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Aplicar propiedades y fĂłrmulas en cĂĄlculo de elementos desconocidos (PG)
Ejercicio: El tercer tĂŠrmino de P.G. es 144 y el sexto tĂŠrmino es 1152. Hallar la suma de los ocho primeros tĂŠrminos de la progresiĂłn.
Desarrollo: Como en el ejercicio se pide la suma de los ocho primeros tĂŠrminos, es conveniente utilizar la fĂłrmula asociada a la suma de una P.G., por ende hay que obtener a1 y r . Por lo tanto, se comienza a utilizar la informaciĂłn que proviene del enunciado, es decir, se tiene: a3 = 144 a6 = 1152
De esta manera, utilizando la fĂłrmula del tĂŠrmino enĂŠsimo de P.G se obtiene:
a 3 = a1 ∙ r 2 →
144 = a1 ∙ r 2
a 6 = a1 ∙ r 5 →
1152 = a1 ∙ r 5 →
→
144 đ?‘&#x;2
= a1
a esta igualdad se denominarĂĄ (1)
1152 đ?‘&#x;5
= a1
a esta igualdad se denominarĂĄ (2)
De las igualdades (1) y (2) se obtiene: a1 =
144 đ?‘&#x;2
y a1 =
1152 đ?‘&#x;5
→
144 đ?‘&#x;2
=
1152 đ?‘&#x;5
→ 144 ∙ r 5 = 1152 ∙ r 2 →
đ?‘&#x;5 đ?‘&#x;2
=
1152 144
Luego: r3 = 8 → r = 2
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De esta manera se obtiene el valor de la razĂłn (r=2), pero ademĂĄs se necesita el valor del primer tĂŠrmino de la progresiĂłn ( a1 ), el cual se obtiene reemplazando el valor de r=2 en la igualdad (1) o (2), en cualquiera de ellas al reemplazar se obtendrĂĄ el valor del primer tĂŠrmino, pero es importante verificar cuĂĄl de las dos es mĂĄs conveniente utilizar, en este caso es mĂĄs cĂłmodo reemplazar en la igualdad (1), ya que tiene un exponente menor y un valor nĂşmerico menor, de esta forma se tiene: 144 đ?‘&#x;2
= a1 →
144 (2)2
= a1 → a1 = 72
Ya que se tienen los valores mencionados anteriormente, se puede utilizar la fĂłrmula de la suma de los primeros “nâ€? tĂŠrminos de una P.G. de esta manera: s n = a1 ∙
rn −1 r−1
→ s8 = 72 ∙
28 −1 8−1
=
18.360 7
Por lo tanto: s8 =
18.360 7
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