Sobre...
O Curso Matemática Divertida: Jogos, desafios e proposições propõe recursos educacionais que abordam os conteúdos de matemática de forma variada. Nesta dinâmica, serão realizadas atividades que favoreçam a interação social, buscando o desenvolvimento de habilidades a partir de situações concretas manipuláveis, de sorte que os estudantes possam usar suas experimentações, tentativas, acertos e erros, para além da realização das atividades, construírem seus conceitos e estratégias muito necessário para uma inserção segura neste mundo cada vez mais dinâmico e exigente.
Sumário Aula 1: Introdução ...................................................................................................................... 4 Aulas 2 e 3 – Torre de Hanói ...................................................................................................... 5 Aula 4 – Generalização .............................................................................................................. 7 Aulas 5 e 6 – Tangram ............................................................................................................... 9 Aulas 7 a 9 – Aplicações do Tangram na Matemática .............................................................. 11 Aula 10 - Sudoku ...................................................................................................................... 13 Aulas 11 e 12 – Praticando ....................................................................................................... 15 Aulas 13 e 14 – Cubo Rubik (Cubo Mágico) ............................................................................. 16 Aulas 15 a 19 – Montando o Cubo de Rubik............................................................................. 22 Aula 20 – Variações do Jogo .................................................................................................... 31 Editorial .................................................................................................................................... 33 Referências: ............................................................................................................................. 33
desenvolvimento de competências a
Aula 1: Introdução A intelectualidade humana precisa ser
partir dos desafios e proposições.
desenvolvida, treinada e aprimorada a
Quando se busca uma definição formal
cada
de
para jogo tem-se, segundo a Wikipédia
afinidades, bem como a construção de
(uma enciclopédia colaborativa e livre),
habilidades são importantes para se
jogo é toda e qualquer atividade em
alcançar
quais
que exista a figura do jogador (como
juntamente com outras características
indivíduo praticante) e regras que
individuais, deverão indicar o lugar que
podem ser para ambiente restrito ou
este ocupará e, de que maneira irá
livre.
intervir nos desafios e como agirá para
apresenta uma quantidade mínima de
resolvê-los.
regras, as quais regem os princípios de
instante,
a
objetivos
descoberta
e,
os
Neste contexto, o indivíduo precisa de situações desafiadoras que permitam
De
forma
geral,
um
jogo
funcionamento da atividade, como início, dinâmica e término.
a construção de conceitos, validação
Assim, quando foi pensado a temática
de
e
sobre o uso de jogos, como construção
Uma
de desafios e proposições no ensino
este
de matemática, ao mesmo tempo se
desenvolvimento é o uso de jogos
propôs a quebra da herança histórica
como instrumento de desenvolvimento
onde
intelectual e motor.
exclusivamente para passar tempo,
hipóteses,
desconstrução estratégia
construção
de
em
métodos.
direção
a
Nesta perspectiva a inserção destas atividades em sala de aula surge como uma oportunidade de socializar os alunos, busca a cooperação mútua, a
jogos
são
instrumentos
distrações e além disso, trazer esta temática
para
o
aprendizagem
campo
através
da da
fundamentação e validação.
participação da equipe na busca
A estrutura metodológica será
incessante de elucidar o problema
basicamente
desafiador.
conceito, fundamentação e validação
Neste curso, será abordado quatro elementos importantes para a saúde mental, uma vez que se propõe atividades
que
exigem
o
a
apresentação
do
das regras, desafios e soluções, buscando a construção de conjecturas e
proposições
participantes
por e
parte testes
dos para
comprovação destes. 4
Aulas 2 e 3 – Torre de Hanói
É comum termos o jogo torre de Hanói,
Um dos jogos, no conceito
constituído por uma base com três
matemático, mais popular é de fato a
pinos em linha no qual em um deles,
Torre de Hanói, pois conceitualmente
existe uma pilha de discos organizados
desenvolve diversas habilidades e
em ordem decrescente de tamanho.
possibilita a construção de padrões
Mas trata-se apenas do modelo mais
exponenciais.
usual, talvez herança da lenda hindu que descreve o jogo como um desafio
O jogo Torre de Hanói, consiste num desafio de mover um grupo limitado de
delegada por uma divindade a um grupo de monges.
objetos, somente um por vez (em geral,
planos
e semelhantes) de
tamanhos distintos e organizados em forma de pilha, na ordem decrescente, em relação ao tamanho, de um local determinado a outro, utilizando um terceiro
local
predefinido,
como
auxiliar, de sorte que se mantenha sempre a ordem decrescente dos
Modelo comercial da Torre de Hanói
De forma mais simples, adotando este modelo como padrão para o jogo, podemos descrever o como desafio do jogo:
objetos em qualquer das situações apresentadas.
Passar todos os discos de um pino (pino inicial) para outro qualquer (pino de destino), movendo um de cada vez, usando o outro pino como auxiliar, de modo que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação e mantendo ao final o mesmo padrão,
em
decrescente,
relação que
foi
a
ordem
apresentado
inicialmente. Há um uso cada vez mais frequente do jogo Modelos do quebra cabeça Torre de Hanói
Torre
de
Hanói
procedimento
de
avaliação
da
memória,
e
capacidade
de
como
5
principalmente
de
planejamento,
um disco maior sobre um menor em
tomada de decisão e solução de
nenhum dos movimentos realizados.
problemas.
Os monges deveriam trabalhar com a
Também conhecida como Torres de Bramanismos ou Quebra Cabeças do fim do mundo ou Torre de Lucas, a obra Torre de Hanói foi publicada em 1883
pelo
matemático
francês
maior eficiência sem parar e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria. Esta não é a única lenda associada ao
Edouard Lucas.
jogo, no entanto é a mais difundida.
História das Torres de Hanói
Regras do Jogo
Edouard Lucas criou o jogo, inspirado
O objetivo deste jogo consiste em
por uma lenda Hindu que falava de um
deslocar todos os discos da haste
templo em Bernares, cidade santa da
onde se encontram, geralmente a
Índia, no qual existia uma torre
haste da esquerda para uma haste
sagrada do bramanismo, cuja função
diferente, usualmente a da direita,
era melhorar a disciplina mental dos
usando a haste entre elas apenas
monges jovens.
como
A lenda dizia que, no início dos
auxilio
e
respeitando
as
seguintes regras:
tempos, foi apresentado aos monges
1-
do templo uma pilha de 64 discos de
o qual deverá ser o do topo de uma das
ouro, dispostos em uma haste, de
três hastes;
forma que cada disco de cima fosse
2-
menor que o de baixo e duas outras
colocado sobre outro de diâmetro
hastes idênticas a primeira, mas sem
menor.
discos.
Deslocar um disco de cada vez,
Cada disco nunca poderá ser
A missão recebida pelos
monges foi transferir a torre, formada
Atividade:
pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar, para
De acordo com as regras do jogo
isto, haviam duas restrições, uma dela
Torres de Hanói, preencha a tabela
limitava
abaixo:
que
só
poderia
ser
movimentado um disco por vez e, a outra que nunca deveria ser colocado 6
Expresse um padrão em relação ao caso anterior
Quantidade de movimentos acrescentados
Quantidade de movimentos realizados
Número de peças
Tal padrão representa uma função do tipo
exponencial
ou
mais
especificamente, uma aplicação de progressão geomÊtrica. Uma vez que se percebe um padrão a
1
MatemĂĄtica dispĂľe de mitologias as
2
quais
3
possibilitam
a dedução de
alguma fĂłrmula que prediga o nĂşmero
4
mĂnimo
5
de
movimentos
para
solucionar o jogo a partir do nĂşmero de
6
discos na partida.
7
Geometricamente,
ao
construir
a
Aula 4 – Generalização
sequĂŞncia do nĂşmero mĂnimo de movimentos em relação a quantidade de
discos,
percebe-se
que
esta
sequĂŞncia ou grĂĄfico representa um padrĂŁo muito caracterĂstico e de grande relevância dentro do estudo da MatemĂĄtica.
Com
base
apresentadas
nas na
informaçþes
tabela
pode-se
construir atravÊs de um processo de substituiçþes sucessivas e determinar um
padrĂŁo
quantidade
para de
relacionar
discos
e
a
nĂşmero
mĂnimo de movimentos necessĂĄrios para se fazer a transferĂŞncia dos discos. Seja đ?‘› đ?œ– â„ľ, đ?‘› ≼ 1, o nĂşmero de discos na pino inicial e Mn a quantidade mĂnima de movimentos para n discos, e, com base no nĂşmero de acrĂŠscimos, obtemos Mn=Mn−1+1+Mn−1
Mn =2¡Mn−1+1 Assim, podemos descobrir o valor de Mn para qualquer n dado. No
7
entanto, esta relação só terá sentido se
bastante elementar e coerente com a
conhecido o Mn-1.
regra obtida.
Expressão Geral
Praticando com as Torres de Hanói
Para que seja resolvido a limitação da
Agora que já se pode verificar o
relação anterior se faz necessário
número mínimo de jogadas para um
determinar um padrão em que de Mn
dado número de discos, então faça a
dependa apenas de n e não do número
comprovação, isto é, o cálculo e o jogo,
Mn−1 obtido na jogada anterior. Assim,
nos casos em que o número inicial de
temos:
discos é: Mn = 2·Mn−1+1 a) n = 7
Mn+1 = 2·Mn−1+2 Mn+1 = 2· (Mn−1+1)
b) n = 8 Chamando (Mn+1) de An, o número de movimento acrescentado em relação ao número de discos
anteriores,
temos:
c) n = 9 Desafios: 1- Qual o número mínimo de discos que deve apresentar o
An = 2·An−1
primeiro
An = 2·2·An−2 = 22·An−2 An =
22·2·A
n−3 =
23·A
n−3
An =...=2n−1·An−(n−1) = 2n−1·A1 Como A1 = M1+1=2, temos
pino
para
que
o
número de jogadas seja: a) Igual a 4095?
b) Maior que 32500?
An=2n−1·2=2n E como An = Mn+1 Mn+1=2n
2- Qual a estratégia para que o
Mn=2n−1 A
partir
de
alguns
número resultados
executados
de seja
movimentos sempre
o
encontrados a sequência do Número
mínimo para a quantidade de
mínimo de movimentos M= (1,3,7,15,
discos estabelecida?
31...), pode apresentar um padrão
8
Aulas 5 e 6 – Tangram Introdução
Tangram é o nome comum dado a um grande número de jogos quebracabeças
cujas
peças
apresentam
formas geométricas.
Forma básica do Tangram 7 peças
A precisão da origem deste jogo é incerta, embora seja fácil encontrar uma lenda sobre tal criação. Pelos escritos, um imperador chinês quebrou um espelho, e ao tentar juntar os pedaços e remontá-lo, percebeu que Variações do Jogo Tangram 2D e 3D
poderia construir muitas formas com
O mais popular deles é formado por 7
seus fragmentos.
peças.
Muito popular na China a séculos, o
Tal
quebra-cabeça
será
identificado apenas por Tangram.
Tangram foi amplamente difundido
Tangram
chinesa,
para todas as regiões do planeta e,
formado por 7 peças geométricas, mas
especula-se que seja a inspiração para
especificamente, 7 regiões poligonais
diversos outros quebra-cabeças, que
que aqui serão denotadas com o nome
hoje formam a família dos Tangrans.
dos polígonos que as contornam (5
O quebra-cabeça Tangram não exige
triângulos
1
grandes habilidades dos jogadores;
quadrado e 1 paralelogramo), sua
basta ter criatividade, paciência e
forma básica é um quadrado, mas o
tempo. Não há uma precisão da
que torna este quebra-cabeça tão
quantidade de figuras possíveis de
fascinante é a possibilidade de formar
serem formadas com as permutações
diversas figuras permutando as peças.
das peças, uma vez que as poucas
é
de
origem
retângulos
isósceles,
exigências restringem apenas ao uso de todas as peças, que estejam conectadas
e
que
não
existam 9
sobreposições, mas estima-se que já
Deve-se
tenham mais de 5 mil figuras já
peculiaridade da peça formada pelo
representadas.
paralelogramo, pois é a única peça que
Na matemática, o quebra-cabeça é amplamente utilizado, uma vez que o mesmo
estimula
os
alunos
a
desenvolverem a criatividade e o raciocínio
lógico,
habilidades
essenciais no estudo da disciplina. Estratégias do Tangram
do
jogo
é
posicionar
inicialmente as peças maiores, desta forma, as dificuldades para posicionar as demais tendem a ser menores com menos possibilidades.
é
a
formação
para
a
pode ser invertida, uma vez que é a única não simétrica. Benefícios de se jogar Tangram Os benefícios atribuídos ao praticante do jogo Tangram são maiores do que aparentam. Este quebra-cabeça é
que lidam com a lógica e tomada de decisões,
bem
responsável
como
pelas
a
parte
informações
abstratas. Além disso: Exercita a resolução de problemas
Outra dica muito útil na construção de figuras
atenção
capaz de estimular regiões do cérebro,
Certamente uma das estratégias mais simples
ter
de
peças
semelhantes as que já existem com a
Para montar cada figura é necessário planejar
onde
as
peças
serão
colocadas;
junção de algumas peças. Confira a seguir:
Estimula a criatividade
Triângulo grande:
As peças do jogo permitem que várias
2 triângulos pequenos + 1 quadrado ou
figuras sejam montadas, sendo que
paralelogramo ou triângulo médio;
algumas dessas figuras podem ser
Triângulo médio:
montadas de maneiras distintas;
2 triângulos pequenos;
Melhora a noção espacial e plana
Quadrado: 2 triângulos pequenos; Paralelogramo: 2 triângulos pequenos;
O Tangram exige que peças sejam posicionadas e rotacionadas, levando o cérebro a trabalhar as regiões responsáveis pelo reconhecimento e
10
posicionamento
de
formas
geométricas. As aplicações do jogo Tangram, vão desde o uso como distração ou entretenimento até o uso pedagógico
Atividade 1) Como tarefa inicial do jogo, faça a reprodução das figuras apresentadas anteriormente.
como na Matemática, por exemplo. A seguir algumas aplicações ou imagens
2). Agora reproduza as imagens a
que podemos fazer com as peças do
seguir, com a dificuldade de estas
quebra-cabeça.
apresentarem apenas o contorno.
Imagens formadas Tangram
Aulas 7 a 9 – Aplicações do Tangram na Matemática Imagens formadas Tangram
Como já descrito, o Tangram é
Quando se refere especificamente da
formado por 5 triângulos retângulos
aplicação matemática do Tangram,
isósceles,
observa-se que este quebra-cabeça
paralelogramo.
pode e deve ser utilizado como apoio
Com base nestas informações e
introdutório a conceitos relacionados a
utilizando as peças do Tangram,
geometria plana, como polígonos,
construa figuras de acordo com os
perímetros e área.
comandos
1
a
quadrado
seguir
e
e
1
descreva,
11
quantas são as possíveis maneiras de
5-
resolver cada situação:
quantidade de peças, exceto losango,
1-
Triângulo com quantidade de
peças: a)
2
b)
3
c)
4
d)
7
2-
Quadrado com quantidade de
com
retângulos e quadrados: a)
2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
7
6-
Pentágono com quantidade de
peças:
peças: a)
2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
7
3-
Paralelogramo
Retângulo com quantidade de
peças, que não sejam quadrados: a)
3
b)
4
c)
5
d)
6
e)
7
4-
Trapézios com quantidade de
a)
3
b)
6
7-
Hexágono com quantidade de
peças: a)
4
b)
5
c)
7
8-
Heptágono com quantidade de
peças: a)
6
Atividade 1- Construa sobre uma folha de papel
peças: a)
2
sulfite as regiões poligonais limitadas
b)
3
pelos polígonos abaixo, utilizando
c)
4
todas as peças do TANGRAM, e em
d)
5
seguida faça o contorno em cada uma
e)
7
das regiões na folha de papel. a)
Triângulo 12
b)
Quadrado
com regiões 2x2 e grades 6x6 com
c)
Retângulo (não quadrado)
regiões 2x3.
d)
Trapézio
e)
Paralelogramo (não retângulo)
f)
Pentágono
g)
Hexágono
2- Nos casos anteriores, determine o
Dicas e Estratégias Algumas dicas podem ser uteis na resolução de um Sudoku.
perímetro e área de cada uma das regiões. Com Marcações
Aula 10 - Sudoku
Uma estratégia simples é: para cada fila determinar todos os valores
O Sudoku é um jogo lógico de
ausentes, usando a regra do jogo,
posicionamento numérico. Criado pelo
pode-se eliminar as inconsistências e
norte americano Howard Garns, no
comparando
final da década de 1970, conquistando
valores únicos para algumas casas.
os
resultados
obter
sua popularização somente a partir dos anos 2000, principalmente com a
Número Sozinho
inserção deste jogo em aparelhos
Ao se realizar a análise, em algumas
celulares.
situações já se percebe valores únicos
Como Jogar Sudoku
para algumas posições. Estes valores obrigatoriamente deverão ocupar a
O Sudoku é um desafio na modalidade
casa estabelecida.
passatempo, individual e que envolve raciocínio e lógica. A ideia do jogo é bem simples: completar todas as 81 células usando números de 1 a 9, sem repetir os números numa mesma linha, coluna ou grade (3x3). Hoje já existem diversas variantes deste jogo, sendo a grade 9x9 com regiões 3x3 a mais usual. Podemos destacar dentre estes, grades de 4x4
Modelo de resolução
13
Número Sozinho Oculto Da mesma forma, durante a análise das posições percebe-se que um determinado valor, mesmo não sendo único na casa, mas é único na fila ou na região 3x3. Então este valor único deverá
ocupar
também
a
casa
correspondente.
Modelo de resolução
Sem Marcações Uma outra forma de solucionar é através da eliminação de filas ou regiões
que
determinado
apresentam valor,
tal
um
processo
permite perceber as possíveis casas que podem ser ocupadas pelo número Modelo de resolução
selecionado.
Pares Sozinhos
Linhas Cruzadas
Em algumas filas ou regiões 3x3, podem aparecer pares de dados idênticos, neste caso pode-se eliminar estes valores nas demais posições da fila ou região correspondente, pois com certeza estas casas que contém os pares deverão ser ocupadas por estes valores em uma ordem ainda a ser
estabelecida.
Mas
que
pode
solucionar outras posições após as eliminações.
Modelo de resolução
14
Este é o processo mais intuitivo que se
Aulas 11 e 12 – Praticando
tem para solucionar o Sudoku. Mais estes dois modelos não esgotam todos
Resolver desafios relacionados ao
os métodos resolutivos, no entanto,
jogo Sudoku, é importante para o
representam um caminho concreto
desenvolvimento
para alcançar o objetivo e vencer o
relacionados ao raciocínio lógico. Com
jogo.
este objetivo segue uma sequência de
Exemplos:
de
competências
desafios por nível de dificuldade. Muito fácil
Fácil
Médio 15
Aulas 13 e 14 – Cubo Rubik (Cubo Mágico) Criado pelo professor de arquitetura Erno Rubik, em 1974, na Hungria, o agora chamado cubo de Rubik foi desenvolvido como instrumento de aprendizagem para estudos referente a noção espacial e propriedades.
Difícil
Inicialmente,
o
protótipo
do
denominado
cubo
mágico
pelo
professor, foi produzido em madeira e cada face foi pintado com uma cor, distinta das demais, para facilitar a visualização
dos
movimentos
realizados. O objeto só passou a despertar interesse como quebracabeça,
quando
foi
percebida
a
dificuldade em voltar a disposição inicial, existem relatos que o próprio inventor resolveu o desafio após longas tentativas. Muito difícil
Com a complexidade observada para solucionar o desafio, o objeto logo despertou o interesse comercial, o qual viria a se tornar o brinquedo mais vendido na história da humanidade. O próprio inventor, classificou o objeto como uma peça de arte móvel, capaz de ser ao mesmo tempo elementar e apresentar
conotação
complexa,
dispositivo estável em sua estrutura, mas
que
é
dinâmico
em
seus
movimentos, capaz de produzir muitas 16
vezes frustrações, ao mesmo tempo
versões,
chamadas
que leva ao triunfo, enfim, o cubo de
modelos
2x2x2,
Rubik
progredindo
representa,
em
muitas
variantes,
4x4x4,
para
de
5x5x5…,
modelos
como
situações, as dualidades e desafios da
17x17x17, fisicamente, na atualidade,
vida moderna.
até
Mas o fascínio pelo quebra-cabeça se dá
após
o
processo
de
embaralhamento e reorganização das faces, com cores únicas, o que é chamado de solucionar o cubo. Em geral, para solucionar o desafio são utilizados
padrões
de
sequências
lógicas de movimentos, dado que de forma aleatória é pouco provável que seja
solucionado,
cálculos
uma
matemáticos
sugerem
vez
que
realizados
que
existem
43.252.003.274.489.856.000,
ou
aproximadamente, 43 quintilhões de combinações
diferentes
em
uma
leitura simplificada.
mesmo
modelos
muito
mais
complexos em formatos virtuais. Desvendando o Cubo de Rubik O cubo de Rubik corresponde a versão oficial de uma família de brinquedos que
apresentam
característica
de
padrões de cores na face de um cubo. Como descrito acima, esta família de quebra-cabeças
apresentam
uma
grande quantidade de variações, que em
geral
são
chamados,
cubos
mágicos, no entanto o cubo de Rubik apresenta descrição bastante restrita, o
que
o
diferencia
de
outros
dispositivos similares, dentre estas, o tamanho da aresta, 55 mm, as cores das faces: branca, amarela, vermelha,
Apesar do protótipo ter sido em
laranja, verde e azul, enquanto os
madeira, os atuais Cubos de Rubik são
similares podem variar a medida da
em geral, produzidos em polietileno.
aresta, sendo a mais comum, 57 mm
Outra
com
e, também o padrão e posicionamento
estrutura do disposto, uma vez que a
das cores das faces. Além do padrão
versão original apresentava o desafio
comum a todos os similares do tipo
em três camadas e três colunas em
3x3x3,
cada face, o chamado 3x3x3. Mas com
quadradas, sendo 9 em cada face do
a popularização do cubo de Rubik e, o
cubo.
mudança
desenvolvimento
faz relação
de
métodos
resolutivos, ocorreu a necessidade de
de
possuírem
54
facetas
A melhor maneira para compreensão do cubo de Rubik são as análises de
torná-lo mais desafiador e, já existem 17
suas estruturas, tais análises podem
8 cubos de canto (3 cores);
ser feitas em dois grupos:
12 cubos de borda lateral (2 cores);
1) Camadas:
6 cubos centrais (1 cor). O Cubo de Rubik é divido em três camadas, sendo a inferior (também
Ainda com relação as faces podem-se
chamada primeira camada), a mediana
observar que:
(segunda
1. Os seis cubos centrais não podem
camada)
e
a
superior
(terceira camada).
ser permutados, os quais servem de referências para determinação da cor da face; 2. Os demais cubos das faces podem permutar,
no
entanto
deve-se
perceber que os de bordas laterais permutam com outros de bordas laterais e os cubos de canto, permutam entre si, não sendo
Divisão das camadas no Cubo de Rubik
possível a permuta entre cubos de 2) Faces:
bordas laterais e cubos de canto.
Como a finalidade do quebra-cabeça
3. A distribuição das cores nas faces
vez
do cubo de Rubik, também é bem
embaralhado, voltar a posição em que
definida e representam sempre
cada face possui todas as facetas de
cores em faces opostas os pares:
Cubo
de
Rubik
é,
uma
mesma cor, então compreender como
Azul e Verde;
o quebra-cabeça é constituído em
Amarela e Branca;
relação as faces é algo essencial.
Vermelha e Laranja.
Se for considerado, hipoteticamente
4. Cada face é nomeada segundo a
que, cada faceta na face do cubo
sua posição em relação ao indivíduo
representa a face de um pequeno cubo
que procura resolver o quebra-
(aresta 1/3 do cubo de Rubik), então
cabeça, da seguinte forma:
pode-se notar que as faces do cubo de Rubik contém 26 pequenos cubos. Dos quais:
Frente ou Front (F): face em frente ao indivíduo; Baixo ou Down (D): face que é a base inferior do cubo; 18
Superior ou Up (U): face na parte
Movimento D’: giro da face inferior no sentido anti-horário;
de cima do cubo; Direita ou Right (R): face lateral que é movimentada com mão
Movimento F: giro da face frontal sentido horário;
direita; Esquerda ou Left (L): face lateral que é movimentada com a mão esquerda.
sentido anti-horário; Movimento L: giro da face esquerda
Atrás ou Back (B): face oposta a face da frente.
como
sentido horário; Movimento L’: giro da face esquerda
A nomenclatura em inglês das faces assim
Movimento F’: giro da face frontal no
as
abreviações
são
essenciais para a resolução de cubos
no sentido anti-horário; Movimento R: giro da face direita sentido horário;
de Rubik utilizando padrões. Movimento R’: giro da face direita no 5. Cada face do quebra-cabeça tem
sentido anti-horário;
dois sentidos de giro (considera-se um giro, o movimento de 90º ou ¼
Movimento B: giro da face de trás no
de volta em uma face), são estes:
sentido horário;
Sentido horário: sentido igual ao movimento
dos
ponteiros
do
relógio (regra da mão direita); Sentido
anti-horário:
sentido
contrário ao sentido horário. Como nomenclatura, descreve-se:
Movimento B’: giro da face de trás no sentido anti-horário. De forma geral, as permutações nas facetas do cubo de Rubik, ocorrem em três situações:
Giro simples: permutação obtida por
Movimento U: giro da face superior
um único giro em uma das faces,
sentido horário;
por exemplo,
Movimento U’: giro da face superior
movimento B;
no sentido anti-horário;
o
movimento U,
Giro duplo: permutação obtida por dois giros sucessivos da mesma
Movimento D: giro da face inferior sentido horário;
face no mesmo sentido ou giro de 180º, por exemplo, o movimento F2, movimento B2; 19
Giros combinados: permutações
como por exemplo, Movimento
obtidas por giros em mais de uma
Lw’, Movimento Bw2.
face
sequencialmente,
exemplo,
Movimento
por F’B’,
Movimento RUR’URU2R’;
Giro
da
camada
Com relação aos movimentos, ainda existem os movimentos do cubo de Rubik completo em relação aos eixos
mediana:
tridimensionais, assim:
permutação de um giro simples ou
duplos da camada mediana: face
Movimento realizado em torno do
mediana no mesmo sentindo do
eixo x, no mesmo sentido do
movimento L ou R’;
movimento
Movimento M’: Giro da face
também o movimento x’ ou [r’] ou
mediana no mesmo sentindo do
[l];
Movimento
M:
Giro
da
movimento L’ ou R;
R.
Assim,
como
Movimento y ou [d’] ou [u]:
face
Movimento realizado em torno do
mediana no mesmo sentindo do
eixo y, no mesmo sentido do
movimento F ou B’;
movimento
Movimento
também o movimento y’ ou [d] ou
Movimento
S:
S’:
Giro
da
Giro da face
movimento F’ ou B;
U.
Assim,
como
[u’];
mediana no mesmo sentindo do
Movimento z ou [b’] ou [f]:
face
Movimento realizado em torno do
mediana no mesmo sentindo do
eixo z, no mesmo sentido do
movimento D ou U’;
movimento
Movimento
também o movimento z’ ou [b] ou
Movimento
E:
E’:
Giro
da
Giro da face
movimento D’ ou U. Giro
de
camada
F.
Assim,
como
[f’].
mediana no mesmo sentindo do
Movimento x ou [r] ou [l’]:
Na
busca
da
otimização,
dupla:
pesquisadores buscam o número ideal
permutação de um giro simples ou
de movimentos que permita resolver
duplo de uma face acompanhada
qualquer disposição de cores do
da camada mediana em relação a
quebra-cabeça.
face. Tal movimento segue o mesmo padrão dos giros simples e duplos acompanhados da letra w,
Em 1981, o matemático Morwen Thistlethwaite
desenvolveu
um
algoritmo que produzia sequências 20
para solucionar qualquer configuração
segundos e pertence ao australiano
de embaralhamento do cubo de Rubik
Feliks Zemdegs.
em 52 movimentos, em 1990, o valor caiu para 42, foi cravado com o 29 no ano 2000 e, em 2008, um algoritmo encontrou o número 22. Já em 2010, um
grupo
de
pesquisadores
americanos desenvolveu um sistema de análise de dados que possibilita encontrar soluções para o cubo de Rubik em qualquer configuração de embaralhamento com 20 ou menos movimentos, tal software é conhecido como
“algoritmo
construir
de
sequências
Deus”, que
por
até
a
Quando se fala em pesquisadores, logo vem a curiosidade de saber o quanto o cubo de Rubik representa um objeto de estudos. No campo da matemática, despertou
este na
quebra-cabeça
área
das
álgebras
abstratas, pesquisas e construção da teoria chamada grupos de Rubik, o qual descreve o quebra-cabeça como uma estrutura de grupo, munido da operação giro, com as propriedades associativa e elemento inverso para todos os giros.
atualidade são consideradas perfeitas para solucionar o quebra-cabeça. Mas uma questão relevante quando se busca
a sequência
perfeita para
solucionar uma disposição de cores qualquer do cubo, percebe-se que o número de movimento da imensa maioria dos casos é 18, pois tal configuração solução
de
é
responsável 2
em
cada
pela 3
embaralhamentos, dentre todas as possibilidades do cubo e, que a grande concentração de situações é resolvida entre 15 e 20 giros entre simples e duplos.
Embaralhamento O Cubo de Rubik, quando solucionado apresenta seu estado inicial, cada face com uma única cor, no entanto, para que se torne o desafio que se propõe, existe
a
necessidade
de
serem
realizados os movimentos para o embaralhamento.
Oficialmente,
caso das competições de
no
cubos
mágicos e demais quebra-cabeças com mesmo padrão de desafio, a entidade que regulamenta é a WCA, numa
livre
Mundial
tradução,
de
Cubos.
Associação
Pelas regras
Em competições oficiais, o recorde
estabelecidas
mundial de Cubo de Rubik, registrado
movimentos, para o embaralhamento,
em 2018 e ainda vigente, é de 4,22
deve
ser
uma
sequência
construída
através
de
de 21
softwares específicos para padrões em
Rubik, dentre estes, destacam-se pela
variáveis aleatórias e executadas no
popularização:
quebra-cabeça. Quanto a posição do
Método de Camadas;
Método Cubo Fridrich Rubik;
Método Blindfolded
cubo de Rubik, para que seja iniciado a
sequência,
estabelece
o
que
a
regulamento face
superior
corresponda à cor branca e, a face
O método de camada é conhecido
frontal, corresponda à cor verde. Em
como método básico para solucionar o
quebra-cabeças cujo padrão de cores
cubo de Rubik, os métodos Fridrich e
não apresente estas duas, deve-se
Blindfolded são considerados métodos
considerar a face superior como a mais
avançados.
clara que houver e a frontal, a cor mais
Para o velocista em cubo de Rubik é
escura adjacente a esta. Mesmo não
inevitável a migração para os métodos
apresentando um número exatos de
avançados, como os descritos acima,
movimentos
os
mas não se descarta outros métodos
softwares apresentam uma tendência
existentes, no entanto, a proposta
de construção de sequências com
deste
mais de 20 de giros entre simples e
habilidade
duplos. Exemplos de geradores online
cabeça, neste sentido, a ênfase será o
de sequências de embaralhamentos.
desenvolvimento
para
embaralhar,
trabalho
é
desenvolver
resolutiva
da
do
a
quebra-
aprendizagem
com base no Método de Camada. Método de Camadas Pensado para o Cubo Mágico 3X3X3, o
método
de
camadas
é
uma
referência, não apenas para iniciantes da prática do cubo mágico, mas também para diversos modelos de quebra-cabeças que usam padrões de
Aulas 15 a 19 – Montando o
cores e mecanismos similares ao cubo
Cubo de Rubik
de Rubik. Tal método, como o próprio se
nome indica, apresenta a solução
resolver o quebra-cabeça o cubo de
camada por camada, a partir da inferior
Existem
vários
métodos
para
até a camada superior. 22
Cada uma das 8 etapas para a solução
demais faces do cubo de Rubik, até
exige uma sequência de passos e
mesmo na própria face identificada,
posicionamentos
que
com a finalidade de fazer a chamada
devem ser observados para que, em
cruz branca com centro amarelo, que
muitos casos, não sejam desfeitas
nada mais é que permutar os cubinhos
etapas já realizadas.
laterais até que os cubinhos laterais
específicos
Assim, considerando que o cubo de Rubik não esteja na disposição inicial das cores, ou seja, esteja com as faces compostas por cores diversas ou em condições
consideradas
de
com facetas brancas e com estas facetas brancas, adjacentes a faceta amarela central. Este passo é bastante intuitivo,
no
entanto
é
restringir a alguns casos.
embaralhamento. Podemos solucionar
Posição
o
deste
quebra-cabeça
seguindo
possível
as
final passo,
cruz branca
seguintes etapas:
centro
a de
amarelo.
Havendo ou não cantos
com
a
faceta branca.
Caso a posição do cubo lateral esteja em uma das situações a seguir, podese usar as seguintes sequências de giros: Posição embaralhada ou diferente da posição
resolvido.
Cubinho lateral com faceta branca
Etapa 1 – Camada Inferior ou
em comum a duas das faces
Primeira Camada
laterais em relação a face com faceta central amarela.
Nesta etapa, há a necessidade de execução
de
quatro
passos
que
podem com a prática, tornarem mais integradas e menos distinguíveis.
Neste caso basta realizar o giro simples para deslocar o cubinho com a faceta branca para a face com centro de cor amarela
Passo 1: Identificar a face com a faceta central na cor amarela, em seguida, utilizar movimentos de giros simples, duplos ou combinados, nas 23
Temos duas situações que devem ser Aqui, considerando a face
solucionados
com
o
mesmo
procedimento.
vermelha
como
frontal,
pode-se aplicar
Para posicionar no destino devemos,
o movimento R.
considerando a face que contém esta faceta branca como frontal, basta
Cubinho lateral com faceta branca
realizar o movimento F ou F’ e em
na face de faceta central branca.
seguida realizar o movimento L’ ou R.
Nesta situação, basta realizar o giro duplo na face lateral que possui o cubinho com faceta banca em comum com a face de faceta central branca.
Vale a alertar sobre a necessidade de Nesta
imagem,
considerando face
de
a
centro
azul como frontal,
observar que antes de qualquer um dos casos acima, possa ocorrer de algum giro ao ser realizado possa
basta realizar o
mudar o que já foi montado da cruz
movimento F2.
branca de centro amarela, caso haja necessidade
deve-se
Cubinho lateral com faceta branca
movimentos
adjacente a face de faceta central
montada
amarela ou branca, com a faceta
desconstrução.
na a
face cruz
realizar que
sendo
para
evitar
branca na face lateral. Na
situação
apresentada
há
necessidade um giro combinado, primeiro na face que contém a faceta branca e em seguida um giro na face lateral adjacente a que
Passo 2: Alinhamento de cores das facetas laterais dos cubinhos que compõem a cruz branca de centro amarelo com os centros das facetas laterais.
contém a faceta branca em direção a face com a faceta central amarela.
24
Aqui temos duas
Passo 3: Completando a face branca
situações,
e a primeira camada.
na
primeira, cujo o alinhamento
já
Para completar a face branca, resta
está
e
posicionar
sendo com
certo a
face centro
vermelha, a face
os
brancas.
cantos
Inicialmente
de
facetas deve-se
identificar uma face como face frontal,
frontal, basta realizar o movimento F2 ou F2’.
antes de realizar o posicionamento da
Este procedimento deve ser realizado em
peça de canto com faceta branca, na
todas as situações que já estejam alinhados,
face branca. Para esta identificação
após este procedimento, realizar giro simples ou duplos na face aonde está a cruz para alinhar e repetir o movimento acima.
deve-se
como
face
frontal, para um determinado caso, a que
Ao término destes passos forma-se a
considerada
atende
a
duas
condições
necessárias:
cruz banca na face cuja faceta central é branca, então temos inicia-se o
Condição 1:
a face deve contém a
passo para completar a face branca. A
peça de canto com faceta branca
partir deste passo a face com centro
adjacente a camada de cima e a faceta
branca será a face inferior de baixo do
branca deve estar na face frontal;
cubo de Rubik, o que obrigatoriamente
Condição 2: a faceta adjacente a
faz da face de centro amarela, a face
faceta branca da peça do canto, que
de cima.
está na face lateral, deve estar com a cor idêntica a faceta central da face lateral a que pertence. Assim, a faceta branca estará na face frontal, no canto superior direito ou esquerdo da face frontal e a faceta do mesmo cubinho que as contém, deve estar com a
Posicionamento do cubo com a face de
mesma cor da faceta central da face
faceta central branca para baixo e, a
lateral a que a outra faceta pertence.
formação da cruz branca na face de faceta central branca, a chamada cruz branca.
Para atender a condição 2, deve-se fazer o Movimento Dw ou Dw’, isto é giro com as camadas inferior e
25
mediana ao mesmo tempo, até que a
No
condição acima seja obedecida.
cubinho
Atendidas
as
duas
condições,
caso
estar
o na
posição
inferior,
considere
a
que
observar dois casos:
de
face
apresenta
a
faceta branca, como
Caso 1: Faceta branca canto superior direito
frontal,
então
haverá duas situações:
Movimento:
Lado Direito
Lado Esquerdo
Movimento:
Movimento:
F’ U’ F
F U F’
F’ U’ R’ Quando o cubinho está com a faceta branca na face de cima
Caso 2: Faceta branca canto superior
antes
executar
esquerdo
movimento
de o para
corrigir a posição, deve-se, quando necessário, realizar giros na
Movimento:
face de cima até que a coluna que contém o cubinho, não apresente, na face branca, um
FUL
cubinho que já esteja na posição correta. Considerando a face frontal a que dispõe o cubinho com a faceta branca na face amarela,
Agora vale destacar as situações em que a peça não está na posição ou
na face esquerda.
Movimento:
está na posição certa, mas com a faceta branca na face de cima, observe
F U’ F’
como deixar o cubinho com a face branca na posição para executar as ações anteriores.
26
Quando a faceta branca estar na face branca, porém numa posição diferente da que deveria estar e considerando que a face frontal será a que deixa este cubinho na face esquerda.
Posição inicial
Movimento: F U F’ Após realizada todos os passos da
Quando
etapa, foi montada a primeira camada
satisfeita,
com a face branca completa como face
posicionamento do cubinho, neste
de baixo.
passo basta observar a cor da faceta
a
condição resta
inicial
estar
encontrar qual
o
superior do cubinho e a face lateral a cor corresponde a faceta central da face, tem-se dois casos:
Etapa 2 – Camada Mediana ou Segunda Camada
Lado Direito
Lado Esquerdo
Movimento:
Movimento:
U R U R’ U’ F’ U’ F U’ L’ U’ L U F U F’
Quando o cubinho a ser posicionado está já posicionado em uma posição
Após primeira camada completa, a
diferente da correta, então deve-se
segunda camada já apresenta a faceta
realizar um dos movimentos descritos,
central na posição correta, então resta
para retirar o mesmo da posição,
colocar os cubinhos de bordas laterais
substituindo por outro cubinho que não
que
facetas
seja da segunda camada, isto é, com
amarelas e nem brancas, na posição
uma faceta amarela, e depois executar
correta. A condição exigida para iniciar
o
o movimento de posicionamento do
reposicionamento na posição correta.
não
apresentam
a
movimento
descrito
para
cubinho para a posição correta é o cubinho desejado estar na face frontal do cubo na coluna central e, com a cor da faceta frontal coincidente com a cor da faceta central da face.
27
Etapa 3 – Camada Superior ou
foi concluído, caso contrário, repetir o
Terceira Camada
passo
Esta será a etapa em que serão realizados
quatro
completar
as
passos
facetas
inteiro.
Em
geral,
até
3
repetições garantem a cruz formada.
para
laterais
da
terceira camada e a face de cima (Face Amarela). Passo 1: Cruz amarela Para
este
passo
é
necessário
Cruz amarela feita
determinar uma face como a face frontal.
Tal
determinação
será
Passo 2: Completar Face de Cima
realizada pela disposição de facetas
O movimento para completar a face de
da face de cima, isto é, a face a ser
cima chama-se movimento sune, cujo
considerada frontal será aquela cuja a
movimento é R U R’ U R U2 R’.
disposição de cores da camada de cima
disponha
na
faceta
lateral
esquerda na cor amarela e na faceta lateral frontal, qualquer outra cor que
Para
iniciar
o
movimento
sune,
descrito acima, se faz necessário determinar a face que será a face frontal, existem três casos:
não seja amarela. Caso 1: Nenhumas das facetas
Posição Inicial
de canto da face de cima,
Face Frontal: Face Verde
com
facetas
amarelas. Neste caso, a frente será a que apresenta, pelo menos, uma das facetas de canto da face esquerda da camada superior na cor amarela.
Movimento:
Na imagem, a face frontal é a verde.
F U R U’ R’ F’ Caso 2:
Se a cruz amarela foi formada, independentemente das disposições de cores das facetas de canto, o passo
Existem duas facetas de canto, da face de cima, na cor amarela.
28
Neste caso, a frente será a que apresenta a
Caso,
faceta do canto esquerdo da camada superior
orientação
na cor amarela. Na imagem, a face frontal é a azul.
não
seja
possível
inicial,
esta
executa-se
o
movimento uma posição qualquer, ao termino, orientará os cantos de uma
Caso 3:
face, esta será a face de trás, em
Existem apenas uma faceta de canto, da face de cima, na cor amarela.
seguida
executa-se
novamente
o
movimento, finalizando a orientação dos cantos.
Neste caso, a frente será a que apresenta a
Passo 3: Orientação dos meios da
faceta do canto frontal esquerdo da face de
camada superior
cima na cor amarela. Na imagem, a face frontal
O movimento para orientação das
é a verde.
facetas laterais da camada superior é Para
algumas
processo
combinações,
para
completar
a
o face
amarela, poderá requerer a repetição, em até três vezes, do movimento sune.
chamado, movimento minerva. A posição inicial será a que apresenta como face da frente oposta a face que já tiver completa (face de trás). Caso não esteja nenhuma face completa, deve-se executar a sequência em qualquer
disposição
e,
após
o
movimento, uma face será completa e, então Face amarela completa
executa-se
novamente,
em
acordo com a regra. Existem dois
Passo 2: Orientação dos cantos da
casos:
camada superior O movimento para reorientação dos
Caso 1: A faceta
cantos para as faces correspondente é
que completa a
comumente
identificado
face frontal está
como
na face direita.
movimento L, cuja sequência de movimento é R’ F R’ B2 R F’ R’ B2 R2. Para posição inicial o cubo deve ser posicionado de forma que a face de
Movimento: F2 U L R’ F2 L’ R U F2
trás disponha os cantos já orientados. 29
a posição na face esquerda e, o Caso 2: A faceta
cubinho que está na face esquerda é
que completa a
reorientado para a posição na face
face frontal está
direita.
na face esquerda.
Movimento: F2 U’ L R’ F2 L’ R U’ F2
O movimento L, pode ser substituído por outras sequências. Sequência
1:
A
finalidade
desta
sequência é reordenar os cubinhos de canto da camada superior. A posição inicial deve ser a que apresenta um Cubo de Rubik resolvido
Discussões sobre os movimentos
canto orientado, na posição canto direita e atrás.
O movimento a ser
realizado é L U’ R’ U L’ U’ R U. Tal
Movimento sune
sequência permuta os cantos da
O movimento sune descrito como a
camada superior, com exceção, do
sequência R U R’ U R U2 R’, para
cubinho de canto direito e atrás. A
completar a face de cima, também
reorientação será no sentido anti-
apresenta
característica
horário, isto é, o cubinho do canto
importante, a orientação dos cubinhos
frontal esquerdo irá para a posição do
laterais da face superior em relação as
canto frontal direito, o cubinho do canto
faces laterais correspondentes, com
frontal direito irá para a posição do
exceção do cubinho da face frontal. Tal
canto esquerdo e atrás e, o cubinho do
reorientação é feita no sentido anti-
canto esquerdo atrás irá para a
horário, isto é, o cubinho que está na
posição do canto esquerdo frontal.
uma
face direita é reorientado para a face de trás, a de trás será reorientada para 30
Caso 2: A faceta a ser ordenada deve um
executar movimento
horário
Neste caso o movimento deve ser: L B L’ B’ L Orientação dos meios
Sequência
2:
B L’ B’
desta
Após executar cada sequência, deve-
sequência é a correção dos cubinhos
se realizar o movimento U, até o
de canto da camada superior, já nos
próximo
lugares certos, mas fora de posição em
aparecer na posição canto esquerda
relação
frontal.
as
reorientação
Finalidade
faces, destes
fazendo cubinhos
a em
relação as faces correspondentes. O posicionamento do cubo deve ser de
canto
a
ser
ordenado
Atividade: Refaça o modelo.
forma que a peça do canto esquerdo frontal esteja sem a orientação correta. Existem dois casos a considerar:
Aula 20 – Variações do Jogo Além do Cubo de Rubik, cubo mágico 3x3x3, há muitas variações como os
Caso 1: A faceta
Cubos 4x4x4, 5x5x5 ... e, ainda outros
a ser ordenada
formatos que não os cúbicos, como
deve
tetraedro, dodecaedro, icosaedro.
um
executar movimento
anti-horário
Neste caso o movimento deve ser: B L B’ L’ B L B’ L’
Modelos variantes com padrões de cores
Todos possuem métodos resolutivos, mas o método de camadas do Cubo de 31
Rubik, e as fórmulas para permutações
memorização
já representam um começo para
quantidade de sequências.
resolver uma boa variedade destes quebra-cabeças.
de
uma
grande
Além deste método avançando, que é de longe o mais usado, existem outros
Atividade:
já citados e, alguns conhecidos como
Compreender através de pesquisas o desenvolvimento
dos
métodos
resolutivos destas variações.
métodos alternativos, dentre estes: Método Cubo Mágico com histórias; Método da fórmula única para montar
Outros métodos resolutivos
o Cubo Mágico (F1);
Método Fridrich
Cubo Mágico com apenas 2 fórmulas;
O Método Avançado Fridrich segue o
Cubo Mágico com uma mão (3x3x3
mesmo
OH);
princípio
do
método
de
camadas, no entanto, este método requer
mais
atenção
a
Cubo Mágico com os pés.
casos
particulares o que torna mais rápido a resolução, mas que também requer a memorização
de
uma
quantidade
considerável de sequências, dentre movimentos resolutivos e atalhos, num total de 119 casos divididos em 3 partes: F2L - finish two layers - finalizar as duas primeiras camadas: 41 casos. OLL - orientation last layer - orientar a última camada: 57 casos. PLL - permutation last layer - permutar a última camada: 21 casos. Mesmo não sendo necessário saber todos os casos, o método requer uma
32
Editorial
Referências:
Centro de Matemática, Ciências e Filosofia Endereço: Rua Rui Barbosa, 325 CRIE – Térreo (Antigo MIRASHOPING) Centro ~ Cep: 69.900-084
(1) Torres de Hanói. Unicamp: Recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino médio. 2007. Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/13 61> Acesso em: 22 de janeiro de 2019.
Rio Branco – Acre Contatos: (68) 99955 1497
(2)
cmcf.di.seeac@gmail.com
Tangram, Geniol, 2014. Disponível em: <https://www.geniol.com.br/raciocinio/t angram/> Acesso em: 22 de janeiro de 2019. (3) Sudoku: Como Jogar e Estratégias. Geniol. 2014. Disponível em: <https://www.geniol.com.br/logica/sud oku/como-jogar-e-estrategias/> Acesso em: 22 de janeiro de 2019. (3) Tutorial cubo Mágico 3x3x3: Método básico. Cubo Velocidade. 2007. Disponível em: <http://www.cubovelocidade.com.br/tu toriais/cubo-magico-basico-metodocamadas-1-passo-cruz-branca.html> Acesso em: 22 de janeiro de 2019.
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