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Apresentação A elaboração do Curso de Matemática Financeira Básica, teve como base à necessidade que as pessoas em geral têm em conhecer os fundamentos da educação financeira e, simultaneamente, abordar aspectos relacionados aos riscos, perigos e armadilhas que, com certa frequência, são utilizados por instituições financeiras e comércio, para disfarçar cobranças excessivas e até mesmo, os ricos do próprio individuo em construir dívidas que muitas vezes criarão problemas graves para sua “saúde financeira”, seu conforto e sua capacidade em honrar seus compromissos.
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Sumário Introdução: ........................................................................................................................................... 4 Razão .................................................................................................................................................... 6 Proporção...........................................................................................................................................8 Aplicações de proporção ............................................................................................................... 11 Porcentagem ..................................................................................................................................... 15 Juros Simples ....................................................................................................................................... 20 Desconto simples ............................................................................................................................... 23 Atividades: .......................................................................................................................................... 25 Capitalização composta ................................................................................................................. 25 Juro composto ................................................................................................................................... 27 Atividades ........................................................................................................................................... 28 Referências Bibliográficas: ............................................................................................................... 29
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Introdução: Observe o infográfico abaixo, publicado pelo jornal Folha de São Paulo em 30/6/2013.
O que estas informações têm haver com nosso cotidiano? A linguagem apresentada nas figuras é de fácil leitura e compreensão? No texto acima, descreva os conteúdos matemáticos que você estudou na escola ou que aprendeu em seu cotidiano? Sobre a informação destacada abaixo, o que você entende por VALOR MÉDIO?
Neste curso objetivamos enfatizar a importância e o uso do dinheiro na vida moderna. Para tanto destacamos a seguinte afirmação:
“O dinheiro nunca fica parado” Sobre o dinheiro, podemos destacar: ✓ O dinheiro é parte integrante de nosso cotidiano; ✓ O dinheiro é mensurável.
5 Assim como o dinheiro, existem outros elementos de nosso cotidiano que também apresentam características semelhantes àquelas descritas acima. Tais elementos são definidos como grandezas quantitativas, usualmente chamadas apenas por grandezas. Exemplo 1: João resolveu 7 problemas de matemática financeira e utilizou cinco páginas de seu caderno. Grandeza 1: Quantidade de problemas = 7 Grandeza 2: Quantidade de páginas = 5
Imagem Internet
Exemplo 2: Mariazinha foi à padaria, comprou 300 g de pães e pagou por eles R$ 2,40. Grandeza 1: Massa do pão (gramas) = 300; Grandeza 2: Custo (R$) = 2,40
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Exemplo 3: Pedrinho realizou no período de recesso escolar uma viagem até o município de Brasiléia, distante 212 km de Rio Branco com tempo de duração de 2 horas e 30 minutos. Grandeza 1: Distância (km): 212 Grandeza 2: Tempo (h): 2,5
magem Internet
Exemplo 4: Lulu sempre foi uma garota com porte físico diferenciado. Aos 14 anos de idade, já apresentava altura de 1 m 87 cm e massa corpórea de 75 kg. Grandeza 1: Idade (anos) = 14 Grandeza 2: Altura (cm) = 187 Grandeza 3: Massa (kg) = 75 Imagem Internet
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RazĂŁo Definição: Dadas duas grandezas mensuradas por a e b com đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘… đ?‘’ đ?‘? ≠0, definimos como razĂŁo de a para b, como sendo a fração
đ?’‚ , onde a ĂŠ chamado antecedente e b ĂŠ o đ?’ƒ
consequente. TambĂŠm sĂŁo usuais as representaçþes a : b e a/b. Exemplo 1: Manoelzinho comprou 12 birĂs e pagou R$ 24,00. Qual o custo unitĂĄrio? O valor unitĂĄrio serĂĄ o custo total : quantidade de birĂs, logo: 24 : 12 = 2 ou
24 12
=2
O valor unitĂĄrio foi R$ 2,00.
Imagem Internet
Percebemos entĂŁo que o valor unitĂĄrio ĂŠ, neste caso, a razĂŁo entre o custo total e a quantidade de birĂs. Exemplo 2: O Falcon HTV-2 ou VeĂculo de Tecnologia HipersĂ´nica 2, pode voar a uma velocidade incrĂvel de 20 920 km por hora. Ele pode viajar de Londres, na Inglaterra, para Sydney, na AustrĂĄlia em apenas 60 minutos. Esta aeronave foi desenvolvida para enfrentar ataques terroristas atravĂŠs de alcance imediato partindo de bases americanas em questĂŁo de minutos.
Leia mais em: http://top10mais.org/top-10-aeronaves-mais-rapida-do-mundo-2012/#ixzz3Dbd7sx00 Qual a distância entre Londres e Sydney? Exemplo 3: Em uma sala de aula hå vinte estudantes dos quais 12 são do sexo masculino. Escreva a razão entre as estudantes em relação a esta classe. Temos que: Razão =
8
2
= 5 = 0,4 20
Note a partir deste exemplo que as razĂľes podem se apresentar tambĂŠm numa linguagem de nĂşmeros decimais. Pergunta para vocĂŞ!!!! Quais os significados que a razĂŁo do exemplo 3 exprime?
7 Atividades: 1- A tabela abaixo se refere aos dados demográficos sobre o Estado do Acre registrados no censo do IBGE de 2010.
A B C D E
ESTADO DO ACRE Capital População estimada 2014 População 2010 Área (km²) Densidade demográfica (hab/km²) Número de Municípios
Rio Branco 790 101 733 559 164 123,040 4,47 22
Fonte: IBGE/2010
a) Escreva o valor da razão A:B. O que significa esta razão? b) Escreva o valor da razão A:C. O que significa esta razão? c) Escreva o valor da razão B:D. O que significa esta razão? 2- Converta as razões (ou frações) em números decimais: a) 7/10 b) 3/5 c) 5/8 d) 1/3 3- Converta os números decimais em frações. a) 0,6 b) 1,34 c) 3,124 d) 0,4444... 4- Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?
Proporção Considere o texto ao lado:
Imagem Internet
8 Se você necessitasse de 1,8 kg de Molho de tomate, qual seria sua opção de compra? Agora, sendo o critÊrio de compra o menor custo, você manteria a sua opção? Justifique.
É comum no mercado nos ofertarem produtos idênticos em variadas formas de consumo. Podemos destacar entre estas: embalagens, volumes, preços, marcas, entre outros. Nossos critÊrios de escolha são muitas vezes pessoais. Todavia, na perspectiva Matemåtica as escolhas pessoais nem sempre definem a melhor compra. Hå de se considerar certos padrþes de comparaçþes. Um destes critÊrios serå estudado agora, a proporção. Definição: Dizemos que hå proporção entre duas grandezas, quando as razþes entre suas mensuraçþes, em situaçþes distintas, são equivalentes. Exemplo: Observemos que a razão entre a massa de oxigênio e a massa de hidrogênio em cada experiência Ê: R1 =
80 10
= 8; R2 =
32 4
= 8; R3 =
0,16 0,02
8
2,4
1
0,3
= 8; R4 = = 8 e R5 =
= 8.
Percebemos que em todos os casos, a razĂŁo encontrada foi 8, ou seja,
80 32 0,16 8 2,4 = = = = =8 10 4 0,02 1 0,3
Dizemos, neste caso, que as razĂľes
80 32 0,16 8
2,4
10 4
0,3
,
, 0,02 , 1 đ?‘’
, estão duas a duas em proporção
de razĂŁo 8.
Generalizando: Sejam A e B, duas grandezas mensuradas em dois momentos distintos por a1 , a2 e b1 , b2, respectivamente. Dizemos que as razĂľes
đ?‘Ž1 đ?‘Ž2
đ?‘’
đ?‘?1 đ?‘?2
estão em proporção se
đ?‘Ž1 đ?‘Ž2
=
đ?‘?1 đ?‘?2
= đ?‘˜,
onde k Ê um número real. Chamamos a1 e b2 de extremos e, a2 e b1 de meios na proporção. Note que usando o conceito de razão apresentado, a proporção
đ?‘Ž1 đ?‘Ž2
: b2, o que deixa claro as denominaçþes acima.
=
đ?‘?1 đ?‘?2
pode ser escrita como a1 : a2 = b1
9 Propriedade fundamental Sejam a, b, c e d nĂşmeros reais quaisquer com b e d nĂŁo nulos, dizemos que as razĂľes đ?‘Ž đ?‘?
đ?‘?
đ?‘’
đ?‘‘
estão em proporção se, e somente se, a . d = b . c, isto Ê, em toda proporção o
produto dos extremos ĂŠ igual ao produto dos meios. Exemplo 1: Verifique se 3, 20, 5 e 12, estĂŁo nesta ordem em proporção. Em caso negativo, alterando a ordem ĂŠ possĂvel encontrar uma disposição destes nĂşmeros de tal forma que os mesmos formem em proporção? Exemplo 2: JoĂŁo pediu auxilio de Pedro para a execução de uma tarefa. Ficou acordado que Pedro receberia nos primeiros trĂŞs dias, as quantias R$ 20,00, R$ 70,00 e R$ 100,00, respectivamente. Todavia, sobre o quarto dia, Pedro exigiu de JoĂŁo uma quantia que entrasse em proporção com a ordem previamente estabelecida. Qual o valor da quarta parcela exigida por Pedro? Imagem Internet Adaptada
Outras propriedades: Sejam a, b, c e d nĂşmeros reais quaisquer e, b e d nĂŁo nulos, dizemos que se as razĂľes đ?‘Ž đ?‘?
đ?‘?
đ?‘’
đ?‘‘
estão em proporção então a razão obtida pela soma dos antecedentes e a soma
dos consequentes, tambÊm estå na mesma proporção, isto Ê, �
E equivalentemente,
đ?‘?
=
đ?‘? đ?‘‘
đ?‘Žâˆ’đ?‘?
đ?‘Ž đ?‘?
=
đ?‘? đ?‘‘
đ?‘Ž+đ?‘?
= đ?‘?+đ?‘‘.
= đ?‘?−đ?‘‘.
Observem que estas propriedades não podem ser confundidas com soma de fraçþes, pois
đ?‘Ž
đ?‘?
+đ?‘‘ = đ?‘?
đ?‘Žđ?‘‘+đ?‘?đ?‘? đ?‘?.đ?‘‘
đ?‘Ž+đ?‘?
≠đ?‘?+đ?‘‘ =
đ?‘Ž đ?‘?
đ?‘?
= đ?‘‘.
É usual tambÊm a propriedade que garante a proporcionalidade, mesmo com a permuta entre os meios ou os extremos.
đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? = ⇔ = ⇔ = đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? đ?‘Ž Exemplo 3: Utilizando as propriedades das proporçþes, determine os valores a e b, em cada caso, de forma a garantir a proporcionalidade. a)
đ?‘Ž 3
b)
đ?‘Ž 10
=
đ?‘? 4
=
đ?‘? 4
đ?‘’ đ?‘Ž + đ?‘? = 49
đ?‘’ đ?‘Ž − đ?‘? = 24
10 Exemplo 4: Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 4500,00 a mais que a outra. Encontre a comissão de cada uma, sabendo que a razão entre as comissões é
4 9
.
Imagem Internet
Exemplo 5: Um posto de combustível no município de Cruzeiro do Sul tem seu estoque de gasolina comum distribuído em dois tanques num total de 2 200 l. Sabendo que a razão entre os volumes é
4 7
e,
considerando o preço apresentado na imagem, calcule a arrecadação de cada bomba de combustível em caso de venda total. Imagem Internet
Atividades: 1- Flamengo e Corinthians são considerados os times brasileiros que apresentam as maiores torcidas. Durante o último confronto entre estas equipes pelo campeonato brasileiro, estima-se que o estádio do maracanã, local em que a partida foi realizada, recebeu um público de 77 000 torcedores. Sabendo que a razão entre as torcidas foi 4 para 3, o preço médio dos ingressos foi R$ R$ 120,00 e, desconsiderando as entradas gratuitas e meia entrada. Calcule a renda gerada por cada torcida. Imagem Internet
2- No mapa ao lado, a distância entre as capitais dos estados do Acre e São Paulo é de 3,5 cm. Sabendo que a empresa aérea Florestania cobra neste trecho, R$ 0,02 o quilograma de carga seca por quilômetro, incluindo custos de operação e encargos, calcule o frete pago por um objeto com massa de 3 kg.
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11 3- Para fazer suco de abacaxi, pode-se utilizar a fruta ou o concentrado industrializado e jå adoçado, facilmente encontrado em supermercados. No caso do concentrado, as instruçþes do uso recomendam para preparo em ågua, a proporção de 4:11. Se um vendedor desejar fazer 45 litros de suco, seguindo as orientaçþes e sabendo que o litro de ågua custa R$ 0,25 e do concentrado, R$ 2,32, calcule o gasto total.
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Aplicaçþes de proporção Voltando a falar de grandezas quantitativas, devemos estabelecer as relaçþes de proporcionalidade direta, inversa ou não proporcionais entre elas. Dados duas grandezas G1 (a1, b1, c1) e G2 (a2, b2, c2), dizemos que as grandezas G1 e G2, representam: a) Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP) se, e somente se,
đ?’‚đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?
đ?’ƒđ?&#x;?
=
đ?’ƒđ?&#x;?
đ?’„
= đ?’„đ?&#x;? = đ?’Œđ?&#x;? . đ?&#x;?
Exemplo 1: Analisando os quadros abaixo, que representam a quantidade de batata, em quilogramas e o custo, em reais.
Inicialmente temos que cada informação representa uma grandeza. EntĂŁo construindo as razĂľes entre as grandezas preço e a quantidade de batatas, obtemos: đ?‘…$ 2,00 1 đ?‘˜đ?‘”
= 2,
Logo estão em proporção:
2 1
đ?‘…$ 4,00 2 đ?‘˜đ?‘”
4 2
6 3
= 2,
đ?‘…$ 6,00 3 đ?‘˜đ?‘”
=2đ?‘’
đ?‘…$ 8,00 4 đ?‘˜đ?‘”
= 2,
8 4
= = = = 2.
As grandezas quantidade de batata, em quilogramas e o custo, em reais formam uma relação GDP. b) Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) se, e somente se,
a1.a2 = b1.b2 = c1.c2 = k2.
12 Alguns autores descrevem e ĂŠ usual a analogia com GDP, quando afirmam que As
đ?’‚đ?&#x;?
grandezas G1 e G2 sĂŁo GIP, quando đ?&#x;?
đ?’‚đ?&#x;?
=
đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?
đ?’„
= đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?’Œđ?&#x;‘ đ?’„đ?&#x;?
Exemplo 2: Analisando os quadros abaixo, que representam a velocidade mĂŠdia, em quilĂ´metros por hora e o Tempo Gasto, em horas.
Novamente temos que cada informação representa uma grandeza. EntĂŁo construindo as razĂľes entre as grandezas velocidade mĂŠdia e o tempo gasto, obtemos: 24đ?‘˜đ?‘š/â„Ž 30 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž 40 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž 120 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž = 2, 4đ?‘˜đ?‘š; = 3,75 đ?‘˜đ?‘š; = 6,66 ‌ đ?‘˜đ?‘š đ?‘’ = 60 đ?‘˜đ?‘š 10 â„Žâ„Ž 8â„Ž 6â„Ž 2â„Ž Assim temos que nĂŁo representam GDP. Por outro lado, temos que: 24 km/h x 10 h = 240 km; 30 km/h x 8 h = 240 km; 40 km/h x 6 h = 240 km; 120 km/h x 2 h = 240 km Assim, 24 x 10 = 30 x 8 = 40 x 6 = 120 x 2 = 240. As grandezas velocidade mĂŠdia e o tempo gasto, formam uma relação de GIP c) Grandezas NĂŁo Proporcionais, quando nĂŁo sĂŁo GDP e nem GIP. Exemplo 3: Analisando os quadros abaixo, que representam a Idade de um indivĂduo, em anos e o a medida de sua Altura, em centĂmetros. Idade 5 anos 10 anos 15 anos 20 anos
Altura 120 cm 140 cm 165 cm 170 cm
Novamente temos que cada informação representa uma grandeza. Desta forma construindo as razĂľes entre a altura do indivĂduo em relação a idade obtemos: 120 đ?‘?đ?‘š 140 đ?‘?đ?‘š 165 đ?‘?đ?‘š 170 đ?‘?đ?‘š = 24; = 14; = 11; = 8,5 5 đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ 10 đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ 15 đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ 20 đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ Percebemos assim, que as grandezas nĂŁo representam GDP. E ainda, 5 anos x 120 cm = 600; 10 anos x 140 cm = 1400; 15 anos x 165 cm = 2475; 20 anos x 170 cm = 3400 Assim, temos que estas grandezas tambĂŠm nĂŁo sĂŁo GIP.
13 Em casos como estes dizemos que não há proporcionalidade entre as grandezas. É usual o entendimento que grandezas são: GDP, quando ordenados os valores de uma delas, percebe-se a mesma orientação de ordenação na outra e ainda, a razão entre elas são iguais. GIP, quando ordenados os valores de uma delas, percebe-se a orientação inversa na ordenação da outra e ainda, o produto entre elas são iguais. Não proporcionais quando não ocorre nenhuma das anteriores. Exemplo 4: João, Pedro e Antonio são sócios na empresa Biris LTDA, localizada na Baixada da Alegria. Sabe-se que tal empresa teve lucro líquido, em 2013, de R$ 180 000,00 e que os sócios ao ingressarem no negócio, investiram R$ 15 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00, respectivamente. Calcule o lucro liquido relativo a cada sócio.
Imagem Internet adaptada
Exemplo 5: O Sr. Afatsum decidiu realizar a partilha antecipada de sua herança às filhas Fernanda, 20 anos, Beatriz, 15 anos e Débora, 12 anos. Sabe-se que o valor a ser dividido é de R$ 30 000,00 e que o critério de partilha é maior valor para a menor idade. Determine a quantia que cada um receberá. Imagem Internet
Exemplo 6: No sítio de Marcelo, o abastecimento de água da casa é feito por meio de uma cisterna. Quando cheia, a cisterna é suficiente para abastecer a casa por 128 dias, com um consumo médio diário de 125 litros de água. A cisterna pode abastecer a casa de Antônio por quantos dias no máximo, se forem consumidos diariamente 200 litros de água? Imagem Internet
Exemplo 7: Numa fazenda, há um estoque de ração para alimentar 32 galinhas durante 22 dias. Após 4 dias, resolve comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo durará as provisões, se a porção de ração de cada galinha não for diminuída? Imagem Internet
14 Exemplo 8: Um grupo de 10 estivadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas, 25 estivadores precisarão para descarregar 350 caixas?
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Atividades 1. Um pai deixou para seus filhos uma herança no valor de R$ 50 000,00 para ser dividida entre eles na razão direta do número de dependentes de cada um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem 2 dependentes, o segundo 3 e o terceiro 5. Qual o valor da partilha ao primeiro herdeiro?
Imagem Internet
2. Observe a ilustração e responda: Eu ganho R$ 3000,00 trabalhando 6 horas por dia!!
Ganhar o equivalente a 10 horas por dia!! Qual seria meu salário??
E o que deseja?
3. Para a construção de um muro, dois pedreiros trabalhando juntos conseguem realizar a obra em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros com mesmo ritmo de trabalho que os anteriores, em quantas horas tal muro poderia ser construído?
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15 4. Para encher um tanque com capacidade para 40 000 litros, duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas capacidade para 30 000 litros?
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Porcentagem Observe a imagem abaixo:
O infográfico foi construído com imagens do comércio de Rio Branco. Nele há sugestões de produtos e serviços em ofertas.
Fonte: Panfletos de distribuição gratuita outubro 2014
Vemos que o modo como o comércio anuncia suas ofertas é dado com uma linguagem especial. Esta linguagem, chamada porcentagem, é um importante objeto de estudos em Matemática e uma ferramenta importante para a sociedade em seu dia a dia.
16 Definição: A expressĂŁo x %, que lemos “x por centoâ€?, ĂŠ chamada de taxa percentual e representa a fração
đ?‘Ľ
, isto ĂŠ, đ?‘Ľ% =
100
đ?‘Ľ
, em x ĂŠ um nĂşmero real qualquer.
100
Exemplo 1: Representar, nas formas de fração irredutĂvel e nĂşmero decimal, cada taxa percentual: a) 30% Solução: Temos que:
30% =
30 3 = = 0,3 100 10
Assim temos como linguagem: Taxa percentual: 30% Fração irredutĂvel referente a 30%:
3 10
Valor decimal referente a 30%: 0,3 b) 120% Solução: Temos que:
120% =
120 100
6
= = 1,2 5
Assim temos como linguagem: Taxa percentual: 120% 6
Fração irredutĂvel referente a 120%:
5
Valor decimal referente a 120%: 1,2
c) 0,8% Solução: Temos que:
0,8% =
0,8 100
8
1
= 1000 = 125 = 0,008
Assim temos como linguagem: Taxa percentual: 0,8% Fração irredutĂvel referente a 0,8%:
1 125
Valor decimal referente a 0,8%: 0,008
Todo, inteiro ou unidade Quando falarmos que algo estĂĄ “inteiroâ€? ou “todoâ€?, faremos referĂŞncia a taxa percentual 100% para representĂĄ-lo. Fato este consequente da definição pois:
100% =
100 =1 100
Assim, por exemplo, calcular 20% de R$ 60,00, significa que no todo (100%) 60, existe uma porção x equivalente a taxa apresentada (20%). Veja,
17 Taxa percentual Valor (R$) (%) 100 60 20 x Percebe-se facilmente que as grandezas sĂŁo GDP.
100 60
EntĂŁo:
Logo,
=
20 đ?‘Ľ
100 . x = 20 . 60 x=
1200 100
⇒ x = 12
Desta forma, temos: 20% de R$ 60,00 equivale a R$ 12,00. Exemplo 2: Um panfleto distribuĂdo em via pĂşblica descrevia a imagem ao lado.
Imagem do catålogo Mercado do Acre – out/2014
Verifique se esta propaganda apresenta os valores em acordo com o enunciado. Exemplo 3: O anuncio a seguir faz referĂŞncia a uma oferta em uma loja de Rio Branco, durante o mĂŞs de setembro de 2014.
Imagem da Oferta em via pĂşblica da Loja Romera set/2014
Qual a taxa percentual de acrĂŠscimo sobre o valor Ă vista?
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Atividades 1A imagem ao lado descreve uma situação que em muitos casos reflete uma triste realidade, pois no Brasil, segundo o censo do IBGE, em 2010 havia uma população de 190 732 694 pessoas, dos quais aproximadamente 16,27 milhões vivem em situação de extrema pobreza.
Imagem Internet
Ainda segundo o IBGE, 46,7% das pessoas na linha de extrema pobreza residem em área rural, apesar de apenas 15,6% da população brasileira morarem no campo. O restante das pessoas em condição de miséria, 53,3% mora em áreas urbanas, onde reside a maioria da população, 84,4%. De acordo com estes dados, respondam: a) Qual o valor percentual aproximado do número de pessoas no Brasil que estavam em situação de extrema pobreza?
b) Qual o número de pessoas que residiam no campo em 2010, no Brasil?
2-
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Considerando o boleto como cota única do IPTU de um contribuinte, calcule o valor do imposto sem o desconto aplicado.
3- Considere a seguinte fatura de consumo de energia elétrica referente a 12/2011em um domicilio em Rio Branco.
19
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a) Qual o percentual referente ao consumo de energia? b) Qual o percentual referente aos tributos? 4-
Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?
5- Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? 6-
O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?
7- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabese que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? 8- João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. Determine o salário de João antes do aumento?
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Juros Simples Observe a imagem abaixo:
Fonte: Anúncios da internet
O infográfico acima nos mostra situações comuns na vida de muitos brasileiros. Dentre elas, destacamos a busca de recursos alheios com promessas de retorno em data futura, os chamados empréstimos financeiros. Tal retorno é marcado com a presença de uma taxa percentual. Temos ainda situações de compra de bens em momentos distintos. Os valores apresentados também se apresentam de maneira distinta. A partir dessas situações, percebemos que o dinheiro tende a desvalorizar. Esse fenômeno faz com que o poder de compra dos cidadãos diminua. Visando a manutenção deste poder de compra, surge a ideia de juros. Assim, de uma maneira simples, dizemos que juros é a quantia necessária para atualizar ou manter um capital ao longo do tempo com o mesmo poder de compra. Essa quantia pode ser expressa como pecúnia ou como uma taxa percentual. Também, podemos visualizar juros como um aluguel pelo uso do dinheiro alheio. Podemos ainda consideram juros como sendo o rendimento de uma aplicação financeira ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. É importante salientar que numa transação comercial, uma das partes envolvidas pode negligenciar o cumprimento do acordo estabelecido entre eles. Neste caso, as leis de
21 comércio preveem uma reparação da perca gerada por este ato. Tal mecanismo é chamado de multa. No entanto, multa não é juros. Também se faz necessária comentar que nas relações comerciais pode haver um elemento que haja com más intenções com o outro. Isso se dá quando os juros cobrados são acima do necessário para atualizar o valor. Neste caso, os juros são vilões do mercado. É comum classificarmos juros em duas categorias: juros simples e juros compostos. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo, principalmente quando trabalhamos com prazos longos. Os juros simples são utilizados nas situações de curto prazo. Vamos entender como funciona a capitalização no sistema de juros simples. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J=C.i.n Onde, J = juros
C = capital
i = taxa de juros
n = período de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) A unidade temporal do período em que os juros são aplicados deve ser na mesma que a taxa de juros incide sobre o capital. Quando não ocorrer esta coincidência, devem-se buscar meios matemáticos para adequá-las. Exemplo 1: Considere a situação abaixo:
Imagem da internet adaptada
Supondo que o sacado efetuou o pagamento 3 meses depois do vencimento. Qual o valor: a) Da multa cobrada?
22 b) Dos juros cobrados? c) O valor pago? Ao somarmos os juros ao capital (valor principal) temos o montante. Montante = Capital + Juros Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos )
M=C+J M = C + C.i.n M=C.(1+i.n) Atividades: 1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano? 2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apresentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00? 3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. Supondo-se que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o rendimento? 4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido? 5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês? 6. Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de R$ 40.000,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco meses, no regime de capitalização simples? 7. Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos. 8. Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simples mensal e anual aplicadas? 9. Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ 12.500,00 pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês?
23 10. Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000,00 daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano? 11. Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês? 12. Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ 200.000,00 formar um montante de R$ 272.000,00 daqui a 12 meses?
Desconto simples No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas. Tais movimentações geram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. Esses títulos possuem datas de vencimento pré-determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. Na prática o desconto é a desconstrução dos juros cobrados antecipadamente, uma vez que há período de tempos não utilizados pelo devedor. Existem várias formas de cálculos de descontos utilizados nas operações financeiras, um deles é chamado de desconto simples.
Elementos que compõe o cálculo do desconto simples Valor nominal: valor mostrado no título, já incluso os juros, e que deve ser pago no dia do vencimento. Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. Comumente efetuado com desconto. O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:
d=N.i.n Na expressão para cálculo do desconto simples temos: d = valor do desconto
N = valor nominal do título
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)
Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de determinar o valor atual comercial, que é dado por: A = N – d, lembrando que d = N . i . n. A=N–N.i.n
A = N.(1 – i . n)
24 É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título. Exemplo 1: Considere a situação abaixo: Imagem da internet adaptada
Se o sacado desejar pagar em 10 de dezembro de 2014, responda: a) Qual o valor do desconto simples?
b) Qual o valor atual na data do pagamento?
Exemplo 2: Considere a situação a seguir: Imagem da internet adaptada
Calcule: a) O desconto simples se o sacado for pagar em 11 de maio de 2015? E 21/5?
25 b) Qual o valor atual do documento para pagamento em 11 de maio de 2015?
Atividades: 1. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes do seu vencimento. Sabendo que a taxa de juro simples corrente é de 24% ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve pagar. 2. Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de vencimento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial? 3. Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. Qual foi o valor do resgate? 4. Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em 21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto simples? 5. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento em 3 de novembro. No dia 16 de agosto do mesmo ano, descontou o título num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. Determine o valor desse desconto.
Capitalização composta No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando tomamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comercial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria. Então, é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o juro composto. Inicialmente, vamos ver o que é capitalização composta. Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de capitalização composta, ou seja, é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal (capital) acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.
Montante O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema:
26 Exemplo 1: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: C = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês M=? O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.
Mês (t) 1 2 3 4 5
capital inicio mês (Pt) 1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86
1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86
juros cor. mês (Jt) x 0,04 = 40,00 x 0,04 = 41,60 x 0,04 = 43,26 x 0,04 = 45,00 x 0,04 = 46,79
montante final mês (mt) 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65
O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior sem, no entanto, efetuar os cálculos ali demonstrados.
M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 .......... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21656 ➔ M = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expressão M 5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos
M = C.(1 + i)n, em que a expressão (1 + i)n é chamada de
fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único. Exemplo 2: Agora, resolva a questão anterior com a fórmula desenvolvida.
27 Exemplo 3: Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês, capitalizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 após oito meses?
Juro composto Sabemos que juro é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado sobre o capital. Quando sobre esse valor que já tem embutida uma parcela de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre juro), estamos diante de uma capitalização composta, em que o valor do juro aumenta a cada período de capitalização. Em outras palavras, os juros compostos são somados ao capital para o cálculo de novos juros
nos
tempos
posteriores,
o
chamado
juros
sobre
juros.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o capital (principal) do montante ao final do período:
J=M-C Daí, como o montante na capitalização composta é M = C.(1 + i)n, obtemos da
substituição:
J=M–C J = C . (1 + i)n – C J = C . [(1 + i)n − 1] Assim, chegamos à fórmula geral do juro composto. Exemplo 1:
Determinar o juro produzido por um capital de R$ 12.000,00, aplicado a juro composto de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um ano.
Exemplo 2:
Paulo possui um título com vencimento em cinco meses, com valor nominal de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, com vencimento para daqui a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. Sabendo que a taxa de juro composto corrente é de 3% ao mês, pergunta-se se a troca é vantajosa.
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Atividades 1. Foram aplicados R$ 2.800,00 durante quatro trimestres, a uma taxa de 10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido. 2. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado em três anos? Usar quatro casas decimais. 3. Calcule o montante produzido pela aplicação de R$ 9.000,00 durante 105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao mês, no regime de capitalização composta, com convenção exponencial. 4. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Supor capitalização mensal. 5. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 8.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 8.813,29 no final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use quatro casas decimais. 6. Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 15.000,00 pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao mês? 7. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui a três meses. Sabendo que o rendimento desse título é de 1,75% ao mês, determine o seu valor presente.
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Referências Bibliográficas: ASSAF NETO, Alexandre. (2012) Matemática Financeira e suas aplicações. 12a ed. São Paulo: Atlas. CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Matemática financeira aplicada / Nelson Pereira Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba : Ibpex, 2006. 276 p. CRESPO, Antônio Arnot. (2009) Matemática Financeira Fácil. 14a ed. São Paulo: Saraiva. SAMANEZ, Carlos Patrício. (2010) Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 5a ed. São Paulo: Prentice-Hall. 304p. Sites: http://www.infoescola.com/matematica/porcentagem/ http://www.infoescola.com/matematica/juros-simples/ http://www.infoescola.com/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta/ https://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-composta.html