LÓGICA MATEMÁTICA I

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APRESENTAÇÃO

O Curso Lógica Matemática I foi concebido com o intuito de suprir uma necessidade do currículo de Matemática da educação básica, uma vez que análise de argumentos e raciocínio é importante para profissionais de todas as áreas. Além disso, o estudo da lógica matemática: 1- É desafiador Estudar lógica simbólica é quase como montar um quebra-cabeça ou resolver um SUDOKU: deve-se analisar os argumentos e reordená-los para que façam sentido. De início, as conexões podem não ser tão óbvias e, por isso, precisará exercitar sua mente para encontrar os encaixes de modo a torná-los válidos. A tarefa não é fácil, mas o desafio o motiva a continuar. 2 – Rapidez de raciocínio Ao se deparar com um problema, os profissionais devem pensar rapidamente para encontrar uma solução. A pressão e o fato de não saber o que deu errado podem complicar a resolução desta situação, mas se pratica com frequência a análise de fatos aparentemente isolados e suas possíveis relações, como propõe a lógica, conseguirá mais velocidade nas questões relativas ao trabalho. 3 – Argumentação melhor fundamentada Embora a argumentação seja atribuída a advogados e publicitários, esta habilidade diz respeito a todas as profissões e não se restringem ao ambiente profissional, afinal persuasão é exigida tanto durante uma entrevista de emprego, na qual você tenta convencer o gestor de que você é o melhor candidato para a vaga, como nas tradicionais discussões de família sobre política ou futebol. Até as redações dos vestibulares prezam que os candidatos aprovados saibam debater suas ideias.

Sumário CAPÍTULO 1: Conceitos Iniciais ..................................................................................... 4 Conceito ......................................................................................................................... 4 Histórico ......................................................................................................................... 5 Raciocínio Intuitivo ......................................................................................................... 5 Raciocínio Espacial ........................................................................................................ 6 Raciocínio Verbal ........................................................................................................... 7 Raciocínio Numérico ...................................................................................................... 7 CAPÍTULO 2: Proposições ............................................................................................. 8 Conceito ......................................................................................................................... 8 Conectivos Lógicos ........................................................................................................ 8 As três leis do pensamento ............................................................................................ 9 Valor lógico de uma proposição e Tabela Verdade ........................................................ 9 Número de linhas de uma Tabela Verdade .................................................................. 11 Tautologia .................................................................................................................... 13 Contradição .................................................................................................................. 13 Contingência ................................................................................................................ 13 CAPÍTULO 3: A Tabela-Verdade de uma Proposição Composta ................................. 15 Negação de uma proposição (~) .................................................................................. 15 Conjunção de proposições (∧)...................................................................................... 16 Disjunção de proposições (∨) ....................................................................................... 17 Implicação de proposições (→) ..................................................................................... 18 Bi-implicação de proposições (↔) ................................................................................ 19 Capitulo 4: Argumentos ................................................................................................ 27 Argumentos válidos e sofismas .................................................................................... 28 Tipos de argumentos: categóricos e hipotéticos ........................................................... 29 Tabelas-verdade e argumentos .................................................................................... 31 Problemas envolvendo dedução e indução .................................................................. 33 Editorial ............................................................................Erro! Indicador não definido. Referências Bibliográficas ............................................................................................ 40

“Todo macaco é um mamífero.

Iniciação à Lógica

Todo mamífero é um animal. Então todo

Matemática

animal é um macaco!”

Aulas 1 Você acha que há lógica nessa

CAPÍTULO 1: Conceitos

frase? Não! Não temos argumentos suficientes que possam concluir que “todo animal é um macaco”. Com as

Iniciais

afirmações que possuímos, poderíamos A lógica está presente em nosso

concluir que “todo macaco é um animal”,

cotidiano. Os princípios básicos da lógica

fora isso, nada poderíamos concluir.

matemática são naturais para nós, mas

Vejamos outra situação:

requerem um estudo especial. A lógica está presente em nosso cotidiano. Quando ouvimos algo que discordamos, determinados

pois

acreditamos

argumentos

que são

“Em uma casa, há duas pessoas, João e Maria, um deles só diz a verdade e o outro só diz mentiras”.

contraditórios, facilmente afirmamos que não há lógica no que foi dito. Mas por qual razão falamos em lógica, se não conhecemos seus princípios e nunca fizemos um estudo detalhado sobre sua origem filosófica e matemática? Porque os princípios básicos da lógica são naturais para nós. Vejamos um exemplo simples:

O que você ouvirá ao perguntar a João e Maria “você mente”? Ambos responderão que não, uma vez que aquele que não mente responderá com a verdade, “eu não minto”, mas aquele que mente

responderá

faltando

com

a

verdade, “eu não minto”. Logo, você não chegará a nenhuma conclusão. Qual pergunta seria a ideal a ser feita para identificar quem é o mentiroso e quem fala a verdade?

Conceito Lógica é uma palavra que origina do grego λογική( logos) que significa 4

estudo.

Ela

tem

dois

significados

principais: discute o uso de raciocínio em

convincentes,

embora

não

sejam

corretos.

alguma atividade e é o estudo normativo, filosófico

do

raciocínio

válido.

segundo sentido, a lógica é discutida principalmente filosofia,

nas

matemática

disciplinas

de

e

da

ciência

Na Grécia, distinguiram-se duas

No

grandes

PERIPATÉTICA

de (que

Lógica,

a

derivava

de

Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão

computação. Lógica Matemática

escolas

(326-264a.C.).

A

escola

ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.)

a

partir

da

escola

MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo alguns estudiosos, houve durante muitos anos uma

certa

rivalidade

entre

os

Peripatéticos e os Megários e que isto talvez

tenha

prejudicado

o

desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas

escolas

fossem complementares.

Histórico

Na A história da Lógica tem início

Europa

do

século

XVIII,

filósofos matemáticos, como Leibniz e

com o filósofo grego Aristóteles (384 -

Lambert

322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na

operações da lógica formal através de

Macedônia. Aristóteles criou a ciência da

símbolos, de forma algébrica mas seus

Lógica, cuja essência era a teoria do

esforços e trabalhos permaneceram

silogismo. Seus escritos foram reunidos

isolados e pouco reconhecidos.

na

obra

denominada

Organon

ou

Instrumento da Ciência. Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando

argumentos

tentaram

representar

as

No século XIX, George Boole e posteriormente Augustus De Morgan apresentaram tratamentos matemáticos sistemáticos.

incorretos,

Aristóteles estudou a estrutura lógica da

Raciocínio Intuitivo

argumentação. Revelando, assim, que alguns

argumentos

podem

ser

Em latim a palavra intuição é intuitione. Essa palavra tem origem na 5

composição de "in" que significa dentro e "tuere" que significa olhar para. No francês, intuição é a palavra "intuition", cujo

significado

imediato,

é

conhecimento

pressentimento

que

nos

permite adivinhar o que é ou deve ser. Diante da etimologia apresentada, podemos

definir

Raciocínio

Intuitivo

Imagine que você está com

como sendo a capacidade de perceber e

dificuldades na resolução um problema

discernir algo ou uma situação sem que

de

haja uma análise sobre o mesmo.

inusitadamente, a resposta vem à sua

Examinemos alguns tipos de intuições.

mente! Frases como: "Poxa,como não

Matemática.

De

repente,

pensei nisso antes?" e "Eureca!" são Imagine um copo de vidro caindo. Inconscientemente nós já sabemosque ele se quebrará. É o que chamamos de "óbvio", elementar.

comuns

nessas

situações.

Quando

pessoas passam por esse fenômeno, elas

não

sabem

explicar

como

raciocinaram para chegar ao resultado final, simplesmente falam que a resposta apareceu na mente deles. Essa intuição é chamada “insight”.

1) Os campeões de xadrez ao olharem para um tabuleiro logo sabem que jogada fazer, pensando muito pouco ou simplesmente não pensando. Esta é a intuição que se desenvolve do

Raciocínio Espacial

campo consciente para o campo inconsciente. É a intuição que vem da prática.

Também chamado de raciocínio geométrico, o raciocínio espacial é a capacidade

de

construir

imagens,

réplicas visuais ou modelos abstratos da 6

realidade. É através desse tipo de raciocínio

que

somos

capazes

Raciocínio Numérico

de

imaginar e representar em movimento O

certas figuras. Engenheiros, arquitetos, designers e artistas plásticos fazem uso

Raciocínio

Numérico

é

a

habilidade matemática da pessoa em análises de tabelas, cálculos básicos e a

de raciocínio espacial.

aplicação destes conhecimentos em outras questões. Professores e alunos de

ciências

exatas,

administradores, engenheiros,

entre

bancários, contadores,

outros,

fluem

intensamente em raciocínio numérico.

Raciocínio Verbal Raciocínio verbal é a capacidade de raciocinar com conteúdos verbais, estabelecendo entre eles princípios de classificação,

ordenação,

relação

e

significados. Não diz respeito a ortografia ou a gramática, senão que aos métodos e expressões necessários para que as pessoas possam fazer o uso mais completo da linguagem.

7

1) “Antônio é bacharel e licenciado

Aulas 2 a 7

em

Matemática.”

é

uma

proposição composta, pois

CAPÍTULO 2:

•

Antônio

é

bacharel

em

licenciado

em

Matemática.

Proposições

•

Antônio

é

Matemática.

Conceito

são proposições distintas.

Uma proposição é uma sentença passível

de

ser

avaliada

2) “Eu não sou estrangeiro.” é uma proposição composta, pois

como

verdadeira ou falsa. Em geral, uma

•

Eu não sou estrangeiro.

proposição é uma sentença declarativa.

•

Eu sou estrangeiro.

Exemplo: Dadas as sentenças:

são proposições distintas.

a) Paulo é brasileiro. b) O Acre é um estado da Região Norte do Brasil.

Conectivos Lógicos São símbolos usados para unir ou

c) Você é feliz?

combinar proposições simples e formar

d) Que lindo!

proposições compostas. São eles:

e) Vá e faça logo!

•

∧: e

Apenas a) e b) são proposições, pois são

•

∨: ou

as únicas frases declarativas.

•

→:Se ... então

Uma proposição é dita simples

•

↔: Se e somente se

ou atômica se não é possível destacar

•

∼: Negação

outra proposição como parte de sí mesma.

por uma letra minúscula do nosso

Exemplo: O Mustafa é flamenguista. Uma proposição é dita composta ou molecular se é formada pela combinação proposições. Exemplo:

Cada proposição pode ser identificada

de

duas

ou

mais

alfabeto. Exemplo: a) “p:

João

é

pardo.”

é

uma

proposição simples. b) “q: O Acre é quente e úmido.” é uma proposição composta. 8

Sobre

as

proposiçþes

podemos

compostas,

escrevĂŞ-las

como

combinaçþes de conectores lógicos.

2) Princípio da não contradição Nenhuma

proposição

simultaneamente

ĂŠ

verdadeira

e

falsa.

Exemplo:

3) PrincĂ­pio do terceiro excluĂ­do a) đ?‘? ∧

Uma proposição ou Ê verdadeira

đ?’’: â?&#x; A lua ĂŠ quadrada đ?‘’ â?&#x; a neve ĂŠ branca đ?‘?

đ?‘ž

. ( p e q são proposiçþes conjuntas)

meio termo.

Valor lĂłgico de uma

b) đ?‘? ∨ đ?’’: â?&#x; A lua ĂŠ quadrada đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; a neve ĂŠ branca đ?‘?

ou ĂŠ falsa, nĂŁo havendo nunca um

đ?‘ž

proposição e Tabela

. ( p e q são proposiçþes

Verdade

disjuntas) c)

Cada proposição Ê verdadeira ou

đ?‘?→ đ?’’: Se a neve ĂŠ branca â?&#x; a lua ĂŠ quadrada đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘?

đ?‘ž

. ( implicação; p Ê o antecedente q Ê o consequente)

falsa. Dizemos então que verdadeiro ou falso são os valores de uma proposição. No caso de uma proposição composta, a determinação de seu valor

d)

lĂłgico ĂŠ dado atravĂŠs de um instrumento

đ?‘?↔

chamado Tabela Verdade.

đ?’’: â?&#x; A lua ĂŠ quadrada đ?‘ đ?‘’ đ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘ đ?‘’ â?&#x; a neve ĂŠ branca đ?‘?

đ?‘ž

. (bi-implicação)

Vejamos as tabelas verdade dos conectivos lĂłgicos:

e) âˆź đ?‘?: A lua nĂŁo ĂŠ quadrada. ( đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žçãđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?).

1) Negação

As trĂŞs leis do

" âˆź đ?‘? ĂŠ verdadeira (falsa) se e somente

pensamento

se

đ?‘?

ĂŠ

falsa

(verdadeira)�.

1) PrincĂ­pio da identidade

âˆźđ?‘?

đ?‘?

Se uma proposição Ê verdadeira,

V

F

entĂŁo todo objeto ĂŠ idĂŞntico a si

F

V

mesmo. 9

2) Conjunção

As seguintes expressĂľes podem se

“A conjunção ĂŠ verdadeira se e

empregar como equivalentes de "Se A,

somente

cada

proposiçþes

uma

das

entĂŁo B":

atĂ´micas

sĂŁo

1)Se A, B.

verdadeiras.�

2)B, se A. 3)Quando A, B.

đ?‘?

đ?’’

4)A implica B.

đ?‘?∧đ?’’

V

V

V

5) Todo A ĂŠ B.

V

F

F

6) A Ê condição suficiente para B.

F

V

F

7) B Ê condição necessåria para A.

F

F

V

8) A somente se B. Exemplo: Dada a condicional “Se chove,

3) Disjunção

então fico molhado�, são expressþes

“A disjunção ĂŠ falsa se e somente

equivalentes:

se cada uma das proposiçþes

1)Se chove, fico molhado.

atômicas são falsas.�

2)Fico molhado, se chove. 3)Quando chove, fico molhado.

đ?‘?

đ?’’

đ?‘?∨đ?’’

4)Chover implica ficar molhado.

V

V

V

5) Toda vez que chove, fico molhado.

V

F

V

6) Chover Ê condição suficiente para fico

F

V

V

molhado.

F

F

F

7) Ficar molhado Ê condição necessåria para chover.

4) Implicação 8) Chove somente se fico molhado. “A implicação ĂŠ falsa se

o

antecedente Ê verdadeiro e o 5) Bi-implicação

consequente Ê falso.�

“A bi-implicação ĂŠ verdadeira se, e đ?‘?

đ?’’

đ?‘?→đ?’’

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos�.

đ?‘? V

đ?’’ V

đ?‘?↔đ?’’ V 10

V

F

Estrutura

F

É verdade quando

lĂłgica

F

V

F

F

F

V

É falso quando

A∧ B

A e B sĂŁo, ambos,

pelo menos

verdade

um dos dois for falso

A∨ B

Podem-se empregar tambĂŠm como equivalentes de "A se e somente se B"

A∨B

pelo menos um dos dois

A e B, ambos,

for verdade

sĂŁo falsos

A e B tiverem valores

A e B tiverem

lĂłgicos diferentes

valores

as seguintes expressĂľes:

lógicos iguais A→B

nos demais casos

1) A se e sĂł se B.

A ĂŠ verdade e B ĂŠ falso

A ↔ B

2) Se A entĂŁo B e se B entĂŁo A.

A e B tiverem valores

A e B tiverem

lĂłgicos iguais

valores lĂłgicos diferentes

3) A implica B e B implica A. 4) Todo A Ê B e todo B Ê A. 5) A somente se B e B somente se A. 6) A Ê condição suficiente e necessåria para B.

NĂşmero de linhas de uma Tabela Verdade

7) B Ê condição suficiente e necessåria para A.

Seja p uma proposição molecular formada

pela

composição

de

n

proposiçþes atômicas. A tabela-verdade

Resumo da Tabela de Conectivos

de p possui 2n linhas. A

B

A∧B

A∨B

A∨B

A→B

A↔B

Exemplo: Construa a tabela-verdade da V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

proposição ~đ?‘? ∧ đ?‘ž. Solução Note que n = 2, pois as Ăşnicas proposiçþes atĂ´micas sĂŁo đ?‘? đ?‘’ đ?‘ž. Logo, o nĂşmero de linhas da tabela-verdade de

Uma tabela muito interessante a

~đ?‘? ∧ đ?‘ž ĂŠ:

respeito dos conectivos, mostrando as 2n = 22 = 4

condiçþes em que o valor lógico Ê verdade e em que Ê falso

Segue que: 11

đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘? ∧ đ?‘ž

Note que n = 2, pois as Ăşnicas

V

V

F

V

F

proposiçþes atĂ´micas sĂŁo đ?‘? đ?‘’ đ?‘ž. Logo, o

V

F

F

F

F

nĂşmero de linhas da tabela-verdade de

F

V

V

V

V

(đ?‘? ↔ ~đ?‘ž) ∨ đ?‘? ĂŠ:

F

F

V

F

F

2n = 22 =4

Exemplo: Construa a tabela-verdade da

Exemplo: Construa a tabela-verdade da

proposição (đ?‘? ↔ ~đ?‘ž) ∨ đ?‘?.

proposição (~đ?‘? ∨ đ?’’) → đ?’“.

Solução

Solução

Note que n = 2, pois as Ăşnicas

Note que n = 3, pois temos as

proposiçþes atĂ´micas sĂŁo đ?‘? đ?‘’ đ?‘ž. Logo, o

proposiçþes atĂ´micas sĂŁo đ?‘?, đ?‘ž đ?‘’ đ?‘&#x;. Logo,

nĂşmero de linhas da tabela-verdade de

o nĂşmero de linhas da tabela-verdade de

(đ?‘? ↔ ~đ?‘ž) ∨ đ?‘? ĂŠ:

(~đ?‘? ∨ đ?’’) → đ?’“ ĂŠ: 2n = 22

2n = 23

=4

=8

Segue que:

Segue:

đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘ž

đ?‘? ↔ ~đ?‘ž

đ?‘?

(đ?‘? ↔ ~đ?‘ž) ∨ đ?‘?

V

V

F

F

V V

V

F

V

V

V V

V

V

V

F

V V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V V

F

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F F

V

V

V

F

F

F

F F

F

V

F

V

V

V

V V

V

V

F

V

F

V

V V

F

F

F

F

V

V

F V

V

V

F

F

F

V

F V

F

F

Exemplo: Construa a tabela-verdade da proposição (đ?‘? ↔ ~đ?‘ž) ∨ đ?‘?.

đ?‘?

đ?‘ž

đ?‘&#x;

~đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘? ∨ đ?‘ž

đ?‘&#x;

(~đ?‘? ∨ đ?‘ž ) →đ?‘&#x;

Solução

12

Tautologia Uma

Contradição

proposição

composta

ĂŠ

Uma

proposição

composta

ĂŠ

chamada tautologia quando o seu valor

chamada contradição quando o seu valor

lĂłgico ĂŠ sempre verdade.

lĂłgico ĂŠ sempre falso.

Exemplo: (SEBRAE-2010-UNB/CESPE)

Exemplo: Mostre que a proposição đ?‘? ∧

Mostre que a proposição

~đ?‘? ĂŠ uma contradição.

~đ?‘? ∨ (~đ?‘? → đ?‘ž) Solução ĂŠ uma tautologia. Note que n = 1, pois a Ăşnica proposição ĂŠ đ?‘?. Logo, o nĂşmero de linhas da tabela-

Solução

verdade de đ?‘? ∧ ~đ?‘? ĂŠ: Note que n = 2, pois as Ăşnicas 2n = 21

proposiçþes atĂ´micas sĂŁo đ?‘? đ?‘’ đ?‘ž. Logo, o nĂşmero de linhas da tabela-verdade de

=2

~đ?‘? ∨ (~đ?‘? → đ?‘ž ) ĂŠ: Segue que:

2n = 22

đ?‘?

=4 Segue: đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘? → đ?‘ž

~đ?‘? ∨ (~đ?‘? → đ?‘ž)

V

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

đ?‘? ∧ ~đ?‘?

V

F

F

F

V

F

ContingĂŞncia Uma

V

~đ?‘?

proposição

composta

ĂŠ

chamada contingĂŞncia quando nĂŁo for tautologia e nem contradição. Exemplo: Mostre que a proposição ~đ?‘? ∧ đ?‘ž ĂŠ uma contingĂŞncia.

F

F

V

F

F

V

Solução De fato, vimos num exemplo anterior que a tabela-verdade de ~đ?‘? ∧ đ?‘ž ĂŠ: 13

đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘?

đ?‘ž

~đ?‘? ∧ đ?‘ž

c. p → (p → ~r)  q v r d. (p ^ q → r) v (~p  q v ~r)

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

ExercĂ­cios 1) Construa a tabela-verdade das proposiçþes abaixo: a) ~đ?‘? ∨ đ?‘ž → ~đ?‘ž

5) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: a. P(p, q) = ~(~p  q) b. P(p, q) = ~p v q → p c.

P(p, q) = (p v q) ^ ~(p ^ q)

d. P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e. P(p, q) = ~((p v q) ^ (~p v ~q) 6) Determinar P (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) em cada um dos

b) đ?‘? ∧ ~đ?‘ž → đ?‘? ∨ đ?‘ž

seguintes casos:

c) (đ?‘? ∧ đ?‘ž) ∨ đ?‘&#x; ↔ ~đ?‘ž

a.

P(p, q, r) = p v (q ^ r)

b.

P(p, q, r) = (p ^ ~q) v r

2) Classifique as proposiçþes abaixo

c.

P(p, q, r) = ~p v (q ^ ~r)

como tautologia, contradição ou

d.

P(p, q, r) = (p v q) ^ (p v r)

contingĂŞncia.

e.

P(p, q, r) = (p v ~r) ^ (q v ~r)

d) (đ?‘&#x; → đ?‘?) ∧ (đ?‘ž → ~đ?‘&#x;)

a) đ?‘? ∧ đ?‘ž → đ?‘? ∨ đ?‘ž b) đ?‘ž → ~đ?‘ž ∧ đ?‘? c) (đ?‘? ∧ đ?‘ž) ∧ ~(đ?‘? ∨ đ?‘ž) d) đ?‘? ∧ đ?‘ž → ( đ?‘? ↔ đ?‘ž)

7) Determinar P(VFV) em cada um dos seguintes casos: a. P(p, q, r) = p ^ ~r → ~q b. P(p, q, r) = ~p ^ (q v ~r)

3) Construir as tabelas-verdade das seguintes proposiçþes: a. ~(p v ~q) b. ~(p → ~q) c. p ^ q → p v q d. ~p → (q → p) e. (p → q) → p ^ q 4) Construir as tabelas-verdade das seguintes proposiçþes:

c. P(p, q, r) = ~(p ^ q)  ~(p v ~r) d. P(p, q, r) = (r ^ (p v ~q)) ^ ~(~r v (p ^ q)) e. P(p, q, r) = (p ^ q → r) → q v ~r

8) Sabendo que os valores lógicos das proposiçþes

p

e

q

sĂŁo

respectivamente F e V, determinar o valor lĂłgico da proposição: (p ^ (~q → p)) ^ ~((p ď‚Ť ~q) → q v ~p)

a. ~p ^ r → q v ~r b. p → r  q v ~r 14

Solução

Aulas 8 a 13 đ?‘–) Temos que:

CAPĂ?TULO 3: A TabelaVerdade de uma

~đ?‘?: Carlos nĂŁo ĂŠ brasileiro. ou ~đ?‘?: É falso que Carlos ĂŠ brasileiro.

Proposição Composta

ou Vimos no capĂ­tulo anterior as tabelas-verdade

de

proposiçþes

~đ?‘?: NĂŁo ĂŠ verdade que Carlos ĂŠ brasileiro.

compostas no sentido genĂŠrico. Agora, utilizaremos o conhecimento adquirido

đ?‘–đ?‘–) ~đ?‘?: Este nĂşmero nĂŁo ĂŠ Ă­mpar.

para trabalharmos as situaçþes mais

ou

prĂĄticas. ~đ?‘?: É falso que este nĂşmero ĂŠ Ă­mpar.

Negação de uma

~đ?‘?: NĂŁo ĂŠ verdade que este nĂşmero ĂŠ Ă­mpar.

proposição (~) Ocorre com a inclusão do advÊrbio

ou

“NĂƒOâ€? Ă frente do verbo. TambĂŠm

~đ?‘?: Este nĂşmero ĂŠ par.

podemos

utilizar,

Ă

frente

das

proposiçþes, as expressĂľes â€œĂ‰ FALSO QUEâ€?, “NĂƒO É VERDADE QUEâ€? ou qualquer outra expressĂŁo que exprima

đ?‘–đ?‘–đ?‘–) ~đ?‘? : A mulher nĂŁo ĂŠ branca. ou ~đ?‘? : É falso que a mulher ĂŠ branca.

contrariedade. ou Exemplo:

Escreva

a

negação

proposiçþes abaixo:

das ~đ?‘?: NĂŁo ĂŠ verdade que a mulher ĂŠ branca.

đ?‘–) đ?‘?: đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ ĂŠ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™đ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œ. đ?‘–đ?‘Ł) ~đ?‘? : O Rio Branco nĂŁo ganhou o jogo. đ?‘–đ?‘–) đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ ĂŠ Ă­đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;. ou đ?‘–đ?‘–đ?‘–) đ??´ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™â„Žđ?‘’đ?‘&#x; ĂŠ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘Ž. ~đ?‘? : É falso que o Rio Branco ganhou o đ?‘–đ?‘Ł) đ?‘‚ đ?‘…đ?‘–đ?‘œ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘œ đ?‘”đ?‘Žđ?‘›â„Žđ?‘œđ?‘˘ đ?‘œ đ?‘—đ?‘œđ?‘”đ?‘œ.

jogo. 15

ou

đ?‘? ∧ đ?‘ž: Sou belo, mas inteligente, e

~đ?‘? : NĂŁo ĂŠ verdade que o Rio Branco

đ?‘? ∧ đ?‘ž: Sou belo, ao passo que sou

ganhou o jogo

inteligente, e

NOTA: ~(~đ?‘?) = đ?‘?

đ?‘? ∧ đ?‘ž: Tanto ĂŠ verdade que sou belo, como ĂŠ verdade que sou inteligente.

De fato, veja que: đ?‘ ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘œ đ?‘…đ?‘–đ?‘œ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘œ â?&#x;

đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žçãđ?‘œ

đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žçãđ?‘œ

đ?‘œ đ?‘—đ?‘œđ?‘”đ?‘œ

đ?‘›ĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘”đ?‘Žđ?‘›â„Žđ?‘œđ?‘˘

sĂŁo conjunçþes de đ?‘? e đ?‘ž. Note nesse exemplo que o declarante

≥ â?&#x;

đ?‘‚ đ?‘…đ?‘–đ?‘œ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘œ đ?‘”đ?‘Žđ?‘›â„Žđ?‘œđ?‘˘ đ?‘œ đ?‘—đ?‘œđ?‘”đ?‘œ. â?&#x;

��������

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–çãđ?‘œ

sugere

como

verdade

duas

caracterĂ­sticas a respeito de si: belo e inteligente. Segue que:

Conjunção de

1)

proposiçþes (∧) 2)

proposiçþes

com

a

3)

realizar a operação. Todavia, Ê possível utilizarmos outros termos com o mesmo intuito.

đ?‘“đ?‘’đ?‘–đ?‘œ ≥ â?&#x; â?&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

finalidade de formar uma sĂł proposição. Em geral, utilizamos o conectivo “eâ€? para

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž (đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ)

uma conjunção Ê uma operação lógica conecta

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘œ â?&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?‘”đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ ≥ â?&#x; đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

De maneira similar Ă gramĂĄtica, aqui,

que

đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘œ â?&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ â?&#x; đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž (đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ) 4)

đ?‘“đ?‘’đ?‘–đ?‘œ ≥ â?&#x; â?&#x; đ?‘’ đ?‘–đ?‘”đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž (đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ) Das quatro situaçþes acima, apenas a situação1 leva a verdade sobre a pessoa declarante.

Exemplo: Escreva a(s) conjunção(þes) das proposiçþes abaixo:

Logo, uma conjunção đ?‘? ∧ đ?‘ž ĂŠ verdadeira somente quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo verdadeiras.

đ?‘?: đ?‘†đ?‘œđ?‘˘ đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘œ.

A tabela-verdade da conjunção ĂŠ: đ?‘ž: đ?‘†đ?‘œđ?‘˘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’. đ?‘? Solução Temos que: đ?‘? ∧ đ?‘ž: Sou belo e inteligente.

đ?‘ž

đ?‘?∧đ?‘ž

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

e 16

1) â?&#x; đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž

Disjunção de

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’,

proposiçþes (∨)

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

pois uma ou outra Ê verdade. Uma proposição Ê chamada disjunção, e

2) â?&#x; đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

simbolizada por đ?‘? ∨ đ?‘ž, quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo vinculados

pelo

termo

“OU�.

Uma

disjunção

pode

ser

inclusiva

ou

exclusiva.

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ đ?‘›ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

pois uma ou outra ĂŠ verdade. 3) đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

Exemplo:

Escreva

e

classifique

a

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’,

disjunção das proposiçþes abaixo:

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

pois uma ou outra ĂŠ verdade.

đ?‘? : JoĂŁo gosta de chuva.

4) â?&#x; đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘ž: Caio ĂŠ cantor.

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ đ?‘›ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

Solução Notemos

que

pois ambas sĂŁo falsas. “đ?‘? ∨ đ?‘ž:

O valor lógico de uma disjunção

đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘œđ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;.â€?

inclusiva ĂŠ falso quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo

ĂŠ a disjunção de đ?‘? e đ?‘ž. Notemos tambĂŠm

falsas.

que o fato de JoĂŁo gostar de chuva nĂŁo exclui Paulo de ser cantor.

Exemplo: Escreva e classifique a disjunção das proposiçþes abaixo:

Logo, đ?‘? ∨ đ?‘ž ĂŠ uma disjunção inclusiva, e

đ?‘? : Carlos nasceu em Xapuri.

por isso poderĂ­amos escrevĂŞ-la com o

đ?‘ž: Carlos nasceu em FeijĂł.

termo “e/ouâ€?. Solução

Veja: đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘œđ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; â?&#x; đ?‘?∨đ?‘ž

≥ đ??˝đ?‘œĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘”đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘’ đ??śđ?‘Žđ?‘–đ?‘œ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘?∨đ?‘ž

Notemos

que

“đ?‘? ∨ đ?‘ž:

đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘– đ?‘œđ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł. â€? ĂŠ a disjunção de đ?‘? e đ?‘ž. Notemos tambĂŠm que o fato de Carlos nascer em FeijĂł (por exemplo!), exclui a

Veja tambĂŠm:

possibilidade dele nascer em Xapuri. Logo,

đ?‘?∨đ?‘ž

ĂŠ

uma

disjunção

exclusiva, e por isso poderĂ­amos 17

escrevĂŞ-la com o termo “ou...ouâ€?.

1) Em

Veja:

lĂłgica

matemĂĄtica,

a

disjunção estudada Ê apenas a inclusiva.

đ?‘? ∨ đ?‘ž:

2) Numa disjunção, a única maneira

đ?‘‚đ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘– đ?‘œđ?‘˘

do resultado ser falso ĂŠ quando đ?‘? đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł.

e đ?‘ž sĂŁo falsos.

Veja tambĂŠm: 1)

A tabela-verdade da disjunção Ê:

đ?‘‚đ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘–

đ?‘?

đ?‘ž

đ?‘?∨đ?‘ž

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, pois apenas uma ĂŠ verdade.

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

2) â?&#x; đ?‘‚đ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘– đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’,

pois

uma

delas

Implicação de

ĂŠ

proposiçþes (→)

verdade. 3) â?&#x; đ?‘‚đ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘–

Uma

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł ≥

implicação

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’,

pois

uma

delas

proposição

ĂŠ

ou

ĂŠ

chamada

condicional,

e

simbolizada por đ?‘? → đ?‘ž, quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo vinculados

verdade. 4) â?&#x; đ?‘‚đ?‘˘ đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ?‘‹đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘–

pela expressĂŁo “SE...ENTĂƒOâ€?.

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘œđ?‘˘ â?&#x; đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘˘ đ?‘’đ?‘š đ??šđ?‘’đ?‘–đ?‘—Ăł ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, pois nenhuma delas ĂŠ

verdade.

Exemplo: Escreva a implicação das proposiçþes abaixo: đ?‘? : Faz calor. đ?‘ž: Vou tomar banho.

O valor lógico de uma disjunção Solução

exclusiva ĂŠ falso quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo ambas falsas ou ambas verdadeiras. Nota:

Note que “đ?‘? → đ?‘ž: đ?‘†đ?‘’ đ?‘“đ?‘–đ?‘§đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;, đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘– đ?‘Ąđ?‘œđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘›â„Žđ?‘œ. â€? 18

5) â?&#x; NĂŁo vou tomar banho.

ĂŠ a implicação de đ?‘? e đ?‘ž.

→

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

A proposição "đ?‘şđ?’† đ?’‡đ?’Šđ?’›đ?’†đ?’“ đ?’„đ?’‚đ?’?đ?’?đ?’“.â€? chamada

antecedente,

e

ĂŠ

NĂŁo faz calor. ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, â?&#x;

pois

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

a

nĂŁo tomar banho, significa que

proposição

nĂŁo faz calor. "đ?‘Źđ?’?đ?’•ĂŁđ?’? đ?’Šđ?’“đ?’†đ?’Š đ?’•đ?’?đ?’Žđ?’‚đ?’“ đ?’ƒđ?’‚đ?’?đ?’‰đ?’?.â€?

ĂŠ

chamada consequente.

Veja que: đ?‘? ĂŠ suficiente

A ocorrĂŞncia de

Note tambĂŠm que:

para a ocorrĂŞncia de đ?‘ž.( Vide 1)

1) â?&#x; Faz calor. → â?&#x; Vou tomar banho. ≥

A ocorrĂŞncia de đ?‘ž ĂŠ necessĂĄria

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

para a ocorrĂŞncia de đ?‘?.( Vide 5)

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, pois quando faz calor, hĂĄ

cumprimento

da

palavra.

( Tomou banho!) 2) â?&#x; Faz calor.

A

Ăşnica

maneira

de

ser

falsa

ĂŠ

verdadeiro

e

implicação antecedente

→

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

uma

consequente falso.

NĂŁo vou tomar banho. ≥ â?&#x; đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, pois quando faz calor, nĂŁo hĂĄ cumprimento da palavra. (

A tabela-verdade da implicação Ê:

NĂŁo tomou banho, apesar de fazer calor!) 3) đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; faz calor.

đ?‘? →

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

Vou tomar banho. ≥ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, â?&#x; đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

pois nĂŁo disse nada do que iria fazer se nĂŁo fizesse calor. 4) â?&#x; NĂŁo faz calor.

đ?‘ž

đ?‘?→đ?‘ž

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

→

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

NĂŁo vou tomar banho. ≥ â?&#x;

Bi-implicação de

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, pois nĂŁo disse nada do

proposiçþes (↔)

que iria fazer se nĂŁo fizesse calor. Por fim:

Uma proposição Ê chamada biimplicação

ou

bicondicional,

e

simbolizada por đ?‘? ↔ đ?‘ž, quando đ?‘? e đ?‘ž sĂŁo vinculados pela expressĂŁo “SE E SOMENTE SEâ€?. 19

Exemplo: Escreva a bi-implicação

sol,

Joel

das proposiçþes abaixo:

palavra.

nĂŁo

cumpriria

sua

đ?‘? : O Acre ĂŠ um estado.

4)

đ?‘ž: O Brasil ĂŠ um paĂ­s.

đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘“đ?‘’đ?‘§ đ?‘ đ?‘œđ?‘™ đ?‘’ đ??˝đ?‘œđ?‘’đ?‘™ â?&#x; đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘“đ?‘œđ?‘– Ă đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™ĂŠđ?‘–đ?‘Ž ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

Note que

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, pois com a ausĂŞncia do sol,

“đ?‘? ↔ đ?‘ž: “đ?‘‚ đ??´đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ ĂŠ đ?‘˘đ?‘š đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘ đ?‘’ đ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘ đ?‘’ đ?‘œ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™ ĂŠ đ?‘˘đ?‘š đ?‘?đ?‘ŽĂ­đ?‘ . " ĂŠ a bi-implicação de đ?‘? e đ?‘ž.

Joel nĂŁo cumpriu sua palavra. Logo, uma bi-implicação ĂŠ verdadeira quando đ?‘? e đ?‘ž, simultaneamente, sĂŁo verdadeiras ou falsas.

Exemplo: Joel disse: “ Vou Ă BrasilĂŠia se e somente se

A tabela-verdade da bi-implicação Ê:

fizer sol.�

đ?‘?

Alternativamente, a declaração de Joel pode ser escrita como: “ Se fizer sol vou Ă BrasilĂŠia, e se

đ?‘?↔đ?‘ž

đ?‘ž

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

nĂŁo fizer sol nĂŁo vou Ă BrasilĂŠia.â€? Veja que fazer sol ĂŠ uma condição necessĂĄria e suficiente para Joel ir Ă

Exemplos

com

conectores

BrasilĂŠia.

da

1) â?&#x; đ??šđ?‘’đ?‘§ đ?‘ đ?‘œđ?‘™ đ?‘’ â?&#x; đ??˝đ?‘œđ?‘’đ?‘™ đ?‘“đ?‘œđ?‘– Ă đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™ĂŠđ?‘–đ?‘Ž ≥

Exemplo1: Dadas as proposiçþes đ?‘? : Marta ĂŠ estudiosa.

sol, Joel cumpriu sua palavra.

đ?‘ž: Marta ĂŠ talentosa.

2) â?&#x; đ??šđ?‘’đ?‘§ đ?‘ đ?‘œđ?‘™ đ?‘’ â?&#x; đ??˝đ?‘œđ?‘’đ?‘™ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘“đ?‘œđ?‘– Ă đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™ĂŠđ?‘–đ?‘Ž ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, pois mesmo com a presença do sol, Joel nĂŁo cumpriu

Escreva

a

linguagem

lĂłgica

das

seguintes proposiçþes: a) Não Ê verdade dizer que Marta Ê talentosa.

sua palavra. 3) đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; đ?‘“đ?‘’đ?‘§ đ?‘ đ?‘œđ?‘™ đ?‘’ đ??˝đ?‘œđ?‘’đ?‘™ â?&#x; đ?‘“đ?‘œđ?‘– Ă đ??ľđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘™ĂŠđ?‘–đ?‘Ž ≥ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž

tabela-

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’, pois com a presença do

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

dos

verdade

Veja tambĂŠm que:

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

e

uso

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Ž, pois sem a presença do

b) Marta ĂŠ estudiosa ou talentosa. c) NĂŁo ĂŠ verdade que se Marta ĂŠ talentosa entĂŁo ela ĂŠ estudiosa.

20

d) É falso dizer que: Marta Ê estudiosa se e somente se for talentosa.

a) Se 2 + 3 = 5, entĂŁo 7 +4 = 9. b) A ĂĄgua do mar ĂŠ salgada e o gato tem quatro patas.

Solução

c) Ou Maradona era jogador de futebol ou a arara ĂŠ uma ave.

a) Temos que: đ?‘ ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘–đ?‘§đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž

Solução

≥ É đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘–đ?‘§đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž a) Sabemos que se trata de uma

≥ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘›ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž ≥

implicação lógica, pois hå a

≥ ~�

presença do “entĂŁoâ€?. Sabemos tambĂŠm que đ?‘?: 2 + 3 = 5 e đ?‘ž: 7 +

b) Temos que: đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž đ?‘œđ?‘˘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž

4 = 9 sĂŁo verdadeira e falsa, respectivamente.

≥đ?‘?∨đ?‘ž

Assim: đ?‘?

c) Temos que:

đ?‘ž

V

đ?‘†đ?‘’ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž ĂŠ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž ≥

F

đ?‘?→đ?‘ž F

đ?‘?→đ?‘ž e đ?‘ ĂŁđ?‘œ ĂŠ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘ đ?‘’ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž ĂŠ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž ≥

b) Sabemos que se trata de uma conjunção

≥ É đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘ đ?‘’ đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž ĂŠ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž

lĂłgica,

pois

hĂĄ

a

presença do “eâ€?. Sabemos tambĂŠm que đ?‘?: đ??´ ĂĄđ?‘”đ?‘˘đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x; ĂŠ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž e đ?‘ž: đ?‘‚ đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘š đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘

≥ ~(đ?‘ž → đ?‘?)

sĂŁo

verdadeiras. Assim:

d) Temos que: É đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘–đ?‘§đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’: đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž ĂŠ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž đ?‘ đ?‘’ đ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘ đ?‘’ ĂŠ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ž ≥ ≥ ~(đ?‘? ↔ đ?‘ž)

đ?‘?

đ?‘ž

V

V

đ?‘?∧đ?‘ž V

d) Sabemos que se trata de uma disjunção lógica, pois hå a

2)

Escreva

o

valor

proposiçþes abaixo:

lĂłgico

das

presença do tambÊm

“ou�. Sabemos que

đ?‘?: đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘—đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ đ?‘“đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘™

21

e

đ?‘ž: đ??´ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž ĂŠ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž đ?‘Žđ?‘Łđ?‘’

sĂŁo

Teremos assim a equação lĂłgica đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = F.

verdadeiras. Assim:

Segue đ?‘?

đ?‘ž

V

V

da

ĂĄrvore

das

possibilidades que as ternas

đ?‘?∨đ?‘ž V

possíveis para soluçþes da equação são:

3) (STN) A afirmação “Alda ĂŠ alta, ou Bino nĂŁo ĂŠ baixo, ou Ciro ĂŠ calvoâ€? ĂŠ falsa. Segue-se, pois, que ĂŠ verdade que:

VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF Veja: 1) đ?‘? = V, đ?‘ž = V e đ?‘&#x; = V đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ?‘‰ ∨ đ??š ∨ đ?‘‰ =

a) Se Bino ĂŠ baixo, Alda ĂŠ alta, e se Bino nĂŁo ĂŠ baixo, Ciro nĂŁo ĂŠ calvo. b) Se Alda ĂŠ alta, Bino ĂŠ baixo, e se Bino ĂŠ baixo, Ciro ĂŠ calvo. c) Se Alda ĂŠ alta, Bino ĂŠ baixo, e se Bino nĂŁo ĂŠ baixo, Ciro nĂŁo

đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!) 2) đ?‘? = V, đ?‘ž = V e đ?‘&#x; = F đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ?‘‰ ∨ đ??š ∨ đ??š = đ?‘‰ ∨ đ??š = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!) 3) đ?‘? = V, đ?‘ž = F e đ?‘&#x; = V đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!)

ĂŠ calvo. d) Se Bino nĂŁo ĂŠ baixo, Alda ĂŠ alta, e se Bino nĂŁo ĂŠ baixo,

4) đ?‘? = V, đ?‘ž = F e đ?‘&#x; = F đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ ∨ đ??š = đ?‘‰ ∨ đ??š = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!)

Ciro ĂŠ calvo. e) Se Alda nĂŁo ĂŠ alta, Bino nĂŁo ĂŠ baixo, e se Ciro ĂŠ calvo, Bino

5) đ?‘? = F, đ?‘ž = V e đ?‘&#x; = V đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ??š ∨ đ??š ∨ đ?‘‰ = đ??š ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!)

nĂŁo ĂŠ baixo.

6) đ?‘? = F, đ?‘ž = V e đ?‘&#x; = F Solução

đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ??š ∨ đ??š ∨ đ??š = đ??š ∨ đ??š = đ??š ( serve!)

Sejam đ?‘?: Alda ĂŠ alta, đ?‘ž: Bino nĂŁo ĂŠ baixo e đ?‘&#x;: Ciro ĂŠ calvo. A proposição

lĂłgica

da

declaração “Alda ĂŠ alta, ou Bino nĂŁo ĂŠ baixo, ou Ciro ĂŠ calvoâ€? ĂŠ đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x;.

7) đ?‘? = F, đ?‘ž = F e đ?‘&#x; = V đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ??š ∨ đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ∨ đ?‘‰ = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!) 8) đ?‘? = F, đ?‘ž = F e đ?‘&#x; = F đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = đ??š ∨ đ?‘‰ ∨ đ??š = đ?‘‰ ∨ đ??š = đ?‘‰ ( nĂŁo serve!)

Sabemos que o valor lógico dessa proposição Ê F(falso!). 22

Logo, đ?‘? = F, đ?‘ž = V e đ?‘&#x; = F sĂŁo as

ExercĂ­cios

soluçþes lĂłgicas da equação 1) (SEFAZ-SP) Se vocĂŞ se esforçar, đ?‘? âˆ¨âˆź đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; = valores

acima

F.

Substituiremos e

encontraremos

os a

solução do problema. Veja:

entĂŁo irĂĄ vencer. Assim sendo, a) Seu

nĂŁo ĂŠ baixo, Ciro nĂŁo ĂŠ calvo =

ĂŠ

condição

suficiente para vencer. b) Seu

a) Se Bino ĂŠ baixo, Alda ĂŠ alta, e se Bino

esforço

esforço

ĂŠ

condição

necessåria para vencer. c) Se você não se esforçar, então não irå vencer.

= (đ?‘ž → đ?‘?) ∧ (âˆź đ?‘ž → ~đ?‘&#x;)

d) Você vencerå só se esforçar.

= (đ?‘‰ → đ??š) ∧ (đ??š → đ?‘‰)

e) Mesmo que se esforce, vocĂŞ nĂŁo vencerĂĄ.

=đ??šâˆ§đ?‘‰ = đ??š ( nĂŁo serve!) b) Se Alda ĂŠ alta, Bino ĂŠ baixo, e se Bino ĂŠ baixo, Ciro ĂŠ calvo =

2) (SEFAZ-SP)

Considere

a

proposição “Paula estuda, mas nĂŁo passa no concursoâ€?. Nessa proposição, o conectivo lĂłgico ĂŠ: a) Disjunção inclusiva

= (đ?‘? → đ?‘ž) ∧ (đ?‘ž → đ?‘&#x;)

b) Conjunção

= (đ??š → đ?‘‰) ∧ (đ?‘‰ → đ??š)

c) Disjunção exclusiva d) Condicional

=đ?‘‰âˆ§đ??š = đ??š ( nĂŁo serve!) c) Se Alda ĂŠ alta, Bino ĂŠ baixo, e se Bino nĂŁo ĂŠ baixo, Ciro nĂŁo ĂŠ calvo=

e) Bicondicional 3) (TRT-2ÂŞReg.)

Dadas

as

proposiçþes simples p e q, tais que p Ê verdadeira e q Ê falsa, considere

as

seguintes

proposiçþes compostas: = (đ?‘? → đ?‘ž) ∧ (âˆź đ?‘ž → ~đ?‘&#x;)

(1) p∧q

= (đ??š → đ?‘‰) ∧ (đ??š → đ?‘‰)

(2) âˆźp→q (3) ~( p∧ ~q)

=đ?‘‰âˆ§đ?‘‰ = đ?‘‰ (serve!) De maneira anĂĄloga mostra-se que os itens d e e nĂŁo servem.

(4) ~( p↔q) Quantas proposiçþes compostas sĂŁo verdadeiras? a) Nenhuma 23

b) Apenas uma

c. A proposição P é equivalente a “Nesse

c) Apenas duas

jogo há juiz ou não há jogada fora da lei”.

d) Apenas três

2. PF 2012 – Cespe. Um jovem, ao ser

e) Quatro

flagrado no aeroporto portando certa quantidade

4) (SRF) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou

de

entorpecentes,

argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:

morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu

vou morar em Pasárgada. Assim,

sou usuário;

a) Não viajo e caso

Premissa 2: Se eu fosse traficante,

b) Viajo e caso

estaria levando uma grande quantidade

c) Não vou morar em Pasárgada

de droga e a teria escondido;

e não viajo d) Compro uma bicicleta e não

levo

viajo e) Compro uma bicicleta e viajo

Atividades Complementares 1. TRT ES 2013 – Cespe. Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens

seguintes,

Premissa 3: Como sou usuário e não

acerca

da

uma

grande

quantidade,

não

escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando

a

situação

hipotética

apresentada acima, julgue os itens a seguir.

lógica

sentencial.

I.

A

proposição

correspondente

à

negação da premissa 2 é logicamente Para os itens a, b e c, vamos considerar:

equivalente a “Como eu não sou

P = ~Q → ~R, onde, Q: Nesse jogo há

traficante,

juiz e R: Há jogada fora da lei

grande quantidade de droga ou não a

a. A negação da proposição P pode ser

não

estou

levando

uma

escondi”.

expressa por “Se nesse jogo há juiz,

II. Se a proposição “Eu não sou

então há jogada fora da lei”.

traficante”

b. A proposição P é equivalente a “Se há

premissa

jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz”.

verdadeira,

for 2

verdadeira, será

uma

então

a

proposição

independentemente

dos

valores lógicos das demais proposições que a compõem. 24

III. Sob o ponto de vista lógico, a

Qual a negação da proposição “Algum

argumentação

funcionário da agência P do Banco do

do

jovem

constitui

Brasil tem menos de 20 anos”?

argumentação válida. IV.

Se

P

e

Q

representam,

(A) Todo funcionário da agência P do

respectivamente, as proposições “Eu

Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente

(B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos.

representada por P∧Q. (C) Algum funcionário da agência P do

3. BB 2011 – Fundação Carlos Chagas

Banco do Brasil tem mais de 20 anos.

Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”

(D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) Nem todo funcionário da agência P

Diante de tal inverdade, o jornal se viu

do Banco do Brasil tem menos de 20

obrigado a retratar-se, publicando uma

anos.

negação

5. BB 2010 – Cesgranrio

sentenças expressaria

de

tal

manchete.

seguintes, de

aquela

maneira

Das que

correta

a

negação da manchete publicada é:

A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8 ” será verdadeira, se n for um número real

(A)

Qualquer Agência do Banco do

Brasil não têm déficit de funcionários.

(A) menor que 8.

(B)

(B) menor que 4.

Nenhuma Agência do Banco do

Brasil tem déficit de funcionários.

(C) menor que 2.

(C) Alguma Agência do Banco do Brasil

(D) maior que 2.

não tem déficit de funcionários. (D)

Existem Agências com déficit de

funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. (E) O quadro de funcionários do Banco

(E) maior que 3. 6. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação

a

proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”.

do Brasil está completo. 4. BB 2010 – Cesgranrio 25

7. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V

10. RFB 2009 – Esaf Considere a seguinte proposição: “Se

quando a proposição

chove ou neva, então o chão fica

“A Constituição brasileira não é moderna

molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar

nem precisa ser refeita” for F, e vice-

que:

versa.

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

8. Para todos os possíveis valores

b) Se o chão está molhado, então

lógicos

choveu e nevou.

atribuídos

às

proposições

simples A e B, a proposição composta [A ∧ (¬B)] V B tem exatamente 3 valores

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

lógicos V e um F. d) Se o chão está seco, então não 9.

Considere

que

cada

uma

das

choveu ou não nevou.

proposições seguintes tenha valor lógico V.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

I. Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade.

11. INSS 2008 – Cespe

II. Manuel declarou o imposto de renda

Proposições são sentenças que podem

na data correta e Carla não pagou o

ser julgadas como verdadeiras ou falsas,

condomínio.

mas

não

admitem

ambos

os

julgamentos. A esse respeito, considere III. Jorge não foi ao centro da cidade.

que A represente a proposição simples

A partir dessas proposições, é correto

“É dever do servidor apresentar-se ao

afirmar que a proposição:

trabalho com vestimentas adequadas ao

a. “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.

exercício da função”, e que B represente a proposição simples “É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram

b. “Tânia não estava no escritório” tem,

ajuda

obrigatoriamente, valor lógico V.

cumprimento de sua missão”.

financeira

para

realizar

o

c. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F. 26

Definição: Argumento Ê uma

Aulas 14 a 18

sequĂŞncia

de

proposiçþes,

Capitulo 4: Argumentos

duas

onde

ou

uma

mais delas,

chamada conclusĂŁo, ĂŠ afirmada como consequĂŞncia das demais,

Considere a seguinte proposição:

chamadas premissas. Neymar ĂŠ um bom jogador de futebol. Exemplo: Quanto

ao

valor

lĂłgico,

essa A anêmia falsiforme Ê uma doença

proposição Ê verdadeira ou falsa?

genĂŠtica. Apesar de Neymar ser um jogador famoso, atuar em um grande clube e muitas pessoas o considerarem um bom

jogador

de

Meu

falsiforme.

Meu

falsiforme.

Eu

avĂ´

ĂŠ

anĂŞmico

pai

ĂŠ

anĂŞmico

sou

anĂŞmico

falsiforme. Logo, meu filho serĂĄ

futebol,

anĂŞmico falciforme.

matematicamente nĂŁo ĂŠ possĂ­vel avaliĂĄ-lo, pois precisamos definir o

Temos acima um argumento em

que vem a ser um bom jogador de

que:

futebol. O conceito de bom ĂŠ relativo.

1)

AtravĂŠs deste exemplo podemos

A anĂŞmia falciforme ĂŠ uma doença genĂŠtica. â?&#x; đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž 1

concluir dois fatos:

2)

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž 2

1) Atribuir um valor lógico à uma sentença não Ê o papel principal da Lógica;

3) 4)

afim

atribuir-lhe

de

um

podermos

valor

lĂłgico

Meu â?&#x; pai ĂŠ anĂŞmico falsiforme. đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž 3

2) Um objeto necessita ser bem definido

Meu avĂ´ ĂŠ anĂŞmico falsiforme. â?&#x;

Eu sou anĂŞmico falsiforme. â?&#x; đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž 4

5)

Meu filho serĂĄ anĂŞmico falciforme. â?&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘™đ?‘˘đ?‘ ĂŁđ?‘œ

O argumento do exemplo acima

preciso.

poderia tambĂŠm ser exposto das EntĂŁo qual ĂŠ o papel principal da

seguintes maneiras:

lĂłgica? i) Premissa1 Organizar

um

raciocĂ­nio

(argumento), de modo que qualquer proposição raciocínio evaluada.

que seja

dependa

desse

perfeitamente

Premissa2 Premissa3 Premissa4 ______________ ConclusĂŁo 27

ii) Premissa1, premissa3,

premissa2, ⊢

premissa4

conclusão

Exemplo: i)

7> 5

O argumento é válido e o conteúdo é

5> 4

verdadeiro.

______

2) Todos

7> 4

os

acreanos

são

gentís.................premissa1 Paulo é acreano..........premissa2

ii)

7> 5, 5> 4 ⊢ 7> 4

Paulo é gentil ........conclusão

Argumentos válidos e sofismas Um argumento é dito válido quando a conclusão é consequência direta das premissas. Caso contrário, o argumento é chamado sofisma, inválido ou falácia.

conteúdo ser falso. 3) Todos

Exemplo: 1) Todos

O argumento é válido, apesar do

os

acreanos

são

brasileiros.................premissa1 os

acreanos

são

Existem

brasileiros

brasileiros.................premissa1

gentís........................premissa2

Paulo é acreano..........premissa2

Todo

Paulo é brasileiro.........conclusão

gentil...........................conclusão

acreano

é

28

O argumento é inválido, apesar do conteúdo ser verdadeiro. 4) Todos

os

acreanos

são

gentís.................premissa1 Paulo é gentil .........premissa2 Paulo é acreano...........conclusão O

argumento

é

válido

e

o

conteúdo é falso. Quando tratamos de validade de argumentos não levamos em conta a veracidade do conteúdo. Consideramos apenas se a conclusão é oriunda das O argumento é inválido e o

premissas.

conteúdo é falso. 5) Todos

os

insetos

são

aves.............................premissa1 Todas

as

aves

são

pedras.........................premissa2 Existem

homens

que

são

insetos.........................premissa3 Existem

homens

que

são

pedras.........................conclusão

Tipos de argumentos: categóricos e hipotéticos Argumentos

categóricos

são

aqueles compostos por premissas que apresentam

um

quantificador,

um

sujeito, um predicado e um verbo de ligação.

29

apresenta a disjunção “ouâ€? no sentido

Exemplo:

exclusivo.

đ?‘?: đ?‘‡đ?‘œđ?‘‘đ?‘œđ?‘ â?&#x; đ?‘œđ?‘ â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ â?&#x;

1)

đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;

đ?‘ đ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œ

Exemplo:

đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ â?&#x; . đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

Qualquer pessoa ĂŠ honesta ou desonesta. Bruno ĂŠ honesto. Logo,

đ?‘? ĂŠ uma proposição categĂłrica.

Bruno nĂŁo ĂŠ desonesto. đ?‘?: đ??´đ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘ â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ â?&#x;

2)

đ?‘ đ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œ

đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;

Um argumento ĂŠ dito condicional

đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ â?&#x; .

ou hipotĂŠtico propriamente dito, se

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

apresentar

uma

premissa

đ?‘? ĂŠ uma proposição categĂłrica.

condição “Se....EntĂŁo...â€?.

3) đ?‘?: đ?‘ đ?‘’đ?‘›â„Žđ?‘˘đ?‘š â?&#x; â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘š â?&#x; ĂŠ â„Žđ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ â?&#x; .

Exemplo:

com

a

đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘ đ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

O quadrado de um nĂşmero real

đ?‘? ĂŠ uma proposição categĂłrica.

par ĂŠ par. Se x ĂŠ um natural par, entĂŁo

4) đ?‘?: đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘š â?&#x; â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;

x2 ĂŠ par.

đ?‘ đ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œ

Um

đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘ ĂŁđ?‘œ â?&#x; â„Žđ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ â?&#x; . đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

bicondicional

aqueles

compostos

hipotĂŠticos por

se

ĂŠ

apresentar

dito uma

premissa com a condição “Se, e somente

đ?‘? ĂŠ uma proposição categĂłrica. Argumentos

argumento

sĂŁo

premissas

se,....�. Exemplo:

conjuntivas, disjuntivas, condicionais e bi-condicionais.

Os inteiros x e y sĂŁo primos entre si, se e somente se, mdc(x,y)=1.

Argumento conjuntivo ĂŠ aquele

Um argumento ĂŠ dito dedutivo se

em que pelo menos uma premissa

for vĂĄlido e a conclusĂŁo for verdadeira

apresenta a conjunção “eâ€?.

sempre

Exemplo:

verdadeiras. Este tipo de argumento

NinguĂŠm ĂŠ ao mesmo tempo pai e filho. Carlos, naquele momento, era filho.

Argumento disjuntivo ĂŠ aquele em pelo

menos

uma

as

premissas

forem

explicita aquilo que estĂĄ implĂ­cito nas premissas. Logo:

Logo, Carlos nĂŁo era pai.

que

que

premissa

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž â?&#x;

⇒ â?&#x;

đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž

â?&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘™đ?‘˘đ?‘ ĂŁđ?‘œ (đ?‘? → đ?‘ž) đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’

ou equivalentemente, 30

â?&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘™đ?‘˘đ?‘ ĂŁđ?‘œ

⇒ â?&#x;

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž (âˆź đ?‘ž â†’âˆź đ?‘?) â?&#x;

đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘Ž

đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž

đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘Ž

â?&#x; 1

1

=

2

1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž

. (1 + 1) ....... premissa 1

2

Exemplo:

1 + 2 = 2 . (2 + 1)........ premissa 2 â?&#x;

2 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

Todos

os

homens

sĂŁo

mortais...........premissa1 Carlos

ĂŠ

um

homem

.............premissa2 Logo,

3

1 + 2 + 3 = 2 . (3 + 1)..... premissa 3 â?&#x; 3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

Carlos

ĂŠ

mortal........................conclusĂŁo

4

1 + 2 + 3 + 4 = 2 . (4 + 1). premissa 4 â?&#x; 4 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

. Equivalentemente, Se todos os homens sĂŁo

.

mortais e Carlos ĂŠ um homem,

.

entĂŁo Carlos ĂŠ mortal. Podemos

trabalhar

đ?‘›

com

a

negação da conclusão. Quando assim

procedemos,

negação

tambĂŠm

ocorre de

1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘› = 2 . (đ?‘› + 1) â?&#x; đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

premissa n

a

uma

1 â?&#x;+ 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘› + (đ?‘› + 1) = (đ?‘›+1) đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

premissa. Isto nos mostra que o

(đ?‘›+1)

raciocĂ­nio original(argumento) ĂŠ

2

. [(đ?‘› + 1) + 1] conclusĂŁo

vålido. Veja: Carlos não Ê mortal....... negação

Tabelas-verdade e

da conclusĂŁo Todos

os

homens

sĂŁo

argumentos

mortais.................premissa1 Logo,

Carlos

nĂŁo

ĂŠ

homem................negação

um da

premissa2

Dado

um

argumento

đ?‘ƒ1 , đ?‘ƒ2 , ‌ , đ?‘ƒđ?‘› ⊢ đ??ś, onde đ?‘ƒ1 , đ?‘ƒ2 , ‌ , đ?‘ƒđ?‘› sĂŁo as premissas e đ??ś ĂŠ a conclusĂŁo, diremos que o mesmo ĂŠ vĂĄlido se nas linhas da

Um argumento ĂŠ dito indutivo

tabela-verdade em que a conclusĂŁo ĂŠ

quando a conclusĂŁo ĂŠ apenas um fato

verdadeira necessariamente tivermos as

provĂĄvel, mas nĂŁo certo, oriundo das

premissas verdadeiras.

premissas. Exemplo: 31

Exemplo: Solução

Verificar se ĂŠ vĂĄlido o argumento:

Considere as proposiçþes abaixo:

đ?‘? → đ?‘ž, đ?‘ž ⊢ đ?‘?.

đ?‘?: đ??ľđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž

Solução Temos

que

đ?‘?→đ?‘žđ?‘’đ?‘ž

sĂŁo

premissas e đ?‘? ĂŠ a conclusĂŁo. A tabelaverdade que envolve os trĂŞs itens do problema ĂŠ dada abaixo: đ?‘?

đ?‘ž

đ?‘ž: đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– Ă đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘Ž đ?‘&#x;: đ??´đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘ : đ?‘†đ?‘Žđ?‘šđ?‘˘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ??´đ?‘›đ?‘Ž

đ?‘?→đ?‘ž

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Agora, considere as premissas: đ?‘? → đ?‘ž: đ?‘†đ?‘’ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž, đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– Ă đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘Ž. đ?‘ž

→ đ?‘&#x;: đ?‘†đ?‘’ đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– Ă đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘Ž,

A 1ÂŞ linha da tabela apresenta premissas

verdadeiras

e

conclusĂŁo

đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ??´đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ.

verdadeira. Todavia, a 3ÂŞ linha apresenta

đ?‘&#x;

premissas

→ đ?‘ : đ?‘†đ?‘’ đ?‘?, đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ?‘†đ?‘Žđ?‘šđ?‘˘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ??´đ?‘›đ?‘Ž.

verdadeiras

e

conclusĂŁo

falsa. Logo, o argumento ĂŠ invĂĄlido. âˆź đ?‘ : đ?‘†đ?‘Žđ?‘šđ?‘˘đ?‘’đ?‘™ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ??´đ?‘›đ?‘Ž Exemplo: Se Bruno briga com Regina, entĂŁo Regina vai Ă praia. Se Regina vai Ă praia,

A conclusĂŁo ĂŠ: âˆźđ?‘&#x;∧ âˆź đ?‘?: đ??´đ?‘›đ?‘Ž đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘œ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘’ đ??ľđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ đ?‘›ĂŁđ?‘œ

entĂŁo Ana vai ao teatro. Se Ana vai ao teatro, entĂŁo Samuel briga com Ana.

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘…đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž.

Ora, Samuel nĂŁo briga com Ana. Logo, Ana nĂŁo vai ao teatro e Bruno nĂŁo briga com Regina.

Para construirmos a tabela-verdade, lembremos que n = 4 (nº de proposiçþes) e daí,

Analise a validade do argumento.

32

2đ?‘› = 24 = 16 ( nÂş de linhas da tabela-

Tais identidades sĂŁo muito estudadas

verdade)

em Teoria dos NĂşmeros. Exemplo: Dado đ?‘Ž ∈ ℤ e sabendo

A tabela- verdade ĂŠ dada por: âˆź đ?‘&#x; âˆ§âˆź đ?‘?

âˆźđ?‘

đ?‘&#x;→đ?‘

đ?‘žâ†’đ?‘&#x;

đ?‘?→đ?‘ž

âˆźđ?‘&#x;

đ?‘? đ?‘ž đ?‘&#x; đ?‘

âˆźđ?‘?

que todo nĂşmero par ĂŠ da forma đ?‘Ľ = 2đ?‘Ž, mostre que đ?‘Ľ 2 tambĂŠm ĂŠ par. Solução

V V V V F

F

V

V

V

F

F

V V V F F

F

V

V

F

V

F

V V F V F

V

V

F

V

F

F

V V F F F

V

V

F

V

V

F

V F V V F

F

F

V

V

F

F

V F V F F

F

F

V

F

V

F

V F F V F

V

F

V

V

F

F

V F F F F

V

F

V

V

V

F

F V V V V

F

V

V

V

F

F

F V V F V

F

V

V

F

V

V

F V F V V

V

V

F

V

F

V

F V F F V

V

V

F

V

V

V

F F V V V

F

V

V

V

F

F

Exemplo: Seja đ?‘› um natural positivo.

F F V F V

F

V

V

F

V

F

Mostre que a soma dos đ?‘› primeiros

F F F V V

V

V

V

V

F

V

F F F F V

V

V

V

V

V

V

Temos que: đ?‘Ľ = 2đ?‘Ž â&#x;š đ?‘Ľ 2 = (2đ?‘Ž)2 = 4đ?‘Ž2 = 2.2đ?‘Ž2 Faça đ?‘š = 2đ?‘Ž2 . Assim, đ?‘š ∈ ℤ e đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘š ĂŠ par.

đ?‘›

nĂşmeros naturais positivos ĂŠ 2 . (đ?‘› + 1). Solução

A 16ÂŞ linha ĂŠ a Ăşnica dentre as demais linhas que apresenta todas as premissas verdadeiras. Nessa linha a conclusĂŁo tambĂŠm ĂŠ verdadeira. Logo, o argumento ĂŠ vĂĄlido.

Devemos provar que 1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż+ đ?‘› = â?&#x; đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

đ?‘› . (đ?‘› + 1) 2

Vejamos:

Problemas envolvendo

đ?‘› â?&#x;= 1 â&#x;š 1 = 1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž

dedução e indução

1 2

. (1 + 1)(verdade!) 2

đ?‘› â?&#x;= 2 â&#x;š 1 + 2 = 2 . (2 + 1) (verdade!)

2 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

Nesta seção estaremos fazendo uso

dos

conceitos

de

argumentos

dedutivos e argumentos indutivos para

3

đ?‘› â?&#x;= 3 â&#x;š 1 + 2 + 3 = 2 . (3 + 1)

3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

(verdade!)

provar algumas identidades numĂŠricas.

33

Suponha que a identidade tambĂŠm ĂŠ

2) Um nĂşmero đ?’™ ĂŠ dito racional se

verdadeira para đ?‘› parcelas, isto ĂŠ,

existem inteiros đ?’‚ đ?‘’ đ?’ƒ, comđ?‘? ≠0, tais que

đ?‘› 1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘› = . (đ?‘› + 1) â?&#x; 2 đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

đ?‘Ľ=

đ?‘Ž đ?‘?

Verificaremos o que acontece com "đ?‘› +

Consideraremos que a fração

1" que ĂŠ o prĂłximo inteiro positivo. Veja:

acima

isto

ĂŠ,

Prove que nĂŁo existe racional đ?‘Ľ tal

(đ?‘›+1) đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

que đ?‘Ľ 2 = 2.

1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘› +(đ?‘› â?&#x; â?&#x; + 1)

=

irredutĂ­vel,

đ?‘šđ?‘‘đ?‘? (đ?‘Ž, đ?‘?) = 1.

1 â?&#x;+ 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘› + (đ?‘› + 1) =

đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘

ĂŠ

1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž

3) Utilizando a indução, mostre que: a) 2đ?‘› > đ?‘›,

đ?‘› . (đ?‘› + 1) + (đ?‘› + 1) 2

b) 12 + 22 + 32 +....+đ?‘›2 =

đ?‘›. (đ?‘› + 1) + 2. (đ?‘› + 1) = 2

đ?‘›(đ?‘›+1)(2đ?‘›+1) 6

=

(đ?‘› + 2). (đ?‘› + 1) 2

=

(đ?‘› + 1) . [(đ?‘› + 1) + 1] 2

∀đ?‘› ∈ â„•, đ?‘› ≼ 1

,

∀đ?‘› ∈

ℕ, � ≼ 1

Atividades de Fixação

ExercĂ­cios 1- Considere a seguinte anĂĄlise, feita por

1) Verifique a validade dos argumentos abaixo:

um comentarista esportivo durante um torneio de futebol.

a) Se Ana for bonita ou Bruno for magro,

entĂŁo

Carlos

serĂĄ

recompensado.

Se o Brasil vencer ou empatar o jogo

Bruno ĂŠ magro.

contra

Portanto,

Carlos

serĂĄ

recompensado. b) Se o jardim nĂŁo ĂŠ florido, entĂŁo o

o

Equador,

classificado

para

independentemente resultados.

entĂŁo a de

Classificando-se a

equipe

estarĂĄ

semifinal, outros para

brasileira

a

gato mia. Se o jardim ĂŠ florido, entĂŁo

semifinal,

vai

o passarinho nĂŁo canta.

enfrentar o Uruguai.

Ora, o passarinho canta.

De acordo com essa anĂĄlise, conclui-se

Logo, se o passarinho canta, entĂŁo o

que se o Brasil

gato mia. 34

A.

não

enfrentar

o

Uruguai,

necessariamente terá perdido o jogo para o Equador.

3- CESPE/2011 - Concurso Polícia Civil do Espírito Santo (ES) Pergunta: A negação da proposição F4 é

B. não se classificar para a semifinal,

logicamente equivalente à proposição

terá necessariamente empatado o jogo

"Não havia um caixa eletrônico em frente

com o Equador.

ao banco ou o dinheiro não foi entregue

C. enfrentar o Uruguai, necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador. D. perder seu jogo contra o Equador, necessariamente não se classificará

a mulher de Gavião". a) Certo b) Errado 4- CESPE/2012 - Concurso TRE do Rio de Janeiro

para a semifinal. Pergunta: Se as proposições "Eu não E. se classificar para a semifinal, então necessariamente não terá sido derrotado pelo Equador. 2- Esaf/2012 - Concurso Auditor Fiscal da Receita Federal Pergunta: A afirmação " A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem

registrei minha candidatura dentro do prazo" e Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições" forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da proposição "Eu serei barrado pela lei da ficha limpa".

como sentença logicamente equivalente:

a) Certo

a) se o menino é loiro, então a menina

b) Errado

tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

5-

CESGRANRIO/2012

-

Concurso

Chesf Pergunta: Se hoje for uma segunda ou

c) se a menina não tem olhos azuis,

uma quarta-feira, Pedro terá aula de

então o menino é loiro.

futebol ou natação. Quando Pedro tem

d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolhinha, Jane deixa de fazer o

e) Não é verdade que se o menino é

almoço e, se Jane não faz o almoço,

loiro, então a menina tem olhos azuis.

Carlos

não

Considerando-se

almoça a

em

sequência

casa. de 35

implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje:

7- FCC/2011 - Concurso TRT 1º Região Pergunta: Há dois casais (marido e mulher) dentre Carolina, Débora, Gabriel

a) É terça, ou quinta ou sexta-feira, ou

e Marcos. A respeito do estado brasileiro

Jane não fez o almoço.

(E) e da região do Brasil (R) que cada

b) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. c) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. d) Não é segunda, nem quartas, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. e) Não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço. 6- IADES/2010 - Concurso Conselho Federal de Administração Pergunta: É necessário que Beatriz

uma dessas quatro pessoas nasceu, sabe-se que: - Carolina nasceu na mesma R que seu marido, mas E diferente; - Gabriel nasceu no Rio de Janeiro, e sua esposa na região Nordeste do Brasil; - Os pais de Marcos nasceram no Rio Grande do Sul, mas ele nasceu em outra R; - Débora nasceu no mesmo E que Marcos. É correto afirmar que:

durma para que Sérgio fiquei feliz.

a) Marcos nasceu na mesma R que

Quando Beatriz dorme, então Romério

Gabriel.

faz uma visita. É necessário e suficiente que Romério faça uma visita para que

b) Carolina e Débora nasceram na mesma R.

Amélia descanse. Logo, quando Sérgio fica feliz, então:

c) Gabriel é marido de Carolina.

a) Amélia descansa e Beatriz dorme.

d) Marcos não é baiano.

b) Amélia não descansa ou Beatriz não

8- FCC/2010 - Concurso TRT 8º região

dorme

Pergunta: Se Alceu tira férias, então

c) Beatriz não dorme e Romério faz uma

Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica

visita.

trabalhando, então CLóvis chega mais tarde do trabalho. Se Clóvis chega mais

d) Beatriz não dorme e Romério não faz

tarde ao trabalho, então Dalva falta ao

uma visita.

36

trabalho. Sabendo-se que Dalva não

Pergunta: Considere a afirmação: "Isabel

faltou ao trabalho, é correto concluir que:

não almoçou e foi ao dentista."

a) Alceu não tira férias e Clóvis chega

A negação dessa afirmação é:

mais tarde ao trabalho.

a) Isabel almoçou e não foi ao dentista.

b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis

b) Isabel almoçou ou não foi ao dentista.

chega mais tarde ao trabalho. c) Isabel não almoçou e não foi ao c) Clóvis não chega mais tarde ao

dentista.

trabalho e Alceu não tira férias. d) Isabel não almoçou e não foi ao d) Brenda fica trabalhando e Clóvis

dentista.

chega mais tarde ao trabalho. e) Isabel foi ao dentista e não almoçou. e) Alceu tira férias e Brenda fica 11- FUNIVERSA/2012 - Concurso PC-

trabalhando.

DF Perito Criminal – Odontologia 9-

CESGRANRIO/2010

-

Concurso

Banco do Brasil

Pergunta: Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas

Pergunta: Qual a negação da proposição "Algum funcionário da agência P do banco do Brasil tem menos de 20 anos"?

de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como

a) Todo funcionário da agência P do

se encontravam ligeiramente alterados

Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

pelo

b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos.

álcool

ingerido,

ocorreu

uma

dificuldade no fechamento da conta. Depois

que

todos

julgaram

ter

contribuído com sua parte na despesa, o c) Algum funcionário da agência P do

total colocado sobre a mesa era de R$

Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

160,00, apenas, formados por uma nota

d) Nem todo funcionário da agência P do

de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro

Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes

e) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

declarações,

todas

verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: —

10- CEPERJ/2012 - Concurso Procon do

Carlos também pagou, mas do Basílio

Rio de Janeiro

não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 37

10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu

d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que

13- Vunesp 2012 - Concurso TJM-SP

ele retirou, estava a nota de R$ 50,00

Analista de Sistemas

que o Eduardo colocou na mesa.

Pergunta: Se afino as cordas, então o

Imediatamente após essas falas, o

instrumento soa bem. Se o instrumento

garçom, que ouvira atentamente o que

soa bem, então toco muito bem. Ou não

fora dito e conhecia todos do grupo,

toco muito bem ou sonho acordado.

dirigiu-se exatamente àquele que ainda

Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho

não havia contribuído para a despesa e

acordado. Dessa forma, conclui-se que

disse: O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a: a) Antônio

a) sonho dormindo. b) o instrumento afinado não soa bem. c) as cordas não foram afinadas. d) mesmo afinado o instrumento não soa

b) Basílio

bem.

c) Carlos

e) toco bem acordado e dormindo.

d) Danton

14-

e) Eduardo

Cesgranrio/2012

-

Concurso

Petrobrás – Técnico de Exploração de Petróleo Júnior – Informática

12- ESAF/2012 - Concurso Auditor Fiscal da Receita Federal

Pergunta: O turista perdeu o voo ou a agência de viagens se enganou. Se o

Pergunta: Caso ou compro uma bicicleta.

turista perdeu o voo, então a agência de

Viajo ou não caso. Vou morar em

viagens não se enganou. Se a agência

Pasárgada ou não compro uma bicicleta.

de viagens não se enganou, então o

Ora, não vou morar em Pasárgada.

turista não foi para o hotel. Se o turista

Assim,

não foi para o hotel, então o avião

a) não viajo e caso.

atrasou. Se o turista não perdeu o voo, então foi para o hotel. O avião não

b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.

atrasou. Logo, a) o turista foi para o hotel e a agência de viagens se enganou. 38

b) o turista perdeu o voo e a agência de

e) se classificar para a semifinal, então

viagens se enganou.

necessariamente não terá sido derrotado

c) o turista perdeu o voo e a agência de

pelo Equador. 16- FCC/2012 - TCE – SP Agente de

viagens não se enganou. d) o turista não foi para o hotel e não perdeu o voo.

Fiscalização Financeira – Administração Pergunta: Se a tinta é de boa qualidade

e) o turista não foi para o hotel e perdeu

então a pintura melhora a aparência do ambiente. Se o pintor é um bom pintor

o voo.

até usando tinta ruim a aparência da 15- FCC/2012 - Concurso TJ/RJ para

ambiente

Analista Judiciário/Análise de Sistemas

pintado.

Pergunta: Considere a seguinte análise,

melhorou.

feita por um comentarista esportivo

afirmações, é verdade que:

durante um torneio de futebol. Se o Brasil

a) O pintor era um bom pintor ou a tinta

vencer ou empatar o jogo contra o

era de boa qualidade.

melhora. A

O

ambiente

aparência Então,

a

do

foi

ambiente

partir

dessas

Equador, então estará classificado para a

semifinal,

independentemente

de

outros resultados. Classificando-se para a semifinal, a equipe brasileira vai enfrentar o Uruguai. De acordo com essa análise, conclui-se que se o Brasil a)

não

enfrentar

o

Uruguai,

b) O pintor era um bom pintor e a tinta era ruim. c) A tinta não era de boa qualidade. d) A tinta era de boa qualidade e o pintor não era bom pintor. e) Bons pintores não usam tinta ruim.

necessariamente terá perdido o jogo para o Equador.

17- FCC/2012 - Concurso TCE- AP Técnico de Controle Externo

b) não se classificar para a semifinal, terá necessariamente empatado o jogo com

Pergunta:

o Equador.

ambulatório

O

responsável médico

por

afirmou:

um

“Todo

paciente é atendido com certeza, a c) enfrentar o Uruguai, necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador.

menos que tenha chegado atrasado. ” De acordo com essa afirmação, concluise que, necessariamente,

d) perder seu jogo contra o Equador, necessariamente não se classificará para a semifinal. 39

a)

nenhum

atrasado

se

paciente

terá

todos

chegado

tiverem

sido

atendidos.

ABAR,

Celina.

Matemática. PUC,

b) nenhum paciente será atendido se

Noções

de

Lógica

São

Paulo: 2008.

http://www.pucsp.br/~logica/

todos tiverem chegado atrasados. c) se um paciente não for atendido, então ele terá chegado atrasado. d) se um paciente chegar atrasado, então ele não será atendido. e) se um paciente for atendido, então ele não terá chegado atrasado.

Referências Bibliográficas FILHO, Edgar de Alencar. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.

DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. 4ª Ed, São Paulo: Atlas, 2006.

SOARES, Edvaldo. Fundamentos de Lógica:

Elementos

de

Lógica Formal e Teoria da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003.

40

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