TEMA 1
PATRONE, RYE EN REEKSE
Inleiding
In hierdie tema gaan jy meer leer oor:
• rye
◦ lineêre getalpatrone: neem toe of neem af met ’n konstante hoeveelheid
◦ kwadratiese getalpatrone: verander met ’n hoeveelheid wat elke keer met ’n konstante hoeveelheid toeneem of afneem
◦ meetkundige getalpatrone: neem toe of af met ’n konstante verhouding
• reekse
◦ sigma-notasie: ’n verkorte manier om die som van ’n reeks te skryf
◦ die som van rekenkundige reekse
◦ die som van meetkundige reekse
◦ die som tot oneindig van sekere meetkundige reekse.
Voorafkennis
Om hierdie tema te bemeester, moet jy reeds vertroud wees met die volgende:
• Getalpatrone
◦ Notasie vir die nde term: T n
◦ Beskou byvoorbeeld die patroon 1 2 ; 1; 2; 4; 8; … Die derde term (of die term in die derde posisie) is 2.
Ons skryf T 3 = 2.
• Lineêre patrone
◦ Die algemene term word gegee deur T n = dn + c, waar d = gemene verskil en c = ’n konstante.
◦ Lineêre patrone word in graad 12 as rekenkundige rye behandel.
• Kwadratiese patrone
Sample
◦ Die verskil tussen opeenvolgende terme is konstant.
Voorbeeld: 1; 3; 5; … (die gemene verskil is 2).
◦ Die eerste verskil verander met ’n vaste hoeveelheid en die tweede verskil is konstant. Voorbeeld: 1; 3; 7; 13; … (die tweede verskil is 2).
◦ Die algemene term word gegee deur T n = an 2 + bn + c.
• Eksponensiële vergelykings
◦ Hoe om eksponensiële vergelykings van die vorm b n = b p op te los.
Hersiening
Lineêre getalpatrone
In ’n lineêre getalpatroon is die algemene term T n = dn + c, waar d = eerste verskil en c = ’n konstante.
Hersieningsvoorbeeld 1:
Bepaal die algemene term van ’n lineêre getalpatroon
Bepaal die algemene term van die getalpatroon 8; 3; 2; …
Oplossing
Bepaal die eerste verskil tussen opeenvolgende terme:
T 2 T 1 = 3 ( 8) = 5
T 3 − T 2 = 2 − (− 3) = 5
Die eerste verskil is konstant, dus is die getalpatroon lineêr.
Stel d = 5 in T n = dn + c: T n = 5n + c
Om c te bepaal gebruik ons een van die terme wat gegee word, byvoorbeeld:
T 2 = − 3, waar n = 2.
T 2 = 5(2) + c
− 3 = 10 + c
c = 13
Stel c = 13 in die oorspronklike vergelyking: T n = 5n 13
Hersieningsvoorbeeld 2: Gebruik die algemene term van ’n lineêre getalpatroon
Die algemene term van ’n sekere getalpatroon is T n = 1 2 n + 3.
a) Bepaal die eerste drie terme van die getalpatroon.
b) Watter term van die getalpatroon is 40?
Oplossings
a)
T n = 1 2 n + 3
Stel n = 1, n = 2 en n = 3 in die gegewe formule:
1 = 1 2 (1) + 3 = 3 1 2
2 = 1 2 (2) + 3 = 4 T 3 = 1 2 (3) + 3 = 4 1 2
Die eerste drie terme is: 3 1 2 ; 4; 4 1 2
b) T n = 1 2 n + 3
Stel T n = 40 en los op vir n: 40 = 1 2 n + 3
1 2 n = 37
n = 2(37)
n = 74
Die 74ste term is dus 40.
Hersieningsvoorbeeld 3: Bepaal die getal terme in ’n lineêre getalpatroon
Die lineêre getalpatroon 13; 4; 5; … ; 113 word gegee. Bepaal die getal terme in die patroon.
Sample
Oplossing
Bepaal eers die algemene term. Die eerste verskil is T 2 T 1 = 4 13.
d = − 9
T n = dn + c
T n = − 9n + c
Stel een van die terme in. Ons gaan die eerste term, T 1 = 13, gebruik.
13 = 9(1) + c
c = 13 + 9
c = 22
Die algemene term is T n = − 9n+ 22.
Stel T n = 113 in en los op vir n:
− 113 = − 9n+ 22
9n = 22 + 113
9n = 135 n = 135 9 = 15
Die 15de term is 113.
Kwadratiese getalpatrone
In ’n kwadratiese getalpatroon is die algemene term: T n = a n 2 + bn + c
Tweede verskil = 2a
Eerste van die eerste verskille = 3a + b
Eerste term = a + b + c
Hersieningsvoorbeeld 4:
Bepaal die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon
Bepaal die algemene term van die kwadratiese getalpatroon 15; 8; 2; 15; …
Oplossing
Bepaal die eerste en tweede verskil tussen terme van die kwadratiese getalpatroon:
Oplossing
Stel n = 40 in en bepaal die waarde van T 40:
T 40 = 3 (40) 2 + 3(40) 12 = 4 908
Hersieningsvoorbeeld 6:
verskil: 2a = 3 ∴
Eerste van die eerste verskille: 7 = 3a + b 7 = 3( 3 2 ) + b ∴ b = 5 2
Eerste term: 15 = a + b + c 15 = 3 2 + 5 2 + c ∴ c = 19
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term:
T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T n = 3 2 n 2 + 5 2 n 19.
Hersieningsvoorbeeld 5:
Bepaal die waarde van ’n term as die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon gegee word
Bepaal die waarde van die 40ste term van ’n kwadratiese getalpatroon met algemene term T n = 3n 2 + 3n 12.
Bepaal die termnommer as die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon gegee word
Watter term van die kwadratiese patroon met algemene term
T n = 5 n 2 − 79n − 16 sal gelyk wees aan 404?
Oplossing
Stel T n = 404 in en los op vir n: 5 n 2 79n 16 = 404
5 n 2 79n 16 404 = 0 5 n 2 79n 420 = 0
n = ( 79) ± √ ( 79) 2 4(5)( 420) 2(5) = 79 ±√ 14 641 10 = 20 OF n = –4,2 (n.v.t.)
ONTHOU
n kan net ’n natuurlike getal wees, daarom verwerp ons alle ander oplossings. Sample
∴ = 20
Die 20ste term is dus 404.
Hersieningsvoorbeeld 7:
Bepaal die volgende term van ’n kwadratiese getalpatroon
Skryf die volgende term van hierdie kwadratiese getalpatroon neer: 16; 13; 8; 1; …
Oplossing
Bepaal die eerste en tweede verskil tussen die terme van die patroon en brei die patroon uit:
Hersieningsoefening
1. Bepaal die algemene term van die volgende getalpatrone:
1.1 33; 55; 77 1.2 30; 50; 130
1.3 7 1 4 ; 1 1 4 ; 4 3 4
Die tweede verskil is 2. Dit help ons om die ontbrekende term te kry, want die patroon van eerste verskille bepaal dat die volgende eerste verskil 7 + 2 = 9 is.
Die volgende term in die patroon is dus 1 + 9 = 8.
Hersieningsvoorbeeld 8:
Bepaal ’n onbekende term van ’n kwadratiese getalpatroon
3; 12; k; 48; … is ’n kwadratiese getalpatroon. Bepaal die waarde van k.
Oplossing
Stel ’n diagram op en dui die verskille aan:
Die tweede verskille is gelyk, dus is k − 21 = 60 − 2k.
Los op vir k:
3k = 81 k = 27
2. Die algemene term van ’n getalpatroon is T n = 1 5 n + 2.
2.1 Bepaal die eerste drie terme van die getalpatroon.
2.2 Watter term van die getalpatroon is 2?
3. Die lineêre getalpatroon 17; 36; 55; … ; 473 word gegee.
Bepaal die getal terme in die patroon.
4. Bestudeer die getalpatrone hier onder en doen die volgende vir elk:
• Bepaal of die ry lineêr of kwadraties is.
• Bepaal die formule vir die algemene term.
• Gebruik die formule vir die algemene term om die volgende drie terme in die ry te bereken.
• Bereken die 100ste term.
4.1 5; 1; 3
4.2 1; 4; 9; 16; 25
4.3 2; 5; 16; 31
5. Die kwadratiese getalpatroon 2; 3; 5; 8 word gegee.
5.1 Skryf die volgende term neer.
5.2 Bepaal die algemene term.
Sample
6. Die kwadratiese getalpatroon 17; 12; 11; 14 word gegee.
6.1 Bepaal die algemene term.
6.2 Bepaal die 30ste term.
6.3 Watter term van die patroon is gelyk aan 182?
7. Gee die eerste drie terme van die kwadratiese getalpatroon met die algemene term T n = 1 4 n 2 5n + 13.
8. Die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon is T n = 13 n 2 5n + 6.
Bepaal die tweede verskil van die patroon.
9. 1; 4; x; 22; … is ’n kwadratiese getalpatroon. Bepaal die waarde van x.
10. ’n Kwadratiese getalpatroon se algemene term is T n = 3 (n 14) 2 + 8 .
Wat is die waarde van die kleinste term van die patroon en watter term het hierdie waarde?
Oplossings
1.1 55 33 = 22; 77 55 = 22
Lineêre getalpatroon met d = 22
T n = dn + c
T n = 22n + c
T 1 = 33 = 22(1) + c
c = 33 22 = 11
T n = 22n + 11
1.2 50 ( 30) = 80; 130 50 = 80
Lineêre getalpatroon met d = 80
T n = dn + c
T n = 80n + c
T 2 = 50 = 80(2) + c
c = 50 160 = 110
T n = 80n − 110 1.3 1 1 4 ( 7 1 4 ) = 6
4 3 4 ( 1
Lineêre getalpatroon met d = 6 T n = dn+ c
n = 6n+ c
1 = 7 1 4 = 6(1) + c c = 13 1 4
n = 6n − 13 1 4
= 20
Die 20ste term is 2.
3. 36 − 17 = 19; 55 − 36 = 19
Sample
Lineêre getalpatroon met d = 19
T n = dn + c
T 1 = 17 = 19(1) + c
c = 2
T n = 19n 2
473 = 19n 2
19n = 475
n = 475 19 = 25
Daar is 25 terme in die patroon.
4.1 T 2 T 1 = 1 ( 5) = 4
T 3 − T 2 = 3 − (− 1) = 4
Die eerste verskille is gelyk; dus is die getalpatroon lineêr en d = 4.
Formule vir die algemene term:
T n = dn+ c
T n = 4n+ c
Stel n = 1 in vir die eerste term:
T 1 = 4(1) + c = − 5
Los op vir c:
c = 5 4
c = 9
T n = 4n − 9
Stel n = 4; 5; 6 in vir die vierde, vyfde en sesde term:
T 4 = 4(4) 9 = 7
T 5 = 4(5) 9 = 11
T 6 = 4(6) 9 = 15
Stel n = 100 in om die 100ste term te bepaal: T n = 4n 9
3 5 7 9 11
T n = a n 2 + bn + c
Gebruik die tweede verskil:
2a = 2
∴ a = 1
Sample
2 2 2 2
Die tweede verskille is konstant. Die ry is kwadraties.
Gebruik die eerste van die eerste verskille:
3a + b = 3 ∴ 3(1) + b = 3
∴ b = 0
Gebruik die eerste term: T 1 = 1
Die volgende drie terme is: T 6; T 7; T 8 = 36; 49; 64
T 100 = 100 2 = 10 000
Eerste verskille 7 11 15 Tweede verskille 4 4
Die tweede verskille is konstant. Die ry is kwadraties.
T n = a n 2 + bn + c
Gebruik die tweede verskil:
2a = 4
∴ a = 2
Gebruik die eerste van die eerste verskille:
3a + b = 7
∴ 3(2) + b = 7
∴ b = 1
Gebruik die eerste term: T 1 = 2
a + b + c = − 2
∴ 2 + 1 + c = 2
∴ c = 5
∴ T n = 2n 2 + n 5
Die volgende drie terme is: T 5; T 6; T 7 = 50; 73; 100
T 100 = 2 (100) 2 + 100 5
= 20 000 + 100 − 5 = 20 095
5.1 Bepaal die eerste en tweede verskille tussen die terme van die patroon en brei die patroon uit:
Sample
Die tweede verskil is 1. Brei die patroon uit: 3 + 1 = 4; dus is 8 + 4 = 12.
Die volgende term in die patroon is 12.
5.2 Beskou die diagram van verskille: 2 1 1 Eerste verskil: Tweede verskil: 2 1 3 3
Tweede verskil: 2a = 1 ∴ a = 1 2
Eerste van die eerste verskille: 1 = 3a + b 1 = 3( 1 2 ) + b 1 3 2 = b ∴ b = 1 2
Eerste term: 2 = a + b + c 2 = 1 2 1 2 + c
∴ c = 2
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term: T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T n = 1 2 n 2 1 2 n + 2.
6.1 Bepaal die eerste en tweede verskille tussen die terme van die patroon: 17 –5 4
Eerste verskil: Tweede verskil: –1 4 3 12 11 14
Tweede verskil: 2a = 4 ∴ a = 2
Eerste van die eerste verskille: 5 = 3a + b
5 = 3a + b
5 = 3(2) + b ∴ b = 11
6.2
Eerste term: 17 = a + b + c
17 = 2 11 + c
∴ c = 26
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term:
T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T n = 2 n 2 11n + 26.
Stel n = 30 in en bepaal die waarde van T 30:
T 30 = 2 (30) 2 11(30) + 26 = 1 496
6.3
Stel T n = 182 in en los op vir n:
2 n 2 11n + 26 = 182
2 n 2 11n + 26 182 = 0
2 n 2 11n 156 = 0
n = ( 11) ± √ ( 11) 2 4(2)( 156) 2(2)
n = 11 ± √ 1 369 4
n = 12 of 6,5 (n.v.t.)
∴ n = 12
Die 12de term is dus 182.
7. Stel n = 1, n = 2 en n = 3 in:
T 1 = 1 4 (1) 2 5(1) + 13 = 8 1 4
T 2 = 1 4 (2) 2 5(2) + 13 = 4
T 3 = 1 4 (3) 2 5(3) + 13 = 1 4
8. a = 13; b = 5; c = 6
Tweede verskil = 2a = 2(13) = 26
9. Stel ’n diagram van verskille op.
Sample
Die tweede verskille is gelyk; dus is x 7 = 26 2x.
Los op vir x:
3x = 33 x = 11
10. Die minimum waarde van T n = 3 (n 14) 2 + 8 kom voor wanneer
n = 14. (Pas die kwadratiese teorie toe: draaipunt van ’n parabool.)
Minimum waarde = T 14 = 8
1. REKENKUNDIGE RYE
(RR)
’n Ry is ’n ander naam vir ’n getalpatroon. In vroeër grade het jy met lineêre getalpatrone gewerk, waar daar ’n konstante verskil tussen opeenvolgende terme is. Voorbeelde is:
1; 3; 5; 7; … (die verskil is 2 en die algemene term is T n = 2n − 1)
3; 1; 5; 9; … (die verskil is 4 en die algemene term is T n = 4n + 7)
Van nou af gaan ons die naam rekenkundige rye vir lineêre getalpatrone gebruik. Die formule vir die nde term lyk anders, maar is eintlik ekwivalent aan die een wat ons vantevore gebruik het.
ONTHOU
Formule vir die algemene term van ’n rekenkundige ry (RR)
Stel a = die eerste term en d = die gemene verskil.
Ons kan dus die ry soos volg skryf:
a; a + d; (a + d) + d; (a + d + d) + d; …
= a; a + d; a + 2d; a + 3d; …
Dit is duidelik dat elke term in die ry die vorm a + ? d het, met ’n veranderende koëffisiënt van d. Die waarde van die koëffisiënt van d is een minder as die posisie van die term in die ry. Vir die derde term is die koëffisiënt van d byvoorbeeld 2, wat een minder as 3 is.
Vir die nde term sal die koëffisiënt van d dus een minder as n wees, met ander woorde n 1. Ons kan aflei dat die nde term (ook bekend as die algemene term) van ’n rekenkundige ry gegee word deur:
T n = a + (n 1)d, waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
Die toets vir ’n rekenkundige ry is: Die verskil tussen enige twee pare opeenvolgende terme moet dieselfde wees. ∴ T 3 T 2 = T 2 T 1
Uitgewerkte voorbeeld 1: Bepaal of ’n ry rekenkundig is
Bepaal of die volgende ry rekenkundig is: 12; 6; 0; 6; …
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
3 − T 2 = 0 − 6 = − 6
2 T 1 = 6 12 = 6
T 3 T 2 = T 2 T 1
Die ry is dus rekenkundig.
Uitgewerkte voorbeeld 2:
Bepaal ’n term as die termnommer gegee word
Sample
Bepaal die 100ste term van ’n ry met die algemene term T n = 6 5n.
Oplossing
= 494
Uitgewerkte voorbeeld 3:
Bepaal die algemene term van ’n rekenkundige ry as die eerste paar terme gegee word
Bepaal die algemene term van die ry 7; 2; 3; 8; … .
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry: T 3 − T 2 = −
Die ry is dus rekenkundig met d = − 5.
T n = a + (n 1)d
T n = 7 + (n 1)( 5) = 7 5n + 5
∴ T n = 5n + 12
Let op: In vroeër grade het ons die formule T n = dn + c vir die algemene term gebruik. As ons daardie formule hier gebruik, sal ons die volgende kry:
d = 5
∴ T n = 5n + c
7 = 5(1) + c Die eerste term is 7; stel dus T n = 7 en n = 1 in
c = 12
Dus is T n = 5n + 12, wat presies dieselfde is as wanneer die formule
T n = a + (n − 1)d gebruik word.
Uitgewerkte voorbeeld 4:
Bepaal ’n termnommer as die term gegee word
Die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry is 1; 6; 13.
Watter term van die ry sal 83 wees?
Oplossing
Bepaal die algemene term.
d = T 2 T 1
d = 6 ( 1) = 7
T n = a + (n − 1)d
∴ T n = a + (n − 1)7
83 = − 1 + (n − 1)7 Stel T n = 83, a = 1 en d = 7 in en los dan vir n op
7(n 1) = 84
n 1 = 12
n = 13
83 is dus die 13de term.
Uitgewerkte voorbeeld 5:
Bepaal ’n termnommer met opeenvolgende terme gegee
Die derde, vierde en vyfde term van ’n ry is 7t; t; 5t.
Watter term van die ry sal 53t wees?
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
Die ry is dus rekenkundig met d = 6t.
3 = 7t T n = a + (n 1)d
T 3 = a + (3 − 1)(6t) = − 7t Stel die derde term in die formule vir die algemene term a = 7t 12t = 19t Los op vir a
Daar is dus tien terme in die ry. Sample
∴ T n = 19t + (n 1)6t Skryf die algemene term neer
12 n = 13
53t is dus die 13de term.
Uitgewerkte voorbeeld 6: Bepaal die getal terme in ’n eindige ry
Bepaal die getal terme in die volgende ry: 20; 15; 10; … ; 25
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 20, d = − 5 en T n = − 25.
∴ T n = a + (n 1)d
∴ 25 = 20 + (n 1)( 5)
∴ 25 = 20 5n + 5
∴ 50 = 5n
∴ n = 10
T 10 = 25
Uitgewerkte voorbeeld 7:
Bepaal x as drie opeenvolgende terme van ’n reken kundige ry in terme van x gegee word
6; 2x + 1; 8x + 4 is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van x.
Oplossing
Vir ’n rekenkundige ry is T 3 −
(8x + 4) − (2x + 1) = (2x + 1) − (6)
Los op vir x:
8x + 4 2x 1 = 2x + 1 6
6x + 3 = 2x 5
4x = 8 x = 2
Uitgewerkte voorbeeld 8:
Bepaal die waarde van ’n ander term as drie opeenvolgende terme van ’n rekenkundige ry in terme van x gegee word
4 3x; x 16; 2x 15; … is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van die tiende term.
Oplossing
Bepaal eers die waarde van x: T 3 − T 2 = T 2 − T 1
(2x 15) (x 16) = (x 16) (4 3x)
2x 15 x + 16 = x 16 4 + 3x 21 = 3x x = 7
Bepaal die algemene term: Stel x = 7 in. Die ry is:
4 3(7); (7) 16; 2(7) 15
= − 17; − 9; − 1
∴ a = 17
Sample
d = − 9 − (− 17) = 8
T n = a + (n 1)d
T n = 17 + (n 1)(8)
T n = 25 + 8n
Stel n = 10 in:
T 10 = 25 + 8(10)
T 10 = 55
Uitgewerkte voorbeeld 9:
Bepaal ’n rekenkundige ry as twee terme gegee word
Bereken die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry as dit gegee word dat
T 10 = 34 en T 50 = 194.
Oplossing
T 10 = 34
∴ 34 = a + 9d ①
T 50 = 194
∴ 194 = a + 49d ②
Vanuit ①: 34 = a + 9d
∴ a = 34 9d
Stel in ②:
∴ 194 = (34 − 9d) + 49d
∴ 194 34 = 40d
∴ 160 = 40d
∴ d = 4
Tema 1: Patrone, rye en reekse
Stel in ①:
∴ 34 = a + 9(4)
∴ a = − 2
Eerste drie terme:
T 1 = 2
T 2 = 2
T 3 = 6
Uitgewerkte voorbeeld 10: Ongelykhede in rekenkundige rye
Watter term in die ry 8; 13; 18; … sal die eerste term wees wat groter is as 300?
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
T 2 T 1 = 13 8 = 5 en T 3 T 2 = 18 13 = 5
∴ T 2 − T 1 = T 3 − T 2
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 8, d = 5 en T n > 300.
∴ T n = a + (n 1)d
∴ a + (n 1)d > 300
∴ 8 + (n − 1)(5) > 300
∴ 8 + 5n 5 > 300
∴ 5n + 3 > 300
∴ 5n > 297
∴ n > 59,4
Maar n is ’n natuurlike getal.
Die 60ste term sal dus groter as 300 wees.
Opsomming
• In ’n rekenkundige ry is daar ’n konstante eerste verskil (d) tussen opeenvolgende terme.
• ’n Ry is ’n rekenkundige ry as T 3 − T 2 = T 2 − T 1. Oor die algemeen is d = T n T n 1 vir alle n ∈ ℕ.
Sample
• Die standaardvorm van ’n rekenkundige ry is:
a; a + d; a + 2d; a + 3d; …
• Die algemene term van ’n rekenkundige ry is:
T n = a + (n 1)d, waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
Oefening 1: Rekenkundige rye
1. Bepaal of die volgende rye rekenkundig is of nie. As ’n ry rekenkundig is, bepaal die gemene verskil, d.
1.1 20; 40; 80; 160; … 1.2 3 4; 1 4; 1 4; 3 4 1.3 √ 2 ; √ 8 ; √ 18 ; √ 32 ; … 1.4 6p − 3; 4p; 2p + 3; 6; …
2. Bepaal die algemene term van elk van die volgende rekenkundige rye: 2.1 368; 223; 78; …
2.2 − 17; − 8; 1; … 2.3 3π 2 ; 4π 3 ; 7π 6 ; … 2.4 7t 4; 5t 1; 3t + 2; …
3. Bereken die 15de term van die volgende ry: 7; 3; 1; 5; … .
4. Bewys dat p = 20 in die volgende ry: p; 10; 0; 10; … .
5. As t 2; 2t 6; 4t 8 die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry is, bereken die waarde van t.
6. Die derde term van ’n rekenkundige ry is 4 en die sewende term is 20. Bereken die eerste drie terme van die ry.
7. Watter term van die ry − 5a; − 8a; − 11a; … sal − 32a wees?
8. Die vierde, sesde en agtste term van ’n rekenkundige ry is p 4, 8p + 3 en 10p 5. Watter term sal ’n waarde van 70 hê?
9. Bepaal die getal terme in die ry 19; 8; 35; … ; 197.
10. 5 − 7x; x − 14; 3x − 15; … is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van die 12de term.
11. Bepaal die laaste term in die ry 15; 93; 171; … wat kleiner is as 2 000.
12. Die 100ste term van ’n rekenkundige ry is 35 meer as die 90ste term.
13. Die agtste term van ’n rekenkundige ry is vyf keer die derde term en 16 meer as die tiende term. Bepaal die eerste drie terme van die ry.
2. MEETKUNDIGE RYE (MR)
As elke nuwe term van ’n ry gevorm word deur dit met dieselfde hoeveelheid te vermenigvuldig, noem ons daardie ry ’n meetkundige ry. Die hoeveelheid waarmee elke term vermenigvuldig word, word die gemene verhouding genoem. Daar is dus ’n konstante verhouding (r) tussen opeenvolgende terme.
Voorbeelde: 1; 2; 4; 8; … r = 2 8; 4; 2; 1; … r = 1 2 3; 6; 12; 24; … r = 2
ONTHOU
Formule vir die algemene term van ’n meetkundige ry (MR)
Stel a = die eerste term en r = die gemene verhouding.
Sample
Let op: r, die konstante verhouding, kan bepaal word deur enige term deur die vorige term te deel. Voorbeeld: In 1; 2; 4; 8; … is r = 2 1 = 4 2 = 8 4 , ens.
Ons kan dus die ry skryf as: a; a × r;
Elke term in die ry het die vorm a r ?, met ’n veranderende eksponent van r.
Die waarde van die eksponent van r is een minder as die posisie van die term in die ry. Vir die derde term is die eksponent van r byvoorbeeld 2, wat een minder is as 3. Vir die nde term sal die eksponent van r dus een minder as n wees, met ander woorde n 1.
Ons kan aflei dat die nde term van ’n meetkundige ry (ook bekend as die algemene term) gegee word deur:
T n = a r n 1, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding.
Die toets vir ’n meetkundige ry is: Die verhouding tussen enige twee pare opeenvolgende terme moet dieselfde wees.
Uitgewerkte voorbeeld 11: Bepaal of ’n ry meetkundig is
Bepaal of die volgende ry meetkundig is: 1 1 2 ; 3 5 ; 6 25 ; 12 125 ; … .
Oplossing
Die ry is dus meetkundig.
1/2
Uitgewerkte voorbeeld 12:
Bepaal die algemene term van ’n meetkundige ry
Bepaal die algemene term van die volgende meetkundige ry: 3; 1 1 2 ; 3 4 ; … .
Oplossing
Eerste term = a = 3
Gemene verhouding =
Stel r = − 1 2 in die formule vir die algemene term: T n = a r n 1 T n = ( 3) ( 1 2 ) n 1
Uitgewerkte voorbeeld 13:
Bepaal ’n term as die termnommer van ’n meetkundige ry gegee word
Bepaal die agtste term van die ry 9; 3; 1; … .
Oplossing
Toets vir ’n meetkundige ry:
Uitgewerkte voorbeeld 14:
Bepaal ’n termnommer as die term gegee word
Die eerste drie terme van ’n meetkundige ry is
Watter term van die ry sal 4 27 wees?
Oplossing
Dit is dus ’n meetkundige ry met
Skryf albei kante met dieselfde grondtal ∴ n 1 = 4 Die grondtalle aan albei kante van die vergelyking is gelyk, dus is die eksponente gelyk n = 5
27 is dus die vyfde term.
Uitgewerkte voorbeeld 15:
Bepaal x en die gemene verhouding as opeenvolgende terme van ’n meetkundige ry in terme van x gegee word
Die vierde, vyfde en sesde term van ’n MR word gegee as x + 4; x + 2; 2x + 1.
Bereken moontlike waardes vir die eerste term sowel as die gemene verhouding.
Oplossing
Dit is ’n meetkundige ry. Gegee ∴ T 5 T 4 = T 6 T 5
x + 2 x + 4 = 2x + 1 x + 2 ∴ (x + 2) 2 = (2x + 1)(x + 4)
∴ x 2 + 4x + 4 = 2 x 2 + 9x + 4
0 = x 2 + 5x
0 = x(x + 5)
x = 0 of x = 5
As x = 0, is die ry: T 4; T 5; T 6 = x + 4; x + 2; 2x + 1
= 4; 2; 1
Dit is ’n meetkundige ry met T 4 = 4 en r = 2 4 = 1 2 .
Uitgewerkte voorbeeld 16:
Bepaal die getal terme in ’n eindige meetkundige ry
∴ a = 32
As x = 5, is die ry: T 4; T 5; T 6
= x + 4; x + 2; 2x + 1
= 1; 3; 9
Dit is ’n meetkundige ry met T 4 = 1 en r = 3 1 = 3.
Sample
Moontlike waardes vir die eerste term is dus: a = 32 OF a =
Moontlike waardes vir die konstante verhouding is dus: r = 1 2 OF r = 3
Bepaal die getal terme in die volgende meetkundige ry:
Oplossing
n
∴ n 1 = 7
Die grondtalle is gelyk; dus is die eksponente gelyk n = 8
Daar is dus agt terme in die ry.
LET OP
In uitgewerkte voorbeeld 16 was die grondtalle gelyk. As die grondtalle nie gelyk is nie, gebruik ons logaritmes (of logs) om eksponensiële vergelykings op te los. In tema 3 gaan jy meer oor logs leer.
Logs word in uitgewerkte voorbeeld 17 gebruik om ’n eksponensiële ongelykheid op te los. Ons stel voor dat jy voorlopig net op die oplossing se werkswyse konsentreer en dan na uitgewerkte voorbeeld 17 terugkeer wanneer tema 3 afgehandel is. Dieselfde raad geld vir ander uitgewerke voorbeelde en oefeninge in tema 1 waar logs gebruik word.
Uitgewerkte voorbeeld 17: Ongelykhede in meetkundige rye
Bereken die eerste term wat kleiner is as 0,001 in die ry 10; 5; 2,5; … .
Oplossing
Toets vir ’n meetkundige ry:
Dit is ’n meetkundige ry met a = 10 en r = 1 2
T n < 0,001
T n = a r n 1
∴ a r n 1 < 0,001 Let op: Moenie 0,001 < a r n 1 skryf nie.
∴ 10 ( 1 2 ) n 1 < 0,001 ∴ 2 n + 1 < 0,0001 ÷10
∴ ( n + 1)log2 < log0,0001 Neem logs aan albei kante – kyk tema 3
∴ n + 1 < 13,287... Deel albei kante deur log 2 en vereenvoudig – kyk tema 3
∴ − n < − 14,287...
∴ n > 14,287... ÷( 1)
Maar n is ’n natuurlike getal.
Die 15de term sal dus kleiner as 0,001 wees.
Uitgewerkte voorbeeld 18: Bepaal twee onbekendes in ’n meetkundige ry as twee feite gegee word
Die vierde term van ’n meetkundige ry is 6 en die sesde term is 3 2 . Bereken die eerste term en die gemene verhouding as die gemene verhouding negatief is.
Oplossing
Deel ② deur ① om a te elimineer:
T n = a r n 1, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding. Sample
Gegee: Die gemene verhouding is negatief
Stel in ①:
= 6( 8) a = 48
Opsomming
• ’n Meetkundige ry het ’n konstante verhouding (r) tussen opeenvolgende terme.
• ’n Ry is ’n meetkundige ry as, en slegs as, T 3 T 2 = T 2 T 1 .
Oor die algemeen is T n T n 1 = r vir alle n ∈ ℕ.
• Die standaardvorm van ’n meetkundige ry is: a; ar; a r 2; a r 3; …
• Die algemene term van ’n meetkundige ry is:
Oefening 2: Meetkundige rye
1. Bepaal of die volgende rye meetkundig is of nie. As ’n ry meetkundig is, bepaal die gemene verhouding, r.
1.1 2; − 4; 6; − 8; … 1.2 2; 4; 8; 16; …
2. Bepaal die algemene term van die volgende meetkundige rye:
2.1 6; 12; 24; …
2.2 48; − 24; 12; …
2.3 7; 7 2 ; 7 4 ; …
3. Bereken die tiende term in die volgende ry: 2; 8; 32; … .
4. Watter term in die ry 0,5; 2; 8; … is gelyk aan 512?
5. Bepaal die getal terme in die volgende ry: √ 3 ; 3; 3 √ 3 ; … ; 81
6. Die vyfde, sesde en sewende term van ’n meetkundige ry lyk soos volg: x − 3, x + 1 en 4x − 2. Bepaal die waarde(s) van x.
7. Die vierde, vyfde en sesde terme van ’n meetkundige ry lyk soos volg: x 4, x + 2 en 3x + 1. Bereken twee moontlike waardes vir die eerste term.
8. Die algemene term van ’n meetkundige ry is T n = 5 . 3 n 4 .
8.1 Bereken die eerste drie terme.
8.2 Watter term het ’n waarde van 10 935?
11. Die vierde term van ’n meetkundige ry is 3 4 en die sewende term is 81 32 . Bepaal die eerste drie terme van die ry.
12. Die derde term van ’n meetkundige ry is 18 en die sesde term is 2 3 . Bereken die eerste term en die gemene verhouding as die gemene verhouding positief is.
Sample
9. Watter term in die ry 27; 9; 3; … sal net kleiner as 0,102 wees?
10. Vir watter waardes van x en y sal 3 5 ; x; y; − 25 243 ; … ’n meetkundige ry vorm?
Selfevaluering
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Jy is nie gemaklik met die onderwerp nie. Jy het hulp nodig.
2. Help! Jy is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Jy is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Jy is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Jy is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi die tabel:
Jy kan die verskil tussen terme in ’n gegewe ry bepaal.
Jy kan bepaal of ’n gegewe ry rekenkundig is of nie.
Jy kan die algemene term [T n = a + (n 1)d] van ’n rekenkundige ry bepaal.
Jy kan die algemene term van ’n rekenkundige ry gebruik om die waarde van ’n term [T n] te bereken.
Jy kan die algemene term van ’n rekenkundige ry gebruik om ’n termnommer [n] te bereken.
Jy kan die algemene term van ’n rekenkundige ry gebruik om die getal terme in ’n eindige ry te bereken.
Onderwerp 1 2 3 4 5
Jy kan die algemene term van ’n rekenkundige ry gebruik om algemene probleme oor rekenkundige rye op te los.
Jy kan die algemene term van ’n rekenkundige ry gebruik om probleme met ongelykhede op te los.
Jy kan die verhouding tussen terme in ’n gegewe ry bepaal.
Jy kan bepaal of ’n gegewe ry meetkundig is of nie.
Jy kan die algemene term [T n = a r n 1] van ’n meetkundige ry bepaal.
Jy kan die algemene term van ’n meetkundige ry gebruik om die waarde van ’n term [T n] te bereken.
Jy kan die algemene term van ’n meetkundige ry gebruik om ’n termnommer [n] te bereken.
Jy kan die algemene term van ’n meetkundige ry gebruik om die getal terme in ’n eindige ry te bereken.
Jy kan die algemene term van ’n meetkundige ry gebruik om algemene probleme oor meetkundige rye op te los.
Jy kan die algemene term van ’n meetkundige ry gebruik om probleme met ongelykhede op te los.
3. REEKSE
’n Reeks is die som van die terme in ’n ry. Ons kan ook sê: Wanneer ons die terme van ’n ry optel, word ’n reeks gevorm.
Voorbeelde:
3.1 Rekenkundige reekse
Afleiding van ’n formule vir som tot n terme van ’n rekenkundige reeks
Let op: Jy moet hierdie afleiding vir eksamendoeleindes ken.
Sample
2; 4; 6; ... is ’n rekenkundige ry, maar 2 + 4 + 6 + ... is ’n rekenkundige reeks.
1; 2; 4; 8; ... is ’n meetkundige ry, maar 1 + 2 + 4 + 8 + ... is ’n meetkundige reeks.
van n terme te kry
] ① Pas formule vir algemene term toe S n = [a + (n 1)d] + [a + (n 2)d] + (a + d) + a ② Skryf som agterstevoor neer
Tel ① en ② bymekaar:
2 S n = [2a + (n 1)d + 2a + (n – 1)d+ 2a + (n 1)d + 2a + (n 1)d
2 S n = n[2a + (n 1)d] Daar is n identiese terme
S n = n 2 [2a + (n 1)d] Deel deur 2
• a + [a + (n 1)d] = 2a + (n 1)d
• (a + d) + [a + (n 2)d] = a + d + a + nd 2d = 2a + nd d = 2a + (n − 1)d
As die pare terme uit ① en ② opgetel word, kry ons identiese uitdrukkings wat elk gelyk is aan 2a + (n − 1)d.
Hier is ’n alternatiewe vorm van die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks: Kombineer die formule hierbo met T n = a + (n 1)d:
S n = n 2 [a+ a + (n 1)d], waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
S n = n 2 [a+ L], waar L = die laaste term. Omdat ons n terme optel, is die nde term die laaste term
Opsomming
Die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks word gegee deur:
• S n = n 2 [2a + (n 1)d], waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
• S n = n 2 [a + L], waar a = die eerste term en L = die laaste term.
Uitgewerkte voorbeeld 19:
Bepaal die som van ’n rekenkundige reeks tot ’n gegewe getal terme
Bepaal die som van die rekenkundige reeks 30 + 24 + 18 + … tot 90 terme.
Oplossing
a = 30; d = 24 30 = 6; n = 90
S n = n 2 [2a + (n 1)d]
∴ S 90 = 90 2 [2(30) + (90 1)( 6)] Stel die waardes van a, d en n in
= 45[60 89 × 6]
= 21 330
Uitgewerkte voorbeeld 20
Bepaal die som van ’n rekenkundige reeks as die laaste term gegee word
Bepaal die som van die veelvoude van 7 tot en met 560.
Oplossing
Som van die veelvoude van 7: 7 + 14 + 21+ … + 560
a = 7; d = 7; L = 560
Bepaal eers die getal terme wat opgetel word deur T n te gebruik:
T n = a + (n 1)d
∴ 560 = 7 + (n 1)(7)
7n = 560
n = 80
Jy moet dus 80 terme optel. Stel n = 80 in die formule vir die som tot n terme:
S n = n 2 [a + L]
∴ S 80 = 80 2 [7 + 560]
= 40 × 567
Sample
= 22 680
Uitgewerkte voorbeeld 21:
Bepaal die getal terme in ’n rekenkundige reeks
Bepaal die aantal terme in die reeks 200 + 186 + 172 + 158 + ... = 1 520.
Oplossing
a = 200; d = 186 200 = 172 186 = 14; S n = 1 520
S n = n 2 [2a + (n 1)d]
∴ 1 520 = n 2 [2(200) + (n 1)( 14)] Stel die waardes van S n, a en d in
1 520 = n 2 [400 − 14n + 14] Verwyder hakies en vereenvoudig
3 040 = 414n − 14 n 2 × 2, vereenvoudig en verwyder hakies
7 n 2 207n + 1 520 = 0 ÷2 en skryf kwadratiese vergelyking in die standaardvorm
x = b ± √ b 2 4ac 2a Gebruik die kwadratiese formule om vir n op te los
n = 207 ± √ ( 207) 2 4(7)(1 520) 2(7)
n = 16 OF n = 95 7 (n.v.t.; n ∈ ℕ)
Daar is 16 terme in die reeks.
– Handleiding 1/2
Uitgewerkte voorbeeld 22:
Bepaal twee onbekendes in ’n rekenkundige reeks
Die sesde term van ’n rekenkundige reeks is 5 en die som tot tien terme is 65. Bepaal die som tot 20 terme.
Oplossing
T 6 = 5
T n = a + (n 1)d ∴ a + 5d = 5
a = 5 − 5d ①
S 10 = 65
S n = n 2 [2a + (n 1)d]
∴ 10 2 [2a + (10 − 1)d] = 65
5[2a + 9d] = 65
2a + 9d = 13 ② ÷ 5
Stel ① in ②:
2(5 − 5d) + 9d = 13 10 10d + 9d = 13 d = 3
Stel in ①:
a = 5 5( 3) = 20
S 20 = 20 2 [2(20) + (19)( 3)] = 170
Tema 1: Patrone, rye en reekse
Uitgewerkte voorbeeld 23: Ongelykhede in rekenkundige reekse
Hoeveel terme in die reeks 7 + 10 + 13+ … moet opgetel word om ’n som groter as 205 te kry?
Sample
Oplossing
a = 7; d = 3
n 2 [2a + (n − 1)d] > 205
n 2 [2(7) + (n 1)3] > 205
n[14 + 3n 3] > 410 × 2
3 n 2 + 11n 410 > 0
(n 10)(3n + 41) > 0
n > 10 OF n < 41 3
11 terme moet dus opgetel word.
3.2 Meetkundige reekse
Afleiding van formule vir som tot n terme van ’n meetkundige reeks
Let op: Jy moet hierdie afleiding vir eksamendoeleindes ken.
S n = T 1 + T 2 + T 3 + ...+ T n 1 + T n Tel n terme op om die som van n terme te kry
∴ S n = a + ar + a r 2+ ... + a r n 2 + a r n 1 ① Pas die formule vir die algemene term toe rS n = ar + a r 2 + ... + a r n 2 + a r n 1 + a r n ② Maal vergelyking ① met r Trek ① van ② af:
r S n − S n = a r n − a Al die terme, behalwe die eerste term vanuit ① en die laaste term vanuit ②, sal uitkanselleer
S n (r 1) = a( r n 1) Haal die gemene faktore uit
S n = a( r n 1) r 1
Deel deur r 1
Let op: As ons ② van ① aftrek, kry ons:
S n r S n = a a r n
S n (1 r) = a(1 r n)
Haal die gemene faktore uit
S n = a(1 r n) 1 r Deel deur 1 r
Jy kan enigeen van hierdie twee formules gebruik wanneer jy met die som van ’n meetkundige reeks werk, maar:
S n = a( r n 1) r 1 is makliker om te gebruik wanneer r > 1, en
S n = a(1 r n) 1 r is makliker om te gebruik wanneer r < 1.
Let op: Wanneer r = 1, kan nie een van hierdie formules gebruik word nie, want die noemer (r 1 of 1 r) sal nul wees.
Voorbeeld: Hoewel 4 + 4 + 4 + 4 + ... ’n meetkundige reeks is waar r = 1, is die som tot n terme bloot n × 4, wat 4n is.
Opsomming
Die som tot n terme van ’n meetkundige reeks word gegee deur:
• S n = a( r n 1) r − 1 wanneer r > 1
• S n = a(1 r n) 1 r wanneer r < 1.
Uitgewerkte voorbeeld 24:
Bepaal die som van ’n meetkundige reeks tot ’n gegewe getal terme as r > 1
Bepaal die som van die meetkundige reeks 3 4 + 3 2 + 3 + ... tot tien terme.
Oplossing
a = 3 4 ; r = 2; n = 10
r > 1; dus gebruik ons die formule met r 1:
S n = a(r n 1) r 1
∴ S 10 = 3 4 ( 2 10 1) 2 1
Uitgewerkte voorbeeld 25:
Bepaal die som van ’n meetkundige reeks tot ’n gegewe getal terme as r < 1
Bepaal die som van die meetkundige reeks 128 + 64 + 32 + ... tot 15 terme.
Oplossing
a = 128; r = 64 128 = 0,5; n = 15
r < 1; dus gebruik ons die formule met 1 r:
S n = a(1 r n) 1 r
∴ S 15 = 128(1 0,5 15) 1 0,5 Stel a = 128, r = 0,5 en n = 15 in
= 255,99 (korrek tot twee desimale syfers)
Uitgewerkte voorbeeld 26:
Bepaal die eerste term van ’n meetkundige reeks
Bepaal die eerste term van ’n meetkundige reeks as die gemene verhouding 7 is en die som tot ses terme 98 040. Sample
Oplossing
r > 1; dus gebruik ons die formule met r 1:
S n = a(r n 1) r 1
Stel S 7 = 98 040, r = 7 en n = 6 in: 98 040 = a(7 6 1) 6 98 040 = 19 608a a = 98 040 19 608
a = 5
Die eerste term is 5.
Uitgewerkte voorbeeld 27:
Bepaal die getal terme in ’n meetkundige reeks
Hoeveel terme is in die reeks 729 + 486 + 324 + … = 6 305 3 ?
Oplossing
a = 729; r = 486 729 = 2 3 ; S n = 6 305 3 S n = a(1 r
) 8
n = 8
Alternatiewe metode: Gebruik logs. Kyk tema 3 vir ’n verduideliking
( 2 3 ) n = 256 6 561
n = log ( 2 3 ) 256 6 561
n = 8
Daar is dus 8 terme in die reeks.
Uitgewerkte voorbeeld 28: Bepaal twee onbekendes in ’n meetkundige reeks
Die eerste term van ’n meetkundige reeks is 32, die laaste term is 1 2 en die som van al die terme is 63 1 2 . Bepaal die konstante verhouding.
Oplossing
S n = a(1 r n) 1 r ②
Stel ① in ②: 32(1 r 64 ) 1 r = 63 1 2
3.3 Algemene reekse
Uitgewerkte voorbeeld 29:
Bepaal die som van enige reeks wanneer ’n formule vir die som gegee word
Dit is moontlik om die som van enige reeks te bepaal as ’n formule vir die som gegee word. Die som van die eerste n terme van ’n reeks is S n = − 2n 2 + n + 6.
Bepaal die som tot 100 terme.
Oplossing
S n = − 2n 2 + n + 6
∴ S 100 = 2(100) 2 + 100 + 6 = 19 894
ONTHOU
Dit is moontlik om ’n sekere term te bepaal as ’n formule vir die som van die reeks gegee word. Ons gebruik die volgende beginsel:
T n = S n S n 1
Ons kan dit met die volgende voorbeeld verduidelik: S 4 T 5
Beskou die reeks 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ ... S 5
Uitgewerkte voorbeeld 30:
Bepaal een van die terme van enige reeks as ’n formule vir die som gegee word
Die som van die eerste n terme van ’n reeks is S n = n 2 8n + 4.
a) Bepaal die som van die eerste 12 terme.
b) Bepaal die som van die eerste 11 terme.
c) Bepaal die 12de term.
Oplossings a)
15
Om die waarde van die nde term te bepaal as die formule vir die som van die reeks gegee word:
T n = S n S n 1
3.4 Sigmanotasie
S 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 en S 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Dus is T 5 = S 5 S 4 = 25 16 = 9. {
Die Griekse letter vir S, sigma of Σ, word gebruik om die som van ’n reeks aan te dui. Die natuurlike getal wat as die beginwaarde in die algemene term gebruik word, word onderaan die Σ geskryf.
Opeenvolgende natuurlike getalle word hierna in die algemene term gebruik totdat jy by die laaste getal kom, wat boaan die Σ geskryf word. Die algemene term van die reeks word regs van die sigma-teken geskryf. Sien byvoorbeeld:
Die waardes van k begin by 3 en eindig by 20. Die waardes van k is natuurlike getalle, met ander woorde k = 3; 4; 5; … ; 19; 20.
Om op te som:
Eindwaarde Algemene term
Beginwaarde
Let op: Wanneer daar meer as een term in die algemene term is, moet hakies in sigma-notasie gebruik word.
Voorbeeld:
Oor die algemeen:
Uitgewerkte voorbeeld 31:
Ontwikkel ’n reeks as sigmanotasie gebruik word
Skryf die volgende reeks in uitgebreide vorm:
Oplossing
Uitgewerkte voorbeeld 32:
Skryf ’n rekenkundige reeks in sigmanotasie
Skryf die volgende reeks tot die 100ste term in sigma-notasie: 5; 8; 11; 14; …
Oplossing
Sample
Bepaal die algemene term in terme van k. Dit is ’n rekenkundige reeks met a = 5 en d = 3.
Skryf in sigma-notasie:
(3k + 2)
Uitgewerkte voorbeeld 33:
Skryf ’n meetkundige reeks in sigmanotasie
Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 3; 6; 12; …
Oplossing
Bepaal die algemene term in terme van k. Dit is ’n meetkundige reeks met a = 3 en r = 2.
T k = a r k 1
T k = 3 . 2 k 1
Skryf in sigma-notasie:
3 . 2 k 1
= 1
Let op: Dit is ’n oneindige meetkundige reeks, met ander woorde die waarde van k is 1; 2; 3; ... Ons skryf dus die simbool ∞ boaan die Σ-simbool.
Uitgewerkte voorbeeld 34:
Skryf ’n kwadratiese reeks in sigma notasie
Skryf die kwadratiese reeks met algemene term T n = n 2 5n + 3 in sigmanotasie as die laaste term 53 is.
Oplossing
Bepaal die getal terme: T n = 53
n 2 5n + 3 = 53
n 2 5n 50 = 0
(n − 10)(n + 5) = 0
n = 10 OF n = 5 N.v.t., want n moet ’n natuurlike getal wees Skryf in sigma-notasie met n = 10:
10 (n 2 5n + 3)
∑ n = 1
Uitgewerkte voorbeeld 35:
Bepaal die som van ’n rekenkundige reeks wat in sigmanotasie gegee word
Bepaal die som van die volgende reeks: ∑i = 1 15 (3i + 8)
Oplossing
Ontwikkel eers die reeks: Stel i = 1; 2; 3; … ; 15:
∑i = 1 15 (3i + 8) = (3 × 1 + 8) + (3 × 2 + 8) + (3 × 3 + 8) + ... + (3 × 15 + 8) = 11 + 14 + 17 + ... + 53
Dit is ’n rekenkundige reeks met a = 11, d = 3, n = 15 en n = 15. Pas die formule vir die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks toe:
S n = n 2 (a + L)
S 15 = 15 2 (11 + 53)
S 15 = 480
Uitgewerkte voorbeeld 36:
Bepaal die som van ’n meetkundige reeks wat in sigmanotasie gegee word
Bereken n as: ∑ r = 1 n (6r 1) = 320 Sample
Bepaal die som van die volgende reeks:
i = 1 10 3( 2 i + 1)
Oplossing
Ontwikkel eers die reeks: Stel i = 1; 2; 3:
i = 1
(3 . 2 i + 1 ) = (3 × 2 2) + (3 × 2 3) + (3 × 2 4)+ … tot tien terme = 12 + 24 + 48+ … tot tien terme
Dit is ’n meetkundige reeks met a = 12, r = 2, n = 10 en n = 10.
Pas die formule vir die som tot n terme van ’n meetkundige reeks toe:
S n = a( r n 1) r − 1
∴ S 10 = 12( 2 10 1) 2 1 = 12 276
Uitgewerkte voorbeeld 37:
Bepaal die getal terme in ’n reeks wat in sigma notasie gegee word
Oplossing
r = 1 n (6r − 1) = 320
1 = 6(1) 1 = 5 T 2 = 6(2) − 1 = 11 Rekenkundige reeks met a = 5 en d = 6. T 3 = 6(3) 1 = 17
S n = n 2 (2a + (n 1)d)
320 = n 2 (2(5) + (n 1)(6))
0 = 6 n 2 + 4n − 640
= 4 ± √ 16 4(6)( 640) 2(6) = 4 ± √ 15 376 12 = 10 OF = 10,666...
Maar n is ’n natuurlike getal.
∴ n = 10
Dus tien terme.
Gegee:
Uitgewerkte voorbeeld 38:
Gebruik ’n gegewe reeks om ’n ander reeks te skryf
Skryf die volgende reeks in terme van t :
Oplossing
Werk met die nuwe reeks en manipuleer dit sodat dit soos die oorspronklike reeks lyk:
Uitgewerkte voorbeeld 39:
Bepaal die som van ’n reeks vanaf ’n ander term as die eerste term
Bepaal:
ONTHOU
Ons moet weet wat die waarde van n is, d.w.s. hoeveel terme in die reeks is. Tel die terme. Daar is 8 terme. Hoe kry ons hierdie getal uit die inligting wat gegee word? Kyk weer na die vraag. Die omvang vir k is van 5 tot 12.
Eindwaarde Beginwaarde
Hoe kan ons 5 en 12 gebruik om 8 te kry? 12 – 5 + 1 = 8
Oor die algemeen is die getal terme = die eindwaarde die beginwaarde + 1
Dit is ’n meetkundige ry met a = 3 . 2 4; , r = 2; n = 8 . S n = a( r n 1) r − 1 S 8 = 3 2 4( 2 8 1) 8 1 = 48(255) 7 = 1 748,57 (korrek tot twee desimale syfers)
Opsomming
• Ons gebruik sigma-notasie om die som van ’n reeks voor te stel:
Eindwaarde Algemene term
Beginwaarde
Dit beteken dat k die natuurlike getalle 3; 4; 5; … ; 9; 10 is.
k = 3
( k 2 + 1) = [(3) 2 + 1] + [(4) 2 + 1] + [(5) 2 + 1]+ … + [(10) 2 + 1] = 10 + 17 + 26 + ... + 101
• Die getal terme = die eindwaarde die beginwaarde + 1
• Ander simbole as k kan ook gebruik word, byvoorbeeld i of r:
i + 3]
[2(1)
Oefening 3: Reekse
1. Bepaal die som van elk van die volgende rekenkundige reekse tot 30 terme: 1.1
3. Bepaal die getal terme in elk van die volgende reekse:
3.1 50 + 66 + 82 + ... = 410
3.2 3 4 3 2 + 3+ … = 4 095 4
2. Bepaal die som van elk van die volgende rekenkundige reekse: 2.1 3 + 10 + 17 + ... + 703 2.2
18. Bereken S n vir ∑i = 1 30 (4 3i) = Sample
4. Die som tot 18 terme van ’n rekenkundige reeks is 153. Die laaste term is 34. Bepaal die eerste term en die konstante verskil.
5. Die agtste term van ’n rekenkundige reeks is 1 en die vierde term is 7 . Bepaal die getal terme in hierdie reeks as die som 0 is.
6. Beskou die reeks 28 + 23 + 18 + … Gebruik ’n formule om die kleinste getal terme in die reeks te bepaal wat ’n som van minstens 82 sal gee.
7. Bepaal die som van die meetkundige reeks 120 + 600 + 3 000 + ... tot tien terme.
8. Bepaal die som van die meetkundige reeks 2 5 + 1 4 + 5 32 + ... tot sewe terme.
9. Bepaal die eerste term van ’n meetkundige reeks as die gemene verhouding 6 is en die som tot agt terme 111 974.
10. Hoeveel terme is daar in die reeks 48 + 24 + 12 + … = 93?
11. Die som van die eerste n terme van ’n reeks is S n = n 2 − 2n + 6. Bepaal die som tot 60 terme.
12. Die som van die eerste n terme van ’n reeks is S n = 2n 2 3n + 1. Bepaal die 15de term.
13. Skryf die eerste drie terme en laaste term van die reeks neer: ∑k = 3 99 k(k + 1)
14. Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 3 + 12 + 48 + …
15. Skryf die kwadratiese reeks met algemene term T n = 2 n 2 n + 3 in sigma-notasie as die laaste term 94 is.
16. Bepaal die som van die volgende reeks: ∑i = 1 30 (2i + 25)
17. Bepaal die som van die volgende reeks: ∑i = 1 8 4( 3 i 1)
19. Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 8 + 2 + 12 + …
20. Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 5 + 10 + 15 + …
21. Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 4 + 8 + 16 + …
22. Gegee: ∑i = 1 100 [6(2 1 i)] = b
23. Bereken n as: ∑k = 1 n (3k 5) = 423
24. Bepaal die som van al die veelvoude van 6 tussen 1 en 700.
25. Bereken: ∑k = 6 14 (30 4k)
Selfevaluering
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Jy is nie gemaklik met die onderwerp nie. Jy het hulp nodig.
2. Help! Jy is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Jy is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Jy is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Jy is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi die tabel:
Sample
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks gebruik om die som [S n ] te bereken:
S n = n 2 [2a + (n − 1)d] of S n = n 2 [a + L]S n .
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks gebruik om die getal terme [n] te bereken.
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks gebruik om algemene probleme oor rekenkundige reekse op te los.
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n meetkundige ry gebruik om die som [ S n] te bereken:
S n = a(1 − r n) 1 − r of S n = a(r n − 1) r − 1
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n meetkundige ry gebruik om die getal terme [n] te bereken.
Jy kan die formule vir die som tot n terme van ’n meetkundige reeks gebruik om algemene probleme oor meetkundige reekse op te los.
Jy kan sigma-notasie ∑ k = 1 n T k gebruik om die som van ’n reeks te bepaal.
Jy kan ’n gegewe reeks in sigma-notasie skryf: ∑k = 1 n T k
4.
ONEINDIGE MEETKUNDIGE REEKSE
Gebruik ’n sakrekenaar en deel 1 deur 9. Die antwoord is 1 9 = 0, 1 ˙ of 0,1111...
Dit kan geskryf word as ’n reeks: 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1 10 + 1 100 + 1 1 000 + …
Dit is ’n oneindige meetkundige reeks met a = 1 10 en r = 1 10 .
Hierdie reeks gaan vir ewig aan, maar het tóg ’n eindige antwoord, naamlik 1 9 .
’n Oneindige meetkundige reeks wat tóg ’n eindige waarde het, word ’n konvergente reeks genoem omdat dit al hoe nader aan ’n bepaalde waarde kom. Kyk na die diagram hier onder. Dit toon ’n vel papier. Skeur die papier in die helfte en sit een helfte, A, op die tafel neer. Skeur dan die oorblywende helfte weer in die helfte (dit gee twee kwarte van die oorspronklike vel) en sit een van hierdie kwarte, B, op die tafel neer. Gaan op hierdie manier voort met C, D, E, ensovoorts.
Sien jy dat die stukkies papier al hoe kleiner word, maar dat die hele oorspronklike vel papier uiteindelik op die tafel sal lê?
As ons al die stukkies papier bymekaarsit, sal ons die oorspronklike EEN vel papier kry.
In hierdie voorbeeld kyk ons na die volgende konvergente reeks: 1 2 + 1 4 + 1 8 + … = 1 ’n Meetkundige reeks met
Enige meetkundige reeks met 1 < r < 1 is konvergent.
ONTHOU
’n Formule vir die som van ’n oneindige konvergente meetkundige reeks (nie vir eksamendoeleindes nie)
Ons weet reeds dat S n = a(1 r n) 1 r wanneer 1 < r < 1.
Ons kan aanvaar dat wanneer n → ∞, sal r n → 0.
Ons kan sê: Namate n nader aan oneindigheid kom, sal r n nader aan nul kom as 1 < r < 1. Die formule word dan: S ∞ = a(1 − 0) 1 r ; dus is S ∞ = a 1 r .
’n Divergente reeks is ’n reeks wat nie ’n bepaalde waarde (wat ’n limiet genoem word) nader namate n nader aan oneindigheid kom nie. As r > 1 of r < −1, is die reeks divergent.
Voorbeeld: 1; 2; 4; … r = 2 (die terme raak al hoe groter) OF 2; 6; 18; 54; … r = 3 (die terme raak al hoe groter)
Uitgewerkte voorbeeld 40:
Bepaal die som van ’n konvergente reeks
Bepaal die waarde van die volgende:
al hoe kleiner.
Oplossing
3 1 1; 3 1 2; 3 1 3; … Ontwikkel die eerste paar terme deur 1, 2, 3, in die plek van x te stel = 1; 3 1; 3 2; …
Bepaal a en r: a = 1; r = 1 3
Uitgewerkte voorbeeld 41: Los op vir ’n onbekende in ’n konvergente reeks
Bepaal die moontlike waardes van x as die gegewe reeks konvergeer:
3 + 3(x − 1) + 3 (x − 1) 2+ …
Oplossing
Dit is ’n meetkundige reeks met a = 3 en r = x 1.
As die reeks konvergeer, is − 1 < r < 1.
1 < x 1 < 1 1 + 1 < x 1 + 1 < 1 + 1
0 < x < 2
Uitgewerkte voorbeeld 42: Bepaal r in ’n konvergente reeks
x
Uitgewerkte voorbeeld 43: Bepaal a in ’n konvergente reeks
Bepaal die waarde van a as die volgende gegee word: ∑
Oplossing
Ontwikkel die reeks: a . 5 0 + a . 5 1 + a . 5 2+ … = a + a 5 + a 25 + … Dit is ’n meetkundige reeks met a
Bepaal die waarde van p as die volgende gegee word:
Oplossing
Vergelyk T n = a r n 1 met T m = 7 (p) m 1 .
Stel die waardes van a en r
Oefening 4: Oneindige meetkundige reekse
1. Bepaal die waarde van die volgende: ∑ n = 1 ∞ 2 1 2n
2. Bereken die volgende: 81 + 27 + 9 + …
3. Bepaal waardes van x, indien enige, waarvoor die volgende reeks sal konvergeer: 1 3 + 1 3 (3x + 2) + 1 3 (x 1) 2+ …
4. Vir watter waardes van t sal elk van die volgende reekse divergent wees? 4.1 32t − 16 t 2 + 8 t 3 − … 4.2 27 t 8 − 9 t 7 + 3 t 6 …
5. Bepaal die waarde van b in elke geval hier onder: 5.1 ∑k = 1
6. Bepaal die waarde van c in elke geval hier onder:
7. Bepaal die waarde van m in elke geval hieronder:
5. TOEPASSINGS VAN REEKSE
Uitgewerkte voorbeeld 44:
Toepassing van reekse op beweging
’n Tennisbal word gegooi en daar word opgeteken hoe ver die bal elke keer hop nadat dit die grond getref het.
• Wanneer die bal 2 meter vanaf die gooier is, hop dit vir die eerste keer.
• Met elke daaropvolgende hop beweeg die bal 80% van die vorige hopafstand weg van die gooier.
Rond die antwoorde af tot twee desimale plekke.
a) Stel die bal se beweging gelyk aan ’n ry, waar elke hop ’n ander term is. Bereken die afstand wat tydens die agtste hop afgelê is deur ’n formule te gebruik.
Oplossings
a) Stel die bal se beweging gelyk aan ’n ry, waar elke hop ’n ander term is. Bereken die afstand wat tydens die agtste hop afgelê is deur ’n formule te gebruik.
Sample
b) Hoe ver is die bal vanaf die persoon wat dit gegooi het nadat dit die agtste keer gehop het?
c) Hoe ver is die bal vanaf gooier wanneer dit tot stilstand kom?
Begin Hop 1 Hop 2 Hop 3 ........
of 2 =1,6 meter 80% of 1,6
Ry: 2; 1,6; 1,28; …
Dit is ’n meetkundige ry met a = 2 en r = 0,8.
Hop 8 = T 8 T n = a r n 1
∴ T 8 = (2) (0,8) 8 1 = 0,4194304
≈ 0,42 m
b) Hoe ver is die bal vanaf die persoon wat dit gegooi het nadat dit die agtste keer gehop het?
Die totale afstand is:
S n = a(1 r n) 1 − r
∴ S 8 = 2(1 0,8 8) 1 0,8 = 8,32227... ≈ 8,32 m
c) Hoe ver is die bal vanaf die gooier wanneer dit tot stilstand kom?
r = 0,8
∴ 1 < r < 1
Dit is dus ’n konvergente reeks.
∴ S ∞ = a 1 r = 2 1 0,8 = 10 m
Tema 1: Patrone, rye en reekse
Uitgewerkte voorbeeld 45: Toepassing van reekse op vorms
’n Oneindige aantal sirkels (teoreties gesproke) word in ’n ry geplaas. Die eerste sirkel het ’n radius van 90 cm en die radius van elke opeenvolgende sirkel is 2 3 van dié van die vorige sirkel.
Uitgewerkte voorbeeld 46: Toepassing van reekse op geld
LET OP
Bereken die som van die oppervlaktes van al die sirkels korrek tot twee desimale.
Oplossing
vir ’n meetkundige reeks:
Sample
Ons beveel aan dat jy hierdie voorbeeld weer doen nadat jy van logs geleer het (tema 3).
Busi begin geld spaar. Sy spaar R500 in die eerste maand, en elke maand daarna spaar sy 5% meer as wat sy die vorige maand gespaar het.
a) Hoe lank sal dit Busi neem om ten minste R1 000 in ’n maand te spaar?
b) Hoe lank sal dit neem voordat Busi se totale spaargeld ten minste R2 000 is?
Oplossings
a)
500; 500 + 5 % van 500; … . = 500; 500(1 + 0,05); …
= 500; 500(1,05); 500 (1,05) 2; … Die spaargeld vorm ’n meetkundige ry met a = 500 en r = 1,05
Die algemene term is T n = 500 (1,05) n 1 .
500 (1,05) n 1 = 1 000
Stel T n = 1 000 1,05 n 1 = 2
log 1,05 2 = n 1 Kyk tema 3 vir ’n verduideliking van logs n 1 = 14,2
n = 15,2
Dit sal haar 16 maande neem om ten minste R1 000 in ’n maand te spaar.
b) S n = a( r n 1) r 1 2 000 = 500(1,05 n 1) 1,05 1
0,2 = 1,05 n − 1 1,05 n = 1,2
log 1,051,2 = n
n = 3,73
Dit sal vier maande neem voordat haar totale spaargeld R2 000 is.
Oefening 5: Toepassings van reekse
1. ’n Plant wat 90 cm hoog is, word in ’n tuin geplant. Aan die einde van die eerste jaar is die plant 120 cm hoog. Daarna groei die plant elke jaar een derde van die hoeveelheid wat dit in die vorige jaar gegroei het. Bewys dat die plant nooit hoër as 135 cm sal word nie.
2. Karen besluit om gereeld te begin oefen. In die eerste week oefen sy 40 minute lank. In die volgende week oefen sy 50 minute lank. Elke week oefen sy 25% langer as wat sy die vorige week geoefen het.
2.1 Hoe lank sal sy in die sesde week oefen?
2.2 Is daar enige limiet aan die tyd wat sy per week kan oefen? Verduidelik.
3. Mary begin spaar. Sy spaar R800 in die eerste maand, en elke maand daarna spaar sy 6% meer as wat sy die vorige maand gespaar het. Hoe lank sal dit haar neem om minstens R1 000 in ’n maand te spaar? Rond die antwoord af tot die naaste maand.
4. ’n Boor dring deur 8 mm in ’n rotsoppervlak in een minuut. In elke daaropvolgende minuut boor dit 4 5 van die afstand wat dit in die vorige minuut geboor het.
4.1 Hoe diep is die gat wat die boor ná ses minute gemaak het?
4.2 Hoe diep kan die boor die rots indring?
5. ’n Bal word vanaf ’n hoogte van 5 meter laat val. Dit spring herhaaldelik op tot driekwart van die hoogte wat dit met die vorige hop bereik het.
5.1 Ná hoeveel hoppe sal dit ’n hoogte van minder as een meter bereik?
5.2 Wat is die totale vertikale afstand wat die bal aflê?
Sample
6. Die diagram stel ’n oneindige patroon van driehoeke voor. Die driehoeke het gelyke basisse van 1 cm lank. Die hoogte van die eerste driehoek is 80 cm, die tweede het ’n hoogte van 60 cm, die derde het ’n hoogte van 45 cm ens.
Bereken die totale oppervlakte van al die driehoeke in die patroon.
7. ’n Bal word 10 meter in die lug opgegooi en toegelaat om te hop wanneer dit die grond bereik. Die hoogte wat die bal elke keer hop, is 25% van die hoogte wat dit met die vorige hop bereik het.
Wat is die totale afstand wat die bal beweeg totdat dit tot stilstand kom?
8. Ian kry aanvanklik jaarliks R720 as sakgeld. Ná die eerste jaar neem sy sakgeld met R60 per jaar toe. Sy uitgawes is R640 in die eerste jaar en neem met R40 per jaar toe. Gebruik ’n formule om te bepaal hoe lank dit hom sal neem om R600 te spaar. Ignoreer alle belasting en rente wat moontlik ontvang is.
9. Jan wil geld spaar. In die eerste maand spaar hy R300. Elke maand vermeerder hy die bedrag wat hy spaar met R80. Wat is die totale bedrag wat hy ná ’n jaar gespaar het?
10. Die diagram toon gekleurde reghoeke wat elk ’n breedte van 1 cm het. Hierdie reghoeke is teenaan mekaar geteken op ’n vel papier waarvan die afmetings 30 cm by 20 cm is. Elke opeenvolgende reghoek se hoogte is 80% van dié van die vorige reghoek.
30 cm 20 cm
10.1 Bereken die hoogte van die negende reghoek.
10.2 Bereken die persentasie van die vel papier wat gekleur sal wees as die patroon op hierdie manier voortgaan.
Selfevaluering
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Jy is nie gemaklik met die onderwerp nie. Jy het hulp nodig.
2. Help! Jy is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Jy is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Jy is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Jy is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.
Voltooi die tabel:
Jy kan die formule vir die som tot oneindig gebruik om die som van ’n konvergente reeks te bepaal:
S
Jy kan die formule vir die som tot oneindig gebruik om die waardes van r te bepaal waarvoor ’n reeks konvergeer of divergeer: S
Jy kan probleme oplos wat met die toepassing van reekse te doen het.
Opsomming van tema
Noudat ons die einde van hierdie tema bereik het, behoort jy vertroud te wees met die volgende:
1. rekenkundige rye
• ∑k = 1 n T k = T 1 + T 2 + T 3 + ... + T n Sample
• In ’n rekenkundige ry is daar konstante verskil tussen opeenvolgende terme.
• Algemene term: T n = a + (n − 1)d, waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
• Toets vir ’n rekenkundige ry: T 3 T 2 = T 2 T 1
2. meetkundige rye
• ’n Meetkundige ry het ’n konstante verhouding tussen opeenvolgende terme.
• Algemene term: T n = a r n − 1, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding.
• Toets vir ’n meetkundige ry: T 3 T 2 = T 2 T 1
3. reekse
• ’n Reeks word gevorm wanneer ons die terme van ’n ry optel.
• Die som tot n terme van ’n rekenkundige reeks:
◦ S n = n 2 [2a + (n 1)d], waar a = die eerste term en d = die gemene verskil, of
◦ S n = n 2 [a + L], waar a = die eerste term en L = die laaste term.
• Die som tot n terme van ’n meetkundige reeks, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding:
◦ S n = a(r n − 1) r − 1 vir r > 1
◦ S n = a(1 − r n) _______ 1 − r , vir r < 1
4. sigma-notasie:
• Σ is die Griekse letter S. Dit word gebruik om die som van ’n reeks aan te dui.
5. konvergente meetkundige reekse:
• ’n Reeks konvergeer tot a 1 r namate n oneindigheid nader.
• Die formule vir die som tot oneindig is S ∞ = a 1 r .
• ∑k = 1 ∞ a r n 1 = a 1 r
• ’n Reeks is konvergent as, en slegs as, 1 < r < 1 .
6. divergente meetkundige reekse:
• Die som konvergeer nie tot ’n spesifieke waarde (’n limiet) namate n oneindigheid nader nie.
• ’n Reeks is divergent as, en slegs as, r > 1 of r < 1.
Oefening om die tema af te sluit
1. Beskou die volgende kwadratiese ry: − 3; − 2; 0; 3; …
1.1 Skryf die volgende term van die ry neer.
1.2 Bepaal die nde term van die ry.
1.3 Bepaal die 30ste term van die ry.
2. Die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry is 3p − 4; 4p − 3; 7p − 6.
2.1 Bepaal die waarde van p.
2.2 Bepaal die eerste drie terme van die ry.
2.3 Bepaal die algemene formule vir die ry.
2.4 Bepaal die 16de term.
3. Bepaal in elke geval die waarde van x:
3.1 5 x; 6; 2 + 3x vorm ’n rekenkundige ry.
3.2 4; x 3; 9 vorm ’n meetkundige ry.
4. x + 1; x 1; x; … vorm ’n meetkundige ry.
4.1 Bereken die waarde van x.
4.2 Skryf die eerste drie terme van die ry neer.
Sample
4.3 Bepaal die formule vir die nde term van die ry.
4.4 Bereken die tiende term.
5. Die algemene term van ’n kwadratiese getallery is T n = a n 2 + bn + c en die eerste term is 10 . Die algemene term van die eerste verskille van die kwadratiese ry is t k = 2k 1.
5.1 Bepaal die volgende drie terme van die kwadratiese getallery.
5.2 Bewys dat die algemene term van die kwadratiese ry T n = n 2 − 2n + 11 is.
5.3 Watter term van die kwadratiese ry sal gelyk wees aan 1 166?
6. Watter term van die kwadratiese ry met algemene term T n = 1 2 n 2 n + 1 is gelyk aan 181?
7. 1; 5; b; 19; … is ’n kwadratiese getalpatroon. Bepaal die waarde van b.
8. Die diagram toon ’n patroon wat uit halfsirkels bestaan. Die eerste halfsirkel het ’n radius van 16 cm. Die radius van elke daaropvolgende halfsirkel is 3 4 van die vorige een se radius. Bepaal die totale lengte van die boë wat deur al die halfsirkels gevorm word.
9. Beskou die volgende ry: 16; 19; 22; …
9.1 Watter term is die eerste een wat groter is as 99?
9.2 Wat is die grootste getal terme waarvan die som kleiner as 1 000 sal wees?
10. Bepaal die waarde van y as: ∑i = 1 ∞ [6(3 1 i)] = 2y
100 [5(4 1 i)] = p
11. Gegee die volgende reeks: ∑i = 1
3.3 5; 5(x + 2); 5( x + 2) 2; … vorm ’n konvergente ry.
12. Die derde term van ’n rekenkundige ry is 9 en die som tot agt terme is 120. Bereken die 15de term.
13. Bereken die waarde van elk van die volgende reekse:
10
14. Die eindige rekenkundige ry 6; 2; 2; ...; 82; 86 word gegee.
14.1 Skryf die vyfde term ( T 5) van die ry neer.
14.2 Bereken die getal terme in die ry.
14.3 Bereken die som van al die negatiewe terme in die ry.
14.4 As die oorspronklike ry uitgebrei word tot 4 186, bepaal die getal terme in hierdie ry wat presies deelbaar sal wees deur 5.
15. Bepaal die waarde(s) van p as dit gegee word dat die volgende reeks konvergent is: 3(2p + 1) + 3 (2p + 1) 2 + 3 (2p + 1) 3+ ….
16. Die som tot n terme van ’n sekere reeks is S n = 2 n 2 n.
16.1 Bepaal S 1, S 2 en S 3.
16.2 Bepaal die eerste drie terme van die reeks.
16.3 Is die reeks rekenkundig of meetkundig?
17. Die derde term van ’n meetkundige ry is 18 en die sesde term is 2 3 . Bepaal die eerste twee terme van die ry.
Sample
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
