0 , 8 “ _ 6 ,4 ; б) 14,2 - Ь + Ь - (21 - Ь) - 14,2 - 6 + 6 - 2 1 + 6 - 6 - 6 ,8. 1184. а) 125 • 17 •8 •3 - 1000 • 51 « 5 1 0 0 0 ; б) 2 ,5 • 1,5 • 4 • 0.6 - 10 • 0 ,9 - 9;

в)

1 .1 3 . 4 і .46= 1 . 2 0 23 17 4 23 17

17.4вя10 4

39. Переставна і с п о луч н а в л а с ти в о с ті множення. Коефіцієнт

Множення раціональних чисел м ає переставну, сполучну та розподільну властивості, аналогічно до натуральних чисел. 1) т •п = п ‘ тп — переставна; 2) (аЬ) •с = а(Ьс) — сполучна; 3) (а + Ь )' с — ас + Ьс — розподільна. Коефіцієнтом називають числовий множник буквеного виразу. —6,7ж: число - 6 , 7 — коефіцієнт виразу. Рівень А 1188. г) - 0 , 2 5 •( - 7 ) - 8 = 8 - 0 , 2 5 • 7 - 2 • 7 - 14; д) 4 •0 ,0 1 •( - 1 ,5 ) = - 9 •0 ,0 1 = - 0 . 0 9 ; е) 7 • 2 ,5 •( - 1 6 ) - - 7 • 20 = 140. 1189. а) - - •( - 5 ) 1 - = - * - •5 = 5 ; б) - ? - 8 3 2 3 2 7

3- = -?•* 2 7 2

7 9 -4.2. 9 14 1190. а) - 1 2 5 • 1,5 •( - 8 ) • 6 = 1000 • 9 = 9 0 0 0 ; б) - 4 •( - 0 , 4 ) • 79 •( - 5 ) •( - 2 5 ) - 20 • 10 • 79 * 15 8 0 0 ; в) - 5 •( - 2 , 5 ) •( - 1 ,2 5 ) • ( - 6 4 ) - 5 • 2 0 • 10 = 1000; г) - 0 , 5 •( - 6 ,2 5 ) • 20 •( - 1 , 6 ) - 10 •6 2 5 • 1, 6 = 1 0 0 0 0 .

8 =-12;

1191. г) 25• (-7,02)• 4 = - 7 0 2 ; д) - 8 - 4 , 8 - ( - 2 , 5 ) - 96; е) 6 (-4 ,5 ) ( - 4 ) 25 = 2700. 1192. а) 0,2 •ху = - 0 , 2 (- 0, 17) • 10 = 2 •0 Д 7 - 0.3 4; б) - 0 , 2 ху = - 0 , 2 •3 ,8 •0 ,5 = - 0 ,1 • 3 ,8 = - 0 , 3 8 . 1193. а) 4,5 ( - 19)* 4 - - 3 4 2 ; б) 4 ,5 ( - 1 , 2 5 ) (- 4 0 ) = 225. 1194. а) - 7 , 2 * х • 10 - - 7 2 х , k - - 7 2 ; б) 2, 5 •а •( - 4 ) Ь = -Ю аЬ, k - - 1 0 ; в) - 2 , 4 * •( - 3 ) = 7,2х , k = 7,2; г) - 8 • 5 •а •( - 2 ) •Ь - 8 0 ab, k = 80; д) - 5 а |

Ь •2 = б а б , к *= 6 .

1195. а) х ■( - 1 , 5 ) •4 « ~6 ■х ; коефіцієнт дорівнює - 6 ; б) - 0 , 8 •а ( - 5 ) •15 * 60 а; коефіцієнт дорівнює 60; в) - 2 , 5 х у ( - 0 ,4 ) -* х у; коефіцієнт дорівнює 1;

г) - і •х •2 •у « - 1 •х •у; коефіцієнт дорівнює - 1 ; Сл

4 д) - ^ •а •14 - - 8 а ; коефіцієнт дорівнює - 8 ; е) 64 •а - ^

коефіцієнт - - 1 5 .

1196. a) ( - 3 ) 2 - 9; (-3)* = 27; б) ( -0 ,1 )* - 0 , 0 1 ; <-0,2)5 = - 0 ,0 0 8 ; ^- g j

= - 2?.

1197. а) ( - 5 ) 2 = 25; ( - 3 ) 3 = - 2 7 ; б) ( - 0 .4 ) 2 - 0 ,1 6 ; ( - 0 ,1)3 “ - 0 ,0 0 1 .

Рівень Б / 1198. а) ? ( - 5> 1,4 7 7

- 2 * І = 3 •5 •7 •7 = 1; 3 7 7 5 3

б) - 4 , 5 3 3 (-2 0 ) . 4 7. Л = - 4 . 5 . “ . ге ■ « А = - 4 , 5 . 7 . 5 = - 3 3 . 7 5 ; 11 12 в) - 1 •( - 2 ) •( - 3 ) •( - 4 ) •( - 5 ) • (- 6 ) •( - 7 ) - - 5 0 4 0 ; г)* - 5 ( - 2 ,5 ) •(- 1 ,2 5 ) •(- 0 ,6 2 5 ) •( - 1 0 2 4 ) - - 1 0 4 •0 ,5 •0 ,5 2- 0 .5 3- 0,5* -210 ~ -10< •(0,5 •2 )10~ - 1 0 000. im

.» f

1 (-7) 19 2 ' 5 15

• (-* ;)

б) - 7 , 5 - 6 ^ 5

(-8)

1 - 2 ) <-!)• 2 ( - 3 X 1 •( —1 і *1 у 1 4 , { 3\

б) 5 , 25х • -1

•715

2 З

-32 3 4 ху = - 6 , 4 ху; Ь 4 8

( _ А Ь1 = 2 1 . 8 . А Х . Ь Л , . 6 ; ( 36 J 4 7 36 6

в) - 0 , 0 0 їх •( - 6 6 - ) - - = —і — — ^ З J 5 1000 3 г) 1 6 1 х 0,1t/ 9 = ^ З 3 1201. а ) -2 4

19 . п 5 8 wв 19 J 2 33 5 8 - -2 4 ; 15 5 11 1 =■ - 1 5

■2 І у

? х = — х = 0 ,04х; 5 25

-і- •9ху = 15ху. 10 17 2 _2 4 . . з -х-у = - 34-х*/;

і / 1 N 1 1fi Q 6) 0,25 • a •с • 3 - • 2 - -b - - — • • , • a • ■с - -1 ,8 • a *b ■c. 5 l 4 J 4 5 4 1202. a) -4 < x < 3. Добуток цілих розв’язк ів : -4 • (-3 ) • (-2)- (-1 ) - 2 - 0 - 0 ; б) -5 0 < x < 10. Добуток цілих розв’я зк ів дорівнює 0. 1203*. а) Якщо abc > 0, а с < 0, то b < 0; б) abc > 0, а с > 0, b > 0; в) abc > 0; а + с «= 0, b < 0; г) якщо abc < 0, ab < 0, то b > 0; д) abc < 0, с > 0. b > 0 ; е) а + b = 0 , b > 0. Вправи д л я повторення

1205. Автомобіль буде через t годин на відстані (450 - 75#) км від міста В. 450 - 75 • 3,5 “ 187,5 км . В ідп овідь : 187,5 км. 1206. Через t годин відстань м іж автомобілями буде (420 - (75 + 70) • і) км. (420 - (75 + 70) • 1,5) - 202,5 км . В ідповідь: 202,5 км. 1207. Між човном і плотом через t годин буде (45 - (18 - 3) • t) км. 45 - (18 - 3) • 2,5 = 7,5 км. Відповідь: 7,5 км. 1208. а) 76 • 63 + 76 • 18 + 76 • 9 - 76 • (63 + 18 + 9) = 76 • 90 = 6840; б) 637 • 36 - 165 • 36 + 36 • 28 - 36 • (637 - 165 + 28) = 36 • 500 * 18000; в) 1 +—+ —+ —4-—+ —+ —- 1 •24 =24 + 12 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 = 59. 2 3 4 6 8 12 40. Р о зпо дільн а в ла с ти в іс ть множення. Зведення подіб н их до да нк ів

Непарний стелінь від’ємного числа — від’ємний: ( - 2 ) 3 = - ( 2 3) = - 8 . Парний степінь — додатний: (—2)* = 2і = 16. П одібним и є доданки, я к і відрізняю ться лише коефіцієнтами. 5а + 2а —4а = За — зам ін у суми на один вираз називаю ть з в е д е н н я м

п одібн и х д од а н к ів. Рівень А

а) 4 • (-3 ) + 4 • 7 - 4 • (7 - 3) - 4 • 4 - 16; б) 21 • 3 - 31 • 3 - 3 • (21 - 31) - 3 • (-1 0 ) » -ЗО; в) 27 • 2,5 - 17 • 2,5 = 2,5 • (27 - 17) - 25; г) 25 • (-9 ) + 5 • (-9 ) * - 9 • (25 + 5) = - 9 • ЗО = -2 7 0 ; д) 51 • (-8 ) + 54 • 9 = 54 • (9 - 8) = 54; е) 25 • 90 + 25 • (-8 6 ) - 25 • (90 - 86) - 100. 1212. а) -1 7 • 25 - 5 • (-1 7 ) = -1 7 • (25 - 5) - -1 7 • 20 = -3 4 0 ; б) 2,7 • 19 - 3,7 • 19 - 19 • (2,7 - 3 ,7 ) = 19 • (-1 ) = -1 9 ; в) 91 • 31 - 32 • 91 + 91 = 91 • (31 - 32 + 1) = 0; г) 1,4 • 1,9 - 3,2 • 1,4 - 1,4 • 8,7 - 1,4 * (1,9 - 3,2 - 8,7) = - 10 • 1,4 = -1 4 ; с3 4 3 4 4 (З 3) 4 41 ,2 4 ч -5 5 - +- = = -4 — ; А) 7 5 7 5 5 [ 7 7) 5 7 35 2 5 _ 1 2 1 2 2 ( 5 _ 1 _ 1 'І _ 2 Г1 _ 1 Л= Є) 9 12 12 9 3 9 9 ’ ( і 2 12 з ] 9 * [ з 3 ) ' 1211.

1213. а) 6

б)

ri n + 7 9

в) 12

5 I _ 6 .I 2 -3 і; З 2 -63 63 = - 9 - 7 = -1 6 ; (-63) = 7 ” 9 2

1 1 1

= 6 - 4 - 3 = -1 . 2 3 4 1214. a) 27 • 19 - 37 ■19 = 19 •(27 - 37) = -1 9 0 ; б) -3 ,4 • 25 + 45-3,4 = 3,4 -5 (-5 + 9) = 68; в) 9 36 - 26 • 9 - 9 • 9 = 9 • (36 - 26 - 9) = 9; s —1 (3 + 1) = 4 12 -

. 12 - -1 ;

5 ЗО. 7 1215. а) (х у) • 5 -■ 5х - 5у; б ) (а + 6 - с) • 4 « \а + 46 - 4с; в) (2х - у ) • (-3 ) - -6 х + 3 у; г) - 2 а (6 + 2с - З т ) - - 2 ab - 4ас + б а т ; д) -а(66 - 5с) - -баб + 5ас; е) ( - а + ЗЬ + с) • (~2х) - 2ах - 66х - 2сх. 1216. а) 3 • (а - с) - 3 • а - 3 • с; б ) - 6 (2 • а - Ь) - -1 2 • а - 6 6; в) (-4 •а - 3 • Ь) • 5 - -2 0 • а - 15 •Ь; г) а • (3 •b - 4 • с) - 3 • а • b - 4 • а • с; 5 -7

Д) ( * + У + 2 ) • ( - а ) = - а • X - а • у + а • г ;

е) -5 а • (-2 • 6 + 4 • с - d) - 10 ■а • 6 - 20 • a • с + 5 a d . 1217. a) 7x + 7y » 7(x + y); 6) 15x - 10y - 5(3x - 2y ); в) 10m - mk « m(10 - k); r) 16a -t- 8 ab —8a(2 + b); д) 4a6 + 6ac * 2a(26 + 3c); e) 3ma - 6m6 - 6mc - 3m(a * 2b 2c). 1218. a) 10 m - 15 • n - 5 • (2 • m - 3 • n) ; б) 12 a d + 4 • d - 4 • d • (3 • а + 1); в ) 4 т Л - 1 0 т р “ 2 т ( 2 / г - 5 -p). 1219. a) 15 • 19 -f 30 • 3 - 15(19 + 6) - 15 - 25 - 375; б) 90 • 7 - 60 • 8 - 30(21 - 16) - 30 • 5 - 150; в) 50 • 17 + 25- 3 = 25(34 + 3) = 25 • 37 = 925. 1220. a) 9a - 13a + 2a = a(9 - 13 + 2) ~ -2 a ; б) 5a - 6a + 2a - 10a - a(5 -6 + 2 -1 0 ) “ -9 a ; в) ~9x + 7x - 5x + 2x = x (-9 + 7 - 5 + 2) = -5 x ; r) 2,8 b - b -h 2,8b - b - *>(2,8 - 1 + 2 ,8 - 1) - 3,66; д) -4 x - 7 - 5x + lOx - x(10 - 4 - 5 ) —7 = x - 7 ; е) 5a + b - 7b + 3a - a(5 + 3) 4- 6(1-7 ) - 8a - 6b; е) ~7a + 5a -- X - 6x —a (- 7 + 5) - x (l+ 6 ) - -2 a - 7x; ж ) 12x - ll+ 4 a - 7x = x(12 - 7) -1 1 + 4a = 5x - 11 + 4a; з) 8a - 9x + 4 - a + X - x (l - 9) + a(8 - 1) + 4 - -8 x + 7a + 4 = 4(-2x + 1) + 7a. 1221. a ) 3 c + 7 c - 8 c ~ c ( 3 + 7 + 8) = 2 c ; б) 16 a - 5 - a f 7- a - 11 - a = a (16 - 5 + 7 - 11) = 7 - а ; в) -4 t + 3 • t —8 —7 • t - - 4 •(t + 2) + t • (3 - 7) - - 8 (f + 1); r) 8 • X - 8 • y + 2 y - 6 X = 2 X • (4 - 3 ) + 2 • y • (1 - 4) = 2 • (x - 3 y); д) 4,5 a —7- 6 - 1 , 5 a + 1 = 1,5 a ( 3 - 1 ) - 7 - 6 + 1 •=3 a —7 6+ 1; е ) - a + 3- 6 - 4- 6 + 1,5 • a = a • (1,5 - 1) + 6 •(3 ** 4) ** 0,5 •a - 6.

Рівень В

1222. а) 3(-2х + 5) + 4(х - 2) = - 6 * + 15 + 4х - 8 - -2 х + 7; б) - ( - 2 а - 3) - 2(3а - 1) = - 2 а + 3 - 6а + 2 = - 8 а + 5; в) - 5 ( - З х + 2) - (9 - х) « 15х - 10 - 9 + х = 16х + 19; г) (З6 - 1) • (-5 ) + ( 4 т Ь ) (-2 ) - -1 5 6 + 5 - 8 - 2 6 = -176 - 3. 1223. а) (5 • х - 3) • 2 - 5 • (3 - 2 • х) - 20 *х - 21; б) -(3 • а - 2) + 5 • (а - 2) = 2 •а - 8. 1224. а) - 5 (с + 2) - (2с - 3) - -5 с - 10 - 2с + 3 - -7 с - 7 - -7 (с + 1) = - - 7 • (1,5 + 1) - -1 7 ,5 ; б) 4х - За - 5х + 4а = х{4 - 5) + а(4 - 3) = - х + а - -0 ,0 7 - 0,27 = -0 ,3 4 . 1225. а) -2 3 • (-9 9 ) - 23 • (100 - 1) - 2300 - 27 - 2277; б) 98 • (-1 1 ) = -1 1 • (100 - 2) = -1 1 0 0 + 22 = -1 0 7 8 ; в) 999 • (-1 7 ) « -1 7 • (1000 - 1) * -1 7 0 0 0 + 17 - -1 6 9 8 3 .

1226. а) 0 ,7х - 0 ,9х + і х = х(0,7 - 0,9 + 0,5) = х ■0,3; Сл

л __ ь 10 « -а (1 0 + 7) + + (146 - 4) - -1 7 а + 146 - 4; д) а(3х - 2у + 5) - 2а(-2х - у) “ Зах - 2ау + 5а + 4ах + 2а у - ах(3 + 4) + 5а = = а(7 х + 5); е) -6 , - а +■- 6 - - с ] + 4а + 76 = - а - 46 + Зс + 4а + 76 = а (4 - 1) + 6(7 - 4) + ^6 3 2 1 + Зс * За + 36 + Зс = 3(а + 6 + с).

в) (2 • х - у - 3) • (-2 ) - 2 • (2 • х - у) » - 8 • х + 4 • у + 6; г) 2 х (а - 3 6 + 5 • с) - х • (2 • а - 4 • 6) - 2 • х •(5 • с - 6). б) 3(х - 1) - х - 0; в) 7 - Зу + 4у - 4 »* - 1 ; 1228. а) Зх + 2 - х - 6; 2х * 4; Зх - х = 3; у - -1 - 3; дг *= 2 ; у “ -4 . 1229. а) 7 • х - 8 - 6 • х + 3 - - 5 ; х - О; б) 4 • (х - 5) - 3 • х + 6 - - 2 ; х * 12. 1230. а) 54 ху - 63x2 = 9х(6у - 7г); б) Юаб - 156с - 256 —56(2а - Зс - 5); в) 42ах - 70 а у - 84 а г * 14а(3х - 5 у - 6г). 1231. а) 78 • 62 + 13 • 78 - 75 • 68 - 78(62 + 13) - 75 • 68 = 75(78 - 68) * 750; б) 54 • 36 - 42 • 54 + 6 • 74 = 54(36 - 42) + 6 • 74 * 6(74 - 54) = -1 2 0 ; в) 478 • 27 + 28 • 478 - 678 • 55 = 478(27 + 28) - 678 • 55 = - 55(678 - 478) - - 11000; г) 4,8 • 6,5 - 8,5 • 6,8 + 2 • 4,8 - 4,8(6,5 + 2) - 8,5 • 6,8 = 8,5(4,8 - 6,8) = -1 7 . 1232. а) 36 28 + 36 39 - 67 • 46 = 36 (28 + 39) - 6 7 -46 - 67 (36 -4 6 ) = -6 7 0 ; б) 3,4 4,5 - 3,4 • 10,6 + 6,1 • 4,4 = 3,4 (4,5 - 10,6) + 6,1 • 4.4 - 6,1 • ( - 3,4 + 4,4) = 6 , 1.

1233. Нехай Олі — х років; число х складатим еться з двох цифр а і 6. Пра дідусю тоді 6х, і його число 6х складатим еться з трьох циф р а , 0 і Ь. Перша цифра а = 1, бо у прадідуся трицифрове число років і інші варіанти неможливі.

Тоді маємо запис числа Олі — 16, а аапис числа прадідуся — 106. У Олі цифра 1 показує десятки, а цифра 6 — одиниці. У прадіда 1 — сотні, 0 — десятки, 6 — одиниці. 16 “ 1 - Ю + 6 * 1 = 10 + 6 — число років Олі. 106 ^ 1 -1 0 0 + 0 - 10 + 6 - 1 = 100 + 6 — число років прадіда. Різниця у роках Олі і прадідуся дорівнює: (6х - х ), або (100 + 6) - (10 + 6). Складемо і розв’яжемо рівняння: 6х - х » (100 + 6) - (10 + 6); 5х - х = 100 + 6 - 1 0 + 6; 5х = 90; х = 90 : 5; х = 18 (р.) — Олі. Тоді прадідусю — 108 років. Відповідь: Олі 18 років. Вправи д л я повторення

2 1 2 1234. Перший робітник зробив —= - замовлення, другий робив замовлен6 3 З 2 ня 15 • * 10 днів. З Відповідь: 10 днів. 1235*. Автомобілі зустрінуться

через

1 : ( І + |я 1 • ^ * 2,4 години. ^6 4 ) .5 Швидкість першого автомобіля — 144 : 2,4 = 60 км/год. Швидкість друго

го —| 144 : * ■ 1:2 ,4 = 90 км/год. І 6 4) Відповідь: 2,4 год; 60 км/год; 90 км/год. 1236. а> (Зх)2 = 9х2 - 9 • 22 * 36; 9 • х 2 = 9 • (-2 )2 = 36; б) а 3 - 12 * (-2 )3 - 12 - - 8 - 12 - -2 0 ; а* - 12 - З3- 12 «=27 - 12 - 15. . 1237. а) х • 8 = 2; х = 2 : 8; х * і = 0,25; б) х : 3,75 - 4; х - 4 • 375; х - 15; в) 3,75 : х - 0,25; х - .3,75 : 0,25; х = 15. 41. Д ілення раціональних чисел

Частка двох чисел із р ізн и м и зн а ка м и є від’ємним числом, а модуль частки є результатом ділення модуля діленого на модуль дільника. Частка двох ч исел з одн ак овим и зн а ка м и є додатним числом, модуль частки є відношенням модулів діленого та дільника. Результатом ділення нуля на будь-яке число (крім нуля) є нуль. На нуль ділити не можна. Рівень А 1242. а) -4 ,5 : 9 - -0 ,5 ;

в) 38,6 : (-3 ,8 6 ) - -(3 8 ,6 : 3,86) = - 1 0 ; д) -5 ,2 : 0,01 = -5 2 0 ; 1243. В)

а З 8

=1 . 4 = 2; = -

б) - 5 : (-0 ,5 ) - 5 : 0,5 - 10; г) -9 ,6 : (-4 ,8 ) = 2; е) -6 ,6 : (-1 ,1 ) = 6.

» Н 'іН И -*

1244. г) 3,6 : (-4 ) ~ -0 ,9 ; д) -2 ,5 : (-7 .5 ) -

З'

ск X X ш І и ос о с

е) -8 ,6 4 : 1,2 —- 7 ,2 ; є) -5 6 ,6 8 : -0 ,0 1 ) = 5668;

гл

ж ) - 2 : 0,05 = -4 0 ; з) - 3 : - -

1245. а) (-2 8 ) : (-4) -1 0 - 7 - 10 - - 3 ; б) - 65 ; 13 + 90 : (-1 5 ) = - 5 + (-6 ) = *11; в) (7 - 10) • (-1 8 ) + 42 : (-7 ) = (-3 ) • (-1 8 ) + (-6 ) = 48; г) 15 - (4 + 8 : (-2 )) - 6 - 15 - (4 + (-4 )) - 6 - 9. 1246. а) -4 2 : 14 - 18 : (-2 ) =* 6; 6) - 6 0 : 12 + (- 2 - 8) • 5 = - 55;

в) —4 — : (-9 ) - 3 = - 2 1 . 2 2 1247. 12 : X - 4,6 - 12 ; (-3 ) - 4,6 « - 4 - 4,6 « -8 ,6 ; 12 : х - 4,6 = 12 : (-1 ,5 ) - 4,6 = -8 - 4,6 = -1 2 ,6 ; 12 : х - 4,6 - 12 : 4 - 4,6 - -1 ,6 ; 12 : X - 4,6 = 12 : (-0 ,5 ) - 4 ,6 = -2 4 - 4,6 = - 28,6. б) -З х - -9 ; в) 0 ,2 х = -4 ; 1248. а) -2 х = 10; X = -4 : 0,2; х = - 9 : (-3 ); X - 10 ; (-2 ); X “ -2 0 ; X = -5 ; X " 3; 1 1 2 , 1 г) -1 ,2 х - 3,6; д>~ 4 * = 2 ; е) " 5 * = - 1 з : і і « - i l .f - l ' X - 3,6 : (-1 ,2 ); З X * 2 à ' { 4 X - 2. X - -2 ; X - -3 ; 1 2

1249. а) 4 •X - - 1 0 ; х - -2 - ; б) -0 ,4 • х - - 2 ; х - 5; в)

2 7

X а* -

; X “

Р ів ен ь Б п = -(6 .2 5 -5 ) = -3 1 ,2 5 ; 5 3) 78 5 6 = 0 ,3 ; 6) -0..78 : ( - 2 100 13 20 f 38 10 -2 9 19 9 ’ 17 10 г) - 3 “ : (-1 ,7 ) = = 2; і) 5 5 17

1250. а) 6 ,2 5 :

д) - 0 ,3 2 : ^ = -{0,32 10) = -3 ,2 ; 7 = ( 125 12} -1 2 5 3 = 15 12 ^ 100 43 25 43 ~ ~ 43* 1251. а) 880 : (300 - 350) + 150 : (35 - 45) - 80 ~ 880 : (-5 0 ) + 150 : (-1 0 ) - 80 = = -1 7 ,6 - 15 - 80 = -3 2 .6 - 80 - -1 1 2 ,6 ; б) (27 - 24 : (8 - 11)) • (-9 + 8 : (27 - 35)) = (27 - 24 : (-3 )) • (-9 + 8 : (-8 )) = - 35• (-1 0 ) - -3 5 0 ; в) - 1 ,2 : (1,5 - 1,8) + 0,35 : (0,83 - 0,9) =• - 1 ,2 : (-0 ,3 ) + 0,35 : (-0 ,0 7 ) = - 4 - 5 - -1 ; е) - 1 ,2 5 :3

г) - 0 , 9 -

4 і * - 2 8 ,0 7 : 3,5 ) = - 0 , 9 - 3 50 J 19

4 11 - 8 ,0 2 50

= - 0 >9 - ± . ( 2 Ц _ ± ° і

= - 0 ,9 + - = -0 ,3 . 5 19 50 50 — - і Н - т 1252. а) -81 : (83 - 110) + 25 ( - 11 + 36 : (-4 )) = -4 9 7 ; б) (-1 ,6 + 4,4) : 0,7 + 0,85 : (-1 .7 ) = 3 ^ ; 2 в) 4 0,85 - *

: 5 - 1,56 : (-0 ,3 ) - 8 ,1 ; 14

б) -2 (5 - 2х) = -1 4 ; 5 ~2х = 7; -2х - 2; х - -1 ; г) 0,4* + 12 = -0 ,1 6 ; 0,4* - -1 2 ,1 6 ; * = -3 0 ,4 ;

1253. а) 3(2* - 11) = -2 1 ;

2* - 11 = -7 ; 2* - 4; * = 2;

в) -5 (* + 3) + 3 = -1 7 ; -5 (* + 3) = -2 0 ; * + 3 - 4; * - 1; д) |2*| + 1 = 6:

е) |5*-3| = 8;

|2*| - 5 ; * * 2,5 або х = -2 ,5 ;

5* - 3 - 8 або 5* •• 3 - -8 ; 5* - 1 1 ; 5* —-5 .

1254. а) -З

(3* + 1) - 15;

6 )2 + 3 (* - 3 ) - -1 3 ;

9* = 18; * =

З* - - 6 ;

* - -2 ;

в) І4*| + 3 « 27; |4*| - 24; * - 6 або * - -6 . 1255. У будь-якого неправильного дробу (чисельник більший від знаменника) можна виділити цілу частину, а дробова частина матиме чисельник, мен ший від знаменника. Наприклад: \ - 2 —. З З Вправи д л я повторення

(а

і2

3,14

14 1

В ідповідь : 5 -* 153,86 см2.

= 314 - 200,96 = 113,04. Відповідь: Б - 113,04 см2. 1258. Площа першого квадрата дорівнює 1 м2, а другого — (1 + 1 • 0,1) • (1 + + 1 * 0,1) ~ 1,2 м*. Площа другого більша за площу першого на 0,21 м2, це 0,21 становить — 100% - 21% від його площі, тобто площа другого більша за площу першого на 21 %. Відповідь: на 21 %. 1259. За 10 + 4 = 14 хв лижник № 1 пробіг 300 • 14 ~ 4200 м, лижник № 9 пробіг за 10 хв 4200 - 950 = 3250 м, його швидкість 3250 : 10 = 325 м/хв. Відповідь: 325 м/хв.

2х + а = 4; а = 4 В ідп овідь: а = 0.

1260.

7.x ;

а = 4 - 2 - 2 = 0.

42. Розв’язання рівнянь

Р ів н я н н я — рівність, до складу я к о ї входить невідоме. Значення х, яке перетворюс рівняння у правильну рівність, називається к о р ен ем , а б о р о з в 'я з к о м , р ів н я н н я . Якщо до обох частин рівняння додати (відняти) одне й те саме число або вираз, що містить невідоме, то воно не зміниться. У рівнянні доданки можна переносити з однієї частини в іншу, змінюю чи при цьому їхн і знаки на протилежні. Рівняння не зміню ється, якщ о його обидві частини помножити (поділи ти) на одне й те сам е число, крім кул я. Рівень А

6) 4* - 9 = - * - 5,2; 1262. а ) - 5 г + 1,2 = 2х + 11; 4 * —- * + 3,8. - 5 * = 2х + 9 ,8 ; б) -1 1 у + 7 =* - 3 у - 10; 1263. а) 17* - 5 = 8* + 5,6; - 1 1 у + З у ---- 10 —7; 1 7х - 8х « 5 + 5,6; 8 у = -1 7 . 9 * * 10,6; 6) 4* - 3 - 2* + 5; 1264. а) 7* - 5 » 6* + 1; 4* - 2* « 5 + 3; 7х -* 6 * » 1 + 5; 2 * = 8 ; * =■ 4; х * 6; г) 6 т + 3 - 7 т + 8; в) 9 - 8у - - 6 у + 1; - 8 у + 6у ~ 1 - 9; 6 т - 7 т = 8 - 3; - т - 5; - 2 у - -8 ; т “ -5 ; У = 4; д) - 9 т - 2 - 9 т - 2; е) - 9 а + 6 - -1 0 а + 15; - 9 т - 9 т “ - 2 + 2; - 9а +10а = » 1 5 - 6 ; - 1 8 т = 0 ; т = 0; а =» 9; є) 4у + 7 « - 5 + 4 у; ж ) 0 ,7 * + 1,6 = -0 ,1 * ; 4у - 4 у - - 5 - 7; 0 ,7 * + 0 ,1 * - - 1 ,6 ; 0 ,8* = - 1, 6; 0 * -1 2 ; рівняння розв’я зк у не має; * - 2; з) - 4 ,5 * - 3 - 2,7* +15; - 4 ,5 * -2 ,7 * = 1 5 + 3; -7 ,2 * - 18; * * -2 ,5 . 1265. а) 5* - 5 * 2* - 7; б) * - 9 - 3* - 6; З* = - 2 ; 2* = - 3 ; 2 З * — З* 2 г) 11* - 1,8 = 7* + 1,4; в) 4,5^ + 1 = - 5 + 5у; 0 ,5 * -» 6; 4 * = 3 ,2 ; * = 0 ,8 ; у = 12; д) 5,6* - 1 * -1 + 6* е) 5 ,7 т - 13,75 - 8 ,2 т ; 0 ,4 * - 0; 2 ,5 т - -1 3 ,7 5 ; * = 0; т ~ - 5 ,5 . 1266. а) 4 (* - 5) = З*; б) 6(* + 2) - 18; 4 * - 20 = З*; 6 * + 12 - 18; 6 * = 6; 4* - 3* - 20; * --= 20; * = 1; Х

;

в) -2(2* И ) = - 3 * ; г) 2(х + 3) = 3(х - 4); -4 х - 8 - -З х ; 2х + 6 - Зх - 12; -4 х + Зх » 8; 2х - Зх - -1 2 - 6 ; -X - 8; - X - -1 8 ; X - -8; X - 18; д) -(З х + 1) = 2х; е) 3(2х - 5) « 5х + 3; 6х - 15 » 5х + 3; -З х - 1 = 2х; -З х - 2 х —1; бх - 5х 18; X « 18.

5’ 1267. а) 5х - 4 = 3(х - б); 2х - -1 4 ;

б)

¥ 4) - 2(х - 3); Зх - 2; -(X

X - -7 ; в) 7(3х - 1) - -4 х + 23; 25х « ЗО;

** 1

Р ів ен ь 6 1268. а ) 39 - 7у + 17 - 3у + 16; б ) 15 - 6 х - 2х - 5х - 3; -1 0 у « 16 - 17 - 39; -З х - - 3 - 15; -10г/ * -4 0 ; -З х « - 18; у 4; X 6; в) 2(у - 6) - 3 у - 4 у - у ; г) 2(х + 1,5) - 2 - х - 3; 2 у - 12 - 3 у “ 3 у; 2х + 3 - 2 * х - 3 : - у - 3у - 12; 2х - X - - 4; - 4 у — 12; г/ —- 3; - 4; д) 5,6* - 6 t 1,4* « 2,5(х - 1); е) -0,3(3 - х) 7 х - 6 - 2 ,5 х - 2 ,5 ; “ 0,3х + 0,3(5х 2); 4 ,5 х - 3 ,5 ; -0,9 + 0,3х - 0,3х + 1,5х + 0,6; -

-1 ,5 х " 1,5; X = -1 ;

* ~ 9*

1 + 1;і Є). -2X - 4^ = -----X ' 3 6 2 1 - X + —X = 5;

ж ) —2 *7 “ Зх = —1 ~ X ; 5 4

-З Х .1 І Х .2 І ; 7 14 ; 4 5 х = _14 4 _ _ 8 = ” 5 7 5 ’ ------X =

* "

= 5 •- ;

« 6; 1 2

3 >9 X +3 3 = 3 * + 2: -Х--Х=2-3~; 9 3 3’ ”

2v9

4 3’*

і) З І je —(3,5 —2х) = З О

—X — 1 2 ; X = 1 0 —.

З 5;

З ; 7 14 6 1 2 9 1. —X + — = — X — « 7 3 14 6 1 1 4 . 5 2 Х" 6 б ’ Х і 3 : ; 5 і X - 3, 5 = 8, 5 + 4х ; 5 -- х - 4х = 12; 8 8

1269. а) 3(3х - 1) + 5 - 8(х ♦ 2) ♦ 3; х - 17; б) -5 (у - 7) - ЗО - (2 у *- 1); Зу - 6; у - 2; в) -4 .5 (х ♦ 3) - І *■ 7,2 - 5 (* - 2); 0 .5 х - 32,6; х = 65 ,2 ; з г) 3(2.4Г - 3.5) + 6 9.7Г - 3; 2.5Г - -1 .5 ; * - - - ; 5

2 1 д , 2 - 5 х « - 5х *3 ; 1 5 * " ’ І!

4 е)х-2?

-х :

8 18 7* ” 7 ’

•

х - -5 ; ,,2 3

х - 2*; 1 2 7 7 З 4 ’ " з Х + 2; 3 Х ' 4 : Х " 4 -

ж)5з ~*1Х~ і (* ' 3 , 4 з Х _ 5 3 : * " * 13г

лс

- ? .13 - 4 - 12 способів.

Вправи д л я повторення

С — 18,84 : (2 • 3,14) - 18,84 : 6,28 - 3 см. 2я 5 - (ЗгУ- п - 81 • 3.14 - 254.34 см*. В ідп овідь: 254.34 см 1. 1272. $ 5, - Р Н*2• - (2 + 4) 2 • 5 + 2 • 2 • 4 - 60 + 16 - 76 см 1. В ідп овідь: 76 см*. 1273. Екскаватор вирис траншею за 140 • 1 • 1.5 : 60 - 3,5 год - 3 год 30 хв. В ідп овідь: 3 год ЗО хв. 2 1 1274. Невідоме число дорівнюй 32 : 3 - 62 - -(62 - 10 - ) »• -51 . 1 3 3 В ідп овідь: -51 ^ . 1275. Команда «Зори» набрала (32 - 14) • 2 - 36 очок. «Зоря» займас вище місце. В ідп овідь: «Зоря». 1271. Радіус даного кола: г

43. Розв’язання задач за допомогою рівнянь

Доцільно розглядати різні способи розв’язання задач. Розв’язуючи зад а чу за допомогою рівняння, спробуйте :іастосувати також арифметичний

Р спосіб. івен ь А

1276. Нехай менше число дорівнює х , тоді більш е — (х + ЗО). їх сума стано вить 162. х + х 4 ЗО - 162; 2х - 132; х - 66 — менше число; 66 + ЗО - 96 — більше число. Відпо*йдь: 66; 96.

1277. У першому кошику х яблук. У другому (х - 14) яблук; усього у двох кошиках 116 яблук. х + х - 1 4 = 116; 2х » 130; х = 65. Відповідь: у першому кошику 65 яблук, у другому 51. 1278. Нехай більший кут дорівнює де, тоді менший — (х - 12°). їх сума — 90°. * + х - 12е = 90°; 2х - 102°; х = 51° — більший кут; 51° - 12° - 39° — менший кут. В ідповідь : 51°; 39°. 1279. Нехай під овочеві культури фермер відвів х га, тоді під зернові — (360 + х) га або 5,5х га. 360 + х ** 5,5х; 4,5* = 360; х = 80 га — під овочевими культурами; 80 + 360 —440 га — під зерновими. Відповідь: 80 га; 440 га. 1280. Перше число — х. Друге — Зх. Зх - х = 132; х - бб; Зх - 198. Відповідь: 66, 198. 1281. Нехай ширина прямокутника — х м , довжина — 4х м. (х + 4х) • 2 - 60; Ьх = ЗО; х - 6 м — ширина прямокутника; 6 • 4 *» 24 м — довжина прямокутника. 5 ■ 6 ‘ 24 * 144 м2. Відповідь: 144 м2. 1282. Нехай менше число х, більше — Зх. (х + Зх) : 2 - 4.1; 4х - 8,2; х - 2,05 — менше число; 3 • 2,05 - 6,15 — більше. Відповідь: 2,05; 6,15. л я іі я 7 1283. Нехай у другій цистерні х т бензину, тоді у п ерш ій ----- х т бензину. х +—х = 64; і ? х = 64; 9 9 7 х - 36 т — у другій цистерні, 36 —= 28 т — у першій. Відповідь: 28 т; 36 т. 1284. Перший трактор зорав х га. Другий зорав 0,8х га. 0,8х + х = 63; х - 35; 0,8 *35 - 28. Відповідь: 35 га; 28 га. 1285. Нехай турист ішов зі швидкістю х км/год, їхав на велосипеді зі швид кістю (х + 6) км/год. Усього він подолав (3 *(х + 6) + 2х) км , або 38 км. 3(* 4 6) 4 2х = 38; 5х = 20; х = 4 км/год. Відповідь: 4 км/год.

1286. Нехай ш видкість автомобіля — х км/год, він проїхав 2,5

х км або (х +

+ 15) • 2 км . 2,5 х = (х + 15) * 2; 0,5 х * ЗО; х - 60 км/год; автомобіль проїхав 2,5 • 60 = 132 км . В ідп овідь : 60 км/год; 132 км . 1287. Ш видкість першого поїзда х км/год. Ш видкість другого (х - 24) км/год. 25х - (х - 2 4 ) - 3 ,5 ; х - 84 км/год. 84 - 24 *= 60 км/год. В ідповідь : 84 км/год; 60 км/год. 1288. Нехай за другий день продали х к г овочів, за перший — (х - 20) к г, за третій — 1,2 х кг. х + х - 20 + 1,2х - 460; 3 ,2 х * 480; х = 150 к г — за другий день; 150 - 20 - 130 к г — за перший; 150 • 1,2 — =• 180 к г — за третій. В ідп овідь : 130 к г; 150 к г; 180 к г. 1289. У третьому ящ и ку — х кг. У першому — (х + 4) к г. У другому — 2х кг. х + х + 4 + 2х -* 36; х * 8. В ідп овідь : 12 к г; 16 к г; 8 кг. 1290. Нехай друга сторона — х см; перша — 2х см, третя — (х + 4) см. х + 2х + х + 4 * 32; 4х - 28; х « 7 см — друга сторона, 2 • 7 - 14 см — перша; 7 ■+4 - 11 см — третя. В ідповідь: 14 см; 7 см; 11 см. Рівень Б

1291. Нехай у малому бідоні х л молока, тоді у великому — Зх л молока. Коли у великий долили 6 л, тоді там (Зх 4- 6) л молока, а в малий долили 7 л, то стало (х +7) л молока. Зх + 6 “ 2(х Ч 7); Зх + 6 = 2х + 14; х - 8 л — було у малому бідоні молока. Зх в 24 л — було молока у великому білоні. Відповідь: 8 л; 24 л. 1292. У другому кош ику стало х к г яблук. У першому кош ику стало Зх кг яблук. х 4- 90 —Зх + 50; 2х = 40; х = 20. Відповідь: 60 к г; 20 кг. 1293. Нехай власна ш видкість катера х км/год, тоді він рухається від А до В зі швидкістю (х + 3) км/год, бо рухається за течією, а від В до А його швидкість (х *• 3) км/год, бо рухається проти течії. а) Відстань від А до В дорівнює ((х + 3) • 1,5) км , а з другого боку відстань від В до А дорівнює ((х - 3) • 2) к м , але вони рівні, тобто маємо: (х + 3) • 1,5 = (х - 3) • 2; 1,5х + 4,5 = 2х - 6; -0 ,5 х —-1 0 ,5 ; х - 21 км/год. Відповідь: 21 км/год.

б) Якщо швидкість проти течії становить 75% від швидкості за течісю, то: 0,75(х + 3) - х - 3; 0,75х +2,25 —х - 3; -0,25.x - -5 ,2 5 ; х = 21 км/год. Відповідь: 21 км/год. 1294. Швидкість човна за течією х км/год. Ш видкість проти течії — (х - 6) км/год. (х - 6) х • 1 год = 0,6х год; 0,4х = 6; х - 15 км/год. Відстань м іж пристанями 15 км/год 0 ,6 год = 9 км. Відповідь: 9 км. 1295. Нехай через х годин у першому баці буде в 4 рази менше бензину, ніж у другому, за цей час із першого баку витече 20х л бензипу, а з другого Юх л, тоді маємо залишок у баках (400 - 20х) л та (900 - Юх) л бензину відповідно, тобто: 4 • (400 -• 20х) - 900 - Юх; 1600 - 80х = 900 - Юх; -7 0 х - -700; х - 10 год. Відповідь: 10 год. 1296. Розв'язання: Нехай персів було х котів, тоді ангорських — 2х котів, сибірських — 6х котів, сіамських — (2х - 4) котів. Разом їх було 51. Складемо і розв’яжемо рівняння: х + їх + Ьх + 2х - 4 “ 51; 11х - 5 1 + 4 ; 11х т 55; х - 55 : 11; х " 5 (к.) — персів; 2 - 5 = 10 (к.) — ангорських; 6 • 5 = 30 (к .) — сибірських; 2 • 5 - 4 - 6 (к.) — сіамських. 1297. Нехай Мурко впіймав х мишей, тоді Пушок — (х - 3) мишей, Базиліо — Зх мишей, Леопольд — 2(х - 3) миші. Усього вони впіймали 47 мишей. Складемо і розв’яжемо рівняння: х + х - 3 + Зх + 2 (х - 3) - 47; х + х - 3 + Зх + 2х - 6 ~ 47; 7х - 9 = 47; 7х - 47 + 9; 7х - 56; х » 56 : 7; х =» 8 (м.) — Мурко. 8 - 3 = 5 (м.) — Пушок. 3 • 8 = 24 (м.) — Базиліо. 2 • (8 - 3) *- 10 (м.) — Леопольд. 1298. Усього виготовили х деталей. Другий робітник виготовив 0,3х деталей. Третій робітник виготовив (0,3х + 2) деталей. 0,3х *- 0,3х 2 + 22 - х; 0,4х - 24; х = 60 деталей. Відповідь: 60 деталей.

1299*. Нехай довжина всього ш ляху буде х км , тоді велосипедист проїхав + 40 ) км, а залишилося йому (0,75 • х - 118) км , але він все одно про) йде довжину ш ляху, тобто маємо:

(7- х

| х + 40+ 0 ,7 5 * - 1 1 8 = * ; | х + | * - х = 78; — х = 78; х = 78 28 = 168 к м . 28 13 В ідповідь: 168 км . 1300*. Нехай ш видкість велосипедиста буде х км/год, тоді ш видкість автомо біля буде 1,6х км/год. Відстань від А до В з одного боку становитиме (1,6х • 2,5) км , а з другого боку (2 ,5 х + 75) км , тобто масмо рівність: 1,6х • 2,5 = 2,5х + 75; 4х - 2 ,5 х =■ 75; 1,5х = 75; х * 50, тобто відстань від А до В буде 1,6х • 2,5 - 200 км . В ідп овідь: 200 км . 1301. Нехай ш видкість човна за течією х км/год. Ш видкість проти течії (х - 6) км/год. 2х = (х - 6 )-2 ,5 + 3; 0,5х - 12; х - 24 км/год. Відстань м іж пристанями 2 год -24 км/год « 48 км . В ідповідь: 48 км. 1302. Нехай відстань м іж селами С і й буде х км , тоді: а) АВ буде 1,2х км , ВС буде 0 ,8 • х км , але АВ + ВС - АС, отже, 1,2х + 0 ,8 х - 14;

2х = 14; х = 7.

В ідповідь: 7 км. б) АВ = 33 км , АВ * 2СІ) = 2х, ВС = 2х - 2, тобто якщ о АВ + ВС + СО « А/), маємо: 2х + 2х - 2 + х - 33; 5х *■ 35; х = 7 км . Відповідь: 7 км . в) ВС - 9 км , АВ - 1,2х км , АВ = 3 ,7 х км , так я к АВ + ВС + СІ) “ АВ, то . маємо: 1,2х + 9 + х = 3,7х -1 ,5 х = -9 ; х —6 км. Відповідь: 6 км. 1303.

Р озв'я за н н я :

Нехай води було х л, вона замерзла і збільшилась на -рт свого об’єму,

( х)

тобто на І | ї І л. Після цього об’єм її став: х 12х , * + п = т г (л)12х Було л ЛЬ°ДУ* він розтанув і зменшився на

ї ї І л , тобто на ^ л:

12х- л = — 1 свого об ему. — 11 12 1 В ідповідь : об’єм льоду зменшився на — частину. їм

Вправи д л я повторення

1304. а) -4 8 • 4050 + 1120 • 109 + 8 24 35 = 1 6 0 (-1 2 1 5 + 763) + 82435 = = 82435 - 72320 = 10115; б) (420,076 - 385,8) : 3,8 - 81,98 = 34,276 : 3,8 - 81,98 = 9,02 - 81,98 = - -7 2 ,9 6 ; в) 34,75 • 18,6 - 34,75 • (-3 ,9 ) - 18,5 • 34,75 = 34,75 • (18,6 + 3,9 - 18,5) = 34,75 • 4 = 139; г ) - | з ,5 • 1 - 3,5 : 1 1 + (1,02 - 100) = ^

* |+ (1,02 - 100) = -98 ,98 .

1305*. 1 • 2 • 3 • ... • 17 • 18 - 1 • 3 • 5 • ... • 15 • 17 Різниця ділиться на 5, бо з першого і другого виразу можна винести за дуж ки 5. Різниця не ділиться на 10, бо з першого можна винести 10, хоча в другому 1 є 5, але немае парного числа, щоб добуток ділився на 10, тобто він не ділиться на 10, і різниця — теж. 1306. Кожні 10 м другий ж ук пробігає швидше на 4 с, але відпочиває на 5 с більше, тобто втрачає 5 - 4 = 1 с . За 50 м другий ж ук відпочиває 4 рази і тому втратить 4 • 1 с * 4 с, але останні 10 м пробіжить швидше на 4 с, ніж перший ж ук , і тому вони фінішують разом. За 100 м другий ж у к відпочине 9 разів і тому втратить 9 • 1 с - 9 с, але останні 10 м пробіжить швидше на 4 с, тобто втратить тільки 9 - 4 * 5 с. Першим фінішує тепер перший ж ук . За ЗО м другий ж ук відпочине 2 рази, втратить 2 • 1 с - 2 с, але за останні 10 м виграє 4 с, тобто виграє взагалі 4 - 2 —2 с. Першим фінішує тепер другий ж ук. 1307. Р о зв'яза н н я : Нехай Ігор щосуботи і щонеділі долає х км. Тоді в інші 5 днів тижня — по 2х км. Маємо за тиждень два дні по х км і п’ять днів по 2х км пробігу. За тиждень — 12 км. Складемо і розв’яжемо рівняння: 2 • х + 5 • 2х = 12; 2х + Юх = 12; 12х = 12; х = 12 : 12; х - 1 (км) — за вихідний. 2 * 1 = 2 (км) — у будні дні. В ідповідь : 2 км щосереди. 44. Паралельні та перпендикулярні прямі

П ер п ен ди кул ярн і пр ям і — прямі, я к і при перетині утворюють прямий кут. Відрізки, що лежать на перпендикулярних прямих, теж називають ся перпендикулярними. П аралельними називаються прямі, що лежать в одній площині і не пе ретинаються: а ||6. Дві прямі, я к і леж ать в одній площині та перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою.

Через точку площини, я к а не належить даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну. Коли прямі на пло щині мають дві спільні точки, то каж уть, що вони збігаю ться. На пло щині дві прямі мож уть мати спільну точку (тоді вони перетинаються) або не мати жодної спільної точки (тоді вони паралельні). Рівень А

1315. Одну сторону прямого кута косинця прикладаємо до ______а________ прямої 6. До другої сторони кута косинця прикладаємо * ґ л івій ку і пересуваємо вздовж неї косинець, поки перша ------------------------ ь сторона прямого к у т а не дійде до точки А. Уздовж цієї сторони прояодимо с Л Ь. 1316. Одну сторону прямого кута косинця прикладемо до прямої Ь. До іншої сторони прямого кута прикладаємо л ін ій ку, пересуваємо вздовж лінійки косинець доти, доки перше сторона косинця не опиниться на прямій с. Прямі Ь і с дійсно паралельні. 1317. За допомогою лінійки міряємо дов ж ину сторони АВ і ділимо ї ї навпіл. За допомогою лінійки та косинця будуємо прям у паралельну стороні АС через точ к у О. Вона перетииас сторону ВС в точці /*. За допомо гою лінійки переконуємось, що ґ ділить ВС навпіл. 1318. КІ.М ІЇ — прямокутник, КБ • 8Ь - 2 см. З точ ки 5 проводимо пряму, паралельну К,\: лона перетинається з ХМ у точці Р. У прямокутника всі кути прямі. Звідси бачимо, що БЬМР — теж прямо Г<* кутник. і Отже. З і ** РМ * 2 см. Отже, РМ - ~ і\М. 1319. Розмістимо косин«ць так , щоб один із катетів лежав П на прямій С, а точка О лежала на його іншому катеті. З точки І) пронодимо прям у </. перпендикулярну до прямої — аі С. ~ 1320. Візьмемо довільний д ЛВС. Розмістимо коси нець так, щоб одна із сторін його прямого кута ле ж ала на ДС. а інш у сторону суміщаємо з точкою В. Відрізок ВО проходить через точку В і є перпенди кулярним до ДС.

1321. /ООВ - 90е, /М О В - ZЛfOZ> -

Z£ЮB

- 45°;

/ІЮВ - /ГЮА - ^АОС - /СОВ - 90*; /СОМ - /М ОВ + /.СОВ - 45° 4 90е - 135°,

ІАОМ

/ООА

/М О й

90°

■»

45°

135е.

1322. /£ЮА ~ /АОС - /СОВ - / В О й - 90°;

/ХОА - ~ • 90“ - 30°; /ІЮХ - 90 у т 30е - 120°; / N 0 3 - 90е + 60 0 - 2 Ж .

1323. /АОП - 90°: /МОА - /АОй - /ООМ - 90° - 60° - 30°.

/.МОК - 90°; /АОК * Z МОК - /МОА - 90° - 30° - 60°. /СОЬі = //ЮА/ - 60° — я к вертикальні кути; /АОС = 90°. гд о л г =./АОС + /СОН - 90 е *■ 60° - 150°. В ідповідь : 30°, 60°, 150°. 1324. /ТОМ = /ІЮА /ВСЮ = Z£OC = /ХОМ ~ - ZLON - ZNOЯ' - 90°. 2 /КОС = /АОК; З ^КОС = 903; ^А"ОС - 30°; ZCO^ =• 90° - /КОС = 60е; Z^^OC = 90° + ZA:OC = 120°. Рівень Б 1325. /АОС « 90°, ^ОАГ + /КОС ~ 90°,

^ о а : = зо° /кос, /КОС + /КОС = 90° - 30°, /КОС = 60° : 2,

ZAГOe = 30°, ZЛOA: = 60е, /КОВ - ^ЛГОС + ZCOЯ = 30° + 90° - 120°. Відповідь: 60°. 30°, 120°. Вправи д л я повторення

2 З > 1327. Олегові залишилось набрати 80 • (1 - - ) *= 80 • - = 4 8 сторінок. 5 5 Відповідь: 48 сторінок. 1328. Швидкість течії становить:

5 5 2 (28 - 28 • • ) : 2 « 28(1 - * ) : 2 28- — " 4 км/год. 4 і і ' Відповідь: 4 км/год. 1329. Р прим ~ 2 '(18 + 14) - 64 см, Р Г.^лм « Р ; Р " ~ 4а, де а — сторона квадрата, а =■ 64 : 4 = 16 см. Відповідь: 16 см. 1330. 5 - аЬ; а - 60 см; Ь - 750 : 60 - 12,5 м; Р - 2(а + Ь) = 2 • (60 + 12,5) “ 145 м. Відповідь: 145 м. 45. Координатна площ ина

Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендику лярних прямих ОХ та ОУ, які перетинаються у точці О. Кожна з цих прямих є координатною прямою. Координата, як а відкладається на прямій ОАГ, називається а бсц и со ю , її завжди записують першою. Координата, що відкладається на прямій ОУ — ординат а. Прямі ОХ та ОУ називаються о сям и коор ди н а т . Площина, на якій виб рано систему координат, — к о о р д и н а т н а п л ощ и на. Осі координат ділять координатну площину на чотири координатні чверті.

СЕ

X X ш X о ск о с

Рівень А

1332. Туристи прийдуть у точку: а) (-4 ; -3 ); б) (3; 5); в) (-2 ; 4); г) (2; О). 1333. А (-3 ; 2,5); В (0; 3); С (1; 2,5); Я (3; 2); Е (-2 ,5 ; 0); С (0 ; -1,5); Р (2 ,5 ; 0); Х (-1 ; -2); У (-3 ; 3); 2 (3; -3 ); О (0; 0). 1334. А (-3 ; 2); В (-1 : 2); С (0; 2); Я (2; 3); Е (2 1); Р (-2 ; 0); О (1,5; 0); К (-2 ; -3 ); Ь (0; -2); М (2; -1 ).

1336.

1335.

■ 5 4 :V (0 :4 )

.. - з D (5 ;2 )

■2 М ( - 2 .0 ) • 1

- 4 . -З - 2 - І 0.. И (-4;-1)

Л -*2-*3 44 45- > # Л (4 - І )

. . -2

■ -З

• С (5 ;-3 )

1337. а) (3; 0); (- 1 ; 0); (- 4 ; 0); (0; 1); (О; -2 ); (0; 5); б) (2; 3); (-1 ; 3); (7; 3); (-2; 6); (-2; 1); (-2 ; -1,5). 1 3 3 9 .С '(| - 4 | ;| - 1 | )- С '(4 ; 1).

4-1

-4

4 -4

-1°± 1 -1

1340. Т ак, ці точки леж ать на одній прямій. 1341. Т ак, усі ці точки лежать на одній прямій. ■.4• • .. А

1 І І 4 -З -2 -1

1 2

1342.

4 -4 --------- ►

Рівень 6

1344. А (-4 ; -1 ); В (0; 1); І (1; 1.5). 1345. С (-1 ; -1 ); В (0; 1); Е (0,5; 2).

1346.-а)

‘ ‘У

11 1

•а 2

* "х

і о .1 (

Г-2

і/

В)Р кш н = КЬ + ЬМ + М ії + К К = 2 • 4 ,5 + 2 •3 = 15; = К Ь - Ш = 3-4 ,5 = 13,5. Відповідь'. Рким = 15, Здеддо =13,5. 1347. С (-1 ; 3); /)(3; 3); Р = 4 4 = 16; 5 - 42 - 16. 1348. а) І чверть б)

в)

I е!

1349. а) III, IV — чверті; б) II — чверть; в) І, II — чверті. 1350. Маємо три варіанти, як витягти дві кульки: білу з білою, чорну з од нією білою і чорну з іншою білою. 1 . Імовірність витягти дві білі — “ , імовірність витягти чорну і білу — , 1 2 3 2 < 2 » тому гра несправедлива. 1356 а) 5 =

Ь) «, год 5 , км 1357. а)

и • /, 5 = 4 км/год. г - 4 • * км. 0.5 2

1,5

1 3

2 6

3 12

3,5 14

4 16

2,5 7,5

3 9

3,5 10,5

Р - ЗА грн •

б) к, кг

0,5 1,5

Р, грн 1358. а) Т = - 1°С; Т - + 4°С; 1359. а) Т = 0°С; Т « + 3°С; 1363. Р озв'яза н н я:

б) / - 1 год; * “ 12 год. б) і - 4,5 год; г - 8,5 год.

Половину всіх уроків цри вимкненому телевізорі Андрій робить за 1 год : 2 « 0,5 год.

Нехай він робить усі уроки нри увімкненому телевізорі за х годин, тоді половину їх він зробить за — годин. Половину уроків при вимкненому телевізорі і половину при ввімкненому Андрій робить за| 0 .5 год ♦ - год І. або 2 години. -- - 0 .5 •х . Складемо і роз, ' 2 ) * в яж емо рівняння: 0 ,5 + 0 ,5 х - 2; 0 .5 * - 2 - 0 .5 ; 0 .5 * - 1,5; х ■» 1,5 : 0 .5 ; х 3 (год). В ідп овідь: 3 години витратив Андрій. 1364. Р о зв 'я за н н я : 1) 140 - 80 - 60 (ко п .) — дорожче взимку. 2) 60 : 80 • 100 - 75 (% ) — дорожче взимку. В ідп овідь: на 75% 1 л молока взимку дорожчий. 8

( 2

б) 40 2 - ї 3 - 2 ] - 3 6 • 1 - 442 - ( ? 8 - ? 1. 99 . 1 * 442 - 31 ■

11 І 431 яі. п “ 3 ,:

11) 31 11

11 ІП

ї ї ] 31 11

11 31

. , І 3 2 М 2 2 . 2 - з М : 1 . Г 58 228 , 36 - 57 1 36 = 530; '9 3 6 ; 36 1 1 8 " 12 18 18 1 О І «ІО с г) 8 .5 ( 1 6 .1 7 - 1 3 .9 7 ) » 4 ^ : 1 ^ - 8 . 5 2 . 2 * 17.7 ♦ 3.75 = 21,45; д) 9 2 :1 ,3 - 2^5 1 - 1 1 - 2 3 )■ 7 і 7 2 14,' 7 50 36 21 31 4 » - +• — в .. ; 7 7 7 7 7 2 - 3 3 - 0 .0 1 0 5 :0 .0 0 7

10 - 2І 72 - 2 1 - 31 13 114 14 14

* .£ - !"

.1 0 0 0

е) 3 .4 ________ 1__ ц З__4__1ШО_7..= , , З 1 .3 - -

5 =

1,3- 0.75

0 .5 5

. ( 2 ,5 - 1 .5 ): 0.55 » 1 • ~ 100 20

Завдання д л я повторення § 6 1366. а ) ( - 5 + -*.8) • (-0 ,5 )* - (-0 .2 ) • 0.25 - - 0.05; б) (8 -1 0 ,2 ) • ( - 9 + 7 .5 ) ~ -2 .2 • (- 1 .5 ) « 3,3; в) (- 7 -8 + 16.1)*- (- 1 5 4- 16.1)* » (1.1)* - 1,21; г) (-2 .7 5 +3) (-0.2)* - 0,25 • 0,04 - 0.01; д) -1 8 : (- 3 * 2 ,7 ) + 9 -

18 : (-0 .3 ) *9 - 18 • ~ + 9 - 69;

в) (-2)* : 4 ♦(-0.8): (-0.04) =-8 :4 * 8 •100 =-2 +20 =18. 10

1368. а) -<14 - 19) - (-8 + 13) • (-5) = -(-5) - 5 • (-5) - 5 + 25 = ЗО;

: (-3) +1 - х І -6 = - М ~ | +| л ;

б)

- і 0’ 5 в) -8 ,2 : (-4 ,1 ) • (-0 ,5 ) - 8.2 : 4,1 • (-0 .5 ) « 2 • (-0 ,5 ) = -1 ; г) - ( - 4 .9 ) : 0,07 - 8.1 : (-0,09) * 490 : 7 + 810 : 9 - 70 + 90 - - 160; д) - ( - 5 + 9 - 14) : (-0 ,2 ) + (-2.1 - 1.9) - 10 : (-0 ,2 ) - 4 = -5 0 - 4 - - 54; 5 - 1 8 = 13 е)( 60 60*

1369. а)

1,7 + 1,9] = 11 || +0.2 = 12,2;

1 і 1 1 с .23. » І - І ' 1 +— - 5 = — + — 5 =- 4 — ; 9 1 1 27 9 27 1 В) -(-7 ) + :-4;+ ^-1 ' | ( - 6 ) = 7 + 4+ ^ 6 = 18; г) -<-11+ 9)+ -1 ,4 (-3)1 = 2 + 4,2 = 6 .2 . 1370. а) (2 а - 5) - (4 -7 а ) - 2а + 7а - 9 = 9а -9 ; б) - (- б -4 л ) + 2(-8х + 3) = 6 + 4х - 16х + 6 - 12 - 12х; в) (6х -4 у + 1) - (-2 х + Зу - 5) * 6х + 2х - 4у - Зу г 1 + 5 ■» 8х - 7у + 6; г) 0.5(8 - 4а) - 3(0,2а - 1) - 4 - 2а -0 ,6 а + 3 * 7 - 2,6а; д) (1,2а - 1.86+ 3) • (-2 ) - 5(1,2а + 1,86 - 1,3) —-2 ,4 а + 3,66 - 6 -6 а - 96 + 6,5 ** - 8,4а - 5.46 + 0.5; е ) - ( - * - 8 І - 4 - ( Л х ] Л * - 2 +4 Л , +6 ;г - 2 = 6 ,2 х - 2 . 4^5 ) { 2 ) 5 2 5 1371. а) -5 (1 ,2а - 6) + 7а - - 6 а + ЗО + 7а * а + ЗО, якщо а - -2 0 8 , то а + ЗО - 178; б) (5а - 0,8) - (-5,2а + 0,1) - 5а - 0,8 + 5,2а - 0,1 - 10,2а - 0,9; а = 0,1; 10,2а - 0,9 0,12; в) -(2 а - 36) + (7а - 86) ■» -2 а + 36 + 7а - 86 - 5а - 56 «* 5 • 0,2 + 5 • 0,2 ~ 2; З"' 3 12 г)1 --х - - - •/Н ) . г4• І|( - -?: |і . х ., ( А 4Л) - т16 х . т16 . Г Г 20 і2 ; 5 З 16 4 5_^ д) - 3 - х у - 5 І2 , 5 1372. 9 - (-1 ,9 - 2,1) - 9 - (-4 ) - 13. 1373. 3 ,25• ( - 4 ) “ [ - 1 І = - 1 3 + * = - 1 2 2 1374. 1375. 1376. 1377.

13 1 З з -7 ,5 : (-3 ) + (-0 ,3 • 30) * 2,5 - 9 = -6 ,5 . (-1 ,8 • 2) + (24 : (-1 ,2 )) - -3 ,6 - 20 « -2 3 ,6 . -1 ,6 4 + (-0.36) - -2 , тобто сума більша на -2 - (-1 0 ) * 8 від числа -1 0 . -13 + 4 = -9 . -13 • 4 = -52, тобто сума більша на -9 - (-52) - 43 від добутку.

1378. а) х -2 ,3 - -4 ,2 ; х - - 4 .2 + 2.3; х - - 1 .9 ; в) 20 - (5 - 4х) - 3; 4х - 3 + 5 - 20; 4х - -1 2 ; х - -3 ; д) 2(0.5 - 4х) - 2 х \ 7; 1 - 8 х - 2х + 7; -Ю х - 6; х - -0 .6 ; с) 3(3х - 2) ♦ 11 - 7 + Юх; 9 х - 6 * 1 1 - 7 + Юх; - х - 2; х - -2;

3 .1

х =2 +- :

6) 2х + 3.6 - 5; 2х - 1.4; х * 0.7; г) 14 - ( - 5 + 2х) - -3 ; 14 + 5 - 2 х - -3 ; -2 х " -2 2 ; х - 11;

е) -5 (у - 3) - 11 - (2у - 1); -5 у ♦ 15 - 11 - 2у + 1; -З

у-

-3;

у - 1; ж ) АЛу - 3(8 - 3 у) - 5.4у + 4; 4 .4 у - 24 * 9 у " 5 .4 у + 4; 8 у - 28; у - 3.5; и) 3 - і | у * з | у ■ 4 ^ у ♦ 1;

-І '* ? '-? '--»

-5 «

О 6 12 4 (/ = 2 ---- у = — * — У 15 У 15 5 ‘

1379. а) х - 9 = 15; - х - 9 - 15 або х - 9 - 15; х - -2 4 : х - 24; в) |дг ♦ 3) * Ю ; х ►3 - 10 або -(х + 3) - 10; х-7; х - -1 3 .

б) 3|х| - 10 ; -З х * 10 або Зх - 10;

* - 3і -

1380. -З а + 1 1 - 7 о - 1 ; -1 0 а - - 12 ; а - 1. 2 . В ідп овідь : а - 1.2. 1382. Точка О матиме координати ( - 2 . -1 ), якщ о АВСО п р ям окутн и к, то точка А знаходитиметься на такій самій шдстані від осі х . я к точка С. а від осі у — я к точка А. тому й отримали О ( - 2 ; -1 ). з і! рлвсв • ЛВ + ВС * СО +Ш - 2 • (6 ♦ 4) - 20 од. ‘ І 0 4 4 -+ 5 ^ - АВ ■ВС - 6 • 4 - 24 кв. од. В ідп овідь: РЛЙГО -* 20 од.; - 24 кв. од. 1383. а) Нехай задумане число х . тоді матимемо за умовою: (х - 42) 3 - 192: Зх - 126 * 192: Зх - 318; х - 106; б) нехай задумане число х. тоді отримаймо: 5 • х * 31 - -1 0 4 ; 5х = -1 3 5 ; х = - 27; в) нехай задумане число х , тоді: Зх + 2х «■ -9 0 ; 5х - -9 0 : х - -1 8 .

1384. Нехай на другій полиці х книжок, тоді на першій буде Зх книжок. Коли з першої переклали ЗО книжок, то там стало Зх - ЗО, отже, отримаємо: х - Зх - ЗО; - 2 х —-ЗО; х —15 — на другій полиці було 15 книжок, Зх = 45 — на першій полиці було 45 книжок. Відповідь: 45; 15 книжок. 1385. Нехай у другий магазин відправили х кг товару, тоді у перший 1,4х кг товару. Коли до першого відправили 120 кг, там стало (1,4х + 120), а до друго го магазину відправили 180, то там стало (х + 180), отже, маємо: х + 180 = 1,4х + 120; -0 ,4 х —-6 0 ; х - 150 к г товару відправили у другий магазин 1,4х = 210 товару відправили у перший магазин. Відповідь: 210 кг; 150 кг. 1386. Нехай одне число буде х, тоді друге 2.5х. Коли від більшого відняли 69, то воно стало (2 ,5х - 69), а коли д о м енш ого додали 21, то одержали (х + 21), отже: 2,5х - 69 ■* х + 21; 1,5х - 90; х я 60 — менше число; 2,5х - 150 — більше число. Відповідь: 60; 150. 1387. Нехай у другому ящ ику х к г слив, тоді у першому — 1,2х кг, а у третьому (х + 3) кг, разом у ящ иках 35 к г слив, отже, маємо: х + 1,2х + (х + 3) - 35; 3,2х - 32; х - 10 — у другому ящ ику, х Н - 3 - 1 3 к г — у третьому; 1,2х * 12 кг — у першому. Відповідь: 12 кг; 13 кг; 10 кг. 1388. Нехай ш видкість автомобіля х км/год, тоді ш видкість автобуса 2

(х - 20) км/год. Відстань від села до міста б уде!(х - 20) • боку, а з другого — ( х • -

км.

2 1 ( х - 2 0 ) - =Х 3 2 2 _ і - 40 І =49. І Х 2 Х З" ; 6 Х ” 3 ; 40 х = ---- 6 = 80 км/год — швидкість автомобіля; З —х = 40 км — відстань від села до міста. 2

Відповідь: 80 км/год; 40 км. Завдання д л я самоперевірки

Рівень І

1. в) -7 7 . 2. а) 72. 3. г) 3.

4. а) 12а » 3. 5. б) 1. 6. в ) (2; - 1).

км з одного

7. а) - 2 .8 -1 5 --< 4 2 ) з - 4 2 ; б) -5 (-1 ,6 ) = 8; в) 9 : (-1 ,5 ) * -< »: 1,5) * - в . 8. а) -(о + 2) + 2(4 - За) •= - а - 2 + 8 - ба = -7 а + 6: б) -4 (-2 ,5 - 2х) + 2 (-1 ,8 х + 1) - 10 + 8 г - З.вх + 2 - 4.4х + 12. 9. а) 2х - 3 - 5 - Зх; б) 4 (-3 .5 + Зх) - - 3 + 10х: 2х ♦ 3 х - 5 + 3; -1 4 + 12х - - 3 г Юх; 5х-8; 2х - 11;

8 *3 , л

II . _

х = —= 1—= 1.6; П О

х = —- = 5,5. с

Р івен ь III

10. а) - 4 .8 : (2 .6 + 3 .4 ) + 0 .8 - -4 .8 : 6 + 0 .8 « - 0 .8 + 0 .8 - 0; б) -12^ - - - і ♦ 7.5 ■» -1 2 ! ~ — ’ + 7 .5 = -1 2 + 7 .5 = 6 .5 . (4 3 ; іч 12 1 2 : 12 11. а) 2.9у - 4(1.2 - у) - 5.4(і/ + 2); 2,9у - 4 .8 т 4у - 5 ,4 у + 10.8; 1.5у - 15.6; у - 10.4; б)

З х -|(2‘ - 2лх \= .1 1•

4 І4

і .1

+ х;

„3 »9 .7 9 9 2 З _ „ З„ - X + 2 х ------5 І - + Х ; 2 - X - X * - ; - X * - ; X « - ~ ^ ~4 4 2 4 4 4 4 ’ 7 7 12. Нехай у першому бідоні х л молока, тоді у другому буде 2х л молока, а у третьому — (х - 4) л молока. Разом у трьох бідонах — 92 л молока, тому маємо рівняння: х 2х + х - 4 - 92: Зх - 96: х - 32 л молока у першому бідоні; 2х - 64 л молока у другому бідоні; х - 4 - 28 л молока у третьому бідоні. В ідп овідь: 32 л ; 64 л ; 28 л. Рівень IV

13. (2а - 86 + 3) • (- 2 ) - 5 (-а + 1.86 - 1.4) - -4 а + 166 - 6 + 5а - 96 7 " а + 76 + 1 ■ —5 + 7 + 1 - 3 . 14. Нехай ш видкість мотоцикла х км/год. тоді автомобіля - (х + 18) км/год. Шлях м іж двома містами з одного боку становить 2х к м . а з другого — ((х + 18) * 1.5) км . отж е, отримуємо рівняння: 2х - (х + 18) • 1.5; 2х - 1,5х - 27; 0 .5 г - 27; х - 54 км/год — ш видкість мотоцикліста; 2х - 108 км — відстань м іж містами. В ідп овідь: 108 км. 15. Нехай через х годин у першому сховищі яблук залишиться вдвічі менше, ніж у другому. За х годин із першого сховища заберуть 15х к г яблук, а з другого - - 5х к г яблук. Через х годин у першому сховищі залишиться (120 - 15х) к г яб л ук, а в другому — (90 - 5х) к г яблук. Також відомо, що у першому сховищі яблук залишиться вдвічі менше через х годин, ніж у другому. Складемо і розв’яж ем о рівняння: (120 - 15х) • 2 - 90 - 5х; 240 - ЗОх - 90 - 5 х ; 240 - 90 - ЗОх - 5 х ;

150 - 25х; х = 150 : 25; х - 6 (годин). Через 6 годин у першому сховищі буде: 120 - 15 • б » ЗО к г яблук, а в другому — 90 - 5 • 6 ** 60 к г яблук. 60 кг : ЗО кг " 2 рази. В ідповідь : через 6 годин у першому сховищі буде яблук удвічі менше, ніж у другому.

Завдання за курс математики 6 класу „ 00 . . 5 0 3 с 3 10 18 5 10 9 29 _ 1 1389. а) 8 ---- + 3 - : 5 - = — + --------- = — + — = — = 2 — ; 28 5 5 7 5 28 7 14 14 14 2 6 1 35 1 = 16 49 32 _3 7 8 9* 3 7 ' 8 9 16 в) 3.2І ( 3 ,2 - 5 ,8 ) :2 ? )= -3 ,2 і ? = - 3-2- -3 ' 3 ^ - 3 ,9 ; 2 Г ^ 15 ] - м - ч5 - 32 10-32 25 8 ІГ5 5 - 3 3 =1 2 ,5 : 17 = 8 І 8 4 9 1 1 1 Л .А 2 4 8 " 8 4 ~2

-НН

- і -

2 4 5 14 «л У з * 5 ~ 6 * 15 = 22 . И ; 1 "30*30 З ЗО

5 33 - 2 24

=-3 2 3 : 24

ж)

“ К г 6! 0,02 (-0 ,5 6 )-0 ,0 2 0,44

22 ЗО ЗО 11 1 0 .0 4 -2 ______ § _ — 2 • *3 = -4 - ' -0,02(0,56 +0.44) б З'

1*2; (-2 ,5 )- 1 ,2 4,5 + 7 (-1,8) _ -1,2(2,5♦ 4,5) + 7(-1,8) _ 3) " 1,125 ( -8 0 )-1 ,1 (-80) -80(1,125 -1 ,1 ) -7(1,2 1.8) _ 21 -8 0 -0 ,0 2 5 2 15 и) -2 |#3 + 5 - 7 + (9,7 - 1 ,6 ): (-0 ,9 ) = -2 • + 8 .1 : (-0 ,9 ) = -1 ,2 5 - 9 = 24 1 8 6 12 - -10 ,25 . 1390. а) (4,52 - 19,25)* - 1,7 = (20,25 - 19,25)* - 1,7 - 1 - 1,7 = -0 ,7 - А; (1,1а - 1,3а) : 0,2 - (1,1 - 1,3) • (1,1 + 1 ,3 ): 0,2 = -0 ,2 • 2,4 : 0,2 - -2 ,4 - В;

А > В; б) (-0 ,1 )2 • (6,52 - 43,245) - 0,01 • (42,25 - 43,245) - 0,01 • (-0 ,9 9 5 ) = -0,00995 - А; (2,5 - З)3 • <-2)3 - 1,99 - (-0 ,5 )’ • (-2 )а - 1,99 - - І 2' -1 ,9 9 = -1 ,9 9 = В;

А > В. 1391.а)

8І

-їв

Ей-

4 -5 1 9* 16

4 16 9 81 “

81 16

64 729

- K - z ' 4 4

4) - 1 4 : 7 = -1 4 J = -1 6 ;

З) - 2 1 + 3 1 = 7 ; 4 8 8 5) - 1 4 : 2 = -1 4 5 = -3 5 . } 5 2

ill

о -t-7| б) -з _ | -----

!___S>i

5 ->

—3--- >- 1 І З 2) 3 ,5 :

» -1 0

0.05

-М-0,5

35 8 = 4; 10 7

4> -10+ 1* = - 8 f ; 5) -1 0 0,05 = -0 .5 . 3 ) 4 ~5 з = _ 1 з : З «і 1392. а) 2(4а - 5) - (2 - За) - 8а - 10 - 2 + За - 11а - 12; б) -3 (5 - 7х) + 4(х - 7) - -1 5 + 21* + 4х - 28 * 25* - 43; в) 1,5(2 - 0 ,2 а) + 3 (-а + 1) - 3 - 0 .3 а - За + 3 - 6 - 3 ,3 а; г) -2 (-1 - 2а + 1Ь) - (4а - 8Ь + 1) - 2 + 4а - 146 - 4а + Sb - 1 •* 1 - 66; д) - і (0,5* - 1,1) - і і дг = - і * + 0,55 - | і д: = - ^ * + 0.55 = - 0 ,8 * + 0,55; е) (-0 ,2 5 * + 0,3у) - 3(0 ,ї х - 0,3у) ~ -0 ,2 5 х + 0,3г/ - 2 , ї х + + 0,9 у = -2 ,3 5 х + + 1,2 у. 1393. а) Зх - ( X + 17) - 21; б) 10 - 2(7 - х) - 8; 2х - 21 + 17; 2х = 8 + 4; X « 19; X « 6; в) 4 - 2(п + 7) * 2п - 2(п + 3); г) 5 {а + 4) + За - 2(3а - 4); -2 л - 10 ** - 6 ; 5а + 20 + За = 6а - 8; 2п « - 4 ; 2а - -2 8 ; п = -2 ; а - -1 4 ; д) 2,4х - 7,6 - -8 (1 ,2х + 5); е) 2(х - 0,8) * 0,8(х - 0,8); 2,4х - 7,6 - -9 ,6 х - 40; 1,2(х - 0,8) - О; 12х - - 32,4; X - 0 ,8 ; X = - 2 7* є) X - 7 + 5(3,6 -2(х - 3)) - -1 ; ж) 10(х - 1,02) - 2(х - 1,2) - 4х; X - 7 + 18 - Юх + ЗО - - 1 ; Юх - 10,2 - 2х + 2,4 - 4х - 0; - 9 х - -4 2 ; 4х = 7 ,8 ; X « 1,95; 14 л 2 х =Y з З

- 2,5 = 8х;

Юх - - - 2, 5 - 8 x ^ 0 ; 6

и) 2х +( -і Х - 1і -1 ! [3 9 2х -

х + 2, 5+ 0,75 = 0 ;

1,25х - -3 ,2 5 ; '■ 'в ! 1394. а) 2 і х +4, 7 = 6 ,5 ; 2(х| = 1,8; X - 0 ,9 або -0 ,9 ;

* - 2 ,6 .

б) б|х - 3 ,2| = 15; |х - 3 , 2| = 2 ,5 ; X - 5,7 або 0 ,7 ;

в) 2|х| - (9 —3 |х|) = 5; 5[х| = 14 ; X = 2,8 або -2 ,8 .

1395. 1, 2, 41, 83, 18, 69, 102.

18 = 2 • 3 • 3 = 2 • З2; 69 = 3 • 23; 102 = 2 • 3 • 17. 1396. а) НСД (20; 28) = 4, НСК (20; 28) = 140; б) НСД (35; 129) = 1. НСК (35; 129) = 4615; в) НСД (48; 64; 72) - 8, НСК (48; 64; 72) = 576. 1397. Дільники 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 1398. а) 180; б) 25 140; в) 474; г) 8055. 1399. Вираз ділиться на 10, тому що 9 у парному степені закінчується на 1 і 7; у степені, що ділиться на 4, теж закінчується на 1. Отже, 3494 та 217ч закінчуються на 1. їх різниця матиме останню цифру 0. 1400. 1) 80 • — — = 28; 2) 80 • *— % = 96; 100 % 100 % 3) 80 • 0,09 * 7.2; 4) 80 3 = 48; 5 5) 80

60;

6) 80 • 0,46 - 36,8.

1401 » 12Т % 2 ) 12

= **

100%

= 15; 80% 3) 12 : 0,75 « 16; 4) 1 2 : 3 = 12 8 = 32; 8 З 5) 1 2 : ^ =12 ® = 27; 9 4 6) 12 : 0,3 - 40. 60% 5 — 1402. а) дріб дорівнює — 5

^ 5

б) дріб дорівнює 9 1°^° ' 60%

1403. Учневі залишилося прочитати:

_9_ 15

160 - (160 • 0,15 + 1,5 • 160 • 0,15) = 160 - 60 - 100 сторінок.

Відповідь: 100 сторінок. 1404. Нехай під овочеві культури відвели х а, під картоплю — (дг + 0,5х) а.

х + 0,5.x + х ■» 18; 2,5х » 18; х -= 7,2 а — під овочеві культури. Відповідь: 7,2 а. 1405. За дві години автобус проїхав 209 • ^ + і 209 - 209 • 3 |• 0,5 = 8

= 57 + 209 - -• - - = 57 + 76 - 133 км. 1і 6 Відповідь: 133 км. 1 1 1 3 1406. Ситець становить 1 - 0,9 = 1 - 3 3 3 10 Тканини купили 165 : * * = 165 • = 450 м. 30 11

частину всієї тканини.

В ідповідь: — частина; 450 м. ЗО

1407. У 6-В навчається 100% - 30% - 30% * 1,2 = 34% усіх ш естикласників.

У шостих класах навчається 34 •

В ідповідь: 34 % ; 100 учнів.

100% - = 100 учнів. 34%

1408. Разом екскаватори вирили траншею за

Відповідь: 4,8 год.

1 : [ і + — |= 1- ~ = 4 , 8 години. І 8 12 І 5

1409. Нехай перший муляр викладе стін у за х год, тоді його продуктивність

праці

{х

, продуктивність праці другого муляра ~ .

20)

' х

5’

х - 30 годин. В ідповідь: 30 годин. Ґ1 6

п 8

1410. За дві години роботи разом зробили - + -

роботи.

1 [ 1 З +4

4 +3 12

7 12

Другий робітник працював сам отуж ки 8-І( 1 - -7- ^ = 8 5 = 10 = 3 - > Д 12 З З - З год 20 хв. В ідповідь: 3 год 20 хв. 1 (1 1ї 0 1 5 13 1411. Після обіду випустили ^ +* і2 * 8 8 + 12 = 24 води* Д° обіду — 1 “ 24 ** ^4 * Щ0 становить м3. Води у басейні було 330= 720 м3. В ідповідь: 720 м3. 1412*. Нехай відстань м іж містами х км . Тоді швидкість першого автомобіля — “ X км/год, другого — - х 4 З 1 1 ї зі - х + - х І -- км.

км/год. За 1 год ЗО хв вони проїдуть

( г + І х) - І + 30 = *: Т гх 1 + 30 = * : І х = 30: х * 240 км. Ш видкість першого — 240 : 4 = 60 км/год. Ш видкість другого — 240 : 3 = « 80 км/год. В ідповідь: 60 км/год; 80 км/год. 1413. З 34 га зібрали 87 : 6 • 3 4 = 493 ц гречки. В ідповідь: 493 ц. 1414. У 2,5 к г сплаву міститься 2,5 - 0 ,8 - 0 ,9 = 0,8 к г цинку. Отже, олова 0 8 і цинку у сплаві по 100 % » 32 % . У 3,5 к г сплаву олова і цинку по

100 % В ідповідь: 1 к г 120 г. 1415. Після підкидання кубика мож ливі б різних випадків, і лише в двох із

них може випасти парне число, більше від 2 — це 4 або 6.

Імовірність появи такого числа дорівнює - = ^ . 1416. В урні 20 кульок, тобто є 20 рівноимовірних випадків вийняти кульку,

і серед них у 15 випадках кулька буде білою. 15 З Імовірність вийняти білу кульку = .. 4

1417. а) Швидкість автобуса — х км/год, автомобіля — (х + 20) км/год. Авто бус їхав — 14 - 8 = 6 год, автомобіль — 13,5 - 9 = 4,5 год. 6х - 4,5(х + 20); 1.5* - 90; х ~ 60 км/год — швидкість автобуса, 60 + 20 “ 80 км/год — швидкість автомобіля. Відповідь: 60 км/год, 80 км/год. б) Нехай автомобіль наздожене автобус через х годин. 60 • х - 80 • (х - 1); 20х - 80; х - 4 год. Автомобіль наздожене автобус о 8 + 4 - 12 год. Відповідь : о 12 год. в) Зустріч відбудеться на відстані 60 • 4 *» 240 км від пункту А. Відповідь: 240 км. 1418. Нехай швидкість річки х км/год. Маємо рівняння: (18 + х) • 1 + (16 - х) • 1,5 - 40; 0.5х = 2; х » 4 км/год — швидкість течії. Відповідь: 4 км/год. 1419. Нехай швидкість катера х км/год. Відстань між пристанями з одного боку дорівнює (4,5 (х 4* 4)) км, а з другого — (6,5 • (х - 4)) км. 4,5(х + 4) ~ 6.5 • (х - 4); 2х * 18 + 26; х - 22 км/год — швидкість катера. (4 + 22) • (4,5) - 117 км — відстань м іж пристанями. Відповідь: 117 км. 1420*. Нехай у першому міш ку х к г борошна, у другому — (155 - х) кг. У першому міш ку стало (х - 20) кг, у другому — 155 - х + 20 « (175 - х) кг. (х - 2 0 ): — = 175 - х; 19 31 , - е 380 - 12 М 7 ^ 38 0 ї

Г2 * = 175 + Т2 : * - З ї Г 5 + - ї ^ ;

х - 80 кг борошна у першому міш ку, 155 - 80 - 75 к г — у другому. Відповідь: 80 к г; 75 кг. п с у/ 1 ЛЛ о/ 1421. Цинку треба додати 2 — —^--------- - - 2 = 2 , 5 - 2 = 0,5 кг.

Відповідь: 0,5 кг.

100%

60%

1422. Нехай маса початкового розчину х г. тоді солі у ньому 0,1 х г. Маса нового розчину (х + 100) г, тоді солі у ньому 0,1х + 100. 0,1х 4- 100 - (х + 100) - 0.15; 0,05х - 85; х = 1700 г - 1,7 кг — маса початкового розчину. Відповідь: 1,7 кг. 1423. Лінійка коштує 2,6 : (3 + 1,5 + 1 •2) ■г 2,6 : 6,5 “ 0.4 гри - 40 коп., альбом коштує — 0,4 * 3 = 1,2 грн = 1 грк 20 коп., циркуль коштує — 0,4 • 1,5 — * 0,6 грн = 60 коп. Відповідь: 1 грн 20 коп.; 40 коп.; 60 коп.

-1 -0,5 0 -5 ,5 -5 -З С, (—0.5); С2(-5 ,5 ). Таких точок дві. 1425. г —10 см. пг3 : 4 = 3,14 • 10* : 4 = 3,14 • 25 - 78,5 см2; в 2 = пг* : 4 - г2 : 2 - 78,5 - 50 - 28,5 см2; 5 , = 25 2 - 28,5 • 2 - 57 см2; 2

= 1 0 0 -3 ,1 4 25 = 1 0 0 - 7 8 ,5 = 21,5 см2.

4 ч

Задачі підвищеної складності П о д іл ь н іс ть н атур а льн и х чисел

1426. а) Якщо обидва доданки діл яться на д еяке число, то їх можна предста вити у вигляді: к • а та к Ь, їх сум а буде: А • а + А • Ь = к(а + 6), отже, сума теж ділиться на цс число; б) зменш уване і від ’ємник можна представити у вигляді: к • а та к • 6, їх різниця буде к • а - к • Ь = к(а - Ь), отж е, різниця теж ділиться на це число; в) нехай один доданок к • а , другий Л • 6, їх сума буде к • а 4 Л • 6, вона не ділиться на А націло; г) нехай сума буде к • с, один із доданків /г • 6, тоді другий доданок а , тоді а + к * Ь —к • с, а * к ( с - Ь). Отже, а теж ділиться на к; д) нехай один множник а, другий /? • 6, їх добуток буде а ■к ■Ь - (а • Ь) • к, отже, їх добуток теж ділиться на к. 1427. Нехай зменшуване — к • а + с, тоді від’ємник буде А? • Ь + с, різниця — Л , а 4 с - ( Л , 6 + с ) - Л , в + с - Л , 6 - с в Л , о - Л , 6 и /?(а - 6), отже, різниця теж ділиться на А. 1428. а) Якщо а ділиться на 2 і 3, то можна записати а = 6 • 2 • 3, отже, а ділиться на 2 • 3; б) аналогічно, якщо а ділиться на 2 і 4, то воно ділиться на 2 • 4. 1429. Якщо число т — парне, а л — непарне, то їх добуток тп — парне число, а отже, парне і тп(т + л), якщ о т і п н е парні, то їх сума (т + п) — парне число, тому тп( т » п ) — парне, якщ о т і л парні, то тп і (т + п) — парні числа, і тп{т + л) теж. 1430. Якщо р просте, то (р - 1) та (р + 1) — парні, й одне з цих чисел обов’я з ково ділиться на 3 й обов’язково ділиться на 4. Якщо (р - 1) і (р + 1) парне, то(р - 1) • (р + 1) ділиться на 8. Отже, (р - 1)(р + 1) ділиться на 3 та 8, а отже, на 3 • 8 = 24. 1431. Число 3 * 4 * 4 * 0 * 2 8 ділиться на 4, бо 28 ділиться на 4. Сума цифр цього числа 3 + 2 * 3 + 4 + 5 + 4 + 5 + 2 - * - 8 “ 36 ділиться на 9, отж е, і саме число ділиться на 9. Дане число діли ться на 4 і на 9, отж е, воно ділиться і на 4 х х 9 = 36. 1432. аЬсаЬсї 1001 аООа І аЬс

ЬсОЬ ЬООЬ сООс сООс 0 * Нехай довільне шестицифрове число аЬсаЬс . Усі так і шестицифрові числа діляться на 7; 11; 13, тому що всі так і числа діл яться на 7 • 11 • 13 = 1001.

1433. Таких чисел не існує, тому що найменше таке число може бути 14, а 168 : 14 - 12, а НСД (12; 14) - 2. 1434. а) 3* - у - 12; у * Зх - 12 = 3(х - 4), у може бути простим, якщо х - 4 - 1, х - 5, у - 3; б) х + у = 31, х ° 2, у - 29 або х —29, у = 2; в) х2 - у2 *=- 21; (х - уХх + у) = 21, може бути чотири варіанта: 1) х - у - 1; х + у “ 21, х = 1 + у, у - 20 : 2 - 10 — не підходить; 2) х - у = 21, х + у = 1— не підходить, бо (х + у) має бути більше (х - у); 3) х - у - 7, х + у = 3 — не підходить; 4 ) х - у = 3, х + у “ 7 ; х = 3 + у ; у = 2 ; х - 5 . 1435. а) 7х + Зу = 23, х —2, у = 3; б) можна прокласти, якщо взяти 2 труби довжиною 7 м і 3 труби довжи ною 3 м. 1436. Таке число ділиться на 7, 8 і 9, отже, це число 7 • 8 • 9 05 504. 504 —7 = 7* 71; 504 - 8 = 8 - 62; 504 —9 ~ 9 * 55. 1437. У кошику 4 - 3 * 5 + 1 * 6 1 яблуко, тому що у кошику має бути така кількість яблук, я к а б ділилася на 2, 3, 4, 5 і 6, якщо з кошика забрати 1 яблуко, яблук має бути менше, ніж 100. Таке число 61. 1438. Нехай горіхів купили х ш тук, цукерок — (х - 80) штук, печива — (х - 120) штук. х + х - 80 + х - 120 - 760; Зх - 960; х - 320 штук горіхів, 320 - 80 - 240 цукерок, 320 - 120 = 200 — печива. Можна зробити НСД (320; 240; 200) =■ 40 подарунків. Відповідь: 40 подарунків. Відсотки 1439. Нехай першого сплаву треба взяти х кг, а другого (4 - х) кг. У першому

сплаві 0,6х кг м іді; у другому — 0,8 • (4 - х) міді. В одержаному сплаві 0,75 • 4 = 3 кг міді. 0,6 • х + 0,8 • (4 - х) = 3; 0,2 х - 0 ,2 ; х ** 1 к г— першого сплаву; 4 - 1 - 3 кг — другого сплаву. Відповідь: 1 кг; 3 кг. 1440. Нехай спочатку було х грн, зняли 0,2х грн, проценти начислили на (х - 0,2х) грн. х - 0,2х + (х - 0,2х) • 0,05 = 840; 0,8х(1 + 0,05) - 840; 0,8х - 800; х = 1000 грн — було спочатку на рахунку. Відповідь: 1000 грн. 1441.

Розв'язання:

Нехай є два натуральних «дзеркальних» числа х і у. Ці числа цілі. Відомо, що у на 240% більше, ніж х, тобто х — 100%, тоді у — 340% , (у - х) — 240%. Складемо пропорцію: х - 100% ^ = (у - х) • 100% = <у - х ) 5 ( у - х ) - 240% 20 Х 240% 12 Тобто х = А ( у - * ) .

(1).

Треба знайти різницю двох дзеркальних чисел (у - х ). Відомо, що ці числа трицифрові. Нехай число х складається з цифр a b c , тоді у — із цифр cba. У числі дг або a b c цифра а — це сотні, b — десятки, с — одиниці. Тоді х = 100а + 106 + с. У числі у або cba цифра с — це сотні, b — десятки , о — одиниці. Тоді у —100с + 106 + а. Знайдемо різницю цих чисел: у - х 100с + 106 + а - 100а - 106 - с —99с - 99а = 99 (с - а), тоб• то у - х = 99 (с - а ) (2). У рівнянні (2) (с - а ) — це різниця перших цифр чисел у і х. Ця різниця може дорівнювати 1, 2, ...» 8. Підставимо (2) у рівняння (1): 9 9 ( с - а ) = ~ ( е - а ) = ^ { с - а ) = 4 1, 2 5 ( с - в ) ,

тобто маємо х —41,25 • (с ~ а) (3). Щоб число х було ціле, треба число 41,25 помножити або на 4, або на 8, тобто у рівнянні (3) множник (с - а) = 4; 8. Якщо (с - а) - 8, тоді л: » 41,25 • 8 » 330, але це не можливо за умовою задачі, бо тоді у = 033 — такого натурального числа не існує. Маємо єдиний варіант: (с - а ) » 4. Тоді х « 41,25 • 4 « 165, у = 561. В ідп овідь : 165 і 561 — ш укані числа. 1442. Р о зв ’я за н н я : 1) 100% - 25% - 75 % — вага після весни. 2) 75% + (75% : 100% • 20% ) - 90% — вага після літа. 3) 90% - (90% : 100% • 10%) « 81% — після осені. 4) 81% 4- (81% : 100% -20%) - 97,2% — після зими. Відповідь: через рік Карлсон не поправився і важ ив 97,2% від початкової ваги. 40 —32 100% = 20% , 32 менше 40 1443. Ні, не правильно. 40 більше 32 на 40 4 0 —Я2 на • --•-•1 0 0 % - 25 %. 32 Звичайні др о б и

1 1 1 1 1 1 П + — + ---- + ----- + ------+ = 1+ ;1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2 З 5 6 5 7 14 1 8 1 12 2 2 2 0 35 + 7 + 3 0 3 6 = •• • + -------+ - • = + - . + - . = 2* -......... - - = 2• - = 2 3 4 15 6 35 3 15 35 105 7 7* 1 1 1 1 1 б) 10-11 ї ї І 2 + 12 13 + ‘ + 18 19 + 19 20 " 1 -L fî+ lï 2 2 (5 6 26 ^6 7 ) 30^7 8 J 34^8 9 J 38^9 10 j = 1 11 1 13 1_ 15 + 1 17 1 19 = 1 1 1 + 1 + 1 22 ЗО + 26 42 + 30 56 + 34 72 + 38 90 60 + 84 112 144 + 180 7 144 ‘ 128 2 5 5 -1 2 7 _ 1 4 4 5 . ------- —1. 127 255 + 128

1444. а)

1446. Розв'язання: 1 ) 1 2 - 5 = 7 — різниця знаменника і чисельника скороченого дробу. 2) 2114 : 7 * 302 (р.) — менше різниця скороченого дробу. 3) 5 • 302 = 1510 — чисельник нескороченого дробу. 4) 12 • 302 —3624 — знаменник нескороченого дробу. па .. 1510 Відповідь : ----- - . 3624 7-х 1447. До скорочення дріб був: ------; 7х + 13 х —4140; х - 207. 13-х 7 207 1449 Дріб був: 13-207 2691 1449 Відповідь: 2691 ' Раціональні числа 1448. а) ні; б) ні. Задачі на складання рівнянь 1450. х : 3 + х : 2 = 5 • 60:

х •§ = 5 *60; х - 360 м від гнізда білки до галявини. 6 Відповідь: 360 м. 1451. Нехай дистанція становить х м, тоді швидкість першого спортсмена (х : 225) м/с, другого (х : 240) м/с. х : 225 • 48 =* х : 240 • 48 + 20; - - Х - Х =

100;

_ 15 . 100 - 1500 м;

1500 : 225 ~ 6 - „ /с; 1500 : 240 = 6* о

м/с.

2 і З 4 1452. Нехай у книзі х сторінок, тоді маємо рівняння: 0,2х + 16 + (0,8х - 16) • 0,5 + 16 - хі 0,2х + 32 + 0,4х - 8 - х ; 0,4х « 24; х - 60 сторінок. Відповідь: 60 сторінок. 1453. Нехай швидкість другого мотоцикліста х км/год, тоді першого — 0,8 км/год. 6х - 0,8 • 6,5х + 30; 0,8х = ЗО; х =* 37,5 км/год — швидкість другого, 37,5 • 0,8 = ЗО км/год — першого. Мотоциклісти зустрінуться через £годин після виїзду другого мотоцикліста. 30(1 + 0,5)= 37,5 г, 30* + 15 1 37,5*; * * 2 год, мотоциклісти зустрінуться о 10 год ЗО хв. Мотоциклісти проїхали до зустрічі 37,5 • 2 •* 75 км та ЗО • 2 = 60 км. 1454. Нехай довжина поїзда х м. Ш видкість поїзда з одного боку (х : 10) м/с, а з другого ((300 + 2х) : 25) м/с. (300 + 2х) : 25 = х : 10; 12 = 0,02 • х; х = 600 м; швидкість поїзда 600 : 10 ~ 60 м/с —216 км/год. Відповідь: 600 м; 216 км/год.

Відповідь: 6 • м/с; 6 • м/с.