Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Handleiding 2/2 – Graad 9
2509-A-MAM-SG02
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur
H Otto M Sherman
INHOUDSOPGAWE
1.1
Oefening 86: Optelling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
1.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings .......................13
Oefening 87: Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings .................................................................................................15
1.3 Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels..................15
Oefening 88: Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels ........................................................................................16
1.4 Substitusie in algebraïese uitdrukkings .......................................................16
Oefening 89: Substitusie in algebraïese uitdrukkings .................................17
2. Faktorisering van algebraïese uitdrukkings............................................17
Vergrotings en verkleinings ......................................................................92
Oefening 111: Vergroting en verkleining van figure
om die tema af te sluit .........................................................................99 TEMA 19: MEETKUNDE VAN 3D VOORWERPE .........................................
2.1 Ondersoek om die getal rande en hoekpunte van Platoniese voorwerpe te bepaal ...................................................................................105
3. Geboë 3D voorwerpe ...............................................................................106 4. Nette van 3D voorwerpe .........................................................................106
4.1 Akkurate konstruksies van nette ................................................................107
Oefening 112: Konstrueer en gebruik nette van 3D voorwerpe ................107
Patrone, funksies en algebra
TEMA 13
Funksies en verwantskappe
Inleiding
In hierdie tema gaan jy die werk wat jy in Tema 5 oor die volgende gedoen het, hersien en daarop voortbou:
• verwantskappe tussen twee veranderlikes (funksies)
• die verskillende vorme waarin ons ’n funksie kan uitdruk
• hoe om invoer- en uitvoerwaardes van funksies te bepaal
• ekwivalente vorme van funksies, insluitend grafieke.
1. INVOERWAARDES, UITVOERWAARDES EN REËLS
Hersien kortliks belangrike konsepte uit Tema 5:
• ’n Funksie is ’n spesifieke soort verwantskap tussen twee stelle waardes.
• Hierdie twee stelle waardes word die veranderlikes genoem.
• Daar is invoerveranderlikes en uitvoerveranderlikes.
• Die invoerveranderlike word ook die onafhanklike veranderlike genoem.
• Die uitvoerveranderlike word ook die afhanklike veranderlike genoem, want die uitvoerwaarde hang af van die invoerwaarde.
• ’n Funksie het ’n reël wat die verband tussen die invoer- en uitvoerveranderlike beskryf.
In subtema 13.2 gaan jy ook grafieke gebruik om funksies voor te stel.
• ’n Vergelyking of formule is die eenvoudigste manier om ’n funksie se reël uit te druk.
SAMPLE
• Enige funksie kan in verskillende vorme voorgestel word:
◦ in woorde
◦ in ’n tabel
◦ as ’n vloeidiagram
◦ as ’n vergelyking of formule.
y = 2x + 1 sê byvoorbeeld vir jou dat jy die uitvoerwaardes (y) kry as jy die invoerwaardes (x) met 2 vermenigvuldig en dan 1 bytel.
Uitgewerkte voorbeel d 1: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
Die vloeidiagram verteenwoordig ’n funksie:
Onafhanklike veranderlike Invoerwaardes (x)
Afhanklike veranderlike Uitvoerwaardes (y)
2 + 4
(i)
(ii)
a) Skryf die reël in woorde.
b) Gee die reël as ’n vergelyking.
c) Gebruik die vloeidiagram om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal.
d) Gebruik die vergelyking in 1.2 om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal.
e) Wys al die invoer- en uitvoerwaardes in ’n tabel.
f) Watter soort getalle is die invoerwaardes?
Oplossings
a) Die invoerwaardes (x) word deur 2 gedeel en dan word 4 bygetel om die uitvoerwaardes (y) te kry.
b) y = 1 2 x + 4 (of y = x 2 + 4)
Wiskunde – Handleiding 2/2
c)
i. y = 0 ÷ 2 + 4 = 0 + 4 = 4
ii. y = 6 ÷ 2 + 4 = 3 + 4 = 7
iii. Begin by die uitvoerwaarde 12 en werk dan agteruit deur elke keer die inverse (teenoorgestelde) bewerking te doen: 12 4 = 8 Trek 4 af
8 × 2 = 16
Dus is x = 16.
d)
Vermenigvuldig met 2
Kontroleer die antwoord (pas die vloeidiagram se reël op 16 toe): 16 ÷ 2 + 4 = 8 + 4 = 12
i. Vervang x met 0: y = 0 2 + 4 = 0 + 4 = 4
ii. Vervang x met 6: y = 6 2 + 4 = 3 + 4 = 7
iii. Vervang y met 12: 12 = x 2 + 4
Dit is ’n vergelyking wat jy moet oplos om die waarde van x te bepaal:
24 = x + 8
Vermenigvuldig albei kante met 2
∴ 16 = x Trek 8 af aan albei kante
∴ x = 16
e) x 8 0 16 6 y 0 4 12 7
f) Heelgetalle
Uitgewerkte voorbeeld 2: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
Die tabel stel ’n funksie voor: x 4 1 3
SAMPLE
a) Gebruik die reël y = (x + 1) 2 − 4 om die ontbrekende waardes te bepaal.
b) Watter soort getalle is die invoerwaardes?
Oplossings
a) i. y = ( 1 + 1) 2 4 = 0 4 = 4 ii. y = (3 + 1) 2 4 = (4) 2 4 = 16 4 = 12 iii. 45 = (x + 1) 2 4
49 = (x + 1) 2
± √ 49 = √ (x + 1) 2 Bepaal die vierkantswortel aan albei kante
∴ ± 7 = x + 1
Kontroleer: As x = 6, dan is y = (6 + 1)
Dit is korrek. As x = 8, dan is
Dit is korrek.
b) Heelgetalle
Uitgewerkte voorbeeld 3: Invoerwaardes, uitvoerwaardes en reëls
Die vloeidiagram stel ’n funksie voor:
Invoerwaardes (x)
a) Wys die invoer- en uitvoerwaardes in ’n tabel.
b) Bepaal die reël vir hierdie funksie. Skryf die reël as ’n vergelyking.
c) Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal:
x 1 0 2,5 (iii) y (i) 6 (ii) 24
Oplossings
a) Tabel:
∴ 24 +
SAMPLE
+3 +3 +3
b) Tel elke keer 3 by. Die reël is y = 3x − 6.
c)
i. y = 3( 1) 6 = 3 6 = 9
ii. y = 3(2,5) − 6 = 7,5 − 6 = 1,5
iii. 24 = 3x 6
Kontroleer: y = 3(10) 6 = 30 6 = 24
Dit is korrek.
Oefening 84: Invoer- en uitvoerwaardes
1. Beantwoord die volgende vrae:
1.1
Gebruik die reël y = − x 2 + 2x om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die heelgetalle vanaf 2 tot 2 is. Wys die antwoorde in ’n tabel.
1.2 Gebruik die formule s = 6t − 3 om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die rasionale getalle 1 3 ; − 5 6 ; 0 ; 2 3 en 1 6 is. Wys die antwoorde in ’n tabel.
1.3 Gebruik die vergelyking y = 2 x−1 + 2x om die uitvoerwaardes te bepaal as die invoerwaardes die heelgetalle vanaf 2 tot 2 is. Wys die antwoorde in ’n tabel.
2. Gebruik die reël wat in elke geval gegee word om die ontbrekende waardes te bepaal:
3. Vergelyk die antwoorde op vraag 2.4 en 2.5. Wat merk jy op? Verduidelik wat jy opmerk algebraïes. (Skryf die twee vloeidiagramme as algebraïese vergelykings en vereenvoudig dit indien moontlik.)
4. Beskou hierdie vloeidiagram:
4.1 Bepaal die reël vir hierdie funksie.
4.2 Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal:
SAMPLE
EKWIVALENTE VORME
Jy weet reeds dat enige funksie op verskillende maniere voorgestel kan word, byvoorbeeld in woorde, in ’n tabel, as ’n vloeidiagram of as ’n vergelyking of formule. Dit word ekwivalente vorme genoem. Vorme is ekwivalent as dieselfde invoerwaardes gelyke uitvoerwaardes gee.
Vir enige gegewe funksie moet jy die volgende kan doen:
• Jy moet tussen ekwivalente vorme kan herlei. As ’n funksie byvoorbeeld in ’n vloeidiagram voorgestel word, moet hulle ’n waardetabel kan opstel, en ook die reël in die vorm van ’n vergelyking kan gee.
• Jy moet ekwivalente vorme van dieselfde funksie kan herken. As ’n funksie byvoorbeeld deur ’n vergelyking voorgestel word, moet jy ekwivalente vorme van hierdie funksie uit ’n verskeidenheid vloeidiagramme, tabelle of beskrywings in woorde kan kies. Jy moet ook jou keuse kan verduidelik. (Dieselfde invoerwaardes gee gelyke uitvoerwaardes as die vorme ekwivalent is.)
Die uitgewerkte voorbeelde en oefeninge in subtema 13.1 sowel as in Tema 5 het baie geleenthede gegee om hierdie vaardighede te bemeester.
Ons gaan nou nog ’n ekwivalente vorm, naamlik grafieke, byvoeg. Kom ons hersien ’n paar belangrike feite oor grafieke:
• Grafieke bestaan uit ’n aantal punte wat op die Cartesiese vlak gestip is.
• Elke punt het ’n x-koördinaat en ’n y-koördinaat.
• Hierdie koördinate lê teenoor waardes op die x-as en die y-as.
• Ons beskou die x-koördinate van die punte op ’n grafiek as die invoerwaardes en die y-koördinate as die uitvoerwaardes.
Uitgewerkte voorbeeld 4: Ekwivalente vorme
Die gegewe grafiek toon die verwantskap tussen die getal sakke suurlemoene wat gekoop is en die koste daarvan. (Jy het hierdie grafiek ook in Tema 1 gesien.)
a) Voltooi die volgende tabel sodat dit dieselfde verwantskap as die grafiek verteenwoordig: x 0 1 2 4
b) Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die verwantskap wat deur die grafiek voorgestel word?
= 6(x + 2) + 6x
= 6(x + 2)
Gebruik die tabel in vraag a) om ’n besluit te neem.
SAMPLE
c) Stel ’n ander metode voor as die een wat in vraag b) gebruik is om te bepaal of y = 6(
+ 2) + 6x en y = 6(x + 2) + 6x − 12 ekwivalente vorme is.
Oplossings
y = 12x en y = 6(x + 2) + 6x 12 is albei ekwivalente vorme van die grafiek, want die invoerwaardes gee dieselfde uitvoerwaardes as die grafiek.
c) In vraag b) het ons gesien dat y = 12x ’n ekwivalente vorm van die grafiek is. Enige vergelyking wat jy tot y = 12x kan vereenvoudig, sal dus ook ’n ekwivalente vorm wees.
Vereenvoudig die uitdrukking aan die regterkant van elke vergelyking om te kyk wat jy kry:
y = 6(x + 2) + 6x
∴ y = 6x + 12 + 6x
Distributiewe reël
∴ y = 12x + 12 Tel gelyksoortige terme bymekaar
Jy kry nie y = 12x nie. Dit is dus nie ’n ekwivalente vorm nie.
y = 6(x + 2) + 6x 12
∴ y = 6x + 12 + 6x 12
Distributiewe reël
∴ y = 12x Tel gelyksoortige terme bymekaar en trek dit af
Jy kry y = 12x. Dit is dus ’n ekwivalente vorm.
Oefening
85: Ekwivalente vorme
1. Die gegewe grafiek toon die verwantskap tussen die getal werkers en hoe lank dit hulle neem om ’n opdrag te voltooi. (Jy het hierdie grafiek ook in Tema 1 gesien.)
1.1 Voltooi die volgende tabel sodat dit dieselfde verwantskap as die grafiek verteenwoordig:
1.2 Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die grafiek?
= 48 x Gebruik die tabel in vraag 1.1 om ’n besluit te neem.
=
x is dus ’n ekwivalente vorm van die grafiek.
2. Die gegewe grafiek verteenwoordig ’n funksie. Die koördinate van die punte word nie getoon nie. Jy moet dit aflees deur na die waardes op die x- en y-as te kyk.
2.1 Gebruik die grafiek om die tabel te voltooi.
x 1 0 3 4 y ….. ….. 1 0
2.2 Bepaal die reël wat hierdie funksie beskryf. Skryf dit as ’n vergelyking.
2.3 Watter van die volgende vergelykings sal ook hierdie funksie beskryf?
Gebruik die tabel in vraag 2.1 om die vraag te beantwoord.
y = 2x (x 2)
y = x − 2(x − 1)
y = (x 1) 2 x(x 1) + 1 x − 1 0 1 2 3 4 y = 2x − (x − 2) y = x − 2(x − 1) y = (x 1) 2 x(x 1) + 1
2.4 Los die volgende vergelykings op deur die tabel by vraag 2.3 te gebruik.
x + 2 = − 1
2x − (x − 2
2.5 Gebruik die grafiek om die volgende vergelykings op te los. x + 2 = 1 x 2(x 1) = 0
2.6 Los nou die volgende vergelykings algebraïes op:
3. Die grafiek verteenwoordig ’n funksie. Die koördinate van die punte word nie gewys nie. Jy moet dit aflees deur na die waardes op die x- en y-as te kyk.
3.1 Gebruik die grafiek om die tabel te voltooi:
x − 3 − 2 ….. 0 1 ….. 3
y 3 0
3.2 Watter van die volgende vergelykings is ekwivalente vorme van die grafiek?
y = x 2 4
y = (x 2) 2
y = (x + 2) 2
y = (x 2)(x + 2)
Gebruik die tabel in vraag 3.1 om ’n besluit te neem. x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 y = x 2 − 4
y = (x − 2) 2 y = (x + 2) 2
y = )x − 2()x + 2(
3.3 Gebruik die grafiek om die invoerwaarde(s) te bepaal as die uitvoerwaarde 12 is.
4. Die grafiek stel die funksie y = − x 2 + 2x + 4 voor.
SAMPLE
4.1 Gebruik die vergelyking om die volgende tabel te voltooi: x 2 0 1 2 4
4.2 Stip nou die punte in die tabel op die grafiek.
4.3 Vereenvoudig die volgende vergelykings om te bepaal of enigeen ’n ekwivalente vorm van y = − x 2 + 2x + 4 is:
y = (x 2 + 2x + 4)
y = (x + 2) 2
y = (x + 2) 2
4.4 Gebruik die tabel in vraag 4.1 om die volgende vergelykings op te los:
4.4.1 − x 2 + 2x + 4 = − 4 4.4.2 x 2 + 2x = 1
5. Die grafiek stel die funksie y = 2 x + 1 voor.
Selfevaluering
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie en het hulp nodig.
2. Help! Ek is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi die volgende tabel:
Onderwerp 1 2 3 4 5
Ek ken die vyf verskillende vorme waarin ’n funksie uitgedruk kan word.
5.1 Gebruik die vergelyking om die volgende tabel te voltooi (gebruik ’n sakrekenaar waar nodig):
x 0 1 1,5 3 3,75 y
5.2 Stip nou die punte in die tabel op die grafiek.
5.3 Gebruik die grafiek om die volgende vergelykings op te los:
5.3.1 2 x + 1 = 9
5.3.2 2 x = 1
Ek kan enigeen van hierdie vorme na ’n ekwivalente vorm omskakel.
Ek kan ekwivalente vorme van dieselfde funksie herken.
Ek kan verduidelik waarom verskillende vorme van dieselfde funksie ekwivalent is.
Ek weet wat invoerwaardes en uitvoerwaardes is.
Ek kan invoerwaardes bereken.
Ek kan uitvoerwaardes bereken.
Ek kan identifiseer watter soorte getalle as invoerwaardes gebruik word.
Wiskunde – Handleiding 2/2
Opsomming van tema
Noudat jy die einde van hierdie tema bereik het, behoort jy die volgende te ken en kan toepas:
1. dat ’n funksie ’n verwantskap tussen twee veranderlikes is
2. dat een veranderlike die invoerveranderlike is (gewoonlik x) en die ander die uitvoerveranderlike (gewoonlik y)
3. dat ’n funksie in verskillende vorme voorgestel kan word:
3.1 in woorde
3.2 in ’n tabel
3.3 as ’n vloeidiagram
3.4 as ’n vergelyking of formule
3.5 met ’n grafiek
4. dat hierdie vorme ekwivalent is as dieselfde invoerwaardes gelyke uitvoerwaardes gee
5. hoe om enige vorm van ’n funksie na ’n ekwivalente vorm om te skakel
6. hoe om ekwivalente vorme van dieselfde funksie te herken
7. hoe om te verduidelik waarom verskillende vorme van dieselfde funksie ekwivalent is.
Oefening om die tema af te sluit
1. Die volgende invoerwaardes word vir die funksie y = 1 2 x + 4 gegee: − 6, − 1 en 1 2 . Bepaal die uitvoerwaardes. Wys die antwoorde in ’n tabel.
2. Gebruik die reël wat gegee word om die ontbrekende waardes vir elke funksie te bepaal.
3. Beskou die volgende vloeidiagram:
3.1 Bepaal die reël vir hierdie funksie.
3.2 Gebruik die reël om die ontbrekende waardes by i., ii. en iii. te bepaal:
x 1 2,5 (iii)
y (i) (ii) 24
4. Die grafiek verteenwoordig ’n funksie.
4.1 Gebruik die grafiek om die volgende tabel te voltooi:
4.2 Bepaal die reël wat hierdie funksie beskryf. Skryf dit as ’n vergelyking.
4.3 Watter van die volgende vergelykings sal ook hierdie funksie beskryf?
Gebruik die tabel in vraag 4.1 om die vraag te beantwoord.
4.4 Vereenvoudig enige ekwivalente vergelyking(s) om die antwoord op vraag
4.3 te staaf.
4.5 Los die volgende vergelykings op:
4.5.1 deur die tabel in vraag 4.3 te gebruik
4.5.2 deur die grafiek te gebruik.
SAMPLE
4.6 Los nou die vergelykings in vraag 4.5 algebraïes op.
Wiskunde – Handleiding 2/2
Patrone, funksies en algebra
TEMA 14
ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
Inleiding
In Tema 6, wat in die eerste kwartaal gedek is, het ons jou graad 8-kennis en -vaardighede ten opsigte van algebraïe uitdrukkings hersien en daarop uitgebrei. In hierdie tema gaan ons:
• die werk wat in Tema 6 behandel is oor die uitbreiding en vereenvoudiging van algebraïe uitdrukkings hersien
• faktorisering van algebraïese uitdrukkings bekendstel (dit is die inverse of teenoorgestelde daarvan om hakies uit te maal)
• faktorisering gebruik om algebraïese breuke te vereenvoudig en berekeninge te doen.
Tema 14: Algebraïese uitdrukkings
1. UITBREIDING EN VEREENVOUDIGING VAN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
SAMPLE
1.1 Op telling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 1: Optelling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Vereenvoudig elk van die volgende uitdrukkings:
Oplossings
a)
= 5 a 2 + 9a b 2 + 8 a 2 b − 2b Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
b) (12 x 2 − 0,5x + 2,3) + (3 x 2 + x − 3,7) = 12 x 2 − 0,5x + 2,3 + 3 x 2 + x − 3,7 Verwyder hakies
= 15 x 2 + 0,5x − 1,4 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
c) (5 p 2 − 0,8p + 6) − (12 p 2 + 1,2p − 3)
= 5 p 2 − 0,8p + 6 − 12 p 2 − 1,2p + 3 Verwyder hakies
= − 7 p 2 − 2p + 9 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
Verwyder hakies
3 a 3 − 16 a 2 − 17a + 28 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
LET OP
As die bewerking voor die hakies optelling (+) is, bly die tekens van die terme binne die hakies dieselfde wanneer dit uitgemaal word.
As die bewerking voor die hakies aftrekking (−) is, verander die tekens van die terme binne die hakies wanneer dit uitgemaal word.
Oefening 86: Optelling en aftrekking van algebraïese uitdrukkings
Vereenvoudig:
1.2 Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 2: Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings
f) 64 a 4 b 8 8 a 2 b 4 = 64 ÷ ( 8) × a 4−2 b 8−4 = − 8 a 2 b 4 Deel die koëffisiënte en trek die eksponente af g) 27 x 7 y 8 − 9 x 8 y 5+ 3 x 4 y 5 3 x 4 y 5 = 27 x 7 y 8 3 x 4 y 5 − 9 x 8 y 5 3 x 4 y 5 + 3 x 4 y 5 3 x 4 y 5 Deel elke term in die teller deur die noemer = 9 x 3 y 3 − 3 x 4 × 1 + 1
= 9 x 3 y 3 − 3 x 4 + 1 Vereenvoudig h) 2 (3x − 1) 2 − (2 − 3x) = 2(9 x 2 − 6x + 1) − (2 − 3x) = 18 x 2 − 12x + 2 − 2 + 3x Verwyder die hakies = 18 x 2 − 9x Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af i) 4(3x + 1)(3x − 1) − (x − 2) 2 + 4x(2 − 3x) = 4(9 x 2 − 3x + 3x − 1) − (x 2 − 4x + 4) + 4x(2 − 3x) EBBL en kwadreer tweeterm = 36 x 2 − 12x + 12x − 4 − x 2 + 4x − 4 + 8x − 12 x 2 Distributiewe reël = 23 x 2 + 12x − 8 Tel gelyksoortige terme bymekaar of trek dit af
Oefening 87: Vermenigvuldiging en deling van algebraïese uitdrukkings
Vereenvoudig:
SAMPLE
1.3 Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels
Vierkante en derdemagte
• Kwadreer elke faktor binne die hakies of verhef dit tot die derde mag.
• As daar meer as een term is, moet jy dit eers vereenvoudig tot een term (as dit moontlik is). Kwadreer dan elke faktor of verhef dit tot die derde mag.
Vierkantswortels en derdemagswortels
• Bepaal die vierkantswortel of derdemagswortel van elke faktor onder die wortelteken.
• As daar meer as een term is, moet jy dit eers vereenvoudig tot een term (as dit moontlik is). Bepaal dan die vierkantswortel of derdemagswortel van elke faktor.
• Die vierkantswortel van ’n negatiewe getal bestaan nie. ’n Mens kan wel die derdemagswortel van ’n negatiewe getal bereken.
Wiskunde – Handleiding 2/2
Uitgewerkte voorbeeld 3: Vierkante, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels
Vereenvoudig:
Oplossings
1.4 Sub stitusie in algebraïese uitdrukkings
Uitgewerkte voorbeeld 4: Substitusie in algebraïese uitdrukkings
a) Bepaal die waarde van − 2 x 2 + 6xy as x = − 1 en y = 2. b) Bepaal die waarde van 2 x 5 − 3 √ 8 x 2 as x = − 1.
Oefening 89: Substitusie in algebraïese uitdrukkings
1. Bepaal die waardes van die volgende uitdrukkings: 1.1 (2x − 1) 2 as
Algebraïese uitdrukkings kan ook faktore hê. Hier is twee voorbeelde:
• In a × a = a 2 is die faktore a en a, en die produk is a 2 .
• In 2(3x + 1) = 6x + 2 is die faktore 2 en 3x + 1, en die produk is 6x + 2.
LET OP
2. FAKTORISERING VAN ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS
Wat is ’n faktor?
• Die faktore van ’n getal is getalle wat ons kan vermenigvuldig om die getal te kry. 2 en 3 is byvoorbeeld faktore van 6, want 2 × 3 = 6.
• Ons kan ook só daaraan dink: ’n Faktor van ’n getal is ’n getal wat ons in daardie getal kan deel sonder om ’n res te kry. 2 is byvoorbeeld ’n faktor van 6, want 6 ÷ 2 = 3.
Wat is ’n produk?
• Dit is die antwoord wanneer jy twee of meer faktore vermenigvuldig. In 2 × 3 = 6 is die produk byvoorbeeld 6.
• As jy ’n getal of algebraïese uitdrukking faktoriseer, beteken dit dat jy die faktore van daardie getal of uitdrukking bepaal.
• Faktorisering is die inverse (of teenoorgestelde) proses van vermenigvuldiging.
• Daar is verskeie maniere om algebraïese uitdrukkings te faktoriseer.
In graad 9 fokus ons op die volgende maniere:
◦ gemene faktor
◦ verskil van twee vierkante
◦ drieterm.
2.1 Gemene faktor
’n Gemene faktor is ’n getal (of uitdrukking) wat in twee of meer verskillende getalle (of uitdrukkings) gedeel kan word sonder om ’n res te kry. Getalle (en uitdrukkings) het dikwels meer as een gemene faktor.
2 is byvoorbeeld ’n gemene faktor van 4 en 12.
4 is egter ook ’n gemene faktor van 4 en 12.
In hierdie geval is 4 die grootste gemene deler (GGD).
x is ’n gemene faktor van x 2 en x 3 .
SAMPLE
x 2 is egter ook ’n gemene faktor van x 2 en x 3 .
In hierdie geval is x 2 die grootste gemene deler.
Wiskunde – Handleiding 2/2
As jy ’n gemene faktor gebruik om ’n algebraïese uitdrukking soos 4 x 2 + 12 x 3 te faktoriseer:
• Bepaal die grootste gemene deler van die terme: 4 x 2 .
• Deel die gemene faktor in elke term van die oorspronklike algebraïese uitdrukking om die tweede faktor te kry: 1 + 3x.
• As jy 4 x 2 + 12 x 3 faktoriseer, kry jy dus 4 x 2(1 + 3x). Let op: Die tweede faktor word in hakies geskryf.
• Die faktore van 4 x 2 + 12 x 3 is dus 4 x 2 en 1 + 3x. As jy 4 x 2 en 1 + 3x vermenigvuldig, kry jy weer die oorspronklike uitdrukking, 4 x 2 + 12 x 3 .
Uitgewerkte voorbeeld 5: Gemene faktor
Faktoriseer:
a) 10a − 5b b) 3 x 3 + 6xy − 12 x 2
Oplossings
a) 10a − 5b = 2.5 . a − 5 . b Bepaal die GGD van die terme (5) = 5(2a − b) Skryf die gemene faktor buite en die ander faktor binne die hakies
b)
3 x 3 + 6xy − 12 x 2
= 3 . x .x .x + 2 .3 .x .y − 3 .4 . x .x Bepaal die GGD van die terme (3x)
= 3x(x . x + 2y − 4x) Skryf die gemene faktor buite en die ander faktor binne die hakies
LET OP
Toets altyd jou antwoord: Vermenigvuldig die faktore om te kyk of jy die oorspronklike uitdrukking (die gegewe produk) kry. Dit moet ’n gewoonte word.
SAMPLE
= 3x( x 2 + 2y − 4x) Finale antwoord
3x(x 2 + 2y − 4x) = 3 x 3 + 6xy − 12 x 2 oorspronklike uitdrukking
