Apresentação O Curso Matemática Divertida 1: Jogos, desafios e proposições, propõe recursos educacionais que abordam os conteúdos de matemática de forma variada. Nesta dinâmica, serão realizadas atividades que favoreçam a interação social, buscando o desenvolvimento de habilidades a partir de situações concretas manipuláveis, de sorte que os estudantes possam usar suas experimentações, tentativas, acertos e erros, para além da realização das atividades, construírem seus conceitos e estratégias muito necessário para uma inserção segura neste mundo cada vez mais dinâmico e exigente.
Sumário Aula 1: Introdução..........................................................................................................................................4 Aula 2 – Torres de Hanói...............................................................................................................................5 Aula 3 – Generalização .................................................................................................................................7 Aulas 4 – Tangram ........................................................................................................................................8 Aula 5 – Aplicações na Matemática do Tangram .......................................................................................10 Aula 6 a 8 - Sudoku .....................................................................................................................................11 Aula 9 – Praticando .....................................................................................................................................14 Aula 10 a 12 – Jogo do NIM ........................................................................................................................15 Aula 13– Cubo de Rubik (Cubo Mágico) e Variações ................................................................................17 Aulas 14 a 19 – Montando o Cubo de Rubik ..............................................................................................18 Aula 20 – Variações do Jogo ......................................................................................................................27 Referências: .................................................................................................................................................29
CUBO MÁGICO E VARIAÇÕES
Aula 1: Introdução
A
aplicação
dos
jogos
como
atividade de desenvolvimento intelectual já é comprovadamente eficiente. Nesta perspectiva a inserção destas atividades em sala de aulas surge como uma oportunidade de socializar os alunos, busca a cooperação mútua, participação da equipe na busca incessante de elucidar o problema desafiadores.
Quando se busca a definição formal tem-se, segundo a Wikipédia - a enciclopédia livre, que jogo é toda e qualquer atividade em que exista a figura do jogador (como indivíduo praticante) e regras que podem ser para ambiente
Neste curso, será abordado quatro
restrito ou livre. Geralmente os jogos têm
elementos importantes para a saúde
poucas regras e estas tendem a ser
mental, uma vez que se propõe atividades
simples. Sua presença é importante em
que
de
vários aspectos, entre eles a regra define
competências a partir dos desafios e
o início e fim do jogo. Pode envolver dois
proposições.
ou mais jogando entre si como adversários
exigem
o
desenvolvimento
TORRES DE HANÓI
ou cooperativamente com grupos de adversários.
TANGRAM
Assim
quando foi pensado a
temática e o uso de jogos, desafios e proposições, no ensino de matemática, propõe-se a quebra da herança histórica SUDOKU
que
jogos
exclusivamente
são para
instrumentos passar
tempo,
distrações e, leva-se ao campo da fundamentação e validação. A estrutura metodológica será JOGO DO NIM
basicamente, apresentação do conceito, fundamentação e validações das regras, desafios
e
soluções,
buscando
a
construção de conjecturas e proposições por parte dos participantes e testes para comprovação destes.
4
Agora é só colocar em prática,
História das Torres de Hanói
afinal este curso foi pensado para a ação....
Edouard Lucas foi inspirado por uma lenda Hindu que falava de um templo em Bernares, cidade santa da Índia, onde
Aula 2 – Torres de Hanói
existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina Torres de Hanói é um "quebra-
mental dos monges jovens. A lenda dizia
cabeça" que consiste em uma base
que, no início dos tempos, foi dado aos
contendo três pinos, em um dos quais são
monges de um templo uma pilha de 64
dispostos alguns discos uns sobre os
discos de ouro, dispostos em uma haste,
outros, em ordem crescente de diâmetro,
de forma que cada disco de cima fosse
de cima para baixo. O problema consiste
menor que o de baixo. A atribuição que os
em passar todos os discos de um pino
monges receberam foi transferir a torres,
para outro qualquer, usando um dos pinos
formada pelos discos, de uma haste para
como auxiliar, de maneira que um disco
outra, usando a terceira como auxiliar com
maior nunca fique em cima de outro menor
as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e,
em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.
quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.
As Torres de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento
para
avaliação
da
capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução
Em francês,
1884, chamado
outro De
matemático Parville,
desenvolveu a seguinte história, que também costuma ser associada à Torres de Hanói.
de problemas. No grande templo de Benares, As
torres
de
Hanói,
também
conhecida por torres do bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi publicada em 1883 pelo matemático francês
Edouard
Lucas,
com
o
pseudônimo Prof. N. Claus (de Siam), um anagrama de seu nome.
debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual
estão
fixadas
três
hastes
de
diamante, cada uma com a altura do osso cúbito do braço e tão fina como o corpo de uma abelha. Em uma dessas agulhas, Deus, quando criou o mundo, colocou 64
5
discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chegar ao topo. Isto
se
constituiu
nas
torres
do
bramanismo. Dia e noite, os monges transferiam incessantemente os discos de uma haste para outra, de acordo com as leis fixas e imutáveis do bramanismo, que
Regras do Jogo O objetivo deste jogo consiste em deslocar todos os discos da haste onde se encontram,
geralmente
a
haste
da
esquerda para uma haste diferente, usualmente a da direita, usando a haste entre
elas
apenas
como
auxilio
e
respeitando as seguintes regras:
exigiam que os monges nunca movessem mais de um disco por vez e nunca
1- Deslocar um disco de cada vez, o
deixassem um disco maior ficar sobre um
qual deverá ser o do topo de uma
menor. Quando os 64 discos fossem
das três hastes;
transferidos para outra haste, a torres, o templo
e
as
pessoas
2- Cada disco nunca poderá ser colocado sobre outro de diâmetro
seriam
mais pequeno.
transformadas em pó e, com um estrondo, o mundo desapareceria. O sol está em atividade há cerca de 5 ou 6 bilhões de anos e deverá continuar por igual período, quando entrará em colapso. Nessa fase, a camada de hélio no interior do sol terá crescido bastante e as camadas
exteriores
suficiente
para
expandidas
englobar
a
Atividade:
o
Terra,
De acordo com as regras do
destruindo-a. Será o fim do mundo. Depois
jogo Torres de Hanói, preencha a tabela
disso, os gases serão expelidos e o
abaixo:
sistema solar será transformado numa estrela anã. Como a Terra tem cerca de 5 bilhões de anos, devendo durar igual
Número
Quant de
Quant
de
Movimentos Acrescentados
Peças
Realizados
período e a Torres de Hanói demoraria
1
585 bilhões de anos para ser resolvida, o
2
mundo realmente acabará, mesmo antes
3
do término do quebra-cabeças. Até lá a
4
humanidade já terá sido extinta ou terá
5
tecnologia suficiente para mudar-se de
6
planeta.
7 6
Seja đ?‘› đ?œ– â„ľ, đ?‘› ≼ 1, o nĂşmero de discos na haste inicial e Jn a quantidade mĂnima de movimentos, aqui chamada de jogada n, e analisando a explicação de como resolver a Torres, mostrada acima, pode-se dizer que Jn=Jn−1+1+Jn−1=2¡Jn−1+1 Assim, podemos descobrir o valor de Jn para qualquer n dado. TerĂamos, porĂŠm, que calcular todos os Jn anteriores. FĂłrmula Fechada Geometricamente, ao construir a
Deseja-se agora ĂŠ descobrir uma
sequĂŞncia do nĂşmero mĂnimo de jogadas
relação de Jn dependendo apenas de n e
em relação a quantidade de discos,
nĂŁo do nĂşmero Jn−1 obtido na jogada
percebe-se que esta sequĂŞncia ou grĂĄfico
anterior. Esta fĂłrmula ĂŠ, por costume,
representa
alguns
jĂĄ
chamada de fĂłrmula fechada e nem
conhecidos
dentro
da
sempre ĂŠ possĂvel encontrĂĄ-la a partir da
conteĂşdos do
estudo
MatemĂĄtica, um bom caso ĂŠ chamado de
relação de recorrência. Jå se sabe que:
função do tipo exponencial ou mais especificamente, progressĂŁo geomĂŠtrica. Agora serĂĄ possĂvel descrever
Jn = 2¡Jn−1+1 Jn+1 = 2¡Jn−1+2
alguma fĂłrmula que prediga o nĂşmero
Jn+1 = 2¡(Jn−1+1)
mĂnimo de lances para solucionar o jogo a
Jn+1 = 2¡Jn
partir do nĂşmero de discos na partida.
Aula 3 – Generalização
Chamando (Jn+1) de An, temos:
An = 2¡An−1 An = 2¡2¡An−2 = 22¡An−2
Com
base
nas
informaçþes
apresentadas na tabela pode-se construir atravĂŠs de um modelo de recorrĂŞncia um padrĂŁo para relacionar a quantidade de discos e nĂşmero mĂnimo de movimentos
An = 22¡2¡An−3 = 23¡An−3 An =...=2n−1¡An−(n−1) = 2n−1¡A1 Como A1 = J1+1=2, temos An=2n−1¡2=2n E como An = Jn+1
necessĂĄrios para se fazer a transferĂŞncia
Jn+1=2n
dos discos.
Jn=2n−1
7
Observem a sequência de J = (1,3,7,15,31,...),
pode
ficar
intuitivo
quem concluirá a prova no menor tempo.
pensarmos nesta fórmula. Praticando com as Torres de Hanói
Aulas 4 – Tangram Introdução
Agora que já se pode verificar o número mínimo de jogadas para um dado número
de
discos,
então
faça
a
comprovação, isto é, o cálculo e o jogo, nos casos de a haste inicial apresentar:
Tangram é um antigo jogo chinês, que consiste na formação de figuras e desenhos por meio de 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Não se sabe exatamente quando o jogo
a) n = 7
surgiu, embora exista uma lenda sobre tal criação. Segundo a mesma, um imperador
b) n = 8
chinês quebrou um espelho, e ao tentar juntar os pedaços e remontá-lo, percebeu
c) n = 9
que poderia construir muitas formas com seus cacos.
Desafios: 1- Qual o número mínimo de discos que deve apresentar a primeira haste para que o número de jogadas seja: a) Maior que 10 000?
b) Igual a 4095? De qualquer forma, o Tangram é possível construir outras
jogado há séculos em todo o Oriente. De
atividades que envolvam o jogo
lá, o quebra-cabeça chinês se espalhou
Torres de Hanói, para disputas em
por toda a Ásia, Europa e Estados Unidos,
duplas ou grupos maiores?
tendo sido, inclusive, fonte de inspiração
2- Será
para a criação de muitos outros tipos de 3- Disputa
de
competidores
entre para
dois
determinar
brinquedos. Com essas peças podemos formar várias figuras, utilizando todas elas sem 8
sobrepô-las. Há evidências que levam a estimativa de que seja possível montar mais de 5 000 figuras.
•
Paralelogramo:
2
triângulos
pequenos; Além disso, vale ressaltar que a
O Tangram não exige grandes
única peça que pode ser realmente
habilidades dos jogadores; basta ter
invertida é o paralelogramo, pois a peça
criatividade, paciência e tempo. Durante o
não é simétrica.
jogo, todas as peças devem ser utilizadas;
Benefícios de se jogar Tangram
além disso, não é permitido sobrepor nenhuma peça. O Tangram pode ser
Os benefícios de se jogar Tangram
utilizado em aulas de matemática, uma
são maiores do que aparenta. Este
vez que o mesmo estimula os alunos a
quebra-cabeça é capaz de estimular tanto
desenvolverem
o
o lado esquerdo do cérebro, que lida com
raciocínio lógico, habilidades essenciais
a lógica, quanto o lado direito, que é
no estudo da disciplina.
encarregado das informações abstratas.
a
criatividade
e
Exercita a resolução de problemas.
Estratégias do Tangram
Para montar cada figura é necessário Uma das estratégias mais simples
planejar onde as peças serão colocadas;
do jogo é tentar encaixar primeiro os dois triângulos grandes. Como eles são as
Estimula a criatividade. As peças
maiores peças, o espaço para encaixar as
do jogo permitem que várias figuras sejam
outras ficará mais restrito, restando assim
montadas, sendo que algumas dessas
menos possibilidades de encaixe para
figuras podem ser montadas de maneiras
elas.
distintas; É importante notar que, com
Melhora a noção espacial. O
exceção das peças menores (os dois
Tangram
triângulos pequenos), as peças podem ser
posicionadas e rotacionadas, levando o
"formadas" por uma combinação de outras
cérebro
peças menores. Confira a seguir:
responsáveis
•
•
a
que
trabalhar pelo
peças
as
sejam
regiões
reconhecimento
e
posicionamento de formas geométricas. Triângulo grande: 2 triângulos ou
As aplicações do jogo Tangram,
paralelogramo ou triângulo médio;
vão desde o uso como distração ou
Triângulo
entretenimento até o uso pedagógico
pequenos •
exige
+
1
médio:
quadrado
2
triângulos
pequenos;
como na Matemática, por exemplo. A
Quadrado: 2 triângulos pequenos;
seguir algumas aplicações ou imagens que podemos fazer com as peças do quebra cabeça. 9
Atividade Como tarefa inicial do jogo, faça a reprodução das figuras apresentadas anteriormente.
Aula
5
–
Aplicações
na
Matemática do Tangram Como já descrito o Tangram é formado por 5
triângulos
retângulos
isósceles, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Com base nestas informações e utilizando as peças do Tangram, construir figuras de acordo com os comandos a seguir e descreva, quantas são possíveis maneiras de resolver cada situação: 1- Triângulo com quantidade de peças: a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 2- Quadrado com quantidade de peças: a) 2 Quando se refere especificamente
b) 3
da aplicação matemática do Tangram,
c) 4
observa-se que este quebra cabeça pode
d) 5
e
e) 7
deve
ser
utilizado
como
apoio
introdutório a conceitos relacionados a geometria
plana,
perímetros e área.
como
polígonos,
3- Retângulo com quantidade de peças: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10
4- Trapézios
com
quantidade
de
b) Quadrado
peças:
c) Retângulo (não seja o quadrado)
a) 2
d) Trapézio
b) 3
e) Paralelogramo
c) 4
retângulo)
d) 5
f)
e) 7
g) Hexágono
(não
seja
Pentágono
5- Paralelogramo com quantidade de peças:
2- Nos casos anteriores, determine o
a) 2
perímetro e área.
b) 3 c) 4
Aula 6 a 8 - Sudoku
d) 5 e) 7 6- Pentágono com quantidade de
O Sudoku é um jogo de lógica, ideal para todas as idades, que fez muito
peças:
sucesso nos anos 2000 e que ainda
a) 3
continua atraindo aqueles que gostam de
b) 6
jogos simples e que colocam o cérebro
7- Hexágono com quantidade de peças:
para funcionar. Como Jogar Sudoku
a) 4 b) 5 c) 7 8- Heptágono com quantidade de peças: a) 6
O Sudoku é um passatempo, para ser jogado por apenas uma pessoa, que envolve raciocínio e lógica. A ideia do jogo é bem simples: completar todas as 81 células usando números de 1 a 9, sem repetir os números numa mesma linha, coluna ou grade (3x3).
Atividade
Dicas e Estratégias
1- Construa sobre uma folha de papel
A seguir listamos algumas dicas e
sulfite os seguintes polígonos, utilizando
estratégias simples que te ajudarão na
todas as peças do TANGRAM, e em
resolução de um Sudoku.
seguida faça o contorno deste na folha de papel. a) Triângulo 11
Com Marcações
Muitas
Usando as marcações, você pode usar essas dicas bem simples (e até
vezes,
ao
se
olhar
atentamente, o jogador pode encontrar um "número sozinho oculto". Esse número não aparece sozinho nas marcações. Ele
mesmo óbvias):
é o único candidato possível numa linha, Número Sozinho
coluna ou grade 3x3, só que ele aparece no meio de outros números. Confira na imagem ao lado: Nessa imagem é possível ver que os números 1 e 8 aparecem apenas uma vez nas suas respectivas grades 3x3. Isso indica que eles devem ser colocados necessariamente naquelas posições. Pares Sozinhos 1. Se em algum momento o jogador encontrar um mesmo par de
Em qualquer momento, se faz
números sozinhos nas marcações de um
necessário observar atentamente o jogo
grupo (linha, coluna ou grade), significa
em busca de células que apresentem
que esse par deve necessariamente
apenas um número nas marcações. Isso
aparecer nessas duas células. Veja a
indica
imagem a seguir:
que
existe
apenas
uma
possibilidade para aquela célula. Número Sozinho Oculto
2. Nessa imagem vê-se facilmente que os números 1 e 3 aparecem sozinhos em duas células, logo eles devem ser usados nessas células. Só não se sabe qual
número
vai
em
cada
célula.
Entretanto, sabe-se que os números 1 e 3
12
não podem aparecer nas outras células vazias. Assim, resta ao jogador apenas uma possibilidade em cada uma.
Sem Marcações Ao analisar as posições livres, Para aqueles que não querem usar
pode-se notar que na grade 3x3 central
as marcações, deve-se observar uma
existe apenas uma posição livre para o
estratégia bem simples e muito útil.
número 9, logo é elementar colocá-lo
Linhas Cruzadas
nessa posição.
A técnica das linhas cruzadas é
Feito isso, repete-se o processo
possivelmente a primeira que as pessoas
das retas imaginárias para o número que
aprendem quando jogam Sudoku. Os
foi posicionado. Confira o resultado:
jogadores aprendem na prática mesmo, pois ela é simples e básica. Nela o jogador deve escolher um número (geralmente aquele que está mais presente
no
jogo)
e
traçar
retas
imaginárias nas linhas e nas colunas nas quais esse número está presente. No exemplo a seguir, escolhemos o número 9. Encontramos todos os lugares onde ele está presente e traçamos as retas imaginárias nas linhas e colunas para indicar que o número 9 não pode ser
Novamente deve-se analisar as
colocado nessas posições. Feito isso,
posições livres em busca de uma nova
marcamos as posições livres com a cor
jogada. Como se nota, na grade inferior
verde.
central existe apenas uma posição livre.
13
Assim é possível colocar o número 9 e repetir o procedimento anterior.
Um caminho possível é escolher um novo número e repetir essa estratégia que foi descrita. Provavelmente será possível conseguir preencher boa parte das
células
usando
apenas
essa
estratégia.
Aula 9 – Praticando Resolver desafios relacionados ao jogo Sudoku, representa um importante desafio
para
o
desenvolvimento
de
competências relacionados ao raciocínio lógico. Com este objetivo segue uma Desta vez apareceu uma única
sequência de desafios por nível de
posição livre no canto inferior esquerdo,
dificuldade.
então coloca-se um 9 nessa posição e dar-
Muito fácil
se prosseguimento com a estratégia.
Agora pode-se ver que há quatro posições livres para o número 9, sendo que nenhuma delas é única na grade 3x3 em que está. Portanto não se sabe onde colocar
o
9
usando
apenas
essa
estratégia.
14
Fácil
Muito difícil
Médio
Aula 10 a 12 – Jogo do NIM O jogo do NIM é uma atividade lógica que consiste em utilizar estratégias variadas para alcançar os objetivos do jogo. Este jogo é representativamente matemático. Regra do Jogo Coloca-se sobre uma mesa uma fila com um número qualquer de palitos. Difícil
Os dois jogadores jogam alternadamente e cada jogador retira, na sua vez, um determinado número de palitos da mesa. Deve-se retirar pelo menos um palito a cada jogada, e a quantidade de palitos a ser retirada deve ter um limite máximo, previamente fixado. Perde o jogador que retirar o último palito. Gardner acredita que o jogo tenha origem na China. Esclarece também, que em 1940 foi patenteada nos EUA uma 15
máquina de nome "Nimatron", que se
há 5 palitos, na segunda 3, e na terceira 9.
destinava
unicamente
Passando para números binários, temos:
Pasmem:
a
máquina
a
jogar
Nim.
pesava
uma
tonelada! 5=
(101)2
exibido um robô chamado "Nimrod", que
3=
(11)2
servia exclusivamente para jogar Nim...
9=
(1001)2
Em 1951 no "Festival Britânico", foi
Do
que
não
é
capaz
a
inventividade humana, tão somente para jogar um joguinho de bar!
A configuração segura consiste em somar estes números binários (somar
Uma variação interessante: faz-se uma fila única com 20 moedas. Cada
como se fossem decimais). Veja a soma do exemplo acima:
jogador pode tirar 1, 2 ou 3 moedas, em 1
sua vez. Quem for obrigado a tirar a última moeda, perde o jogo.
0
1
1
1
Como vencer?
1
0
0
1
Para vencer matematicamente, é
1
1
1
3
preciso ter um conhecimento de números binários, pois é através deles que roda todo algoritmo da vitória.
Deve-se achar um resultado que contenha
apenas
algarismo
pares
(lembre-se que zero é par), neste exemplo
Este algoritmo consiste em fazer
a soma dá 1113, não se tem uma
uma configuração segura nos palitos de
configuração segura, pois 1113 não
modo que não interessa qual a jogada de
contém nenhum algarismo é par.
seu oponente, você faz novamente a configuração, e acaba sempre vencendo. E mesmo que os dois saibam fazer este algoritmo, o que conseguir começar a desenvolve-lo, ganha. Vamos ver isso
Agora que deve ser feita a jogada que inicia a vitória. O jogador deve transformar a configuração dos palitos em uma configuração segura. A melhor estratégia é fazer alguma
agora. Primeiro deve-se contar quantos números há em cada fileira, e transformálos em números binários, através do exemplo abaixo em que na primeira fileira
modificação em uma das fileiras de modo que passe a ser uma configuração segura. Assim, se uma modificação for feita na terceira fileira para 6 palitos ,6= (110)2, obtém-se: 16
5=
1
3=
0
1
1
1
espaço. Erno sempre viu o cubo como uma peça de arte, uma escultura móvel simbolizando
contrastes
da
condição
6=
1
1
0
humana: problemas desconcertantes e
Soma =
2
2
2
inteligência
triunfal;
simplicidade
e
complexidade; estabilidade e dinâmica, Desta
forma
encontra-se
uma
configuração segura, pois a soma 222 contém somente algarismos pares. Logo independente da jogada do
ordem e caos. Para este objeto mágico se tornar o brinquedo mais vendido do mundo,
Monte uma disputa e construa uma estratégia eficiente para vencer sempre.
Aula 13– Cubo de Rubik
A beleza do Cubo de Rubik é que quando você vê um embaralhado, você
alguma instrução. Porém, sem instrução é quase impossível de se resolver, fazendo com que ele seja umas das invenções mais frustrantes e viciantes já produzidas.
(Cubo Mágico) e Variações Em 1974, um jovem professor de de
Budapeste
não deveria ser possível. Mesmo após de ter sido girado, o cubo não quebrou ou desmontou. Com adesivos coloridos em suas faces, o cubo foi embaralhado e assim surgiu o primeiro “Cubo de Rubik”. Erno precisou de um pouco mais de um para
Fonte: rubiks.com Desvendando o Cubo de Rubik
(Hungria)
chamado Erno Rubik criou um objeto que
mês
foram
sabe o que exatamente precisa fazer, sem
Atividade:
arquitetura
tentativas
necessárias.
oponente, para vencer o jogador deve sempre fazer uma configuração segura.
algumas
conseguir solucionar este
O Cubo de Rubik é um cubo geralmente confeccionado em plástico e possui várias versões, sendo a versão 3x3x3 a mais comum, composta por 54 faces e 6 cores diferentes, com arestas de aproximadamente 5,5 cm. Outras versões menos conhecidas são a 2x2x2, 4x4x4 e a 5x5x5.
quebra-cabeça. Mal ele sabia que o cubo
É considerado um dos brinquedos
se tornaria o brinquedo mais vendido do
mais populares do mundo, atingindo um
mundo. Como professor, Erno sempre
total
procurava por coisas novas, maneiras
vendidas, bem como suas diferentes
mais
imitações.
emocionantes
para
transmitir
de
900
milhões
É
de
possível
unidades
atingir
informação, então ele usou o primeiro
43.252.003.274.489.856.000
modelo do cubo para ajudá-lo a explicar
quintilhões) combinações diferentes.
(43
aos seus alunos sobre relações de 17
✓ Azul e Verde;
Uma das divisões do Cubo Mágico
✓ Amarelo e Branco;
são as camadas:
✓ Vermelho e Laranja.
Aulas 14 a 19 – Montando o Cubo de Rubik Existem vários métodos para se montar o cubo mágico, alguns são mais simples e rápidos, outros mais complexos e lentos. Para os iniciantes, o método de camadas é a opção ideal, já que ele possui apenas 5 sequências que devem ser
✓ Superior;
decoradas.
✓ Mediana;
Por outro lado, esse método é de
✓ Inferior.
nível iniciante e leva alguns (poucos) Outra forma de divisão são as faces. O objetivo do Cubo Mágico é
minutos para ser finalizado, mesmo com prática.
montá-lo de forma que as suas faces tenham apenas peças da mesma cor. O Cubo de Rubik (como também é conhecido o Cubo Mágico) é composto de
Método de Camadas Pensado para o Cubo Mágico 3X3X3 Passo 1
26 pequenos cubos que formam as faces, além de um cubo interno que serve para
O
primeiro
manter a forma do cubo.
solucionar
passo
deste
método
uma
cruz
com
4 meios brancos ao A divisão dos cubos é:
amarelo,
ou
✓ 8 cubos de canto (3 cores);
quinas brancas
✓ 12 cubos de borda lateral (2 cores);
semelhantes.
os
redor do centro
seja, e
é
ignore outras
as peças
✓ 6 cubos centrais (1 cor). É um passo extremamente intuitivo e Cada cubo central é fixo ao cubo interior, definindo a cor que a face possui. Originalmente as cores do Cubo Mágico são:
Azul,
Verde,
Amarelo,
servirá para que você conheça melhor o cubo,
seus
movimentos
e
suas
possibilidades.
Branco,
Vermelho e Laranja. Sendo que as cores são opostas: 18
Este é o caso mais simples, onde um meio branco está na frente do cubo e logo acima existe um “espaço vazio”. Neste caso, realize o movimento R. Caso o meio branco esteja na base, realize o movimento R2.
Este caso é extremamente semelhante ao anterior, porém, antes de simplesmente “subir” o meio branco que está na frente do cubo para o topo, você precisa levar um “espaço vazio” na direção deste meio, pois já existe outro meio branco na direção dele. Neste exemplo, o “espaço vazio” está logo a minha frente, sendo assim, vou realizar o movimento U’ para posicioná-lo na mesma direção do meio branco. Feito isso, eu posso encaixar o meio branco no
topo do cubo com o movimento R.
Neste caso nós temos um meio branco na lateral do cubo e um “espaço vazio” logo a sua frente. Basta realizar o movimento F’. Caso o meio branco esteja na base do cubo, realize o movimento F2.
Este é um caso um pouco mais complexo, mas ainda assim bem simples de ser realizado. Primeiro você deve manter o “espaço vazio” em cima do meio branco (como demonstra a primeira figura) e então executar o movimento R para posicionar este meio na lateral do cubo (conforme o resultado da segunda figura). Perceba que vai ficar um caso bem parecido com os anteriores. Realize o movimento U para levar o “espaço vazio” na direção
19
do meio branco da lateral, e por fim, o movimento F’ para posicionar o meio branco no topo do cubo.
acontecer para todos os meios. Este passo está dividido em 2 etapas. Confira o exemplo:
1ª Etapa: escolha qualquer um dos 4 meios brancos Este é um exemplo do 1º PASSO finalizado. para começar e movimente a face Confira se seu cubo está semelhante e amarela com o prossiga para o próximo passo: movimento U, U’ ou U2 até que a 2º PASSO - ALINHAR A CRUZ BRANCA segunda cor deste meio escolhid o se alinhe com o centro correspond ente na lateral do cubo. Passo 2 No primeiro passo, a cruz foi solucionada ao redor do centro amarelo e nós levamos em consideração apenas a cor branca de cada um dos 4 meios.
Como
sabemos,
cada meio possui
2
cores, sendo assim, neste passo, nós vamos
alinhar
cada meio branco
a
segunda
cor
ao
de
redor
do centro branco (na base do cubo), para obter o seguinte resultado:
- Escolhi o meio branco/verm elho para iniciar. - Na primeira figura, veja que ele está alinhado com o centro azul da minha frente, vou então movimentar o topo do cubo com o movimento U’ para que o meio branco/verm elho se alinhe com o centro vermelho, conforme a segunda figura.
Perceba que o meio branco/verde está fazendo ligação com o centro branco e com o centro verde. O mesmo deve
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2ª Etapa: o segundo movimento terá como objetivo levar o meio que você acabou de alinhar na primeira etapa para a base do cubo. Para isso, posicione o meio que foi alinhado na sua frente, conforme a primeira figura, e execute o movimento F2. Assim, a cor branca vai sair do topo e ir para a base do cubo, e a outra cor deste meio (vermel ha, no meu caso) continuará alinhada, conforme a sequência ao lado.
Passo 3 Para este passo, deve-se finalizar a camada branca. Como a cruz branca já está completa na base do cubo, as peças que
faltam
são
as quinas
brancas,
conforme pode ser observado na figura acima. Perceba que, ao finalizar este passo, nós vamos preencher toda a base do cubo com peças brancas, e as laterais devem estar completamente corretas em relação à cor dos centros de cada face. Este passo está dividido em 4 etapas. Confira o exemplo: 1ª Etapa: mantendo a cruz na base, encontre uma quina branca que esteja na
Agora basta você executar estas duas etapas para cada um dos 4 meios brancos até que todos fiquem corretamente alinhados em relação ao centro branco na base, e claro, as cores das laterais também devem estar alinhadas com os centros corresponde ntes.
camada do topo do seu cubo (caso você não encontre nenhuma quina branca no topo do cubo, pule as próximas etapas e verifique o caso “Quina branca na base”).
2ª Etapa: confira as cores da quina que você encontrou na primeira etapa, e identifique o lugar que esta peça deverá ser encaixada com a ajuda dos 3 centros correspondentes. 3ª Etapa: execute o movimento U, U’ ou U2, até que a quina branca fique em cima do
lugar
que
ela
deverá
entrar.
4ª Etapa: veja qual das 3 primeiras situações o seu cubo ficou e aplique a fórmula correspondente. 21
- Escolhi a quina branco/azul/la ranja, sendo assim, vou procurar pelos centros branco, azul e laranja. A ponta que une as 3 cores é o lugar onde a quina deverá ser encaixada.
Quina branca na base Fórmula: R U R’ Realize as 4 etapas citadas acima para cada uma das 4 quinas que vão completar a camada branca.
- Posicionei a quina branco/azul/la ranja em cima do lugar que ela deverá entrar, que é ao lado do centro azul e do centro laranja. - No meu exemplo o cubo está como o caso “Quina branca na esquerda”. Passo 4 Confira as 4 fórmulas para as possíveis posições das quinas brancas:
Neste passo, deve-se finalizar a camada do meio do cubo. Como a camada branca já está completa, as peças que
Quina branca na esquerda Fórmula: L’ U’ L
faltam para completar este passo são os meios da segunda camada. Este passo é bastante semelhante ao anterior. Nós vamos procurar um meio no topo do cubo, encontrar o lugar que ele deverá entrar de
Quina branca na direita Fórmula: R U R’
acordo com os centros correspondentes, posicionar e aplicar a fórmula de acordo com a situação encontrada. Este passo está dividido em 2 etapas. Confira o exemplo:
Quina branca no topo Fórmula: R U2 R’ U’ R U R’
1ª Etapa: mantenha a camada branca na base e procure no topo do cubo por meios que não tenham a cor amarela.
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- Encontrei o meio azul/verme lho. Lembre-se que este é apenas um exemplo, você pode escolher qualquer outro meio que não tenha a cor amarela.
Meio para a esquerda Fórmula: U’ L’ U L U F U’ F’ Caso o meio já esteja na segunda camada, porém, de forma errada, mantenha ele na sua esquerda, conforme a figura ao lado, e aplique a mesma fórmula do caso “Meio para a esquerda” para que este meio errado seja removido. Feito isso, você deve voltar e realizar um dos dois casos já demonstrados.
2ª Etapa: aplicando o movimento U, U’ ou U2, você deve manter a cor da lateral deste meio junto
com
o
centro
correspondente.
- A cor da lateral do meio que escolhi é azul, sendo assim, vou girar o topo até que este adesivo azul faça combinação com o centro azul. Feito isso, basta manter essa peça já alinhada na minha frente e identificar qual será a fórmula que deverá ser aplicada.
Realize as 2 etapas para cada um dos 4 meios que vão completar a segunda camada do cubo.
Confira as 2 fórmulas para as possíveis posições dos meios no topo do cubo:
Meio para a direita Fórmula: U R U’ R’ U’ F’ U F Passo 5 Agora que o cubo já está com duas camadas completas, deve-se iniciar a 23
solução da última camada. Os próximos quatro
passos
requerem
bastante
Fórmula: F R U R’ U’ F’
atenção, pois qualquer movimento errado pode comprometer o que já finalizamos,
Caso “L”
entretanto, são movimentos bem objetivos e fáceis de serem aplicados. Lembre-se sempre de posicionar o cubo corretamente e não errar o sentido dos movimentos.
Neste passo, nós vamos orientar uma cruz amarela no topo do cubo. É um passo muito simples, no qual você deve apenas posicionar seu cubo conforme a figura e aplicar
a
fórmula
correspondente.
Seu cubo pode estar em 3 posições
Neste caso, temos 2 meios no topo do cubo formando a letra L. Posicione seu cubo conforme a figura e aplique os movimentos. Ao finalizar este caso o seu cubo vai ficar exatamente como o caso “linha”. Fórmula (igual): F R U R’ U’ F’
diferentes. Em qualquer um dos casos a fórmula será a mesma, a única diferença será a quantidade de vezes que ela deverá ser aplicada e a posição do cubo. Observe em qual caso seu cubo se encontra, posicione conforme a figura e aplique
os
movimentos.
Caso “Ponto” Neste caso, temos apenas o centro amarelo no topo. Mantenha seu cubo conforme a figura e aplique os movimentos. Perceba que ao aplicar a fórmula o seu cubo saiu do caso “ponto” e foi para o caso “L”.
Caso “Linha” Neste caso, temos 2 meios no topo do cubo formando uma linha na horizontal. Posicione seu cubo conforme a figura e aplique os movimentos. Fórmula (igual): F R U R’ U’ F’
Cruz completa Se seu cubo já estiver assim, você pode seguir para o próximo passo.
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Aplique o Sune e siga para a 6ª figura. R U R’ U R U2 R’
Aplique o Sune + U e siga para a 6ª figura. R U R’ U R U2 R’ U
Passo 6 Aqui deve-se finalizar a face do topo do cubo por completo, subindo todas as
quinas
amarelas.
No momento não é necessário se
Aplique o Sune + U' e siga para a 6ª figura. R U R’ U R U2 R’ U'
preocupar com as cores das laterais da última camada, dê atenção apenas aos adesivos
Seu
amarelos
cubo
pode
das
estar
quinas.
em
7
Aplique o Sune e siga para a 7ª figura. R U R’ U R U2 R’
posições diferentes, em qualquer um dos casos a fórmula será a mesma, a única diferença será a quantidade de vezes que ela deverá ser aplicada e a posição do cubo. Veja qual é o caso que seu cubo
Aplique o Sune + U' e siga para a 7ª figura. R U R’ U R U2 R’ U'
está, posicione conforme a figura e aplique os movimentos seguindo a sequência.
Aplique o Sune + U2 e siga para a 7ª figura.
O único algoritmo que você deverá executar
se
chama
“Sune”.
Basta
posicionar seu cubo conforme a figura
R U R’ U R U2 R’ U2
correspondente e aplicar os movimentos. Sune: R U R’ U R U2 R’
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Para esta fórmula em especial, preste bastante atenção ao realizar os movimentos B (atrás horário) e B’ (atrás antihorário).
Aplique o Sune. R U R’ U R U2 R’
Fórmula: R B’ R F2 R’ B R F2 R2 Após aplicar a fórmula, todas as quinas ficarão corretamente permutadas umas em relação às outras, conforme a figura ao lado. Passo 7
Execute agora o movimento U, U’ ou U2 até que todas fiquem alinhadas com os centros correspondentes, conforme a figura ao lado.
Neste momento, deve-se permutar as 4 quinas da última camada. Para isso, você deve encontrar um lado que tenha 2 quinas com adesivos da mesma cor, posicionar este lado na sua frente e aplicar a
fórmula
correspondente,
independentemente das demais cores da última camada e a cor da face.
- Encontrei um lado com duas quinas azuis. Agora basta posicionar este lado na minha frente (conforme a figura ao lado) e aplicar a fórmula. Lembre-se que este é apenas um exemplo.
Passo 8 Agora deve encontrar um lado do cubo que esteja totalmente completo, manter este lado na parte de trás, 26
identificar qual o sentido que os outros
PARABÉNS!!! VOCÊ ACABA DE RESOLVER SEU PRIMEIRO CUBO MÁGICO!
3 meios errados deverão ser permutados e aplicar os movimentos correspondentes. Atividade: Mantendo a face que estiver completa na parte de trás do seu cubo (com o amarelo no topo), verifique qual o sentido da permutação que os três meios errados deverão ser submetidos, e aplique a fórmula correspondente:
Refaça o modelo. - Identifiquei que o lado vermelho está totalmente completo (conforme a figura ao lado). - Vou então girar meu cubo para manter esta face na parte de trás (conforme indica a seta vermelha) e, consequenteme nte, o lado laranja na minha frente. Lembre-se que este é apenas um exemplo.
Permutação horária Fórmula: F2 U L R’ F2 L’ R U F2
Aula 20 – Variações do Jogo Além do Cubo de Rubik, cubo mágico 3X3X3, há muitas variações como os Cubos 4X4X4, 5X5x5 ... e, ainda outros formatos que não os cúbicos, como tetraedro, dodecaedro, por exemplos.
Todos
possuem
métodos
específicos de resolução, mas que não fogem dos critérios já desenvolvidos para o Cubo de Rubik.
Permutação anti-horária
Atividade: Compreender
Fórmula: F2 U’ L R’ F2 L’ R U’ F2
pesquisas
o
através
desenvolvimento
de dos
métodos resolutivos destas variações.
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Outros métodos resolutivos
Mágico, então desenvolvi esse método com apenas uma fórmula.
Método Fridrich O Método Avançado Fridrich segue o
mesmo
princípio
do
método
de
camadas, porém é recheado de atalhos e novas fórmulas, com um total de 119
O preço dessa facilidade é que você vai demorar mais tempo para resolver. Com alguma prática, dá pra resolver em aproximadamente 2 minutos, mas se quiser menos que isso, aconselho
casos divididos em 3 partes:
aprender outros métodos como camadas F2L - finish two layers - finalizar as
ou Fridrich.
duas primeiras camadas: 41 casos. Métodos alternativos OLL - orientation last layer Método
orientar a última camada: 57 casos.
Cubo
Mágico
com
histórias PLL - permutation last layer permutar a última camada: 21 casos.
Método da fórmula única para montar o Cubo Mágico (F1)
Método ZZ para montar o Cubo Montar
Mágico
o
Cubo
Mágico
com
apenas 2 fórmulas Esse método foi originalmente proposto por Zbigniew Zborowski em 2006.
Parece
o
Fridrich
(aconselho
aprender ZZ se tiver uma boa base de Fridrich,
mesmo
sem
saber
todos
algoritmos), mas muda bastante o primeiro
Montar o Cubo Mágico com uma mão (3x3 OH) Montar o Cubo Mágico com os pés.
Cubo de Rubik e a Matemática A Matemática está presente no
passo. Você coloca só 2 peças da cruz, mas orienta os meios também. Assim você não precisará girar o cubo, não fará F nem B (que são lentos) e quando termina as 2
cubo de Rubik e pode ser facilmente abordada quando por exemplo se fala em simetria,
permutações,
geometria
espacial.
primeiras camadas, a cruz de cima está pronta.
Método da fórmula única para montar o Cubo Mágico (F1) Muita gente reclama que tem que aprender muita coisa pra resolver o Cubo 28
Referências: (1) http://www-groups.cs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Lucas.html
(2) http://www.cs.wm.edu/%7Epkstoc/toh.html
(3) http://greschak.com/twlegend.htm
(4) http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/3900/sun.htm
(5) http://www.haubergs.com/scripts/Hanói/Hanói.html
(6) http://puzzlemuseum.com/month/picm07/2007-03_Hanói.htm
(7)http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/curiosidades/tangram.htm
(8)https://www.geniol.com.br/raciocinio/tangram/
(9) http://www.cubovelocidade.com.br/
(10)https://www.geniol.com.br/logica/sudoku/ (11) HELLMEISTER, A. C. P. O Jogo do Nim – um problema de divisão. Texto cedido pela Sociedade Brasileira de Matemática, publicado originalmente na Revista do Professor de Matemática ( ). n. 59, p. 36-37, 2006. (12) http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/curiosidades_matematica/jog o_do_nim/jogo_do_nim_estrategia_vencedora.php (13) http://www.jogos.antigos.nom.br/jnim.asp
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