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Calcular el término enésimo y suma de los primeros términos
Ejercicio 16 8 4 2 , , , , 81 27 9 3
Dada la sucesión con términos:
. . .
Obtener: i. ii. iii.
El término general o enésimo. ¿Cuál es el valor del término a13? Obtener la suma de los primeros 9 términos.
Desarrollo: i) Lo primero es determinar si la sucesión corresponde a algún tipo de progresión, por ende, se comenzará analizando si existe una razón constante entre términos consecutivos, lo que se asocia a una progresión geométrica. Luego: a2 a1
=
8 27 16 81
3
=2 ;
a3 a2
=
4 9 8 27
3
=2 ;
a4 a3
=
2 3 4 9
3
=2
3 2
En este caso se puede apreciar que existe una razón constante la cual es: r = , por ende esta sucesión corresponde a una P.G. Además se tiene el primer término el cual es: a1 =
16 81
Como se tiene el valor del primer término de la P.G., y ademas su razón asociada, se puede obtener el término enésimo o fórmula general de esta progresión, reemplazando los valores en la fórmula correspondiente, de esta forma:
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2
Se reemplaza: 16
a1 = 81 y
3
r = 2 en la fórmula
obteniendo: an =
16 3 n−1 ∙( ) 81 2
Este término enésimo permite obtener el valor de cualquier término de la P.G. en forma directa, sólo basta con reemplazar el valor de “n”, el cual indica el término que se quiera obtener.
ii) Como se tiene el término enésimo o general, se puede obtener el valor de a13 en forma inmediata, reemplazando n = 13 , es decir: a13 =
16 3 13−1 ∙( ) 81 2
=
16 81
3 12 2
∙( )
=
6561 . 256
iii) Para obtener la suma de los nueve primeros términos, es necesario tener algunos valores como requisito. Si se observa la fórmula, estos datos son: n, a1 y r, los cuales ya se tienen, por ende basta sólo reemplazarlos en la fórmula de la suma de los “n” primeros términos de la P.G, es decir: s n = a1 ∙
rn −1 r−1
3 9
→ s9 =
16 (2) −1 ∙ 3 81 −1 2
=
16 19171 ∙ 81 256
=
19171 1296
De esta forma: s9 =
19171 1296
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