Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur
H Otto M Sherman
INHOUDSOPGAWE
ontleding en verslagdoening
4.2 Histogramme:
4.3 Sirkeldiagramme: Interpretasie, ontleding en verslagdoening
4.4 Gebrokelyngrafieke: Interpretasie, ontleding en verslagdoening
Patrone, funksies en algebra
TEMA 13
Funksies en verwantskappe
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet die volgende ken en kan toepas:
• Bepaal invoerwaardes, uitvoerwaardes of reëls vir patrone en verwantskappe wat voorgestel word deur:
◦ vloeidiagramme
◦ tabelle
◦ formules
◦ vergelykings.
• Bepaal en interpreteer ekwivalente verwantskappe of reëls in die volgende vorme, en verduidelik waarom dit ekwivalent is:
◦ woorde
◦ vloeidiagramme
◦ tabelle
◦ formules
◦ vergelykings
◦ grafieke in die Cartesiese vlak.
Kwartaal 3
Duur Een week (vyf uur)
Vraestel 1
nuwe kontekste word ingesluit. Die invoer- en uitvoerwaardes moet nou natuurlike getalle, heelgetalle en rasionale getalle insluit.
Leerders moet funksies wat in ’n sekere vorm gegee word, na ander vorme kan omskakel. Hulle moet ook ekwivalente vorme van dieselfde funksie kan identifiseer.
SAMPLE
Gewig 5 ± 2 punte uit 75 in November-eksamen
Fasiliteerderswenke
Hierdie tema behels in ’n groot mate hersiening van graad 7- en 8-werk, sowel as werk wat in Tema 5 gedek is. In graad 9 word die probleme egter ingewikkelder en
Dit is grootliks reeds in Tema 4 en 5 gedek. In hierdie tema sluit ons grafieke in as nog ’n vorm waarin funksies voorgestel kan word.
Ons bied ook in hierdie tema heelwat geleenthede vir leerders om waardes by formules in te stel. Dit kom weer in Tema 16 voor. Dit is ’n belangrike vaardigheid wat leerders moet bemeester.
Inleiding
In hierdie tema gaan leerders die werk wat hulle in Tema 5 oor die volgende gedoen het, hersien en daarop voortbou:
• verwantskappe tussen twee veranderlikes (funksies)
• die verskillende vorme waarin ons ’n funksie kan uitdruk
• hoe om invoer- en uitvoerwaardes van funksies te bepaal
• ekwivalente vorme van funksies, insluitend grafieke.
1. INVOERWAARDES, UITVOERWAARDES EN REËLS
Leerders hersien kortliks belangrike konsepte uit Tema 5:
• ’n Funksie is ’n spesifieke soort verwantskap tussen twee stelle waardes.
• Hierdie twee stelle waardes word die veranderlikes genoem.
• Daar is invoerveranderlikes en uitvoerveranderlikes.
• Die invoerveranderlike word ook die onafhanklike veranderlike genoem.
• Die uitvoerveranderlike word ook die afhanklike veranderlike genoem, want die uitvoerwaarde hang af van die invoerwaarde.
• ’n Funksie het ’n reël wat die verband tussen die invoer- en uitvoerveranderlike beskryf.
• Enige funksie kan in verskillende vorme voorgestel word:
◦ in woorde
◦ in ’n tabel
◦ as ’n vloeidiagram
◦ as ’n vergelyking of formule.
In subtema 13.2 gaan leerders ook grafieke gebruik om funksies voor te stel.
• ’n Vergelyking of formule is die eenvoudigste manier om ’n funksie se reël uit te druk.
y = 2x + 1 sê byvoorbeeld vir leerders dat hulle die uitvoerwaardes (y) kry as hulle die invoerwaardes (x) met 2 vermenigvuldig en dan 1 bytel.
Uitgewerkte voorbeel d 1: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
Die vloeidiagram verteenwoordig ’n funksie:
Onafhanklike veranderlike Invoerwaardes (x)
Afhanklike veranderlike Uitvoerwaardes (
2 + 4
a) Skryf die reël in woorde.
b) Gee die reël as ’n vergelyking.
c) Gebruik die vloeidiagram om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal.
d) Gebruik die vergelyking in 1.2 om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal.
e) Wys al die invoer- en uitvoerwaardes in ’n tabel.
f) Watter soort getalle is die invoerwaardes?
Oplossings
a) Die invoerwaardes (x) word deur 2 gedeel en dan word 4 bygetel om die uitvoerwaardes (y) te kry.
b) y = 1 2 x + 4 (of y = x 2 + 4)
c) i. y = 0 ÷ 2 + 4 = 0 + 4 = 4
ii. y = 6 ÷ 2 + 4 = 3 + 4 = 7
iii. Begin by die uitvoerwaarde 12 en werk dan agteruit deur elke keer die inverse (teenoorgestelde) bewerking te doen:
12 4 = 8 Trek 4 af
8 × 2 = 16
Dus is x = 16.
Vermenigvuldig met 2
Kontroleer die antwoord (pas die vloeidiagram se reël op 16 toe): 16 ÷ 2 + 4 = 8 + 4 = 12
d) i. Vervang x met 0: y = 0 2 + 4 = 0 + 4 = 4
ii. Vervang x met 6: y = 6 2 + 4 = 3 + 4 = 7
iii. Vervang y met 12: 12 = x 2 + 4
Dit is ’n vergelyking wat leerders moet oplos om die waarde van x te bepaal:
24 = x + 8
Vermenigvuldig albei kante met 2
∴ 16 = x Trek 8 af aan albei kante
∴ x = 16
e) x 8 0 16 6 y 0 4 12 7
f) Heelgetalle
Uitgewerkte voorbeeld 2: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
Die tabel stel ’n funksie voor: x 4 1 3 4 (iii)
y = (x + 1) 2 4 5 (i) (ii) 17 45
a) Gebruik die reël y = (x + 1) 2 − 4 om die ontbrekende waardes te bepaal.
b) Watter soort getalle is die invoerwaardes?
Oplossings
a) i. y = ( 1 + 1) 2 4 = 0 4 = 4
ii. y = (3 + 1) 2 − 4 = (4) 2 − 4 = 16 − 4 = 12
iii. 45 = (x + 1) 2 − 4 ∴ 45 + 4 = (x + 1) 2 4 + 4 Tel 4 by aan albei kante
Uitgewerkte voorbeeld 3: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
∴ x + 1 = 7 OF x + 1 = − 7
∴ x = 6 x = − 8 Trek 1 af aan albei kante
Kontroleer: As x = 6, dan is y = (6 + 1) 2 4 = (7) 2 4 = 49 4 = 45.
Dit is korrek.
SAMPLE
As x = 8, dan is y = ( 8 + 1) 2 4 = ( 7) 2 4 = 49 4 = 45.
Dit is korrek.
b) Heelgetalle
Die vloeidiagram stel ’n funksie voor: 1 Invoerwaardes (x)
a) Wys die invoer- en uitvoerwaardes in ’n tabel.
b) Bepaal die reël vir hierdie funksie. Skryf die reël as ’n vergelyking.
c) Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal: x 1 0 2,5 (iii) y (i) 6 (ii) 24
Oplossings
a) Tabel:
b) Tel elke keer 3 by. Die reël is y = 3x − 6.
c) i. y = 3( 1) 6 = 3 6 = 9
ii. y = 3(2,5) − 6 = 7,5 − 6 = 1,5 iii. 24 = 3x 6
∴ 24 + 6 = 3x 6 + 6 Tel 6 by aan albei kante
∴ 30 = 3x
∴ 30 3 = 3x 3
∴ 10 = x
∴ x = 10
Kontroleer: y = 3(10) 6 = 30 6 = 24
Dit is korrek.
Deel albei kante deur 3
Oefening 84: Invoer- en uitvoerwaardes
1. Beantwoord die volgende vrae:
1.1 Gebruik die reël y = − x 2 + 2x om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die heelgetalle vanaf 2 tot 2 is. Wys die antwoorde in ’n tabel.
SAMPLE
1.2 Gebruik die formule s = 6t − 3 om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die rasionale getalle − 1 3 ; − 5
2 3 en 1 6 is. Wys die antwoorde in ’n tabel.
1.3 Gebruik die vergelyking y = 2 x−1 + 2x om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die heelgetalle vanaf 2 tot 2 is. Wys die antwoorde in ’n tabel. x y = 2 x−1 + 2x 2
2. Gebruik die reël wat in elke geval gegee word om die ontbrekende waardes te bepaal:
p − 1) 2 = 25
i. y = 0( 4) + 4 = 4
ii. y = 2,5( 4) + 4 = 6 iii. x = ( 4 4) ÷ ( 4) = 2
i. y = (0 − 1) × (− 4) = 4
SAMPLE
ii. y = (2,5 − 1) × (− 4) = − 6 iii. x = 4 ÷ ( 4) + 1 = 1 + 1 = 2
3. Vergelyk die antwoorde op vraag 2.4 en 2.5. Wat merk leerders op? Hulle verduidelik dít wat hulle opmerk algebraïes. (Skryf die twee vloeidiagramme as algebraïese vergelykings en vereenvoudig dit indien moontlik.)
Die antwoorde is dieselfde.
By 2.4: y = 4x + 4 By 2.5: y = (x − 1)(− 4) = − 4x + 4
Die twee reëls is dus identies.
4. Beskou hierdie vloeidiagram:
4.1 Bepaal die reël vir hierdie funksie.
4.2 Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal:
2. EKWIVALENTE VORME
SAMPLE
Leerders weet reeds dat enige funksie op verskillende maniere voorgestel kan word, byvoorbeeld in woorde, in ’n tabel, as ’n vloeidiagram of as ’n vergelyking of formule. Dit word ekwivalente vorme genoem. Vorme is ekwivalent as dieselfde invoerwaardes gelyke uitvoerwaardes gee.
Vir enige gegewe funksie moet leerders die volgende kan doen:
• Hulle moet tussen ekwivalente vorme kan herlei. As ’n funksie byvoorbeeld in ’n vloeidiagram voorgestel word, moet hulle ’n waardetabel kan opstel, en ook die reël in die vorm van ’n vergelyking kan gee.
• Hulle moet ekwivalente vorme van dieselfde funksie kan herken. As ’n funksie byvoorbeeld deur ’n vergelyking voorgestel word, moet hulle ekwivalente vorme van hierdie funksie uit ’n verskeidenheid vloeidiagramme, tabelle of beskrywings in woorde kan kies. Hulle moet ook hul keuse kan verduidelik. (Dieselfde invoerwaardes gee gelyke uitvoerwaardes as die vorme ekwivalent is.)
Die uitgewerkte voorbeelde en oefeninge in subtema 13.1 sowel as in Tema 5 het baie geleenthede gegee om hierdie vaardighede te bemeester.
Ons gaan nou nog ’n ekwivalente vorm, naamlik grafieke, byvoeg. Kom ons hersien ’n paar belangrike feite oor grafieke:
• Grafieke bestaan uit ’n aantal punte wat op die Cartesiese vlak gestip is.
• Elke punt het ’n x-koördinaat en ’n y-koördinaat.
• Hierdie koördinate lê teenoor waardes op die x-as en die y-as.
• Ons beskou die x-koördinate van die punte op ’n grafiek as die invoerwaardes en die y-koördinate as die uitvoerwaardes.
Uitgewerkte voorbeeld 4: Ekwivalente vorme
Die gegewe grafiek toon die verwantskap tussen die getal sakke suurlemoene wat gekoop is en die koste daarvan. (Leerders het hierdie grafiek ook in Tema 1 gesien.)
a) Voltooi die volgende tabel sodat dit dieselfde verwantskap as die grafiek verteenwoordig:
Gebruik die tabel in vraag a) om ’n besluit te neem.
b) Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die verwantskap wat deur die grafiek voorgestel word?
c) Stel ’n ander metode voor as die een wat in vraag b) gebruik is om te bepaal of y = 6(x + 2) + 6x en y = 6(x + 2) + 6x 12 ekwivalente vorme is.
Oplossings
y = 12x en y = 6(x + 2) + 6x 12 is albei ekwivalente vorme van die grafiek, want die invoerwaardes gee dieselfde uitvoerwaardes as die grafiek.
c) In vraag b) het ons gesien dat y = 12x ’n ekwivalente vorm van die grafiek is. Enige vergelyking wat leerders tot y = 12x kan vereenvoudig, sal dus ook ’n ekwivalente vorm wees.
Leerders vereenvoudig die uitdrukking aan die regterkant van elke vergelyking om te kyk wat hulle kry:
y = 6(x + 2) + 6x
∴ y = 6x + 12 + 6x
Distributiewe reël
∴ y = 12x + 12 Tel gelyksoortige terme bymekaar
Hulle kry nie y = 12x nie. Dit is dus nie ’n ekwivalente vorm nie.
y = 6(x + 2) + 6x 12
∴ y = 6x + 12 + 6x 12
Distributiewe reël
∴ y = 12x Tel gelyksoortige terme bymekaar en trek dit af
Hulle kry y = 12x. Dit is dus ’n ekwivalente vorm.
Oefening 85: Ekwivalente vorme
1. Die gegewe grafiek toon die verwantskap tussen die getal werkers en hoe lank dit hulle neem om ’n opdrag te voltooi. (Leerders het hierdie grafiek ook in Tema 1 gesien.)
1.1 Voltooi die volgende tabel sodat dit dieselfde verwantskap as die grafiek verteenwoordig:
1.2 Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die grafiek?
= 48x
Gebruik die tabel in vraag 1.1 om ’n besluit te neem.
y = 48 x is dus ’n ekwivalente vorm van die grafiek.
2. Die gegewe grafiek verteenwoordig ’n funksie. Die koördinate van die punte word nie getoon nie. Leerders moet dit aflees deur na die waardes op die x- en y-as te kyk.
2.1 Gebruik die grafiek om die tabel te voltooi.
x 1 0 1 2 3 4
y 3 2 1 0 1 2
2.2 Bepaal die reël wat hierdie funksie beskryf. Skryf dit as ’n vergelyking.
y = x + 2
2.3 Watter van die volgende vergelykings sal ook hierdie funksie beskryf?
Gebruik die tabel in vraag 2.1 om die vraag te beantwoord.
y = 2x − (x − 2)
y = x 2(x 1)
y = (x 1) 2 x(x 1) + 1
y = x 2(x 1) en y = (x 1) 2 x(x 1) + 1 beskryf albei hierdie funksie (albei is ekwivalente vorme).
2.4 Leerders los die volgende vergelykings op deur hul tabel by vraag 2.3 te gebruik.
Om die vergelykings op te los, moet leerders die x-waardes bepaal wat die gegewe uitvoerwaardes ( 1, 1, 0 en 3) gee:
x + 2 = − 1: x = 3
2x − (x − 2) = 1: x = − 1
x − 2(x − 1) = 0: x = 2
(x − 1) 2 − x(x − 1) + 1 = 3: x = − 1
2.5 Gebruik die grafiek om die volgende vergelykings op te los. Om die vergelykings op te los, moet leerders die x-koördinate van die punte met die gegewe y-koördinate ( 1, 0 en 3) van die grafiek aflees: − x + 2 = − 1: x = 3 x 2(x 1) = 0: x = 2
2.6 Los nou die volgende vergelykings algebraïes op: 2.6.1 2x − (x − 2) = 1 ∴ 2x x + 2 = 1
x = 1 2.6.2 (x − 1) 2 − x(x − 1) + 1 = 3
3. Die grafiek verteenwoordig ’n funksie. Die koördinate van die punte word nie gewys nie. Leerders moet dit aflees deur na die waardes op die x- en y-as te kyk.
3.1 Gebruik die grafiek om die tabel te voltooi:
− 3 − 2 − 1 0 1 2 3
5 0 3 4 3 0 5
3.2 Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die grafiek? y = x 2 4 y = (x 2)
= (x + 2)
y = (x 2)(x + 2)
Leerders gebruik die tabel in vraag 3.1 om ’n besluit te neem.
y = x 2 4 en y = (x 2)(x + 2) is dus albei ekwivalente vorme van die grafiek. Albei verteenwoordig hierdie funksie.
3.3 Gebruik die grafiek om die invoerwaarde(s) te bepaal as die uitvoerwaarde 12 is.
x = − 4 en x = 4
4. Die grafiek stel die funksie y =
voor.
SAMPLE
4.1 Gebruik die vergelyking om die volgende tabel te voltooi: x 2 0 1 2 4 y 4 4 5 4 4
4.2 Stip nou die punte in die tabel op die grafiek.
4.3 Vereenvoudig die volgende vergelykings om te bepaal of enigeen ’n ekwivalente vorm van y = − x 2 + 2x + 4 is:
y = (x 2 + 2x + 4) = x 2 2x 4
y = (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4
y = (x + 2) 2 = x 2 4x 4
Nie een van hulle is ’n ekwivalente vorm nie.
4.4 Gebruik die tabel in vraag 4.1 om die volgende vergelykings op te los: 4.4.1 x 2 + 2x + 4 = − 4: x = − 2 OF x = 4
4.4.2 − x 2 + 2x = 1
∴ x 2 + 2x + 4 = 1 + 4 Tel 4 by aan albei kante om die oorspronklike uitdrukking te kry ∴ x 2 + 2x + 4 = 5
5. Die grafiek stel die funksie y = 2 x + 1 voor.
5.1 Gebruik die vergelyking om die volgende tabel te voltooi (gebruik ’n sakrekenaar waar nodig):
x 0 1 1,5 3 3,75 y 2 3 3,828 9 14,454
5.2 Stip nou die punte in die tabel op die grafiek.
5.3 Gebruik die grafiek om die volgende vergelykings op te los:
x = 0 By die punt (0;
Selfevaluering
SAMPLE
Leerders gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik hulle met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Leerders is glad nie gemaklik met die onderwerp nie en het hulp nodig.
2. Help! Leerders is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Leerders is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Leerders is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Leerders is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Leerders voltooi die volgende tabel:
Leerder ken die vyf verskillende vorme waarin ’n funksie uitgedruk kan word.
Leerder kan enigeen van hierdie vorme na ’n ekwivalente vorm omskakel.
Leerder kan ekwivalente vorme van dieselfde funksie herken.
Leerder kan verduidelik waarom verskillende vorme van dieselfde funksie ekwivalent is.
Leerder weet wat invoerwaardes en uitvoerwaardes is.
Leerder kan invoerwaardes bereken.
Leerder kan uitvoerwaardes bereken.
Leerder kan identifiseer watter soorte getalle as invoerwaardes gebruik word.
Opsomming van tema
Noudat leerders die einde van hierdie tema bereik het, behoort hulle die volgende te ken en kan toepas:
1. dat ’n funksie ’n verwantskap tussen twee veranderlikes is
2. dat een veranderlike die invoerveranderlike is (gewoonlik x) en die ander die uitvoerveranderlike (gewoonlik y)
3. dat ’n funksie in verskillende vorme voorgestel kan word:
3.1 in woorde
3.2 in ’n tabel
3.3 as ’n vloeidiagram
3.4 as ’n vergelyking of formule
3.5 met ’n grafiek
4. dat hierdie vorme ekwivalent is as dieselfde invoerwaardes gelyke uitvoerwaardes gee
5. hoe om enige vorm van ’n funksie na ’n ekwivalente vorm om te skakel
6. hoe om ekwivalente vorme van dieselfde funksie te herken
7. hoe om te verduidelik waarom verskillende vorme van dieselfde funksie ekwivalent is.
Oefening om die tema af te sluit
1. Die volgende invoerwaardes word vir die funksie
en
gegee:
2 . Bepaal die uitvoerwaardes. Wys die antwoorde in ’n tabel.
2. Gebruik die reël wat gegee word om die ontbrekende waardes vir elke funksie te bepaal.
3. Beskou die volgende vloeidiagram:
3.1 Bepaal die reël vir hierdie funksie.
− 4
3.2 Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal:
x 1 2,5 (iii) 56
y (i) 3 1 2 (ii) 5 1 4 24
4. Die grafiek verteenwoordig ’n funksie.
4.1 Gebruik die grafiek om die volgende tabel te voltooi:
4.3 Watter van die volgende vergelykings sal ook hierdie funksie beskryf? Gebruik die tabel in vraag 4.1 om die vraag te beantwoord.
SAMPLE
4.2 Bepaal die reël wat hierdie funksie beskryf. Skryf dit as ’n vergelyking.
beskryf albei hierdie funksie (albei is ekwivalente vorme).
4.4 Vereenvoudig enige ekwivalente vergelyking(s) om die antwoord op vraag 4.3 te staaf.
As leerders hierdie twee vergelykings vereenvoudig, kry hulle
wat die reël is vir hierdie funksie.
4.5 Los die volgende vergelykings op:
4.5.1 deur die tabel in vraag 4.3 te gebruik
Bepaal die x-waarde wat met ’n y-waarde van 1 ooreenstem. Die antwoord is x = 3.
2 (x − 5) = 1
Bepaal die x-waarde wat met ’n y-waarde van 1 ooreenstem. Die antwoord is x = 7.
4.5.2 deur die grafiek te gebruik. 1 2 x − 2 1 2 = − 1
Kyk watter punt se y-koördinaat 1 is. Bepaal die x-koördinaat van hierdie punt. Die antwoord is x = 3. 1 2 (x − 5) = 1
Kyk watter punt se y-koördinaat 1 is. Bepaal die x-koördinaat van hierdie punt. Die antwoord is x = 7.
4.6 Los nou die vergelykings in vraag 4.5 algebraïes op.
2 (x − 5) = 1
x − 5 = 2
x = 7
SAMPLE
Vermenigvuldig met 2
Patrone, funksies en algebra
TEMA 14
ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet die volgende ken en kan toepas:
• Gebruik algebraïese taal (soos in Tema 6).
• Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings (soos in Tema 6).
• Faktoriseer algebraïese uitdrukkings wat die volgende insluit:
◦ gemene faktor
◦ verskil van twee vierkante
◦ drieterme in die vorm:
◊ x 2 + bx + c
◊ a x 2 + bx + c, waar a ’n gemene faktor is.
• Vereenvoudig algebraïese breuke deur faktorisering te gebruik.
Kwartaal 3
Duur Twee weke (nege uur)
Vraestel 1
Gewig 5 ± 2 punte uit 75 in November-eksamen
SAMPLE
• Faktorisering van algebraïese uitdrukkings word in hierdie tema bekendgestel. Dit is nuwe werk. Leerders moet hierdie vaardigheid deeglik bemeester omdat dit soveel toepassings het. Hulle gaan dit byvoorbeeld in Tema 15 gebruik om vergelykings op te los.
• Dit is belangrik dat leerders besef dat faktorisering en die uitmaal van hakies (die verwydering van hakies deur vermenigvuldiging) twee inverse (teenoorgestelde of omgekeerde) prosesse is.
• Moedig leerders dus aan om altyd hulle antwoorde ná faktorisering te toets: As hulle die faktore vermenigvuldig, moet hulle weer die oorspronklike uitdrukking (die produk) kry.
Inleiding
In Tema 6, wat in die eerste kwartaal gedek is, het ons leerders se graad 8-kennis en -vaardighede ten opsigte van algebraïese uitdrukkings hersien en daarop uitgebrei.
In hierdie tema gaan ons:
• die werk wat in Tema 6 behandel is oor die uitbreiding en vereenvoudiging van algebraïese uitdrukkings hersien
• faktorisering van algebraïese uitdrukkings bekendstel (dit is die inverse of teenoorgestelde daarvan om hakies uit te maal)
• faktorisering gebruik om algebraïese breuke te vereenvoudig en berekeninge te doen.
Fasiliteerderswenke
• Die eerste deel van hierdie tema hersien die inhoud wat in Tema 6 gedek is. Dit is uiters belangrike werk (net soos dié wat in Tema 6 behandel is) en genoeg tyd moet daaraan bestee word.
1. UITBREIDING EN VEREENVOUDIGING VAN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
1.1 Op telling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 1: Optelling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Vereenvoudig elk van die volgende uitdrukkings: a)
(5 p 2 − 0,8p + 6) − (12 p 2 + 1,2
Oplossings
a)
= 5 a 2 + 9a b 2 + 8 a 2 b − 2b Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
b) (12 x 2 − 0,5x + 2,3) + (3 x 2 + x − 3,7)
= 12 x 2 − 0,5x + 2,3 + 3 x 2 + x − 3,7
Verwyder hakies
= 15 x 2 + 0,5x − 1,4 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
c) (5 p 2 − 0,8p + 6) − (12 p 2 + 1,2p − 3)
= 5 p 2 − 0,8p + 6 − 12 p 2 − 1,2p + 3
SAMPLE
Verwyder hakies
= − 7 p 2 − 2p + 9 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
LET OP
Verwyder hakies
As die bewerking voor die hakies optelling (+) is, bly die tekens van die terme binne die hakies dieselfde wanneer dit uitgemaal word.
As die bewerking voor die hakies aftrekking ( ) is, verander die tekens van die terme binne die hakies wanneer dit uitgemaal word.
Oefening 86: Optelling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Vereenvoudig:
1.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 2: Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings
8 a 2 b 4 = 64 ÷ ( 8) × a 4−2 b 8−4 = − 8 a 2 b 4 Deel die koëffisiënte en trek die eksponente af
27 x 7 y 8 − 9 x 8 y 5+ 3 x 4 y 5 3 x 4 y 5 = 27 x 7 y 8 3 x 4 y 5 − 9 x 8 y 5 3 x 4 y 5 + 3 x 4 y 5 3 x 4 y 5 Deel elke term in die teller deur die noemer = 9 x 3 y 3 − 3 x 4 × 1 + 1
= 1 = 9 x 3 y 3 − 3 x 4 + 1 Vereenvoudig
2 (3x − 1) 2 − (2 − 3x) = 2(9 x 2 − 6x + 1) − (2 − 3x) = 18 x 2 − 12x + 2 − 2 + 3x Verwyder die hakies = 18 x 2 − 9x Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
14. 2x (x − 2y) 2 = 2x(x 2 − 4xy + 4 y 2) = 2 x 3 − 8 x 2 y + 8x y 2
1.3 Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels
Vierkante en derdemagte
• Kwadreer elke faktor binne die hakies of verhef dit tot die derde mag.
• As daar meer as een term is, moet jy dit eers vereenvoudig tot een term (as dit moontlik is). Kwadreer dan elke faktor of verhef dit tot die derde mag.
Vierkantswortels en derdemagswortels
• Bepaal die vierkantswortel of derdemagswortel van elke faktor onder die wortelteken.
• As daar meer as een term is, moet jy dit eers vereenvoudig tot een term (as dit moontlik is). Bepaal dan die vierkantswortel of derdemagswortel van elke faktor.
• Die vierkantswortel van ’n negatiewe getal bestaan nie. ’n Mens kan wel die derdemagswortel van ’n negatiewe getal bereken.
Uitgewerkte voorbeeld 3: Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels
Vereenvoudig: a) ( − 3 a 3) 3
Oplossings
a) ( − 3 a 3) 3 = − 27 a 9 b) (8 a 4 − 4 a 4) 2 = (4 a 4) 2 = 16 a 8 c) √ 16 x 16 y 6 = 4 x 8 y 3
3 √ 27 x 27 = − 3 x 9
√ 16 x 4 + 9 x 4 = √ 25 x 4 = 5 x 2
– Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2
Oefening 88: Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels
Vereenvoudig (indien moontlik):
1.4 Sub stitusie in algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 4: Substitusie in algebraïese uitdrukkings
