Introdução ao Software Geogebra by Centro de Matemática Ciencias e Filosofia

“A Inovação distingue entre um líder e um seguidor.” Steve Jobs

Apresentação

A gêneses deste curso está na construção de uma alternativa para o ensino de um grande número de elementos da Matemática, pois deseja-se que o participante alie ao conhecimento matemático formal, um software que combina a geometria e a álgebra como uma ferramenta para o aprender, ambos com um mesmo grau de importância e, cuja utilização permite o despertar, a curiosidade e o interesse na aprendizagem da Matemática. Através da aplicação dos conceitos matemáticos na utilização do software, com atividades interativas e animações, busca-se mostrar as funcionalidades, aplicabilidades e capacidades de uso desta ferramenta. Bom proveito!

SUMÁRIO Introdução .................................................................................................................................................. 1 Barra de MENU........................................................................................................................................... 2 Barra de Ferramentas ................................................................................................................................. 3 Formatação .............................................................................................................................................. 12 ATIVIDADES COM A JANELA DE VISUALIZAÇÃO 2D .................................................................................. 15 ATIVIDADES COM A JANELA DE VISUALIZAÇÃO 3D .................................................................................. 20

Introdução O GeoGebra é um software livre e de fácil operacionalização, pois conta com um menu básico com opções de comando com símbolos associados as funções os quais oferecem várias possibilidades de construções geométricas e algébricas. O software ainda com diversas janelas de exibição tanto relacionadas a parte geométrica 2D e 3D (a partir da versão 5.0), quanto a álgebra e processos de construções .

Imagem GeoGebra 3.2

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Barra de MENU Imagem GeoGebra 5.0

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Modos de visualizações

Imagem GeoGebra 5.0

Barra de Ferramentas Cada ícone de ferramenta do GeoGebra possui subcomandos conforme mostrado abaixo:

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Janela 1 Mover: permite selecionar, mover e manipular os objetos.

Girar em torno de um ponto: permite girar os objetos em torno de um ponto. Gravar para a planilha de cálculo: permite transportar informações selecionadas da janela geométrica para a planilha de cálculo. Janela 2 Novo Ponto: permite criar um ponto em um espaço livre, objeto ou intersecção. Intersecção de dois pontos: permite localizar os pontos de intersecção entre dois objetos. Ponto médio ou centro: permite criar o ponto médio entre dois objetos.

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Janela 3 Reta definida por dois pontos: permite criar uma reta que passa por dois pontos. Segmento definido por dois pontos: permite criar o segmento de reta liga dois pontos.

que

Segmento com comprimento fixo: permite criar um segmento de reta definido o seu comprimento. Semirreta definida por dois pontos: permite criar uma semirreta dados dois pontos. Vetor definido por dois pontos: permite criar um vetor dados dois pontos. Vetor a partir de um ponto: permite criar um vetor paralelo a outro vetor clicando num vetor e em seguida num ponto. Janela 4 Reta perpendicular: constrói uma reta perpendicular a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Reta paralela: constrói uma reta paralela a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Mediatriz: permite construir a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento. Bissetriz: permite construir a bissetriz de um ângulo. Tangentes: permite construir retas tangentes a uma circunferência, cônica ou função, dado um ponto.

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Reta polar ou diametral: constrói a reta diametral relativa a uma circunferência ou curvas cônicas. Reta de regressão linear: permite achar a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Lugar Geométrico: constrói automaticamente o lugar geométrico descrito pelo movimento de um objeto ao longo de uma trajetória. Janela 5 Polígono: permite construir um polígono de N lados. Polígono regular: permite construir um polígono regular dado um lado e a quantidade de vértices ou lados. Janela 6 Círculo definido pelo centro e um dos seus pontos: cria um círculo a partir de dois pontos. Círculo dados centro e raio: cria um círculo dado o centro e raio comprimento definido.

com

Compasso: permite transportar medidas. Círculo definido por três pontos: cria um círculo dado três pontos. Semicírculo definido por dois pontos: cria um semicírculo dado dois pontos.

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Arco circular dados o centro e dois pontos: cria um arco circular dado o centro e dois pontos.

Arco circuncircular dados três pontos: cria um arco a partir de três pontos. Setor circular dados o centro e dois pontos: cria um setor circular dado o centro e dois pontos. Setor circuncircular dados três pontos: cria um setor dado três pontos da circunferência. Janela 7 Elipse: cria uma elipse dado três pontos, sendo dois focos e um ponto na curva. Hipérbole: cria uma hipérbole dado três pontos, sendo dois focos e um ponto na curva. Parábola: cria uma parábola dado um ponto e uma reta diretriz. Cônica definida por cinco pontos: cria uma cônica (parábola, elipse ou hipérbole) dado cinco pontos. Janela 8 Ângulo: permite marcar e medir um ângulo definido por três pontos, sendo que o segundo ponto marcado é o vértice. Ângulo com amplitude fixa: constrói um ângulo com amplitude fixa dado dois pontos. Distância, comprimento ou perímetro: fornece o comprimento de um segmento ou a distância entre dois pontos. INSTITUTO DE MATEMÁTICA, CIÊNCIAS E FILOSOFIA

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Área: fornece a área de uma figura. Inclinação: fornece a inclinação de uma reta. Janela 9 Reflexão com relação a uma reta: cria a simetria axial de um objeto dada uma reta. Reflexão com relação a um ponto: cria a simetria central de um objeto dado um ponto. Inversão: cria o reflexo de um ponto sobre uma circunferência. Girar em torno de um ponto por um ângulo: cria a simetria rotacional de um objeto ao redor de um ponto, dado um ângulo determinado. Transladar objeto por um vetor: cria a simetria translacional de um objeto dado um vetor. Ampliar ou reduzir objetos dados centro e fator de homotetia: cria o homotético de um objeto dado um ponto e a razão de semelhança.

Janela 10 Seletor: é um segmento pequeno que possui um ponto deslizando sobre ele.

Caixa para exibir/esconder objetos: permite escolher quais objetos quer mostrar. Para esconder o objeto, basta desmarcar esta opção. Inserir texto: permite inserir um texto na janela de visualização. Incluir imagem: permite inserir figuras na janela de visualização.

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Relação entre dois objetos: fornece algumas relações dado dois objetos. Janela 11 Deslocar eixos: permite mover os eixos e os objetos nele contidos. Ampliar: permite ampliar as figuras que estão na janela de visualização. Reduzir: permite reduzir as figuras que estão na janela de visualização Exibir / esconder objeto: permite esconder objetos da janela de visualização. Exibir / esconder rótulo: permite esconder os rótulos dos objetos. Copiar estilo visual: permite copiar um estilo visual de um objeto para outro: pontilhado, cor, tamanho, etc. Apagar objeto: permite apagar objetos da janela algébrica ou da janela de visualização.

Formatação Clicando com o botão direito do mouse em qualquer parte da janela geométrica, aparecerá uma figura como a figura abaixo:

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Ao selecionar um objeto e clicar com o botão direito do mouse sobre o objeto, aparecerá uma janela mostrando as opções conforme mostrado abaixo:

Ao clicar na décima janela, escolher a opção seletor e em seguida clicar em qualquer área da janela geométrica, aparecerá a figura abaixo:

Abaixo segue uma sequência de figuras mostrando as opções que podem ser exploradas clicando na opção propriedades.

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O GeoGebra procura incorporar recursos que possibilitam a integração de objetos geométricos, gráficos cartesianos e tabelas.

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ATIVIDADES COM A JANELA DE VISUALIZAÇÃO 2D 1. Construir, com auxílio da entrada de dados, os pontos A=(-3,5), B= (5,6) e C=(7,-4). Formatar: cores diferentes e renomear A= Alfa, B=Beta e C=Gama, alterar estilo. 2. Construa um segmento de reta fixo, com medida 8 cm, partindo do ponto A ( 0 , 0 ) e, depois, determine seu ponto médio C. Formatar o estilo, a cor do segmento e renomear C = M. 3. Construir uma reta que passe pelos pontos P=(-3,5) e Q=(4,-6). Formatar o estilo, a cor da reta e renomear. 4. Construir, com auxílio da caixa de ferramentas: a) Duas retas paralelas; b) Duas retas concorrentes; c) Duas retas perpendiculares. 5. Construir um retângulo cujos vértices estão sobre os pontos A=(-3,4), B=(2,4), 3,6) e D=(2,6).

C=(-

Formatar o estilo, a cor da reta e renomear. 6. Construir uma circunferência de centro C=(-4,5) e raio igual a 3. Formatar o estilo, a cor da reta e renomear.

7. Construa utilizando as ferramentas convenientes: a) Um triângulo retângulo; (Cor: vermelho, estilo: 7 pontos, preenchimento: 50%) b) Um retângulo com dimensões 8cm de comprimento e 4 cm de largura e determine seus ângulos internos. (Copia o estilo do item a) c) Construir um triângulo de lados quaisquer, mas com um de seus ângulos internos com igual a 40o. 8. Construa um pentágono regular ABCDE e determine: a) As medidas de seus lados; b) As medidas de seus ângulos internos; INSTITUTO DE MATEMÁTICA, CIÊNCIAS E FILOSOFIA

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c) Seu perímetro; d) Sua área. 9. Construir, com auxílio da entrada de dados, os gráficos das funções: a) Do primeiro grau: y=a*x+b. b) Do segundo grau: y=a*x^2+b*x+c. 10. Determine com auxílio da caixa de ferramentas: a) O ponto A’ simétrico (reflexo) do ponto A=(2,1) em relação a reta x+y=1; b) O ponto A’ simétrico do ponto A=(-1,-1) em relação ao ponto B=(0,0).

11. Construção do Teorema de Pitágoras - Clique na ferramenta mover e esconda os eixos coordenados x e y; - Trace uma reta (a) passando por dois pontos A e B; - Trace uma reta (b) perpendicular à reta (a); - Marque um ponto C na reta (b); - Trace um polígono (triângulo) através dos pontos ABC; - Deixe invisíveis as retas (a) e (b) através da janela de álgebra; - Clique em polígono regular e construa um quadrado, em cada um dos lados do triângulo retângulo. -

Pinte com cores diferentes os

quadrados construídos; - Clique na ferramenta área e obtenha as áreas de cada quadrado formado pelos lados do triângulo; - Verifiquem que a área do quadrado de lado igual à medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados de lados iguais as medidas dos catetos.

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12. Construção de um balão - Trace um segmento de reta AB e marque seu ponto médio C; - Trace uma reta perpendicular a AB passando pelo ponto médio; - Marque um ponto D na reta perpendicular e faça sua reflexão D’ em relação ao segmento AB; - Trace o polígono ADBD’; - Marque os pontos médios de E e F de AC e CB, respectivamente; - Trace os segmentos de reta DE, DF, D’E e D’F; - Pinte a figura; - Insira o texto.

13. Construção de um pentagrama - Clique em novo ponto e marque dois pontos quaisquer; - Clique em polígono regular e construa um pentágono; - Clique em segmento definido por dois pontos e trace as diagonais desse pentágono; - Apague o pentágono; - Refaça cada polígono que faz parte da estrela e pinte com cores variadas; - Insira o texto.

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14. Construção do YING YANG - Trace uma circunferência; - Trace uma reta passando pelo centro da circunferência; - Trace uma perpendicular passando pelo centro da circunferência; - Trace os pontos médios intercalados e trace semicírculos opostos; - Trace dois círculos pequenos com centros nos pontos médios; -Pinte

15. Construção da Rosa dos Ventos Marque dois pontos e trace um octógono regular ABCDEFGH; - Trace as diagonais AE, BF, CG, DH, EH, AD, BG, CF, BE, DG, AF e CH; - Marque os pontos de interseções J, K, L, M e N dos seguintes segmentos: AE – CG, EH – BF, EB – DH, CH – BF e AF – BG respectivamente; - Trace os polígonos: JEK, JEL, JLC, JCM, JMA, JAN, JNG, JGK e os pinte intercalando o preto com outras cores; - Marque os pontos de interseções O, R, U, W, B1, C1, D1 e E1dos seguintes segmentos: FC – EH, FA – DG, BG – EH, AF – CH, AD – BG, BE – CH, CF – DA e DG – BE respectivamente; - Trace os polígonos FOK, FKR, NHU, NHW, MBB1, MBC1, LDD1 e LDE1 e os pinte intercalando o preto com as outras cores; - Desmarque a opção exibir objeto do polígono1 (octógono) e das diagonais que inicialmente foram traçadas; INSTITUTO DE MATEMÁTICA, CIÊNCIAS E FILOSOFIA

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- Insira o texto. 16. Construção de um quadrado - Marque dois pontos e trace um quadrado regular; - Marque os pontos médios dos lados do quadrado e os una por segmentos de reta; - Trace arcos de círculos, com centro nos vértices do quadrado e extremos nos pontos médios traçados; - Pinte a figura. 17. OUTRAS IMAGENS

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ATIVIDADES COM A JANELA DE VISUALIZAÇÃO 3D 1. Construir, com auxílio da entrada de dados, os pontos A=(2,4,6) e B= (-2,-5,-2). Formatar: cores diferentes e renomear A= Alfa, B=Beta, alterar estilo. 2. Construa através da caixa de ferramentas e dos pontos A e B da questão anterior: a) Uma reta;

b) Um segmento de reta;

c) Uma semirreta;

d) O seu ponto médio C.

Formatar: cores diferentes, renomear retas e alterar estilo.

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3. No campo de entrada: Reta[ <Ponto>, <Ponto> ], construa uma reta que passe pelos pontos A e B da questĂŁo 1.

4. Na caixa de ferramentas construa um ponto A e uma reta (a) passando por dois pontos B e C, determine: a) Na caixa de ferramentas, uma reta (b) passando por A e paralela Ă reta (a). b) No campo de entrada Reta[ <Ponto>, <Reta Paralela> ], uma reta (b) passando por A e paralela Ă reta (a).

5. Na caixa de ferramentas construa um ponto A e uma reta (a) passando por dois pontos B e C, determine: a) Na caixa de ferramentas, uma reta (b) passando por A e perpendicular Ă reta (a). b) No campo de entrada Reta[ <Ponto>, <Reta Paralela> ], uma reta (b) passando por A e perpendicular Ă reta (a).

6. Determine o plano:

a) Formado pelos pontos A=(â&#x2C6;&#x2019;0.5,3,1), B=(3,â&#x2C6;&#x2019;1.5,2) e C=(1,â&#x2C6;&#x2019;2,1) utilizando, no campo de entrada, a funĂ§ĂŁo Plano[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]; b) Formado pela reta đ?&#x2018;&#x; (determinada pelos pontos B=(2, 2, 0) e C=(2,â&#x2C6;&#x2019;2, 0)) e pelo ponto A=(â&#x2C6;&#x2019;2, 0, 1.5), utilizando, no campo de entrada, a funĂ§ĂŁo Plano[ <Ponto>, <Reta> ]. c) Î˛ que passa pelo ponto P= (â&#x2C6;&#x2019;2, 0, 2) e ĂŠ paralelo ao plano Îą formado pelos pontos A= (â&#x2C6;&#x2019;2, 1, 0), B= (â&#x2C6;&#x2019;2,â&#x2C6;&#x2019;1, 0) e C= (2, 0, 1) utilizando, no campo de entrada, a funĂ§ĂŁo Plano[ <Ponto>, <Plano> ]. d) Î˛ que passa pelo ponto P= (â&#x2C6;&#x2019;2, 0, 2) e ĂŠ paralelo ao plano Îą formado pelos pontos A= (â&#x2C6;&#x2019;2, 1, 0), B= (â&#x2C6;&#x2019;2,â&#x2C6;&#x2019;1, 0) e C= (2, 0, 1) utilizando, na caixa de ferramentas, as funĂ§Ăľes: plano por trĂŞs pontos e plano paralelo.

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e) α que passa pelo ponto P= (−1,−2, 3) e é perpendicular à reta (a) que passa pelos pontos A= (−2, 1, 0) e B= (−2,−1, 0) utilizando, no campo de entrada, as funções Reta[ <Ponto>, <Ponto> ] e PlanoPerpendicular[ <Ponto>, <Reta> ]. f) α que passa pelo ponto P= (−1,−2, 3) e é perpendicular à reta (a) que passa pelos pontos A= (−2, 1, 0) e B= (−2,−1, 0) utilizando, na caixa de ferramentas, as funções Reta e Plano Perpendicular.

7. Construir o círculo ( c ) determinado pelos pontos A= (2,−1, 0), B= (1, 1, 1) e

(0,−2, 1) utilizando, no campo de entrada, a função Círculo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] e, na caixa de ferramentas, a função Círculo definido por Três Pontos.

8. Construir o polígono que passa pelos pontos A= (1.8,−1,−0.5), B= (1, 2.5, 1) e

(−0.7,−2, 1) utilizando, no campo de entrada, a função Polígono[ <Ponto>, ..., <Ponto> ] e, na caixa de ferramentas, a função Polígono.

9. Construir o ângulo formado pelos pontos A= (3,-2,0), B= (1,2,2) e C= (-2,-3,3) utilizando, no campo de entrada, a função Ângulo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] e, na caixa de ferramentas, a função Ângulo.

10. Determine a esfera ( a ) formada pelos pontos A= (3,-2,0) e B= (1,2,2) utilizando, no campo de entrada, a função Esfera[ <Ponto>, <Ponto> ] e, outra esfera ( b ), usando o ponto A e raio igual a 3 através da função Esfera[ <Ponto>, <Raio> ]. Formatar: cores diferentes.

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REFERÊNCIAS Material base: PAIVA, G H N R, Manual de atividades no Geogebra para a Educação Básica. TaguatingaDF. 2012 Disponível em: http://facitec.br/revistamat/download/paradidaticos/Manual_Geogebra.pdf

GeoGebra – disponível em http://moodle.org/plugins/view.php?plugin=mod_GeoGebra Aplicações do GeoGebra ao ensino da Matemática – disponível http://cristianopalharini.files.wordpress.com/2009/11/aplicacoes-do-GeoGebra-ao ensino-de-matematica.pdf

GeoGebra: uma opção para o ensino de teoremas pertencentes à Geometria Euclidiana plana – disponível em http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAMJIAC/GeoGebra Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática: disponível em http://pt.wikibooks.org/wiki/Aplicações_do_GeoGebra_ao_ensino_de_Matemática/Co nhecendo_o_GeoGebra Software GeoGebra: uso didático nas aulas de Matemática e Informática educacional das séries finais do ensino fundamental – disponível em http://anapintro.vilabol.uol.com.br/TCCGeoGebra.pdf NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa & ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de – Aprendendo Matemática com o GeoGebra, Brasília: Exato, 2010. GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto & JÚNIOR, José Ruy Giovanni Matemática Completa, São Paulo: FTD, 20

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