Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Handleiding 1/2 – Graad 9
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur
H Otto M Sherman
INHOUDSOPGAWE
1. Hoe om ’n hoek te halveer deur net ’n passer, potlood en liniaal te gebruik ................................................................................................ 119
Oefening 62: Konstruksie van 30°-, 45°- en 60°-hoeke ........................... 120
2. Konstruksie van hoeke wat veelvoude van 45°, 60° en 30° is (groter as 90°) ......................................................................................... 121
Oefening 63: Konstruksie van stomphoeke wat veelvoude van 30°, 45° en 60° is
64: Ondersoek die eienskappe
1
2 1. Telgetalle en heelgetalle
2 2. Breuke
1 3. Eksponente
1 4. Patrone
1 5. Funksies en verwantskappe
1 6. Algebraïese uitdrukkings
1 7. Algebraïese vergelykings
2 8. Eienskappe van meetkundige vorms
2 9. Tweedimensionele (2D) vorms
2
Toets
Werksopdrag
VOORWOORD
3
2 10. Meetkunde van lyne en hoeke
1 11. Pythagoras se stelling
1 12. Omtrek en oppervlakte
1 13. Funksies en verwantskappe
2 14. Algebraïese uitdrukkings
2 15. Algebraïese vergelykings
3 16. Grafieke
1 17. Buiteoppervlakte en volume van 3D voorwerpe
2 18. Transformasiemeetkunde
2 19. Meetkunde van 3D voorwerpe
Toets
Ondersoek
Halfjaareksamen
Toets
Werksopdrag
Projek
4
3 20. Datahantering
1 21. Waarskynlikheid
SAMPLE
Werksopdrag
Ondersoek
Eindeksamen
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.
Graad 9 is die laaste jaar van die Algemene Onderwys- en Opleiding- (AOO-) fase, waarin Wiskunde ’n verpligte vak is. In graad 10 moet jy tussen Wiskunde en Wiskundige Geletterdheid kies.
Jy kies soms Wiskundige Geletterdheid om die verkeerde redes, byvoorbeeld dat jy Wiskunde tot graad 9 moeilik gevind het en dat Wiskundige Geletterdheid minder uitdagend is as Wiskunde.
Voordat jy aan die einde van graad 9 hierdie keuse maak, moet jy egter goed nadink oor jou toekomsplanne, veral as jy naskoolse kwalifikasies (op universiteit of kollege) wil behaal. Vir baie naskoolse kursusse is Wiskunde (en nie Wiskundige Geletterdheid nie) op graad 12-vlak ’n toelatingsvereiste. Dit is dus belangrik om in graad 9 hard te werk in Wiskunde ten einde in graad 10 tot 12 suksesvol te kan voortgaan daarmee om latere opsies oop te hou.
Optimi se graad 9-wiskundeproduk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™leermodel gebaseer is om jou en die fasiliteerders te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 9-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.
Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe jy en die fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal.
Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 21 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 12 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 13 tot 21 (kwartaal 3 en 4).
Tydsindeling
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 9 uur (twee weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (telgetalle en heelgetalle) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en jou fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Die leeraktiwiteite wat as deel van die OLP se lesstrukture beskikbaar is, behels verskillende formate en vlakke van interaksie. Die hulpbronne ondersteun nie net die leerproses nie, maar bied jou ook die geleentheid om nuwe kennis in te oefen.
Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Wenk: Hoe meer oefeninge jy doen, hoe groter is die kans dat jy sukses gaan behaal in wiskunde.
Struktuur van temas
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou.
Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir jou makliker te maak om daardeur te werk.
Die struktuur is soos volg: Inleiding
SAMPLE
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik.
Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.
Voorafkennis
Hierdie afdeling sê vir jou watter bestaande kennis jy nodig het om die betrokke tema te bemeester.
Hersiening
Dit kan een van die volgende behels:
1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word,
2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat jy self jou voorafkennis kan toets, of
3. ’n kombinasie hiervan.
Elke subtema het die volgende struktuur:
SUBTEMA
Inleiding
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.
Uitgewerkte voorbeelde
Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help jou om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Oefeninge
Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
Opsomming van tema
Oefening om die tema af te sluit
SAMPLE
Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy werk kan herken, sê jy dikwels “O,
ja!” maar
jy sukkel om dit te onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.
Wanneer jy dieselfde soort probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy nie meer na oor die oefening nie. Jy is oortuig daarvan dat jy presies weet watter soort probleem jy moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie probleme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.
Selfevaluering
In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy is met elke onderwerp in die tabel wat volg:
1. Alarm! Jy is glad nie gemaklik met die onderwerp nie en het hulp nodig.
2. Help! Jy is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Jy is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Jy is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Jy is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi nou die volgende tabel.
Wenk: Voltooi elke selfevaluering so eerlik as moontlik. As daar aspekte is wat jy nie onder die knie het nie, gaan kyk weer daarna en maak seker dat jy dit wel bemeester. Vra die fasiliteerder vir hulp. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat jy die betrokke onderwerp bemeester het nie, selfs al beteken dit dat jy meer tyd aan ’n sekere tema bestee as wat die KABV aanbeveel.
Assesseringsvereistes
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering. Jy moet tien formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering voltooi.
SAMPLE
Vorme van assessering
* Moet voor die eindeksamen voltooi word
Die twee vraestelle in die middel en aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:
Middel van die jaar eksamen
ONDERWERPE
Telgetalle
Eksponente
Gewone breuke
Heelgetalle
Desimale breuke
Funksies en verwantskappe
Numeriese en meetkundige patrone
Eienskappe van getalle
Berekeninge met telgetalle Veelvoude en faktore Probleemoplossing
Vergelyk en gee getalle in eksponensiële vorm weer
Berekeninge met breuke
Eienskappe van heelgetalle
Berekeninge met desimale breuke
en
Berekeninge met getalle in eksponensiële vorm
Berekeninge met heelgetalle
en
Algebraïese uitdrukkings Algebraïese
SAMPLE
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig
punt vir die vraestel
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig per onderwerp × totale punt vir die vraestel
Einde van die jaar eksamen
ONDERWERPE
Telgetalle
Gewone breuke
Heelgetalle
Desimale breuke
Eksponente
Eienskappe van getalle
Berekeninge met telgetalle Veelvoude en faktore Probleemoplossing
Berekeninge met breuke Probleemoplossing
Eienskappe van heelgetalle
Berekeninge met desimale breuke
Vergelyk en gee getalle in eksponensiële vorm weer
Berekeninge met heelgetalle
oplossing
Berekeninge met getalle in eksponensiële vorm
Numeriese en meetkundige
en verwantskappe
Algebraïese uitdrukkings
Algebraïese taal
Brei algebraïese uitdrukkings uit en vereenvoudig hulle
SAMPLE
van 3D voorwerpe
Pythagoras se stelling Los probleme op deur Pythagoras se stelling
Omtrek en oppervlakte Oppervlakte
Organiseer en som data op Stel data voor Interpreteer data Analiseer data
Wenk: Puntetoewysing per onderwerp ≈ persentasie gewig per onderwerp × totale punt vir die vraestel
Aanvullende boeke
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za
• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com
• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Sakrekenaar
Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.
SAMPLE
SAMPLE
Getalle, bewerkings en verhoudings
TEMA 1
Telgetalle en heelgetalle
Inleiding
In hierdie tema gaan ons werk wat in graad 8 oor die volgende gedoen is, hersien en daarop uitbrei:
• getalle in die reële getallestelsel en hulle eienskappe
• berekeninge met telgetalle waar al vier bewerkings gebruik word, verskillende berekeningstegnieke en strategieë vir berekeninge met telgetalle
• priemfaktorisering om die kleinste gemene veelvoud (KGV) en grootste gemene deler (GGD) van getalle te bepaal
• probleme wat die volgende insluit:
◦ verhouding en koers
◦ direkte en indirekte (omgekeerde) eweredigheid
• probleme wat met geld te doen het
• berekeninge met heelgetalle waar al vier bewerkings gebruik word.
1. KLASSIFIKASIE VAN GETALLE
Ons getallestelsel bestaan uit verskillende soorte getalle. Getalle kan in verskillende groepe geklassifiseer word.
• Natuurlike getalle
Natuurlike getalle is 1; 2; 3; ...
Die simbool vir natuurlike getalle is ℕ.
Natuurlike getalle sluit in:
Ewe getalle (deelbaar deur 2): 2; 4; 6; …
Onewe getalle (nie deelbaar deur 2 nie): 1; 3; 5; …
SAMPLE
Priemgetalle (getalle met slegs twee faktore, naamlik die getal self en 1): 2; 3; 5; …
Kwadrate (vierkantsgetalle): 1; 4; 9; …
Derdemagte: 1; 8; 27; …
• Telgetalle
Telgetalle is 0; 1; 2; 3; ...
Die simbool vir telgetalle is ℕ 0.
• Heelgetalle
Heelgetalle is ... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...
Die simbool vir heelgetalle is ℤ.
• Rasionale getalle
Rasionale getalle is getalle wat geskryf kan word as a b , waar b ≠ 0.
Die simbool vir rasionale getalle is ℚ.
Voorbeelde van rasionale getalle
◦ natuurlike getalle soos 1, 2 of 3, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke): 1 = 6 6 ; 2 = 12 6 ; 3 = 15 5
◦ 0, want ons kan dit skryf as 0 5
◦ heelgetalle soos − 3, − 2 of − 1, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke):
◦ 1 = 6 6 ; 2 = 2 6 ; 3 = 15 5
◦ gewone breuke, byvoorbeeld 3 4 ; 2 3 ; 5 6 .
◦ onegte breuke, byvoorbeeld 3 2 ; 5 4 ; 5 − 3
◦ gemengde getalle, byvoorbeeld 1 1 2 ; 3 5 12 of − 5 3 4 , want ons kan dit as onegte breuke in die vorm a b skryf waar a > b, byvoorbeeld 1 1 2 = 3 2
◦ eindige desimale breuke, byvoorbeeld 0,5, 0,25 of 0,875, want ons kan dit in die vorm a b skryf (as verhoudings of breuke): 0,5 = 1 2 ; 0,25 = 1 4 ; 0,875 = 7 8
◦ repeterende desimale breuke, byvoorbeeld 0, 3 ˙ of 0, 3 ˙ 7 ˙ , want ons kan dit as gewone breuke in die vorm a b skryf: 0, 3 ˙ = 1 3 ; 0, 3 ˙ 7 ˙ = 37 99
• Irrasionale getalle
Irrasionale getalle is getalle wat nie in die vorm a b waar b ≠ 0, geskryf kan word nie.
Die simbool vir irrasionale getalle is ℚ′ .
Voorbeelde van irrasionale getalle
◦ π
◦ enige oneindige, nie-repeterende desimale breuk, byvoorbeeld 0,3876519...
◦ enige wortel wat nie presies bepaal kan word nie, byvoorbeeld √ 2 ; 3 √ 20 ; 4 √ 36
Opsomming van die verskillende soorte desimale breuke
Eindig Oneindig
Tema 1: Telgetalle en heelgetalle
Die soorte desimale breuke in die gekleurde reghoeke hiernaas is rasionale getalle.
• Reële getalle
Al die getalle wat hierbo gelys is, word reële getalle genoem.
OP
SAMPLE
Die simbool vir reële getalle is ℝ.
• Nie-reële getalle
3 √ 27 en 5 √ 32 is reële getalle, want 3 √ 27 = 3 en 5 √ 32 = 2
Alle getalle wat nie reële getalle is nie, is nie-reëel, byvoorbeeld √ 4 , 4√ 16 of 6√ − 10 .
Die simbool vir nie-reële getalle is ℝ′ .
Voorstelling van die getallestelsel
Ons kan die getallestelsel en die soorte getalle waaruit dit bestaan op twee maniere uitbeeld:
Vanaf die binnekant na die buitekant 1; 2; 3; ...
Reële getalle (ℝ) Nie-reële getalle (ℝ')
Rasionale getalle (ℚ): a b, waar b ≠ 0 Irrasionale getalle (ℚ') ℕ ℕ 0 ℤ 0; 1; 2; 3; ... ...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; ...
Van bo na onder
Ons getallestelsel
Reële getalle (ℝ)
Irrasionale getalle (ℚ')
Nie-repeterende desimale breuke
Nie-reële getalle (ℝ')
Uitgewerkte voorbeeld 1: Klassifikasie van getalle
Voltooi die tabel deur ʼn kruisie in die toepaslike blokkie(s) te trek:
• 1 2 3 is ʼn gemengde getal. Dit is dus ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• √ 7 is ʼn irrasionale getal, want dit kan nie as ʼn gewone breuk (verhouding) geskryf word nie. Dit is ook ʼn reële getal, want irrasionale getalle vorm deel van reële getalle.
• 100 is ʼn negatiewe heelgetal en ʼn rasionale getal (want dit kan as ʼn gewone breuk of verhouding geskryf word). Rasionale getalle vorm deel van reële getalle.
• √ 10 × √ 10 = 10. Dit is ʼn natuurlike getal, ʼn telgetal, ʼn heelgetal, ʼn rasionale getal en ʼn reële getal.
• 1,010010001... is ʼn oneindige, nie-repeterende desimale breuk. Dit kan nie as ʼn gewone breuk (verhouding) geskryf word nie. Dit is dus ʼn irrasionale reële getal.
• √ − 8 is ʼn nie-reële getal.
• 0, 3 ˙ 1 ˙ 2 ˙ is ʼn repeterende desimale breuk. Dit kan as ʼn gewone breuk geskryf word. Dit is dus ʼn rasionale reële getal.
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde.
