Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Fasiliteerdersgids 1/2 – Graad 9
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur
H Otto M Sherman
INHOUDSOPGAWE
en derdemagswortels insluit
30: Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van desimale
te gebruik ................................................................................................
2. Konstruksie van hoeke wat veelvoude van 45°, 60° en 30° is (groter as 90°) .........................................................................................
Oefening 63: Konstruksie van stomphoeke wat veelvoude van 30°, 45° en 60° is ....................................................................................................
4. Die verwantskap tussen die buitehoek van ’n driehoek en die teenoorstaande binnehoeke ...................................................................
65: Ondersoek die buitehoek van ’n driehoek ..........................
5. Minimumvereistes vir twee driehoeke om kongruent te wees ...........202 Oefening 66: Ondersoek die voorwaardes vir kongruensie
1
2 1. Telgetalle en heelgetalle
2 2. Breuke
1 3. Eksponente
1 4. Patrone
1 5. Funksies en verwantskappe
1 6. Algebraïese uitdrukkings
1 7. Algebraïese vergelykings
2 8. Eienskappe van meetkundige vorms
2 9. Tweedimensionele (2D) vorms
2
Toets
Werksopdrag
VOORWOORD
3
2 10. Meetkunde van lyne en hoeke
1 11. Pythagoras se stelling
1 12. Omtrek en oppervlakte
1 13. Funksies en verwantskappe
2 14. Algebraïese uitdrukkings
2 15. Algebraïese vergelykings
3 16. Grafieke
1 17. Buiteoppervlakte en volume van 3D voorwerpe
2 18. Transformasiemeetkunde
2 19. Meetkunde van 3D voorwerpe
Toets
Ondersoek
Halfjaareksamen
Toets
Werksopdrag
Projek
4
3 20. Datahantering
1 21. Waarskynlikheid
SAMPLE
Werksopdrag
Ondersoek
Eindeksamen
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.
Graad 9 is die laaste jaar van die Algemene Onderwys- en Opleiding- (AOO-) fase, waarin Wiskunde ’n verpligte vak is. In graad 10 moet leerders tussen Wiskunde en Wiskundige Geletterdheid kies.
Leerders kies soms Wiskundige Geletterdheid om die verkeerde redes, byvoorbeeld dat hulle Wiskunde tot graad 9 moeilik gevind het en dat Wiskundige Geletterdheid minder uitdagend is as Wiskunde.
Voordat leerders aan die einde van graad 9 hierdie keuse maak, moet hulle egter goed nadink oor hulle toekomsplanne, veral dié wat naskoolse kwalifikasies (op universiteit of kollege) wil behaal. Vir baie naskoolse kursusse is Wiskunde (en nie Wiskundige Geletterdheid nie) op graad 12-vlak ’n toelatingsvereiste. Dit is dus belangrik om in graad 9 hard te werk in Wiskunde ten einde in graad 10 tot 12 suksesvol te kan voortgaan daarmee om latere opsies oop te hou.
Optimi se graad 9-wiskundeproduk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™- leermodel gebaseer is om leerders en fasiliteerders te help om suksesvol te wees in hulle studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 9-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om die leerders se leerproses te ondersteun en te verryk.Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.
Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe leerders en fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal.
Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 21 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 12 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 13 tot 21 (kwartaal 3 en 4).
– Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Tydsindeling
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 9 uur (twee weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (telgetalle en heelgetalle) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.
Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Wenk: Sien toe dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.
Struktuur van temas
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou.
Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
SAMPLE
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.
Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.
Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk.
Die struktuur is soos volg:
Inleiding
Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.
Voorafkennis
Hierdie afdeling sê vir leerders watter bestaande kennis hulle nodig het om die betrokke tema te bemeester.
Hersiening
Dit kan een van die volgende behels:
1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word,
2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat leerders self hulle voorafkennis kan toets, of
3. ’n kombinasie hiervan.
Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.
Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel.
Elke subtema het die volgende struktuur:
SUBTEMA
Inleiding
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.
Uitgewerkte voorbeelde
Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Oefeninge
Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi.
Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
Opsomming van tema
SAMPLE
Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).
Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Oefening om die tema af te sluit
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep, beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep.
Wanneer leerders dieselfde soort probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is oortuig daarvan dat hulle presies weet watter soort probleem hulle moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie probleme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ‘n probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.
Selfevaluering
In elke tema is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:
1. Alarm! Leerders is glad nie gemaklik met die onderwerp nie en het hulp nodig.
2. Help! Leerders is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Leerders is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Leerders is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Leerders is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi nou die volgende tabel.
dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel. Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.
Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word.
SAMPLE
Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp in die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word dit aanbeveel om dadelik hersiening of nog oefeninge te doen om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.
Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken dit
Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees, en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word.
Assesseringsvereistes
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.
Wenk: Wees bewus van die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.
Leerders voltooi tien formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering.
x
* Moet voor die eindeksamen voltooi word
Die twee vraestelle in die middel en aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:
Middel van die jaar eksamen
ONDERWERPE
Telgetalle
Eksponente
Gewone breuke
Heelgetalle
Desimale breuke
Funksies en verwantskappe
Numeriese en meetkundige patrone
Eienskappe van getalle
Berekeninge met telgetalle Veelvoude en faktore Probleemoplossing
Vergelyk en gee getalle in eksponensiële vorm weer
Berekeninge met breuke
Eienskappe van heelgetalle
Berekeninge met desimale breuke
en
Berekeninge met getalle in eksponensiële vorm
Berekeninge met heelgetalle
en
Algebraïese uitdrukkings Algebraïese
SAMPLE
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig
punt vir die vraestel
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig per onderwerp × totale punt vir die vraestel
G09 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Einde van die jaar eksamen
ONDERWERPE
Telgetalle
Gewone breuke
Heelgetalle
Desimale breuke
Eksponente
Numeriese en meetkundige patrone
Funksies en verwantskappe
Algebraïese uitdrukkings
Algebraïese vergelykings
Eienskappe van getalle
Berekeninge met telgetalle Veelvoude en faktore Probleemoplossing
Berekeninge met breuke
Eienskappe van heelgetalle
Berekeninge met desimale breuke
Vergelyk en gee getalle in eksponensiële vorm weer
Probleemoplossing
Berekeninge met heelgetalle
oplossing
Berekeninge met getalle in eksponensiële vorm
oplossing
Algebraïese taal Brei algebraïese uitdrukkings uit en vereenvoudig hulle
Grafieke Interpreteer grafieke Teken grafieke
SAMPLE
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig per onderwerp × totale punt vir die vraestel
Omtrek en oppervlakte Oppervlakte en omtrek
Buiteoppervlakte en volume van 3D
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig per onderwerp × totale punt vir die vraestel
Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen.
Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.
Aanvullende boeke
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za
• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com
• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te bekom en dit doeltreffend te gebruik.
Sakrekenaar
Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.
Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het.
Getalle, bewerkings en verhoudings
TEMA 1
Telgetalle en heelgetalle
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet die volgende ken en kan toepas:
Eienskappe van getalle
Herken, definieer en onderskei eienskappe van die volgende om die reële getallestelsel te beskryf:
• natuurlike getalle
• telgetalle
• heelgetalle
• rasionale getalle
• irrasionale getalle.
Berekeninge met telgetalle
Hersien:
• berekeninge met telgetalle waar al vier bewerkings gebruik word
• skatting van antwoorde en die gebruik van sakrekenaars waar toepaslik.
Berekeningstegnieke
Gebruik ʼn verskeidenheid strategieë om skriftelike berekeninge en hoofrekene met telgetalle uit te voer en te kontroleer, insluitend:
• skatting
Veelvoude en faktore
Gebruik priemfaktorisering om die KGV en GGD van getalle te bepaal.
Probleemoplossing
SAMPLE
• optelling, aftrekking en vermenigvuldiging in kolomme
• langdeling
• afronding en kompensering
• die gebruik van ʼn sakrekenaar.
• Los probleme in konteks op, insluitend probleme met betrekking tot:
◦ verhouding en koers
◦ direkte en indirekte eweredigheid.
• Los probleme op wat telgetalle, persentasies en desimale breuke in finansiële kontekste insluit, byvoorbeeld:
◦ wins, verlies, afslag en BTW
◦ begrotings
◦ rekeninge en lenings
◦ enkelvoudige rente en huurkoop
◦ huur
◦ saamgestelde rente.
Berekeninge met heelgetalle
Hersien:
• berekeninge met heelgetalle waar al vier bewerkings gebruik word
• berekeninge met getalle wat kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van heelgetalle insluit waar al vier bewerkings gebruik word.
Eienskappe van heelgetalle
Hersien:
• die kommutatiewe, assosiatiewe en distributiewe eienskap van optelling en vermenigvuldiging van heelgetalle
• die optellings- en vermenigvuldigingsinverse van heelgetalle.
Probleemoplossing
Los probleme op in kontekste waar leerders veelvuldige bewerkings met heelgetalle moet doen.
Kwartaal 1
Telgetalle: een week (4,5 uur)
Duur
Heelgetalle: een week (4,5 uur)
Vraestel 1
Junie-eksamen: telgetalle: 8 ± 2 punte uit 75;
heelgetalle: 8 ± 2 punte uit 75
Gewig
November-eksamen: 18 ± 2 punte uit 75 (dit sluit gewone breuke en desimale breuke in)
Fasiliteerderswenke
Hierdie tema behels in ʼn groot mate hersiening van graad 7- en 8-werk. Die probleme wat leerders in graad 9 moet oplos, is egter ingewikkelder as dié waarmee hulle in graad 8 te doen gehad het. Probleme met betrekking tot direkte en indirekte eweredigheid is nuwe werk.
Hierdie tema dek die nodige hersiening van graad 7- en 8-werk soos dit deur die KABV voorgeskryf word. Dit word moontlik in meer besonderhede gedek as wat jou leerders nodig het. Ons stel voor dat leerders eers ʼn diagnostiese toets skryf om moontlike probleemareas te bepaal. Leerders kan dan daarop fokus. As hulle byvoorbeeld in kolomme kan optel, aftrek en vermenigvuldig, kan leerders daardie gedeelte oorslaan en eerder op langdeling fokus (indien dit ʼn probleem is).
Inleiding
In hierdie tema gaan ons werk wat in graad 8 oor die volgende gedoen is, hersien en daarop uitbrei:
• probleme wat die volgende insluit:
◦ verhouding en koers
Tema 1: Telgetalle en heelgetalle
◦ direkte en indirekte (omgekeerde) eweredigheid
• probleme wat met geld te doen het
• berekeninge met heelgetalle waar al vier bewerkings gebruik word.
1. KLASSIFIKASIE VAN GETALLE
Ons getallestelsel bestaan uit verskillende soorte getalle. Getalle kan in verskillende groepe geklassifiseer word.
• Natuurlike getalle
Natuurlike getalle is 1; 2; 3; ...
Die simbool vir natuurlike getalle is ℕ.
Natuurlike getalle sluit in:
SAMPLE
• getalle in die reële getallestelsel en hulle eienskappe
• berekeninge met telgetalle waar al vier bewerkings gebruik word, verskillende berekeningstegnieke en strategieë vir berekeninge met telgetalle
• priemfaktorisering om die kleinste gemene veelvoud (KGV) en grootste gemene deler (GGD) van getalle te bepaal
Ewe getalle (deelbaar deur 2): 2; 4; 6; …
Onewe getalle (nie deelbaar deur 2 nie): 1; 3; 5; …
Priemgetalle (getalle met slegs twee faktore, naamlik die getal self en 1): 2; 3; 5; …
Kwadrate (vierkantsgetalle): 1; 4; 9; …
Derdemagte: 1; 8; 27; …
• Telgetalle
Telgetalle is 0; 1; 2; 3; ...
Die simbool vir telgetalle is ℕ 0.
• Heelgetalle
Heelgetalle is ... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...
Die simbool vir heelgetalle is ℤ.
• Rasionale getalle
Rasionale getalle is getalle wat geskryf kan word as a b , waar b ≠ 0.
Die simbool vir rasionale getalle is ℚ.
Voorbeelde van rasionale getalle
◦ natuurlike getalle soos 1, 2 of 3, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke): 1 = 6 6 ; 2 = 12 6 ; 3 = 15 5
◦ 0, want ons kan dit skryf as 0 5
◦ heelgetalle soos 3, 2 of 1, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke):
◦ − 1 = 6 6 ; − 2 = 2 6 ; − 3 = 15 5
◦ gewone breuke, byvoorbeeld 3 4 ; 2 3 ; 5 6 .
◦ onegte breuke, byvoorbeeld 3 2 ; 5 4 ; 5 3
◦ gemengde getalle, byvoorbeeld 1 1 2 ; 3 5 12 of − 5 3 4 , want ons kan dit as onegte breuke in die vorm a b skryf waar a > b, byvoorbeeld 1 1 2 = 3 2
◦ eindige desimale breuke, byvoorbeeld 0,5, 0,25 of 0,875, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke): 0,5 = 1 2 ; 0,25 = 1 4 ; 0,875 = 7 8
◦ repeterende desimale breuke, byvoorbeeld 0, 3 ˙ of 0, 3 ˙ 7 ˙ , want ons kan dit as gewone breuke in die vorm a b skryf: 0, 3 ˙ = 1 3 ; 0, 3 ˙ 7 ˙ = 37 99
• Irrasionale getalle
Irrasionale getalle is getalle wat nie in die vorm a b waar b ≠ 0, geskryf kan word nie.
Die simbool vir irrasionale getalle is ℚ′ .
Voorbeelde van irrasionale getalle
◦ π
Opsomming van die verskillende soorte desimale breuke
Eindig Oneindig
SAMPLE
◦ enige oneindige, nie-repeterende desimale breuk, byvoorbeeld 0,3876519...
◦ enige wortel wat nie presies bepaal kan word nie, byvoorbeeld √ 2 ; 3 √ 20 ; 4 √ 36
Nie-repeterend Repeterend
Die soorte desimale breuke in die gekleurde reghoeke hierbo is rasionale getalle.
• Reële getalle
Al die getalle wat hierbo gelys is, word reële getalle genoem.
Die simbool vir reële getalle is ℝ.
• Nie-reële getalle
3 √ 27 en 5 √ 32 is reële getalle, want 3 √ 27 = 3 en 5 √ 32 = 2
Alle getalle wat nie reële getalle is nie, is nie-reëel, byvoorbeeld
− 4 , 4√ − 16 of 6√ 10 .
Die simbool vir nie-reële getalle is ℝ′ .
Voorstelling van die getallestelsel
Ons kan die getallestelsel en die soorte getalle waaruit dit bestaan op twee maniere uitbeeld:
Vanaf die binnekant na die buitekant 1; 2; 3; ...
Reële getalle (ℝ) Nie-reële getalle (ℝ')
Rasionale getalle (ℚ): a b, waar b ≠ 0 Irrasionale getalle (ℚ')
• 1 2 3 is ʼn gemengde getal. Dit is dus ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• √ 7 is ʼn irrasionale getal, want dit kan nie as ʼn gewone breuk (verhouding) geskryf word nie. Dit is ook ʼn reële getal, want irrasionale getalle vorm deel van reële getalle.
• 100 is ʼn negatiewe heelgetal en ʼn rasionale getal (want dit kan as ʼn gewone breuk of verhouding geskryf word). Rasionale getalle vorm deel van reële getalle.
• √ 10 × √ 10 = 10. Dit is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• 1,010010001... is ʼn oneindige, nie-repeterende desimale breuk. Dit kan nie as ʼn gewone breuk (verhouding) geskryf word nie. Dit is dus ʼn irrasionale reële getal.
• √ 8 is ʼn nie-reële getal.
• 0, 3 ˙ 1 ˙ 2 ˙ is ʼn repeterende desimale breuk. Dit kan as ʼn gewone breuk geskryf word. Dit is dus ʼn rasionale reële getal.
Tema 1: Telgetalle en heelgetalle
Oefening 1: Klassifikasie van getalle
1. Voltooi die tabel deur ʼn kruisie in die toepaslike blokkie(s) te maak:
Oplossing
Verduideliking
• 12 is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal en ʼn rasionale getal. Al hierdie getalle vorm deel van reële getalle.
• √ 15 kan nie as ʼn gewone breuk geskryf word nie. Dit is dus ʼn irrasionale getal en ʼn reële getal.
• 3 is ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• 8 √ 36 2 = 8 6 2 = 2 2 = 1. Dit is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal (want dit kan as ʼn gewone breuk geskryf word, byvoorbeeld 6 6 ) en ʼn reële getal.
• 3,142 is ʼn eindige desimale breuk. Dit is dus ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• 3 5 is ’n gewone breuk. Dit is dus ’n rasionale getal en ’n reële getal.
• π is altyd ʼn irrasionale getal. Irrasionale getalle vorm deel van reële getalle.
• 2 1 6 = 13 6 . Dit is dus ʼn onegte breuk, wat ʼn rasionale getal en ʼn reële getal is.
• 0,12011201112... is ʼn oneindige, nie-repeterende desimale breuk. Dit kan nie as ʼn gewone breuk geskryf word nie. Dit is dus ʼn irrasionale, reële getal.
• 0, 1 ˙ 9 ˙ 2 ˙ is ʼn repeterende desimale breuk. Dit kan as ʼn gewone breuk geskryf word. Dit is dus ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• √ 12 × √ 12 = 12. Dit is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• √ 100 81 = √ 19 . Dit is ʼn irrasionale getal en ʼn reële getal. Die eintlike vangplek is dat leerders eers die getalle moet aftrek en dan die vierkantswortel van die verskil moet bepaal.
• √ 8 is ʼn nie-reële getal, want ons kan nie die vierkantswortel van ʼn negatiewe getal bepaal nie.
• 3 √ 8 = ( 2) = 2. Dit is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
2. Die volgende lys getalle word gegee: 2 √ 36 4 ; ��; 3,142; 3 √ 64 ; 0,123012300123...; (√ 15 )
Skryf die volgende neer: 2.1 al die natuurlike getalle: (√ 15 ) 2 = 15; (√ 2 ) 4 = (√
2.2 al die negatiewe heelgetalle:
SAMPLE
2.3 al die rasionale getalle wat nie heelgetalle is nie (ons is dus op soek na breuke):
3,142 is ʼn eindige desimale breuk.
2.4 al die irrasionale getalle: √ 34 ; 0,123012300123…
3. Die volgende lys getalle word gegee:
2 √ 64 2 ; √ 5 ; 0, 3 ˙ 2 ˙ ; x 2 x 1 waar x = 2; die oplossing van x 2 x 3 = 0; 8π;
3 √ 3 ; 3 √ 125
Beskou die lys hierbo en skryf die volgende neer:
3.1 al die natuurlike getalle
Die oplossing van x 2 x 3 = 0: Ons sien dat
=
−
= 0. Die oplossing is dus x = 2.
3.2 al die heelgetalle wat nie natuurlike getalle is nie x 2 x 1 waar x = 2: 2 2 2 1 = 0 1 = 0
2 √ 64 2 = 2 8 2 = 6 2 = 3
3 √ 125 = 5
3.3 al die irrasionale getalle
√ 5 ; 8π (π is altyd ʼn irrasionale getal.)
3 √ 3 (Leerders kan nie die derdemagswortel van 3 bepaal nie.)
Tema 1: Telgetalle en heelgetalle
3.4 al die rasionale getalle wat nie heelgetalle is nie
0, 3 ˙ 2
(Dit kan as ʼn gewone breuk geskryf word.)
2. EIENSKAPPE VAN TELGETALLE
In hierdie subtema hersien ons die eienskappe van telgetalle kortliks.
• Die kommutatiewe eienskap van optelling en vermenigvuldiging
As ons twee telgetalle optel of vermenigvuldig, kan ons die getalle se volgorde verander.
Ons gebruik gewoonlik hierdie eienskappe om berekeninge makliker te maak, veral wanneer ons met groot getalle werk.
• Die distributiewe eienskap
◦ As ons die som van twee getalle met ʼn ander getal vermenigvuldig, het ons twee opsies:
• Die eienskappe van 0 en 1
As ons 0 by enige getal tel, bly die getal dieselfde. Ons sê 0 is die identiteitselement van optelling.
Voorbeeld: 5 + 0 = 0 + 5 = 5
SAMPLE
◦ ons kan eers die twee getalle optel en dan die antwoord met die ander getal vermenigvuldig,
◦ byvoorbeeld: 3 × (5 + 6) = 3 × 11 = 33, of
◦ ons kan elke getal in die hakies met die ander getal vermenigvuldig, byvoorbeeld: 3 × (5 + 6) = 3 × 5 + 3 × 6 = 15 + 18 = 33
As ons enige getal met 1 vermenigvuldig, bly die getal dieselfde. Ons sê 1 is die identiteitselement van vermenigvuldiging.
Voorbeeld: 1 × 32 = 32 × 1 = 32
LET OP
Deling deur 0 is ongedefinieer.
Voorbeeld: 32 8 = 4, want 8 × 4 = 32.
As ons nou 32 deur 0 deel, dan is 32 0 = ʼn sekere getal. Daardie getal vermenigvuldig met 0 moet weer 32 gee. Dit is egter onmoontlik, want enige getal vermenigvuldig met 0 sal ook 0 wees. Ons sê dus deling deur 0 is ongedefinieer.
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde.
