TEMA 7
RES- EN FAKTORSTELLING
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet:
1. derdegraadse polinome kan faktoriseer
2. die res- en faktorstelling op polinome van hoogstens die derde graad kan toepas (geen bewyse word hiervoor vereis nie).
Kwartaal 2
Duur 1 week
Vraestel 1
Gewig
Dié tema vorm deel van differensiaalrekening, wat 35 ± 3 punte van Vraestel 1 uitmaak.
Fasiliteerderswenke
• Wanneer leerders faktoriseer, moet hulle eers die algemene faktoriseringsreëls gebruik, naamlik:
◦ Haal altyd eers ’n gemene faktor uit indien moontlik.
◦ Jy kan dieselfde uitdrukking soms meer as een keer faktoriseer. Hou aan totdat die uitdrukking volledig gefaktoriseer is.
◦ Die hoeveelheid terme bepaal gewoonlik watter soort faktorisering gedoen moet word.
• Die som van twee vierkante (kwadrate) kan nie gefaktoriseer word nie, maar die som van twee derdemagte wel.
• Wanneer leerders die wortels van ’n funksie moet bereken, moet hulle die funksie gelyk stel aan nul.
• Wanneer ’n kwadratiese funksie nie gefaktoriseer kan word nie, moet leerders die kwadratiese formule gebruik om die wortels te bereken.
Sample
◦ Wanneer die faktorstelling gebruik word, moet leerders altyd begin deur vir die maklikste moontlike faktore te toets, byvoorbeeld x 1, x + 1.
• Leerders moet altyd hulle antwoorde toets deur die faktore uit te maal en seker te maak dat hulle weer die oorspronklike uitdrukking kry.
• Die volgorde van faktore (hakies) maak nie saak nie.
• Wanneer ’n derdegraadse polinoom gefaktoriseer word, kan enige van die drie faktore (as daar drie is) as die eerste faktor gebruik word.
Inleiding
In hierdie tema gaan leerders meer leer oor:
• die res wat ontstaan wanneer ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) deur ’n ander lineêre uitdrukking gedeel word
• die faktorisering van derdegraadse uitdrukkings
• die oplos van derdegraadse vergelykings.
Voorafkennis
Om hierdie tema te bemeester, moet leerders reeds vertroud wees met die volgende:
• die begrippe “faktor”, “deler”, “kwosiënt” en “res”
• faktorisering deur verskillende metodes te gebruik:
◦ gemene faktor
◦ verskil van vierkante
◦ groepering
◦ drieterm
◦ som en verskil van derdemagte
• oplossing van kwadratiese vergelykings deur al die terme aan die een kant van die =-teken te kry en nul aan die ander kant (oplossings van ’n vergelyking word ook wortels genoem)
• hoe om die x-afsnitte van ’n grafiek te bereken (stel die y-waarde gelyk aan nul)
• funksienotasie, byvoorbeeld f(x).
Hersiening
Ons hersien eers faktorisering en die oplos van kwadratiese vergelykings, wat reeds in graad 10 en 11 behandel is.
Faktorisering van veelterme (polinome)
• Drie algemene reëls om te onthou:
◦ Haal altyd eers ’n gemene faktor uit indien moontlik.
◦ Dieselfde uitdrukking kan soms meer as een keer gefaktoriseer word.
◦ Toets altyd jou antwoord deur die faktore uit te maal en seker te maak dat jy weer die oorspronklike uitdrukking kry.
• Riglyne wanneer jy faktoriseer:
◦ Bepaal hoeveel terme gefaktoriseer moet word.
• As twee terme gefaktoriseer moet word (tweeterm of binoom):
◦ Haal eers ’n gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2 x 2 − 18 = 2( x 2 − 9).
◦ Kyk of verdere faktorisering moontlik is:
– Verskil van twee vierkante, byvoorbeeld x 2 9:
* Daar is twee faktore (hakies) met verskillende tekens, byvoorbeeld (x 3)(x + 3).
* Onthou, die som van twee volkome vierkante kan nie gefaktoriseer word nie.
– Verskil van twee derdemagte, byvoorbeeld x 3 27:
* Daar is twee faktore (’n tweeterm en ’n drieterm) met die volgende tekens: ( )(+ + ), byvoorbeeld
x 3 − 27 = (x − 3)( x 2 + 3x + 9).
* Die drietermfaktor kan nie verder gefaktoriseer word nie.
– Som van twee derdemagte, byvoorbeeld x 3 + 27:
* Daar is twee faktore (’n tweeterm en ’n drieterm) met die volgende tekens: ( + )(− +), byvoorbeeld x 3 + 27 = (x + 3)( x 2 3x + 9).
Sample
* Die eerste faktor het dieselfde teken as die oorspronklike uitdrukking.
* Die drietermfaktor kan nie verder gefaktoriseer word nie.
• As drie terme gefaktoriseer moet word (drieterm of trinoom):
◦ Haal eers die gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2 x 2 − 8x + 6 = 2( x 2 − 4x + 3).
◦ Skryf die uitdrukking in die vorm a x 2 + bx + c indien moontlik.
◦ Kyk of jy verder kan faktoriseer, byvoorbeeld x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3).
◦ As c se teken + is, sal albei faktore (hakies) dieselfde teken hê:
– As b ook + is, sal die teken tussen die twee terme in albei faktore + wees: ( + )( + ), byvoorbeeld x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
– As b is, sal die teken tussen die twee terme in albei faktore wees: ( )( ), byvoorbeeld x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3).
◦ As c se teken is, sal een faktor (hakie) + wees en die ander een : (+)( ), byvoorbeeld x 2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3).
◦ Nie alle drieterme kan gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
• As vier terme gefaktoriseer moet word (polinoom):
◦ Haal die gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2xy + 2xb + 2ay + 2ab = 2(xy + xb + ay + ab).
◦ Groepeer in groepe van twee terme elk, byvoorbeeld
xy + xb + ay + ab = (xy + xb) + (ay + ab).
◦ Haal die gemene faktor by elke groep uit indien moontlik, byvoorbeeld
(xy + xb) + (ay + ab) = x(y + b) + a(y + b).
◦ Kyk of daar ’n gemene faktor (hakie) gevorm het, byvoorbeeld
x(y + b) + a(y + b).
* Die eerste faktor het dieselfde teken as die oorspronklike uitdrukking.
◦ As daar nie ’n gemene faktor (hakie) gevorm het nie, hergroepeer en probeer weer.
◦ Die groepe kan soms ook een term en drie terme wees, of drie terme en een term.
◦ As jy suksesvol gegroepeer het, kyk of jy verder kan faktoriseer, byvoorbeeld deur ’n gemene faktor uit te haal:
x(y + b) + a(y + b) = (y + b)(x + a).
◦ Nie alle vierterme kan deur groepering gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
• As vyf of meer terme gefaktoriseer moet word (polinoom):
◦ Haal die gemene faktor uit indien moontlik.
◦ Vir vyf terme: Groepeer in groepe van twee en drie terme, of drie en twee terme.
◦ Vir ses terme: Groepeer in groepe van drie terme of groepe van twee terme.
◦ Groepeer totdat jy ’n gemene faktor (hakie) kry en faktoriseer verder indien moontlik.
◦ Nie alle vyf- en sesterme kan deur groepering gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
Oplos van kwadratiese vergelykings
• Skryf die vergelyking in die standaardvorm, d.w.s. a x 2 + bx + c = 0. Kry dus al die terme aan die een kant en stel dit gelyk aan nul. Skryf byvoorbeeld
2 x 2 − 8x = –6 as 2 x 2 − 8x + 6 = 0.
• Vereenvoudig die vergelyking indien moontlik:
◦ Deel met ’n gemene faktor: 2 x 2 − 8x + 6 = 0 word byvoorbeeld x 2 4x + 3 = 0 wanneer jy deur 2 deel.
◦ Verwyder breuke deur met die KGV van die noemers te maal:
1 2 x 2 x + 2 3 = 0 word byvoorbeeld 3 x 2 6x + 4 = 0 wanneer jy met 6 (die KGV van 2 en 3) maal.
• Pas die nulprodukbeginsel toe (as die produk van faktore nul is, is minstens een van die faktore ook nul), byvoorbeeld as (x 1)(x 3) = 0 dan is x 1 = 0 OF x 3 = 0.
Sample
• Faktoriseer volledig deur bogenoemde soorte faktorisering te gebruik (meestal drieterm-faktorisering), byvoorbeeld x 2 4x + 3 = 0 word
(x 1)(x 3) = 0.
• Los verder op, byvoorbeeld as x 1 = 0 OF x 3 = 0 dan is x = 1 x = 3.
• Kwadratiese vergelykings sal meestal twee antwoorde (wortels) hê. Soms is die twee wortels identies, byvoorbeeld:
x 2 4x + 4 = 0
(x 2)(x 2) = 0
x = 2 OF x = 2
• As die drieterm nie in twee faktore (hakies) gefaktoriseer kan word nie, moet die kwadratiese formule x = b ± √ b 2 4ac 2a gebruik word, byvoorbeeld
x 2 + 3x 5 = 0
x = b ± √ b 2 4ac 2a
3 ± √ (3) 2 4(1)(− 5) 2(1)
3 ± √ 29 2 = 1,19 OF 4,19 (afgerond tot twee desimale plekke)
• Funksienotasie:
◦ Name word soms aan funksies gegee, byvoorbeeld f(x), g(x), k(x).
◦ f(x) = 2x + 1 beteken: Die funksie wat f genoem word, word gedefinieer deur die vergelyking y = 2x + 1.
◦ f(x) verteenwoordig die y-waardes. f(3) is die ooreenstemmende y-waarde as die x-waarde 3 is, byvoorbeeld f(3) = 2(3) + 1 = 7.
Leerders voltooi nou die hersieningsoefening hier onder.
Hersieningsoefening
1. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig:
1.1 2 x 16 2
1.2 2 x 2 − 11x + 12 1.3 14 x 2 y 4 21x y 3 + 7 x 4 y 2
3 x 3 18 x 2 2x + 12
9 − x 2 + 10xy − 25 y 2 1.7 x 2(y 3) + 7x(3 y) 10(3 y) 1.8 (x + y) (x y) 2(x + y) 1.9 (x − y) 2 + (y − x) 1.10 x 3 + 2 x 2 2x 4
2. Los die volgende vergelykings op (tot twee desimale plekke waar toepaslik): 2.1 x 2 4x + 4 = 1 2.2 x 2 2(x + 5) = 3x 4 2.3 8 x 2 − 22x + 15 = 0 2.4 16 (x 2) 2 = 0
2.5 6 x 2 x = 2
2.6 12 x 2 + 20x 8 = 0
2.7 (x − 6)(x + 1) = 30
2.8 35 x 2 19x + 2 = 0
2.9 2 x 3 + 2 x 2 = 14x 2.10 x 2(3x 2) x(3x 2) 18x = 12
2.11 2 x 3 4 x 2 + 9x = 0
2.12 x 3 5 x 2 12x = 0
2.13 2 3 x 2 + 8 3 x + 12 = 0 2.14 4x + 1,5 = x 2 2.15 2 5 x 4 = 6 x 2.16 4 x(x − 2) = 2 x − 2 − 1 1 − x 3. Die funksie g(x) = 2 x 2 4x + 3 word gegee. Bepaal die volgende:
3.1 g( 1)
3.2 g( 1 2 ) 3.3 x as g(x) = 19
4. Die funksie g(x) = x 3 + 2 x 2 4x + 3 word gegee. Bepaal die volgende: 4.1 g(2) 4.2 g( 3)
Oplossings
1.1 2 x 16 − 2
= 2( x 16 1)
= 2( x 8 1)( x 8 + 1)
= 2(x 4 1)(x 4 + 1)(x 8 + 1)
= 2( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
= 2(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
1.2 2 x 2 11x + 12
= (2x 3)(x – 4)
1.3 14 x 2 y 4 21x y 3 + 7 x 4 y 2
= 7x y 2(2x y 2 3y + x 3)
1.4 3 x 3 18 x 2 2x + 12
= (3 x 3 18 x 2) + (−2x + 12)
= 3 x 2(x − 6) − 2(x − 6)
= (x 6)(3 x 2 2)
Gemene faktor
Verskil van vierkante
Verskil van vierkante
Verskil van vierkante
Verskil van vierkante
Drieterm
Gemene faktor
Groepering
Gemene faktore
Gemene faktor: (x − 6) Sample
1.5 8 x 3 4 x 2 27 y 3 6xy 9 y 2
= (8 x 3 27 y 3) + (−4 x 2 6xy 9 y 2)
Groepering
= (2x 3y)(4 x 2 + 6xy + 9 y 2) (4 x 2 + 6xy + 9 y 2) Verskil van derdemagte
= (4 x 2 + 6xy + 9 y 2)(2x − 3y − 1)
1.6 9 x 2 + 10xy 25 y 2
= 9 + (− x 2 + 10xy − 25 y 2)
Gemene faktor: (4 x 2 + 6xy + 9 y 2)
2.1 x 2 4x + 4 = 1 x 2 4x + 3 = 0
Groepering vir ’n drieterm
= 9 (x 2 10xy + 25 y 2) Verander teken om makliker te faktoriseer
= 9 (x 5y)(x 5y)
= 9 − (x − 5y) 2
= [3 (x 5y)][3 + (x 5y)]
= [3 x + 5y][3 + x 5y]
1.7 x 2(y 3) + 7x (3 y) 10(3 y)
Faktoriseer drieterm
Verskil van vierkante
Verwyder binneste hakies
= x 2(y 3) 7x(y 3) + 10(y 3) Verander tekens om gemene faktor (y − 3) te kry
= (y − 3)(x 2 − 7x + 10)
= (y 3)(x 2)(x 5)
1.8 (x + y) − (x − y) 2(x + y)
= (x + y)[1 (x y) 2]
= (x + y)[1 (x y)][1 + (x y)]
= (x + y)[1 x + y][1 + x y]
1.9 (x y) 2 + (y x)
= (x − y) 2 − (x − y)
= (x y)(x y 1)
1.10 x 3 + 2 x 2 − 2x − 4
= (x 3 + 2 x 2) + ( 2x 4)
= x 2(x + 2) 2(x + 2)
= (x + 2)(x 2 2)
Gemene faktor: (y − 3)
Faktoriseer drieterm
Gemene faktor: (x + y)
Verskil van vierkante
Verwyder binneste hakies
Verander teken by tweede term
Gemene faktor: (x − y)
Standaardvorm van kwadratiese vergelyking (x 3)(x 1) = 0
Sample
Groepering
Gemene faktore
Gemene faktor: (x + 2)
Faktoriseer drieterm
x = 3 OF x = 1
2.2 x 2 2(x + 5) = 3x 4 x 2 − 2x − 10 + 3x + 4 = 0
Verwyder hakies x 2 + x 6 = 0
(x + 3)(x 2) = 0
x = − 3 OF x = 2
2.3 8 x 2 22x + 15 = 0
Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
Faktoriseer drieterm
(2x − 3)(4x − 5) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 3 2 OF x = 5 4
2.4 16 − (x − 2) 2 = 0
16 (x 2 4x + 4) = 0
16 x 2 + 4x 4 = 0
− x 2 + 4x + 12 = 0
(x 2 4x 12) = 0
x 2 4x 12 = 0
(x 6)(x + 2) = 0
x = 6 OF x = − 2
Alternatiewe metode
16 (x 2) 2 = 0
[4 (x 2)][4 + (x 2)] = 0
(4 x + 2)(4 + x 2) = 0
Verskil van vierkante
Verwyder binneste hakies
(6 − x)(2 + x) = 0 Vereenvoudig
x = 6 OF x = 2
2.5 6 x 2 x = 2
6 x 2 x 2 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
(3x − 2)(2x + 1) = 0
x = 2 3 OF x = 1 2
2.6 12 x 2 + 20x − 8 = 0
Faktoriseer drieterm
3 x 2 + 5x − 2 = 0 Deel deur gemene faktor 4
(3x 1)(x + 2) = 0
x = 1 3 OF x = 2
Faktoriseer drieterm
2.11 2 x 3 4 x 2 + 9x = 0
x(2 x 2 4x + 9) = 0
Gemene faktor
x = 0 OF 2 x 2 − 4x + 9 = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
x = 0 OF x = (− 4) ± √ ( 4) 2 − 4 × 2 × 9 2(2) Gebruik kwadratiese formule
x = 0 OF x = 4 ± √ 16 − 72 4
x = 0 OF x = 4 ± √ 54 4
x = 0
2.7 (x 6)(x + 1) = 30 Kan nie nulproduk hier toepas nie, want regterkant ≠ 0
x 2 5x 6 30 = 0 Verwyder hakies
x 2 5x 36 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
(x 9)(x + 4) = 0
x = 9 OF x = 4
2.8 35 x 2 19x + 2 = 0
(7x 1)(5x 2) = 0
x = 1 7 OF x = 2 5
2.9
2 x 3 + 2 x 2 14x = 0
2x(x 2 + x 7) = 0
Faktoriseer drieterm
Faktoriseer drieterm
2x = 0 OF x = b ± √ b 2 − 4ac 2a Gebruik kwadratiese formule
2x = 0 OF x = 1 + √ (1) 2 − 4(1)( 7) 2(1) OF
x = 1 √ (1) 2 − 4(1)(−7) 2(1)
x = 0 OF x = 2,19 OF x = 3,19
2.10 x 2(3x 2) x(3x 2) 18x + 12 = 0
x 2(3x 2) x(3x 2) 6(3x 2) = 0
(3x 2)(x 2 x 6) = 0
Sample
Gemene faktor: 6
Gemene faktor: (3x − 2)
(3x 2)(x 3)(x + 2) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 2 3 OF x = 3 OF x = 2
Geen verdere reële oplossing nie
Enigste reële oplossing: x = 0
2.12 x 3 5 x 2 12x = 0
x(x 2 5x 12) = 0 Gemene faktor: x
x = 0 OF x 2 − 5x − 12 = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
x = 0 OF x = (−5) ± √ ( 5) 2 − 4 × 1 × (−12) 2 × 1 Gebruik kwadratiese formule
x = 0 OF x = 5 ± √ 73 2
x = 0 OF x = 6,77 of x = − 1,77 2.13 2 3 x 2 + 8 3 x + 12 = 0 2 x 2 + 8x + 36 = 0 × KGV van noemers: 3 x 2 + 4x + 18 = 0 ÷ Gemene faktor: 2 x = 4 ± √ 16 − 4 × 1 × 18 2 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie = 4 ± √ 16 − 72 2 = 4 ± √ 56 2
Geen reële oplossing nie (wortels is niereëel).
2.14 4x + 1,5 = x 2
4x + 3 2 = x 2 Skryf 1,5 as ’n gewone breuk
8x + 3 = 2 x 2 × KGV van noemers: 2
2 x 2 + 8x + 3 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
x = −8 ± √ 64 − 4 × 2 × 3 4 Gebruik kwadratiese formule
x = 8 ± √ 40 4
x = 0,42 OF x = 3,58
2.15 2 5 x 4 = 6 x
2 x 2 20x = 30 × KGV van noemers: 5x
2 x 2 20x 30 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
x 2 − 10x − 15 = 0 ÷ gemene faktor: 2 x = 10 ± √ 100 − 4 × 1 × −15 2 Gebruik kwadratiese formule
x = 11,32 OF x = 1,32 2.16 4 x(x − 2) = 2 x − 2 1 1 − x 4 x(x − 2) = 2 x − 2 + 1 x − 1 Haal uit by laaste term en verander teken
4(x 1) = 2x(x 1) + x(x 2) × KGV van noemers: x(x − 2)(x − 1)
4x 4 = 2 x 2 2x + x 2 2x Maal hakies uit
0 = 3 x 2 8x + 4 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
0 = (3x − 2)(x − 2) Faktoriseer drieterm x = 2 3 OF x = 2
Toets wortels: x ≠ 2, want dit lei tot deling deur nul
Oplossing: x = 2 3
3.1 g(x) = 2 x 2 4x + 3
g(− 1) = 2 (− 1) 2 − 4(− 1) + 3 Vervang x met 1 = 2 + 4 + 3 = 9 3.2 g(x) = 2 x 2 4x
Sample
1. DIE RESSTELLING
In hierdie subtema gaan leerders meer te wete kom oor die resstelling. Soos die naam aandui, gaan die resstelling oor die res wat oorbly wanneer ’n getal of uitdrukking deur iets gedeel word.
As ons ’n getal soos 21 deur 5 deel, kry ons ’n res, want 5 is nie ’n faktor van 21 nie. Ons kan dit so skryf:
21 5 = 4 res 1, of 21 = 5 × 4 + 1, waar
• 5 die deler is,
• 4 die kwosiënt en
• 1 die res.
∴ 21 = deler × kwosiënt + res
Dieselfde geld wanneer ons ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) deur ’n ander algebraïese uitdrukking deel, byvoorbeeld wanneer x 3 + 2 x 2 − 3x + 6 gedeel word deur x 1. Ons kan dit skryf as:
x 3 + 2 x 2 3x + 6 = (x 1)(x 2 + 3x) + 6, waar
• x − 1 die deler is,
• x 2 + 3x die kwosiënt, en
• 6 die res.
In die algemeen:
f(x) = deler × kwosiënt + res, waar f(x) ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) in terme van x is.
Ons kan die resstelling soos volg formuleer:
As f(x) gedeel word deur x a totdat die res geen x bevat nie, is die res f(a).
As ons die resstelling op ons voorbeeld hierbo toepas:
As f(x) = x 3 + 2 x 2 3x + 6, en f(x) word gedeel deur x 1 totdat die res geen x bevat nie, is die res f(1).
Kom ons toets dit:
f(x) = x 3 + 2 x 2 3x + 6
∴ f(1) = (1) 3 + 2 (1) 2 3(1) + 6 = 1 + 2 − 3 + 6 = 6
Bewys van die resstelling
*Nie vir eksamendoeleindes nie
Enige polinoom f(x) kan geskryf word as f(x) = (x a) × kwosiënt + res
Hieruit volg dat f(a) = (a a) × kwosiënt + res
= 0 × kwosiënt + res
Opsomming
• As f(x) gedeel word deur x a, is die res f(a). Hoe kry ons hierdie a? Ons stel x a = 0 en los dan op vir x.
As f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 x + 3 byvoorbeeld gedeel word deur x + 3, stel ons x + 3 = 0 en los op vir x. Dit gee x = − 3. Die res is dus f(− 3).
∴ As f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res 4. Sample
= 0 + res
= res
• Net so, as f(x) gedeel word deur ax b, stel ons ax b = 0 en los op vir x. Dit gee x = b a . Die res is dan f( b a ).
As f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 x + 3 byvoorbeeld gedeel word deur 2x + 3, stel ons 2x + 3 = 0 en los op vir x. Dit gee x = − 3 2 . Die res is dus f(− 3 2 ).
Uitgewerkte voorbeeld 1
Gebruik die resstelling om die res te bepaal as f(x) = x 2 + x + 2 deur x + 2 gedeel word.
Oplossing
Stel x + 2 = 0
∴ x = 2
f(−2) = (− 2) 2 + (− 2) + 2
= 4 2 + 2
= 4
Uitgewerkte voorbeeld 2
As f(x) = x 3 x 2 + 4x + b deur x 1 gedeel word, is die res 5. Bepaal die waarde van b.
Oplossing
Stel x 1 = 0
∴ x = 1
Res = f(1) = (1) 3 − (1) 2 + 4(1) + b = 5 1 1 + 4 + b = 5 4 + b = 5 b = 1
∴ Die waarde van b = 1.
Uitgewerkte voorbeeld 3
As f(x) = 4 x 3 + a x 2 + bx 1 deur x 1 gedeel word, is die res 6, en as f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res 27. Bepaal die waardes van a en b.
Oplossing
Res = f(1) = 4 (1) 3 + a (1) 2 + b(1) 1 = 6 4 + a + b 1 = 6 b = 3 a ①
Res = f(−2) = 4 ( 2) 3 + a ( 2) 2 + b( 2) 1 = 27 32 + 4a 2b 1 = 27 4a − 2b = 6
b = 2a 3 ②
Stel ① = ②: 3 a = 2a 3 6 = 3a a = 2
Stel a = 2 in ①: b = 3 2 b = 1
Oefening 1: Die resstelling
1. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as f(x) = 4x 2 + 14x + 18 deur x + 3 gedeel word.
Stel x + 3 = 0 ∴ x = 3
Res = f(− 3) = 4 (− 3) 2 + 14(−3) + 18
Vervang x met 3 = 4(9) + 14(−3) + 18 Vereenvoudig = 12
2. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as g(x) = 2 x 2 + 13x + 4 deur
2x + 3 gedeel word.
Stel 2x + 3 = 0 ∴ x = − 3 2
Res = g(− 3 2 ) = 2 (− 3 2 ) 2 + 13(− 3 2 ) + 4 Vervang x met 3 2 = 11
3. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as h(x) = 8 x 2 43x + 24 deur x 5 gedeel word.
Stel x 5 = 0 ∴ x = 5
Res = h(5) = 8(5)2 43(5) + 24
Vervang x met 5 = 9
4. Wat sal die res wees as f(x) = 2 x 3 x 2 7x 2 deur 2x 3 gedeel word?
Stel 2x 3 = 0 ∴ x = 3 2
Res = f( 3 2 ) = 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 7( 3 2 ) 2
Vervang x met 3 2 = 8 Sample
5. Gegee: f(x) = 3 x 3 8 x 2 13x 2. Bepaal die res as f(x) deur 3x + 5 gedeel word.
Stel 3x + 5 = 0 ∴ x = −5 3 Res = f( 5 3 ) = 3 (− 5 3 ) 3 8 ( 5 3 ) 2 13( 5 3 ) 2 Vervang x met 5 3 = 148 9
6. Wat sal die res wees as f(x) = 4 x 3 21 x 2 + 32x 8 deur 4x 5 gedeel word?
Stel 4x 5 = 0 ∴ x = 5 4 Res = f( 5 4 ) = 4 ( 5 4 ) 3 21 ( 5 4 ) 2 + 32( 5 4 ) 8 Vervang x met 5 4 = 7
7. Bepaal die res as g(x) = 6 x 3 − 31 x 2 − 10x + 94 deur 3x − 5 gedeel word.
Stel 3x 5 = 0 ∴ x = 5 3 g( 5 3 ) = 6( 5 3 )3 − 31 ( 5 3 ) 2 10( 5 3 ) + 94 Vervang x met 5 3 = 19
8. Watter een van die delers x + 5, x 2 of x + 4 sal ’n res van 25 gee as dit in f(x) = x 2 − 2x + 1 gedeel word?
Stel x + 5 = 0 ∴ x = 5
f( 5) = 36
Vervang x met − 5
Stel x 2 = 0 ∴ x = 2 f(2) = 1 Vervang x met 2
Stel x + 4 = 0 ∴x = − 4
f(− 4) = 25 Vervang x met 4
∴ x + 4 sal ’n res van 25 gee.
9. Bepaal die res as g(x) = 9 x 3 9 x 2 x + 1 deur 2x + 1 gedeel word.
Stel 2x + 1 =
10. Bepaal die res in terme van a as f(x) = a x 3 + 3 a 2 x 2 4ax + 5 deur 2x a gedeel word.
Stel 2x a = 0 ∴ x = a 2 Res = f( a 2 ) = a
p = 3 OF p = 1 Sample
1 7 8
+
Vervang x met a 2
a( a 3 8 ) + 3 a 2( a 2 4 ) − 4( a 2 2 ) + 5 Vereenvoudig = ( a 4 8 ) + 3( a 4 4 ) 2( a 2) + 5
( a 4 8 ) + 6( a 4 8 ) − 2 a 2 + 5 = 7( a 4 8 ) − 2 a 2 + 5
11. As h(x) = 4 x 3 + 3 x 2 + mx + 2
Bepaal die waarde van m.
2x + 1 gedeel word, is die res 4.
Stel 2x + 1 = 0 ∴ x = 1 2 4 = 4 x 3 + 3 x 2 + mx + 2 Stel h(x) = 4
4 = 4 ( 1 2 ) 3 + 3( 1 2 ) 2 + m(− 1 2 ) + 2 Stel x = 1 2 4 = 4(− 1 8 ) + 3( 1 4 ) 1 2 m + 2
Vereenvoudig
6 = 1 2 + 3 4 1 2 m Vereenvoudig
6 = 1 4 1 2 m Vereenvoudig
24 = 1 2m × KGV: 4
25 = 2m 25 2 = m
12. As f(x) = x 2 − 4x + 5 deur x − p gedeel word, is die res 2. Bepaal die waarde(s) van p.
Stel x − p = 0 ∴ x = p
2 = ( p) 2 − 4(p) + 5 Stel f(p) = 2 en vervang x met p
0 = p 2 4p + 3 Vereenvoudig
0 = (p 3)(p 1) Faktoriseer drieterm
13. Bepaal die waarde van p as f(2) = 0 en f(x) = x 2 + 8p + 12.
( 2) 2 + 8p + 12 = 0
8p = –16
Stel f(2) = 0
Vereenvoudig p = − 2
14. As f(x) = a x 3 b x 2 + 4x + 5 deur x 1 gedeel word, is die res 11 en as
f(x) deur 2x + 1 gedeel word, is die res 2. Bepaal die waardes van a en b.
Stel x 1 = 0 ∴ x = 1
f(1) = a(1) 3 − b( 1) 2 + 4(1) + 5 Vervang x met 1
11 = a b + 4 + 5 Res is 11
a b = 2
Vereenvoudig
a = b + 2 ① Vereenvoudig vergelyking ①
Stel 2x + 1 = 0 ∴ x = 1 2
f( 1 2 ) = a( 1 2 ) 3 b(− 1 2 ) 2 + 4(− 1 2 ) + 5 Vervang x met 1 2 2 = 1 8 a 1 4 b 2 + 5 Res is 2; vereenvoudig
a 2b = 8 × KGV: 8
a = 2b + 8 ② Vereenvoudig en verkry vergelyking ②
b + 2 = 2b + 8
3b = 6
∴ b = 2
Stel b = 2 in ①:
a = 2 + 2
∴ a = 4
Stel ① = ②
Vereenvoudig
15. As g(x) = x 3 + ax + b deur x + 3 gedeel word, is die res 44. As g(x) deur x − 2 gedeel word, is die res 6. Bepaal die waardes van a en b.
Stel x + 3 = 0 ∴ x = 3
Stel x 2 = 0 ∴ x = 2
6 = (2) 3 + a(2) + b Res is 6; stel x = 2
6 = 8 + 2a + b Vereenvoudig
= 2 m 3 + 6 m 2 3m Sample
44 = ( 3) 3 + a(−3) + b Res is − 44; stel x = − 3
44 = 27 3a + b Vereenvoudig
− 17 = − 3a + b
b = 3a − 17 ①
− 2 = 2a + b
b = 2a 2 ②
∴ 3a 17 = 2a 2
Stel ① = ②
5a = 15 Vereenvoudig a = 3
Stel a = 3 in ①:
b = 3(3) 17
= − 8
Vervang a met 3
16. As g(x) = x 3 + p x 2 + 3 deur x + 2 gedeel word, is die res q. Bepaal p in terme van q.
Stel x + 2 = 0 ∴ x = 2
q = (− 2) 3 + p( − 2) 2 + 3 Res is q; vervang x met 2
q = 8 + 4p + 3 Vereenvoudig
q = 5 + 4p
4p = q + 5
p = q + 5 4 p in terme van q
17. Wat is die res as g(x) = 2 x 3 + 7 x 2 m(x + 3) deur x m gedeel word?
Stel x m = 0 ∴ x = m
g(m) = 2( m) 3 + 7( m) 2 − m(m + 3) Vervang x met m
= 2 m 3 + 7 m 2 m 2 3m Vereenvoudig
18. As 3 x 3 m x 2 6x + m en 5 x 3 m x 2 mx onderskeidelik deur x 1
gedeel word, is die res presies dieselfde. Bepaal die waarde van m.
Stel x 1 = 0 ∴ x = 1
∴ 3( 1) 3 − m (1) 2 − 6(1) + m = 5 (1) 3 − m( 1) 2 − m(1) Stel uitdrukkings gelyk aan mekaar 3 m 6 + m = 5 m m Vereenvoudig
3 = 5 2m
8 = 2m m = 4
2. DIE FAKTORSTELLING
Die faktorstelling is baie nuttig om onder andere derdegraadse uitdrukkings (polinome) te faktoriseer. Die faktorstelling is ’n spesiale geval van die resstelling en lui soos volg:
As f(x) deur x − a gedeel word en die res is 0, dan is x − a ’n faktor van f(x).
Anders gestel, as f(a) = 0, dan is x a ’n faktor.
LET OP
Die faktorstelling help ons net om eerstegraadse (lineêre) faktore (d.w.s. van die vorm x − a of ax − b) te bepaal.
Faktorisering van derdegraadse uitdrukkings
Derdegraadse uitdrukkings kan voorgestel word as a x 3 + b x 2 + cx + d.
Sommige derdegraadse uitdrukkings kan met groepering gefaktoriseer word, byvoorbeeld:
x 3 − x 2 − x + 1
= x 2(x 1) (x 1)
= (x 1)( x 2 1)
= (x 1)(x 1)(x + 1)
As groepering nie moontlik is nie, moet ons die faktorstelling gebruik om ’n faktor te bepaal.
• As ons ’n faktor x a soek, moet f(a) = 0. Die res moet dus nul wees.
• Om byvoorbeeld te bepaal of x 1 ’n faktor van f(x)is, stel ons vas of f(1) = 0 . Indien wel, is x 1 ’n faktor van f(x) . Indien nie, hou ons aan om ’n faktor te soek deur x + 1, x 2, x + 2, ens. te toets deur vas te stel of f(−1) = 0 , f(2) = 0 , f(−2) = 0 , ens. Hou dus aan met soek totdat die res nul is.
• Om byvoorbeeld te bepaal of 2x 1 ’n faktor van f(x) is, stel ons vas of f( 1 2 ) = 0. Indien wel, is 2x 1 ’n faktor van f(x).
• As ons ’n faktor gekry het, kan ons begin faktoriseer.
Ons verduidelik die faktorisering van derdegraadse uitdrukkings (polinome) met behulp van die faktorstelling aan die hand van die volgende uitgewerkte voorbeelde. Daar is vier stappe wat onderskei kan word.
Uitgewerkte voorbeeld 4
Faktoriseer f(x) = x 3 + 2 x 2 5x 6 volledig.
Oplossing
Stap 1: Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
• Dit word bepaal deur die faktore van die koëffisiënt van x 3 (d.w.s. die eerste term) en die konstante term (d.w.s. die laaste term).
• In hierdie geval is die koëffisiënt van x 3 slegs 1, d.w.s. die enigste faktor is 1.
• Die konstante term is 6, d.w.s. die faktore is 1, 2, 3 en 6.
• Moontlike faktore is dus (die maklikstes eerste):
◦ x 1 Ons gaan dus toets of f(1) = 0.
◦ x + 1 Ons gaan dus toets of f( 1) = 0.
◦ x − 2 Ons gaan dus toets of f(2) = 0.
◦ x + 2 Ons gaan dus toets of f(− 2) = 0. Sample
◦ x 3
◦ x + 3
◦ x − 6
◦ x + 6
Ons gaan dus toets of f(3) = 0.
Ons gaan dus toets of f(− 3) = 0.
Ons gaan dus toets of f(6) = 0.
Ons gaan dus toets of f(− 6) = 0.
Gewoonlik is dit darem nie nodig om deur die hele lys te werk voordat jy ’n faktor kry nie!
Stap 2: Toets vir ’n faktor.
WENK
As ons x met 1 vervang, d.w.s. as ons f(1) bepaal, is die waarde van elke term van f(1) presies dieselfde as die koëffisiënt van elke term van f(x):
f(x) = x 3 + 2 x 2 5x 6 en f(1) = 1 + 2 5 6
• Is x 1 ’n faktor?
Stel x 1 = 0. Dit gee x = 1.
Bepaal f(1): f(1) = (1) 3 + 2 (1)
∴ x 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = − 1.
Bepaal f(− 1): f(− 1) = ( 1) 3 + 2 ( 1) 2 5( 1) 6 = 1 + 2 + 5 6 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor, want die res is nul.
Nou faktoriseer ons verder om die ander faktore te bepaal.
Ons weet reeds dat f(x) = (x + 1)(kwosiënt).
Stap 3: Bepaal die kwosiënt (wat ’n drieterm a x 2 + bx + c is) as f(x) deur x + 1 gedeel word. Daar is verskeie maniere om dit te doen. In hierdie boek gebruik ons die sogenaamde inspeksiemetode. Ons wys dit hier langsaan.
f(x) = (x + 1)(drieterm)
Ons toets nou of die derde term van f(x) korrek is: Sample
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x in die eerste hakie gemaal moet word om x 3 te kry:
x 3 + 2 x 2 − 5x − 6 = (x + 1)(x 2 + … + … ) x 3
x × x 2 = x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee + 1 gemaal moet word om 6 te kry:
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (
Om die middelterm van die drieterm te kry:
Bepaal wat nodig is om 2 x 2 te gee (in x 3 + 2 x 2 5x 6) wanneer die hakies uitgemaal en gelyksoortige terme opgetel word.
x 3 + 2 x 2 − 5x − 6 = (x + 1)( x 2 + … − 6)
x 2
Daar is reeds ’n x 2 wanneer 1 uitgemaal word, maar ons benodig 2 x 2. Ons benodig dus nog ’n x 2. Die ander x 2 wat benodig word, kan verkry word deur ’n x as die middelterm van die drieterm by te voeg :
x 2
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1) ( x 2 + x 6)
x 2
x 2 + x 2 = 2 x 2
Die derde term van f(x) is 5x. As ons uitmaal: 6x
x 3 + 2 x 2 − 5x − 6 = ( x + 1)( x 2 + x − 6) x
6x + x = 5x, wat korrek is.
Stap 4: Faktoriseer nou die drieterm indien moontlik:
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1)(x + 3)(x 2)
Uitgewerkte voorbeeld 5
Faktoriseer die derdegraadse uitdrukking x 3 5x 2 volledig.
Oplossing
Stel f(x) = x 3 5x 2.
Stap 1: Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
Omdat die koëffisiënt van x 3 slegs 1 is en die konstante term 2, is slegs die volgende faktore moontlik:
• Vir x 3 is 1 die enigste faktor, en die faktore van 2 is 1 en 2.
• Dus is moontlike faktore:
◦ x 1 Ons gaan dus toets of f(1) = 0.
◦ x + 1 Ons gaan dus toets of f( 1) = 0.
◦ x − 2 Ons gaan dus toets of f(2) = 0.
◦ x + 2 Ons gaan dus toets of f(− 2) = 0.
Stap 2: Toets vir ’n faktor.
• Is x − 1 ’n faktor?
Bepaal f(1): f(1) = 1 5 2 = 6 ≠ 0
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = − 1.
Bepaal f(−1): f(−1) = 2 ≠ 0
Tema 7: Res- en faktorstelling
∴ x + 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 2 ’n faktor?
Sample
∴ x 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
Stel x + 2 = 0. Dit gee x = 2.
Bepaal f(−2): f(−2) = 0
∴ x + 2 is ’n faktor van f(x).
∴ f(x) = (x + 2)(drieterm)
∴ x 3 5x 2 = (x + 2)(a x 2 + bx + c)
Stap 3: Bepaal die kwosiënt ( ’n drieterm a x 2 + bx + c) as x 3 5x 2 deur
x + 2 gedeel word.
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x gemaal moet word om x 3 te kry.
f(x) = (x + 2)( x 2 + … + … ) x 3
∴ x × x 2 = x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 2 gemaal moet word om 2 te kry.
f(x) = (x + 2)( x 2 + … 1) 2
∴ 2 × − 1 = − 2
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (x + 2)( x 2 + … 6) 2 x 2
Daar is reeds 2 x 2 wanneer die hakies uitgemaal sou word, maar daar is geen kwadrate in die vereenvoudigde uitdrukking van f(x) nie. Die 2 x 2 moet dus uitgekanselleer word deur x in die eerste hakie met 2x in die drieterm te maal.
2 x 2
f(x) = (x + 2)(x 2 2x 1)
2 x 2
Die 2 x 2 en 2 x 2 sal mekaar uitkanselleer. ∴ f(x) = (x + 2)( x 2 2x 1)
Maal uit om te toets of hierdie twee faktore korrek is.
Stap 4: Die drieterm kan nie verder gefaktoriseer word nie.
Uitgewerkte voorbeeld 6
Faktoriseer 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 volledig.
Oplossing
Stel f(x) = 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4.
1. Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
Die koëffisiënt van x 3 is 6 en die konstante term is 4. Die volgende faktore is dus moontlik:
• Faktore van 6: 1, 2, 3 en 6; faktore van 4: 1, 2 en 4. Die volgende is dus moontlike faktore van f(x) = 6 x 3 − 25 x 2 + 3x + 4:
◦ x 1 2x 1 3x 1 6x 1
◦ x + 1 2x + 1 3x + 1 6x + 1
◦ x 2 2x 2 3x 2 6x 2
◦ x + 2 2x + 2 3x + 2 6x + 2
◦ x 4 2x 4 3x 4 6x 4
◦ x + 4 2x + 4 3x + 4 6x + 4
2. Toets vir faktore:
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = 1.
Bepaal f(−1): f(−1) = 30 ≠ 0
Sample
Begin by die maklikste faktor (d.w.s. die eerste kolom hierbo):
• Is x 1 ’n faktor?
Bepaal f(1): f(1) = − 12 ≠ 0
∴ x − 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
∴ x + 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 2 ’n faktor?
Stel x + 2 = 0. Dit gee x = 2.
Bepaal f(−2): f(−2) = 150 ≠ 0
∴ x + 2 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x − 2 ’n faktor?
Stel x − 2 = 0. Dit gee x = 2.
Bepaal f(2): f(2) = − 42 ≠ 0
∴ x 2 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x 3 ’n faktor?
Stel x 3 = 0. Dit gee x = 3.
Bepaal f(3): f(3) = 50 ≠ 0
∴ x 3 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 3 ’n faktor?
Stel x + 3 = 0. Dit gee x = 3.
Bepaal f(−3): f(−3) = 392 ≠ 0
∴ x + 3 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x − 4 ’n faktor?
Stel x 4 = 0. Dit gee x = 4.
Bepaal f(4): f(4) = 0
∴ x 4 is ’n faktor, want die res is nul.
∴ f(x) = (x 4)(drieterm)
∴ 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 = (x 4)(a x 2 + bx + c)
3. Bepaal die kwosiënt ( ’n drieterm a x 2 + bx + c) as 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 deur x − 4 gedeel word.
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x gemaal moet word om 6 x 3 te kry.
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … + … ) 6 x 3
∴ x × 6 x 2 = 6 x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 4 gemaal moet word om + 4 te kry.
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … 1) 4
∴ 4 × 1 = 4
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … 1)
24 x 2
Daar is reeds 24 x 2 wanneer die hakies uitgemaal sou word, maar ons benodig − 25 x 2. Ons kort dus nog ’n − x 2 . x 2
f(x) = (x 4 )(6 x 2 x 1)
24 x 2
Die som van − x 2 en − 24 x 2 sal − 25 x 2 gee, wat ons nodig het. Maal uit om te toets of hierdie twee faktore korrek is.
4. Die drieterm kan nie verder gefaktoriseer word nie.
Uitgewerkte voorbeeld 7
Faktoriseer 12 x 3 8 x 2 3x + 2 volledig as 3x 2 ’n faktor is.
Sample
Oplossing
Stel f(x) = 12 x 3 − 8 x 2 − 3x + 2.
Ons weet reeds dat 3x − 2 ’n faktor is; dus kan ons dadelik begin met faktorisering sonder om eers ’n faktor te soek. Ons begin dus dadelik by stap 3.
f(x) = 12 x 3 8 x 2 3x + 2 = (3x – 2)(kwosiënt)
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 3x gemaal moet word om 12 x 3 te kry.
f(x) = (3x 2)(4 x 2 + … + ...) 12 x 3 ∴ 3x × 4 x 2 = 12 x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 2 gemaal moet word om + 2 te kry.
f(x) = (3x 2)(4 x 2 + … 1 ) 2
∴ − 2 × − 1 = 2
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (3x − 2)(4 x 2 + … − 1) − 8 x 2
Daar is reeds 8 x 2 wanneer ons die hakies sou uitmaal. Ons benodig net 8 x 2; dus hoef ons niks by die x-gedeelte van die drieterm in te voeg nie.
8 x 2
f(x) = (3x 2)(4x2 – 1)
Die kwosiënt is dus net ’n tweeterm.
Faktoriseer nou die verskil van vierkante: f(x) = (3x – 2)(2x + 1)(2x – 1)
Maal uit om te toets of hierdie drie faktore korrek is.
Opsomming: Hoe om ’n derdegraadse uitdrukking
f(x) = a x 3 + b x 2 + cx + d met die faktorstelling te faktoriseer
Stap 1: Identifiseer moontlike faktore. Dit sal afhang van die koëffisiënt van die eerste term (a x 3) en die konstante term (d).
Stap 2: Gebruik die faktorstelling om vir ’n faktor te toets.
x a is byvoorbeeld ’n faktor as f(a) = 0.
Stap 3: Bepaal die terme van die kwosiënt, wat gewoonlik ’n drieterm is.
Stap 4: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Oefening 2:
Faktorisering van derdegraadse uitdrukkings met behulp van die faktorstelling
1. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig. Probeer eers groepering en gebruik dan die faktorstelling indien nodig:
1.1
f(x) = 2 x 3 x 2 5x 2
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
Ons soek eers ’n faktor:
f(1) = 2 (1) 3 (1)2 5(1) 2
= 2 1 5 2 = 6
∴ x − 1 is nie ’n faktor nie.
f( 1) = 2 ( 1) 3 (−1) 2 5(−1) 2
= 2 1 + 5 2 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor van f(x) .
Vervang x met 1
1.2
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ 2 x 2 − 3 x 2 = − x 2
f(x) = (x + 1)(2 x 2 − 3x − 2) Voeg 3x by drieterm
Sample
Vervang x met 1
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
− 2x − 3x = − 5x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(2x + 1)(x 2) Faktoriseer drieterm
f(x) = x 2(x + 1) − 25(x + 1)
Twee maniere om te faktoriseer:
• Groepering
f(x) = x 2(x + 1) − 25(x + 1)
= (x + 1)( x 2 25) Haal gemene faktor uit
= (x + 1)(x 5)(x + 5) Faktoriseer verskil van vierkante
• Gebruik faktorstelling
f(x) = x 3 + x 2 − 25x − 25 Maal hakies uit en skryf in dalende magte
Ons soek eers ’n faktor:
f( 1) = ( 1) 3 + ( −1) 2 25(−1) 25 Vervang x met 1
= 1 + 1 + 25 25
= 0
∴ x + 1 is ’n faktor van f(x).
f(x) = (x + 1)( x 2 + … − 25) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds x 2, en ons het net x 2 nodig.
∴ x 2 0 x 2 = x 2
f(x) = (x + 1)( x 2 25) Hoef niks by te voeg nie
Toets nou of x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
− 25x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(x 5)(x + 5) Faktoriseer verskil van vierkante
f(x) = (x + 1)(2 x 2 + … 2) Eerste en laaste term van drieterm
1.3 f(x) = x 3 2 x 2 5x + 6
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
Ons soek eers ’n faktor:
f(1) = (1) 3 2( 1) 2 5(1) + 6 Vervang x met 1 = 1 2 5 + 6 = 0
∴ x 1 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x 1)( x 2+ … − 6) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds x 2, maar ons het 2 x 2 nodig.
∴ x 2 x 2 = 2 x 2
f(x) = (x 1)( x 2 x 6) Voeg x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
6x + x = 5x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(x 3)(x + 2) Faktoriseer drieterm
1.5
f(x) = 2 x 3 x 2 5x 2
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f(− 1) = 2(− 1) 3 − (−1) 2 − 5(− 1) − 2 Vervang x met 1
= 2 1 + 5 2
= 0
∴ x + 1 is ’n faktor van f(x)
1.4
f(x) = 3 x 3 7x(x + 1) + 3
f(x) = 3 x 3 7 x 2 7x + 3 Maal hakie uit en skryf in dalende magte
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f( 1) = 3( 1) 3 7( 1) 2 7( 1) + 3 Vervang x met 1 = − 3 − 7 + 7 + 3 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x + 1)(3 x 2+ … + 3) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 3 x 2, maar ons het 7 x 2 nodig.
∴ 3 x 2 − 10 x 2 = − 7 x 2
f(x) = (x + 1)(3 x 2 10x + 3) Voeg 10x by drieterm
1.6
Sample
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
3x 10x = 7x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(3x 1)(x 3)
Faktoriseer drieterm
f(x) = (x + 1)(2 x 2 + … − 2) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ 2 x 2 3 x 2 = x 2
f(x) = (x + 1)(2 x 2 − 3x − 2) Voeg 3x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
2x 3x = 5x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(2x + 1)(x 2) Faktoriseer drieterm
f(x) = 6 x 3 19 x 2 + 18x 5
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f(1) = 6(1) 3 − 19( 1) 2 + 18(1) − 5 Vervang x met 1 = 6 19 + 18 5 = 0
∴ x − 1 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x 1)(6 x 2 + … + 5) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 6x 2, maar ons het 19 x 2 nodig.
∴ − 6 x 2 13 x 2 = 19 x 2
f(x) = (x − 1)(6 x 2 − 13x + 5) Voeg 13x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
5x + 13x = 18x ∴ x-term is korrek
f(x) = (x − 1)(2x − 1)(3x − 5) Faktoriseer drieterm
1.7
f(x) = 4(x 3 1) x(12x + 15)
f(x) = 4 x 3 4 12 x 2 15x Maal hakies uit
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f(x) = 4 x 3 − 12 x 2 − 15x − 4 Skryf terme in dalende magte
f(4) = 4(64) 12(16) 15(4) 4 = 0
∴ x 4 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x 4)(4 x 2 + … + 1) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 16 x 2, maar ons het 12 x 2 nodig.
∴ − 16 x 2 + 4 x 2 = 12 x 2
f(x) = (x − 4)(4 x 2 + 4x + 1) Voeg 4x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
x 16x = 15x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 4)(2x + 1)(2x + 1)
1.8
f(x) = x 3 2 x 2 5x + 6
Faktoriseer drieterm
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f(1) = (1) 3 2( 1) 2 5(1) + 6 Vervang x met 1 = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
∴ x 1 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x − 1)( x 2 + … − 6) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds − x 2, maar ons het − 2 x 2 nodig.
∴ − x 2 − x 2 = − 2 x 2
1.9 f(x) = x 3 5x 2
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f( 2) = ( 2) 3 5( 2) 2 Vervang x met 2 = 8 + 10 2 = 0
∴ x + 2 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x + 2)( x 2 + … − 1)
1.10
Sample
f(x) = (x 1)( x 2 x 6) Voeg x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
+ x 6x = 5x
∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(x + 2)(x 3)
Faktoriseer drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 0 x 2 nodig.
Eerste en laaste term van drieterm
∴ 2 x 2 − 2 x 2 = 0 x 2
f(x) = (x + 2)( x 2 2x 1) Voeg 2x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
x 4x = 5x
∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 2)( x 2 2x 1)
In hierdie geval kan die drieterm nie gefaktoriseer word nie.
f(x) = 2 x 3 + 18 x 2 15x
Groepering gaan nie hier werk nie. Ons gebruik dus die faktorstelling.
f(x) = 2 x 3 x 2 15x + 18 Skryf terme in dalende magte
f(2) = 2(2) 3 (2) 2 15(2) + 18 Vervang x met 2 = 16 − 4 − 30 + 18 = 0
∴ x 2 is ’n faktor van f(x)
f(x) = (x − 2)(2 x 2 + … − 9)
Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 4 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ − 4 x 2 + 3 x 2 = x 2
f(x) = (x − 2)(2 x 2 + 3x − 9)
Voeg 3x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
9x 6x = 15x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x − 2)(2x − 3)(x + 3)
Faktoriseer drieterm
2. Is 4x 5 ’n faktor van f(x) = 4 x 3 21 x 2 + 32x 8? Indien nie, gee ’n rede.
Stel 4x − 5 = 0
∴ x = 5 4
= f( 5 4 ) = 4( 5 4 ) 3 21( 5 4 ) 2 + 32( 5 4 ) 8
4( 125 64 ) 21( 25 16 ) + 32( 5 4 ) 8 Vereenvoudig magte
= 7
∴ 4x 5 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
3. Is x + 1, x − 1 en/of x + 4 ’n faktor van f(x) = x 3 − 2x + 1?
Stel x + 1 = 0
∴ x = − 1
= f( 1) = 1 + 2 + 1 = 2
Stel x 1 = 0
x = 1 Res = f(1) = 1 2 + 1 = 0
Stel x + 4 = 0
∴ x = 4
Res = f( 4) = 64 + 8 + 1 = 55
∴ x 1 is ’n faktor, want die res is nul.
4. Wat moet by g(x) = 6 x 3 31 x 2 10x + 94 getel word sodat 3x 5 ’n faktor sal wees?
Stel 3x 5 = 0
∴ x = 5 3
= g( 5 3 ) = 6 ( 5 3 ) 3 31 ( 5 3 ) 2 10( 5 3 ) + 94
x = 5 3 = 19
5. Bepaal a as x 1 ’n faktor van a x 3 5x + 4 is.
Stel x 1 = 0
∴ x = 1
Res = a (1) 3 − 5(1) + 4
Vervang x met 1
Stel a (1) 3 − 5(1) + 4 = 0 x − 1 is ’n faktor; dus is die res nul a − 5 + 4 = 0 Vereenvoudig a = 1
6. Faktoriseer f(x) = x 2 15x + 2 x 3 7 volledig.
f(x) = 2 x 3 x 2 15x 7 Skryf terme in dalende magte Ons gaan eers ’n faktor soek: Toets vir x = 1, x = 1, x = 2, x = 2, ens.
As ons geen faktor kry nie, moet ons probeer om die faktore van 2 te gebruik, want die eerste term is 2 x 3. Toets dus 2x − 1 of 2x + 1:
= 14,5
Sample
− 19 moet dus bygetel word sodat 3x − 5 ’n faktor sal wees.
f( 1 2 ) = 2( 1 2 ) 3 − ( 1 2 ) 2 − 15( 1 2 ) − 7 Vervang x met 1 2 = 2( 1 8 ) ( 1 4 ) 15 2 7
∴ 2x 1 is nie ’n faktor van f(x) nie
f( 1 2 ) = 2( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 2 15( 1 2 ) 7
= 2( 1 8 ) ( 1 4 ) + 15 2 7
= 0
∴ 2x + 1 is ’n faktor van f(x)
Vereenvoudig
Vervang x met 1 2
f(x) = (2x + 1)( x 2 + … − 7) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ x 2 2 x 2 = x 2
f(x) = (2x + 1)( x 2 x 7) Voeg x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
− 14x − x = − 15x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (2x + 1)( x 2 − x − 7)
Hierdie drieterm kan nie verder gefaktoriseer word nie.
7. Bepaal die waarde van b as f( 1 3 ) = 0 en f(x) = 9 x 3 + 3 x 2 bx + 2.
f( 1 3 ) = 9( 1 3 ) 3 + 3( 1 3 ) 2 − b( 1 3 ) + 2 Vervang x met 1 3
9( 1 27 ) + 3( 1 9 ) − b( 1 3 ) + 2 = 0 f( 1 3 ) = 0
− ( b 3 ) = 8 3
∴ b = 8
Vereenvoudig en × KGV: 3
8. Faktoriseer g(x) = k x 3 − 11 x 2 − 7x + 6 volledig as g(6) = 0.
(Wenk: Bepaal eers die waarde van k.)
g(6) = k (6) 3 11 (6) 2 7(6) + 6 = 0 g(6) = 0
216k 396 42 + 6 = 0 Vereenvoudig
216k = 432 k = 2
∴ g(x) = 2 x 3 11 x 2 7x + 6 Vervang k met 2
Ons gaan eers ’n faktor soek:
g(6) = 0 ∴ x − 6 is ’n faktor Faktor reeds vir ons gegee
g(x) = (x 6)(2 x 2 + … − 1) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 12 x 2, maar ons het 11x 2 nodig.
∴ − 12 x 2 + x 2 = 11 x 2
g(x) = (x − 6)(2 x 2 + x − 1) Tel x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
x 6x = 7x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 6)(2x 1)(x + 1) Faktoriseer drieterm
9. As x + 2 ’n faktor van g(x) = 2 x 3 + 3 x 2 5x + p is, bepaal die waarde van p. Faktoriseer dan g(x) volledig.
Stel x + 2 = 0 ∴ x = − 2
Sample
Res = g( 2) = 2( 2) 3 + 3( 2) 2 5(− 2) + p = 0 Vervang x met − 2 2(−8) + 3(4) + 10 + p = 0 Vereenvoudig en stel = 0 (res = 0) 16 + 12 + 10 + p = 0 p = − 6 ∴ g(x) = 2 x 3 + 3 x 2 5x 6 Vervang p met 6
g(x) = (x + 2)(2 x 2 + … − 3) Eerste en laaste van drieterm
Ons het reeds 4 x 2, maar ons het 3 x 2 nodig.
∴ 4 x 2 x 2 = 3 x 2
g(x) = (x + 2)(2 x 2 x 3) Voeg x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
− 3x − 2x = − 5x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 2)(2x 3)(x + 1) Faktoriseer drieterm
10. As x + 1 ’n faktor van x 3 3x b is, bepaal die waarde van b. Faktoriseer dan die uitdrukking f(x) = x 3(x 4) 3x(x 4) b(x 4) volledig.
Stel x + 1 = 0 ∴ x = − 1
Res = (−1) 3 3( 1) b = 0 Vervang x met 1 en stel = 0
1 + 3 b = 0 Vereenvoudig
b = 2
f(x) = x 3(x − 4) − 3x(x − 4) − 2(x − 4) Stel b = 2 in f
= (x 4)( x 3 3x 2) Haal gemene faktor uit
= (x 4)(x + 1)(x 2 x − 2) Gegee: x + 1 is ’n faktor; faktoriseer drieterm
= (x − 4)(x + 1)(x − 2)(x + 1) Faktoriseer drieterm
11. As x + 4 ’n gemene faktor van x 2 + ax + b en x 2 + cx + b is, bewys dat a = c.
Stel x + 4 = 0 ∴ x = 4
Res = ( 4)2 + a( 4) + b = 0 Stel x = 4 in en stel uitdrukking = nul
16 4a + b = 0 ① Vereenvoudig en verkry vergelyking ①
Stel x + 4 = 0
∴ x = 4
Res = (− 4) 2 + c( 4) + b = 0 Stel x = 4 in en stel uitdrukking = nul
16 4c + b = 0 ② Vereenvoudig en verkry vergelyking ②
16 4a + b = 16 4c + b Stel ① = ②
4a = 4c
Vereenvoudig
∴ a = c Deel deur 4
12. As 2 x 2 13x + 21 ’n faktor van a x 3 9 x 2 bx + 42 is, bepaal die waardes van a en b, asook die derde faktor.
2 x 2 − 13x + 21 = (x − 3)(2x − 7) Faktoriseer drieterm
∴ x 3 en 2x 7 is albei faktore van a x 3 9 x 2 bx + 42
Stel x 3 = 0 ∴ x = 3
Stel 2x 7 = 0 ∴ x = 7 2
Res = a (3) 3 − 9( 3) 2 − b(3) + 42 = 0 Stel x = 3 en stel = 0
27a 81 3b + 42 = 0 Vereenvoudig
27a 3b = 39
9a − b = 13
Deel deur 3 b = 9a 13 ①
Res = a ( 7 2 ) 3 − 9( 7 2 ) 2 − b( 7 2 ) + 42 = 0 Stel x = 7 2 in en stel uitdrukking = 0
343a 8 441 4 7b 2 + 42 = 0
Stel ① in ②:
49a − 4(9a − 13) = 78
49a 36a + 52 = 78 Verwyder hakies 13a = 26 Vereenvoudig a = 2
Stel a = 2 in ①:
b = 9(2) 13
Sample
343a 882 28b + 336 = 0 × KGV, wat 8 is, en vereenvoudig
49a − 4b = 78 ② Deel deur 7 en vereenvoudig
Vervang a met 2 = 18 13 Vereenvoudig = 5 ∴ 2 x 3 9 x 2 5x + 42
= (x 3)(2x 7)(x + 2)
Vervang a en b in die uitdrukking
Bepaal derde faktor
13. As f(x) = x 3 a x 2 + bx + 6 presies deelbaar is deur x 2 5x + 6, bepaal die waardes van a en b en faktoriseer dan f(x) volledig.
x 2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
∴ x 3 en x 2 is albei faktore van f(x)
Stel x 3 = 0 ∴ x = 3
Stel x − 2 = 0 ∴ x = 2
Res = f(3) = (3) 3 a(3) 2 + b(3) + 6
27 9a + 3b + 6 = 0
3a + b + 11 = 0
Faktoriseer
Vervang x = 3
Vereenvoudig en stel = 0
Vereenvoudig en deel deur 3
∴ b = 3a − 11 ① Maak b die onderwerp
Res = f(2) = (2) 3 a(2) 2 + b(2) + 6 Stel x = 2 in
8 4a + 2b + 6 = 0
− 2a + b + 7 = 0
Vereenvoudig en stel = 0
Vereenvoudig en deel deur 2
∴ b = 2a 7 ② Maak b die onderwerp
Stel ① = ②: ∴ 3a 11 = 2a 7 a = 4
Stel a = 4 in ①: b = 3(4) 11 = 1
∴ f(x) = x 3 4 x 2 + x + 6
Vervang a en b = (x 2)(x 3)(x + 1)
14. As x 4 en 3x 2 albei faktore van a x 3 37 x 2 + 58x b is, bepaal die waardes van a en b.
Stel x − 4 = 0 ∴ x = 4
Stel 3x 2 = 0 ∴ x = 2 3
Res = a( 4) 3 37( 4) 2 + 58(4) b
Vervang x met 4
64a − 592 + 232 − b = 0 Vereenvoudig en stel = 0
64a b = 360 b = 64a 360 ①
Res = a( 2 3 ) 3 37( 2 3 ) 2 + 58( 2 3 ) b
15. As f( 1 5 ) = f(–1 5 ) = 0 en f(x) = 25 x 3 a x 2 + bx + 3, bepaal die waardes
van a en b. 5x 1 en 5x + 1 is albei faktore.
Res = f( 1 5 ) = 25( 1 5 ) 3 a( 1 5 ) 2 + b( 1 5 ) + 3
25( 1 125 ) a( 1 25 ) + b 5 + 3 = 0
Vervang x met 1 5
Vervang x met 2 3
8a − 444 + 1 044 − 27b = 0 × 27, vereenvoudig en stel = 0 8a 27b = 600 ②
Stel ① in ②:
8a − 27(64a − 360) = − 600
8a 1 728a + 9 720 = 600
1 720a = 10 320 a = 6
Stel a = 6 in ②:
8(6) 27b = 600
27b = 600 + 48
b = 24
Vereenvoudig
Vereenvoudig
Vervang a met 6
Vereenvoudig
3 a + 18 Sample
Vereenvoudig en stel = 0 1 5 a 25 + b 5 + 3 = 0
Vereenvoudig
5 − a + 5b + 75 = 0 × KGV, wat 25 is a + 5b = 80 Vereenvoudig a = 80 + 5b ①
Res = f(− 1 5 ) = 25(− 1 5 ) 3 − a(− 1 5 ) 2 + b(− 1 5 ) + 3 Vervang x met 1 5
25( 1 125 ) a( 1 25 ) b 5 + 3 = 0
Vereenvoudig en stel = 0 1 5 a 25 b 5 + 3 = 0
Vereenvoudig
− 5 − a − 5b + 75 = 0 × KGV, wat 25 is a 5b = 70 Vereenvoudig a = 70 5b ②
Stel ① = ②:
80 + 5b = 70 5b
10b = − 10
Vereenvoudig b = 1
Stel b = 1 in ②: a = 70 5( 1) = 75
∴ f(x) = 25 x 3 75 x 2 x + 3
16. As x − 3 ’n faktor van 2 x 3 − a x 2 − bx − a is, bepaal b in terme van a.
Stel x − 3 = 0 ∴ x = 3
Res = 2(3) 3 − a (3) 2 − b(3) − a Stel x = 3
2(27) − a(9) − b(3) − a = 0
54 − 9a − 3b − a = 0
3b = − 10a + 54
b = 10
Vereenvoudig en stel = 0
Vereenvoudig
17. Gegee: g(x) = 2 x 3 a x 2 16x + b
17.1 As g(x) presies deelbaar is deur x 2 + 2x 3, bepaal die waardes van a en b.
Faktoriseer eers: x 2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1)
∴ x + 3 en x 1 is albei faktore van g(x)
Stel x + 3 = 0 ∴ x = 3
Stel x − 1 = 0 ∴ x = 1
Res = g( 3) = 2( 3) 3 a( 3) 2 16( 3) + b Vervang x met 3
2( 27) 9a + 48 + b = 0
54 9a + 48 + b = 0
b = 9a + 6 ①
Res = g(1) = 2( 1) 3 − a( 1) 2 − 16(1) + b
2 a 16 + b = 0
b = 14 + a ②
Stel ① = ②:
9a + 6 = 14 + a
8a = 8
a = 1
Stel a = 1 in ①:
b = 9(1) + 6 = 15
17.2 Faktoriseer g(x) volledig.
Vereenvoudig en stel = 0
Vereenvoudig
Vervang x met 1
Vereenvoudig en stel = 0
Vereenvoudig
3. OPLOS VAN DERDEGRAADSE VERGELYKINGS MET BEHULP VAN DIE FAKTORSTELLING
Vereenvoudig
Inleiding
g(x) = 2 x 3 x 2 16x + 15 Stel die waardes van a en b in
g(x) = (x + 3)(x 1)(2x 5)
Gegee: x + 3 en x 1 is faktore; bepaal die derde term deur inspeksie
18. Bewys dat a − b ’n faktor van 2 a 2(a − c) + 2 b 2(c − a) + 2 c 2(a − b) is.
Stel a b = 0 ∴ a = b
Res = 2 b 2(b c) + 2 b 2(c b) + 2 c 2(b b) Vervang a met b
= 2 b 2(b c) 2 b 2(b c) + 2 c 2(b b) Haal − uit by die middelterm
Sample
= 2 b 2(b c) 2 b 2(b c) + 2 c 2(0) b − b = 0
= 2 b 2(b c) 2 b 2(b c)
= 0
∴ a b is ’n faktor, want die res is nul.
In hierdie subtema gaan ons die faktorstelling toepas om derdegraadse vergelykings van die vorm a x 3 + b x 2 + cx + d = 0 op te los. Leerders gaan dit nodig kry in tema 8, waar hulle gaan leer hoe om sketsgrafieke van derdegraadse funksies van die vorm y = a x 3 + b x 2 + cx + d te teken. Om die x-afsnitte te bepaal, stel ons y = 0, wat dan lei tot ’n derdegraadse vergelyking.
Stappe om ’n derdegraadse vergelyking op te los:
Stap 1: Skryf die vergelyking in die standaardvorm: a x 3 + b x 2 + cx + d = 0. (Let op die dalende magte van x.)
Stap 2: Faktoriseer die linkerkant. Probeer eers groepering.
Stap 3: As groepering nie moontlik is nie, gebruik die faktorstelling en bepaal eers ’n lineêre faktor.
Stap 4: Bepaal die drietermkwosiënt. (Dit is in subtema 2 behandel.)
Stap 5: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Stap 6: Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas (as a × b = 0, dan is a = 0 of b = 0).
• As die drieterm nie gefaktoriseer kan word nie, gebruik die kwadratiese formule x = b ± √ b 2 4ac 2a .
• Daar sal drie wortels wees; van die wortels kan dieselfde waarde hê.
• Dit is ook moontlik dat die oplossing wat jy met die kwadratiese formule bepaal, niereëel is. Dan is daar net een reële wortel.
Uitgewerkte voorbeeld 8
Los op vir x: 6 x 3 23 x 2 6x + 8 = 0
Oplossing
• Die vergelyking is reeds in standaardvorm.
• Bepaal ’n faktor:
f(4) = 0
∴ x − 4 is ’n faktor van 6 x 3 − 23 x 2 − 6x + 8
∴ (x − 4)(drieterm) = 0
• Bepaal die drietermkwosiënt:
(x 4)(6 x 2 + … 2) = 0
Bepaal die middelterm van die drieterm:
4 × 6 x 2 = 24x 2 ∴ 24 x 2 + x 2 = 23 x 2
Die middelterm is dus + x.
∴ (x 4)(6 x 2 + x 2) = 0
• Faktoriseer die drieterm:
∴ (x 4)(2x 1)(3x + 2) = 0
• Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas:
Stel elke faktor gelyk aan nul:
∴ x 4 = 0 OF 2x 1 = 0 OF 3x + 2 = 0
∴ x = 4 OF x = 1 2 OF x = 2 3
Uitgewerkte voorbeeld 9
Los op vir x: 8 x 3 + 4 x 2 + 6x 5 = 0
Oplossing
• Die vergelyking is reeds in standaardvorm.
• Bepaal ’n faktor: f( 1 2 ) = 0 ∴ 2x − 1 is ’n faktor van 8 x 3 + 4 x 2 + 6x − 5
∴ (2x 1)(drieterm) = 0
Bepaal die drietermkwosiënt:
∴ (2x 1)(4 x 2 + … + 5 ) = 0
• Bepaal die middelterm van die drieterm: 1 × 4 x 2 = 4x 2 ∴ 4 x 2 + 8 x 2 = 4 x 2
Die middelterm is dus 4 x 2 + 2x × 4x = 4 x 2
∴ (2x 1)(4 x 2 + 4x + 5) = 0
• Faktoriseer die drieterm:
Die drieterm het nie faktore nie; ons moet dus die kwadratiese formule gebruik.
• Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas:
Stel elke faktor gelyk aan nul:
Geen oplossing nie (die wortels is niereëel)
x = 1 2 is dus die enigste reële wortel van 8 x 3 + 4 x 2 + 6x 5 = 0.
Opsomming: Hoe om ’n derdegraadse vergelyking op te los
Stap 1: Skryf die vergelyking in die standaardvorm a x 3 + b x 2 + cx + d = 0. (Let op die dalende magte van x.)
Stap 2: Faktoriseer die linkerkant. Probeer eers groepering.
Stap 3: As groepering nie moontlik is nie, gebruik die faktorstelling en bepaal eers ’n lineêre faktor.
Stap 4: Bepaal die drietermkwosiënt.
Stap 5: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Stap 6: Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas (as a × b = 0, dan is a = 0 of b = 0).
As die drieterm nie gefaktoriseer kan word nie, gebruik die kwadratiese formule x = − b ± √ b 2 − 4ac 2a .
Wenk: Bereken eers b 2 4ac om vas te stel of die kwadratiese vergelyking reële wortels sal hê.
Oefening 3: Oplossing van derdegraadse vergelykings
1. Los elk van die volgende vergelykings op (korrek tot twee desimale plekke waar toepaslik).
1.1 4 x 3 − 8 x 2 − x + 2 = 0
Twee maniere om die vergelyking op te los: groepering of faktorstelling. Groepering (probeer dit altyd eers):
4 x 2(x 2) (x 2) = 0 Haal gemene faktor uit by elke groep (x 2)(4 x 2 1) = 0 Haal gemene faktor (hakie) uit
(x 2)(2x 1)(2x + 1) = 0 Faktoriseer verskil van vierkante
∴ x = 2 OF x = 1 2 OF x = 1 2
Met die faktorstelling:
Res = f(2) = 4(2) 3 8(2) 2 2 + 2 = 0 Stel x = 2
∴ x 2 is ’n faktor
f(x) = (x − 2)(4 x 2 + … − 1) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds − 8 x 2, en ons het net − 8 x 2 nodig.
∴ − 8 x 2 + 0 x 2 = − 8 x 2
Ons benodig dus nie ’n middelterm by die drieterm nie.
f(x) = (x 2)(4 x 2 1)
x = x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 2)(2x 1)(2x + 1) = 0
∴ x = 2 OF x = 1 2 OF x = 1 2 1.2 2 x 3 − 2x − 3 x 2 + 3 = 0
Twee maniere om die vergelyking op te los:
Groepering
2 x 3 − 3 x 2 − 2x + 3 = 0
x 2(2x 3) (2x 3) = 0
(2x 3)( x 2 1) = 0
(2x 3)(x 1)(x + 1) = 0
Hoef niks by middelterm te voeg nie
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
Faktoriseer verskil van vierkante
Skryf in standaardvorm
Haal gemene faktor uit by elke goep
Haal gemene faktor (hakie) uit
Faktoriseer verskil van vierkante ∴ x = 3 2 OF x = 1 OF x = − 1
Met die faktorstelling
Stel f(x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 2x + 3
f(1) = 2 (1) 3 3(1) 2 2(1) + 3
Stel x = 1 = 0
∴ x − 1 is ’n faktor
Eerste en laaste term van drieterm Sample
f(x) = (x 1)(2 x 2 + … 3)
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 3 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 x 2 = 3 x 2
f(x) = (x 1)(2 x 2 x 3) Voeg x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
3x + x = 2x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(2x 3)(x + 1) = 0
∴ x = 1 OF x = 3 2 OF x = 1
Volgorde van faktore (hakies) maak nie saak nie.
1.3 x 3 + 8 x 2 + 17x + 10 = 0
Stel f(x) = x 3 + 8 x 2 + 17x + 10
Faktoriseer drieterm
Ons het reeds x 2, maar ons het 7 x 2 nodig.
∴ x 2 8 x 2 = 7 x 2
f(x) = (x + 1)(x 2 8x + 15) = 0 Voeg 8x by drieterm
f( 1) = ( 1) 3 + 8(–1) 2 + 17( 1) + 10 Stel x = 1 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor
f(x) = (x + 1)( x 2 + … + 10) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds x 2, maar ons het 8 x 2 nodig.
∴ x 2 + 7 x 2 = 8 x 2
f(x) = (x + 1)(x 2 + 7x + 10) Voeg 7x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
7x + 10x = 17x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(x + 5)(x + 2) = 0
∴ x = 1 OF x = 5 OF x = 2
1.4 x 3 + 15 7x(x 1) = 0
Stel f(x) = x 3 + 15 − 7x(x − 1)
Faktoriseer drieterm
f(x) = x 3 7 x 2 + 7x + 15 Maal uit en skryf in standaardvorm
f(− 1) = (− 1) 3 − 7(−1 ) 2 + 7(− 1) + 15 Stel x = 1 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor
f(x) = (x + 1)(x 2 + … + 15) = 0 Eerste en laaste term van drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal: 8x + 15x = 7x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(x 5)(x 3) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 1 OF x = 5 OF x = 3
1.5 x 3 3(x 6) 4 x 2 = 0
Stel
f(x) = x 3 − 3(x − 6) − 4 x 2
f(x) = x 3 4 x 2 3x + 18 Maal uit en skryf in standaardvorm
f( 2) = ( 2) 3 4( 2 ) 2 3( 2) + 18 = 0 Stel x = 2
∴ x + 2 is ’n faktor
f(x) = (x + 2)(x 2 + … + 9) = 0 Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 4 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 6 x 2 = 4 x 2
f(x) = (x + 2)(x 2 − 6x + 9) = 0 Voeg 6x by middelterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
12x + 9x = 3x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 2)(x 3)(x 3) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = − 2 OF x = 3 OF x = 3 1.6 2 x 3 5 x 2 x + 2 = 0 2 x 3 + 5 x 2 + x − 2 = 0
Stel f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 + x 2
Sample
÷( 1)
f( 1) = 2( 1) 3 + 5( 1) 2 + ( 1) 2 = 0 Stel x = 1
∴ x + 1 is ’n faktor
f(x) = (x + 1)(2 x 2 + … 2) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 5 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 + 3 x 2 = 5 x 2
f(x) = (x + 1)(2 x 2 + 3x − 2) Voeg 3x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
2x + 3x = x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(x + 2)(2x 1) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = − 1 OF x = − 2 OF x = 1 2
1.7 5 x 3 + 4 x 2 31x + 6 = 0
Stel f(x) = 5 x 3 + 4 x 2 31x + 6
f(2) = 5 (2) 3 + 4(2 ) 2 31(2) + 6 Stel x = 2 = 0
∴ x − 2 is ’n faktor
f(x) = (x 2)(5 x 2 + … 3) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 10 x 2, maar ons het 4 x 2 nodig.
∴ 10 x 2 + 14 x 2 = 4 x 2
f(x) = (x − 2)(5 x 2 + 14x − 3) = 0 Voeg 14x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
3x 28x = 31x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x − 2)(x + 3)(5x − 1) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 2 OF x = 3 OF x = 1 5
1.8 2 x 3 − 3 x 2 − 8x − 3 = 0
Stel f(x) = 2 x 3 3 x 2 8 x 3
f( 1) = 2 ( 1) 3 3( 1 ) 2 8( 1) 3 Stel x = 1 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 3 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 5 x 2 = 3 x 2
f(x) = (x + 1)(2 x 2 − 5x − 3) = 0 Voeg 5x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
∴ x = 1 OF x = 2,27 OF x = 0,44 Sample
f(x) = (x + 1)(2 x 2 + … 3) Eerste en laaste term van drieterm
3x 5x = 8x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(x 3)(2x + 1) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = − 1 OF x = 3 OF x = − 1 2
1.9 6 x 3 5 x 2 17x 6 = 0
Stel f(x) = 6 x 3 5 x 2 17x 6
f( 1) = 6 ( 1) 3 5( 1 ) 2 17( 1) 6 Stel x = 1
∴ x + 1 is ’n faktor
f(x) = (x + 1)(6 x 2 + … 6) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 6 x 2, maar ons het 5 x 2 nodig.
∴ 6 x 2 11 x 2 = 5 x 2
f(x) = (x + 1)(6 x 2 − 11x − 6) Voeg 11x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
6x 11x = 17x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 1)(6 x 2 − 11x − 6) = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
Gebruik die kwadratiese formule om die vergelyking verder op te los:
x + 1 = 0 OF x = b ± √ b 2 4ac 2a
x + 1 = 0 OF x = ( 11) ± √ ( 11) 2 4(6)( 6) 2(6)
1.10 x 3 + 6(x 2 2) 2x = 0
x 3 + 6 x 2 2x 12 = 0 Maal uit en skryf in standaardvorm
x 3 6 x 2 + 2x + 12 = 0 ÷ ( 1)
Stel f(x) = x 3 − 6 x 2 + 2x + 12
f(2) = (2) 3 6 (2) 2 + 2(2) + 12
Stel x = 2 = 0
∴ x 2 is ’n faktor
f(x) = (x 2)( x 2 + … 6) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 6 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 4 x 2 = 6 x 2
f(x) = (x − 2)(x 2 − 4x − 6) Voeg 4x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
8x 6x = 2x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 2)( x 2 4x 6) = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
Gebruik die kwadratiese formule om die vergelyking verder op te los:
x 2 = 0 OF x = b ± √ b 2 4ac 2a
x 2 = 0 OF x = ( 4) ± √ ( 4) 2 4(1)( 6) 2(1)
∴ x = 2 OF x = 5,16 OF x = 1,16
2. Bewys dat x + 3 ’n faktor is van 2 x 3 x 2 18x + 9 = 0 en los dan die vergelyking volledig op.
Stel x + 3 = 0 ∴ x = 3
Stel f(x) = 2 x 3 x 2 18x + 9
f(x) = (x + 3)(2 x 2 + … + 3) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 6 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ 6 x 2 7 x 2 = x 2
Sample
Res = f( 3) = 2( 3) 3 ( 3) 2 18( 3) + 9 Vervang x met 3 = 2(− 27) − 9 + 54 + 9 Vereenvoudig
= 54 9 + 54 + 9
= 0
∴ x + 3 is ’n faktor, want die res is nul
f(x) = (x + 3)(2 x 2 − 7x + 3) Voeg 7x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
21x + 3x = 18x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 3)(2x 1)(x 3) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 3 OF x = 1 2 OF x = 3
3. Gegee: f(x) = 0, waar f(x) = 2 x 3 − 13 x 2 + 22x − 8
3.1 Bewys dat x 2 ’n faktor van f(x) is.
Stel x 2 = 0 ∴ x = 2
Stel f(x) = 2 x 3 13 x 2 + 22x 8
Res = f(2) = 2( 2) 3 − 13( 2) 2 + 22(2) − 8 Vervang x met 2 = 2(8) 13(4) + 44 8 Vereenvoudig = 16 52 + 44 8 = 0
∴ x 2 is ’n faktor, want die res is nul.
3.2 Los nou op vir x as f(x) = 0.
f(x) = (x 2)(2 x 2 + … + 4) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 4 x 2, maar ons het 13 x 2 nodig.
∴ 4 x 2 9 x 2 = 13 x 2
f(x) = (x − 2)(2 x 2 − 9x + 4) Voeg 9x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
18x + 4x = 22x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x − 2)(2x − 1)(x − 4) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 2 OF x = 1 2 OF x = 4
4. Bepaal die wortels van 2 x 3 + 5 x 2 22x + 15 = 0.
Stel x 1 = 0 ∴ x = 1
Stel f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 22x + 15
Res = f(1) = 2( 1) 3 + 5( 1) 2 22(1) + 15 Vervang x met 1 = 0
∴ x 1 is ’n faktor, want die res is nul.
f(x) = (x − 1)(2 x 2 + … − 15) . Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 2 x 2, maar ons het 5 x 2 nodig.
∴ 2 x 2 + 7 x 2 = 5 x 2
f(x) = (x − 1)(2 x 2 + 7x − 15) Voeg 7x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
15x 7x = 22x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(2x 3 )(x + 5) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 1 OF x = 3 2 OF x = − 5
5. Gegee: f(x) = 2 x 3 x 2 13x 6. Los op vir x as f(x) = 0.
Stel x + 2 = 0 ∴ x = 2
Stel f(x) = 2 x 3 x 2 13x 6
Res = f ( 2) = 2( 2) 3 ( 2) 2 13( 2) 6 Vervang x met 2 = 0
∴ x + 2 is ’n faktor, want die res is nul.
f(x) = (x + 2)(2 x 2 + … 3) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 4 x 2, maar ons het − x 2 nodig.
∴ 4 x 2 − 5 x 2 = − x 2
f(x) = (x + 2)(2 x 2 − 5x − 3) Voeg 5x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
6. As 1 2 en 1 2 wortels is van m x 3 n x 2 9x + 4 = 0, bepaal die waardes van m en n.
Stel f(x) = m x 3 n x 2 9x + 4
+
Sample
− 3x − 10x = − 13x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 2)(2x + 1)(x 3) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 2 OF x = 1 2 OF x = 3
=
Vervang x met 1 2 en stel uitdrukking = 0 m( 1 8 ) − n( 1 4 ) − 9( 1 2 ) + 4 = 0
Vereenvoudig m 8 n 4 9 2 + 4 = 0 Vereenvoudig m − 2n − 36 + 32 = 0 × KGV, wat 8 is m = 2n + 4
f( 1 2 ) = m( 1 2 ) 3 n( 1 2 ) 2 9( 1 2 ) + 4 = 0 Vervang x met 1 2 en stel uitdrukking = 0 m( 1 8 ) n( 1 4 ) 9( 1 2 ) + 4 = 0 Vereenvoudig − m 8 − n 4 + 9 2 + 4 = 0 Vereenvoudig − m − 2n + 36 + 32 = 0 × KGV, wat 8 is m = − 2n + 68 ②
Stel ① = ②: 2n + 4 = 2n + 68 4n = 64
Vereenvoudig n = 16
Stel n = 16 in ①: m = 2(16) + 4 Vervang n met 16 = 36
∴ f(x) = 36 x 3 16 x 2 9x + 4
7. Gegee: f(x) = x(x − 31) + 15(x 3 + 1). Bepaal die x-afsnitte van die grafiek van f
f(x) = 15 x 3 + x 2 31x + 15 Maal uit; skryf in standaardvorm
f(1) = 15(1) 3 + (1) 2 31(1) + 15 Vervang x met 1 = 15 + 1 − 31 + 15 = 0 Vereenvoudig
8.
∴ x 1 is ’n faktor, want die res is nul.
f(x) = (x 1)(15 x 2 + … 15) . Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 15 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ − 15 x 2 + 16 x 2 = x 2
f(x) = (x 1)(15 x 2 + 16x 15) Voeg 16x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
16x 15x = 31x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 1)(5x 3)(3x + 5) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x-afsnitte by x = 1, x = 3 5 en x = –5 3
As f(x) = h x 3 x 2 kx + 4 deur x 3 gedeel word, is die res 25. Verder is x 2 ’n faktor van f( x) . Bepaal die waardes van h en k . Los dan op vir
x as f(x) = 0.
Stel x = 3
Res = f(3) = h(3) 3 (3) 2 k(3) + 4 = 25 Res is 25 as x = 3
27h − 9 − 3k + 4 = 25
27h 3k = 30
9h k = 10
Stel x = 2
Vereenvoudig
Vereenvoudig
Deel deur 3 k = 9h − 10 ①
Res = f(2) = h(2) 3 (2) 2 k(2) + 4 = 0 Res is 0 as x = 2
8h 4 2k + 4 = 0
Stel ① in ②:
8h 2(9h 10) = 0
8h − 18h + 20 = 0
10h = 20 h = 2
Stel h = 2 in ①:
Vereenvoudig
8h − 2k = 0 ② Vereenvoudig
k = 9(2) 10 = 8
∴ f(x) = 2 x 3 x 2 8x + 4 Vervang k en h (x − 2)(2 x 2 + … − 2) Eerste en laaste term van drieterm
Sample
Vereenvoudig
Ons het reeds 4 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ 4 x 2 + 3 x 2 = x 2
f(x) = (x 2)(2 x 2 + 3x 2) Voeg 3x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
2x 6x = 8x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x 2)(2x 1)(x + 2) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 2 OF x = 1 2 OF x = − 2
9. Bewys dat f(x) = x 3 5 x 2 12x 18 = 0 slegs een reële wortel het.
f(x) = x 3 + 5 x 2 + 12x + 18 = 0
f( 3) = ( 3) 3 + 5( 3) 2 + 12( 3) + 18
÷( 1)
Vervang x met 3 = 27 + 45 36 + 18 Vereenvoudig = 0
∴ x + 3 is ’n faktor, want die res is nul.
f(x) = (x + 3)(x 2 + … + 6) Eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 3 x 2, maar ons het 5 x 2 nodig.
∴ 3 x 2 + 2 x 2 = 5x 2
f(x) = (x + 3)(x 2 + 2x + 6) Voeg 16x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
6x + 6x = 12x
∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 3)(x 2 + 2x + 6) = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
Gebruik die kwadratiese formule om die vergelyking verder op te los:
x + 3 = 0 OF x = b ± √ b 2 4ac 2a
x + 3 = 0 OF x = −(2) ± √ (2) 2 − 4(1)(6) 2(1)
x + 3 = 0 OF x = (2) ± √ 4 24 2(1)
x + 3 = 0 OF x = (2) ± √ 20 2 Geen reële oplossing nie
∴ x = − 3
∴ Slegs een reële wortel
Alternatief
Bepaal bloot die waarde van ∆ = b 2 4ac.
As ∆ < 0, het die kwadratiese vergelyking geen reële wortels nie.
10. Gegee: g(x) = 2 x 3 − a x 2 − 16x + b.
10.1 As g(x) presies deelbaar is deur x 2 + 2x 3, bepaal die waardes van a en b.
x 2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1) Faktoriseer drieterm
∴ x + 3 en x 1 is albei faktore van g(x)
Res = g(−3) = 2(−3) 3 − a(−3) 2 − 16(−3) + b = 0 Res is 0 as x = 3 54 9a + 48 + b = 0 Vereenvoudig
b = 9a + 6 ① Vereenvoudig
Res = g(1) = 2(1) 3 − a(1) 2 − 16(1) + b = 0 Res is 0 as x = 1
2 a 16 + b = 0 Vereenvoudig
b = a + 14 ② Vereenvoudig
Stel ① = ②:
9a + 6 = a + 14
8a = 8
a = 1
Stel a = 1 in ①:
b = 9(1) + 6 = 15
Tema 7: Res- en faktorstelling
Vereenvoudig
Sample
10.2 Los vervolgens op vir x as g(x) = 0.
g(x) = 2 x 3 x 2 16x + 15 = 0
g(x) = (x + 3)(2 x 2 + … + 5) = 0 Kan met enige faktor begin; eerste en laaste term van drieterm
Ons het reeds 6 x 2, maar ons het x 2 nodig.
∴ 6 x 2 7 x 2 = x 2
g(x) = (x + 3)(2 x 2 − 7x + 5) = 0 Voeg 7x by drieterm
Toets nou of die x-term van die drieterm korrek is deur die hakies uit te maal:
21x + 5x = 16x ∴ x-term is korrek.
f(x) = (x + 3)(2x − 5)(x − 1) = 0 Faktoriseer drieterm
∴ x = 3 OF x = 5 2 OF x = 1
Alternatief
Gebruik die twee faktore wat reeds beskikbaar is:
x 2 + 2x 3 = (x 1)(x + 3) Uit 10.1
f(x) = (x + 3)(2x − 5)(x − 1) = 0 Bepaal derde faktor deur inspeksie
∴ x = 3 OF x = 5 2 OF x = 1
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
