Sobre...
O Curso Matemática Divertida: Jogos, desafios e proposições propõe recursos educacionais que abordam os conteúdos de matemática de forma variada. Nesta dinâmica, serão realizadas atividades que favoreçam a interação social, buscando o desenvolvimento de habilidades a partir de situações concretas manipuláveis, de sorte que os estudantes possam usar suas experimentações, tentativas, acertos e erros, para além da realização das atividades, construírem seus conceitos e estratégias muito necessário para uma inserção segura neste mundo cada vez mais dinâmico e exigente.
Sumário Aula 1: Introdução .......................................................................................................... 5 Aulas 2 e 3 – Torre de Hanói .......................................................................................... 5 Aula 4 – Generalização .................................................................................................. 8 Aulas 5 e 6 – Tangram ................................................................................................... 9 Aulas 7 a 9 – Aplicações do Tangram na Matemática .................................................. 11 Aula 10 - Sudoku .......................................................................................................... 13 Aulas 11 e 12 – Praticando .......................................................................................... 15 Aulas 13 e 14 – Cubo Rubik (Cubo Mágico) ................................................................. 16 Aulas 15 a 19 – Montando o Cubo de Rubik ................................................................ 21 Aula 20 – Variações do Jogo ........................................................................................ 30 Corrida Matemática Kids.................................................................................................31 Sobe e Desce da Matemática.........................................................................................31 Editorial...........................................................................................................................32 Referências .................................................................................................................. 32
toda e qualquer atividade em que exista a
Aula 1: Introdução A intelectualidade humana precisa ser desenvolvida, treinada e aprimorada a cada instante, a descoberta de afinidades, bem como a construção de habilidades, são importantes para se alcançar objetivos e, os quais juntamente com outras características individuais, deverão indicar o lugar que este
figura
do
jogador
(como
indivíduo
praticante) e regras que podem ser para ambiente restrito ou livre. De forma geral, um jogo apresenta uma quantidade mínima de regras, as quais regem os princípios de funcionamento da atividade, como início, dinâmica e término.
ocupará e, de que maneira irá intervir nos
Assim, quando foi pensado a temática sobre
desafios e como agirá para resolvê-los.
o uso de jogos, como construção de
Neste contexto, o indivíduo precisa de situações desafiadoras que permitam a construção de conceitos, validação de hipóteses, construção e desconstrução de métodos. Uma estratégia em direção a este desenvolvimento é o uso de jogos como instrumento de desenvolvimento intelectual e motor. Nesta
desafios e proposições no ensino de matemática, ao mesmo tempo se propôs a quebra da herança histórica onde jogos são instrumentos exclusivamente para passar tempo, distrações e além disso, trazer esta temática para o campo da aprendizagem através da fundamentação e validação. A
perspectiva
a
inserção
destas
atividades em sala de aula surge como uma oportunidade de socializar os alunos, busca a cooperação mútua, a participação da equipe na busca incessante de elucidar o
estrutura
metodológica
será
basicamente a apresentação do conceito, fundamentação e validação das regras, desafios e soluções, buscando a construção de conjecturas e proposições por parte dos participantes e testes para comprovação destes.
problema desafiador. Neste curso, será abordado quatro
Aulas 2 e 3 – Torre de Hanói
elementos importantes para a saúde mental, uma vez que se propõe atividades que
Um
dos
jogos,
no
conceito
exigem o desenvolvimento de competências
matemático, mais popular é de fato a Torre
a partir dos desafios e proposições.
de Hanói, pois conceitualmente desenvolve
Quando se busca uma definição formal para jogo tem-se, segundo a Wikipédia (uma enciclopédia colaborativa e livre),
diversas
habilidades
e
possibilita
a
construção de padrões exponenciais.
jogo é 5
O jogo Torre de Hanói, consiste num
De forma mais simples, adotando
desafio de mover um grupo limitado de
este modelo como padrão para o jogo,
objetos, somente um por vez (em geral,
podemos descrever o como desafio do jogo:
planos
e
semelhantes)
de
tamanhos
distintos e organizados em forma de pilha, na ordem decrescente, em relação ao tamanho, de um local determinado a outro, utilizando um terceiro local predefinido, como auxiliar, de sorte que se mantenha sempre a ordem decrescente dos objetos em qualquer das situações apresentadas.
Passar todos os discos de um pino (pino inicial) para outro qualquer (pino de destino), movendo um de cada vez, usando o outro pino como auxiliar, de modo que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação e mantendo ao final o mesmo padrão, em relação a ordem decrescente,
que
foi
apresentado
inicialmente. Há um uso cada vez mais frequente do jogo Torre de Hanói como procedimento de avaliação da capacidade de memória, e principalmente de planejamento, tomada de decisão e solução de problemas. Também conhecida como Torres de Bramanismos ou Quebra Cabeças do fim do Modelos do quebra cabeça Torre de Hanói
mundo ou Torre de Lucas, a obra Torre de Hanói
É comum termos o jogo torre de
foi
publicada
em
1883
pelo
matemático francês Edouard Lucas.
Hanói, constituído por uma base com três pinos em linha no qual em um deles, existe
História das Torres de Hanói
uma pilha de discos organizados em ordem
Edouard Lucas criou o jogo, inspirado
decrescente de tamanho. Mas trata-se
por uma lenda Hindu que falava de um
apenas do modelo mais usual, talvez
templo em Bernares, cidade santa da Índia,
herança da lenda hindu que descreve o jogo
no qual existia uma torre sagrada do
como um desafio delegada por uma
bramanismo, cuja função era melhorar a
divindade a um grupo de monges.
disciplina mental dos monges jovens. A lenda dizia que, no início dos tempos, foi apresentado aos monges do
Modelo comercial da Torre de Hanói
templo uma pilha de 64 discos de ouro, 6
Atividade:
disco de cima fosse menor que o de baixo e
discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar, para isto, haviam duas restrições, uma dela limitava que só poderia ser movimentado um disco por vez e, a outra que nunca deveria ser colocado um disco maior sobre um menor em nenhum dos movimentos realizados. Os monges deveriam trabalhar com a maior eficiência sem parar e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.
Expresse um padrão em relação ao caso anterior
monges foi transferir a torre, formada pelos
Torres de Hanói, preencha a tabela abaixo: Quantidade de movimentos acrescentados
sem discos. A missão recebida pelos
De acordo com as regras do jogo
Número de peças
duas outras hastes idênticas a primeira, mas
Quantidade de movimentos realizados
dispostos em uma haste, de forma que cada
1 2 3 4 5 6 7
Geometricamente, ao construir a
Esta não é a única lenda associada
sequência
do
número
mínimo
de
movimentos em relação a quantidade de
ao jogo, no entanto é a mais difundida.
discos, percebe-se que esta sequência ou
Regras do Jogo
gráfico O objetivo deste jogo consiste em deslocar todos os discos da haste onde se
representa
um
padrão
muito
característico e de grande relevância dentro do estudo da Matemática.
encontram, geralmente a haste da esquerda para uma haste diferente, usualmente a da direita, usando a haste entre elas apenas como auxilio e respeitando as seguintes regras: 1-
Deslocar um disco de cada vez, o
qual deverá ser o do topo de uma das três hastes; 2-
Cada
disco
nunca
poderá
ser
colocado sobre outro de diâmetro menor.
7
Tal padrão representa uma função do tipo exponencial ou mais especificamente,
dependa apenas de n e nĂŁo do nĂşmero Mn−1 obtido na jogada anterior. Assim, temos:
uma aplicação de progressão geomÊtrica.
Mn = 2¡Mn−1+1 Mn+1 = 2¡Mn−1+2
Uma vez que se percebe um padrĂŁo a
Mn+1 = 2¡ (Mn−1+1)
Matemåtica dispþe de mitologias as quais possibilitam a dedução de alguma fórmula que
prediga
o
nĂşmero
mĂnimo
Chamando (Mn+1) de An, o nĂşmero
de
movimentos para solucionar o jogo a partir
de movimento acrescentado em relação ao número de discos anteriores, temos:
do nĂşmero de discos na partida.
Aula 4 – Generalização
An = 2¡An−1 An = 2¡2¡An−2 = 22¡An−2
Com
base
nas
An = 22¡2¡An−3 = 23¡An−3
informaçþes
An =...=2n−1¡An−(n−1) = 2n−1¡A1
apresentadas na tabela pode-se construir atravÊs de um processo de substituiçþes
Como A1 = M1+1=2, temos An=2n−1¡2=2n
sucessivas e determinar um padrĂŁo para relacionar a quantidade de discos e nĂşmero
E como An = Mn+1 Mn+1=2n
mĂnimo de movimentos necessĂĄrios para se
Mn=2n−1
fazer a transferĂŞncia dos discos. Seja đ?‘› đ?œ– â„ľ, đ?‘› ≼ 1, o nĂşmero de discos
A
partir
de
alguns
resultados
na pino inicial e Mn a quantidade mĂnima de
encontrados
movimentos para n discos, e, com base no
mĂnimo de movimentos M= (1,3,7,15, 31...),
nĂşmero de acrĂŠscimos, obtemos
pode
Mn=Mn−1+1+Mn−1
a
apresentar
sequĂŞncia
um
do
padrĂŁo
NĂşmero
bastante
elementar e coerente com a regra obtida.
Mn =2¡Mn−1+1
Praticando com as Torres de HanĂłi
Assim, podemos descobrir o valor de Mn para qualquer n dado. No entanto, esta relação só terå sentido se conhecido o Mn-1. Expressão Geral
Agora que jĂĄ se pode verificar o nĂşmero mĂnimo de jogadas para um dado nĂşmero de discos, entĂŁo faça a comprovação, isto ĂŠ, o cĂĄlculo e o jogo, nos casos em que o
Para que seja resolvido a limitação da relação
anterior
se
faz
necessĂĄrio
nĂşmero inicial de discos ĂŠ: a) n = 7 b) n=8 c) n=9
determinar um padrĂŁo em que de Mn 8
Desafios:
O mais popular deles é formado por 7
1- Qual o número mínimo de discos que deve apresentar o primeiro pino para
peças. Tal quebra-cabeça será identificado apenas por Tangram.
que o número de jogadas seja:
Tangram é de origem chinesa, formado por 7 peças geométricas, mas
a) Igual a 4095?
especificamente, 7 regiões poligonais que aqui serão denotadas com o nome dos
b) Maior que 32500?
polígonos que as contornam (5 triângulos retângulos isósceles, 1 quadrado e 1 paralelogramo), sua forma básica é um
2- Qual a estratégia para que o número de
movimentos
executados
quadrado, mas o que torna este quebra-
seja
cabeça tão fascinante é a possibilidade de
sempre o mínimo para a quantidade
formar diversas figuras permutando as
de discos estabelecida?
peças.
Aulas 5 e 6 – Tangram Introdução
Tangram é o nome comum dado a um grande número de jogos quebra-cabeças cujas
peças
apresentam
formas
geométricas.
Forma básica do Tangram 7 peças
A precisão da origem deste jogo é incerta, embora seja fácil encontrar uma lenda sobre tal criação. Pelos escritos, um imperador chinês quebrou um espelho, e ao tentar juntar os pedaços e remontá-lo, percebeu que poderia construir muitas Variações do Jogo Tangram 2D e 3D
formas com seus fragmentos. Muito popular na China a séculos, o Tangram foi amplamente difundido para 9
todas as regiões do planeta e, especula-se
as que já existem com a junção de algumas
que seja a inspiração para diversos outros
peças. Confira a seguir:
quebra-cabeças, que hoje formam a família dos Tangrans.
Triângulo grande: 2 triângulos pequenos + 1 quadrado ou
O quebra-cabeça Tangram não exige
paralelogramo ou triângulo médio;
grandes habilidades dos jogadores; basta
Triângulo médio:
ter criatividade, paciência e tempo. Não há
2 triângulos pequenos;
uma precisão da quantidade de figuras
Quadrado:
possíveis de serem formadas com as
2 triângulos pequenos;
permutações das peças, uma vez que as
Paralelogramo:
poucas exigências restringem apenas ao
2 triângulos pequenos;
uso de todas as peças, que estejam conectadas
e
que
sobreposições,
mas
tenham
de
mais
não
existam
estima-se 5
mil
que
já
figuras
já
representadas.
Deve-se peculiaridade
ter da
atenção peça
para
formada
a pelo
paralelogramo, pois é a única peça que pode ser invertida, uma vez que é a única não simétrica.
Na matemática, o quebra-cabeça é
Benefícios de se jogar Tangram
amplamente utilizado, uma vez que o mesmo estimula os alunos a desenvolverem a
criatividade
habilidades
e
o
raciocínio
essenciais
no
lógico,
estudo
da
Os
benefícios
atribuídos
ao
praticante do jogo Tangram são maiores do que aparentam. Este quebra-cabeça é capaz de estimular regiões do cérebro, que
disciplina.
lidam com a lógica e tomada de decisões, Estratégias do Tangram
bem como a parte responsável pelas
Certamente uma das estratégias mais
simples
do
jogo
é
posicionar
informações abstratas. Além disso:
inicialmente as peças maiores, desta forma, as dificuldades para posicionar as demais tendem
a
ser
menores
com
menos
possibilidades. Outra dica muito útil na construção de
Exercita a resolução de problemas Para montar cada figura é necessário planejar onde as peças serão colocadas; Estimula a criatividade
figuras é a formação de peças semelhantes As peças do jogo permitem que várias figuras sejam montadas, sendo que 10
algumas
dessas
figuras
podem
ser
montadas de maneiras distintas;
observa-se que este quebra-cabeça pode e deve ser utilizado como apoio introdutório a conceitos relacionados a geometria plana,
Melhora a noção espacial e plana
como polígonos, perímetros e área. O Tangram exige que peças sejam posicionadas e rotacionadas, levando o
Atividade
cérebro a trabalhar as regiões responsáveis
1) Como tarefa inicial do jogo, faça a
pelo reconhecimento e posicionamento de
reprodução
formas geométricas.
anteriormente.
As aplicações do jogo Tangram, vão desde
o
uso
como
distração
ou
entretenimento até o uso pedagógico como
das
figuras
apresentadas
2). Agora reproduza as imagens a seguir, com a dificuldade de estas apresentarem apenas o contorno.
na Matemática, por exemplo. A seguir algumas
aplicações
ou
imagens
que
podemos fazer com as peças do quebracabeça.
Imagens formadas Tangram
Aulas 7 a 9 – Aplicações do Tangram na Matemática Como já descrito, o Tangram é formado
por
5
triângulos
retângulos
isósceles, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Imagens formadas Tangram
Com base nestas informações e utilizando as peças do Tangram, construa
Quando se refere especificamente da aplicação
matemática
do
figuras de acordo com os comandos a seguir
Tangram, 11
e descreva, quantas são as possíveis
5-
maneiras de resolver cada situação:
peças,
1-
Triângulo com quantidade de peças:
Paralelogramo com quantidade de exceto
losango,
retângulos
e
quadrados: a) 2
a) 2
b) 3
b) 3
c) 4
c) 4
d) 5
d) 7
e) 7 2-
Quadrado com quantidade de peças: 6a) 2
Pentágono
com
quantidade
de
com
quantidade
de
com
quantidade
de
peças:
b) 3
a) 3
c) 4
b) 6
d) 5 e) 7
7-
Hexágono
peças: 3-
Retângulo
com
quantidade
de
a) 4
peças, que não sejam quadrados:
b) 5 c) 7
a) 3 b) 4 c) 5
8-
d) 6
peças: a) 6
e) 7
4-
Heptágono
Trapézios com quantidade de peças: Atividade a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
1- Construa sobre uma folha de papel sulfite as
regiões
poligonais
limitadas
pelos
polígonos abaixo, utilizando todas as peças do TANGRAM, e em seguida faça o contorno em cada uma das regiões na folha de papel. a) Triângulo 12
b) Quadrado c) Retângulo (não quadrado)
Dicas e Estratégias
d) Trapézio Algumas dicas podem ser uteis na
e) Paralelogramo (não retângulo)
resolução de um Sudoku.
f) Pentágono g) Hexágono 2- Nos casos anteriores, determine o
Com Marcações
perímetro e área de cada uma das regiões. Uma estratégia simples é: para cada fila determinar todos os valores ausentes, usando a regra do jogo, pode-se eliminar as
Aula 10 - Sudoku
inconsistências e comparando os resultados obter valores únicos para algumas casas.
O Sudoku é um jogo lógico de posicionamento numérico. Criado pelo norte
Número Sozinho
americano Howard Garns, no final da década
de
1970,
conquistando
sua
Ao se realizar a análise, em algumas situações já se percebe valores únicos para
popularização somente a partir dos anos
algumas
2000, principalmente com a inserção deste
obrigatoriamente deverão ocupar a casa
jogo em aparelhos celulares.
estabelecida.
Como Jogar Sudoku
Modelo de resolução
O
Sudoku
é
um
desafio
na
posições.
Estes
valores
Número Sozinho Oculto
modalidade passatempo, individual e que envolve raciocínio e lógica. A ideia do jogo é bem simples: completar todas as 81 células usando números de 1 a 9, sem repetir os números numa mesma linha, coluna ou grade (3x3). Hoje já existem diversas variantes deste jogo, sendo a grade 9x9 com regiões 3x3 a mais usual. Podemos destacar dentre estes, grades de 4x4 com regiões 2x2 e grades 6x6 com regiões 2x3.
Da mesma forma, durante a análise das
posições
percebe-se
que
um 13
determinado valor, mesmo não sendo único na casa, mas é único na fila ou na região 3x3. Então este valor único deverá ocupar também a casa correspondente.
Modelo de resolução
Sem Marcações Uma outra forma de solucionar é através da eliminação de filas ou regiões
Modelo de resolução
que apresentam um determinado valor, tal Pares Sozinhos
processo permite perceber as possíveis
Em algumas filas ou regiões 3x3, podem
casas que podem ser ocupadas pelo
aparecer pares de dados idênticos, neste
número selecionado.
caso pode-se eliminar estes valores nas
Linhas Cruzadas
demais
posições
da
fila
ou
região
correspondente, pois com certeza estas casas que contém os pares deverão ser ocupadas por estes valores em uma ordem ainda a ser estabelecida. Mas que pode solucionar
outras
posições
após
as
eliminações.
Modelo de resolução
Este é o processo mais intuitivo que se tem para solucionar o Sudoku. Mais estes 14
dois modelos não esgotam todos os métodos
resolutivos,
no
Aulas 11 e 12 – Praticando
entanto, Resolver desafios relacionados ao
representam um caminho concreto para alcançar o objetivo e vencer o jogo. Exemplos:
jogo
Sudoku,
desenvolvimento
é
importante de
para
o
competências
relacionados ao raciocínio lógico. Com este objetivo segue uma sequência de desafios por nível de dificuldade. Muito fácil
Fácil
15
Médio
Aulas 13 e 14 – Cubo Rubik (Cubo Mágico) Criado pelo professor de arquitetura Erno Rubik, em 1974, na Hungria, o agora chamado cubo de Rubik foi desenvolvido como instrumento de aprendizagem para estudos referente a noção espacial e propriedades. Inicialmente, o protótipo do denominado cubo mágico pelo professor, foi produzido em madeira e cada face foi pintado com uma cor, distinta das demais,
Difícil
para facilitar a visualização dos movimentos realizados. O objeto só passou a despertar interesse como quebra-cabeça, quando foi percebida
a
dificuldade
em
voltar
a
disposição inicial, existem relatos que o próprio inventor resolveu o desafio após longas tentativas. Com a complexidade observada para solucionar o desafio, o objeto logo despertou o interesse comercial, o qual viria a se tornar o brinquedo mais vendido na história da Muito difícil
humanidade. O próprio inventor, classificou o objeto como uma peça de arte móvel, capaz de ser ao mesmo tempo elementar e apresentar conotação complexa, dispositivo estável em sua estrutura, mas que é dinâmico em seus movimentos, capaz de produzir muitas vezes frustrações,
ao
mesmo tempo que leva ao triunfo, enfim, o cubo de Rubik representa, em muitas
16
situações, as dualidades e desafios da vida moderna.
Desvendando o Cubo de Rubik O cubo de Rubik corresponde a
Mas o fascínio pelo quebra-cabeça
versão oficial de uma família de brinquedos
se dá após o processo de embaralhamento
que apresentam característica de padrões
e reorganização das faces, com cores
de cores na face de um cubo. Como descrito
únicas, o que é chamado de solucionar o
acima, esta família de quebra-cabeças
cubo. Em geral, para solucionar o desafio
apresentam uma grande quantidade de
são utilizados padrões de sequências
variações, que em geral são chamados,
lógicas de movimentos, dado que de forma
cubos mágicos, no entanto o cubo de Rubik
aleatória
seja
apresenta descrição bastante restrita, o que
cálculos
o diferencia de outros dispositivos similares,
é
pouco
provável
solucionado,
uma
vez
matemáticos
realizados
que
que
que
dentre estas, o tamanho da aresta, 55 mm,
existem 43.252.003.274.489.856.000, ou
as cores das faces: branca, amarela,
aproximadamente,
de
vermelha, laranja, verde e azul, enquanto os
combinações diferentes em uma leitura
similares podem variar a medida da aresta,
simplificada.
sendo a mais comum, 57 mm e, também o
43
sugerem
quintilhões
Apesar do protótipo ter sido em madeira, os atuais Cubos de Rubik são em geral, produzidos em polietileno. Outra mudança faz relação com estrutura do disposto, uma vez que a versão original
padrão e posicionamento das cores das faces. Além do padrão comum a todos os similares do tipo 3x3x3, de possuírem 54 facetas quadradas, sendo 9 em cada face do cubo.
apresentava o desafio em três camadas e
A melhor maneira para compreensão
três colunas em cada face, o chamado
do cubo de Rubik são as análises de suas
3x3x3. Mas com a popularização do cubo de
estruturas, tais análises podem ser feitas em
Rubik e, o desenvolvimento de métodos
dois grupos:
resolutivos, ocorreu a necessidade de tornálo mais desafiador e, já existem versões, chamadas variantes, de modelos 2x2x2, 4x4x4, 5x5x5…, progredindo para modelos como 17x17x17, fisicamente, na atualidade, até mesmo modelos muito mais complexos em formatos virtuais.
17
1) Camadas: O Cubo de Rubik é
1. Os seis cubos centrais não podem ser
divido em três camadas, sendo a inferior
permutados,
(também chamada primeira camada), a
referências para determinação da cor da
mediana (segunda camada) e a superior
face;
(terceira camada).
os
quais
servem
de
2. Os demais cubos das faces podem permutar, no entanto deve-se perceber que os de bordas laterais permutam com outros de bordas laterais e os cubos de canto, permutam entre si, não sendo possível a permuta entre cubos de bordas laterais e cubos de canto. 3. A distribuição das cores nas faces do cubo de Rubik, também é bem definida e
Divisão das camadas no Cubo de Rubik
representam sempre cores em faces 2) Faces:
opostas os pares:
Como a finalidade do quebra-cabeça Cubo
•
Azul e Verde;
de Rubik é, uma vez embaralhado, voltar a
•
Amarela e Branca;
posição em que cada face possui todas as
•
Vermelha e Laranja.
facetas de mesma cor, então compreender
4. Cada face é nomeada segundo a sua
como o quebra-cabeça é constituído em
posição em relação ao indivíduo que
relação as faces é algo essencial.
procura resolver o quebra-cabeça, da
Se for considerado, hipoteticamente que, cada faceta na face do cubo representa a face de um pequeno cubo (aresta 1/3 do cubo de Rubik), então pode-se notar que as faces do cubo de Rubik contém 26 pequenos cubos. Dos quais:
seguinte forma: • Frente ou Front (F): face em frente ao indivíduo; • Baixo ou Down (D): face que é a base inferior do cubo; • Superior ou Up (U): face na parte de cima do cubo;
• 8 cubos de canto (3 cores); • 12 cubos de borda lateral (2 cores); • 6 cubos centrais (1 cor). Ainda com relação as faces podem-se observar que:
• Direita ou Right (R): face lateral que é movimentada com mão direita; • Esquerda ou Left (L): face lateral que é movimentada com a mão esquerda. • Atrás ou Back (B): face oposta a face da frente. 18
A nomenclatura em inglês das faces assim
Movimento R: giro da face direita sentido
como as abreviações são essenciais para a
horário;
resolução de cubos de Rubik utilizando
Movimento R’: giro da face direita no
padrões.
sentido anti-horário;
5. Cada face do quebra-cabeça tem dois sentidos de giro (considera-se um giro, o
Movimento B: giro da face de trás no sentido horário;
movimento de 90º ou ¼ de volta em uma Movimento B’: giro da face de trás no
face), são estes: • Sentido
horário:
sentido
igual
ao
sentido anti-horário.
movimento dos ponteiros do relógio
De forma geral, as permutações nas facetas
(regra da mão direita);
do cubo de Rubik, ocorrem em três
• Sentido anti-horário: sentido contrário ao sentido horário.
situações: •
Giro simples: permutação obtida por um
Como nomenclatura, descreve-se:
único giro em uma das faces, por
Movimento U: giro da face superior sentido
exemplo, o movimento U, movimento B;
horário;
•
Giro duplo: permutação obtida por dois giros sucessivos da mesma face no
Movimento U’: giro da face superior no
mesmo sentido ou giro de 180º, por
sentido anti-horário;
exemplo, o movimento F2, movimento
Movimento D: giro da face inferior sentido horário;
B2; •
Giros combinados: permutações obtidas por giros em mais de uma face
Movimento D’: giro da face inferior no
sequencialmente,
sentido anti-horário;
Movimento Movimento F: giro da face frontal sentido horário;
por F’B’,
exemplo, Movimento
RUR’URU2R’; •
Giro da camada mediana: permutação
Movimento F’: giro da face frontal no
de um giro simples ou duplos da
sentido anti-horário;
camada mediana:
Movimento L: giro da face esquerda sentido horário;
Movimento M: Giro da face mediana no mesmo sentindo do movimento L ou R’; Movimento M’: Giro da face mediana
Movimento L’: giro da face esquerda no
no mesmo sentindo do movimento L’ ou
sentido anti-horário;
R; 19
Movimento S: Giro da face mediana no
Assim, como também o movimento z’ ou
mesmo sentindo do movimento F ou B’;
[b] ou [f’].
Movimento S’: Giro da face mediana no mesmo sentindo do movimento F’ ou B; Movimento E: Giro da face mediana no mesmo sentindo do movimento D ou U’; Movimento E’: Giro da face mediana no
Na busca da otimização, pesquisadores buscam o número ideal de movimentos que permita resolver qualquer disposição de cores do quebra-cabeça. Em
mesmo sentindo do movimento D’ ou U. •
1981,
o
matemático
Morwen
Giro de camada dupla: permutação de
Thistlethwaite desenvolveu um algoritmo
um giro simples ou duplo de uma face
que produzia sequências para solucionar
acompanhada da camada mediana em
qualquer configuração de embaralhamento
relação a face. Tal movimento segue o
do cubo de Rubik em 52 movimentos, em
mesmo padrão dos giros simples e
1990, o valor caiu para 42, foi cravado com
duplos acompanhados da letra w, como
o 29 no ano 2000 e, em 2008, um algoritmo
por
encontrou o número 22. Já em 2010, um
exemplo,
Movimento
Lw’,
grupo
Movimento Bw2.
de
pesquisadores
americanos
desenvolveu um sistema de análise de Com relação aos movimentos, ainda existem os movimentos do cubo de Rubik completo
em
relação
aos
eixos
tridimensionais, assim: •
•
•
dados que possibilita encontrar soluções para o cubo de Rubik em qualquer configuração de embaralhamento com 20 ou menos movimentos, tal software é
Movimento x ou [r] ou [l’]: Movimento
conhecido como “algoritmo de Deus”, por
realizado em torno do eixo x, no mesmo
construir sequências que até a atualidade
sentido do movimento R. Assim, como
são consideradas perfeitas para solucionar
também o movimento x’ ou [r’] ou [l];
o
Movimento y ou [d’] ou [u]:
relevante quando se busca a sequência
Movimento realizado em torno do eixo y,
perfeita para solucionar uma disposição de
no mesmo sentido do movimento U.
cores qualquer do cubo, percebe-se que o
Assim, como também o movimento y’ ou
número de movimento da imensa maioria
[d] ou [u’];
dos casos é 18, pois tal configuração é
Movimento z ou [b’] ou [f]:
responsável pela solução de 2 em cada 3
Movimento realizado em torno do eixo z,
embaralhamentos,
no mesmo sentido do movimento F.
possibilidades do cubo e, que a grande
quebra-cabeça.
Mas
dentre
uma
questão
todas
as
20
concentração de situações é resolvida entre
específicos para padrões em variáveis
15 e 20 giros entre simples e duplos.
aleatórias e executadas no quebra-cabeça.
Em competições oficiais, o recorde mundial de Cubo de Rubik, registrado em 2018 e ainda vigente, é de 4,22 segundos e pertence ao australiano Feliks Zemdegs.
Quanto a posição do cubo de Rubik, para que
seja
iniciado
a
sequência,
o
regulamento estabelece que a face superior corresponda à cor branca e, a face frontal, corresponda à cor verde. Em quebra-
Quando se fala em pesquisadores,
cabeças
cujo
padrão
de
cores
não
logo vem a curiosidade de saber o quanto o
apresente estas duas, deve-se considerar a
cubo de Rubik representa um objeto de
face superior como a mais clara que houver
estudos. No campo da matemática, este
e a frontal, a cor mais escura adjacente a
quebra-cabeça despertou na área das
esta. Mesmo não apresentando um número
álgebras abstratas, pesquisas e construção
exatos de movimentos para embaralhar, os
da teoria chamada grupos de Rubik, o qual
softwares apresentam uma tendência de
descreve o quebra-cabeça como uma
construção de sequências com mais de 20
estrutura de grupo, munido da operação
de giros entre simples e duplos. Exemplos
giro, com as propriedades associativa e
de geradores online de sequências de
elemento inverso para todos os giros.
embaralhamentos.
Embaralhamento O
Cubo
de
Rubik,
quando
solucionado apresenta seu estado inicial, cada face com uma única cor, no entanto, para que se torne o desafio que se propõe, existe a necessidade de serem realizados os movimentos para o embaralhamento. Oficialmente, no caso das competições de cubos mágicos e demais quebra-cabeças
Aulas 15 a 19 – Montando o Cubo
com mesmo padrão de desafio, a entidade
de Rubik
que regulamenta é a WCA, numa livre tradução, Associação Mundial de Cubos. Pelas regras estabelecidas uma sequência de movimentos, para o embaralhamento,
Existem vários métodos para se resolver o quebra-cabeça o cubo de Rubik, dentre
estes,
destacam-se
pela
popularização:
deve ser construída através de softwares 21
•
Método de Camadas;
•
Método Cubo Fridrich Rubik;
Rubik não esteja na disposição inicial das
•
Método Blindfolded
cores, ou seja, esteja com as faces
Assim, considerando que o cubo de
O método de camada é conhecido como método básico para solucionar o cubo de Rubik, os métodos Fridrich e Blindfolded são considerados métodos avançados.
compostas por cores diversas ou em condições
consideradas
de
embaralhamento. Podemos solucionar o quebra-cabeça
seguindo
as
seguintes
etapas:
Para o velocista em cubo de Rubik é inevitável a migração para os métodos avançados, como os descritos acima, mas não se descarta outros métodos existentes, no entanto, a proposta deste trabalho é desenvolver a habilidade resolutiva do quebra-cabeça, neste sentido, a ênfase será o desenvolvimento da aprendizagem com Posição embaralhada ou diferente da posição
base no Método de Camada.
resolvido.
Método de Camadas
Etapa 1 – Camada Inferior ou Primeira
Pensado para o Cubo Mágico 3X3X3,
Camada
o método de camadas é uma referência, não apenas para iniciantes da prática do cubo mágico,
mas
também
para
diversos
modelos de quebra-cabeças que usam padrões de cores e mecanismos similares
Nesta etapa, há a necessidade de execução de quatro passos que podem com a prática, tornarem mais integradas e menos distinguíveis.
ao cubo de Rubik. Tal método, como o
Passo 1: Identificar a face com a faceta
próprio nome indica, apresenta a solução
central na cor amarela, em seguida, utilizar
camada por camada, a partir da inferior até
movimentos de giros simples, duplos ou
a camada superior.
combinados, nas demais faces do cubo de
Cada uma das 8 etapas para a solução exige uma sequência de passos e posicionamentos específicos que devem ser observados para que, em muitos casos, não sejam desfeitas etapas já realizadas.
Rubik,
até
mesmo
na
própria
face
identificada, com a finalidade de fazer a chamada cruz branca com centro amarelo, que nada mais é que permutar os cubinhos laterais até que os cubinhos laterais com 22
facetas brancas e com estas facetas
cubinho com faceta banca em comum
brancas, adjacentes a faceta amarela
com a face de faceta central branca.
central. Este passo é bastante intuitivo, no
Nesta
imagem,
entanto é possível restringir a alguns casos.
considerando a face de centro azul como frontal,
Posição
final
deste
basta
passo, a cruz branca de centro
realizar
o
movimento F2.
amarelo.
Havendo ou não cantos com a faceta branca.
•
Cubinho
lateral
com faceta branca adjacente a face de
Caso a posição do
faceta central amarela ou branca, com a
cubo lateral esteja
faceta branca na face lateral.
em uma das situações a seguir, pode-se
Na
usar as seguintes sequências de giros:
necessidade
•
primeiro na face que contém a faceta
Cubinho lateral com faceta branca em comum a duas das faces laterais em relação a face com faceta central
um
apresentada giro
há
combinado,
branca e em seguida um giro na face lateral adjacente a que contém a faceta branca em direção a face com a faceta
amarela. Neste caso basta realizar
situação
o
simples
giro
central amarela. Temos duas situações que devem ser solucionados com o mesmo procedimento.
para
deslocar o cubinho com
a
faceta
Para posicionar no destino devemos,
branca para a face com centro de cor
considerando a face que contém esta faceta
amarela
branca como frontal, basta realizar o movimento F ou F’ e em seguida realizar o Aqui,
considerando
face
vermelha
a
movimento L’ ou R.
como
frontal, pode-se aplicar o movimento R.
Vale a alertar sobre a necessidade de •
Cubinho lateral com faceta branca na face de faceta central branca. Nesta situação, basta realizar o giro duplo na face lateral que possui o
observar que antes de qualquer um dos casos acima, possa ocorrer de algum giro ao ser realizado possa mudar o que já foi montado da cruz branca de centro amarela, caso haja necessidade deve-se realizar 23
movimentos na face que sendo montada a
formação da cruz branca na face de faceta
cruz para evitar desconstrução.
central branca, a chamada cruz branca.
Passo 2: Alinhamento de cores das facetas
Passo 3: Completando a face branca e a
laterais dos cubinhos que compõem a cruz
primeira camada.
branca de centro amarelo com os centros das facetas laterais.
Para completar a face branca, resta posicionar os cantos de facetas brancas.
Aqui
temos
duas
Inicialmente deve-se identificar uma face
situações, na primeira,
como face frontal, antes de realizar o
cujo o alinhamento já está certo e sendo a
posicionamento da peça de canto com
centro
faceta branca, na face branca. Para esta
face
identificação deve-se considerada como
frontal, basta realizar o
face frontal, para um determinado caso, a
face
com
vermelha,
a
movimento F2 ou F2’.
que atende a duas condições necessárias:
Este procedimento deve ser realizado em todas as situações que já estejam alinhados, após este
Condição 1: a face deve contém a peça de
procedimento, realizar giro simples ou duplos na face
canto com faceta branca adjacente a
aonde está a cruz para alinhar e repetir o movimento
camada de cima e a faceta branca deve
acima.
estar na face frontal; Ao término destes passos forma-se a
cruz banca na face cuja faceta central é branca, então temos inicia-se o passo para completar a face branca. A partir deste passo a face com centro branca será a face inferior de baixo do cubo de Rubik, o que obrigatoriamente faz da face de centro amarela, a face de cima.
Condição 2: a faceta adjacente a faceta branca da peça do canto, que está na face lateral, deve estar com a cor idêntica a faceta central da face lateral a que pertence. Assim, a faceta branca estará na face frontal, no canto superior direito ou esquerdo da face frontal e a faceta do mesmo cubinho que as contém, deve estar com a mesma cor da faceta central da face lateral a que a outra faceta pertence. Para atender a condição 2, deve-se fazer o Movimento Dw ou Dw’, isto é giro com as camadas inferior e mediana ao
Posicionamento do cubo com a face de faceta central branca para baixo e, a
mesmo tempo, até que a condição acima seja obedecida. 24
Atendidas as duas condições, observar dois
Quando o cubinho está
casos:
com a faceta branca na face de cima antes de
Caso 1: Faceta branca canto superior direito
executar
o
movimento
para corrigir a posição, deve-se,
quando
necessário, realizar giros
Movimento:
na face de cima até que a coluna que contém o
F’ U’ R’
cubinho, não apresente, na face branca, um cubinho que já esteja na posição correta. Considerando a face frontal a que dispõe o cubinho com a faceta branca na face amarela, na face esquerda.
Caso 2: Faceta branca canto superior
Movimento: F U’ F’
esquerdo
Movimento: FUL
Agora vale destacar as situações em que a peça não está na posição ou está na posição certa, mas com a faceta branca na
Quando a faceta branca estar na face branca, porém numa posição diferente da que deveria estar e considerando que a face frontal será a que deixa este cubinho na face esquerda.
face de cima, observe como deixar o cubinho com a face branca na posição para
F U F’
executar as ações anteriores. No caso de o cubinho estar na
posição
considere
Movimento:
a
inferior, face
que
apresenta a faceta branca,
Após realizada todos os passos da etapa, foi montada a primeira camada com a face branca completa como face de baixo.
como frontal, então haverá duas situações:
Lado Direito
Lado Esquerdo
Movimento:
Movimento:
F’ U’ F
F U F’ 25
Etapa 2 – Camada Mediana ou Segunda
um dos movimentos descritos, para retirar o
Camada
mesmo da posição, substituindo por outro
Após primeira camada completa, a segunda camada já apresenta a faceta central na posição correta, então resta colocar os cubinhos de bordas laterais que
cubinho que não seja da segunda camada, isto é, com uma faceta amarela, e depois executar
o
movimento
descrito
para
reposicionamento na posição correta.
não apresentam a facetas amarelas e nem brancas, na posição correta. A condição exigida
para
iniciar
o
movimento
de
posicionamento do cubinho para a posição correta é o cubinho desejado estar na face frontal do cubo na coluna central e, com a cor da faceta frontal coincidente com a cor da faceta central da face.
Etapa 3 – Camada Superior ou Terceira Camada Esta será a etapa em que serão realizados quatro passos para completar as facetas laterais da terceira camada e a face
Posição inicial
de cima (Face Amarela). Passo 1: Cruz amarela Quando a condição inicial estar satisfeita,
resta
encontrar
qual
o
posicionamento do cubinho, neste passo basta observar a cor da faceta superior do cubinho e a face lateral a cor corresponde a faceta central da face, tem-se dois casos:
Para
este
passo
é
necessário
determinar uma face como a face frontal. Tal determinação
será
realizada
pela
disposição de facetas da face de cima, isto é, a face a ser considerada frontal será aquela cuja a disposição de cores da camada de cima disponha na faceta lateral
Lado Direito
Lado Esquerdo
esquerda na cor amarela e na faceta lateral
Movimento:
Movimento:
frontal, qualquer outra cor que não seja
U R U R’ U’ F’ U’ F
U’ L’ U’ L U F U F’
amarela.
Quando o cubinho a ser posicionado está já posicionado em uma posição diferente da correta, então deve-se realizar 26
Caso 1: Nenhumas das facetas de
Posição Inicial
canto da face de cima, com
Face Frontal:
facetas amarelas.
Face Verde
Neste caso, a frente será a que apresenta, pelo menos, uma das facetas de canto da face esquerda da camada superior na cor
Movimento:
amarela. Na imagem, a face frontal é a verde.
F U R U’ R’ F’ Caso 2:
Se a cruz amarela foi formada, Existem duas facetas de canto, da
independentemente das disposições de
face de cima, na cor amarela.
cores das facetas de canto, o passo foi concluído, caso contrário, repetir o passo
Neste caso, a frente será a que apresenta a faceta do canto esquerdo da camada
inteiro. Em geral, até 3 repetições garantem
superior na cor amarela. Na imagem, a face frontal é
a cruz formada.
a azul. Caso 3: Existem apenas uma faceta de canto, da face de cima, na cor amarela. Neste caso, a frente será a que apresenta a faceta do canto frontal esquerdo da face de cima na cor amarela. Na imagem, a face frontal é a verde.
Cruz amarela feita
Passo 2: Completar Face de Cima
Para
algumas
combinações,
o
processo para completar a face amarela, poderá requerer a repetição, em até três
O movimento para completar a face
vezes, do movimento sune.
de cima chama-se movimento sune, cujo movimento é R U R’ U R U2 R’. Para iniciar o movimento sune, descrito acima, se faz necessário determinar a face que será a face frontal, existem três casos: Face amarela completa
27
Passo 2: Orientação dos cantos da camada superior
Caso 1: A faceta que completa a face frontal
O movimento para reorientação dos
está na face direita.
cantos para as faces correspondente é comumente identificado como movimento L, cuja sequência de movimento é R’ F R’ B2 R F’ R’ B2 R2.
Movimento: F2 U L R’ F2 L’ R U F2
Para posição inicial o cubo deve ser posicionado de forma que a face de trás disponha os cantos já orientados. Caso, não seja
possível
esta
orientação
Caso 2: A faceta que
inicial,
completa a face frontal
executa-se o movimento uma posição
está na face esquerda.
qualquer, ao termino, orientará os cantos de uma face, esta será a face de trás, em seguida
executa-se
novamente
o
movimento, finalizando a orientação dos
Movimento: F2 U’ L R’ F2 L’ R U’ F2
cantos. Passo 3: Orientação dos meios da camada superior O movimento para orientação das facetas laterais da camada superior é chamado, movimento minerva. A posição inicial será a que apresenta como face da frente oposta a face que já tiver completa (face de trás). Caso não esteja nenhuma face
completa,
deve-se
executar
a
sequência em qualquer disposição e, após o movimento, uma face será completa e,
Cubo de Rubik resolvido
Discussões sobre os movimentos Movimento sune
então executa-se novamente, em acordo com a regra. Existem dois casos:
O movimento sune descrito como a sequência R U R’ U R U2 R’, para completar a face de cima, também apresenta uma característica importante, a orientação dos 28
cubinhos laterais da face superior em
esquerdo atrás irá para a posição do canto
relação as faces laterais correspondentes,
esquerdo frontal.
com exceção do cubinho da face frontal. Tal reorientação é feita no sentido anti-horário, isto é, o cubinho que está na face direita é reorientado para a face de trás, a de trás será reorientada para a posição na face esquerda e, o cubinho que está na face esquerda é reorientado para a posição na face direita. Orientação dos meios
Sequência 2: Finalidade desta sequência é a correção dos cubinhos de canto da camada superior, já nos lugares certos, mas fora de posição em relação as faces, fazendo a reorientação destes cubinhos em relação as faces correspondentes. O movimento L, pode ser substituído por
O posicionamento do cubo deve ser
outras sequências.
de forma que a peça do canto esquerdo
Sequência 1: A finalidade desta sequência é
frontal esteja sem a orientação correta.
reordenar os cubinhos de canto da camada
Existem dois casos a considerar:
superior. A posição inicial deve ser a que apresenta um canto orientado, na posição
Caso 1: A faceta a ser
canto direita e atrás. O movimento a ser
ordenada
realizado é L U’ R’ U L’ U’ R U. Tal
executar
sequência permuta os cantos da camada
movimento anti-horário
deve um
superior, com exceção, do cubinho de canto direito e atrás. A reorientação será no sentido anti-horário, isto é, o cubinho do
Neste caso o movimento deve ser: B L B’ L’ B L B’ L’
canto frontal esquerdo irá para a posição do canto frontal direito, o cubinho do canto frontal direito irá para a posição do canto esquerdo e atrás e, o cubinho do canto 29
representam um começo para resolver uma Caso 2: A faceta a ser ordenada
deve
executar
um
movimento horário
boa variedade destes quebra-cabeças. Atividade: Compreender através de pesquisas o desenvolvimento dos métodos resolutivos
Neste caso o movimento deve ser: L B L’ B’ L B L’ B’
destas variações. Outros métodos resolutivos
Após executar cada sequência, deve-
Método Fridrich
se realizar o movimento U, até o próximo O Método Avançado Fridrich segue o
canto a ser ordenado aparecer na posição canto esquerda frontal.
mesmo princípio do método de camadas, no entanto, este método requer mais atenção a
Atividade: Refaça o modelo.
casos particulares o que torna mais rápido a resolução, mas que também requer a memorização considerável
Aula 20 – Variações do Jogo Além do Cubo de Rubik, cubo mágico
de de
uma
quantidade
sequências,
dentre
movimentos resolutivos e atalhos, num total de 119 casos divididos em 3 partes:
3x3x3, há muitas variações como os Cubos 4x4x4, 5x5x5 ... e, ainda outros formatos que não os cúbicos, como tetraedro, dodecaedro, icosaedro.
F2L - finish two layers - finalizar as duas primeiras camadas: 41 casos. OLL - orientation last layer - orientar a última camada: 57 casos. PLL - permutation last layer - permutar a última camada: 21 casos. Mesmo não sendo necessário saber todos os
casos,
o
método
requer
uma
memorização de uma grande quantidade de sequências. Modelos variantes com padrões de cores
Todos possuem métodos resolutivos, mas o método de camadas do Cubo de
Além deste método avançando, que é de longe o mais usado, existem outros já
Rubik, e as fórmulas para permutações já 30
citados e, alguns conhecidos como métodos
Criação e Produção: Prof. Anderson Melo.
alternativos, dentre estes: Método Cubo Mágico com histórias; Método da fórmula única para montar o Cubo Mágico (F1); Cubo Mágico com apenas 2 fórmulas; Cubo Mágico com uma mão (3x3x3 OH); Cubo Mágico com os pés.
Corrida Matemática Kids Como jogar O jogo pode ser jogado até por 5 pessoas com piões de cores diferentes.
O jogo consiste em movimentar-se conforme o número que saiu na face superior de um dado lançado a cada vez. Conforme a casa onde o jogador parou no tabuleiro ele deve responder correto para permanecer na casa e ganhar a pontuação respectiva daquela casa, caso contrário, deverá voltar a casa que estava anteriormente. Há duas casas em que o jogador deverá tirar uma carta surpresa ou uma carta desafio se pararem em cima da interrogação ou da casa descrita carta extra respectivamente. Ganha o jogo quem passar duas vezes a linha
Sobe e desce da Matemática
de chegada e obtiver a maior pontuação!
Boa Sorte!
Durante a brincadeira, a criança faz diversas operações de adição e subtração com os números inteiros. O material do jogo consiste em um tabuleiro, dois dados de cores diferentes e seis tampinhas. Durante o jogo, cada criança em sua vez, lançará os dois dados e com os resultados 31
obtidos, ela deverá subir ou descer uma determinada quantidade de casas.
Referências: (1) Torres de Hanói. Unicamp: Recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino médio. 2007. Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1361> Acesso em: 22 de janeiro de 2019. (2) Tangram, Geniol, 2014. Disponível em: <https://www.geniol.com.br/raciocinio/tangram/> Acesso em: 22 de janeiro de 2019. (3) Sudoku: Como Jogar e Estratégias. Geniol. 2014. Disponível em: <https://www.geniol.com.br/logica/sudoku/comojogar-e-estrategias/> Acesso em: 22 de janeiro de 2019. (3) Tutorial cubo Mágico 3x3x3: Método básico. Cubo Velocidade. 2007. Disponível em:
Editorial Centro de Matemática, Ciências e Filosofia
<http://www.cubovelocidade.com.br/tutoriais/cubomagico-basico-metodo-camadas-1-passo-cruzbranca.html> Acesso em: 22 de janeiro de 2019.
Endereço: Rua Manoel Rodrigues,260 CRIE – 1 Andar (Antigo Centro de Estudos Dom Pedro II) Centro ~ Cep:69914-220 Rio Branco – Acre Contatos: (68) 99955 1497 cmcf.di.seeac@gmail.com
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