Wiskunde
Fasiliteerdersgids 1/2 – Graad 10
2310-A-MAM-FG01
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto
Sherman E van Heerden L Young
Aangepas vir KABV
M
2.4.1
5.2 Die
6.5.6 Refleksies ...................................................................................................
Oefening 6.5.1: Eienskappe van eksponensiële grafieke............... 246
6.5.7 Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies ........................ 248
Oefening 6.5.2: Teken sketsgrafieke van eksponensiële funksies ................................................................................ 248
6.5.8 Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële funksie ................ 251
Oefening 6.5.3: Bepaal die vergelyking van ’n eksponensiële funksie .................................................................................. 251
..........................................................................................................
6.6 Opsomming: die uitwerking van a en q op elke soort grafiek ..............................................................................................
7.2 Teken en interpreteer sketsgrafieke van trigonometriese funksies .....................................................................
Oefening 7.2:
7.3 Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer
Oefening 7.3: Bepaal die vergelykings van trigonometriese grafieke en interpreteer
7.1 Teken
Oefening 7.1.1: Teken akkurate grafieke van die sinusfunksie �� = sin ��
Oefening 7.1.2: Teken akkurate grafieke van die kosinusfunksie ��
Oefening 7.1.3: Teken akkurate grafieke van die tangensfunksie �� = tan
VOORWOORD
In graad 10 is wiskunde vir die eerste keer ’n keusevak (teenoor wiskundige geletterdheid). Leerders kies om verskillende redes wiskunde as vak, onder meer om hulle voor te berei vir ’n studierigting waar graad 12-wiskunde ’n toelatingsvereiste is, of vir ’n beroep waarin ’n agtergrond in wiskunde voordelig is.
Anders as in die Algemene Onderwys- en Opleidingsfase (AOO-fase) van graad 1 tot 9 behels wiskunde in die Voortgesette Onderwys- en Opleidingsfase (VOO-fase) van graad 10 tot 12 in die algemeen meer abstrakte begrippe en ingewikkelder prosedures. Om wiskunde in die VOO-fase te bemeester, verg meer tyd, toewyding, kritiese denke en besinning van leerders as in die AOOfase, terwyl fasiliteerders meer ondersteuning en leiding behoort te gee.
Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED™ Learning™-leermodel gebaseer is om leerders en fasiliteerders te help om suksesvol te wees in hulle studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 10-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om die leerders se leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.
Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe leerders en fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 15 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 8 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 9 tot 15 (kwartaal 3 en 4).
Kwartaal Getal weke Tema Assessering*
(11 weke) 3 1. Algebraïese uitdrukkings
Ondersoek of projek 2 2. Eksponente
1 3. Getalpatrone
2 4. Vergelykings en ongelykhede
Toets 3 5. Trigonometrie
(11 weke) 4 6. Funksies
Werkopdrag of toets 1 7. Trigonometriese funksies
3 8. Euklidiese meetkunde 3 Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit. Junie-eksamen 3 (10 weke)
2 9. Analitiese meetkunde
Toets 2 10. Finansies en groei
2 11. Statistiek
2 12. Probleme in twee dimensies
Toets 1 13. Euklidiese meetkunde
14. Meting
15. Waarskynlikheid Toets
Hersiening
(10 weke)
Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit. Eindjaareksamen
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.
Wenk: Die tabel dui die jaarplan aan. Gebruik dit vir die beplanning van onderrig en assessering. Sample
Tydsindeling
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Wenk: Gebruik die voorgestelde t ydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.
Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Wenk: Kyk dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.
Struktuur van temas
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
Sample
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.
Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.
Wenk: Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk.
Elke tema het die volgende struktuur:
Inleiding
Waaroor die tema gaan
Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.
Voorafkennis
Hierdie afdeling sê vir leerders watter bestaande kennis hulle nodig het om die betrokke tema te bemeester.
Hersiening
Dit kan een van die volgende behels:
1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word,
2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat leerders self hulle voorafkennis kan toets, of
3. ’n kombinasie hiervan.
Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.
Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel. Elke subtema het die volgende struktuur:
SUBTEMA
Inleiding
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.
Uitgewerkte voorbeelde
Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Oefeninge
Sample
Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).
Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
Opsomming van tema
Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Oefening om die tema af te sluit
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te
onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep, beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep.
Wanneer leerders dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is oortuig daarvan dat hulle presies weet watter soort som of probleem hulle moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.
Selfevaluering
Sample
In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:
1. Help! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.
2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.
5. Whoohoo, dis partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.
Voltooi nou die volgende tabel.
Onderwerp 1 2 3 4 5
Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp in die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word dit aanbeveel om dadelik hersiening of nog oefeninge te doen om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.
Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken
dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel. Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.
Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word.
Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees, en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word.
Assesseringsvereistes
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.
Wenk: Wees bewus van die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.
Leerders voltooi sewe formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering.
Sample
Let op:
• Slegs een projek/ondersoek moet per jaar gedoen word.
• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.
• Formuleblaaie word nie in graad 10 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.
Wenk: Hierdie tabel dui slegs die formele assessering (d.w.s. wat vir bevordering gebruik word) aan. Informele deurlopende assessering moet ook plaasvind om elke leerder se vordering te monitor sodat leemtes in leerders se kennis bet yds raakgesien en reggestel word.
Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:
Vraestel 1 Vraestel 2
Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede, eksponente (Tema 1, 2 en 4)
Getalpatrone (Tema 3)
Funksies en grafieke (Tema 6)
Finansies en groei (Tema 10)
Waarskynlikheid (Tema 15)
Euklidiese meetkunde en meting (Tema 8, 13 en 14)
Analitiese meetkunde (Tema 9)
Trigonometrie (Tema 5 en 7)
Statistiek (Tema 11)
Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen.
Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.
Aanvullende boeke
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za
• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com
• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te bekom en dit doeltreffend te gebruik.
Sakrekenaar
Sample
Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.
Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het.
TEMA 1
GETALLE EN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet:
1. verstaan dat reële getalle rasionaal of irrasionaal kan wees
2. kan bepaal tussen watter twee heelgetalle ’n gegewe eenvoudige wortelvorm lê
3. reële getalle kan afrond soos vereis word
4. ’n tweeterm en ’n drieterm kan vermenigvuldig
5. algebraïese uitdrukkings kan faktoriseer deur tegnieke te gebruik wat in graad 9 onderrig is, sowel as:
• drieterme (meer gevorderde drieterme)
• groepering
• som en verskil van twee derdemagte
6. algebraïese breuke kan vereenvoudig deur die noemers te faktoriseer, wat derdemagte kan insluit (beperk tot die som en verskil van derdemagte).
Kwartaal 1
Duur 3 weke
Vraestel 1
Gewig
Algebraïese uitdrukkings vorm deel van algebra, waarvan die gewigstoekenning 30 ± 3 van Vraestel 1 is.
Inleiding
In hierdie tema gaan leerders meer leer oor:
1. verskillende soorte getalle
2. hoe om die waardes van sekere getalle te skat
3. hoe om getalle af te rond
4. hoe om algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig
5. hoe om faktore van algebraïese uitdrukkings te bepaal
6. hoe om algebraïese breuke te vereenvoudig.
Voorafkennis
Om hierdie tema te bemeester, moet leerders reeds weet:
• watter soort getalle daar is
• hoe ons getalle klassifiseer
• hoe om eenvoudige algebraïese uitdrukkings te vermenigvuldig
• hoe om eenvoudige breuke te vereenvoudig.
1.1 DIE GETALLESTELSEL
Inleiding
Hierdie subtema is ’n opsomming van werk wat in graad 8 en 9 gedek is. As dit vir leerders moeilik is om dié afdeling te voltooi, moet jy eers die werk hersien wat in hierdie grade behandel is.
Verskillende soorte getalle
ℕ = {1; 2; 3; 4; 5; …} = natuurlike getalle
ℕ 0 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …} = telgetalle
ℤ = {… ; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; …} = heelgetalle
ℚ = {getalle wat geskryf kan word as ’n heelgetal ’n heelgetal (maar nie 0 nie) }
= rasionele getalle
ℚ′ = {getalle wat nie as ’n heelgetal ’n heelgetal (maar nie 0 nie) geskryf kan word nie}
= irrasionele getalle (nie-eindigende, nie-repeterende desimale getalle)
ℝ = {rasionale plus irrasionale getalle} = reële getalle
ℝ′ = {getalle wat nie in die reële getallestelsel bestaan nie}
= nie-reële getalle
Opsomming van die reële getallestelsel
Reële getalle
Rasionale getalle
Heelgetalle Breuke Irrasionale getalle
• Negatiewe heelgetalle
• Nul
• Positiewe heelgetalle (natuurlike getalle)
ONTHOU
0 �� = 0 √ − 3 is nie-reëel �� 0 ongedefinieer
Let op
• ’n Rasionale getal is enige getal wat as a b geskryf kan word, waar �� en �� heelgetalle is met b ≠ 0.
• Die volgende is rasionale getalle:
Sample
◦ breuke waarvan die teller en die noemer heelgetalle is, bv. 3 7
◦ heelgetalle, bv. −5
◦ desimale getalle wat eindig, bv. 0,125
◦ desimale getalle wat repeteer (herhaal), bv. 0,151515…
• Irrasionale getalle is nie rasionaal nie. Dit kan nie met ’n heelgetalteller en -noemer geskryf word nie, bv. 0,8672345…
• As die nde wortel van ’n getal nie as ’n rasionale waarde geskryf kan word nie, word hierdie nde wortel ’n wortelvorm genoem, bv. 3 √ 5 .
Uitgewerkte voorbeeld 1
Herskryf 0,1 2 as ’n gewone breuk.
Oplossing
Om ’n repeterende breuk as ’n gewone breuk te herskryf, moet jy die repeterende breuk manipuleer sodat jy ontslae kan raak van die repeterende “stert”.
Stel �� = 0,1212121212…
∴ 100�� = 12,1212121212… ×100 om heelgetal + repeterende “stert” te kry
�� = 0,1212121212… Trek af 99�� = 12
12 99
�� = 4 33 Vereenvoudig
Uitgewerkte voorbeeld 2
Herskryf 2,51 2 as ’n gewone breuk.
Oplossing
Stel �� = 2,512121212…
∴ 1 000�� = 2512,121212… ×1 000 om heelgetal + repeterende “stert” te kry
10�� = 25,121212… ×10 om repeterende “stert” te kry
990�� = 2487,000000…
∴ �� = 2 487 990
∴ �� = 829 330
Uitgewerkte voorbeeld 3
Onthou dat die 5 nie repeteer (herhaal) nie
Oplossing
Om te bepaal waar hierdie getalle by die getallestelsel inpas, kan jy jou sakrekenaar gebruik om die desimale breuk te bepaal waar dit van toepassing is:
1 7 Hierdie getal is in die vorm �� �� geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).
3√ = 0,2080083823… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk)
Hierdie getal kan nie in die vorm �� �� geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ').
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).
Onthou altyd om te vereenvoudig so ver jy kan
Gebruik jou kennis van die getallestelsel om die volgende tabel te voltooi deur ’n in die regte blokkie(s) te maak:
= 0 (nul gedeel deur enige nie-nul-getal = nul)
Hierdie getal is in die vorm �� �� geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ). √ 9 16 = 3 4
Hierdie getal is in die vorm �� �� geskryf; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).
0,3 = 0,333333333… (nie-eindigende, repeterende desimale breuk)
= 1 3
Hierdie getal kan in die vorm �� �� geskryf word; dit is dus ’n rasionale getal (ℚ).
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).
√ 50 = 3,684031499… (nie-eindigende, nie-repeterende desimale breuk)
Hierdie getal kan nie in die vorm �� �� geskryf word nie; dit is dus ’n irrasionale getal (ℚ').
Dit bestaan (jou sakrekenaar gee nie vir jou ’n wiskunde-foutboodskap nie); dit is dus ’n reële getal (ℝ).
Oefening 1.1: Die getallestelsel
1. Is die getal nul ’n positiewe of negatiewe getal?
Nul is nie positief of negatief nie.
2. Watter soort getal is √ 8 ? √ 8 = √ 4 × 2 = 2√ 2 ∴ ’n reële, irrasionale getal
3. Watter soort getal is √ −8 ?
Die vierkantswortel van ’n negatiewe getal bestaan nie in die reële getallestelsel nie.
∴ ’n nie-reële getal
4. Watter soort getal is 3 √ ?
3 √ 8 = 2
∴ ’n reële getal, ’n rasionale getal, ’n heelgetal, ’n telgetal en ’n natuurlike getal
5. Watter soort getal is 3 √ −8 ?
3 √ −8 = −2
Let op dat reële getalle (ℝ) óf rasionale (ℚ) óf irrasionale (ℚ') getalle is. Sample
∴ ’n reële getal, ’n rasionale getal en ’n heelgetal.
6. Bepaal al die getalsoorte waartoe 2 10 27 behoort sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
2 10 27 = 64 27
∴ ’n reële, rasionale getal (64 ÷ 27 gee ’n nie-eindigende, repeterende desimale getal as antwoord)
7. Herskryf die volgende as gewone breuke
7.1 0,6
Stel �� = 0,6 = 0,666666…
∴10�� = 6,666666… ×10 om heelgetal + repeterende “stert” te kry
�� = 0,666666… 9�� = 6
= 6 9
= 2 3
7.2 3,15 6
Stel �� = 3,15 6 = 3,1565656…
∴ 1 000�� = 3 156,565656… ×1 000 om heelgetal + repeterende “stert” te kry
− 10�� = 31,565656… ×10 om repeterende “stert” te kry
990�� = 3 125
∴ �� = 3 125 990
∴�� = 625 198
ONTHOU
8. Vir watter waarde(s) van �� sal ��(�� ) nie-reëel wees as:
��(�� ) = √ 9 11 − �� en �� ∈ {−5; 0; 11}?
Vir die uitdrukking om nie-reëel te wees, moet die waarde in die wortel ’n negatiewe getal wees.
Onthou altyd om heeltemal te vereenvoudig Sample
Stel die gegewe elemente in om te bepaal watter waarde ’n negatiewe antwoord sal gee:
��(−5) = √ 9 11 − (−5) = √ 9 11 + 5 = √ 64 11 > 0
�� = −5 gee ’n positiewe antwoord
��(0) = √ 9 11 − (0) = √ 9 11 > 0
�� = 0 gee ’n positiewe antwoord
��(11) = √ 9 11 − (11) = √ − 112 11 < 0
�� = 11 gee ’n negatiewe antwoord
∴ die uitdrukking sal nie-reëel wees as �� = 11
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
