NIVELACIÓN MATEMÁTICA Manual del alumno
INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
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PRESENTACIÓN Estimado alumno: Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelación matemática para el alumno inacapino. Éste será el documento guía del módulo de nivelación correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas. En este módulo trabajaremos la resolución de problemas de manera transversal, desarrollaremos habilidades para el manejo algebraico y podrás utilizar la calculadora en toda ocasión. Además, en este módulo revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y procedimientos más importantes de la unidad. Al finalizar este módulo, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de problemas utilizando operatoria algebraica y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia metodológica de la solución de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y monitor de tu aprendizaje.
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ÁLGEBRA Este módulo contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias matemáticas relacionadas con operatoria algebraica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Materiales: Manual de nivelación para el alumno. Calculadora. Bibliografía. Tiempo: 10 horas pedagógicas.
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Clase 1 El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de codificación, valorización y reducción de términos semejantes explicando los pasos aplicados. Ejercicio resuelto Traduce los siguientes enunciados a lenguaje algebraico. 1. La suma entre dos números consecutivos. Para traducir el enunciado en lenguaje algebraico, debes identificar bien los datos involucrados: -
La operación es la SUMA ( + ) Debemos sumar dos números. Los números deben ser consecutivos.
Por lo tanto, al establecer que el primer número se llamará “x”, el segundo número queda determinado. OJO: el segundo número puede ser el antecesor de “x”, o el sucesor de “x”. Así, tenemos dos respuestas correctas: Respuesta 1: Utilizando “x” y su antecesor “x-1”. La suma de los dos números será x + (x - 1) Respuesta 2: Utilizando “x” y su sucesor “x+1” La suma de los dos números será x + (x + 1)
2. La diferencia entre los cuadrados de dos números cualesquiera. Para traducir el enunciado en lenguaje algebraico, debes identificar bien los datos involucrados: -
La operación es la RESTA (-). Debemos restar dos números. La resta se debe hacer sobre los cuadrados de esos números.
Supongamos que “x” es un número e “y” es otro número.
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Sus cuadrados serán “ x2 ” e “ y2 ”. Así la diferencia será “ x2 - y2 ”. Así, la respuesta es: Respuesta: x2 - y2
3. La base de un edificio mide ciertos metros de frente y su altura es el doble de la base, menos 5 metros. ¿Cuál es la expresión que determina la altura, en términos de la base? Para traducir el enunciado en lenguaje algebraico, debes identificar bien los datos involucrados: -
La base mide “ciertos” metros de largo. La altura es el doble de la base, menos 5 metros. Nos piden determinar la altura en términos de la base.
En este caso, si lo prefieres, puedes hacer una representación de la situación. -----------Altura------------------Base--------Si la base la denominamos- “x”, entonces, la altura debe ser: el doble de la base, menos 5 metros. Es decir, 2x – 5.
Respuesta: Si la base mide “x”. La altura mide “2x-5”.
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Ejercicio resuelto Resuelve el siguiente ejercicio, aplicando la valorización de expresiones algebraicas. Puedes utilizar tu calculadora. ¿Será verdadera la siguiente afirmación (a-b)2 = a2-b2? Para valorizar expresiones algebraicas, debemos escoger valores cualesquiera para “a” y para “b”. ¿Cómo sabemos cuáles son los mejores valores? En realidad, lo ideal es comenzar a buscar valores que sean fáciles de trabajar. Por ejemplo a=0, b=0. → (0-0)2=02-02 → 0 = 0 Pero esto no es suficiente para afirmar que la afirmación es verdadera SIEMPRE. Veamos otros valores: Por ejemplo a=1, b=0. → (1-0)2=12-02 → 1 = 1 ¿Será que la proposición es verdadera SIEMPRE? Veamos otro ejemplo, a=1, b=2. → (1-2)2=12-22 → (-1)2 = 1-2 →
1 = -1
Y esto último es FALSO. Por lo tanto, la afirmación no es correcta siempre. OBSERVACIÓN: Si este ejercicio lo resuelves con calculadora, debes tener en cuenta la prioridad para resolver las operaciones. Si tienes calculadora científica podrás ingresar los paréntesis inmediatamente.
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Ejercicio resuelto 1. Reduce la siguiente expresión algebraica.
Para reducir términos semejantes debes preocuparte de identificar aquellos que tengan igual parte literal. A continuación marcaremos con colores los términos que tengan igual término literal.
Ahora podemos reducir por partes:
Así, el resultado final será:
.
2. Reduce la siguiente expresión algebraica. (
)
(
)
Este tipo de ejercicios requiere de la eliminación de paréntesis antes de la reducción de términos semejantes. (
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
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Ejercicios propuestos grupales Codifica los siguientes enunciados en lenguaje algebraico. 1. El doble de un número es mayor o igual que el sucesor de otro número.
2. El doble de la edad de mi hermano es igual a la edad de mi papá, menos siete.
3. El valor de cada una de las cuotas que Gonzalo tuvo que pagar, si compró x cantidad de toallas, a $y cada una, en z número de cuotas.
Comprueba si las siguientes expresiones algebraicas son las respuestas de cada situación. Justifica tu respuesta. 1. Marcos tiene x pesos en su billetera y saca $12.500. Unos días después su abuela le da el doble del dinero que le quedaba en la billetera. ¿Cuánto dinero le ha dado la abuela? Respuesta: A Marcos su abuela le dio 2(x – 12.500) pesos.
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2. La base de un rectángulo mide x cm y su largo 5 cm más que el doble de la base. ¿Cuánto mide el largo? Respuesta: El largo del rectángulo mide x2 + 5 cm.
Valoriza las siguientes expresiones algebraicas. Para 1. (
)
2. (
(
3. (
) (
) )
)
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Reduce las siguientes expresiones algebraicas. 1. x + (x – 1) + 3x + 5(–x –1)
2. –p – q – (p – p2 – q2) – 2p – 6q + 3q2
3. 5(a + b) – 3a(b – a) + 5b(a – b)
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Problemas propuestos individuales:
Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto.
Codifica los siguientes enunciados a lenguaje algebraico. 1. Un número y su antecesor. Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
2. Un número más el cuadrado de su sucesor. 3. El cuadrado de un número, menos el cubo de otro número. 4. El doble, de la suma de dos números cuya diferencia es 5. (Expresa este enunciado, utilizando solo una variable).
Valoriza las siguientes expresiones algebraicas (puedes utilizar la calculadora): 1.
;
2. 3. (
)
4. (
)
con
.
con
.
con (
)
(
)
. .
Reduce las siguientes expresiones algebraicas. 1. 2. 3. 4.
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Clase 2 El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de productos notables y factorización de expresiones algebraicas explicando los pasos aplicados. Ejercicio resuelto Resuelve cada uno de los siguientes productos notables. 1. (
)(
)
1° Reconocer qué producto notable debemos aplicar. (
Recuerda: SUMA POR DIFERENCIA (a+b)(a-b)=(a2-b2)
)(
)
En este caso, es SUMA POR DIFERENCIA. 2° Aplicar el producto notable. En general, la resolución de una suma por diferencia es: (
) (
( )
) ( )
3° Podemos verificar que el producto notable está bien aplicado, realizando la multiplicación correspondiente. Sin embargo, perdemos un poco del tiempo ganado al aplicar el producto notable. 2. (
)
1° Reconocer qué producto notable debemos aplicar. Recuerda: BINOMIO AL CUADRADO
BINOMIO AL CUADRADO 2° Aplicar el producto notable. (
)
( )
(a+b)2 = a2+2ab+b2 3° Podemos verificar que el producto notable está bien aplicado, realizando la multiplicación correspondiente. Sin embargo, perdemos un poco del tiempo ganado al aplicar el producto notable.
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13 Factoriza las siguientes expresiones. 1. 1° Reconocer qué factorización puedes aplicar. SUMA DE CUBOS PERFECTOS 2° Aplicar la factorización.
Recuerda: SUMA DE CUBOS (a3+b3) = (a+b)(a2-ab+b2)
(
(
)
)((
)
(
( ) ( ) )
)(
)
3° Podemos verificar que la factorización está bien aplicada, realizando la multiplicación correspondiente.
2. 1° Reconocer qué factorización puedes aplicar. DIFERENCIA DE CUADRADOS Recuerda:
2° Aplicar la factorización.
DIFERENCIA DE CUADRADOS (a2-b2) = (a+b)(a-b)
( (
)
( )(
) )
3° Podemos verificar que la factorización está bien aplicada, realizando la multiplicación correspondiente.
Nivelaci贸n
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Ejercicios propuestos grupales Aplica productos notables para resolver los siguientes ejercicios. 1. (
)
2. (
3. (
)
)(
)
Nivelaci贸n
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Ejercicios propuestos grupales Aplica factorizaci贸n para resolver los siguientes ejercicios. 1.
2.
3.
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Problemas propuestos individuales:
Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto.
Resuelve las siguientes multiplicaciones aplicando productos notables. 1. ( Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
)
2. ( 3. (
) )(
4. ( 5. (
) )(
)
)
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. 1. 2. 3. (
)
4. 5. (
)
(
)
Desafíos. 1. 2. 3.
(
)
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Clase 3 El objetivo de esta clase es que puedas desarrollar operatoria algebraica, utilizando estrategias de productos notables, factorización y simplificación de expresiones algebraicas explicando los pasos aplicados. Al comienzo deberás realizar una evaluación individual con el objetivo de que puedas conocer tus fortalezas y debilidades en cuanto al tratamiento algebraico y puedas ir mejorando.
Ejercicios resueltos Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: 1. Para poder simplificar, debemos tener la expresión factorizada.
(
)
2.
Primero debemos factorizar, luego, simplificamos.
( (
)( )( ( (
) ) ) )
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Ejercicios propuestos grupales
Discutan, en grupos de tres personas, de qué manera podrían factorizar y simplificar las siguientes expresiones. Justifiquen su estrategia. 1.
2.
3.
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Ejercicios propuestos individuales:
Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. 1.
2.
3.
4.
5.
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Clase 4 El objetivo de esta clase es que puedas utilizar el planteamiento y la resolución de ecuaciones para resolver problemas, explicando los pasos aplicados. Te recordamos que para resolver un problema, debes aplicar los siguientes pasos. Pasos para resolver un problema:
1° Leer y comprender
• Leer el enunciado del problema. • Identificar datos y pregunta del problema.
• Proponer una estrategia de resolución. 2° Proponer y • Explicar la estrategia y justificarla.
En esta clase la estratega siempre será el planteamiento y la resolución de una ecuación.
• Resolver el problema aplicando procedimientos matemáticos. 3° Resolver y • Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta comprobar al problema
En la solución de la ecuación, deberás tener en cuenta la prioridad en la operatoria y la reducción de términos semejantes.
fundamentar
4° Comunicar
• Comunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.
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Ejercicio resuelto 1. En una peña folclórica, la señora María vendió 80 botellas de bebestibles. Vendió cada botella de gaseosa en $ 600 y cada botella de jugo, en $ 400, recaudando $ 39.200. ¿Cuántas botellas de gaseosa vendió? 1° Leer el enunciado, identificar datos y pregunta. María vendió 80 botellas de bebestibles. 1 gaseosa vale $600;
1 jugo vale $400
En total se recaudó $39.200. Hay de determinar la cantidad de gaseosas que se vendieron. 2° La estrategia será plantear y resolver una ecuación. Llamaremos: x: cantidad de botellas de gaseosas. x+y=80
y: cantidad de botellas de jugos. Por lo tanto, y=80-x.
3° Resolvemos: así, tenemos la siguiente ecuación: 600*x + 400*(80-x)=39.200 Valor recaudado al vender x cantidad de gaseosas a $600 c/u.
Total recaudado
Valor recaudado al vender 80-x cantidad de jugos a $400 c/u.
Para resolver aplicamos las propiedades de las operaciones: 600*x + 400*(80-x)=39.200 600x + 32.000 – 400x = 39.200 600x – 400x = 7.200 200x = 7.200 x=7.200/200 x=36 .
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22 Por consiguiente: y = 80-x = 80-36 = 44. 4° Comunicar sus resultados: Se vendieron 36 gaseosas y 44 jugos.
2. Una solución de azúcar si hizo al 10% y otra al 25% ¿Cuántos litros de cada una deben mezclarse para obtener 20 litros de solución al 16% de azúcar? 1° Leer el enunciado, identificar datos y pregunta.
Solución al 10% Solución al 25% Necesito 20 litros de solución al 16%.
Pregunta: ¿Cuántos litros de cada solución se necesitan? 2° La estrategia será plantear y resolver una ecuación. Llamaremos: x: cantidad de litros de la solución al 10% 20-x: cantidad de litros de la solución al 25% y formamos la siguiente ecuación. (
)
3° Resolvemos: ( (
) )
Por lo tanto, de la otra solución necesitaremos 8 litros. 4° Comunicar sus resultados: se deben mezclar 12 litros de solución al 10% y 8 litros de solución al 25%.
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Ejercicios propuestos grupales
Resuelvan los siguientes ejercicios, estableciendo claramente los pasos: 1° 2° 3° 4°
Identificar datos. Nombrar incógnita(s) y plantear ecuación. Resolver ecuación. Dar respuesta al problema.
1. Raúl puede intar una oficina en 6 horas. Su primo Julián puede hacerlo en 8 horas. ¿Cuánto tiempo demorarán en pintar la pieza si lo hacen juntos?
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Ejercicios propuestos grupales
2. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 218 metros de alambre. Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2.860 m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles.
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Ejercicios propuestos individuales:
Resuelve los siguientes ejercicios, estableciendo claramente los pasos: 1° 2° 3° 4°
Identificar datos. Nombrar incógnita(s) y plantear ecuación. Resolver ecuación. Dar respuesta al problema.
Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto.
1. Lucía compró estampillas de $120 y $175 cada una. Si compró 79 estampillas en total y gastó $11.515. ¿Cuántas estampillas de cada una compró?
2. Aldo tiene 3 años más que Aurora. Dentro de 2 años, la edad de Aldo será el doble de la edad que Aurora tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?
3. Raúl invirtió en dos cuentas un total de $560.000. En una ganó un 10% y en otra perdió un 4%. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta, si las pérdidas igualaron las ganancias?
4. El tiempo de una ingeniera consultora se cobra a $42.000 por hora y el de su asistente a $13.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $1.042.000 por cierto trabajo encomendado a estas personas. Si la asistente trabajó 4 horas más que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo destinó cada una en el trabajo?
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Clase 5 El objetivo de esta clase es que aclares tus últimas dudas y resuelvas el taller de evaluación de manera grupal. Aquí, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntárselas a tu profesor.
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