NIVELACIÓN MATEMÁTICA Manual del alumno
INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
Nivelación
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PRESENTACIÓN
Estimado alumno: Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelación matemática para el alumno inacapino. Éste será el documento guía del módulo de nivelación correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas. En este módulo trabajaremos la resolución de problemas de manera transversal, desarrollaremos habilidades para el manejo algebraico y podrás utilizar la calculadora en toda ocasión. Además, en este módulo revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y procedimientos más importantes de la unidad. Al finalizar este módulo, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de problemas utilizando operatoria algebraica y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia metodológica de la solución de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y monitor de tu aprendizaje.
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FUNCIONES Este módulo contribuye a que puedas: Representar funciones lineales y cuadráticas en forma tabular, gráfica y analítica, describiendo sus características generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Aplicar métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas, cuyos modelos correspondan a funciones afines y cuadráticas. Materiales: Manual de nivelación para el alumno. Calculadora. Bibliografía. Tiempo: 10 horas pedagógicas.
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Clase 1 El objetivo de esta clase es que identifiques funciones expresadas de forma analítica, tabular o gráfica, a partir del análisis de su dominio, recorrido y la aplicación de la regla de la recta vertical. 1. Mencione las coordenadas de los puntos alfabetizados
Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema? Hay 12 puntos, a los cuales debemos determinar sus coordenadas.
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
Tomaremos cada uno de los puntos, en orden alfabético para no perdernos. Luego, determinaremos sus coordenadas, siguiendo la línea punteada que nos lleva al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
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5 3° Paso: Resolver y comprobar.
En el Eje Y (ordenadas) entre el tercer y cuarto cuadrante está el punto H Su coordenada es: H = (0,-2) En el primer cuadrante, hay dos puntos, A y G. Sus coordenadas son: A = (4,3) G = (1,2) En el segundo cuadrante encontramos nuevamente dos puntos, D y F. Sus coordenadas son: D = (-2,4) F = (-3,1) En el tercer cuadrante hayamos tres puntos, aquellos son B, I, J. Las coordenas respectivas: B = (-5,-1) I = (-2, -1) J = (-3, -4) Finalmente en el cuarto cuadrante hay ubicados tres puntos, E,K L. las coordenadas son: E = (5,-3) K = (3, -1) L = (2,-3)] 4° Paso: Comunicar. Como ya hemos ordenado cada par de coordenadas, podemos exponerlos en forma alfabética. A = (4,3) B = (-5,-1) C = 0, -6) D = (-2,4) E = (5,-3) F = (-3,1) G = (1,2) H = (0,-2) I = (-2, -1) J = (-3, -4) K = (3, -1) L = (2,-3). Finalmente hayamos 12 puntos en este plano cartesiano
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6 Problema propuesto grupal:
1. El director de
una escuela especializada en combate analiza la
matricula de sus estudiantes. En la decada del 90 al momento de fundar la escuela, inició con 400 luchadores. Desde entonces, el número de inscritos y matriculados fue aumentado en 50 por año hasta el día de hoy. Cómo quedaría la función que denote el número de alumnos desde que se fundó la escuela. Utilizar la función para determinar el número de ingresos en un
tiempo de 15 años.
Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
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3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.
4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu profesor(a) cuál es la respuesta al problema.
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Problemas propuestos individuales:
Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
El docente deberá entregar los resultados de los ejercicios a los alumnos, de acuerdo a cómo se vaya realizando la clase.
Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has aprendido y entrenado en esta clase. Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto. 1. Determine si los siguientes gráficos corresponden a una función:
a.
b.
c.
d.
2. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son funciones y por qué?
3. Un conductor de autos de carrera, está en su periodo de entrenamiento recorriendo una velocidad de 500 kilómetros por hora, siendo esta una función de tiempo recorriendo. Si k representa la distancia en kilómetros y t es el tiempo en horas, la función sería: 4. Los propulsores de un avión ayudan a viajar a una velocidad de 293 m/segundo. Cuál es la distancia que recorre en s segundos: 5. Puedes determinar la función que representa la siguiente tabla, que muestra el número de cerezas que sacas de un árbol cada cinco minutos.
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Clase 2 El objetivo de esta clase es que grafiques funciones a partir una tabla de valores, analizando dominio y recorrido de definición de la función. Ejercicio resuelto
1. Reconocer dominio y recorrido de la siguiente recta y = 2x + 3. Construya la tabla de valores asociada a ella. Construiremos una tabla de valores para graficar la función, con esto, podremos determinar el dominio y recorrido de la misma. No es necesario graficar para dar respuesta a este problema, pero es aconsejable representar a situación. La tabla que podemos realizar calculando los valores de x Tabla de valores de la función x 1 0 -1 y 5 3 1 Por lo tanto, el gráfico queda:
t
Así vemos, que el dominio y el recorrido de la función son todos los reales.
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Ejercicio propuesto grupal
1. Considérese la función f(x) =
+ 1. Encontrar su dominio y Graficar.
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2. Si John es repartidor de volantes publicitarios y por cada hora que está entregando, gana 10 dólares. Cómo quedaría el gráfico de ingreso que tiene John. Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
.
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12 3° Paso: Resolver y comprobar.
4° Paso: Comunicar. .
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Ejercicios propuestos individuales
1. Una función cuadrática de la forma g(x) = a + bx + 1; esta función toma el valor 7 para x = −6 y para x = 1. Determina esta función. 2. Si estos son el conjunto de puntos que recorre una función, determine el dominio y recorrido. K(x) = {(2,3);(5,7);(1,8);(4,3)} 3. Mencione cuál el dominio y recorrido del siguiente gráfico:
Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
El docente deberá entregar los resultados de los ejercicios a los alumnos, de acuerdo a cómo se vaya realizando la clase.
4. Mencione cuál el dominio y recorrido del siguiente gráfico:
5. .h(x) = 2x – 1 ¿Existen valores que al remplazar en x no tengan imagen?
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Clase 3 El objetivo de esta clase es que describir ceros, continuidad y monotonía de funciones, comunicando sus resultados de manera efectiva. Ejercicio resuelto 1. Determine los ceros de la función J(x) = x^2 + 3x – 10
Los ceros de una función se definen como los x para los cuales el valor de la función se hace 0 Por lo tanto, aplicaremos esta definición para poder determinarlos. J(x) = (x + 5)(x – 2) Sabemos que el producto anterior es cero. Por ende, las raíces de esta función serán x = 5 y x = -2
En este caso, la gráfica atraviesa el eje x dos veces.
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Ejercicios propuestos grupales
Determine si el grafico de la función es continuo y monótono. Explique sus palabras.
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Ejercicios propuestos individuales:
Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto. Hallar cero, monotonía y continuidad 1. Para la función f(x) =
, verifique intervalos de monotonía.
Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
El docente deberá entregar los resultados de los ejercicios a los alumnos, de acuerdo a cómo se vaya realizando la clase.
2. Para la función ( ) , donde su domino en los reales es [ [. Determine ceros, en qué intervalo la función es continua y su monotonía.
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17 3. Con la función ( ) , con su domino en los reales, verifique si es monótona decreciente en el intervalo [ ] (de no serlo, ]. qué monotonía tiene) y si es creciente en el intervalo [
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Clase 5 El objetivo de esta clase es que aclares tus últimas dudas y resuelvas el taller de evaluación de manera grupal. Aquí, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntárselas a tu profesor.
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