Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений» Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 6-е изд. — М.: «Просвещение», 2001 г.
учебно-практическое пособие
3
СОДЕРЖАНИЕ
Степень с рациональным показателем ........... 4 ГЛАВА IV. Элементы тригонометрии .......... 73 ГЛАВА V. Прогрессия .................................... 119
4
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 62. 1) 23 + ( – 3)3 – ( – 2)2 + ( – 1)5 = 8 + ( – 27) – (4) + ( – 1) = – 24; 2) ( – 7)2 – ( – 4)3 – 34 = 49 – ( – 64) – 81 = 32; 3) 13 · 23 – 9 · 23 + 23 = 23 · (13 – 9 + 1) = 8 · 5 = 40; 4) 6 · ( – 2)3 – 5 · ( – 2)3 – ( – 2)3 = – 23 · (6 – 5 – 1) = 0 ⋅ ( – 23) = 0. 63. 1) 2) 3) 4)
7 2 ⋅ 715
715+ 2
=
713
713
53 ⋅ 510 ⋅ 5 2
8
a ⋅ a ⋅b
3
c 3 d 5c 9
=
10 7
c d
=
515+ 4
=
a9 ⋅ b2
713
510+3+1
=
54 ⋅ 515
717
=
a
2 +8
⋅b
3
a9 ⋅ b2
c12 10 2
c d
=
c2 d
2
= 74 ; 514 519 = =
=
a10b3 a 9b 2 c2 d2
5
1 = ; 5 5 5 1
= ab ;
.
64. 1) 1 – 5 =
1 5
1
= 1;
0
3) ( – 10) = 1;
2) 4 – 3 = 4) ( – 5)
1 3
4 –2
=
1 ; 64
= 1
=
2
5
1 ; 25
4 1 1 1 5) = 4 = ; 2 16 2
3 6) 7
−1
=
7 1 =2 . 3 3
65. 1) 3)
5
1 = = 4-5 ; 45 4 1
1 x7
1 x
2)
7
= = x – 7;
4)
1 213 1 a9
3
1 –3 = 21 ; 21
=
1 a
9
= = a – 9. 5
66. 10 3
−3
1)
33
=
27 −9 = 0,027 ; 2) 1000 11
=
3
10
1 5
3) (0,2) – 4 =
−4
=
112 9
=
2
1 2
= (5)4 = 625; 4) (0,5) – 5 =
1 ; 17
5) – ( – 17) – 1 =
−2
121 40 =1 ; 81 80
−5
= 25 = 32; 1
6) – ( – 13) – 2 = –
132
= −
1 . 169
67. 1 1 3+ 4 7 ; + = = 3 4 12 12
1) 3 – 1 + ( – 2) – 2 = −3
33 1 2 ⋅ 27 − 1 53 5 2 = =3 ; 2) − 4−2 = 3 − 2 = 16 16 16 2 4 3 3) (0,2) – 2 + (0,5) – 5 = 52 + 25 = 25 + 32 = 57; 1 1000
4) ( – 0,1) – 3 – ( – 0,2) – 3 = –
−1
−1
1 + = – 1000 + 125 = – 875. 125
68. 1) 12 – 3 =
1 123
2) 210 = 1;
< 1;
5 3
5
5 19
3) (0,6) – 5 = > 1;
−4
4)
4
19 > 1. 5
=
69. 1
1) (x – y) – 2 = 3) 3b – 5 c8 =
( х − у)
3с 8 b5
5) a −1b 2 c −3 =
2
4) 9a3 b – 4 =
;
b2 ac 3
70. 1 7
−3
1 7
1 7
1 1 2) − ⋅ − 5 5
6
−4
( х + у) 3
9a 3 b4
6) a 2 b −1c − 4 =
;
1) ⋅ =
1
2) (х + у) – 3 =
;
−2
= 7 2 = 49 ;
1 = − 5
−3
= (−5) 3 = −125 ;
;
a2 bc 4
.
;
3 10
3) 0,37 ⋅ 0,3−10 = 0,3−3 =
4) 17 −5 ⋅ 17 3 ⋅ 17 = 17 −1 =
−3
3
1000 1 10 ; = = = 37 3 27 27
1 . 17
71. 1
1) 97 : 910 = 9−3 =
93
1 ; 729
=
2) (0,2) 2 : (0,2)−2 = (0.2) 4 = 0.0016 ; 2 13
3)
2 5
−12
3
2 : 13
2 5
4) :
−10
−1
=
2
2 = 13 4
=
132 2
2
72.
( ) 3) (а ) 1) а 3
−5
3 7
=
169 1 = 42 ; 4 4
16 . 625
=
54
−2
( ) 4) (b ) 2) b − 2
= а −15 ;
−4
7 −4
= а − 21 ;
= b8 ;
= а − 28 .
73.
(
)3 = а 3 b −6 = а 6 ;
2) а 2 b −1
b
( )
3) 2а
(
3
1) аb − 2
2 −6
=2
−6
a
−12
=
1 64a
12
;
( )
4) 3а
3 −4
)4 = a 8 b −4 = a 4 ; 8
b
=3
−4
а
−12
=
1 81a 12
.
74. 8 b
a 1) 7
−2
m −4 2) −5 n
=
a −16 b
−14
−3
=
=
m12 n15
b14 a16
;
;
2
2 x6 22 x12 y 8 4 x12 y 8 = 3) − 4 = ; 2 3y
−5
− 4 yx 4) 3 z
3
9
3
3 −15 64 y 3 = − 64 y x = − 9 15 ; 9 z z x
7
75.
(
) 1
−2
1) x 2 y − 2 − 4 y − 2 ⋅ = ( x 2 − 4) ⋅ y − 2 ⋅ y 2 = x 2 − 4 , y если х = 5, то x2 = 25 и 25 – 4 = 21;
(
2 ) a 2 b −1
=
(a 8 − b 8 ) b4
⋅
)
4
a8 a4 − b4 − a 0 b 4 : = − b4 2 4 b b
b2
=
(a 4 − b 4 )
(a
4
)(
− b4 a4 + b4
(
b2 ⋅ a4 − b4
)
если а = 2, b = – 3, то a4 = 16, b4 = 81, b2 = 9 и
2 ⋅ b = a4 − b4
)= a
4
+ b4 b2
;
16 + 81 97 7 = = 10 . 9 9 9
76. 1) 2000004 = (2 · 105)4 = 24 ⋅ 1020 = 16 · 1020 = 1,6 · 1021; 2) 0,00033 = (3 · 10 – 4)3 = 33 · 10 – 12 = 27 ⋅ 10 – 12 = 2,7 · 10 – 11; 3) 4000 – 2 = (4 · 103) – 2 = 0,0625 · 10 – 6 = 6.25 · 10 – 8; 4) 0,002 – 3 = (2 · 10 – 3) – 3 = 2 – 3 · 109 = 0,125 · 109 = 1,25 · 108. 77. 1) 0,0000087 = 8,7 · 10 – 6; 2) 0,00000005086 = 5,086 · 10 – 8; 1 = 0,008 = 8 ⋅ 10−3 ; 125 1 = 0,0016 = 1.6 ⋅ 10−3 . 4) 625
3)
78, 79, 80. 3 · 10
– 3
мм =
3 мм = 0,003мм; 0,00000000001с = 10 1000
10 – 4мм = 0,0001мм. 81. a8a −7
= a8 − 7 + 2 = a 3 , a−2 если а = 0,8, то a3 = 0,512; a15a3 2) = a15+3−13 = a5 , a13
1)
5
если а = 8
1 1 1 , то a5 = = . 32 2 2
– 11
с;
82. 1) =−
((− 20) ) : ((− 20) ) + 2 7 −7
−6 8
(
= (− 20)
−2
−49
: (− 20)
− 48
)+ 41 =
1 1 −1 + 5 1 + = = ; 20 4 20 5 2)
((−17) ) : ((−17) ) −4 − 6
2
1 − 17
−13 −2
2
−2
= (− 17) : (− 17) − 24
26
2
1 1 1 1 1 − = − − = 2 − 2 = 0. 17 17 17 17 17 83. 1) (1,3) – 118⋅ (1,3)127 = (1,3)9 ≈ 10,6; 2) (0,87) – 74: (0,87) – 57 = (0,87) – 74 + 57 = (0,87) – 17 ≈ 10,67; 17 3) 19 23 4) 21
−47
56
17 : 19
23 ⋅ 21
−26
−25
17 = 19
23 = 21
−21
19 = 17
21
≈ 10,34;
31
≈ 16,78 .
84. 1) (786 – 7)4 = 786 – 28 = 5,8 ⋅ 10 – 62; 2) (9233) – 6 = 923 – 18 = 4,23 ⋅ 10 – 54; 3) (1,76) – 8 ⋅ (35,4) – 8 = (62,3) – 8 = 2,07 ⋅ 10 – 14; 4) (0,47) – 5 : (7,81) – 5 = (0,47 : 7,81) – 5 = 1,27 ⋅ 106. 85. 1) V = (1,54 ⋅ 10 – 4)3 = 3,65 ⋅ 10 – 12 мм3; 2) V = (3,18 ⋅ 105)3 = 3,21 ⋅ 1015 км3. 86.
(
)(
1) a −3 + b −3 ⋅ a − 2 − b − 2 1 1 × 2 − 2 b a =
−1
(b
3
) ⋅ (a −1
1 1 1 ⋅ 2 − + 2 ab b a
)
=
+ a3 ⋅ a4 b4
(
2
− a −1b −1 + b − 2
−1
a b ⋅ (b − a )(b + a ) b − ab + a 3 3
−2
2
)
=
b3 + a3 a 3b 3
⋅
)
1 1 = 3 + 3 × a b
−1
a 2b 2
⋅
a 2b 2
b 2 − a 2 b 2 − ab + a 2
ab( b 3 + a 3 ) 3
3
( b − a )( a + b )
=
=
ab ; b−a 9
(
)(
2) a − 2b − ab− 2 ⋅ a − 2 + a −1b−1 + b− 2 a 1 1 1 b = 2 − 2 ⋅ 2 + + 2 ab b b a a =
b3 − a3 a2b2
⋅
a2b2 b2 + ab + a2
=
−1
)
−1
=
=
(b − a)(b2 + ab + a2 ) = b − a. b2 + ab + a2
87. 1) 1 = 1;
16 = 42 = 4;
0 = 0;
169 = 132 = 13;
2
1 1 1 = = ; 289 17 17 2) 3 1 = 1; 3
3
3
0 = 0;
3
125 = 53 = 5;
0,027 = 3 ( 0,3 )3 = 0,3; 4
3)
4
0 = 0;
4
1 = 1;
3
256 4 4 4 = = ; 625 5 5
88. 1)
6
3)
4
( )
3
4
4
4
1 1 1 =3 3 = ; 27 3 3
0,064 = 3 ( 0,4 )3 = 0,4
16 = 24 = 2;
4
4
3
4
16 4 2 2 = = ; 81 3 3
0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2.
= 6 66 = 6 ;
( )
2
12
64 2 = 12 2 6
1 1 1 =4 = ; 5 25 5
4)
8
2254 = 8 (152 )4 = 158 = 15 .
10 6 = 10 2 = 100 ;
2)
3
312 = 3 4 = 81 ;
2
4
8
89.
10
= 12 212 = 2 ;
2)
36 3 = 6 6 2
1)
3
3)
4
1 2
4)
4
1 3
12
1 1 1 = = 3 = ; 8 2 2
3
16
1 1 1 = = 4 = . 3 81 3
4
90. 1)
3
− 8 = −2 ;
3)
3
−
5)
3
− 34 3 = −34 ;
1 1 1 = −3 =− ; 27 3 27
2)
15
− 1 = −1 ;
4)
5
− 1024 = − 45 = −4 ;
6)
7
− 8 7 = −8 .
5
91. 1) х4 = 81; х = ± 4 81 = ±3 ; х1 = 3; х2 = – 3; 2) x5 = −
5
1 1 1 1 = 5 − = − ; ; x=5 − 32 32 2 2
3) 5х5 = – 160; х5 = – 32; х = 5 − 32 = – 2. 4) 2х6 = 128; х6 = 64; х = ± 6 64 = ±2; х1 = 2 , х2 = – 2. 92. 1) 6 2 x − 3 — имеет смысл, если 2х – 3 ≥ 0 , тогда 2х ≥ 3 , x ≥
3 , 2
х ≥ 1,5. Ответ: х ∈ [1.5; + ∞). 2)
3
х + 3 — имеет смысл для любого x.
3)
3
2 х 2 − х − 1 — имеет смысл для любого x.
2 − 3х ≥ 0 2 − 3х 2 − 3х — имеет смысл, если: ≥ 0 , т.е. 2х − 4 2х − 4 2 х − 4 > 0 2 2 2 2 − 3х ≤ 0 x ≤ x ≥ x ≥ или ; или , поэтому 3 3 3 2 х − 4 < 0 х > 2 х < 2 x < 2 4)
4
Ответ: х ∈ [
2 ; 2). 3
93. 1)
3
2)
5
3 16 1 6 1 1 64 = 3 (−5) 3 + ⋅ 2 6 = −5 + ⋅ 2 = −5 + = −4 ; 8 8 8 4 4 1 6 5 32 − 0.5 ⋅ 3 − 216 = 2 5 − 3 (−6) 3 = 2 + = 5; 2 2 − 125 +
11
3) − 4)
3
5)
4
14 1 1 81 + 4 625 = − 4 3 4 + 4 5 4 = − ⋅ 3 + 5 = −1 + 5 = 4; 3 3 3 14 1 256 = 3 (−10) 3 − 4 4 4 = −10 − 1 = −11; − 1000 − 4 4 5
0,0001 − 2 ⋅ 0,25 + 5 −
= 0,1 − 1 − 6) 5
1 4 1 = (0,1) 4 − 2 0,5 2 + 5 − = 32 2
1 = −1,4; 2
1 1 1 1 3 10 − 9 1 + 3 − 0,001 − 4 0,0016 = − 0,1 − 0,2 = − 0,3 = − = = . 243 3 3 3 10 30 30
94. 9 + 17 ⋅ 9 − 17 = 81 − 17 = 64 = 8;
1)
2
2) 3 + 5 − 3 − 5 = 3 + 5 − 2 9 − 5 + 3 − 5 = 6 − 4 = 2 ;
2
3 ) 5 + 21 + 5 − 21 = 5 + 21 + 2 25 − 21 + 5 − 21 = = 10 + 4 = 14; 3+ 2 3 − 2 ( 3 + 2 )2 − ( 3 − 2 )2 4) − = = 3− 2 3− 2 3+ 2 =
3+ 2 6 + 2−3+ 2 6 − 2 2 6 + 2 6 = = 4 6. 3− 2 1
95. 1)
3
(х − 2)3
= х − 2 — для любого х.
2) т.к.
(3 − х )6
≥ 0 , то при х<3
(3 − х )6
и при х≥3
(3 − х )6
= −(3 − х )3 = ( х − 3)3 .
= (3 − х )3
96. 1987 < n < 1988; 19872 < n < 19882 , отсюда 3948169 < n < 3952144. Найдем, сколько натуральных чисел между ними 3952144 – 3948169 = 3975, а т.к. n<3952144, то таких чисел 3974. Ответ: 3974 числа. 12
97. 1)
3
343 ⋅ 0,125 = 3 73 ⋅ (0,5)3 = 3 (7 ⋅ 0,5)3 = 3 (3,5)3 = 3,5;
2)
3
864 ⋅ 216 = 3 33 ⋅ 25 ⋅ 23 ⋅ 33 = 32 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 9 ⋅ 43 4 = 36 ⋅ 3 4 ;
3)
4
256 ⋅ 0,0081 = 4 28 ⋅ (0,3) 4 = 22 ⋅ 0,3 = 4 ⋅ 0,3 = 1,2;
4)
5
32 ⋅100000 = 5 2 5 ⋅10 5 = 2 ⋅10 = 20 .
3
98. 1)
3
3
53 ⋅ 73 = 3 (5 ⋅ 7)3 = 353 = 35;
2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 4 334 = 33; 3)
5
(0,2)5 ⋅ 85
4)
7
7 1 1 ⋅ 217 = 7 ⋅ 21 = 77 = 7. 3 3
= 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 5 1,65 = 1,6;
7
7
99. 1)
3
3
2 ⋅ 3 500 = 3 1000 = 103 = 10;
2) 3 0,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,008 = 3 0,23 = 0,2; 3) 4 324 ⋅ 4 4 = 4 81⋅ 16 = 4 34 ⋅ 24 = 4 64 = 6; 4)
5
5
2 ⋅ 5 16 = 5 32 = 2 5 = 2.
100. 1)
5 10
2)
3
3 ⋅ 215 = 32 ⋅ 23 = 9 ⋅ 8 = 72; 23 ⋅ 56 = 2 ⋅ 52 = 2 ⋅ 25 = 50;
8 2 1 1 27 = 3; 3) 4 312 ⋅ = 33 ⋅ =
3
4)
20 1 10 430 ⋅
2
3
9
2
1 64 = 43 ⋅ = = 16. 4 2
(101 – 102) 1)
3
64 ⋅ х 3 ⋅ z 6 = 4 xz 2 ;
2)
4
a 8 ⋅ b 12 = a 2 b 3 ;
3)
5
32 ⋅ х 10 ⋅ у 20 = 2 х 2 у 4 ;
4)
6
а 12 b 18 = a 2 b 3 .
13
102. 3
3
3
4
4
4
1) 2ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 3 а 3 b 3 = 2ab; 2) 3a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 а 4 b 4 = 3ab; 3)
4
ab 4 a 3 c 4 a 4 bc ⋅ = = a; 4) c b bc
3
16a b
2
1 16a 2 =3 = . 3 2ba b 2ab
⋅3
103. 4
3
1)
3
64 3 43 3 4 4 = = = ; 3 125 5 5 5
3)
3
3 27 3 3 3 = = ; 3 =3 8 8 2 2
2)
4
16 4 2 2 = = ; 81 3 3
4)
5
19 5 243 5 3 3 7 = = = . 32 32 2 2
5
3
104. 1)
4
324 4 4 = 81 = 34 = 3; 4
324 : 4 4 = 4
2) 3 128: 3 2000= 3 3)
3 3
16 2
=3
=3
2 ⋅103
64 3 4 4 2 = = = ; 1000 10 10 5
16 3 3 = 8 = 23 = 2; 4) 2
5)
(
)
6)
( 625 − 5 ): 3
3
5
256 5
8
5
= 5 32 = 25 = 2;
20 45 − = 4 − 9 = 2 − 3 = −1 ; 5 5
20 − 45 : 5 =
3
3
128
625 3 5 3 3 − = 125 − 1 = 53 − 1 = 5 − 1 = 4. 5 5
5 =3
105.
14
а 6b7 5 5 5 = a b = ab; ab 2
1)
5
a 6b7 : 5 ab 2 = 5
2)
3
81x 4 y : 3 3 xy = 3
3)
3
3x 3 y 27 x3 3x : =3 = ; 2 2 y 9x y y3
4)
4
2b a
3
:4
a 8b
3
=4
81x 4 y 3 3 = 27 x 3 = 3 3 x 3 = 3 x; 3xy
16b 4 a
4
=
2b . a
106. 2
6 6 1) 7 3 = 7 6 = 7; 2)
10
2
2 10
8
−4
−
( 32 ) = 32 4) ( 16 ) = 16 3)
4 8
( 9)
−3
6
=9
−
3 6
=9
−
1 2
=
1 1 92
1 = ; 3
1 5
= 32 5 = 5 32 = 25 = 2; = 16
−
1 2
=
1
=
1 16 2
1 . 4
107. 3
1) 3) 4)
33
6
4 10
6
729 = 3 = 3; 2) 9 7
9 2
1024 = 2
=
5 22
= 4 2;
9 9
7
9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 = 3;
43
6
25 ⋅ 55 = 12 25 ⋅
12 10
5
=
12 2
5 ⋅ 510 =
12 12
5
= 5.
108. 6 х3
1)
( х)
3)
( a ⋅ b) =
6
3
3
=
6
3
6
= х ; 2) 3 у 2 = 3 у 6 = у 3 = у 2 ; 2
6 a2
12
6 ⋅b3
= a3b 2 ;
24
36
4) a 2 ⋅ 4 b3 = a 3 ⋅ b 4 = a8b9 ; 3
5)
6
3
2 1 6 a b = a 6 ⋅ b 6 = a2b; 2
4
1 3 4 3 4 3 3 12 12 6) 27a = 27 ⋅ a = 27a3 = 3 (3a)3 = 3a.
109. 3
1)
3
3 3 1 3 3 9 3 3 3 ⋅ 2 = ⋅ = = ; 2 4 2 4 2 2
2)
4
3 4 3 4 3 27 4 3 3 ⋅ 6 = ⋅ = = ; 4 4 4 4 2 2
4
15
4
2 4 125 5 4 5 5 = ⋅ = = ; 5 8 2 2 2
5 8
3) 4 15 : 4
3
1 4
4) 3 11 : 3 3
1 3 45 3 3 27 3 3 3 = ⋅ = = = ; 3 4 10 8 2 2
2
6 3 5) 27 = 3 6 = 3; 6)
3
3
6 16 = 212 = 2 2 = 4.
110. 1)
3
ab 2 3 a 5 b 3 a 6 b 3 a 2 b ⋅ = = ; c c c2 c3
2)
5
8a3 5 4a 7 5 25 a10 2a 2 ; ⋅ = = b b2 b3 b5
4
a 2b 2c ⋅ 4 a 3b3c 2
3)
4 3
abc3
2a 4b ⋅ 3 4ab
4)
=4
3
2b a 2b 2
а 2b 2c ⋅ a 3b3c 2 4 4 4 = a b = ab; abc3 3
=
5
1 3 23 a 5b 2 8a 3 2a a = = = ; 2b a 2b 2 2b 2b b 3
5 3 5) a 3 ⋅ b 2 = a 3 b 2 ; 4 3 a3b3 3 = a 2b . 6) 4 a3b3 : ab 2 = ab 2
111. 49 ⋅ 3 112
3
1) =3
250
4 14 =3 =2 ; 5 5
53
3)
4
54 ⋅ 4 120 4
4 4
32 2
49 ⋅ 56 3 7 2 ⋅ 7 ⋅ 8 = = 125 53
3
73 ⋅ 23
2)
16
3
=3
5 6
4
= 4 54 ⋅ 24 = 4 27 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 3 = 24 ⋅ 34 = 2 ⋅ 3 = 6 ;
+ 27 2 −
3
64 = 4
32 6 + 3 − 26 = 4 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 3 ; 2
3 1 3 + 4 18 ⋅ 4 4 − 8 2 1 3 = +3− 4 = ; 2 2
4)
27 4 2 ⋅ 32 ⋅ 32 4 4 + − 4 = 8 2
256 = 3
3
5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 112 − 57 = 3 121 − 57 = 3 64 = 4 ; 6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 17 2 − 33 = 4 256 = 4 44 = 4 . 112. 3
3
1)
3
2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 3 27b = 23 ⋅ а 3b3 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 ⋅ ba = 6ab ;
2)
4
abc ⋅ 4 a 3b 2c ⋅ 4 b5с 2 = 4 a 4b8c 4 = ab2c ;
5
a 3 b 2 ⋅ 3a 2 b 3
3)
5
5 4
4)
3ab
2 5
2 xy 2
a 5b 5 ⋅ 3 5
3
4
8x y ⋅ 4x y 4
5
= =4
3ab
= 5 a 4b 4 ;
16 ⋅ x5 y 6 4 = 16 x 4 y 4 = 2 xy . xy 2
113. 1)
3 3
2) 3) 2 4)
3
3
12
a 4 = a 9 + a 6 = a 2 + a 2 = 2a 2 ;
3
3
18
3
a18 +
x 2 + 2 4 3 a 4b8 −
6
8
8
x = x 6 + 2 x 8 = x + 2 x = 3 x ; 2
4 8
6 12
a 3b6 = 2a 4 b 4 − a 6 b 6 = 2ab 2 − ab 2 = ab 2 ; 5
x6 y12 − 5 xy 2 = 6 x 6 y12 − xy 2 = xy 2 − xy 2 = 0 ;
5) 4 x8 y 2 = x 4 y − xy 4 ;
4
4 2 8 2 8 32 8 4 4 16 8 4 8 − x y = x y − x y = ( x y ) − xy 4 =
(
)
5 10 (a − 1)5 a = a − 1. 6) 5 a 5 a − 5 a : a 2 = a5 a − 5 a : 5 a = 5 a
17
114. 98
1)
7 ⋅ 14 : 3 =
2)
6,7 ⋅ 23 ⋅ 0,37 = 6,7 ⋅ 23 ⋅ 0,37 = 57,017 ≈ 7,55 ;
3)
(1,34)−7 ⋅
4)
(3,44 )−9 : (4,57) −9 = (3,44 ⋅ 4,57) −9 ≈ 3,59 .
3
≈ 5,72 ;
(0,43) − 7 = (1,34 ⋅ 0,43) − 7 ≈ 6,88 ;
115. 1
3 ⋅3 9
1)
6
3
( 4− 4) ( 9 +
3)
=6
33 ⋅ 34 6 6 = 3 = 3 ; 2) 3
3
7 ⋅ 4 343 12
7
=
3
73 ⋅ 74 1 12 7
13
= 7 12
−
1 12
= 7;
)( 2 + 5 ) = ( 2 ) + ( 5 ) = 2 + 5 = 7 ; 4 )( 3 − 2 ) = ( 3 ) − ( 2 ) = 3 − 2 = 1 .
3
3
10 + 3 25
3
3
6 +3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
116. 4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 2 ; (4 + 2 3 )(4 − 2 3 ) = 4 ; 2
(4 + 2 3 )(4 − 2 3 ) = 2 ;
4 + 2 3 − 2 ( 4 + 2 3 )( 4 − 2 3 ) + 4 − 2 3 = 4 ; 2
4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 22 . Тогда
117. 1)
a− b 4
−
a −4 b
a + 4 ab 4
a +4 b
=
4+2 3 − 4−2 3 = 2.
( a − b )( a + b ) − a ( a + b ) = 4
4
4
4
4
4
a −4 b
4
4
4
a +4 b
= 4 a + 4 b − 4 a = 4 b;
2)
a −b 3
a −3 b
+
a+b 3
a +3 b
3
=
3
3 3 (3 a + 3 b ) ( a 2 − 3 ab + a 2 )
+
3 3
2
3
a+ b 3
3
3
(3 a − 3 b ) ( a 2 + 3 ab + b 2 )
3
a −3 b
= 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 + 3
3
+ a − ab + a 2 = 2 а 2 + 2 b 2 = 2 ( a 2 + b 2 ); 18
3
+
3)
1 4
a −4 b
−
1 4
a +4 b
⋅
( a − b ) =
4
a +4 b
a− b
(
(
)
a − 4 b a− b = a − b
4
−
)
4 a +4 b 4 a −4 b a − b = 4 a − 4 a + 24 b = 24 b ; = − a− b a − b a+b − 3 ab : 3 a − 3 b 2 = 4) 3 3 a+ b
(
( a + b ) 3
=
3
3
)
3 a 2 − 3 ab + b 2 − 3 ab 3 3 a+ b
3 3 = a 2 − 3 ab + b 2 − 3 ab :
( a + b) 3
3
:
( a − b) 3
3
2
=
( a − b) = ( a − b) : ( a − b) 3
3
2
3
2
3
3
2
3
=
118. 4
3
x3 = x 2 ;
1)
2)
3
a4 = a 3 ;
4)
5
x −1 = x
3
3) 5)
4
6
b3 = b 4 ; a=
1 a6
;
6)
7
b −3 =
−1 5
−3 b7
; .
119. 1)
1 x4
3) a
4
= x;
−5 6
2)
6
= a −5 ;
2 5 y
4) b
−1 3
= 5 y2 ; 3
= b −1 ; −2
1
5) (2 x ) 2 = 2 x ;
6) (3b ) 3 = 3 (3b )−2 .
120. 1
1
2) 27 3 = 3 27 = 3 ;
1) 64 2 = 64 = 8 ; 2
3
4) 814 = 4 813 = 33 = 27 ;
3) 8 3 = 3 64 = 4 ; 5) 16
−
3 4
4
= 16
−3
1
1 = 3 = ; 8 2
6) 9
−
3 2
= 9−3 =
1 3
3
=
1 . 27
19
121. 4
11
2
15
1) 2 5 ⋅ 2 5 = 2 5 = 2 3 = 8; 2
1
3
1
1
5)
( )
5
1 2
4) 4 3 : 4 6 = ;
3) 9 3 : 9 6 = 9 6 = 9 2 = 3; 2 − 7 −3 3
5
2) 5 7 ⋅ 5 7 = 5;
1 6) 812
2
= 7 = 49 ;
−4
=8
−
1 3
=
1 . 2
122. 2
2
4
6
10
1) 9 5 ⋅ 27 5 = 3 5 ⋅ 3 5 = 3 5 = 32 = 9; 2)
2 73
2 ⋅ 49 3
3)
3 144 4
3 : 94
4)
3 1502
3 : 62
=
2 73
4 ⋅73
=
6 73
3
= 7 2 = 49; 3
144 4 = = 16 4 = 23 = 8; 9 3
3
150 2 = = 25 2 = 53 = 125. 6
123. 3
4
1 − 1 − 1) 4 + 3 = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 ; 16
8
2) (0,04)
−
3 2
− (0,125)
= 125 − 4 = 121; 9
2
6
−
2 3
1 = 25
−
3 2
1 − 8
−
2 3
3
2
= 25 2 − 8 3 = 5 3 − 2 2 =
4
3) 8 7 : 8 7 − 3 5 ⋅ 3 5 = 8 − 3 2 = 8 − 9 = −1 ; 4) (5
−
2 5 ) −5
3 1 + ((0,2 ) 4 ) − 4 = 5 2 + 5
−3
= 25 + 125 = 150 .
124. 6
6
1) 3 a ⋅ 6 a = a 2 ⋅ 6 a = a 3 = a , при a=0,09, 2) 20
6 6 b : 6 b = b3 : 6 b = b 2 = 3 b , при b = 27,
a = 0,09 = 0,3; b =
3
27 = 3 ;
3
b ⋅ b2
3) 4)
6 3
b
6
6
b3 ⋅ b 4
=
6
6
= b6 = b = 1,3;
b
a ⋅ 4 a ⋅ 12 a 5 = 12 a 4 ⋅ 12 a3 ⋅ 12 a5 = 12 a12 = a = 2,7.
125. 1
1 1 + 2
5
1) a 3 ⋅ a = a 3 2) 3)
1 b2
1 ⋅ b3 ⋅ 6
b=
3
1 : b6
1 1 − b3 6
b
=
4
= a6 ;
5 1 + b6 6
=
4 1 − 3
4) a 3 : 3 a = a 3
=
6 b6
2 1 − b6 6
=b; 1
= b6 ;
=a;
5) x1,7 ⋅ x 2,8 : x5 = x 4,5 : x 2,5 = x 4,5− 2,5 = x 2 ; 6) y − 3 ,8 : y − 2 , 3 ⋅
y3 = y
− 3 ,8 + 2 , 3 +
3 2
= y0 =1.
126. 1) 2 2−3
5
⋅8
3
2
:9 : 4
2) 31+ 2
3
3) 61+ 2
3
4) 51+
2
= 2 2−3
5
5 +3 5
3
= 22 = 4 ;
3
= 31+ 2 2 − 2 2 = 3 ; 3 ⋅ 9 3 = 61+ 2 3 : 62
2
1− 2
= 51− 2 = 5 −1 =
3
= 61+ 2
3 −2 3
= 6;
1 . 5
127. 1) (а 4 )
−
3 4
⋅ (b
−
2 3 ) −6
= a −3 ⋅ b 4 ;
1
6 4 12 a 2) −3 = a 24b12 b
(
10
3) x 0, 4 ⋅ y1, 2 4) x − 2
2
1 12
)
= a 2b ;
(
= x 0 , 2 ⋅ y 0, 6
1 ⋅ x − 2 −1
)
10
= x2 ⋅ y6 ;
2 +1
= x−2
2
⋅ x2+ 2
2 +1
= x−2
2 + 3+ 2 2
= x3 . 21
128. 4
−
1
2
4 1 −
4
+
2
а 3 (а 3 + а 3 ) а3 3 +а3 3 а + а2 а (а + 1) 1) = 1 3 = = =а; 1 1 1 3 1 + а а +1 1 + − − а 4 а 4 + а 4 а 4 4 + а 4 4 1 b5
2)
⋅ 5 b 4 − 5 b −1
2 b 3 3
=
3 −2 b− b
3)
4)
5 а3 3
1 − ⋅ b −1 − ab 3 3
a2 − b2
1 a3
b 6
1 + b3
=
1 4 + 5
1 1 − 5
b5
−b5
2 1 + b3 3
2 2 − −b3 3
2 2 ab −1 a 3 − b 3 2 a3
2 −b3
1 1 1 1 − a 3b 3 b 2 3
a
a +6 b
=
1 a6
+
=
b −1 = 1; b −1
=
а ; b
1 1 − a2 3
1 + b6
1 1 1 1 a 3b 3 b 6 + a 6 1 1 = = a 3b 3 . 1 1
a6 + b6
129. 5 1 1 1 5 −1 − − − 3 3 3 3 3 3 ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 3 22 − 32 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 = 1) 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 4−9 3 3 = 3 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = −5; 2⋅ 3
(
3 1 3 1 2) 5 4 : 2 4 − 2 4 : 5 4
3) 2
2
2
3 4) (0,5)5
22
+ 3 −5
−
3 +1
(
1 1 54 24 ⋅ 4 1000 = − 3 3 24 54
5 − 4 − 0,3 3
( )
)
3 −1
)
3 5−2 4 = 3; ⋅ 4 10 3 = ⋅ 10 3 10 4
= 22 + 33−1 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13; −3
1
1 = − 42 = 8 − 2 = 6 . 2
130. 1
1
1)
1 a9
3 2)
=
1 a2
1 2 1 1 4 6 6 = a9 a3 = a9+9 = a3 ; ⋅ 6 a3 a = 1 1 1 2 1 −2 1 − − 6 ab − 2 + (ab )− 6 ⋅ ab 4 = a 3 b 3 + a 6 b 6 a 6 ⋅ b 3 = 1 1 a 9 aa 3
1 +b2
= a + b; 1
3)
4)
1 b 12 ⋅ 3
b4 b =
( a + b ) a 3
3
=
( a) +( b) 3
3
3
3
2 3
1 1 b 12 bb 4
1
1 5 1 1 5 3 3 = b 12 b 4 = b 12 ⋅ b 12 = b 2 = b ;
2 + b 3 − 3 ab =
( a + b ) ( a ) + ( b ) 3
3
3
2
3
2
− 3 a 3 b =
= a + b.
131.
1)
2)
x− y 1 x2
1
1 1 1 1 x 2 + y 2 x 2 − y 2 1 1 = x2 − y2 ; = 1 1
+ y2
x2 + y2
1 1 1 1 a 4 − b 4 a 4 + b 4 1 1 a− b = a4 + b4 ; = 1 1 1 1
a4 − b4
3)
1 m2
1 + n2
m + 2 mn + n
a4 − b4 1
=
1
m2 + n2 1 m2
1 + n2
2
=
1 1 m2
1 + n2
;
2
1 c 2 − 1 1 1 2 c − 2c + 1 = c 2 −1 . 4) = 1 c −1 c 2 −1
23
132. 1 1 b b 2 1) 1 − 2 : a −b2 + a a
( a − b) a⋅( a − b) 2
=
1 1 a b 2) a 3 + b 3 : 2 + 3 + 3 = b a
( a + b)= ( a + b)
3
=
ab
3
3
3
1
3)
9
a4 − a4 1 a4
3
2
3
−
5 − a4
b
−
3 1 2
4)
3
1 2b
a− b
−
3
−
=
( a − b)
2
6
1 a4
1 2
a+ b
=
3
1 4
2
(1 − a )
a +a
a −b
3
−
3
a 2 + 23 ab + 3 b 2 3
ab
;
a2 − a
−
( a + b ):
(1 − a )a − (1 − b )b =
− b2
1 b2
1 − a −1b
a −b
=
−
ab
a +3 b
+b = 1 + a − (1 − b) = a + b; a −a
1
1 ; a
=
2
2
2 = 1 − b ⋅ a
−
1 3
1 3b
b
2
(1 + b)b
(a − b )a =
−
1 2
a− b
−
−
1 2
1 2
=
(a − b )a −
1 3
a+ b 3
a
(a − b )(
−
=
a
) ( a − b )(a − b) =
a+ b − a−b
a −b
= a + b − a + b = 2 b.
133. 1)
−
3 a2
a+ b
−
1 ab 2
b− a
2
2a − 4ab
( a + b )( a − b )
=
24
a
2
3 1 − a 2b 2
3 + a2
=
3 a2
−
2
2a − 4ab = a−b
3 a2
a+ b
1 + ab 2
+
1 b2a
a− b
( a − b ) ( a + b )− 2a ( a + b )( a − b )
b + ab − 2a 2 + 4ab 5ab − a 2 ; = a −b a −b
2
−
+ 4ab
=
=
2) =
3xy − y 2 − x− y
y y x− y
3 xy − y 2
(
x− y
)(
y x
−
x+ y
=
x+ y
)
y x
−
x+ y
y y
−
x− y
3 xy − y 2 − y y
(
=
–
)
x+ y −y x x− y
(
x− y
)=
3
3
3xy − y 2 − y 2 x − y 2 − yx + y 2 x 2 xy − 2 y 2 2 y (x − y ) = = = = 2 y; x− y x− y x− y 1
3)
3
3
a +3 b
−
2 a3
3
a+ b 2 +b3
− 3 ab
3
=
2 a3
3
− ab
3
2 +b3
(
− 3 a +3 b a+b
)( a + b ) = 3
3
3
a 2 − 3 ab + b 2 − a 2 − 23 ab − b 2 − 33 ab ; = a+b a+b
=
3
4)
3
a2 − 3 b2 a −3 b
( a − b )⋅ 3
−
3
3
3
3
a−b
−
2
2
a 3 + 3 ab + b 3
a + 3 ab + 3 b 2 3
3
a + ab + b
2
=
( a − b )( a − b ) − 3
3
3
3
a −3 b
= 3 a + 3 b − 3 a + 3 b = 23 b .
134. 1)
(a − b ) 3
a −3 b
−
(
a+b 1
1
3
)
3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 3 a − 3 b = − 3 3 a− b
a3 +b3 3 a 2 − 3 ab + 3 b 2 3 a + 3 b − = 3 a +3 b
(
3
3
3
)
3
= a 2 + 3 ab + b 2 − a 2 + 3 ab − b 2 = 23 ab; 25
2)
a+b 2 a3
1 1 − a 3b 3
2 a3
2 + b3
−
2 + b3
a −b 2 a3
1 1
2
1 1 2 1 1 2 a 3 − a 3b 3 + b 3 a 3 + b 3 − = 2 1 1 2
a 3 − a 3b 3 + b 3 + a 3b 3 + b 3 1 1 2 1 1 2 a 3 + a 3b 3 + b 3 a 3 − b 3 1 1 1 1 1 − = a 3 + b 3 − a 3 − b 3 = 2b 3 ; − 2 1 1 2 a 3 + a 3b 3 + b 3
3)
−
a −b 1
2 2 2 1 1 2 a 3 + b 3 − a 3 + a 3b 3 + b 3 3 = ab ; = a −b b−a
1 1 a3
1 − b3
1
1
a3 −b3 4) + a+b
2
1
1
1
1
1
a 3 − b 3 + a 3 + b 3 23 a . = = a+b a+b
1 2
a 3 − a 3b 3 + b 3
135. 1) 3 3 + 3 4 ≈ 3,02; 2) 3 7 + 5 10 ≈ 2,04; 3) 5 4)
( 2) 3
3
3
≈ 16,24;
≈ 1,49; 5) ππ ≈ 36,46.
136. 1
1
1) 2 3 < 3 3 ; 3) 5
3
<7
3
2) 5
−
4 5
4) 21−
;
<3 2
−
4 5
, т.к.
> 31−
2
,
1 5
5
4
т.к.
<
1 5
1 21
;
34
2
>
1 31
137. 1) (0,88) 5 2) 12 26
1 6
−
1 4
1
1
6 6 > , 11 < (0,41)
−
1
88 6 88 6 6 6 > ,и т.к. > ; 100 11 100 11 1 4
1
,
1
12 100 12 4 100 4 т.к. и < < ; 5 41 5 41
2
.
3) (4,09 )
3
11 4) 12
3 < 4 25
2
− 5
12 > 13
3
2
3 , т.к. 4,09 < 4 ; 25
− 5
,
т.к.
12 13 12 > и 11 12 11
5
13 > 12
5
.
138. 1 5
2x
x
=6 . 1 Тогда 2 x = . 5 1 . Отсюда x = 10 1) 6
3) 7
1− 3 x
2) 3 = 27 ; x
х = 3.
10
=7 .
4) 2
2+ x
2+ x
2 x +1
2 x +1
= 32 , 5
2 =2 . Тогда 2х + 1 = 5, х = 2.
Поэтому 1 – 3х = 10, х = – 3. 5) 4
3
3 =3 ;
1 6) 5
=1; 0
4 x −3
=5,
53− 4 x = 5 ,
4 =4 . Поэтому 2 + х = 0,
3 – 4х = 1, 1 x= . 2
х = – 2. 139. 1)
7
2
2
2
2
2
3− 2 17 1 1 − =7 = ; 2 3 6 6 2
1 7 1 1 4−3 7 − =7 = 3 4 12 12 т.к.
1 1 2 > , а > 0, 6 12 7
то
7
2
2
1 1 1 1 − >7 − . 2 3 3 4 27
2)
5
1 1 1 − 1 5 4
3
3
и
5
1 1 1 − 1 ; 7 6
3
3
3
1 1 5 1 25 − 24 1 − 1 = 5 = ; 4 5 20 20
5
3
3
3
1 1 49 − 48 1 5 1 − 1 = 5 = ; 7 6 42 42
5
т.к.
1 1 3 > , а > 0, 20 42 5
то
5
3
3
1 1 1 1 1 − 1 > 5 1 − 1 . 5 7 4 6
140. 1) 3 2) 3
2− y
= 27 , 3
5− 2 x
=1; 3
3)
1 x −1 92
4)
1 3− y 27 3
2− y
5− 2 x
−3 = 0 ;
3
= 3 . Тогда 2 – у = 3 и у = – 1. 0
= 3 . Поэтому 5 – 2х = 0 и х = 2,5.
1 x −1 92
− 81 = 0 ;
=3;
1 3 3− y 3 3
1 2 x −1 2 3
= 3 . Тогда х – 2 = 1 и х = 3.
= 3 4 . Тогда 9 – у = 4 и у = 5.
141. 1 1) 9
2 x −5
=3
5 x −8
−2 ; 3
2 x −5
=3
5 x −8
;
3−4 x +10 = 35x −8 .
Тогда 10 – 4х = 5х – 8, 9х = 18 и х = 2. x−4
1 = ; 2 4 x −9 = 2 − x + 4 . 2 Поэтому 4х – 9 = – х + 4, 5х = 13 и х = 2,6. x x +13 1 3) 8 ⋅ 4 = ; 16 23x ⋅ 22 x + 26 = 2−4 . Тогда 3х + 2х + 26 = – 4, 5x = – 30; х = – 6. 2) 2
28
4 x −9
25 x − 2
4)
1 = 5
5
2 x −4−
x − 7 ,5
;
1 − +
2 = 5 x 7 ,5 . 5 Тогда 2х – 4,5 = – х + 7,5, 3х = 12 и х = 4.
142. 1 1) 3 (3 3
−
2 x +1
1 2 ) 2 x +1
− x−
1 2
=3
( )
x
= 3 3 , 3
2)
x
= 32 , 3x 2
Тогда − x −
2
3) 9
(3 )
2 3х+ 4
x −1 3
2x
,
4x
=23 . х −1 4 = x, 3 3
.
Поэтому
1 3 = x, 2 2
х – 1 = 4х,
– 2,5х = 0,5 1 и x=− . 5 3x+4
( 2)
2 = 3 2
x −1
3
3х = – 1 и x=−
⋅ 3=
27
x −1
3
( )
⋅ 3 = 33
,
х −1
4) 2
,
1 . 3
8
( 2)
х
3
1 х 22
=4
3 х−2
2, 1
= 2 2(3 х
− 2)
⋅22 .
1 1 х = 2 (3 х − 2 ) + , 2 2 1 1 6 х=6 2 2 и х = 1.
36х + 8 + 1 = 33х – 3.
Тогда 3 −
Тогда 6х + 9 = 3х – 3, 3х = – 12 и х = – 4. 143. 2
1) log 7 49 = log 7 7 = 2 ; 1 3) log 1 4 = log 1 2 2 2
6
2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ;
−2
= −2 ;
4) log 3
−3 1 = log 3 3 = −3 . 27
29
144. 1) lg23 ≈ 1,4; 2) lg131 ≈ 2,1; 3) 40lg2 ≈ 12; 4) 57lg3 ≈ 27,2. 146. 1+ lg 7 , x ≈ 0,92; 2
1) 102x – 1 = 7, 2x – 1 = lg7, x = 2) 101 – 3x = 6, 1 – 3x = lg6, 1+ lg 6 x= , x ≈ 0,07. 3 146. 4
2
2
625 100 25 1) (0,175)0 + (0,36)− 2 − 1 3 = 1 + ; −1 = = 36 9 81 1
1 3
1000 3 2) 1−0,43 − (0,008) + (15,1) = 1 − +1 = 8 = 2−3
0
103 10 = 2 − = −3 ; 2 23 1
−2
2
1 25 1 4 1 3 5 +4= − +4= 3) − + 4 ⋅ 379 0 = − 3 5 27 4 27 16 3 25 11 251 11 ; = + = =5 16 3 48 48 4) (0,125) =
−
1 3
2
3 + − (1,85)0 = 4
1 3
0,125
+
9 1 9 −1 = + −1 = 16 0,5 16
9 9 + 2 −1 = 1 . 16 16 147.
(
)
1) 9,3 ⋅ 10−6 : 3,1 ⋅ 10−5 = −6
9,3 ⋅ 10−6 3,1 ⋅10
−5
= 3 ⋅ 10−1 = 0,3 ;
7
2) 1,7 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 = 5,1 ⋅ 10 = 51 ; 3) 8,1 ⋅ 1016 ⋅ 2 ⋅ 10−14 = 16,2 ⋅102 = 1620 ;
(
)
4) 6,4 ⋅10 5 : 1,6 ⋅10 7 = 30
6,4 ⋅10 5 1,6 ⋅10
7
=
4 10 2
= 0,04 ;
−1
−2
3
1 1 1 1 5) 2 ⋅10 −1 + 6 0 − ⋅ ⋅ ⋅ − 6 3 3 4 1 2 ⋅ (−4) ⋅ 3 1 8 7 = + = − = − = 1,4; 5 5⋅3 5 5 5 1 6) 3 ⋅10 −1 − 8 0 − 8 3 2 3−4 = − = = −0,1. 10 5 10
−1
1 ⋅ 4
−3
4
1 5 ⋅ ⋅ 4 7
−1
=
−1
=
1 6 32 + ⋅ ⋅ (− 4 ) = 5 5 33
3 8 1 7 − ⋅ ⋅ = 10 7 4 5
148. −2
1 5 2 5 х3 ⋅ х6 х6 ⋅ х6 1) 1 = 1 х6 х6 7 1 81 32 = =1 ; при x = 9 x 2 49 49 2 1 а3 ⋅ а9 2) − 2 а9
−3
−2
6 1 а9 ⋅ а9 = −2 а9
при a = 0,1, a3 = 0,001,
1 a3
7 х6 = 1 х6
−2
= х−2 =
−3
7 2 = а9 ⋅ а9
1 х2
,
−3
= (а )−3 =
1 , а3
= 1000.
149.
( 125х − 8х )− ( 27х − 64х ) = (5 х − 2 х )− (3 х − 4 х ) = 4 2) ( х + 16 х )+ ( 81 х − 625 х ) =
1)
3
3
4
=
4
4
3
3
4
х + 2 4 х + 34 х − 5 4 х =
3
3
3
3
3
х;
4
4
х;
3 + 1 − а 2 1 + а 2 3 3 + 1− а = + 1− а : =1; 3) 1+ а 1+ а 1 + а 3 + 1 − а 2 х2 − у2 − х х 1 : х2 − у2 − х = . 4) 1 − = 2 2 2 2 2 2 2 2 − − х у х у х у х у х − − −
31
150. 1) 7
5 х −1
= 49 ; 7
5 х −1
2
=7 .
Тогда 5х – 1 = 2; 5х = 3 и х =
3 . 5
2) (0,2)1− х = 0,04 ; (0,2)1− х = (0,2)2 . Поэтому 1 – х = 2 и х = – 1. 1 3) 7
3 х +3
2х
=7
; 7
−3 х − 3
=7
2х
.
Значит, – 3х – 3 = 2х; – 5х = 3 и х = –
3 . 5
2х
−2 х 5 х −7 1 =3 . = ; 3 3 Отсюда, 5х – 7 = – 2х; 7х = 7 и х = 1.
4) 3
5 х −7
Проверь себя 1. 3
1) 3 2) 3) = 5+
5
−5
:3
−7
−2
310 ⋅ 32 −
3 25 2
⋅ 25
−1
−2
3 3
+
2 −1 2 2 27 3 3 ⋅ 2 + = 3 − 2 + = 9−4+3 =8 ; 3 8 8 8 4
48
= 3 2 ⋅ 2 − 3 8 = 18 − 2 = 16 ;
3
2⋅ 3 2 53 3
( )
:5
3
2 − 48 3
2 :63
= 25 + 5
−1
2 −83
=
1 − 4 = 1,2. 5
2. 8600 = 8,6 ⋅ 103;
0.0078 = 7,8 ⋅ 10 – 3;
1) 8,6 ⋅ 103 ⋅ 7,8 ⋅ 10 – 3 = 67,08;
2) 8,6 ⋅ 103 : 7,8 ⋅ 10 – 3 =
6 43 ⋅10 . 39
3. 1) 32
(
3 х −9 ⋅ 2 х5 = 6 ; 2) х−1 + у−1 х−4
−2
)⋅ ху1
=
у+х ⋅ (ху)2 = (х + у)ху . ху
4. 5
5
а3 3 3
= а3 ⋅ а
−
2 3
⋅a
−
3 4
= а⋅а
−
3 4
1−
=а
3 4
1
1
= а 4 ; при а = 81, то a 4 = 3 .
а2 ⋅ а 4
5. 2
2
а) (0,78) 3 > (0,67 ) 3 , т.к. 0,78 > 0,67, и показатель степени
2 > 0; 3
1 1 1 б) (3,09)− 3 < (3,08)− 3 , т.к. 3,09 > 3,08, и показатель − < 0. 3
151. −
3
1
1
1
3 3 1 4 19 5 243 5 3 1) + 100004 − 7 = (16)4 + 10 − = 2 + 10 − = 16 32 32 2 3 = 8 + 10 − = 16,5; 2
2) (0,001)
−
1 3
−2
−2
2 ⋅ 64 3
−8
−1
1 3
1 = 1000 3
4
1 13 − ⋅ 3 64 2 − = 4 8
4
= 10 −
3)
16 3 1 1 15 − = 10 − 4 − =5 ; 4 16 16 8 2 273
− (− 2)
−2
4) (− 0.5)
−4
= 16 − 625 −
−
3 + 3 8
1 3
5 1 2 1 8 3 = 272 − + 3 =9− + =9 ; 4 3 12 4 27
1 − 625 − 2 4
−1
1 2
3
4 = 16 − 625 − = 9
8 8 = −609 . 27 27
152. 4
1) х 2 − 4 – имеет смысл, если выполнено х2 – 4 ≥ 0, т.е. (х – 2)(х + 2) ≥ 0. Ответ: х ∈ (−∞; − 2]U [2; + ∞ ) . 33
3
2) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл для любого х. Ответ: х ∈ ( −∞;+∞) . х−2 х−2 ≥ 0 , при этом х + 3≠0 – имеет смысл, если х+3 х+3 т.е. х≠ – 3. 3)
6
Ответ: х ∈ (−∞; − 3)U [2; + ∞ ) . 4
4) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл, если х2 – 5х + 6 ≥ 0, тогда (х – 3)(х – 2) ≥ 0.
Ответ: х ∈ (−∞; + 2]U [3; + ∞ ) . 8
– имеет смысл, если х3 – х ≥ 0, поэтому 5) х 3 − х х(х – 1)(х + 1) ≥ 0.
Ответ: х ∈ [−1; 0]U [1; + ∞ ) 6
6) х 3 − 5 х 2 + 6 х – имеет смысл, если х3 – 5х2 + 6х ≥ 0, тогда х ⋅ (х – 3)(х – 2) ≥ 0.
Ответ: х ∈ [ 0; 2]U [3; + ∞ ) . 153. 1
1)
а4 − а 1 а4
а3 − а 1
а3 − а 34
7 4
3 − −а 4
4
2)
−
− −
2 3 2 3
=
=
а
−
7 4
(а − 1) = а 2
3 − а 4
а
−
а
2 3
−
(а − 1)
−1
(а + 1)(а − 1) = а + 1 = 1 + 1 ; (а − 1)
а
(а − 1) = (а + 1)(а − 1) = а + 1 ;
2 3
2
(а − 1)
(а − 1)
a
5
3)
4)
3 b4
a a
=
1 a3
1
b 4 + 2b 4 + b
3 4
=
1 − +b 4
−
4 3 b −2
−
5 3 b −2
1 +b3
−
− a −2 b − a −2 b
−
4 3
−
5 3
b
−
3 4
(b
)=
2
1 − b 4
(b + 1) 2
=
1 a − 2 b − 2 (a 3
a3 a b
ab
−1
−1 3
− a b −1
− a b
b
=
a b
4
a − b =
2
1
a − 2 b − 2 (a 3 − b 3 ) 1 −b3
=
1
1
1
( a 3 + b 3 )( a 3 − b 3 ) 1 a3
)
1 −b3
=
= 3 a + 3 b;
3 −1
5)
(b + 1)2 = b + 1 ; b (b + 1) b
+ 2b + 1
b3
−
a b
−
=
a
4
ab a2 − b2
a4 − b4
=
=
a2 − b2
ab
=
2
a − b 2 (a + b)(a − b) = = a + b; a−b a−b 6)
3 1 − 4 a b 4 1 1 − a 4b 4
−a +a
−
1 3 4b 4
−
1 1 4b 4
=
a
−
1 1 − 4b 4
(a − b )
1 1 1 − − 4 4 a b a2
1 + b2
=
( a + b )( a − b ) = a+ b
= a − b; 1
−2
1 + ab 4 a 3b − 4 ab3 b 2 ⋅ 1 + + 2 b = 7) 4 + a ab b − a a
(
)(
) (
4 3 4 3 4 1 + ab b − a + ab a b − ab = 4 ab ⋅ b − a a+ b = ab ⋅ = a + b ⋅ b; a
(
)
)
−2
1 2 2 b = ⋅ 1 + a
35
3 3 a+b ab 2 − a 2b + 8) 3 2 3 2 3 2 3 a − 23 ab + b 2 a − b
=
( a + b ) a − ab + b ( a − b )( a + b ) 3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
+
3 3 a 2 − 3 ab + 3 b 2 ab : = − 3 3 a −3 b a − 3 b 3
= =
36
3
a 2 − 23 ab + b 2 3
a −3 b
3
a −3 b
6
a −6 b
=
( a+ 6
6
6
3
:
( a − b )= 6
6
( b − a ) : ( a − b ) = ( a − b ) ab
3
3
3
6
2
3
( a − b )= 6
6
( a − b) = : ( a − b )= ( a − b )( a − b ) b )( a − b ) = a+ b. 6
6
a −6 b
3
6
6
3
3
3
6
6
6
2
6
6
154. Vk = a3; 4 3 Vш = π ⋅ R , 3 если Vk = Vш = 100cm3; Vш 3V 300 =3 ш =3 ≈ 2,88; 4 4π 4π π 3 2R = 5,74, 2R > a, следовательно, шар не поместится в куб, т.к. диаметр шара больше ребра куба. a = 3 V k = 3 10 2 ≈ 4,64 см; R =
3
155. T = 2π
0,185 0,185 l ≈ 2π ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ ≈ 0,86c. 9,8 9,8 g
156. а) у(х) = х2 – 4х + 5, у(– 3) = (–3)(–3) – 4(–3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26, у(– 1) = (–1)(–1) – 4(–1) + 5 =1 + 4 + 5 = 10, у(0) = 0 – 0 +5 = 5, у(2) = 22–4 ⋅ 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1; б) пусть у(х) = 1, значит х2 – 4х + 5 = 1, 2 х – 4х + 4 =0; (х – 2)2 = 0, тогда x – 2 = 0, x = 2, пусть у(х) = 5, значит х2 – 4х + 5 = 5; х2 – 4х = 0, х(х – 4) = 0, тогда х1 = 4; х2 = 0, если у(х) = 10, то х2 – 4х + 5 = 10, х2 – 4х – 5 = 0, тогда х1 = 5, х2 =–1, если у(х) = 17, то х2 – 4х – 5 = 17, х2 – 4х – 12 = 0, тогда х1=6, х2=–2. 157. х+5 ; х −1 3 1) у (−2) = = −1, −3 1 5.5 у = = −11, 2 − 0.5 у ( х) =
2) если у(х) = –3, то
5 = −5, −1 3+5 8 у (3) = = = 4; 3 −1 2
у (0) =
х+5 = −3 ; х −1 35
х + 5 + 3х – 3 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 4 x = −2 , x ≠ 1 тогда х = −
1 , 2
х+5 = −2 , х −1 х + 5 + 2х – 2 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 3х = –3, x ≠ 1, значит, х = –1, х+5 = 13 , если у(х) = 13, то х −1 х + 5 – 13х +13 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –12х = –18, x ≠ 1, значит, х = 1,5, х+5 = 19 , если у(х) = 19, то х −1 х + 5 – 19х +19 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –18х = –24, x ≠ 1, 4 поэтому, х = . 3
если у(х) = –2, то
158. 2 1) у = 4 х − 5 х + 1, х ∈ (-∞; ∞) ; 2) у = 2 – х – х2, х ∈ (-∞; ∞) ;
2х − 3 , x ≠ 3, х ∈ ( −∞; 3) U (3; + ∞) ; х −3 3 , x 2 ≠ 5, х ∈ (−∞;− 5 ) U (− 5 ; 5 ) U ( 5 ; ∞) ; 4) у = 5 − х2 3) у =
5) у = 4 6 − х , 6 − x ≥ 0, х ∈ (−∞;6] ; 6) у =
1 , x + 7 > 0, x ∈ (−7; ∞) . х+7
159. 1) у = 36
2х 2
х − 2х − 3
, х 2 − 2 x − 3 ≠ 0;
т.е. ( x − 1)( x − 3) ≠ 0; значит x ≠ 1, x ≠ 3 , х ∈ (−∞; 1) ∪ (1; 3) ∪ (3; ∞); 6
2) у = х 2 − 7 х + 10 , тогда х2 – 7х + 10 ≥ 0, (x–2)(x–5) ≥ 0, х ∈ (−∞; 2]∪ [5; + ∞ ) ; 8
2
3) у = 3 х − 2 х + 5 , значит, 3х2 – 2х + 5 ≥ 0. Найдем корни уравнения 3х2 – 2х + 5 = 0: D = 1 − 15 = −14 < 0 , корней нет, поэтому т.к. 3>0 – ветви вверх, 4 значит, 3х2 – 2х + 5 > 0, для любого х , х ∈ (-∞; ∞) , 2х + 4 2х + 4 ≥ 0, , тогда 3− х 3− х при этом 3–х≠0; х≠3; –2≤х<3, 4) у = 6
х ∈ (−2; 3) . 160. у(х) = |2 – x| – 2; 1) у(–3) = |2 + 3| – 2 = 5 – 2 = 3, у(–1) = |2 + 1| – 2 = 3 – 2 = 1, у(1) = |2 –1| – 2 = 1 – 2 = –1, у(3) = |2 – 3| –2 = 1 – 2 = –1, 2) если у(х) = –2, то |2 – x| – 2 = –2, |2 – x| = 0 и х = 2, если у(х) = 0, то |2 – x| – 2 = 0, |2 – x| = 2, 2 – х = 2 или –2 + х = 2, тогда х1 = 4; х2 = 0, если у(х) = 2, то |2 – x| – 2 = 2, |2 – x| = 4, 2 – х = 4 или –2 + х = 4, значит х1 = –2; х2 = 6, если у(х) = 4, то |2 – x| – 2 = 4, 37
|2 – x| = 6, 2 – х = 6 или –2 + х = 6, поэтому, х1 = 8; х2 = –4. 161. 1) у =
х−2 х−2 ≥ 0 , х+3≠0; х≠–3 ; , значит, х+3 х+3
х ∈ (−∞; − 3) ∪ [2; ∞ ); 2) у = 4 (х − 1)(х − 2 )(х − 3) ; (х – 1)(х – 2)(х – 3) ≥ 0, х ∈ [1;2]∪ [3; + ∞ ) ; 3) у = 3
1− х , тогда 1+х ≠ 0; х ≠ – 1, х ∈ (−∞; − 1) ∪ (−1; ∞); 1+ х
4) у = (х + 1)(х − 1)(х − 4 ) ; (х + 1)(х – 1)(х – 4) ≥ 0 х ∈ [−1; 1]∪ [4; + ∞ ) ; 5) у = 8
х 2 + 4х − 5 , х−2
х 2 + 4х − 5 ≥0, х−2 х–2 ≠ 0; х≠2 ( x − 1)( x + 5) ≥ 0, x ≠ 2, x−2
тогда
х ∈ [−5; 1]∪ (2; + ∞ ) ; х ≥ 0 6) у = 6 х + 1 + х , тогда 1 + х ≥ 0 38
х ≥ 0 , x ≥ 0, х ≥ −1
х ∈ [0; + ∞ ) . 162. 1) у = 3х2 + 2х + 29. Подставим координаты М (–2; 1), 1 = 3 ⋅ 4 – 4 + 29, 1 ≠ 37, значит, не принадлежит; 2) у = |4 – 3x| – 9, М (–2; 1), 1 = |4 + 6| – 9, 1 = 1, значит, принадлежит; 3) у =
х2 + 3 , х −1
7 4+3 ;1≠– , 3 − 2 −1 значит, не принадлежит; М (–2; 1); 1 =
4) у =| 2 − x − 5 | −2 , М (–2; 1), 1 = | 2 − 2 − 5 | −2 , 1 = | 2 − 5 | −2 , 1 = 3–2, 1 = 1, значит, принадлежит. 163. 1) у = |x + 3| + 2, х + 5, х ≥ −3 ; у= − х − 1, х < −3
−x, х ≥ 0 2) у = – |x|, у = ; х, х < 0
39
3) у = 2|x| + 1,
1 2 х, х ≤ 2 ; 4) у = 1 – |1 – 2x|, у = − 2 х + 2, х > 1 2
2 х + 1, х ≥ 0 у= ; − 2 х + 1, х < 0
5) у = |x| + |x – 2|, −2 х + 2, х < 0 у = 2, 0≤ x≤2; 2 х − 2, х > 2
40
6) у =| x + 1 | − | x | , х < −1 −1, у = 2 х + 1, 1 ≤ x < 0 . 1, х≥0
164. 1) у = 2х + 3,
2) у = 1 – 3х,
у возрастает, если х ∈ (–∞;+∞); y убывает, если х ∈ (–∞; ∞); 3) у = х2 + 2,
4) у = 3 – х2,
y возрастает, если х ∈ (0; +∞;), y возрастает, если х ∈ (–∞; 0), у убывает, если х ∈ (–∞; 0); у убывает, если х ∈ (0; +∞); 6) у = (2 + х)2, 5) у = (1 – х)2,
y возрастает, если х ∈ (1; +∞;), у убывает, если х ∈ (–∞; 1);
у возрастает, если х ∈ (–2; +∞), y убывает, если х ∈ (–∞; –2);
166. 41
3
−
3 4
1) у = х 7 .
2) у = х
Ответ: возрастает.
Ответ: убывает.
3) у = х −
4) у = х
2
.
Ответ: убывает.
3
.
.
Ответ: возрастает.
167. 1
1
1) х 2 = 3 ;
2) х 4 = 2 ;
х = 32 = 9;
х = 24 = 16;
4) х
−
1 4
5
=2;
х = 2–4 =
1 ; 16
5) х 6 = 32 ;
168. у=4 х ; а) при у = 0,5; х≈0,6, 42
5
х= 32 6 = 2 6 =64;
−
1 2
−
4 5
= 3; 1 х = 3–2 = ; 9 3) х
6) х
= 81 ; 5
1 1 х= 4 81−5 = = . 3 243
при у = 1; х = 1, при у = 4; х = 256, при у = 2,5; х≈39; б)
4
1,5 ≈ 1,2 ,
4
2 ≈ 1,3 ,
4
2,5 ≈ 1,4 ,
4
3 ≈ 1,5 .
169. 4
6
4 х 3 = 625; 6 х 5 = 64; 5; у = х3 ; = у х 3 3 5 5 х = (625) 4 = (5 4 ) 4 = 5 3 ; 2) 1) х = 64 6 = (2 6 ) 6 = 2 5 ; у = 625; х = 125. у = 64; х = 32. Ответ: М (125, 625). Ответ: М (32, 64). 7
3
7 3 х 3 = 128; х 2 = 216; 3 2 у = х ; у = х ; 3 3 2 2 7 7 3 3 2 7 3 4) 128 ( 2 ) х = = = 23 ; 3) х = 216 = (6 ) = 6 ; у = 216; х = 36. у = 128; х = 8.
Ответ: М (36, 216). Ответ: М (8, 128). 170. 2
1) у = х +
х +1 1 1 = 1 ; ; пусть х1 < х2, у1 = х1 + х х1 х1
у 2 = х2 +
х +1 1 = 2 ; х2 х2
у1 − у 2 =
х12 + 1 х 22 + 1 х12 ⋅ х 2 + х 2 − х 22 ⋅ х1 − х1 − = = х1 х2 х1 ⋅ х 2
2
=
х1 ⋅ х 2 (х1 − х 2 ) − (х1 − х 2 ) (х1 − х 2 )⋅ (х1 ⋅ х 2 − 1) , = х1 ⋅ х 2 х1 ⋅ х 2
при х1, х2 > 0, но х1, х2 < 1, имеем х1 – х2 < 0, х1 ⋅ х2 > 0, х1 ⋅ х2 – 1 < 0 (х − х 2 )(х1 ⋅ х 2 − 1) > 0 , поэтому у1 > у2 тогда 1 х1 ⋅ х 2 43
Тогда т.к. х1 < х2, а у1 > у2, функция убывает на интервале 0 < x < 1. 1 2) у = 2 ; у возрастает при х ∈ ( – ∞; 0], х +1 у убывает при х ∈ [0; + ∞).
3) у = х3 – 3х. Пусть х1<х2 и х1, х2≤ – 1, значит у1 = х13 − 3х1 ; у 2 = х 23 − 3х 2
(
)
Тогда у1 − у2 = х13 − 3 х1 − 3 х2 = х13 − х23 − 3(х1 − х2 ) =
= (х1 −
)(
х2 х12
+ х1х2 +
х22
)− 3(х − х ) = (х − х )(х 1
2
1
при х1 ≤ – 1, х2≤ – 1, имеем 2 х1
2 1
2
2 х1
)
+ х1х2 + х22 − 3 < 0
+ х1 х 2 +
2 х2
≥ 3 , поэтому
2 х2
+ х1 х 2 + − 3 ≥ 0 , значит, т.к. х1<х2 и у1<у2, то у возрастает при х≤ – 1, и х ≥ 1 и убывает при – 1 ≤ x ≤ 1 . 4) у = х − 2 х ; пусть х1<х2 и х1, х2 ≥ 1, тогда
( х )(
) (x− − 2) < 0,
у1 − у 2 = (х1 − х 2 ) − 2 х1 − х 2 =
(
) (
− 2 x1 x2 =
х1 −
2
х1 + х2
1
x2
)(
)
x1 + x 2 −
при х1 ≥ 1, х2 ≥ 1, имеем: х1 ≥ 1, х 2 ≥ 1 , значит, х1 + х 2 ≥ 2 поэтому, т.к. х1<х2 и у1<у2, то у возрастает при х≥1, убывает при 0≤х<1. 171. х + 2, х ≤ −1 1) у = 2 ; х , х > −1 y возрастает при x ∈ ( – ∞ , – 1] U [0, + ∞ ), y убывает при x ∈ [ – 1,0]. 44
х 2 , х ≤ 1 ; 2) у = 2 − х 2 , х > 1 y возрастает при x ∈ [0,1], y убывает при x ∈ ( – ∞ ,0] U [1, + ∞ ).
172. 1) у = 2х4 – четная, т.к. у( – х) = 2( – х)4 = 2х4 = у(х); 2) у = 3х5 – нечетная , т.к. у( – х) = 3( – х)5 = – 3х5 = – у(х); 3) у = х2 + 3 – четная , т.к. у( – х) = ( – х)2 + 3 = х2 + 3 = у(х); 4) у = х3 – 2 – не является ни четной, ни нечетной, т.к. y( – x) = ( – x)3 – 2 = – x3 – 2 ≠ – x3 + 2 = – y(x), y( – x) = – x3 – 2 ≠ x3 – 2 = y(x). 173. 1) у = х – 4 – четная; 2) у = х – 3 – нечетная; 4 2 4) у = х3 + х5 – нечетная; 3) у = х + х – четная; –2 5) у = х – х + 1 – ни чётная ни нечётная; 1 6) у = – ни чётная ни нечётная. х +1 174. 1) у = х4;
2) у = х5;
3) у = – х2 + 3;
4) у = 5 х .
45
1 –1 –1
1
175. х+2 ; х−3 − х + 2 − ( х − 2) х − 2 у (− х) = ; = = − х − 3 − ( х + 3) х + 3 поэтому у(х) ни четная, ни нечетная. х 2 + х −1 2) у(х) = ; х+4 1) у ( х ) =
х 2 − х −1 х 2 − х −1 ; = −х+4 − ( х − 4) значит у(х) ни четная, ни нечетная. у( – х) =
у(х)≠у( – х), у(х)≠ – у( – х),
у(х)≠у( – х), у(х)≠ – у( – х),
176. 1) у = х4 + 2х2 + 3 – четная; 2) у = х3 + 2х + 1 – ни четная, ни нечетная; 3 3) у = 3 + 3 х , х 3 3 + 3 − х = − 3 + 3 х = – y(x), т.е. нечетная; у( – х) = 3 −х х 4 4) у = х + |x| – четная; 5) у = |x| + x3 – ни четная, ни нечетная; 6) у = 3 х − 1 – ни четная, ни нечетная. 177. 1) у = х2 – 2|x| + 1; 2 х − 2 х + 1, х ≥ 0 у= ; х 2 + 2 х + 1, х < 0 46
2) у = х2 – 2|x|; 2 х − 2 х, х ≥ 0 у= . х 2 + 2 х, х < 0
178. 1) у = x|x| – 2x; х 2 − 2 х х ≥ 0 у= ; − х 2 − 2 х, х < 0
2) у = x|x| + 2x; х 2 + 2 х, х ≥ 0 у= . − х 2 + 2 х, х < 0
179. 1) у = х − 5 ;
2) у = х + 3 ;
определена при х – 5≥0, х≥5;
определена при х≥0;
у = х − 5 – ни четная,
у = х + 3 – ни четная, 47
ни нечетная; у возрастает, если х≥5; 3) у = х4 + 2; определена при любом х; у = х4 + 2 – четная; у убывает, если х∈( – ∞; 0); у возрастает, если х∈(0; + ∞);
5) у = (х + 1)3; определена при х∈( – ∞; ∞); у = (х + 1)3 – ни четная, ни нечетная; у возрастает при всех х;
ни нечетная; у возрастает, если х≥0; 4) y = 1 – x4; определена при х∈( – ∞; ∞); у = 1 – х4 – четная; у возрастает, если х∈( – ∞; 0); у убывает, если х∈(0; + ∞);
6) у = х3 – 2; определена при х∈( – ∞; ∞); у = х3 – 2 – ни четная, ни нечетная; у возрастает при всех х.
180. х 2 , если х ≥ 0 ; 1) у = х 3 , если х < 0
48
х 3 , если х > 0 2) у = ; х 2 , если х ≤ 0
а) у>0, если х>0; а) у>0, если х≠0; б) у возрастает, если х∈( – ∞; ∞); б) у убывает, если х∈( – ∞; 0); у возрастает, если х∈(0; + ∞). 181. 1) у = х; х > 0;
а) пусть у – четная, тогда у = |x|; 2) у = х2; x > 0;
а) пусть у – четная, тогда у = х2; 3) у = х2 + х; x > 0;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x|;
49
а) пусть у – четная, тогда у = х2 + |x|; 4) у = х2 – х; x > 0;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| + х;
а) пусть у – четная, тогда у = х2 – |x|;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| – х.
182. 1) у = (х + 1)6; ось симметрии: х = – 1; 2) у = х6 + 1; ось симметрии: х = 0. 183. 1) у = х3 + 1 центр симметрии: т.М (0,1); 2) у = (х + 1)3 центр симметрии: т.М ( – 1,0). 184. у=
2 ; х
1) у(х) = 4, если х =
1 ; 2
1 , если х = – 4; 2 3) у(х)>1, если 0<x<2; 4) у(х)≤1, если х<0 и х≥2. 2) у(х) = –
50
185. 1 ; у = х; х 1) в точках А(1; 1) и В( – 1; – 1); 1 2) график функции у = лежит х выше, чем график у = х, если х< – 1 и 0<x<1, и ниже, если – 1<x<0 и x>1. у=
186. 8 12 у = − у = 1) х , точки ( 2;−4); ( −2;4) ; х , точки ( 2;6); ( −2;−6) ; 2) у = −2 х у = 3 х 6 2 у = у = − − 3) , точки ( 2 ; 1 ); ( 1 ; 2 ) ; 4) х + 1 , точки (1;3); ( −4;−2) . х у = х − 1 у = х + 2 187. 1) у =
3 ; у = х + 1; х
2) у = −
3 ; у = 1 – х; х
у=х+1
А(1,2;2,2) В( – 2,2; – 1,2)
3) у =
2 ; у = х2 + 2; х
С( – 1,2;2,3) D(2,3; – 1,2)
4) у =
1 ; у = х2 + 4х. х
В(0,5; 1,8) С( – 0,5; – 2) А( – 3,8; – 0,2
51
188. V=
12 ρ
12 = 3 (л.); 4 12 2 = 2 (л.); V (5) = 5 5 12 1 V (10) = = 1 (л.); 10 5 3)
1) V (4) =
12 12 , ρ = , ρ = 4 (атм); 3 ρ 12 2 12 , ρ = , ρ = 2 (атм); 5= 5 5 ρ 4 12 12 , ρ = , ρ = (атм). 15 = 15 5 ρ 2) 3 =
189. 6 U I= ; I= ; R R 1) R =
6 = 0,6 (Ом); 10
6 1 = 1 (Ом); 5 5 6 = 5 (Ом); R= 1,2 R=
6 = 1 (А); 6 6 1 = (А); I= 12 2 6 3 I= = (А). 20 10
2) I =
I
R
52
190. v2 60 2 ; ay = = 24000 км/ч 2 , r 0,15 ау уменьшится, если увеличится радиус. ау =
191. 1) у =
3 −2; х
2) у =
2 +1; х
3) у =
2 −1 ; х+2
4) у =
2 +1. 1− х
192. 1) х7 > 1, тогда х > 1. Ответ: х ∈ (1; ∞). 3) у3 ≥ 64; у3 ≥ 43, поэтому у ≥ 4. Ответ: у ∈ [4; + ∞).
2) х3 ≤ 27, значит, х3 ≤ 33, x ≤ 3. Ответ: х ∈ ( – ∞; 3]. 4) у3 < 125; у3 < 53, значит, у < 5. Ответ: у ∈ ( – ∞; 5). 53
5) х4 ≤ 16; (х2 – 4)(х2 + 4) ≤0, значит, (х – 2)(х + 2)(х2 + 4)≤0.
6) х4 > 625; (х2 – 25)(х2 + 25) >0, тогда (х – 5)(х + 5)(х2 + 25)>0.
Ответ: х∈[ – 2; 2].
Ответ: x∈( – ∞; – 5)∪(5; + ∞).
193. 1) S = а2, и а2 > 361 а – сторона квадрата, значит, а>0;
а2 – 361 > 0, (а – 19)(а + 19) > 0, a>0.
2) V = а3, т.е. а – ребро куба, тогда a>0
Ответ: а > 19(см). а3 > 343; а 3 > 7 3; а > 7, значит a>7(см). Ответ: а > 7(см).
194. х −3 = 2;
1)
2)
7−3 = 2;
х 2 − 13 − 2 х − 5 = 3 ;
49 − 13 − 14 − 5 = 6 − 3 = 3 ,
4 = 2, значит, 7 – корень;
поэтому 7 – корень.
195. 1) х = 3 ; х = 32 = 9;
2) х = 7 ; х2 = 72 = 49;
3) 2 х − 1 = 0 ; 4) 3 х + 2 = 0 ; 2x – 1 = 0; 3x + 2 = 0; 1 2 х= ; х=− . 2 3
196.
54
1) х + 1 = 2 по О.Д.З. х + 1 = 4; х ≥ – 1, х = 3 входит в О.Д.З.;
2) х − 1 = 3 по О.Д.З. х – 1 = 9; х ≥ 1, х = 10 входит в О.Д.З.;
3) 1 − 2 х = 4 , по О.Д.З. 1 1 – 2х = 16; х ≤ ;– 2х = 15; 2 х = – 7,5 входит в О.Д.З.;
2 х − 1 = 3 , по О.Д.З.; 1 2х – 1 = 9; х ≥ ; 2х = 10; 2 х = 5 входит в О.Д.З.
4)
197. х ≥ −1 х + 1 = 2 х − 3 по О.Д.З. x ≥ 1,5; х ≥ 1,5 х + 1 = 2х – 3; х = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4.
1)
2)
х − 2 = 3 х − 6 по О.Д.З. х ≥ 2
х − 2 = 3(х − 2 ) х = 2 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2. 3) х 2 + 24 = 11х по О.Д.З. х ≥ 0; х2 + 24 = 11х х2 – 11х + 24 = 0, x1 = 3 и x2 = 8 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 8. х 2 + 4 х = 14 − х х ≤ 14 х ∈ (−∞;−4] ∪ [0;14] ; по О.Д.З. 2 х + 4 х ≥ 0
4)
х2 + 4х + х – 14 = 0; х2 + 5х – 14 = 0, x1 = 2 и x2 = – 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 2; х2 = – 7. 198. 1) х + 2 = х2 по О.Д.З х ≥ 0; х2 – х – 2 = 0; х1 = 2; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 2. 2) 3х + 4 = х2 по О.Д.З. х ≥ 0, 1 x ≥ −1 3 ⇒ x ≥ 0; x ≥ 0
х2 – 3х – 4 = 0; х1 = 4; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З., т.к. – 1<0. Ответ: x = 4. 55
[
]
20 − х 2 ≥ 0 20 − х 2 = 2 х ; О.Д.З. ; х ∈ 0;2 5 ; х ≥ 0 20 – х2 = 4х2; 5х2 = 20; х1 = 2; х2 = – 2 , х2 = – 2 – не входит в О.Д.З., т.к. – 2 < 0. Ответ: x = 2. 0,4 − х 2 ≥ 0 4) 0,4 − х 2 = 3 x; О.Д.З. ; х ∈ 0;2 0,1 ; х ≥ 0 0,4 – х2 = 9х2 10х2 = 0,4; х2 = 0,04; х = 0,2; х = – 0,2 , х2 = – 0,2 – не входит в О.Д.З., т.к. – 0,2 < 0. Ответ: x = 0,2. 3)
[
]
199. 1)
1 + 33 x 2 − x − 8 ≥ 0 ; x∈ ,+∞ ; x 2 − x − 8 = x − 2 ; О.Д.З. x − 2 ≥ 0 2
х 2 − х − 8 = х 2 − 4х + 4 3х = 12, x = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. x 2 + x − 6 ≥ 0 2) x 2 + x − 6 = x − 1 ; О.Д.З. ; x ∈ [2,+∞ ); x − 1 ≥ 0 2 2 х + х − 6 = х − 2х +1 ; 1 3х = 7, х = 2 , входит в О.Д.З. 3 1 Ответ: х = 2 . 3
200. 1) (х – 1)3 > 1, тогда х – 1 > 1 и х > 2. Ответ: х ∈ (2;+∞) . 3) (2х – 3)7 ≥ 1, поэтому 2х – 3 ≥ 1 и х ≥ 2. Ответ: х ∈ [2;+∞ ) . 56
2) (х + 5)3 > 8, значит, х + 5 > 2 и x > – 3. Ответ: х ∈ (−3;+∞) . 4) (3х – 5)7 < 1, отсюда 3х – 5 < 1 и х < 2. Ответ: х ∈ (−∞;2) .
(
)(
)
5) (3 – х)4 > 256; (3 − х )2 − 16 (3 − х )2 + 16 > 0 (3 – х – 4)(3 – х + 4) > 0, т.к. (3 – x)2 + 16>0 при любом х, тогда ( – х – 1)(7 – х ) > 0.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 1)∪(7; + ∞).
(
)(
)
6) (4 – х)4 > 81; (4 − х )2 − 9 (4 − х )2 + 9 > 0 , т.к. (4 – x)2 + 9>0, то (4 – х – 3)(4 – х + 3) > 0, тогда ( 1 – х)(7 – х ) > 0. Ответ: х ∈ ( – ∞; 1)∪(7; + ∞). 201. 1)
х = −8 – не имеет смысла, т.к.
х ≥0;
2) х + х − 4 = −3 – не имеет смысла, т.к. слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, а справа отрицательное число; 3) − 2 − х 2 = 12 – не имеет смысла, т.к. – 2 – х2 < 0 для любого х; 4) 7 х − х 2 − 63 = 5 не имеет смысла, т.к. 7х – х2 – 63 < 0 для любых х. 202. х 2 − 4 х + 9 ≥ 0 5 ; х ∈ ;+∞ ; О.Д.З. 2 х − 5 ≥ 0 2 2 2 возводим в квадрат х – 4х + 9 = 4х – 20х + 25 3 х2 – 16 х + 16 = 0. Решим: D = 8 2 − 3 ⋅16 = 64 − 48 = 16 ; 4 8± 4 x1, 2 = , x1 = 4 входит в О.Д.З.; 3 1 х2 = 1 не входит в О.Д.З. 3 Ответ: x = 4. 1)
х 2 + 4 х + 9 = 2 х − 5;
57
2)
х2 + 3х + 6 ≥ 0 2 х2 + 3х + 6 = 3х + 8; О.Д.З. ; х ∈ − 2 ;+∞; 3х + 8 ≥ 0 3 2
2
возведем в квадрат х + 3 х + 6 = 9 х + 48 х + 64 ; 8х2 + 45х + 58 = 0. Решим: D = 2025 – 1856 = 169 > 0, −45 ± 13 х1, 2 = ; 16 −58 29 1 х1 = =− = −7 не входит в О.Д.З.; 16 4 4 −32 х2 = = −2 входит в О.Д.З. 16 Ответ: x = – 2. 1 3) 2 х = 1 + х 2 + 5 ; О.Д.З. 2х – 1 ≥ 0, х ∈ ;+∞ ; 2 х 2 + 5 = 2 х − 1 . Возводим в квадрат х2 + 5 = 4х2 – 4х + 1 3х2 – 4х – 4 = 0. Решим: D = 4 + 12 = 16 ; 4 2±4 2 х1 = , x1 = 2 − входит в О.Д.З.; х 2 = − − не входит в О.Д.З. 3 3 Ответ: x = 2. 13 − 4 х ≥ 0 1 О.Д.З. ; х ∈ − ∞; 3 ; 4) х + 13 − 4 х = 4; 4 − х ≥ 0 4 13 − 4 х = 4 − х . Возведем в квадрат 13 – 4х = 16 – 8х + х2; х2 + 4х = 3 = 0. Решим: х1 = 3, х2 = 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 1. 203. 1)
х ≥ 0 х + 12 = 2 + х ; О.Д.З. ; х ∈ [0; + ∞ ); х + 12 ≥ 0
возводим в квадрат х + 12 = 4 + 4 х + х ; 4 х = 8 ; х = 2 ; x = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 58
х ≥ 0 х ∈ [0; + ∞ ) ; 4 + х + х = 4 ; О.Д.З. 4 + х ≥ 0
2)
4 + x = 4 − x . Возводим в квадрат 4 + х = 16 − 8 х + х ; − 8 х = −12 ; х = 1,5 , x = 2,25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2,25.
204. 1)
2 х + 1 ≥ 0 2 х + 1 + 3 х + 4 = 3; О.Д.З. ; 3 х + 4 ≥ 0
1 х ∈ − ;+∞ ; 2
3 х + 4 = 3 − 2 х + 1 , возводим в квадрат 3х + 4 = 9 – 6 2 х + 1 + 2х + 1; х – 6 = – 6 2 х + 1 ; 6 2 х + 1 = 6 – х; О.Д.З. 6 – х ≥ 0, возводим в квадрат 36(2х + 1) = 36 – 12х + х2; 1 х ≤ 6, т.е. х ∈ − ;6 – общая О.Д.З.; 2 72х + 36 = 36 – 12х + х2; х2 – 84 х = 0. Решим: х(х – 84) = 0, x1 = 0 входит в О.Д.З.; х2 = 84 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 0. 4 х − 3 ≥ 0 3 ; х ∈ ;+∞ ; 2) 4 х − 3 + 5 х + 4 = 4; О.Д.З. 5 х + 4 ≥ 0 4 5 x + 4 = 4 − 4 x − 3 , возводим в квадрат
5х + 4 = 16 – 8 4 х − 3 + 4х – 3 х – 9 = – 8 4 х − 3 запишем еще один О.Д.З.9 – х ≥ 0, возводим в квадрат х2 – 18х + 81 = 64(4х + 3); 3 х ≤ 9, т.е. х ∈ ; 9 – общая О.Д.З.; 4 2 х – 18х + 81 = 256х – 192; х2 – 274х + 273 = 0. Решим: х1 = 273, х2 = 1; х1 = 273 – не входит в О.Д.З., x1 = 1 – входит в О.Д.З. Ответ: x = 1. 59
х − 7 ≥ 0 х − 7 − х + 17 = −4; О.Д.З. ; х + 17 ≥ 0
3)
х ∈ [7; + ∞ );
x + 17 = x − 7 + 4 , возводим в квадрат
х + 17 = 16 + 8 х − 7 + х – 7 8 = 8 х−7 1 = х − 7 , х – 7 = 1, х = 8 входит в О.Д.З. Ответ: х = 8. х + 4 ≥ 0 О.Д.З. ; х −1 ≥ 0
х + 4 − х − 1 = 1;
4)
х ∈ [1; + ∞ );
x + 4 = 1 + x − 1 , возводим в квадрат
х + 4 = 1 + 2 х − 1 + х – 1; 4 = 2 х −1 ; 2 = х − 1 , х – 1 = 4, х = 5 входит в О.Д.З. Ответ: х = 5. 205. 1)
х ≥ 0 4 + х = 19 − 2 х ; О.Д.З. ; 19 − 2 х ≥ 0
возводим в квадрат 4 +
1 х ∈ 0; 90 ; 4
х = 19 – 2 х ;
3 х = 15, тогда х = 5; х = 25 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 25. х ≥ 0 7 + х = 11 − х ; О.Д.З. ; 11 − х ≥ 0 возводим в квадрат 2)
7+
х = 11 –
х
2 х = 4; х = 2; х = 4 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 60
х ∈ [0; 121];
206. 1) х − 2 > 3; О.Д.З. и возведем в квадрат х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ; ; х>11 х − 2 > 9 х > 11
Ответ: х ∈ (11; + ∞). х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ; ; 2) х − 2 ≤ 1 ; х − 2 ≤ 1 х ≤ 3 2≤х≤3. Ответ: х ∈ [2; 3]. 2 − х ≥ 0 х ≤ 2 х ≤ 2 3) 2 − х ≥ х ; ; ; . 2 2 2 − х ≥ х х + х − 2 ≤ 0 ( х + 2)( х − 1) ≤ 0
Ответ: х ∈ ( – ∞; 1]. 2 − х ≥ 0 х ≤ 2 х ≤ 2 ; х ≥ 0 ; х ≥ 0 . 4) 2 − х < х ; х ≥ 0 2 2 2 − х < х х + х − 2 > 0 х < −2 или х > 1
Ответ: х ∈ (1; 2]. 5)
5 х ≥ 0 х ≥ 2,2 5 х + 11 > х + 3 ; 2 2 5 х + 11 > х + 6 x + 9 х + х − 2 < 0
Ответ: х ∈ ( – 2; 1) х + 3 ≥ 0 ; 6) х + 3 ≤ х + 1 ; х + 1 ≥ 0 2 х + 3 ≤ х + 2х + 1
х ≥ −3 . х ≥ −1 2 х + х − 2 ≥ 0
Ответ: х ∈ [1; + ∞). 61
207. ВС – АС ≤ 0,02. Если АС = х, 1 то ВС = х 2 + . 4 Получим 1 ≤ 0,02 + х ; О.Д.З.; 4 0,02 + х ≥ 0 2 1 2 х + 4 ≤ 0,0004 + 0,04 x + х . х ≥ −0,02 х ≥ −0,02 ; . 0 , 04 x ≥ 0 , 2496 х ≥ 6,24
х2 +
1 − х ≤ 0,02 ; 4
х2 +
Возведем в квадрат
Ответ: на расстоянии ≥ 6,24 (м). 208. 1 , значит, 2х + 1 ≠ 0, 2х +1 1 1 1 x ≠ − , тогда х ∈ − ∞; − ∪ − ; ∞ ; 2 2 2
1) у =
2) у = (3 – 2х) – 2, тогда 3 – 2х ≠ 0, х ≠ 1,5, значит х ∈ (−∞; 1,5)∪ (1,5; ∞ ) ; 3) у = − 5 − 3 х , значит – 5 – 3х ≥ 0; – 3х ≥ 5; 2 2 х ≤ − 1 , тогда х ∈ − ∞; − 1 ; 3 3
4) у = 3 7 − 3 х , имеет смысл для любого x, т.е. х ∈ (−∞; ∞) . 209.
62
1)
4
2,7 < 4 2,9 , т.к. 2,7<2,9 и 4 х – возрастает;
2)
4
1 41 1 1 > , т.к. > и 7 8 7 8
4
х – возрастает;
3) ( – 2)5 > ( – 3)5 т.к. у = х5 – возрастает и – 2> – 3; 5 5 2 3 2 3 4) 2 < 2 т.к. у = х5 – возрастает и 2 < 2 . 3 4 3 4 210. 1) у = – 2х4;
2) у =
1 5 х ; 2
у – четная; у – нечетная; у возрастает, если х ∈ ( – ∞; 0), у возрастает для любого х; у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 3) у = 24 х ;
4) у = 33 х ;
определена при х≥0; у – нечётная; у – ни чётная, ни нечётная; у – возрастает при всех значениях х. у – возрастает при всех х; 211. k , если k = – 4 расположены во II и IV квадрантах, x т.к. – 4<0; k у = , если k = 3 расположены в I и III квадрантах, т.к. 3>0. x у=
63
212.
А (1; 1) В ( – 1; – 1)
213. у = х 2 1) ; х2 = х3. у = х 3 Тогда х2 – х3 = 0; х2 (х – 1) = 0; х1 = 0; х2 = 1. Точки А (0; 0); В (1; 1). 1 1 y = 2) = 2 х. х ; y = 2х х 1− 2х = 0; х 1 – 2х2 = 0; 1 х2 = ; 2 2 2 , точки M ; х2 = − х1 = 2 2 Тогда
2 2 ; 2; N
2 − 2 ;− 2;
у = х 3) ; х =| x | . у =| x | Значит, х1 = 0; х2 = 1, точки M (0; 0), N (1; 1); у = 3 х 4 1 3 3 =1. ; 4) x х ; = 1 х у = х Получим х1 = 1; х2 = – 1, точки M (1; 1), N ( – 1; – 1). 64
214. 1) х4 ≤ 81; 2) х5 >32; 2 2 2 (х – 9)( х + 9) ≤ 0, т.к. x + 9>0, то х5 > 25, значит (х – 3)( х + 3) ≤ 0. х > 2. Ответ: х ∈ [ – 3; 3].
Ответ: х ∈ (2; + ∞).
6
4) х5 ≤ – 32; х5 ≤ ( – 2)5, получим х ≤ – 2. Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2].
3) х > 64; х2 >4; х2 – 4 >0, тогда (х – 2)(х + 2) > 0; х>2 или x< – 2.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪(2; + ∞). 215. 1) 3 − х = 2 по О.Д.З.; 3 – х = 4; х ≤ 3; х = – 1 входит в О.Д.З. Ответ: х = – 1. 2)
3 х + 1 = 7 по О.Д.З.; 1 3
3х + 1 = 49 3х + 1 ≥ 0, x ≥ − ; 3х = 48; х = 16 входит в О.Д.З. Ответ: х = 16. 3)
х ≥ 0 ; 3 − 11х = 2 х по О.Д.З. 3 − 11х ≥ 0
возводим в квадрат 3 – 11х = 4х2; 0≤х≤
3 ; 11
4х2 + 11х – 3 = 0. Решим: −11 ± 13 1 х1, 2 = х1 = ; входит в О.Д.З. х 2 = −3 не входит в 8 4 О.Д.З. 1 Ответ: x = . 4 65
х ≥ 0 ; 5 х − 1 + 3 х 2 = 3 х по О.Д.З. 2 3х + 5 х − 1 ≥ 0 возводим в квадрат: 3х2 + 5х – 1 = 9х2; х ∈ (0,2; ∞); 6х2 – 5х + 1 = 0. Решим: D = 25 – 24 = 1 > 0; 5 ±1 1 1 ; х1, 2 = х1 = и х2 = входят в О.Д.З. 12 2 3 1 1 Ответ: x1 = ; x2 = . 2 3 х − 2 ≥ 0, х ≥ 2 5) 2 х − 1 = х − 2 по О.Д.З. . 2 х − 1 ≥ 0 Возведем в квадрат: 2х – 1 = х2 – 4х + 4; х ≥ 2; х2 – 6х + 5 = 0. Решим: х1 = 5; х2 = 1 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 5. х + 3 ≥ 0 х ≥ −3 6) 2 − 2 х = х + 3 по О.Д.З. ; . 2 − 2 х ≥ 0 х ≤ 1 Возводим в квадрат: 2 – 2х = х2 + 6х + 9; х2 + 8х + 7 = 0. Решим: х1 = – 7 не входит в О.Д.З.; х2 = – 1 – входит в О.Д.З. Ответ: – 1. 4)
216. 3 1) у = х 2 + 2 х − 15 , при всех x имеет смысл х ∈ ( – ∞;∞);
2) у = 4 13х − 22 − х 2 ; – х2 + 13х – 22 ≥ 0; х2 – 13х + 22 ≤ 0. Решим уравнение x2 – 13x + 22 = 0. Корни х1 = 11; х2 = 2, тогда 2 ≤ х ≤ 11. Ответ: х ∈ [2; 11]. 66
3) у =
х2 + 6 х + 5 х+7
х2 + 6х + 5 ≥ 0 . Решим x2 + 6x + 5 = 0; х+7 ( x + 1)( x + 5) х1 = – 1; х2 = – 5; значит, ≥ 0. x+7
Значит,
Ответ: х ∈ ( – 7; – 5]∪[ – 1; + ∞). 4) у =
х2 − 9 х + 8х + 7 2
х2 −9 х 2 + 8х + 7
≥ 0 . Решим (x2 – 9)(x2 + 8x + 7) = 0;
х1 = 3; х2 = – 3; х3 = – 7; х4 = – 1 исключая x3 и x4.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 7)∪[ – 3; – 1) ∪ [3; + ∞). 217. 1 , ( х − 3) 2 у убывает, если х > 3; 1 2) у = , х < 2. ( х − 2)3 Если х1 = 0, х2 = 1, x1<x2, 1 у (0) = − то 8 ; у1 > y 2 , тогда у (1) = −1 т.к. х1 < x2, y1 > y2, то y – убывает, если x < 2;
1) у =
y
3) у = 3 х + 1 , х ≥ 0. Пусть х1 = 7, х2 = 26; у1 = 3 8 = 2
; у1 < у 2 , и т.к. х1 < x2, то получим, что у2 = 3 27 = 3 у – возрастает, если х ≥ 0; 67
4) у =
1
, х < – 1/ х +1 Пусть х1 = – 8, х2 = – 27, x1>x2; 1 1 у1 = 3 =− 2 1 1 −8 ; − >− , 1 1 3 2 у2 = 3 =− 3 − 27 получим, что у1 < y2, x1 > x2, значит у – убывает, если х < – 1. 3
218. 1) у = х6 – 3х4 + х2 – 2; четная; 2) у = х5 – х3 + х; нечетная; 1 3) у = +1; (х − 2)2 ни четная ни нечетная; 4) у = х7 + х5 + 1; ни четная ни нечетная/ 219. 1) у =
1 х
2
;
2) у =
1 ; х3
1. у – чётная; 1. у – нечетная; 2. у возрастает, 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0); если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 3. у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 68
3) у =
1 + 2; х3
4) у = 3 −
1 ; х2
1. у – ни четная, ни нечетная; 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 1 5) у = +1; (3 − х )2
1. у – четная; 2. у возрастает, если х>0 у убывает, если x<0; 1 6) у = −2; (х − 1)3
а) у возрастает, если x<3; у убывает, если x>3; б) у – ни четная, ни нечетная;
а) у убывает, если x < 1, и x >1; б) у – ни четная, ни нечетная.
220. 1) (3х + 1)4 > 625; (3х + 1)2 – 25 > 0, т.к. (3x + 1)2 + 25>0; (3х + 1 – 5)(3х + 1 + 5) > 0; получим (3х – 4)(3х + 6) > 0.
1 3
Значит, x < – 2 или x > 1 .
2) (3х2 + 5х)5 ≤ 32; (3х2 + 5х) ≤ 2. Тогда 3х2 + 5х – 2 ≤ 0; 1 х1 = – 2; х 2 = 3
1 3
Поэтому – 2 ≤ x ≤ 1 ; 1 ) ≤ 0. 3 1 Ответ: х ∈ [ – 2; ]. 3
(х + 2)(х – 1 3
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪( 1 ; + ∞).
69
221. 1)
2 х 2 + 5 х − 3 = х + 1 по О.Д.З.
х + 1 ≥ 0 1 ; х ∈ ( ; + ∞). 2 2 2 х + 5 х − 3 ≥ 0 Возводим в квадрат 2х2 + 5х – 3 = х2 + 2х + 1; х2 + 3х – 4 = 0. Решим: х1 = 1; х2 = – 4 – не входит в О.Д.З. Ответ: х = 1. 2)
3х 2 − 4 х + 2 = х + 4 ; О.Д.З.:
х + 4 ≥ 0 ; х ∈ ( – 4; + ∞). 2 3х − 4 х + 2 ≥ 0 Возводим в квадрат 3х2 – 4х + 2 = х2 + 8х + 16; 2х2 – 12х – 14 = 0; х2 – 6х – 7 = 0. Решим: х1 = 7; х2 = – 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 7; х2 = – 1. х + 11 ≥ 0 ; х ≥ 0. 3) х + 11 = 1 + х ; О.Д.З.: х ≥ 0 Возводим в квадрат х + 11 = 1 + 2 х + х; 10 = 2 х ; х = 5. Тогда х = 25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 25.
х + 19 ≥ 0 ; х ≥ 0. х + 19 = 1 + х ; О.Д.З.: х ≥ 0 Возводим в квадрат 4)
х + 19 = 1 + 2 х + х; 2 х = 18; х = 9; х = 81 входит в О.Д.З. Ответ: х = 81.
70
5)
х + 3 ≥ 0 х + 3 + 2 х − 3 = 6; О.Д.З. : ; х ∈ [1,5; ∞ ); 2 х − 3 ≥ 0
2x − 3 = 6 − x + 3 . Возводим в квадрат
2х – 3 = 36 – 12 х + 3 + х + 3; х – 6 – 36 = – 12 х + 3 . Возводим в квадрат (х – 42) = – 12 х + 3 , О.Д.З. х – 42 ≤ 0, т.е. х ∈ [1,5; 42] ; (х2 – 84х + 1764) = 144(х + 3); х2 – 228х + 1332 = 0. Решим х1 = 222; х2 = 6, х1 = 222 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 6. 7 − х ≥ 0 5 ; х ∈ ; 7 ; 6) 7 − х + 3 х − 5 = 4; О.Д.З. : 3 х − 5 ≥ 0 3 3x − 5 = 4 − 7 − x . Возводим в квадрат 3х – 5 = 16 – 8 7 − х + 7 – х;
4х – 5 – 16 – 7 = – 8 7 − х ; 4х – 28 = – 8 7 − х ; х – 7 = – 2 7 − х ; О.Д.З.: 5 х – 7≤0, т.е. x ∈ ; 7 . 3 Возводим в квадрат х2 – 14х + 49 = 28 – 4х; х2 – 10х + 21 = 0. Решим х1 = 3; х2 = 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 7. 222. 1)
х 2 − 8 х > 3 ; x > 9 или x < – 1;
х 2 − 8 х ≥ 0 х(х − 8) ≥ 0 . 2 2 х − 8 х > 9 х − 8 х − 9 > 0
Ответ: х∈ ( – ∞; – 1)∪(9; + ∞). 71
2)
х 2 − 3 х < 2;
х2 − 3х ≥ 0 х(х − 3) ≥ 0 х ≥ 3 или х ≤ 0 ; 2 ; . 2 х − 3х < 4 х − 3х − 4 < 0 −1 < x < 4
Ответ: х∈ ( – 1; 0]∪[3;4). 3)
3х − 2 > х − 2 ;
2 2 3х − 2 ≥ 0 х ≥ х ≥ ; 3 ; 3 . 2 3х − 2 > х − 4х + 4 2 х − 7х + 6 < 0 1 < x < 6
Ответ: х∈ (1; 6). 4)
2х + 1 ≤ х − 1 ;
1 х ≥ − 2 2 х + 1 ≥ 0 x > 1 ; х ≥ 1 ; х − 1 ≥ 0 x ≤ 0 или 2 2 2 х + 1 ≤ х − 2 х + 1 х − 4 х ≥ 0
. x≥4
Ответ: х ∈[4; + ∞).
Глава IV. Элементы тригонометрии
223. 1) 40° =
40π 2π рад.; = 180 9
105 7π рад.; π= 180 12 75 5π π= 5) 75° = рад.; 180 12
3) 105° =
72
2) 120° =
120π 2π рад.; = 180 3
150 5π рад.; π= 180 6 32 8π π= 6) 32° = рад.; 180 45
4) 150° =
7) 100° =
100 5π π= рад.; 180 9
8) 140° =
140 7π π= рад. 180 9
224. 1)
π 180° = = 30° ; 6 6
2π 2 ⋅180 = = 120° ; 3 3 180° 360 5) 2 = ⋅2 = ° ; π π 180° 3 270 ⋅ = 7) 1,5 = ° ; π 2 π
3)
225. π 3,141 1) ≈ ≈ 1,57; 2 2
2)
π 180° = = 20° ; 9 9
4)
3 3 ⋅ 180° π = = 135° ; 4 4
180° 720 = ° ; π π 180° 36 324 ⋅ = 8) 0,36 = ° . π 100 5π
6) 4 = 4 ⋅
3 3 ⋅ 3,141 ≈ 4,71; π≈ 2 2 2 2 ⋅ 3,141 ≈ 2,09. 4) π ≈ 3 3 2)
3) 2π ≈ 2 ⋅ 3,141 = 6,28; 226. π <2; 2 3 4) π < 4,8 ; 2
1)
2) 2π < 6,7 ; 5) −
π 3 <− ; 2 2
1 5
3) π < 3 ; 3 2
6) − π < − 10 .
227. π рад.; 3 π в) 45° = рад. ; 4
а) 60° =
π рад.; 3 2π рад. г) 120° = 3
б) 90° =
228. ℓ = αR, l = 0,36 м l 0,36 , то R = если = = 0,4 (м). α 0,9 α = 0,9 229. ℓ = αR,
73
l = 3 см l 3 если , то α = = = 2 (рад). R = 1 , 5 см R 1 ,5 230. R2 α, 2 3π 3π 3π = если α = и R = 1 см, тогда S = (см2). 4 2⋅4 8 S=
231. S=
R2 α, 2
R = 2,5 см 25 2 ⋅ 6,25 = 2 (рад.). , тогда α = 2 = если 2 6,25 R S = 6,25 см Ответ: α = 2 (рад). 234. 1) Получим М(0; 1). 3) Получим М( – 1; 0). 5) Получим М(0; – 1).
74
2) Получим М( – 1; 0). 4) Получим М(0; – 1). 6) Получим М(1; 0).
235. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
236. 1) I четв. 3) IV четв. 5) I четв.
2) II четв. 4) IV четв. 6) II четв.
237. 1) A ( – 1; 0); 3) C (0; 1); 5) E ( – 1; 0); 238. 1) α = π + 2πn, n ∈ ∧; π 3) α = + 2πn, n ∈ ∧; 2
2) B (0; 1); 4) D ( – 1; 0); 6) F (0; 1). 2) α = 2πn, n ∈ ∧; π 4) α = – + 2πn, n ∈ ∧. 2
239. 1) α = 1рад.≈57°, I четв. 2) α = 2,75 рад.≈132°, II четв. 3) α = 3,16рад.≈181°, III четв. 4) α = 4,95 рад.≈282°, IV четв. 240.
75
1) а = 6,7π, 6
7 7 7 π= π + 6π . Тогда х = π , n = 3 . 10 10 10
2) а = 9,8π, 9
4 4 4 π = 1 π + 8π . Тогда х = 1 π , n = 4 . 5 5 5
1 2
1 2
3) а = 4 π , 4 π =
π π + 4π . Тогда х = , n = 2 . 2 2
1 1 1 1 4) а = 7 π , 7 π = 1 π + 6π . Тогда х = 1 π , n = 3 . 3 3 3 3 5) а =
1 1 1 11 π , 5 π = 1 π + 4π . Тогда х = 1 π , n = 2 . 2 2 2 2
6) а =
2 2 2 17 π , 5 π = 1 π + 4π . Тогда х = 1 π , n = 2 . 3 3 3 3
241. 1)
2)
М
3)
5)
76
4)
6)
7)
8)
2π
242. 1) A (0; 1) ; 2) B (0; 1) ; 3) C (0; − 1) ; 4) D (0; − 1) . 243. 1) α =
2π + 2πn ; n ∈ ∧; 3
3) α = − n ∈ ∧;
7π π + 2πn ; + 2πn , α = 4 4
2) α =
π + 2πn ; n ∈ ∧; 6
4) α =
3π + 2πn ; 4
n ∈ ∧.
77
244. 1) sin 3) tg
3π 2 ; = 4 2
2) cos
3 5π 1 ; =− = − 6 3 3
5) cos( – 180°) = – 1; 7) cos( – 135°) = −
2 ; 2
2π 1 =− ; 3 2
4) sin( – 90°) = – 1; 6) tg −
π = −1 ; 4
8) sin −
5π 2 . = 4 2
245. 1) sin α =
3) cos α =
1 ; 2
3 ; 2
5) sin α = −0,6 ;
78
2) sin α = −
1 2
4) cos α = − ;
6) cos α =
1 . 3
2 ; 2
246. 3π π + sin = 1 + (−1) = 0 ; 2 2 π π
1) sin
2) sin −
+ cos = −1 + 0 = −1 ; 2 2 3) sin π − cos π = 0 − ( −1) = 1 ;
4) sin 0 − cos 2π = 0 − 1 = −1 ; 5) sin π + sin 1,5π = 0 + (−1) = −1 ; 3 2
6) cos 0 − cos π = 1 − 0 = 1 . 247. 1) tg π + cos π = 0 – 1 = – 1; 3) tg π + sin π = 0;
2) tg 0° – tg 180° = 0; 4) cos π – tg 2π = – 1 – 0 = – 1.
248. 1) 3sin
1 3 3 π π π + 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 3= ; 6 6 3 2 2 2
1 2 π π π π − 2 + 3tg − cos − 10 tg = 5 ⋅ + 3 − − 10 = − 4,5 ; 6 4 4 4 2 2 2 3 2−3 2 1 2 π π π 3) 2 tg − tg : cos = 2 ⋅ − 3 : = =− ; ⋅ 6 3 6 2 3 3 3 3 2) 5 sin
4) sin
π π π 3 3 3 1 ⋅ cos − tg = ⋅ −1 = −1 = − . 3 6 4 2 2 4 4
249. 1 cos x = 0. 2
1) 2 sin x = 0.
2)
Тогда sin x = 0;
Значит, cos x = 0;
x = πn, n ∈ ∧;
x=
3) cos x – 1 = 0. Поэтому cos x = 1;
4) 1 – sin x = 0. Тогда sin x = 1;
x = 2πn, n ∈ ∧;
x=
250. 1) да, т.к. – 1 < 0,49 < 1;
2) да, т.к. 1 > –0,875 > –1;
3) нет, т.к. –
4) да, т.к. –1 < 2 –
2 < –1;
π + πn, n ∈ ∧; 2
π + 2πn, n ∈ ∧. 2
2 < 1. 79
80
251.
π π 2 2 = 2 +1 1) 2 sin α + 2 cosα = 2 sin + 2 sin = 2⋅ + 2 ⋅ 4 4 2 2 2) 0,5 cosα − 3 sin α = π π 1 1 3 1 3 5 = − =− = 0,5cos − 3 sin = ⋅ − 3 ⋅ 3 3 2 2 2 4 2 4
3) sin 3α − cos 2α = sin 4) cos
3π 2π 1 1 − cos = 1− = 6 6 2 2
2 1 π π α α + = = cos + sin = + sin 2 3 4 6 2 2
252. 1) sin x = –1
2 +1 2
2) cos x = –1
π x = – + 2πn n ∈ Z 2
x = π + 2πn n ∈ Z
3) sin3x = 0
4) cos 0,5x = 0
Тогда 3x = πn, n ∈ Z
Значит 0,5x =
πn n∈Z 3 5) cos2x – 1 = 0 cos2x = 1 Отсюда 2x = 2πn n ∈ Z
x=
x = πn n ∈ Z
π + πn, n ∈ Z 2
x = π + 2πn n ∈ Z 6) 1 – cos3x = 0 cos3x = 1 3x = 2πn, n ∈ Z 2πn x= n∈Z 3
253. 1) cos12° ≈ 0,98; 2) sin38° ≈ 0,62 3) tg 100° ≈ –5,67 4) sin400° = sin(360° + 40°) = sin40° ≈ 0,64 5) cos2,7 ≈ cos158° =cos(180° –22°)= –cos22° ≈ –0,93 6) tg(–13)≈ –tg745°= –tg(720° +25°)= –tg(360°⋅ 2 + 25°)= = –tg25°≈–0,47 π 7) sin = 0,5 6 π 8) cos − ≈ cos26°≈ 0,9 7 80
254. 1) I четв. 2) II четв. 3) III четв. 4) II четв. 5) I четв. 6) II четв. 255. 5π 3π 5π III четв. < < 0 , т.к. π < 4 4 2 π 5π 5π > 0 , т.к. 2) sin < < π II четв. 6 2 6
1) sin
5π π 5π ) < 0 , т.к. − π < − < − IV четв. 8 2 8 4π 3π 4π ) > 0 , т.к. − 4) sin(− <− < −π II четв. 2 3 3 5) sin 740° > 0 , I четв. 6) sin 510° > 0 , II четв. 3) sin(−
256. 1) cos
2π 7π < 0 , II четв. 2) cos < 0 , III четв. 3 6
3π ) < 0 , III четв. 4 5) cos290° > 0, IV четв.
3) cos(−
2π ) > 0 , IV четв. 5 6) cos(–150°) < 0, III четв.
4) cos(−
257. 5 6
5 ctg π < 0 , II четв. 6 −3π 3) tg >0 5 −3π ctg > 0 , III четв. 5
12 π >0 5 12 ctg π > 0 , II четв. 5 5π 4) tg − < 0 4 5π ctg − < 0 , II четв. 4
5) tg190° > 0 ctg190° > 0, III четв. 7) tg172° < 0 ctg172° < 0, II четв.
6) tg283° < 0 ctg283° < 0, IV четв. 8) tg200° > 0 ctg200° > 0, III четв.
1) tg π < 0
2) tg
81
258. 1) если π < α <
3π , то 2
sinα < 0, cosα < 0, tgα > 0, ctgα > 0 2) если
3π 7π , то <α < 2 4
sinα < 0, cosα > 0, tgα < 0, ctgα < 0 3) если
7π < α < 2π , то 4
sinα < 0, cosα > 0, tgα < 0, ctgα < 0 4) если 2π < α < 2,5π , то sinα > 0, cosα > 0, tgα > 0, ctgα > 0 259. a) sin1 > 0, cos1 > 0, tg1 > 0 б) sin3 > 0, cos3 < 0, tg3 < 0 в) sin(–3,4) > 0, cos(–3,4) < 0, tg(–3,4) < 0 г) sin(–1,3) < 0, cos(–1,3) > 0, tg(–1,3) < 0 260. π −α > 0 2 4) sin (π − α ) > 0
1) sin
7) cos α −
π >0 2
π +α < 0 2 5) cos (α − π ) < 0
2) cos
8) ctg α −
3π −α > 0 2 6) tg (α − π ) > 0
3) tg
π <0 2
261. 1) если 0 < α <
π и 2
3π , то – знаки синуса 2 и косинуса совпадают. π<α<
2) если
π <α<π и 2
3π < α < 2π , то – знаки синуса 2 и косинуса различны.
262. 2π 3π ⋅ sin >0 3 4 2π 3π т.к. sin > 0 и sin >0 3 4
1) sin
82
2π π ⋅ cos < 0 3 6 2π π т.к. cos < 0, cos > 0 3 6
2) cos
2π 3 <0, 3) 3π cos 4 2π 3π т.к. sin > 0 и cos < 0; 3 4 sin
4) tg
5π π + sin > 0 , 4 4
т.к. tg
π 5π и sin > 0 . 4 4
263. 1) sin 0,7 > sin 4, т.к. sin 0,7 > 0, sin4 < 0; 2) cos 1,3 > cos 2,3, т.к. cos 1,3 > 0, cos2,3 < 0. 264. 1) sin (5π + x) = 1; sin(4π + π + x) = 1, но sin( α + 2kπ )=sin α , где k∈∧ тогда sin(π + x) = 1; π +2πn, 2 π и x = – + 2πn, n∈ ∧; 2
π+x=
2) cos (x + 3π) = 0; cos (x+ π+2π) = 0, но т.к. cos( 2πk + α )=cos α , то cos(x+ π) = 0; n∈ z x + π = x=
π +πn, n∈ ∧ 2
π + πn, n∈ ∧; 2
5π 3) cos + x = −1; 2
9 4) sin π + x = −1; 2
π cos 2π + + x = −1, 2 т.к. cos( α + 2πk )=cos α , то π cos + x = −1; 2
π sin 2 ⋅ 2π + + x = −1, 2 т.к. sin( 2πk + α )=sin α , то π sin + x = −1; 2
π + х = π + 2πn 2
π π + х = − + 2πn 2 2
иx=
π + 2πn, 2
n ∈ ∧;
и x = π + 2πn, n∈ ∧.
265. Т.к. sin α + cosα < 0, то М ∈ III четв., где cos α < 0, sin α <0. Т.к. sin α – cosα > 1, то sin α > 0, cosα < 0, значит, М ∈ II четв. 83
267. 3π < α < 2π , то sin α < 0, тогда 2
1) Т.к.
sin α = – 1 − cos 2 α =
1−
25 = 169
144 2 122 12 = =− ; 169 13 132
sin α −12 ⋅ 13 12 = =- . cos α 13 ⋅ 5 5 π 2) Т.к. < α < π , tgα =
2
то cos α < 0, тогда cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − 0,64 = − 0,36 = −0,6; sin α 0,8 4 = =− . cosα − 0,6 3 π 3) Т.к. < α < π , то sin α > 0, поэтому 2 tgα =
sin α = 1 - cos 2 α =
1−
9 16 = = 25 25
42 5
2
=
4 ; 5
sin α 4 5 4 tgα = =− ⋅ =− ; cos α 5 3 3 1 3 =− . tgα 4
сtgα =
3π , то cos α < 0, тогда 2
4) Т.к. π < α <
1 − sin 2 α =
cos α = tgα =
sin α = cosα
сtgα =
1 = tgα
2
1−
5 = 21 5
4 21 21 =− =− ; 25 25 5
2 21
;
21 . 2
5) Т.к. π < α <
3π , 2
то sin α < 0 и cos α < 0; cos2 α = 84
1
2
1 + tg α
;
sin α = − 1 − cos 2 α ;
cos α = –
1
;
2
1 + tg α
sin α = − 1 −
64 ; 289
64 225 ; ; sin α = − 289 289 8 15 cosα = − sin α = − . ; 17 17 3π < α < 2π , то sin α < 0, а cos α > 0 6) Т.к. 2 1 cosα = 1 − sin 2 α ; ; sin2 α = 2 1 + сtg α cosα = −
sin α = sin α = –
−1 2
1 + сtg α
;
1 1 ; sin α = – ; 10 10
cosα = 1 − cosα =
3 10
1 ; 10
.
268. sin α = 1 1) если , cos α = 1
1 + 1 = 2 ≠ 1, нет; 4 sin α = − 5 , 2) если cos α = − 3 5 16 9 + = 1, да; 25 25
sin α = 0 3) если , cos α = −1 0 + 1 = 1, да; 1 sin α = 3 , 4) если cos α = − 1 2 1 1 13 ≠ 1, нет. + = 36 9 4
85
269. 1 + tg 2α =
1 2
cos α
sin α = 1) tgα =
; 1 + ctg 2α =
1 5 ; 1 24
sin 2 α
;
1 sin α = 5 ; ctg 2α = 24
1
= 25. 2 1 5 Ответ: да. 3 cos α = 4 2) ; ctgα = 7 3 9 16 16 1 ≠ , = . 1+ 2 7 7 9 3 4 Ответ: нет. 1 + 24 =
1
3 cos α = 4 ; tg 2α = 9 7
270.
Пусть: ∠С = 90°; ∠А = α; sin α =
2 10 ; 11
cosα = 1 − sin 2 α ; cosα = 1 − cosα =
86
9 ; 11
40 81 ; = 121 121
tgα =
sin α ; cosα
tgα =
2 10 9 : ; 11 11
tgα =
2 10 . 9
271. Пусть АВ = ВС, tg ∠B = 2 2 ; 1
cos2 α = cos 2 α =
cos α =
1 + tg 2α
;
1 . Т.к. 0 < ∠B < 90°, то 9
1 . 3
272. cos4 α – sin4α =
1 ; 8
1 8
(cos2 α– sin2α)(cos2 α+ sin2α)=(– cos2 α– sin2α)= . 1 Т.к. sin2α=1– cos2 α, то cos2α–(1– cos2α)= ; 8 9 9 3 2 cos2α = cos2α = , cosα = ± . 8 16 4 3 Ответ: cosα = ± . 4 273. 1) sin α =
2 3 ; 5
2) cosα = −
cos α = ± 1 − sin 2 α ; cos α = ± 1 − cos α = ±
1 5
;
sin α = ± 1 − cos 2 α ;
12 ; 25
sin α = ± 1 −
13 ; 5
sin α = ±
2 5
1 ; 5
.
274. tg α = 2, значит, сtg α = 1)
1 ; 2
1 +2 ctgα + tgα −5 2,5 = 2 = = ; 1 − 2 − 1,5 ctgα − tgα 3 2
87
sin α cos α − sin α − cos α cos α cos α tgα − 1 2 − 1 1 = = = = ; 2) sin α + cos α sin α cos α tgα + 1 2 + 1 3 + cos α cos α 3)
2 sin α + 3 cos α 2 tgα + 3 4 + 3 = = =7; 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 6 − 5 2
4)
2
sin 2 α
sin α + 2 cos α
cos 2 α = 2 2 2 sin α − cos α sin α
+2
2 cos α
−
cos 2 α
2 cos 2 α = tg α + 2 = 4 + 2 = 2 . 2 2 cos α tg α − 1 4 − 1 2 cos α
276. 1) 2 sin x + sin 2 x + cos 2 x = 1 , т.к. sin2x + cos2x=1, то 2sin x + 1 = 1, 2sin x = 0. Тогда sin x = 0 и x = kπ, k ∈ ∧; 2) sin2x – 2 = sin x – cos2x; sin2x + cos2x – 2 = sin x, т.к. sin2x + cos2x=1, то sin x = –1, π значит, x = − + 2πn, n ∈ ∧; 2 −
π 2
3) 3cos2x – 1 = cos x – 2sin2x; 3cos2x + 2sin2x – 1 = cos x; cos2x + 2 – 1 = cos x;
cos2x – cos x + 1 = 0. Пусть t=cos x. Тогда t2 – t + 1 = 0. Решим уравнение D = 1 – 4 < 0. Решения нет. 4) 3 – cos x = 3cos2x + 3sin2x. Т.к. sin2x + cos2x=1, то 3 – cos x = 3; cos x = 0; х= 88
π + πn; n ∈ ∧. 2
277. 1) Т.к. 1 – cos2α = sin2α, то (1–cos α)(1+cos α)=sin2 α. sin 2 α и 3) Т.к. tg 2α = cos 2 α 2 2 cos α = 1–sin α, то sin 2 α 1 − sin 2 α
cos 2 α
= tg 2α .
5) Т.к. cos2α + sin2α = 1 и cos2 α= 1
1 2
1 + tg α
2) Т.к. sin2 α+cos2 α=1, то 2–sin2 α–cos2 α=1. cos 2 α 4) Т.к. ctg 2α = sin 2 α 2 и sin α = 1–cos2 α, то
6) Т.к. sin2α + cos2α = 1 и sin2 α =
, то
1
2
2
1 + tg α
= ctg 2α .
1 − cos 2 α
+ sin α = 1 .
1 1 + ctg 2α
, то
2
2
1 + ctg α
+ cos α = 1 .
278. cosα ⋅ tgα – 2sinα = sinα – 2sinα = –sinα; cosα – sinα ⋅ ctgα = cosα – cosα = 0;
sin 2 α 1 cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α ) = = = 1 − cos α ; 1 + cos α 1 + cos α 1 + cos α
cos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α ) = = = 1 + sin α . 1 − sin α 1 − sin α 1 − sin α
279. 1)
sin 2 α − 1 2
1 − cos α
2)
1 2
cos α
=
− cos 2 α 2
sin α
2 − 1 = tg α ; tg
2 = −ctg α ; ctg
π π = 3 ; ctg 2 = 3 ; 3 3
3) cos 2 α + ctg 2α + sin 2 α = 1 + ctg 2α = sin
π 1 = , 6 2
1 π sin 6 2
π 1 = , 3 2
1 cos2
π 3
1 sin 2 α
,
= 4;
4) cos2 α + tg 2α + sin 2 α = 1 + tg 2α = cos
π π =1; − ctg 2 = −1 ; 4 4
1 cos2 α
,
= 4.
89
280. 1) 1 − sin 2 α 1 − tg 2α = 1 .
(
)(
(
)
) cos
1
Тогда 1 − sin 2 α ⋅ cos 2 α ⋅
1 cos 2 α
2
α
=1;
= 1 , 1 = 1.
Получим тождество. 2) sin 2 1 + ctg 2α − cos 2 α = sin 2 α .
(
)
Значит sin 2 α ⋅
1 sin 2 α
− cos 2 α = sin 2 α ;
1 − cos 2 α = sin 2 α .
Тождество sin 2 α = sin 2 α . 281.
(
)
1) 1 + tg 2α ⋅ cos 2 α =
(
)
1 cos 2 α
2) sin 2 α 1 + ctg 2α = sin 2 α ⋅
⋅ cos 2 α = 1; 1 sin 2 α
= 1;
1 2 sin 2 α + cos 2 α 2 α ⋅ α = ⋅ sin 2 α ⋅ cos 2 α = 1 ; 3) 1 + tg 2α + sin cos sin 2 α sin 2 α ⋅ cos 2 α 1 2 1 + tg 2α 2 cos 2 α - tg 2α = sin α - tg 2α = 0 . α = 4) tg 2 1 1 + ctg α cos 2 α sin 2 α
282. 1) (1 – cos2α)(1 + cos2α) = sin22α; 1 – cos22α = sin22α; sin22α = sin22α. Верное тождество. −1 ; + 1 sin α cos α −1 sin α − 1 = ; 1 − sin 2 α 1 + sin α sin α − 1 1 =− ; (1 − sin α )(1 + sin α ) 1 + sin α
2)
sin α − 1 2
=
1 1 =− . Верно. 1 + sin α − (1 + sin α )
90
3) cos4α – sin4α = cos2α – sin2α; (cos2α + sin2α)( cos2α – sin2α) = cos2α – sin2α; cos2α – sin2α = cos2α – sin2α. Верное тождество. 4) (sin2α – cos2α)2 + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α; sin4α – 2sin2α ⋅ cos2α + cos4α + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α; sin4α + cos4α = sin4α + cos4α. Верное тождество. 5)
sin α 1 + cosα 2 + = ; 1 + cosα sin α sin α
sin 2 α + (1 + cosα )2 2 ; = (1 + cosα )sin α sin α sin 2 α + 1 + 2 cosα + cos 2 α 2 ; = (1 + cosα )sin α sin α 2(1 + cosα ) 2 2 2 ; . Верное тождество. = = (1 + cosα )sin α sin α sin α sin α sin α 1 + cosα 6) ; = 1 − cosα sin α sin α (1 + cosα ) 1 + cosα ; = (1 + cosα )(1 − cosα ) sin α sin α (1 + cosα ) 1 + cosα ; = sin α 1 − cos 2 α sin α (1 + cosα ) 2
=
1 + cosα ; sin α
sin α 1 + cosα 1 + cosα . Верное тождество. = sin α sin α 1 1 7) + =1; 2 1 + tg α 1 + ctg 2α cos 2 α + sin 2 α = 1 ; 1 = 1, ч.т.д.
8) tg2α – sin2α = tg2α ⋅sin2α; sin 2 α 2
cos α
2 2 2 − sin α = tg α ⋅ sin α ;
sin 2 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α
(
cos 2 α
2 2 sin α 1 − cos α 2
cos α
2 2 = tg α ⋅ sin α ;
) = tg 2α ⋅ sin 2 α ;
tg2α ⋅ sin2α = tg2α ⋅ sin2α, ч.т.д. 91
283. (sin α + cos α )2 − 1 + ctg 2α = 1 − 2 sin α cos α − 1 = 1) sin 2 α sin 2 α sin 2 α 2 sin α cos α = = 2ctgα ; sin 2 α
(
ctg
1 π = ; 3 3
2ctg
2 2 3 π = = ; 3 3 3
2) (1 + tg 2α ) − =
)
(sin α − cos α )2 2
cos α
=
1 2
cos α
−
1 + 2 sin α cos α cos 2 α
2 sin α cosα = 2tgα ; cos 2 α tg
1 π = ; 6 3
2 tg
π 2 2 3 = = . 6 3 3
284. sinα – cosα = 0,6. Возведем в квадрат (sinα – cosα)2 = 0,36; sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 0,36. Т.к. sin2α + cos2α = 1, то 1 – 2sinαcosα = 0,36; 2sinαcosα = 1 – 0,36 = 0,64; sinαcosα = 0,32. 285. cos3α – sin3α = (cosα – sinα)(cos2α + cosα⋅ sinα + sin2α); cos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + cosα⋅ sinα); т.к. cosα–sinα = 0,2. Возведем в квадрат (cosα – sinα)2=0,04; cos2α – 2cosαsinα+sin2α=0,04; 1–2 cosαsinα= 0,04; cosαsinα=0,48, то cos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + 0,48) = 0,2 ⋅ 1,48 = 0,296. 92
=
286. 1) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3cos2x + 3sin2x – 3 – 2sin x = 0; 2sin x = 0; sin x = 0. Тогда x = πn, n ∈ ∧. 2) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x – sin2x + 1 + 2sin2x = 2sin x; 2 = 2sin x; sin x = 1. π Значит x = + 2πn , n ∈ ∧. 2 287.
π π π π π π 1) cos − sin − + tg − = − cos ⋅ sin − tg = 6 3 4 6 3 4 =−
3 3 3 3 ⋅ − 1 = − − 1 = −1 ; 2 2 4 4
2)
1 3 = 3 +1 = 4 = 1 ; = = 2 + 1 3 3⋅ 4 3⋅ 4 3 30°) 1 + ctg 30°
1 + tg 2 ( 30°)
1 + ctg 2 (
1 + tg 2 30°
1+
π π π π 3) 2 sin − cos − + tg − + sin 2 − = 6 6 3 4 2
= −2 sin =−
2 1 3 π π π π = cos − tg + sin 2 = −2 ⋅ ⋅ − 3 + 2 6 6 3 4 2 2
3 2 3 1 1− 3 3 − + = ; 2 2 2 2 π 3 π 4) cos(− π ) + ctg − − sin π + ctg − = 2 2 4
= cos π − ctg
π π 3 + sin π − ctg = −1 + 0 + (−1) − 1 = −3 . 2 2 4
288. tg(–α) ⋅ cosα + sinα = –sinα + sinα = 0; cosα – ctgα(–sinα) = cosα + cosα = 2cosα; 93
cos( α) + sin( α) 2
2
cos α − sin α
=
cos α − sin α 1 = ; (cos α + sin α )(cos α − sin α ) cos α + sin α
tg(–α) ⋅ ctg(–α) + cos2(–α) + sin2α = 1 + 1 = 2. 289. cos 2 α − sin 2 α + tg (−α) cos(−α) = cos α + sin (- α )
=
(cos α + sin α )(cos α − sin α ) cos α − sin α
sin α =
= cosα + sinα – sinα = cosα. 290. π π π 2 π 3 1 3 − sin − − cos − 3 + sin − cos 2 − 3+ 3 3 3 3 2 4 = 11 + 2 3 ; = = 1) π π 4⋅ 2 2 2 cos 2 cos − 2⋅ 4 4 2 3 π π 1 2) 2sin − – 3ctg − + 7,5tg(–π) + cos − π = 6 4 8 2 1 1 = 2 ⋅ − − 3 ⋅ ( −1) + 7,5 ⋅ 0 + ⋅ 0 = −1 + 3 = 2 . 8 2
291. sin 3 (−α ) + cos3 (−α ) = 1) 1 − sin(−α ) cos(−α )
=
(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) =
1 + sin α cos α (cosα − sin α )(1 + cosα sin α ) = = cosα − sin α ; (1 + cosα sin α ) 2)
1 − (sin α + cos(−α )) 2 1 − (1 + 2 sin α cosα ) − 2 sin α cosα = = = −2 cosα . sin α sin α − sin(−α )
292. 1) sin(–x) = 1; sin x = –1. Тогда x = –
π + 2πn, n ∈ ∧. 2
2) cos(–2x) = 0; cos2x = 0; 2x =
π + πn. 2
Значит, x = 94
π πn , n ∈ ∧. + 4 2
3) cos(–2x) = 1; cos2x = 1;
4) sin(–2x) = 0; 2x = 2πn.
2x = 2πn;
Поэтому x =
πn , n ∈ ∧. 2
и x = πn, n ∈ ∧. 5) sin(–x) = sin
3 π; 2
6) cos(–x) = cosπ;
–sinx = –1; sinx = 1.
cos x = –1.
π Получим x = + 2πn, n ∈ ∧. 2
Тогда x = π + 2πn, n ∈ ∧.
293. 1) cos 135° = cos(90° + 45°) = cos 90° cos 45° − sin 90° ⋅ sin 45 o = = 0⋅
2 2 2 ; =− -1⋅ 2 2 2
2) cos120° = cos(90° + 30°) = cos 90° cos 30° − sin 90° sin 30° = 3 1 1 − 1⋅ = − ; 2 2 2 3) cos150° = cos(90° + 60°) = cos 90° cos 60° − sin 90° sin 60° =
= 0⋅
1 3 3 ; = 0 ⋅ − 1⋅ =− 2 2 2 4) cos240° = cos(180° + 60°) = cos180° cos60° − sin180° sin 60° = 1 3 1 = −1⋅ − 0 ⋅ =− . 2 2 2
294. 1) cos 57°30′ ⋅ cos 27°30′ + sin 57°30′ ⋅ sin 27°30′ = 3 ; 2 2) cos 19°30′ ⋅ cos 25°30′ − sin 19°30′ ⋅ sin 25°30′ =
= cos(57°30′ − 27°30′) = cos 30° =
2 ; 2 7π 11π 7π 11π 7 π 11π − sin ⋅ sin = cos + 3) cos ⋅ cos = cos 2π = 1 ; 9 9 9 9 9 9
= cos(19°30′ − 25°30′) = cos 45° =
4) cos
π π 8π 8π 8π π ⋅ cos + sin ⋅ sin = cos + = cos π = −1 . 7 7 7 7 7 7
95
295. 1) Т.к. 0 < α <
π , то 2
cosα > 0, тогда cos α = 1 − sin 2 α =
2 ; 3
π π π cos + α = cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α = 3 3 3 =
1 2 3 1 2− 3 ⋅ − ⋅ = . 2 3 2 3 2 3 π 2) Т.к. < α < π , то 2
sinα > 0, тогда 2
sin α = 1 − cos α = 1 −
1 2 2 = ; 9 3
π π π 1 2 2 2 2 4− 2 + ⋅ = . cos α − = cos α ⋅ cos + sin α ⋅ sin = − ⋅ 4 4 4 3 2 3 2 6
296. 1) cos3α ⋅ cosα – sinα ⋅ sin3α = cos(3α + α) = cos4α; 2) cos5β ⋅ cos2β + sin5β ⋅ sin2β = cos(5β – 2β) = cos3β; π 5π π 5π 3) cos + α cos - α sin + α sin -α = 14 7 14 7 5π π π = cos + α + - α = cos = 0 ; 14 2 7 7π 2π 7π 2π 4) cos + α ⋅ cos + α + sin + α ⋅ sin +α = 5 5 5 5 2π 7π = cos +α − − α = cos π = −1 . 5 5 297. π π 1) cos(α + β ) + cos − α cos − β = cos α ⋅ cos β − 2 2 − sin α ⋅ sin β + sin α ⋅ sin β = cosα ⋅ cos β ; 96
π π π π 2) sin - α sin - β - cos(α − β ) = sin ⋅ cosα − cos ⋅ sin α x 2 2 2 2 π π x sin ⋅ cos β − cos ⋅ sin β - (cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ) = 2 2 = cosα ⋅ cos β − cosα ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β = − sin α ⋅ sin β . 298. 1) sin73° ⋅ cos17° + cos73° ⋅ sin17° = sin(73° + 17°)=sin90°=1; 2) sin73° ⋅ cos13° – cos73° ⋅ sin13° = sin(73° – 13°)=sin60°=
3 ; 2
5π π 5π 5π π π π + sin ⋅ cos =sin + =sin =1; ⋅ cos 12 12 12 12 12 12 2 7π π 7π 7π π π π 4) sin – sin ⋅ cos =sin − =sin =1. ⋅ cos 12 12 12 12 2 12 12
3) sin
299. 1) Т.к. π < α <
3π , то 2
sinα < 0, тогда sin α = − 1 − cos 2 α = − 1 −
9 4 =− ; 25 5
π π π 4 3 3 1 − ⋅ = sin α + = sin α ⋅ cos + cos α ⋅ sin = − ⋅ 6 6 6 5 2 5 2 =
4 3 +3 −4 3 −3 =− . 10 10 2) Т.к.
π < α < π , то 2
cosα < 0, тогда cosα = – 1 − sin 2 α = − 1 −
2 7 ; = 9 3
π π 2 7 2 2 π ⋅ − ⋅ = sin − α = sin ⋅ cos α − cos ⋅ sin α = 4 4 2 3 2 3 4 =
− 14 − 2 14 + 2 . =− 6 6
97
300. 1) sin(α + β) + sin( – α)cos( – β) = sinα⋅cosβ + + cosα⋅sinβ – sinα⋅cosβ = cosα ⋅ sinβ; 2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = = – cosα⋅ sinβ – ( sinα⋅cosβ – cosα⋅sinβ) = – cosα⋅sinβ – sinα⋅cosβ + + cosα⋅sinβ = – sinα⋅cosβ; 3) π π π π 3) cos − α sin − β − sin(α − β ) = cos cos α + sin sin α × 2 2 2 2
π π × sin cos β − cos sin β − sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β − 2 2 − sin α cos β + cos α sin β = cos α sin β ; π 4) sin (α + β ) + sin − α sin(− β ) = sin α cos β + cos α sin β − 2 − cos α sin β = sin α cos β . 301. Т.к.
3π < α < 2π , то 2
cosα > 0, тогда cosα = 1 − sin 2 α = 1 −
Т.к. 0 < β <
9 4 = . 25 5
π , то 2
cosβ > 0, тогда cos β = 1 − sin 2 α = 1 −
64 15 ; = 289 17
cos(α + β) = cosα⋅cosβ – sinα⋅sinβ =
4 15 3 8 60 24 84 = ⋅ − − ⋅ = + = ; 5 17 5 17 85 85 85 4 15 3 8 60 24 36 − = . cos(α – β) = ⋅ + − ⋅ = 5 17 5 17 85 85 85
98
302. Т.к.
π < α < π , то sinα > 0; 2
sinα = 1 − cos 2 α = 1 − 0,64 = 0,36 = 0,6 . 3π Т.к. π < β < , 2
то cosβ < 0; cosβ = – 1 − sin 2 α = − 1 −
144 5 =− ; 169 13
sin(α – β) = sinα⋅cosβ – cosα⋅sinβ =
5 12 −15 48 63 − =− . − (−0,8) ⋅ − = 13 65 65 65 13
= 0,6 ⋅ −
303. 2π 2π π 2 1) cos π − α + cosα + = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α + 3 3 3 3 + cos
1 3 1 3 π π ⋅ cosα − sin ⋅ sin α = − cosα + sin α + cosα − sin α = 0 ; 2 2 2 2 3 3
2 2π 2π π 2) sinα + π − sin − α = sinα ⋅ cos + cosα ⋅ sin − 3 3 3 3 1 3 3 1 π π − sin ⋅ cosα + cos ⋅ sinα = − sinα + cosα − cosα + sinα = 0 ; 2 2 3 3 2 2 2 cos α sin β + sin(α − β ) 2 cos α sin β + sin α cos β − cos α sin β 3) = = 2 cos α cos β − cos(α − β ) 2 cos α cos β − cos α cos β − sin α sin β =
cos α sin β + sin α cos β sin(α + β ) = = tg (α + β ) ; cos α cos β − sin α sin β cos(α + β )
4)
cos α cos β − cos(α + β ) cos α cos β − cos α cos β + sin α sin β = = cos(α − β ) − sin α sin β cos α cos β + sin α sin β − sin α sin β
=
sin α sin β = tg α ⋅ tg β . cos α cos β
304. 1) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (sinαcosβ – cosα sinβ)( sinαcosβ + + cosα sinβ) = sin2α cos2β – cos2α sin2β = sin2α(1 – sin2β) – (1 – –sin2α) sin2β = sin2α – sin2α⋅ sin2β – sin2β + sin2α ⋅ sin2β=sin2α – sin2β; 99
2) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (cosαcosβ – sinα sinβ)( cosαcosβ + + sinα sinβ) = cos2α cos2β – sin2α sin2β = cos2α(1 – sin2β) – – (1 – cos2α) sin2β = cos2α – cos2α⋅ sin2β – sin2β + cos2α ⋅ sin2β = = cos2α – sin2β; 2 2 π 2 cos α − 2 cos α + sin α 2 cos α − 2 cos − α 2 4 2 3) = = π 1 3 2 sin + α − 3 sin α 2 cos α + sin α − 3 sin α 2 6 2 2 cos α − 2 cos α − 2 sin α
=
cos α + 3 sin α − 3 sin α
=
− 2 sin α = − 2tgα ; cos α
1 3 π cos α − 2 cos α − sin α cos α − 2 cos + α 2 2 3 = 4) = π 3 1 2 sin α − − 3 sin α 2 sin α + cos α − 3 sin α 6 2 2 cos α − cos α + 3 sin α
=
3 sin α − cos α − 3 sin α
=
3 sin α = − 3tgα . − cos α
305. 1) cos6x ⋅ cos5x + sin6x ⋅ sin5x = – 1; cos (6x – 5x) = – 1. Тогда cos x = – 1; x = π + 2πn, n ∈ ∧; 2) sin3x ⋅ cos5x – sin5x ⋅ cos3x = – 1; sin (3x – 5x) = – 1; – sin2x = – 1; sin2x = 1. Значит, 2x =
π + 2πn; 2
x=
π + 2πn,n ∈ ∧; 4
3)
π 2 cos + x − cos x = 1 ; 4
2 2 2 cos x − sin x − cos x = 1 ; 2 2 cos x – sin x – cos x = 1; sin x = – 1. Поэтому x = – 100
π + 2πn, n ∈ ∧; 2
x π x 2 sin − + sin = 1 ; 2 4 2
4)
2 2 x x x 2 cos − sin + sin = 1 ; 2 2 2 2 2
x x x − sin + sin = 1 ; 2 2 2 x cos = 1 . 2 x Значит, = 2πn и x = 4πn, n ∈ ∧. 2 cos
306. 1)
tg 29° + tg31° = tg ( 29° + 31°) = tg 60° = 3 ; 1 − tg 29° ⋅ tg31°
7π 3π − tg 16 16 = tg 7π − 3π = tg π = 1 . 2) 7π 3π 4 16 16 ⋅ tg 1 + tg 16 16 tg
307. sinα cos β cosα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα + tgβ sin(α + β ) sinα cosβ + cosα sin β = = = ; 1) sinα cos β cosα sin β tgα − tgβ sin(α − β ) sinα cosβ − cosα sin β − cosα cos β cosα cos β cosα cos β sinα sin β + sinα sin β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ + 1 cos(α − β ) cosα cosβ + sinα sin β = = . 2) = cosα cos β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ − 1 cos(α + β ) ctgα ⋅ ctgβ −1 − sinα sin β sinα sin β
308. 1) 2sin15°cos15° = sin2 ⋅ 15° = sin30° =
1 ; 2
2) cos215° – sin215° = cos2 ⋅ 15° – cos30° =
3 ; 2
3) (cos75° – sin75°)2 = cos275° – 2sin75°cos75° + sin275° = = 1 – sin150° = 1 – sin30° = 1 –
1 1 = ; 2 2
4) (cos15° + sin15°)2 = cos215° + 2sin15°cos15° + sin215° = 3 1 = 1 + sin30° = 1 + = . 2 2 101
309. π 8
1) 2 sin cos π 8
3) sin cos
2 2 π π π π π ; 2) cos 2 − sin 2 = cos = ; = sin = 8 4 2 8 8 4 2
2 1 π 1 1 π 1 + = sin + = + = 8 4 2 4 4 4 4
2 +1 ; 4
2
4) =
π π π π 2 2 − cos + sin = − 1 + 2 sin cos = 2 8 8 2 8 8
2 2 2 2 2 π − 1 + sin = − 1+ = −1− = −1 . 2 4 2 2 2 2 310. 1) Т.к.
π < α < π , то cos α < 0, тогда 2
9 4 =− ; 25 5 3 4 24 sin2α = 2 sin αcos α = 2 ⋅ − = − . 5 5 25 3π 2) Т.к. π < α < , то 2 cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −
sin α < 0, тогда sin α = –
1−
16 3 =− ; 25 5
3 4 24 sin2α = 2sin αcos α = 2 ⋅ − ⋅ − = − . 5 5
25
311. 1) sin2α = 1 – cos2α;
2)cos2α = 1 – sin2α;
sin2α = 1 –
cos2α = 1 –
16 9 = . 25 25
9 16 = . 25 25
Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то
Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то
cos2α =
cos2α =
16 9 7 ; − = 25 25 25
312. 2 sin α cosα sin 2α ; = 2 2 sin 2α π 2) cosα cos − α = sin α cosα = ; 2 2
1) sin α cosα =
102
16 9 7 . − = 25 25 25
3) cos4α + sin22α = cos22α – sin22α + sin22α = cos22α; 4) sin2α + (sinα – cosα)2 = 2sinαcosα + sin2α – 2sinαcosα + + cos2α = 1. 313. cos 2α + 1 cos 2 α − sin 2 α + cos 2 α + sin 2 α 2 cos 2 α = = = cosα ; 2 cosα 2 cosα 2 cosα sin 2α 2 sin α cosα 2 cosα 2) = = = 2ctgα ; 2 sin α 1 − cos α sin 2 α
1)
sin 2 α
3) =
(sin α + cos α )2 − 1
=
sin 2 α sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α − 1
=
sin 2 α 1 = tgα ; 2 sin α cosα 2 4)
1 + cos 2α cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α 2 cos 2 α 2 = = = ctg α . 2 1 − cos 2α cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α 2 sin α
314. 1) (sinα + cosα)2 – 1 = 1 + 2sinαcosα – 1 = 2sinαcosα = sin2α; 2) (sinα – cosα)2 = sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 1 – sin2α; 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)( cos2α + sin2α) = cos2α; 4) 2cos2α – cos2α = 2cos2α – cos2α + sin2α = cos2α + sin2α = 1. 315. 1) sinα + cosα =
1 . 2
Возведем в квадрат. Получим: (sinα + cosα)2 =
1 ; 4
3 1 1 ; sin2α = – 1 = – . 4 4 4 1 2) sinα – cosα = – . 3
1 + 2sinαcosα =
Возведем в квадрат (sinα – cosα)2 =
8 1 1 1 ; 1 – 2sinαcosα = ; sin2α = 1 – = . 9 9 9 9
316. 1) 1 + cos2α = sin2α + cos2α + cos2α – sin2α = 2cos2α; 2) 2sin2α = sin2α + cos2α – cos2α + sin2α = 1 – cos2α. 103
317. 1) 2 cos215° – 1 = 2 cos215° – (sin215° + cos215°) = = cos215° – sin215° = cos30° =
3 ; 2
2) 1 – sin222,5° = sin222,5° + cos222,5° – 2sin222,5° = = cos222,5° – sin222,5° = cos45° = 3) 2 cos 2 = cos
π π π π π π − 1 = 2 cos 2 − cos 2 + sin 2 = cos 2 − sin 2 = 8 8 8 8 8 8
2 π ; = 4 2
4) 1 - 2 sin 2
= cos
2 ; 2
π π π π π π - 2 sin 2 - sin 2 = cos 2 + sin 2 = cos 2 = 12 12 12 12 12 12
3 π . = 6 2
318. 1) 1 – 2sin25α=sin25α + cos25α – 2sin25α=cos25α – sin25α=cos10α; 2) 2cos23α – 1 = 2cos23α – (sin23α + cos23α) = = cos23α – sin23α = cos6α; 1 − cos 2α sin 2 α + cos 2 α − cos 2 α + sin 2 α 4 sin 2 α = = = 4 sin α ; α α 1 sin α sin cos sin α 2 2 2 α α 2α 2α 2 cos - 1 2 cos - cos 2 - sin 2 cos α 1 2 2 2 2 = 4) . = = 2 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α 2 sin α sin 2α
3)
319. 1)
cos 2α 2
sin α cos α + sin α cos α sin α = − = ctg − 1; sin α sin α
2)
sin 2α − 2 cosα 2
sin α − sin α
=
=
(cos α − sin α )(cos α + sin α ) = cos α − sin α sin α (cos α + sin α )
sin α
2 cosα (sin α − 1) 2 cosα =− = −2ctgα ; sin α (1 − sin α ) sin α
3) tgα ⋅ (1 + cos 2α ) = tgα ⋅ (cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α ) =
=
sin α ⋅ 2 cos 2 α = 2 sin α cos α = sin 2α ; cos α
104
=
4)
1 − cos 2α + sin 2α = 1 + cos 2α + sin 2α
cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α + 2 sin α cos α cos α ⋅ = cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α + 2 sin α cos α sin α 2 sin α (sin α + cos α ) ⋅ cos α = = 1. 2 cos α (sin α + cos α ) ⋅ sin α =
320. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx ⋅ sinx – 2cosx = 0; 2cosx (sinx – 1) = 0.
π x = + πn cos x = 0 ; ; Тогда 2 sin x − 1 = 0 sin x = 1
π x = 2 + πn, n ∈ Z . x = π + 2πn, n ∈ Z 2
π + πn . 2 2) cos2x + 3sinx = 1; cos2x – sin2x + 3sinx – sin2x – cos2x = 0; 3sinx – 2sin2x = 0; sinx ( – 2sinx + 3) = 0; n∈Z sin x = 0 x = πn, . − 2 sin x + 3 = 0; sin x = 1,5 − нет решения
Ответ:
Ответ: πn; n ∈ ∧. 3) 2sinx = sin2x; 2sinx – 2sinx ⋅ cosx = 0; 2sinx (1 – cosx) = 0; sin x = 0 x = πn, n ∈ Z x = πn, n ∈ Z ; . 1 − cos x = 0; cos x = 1 x = 2πn Ответ: πn. 4) sin2x = – cos2x; sin2x + cos2x – sin2x = 0; cos2x = 0; cosx = 0. π Ответ: + πn ; n ∈ ∧. 2
105
321. Т.к. tg 2α =
2 tgα 2
1 − tg α
, то tg 2α =
2 ⋅ 0,6 1,2 120 7 = = =1 . 1 − 0,36 0,64 64 8
322. 2 tg
1)
π 8
π 1 − tg 8 2
= tg
6 tg15° 1 π = 1 ; 2) = 3 ⋅ tg30° = 3 ⋅ = 3. 2 4 3 1 − tg 15°
323. 1) sin
13 π π π = sin 6π + = sin = 1 ; 2 2 2
2) sin17π = sin (18π – π) = – sinπ = 0; 3) cos7π = cos (8π – π) = cosπ = – 1; 4) cos
11 π π π = cos 6π − = cos = 0 ; 2 2 2
5) sin720° = sin (2 ⋅ 360°) = 0; 6) cos540° = cos (360° + 180°) = cos 180° = – 1. 324. 1) cos420° = cos (360° + 60°) = cos60° = 2) tg570° = tg (3 ⋅ 180° + 30°) = tg30° =
1 ; 2
1 3
3) sin3630° = sin (10⋅ 360° + 30°) = sin30° = 4) ctg960° = ctg (5 ⋅ 180° + 60°) = ctg60° =
; 1 ; 2
1 3
;
13π π π 1 = sin 2π + = sin = ; 6 6 6 2 11π 1 π π = tg 2π − = − tg = − 6) tg . 6 6 6 3
5) sin
325. 1) cos150° = cos (90° + 60°) = – sin60° = – 2) sin135° = sin (90° + 45°) = cos45° = 106
2 ; 2
3 ; 2
3) cos120° = – cos60° = –
1 ; 2
4) sin315° = sin (360° – 45°) = – 45° = –
2 . 2
326. 5π π π = tg π + = tg = 1 ; 4 4 4 7π 1 π π sin = sin π + = − sin = − ; 6 6 6 2 5π π π 1 cos = cos 2π − = cos = ; 3 3 3 2 11 π π π 1 sin − = − sin 2π − = sin = ; 6 6 2 6 π π 1 7π cos − = cos 2π + = cos = ; 3 3 2 3 π π 2π tg − = − tg π − = tg = 3 . 3 3 3
1) tg 2) 3) 4) 5) 6)
327. 1) cos630° – sin1470° – ctg1125° = cos(720° – 90°) – – sin(1440° + 30°) – ctg(1080° + 45°) = cos90° – sin30° – ctg45° = 3 1 =0– –1=– ; 2 2 2) tg1800° – sin495° + cos945° = 0 – sin135° + cos225° = = –sin(90° + 45°)+cos(180° + 45°)= –cos45° –cos45° = – 2⋅
2 =– 2
2;
31π 7π − tg = − sin(6π + π ) − 3 4 π π π π − 2 cos10π + − tg 2π − = − sin π − 2 cos + tg = 3 4 3 4 1 = 0 − 2 ⋅ + 1 = −1 + 1 = 0 ; 2 π 21π 49π 4) cos( −9π ) + 2 sin − = cos π − 2 sin 8π + + − ctg − 6 6 4 π π π 1 + ctg 5π + = −1 − sin + ctg = −1 − 2 ⋅ + 1 = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4 2 3) sin( −7π ) − 2 cos
107
328. 1) cos2(π – α) + sin2(α – π) = cos2α + sin2α = 1; 2) cos(π – α)cos(3π – α) – sin(α – π)sin(α – 3π) = = cos(π – α)cos(3π – α) – sin(π – α)sin(3π – α) = cos(π – α + 3π – α) = = cos(4π – 2α) = cos2α. 329. 1) cos723° + sin900° = cos(360°⋅20 + 30°) + sin(360°⋅2 + 180°) = = cos30° + sin180° =
3 3 ; +0 = 2 2
2) sin300° + tg150° = sin(360° – 60°) + tg(180° – 30°) = = – sin60° – tg30° = –
3 3 −5 3 ; − = 2 3 6
3) 2 sin 6,5π − 3 sin
19π π π = 2 sin 6π + - 3 sin 6π + = 3 2 3
π π 3 3 1 = 2− = ; - 3 sin = 2 − 3 ⋅ 2 3 2 2 2 1 61π π 1 π 4)) 2 cos 4,25π − cos cos10π + = = 2 cos 4π + −
= 2 sin
3
6
4
3
6
π π 2 1 3 1 1 1 − cos = 2 ⋅ − ⋅ = 1− = ; 4 6 2 2 2 3 3 2 π − sin 6π + − tg (6π + π ) sin(−6,5π ) + tg (−7π ) 2 5) = = cos(−7π ) + ctg (−16,25π ) π cos(6π + π ) − ctg 16π + 4 π − sin − tgπ −1− 0 1 2 = = = ; π −1−1 2 cos π − ctg 4 cos(−540°) + sin 480° cos(720° − 180°) + sin(360° + 120°) 6) = = tg 405° − ctg 330° tg (360° + 45°) − ctg (360° − 30°)
= 2 cos
3 −1 + ( 3 − 2)(1 − 3 ) 5 − 3 3 cos 180° + sin 120° 3 −2 2 = . = = = = tg 45° + ctg 30° 4 1+ 3 2(1 + 3 ) 2(1 + 3 )(1 − 3 )
108
330. π sin − α + sin(π − α ) cosα + sin α 2 = = −1 ; 1) cos(π − α ) + sin( 2π − α ) − cosα − sin α π cos(π − α ) + cos − α 2 − cosα + sin α 2) = = 1; π sin α − cosα sin(π − α ) − sin − α 2 − sin α ⋅ ( − tgα ) sin(α − π ) tg (π − α ) ⋅ = = 1; 3) tg (α + π ) tgα ⋅ sin α π cos − α 2
π sin 2 (π − α ) + sin − α 2 sin 2 α + cos 2 α 4) ⋅ tg (π − α ) = ⋅ (−tgα ) = sin(π − α ) sin α =
1 sin α 1 ⋅− . =− sin α cosα cosα
331. Пусть α , β , γ – углы треугольника, sinγ = sin(180° – (α + β)) = sin180°⋅cos (α + β) – – cos180° ⋅ sin (α + β) = 0⋅cos (α + β) – ( – 1)⋅sin (α + β) = sin (α + β). 332. 1)
π π π sin + α = sin ⋅ cos α + cos ⋅ sin α = 2 2 2 = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α ;
2)
π π π cos + α = cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α = 2 2 2 = 0 ⋅ cos α − 1 ⋅ sin α = − sin α ;
3)
3π 3π 3π cos − α = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α = 2 2 2 = 0 ⋅ cos α + (−1) ⋅ sin α = − sin α ;
4)
3π 3π 3π sin − α = sin ⋅ cos α − cos ⋅ sin α = 2 2 2 = −1 ⋅ cos α − 0 ⋅ sin α = − cos α . 109
333. π 1) cos − x = 1 ; 2 sinx = 1. π Тогда x = + 2πn, n ∈ Z . 4 3) cos (x – π) = 0; cosx = 0. Поэтому x =
π + 2πn, n ∈ Z . 4
2) sin (π – x) = 1; sinx = 1.
π + 2πn, 4 π 4) sin x − = 1 ; 2 – cosx = 1;
Значит x =
n∈Z .
cosx = – 1. Тогда x = π + 2πn, n ∈ Z.
334. π π + α - cos - α = 4 4
1) sin
2 2 2 2 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 ; 2 2 2 2
=
π 6
π 3
2) cos - α - sin + α =
3 1 3 1 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 . 2 2 2 2
=
336. 1) I четв.; 3) III четв.; 5) II четв. 337. 1) sin3π = 0; cos3π = – 1; 3) sin3,5π = – 1;
2) III четв.; 4) IV четв.;
2) sin4π = 0; cos4π = 1; π 5π 4) sin = sin = 1 ; 2 2 5π =0; 2
cos3,5π = 0;
cos
5) sinπn = 0; n − четное 1, cos πn = ; − 1 , n − нечетное
6) sin ((2n + 1)π) = 0;
110
cos ((2n + 1)π) = – 1, n ∈ Z.
338. 3π = 0 – 0 = 0; 2
1) sin3π – cos
2) cos0 – cos3π + cos3,5π = 1 – ( – 1) + 0 = 2; 3) sinπk + cos2πk = 0 + 1 = 1; 4) cos
(2k + 1)π (4k + 1) π = 0 - 1 = −1 . - sin 2 2
339. 1) Т.к.
π < α < π , то cosα < 0, тогда 2
cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −
1 6 . =− 3 3
3π , то tgα < 0, 2
2) Т.к. π < α <
1
т.к. 1 + tg2α =
2
cos α
1
, то tgα =
2
cos α
−1 =
9 2 2 5 −1 = = . 5 5 5
1 1 2 π 3) Т.к. 0 < α < , то sinα > 0, ctgα = ; = = tgα 2 2 4 2
1 + ctg2α =
1 sin α
4) Т.к. π < α < 1 + tg2α = cosα = –
1
sinα =
2
2
1 + ctg α
1
=
1+
1 8
=
8 = 9
2 2 . 3
3π , то cosα < 0, 2
1
,
cos 2 α
tgα =
1 2
1 + ctg α
=
1 1 1+ 2
1 2
=
=−
2 ; 2 2 − 6 . = 3 3
340. 1) 5sin2α + tgα ⋅ cosα + 5cos2α = = 5 (sin2α + cos2α) +
sin α ⋅ cosα = 5 + sinα; cosα
2) ctgα ⋅ sinα – 2cos2α – 2sin2α =
=
sin α 2 2 ⋅ sin α – 2 (sin α + cos α) = cosα – 2; cosα
111
3) 4)
3 2
1 + tg α
5 1 + ctg 2α
2 2 = 3 cos α . Т.к. cos α =
= 5 sin 2 α . Т.к. sin2α =
1 1 + tg 2α
;
1 1 + ctg 2α
.
341. π π 1) 2sin( – α) ⋅ cos − α – 2cos( – α) ⋅ sin − α = 2
2
2
= – 2sinα ⋅ sinα – 2cosα ⋅ cosα = – 2sin α – 2cos2α = = – 2(sin2α + cos2α) = – 2;
π π − α + 3sin2 − α = 2 2
2) 3sin(π – α)cos
= 3sinα ⋅ sinα + 3cos2α = 3(sin2α + cos2α) = 3; 3) (1 – tg( – α)) ⋅ (1 – tg(π + α))cos2α = (1 + tgα)(1 – tgα) ⋅ cos2α = = (1 – tg2α) ⋅ cos2α = cos2α – sin2α = cos2α;
1 = (1 + tg2α) ⋅ = 2 + − α 1 ctg ( ) 1 ctg α +
4) (1 + tg2( – α))⋅ =
(1 + tg 2α ) ⋅ tg 2α 1 + tg 2α
1
2
2 = tg α .
342. 3π 3π + α = cos α − cos α = −2 cos α . - α + sin 2 2
1) sin
1 1 , то значение выражения равно – . 4 2 π π 3 2) cos + α + cos − α = − sin α − sin α = −2 sin α . 2 2 1 1 Т.к. sinα = , то значение выражения равно – . 6 3
Т.к. cosα =
343. 1) 2sin75° ⋅ cos75° = sin150° = sin (180° – 150°) = sin30° = 2) cos275° – sin275° = cos150° = – cos (180° – 150°) = = – cos30° = – 112
3 ; 2
1 ; 2
2 ( 3 − 1) 2 3 2 1 6− 2 ; ⋅ − ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 2⋅ 3 2 2 ( 3 + 1) 6+ 2 + = = . 4) sin75° = sin(45° + 30°) = 2⋅2 2⋅2 4 4
3) sin15°=sin(45° – 30°) =
344. π 1) cos2(π – α) – cos2 − α = cos2α – sin2α = cos2α;
2 π π 2) 2sin − α cos − α = 2 ⋅ cosα ⋅ sinα = sin2α; 2 2
cos 2 ( 2π + α ) − sin 2 ( 2π + α ) cos 2 α − sin 2 α cos 2α = = = ctg 2α ; 2 cosα sin α sin 2α π 2 cos(2π + α ) cos − α 2 π 2 sin(π − α ) sin − α 2 cosα sin α sin 2α 2 4) = = = tg 2α . 2 2 π cos 2α 2 2 cos sin α − α sin α − − sin (α − π ) 2
3)
345. 47π 1 π π π = sin 8π − = sin − = sin − = − ; 6 6 2 6 6 π π 25π 2) tg = tg 6π + = tg = 1 ;
1) sin
4
4
4
3) ctg
27π π π π = ctg 7π − = ctg − = ctg − = −1 ; 4 4 4 4
4) cos
21π 2 π π π . = cos 5π + = cos π + = − cos = − 4 4 4 4 2
346. 1)cos
π 23π 15π π π π = cos 6π − - sin 4π = cos − − sin − = - sin 4 4 4 4 4 4
π π 2 2 + sin = + = 2; 4 4 2 2 25π 10π π π π π 2) sin − tg = sin 8π + − tg 3π + = sin − tg = 3 3 3 3 3 3
= cos
=
3 3 ; − 3=− 2 2
113
3) 3cos3660° + sin( – 1560°) = 3cos(10 ⋅ 360° + 60°) + + sin( – 120° – 4 ⋅ 360°) = 3⋅cos60° – sin120° = 3⋅ =
1 – sin60° = 2
3 3 3− 3 − = ; 2 2 2
4) cos( – 945°) + tg1035° = cos( – 3 ⋅ 360° + 135°) + + tg(2,5 ⋅ 360° + 135°) = cos135° + tg135° = – cos45° – tg45° = =–
2 2+ 2 −1 = − . 2 2
347. 1) sin3 > cos4, т.к. sin3 > 0, cos4 < 0.
2) cos0 > sin5, т.к. sin5 < 0, cos0 = 1.
348. 1) sin 3,5 ⋅ tg3,5 =
sin 2 3,5 < 0 , т.к. sin23,5>0, cos3,5<0; cos 3,5
2) cos5,01 ⋅ sin0,73 > 0, т.к. cos5,01>0, sin0,73>0; 3)
tg13 < 0 , т.к. tg13>0, cos15<0; cos15
4) sin1 ⋅ cos2 ⋅ tg3 >0, т.к. sin1>0, cos2 и tg3<0. 349. 1) sin
3π 3π π π π π 3π ⋅ cos + sin ⋅ cos = sin + = sin = 1 ; 8 8 8 8 8 2 8
2) sin165° = sin (120° + 45°) = sin120°⋅ cos45° + cos120° ⋅ sin45° = 2 3 −1 3 2 1 2 6− 2 ; = ⋅ − ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 3) sin105° = sin (60° + 45°) = sin60°⋅ cos45° + cos60°⋅ sin45° = 2 3 +1 3 2 1 2 6+ 2 ; = ⋅ + ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 4) sin =
(
)
(
)
π π π π π π π = sin − = sin ⋅ cos − cos ⋅ sin = 12 3 4 3 4 3 4
(
)
2 3 −1 3 2 1 2 6− 2 ⋅ − ⋅ = = ; 2 2 2 2 4 4 5) 1 – sin2195° = cos2195° – sin2195° = cos390° = cos(360° + 30°) =
= cos30° = 114
3 ; 2
6) 2 cos 2
= cos
3π 3π 3π 3π 3π 3π - 1 = 2 cos 2 - cos 2 - sin 2 = cos 2 - sin 2 = 8 8 8 8 8 8
3π 2 =− ; 4 2
350. 1) (1 + tg( – α)) ⋅ (1 – ctg( – α) –
sin( −α ) = (1 – tgα) ⋅ (1 + ctgα) + cos(−α )
+ tgα = 1 + ctgα – tgα – 1 + tgα = ctgα; ctgα + tg (−α ) tg (−α ) ctgα − tgα 1 2) + = − = cosα + sin(−α ) sinα cosα − sinα cosα =
cos2 α − sin2 α 1 cosα + sinα 1 − = − = cosα ⋅ sinα (cosα − sinα ) cosα cosα ⋅ sinα cosα
=
cosα 1 = . cosα ⋅ sinα sinα 351.
Т.к.
π < α < π , то cosα < 0, тогда cosα = – 2
tgα =
1 − sin 2 α = − 1 −
5 2 =− ; 9 3
5 sin α 3 = − 5 ; ctg α = 1 = − 2 ; = tgα cosα 2 −2 5 3
5 2 4 5 ⋅− = − ; 3 3 9 4 5 1 cos2 α = cos2α – sin2 α = − = − ; 9 9 9
sin 2α = 2sin α cosα = 2 ⋅
352. 1) cos3α ⋅ sinα – sin3α ⋅ cosα = cosα ⋅ sinα(cos2α – sin2α) =
=
1 1 sin2α ⋅ cos2α = sin4α; 2 4
2)
sin α + sin 2α sin α (1 + 2 cosα ) sin α (1 + 2 cosα ) = = = tgα . 1 + cosα + cos 2α cosα (1 + 2 cosα ) 2 cos 2 α + cosα
353. sin 2α − sin 2α ⋅ cos 2α sin 2α(1 − cos 2α) 2 sin α cos α ⋅ 2 sin 2 α 1) = = = sin3 α ; 4 cos α 4 cos α 4 cos α
115
2 cos2 2α 2 cos2 2α = = sin 4α ⋅ cos 4α + sin 4α sin 4α (cos 4α + 1) 1 1 ; 2 cos2 2α = = = 2 2 sin 2α cos 2α (2 cos 2α ) 2 sin 2α cos 2α sin 4α cos 2α + sin 2α ⋅ cos 2α cos 2α (1 + sin 2α ) 3) = = 2 sin 2 α − 1 sin 2 α − cos 2 α cos 2α (1 + sin 2α ) = = −(1 + sin 2α ) ; - cos 2α (cos α − sin α ) 2 1 − 2 cos α sin α = = 4) sin 2α ⋅ cos 2α − cos 2α cos 2α (sin 2α − 1) −(sin 2α − 1) −1 . = = cos 2α (sin 2α − 1) cos 2α 2)
354. cos 2 x cos 2 x − sin x(1 − sin x) 1 − sin x − sin(π − x) = = 1) =1; 1 − sin x (1 − sin x) 1 − sin x 2)
cos 2 x cos 2 x + sin x(1 + sin x) 1 + sin x + cos(1,5π + x) = = = 1; 1 + sin x 1 + sin x 1 + sin x
3)
sin 2 x sin 2 x + cos x(1 − cos x) 1 + cos x − sin(1,5π + x) = = = 1; 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x
4)
sin 2 x sin 2 x − cos x(1 − cos x) 1 − cos x + cos(3π − x) = = =1. 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
355. 1 tg 2α + 1 (sin 2 α + cos 2 α ) cosα = = = tgα tgα cos 2 α ⋅ sin α π 1 1 2 , т.к. α = − , то = = = 1 sin 2α sin 2α 12 cosα sin α 2 1) tgα + ctgα = tgα +
π 6
1 2 = −4 ; и значение выражения равно 2 -1 2
2) ctgα − tgα =
cosα sin α cos 2 α − sin 2 α cos 2α − = = = 2ctg 2α . 1 sin α sin α cosα cosα ⋅ sin α 2
sin2 α = sin − = –
Т.к. α = − 116
π π , то 2ctg2 α = 2ctg (- ) = 2 ; 8 4
cosα sin α + = cosα + sin α cosα − sin α
3) =
cos 2 α − cos α ⋅ sin α + cos α ⋅ sin α + sin 2 α 2
2
cos α − sin α
=
1 . cos 2α
1 π = Т.к. α = − , то cos 2α 6
1 1 = = 2; π 1 cos − 2 3 sin α cosα − = cosα + sin α cosα − sin α
4) =
sin α ⋅ cos α − sin 2 α − cos 2 α − cos α ⋅ sin α 2
2
cos α − sin α π 1 = Т.к. α = , то 3 cos 2α
=
−1 . cos 2α
−1 - 1 = =2. 2π -1 cos 2 3
356. π 2 sin + α sin(π − α ) + cos 2α − 1 2 cos 2α + sin α ⋅ cosα − cos 2 α =
=
2 cosα sin α + cos 2 α − sin 2 α − cos 2 α − sin 2 α 2
2
2
cos α − sin α + sin α ⋅ cosα − cos α
=
2 sin α (cosα − sin α ) =2 sin α (cosα − sin α )
357. 3π 1) sin(2 x + 3π ) sin x + − sin 3x cos 2 x = −1 ; 2 – sin2x ⋅ ( – cos3x) – sin3x cos2x = – 1; sin (3x – 2x) = 1, т.е. sinx=1. Тогда x =
π + 2πn , 2
n∈Z.
3π ) ⋅ cos(2 x + 4π ) − sin(5 x + π ) sin 2 x = 0 ; 2 π Тогда 3 x = + πn, n ∈ Z cos 5 x ⋅ cos 2 x + sin 5 x sin 2 x = 0; 2 cos(5 x − 2 x) = 1; cos 3x = 0. π πn и x= + , n ∈ Z. 6 3
2) sin(5 x −
117
358. 1) tg (α + β) =
3 tgα + tgβ , т.к. tg α = – , tgβ = 2,4 , то 4 1 − tgα tgβ
3 + 2,4 1,65 165 33 4 ; = = = 3 1+ 2,4 2,8 280 56 4 1 4 3 2) ctg (α + β) = . Т.к. ctg α = , то tg α = , tg (α + β) 3 4
tg (α + β) =
т.к. ctg β = – 1, то tg β = – 1; tg (α + β) = =
tgα + tgβ = 1 − tgα ⋅ tgβ
3 −1 −1 4 4 = − 1 , поэтому ctg (α + β) = – 7. = 3 3 7 1 − ⋅ (−1) 1 4 4
359. π π π π π 1) 2 sin + 2α sin − 2α = 2 sin + 2α sin − + 2α = 4 4 4 2 4 π π π = 2 sin + 2α cos + 2α = sin + 4α = cos 4α ; 2 4 4 π π π π π 2) 2 cos + 2α ⋅ cos − 2α = 2 cos + 2α cos − + 2α = 2 4 4 4 4
π π π = 2 sin + 2α cos + 2α = sin + 4α = cos 4α ; 4 4 2
π π π π π − α ) − cos 2 ( + α ) = cos 2 ( − ( + α )) − cos 2 ( + α ) = 4 4 2 4 4 π π π = sin 2 ( + α ) − cos 2 ( + α ) = − cos 2 ( + 2α ) = sin 2α ; 4 4 2 π π π π π 4) sin 2 + α − sin 2 − α = sin 2 − − α − sin 2 − α = 3) cos 2 (
4
4
2
4
π π π = cos 2 − α − sin 2 − α = cos − 2α = sin 2α . 4 4 2
360. 1) 1 + cos2 x = 2cos x; 2cos2x – 2cosx = 0; 118
2) 1 – cos2x = 2sin x; 2sin2x – 2sin x = 0;
4
2cosx (cos x – 1) = 0; cos x = 0 ; cos = 1 π x = + πn, n ∈ Z ; 2 x = 2πk , k ∈ Z
2sin x (sin x – 1) = 0; sin x = 0 ; sin x = 1 x = πn, n ∈ Z . π = + π ∈ x 2 k , k Z 2
Глава V. Прогрессия 361. 1) a3 = 9; a6 = 36, an = n2; 2) аk = 4, если k = 2; аk = 25, если k = 5; аk = n2, если k = n; аk = (n + 1)2, если k = n + 1. 362. 1) Пусть an = 2n + 3; a1 = 2 ⋅ 1 + 3 = 5; a2 = 2 ⋅ 2 + 3 = 7; a3 = 2 ⋅ 3 + 3 = 9.
2) Пусть an = 1 + 3n; a1 = 1 + 3 ⋅ 1 = 4; a2 = 1 + 3 ⋅ 2 = 7; a3 = 1 + 3 ⋅ 3 = 10.
3) Пусть an = 100 – 10n2;
4) Пусть a n =
a1 = 100 – 10 ⋅ 1 = 100 – 10 = 90;
a1 =
a2 = 100 – 10 ⋅ 4 = 100 – 40 = 60; a3 = 100 – 10 ⋅ 9 = 100 – 90 = 10. 5) Пусть a n = a1 = 1; a2 =
1 ; n
1 1 ; a3 = . 2 3
n−2 ; 3
1− 2 1 =− ; 3 3 2−2 a2 = =0; 3 3− 2 1 a3 = = . 3 3
6) Пусть a n = − n 3 ; a1 = – 1; a2 = – 8; a3 = – 27.
363. xn = n2 если xn = 100, то n = 10; если xn = 144, то n = 12 если xn = 225, то n = 15 49, 169 – члены последовательности xn = n2, т.к. 49 = 72, 169 = 132 48 – не члены последовательности xn = n2. 119
364. 1) пусть an = – 3, тогда – 3 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 3 = 0. Решим: n1 = 3; n2 = – 1 – не подходит, т.к. n∈N; a3 = – 3 – член an; 2) пусть an = 2, тогда 2 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 8 = 0. Решим: n1 = 4; n2 = – 2 – не подходит, т.к. n∈N; а4 = 2 – член an; 3) пусть an = 3, тогда 3 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 9 = 0. Решим: n 1, 2 =
D = 1 + 9 = 10; 4
1 ± 10 – не подходят, т.к. n∈N; 1
an = n2 – 2n – 6 an = – 3 – не член an; 4) пусть an = 9, тогда 9 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 15 = 0. Решим: n1 = 5; n2 = – 3 – не подходит, т.к. n∈N; а5 = 9 – член an. 365. 1) a2 = 3а1 + 1 = 3 ⋅ 2 + 1 = 6 + 1 = 7; a3 = 3а2 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 = 21 + 1 = 22; a4 = 3а3 + 1 = 3 ⋅ 22 + 1 = 66 + 1 = 67; 2) a2 = 5 – 2a1 = 5 – 2 ⋅ 2 = 5 – 4 = 1; a3 = 5 – 2a2 = 5 – 2 ⋅ 1 = 5 – 2 = 3; a4 = 5 – 2a3 = 5 – 2 ⋅ 3 = 5 – 6 = – 1. 366. 1) Если an = 150, то 150 = (n – 1)(n + 4); 150 = n2 + 3n – 4; n2 + 3n – 154 = 0. Решим: D = 9 + 616 = 625 > 0, n 1, 2 =
−3 ± 25 ; 2
n1 = 11, n2 = – 14 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 11.
2) Если an = 104, то 104 = (n – 1)(n + 4); 104 = n2 + 3n – 4; n2 + 3n – 108 = 0. Решим: D = 9 + 432 = 441 > 0, n 1, 2 =
−3 ± 21 ; 2
n1 = 9, n2 = – 12 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 9.
367. а2 = а1 = 256 = 162 = 16 ; а3 = а2 = 16 = 42 = 4 ; а4 = а3 = 4 = 22 = 2 .
120
368. 1) а 2 = sin
π π ⋅ a 1 = sin = 1 ; 2 2 π π а 4 = sin ⋅ a 3 = sin = 1 ; 2 2 π π а 6 = sin ⋅ a 5 = sin = 1 ; 2 2
π π а 3 = sin ⋅ a 2 = sin = 1 ; 2 2 π π а 5 = sin ⋅ a 4 = sin = 1 ; 2 2
2) а2 = cosπ = – 1; a4 = cosπ = – 1; а6 = cosπ = – 1.
а3 = cos( – π) = – 1; а5 = cos( – π) = – 1;
369. а3 = а12 – а2 = 22 – 3 = 1; а4 = а22 – а3 = 32 – 1 = 8; а5 = а32 – а4 = 12 – 8 = – 7. 370. 1) Пусть an = – 5n + 4; an + 1 = – 5(n + 1) + 4 = – 5n – 5 + 4; an + 1 = – 5n – 1; an – 1 = – 5(n – 1) + 4 = – 5n + 5 + 4; an – 1 = – 5n + 9; an + 5 = – 5(n + 5) + 4 = – 5n – 25 + 4; an + 5 = – 5n – 21. 2) Пусть an = 2(n – 10). Тогда an + 1 = 2(n + 1 – 10) = 2n + 2 – 20; an + 1 = 2n – 18; an – 1 = 2(n – 1 – 10) = 2n – 2 – 20; an – 1 = 2n – 22; an + 5 = 2(n + 5 – 10) = 2n + 10 – 20; an + 5 = 2n – 10. 3) Пусть an = 2 ⋅ 3n + 1. Тогда an + 1 = 2 ⋅ 3n + 2; an – 1 = 2 ⋅ 3n; an + 5 = 2 ⋅ 3n + 6. 1 4) Пусть an = 7⋅
n+2
2
1 Тогда an + 1 = 7⋅ 2
1 an – 1 = 7⋅ 2
n +1
n +3
. ;
1 ; an + 5 = 7⋅ 2
n +7
. 121
372. 1) Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то a2 = 2 + 5 = 7; a3 = 7 + 5 = 12; a4 = 12 + 5 = 17; a5 = 17 + 5 = 22;
2) Т.к. a2 = a1 + d, то a2 = – 3 + 2 = – 1; a3 = – 1 + 2 = 1; a4 = 1 + 2 = 3; a5 = 3 + 2 = 5.
373. 1) an + 1 = 3 – 4(n + 1); an + 1 – an = 3 – 4(n + 1) – 3 + 4n = 3/ − 4/ n/ − 4 − 3/ + 4/ n/ = −4 , т.к. разность an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 2) an + 1 = – 5 + 2(n + 1); an + 1 – an = – 5 + 2(n + 1) + 5 – 2n = – 5/ + 2/ n/ + 2 + 5/ − 2/ n/ = 2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 3) an + 1 = 3(n + 2); an + 1 – an = 3(n + 2) – 3(n + 1) = 3/ n/ + 6 - 3/ n/ - 3 = 3, т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 4) an + 1 = 2(2 – n); an + 1 – an = 2(2 – n) – 2(3 – n) = 4 − 2/ n/ − 6 + 2/ n/ = −2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 374. 1) an = a1 + (n – 1)d, n = 15, поэтому а15 = a1 + 14d = 2 + 14 ⋅ 3 = 2 + 42 = 44. Ответ: а15 = 44. 2) an = a1 + (n – 1)d, n = 20, тогда a20 = a1 + 19d; а20 = 3 + 19 ⋅ 4 = 3 + 76 = 79. Ответ: a20 = 79. 3) an = a1 + (n – 1)d, n = 18, тогда а18 = a1 + 17d; а18 = – 3 + 17 ⋅ ( – 2) = – 37. Ответ: a18 = – 37. 4) an = a1 + (n – 1)d, n = 11, тогда а11 = a1 + 10d; а11 = – 2 + 10 ⋅ ( – 4) = – 42. Ответ: a11 = – 42. 375. 1) а1 = 1; а2 = 6; d = 6 – 1 = 5; an = a1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) ⋅ 5; an = 5n – 4; 122
2) а1 = 25; а2 = 21; d = 21 – 25 = – 4; an = a1 + (n – 1)d=25 + (n – 1) ⋅ ( – 4); an = – 4n + 29;
3) а1 = – 4; а2 = – 6; d = – 6 – ( – 4) = – 2; an = a1 + (n – 1)d = = – 4 + (n – 1) ⋅ ( – 2); an = – 2n – 2;
4) а1 = 1; а2 = – 4; d = – 4 – 1 = – 5; an = a1 + (n – 1)d = = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 5); an = – 5n + 6.
376. а1 = 44; d = 38 – 44 = – 6; an = a1 + (n – 1)d. Тогда – 22 = 44 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 66 – 6n + 6; 6n = 50 + 22; 6n = 72; n = 12. 377. a1 = – 18; a2 = – 15; d = – 15 – ( – 18) = 3; an = a1 + (n – 1)d. Тогда 12 = – 18 + (n – 1) ⋅ 3; 30 = 3n – 3; 3n = 33; n = 11. Ответ: 12 является членом аn. 378. a1 = 1; a2 = – 5; d = – 5 – 1 = – 6; Тогда – 59 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); – 60 = – 6n + 6; 6n = 66;
an = a1 + (n – 1)d. Значит – 46 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 47 – 6n + 6; 6n = 53;
n = 11;
n=8
а11 = – 59 является членом an.
значит, – 46 не является членом an.
5 – не натуральное, 6
379. 1) an = а1 + (n – 1)d; а16 = а1 + 15 ⋅ d, т.к. a1 = 7, a16 = 67, то 67 = 7 + 15d; 15d = 60. Отсюда d = 4. 2) a9 = а1 + 8d, т.к. a1 = – 4, a9 = 0, то 1 0 = – 4 + 8d; 8d = 4. Тогда d = . 2 380. 1) а9 = 12. Т.к. а9 = а1 + 8 ⋅ d, то 12 = а1 + 8 ⋅ 1,5; а1 = 12 – 12; а1 = 0.
2) а7 = – 4. Т.к. а7 = а1 + 6 ⋅ d, то – 4 = а1 + 6 ⋅ 1,5; а1 = – 4 – 9; а1 = – 13. 123
381. 1) d = – 3; а11 = 20. Т.к. а11 = а1 + 10d, то 20 = а1 + 10 ⋅ ( – 3); а1 = 20 + 30 = 50; а1 = 50; 382. 1) если а3 = 13; а6 = 22. Т.к. а6 = а3 + 8d, то 22 = 13 + 3 ⋅ d. Тогда 3d = 9 и d = 3; а3 = а1 + 2d; 13 = а1 + 2 ⋅ 3; а1 = 13 – 6. Получим а1 = 7. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = 7 + (n – 1) ⋅ 3. Итак, аn = 3n + 4.
2) а21 = – 10; a22 = – 5,5; d = а22 – а21 = – 5,5 – ( – 10) = 4,5. Т.к. a21 = а1 + 20 ⋅ d, то – 10 = а1 + 20 ⋅ 4,5; а1 = – 10 – 90 = – 100. 2) если а2 = – 7; а7 = 18. Т.к. а7 = а2 + 5d, то 18 = – 7 + 5d. Значит 5d = 25 и d = 5; а2 = а1 + d; а1 = – 7 – 5. Получим а1 = – 12. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = – 12 + (n – 1) ⋅ 5. Итак, аn = 5n – 17.
383. а1 = 15; a2 = 13. Тогда d = 13 – 15 = – 2. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то an = 15 + (n – 1) ( – 2); an = – 2n + 17. Т.к. an < 0, то – 2n + 17 < 0; – 2n < – 17. Тогда n > 8,5, т.е. при n ≥ 9 an<0. 384. 1 2
Т.к. an = а1 + (n – 1)d, то аn = – 10 + (n – 1)⋅ ; an =
1 1 1 1 n – 10 . Если an < 2, то n – 10 < 2; 2 2 2 2
n – 21 < 4, n<25. Т.е. при n ≤ 25; an<2. 385. 1) если а8 = 126, а10 = 146; а9 =
а 8 + а 10
, тогда
2 126 + 146 272 а9 = = 136; = 2 2
d = a9 – a8, d = 136 – 126 = 10; 124
2) если а8 = – 64, а10 = – 50; а9 =
а 8 + а 10
, тогда
2 −64 − 50 −114 а9 = = – 57; = 2 2
d = a9 – a8; d = – 57 – ( – 64) = – 57 + 64 = 7;
3) если а8 = – 7, а10 = 3; а9 =
а 8 + а 10 2
−7 + 3 −4 = = = – 2; 2 2
d = a9 – a8= – 2 – ( – 7) = 5;
4) если а8 = 0,5, а10 = – 2,5; а9 =
а 8 + а 10 2
=
0,5 − 2,5 = – 1; 2
d = a9 – a8 = – 1 – 0,5 = – 1,5.
386. Запишем данные условия: а5 = а1 + 4d. Тогда а5 = 4,9 + 4 ⋅ 9,8 = 44,1 (м). 387. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 105 = 15 + (n – 1) ⋅ 10; 90 = 10n – 10; 10n = 100, отсюда n = 10. Ответ: 10 дней. 388. an + ak = а1 + (n – 1)d + a1 + (k – 1)d = 2a1 + (n + k – 2)d, но an – ℓ + ak + ℓ = а1 + (n – ℓ – 1)d + a1 + (k + ℓ – 1)d = 2a1 + (n + k – 2)d, тогда an + ak = an – 1 + ak + 1 , доказано, поэтому а10 + а5 = а10 – 3 + а5 – 3 = а7 + а8 = 30. Ответ: а10 + а5 = 30. 389. а n + k + a n − k а n + a n 2a n = аn (из предыдущего номера), = = 2 2 2
тогда а20 =
а 10 + a 30 2
=
120 = 60. 2
390. 1) а1 = 1, an = 20, n = 50; Sn =
а1 + a n 1 + 20 ⋅ n ; S 50 = ⋅ 50 = (1 + 20) ⋅25 = 21 ⋅ 25 = 525; 2 2
2) а1 = 1, an = 200, n = 100; S100 =
1 + 200 ⋅ 100 = 201⋅50 = 10050; 2
3) а1 = – 1, an = – 40, n = 20; S 20 =
−1 − 40 ⋅ 20 = – 41⋅10 = – 410; 2
4) а1 = 2, an = 100, n = 50; S 50 =
2 + 100 ⋅ 50 = 102⋅25 = 2550. 2
125
391. an = 98; a1 = 2; d = 1. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 98 = 2 + (n – 1) ⋅ 1; 96 = n – 1; n = 97; S 97 =
2 + 98 ⋅ 97 = 50 ⋅ 97 = 4850. 2
392. а1 = 1; d = 2; an = 133. Т.к. an = a1 + (n – 1)d , то 133 = 1 + (n – 1) ⋅ 2; 132 = 2n – 2; n = 67; S67 =
1 + 133 ⋅ 67 = 67 ⋅ 67 = 4489. 2
393. 1) а1 = – 5; d = 0,5;
2) а1 =
Sn =
2a1 + (n − 1)d ⋅n ; 2
Sn =
S12 =
2 ⋅ (−5) + 11 ⋅ 0,5 ⋅ 12 = 2
S12
= ( – 10 + 5,5) ⋅ 6 = – 27;
1 ; d = – 3; 2
2a1 + (n − 1)d ⋅n ; 2 1 2 ⋅ + 11 ⋅ (−3) 2 = ⋅ 12 = 2
= (1 – 33) ⋅ 6 = – 192.
394. 1) а1 = 9; d = а2 – а1 = 13 – 9 = 4; S11 =
2 ⋅ 9 + 10 ⋅ 4 2а1 + 10d (18 + 40) ⋅11 ⋅ 11 = ⋅ 11 = = 29 ⋅ 11 = 319; 2 2 2
2) а1 = – 16; d = а2 – а1 = – 13 – ( – 16) = 6 S12 = =
2а 1 + 11d ⋅ 12 = 2
2 ⋅ (−16) + 11 ⋅ 6 ⋅ 12 = (−32 + 66) ⋅ 6 = 6 ⋅ 34 = 204. 2
395. 1) а1 = 3; d = 3; an = 273. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 273 = 3 + (n – 1) ⋅ 3; 270 = 3n – 3; 3n = 273. Тогда n = 91. S 91 =
126
a 1 + a 91 2
⋅ 91 =
3 + 273 ⋅ 91 = 138 ⋅ 91 = 12558. 2
2) а1 = 90; d = 80 – 90 = – 10; an = – 60. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то – 60 = 90 – 10n + 10; 10n = 100 + 60 = 160. Т.е. n = 16; S16 =
a 1 + a 16 2
⋅ 16 = (90 – 60) ⋅ 8 = 30 ⋅ 8 = 240.
127
396. a) а1 = 10; d = 1; an = 99. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 99 = 10 + n – 1. Тогда n = 90; S 90 =
a 1 + a 90 2
⋅ 90 =
10 + 99 ⋅ 90 = 109 ⋅ 45 = 4905. 2
б) а1 = 100; d = 1; an = 999. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 999 = 100 + n – 1. Т.е. n = 900; S 900 =
a 1 + a 900 2
⋅ 900 =
100 + 999 ⋅ 900 = 1099 ⋅ 450 = 494550. 2
397. 1) а1 = 3⋅1 + 5 = 8; а50 = 3⋅50 + 5 = 155; S50 =
а 1 + а 50 2
⋅ 50 =
8 + 155 ⋅ 50 = 163 ⋅ 25 = 4075; 2
2)а1 = 7 + 2 = 9; а50 = 7 + 2⋅50 = 107; S50 =
а 1 + а 50 2
⋅ 50 =
9 + 107 ⋅ 50 = 116 ⋅ 25 = 2900. 2
398. а1 = 7, а = аn + 1 – an = – 3, a9 = 7 – 3 ⋅ 8 = – 17. 7 − 17 Тогда S9 = ⋅ 9 = – 45. 2 399. а1 = 3; d = 1. Т.к. S n =
2a 1 + ( n − 1)d 6 + ( n − 1) ⋅n ; ⋅ n , то 75 = 2 2
150 = 6n + n2 – n; n2 + 5n – 150 = 0. Решим: n1 = 10, n2 = – 15 – не натуральное. Ответ: 10. 400. 1) а1 = 10; n = 14; S14 = 1050. Т.к. S14 =
2а 1 + 13d ⋅ 14 , то 2
1 2
5 6
2) а1 = 2 ; n = 10; S10 = 90 . Т.к. S10 =
2а 1 + 9 ⋅ d ⋅ 10 , то 2
127
1050 =
20 + 13d ⋅ 14 . 2
Отсюда 1050 = 7(20 + 13d); 910 = 91d и d = 10.
2 5 = 4 + 9d ⋅ 5 . 6 3 5 1 Отсюда 90 – 23 = 45d; 6 3 1 45d = 67 и d = 1,5. 2
90
Тогда a14 = a1 + 13d;
Тогда a10 = a1 + 9d;
a14 = 10 + 130 = 140;
a10 = 2
401. 1) а7 = 21; S7 = 205.
2) а11 = 92; S11 = 22.
Т.к. S 7 = 205 =
a1 + a 7 2
⋅ 7 , то
a 1 + 21 ⋅7 ; 2
410 = 7а1 + 147; 7а1 = 263. 4 Тогда а1 = 37 . 7 Т.к. а7 = а1 + 6d, то 4 21 = 37 + 6d; 7 4 6d = – 16 ; 7 58 d=– . 21
Итак d = – 2
5 1 1 + 13 = 15 . 3 2 6
a 1 + a 11 ⋅ 11 , то 2 a + 92 ⋅ 11 ; 22 = 1 2
Т.к. S11 =
44 = (а1 + 92) ⋅ 11; а1 + 92 = 4. Тогда а1 = – 88. Т.к. a11 = a1 + 10d, то 92 = – 88 + 100d; 180 = 10d. Итак d = 18.
16 . 21
402. an = 12; d = 1; a1 = 1. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 12 = 1 + n – 1. Тогда n = 12. S12 =
a 1 + a 12 1 + 12 ⋅ 12 ; S12 = ⋅ 12 = 13 ⋅ 6 = 78 (брёвен). 2 2
403. а3 + а9 = а1 + 2 + a11 – 2 = a1 + а11 = 8 (из предыдущих задач). a + a 11 S11 = 1 ⋅11 . 2 128
Тогда S11 =
8 ⋅11 = 44. 2
404. 2a 1 + 4d 2a + 9d ⋅ 5 , т.к. S10 = 1 ⋅ 10 , 2 2 2/ (a 1 + 2d ) то 65 = ⋅ 5 , то 230 = (2а1 + 9d) ⋅ 5. 2/ Тогда 13 = a1 + 2d. Тогда 2а1 + 9d = 46 : 2 ,
Т.к. S 5 =
а1 + 2d = 13 5d = 20 получим ; ; 2a1 + 9d = 46 a1 + 2d = 13
d = 4 . a1 = 5
405. 2a 1 + 11d ⋅ 12 ; S12 = 6 ⋅ (2a1 + 11d). Тогда 2 2a + 7 d 2a + 3d S8 − S 4 = 1 ⋅8 − 1 ⋅ 4 = 4 ⋅ ( 2a 1 + 7d ) − 2 ⋅ ( 2a 1 + 3d ) = 2 2 S12 =
= 8a1 + 28d – 4a1 – 6d = 4a1 + 22d; 3(S8 – S4) = 3⋅(4a1 + 22d) = 3⋅2(2a1 + 11d) = 6⋅(2a1 + 11d), получили: S12 = 3(S8 – S4). 407. 1) b1 = 12, q = 2; b2 = b1⋅q = 12⋅2 = 24; b3 = 24⋅2 = 48; b4 = 48⋅2 = 96; b5 = 192;
2) b1 = – 3, q = – 4; b2 = b1⋅q = – 3⋅( – 4) = 12; b3 = 12⋅( – 4) = – 48; b4 = – 48⋅( – 4) = 192; b5 = 192⋅( – 4) = – 768.
408. 1) bn = 3 ⋅ 2n. Пусть bn + 1 = 3 ⋅ 2n + 1. Тогда т.к.
b n +1 bn
=
3 ⋅ 2 n +1 3⋅ 2n
=
3/ ⋅ 2 n ⋅ 2 3/ ⋅ 2/ n
=2,
bn +1 не зависит от n то bn – геометрическая прогрессия. bn
2) bn = 5n + 3. Пусть bn + 1 = 5n + 4. Тогда
b n +1 5 n + 4 5/ n ⋅ 5 4 b = = = 5 т.к. n +1 не зависит от n, то n 3 n 3 + / bn bn 5 5/ ⋅ 5/
129
bn – геометрическая прогрессия. 1 3) bn =
n −2
3
.
1 Пусть bn + 1 =
n −1
3
b
n +1
b
=
n
1 3 1 3
n −1
n −2
=
;
n
−1
n
−2
1 1 ⋅ 3 3 1 1 ⋅ 3 3
=
1 1 3
−1
=
b 1 т.к. n +1 не зависит от n, 3 bn
то bn – геометрическая прогрессия. 4) bn =
1 5 n −1
.
Пусть bn + 1 = 1 b
n +1
b
т.к.
n
n
= 5 1
5 n −1
1 5n
; 1
n 1 = 5 = , 1 5 ⋅5 n 5
bn +1 не зависит от n, то bn – геометрическая прогрессия. bn
409. 1) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b4 = b1 ⋅ q3 , b4 = 3 ⋅ 103 = 3000. 2) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 1 1 6 4 . b7 = b1 ⋅ q6 = 4 ⋅ = = 6 2 16 3) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b5 = b1 ⋅ q4 = 1 ⋅ ( – 2)4 = 16. 4) Т.к. bn – b1 ⋅ q5, то 1 5 −3 b6 = b1 ⋅ q5 = – 3 ⋅ − = 3
− 243
=
410. 1) b1 = 4; q = 3; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1, то bn = 4 ⋅ 3 n – 1; 130
1 . 81
2) b1 = 3; q =
1 n −1 1 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 4 ⋅ ; 3 3
3) b1 = 4; q = –
1 n −1 1 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 4 ⋅ − ; 4 4
4) b1 = 3; q = –
4 n −1 4 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 3 ⋅ − . 3 3
411. 1) b1 = 6; b2 = 12, … , bn = 192; q=
b2 12 = 2. = 6 b1
Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 192 = 6 ⋅ 2n – 1 , но 32 = 25, значит, 32 = 2n – 1 , 25 = 2n – 1; 5 = n – 1; n = 6; 2) b1 = 4; b2 = 12, … , bn = 324; q=
12 = 3. 4
Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 324 = 4 ⋅ 3n – 1; 81 = 3n – 1 , 34 = 3n – 1 , значит, 4 = n – 1; n = 5; 3) b1 = 625; b2 = 125, … , bn = q=
1 ; 25
b2 125 1 = ; = 5 b1 625
Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то
1 n −1 1 = 625 ⋅ , значит, 25 5
5 – 2 = 54 ⋅ 5 1 – n = 55 – n, отсюда –2=5–n и n = 7; 4) b1 = – 1; b2 = 2, … , bn = 128; q=
b2 = – 2 Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b1
131
128 = – 1 ⋅ ( – 2)n – 1; – 128 = ( – 2)n – 1 , получили: ( – 2)7 = ( – 2)n – 1 , тогда 7=n–1 и n = 8. 412. 1) b1 = 2; b5 = 162. Т.к. b5 = b1 ⋅ q4 ,то
2) b1 = – 128; b7 = – 2. Т.к. b7 = b1 ⋅ q6 , то
162 = 2 ⋅ q4;
– 2 = 128 ⋅ q6 , значит q6 = ;
81 = q4;
1 = q6; 64
1 2
3) b1 = 3; b4 = 81. Т.к. b4 = b1 ⋅ q3 , то 81 = 3 ⋅ q3;
1 1 , q2 = – ; 2 2 4) b1 = 250; b4 = – 2. Т.к. b4 = b1 ⋅ q3 , то – 2 = 250 ⋅ q3;
q3 = 27 поэтому q = 3;
q3 = –
34 = q4 , поэтому q1 = 3, q2 = – 3; q1 =
1 1 поэтому q = – . 125 5
413. 1) b1 = 2; q = 3. Т.к. b8 = b1 ⋅ q7 , то b8 = 2 ⋅ 37 = 4374; 2) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 162 = 2 ⋅ 3n – 1; 81 = 3n – 1 , 3n – 1 = 34, значит, 4 = n – 1, n = 5. 414. 1) b8 =
1 ; b6 = 81. 9
Т.к. b7 = b7 =
b 8 b 6 , то
1 ⋅ 81 = 9 = 3 . 9
Тогда q =
b8 1 . = b 7 27
415. 1) b4 = 5; b6 = 20. 132
2) b6 = 9; b8 = 3. Т.к. b7 = b7 =
b 8 b 6 , то
9⋅3 = 3 3 .
Тогда q =
3 3 3
=
2) b4 = 9; b6 = 4.
1 3
=
3 . 3
6
Т.к. b5 = ± b 4 ⋅ b 6 , то
Т.к. b5 = ± b 4 ⋅ b 6 , то
b5 = ± 5 ⋅ 20 = ±10 . Т.к. b6 = b4⋅q2 , то
b5 = ± 9 ⋅ 4 = ± 6 . Т.к. b6 = b4⋅q2 , то
20 = 5⋅q2.
q2 =
20 9 = 4; 4 = 9⋅q2 , q2 = . 5 4
Тогда q2 = 4, q1 = 2 или q2 = – 2; Тогда q = b4 = b1⋅q3; 5 = b1⋅( – 2)3. Если q = 2, то b1 =
5 , b5 = 10. 8
5 Если q = – 2, то b1 = – . 8 5 b5 = – 10, b1 = – . 8
Ответ: b5 = 10, b1 = b5 = – 10, b1 = –
5 . 8
5 , 8
2 2 либо q = – ; 3 3
b4 = b1⋅q3;
3
3
2 2 9 = b1⋅ либо 9 – b1 ⋅ ; 3
3
27 243 3 = = 30 либо b1 = 9 ⋅ 8 8 8 3 b1 = – 30 . 8
3 Ответ: b5 = 6, b1 = 30 ; 8 3 b5 = – 6, b1 = – 30 . 8
416. q = 1,2 b2 = 300000 ⋅ 1,2 = 360000. Тогда 300000 + 360000 = 660000 р. 660000 ⋅ 1,2 = 792000. Отсюда 660000 + 792000 = 1452000 р. Ответ: 1 452 000 р. 417.
АВСD – квадрат, АВ = 4 см, 133
A1, B1, C1, D1 – середины соответствующих сторон. Докажем, что SA, SA1, SA2, … – геометрическая прогрессия. и найдем S7 АВ = 4 см, А1В1 = 2 2 см, А2В2 = 2 см, А3В3 =
2 см.
2
b1 = 4; q = ; 2 , значит, А2 В2 2 1 2 = = = S1 = b12 ; S n = bn2 ; А1В1 2 2 2 2
А1В1 2 2 2 = = АВ 4 2
2 2
n −1
bn = 4⋅ bn = 8
( 2)
Ответ: 8
n −1
. Т.к.
S7 = (b7 )2 , то S7 = (b7 )2 = (b1 ⋅ q 6 ) 2 = b12 ⋅ q12 2 2
. Тогда S7 = 42⋅
( 2 )n −1 ; S
7
=
;
12
= 2 ⋅ 2− = 2− = 4
6
2
1 см2. 4
1 (см2). 4
419. 1) Если b1, b2, b3 – члены геометрической прогрессии, то b22 = b1⋅ b3, т.е. cos2α = (1 – sinα)(1 + sinα) = 1 – sin2 α = cos2 α , это верно. 2) Докажем, что
b b2 = 3 ; b1 b2
α α α 2α − sin 2 cos cos + sin cosα 2 2 = 2 2 , = 1 − sin α α α 2 cos α − sin α cos − sin 2 2 2 2 2
α α α α sin − cos cos + sin 1 + sin α 2 2 2 2 , Но и = = α α cosα 2α 2α cos cos − sin − sin 2 2 2 2
получили, что b1, b2, b3 – геометрическая прогрессия. 420. 134
1) b1 =
1 ; q = 2; n = 6. 2
2) b1 = – 2; q =
n
Т.к. S n =
5
b 1 (1 − q ) , то 1− q
Т.к. S 5 =
1 (1 − q 6 ) 1 − 64 2 S6 = = = 31,5 ; 1− 2 −2
3) b1 = 1; q = – Т.к. S 4 =
S4 =
=
1 ; n = 4. 3
b 1 (1 − q 4 ) , то 1− q
1 1 ⋅ 1 − − 3 1+
1 3
4
1 ; n = 5. 2
1 − 2 ⋅ 1− 31 31 32 = −4 ⋅ = − ; S5 = 1 32 8 1− 2 2 4) b1 = – 5; q = – ; n = 5. 3
Т.к. S 5 =
=
80 ⋅ 3 20 = 81⋅ 4 27
5) b1 = 6; q = 1; n = 200, т.к. q = 1, то прогрессия вырождена и S200 = 6⋅200 = = 1200.
b 1 (1 − q ) , то 1− q
b 1 (1 − q 5 ) , то 1− q
2 5 − 5 ⋅ 1 − − 3 S5 = = 2 1+ 3 32 − 5 ⋅ 1 + 275 243 = =− 5 81 3 6) b1 = – 4; q = 1; n = 100, т.к. q = 1, то прогрессия вырождена и S200 = – 4 ⋅ 100 = = – 400.
421. 7
1) b1 = 5; q = 2. Т.к. S 7 = S7 =
5 ⋅ (1 − 2 7 ) = – 5(1 – 128) = 635; 1− 2
2) b1 = 2; q = 3. Т.к. S 7 = S7 =
b 1 (1 − q ) , то 1− q
b 1 (1 − q 7 ) , то 1− q
2 ⋅ (1 − 3 7 ) = 37 – 1 = 2187 – 1 = 2186; 1− 3
422. 135
1) Т.к. b7 = b1⋅q6 и q = 2, то Т.к. S7 =
b 1 (1 − q 7 ) , то 1− q
b7 = 5 ⋅ 64; – 635 = b1(1 – 128). Тогда b7 = 320; b1 = – 635 : ( – 127) = 5. Ответ: b7 = 320, b1 = 5. 2) a) Т.к.
b 1 (1 − q 8 ) = S8, то 1− q
85 ⋅ 3 = b1⋅ (1 – 256). Тогда b1 = (85 ⋅ 3) / ( – 255) = 255/ ( – 255) = – 1. б) Т.к. b8 = b1⋅q7 , то b8 = ( – 1)⋅( – 2)7 = 128. Ответ: b1 = – 1, b8 = 128. 423. 1) Sn = 189, b1 = 3, q = 2.
2) Sn = 635, b1 = 5, q = 2.
n
Т.к. S n =
b 1 (1 − q ) , то 1− q
Т.к. 635 =
n
189 =
3 ⋅ (1 − 2 ) ; 1− 2
– 635 = 5⋅(1 – 2n) ;
– 189 = 3⋅(1 – 2n); – 63 = 1 – 2n; – 64 = – 2n; 2n = 26 , поэтому n = 6; 3) Sn = 170, b1 = 256, q = –
Т.к. Sn =
n
5 ⋅ (1 − 2 n ) , то 1− 2
– 127 = 1 – 2n; – 128 = 2n; 27 = 2n , поэтому n = 7; 1 . 2
b1 (1 − q ) , то 170 = 1− q
1 256 ⋅ 1 − − 2 3 2
n
;
n 1 n 1 510 = 512 ⋅ 1 − − , тогда 510 = 512 – 512 − ; 2 2 n
n
8
1 1 n 1 1 1 ; − = − ; n = 8; 512 − = 2; − = 2 256 2 2 2 136
4) Sn = – 99, b1 = – 9, q = – 2. Т.к. Sn =
(
)
(
)
b1 (1 − q n ) , то 1− q
n − 9 ⋅ 1 − (− 2 )n ; 33 = 1 − (−2) ; 1 − (−2) 32 = −(−2) n ; n − 9 ⋅ 1 − (− 2 ) ; (−2) 5 = (−2) n ; − 99 = 3 n = 5.
− 99 =
424. 1) b1 = 7, q = 3, Sn = 847. n
Т.к. S n =
b 1 (1 − q ) , то 1− q
847 = 7 ⋅ 121 =
7 ⋅ (1 − 3n ) ; −2
121⋅( – 2) = 1 – 3n; 243 = 3n; 35 = 3n , поэтому n = 5; b5 = 7 ⋅ 34 = 567; 2) b1 = 8, q = 2, Sn = 4088. n
Т.к. S n =
b 1 (1 − q ) 8 ⋅ (1 − 2n ) , то 4088 = 8 ⋅ 511 = ; 1− q 1− 2
– 511 = 1 – 2n , 512 = 2n; поэтому 29 = 2n; n = 9; b9 = 8 ⋅ 28 = 2048; 3) b1 = 2, bn = 1458, Sn = 2186. b 1 (1 − q n ) , то 1− q
Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то
Т.к. S n =
1458 = 2⋅qn – 1;
2186 =
729 = qn – 1, получим qn = 729q;
1093(1 – q) = 1 – qn; 1093 – 1093q – 1 + qn = 0, т.к. qn = 729 q, то 1092 – 1093q + 729q = 0; 1092 – 364q = 0; q = 3, тогда 3n – 1 = 36, n = 7;
2 ⋅ (1 − q n ) ; 1− q
137
4) b1 = 1, bn = 2401, Sn = 2801. b 1 (1 − q n ) , то 1− q
Т.к. bn = b1⋅qn – 1 ,то
Т.к. S n =
2401 = qn – 1;
2801 =
qn = 2401q.
2801(1 – q) = 1 – qn , т.к. qn = 2401q, то 2801(1 – q) = 1 – 2401q; 2800 = 2801q – 2401q; 2800 = 400q; q = 7; qn – 1 = 2401, тогда 7n – 1 = 74, значит, n = 5.
n
1− q ; 1− q
425. 1) b1 = 1; q = 2; bn = 128. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 128 = 2n – 1 , 27 = 2n – 1 , значит, n = 8. Т.к. S 8 =
b 1 (1 − q 8 ) , то 1− q 8
S8 =
1 ⋅ (1 − 2 ) = – (1 – 256) = 255; 1− 2
2) b1 = 1; b2 = 3; q = 3; bn = 243. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 243 = 1⋅3n – 1 , 35 = 3n – 1 , тогда n = 6. Т.к. S 6 = S6 =
b 1 (1 − q 6 ) , то 1− q
1 ⋅ (1 − 3 6 ) 728 = 364; = 1− 3 2
3) b1 = – 1; q = – 2; bn = 128. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 128 = – 1⋅( – 2)n – 1; – 128 = ( – 2)n – 1; ( – 2)7 = ( – 2)n – 1 , значит n = 8. Т.к. S 8 = 138
b 1 (1 − q 8 ) 1 ⋅ (1 − 256) 255 , то S 8 = = 85. = 1− q 3 3
4) b1 = 5; q = – 3; bn = 405. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 405 = 5⋅( – 3)n – 1 , ( – 3)n – 1 = 81 = 34; n = 5. 5
Т.к. S 5 =
b 1 (1 − q ) 5 ⋅ (1 + 243) , то S 5 = = 5⋅61 = 305. 1− q 4
426. 25 5 = . 15 3 125 625 Т.к. b5 = b2⋅q3 , то b5 = 15⋅ = . 27 9 5 Т.к. b1 = b2:q , то b1 = 15: = 9. 3 625 9 ⋅ 1 − 544 2 544⋅ 3 272 2 b (1 − q4 ) 81 = =− = = 90 . :− = S4 = 1 5 1− q 9 3 9⋅ 2 3 3 1− 3
1) Т.к. b3:b2 = q, то q =
2) Т.к. b4 = b2⋅q2 , то b1 = b2:q, 686:14 = q2; b1 = 14:7 = 2; q2 = 49 q = 7, т.к. q>0; b5 = b4⋅q. Тогда S4 =
2 ⋅ (1 − 74 ) 2(1 − 74 ) 1 − 74 = = = 800; −6 −3 1− 7
b5 = 686⋅7 = 4802. 427. 1) b1 = 3; q = 2. Т.к. S 5 =
b 1 (1 − q 5 ) , то 1− q
3 ⋅ (1 − 32) = – 3(1 – 32) = – 3⋅( – 31) = 93; 1− 2 1 2) b1 = 3; b2 = – . 2 S5 =
Т.к. b2:b1 = q , то q =
S6 =
6 b (1 − q ) 1 . Т.к. S 6 = 1 , то 2 1− q
1 ) 64 = −2 ⋅ 1 − 1 = −2 ⋅ 63 = − 1 31 . 1 32 64 64 1− 2
− 1 ⋅ (1 −
139
428. (x – 1)(хn – 1 + xn – 2 + xn – 3 + … + 1) = xn + хn – 1 + xn – 2 + … + x – n–1 –х – xn – 2 – … – x – 1 = хn – 1. 429. b3 = b1q 2 135 = b1q 2 135 = b1q 2 1) . b1 (1 − q 3 ) ⇒ b1 (1 − q 3 ) ⇒ , 195 = , 195 = b1 (1 + q + q 2 ) S3 = 1− q 1− q
Поделим 1 на 2 уравнение q2 135 = , тогда 195 1 + q + q 2 q2 9 = ; 13 1 + q + q 2 13q2 – 9q2 – 9q – 9 = 0; 4q2 – 9q – 9 = 0. Решим: 9 ± 81 + 4 ⋅ 4 ⋅ 9 9 ± 15 = , т.е. q= 8 8 3 q = 3 или q = – . Если q = 3, то 4 135 135 135 ⋅16 3 b1 = = 15, и b1 = = 240, если q = – . = 2 4 9 9 3 4 3 Ответ: q = 3, b1 = 15 или q = – , b1 = 240. 4 2) Т.к. S 3 = 372 =
b 1 ⋅ (1 − q 3 ) , то 1− q
12 ⋅ (1 − q 3 ) , q ≠ 1; 1− q
1 + q + q2 = 31; q2 + q – 30 = 0. Решим: q = – 6, q2 = 5. Если q1 = – 6, то b3 = 12⋅( – 6)2 = 432, и b3 = 12 ⋅ 52 = 300, если q2 = 5. Ответ: q = – 6, b3 = 432 или q = 5, b3 = 300. 140
430. 1) Т.к. b3 = b1⋅q2, b5 = b1⋅q4 и b3 + b5 = 90, то b1⋅q2 + b1⋅q4 = 90, тогда q2 + q4 – 90 = 0. Обозначим q2 = t, получим t2 + t – 90 = 0. Решим: t1 = 9; t2 = – 10. Тогда q2 = 9 т.к. q2 = – 10 не имеет решения. Поэтому q1 = 3; q2 = – 3. Ответ: q = 3 или q = – 3. 2) Т.к. b4 = b2⋅q2, b6 = b2⋅q4 и b4 + b6 = 60, то b2⋅q2 + b2⋅q4 = 60, тогда 3q2 + 3q4 – 60 = 0; q4 + q2 – 20 = 0. Обозначим q2 = t, значит t2 + t – 20 = 0. Решим: t1 = 4; t2 = – 5. Тогда q2 = 4 т.к. q2 = – 5 – не имеет решения. Поэтому q1 = 2; q2 = – 2. Ответ: q = 2 или q = – 2. b1 − b1q 2 = 15 b1q − b1q 3 = 30
b − b = 15 3) 1 3 b2 − b4 = 30 1 1 q = 2 b ⋅ (1 − q 2 ) = 15 1
Значит, S10 =
b1 15 b1 ⋅ (1 − q 2 ) = 15 b q = 30 1 b1 ⋅ q (1 − q 2 ) = 30 2 b1 ⋅ (1 − q ) = 15
q = 2 b1 = −5
b 1 ⋅ (1 − q 10 ) − 5 ⋅ (1 − 210 ) = = 5 ⋅ (1 − 1024) = −5115 . 1− q 1− 2
b 3 − b 1 = 24 b 5 − b 1 = 624
4)
b 1 ⋅ q 2 − b 1 = 24 b 1 ⋅ q 4 − b 1 = 624
b 1 ⋅ (q 2 − 1) = 24 . b 1 ⋅ (q 4 − 1) = 624
Поделим 1 на 2 уравнение q 2 −1 4
q −1
Тогда
=
24 . 624
q2 − 1
(q + 1)(q 2
2
− 1)
=
1 ; 26
q2 + 1 = 26;
141
q2 = 25, q1 = 5; q2 = – 5, b1 = Если q = 5, то S 5 =
24 = 1. 24
b 1 ⋅ (1 − q 5 ) 1 − 5 5 1 − 3125 = = = 781 . 1− q 1− 5 −4
Если q = – 5, то S 5 =
b 1 ⋅ (1 − q 5 ) 1(1 + 3125) 3126 = = = 521 . 1− q 6 6
Ответ: S5 = 781, если q = 5; S5 = 521, если q = – 5. 431. 1) b1 = 1; b2 = q=
1 1 ; b3 = ; … 2 4
1 b2 1 = 2 = <1, значит прогрессия бесконечно убывает; b1 1 2
1 1 1 … ; b2 = ; b3 = 3 9 27 1 b 1 q = 2 = 9 = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает; 1 b1 3 3
2) b1 =
3) b1 = – 81; b2 = – 27;… q=
b 17 b 16
=
−27 1 = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает; − 81 3
4) b1 = – 16; b2 = – 8;… q=
b2 1 −8 = = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает. b1 − 16 2
432. 1) b1 = 40; b2 = 20;… q=
b2 1 1 −20 <1, значит, прогрессия бесконечно = = − ; |q| = b1 40 2 2
убывает; 3 ;… 4 3 Т.к. b11 = b7⋅q4 , то = 12⋅q4. 4 1 1 1 1 Тогда q4 = иq= или q = – , |q| = <1, значит, прогрес16 2 2 2
2) b7 = 12; b11 =
сия бесконечно убывает; 142
3) b7 = – 30; b6 = 15;… q=
b2 −30 = = −2 ; |q| = 2>1, значит, прогрессия не бесконечно b1 15
убывающая; 1 ;… 27 1 Т.к. b9 = b5⋅q4 , то – = – 9⋅q4. 27 1 Отсюда q4 = . 243 1 1 Тогда q = ± 4 , |q| = 4 <1, значит, прогрессия бесконечно 3 3 3 3
4) b5 = – 9; b9 = –
убывает. 433. 1) 1; q=
1 1 ; … 3 9
b 1 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 ; S = 3 1− q 1− 1
=
3 ; 2
6 b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. S = 1− q 6 1− 1
=
3
1 2) 6; 1; … 6
q=
6
6 ⋅ 6 36 = ; 5 5
3) – 25; – 5; – 1… q=
b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. 1− q 5
S=
125 −25 −25 ⋅ 5 ; = =− 4 4 1− 1 5
4) – 7; – 1; –
1 … 7
q=
b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. 7 1− q
S=
49 −7 −7 ⋅ 7 = =− . 1 6 6 1− 7 143
434. 1) b1 =
b 1 1 ,q= , S = 1 ; 8 2 1− q
1
8 =2= 8 1− 1 2 1 3) b5 = ,q= 81 S=
1 ; 4 1 . 3
2) b1 = 9, q = –
b 1 , S= 1 ; 3 1− q
9⋅3 3 9 = =6 ; 1 4 4 1+ 3 1 1 4) b4 = – , q = – . 8 2 S=
Т.к. b5 = b1⋅q4 , то
Т.к. b4 = b1⋅q3 , то
1 4 1 = b1⋅ , b1 = 1. 81 3
–
Тогда S =
3 1 = = 1,5 ; 1 2 1− 3
3
1 1 = b1⋅ − , b1 = 1. 8 2
Тогда S =
1 2 = . 1 3 1+ 2
435. 1) bn = 3⋅( – 2)n; b1 = – 6; b2 = 12; q=
b2 12 = = – 2. Т.к. |q| = 2>1, то bn – не бесконечно убыb1 −6
вающая геометрическая прогрессия; 2) bn = – 3⋅4n; b1 = – 12; b2 = – 48; q=
b2 −48 = = 4. Т.к. |q| = 4>1, то bn – не бесконечно убываюb1 − 12
щая геометрическая прогрессия; 1 3) bn = 2⋅ −
n −1
3
b1 = 2; b2 = – Т.к. |q| =
;
−2 b 2 3 = −1 . ;q= 2 = 3 b1 2 3
1 <1, то bn – бесконечно убывающая геометрическая 3
прогрессия; 1 4) n = 5⋅ − 2
b1 = 5; q = –
n −1
;
1 1 . Т.к. |q| = <1, то bn – бесконечно убывающая 2 2
геометрическая прогрессия. 144
436. 1 ; 3 b 12 ⋅ 3 12 S = 1 ; S= = = 18 ; 2 1− q 1− 1 3 1 2) b1 = 100, q = ; 10 b 1000 10 100 S = 1 ; S= = = 90 . 11 11 1− q 1+ 1 10
1) b1 = 12, q =
437. 1) Т.к. b5 = b1⋅q4 , то b1 =
2 . Тогда S =
2 1 b = b1 ⋅ 4 = 1 , значит, 16 16 2 2
1− 1
=2 2. 2
Ответ: S = 2 2 . 3
2) Т.к. b4 = b1⋅q3 , то отсюда b1 = и S=
9 8 ⋅ = 3; 8 3 3
3 1− 3
3 9 = b1⋅ , 8 2
= 2
2 3 2− 3
=
2 3 (2 + 3 ) ( 2 − 3 )(2 + 3 )
=
4 3+6 = 4 3 +6. 1
Ответ: S = 4 3 + 6. 438. а) Т.к. S =
b b1 2 , то 150 = 1 , 150 ⋅ = b1; 1− q 3 1− 1 3
b1 = 100; б) Т.к. S =
b1 75 1 1 1 , то 150 = . Тогда 2 = ;1–q= ,q= . 1− q 1− q 1− q 2 2
439. Т.к. b1 = a; q =
а 1 , то получим S = 2 1− 1
= 2а. 2
145
440.
Так как все окружности вписаны в угол, то их центры лежат на биссектрисе угла А. R R = 2R, AD = AB + R1 + R2. = 2R = sin 30° 1/ 2 АВ R 1 Т.к. ∆ADE ∼ ∆АВС, то получаем . = AD R 2
Тогда АВ =
2R 1 R 1 = 1 , R 2 = R1 . R1 − R 2 R 2 3 Действуя аналогично, рассматривая подобные треугольники, по-
Тогда
1 лучим что Rn = R 1 ⋅
n −1
3
.
Покажем, что R1 + 2(R2 + R3 + …Rn + …) = 2R1 . Пусть bn = Rn + 1, q = 1/3. Тогда S =
b1 . 1− q
R2 3R 2 Значит S = = = 2 1− 1 3
отсюда R1 + 2S = R1 + 2
1 3⋅ R1 R 3 = 1 , 2 2
R1 = 2R1. 2
441. 1) 0,(5) = 0,5555… Обозначим через у = 0,(5). Умножим обе части равенства на 10. Тогда 5 + 0,(5) = 10у, но y = 0,(5), следовательно, 5 + у = 10у, 5 = 9у. Итак, у = 146
5 5 , ⇒ 0,(5) = . 9 9
2) 0,(9) = 0,999… Обозначим через y = 0,(9), умножим на 10, 9 + 0,(9) = 10у; 9 + у = 10у; 9 = 9у, тогда у = 1; 0,(9) = 1; 3) 0,(12) = 0,1212… Обозначим через y = 0,(12), умножим на 100: 12 + 0,(12) = 100у, 0,(12) = y, значит, 12 + у = 100у; 12 = 99у; у=
12 4 . = 99 33
Отсюда 0,(12) =
4 . 33
4) 0,2(3) = 0,2333… Обозначим через 0,(3) = у, 0,2(3) = 0,2 + 0,0(3) = 0,2 + 0,(3) ⋅ 0,1. Вычислим 0,(3), затем искомое 3 + 0,(3) = 10у; 3 = 9у; у=
1 1 1 1 7 . Тогда 0,2(3) = 0,2 + ⋅ 0,1 = + . = 3 3 5 30 30
446. 1) an = n(n + 3) ; n = 1, a1 = 1⋅(1 + 3) = 4; n = 2, a2 = 2 ⋅(2 + 3) = 2 ⋅ 5 = 10; n = 3, a3 = 3 ⋅(3 + 3) = 3 ⋅ 8 = 18; 2) an = 4n; n = 1, a1 = 4; n = 2, a2 = 16; n = 3, a3 = 64; 3) an = 5 ⋅ 2n; n = 1, a1 = 5⋅ 2 = 10; n = 2, a2 = 5⋅ 22 = 5 ⋅ 4 = 20; n = 3, a3 = 5⋅ 23 = 5 ⋅ 8 = 40; 4) an = sin
π ; n
n = 1, a1 = sinπ = 0; n = 2, a2 = sin n = 3, a3 = sin
π = 1; 2
3 π . = 4 2 147
447. n −1 ; n +1
1) an =
10 − 1 9 ; n = 30, = 10 + 1 11 30 − 1 29 a30 = ; = 30 + 1 31 n+9 2) an = ; 2n − 1 10 + 9 19 30 + 9 39 n = 10, a10 = ; = = 1 ; n = 30, a30 = = 2 ⋅ 10 − 1 19 2 ⋅ 30 − 1 59
n = 10, a10 =
3) an = |n – 15| – 5; n = 10, a10 = |10 – 15| – 5 = 0; n = 30, a30 = |30 – 15| – 5 = 10; 4) an = 10 – |n – 20|; n = 10, a10 = 10 – |10 – 20| = 0; n = 30, a30 = 10 – |30 – 20| = 0. 448. а2 = 1 – 0,5⋅а1 = 1 – 0,5⋅2 = 0; а4 = 1 – 0,5⋅а3 =
1 ; 2
а6 = 1 – 0,5⋅а5 = 1 – 0,5 ⋅
3 3 5 = 1− = ; 4 8 8
а3 = 1 – 0,5⋅а2 = 1; 1 3 = ; 4 4 5 5 11 а7 = 1 – 0,5⋅а6 = 1 – 0,5 ⋅ = 1 − = . 8 16 16
а5 = 1 – 0,5⋅а4 = 1 –
449. 1 3
2 3
1) 4; 4 ; 4 ;… а1 = 4; d = a2 – a1 =
1 ; 3
1 1 1 ⋅ 3 = 5; а5 = 4 + ⋅ 4 = 5 ; 3 3 3 1 1 2) 3 ; 3; 2 ;… 2 2 1 1 а1 = 3 ; d = a2 – a1 = – ; 2 2 1 1 1 1 а4 = 3 – ⋅ 3 = 2; а5 = 2 – = 1 ; 2 2 2 2
а4 = 4 +
148
3) 1; 1 + 3 ; 1 + 2 3 ;… а1 = 1; d = a2 – a1 = 3 ; а4 = 1 + 3 ⋅3 = 1 + 3 3 ; а5 = 1 + 3 3 + 3 = 1 + 4 3 ; 4) 2 ; 2 – 3; 2 – 6;… а1 = 2 ; d = a2 – a1 = – 3; а4 = 2 – 3 ⋅ 3 = 2 – 9; а5 = 2 – 9 – 3 = 2 – 12. 450. Найдем an + 1 = – 2(1 – (n + 1)) = – 2( – n) = 2n; an + 1 – an = 2n – ( – 2(1 – n)) = 2n + 2(1 – n) = 2n + 2 – 2n = 2. Т.к. an + 1 – an – не зависит от n, то an – арифметическая прогрессия. 451. 1) а1 = 6; d =
1 . 2
Т.к. a5 = a1 + 4d, то a5 = 6 + 4 ⋅ 1 3
2) а1 = – 3 ; d = –
1 = 6 + 2 = 8; 2
1 . 3
Т.к. a7 = a1 + 6d, то a7 = – 3
1 1 1 1 + 6 ⋅ − = – 3 – 2 = – 5 . 3 3 3 3
452. 1) а1 = – 1; а2 = 1; d = a2 – a1 = 1 – ( – 1) = 2. Т.к. S20 = S20 =
2а 1 + 19d ⋅ 20 , то 2
−2 + 38 ⋅ 20 = 360; 2
2) а1 = 3; а2 = – 3; d = a2 – a1 = – 3 – 3 = – 6. Т.к. S20 = S20 =
2а 1 + 19d ⋅ 20 , то 2
6 − 114 ⋅ 20 = −1080 . 2
453. 1) а1 = – 2; аn = – 60; n = 10. Т.к. S10 =
a 1 + a 10 2
⋅ 10 , то
S10 = ( – 2 – 60) ⋅ 5 = – 310;
1 1 ; аn = 25 ; n = 11. 2 2 a 1 + a 11 Т.к. S11 = ⋅ 11 , то 2 1 + 25 1 2 ⋅ 11 = 13⋅11 = 143; S11 = 2 2
2) а1 =
149
454. а1 = – 38; d = 5; an = 12. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 12 = – 38 + (n – 1)5; 50 = (n – 1)⋅5. Значит n – 1 = 10, n = 11; S11 =
26 −38 + 12 ⋅ 11 = − ⋅ 11 = −143 . 2 2
Ответ: S11 = – 143. 2) а1 = – 17; d = 3; an = 13. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 13 = – 17 + (n – 1)⋅3; 30 = (n – 1)⋅3; n – 1 = 10; n = 11 S11 =
−17 + 13 ⋅ 11 = −2 ⋅ 11 = −22 . 2
Ответ: S11 = – 22. 455. 1 … 3 1 q = b2:b1 = . 3
1) 3; 1;
3
1 1 1 1 1 Тогда b4 = 3 ⋅ = ; b5 = ⋅ ; = 9 9 27 3 3
2)
1 1 ; ; 4 8
1 … 16
q = b2:b1 = –
1 1 ⋅4 = − . 8 2 3
Тогда b4 = 3) 3;
1 1 1 1 1 1 ; b5 = – ; ⋅ − = ⋅− = – 32 32 2 64 4 2
3 ; 1…
q = b2:b1 =
1
3 /3 =
3 3
.
3 3 3 3 3 1 =3⋅ Тогда b4 = 3⋅ = ; b5 = = ; ⋅ 3 3 9 3 3 3 150
4) если 5; – 5 2 ; 10… q = b2:b1 = – 5 2 :5 = – 2 . Тогда b4 = 5 ⋅ ( – 2 )3 = – 10 2 ; b5 = – 10 2 ( – 2 ) = 20. 456. 1 ; 1; – 2; 2 1 b1 = – ; q = – 2. 2
1) – 2; 4; – 8;
2) –
b1 = – 2; q = – 2. Т.к. bn = b1⋅qn – 1,
Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то
bn = – 2⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n;
bn = –
1 ⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n – 2. 2
457. 1 ; q = 5; n = 4. 8
1) b1 = 2; q = 2; n = 6.
2) b1 =
Т.к. b6 = b1⋅q5 , то
Т.к. b4 = b1⋅q3 , то
b6 = 2⋅25 = 2⋅35 = 70;
b4 =
1 3 125 . ⋅5 = 8 8
458. 1) b1 =
1 ; q = – 4; n = 5. 2
2) b1 = 2; q = –
5
Т.к. S 5 =
b 1 (1 − q ) , то 1− q
S10
1 ; n = 10; 2
1 5 2 ⋅ 1 − − 2 = = 1 1+ 2
3) b1 = 10; q = 1; n = 6;
1 4 ⋅ 1 − 1024 = = 3 4 ⋅ 1023 341 85 = = =1 3 ⋅ 1024 256 256 4) b1 = 5; q = – 1; n = 9.
S6 = b1⋅6 = 10⋅6 = 60;
Т.к. S 9 =
1 ⋅ (1 − (−4) 5 ) S5 = 2 = 1+ 4 1 + 1024 = = 102,5 2⋅5
S9 =
b 1 (1 − q 9 ) , то 1− q
5 ⋅ (1 + 1) =5. 1+1
151
459. 1) 128; 64; 32; … n = 5; 64 b2 1 = . = 2 b1 128
b1 = 128; q =
1 128 ⋅ 1 − b (1 − q ) 64 = 2(128 − 2) = 2 ⋅ 126 = 252 ; Тогда S6 = 1 = 1 1− q 1 1− 2 6
2) 162; 54; 18; … n = 5; 54 b2 1 = ; = 3 b1 162
b1 = 162; q =
1 162 ⋅ 1 − 35 1 1− 3 − 81 ⋅ ( −242) ⋅ 3 = = 242 243
b (1 − q 5 ) S5 = 1 = 1− q
1 = −81 ⋅ 1 − ⋅3 = 243
2 1 3 ; ; ; … n = 5; 3 2 8 b 1⋅ 3 2 3 b1 = ; q = 2 = = ; 3 4 b1 2 ⋅ 2
3)
5
S5 =
=
b1 (1 − q ) = 1− q
5 2 3 ⋅ 1− 3 4
1−
3 4
243 2 ⋅ 4 ⋅ 1 − 1024 8 ⋅ 781 = = = 3 3 ⋅1024
781 13 ; =2 384 384 4)
b 1⋅ 4 3 1 1 3 2 ; ; ; … n = 4; b1 = ; q = 2 = = ; 4 2 3 4 3 b1 2 ⋅ 3
b (1 − q 4 ) = S4 = 1 1− q
152
3 2 4 ⋅ 1− 4 3 1−
2 3
16 3 ⋅ 3 ⋅ 1 − 29 81 9 ⋅ 65 65 = = = =1 . 4 81 ⋅ 4 36 36
460. 1 1 1 ; ; ;… 2 4 8 1 1 1 q = b2:b1 = – : = – . 4 2 2 1 Т.к. − <1, то bn – беско2
1)
нечно убывает и S=
1 1 ; ;… 4 16 1 1 q = b2:b1 = : – 1 = – . 4 4 1 Т.к. − <1, то bn – бесконеч4
2) – 1;
но убывает
1
2 = 2 =1; 2⋅3 3 1+ 1 2
и S=
−1 −1 −4 . = = 1 5 5 1+ 4 4
461. n = 1, а3 = n = 2, а4 = n = 3, а5 =
a1 + a2 −1 + 3 = =1; 2 2 a2 + a3 2
=
3 +1 =2; 2
a 3 + a 4 1+ 2 3 = = . 2 2 2
462. Т.к. а8 = a1 + 7d, то 23
1 1 = 2 + 7d и d = 3. 2 2
463. 1) а1 = 5; а3 = 15. Т.к. 3 = а1 + 2d, то 15 = 5 + 2d; d = 5; a2 = 10; a3 = 15; a4 = 20; a5 = 25; Ответ: 5; 10; 15; 20; 25.
2) а3 = 8; а5 = 2. Т.к. а5 = а3 + 2d, то 2 = 8 + 2d; d = – 3; a4 = 5; a2 = 11; a1 = 14. Ответ: 14; 11; 8; 5; 2.
464. Чтобы a1, а2, а3 были членами арифметической прогрессии, а + а3 надо, чтобы а2 = 1 , 2 тогда а2 =
5 −10 + 5 = − = −2,5 . 2 2
153
465. 1) а13 = 28; а20 = 38.
2) а18 = – 6; а20 = 6.
Т.к. а20 = а13 + 7d, то
Т.к. a19 =
38 = 28 + 7d.
a19 =
Значит 10 = 7d
Отсюда d = a20 – a19 = 6.
3 иd=1 ; 7
Т.к. a20 = a1 + 19d, то
a19 = a20 – d;
6 = a1 + 19 ⋅ 6;
3 4 a19 = 38 – 1 = 36 . 7 7
а 18 + а 20 2
, то
−6 + 6 =0. 2
a1 = 6 – 19 ⋅ 6 = – 108.
Т.к. a13 = a1 + 12d, то 3 = 7 1 6 = 28 – 12 – 5 = 10 . 7 7 6 4 Ответ: а1 = 10 ; а19 = 36 . 7 7
a1 = 28 – 12⋅1
Ответ: а1 = – 108; а19 = 0.
466. 1) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобы ( 3 x + 2 x-1 ) х+2 5х − 1 = = ; 2 2 2 х + 2 = 5х – 1; 4х = 3; х=
3 ; 4
2) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобы 3 x 2 + 11x ; 2= 2 2 3х + 11х – 4 = 0. Решим: 2 1 −24 = ; х2 = = – 4. 6 3 6 1 Ответ: ; – 4. 3
х1 =
154
467. 1) b1 = sin(α + β); b2 = sinα⋅cosβ; b3 = sin(α – β). Если b2 =
b1 + b 3
, то b1, b2, b3, — арифметическая прогрессия;
2 sin(α + β ) + sin(α − β ) 2 sin α ⋅ cos β sin α ⋅ cos β = = = sin α ⋅ cos β . 2 2
Верно. 2) b1 = cos(α + β); b2 = cosα⋅cosβ; b3 = cos(α – β). Если b2 =
b1 + b 3
, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия
2 cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 cosα ⋅ cos β cosα ⋅ cos β = = cosα ⋅ cos β . = 2 2
Верно. 3) b1 = cos2α; b2 = cos2α; b3 = 1. Если b2 = cos 2 α =
=
b1 + b 3 2
, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия
2 2 2 2 cos 2α + 1 cos α − sin α + cos α + sin α = = 2 2
2 cos 2 α = cos 2 α . 2
Верно. 4) b1 = sin5α; b2 = sin3αcos2α; b3 = sinα. Нужно b2 =
b1 + b 3 2
, чтобы b1, b2, b3 были арифметической
прогрессией sin 5α + sin α 2 sin 3α ⋅ cos 2α ; sin 3α ⋅ cos 2α = ; 2 2 sin 3α ⋅ cos 2α = sin 3α ⋅ cos 2α . Верно.
sin 3α ⋅ cos 2α =
468. d = a2 – a1 = 7 – 5 = 2. 2a 1 + ( n − 1)d ⋅n ; 2 10 + ( n − 1) ⋅ 2 252 = ⋅n ; 2
Тогда S n =
504 = (8 + 2n)⋅n; 252 = (4 + n) ⋅n; n2 + 4n – 252 = 0. Решим: n1 = 14; n2 = – 32 – не натуральное число. Ответ: 14. 155
469. 1) а1 = 40, n = 20, S20 = – 40. Т.к. S 20 =
a 1 + а 20 2
⋅ 20 , то
– 40 = (а1 + а20)⋅10. Значит – 4 = (40 + а20); а20 = – 44. Т.к. d = d=
a 20 − a 1 19
, то
– 16 = 120d;
−44 − 40 −84 8 = = −4 . 19 19 19
Ответ: а20 = – 44, d = −4
1 2 , n = 16, S16 = – 10 . 3 3 a 1 + а 16 Т.к. S16 = ⋅ 16 , то 2 2a + 15d S16 = 1 ⋅ 16 . 2 2 + 15d 2 ⋅ 16 ; Значит − 10 = 3 3 2 2 2 − 10 = + 15d ⋅ 8 ; 3 3
2) а1 =
8 . 19
d=−
2 . 15
Т.к. a16 = a1 + 15d, то 1 2 2 1 a16 = +15⋅ − = − 2 = −1 . 3 3 15 3 2 2 Ответ: a16 = −1 , d = − . 15 3
470. 1) Т.к. b9 = b1 ⋅ q8 , то b9 = 4 ⋅ ( – 1)8 = 4. 2) Т.к. b7 = b1 ⋅ q6 , то b7 = 1 ⋅ ( 3 )6 = 27. 471. 1) b2 =
1 , b7 = 16; 2
b 7 = b2 ⋅ q 5 , тогда 16 =
b 6 = b3 ⋅ q 3 , тогда
1 ⋅ q5 , q5 = 32, q = 2. 2
– 81 = – 3 ⋅ q3;
Т.к. b5 = b2 ⋅ q , то
q3 = 27, значит q = 3. Т.к. b5 = b3 ⋅ q2 , то
b5 =
b5 = – 3 ⋅ 9 = – 27;
3
156
2) b3 = – 3, b6 = – 81;
1 ⋅ 8 = 4; 2
1 1 , b6 = – . 5 125
3) b2 = 4, b4 = 1.
4) b2 = –
Т.к. b4 = b2 ⋅ q2 , то
Т.к. b6 = b4 ⋅ q2 , то
1 = 4 ⋅ q 2; 1 2
q1,2 = ± . Если q =
1 1 = – ⋅q2 5 125 1 1 2 q = , q1,2 = ± 25 5 1 Если q = , 5 1 1 1 то b5 = – ⋅ = – . 5 5 25 1 Если q = – , 5 1 1 1 то b5 = − ⋅ − = . 5 5 25 1 1 Ответ: b5 = – или b5 = . 25 25
–
1 , то 2
b5 = b4 ⋅ q, имеем: b5 = 1⋅
1 1 = . 2 2
1 , 2
Если q = –
то b5 = b4 ⋅ q, имеем: b5 = – Ответ: b5 =
1 . 2
1 1 или b5 = – . 2 2
472. Чтобы b1; b2; b3 – были членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы b22 = b1⋅ b3 , значит, b22 = 36, b2 = 6 или b2 = – 6. 473. 1) bn = 5n + 1 – последовательность; b1 = 25; b2 = 125, q =
b2 125 = 5 > 1, не является бесконечно = 25 b1
убывающей; 2) bn = ( – 4)n + 2 – последовательность; b1 = – 64; b2 = 256, q = убывающей; 3) bn = b1 =
10 7n
256 = – 4, |q|>1, не является бесконечно − 64
– последовательность;
b 7 10 10 1 ; b2 = 2 = = <1, bn – бесконечно убывает; ⋅ 7 49 10 7 b1
157
4) bn =
50
– последовательность;
3 n +3 b 50 50 81 1 b1 = – ; b2 = 2 = = <1, ⋅ 81 243 50 3 b1
bn – бесконечно убывает. 474. 1) b2 = – 81, S2 = 162. Т.к. S2 = b1 + b2 , то 162 = b1 – 81, отсюда b1 = 243; q=
b2 −81 1 = =– ; 3 b1 243
q = −
1 < 1, значит, bn бесконечно убывает; 3
2) b2 = 33, S2 = 67. Т.к. S2 = b1 + b2 , то 67 = b1 + 33, b1 = 34, q =
33 b2 = < 1, b1 34
значит, bn бесконечно убывает. 3) Пусть b1 + b3 = 130; b1 – b3 = 120, запишем систему b1 + b3 = 130 2b1 = 250 b1 = 125 ; ; ; b1 − b3 = 120 2b3 = 10 b3 = 5 Т.к. b3 = b1 ⋅ q2 , то
5 = 125 ⋅ q2 , q2 =
1 1 ,q=± , 25 5
1 < 1, значит, bn бесконечно убывает; 5 4) Пусть b2 + b4 = 68; b2 – b4 = 60, решим систему b2 + b4 = 68 2b2 = 128 b2 = 64 ; ; ; b2 − b4 = 60 2b4 = 8 b4 = 4 Т.к. b4 = b2 ⋅ q2 , то 4 = 64 ⋅ q2; ±
q2 = ± 158
1 1 q=± ; 16 4
1 < 1 значит, bn бесконечно убывает. 4
475. Пусть n – номер дня, an – количество минут в n день. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 40 = 5 + (n – 1) ⋅ 5; 35 = (n – 1) ⋅ 5; n – 1 = 7 значит n = 8. Ответ: Восьмой день от среды – среда. 476. Решим систему относительно a1 и d: а1 + а 2 + а 3 = 15 а1 + а1 + d + a1 + 2d = 15 ; ; a1 (a1 + d )(a1 + 2d ) = 80 а1 а 2 а 3 = 80 3а1 + 3d = 15; a1 + d = 5; a1 = 5 – d. Подставим во второе уравнение системы: (5 – d)( 5 – d + d)( 5 – d + 2d) = 80; 5(5 – d)( 5 + d) = 80; 25 – d2 = 16; d2 = 9. Значит, d = 3 или d = – 3. Тогда a1 = 5 – 3 = 2 или a1 = 5 + 3 = 8. Ответ: d = 3 , a1 = 2; d = – 3, a1 = 8.
159